/
Text
Ю. А. Ш РЕЙДЕР
а -енство
с
по
он
Ю. А. ШРЕЙДЕР
РАВЕНСТВО
СХОДСТВО
ПОРЯДОК
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 197 1
512
11166
УДК 5!2
Равенст во, сходство, порядок. Ю. А. Ш р е й-
д е р, Издательство «Наука», Главная редак-
редакция фнзпьо-чатематической литературы, 1971.
В книге рассказывается о том, как можно фор-
формально описать свойства хорошо знакомых всем от-
отношений, >казанных в заглавии.
На этом примере выясняется, как происходит
переход от привычных, но неточных понятий к стро-
строгим математическим определениям.
Необходимость строгого описания простейших от-
отношений во шикает в математической логике, кибер-
кибернетике, математической лингвистике и т. п. Простей-
Простейшим примерам из математической лингвистики посвя-
посвящена последняя глава книги.
Рис. 72.
¦»-¦>.?
п-п
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . ... 3
Введение 9
Глава I. Отношения . . 12
§ 1. Как задается отношение • 12
§ 2. Функции как отношения . . 20
§ 3. Операции над отношениями . . . . . 25
§ 4. Алгебраические свойства операций 33
§ 5. Свойства отношений 38
§ 6. Инвариантность свойств отношений . 42
Глава II. Одинаковость и эквивалентность ... 45
§ 1. Or от,1шаковостн к эквивалентности . - 46
§ 2. Формальные свойства эквивалентности . 64
§ 3. Операции над эквивалентное гямн - - 63
§ 4. Отношения эквивалентности на числовой прямой . 7й
Глава III. Сходство и толерантность 78
§ 1. От сходства к толерантности ... 78
§ 2. Операции над толераитностямн ... 90
§ 3. Классы толерантности ... 91
§ 4. Дальнейшее исследование структуры толерантноеre«* 1C4
Глава IV. Упорядоченность ... . 114
§ 1. Что такое порядок? . . 114
§ 2. Операции над отношениями порядка 131
§ 3. Древесные порядки ...... . . 133
§ 4. Множества с несколькими порядками . . 143
Глава V. Отношения в школьной математике . . . 155
§ I. Отношения между геометрическими объектами 155.
§ 2. Отношения между уравнениями 153
Глава VI. Отображения отношений 1E1
§ 1. Гомоморфизмы и корреспонденции 161
§ 2. Минимальный образ н каноническое пополнение от-
отношения . 1(й
1» 3
Гпава VII. Примеры из математической лингвистики . . .1/6
§ 1. Синтаксические структуры . 176
§ 2. Общее понятие текста . 197
§ 3. Модели сочетаемости 206
§ 4. Формальная задача теории дешифровки 213
§ 5. О дистрибуциях . 217
Приложения. - . , 'Л1
1. Сводка основных типов отношений и их свойств . . 227
2. Первоначальные сведения о множествах . ... 227
3. Что такое модель? . . . . . 242
Ачфавитный указатель 243
Указатель символов . . 254
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга писалась как популярное введение
в теорию бинарных отношений. Бинарные отношения,
изучавшиеся ранее с точки зрения специальных по-
потребностей математической логики, оказались очень
простым и удобным аппаратом для весьма разнооб-
разнообразных задач. Язык бинарных (и более общих) отно-
отношений очень удобен и естествен для математической
лингвистики, математической биологии и целого ряда
других прикладных (для математики) областей. Это
очень легко объяснить, если сказать, что геометриче-
геометрический аспект теории бинарных отношений есть по-
попросту теория графов. Но насколько геометрическая
теория графов известна и хорошо освещена в лите-
литературе самого разнообразного жанра — от популяр-
популярной до монографической, настолько алгебраические
аспекты теории отношений изложены весьма скудно.
А между тем алгебра отношений может быть рас-
рассказана вполне общедоступно. Так, чтобы ее могли
усвоить старшие школьники, занимающиеся в мате-
математических кружках, лингвисты, занимающиеся по
роду своей работы математическими моделями языка,
студенты гуманитарных специальностей, нуждаю-
нуждающиеся в определенном математическом образовании,
научные работники, занимающиеся какими-либо ас-
аспектами кибернетики, и т. п.
Эта книга писалась с расчетом на то, чтобы ее
смогли использовать читатели — не математики по
профессии. Во всяком случае на такого читателя рас-
рассчитан основной материал первых пяти глав. Шестая
глава требует некоторого навыка в чтении математи-
математической литературы. Седьмая глава написана специ-
специально для лингвистов и математиков, занимающихся
математической лингвистикой. Для более широкого
круга читателей она явится только частным при-
примером.
Как правило, более сложный или более частный
материал группируется в конце разделов или выде-
выделяется петитом. Так, § 4 главы II является частной
геометрической иллюстрацией отношения эквивалент-
эквивалентности. Последний параграф главы III предназначен
для читателей, намеревающихся специально изучать
структуру пространств толерантности — он содержит
некоторые новые результаты. Последний параграф
главы IV посвящен весьма специальным структурам,
возникающим при описании синтаксических отноше-
отношений во фразе, и предназначен для тех, кто намерен
серьезно изучать главу VII.
Пятая глава является несложной иллюстрацией
того, какие отношения фактически употребляются
в школьной математике.
Формально говоря, чтение этой киши не требует
никаких знаний, кроме школьного курса математики
и некоторых сведений из теории множеств (эти сведе-
сведения могут быть почерпнуты, например, из приложе-
приложения 2). Однако было бы полезно, чтобы читатель об-
обладал знанием основ математики на уровне книги
Ю. А. Шихановича «Введение в современную мате-
математику» (М.. «Наука», 1965). В некотором смысле
настоящая книга является естественным продолже-
продолжением главы VII книги Ю. А. Шихановича, хотя мето-
методические установки обоих авторов чуть ли не проти-
противоположны.
Дополнительная трудность при написании книги
о математике для нематематиков состоит в том, что
такая книга должна в определенной степени дагь
читателю понятие о том, что есть математика. Мате
матик-профессионал получает представление о своей
науке из всего процесса обучения, не профессиональ-
профессиональный читатель составляет свое представление о мате-
математике из доступных ему источников. Ходячие пред-
представления о математике очень часто неверпы, хотя
к математике сейчас обращаются очень многие. Ино-
Иногда от нее ждут готовых рецептов, как решить ту или
иную прикладную задачу — такое представление по-
порой складывается в результате обучения школьному
или втузовскому курсу. Очень часто написание слож-
иых формул есть просто мистический ригу ал, при-
призванный «освятить» и придать достоверность весьма
шатким выводам — это своеобразный симптом общей
веры в надежность истины постольку, поскольку она
выражена в научной форме.
Мне хотелось в этой небольшой книге показать,
как осуществляется переход от привычных интуитив-
интуитивных понятии, вроде одинаковости, сходства *) или по-
порядка, к точно определенным математическим поня-
понятиям, позволяющим проводить логически строгие рас-
рассуждения. При этом хотелось бы предостеречь от
неосторожною перенесения выводов, сделанных для
данного конкретного уточнения (или. как принято го-
говорить, экспликации) данного понятия, на общин слу-
случай, где эгн понятия носят только интуитивный ха-
характер. Изучение таких экспликаций показывает,
и частности, что одно и то же общее понятие допус-
допускает разные уточнения с разными свойствами. Это
заставляет особенно осторожно относиться к нестро-
нестрогим выводам и.ш перенесению строгих выводов на
ситуации с не строго определенными понятиями.
В сущности здесь действует некий принцип соразмер-
соразмерности строгости вывода с точностью самого утверж-
утверждения.
На простейшем материале, использованном в этой
книге, мне хотелось показать, как происходит пере-
переход от абстрактного, аксиоматического определения
объекта к его явному описанию. Это одна из очень
важных для математики идей, что мы можем в ряде
случаев «перечислить» все объекты, обладающие не-
некоторыми заданными свойствами. Или, иначе, разо-
разобраться, как устроены объекты с заданными свой-
свойствами.
Бинарные отношения дают, кроме всего прочего,
хороший запас содержательных примеров для таких
важных общеалгебраических понятий, как полугруп-
полугруппа, тмоморфизм п т. п. В этом польза изучения ал-
алгебры бинарных отношений для тех, кто потом рас-
рассчитывает глубже изучать математику.
*) Следует отметить, что понятие отношения толерантности,
уточняющее понятие сходства (и родственное ему понятие нераз-
неразличимости), лишь совсем недавно ввел Э. Знман. (См., например,
Э. 3 II м а н и О. Б ь ю н е м а и. Толерантные пространства и
мозг, сб. «Па пути к теоретической биологии», М., «Мир», 1970.)
Автор хотел бы выразить свою благодарность
ряду лиц, разным образом способствовавших появле-
появлению на свет этой книги.
С М. В. Араповым мы систематически обсуждали,
что в сущности есть математическое описание языка.
Эти обсуждения не могли не сказать на изложении
и отборе материала.
С В. Б. Борщевым мы совместно создали некото-
некоторые языковые модели, отразившиеся в этой книге.
Ьму я обязан также рядом конкретных замечаний
в ходе изложения.
Т. Д. Вентцель я признателен за написанный ею
§ 4 главы II и обсуждение замысла книги.
Н. Я. Виленкин сделал много ценных замечаний
при рецензировании рукописи.
Своему учителю И. М. Гельфанду я глубоко бла-
благодарен за принципиальное обсуждение роли «размы-
«размытых» моделей в лингвистике и других областях. Он
же обратил мое внимание на важную работу Зимана
о толерантности, что и послужило толчком к моим
занятиям в этой области.
Моей ученице Е. Н. Ефимовой я благодарен за
неоднократные обсуждения свойств графов, возни-
возникающих в лингвистике.
Художнице О. Н. Раздобудько я глубоко призна-
признателен за интересное обсуждение смысла иллюстраций,
что несомненно оказало влияние на текст книги.
Ряд вопросов, затронутых в этой книге, мне дове-
довелось обсуждать с С. Я. Фитиаловым. В частности,
в ходе этих бесед возник один из результатов, приве-
приведенных в шестой главе.
Многолетнее общение с М. Л. Цетлиным без-
безусловно сказалось на эволюции моих представлений
от чисто формальных взглядов на математические
модели к идее специфичности моделей живых систем,
одной из которых безусловно является язык.
Большую благодарность я испытываю к редактору
книги Ю. А. Шихановичу. сумевшему устранить зна-
значительное количество имевшихся огрехов, что потре-
потребовало очень большого труда.
Своей ученице С. М. Якубович я хотел бы выра-
выразить благодарность за активный интерес к совме-
совместной работе при изучении свойств отношения толе-
толерантности.
8
ВВЕДЕНИЕ
Мы будем все время иметь дело с простыми кате-
категориями, которыми мы повседневно пользуемся, назы-
называя определенным образом те или иные ситуации.
Основная трудность (в данном случае — вполне
преодолимая) состоит в том, чтобы эти совершенно
обыденные категории перевести в ранг точных мате-
математических понятии. Подобный перевод весьма ти-
типичен для математики. Он даже имеет специальное
название. Когда мы переходим от расплывчатого и
привычного понятия к точно формулируемому, то это
последнее называется экспликацией исходного.
Так, например, математическое понятие «алго-
«алгорифм» есть экспликация такого обычного понятия как
«метод решения задачи».
Возьмем еще пример, требующий большей мате-
математической эрудиции: понятие «производная», лежа-
лежащее в основе дифференциального исчисления, есть не
что иное, как экспликация интуитивно ясного поня-
понятия «скорость изменения данной величины».
Довольно очевидно, что, поскольку исходное по-
понятие всегда бывает достаточно расплывчатым, оно
допускает не одну экспликацию.
В сущности эта книга посвящена экспликации од-
одного существенного понятия, а именно, «отношения»,
к его основных разновидностей. Что такое отношение,
проще всего пояснить примерами. Следующие сужде-
суждения в действительности выражают отношения между
некоторыми объектами:
«Иван — брат Петра»,
«Иван — сосед Петра»,
«Железо тяжелее воды»,
«Киев южнее Москвы»,
«Ночь и день имеют одинаковое количество букв.».
Эти пять предложений выражают отношения раз-
разного типа. Однако можно заметить родство в харак-
характере отношений, утверждаемых первым, вторым и пя-
пятым предложениями. Все они говорят о том, что некие
два объекта принадлежат общему классу: сыновей
общих родителей, жителей одного дома или поселки,
слов с фиксированным числом букв. Третье и четвер-
четвертое отношения имеют то общее, что выражают отно-
относительный порядок объектов в системе. Когда мы го-
говорим, что железо тяжелее воды, мы не предполагаем,
что вещества делятся на категории легких и тяжелых.
И не утверждаем, что железо тяжелое, а вода лег-
легкая. Свинец еще тяжелей железа, а водород гораздо
легче воды. Точно так же, деление городов на южные
и северные отнюдь не обязательно, чтобы четвертое
предложение было справедливым. С точки зрения жи-
жителей Мурманска, Москва — это весьма и весьма юж-
южный город с черными ночами и созревающими фрук-
фруктами, а для тбилисцев Киев имеет все основания счи-
считаться северным. Даже если бы мы предложили
условное деление городов на южные и северные, то
в каждой из групп можно было бы найти опять-таки
более южных и более северных представителей.
В дальнейшем мы сможем четко определить эту
интуитивно ощущаемую разницу между отношениями
того и другого типа. Мы увидим, что первый, второй
и пятый примеры — это отношения типа эквивалент-
эквивалентности, определяющие разбиения объектов на классы
подобных друг другу. Остальные два примера — это
отношения типа порядка, устанавливающие относи-
относительное расположение объектов в системе.
Важно обратить внимание на следующее обстоя-
обстоятельство. Во всех пяти примерах четко выделяются
названия объектов и названия отношений. Если вме-
вместо названия объекта подставить в предложение на-
название другого объекта, то возможны следующие си-
ситуации:
1) отношение опять будет выполнено;
2) отношение перестанет выполняться;
3) отношение потеряет смысл.
Так, если в третье предложение вместо слова «же-
«железо» мы подставим слово «медь», то суждение оста-
останется справедливым. Если в четвертое предложение
вместо слова «Москва» подставить «Ташкент», то оно
10
перестанет быть верным. Если же в четвертое пред-
предложение вместо Москвы поставить «железо», то суж-
суждение обратится в бессмыслицу. Аналогично, подста-
подставив в первое суждение объекты из четвертого, мы по-
получим предложение «Киев — брат Москвы». Можно,
конечно, понимать его в переносном смысле, но ясна,
что слово «брат» тогда уже не будет значить «сын
общих родителей». (Ср. выражение «Киев — мать го-
городов русских».)
Любопытно, что в пятое предложение можно под-
подставлять, казалось бы, любые объекты, поскольку
для любого слова имеет смысл говорить о числе букв.
Это объясняется тем, что слова «ночь» и «день»
в этом предложении употреблены не как имена соот-
соответствующих явлений, а как имена самих себя. Более
точно это предложение должно было бы звучать так:
«Слово „ночь" и слово „день" имеют одинаковое
количество букв».
В таком виде уже ясно, что сама форма суждения
ограничивает класс объектов —объектами отношения
здесь могут быть только сами слова.
Итак, мы видим, что говорить об отношении мож-
можно только тогда, когда мы умеем выделять множество
объектов, на которых это отношение определено. Зна-
Значит, прежде чем пытаться формализовать понятие от-
отношения, нужно научиться формально говорить
о множествах и их свойствах. Трудность состоит
в том, что понятие множества является в математике
«первичным»: его обычно не считают нужным опреде-
определять через другие понятия. Более того, в полной тео-
теории множеств имеются парадоксы.
Мы не будем здесь излагать теорию множеств.
Автор в сущности надеется, что первоначальные по-
понятия теории множеств читателю уже знакомы. Но,
чтобы не отпугнуть читателя, незнакомого с этими
понятиями, мы изложим в приложении 2 те сведения
о множествах, на которые будем опираться в даль-
дальнейшем.
A
ГЛАВА I
ОТНОШЕНИЯ
§ 1. Как задается отношение
Задать отношение — это значит указать: между
какими объектами оно выполняется. Например, отно-
отношение «быть братом» полностью определено, если
мы составим список всех пар людей таких, что один
из них — брат второго.
Заметим, что мы здесь заранее выбрали множе-
множество объектов, между которыми определяется отно-
отношение. Именно, отношение «быть братом» мы пола-
полагаем заданным на множестве людей. Рассмотрим
несколько простых примеров. Предположим, что Тать-
Татьяна, Александр и Михаил — дети одних и тех же ро-
родителей, перечисленные в порядке старшинства. Тогда
на этом множестве из трех людей отношение «быть
братом» выполнено для следующих пар:
«Александр — брат Татьяны»,
«Александр — брат Михаила»,
«Михаил — брат Татьяны»
«Михаил — брат Александра».
В первом и третьем суждении объекты нельзя по-
поменять местами. Это означает, что отношение «быть
братом», вообще говоря, не симметрично. Если «х —
брат у», то «у — брат х» только в том случае, когда
у — мужчина. Полезно обратить внимание, что от-
отношение «Александр — брат Александра» не выпол-
выполнено, т. е. данное отношение, как принято говорить,
не рефлексивно. По этому поводу можно напомнить
старую загадку: «Сын моего отца, а мне не брат. Кто
это такой?».Ответ теперь ясен: «Я сам».
12
Отношение «быть старше» выполнено на том же
множестве для следующих пар:
«Татьяна старше Александра»,
«Татьяна старше Михаила»,
«Александр старше Михаила».
Следующий пример показывает, что отношения
можно устанавливать и между объектами разных
множеств. Рассмотрим множество Mi учащихся неко-
некоторой школы и множество М2 учителей той же шко-
школы. Тогда существует естественное отношение «х—¦
ученик у», где х— один из учащихся (элемент мно-
множества Mi), а у— один из учителей (элемент мно-
множества Л12). Ясно, что для одного и того же ученика
х это отношение может выполняться при разных у.
И, наоборот, один и тот же учитель у имеет разных
учеников.
Отношение может быть определено не только для
пар объектов (бинарные отношения), но и для
троек, четверок и т. д. Например, отношение «образо-
«образовывать футбольную команду» выполняется для неко-
некоторых групп из 11 людей. Оно задается списками
основных составов футболистов, участвующих в раз-
различных матчах. Это отношение не следует путать
с бинарным отношением «входить в одну футбольную
команду». Действительно, два игрока из одной ко-
команды еще не образуют команды. Команду может об-
образовывать только комплект из 11 игроков.
Хороший пример трехместных (или, как любят го-
говорить математики, тернарных) отношений достав-
доставляют алгебраические операции. Например, отношение
«образовывать сумму» имеет смысл для троек чисел
{x,y,z) и выполняется в том случае, когда
х + у = z.
Пропорциональность чисел ,v, у, г, и:
х z
у ~~ и
есть отношение, выполненное для некоторых четверок
чисел (x,y,z,u).
Мы будем изучать в основном бинарные отноше-
отношения, т. е. отношения, которые выполняются (или не
13
выполняются) между двумя объектами. Перейдем
к точному определению.
Пусть дано некоторое множество М. Рассмотрим
множество всех пар вида (х,у), где х и у — элементы
множества М. Эти пары мы будем считать упорядо-
упорядоченными, т. е. будем различать пару (х,у) и пару
(у,л-)*). Множество таких упорядоченных пар при-
принято обозначать М X М.
Отношением А на множестве М мы будем назы-
называть подмножество А множества М X М.
Содержательный смысл такого определения со-
состоит как раз в том, что выбор подмножества А во
множестве М X М определяет, какие пары находятся
в отношении А. Это обстоятельство подчеркивается
следующим соглашением об обозначениях. Если
пара (х,у) входит в А, т. е. (х, у)^А, то мы пишем
хАу,
что читается: «л: находится в отношении А с у». Само
выражение хАу мы будем называть соотношением.
Подчеркнем, что отношение — это не просто мно-
множество соответствующих пар, а подмножество мно-
множества пар М X М при фиксированном множестве
М. Говоря более формально, отношением называется
упорядоченная пара (А,М), где А^М X М. Итак, от-
отношение— это пара (А,М), где М — множество, на
котором определено отношение, а А — множество пар,
для которых это отношение выполнено. Множество
М мы будем называть областью задания отноше-
отношения А.
Множество пар А в книге Ю. А. Шихановича
«Введение в современную математику» называется
графиком отношения (А,М). В тех случаях, когда мы
рассматриваем отношения на одном и том же мно-
множестве М, мы вполне можем позволить себе роскошь
не указывать явно область задания. В этом случае
можно мысленно отождествлять отношение и множе-
множество пар, для которых оно выполнено (график отно-
отношения). В частности, мы полагаем вполне допусти-
допустимым обозначать само отношение и его график одной
и той же буквой.
*) Кроме, разумеется, случая, когда х и у совпадают,
14
Однако бывают ситуации, когда рассматриваются
отношения с различными областями задания. Тогда
приходится обращаться с более громоздкими обозна-
обозначениями отношений в виде пар (А,М).
Вот одна из типичных ситуаций подобного рода.
Мы будем называть отношение (А, М) сужением от-
отношения (Аи Mi) на множество М, если MsM| и
А = Ai Г\(М ХМ). Последнее означает, что соотноше-
соотношение хАу между элементами множества М выполнено
в том и только том случае, когда выполнено соотно-
соотношение хА,у. Если из контекста ясно, что А есть су-
сужение отношения Ai, то мы будем допускать обозна~
ченне обоих отношений одной и той же буквой. Суже-
Сужение отношения (Аи Mi) на множество М мы будем
иногда называть просто отношением At на множе-
множестве М.
Приведем несколько примеров отношений. Пусть
М — некоторое множество людей. И пусть А — мно-
множество таких пар (х,у), что «х знаком с у». Сокра-
Сокращением записи в кавычках служит запись «хАу».
Еще одним примером может служить отношение
«быть типичным представителем». Существует рас-
распространенный тест, когда человеку предлагают на-
написать, не думая, на листе бумаги название фрукта,
название домашней птицы и цифру. Большинство
дает стандартный ответ: «Яблоко, курица, 7». Этот
ответ и говорит о том, кого мы считаем в данном слу-
случае типичным представителем (эталоном). На рис. 1.1
изображены три группы геральдических животных,
в каждой из которых выбран представитель, типич-
типичный для членов этой группы: орел является эталоном
для всех геральдических орлов, в том числе и дву-
двуглавых: конь — эталон для пегаса, кентавра и еди-
единорога; козел наверняка послужил прототипом ко-
козерога.
Пусть теперь М — множество участников шахмат-
шахматного турнира. Будем говорить, что «х— победитель
у», если х в этом турнире обыграл у. (Предпола-
(Предполагается, что турнир игрался в один круг.) Вместо того,
чтобы выписывать все пары (х,у), для которых вы-
выполнено отношение «быть победителем», можно про-
просто выписать турнирную таблицу, заменив половинки
нулями. Дело в том, что если участники х и у сыграли
вничью, то никто из них не является победителем
15
Рис. 1.1. Отношение «быть эталоном». Конь,
эталоны в своих группах.
орел и козел—
другого. В этом случае не выполнены оба соотноше-
соотношения: «х — победитель у» и «у — победитель х». Мы
приведем соответственно откорректированную таб-
таблицу мемориала Ласкера A968 г.). Заметим, что по
этой искаженной таблице можно получить всю ин-
информацию о результатах встреч. Кроме того, если
выполнено соотношение «х — победитель у», то это во-
вовсе не значит, что «х лучше сыграл в турнире, чем у».
Это уже совсем другое отношение. Так, «Барцаи—
победитель Ульмана», хотя Ульман стоит выше по
турнирной таблице.
Участники
1 Бронштейн .
2 Ульман . . .
3 Суэтин . . .
4 Васюков . .
5 Барцаи . . .
6 Зайцев А. . .
7 Фукс ....
8 Малнх . . .
9 Чом
10 Минпч . . .
11 Хенингс . . .
12 Цини ....
13 Радович . . .
14 Шенеберг . .
15 Эспиг ....
16 Ортега . . .
1 234567 89 10 11 12 13 14 15 16
000011000110111
1 01000001011111
00 0110010100011
000 01 10001 1001 1
0101 00000001 101
00000 0010110101
011010 010001000
0000000 01000001
00010000 1100100
001000000 000011
0000000000 10001
00000000010 0010
000000000000 000
0000000001000 00
00000000100000 0
00000010000101 0
о
10 1/2
10 1/2
9 1/2
9
9
8 1/2
8 1/2
8
8
6 1/2
6
6
5 1/2
5
5
4 1/2
м
I-II
I—II
III
IV-V
IV-V
VI-VII
VI-VII
VIII- IX
VIII-IX
X
XI—XII
XI—XII
XIII
XIV-tV
XIV-XV
XVI
В действительности, мы получили общий способ
задания бинарного отношения на конечном множестве,
который называется матричным. В общем виде этот
способ можно описать так. Пусть М — я-элементное
множество и А— отношение на нем. Перенумеруем
элементы множества М целыми числами от 1 до п.
Построим теперь квадратную таблицу размером
п X п. Ее /-я строка соответствует t-му элементу мно-
множества М, а /-й столбец — /-ыу элементу множества
М. На пересечении t-й строки if /-го столбца ставится
единица, если выполнено соотношение XiAxj, и нуль —
17
в противном случае. Обозначим элемент, стоящий иа
пересечении i'-н строки и /-го столбца, через a<j. Об-
Общее правило задания матрицы отношения можно
сформулировать так:
а</
| 1, ес
~! О, ес
если выполнено xtAxh
если не выполнено A-jAi-y.
Матрицу, составленную из элементов а;„ принято
обозначать ||а,-3||. Очевидно, эта матрица содержит
«сю информацию о том, для каких пар элементов из
М выполнено отношение А.
Итак, отношение А на конечном множестве М мо-
может быть задано матрицей ||а,;||. Произвол состоит
только в выборе нумерации на М. Легко догадаться,
что можно выбрать и! различных нумераций и, соот-
соответственно, п\ матриц, описывающих данное отноше-
отношение. Если задана матрица размером п X п из нулей и
единиц и выбрана нумерация на множестве М, то тем
самым на М задается некоторое отношение А.
Матрица, для которой ац =е 0 (т. е. flfj = 0 при
всех г" н /), задает пустое отношение 0, которое не
выполняется ни для одной пары.
Матрица, для которой а,-,- == 1, задает полное отно-
отношение М ХМ, выполненное для всех пар.
Особую роль играет также матрица l|6jjll, где
,,={
1 при i = j,
О при 1ф).
(Символ б,-,- называется символом Кронекера по име-
имени математика, впервые его употребившего.) Этой
матрице соответствует так называемое диагональное
отношение Е, или отношение равенства: хЕу, если х
и у — один и тот же элемент множества М.
Матрица ||6;,-|| имеет вид
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0 . .
0 . .
0 . .
1 . .
. . 0
. . 0
. 0
. . 0
О 0 0 0 .... 1
18
Полезно также ввести антидиагональное отноше-
отношение условием:
аИ — 1 — Ьц.
Для пустого, полного, диагонального и антндна-
гонального отношений имеет место любопытное свой-
свойство — нх матрицы не зависят от выбора нумерации
элементов множества М. Читатель может убедиться,
что это свойство характерно для этих четырех отно-
отношений. Иначе говоря, если отношение А таково, что
при любом выборе нумерации в М матрицы ||ом!| со-
совпадают, то А—либо пустое, либо полное, либо диа-
диагональное, либо антндиагоиалыюе.
Существует еще н другой важный способ задания
бинарных отношений на конечных множествах. Изо-
Изобразим элементы конечного множества М точками па
плоскости. Если выполнено соотношение Х[Ах„ то про-
проведем стрелку от Xj к Xj. Если Х;Ах/, то у точки а',- на-
нарисуем петлю, выходящую из xt п входящую в ту же
точку. Такая фигура называется ориентированным
графом, или просто графом, а сами точки — вершина-
вершинами графа. Пустому отношению 0 соответствует граф
без стрелок и петель. Диагональное отношение изо-
изображается графом, в котором присутствуют только
петли (рис. 1.2).
О
о о
Рис. 1.2. Диагональное отно- Рис. 1.3. Полное отношение.
шение.
Полное отношение изображается так называемым
полным графом, где все вершины соединены со всеми
(см. рис. 1.3).
Изобразим еще в виде графа приведенную ранее
турнирную таблицу (рис. 1.4). Ясно, что петель
в этом графе нет. Номера вершин соответствуют
номерам участников в таблице. Чтобы граф был
19
сравнительно обозрим, мы приводим только часть его,
соответствующую первым восьми участникам. В этом
графе восьмая вершина изолирована, поскольку Ма-
лих сыграл вничью со всеми участниками, ставшими
выше его по таблице.
Граф есть геометрическое изображение отношения
аналогично тому, как график есть геометрическое
изображение функции.
Геометрический язык по-
полезен, когда граф доста-
достаточно прост. Наоборот,
изучать и описывать
сложные графы с боль-
большим числом вершин удоб-
удобнее в терминах отношений.
Часто приходится рас-
рассматривать более общий
случай отношений между
элементами разных мно-
Рнс. 1.4. Граф мемориала жеств М и L. Такое отно-
Ласксра. шение определяется как
подмножество А множест-
множества М X L. Здесь М X L обозначает множество пар ви-
вида {х,у), где jeM, а у е L. Формально такое отно-
отношение определяется как тройка вида {А,М, L), где
/IsMxL*).
В математике рассматривают также тернарные и,
вообще, «-арные отношения, п-арное отношение опре-
определяется как подмножество А множества Mi X Мг х
X ... X Мп, т. е. множество п-ок вида (хи лг2,. . - хп),
где Х\ eMj. В частности, все Mi могут совпадать.
§ 2. Функции как отношения
Частным случаем отношений можно считать и
функции. Пусть отношение А на множестве М таково,
что для всякого х е Л1 существует ровно один элемент
*) К сожалению, автору нравится различные объекты: пары
(А, М) и тройки (А,М, L) —называть одинаково: отношениями.
Однако в нашей литературе существуют и различные термины
для таких объектов: пары (А,М) такие, что A s М X М, иазы-
вают отношениями, а тропки (А, М, L) такие, что A s M X L,
называют соответствиями. См., впрочем, § 2, особенно стр. 24
[Прим. ред.).
20
у е М, для которого справедливо соотношение хАу.
Тем самым каждому элементу хеМ сопоставляется
некоторый элемент у е М, определенный этим усло-
условием. Такое отношение называется функцией, или ото-
отображением (или однозначным соответствием), а сам
элемент у еЛ), соответствующий элементу х е М, на-
называется значением функции А на элементе х. Эта за-
зависимость между х и у выражается обозначением
У = А(х)
Множество А тех пар (х, у), для которых выполнено
соотношение хАу, называется графиком функции.
Например, если М — числовая прямая, а отноше-
отношение А есть отношение равенства у = х, то график со-
состоит из всех точек вида {х, х) и является биссектри-
биссектрисой координатного угла, т. е. обычным графиком функ-
функции у = х. Если отношение А выполнено для тех пар,
для которых у — sin x (ясно, что для каждого х суще-
существует единственное число у, обладающее этим свой-
свойством), то график этой функции есть обычная сину-
синусоида.
Итак, наше определение графика является обобще-
обобщением обычного графика числовых функций.
В данном случае очень полезно рассмотреть отно-
отношения на таких парах (х, у), где х принадлежит мно-
множеству М, а у — другому множеству L. Отношение а
этого вида мы снова будем называть функцией, или
отображением, если для каждого х е М существует
единственный элемент jeI, для которого выполнено
соотношение хау. Такую функцию а мы будем симво-
символически записывать как a:M->-L; здесь М называет-
называется областью отправления функции a, a L — ее об-
областью прибытия. Отображение a.M-^L называется
также отображением множества М в множество L.
Элемент множества L, который при этом соответст-
соответствует элементу х из М, обозначается а(х) и называется
образом элемента х. Сам элемент х называется прооб-
прообразом элемента а(х). Из определения отображения
а : М -> L явствует, что каждый элемент х е М имеет
ровно один образ. Но не всякий элемент у е L обязан
иметь прообраз. Если же такой прообраз существует,
то он не обязан быть единственным.
Пример 1. Пусть М — множество людей, a L —
множество натуральных чисел. Пусть а : М -»- L —
21
отображение, которое каждому человеку ставит в го-
ответствие его рост, выраженный в сантиметрах (округ-
(округленный, как принято, до целочисленного значения).
Ясно, что каждому человеку соответствует определен-
определенный рост, но значение роста: 400 см— не соответствует
никакому человеку- С другой стороны, существует
масса людей, у которых рост— 172 см.
Пример 2. Пусть М — множество ныне живущих
людей, L — множество всех людей, а отображение
а : М ->¦ L ставит в соответствие каждому человеку
его отца. Ясно, что у каждого х е М имеется единст-
единственный образ. Но не у всякого i/et есть прообраз,
так как далеко не всякий человек является отцом дру-
другого. Например, если // — женщина. Кроме того, не-
несколько человек могут иметь общего отца.
Отображение a:M-*-L называется сюръективным,
если любой элемент у из L имеет прообраз. В этом
случае говорят еще, что М отображается на L.
Например, пусть Л1 —множество всех русских слов.
L — множество частей речи русского языка, а отобра-
отображение а : М -»- L сопоставляет каждому слову часть
речи, к которой оно принадлежит. Ясно, что каждая
часть речи соответствует по крайней мере одному сло-
слову— примеру на эту часть речи. (Мы здесь считаем,
что грамматические омонимы каким-то образом уже
различены, т. е. про слово «печь» известно, глагол это
или существительное.)
Отображение a:M-*-L называется инъективным,
если для каждого элемента у е L существует не более
одного прообраза.
Например, пусть М — множество людей, стоящих
в некоторой очереди, L — множество натуральных чи-
чисел, а отображение а : М —*- L сопоставляет каждому
находящемуся в очереди его порядковый номер. Ясно,
что каждый номер может быть присвоен лишь одному
человеку. С другой стороны, это отображение не сюръ-
ектнвно, так как существуют номера, не присвоенные
никому.
Если отображение а : М -»- L одновременно сюръек-
тивно н инъективно, то оно называется биективным.
Множества М и L, для которых существует биектив-
биективное отображение a:M~*-L, называются равномощ-
ными. Легко убедиться, что если М конечно, а М н L
равномощны, то М содержит такое же число элемен-
22
тов, ьак L. Для этого достаточно пересчитать все эле-
элементы из М; если элементу х е М приписан номер
п(х), то тот же номер следует приписать его образу
а(х). Так как отображение сюръективно, то все эле-
элементы множества L получат номера. Так как отобра-
отображение ииъективно, то каждый элемент из L получит
единственный номер. Тем самым для пересчета эле-
элементов множества L требуется ровно столько же но-
номеров, сколько для пересчета элементов множества М.
Легко сообразить, что количество элементов не зави-
зависит от способа их пересчета.
Для бесконечных множеств равномощпость естест-
естественно принять в качестве обобщения понятия «иметь
одинаковое количество элементов».
Полезно ввести еще такие понятия.
Пусть а : М -> L и Mi — подмножество множества
М. Образом множества М\ (обозначается через
ct(AIi)) мы назовем множество всех образов {а (я)},
где ;-еМ|. В частности, а{М) есть образ всего М.
Легко видеть, что а : М -> а(М) есть сюръективное
отображение.
Аналогично, если Li s L, то полным прообразом
множества Lt (обозначается через a~l(Lt)) называется
объединение прообразов всех элементов, входящих
в L).
Определим теперь так называемое единичное ото-
отображение множества М:
которое каждому элементу х е М сопоставляет этот
самый элемент. (Легко видеть, что единичное отобра-
отображение е — это то же самое, что и диагональное отно-
отношение В.) Пусть а : М -> L; отображение [3 : L ->- М на-
называется обратным к а, если сф = ем и Eа = ех, т. е.
если отображение р переводит любой образ а(х) в х,
а отображение а переводит любой образ р(у) в у.
В этом случае мы будем писать: р = а. Читатель
легко убедится в том, что для существования отобра-
отображения, обратного к а, необходимо и достаточно, что-
чтобы а было биективным.
Иногда бывает удобно рассматривать функции
a:M—r~L. которые определены не на всем М, а только
на некотором его подмножестве Мь которое тогда на-
называется областью определения функции. Тогда удобно
23
пополнить множество L до множества L# = L\j{ 4f,
т. е. прибавить к L элемент #, не входивший ранее
в L. Элемент 4г играет роль как бы пустого элемента.
В таком случае мы считаем (опять-таки, по определе-
определению), что отображение a:M-*~L# ставит в соответ-
соответствие любому элементу из М \ Mi пустой элемент
ф. Часто бывает удобно рассуждать так, как будто
пустой элемент # заранее содержится в любом мно-
множестве. Тогда не нужно различать L и L#.
Пример 1. М — некоторое множество людей
в данный момент времени, a L — множество их голов-
головных уборов. Функция а: М-*- L сопоставляет каждому
человеку надетый на нем головной убор. Ясно, что
функция а определена лишь на подмножестве множе-
множества М, состоящем из людей, у которых что-то надето
на голову. Остальным, простоволосым, сопоставляется
пустой головной убор.
Пример 2. ТА — множество русских словоформ,
a L — множество русских окончаний. Функция а сопо-
сопоставляет каждой словоформе ее окончание:
бежать — ать
окно — о
столом — ом
Словоформам «стол», «пальто», «вместе» соответст-
соответствуют нулевые (пустые) окончания*). (Иногда букву
«о» в слове «пальто» неграмотные люди восприни-
воспринимают как окончание именительного падежа среднего
рода и пытаются склонять это слово по падежам. Но
это вовсе не русское окончание, а часть французской
основы «Paletot».)
Иногда и для произвольного отношения (Л, М, L)
об элементах у таких, что хАу, удобно говорить как
об элементах, сопоставленных, или соответствующих,
элементу х. В этих случаях отношение (Л, М, L), кото-
которое приобретает, так сказать, функциональный харак-
характер, мы будем называть соответствием. Таким обра-
образом, соответствие — это «многозначная» функция. За-
Запись
ф: M-+L
*) Термин «нулевое окончание» (нулевая морфема) принят
в научной грамматике. В старой орфографии пустое окончание
\ склоняемых существительных удобно обозначалось твердым
ьнаком: столъ, снопъ и т. д.
24
для произвольного отношения vj) = (А,М, L) и будет
как раз означать, что мы рассматриваем отношение ty
как соответствие.
Можно было бы, разумеется, вместо соответствия
if: M-*-L рассматривать функцию
a: M->2L,
которая каждому элементу х е М сопоставляет мно-
множество LX<^L всех тех у, для которых (х,у) ^А (Lx
может быть, в частности, пустым); однако язык соот-
соответствий (= «многозначных функций») часто бывает
более удобным.
Как и в случае «однозначных» функций, можно
ввести понятия всюду определенного соответствия (для
любого лгеМ множество Lx непусто), инъективного
соответствия (для любых х ф у Lx(]Ly — 0) и сюръек-
гивного соответствия (для всякого у е L существует
х^М, для которого i/eLj).
§ 3. Операции над отношениями
Исходя из операций над множествами, мы можем
определить ряд полезных операций над отношениями.
В этом параграфе мы будем считать, что все отноше-
отношения заданы на одном и том же множестве М.
Итак, возьмем два отношения А и В. Каждому из
них соответствует некоторое множество пар (подмно-
(подмножества А е М X М иВеМхМ).
Пересечением отношений А П В мы назовем отно-
отношение, определяемое пересечением соответствующих
подмножеств. Ясно, что соотношение хАПВу выпол-
выполнено тогда н только тогда, когда одновременно выпол-
выполнены хАу и хВи.
Пример. Пусть М — множество вещественных
чисел, А — отношение «быть не меньше», В — отноше-
отношение «быть не равным». Тогда А П В есть отношение
«быть строго больше». В самом деле, хАу равносильно
тому, что х^у\ хВу равносильно тому, что хфу. Но
эти неравенства выполняются одновременно тогда и
только тогда, когда х > у.
Аналогично, объединением отношений A U В мы на-
назовем отношение, определяемое объединением соответ-
соответствующих множеств. Соотношение хА\)Ву выполнено
25
тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно
из соотношений хАу или хВу.
Например, если А — отношение «больше» на мно-
множестве чисел, а В — отношение «равно», то А [}В —
это отношение ^.
Для отношений можно определить понятие вклю-
включения. Мы будем писать A s В, если множество пар,
для которых выполнено первое отношение, содержит-
содержится во множестве тех пар, для которых выполнено вто-
второе отношение. Соответственно, мы будем писать:
A cz В, если множество пар А является подмноже-
подмножеством "множества В, причем А ф В.
Например, выполнено включение
< с: sg.
В самом деле, если х < у, то заведомо х ^ у. Но су-
существуют гакне пары, что х ^ у, но неверно соотно-
соотношение х < у. Это будет в том случае, когда х = у.
Очень важно отметить такое (вполне очевидное из
определения) свойство включения: если ЛдВ, то из
хАу следует хВу. И обратно: если из хАу следует
хВу, то А <= В.
Отсюда видно, что для любого отношения А
где 0 — пустое, a U — полное отношения.
Теперь мы введем некоторые операции, ие сводя-
сводящиеся непосредственно к теоретико-множественным.
Простейшая из них — переход к обратному отно-
отношению. Если А — отношение на множестве М, то об-
обратное отношение Л определяется условием: хА~*у
равносильно уАх.
Например, если А —отношение >, то А~1 есть от-
отношение <. В самом деле, запись х < у равносильна
записи у>х. Еще пример: если А означает «быть му-
мужем», то Л — «быть женой».
Очень важную роль играет операция, обозначае-
обозначаемая АВ — произведение отношений. Эта операция оп-
определяется следующим образом: соотношение хАВу
равносильно тому, что существует такое z e M, для
которого выполнены соотношения xAz и zAy.
Пусть А — отношение .«быть женой», а В — «быть
отцом». Что означает в этом случае соотношение
хАВу? По определению существует такое z, что <ос—¦
20
жена z» и «z— отец у». Иначе, «л: есть жена отца у»,
т. е. «х — мать или мачеха у».
Пусть А — отношение «быть братом», а В — отно-
отношение «быть родителем». Тогда произведение А В есть
отношение «быть братом одного из родителей», т. е.
«быть дядей»
Раньше в русском языке (как до сих пор в поль-
польском) различались дядя — брат отца (стрый) и дя-
дядя—брат матери (вуй). Это отличие очень легко фор-
формулируется в терминах произведения отношений.
Пусть А — отношение «быть братом», В — «быть от-
отцом;, а С — «быть матерью». Тогда отношение АВ
есть «быть стрыем», а отношение АС означает «быть
вуем».
Возьмем теперь хорошо знакомые отношения
«меньше» (обозначим его А) и «больше» (обозначим
его В) на множестве целых чисел. Соотношение
хАВу выполнено, если существует z такое, что х < z
и z > у. Ясно, что такое z существует всегда — можно
взять, скажем, z — х + у + 1. Таким образом, А В есть,
в данном случае, полное отношение.
В следующем параграфе мы убедимся, что произ-
произведение отношений обладает рядом хороших алгебра-
алгебраических свойств, роднящих его с обычным произведе-
произведением чисел. А пока попробуйте определить, что за от-
отношение будет А А? А что это за отношение, если А
(отношение «меньше») задать на множестве всех ве-
вещественных чисел? А какие отношения выражают АВ
и ВА, если А и В — те же отношения неравенства <
и > на множестве М, состоящем только из чисел 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Определим еще одну важную операцию, которая
называется транзитивным замыканием отношения А
и будет обозначаться через А. Смысл этого названия
будет ясен из теоремы 1.5 (§ 5).
Если А — некоторое отношение на множестве М, то
его транзитивное замыкание определяется следующим
образом. Соотношение хАу считается выполненным,
если существует цепочка элементов из М: Zo= x, z(,...
.. ., zu = у такая, что между соседями в этой цепочке
выполнено отношение А:
гиЛги z^Azz, ..., 2„_,Аг„.
27
В частности, эта цепочка может состоять только
из двух элементов (n=l): z0 = х и Z\ — y. Значит,
если выполнено хАу, т. е. z0Azu то выполнено и соот-
соотношение хАу. Этот факт можно записать в виде соот-
соотношения •*'
А<=А. A.1)
Если цепочка состоит из трех элементов (rt = 2), то
это значит, что xAz и zAy. Иначе говоря, хААу. Если
цепочка состоит из четырех элементов, то хАААу. Про-
Продолжая это рассуждение, мы заключаем, что хАу в том
и только в том случае, когда выполнено хотя бы одно
соотношение вида хАА ... Ау. Или, сокращенно, хАпу.
Используя операцию объединения, этот факт можно
Записать в виде равенства
... U Л" U ... A.2)
Итак, мы доказали, что транзитивное замыкание
отношения А есть объединение всех степеней этого от-
отношения.
Теперь выясним, как введенные операции можно
выразить с помощью операций над матрицами и гра-
графами. Поскольку матрицы, которые нам нужны, со-
состоят только из нулей и единиц, нам будет полезно
ввести специальную (так называемую булеву) ариф-
арифметику на множестве из нуля и единицы. Эта ариф-
арифметика задается следующими двумя таблицами—•
сложения и умножения:
0 + 0 = 0 0-0 = 0
0+1=1 0-1=0
1+0=1 1-0 = 0
1 + 1 = 1 (!) 1 1 = 1
Как видим, эта арифметика отличается от обычной
только тем, что сложение двух единиц дает в резуль-
результате единицу. Зато, оперируя над числами 0 и 1, мы
не выходим за пределы этих чисел. Легко убедиться,
что в этой арифметике мы можем выполнять привыч-
привычные преобразования, но не можем пользоваться вычи-
вычитанием: 1 — 1 может равняться и нулю и единице.
Теперь мы можем определить операции над матри-
матрицами и графами, соответствующие операциям над от-
отношениями.
28
- Далее мы условимся, что нумерация на множестве
М уже выбрана и что матрицы, соответствующие (при
данной нумерации) отношениям А и В, обозначены
«««И и ||fcifc||.
Очевидно, величина
cik = aikbik A.3)
равна единице в том и только в том случае, когда вы-
выполнены оба соотношения XfAxh и XiBXh, т. е. когда
выполнено соотношение ХгА Г) Вхи- Значит, матрица
llcjfell, определенная по A.3), представляет отноше-
отношение С = А П В. Этому факту можно придать несколь-
несколько иное выражение. Назовем пересечением матриц
llajftlin H&iftll матрицу ||й/Л, полученную почленным пе-
перемножением элементов исходных матриц (согласно
A.3)). Тогда пересечение отношений представляется
пересечением матриц.
Например, пусть А и В представляются матрицами
четвертого порядка (М содержит четыре элемента):
II «** II —
Тогда пересечение А Л В представляется матрицей
0 0 0 1
10 11
0 0 0 0
10 0 1
В терминах графов пересечение определяется так.
Нарисуем множество вершин М и изобразим отноше-
отношение А пунктирными стрелками, а отношение В — штри-
штриховыми стрелками. Теперь соединим простыми стрел-
стрелками те и только Ye вершины, которые соединены
обоими типами стрелок. Очевидно, что этот граф изо-
изображает пересечение отношений А Л В (рис. 1.5).
Объединение отношений А [} В, представляемых
матрицами \\аш\\ и ||Ь,-ь||, может быть аналогично вы-
выражено с помощью операции объединения (сложения)
матриц. А именно, обозначим через !|c,ft|| = \\aih\\ -f
29
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
lit. II
. lib «11 =
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
ловием
матрицу, элементы которой определяются ус»
A.4)
В формуле A.4) сложение понимается в смысле буле-
воп арифметики. Посмотрев на таблицу сложения
К
з
в
АПВ
Рис. 1.5. Пересечение отношений.
в этой арифметике, мы легко убеждаемся, что Cih — 1
в том и только том случае, когда хотя бы одно из сла-
слагаемых ац, или Ьл равно едини-
единице. Значит, Са = 1 равносильно
том\, что XjA U Вхи.
Для предыдущего примера
матриц четвертого порядка их
объединение представляется мат-
матрицей
Ai/fl
Рпс. 1.6. Объединение
отношений.
1 1
1
1 1
I I
I 1
Граф объединения строится путем проведения
стрелок между всеми вершинами, которые соединены
стрелкой хотя бы одного типа. Взяв графы А и В из
рис. 1.5, мы получим граф объединения таким, как он
изображен на рис. 1.6.
Произведение отношений АВ представляется так
называемым произведением матриц. Эта, играющая
большую роль в алгебре, операция над матрицами
30
-определяется следующим правилом:
или, используя сокращенное обозначение для суммы,
п
V Z. (. г,
/-1
Число я обозначает здесь порядок матрицы — количе-
количество элементов множества Ж. Несмотря на простоту
утверждаемой связи между произведениями отноше-
отношений и матриц, проведем необходимое доказательство.
Пусть выполнено соотношение ххАВхи. Покажем,
чго величина cih, вычисленная согласно A.5), равна
единице. Действительно, по определению произведе-
произведения отношений существует элемент х, е М такой, что
XiAxj и XjBxi,. Это значит, что ац = Ь;,к= 1. Значит,
iiijbjh = 1. По по правилам булевой арифметики, если
одно из слагаемых равно единице, то сумма A.5) за-
заведомо равна единице, т. е. cih—\. Обратно, пусть
с^ = 1- Тогда среди слагаемых в A.5) хотя бы одно
равно единице. Пусть это будет йцЬ,к. Но произведе-
произведение ciijbih равно 1 только тогда, когда аг, = Ь.ш = 1-
А это означает, что хгАх} н х-Вх1:, т. е. xtABxu.
Итак, мы доказали, что произведению отношений
соответствует произведение матриц.
Графовая интерпретация произведения такова.
Пусть опять отношение А изображается пунктирными
стрелками, а В — штриховыми.
Соединим вершины xt и хи про-
простой стрелкой, если можно прой-
пройти из xt в хк так: сначала из х{ но
пунктирной стрелке в некоторое
р
стрелке в xh (рис. 1.7). Эти новые
стрелки изображают произведе-
произведение отношений А В.
На рис. 1.7 видно, что способ рис. \j_ Промзведе-
построения графа для произведе- нпе отношений,
ния отношений напоминает пра-
правило параллелограмма для сложения скоростей или
сил. Сходство это не случайно. Пусть М — множество
точек на плоскости, н соотношение хАу означает,
что из точки х можно попасть в точку у за единицу
времени, двигаясь со скоростью а, а соотношение хВу
означает, что, двигаясь со скоростью Ъ, можно за еди-
единицу времени попасть из х в у. Тогда хАВу означает,
что, двигаясь со скоростью а + Ь, можно за единицу
времени попасть из х в у.
Операция А~1 в матричной форме выражается весь-
весьма просто. Если А представляется матрицей \\aih\\, то
А~] изображается матрицей Ца^Ц, у которой поменя-
поменялись ролями строки и столбцы: сць — аы- Иначе го-
говоря, матрица для А'1 получается из исходной мат-
матрицы симметричным отражением относительно глав-
главной диагонали. Действительно, если а^ = 1, то х^Ахъ
А А
Рис. 1.8. Транзитивное замыкание отношения.
и xhA-lxit
При м
А-*
Чтобы ]
лучить гра
г. е
ер.
0
1
0
0
ам =
1
1
1
1
1
0
I
0
из графа,
Ф,
изо
1.
Если же uih =
1
0
0
0
, A~l-+
0
1
1
1
изображающего
0,
1
1
0
0
то с
0
1
1
0
Xfci
= 0.
0
1
0
0
•
отношение А, по-
бражающий отношение
л-*
надо все
стрелки поменять на противоположно направленные,
а все петли оставить на месте.
Операция транзитивного замыкания А в матричной
форме выражается через объединение степеней мат-
матрицы А согласно формуле A.2). Более наглядным яв-
является переход от графа, изображающего^отношение
А, к графу, изображающему отношение А. В самом
32
деле, из определения транзитивного замыкания сле-
следует, что в новом графе стрелка соединяет вершины
Xi и Xh, если в исходном графе существует путь, веду-
ведущий из л;,- в Xh по направлению стрелок. На рис. 1.8
изображен граф отношения А. Очевидно, что из лю-
любой его вершины есть путь, ведущий в любую вер-
вершину, в том числе и в ее самое. Таким образом, отно-
отношению А соответствует в данном случае полный граф.
§ 4. Алгебраические свойства операций
Поскольку операции пересечения и объединения
отношений возникли из теоретико-множественных опе-
операций пересечения и объединения, то все их свойства
в точности таковы, как у теоретико-множественных
операций.
Рассмотрим теперь алгебраические свойства ос-
остальных операций.
У операции обращения Л есть важное свойство.
Оно выражается равенством
(/И)-' = Л. A.6)
Действительно, х(А~1)~1у равносильно тому, что уА'^х.
А последнее равносильно тому, что хАу.
Операция умножения А В, в отличие от умножения
обычных чисел, не перестановочна: в общем случае,
АВфВА. Это можно увидеть на простом примере,
когда отношения представляются следующими матри-
матрицами:
А-
1
1
О
О
О
О
1
1
fi
В этом случае
АВ-
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
I
В А-
1
0
0
0
1
I
1
0
0
1
I
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Выкладки предоставляем читателю. Впрочем, они хо-
хорошо понятны в графовом представлении отношений
2 Ю. А. Шрейдер
33
(рис. 1.9, где отношение/! изображено пунктиром, а от-
отношение В — штрихами. При каждой вершине подра-
подразумеваются две — пунктирная и штриховая — петли.).
В случае, когда произведение отношений не зави-
зависит от порядка: АВ = ВА, говорят, что А я В комму-
коммутируют.
Аи В АВ ВА
Рис. 1.9. Пример некоммутативности произведения.
Легко проверить, что диагональное отношение Е
играет роль единицы:
АЕ = ЕА = А A.7)
для любого отношения А.
Аналогично, для пустого отношения имеем
Л0 = 0Л=0. A.8)
В самом деле, х0Ау не может выполняться ни для
какой пары, так как x0z никогда не выполнено. Ра-
Равенство A.8) означает, что пустое отношение 0 ведет
себя относительно умножения отношений как нуль при
обычном умножении чисел.
Ассоциативный (сочетательный) закон оказывается
справедливым для произведения отношений:
(ЛВ)С = А(ВС). A.9)
В самом деле. Если х(АВ)Су, то существует такое г,
что xABz и zCy. Из xABz вытекает существование та-
такого w, что xAw и wBz. Из wBz и zCy следует wBCy.
Из xAw и wBCy получаем хА(ВС)у. Аналогично, из
хА(ВС)у легко вывести х(АВ)Су. Итак, A.9) дока-
доказано.
Ассоциативный закон позволяет отказаться от рас-
расстановки скобок в произведениях и писать просто:
34
ABC, ABCD н т. п. Вместо произведений типа ААА,
AAAA мы будем писать степени А3, А1, |:).
Теперь рассмотрим свойства, связывающие различ-
различные операции.
Простейшее из этих свойств — правило обращения
произведения:
(АВГ1 = B~lA ~\ A.I0)
, Действительно, х(АВ)~1у означает, что уАВх, т. е.
существует z, для которого yAz и zBx. Но это значит,
что xB'lz и zA-iy, т. е. хВ~1А'1у.
Другое свойство, связывающее операции обращения и произ-
произведения, состоит в следующем: если для всякого х существует
такое z, что xAz, то
АА~*зЕ. A.11)
Действительно, из xAz следует zA'lx, т. е. хАА~1х. Но хЕу озна-
означает, что х — у. Значит, из хЕу следует хАА-'у.
Аналогично, если для всякого х существует такое г, что гАх,
то
А~ХА=>Е. (I.12)
Доказанные свойства означают, что для отношении, которые вы-
выполняются не слишком редко (каждый элемент х хоть с ьем-то
да находится в отношении А), операция обращения похожа на
числовую операцию перехода от с к е~': включения A.11) и
(I.I2) близки к числовому равенству в~'в=1, так как Е, как
уже говорилось, играет у нас роль единицы.
Следующие два свойства связывают операцию про-
произведения с пересечением и объединением. Они по-
похожи на распределительный (дистрибутивный) закон
умножения относительно сложения. Первый из этих
«распределительных законов» имеет вид
{A U В) С = {AC) U (ВС). A.13)
Доказывается он таким образом. Сначала предполо-
предположим, что выполнено соотношение х(А[]В)Су. Эго
означает существование такого z, что выполнено по
крайней мере одно из соотношений: xAz или xBz—и
соотношение zCy. Тогда выполнено либо хАСу, либо
хВСу. Значит, выполнено соотношение х(АС)[) (ВС)у.
Обратно, пусть выполнено х(АС)[)(ВС)у. Это значит,
что либо хАСу, либо хВСу. То есть либо существует гь
для которого xAz\ и 2] Су, либо существует z2, для
*) Ассоциативность умножения отношений и обозначение Ал
уже использовались в § 3 (см. A.2)).
2* 35
которого xBzn n z-jCij. Но так как A ? A U В и Bs
сЛ UB, тов первом случае имеем х(А U B)z{ и zLCy,
т. с. х(А U ?)Q/. Во втором случае: х(А U ?)z2 и z-iCy,
т. е. опять-таки х(А (J В)Су. Итак, из выполнения пра-
правой части A.13) следует выполнение левой части и об-
обратно. Тем самым равенство A.13) доказано.
Второй «распределительный закон» имеет более
слабую форму включения:
М Л В) С ?= МС) Л (ВС). A.14)
Предположим, что выполнено соотношение х(А П
Л В)Су. Это означает, что существует z такое, что од-
одновременно выполнены соотношения xAz, xBz и zCy.
Значит, одновременно выполнены пары соотношений:
xAz и zCy: xBz и zCy. Пли xACij и хВСу, т. е. х(АС) П
Т\{ВС)у, что и требовалось доказать.
Но заменить в A.14) включение равенством нельзя.
Возьмем конкретные отношения А, В, С на множестве
из четырех элементов М = {xt. х2, х», х$, так что вы-
выполнены только следующие соотношения (рис. 1.10):
х{Ах2, Х\Вх3, х2Сх.и xsCxt. Ясно, что АС]В = 0. Стало
Рис 1.10.
быть, согласно A.8), (АГ\В)С = 0. С другой сто-
стороны, XiACxt и XiBCxi. Следовательно, х1(АС) П
О(ВС)Х4, т. е. (АС)[\(ВС)Ф0. В этом случае имеем
строгое включение
(Л П В) С с: МС)П (ВС),
что показывает невозможность замены в A.14) вклю-
включения на равенство.
Предоставляем читателю проверить следующие
простые свойства операций:
(Л U В) = Л U В, A.15)
(ЛПВГ'-Л-'ПВ. A.16)
33
Для операции транзитивного замыкания справед-
справедливо следующее важное свойство:
если As В, то As В. A.17)
Доказательство мы предоставляем читателю. Анало-
Аналогично, подобная «монотонность» выполнена для дру-
других операций, а именно:
1) если As В, то Г'еГ1; A.18)
2) если As В, то АС <= ВС и С As СВ. A.19)
Наконец, очевидно следующее свойство:
А=*А. A.20)
По-видимому, этим исчерпываются основные свой-
свойства операций, справедливые для любых отношений.
В следующих главах мы изучим алгебраические свой-
свойства этих операций для некоторых специальных клас-
классов отношений.
В качестве заготовки на дальнейшее мы определим
некоторые операции, выражающиеся через исходные:
1) симметризованное произведение —
2) транзитивное замыкание объединения —
А О В = /ЦБ;
3) транзитивное замыкание симметризованного
произведения —
ЛоВ = лТв.
Из определения ясно, что эти три операции комму-
коммутативны.
Однако ассоциативный закон для симметризован-
иого произведения уже не обязан быть справедливым
в общем случае. В самом деле, пользуясь доказанным
ранее распределительным законом, сосчитаем два
тройных произведения:
(А о В) о С = (А В U В А) С U С {АВ U В А) =
= ABC[}BAC[)CABUCBA; A.21)
А о (В с С) = А (ВС U С В) U (ВС U С В) А =
= ABC U ЛСВ U ВС A U С В А. A.22)
37
Если А и С коммутируют, то
BACUCAB = ВСАЦ АСВ.
Сравнивая это равенство с A.21) и A.22), получаем,
что при АС = С А
В частности, ассоциативный закон верен, когда все
три отношения коммутируют. Тогда (Л = В) с С =
А (BC) ABC
()
Для читателя будет полезным упражнением фак-
фактически построить пример таких трех отношений, для
которых ассоциативный закон не имеет места.
§ 5. Свойства отношений
Здесь мы укажем некоторые важные свойства от-
отношений, которые позволят нам в дальнейшем выде-
выделить существенные классы отношений.
Определение 1.1. Отношение А называется
рефлексивным, если Е^А. Иначе говоря, рефлексив-
рефлексивное отношение всегда выполнено между объектом и
им самим: хАх.
Содержательные примеры рефлексивных отноше-
отношений: «быть похожим на», «иметь общий признак с»
(если каждый объект имеет хоть один признак),
«быть не старше». С другой стороны, отношения типа
«быть братом», «быть старше» заведомо не рефлек-
рефлексивны.
Рефлексивные отношения всегда представляются
матрицей, у которой на главной диагонали стоят еди-
единицы. В графе, изображающем рефлексивное отноше-
отношение, каждая вершина имеет петлю. Именно поэтому,
имея дело с заведомо рефлексивным отношением, мы
не будем эти петли изображать на чертеже.
Определение 1.2. Отношение А называется
антирефлексивным, если из хАу следует хф у, т. е.,
в алгебраической записи, А Л Е = 0. Иначе говоря,
А 5= Ф, т. е. отношение А может выполняться лишь
для несовпадающих объектов.
Отношения, приведенные выше в качестве приме-
примеров нерефлексивных отношений, являются антирефлек-
антирефлексивными. Отношение «быть эталоном для», вообще го-
говоря, не будет ни рефлексивным, ни антирефлексивным.
38
Матрица, представляющая антирефлексивное от-
отношение, имеет на главном диагонали нули, а в соот-
соответствующем графе петли непременно отсутствуют.
Определение 1.3. Отношение Л называется
симметричным, если Л ? Л. Иначе говоря, если вы-
выполнено соотношение хАу, то выполнено и соотноше-
соотношение у Ах.
Содержательными примерами таких отношении
служат «быть похожим на», «быть одинаковым с»,
«быть родственником».
В матрице, представляющей симметричное отно-
отношение, элементы, симметрично расположенные отно-
относительно главной диагонали, равны между собой:
В соответствующем графе вместе с каждой стрелкой,
идущей из вершины х,- в вершину х,„ существует и
противоположно направленная стрелка. Поэтому в
таком графе можно вообще не обозначать стрелки,
а рисовать только петли и отрезки, соединяющие раз-
разные вершины. Иначе говоря, симметричное отношение
естественно изображается неориентированным гра-
графом. Так мы и будем впредь изображать графы за-
заведомо симметричных отношений.
Теорема 1.1. Отношение А тогда и только тогда
симметрично, когда
А = А-\
Доказательство. По определению Ле^'1,
но, в силу A.18), имеем
Отсюда, согласно A.0), получается
Сравнивая это включение с исходным, приходим
к выводу, что А — Л. Обратное утверждение оче-
очевидно.
Определение 1.4. Отношение Л называется
асимметричным, если Л П А~1 = 0. Это означает, что
из двух соотношений хАу и уАх по меньшей мере
одно не выполнено.
39
Для матричных элементов это приводит к ра-
равенству:
0. A.23)
В соответствующем графе не может быть стрелок,
соединяющих две вершины в противоположном на-
направлении, т. е. направление стрелки всегда суще-
существенно.
Теорема 1.2. Если отношение А асимметрично,
то оно антирефлексивно.
Доказательство. Предположим, что для ка-
какого-то х выполнено хАх. Тогда верно было бы и
хА~1х, т. е. хА П А~1х. Но тогда отношение А П А'1 не
было бы пустым.
Этот факт можно было бы вывести и из уравнений
для матричных элементов: подставляя в A.23) i = k,
получаем oJU = 0, т. е. akk = 0.
Из теоремы 1.2 вытекает, что граф асимметрич-
асимметричного отношения не может иметь петель.
Определение 1.5. Отношение А называется
антисимметричным, если А П А~1 <=, Е. Это означает,
что оба соотношения хАу и уАх выполняются одно-
одновременно только тогда, когда х = у.
Для матричных элементов это приводит к утверж-
утверждению:
i = 0, если i ф k.
Определение 1.6. Отношение А называется
транзитивным, если А2^А. Раскрывая алгебраиче-
алгебраическое условие, приходим к следующему: если xAz и
гАу, то выполнено н хАу. По индукции отсюда
следует такое свойство: если xAz\, Z\Az% ..., zn-\Ay,
то хАу.
Это свойство хорошо интерпретируется на графе,
изображающем отношение А. Именно, если точки х
и у соединены путем, проходимым по направлению
стрелок, то существует стрелка, непосредственно иду-
идущая из вершины х в вершину у.
Замечание. Нетрудно показать, что для реф-
рефлексивного отношения А транзитивность эквивалентна
равенству Az = А.
Теорема 1.3. Если А транзитивно, то А = А.
Иными словами, транзитивное замыкание транзитив-
транзитивного отношения совпадает с ним самим.
40
Доказательство. Сначала докажем, что для
транзитивного отношения А верно включение:
AnczA. A.24)
В самом деле, при и = 2 это есть определение транзи-
транзитивности отношения. Предположим, что A.24) уже
доказано для некоторого п. Тогда, по ассоциативному
закону An+l — А"А; учитывая предположение индук-
индукции A.24) и A.19), имеем
An+l=*AnAs=AAs=A.
Итак, индукция у нас прошла благополучно. Теперь
обратимся к формуле A.2), определяющей транзитив-
транзитивное замыкание А, и заменим каждый член объедине-
объединения на больший согласно A.24). Получаем
.. <=Л[)А[) . .и^и.. =А.
Итак, А<=:А. Но, с другой стороны, согласно A.1),
всегда А^А. Значит, А = А. Теорема доказана.
Легко видеть, что имеет место и обратная
Теорема 1.4. Если А = А, то А транзитивно.
Доказательство. Из формулы A.2) следует,
что Л2еЛ. Так как А—А, то и Аг<=,А.
Теорема 1.5. Для любого отношения А транзи-
транзитивное замыкание А равно пересечению Г\В всех тран-
транзитивных отношений В, содержащих А.
Доказательство. Поскольку А = Л, из тео-
теоремы 1.4 вытекает, что отношение А всегда транзи-
транзитивно. Кроме того, As А. Значит, Л — одно из В,
о которых говорилось в условии. Следовательно,
Л^ПВ. Для доказательства обратного включения
предположим, что В — произвольное транзитивное от-
отношение, содержащее А. Итак, А^В. По A.17)
А ^ В. Но по теореме 1.3 В = В. Следовательно,
А ^ В. Теорема доказана.
Если отношение (А,М) есть сужение отношения
(At, Mi), на него автоматически переносятся все вве-
введенные выше свойства последнего отношения. Так,
рефлексивность отношения (Ai, Mi) влечет рефлек-
рефлексивность сужения (А,М). Действительно, если для
41
любого iG-M) верно хА\Х, то при дсеЛ! будет также
выполнено хАх. Симметричность отношения (А1,М1)
влечет симметричность сужения, поскольку при
х е М и у е М из хАу следует г/Лх. Проверку для
остальных свойств предоставляем читателю.
§ 6. Инвариантность свойств отношений
В этом параграфе мы изучим случаи, когда те или
иные свойства результата операции над отношениями
определяются аналогичными свойствами операндов *).
Лемма 1.1. Если отношения А и В рефлексивны,
то рефлексивны и следующие отношения-
Аи В, АГ\В, Л~1, ЛВ, А.
Доказательство непосредственно вытекает из со-
соответствующих определений. Например, из того, что
для всякого х выполнены соотношения хАх и хВх,
следует, что выполнено хА{]Вх и, подавно, xAUBx.
Несколько сложнее обстоит дело со свойством ан-
антирефлексивности. В этом случае справедлива
Лемма 1.2. Если отношения А и В антирефдек-
сиены, то антирефлексивны и следующие отношении:
A U В, А Л В, А-К
Доказательство этих утверждений проводится
столь же легко, как и в предыдущем случае.
Что касается произведения АВ и транзитивного
замыкания А антирефлексивных отношений, то они
уже могут ii не быть антирефлексивными**). Приме-
Примером может послужить отношение А, задаваемое на
множестве М из двух элементов матрицей
У 0 1 ii
Легко видеть, что квадрат этой матрицы
1 О
А2 '"о 1
*) Полезно отметить, что автор несколько нестандартно упо-
употребляет термин «лемма». Он называет леммами не только вспо-
вспомогательные утверждения, но и просто менее значительные тео-
теоремы. (Прим. ред.)
**) Легко видеть, что произведение АВ антирефлексивныч
отношений А и В тогда и только тогда антирефлексивно, когда
А Г) В ! = 0. (Прим. ред.)
42
задает уже рефлексивное отношение, а транзитивное
замыкание
HI. 1
как полное отношение, тоже рефлексивно. Советуем
читателю нарисовать соответствующие графы.
Теперь рассмотрим, как ведет себя при различных
операциях свойство симметричности отношений.
Лемма 1.3. Если отношения А и В симметричны,
то симметричны и следующие отношения: A U В,
АО В, А-К
Доказательство. В силу A.6) и теоремы 1.1
имеем (Л) = А — А~1, т. е. отношение Л также
симметрично. Из равенства A.15) получаем
(Л U В)'1 = A~l U B~l =--А U В,
т. е- объединение A (J В симметрично. Из равенства
A.16) имеем
следовательно, симметричность пересечения доказана.
Что касается симметричности произведения, то
полный ответ дает здесь
Лемма 1.4. Чтобы произведение АВ симметрич-
симметричных отношений А и В было симметрично, необходимо
и достаточно, чтобы отношения А и В коммутировали.
Доказательство. Пусть АВ — ВА. Тогда, со-
согласно A.10), имеем
(АВУ1 = {ВАУ1 = А~1В~1 = АВ,
т. е. произведение АВ симметрично. Обратно, если
АВ симметрично, то по теореме 1.1 АВ = (АВ)~1. Но
тогда по A.10) получаем АВ = (АВ)~У = В-'Л = ВА,
т. е. АВ — ВА. Лемма доказана.
Знакомые с линейной алгеброй читатели навер-
наверняка уже догадались, что эта теорема является про-
просто вариантом известной теоремы о том, что произ-
произведение симметричных матриц симметрично в том и
только том случае, когда эти матрицы перестано-
перестановочны (коммутируют).
Следствие. Транзитивное замыкание А симмет-
симметричного отношения А есть симметричное отношение.
43
Действительно, из леммы 1.4 и A.9) легко выве-
вывести что отношения Л2, Л3, ..., Ап, ... симметричны.
Но'тогда, согласно A.2) и лемме 1.3, транзитивное
наинкяние
также симметрично.
Советуем читателю доказать это утверждение без
леммы 1.4, исходя непосредственно из определения
транзитивного замыкания.
Для свойства асимметричности справедлива
Лемма 1.5. 1) Если отношение А асимметрично,
то пересечение А Л В асимметрично при любом В.
2) Если отношение А асимметрично, то асимметрично
также и отношение А.
Доказательство. 1) По определению J.4
А Л Л = 0. Тогда, согласно A.16), имеем
т. е. А Л В асимметрично.
2) Аналогично, учитывая A.6), имеем также
Л Л (А~Т1 = Л~х Л А = Л Л Л = 0,
что означает сохранение асимметричности у обрат-
обратного отношения.
Объединение асимметричных отношений может
уже не быть асимметричным*). Также не обязаны
быть асимметричными произведение и транзитивное
замыкание асимметричных отношений.
Лемма 1.6. Если отношения А и В антисиммет-
антисимметричны, то антисимметричны также и следующие от-
отношения: А Г\ В, А'1.
Доказательство. Для обратного отношения
фактически воспроизводится предыдущее рассужде-
рассуждение. Для пересечения доказательство почти совпадает
с доказательством леммы 1.5:
*) Объединение И U В асимметричных отношений А и В тогда
и только тогда асимметрично, когда А Л б = 0. (Прим. ред.)
44
Антисимметричность может не сохраняться при
объединении*), произведении и транзитивном замы-
ьании отношений.
Про свойство транзитивности можно утверждать
следующее:
Лемма 1.7. Если отношения А и В транзитивны,
то транзитивны также следующие отношения:
А() В, А~\ А.
Доказательство. Пусть справедливы соотно-
соотношения хАПВу и уАПВг. Тогда справедливы и со-
соотношения хАу, yAz, xBy, yBz. Но в силу транзитив-
транзитивности отношений А и В имеем отсюда хАПВг, т. е.
А П В траизитивио. Если верно хА^у и уА^г, то по
определению обратного отношения имеем гАу и уАх,
т. е. zAx и xA~*z. Это и означает, что А'* транзнтивно.
Наконец, транзитивность отношения А вытекает из
A.20) и теоремы 1.4.
*) Объединение А [) В антисимметричных отношений А а
В тогда и только тогда антисимметрично, когда ЛП8"'е?.
{Прим. ред.)
ГЛАВА II
ОДИНАКОВОСТЬ
И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
§ 1. От одинаковости к эквивалентности
В обыденной речи мы часто говорим об одинако-
одинаковости (о равенстве) каких-то объектов (предметов,
множеств, абстрактных категорий), не заботясь
о надлежащем уточнении смысла, который мы вкла-
вкладываем в слово «одинаковый». Попробуем выявить
этот смысл, проанализировав различные ситуации,
когда мы уверенно считаем некоторые объекты оди-
одинаковыми.
Возьмем стандартный комплект шахматных фи-
фигур. С точки зрения шахматного игрока все белые
пешки в нем одинаковы. Расставляя их на шахмат-
шахматной доске, шахматист будет выбирать их из коробки
в произвольном порядке. В начальной позиции все
они будут поставлены на вторую горизонталь и шах-
шахматист не будет размышлять над вопросом, куда ему
лучше поставить выбранную наугад пешку. Точно так
же любая из черных ладей при расстановке фигур пе-
перед игрой может с равным успехом попасть на коро-
королевский или ферзевый фланг. Эти ладьи одинаковы.
Но представим себе другую ситуацию: этот же
комплект шахмат отдан ребенку, который играет
в солдатики. Для него отдельные пешки могут при-
приобрести индивидуальность, получить имена и метки.
Однако в тот момент, когда этот же мальчик начнет
использовать шахматы по прямому назначению, пеш-
пешки одного цвета опять станут одинаковыми.
Возьмем еще одну ситуацию: шахматные фигуры
в процессе игры. Предположим, что шахматист стоит
перед выбором: отдать ли противнику пешку, про-
проникшую уже на седьмую горизонталь а грозящую
46
вот-вот превратиться в ферзя, или пешку, мирно стоя-
стоящую в начальной позиции. Ясно, что (при прочих рав-
равных условиях) первая пешка гораздо ценней и шах-
шахматист уже не считает обе свои пешки одинаковыми.
Правда, в этой ситуации объектами являются не сами
по себе деревянные фигурки, а «пешки в данной по-
позиции». В позиции этюдного характера каждая пешка
играет свою индивидуальную роль, и они, разумеется,
не одинаковы для хорошего шахматиста.
Разница здесь того же характера, как между сло-
словом русского языка и словом в данном контексте. На-
Например, слова «пешка» и «пешкп», хотя и напечатаны
разным шрифтом, одинаковы, как слова русского
языка. Но в контекстах «Гроссмейстер эффектно по-
пожертвовал пешку» и «Он был только пешкой в чу-
чужих руках» это слово имеет разные значения. Иначе
говоря, слова одинаковы, а значения различаются.
Аналогично, об одинаковости людей мы можем
говорить в различном смысле. С профессиональной
точки зрения продавца готового платья люди, имею-
имеющие один и тот же пол, рост и размер, неразличимы.
Они одинаковы в том смысле, что им нужно демон-
демонстрировать одни и те же вещи. Впрочем, хороший
продавец различает покупателей по их вкусам, а хо-
хороший портной понимает, что кроме роста и размера
есть индивидуальные особенности фигуры. Но для
работника склада, который выдает форму (скажем,
штормовые костюмы для альпинистов), существен
только размер. Для профессора анатомии малосуще-
малосущественно, на чьем трупе он будет демонстрировать
студентам устройство человеческих органов. Но уже
для профессора психиатрии нет одинаковых больных.
С точки зрения инспектора по кадрам люди с тож-
тождественными анкетными данными одинаковы. Но для
научного руководителя лаборатории нет одинаковых
и взаимозаменимых сотрудников.
Когда мы приглашаем к себе гостей, то нам со-
совершенно не все равно, кто придет и кого приведет
с собой. С точки зрения индивидуальных человече-
человеческих взаимоотношений ни один человек не равен дру-
другому. Когда мы говорим о всеобщем равенстве лю-
людей, то понимаем под этим в действительности равен-
равенство прав перед законом, равноценность личностей, но
не равенство индивидуальностей.
47
Рис. 2.1. Классы эквивалентности.
2
6\
Рис. 2.1. Классы эквивалентности.
Рассмотрим множество животных, изображенных
на рис. 2.1. Мы разбили их на следующие шесть
групп: A) сухопутные млекопитающие, B) обитаю-
обитающие в воде, C) насекомые, D) птицы, E) мифиче-
мифические существа и F) пресмыкающиеся. Будем считать
по определению животных, входящих в одну группу,
одинаковыми. Можно вообразить ситуацию, когда оди-
одинаковые в этом смысле животные взаимозаменимы.
Например, когда учителю биологии надо показать
ученикам представителей разных типов.
Если мы внимательно проанализируем, что общего
в употреблении слова «одинаковость» во всех приве-
приведенных примерах (а также в примерах, которые чи-
читатель сумеет теперь составить сам), то мы увидим
следующее. Во-первых, одинаковость всегда пони-
понимается как бинарное отношение на некотором множе-
множестве объектов. Во-вторых, содержание этого отноше-
отношения зависит от ситуации, в которой мы рассматри-
рассматриваем эти объекты, или от наблюдателя, который
с выбранной им точки зрения судит об одинаковости
объектов. В-третьих, слово «одинаковость» попадает
в один синонимический ряд со словом «взаимозаме-
«взаимозаменимость» (объектов в данной ситуации).
Действительно, одинаковость белых пешек или
других одноименных и одноцветных фигур состоит в
том, что любая из них может заменить другую. Ка-
Каким бы шрифтом мы ни печатали слово в словаре, оно
останется таким же словом. Кажется очень естествен-
естественным предположить, что в данной ситуации взаимо-
взаимозаменимы те и только те объекты, которые обладают
одним и тем же набором формальных признаков, су-
существенных в данной ситуации. В следующем пара-
параграфе мы убедимся, что это предположение справед-
справедливо и ему можно придать точный смысл, если само
понятие одинаковости, или взаимозаменимости, сфор-
сформулировано точно.
Пусть теперь М — некоторое множество объектов,
в котором некоторые объекты взаимозаменимы. Обо-
Обозначим через Мх множество всех объектов, взаимо-
взаимозаменимых с объектом х. Очевидно, что х еМж и объ-
объединение всех Мх (при всевозможных х из М) совпа-
совпадает со всем множеством М:
М= U Мх. B.1)
50
Предположим, что Mv П Му Ф 0. Это значит, что
существует некоторый элемент г такой, что он одно-
одновременно принадлежит Мх и Mv. Значит, х взаимоза-
взаимозаменим с г и z взаимозаменим с у. Следовательно, *
взанмозаменим с у, а значит и с любым элементом из
Му. Таким образом, Мх э Му. Симметричным рассуж-
рассуждением можно показать, что МУ^МХ. Таким обра-
образом, встречающиеся в объединении B.1) множества
МЛ. либо целиком совпадают, либо ие пересекаются.
Проведенное выше рассуждение наводит нас на
мысль, как можно строго определить отношение оди-
одинаковости, или взаимозаменимости. В связи с этим
полезно обратить внимание на способ употребления
слов в математике. До сих пор мы имели дело со
словами «одинаковость», «взаимозаменимость» (в
данной ситуации). Эти слова никак не определялись,
а использовались так, как мы привыкли их употреб-
употреблять в обыденной речи. Но теперь, когда мы хотим
дать точное определение (экспликацию), мы выберем
и новое название. А именно, мы сейчас определим от-
отношение эквивалентности, которое является эксплика-
экспликацией понятия одинаковости. Все же предыдущие си*
ображения следует рассматривать как мотивировку
именно такой экспликации.
Определение 2.1. Систему*) непустых под-
подмножеств {Мь Мг,...} множества М мы будем назы-
называть разбиением этого множества, если
и
2) Mt П Mj = 0 при i ф \.
Сами множества М\, Мо, ... называются при этом
классами данного разбиения.
Определение 2.2. Отношение Л на множе-
множестве М называется эквивалентностью (или отноше-
отношением эквивалентности), если существует разбиение
{М\, М2,...} множества М такое, что соотношение
хАу выполняется тогда и только тогда, когда х и у
принадлежат некоторому общему классу Mt данного
разбиения.
*) Нам совершенно несущественно, конечна эта система или
бесконечна.
61
Пусть {Л1.,М2....} -разбиение множества М.
Определим, исходя нз этого разбиения, отношение А
на Л1: хАу, если х и у принадлежат некоторому об-
общему классу М{ данного разбиения. Очевидно, отно-
отношение А является эквивалентностью. Назовем А от-
отношением эквивалентности, соответствующим исход-
исходному разбиению.
Например, на рис. 2.1 изображено разбиение не-
некоторого множества животных на шесть подмножеств.
Соответствующее отношение эквивалентности — это
определенное выше отношение одинаковости.
Еще пример: разбиение состоит из подмножеств
множества М, содержащих ровно по одному элементу.
Соответствующее отношение эквивалентности есть от-
отношение равенства Е. Наконец, если разбиение мно-
множества М состоит из одного подмножества, совпадаю-
совпадающего с самим М, то соответствующее отношение экви-
эквивалентности есть полное отношение: любые два эле-
элемента являются эквивалентными.
Читатель легко убедится, что пустое отношение
(на непустом множестве!) не яиляется эквивалент-
эквивалентностью.
Мы подошли к эквивалентности через понятие
изаимозаменимости. Но что значит, что два объ-
объекта х и у взаимозамениыы в данной ситуации? Это
всегда можно понимать так, что каждый из них со-
содержит всю информацию о другом объекте, небезраз-
небезразличную в данной ситуации. Это утверждение не столь
уж глубоко; оно означает только то, что взаимозаме-
взаимозаменимость объектов есть совпадение признаков, суще-
существенных в данной ситуации.
Например, пусть мы считаем одинаковыми авто-
автомобили, выпущенные в одной и той же серии одним
и тем же заводом. Тогда, разобрав один экземпляр
«Волги», мы в принципе можем составить комплект
рабочих чертежей, который годится для выпуска од-
однотипных «Волг». Однако, изучив один экземпляр
«Волги», мы не можем угадать окраску кузова или
характер вмятин на бампере у других односерийных
экземпляров.
Когда мы выбираем из комплекта одну шахматную
фигуру, то мы знаем, куда ее можно поставить в на-
начальной позиции и как ходят все взаимозаменяемые
с ней, т. е. одноименные и одноцветные, фигуры. В при-
52
мере с животными на рис. 2.1, если мы выберем кры-
крылатого коня — пегаса, то уже тем самым знаем, что
все эквивалентные ему животные возникли из мифов.
А это и есть вся информация, существенная в данной
классификации.
В данном случае все очень примитивно — объект
заключает в себя полную информацию о каждом ил
эквивалентных ему объектов и не несет никакой ин-
информации о всех остальных объектах. Но для других
типов отношений (ср. гл. III) эта идея оценки инфор-
информации, содержащейся в данном объекте относительно
другого объекта, может быть развита несколько
глубже.
Пусть теперь задано разбиение {Mi, M2,...} мно-
множества М. Выберем в каждом множестве Mi некото-
некоторый содержащийся в нем элемент %i. Этот элемент мы
будем называть эталоном для всякого элемента у,
входящего в то же множество М{. Мы будем — по
определению — полагать выполненным соотношение
XiAy. Так определенное отношение А назовем отноше-
отношением «быть эталоном».
Легко видеть, что эквивалентность (А), соответ-
соответствующая исходному разбиению, может быть опреде-
определена так: y{A)z, если у и z имеют общий эталон:
Xi А у и XiAz.
Ясно, что любое отношение эквивалентности может
быть таким образом определено с помощью отноше-
отношения «быть эталоном» и, наоборот, любое отношение
«быть эталоном» определяет некоторую эквивалент-
эквивалентность.
Пусть А — отношение эквивалентности, а Эта— та-
такое отношение «быть эталоном», что хАу выполнено
в том и только том случае, когда х и у имеют обший
эталон z.
Иначе говоря, хАу равносильно существованию
такого г, что г Эта х и г Эта у. Поскольку г Эта х =
= х(Эта) г, это означает, что
Иначе говоря, эквивалентность можно алгебраически
выразить через более простое отношение «быть этало-
эталоном». То, что отношение «быть эталоном» устроено
более просто, видно из следующих соображений. От-
Отношение Эта на множестве из п элементов можно за-
53
дать графом, имеющим ровно п — т стрелок, где т—¦
число классов эквивалентности: каждый элемент сое-
соединяется со своим единственным эталоном*). Граф,
изображающий отношение эквивалентности, состоит
из т полных подграфов, содержащих по пг вершин
(п( + п2 + . .. + пт = п). Таким образом, общее число
ребер в этом графе равно
га
2г—г—•
(-1
Пример. Рассмотрим в качестве М множество всех целых
неотрицательных чисел и возьмем его разбиение на множество
Ма четных чисел и множество М| нечетных чисел. Соответствую-
Соответствующее отношение эквивалентности на множестве целых чисел обо-
обозначается так:
п 2= т (mod 2)
и читается: п сравнимо с т по модулю 2. В качестве эталонов
здесь естественно выбрать 0 — для четных чисел и 1 — для не-
нечетных чисел. Аналогично, разбивая то же множество М иа к.
подмножеств Мо, М\,.... M^-i, где М} состоит из всех чисел, даю-
дающих при делении на k в остатке /, мы придем к отношению
эквивалентности:
п = т (mod k),
которое выполняется, если пит имеют одинаковый остаток при
делении на k. В качестве эталона в каждом М) естественно
выбрать соответствующий остаток /.
§ 2. Формальные свойства эквивалентности
Мы определили выше отношения эквивалентности
с помощью разбиений, т. е. фактически задали их не-
некоторой конструкцией. Можно было бы и по-другому
определить эквивалентности: можно сформулировать
свойства (аксиомы), которые выделяют отношения
эквивалентности среди прочих бинарных отноше-
отношений. Вместо определения 2.2 мы можем ввести сле-
следующее
Определение 2.3. Отношение А на множестве
М называется эквивалентностью (или отношением Жт
вивалентности), если оно рефлексивно, симметрично и
транзитивно.
Мы сейчас нарушили правила хорошего тона, при-
принятые обычно в математике, тем, что дали два неза-
*) Эталоны можно и не соединять сами с собой.
54
висимых определения одного и того же понятия. Сде-
Сделали мы это для того, чтобы показать и сравнить два
разных способа введения математических понятий:
конструктивный и аксиоматический. Но теперь нам
следует убедиться, что кроме правил хорошего топа
ничто не нарушено, т. е. что оба определения эквива-
эквивалентности равносильны. Соответствующим оправда-
оправданием послужит
Теорема 2.1. Если отношение А на множестве М
рефлексивно, симметрично и транзитивно, то сущест-
существует разбиение {Mi, М2,. ..} множества М такое, что
соотношение хАу выполнено в тех и только тех
случаях, когда х и у принадлежат общему классу раз-
разбиения.
Обратно: если задано разбиение {М\, М2, ...} мно-
множества М и бинарное отношение А определено как
«принадлежать общему классу разбиения», то А реф-
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Доказательство первой части. Рассмот-
Рассмотрим рефлексивное, симметричное и транзитивное от-
отношение А на М. Пусть для любого х е М множество
Мх состоит из всех таких элементов z, для кото-
которых хАг.
Лемм а. Для любых хну либо Mv = Му, либо
Мх П Mv = 0.
Доказательство леммы. Пусть пересечение
Мх Л Му не пусто. Покажем, что Мх — Му. Пусть
z^MxV\Mv, тогда выполнено хАг и уАг по самому
определению множеств Мх и Му. По симметричности
имеем zAy, а по транзитивности из xAz и zAy следует
хАу. Возьмем теперь произвольный элемент w e Ми.
По определению yAw. Но из хАу и yAw следует xAw,
т. е. w е Мх. Итак, Му ? Мх.
Возьмем произвольный элемент v e Мж; для него
выполнено xAv. По симметричности отношения А
имеем уАх. Но из уАх и xAv следует yAv. Значит,
v е Му. Тем самым, мы показали, что Мх s Mv. В итоге
можно заключить, что Мх = Му. Лемма доказана.
Из леммы и рефлексивности отношения А следует,
что множества вида Мх образуют разбиение множе-
множества М. (Это разбиение естественно назвать разбие-
разбиением, соответствующим исходному отношению.) Пусть
теперь выполнено соотношение хАу. Это значит, что
55
t) e Mx. Но и лге Мх в силу хАх. Следовательно, оба
элемента хну входят в Мх- Итак, если хАу, то х и //
входят в общин класс разбиения. Наоборот, пусть
и е Мх и у е Мх. Покажем, что uAv выполнено. Дей-
Действительно; имеем хАи и xAv. Отсюда по симметрич-
симметричности иАх. По транзитивности из иАх и xAv следует
uAv. Первая часть теоремы доказана.
Доказательство второй части. Пусть да-
дано разбиение {Mi, М?,. . .} множества М. Так как объе-
объединение всех классов разбиения совпадает с М, то
всякий х е М входит в некоторый класс М;. Отсюда
следует хАх, т. е. отношение А рефлексивно. Если х и
у входят в класс Mt, то у и х входят в тот же класс.
Это означает, что из хАу вытекает уАх, т. е. отноше-
отношение А симметрично. Пусть теперь выполнено хАу и
i/Az. Это означает, что х и у входят в класс Mi, а у и
z—в класс М-,. Поскольку М,- и М; имеют общий эле-
элемент у, Mi и М; совпадают. Значит, х и z входят в Mit
т. е. выполнено xAz. Итак, отношение А транзитивно,
чем и завершается доказательство теоремы 2.1.
Заметим, что мы нигде не пользовались предполо-
предположением о конечности ни множества М, ни его раз-
разбиения.
Из доказанной теоремы легко получается
Теорема 2.2. Если М — конечное множество и
А — отношение эквивалентности на нем, то сущест-
существуют такие п и га, что каждому элементу х е М можно
сопоставить кортеж (упорядоченный набор) из п + m
двоичных признаков (нулей или единиц):
l, •••> Чп+m)
н т. д.,
так что 1) разным элементам соответствуют разные
кортежи признаков и 2) для того, чтобы было хАу,
необходимо и достаточно, чтобы первые п признаков
этих элементов совпадали: gi = tji, |2 = rjz, ..., in = iin.
Доказательство. Возьмем разбиение {Mt,
М^ ...} множества М, соответствующее отношению А.
В силу конечности множества М это разбиение ко-
конечно и каждый класс конечен. Перенумеруем эле-
56
менты каждого класса. Тогда каждому элементу х
можно сопоставить пару целых чисел: х —> {р, q), "где
р — номер класса М;>, в который попал х, a q — номер
элемента х в своем классе. Ясно, что если х-*- (pi, q^>,
«-»- (№, Яг) и х Ф у, то (pi, q{) Ф (р2, qz). Действитель-
Действительно, либо элементы х и у попали в разные классы —
тогда у них различные первые номера: р\ ф рг, либо
они различаются номером в классе—тогда q\фqz¦
Представим теперь числа р и q в двоичной системе
счисления. Пусть п — наибольшее число разрядов у
чисел р, а т — наибольшее число разрядов у чисел q.
Если некоторое р имеет меньше, чем п разрядов, то
дополним его слева нулями. Так же поступим и со
вторыми номерами. Тем самым каждому элементу
будет сопоставлен кортеж из п + т двоичных при-
признаков.
Для завершения доказательства достаточно заме-
заметить, что эквивалентность элементов хну означает
попадание в общий класс, т. е. совпадение первых
номеров (первых п признаков).
Эта теорема оправдывает сделанное ранее утвер-
утверждение, что любая эквивалентность (правда, на конеч-
конечном множестве) может быть задана как совпадение
некоторого набора общих признаков.
Итак, оба наши определения эквивалентности
равносильны. Но теперь возникает вопрос, не являют-
являются ли некоторые аксиомы эквивалентности излишни-
излишними. Например, быть может, из рефлексивности и сим*
метричности уже следует транзитивность отношения?
В следующей главе мы будем как раз изучать рефлек-
рефлексивные и симметричные отношения и увидим, что для
них транзитивность вовсе не обязательна. В четвертой
главе мы будем заниматься рефлексивными и транзи-
транзитивными отношениями и покажем, что они отнюдь не
обязаны быть симметричными. Наконец, попробуем
доказать следующее
Утверждение. Если отношение А симметрично
и транзитивно, то оно рефлексивно.
¦ Будем рассуждать так. Возьмем произвольный
элемент х и такое у, что выполнено соотношение
хАу. Тогда, в силу симметричности, верно и соотно-
соотношение уАх. Напишем эти соотношения рядом: хАу
и у Ах. В силу транзитивности отсюда следует
хАх, т. е. А рефлексивно. Предоставим читателю
57
поразмыслить над тем, действительно ли мы доказали
сформулированное утверждение.
П р и м е р. Пусть М — система каких-то .множеств. В § 2
главы I мы определили, какие множества называются равномощ-
нымп. Тем самым па М задано бинарное отношение «быть рав-
номощиыми». Равноздощность пары множеств V и W мы будем
символически обозначать через V — W. По определению V ~ W
означает, что существует биективное отображение ф. V-*-W.
Ясно, что V ~ V, поскольку единичное отображение <-v: V->-V
является биективным. Если существует биективное отображение
(р: V->- W, то обратное отображение ф: W-*¦ V гакже биек-
гивно, т. е. из V ~ W вытекает W ~ V. Наконец, пусть выпол-
выполнены соотношения V ~ IF и W ~ V. Тогда существуют биективные
отображения ф: V-»- W и i]:: W->-U. Легко видеть, что их произ-
произведение (рт]з = 0 есть биективное отображение 0: V-*¦ U и, таким
образом, V ~ U. Итак, мы доказали, что «равномощность» есть
рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на си-
системе М. Тем самым множества из произвольной системы М мож-
можно разбить на классы равномощных между собой. Например,
если наша система множеств М состоит из всех подмножеств чис-
числовой прямой (т. е. множества действительных чисел), то она
разбивается на классы из пустого множества, одноэлементных
множеств, двухэлементных и т. д. Среди бесконечных множеств
имеется по крайней мере два класса — счетные множества и
множества, равномощные всей прямой (множества мощности кон-
гинуума). Вопрос о существовании других классов бесконечных
множеств составляет предмет так называемой проблемы конти-
континуума. Мы не беремся здесь обсуждать, в чем состоит недавно
полученный Коэном замечательный результат, в некотором смысле
решающий эту проблему.
Вернемся к обсуждению отношения А: «х является
эталоном для у». Мы уже дали в конце предыдущего
параграфа конструктивное определение этого отноше-
отношения. Из него легко можно получить следующие свой-
свойства отношения А (быть эталоном):
1) для всякого у существует эталон х: хАу.
2) Если хАу, то хАх, т. е. любой эталон есть эталон
для самого себя.
3) Эталон единствен, т. е. из хАу и zAy следует
х = z.
Эти три свойства можно объявить аксиомами отно-
отношения «быть эталоном». Покажем, что из них следует
определение эталона с помощью разбиения. Для этого
сначала по отношению А построим новое отношение
(А), определяемое правилом: х(А)у, если х и у имеют
общий эталон. Иначе говоря, если существует такое г,
что zAx и zAy. Покажем, что (Л) есть отношение эк-
эквивалентности. Действительно, по свойству 1) у каж-
58
дого х есть эталон и, стало быть, х(А)х. Значит, (Л)
рефлексивно. Симметричность отношения (Л) очевид-
очевидна. Если х(А)у и у{Л)г, то это значит, что х и у имеют
общий эталон, а у не может иметь эталона, отличного
от эталона для г. Значит, x(A)z.
Итак, доказано, что (Л) есть отношение эквива-
эквивалентности. Но тогда по теореме 2.1 существует раз-
разбиение {Mi, Mo, ...} множества М на классы эквива-
эквивалентных друг другу элементов — так называемые
классы эквивалентности.
Очевидно, каждый класс эквивалентности Mt со-
состоит из всех элементов, имеющих общий эталон х,.
По свойству 2) XiAXj и, значит, xt e Mt. Таким обра-
образом, отношение Л, определенное аксиоматически свой-
свойствами 1)—3). всегда может быть задано разбиением
с выбранными представителями (эталонами) в ка-
каждом классе.
Пусть ф: M->-S — сюръективиое отображение мно-
множества М на некоторое множество 5. Рассмотрим на
множестве М отношение «иметь общий образ» и обо-
обозначим это отношение Л<[. Иначе говоря, хА,.у, если
ф(л:)=ф(г/). Обозначим через МЕ множество всех
элементов лёМ, имеющих данный образ '?, е 5, т. е.
таких, что ф(х) = |. Ясно, что \J М* = М, так как
любой элемент из М имеет образ. Далее, при разных
g и т], Mi fl Mv = 0, так как иначе элемент, попавший
в пересечение МБ П М.Л, имел бы два разных образа: ?
и tj. Поскольку ф сюръективно, М* ф 0 для любого
jgS. Итак, множества М5 образуют разбиение мно-
множества М, а отношение Лф есть эквивалентность, соот-
соответствующая этому разбиению. Последнее следует из
того, что хАчу тогда и только тогда, когда х и у при-
принадлежат общему множеству Mg.
Множество классов эквивалентности по отношению
Л принято обозначать М/А (читается: фактормноже-
фактормножество множества М по отношению А). Наши рассужде-
рассуждения показывают, что для всякого сюръективного ото-
отображения ф: M-+-S существует отношение эквива-
эквивалентности Л на множестве М такое, что М/А и S
могут быть поставлены во взаимно-однозначное соот-
соответствие.
Наоборот, если имеется произвольное отношение
эквивалентности Л на М, то по нему можно построить
59
отображение <р: M-+S, где 5 — М/А и <p(x) есть класс
эквивалентности, содержащий х. Легко проверить, что
Ф сюръективно и построенное по этому отображению
отношение эквивалентности Лф есть исходное отноше-
отношение А.
Рассмотрим частный случай, когда ф: M-*-S и
S ^М. Пусть, далее, отображение ф обладает тем
свойством, что, при xeS, ц>(х)=х или, как говорят
в таких случаях, подмножество 5 неподвижно при
отображении ф. Отсюда видно, что ф сюръективно.
Действительно, всякий xeS есть образ по крайней
мере самого х: х = ф (х). Итак, каждому у е М одно-
однозначно сопоставлен некоторый элемент j;eS. При
этом, если х сопоставлен какому-то элементу, то са-
самому х сопоставлен он же.
Сравнивая с соответствующими свойствами, опре-
определяющими отношение «быть эталоном», мы видим,
что отображение ср: M—*S множества М на непод-
неподвижное подмножество 5 задает на М отношение А
«быть эталоном» так, что хАу в том и только том
случае, когда ф(г/) = х.
Посмотрим теперь, что получится, если отказаться
от условия, что ф определено на всем М. Рассмотрим
функцию ф: М-*-S, которая некоторым элементам х
из М сопоставляет единственный образ q(x) из S. По
отображению <р можно опять-таки построить от-
отношение Лф по правилу: хАч,у, если (р(х)=ц>(у).
Легко проверить, что Л,,, будет симметрично и транзи-
тнвно. Выберем подмножество М0^М, состоящее из
тех элементов, на которых определено отображение ф.
Тогда если либо х, либо у не принадлежат Мо, то хАц.у
заведомо не выполняется. Значит, если х не входит
в Мо, то хАц.х также не выполнено. Следовательно,
отношение Лф теперь уже не обязано быть рефлек-
рефлексивным.
Читатель, дойдя до этого места, наверняка уже
нашел ошибку в «доказательстве» того, что рефлексив-
рефлексивность отношения следует из симметричности и транзи-
транзитивности. Она состояла в том, что мы незаконно пред-
предположили для произвольного леМ существование та-
такого у, что хАу. Для вышеопределенного отношения
Лф видно, что как раз при х, не входящих в Мо (в об-
область определения отображения ф), хА^у не выпол-
выполнено ни для какого у.
60
Отсюда сразу видно, как построить содержатель-
содержательный пример симметричного и транзитивного, но не
рефлексивного отношения. Пусть М — множество лю-
людей, а отношение А означает «быть уроженцем одного
города». Легко видеть, что А симметрично и транзн-
тнвно, но если х родился не в городе, а в деревне, или,
вообще, во время путешествия по морю, то хАх не вы-
•полнено. В этом примере S — множество городов, а
отображение ф: M->-S сопоставляет каждому челове-
человеку город, где он был рожден.
Из сказанного видно также, что условие рефлек-
рефлексивности можно в определении эквивалентности заме-
заменить более слабым. Достаточно потребовать, чтобы
7 6 8 10
Рис. 2.2. Граф эквивалентности.
для каждого х существовал такой элемент у, что вы-
выполнено либо хАу, либо уАх. Тогда из этого свойства,
а также симметричности и транзитивности можно по-
получить рефлексивность отношения А.
Граф, изображающий отношение эквивалентности,
выглядит следующим образом. Пусть М — множество
его вершин. Тогда M = [jMt, где Mt—классы эквива-
i
леитности. Ясно, что в каждом подмножестве Мг все
вершины соединены друг с другом. Но никакая из них
не соединена с вершинами, не входящими в М,-. Итак,
граф, изображающий отношение эквивалентности, со-
состоит из отдельных, не связанных друг с другом пол-
полных подграфов.
На рис. 2.2 представлен граф отношения эквива-
эквивалентности на множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
61
с классами эквивалентности Мх= {1,2}, М2— {3}, М3^
= {4,5,6,7}, М4= {8,9, 10}. В соответствии с тем, что
говорилось в § 5 главы I, на графах отношений экви-
эквивалентности можно не изображать петель и стрелок.
Так мы и поступили.
Пусть в нашем распоряжении имеются теперь два
множества: Mi и М2, на каждом из которых задано
отношение эквивалентности (соответственно, /h и А2).
Спрашивается: каким способом можно из них соору-
соорудить одно множество с отношением эквивалентности
на нем?
Вспомним, что, строго говоря, отношение — это
пара (Л,Л1), где М — множество элементов, вступаю-
вступающих в отношение, а А — множество пар, для которых
выполняется данное отношение.
Один из наиболее простых типов композиции отно-
отношений дает следующее
Определение 2.4. Прямой суммой отношений
{Аи Mi) и {А2, М2) называется отношение (Ai\JA2,
Mi О М2). Прямую: сумму отношений {Аи Mi), {А2, М2)
мы будем обозначать через {А{, Mi)@{Az, M2). Итак,
M2) = {Ai U As, Mi U M2).
Таким образом, если {Аи Mi)Q{A2, М2) — {А, M), то
М = Mi U Л12 и А = Ai U А». Следовательно, соотноше-
соотношение хАу выполнено в следующих случаях: 1) xeAli.
у е Mi и xAty; 2) х е М2, у е М2 и хА2у.
На рнс. 2.3 приведены два отношения: {А\,МХ)
и (А2,М2)—и их прямая сумма. Из этого рисунка
видно, что даже когда Л) и А2 — эквивалентности,
прямая сумма А не обязана быть эквивалентностью.
Однако, имеет место
Теорема 2.3. Если Л11ПМ2=0, а отношения А\
и А2 — эквивалентности, то их прямая сумма
{А, М) = {А 1, М1) © {Аз, М2) также является эквива-
эквивалентностью.
Доказательство. Рефлексивность прове-
проверяется просто: если хеЛ1;, то выполнено xAtx и,
следовательно, хАх. Симметричность также очевидна:
если выполнено хАу, то либо .v и у входят в Mi и
xAiy, а значит, и уА<_х, т. е. у Ах, либо х к у входят
в М2 и хА2у, поэтому уА2х и уАх. Докажем транзи-
транзитивность отношения А. Пусть выполнены соотноше-
соотношения хАу и yAz. Рассмотрим случай, когда х е Ми
62
//eMi и хА\у. Так как М\ Л Л12 = 0, то у не входит
в М2. Но тогда соотношение t/Лг может выполняться
только при zeM, и yAxz. Однако, из хАху и yAiZ
вытекает xA\Z и xAz. Случай, когда а" и у принадле-
принадлежат М2, исследуется аналогично. Теорема доказана.
Замечание. Из этого доказательства видно,
что условие непустоты пересечения работало только
при проверке транзитивности. Значит, справедлива
Теорема 2.4. Если отношения {AUAU) и
(А2, М2) рефлексивны и симметричны (в частности,
Рис. 2.3. Прямая сумма.
являются эквивалентностями), то их прямая сумма
{Ai,M\)@{A2,Л12) также рефлексивна и симметрична.
Полное исследование условий, при которых пря-
прямая сумма эквивалентностей является эквивалентно-
эквивалентностью, можно провести с помощью теоремы 2.6 (§ 3).
Замечание. Если (A, M) = (AuMi)@{A2,M2),
то каждое из отношений (A]t Mi) и (А2, М2) есть суже-
сужение отношения (А, М) на свою область задания.
§ 3. Операции над эквивалентностями
Посмотрим, какие операции над отношениями
эквивалентности и при каких условиях дают в ре-
результате эквивалентность.
Первый результат такого типа был нами уже по-
получен в § 5 главы 1. Мы установили там, что транзи-
транзитивное замыкание транзитивного отношения совпадает
63
с ним самим. Значит, транзитивное замыкание А от-
отношения эквивалентности А является отношением эк-
эквивалентности.
В том же параграфе мы установили, что для сим-
симметричного отношения А обратное совпадает с ним
самим: А~1 = А. Значит, отношение, обратное к экви-
эквивалентности, является эквивалентностью.
Из лемм 1.1, 1.3 и 1.7 вытекает, что если /1иВ-
эквивалентности, то их пересечение А П В также яв-
является отношением эквивалентности.
Пусть теперь {Mf, м?, •••}~ разбиение множе-
множества М на классы эквивалентности, соответствующее
отношению A, a {Aff, Alf, ...} —разбиение множе-
множества М на классы эквивалентности по В. Пусть
А в
Рис. 2.4. Объединение эквивалснтностей.
x^Mt и одновременно #eAlf. Элементы, с кото-
которыми х находится в отношении АО В, заполняют мно-
множество Alf Л Mf. Таким образом, классы эквива-
эквивалентности по Л Л В суть пересечения классов экви-
эквивалентности по Л и по В. Легко видеть, что система
пересечений M'f f] Mf есть разбиение множества М,
соответствующее отношению А П В.
Сложнее обстоит дело с объединением отношений
эквивалентности. Вообще говоря, объединение экви-
валентностей уже не обязано быть эквивалентностью.
Это видно из примера на рис. 2.4. Действительно,
отношение Л дает разбиение на два класса {1,2} и
{3,4}, отношению В соответствует разбиение {{1,4},
{2,3}}, а отношение А [) В дает неполный связный
граф.
64
Теперь попробуем разобраться, когда объединение
эквивалентностей дает в результате эквивалентность.
Отметим сначала следующее тривиальное обстоя-
обстоятельство. Пусть ЛеВ, тогда из свойств теоретико-
множественных операций следует
A U В = В,
т. е. A U В есть эквивалентность. Точно так же, если
ВеД то Л U В является эквивалентностью.
Рассмотрим более общий случай, когда множе-
множество М можно разбить на два непересекающихся под-
подмножества М\ и Ма (из которых одно может быть
пустым) так, что
{А, М)-{Аи М,)®{А,,М2),
{в, м) = (в1,м1)®(в2, м2), {г- }
и при этом
Л, SB, и fi2s4 B.3)
В этом случае отношения А и В мы назовем коге-
когерентными.
Легко видеть, что если ДеВ или fis/1, то от-
отношения А а В когерентны (надо положить М\ = М,
М2 = 0). Таким образом, сравнимость относительно
«порядка», задаваемого включением (см. гл. IV), есть
частный случай когерентности.
Из B.3) следует, что для когерентных отношений
эквивалентности А и В:
<Л,иВ„ ЛГ,)-(В„ А*,)
{А2[]В2, Л12) = <Л2, М2).
Используя определение прямой суммы и B.2), полу-
получаем
(A[jB, M)-(Blt М,>©(>42, М2>.
Здесь (Bi.Mi) и (А2,М2)—эквивалентности (как су-
сужения эквивалентностей (В,М) и {А,М)), a AU и М2
не пересекаются. По теореме 2.3 отсюда следует, что
А[) В есть отношение эквивалентности.
Оказывается, когерентность отношений А, В яв-
является не только достаточным, но и необходимым
условием для того, чтобы объединение А [} В эквива-
эквивалентностей А и В было эквивалентностью.
3 Ю, А. Шрейдер 65
Теорема 2.5. Для того чтобы объединение А\.)В
эквивалентностсй А и В само было отношением экви-
эквивалентности, необходимо и достаточно, чтобы А и В
были когерентными.
Нам понадобятся некоторые простые свойства
разбиений на классы эквивалентности, которые мы
сформулируем в виде самостоятельных лемм. Мы бу-
будем далее использовать некоторые словесные сокра-
сокращения. Если А — эквивалентность и хАу, то мы бу-
будем говорить, что х и у А-эквивалентны. Разбиение,
соответствующее эквивалентности А, мы будем на-
называть А-разбиением; классы этого разбиения—¦
А-классами и т. п.
Лемма 2.1. Для того чтобы А^В, необходимо
и достаточно, чтобы каждый А-к.юсс содержался
е некотором В-классе.
Действительно, если ЛеВ, то из хАу следует
кВц. Значит, множество всех у, Л-эквивалентных эле-
элементу х, содержится во множестве всех у, В-эквива-
лентьых этому х. Обратный вывод столь же очевиден.
Л е м м а 2.2. Для того чтобы В s А, необходимо
и достаточно, чтобы каждый А-класс Mf целиком со-
содержал любой В-класс Mf, имеющий с Mf непустое
пересечение.
Для доказательства необходимости выберем про-
произвольный элемент xeAfff]M(. По предыдущей
лемме Mf целиком содержится в некотором классе М*.
Но если бы Mk был бы отличен от М?, то элемент .v
лежал бы сразу в двух классах Л-разбнення, что
невозможно. Значит, Mf s Mf. Для доказательства
достаточности нужно только вспомнить, что из
Mf П M'f ф 0 по условию вытекает Mf s Mf, и при-
применить лемму 2.1.
Л е м м а 2.3. Для того чтобы эквивалентности А
и В были когерентными, необходимо и достаточно,
чтобы всякий А-класс Mf либо содержался в неко-
некотором В-классе Mf, либо целиком содержал любой
В-класс Mf, имеющий с Mf непустое пересечение*).
*) Очевидна следующая перефразировка этой леммы: отно-
отношения эквивалентности А и В когерентны тогда и только тогда,
когда любая пара классов эквивалентности Mf и Mj либо не
пересекается, либо один из этих классов содержит другой.
66
Доказательство. Если А и В когерентны,
то М = Mi U M2, Mi Л Л12 = 0 и на М, имеем Л s В,
а на Л12 Лэ?. Тогда по лемме 2.1 для каждого
класса M't, содержащегося в Mt, существует такой
класс Mf ? Mu что Mf e Alf. По лемме 2.2 каж-
каждый класс AU , содержащийся в М2, целиком содер-
содержит любой класс Mf, имеющий с Mf непустое пе-
пересечение. Поскольку Mi и М2 не пересекаются, из
B.2) вытекает, что всякий класс эквивалентности
filf содержится либо в Mi, либо в М2; значит, наше
рассуждение охватывает все классы.
Поведем доказательство в обратную сторону.
Пусть каждый класс Mf обладает сформулирован-
сформулированным в лемме 2.3 свойством. Обозначим через Mi
объединение всех тех классов Mf, для которых суще-
существует такой Mf, что М? s Mf, а через М2— объеди-
объединение остальных классов Mt. Ясно, что М,ПМ2 = 0,
Mt\JM2 = M и
(Л, М) = (Аи Л
(В, M) = {BuMl)®{Bs, М2),
где Л; и Bi — сужения отношений Л и В на Mt. На-
Наконец, очевидно, что Ax<=Bi и Л2 зВ2, т. е. Л и В
когерентны.
Теперь мы подготовили все необходимое для до-
доказательства теоремы 2.5. Будем вести доказатель-
доказательство от противного, т. е. предположим, что Л и В не
когерентны. Тогда по лемме 2.3 существует класс
M'f и класс Mf такие, что Mi (] Mf =j& , но ни один
из них не содержит дру-
другой. Значит, существует ,,,.
,
f \ Mfсущест- ^
вует у ее Mf П Ajf и су- Су
f \ M
х «= Mf \ Mf, сущест-
й А
ществует z е М/ \ М{
(рис. 2.5). Имеем следую- Рис. 2.5.
щие соотношения: хАу
и yBz, следовательно, хА \}ВумуА U Вz. По транзи-
транзитивности должно было бы быть также хА U В г. Од-
Однако, соотношения: xAz и #Bz — оба не выполнены,
так как х не лежит с z ни в общем Л-классе, ни
3* 67
в общем В-классе. Значит, соотношение хА U В z не
выполнено. Полученное противоречие доказывает тео-
теорему.
Замечание. Понятие когерентности имеет
смысл для любых отношений Л и В. Но для эквива-
лентностей когерентность отношений А и В легко
формулируется в терминах классов эквивалентности
(лемма 2.3).
Лемма 2.4. Если А и В рефлексивны, то
А[]В<=АВ. B.4)
Доказательство. Если хА у, то, в силу уВу,
выполнено и соотношение хАВу, т. е. A s AB. Анало-
Аналогично получается В^АВ. Из этих двух включений
следует B.4).
Теорема 2.6. Для того чтобы объединение А[]В
эквивалентностей А и В само было отношением экви-
эквивалентности, необходимо и достаточно, чтобы
АВ = А\}В. B.5)
Доказательство. Пусть А[)В — эквива-
эквивалентность. По лемме 2.4 AUB^AB. Для доказа-
доказательства B.5) остается доказать
AB <= A U В. B.6)
Пусть хАВу. Тогда для некоторого г имеем xAz и
гВу. Следовательно, х{А{] B)z и z (A U В)у. Значит,
х(А U В) у и B.6) доказано. Пусть теперь выполнено
B.5). По лемме 1.3 отношение А\) В симметрично.
По B.5) тогда симметрично и отношение АВ. По
лемме 1.4 АВ = В А. По теореме 2.7 (см. ниже) полу-
получаем, что отношение АВ — эквивалентность. Из B.5)
вытекает, что и A U В — эквивалентность. Теорема
доказана.
Условие, при котором произведение АВ двух от-
отношений эквивалентности А и В само является экви-
эквивалентностью, было получено чешским математиком
Шиком в 1954 г. Прежде всего отметим, что когда
мы в § 4 главы I приводили пример не коммутирую-
коммутирующих отношений А и В, то А и В там были отноше-
отношениями эквивалентности, но их произведение АВ уже
не было таковым (и даже не было симметричным).
Связь с перестановочностью произведения здесь от-
68
нюдь не случайна, как показывает принадлежащая
Шику
Теорема 2.7. Для того чтобы произведение АВ
отношений эквивалентности А и В было эквивалент-
эквивалентностью, необходимо и достаточно, чтобы А и В ком-
коммутировали.
Доказательство. Пусть сначала
АВ = ВА. B.7)
По лемме 1.1 АВ рефлексивно. По лемме 1.4 АВ
симметрично. Транзитивность произведения доказы-
доказывается так:
(АВ) (АВ) = А (ВА) В = А (АВ) В = (АА) (ВВ) = АВ
— здесь мы использовали ассоциативный закон для
произведения отношений, условие B.7), а также тран-
транзитивность и рефлексивность отношений А я В (см.
замечание на стр. 40). Итак,
(АВ)(АВ) = АВ,
но это и означает транзитивность отношения АВ, по-
поскольку АВ рефлексивно. Пусть теперь произведе-
произведение АВ есть эквивалентность. Тогда по лемме 1.4
АВ = ВА.
В первой главе мы ввели еще операции A U В и
А о В. Легко проверить, что если А и В — эквивалент-
эквивалентности, то A U В и А о В также будут эквивалентно-
стями.
Проверим это для первой операции. (Как мы уви-
увидим дальше, для второй из них надобности в про-
проверке не будет.) Рефлексивность отношения А{} В
вытекает из леммы 1.1. Симметричность вытекает из
леммы 1.3 и следствия из леммы 1.4. Транзитивность
следует из того, что любое отношение вида С тран-
зитивно (теорема 1.4 и A.20)).
Итак, операция А О В, будучи выполнена над от-
отношениями эквивалентности, не выводит за этот класс
отношений.
Оказывается, эта операция (ее иногда называю?
объединением эквивалентностей, имея в виду, чтр
обычное объединение эквивалентностей может не быть
эквивалентностью) ассоциативна, т. е. является «хо-
«хорошей» алгебраической операцией.
69
Теорема 2.8. Для любых транзитивных отноше-
отношений А, В и С справедлив ассоциативный закон:
B.8)
Докажем сначала две леммы.
Л е м м а 2.5. Для любых отношений Р, Q
B.9)
B.10)
B.9) вытекает нз PsPU^Q и A.1). B.10) доказы-
доказывается аналогично.
Лемма 2.6. Для любых транзитивных отноше-
отношений Р, Q. R из Рд/? и Q s R вытекает Р О Q s R.
Из Р<=Р и Q^R вытекает Р U Q s /?. Из A.17)
и теоремы 1.3 получаем Р QiQ^R.
Доказательство теоремы 28 Из лем-
леммы 2.5
В<=В\]С B.1 Г)
B\JCc=A{j(BQC). B.12)
Из B.11) и B.12)
В <=Л U (В U С)- B-13)
Из леммы 2.5
ЛЕ.4и(?|]С). B.14)
Нз B.13), B.14), леммы 2.6 и того, что любое отно-
отношение вида С транзитивно,
A\JB<=AUiB[)C). B.15)
Подобно тому, как мы доказали B.13). доказывается
Cc=A\J{B\JC). B.16)
Подобно тому, как мы из B.13) и B.14) вывели
B.15), нз B.15) и B.16) выводится
(ЛиВ)ОСелО(вОС). B.17)
Из B.17) и аналогично доказываемого «обратного»
включения вытекает B.8). Теорема доказана.
Нетрудно убедиться, что для любой эквивалент-
эквивалентное гн А
А\}Е*=А, B.18)
70
Е— диагональное отношение. Это следует из того,
что Е != А (в силу рефлексивности отношения Л);
значит, А\}Е = АъА$Е = А=А
Покажем теперь, что операция Л В не дает ни-
ничего нового:
Теорема 2.9. Если А и В — эквивалентности, то
А\)В=А~В. B.19)
Доказательство. Заметим сначала, что, учи-
учитывая лемму 2.4,
лив?лв<=лвивл = л в.
Применяя транзитивное замыкание к обеим частям,
ввиду свойства монотонности транзитивного замыка-
замыкания A.17) имеем
AUB^A~B. B.20)
Далее, применяя распределительный закон A.13),
получим
(Л U В? = Л2 U AB U BA U В1 = Л U ЛВ U В A U В =
= АВ1)ВЛ = Л~В. B.21)
Мы использовали здесь замечание на стр. 40 и тот
факт, что для рефлексивного Л выполнено включе-
включение В с ВА, а следовательно, ВА [}'В = В А. Запишем
теперь выражение A.2) для транзитивного замыка-
замыкания, используя B.21):
лив = (лив)и(ливJи(лив)зи(ливLи .. =•
= (лив)и(л в)ииив)зи(л-вJи ...
Отсюда ясно, что
т. с.
А{)В==>А~В. B.22)
Сравнивая включения B.20) и B.22), получим иско-
искомое соотношение B.19).
Отсюда вытекает следующий результат, также
принадлежащий Шику:
Теорема 2.10. Если А и В — эквива гентности
и АВ = ВА, то
A[jB. B.23)
71
В самом деле, по теореме 2.7 произведение АВ
является эквивалентностью, а стало быть отношение
дВ _ дв \j BA = А о В совпадает со своим транзитив-
транзитивным замыканием: АВ = А~В. Но тогда из теоре-
теоремы 2.9 АВ = А О В.
На этом мы закончим исследование свойств опе-
операций над эквивалентностя'ми.
Полученные результаты об операциях над отношениями до-
допускают алгебраическую интерпретацию. Множество Ш все*
отношений на М обладает структурой моноида относительно опе-
операции произведения отношений*). Пусть множество Шэ s 9#
состоит из всех отношений эквивалентности. Любое подмноже-
подмножество множества Ш3, замкнутое относительно операции произве-
произведения АВ, является коммутативным моноидом (теорема 2.7). Так
Как для множества М, содержащего ие менее трех элементов,
Существуют некоммутирующие эквивалентности, то само 3)Ij не
образует моноида относительно произведения отношений. Однако
Ш?э обладает^ структурой коммутативного моноида относительно
операции A (J В (теорема 2.8) или, что то же самое, А ° В (тео-
(теорема 2.9). На подмоноидах из Шэ моноида 5ЭД (относительно АВ)
операция А [] В совпадает с операцией произведения АВ (тео-
(теорема 2.10).
§ 4. Отношения эквивалентности на числовой прямой
Пусть задано отношение А на множестве М,
В случае, когда М — числовая прямая, отношение А
отождествляется с некоторым подмножеством число-
числовой плоскости, т. е. прямого произведения М X М.
В этом параграфе будут рассмотрены геометрические
свойства множества А на плоскости в случае, когда
отношение А есть эквивалентность.
Согласно определению 2.3 отношение А назы-
называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, сим-
симметрично и транзитивно. Каждое из этих свойств
порождает некоторое геометрическое свойство мно-
множества А. Координаты точки на плоскости будем обо-
обозначать {х,у).
1. Рефлексивность. Из того, что хАх для
всех х, следует, что множество А содержит главную
диагональ (свойство R).
*) Если на некотором множестве Ж определена ассоциатив-
ассоциативная операция и существует элемент Е, ведущий себя, как единица
при этой операции, то говорят, что на множестве Ш задана струк-
структура моноида,
72
2. С и м м е т р и ч н о с т ь. Симметричность озна-
означает, что если Ц(/)еД то и (у,х)еЛ, т. е. что
множество Л симметрично относительно главной диа-
диагонали (свойство S).
3. Транзитивность. Транзитивность озна-
означает, что если (х, г/)еЛ и {(/,2)еЛ, то и (х, г)еЛ.
Точка (х, z) является четвертой вершиной прямо-
прямоугольника, три вершины которого находятся в точках
(Х.У), (У,г) и (у, у). Заметим, что вершина {у, у)
лежит на биссектрисе координатного угла — главной
диагонали координатной
плоскости. Поэтому гео-
метрически свойство тран-
транзитивности МОЖНО сфор-
мулировать следующим
образом:
Множество А на пло-
плоскости определяет транзи- у \^~i
тивное отношение тогда и
только тогда, когда для
любого прямоугольника,
одна вершина которо-
которого а лежит на главной
диагонали, а две сосед-
соседние с а вершины принад-
принадлежат А, вершина а', противоположная а, также при-
принадлежит А (свойство 7\; см. рис. 2.6).
Замечание. Если отношение А является сим-
симметричным, то геометрическая формулировка транзи-
транзитивности несколько упрощается. А именно:
Множество А на плоскости, симметричное отно-
относительно главной диагонали, определяет транзитив-
транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для
любого прямоугольника, одна вершина которого ле-
лежит на главной диагонали, а две другие принад-
принадлежат А, четвертая вершина также принадлежит А
(свойство То).
Разница с предыдущим утверждением состоит
в том, что вершины, принадлежащие А, не обязаны
быть соседними с вершиной, лежащей на диагонали.
Покажем, что для симметричного А свойство Т\ вле-
влечет Т2. Пусть, например, вершина, лежащая на диаго-
диагонали, имеет координаты (у, у) и (л,г)еЛ и
(j,z)e/l; покажем, что {х,у)^А. В самом деле.
Рис. 2.6. Геометрический
смысл транзитивисгги.
73
силу
симметрии, вместе с (у, г)еЛ имеем
(:,(/)еЛ. Если в качестве вершины на диагонали
взять теперь (г, г), а в качестве соседних с ней вер-
вершин, принадлежащих Л, {х, z) и (z, у), то, в силу
свойства Ти получаем {х, j()el
Заметим, что класс эквивалентности, содержащий
точку х0, есть проекция пересечения множества Л и
прямой х = *о на ось ординат.
Сейчас мы приведем некоторые примеры множеств
на плоскости, определяющих отношение эквивалент-
эквивалентности.
Пример 1 (тривиальный). Множество А — вся
плоскость. Выполнение свойств R, S, Т очевидно. Все
точки исходной прямой М
отождествляются, т. е.
входят в один класс эк-
эквивалентности.
Замечание. Для
любого р > 0, если мно-
множество А, определяющее
отношение эквивалентно-
эквивалентности, содержит полосу
\х — //|<е. то оно совпа-
совпадает со всей плоскостью.
В самом деле, из рис. 2.7
видно, что вместе с любой
точкой (у, у) множество
А содержит все внутрен-
внутрен— е,у}, (у,у),
\ |2
ние точки квадрата с вер-
вер( ) ( )'
р-
р)',
шинами {у — е,у}, (у,у), (у,У + е), (у—е, у + е)
т. е. полосу \х — //|<2е. Ясно, что таким образом
свойство «принадлежать Л» распространяется на все
точки плоскости.
Пример 2 (периодичность). Возьмем некоторое
число. Пусть множество Л состоит из прямых х — у =
— kc, где k — произвольное целое число. Выполнение
свойств R и S очевидно, и если х — у = k\C, y — z —
•= k2c, то х — z = (ki + k2) с.
Пример 3. «Все константы равны единице, кро-
кроме нуля». (Такое утверждение высказал И. М. Гель-
фанд на одной из своих лекций.)
В этом примере множество Л есть вся плоскость
с выброшенными осями координат и добавленным на-
началом координат. Иначе говоря, (х,у)^А всегда,
74
Рис. 2.8.
Рис. 2.9.
-^- а,
/
/
/
у
Рис. 2.10.
с, ^а- а.->
Рис. 2.11.
У'
/
/
/
7 X
Рпс. 2.12.
Рис. 2.13.
75
кроме случая х = 0, у ф О и ему симметричного. Если
точки (х,у), (y,z) принадлежат А, то либо х = О, и
тогда у = 0, z = 0, либо х ф 0, и тогда # Ф 0 и z =fc 0.
В обоих случаях (х, г)еЛ (рис. 2.8).
В дальнейших примерах проверка свойств R, S, Т
будет предоставляться читателям.
Пример 4. (Все целые числа равны друг дру-
другу.) (Рис. 2.9.) Множество А состоит из главной диа-
диагонали и всех точек с целыми координатами.
Очевидно, можно рассматривать и конечные ва-
варианты такой эквивалентности типа п\ — а2 — =а„
(рис. 2.10 и 2.11).
Пример 5. (Все числа, не большие единицы по
модулю, равны друг другу.) Множество А состоит из
диагонали и замкнутого единичного квадрата
(рис. 2.12). Очевидно, множество, состоящее из
открытого (или полузамкнутого: —1-<х<1, —1 ¦<
¦<у<1) квадрата, также дает эквивалентность.
На рис. 2.13 изображен еще один пример эквива-
эквивалентности. (Стрелки на рисунке означают, что гра-
границы квадратов, кроме точек, лежащих на прямой
у = х, не входят в график отношения.) Заметим, что
если взять аналогичное множество с замкнутыми
Рис. 2.14.
Рис. 2.15.
квадратами, оно уже не будет удовлетворять свой-
свойству Ти и наименьшее множество, содержащее его и
обладающее свойством Ти есть вся плоскость.
Пример 6. (Все числа от а\ до а2 равны друг
другу и все числа от аз до а4 равны друг другу.)
(Рис. 2.14.)
76
Пример 7. На рис. 2.15 изображено отношение:
«Все числа от ах до а2 и от аг до а4 равны друг
другу».
Пример 8. (Ковры Серпинского.) В заключение
приведем два примера с множествами Л, аналогич-
аналогичными «ковру Серпинского». На рис. 2.16 изображено
Н
и о
и и
и и
и т
? /
Рис. 2.16.
V/,
¦///,
i
УУУ.
V/,
У//////////,
ууууууууууу.
V//////////
У/////////Л
¦//у.
'//У.
'УУ,
УУУ
Рис. 2.17.
X
множество А для следующего отношения эквивалент-
эквивалентности: берется так называемое канторово совершенное
множество и отождествляются точки каждого из ин-
интервалов, выбрасываемых из отрезка [0, 1] на п-и
шаге (на рисунке п = 3). Если отождествляются все
точки дополнения к каиторову совершенному множе-
множеству, множество Л имеет вид, изображенный на
рис. 2.17. (Автор книги приносит извинения читателю,
не знающему, что такое канторово множество.)
ГЛАВА 111
СХОДСТВО И ТОЛЕРАНТНОСТЬ
§ 1. От сходства к толерантности
В предыдущей главе мы подробно обсудили со-
содержательный смысл отношения одинаковости
объектов. Не менее важной является ситуация, когда
нам приходится устанавливать сходство объектов.
Если одинаковость объектов обозначает их полную
взаимозаменимость в некоторой ситуации, то сход-
сходство— это частичная взаимозаменимость, т. е. воз-
возможность взаимной замены с некоторыми (допусти-
(допустимыми в данной ситуации) потерями, с допустимым
риском.
Например, две новые «Волги» одного выпуска и
цвега с точки зрения покупателя вполне одинаковы
и, стало быть, взаимозамеиимы. Но две «Волги» раз-
разного выпуска (или новая и старая «Волги» одного
выпуска) только похожи. При отсутствии необходи-
необходимого выбора одна может заменить другую, если по-
покупатель готов согласиться с подобной заменой.
Двое близнецов бывают настолько одинаковыми,
что без всякого риска могут сдавать экзамены друг
за друга. Если два студента только похожи, то такая
жульническая проделка, хотя и осуществима, но рис-
кована.
Рисунок голландского художника Эсхера (рис. 3.1)
подсказывает читателю, что накапливание несуще-
несущественных различий у сходных объектов может при-
приводить к совершенно непохожим объектам.
Если для объектов указано только сходство, то
невозможно их разбить иа четкие классы так, что
внутри класса объекты похожи, а между объектами
разных классов сходства нет. В случае сходства воз-
возникает размытая ситуация без четких границ.
78
Каждый элемент множества несет определенную
информацию о похожих на него элементах. Но не всю
информацию, как в случае одинаковых элементов.
Здесь уже нет дилеммы: «Все или ничего» или
«Полная информация — отсутствие информации».
Здесь возможны разные степени информации, кото-
которую один элемент содержит относительно другого.
Рис. 3.1. Н«бо и вода (гравюра М. К. Эсхера).
Превосходная степень от сходства — неразличи-
неразличимость, а вовсе не одинаковость, как может показаться
на первый взгляд. Одинаковость — свойство каче-
качественно иное. Дело в том, что неразличимые объекты
(так же, как и сходные) не разбиваются, вообще го-
говоря, на классы так, чтобы в каждом классе эле-
элементы не различались, а элементы разных классов
заведомо различались.
В самом деле. Возьмем множество точек на пло-
плоскости. Пусть величина d лежит ниже порога
79
разрешимости глаза, т. е. й — такое расстояние, при
котором точки, находящиеся на этом расстоянии, не-
неразличимы зрительно (при выбранном удалении пло-
плоскости от наблюдателя). Возьмем теперь пточек, лежа-
лежащих на одной прямой и отстоящих (каждая — от
соседних) на расстоянии й. Каждая пара соседних
точек неразличима, но если п достаточно велико, то
первая и последняя точки будут отстоять друг от
друга на метр и заведомо будут различимы. Разуме-
Разумеется, одинаковость есть частный случай неразличимо-
неразличимости и сходства.
Традиционный подход к изучению сходства или
неразличимости состоит в том, чтобы сначала опреде-
определить меру сходства, а затем исследовать взаимное
расположение сходных объектов. Английский матема-
математик Зиман, изучая модели зрительного аппарата,
предложил аксиоматическое определение сходства.
Тем самым свойства сходства стало возможным изу-
изучать независимо от того, как конкретно оно задано
в той или иной ситуации: расстоянием между объек-
объектами, совпадением каких-то признаков или субъектив-
субъективным мнением наблюдателя.
Так же, как переход от расплывчатого понятия
«одинаковость» к точно определенному типу отноше-
отношений сопровождался введением нового термина «экви-
«эквивалентность», математическое отношение, соответ-
соответствующее нашему интуитивному представлению о
сходстве или неразличимости, получило у Зимана на-
название «толерантность». Иначе говоря, толерантность
является экспликацией понятия сходства или нераз-
неразличимости.
Введем следующее
Определение 3.1. Отношение А на множе-
множестве М называется толерантностью (или отношением
толерантности), если оно рефлексивно и симметрично.
Естественность такого определения видна из того,
что всякий объект заведомо неразличим сам с собой
и, уж подавно, похож на себя (это и выражает реф-
рефлексивность отношения). Ясно также, что два объ-
объекта сходны или не сходны независимо от порядка,
в котором мы их рассматриваем. Это обстоятельство
выражается симметричностью отношения толерант-
толерантности. Из примера со зрительной неразличимостью
видно, что транзитивность сходства (толерантности)
80
отнюдь не обязательна. Ясно также, что поскольку
единаковость есть частный случай сходства, то экви-
эквивалентность должна быть частным случаем толерант-
толерантности. Сравнивая соответствующие определения мы
легко убеждаемся, что так оно и есть. Эквивалент-
Эквивалентность есть тот частный случай толерантности, когда
кроме симметричности и рефлексивности выполняется
еще и транзитивность
Рассмотрим теперь серию примеров, где сходство
(толерантность) задается разными способами.
Пример 1. Множество М состоит из четырех-
четырехбуквенных русских слов —нарицательных существи-
существительных в именительном падеже. Будем называть та-
такие слова сходными, если они отличаются не более
чем на одну букву. Известная задача «Превращение
мухи в слона» в точных терминах формулируется так:
Найти такую последовательность слов, начи-
начинающуюся словом «муха» и кончающуюся сло-
словом «слон», любые два соседних слова в кото-
которой сходны (в смысле только что данного опре-
определения).
Приведем решение этой задачи, которая может
служить своеобразным образцом студенческого фоль-
фольклора:
Муха — мура — тура — тара ¦— кара — каре —
кафе — кафр — каюр — каюк — крюк — крок —
срок — сток — стон — слон.
Очевидно, что в этой задаче самое трудное —
найти переход к иной расстановке гласных и соглас-
согласных (кафе — кафр — каюр — каюк — крюк).
Пример 2. На рис. 3.2 изображены геральдиче-
геральдические звери и существа. Между ними существуют раз-
разные признаки сходства. В частности, никто нам не
мешает принять следующее определение сходства, ко-
которое, во всяком случае, ничем не хуже других:
Змея, гидра и дракон сходны как пресмыкаю-
пресмыкающиеся. Гидра, кентавр и вепрь участвуют в мифах
о Геракле. Единорог и кентавр сходны очевидным об-
образом: оба суть мифические варианты коня. Едино-
Единорог и двуглавый орел — мифические существа, изо-
изображенные на государственных гербах. Орел и аль-
коноста (женщина-птица) принадлежат к классу
птиц, альконоста и дракон сходны потому, что имею?
крылья.
81
Именно это отношение сходства выразил художник
на рис. 3.2: изображения сходных существ^ заклю-
заключены в соприкасающихся кубах.
Рис. 3.2. Сходство геральдических существ.
Пример 3. А на рис. 3.3 тем же способом изо-
изображена другая группа геральдических существ.
Рыбы и дельфин принадлежат водному царству.
Дельфин, изображенный на этом рисунке, внешне
сходен с обычным конем*). Конь, пегас и единорог
*) Другим оправданием этого сходства может пос!ужить от-
отрывок ит В. Брюсова: «Предадим молитве душу, а тебя из мглы
пучин тихо вынесет на сушу на спине своей дельфин».
82
сходны чисто анатомически. Единорог, пегас и дву-
двуглавый орел образуют группу мифических существ.
Сова, орел, двуглавый орел и пегас имеют крылья и
этим схожи.
Рис. 3.3. Сходство герачьцических cyueciB.
Следующая группа примеров носит более акаде-
академический характер.
Пример 4. Пусть р — натуральное число. Обо-
Обозначим через Sp совокупность всех непустых под-
подмножеств множества {1, 2, 3, ..., р). Два таких
83
подмножества объявим толерантными, если у них есть
хотя бы один общий элемент. Законность такого опре-
определения очевидна: рефлексивность и симметричность
данного отношения легко проверяются.
Множество Sp называется (р — 1) -мерным сим-
симплексом. Это понятие обобщает понятия отрезка, тре-
треугольника и тетраэдра на многомерный случай. Числа
f {1.2}
Рис. 3.4. Сходство граней в симплексе.
1, 2, ..., р интерпретируются как вершины симплек-
симплекса. Двухэлементные подмножества — как ребра, трех-
трехэлементные — как плоские (двумерные) грани, /г-эле-
ментные подмножества — как (k — I)-мерные грани.
На рис. 3.4 изображены симплексы S\, S2, S3
и S4. Толерантность граней симплекса Sp означает
их геометрическую инцидентность —наличие общих
вершин.
Число всех элементов из Sp равно 2?—1.
Мы можем элементы множества Sp изобразить
в виде вершин графа, тогда ребра, как обычно, бу-
будут изображать выполнение соответствующего соот-
соотношения. На рис. 3.5 дано изображение для S3. Пре-
Предоставляем читателю сделать аналогичное изображе-
изображение для S^
84
{2,3}
Нам будет удобно использовать
Определение 3.2. Множество М с заданны и
на нем отношением толерантности т называется про-
пространством толерантности.
Таким образом, простран-
пространство толерантности есть па-
пара (М, х).
Пример 5. Простран-
Пространство толерантности Sp допу-
допускает изящное обобщение
на бесконечный случай.
Пусть И — произвольное
множество. Обозначим че-
через Sg совокупность всех /«
непустых подмножеств мно-
множества И. Толерантность т
на SH задается условием:
XxY, если X Л Y ф 0. Симметричность и рефлексив-
рефлексивность этого отношения очевидны. Пространство толе-
толерантности SH будет играть в дальнейшем особую
роль — роль «универсального» пространства толе-
толерантности.
Пример 6. Пусть р — натуральное число. Обо-
Обозначим через Вр множество всех двоичных кортежей
длины р. Таким образом, любой элемент хеВр
<0,Р
<0,0>
Рис. 3.6.
имеет вид х = (|ь |2, ..., ?Р), где & = 0 или 1. Толе-
Толерантность т в Вр задается правилом: если х =•
= (!ь Ъ, ¦ ¦, Ър) и J/=(tii, 1]2, ¦ ., Т1?), то хту озна-
означает, что хотя бы при каком-нибудь (': ?,- = т],-. Иначе
говоря, толерантность двух элементов: хху — означает,
что у них есть хотя бы одна общая компонента. Об-
Общее количество элементов в Bv равно, очевидно, 2>\
Для каждого х = (|ь Ь 1р> имеется ровно один
не толерантный к нему элемент у =A —|i, 1 —?2, ¦ • -
,.., 1 — |р>, у которого отличны от х все компоненты.
Для тех, кто отчетливо понимает, что компоненты
кортежа длины р — это координаты точки в р-мерном
пространстве, будет ясно, что Вр состоит из всех вер-
вершин р-меркого единичного куба (рис. 3.6; при изо-
изображении пространства В3 мы опустили в графе все
диагональные связи: чтобы изобразить все толерант-
толерантности между элементами, следовало бы провести все
диагонали на гранях куба.)
Пример 7. Простым обобщением простран-
пространства Вр является пространство толерантности В",
где компоненты |4 принимают любые целые значения
от 0 до т— 1, а толерантность определяется как сов-
совпадение хотя бы одной компоненты. Очевидно,
ВР = ВР.
П ри мер 8. Следующее обобщение состоит в
том, чтобы рассмотреть пространство толерантности
Вр, компоненты элементов которого принимают лю-
любые вещественные значения.
В частности, ВТ есть множество всех пар вида
к = \h> 62), гДе Ъ и Ъ — произвольные вещественные
числа. Элементы пространства В-Г можно изображать
точками на плоскости, ес-
с I хг ^з ли gi и С2 интерпретиро-
™ I вать как декартовы коор-
I динаты. Толерантность
\Xi двух точек означает сов-
j падение хотя бы одной ко-
| ординаты. Стало быть, две
I толерантные точки всегда
с находятся либо на общей
вертикали, либо на общей
Рис- 3-7- горизонтали. На рис. 3.7
изображена координат-
координатная плоскость, на которой точки х^ и х2 толерантны,
а также толерантны х2 и х3. Точки xt и х3 уже не яв-
ляюгся толерантными.
При других р пространство В" можно интерпрети-
интерпретировать как множество точек р-мерного пространства.
86
Но интересней другая интерпретация пространства
В™. Каждый кортеж х = Aи |2 %р)^В™ можно
считать числовой функцией, заданной на множестве
{1, 2, ..., р}: каждому числу / (l^Cj^P) функ-
функция х сопоставляет число 2у. Толерантность двух
функций х \\ у означает, что они хотя бы в одной
точке принимают одинаковое значение (рис. 3.8).
Рис. 3.8. От р-мерных векторов
к фупкцням.
Пример 9. Возьмем теперь произвольное мно-
множество М (для наглядности можно представить себе
отрезок на прямой). Пространство толерантности Вм
состоит из всех числовых функций, определенных на
этом множестве*). Две функции объявляются толе-
толерантными, если хотя бы на одном элементе из М эти
функции принимают одно и то же значение (если,
другими словами, графики этих функций пересе-
пересекаются).
Так как В™ можно рассматривать как совокупность тшек
р-мерного пространства, то В^ — совокупность всех функций на
некотором бесконечном множестве — естественно считать типовым
бесконечномерным пространством. (Эта идея — считать совокуп-
совокупность функций обобщением многомерного пространства — лежит
в основе важного раздела математики, так называемого функцио-
функционального анализа.)
Существует еще один важный способ задания отно-
отношении толерантности. Рассмотрим соответствие
ф: M-+L.
Множество всех образов элемента х при соответ-
*) То есть функций, которые каждому элементу из М сопо-
сопоставляют некоторое число.
87
ствии ф (т. е. множество элементов, соответствующих
элементу х при соответствии <р) мы обозначим Ф(х).
Отношение ЛФ на множестве М задается условием:
хАч,у, если у элементов х и у существует общий образ,
т. е. если Ф(х) Л Ф(у)Ф0.
Установим основные свойства отношения А%:
Свойство 1. Отношение Лф всегда симметрич-
симметрично. Это следует просто из того, что Ф{х)пФ(у)~
= Ф(у)ПФ(х).
Свойство 2. Отношение Лф рефлексивно тогда
и только тогда, когда соответствие ср определено на
всем М. В самом деле, в этом и только этом случае
множество Ф (х) П Ф (х) = Ф (х) не пусто для любого
М
Свойство 3. Если на элементе х отношение Лф
не рефлексивно (не выполняется хА^х или, что то же,
Ф(х) — 0), то соотношение хА^у не выполнено ни
для какого у, так как Ф(х) П Ф(у) = 0 П Ф(у) = 0.
Это свойство имеет простой геометрический смысл:
если вершина х в графе, изображающем Ач, не имеет
петли, то она не связана ни с какой другой вершиной.
Иначе говоря, для отношений типа Лф нерефлексив-
нерефлексивность может быть только такого типа: если на эле-
элементе х отношение ЛФ не рефлексивно, то этот эле-
элемент уже ни с кем не вступает в отношение.
Свойство 4. Если соответствие <р: М —» L яв-
является функцией, т. е. для любого ieM Ф(х) со-
состоит не более чем из одного элемента*), то отно-
отношение Лф транзитивно.
Действительно, пусть хА^у и уАчг. Это значит,
что ф(*) = ф(*/) и ф(у) = фB). Следовательно, у(х) —
= <р(г), т. е. xAl{z.
Из этих свойств следует, что всюду определенное
соответствие <р: М-* L определяет на М симметрич-
симметричное и рефлексивное отношение ЛФ, т. е. толерант-
толерантность. В § 3 мы увидим, что любое отношение толе-
толерантности может быть определено как отношение Лф
по некоторому соответствию ф (теорема 3.4).
Если соответствие ф вдобавок является функцией,
то отношение Л^ — эквивалентность. В предыдущей
*) В этом случае хА^у равносильно Ф(х) = Ф{у) или
Ч(') = ф({/) (ср. с определением отношения Ау в § 2 гл. II).
8J8
главе мы убедились, что любое отношение эквива-
эквивалентности может быгь определено как A,f, где ф есть
отображение множества М на некоторое множе-
множество L *).
Конец этого параграфа не имеет прямого отношения к изу-
изучаемому понятию толерантности. Однако описываемые далее
типы отношений естественно возникают в ряде ситуаций и заслу-
заслуживают некоторого рассмотрения. Но их роль не настолько
велика, чтобы посвящать им отдельную главу или пара-
параграф.
Всякое транзитивное и симметричное отношение А на мно-
жествеМ можно представить как отношение типа Ац. Для дока-
доказательства этого утверждения нужно вспомнить следующее свой-
свойство отношений, одновремеино транзитивиых и симметричных: если
существует у такое, что хАу, то выполнено хАх (хАу влечет
уАх, а отсюда, по транзитивности, вытекает хАх). Таким обра-
образом, элементы, на которых отношение А не рефлексивно, ни
с кем не связаны отношением А. Возьмем теперь подмноже-
qTBO Mo множества М, состоящее из всех рефлексивных элемен-
элементов (таких, что хАх выполнено). Тогда на Мо мы имеем отноше-
отношение эквивалентности. Множество классов эквивалентности обозна-
обозначим через L. Определим теперь функцию ф: М-*- L условием:
если х е Л10, то ср(х) есть класс эквивалентности, содержащий а-;
если х не входит в Л10, то <р(х) не определено. Отношение Ар,
определенное по этому ф, на Мо совпадает с сужением отноше-
отношения А на Мо, а, при х е М\М0, Ф(х) —0 и хА^у не выполнено
ни для какого у.
Когда отношение А транзитивно и симметрично, то нерефлек-
нерефлексивность может быть только типа, описанного свойством 3.
Если же Л только симметрично, то элемент может быть не
рефлексивным, но вступать в отношения с другими элементами.
Поэтому далеко не все симметричные отношения могут быть
представлены в форме Ац. Легко показать, что симметричное
отношение представляется в форме Лф, если оно обладает
свойством 3.
Однако есть другой способ задавать отношение через соот-
соответствие ф. Пусть задано соответствие <р: M-+L, а отношение Вф
на М задается условием: хВ^у, если множества образов Ф(х)
и Ф(у) имеют ровно один общий элемент.
Разница между Лф н By состоит содержательно в том, чтоЛф
есть отношение «иметь хотя бы один общий признак», а Вф—¦
«иметь ровно один обшнй признак». Нетрудно заметить, что By—¦
обязательно симметричное отношение. Если соответствие ф: M->L
является функцией, то Ау = Вф. Смысл предыдущего определения
показывает
Теорема 3.1. Пусть отношение В на множестве М симме-
симметрично и антирефлексивно. Тогда существует соответствие
ф: M-+L такое, что В = Bif.
*) См. предыдущую сноску.
89
Доказательство. Рассмотрим граф, изображающий от-
отношение В *). Пусть L — множество всех его вершин и ребер.
Пусть соответствие ф: М -> L определяется следующим образом.
Если х е М — изолированная вершина (х не связан отноше-
отношением В ни с кем), то соответствие ф на х не определено, т. е.
элементу х ничего не сопоставляется. Если х — неизолированная
вершина, то Ф(х) состоит из всех ребер, содержащих вершину х.
н самой вершины х. Ясно, что Ф(х) содержит в этом случае бо-
более одного "элемента (самое вершину и еще хотя бы одно ребро,
гак как вершина не изолирована). Таким образом, хВ^х всегда
не выполнено. Пусть теперь имеет место соотношение хВу. Это
значит, что хфу и вершины х и у графа соединены общим
ребром (единственным). Это ребро является единственным общим
элементом множеств Ф(х) и Ф(у), т. е. хВ^у также выполнено.
С другой стороны, выполнение соотношения хВ^у означает, чю
хфу и у вершин х н у есть общее ребро. Стало быть, выпол-
выполнено соотношение хВу. Теорема доказана.
Итак, симметричное н антирефлексивное отношение В на мно-
множестве М всегда можно описать, задав на М такого систему при-
признаков, что соотношение хВу будет выполнено в том и только
гом случае, когда х и у имеют ровно один общий признак.
Примером симметричного и аитирефлексивного отношения
служит отношение «рифмоваться» на множестве русских слов.
Очевидно, что, если слово х рифмуется со словом у, то и у риф-
рифмуется с х. По традициям русского стихосложения рифмовать
слово с самим собой не полагается **), т. е. это отношение есте-
естественно считать антирефлексивным. Заметим, что уже отсюда
следует нетранзитивность отношения «рифмоваться». Действи-
Действительно, из транзитивности н симметричности вытекало бы, чго
для всякого слова х, имеющего хоть какую-то рифму у, выпол-
выполнено: «х рифмуется с х». Впрочем, для современных рифм легко
указать цепочку слов, в которой каждые соседние слова риф-
рифмуются, а первое и последнее совершенно не созвучны: пли —
гари — тариф — рифм — ритм.
§ 2. Операции над толерантностями
Алгебраические свойства операций над толерант-
толерантностями сравнительно просты. Большую часть этих
.свойств мы фактически уже получили в § 6 главы I.
Тем не менее мы систематизируем имеющиеся у нас
сведения, добавив необходимые новые.
Лемма 3.1. Если А — толерантность, В — экви-
эквивалентность и А = В, то A s В.
Доказательство получается применением транзи-
транзитивного замыкания к обеим частям включения ЛеВ,
*) Причем, как мы уже уславливались, поскольку В симме-
симметрично, элементы х и у, находящиеся в отношении В, мы б^дсм
вместо двух стрелок соединять одним ребром.
**) Несомненно, читатель найдет опровергающие примеры.
90
Смысл этой леммы в том, что транзитивное замы-
замыкание Л отношения толерантности Л есть минималь-
минимальная эквивалентность, включающая эту толерантность.
Из лемм 1.1, 1.3 и следствия из леммы 1.4 сле-
следует, что если отношения А и В суть толерантности,
то толерантностями также являются и следующие
отношения: A U В, А Л В, А-1 и А.
Из лемм 1.1 и 1.4 сразу следует
Теорема 3.2. Для того чтобы произведение АВ
отношений толерантности А и В было толерантностью,
необходимо и достаточно, чтобы А и В коммутиро-
коммутировали. В этом случае АВ = А с В.
Симметризованное произведение А В толерант-
ностей А и В всегда будет толерантностью. В самом
деле, рефлексивность вытекает из леммы 1.1. Симмет-
Симметричность симметризовашюго произведения А с, В сле-
следует из того, что
{А -В)~х = (АВ U В Afl = (АВ)~1 U {ВАГ1 =
1lll = A В.
Можно ввести еще один вариант симметризован-
ного произведения: Л* В = АВ П В А. Легко показать,
что А -::¦ В будет толерантностью* если А и В — толе-
толерантности.
Полезно еще заметить, что для любого рефчексив-
ного отношения А отношения A U Л, А П А~\ А о А~1
будут толерантностями.
§ 3. Классы толерантности
Мы займемся здесь изучением структуры прост-
пространств толерантности и попробуем различными спосо-
способами представить, как устроены произвольные прост-
пространства толерантности. Содержательно, общий резуль-
результат состоит в том, что любое отношение толерантности
может быть задано набором признаков так, что толе-
толерантные элементы суть те, которые имеют общие при-
признаки.
Охарактеризовать некоторую совокупность объек-
объектов признаками означает, строго говоря, следующее.
Возьмем множество М всех этих объектов и множе-
множество N всех возможных признаков. Установим теперь
соответствие
<р: M-+N,
сопоставляющее каждому объекту из М все те при-
признаки, которыми он обладает. Наоборот, любое соот-
соответствие \\r. M -*¦ N можно содержательно интерпретиро-
интерпретировать как присвоение некоторым объектам (элементам
множества М) некоторых признаков (элементов из N).
Итак, строгое понятие «соответствие» позволяет
придать точный смысл обиходному выражению «иметь
признаки». В § 1 мы показали, что всякое всюду
определенное на М соответствие ф задает на множе-
множестве М отношение толерантности АЧ:, определяемое
как совпадение хотя бы одного признака (наличие
общего признака).
Мы покажем, что любое отношение толерантности
можно задать таким образом. Более того, существует
некоторая каноническая совокупность признаков, ко-
которая строится по данному отношению толерантности
независимо от способа его конкретного задания.
Отношение толерантности Лф на множестве М мо-
может быть определено также на языке покрытий. (Си-
(Система множеств П называется покрытием множества
М, если^ЛэМ) В самом деле. Пусть <р: M-+N —
всюду определенное соответствие. Сопоставим каж-
каждому «признаку» ? е 7V множество М (|) всех элемен-
элементов из М, обладающих признаком ?, т. е. множество
Ф~' ({?,}). Система всех множеств М(?) образует по-
покрытие множества М: М —[JM(%), поскольку любой
элемент х е М входит в некоторое М (|). Легко ви-
видеть, что хАяу тогда и только тогда, когда существует
такой признак |, что #еМ(|) и г/еМ(?). Таким
образом, толерантность Лф может быть задана так:
xA<ty, если х и у принадлежат некоторому общему
классу покрытия (А{(?)}. В этом параграфе мы по-
построим каноническое покрытие пространства толе-
толерантности.
Теоремы этого параграфа — хороший пример так
называемых классификационных теорем, когда объ-
объекты, заданные абстрактными аксиомами, «материа-
«материализуются» в виде конкретной и обозримой конст-
конструкции.
92
Перейдем к формальным построениям. Пусть за-,
дано пространство толерантности (М, т).
Оп ределение 3.3. Множество L^M назы-
называется предклассом в (М, т), если любые два его эле-
элемента х и у толерантны, т. е. для них выполнено со-
соотношение хту.
Л е м м а 3.2. Для того чтобы два элемента х и у
были толерантны, необходимо и достаточно, чтобы су-
существовал предкласс L, содержащий оба эти эле-
элемента.
Доказательство. Если х и у лежат в пред-
классе L, то по определению предкласса выполнено
соотношение хху. Если хху, то множество {х, у] само
образует предкласс, так как, кроме исходного соотноше-
соотношения, выполнены также соотношения ххх, уху и ухх.
Определение 3.4. Множество К^М назы-
называется классом толерантности*) в (М,т), если К есть
максимальный предкласс.
Это значит, что любое множество Rzd К уже не
является предклассом. Или, иначе, для всякого эле-
элемента геМ, не входящего в К, существует элемент
хеМ, не толерантный к г.
Лемма 3.3 (о пополнении предклассов). Всякий
предкласс содержится хотя бы в одном классе К.
Доказательство мы проведем лишь для случая,
когда само множество М конечно, так как в общем
случае необходимо использовать так называемую
трансфинитную индукцию.
Итак, пусть L — предкласс. Если само L есть
класс, то лемма доказана. Если L — не класс, то
в множестве M\L существует элемент г, толерант-
толерантный ко всякому элементу из L. Добавим такой эле-
элемент 2 к L, т. е. рассмотрим множество L\ =»
*= L U {г}. Тогда LiZD L и Lt снова является пред-
классом. Либо Lt — класс, либо мы продолжаем даль-
дальше этот процесс расширения предкласса до класса.
Поскольку множество М конечно, через конечное
число шагов наше построение класса закончится.
Лемма доказана.
Следствие. Всякий элемент х е М содер-
содержится в некотором классе, т. е. система
*) Там, где не будет опасности недоразумений, мы будем го-
говорить просто о классе.
93
толерантности образует покрытие множества М.
В самом деле, в силу рефлексивности, хтх и множе-
множество {х}, состоящее из одного элемента х, образует
предкласс.
Из лемм 3.2, 3.3 непосредственно вытекает
Лемма 3.4. Для того чтобы два элемента х и у
были толерантны, необходимо и достаточно, чтобы су-
существовал класс, содержащий оба эти элемента.
Теперь у нас все подготовлено к тому, чтобы сфор-
сформулировать и доказать основную классификационную
теорему. Напомним еще раз определение простран-
пространства толерантности Sh. Оно состоит из всех непустых
подмножеств множества Н. Подмножества считаются
толерантными в Sh, если их пересечение непусто.
Теорема 3.3. Пусть (М, т) — произвольное про-
пространство толерантности, а Н — множество всех его
классов толерантности. Тогда существует отображение
ц>: M->SH C.1)
такое, что элементы из М толерантны в том и только
том случае, когда толерантны их образы в SH.
Доказательство. Выберем в качестве <р отоб-
отображение, которое каждому элементу х е М сопостав-
сопоставляет множество Н(х), состоящее из всех содержащих
его классов. По следствию из леммы 3.3 Н(х)ф0
для любого х. По лемме 3.4 отношение хху выполнено
в том и только том случае, когда Н(х)[)Н(у)Ф 0,
т. е. Н(х) и Н(у) содержат общий класс.
Если М конечно, то количество всех его подмно-
подмножеств конечно и, стало быть, конечно пространство
Sh. Поэтому вместо отображения C.1) можно взять
отображение q>: M-+Sp, где р — число классов толе-
толерантности в (М, т), которое каждому элементу х сопо-
сопоставляет множество номеров, содержащих его клас-
классов:
х->{пь tu, ..., nk] C.2)
(здесь щ-^.р). Толерантность элементов х и у озна-
означает, что среди номеров, сопоставленных элементам х
и у согласно C.2), есть хотя бы один общий. Иными
словами, х и у имеют общий числовой признак.
Рассмотрим в качестве примера множество ге-
геральдических существ на рис. 3.9. Будем полагать то-,
64
лерантными те из них, которые имеют общим один из
следующих признаков: 1) быть млекопитающим;
2) быть мифическим существом; 3) быть птицей.
Легко видеть, что все существа, обладающие одним
из этих признаков, толерантны меж собой и тем са-
самым образуют предкласс. Можно проверить, что для
множества существ на рис. 3.9 эти предклассы суть
классы толерантности. Львы и кони обладают только
Рис. 3.9. Группировка по классам толерантности.
первым признаком и им соответствует вершина Ki
трехмерного симплекса (попросту говоря, треуголь-
треугольника). Единорог обладает первым и вторым призна-
признаком и поэтому изображен на ребре KiK%. Альконоста
и райская птица обладают вторым и третьим призна-
ком*). Им соответствует ребро /Сг/Сз- Лебедь поме-
помещен в вершину Кз, поскольку он обладает только
третьим из признаков.
Рассмотрим теперь всюду определенное соответ-
соответствие
<р: М-+Н,
*) Впрочем, возможно, альконоста одновременно является
и птчцей и млекопитающим; рис. 3.9 нуждается тогда в исправ-
исправлении.
95
которое каждому х е М сопоставляет все классы,
в которые он входит. Из леммы 3.4 вытекает, что хху
равносильно тому, что у х и у имеется общий образ
в Н. Тем самым доказана анонсированная в § 1.
Теорема 3.4. (Л. Кальмар —С. Якубович). Про-
Произвольное отношение толерантности т на множестве
М можно задать как отношение Лф с помощью неко-
некоторого всюду определенного соответствия
Ф: М-+Н.
* * *
Рассмотрим теперь, как выглядят классы толе-
толерантности в некоторых конкретных пространствах то-
толерантности.
Пространство SP. Напомним, что это прост-
пространство толерантности состоит из множеств номеров
вида х = {«1, «2, ..., tih}, где все щ-^Ср, причем эле-
элементы х и у толерантны, если они содержат общий
номер.
Обозначим через Ki множество всех элементов, со-
содержащих номер L Например, при р = 3 и i— I, К\
состоит из элементов {1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3}. Ясно,
что если х е Ki и у е Ки то они заведомо имеют об-
общий номер i, и потому хху. Стало быть, Кг есть пред-
класс. Пусть теперь г — произвольный элемент, не
входящий в Ки а х = {/} — тот элемент из Ки который
имеет единственный номер ('. Ясно, что ххг не выпол-
выполнено, поскольку z не содержит номера i, a x содержит
только этот номер. Значит, предкласс Кг нельзя рас-
расширить и справедлива
Лемма 3.5. Множество Кг является классом то-
толерантности.
Так как Ki состоит из всех множеств вида {/,
«1, ..., nh], то число элементов множества Ki равно
2р-« — число всех подмножеств множества из остав-
оставшихся р — 1 номеров. Геометрически Ki составляет
совокупность всех граней (любых размерностей) сим-
симплекса, содержащих i-yio вершину.
Фактически найденных классов Ki достаточно,
чтобы задать толерантность в Sp. Точный смысл этого
утверждения состоит в том, что соотношение хху вы-
выполняется тогда и только тогда, когда существует
класс Ки содержащий одновременно хну. Действи-
96
тельно, если хху, то х и у содержат некоторый общий
номер i, и тем самым входят в класс Kt. Обратное
столь же очевидно. Таким образом, лемма 3.4 допус-
допускает для пространства Sp уточнение. Для проверки
толерантности достаточно ограничиться проверкой
вхождения в один из классов Ki. Меньшим запасом
классов ограничиться уже нельзя, поскольку толе-
толерантность элементов [i] и {i,j} определяется их вхож-
вхождением именно в класс Ki (см. ниже лемму 3.6). Од-
Однако в Sp кроме Ki есть еще классы толерантности —
в указанном смысле избыточные. Так, в S3 множество
{{1,2}, {2,3}, {3, 1}, {1,2,3}} образует класс. (Это про-
проверяется непосредственным перебором.) Ясно, что
этот класс не совпадает ни с одним Ki, так как не со-
содержит элементов вида {/}. Замеченный факт
о существовании «необходимых» и «избыточных»
классов естественным образом приводит к понятию
базиса.
Определение 3.5. Совокупность Нв = {К1, К2,...)
классов в пространстве толерантности {М,х) назы-
называется базисом, если 1) для всякой толерантной
пары х и у существует класс /С* е Нв, содержащий
оба этих элемента: х е /(', у е К'; 2) удаление из
Нв хотя бы одного класса приводит к потере этого
свойства, т. е. для всякого К* е Нв существует толе-
толерантная пара х, у, для которой К* является единст-
единственным общим классом толерантности в Нв.
Замечание. Произвольная система классов
толерантности, обладающая свойством 1) из определе-
определения 3.5, содержит базис. Чтобы выделить этот базис,
достаточно последовательно удалить «лишние» клас-
классы. Правда, для проведения этой процедуры в случае
бесконечной системы классов понадобится уже упо-
упоминавшаяся трансфинитная индукция.
В качестве исходной системы можно выбрать все
множество классов. Отсюда следует существование
базиса в любом пространстве толерантности.
Используя понятие базиса, мы сформулируем сле-
следующее утверждение:
Теорема 3.3'. Пусть (М,х)— произвольное про~
странство толерантности, а Нв — базис. Тогда суще~
ствует отображение
4 Ю. А. ШреПдер 97
такое, что элементы из М толерантны в том и только
том случае, когда толерантны их образы в Snjj.
Эта теорема доказывается почти буквальным по-
повторением доказательства теоремы 3.3, а смысл ее
состоит в том, что любое пространство толерантности
реализуется (с точностью до склеек) как система мно-
множеств классов из базиса с естественной толерант-
толерантностью типа SflB.
Выше мы показали, что в пространстве толерант-
толерантности Sp набор классов Ки Кг КР образует
базис, не совпадающий с совокупностью всех
классов.
С. М. Якубович (НТИ, сер. 2, 1968, № Ю) описала
все классы толерантности в Sp. Мы не будем приво-
приводить здесь это описание, а только установим одно
простое свойство этих классов.
Лемма 3.6. Если К— класс толерантности в Sp,
содержащий элемент Щ, то К = Кг-
Действительно, все элементы, толерантные к {/},
обязаны содержать номер i в своем наборе. Значит,
К S Кг. Но К есть класс, т. е. по определению не мо-
может целиком содержаться в другом классе. Значит,
К = Кг.
Отсюда сразу получается
Лемма 3.7 (С. М. Якубович). В пространстве Sp
существует единственный базис: {Ки Кг, ..., Kv).
Доказательство. Пусть И в — базис в SP.
Тогда в нем обязан существовать класс, содержащий
элемент {;}. По предыдущей лемме таким классом мо-
может быть только Кг. Стало быть, базис Нв должен
содержать все классы К\, К2, ¦¦ ¦, Кр. Но они уже
сами образуют базис, т. е. Нв = {Ки Кг, ..., КР}.
В силу определения базиса толерантность в SP
можно задать (как она, впрочем, и задана заранее)
только р признаками, соответствующими р базисным
классам Ki, Кг, ¦. ¦, Кр. При этом не надо думать,
в какие паразитические классы входит еще каждый
элемент.
Итак, в пространстве ёр остальные классы играют
чисто паразитическую роль, не участвуя ни в одном
базисе. Вообще говоря, существуют пространства то-
толерантности с неединственным базисом. Такой при-
пример легче всего построить геометрически.
98
Заметим, что в графе, изображающем множество
г некоторым отношением толерантности, класс толе-
толерантности образует максимальный полный подграф
в том смысле, что все вершины, входящие в один
ктасс толерантности, соединены в графе ребрами (по-
(поскольку класс является предклассом). а любая другая
вершина не соединена ребром хотя бы с одной верши-
вершиной из данного класса. На рис. 3.5 легко выделяются
группы вершин, образующие максимальные полные
подграфы в SS. Это {{1}, {1, 3}, {1, 2}, 1, 2 3»; {{2},
{2,3}, {1,2}, {1,2,3}}; {{3}, {1,3}, {2,3} {1 2,3}}, соот-
ветствующие базисным классам Ai, А2, Аз, и группа
Pile. 3.10. Два базиса.
{{1, 3}, {2, 3}, {1, 2}, {1. 2, 3}}, образующая паразити-
паразитический класс.
Граф на рис. 3.10 изображает бесконечное про-
стоанство толерантности — правильную треугольную
решетку в которой соседние узлы толерантны между
собой. "Классом здесь будет каждый треугольник.
Один базис Ив образуют все зачерненные треуголь-
треугольники, а другой Ив - все белые треугольники. Дей-
Действительно, каждое ребро (т. е. каждая пара х, у раз-
различных толерантных элементов) принадлежит двум
треугольникам — светлому и темному. Поэтому для
толерантности пары х и у необходимо и достаточно
чтобы эта пара входила в общий темный (светлый)
треугольник.
Пространство толерантности на рис. .3.11 ооразует
конечную вырезку из предыдущего. В нем есть оче-
очевидный базис Н1В, состоящий из всех затемненных
треугольников —всего 10 классов, но в нем можно
обнаружить и другой базис Ив, состоящий из всех
треугольников, отмеченных крестиками. Этот базис
состоит уже из 12 классов. Таким образом, число
классов в базисе не инвариантно относительно выбо-
выбора базиса. Предоставляем читателю проверить, что
в примере на рис. 3.11 имеется только два указанных
базиса.
Пространство В™. Определение этого про-
пространства дано в § 1. Оно состоит из целочисленных
кортежей х = (gi, ?2, .... ЪР)
длины р, где O^gi^wi— 1-
Обозначим через К{ множест-
множество, состоящее из всех элемен-
элементов, для которых Ъ — j (i — h
2 р;/ = 0,1 т—\).
Легко проверить, что эти мно-
множества образуют классы толе-
толерантности. Итак, класс к[ —
это совокупность кортежей, у
которых фиксированная коор-
Рис. 3.11. Два базпса с ДИНЗТа пРин™а" фиксировап-
разным числом классов. ное значение. Из определения
толерантности в В™ сразу сле-
следует, что классы к[ образуют базис. Общее количе-
количество этих классов равно рт, а каждый класс содер-
содержит щр-1 элементов. Менее очевиден тот факт, что
в В™ существуют и другие классы толерантности*).
Когда отношение толерантности оказывается
транзитивным, т. е. превращается в свой частный слу-
случай — в отношение эквивалентности, то классы толе-
толерантности превращаются, очевидно, в классы эквива-
эквивалентности. Так как классы эквивалентности не пере-
пересекаются, справедлива
Лемма 3.8. Отношение толерантности х является
отношением эквивалентности тогда и только тогда,
когда классы толерантности не пересекаются друг
с другом.
•) См. Ю. А. Ш рейдер, Пространства толерантности, Ки-
Кибернетика, 1970, № 2.
100
Вернемся теперь к изучению отображения ф, по-
построенного в процессе доказательства теоремы 3.3. и
выясним, какие элементы из М имеют одинаковый об-
образ при отображении ф, т. е. отчего ф бывает не ин ь-
ективным.
Определение 3.6. Пусть (/VI, т) — пространство
толерантности. Множество L s M называется ядром,
если существует такая совокупность классов Л'1,
Л'2, ..., что L есть совокупность всех элементов из М,
каждый из которых входит во все эти и только эти
классы.
Ядра — это прообразы при отображении ф. Дей-
Действительно, ядро Я (К1, К2, . ¦.) состоит из всех тех
элементов х, для которых образ ф(л:) есть именно это
множество классов толерантности: {Л'1, К2, ...}. Отсю-
Отсюда ясно, что непустые ядра образуют разбиение мно-
множества М и тем самым задают отношение эквивалент-
эквивалентности. Мы попробуем разобраться, как это отношение
связано с исходной толерантностью.
Пусть задано пространство толерантности (М, т).
Далее мы будем обозначать через Тх множество всех
элементов, толерантных к х. Отношение б на М опре-
определим условием
xQy, если Т х = Ту. C.3)
Иначе говоря, xQy означает, что х и у толерантны
к одним и тем же элементам.
Лемма 3.9. Для того чтобы выполнялось соотно-
соотношение xQy, необходимо и достаточно, чтобы х и у ле-
лежали в одном и том же ядре Я (К1, К2, ...).
Доказательство. Пусть х и у принадлежат
ядру Я(Д'1, Л'2, ...). По лемме 3.4 множество Тх со-
состоит из всех элементов, входящих хотя бы в один из
классов К\ К2, ...: Тх = К1 U К2 U ... Но то же самое
справедливо и для множества Ту, т. е. Тх = Tv или
xQy. Обратно. Предположим, что хву, и пусть х при-
принадлежит некоторому классу Л'. Тогда для любого
ге/( будет выполнено соотношение xrz. В силу C.3)
выполнено и ухг. Значит, //g/( (поскольку /(—мак-
/(—максимальный предкласс). Аналогично показывается, что
всякий класс, содержащий у, содержит одновременно
х. Итак, хну принадлежат одной и той же совокуп-
совокупности классов, а значит, и общему ядру. Лемма до-
доказана.
1Р1
Отсюда вытекает важное
Следствие. Отношение 6 есть эквивалентность,
а непустые ядра служат для А классами эквивалент-
эквивалентности.
Отметим очевидное включение
Ж*1, /С2, ...)<= Я1 ПК2П ... 13.4)
В случае эквивалентности классы не пересекают-
пересекаются и каждое ядро совпадает со своим классом толе-
толерантности:
Я (К) = К,
и, кроме того, для любого хе
Любопытно заметить, что при обобщении понятия
эквивалентности — переходе к толерантности — поня-
понятие класса эквивалентности расщепляется на два раз-
разных понятия — класс толерантности и ядро. Это до-
довольно часто встречающаяся в математике ситуа-
ситуация ¦— расщепление понятий при переходе от частного
понятия к общему.
Определение 3.7. Пространство толерант-
толерантности (Мд) называется безъядерным, если каждое
ядро состоит не более чем из одного элемента.
Примером безъядерного пространства может слу-
служить пространство, изображенное на рис. ЗЛО. Каж-
Каждая точка принадлежит ровно шести треугольникам —
классам толерантности. Одной шестерке примыкаю-
примыкающих треугольников соответствует ровно одна точка —
определяемое этими классами ядро. Любой другой
совокупности треугольников соответствует пустое ядро.
Для безъядерных пространств толерантности основ-
основная классификационная теорема (теорема 3.3) может
быть уточнена так:
Теорема 3.3". Пусть (М, т) — безъядерное про-
пространство толерантности, а Н — множество всех его
классов толерантности. Тогда существует инъектив-
ное отображение
ф: М -> SH
такое, что элементы из М толерантны в том и только
в том случае, когда толерантны их образы в SH.
Для конечных пространств с нетривиальными яд-
ядрами можно применить тот же прием, который был
102
уже использован для задания признаками эквивалент-
эквивалентности. А именно, выберем в каждом ядре свою нуме-
нумерацию. Сопоставим каждому элементу х конечного
пространства (М, т) набор номеров
х-*(п0; «,, п2, ..., nk),
где 11и и2, ¦ ¦ •. Ни — те же самые номера, что и
в C.2), а /г0 — номер элемента в своем ядре. Ясно, что
элемент однозначно определяется целочисленными
признаками п0; щ, п2, . .., Пи, а толерантность пары
определяется совпадением одного из признаков щ,
«2, ¦ . . , "/;.
Пусть теперь {М,т)— произвольное пространство
толерантности. Обозначим через Мя множество его
ядер и определим толерантность ядер Hi и Я2 усло-
условием: Я,тяЯ.„ если существуют представители Xi e Hi
и х% е Яг, толерантные в (М, т). Так как элементы од-
одного ядра имеют общее множество толерантных с ни-
ними элементов, то из Я,тяЯ2 следует, что для любого
Xi еЯ) и любого х2еЯг выполнено Х\%х2. Иначе го-
говоря, если х{гх2, x'fixv x'2Qx2, то также х\хх'.г Мы
получили новое пространство (Мя, тя). Можно убе-
убедиться, что оно-то уж будет безъядерным. Ясно так-
также, что хху равносильно Я(х)хяЯ(у), где Я(х) и
Я (у) — содержащие эти элементы ядра.
Теперь заметим, что ядра можно было бы опреде-
определять не с помощью полного запаса классов, а только
с помощью классов, принадлежащих некоторому ба-
базису Нв. Пусть {К\, Ко, ¦ • ¦}— некоторая совокупность
классов из базиса Нв- Ядром Я (Ки Къ ¦ ¦ ¦) относи-
относительно базиса Нв мы назовем совокупность всех эле-
элементов из М, каждый из которых входит во все эти
классы и не входит ни в какие другие классы из данного
базиса Нв (ср. с определением 3.6). Верна следующая
Лемма 3.10. Разбиение множества М на ядра
относительно базиса Нв совпадает с разбиением мно-
множества М на обычные ядра.
Доказательство. Буквально повторяя дока-
доказательство леммы 3.9, мы получим, что ядра, опреде-
определенные по бааису Нв, суть классы эквивалентности
по G. Стало быть, они совпадают с исходными ядрами.
Рассмотрим еще раз пространство В'р. Легко ви-
видеть, что К\ П К) = 0 при / ф k. (Один и тот же
103
набор (?i, h, %p) не может иметь два разных зна-
значения координаты g,-.) Каждый элемент а- = (|ь ?2, •••
..., |р> входит ровно в р классов: к\\ К.\2, ¦¦-, К\р.
Таким образом, все непустые базисные ядра здесь
имеют вид Я {К.I, К\2, ¦¦¦, К1/) и состоят ровно из
одного элемента: пространство В™ безъядерно. За-
Заметим, что в случае пространства толерантности В™
включение C.4) обращается в равенство
Я
В некоторых случаях оказывается полезной
Теорема 3.5. Если пространство толерантности
{М, т) имеет конечный базис Нв, то совокупность всех
классов толерантности в (/VI, т) конечна.
Доказательство. В силу леммы ЗЛО число
ядер конечно, т. е. конечно пространство ядер (Л4Я, тя).
Значит, (Л'1Я, тя) имеет конечное число классов
толерантности. Но так как хху равносильно
Я{х)хяЯ(у), то каждый класс толерантности в (/VI, г)
есть объединение ядер, образующих соответствующий
класс толерантности в (Л]я, т?). Таким образом, со-
совокупность всех классов толерантности в (М,т) ко-
конечна.
Обратим внимание, что ни в формулировке тео-
теоремы, ни в ее доказательстве не предполагается, что
(Л1,т) конечно. Оно и фактически может быть бес-
бесконечным за счет бесконечности ядер.
§ 4. Дальнейшее исследование
структуры толерантностей
Рассмотрим множество М и его покрытие П. Пару
{М, П) мы будем далее называть картой.
Произвольная карта {М, П) позволяет ввести на
множестве М отношение толерантности т, определен-
определенное условием: хху, если существует такое А е П, что
одновременно х е А и у е А. Так определенную толе-
толерантность т мы назовем толерантностью, порожден-
порожденную картой (М, И). Очевидно, каждое А е П является
предклассом порожденной толерантности т.
104
Если (М, т) — пространство толерантности и Н —¦
множество всех классов толерантности в эгом про-
пространстве, то, d силу леммы 3.4, толерантность, по-
порожденная картой {М,Н), совпадает с исходной
толерантностью т. Аналогичное утверждение справед-
справедливо и для произвольного базиса Нв в пространстве
<А1,т>.
Карта (М, П) называется канонической, если каж-
каждый элемент А покрытия П оказывается классом то-
толерантности, порожденной исходной картой (М, П).
Легко видеть, что если карта (М, II) является кано-
канонической, то П содержит некоторый базис Нв порож-
порожденной толерантности: П ^ Нв.
На ркс. 3.12 слева изображена некоторая карта
(Af, П), а справа — система классов порожденной
Рис. 3.12.
толерантности (впрочем, в данном случае эта система
состоит из одного класса). Этот пример показывает,
в частности, существование неканонических карт.
Каждая карта (М, П) естественным образом при-
приводит к всюду определенному соответствию
¦ф:
C.5).
которое каждому элементу iejH сопоставляет все те
А е Д, для которых хеД. Наоборот, если дано не-
некоторое всюду определенное соответствие г|/: M~*-L,
то оно порождает покрытие II множества М, состоя-
состоящее из прообразов элементов из L при соответствии
ij/. Таким образом, А е 1] тогда и только тогда, когда
существует такое ^eL, что А есть множество элемен-
элементов из М, которым соответствие о]/ сопоставляет g.
Обозначим для дальнейшего прообраз элемента L
при соответствии if' через Л4(
105
По соответствию C 5) можно построить Отобра-
Отображена
Л/
C.6)
которое каждому элементу х^М сопоставляет не-
непустое множество элементов А е П, для которых х е
ё Л. С помощью отображения C.6) толерантность т,
порожденная исходной картой {М, II), выражается
условием: хху, если ф(а")П ф(#) Ф 0. Можно ввести
еще и отношение 6п, определяемое условием: хбп #,
если ф(х) =ф(у). Отношение бп, очевидно, является
эквивалентностью.
Рис. 3.13.
В соответствии с ранее принятым словоупотребле-
словоупотреблением мы будем говорить, что отображение ф сопостав-
сопоставляет элементу х множество ф(х)ЕП его признаков.
Тем самым множество П будет интерпретироваться
как множество признаков, заданных для объектов из
множества /VI. Признаками каждого элемента хеМ
являются те множества /1еП, для которых хёД.
Таким образом, любая карта (М, П) есть способ опи-
описания системы признаков, заданных на множестве М.
Высказывание «элемент х обладает признаком Л» рав-
равносильно включению хеЛ Классы порожденной то-
толерантности называются каноническими признаками.
Канонические признаки определяются самой толерант-
толерантностью, а не способом ее задания.
Интересно посмотреть на примерах, как канони-
канонические признаки выражаются через исходные при-
признаки карты.
В примере на рис. 3.12 имеем
106
В примере на рис. 3.13, а изображено соответствие:
1}-': M-*L, где L = {?,, Е2, g.,}, a M={x,y,z,u). На
рис. 3.13,6 изображены классы порожденной толе-
толерантности. Легко проверить, что
/С, = М (si) U Л/(У, К, = М(Ь).
На рис. 3.14 исходная карта уже является кано-
канонической. Но если взять каноническую карту (Л'1, Я)
Рис. 3.14.
с полным набором классов толерантности, то полу-
получим, что
4 = И, Л л2) U
U Из П
Мы изучим далее, каким образом и всегда ли ка-
канонические признаки могут быть выражены через ис-
исходные. Ответ на поставленный вопрос дает
Теорема 3.6. Для произвольной карты (М,П)
любой класс порожденной толерантности К всегда мо-
может быть выражен через элементы покрытия П с по-
помощью операций пересечения и объединения.
Доказательство. Рассмотрим некоторый
класс толерантности Л'. Пусть jtei(. По определению
класса, для всякого у^К, хху, а по определению то-
толерантности существует признак Аху е П такой, что
х^Аху ну<=Аху. Тогда 1)*е= f] Axy; 2) ft Axys=K.
у »
Действительно, I) следует из того, что х^Аху для
всех признаков Аху, а 2) следует из того, что вся-
всякий z, принадлежащий Аху, толерантен к у. По-
Поскольку у — произвольный элемент из К, по свойству
107
максимальности класса z е Л". Отсюда вытекает, что
Л'= U Л Aw <3-7)
что доказывает теорему.
Подчеркнем, что канонические признаки опреде-
определяются через исходные без перехода к дополнениям.
О связи между исходными и каноническими призна-
признаками говорит также
Теорема 3.7. Существует такой базис классов
порожденной толерантности, что каждый из классов
этого базиса содержит некоторое множество А <= П.
Доказательство. По определению толерант-
толерантности в М для всякого ЛеП любая пара х е А и
у е А толерантна, т. е. хху. Значит, А есть предкласс.
Тогда по лемме 3.3 существует класс Ка ^ А. Выбе-
Выберем для каждого А один из классов Ка- Очевидно,
выбранная совокупность классов удовлетворяет ус-
условию 1) из определения 3.5. Значит, она содержит
некоторый базис Нв.
Следствие. Когда М конечно, то существует
базис классов толерантности, число классов в кото-
котором не превышает количества исходных признаков.
В самом деле. Каждому исходному признаку А е
еП мы поставили в соответствие некоторый класс Л'л.
Таким образом, множество этих классов {Ка} содер-
содержит не больше элементов, чем число признаков Л.
Выбирая в {КА) базис, мы можем только уменьшить
число классов.
Рассмотрим исходную карту (М, П) и полученную
из нее каноническую карту (М,НВ), где Нв — базис.
Как мы уже отмечали, отношения толерантности, за-
задаваемые на множестве объектов М обеими картами,
совпадают.
Несколько иначе обстоит дело с отношением экви-
эквивалентности бп, задаваемым на М с помощью опреде-
определения, приведенного в начале параграфа. Пусть бп —
отношение эквивалентности, заданное исходным мно-
множеством признаков П, а б — отношение эквивалентно-
эквивалентности, заданное по C.3). Как показывает пример на
рис. 3.12, отношения бп и б могут и не совпадать.
Именно, для этого примера отношение бп выполнено
108
только для совпадающих объектов, так как каждому
объекту соответствует различный набор исходных при-
признаков. Отношение б, напротив, выполнено для любой
пары объектов.
В общем случае справедлива
Теорема 3.8. Если выполнено соотношение хВау,
то выполнено и соотношение хВу, т. е. 0ns6.
Доказательство. Если хВпу, то совокупности
исходных признаков <г(х) и ф(#), выполненных для х
и у, совпадают. Это означает, что, для каждого эле-
элемента покрытия А, х и у одновременно содержатся
или не содержатся в Л. Из теоремы 3.6 (см., в част-
частности, C.7)) вытекает, что для каждого класса толе-
толерантности х и у одновременно содержатся или не со-
содержатся в нем. Таким образом, х и у имеют одина-
одинаковые наборы канонических признаков, т. е. хВу. Тео-
Теорема доказана.
Следующая теорема, принадлежащая С. М. Якубо-
Якубович, дает условия того, что некоторое множество Л е
е П является классом толерантности, т. е. того, что
некоторый признак является каноническим.
Теорема 3.9. Пусть имеется карта (/VI, П). Для
того чтобы элемент покрытия ЛеП являлся клас-
классом порожденной толерантности т, необходимо и до-
достаточно, чтобы для любого подмножества По S П,
из Л ^ {J В следовало бы f") БеЛ.
В е 110 ВеП.
Доказательство. Сначала предположим, что
множество А е II не является классом толерантности.
Так как А является предклассом, то единственная при-
причина, по которой А может не быть классом, состоит
в том, что существует z, не входящий в Л и толерант-
толерантный ко всем элементам хеЛ. Значит, для всякого
х <= Л существует множество Вх е П, содержащее х и
z. Таким образом, множества Вх образуют покрытие
множества А: Л^ \J Вх. Но все Вх содержат эле-
мент 2, не входящий в Л. Следовательно, пересечение
Р) Вх не содержится в А. Итак, мы доказали доста-
хе=,4
точность условия, указанного в теореме 3.9. Докажем
теперь необходимость. Пусть существует такое
109
подмножество Пое=П, что As [J В, но [) В Ф А.
ВеП Be Ц
Значит, существует элемент г, не входящий в А, но
входящий во все В <= По. Этот элемент толерантен ко
всем х^А. Значит, А не является максимальным
нредклассом, т. е. не является классом толерантности.
Теорема доказана.
Предоставляем читателю применить теорему 3.9
к примерам на рис. 3.12, 3.13, 3.14.
Рассмотрим еще так называемые сопряженные и производ-
производные пространства толерантности.
Пусть {М, т) — произвольное пространство толерантности, и
пусть На — некоторая совокупность классов толерантности. Мно-
Множество Но естественным образом превращается в пространство
Н3 К4 К5 К6
в
Рис. 3.15. Пространство, сопряженное к ли-
линейному.
толерантности (Но, т*) при помощи следующего определения:
Кх*К', если К Л К'ф0.
Определен ие 3.8. Если Но совпадает с множеством Н всех
классов, то пространство (Н, т*) называется сопряженным к
(М, т) и обозначается (М*, т*) (таким образом, Н = М*).
Рассмотрим несколько примеров.
Если т — полное отношение, то сопряженное пространство
состоит из одного элемента.
В пространстве Sp элемент дго = {1,2,... ,р}, содержащий все
числа, толерантен ко всем элементам и, стало быть, входит во
все классы толерантности. Значит, в пространстве (S , т*) т* —
полное отношение.
На рис. 3.15 изображен линейный граф из 7 вершин. Клас-
Классами толерантности являются «ребра», а толерантны классы, со-
соответствующие смежным ребрам. Ясно, что для линейного графа
из k вершин сопряженным является линейный граф из ft— I
вершин.
На рис. 3.16 изображен циклический граф. Сопряженным к
нему будет циклический граф из того же числа вершин (если ко-
количество вершин исходного графа было больше трех).
НО
На рис. 3.17 изображено пространство толерантности (Л/, г),
состоящее из двух циклов, зацепленных в одной точке. Сопряжен-
Сопряженное пространство (М*, т*> состоит из такич же циклов с белее
<М,Т>
Рис. 3.16. Пространство, сопряж) чное к ци-
циклическому.
г а) 3
Рис. 3.17. Два зацепленных цикла и сопря-
сопряженное пространство.
сложным зацеплением. Но сопряженное к последнему простран-
пространство (М**, т**) по существу совпадает с исходным простран-
пространством (М, т). Аккуратную проверку этого факта мы предостав-
предоставляем читателю.
Определение 3.9. Пусть Нв — базис. Тогда пространство
{Нв, т*) называется сопряженным к (М, т) относительно дан-
данного базиса HD.
Ill
Определение 3.10. Второе сопряженное пространство от-
относительно некоторого базиса Нв в (М, т) и базиса Нв в (Ив,х*)
называется производным от исходного пространства толерантпо-
сти (Л1,т). ..., л
Итак, производное пространство толерантности (/И , т ) опре-
определяется не однозначно, а с точностью до выбора базисов. Этот
произвол исключается, когда (М, т) и (Нв, Т*) имеют по един-
единственному базису. (Например, когда все Н образует базис в
(М, т), и базис в (Я, т*) тоже содержит все соответствующие
классы.)
Рассмотрим несколько примеров, понятных из предыдущих ил-
иллюстраций:
1. Для линейного графа с k вершинами (/г ^ 3) производное
пространство есть также линейный граф, но с k — 2 вершинами
(см. рис. 3.15).
2. Для циклического графа нз k вершин (k ^4) производное
пространство толерантности «совпадает» с исходным (см.
рис. 3.16).
3. Для зацепленных циклических графов (см. рис. 3.17) про-
производное пространство «совпадает» с исходным пространством.
4. Для пространства Sp производное Sp состоит из одного
элемента.
5. Если в пространстве В™ выбрать канонический базис [к{\,
то \В™У «устроено» так же, как и само В™. Проверку этого
факта предоставляем читателю.
Приведенные выше примеры наводят на мысль о том, что
производное пространство (ЛГ, т') устроено кяк «часть» исход-
исходного пространства (М, т). На самом деле это не совсем так.
Точную формулировку соответствующего факта составляет
Теорема 3.10. Если (М, т) —произвольное пространство
толерантности, а Нв —произвольный базис в нем, то существуют
такой базис Нв в сопряженном пространстве (Нн, т*) и такое
инъективное отображение
б: ffB->M,
что при К\ е Нв и f(l eflj из б (/Cj) тб (jK^) следует к]т**К^
Доказательство. Обозначим через Нв(х) множество
классов из базиса Нв, содержащих х. Для любых классов К\ и
/Сг из Нц(х) имеем К\^\КчФ$, т. е. К\Х*Кг. Итак, множества
Нг [х) суть предклассы в (Ггв, т*). Значит, для всякого х s M
существует класс Кх в (Яв, т*), для которого Нв (х) Е Кх"
Зафиксируем для каждого х некоторый класс Кх и множество
этих классов [Кх} обозначим через ?>. Мы имеет теперь сюръек-
тивное отображение
которое каждому х е М сопоставляет класс К*х s ©. Покажем,
что § содержит некоторый базис Яд. Действительно, если/Cit*/C2,
то существует х е М, содержащийся в К\ и /Сг- Тогда К,\ и Кч
112
содержатся в Нв(х), а значит, Kt^Kx и К2^КХ- Теперь для
каждого К е Н в выберем ровно один элемент х е М, для ко-
которого f(х) — Д*. Множество таких элементов обозначим че-
через Mi. Ясно, что Mi S M и возникающее при этом сюръективное
отображение множества AI, на Нв инъективно. Тогда обратное
к нему отображение
Г': Н'В->М1
инъективно отображает Нв на подмножество М\ множества М.
Поэтому его можно рассматривать как инъективное (но уже не
сюръективное в общем случае) отображение
б: Н*в -> М.
Пусть теперь К*Х<^Н*В » К*ц е Н*в, где а; = б (Кх) н г/ = б(/С*)
и хту. Тогда существует класс К, содержащий л: и у. Значит,
И в М П Нв (у) Ф 0. Но из К'х Э Нв (х) и /С* э Яв (у) следует,
что КхГ\Ку Ф 0. т. е. /Сд-т /С^. Теорема доказана.
Отсюда для конечных множеств М следует, что с какого-го
номера должна наступить стабилизация и последовательные про-
производные не будут по существу отличаться.
С. М. Якубович доказала, что для любого (М, т) существует
«первообразное» (М, т) такое, что (Л1', %') «совпадает» с (М, т).
ГЛАВА IV
УПОРЯДОЧЕННОСТЬ
§ 1. Что такое порядок?
В этой главе мы переходим к изучению нового
типа отношений — не менее важного и не менее распро-
распространенного, чем предыдущие. Речь идет о ситуациях,
когда объекты некоторого множества соотносятся по
взаимному старшинству, по важности, по «первично-
«первичности» и т. д. Подобные отношения, по-видимому, не
симметричны. Мы начнем с обсуждения содержатель-
содержательных примеров, чтобы понять, какие свойства этих от-
отношений являются настолько существенными и общи-
общими, что их следует включить в аксиоматическое опре-
определение интересующего нас типа отношений.
Простейшим примером могут служить целые числа.
Для любых двух различных целых чисел мы умеем
определять, какое из них больше другого. Это случай,
когда все объекты строго расставлены по величине.
Вообще говоря, далеко не всегда все объекты мож-
можно сравнить друг с другом. Рассмотрим таблицу мемо-
мемориала Ласкера (см. гл. I). Мы могли бы ввести такое
определение: шахматист х сильнее шахматиста у, если
х выиграл партию у у. Тогда силу игроков, сыгравших
вничью, нам придется признать равной. Но этот, каза-
казалось бы, очень естественный способ упорядочивания
игроков заведомо не годится для выявления победи-
победителя— самого сильного игрока: вполне реальной яв-
является ситуация, когда х обыграл у, у выиграл у z,
а г, в свою очередь, разгромил х а. Поэтому место
в турнире определяется по общей сумме набранных
очков. Но и в этом случае не всегда победитель выяв-
выявляется однозначно. Так, в мемориале Ласкера оказа-
оказалось два победителя — Бронштейн и Ульман. При
114
этом бывает, что шахматисту, занявшему среднее по-
положение в таблице, удается разгромить призеров тур-
турнира Шахматистам известна так называемая таблица
Рис. 4.1. Взаимоотношения мифических образов.
коэффициентов, по которой можно сравнивать игро-
игроков, набравших одинаковое количество очков. Идея
этой таблицы состоит в том, что при равном общем
количестве очков больший вес приписывается выигры-
выигрышам у сильных соперников. Однако в ответственных
соревнованиях, таких как первенство СССР, при
115
дележе первых мест победитель часто выявляется
в дополнительном матче.
Изображения на рис. 4.1 являются геральдическими
символами. Мы упорядочили эти изображения, пы-
пытаясь представить, как могло быть создано представ-
представление о том или ином мифологическом существе. На-
Например, представление о кентавре возникает путем
смешения образов человека и коня. Пегас несет черты
птицы и лошади. Образ русалки явно возник путем
придания человеческой фигуре черт рыбы. Сирена от-
отличается от русалки тем, что имеет еще и крылья. На-
Надо сразу оговориться, что этот рисунок никак не отра-
отражает исторического возникновения мифов, а призван
только иллюстрировать наше представление об упоря-
упорядоченности. Ясно одно, что в этом примере имеет
смысл говорить о взаимном старшинстве («первично-
(«первичности») только для некоторых пар. Пегас и русалка, на-
например, в данной системе никак не соотносятся.
Следующий пример — это множество людей, для
которых старшинство определяется как происхожде-
происхождение по прямой линии. Отец, дед, прадед и т. д. счи-
считаются старшими по отношению (соответственно) к
сыну, внуку, правнуку и т. д. Но уже дядя и племян-
племянник несравнимы. Такая упорядоченность изображается
родословными, или генеалогическими, деревьями.
К первому изданию «Слова о полку Игореве» прило-
приложена «ПоколЪнная роспись росешскихъ великихъ и
удЪльныхъ князей, въ сей пЪсни упоминаемыхъ». При-
Приведем ту часть росписи, которая непосредственно от-
относится к главному герою песни (см. стр. 117):
Из этой росписи видно, что наследование Киевско-
Киевского престола и уделов происходило не только от отца
к сыну, но и от старшего брата к младшему (даже при
наличии сыновей у старшего). Таким образом, отно-
отношение престолонаследия не совпадает с вышеуказан-
вышеуказанным отношением старшинства. Дядя иногда оказы-
оказывается «старше» своих племянников.
Во Франции действовал другой закон престолона-
престолонаследия. Брат умершего короля мог занять его трон
только, если не осталось наследников по прямой ли-
линии (сыновей, внуков или правнуков покойного*)).
*) Французский трон стал наследственным, а не выборным
от царствования Филиппа-Августа A180—1223 гг.). До этого пер-
116
Вел. кн. Св. Владимир I Святославич (ум. 1015)
v у i
Мстислав Вел. кн. Ярослав I (ум. 1051) Мудрый Изяслав
Владимир
у
Ярослав
у
Всеволод II,
Вел. ки.
(ум. 1146)
у v
Вел. кн. Святослав Вячеслав Вел. кн. Всеволод I
Великий (ум. 1076) (ум. 1092)
Олег, кн. Тму-
тараканский
(ум. 1096)
у
Роман, кн.
Тмутара-
канский
(ум. 1079)
у
Рости-
Ростислав
1
Глеб
Игорь
Святослав,
кн. Черни-
Черниговский
(ум. 1164)
У У У
Олег, Всеволод Игорь,
кн. Новго- кн. Новго-
Новгород-Север род-Север-
ский ский
(ум. 1165)
v
Вел. кн.
Владимир
II. Моно-
Мономах (ум.
1126)
I
v
Вел. ки.
Юрий I
Долго-
_ рукий
(ум. 1202) (ум. 1157)
v
Мсти-
Мстислав
Итак, на династическом родословном древе кроме
отношения происхождения по прямой линии есть еще
дополнительное отношение — отношение порядка на-
наследования. На рис. 4.2 изображен фрагмент родо-
родословного древа с указанием двух рассмотренных выше
вариантов порядка престолонаследия. (Старшинство
по возрасту в одной семье дается слева направо.
вые нз капетингов (прямых потомков Юга Капета (987—996), за-
занимавших французский престол до 1848 г.) короновали сыновей
еще при своей жизни, чтобы закрепить права династии. Сам Фи-
Филипп-Август был помазан на царствование в 1179 г. еще при
жизнн своего отца — Людовика VII.
117
Пунктирные стрелки определяют отношение ближай-
ближайшего наследования.)
Рассмотрим теперь множество М всех русских
елоз. Будем говорить, что слово х старше слова у,
если слово ;/ можно получить из слова х вычеркива-
вычеркиванием в слове х нескольких букв слева и справа (или
только с очной стороны). Это отношение (обозначим
Рис. 4.2. Порядок престолонаследия: а) по прямой линии; б) от
брата к брату.
кол
/
КолоВорот
1
слоВо
l\
поа \
\>
ь
\
борот
V
бор
СV
\
рот
1
ВО
\
от
но
Рис. 4,3.
его: у < х) задает на множестве русских слов некую
упорядоченность. Например, «стол» < «столовая»,
«беда» < «победа». (Помните, как нечаянно измени-
изменилось название знаменитой яхты капитана Врунгеля?)
Но слова «облако» и «облатка» несравнимы — ни одно
из них не старше другого. На рис. 4.3 показан фраг-
фрагмент графа, изображающего старшинство русских
слоз.
Аналогичное отношение старшинства по вхожде-
вхождению можно определить на множестве структурных
формул органической химии.
118
. Пусть М— некоторое множество, а 2м— множе-
множество всех его подмножеств. Включение М i s Af2
является соотношением, устанавливающим порядок
на 2м.
Упорядоченность на множестве В™ всех кортежей
длины р, состоящих из целых чисел от 0 до т—1,
можно определить следующим образом. Будем гово-
говорить, что кортеж (|i, |г, • • •, \р) старше кортежа (tji,
т]2, • • •. Цр), если каждая координата первого кортежа
не меньше соответствующей координаты второго кор-
кортежа: Е, ^ т)т, и хотя бы одна из координат при этом
фактически больше своей одноименной. Например,
в В\ кортеж A,0,3,2) старше кортежа A,0,2,2), но
несравним с кортежем A, 1,0,0).
Заметим, что мы всегда имели возможность двоя-
двоякого введения упорядочения. От нас зависело выбрать,
считаем ли мы каждый объект подчиненным самому
себе (как в случае нестрогого неравенства ^ или не-
нестрогого включения S), или, наоборот, считаем, что
объект не может быть старше самого себя (как в слу-
случае строгих неравенств ¦< и включений cz). Поэтому
нам придется ввести два варианта аксиоматических
определений — для строгой и нестрогой упорядоченно-
упорядоченности. Впрочем, как мы увидим, строгая и не-
нестрогая упорядоченность весьма просто связаны меж-
между собой.
Сначала мы разберем случай со строгой упорядо-
упорядоченностью. Мы примем за основу
Определение 4.1. Отношение А на множестве
М называется отношением строгого порядка (или
строгим порядком), если оно антирефлексивно и тран-
зитивно.
Примерами строгого порядка могут, очевидно, слу-
служить отношение < для целых или вещественных чи-
чисел и отношение включения с: для множеств.
Теорема 4.1. Если отношение А есть отношение
строгого порядка, то оно асимметрично.
Доказательство. Предположим противное.
Пусть А Г) А'1 непусто, т. е. существует пара элемен-
элементов (х, у) из множества М таких, что одновременно
хАу и хА-^у. Иначе говоря, хАу и уАх. По транзитив-
транзитивности отсюда вытекает хАх, что противоречит анти-
антирефлексивности.
119
Итак, отношение строгого порядка на множестве
М обладает следующими свойствами:
1) ни для какого xejM не выполнено хАх;
2) если хАу и yAz, то выполнено xAz, и
3) если выполнено хАу, то невозможно уАх. Пер-
Первые два свойства образуют определение строгого по-
порядка, а третье из них следует.
Если А — отношение строгого порядка, то граф от-
отношения А не содержит контуров*). Обратно. Пусть
мы имеем граф без контуров. Определим на множе-
множестве М вершин этого графа отношение А: хАу, если
существует путь по направлению стрелок, ведущий из
х в у. Легко видеть, что ввиду отсутствия контуров от-
отношение А является отношением строгого порядка.
Множество М с заданным на нем отношением стро-
строгого порядка Л, т. е. пару (М,А), естественно назы-
называть упорядоченным множеством.
Определение 4.2. Отношение строгого порядка
А называется совершенным строгим порядком, если
для всякой пары не сов-
совпадающих элементов х и
у из М верно либо хАу,
либо уАх.
В силу теоремы 4.1 по-
последние два соотношения
не могут выполняться од-
одновременно. Таким обра-
образом, если на множестве М
задано отношение совер-
совершенного строгого порядка
А, то на множестве М2
всех пар возникает раз-
разбиение на три класса: класс пар вида (х, х), класс
пар {х, у) таких, что хАу, и класс пар {х,у) таких,
что уАх.
Например, если множество М — прямая линия
с отношением <, то М2— это плоскость пар {х, у).
Класс пар вида {х, х) — это диагональная прямая
у = х, класс пар {х, у) таких, что х < у, состоит
*) Контур (в ориентированном графе) — это такая последо-
последовательность вершин хо, xi, xt,...,xn, что хп = хо н от вершины #t
к вершине x,+i проходит стрелка. Частным случаем контура ив-
ля ется петля (п = 1).
120
из точек, лежащих выше диагонали, а класс пар (х, у)
таких, что у <. х, — из точек, лежащих ниже диагона-
диагонали (рис. 4.4).
Л1ы сейчас опишем структуру конечных множеств
с совершенным строгим порядком.
Теорема 4.2. Пусть дано отношение совершенно-
совершенного строгого порядка < на конечном множестве М.
Тогда на М можно выбрать такую нумерацию М =
= {хи х2,.. . , хп}, что соотношение xt < Xj будет вы-
выполняться в том и только том случае, когда i < /.
Предварительно установим, что справедлива
Лемма 4.1. Если на конечном (непустом) множе-
множестве М задан совершенный строгий порядок <, то су-
существует единственный элемент х е М такой, что для
всякого у из М, не совпадающего с х, выполнено соот-
соотношение х < у.
(Элемент х, обладающий указанным свойством, на-
называется наименьшим элементом в упорядоченном
множестве {М, <V)
Доказательство леммы. Возьмем произ-
произвольный элемент у0 е М. Если ;/Р — наименьший, то
существование искомого элемента доказано. Если нет,
то поскольку <—-совершенный строгий порядок,
существует такой элемент у{ Ф у0, что г/i < г/о. Опять-
таки либо г/i — наименьший, либо существует г/2 Ф У\
такой, что уг < Ц\- Будем продолжать этот процесс.
Предположим, что \же выбрано п + 1 элементов, для
которых
Уп < Уп-и г/n-i < Уп-2, ¦, </) < У о.
В силу транзитивности ясно, что yt < у, при / > /.
Значит, в силу антирефлексивности, все выбранные
элементы попарно не равны. Стало быть, ввиду конеч-
конечности множества М процесс выбора должен оборвать-
оборваться на некотором конечном шаге. Элемент уп, выбран-
выбранный на последнем шаге, будет, очевидно, искомым.
Итак, для любого z =р уп выполнено уп < %¦ Покажем,
что этот элемент единствен. В самом деле, пусть суще-
существует другой элемент у'п такой, что, для всякого
z=r=y'n, y'n<z. Тогда одновременно выполняется
Уп<~у'п и у'п<Уп, что невозможно в виду асимметрично-
асимметричности. Лемма доказана.
Заметим, что если на М задан совершенный стро-
строгий порядок, то на любом непустом подмножестве Q
121
множества М естественно возникает совершенный
строгий порядок, и, стало быть, в Q (если оно конеч-
конечно) существует единственный наименьший элемент.
Теперь перейдем к доказательству теоремы.
Пусть Х\ —• наименьший элемент во множестве М,
выбранный согласно лемме 4.1. Обозначим через A'U
множество М ч {аг,}. Обозначим через хг наименьший
элемент множества Mt. Ясно, что Х\ < х*. Выкинем из
Mi элемент лг2 и оставшееся множество обозначим че-
через М2. Его наименьший элемент х3 удовлетворяет ус-
условию: лг2 < х3. Процедура нумерации уже ясна: пере-
перебирая по указанному методу последовательно все эле-
элементы из М, мы их выстроим в цепочку:
Xi <Х2< ... < Хр,
где р — количество элементов в М. В силу транзитив-
транзитивности и асимметричности ясно, что Xi < Xj в том
и только том случае, когда i < /. Теорема доказана.
Эта теорема в сущности означает, что любой со-
совершенный строгий порядок на конечном множестве
М равносилен обычному порядку на некотором отрез-
отрезке натурального ряда.
Рассмотрим некоторое множество М из каких-то
твердых тел (предметов). Будем говорить, что x<iy,
если предмет х весит меньше предмета у. Это — до-
довольно типичный пример определения порядка. Опи-
Опишем теперь соответствующий общий прием.
Пусть на множестве М определена инъективная
функция
/: Af->R,
принимающая вещественные числовые значения (R —
множество вещественных чисел). Зададим отношение
< на М условием: х<у, если f(x)<f(y). Так опре-
определенное отношение < антирефлексивно, так как не
может быть f (x) < f(x). Транзитивность отношения
< столь же очевидна. Наконец, для любой пары раз-
различных элементов х, у из М верно либо f(x) <f(y),
либо f(y) <f(x), так как f — инъекция. Значит, поря-
порядок < является совершенным. Функция f взаимно-од-
взаимно-однозначно отображает наше множество М на некоторое
подмножество множества R вещественных чисел, так
что соотношение х < у для любых элементов множе-
множества М равносильно неравенству f(x) <.f(y).
J22
Например, когда функция f сопоставляет предмету
х его вес f(x), мы получаем описанный выше порядок.
Если порядок на конечном множестве М не являет-
является совершенным, то, очевидно, элементы этого множе-
множества нельзя перенумеровать так, чтобы большим но-
номерам соответствовали старшие элементы.
Определение 4.3. Пусть на множестве М зада-
задано отношение строгого порядка <• Тогда элемент
х е М называется минимальным (максимальным)
в упорядоченном множестве (М, <;, если не суще-
существует никакого элемента у, для которого у < х (соо г-
ветственно у > х).
Если, как обычно, в случае х < у проводить стрел-
стрелку от х к у, то в графе отношения минимальный эле-
элемент — это тот, в который не входят стрелки, а макси-
максимальный— из которого не выходят стрелки.
В случае совершенного строгого порядка ми-
минимальный элемент х обладает тем дополнительным
свойством, что для всякого уфх выполнено х < //.
Тем самым для случая совершенных порядков понятие
минимального элемента совпадает с понятием наи-
наименьшего элемента. В общем случае может оказаться
так, что элемент х минимален, но не находится в соот-
соотношении х < у с какими-то иными элементами. Так,
на рис. 4.3 слова «к», «в», «ро» и «от» суть минималь-
минимальные элементы, но друг с другом они не находятся
в рассматриваемом отношении порядка (несравнимы!).
Элементы х и у называют сравнимыми в данном упо-
упорядоченном множестве (М, <), если х < у, или х = у,
или // < х.
Определение 4.4. Пусть на множестве М за-
задано отношение строгого порядка <. Подмножество
QsAl называется максимальным совершенным, если
1) отношение < задает на Q совершенный стро-
строгий порядок и 2) на любом подмножестве Ri множе-
множества М таком, что Ri гэ Q, отношение < уже не яв-
является совершенным строгим порядком.
Теорема 4.3 (Хаусдорф). Пусть (М, <) — упо-
упорядоченное множество. Для любого элемента у е М
существует максимальное совершенное подмножество
Q множества М, содержащее у.
Доказательство. Мы проведем доказательство
для конечного множества М. Однако — с помощью ак-
сномы Цермело — это доказательство может быть
123
проведено и для бесконечных множеств *). Пусть мно-
множество Qi состоит из исходного элемента у. Очевидно,
отношение < на Qs является совершенным строгим
порядком (график отношения <; на Qt пуст). Если Qt
уже является максимальным совершенным, то теорема
доказана. Предположим, что мы построили множество
Qn, на котором отношение < является совершенным
строгим порядком. Если оно максимально, то теорема
доказана. Если нет, то существует некоторый элемент
из М, сравнимый со всеми элементами из Qn- Присо-
Присоединив его к Qn, мы получим множество QK+i zd Qn
с совершенным строгим порядком. Из-за конечности
самого М этот процесс оборвется на конечном шаге,
и мы получим искомое максимальное совершенное
множество Q э у.
Теорема 4.4. Если <С — отношение строгого по-
порядка на конечном множестве М, то для любого эле-
элемента у е М существует минимальный элемент х е Л1
такой, что х < у или х — у.
Доказательство. Если у — минимальный эле-
элемент, то х = у. В противном случае существует такой
элемент z, что z < у. Если z—минимальный элемент,
то х = z. В противном случае существует такой эле-
элемент ы, что и < z, и т. д. Поскольку М — конечное мно-
множество, через конечное число шагов наша «убываю-
«убывающая цепочка» у > z >«>... оборвется на искомом
элементе. Теорема доказана.
В этой теореме конечность множества М уже суще-
существенна, так как, например, во множестве всех целых
чисел, упорядоченных по возрастанию, нет минималь-
минимального элемента. Однако существует класс отношений
порядка на бесконечных множествах, для которого тео-
теорема о существовании минимальных элементов тоже
может быть доказана.
Следующий, выделенный петитом кусок написан
для читателей, знакомых с элементами теоретико-мно-
теоретико-множественной топологии.
Пусть на множестве М заданы отношение строгого поряд-
порядка < и некоторая топология. Порядок < будем предполагать
непрерывным относительно данной топологии. Это означает сле-
следующее. Пусть QsM. Элемент хе/й называется нижней (верх-
(верхней) границей множества Q, если для всякого элемента у е Q
*) См. А. Г. Курош. Лекции по общей алгебре, гл. 1 (М.,
ФМ, 1962).
124
либо -v < у, либо х = у (либо у < х, либо у — х). Через Q будем
обозначать замыьаине множества Q. Порядок < называется
непрерывным относительно данной топологии, если любая нижняя
и любая верхняя граница произвольного QsM являются ниж-
нижней и соответственно верхней границей и для ею ламыкания (J.
Быть может, более естественно было бы определить непре-
непрерывность отношения порядка условием, что график отношения
прн объединении с диаюиалью будет замкнут на М X М. Легко
показать, что из такого определения наше вытекает.
Например, естес!венный порядок на числовой прямой непре-
непрерывен относительно „естественной топологии этой прямой.
Лемма 4.2. Если порядок непрерывен, то множество Rx
всех элементов у е М, для которых либо у < х, либо х = и,
является замкнуты к.
Действительно, по определению х является верхней границей
для Rx; в силу непрерывности х_является верхней границей и для
Rx. Возьмем произвольный у е Rx. Тогда либо у < х, либо у = к.
В обоих случаях^ у е Rx. Значит, Rx е Rx. Но всегда Rxs Rx.
Следовательно, Rx •»/?*.
Лемма 4.3. Если порядок непрерывен, то любое максималь'
ное совершенное множество Q замкнуто.
Доказательство. В силу того, что на Q порядок совер-
совершенный, для любого х s Q множество Q может быть разбито
на две части Q=**Q* [} Q~. Зт.есь Q+ — множество тех элемен-
элементов у е Q, для которых у < х либо у <¦= х, a Q~ — множество
тех элементов у, для которых х < у либо -V =¦ у (пересечение
Q^DQJ состоит из одного элемента х). Так как замыкание
объединения равно объединению замыканий, то
С другой стороны, Q* E RK и Q* s Rx. Стаю быть, по лем-
лемме 4.2 Q^ S RK. Таким образом, любой элемент j/eQj либо
совпадает с х, либо удовлетворяет соотношению у < х. Анало-
Аналогично показывается, что любой эчемент г е Q~ либо совпадает
с х, либо удовлетворяет соотношению х < г. Итак, любой эле-
элемент из замыкания Q сравним с х. Это утверждение справедливо
для любого .v s Q. Итак, любой элемент ш е Q сравним с любым
элементом «eQ. Следовательно, если бы существовал элемент,
принадлежащий множеству Q\Q, то этот элемент можно бьпо
бы добавить к множеству Q. сохранив совершенный порядок. По
это сделать невозможно в силу максимальности Q. Стало быть,
QcQ, а значит Q = Q. Лемма доказана.
Из этих лемм следует, что пересечения FX=RX f) Q — замк-
замкнутые множества. Если х\,Хг,... — элементы из Q, то пересече-
пересечение любой конечной группы лтнх множеств Fx fl^'Ai>D •-• i)J'x
не пусто. Действительно, поскольку {х\, Х2 х„) s Q, поря-
порядок < на {лг|, х2, ..., хг}~ совершенный. Гак как {Х\,х2 *„}—
конечное множество, в нем есть наименьший элемент. Пусть этот
125
наименьший элемент есть х\. Тогда ясно, что f (]FX Г) ... f]F
•=F\ ; следовательно, интересующее нас пересечение непусто,
так как содержит элемент х\. Итак, система множеств {Fx} (xeQ)
является центрированной системой замкнутых множеств.
Теорема 4.5. Пусть М — компактное топологическое про-
пространство, а <—непрерывный порядок на нем. Тогда для лю-
любого эле мента у е М существует минимальный элемент Хо такой,
что Уь< у либо хв = у.
Доказательство. По теореме 4.3 существует максималь-
максимальное совершеииое множество Q s M, содержащее у. По одному
ш определений компактного пространства пересечение системы
множеств (/•,) (t s Q) непусто. Пусть х0— элемент этого пере-
ссч -пня. Так как Л'о е Q, то х0 сравним с у. Покажем, что Хо —
минимальный элемент множества Q. Действительно, если суще-
существу >т z е Q. для которого г < хо. то Rz не содержит элемента лго
и. следовательно, Ft не содержит .v0, т. е. л'п ие входит в пересе-
пересечение всех Fv. Итак, хо является минимальным элементом мно-
множества Q. Значит, .vo < у или хи =• у. Но если бы хв не был
минимальным элементом множества М, то нашелся бы wsM
гакои, что w < г0. Этот элемент w можно было бы присоединить
к Q, не нарушая совершенства порядка. В силу максимальности Q
это невозможно. Итак, л'о есть минимальный элемент в М, причем
Хо < у или До = У- Теорема доказана.
Легко получить следующее обобщение этой теоремы:
Теорема 4.5'. Пусть М — топологическое пространство, а
< —непрерывный порядок на нем. Тогда, если любое множество
R^ всех элементов у е М, для которых у < х или у = х, ком-
компактно, то для любого у е*1 существует минимальный элемент хе
такой, что Хц < у или Хо = у.
Теперь перейдем к изучению нестрогих порядков.
Введем следующее
Определение 4.5. Отношение А на множестве
М называется отношением нестрогого порядка (или
нестрогим порядком), если оно может быть представ-
представлено в виде
Л = Л,и?, D.1)
где Ai — строгий порядок на М, а Е — диагональное
отношение.
Отсюда следует, что отношение нестрогого порядка
рефлексивно. Легко проверить, что оно и транзитивно.
Однако, в отличие от строгого порядка, оно не асим-
асимметрично, а только антисимметрично. Более того,
А П Л-' = Е. В самом деле, из D.1) и A.15)
= U л лг1) и и, л ?) и (V л ?) и я.
126
В силу свойств строгого порядка *) все члены в скоб-
скобках суть пустые множества.
Любое отношение нестрогого порядка рефлексивно,
антисимметрично н транзитивно. Легко видеть, что
если А рефлексивно, антисимметрично и транзитивно,
то А — нестрогий порядок, так как А — (А \ Е) (J Е,
а А \ Е = At — строгий порядок. Таким образом, не-
нестрогий порядок можно было бы ввести аксиоматиче-
аксиоматически как рефлексивное, транзитивное и антисимметрич-
антисимметричное отношение. Ни одно из этих свойств не следует из
других, что легко проверить соответствующими приме-
примерами.
Нестрогий порядок А мы назовем совершенным,
если для любой пары х, у верно либо хАу, либо уАх.
Из антисимметричности нестрогого порядка следует,
что одновременное выполнение хАу и уАх означает
совпадение х — у. Легко проверить, что справедлива
Лемма 4.4. Если А — совершенный нестрогий
порядок, то А{ = А\ Е есть совершенный строгий по-
порядок. Обратно, если /lt— совершенный строгий поря-
порядок, то А = Ai U Е есть совершенный нестрогий по-
порядок.
Полезно ввести такое
Определение 4.6. Отношение А на множестве
М называется отношением квазипорядка (или квази-
квазипорядком), если оно рефлексивно и транзитивно.
Очевидно, отношения квазипорядка являются об-
обобщением отношений эквивалентности и одновременно
обобщением отношений нестрогого порядка. Пусть те-
теперь квазипорядок А является одновременно эквива-
эквивалентностью и нестрогим порядком. Предположим, что
выполнено хАу и х Ф у. Тогда по симметричности эк-
эквивалентности верно уАх. С другой стороны, в силу
антисимметричности нестрогого порядка уАх не вы-
выполняется. Отсюда вытекает
Лемма 4.5. Если отношение А есть одновременно
эквивалентность и нестрогий порядок, то оно есть от-
отношение равенства.
Пример. Пусть имеется отображение
*) В частности, в силу того, что А} также будет строгим
порядком.
127
где R — множество всех вещественных чисел '(число-
'(числовая ось). Введем на М отношение Л условием:
хАу, если f(x)^f(y).
Ясно, что А рефлексивно, так как f(x) ^.f(x). Транзи-
Транзитивность отношения А видна из следующего рассуж-
рассуждения: если хАу и уАг, то f(x) s^f(y) и f(y) ^f(z),
а значит, и f {x) ^ f(z), т. е. xAz. Если х фу и f (x) =>
= f(y), то хЛг/ и уЛл:. Таким образом, если отображе-
отображение f не инъективно, то А не антисимметрично. Оче-
Очевидно, для любой пары х \\ у выполнено либо f(x) ^
^f(y), либо f(y) ^f(x), т. е. либо хАу, либо г/Лх
Теперь покажем, что каждый квазипорядок порож-
порождает некоторый порядок. Для этого нам нужна
Теорема 4.6. Если А — квазипорядок, то отноше-
отношение В = Л П Л есть эквивалентность.
Доказательство. Рефлексивность отношения
В вытекает из леммы 1.1, транзитивность — из леммы
1.7. Докажем симметричность отношения В. Пусть вы-
выполнено хВу. Это значит, что одновременно выполнены
соотношения хАу и уАх. Но это равносильно выполне-
выполнению соотношений у Ах и уА~хх, т. е. у Af)A~l x = уВх.
Значит, В симметрично. Лемма доказана.
Пусть А — квазипорядок на множестве М. Обозна-
Обозначим через Ж совокупность классов эквивалентности по
отношению В = Л Л А'1. Будем говорить, что два клас-
класса X и У из Ж находятся в отношении Л*, если в этих
классах можно выбрать по представителю хе! и
j/еУ, так что выполнено хАу. Мы будем говорить,
что отношение Л* индуцируется квазипорядком А.
Теорема 4.7. Отношение А* на множестве клас-
классов эквивалентности Ш, индуцированное квазипоряд-
квазипорядком А, является нестрогим порядком.
Доказательство. Рефлексивность отношения
Л* следует из того, что для любого класса .X и любого
представителя хеХ верно хАх, а следовательно,спра-
следовательно,справедливо ХА*Х. Транзитивность проверяется немного
сложнее. Пусть для классов верны соотношения ХА*У
и YA*Z. Это значит, во-первых, что для некоторых
представителей х^ X, г/i е У выполнено соотношение
хАуи и, во-вторых, что для некоторых представителей
i/2Ey,26Z выполнено соотношение y2Az. Поскольку
^еУ и г/2 е У, имеем yiBy2 и, значит, г/И у2- Из хАуи
уИг/г и yzAz по транзитивности квазипорядка Л полу-
128
чаем xAz. Значит, для классов XA*Z. Наиболее нетри-
нетривиальным является доказательство антисимметрично-
антисимметричности отношения Л*. Пусть выполнено XA*Y. Это значит,
что для некоторых представителей х^Х и j/еУ
верно
хАу. D.2)
Предположим, что одновременно верно YA*X, т. е. су-
существуют такие представители х' е X и у' е Y, что
у'Ах'. D.3)
По определению класса эквивалентности г/ЛПЛ-1//'.
Тогда по транзитивности из D.2) и уАу' следует
хАу'. D.4)
С другой стороны, из D.3) и х'Ах вытекает
у'Ах = хА~\/. D.5)
Сравнивая D.4) и D.5), получаем
т. е. х и у принадлежат общему классу по А П А~1.
Значит, X П Y Ф 0 и, следовательно, X = Y, что дока-
доказывает антисимметричность отношения А*. Тем самым
наша теорема доказана.
Итак, по квазипорядку на множестве М можно
сконструировать нестрогий порядок, «склеив» некото-
некоторые объекты из М.
Для предыдущего примера квазипорядка Л, зада-
задаваемого числовой функцией f на М, элементами мно-
множества Ж служат такие множества, где функция f
принимает фиксированное значение. Такие множества
обычно называются областями уровня. Порядок А*,
индуцированный квазипорядком Л на множестве Ш,
определяется условием: Е^.Е' (Е^.Е' означает, ко-
конечно, ЕА*Е/), если для любого х^Е и для любого
к' е Е' имеем f(x) s? f(x').
Пусть, в частности, множество М есть множество
точек на топографической карте, а квазипорядок за-
задается условием: х^.у, если высота f(x) точки х над
уровнем моря не превосходит высоту f (у) точки у над
уровнем моря. Тогда элементами множества Зй яв-
являются горизонтали, а порядок А* совпадает с поряд-
порядком «отметок высоты» на этих горизонталях.
5 Ю. А. Шрейдер 129
Если квазипорядок А был совершенным*), то лег-
легко убедиться, что порядок Л* на классах также будет
совершенным. В самом деле, возьмем два произволь-
произвольных'класса: X и Y — ив них два произвольных пред-
представителя: xsX и у^У- Поскольку А — совершенный
квазипорядок, выполнено по крайней мере одно из со-
соотношений: хАу или уАх. Значит, верно либо ХА*У,
либо YA*X.
В заключение параграфа рассмотрим пример.
Пусть М — множество ситуаций, между которыми тре-
требуется произвести выбор. Например, множество мест
возможной работы. (Разумеется, можно подставить
сюда десятки других примеров разной степени серьез-
серьезности.) В теории исследования операций существует
следующая рекомендация, как выполнить обоснован-
обоснованный выбор. Сопоставим каждому месту работы набор
признаков. Например, A) расстояние от места жи-
жительства, B) творческая удовлетворенность, C) зар-
зарплата, D) перспективы роста, E) наличие интересных
коллег. Каждому из этих факторов сопоставим вес,
отражающий наше представление о значении данного
фактора. Скажем, веса 30, 10, 40, 10, 10 означают, что
мы ищем близкую прибыльную работу, а веса 20, 30, 10,
10. 30 выражают наше стремление найти работу, даю-
дающую максимальное удовлетворение, не забывая при
этом о минимуме жизненных удобств. Затем опишем
каждое из предполагаемых мест, давая ему оценки по
всем показателям так, чтобы максимальная оценка не
превосходила веса, который мы уже приписали дан-
данному фактору. В следующей таблице мы приводим
Признак
A) Расстояние от дома
B) Творческая удовлетворенность
C) Зарплата . . ....
(¦1) Перспективы роста
E) Интересные коллеги . . .
Суммарная оценка . . .
Макси-
Максимальный
вес
10
30
10
20
30
100
I
5
20
10
20
10
65
II
ел ело о о
60
III
0
30
0
20
15
65
IV
10
15
5
10
5
45
V
5
20
0
15
10
50
*) То есть Д1я любы* х и у либо хАу либо уЛх.
130
возможную расстановку весов для пяти предполагае-
предполагаемых мест работы.
Итак, мы па множестве возможных ситуаций М
задали оценочную функцию /, которая определяет со-
совершенный квазипорядок на М. По теореме 4.7, склеив
равноценные ситуации (в нашем случае I и III), мы
получим совершенный нестрогий порядок. Стало быть,
мы можем найти оптимальный класс ситуаций. В этом
классе мы можем выбирать случайно —скажем, бро-
бросая монетку. Это все очень хорошо, так как дает уве-
уверенность в обоснованности выбора. Но, с другой сто-
стороны, этот метод навязывает совершенный порядок
там, где его по существу нет. Скажем, в пашем при-
примере довольно ясно, что I и III места работы, набрав-
набравшие одинаковые веса и формально равноценные, сов-
совсем не равноценны с точки зрения нашего выбора. Эти
места работы существенно различны (одно — лучше
по одним факторам, другое—но другим), и нам надо
опять задать себе вопрос, чего мы хотим в действи-
действительности. Здесь математическая модель явления
создала иллюзию простоты ситуации там, где ее в дей-
действительности пет. Таким образом, с числовыми оцен-
оценками реальных явлений следует обращаться осторож*
но. Это не компрометирует сам метод весовых оце-
оценок— из него видно, что IV место работы заведомо
не стоит рассматривать.
По применять подобные оценки можно, лишь пони-
понимая их ограниченность и грубость. В реальных ситуа-
ситуациях выбора обычно нет совершенного порядка. Вводя
этот порядок в модели, нужно отдавать себе отчет
в степени допускаемого произвола.
§ 2. Операции над отношениями порядка
Начнем опять с простейшей операции А'1. Из лемм
1.1, 1.2, 1.6, 1.7 вытекает
Теорема 4.8. Если отношение А является стро-
строгим порядком (нестрогим порядком, квазипорядком),
•то и отношение А~1 является строгим порядком (соот-
(соответственно нестрогим порядком, квазипорядком).
Легко проверить также, что если отношение А яв-
является совершенным строгим порядком (совершенным
нестрогим порядком, совершенным квазипорядком),то
5* 131
и отношение А'1 является совершенным строгим по-
порядком (соответственно совершенным нестрогим по-
порядком, совершенным квазипорядком).
Из лемм 1.1, 1.2, 1.6, 1.7 вытекает
Теорема 4.9. Если А и В — строгие порядки (не-
(нестрогие порядки, квазипорядки), то пересечение А Л В
также является строгим порядком (соответственно не-
нестрогим порядком, квазипорядком).
Замечание. Пусть А — строгий порядок, а В —
нестрогий порядок. Тогда В = Bt U Е, где 5Х — строгий
порядок. Поскольку
пересечение строгого и нестрогого порядка есть стро-
строгий порядок.
Свойство «быть совершенным порядком» не обя-
обязано сохраняться при пересечении. Это проще всего
увидеть из следующих соображений. Пусть А — со-
совершенный порядок (строгий или нестрогий), тогда
А П А~1 = 0 (или =?). Значит, А П А~х на множестве
более чем из одного элемента не является совершен-
совершенным порядком.
Объединение порядков в общем случае не является
порядком. Это хорошо видно на таком примере. Пусть
А — совершенный нестрогий порядок, тогда А~1 — есть
отношение того же типа. Однако объединение A U А~1
есть полное отношение, и, следовательно, не является
порядком. Условие, когда объединение порядков есть
снова порядок, дает
Теорема 4.10. Если А и В — строгие порядки, то
объединение A U В является строгим порядком в том
и только том случае, когда
BAUAB<=AU В. D.6)
Доказательство. Антирефлексивность объ-
объединения вытекает из леммы 1.2. Достаточно убе-
убедиться, что условие D.6) равносильно транзитивности
объединения. В самом деле, транзитивность отноше-
отношения A U В означает, что (A U В) (A U В) s А [} В, или
что (см. A.13)) А* [)В* \JBA UAB^A \J В. Если вы-
выполнено это последнее условие, то В A U АВ s Л2 IJ
\JBZ\JBA 1МВ<=Л UB. Если же выполнено D.6),
132
то, учитывая А2 ^ Л, В2^В, получаем
A2 U В2 U В A U АВ <= Л U Я U ВЛ U АВ <=
Теорема доказана.
Для нестрогих порядков это условие выглядит не-
несколько иначе:
Теорема 4.11. Для того чтобы объединение
A U В нестрогих порядков А и В было нестрогим по-
порядком, необходимо и достаточно выполнение условий
BA\JAB^A\JB,
-i , D-7)
Доказательство. Пусть сначала выполнены
условия D.7). Рефлексивность объединения Л U В вы-
вытекает из рефлексивности операндов. Имеем, далее,
(Л UB)-J = Л"'UB-i согласно A.15). Отсюда
(Л U В) П (Л U ВГ1 = (Л U В) Л (Л IJ В) =
=(л л л-1) и (в л в-1) и (в п л-1) и (а л в-1) =
Значит, объединение А[) В антисимметрично. Далее,
(Л U В) (Л IJ В) = Л2 U ЛВ U ВЛ U Я2 s Л U Б D.8)
и Л U В тем самым транзитивно. Пусть, наоборот,
Лив — нестрогий порядок. Тогда, в силу транзитив-
транзитивности, имеем условие D.8). Из него следует, что
ВА U АВ ^ Л U В. Условие антисимметричности
(Л U В) П (Л U В)-1 ^Е мы можем записать в виде
(л л л-1) и (в л в-1) и (в п л-1) и (л п в-1) е е.
Отсюда уже вытекает, что Л П B-1 ^ E. Теорема до-
доказана.
Замечание. При помощи леммы 2.4 легко про-
проверяется, что если Л и В — рефлексивные отношения,
то условие D.6) равносильно условию
Произведение порядков АВ также не обязано быть
порядком. Это видно из того хотя бы, что для совер-
совершенного нестрогого порядка Л произведение
лл~'элил"'
133
есть полное отношение. Было бы любопытно отыскать
простое необходимое и достаточное условие, при вы-
выполнении которого произведение АВ порядков А и В
было бы порядком. Достаточным условием является,
например, такое: если А и В — строгие порядки и вы-
выполнены соотношения
то А В — строгий порядок *).
Доказательство этого утверждения предоставляем
читателю.
По поводу транзитивного замыкания А заметим,
что оно всегда совпадает с исходным порядком А
в силу его транзитивности.
¦ В заключение данного параграфа мы рассмотрим
еще одну операцию, которая для порядков, в не-
некотором смысле, обратна к транзитивному замыка-
замыканию. Идея явного определения этой операции и ее
последовательного применения принадлежит С. Я. Фи-
тиалову.
Определение 4.7. Редукцией отношения А на-
называется отношение А'', определяемое условием:
АГ = А ч Л2. D.9)
Это означает, что хАгу выполняется в тех и только
тех случаях, когда выполнено само отношение хАу,
но не существует «промежуточного» z такого, что
xAz и zAy. Отношение хАгу означает «непосредствен-
«непосредственное подчинение» элемента х элементу у.
Отметим, что
A'sA. D.10)
Легко проверить также, что для любого отношения А
(Л)Г<=Л. D.11)
На рис. 4.1—4.3 мы фактически изображали графы
для отношения Аг, а не А. Дело в том, что отношение
Аг (для случая отношений порядка на конечных
множествах) содержит всю нужную информацию
*) Отсюда видно, что надо быть осторожным в попытках
построить иерархическую классификацию путем комбинирования
разных отношений порядка: род — вид, часть — целое и т. п.
134
об отношении Л (ем. теорему 4.12), но изображается
существенно более простым графом. Сравните, напри-
например, граф отношения А и граф его редукции Аг на
рис. 4.5. Обычно вместо графа отношения порядка А
принято изображать граф
отношения Аг, хотя это дале-
далеко не всегда оговаривается.
Основанием для этого как
раз и служит теорема 4.12
(см. ниже). Чтобы перейти
в этом случае от отноше-
отношения Аг к А, надо выделить
все пути на графе отноше-
отношения Ат и замкнуть их стрел-
стрелками.
Сам факт, что отноше-
отношение А восстанавливается по
его редукции, не столь три-
тривиален. Так, из D.9) видно,
что, для рефлексивного отношения А, Аг = 0 и, стало
быть, редукция Аг не позволяет восстановить исходное
отношение А.
Теорема 4.12. Если А — строгий порядок на ко-
конечном множестве М, то транзитивное замыкание ре-
редукции совпадает с исходным порядком:
Рис. 4.5.
АГ=А .
D.12)
Доказательство. Из D.10), A.17) и теоремы
1.3 Аг Е А — А. Докажем обратное включение. Пусть
хАу. Отметим, что если
¦k, zkAy, D.13)
то ввиду транзитивности и антирефлексивности отно-
отношения А в цепочке элементов х, zu г2, ..., Zk, у лю-
любые два элемента различны. Рассмотрим всевозмож-
всевозможные цепочки элементов zt, Zz, ..., Zu (k^O) такие,
что выполняется D.13). Поскольку М — конечное
множество и ввиду сделанного только что замечания,
таких цепочек конечное число. Значит, среди них су-
существует цепочка максимальной длины. Возьмем ее.
(Если цепочек максимальной длины несколько, возь-
возьмем любую из них.) Из D.13) и того, что цепочка
135
Zb г2 zh имеет максимальную длину, вытекает
xArzu z{Arz2, ¦ ¦ ¦, zh-iArzk, zkAry. D.14)
В самом деле. Если, к примеру, не выполняется
ZiATZz, то ZiA2Z2, т. е. существует такое и, что ZyAu
и uAzz- Но тогда цепочка zit и, z2, ..., zh имеет боль-
большую длину и обладает свойством D.13). Из D.14) вы-
вытекает хАгу. Значит, AsAr. Мы получили D.12).
Теорема доказана.
К сожалению, теорема 4.12 не переносится на бес-
бесконечные множества. Например, если А — обычный
порядок < на множестве действительных чисел, то
Ат = 0. Тем самым Аг = 0 и А'' ф А.
Теорема 4.12 означает, что для строгих порядков
на конечных множествах по отношению Аг можно од-
однозначно восстановить исходное отношение А. Более
того, редукция Аг есть минимальное отношение, по-
позволяющее восстановить А. Точный смысл этого
утверждения раскрывает
Теорема 4.13. Если отношение В таково, что
В = А, то ЛгЕб.
Доказательство. Предположим, что выпол-
выполнено хАгу. Из D.10) хАу; по условию теоремы тогда
существует такое п, что хВ"у. Однако, в силу В = В,
справедливы включения В ^ А и Вп s А'1. Значит,
верно соотношение хАпу. Поскольку хАгу, п=\. Зна-
Значит, хВу. Теорема доказана.
Из теоремы 4.12 вытекает, что если А — строгий
порядок на конечном множестве и выполнено хАу, то
существует минимальное число п, при котором
х(А')пу. Это п характеризует длину минимального
пути в графе отношения А'', который надо пройти,
чтобы нз вершины х попасть в у.
Установим некоторые свойства редукций строгих
порядков.
Определение 4.8. Отношение В называется ан-
антитранзитивным, если при всех п > 2
Bf]Bn^0. D.15)
Иначе говоря, если выполнена цепочка соотношений
хВх,, х,Вх2, ..., хпВу, то невозможно хВу. В сущно-
сущности, это значит, что непосредственная связь в графе
136
отношения В между вершинами х а у исключает об-
обходный путь*).
Теорема 4.14. Если А — строгий порядок, го от-
отношение Аг антитранзитивно.
Доказательство. Предположим, что сущест-
существует цепочка хи х2, хп такая, что
Но тогда
хАхи х{Ах2, ..., хпАу.
Ввиду транзитивности отношения А Х\Ау. Из хАхх и
XiAy вытекает хА2у и, следовательно, хАту не верно.
Теорема доказана.
Полезно рассмотреть отношение, изображенное на
рис. 4.6: это циклический граф, его транзитивным за-
замыканием служит полный граф, по-
поскольку, двигаясь по циклу, можно из
любой точки попасть в любую, в том
числе — в самое себя. Это отноше-
отношение не является аититранзитивным,
поскольку Ап+1 = А. где п — число
вершин.
Лемма 4.6. Если отношение В
антитранзитивно, то рис 46
(В)г-В. D.16)
Доказательство. Ввиду D.11) достаточно до-
доказать включение В s (В)'. Пусть для некоторой
пары х, у выполнено соотношение хВу и не выпол-
выполнено х(В)гу. Так как В^В, то хВу тоже выполнено.
Стало быть, х(ВJу. Но тогда существует «^2, для
которого хВпу, а это по D.15) не совместимо с хВу.
Полученное противоречие доказывает D.16).
Равенство D.16) естественно сопоставить с D.12).
Если в графе отношения В имеется контур
Xi, Х-2, , Хп, Х\,
то (В)' ФВ, так как xtBx2, но не выполнено Xi(B)rx2.
(Поскольку XiBx2, значит, xtBx2. Поскольку xit
л2, ..., хп, х\ —контур, ХгВх% Из х,Вхъ и xzBx2 вытекает
xl(B)zx2. Из х,Вх-2 и Xi(BJx-2 следует, что не верно
*) Отметим, что любое антитранзитивное отношение асимме»
трично н, следовательно (теорема 1.2), антирефлексивно.
137
Xi(B)rx2.) Однако из отсутствия в графе отношения
В контуров не вытекает (В)т = В. Например, если
В — обычный строгий порядок на множестве действи-
действительных чисел, то в графе отношения В нет контуров,
но В = В, (?)' = ?' = -ЗФВ.
Легко видеть, что, каково бы ни было отношение
В, транзитивное замыкание В тогда и только тогда
не является антирефлекенвиым, когда в i рафе отноше-
отношения В есть контуры. Отсюда вытекает
Лемма 4.7. Каково бы ни было отношение В,
транзитивное замыкание В тогда и только тогда яв-
является строгим порядком, когда в графе отношения
В нет контуров.
Теперь может быть легко получена обратная к тео-
теореме 4.14
Теорема 4.15. Если отношение В антитранзитив-
но, то В есть редукция некоторого строгого порядка.
Доказательство. Согласно лемме 4.6 В= (В)г.
По лемме 4.7 достаточно убедиться, что в i рафе от-
отношения В нет контуров. Предположим, что в этом
графе есть контур
Х[, Х2, . . - , Хп, Xi.
Тогда имеем х1Вп+1х2, т. е. В Л Bn+1 Ф 0, что проти-
противоречит антитрапзитивности отношения В. Теорема
доказана.
§ 3. Древесные порядки
В этом параграфе мы будем изучать важный спе-
специальный класс отношений порядка — так называемые
древесные порядки.
Пусть имеется множество М с отношением стро-
строгого порядка <. Элемент х0 мы будем называть наи-
наибольшим, если для всякого элемента у^М, отличного
от .Vo, выполнено соотношение у<х0. Легко видеть, что
наибольший элемент (если он существует) единствен.
Полезно отметить также, что для любого строгого по-
порядка, в котором существует наибольший элемент, этот
элемент является единственным максимальным*).
*) Если строгий порядок на конечном множестве имеет
единственный максимальный элемент, то этот этемент
яоляется наибольшим. (Прим. ред.)
138
Определение 4.9. Отношение строгого порядка
< на множестве М называется отношением древес-
древесного порядка (или древесным порядком), если
1) из того, что х < у и х < z следует, что у и г
сравнимы;
2) во множестве (М, <) существует наибольший
элемент.
Множество М с заданным на нем древесным по-
порядком, т. е. пару (М, <), мы будем называть дере-
деревом, а наибольший элемент — корнем дерева.
Условие 1) означает, что для любого элемента
х е М на множестве элементов, больших чем х, ж-
ходный древесный порядок превращается в совершен-
совершенный порядок.
Нетрудно видеть, что совершенный порядок, в ко-
котором существует наибольший элемент, есть частный-
случай древесного.
Установим несколько свойств древесного порядка.
Л е м м а 4.8. Если А — древесный порядок на М,
то на множестве М(х), состоящем из самого х и всех
элементов у ёМ таких, что у Ах, отношение А также
задает древесный порядок. (Множество М(х) с по-
порядком А естественно назвать поддеревом дерева
(М,А).)
Доказательство. Первое условие выполняет-
выполняется, очевидно, для любого подмножества множества М,
Очевидно также, что наибольшим элементом в М(х}.
является сам х.
Л е м м а 4.9. Если А — древесный порядок на ко-
конечном множестве М, то для всякого х, отличного от
корня Хо, существует ровно один у, для которого вы-
выполнено хАгу.
Доказательство. Предположим сначала, что
существуют такие у и z (у Ф z), что хАту и xArz.
По определению древесного порядка, поскольку
хАу, xAz и у Ф z. имеем yAz или zAy. Для опреде-
ленности положим yAz. Тем самым получается, что
выполнены два соотношения хАу и yAz. Следова-
Следовательно, невозможно xATz. Итак, мы доказали, что не
может быть двух разных элементов, «непосредственно
старших», чем данный. Предположим теперь, что для
элемента х не существует такого у, что хЛ^.^Тогда,
легко видеть, не существует такого у, что хАту. По-
Поскольку М — конечное множество, не существует
139
такого у, что хАу (теорема 4.12). Значит, х —макси-
—максимальный элемент, т. е. х = х0. Лемма доказана.
Если М — множество неположительных действи-
действительных чисел с отношением <, то этот древесный
порядок не удовлетворяет заключению леммы 4.9.
Лемма 4.10. Пусть < — древесный порядок на
конечном множестве М. Тогда для любых несравни-
несравнимых элементов х^М и уеМ существует единствен-
единственный элемент z^M, для которого 1) х < г; 2) у < г;
3) если х <w и у < ш, то z ¦< а>.
Доказательство. Поскольку х и у несравни-
несравнимы, ни один из них не является корнем дерева. Обо-
Обозначим через Мх множество всех элементов г, для ко-
которых х < г, а через Му — аналогичное множество
для у. В силу условия 1) определения 4.9 отноше-
отношение < на Мх (и на Му) является совершенным стро-
строгим порядком. Так как Мх и Му содержат корень, то
Мх П Му Ф 0 и отношение < на Мх Г) Mv является со-
совершенным строгим порядком. Ясно, что множество
Мх Л Му состоит из всех элементов w, для которых од-
одновременно х < ш и (/ < ш. Поскольку это множество
конечно, то в нем есть наименьший элемент z (лемма
4.1); для любого w^Mxf]My имеем г-Сш.
Следующий пример показывает, что в этой лемме
условие конечности существенно. Пусть М является
объединением полупрямой (—оо,0] и двух элементов
X и у. Порядок на полупрямой — обычное числовое от-
отношение <С, а любая точка на полупрямой больше х
и у. Сами элементы х и у не сравнимы. Для этих двух
элементов утверждение леммы не верно, хотя опреде-
определенный нами порядок — древесный.
С помощью доказанных лемм можно убедиться,
что граф, изображающий редукцию Аг древесного по-
порядка А на конечном множестве М, действительно
имеет древовидную структуру. Назовем окрестностью
элемента у совокупность элементов г, для которых
выполнено zAry. Будем изображать Аг по ярусам
(рис. 4.7). В первом ярусе поместим корень дерева —
наибольший элемент х0. Во втором ярусе поместим
элементы, входящие в окрестность элемента х0.
В третьем ярусе поместим элементы, входящие в ок-
окрестности элементов второго яруса, и т. д. Ясно, что
стрелки в графе могут идти только от яруса к ярусу.
При этом от каждого элемента к верхнему ярусу
НО
идет ровно одно ребро, а к нижнему может идти
сколько угодно ребер. Итак, мы видим, что граф
имеет структуру дерева. Общее число ярусов назы-
называется высотой дерева. Максимальное число элемен-
элементов в одной окрестности (максимальное число рост-
ростков, выходящих из одной вершины) называется ши-
шириной дерева.
Высота дерева /г, ширина d и общее число вершин
п связаны очевидным неравенством
+dh~l= d'
-l
d-l
Это неравенство обращается в равенство в том и
только том случае, когда окрестность каждого эле-
элемента (кроме, конечно, элементов самого нижнего
яруса) состоит из d элементов.
Рис. 4.7. Древесный порядок.
М. В. Арапов предложил следующим образом ха-
характеризовать сложность конечного дерева. Обозна-
Обозначим через d(x) число элементов в окрестности эле-
элемента х. Определим сложность о(х) вершины х сле-
следующим рекуррентным правилом:
o{x) = d(x) + o(y), D.17)
где у— тот единственный элемент, для которого
хАгу. Иначе говоря, сложность вершины х склады-
складывается из количества ростков, выходящих вниз из
этой вершины, н сложности вершины предыдущего
яруса, соединенной с х. При х = х0 принимаем
а(у) — 0. Сложность дерева a(D) определяется как
суммарная сложность его вершин:
о{х).
D.18)
141
Из равенства D.17) легко вывести, что
Ц d(y).
х<у
(Знак х < у под знаком суммы показывает, что сумма
берется по всем таким у, для которых х < у.) Под-
Подставляя это выражение для о(х) в D.18), получаем
<*{D)= 2 d(y)k(y), D.19)
где через k(y) обозначено, сколько раз величина d(y)
участвует в выражении для o(D). Ясно, что k(у) есть
число тех х, для которых х ^ у. Иначе говоря, k (у)
Рис. 4.8. Деревья различной сложности.
равно числу вершин в поддереве, для которого у яв-
является корнем. Для деревьев Du D% и D3, изображен-
изображенных на рис. 4.8, сложности равны соответственно:
о (/),) = 2 ¦ 7 + 2 • 2 • 3 = 26,
о (D2) - 3 • 7 + 3 ¦ 4 = 33,
о (Dd) = 2-7 + 2-5 + 2-3 = 30.
Мы здесь специально выбирали деревья с одинако-
одинаковым количеством вершин, чтобы была заметной за-
зависимость сложности от структуры дерева.
Обозначим через а„ минимальную сложность де-
дерева с п вершинами. Для вычисления о„ можно по-
получить рекуррентную формулу. Пусть Dn — дерево
минимальной сложности с п вершинами. Пусть hi =
= d(x0) —число отростков, выходящих из его корня.
Пусть, наконец, Dl, D2, ..., Dm — поддеревья дере-
дерева Dn, начинающиеся со второго яруса. Тогда на ос-
основании D.19)
о(Dn) = d(.v0) • п + 2 d{x)k{x)+ ... + 2 d(x)k(л).
лей1 лей
142
Или, что то же самое,
с (/)„) = тп + a (D1) + ... +o(Dm). D.20)
Но для дерева минимальной сложности поддеревья
также должны иметь минимальную сложность. Иначе
мы могли бы уменьшить сумму в D.20). Обозначим
через kt число вершин в D1. Сумма чисел kt равна
числу всех вершин в Dn, за исключением корня. Итак,
т
ап = тп + ^jokl,
где ki + ko + ... +km = п— 1. В силу минимальности
величины a(Dn) строение поддеревьев должно быть
таково, чтобы эта сумма обратилась в минимум. Зна-
Значит, окончательно, для отыскания ап можно написать
рекуррентное уравнение
о„ = min [ тп + Д] ak.
В э'юм уравнении минимум берется по всевозмож-
всевозможным т и наборам (k\, кг, - .. , km), для которых k\ +)
•+• k* + ... +km = п— 1. Заметим, что идея получения
этого уравнения фактически взята из динамического
программирования.
Е. Н. Ефимова сумела получить для величины ап
асимптотику вида
Древесные порядки можно рассматривать не толь-
только для конечных множеств. Только леммы 4.9, 4.10 и
возможность пользоваться редукцией (теорема 4.12)
зависели от конечности множества М.
Хороший пример бесконечного дерева можно по-
получить следующим образом. Пусть М — множество
всех кортежей х — (ео, eh . .. , е„), где е0 = 0, a ei,
е2, .. принимают значения 0 или 1. Порядок А за-
зададим следующим условием. Пусть х = (ео, ei, ...
¦ ¦ •, еп) и у = (т}о, rib ..., rim). Мы будем считать вы-
выполненным соотношение хАу, если т < п и, для всех
i^im, е,- = т];. Таким образом, хАу означает, что кор-
кортеж у «вложен» в кортеж х. Нетрудно видеть, что
если у и z оба «вложены» в один и тот же кортеж х,
143
то кто-то из них «вложен» в другой. Кортеж Хо = @)
является, очевидно, наибольшим: поскольку 0 начи-
начинает любой кортеж из М, то для всех х 4= х0 имеет
AiecTO xAx0. В данном случае утверждение леммы 4.9
остается справедливым. Этот порядок можно пред-
представлять себе как дерево бесконечной высоты, в кото-
котором каждая вершина пускает два ростка.
В предыдущем примере полностью сохранилось
понятие яруса. Именно, п-й ярус состоял из всех кор-
кортежей из М длины п. Следующий пример является
по существу обобщением предыдущего на «кортежи
континуальной длины».
Рассмотрим множество М, состоящее из функций
f, определенных при 0 ^ t < +oo, принимающих зна-
значения 0 и 1 и таких, что /@) = 0. Определим на М
отношение строгого порядка < условием: f < g, если
/ и g не совпадают и существует такое а > 0, что
g(t) = f(t) при 0<^<а и gf(/) = O при t>a.
Проверим, что этот порядок является древесным.
В самом деле, пусть f<g и f <. g\. Тогда существуют
а и а\ такие, что при /> a g(t)=O, при t>ax
gi(t) =0, при 0</<а /(/) =g(i) и при 0<г<а,
I(i)=gi(t). Примем, что ai>a. Тогда из вышена-
писанного вытекает, что, при 0^.t^Ca, g(t) = gi(t) и,
при t > a, g(t)=O. Это означает, что либо g и gi
совпадают, либо gi < g. Обозначим через f0 функ-
функцию, тождественно равную нулю. Ясно, что, какова
бы ни была функция / е М, отличная от /0, / < /о- Та-
Таким образом, /о — наибольший элемент (корень).
В этом примере мы имеем ситуацию, которую
можно было бы интерпретировать как непрерывное
ветвление. Для любого t0 > 0 совокупность всех функ-
функций / таких, что f(t0) = 1 и /(/) = 0 при t> t0, как
бы образует ярус ранга /0-
Отметим одно важное обстоятельство. Если в оп-
определении древесного порядка отказаться от суще-
существования наибольшего элемента, то для конечного
множества М мы получим вместо дерева объедине-
объединение некоторого множества попарно непересекаю-
непересекающихся деревьев. Поэтому в случае конечного М вме-
вместо условия 2) в определении 4.9 можно взять любое
условие, гарантирующее связность соответствующего
графа.
144
Например, возможны следующие условия:
2') максимальный элемент единствен;
2") для любых несравнимых элементов х и у су-
существует такой элемент г, что х < z и у < z.
В случае бесконечного множества М ситуация
оказывается другой. Так, для множества М действи-
действительных чисел с обычным порядком выполнено усло-
условие 1) определения 4.9 и не выполнено условие 2).
Максимальных элементов в этом упорядоченном мно-
множестве нет, т. е. условие 2') выполнено. Условие 2")
здесь также выполнено.
Приведем в заключение пример «почти-древесно-
«почти-древесного» порядка. Множество М состоит из всех пар вида
(т,п), где т и п — целые числа и т^-0 (М обра-
образует целочисленную решетку на полуплоскости).
Определим на множестве М отношение А. Фиксиру-
Фиксируем произвольное целое число п. Положим по опреде-
определению:
<0, п+1)А@, п), <1, л+1)И<0, л),
B, л+1)Л<1, л), C, п+1LA, п>,
<4, п +\)А{2, п), E,«+1>ЛB1п>,
F, п -t 1) А C, л), G, п+1)А C, п)
и т. д. В общем виде:
Bk, n+l)A(k, n), Bk + 1, п -I- 1) Л (k, n).
(Советуем читателю попробовать нарисовать граф
отношения Л.) Легко видеть, что граф отношения А
не имеет контуров. Поэтому отношение В — А есть
строгий порядок (лемма 4.7).
Этот строгий порядок удовлетворяет условию 1)
из определения 4.9 и не удовлетворяет условию 2)
того же определения. Однако для этого порядка вы-
выполняются условия 2') и 2"). Полезно заметить, что
для него выполнены заключения лемм 4.9 и 4.10.
(В предыдущем примере заключение леммы 4.9 не
выполнено.) В отличие от предыдущего примера
здесь мы имеем Вг = В, поскольку В1' — А (см. лем-
лемму 4.6).
Для любой пары (т, и) множество всех пар
A,р), для которых (t,p)B(m,n), образует дерево.
145
§ 4. Множества с несколькими порядками
Мы будем в этом параграфе рассматривать толь-
только конечные множества (причем конечность будет
подразумеваться, а не указываться явно) с несколь-
несколькими отношениями порядка, связанными определен-
определенными условиями «согласования». Содержательные
примеры подобных ситуаций, играющих важную роль
в математической лингвистике, будут рассмотрены в
последней главе. Поэтому ниже мы будем вести из-
изложение на формальном уровне.
Пусть дано множество М, отношение совершенно-
совершенного строгого порядка < на нем и отношение строгого
порядка гф. Редукцию последнего отношения мы бу-
будем обозначать через —*. Соотношение лпфг/ мы со-
советуем читателю воспринимать как «х больше у».
Поэтому, в отличие от §§ 1—3, в графе отношения :ф
стрелка редукции —* будет вести от большего элемен-
элемента к меньшему. Множество М с двумя такими отно-
отношениями (М, <,=>) мы будем называть дважды упо-
упорядоченным множеством.
Если выполнено либо х < г < у, либо у < г < х,
то мы будем говорить, что z находится между х и у.
Мы будем говорить, что дважды упорядоченное мно-
множество М удовлетворяет условию Ui, если из х-*у н
того, что z находится между х и у, следует соотно-
соотношение А'=^> 2.
Для элемента хеМ мы обозначим через М(х)
множество, состоящее из самого х и всех элементов
у, для которых х=}у.
Лемма 4.11. Пусть (М, <)—отношение совер-
совершенного строгого порядка. Если Хи х^. ..., хп — раз-
различные элементы из М и ад находится между Х\ и
хп, то либо w совпадает с некоторыми хг B-^.i-^n — 1),
либо существует такое i(l-^i^n—1), что w нахо-
находится между Xi и Xi+i.
Доказательство. Пусть для определенности
X| <w <xn. Допустим, что w отлично от хч, хъ, ...
..., хп-\. Тогда либо х2 > ад, либо хг < ад. Если х2 >
> ад, то Х\ <ад < х2. Если хг < w, рассмотрим х3. Ли-
Либо ш < Хз, либо хг < ад. Если w < х3, х2< и: < х3. Ес-
Если хг < w. рассмотрим х4 и т. д. Поскольку ад < хп и
{*2, лгз, • ¦ •, A'n-i} — конечное множество, через ко-
конечное число шагов мы найдем искомое xt.
146
Теорема 4.16. Дважды упорядоченное множество
М тогда и только тогда удовлетворяет условию Пь
когда из у еМ(х), ге М(х) и у < ад < г вытекает
w еМ (х) .
Доказательство. Пусть сначала М удовлет-
удовлетворяет условию ITi. Если ад совпадает сд;,таяе М (х).
Рассмотрим случай w < х. Поскольку у < ад, х Ф
Фу. Вследствие xd$y существует последовательность
х = хи х2, . . ., *,,_i, хп — у такая, что при всех i
Xi—* Xi+i. Поскольку хп = у <w <.x = хи по лемме
4.11 либо, для некоторого i, w — xt, либо существует
такое i, что ад находится между х,- и х,+]. В первом
случае х^ш и шеУИ(х). Во втором случае, в силу
условия П|, Xi-=}w. Поскольку xz^/Xj, имеем xd$w
и w^M(x). В случае х < w рассуждения проходят
таким же образом, если заметить, что ад находится
теперь между х и г. Доказательство в обратную сто-"
рону предоставляем читателю.
В силу теоремы 4.2 дважды упорядоченное мно-
множество М можно изображать отрезком натурального
ряда {1, 2, .... /и}, а отношение < понимать как со-
соответствующее числовое неравенство. Интервалом мы
будем называть любое множество [i, /], состоящее из
всех натуральных чисел /, удовлетворяющих нера-
неравенствам: г'^/-^/. Предыдущая теорема означает:
условие llj равносильно тому,
что все множества М(х) суть ин-
тервалы. J
Пример. Пусть М = {1,2, 3, 12 3 4
4}, а отношение —>- определено Рис. 4.4
условиями I ->2, 1 -*- 3, 4 -v 2,
4 — 3. Тогда Af(l)= {1,2,3}, Л1B)={2}, Л^C)={3}
и М D) = {2, 3, 4}. Нетрудно проверить, что это дваж-
дважды упорядоченное множество удовлетворяет усло-
условию lit (рис. 4.9). Отметим, что MJ1) ПМD) Ф0,
но ни одно из этих множеств не содержится в дру-
другом.
Полезную информацию о взаимном расположении
множеств М(х) дает
Теорем а 4.17. Если отношение {М, =?> ) есть дре-
древесный порядок, то для любых несовпадающих х и
у либо М(х)П М(у) = 0, либо M(x)czM(y), либо
'М(у) czM(x).
147
Доказательство. Пусть М(х)(]М(у)Ф 0 и
w^M(x) Г\ М(у). Если w Ф х и w ф у, то имеем
А'=^> ад и yd^w. В силу древесности порядка и несовпа-
несовпадения х и у имеем либо А'гфг/, либо у=^х. Если же
ад = х, то у z?> х, а при w = y имеем *=?>г/. Если
х=фу, то по транзитивности имеем х^г для любого
геЛ1(г/), т. е. М(х) =>М(г/), Если же У=^х, то по-
получаем обратное включение.
Условимся теперь изображать множество М на
горизонтальной оси, а стрелки, выражающие отноше-
отношение -¦, проводить только сверху этой оси. Мы бу-
будем говорить, что дважды упорядоченное множество
М удовлетворяет условию Пг, если можно все стрел-
стрелки —¦ провести так, чтобы они не пересекались и не
накрывали максимальные элементы*).
Теорема 4.18. Условие Л2 влечет условие IIj.
Доказательство. Пусть дважды упорядочен-
упорядоченное множество М удовлетворяет условию П2. Прове-
цем стрелки, выражающие отношение —*, соответст-
соответствующим «хорошим» образом. Пусть х-*у, a z нахо-
находится между х и у. Элемент z не может быть макси-
максимальным элементом, поскольку он накрывается
стрелкой, ведущей из х в у. Тогда существует ги для
которого Zi->z. Элемент zi находится между хну,
либо совпадает с х или у, ибо иначе стрелка Z\-*z
пересекалась бы со стрелкой х-*у. Аналогичным рас-
рассуждением мы построим цепочку гп->Zn-i —¦...-*
—*Z\— *2, где либо все г,- лежат между х и у, либо
г„ совпадает с х пли у. Так как все Z* различны и
множество М конечно, то для какого-то п элемент zn
совпадает с х или у. Но тогда будем иметь Xz$z.
Таким образом, дважды упорядоченное множествоМ
удовлетворяет условию П|.
Пример на рис. 4.9 показывает, что условие III мо-
может выполняться, когда условие Щ не выполнено.
Однако когда гф является древесным порядком, ус-
условия III и Пг равносильны. А именно, имеет место
Теорема 4.19. Если отношение гф является дре-
древесным порядком и дважды упорядоченное множе-
множество удовлетворяет условию Пь то оно удовлетворяет
условию Т12.
*) То есть элементы -v, для которых соотношение у~>х не
выполнено нн при киком у.
148
Доказательство. Пусть х0 — корень дерева,
a Xi <С х-2 < ... < хп — все те элементы, для которых
выполнено Xo-^Xf. Ясно, что все стрелки, исходящие
из Хо, можно провести без пересечений. Множества
М(х1),М(х2), ...,М(хп) являются по теореме 4.16
интервалами. Включение M(xi)=> M(Xj) невозможно,
так как влекло бы условие х, =ф ху, следовательно, по
теореме 4.17 эти интервалы не могут пересекаться.
Между разными множествами М{хг) и M(xj) не могут
проходить стрелки; иначе было бы выполнено Xi=$w,
где w^M(Xj). Если все элементы из М(Х{), кроме са-
самого Хи лежат между xt-i и xit то стрелки внутри
М(Хг) можно провести так, чтобы они не пересекались
со стрелками, идущими от корня. Аналогично будет и
в случае, когда M(Xi) лежит между Хг и xi+l. Пусть
теперь M(Xi) = Ml{x{) U {xj \JiW(xt), где М*(*г) ле-
лежит между Xi—i и xit а М2(лч) лежит между хг и Хг+1.
Покажем, что нет ни одной стрелки, ведущей изМ1^)
в М2(Хг) (и соответственно в обратном направлении).
Действительно, существование такой стрелки означало
бы, что y-*-z, где i/eM1^) и 2eM!(Xj). Но так как
У < хг <Z z, то, согласно условию Ш, было бы yz^xit
что невозможно. Итак, все остальные стрелки, не иду-
идущие из х0, можно провести без пересечений со стрел-
стрелками, идущими из х0. Но каждое из М{х{) является
дважды упорядоченным множеством, удовлетворяю-
удовлетворяющим условию Пьи сужение гф на M(xt) является дре-
древесным порядком. Поэтому и стрелки внутри M{xi)
можно провести без пересечений со стрелками, выхо-
выходящими из хг. Продолжая это рассуждение, мы легко
убедимся, что все стрелки можно провести без пересе-
пересечений. Так как корень х0 не входит ни в одно из мно-
множеств М(хг) и никакое M(jc,) не расположено по обе
стороны Хо, то, очевидно, все стрелки можно провести
так, чтобы х0 не накрывалось. Теорема доказана.
Заметим, что решающую роль в доказательстве
играл тот факт, что все M(xi) либо не пересе-
пересекаются, либо вложены одно в другое. Поэтому фор-
формулировку последней теоремы можно было бы не-
несколько уточнить.
Существует еще одна полезная формулировка свя-
связи между обоими отношениями порядка на дважды
упорядоченном множестве. Она имеет смысл только
для случая, когда отношение =ф является древесным
149
порядком.(Правда, ее можно расширить на те «не-
«недревесные» ситуации, для которых удается ввести по-
понятие яруса.)
Сначала изобразим элементы множества М цело-
целочисленными точками от 1 до п на оси абсцисс в коор-
координатной плоскости.
Затем каждой точке
хеМ сопоставим та-
такую точку х' на восста-
восстановленном из х перпен-
перпендикуляре к оси абс-
абсцисс, чтобы расстояние
от х' до х равнялось
уменьшенному на еди-
единицу номеру яруса, на
котором находится х.
Если х-* у, то точки х'
и у' соединим отрезком. На рис. 4.10, 4.11 и 4.12 про-
проведены соответствующие построения.
Условие П3 состоит в том, что а) проведенные от-
отрезки не пересекаются и б) продолжение перпендику-
перпендикуляра выше любой точки х' не пересекает ни одного от-
отрезка.
На рис. 4.10 условие П3 выполнено, а на рис. 4.11 и
4.12 не выполнено.
3
2
\
\
2
3 4
Рис. 4.10.
Теорема 4.20. Если отношение гф' является дре-
древесным порядком, то условие П3 равносильно усло-
условию III.
Доказательство. Покажем сначала, что из ГЬ
следует ITf. Предположим, что существуют х, у и z,
для которых х-*у, z находится между х и у и не вы-
выполнено xz^z. Пусть 20 — максимальный элемент сре-
150
-ди всех таких z (при фиксированных х и у). Из усло-
условия П3 следует, что точка z'o не может лежать под от-
отрезком, соединяющим х', у'. Отсюда, в частности, вы-
вытекает, что г0 не может быть корнем дерева. Но в силу
древесности порядка тогда существует w, для кото-
которого w -»- г0. По принятому предположению w не нахо-
находится между х и у и не совпадает с х или у. Возможны
следующие варианты расположения:
х <zo<y<w;
w<x<zo<y;
у <zo< x < w,
w<y<zo<z.
Рассмотрим первый случай. Так как z'o лежит выше
отрезка х'у', то либо отрезок z'ow' пересекает отрезок
х'у', либо отрезок zfow' лежит выше точки у'. В обоих
случаях условие П3 нарушается. Остальные три вари-
варианта исследуются совершенно аналогично. Итак, мы
доказали, что из ГЬ следует IIV
Покажем теперь, что из Hi следует Ц3. Предполо-
Предположим, что ]]?, не выполнено. Рассмотрим сначала слу-
случай, когда продолжение перпендикуляра, проходящего
через точку х', пересекает выше точки х' отрезок y'z'.
Это означает, что точка х расположена между у и z,
y-+z (или г->у), и хотя бы одна из точек ;/' или z'
лежит выше, чем х'. Тогда другая лежит не ниже, чем
х'. Следовательно, невозможно у^х, что противоре-
противоречит условию Hi. Второй случай состоит в том, чго не-
некоторые отрезки х'у' и z'u' пересекаются. Эго воз-
возможно только при условии, что нижние и верхние кон-
концы этих отрезков лежат соответственно па одном
уровне. Но тогда невозможно ни одно из соотношений
xd$ z, х=ф и, y^,z, ijzr} и. С другой стороны, либо z,
либо и находится между х и у, т. е. согласно П( одно
из перечисленных соотношений должно было бы вы-
выполняться. Итак, теорема доказана.
Следствие. Если ^ есть древесный порядок, то
П3 равносильно П2.
Перейдем теперь к изучению другого тина мно-
множеств с двумя отношениями порядка.
151
Упорядоченным деревом мы будем называть мно-
множество М с заданными на нем отношением древесного
порядка с: и отношением строгого порядка < (т. е.
тройку (М, а, <)), если выполнены следующие
условия:
1) если х с у, z <= и, у < и, то д; < z;
2) если л: и «/ несравнимы по отношению сг, то они
сравнимы по отношению <.
В частности, на подмножестве концевых вершин
дерева (М, а) отношение < образует совершенный
порядок. Обозначим через Q(x) окрестность элемен-
элемента х (см. стр. 140). Тогда на множестве Q(x) отноше-
отношение < также задает совершенный порядок.
Рис. 4.13.
Поскольку М конечно, любое множество Q (х) мож-
можно перенумеровать так, что максимальный (по отно-
отношению <) элемент получит номер 0, следующий за
ним номер 1 и т. д. Так как каждый элемент у входит
ровно в одно множество Q{x) (благодаря древесности
порядка с), то тем самым любой вершине у (кроме
корня дерева) оказался приписан некоторый целочис-
целочисленный вес т(у). На рис. 4.13 изображено дерево
с весами вершин, на котором порядок < в каждом
Q{x) выражается размещением вершин слева направо.
Для концевой вершины у определим величину
у (у) =Im(«),
равную cyf.i!we весов вершин, лежащих на пути из кор-
корня дерева в вершину у, включая вес самой вершины у.
Так, для семи концевых вершин дерева на рис. 4.13 мы
получасы, идя слева направо, следующие значения
152
для у (у)-.
1,3,2, 1, 1, 1,0.
Глубиной дерева мы будем, следуя В. Ингве
(V. Н. Yngve), называть величину
Y = max
у
Так, дерево на рис. 4.13 имеет глубину у = 3. Полезно
заметить, что глубина имеет смысл только для упоря-
упорядоченного дерева, а просто для дерева она не опреде-
определена. Малая величина глубины означает геометриче-
геометрически, что ветвления идут, в основном, вправо, т. е. что
дерево устроено асимметрично.
В заключение параграфа изучим некоторые свой-
свойства множеств с тремя отношениями порядка. Пусть
на множестве М заданы три отношения строгого по-
порядка: <, с: и =^>, для которых выполняются следую-
следующие условия:
1) Множество М с отношениями с и < является
упорядоченным деревом;
2) отношение =ф определено на множестве конце-
концевых вершин Mh с= М предыдущего дерева и образует
на Mh древесный порядок;
3) обозначим через 5 (х) с: Mh множество концевых
вершин у, для которых у ах. Тогда S (х) должно быть
деревом по отношению гф.
4) если S(jc)flS(A-i) = 0, ye5(x), zeS(xt) и
у-*г, то у — корень дерева S(x). (Ясно, что г являет-
является в этом случае корнем дерева S(Xi).)
5) если существует такое и, что у < и < г, то су-
существуют х и Xi такие, что y^S(x), zeS(#i), и не
существует w, для которого х < w < xt. (Легко про-
проверить, что в этом случае S(x) П S(xt) = 0.)
Теорема 4.21. При сформулированных выше ус-
условиях дважды упорядоченное множество (Mh, <,
) удовлетворяет условию П(.
Доказательство. Пусть y—*-z и и находится
между у и z. Покажем, что у=$и. Рассмотрим случай
у <н <Z.z. (Противоположный случай исследуется
аналогичным способом.) Согласно свойству 5) выбе-
выберем S{x) и S(*i), для которых y^S(x) и z^S(xt).
В силу y-+z и свойства 4) у и г суть корни деревьев
153
S(x) и S(.v'i). Покажем, что и входит либо в S(x}.,
либо в S(^i).
Действительно, пусть ифБ{х) и u^S(xl). Тогда
элемент и заведомо несравним с х и xit поскольку
ис:х и и ciXi отрицается предположением, а соотно-
соотношения и zd х или и zd Xi невозможны, поскольку и е
ЕЙ/,. Тогда элемент и должен быть сравнимым с х и
jt! по отношению <• В силу свойства 1) упорядочен-
упорядоченного дерева и условия у < и < z должно быть х <
.< г/ < Jti. Но это противоречит выбору х и xt (усло-
(условию 5). Значит, непременно «eS(jc) или u^S(xi).
В первом случае х~^> и, а во втором случае у =ф н,
т. е. опять-такн x-z^u. Теорема доказана.
ГЛАВА V
ОТНОШЕНИЯ
В ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
§ 1. Отношения между геометрическими объектами
Многие хорошо известные из школьной математики
понятия в сущности являются названиями бинарных
отношений, а основные связанные с ними теоремы вы-
выражают свойства этих отношений.
Пусть М — множество всех прямых на плоскости.
Соотношение X || Y означает, что прямые X и Y парал-
параллельны*). Установим некоторые свойства этого отно-
отношения.
1. Отношение || антирефлексивно. Действительно,
никакая прямая не параллельна сама себе.
2. Отношение II симметрично. Это видно из того,
что в определении параллельности обе прямые равно-
равноправны.
3. Отношение || почти транзитивно, а именно: если
А || У и У || Z, то либо X || Z, либо прямые X и Z совпа-
совпадают. Действительно, если бы это было не так, то пря-
прямые X и Z пересекались бы**). Но, как известно нз
геометрии, если прямая Z пересекается с одной из па-
параллельных X, то она пересекается и с другой из па-
параллельных Y, т. е. было бы невозможно соотноше-
соотношение Z || Y.
Таким образом, отношение параллельности между
прямыми не обладает еще хорошими свойствами. Но
сказанное выше позволяет легко сообразить, какое от-
отношение, родственное параллельности, будет отноше-
отношением эквивалентности. А именно, определим отно-
отношение
III = II U Е,
*) То есть не имеют общих точек.
**) То есть имели бы ровно одну общую точку.
15S
которое выполняется, когда прямые либо параллель-
параллельны, либо совпадают. По определению X \\\ X для лю-
любой прямой X. Симметричность отношения ||| также
очевидна. Наконец, если X \\\ У и Y \\\ Z, то X ||| Z.
В самом деле, если X || Y и Y = Z, то X || Z; если X =
ч= У и К || Z, то X || Z. Наконец, если Я|| У и У II Z, то
по сказанному ранее либо X || Z, либо X = Z. Во всех
случаях имеем X ||{ Z.
Отношение ||| на множестве прямых очень естест-
естественно выглядит в алгебраической форме. Если на пло-
плоскости ввести декартовы координаты х и у, то всякая
прямая, не перпендикулярная к оси Ох (не вертикаль-
вертикальная), задается уравнением y — kx + b. Иначе говоря,
любая (за указанным исключением) прямая X опре-
определяется парой чисел (k, b). Пусть прямая X задается
уравнением y — kx + b, а прямая У — уравнением
у = k'x + b'. Тогда соотношение X ||| У выполняется
в том и только том случае, когда k = k'. Соотношение
X || У означает, что k = k' и одновременно b Ф Ь', т. е.
прямые различны. Это видно из того, что k = tg а, где
а — угол наклона прямой к оси Ох. Для вертикальных
прямых можно положить k = оо (а = 90°), и условие
k = k! будет по-прежнему означать X ||| У. Однако это
соглашение не очень красиво, так как при k = оо у нас
не определен второй па-
параметр, различающий па-
параллельные прямые.
В аналитической гео-
геометрии дается более уни-
универсальная (так называе-
называемая нормальная) форма
ух \ уравнения прямой:
*" х cos а + у sin а — р = 0,
Рлс. 5.1. которая описывает пря-
прямую любого вида. Здесь
р — длина перпендикуляра, опущенного из начала ко-
координат на прямую (рис. 5.1), а — угол наклона этого
перпендикуляра к оси абсцисс. Тем самым каждой
прямой взаимно-однозначно сопоставлена пара чисел
{и,р), где 0^а<2л и 0</?<+оо. Соотношение
X II Y означает, что для соответствующих прямых а =
— а! или а = а' + л. Каждой прямой соответствует
точка на плоскости параметров а и р, лежащая в об-
156
ласти, указанной на рис. 5.2. Пары вертикальных пря-
прямых а = const и а + п = const @ ^ а < п) суть
классы эквивалентности отношения ||| .
На множестве прямых на плоскости существует
еще одно важное отношение: X ± У (X перпенди-
перпендикулярна к У). Отношение перпендикулярности обла-
обладает следующими важными свойствами:
1. Антирефлексивность. Невозможно X ± X.
2. Симметричность. Если X JL У, то У ± X.
3. Если X ± У и У ± Z, то невозможно X J_ Z. Из
X JL У и Y J_ Z следует, очевидно, X ||| Z. Обратно, если
X ||| Z, то существует общий пер-
перпендикуляр У к прямым X и Z,
т. е. такое У, что X 1 У и У 1 Z.
Оба эти утверждения означают,
что квадрат отношения перпенди-
перпендикулярности есть отношение III
«усиленной параллельности»:
Введем на М еще одно отно-
отношение X Пер У, означающее, что
прямые X и Y имеют хотя бы од- а п сс+л^2п
ну общую точку, т. е. пересекают-
пересекаются или совпадают. Ясно, что от- Рис. 5.2.
ношение Пер рефлексивно и сим-
симметрично (но не транзитивно) и является, стало быть,
отношением толерантности.
Выберем на плоскости некоторую точку Р и рас-
рассмотрим множество Кр всех прямых, проходящих че-
через эту точку. Легко видеть, что Кр есть класс толе-
толерантности. Действительно, любые прямые из Кр
имеют общую точку, а именно, саму точку Р. С дру-
другой стороны, любая прямая X, не входящая в Кр, не
пересекается с некоторой прямой из Кр, а именно,
с прямой, проходящей через точку Р и параллельной
прямой X. Предоставляем читателю проверить, что
классы Кр образуют базис.
Существуют и другие классы толерантности. На-
Например, множество всех прямых, касающихся некото-
некоторой полуокружности с выкинутой концевой точкой, об-
образуют класс толерантности. Действительно, среди
этих прямых нет параллельных друг другу. А для
157
любой прямой, не входящей в данное множество, мож-
можно построить параллельную к ней прямую, касающую-
касающуюся данной полуокружности.
Пусть теперь М — множество всех треугольников
на плоскости. Читатель легко убедится, что равенство
и подобие треугольников суть отношения эквивалент-
эквивалентности *).
Обозначим через Мк множество окружностей на
плоскости и определим отношение X\—Y условием, что
окружность X находится внутри окружности У. Ясно,
что это отношение антирефлексивно и трапзитивно,
т. е. является строгим порядком. Этот порядок не яв-
является совершенным, так как существуют пары окруж-
окружностей, из которых ни одна не лежит внутри другой.
Множеству всех прямых присвоим обозначение Мц.
Тогда мы можем рассмотреть отношения между пря-
прямыми и окружностями. Примером такого отношения
является X Кае У— прямая X касается окружности У.
Произведение Кае (Кае) есть отношение на мно-
множестве прямых и ХКас(Кас)~1У равносильно тому,что
существует окружность V такая, что А" Кае V и У Кае V.
Итак, X Кае (Кае) У означает, что у прямых X и У су-
существует общая касательная окружность V. Но такая
окружность существует для любых двух прямых. Ста-
Стало быть, отношение Кае (Кае) выполнено для любых
двух прямых, а, значит, является полным отношением
на Мц-
Отношение (Кае) "'Кае определено на множестве
окружностей Мк и ^(Кас^КасУ означает, что суще-
существует прямая W, для которой WKacX и WKacY,
т. е. что к окружностям X и У можно провести общую
касательную.
§ 2. Отношения между уравнениями
Пусть теперь множество М состоит из уравнений
вида
(I)
Рассматриваемое уравнение мы будем обозначать гре-
*) Заметим, что равенство треугольников в геометрии вовсе
не означает их тождества (совпадения). Один треугольник может
находиться в Москве, а другой во Владивостоке, как любила го-
говорить Нина Карловна Бари.
158
ческой буквой, которую мы для этого поставили в од-
одной строчке с уравнением.
Корнем уравнения называется такое действи-
действительное число а, что при подстановке в обе части
уравнения числа а вместо х мы получаем равные
числа. Множество всех корней уравнения § мы будем
обозначать /?{.
Например, для уравнения
*2 = *3 №,)
множество Rt, состоит из чисел 0 и 1. Для уравнения
cos х = sin х (|2)
множество R%, состоит из всех чисел вида
x = -j + nn (n = 0> ±if ±2j ,..)
и является бесконечным. Для уравнения
множество корней R%, пусто, поскольку при любом
действительном значении х левая часть положительна,
а правая отрицательна. Зато для уравнения
(*-1 )*=.**-2*+1 (|4)
множество корней Rit есть множество всех действи-
действительных чисел.
Введем теперь отношения между уравнениями:
Определение 5.1. Уравнения | и ц называются
равносильными:
если их множества корней совпадают: R% = Rn.
Из того, что равенство двух множеств есть отноше-
отношение эквивалентности, легко получается, что отношение
равносильности я» есть отношение эквивалентности.
В школьной алгебре изучаются преобразования урав-
уравнений, которые переводят уравнение | в равносильное
ему уравнение т|.
Определение 5.2. Уравнение g не сильнее урав-
уравнения т): ^=фт), если 7?5s/?n- В этом случае естест-
естественно говорить также, что уравнение ¦»] не слабее урав-
уравнения |*).
*) В этом случае уравнение т| называют также выводным из
уравнения | (или следствие» уравнения ?). (Прим. ред.)
159
Легко проверить, что отношение =ф рефлексивно н
транзитивно, т. е. является квазипорядком. Ясно так-
также, что из 1=^-11 и ц =^> 5 вытекает равносильность
| *=з г]. Обратно, из равносильности | ~ ¦»] следует
?=>il и ri=>,g. Таким образом, ~ = =^> (J (=ф)-*. "
На множестве уравнений, имеющих хотя бы один
корень, легко определить естественное отношение то-
толерантности — наличие общих корней: R% П R^ Ф 0-
Можно ввести еще отношение 2 эффективной рав-
равносильности уравнений. Уравнения | и rj мы будем на-
называть эффективно равносильными, если каждое из
них можно преобразовать в другое с помощью конеч-
конечного числа применений разрешенных приемов из фик-
фиксированного списка (предполагается, конечно, что пре-
преобразования, входящие в этот фиксированный список,
сохраняют равносильность).
В силу транзитивности отношения »» любое число
применения таких приемов не нарушает равносильно-
равносильности уравнений. Поэтому эффективно равносильные
уравнения являются равносильными, что можно запи-
записать как включение одного из этих отношений в дру-
другое:
Так, уравнения
2 (^
2л-2 - х + 3 = 0 (У
эффективно равносильны:
так как уравнение ее можно получить из уравнения |5
с помощью цепочки известных из школьной алгебры
преобразований, и обратно.
С другой стороны, уравнения
л-1=0 (|7)
2*-1-* = 0 (У
равносильны (оба имеют один корень: д; = 1), но не
эффективно равносильны, так как g8 нельзя получить
из |7 алгебраическими преобразованиями. Таким об-
образом, справедливо строгое включение:
160
ГЛАВА VI
ОТОБРАЖЕНИЯ ОТНОШЕНИЙ
§ 1. Гомоморфизмы и корреспонденции
Нам уже неоднократно приходилось сопоставлять
разные множества и отношения на них. Например,
произвольное пространство толерантности и множе-
множество Sh непустых подмножеств множества Н (тео-
(теорема 3.3). Или множество с заданным на нем квази-
квазипорядком и множество классов эквивалентности и
индуцированным порядком. В этой главе мы введем
важные общие понятия, позволяющие говорить о со-
сопоставлении различных множеств с заданными на
них отношениями. Пусть имеются два отношения:
(А,М) и {B,L}. Сопоставить эти отношения — это
значит соотнести элементам множества L какие-то
элементы множества М и указать, какую информацию
о выполнении отношения В несет тот факт, что между
некоторыми элементами множества М выполнено от-
отношение А. Запись а: (А,М)~>{В, L) будет обозна-
обозначать далее, что а — отображение множества М в мно-
множество L, а {А,М) и (B,L) — отношения. Советуем
читателю вспомнить определения сюръективного, инъ-
ективного и биективного отображения (§ 2 гл. I).
Определение 6.1. Отображение a: M—*L на-
называется гомоморфным отображением (или гомо-
гомоморфизмом) отношения {А,М) в отношение {B,L),
если из хАх' следует а(х)Ва(х').
Иначе говоря, из того, что выполняется отношение
А для прообразов, следует, что выполняется отноше-
отношение В для образов. На рис. 6.1 показаны два примера
гомоморфизмов отношений. Чтобы не проводить лиш-
лишних стрелок, соответствие вершин указано их нумера-
нумерацией. В частности, на рис. 6.1, с указано, что вершины
2 и 3 переходят при отображении в одну вершину,
6-Ю. 4. Шрсйдер 161
Па рис. 6.1 (а также на рис. 6.2 и 6.3) изображены
симметричные отношения и поэтому в графах не про-
проведены стрелки.
Определение 6.2. Отображение a: M-+L на-
называется корреспонденцией отношения (А,М) в от-
отношение (B,L), если из а(х)Ва(хг) следует хАх'.
з i* к з
а) В)
Рис. 6.1. Гомоморфизмы отношений.
Иначе говоря, выполнение отношения В для пары
образов влечет выполнение отношения А для любой
пары их прообразов.
(Термин «корреспон-
«корреспонденция» для таких ото-
отображений впервые ис-
использовал С. К. Шау-
Шаумян.)
На рис. 6.2 приведе-
приведены два примера коррес-
корреспонденции между отно-
отношениями. Поучительно
проанализировать, ка-
какие ребра на отобра-
отображаемом графе необхо-
необходимы, чтобы отображе-
отображение было корреспонден-
корреспонденцией. На рис. 6.2, а не
обязательны (их изъя-
изъятие не нарушит кор-
корреспонденцию) только
ребра A,6) и C,4).
Если отображение а: М—+L биективно, то а тогда
и только тогда является корреспонденцией, когда об-
обратное отображение a: L-+M является гомоморфиз-
гомоморфизмом. Если обратного отображения не существует, то
Г62
Рис. 6.2. Корреспонденции отно-
отношений.
понятие корреспонденции не сводится к понятию го-
гомоморфизма.
Понятие корреспонденции оказалось полезным
в задачах математической лингвистики.
Если отображение а сюръективно, то гомомор-
гомоморфизм а мы будем называть эпиморфизмом; если а
инъективно. то гомоморфизм а называется мономор-
мономорфизмом; если, наконец, а биективно, гомоморфизм а
называется изоморфизмом*). Гомоморфизм (эпимор-
(эпиморфизм, мономорфизм, изоморфизм) ее называется k-го-
моморфизмом (соответственно k-эпиморфизмом, k-мо-
номорфизмом, k-изоморфизмом), если а одновременно
является корреспонденцией.
Хороший пример /г-гомоморфизма можно извлечь
из предыдущей главы. Пусть М—множество уравне-
уравнений, a L — множество, состоящее из множеств дейст-
действительных чисел. Рассмотрим отображение <р: M-+L,
сопоставляющее каждому уравнению | е М множе-
множество его корней R% e L. Ясно, что разным уравнениям
может соответствовать одно и то же множество кор-
корней. Но, согласно определению 5.1, отображение <р яв-
является ^-гомоморфизмом отношения {^,М) в отно-
отношение { = ,L), поскольку равносильным уравнениям
соответствуют совпадающие множества корней и, об-
обратно, если множества корней для двух уравнений
совпадают, то сами уравнения равносильны. Анало-
Аналогично, согласно определению 5.2, то же отображение
<р будет также /г-гомоморфизмом отношения {=$,М)
в отношение (s,L).
Теорема 3.3 означает, что для любого простран-
пространства толерантности {М, х) существует ^-гомоморфизм
пространства (М, х) в Eн,т)т где SH—множество не-
непустых подмножеств множества Н; при этом F|tF2
означает, что Fy Л F2 Ф 0. В частном случае, когда
пространство (М, х) — безъядерное, существует даже
^-мономорфизм пространства {М,х) в пространство
(SH, т) (теорема 3.3").
*) Таким образом, для любого множества М тождественное
отображение е множества М на себя является изоморфизмом пу-
пустого отношения @, М) в полное отношение {М2, М), что, ко-
конечно, мало согласуется с тем, что обычно в математике связы-
связывается со словом «изоморфизм». Более разумным является вво-
вводимое в следующей фразе понятие ft-изоморфнзма. (Прим. ред.)
6* 163
Рассмотренное в главе IV взаимоотношение между
квазипорядками и порядками допускает следующую
интерпретацию в новых терминах. Пусть (А,М) —
квазипорядок. Тогда существует /г-эпиморфизм
а: (А, М)->{В, L),
где В — нестрогий порядок, a L = М/А Л А~1.
Покажем теперь, что всякий гомоморфизм может
быть расширен до ^-гомоморфизма:
Лемма 6.1. Пусть a: M—*L — отображение и
(C,L)—отношение. Тогда 1) существует единствен-
единственное отношение (D, М) такое, что а является k-гомо-
морфизмом отношения (D.M) в отношение (C,L);
2) для любого отношения (В,М), для которого а яв-
ляется гомоморфизмом отношения (В, М) в отноше-
отношение {C,L), B^D.
Доказательство. 1) Определим отношение
D на множестве М условием:
xDx', если а(х)Са(х'). F.1)
Очевидно, а является /г-гомоморфизмом отношения
(D,M) в отношение (C,L). Докажем теперь единст-
единственность. Пусть а является также /г-гомоморфизмом
отношения (А,М) в отношение (С, L). Пусть сначала
хАх'. П??кольку а — гомоморфизм отношения (А,М)
в отношение {C,L). a(x)Ca(x'). Из F.1) вытекает
xDx'. Значит, A s D. Пусть теперь xDx'. Из F.1)
имеем а(х)Са(х'). Поскольку а является корреспон-
корреспонденцией отношения {А,М) в отношение (С, L), хАх'.
Значит, ДдЛ. Итак, А = D.
2) Включение В s D доказывается так же, как
мы в первой части доказывали включение А ^ D.
Пусть 6 — тождественное отображение множества
М на себя, а В и С — отношения на М. Легко видеть,
что отображение
е: (В, М)->(С, М)
тогда и только тогда является гомоморфизмом, когда
В^С (см. рис. 6.1, б). С другой стороны, чтобы
отображение е было корреспонденцией, необходимо
и достаточно обратное включение ВэС (см., в част-
частности, рис. 6.2, б).
Рассмотрим теперь, какие свойства отношений со-
сохраняются при различных типах отображений.
164
Лемма 6.2. Пусть а: (А, М)-*(В, [^ — гомомор-
гомоморфизм. Тогда 1) если а сюръективно и А рефлексивно,
то В рефлексивно; 2) если В антирефлексивно, то А
антирефлексивно.
Доказательство. 1) В силу сюръективности
отображения а для всякого i/ei существует прооб-
прообраз х, для которого а(х) = у. Так как выполнено хАх,
по определению эпиморфизма выполнено уВу. Таким
образом, рефлексивность отношения А влечет реф-
рефлексивность отношения В. 2) Пусть теперь В анти-
антирефлексивно. Предположим, что существует такой
х е М, что хАх. Тогда для образа у = а(х) справед-
справедливо уВу, что противоречит антирефлексивности от-
отношения В. Лемма доказана.
Аналогично этому имеет место
Лемма 6.3. Пусть а: {А,М) -+(B,L) — коррес-
корреспонденция. Тогда 1) из рефлексивности отношения В
следует рефлексивность отношения А, 2) если а сюръ-
сюръективно, то из антирефлексивности отношения А сле-
следует антирефлексивность отношения В.
Доказательство. Действительно, если всегда
а(х)Ва(х), то по определению корреспонденции спра-
справедливо и хАх, т. е. А рефлексивно. Если бы хотя бы
для одного элемента из L выполнялось а(х)Ва(х),
то А не могло бы быть антирефлексивным.
Для сохранения остальных свойств отношений не-
необходимо, чтобы отображение а было одновременно
и эпиморфизмом и корреспонденцией.
Лемма 6.4. Если а: (А,М) —*(BtL) есть k-эпи-
морфизм, то В симметрично тогда и только тогда,
когда симметрично А.
Доказательство. Предположим, что А сим-
симметрично. Тогда если уВу', у = а(х), у' = а(х'), то
(по определению корреспонденции) хАх'. Отсюда
х'Ах и (по определению гомоморфизма) у'Ву. Пусть
теперь В симметрично, и щстъхАх', тогда а(х)Ва(х')
(по определению гомоморфизма). Значит, а(х')Ва(х)
н (по определению корреспонденции) х'Ах. Лемма
доказана.
. Из лемм 6.2, 6.3 и 6.4 непосредственно вытекает
Теорема 6.1. Если а: (А. М)-*(B,L) — k-эпи-
морфизм, то отношение В тогда и только тогда яв-
является толерантностью, когда А — толерантность.
Имеет место также
165
Лемма 6.5. Если а: (А,М)-*(B,L) — k-u30M0p-
физм, то В антисимметрично тогда и только тогда,
когда антисимметрично А.
Лемма 6.6. Если а: (А,М)-+(B,L) — k-3nuMop-
физм, то В транзитивно тогда и только тогда, когда
транзитивно А.
Доказательство. Предположим сначала, что
В транзитивно. Пусть хАх' и х'Ах". Тогда а(х)Ва(х')
и а(х')Ва(х"); из-за транзитивности отношения В
верно а(х)Ва(х"). Но тогда и хАх". Предположим
теперь, что А транзитивно. Пусть уВу' и у'Ву". Тогда
для любых прообразов хАх' и х'Ах". Стало быть, вви-
ввиду предположенной транзитивности отношения А,
хАх". Значит, уВу".
Из доказанных лемм вытекает
Теорема 6.2. Если отображение а: (А, М) —*
—* {В, L) является k-эпиморфизмом, то отношение В
тогда и только тогда является эквивалентностью (ква-
(квазипорядком), когда А — эквивалентность (соответ-
(соответственно квазипорядок).
Теорема 6.3. Пусть отображение а множества
М на множество L является гомоморфизмом (коррес-
(корреспонденцией) отношения (А, М) в отношение {В, L)
и гомоморфизмом (корреспонденцией) отношения
(Аи М) в отношение {Ви L). Тогда отображение а яв-
является также гомоморфизмом (корреспонденцией)
отношений (А[)АиМ), (А П AUM), (AAt,M) в отно-
отношения (В[)ВиМ), (ВС)ВиМ), (ВВиМ) соответ-
соответственно.
Доказательство предоставляем читателю.
§ 2. Минимальный образ и каноническое пополнение
отношения
Начнем с доказательства необходимых лемм.
Лемма 6.7. Пусть а: М-+ L — сюръективное ото-
отображение, (В, М) — произвольное отношение, (А, М)—¦
такое отношение, что
XtAx2 равносильно cc(xi) = а.(х2).
Тогда, 1) если существует такое отношение (C,L),
что а является k-эпиморфизмом отношения (В, М)
в отношение (C,L), то
ABA = В, F.2)
166
2) если выполняется F.2), то существует такое отно-
отношение (С, L), что а является k-эпиморфизмом отно-
отношения (В, М) в отношение (С, L).
Доказательство. 1) Поскольку Л рефлексив-
рефлексивно, В^АВА. Докажем, что ABA gB. Пусть хАВАх'.
Тогда существуют такие хи лг2, что
хАх\, XiBx2, x%Ax'.
Из Х\Вхг и того, что а — гомоморфизм, вытекает
a(Xi)Ca(x2).
Из хАх\ получаем а(х) = а{хг), из х2Ах' вытекает
а(*2) = а(х'). Значит,
а(х)Са(х').
Поскольку а — корреспонденция, хВх'. Следователь-
Следовательно, ABA <= В.
2) Пусть у, у' е L. Поскольку а — сюръекция, су-
существуют такие х, х' е М, что а(х) = у, а(х') = у'.
Определим на L отношение С:
уСу', если хВх'.
Наше определение не зависит от выбора прообразов
х, х'. В самом деле. Пусть *,, ^ — другие прообразы
элементов у, у' соответственно. Таким образом, а (л:,) =
— у, а(х'Л = уг. Покажем, что хВх' тогда и только
тогда, когда ххВх"у Допустим, что хВх'. Докажем
ххВх\ш Поскольку а(лг4) = а(х), х\Ах. По аналогичной
причине х'Ах\. Из х^Ах, хВх' и х'Ах\ вытекает
x{ABAx[. Из F.2) получаем ххВх\. Аналогично из
хуВх\ выводится хВх'. Из определения отношения С,
очевидно, вытекает, что хВх' тогда и только тогда,
когда а(х)Са(х'). Значит, а — /г-эпиморфизм. Лемма
доказана.
Легко видеть, что для произвольных э к в и в а -
лентностей А и В равенство F.2) равносильно
включению A s В. Ясно, что F.2) всегда выполняется
при А = Е, т.е. тогда, когда а — биекция.
Интересно выяснить, когда для отношения (В, А1)
существуют неннъективные ^-эпиморфизмы (т. е.
/г-эпиморфизмы, не являющиеся /г-изоморфизмами).
Из леммы 6.7 следует, что отношение (В, М) допу-
допускает неинъективные /г-эпиморфизмы только в том
167
случае, когда существует отношение эквивалентности
А на множестве М (отличное от отношения равен-
равенства) такое, что ABA — В. В частности, при В = Е
такого А не существует.
Определение 6.3. Пусть В — отношение. Опре-
Определим отношение В+ условием: хВ+у, если 1) хВг
тогда и только тогда, когда yBz; 2) zBx тогда и толь-
только тогда, когда zBy. Таким образом, соотношение
хВ+у означает, что в графе отношения В из х и у вы-
выходят стрелки к одним и тем же вершинам и в х и у
входят стрелки из одних и тех же вершин. Назовем
В- отношением, ассоциированным с В.
Тривиальным образом можно убедиться, что В*
будет эквивалентностью для любого исходного отно-
отношения В. Отношение В+ склеивает в классы все эле-
элементы, имеющие одинаковые связи в графе отноше-
отношения В.
Отметим, что в главе III мы уже рассматривали
фактически переход от отношения В к отношению б+:
если т — отношение толерантности, а 6 — отношение
из C.3), то т+ = G.
Лемма 6.8. Имеет место тождество
В+ВВ+ = В. F.3)
Доказательство. Ясно, что В s B+BB+. Дока-
Докажем обратное включение: В э В+ВВ+. Пусть выпол-
выполнено хВ+ВВ+у. Тогда существуют z, w такие, что xB+z,
zBw и wB+y. Из xB+z и zBw вытекает xBw. Анало-
Аналогично, из wB+y и xBw вытекает хВу. Значит, В+ВВ+^
Е В, и тем самым F.3) доказано.
Лемма 6.9. Для того чтобы для отношения экви-
эквивалентности А и для произвольного отношения В вы-
выполнялось равенство ABA — В, необходимо и доста-
достаточно, чтобы было
А = В+. F.4)
Доказательство. Пусть выполнено F.4).
Тогда имеем, учитывая лемму 6.8, В s ЛВЛ s
s B+BB+ = В, т. е. ABA *= В. Пусть теперь выполнено
ABA = В. Допустим, что хАу. Докажем, что хВ+у. По
определению отношения В+ надо доказать, что xBz
тогда и только тогда, когда yBz, и что zBx тогда и
только тогда, когда zBy. Докажем, что хВг влечег
уВг. Итак, пусть xBz. Поскольку А — эквивалентность,
168
из хАу вытекает у Ах. Кроме того, zAz. Из у Ах, хВг
и zAz следует yABAz, а значит, и yBz. Остальное до-
доказательство предоставляем читателю. Лемма дока-
доказана.
Из леммы 6.9 и леммы 6.7 вытекает
Теорема 6.4. Для того чтобы существовал не-
инъективиый k-эпиморфизм отношения {В,М), необ-
необходимо и достаточно, чтобы отношение В+ не было
отношением равенства.
(Доказывая достаточность, надо, чтобы использо-
использовать лемму 6.7, положить L = М/В+ и в качестве а
взять отображение, которое каждый элемент перево-
переводит в свой класс эквивалентности.)
Последнее утверждение было получено в резуль-
результате обсуждения этих вопросов с С. Я. Фнтиаловым.
Легко проверить, что если В — эквивалентность,
то В+ = В. Если же В — толерантность, то хВ+у озна-
означает, что х и у принадлежат общему ядру (см. гл. III).
Тем самым выясняется, что пространство толерантно-
толерантности тогда и только тогда не допускает нетривиальных
^-эпиморфизмов, когда оно безъядерное.
Вообще говоря, отношение В несравнимо с ассо-
ассоциированным с ним отношением В+. Однако имеет
место
Л е м м а 6.10. Если В рефлексивно, то В+ s В.
Доказательство. Ввиду F.3) и рефлексивно-
рефлексивности отношений В, В+ имеем В+ <= В+ВВ+ = В, т. е. лем-
лемма доказана.
Рассмотрим теперь отображение а: М—*¦ L и отно-
отношение В на М. Пусть SDb(cc)—множество всех отно-
отношений С на L таких, что а: (В, М) -» (С, L) — гомо-
гомоморфизм. Множество Шв(а) непусто, так как в него
всегда входит полное отношение.
Обозначим через Ва пересечение всех отношений
из Шв(<х). По теореме 6.3 (точнее — некоторому ее
обобщению) отображение
а: (В, М)-+(Ва, L) F.5)
есть гомоморфизм. Отношение Ва ©бладает свойством
минимальности: если С таково, что а: (В.М)->
-> (С, L) — гомоморфизм, то BasC. Легко видеть,
что верно и обратное: если Ва ? С, то а: (В, М) —>
—»• (С, L) — гомоморфизм.
109
Определение 6.4. Отношение Ва называется
а-образом отношения В.
Пример на рис. 6.3 показывает, что а-образ отно-
отношения В не обязан быть эквивалентностью даже,
1
•2,3
< 3
В В"
Рис. 6.3. Эквивалентность переходит в толерантность.
если В — эквивалентность (На рисунке мы не изо-
изображаем петли, которые имеются в каждой точке
обоих графов.)
Лемма 6.11. Если а — сюръективное отображе-
отображение и В — толерантность, то Ва — толерантность.
Доказательство. Рефлексивность отношения
Ва следует из леммы 6.2. Симметричность отношения
Ва получается так. Докажем сначала, что если уВау',
то хотя бы для одной пары прообразов верно хВх'.
В противном случае мы могли бы взять отношение С
на L такое, что уСу' не выполнено, а для всех осталь-
остальных пар у?уг тогда и только тогда, когда yiBay2.
Очевидно, что СсВаи а: (В, М) —> (С, L) — гомомор-
гомоморфизм. Но это невозможно в силу минимальности от-
отношения Ва. Теперь из хВх' следует х'Вх и у'Вау.
Из примера на рис. 6.3 видно, что если В — экви-
эквивалентность, то Ва может оказаться только толерант-
толерантностью.
Ввиду леммы 6.1 мы можем сформулировать
Определение 6.5. Пусть a: M-*L — отображе-
отображение и В — отношение на М. а-пополнением отношения
В называется такое отношение Ва, для которого ото-
отображение
а: <В0, М)->(Ва, L) F.6)
есть ^-гомоморфизм.
Из леммы 6.1 вытекает
В ?= Ва. F.7)
170
Теорема 6.5. Пусть А — произвольная эквива-
эквивалентность на М, а: М-* М/А — отображение, перево-
переводящее каждый элемент хеМй его класс эквивалент-
эквивалентности по А, и В— отношение на М. Тогда
Ва = АВА. F.8)
Доказательство. Мы используем еще раз
свойство а-образа Ва, установленное в доказательстве
леммы 6.11: соотношение уВау' выполнено тогда и
только тогда, когда существует пара прообразов х и
х' {а(х) = у, а(х') = у') таких, что хВх'. Пусть хВах'.
Поскольку а является гомоморфизмом отношения
(Ва,М) в отношение (Ва, L), а(х)Ваа(х'). Тогда вви-
ввиду вышеуказанного свойства а-образа Ви существуют
такие z, z'^M, что а(г)= а(х), a(z') = а(х') и zBzr.
Из a(z)= а(х) вытекает xAz. По аналогичной при-
причине z'Ax'. Из xAz, zBz' и z'Ax' вытекает хАВАх'.
Аналогично доказывается, что хАВАх' влечет хВах',
Тем самым F.8) доказано.
Из F.8) легко следует, что а-пополнение Ва удо-
удовлетворяет условию F.2). Действительно,
АВаА = А (АВА) А = А2ВА2 = ABA = Ва.
Итак,
Ва = АВаА. F.9)
Теперь мы исследуем, когда а-пополнение Ва при-
принадлежит тому же типу, что и исходное отношение В.
Благодаря F.8) вопрос сводится к чисто алгебраиче-
алгебраической задаче: когда произведение АВА, где А—экви-
А—эквивалентность, принадлежит к тому же типу, что и В?
Сначала исследуем случай, когда В — отношение
эквивалентности. Простой алгебраический критерий
дает
Теорема 6.6. Если А и В — эквивалентности на
множестве М, то для того, чтобы произведение АВА
было эквивалентностью, необходимо и достаточно
выполнение равенства
АВА = А\]В. F.10)
Доказательство. Так как А О В — эквива-
эквивалентность, то условие F.10) достаточно. Пусть теперь
АВА — эквивалентность. Из очевидных включений
А<=АВА и В<=АВА следует A\JBs=ABA. Беря
транзитивное замыкание от обеих частей и учитывая
171
теорему 1.3, получаем
A\JB<=ABA. F.11)
С другой стороны, в силу
ABA = BAB U ABAB U ABA [} В ABA = (АВ {] В АI
и A.2), имеем
АВА^А°В. F.12)
Но по теореме 2.9 ЛОб = ЛоВ; сравнивая включе-
включения F.11) и F.12), получаем F.10). Теорема дока-
доказана.
Более простое достаточное условие состоит в том,
что АВ = 6Л. Тогда ABA = ААВ = АВ, но по тео-
теореме Шика (теорема 2.7) АВ является эквивалент-
эквивалентностью.
В. Б. Борщев построил любопытный пример двух
отношений эквивалентности Л и б, для которых АВФ
Ф ВА и ABA Ф ВАВ, но ABA есть эквивалентность.
Этот пример состоит в следующем. Классы по отно-
отношению В суть {1}, {2, 3} и {4}, а по отношению Л —
{1, 2} и {3, 4}. Легко подсчитать, что отношение
ABA — полное. Произведения АВ, ВА и ВАВ показа-
показаны на рис. 6.4.
1 2 1 2 1 2
ВАВ
Можно сформулировать необходимые и достаточ-
достаточные условия в терминах «почти-коммутативности»
отношений Л и В. Соответствующий результат выгля-
выглядит таким образом:
Теорема 6.7. Если А и В — отношения эквива-
эквивалентности, то произведение ABA будет эквивалент-
эквивалентностью в том и только в том случае, когда
ВАВ s ABA. F.13)
172
Доказательство. Докажем сначала, что если
имеет место F.13), то ABA — эквивалентность. По-
Поскольку (АВА)~* = i4-1B/4-1 = ABA, ABA симметрич-
симметрично. Докажем еще транзитивность отношения ABA. Из
F.13) следует
(ABA) (ABA) = А (ВААВ) А =
= Л (BAB) As A (ABA) А = ABA.
Значит, ABA транзнтивно. Пусть теперь ABA — экви-
эквивалентность. Поскольку ABA транзитивно, имеем
(ABA) (АВА)^АВА. Но отсюда следует
ВАВ ?= А (ВАВ) А = (АВ) А (ВА) =
- (АВ) (АА) (ВЛ) = (ABA) (ABA) ? ABA.
Теорема доказана.
Сходный результат получается и для порядков. Он
выглядит следующим образом:
Теорема 6.8. Пусть А — эквивалентность, В —
строгий порядок. Для того чтобы произведение ABA
являлось строгим порядком, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия
ВАВ <= ABA,
лпв = 0. F|4>
Доказательство. 1) Достаточность.
Пусть выполнено F.14). Сначала докажем антиреф-
антирефлексивность отношения ABA. Предположим, что для
некоторого х выполнено хАВАх. Тогда существуют у
и z такие, что одновременно хАу, yBz и zAx. Из zAx
и хАу следует zAy, а затем и yAz. Итак, выполнено
yBz и yAz. Но это невозможно в силу Л Л 5 = 0. Вви-
Ввиду полученного противоречия антирефлексивность от-
отношения ABA доказана. Транзитивность произведе-
произведения ABA доказывается в точности, как в предыдущей
теореме.
2) Необходимость. Пусть ABA является
строгим порядком. Предположим, что А Л В ф 0, т. е.
что существует пара элементов хну такая, что вы-
выполнены одновременно соотношения хАу и хВу. Тогда
выполнена тройка соотношений: хАх, хВу и уАх, т. е.
выполнено хАВАх и ABA не является тем самым
строгим порядком. Отсюда следует, что А Л В — 0.
173
Включение ВАВ s ABA доказывается в точности, как
в предыдущей теореме.
Теорема доказана.
Рассуждая аналогично, читатель легко сумеет до-
доказать, что если В — квазипорядок и А—эквивалент-
А—эквивалентность, то ABA будет квазипорядком в том и только
том случае, когда ВАВ ^ ABA.
Подведем некоторый итог проделанной работе.
Пусть имеется отношение (В, М) и отображение а
множества М в некоторое множество L:
a: M-+L.
Тогда на множестве L однозначно определяется ми-
минимальный образ Ва отношения В. Иными словами,
по отношению В и отображению а строится отноше-
отношение Ва на L, так что отображение
(В, M)-U(Ba,L)
оказывается гомоморфизмом, обладающим следую-
следующим свойством: если D — некоторое отношение на L,
то отображение a: M—*.L будет гомоморфизмом
а: {В, М)—>(Д L) в том и только том случае, когда
Гомоморфизм а отношения (В, М) в его минималь-
минимальный образ (Ва, L), вообще говоря, не является кор-
корреспонденцией. Однако существует единственное ка-
каноническое пополнение Ва отношения В, Ва э В, для
которого отображение
а: (Ва, М)->(Ва, L)
является А-гомоморфизмом.
Иными словами, отображение a: M—*L для ка-
каждого отношения В на М «вкладывается» в диа-
диаграмму:
Здесь е; М -*¦ М — тождественное отображение, за-
174
дающее гомоморфизм (В, М) — *(Ва, М), горизон-
горизонтальная стрелка является гомоморфизмом, а диаго-
диагональная стрелка является А-гомоморфизмом. Отно-
Отношения Ва и 6а2В определены однозначно по
отношению В и отображению а. Подчеркнем важ-
важность формулы F.8), выражающей явным образом
каноническое пополнение Ва отношения В через от-
отношение В.
Полученные в этом параграфе результаты имеют некоторое
значение для математической теории классификационных систем.
Всякая классификация элементов некоторого множества М
основана на выборе системы разбиений этого множества на клас-
классы. Тем самым на М возникает некоторая система отношений
эквивалентности S = {Ль Аг,...}. Любое из отношений эквива-
эквивалентности, принадлежащих S, например, А\, порождает сюръек-
тивное отображение " '
а: М -> L.
где L — множество классов эквивалентности по А\ и отображе-
отображение а сопоставляет каждому элементу из М соответствующий
класс эквивалентности по А\. Таким образом, хА\у равносильно
тому, что а(х) = «({/). Тогда отношение /Ь s S индуцирует на
множестве L отношение А®. Из леммы 6.11 и примера на рис. 6.3
видно, что отношение Л°, индуцируемое эквивалентностью /Ь на.
классах эквивалентности по другому отношению, может оказаться
только толерантностью. Стало быть, при описании достаточно
сложной классификационной системы нельзя ограничиться отно-
отношениями эквивалентности, а приходится рассматривать более
общие отношения толерантности. Это связано с тем, что в клас-
классификационных системах всегда изучаются не только отношения
между самими объектами, но и отношения между классификаци-
классификационными рубриками, являющимися по существу классами эквива-
эквивалентности по одному из отношений, характеризующих классифи-
классификационную систему.
ГЛАВА VII
ПРИМЕРЫ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
лингвистики
§ I. Синтаксические структуры
Между словами, образующими правильную рус-
русскую фразу, существуют различные лингвистические
отношения. Указать явным образом эти отношения —
это и значит описать синтаксическую структуру
фразы.
Формальное описание свойств таких отношений и
методов их выделения во фразе является одной из
важных задач математической лингвистики. Посколь-
Поскольку здесь мы не имеем в виду обсуждать связь мате-
математической лингвистики с общей лингвистикой, то мы
не будем углубляться в анализ лингвистического ха-
характера вводимых отношений, а будем апеллировать
к тому знанию русского языка и его грамматики, ко-
которым наверняка обладает любой читатель данной
книги.
Пусть дана некоторая русская фраза, и пусть М —
множество вхождений слов в эту фразу. Мы фикси-
фиксируем на М несколько важнейших грамматических от-
отношений, определяемых ролью в этой фразе данного
вхождения слова.
В дальнейшем мы говорим о вхождении слов, а не
о словах, поскольку одно и то же слово может во
фразе повторяться несколько раз, причем разные вхо-
вхождения одного и того же слова могут играть разную
роль и иметь разные связи.
Например, «Лазурь да глина, глина да лазурь,
чего ж тебе еще? Скорей глаза сощурь, как близо-
близорукий шах над перстнем бирюзовым, над книгой звон-
звонких глин, над книжною землей, над гнойной книгою,
над глиной дорогой, которой мучимся, как музыкой
и словом».
176
В этом стихотворении Осипа Мандельштама
(«Новый мир», 1931 г., кн. 3, цикл «Армения») не-
несколько раз повторяются слова: «как», «над», «книга»,
«глина».
В математической лингвистике изучаются также
отношения между словами, не зависящие от их вхо-
вхождений в тексты (скажем, «принадлежность одному
роду» или «принадлежность одной части речи»). Но
эти отношения (так называемые парадигматические
отношения) являются отношениями на другом множе-
множестве—на множестве слов русского языка*). Мы же
в этом параграфе изучаем только отношения между
вхождениями слов в некоторую фразу (так называе-
называемые синтагматические отношения).
Начнем с того, что перечислим основные отноше-
отношения между словами во фразе.
Простейшее из возможных отношений на М — это
отношение следования: х левее у. Далее мы
будем обозначать следование знаком неравенства.
Таким образом, запись х < у означает, что у распо-
расположен во фразе правей, чем х. Легко видеть, что от-
отношение «быть левее» задает совершенный **) стро-
строгий порядок на множестве М.
Редукцию отношения следования < мы обозначим
символом А. Соотношение хАу означает, что у яв-
является непосредственным правым соседом слова х.
Легко видеть, что хАпу выполняется в том и только
том случае, когда слово у отстоит от х ровно на п
позиций вправо.
Казалось бы, такое чисто геометрическое отноше-
отношение не имеет особого лингвистического смысла. Так
естественно думать ввиду того, что в русском языке
порядок слов сравнительно свободен. (Кстати, это
связано с тем, что в русском языке имеется богатая
система окончаний, достаточно полно показывающих
связи слов в предложении. Поэтому русский язык мо-
может позволить себе роскошь меньше заботиться о по-
порядке слов, чем, скажем, английский.) Однако и в
*) Отметим, что термин «множество» здесь не вполне уме-
уместен, поскольку не существует общепринятого соглашения, что
считать словами русского языка.
**) Но, как во все* лингвистических формальных моделях,
здесь возможны исключения: сноски нарушают линейность рас-
расположения слов в тексте и тем самым соьершен.-юсть порядка.
177
русском языке порядок слов не вполне произволен
с точки зрения грамматики и смысла текста. Напри-
Например, отрывок «возьмем такое четное число, что...»
не переделывается в отрывок «возьмем четное такое
число, что...». В качестве второго примера укажем,
что в русском языке существуют такие слова (пред-
(предлоги), которые в тексте всегда предшествуют соот-
соответствующим существительным.
Второй важный тип отношений — это граммати-
грамматическое управление. Управление—это отноше-
отношение, обобщающее такие привычные типы отношений,
как «определяемое — определение», «сказуемое — под-
подлежащее», «сказуемое-—дополнение» и т. п. Напри-
Например, известные из грамматики утверждения «предлог
„к" требует дательного падежа», «предлог „о" управ-
управляет предложным падежом» и т. д. означают именно
то, что тот или иной предлог управляет существи-
существительным в таком-то падеже. В последнем случае мы
имеем пример так называемого обязательного
управления — предлог не может «повиснуть» в
правильной русской фразе без управляемого суще-
существительного. Фразу «мой коллега был в кино с»
можно даже понять, счесть осмысленной, но уже ни-
никак нельзя полагать грамматически правильной.
И. А. Мельчук *) выделяет в русском языке
33 типа грамматических управлений (или отношений
непосредственной доминации). Но мы здесь будем
называть управлением объединение всех этих отно-
отношений. Управление, обозначаемое далее символом ->,
является асимметричным отношением. Чтобы были
понятны дальнейшие примеры, мы условимся, соглас-
согласно сложившейся традиции, считать, что управление
идет от определяемого к определению, от сказуемого
к подлежащему, от предлога к существительному, от
глагола к прямому дополнению, от глагола к предло-
предлогу. На основе этих соглашений и их естественных
аналогов можно усвоить, как расставляются управле-
управления в конкретных текстах. (Признаемся, что есть
сложные ситуации, когда разные лингвисты по-раз-
по-разному расставят управления в одной и той же фразе.)
Ниже дается фраза с изображенным графом упра-
*) И. А. Мельчук, Автоматический синтаксический анализ,
Новосибирск, Сибирское отделение АН СССР, 1964.
178
вления. Сначала мы приведем саму фразу с нумера-
нумерацией слов, а затем уже на рис. 7.1 дадим граф упра-
управления:
« И сатана, привстав, с веселием на лнке лобзанием своим
12 3 4 5 6 7 8 9
насквозь прожег уста, в предательскую ночь лобзавшие Христа».
10 II 12 13 14 15 16 17
(А. С. Пушкин, Соч., т. III)
Союз «и», стоящий впереди, является тем самым
сомнительным случаем. Его можно было бы рассма-
рассматривать здесь просто как ритмическую вставку в
текст. Обратите внимание на то, что стрелки на
рис. 7.1 не пересекаются друг с другом. Как мы уви-
увидим ниже, это обстоятельство отнюдь не случайно.
ппп
. п
п
п
9 ТО 11 TZ 13 74 15 1Б П
Рис. 7.1.
Транзитивное замыкание отношения управления
называется руководством и обозначается символом
гф. Так, в графе на рис. 7.1 выполнено соотношение
¦Кц=ф*7. В силу леммы 4.7, если в графе управления
нет контуров, то отношение руководства является
строгим порядком. Отношение руководства — это кос-
косвенное управление, управление через промежуточные
инстанции.
Третий тип отношений между вхождениями слов
во фразу — это согласование. Вообще говоря, под
согласованием понимается наличие явно выраженных
общих грамматических признаков, связывающих дан-
данную пару слов в коллектив. Например, согласование
прилагательного и существительного по роду, числу
и падежу. Отношение согласования мы будем обозна-
обозначать символом а. В предыдущей фразе мы имеем,
например, соотношения Хцах15 и х^охц, в то время
как управление выполняется лишь в одну сторону:
Хк~*Хц. Здесь видно уже одно отличие согласования
от управления. Первое симметрично: определяемое и
определение имеют, вообще говоря, согласованные
179
грамматические показатели. Управление имеет на-
направленность, оно асимметрично. Но согласование
вовсе не является только «симметризацией» отноше-
отношения управления. Во-первых, возможно управление
без всякого согласования. Например, управление от
глагола к обстоятельству типа «Вчера он уехал».
Здесь согласованы (по роду и числу) только глагол
и местоимение, но не наречие и глагол. Во-вторых,
согласование может быть не связано ни с каким упра-
управлением.
Это обстоятельство проще пояснить не на русском
тексте, а на алгебраических выражениях*). В этих
выражениях «согласованы» соответствующие друг
другу левая и правая скобки.
В русском языке роль скобок выполняют конструк-
конструкции вида: «если..., то...»; «или..., или...» и т. п. Соответ-
Соответствующие друг Другу парные союзы находятся в от-
отношении согласования, но ни один из них не упра-
управляет другим.
Четвертый важный тип синтагматического отно-
отношения — это отношение однородности («быть
однородными членами предложения»). Мы будем обо-
обозначать это отношение символом v. Типичный пример
предложения с однородными членами:
«Швед, русский — колет, рубит, режет».
(А. С. Пушки и).
Здесь — два однородных подлежащих и три одно-
однородных сказуемых. Пример на однородные дополне-
дополнения можно найти в других отрывках из А. С. Пушки-
Пушкина: «Сват Иван, как пить мы станем, непременно уж
помянем трех Матрен. Луку с Петром, да Пахомовну
потом». Или еще: «И твое воспоминанье заменит душе
моей силу, гордость, упованье и отвагу юных дней».
Пятый тип отношений носит несколько отличный
от предыдущих характер. Дело в том, что всякая фра-
фраза русского языка довольно естественно членится на
коллективы. Мелкие коллективы сами входят в более
крупные. Такое членение фразы на коллективы (или,
как принято говорить в лингвистике, составляющие)
обеспечивает, в частности, возможность понимания
*) Алгебраические формулы вполне естественно рассматри-
рассматривать как тексты некоторого искусственного языка.
180
фразы. Наша языковая интуиция позволяет нам до-
довольно однозначно выделять составляющие в русской
фразе. В следующем примере составляющие выделе-
выделены скобками:
-12 3 4 5 6
«(Все это) (сильно (поколебало (мою (авторскую
7
уверенность))))».
В сущности кавычки здесь тоже играют роль скобок,
выделяющих максимальную составляющую. В число
составляющих мы бу-
дем включать и отдель-
ные слова. Итак, мно-
множество М составляю-
составляющих состоит из некото-
некоторых непустых множеств
вхождений слов в дан-
данную фразу. Отношение
вхождения в со-
составляющую на
множестве М мы бу-
будем обозначать далее
обычным знаком вклю-
включения с. Тогда запись yczai обозначает: Xj e аи
если у = Xj — слово из фразы, и ajczai, если у=а* —
составляющая этой фразы, отличная от а,. Из опре-
определения явствует, что вхождение в составляющую яв-
является строгим порядком. В рассмотренном примере
мы выделим следующие составляющие:
О] = {.V'i, X-2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7},
о,2 = {хи х2}, a.i = {*3> x4, х5, х6, х7},
а4 ~ \Х4> Х5> Х6> Х71>
а5 = {*5> хв, х7], а6 = {л:б, х7}.
Граф для редукции данного отношения изображен
на рис. 7.2. Обратите внимание на то, что этот граф
является несимметричным деревом, которое наиболее
сильно ветвится вправо. Это обстоятельство есть про-
проявление языкового правила, а не случайное свойство
примера.
* * *
Система отношений между элементами фразы
(словами и составляющими) описывает формальным
Рис. 7.2. Дерево составляющих.
181
образом синтаксическую структуру фразы. Выбирая
различные наборы содержательно определяемых от-
отношений и описывая их формальные свойства, мы по-
получаем ту или иную формальную модель синтаксиче-
синтаксической структуры фразы. До того, как говорить дальше
о конкретных отношениях и их свойствах, полезно
уточнить, что мы можем ожидать от формального
описания лингвистических объектов и отношений меж-
между ними. Типичная ситуация в математической линг-
лингвистике может быть описана следующим образом.
Мы исходим из некоторого класса однотипных линг-
лингвистических объектов (например, из совокупности
фраз русского языка). Обычно каждый из этих объ-
объектов естественным образом расчленяется на элемен-
элементы, т. е. его можно рассматривать как множество эле-
элементов определенного типа. Так, фразу можно рас-
рассматривать как множество вхождений слов (или слов
и составляющих). Слово можно, в свою очередь, рас-
рассматривать как состоящее из морфем: корней, суф-
суффиксов, приставок, окончаний. Обычно мы, используя
знание языка и его грамматики, умеем не только вы-
выделить элементы, составляющие данный лингвисти-
лингвистический объект, но и установить между этими элемен-1
тами некоторые отношения. Например, мы умеем
указать управления во фразе, выделить согласования,
однородные члены и составляющие.
Мы можем выделить некоторые, инвариантные
относительно замены объекта, свойства этих отноше-
отношений, т. е. свойства, которыми одноименные отношения
обладают для любого объекта из выбранного класса.
Например, отношение следования является для неко-
некоторого достаточно широкого класса фраз русского
языка совершенным порядком.
Итак, нас интересуют отношения, которые могут
быть более или менее однозначно определены на лю-
любом из лингвистических объектов, принадлежащих
некоторому классу, и те свойства этих отношений, ко-
которые выполнены (вообще говоря) для любого объ-
объекта из этого класса.
Иными словами, когда мы употребляем словосоче-
словосочетание «Отношение управления», то мы имеем в виду
класс отношений*), каждое из которых на основе
*) Это обстоятельство мы подчеркнули, написав «Отношение»
с большой буквы.
182
принятых соглашений определено на некоторой фразе
русского языка. При этом для любой фразы русского
языка определено некоторое отношение управления.
Когда же мы в рамках математической лингвистики
говорим о свойствах Отношения управления, то мы
имеем в виду такие свойства, которые выполнены
(опять-таки, вообще говоря!) для любого отношения
управления в любой фразе. Например, свойство «каж-
«каждое слово управляет не более, чем одним словом»
выполняется в следующей фразе:
«Идёт, гудёт зелёный шум».
Однако это свойство не выполняется в очень многих
других фразах, и оно, в нашем понимании, является
не свойством Отношения управления, а только свой-
свойством данной фразы (или же — отношения управле-
управления в данной фразе).
Нас будут интересовать только инвариантные
свойства Отношений. Однако дело обстоит не столь
просто и с инвариантными свойствами. Некоторые
свойства Отношений вытекают логически из их опре-
определений. Например, асимметричность управления
означает просто, что мы условились считать, что упра-
управление может идти только от одного слова к другому
(от сказуемого к подлежащему, но не наоборот).
Свойство Отношения «входить в составляющую» быть
строгим порядком проистекает из того, что это Отно-
Отношение определено через включение множеств. Свой-
Свойства лингвистических Отношений принципиально не
могут быть незыблемыми просто потому, что носитель
языка — человек — обладает свободой воли. Следова-
Следовательно, он волен нарушать любое формальное пра-
правило или сознательно следовать ему. Когда мы пы-
пытаемся установить систему формальных правил, опи-
описывающих структуру языка, у нас часто возникает
иллюзия, что дальнейшее развитие и уточнение этой
системы когда-то в светлом будущем даст полностью
адекватное описание языка. Но любая самая подроб-
подробная система общих правил непрерывно нарушается
живым развитием языка. Даже такое простое прави-
правило, что длина фразы не может быть слишком боль-
большой, может нарушаться. В книге современного поль-
польского писателя Ежи Анджеевского «Врата Рая» всего
две фразы. Вторая из них такая: «И шли целую ночь».
1ЬЗ
Но,' разумеется, текст первой фразы очень четко чле-
членится на коллективы. В частности, когда мы описы-
описываем свойства лингвистических Отношений и обнару-
обнаруживаем, что эти свойства не столь просты, как каза-
казалось, то перед нами возникают два очевидных пути.
Первый состоит в уточнении и поиске более сложной
формулировки этих свойств*). Второй путь — попы-
попытаться по-иному определить сами эти отношения во
фразе**).
Попробуем выразить эту же мысль несколько стро-
строже. Переход от лингвистики к математической линг-
лингвистике состоит в том, что классу лингвистических
(наблюдаемых или мыслимых) объектов мы соотно-
соотносим список Отношений и их свойств (аксиом). Этот
список будем, в соответствии с имеющейся в матема-
математике терминологией, называть Теорией. В этой Теории
Отношения являются всего лишь названиями классов
наблюдаемых в лингвистике отношений. Свойства
Отношений должны быть сформулированы так, чтобы
они имели смысл для настоящих отношений.
Множество с заданными на нем отношениями Аи
А2, ..., Ап называется моделью Теории, если уста-
установлено биективное соответствие между списком
Отношений Теории и совокупностью отношений
{Ль А2, ..., Ап) и соответствующие отношения обла-
обладают всеми свойствами, предусмотренными данной
Теорией.
Теория считается состоятельной для класса линг-
лингвистических объектов, если эти объекты, как множе-
множества элементов с соответствующими отношениями,
в подавляющем большинстве являются моделями
этой Теории. В нашем основном примере наблюдае-
наблюдаемый лингвистический объект — это фраза русского
языка.
Теория содержит пять перечисленных выше Отно-
Отношений (в качестве вариантов можно рассматривать
Теории, содержащие только часть этих Отношений).
Свойства Отношений в этой Теории постулируются
таким образом, чтобы они удовлетворялись для
*) Сюда относятся поиски обобщенных определений проек-
проективности, введение разрывных составляющих и т. п.
**) Так, существуют различные соглашения о расстановке
управлений в случае однородных членов, придаточных предло-
предложений и т. п.
184
одноименных отношении в основной массе фраз рус-
русского языка*). (Можно строить Теорию и с таким
расчетом, чтобы она обслуживала все языки мира;
аксиомы такой Теории являются лингвистическими
универсалиями.)
Первый путь уточнения Теории состоит в более
сложной формулировке свойств Отношений с тем.
чтобы они удовлетворялись на большем количестве
фраз. Второй путь — в уточнении соглашений об опре-
определении отношении во фразах.
Оба эти пути относительно полезны, но настоя-
настоящею решения проблемы не дают. Остается третий
путь — признать, что все наши формальные Теории
(формальные модели языка) являются не самодов-
самодовлеющими, а только отражающими глубинные объек-
объективные свойства живого языка. Эти модели отражают
какую-то языковую норму, но язык может ее нару-
нарушать ради сохранения чего-то в данной ситуации бо-
более существенного. Для языка важно не перейти
некоторый допустимый предел сложности, после кото-
которого речь перестает быть понятной. Поэтому наруше-
нарушения формальных законов в живой речи возникают
в сущности из-за стремления языка к сохранению глу-
глубинных законов. В силу этого стремления наблюдае-
наблюдаемые свойства лингвистических Отношений приобре-
приобретают гораздо больший смысл. Они перестают быть
умозрительной или эмпирической схемой, а стано-
становятся характеристикой языковой нормы, отражающей
глубинные свойства языка. Закон не теряет своей
объективности, но оказывается глубже, чем выражаю-
выражающая его Теория. Однако вне формальных Теорий мы
никогда и не подойдем к пониманию лингвистических
законов. Более того, чем яснее Теория, чем она более
явно выражена, тем легче уяснить ее связь с глубин-
глубинными законами. Когда мы понимаем истинную цену
формальной Теории (модели языка), мы яснее ви-
видим, что при всех кажущихся нарушениях языковых
норм глубинные законы языка чрезвычайно устой-
устойчивы, а попытки их нарушить приводят к невосполни-
невосполнимым потерям.
*) Подчеркнем, чго моделью языка (в том смысле, как это
понимают лингвисты) является Теория, а моделями Теории
(в математическом смысле) служат, о частности, лингвистические
объекты, моделируемые этой Теорией!
185
Здесь напрашивается аналогия с глубинными
нравственными законами. Ввиду очевидной условно-
условности любой формальной системы морали может пока-
показаться, что здесь вообще нет априорных законов,
а существуют только созданные людьми соглашения.
Однако в сфере нравственных законов действует эф-
эффект компенсации, о котором Вл. Соловьев выразился
так: «Человек может не исполнить своей нравствен-
нравственной обязанности, но тогда он неизбежно теряет свое
нравственное достоинство».
После этих небольших общих рассуждений перей-
перейдем к описанию формальных свойств введенных выше
классов отношений.
1. Следование. Об этом отношении нельзя
сказать ничего другого, кроме того, что оно есть со-
совершенный строгий порядок. Ясно, что случаи типа
подстрочных примечаний к середине фразы, подстроч-
подстрочных или надстрочных пометок к отдельным словам
нарушают совершенность (линейность) порядка, но
являются теми самыми исключениями, которыми сле-
следует пренебречь в формальной модели.
2. Управление. В нормальном случае отноше-
отношение управления обладает следующими свойствами:
1. Если выполнены соотношения xi-*х2 —>...—»¦ хп
(п > 2), то невозможно Xi-*xn (антитранзитивность).
2. Существует единственный элемент х, для кото-
которого соотношение у~*х не выполнено ни при каком у.
3. Для всякого х существует не более одного та-
такого у, что у-*х.
Из свойства 1 вытекает, что отношение управле-
управления асимметрично и его граф не содержит контуров.
Лемма 4.7 позволяет тогда заключить, что транзитив-
транзитивное замыкание отношения управления (отношение ру-
руководства) является строгим порядком. Из условий
2, 3 можно вывести, что руководство является дре-
древесным порядком.
Нарушений свойства 1, по-видимому, не отмеча-
отмечалось в реальных фразах, т. е. руководство всегда яв-
является строгим порядком. Однако нарушение древес-
древесного порядка для руководства может возникнуть по
причинам нарушений свойств 2 и 3. По существую-
существующим соглашениям вершиной графа управления может
186
быть только сказуемое, т. е. лишь сказуемое во фразе
может никем не управляться. Остальные члены пред-
предложения всегда имеют старшего (управляющего)
в этой фразе. Но, когда во фразе имеются два одно-
однородных сказуемых, условие 2 автоматически нару-
нарушается. Так как, с другой стороны, подлежащее
управляется всеми сказуемыми, при этом нарушится
и условие 3. Это можно увидеть на следующем от-
отрывке из стихотворения А. С. Пушкина:
«Всех чаще мне она приходит на уста и падшего
1 234 5 678 9
крепит неведомою силой».
10 II 12
На рис. 7.3 показан граф управления для этой
фразы; отклонение от древесности проявляется в том,
х, хг х3
Рис. 7.3. Недревееная структура руководства.
что подлежащее «она» имеет два управляющих слова.
(Стрелка управления 10—• 8 поставлена условно, что-
чтобы избежать изолированных вершин.) Наблюдаемое
пересечение стрелок (которое ниже мы назовем откло-
отклонением от проективности) связано не только с нару-
нарушением древесной структуры руководства, но и с на-
нарушением естественного порядка слов ради поэтиче-
поэтического ритма. При нормальном порядке: «Она приходит
мне на уста всех чаще...» пересечения стрелок исчезнут:
Отметим, что и при отклонении от древесности граф
обычно остается связным.
3. Согласование. Это отношение симметрично
и антирефлексивно*). В общем случае оно не тран-
зитивно. Хороший пример нетранзитивности согласо-
согласований дает фраза из следующего за этим абзаца:
«...во фразе могут быть выделены группы, каждая
из которых содержит...». Здесь согласованы пары
*) Поскольку автору кажется неестественным полагать слово
согласующимся с самим собой. Возможны, разумеется, и иные
соглашения.
187
«которых» — «группы» (по числу) и «группы» — «ка-
«каждая» (по роду), но не согласована пара «которых»—¦
«каждая».
4. Однородность. Это отношение симмет-
симметрично и транзитивно. Будем считать, что слово, не
входящее в группу однородных, не однородно и к са-
самому себе, т. е. что однородность есть свойство груп-
группы, а не отдельного слова. Тогда во фразе могут быть
выделены группы, каждая из которых содержит по
несколько однородных членов, а остальные не входят
ни в одну из групп.
5. Вхождение в составляющие. Уже из
определения следовало, что вся фраза есть (макси-
(максимальная) составляющая. Это дает нам условия:
1. Для всякого х е М существует такое у, что
либо yczx, либо хczу*).
2. Существует единственный элемент, который не
входит ни в какую составляющую.
Следующее содержательное лингвистическое утвер-
утверждение состоит в том, что составляющие не могут
частично перекрываться. Они либо не содержат общих
элементов, либо одна содержит другую. В формаль-
формальных терминах это означает:
3. Если xczij и xczz, то либо у czz, либо
zczy, либо у — z.
К этим свойствам можно добавить
4. Антирефлексивность.
5. Транзитивность,
вытекающие из определения строгого порядка.
Эти пять условий означают, что отношение «вхо-
«входить в составляющую» является древесным порядком.
Этот лингвистический факт—возможность представ-
представления любой фразы в виде дерева составляющих —
явился основой для создания серии формальных мо-
моделей (начиная с наиболее известной порождающей
модели Н. Хомского), описывающих процесс «порож-
«порождения» фразы языка путем последовательной подста-
подстановки вместо каждой составляющей содержащихся
в ней составляющих или слов русского языка.
Подчеркнем важное обстоятельство, которое иной
раз забывается. Свойство текста расчленяться в де-
*) Если фраза сосюит больше чем из одного слова
(Прим. ред.)
188
рево составляющих есть первичный лингвистический
факт, полученный в результате осмысления конкрет-
конкретных лингвистических наблюдений, а не следствие при-
принятой модели порождения. Наоборот, создание мо-
моделей порождения текстов стало возможным только
после осознания того, что текст естественно членится
на составляющие и это членение обладает древесным
порядком. После этого можно уже искать различные
формальные интерпретации этого факта и строить
всевозможные модели порождения (кроме модели
Н. Хомского можно указать на реляционные грамма-
грамматики Ирены Беллертовой, матричные грамматики
С. Абрахама, диспозиционные грамматики В. Б. Бор-
щева и Ю. А. Шрейдера, грамматики с управлением
Э. Д. Стойкого). В. Б. Борщев обратил внимание на
то, что и в формальных грамматиках, не описываю-
описывающих процесса порождения (имеются в виду так назы-
называемые окрестностные грамматики В. Б. Борщева).
возникает естественная структура составляющих. Мы
подчеркиваем данное обстоятельство именно потому,
что в результате изучения математической лингвисти-
лингвистики возникает часто впечатление о том, что возмож-
возможность членения на составляющие есть исключительно
свойство языков, описываемых порождающими под-
подстановочными грамматиками. На самом же деле си-
ситуация в точности противоположна — возможность
описать естественный язык порождающей граммати-
грамматикой есть следствие существования составляющих в
языке и некоторых гипотез о составляющих, в которые
мы здесь не имеем возможности вникать.
* * *
До сих пор мы рассматривали только свойства,
присущие каждому из отношений отдельно, но более
содержательны свойства, связывающие различные от-
отношения. К изучению таких свойств мы и приступим.
Следование и управление
Отношения следования и управления во фразе
нормально связаны так называемым условием проек-
проективности. Фраза называется проективной, если
дважды упорядоченное множество {М, <,=ф) удов-
189
летворяет условию FTi (здесь М — множество вхожде-
вхождений слов во фразу, < — отношение следования, гф -—
отношение руководства; см. § 4 главы IV).
На рис. 7.4 изображены два примера проективных
фраз.
Условимся рисовать граф управления так, чтобы
слова во фразе располагались на прямой в их естест-
естественном порядке, задаваемом отношением следования,
х г ' у х г у
Рис. 7.4. Свойство проективности.
а все стрелки, изображающие управления, проводи-
проводились бы с одной стороны этой прямой (над ней). При
таком соглашении часто используют иное определе-
определение проективности. Фраза называется проективной,
если дважды упорядоченное множество {М, <,гф)
удовлетворяет условию По. Так как, согласно теореме
4.18, условие Иг влечет условие Иь то проверка
непересечения стрелок и непокрытия максималь-
максимальных элементов гарантирует проективность в обоих
смыслах.
Из теоремы 4.19 следует, что в случае, когда руко-
руководство образует древесный порядок, оба определения
проективности равносильны. В случае недревеснон
структуры, изображенной на рис. 7.3, мы имеем при-
пример непроективной фразы (в обоих
указанных смыслах).
Фраза называется квазипроек-
х и г тивной, если стрелки управления
Рис 7 5 К - можно провести так, чтобы они не
проективная струк- пересекались.
тура. На рис. 7.5 изображена квази-
квазипроективная, но не проективная
фраза. В этой фразе выполнены соотношения 2-># и
x<y<.z, но не выполнено z^y.
Удобную формулировку условия проективности
можно получить еще следующим образом. Условимся
проводить дополнительную стрелку управления от
знака препинания, отмечающего конец фразы, к ска-
190
зуемому. Фразу*) можно назвать проективной, если
пополненный указанным способом граф управления
можно нарисовать без пересечения стрелок. В самом
деле, последнее условие равносильно тому, что основ-
основные стрелки управления не дают пересечений и путь
к корню дерева не перекрыт накрывающей стрелкой.
Существует и четвертый вариант определения про-
проективности. Пусть отношение руководства является
деревом. Фразу можно назвать проективной, если вы-
выполняется условие Пз. Из теоремы 4.20 вытекает, что
при сделанном допущении это определение проектив-
проективности равносильно предыдущим.
В этом варианте определения виден содержатель-
содержательный смысл слова «проективность»: отмеченные точки
должны беспрепятственно проектироваться на гори-
горизонтальную прямую, лежащую выше всех точек, а от-
отрезки должны не перепутываться при таком проекти-
проектировании.
К сожалению, в некоторых лингвистических рабо-
работах это определение приводится неточно. Так, в книге
Ю. Д. Апресяна «Идеи и методы современной струк-
структурной лингвистики» (Москва, «Просвещение», 1966,
стр. 248) опущено условие непересечения отрезков.
Но тогда, как показывает пример на рис. 4.12, фраза
может быть непроективной в смысле первых двух
определений. В частности, фраза «Читал человек рас-
раскрытую веселый книгу» имеет как раз ту структуру
управлений, что дана на рис. 4.12. Однако по опреде-
определению Ю. Д. Апресяна ее пришлось бы счесть за
проективную.
Приведем еще пример непроективной структуры
из А. Блока:
| |
I * ill * * * 11 *
Решал все тот же я мучительный вопрос.
Ясно, что такой порядок слов возник из-за внутрен-
внутренней ритмики стиха. В нормальном для прозы порядке
слов и нормальной прозаической ритмике все вполне
проективно:
$ [ | i ill i * П 4
Я решал все тот же мучительный вопрос.
*) Отношение руководства которой является деревом
{Прим. ред.)
191
К счастью для поэтов, русский язык дает широкие
возможности образования непроективных структур,
но не создает их без особой на то надобности. Впро-
Впрочем, в современной русской литературной прозе по-
попадаются неслыханно непроективные структуры.
Однородность, следование
и управление
Можно сформулировать несколько простых
свойств, связывающих порядок слов во фразе, отно-
отношение управления и отношение однородности. Пред-
Предположим, что выполнено соотношение xvy. Тогда, во-
вообще говоря, справедливы следующие утверждения:
1) Если z-+x, то г-*-у и z не находится между
х и у.
2) Если х—*z и y—>z, то z не находится между
х и у.
3) Если х<у, х->г и y~*w, то z < w, x<w,
z <y.
Первое свойство означает, что однородными чле-
членами управляют одни и те же слова и что управляю-
управляющее находится по одну сторону от обоих управ-
управляемых:
I * II
Большой зеленый карандаш лежит на столе.
Второе свойство означает, что общее управляемое
находится по одну сторону от однородных управ-
управляющих:
Дрессированные львы танцуют и поют.
Третье свойство состоит в том, что области управ-
управления однородных слов не перепутываются:
* I * I
Красный мак и белый ландыш стоят в вазе.
Можно показать, что, при указанных условиях на
однородности, во фразе можно ввести разумную ско-
скобочную структуру *).
*) К. И. Бабицкий, О дистрибутивной теории предложе-
предложений с сочиненными частями, НТИ, 1967, № 6.
192
Составляющие и следование
Основное условие, которое лежит в основе всех
подстановочных грамматик, состоит в неразрывности
составляющих. Составляющая а называется нераз-
неразрывной, если из того, что х е а, у е а и z находится
между х и у, следует z е а.
Неразрывная составляющая занимает целый от-
отрезок во фразе. Представление о том, что все состав-
составляющие неразрывны, лежит в основе упоминавшихся
выше подстановочных порождающих грамматик. На
самом деле в русском языке (а также английском, не-
немецком и др.) существуют и разрывные составляющие.
Например, сложное глагольное время легко приводит
к разрывным составляющим: «Он будет завтра читать
лекцию». Такой порядок слов возможен в русском
языке, а для немецкого языка вынесение инфини-
инфинитива в конец фразы является нормой. Можно такие
случаи рассматривать как трансформации нормаль-
нормальных предложений или же по-иному выделять состав-
составляющие во фразе, не считая обязательным включение
основного и вспомогательного глагола в одну состав-
составляющую.
Гипотеза о том, что все составляющие нераз-
неразрывны, равносильна следующему. Возьмем каждую
составляющую в скобки. В силу неразрывности со-
составляющих на каждую из них уйдет одна пара ско-
скобок. В силу древесности структуры составляющих и
неразрывности для двух пар скобок возможны лишь
такие варианты расположения [( )], [ ]( ) и невоз-
невозможно расположение вида ([ )]. Такая расстановка
скобок называется правильной скобочной структурой.
Пусть М—множество составляющих некоторой
фразы. Отношение следования < во фразе индуцирует
}ia M строгий порядок, определяемый следующим об-
образом. Будем полагать а, < а;, если для любых пред*
ставнтелей xt е а,- и Xj е а} выполнено X; < Xj. Ана-
Аналогично устанавливается отношение следования меж-
между словом Xi и составляющей a.j: xt < а,-, если а',- ле-
лежит левее любого представителя из этой составляю-
составляющей, и а-, < Д'г, если х,- лежит правее составляющей.
Ясно, что отношение следования на М уже не являет-
является совершенным порядком, т. к. при а,- с а;- не выпол-
ляется ни сц < он, ни aj <[ exj. Более того, отношение
7 Ю. Л. Шрейлер 193
следования выполняется на тех и только тех парах,
для которых не выполняется отношение включения.
Нетрудно видеть, что множество М с отношениями
с: и < является упорядоченным деревом (в смысле
§ 4 гл. IV). Глубина этого дерева является важной
лингвистической характеристикой фразы. На рис. 7.6
Петр решил трудную задачу из лингдистики
Рис. 7.6.
приведено дерево составляющих для простой фразы.
Глубина этого дерева или, как часто говорят в мате-
математической лингвистике, глубина этой фразы равна
единице.
Эту характеристику фраз впервые ввел В. Ингве,
обративший внимание на тот факт, что глубина ре-
реальных фраз в языке ограничена. Он же высказал
гипотезу, что ограниченность глубины связана с огра-
ограниченностью человеческой памяти, сказывающейся
в процессе порождения речи или ее восприятия.
Количественная формулировка гипотезы Ингве со-
состоит в том, что для любой фразы естественного язы-
языка глубина у дерева составляющих ограничена:
¦ Y<9*)- G.1)
Эта гипотеза эмпирически оправдывается. Средняя
глубина, посчитанная по фразам русского языка, ока-
оказывается заметно меньшей, чем 9.
*) Ортодоксальные лингвисты пишут вместо G.1) неравенство
Y < 7 ± 2.
194
Подчеркнем два важных обстоятельства. Первое
из них состоит в том, что гипотеза Ингве в сущности
прямо не связана с какими-то предположениями
о процессе порождения речи. Она говорит только об
асимметрии дерева составляющих, построенного над
фразой русского или другого естественного языка. При
этом не имеет никакого значения, применима ли
к данному языку та или иная формальная модель по-
порождения. Второе обстоятельство состоит в том, что в
оценке G.1) существенны не какие-либо мистические
свойства числа 7*). Этой оценке можно придать
следующую формулировку: глубина фразы естествен-
естественного языка не выходит за пределы «средних по
А. Н. Колмогорову» чисел. Напомним, что число п
называется «средним по Колмогорову»**), если чело-
человек практически способен перебрать все подмноже-
подмножества множества из п элементов.
В отличие от числа 7***) это обстоятельство не
кажется ни мистическим, ни случайным.
Если мы все же будем рассматривать схему по-
порождения фразы в какой-либо подстановочной грам-
грамматике, то оказывается, что глубина дает оценку для
минимально необходимой памяти, используемой
в процессе порождения. Именно, если- а есть мини-
минимальное количество символов, которое мы обязаны
хранить на каждом шаге порождающей процедуры,
то можно доказать, что
Ka G.2)
и для контекстно-свободной грамматики Хомского это
неравенство обращается в равенство ****).
Равенство у + 1 = о для контекстно-свободных
грамматик Хомского принадлежит Ингве.
Составляющие и управление
Связь между структурой составляющих и управ-
управлениями во фразе можно выразить (в нормальном
*) См. предыдущую сноску.
**) См. А. Н. Колмогоров, Автоматы и жизнь, сборник
«Кибернетика ожидаемая и кибернетика неожиданная», Москва,
«Наука», 1968.
***) См. сноску на предыдущей странице.
****) См. Ю. А. Ш р е й д е р, Характеристики сложности
структуры текста, НТИ, 1966, № 7.
7* 195
случае) в виде следующих свойств. Пусть S(a) —
совокупность всех слов, входящих в составляющую
а. Тогда
1) Каждое S(a) есть дерево по отношению руко-
руководства.
2) Если а и ai — составляющие, то отношение
управления может выполняться только для корней
деревьев S(a) и S(ai).
Иначе говоря, управление от одной составляющей
к другой может передаваться только через главные
элементы этих составляющих. При некоторых допол-
дополнительных условиях свойства 1) и 2) гарантируют
проективность управлений. Будем говорить, что at
и <Х2 суть соседние составляющие, если ai < az (или
оса < ai) н не существует никакого элемента г, ле-
лежащего между ними: at < г < сег (a2<z<ai).
Система составляющих называется полной*),
если для любых двух несовпадающих и несоседних
элементов фразы (слов) л' и у существуют такие со-
соседние составляющие а.\ и с&2, что x^S[a\) н #&S(c&2).
Оказывается, если система составляющих полна и
выполняются условия 1), 2), то фраза проектнвпа.
Это следует непосредственно из теоремы 4.21.
Остановимся еще раз па причинах, по которым
в реальных фразах нарушаются описанные свойства
синтаксической структуры.
Первая из них: говорящий сознательно нарушает
нормальную структуру предложения, чтобы добить-
добиться выполнения како1 ©-то иного свойства. Мы уже ви-
видели, что ради сохранения поэтического ритма часто
привлекают иепроектнвные структуры. Ппгве убеди-
убедительно показал, что непроективиость может возник-
возникнуть и тогда, когда порядок слов, обеспечивающий
проективность, ведет к нежелательному росту глуби-
глубины фразы.
Другая важная причина возникновения отклоне-
отклонений от нормы и, в частности, от проективности со-
•) Легко убедиться, что полнота системы составляющих рав-
равносильна тому, что дерево составляющих бинарно, т. е. из каждой
вершины выходит не более двух отростков.
196
стоит в наличии эллипсисов. Рассмотрим следующий
пример непроективной фразы:
_^___ '. _ |
-I I *¦ II I *¦ I i * I *
На собрание явились важные персоны и не очень.
Ясно, что это предложение является эллипсисом от
счедующего проективного предложения:
На собрание явились важные персоны и не очень
важные персоны.
Итак, мы имеем исходное предложение с отноше-
отношениями следования и управления и его гомоморфизмы
в другое предложение, на котором эти отношения ин-
индуцируются как а-образы (см. § 2 гл. VI). Но мы уже
видели, что при переходе к а-образам свойства отно-
отношений могут портиться. То же происходит и здесь.
В некотором смысле эллипсис можно также рассмат-
рассматривать как своего рода компенсацию: экономится чис-
число слов в предложении за счет ухудшения синтакси-
синтаксической структуры.
Третья причина в сущности двойственна предыду-
предыдущей. Появление однородных членов можно рассмат-
рассматривать как «расклеивание» некоторого исходного
предложения без однородностей. В данном случае мы
имеем дело с корреспонденцией исходных отношений
следования и управления, при которой также пор-
портятся свойства отношений.
•: Проведенный анализ синтаксических структур
около 11000 английских предложений (большей
частью сложных) показал, что около 500 из них яв-
являются пепроектпвными. Подавляющее большинство
этих непроективностей было связано с эллипсисами
и однородными членами.
§ 2. Общее понятие текста
Как мы увидели из предыдущего параграфа, фра-
фраза естественного языка есть не просто цепочка слов,
а множество с системой отношений.
. С другой стороны, текст можно представлять со-
составленным из слов, букв, слогов, словосочетаний и
т. д. Поэтому оказывается удобным сформулировать
общее понятие текста, которое годилось бы для весь-
весьма разнообразных лингвистических ситуаций. , =
1S7
Мы попробуем изложить здесь некоторое доста-
достаточно общее представление о понятии текста, возник-
возникшее у автора совместно с М. В. Араповым и
В. Б. Борщевым из попыток единообразного подхода
к различным лингвистическим объектам. Интуитив-
Интуитивно, текст — это первичный материал лингвистического
исследования. Поэтому естественно требовать, чтобы
слово, фраза или последовательность фраз русского
языка могли быть интерпретированы как текст с фор-
формальной точки зрения. Однако не менее естественно
требовать, чтобы таблица, набор дескрипторов (клю-
(ключевых слов), химическая или математическая форму-
формула также могли рассматриваться как частный слу-
случай общего понятия текста. Такое требование во
всяком случае оправдано захватническими устремле-
устремлениями современной лингвистики.
Представим себе теперь, что текст подвергнут
предварительной формальной обработке; стоит ли
считать, что теперь это не текст, но некоторый иной
объект высшей (или низшей) природы? Нам пред-
представляется, что фразу с расставленными управления-
управлениями (или преобразованную каким-то другим спосо-
способом) стоит рассматривать как некоторую разновид-
разновидность текста. Ведь и самый классический лингвист
редко имеет дело с непосредственной речью. Сама
запись речи через формальные значки-буквы есть
уже некоторая обработка исходного материала. Фи-
Филолог, интересующийся древнерусским языком, имеет
дело ие столько с рукописями, сколько с печатными
их публикациями, где слова расчленены, буквы стан-
стандартизованы...
Попробуем, сначала — не формально, разобрать-
разобраться, из каких существенных компонент слагается
текст. Разумеется, текст составлен из знаков. Но
еще до расстановки конкретных знаков нужно опре-
определить позиции (места), где разрешается ставить
знаки, и отношения между этими местами. Следую-
Следующий шаг состоит в том, чтобы осознать первоочеред-
первоочередную роль отношений между местами. Так, структура
обычного текста определяется прежде всего тем, что
знаковые позиции образуют линейную последователь-
последовательность, т. е. между местами определено отношение со-
совершенного порядка. Структура таблицы определяет-
определяется тем, что между местами в таблице существуют
198
два отношения порядка: «горизонтальное» и «вер-
«вертикальное».
Поэтому целесообразно «места» рассматривать
как элементы абстрактного множества М, на кото-
котором определена система отношений. Отсюда есте-
естественно возникает
Определение 7.1. Синтаксической схемой
S = (М\ Аи .... Ап) называется множество М с за-
заданными на нем отношениями Ль ..., Ап.
Это понятие по существу совпадает с понятием
модели по А. Тарскому. Важность математиче-
математической теории моделей для описания лингвистических
ситуаций, по-видимому, впервые четко сформулиро-
сформулировали В. Б. Борщев и М. В. Хомяков в работе «Окре-
стностные грамматики и модели перевода» (НТИ,
сер. 2, 1970, №3 и № 4).
Множество М мы будем называть несущим мно-
множеством.
Пусть теперь зафиксировано некоторое множество
§1, которое мы будем называть алфавитом. Тогда
отображение <р: М —> §1 можно интерпретировать как
расстановку знаков алфавита на местах: каждому
месту (элементу множества М) сопоставляется неко-
некоторый знак (элемент алфавита ?1).
Мы получаем
Определение 7.2. Текстом Т = (S, ф) назы-
называется синтаксическая схема S с заданным отобра-
отображением ф несущего множества М в алфавит §1.
Хотя это определение может показаться чересчур
абстрактным для такого простого и, казалось бы,
первоначального понятия как текст, оно в сущности
только выражает в точных терминах все то, что мы
обычно вкладываем в понятие текста: выбор исход-
исходного алфавита, т. е. набора простейших символов,
выбор синтаксической схемы, помещение символов
алфавита в различные места синтаксической схемы,
отношения между различными вхождениями симво-
символов в данную синтаксическую схему. Следующий ряд
примеров показывает, насколько данное определение
текста является общим.
Пример 1. Алфавит 51 есть список словоформ
русского языка, 5 — конечное множество М с един-
единственным отношением < совершенного строгого по-
порядка. Тогда текст — это отрезок натурального ряда
199
с -приписанными каждому номеру словоформами.
Говоря менее формально, текст — это любая линей-
линейная последовательность русских словоформ, может
быть, с повторениями. Иначе говоря, такой текст —
это просто цепочка вида
A'i А'з . . . Л'п,
где псе л,- — русские словоформы. В частности, лю-
б.ая фраза русского языка может рассматриваться
как текст такого вида. Можно было бы также расши-
расширить алфавит *Л, внеся туда вес знаки препинания и
цифры.
'', II р и м е р 2. Алфавит 'Л — тот же, что и раньше,
пр. М — конечное множество с четырьмя отношения-
отношениями: следования, управления, согласования и однород-
однородности— обладающими свойствами, описанными в
предыдущем параграфе. Тогда текст — это последо-
последовательность русских словоформ с основными синтак-
синтаксическими отношениями.
, ,.П р и м е р 3. Пусть ЧЛ — кириллический алфавит,
а па множестве М задан совершенный строгий поря-
порядок. Тогда текст — это конечная последовательность
знаков Кириллицы. В частности, каждое русское
слово можно рассматривать как текст такого вида,
т. е. последовательность букв обычного русского ал-
алфавита (одного из основных современных вариантов
Кириллицы).
i Удобно рассматривать синтаксические схемы ви-
вида- 5 = (М, /?i, R2, Яз), где М — конечное множество,
каждое из отношений Ru Ri, Rs есть редукция отно-
отношения строгого порядка и межд\ любыми двумя эле-
элементами множества М может выполняться только
одно из этих отношении. Эти отношения имеют сле-
следующую содержательно ю интерпретацию: Rv — «не-
«непосредственно следовать», Rz — «стоять над, быть
верхним индексом», R3 — «стоять под, быть нижним
индексом». С помощью таких синтаксических схем
можно ввести классы текстов в двух следующих при-
примерах:
• Л р н м ер 4. Пусть 'Л — алфавит, составленный
из латинских и греческих букв, цифр н алгебраиче-
алгебраических знаков (скобки и знаки операций). Тогда любая
алгебраическая формула может рассматриваться как
текст с описанной выше синтаксической схемой. На-
200
пример, формула
структуру вида
имеет спитаксическую
где стрелками указано выполнение отношений
Ru Rb Ri.
Пример 5. Пусть % — множество цифр и сим-
символов химических элементов. Текстами здесь являются
обычные линейные химические формулы типа 1ЬО.
П р и м е р 6. Пусть теперь алфавит 'Я состоит из
текстов предыдущего вида. Синтаксическая схема
имеет вид S = (М./?ь R2, ...), где Rt, /?2, ... — от-
отношения, интерпретируемые как типы химических
связей. При этом для любой пары элементов из М
может быть выполнено только одно из отношений
Ri, Ro, .-. Например, изображение бензольного
кольца
есть синтаксическая схема с двумя типами отноше-
отношений валентности. Тем самым задается класс текстов,
имеющих вид структурных формул органической
химии.
Здесь мы столкнулись с важной ситуацией, когда
тексты одного уровня образуют алфавит для текстов
следующего уровня. Впрочем, мы уже видели, что
словоформы русского языка суть тексты в обычном
русском (кириллическом) алфавите. Сами же слово-
словоформы могут рассматриваться как элементы алфави-
алфавита, в котором записаны русские предложения.
(Кстати, и сами б\квы можно рассматривать как
тексты в алфавите Морзе из точки и тире.)
Пример 7. П^сть алфавит 'Д состоит из сово-
совокупности дескрипторов для некоторой области пауки
или техники (грубо говоря, дескрипторы — это основ-
основные термины данной области, с помощью которых1
можно охарактеризовать содержание некоторого
20» •-
документа — статьи, реферата и т. п.). Множество М
не имеет никаких отношений. Тогда текст — это просто
набор дескрипторов без всяких связей между ни-
ними*). Такие тексты используются в так называемых
информационно-поисковых системах без грамматики
в качестве индексов (или поисковых образов) доку-
документов, позволяющих автоматически отыскивать
нужный потребителю документ.
Обсудим несколько подробней пример 2 с точки
зрения традиционной лингвистической терминологии.
В обычном русском тексте явно задается только одно
отношение — линейный порядок слов во фразе. Итак,
синтаксическая схема для обычного текста Т — это
конечное множество М с совершенным порядком.
Текст над этой синтаксической схемой — это цепочка
словоформ русского языка, т. е. текст в обычном
смысле. В процессе понимания текста мы явно или
неявно устанавливаем дополнительные грамматиче-
грамматические и смысловые отношения между словами и, в ча-
частности, можем вносить в текст новые элементы (на-
(например, символы составляющих). Тем самым в про-
процессе понимания (или в процессе автоматического
анализа) образуется новый текст V над несущим
множеством М' ^ М с заданной системой отношений
(управление, согласование, однородность, вхождение
в составляющую и, быть может, многие другие).
Формально текст V является также текстом в смыс-
смысле нашего определения. Но лингвистический смысл
текста V отличен от смысла исходного текста Т. Для
лингвиста естественно было бы тексту 7" присвоить
специальное название (например, проанализирован-
проанализированный текст или ультратекст или ьчто-нибудь более
красивое). Мы не будем здесь нарушать привилегии
лингвистов и не будем вводить нового термина. Нам
важно только отметить формальное сходство Т и 7"
(и тот и другой суть тексты над некоторым множест-
множеством с отношениями) н различие по существу: пер-
первый есть текст, данный в непосредственном наблю-
наблюдении, а второй — некоторая конструкция, описываю-
описывающая (скорее всего неполно) процесс понимания (а,
может быть, и порождения). Синтаксическая схема
*) Тексты с тривиальной синтаксической схемой — без от-
отношений — называются иногда мешками.
202
текста Т' определяет структуру синтаксических от-
отношений исходного текста Т, которые в исходном тек-
тексте Т не выражены явно. Итак, синтаксическая
структура — это текст, очищенный от конкретных
слов, но с явно указанными контекстными отноше-
отношениями. Иногда синтаксической структурой называют
то, что мы обозначили Т', но это не естественно. Син-
Синтаксическая структура — это не конкретный текст
Т, а то общее, что есть у одинаково синтаксически
устроенных текстов. Например, если есть два исход-
исходных текста Т = «Маша ест кашу» и Т\ = «Петя чи-
читает книгу», то проанализированные тексты V и Т
будут различны, хотя синтаксические схемы здесь,
очевидно, одинаковы.
В действительности, интересно рассматривать не
отдельные тексты, а классы однотипных тек-
текстов — текстов с аналогичной синтаксической схе-
схемой и общим алфавитом. Что такое «общий алфавит»,
понять легко, но что такое «аналогичная синтаксиче-
синтаксическая схема» — это еще требует разъяснения. Заметим,
что в каждом из рассмотренных примеров мы имели
дело именно с классами текстов.
Так, в примере 1 синтаксической схемой являлось
любое конечное множество с совершенным порядком.
В этом примере мы фактически имели дело с неко-
некоторой знаковой системой, определяемой выбором ал-
алфавита и условием, что «места» в текстах упорядочены.
В примере 2 мы задали класс текстов тем усло-
условием, что на несущем множестве обязаны быть опреде-
определены четыре отношения с фиксированными свойствами.
Теперь мы попробуем несколько точнее опреде-
определить понятие знаковой системы. Напомним, что в § 1
мы условились называть Теорией список символов
отношений и свойств этих отношений («аксиом»).
Подразумевается, что свойства разрешается форму-
формулировать в таком виде, чтобы они обретали смысл,
если символы отношений интерпретированы как отно-
отношения на некотором непустом множестве. Например,
Теория может состоять из одного символа < и «ак-
«аксиом»:
1) ни для какого х невозможно х < х;
2) если х < у и у < z, то х < z;
3) для любых несовпадающих х и у выполнено
либо х < у, либо у < х.
2L3
Эти аксцсшы являются бессмысленными (но син-
синтаксически правильными) фразами, пока не указана
интерпретация, т. е. конкретное множество с отноше-
отношением. Но как только переменные х, у, z, . .. мы ста-
станем интерпретировать как элементы некоторого мно-
множества М, эти аксиомы превратятся в осмысленные
утверждения, говорящие, что отношение < есть со-
совершенный строгий порядок на М.
Более точно (с точным определением понятия
синтаксически правильной фразы) понятие Теории
определяется в математической теории моделей.
Пусть теперь выбраны некоторая Теория и алфа-
алфавит 'Д.
Определение 7.3. 'Знаковой системой назы-
называется множество текстов Т — (S, ц>) с синтаксиче-
синтаксическими схемами S = (М, Ль .. ., Ап). у которых от-
отношения Аи Л2, ¦••, Ап взаимно-однозначно соот-
соответствуют символам отношений данной Теории и
удовлетворяют аксиомам этой Теории, а ф есть ото-
отображение несущего множества М в фиксированный
алфавит Й.
Подчеркнем, что в знаковой системе зафиксирова-
зафиксированы только алфавит и Теория, а множества М могут
быть разными.
Например, знаковая система может состоять из
всех линейных последовательностей русских слово-
словоформ. Здесь фиксирован алфавит (множество рус-
русских словоформ), Теория (указано, что в синтаксиче-
синтаксических схемах есть единственное отношение — совер-
совершенный строгий порядок), но несущее множество, за-
задающее длину цепочки, может быть произвольным.
Языком в математической лингвистике обычно на-
называется некоторое множество текстов в фиксирован-
фиксированной знаковой, системе. Примером языка может слу-
служить множество таких цепочек, составленных из зна-
знаков алфавита, которые удовлетворяют определенным
условиям или порождаются некоторой процедурой
(т. е. описываются некоторой «грамматикой»). Если
же класс синтаксических схем состоит из конечных
множеств с совершенным порядком, то язык — это не-
некоторое множество конечных цепочек, составленных
из элементов алфавита ЧЛ.
В рамках математической теории моделей знако-
знаковая система — это множество моделей некоторой тео-
204
рин, для которых заданы отображения ti фиксирован-
фиксированный алфавит.
Следует подчеркнуть одно очень важное обстоя-
обстоятельство. Когда мы рассматриваем знаковую систему
естественного языка, то, как бы мы пи выбирали
допустимый класс синтаксических схем, или, что рав-
равносильно, Теорию, множество реально встречающих-
встречающихся текстов представляет всегда очень малую долю от
всех возможных текстов данной знаковой системы.
По-видимому, здесь мы сталкиваемся с принци-
принципиальным отличием лингвистических структур 6т
привычных физических моделей. В физике мы при-
привыкли, что все фазовые пространства, т. е. совокуп-
совокупности возможных состояний физической системы,
устроены как гладкие многообразия в эвклидовом
(или ином) пространстве. Множество всех осмыслен-
осмысленных текстов естественного языка имеет какую-то
принципиально иную геометрическую структуру, дли
понимания которой у нас еще не выработалась соот-
соответствующая математическая интуиция. В этом, по-
видимому, коренятся зучогие существенные трудности
описания естественных языков. Весьма вероятно, что
это обстоятельство есть общая трудность для мате-
математического моделирования биологических систем.'
Рассмотрим теперь миожество М с заданными от-
отношениями А\, Ао, ..., Ап. Возникает естественная
проблема экономного описания этих отношений.
С такой проблемой мы уже столкнулись при описа-
описании строгих порядков (на конечных множествах):
оказалось, что отношение порядка можно задать
с помощью редукции этого отношения.
Следующая постановка этой проблемы принадле-
принадлежит К- Й- Бабицкому*). Пусть отношения Аи Л2. ...
... , Ап обладают следующими свойствами:
1) Alf]Aj=0 при 1Ф\\
2) /1, U Л2 U • • - U Ап есть полное отношение.
Эти свойства означают, что для каждой пары (х, у}
выполнено ровно одно соотношение л'Л,;/. Проблема
в простейшем варианте состоит в том, чтобы опреде-
определить на множестве М такие отношения В\. В2 Вт,
*) К. И. Бабицкий, О синтаксической синонимии предло-
предложений в естественных языках, HTM, 19(S, № 6.
205
чтобы 1) каждое отношение JBj выполнялось ровно
для одной пары элементов и 2) для любой па-
пары х и у было однозначно определено произведение
В = BtiBi2 ... Bik так, что хАгУ равносильно либо
хВу, либо уВх.
Простейшее решение этой проблемы состоит в том,
что на множестве М любым способом* устанавли-
устанавливается совершенный порядок, а следовательно, нуме-
нумерация: {xi, х-2, .... Хр}. Тогда мы полагаем XiBiXi+i.
Недостаток этого решения в том, что оно опреде-
определяется не самой Теорией, т. е. свойствами отноше-
отношений Ait а проводится для конкретной реализации
Теории на множестве М.
Ясно, что более общее решение может быть осу-
осуществлено только в предположении каких-то сущест-
существенных алгебраических свойств синтаксической схемы.
§ 3. Модели сочетаемости
В этом параграфе мы рассмотрим сравнительно
частную модель, иллюстрирующую полезность рас-
рассмотрения в математической лингвистике отношений
толерантности. Начнем с нескольких замечаний об-
общего порядка.
Разработанные в математической лингвистике ме-
методы имеют известный предел применимости, обус-
обусловленный, по-видимому, ограниченностью концеп-
концепций, на которых эти методы основываются. Как
только нам хочется учесть при описании языка сравни-
сравнительно тонкие индивидуальные свойства языковых
единиц (слов, морфем, предложений), для описания
которых требуется учитывать десятки и даже сотни
признаков, мы вынуждены констатировать отсутствие
адекватного математического аппарата. Не хватает
способа описания «размытых» моделей. Так, напри-
например, существует значительная разница между мате-
математическим описанием семантических и синтаксиче-
синтаксических структур. В задачах синтаксиса всегда выде-
выделяется важное понятие правильной (или, как часто
говорят, отмеченной) структуры. В силу этого основ-
основные задачи синтаксиса сводятся к нахождению спо-
способа удобного перечисления (порождения, распозна-
распознавания) текстов с отмеченной структурой из данной
знаковой системы. Аналогичные задачи могут воз-
206
никать и при переходе к семантике: задание множе-
множества осмысленных текстов данного языка, задание
множества фраз (текстов), имеющих тот же смысл,
что и наперед указанная фраза, и т. п. Решая эти
задачи с помощью готового аппарата порождающих
грамматик, мы наталкиваемся на следующую прин-
принципиальную трудность: при решении синтаксических
проблем часто можно с полным правом огрубить си-
ситуацию, считая, что существует четкое разбиение всех
текстов на множество отмеченных и дополнительное
к нему множество неотмеченных. Однако в более тон-
тонких проблемах, в частности, в семантике, появляется
«размытая» картина — наряду с текстами, безуслов-
безусловно осмысленными (семантически отмеченными), есть
еще больше текстов, об осмысленности которых мож-
можно спорить. Причем, уменьшая от текста к тексту,
совсем немного степень осмысленности, мы за не-
несколько шагов можем прийти к текстам, весьма да-
далеким от правильно составленных. Точно так же,
допуская перифразы с небольшим отклонением смыс-
смысла, мы приходим за серию шагов к тексту, имеюще-
имеющему существенно иной смысл.
Аналогично, устанавливая смысловую близость
слов или оборотов, интересно рассматривать не
столько случаи полного тождества (одинаковости)
смыслов (такие ситуации сравнительно бедны),
сколько случаи сходства смыслов или, что то же са-
самое, наличие достаточно большого множества общих
значений.
Таким образом, при переходе к изучению семан-
семантики речь идет не просто о новой интерпретации син-
синтаксических моделей (например, отмеченные тексты
интерпретируются не как синтаксически правильные,
а как осмысленные), а о новом классе «размытых»
математических моделей.
Эти модели должны задавать не просто множе-
множества отмеченных текстов, а «облако» из таких мно-
множеств, так что при переходе от множества к множе-
множеству отмеченность «почти» сохраняется.
Суть дела состоит, конечно, не в том, чтобы пе-
перейти от точных синтаксических моделей к неточным
семантическим. Это было бы просто отходом от
принципов математической лингвистики. Речь идет
о более трудной вещи: о переходе к точно задаваемым
207
моделям, описывающим в точных терминах расплыв-
расплывчатость семантических явлений, без навязывания са-
самим явлениям не присущей им излишней определен-
определенности и однозначности.
Для пояснения этого принципиального тезиса
приведем аналогию из физики. В классической меха-
механике движения характеризуются точно определяемы-
определяемыми координатой и импульсом. Эксперименты над
микрочастицами показали, что координату и импульс
нельзя одновременно задавать с произвольной точ-
точностью. Можно было бы на этой основе вообще от-
отказаться от точного математического аппарата при
описании динамики микрочастиц. Но квантовая меха-
механика пошла по иному пути: был создан точный агь
парат, позволяющий говорить на точном языке о воз-
возникающих неопределенностях. Этот аппарат основан
на принципиально новом способе описания состоя-
состояний микромира: вместо координаты и импульса вво-
вводится так называемая волновая функция, описываю-
описывающая «размазанность» частицы в фазовом простран-
пространстве. Заметим, что аппарат квантовой физики сам
по себе не менее точно сформулирован, чем класси-
классический.
Перейдем теперь к формальному описанию моде-
модели сочетаемости. Рассмотрим два множества М и L
и соответствие ц> между ними. Обозначим через Ш
график соответствия ф, т. е. множество пар (х, ?),
где х е М, jeL, a x и ? находятся в указанном
соответствии.
На множестве пар Ш мы будем считать заданным
отношение «подобнозпачности», обозначаемое через т.
Запись
читается: ? имеет относительно х значение, подобное
тому, что т} имеет относительно у. Относительно т
будем предполагать, что оно симметрично и реф-
рефлексивно, т. е. является отношением толерантности.
Мы будем обозначать через {Ш, т) соответствующее
пространство толерантности.
Рассмотрим следующий пример. Множество М со-
состоит из основ русских существительных, а миоже*
ство L из падежных окончаний. Пару (х, |) мы вклю-
включим в график соответствия, если основа х сочетается
208
с окончанием ?, т. е. если в русском языке суще-
существует словоформа, полученная прибавлением к ос-
основе х окончания ?. Грубо говоря, пара (х, ?)— это
и есть словоформа, образованная из основы х с по-
помощью окончания |. Отношение (х, е)т(«/, ц) в дан-
данном случае, по определению, означает, что словофор-
словоформы (л;, t) и {у, ц) могут выражать один и тот же
падеж. Например,
ран-а т стол
и
с гол т книг-у,
поскольку первая пара словоформ может выражать
именительный падеж, а вторая — винительный.
Однако словоформы «ран-а» н «книг-у» не могут
выражать общего падежа; таким образом, отношение
х в данном случае не транзитивно.
Ясно, что этот пример можно развить для других
типов основ и для других интерпретаций отношения
т (совпадения рода, числа и падежа или времени, ли-
лица и числа, или еще каких-либо комбинаций грамма-
грамматических признаков).
Во всяком случае, как показывает анализ ранее
приведенного примера, отношение подобиозначности
т, вообще говоря, не является транзитивным.
Вопрос о том, между какими парами фактически
имеет место отношение подобнозначности, стоит вне
рамок математической модели и решается информан-
информантами по соглашению.
Следующий пример состоит в том, что для слов
«голос», «ветер», «игла», «течение», образующих
множество М, можно образовывать пары путем при-
приписывания эпитетов из множества L = {большой,
громкий, сильный, острая, бурное}. В русском языке
заведомо допустимо образование осмысленных пар:
бурное течение, сильный голос, острая игла, большой
ветер, но сомнительны выражения вроде: бурная иг-
игла, громкий ветер. Возможны различные точки зре-
зрения на то, какие из этих пар имеют подобные (схот,-
ные) значения. Можно считать, что все пары выра-
выражают значение усиления и поэтому равнозначны.
Можно считать пары типа «острая игла» и «большая
игла» или «большое течение» и «борное течение»
неподобиозиачными.
209
Можно было бы пойти с самого начала по друго-
другому пути: выделить заранее некоторые (смысловые)
признаки и объявить подобнозначными те пары, в ко-
которых эти признаки можно найти. Тогда отношение
х автоматически оказалось бы транзитивным, по-
поскольку любое отношение, определяемое как совпа-
совпадение некоторой фиксированной группы признаков
(попадание в общий класс), транзитивно.
Мы же принимаем противоположную точку зре-
зрения: сначала определяется подобнозначность кон-
конкретных пар (в пределах точности, принимаемой ин-
информантом), а лишь затем выясняется, можно ли
подобнозначные пары («синонимы») классифициро-
классифицировать на группы.
Определение 7.4. Назовем предсемьей пару
вида (ф, т), где ф = (9Я, М, L) — соответствие, а т —•
отношение толерантности на 9Й.
Понятие предсемьи определяет важный тип струк-
структуры, который можно наглядно изобразить следую-
следующим образом. Сопоставим элементам множеств М и
L вершины некоторого графа 9Я. Элемент х е М бу-
будем соединять с элементом |eL ребром, если х и |
^ находятся в соответствии ф, т. е.
если {х, ?)е9Я. На множестве
ребер ЗЯ задается толерант-
толерантность т.
Например, имеется множест-
множество клиентов М и множество об-
обслуживающих мастеров L. Неко-
Некоторые мастера обслуживают не-
некоторых клиентов. Про некото-
некоторые пары таких обслуживании
Рте. 7.7. Предсемья. утверждается, что они сходны.
В частности, может оказаться,
что эти обслуживания можно разбить на непересе-
непересекающиеся классы сходных: починка обуви, химчистка,
ремонт часов и т. п. Это соответствует случаю транзи-
транзитивности отношения т.
На рис. 7.7 толерантные ребра помечены одина-
одинаковым способом. В этом примере отношение т не
транзитивно. В транзитивном случае ребра каждого
типа можно выкрасить в особый цвет.
Определение 7.5. Предсемья (ф, т) называет-
называется связной, если
210
а) соответствие ф всюду определено;
б) соответствие ф сюръективно;
в) множество М непусто.
Очевидно, в случае связной предсемьи множество
L также непусто и соответствующий граф не имеет
изолированных вершин.
Иными 'Словами, в связной предсемье всякий
клиент обслуживается хотя бы одним мастером и,
наоборот, каждый мастер обслуживает хотя бы одно-
одного клиента.
Определение 7.6. Связная предсемья (ф, т)
называется семьей, если
а) для любых х е М и у е М и 'любого ^ei
такого, что (х, |) е Ш, существует tj e L такое, что
{у, т])е1и (х, 1)х(у, т)).
б) для любых ^eL htjeL и любого х ge M та-
такого, что (я, ?) е WI, можно найти у ge M такое, что
(у, ti)el и(х, ?>х{у, т)).
Свойство а) можно назвать полнотой: если в семье
может быть выражен некоторый смысл относительно
слова х, то тот же смысл можно выразить и относи-
относительно любого другого слова у.
Свойство б) можно назвать однородностью: если
| выражает некоторый смысл относительно слова х,
то любой другой элемент tj ge L для каких-то слов вы-
выражает тот же смысл.
Иначе говоря, все типы обслуживании, которые
имеет один клиент, имеют и все остальные. И все виды
обслуживания, которые выполняет один мастер, вы-
выполняет и любой другой, хотя, возможно, для других
клиентов.
Определение 7.7. Семья (ф, т) называется
примитивной, если т — полное отношение.
Может быть полезным исследование ситуаций,
когда описание семьи сводится к заданию одной или
нескольких примитивных. Такое сведение возможно
для случая транзитивности отношения т (теорема 7.3).
Теорема 7.1. Если в семье (ф,т) отношение х
транзитивно и существует элемент | ei такой, что
для любых х^М и у^М из {х,1)^Ш и {y,Q^Tl
вытекает (х, 1)х(у, |), то семья (ф, т) примитивна.
Доказательство. Покажем, что для любых
(*,т])еЕЙЯ и (у,?,)еЕЖ выполнено (х,г\)т{у,?). По
определению 7.6 найдутся такие z^M и ueJM, что
211
(х, г\)х(г, g) и {у. ?)х{и, ?}. Так как по условию
(г, |)т(ы, g) и отношение т симметрично и транзи-
tiibho, получаем {х,г\)х{у,?)¦
Эта теорема допускает следующую наглядную ин-
интерпретацию: если есть один элемент ^eL, выражаю-
выражающий для всех элементов из М общий смысл, и х тран-
зитнвно, то все пары выражают один и тот же смысл.
Тот же вывод верен, если семью можно пополнить таким опе-
оператором \. Например, если к средствам естественного языка до-
добавить формальные выражения операторов типа Мельчука—Жол-
Мельчука—Жолковского *) и включение такою оператора в семью позволяет
выразить тот же смысл для любого слова, то (разумеется, если
отношение т было транзнтивпо) исходная семья автоматически
оказывается примитивной.
Теорема 7.2. Если в семье (ф,т) множество L
одноэлементное, то семья (q.r) примитивна.
Действительно, пусть L = {?} и х е М, у е М. По
определению 7.5 (x,|)el и {у, ?)е9Л. Из (я, |)е
е ЭК по определению 7.6 вытекает существование та-
такого r| e L, что (л:, ?)т(г/, т)). Поскольку по условию тео-
теоремы I = >}, (х,?)т(у,1), ч. т. д.
Здесь мы доказали примитивность семьи (<р,т), не
лспользуя транзитивность отношения т.
Для транзитивного отношения т любая семья мо-
жег быть представлена как несложная композиция
примитивных. Разберем этот случай немного подроб-
подробней. В этом случае множество пар (ребер графа) раз-
разбивается на непересекающиеся классы эквивалент-
эквивалентности.
Определение 7.8. Семья Zi = (фь ti) =
= ({Ш[, Mi, Li), Ti) называется простым сужением
семьи У. = (<р, т) = ({Ш, М. L), т), если М, = М. L, s L,
Пусть в се.мье 2. — (ф,т) отношение т трапзитнвно
и К — некоторый класс эквивалентности для этого от-
отношения. Тогда можно рассмотреть простое сужение
S.K={{K,MfL),xK) семьи I = (('№, М, L), т), полу-
получаемое, если оставить только пары, входящие в класс
Л'. Легко проверить, что ?* действительно является
семьей. В самом деле, существует хотя бы одна пара
(х,g), принадлежащая классу К. По тогда по опре-
определению семьи для всякого у s М существует ц е L
*) А. К. Жолковский и И. А. Мельчлк, Проблемы
кибернетики, вып. !9.
212
такое, что (х,^)х(у,ц). Следовательно, (у, tj) e/(.
Аналогично, для любого ц е L существует у^М та-
такое, что (х, ?)х{у, ц). Таким образом, сужение 2к яв-
является семьей, причем, очевидно, примитивной семьей.
Беря все классы эквивалентности, мы приходим к ре-
результату, формулируемому как
Теорема 7.3. Пусть 2 — семья с транзитивным
м ношением т. Тогда существует множество примитив-
примитивных семей 2/,-., 2а-, ¦¦- таких, что
1) каждая семья 2к-;. есть простое сужениесемъи~%\
2) для каждой пары {х, ?) е Щ существует ровно
одно Ki, для которого (х, gN e /С,-;
3) если (х,?)т{у,г)), то пары (#, |) и (у,ц) при-
принадлежат общему /\,-.
Теорема 7.3 дает в сущности перечисление всех
возможных семен с транзитивным отношением т. Гео-
Геометрически такие семьи строятся так: берутся множе-
множества М и L и строятся m графов. В каждом из гра-
графов любая вершина из М соединена с некоторой вер-
ншиоп из L и любая вершина из L соединена с некото-
некоторой вершиной из М. В каждом графе ребра окрашены
в свой цвет. Наконец, каждая пара (х, t) может со-
соединяться только в одном из графов, т. е. каждая
пара может соединяться ребром только одного цвета.
Теперь берется объединение всех ребер н полагается
{х, ?)т(у, ц), если соответствующие ребра одинаково
окрашены. Эта конструкция и дает общий вид транзи-
транзитивной семьи. Ее одноцветные части являются состав-
составляющими примитивными семьями.
В петранзитнвном случае роль примитивных се-
семей играют неразложимые семьи. Именно, семья
(ф,т) называется неразложимой, если транзитивное
замыкание t отношения т является полным отноше-
отношением. Для произвольной семьи имеет место точный
аналог теоремы 7.3 с заменой термина «примитивная»
на «неразложимая». Таким образом, все сводится
к алгебраической проблеме описания всех неразло-
неразложимых семей.
§ 4. Формальная задача теории дешифровки
В области дешифровки неизвестных письменно-
письменностей и языков (и в других родственных лингвистиче-
лингвистических проблемах) явным образом возникают задачи
213
об установлении изоморфных соответствий между
множествами с отношениями.
В предыдущей главе было определено, что такое
изоморфизм двух множеств, на которых задано по от-
отношению. Пусть теперь имеется два множества, на
каждом из которых определено по п отношений:
{М\ А\, А\, ..., An) и (М2, A], Al ..., Al). Мы го-
говорим, что эти два множества с отношениями изо-
изоморфны, если существуют такие взаимно-однозначное
соответствие -ф между множествами М1, М2 и взаимно-
взаимнооднозначное соответствие 6 между множествами
[Al, А\, ..., Al} и {Аи А% ..., Al), что между со-
соответствующими друг другу элементами множеств
выполнены соответствующие друг другу отношения.
Именно, если х* и у1 принадлежат Ж1 и выполнено
соотношение х1А\у1, то для их образов xz = (x)
и у2 = ty (у1) должно выполняться соотношение л:/у
где А) = 6 (Л/). Обратно, из х2А)у2 должно следовать
хА^ *)
В задачах дешифровки часто возникает задача по-
поиска соответствия (перевода) между двумя множест-
множествами (слов или других элементов языка) и между
отношениями на этих множествах так, чтобы это соот-
соответствие устанавливало изоморфизм множеств с отно-
отношениями. В качестве примера мы приведем искусствен-
искусственно придуманную задачу, которая давалась на Второй
традиционной олимпиаде по языковедению и матема-
математике на филологическом факультете Московского го-
государственного университета.
Дан перечень из следующих десяти арабских слов,
записанных в латинской транскрипции (знак с озна-
означает специфический согласный арабского языка):
miyzal, macbud, mahzan, macmil, mirgab, macbar,
mayzul, macbad, micbar, macmal. Это множество мы
обозначим через Жар. Множество Мрус русских слов
состоит из переводов этих слов на русский язык: ку-
кумир, рабочий, речная переправа, склад, пряжа, па-
паром, завод, веретено, святилище (место поклонения),
телескоп. Требуется для каждого из арабских слов
*) Таким образом, введенное здесь понятие изоморфизма яв-
является аналогом не понятия изоморфизма из § 1 гл. VI, а поня-
понятия ft-изоморфизма. (Ср. со сноской на стр. 163). (Прим. ред.)
214
определить его русский перевод. Иными словами,
требуется (не обращаясь к словарям и лицам, знаю-
знающим оба языка) найти правильное соответствие:
¦ф: Л1ар->Л/рус.
Задача на первый взгляд не может иметь одно-
однозначного решения. Любое из взаимно-однозначных
отображений Жар —»• Mvyc в равной степени может
быть формальным ответом. Общее число возможных
отображений равно числу перестановок из 10 элемен-
элементов, т. е. 10! =3 628 800. Оказывается, простой факт,
что мы имеем множества из осмысленных слов, со-
сокращает степень неопределенности задачи в более
чем три с половиной миллиона раз и позволяет полу-
получить однозначное решение задачи с высокой степенью
надежности. Дело в том, что в нашем множестве рус-
русских слов отчетливо выделяются некоторые смысло-
смысловые отношения. Это отношения Rt —«относиться к об-
общему семантическому полю» и /?2 — «выражать об-
общий семантический класс». Оба эти отношения суть
эквивалентности и определяют разбиения множества
Мрус на классы. Классы по Ri имеют вид:
{веретено, пряжа}, {телескоп}, {паром, переправа},
{кумир, святилище}, {склад}, {завод, рабочий}.
Классы по /?2 имеют вид: {веретено, телескоп, па-
паром} — инструмент, которым производится действие,
{пряжа, кумир} — объект, над которым производится
действие, {переправа, святилище, склад, завод} — ме-
место действия, {рабочий} — субъект действия. Но меж-
между соответствующими арабскими словами выполнены
те же самые смысловые отношения. Правдоподобно
предположить, что эти отношения как-то выражены
во внешней форме слов. Посмотрим теперь, какие
формальные отношения существуют между арабскими
словами из Мар. На множестве Мар легко выделяются
два отношения: Q] — «иметь одинаковую структуру со-
согласных» и <3г — «иметь одинаковую структуру глас-
гласных». Оба эти отношения суть отношения эквивалент-
эквивалентности *). По отношению Q± мы имеем следующие
*) Разумеется, эти отношения легче выделить, если заранее
знать, что в семитских языках (к этому классу языков относятся
арабский, иврит, эфиопский, аккадский и многие другие >ки-
215
классы: {miyzal, mayzul}, {mirgab}, {micbar, ma-bar),
{macbud, ma'bad}, {mahzan}. {marmal, rna'milj. По
отношению Qn получаем классы {mi\'zal, mirgab,
micbar}, {mayzul, ma'bud}, {ma'bar, ma'bad, mahzan,
macmal}, {ma'mil}.
Сравнивая числа элементов в классах разбиений
множеств Мяр и Mvyc, мы видим, что отождествить
следует отношения R{ н Q\, а также /?2 н <Эг- Теперь
надо установить такое соответствие между арабскими
и русскими словами, чтобы словам, входящим в об-
общий класс по Qi, соответствовали слова, входящие
в общий класс no Rt. Аналогично, если арабские
слова имеют общую структуру гласных (находятся
в отношении Q>), то нх русские переводы должны вы-
выражать общин семантический класс (находиться в от-
отношении R>). Соберем арабские и русские слова
в таблицы, где столбцы и строки обязаны соответство-
соответствовать друг другу в смысле совпадения числа элемен-
элементов в соответствующих классах (см. стр. 217):
Из этих таблиц видно, что изоморфное соответ-
соответствие (перевод с сохранением указанных отношений)
возможно только при выбранном соответствии строк
(классов по /?i и Qt) и столбцов (классов по R> и Q>)-
Более того, в скобках мы указали русские и араб-
арабские слова, на которые наша таблица дает основа-
основание экстраполировать полученное соответствие. Эта
процедура напоминает заполнение Менделеевым пу-
пустых мест в открытой им таблице химических эле-
элементов. Заметьте, что таблицу Менделеева тоже
можно интерпретировать как установление соответ-
соответствия между классами элементов с данными хими-
химическими свойствами и классами элементов с дан-
данными типами атомных весов и номеров.
В реальных задачах дешифровки трудность за-
заключается в том, что чистого изоморфизма никогда
ие бывает, а нужно искать простые множества слов
(слогов, букв) и их соответствия, для которых изо-
изоморфизм выполняется. Читатель теперь может сам
обратиться к литературе о дешифровке Гротсфенчом
персидской клинописи, Вептрнсом — крнто-микеп-
вие и мертвые языки народов передней Азии и северо-восточной
Африки) последовательности согласных и гласных имеют смысло-
различнтельпый характер.
216
\v Г 1асные
Согласные \
myzl
mrgb
tn'br
m'bd
mhzn
ni'ml
ia
miyzal
mi rgab
milbar
аи
mayzul
ma'brnl
аа
{mar gab)
та'bar
ma'bad
mahzan
ma'mal
at
(margib)
{ma'bid)
ma'mil
^\^^ Класс
По le ^~^.
Прядение
Астрономия
Перевоз
Культ
Хранение
Производство
инстру-
инструмент
Веретено
Телескоп
Паром
обьект
Пряжа
Кумир
место
(Обсерватория)
Переправа
Святилище
Склад
Завод
субъект
(Астроном)
(Жрец)
ского слогового письма н др., чтобы убедиться в том,
что в каждом случае речь шла о выборе изоморфиз-
изоморфизма между теми или иными лингвистическими отно-
отношениями.
§ 5. О дистрибуциях
В структурной лингвистике широко используется
понятие так называемой дистрибуции, или дистрибу-
дистрибутивного отношении. Это понятие применимо к любым
элементам, образующим тексты; словам, слотам.
217
{
морфемам, буквам, звукам и т. д. Мы дадим
здесь основные определения, связанные с этим по-
понятием.
Пусть задан некоторый язык Я, т. е. некоторое
множество текстов, принадлежащих фиксированной
знаковой системе. Таким образом, мы здесь пони-
понимаем язык как запас текстов определенного вида.
Определим теперь операцию замены (х; а~>Ь) *).
Пусть имеется некоторый текст 7 = (S, ц>), где S =
= (М, Аи Л2, ..., Ап). Результатом замены {х; а -»
—*¦ Ь) мы будем называть текст 7'*= (S, ф'), где
ф'(г/) = ф(г/) для всех элементов у несущего множе-
множества М, отличных от х, и
ф(л:), если у(х)фа,
Ь, если ф (л:) = а.
В случае ц>(х) Фа результирующий текст Т совпа-
совпадает с исходным. В этом случае замену мы будем на-
называть фиктивной. Иначе говоря, замена (х; а-*Ь)
состоит в том, что текст в фиксированном месте х
меняется: если в этом месте текста 7 стоял знак а,
то в Т на этом же месте будет стоять Ь.
Например, пусть синтаксическая схема есть мно-
множество {1, 2, 3, 4} с совершенным порядком, а текст
7 есть цепочка abca. Тогда замены
A; а —6), B; а — Ь), C; а-*Ь), D; а-*Ь)
дают, соответственно, следующие цепочки:
bbca, abca, abca, abcb.
Текст Т, полученный в результате данной замены
(я; а~* Ь) из текста 7, вообще говоря, не обязан
принадлежать тому же самому языку. Поэтому, если
дан алфавит Ш и зафиксирован язык, то возмож-
возможность выполнять замены некоторых знаков алфави-
алфавита, не выходя за пределы этого языка, определяет
дистрибутивные отношения на алфавите Ш, т. е. от-
отношения, связанные со свойствами распределения
знаков алфавита в тексте. Введем соответствующие
определения, считая каждый раз, что язык
Я уже зафиксирован.
*) Здесь а и Ь — элементы алфавита SX, а х — элемент
несущего множества М для текста 7\
218
Определение 7.9. Элемент а мажорирует
элемент Ь, если для всякого текста ГеЯ результат
замены вида (.«; а-* Ь) при любом х есть текст Т',
принадлежащий языку Я-
Это отношение мы будем обозначать через гф\
Легко проверить, что оно рефлексивно и транзитив-
но, т. е. является квазипорядком. Отношение
является отношением эквивалентности (теорема 4.6)
и означает взаимозаменимость. Именно, а фф b озна-
означает, что текст Т и результат любой замены
(я; а—>Ь) одновременно принадлежат или не при-
принадлежат языку Я- Действительно, соотношение
а ?ф b означает, что одновременно выполнено а гф b
и бгфа. Таким образом, если ГеЯ, то и результат
замены (я; а-*Ь) V <= Я. Если же ГеЯ, то ре-
результат обратной замены (х; Ь-*а), совпадающий
с исходным текстом Т, также принадлежит Я.
Например, в языке, состоящем из цепочек abb.
bbb, aba и bba, над алфавитом из двух элементов а
и b выполнено соотношение а=^Ь. но не выполнено
b гф а; таким образом, отношение гф является здесь
настоящим порядком.
Определение 7.10. Элементы а и b находят-
находятся в отношении общей дистрибуции, если существуют
такой текст Т = (S, ф)еЯ и такая замена
(х; а-*Ь), что результат замены Т принадлежит
языку Я, причем ц>(х) = а.
Последнее означает, что замена (л:; а —> Ь) не
фиктивна, но в позиции х действительно присутствует
элемент алфавита а, заменяемый на Ь. Отношение
общей дистрибуции симметрично, так как, если су-
существует нефиктивная замена (х; а-* Ь) в тексте Т,
то в результирующем тексте Т существует нефиктив-
нефиктивная замена (х; Ь-*а). Отношение общей дистрибу-
дистрибуции, вообще говоря, не рефлексивно. Для рефлексив-
рефлексивности этого отношения необходимо и достаточно, что-
чтобы в алфавите ?1 не было «безработных» элементов,
т. е. чтобы для всякого элемента а &Ш существовал
текст- Т = (S, ф) е Я и позиция х, для которой
Ф (я) = а. Тогда в этом тексте возможна замена
(я; а-* а). Таким образом, отношение общей дистри-
219
буцни является (при разумных ограничениях на
язык) толерантностью.
Мы могли бы ввести другой вариант этого отно-
отношения, потребовав в определении 7.10, чтобы Т не
совпадал с Т. Условие ф(л:) = а было бы этим обе-
обеспечено, но никакой элемент а не был бы тогда в от-
отношении общей дистрибуции сам с собой. Такое
отношение было бы симметричным и аптирефлек-
сивным.
Наконец, важный тип дистрибутивных отношений
даст
Определение 7.11. Элементы а \\ Ъ находятся
в отношении дополнительной дистрибуции, если для
всякого текста Т = {S, ф) е Я результат Т любой
замены (х; а-*Ь) при ц>(х) =а не принадлежит
языку Я.
Соотношение дополнительной дистрибуции между
элементами алфавита а и b мы будем обозначать
через a Com b. Отношение дополнительной дистрибу-
дистрибуции очевидным образом антнрефлексивно"). Дока-
Докажем, что отношение дополнительной дистрибуции
симметрично. Пусть выполнено a Com b, но неверно,
что b Com а. Тогда существует текст Т еЯ и не-
нефиктивная замена (х; Ь-+а), дающая текст ГеЯ.
Тогда в тексте Т можно проделать- нефиктивную
замену (х; а—*-Ь), т. е. соотношение a Com b не вы-
выполнено. Полученное противоречие доказывает сим-
симметричность дополнительной дистрибуции. По теоре-
теореме 3.1 на алфавите ?1 можно ввести такую систему
признаков, что соотношение a Com b будет выполнено
в том и только том случае, когда а и b имеют ровно
один общий признак.
В качестве примера рассмотрим язык Я, состоя-
состоящий из цепочек abbe, bbbc, baba, abbb, abbd и bbbd.
В этом языке а и b находятся в отношений общей
дистрибуции, b и с также находятся в отношении об-
общей дистрибуции, но а и с находятся в допол-
дополнительной дистрибуции. Элементы с и d взаимозаме-
нимы: сф^-d. Элемент d находится с элементами а и
b в тех же дистрибутивных отношениях, что и эле-
элемент с
•¦) Если в алфавите VI ист «безработных» элементов.
(Прпи ред.)
22Q
Нетрудно доказать, что справедлива следующая
Лемма 7.1. Если элементы а и b взаимозаме-
нимы, а элемент с находится в одном из двух дистри-
дистрибутивных отношений с а, то он находится в том же
отношении с Ь.
Так как отношение взаимозамепимостн есть экви-
эквивалентность, то можно ввести разбиение алфавита %
на классы эквивалентности по этому отношению. Эти
классы называются дистрибутивными классами.
В качестве примера возьмем множество синтакси-
синтаксически правильных русских фраз. Это множество
можно рассматривать как язык Яг над алфавитом
VI, состоящим из всех р\сских словоформ. Этот язык,
вообще говоря, нельзя отождествлять с русским язы-
языком в классическом понимании. Так, в язык Яг
нам пришлось бы включить тексты типа
«Огненный стул зачумчиво преобразовывал canoin».
С другой стороны, в Яг не войчет. скорее всего, фра-
фраза «Я для нее все равно», хотя этот пример взят из
Лермонтова («Княгиня Литовская»).
В языке Я у дистрибутивные классы состоят из
словоформ, имеющих тождественную грамматиче-
грамматическую структуру — совпадающий набор грамматиче-
грамматических признаков. (Мы не уточняем здесь полного
списка признаков: в зависимости от того, что мы
принимаем в качестве признаков, исчерпывающих
грамматическую характеристику словоформы, лш мо-
можем полхчпть разные языки Яг ¦) Дистрибутивные
классы б\ ivt состоять из множеств словоформ вида
{стул, стол, столб, катер, .. .} или {зеленого, большо-
большого, прекрасного, .. .}. Эти множества состоят нз
граммашчеекп одинаковых форм разных слов, по-
поскольку, заменяя слово в некоторой форме на другое
слово в топ же форме, .мы будем получать грамма-
грамматически правильную фразу. Так, приведенный выше
пример имеет вполне осмысленный прототип:
«Огненный столб медленно окутывал дома».
Если мы возьмем две словоформы существитель-
существительных, стоящие в разных падежах, то они будут нахо-
находиться, вообще говоря, в дополнительном распреде-
распределении, поскольку, изменив в правильной русской
221
фразе падеж существительного, мы получаем обычно
неправильную фразу.
Формально, существуют примеры текстов, где раз-
различные падежи существительных могут заменять
друг друга. Скажем, одинаково возможны фразы
«Врач осматривает глаза» и «Врач осматривает гла-
глазами». Но по существу здесь взаимозаменимость про-
происходит от незаполненности всех мест. В «полных»
фразах, где явно указаны «мнимые» члены предло-
предложения, взаимозаменимости уже не будет: «Врач ос-
осматривает чем-то глаза» и «Врач осматривает глаза-
глазами что-то». Аналогично, прилагательные, не совпа-
совпадающие по роду, числу и падежу, также находятся
в дополнительном распределении.
Представим теперь, что в некотором языке Я
в каждом дистрибутивном классе выбран эталонный
элемент. Тогда в любом тексте языка любой элемент
алфавита может быть заменен эталонным элементом
из того же класса. В силу взаимозаменимости лю-
любых элементов одного класса мы получим опять текст
из языка Я- Запас таких текстов мы будем назы-
называть эталонным. Обратно, любой текст языка Я мож-
можно получить из эталонного с помощью ряда замен
вида (х; а-*Ь), где а и b лежат в одном классе.
Итак, вместо того, чтобы указывать все множество
текстов языка, достаточно задать эталонный запас и
правила замены, т. е. дистрибутивные классы. Тем
самым более экономно кодируется информация об
языке. В сущности изучение грамматики чужого
языка обычно идет путем задания эталонных текстов
и дистрибутивных классов (перечня типов склонений
и спряжений). Разумеется, так можно изучить лишь
грамматическую структуру языка, а не фразеологи-
фразеологические обороты, смысловую сочетаемость и оттенки
значений.
М. В. Арапов заметил, что школьное обучение
грамматике родного языка путем так называемой
постановки вопросов есть в сущности обучение под-
подстановке вопросительного местоимения вместо сло-
словоформы. Например, переход от фразы «Маша ку-
кушает кашу» к вопросительным фразам «Кто кушает
кашу?» и «Маша кушает что?» есть переход к эта-
эталонным местоимениям, для которых ученик заранее
запоминает название падежа.
222
Заметим, что можно изучать дистрибутивные от-
отношения в фиксированной позиции текста, зафикси-
зафиксировав во всех предыдущих определениях значение х
в заменах (х; а-^-Ь).
Следующие рассуждения годятся лишь для слу-
случая, когда язык Я есть множество конечных цепо-
цепочек (синтаксическая схема есть конечное множество
с одним отношением — совершенным порядком).
Будем далее употреблять знак включения А<=,В
для того, чтобы указать тот факт, что цепочка А яв-
является связной частью цепочки В, т. е. что знаки ал*
фавита, стоящие в серии последовательных позиций
цепочки В, образуют цепочку А *).
Например, если В = abcabb и А = cabb, то А <= В.
Пусть А, В и А' — три цепочки и ЛеВ. Резуль-
Результатом замены А-+ А' называется цепочка В', полу-
полученная из В зачеркиванием цепочки А и вписыва-
вписыванием на ее место цепочки А'**). При такой замене
длина цепочки может измениться.
Определение 7.12. Цепочки А и А' называются
взаимозаменимыми, если для любой замены А-+А'
в любой цепочке В такой, что Л=В, результат за-
замены принадлежит Я в том и только том случае,
когда йеЯ, и обратно: для любой замены А'—*А
в любой цепочке В такой, что А'<=В, результат за-
замены принадлежит Я в том и только том случае,
когда В е Я-
Лемма 7.2. Отношение взаимозаменимости це-
цепочек является эквивалентностью.
Доказательство предоставляем читателю.
Обозначим отношение взаимозаменимости цепо-
цепочек тем же символом О. что и аналогичное отноше-
отношение для элементов алфавита.
Множество всех «безработных» цепочек, т. е. це-
цепочек, не входящих ни в одну цепочку языка Я, об-
образует класс эквивалентности по отношению взаимо-
взаимозаменимости, который мы обозначим /Сбр-
*) А е В означает существование таких цепочек С, D, что
цепочка В получается последовательным приписыванием к цепоч-
цепочке С сначала А, потом D(B = CAD). (Прим. ред.)
**) Поскольку цепочка А может входить в цепочку В не-
несколько раз, результат замены не однозначно определяется це-
цепочками А, В, А'. (Прим. ред.)
223
Пример I. Язык Яi состоит из всех цепочек
вида ambn, т. е. аа ... а ЬЬ . .. Ь (т^О, п ^ О, т +
т раз п раз
+ п>0). В данном случае имеются четыре сле-
следующих класса взаимозаменимых цепочек:
#бР. Ка = К аа,...}, Кь = {b, bb,...}, Каь = {ambn},
где т > 0 и п > 0.
Пример 2. Язык Я состоит из всех цепочек ви-
вида а'"Ьт. В этом случае количество классов оказы-
оказывается бесконечным: Л"бр, Кп = {а^Ь"}, где q — р = п
(п = 0, ±1, ±2, ...), а также одноэлементные клас-
классы К1={ап, и К1 = {Ь1) U, } = \, 2, 3 ...).
Аккуратное вычисление классов в этих примерах
предоставляем читателю.
Обозначим через © множество всех конечных це-
цепочек над алфавитом 'Л. Нетрудно видеть, что если (й
рассматривать как язык, то в нем есть ровно один
класс взаимозамснимых цепочек. Множество © яв-
является полугруппой относительно операции приписы-
приписывания цепочек (так называемой конкатенации).
Результат приписывания цепочки В справа к це-
цепочке А мы будем обозначать через А В. Например,
если А = aba и В = aab, то АВ = abaaab и
В А = aababa.
Лемма 7.3. Пусть А4=? А' и В<=$В'. Тогда
АВ4=}А'В'.
Доказательство предоставляем читателю.
Итак, результат операции приписывания разных
представителей классов лежит всегда в одном и том
же классе. Это означает, что можно определить опе-
операцию приписывания самих классов взаимозамени-
взаимозаменимости. Именно, пусть даны два класса К.% и К?.. Вы-
Выберем в них по представителю А е Кг и В е Кг.
Тогда через /Ci/Сг мы обозначим класс, в котором на-'
ходится цепочка АВ. В силу леммы 7.3 определение
класса К1К2 не зависит от выбора цепочек в клас-
классах Ki и К2*).
*) Заметим, что класс KiK-2 может быть шире, чем множество
всех цепочек АВ при А е К\, В е Кг.
224
В первом примере мы имеем следующие правила
«перемножения» классов:
= КаКбр =
— К
брг
Во втором примере «таблица умножения» имеет
вид
/Сбр
Кг
К'а
*i
^бр
^(бр
/Сбр
/Сбр
'Сбр
к«
/Сбр
/Сбр
Kn-i
/Сбр
/<о
/Сбр
/Сбр
v-1+m
"а
^бр
/Сбр
/Cr+m
Кт-1
к{+т
Обозначим через @^ полутруппу классов, определяемую язы-
языком Я. Очевидно, отображение
В: & -> ©я,
которое каждой цепочке ставит в соответствие ее класс, является
ГОМОМОрфиЗМОМ СВОбоДНОЙ ПОЛуГрупПЫ @ на ПОЛугруППу Q>)f]
ьлассов взгимозаменимости относительно языка Я.
Известно, что множество классов взаимозаменимости конечно
в том и только том случае, когда язык Я принадлежит к типу
так называемых автоматных языков. Интересно выяснить, какие
условия на полутруппу ©^ следуют из условия, что язык Я опи-
описывается некоторым типом порождающих грамматик. Е. Путин-
Путинский в дипломной работе описал класс таких полутрупп, для
которых существует язык Я, при котором исходная полутруппа
изоморфна ®fj.
Рассмотрим, наконец, некоторый гомоморфизм -ф: © ->¦ ©i
свободной полутруппы © в какую-то полугруппу ©I. Будем на-
называть этот гомоморфизм нормальным относительно языка Я,
если из того, что ЛеЯ и \р(В)=-^(А), следует, что ВеЯ.
Иначе говоря, если А и В имеют общий образ, то они одновре-
одновременно принадлежат или не принадлежат языку Я. Оказывается,
8 Ю. А. Шрейдер
225
любой нормальный гомоморфизм продолжаем до гомоморфизма В
в полугруппу классов:
Нетрудно видеть, что, наоборот, всякий гомоморфизм, для кото-
которого нарисованная диаграмма коммутативна, нормален относи-
относительно языка Я- В этом построении интересно, как произволь-
произвольному языку Я сопоставляются алгебраические объекты: полу-
полугруппа классов и нормальные гомоморфизмы свободной полу-
полугруппы. Интересно было бы исследовать, как связаны алгебраи-
алгебраические свойства этих объектов и свойства языка. Например, что
означает изоморфизм полугрупп @?
приложения
1. Сводка основных типов отношений и их свойств
В нижеследующей таблице мы для сравнения
приводим список основных типов отношений и опре-
определяющих их свойств. Знаком + мы обозначаем, что
данное свойство входит в определение данного типа
отношения. Знак ( + ) показывает, что данное свой-
свойство отношения вытекает из остальных.
Тип отношения
Эквивалент-
Эквивалентность
Толерант-
Толерантность
Строгий поря-
порядок
Квазипорядок
Нестрогий по-
порядок
Рефлек-
сив-
сивность
+
+
+
+
Сим-
мет-
рич-
иость
+
+
Тран-
зитив-
зитивность
+
+
+
+
Анти-
рефлек-
рефлексивность
+
Асим-
метрич-
метричность
( + )
Анти-
симмет-
рич-
ность
( + )
+
2. Первоначальные сведения о множествах
Любой реальный или воображаемый объект
может являться элементом каких-то множеств. Не-
Некоторые объекты сами являются множествами.
Термины «элемент» и «множество» являются исход-
8* 22Z
ными и поэтому неопределяемыми понятиями. Тем не
менее мы считаем, что интуитивный смысл эгих поня-
понятии известен каждому. В сущности он определяется для
нас положением этих слов в ряду почти синонимов:
Множество, совокупность, класс, группа,
коллектив, собрание, ансамбль, ряд ...
и, соответственно:
элемент, участник, представитель, член, ...
Выделяя первых представителей в этих рядах, мы
тем самым декларируем, что в точных формулиров-
формулировках будут участвовать только они.
Мы считаем множество заданным, если для каж-
каждого объекта можно судить, является ли он элементом
этого множества (принадлежит ли он этому мно-
множеству) *).
Чтобы суждение о принадлежности обьекта данно-
данному множеству могло быть достаточно определенным,
надо под объектом понимать нечто достаточно
четко определенное и способ описания множества
задавать достаточно ясным образом. Например, не
стоит рассматривать множество моих воспоминании,
поскольку не очень ясно, что есть единичное воспоми-
воспоминание, т. е. и данном случае обьекты определены
весьма нечетко.
Трудно было бы рассматривать множество хоро-
хороших писателен, так как вряд ли можно прийти
к разумному соглашению, каких писателей следует
считать хорошими. Зато не вызывает сомнения пра-
правомерность понятия «множество членов союза писа-
писателен». Для того чтобы судить, является лн данный'
человек объектом из этого множества, достаточно по-
посмотреть, числится ли он в соответствующем списке.
Можно ввести точные ограничения на то, какие су-
суждения о принадлежности объекта множеству следует
признавать убедительными. Из этой идеи возникло
важное понятие разрешимого множества**). Однако
*) Я имею много претензий к этом фразе, однако я не смог'
убедить автора. (Прим. ред.)
**) Разрешимое множество — это такое множество, для ко-
тг.рого существует эффективный способ (ачгорптм) решения во-
вопроса, является ли тот нлн иной объем элементом данного мно-
множества (Прим. ред.)
228
математики вынуждены были допустить возмож-
возможность не придерживаться всегда столь строгих огра-
ограничений, поскольку в противном случае им пришлось
бы отказаться от рассмотрения многих привычных
множеств.
То обстоятельство, что объект х входит элементом
во множество М, записывается с помощью специаль-
специального символа принадлежности:
х<=М.
(Читается: «х входит в М» или «х есть элемент мно-
множества М» или «х принадлежит множеству М».)
Можно рассматривать, например, такие множе-
множества:
Множество всех натуральных чисел (число 5 вхо-
входит в это множество, а числа |/2 и I + /, очевидно,
не входят; не входит в это множество и книга
«Война и мир»).
Множество всех космонавтов, летавших в космо-
космосе до сегодняшнего дня. Это множество легко задать
списком. В него заведомо не входит автор данной
книги, но не исключено, что входит читатель. Заме-
Заметим, что определение этого множества зависит от
того, когда Вы читаете эту книгу. В тот день, когда
эти строки писались, это множество увеличилось на
3 элемента. (На орбиту в этот день вышли кораб-
корабли «Союз-4» и «Союз-5».) Пессимизм автора, про-
проявившийся в утверждении, что это множество лег-
легко перечислить, относится не к полетам в космос, а
к судьбе книги. Вероятнее всего, к тому времени, ког-
когда в космос будут регулярно летать пассажиры, и
мы не будем воспринимать каждый полет как собы-
событие, эта книжка будет уже прочно забыта.
Профессор И. И. Жегалкин любил приводить при-
пример множества из солнца, разума и апельсина.
Еще один пример множества — это множество
всех русских слов, входящих в текст этой книги.
В него заведомо входят слова: «пример», «множе-
«множество», «заведомо», «яичница», но не входит предмет,
обозначаемый последним словом, или слово «the
fake». Заметьте, что слово «яичница» употреблено
в этой книге всего два раза — в этой и предыдущей
фразах, но этого достаточно, чтобы считать его
229.
входящим в текст книги*). Слово «the fake» хотя и
входит в текст этой книги, но не является русским.
А вот совокупность всех русских слов фактиче-
фактически нельзя рассматривать как множество. В самом
деле, про многие слова мы заведомо можем утвер-
утверждать, что они являются словами русского языка и,
следовательно, входят в рассматриваемую совокуп-
совокупность. Но у нас нет точного определения, позволяю-
позволяющего для любой комбинации русских букв проверять,
выражает ли она слово русского языка. Можно бы-
было бы, например, условиться считать русскими сло-
словами те и только те, которые входят в последнее из-
издание толкового словаря. Но тогда наверняка ока-
окажется, что в печатных изданиях на русском языке
используются не только «русские» слова. Некоторые
из них не попали еще в словарь и имеют шанс по-
попасть в следующие издания. Некоторые — слишком
специальны, чтобы попасть в словарь. Они в сущно-
сущности являются диалектизмами-—территориальными
[(Орловский, Вологодский и т. п.) или профессиональ-
профессиональными (научные термины специального характера).
Можно принять иное определение русского слова —
считать принадлежащими русскому языку все слова,
встречающиеся в печатных изданиях. Но это ни-
нисколько не избавляет нас от аналогичных трудностей.
Во-первых, мы будем вынуждены включать в число
русских слов всевозможные транскрипции с других
языков. Во-вторых, все равно останутся невключен-
ными в состав русских слов словообразования, яв-
являющиеся «потенциально» русскими словами, т. е.
построенные в соответствии с возможностями нашего
языка. Например, слово «девяностопроцентник», воз-
возможно, никогда не встречалось в русской литературе.
Тем не менее мы легко себе представим ситуации, ко-
когда это слово могло бы быть употреблено и воспри-
воспринято как законное слово русского языка. Например,
*) Любое утверждение типа «слово „хлеб" не входит в текст
данной книги» заведомо не верно. Тем не менее ясно, что в рас-
рассматриваемое множество входят не все слова русского языка.
Чтобы указать конкретное русское слово, не входящее в
множество слов этой книги, приходится использовать обходной
маневр. Так, в тексте этой книги не содержится слово, указан-
указанное в таком-то месте словаря Даля. Аналогично, в этой книге
не содержатся слова, обозначающие вид транспорта.
230
может возникнуть движение девяностопроцентников.
Или представим себе какой-либо тест, где
90% правильных ответов показывают высокий уро-
уровень интеллекта испытуемого. Тогда «девяностопро-
центник» окажется похвальным словом вроде «отлич-
«отличника» или «ударника». Правда, Корней Иванович
Чуковский вряд ли одобрил бы это языковое нов-
новшество.
А вот еще одна ситуация. В одной из научных пу-
публикаций применено выражение «читабельность тек-
текста». Слово «читабельность» образовано скрещива-
скрещиванием русской основы и англо-немецкого суффикса.
Собственно, это словообразовательная калька с ан-
- глийского слова «readability». Законно ли это слово
как русское? Заметим, что сходно образованный тер-
термин «сепарабельность» вполне привился в русской
научной литературе.
Так или иначе, но слова руского языка образуют
то, что называется открытой совокупностью, или
классом, но не множеством в определенном выше
смысле слова. В математике предпочитают употреб-
употреблять термин «класс».
Вернемся к настоящим множествам. В каком слу-
случае про два множества М и Mt следует говорить, что
они совпадают? Естественно принять следующее
Определение П.1. Множества М и Mi совпа-
совпадают, если любой объект х, являющийся элементом
множества М, входит в Mi и, наоборот, любой эле-
элемент множества Mi входит в М.
В дальнейшем совпадающие множества мы будем
рассматривать как одно и то же множество.
В этом определении (и ряде следующих) мы не-
неявно использовали умозрительную возможность рас-
рассуждать о любых объектах, проверяя, входят ли они
в данное множество. Ведь мы не можем проверить,
являются ли два множества одинаковыми, если не
проверим для каждого объекта, входит ли он в ка-
каждое из этих множеств.
Вообще говоря, определения конкретных мно-
множеств строятся так, что в самом определении ограни-
ограничивается класс возможных объектов. Например, ко-
когда мы говорим о множестве всех чисел, делящихся
на три, то становится ясной ненужность проверки,
входят ли в него слоны. Удобно это соглашение
231
ввести явным образом н считать, что заранее зафик-
зафиксирован класс допустимых объектов. Говоря далее
одновременно о нескольких множествах, мы имеем
в виду, что в них входят только объекты, принадлежа-
принадлежащие этому классу. Этот класс принято называть уни-
универсумом. Так, в серии примеров этой книги мы стро-
строим множества, где объекты берутся из класса ге-
геральдических символов. Большинство нужных нам
объектов из этого класса изображены на рис. П.1.
Впрочем, и сделанное ограничение еще не снимает
всех трудностей. Рассмотрим множество М, состоя-
состоящее из всех целых чисел, больших двойки. Это мож-
можно записать так':
М = {3,4,5. , п, ...}.
Пусгь теперь множество Mi состоит нз всех натураль-
натуральных чисел п, для которых уравнение х11 + у" = г"
не имеет положительных целочисленных решений.
Спрашивается, определили ли мы одно и то же или
разные множества? Ответ па этот вопрос в точности
равносилен решению - знаменитой (и считающейся
безнадежной) проблемы Ферма. Несмотря на то, что
мы достаточно ограничили класс возможных элемен-
элементов наших множеств, процедура проверки совпадения
этих множеств оказывается не под силу современной
науке. Заметим, что здесь дело не столько в трудно-
трудности, связанной с бесконечностью множеств, сколько
в том, что мы определили эти два множества суще-
существенно разными свойствами, связь между которыми
нам недостаточно хорошо известна.
Чтобы это осознать, возьмем еще один пример.
Пусть М — множество всех живших до настоящего
времени слонов. Это множество мы можем считать
заведомо конечным, так как каждый год на земле су-
существовало конечное множество слонов и жизнь па
земле существует лишь'"- конечное время. (Весьма
правдоподобно предположить, что слонов в иных
звездных мирах не существует.) Пусть Mi— множе-
множество всех млекопитающих, имеющих бивни и хобот.
Сейчас нам ясно, что М, не совпадает с М, поскольку
мамонты входят в Mit но не входят в М. Однако до
открытия первого'Ископаемого мамонта этот факт не
был столь уж очевиден. Рассуждение становится еще
яснее, если в качестве множества Л12 мы возьмем
232
Рис. П.1. Множество геральдических существ.
множество всех слонов и всех мамонтов. Спраши-
Спрашивается, совпадают ли Мг и Mi? Вопрос опять же сво-
сводится к проблеме, существовали ли когда-нибудь мле-
млекопитающие с бивнями и хоботом, отличные от сло-
слонов и мамонтов. Ведь природа наших знаний такова,
что мы можем точно знать о существовании некоего
биологического вида, но никогда не можем быть
уверены, что некоторый вид заведомо не сущест-
существовал.
Здесь мы сталкиваемся с тем важным обстоятель-
обстоятельством, что множество можно задавать двумя разными
способами.
Первый способ (экстенсиональный) состоит в том,
что некоторым образом «указываются» все элементы
универсума, которые принадлежат данному множе-
множеству. Тогда, чтобы проверить совпадение множеств М
и Ми надо «перебрать» все элементы из М и для
каждого из них убедиться в его принадлежности мно-
множеству Mi\ а затем для каждого элемента из Mi надо
убедиться, что он принадлежит и множеству М. Имен-
Именно такой способ рассуждений лежит в основе теории
множеств.
Второй способ (интенсиональный) состоит в том,
что множество задается неким свойством, выделяю-
выделяющим часть элементов универсума. При таком подходе
надо проверять, что всякий элемент универсума, об-
обладающий первым свойством, обладает и вторым.
И, наоборот, что каждый элемент универсума, обла-
обладающий вторым свойством, обладает и первым. Два
свойства называются интенсионально равными (совпа-
(совпадающими по содержанию), если, независимо от
универсума, каждое из них влечет выполнение
другого. Из предыдущего примера ясно, что свойства
«иметь хобот и бивни» и «быть слоном» не совпадают
по содержанию. Но если выбрать в качестве универ-
универсума класс всех живущих в нашу эпоху млекопитаю-
млекопитающих, то эти свойства определят одно и то же множе-
множество, т. е. будут экстенсионально равными (будут
иметь одинаковый объем).
Различие в экстенсиональном и интенсиональном
подходе существенно при формальном анализе смыс-
смысла. Так, Р. Карнап заметил, что если мы в некотором
высказывании заменим некоторое участвующее в нем
свойство на другое, экстенсионально с ним совпадаю-
234
щее, то смысл всего высказывания может измениться.
Например, возьмем предложение
«Слоны суть животные с хоботом и бивнями»
и заменим в нем второе свойство на экстенсионально
совпадающее «быть слоном». Мы придем к высказы-
высказыванию
«Слоны суть слоны».
Оба высказывания истинны, но первое выражает не-
некий содержательный факт, а второе является тавто-
тавтологией. Таким образом, смысл этих двух высказыва-
высказываний различен.
Иначе обстоит дело со свойствами, которые ин-
интенсионально совпадают. Так, свойство «быть сло-
слоном» интенсионально совпадает со свойством «быть
животным, описанным в таком-то месте у Брэма».
Если в первом высказывании произвести замену
свойства «быть слоном» на интенсионально совпадаю-
совпадающее с ним, то получим равносильное по смыслу вы-
высказывание:
«Животные, описанные в таком-то месте у Брэма,
суть животные с хоботом и бивнями».
Трудности с подстановкой могут возникнуть в вы-
высказываниях типа: «х думает, что...»; «х полагает,
что...», «х знает, что...» и т. д.
Например, высказывание:
«Мальчик знает, что слоны имеют хобот и бивни»
может быть истинным. Но высказывание:
«Мальчик знает, что животные, описанные в таком-то
месте у Брэма, имеют хобот и бивни»
может быть уже ложным, так как мальчик может и
не знать о существовании книги Брэма.
Интенсиональные связи между свойствами можно
рассматривать как логические связи идей. Или, с не-
несколько иной точки зрения, связи между понятиями
в некоторой системе знаний. Так, в нашей системе
знаний свойства «быть целым числом, большим, чем
2» и «быть таким целым положительным показате-
показателем, для которого уравнение хп + уп = zn не ре-
решается в целых положительных числах» различны,
235
поскольку мы не знаем решения проблемы Ферма.
В системе знаний среднёобразованного человека по-
понятия «слон» и «животное, описанное в таком-то ме-
месте у Брэма»'интенсионально совпадают. Но в си-
системе знаний мальчика, не читавшего Брэма и не
знающего о существовании такой книги, эти понятия
интенсионально различны.
Экстенсиональные связи — это связи между объ-
объектами- универсума. Тот факт, что интенсиональные
связи между понятиями согласуются с экстенсиональ-
экстенсиональными связями между обозначаемыми ими объектами
есть важное свойство мира, в котором мы живем. Но
более .подробное обсуждение этого вопроса увело бы
нас к глубоким философским проблемам, отвлекая
от основною предмета настоящей книги.
Нам нужно теперь ввести некоторые основные по-
понятия теории множеств, активно используемые в дан-
данной книге.
Множество М содержится во множестве Ми если
всякий элемент множества М является одновременно
элементом множества Ж,. Это обстоятельство симво-
символически записывается так:
М =A*!.
Например, множество М всех животных в москов-
московском зоопарке содержится во множестве Mt всех жи-
животных, живущих в настоящее время на земле.
Из определения П. 1 вытекает следующий важный
принцип, который часто используется в рассуждениях
о множествах:
Для того чтобы множества М и Mi совпадали, не-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одновре-
одновременно M^Mi и Mt^ M.
Если М ^ М,, то говорят еще, что множество М
есть подмножество множества Mt.
Так, множество слов, употребляемых на этой стра-
странице, есть подмножество множества всех слов, упо-
употребляемых в этой книге.
Так же как в арифметике для стройности изложе-
изложения необходимо было ввести понятие нуля, так и
в теории множеств очень полезно ввести понятие
пустого множества. Пустое множество обозначается
специальным символом 0.
236
По определению любой объект универсума не вхо-
входит в пустое множество 0. Тем самым всякий элемент
пустого множества содержится в любом множестве
М. А значит, любое множество Л1 содержит в каче-
качестве подмножества пустое множество:
Кроме тою, очевидно, что «сякое множество М со-
содержит в качестве подмножества самого себя:
М s M.
Если множество М содержится в Ми но не совпадает
с М\, то мы будем писать:
М с Mi.
Разница между символами <= н а аналогична раз-
разнице между нестрогим ^. и строгим < неравенствами
в обычной алгебре.
Подмножества множества М, отличные от самого
М и 0 называются собственными подмножествами
множества М.
На рис. П. 2 изображены собственные подмноже-
подмножества множества М из четырех геральдических жи-
животных: {агнец, лев, сова, едниоро]}. Количество всех
подмножеств этого множества М (включая само М
и пустое множество 0) равно, как легко видеть, 16,
т. е. 2\
В общем случае, если множество состоит из п эле-
элементов, то количество его подмножеств равно 2".. Это
утверждение легко доказать по индукции.
Множество из одного элемента содержит ровно
два подмножества: самого себя и пустое множество.
Поскольку 2 = 21, при п = 1 паше утверждение верно.
Предположим, что это утверждение верно для мно-
множества Мп из п элементов {х\,х2,..., хп}. Присоеди-
Присоединив к нему элемент xn+i, мы получим множество
Мп+{ из п + 1 элемента. Любое подмножество множе-
множества Л1п4-1 либо является подмножеством множества
Мп, либо состоит из подмножества множества Мп
с присоединенным элементом хп+1. Таким образом, об-
общее число подмножеств множества М„+\ ровно вдвое
больше числа 2" подмножеств множества Мп. Иначе
говоря, число подмножеств множества М„+1 равно
237
Рис. П.2. Собственные подмножества четырехэлементного мно-
множества.
2-2" = 2'l+1. Итак, мы доказали, что число подмно-
подмножеств множества из п элементов равно 2П.
Это же число можно сосчитать и по-другому. Число
всех подмножеств множества из п элементов, имею-
имеющих по т элементов, равно числу сочетаний С™. По-
Поэтому число всех подмножеств равно
l+Cn + Cl+ ... +Спп,
где первое слагаемое учитывает пустое подмноже-
подмножество. Эта сумма равна 2й, что получается в алгебре
ка основе бинома Ньютона, так как
Множество всех подмножеств множества М имеет
специальное обозначение: 2м. В данном случае 2м
обозначает не числовую операцию возведения в сте-
степень, а «операцию» над множеством М, которая со-
состоит в переходе от М к множеству его подмножеств.
Это обозначение напоминает о доказанном выше для
конечных множеств результате, что число элементов
множества 2м равно двум в степени, равной числу
элементов множества М.
Рассмотрим два множества М и Mi. Множество
Мп называется объединением множеств М и Mi и
обозначается:
если оно состоит из всех элементов, которые содер-
содержатся, по крайней мере, в одном из множеств М
или Mi.
Например, если М — множество четных чисел, а
Mi — множество нечетных чисел, то их объединение
есть множество всех целых чисел.
Еще пример. Пусть М — множество всех произве-
произведений, в написании которых участвовал И. Ильф,
a Mi — множество произведений, одним из авторов
которых является Е. Петров. Тогда объединение М2 =
= М U Mi образует собрание сочинений И. Ильфа и
Е. Петрова. В этом примере М2 состоит из элементов,
входящих только в М (произведения самого И. Иль-
Ильфа), из элементов, принадлежащих только Mi (сочи-
(сочинения Е. Петрова или Е. Петрова с иными соавто-
соавторами), и из произведений, написанных совместно.
239
Множество последних обозначается:
и называется пересечением множеств М и М1т Вообще,
пересечение двух множеств — это такое множество,
которое состоит из элементов, содержащихся сразу в
обоих множествах.
Так, если М — множество четных чисел, а М\ —
множество чисел, кратных трем, то М Г) М\ состоит
из чисел, одновременно делящихся на два и на три,
т. е. кратных шести.
Разностью множеств М и М,:
называется множество, состоящее из всех элементов
множества М, не содержащихся в Mt.
Например, если М — множество всех млекопитаю-
млекопитающих, a Mi— множество всех обитателей морей,и океа-
океанов, то М\М, состоит из всех млекопитающих, веду-
ведущих наземный образ жизни. Множество Mi\M со-
состоит из всех рыб, членистоногих, морских звезд и
т. д.. но не содержит китов, дельфинов и т. п.
Объединение, пересечение и разность можно рас-
рассматривать как операции над множествами*), анало-
аналогично тому, как сложение, умножение, вычитание и
деление суть операции над числами.
Операции над множествами обладают рядом спе-
специфических свойств. Мы перечислим наиболее важ-
важные для нас свойства этих операций, предоставляя
читателю соответствующие доказательства:
2)
Эти два правила выражают ассоциативный закон для
объединения и пересечения и дают основание не пи-
писать скобок в выражениях вида М [} N U L или
М Г) N Г) L.
3)
4)
Эти соотношения выражают коммутативность (пере-
*) Заметим, что «объединение» обозначает и саму операцию
и ее результат, в то время как в алгебре мы привыкли'различать
«сложение» и «сумму», «умножение» и «произведение».
240
становочность) операций объединения и пересечения.
5) Если M^N, то M[]N = N;
6) если М ^ N, то М Л N = М.
Эти правила указывают, что когда один из операн-
операндов*) есть подмножество другого, то результаты
объединения н пересечения равны одному из опе-
операндов.
7) 0 U М = AJ;
8) 0 П Л* - 0;
9) ЛГ 0 = М;
Ю) 0\М=0.
Эти правила выражают важные свойства пустого мно-
множества.
11)
12)
Здесь выписаны оба дистрибутивных закона, справед-
справедливых для теоретико-множественных операций.
13) (M\N)(](M\L) =
14)
Эти законы выражают принцип двойственности тео-
теоретико-множественных операций. Он состоит в том,
что когда мы переходим от множеств к их дополне-
дополнениям относительно некоторого множества М, то объ-
объединение и пересечение меняются ролями.
15) {M\N)()(M()N)=0;
16) M\N<=M;
17) {M\N)n(N\M)=0;
18) Mi)N = (M\N)U(M-ft-N)[i(N\M).
Последнее свойство означает, что объединение М [] N
состоит из элементов, входящих только в М, элемен-
элементов, входящих только в JV, и элементов, содержащихся
¦в-обоих операндах.
*) Слово «операнд» обозначает участников операции. Напри-
Например, операнды при сложении — слагаемые, операнды при умно-
умножении — сомножители.
241
3. Что такое модель?
На материале этой книги можно удобно проиллю-
проиллюстрировать очень важное для математики понятие мо-
модели. Мы подошли уже к нему вплотную в определе-
определении 7.1 (стр. !99) и в рассуждениях на стр. 184—185
(см. также стр. 203—204). Теперь мы дадим точные
определения для использованных в этих рассужде-
рассуждениях понятий *).
Определение П.2. Моделью называется кор-
кортеж
JW = (Af; /?,,..., Rm),
где М — некоторое множество, a Ri, ..., Rm — отно-
отношения на этом множестве (не обязательно — бинар-
бинарные) .
Пример I. Упорядоченное множество есть мо-
модель (М, <) с одним (бинарным) отношением порядка.
Пример 2. Пространство толерантности есть мо-
модель, в которой задано единственное отношение (би-
(бинарное) — толерантность.
Пример 3. Дважды упорядоченное множество —¦
модель {М, <,z^>) с двумя (бинарными) отноше-
отношениями.
Пример 4. Упорядоченное дерево — это модель
{М, с, <) с тремя (бинарными) отношениями.
На стр. 153 была рассмотрена модель с тремя
(бинарными) отношениями.
В теории моделей одинаково употребительны вы-
выражения ««-местное отношение» и «n-арное отноше-
отношение». Эти выражения имеют понятный смысл при
натуральных п. В частности, одноместное
отношение на М — это подмножество R множества М.
Мы говорим, что это отношение выполнено для лю-
любого элемента из R и не выполнено для любого эле-
элемента из M\R.
Удобно ввести еще понятие нульместного (нуль-
арного) отношения. Задать нульместное отношение
на множестве М означает просто выделить в этом
множестве фиксированный элемент.
Пример (для тех, кто знает, что такое «груп-
«группа») : вместо того, чтобы говорить о существовании
*) Подробнее об этнх понятиях см. в книге А. И. Мальцева
«Алгебраические системы», М„ «Наука», 1970.
242
единицы в группе, можно говорить о том, что в груп-
группе задано нульместное отношение.
Предлагаем читателю сформулировать общее опре-<
деление изоморфизма (или, как правильно отмечено
в сноске редактора на стр. 214, ^-изоморфизма) мо-
моделей (на стр. 214 соответствующее определение
было дано для случая, когда все отношения бинарны).
Определение П. 3. Кортеж символов
2 = ($1 , ...,Щп/,
помеченных целыми числами,
называется сигнатурой.
Сами символы щ1 мы будем называть именами
отношений или (в соответствии с терминологией
стр. 182—185) Отношениями (с большой буквы!). Мы
будем говорить, что модель 9R = (М; Ru ..., Rm)
имеет сигнатуру 2, если при всех i число аргументов
(«арность») отношения /?, равно щ и если мы услав-
уславливаемся обозначать отношение Ri символом Щ .
С помощью символов, входящих в некоторую сиг-
сигнатуру Е, и операций алгебры отношений можно со-
составлять различные формулы, которые можно затем
интерпретировать как утверждения об отношениях.
Точнее говоря, пока мы пишем формулы из символов
сигнатуры (имен отношений), их можно понимать
только как чисто формальные выражения, составлен-
составленные по правилам алгебры отношений. Но, если вме-
вместо всех имен отношений подставить в эти формулы
отношения от соответствующего числа аргументов,
заданные на одном и том же множестве М, то эти
формулы превратятся в утверждения об отношениях.
Например, пусть 2 = {$B)}, т. е. 2 состоит из
одного имени бинарного отношения. Тогда формула
A<2)g=9tB) (П. 1)
сама по себе ничего не означает. Но, если вместо
символа Ш<2> подставить в нее любое бинарное отно-
отношение R, то она будет означать условие транзитив-
транзитивности отношения:
введенное нами на стр 40 в определении 1.6. По-
Поэтому имеет смысл говорить, что сама формула (П. 1)
выражает условие транзитивности. Только она выра-
243
жает это условие символически для целого класса
отношений, которые можно именовать через $Н<-'.
Аналогично можно принять, что условие
gjB) = (^j-. (П2)
выражает условие (или аксиому) симметричности.
Введем теперь следующее соглашение. Будем счи-
считать, что символ 9to' всегда интерпретируется как
диагональное отношение Е (отношение равенства).
Иначе говоря, если в сигнатуру входит символ Ы[у,
то ему всегда ставится в соответствие отношение ра-
равенства на соответствующей модели. Можно просто
условиться, что сигнатура всегда записывается в виде
кортежа, начинающегося с "Jiff:
а модель всегда записывается в виде
SH =(М; Е, /?,, ...).
Тогда формула
Я?ЕЯ1? (П.З)
означает условие рефлексивности для *){(Д Более
точно, речь идет о следующем. Если некоторая мо-
делъ5й = {М; Е, /?,,...) имеет сигнатуру 2 = <3{{f', fli'?!..),
то формула (П.З) есть требование рефлексивности
отношения R\. Фактически мы подошли сейчас к очень
важному понятию — аксиоматике теории.
Пусть задана некоторая сигнатура S. Мы будем
называть аксиоматикой (над этой сигнатурой) любое
множество формул, составленных из символов, вхо-
входящих в эту сигнатуру.
Определение П.4. Формальной теорией
% =¦(?, 90 называется пара из сигнатуры и некото-
некоторой аксиоматики над этой сигнатурой.
Пример 5. Пара из сигнатуры X = {№*§', Ш\})
и аксиоматики ?1, состоящей из формул (П.1), (П.2),
(П.З), образует формальную теорию.
Определение П.5. Модель Ш = {М; Е, /?i,...
...,Rm) называется моделью теории Z = (?, 91),
если 1) эта модель имеет сигнатуру S и 2) подста-
подставив в каждую формулу аксиоматики 'Л вместо каж-
дого символа из Е соответствующее ему отношение из
'модели 9А мы получим истинное высказывание.
Например, модель Ш =(М; Е, Ri) есть модель
теории, описанной в примере 5, тогда и только тогда,
когда /?i — отношение эквивалентности.
Если теория Z = B, %) имеет ту же самую сигна-
сигнатуру и аксиоматику, состоящую из (П. 2) и (П. 3),
то ее моделями будут любые пространства толерант-
толерантности и только они.
Если мы при той же сигнатуре S выберем аксио-
аксиоматику, состоящую из (П. 1) и аксиомы
9#)П5И!?)=0, (П.4)
то в качестве моделей мы получим класс упорядочен-
упорядоченных множеств.
Отметим допущенную сейчас нестрогость: мы дол-
должны -были бы оговорить, что символ 0 входит в сиг-
сигнатуру и всегда интерпретируется как пустое.отно-
пустое.отношение.
Рассмотрим еще теорию ?=B,21), где
2 = (9io2), 3ijL), Шр) и аксиоматика % содержит
аксиомы (П. 1), (П.2) и (П.3) для каждого из сим-
символов Ш\^ и Ш^Г и еще следующую аксиому:
Ш}2> П да^ЕЗИ},3. (П.5)
Нетрудно проверить, что моделями этой теории слу-
служат множества М с парой эквивалентностеи Rt и Rs,
обладающей таким свойством: если элементы х и у
данного множества М входят в общий класс экви-
эквивалентности и по /?] и по /?2, то они совпадают. Мо-
Модели такого типа рассматривались нами в § 4
главы VII.
Полезно заметить, что, вообще говоря, в понятие
формальной теории обычно вкладывается еще и си-
система правил логического вывода, позволяющая цз
аксиом теории выводить всевозможные теоремы. Эти
теоремы должны превращаться в истинные высказы-
высказывания на любой модели данной теории. Мы не рас-
рассматриваем специально вопрос о правилах вывода,
так как не занимаемся сравнительным анализом раз-
разных формальных систем вывода, изучаемых в мета-
метаматематике. Мы как бы молчаливо предполагаем, что
245
способы логического вывода заранее находятся в го-
голове человека и при этом они одинаковы*).
Так, используя привычные средства доказатель-
доказательства, читатель мог бы сам убедиться, что в последнем
примере теории верна следующая теорема:
являющаяся усилением аксиомы (П. 5).
Теперь обратим внимание на тот факт, что мы мо-
можем легко расширить понятие теории, допустив более
широкий класс формул. Иначе, оставаясь в рамках
языка алгебры отношений, мы не могли бы даже
сформулировать теорию, для которой моделями яв-
являются произвольные деревья. Язык алгебры отно-
отношений слишком слаб, чтобы на нем можно было
определить понятие дерева. Но, если в качестве исход-
исходного языка использовать язык узкого исчисления пре-
предикатов (мы не можем здесь дать строгое описание
этого языка; фактически представление о нем можно
получить из книги Ю. А. Шихановича «Введение в со-
современную математику»), то соответствующая тео-
теория легко может быть сформулирована.
Далее символы V, &, =^ означают, соответствен-
соответственно, дизъюнкцию, конъюнкцию и импликацию, а сим-
символы (V*) и (Эх) читаются как «для всех х-» и «суще-
«существует такое х, что». Пусть I1 = ('$$\ 5ЙB)) и аксио-
аксиоматика *Д состоит из аксиом (П. I), (П. 4) и следую-
следующих аксиом:
(Vx) (V*/) (Vz) [{(хШ1У) & (xmtz)) => (fo9t,z) V
V (г%\у) V (*«],
(Зх)(\/у)(уШ1Х).
Сравнивая эти аксиомы с определением 4.9, мы легко
убедимся, что построенная теория ? = (Е, Щ описы-
описывает в точности класс деревьев.
Итак, теория — это формальное описание, опреде-
определяющее некий класс множеств с конкретными отно-
отношениями, в которых воплощается эта теория. В част-
частности, формальная теория может не иметь ни еди-
единого воплощения, когда она внутренне противоре-
*) Это предположение было бы недопустимо в книге по ме-
метаматематике.
246
чива. Мы уже видели, как теория может иметь не-
неизоморфные друг другу модели: например, все про-
пространства толерантности. Бывают и такие теории,
у которых все модели изоморфны друг другу. Такая
теория получится, в частности, если мы возьмем ак-
аксиоматику эвклидовой плоскости.
Пусть теперь имеется некоторый класс моделей
(с общей сигнатурой), для которого можно построить
полную теорию, т. е. такую теорию, что все модели
из данного класса суть модели этой теории и любая
модель этой теории входит в данный класс. Такой
класс называется аксиоматизируемым классом моде-
моделей. В сущности, это класс моделей, определяемый
некими точно формулируемыми на некотором языке
свойствами, а не случайное собрание моделей. Мы
уже говорили, что тексты естественного языка можно
рассматривать как модели. Математическая лингви-
лингвистика была бы в каком-то смысле исчерпана, если бы
удалось обнаружить, что тексты естественного языка
образуют аксиоматизируемый класс моделей, и уда-
удалось бы построить соответствующую теорию. Скорее
всего, в такой форме эта задача неразрешима.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*)
Автоматный язык 225
Алфавит 199
Антиднагональиое отношение 19
Антнрефлекснвное отношение 38
Антисимметричное отношение 40
Антигранэипшиое отношение
13С
Арифметика булева 28
Асимметричное отношение 39
Ассоциативный закон 34, 70, 240
Ассоциированное отношение 168
Гомоморфизм 161
— нормальный 225
Гомоморфное отображение 1GI
Граница верхняя 121
— нижняя 124
Грань симплекса 81
Граф 19
— ориентированный 19
— полный 19
Графа вершина 19
График 14, 21
Базис 97
Безъядерное пространство
лерантносгн 102
Биективное отображение 22
Ьпиарное дерево 196
— отношение 13
Булева арифметика 28
Верхняя граница 124
Вершина графа 19
— симплекса 84
Вершины сложность 141
Взаимозаменимость 50, 219
Взаимозаменимые цепочки 223
Включение 26
Всюду определенное соответст-
соответствие' 24
Выводное уравнение 159
Высота дерева 141
Гипотеза Ингве 194
Глубчна дерева 153
— фразы 194
Дважды упорядоченное множе-
множество 146
Двоичный кортеж 85
— признак 56
Двойственности принцип 241
Дерева высота 141
— глубина 153
— корень 139
— сложность 141
— ширина 111
Дерево 139
¦— бинарное 196
— упорядоченное 152
Дескриптор 201
Диагональное отношение 18
Дистрибутивное отношение 217
Дистрибутивный закон 241
— класс 221
Дистрибуции дополните чьной
отношение 220
— общей отношение 219
Дистрибуция 217
— дополнительная 220
— общая 219
*) Данный указатель не охватывает приложения 3.
248
Дополнение 241
Дополнительная дистрибуция
220
Древесного порядка отношение
139
Древесные порядок 139
Единичное отображение 23
Задания область IV
Закон ассоциативный 34, 70, 240
— дистрибутивный 241
Замена фиктивная 218
Замены операция 218
— результат 218, 223
Замыкание транзитивное 27
Запас эталонный 222
Знаковая система 204
Значение функции 21
Изоморфизм 163
Изоморфные множества с отно-
отношениями 214
Ингне гипотеза 194
Индекс 202
11нд\цируется 128
Интенсионально ранные свойст-
свойства 234
Интенсиональный способ 234
Интервал 147
Информационно-поисковая сис-
система без грамматики 202
Пньективное отображение 22
— соответствие 21
Каноническая карта 105
Канонический признак 106
Каноническое пополнение 174
Карта 104
— каноническая 105
Кзазипорядка отношение 127
Квазнпорядок 127
— совершенный 130
Квазипроектнвная фраза 190
К и асе 93, 228, 231
— дистрибутивный 221
— разбиения 51
— толерантности 93
—- эквивалентности 59 ., _
Когерентные отношения 65
Комму гативность 240
Коммутируют 34
Конкатенация 224
Контур 120
Корень дерева !39
— сравнения 159
Корреспонденция 162
Кортеж 5G
— двоичный 85
Кропскера символ 18
Леве-; 177
Лемма 42
Мажорирует 218
Максимальное совершенное под-
подмножество 123
Максимальный элемент I2J, 148
Матриц объединение 29
— пересечение 29
— произведение 30
Матричный способ 17
Между4146
(Мешок 202
Минимальный образ 174
— элемент 123
Множеств обьединенне 239
— пересечение 240
— разность 240
Множества образ 23
— полный прообраз 23
— равиомощные 22
— с отношениями изоморфные
214
— совпадают 231
Множество 228
— дважды упорядоченное 146
— несущее 199
— пустое 236
— разрешимое 228
-— упорядоченное 120
Модель теории 184
Моноида структура 72
Мономорфизм 163
На 22
Наибольший элемент 138
Наименьший элемент 121
249
Не сильнее 159
Не слабее 159
Неподвижно 60
Непрерывный порядок 125
Неразложимая семья 213
Неразрывная составляющая 193
Нестрогий порядок 126
Нестрогого порядка отношение
126
Несущее множество 199
Нижняя граница 124
Нормальная форма 156
Нормальный гомоморфизм 225
Область задания 14
— определения 23
— отправления 21
— прибытия 21
— уровня 129
Образ минимальный 174
— множества 23
— поисковый 202
— элемента 21
Обратное отношение 26
— отображение 23
Общая дистрибуция 219
Общей дистрибуции отношение
219
Объединение матриц 29
— множеств 239
— отношений 25
— эквивалентностей 69
Одинаковость 46, 50
Однозначное соответствие 21
Однородности отношение 180,
188
Однородность 180, 188, 211
Окрестность 140
Операнд 241
Операция замены 218
Определения область 23
Ориентированный граф 19
Открытая совокупность 231
Отмеченная структура 206
Отношение 14, 15, 20
— антидиагональное 19
— антирефлексивное 38
— антисимметричное 40
— аититранзитивное 136
— асимметричное 39
— ассоциированное 168
— бинарное 13
— «быть эталоном» 53, 58
250
Отношение вхождения в со-
составляющую 181, 189
— диагональное 18
— дистрибутивное 217
— дополнительной дистрибуции
220
— древесного порядка 139
— квазипорядка 127
— нестрогого порядка 126
— обратное 26
— общей дистрибуции 219
— однородности 180, 188
— парадигматическое 177
— полное 18
— пустое 18
— равенства 18
— рефлексивное 38
— «рифмоваться» 90
— руководства 179
— симметричное 39
— синтагматическое 177
— следования 177, 186
— согласования 179, 187
— строгого порядка 119
— тернарное 13
— толерантности 80
— транзитивное 40
— управления 178, 182, 186
— эквивалентности 51, 54
¦ соответствующее 52
— «арное 20
Отношений объединение 25
— пересечение 25
— произведение 26
Отношения когерентные 65
Отображение 21
— биективное 22
— гомоморфное 161
— единичное 23
— инъективное 22
— множества М в множество
L 21
— обратное 23
— сюръективное 22
Отправления область 21
Парадигматическое отношение
177
Пересечение матриц 29
— множеств 240
— отношений 25
Поддерево 139
Подмножество 236
Подмножество собственное 237
Поисковый образ 202
Покрытие 92
Полная система составляющих
196
Полное отношение 18
Полнота 211
Полный граф 19
— прообраз множества 23
Пополнение каноническое 174
Порожденная толерантность 104
Порядка древесного отношение
139
Порядок древесный 139
— непрерывный 125
— нестрогий 126
— совершенный нестрогий 127
строгий 120
— строгий 119
Правильная скобочная структу-
структура 193
— структура 206
Предкласс 93
Предсемья 210
— связная 210
Прибытия область 21
Признак 91
— двоичный 56
— канонический 106
Примитивная семья 211
Приипип двойственности 241
Проанализированный текст 202
Проективная фраза 189, 190,
191
Произведение матриц 30
— отношений 26
— симметризованное 37, 91
Производное пространство 112
Прообраз элемента 21
Простое сужение 212
Пространство толерантности 85
безъядерное 103
производное 112
сопряженное ПО, 111
Прямая сумма 62
— числовая 58
Пустое множество 236
— отношение 18
Пустой элемент 24
Равенства отношение 18
Равномощные множества 22
Равносильные уравнения 159
Разбиение 51
— соответствующее 55
Разбиения класс 51
Разность множеств 240
Разрешимое множество 228
Ребро симплекса 84
Редукция 134
Результат замены 218, 223
Рефлексивное отношение 38
Рефлексивный элемент 89
Руководства отношение 179
Руководство 179
Свойства интенсионально рав-
равные 234
— экстенсионально равные 234
Свойство R 72
— S 73
— Г, 73
— Т2 73
Связная предсемья 210
— часть 223
Семья 211
— неразложимая 213
— примитивная 211
Символ Кронекера 18
Симметризованное произведе-
произведение 37, 91
Симметричное отношение 39
Симплекс 84
Симплекса вершина 84
— грань 84
— ребро 84
Синтагматическое отношение
177
Синтаксическая структура 203
— схема 199
Система знаковая 204
— составляющих полная 196
Следования отношение 177,
186
Следствие 159
Сложность вершины 141
— дерева 141
Собственное подмножество 237
Совершенный квазипорядок 130
— нестрогий порядок 127
— строгий порядок 120
Совокупность открытая 231
Совпадающие множества 231
Согласование 179, 187
Согласования отношение 179,
187
251
Содержится 236
Соответствие 20, 24
— всюду определенное 24
— инъективное 24
— однозначное 21
— сюръективиое 24
Соответствующее отношение эк-
эквивалентности 52
— разбиение'55
Соотношение 14
Сопряженное пространство 110,
111
Соседние составляющие 196
Составляющая неразрывная
193
Составляющие' 180
— соседние 196
Способ интенсиональный 234
— матричный 17
— экстенсиональный 234
Сравнимость по модулю 54
Сравнимые элементы 123
Старше 118, 119
Строгий порядок 119
Строгого порядка отношение
119
Структура моноида 72
•— отмеченная 206
— правильная 206
скобочная 193
— синтаксическая 203
Сужение 15
— простое 212
Сумма прямая 62
Схема синтаксическая 199
Сходство 78
Сюръективное отображение
22
— соответствие 24
Текст 197, 199
— проанализированный 202
Теории модель 184
Теория 184
Тернарное отношение 13
Толерантности класс 93
— отношение 80
— предкласс 93
— пространство 85
Толерантность 80
— порожденная 104
Транзитивное замыкание 27
— отношение 40
Ультратскст 202
Универсум 232
Упорядоченное дерево 152
— множество 120
Управление 178, 186
Управления отношение 178, 182,
186
Уравнение выводное 159
Уравнения корень 159
— равносильные 159
— эффективно равносильное
160
Уровня область 129
Условие П| 146
— П2 148
— П3 150
Фактормножество 59
Фиктивная замена 218
Форма нормальная 156
Фраза квазипроективная 190
-— проективная 189, 190, 191
Фразы глубина 194
Функция 21
— числовая 87
Цепочки взанмозаменимые 223
Часть связная 223
Числовая прямая 58
— функция 87
Ширина дерева 141
Эквивалентностей объединение
69
Эквивалентности класс 59
— отношение 51, 54
Эквивалентность 51, 54
Экспликация 7, 9
Экстенсионально равные свой-
свойства 234
Экстенсиональный способ 234
Элемент 228
— максимальный 123, 148
252
Э1емент минимальный 123
— наибольший 138
— наименьший 121
— пустой 24
— рефлексивным 89
Элементы сравнимые 123
Эпиморфизм 163
Эталон 53
Эталонный запас 222
Эффективно равносильные урав-
уравнения 160
Ядро 101
— относитечьно базиса 103
Язык 204
— автоматный 225
Л-класс 66
Л-разбиение 66
Л-эквивалентны С6
^-гомоморфизм 103
fe-изоморфизм 1СЗ
^-мономорфизм 163
^-эпиморфизм 163
/z-арпое отношение 20
сс-образ 170
а-пополнение 170
УКАЗАТЕЛЬ СИМВОЛОВ
е 229 Д 177
<= 26, 223, 236 с: 26, 152, 153, 237
± 157 < 118, 177, 193
гф 146, 153, 179, 219 -* 146, 178
О 219 И 158
|| 155 1 155
« 159 s 160
~ 58 5= 54
U 25, 239 П 25, 239
X 14, 20 * 91
о 37 7
\ 240 0 37
ф 62 АВ 26, 224
Ап 28, 35 Л 23, 26
Л 27 2А 239
Ат 134 Л 124
хАу 14 (Л) 53, 58
(Л, М) 14 (Л, М, L) 20
a:M-+L 21, 24 а: (Л, М)->(В, L) 161
а (Л) 23 а (Л) 23
е 23 ? 18
0 18, 236 6и 18
Лф 59, 88 Яф 89
ЛГ/Л 59 {х; а-+Ь) 218
Sp 83 SH 85
Вр 85 В^1 85
Яр 86 Дм 87
Ва 170 В" 169
В+ 168
254
Юлий Анатольевич трейдер
РАВЕНСТВО, СХОДСТВО, ПОРЯДОК
М., 1971 г., 256 стр. с илл.
Редактор Ю. А. Шиханович
Техн. редактор В. Н. Кондакова
Корректоры 3. В. Аетонсева, Л, С, Сомова
Сдано в набор 28/XI 1970 г. Подписано к печати 8/VI 1971 г.
Бумага 84Х108'/зг. Физ. печ. л. 8. Условн. печ. л. la,44.
Уч.-изд. л. 13,05. Тираж 100 000 экз. Т-09 633. Цена кни-
книги 44 коп. Заказ № 874.
Издательство «Наука>
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Леиииский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Комитета по печати при Сопете
Министров СССР. Измайловский проспект, 29.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, В-71, Ленинский проспект, д. 15
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
Б е с к и н Н. М., Изображения пространственных фигур.
(Серия «Популярные лекции по математике».)
Г р ю II б а у м Б., Этюды по комбинаторной геометрии и те-
теории выпуклых тел, перев. с англ. (Серия «Матема-
«Математическая библиотечка».)
К ы м п а и Ф., История числа пи, переп. с румынск.
Мое тел л ер Ф., Пятьдесят занимательных вероятностных
задач, перев. с англ.
Предварительные заказы на печатающиеся книги прини-
наются всеми магазинами книготорга и Академкниги, рас-
распространяющими литературу данной тематики.