Author: Зак Ю.А.
Tags: математика менеджмент логистика прикладная математика издательство книжный дом либроком экономические системы
Year: 2012
Text
Ю.А.ЗАК
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
I В УСЛОВИЯХ
I НЕЧЕТКИХ И РАЗМЫТЫХ
ДАННЫХ ------------
Fuzzy-технологии
URSS
Ю. А. Зак
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
В УСЛОВИЯХ
НЕЧЕТКИХ И РАЗМЫТЫХ
ДАННЫХ
Fuzzy-технологии
URSS
МОСКВА
ББК 22.18 22.In 32.811 32.817 65.050 65.290-2
Зак Юрий Александрович
Принятие решений в условиях нечетких и размытых данных:
Fuzzy-технологии. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. — 352 с.
Настоящая книга посвящена применению нечетких множеств и Fuzzy-технологий
в задачах управления техническими и экономическими системами, в проблемах много-
критериального выбора, в кластерном и регрессионном анализе, в задачах технической и
медицинской диагностики, а также в оценке риска при принятии сложных решений
в финансовой и производственной сфере, в частности при анализе эффективности инве-
стиций в различные проекты и на рынке ценных бумаг, оценке степени банкротства
предприятий и управлении сложными проектами.
Рассматриваются формы представления нечетких множеств, свойства функций
принадлежности, лингвистических переменных, операторов Fuzzy-логики и Fuzzy-
арифметики. Приводятся постановки, математические модели и алгоритмы решения
большого количества прикладных задач принятия допустимых и эффективных решений в
условиях нечетких и размытых данных. Основные положения иллюстрируются геомет-
рической интерпретацией и числовыми примерами.
Книга предназначена для специалистов по прикладной математике и исследованию
операций, работающих в области управления техническими системами, применения ма-
тематических методов в решении задач логистики, анализа рисков принимаемых реше-
ний, а также для инженеров, экономистов, менеджеров и руководителей фирм и предпри-
ятий, занимающихся управлением бизнес-проектами, сотрудников финансовых компаний
и специалистов по маркетингу. Книга может также использоваться в качестве учебного
пособия для инженеров и экономистов соответствующих специальностей.
Издательство «Книжный дом “ЛИБРОКОМ”».
117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.
Формат 62x90/16. Печ. л. 22. Зак. № ВТ-33.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, ПА, стр. 11.
ISBN 978-5-397-03451-7
12235 ID 162088
© Ю. А. Зак, 2012
© Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Теп./факс (многоканальный):
URSS +7(499)724 25 45
9 785397 03451
7'
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.
Содержание
Введение.................................................7
Глава 1. Нечёткие (размытые) множества..................14
1.1. Определения и примеры нечетких множеств.........14
1.2. Формы представления нечётких множеств...........15
1.3. Математическое и графическое представление
функций принадлежности..............................18
1.4. Нелинейные формы функций принадлежности........25
1.5. LR-представления функций принадлежности........29
1.6. Некоторые свойства и характеристики нечётких
множеств...........................................32
Глава 2. Операторы нечеткой логики......................43
2.1. Простейшие операции с нечёткими множествами....43
2.2. Операторы нечеткой логики......................47
2.3. Другие примеры непараметрических
t- и S-норм.........................................54
2.4. Непараметрические операторы усреднения.........56
2.5. Параметрические компенсирующие операторы
нечёткой логики.....................................57
Глава 3. Арифметические и алгебраические операции
с Fuzzy-числами.........................................64
3.1. Принцип обобщения (extension principle)........64
3.2. Основные операции Fuzzy-арифметики.............66
3.3. Fuzzy-арифметика с LR-представлениями функций
принадлежности......................................71
3.4. Некоторые свойства операций Fuzzy-арифметики...75
3.5. Матрицы и функции Fuzzy-чисел................ 77
3.6. Отношения связи и декартово произведение
нечётких множеств...................................78
3.7. Проекции Fuzzy-отношений.......................79
Глава 4. Методы сравнения и ранжирования нечетких
(Fuzzy) множеств........................................81
4.1. Отношения безусловного предпочтения............82
4
Содержание
4.2. Соотношения относительного и субъективного
предпочтения........................................84
4.3. Правила доминирования для нечётких множеств,
представленных LR Fuzzy-интервалами.................91
4.4. Z-сечения нечётких множеств.....................98
4.5. Многокритериальные методы сравнения
и ранжирования нечётких множеств.....................103
Глава 5. Вероятность, возможность и другие величины,
определяющие реализацию Fuzzy-события...................107
Глава 6. Элементы нечёткой логики......................116
6.1. Лингвистические переменные термы
и операторы........................................116
6.2. Основы классической логики высказываний.......118
6.3. Основные операторы и законы нечёткой логики...121
6.4. Свойства операторов нечёткой логики...........123
6.5. Fuzzy-логическая импликация...................124
6.6. Правила нечёткого логического вывода
„ЕСЛИ а, ТОГДА b ИНАЧЕ - с “........................126
6.7. Fuzzy-логические заключения (выводы)..........127
6.8. Fuzzy-логическая база знаний..................132
Глава 7. Методы дефуззификации.........................134
7.1. Метод максимума...............................135
7.2. Метод среднего максимального значения
(Mean-of-Maximum)..................................136
7.3. Методы центра тяжести плоскости...............137
7.4. Методы дефуззификации для функций принад-
лежности в виде импульса (Singleton)...............141
7.5. Параметрические алгоритмы дефуззификации для
несимметричных функций принадлежности..............142
Глава 8. Fuzzy-управление..............................153
8.1. Структура регуляторов, построенных на базе
нечёткой логики....................................154
8.2. Методы фуззификации...........................159
8.3. Правила нечёткого логического вывода..........162
8.4. Различные подходы к построению Fuzzy-регу-
ляторов ...........................................165
8.5. Проектирование Fuzzy-регулятора
на основе опыта и знаний эксперта..................168
8.6. Иллюстративные примеры........................171
Содержание 5
Глава 9. Методы нечёткой логики в задачах классифи-
кации, кластерном анализе, медицинской
и технической диагностике............................179
9.1. Постановка и математическая формулировка
задач классификации и кластерного
анализа...........................................179
9.2. Принципы построения классификаторов на
основе Fuzzy-технологий............................183
9.3. Алгоритмы технической диагностики на
основе нечеткой логики.............................188
9.4. Fuzzy-логическая экспертная система для оценки
глубины и качества сварочных швов..................194
9.5. Применение Fuzzy-технологий в медицинской
диагностике........................................201
Глава 10. Программный комплекс автоматизации
программирования систем принятия
решений методами нечёткой логики.....................206
Глава 11. Fuzzy-регрессионный анализ.................211
11.1. Постановка задачи и состояние проблемы......211
11.2. Алгоритмы решения задачи....................218
Глава 12. Fuzzy-технологии в решении задач
многокритериальной оптимизации.......................221
12.1. Постановка и математическая формулировка
задачи............................................221
12.2. Методы решения задач многокритериальной
оптимизации.......................................224
12.3. Иллюстративный пример.......................231
12.4. Примеры принятия многокритериальных
решений в жизненно важных ситуациях................236
Глава 13. Задачи нечёткого математического
программирования......................................244
13.1. Постановки и математические формулировки
задач нечеткого математического програм-
мирования ....................................244
13.2. Методы решения задач нечёткого (Fuzzy-)
линейного программирования....................250
6
Содержание
Глава 14. Задачи математического программиро-
вания с размытыми ограничениями.......................257
14.1. Постановка однокритериальной задачи
с размытыми ограничениями и предлгаемые
подходы к ее решению...............................257
14.2. Многокритериальные задачи с гибкими
ограничениями......................................261
14.3. Функции принадлежности выполнения
гибких ограничений.................................268
14.4. Выбор наиболее эффективного решения
из множества возможных альтернатив.................270
14.5 Иллюстративный пример.........................275
Глава 15. Применение методов нечёткой логики
в бизнесе, управлении финансами
и в менеджменте.......................................281
15.1. Определение экономических параметров
выполнения проектов, представленных
сетью взаимосвязанных работ........................281
15.2. Транспортные проблемы. Экстремальные
допустимые пути в Fuzzy-графах.....................289
15.3. Эффективное распределение инвестиций.
Оптимизация фондовых портфелей.....................301
15.4. Прогнозирование изменений курсов ценных
бумаг..............................................313
15.5. Fuzzy-технологии в маркетинговых
исследованиях......................................321
15.6. Методы нечеткой логики в анализе коммерче-
ских, производственных и экологических
рисков.............................................331
Литература.............................................344
Введение
Благодаря возможности формулирования логических выводов на ос-
нове анализа накопленных знаний информационные технологии, осно-
ванные на нечёткой логике, нашли в последние годы широкое применение
в различных отраслях промышленности, медицине и экономике. Объёмы
теоретических исследований и практических приложений в этой области,
а также количество публикаций по этой тематике в 1990-е и 2000-е росло
с каждым годом.
Опыт и знания, которые человек собирает и использует как в повсед-
невной жизни, так и в процессе в своей производственной деятельности и
на основе которых делает логические выводы и принимает решения, зача-
стую очень сложно описать математически и представить детерминиро-
ванными или стохастическими математическими моделями. В связи с
этим актуальным направлением научных исследований и практических
Приложений являются формулировка основных правил, получение мате-
матических описаний и алгоритмов механизмов интуитивных решений, а
также решений, принимаемых человеком и основанных на накопленном
бпыте. Основной отличительной чертой нечеткой логики является способ-
ность выражать знания в лингвистической форме, а именно в виде набора
простых для понимания правил. Нечеткая логика предоставляет пользова-
телю математические методы обработки неопределенности и неточно-
стей, характерных для процесса человеческих рассуждений. Решения,
принимаемые на основе полученных и систематизированных знаний, по-
зволяют делать логические выводы и находить эффективные качествен-
ные и количественные решения в самых сложных ситуациях. Исследова-
ниями в данной области занимается теория искусственного интеллекта,
нейронные сети, генетические алгоритмы, а также методы нечёткой логи-
ки.
Методы нечёткой логики, которые в зарубежных публикациях из-
вестны в терминологии «Fuzzy-логика и Fuzzy-технологии», занимают
одно из ведущих мест в данном направлении исследований. Они дают
возможность представить нечетко сформулированные знания и преобра-
зовать их в математическое представление, позволяющее осуществить
анализ и обработку представленной информации на основе законов прав-
доподобия.
Так как в публикациях на русском языке наибольшее распростра-
нение получила терминология «нечеткие множества», «нечеткие числа», в
то время, как в англоязычной и немецкоязычной литературе, а также пуб-
ликациях на других языках распространены понятия «Fuzzy-числа»,
«Fuzzy-множества» и «Fuzzy-технологии» в книге используются эти два
наименования, которые имеют один и тот смысл.
8
Введение
В основе всех Fuzzy-технологий и их приложений лежит теория не-
четких множеств (Fuzzy-Set-Theorie), которая в 1965 была предложена и
обоснована проф. Лофти Задэ (Lofti A. Zadeh) (Университет Беркли, Кали-
форния, США) [1,2, 48]. По мнению проф. Задэ можно для каждого мате-
ма-тического понятия найти нестрогий (размытый) аналог, и таким обра-
зом создать новый математический аппарат, который моделирует челове-
че-ское мышление и позволяет средствами, описывающими логику мыш-
ле-ния и процессов принятия решений человеком, решать многие
техниче-ские и экономические задачи.
Теория нечетких множеств (методы Fuzzy-логики) является развити-
ем классической теории множеств и бинарной логики. Если в классиче-
ской бинарной логике различаются только два результата: истина (1) и
ложь (0), то в случае нечетких множеств существуют ещё и промежуточ-
ные знания между крайними категориями (такими, как истина и ложь),
которыми можно выразить определённую ненадёжность рассматриваемых
значений или степень их взаимосвязи. Классические понятия бинарной
логики „истинно44 и „фальшь44 в нечёткой логике расширяются понятиями,
определяющими некоторые промежуточные ступени истинности и фаль-
ши. С помощью операторов многозначной нечёткой логики эти понятия
связываются друг с другом, что позволяет на основе накопленной базы
знаний делать нетривиальные выводы.
Методы нечёткой логики дают возможность решать большое количе-
ство задач, используя важную субъективную информацию, основанную
на нечётко сформулированных знаниях и опыте экспертов. Нечёткая логи-
ка показывает связь между такими областями с нечеткими границами.
При решении многих технических и экономических задач мы всякий
раз встречаемся с нечеткими „размытыми44 данными, что связано с:
- ошибками в измерении основных параметров технологических процес-
сов и получением значений факторов, определяющих и экономическую
ситуацию;
- нестрогим характером математических моделей, что связано с возмож-
ностью введения определенных допущений и упрощений, пренебрежени-
ем влияния определенных факторов, наличием неконтролируемых воз-
мущений и т.п.;
- использованием численных методов и приближённых алгоритмов обра-
ботки данных и принятия решений.
Всё вышеизложенное может привести к большим неточностям и неодно-
значности выбора при принятии решений.
В связи с этим в различных приложениях является целесообразным
использовать не только численные методы обработки, но и осуществлять
чисто качественную оценку ситуации на основе логических выводов,
представляя полученные количественные значения переменных в каче-
Введение
9
ствс некоторых лингвистических параметров. К преимуществам такого
подхода применительно к решению сложных трудно формализуемых
проблем можно отнести возможность использования эвристики, опыта
эксперта, интуиции лица, принимающего решение. При описании условий
задачи на чисто качественном, лингвистическом уровне применение таких
методов является более естественным. Методы нечеткой логики позволя-
ют реализовать такие подходы наиболее эффективно в тех случаях, когда
математической модели сформулированной задачи не существует либо
она является настолько сложной, что использование её в рамках реаль-
ного времени не представляется возможным.
К преимуществам этих методов следует отнести также возможность в
условиях, когда мнения экспертов при оценке конкретной ситуации не-
сколько расходятся, отделить главное от второстепенного и, упростив си-
туацию, осуществить чёткий выбор решения, определив количественные
значения управляющих воздействий и выходных параметров.
Проф. Лофти Задэ разработал новую модель представления, матема-
тического описания и обработки нечетких знаний. В конце 1960 и начале
1970-х годов выдвинутая проф. Лофти Задэ теория не нашла должной
поддержки, так как в те годы при прежнем состоянии компьютерной тех-
ники реализация технических приложений Fuzzy-технологий наталки-
валась на серьёзные вычислительные трудности. Со второй половины
1980-х годов вместе с прогрессом в области электроники и компьютерной
техники началось (особенно в Японии) широкое внедрение Fuzzy-техно-
логий в системах управления различными техническими устройствами и,
Особенно, при производстве товаров народного потребления. Хорошие
эксплуатационные характеристики этих устройств в сочетании с их низ-
кой стоимостью и высокой надежностью в эксплуатации обеспечили им
широкий рынок.
Наряду с научными разработками и широкими практическими прило-
жениями методов нечёткой логики в Японии, большие объёмы научных
исследований и практических приложений в этой области были выполне-
ны в США и Европе.
В настоящее время наибольшее количество приложений методов
Fuzzy-технологий можно встретить в системах автоматического регули-
рования и управления различными техническими устройствами и меха-
низмами, процессами и аппаратами химической и нефтехимической тех-
нологии. Fuzzy-регулирование находит сегодня применение там, где де-
терминированная математическая модель регулируемого процесса не мо-
жет быть получена или является настолько сложной, что может быть по-
лучена с большими трудностями, либо она требует в процессе функ-
ционирования системы применения методов адаптации с целью измене-
ния некоторых её параметров.
10
Введение
Основное преимущество методов Fuzzy-регулирования заключается в
возможности описать управляемый процесс лингвистически (в словесных
логических правилах). Однако процесс разработки Fuzzy-регулятора, тре-
бующий значительного объёма экспериментальных исследований, ни в
коей мере нельзя считать более простым, чем создание и настройка непре-
рывного или цифрового регулятора, так как в настоящее время не разра-
ботаны эффективные формальные общие методы выбора оптимальных
параметров регуляторов, построенных на принципах нечёткой логики..
Подбор этих параметров является, по сути, результатом решения доста-
точно сложной оптимизационной задачи, значения функционала которой
определяется на основе обработки данных эксперимента, качество и вре-
мя решения которой в настоящее время определяется искусством, опы-
том и интуицией разработчика.
Наряду с Fuzzy-регулированием методы информационных техноло-
гий, основанных на нечёткой логике, находят сегодня успешное приме-
нение и в других областях, таких как медицинская и техническая диагно-
стика, кластерный анализ, распознавание образов, обработка изображе-
ний, идентификация, принятие сложных решений в условиях неопреде-
лённости, анализ и классификация данных, проектирование баз данных и
знаний, планирование производства и сбыта продукции, оптимизация
производственных процессов и транспортировки грузов и др.
Типичными среди промышленных приложений, в которых Fuzzy-
технологии получили наибольшее распространение, являются системы
управления промышленными роботами, управление бытовыми прибо-
рами, медицинской техникой, станками, автомобилями, строительными
механизмами. Количество областей приложений методов управлений и
принятий решений методами нечёткой логики растёт с каждым годом.
Это химия, нефтехимическая и биологическая, целлюлозно-бумажная и
цементная промышленность, машиностроение. В 90-х годах прошлого
столетия системы управления, обработки данных, технической и меди-
цинской диагностики, принятия решений на основе методов Fuzzy-тех-
нологий нашли своё прочное место в различных областях промышлен-
ности и экономике в России и странах СНГ.
Решение задач принятия решений данного класса опирается на мето-
ды сравнения и ранжирования нечётких чисел и нечётких множеств. На-
ряду с критериями безусловного предпочтения одного нечёткого множе-
ства относительно другого, в практических приложениях наибольшее
предпочтение получили различные критерии, методы и алгоритмы отно-
сительного предпочтения, во многом опирающиеся на специфику прило-
жений и субъективизм лица, принимающего решение. На основе сформу-
лированных критериев и алгоритмов сравнения нечётких множеств осу-
ществляется проверка выполнения установленных ограничений и выбор
Введение
11
наиболее эффективного значения критерия оптимальности в задачах при-
нятия решений.
Рассматриваемые в книге методы нечёткого (Fuzzy-логического) ма-
тематического линейного и булевого программирования отличаются от
классических задач данного класса тем, что коэффициенты функции цели,
ограничений, а также правые части ограничений в них представлены не
детерминированными действительными числами, а нечёткими множе-
ствами.
Методы нечёткой логики являются весьма эффективными в процес-
сах принятия многокритериальных решений и обработки мнений группы
экспертов, а также в решении многих повседневных и важных жизненных
и производственных проблем, как например:
- покупка или аренда домов и квартир;
- выбор места работы;
- покупка сложных образцов электронной аппаратуры, оборудования и
бытовой техники;
- выбора специалистов на вакантное место работы из множества возмож-
ных претендентов;
- выбора фирмы для осуществления сервисного и технического обслужи-
вания.
Начиная с конца 70-х годов, методы теории нечетких множеств на-
чинают применяться и в экономике. В качестве примера такого про-
граммного обеспечения можно привести системы, которые используют
банкиры и финансисты для решения сложнейших задач прогнозирования
финансовых индикаторов. В первую версию такой системы, разрабо-
танную еще в начале 1990 года, вошли 600 нечетких правил - воплощение
опыта десяти ведущих брокеров корпорации. Система с блеском выдер-
жала испытание. Некоторое количество работ было посвящено макроэко-
номическому анализу фондового рынка на основе нечетких представ-
лений. К текущему моменту было предпринято ряд попыток с целью про-
гноза фондовых индексов и индексов макроэкономической динамики.
Быстрые вычисления при нечетком задании исходных данных позво-
ляет производить электронная таблица FuziCalc. Пакет FuziCalc сравни-
тельно молод (1995 год), но успел уже завоевать популярность за рубежом
как недорогой инструмент, позволяющий проводить быстрые (прики-
дочные) расчеты в различных областях бизнеса и получать результаты с
вполне приемлемой степенью точности. С помощью пакета программ
Cubi Calc успешно решаются задачи динамического управления в финан-
совом планировании, управления технологическими процессами, модели-
рования экономических процессов с постоянно изменяющимися парамет-
рами и др. задачи. С помощью пакета Matlab успешно решаются как эко-
номические задачи, так и задачи динамического управления.
12
Введение
Следует отметить, что большинство публикаций и успешных приме-
нений нечёткой логики в этой области было опубликовано, в основном,
за рубежом. Методы теории нечетких множеств практически не применя-
лись до настоящего времени в России для финансового анализа и плани-
рования работы корпораций, оценки финансового и производственного
риска, анализа инвестиционной привлекательности ценных бумаг, для
оптимизации фондового портфеля, прогнозирования фондовых индексов
и макроэкономических индексов и др. Лишь совсем недавно (конец 90-х
гг.) в Росси и странах СНГ появился интерес к исследованиям в области
экономики. В настоящее время, благодаря публикациям А.О.Недосекина
[18, 19 ], А.Масаловича [16], А.В.Язенина [38, 85], В.П.Бочарникова [20],
В.Г.Чернова [24], Ю.П. Зайченко [11] и многих других авторов сейчас эти
исследования возобновляются и, более того, приобретают отчетливую
рыночную направленность.
В последние годы решения, принимаемые с использованием Fuzzy-
технологий и на основе теории нечётких множеств , находят широкое
применение в бизнесе, а также в следующих областях и приложениях уп-
равления финансами в менеджменте:
- управление сложными проектами, процесс выполнения которых пред-
ставлен сетевым графиком взаимосвязанных работ;
- выбор наиболее эффективных маршрутов движения транспортных
средств в условиях размытых данных о состоянии дорог и допустимых
скоростях движения по ним в зависимости от времени дня, климатических
условий и от происшествий на дорогах;
- построение адаптивных решающих правил относительно изменений
курсов ценных бумаг на бирже на основе анализа многих показателей
технического и фундаментального анализа;
- при обработке анкетных опросов и результатов наблюдений, предста-
вленных строками символьно-числовой информации, в маркетинговских
исследованиях.
- выбора оптимального портфеля инвестиций на перспективу, обеспечива-
ющих оптимальное соотношение между ожидаемым объемом получен-
ной прибыли и степенью допустимого риска.
В реальной ситуации процент ожидаемой прибыли по каждому на-
правлению вложения денежных средств определяется как на основе ана-
лиза статистических данных за предыдущие периоды, так и мнений экс-
пертов, оценивающих и прогнозирующих изменения политической, эко-
номической ситуации и социологических факторов в планируемом пери-
оде, исходные данные задачи могут быть представлены в виде некоторых
размытых множеств. В этих условиях в работах А.О.Недосекина [18, 19 ]
показаны преимущества использования подходов решения проблем выбо-
Введение 13
ра наиболее эффективного портфеля инвестиций на основе теории нечёт-
ких множеств.
Методы нечеткой логики имеют большие перспективы в различных
областях экономики и техники, в особенности в создании гибких автома-
тизированных производств и интеллектуальных робототехнических комп-
лексов.
Объективное, достаточно полное, строгое и в тоже время доступное
для неподготовленного читателя изложение основ теории и описание раз-
личных приложений методов нечетких множеств и Fuzzy-технологий яв-
ляется важнейшей предпосылкой для более широкого внедрения этих ме-
тодов в практику управления, принятия решений в экономике, системах
управления и диагностики.
В заключение автор хотел бы выразить благодарность своей жене,
Наталье Гейлур, за внимание и помощь в работе.
Глава 1. Нечеткие (размытые) множества
1.1. Определения и примеры нечетких множеств
Классическое множество А всегда строго ограничено. Для каждого
объекта а всегда справедливо одно из утверждений:
1) а принадлежит множеству А (а е А ) ;
2) а не принадлежит множеству А (а £ А).
Эти утверждения следуют правилам двухзначной логики, которые допус-
кают одно из двух высказываний: истинно или ложно. Однако эти жёст-
кие ограничения множества А приводят в решении реальных практиче-
ских задач к серьёзным трудностям. Так, например, при большом количе-
стве имеющихся в наличии мужчин зачастую очень трудно выбрать под-
множество мужчин высокого роста и очень строго отнести того или иного
индивидуума к одному из следующих подмножеств: мужчины высокого
или мужчины низкого роста (Л, или А2).
Как в рассматриваемом, так и во многих других случаях, отсутствует
строгий граничный интервал однозначного разделения. Из предложения
Л.Задэ (1965 г.) [1] следует, что можно для каждого элемента X основно-
го множества А определить степень принадлежности к некоторому
„размытому44 подмножеству А} и выразить её некоторым действительным
числом /ЛА (х). При этом область изменения этой оценочной функции
(назовем её функцией принадлежности) ограничивается замкнутым ин-
тервалом [0, 1]. Значение „О44 при этом относится к функции принад-
лежности тех элементов, которые с определённой степенью надёжности
указанными свойствами не обладают.
В основе теории нечёткой логики лежат следующие понятия:
- Fuzzy-множество (Fuzzy-set)}
- Fuzzy-число ( Fuzzy number);
- Fuzzy-интервал (Fuzzy flat number).
Понятие нечёткого множества является исходным пунктом для всех
дальнейших определений и выкладок. С помощью нечётких множеств оп-
ределяется принадлежность в большей или меньшей степени конкретного
элемента некоторому заданному множеству значений. Однако степень
принадлежности определяется исходя из оценок конкретных индивидуу-
мов или группы экспертов.
Обозначим
Нечеткие (размытые) множества
15
А = {(х,//л(х)) |х е X}; //л(х) :х -> [0,1] (1.1)
нечеткое (размытое) множество элементов на X (Fuzzy set in X ).
Весовая функция //л(х) в литературе получила название функция
принадлежности (membership function), характеристическая функция, ве-
совая функция или функция совместимости.
В качестве примера на рис. 1.1 представлена функция принадлежности
нечёткого множества „высокие мужчины", а на рис. 1.2- нечёткого (раз-
мытого) множества „приблизительно равно 25", которое моделируется со-
гласно выражению:
J = {(х, цА (х)) I цА (х) G R2; цА (х) = (1 + (х - 25)2. (1.2)
Рис. 1.1: Пример нечёткого множества „высокие мужчины".
Рис. 1.2: Пример нечёткого множества „приблизительно равно 25".
1.2. Формы представления нечётких множеств.
В литературе наиболее часто можно встретить следующие формы
представления размытых множеств:
1) в нотации Л.Задэ [1, 48] и монографии Г.-Ю. Циммермана [49]: - для
конечного множества элементов X = {jc1хп }
16
Глава 1
J = Ал(*1) + АлО0 + + Алк) = у Алк)
Х1 Х2 Хп i=t Xi
ИЛИ
- для непрерывного множества X
А = ^цА(х)/х-дх. (1.5)
X
Классический знак интеграла, который стоит в выражении (1.5), означает
формально „синтаксически44.
В качестве первого примера рассмотрим нечёткое множество А -
„молодые мужчины44, где X - значение возраста мужчины (в годах), а
Ра (х) " степень принадлежности к множеству А .
—А 10 15 20 25 30 35 40 50.
А — 4- ,
0 0,2 0,5 1,0 0,9 0,8 0,5 0
А = (10; 0), (15; 0,2), (20; 0,5), (25; 1,0), (30; 0,9), (35; 0,8), (40; 0,5), (50; 0).
В качестве второго примера приведём непрерывное нечёткое множе-
ство с функцией принадлежности
Основным (базисным) множеством размытого множества А является
классическое множество X.
Кроме того, для дискретного множества X в литературе часто встречает-
ся также форма записи размытого множества А в виде
Л = {(Х1,//^(Х1)),(Х2,//Л(Х2)),...,(ХП,//Л(ХИ))} • О-6)
Довольно распространённой формой представления дискретных не-
чётких (размытых) множеств является табличная форма, в первой строке
которой указывается значение элемента множества X, а во второй зна-
чение его функции принадлежности. Так, например, размытое множество
А „молодые мужчины44 имеет вид:
Табл.1.1.
X 10 15 20 25 30 35 40 50 55
Ал О) 0 0.1 0.5 1.0 0.9 0.8 0.5 0.1 0.0
Нечеткие (размытые) множества
17
В отличие от теории классических множеств в теории нечётких мно-
жеств понятия Fuzzy-число, Fuzzy-интервал являются частными случаями
нечетких множеств (размытых или Fuzzy-множеств).
В классической теории чисел для каждого числа значение функции
принадлежности для его собственного значения равно 1, т.е. ]Ll(x) = 1, а
для других чисел - //(х) = 0. В теории нечётких множеств учитывается,
например, что число 10 расположено существенно ближе к числам 9 и 11,
чем к значениям -10 и 100. Это может быть количественно отражено вве-
дением функции принадлежности к указанным значениям. Следовательно,
Fuzzy-числа могут определять близость данного числа к соседним значе-
ниям. Для этого вместе со значением числа определяется некоторая раз-
мытая область соседних значений и функции принадлежности, опреде-
ляющая насколько близким является указанное число к соседним значе-
ниям. Таким образом Fuzzy-число является, в общем случае, размытым
множеством (см. рис. 1.3)
Рис. 1.3: Пример представления Fuzzy-числа в виде
размытого множества.
Если пытаются задать Fuzzy-число как можно точнее, то при этом
размытый интервал становится всё уже и в предельном случае, когда этот
ин-тервал стягивается в точку, получают классическое число (точнее его
значение).
Если классическое число представляется в виде нечёткого множества,
то в этом случае используется частный вид функции принадлежности: так
называемая дельта функция (Singloton)
Ал(х) = <
1, если х - х0,
0, в остальных случаях.
(1-7)
Если с помощью Fuzzy-чисел описываются некоторые лингвистические
переменные или понятия (например, „приемлемо"), которые зачастую
воспринимаются и интерпретируются только субъективно, то в этом слу-
чае использование понятий нечёткого множества, функции принадлежно-
сти и Fuzzy-интервал является необходимым. В качестве примера на
18
Глава 1
рис. 1.4 приведено представление размытого понятия „приемлемая темпе-
ратура воздуха в помещении*4 как некоторое размытое множество с мак-
симальным значением функции принадлежности при температуре
Т = 21°.
Рис. 1.4: Нечёткое понятие „приемлемая температура
воздуха в помещении44
1.3. Математическое и графическое представление функций
принадлежности
Степень принадлежности каждого элемента к базисному множеству, в
отличие от классического математического анализа, может быть выраже-
на некоторой функциональной зависимостью. Используемые при этом
функции могут рассматриваться как более или менее приемлемые формы
субъективного представления одного или группы экспертов.
Функция принадлежности рА (%) описывает нечёткое множество А в
пределах общего бесконечного множества элементов X = R, т.е. полно-
стью определяет принадлежность всех элементов X к рассматриваемому
множеству А .
При моделировании, как правило, используются простые функцио-
нальные зависимости, как кусочно-линейные, в которых некоторые опре-
делённые точки соединены отрезками прямых, так и экспоненциальные
зависимости или другие нелинейные функции, определяемые небольшим
количеством параметров.
Следует учитывать, что, чем проще с точки зрения математического
описания выбран вид функции принадлежности, тем проще будут в даль-
нейшем методы математической обработки, интерпретации и представле-
ния результатов. Поэтому для практического использования теории ин-
формационных Fuzzy-технологий можно ограничиться рассмотрением
только специальными видами функций принадлежности, сложность и
формы описания которых соответствуют применению теории нечёткой
логики в конкретных практических приложениях.
Нечеткие (размытые) множества
19
1j.1. Треугольные и трапецевидные формы функций принадлеж-
ности.
Наибольшее распространение в приложениях, связанных с Fuzzy-pery-
дированием, в системах технической и медицинской диагностики, кла-
стерном анализе, в системах обработки изображений и принятия решений
получили треугольные и трапецевидные формы функций принадлежности
нечётких множеств, являющиеся кусочно-линейными функциями, тре-
бующими небольших объёмов вычислений для их обработки и позво-
ляющие выполнять требуемые объёмы расчетов в целочисленной арифме-
тике. Ниже приводятся основные виды функций принадлежности этого
типа, используемые в практических приложениях.
- Центральное треугольное нечёткое множество, ограниченное интерва-
лом значений [ ajj ] (см. рис. 1.5).
= 1
z ч х~а
А/0-----,
с —а
z ^Ь-х
Ь-с
(1.8)
- Правое простое треугольное нечёткое множество, ограниченное интер-
валом значений [с, Ь ] (см. рис. 1.6).
- Левое простое треугольное нечёткое множество, ограниченное интерва-
лом [а,с] (см. рис. 1.7).
Ал W = <
0, х <
х~а
vAx)----
с-а
(1.Ю)
20
Глава 1
- Центральное трапецевидное нечёткое множество, ограниченное интер-
валом значений [а9Ь ] (см. рис.1.8).
0, х <
, . х-а
Va(x)-------’
с, - а
, \ Ь~х
Ь-с2
(1.11)
Ра(*) ='
'2
а cl с_2 b х
Рис. 1.8.
Рис. 1.7.
- Левое трапецевидное нечёткое множество, ограниченное интервалом
значений [ , Ь ] (см. рис. 1.10)
0, х < q, х
Ая(х) = ^ »А(с\ сх<х
Z X Ь- х
АлМ'Т----> С2
0-с2
(1.12)
- Правое трапецевидное нечёткое множество, ограниченное интервалом
значений [ а, с2 5 ] (см. рис. 1.9)
с_2
Рис. 1.9.
ь
С_1
с_1 с2
Рис. 1.10.
Нечеткие (размытые) множества
21
О, х <
Нл^\
< А Х~й
Нл(х)------
q - а
- Сложное центральное треугольное нечёткое множество, ограниченное
интервалом значений \ах, Ь2 ] (см. рис. 1.11).
2>
(1.13)
^(*) =
-------й ’ b? j (см рис 111)
На (^2 )’ X < Л2 ,
НА(Ьг), х>Ь2,
На (а2 ) + [Нл («1) “ На («2 )] ‘ ~ ~ >
6^2
Нл («1) + [Нл (с) - На («,)]' ,
с-с1
Нл (bi) + [нл (с) - На (Ь1)] • 7"^»
Ьх -с
НА (Ь2 ) + [и, (/>!) - (Ь2 )] • ,
62-fe!
(1-14)
22
Глава 1
- Сложное правое треугольное нечёткое множество, ограниченное интер-
валом значений [ с, Ь2 ](см. рис. 1.12).
О, х < с,
Ра(Ьх) + \Ра(р)-рАЬх)]-^-^, с<х<ь,- (1 16)
Ра(Ь2) + \Ра(Ь1)-Ра<М]-7Г-Т-’ bi<.x<b2;
d2 bx
pA(b2), x>b2.
/<«(*) = •
- Сложное левое треугольное нечёткое множество, ограниченное интер-
валом значений [ а2 9 с ] (см. рис. 1.13)
О, х>
РлМ •=
Ра (с) + \Ра (с) - Ра («1)] ’ ~~ >
с-ах
U2,
х-а?
----а2
(1-17)
- Сложное центральное трапецевидное нечёткое множество (рис. 1.14)
/м*)=-
рА{а2), х < а2,
рА{а2) + Lu/aJ +
6Z2
Ра («1) + [Ра (с) ~ Ра <Р1)] ’ ’
С1 а1
jUA(c), с,<х<с2,
Ра ) + {Ра (с) - Рл(Ь})],
И С2
Ра(^2) + [Ра) - Ра (Ь2)]?-»
Ь2 Ьх
'2
(118)
pA(b2), X > b2
Нечеткие (размытые) множества
23
Ал(*) = ’
Рис. 1.14. Рис. 1.15.
- Сложное левое трапецевидное нечёткое множество (рис. 1.15)
0, х > с2,
Мл(а2\ х<а2,
Мл («г) + [Ал («1) - Ал («2 )]--а2<х<а};
а2 ~а\
Мл (ai) + \Мл (с) - Мл («1)]-- — , ах < X < Cj;
с\
, Мл(с)’ Сх<х<с2.
- Сложное правое трапецевидное нечёткое множество (рис. 1.16)
juA(c), Х<С{,
juA(c), ct<x<c2,
h — х
Мл (bx) + \pA (c) - pA (b, )]-l-,
6i-c2
Ma (*>2 ) + [Ma (b,) - Ma (b2 )]^ ’
b2~bx
(1.19)
Мл(Ь2\
а*(А)
(1.20)
r2 l\
Рис. 1.16.
24
Глава 1
- Центральное перевёрнутое треугольное Fuzzy-множество, ограничен-
ное интервалом значений \а2 Ь2 ] (рис. 1.17)
--------’й \а2 9 Ь2 ] (рис. 1.17)
О, х <а2,х>Ь2,
а2<х<а}
На (<0 + \На («1) - На (с)1 • ,
с-ах
На (<0 + [На (bi )-Нл(с)1 >
Ь} -с
.НаСЫ Ьг<х<Ь2.
- Центральное перевёрнутое трапецевидное Fuzzy-множество, ограничен-
ное интервалом значений \а2 , Ь2 ] (рис. 1.18)
-------[а2,Ь2] (рис. 1.18)
О, х<а2,х>Ь2,
Ha(oi)’ а2<х<а„
На(с) + [На(^)-На(с)]-^-^’ а,
ci-«i
На(с)> Cj<x<c2)
На(с) + [На(Ь1)-На(с)1т—^-’ С2
Ь1~С2
(1-21)
(1.22)
В качестве частных случаев приведенных выражений можно рассмат-
ривать случаи, когда в выражениях (1.8)-(1.21) /ЛА(с) = 1, а в выраже-
Нечеткие (размытые) множества
25
НИЯХ (1.14)-(1.21)- ^(а2) = ^(^2) = 0, а также случаи, когда в вы-
ражениях (1.21), (1.22) ЦА (с) = 0, р.А (а,) = ЦА (bt) = 1.
Определенный интерес и широкое применение получили функции при-
надлежности импульсного вида Singloton (рис. 1.19) и в виде прямоуголь-
ника (рис. 1.20)
( х Jl, х = х15 z х J 1, q < х < с2, z, 2з\
[0, х т5 х(; [0, х < с15 х > с2.
пх*) а
1.0------ 1 0...................... .......
11М „ » .................................*-
X Cj с2
Рис. 1.19. Рис. 1.20.
1.4. Нелинейные формы функций принадлежности.
Среди нелинейных форм функций принадлежности наибольшее рас-
пространение в практических приложениях получили различного рода
экспоненциальные зависимости вида:
Центральные экспоненциальные кривые:
-Функция Гаусса (рис. 1.21)
z ч ( (х-т)2^ z ч f 1 zX-7Hx21 /пл\
^(х) = ехр--------— , цА (х) = ехр {- - • (-) }, (1 -24)
бт у 2 сх
а также функции вида
цА{х) = е~кх, рА(х) = е-к{х-т)2 к>0, (1.25)
(х) = 1 - е-к (х-тУ , к > 0. (1.26)
UA (*) = Va(rnin)+ \рА(max)- цА (min)|- ехр{-^ • (^-^)2}; (1.27)
2 су
Виды нелинейных функций принадлежности (1.25), (1.26) - при
к = 0.1, zw = 1 приведены на рис. 1.22
26
Глава 1
Рис. 1.21.
АО)
Рассмотрим также другие виды нелинейных функций принадлежности.
- Функция вида Sigmuid (рис. 1.23)
//(х) =------*-----------.. (1.28)
1 + ехр(- а • (х - т))
Нечеткие (размытые) множества
27
- Функция вида gbellmf (рис. 1.24)
Xх)=
(1-29)
- Центральные кривые в виде дробных функций:
^(х) = 7ТТТ’ ^(*) = т——V’ к>0- (13°
1 + Ах 1л-к\х-т)
//л(х) = ^X~,w^ к>0. (1.31
А l+k(x-ntf
Виды этих функций принадлежности при к = 0.1, т = 1 приведены на
рис. 1.25
- Экспоненциальные и дробные функции, ограниченные справа или слева:
Ал(*) =
ехр{- к(х - с)},
Ал(х) =
0, х>с,
ехр{-£(х— с)2},
х<с;
(1-32)
ехр{- к(х - с)2 }, х > с;
ехрр к(х - с)2х < с;
= 1 0, х<с;
11 - ехр{- к(х - с)2), х > с;
Ua(x) = -
0, х > с,
1-ехр{-Л(х-с)2}, х <с;
(1.33)
О, х<с,
Мл(.х) = \ 1
. 1 .х-с.2.
ехр{--(—)
2 сг
х>с,сг>0;
(1-34)
28
Глава 1
О, х>с,
Ц,(х) = \ I , 1/Х-£\2> Л
’-------ехр{—(------) }, х<с,сг>0;
1.2жт 2 ст
/<<(*) =
(1.35)
(1-36)
(1.37)
1
^(*) = 1 ^(х-с)2
Представляют также практический интерес нелинейные функции
принадлежности вида:
цА (х) = max(0,1 - х); цА= тах(о, 1 - |х|); (1.38)
цА = тах(о, 1 - кх2); цА - тах(о, 1 - кхп); /лА = тах(о, 1 - ^х|)« (1-39)
Рассмотрим также экспоненциальные и дробные функции вида:
Рл (*) = ех₽(- *|*|) > рА (х) = 1+~ ’ к > °5
1 1 1
^=1 + ф|”’ АЛх) = 1 + Л-ехрР)
а также нелинейные трапецевидные функции вида
]иА(а), х<а,
^(а) + 2-|//^(с)-^(а)]• Н—
- а) 2
z \2
^(с) + 2-[ил(с)-//?4(а)]-1^—- , -S^<x<c1,
I с. — а ) 2
Ра(с\ q <Х<С2,
Ра(х) = -
/ _ у
^(с)-2(с)-^ (/>)]•
Г ь
//л(а) + 2 [//л(с)-Ал(й)]’| ~Г
цА(Ь), х>Ь.
Нечеткие (размытые) множества
29
1.5. LR-представления функций принадлежности
В практических приложениях часто используются виды функций
принадлежности
т-х ]
L\---- , ij х < т,
\ а )
х-тУ .г
к ----\,if х>т,
I р )
(1-40)
которые начиная с некоторого левого крайнего значения х Е А со зна-
чением ЦА (а) = 0 начинают монотонно расти, достигая в некоторой
точке х = т1 максимального значения juA (т). Затем на некотором ин-
тервале < х<т2 с ростом значения X сохраняется это постоянное
значение функции принадлежности. После этого при X > т2 с увеличе-
нием значения X функция принадлежности начинает монотонно падать,
достигая при некотором значении X = Ь либо нуля, либо своего второго
минимального значения. Пример LR -представления функций принад-
лежности приведен на рис. 1.26, 1.27.
Такое поведение многих видов функций принадлежности позволило
предложить некоторую общую структуру этих функций, определённую с
точностью до некоторых неизвестных параметров, с помощью которых
удаётся существенно изменить поведение этой функции в конкретных
точках.
«1(Л) Wj(Z) №2(Л) а2(Л)
Рис. 1.26. Рис. 1.27.
Мы ограничимся рассмотрением непрерывных - Fuzzy-чисел (мно-
жеств) А , представленных LR -интервалами в виде
[il(A),ml(A),m2(A),a2(A)}LR.
30
Глава 1
Функции принадлежности таких Fuzzy-чисел А , представленных трапе-
цевидными LR -интервалами (рис. 1.24), вычисляются по формулам
0, если х<Оу(А) или х>а2(А), т^А^-х - - 1 юти /1 /1 I wi I Д I
^(х) = < _ _ у (1^ улл. J Л 1, если m^A) < x < m2 (A), x-m2(A) - - z. огни f Л I v << zr f Л 1 (1.41)
— — y^^/ /• a2 (A)—^2(Л)
В случае, что, если в функции принадлежности (1.41) значение
ах (А ) = (А ), то функция принадлежности вырождается в левосторон-
нюю трапецию (рис. 1.9) а если а2(А) = т2( А), то правостороннюю
трапецию (рис. 1.10).
Если Ш} (А) = Ш2 (А) = т(А) , то функция принадлежности (1.41) вы-
раждается в центральный треугольник вида
0, если x < ar(A) или x>a2(A)9
“(7)~Л_ .ecu <L42’ m(A)-Oi(A) x-m(A) = если m(A)<x<a7(A). a2(A)-m(A)
Вид такой функции принадлежности приведен на рис. 1.5, где а = ах (А) ,
с = т(А), b = а2(А).
Если выполняются равенства at(A) = т(А), то выражение (1.42)
преобразуется в правосторонний треугольник (рис. 1.6), а в случае
а2 (А) = т(А) =, - в левосторонний треугольник (рис. 1.7).
Параметры АТ?-представления должны удовлетворять следующим
соотношениям:
1) должно быть задано базисное множество элементов X = R^ ;
2) должен существовать разброс выборки значений а > 0, /? > 0 в
LR -представлении (1.40);
3) должен существовать интервал X G [т]? ти2], где функция принадлеж-
ности сохраняет своё максимальное значение;
Нечеткие (размытые) множества
31
4) виды функциональных зависимостей L\X) и R[x) должны быть
известны и определены;
5) функции L(x) и R^x) должны быть монотонно возрастающими и
монотонно убывающими функциями на множестве элементов X G А ;
6) диапазон отображения функций Х(х) и 7?(х) - это
Х = Я0’->[0-1] , то есть
W| х>о и - >р.
а Р
Следовательно, далеко не все виды функций принадлежности пригодны
для LR -представления. Так, например, рассматриваемые в предыдущем
разделе экспоненциальные и дробные функции принадлежности нечётких
множеств не могут быть описаны в виде LR -представления.
Для описания приведенных в разделе 1.3 простых центральных треу-
гольных и трапецевидных функций принадлежности в виде LR -пред-
ставления в форме (1.44) обозначим:
с = т, сх=тх, с2 =т2, h-с - р, с-а-а,
а также допустим, что рА (с) = рА (с1] ) = рА (с2 ) = 1.0. Тогда
Т. . т-х , ч , х-т
Дх) = 1-----, R(x) = l--
а р
и функции принадлежности в LR -представлении в форме (1.40) для цен-
трального треугольного (1.42) и трапецевидного (1.41) нечёткого множе-
ства имеют соответственно вид
0, х < а,
л т-х
1---------------, а < х
а
1, х = с,
1 х-т
1------, с<х
р
0, х > Ь;
0,
а
1, с
1 х — т2
~г
0, х >
Ра (*) ='
2’
На рисунках 1.28 - 1.31 показаны различные виды функций принад-
лежности для некоторых частных случаев соотношений их параметров.
32
Глава 1
На рис. 1.28 приведен пример LR -представления функций принадлежно-
сти для случая, если > т2, тг — < т2 и т2 + сх2 > , а на
рис.1.29 - для случая, если > т2, тх — < т2 и т2 + а2 < т}.
На рис. 1.30 приведен пример LR -представления функций принадлежно-
сти для случая, если т1 > т2 , тг — (Хг > т2 и т2 4- (Х2 > , а на
н 4
1.6. Некоторые свойства нечётких множеств
Определение 1.1. Некоторое нечёткое множество
А = {(х,//?(х))|хе А} называют пустым и обозначают А = 0, если
значение его функции принадлежности равно нулю для всех значений
X G X, т.е. JU^{x) = 0 V х G X.
Определение 1.2. Уровнем нечёткого множества A {height of А) назо-
вём наименьшую верхнюю границу значений функций принадлежности
(х) на множестве X , т.е.
hgt( А ) = sup (х). (1.43)
хеХ
Нечеткие (размытые) множества
33
Если для нечёткого множества справедливо hgt(A) = 1, то это озна-
чает, что Fuzzy-множество А нормализовано (normalized). Ясно, что ка-
ждое непустое Fuzzy-множество может быть нормализовано, если разде-
лить все значения функции принадлежности //-(х) его элементов на ве-
личину hgt (А ). Так, например, нечёткое дискретное множество
А = {(Ю; 0,1), (12; 0,2), (14; 0,4), (16; 0,8), (18; 0,6), (20; 0,5), (25; 0,2)}
после нормализации (деление на величину hgt (А ) = 0,8) имеет вид:
А = {(10; 0,125), (12; 0,25), (14; 0,5), (16; 1,0), (18; 0,75), (20; 0,625),
(25; 025)}.
Преобразование нечеткого множества в процессе нормализации показано
на рис. 1.32.
Нормализация нечётких множеств применяется в том случае, когда в
об-ласти рассматриваемых значений X G X все значения //- (х) < 1.
Определение 1.3. Два нечётких множества А и В являются равными
(записывается А = В ), если их функции принадлежности на множестве
элементов X являются идентичными
А = В <£> = //^(х) V х G X. (1.44)
Определение 1.4. (Включение нечётких множеств).
Нечёткое множество А является подмножеством нечёткого множества
В (записывается A CZ В ) в том и только в том случае, если для их
функций принадлежности справедливо соотношение
34
Глава 1
A CZ В <=> < Ц-g(х) V х G X . (1.45)
В случае строгого включения должны выполняться строгие неравенст-
ва, т.е.
Л сВ о //^(х) < Bg (х) V х е X. (1-46)
Так, например, для трёх дискретных Fuzzy-множеств:
А = {(100; 0,1), (200; 0,15), (300; 0,5), (400; 0,4), (500; 0,2), (600; 0,1)},
В = {(100; 0,1), (200; 0,2), (300; 0,5), (400; 0,5), (500; 0,4), (600; 0,1)},
С = {(100; 0,25), (200; 0,3), (300; 0,6), (400; 0,8), (500; 0,6), (600; 0,25)},
справедливы соотношения: A g В g С .
Если справедливы соотношения A G В и В сС , то из этого сле-
дует, что А = В .
Из соотношений A G В и В сС следует, что Л С С (транзи-
тивность).
Для нечётких множеств может быть также введено понятие выпукло-
сти.
Определение 1. 5. Нечёткое множество А = //Дх)) | х G х} на вы-
пуклом множестве элементов X называется выпуклым, если справедли-
вы соотношения:
^(х3) = ^(Ях,+(1-2)х2)>
> (х,), //j (х2)] V xt g X, х2 еХ;Ле [0,1}
Понятие выпуклости нечёткого множества поясним на рис. 1.33, 1.34.
Так как для любого значения Л G [ОД] справедливо выражение
А7(х3) > min[u;j(x1),//j(x2)],
то нечёткое множество А , приведенное на рис. 1.33. , является выпук-
лым.
На рис. 1.34 приведен пример невыпуклукого Fuzzy-множества, так
как
В а (хз) = В A U •+ (1 - Л) • х2 ) < minf/z-j (Xj), ц-А (х2)].
Нечеткие (размытые) множества
35
Определение 1.6. Нормализованное нечеткое множество (Fuzzy-множе-
ство) А , определённое на множестве действительных чисел R , называ-
ется Fuzzy-числом (fuzzy-number), если:
а) фактически существует действительное число х0, для которого
в) функция принадлежности р, - (х) является кусочно непрерывной.
Значение х0 называют вершиной множества A (mean value of А ).
36
Глава 1
Определение 1.7. Fuzzy-число называют положительным и записывают в
виде А > 0, если (х0 ) = О V х < 0. Fuzzy-число называют отри-
цательным (А < 0 ), если справедливо выражение
Ал(хо) = ° хоеХ.
Так, например, нечеткое множество А („приблизительно 10“) на множе-
стве действительных чисел R с функцией принадлежности
——если хе[б,10], 8 14 — х /h-^{Xq) = <—-—, если 10<х<14, 0, если х < 6, х > 14,
является положительным Fuzzy-числом, в то время как нечеткое множест-
во А („приблизительно -3“) на множестве действительных чисел R с
функцией принадлежности
----, если
2
Ал(хо) —
----, если
3
является отрицательным Fuzzy-числом.
Определённые выше два Fuzzy-числа изображены на рис. 1.35.
Аналогично понятию непрерывности из классического математи-
ческого анализа для Fuzzy-множеств справедливо следующее свойство.
Определение 1.8. Нечёткое множество является кусочно непрерывным,
если выполняются следующие условия:
Л = {(Х’^А (X))l (X)min И~А (*) Р~А (Х)тах }>
У(х15х2)еЛГ: ^(х1)-^(х2^<Л ,
для | — Х2 |< Ц при 2 > О, jU> 0 ;
т.е. нечёткое множество является строго непрерывным, если кривая его
функции принадлежности не имеет никаких скачков и разрывов.
Нечеткие (размытые) множества
37
Рис. 1.35.
На рис. 1.36 показаны примеры непрерывного Fuzzy-множества (множе-
ство «а») Fuzzy-множества со скачком (множество «Ь») b с разрывом
(множество «с»)-
Определение 1.9. Выпуклое, нормированное нечёткое множество А на
множестве действительных чисел X называется Fuzzy-интервалом (не-
чётким, размытым интервалом; Fuzzy interval, flat Fuzzy number), если в
множестве X
а) существует более чем одно действительное число, для которого
Х/2(х) = 1,
в) /Л- (х) является кусочно-непрерывной функцией.
Ясно, что в трапецевидной принадлежности в случае (с) = 1 область
значений X G [с,, С2 ] является классическим Fuzzy-интервалом.
38
Глава 1
Определение 1. 10. Назовем мощностью (power или cardinality) нечёткого
множества А , содержащего конечное число элементов
X = {x1,x2?...,xw}, величину
card (А) = |л| = (х). (1.48)
хеХ
Величина
card* (А) = || Л J =
(1-49)
называется относительной мощностью нечёткого множества А .
Определение 1. 11. Для нечёткого множества А , содержащего бесконеч-
ное число элементов X G X, мощность определяется выражением
card(A ) = | А | = J (x)dx, (1.50)
А
а относительная мощность - выражением
саг^(Л) = ||л|| = ^—р-------. (1.51)
А
Так, например, мощность дискретного нечёткого множества А
А = {(1; 0,2), (2; 0,3), (4; 1,0), (5; 0,7), (6; 0,4), (7; 0,15)}
на множестве элементов X = {1,2,3,4,5,6,7} равна
card(A) = | А\ = 0,2 + 0,3 + 0,5 + 1,0 + 0,7 + 0,4 + 0,15 = 3,25.
card^(A) = || ЛI =
_____3,25____
1+2+3+4+5+6+7
3,25
28,0
= 0,116.
Сечения нечётких множеств.
Определение 1.12. Для нечеткого множества А = (х,//^(х)) и неко-
торого положительного числа ОС G [0,1] назовем подмножеством ОС -го
уровня (ОС -level set) или ОС -сечением (ОС -cut) от множества А Fuzzy-
множество Аа (или Л (бк)), определяемое выражением
Нечеткие (размытые) множества
39
Аа = А(а) = (х е X. /гДх) > а). (1.52)
Разрезы уровня ОС нечёткого множества А конструктивно можно полу-
чить, если провести горизонтальную линию, параллельную оси X из точ-
ки с координатами (0, бк) и часть кривой функции //-(х), лежащей вы-
ше этой кривой спроектировать на ось X, т.е.
//^(х), если р^(х) -
О, в противном случае.
Определение 1.13. Назовем ОСХ -сечением
А = (х, (х)) нечёткое множество А(а_Х) = I
принадлежности которого определяется выражением
1, если р^(х)>а,
О, если р-д (х) < а.
Вышеизложенное иллюстрируется на рис. 1.37.
Для произвольных значений 0 < ОСХ < 1 и 0 < ОС2 — 1 справедливы
следующие утверждения:
1) если ОС — 0, то A^a=^ = Ао = X;
v-A СО =
(1-53)
нечеткого множества
(x)j, функция
'Ч-»(х) =
(1-54)
2) если ОСХ < ОС2, то A C^Aaj (см. рис. 1.38);
3) для всех a G [ОД] справедливо Аа (Z.A .
40
Глава 1
Абсолютная и относительная мощность нечётких множеств
Определение 1.14. Абсолютная мощность |л| дискретных
— " ) — / X
А = У —------ и непрерывных A =\x9jUj(x)) нечётких множеств оп-
z=l
ределяется некоторым действительным числом, которое вычисляется в
соот-ветствии с выражениями
п тах
PhZ/'xU)’ й= (1.55)
* 1 -4nin
Определение 1.15. Относительная мощность нечёткого множества ||j||
определяется некоторым действительным числом, котторое вычисляется в
соответствии с выражением
рр^3^' (|'56)
max min
Понятие «относительная мощность» соответствует в классической
теории вероятности понятию математического ожидания или среднего
значения случайной величины.
В качестве примера вычислим значения абсолютной и относительной
мощности для дискретного нечёткого множества
А = {(10;0.1) (12;0.4),(14;0.7),(16;1.0),(18;0.6),(20;0.3),(22;0.1)},
|Л| = 0.1 + 0.4 + 0.7 +1.0 + 0.6 + 0.3 + 0.1 = 3.2,
И= — =0.26666-
22-10
Нечеткие (размытые) множества
41
Концентрация и дилатация (расширение) нечетких множеств.
Чисто качественно нечеткое множество может быть усилено или ос-
лаб-лено. С этой целью используются операторы котцентрации коппА и
дилатации dilnA вида
коппА = |х, \juA(х)]и |х g (?}, dilnA = |х, ^juA(х)|х е G} .(1.57)
Пример применения операторов концентрации и дилатации для значения
п = 2 приведен на рис. 1.39, 1.40.
Так как 0 < (х) < 1, то при возведении значения функции при-
надлежности в степень п > 1 значение полученного результата будет
меньше исходной величины ]ИА (х) , а результат извлечения корня степе-
ни п > 1 - больше этого знчения. Следовательно, справедливы неравен-
ства вида
а —д/№ а ’ т.е. коппА cz A. cz dtl^A.. (1.58)
Контрастное усиление нечётких множеств
Наряду с рассмотренными выше операторами концентрации и рас-
ширения нечетких множеств представляет интерес оператор контрастного
усиления, являющийся некоторой комбинацией первых двух. С помощью
этого оператора значения функции принадлежности нечёткого множества
А , лежащие в диапазоне JUA (х) G [О; 0.5] подвергаются концентрации с
коэффициентом Ш , а лежащие в диапазоне JUA (х) G (0.5; 1.0] - расши-
рению, т.е. численно увеличиваются. Таким образом оператор контраст-
ного усиления для т = 2,3,4 и х G X записывается в виде:
42
Глава 1
- для дискретных нечётких множеств
^2(m ° • , еслие [0;0.5],
intmU)
если /лА (х. )е [0.5; 1.0];
- для непрерывных нечётких множеств
(1.59)
intmG4) = <
, если /иА (х) е [0;0.5],
_ т . . _
J [1 - • (1 - \/лА (x)]m )J если /иА (х) с [0.5; 1.0]
(1.60)
Применение оператора контрастного (инверсного) усиления показан на
рис. 1.41.
Глава 2. Операторы нечеткой логики
2.1. Простейшие операции с нечёткими множествами
В основе Fuzzy-технологий лежат классические операторы объеди-
нения и пересечения нечётких множеств, которые были введены Л.Задэ
[1,48] как фундамент нечёткой логики и параллельно использовались
польским математиком Лукашевичем (Lukasiewicz) для построения тео-
рии многозначной логики (см., например, [ 54 ]).
2.1.1. Пересечение нечётких множеств (min-оператор).
Определение 2. 1. Под пересечением двух нечётких множеств А и В
(записывается, как и в теории классических множеств, А П В ) понима-
ется нечёткое множество с функцией принадлежности вида
Я<лд(х) = А?(*)} Ух<=Х. (2.1)
Рис. 2.1 показывает пример пересечения двух нечетких множеств А и В .
Рис. 2.1: Пересечение двух нечётких множеств
Пересечением п нечётких множеств Ai9 А29...9 Ап, где
Д. =(х,//л (х)), Z = l,...,n,
является нечёткое множество С, удовлетворяющее условиям:
С = ДПДП...ПД =Пд,
1=1
\fxeX х/с(х) = тт|//л (х),^2(х),...,//л(х)] . (2.2)
Оператор пересечения нечётких множеств получил в литературе наз-
вание min-оператора.
44
Глава 2
2.1.2. Объединение нечётких множеств (тах-оператор).
Определение 2. 2. Под объединением двух нечётких множеств
А = (х, //^(х)) и В = (х, //я(х)) (записывается, как и в теории класси-
ческих множеств - A U В ) понимается нечёткое множество с функцией
принадлежности вида
Paub (*) = тах{//л (х), цв (х)} V х е X. (2.3)
Рис. 2.2. иллюстрирует пример объединения двух нечетких множеств
А иВ.
Рис. 2.2: Объединение двух нечётких множеств
Операция объединения, как и операция пересечения, распространя-
ется на случай п нечётких множеств А19А29...9Ап 9 Д- = [х9 ЦА (х)}9
c=4U4U...U4,=IJ4’
Z=1
//с(х) = max|//4(Х),1ЛА1 (x),...,juAj(х),...,//Л(*)]> хеХ. (2.4)
Оператор объединения нечётких множеств получил в литературе на-
звание тах-оператора.
2.1.3. Fuzzy-дополнение.
Определение 2. 3. Под дополнением нечёткого множества
А = (х, цА (х)) (записывается А ) понимается нечёткое множество с
функцией принадлежности вида
^(х) = 1-^(х)- (2-5)
На рис.2.3, показан пример построения дополнения нечёткого множества,
которое выделено пунктирными линиями.
Операторы нечеткой логики
45
2.1.4. Структурные свойства простейших (элементарных) опера-
торов Fuzzy-логики.
Для введенных выше элементарных операторов с нечёткими множе-
ствами справедливы почти все свойства соответствующих операторов из
классической теории множеств.
а) Нейтральный элемент
тш[1-//л(х)] = //Дх) => GC\A = A,
max [О, (лс)] = рА(х) => 0Q А = А.
в) Коммутативность операций пересечения и объединения нечётких мно-
жеств.
min[///x), //B(x)]=min[t/B(x), //л(х)] => АС\В=В{]А,
max [//А (х), цв (х)] = max (х), цА (х)] => A U В = В U А.
с) Ассоциативность операций пересечения и объединения нечётких мно-
жеств.
(х), р.в (х)), цс (х)] = min^ (х), min^ (х), цс (х))] =>
=>(ЛПВ)ПС = ЛП(5ПС);
46
Глава 2
тах[тах(дл (х), цв (х)\ juc (х)] = тах[дл (х), тах(//в (х), дс (х))] =>
^(Л115)ис = лисвис).
d) Свойство монотонности элементарных операторов нечёткой логики
Вл (*) Вс (*) п В в (х) < Но СО => min [дл (х), цв (х)]
< min[/7c(x), jUD(x)] => А с (СП/?) с D => (Л А/?) cz (СП D);
тах[дл(х), /zB(x)]< min [дс(х), //п(х)] =>
=> А с (С U В) с D => (A U В) с (С U D).
е) Свойство идемпотентности элементарных операторов нечёткой логики
тш[//л(х),//л(х)] = //л(х) => (АПА) = А;
тах[/7л(х),//Дх)] = дл(х) => (АЦА) = А.
f) Свойство дистрибутивности элементарных операторов нечёткой логики
. г / \ ( < ч / Й1 Гтт(//л(х),//в(х)У
тт [//л(х), тах(//в(х),//( (х))] = max . ( . =>
тт(//л(х), А( (х))
=> лП(вис) = (лив)П(ЛАС);
g) Свойство адсорбции (поглощения) элементарных операторов нечётких
множеств.
min [дл (х), max {/лА (х), цв (х))] = цА (х) => А П (A U В) = А;
max \jja (х), min (дл (х), цв (х))] = цА (х) => A U (А П В) = А.
h) Двойное дополнение нечётких множеств.
1.0-(1.0-^л(х)) = ^(х) => А=А.
i) Дополнение базисного (G) и пустого нечёткого множества
1.0 —1.0 = 0 => G = 0;
1.0-0 = 1.0 => 0= G.
j) Законы де-Моргана (De Morgan) для нечётких множеств.
Законы де-Моргана справедливы также и для нечётких множеств:
1.0 - min (х), //в (х)] = max [1.0 - ц А (х), 1.0- (x)J,
Af\B =AUB;
1.0- тах[дл (х), цв (х)] = min[l .0 - цА (х), 1.0 - цв (х)],
аЦв =А.
Операторы нечеткой логики
47
В отличие от теории классических множеств, для нечётких множеств
не выполняются свойства дополнительности. Если в классической теории
множеств справедливы выражения
ЛГЙ=0и АЦА=А*0
то ддя нечётких множеств выполняются соотношения:
АС\А*0, AUA*G .
Так, например, для JUA (х) = 0.6; ]UA (х) = 0.4,
тт(//л (х), //j (х)) = min(0.6,0.4) = 0.4 Ф 0;
тах(//л (х), //- (х)) = тах(0.6,0.4) — 0.6 ^1.0.
2.2. Операторы нечёткой логики
Наряду с операциями пересечения и объединения нечётких множеств
проф. Л.Задэ [ 1, 48 ] , проф. Г.-Ю. Циммерманом [ 49 ] и другими авто-
рами были предложены и другие операторы моделирования и преобразо-
вания нечётких множеств, являющиеся, по существу, обобщениями и мо-
дификациями классических логических операций „И“ и „ИЛИ“. Предло-
женные операторы зачастую являются более эффективными для кон-
кретных практических приложений. В литературе [ 1, 3, 7, 48, 49, 51,54]
описано большое количество альтернативных операторов композиции не-
чётких множеств, которые согласно классификации, предложенной проф.
Г-Ю. Циммерманом [ 49 ], условно можно разделить на так называемые
t -нормы (Triangular-Norms), S - нормы (или t -Conormen) и операторы
усреднения.
t -нормы можно рассматривать как модификации и несколько иные
математические модели теоретико-множественных пересечений нечётких
множеств (логическое ,,И“), a S - нормы - обобщение и модификации ло-
гического „ИЛИ“ (объединения нечётких множеств). Операторы усредне-
ния образуют самостоятельную группу между t - и S -нормами и явля-
ются некоторой выпуклой линейной комбинацией операторов первых
двух типов. Хотя группа операторов усреднения и не обладает определён-
ными математическими свойствами, в ряде случаев логические и лингвис-
тические требования и свойства нечётких множеств зачастую эффектив-
нее выразить используя операции усреднения.
2.2.1. Операторы, моделирующие логическое “И" (t-нормы).
Определение 2.4. Алгебраическим произведением двух нечётких мно-
жеств А = {х,//л(х)} и В = {х,//в(х)} (обозначается а^Дл-В)) назо-
48
Глава 2
вём нечёткое множество, функция принадлежности которого опре-
деляется выражением
a 1g, (ас (*)) = Ра.в (*) = Ра (*) • Рв (*) V х е Х • (26)
На рис.2.4, в качестве примера показано алгебраическое произведе-
ние двух нечётких множеств (множество С = {х9 (х)}).
X*)
Рис. 2.4: Пример алгебраического произведения Fuzzy-множеств
Для сравнения на рис. 2.5 показано нечеткое множество , определяемое
оператором пересечения ( min - оператором С = А П В).
X*)
2.2.2. Операторы, моделирующие логическое “ИЛИ" (S-нормы).
Определение 2. 5. Алгебраической суммой двух нечётких множеств
А = {х, ЦА (х)} и В = {х, JUB (х)} назовём нечёткое множество
С = {х?//с(х)}5 функция принадлежности которого удовлетворяет соот-
ношениям
Мс(х) = Ва+в(х) = + Vb(x) - ЦА{х) • рв(х) V х € X. (2.7)
Операторы нечеткой логики
49
Нечёткое множество ЦА+В (х) называют часто вероятностной сум-
мой из-за сходства с операцией сложения вероятностей.
Рис.2.6, иллюстрирует операцию алгебраической суммы двух нечёт-
ких множеств. На рис. 2.7 показано нечёткое множество, определяемое
оператором объединения ( С = A U В ).
Рис.2.6: Пример алгебраической суммы двух нечётких множеств
АО)
Рис.2.7: Пример объединения двух нечётких множеств
Определение 2.6. Ограниченной суммой (bounded sum) двух нечёт-
ких множеств А = {х, jtlA (х)} и В = {х, Цв (х)} назовём нечёткое мно-
жество С = {х,//с(х)}, функция принадлежности которого удовлетво-
ряет соотношениям
Vc (х) = min0’ Ал + /лв (х)) V х G X. (2.8)
Рис.2.8. иллюстрирует применение оператора ограниченной суммы.
50
Глава 2
Рис.2.8: Пример ограниченной суммы двух Fuzzy-множеств
Определение 2.7. Импликацией двух нечётких множеств А = {х,//л(х)}
и В = {х,//в(х)} назовём нечёткое множество С = {х, Ц( (х)},
функция принадлежности которого определяется выражением
цс(х) = min(l, 1 + цА(х)-цв(х)) V хеХ. (2.9)
Иллюстрация применения оператора импликация приведена на
рис.2. 9.
X*) /м(х)
Определение 2. 8. Ограниченной разностью (bounded difference) двух не-
чётких множеств А = {х,//л(х)} и В = {х, назовём нечёткое
множество С = {х,//с(х)}? функция принадлежности которого опреде-
ляется соотношением
//с(х) = тах(0, (х) + (х)-1) V х^Х. (2.10)
Операторы нечеткой логики
51
Пример реализации оператора bounded difference приведен на
рис.2.10.
Рис.2.10: Пример оператора ограниченной разности двух
нечётких множеств
Определение 2. 9. Разностью двух нечётких множеств А = {х,^л(х)} и
В = {х,//в(х)} назовём нечёткое множество С = {х,//с(х)}> функция
принадлежности которого удовлетворяет соотношению
Ас(*) = Ал(*)-Ав(*) = тах(О, juA(x)~juB(x)) V хеХ. (2.11)
Пример разности двух нечётких множеств приведен на рис.2. 11.
Рис.2.11: Пример оператора разности двух нечётких множеств
Определение 2. 10. Абсолютной разностью двух нечётких множеств
А = {х, juA (х)} и В = {х, /лв (х)} назовём нечёткое множество
С = {х, //с (х)}, функция принадлежности которого удовлетворяет со-
отношению
//с(х) = |//л(х)-//в(х)| V xel. (2.12)
52
Глава 2
Пример реализации оператора абсолютной разности двух нечётких
множеств приведен на рис.2. 12.
Рис.2.12: Пример оператора абсолютной разности двух
Нечётких множеств
Проиллюстрируем применение описанных выше операторов для двух
дискретных нечётких множеств:
А = {(1; 0,1), (2; 0,2), (3; 0,3), (4; 0,4), (5; 0,8), (6; 0,5), (7; 0,2), (8; 0,1)},
(2.13)
В = {(1; 0,0), (2; 0,3), (3; 0,4), (4; 0,8), (5; 1,0), (6; 0,4), (7; 0,3), (8; 0,0)}.
(2.14)
1) С = AQB = {(1; 0,0), (2; 0,2), (3; 0,3), (4; 0,4), (5; 0,8), (6; 0,4),
(7; 0,2), (8; 0,0)};
2) С = AUB = {(1; 0,1), (2; 0,3), (3; 0,4), (4; 0,8), (5; 1,0), (6; 0,5),
(7; 0,3), (8; 0,1)};
3) С = А В = {(1; 0,0), (2; 0,06), (3; 0,12), (4; 0,32), (5; 0,8), (6; 0,2),
(7; 0,06), (8; 0,0)};
4) Ограниченная разность
//с (х) = тах(0, (х) + (х) -1) V х е X:
С = {(1; 0,0), (2; 0,0), (3; 0,0), (4; 0,2), (5; 0,8), (6; 0,0), (7; 0,0), (8; 0,0)};
5) Разность z/c (х) = (О, цв (х) - цА (х)) V х е X:
С = {(1; 0,1), (2; 0,1), (3; 0,1), (4; 0,4), (5; 0,2), (6; 0,0), (7; 0,1), (8; 0,0)};
6) Абсолютная разность (х) = (х) - JUB (х)| V х G X:
С = {(1; 0,1), (2; 0,1), (3; 0,1), (4; 0,4), (5; 0,2), (6; 0,1), (7; 0,1), (8; 0,1)};
7) Алгебраическая сумма
^с(х) = //л+в(х) = ^л(х) + //в(х)-//л(х)*^в(х) V х<=Х:
С = {(1; 0,1), (2; 0,44), (3; 0,58), (4; 0,88), (5; 1,0), (6; 0,7),
(7; 0,44), (8; 0,1)};
Операторы нечеткой логики
53
8) Ограниченная сумма Uc (х) = min(l, иА (х) + рв (х)) V х G X:
С = {(1; 0,1), (2; 0,5), (3; 0,7), (4; 1,0), (5; 1,0), (6; 0,9), (7; 0,5), (8; 0,1)};
9) Импликация
/2с(х) = //(Л ->В) = min(l, 1 + ил(х) -цв(х)) V х е X:
С = {(1; 0,9), (2; 1,0), (3; 1,0), (4; 1,0), (5; 1,0), (6; 0,9), (7; 1,0), (8; 0,9)}.
Обобщение операторов пересечения и объединения нечётких мно-
жеств было предложено Ягером (Yager) [ 78 J.
Определение 2.11. Пусть А = {х,//л(х)} и В — {х, нечёткие
множества. Обобщённым оператором пересечения (обозначим его
А П р В) этих множеств назовём нечёткое множество с функцией при-
надлежности вида
Напр в =1 - minjl, [1 - (Ал (*)У + (1 - Рв (*)Х f | =
= шах* 0,1 - [(//л (х)У + (//^(х))^ ]р , V х g X, р g [1, + ооJ
(2.15)
Определение 2. 12. Обобщённым оператором объединения двух нечётких
множеств А = {х,//л(х)} и В = {х,//5(х)} назовём нечёткое множество
(Fuzzy-множество), (обозначается A Uр В), характеристическая функция
(функция принадлежности) которого определяется выражением
РлирВ=mink [(a^wX+(i-//B(x)Xf ►
V хеХ,ре
[1, +оо)
(2-16)
При р — оо получаем граничные значения
lim Va U J = тах1«я (*)> As (*)] > Нт цА п в = min^ (х), цв (х) ] •
р—>00 Р р—Ь<Х) Р
Функция рАи в{х,р) является монотонно убывающей, а функция
//ли в(х) ‘ монотонно возрастающей по параметру р.
На всём диапазоне изменения параметра р значения в(х) и
Aju пробегают всё множество значений операторов от логиче-
ское „И“ до логическое „ИЛИ“. Однако, как отмечено в [ 48, 49 ], при-
менять обобщенные операторы целесообразно в том случае, когда каки-
ми-то со-ображениями обоснован выбор значения параметра р .
54
Глава 2
2.3. Другие примеры непараметрических t- и S-норм
В качестве других примеров непараметрических t - и S -норм не-
чётких множеств представляют интерес следующие операторы для
xg X :
1) Операторы Хамакера (Hamacher). В литературе они получили ещё наз-
вание алгебраическое частное (Quotient) и обозначаются соответствен-
(2-19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
но quott и quots.
а) Fuzzy-логическое произведение нечётких множеств
quot = hamt \juA (х), piB (х)] =--Ал(х) Ав(х)---------; q.17)
b) Fuzzy-логическая сумма нечётких множеств
quots = йатв[//л(х),//в(х)] = + . (2.18)
1-//л(х)-//5(х)
2) Операторы Эйнштейна (Einstein) в виде
а) Fuzzy-логическое произведение двух нечётких множеств
eint(/iA(x),z •
1 + (1 fiA (Х)) * (1 Ав (х)/
Ь) Fuzzy-логическая сумма нечётких множеств
^(д/х), А«) = '
3) Характеристическое произведение и характеристическая сумма (drastic
product и drastic sum) двух Fuzzy-множеств
juA (х), если juB (х) = 1,
Лга((//Л(х),//В(х)) = ^ //в(х), если рА(х) = 1,
0, в остальных случаях.
//л(х), если //в(х) = 0,
dras(pA(x),^x))=< Рв(х) если рА(х) = 0,
0, в остальных случаях.
Примеры операторов drat(j2A(x\/2B(x}) и Jra5(/z^(x),//B(x)) пока-
заны на рис. 2. 13, 2.14 .
Приведенные примеры t - и S -норм являются только отдельными
представителями бесконечного количества подлежащих конструированию
и используемых вариантов.
Операторы нечеткой логики
55
Рис. 2.13: Пример применения оператора drat(jiA(x\дв(х))
Рис. 2.14: Пример применения оператора dras^piA(x\ рв{х))
Для приведенных операторов справедливы следующие соотношения
в виде неравенств:
- для t -норм:
drat (х), цв (х)) < best (/лА (х), цв (х)) <...
< ... < alg((^(x),/zB(x))<... (2.23)
< ham, (цА (x),^B (x)) <... < min(/^ (x),/zB (x));
для S -норм:
56
Глава 2
тах(//л(х),//в(х))<... < hams^A{x\fiB{x))<... <
й1&(АлС0>Ав(х))^ - eins{/iA(x),/jB(x)]<... < (2.24)
< best(/iA(x),/jB(x))<... < dras(/iA(x),pB(x)).
2.4. Непараметрические операторы усреднения
Компенсирующие операторы часто в литературе называют операто-
рами усреднения (операторы группы М - mitl) и используют, когда ло-
гический вывод трудно сформулировать на основе понятий „И44 или
„ИЛИ44, а решение принимается на основе значений результирующей
функции принадлежности, лежащей где-то „посредине44.
К этой группе операторов условно можно отнести: арифметическое
среднее (arithmetic mean), геометрическое среднее (geometric mean) и со-
пряжённое геометрическое среднее (harmonic mean).
Для нечётких множеств Д. = (х)}, i = 1,...,п,
1) арифметическое среднее (обозначим его AM ) - это нечёткое множе-
ство, функция принадлежности которого определяется выражением
Мам(х) = -^^(х) v хеХ; (2.25)
Пм
2) геометрическое среднее (обозначим его GM ) - это нечёткое множест-
во, функция принадлежности которого определяется выражением
v хеХ’ (2-26)
i=\ V /=1
3) гармоническое среднее (обозначим его GGM ) - это нечёткое множе-
ство, функция принадлежности которого определяется выражением
/WCO = -^A--------- V Х&Х', (2-27)
4) сопряжённое геометрическое среднее (обозначим его DGM ) - это не-
чёткое множество, функция принадлежности которого определяется
выражением
А>оиСО =1 - (*)) V хеХ- (2.28)
1=1
Ниже приводятся результаты применения операторов усреднения для
двух приведенных в разделе 2.2.2. дискретных нечётких множеств А
(2.13) и В (2.14).
Операторы нечеткой логики
57
= {(1; 0,05), (2; 0,25), (3; 0,35), (4; 0,6), (5; 0,9), (6; 0,45),
(7; 0,25), (8; 0,05)},
GM АВ = К1; 0,0), (2; 0,245), (3; 0,3464), (4; 0,566), (5; 0,8944),
(6; 0,447), (7; 0,245), (8; 0,0)},
GGMab = {(1; 0,0), (2; 0,240), (3; 0,3429), (4; 0,5333), (5; 0,8889),
(6; 0,4444), (7; 0,240), (8; 0,0)},
DGMab = {(1; 0,051), (2; 0,252), (3; 0,3429), (4; 0,6536), (5; 1,0),
(6; 0,4523), (7; 0,252), (8; 0,051)}.
Как видно из примера расчёта, значения функций принадлежности
рассчитанных множеств примерно одинаковы.
2.5. Параметрические компенсирующие операторы нечёткой
логики
Наряду с рассмотренными в разделах 2.2 и 2.3 t - и S -нормами,
существуют ещё так называемые компенсирующие операторы нечёткой
логики, образующие Fuzzy-логическую комбинацию одного из операто-
ров из группы „И“ (t - норму ) с оператором группы „ИЛИ“ ( S -нормой).
Они могут рассматриваться как Fuzzy-логическое усреднение или взве-
шивание этих операторов, т.е. как некоторый компромисс между Fuzzy-
логическим „И“ и „ИЛИ“, выраженным в той или иной форме. При этом
значение функции принадлежности конкретного вида оператора (Fuzzy-
логическое „И“ или „ИЛИ“ взвешивается не равномерно (с весовым ко-
эффициентом 0,5), а некоторым произвольным образом с весовым коэф-
фициентом У , удовлетворяющим условию 0 < у < 1.
Основная идея параметризации заключается в конструкции некото-
рых Super-операторов нечёткой логики, возможности которых охватыва-
ют все выше рассмотренные t - и S -нормы, а также непараметрические
операторы усреднение.
В литературе (см., например, [ 1, 49. 51, 54, 78 ]) приведено большое
количество параметрических операторов, основными среди которых явля-
ются следующие:
1) выпуклые компенсирующие операторы (для 0 < у < 1)
Мх) = (1-Г) (х))+
58
Глава 2
п
МвМ = (!-/) (х) + Г • (тах^ (х),^ (х),...,//Л (х)]); (2.30)
Ав(х) = (1-/)-тт(^4(х),//Л2(х),...,//Л(х))+ --^АЛ(х); (2.31)
п /=1
Ав(х) = (1-/)-тах(//Л|(х),//Л2(х),...,//Л(х)) + <2-32)
п i=l
п
Ав(х) = (1-Г)тт|
[«л, (*\Рлг (•*)]+ Г ?|П Ал, (х) ’ (2-33)
Ав(х) = (1 -/)• тах[//4 (х),^2(х),...,//Л(х)]+ / • s (х) . (2.34)
V /=1
На рис.2. 15 показан пример действия компенсирующего minavr-
оператора
Ас (х) = а ’ min(x^ (х), Ав (х)) + 0.5 • (1 - а) \рА (х) + цв (х)],
а на рис. 2.16 - maxavr-oneparopa
Ас (х) = а • тах(//л (х), ик (х)) + 0.5 • (1 - а) -\рА (х) + цв (х)]
для различных значении ос с шагом Да = 0.2.
2) Логарифмически линейные выпуклые компенсирующие ку операторы
(для 0 < / < 1)
Ав(х) = [тт(цл (х),//л (х),...,//л (х))] ('-/) +
+ [max(///f (х),цАг (x),...,juAn (x))]z ;
Ав(х)=
Ав(х) = (х),//,(2 (х))] ('7)
• [(а4 (х)+Ал2 (х)-Ал, (х) * Ал2 (х))] z •
(2-35)
(2.36)
(2-37)
Операторы нечеткой логики
59
Рис. 2.15: Пример применения компенсирующего minavr-оператора
Рис. 2.16: Пример применения компенсирующего maxavr-оператора
Принимая во внимание, что a + b — a-b = l — а— b + a-b, оператор
(2.37) обобщается для случая п Fuzzy-множеств
W = [min(//4(x),^2(x),...,//4(x))] (1’и
"I 7
• <2JS>
60
Глава 2
Значения коэффициентов / могут определяться (как предложено в
работе проф. Циммермана и Цизно (Zimmermann, Zysno [ 49 ]), а также
проф. Роммельфангера (Rommelfanger [ 54 ]) на основе результатов обра-
ботки тестовой выборки на предварительном этапе исследования (обу-
чении).
Кроме выше упомянутых, могут быть рассмотрены и другие виды ус-
реднения приведенных выше t - и S -норм (ограниченная, абсолютная
разность и сумма, импликация и др.) как друг с другом, так и с каким-то
из операторов усреднения в виде линейной выпуклой комбинации или в
виде логарифмически линейной выпуклой комбинации.
Представляют интерес также предложенные многими авторами и ис-
пользуемые в приложениях другие виды компенсирующих операторов,
которые накладывают менее жёсткие ограничения на выбор коэффициен-
та Y:
- оператор Хамакера (Hamacher) (0</<оо) — обобщение формул
(2.17)-(2.18)
Н7 =______________.
г(дл(х),дг(х)) Z_(l-Z).^(x) + ^(x)-^(x)//B(x))’
ттг _ Ал(х) + Ав(*) - (2 - г)~ А/*) • Ав(*) . f24m
^(^(Х))- 1_(1_Z).^(X).^(X) ’ (2‘40)
- оператор Ягера (Yager) (см., например, [55, 78]) при 0 < у < оо
(AM*)) = minf+ IabW? 1; (2-42)
- оператор Вебера (Weber) (—1</<оо)
^(xwx))=max °’
= min[l, ^(x) + AB(x)+/-^W-AB(x)];
- оператор Швайцера-Скляра (Schweizer-Sklar) (/5*0, — оо < Z < со )
(1961 г.)
Операторы нечеткой логики
СС Y —
Vmax[o, (//Дх))’7+//д(х)-1
(2-43)
^тах [о, (1- yu1(x))’z +(1- //B(x))~z -1]
(2.44)
- оператор Франка (Frank) ( 0 < / < со, у Ф 1 ) (1979 г.)
/^О) _ j
/-1
- оператор Дюбои-Прадэ (Dubois-Prade, 1980 г. [51]) ( 0 < / < 1)
J I __ _______• Si ' ' • L> .
((Ал(х),дДх)) тах^(Д
(2.47)
Ра(х) + //в(х) ~^(х)• дд(х)
S(Ax (х),цв (х)) тах(1 _ (х)? (х)
тт(//л(х), //д(х), (1 - /))
тах(1-///х), 1-//в(х), у)'
- Домби-оператор (Dombi) (0 < у < со)
Д(//Л(х),//в(х))
(2.49)
-1 +
J 1дв(х) )
1
( < A Y ( ( X \
мАА) + дд(х)
J-^(x)J [1-//д(х),
Можно показать, что для определённых значений / каждый из
параметрических и компенсирующих операторов нечёткой логики
62
Глава 2
преобразовывается в некоторую t - или S -норму. Покажем это на
примере операторов Хамахера.
- Для значения / = 0 - Я®(^ (х)(х)) = quot (х), /лв (х)).
- Для значения У= 1 -
н^А(х),Рв(Х)) = цв(х)~ vB(x) = algt(//^(x),//z>(x)).
- Для значения у = оо - Н^л (ж)) -» dr a, (/iA (х), /лв (х)).
Двойственные операторы, моделирующие логическое „ИЛИ“:
1-/<<(*) Ав(*)
hs(pa to» w) = A/x)+Аг(х) - Ал(х) • А;(х) = algs(juA(x),^B(x)),
Применение описанных выше параметрических компенсирующих
Fuzzy-логических операторов (2.39)-(2.50) связано, как правило, с
большим объёмом вычислений, которые в ряде случаев не могут быть
выполнены в целочисленной арифметике, что ограничивает их приме-
нение в системах управления, медицинской и технической диагности-
ки, реализованных на контроллерах как системы реального времени.
Поэтому, с нашей точки зрения, применение их в приложениях целе-
сообразно только в том случае, если использование их научно обосно-
вано и полученный в результате их применения результат не может
быть смоделирован никакими другими способами (например, компен-
сирующими операторами).
Как показывает анализ, все компенсирующие операторы условно
можно разделить на следующие группы:
1) логарифмически выпуклая линейная комбинация операторов t -
S -норм
KOI = [t(pA(x),vB (x))](,z) • [5(//л(х),//в(х))]7;
2) выпуклая линейная комбинация операторов t- и S -норм
КО2 = (1-/) • г(д/х),дй(х)) + у S(j/A(x),pB(x));
3) выпуклая линейная комбинация одного из операторов t - нормы
с оператором группы усреднения (группы М)
КОЗ = (1-у) • t(juA(x),juB(x)) + у М{1ЛА(Х),1ЛВ(Х))\
4) выпуклая линейная комбинация одного из операторов S - нормы с
оператором группы усреднения (группы М)
Операторы нечеткой логики 63
КО4 = (1-/) • S(pA(x),pB(x)) + y-M(jiA(x),fiiB(x)).
Если обозначить KOI , КО2 - соответственно опера-
^ mm.rnax ’ ^vvxx'mm,max
торы группы 1 и 2, в которых в качестве t- нормы выбирается
тт(//л(х),//5(х)), а в качестве S- нормы тах(//л(х),//в(х));
^higpr^’ KO2A^odSum операторы группы 1 и 2, в которых в
качестве t - и S - нормы выбираются соответственно алгебраическое
произведение и алгебраическая сумма tzlgz(//^(x),//5(x)) ,
то рис. 2.17, 2.18 показывают области приме-
нения различных видов компенсирующих операторов нечёткой логи-
Рис.2.17: Область изменения функции принадлежности в результате
применения компенсирующих операторов нечёткой логики
---------------1-------------—Жх)
t-нормы компенсирующие S—нормы ] q
операторы
Рис.2.18: Соотношение областей изменения операторов нечеткой
логики
Глава 3. Арифметические и алгебраические
операции с Fuzzy-числами
3.1. Принцип обобщения (extension principle)
Принцип обобщения в своей первой редакции был сформулирован
Л.Задэ в 1965 году [1, 2, 48 ] для обоснования операций нечёткой логики.
С помощью этого принципа основные положения классической арифме-
тики переносятся на выполнение арифметических операций с Fuzzy-
числами и позволяет определить понятия Fuzzy-функций и Fuzzy-
отношений. В своей первой редакции принцип обобщения был применен
для одномерной классической функции у — f (х).
В классическом случае существует однозначное отображение множе-
ства значений X на множество значений Y. Fuzzy-логическая интер-
претация этого отображения заключается в том, что каждому элементу х
и у = f (х) будет предписано еще соответствующее значение его функ-
ции принадлежности. Классическое отображение рассматривается в этом
случае как частный случай Fuzzy-логического отображения, так как для
каждого элемента основного множества X и множества его образов Y
значение функции принадлежности предполагается равным 1. То есть
пусть в классическом случае для двух дискретных множеств
X = {х19х2,х3,х4,х5,х6,х7} и Y = {.Xi,} существует ото-
f
бражение X —> Y, т.е. у = f (х), которое, например, имеет вид
У1 = f(x\)=Лхб) > у г = /(*2) ’
Уз =/(^з)=/(Х5) = /(Х7)’ У4=Ж)-
Множество X и полученное в результате отображения множество Y
в Fuzzy-логической интерпретации могут быть записаны в виде
X = {(х„1), (х2,1), (х,,1), (х„,1), (х,,1), (хб,1),(х„1)},
Г = {0-„1),0’г,1),0-,4), (KJ)).
и это, несмотря на то, что три значения Х3 9 Х5, Х7 отображаются в один и
тот же элемент у3, а значения Xj, х6 - в один и тот же элемент yt.
Принцип расширения предусматривает построение отображения в
случае, когда значения функции принадлежности элементов основных
множеств имеют разные значения в диапазоне [0,1], перенося по опреде-
ленным правилам, наряду с классическим значением функции
Арифметические и алгебраические операции с Fuzzy-числами
65
= /*(х1,Х2,...,ХЛ), значение функции принадлежности для вычислен-
ного значения.
Ниже рассматриваются некоторые положения и особенности прин-
ципа обобщения.
Если A=(m9a,fyLR - Fuzzy-число типа LR , то (— А) - это Fuzzy-
число типа RL, которое имеет вид
-A=-(m,a,]3)LR = (-m,a,p)Rr. (3.1)
Для расширения отрицания Fuzzy-чисел выполняются условия сим-
метрии, т.е.
Ра(х) = Р-а(~х) ’ V-a(x) = Ра(~х) (3-2)
Обратное значение
JUi(x) = JUa(1.), х*0. (3.3)
A *. 1 х
А --- л
X
Расширение операций минимума и максимума.
Вычисление минимума
. . . D. г ттГиДх),//„(У)1
min (А, В) = ----7’
| mm(x, у)
Лпш(л.в)О)= SUP (З-4)
^=min(x,y)
Вычисление максимума
. . г min Lu, (х), //»(у)]
max (А, В) - ----л ai,
i max(x,j’)
Aminu.B)(z)= SUP min^(x), (3-5)
z=max(x,j>)
На основе всего вышеизложенного сформулируем принцип обобще-
ния (расширения) для п нечетких множеств.
Определение 3.1. Пусть Х], ЛГ2,..., Хп и Y - классические множества
действительных чисел, Д, А2,..., Ап и В - нечёткие множества, задан-
ные соответственно на множествах Хг, Х2,..., Хп и У с функциями
принадлежности juA(x), i = f - отображение
Дх12х...хХ -> у,Т.е.
(xi,x2,x„)-> 7 = f(xx,x2,...,Xn) .
66
Глава 3
Тогда в соответствии с extension principle, сформулированном Л.Задэ,
данное отображение определяется нечётким множеством В—с
функцией принадлежности
sup min[;/4(x1),/z4(x2),...,^4(xB)],
ecyiw/(xl,x2,...,xn) = iy;
О, в противном случае.
Принцип расширения (обобщения) алгебраических операторов пере-
носится также на t нормы Ягера (Yager)
ТР (*1)> ju^xn) )=max
0; 1- £(1-;/4(х,.)Г
Для линейных функций принадлежности Fuzzy-чисел LR- пред-
ставления вида, заданными трапецевидными Fuzzy-интервалами вида
Zz4(x) = ('«i5«i>m25AL и Л4200 = (>!,а2> г2,Д),
где £(х) - R(x) = max(0,1 - х),
в публикациях [32, 48, 49, 54] приведены следующие выражения для опе-
раций сложения и умножения справедливы выражения
А} Ф А2 =
Шу + г{, т2
+ а2
(3.7)
LR
4®4г =
Л-«1
(3-8)
LR
причем q>\, + =
<1 Р
В предельном случае при р = 1 и q = оо
4Ф= 7] |//Л1 (х), цАг(x)J= max[o, (х) + цАг(х)-1],
т.е. представляет собой формулу ограниченной разности двух
чисел.
(3-9)
Fuzzy-
3.2. Основные операции Fuzzy-арифметики
Основные операции классической арифметики такие, как сложение,
вычитание, умножение и деление, могут быть на основе принципа расши-
рения распространены и на Fuzzy-числа
Арифметические и алгебраические операции с Fuzzy-числами
67
3.2.1 .Расширение основных арифметических операций.
Сложение.
X
пмп|//л(х),/(вСу)]
(х+т)
/W)(z)= SUP
(3.10)
Сложение п Fuzzy-чисел в общем виде может быть представлено
следующим образом В = Д + А2 +... + Ап с функцией
J = /(х1,х2, хп)=х1 +х2 +.........+х„
определяется выражением
в=\УрРв(У^}=, тах. тт[и4(х1),//Л(х2),...,//Л(хи)],(3.11)
(Х1+Х2+—+хи )-yj
Va®b(* + У) = Va®bО) = SUP [min(^л(Д VbO))] • (3.12)
z=x+y
В качестве примера рассмотрим сумму трех Fuzzy-чисел
Д = {(1,0.3), (2,0.5), (3,1.0), (4,0.2)}, А2 = {(5,0.6), (6,0.8),(7,0.4)},
Д = {(10,1.0), (12,0.6), (14,0.1)} -
В результате сложения получим дискретное нечёткое множество В вида
{(16,0.3), (17,0.5), (18,0.6), (19,0.8), (20,0.6),(21,0.6),
(22,0.4), (23,0.2), (24,0.1), (25,0.1)}.
Графический пример сложения двух непрерывных Fuzzy-чисел А и
В приведен на рис. 3.1.
Вычитание.
Рассмотрим расширенное отрицание Fuzzy-числа А в виде
А2=— А{ с функцией f(x)=— X. Расширяя для нечётких множеств по-
нятие функции одной переменной на этот случай, получаем для дискрет-
ного и непрерывного случая
А=у U min 1“л(х)]. (з.1з)
it -Xi ’ I -х
Так, например, для дискретного Fuzzy-множества А
Л ={(-2,0.2), (-1,0.5), (0,1.0),(1.0,0.6),(2,0.4), (3,0.1)}
дискретное Fuzzy-множество — А имеет вид
- А= {(-3,0.1),(-2,0.4),(-1,0.6),(0,1.0),(1,0.5),(2,0.2)}.
68
Глава 3
Рис.3.1: Пример сложения двух Fuzzy-чисел
Операция вычитания нечётких множеств записывается следующим обра-
зом:
(Л-ВМ (3.14)
X (х-у)
а для дискретных Fuzzy-чисел -
^а-в№= sup minf/zjx), //B(y)]=sup min^/x), /^(x-z)]. (3.15)
z=(x-y) X
Пример вычитания двух Fuzzy-чисел приведен на рис. 3.2.
В качестве другого примера рассмотрим расширенное отрицание для
Fuzzy-числа
Арифметические и алгебраические операции с Fuzzy-числами
69
f х-5 )
max 0;------\,если х < 5,
I 2 )
(п 5-х^ _
max 0;------\.если х > 5;
I 3 )
max 0;--------\,если х < -5,
V 3 )
-х + 5}
max 0;---------\,если х > -5.
< 2 J
(3.16)
Умножение
Операция умножения Fuzzy-множеств записывается следующим образом:
(л»я)=[ (з.17)
х (ху)
M(a.b)(z)= sup min^(x), //B(y)] = sup min[u^(x), /yB(z/x)], x 0.
z=(x-y) X
(3.18)
Расширенное умножение n Fuzzy-чисел
Для двух Fuzzy-чисел и A2 операция умножения записывается
следующим образом
В=А1®А2 с у- /(х1,х2) = х1 -х2 = у.
Эта операция общается на случай п Fuzzy-чисел
В=А10А20....0 Ап с функцией
y = f(xi,x2,....,xi,....,xn) = Y[xi -у- (3.19)
Z=1
согласно принципу расширения имеет вид
” max {min \иА (х.), иА (х9),цА (хи) f z
В = А} ®®....® Ап = У------*---1 1 , (3.20)
м х1-х2-....-хй
е maximin (х,),и, (х7),и, (х„)П
В=А1®А2®....®Ап= Г---------i1 Л2 „/JJ (321)
J Y • V • • V
В качестве примера рассмотрим расширение произведения двух Fuzzy-
чисел А{ и А2, приведенных в предыдущем числовом примере,
70
Глава 3
= {(5,0.3), (6,0.3), (7,0.3), (10,0.5), (12,0.5), (14,0.4),
(15,0.6), (18,0.8), (20,0.2), (21,0.4), (24,0.2), (28,0.2)}.
Другой пример произведения двух Fuzzy-чисел приведен на рис. 3.3.
Рис. 3.3: Пример умножения двух нечётких множеств С = А® В
Деление
Операция деления нечётких множеств записывается следующим образом:
г minfc/x),/^)] (3.22)
1 (х/у)
СО = sup min (х), /лв (у)] = sup min (х), цв (х / z)], z * 0.
z=(x/y) X
(3.23)
Расширенное деление Fuzzy-чисел
Для двух Fuzzy-чисел А\ и А2 операция деления записывается сле-
дующим образом
X
В = Ах:А2 с функцией преобразования у — f (Xj, х2 ) = —-.
х2
Применив принцип расширения, получаем:
- для дискретных Fuzzy-чисел
B-Ai Ч=Ё£ таХ^Л| (х27)] ; (3.2
<=1 ;=1 у =
х2у
- для непрерывных Fuzzy-чисел
Арифметические и алгебраические операции с Fuzzy-числами
71
в=д.д = | ттт|^(4/^)] (3 25)
X У = А
Х2
Эта операция может быть записана как операция умножения двух
Fuzzy-чисел Ах и 1, т.е. В = А1\А1 = А[ ® А^Х.
Так, например, для дискретного Fuzzy-числа
А={(0.5,0.7), (1,0.8), (2,1.0), (4,0.5), (5,0.2), (10,0.1)}
А'1 = {(2,0.7), (1,0.8), (05,1.0), (0.25,0.5), (0.2,0.2), (0.1,0.1)}.
В качестве примера деления двух Fuzzy-чисел рассмотрим деление рас-
сматриваемых в предыдущих разделах Fuzzy-чисел Л2 на Ах. Результат
этой операции - Fuzzy-число В , которое определяется следующим обра-
зом:
В={(1.25,0.2), (1.5,0.2), (1.666,0.6), (1.75,0.2^ (2,0.8), (2.333,0.4),
(2.5,0.5), (3.0,0.5), (3.5,0.4), (5,0.3), (б, 0.3), (7,0.3)}.
3.3. Fuzzy-арифметика с LR-представлениями функций
принадлежности
Ниже рассматривается арифметика для LR -представления треу-
гольных Fuzzy-чисел вида ALR = , BLR = 3«есь
а,р и Л,8 - соответственно расстояния от центров т и п .
Если Л — (т, , то — А - это также LR Fuzzy-число, которое
имеет вид — A=—(m^a^P)LR=(^-Tnba^P)LR
(3.26)
х + т
------, если х < -т,
р
-х-т
------, если х > -т.
а
Основные операции сложения двух непрерывных Fuzzy-чисел
A{m,a,P)lR и В(и,/,<5»)£7?, представленных LR-интервалами в виде
L\
т-х
х-т
, если х<т,
\,если х>т,
L\
п —у
у-п
S
, если у<п,
I (3.27)
, если у>п,
а
R
I I Р
Я
72
Глава 3
и двух дискретных чисел Л = V и В = —широко из-
k=i *к *=i Ук
вестны и описаны в литературе (см., например, [ 1,4, 7, 48, 49, 54, 61] )
№а®в (х + У) — Ра®в (z)
т( (m + n)-z\
L ---------- , если z <ш + п.
I « + / J
( z-(m + n)'
R ---------- , если z >т + п
I /? + <? )
(3.28)
Для расширенного отрицания Fuzzy-чисел учитываются условия симмет-
рии
(х) = (-х), ц_А (х) = цА (—х).
Используя операцию расширенного отрицания, операция вычитания двух
LR Fuzzy-чисел может быть записана в виде
В-Ах-А2 = А1Ф(-А2) = (т1 ~т2,а1 + + а2), т.е.
Х/(л1-л2)(и)-’'
R
L\
(wj — т2
«i+Д
z - (т} - т2
Р\ ^2
, если z<m{ -т2,
, если z> т}- тп2.
(3.29)
Для вычисления произведения двух непрерывных Fuzzy-чисел, пред-
ставленных треугольными функциями принадлежности, может быть ис-
пользована формула приближенных вычислений
4 ®А2 = {mx,ax,px)LR ®(m2,a2,p2)LR =
S (от,т2,т1-а2+т2-ах,тх р2 +т2 px\R
Если At > 0 и А2 > 0, т.е. это положительные Fuzzy-числа, то
4 ®{m2,a2,p2)LR =
£ (п^-т^тщ а2 +т2 ах-ах-а^ • Д +т2 • Д + Д -Д2)м
Приближенная формула деления двух непрерывных LR Fuzzy-чисел
имеет вид
:Л - 4 . (3.3O)
\jn2 т2 irf J
To есть В - это LR Fuzzy-число B=(myay/3\R, для которого
Арифметические и алгебраические операции с Fuzzy-числами
73
т — а — т\' р — + ^2 ‘ А (3.31)
т2 ’ т2 ’ т*
(1
---т2
1
если х<—,
т2
1
, если х < —,
т2
Ал.(х) = -
1, если — < х < —,
1, если — < х < —,
если х
1
если х > —.
(3.32)
Основные арифметические операции сведены в таблицу 3.1.
Таблица 3.1.
Наиме- нование ние опе- рации Математическая формула Огранче- ния на парамет- ры
Макси- мум ш > ВLR ) — max(m,A?), max(w,w)- max(m-«,/?-/), max(m+Д n+3) - max(m, ri) LR -
Мини- мум ш min(w, ri), min(/M, ri) - min(m - a, n - /), min^i+Д w+^)-min^n,w) LR -
Отрица- ние -
Обрат- ное зна- чение л-1 =f± A ^LR ’2’2* m m jLR Л >0, или Л<0
74
Глава 3
Сложе- ние AJP ®ВГР — = +[/и + п, а + у, р + . -
Вычита- ние ^LR ~^RL = -+\m-n, а + 3, р + y\LR. -
А LR ®BLR = (m-ri), (m-Y + n-a\ (rn-8 + n- fl) . LR Л>0 И B>0
Умноже- ние А А LR ®BlR = RL ® В LR = (m • n), (-n P -тп- {-n -a - m-y) (m n), (n-a-m- (n- p -m-y) 3), <?), LR LR A<Q и B<0 Л<0 и В>0
А и ®BLR = {m-n\ {ш'у-П' p)9 (m 8 -n- a) LR Л>0 и В<0
А LR f BrL =
m 8-m + a-n y-m + p-n Л>0 И
А P 1 a 1 bo S II Si 2 ’ 2 ! П LR В>0
m у -m- - /3 * n 8-m-a-n А<0 и
Деление А n n LL ! ^LL ~ 2 ’ n2 LL В<0
А. 1 к « II S3 ЛЛ "a -y-m p • n- 3-m 2 ’ n2 LL А<0 и В>0
— m 8-m- _n’ n -P-n y-m-a-n 2 ’ n2 Li L А>0 и В<0
Арифметические и алгебраические операции с Fuzzy-числами
75
LR - представления Fuzzy-чисел в виде трапеции
Рассмотрим LR -представления Fuzzy-множеств в виде
рА(х) = (Jj(А),т1 (A),m2(A),d2(Л)) или /лл(х) -(«ij,/и2 ,/?),
(333)
/7B(^) = (</1(B),/n1(B),w2(5),J2(5)) , //я(х) = («],/, и2 ,т?). (3.34)
Параметры результирующей функции принадлежности
Pc (z) = Ра® в (z) = Ра (*) Ф Рв (*) >
определяются по формуле
/ис (z) = (d} (Л) + d} (В), (А) + тх (В), тх (А) + т2 (В), d2 (А) + d2 (В)).
(3.35)
Формульные выражения результирующей функции принадлежности для
различных операторов Fuzzy-арифметики приведены в табл..3.2.
Табл. 3.2
Наимено- вание опе- ратора Формульные выражения оператора
Сумма = ("»! + «1, т2 + п2, а + у, 0 + t])LR
Разность Р(л-в) (x)(wi ~пх,т2-п2,а + у, 0 + T])LR
Произве- дение Р(А®В) (*) = (wi«i > т2п2 ,т2а + п2у, mJ} + nJl)LR
Инверсия /Л(х) = А " 1 1 а У ^т2 ’ т1 ’ (т2)2 ’ (т^2 А LR
Деление Ра(х) = В <т1 т2 т2т]Л-пха т^ + п2р\ ^2 ^1 (^2) (^2) J LR
3.4. Некоторые свойства операций Fuzzy-арифметики
3.4.1. Коммутативность и ассоциативность операций сложения
и умножения
Для операций Fuzzy-логического сложения и умножения справедли-
76
Глава 3
вы свойства коммутативности и ассоциативности
4 ФЛ2 = A2®At, Д ® Д = А2 ®4; (3.36)
4©(4©4) = (4 Ф4)ФД; 4®(4®4) = (4®4)®д.
(3.37)
3.4.2. Свойства сечений операций Fuzzy-арифметики
Для двух нечётких множеств Д — Ал, (•*)} и Д = {*, Ал2 (х)} и
числа а е [0,1] ОТ -сечения этих множеств будут иметь вид
л {(х’Ал о (*))l Ал„ (*) = а • Ал (*)} если Ал (*)
Д„ = 1 Л Z \ t = 1,2.
О, если (х) < а;
(3.38)
Для а -сечений арифметических операций нечётких множеств справед-
ливы следующие свойства
^la ® ^1а = (Д ® Д )а ’ Да — Да = (Д ~4)а ’
Да®Да = (Д ®А)а; Да/Да = (Д/Д)„ • (339)
Проиллюстрируем эти свойства на следующем числовом примере:
4 ={(5,0.21(10,0.91(15,0.3)}, Д ={(1,0.31 (2,0.71(3,1.0)};
/(6,0.21(7,0.21(8,0.21(11,0.31(12,0.71(13,0.911
,+ 2 [(16,0.31(17,0.31(18,0.3)
Если а = 0.4, то 4а ={(10,0.9)}, 4„={(2,0.71(3,1.0)}.
(4 ®А2)=А1®А2 =<
(6,0.21(7,0.21(8,0.21(11,0.31(12,0.71
(13,0.91(16,0.31(17,0.31(18,0.3)
(л,®лг)„ =л,.®л2а ={(12,0.7)(13,0.9)},
(д — Л2)=А} — А2 =<
(4-41=4.-^ =((7,0.9),(8,0.7)},
(д ® А2)=Д ® А2 =<
(4.®Л.)=4»®4. ={(20,0.7)1(30,0.9)},
(2,0.2),(3,0.21(4,04(7,0.9^8,0.7^9,0.31
(12,0.31(13,0.31(14,0.3)
(5,0.21(10,0.31(15,0.31(20,0.71'
(30,0.91(45,0.3)
(4/4)=4/д =
(7.5,0.31(15,0.3)
Арифметические и алгебраические операции с Fuzzy-числами
77
(4« / 4, Л)=А1а /4а =|у’0-9)(5’0-7) -
3.5. Матрицы и функции Fuzzy-чисел
3.5.1. Нечеткая последовательность - это пронумерованное счет-
ное множество нечетких чисел.
Поле нечетких чисел - это несчетное множество нечетких чисел.
3.5.2. Нечеткая прямоугольная матрица - это дважды индексиро-
ван-ное конечное множество нечетких чисел, причем первый индекс про-
бега-ет М строк, а второй - N столбцов. При этом, как и в случае матриц
дейст-вительных чисел, операции над нечеткими прямоугольными матри-
цами сводятся к операциям над нечеткими компонентами этих матриц.
Например,
|Ч1 Л12 ® ® ^12 ® ^21 а11 ® Ьп © «12 ® Ь22 (3.40)
\^21 а21) 4^21 ^22 J \^21 ® ^11 © а22 ® ^21 ^21 ® ^12 © а22 ® ^22 J
где все операции над нечеткими числами производятся так, как они при-
ведены параграфом выше.
3.5.3. Нечеткая функция - это взаимно однозначное соответствие
двух полей нечетких чисел.
В наших приложениях область определения нечеткой функции явля-
ется осью действительных чисел, то есть вырожденным случаем поля не-
четких чисел, когда их треугольные функции принадлежности вырожда-
ются в точку с координатами (а, 1).
Нечеткую функцию уместно называть по типу тех чисел, которые ха-
рактеризуют область ее значений. Если поле значений, это поле £7?
Fuzzy-чисел, то и каждое значение этой функции Fuzzy-число LR пред-
ставления.
3.5.4. Основные функции Fuzzy-чисел
- Умножение на скалярную величину (число)
X 0*0 л
- Возведение в степень
X х
- Экспоненциальная функция
78
Глава 3
ах=|Лф); ^(x)=nA(\ogax), х>0, аеГ/(1).
X а
- Экспоненциальная функция (натуральные алгоритмы)
еА = ? /zz(x) = ^(ln(x)), X > 0 .
х е
Вычисление логарифма log А = [ , // А(х)=/лА(ах),
JAlog„(x)
- Вычисление натурального логарифма
1 1п(х)
3.6. Отношения связи и декартово произведение
нечётких множеств
Декартово произведение двух Fuzzy-множеств
Декартово произведение двух нечётких множеств задается следую-
щей нотацией:
- в дискретном случае для двух нечётких множеств
Ал(^)
и
АвСу,)
У)
заданных на классических дискретных множествах чисел
Х={х1,....,х1,....,хп} и Y для декартовою произве-
дения множеств в виде (х, у)= X х Y справедливо выражение
АхВ (3.41)
££? (х,у) (х,.,^.)
- в непрерывном случае для двух нечётких множеств
Iх ? У
заданных на классических непрерывных множествах действительных чи-
сел X и Y для (х, у)=Хх Y справедливо выражение
АхВ= f ^хв(х,^)_ г min[///x),//8(j)] (342)
XxY {х,у}
XxY (х,у)
В качестве примера рассмотрим декартово произведение двух нечёт-
ких множеств
Арифметические и алгебраические операции с Fuzzy-числами
79
Д={(1,0.1),(2,0.3),(3,0.5),(4,1.0),(5,0.б),(б,0.4),(7,0.15)},
4 = {(10,0.2), (15,0.5), (20,1.0), (25,0.7), (30,0.1)}.
Значение функции принадлежности декартового произведения этих двух
нечётких множеств представлено в таблице 3.3.
В качестве частного случая рассмотрим декартово произведение п
нечётких множеств д., Z = , заданных на классических множествах
действительных чисел Х2,...,Хп (обозначается Ах хА2 х...хАп), ко-
торое обозначим В = {у,/1в(у)}, где у = (х19х2,...,хп). Функция при-
надлежности этого нечёткого множества имеет вид
(3.43)
Табл.3.3
Значе- ния *1/ / Х2 1 2 3 4 5 6 7
10 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0.15
15 0.1 0.3 0.5 0.5 0.5 0.4 0.15
20 0.1 0.3 0.5 1.0 0.6 0.4 0.15
25 0.1 0.3 0.5 0.7 0.6 0.4 0.15
30 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
3.7. Проекции Fuzzy-отношений
Проекцией Fuzzy-отношений (обозначается называтся
проектирование многомерной нечёткой (Fuzzy-логической) функции на
пространство (классическое множество) меньшей размерности.
Двумерная Fuzzy-логическая функция A(X,Y) может быть спроек-
тирована на множество X - Ргсу(дх). При этом значение функции при-
надлежности для конкретного значения X G X получает наибольшее зна-
чении среди всех значений у G Y (т.е. max ЦА(х9у)). Может быть
уеУ
80
Глава 3
построена также проекция Рго/(Л,У) этого отношения на множестве
х е X (т.е. max /иА{х,у)).
хеХ
Рго/(Л,Х) = У-----—--------:---с
хеХ „ талjuA(xt,у)
(3-44)
Е——---
(3.45)
xgX J
В качестве примера рассмотрим двумерное Fuzzy-отношение А , заданное
матрицей (см. табл. 3.4) и проекции этого отношения Рго/(л,х) и
Табл. 3.4.
У1 Уз Уз Ул
*1 0.1 0.6 0.3 0.7
Х2 0.7 0.4 0.2 1.0
х3 0.3 0.5 0.4 0.3
Х4 0.2 0.1 0.6 0.9
Х5 0.8 0.3 0.1 0.2
Рго7(дх) =
\ - *0.7"
х2 - -> 1.0
*3 - ->0.5
х4 - ->0.9
Х5 - ->0.8,
Глава 4. Методы сравнения и ранжирования
нечётких (Fuzzy) множеств
Во многих практических приложениях, связанных с принятием реше-
ний на основании анализа двух или нескольких значений критерия эффек-
тивности или функции полезности, представленных непрерывными или
дискретными Fuzzy-числами, возникают проблемы сравнения и ранжиро-
вания Fuzzy-чисел. Так, например, если длина пути в графе (которая мо-
жет выражать время, необходимое для переезда из пункта 1 в пункт 2, или
величину затрат на производство) при анализе двух рассматриваемых аль-
тернативных решений выражена соответственно двумя Fuzzy-числами
(нечёткими множествами)
0,5 0,6 0,7 0,5 0,4 0,3
100 + НО + 120 + 130 + 140 + 150 ’
д = 0^ 0,5 0,6 0,6 02 0,2 0,1
100 + 110 + 120 + 130 + 140 + 150 + 160 ’
то лицу, принимающему решение, зачастую очень трудно определить, ка-
кому из этих значений отдать предпочтение.
Известны и широко используются в практике [50, 54-57]соотношения
эквивалентности и включения для непрерывных и дискретных нечётких
множеств А = {х,//л(х)} , В = {х,//д(х)} в виде
А = В , если /лА (х) = рв (х) Vx е X , (4.1)
А с В, если juA(x) < Vx еX. (4.2)
Однако в целом ряде случаев (как и в приведенном выше числовом при-
мере) соотношения (4.1), (4.2) не выполняются, и возникают проблемы
сравнения, упорядочения или ранжирования Fuzzy-чисел, аналогичные
проблемам сравнения и упорядочения действительных или целых чисел
по их возрастанию или убыванию.
Упорядочение Fuzzy-чисел в соответствии с увеличением или умень-
шением средневзвешенной оценки
МА - /лА(х)-Лх, Мв = jx-pB(x)-dx (4.3)
хеХ хеХ
или координаты центра тяжести
jxjUA(x)dx jx-juB(x)-dx
ZA = , ZB = ------------ (4.4)
]pA(x)dx ]pB(x)-dx
xeX xgX
также во многих практических приложениях не всегда обосновано.
82
Глава 4
Общая концепция сравнения или ранжирования нечётких множеств
заключается в том, чтобы каждому нечётких (Fuzzy) множеству можно
было поставить в соответствие некоторую характеристику, выраженную
конкретным действительным числом, по возрастанию или убыванию ко-
торых (в зависимости от содержательной постановки задачи) можно было
бы упорядочить эти множества.
Ниже рассматриваются различные методы сравнения Fuzzy-чисел, по-
лучившие распространение в различных приложениях. Следует отметить,
что в настоящее время в сложных случаях не существует методов сравне-
ния, одинаково эффективных для различных практических приложений.
Поэтому выбор того или иного конкретного алгоритма сравнения и ран-
жирования диктуется содержательной постановкой конкретной приклад-
ной задачи.
4.1. Отношения безусловного предпочтения
Определение 4.1. Нечёткое множество А является предпочтительнее
нечёткого множества В, и это записывается в виде А >- В , если спра-
ведливо соотношение
inf supp (А) > sup supp (В) , где supp (А) = {х G X | [ЛА (х) > О}. (4.5)
Определение 4.2. Назовём интервалом изменения значения X
нечёткого множества А, где
h\ = {minx |х е X,juA(x) > О}, hA = {maxx |х е X,^iA(x) > О}.
(4-6)
Определение 4,3. Если А = {х, рА (х)} и В = {х, цв (х)}- два выпуклых
нечёткого множества, определённые на одном и том же множестве значе-
ний X, для которых выполняются соотношения
h\>h2B, (4.7)
ТО
А > В, (4.8)
т.е. нечёткое множество А является строго более предпочтительным не-
чёткого множества В.
Соотношения (4.7), (4.8), по сути, эквивалентны соотношениям (4.4),
(4.5), только записаны несколько в иной форме.
Заключение (4.8) на основании соотношений (4.7) трудно сделать, ес-
ли Л и В - невыпуклые нечёткого множества. Кроме того, соотношение
(4.7) в ряде случаев не выполняется, т.е.
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 83
h\>hxB, h2A>h2B,wh\<h2B. (4.9)
В этом случае используются условия нестрогого предпочтения.
Если ограничиться рассмотрением Fuzzy-интервалов и Fuzzy-чисел,
то высказывание А >- В одновременно может быть интерпретировано
как то, что расширенная разность двух Fuzzy-чисел А — В является поч-
ти положительной.
Определение 4.4. Fuzzy-интервал М называется почти положительным
уровня Т] е[0,1] и обозначается Л/ (о), если справедливы следующие
два условия
тт{хе^|//Л/(х) = 1}>0. (4.10)
Пример почти положительного интервала приведен на рис.4.1.
Рис.4.1.: Пример почти положительного интервала
Отметим, что для LR Fuzzy-чисел М = {тх, т2 , ах , /Зх )£у? условия
(4.10) упрощаются и имеют вид тх > 0. Чем выше уровень Т), т.е. чем
больше число Т), тем строже является определение „почти положитель-
ный Fuzzy-интервал44.
Определение 4.5. Если разность двух Fuzzy-чисел А и В (Л - В) явля-
ется Fuzzy-интервалом уровня Г] = 1, то выполняются условия безуслов-
ного предпочтения: А >- В.
Пример безусловного предпочтения А >- В, когда разность Fuzzy-чисел
(А — В) почти положительный Fuzzy-интервал уровня Г) = 1.0.
84
Глава 4
Рис 4.2.: Пример разности двух Fuzzy-чисел
4.2. Соотношения относительного и субъективного предпочте-
ния
Рассмотрим CL -сечения двух нечётких множеств А и В
Л(а) = {х, /иА (х) | х е X, (х) > а},
В(а) = { х, цв (х) | х g X, /ив (х) > а}, (4.11)
где 0 < а < 1.
Пусть
= GB(a) ={xeX\vB(x)>a}-, (4.12)
h\(a) = т’пЙ X g GA> }, h2w = max{x| x g }; (4.13)
hlB(a) = min{x| X e GBa}, h2B(a) = max{x| x e GBa}. (4.14)
Ясно, что, если CL > 0, то
fy(a)9 ^A(a)J— [hB(a)9 hB(a)]^ \hB9 Z^]. (4.15)
Определение 4.6. Если для двух CL -сечений выпуклых нечётких мно-
жеств А и В выполняются соотношения
(4.16)
то множество А является СС -предпочтительнее множества В, т.е.
А(а) >- В(а).
Аналогичные нестрогие выводы относительного предпочтения для
выпуклых нечётких множеств можно сделать, используя описанные в
разделе 1.4. операторы концентрации или контрастного усиления.
Назовем [\^„тА), \^птл)]> \intm A)J
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 85
соответственно интервалами т- концентрации, т -растяжения и т-
контрастного (инверсного) усиления выпуклого Fuzzy -множества А .
Если т > 1, то для определённых выше интервалов выполняются соот-
ношения
1\коптЛ)’ Ь(ШтЛ)]- (4Л7)
Определение 4.7. Если 7И > 1 и для концентрации или для расширения
выпуклых нечётких множеств А и В выполняются соотношения
(4-18)
>*(!«.»): «19)
то нечётко множество А является соответственно т - предпочтительнее
нечёткого множества В (в смысле концентрации или контрастного уси-
ления), т.е.
коптА >- коптВ или intwy4 >- intmB. (4.20)
Ясно, что условие (4.18) является более сильным, чем условие (4.19).
Ещё менее строгие (размытые) условия предпочтения следуют из условий
коп А > копВ, если
т т 7
|x-[//^(x)]m dx> |х-[//д(х)]"' -dx-, (4.21)
X X
если
f x-knt„^)(x)]m 'dx > f x’knt„(e) (*)]" •dx- (4-22)
X X
где
л[а] >- , если
jx-[//^(x,a)]m -dx > |x-[uB(x,a)]'” -dx,
X X
если //л(х)>а,
О, в противном случае;
рв (х), если рв (х) > сг,
0, в противном случае.
(4.23)
(4.24)
Аналогичные выражениям (4.21), (4.22) условия нестрогого упорядоче-
ния для дискретных нечётких множеств А и В , в которых элементы
86
Глава 4
множества X упорядочены по возрастанию, т.е. хм < xf < хг+1;
i = ; имеют вид
коп т А >- коп тВ, если £ xi' \^л (х<)]” > £ х>! ' ’ (4,25)
Z=1 Z=1
int^ А >- intт В, если xt • [// (xz)] > xz. • [// (xz)] ,
Z=1 Z=1
(4.26)
А[а] > В\а], если х. • \juA (xz, cr)]т > xz. • \juB (х., а)]т . (4.27)
z=i z=i
В выражениях (4.22), (4.26) /Zint (Л)(х), //intw (х) вычисляются по
формулам ( 1. ) из раздела 1.4, а в выражении (4.27) [ЛА(xi9a) ,
]LlB (Л > вычисляются аналогично выражению (4.24).
Выбор значений а при определении предпочтения на основе а -се-
чений нечётких множеств, как и выбор значения т в операторах концен-
трации или контрастного усиления и значения Т] при заключениях на ос-
нове анализа почти положительного интервала уровня Г) расширенной
разности двух Fuzzy-чисел, а также выбор из описанных выше конкрет-
ных критериев производится из субъективных соображений лица, прини-
мающего решение, и диктуется содержательной постановкой задачи.
Заметим, что если два Fuzzy-числа Л и В выражены в форме LR Fuzzy-
чисел A = (wj,и В - (г\,г2,, то значение (1-7?)
вычисляется по явным формулам
+ р2 )
(4.28)
А>- В, если L
и условия предпочтения в этом случае выглядят следующим образом
mi~ri
^i + Pi
(4.29)
Вывод приведенных формул можно найти, например, в [ 54 ]. На основе
а -сечений нечётких множеств в литературе встречаются и другие, менее
строгие условия предпочтения Fuzzy-чисел (см., например, [ 16, 23, 50,
59]).
Определение 4.8. (8 -предпочтение). Нечёткое множество А будет счи-
таться предпочтительнее нечёткого множества В на некотором уровне
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 87
а е [0,1], и записывается это в виде А >-е В, если в - наименьшее дейст-
вительное число, такое, что
sup > supи infJff>inf^ для всех ае^Д], (430)
и, по крайней мере, найдётся одно <zg[^,1], для которого выражения
(4.30) выполняются как строгие неравенства.
Метод сечений различного уровня.
Проф. Г.-Ю. Роммельфангером в 1984-1986 г.г. [ 54-57 ] был предло-
жен метод ранжирования нечётких множеств на основе использования не-
скольких уровней а -сечений. Этот метод используется также для ран-
жирования и невыпуклых нечётких множеств. Суть метода заклю-чается в
следующем. При построении а -сечений невыпуклого нечёткого множе-
ства могут образовываться несколько интервалов [/£ , i = 1,..., р •
Для всех СС -сечений рассчитывается для каждого из нечётких множеств
А} 9 А2 9, А*, некоторое взвешенное значение параметра по форму-
лам
, о.5 (*" +/.;:)•(<
‘ )+-+
Затем вычисляется для каждого из множеств Ai, i = 19...9П’9 функция
ранга
1 5
(«г)
5=1
Fuzzy-множества Ах, А2,..А*, затем упорядочиваются по возрастанию
или убыванию значения ранга (4.32).
От выбора значений Ots и количества сечений S во многом зависит
результат решения задачи ранжирования. Проф. Г.-Ю. Роммельфангером
предложено ограничиться лишь тремя уровнями сечений ( CCS = 0,3, 0,6;
0,9). Как показали проведенные им экспериментальные исследования, та-
кой выбор значений Ots обеспечивает хорошие для практических при-
ложений результаты.
Метод Jain.
В соответствии с методом Jain (см., например, [54, 58, 59]), который
является обобщением модификаций метода Chen [54], для каждого не-
88
Глава 4
чёткого множества Д. = (x)j рассчитываются некоторые аналоги
функции принадлежности следующим образом
j SUp{x|xG Х;//4(х)>0}-х
1 supjx |х е X;/j. (х) > Oj-inf(х |х е Х-,цА (х) > О/
% inf{x|xeX;//4(x)>0}-x_________
4 sup{x |х е Х;//Л (х) > о}- inf {г |х е X;//, (х) > о}
Затем вычисляются значения функций
4ах(4) = sup min [jUA (х); Л'А. (х)],
хеХ
Лтт (4) = sup min [jUAi (x); (x)]
xeX
и функции ранга
я(4)=|[^(4)+(1-лт(4))],
которые могут быть пронормированы следующим образом
11 -----Z777T'
В соответствии со значениями функции ранга и производится упорядочи-
вание рассматриваемых нечётких множеств.
Метод Дюбои и Прадэ (Dubois, Prade - 1983).
Дюбои и Прадэ считают, что для ранжирования размытых множеств
недостаточно применения только одного единственного какого-то крите-
рия. Этот вопрос необходимо рассматривать с различных точек зрения.
Поэтому, по их мнению, условия доминирования для двух Fuzzy-мно-
жеств А и В выглядят надёжными только в том случае, когда они одно-
временно удовлетворяют следующим четырём критериям (см., например,
[54]):
1) показатель возможности доминирования PD{A)
PD(A)= sup тт(^(х,),//в(х2));
jq еХ,х2 g X,
Xi>X2
2) показатель возможности строгого доминирования PSD(A)
PSD(A)- sup inf min(//J(x1), l-/z^(x2));
x1GX,x2 gX,x2-X1
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 89
3) показатель необходимости доминирования (grade of necessity of domi-
nance) ND(A)
ND(A)= inf supminQ-x/^xJ, //5(x2));
x^eX,^
4) показатель необходимости строгого доминирования NSD(A)
NSD(A)=1-PD(B).
На рис. 4.3. проиллюстрировано определение этих показателей для Fuzzy-
множества А с функцией принадлежности (х).
Рис. 4.3: Иллюстрация метода Дюбои и Прадэ
Метод Тонга и Бониссонэ (Tong, Bonissone - 1984).
По мнению этих авторов при анализе нескольких размытых альтер-
нативных множеств недостаточно обосновать условия доминирования
только количественно. В этом случае ещё важно найти некоторое линг-
вистическое решение в форме: это верно, что нечёткое множество Л»
предпочтительнее всех других нечётких множеств (альтернатив) Л.
f 1Ф1 . Предложенный ими способ основан на построении
отношений доминирования альтернатив, представленных матрицей
8 = IW Значения 4 вычисляются следующим образом
sa (х); (х)),
где
90
Глава 4
4Л(Х)=
1, если х < {minx |х е X, рА(х) = 1} = х*,
/иА(х\ если х>х*, z
Деноминирующие 8.. -множества легко найти, используя матрицу чи-
сел 8~, так как соответствующая им строка состоит только из единиц.
Последовательно вычёркивая в матрице строку и столбец, соответ-
ствующее деноминирующей альтернативе, мы тем самым приходим к
наилучшему решению.
Проиллюстрируем метод на следующем числовом примере, демон-
стрирующем выбор доминирующей из трёх альтернатив Ах, А2, А3, кото-
рые представлены на рис. 4.4.
Так как > Х2 > Х3 , то
?4(х)=
1, если х<6,
дЛ (х), если х > 6;
?л2(*)=
1, если х<3,
<7л(х), если х>3;
<За3(х)=
I, если х<2,
<7л3(х), если х>2;
1
0.83
0.75
1 1
1 1
0.92 1
4
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 91
Как можно сделать вывод из матрицы значений дА А , условия домини-
рования множеств выглядят следующим образом: А3 > А2 >- Д.
4.3. Правила доминирования для нечётких множеств, пред-
ставленных LR Fuzzy-интервалами
Условия <Re или >Re определяют условия доминирования (предпо-
чтения) двух нечётких множеств соответственно в сторону уменьшения
или увеличения их значений. Рассмотрим 2 нечётких множества А, пред-
ставлен-ное LR Fuzzy-интервалом ^n1(A)9m2(A)9d1(A)9d2(A)jLR, и
В, пред-ставленное LR Fuzzy-интервалом
(В),т2 (В), dl(B),d2 (В)}м. Нечёткое множество А является пред-
почтительней множества В (А>- В) в смысле Fuzzy-отношения
A >ReB, если справедливы неравенства
(4.33)
0=1 £
Р=1
т.е. если средневзвешенная сумма середины интервалов Р сечений функ-
ции принадлежности множества А больше соответствующей средневзве-
шенной суммы середины интервалов этих же Р сечений функции принад-
лежности множества В.
В выражении (4.32), например, может быть принято
1) Р = 3, а, =0.3, а2 =0.6, а3 =0.9;
2) Р = 5, а, =0.2, а2 =0.4, а3 =0.7, а4 =0.85, а5 =1.0.
Количество сечений может быть увеличено. Как частный случай вы-
ражения (4.33) может быть предложено выражение, в котором значения
середин интервалов в каждом из сечений учитываются с одинаковым ве-
сом, предложенное проф. H.J. Rommelfanger в [54, 55]
92
Глава 4
P=iL2
>E||(Wl(^) + W2(5)) + ^«p(^(5)-<(5)) •
0=1 £
(434)
На рис. 4.5. на примере показан пример доминирования одного нечёткого
Рис.4.5: Пример доминирования нечётких множеств
Рассмотрим середины интервалов всех сечений нечёткого множества
А (трапеция с точками 1,2,3,4, изображенная сплошными линиями) и се-
редины всех ее СС -сечений. Все они лежат на прямой, соединяющей точ-
ки Ы(А) и L2(A) и расположены правее середин интервалов всех сече-
ний Fuzzy-множества В (трапеция с точками 5, 6,7,8, изображенная
пунктирными линиями, а середины всех ее СС -сечений лежат на прямой,
соединяющей точки Ы(В) и L2(B)). То есть точки, лежащие на прямой
L1(A)-L2(A) имеют большие значения координаты X, чем точки, лежа-
щие на прямой L1(B)-L2(B). Следовательно выполняются как условие
(4.33), так и условие (4.34).
Определим некоторые свойства доминирования Fuzzy-множеств, за-
данных LR Fuzzy-интервалами.
Отношения доминирования двух нечётких множеств на основе пара-
мет-ров их СС -сечений формулирует утверждение 4.1.
Утверждение 4.1. Если справедливы неравенства
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 93
|а-{£1(Л)+1-[£2(Л)-£1(Л)]-(1.0-а)}-С?а>
о
г -1--
> | а • {£, (В)+—[L2 (В) - Z, (В)] • (1.0 - а)} da.
о 2
(4-35)
или в дискретном случае
fap •[£2(Л) + 1-[£2(Л)-£1(Л)].(1.0-ар) >
2 (4.36)
> ^ар •£1(В) + |-[£2(В)-£1(В)]-(1.0-ар),
где 0 < ар < 1, р = < ар
9
то для рассматриваемых нечётких множеств А и В справедливы Fuzzy-
отношения доминирования А >- В в смысле А>к&В .
1) Если для двух нечётких множеств А и В справедливы хотя бы одно
из системы неравенств
тх(А) > т1 (В), (А)>(В), dx(А) < dx(В), d2(A)>d2(B); (4.37)
ти^Л) >77^(2?), di(A)<di(B)9 d2(A)>d2(B)-, (4.38)
т^Ау^т^В), т2(А)>т2(В), di(A)<di(B), d2(A)>d2(B); (4.39)
ти/Л)^: 77^(2?), (Л)>77^(2?), di(A)<di(B), d2(A)>d2(B); (4.40)
ТО Л >Re В, т.е. А>- В.
Вычислим значения
£, (А) = | • [те, (А) + т2 (А)], £2 (А) = | • [т} (А) - dx (А) + т2 (А) + d2 (Л)],
(4-41)
£, (В) - у[т1 (В) + т2 (В)], £2 (В) = 1[W1 (В) - d, (В) + т2 (В) + d2 (В)] •
(4-42)
Если рассматривать Fuzzy-числа типа 8 — А, веденные проф. H.J.
Rommelfanger [54], в соответствии с которыми значение переменной оп-
ределяется по формуле
94
Глава 4
1х, если и-(х)>£,
А / \ <4’43)
О, если //-(%)<£,
то вместо точек Р2(Л) и Р2(В) могут быть введены точки
Р3(Л) = (Д (Л), £), Р3(В) = (L3(B), £), (4.44)
где
L3 (А) = |[m, (А) - d. (Л)(1 -£) + т2 (А) - d2 (Л)(1 - £)], (4.45)
L3 (В) = ±[mt (В) - dx (5X1 - £) + т2 (В) - d2 (5)(1 - £)]. (4.46)
При использовании в дальнейшем Fuzzy-чисел этого (£ — Л )-го типа,
применяются все приведенные ниже формульные выражения, только вме-
сто точек Р2 (А) и Р2 (В) подставляются точки Р3 (А) и Р3 (В).
Определим в декартовой системе координат (х, у) 4 точки с коорди-
/>(Л) = (Д(Л),1.0), Р2(Л) = (Д(Л),0.0); Д(В) = (Д(В),1.0),
Р2(В) = (Д(В),0.0).
Запишем уравнения двух прямых, проходящих соответственно через точ-
ки (Л) и Р2 (А), а также через точки Рх (В) и Р2 (В) и середины всех
СС -сечений Fuzzy-множеств А и В
у-----=-!------• х +-----_ = 0, (4.47)
Lt(A)-L2(A) Lt(A)-L2(A)
у----=-!------=- х +--= 0 • (4.48)
Д(В)-Д(В) Д(В)-Д(В)
Утверждение 4.2. Если справедливы два неравенства
Д (Л)_> Ц (В) И L2 (А) > Ь2 (В), (4.49)
ТО A >ReB , т.е. А>- В .
Если выполняются условия утверждения 4.2, то прямые (4.43) и (4.44) ли-
бо совсем не пересекаются, либо пересекаются в точках Р^А) = Р^В)
или Р2(А) = Р2(В). Если условия утверждения 4.1 не выполняются, най-
дем точку пересечения прямых (4.47) и (4.48), точку О с координатами
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 95
х (450)
£2(Л)-А(Л) + Д(В)-£2(В)_
12(Я) _ £2(Д)-[£2й)-Л(Л)]-Л2й)-[^2(Д)-Д(В)]
Уо Ь2(А)-Ц(А) Ь2(А)-Ь^А) + Ц(В)-Ь2(В)
(4-51)
Рассмотрим два треугольника Л1ОВ1 и А2ОВ2 . Вершины этих тре-
угольников имеют следующие координаты — [£2(Л),1.0],
О-[х0,у0], В.-[£2(В),1.0]; А2-[Lx(A),Q.Q], О~[х0,у0],
В2 - [Л (В),0.0].
Вычислим площади этих треугольником по формуле Симпсона через дли-
ны их сторон
S = , где р = (а + b + с)- периметр
треугольника, а а^Ь^С - соответственно длины его сторон. При этом
- длина стороны АХО равна аг = ^[L2(Л) ~ХО]2 + [1.0 — уо]2 ,
- длина стороны ОВ{ - Ьх = д/[хо — Zz2(/?)]2 + [j>o —1.0]2 ,
- длина стороны АХВХ -
С1
=7[W)-m£)]2 =
L2(А) - L2(В), если L2(A)>L2(B),
L2 (В) — L2 (А), если L2 (А) < Ь2 (В),
- длина стороны А2О - а2 = y/[L2(A) - хо]2 + у2 ,
- длина стороны ОВ2 - b2 = yj[xo —L2(B)]2 + уо2 ,
- длина стороны А2В2 -
с2=7[£1(Л)-А(В)]2 =«
Д (А) - Ц {В\ если А (А) > Lx (В\
L. (В) - Д (Л), если Lx (А) < L, (В).
Обозначим площадь первого треугольника А^Ву Sr, а второго
(А2ОВ2)~ s2.
Утверждение 4.3. Если справедливо неравенство
96
Глава 4
(4-52)
либо в случае, когда значения середин интервалов в каждом из сечений
учитываются с одинаковым весом в соответствии с выражением (4.34),
справедливо неравенство 5^ < S2, то А >леВ, т.е. А >- В .
Выполнение условий утверждения 4.2. иллюстрирует рис. 4.5, а ут-
верждения 4.3. - рис 4.6.
Al В1
В2 А2
Рис.4.6: Пример доминирования нечётких множеств
На рис.4.6 нечёткое множество А , представленное трапеций 1,2,3,4
сплошными линиями, доминирует при сравнении с нечётким множеством
В, представленном трапецией 5,6,7,8 пунктирными линиями. Т.е. на ос-
новании правил доминирования (4.34) А >кеВ, так как площадь треу-
гольника Л{ОВ} - S, меньше площади треугольника А2ОВ2 - S2, т.е.
5^ < $2 ’ и выполняются условия утверждения 4.2.
Может быть использован другой более простой способ вычисления
площади этих треугольников, если вычислить их высоты (значения Т]х и
Г)2}. Так как треугольники АХОВХ и А2ОВ2 подобны, то выполняются
соотношения
72 £2(Л)-£2(5)
или для Fuzzy-чисел этого ( 8 — А )-го типа
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 97
Д(Л)-£,(В)
т]2 ~ L3(A)-L3(B)
Следовательно,
|1,(Л)-Д(В)|
_________________________, fj2 = 1 — т?,,
|z2U)-z2(B)|+|z1U)-zI(B)|
(4.53)
71 =
или Fuzzy-чисел этого ( £ — А )-го типа
7i = (1 - <0 • । - 1 -I...i--1------=п
£2(Л)-Л2(5) + £1(Л)-Л1(5)
, Т]2=\-£-Т]х. (4.54)
Здесь |. | - абсолютное значение соответствующей величины.
Если вычислены значения высот Т)х и Т]2, то площади треугольников
могут быть определены по более простым формулам
5! Л-ъ -|Л(Л) - Л (5)|, S2 Л-Т]2 -|z2G4)-£2(В)|. (4.55)
Утверждение 4.4. Если L} (Л) > Lx (В), Z2 (Л) < ^2 и ПРИ этом
выполняется неравенство
[А (А) - Д (5)] < [L2 (В) - L2 U)], (4.56)
то, если значения середин интервалов в каждом из сечений учитываются
с одинаковым весом, справедливо неравенство Sx <S2, и следовательно
A >RCB,T.e. А>- В.
Доказательство утверждения следует из цепочки неравенств Т]х < Г)2.
Поэтому в соответствии с выражением (4.55) справедливо выражение
^<52.
Если используются правила доминирования нечётких множеств
(4.35), которые учитывают значения середин интервалов в каждом из се-
чений с различными весами, то справедлива следующая оценка условий
домини-рования
Утверждение 4.5. Если £, (А) > Lx (В), L2 (А) < Ь2 (В) и при этом вы-
полняется неравенство
(4.57)
98
Глава 4
где, в частном случае, £ — 0 , то справедливо утверждение
A >Re В 9 т.е. А>- В.
4.4. Z-сечения нечётких множеств
Во многих практических приложениях необходимо установить пра-
вила относительного предпочтения нечётких множеств из условий срав-
нения некоторой вычисленной некоторой меры гарантии получения же-
лаемого результата. С этой целью ниже вводятся предложенные автором
некоторые характеристики нечётких множеств, аналогичные следующим
известным и широко применяемым в теории вероятности и математиче-
ской статистике показателям:
- вероятность того, что значение данного показателя, заданного некоторой
функцией распределения вероятностей, будет не меньше (или не больше)
некоторой установленной величины;
- некоторая величина, значение показателя не ниже (или не выше) кото-
рой гарантируется с некоторой наперед заданной вероятностью.
Условия <Re или >Re определяют условия доминирования (предпоч-
тения) двух нечётких множеств соответственно в сторону уменьшения
или увеличения их значений.
Рассмотрим два нечётких множества А = (х, ЦА (х)) и
В = (х, //^(х)). Как правило, в большинстве случаев не выполняются
условия абсолютного предпочтения.
4.4.1. Z-сечения непрерывных нечётких множеств
Для непрерывных Fuzzy-множеств А = {х,//л(х)}, заданных на
множестве значений х е X, в диапазоне значений X G 7/ - , on-
ределим следующие условия нормирования ЛА (х) — —- — , х G X 9 где
La= \liA(x)-dx9 [ЛА(х)Лх = 1. (4.58)
xgX xgX
На рис.4.7 приведены примеры нечёткого множества А = {х,//л(х)} и
соответствующего ему нормированного множества {х? ЛА (х)}.
Определим для Z1-сечений
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 99
Z\(fl) = < minx
| |я,л(х)б&>Д
и,,,,,,
,ч /z/х), если х < Z\(J3\ 2 = pz/x),если х> Z\{p),
О, если х > Z\(J}y, о, если х<ZlA(JX);
(4-59)
(4.60)
3 1, если х < ZlA(fl), 4 = f 1, если х > Z\(J3),
|о,если x>Z\(J3y, ^а(Р} |о,если x<Z\(J3y
(4.61)
На рис.4.8 приведены примеры функций принадлежности (хк ) -
Для Z2 -сечений введем следующие показатели:
п max
ZA(P) = - maxx| jZA(x)-dx> ДхеХ >> 0</?<1;
X
/лА(х),если x>ZA(J3),
0, если
1, если
О, если
^(Д)
^г2л(р)
x<Z2M
X>Z2M 4
x<Z2(py
_ /лА{х),если x<Z2A{p),
О,если x>ZA(py,
_ 1,если x<ZA(P),
О, если x>ZA(j3).
(4.62)
(4.63)
(4.63)
100
Глава 4
Рис.4.8: Примеры функций принадлежности (хк ) - (хк ).
Хх)
1.0 —
<*)
(й ^ав
На рис.4.9 приведены примеры функций принадлежности
^Z2A(flSXk^ ’
Введем также следующие показатели
ZP Нхпах
ft(zp)= ^A(x)-dx, rf(zp)= fa(x) dx, р = 1,...,Р, (4.64)
•^min % р
где zp, р = 1,...,Р - некоторые значения параметра х е [//min, 77тах]•
Аналогичным образом параметры Z1 и Z2 -сечений могут быть вы-
числены и для различных t - и S -норм Fuzzy-множеств.
4.4.2. Z-сечения дискретных нечётких множеств
Для дискретных нечётких множеств
К
Л=1
значения LA
и ЛА (хк ) вычисляются соответственно по формулам (4.66).
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 101
Рис.4.9: Примеры функций принадлежности (•**)- ^z2(/7)^^
ЛМ = ^-.к = 1,...,К; £а,(л,) = 1. («6)
k=l к=\
Значения Z\ (/?) и Z (/?) определяются по формулам
Z’(/?) = minx. 1<к<К |^2(х9)>Дх9еХ 9=1 ; (4.67)
^ (/?) = < шахх, 1<к<К I хчеХ q=K (4.68)
Значения функций принадлежности /zL faAxk)- LlLx ,аАхк) и
\Р) \Р)
l^Z2 {хк ) - /Z^2 {хк ) вычисляются аналогично выше приведенным
формулам для непрерывных нечётких множеств.
Поясним вышеизложенное на простом числовом примере.
102
Глава 4
La = 0.1 + 0.3 + 0.35 + 0.4 + 0.4 + 0.7 + 0.8 + 0.6 + 0.5 + 0.3 + 012 = 4.57,
ЛА(хк) = (0.022, 0.0656, 0.0766, 0.0875, 0.0875, 0.1532, 0.1751, 0.1313,
0.1094, 0.0656, 0.0262).
Определим значение ft = 0.75. Z^(/? = 0.75) = 8, Z^(/7 = 0.75) = 4.
A\Z\/J = 0.75)} = (0%+o-X + 03k + °% + ° % + °% + + °%);
zx* / J / / / \J / / / О / у
A2 {Z\p = 0.75)} = (<% + + 0- %);
A\Z\p = 0.75)} = (1% 4-1% +1.% +1%+1% 4-1-% + 1% 4-1-%);
A\Z\p = 0.75)} = (l%0 4-1-^ +1-%2).
A' {Z\p = 0.75)} = (0% + 0.% + 0.% + 0.% + 0.% + O.fa + 0.^ + 0.1%,).
J2{Z2(/? = 0.75)} = (0% + 0% + 0.3%);
A3 {Z1 (0 = 0.75)} = (1 % +1 •% +1 •% +1 •%+1 •% +1 %0 +1 -%j +1 -%2);
A2{Z2(J3 = 0.75)} = (1% +1% +1%).
4.4.3. Правила относительного предпочтения на основе Z-сечений
нечётких множеств
На основе вычисленных значений параметров (/?) и Z(/?) мо-
гут быть сформулированы следующие правила относительного предпо-
чтения нечётких множеств
Определение 4.9. Условия предпочтения А >-В в смысле A >Re В спра-
ведливы в том случае, если выполняется система неравенств
^шах ^Лпах
г}(Д) zj(^)
z'AW z\(p)
f ^z\^'dx ~ J (4‘69)
^min ^Лти'п
Определение 4.10. Условия предпочтения В в смысле A >Re В
справедливы, если выполняется система неравенств
Zj(^) < Zj(^) и Z\(J3) > ZlM. (4.70)
Определение 4.11. Условия предпочтения А>-В в смысле A <Re В у
справедливы, если выполняется система неравенств
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 103
zjw zl(p)
г'л(Р) z'a(P)
J p\^x)-dx> J ^(x)-dx. (4.71)
^min ^min
Определение 4.12. Условия предпочтения A>-B в смысле A <Re В
справедливы, если выполняется система неравенств
Z\(P) > Zj(/7) и Z\(P) < Z'B(P). (4.72)
Определение 4.13. Условия предпочтения А>- В в смысле A >Re В
справедливы в том случае, если выполняется система неравенств
^(zp)<^(zp), P=I...R, (4.73)
Условия предпочтения А>- В в смысле A <Re В справедливы в том
случае, если выполняется система неравенств
/?‘(zp)>$(zp), ^(2z)<AP(zz),(4.74)
4.5. Многокритериальные методы сравнения и ранжирования
нечётких множеств
В литературе предложено большое количество критериев и методов
относительного предпочтения одного нечёткого множества перед другим,
и выбор какого-то определенного среди них связан с субъективным пред-
почтением лица, принимающего решения. Широко используемые в прак-
тических приложениях, а также новые, не рассматриваемые раннее в ли-
тературе и предложенные автором методы рассмотрены в предыдущих
разделах данной главы. Ниже рассматриваются многокритериальные под-
ходы решения этой задачи.
Рассмотрим и различных нечётких множеств А. = (х,//л(х))9
i = 1,...,пч диапазон изменения переменной нечёткого мно-
жества At. Определим
ЯпйП=тй1Я,., //1тах = max/Л.
\<1<п \<1<п
Разобьем весь диапазон изменения х ^\Н чНтп на т лингвистиче-
L mui7 max j
ских термов (интервалов). Длина каждого к -го интервала равна
104
Глава 4
e[^min9^1 “ ^min Xk ~ ^к-l +Ajt )>•••>
^K-i^maxL (4-75)
FT _ U
где A = —______™-.
m
Среди выделенных m лингвистических термов определим подмно-
жество Qx , включающее т{ < т термов, к = и подмножество
Q2, состоящее из Ш2 = т — тх - значение переменной в пределах кото-
рых является соответственно нежелательным и благоприятным для лица,
принимающего решение Qx U£?2 ~Q~ > т}, 0(102=0-
Определим средневзвешенные оценки МкА нечётких множеств At в ка-
ждом из лингвистических интервалов
MkAi= ^x-]uA (x) dx, к = i = (4.76)
Введем комплексный критерий эффективности для каждого из нечётких
множеств в виде
FAi = Xa<MkAl-XaiMAl’ <4.77)
keQ2 keQ}
где 0 < ССк < 1, i = 1,..., л, - весовые коэффициенты, удовлетворяющие
т
УСЛОВИЯМ нормировки ОСк — 1.
£=1
Нечёткое множество Л. является эффективнее нечёткого множества
Aj, т.е. Д. >- Aj , если FA > FAj .
Сравнение двух нечётких множеств на основе средневзвешенной
оценки МА или координаты X или центра тяжести СА нечёткого мно-
жества в виде
fx-/iA(x)-dx
МА = [x/lA(x)-dx9 Са=^------------------- (4.78)
хеХ ]fiiA(x)dx
хеХ
не учитывает степень риска получения значений хуже этих значений, что
при принятии решений является очень важным.
Вычислим следующие два показателя
Методы сравнения и ранжирования нечётких (Fuzzy-) множеств 105
Х—М л Х~^тах
МА = рА(х)-dx, МА = jx-pA(x)dx; (4.79)
Х—МА
X=ZA Х~^тах
jxpA(x)dx jxpA(x)dx
r- _ х=н^__________ С+ = —_________________(4.80)
“ х=гл х=н„,„
^pA(x)dx \pA(x)-dx
х=Нтт X=ZA
Тогда комплексный показатель эффективности нечёткого множества
А = {х, fdA (х)} может быть представлен в виде
(4.81)
В качестве других видов комплексных критериев эффективности не-
чётких множеств могут быть предложенные линейные свертки, учиты-
вающие большее количество локальных показателей эффективности
Г3(Л) = Л-МА-^Ma+^-M+a-^ypD\{Z\{fi)} + ^qD2q{Z\(Ji)},
р=\ q=\
(4-82)
р4(Л)=Л-мА - -м~А+Л-м\ + £/Л{^(Л)} >
р=\ q=l
(4-83)
или
р р
/?а(2р) + Яз С+А +£//, • p2A{zqy (4.84)
Р=1
Здесь
Dl{Z\(J3p)}= J p\iA(p^x)-dx, D2{Z\(J3p)}= J
^aaa
(4.85)
Dl{Z2(J3p)}= Г (x)-dx, (4.86)
r J ^AVPpf
Z\(p)
106
Глава 4
D2{Z\(/3p)}= f (x)-dx, (4.87)
и J ^A\Pp)
Hmin
Ak>0, k = 1,2,3; yp > 0, = - весовые
коэффициенты, удовлетворяющие условиям нормировки.
Значения весовых коэффициентов и параметры Рр выбираются в за-
висимости от содержательной постановки задачи и в соответствии с пред-
почтениями экспертов.
Задача выбора наилучшего значения показателя эффективности
(Л.>Aj —> F(Af) >Re F{Aj)) из множества возможных альтернатив,
которые заданы П различными нечёткими множествами
4- =(•*’ z = может быть сформулирована в виде много-
критериальной следующей многокритериальной задачи в условиях огра-
ничений
Fz (Л*)=max (Л ) (4.88)
1 \<i<n
в условиях следующих ограничений
Z\,(Pr')^btp, Р = \,...Д-, (4.89)
^(zp)<^p,p=l,...J>-, = (4.90)
где 0 < <^р < 1, 0 < £2д < 1 - некоторые значения.
Альтернативы, которые не удовлетворяют системе ограничений
(4.89), (4.90), отбрасываются как не перспективные. Среди оставшихся
допустимых альтернатив выбирается такая альтернатива, которая обеспе-
чивает максимальное значение показателя эффективности.
Глава 5. Вероятность, возможность и другие ве-
личины, определяющие реализацию Fuzzy-события
В этой главе книги будут сформулированы некоторые понятия, кото-
рые определяют степень доверия, возможности и вероятности реализации
некоторого Fuzzy-события. Особое внимание будет уделено различию
между понятиями вероятности (probability) и возможности (possibility)
реализации Fuzzy-события. Материал этой главы следует схеме изло-
жения [ 51, 89, 90 ], описанной в публикациях и в монографии [ 54].
Определение 5.1. Система f CZ ^>(£1) подмножеств классического мно-
жества £1 называется (У -алгеброй на множестве £1, если выполняются
условия
1)Де/;2) Aef -> С4е/;
3)Д. е/, г = 1,2,... =>(J4 е/. (5.1)
i
СУ -алгебра на множестве £1 определяется также как пространство
событий на множестве £1, а элементы f называются событиями.
Определение 5.2. Функция Р : f —> [0,1] , определенная на f CZ $>(£!) ,
называется вероятностной мерой на f , если выполняются условия
1) A G f => > 0 ; 2)(р(£1) = 1;
з)4,4,,...е/и4П4=0 viv; => ^y^J = Zp(4)-
(5.2)
Для конечного множества £1 можно ослабить эти условия следую-
щим образом
A,Bef И А^в = 0 => Р(Л11В) = Р(А) + Р(В). (5.3)
Определение 5.3. Некоторая функция g : f -> [0,1]; f e<z>(Q) , опреде-
лённая на нечётких множествах, называется Fuzzy-мерой (мерой нечёо-
сти), если она удовлетворяет следующим условиям:
1) g(0) = O; (5.4)
2) g(0) = l, (5.5)
где £1 - полное множество всех значений;
3) условиям монотонности, т.е.
если Ах, А2 g f и cz А2, то g(4)^g(4); (56)
108
Глава 5
4) условиям непрерывности:
5) если А},А2,...,Ап и Аг с А2 с...с: Ап
(или Ах dA2 zd ... с: Ап), то
lim g(4 ) = g(lim А:). (5.7)
Z—»co Z—»co
По определению Зугено (Sugeno -1974) (см., например [ 89]) функ-
ция g(A) является мерой Fuzzy (размытости или нечёткости).
Из условий монотонности (5.6) непосредственно следуют выраже-
ния:
g(4 U А2) > max g(g(4 ), g(А2 )); (5.8)
g(4 U А) > min g(g(4 ), g(A2)). (5.9)
Определение 5.4. Определённая на множестве функций ^>(Q) функция
gi'.f—b [0,1]; называется Л - Fuzzy-мерой, если вместе с условиями
(5.2) и (5.4) выполняются условия (5.7), т.е. если
И1?Л2 g f и Л1Г)Л2е0,/1>-1,
то
g(4 nA2)=g2(A1) + g^A2) + A-gx(A])-g2(A2). (5.10)
В работах проф.Роммельфангера [54] доказана теорема, что Я-
Fuzzy-мера в условиях Л > —I всегда является Fuzzy-мерой в смысле
определения 5.3. (в смысле (5.4)- (5.7)).
Понятие меры возможности для Fuzzy-множеств было впервые вве-
дено в 1978 году проф. Л.Задэ (см., например [50, 54, 72]).
Определение 5.5 . Функция П, определённая на множестве функций
/с^(П), f —> [0,1]; называется мерой возможности на f (possibility
measure an f ), если справедливы следующие условия :
1) П(0) = О; (5.11)
2) П(П) = 1; (5.12)
3) Л1?Л2,...,ЛИ е f =>П| U4- |=supH(/t)- (5.13)
\ Z=1 )
Если £1 является конечным множеством, то Дюбои и Прадэ (Dubois,
Prade) в 1980 году [51] ослабили условия (5.13) и представили его в виде:
если Л1?Л2е£1, и ^0^=0,то
П(диА)=тах(П(4),П(4))- (5.14)
Величины, определяющие реализацию Fuzzy-события 109
Как следует из вышеприведенных определений, мера возможности
(т.е. определение „Л является возможным44) является наиболее слабым
высказыванием относительно реализации события А. То, что является
вероятным должно быть и возможным. Обратное высказывание не явля-
ется справедливым.
Наиболее простой способ определения меры возможности на системе
множеств f g основан на вычислении распределения вероятности.
Определение 5.6. Некоторая функция л:£1 G [0,1]называется функцией
распределения вероятности на Q , если выполняются следующие условия
нормирования:
sup?r(x) = l. (5.15)
хеХ
На основании выражения
П(л) = sup л(х) для всех A&f, (5.16)
х^Х
(т.е. на основе функции распределения вероятностей на Q ) может быть
вычислена мера возможности выполнения Fuzzy-события на f. И наобо-
рот, если известно счётное множество элементов X и определена на нём
мера возможности П на множестве функций ф(Х), то в соответствии с
условиями
л-(х) = П{(х)} для всех х G X (5.17)
может быть определена функция распределения вероятностей на множе-
стве X.
Можно отметить, что выражения для вычисления нормированного
значения функции принадлежности (см. раздел 1.6 ) и функция распреде-
ления вероятностей (5.16) имеют один и тот же вид, хотя основаны на со-
вершенно различных концепциях.
Мера возможности определяет возможность реализуемости элемента
классического множества. Нечёткое множество А может быть интерпре-
ти-ровано как некоторое расплывчатое (размытое) значение, которое при-
писывается каждому значению переменной из классического множества
X. Это расплывчатое значение может, например, определять, принесёт
ли некоторый проект х. прибыль в заданном размере, или нет. Тогда мера
возможности - это субъективная количественная оценка следующего вы-
сказывания: „Это возможно, что при значении X = xz будет получена
прибыль в заданном размере44.
Поясним вышеизложенное на следующих числовых примерах.
Пример 5.1.
по
Глава 5
Пусть в таблице 5.1. задано распределение вероятностей на конеч-
ном множестве элементов X — {О; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100}.
Таблица 5.1.
X 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
^(x) 0,5 0,1 0,3 1,0 0,8 0,7 0,6 0,5 0,3 0,2 0,05
Введём систему множеств f на множестве X :
Л, = {0;10;20}; Л2 ={30;40;50;60); Л3={70); Л„ = {80;90};
Л, = {100}.
Вычислим меру возможности для каждого из множеств Ах — А5 , а также
для их объединений. Результаты вычислений представлены в таблице 5.2.
Табл. 5.2.
0 4 А А А А 404 Д11Д 404
п OJO аз 1Л ол 0JD5 1Л аз аз аз
Табл. 5.2. (продолжение)
4ОД 404 4 их 404 A UA ДОД
п аз 1Л 1Л 1,0 0,5 аз
Табл. 5.2. (продолжение)
дид 4UAU4 дидид дидид □
п оз 1J0 оз 03 1J0
Справедливо утверждение: „ То, что вероятно является всегда воз-
можным" Однако то, что возможно, не всегда является вероятным. Пояс-
ним это на следующем числовом примере.
Пример 5.2.
Людмила занимается бегом трусцой и каждый вечер пробегает опре-
делённое количество километров. Высказывание: „Людмила каждый день
пробегает X километров" позволяет вычислить как меру возможности,
Величины, определяющие реализацию Fuzzy-события
111
так и меру вероятности на множестве X = {xi9x29...9x }9 где xt- ко-
личество километров, которое пробегает ежедневно Людмила. Мера воз-
можности (П(Л)) может интерпретироваться как мера лёгкости, с кото-
рой Людмила пробегает X километров в день, а мера вероятности ( Р( А) )
- как часто, если наблюдать в течение года, Людмила пробегает X кило-
метров. Это иллюстрирует приведенная ниже таблица 5.3.
Табл. 5.3.
Х(км) 1,о 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
п(х) 1,0 1,0 1,0 1,0 0,9 0,8
0,05 0,2 0,25 0,3 о,1 0,05
Табл. 5.3 (продолжение)
х(км) 4,25 4,5 5,0 5,5 6.0 7,0
п(х) 0,6 0,5 0,4 0,2 0,1 0,0
PU) 0,02 0,01 0,0 0,0 0,0 0,0
Из таблицы 5.3. следует, что события с высокой мерой возможности не
обязательно совпадают с событиями с высокой мерой вероятности. Одна-
ко всегда справедливо соотношение
Р(х)<П(х). (5.18)
Для измерения степени согласованности меры вероятности и меры
возможности проф. Л.Задэ был предложен индекс /, который измеряется
следующим образом.
Определение 5.7. Пусть заданы меры возможности 7Ti и вероятности р.
событий Z на счётном множестве X :
7ri = П(х.), z = 1,...,лг; pt = p(xt), i = l9...,n.
Тогда величина
v = • pt с [0,1] (5.19)
определяет индекс согласованности (consistency index) между этими ме-
рами. Чем больше значение V, тем эти меры больше согласованы. Вели-
чина V достигает единицы в том случае, если для всех pt > 0 значение
лг. =1.
Для примера, приведенного в таблице 5.3,
112
Глава 5
v = 1-0,5 + 1-0,2 + 1-0,2 + 1-0,3 + 0,9 0,1 + 0,8 0,15 + 0,7-0,2 +
+ 0,6-0,02 + 0,5-0,1 = 0,961
v= 1*0,5 + 1*0,2 +1*0,2 + 1*0,3 + 0,9*0,1 + 0,8*0,15 + 0,7*0,2 +
+ 0,6*0,02 + 0,5*0,1 = = 0,961.
Для введения различия между мерой возможности и мерой вероят-
ности Шафером (Schafer) в 1976 году предложены функции доверия и
правдоподобия, определённые на так называемых базисных вероятност-
ных функциях.
Определение 5.8. Функция m:^)(Q)^[0,l] называется базисной функ-цией
вероятности конечного множества элементов £1, если существует систе-
ма множеств
{Fx,F2,...,Fm|m(jj)> 0}с ^(я), (5.20)
для которых справедливы условия
m(0) = O, £т(/;) = 1. (5.21)
F^Q.
Множества F. определены как некоторые центры и выбраны таким
образом, что с уверенностью известно, с какой степенью реализуется со-
бытие Ft, i = .
Определение 5.9. Функция >[0,1] называется функцией дове-
рия на множестве A (belief function), если она определяется выражением
Ь(а)= (5-22)
F^A
Определение 5.10. Функция pl:> [0,1] называется функцией прав-
доподобия на множестве А, если она определяется выражением
Р1(А)= a (5.23)
Из формул (5.22) и (5.23) следует, что
b(A)<pl(A); (5.24)
г>(я) = 1-р/(л) (5.25)
Мера вероятности может рассматриваться как частный случай меры
доверия и правдоподобия, если
b(A) = pl(A) для всех (5.26)
В качестве центров в этом случае рассматриваются элементарные собы-
тия.
Величины, определяющие реализацию Fuzzy-события 113
Функции возможности - это функции правдоподобия частного вида,
если центры выбраны и упорядочены таким образом, что они являются
подмножествами стоящих справа множеств элементов, т.е.
F1cF2c...cFm.
В качестве числового примера проанализируем данные примера 5.1.
Пример 5.3. Пусть заданы базисные функции вероятности следую-
щих множеств
т{0; 10} = 0.2; /и{20; 30; 40} = 0.4; ли{50; 60; 70} = 0.3;
от{80; 90; 100} = 0.1.
m({0,0; 10}) = 0,2; /и({20; 30; 40}) = 0,4; т({50; 60; 70}) = 0,3;
/и({80;90; 100}) = 0,1.
Используя выражения (5.19), (5.20), получим результаты, сведенные в
таблицу 5.4.
В отличие от классической теории вероятностей в теории нечётких
множеств события определены нечётко. Поэтому представляет интерес
определить меру возможности и меру вероятности таких нечётких собы-
тий.
Связь между классической теорией вероятности и нечеткими собы-
тиями впервые была установлена проф, Л.Задэ в 1968 году и аксиомати-
чески обоснована Сметсом (Smets) в 1982 году [90].
Определение 5.11. Пусть Q- классическое конечное множество собы-
тий, P/:^?(Q)^[0,1] - функция вероятности. Некоторое нечёткое множе-
ство А = {(х,//л(х))|хGС1} называется Fuzzy-событием в О,если
его функция принадлежности JUA(x) является измеримой по Брелю. Ве-
роятность Fuzzy-события А определяется согласно выражению
Р(Л)=2>/х)-Р{(х)}, (5.27)
или в случае непрерывного множества Rn
Р(А) = ^juA(x)-dP- (5.28)
R"
Для одномерного пространства п = 1 вероятность выражается функ-
цией плотности вероятностей вида
Л^) = [Рл (*)g(*) dx.
Rn
Проф. Л.Задэ назвал меру вероятности ожидаемым значением
функции принадлежности.
114
Глава 5
Приведём следующий пример меры вероятности Fuzzy-результата.
Пример 5.4. На крупных международных соревнованиях хорошим
результатом для бегуна на дистанцию 100 м считаются результаты 9,8-
10,1 секунд. Для численных расчётов определим следующее множество
возможных результатов забегов ( в секундах):
X = {9,8; 9,9; 10,0; 10,1; 10,2; 10,3; 10,4}.
Степень удовлетворительности результата опишем следующими значени-
ями функций принадлежности (см. табл. 5.4.)
Таблица 5.4.
х. 9,8 9,9 10,0 10,1 10,2 10,3 10,4
1,0 0,9 0,8 0,5 0,1 0,0
На основе анализа результатов многих забегов определено следую-
щее распределение вероятностей результатов участников забегов (см.
табл.5.5)- Тогда вероятность получения благоприятного результата (в се-
кундах) в пределах %, g [9,8; 10,1] определяется выражением
4
р = Z Ал (х<) • p(xi) •0 05 +1 •0 07 + 0.9 • 0.2 + 0.8 - 0.5 = 0.7 •
i=l
Таблица 5.5
x. 9,8 9,9 10,0 10,1 10,2 10,3 10,4
P(X.) 0,05 0,07 0,2 0,5 0,15 0,03 0,0
Если и A2 - два Fuzzy-события из одного и того же вероятно-
стного пространства (т.е. определены на одном и том же классическом
множестве X с равной вероятностной мерой для X G X), то справед-
ливы следующие соотношения:
1) если Р(Д)сР(Л2), то Р(^)<Р(Д2); (5.29)
2) Р(4 + Д2)=Р(Л + Л)-Р(4 . А2); (5.30)
Р(4 ил2)-Р(Д)+Р(Л2)-Р(4 ПА). (5.31)
Определение 5.12. Пусть Аг и А2 - два Fuzzy-события из одного и того
же пространства состояний. В качестве условной вероятности Fuzzy-
события А{ при условии, что существует Fuzzy-событие А2 с
Р(Л2)>0 назовём величину
Величины, определяющие реализацию Fuzzy-события
115
Р(4|Л2)=Р(^-Л2). (5.32)
ДА)
Два Fuzzy-события Ах и А2 называются независимыми, если
Р(А1-А2)=Р(А1)-Р(А2). (5.33)
Определение 5.13. Ожидаемое значение Fuzzy-события А определяется
следующим образом:
- в непрерывном случае:
X. =—— [ x-nAx}-dP', (5.34)
- в дискретном случае:
(5.35)
xeQ
В качестве примера вычислим ожидаемое значение множества А -
результатов забега на дистанцию 100 метров ( по данным предыдущего
числового примера 5.4.).
Р( А ) = { 1*0,05 + 1*0,07 + 0,9*0,2 + 0,8*0,5 + 0,1*0,03
+ 0,0*0,0 } = 0,778;
X. = —— (9,8 • 1,0 • 0,05 + 9,9 1,0 • 0,07 +10,0 • 0,9 -0,2 + 10,1 • 0,8 • 0,5 +
А 0,778
7 8249
+10,2 • 0,5 • 0,15 +10,3 • 0,1 • 0,03 +10,4 • 0,0 • 0,0) = —-= 9,93.
0,778
В 1978 году проф. Задэ расширил понятие меры возможности на
Fuzzy-события.
Определение 5.14. Мера возможности Fuzzy-события А определяет-ся
выражением
П(Л ) = sup min (//л (х), я"(х)). (5.36)
хеО
Так, для числового примера 5.4 с результатами забега на дистанцию
100 метров мера возможности нечёткого множества А определяется вы-
раже-нием
\ (min(l; 0,051 min (1; 0,071 min(0,9; 0,2), min(0,8; 0,51A
V 7 В l4min(0,5;0,15),mm(0,l;03),mm(0;0) J
Следует отметить, что приведенные в данной главе выражения для
вычисления меры возможности и вероятности некоторого Fuzzy-события
А не являются единственными. В периодической литературе можно
встретить и другие выражения для расчёта этих величин.
Глава 6. Элементы нечёткой логики
6.1. Лингвистические переменные, термы и операторы
Многие понятия, которыми мы оперируем в повседневной жизни, яв-
ляются нестрогими (размытыми). К таким понятиям относятся, например,
„хорошо44, „плохо44, „мало44, „достаточно44, „много44, оценки знаний, ква-
лификации специалистов, оценки состояния погоды (тепло, холодно, жар-
ко, ветрено, дождливо), субъективные восприятия возраста, веса, роста
человека, скорости движения, высоты тона, громкости звучания и многие
другие понятия.
Хотя многие ситуации и нельзя описать количественно, человек хо-
рошо понимает их описание на лингвистическом уровне, может восприни-
мать, анализировать и перерабатывать эту информацию и делать на осно-
ве её правильные выводы. Fuzzy-технология предоставляет возможности
формальной обработки информации, представленной в лингвистической
форме на основе следующих понятий:
- лингвистическая переменная (LV );
- лингвистический терм ( LT );
- лингвистический оператор ( LO ).
В теории нечетких множеств под лингвистической переменной по-
нимается переменная, которая может принимать значения фраз из есте-
ственного или искусственного языка.
Лингвистической переменной называется пятерка
{х, Т(х), X, G, М }, где х - имя переменной; Т(х) — множество имен
лингвистических значений переменной X, каждое из которых является
нечеткой переменной на множестве X; G - синтаксическое правило для
образования имен значений х; М - семантическое правило для ассоции-
рования каждой величины значения с ее понятием.
В качестве примера рассмотрим лингвистическую переменную, опи-
сывающую возраст человека, тогда: X: «возраст»; X: множество целых
чисел из интервала [0, 100]; Т(х) : значения «молодой», «зрелый», «ста-
рый»; G : «очень», «не очень». Такие добавки позволяют образовывать
новые значения: «очень молодой», «не очень старый» и пр. М математи-
ческое правило, определяющее вид функции принадлежности для каждо-
го значения из множества Т.
Типичным представителем лингвистической переменной является по-
нятие „цвет44 (белый, красный, чёрный, синий и т.п.). Однако значение
этой лингвистической переменной может быть описано некоторым диапа-
Элементы нечеткой логики
117
зоном длины волн света. Лингвистическая переменная „цвет66 состоит из
целого ряда лингвистических термов (значений): жёлтый, синий, фиоле-
товый и другие, каждому из которых на оси абсцисс, определяющей дли-
ну волны светового излучения, может быть поставлено в соответствие не-
который диапазон значений.
Так как понятие „цвет66 является во многом субъективным, каждый из
термов этой лингвистической переменной может быть представлен раз-
мытым множеством значений. Значение лингвистической переменной
„цвст“ может также характеризоваться смешением отдельных цветовых
термов (оттенки цвета), т.е. объединением отдельных термов. Таким об-
разом, понятие „лингвистическая переменная66 и „лингвистический терм66
во многом аналогичны классическим понятиям из теории множеств (цвет
- это множество всех значений, а значение цвета - некоторое подмноже-
ство или некоторый представитель множества возможных значений).
Для описания лингвистической переменной нам потребуются следу-
ющие атрибуты [1, 7, 21, 26]:
- имя лингвистической переменной;
- имена всех отдельных лингвистических термов (значений);
- классическое множество чисел X, на котором задаются цифровые ба-
зисные значения для каждого лингвистического терма;
* вид функции принадлежности на множестве чисел X для каждого лин-
гвистического терма.
Наибольшее распространение в практических приложениях получили
следующие названия лингвистических термов для различного рода линг-
вистических переменных:
1) очень большое отрицательное значение (ОБО или BBN)\
2) большое отрицательное значение (ОБ или B/V);
3) средней величины отрицательное значение (ОС или MN);
4) маленькое отрицательное значение (ОМ или AW);
5) среднее значение (СС или Z£);
6) маленькое положительное значение (ПМ или 7VP);
7) среднее положительное значение (ПС или МР),
8) большое положительное значение (ПБ или ВР)\
9) очень большое положительное значение (ПБО или ВВР).
Пример расположения нескольких термов на множестве значений
одной лингвистической переменной приведен на рис.6.1.
Лингвистические операторы
Лингвистические операторы - это операторы многозначной нечёткой
логики с лингвистическими термами и переменными. Они могут быть
классифицированы как одноместные или многоместные операторы. Од-
номестные операторы выполняют действия только с одной лингвисти-
118
Глава 6
ческой переменной (или преобразуют только один её терм). Многомест-
ные операторы определяют результат взаимосвязи нескольких лингвисти-
ческих термов. Примерами одноместных лингвистических операторов мо-
гут быть рассмотренные выше операторы концентрации, расширения и
контрастного усиления нечётких множеств. Применение трёх упомянутых
операторов может рассматриваться как цифровое усиление или ослабле-
ние соответствующих значений функции принадлежности лингвистиче-
ских термов. К одноместным операторам может быть отнесен также опе-
ратор логического отрицания. К многоместным операторам относятся
операторы Fuzzy-логического „И44, „ИЛИ“, импликация, эквивалентность
и другие.
Как и классическая логика высказываний, нечёткая логика делает зак-
лючение об истинности высказываний. Однако, если классическая бинар-
ная логика различает лишь два типа понятий „Истинно44 и „Ложно44 (точ-
ное „И44 или точное „НЕТ44) в нечёткой логике существует некоторая гра-
дация истинности и неверности (ложности) высказываний в диапазоне от
Одо 1.
6.2. Основы классической логики высказываний
В классической бинарной логике высказываний используются следу-
ющие понятия [58]:
- допустимое высказывание - ДВ;
- неверное (фальшивое высказывание (или отрицание) - Н;
- истина - И;
- отрицание - i ;
- логическое „И44 (конъюнкция), которая обозначается „ &“ или „ А44;
- логическое „ИЛИ44 (дизъюнкция), которая обозначается „ V
Элементы нечеткой логики
119
- субьюнкция (если..., тогда), (если..., то)которая обозначается
fl__11 ___.
- биньюнкция (эквивалентность) (точно тогда; тогда и только; тогда - ес-
ли), которая обозначается „ <-» „ <=> 44 или „ =
Если а и Ъ - логические переменные, которые могут принимать
только два значения : „Истинно44 - „Г4 („И44) или „Ложно44 - „О44 (,,Л“), то
основные законы и выражения классической логики высказываний могут
быть представлены в таблице 6.1.
Табл. 6.1.
1 ь —\а -.Ь а лЪ avb а-
и и Л Л И И и и
Л Л и и Л Л и Л
И Л Л и Л и Л и
Л и и Л Л и и Л
6.2.1. Эквивалентность логических операторов.
Операторы классической логики высказываний обладают следую-
щими свойствами [58].
А. Конъюнкция и дизъюнкция.
1) Коммутативность
а лЬ о bла; a\f b ohv а.
2) Ассоциативность
а л (Ь л с) (а л Ь) л с; a v (b v с) <=> {a v b) v с.
3) Идемпотентность
а ла - а ; ava = a.
4) ал (—ia) Л; а лИ о a; av (—>а) <^> а;
ачИоа; avJI&a; алЛ<^>Л.
5) Дистрибутивность
а л(Ъ л с) О (а л fe) v (а л с);
a v (Ь л с) (a v b) л (a v с).
6) Закон абсорбции (поглощения)
а л (a v b) <^> а; a v (а л Ь) о а.
7) Законы Де Моргана
-'(а лЬ)о (-ia) v (-Л); (а лЬ) О—>(а^ (—»&));
-{а vb)o (-ia) л (-ib); (a v b) о (-кя) л (-Л).
8) Преобразование операторов «И» и «ИЛИ»,, в оператор субъюнкции
120
Глава 6
(а л Ь) «• —(а —> —ib); (a v Z>) <=> (~i«) ~> b.
В.Оператор субъюнкции.
1) а b <^> -4~>b) -> (-i«);
2) Дистрибутивность относительно логических операций операторов «И»
и «ИЛИ»
а —> (Ь л с) <=> (а —> Ь) л (а —> с);
а —> (b v с) <=> (а —> b) v (а —> с).
3) (а л Ь) —> с <=> (а —> с) А (Ь с);
(а v Ь) —> с <=> (а —> с) v (Ь —> с).
4) Замена первых членов
а (Ь л с) b (а —> с).
5) а —> (Ь л с) (а л Ь) -> с.
6) Рефлексивность
а ла <=> И.
7) Преобразование оператора субъюнкции в дизъюнкцию
а —> Ь <=> (—io) v b.
8) Преобразование оператора субъюнкции в конъюнкцию
а —> Ь <=> —i(a v —ib).
С. Оператор эквивалентности (" <=>"," <->" ) .
1) Коммутативность
а <-> b о b <-> а.
2) Ассоциативность
а <г> (Ь <-> с) <=> (а <-> Ь) <-> с.
3) Преобразование оператора эквивалентности в субъюнкцию и конъ-
юнкцию
(а <-> Ь) (а —> Ь) л (Ь а).
4) Преобразование оператора эквивалентности в операторы конъюнкции и
дизъюнкции
(а Ь) <=> (—io v b) л (—ib v а).
5) Преобразование оператора эквивалентности в операторы дизъюнкции и
конъюнкции
(а о /;) о (a v fr) л (—io v —ib).
6) Изменение операндов в операторе эквивалентности
Элементы нечеткой логики
121
7) а <г+Ь<?> И.
Следствие логики высказываний.
Если логическое выражение содержит много переменных, несколько
видов операторов и имеет сложную форму, то оно может быть преобразо-
вано с помощью операторов эквивалентности в логическое выражение,
содержащее только операции «И», ИЛИ» и отрицание. Такое преобразо-
вание называется преобразованием в конъюнктивную или дизъюнктив-
ную нормальную форму.
Определение 6.1. Пусть к', - и-мерное логическое
высказывание. Ni9...,Nt называются логическими следствиями из
М^...,МК, если из каждого набора ^(хД^^),..., ^(л„)}, для кото-
рого выражение
8(МХ) = 8(М1) = ... = 8(М К)-И {К >1) (6.1)
(т.е. истинно), справедливо также
8{NX) = 8(N2 } = ... = 8(Nt) = M (г > 1). (6.2)
В литературе в наиболее распространённых формах записи используются
знаки или " , т.е. следующая форма записи
МХ,...,МК => Nx,...,Nt- (6.3)
6.3. Основные операторы и законы нечёткой логики
6.3.1. Логика высказываний Лукашевича ( Lukasiewicz-Loqik )
Законы и операторы нечёткой логики во многом опираются на опе-
раторы трёхмерной логики, введенной польским математиком Лукашеви-
чем [96]. Логическая переменная а в этой логике может принимать три
значения: «О», «1» и «^/» (или «0.5»). Логика Лукашевича использует
следующие операторы: « i» - отрицание, « А » - конъюнкция (логиче-
ское «И»), « V » - дизъюнкция (логическое «ИЛИ»), « —>» - субъюнк-
ция, « <-> »- оператор эквивалентности.
Основные операторы логики Лукашевича могут быть записаны с по-
мощью следующих формул:
#(-ia) = 1 - д(а), (6.4)
д(а лЬ) = min{^(a), j(Z>)}, (6.5)
д(а v Z>) = max{<^(a), (6.6)
122
Глава 6
§(а b) = min{l; 1 +
3{a->b) =
3(—м —> b), если {8(a), <?(£>)} *
1, если 8(a) = 3{b)=;
8{a^b) = \-\8(a)-8{b\.
(6-7)
(6.8)
(6.9)
Результат применения операторов в логике Лукашевича может быть
представлен в таблице 6.2.
В отличие от законов классической бинарной логики высказываний в
логике Лукашевича
(6.10)
8(а V—ia)=max{^(a), 1-8(а)}*1. (6.11)
Табл. 6.2.
а ь —itZ -ib а лЬ -т(а л Ь) avb
1 1 0 0 1 0 1
1 0.5 0 0.5 0.5 0.5 1
1 0 0 1 0 1 1
0.5 1 0.5 0 0.5 0.5 1
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 0 0.5 1 0 1 0.5
’0 1 1 0 0 1 1
0 0.5 1 0.5 0 1 0.5
0 0 1 1 0 1 0
Табл. 6.2. (продолжение)
а ь —{а л Ь) а—>Ь Ь а а <-> b
1 1 0 1 1 1
1 0.5 0 0.5 1 0.5
1 0 0 0 1 0
0.5 1 0 1 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 1 1 1
0.5 0 0.5 0.5 1 0.5
0 1 0 1 0 0
0 0.5 0.5 1 0.5 0.5
0 0 1 1 1 1
Элементы нечеткой логики
123
|Й'. Свойства операторов нечёткой логики.
Fuzzy-логика в некотором смысле обобщает логику Лукашевича, так
логическая переменная и результат логического оператора в ней мо-
принимать не только одно из трёх значений („0“, „0.5“ или „1“), а лю-
бое действительное число на множестве чисел [0;1].
В нечёткой логике используются те же операторы, что и в логике Лу-
кашевича: отрицание ( —।) конъюнкция ( А ), дизъюнкция ( v ) , Fuzzy-
логическая субъюнкция ( —> ), оператор эквивалентности ( <-> ).
Остановлен следующий приоритет Fuzzy-логических операций:
1) отрицание ( —।),
2) конъюнкция ( А ) или дизъюнкция ( V ) (логическое „И“ или ,,ИЛИ“),
3) субъюнкция (~>),
4) оператор эквивалентности ( <-> ).
Скобки в логическом выражении меняют приоритет Fuzzy-логиче-
ских операторов. Как и в логике Лукашевича, действия операторов опи-
сываются формулами (6.4)-(6.9). Однако, так как значения каждой Fuzzy-
логической переменной суть любое число из множества действительных
чисел [0;1], то и результат действия оператора также может быть любым
действительным числом из этого же множества.
Определение 6.2. Fuzzy-логической тавтологией (действительно или вы-
полнимо при всех значениях переменных) называют Fuzzy-логическое
высказывание
3{/(хх,х2,...,Хп)}=\,
т.е. выражение, которое истинно при любых значениях входящих в него
Fuzzy-логических переменных Xj, Х2 ,..., Хп.
Определение 6.3. Fuzzy-логическое высказывание f(x}, х2,..., хп ) назы-
вают ложным при любых значениях входящих в него Fuzzy-логических
переменных x1?x2,...5xw, если £{/’(x1,x2,...,xw)} является Fuzzy-
логической тавтологией.
Для операций нечёткой логики, как и для операций классической би-
нарной логики, справедливы в виде выражений, приведенных в разделе
6.2, следующие свойства операторов:
а) коммутативность,
в) ассоциативность,
с) дистрибутивность,
d) закон абсорбции,
е) закон идемпотентности,
124
Глава 6
f) законы Де Моргана,
g) законы о нейтральном элементе.
Однако, как и логике Лукашевича, в отличие от свойств классической би-
нарной логики, справедливы выражения
ал-па^О, 6ZV—
(а —>Z>)=>(-iZ>
6.5. Fuzzy-логическая импликация
Рассмотрим подробнее понятие Fuzzy-логической импликации, кото-
рое соответствующим образом интерпретирует высказывание „ЕСЛИ -
ТОГДА44 в некоторое правило вычислений и тем самым моделирует
смысл нечётких логических выводов. Так как этот оператор имеет главное
значение в технологии нечётких логических выводов, в литературе можно
встретить различные варианты его трактовки.
Оператор импликации в классической бинарной логике имеет вид
(a-»b)<»(avZ)) ЕСЛИ а ТОГДА Ъ.
На основе законов бинарной логики оператор дизъюнкции может быть
преобразован одним из следующих образов:
(а —> vZ>)
<=>(а \/Ь)л(а v я), так как а а1 = а и я v а = 1,
<=> a v (Ь л а),
о(алб) v (V 1), так как 6Zvl = l. (6.12)
Следовательно, классическая взаимосвязь „ЕСЛИ - ТОГДА44 может
быть реализована двумя операторами „И44, которые связаны одним опе-
ратором „ИЛИ44.
Из последнего преобразования вытекает выражение Fuzzy-логиче-
ской импликации, предложенное проф. Л.Задэ (см., например, [1, 7-10,
49]), в котором соответствующие компоненты бинарной логики „фузифи-
цированы44 следущим образом:
а-> А = {(x,juA(x))\x е Х}, 1 —> Е{(х, 1) | х е X},
Ь-+ 5 = 0—> 0 = {(х,О)\хеХ},
={(х, 1-//л(х))|хеХ}, А - любая из /-норм,
например, min(...);
В ={(у, 1-//в(у))|^еУ}, V-любая из S -норм,
например, шах(...). (6.13)
Элементы нечеткой логики
125
Jo есть логическая конъюнкция и дизъюнкция „фузифицированы“ соот-
ветственно с помощью различного вида t - и S -норм. Подставляя фузи-
фицированные выражения этих операторов в формулы эквивалентного
преобразования импликации (6.12), получим выражение Fuzzy-логической
Импликации в виде, предложенном Л.Задэ [1, 48],
impl\pA (х),рв (у)]^ = шах[
' &
fining (х), рв (у)\ (1 - рА (х))]. (6.14)
Если вместо оператора min(...) в выражении (6.14) используется
некоторая иная t -норма, то это выражение имеет, например, следующий
вид
(х), нв (y)L = maxl« te» (*), Рв (у)); 0 - pA (*))] = (6 j 5)
•= тах[(//л (x) + Цв (У) ~ Pa (x) ' Рв (J7)}, 0 “ Pa (*))L
нпр/[^ (x), Hb (y)lzA = тах[/шм, (pA (*), Рв (y)^ 0 “ Ра О))] =
Pa^'PbW ( й
= max 7--------------------г; (1 - р А (х) I ;
[рА (*) + Рв О) - Ра (*) Рв (У))
imp^iA (х), рв (y)]ZA = max[6es, (рА (х), цв (у)^ 0 “ Ра (х))]=
= тах[тах(0; цА (*) + Рв (у) ~ (1 “ Ра (*))] J
impl\jLiA (х),рв (у)]^ = тах[е«Г, (рА (х), рв (у)Н1 “ Ра (*))] =
PAxpPiM
i+O--«лСОМ1-Рв(у)У
(1-рл(х))
(6.18)
Наряду с такой интерпретацией Fuzzy-логической импликации, в ли-
тературе можно встретить и другие многочисленные интерпретации этого
оператора. Так, например, в интерпретации Мамдани [76, 77] в выраже-
нии
а-^Ь <=> ах/Ъ
конъюнкция фузифицируется с помощью оператора min(..., и выраже-
ние импликации имеет вид
impl\pA (х), нв = minCui (*), Рв (.У)) • (6-19)
Используется также т эквивалентная форма импликации вида
а—>Ь <=> (a v Б) <=> (aAl)v(Z>Al) (6.20)
126
Глава 6
и фузификацию операторов конъюнкции и дизъюнкции осуществляют со-
ответственно операторами min(... и тах(..., получая выражение им-
пликации вида
impl\juA (*)> Рв OOLo = тах0 - Ра О), Рв О')) • (6.21)
Используя эквивалентную форме (6.20) и фузифицируя оператор конъ-
юнкции оператором min(..., а оператор дизъюнкции - S -нормой
я lg(...)s, получим выражение для импликации вида
(х), рв (у)]^ = (1 - рА (*) + Ра О) + Рв О)) > (6-22)
А Лукашевич в эквивалентной форме (6.20) для конъюнкции при фузифи-
кации также использует оператор min(..., а для дизъюнкции использует
S -норму bes(...)s, получая выражение для импликации
impl\pA (х), рв (jOL = min(l; 1 - рА (х) + рв (у)). (6.23)
Как видно из вышеизложенного, широко применяемые в практиче-
ских приложениях операторы импликации Л.Задэ, Мамдани, Kleene-
Dienes, Райнбаха (Reinbach) и Лукашевича базируются на формулах им-
пликации классической бинарной логики. Благодаря различным способам
фузификации и выбора различных эквивалентных форм они преобра-
зуются в различные формулы, которые позволяют при правильных пред-
посылках делать правильные количественные выводы.
6.6. Правила нечёткого логического вывода
„ЕСЛИ а, ТОГДА Ь, ИНАЧЕ - С
Приведенное в заглавии раздела логическое заключение содержит
две имплика-ции:
1) ЕСЛИ а,ТОГДА Ь,
2) ЕСЛИ НЕ а, ТОГДА с,
и в короткой форме может быть записано следующим образом
(а-+Ь) <=> (a vc). (6.24)
В классической бинарной логике эти две импликации могут быть связаны
операторами конъюнкции (,,И“) и дизъюнкции (,,ИЛИ“)
(а-+Ь)л (avc) <=> (a /\b)v(a ас). (6.25)
В частном случае, когда С — Ь , получаем классический оператор эквива-
лентности в виде
(а <г^Ь) <=> (а ->Ь)л(а ->Ь) .
(6.26)
Элементы нечеткой логики
127
Для полной импликации в форме (6.25), реализованной с помощью
двух операторов конъюнкции, связанных оператором дизъюнкции, при-
меняя описанную выше схему фузификации (6.14), получаем выражения
для полной Fuzzy-логической импликации. Так, например, если в качестве
t -нормы выбирается оператор min(..., а в качестве S -нормы - оператор
Шах(..., получаем выражение
impl\jnA (х), цв (у), цс О)] =
max
тт(1-//л(х), //c(z))
- (6.27)
в отличие от классической импликации, Fuzzy-логической импликация
работает при предпосылках и с заключениями, выраженными не только в
виде „0“ или „Г4, а с предпосылками и заключениями, выраженными не-
которым „размытым44 (нечётким) способом и представляемыми действи-
тельными числами в диапазоне [0,1], а также с лингвистическими пере-
менными. Количество Fuzzy-правил определяется количеством правил,
необходимых для полного представления и формирования отношений
„ЕСЛИ ... ТОГДА44 между предпосылками (допущениями) и нечёткими
логическими выводами.
Каждая лингвистическая переменная (X или у ) может быть, в об-
щем случае, представлена несколькими термами (в практических прило-
жениях от 2 до 11). Соответствующие Fuzzy-логические правила могут
быть сформулированы для каждой из комбинаций этих термов и связаны
в системе нечёткого (Fuzzy) логического вывода с помощью операторов
„ИЛИ44 (или соответствующим им Fuzzy-логическим оператором
тах(...). Тогда, например, полная Fuzzy-логическая импликация имеет
следующий вид:
ЕСЛИ а = 4, ТОГДА b = Вх;
ЕСЛИ а = Л2, ТОГДА Ь = В2\
ЕСЛИ а = AR , ТОГДА b = BR . (6.28)
Для сформулированного такого набора правил требуется информация
экспертов. Задачей же систем нечёткой логики является проверка полноты
приведенной системы правил и представление результатов выполнения их
в корректной форме.
6.7. Fuzzy-логические заключения (выводы)
В человеческой деятельности следует различать следующие формы
логических выводов:
128
Глава 6
1) дедуктивные заключения, когда из общих закономерностей делаются
некоторые заключения для частных случаев;
2) индуктивные заключения (индукция), когда из наблюдаемых частных
случаев и отдельных фактов выводятся некоторые общие закономер-
ности. Этот процесс логических выводов называют часто обучением;
3) выводы, сделанные по аналогии, когда в новых, не встречавшихся ра-
нее условиях решения принимаются по аналогии с известными случая-
ми и фактами;
4) нестрогие или неточные заключения, когда встретившаяся ситуация
плохо изучена, и выводы делаются на основе стандартных правил
„ЕСЛИ....ТОГДА44. В англоязычной литературе это получило название
„plausible reasoning44 и практически соответствует дедуктивному мето-
ду логических заключений.
В основе Fuzzy-логических заключений лежит обобщение схем вы-
вода классической логики. Обобщающий Modus pones классической би-
нарной логики может быть представлен в виде:
Импликация р С ЕСЛИ р , ТОГДА с
Предпосылка рХ Предположим р1
Заключение с1 Итак из этого следует С1.
Fuzzy-логические выводы, моделируя мышление человека, могут
дать возможность делать чёткие заключения из нестрогих предпосылок. В
этом случае следует описать, как некоторые отклонения в предпосылках
2 1 2 1
( р от р ) повлияют на отклонения в выводах ( С от с ).
Ниже описываются формы реализации методов Fuzzy-логических за-
ключений и, в первую очередь, получивших наибольшее распространение
методов
max- min- Inferenz и max- prod - Inferenz .
Рассмотрим классическую схему Modus pones Modus pones в Fuzzy-
логической интерпретации.
Импликация: ЕСЛИ р = А(х), ТОГДА С = В (у),
т.е. А(х) В(у);
Предпосылка: р = Л^х)
Следствие: С — В1 (j>)
Используя оператор импликации, предложенный проф. Мамдани [76,
77] в форме (6.19), получаем
Элементы нечеткой логики
129
V (х, у) е А X В JUR (х, у) = рАхВ (х, у) = min (/у А (х), /ив О))
(6-29)
Здесь Ах В - декартово произведение двух Fuzzy-множеств.
Если Fuzzy-логические высказывания А1(х) и 5!(х) интерпрети-
руются как отношения, которые могут быть описаны функциями принад-
лежности каждой из переменных, тогда обобщающий Modus pones может
быть реализован любой из t -норм (см., например, [58-62]). Используя
оператор импликации, вве-денный проф. Мамдани, получаем следующую
схему обобщённого Modus pones:
7?(х, j): nimpl (х,у) = (х, у) = пйп(//л (х),//в (у) )
А'(х): ца1(х)
fl .........................................................................................................
в' (у) = в(х,у)о А' (х): //в1 (X) =max (х), //r (х, у))},
XGA
(6.30)
где i(x)9juR(x,y)}- любая t -норма.
Следовательно, актуальное значение связывается с Fuzzy-логическим
отношением jUR (х, у) с помощью любой t -нормы. Однако оператор
Импликации всегда реализуется Fuzzy-логической конъюнкци-
ей (оператором min(...). Если в качестве t -нормы используется опера-
тор min(..., то тогда Fuzzy-логический вывод осуществляется в соответ-
ствии со схемой max- min- Inferenz
B1{y)=R(x,y)oA\x) : /zel(y)=maxmin(^,(x), //R(x,j)). (6.31)
В случае использования в качестве t -нормы оператора 1g, (...)
получаем схему max- prod - Inferenz
B1(y)=R(x,y)oAl(x) : //fi,(j)=max[alg((^l(x), //R(x,^))]. (6.32)
Отношения „ЕСЛИ ... ТОГДА “ между различными лингвистически-
ми термами предпосылок (входных переменных А(х) ) и следствий (вы-
ходных переменных В(у)) определяются матрицей отношений R(x9y),
которая формулируется на основе мнений экспертов.
Fuzzy -предпосылка Аг(х) задаётся (или принимается) с определён-
ной степенью доверия (весом) относительно идеальных условий, т.е. наи-
более благоприятного значения соответствующего терма. Этот весовой
130
Глава 6
коэффициент находится в пределах [0,1] . Аналогично вычисляется так
называемый весовой коэффициент (степень доверия) следствия логиче-
ского заключения (для переменной В1 (у) ).
Так как Л(х) и А1(х) определены на одних и тех же классических
множествах входной переменной X G X, то классическая схема
max— min— Inferenz может быть представлена в виде
// ,,=maxmin(^,(x), (j))j =
' X^X XEAf \
=maxmin(^,(x), /<,(%), //fi(j))=min jmaxmin(^1(x),///x),//s(j))j
(6.33)
Если функции принадлежности A(x) и Цв{у) нечётких множеств
А(х) и В(у) нормированы, т.е. тах//л(х)=тах//д(з/)=1, то по-
следняя форма в выражении (6.33) является особенно важной, так как
член min (х), /иА (х) позволяет вычислить согласованность степени
выполнения предпосылок А(х) и А1 (х) в виде
Gp=max[min(//^(x), pA(x)j, где 0<Gp<l. (6.34)
Значение Gp является некоторым весовым коэффициентом. Если
только одна предпосылка Al (х) определяет Fuzzy-логическое правило, то
этот коэффициент одновременно является и весовым коэффициентом для
всего правила. То есть, если Gp = 1, то правило полностью выполнимо.
Если ни для одного значения х G X нет согласованности ( (х) = 0 и
Ал (х) = 0 )’ т е- &Р = 0 , то это правило не действует.
Если обозначить коэффициент активности правила GR , то для схе-
мы max- min- Inferenz справедлива формула
//д1 (у)=min (Gr , рв (у)), 0< Gr < 1 - (6.35)
Используя коэффициент активности Fuzzy-логического правила, вы-
числяемый согласно выражению (6.35), могут быть записаны различные
схемы логического вывода в случае одной предпосылки (различные фор-
мы выражения шах(...) t -операторов). Так, например,
Ц^(у)=т(ся, рв(у)),
Рв> (у)=a lg, (Gr , рв (у))=Gr + цв (у)+GR*pB (у). (6.36)
Элементы нечеткой логики
131
Обобщим все вышеизложенное на случай, когда имеется не одна, а
несколько предпосылок. В случае нескольких предпосылок, связанных
оператором „И“, получаем следующую схему:
N предпосылок: ЕСЛИ и р2 = А2, и ..., и pN = AN,
ТОГДА с = В.
>xw):=mm()u4(x1),//^(x2),...,ju^(xw)).
Импликация:
pB(xl,x2,...,xN,y)=n»n [u^aT/f(x1,x2,...,xN),pB(y)]=
=min (%!), цАг (х2),цАк (xN ), рв (у)).
В случае нескольких предпосылок, соединенных оператором ,,ИЛ И“,
получаем следующую схему:
N предпосылок: ЕСЛИИЛИ р2 = А2, ИЛИ ...,
ИЛИ pN =An,
ТОГДА С = В.
Весли(.х1’х2’-"’хг/)~
= 1 - (i-^2 (*2)} •••>
Импликация:
^(х, ,х2,...,хл, ,у) ~ т*п [/^если(х1’х2’---’хм)’ Ав(т)]= (6 39)
В отличие от случая с одной предпосылкой, здесь оператор min(...)
применяется не к одной предпосылке и следствию, а сразу ко всем пред-
посылкам и к следствию.
Интерпретируя схему вычислений (6.37) на случай Fuzzy-логических
(нечётких) предпосылок, Д1(х|),^(х2),...,Л^(хлг), получаем общую
схему вычислений для случая max- min- Inferenz в виде следующе-
го выражения
132
Глава 6
AB.O) = max min[^(x,,x2,...,xN\ ^iR{xx,x2,...,xN,y)\ =
XjGJTj,
Xj ^^2 »
XjyGA'jy,
= max mm
x&X
^4(Х1),АЛ(Х2),-»
max min[min к (x,), ц, (Xj))], max min , (x2), (x2)),...,'
XG-Afj * ХЁЛ2 2
max min (u ,t(xN),/iAn(xn)), pB(y)
xeXN T an n '
min
= min [min(Gpl, Gp2,..., GpN,\ //я(у)]= min(Gfi, AbO))
(6.40)
Здесь приняты следующие обозначения: х G X означает, что х} G ЛГр
Х2 Х2У Xjy еХ,,
Gpk=^^\pA^xk),MASxk))’ k = l,...,N-, (6.41)
хк е^к к
Сй=тй1((7р1,(7р2 G J. (6.42)
В случае нескольких нестрогих (размытых) предпосылок, соединён-
ных оператором „ИЛИ“ схема Fuzzy-логического вывода выглядит следу-
ющим образом:
(у)=min(Gs, цв (у)}, (6.43)
Gr =max(Gpl,Gp2,..., GpN), (6.44)
а в случае max- prod — Inferenz формула вычислений имеет вид
(6.36), а коэффициент активности правила вычисляется согласно выра-
жению (6.44).
6.8. Fuzzy-логическая база знаний
Fuzzy-логическая база знаний состоит из некоторого множества от-
дельных правил вида ЕСЛИ .... ТОГДА и имеет вид:
Правило!: ЕСЛИ р = Ах ТОГДА С — Вх
Правило 2: ЕСЛИ р = А2 ТОГДА с = В2
Правило М: ЕСЛИ р = Ам ТОГДА С = Вм .
(6.45)
Элементы нечеткой логики
133
результат полной импликации в этом случае следует из объединения от-
дельных правил в общую систему
(4 х4)и(4 xB2)U...U(^ x5j. (6.46)
Объединение Fuzzy-множеств может быть выполнено с помощью
дюбой из S -норм, в частности, с помощью оператора тах(...).
Проф. И. Мамдани [76] предложил вычислительную схему создания
^ использования базы знаний, в соответствии с которой сначала вычисля-
ются результаты действия каждого отдельного правила (с помощью рас-
смотренных выше операторов какой-либо из t -норм ), а затем эти от-
; дельные результаты с помощью операторов объединения нечётких мно-
жеств (например, операторатах(...)) объединяются для получения ре-
зультата в соответствии с общей схемой.
Так для каждого правила справедливо выражение
=T(GRk’^Bt О))> k = . (6.47)
Здесь любая из t -норм (в частности, оператор min(...)).
Общая система знаний имеет вид
(648>
где <$*(...)- некоторая S -норма.
В частности, если в качестве S -нормы используется оператор
тах(...), то выражение (6.48) записывается в виде
(649)
Формулы (6.47)-(6.49) легко обобщаются на случай, когда в каждом
правиле присутствует не одна, a N предпосылок. Тогда t -норма ис-
пользует значение степени активности каждого правила GR , вычислен-
ное для предпосылок, связанных оператором „И“, в соответствии с выра-
жением (6.42), а для предпосылок, связанных оператором „ИЛИ“, - в со-
ответствии с выражением (6.44).
Глава 7. Методы дефуззификации
Размытый результат Fuzzy-логического вывода, содержащий значе-
ние функции принадлежности (отличное от нуля) для каждого из термов
(или значений) лингвистической переменной, должен быть преобразован
в величину управляющего воздействия, значение выходной переменной
или функции полезности, выраженное некоторым действительным чис-
лом, лежащим в диапазоне изменения рассматриваемого параметра. Этот
процесс преобразования и называется дефузификацией.
Пусть значение выходной переменной или управляющего воздейст-
вия представлено тремя термами лингвистической переменной, т.е. тремя
нечёткими множествами Ах, Л2 , А3, показанными на рис.7.1.
Рис. 7.1: Выходная переменная с 3 термами
В результате Fuzzy-логического вывода получены значения функции при-
надлежности для каждого из нечётких множеств (каждого терма лингвис-
тической переменной), соответственно равные (х), (х), (х).
Необходимо найти некоторое значение переменной X , выраженное дей-
ствительным числом, соответствующее этому результату Fuzzy-логиче-
ского вывода.
Цель методов дефузифицикации заключается в том, чтобы в каждом
конкретном случае представить содержащуюся в Fuzzy-множествах вы-
ходных переменных или управляющих воздействий информацию в соот-
ветствии с конкретной постановкой задачи, используя при этом (что
Методы дефуззификации
135
очень важно для систем реального времени) минимальный объём вычис-
лений. То есть, если заданы нечёткие множества А. = }ЛА (х))},
/ = различных термов некоторой выходной переменной у и из-
вестен результат Fuzzy-логического вывода в виде конкретных значений
Д4 005 * = , то необходимо найти некоторое действительное число
у = х , соответствующее этому результату.
В литературе описано большое число методов дефуззификации, наиболь-
шее распространение среди которых получили (см., например, [1,9, 26,32,
49, 58-62] и др.):
а) метод максимума (Max-Height);
Ь) метод среднего максимального значения (Mean-of-Maximum);
С) метод центра тяжести (Center-of-Gravity);
(1) обобщенный метод центра тяжести (Center-of-Area);
е) метод дефуззификации для фукций принадлежности импульсного вида
(Singleton).
Ниже описываются каждый из названных методов.
7.1. Метод максимума
Так называемый метод максимума (Max-Height) может быть отнесен к
наиболее простым с математической точки зрения методам. Чёткое зна-
чение выходной переменной, выраженное действительным числом, соот-
ветствует тому значению X , при котором функция принадлежности не-
чёткого множества с максимальным значением ~цА (х) достигает своего
максимального значения
Д.. (х) = max Д, (х); (7.1)
Ai l<i<n 1
Ji.,(х) = arg maxJiA (x)• (7.2)
Ai xgA*
Так, на примере, приведенном на рис.7.1, максимальное значение JiA(x)
достигается для Fuzzy-множества А2, а максимальное значение функции
принадлежности для этого лингвистческого терма (в этом Fuzzy-множе-
стве) достигается при значении х = 6.0 .
Определённые проблемы возникают в случае, когда максимальное
значение функции принадлежности JuA (х) достигается не в одной, а в не-
котором подмножестве точек X (например для функций принадлежности
в форме несимметричной трапеции), либо в случаях когда максимум в вы-
136
Глава 7
раженнии (7.1) достигается на нескольких нечётких множествах i G Ц. В
этом случае в качестве метода дефуззификации более предпочтительным
является метод среднего максимального значения (Mean-of-Maximum).
7.2. Метод среднего максимального значения
(Mean-of-Maximum)
Этот метод является развитием метода максимума и определяет зна-
чение X как среднее значение тех значений аргумента, при которых
функция Jua*(x) достигает своего максимального значения. Если этот
максимум достигается на некотором дискретном множестве точек xs,
5 = 1,2,...,5, то
1 s
<7-3’
5=1
В случае некоторого непрерывного интервала значений максимума могут
быть вычислены его наименьшее и наибольшее значения х2, и значе-
ние X вычисляется по формуле
-*i)- <7-4)
В случае, когда непрерывное нечёткое множество с максимальным
значени-ем /7^* 00> вычисленным согласно (7.1), не единственно (см.
рис.7.2), значение X рассчитывается следующим образом.
Рис. 7.2: Иллюстрация метода среднего
максимального значения
Методы дефуззификации
137
Пусть I - подмножество нечётких множеств Л., удовлетворяющих соот-
ношению (7.1); р - количество таких нечётких множеств; х^.* ,Х2«* - со-
ответственно наибольшее и наименьшее значение интервала, на котором
функция рА* (х) этого множества А.* достигает своего максимального
значения, i = 1,2,. Тогда
1 Р 1 , X
<7-5>
Р Г=1 z
Значение х = х _sr на рис. 7.2 - это среднее среди максимальных зна-
чений двух нечётких множеств.
7.3. Методы центра тяжести плоскости
Наибольшее распространение в практике вычислений получили мето-
гДЫ центра тяжести, которые в литературе [1, 3, 4, 48, 49, 77 ,78] получили
название Center-of-Gravity (CoG) или Center-of-Area (СоА). Суть методов
включается в определении центра тяжести некоторой плоской фигуры,
включающей те части нечёткого множеств Д. выходной переменной, для
которых рА (х) > 0, и отсекающей те части этих подмножеств, для ко-
торых /ИА (х) > /ИА (х) . Пример такой фигуры (заштрихованный мно-
гоугольник с вершинами а, £>, с, d^e^f) показан на рис.7.3.
а X f
Рис. 7.3: Иллюстрация метода центра тяжести
138
Глава 7
Определение центра тяжести плоской фигуры основано на известном
в литературе методе определения статического момента непрерывно рас-
пределенной массы относительно координатной оси X. Значение коор-
динаты X - центра тяжести плоской фигуры, вычисляется следующим
образом:
jx• (х) • dx
; (7.6)
J Va, (*) • dx
х&Х
или в конечных разностях:
R
£Хг /<4, (Хг)-Л*
Х = ^----------------; (7.7)
£/^(хг)д*
Здесь
| х • (х) • dx - статический момент плоской фигуры, соответствующей
хеХ
нечёткому множеству Д;
J J1A (х) • dx - статический момент части этой плоской фигуры, ограни-
хеХ
ченной верхним значением JiA (х).
Первый алгоритм вычисления центра тяжести плоской фигуры преду-
сматривает выбор нечёткого множества с максимальным значением
функции принадлежности /Д*(х), вычисленной согласно (7.1). Опреде-
лённое согласно выражению (7.6) значения х для нечёткого множества
Дл и принимается за рассчитанное значение.
Для многих практических приложений функции принадлежности для
различных значений уровней (термов) выходной переменной определяют-
ся в виде кусочно-линейных функций, состоящих из отрезков прямых,
уравнения которых имеют вид yk = akXk + Ьк, где к = , - индекс
соответствующего отрезка.
k к
Пусть X^,lv, X - соответственно максимальное и минимальное зна-
j max7 ппп
чение координаты X каждого отрезка. В этом случае выражение (7.6) мо-
жет быть представлено в явной форме
Методы дефуззификации
139
Для вычисления координаты X центра тяжести плоской фигуры, об-
разованной всеми нечёткими множествами At, для которых вычисленное
в результате Fuzzy-логического вывода значение функции принадлежно-
сти рА (х) > 0 (например, многоугольника а9 b, с, d, е9 f на рис. 7.3)
мо-жет быть вычислено согласно выражению
j х • 2(х) • dx
х=^-------------, (7.9)
J 2(х) • dx
X
где
Л(х) = тах(/7Л| (х),/7^ (х),...,ДЛ (х)}, (7.10)
или в конечных разностях
R
£хг -2(хг)-Дх
х=-^4---------------’ >1(х)=тах{дл(х)}. (7.11)
2>(хг)-Лх
Г=1
В качестве приближённого метода расчёта центра тяжести плоской
фигуры, в литературе [49, 54, 61, 64] рассматривается получивший широ-
кое распространение в практических при-ложениях метод вычисления
значения х по формуле (7.12). Этот метод получил название CoG, и от-
личается от точных вычислений по формулам (7.9)- (7.11) тем, что в нём
несколько раз учитываются пересекающиеся части Fuzzy-множеств Д,
для которых jtlA (х) > 0 (т.е. в примере, представленном на рис.7.3,
площадь треугольника г ps учитывается дважды).
140
Глава 7
J х- jUA (x)-dx
x=^—---------------; (7.12)
J Цл.^-dx
i* еГ
x=f6/rT4—‘----------------• <7-13>
z*e/*r=l
7.3.1. Модификация метода центра тяжести.
Вычисления согласно формулам (7.11) требуют значительных объё-
мов вычислений, которые в ряде случаев не могут быть выполнены в за-
дачах реального времени. Ниже описываются некоторые приближённые
формулы определения центра тяжести, позволяющие значительный объём
вычислений осуществить на предварительном этапе (режиме of lain), а в
режиме реального времени (on lain) ограничиться простыми расчетами,
требующими использования лишь небольших объёмов оперативной ин-
формации.
Метод медиан (метод CoG).
Этот метод заключается в том, что на предварительном этапе вычис-
ляют-ся центры тяжести всех нечётких множеств Д = |(х, (x)jj вы-
ходной переменной по формулам
R
J х • ~р,А (х) • dx £хг ‘ Дл (хг)’^
—-------------<7 |4>
Г=1
Центр тяжести плоской фигуры определяется как взвешенное про-
порци-онально вычисленным значениям (х) среднее значение
х=-^4------------- (7.15)
1=1
Так как значения xsi 9 вычисленные по формулам (7.14), не зависят от
Методы дефуззификации
141
результатов Fuzzy-логического вывода (х) (определяемых на каждом
этапе управления или принятия решений), то они тогут быть рассчитаны
на предварительном этапе вычислений. Оперативный же этап расчета,
осуществляемый в реальном времени, сводится к незначительному объё-
му вычислений по формулам (7.15).
Алгоритм двухэтапного расчёта центра тяжести плоской фигуры.
Значения интегралов (или конечных сумм) для каждого из подмно-
жеств Д.
Area(i) = Jx • (х) • dx, i = ; (7.16)
х
CoG(i) = J(x) • dx, i = ; (7.17)
X
могут быть также вычислены на предварительном этапе расчётов. Тогда
оперативный этап расчёта сводится к простым вычислениям по формулам
« (х) • Area(i)
х = У , (7.18)
tr/74(x).CoG(0
требующим незначительных объёмов вычислений.
На первый взгляд расчёты по формулам (7.14)-(7.18) являются при-
ближёнными и вносят некоторую погрешность. Это наша плата за малый
объём вычислений, выполняемый в режиме on lain. Так как многие си-
стемы принятия решений и управления, функционирующие на базе Fuzzy-
технологий, являются достаточно робастыми, такая погрешность не ока-
зывает, как правило, существенного влияния на качество принимаемого
решения. Кроме того, в самом общем случае, трудно определить, какая из
стратегий дефуззификации является оптимальной. Это зависит от кон-
крет-ной постановки задачи, выбора формул для описания функций при-
над-лежности как входных переменных, так и управляющих воздействий,
а также правил Fuzzy-логического вывода. Поэтому в некоторых случаях
выбор таких простых с вычислительной точки зрения методов прибли-
жённых расчётов может дать достаточно хорошие результаты.
7.4. Методы дефуззификации для функций принадлежности
в виде импульса (Singleton)
Такой вид функций принадлежности получил достаточно широкое
распространение в практических приложениях (например, в системах ав-
томатического регулирования) для нечётких множеств, определяющих
различные уровни управляющего воздействия
142
Глава 7
_ 1, если х - xi9
#4,(Х) = 1Л
[О, в пртивном случае.
В этом случае методы среднего максимального значения и центра тяжести
совпадают, и вычисления выполняются по простым формулам
х = ^-п---------- (7.19)
/=1
В ряде случаев все нечёткие множества представлены различными
термами (или уровнями) выходной переменной или управляющего воз-
действия, которые являются симметричными относительно своего макси-
мального значения (тах/7л (х)) фигурами (равнобедренный треуголь-
ник, равносторонняя симметричная трапеция, для которой значения X-t -
это середина оснований, или симметричная экспоненциальная кривая).
Для таких термов могут применяться те же алгоритмы дефуззификации,
что и для импульсной функции принадлежности. В этом случае в качест-
ве X, принимаются координаты X центра симметрии соответствующей
плоской фигуры.
7.5. Параметрические алгоритмы дефуззификации для
несимметричных функций принадлежности
7,5.1. Постановка задачи
Функции принадлежности каждого из лингвистических термов вы-
ходной переменной могут быть представлены несимметрическими LR-
функциями вида
х-т}
ai
, если х g [а(.,/пи],
max рА (х), если х е (mlz, m2i),
(7.20)
если х е
i = 1,...и,
где п - количество лингвистических термов выходной переменной.
Если ти — а{ Ф b. — m2i и S* Ф Sf , где
Методы дефуззификации
143
s;_ J и s/ = f «Ьф
хф^н] \ &i 7 xe[wi2j,^] \ Pi )
(7.21)
Здесь S* , Sf - соответственно площади L-й и R-й части функции при-
надлежности.
В известных методах дефуззификации mean-of-Maximum, Center-of-
Агеа (СОА) и Center-of-Gravity (COG) (см., например,[3-5, 49, 54] и др.)
при определении значения выходной переменной рассматриваются все
части функций принадлежности тех термов, значения которых
JUA (х) > 0 или (х) > 8 , где 8 > 0 - некоторое число. При этом вы-
численное значение выходной переменной у может лежать в любой точ-
ке на отрезке оси х G [Л _1, Л_2], принадлежащей многоугольнику, вы-
деленному на рис. 7.4 жирными линиями.
Рис.7.4: Области определения выходной переменной
Вычисленное любым из описанных выше алгоритмов значение X
может лежать достаточно далеко от области перекрытия функций принад-
лежности двух соседних лингвистических термов, представленных на рис.
7.4 виде заштрихованного треугольника. Это решение зачастую очень
трудно интерпретировать логически как с физической, так и с экономиче-
ской точки зрения. Если при использовании любого из этих методов рас-
сматривать только часть функций принадлежности лингвистических тер-
мов, расположенных ближе к области их перекрытия, то в случае несим-
метричных функций принадлежности полученный результат вычислений
может более правильно учитывать результаты Fuzzy-логического вывода
и быть более понятным с прикладной точки зрения. При этом выделение
144
Глава 7
этой части функции принадлежности лингвистического терма может осу-
ществляться одним из следующих способов:
1) Пусть x(Z ) - координата оси X центра тяжести функции принадлеж-
ности I -го терма, которая вычисляется следующим образом
J д(х) • х • dx
x(Zf) = ^-------------, (7.22)
I nt(x)-dx
x<=X{
где = {x g область изменения координаты оси X i -го линг-
вистического терма.
Если ]ЛА (х) > £ и цА (х) > £ , т.е. существует область перекрытия
i -го и (z 4-1) -го лингвистических термов, то рассматриваются только ча-
сти этих функций принадлежности, включающиеся только подмножества
значений выходных переменных
X2={xe[Z(x,.),A2i]} и (7.23)
При этом диапазон выбора значения выходной переменной определяется
следующим образом X = {х |х g [Z(x.),Z(xl+1)]}.
2) В случае, если функции принадлежности лингвистических термов
представлены £7?-фунциями в виде (7.20), подмножества значений вы-
ходных переменных Xf и могут определяться одним и следующих
a) X* = Ra (х) = {х |х е [w2l,/>,.]}; (7.24)
Х-+1 = Lam (X) = {х Iх е [б,.+1, mx t+l J; (7-25)
Х = {х| xe[w2z, mu+1}. (7.26)
б) X,2 = {х |х е [т„ bt]}; Xz+1 = {х |х е [б,+1, (7.27)
где mt = 0.5(тп1(. + m2i), тм = 0.5(т1М + т2 (+1); (7.28)
Х = {х|хе[те,., >й,.+1]}. (7.29)
в) границами области перекрытия
X = X,2 = Х'м = {х |х е [ai+1, bt ]}. (7.30)
Для выделенных частей функций принадлежностей соседних пересе-
кающихся лингвистических термов могут использоваться все описанные в
литературе алгоритмы дефуззификации: mean-of-Maximum, Center-of-
Агеа (СОА) и Center-of-Gravity (COG).
Методы дефуззификации
145
7.5.2. Параметрические алгоритмы дефуззификации.
Обозначим границы диапазона, в котором может находиться значение
выходной переменной, определенной любым из описанных выше спосо-
бов (см. выражения (7.23)-(7.28)), и d2 , т.е. X = {х|хеИ,</2]}.
Рассмотрим модификации различных алгоритмов дефуззификации.
1) Модифицированные методы mean-of-Maximum.
Значение выходной переменной Xl определяется в диапазоне области
перекрытия. Отрезок X = {х | х е , d2 ]} делится на две части следую-
щим образом:
*1 - а/+1 = *^4’ А(х))
bi~\ ^{c4+1, А+1(*)}’
_ _ ai+i ’ *$1^4 ’ P-i (х))+ bi • , А+1 (х)| р 22)
Здесь - площадь правой части функции принадлежности
Д-го терма выходной переменной, ограниченная по оси у значением
Л(х)>
«К - площадь левой части функции принадлежности
(z +1) -го терма выходной переменной, ограниченная по оси у значени-
ем /Zz+1(x).
Так на рис. 7.4 ?Д.(х)| - это площадь треугольника, а
? А+1(х)} " площадь трапеции.
Обозначим
(7.33)
(*) =
д,.(х), если }J.A (х) >
Ад (х), если //4 (х) < д (х),
где Д.(х)- полученное в результате Fuzzy-логического вывода значение
функции принадлежности Д. -го терма выходной переменной.
Аналогичным образом определяется также значение J1A (х) . Тогда зна-
чения величин s{gai ,д.(х)| и 1?A+i(x)} определяются по форму-
лам
146
Глава 7
//,(*)}= ^4+1,А+1(х)}= JX4, (*)<&•
x&Xl xeX^i
(7-34)
В зависимости от выбранного в соответствии с выражениями (7.4)-(7.9)
способа определения множеств Xf , X*+i и допустимого диапазона из-
менения выходной переменной X при одних и тех же значениях //.(х) и
Д+1(х) могут быть получены 16 различных значений выходной перемен-
ной Xj .
2) Модифицированные алгоритмы центра тяжести
(Center-of-Area).
В известных методах Center-of-Area находится координата X центра
тяжести плоской фигуры. Эта фигура образована функциями принадлеж-
ности двух соседних термов Л. и Д+1, отсеченными по оси ординат зна-
чениями функций принадлежности д(х) и Л+1 (х), которые определе-
ны в результате Fuzzy-логического вывода. В отличие от известных алго-
ритмов, в предлагаемых ниже методах вычисляется координата X цен-
тра тяжести некоторой фигуры. Эта фигура включает лишь некоторую
правую часть лингвистического терма Л- - ,//z (x)j, а также неко-
торую левую часть терма Д+1 - ,д.+1(х)|. По оси ординат эта
плоская фигура, в свою очередь, ограничена значениями д (х) и /{+1(х).
В зависимости от выбора способа определения и вычисления частей этой
плоской фигуры S а ,А(х)}и ,д+1(х)} для одних и тех же
значений д (х) и //-+1(х) могут быть также получены различные зна-
чения выходной переменной х2.
Координаты центра этой фигуры вычисляются по формуле
j х • ~flA dx + j х • JiA _+] • dx
__ xeXj x^Xi+y
xgX? xgX[m
При этом значения интервалов интегрирования выбираются одним из
возможных способов (7.23)-(7.29), в результате чего будут получены 4
Методы дефуззификации
147
различных значения выходной переменной х2. Если функции принад-
лежности логических термов Л. и Д+1 не заданы аналитически, то при
вычислении х2 могут использоваться численные методы интегрирования.
3) Модификации обобщенного метода центра тяжести (Center-
of-Gravity).
При реализации систем принятия решения на основе Fuzzy-логиче-
ского вывода, работающих в реальном времени и реализованных на кон-
троллерах с низкой производительностью, для сокращения объемом вы-
числений по формулам (7.35) рассмотрим приближенный метод опреде-
ления координаты X центра тяжести этой фигуры. Приведенный ниже
алгоритм является модификаций известного в литературе метода Center-
of-Gravity_n заключается в следующем:
а) На предварительном этапе решения задачи вычисляются интегралы и
площади фигур
Sj | х • pA (x)-dx, S2 {(z^ } = | //д (x) • dx; (7.36)
xeX? x&Xj
Sik?4+,}= [x-p^xy-dx, 52{c4+i}= J//4|(x)-Jx. (7.37)
xeXI+1
б) На оперативном этапе в процессе функционирования системы, когда
определены величины уЦ.(х) и Д+1(х), значение координаты центра тя-
жести Х3 вычисляются на основе простых вычислений по формуле
- _ (7 38)
’ «(3)-S21Ga,)+A.,(^'-S2K!'
Как и в модифицированном методе Center-of-Area, значения интервалов
интегрирования могут выбираться одним из возможных способов (7.23)-
(7.25) и (7.27)-(7.29), в результате чего также будут получены 4 различных
значения х3.
7.5.3. Алгоритмы дефуззификации в случае представления лин-
гвистических термов функций принадлежности трапециями
и треугольниками.
В случае представления £-х R -х частей логических термов функций
принадлежности треугольниками и трапециями объемы вычислений в
предложенных алгоритмах дефуззификации существенно сокращаются.
148
Глава 7
7.5.3.1. Модификации обобщенного метода центра тяжести
(Center-of-Gravity).
Рассмотрим две различных ситуации, представленные на рис.7.5. На
рис.7.5а //z(x) < А+1(х) ’ а на РИС-7.5.Ь д+1(х) < д.(х) • L-ые R -ые час-
ти функций принадлежности являются трапециями. В качестве много-
угольника, в котором ищется значение X , в этом случае, рассматривается
многоугольник ABCDЕF .
Рис. 7.5: Иллюстрация методов дефуззификации для несимметрич-
ных
трапецевидных функций принадлежности
Обозначим т = 0.5 • (тх + т2), п = 0.5 • (п1 + п2 ); а/+1 - координа-
та X крайней левой точки (z + 1) -го логического терма, т.е. точки 1 на
рис.7.5а; hi - координата X крайней правой точки i -го логического тер-
ма, т.е. точки 2 на рис.7.5Ь . Пусть = 1.
Площадь многоугольника ABCDЕF (рис. 7.5а) в первом случае
вычисляется по формуле
S2 = (п - т) • //,- (х) + 0.5 [(« - х(С)) + (п - x(Z>))] • [//,+1 (х) - (х)],
(7.39)
а значение определенного интеграла (числителя выражения (7.16)) -
по формуле (7.40), где х(С) и х(£)) - координаты X точек С и D, ко-
торые вычисляются по формулам (7.41), а значения параметров Я и у -
по формулам (7.42).
Методы дефуззификации
149
<$i = 0.5-[(/и2 -[х(С)]2).Л(х)]+(4([х(Г))]3 -[х(С)]3)-
(3 (7.40)
-|([ХЯ)]2 -[ХС)]2)+|(и2 -[x(Z))]2)j-^+1(x)-//,(4
x(Q = пх -Д.(х)(и, -а/+1), x(D) = пх -/лм(х)(пх -а/+1); (7.41)
2 _ А (х) 5 = а2 'Л(х) (7.42)
х(С) - а2 х(С) - а2
Здесь и ниже в тексте 2 и / - параметры прямой 7?-й части Ам -го или
L- й части Л. -го логического терма функции принадлежности выходной
переменной.
Координаты центра тяжести рассматриваемого многоугольника вычи-
сляются согласно выражению
x(Z) = -^-. (7.43)
$2
Во втором случае площадь многоугольника ABCDЕF (рис.7.5Ь)
вычисляется по формуле
S2 = (п - т) • //,. (х) + 0.5 • [(л - x(Q) + (п - x(Z>))] • [//м (х) - //,. (х)],
(7.44)
а значение - согласно выражению
= 0.5 • [(п2 - т2)- цм(х)]+ (fx(Z>)]2 + 0.5 [x(C)f )• [u,(x) - //i+1(x)]+
+ {у([х(£>)Г -[x(Q]3)-^([x(D)F -[x(Q]2)+1|[x(D)]2 -[x(C)]2)j-
•U+i(*)-za(*)L
(7.45)
где х(С) = т2 + (bt - т2) • [1 - ///+1 (х)], (7.46)
x(Z>) = т2 + (6,. - т2)• [1 - //,. (х)], (7.47)
2^ , / = //,.(х) + х(С)'А(х)- Z>!-x(C) z ' bx-x(C) (7-48)
Координаты центра тяжести определяются по формуле (7.43).
150
Глава 7
4.2. В случае представления Z-ой R -ой части функций принадлежности
логических термов треугольниками (см. рис. 7.6) используются следу-
ющие формульные выражения:
а) Д.(х) < (см. рис. 7.6а), если = 1, то
х(С) = и-(и-а2)-//((х), х(£>) = п ~(п - «2) •//(+1 (х), (7.49)
где а2 - координата X крайней левой точки (z +1) -го логического терма,
т.е. точки 2 на рис.7.6а .
Рис.7.6: Области определения значения выходной переменной в
алгоритмах дефуззификации
Значения S2 , *S\ и x(Z) вычисляются по формулам (7.39), (7.40), (7.41),
а значения Л и у по формулам (7.42).
Ь) А+1 (*) < JU^x) (см. рис. 7.6b) , если ymax = 1, то
х(С) - т - (6j - т)• (1 - //i+] (х)), x(Z>) = т - (b} - /и) • (1 - (х)),
где Ьх - координата X крайней правой точки i -го логического терма, т.е.
точки 1 на рис.7.6Ь .
Значения S2, S} и x(Z) вычисляются по формулам (7.44)-(7.47), а значе-
ния Л и / по формулам (7.48). Аналогично также по простым алгебраи-
ческим формулам могут быть вычислены координаты центра тяжести в
случае, когда один из логических термов представлен треугольником, а
второй - трапецией.
Методы дефуззификации
151
7.5.3.2. Модификации методов средневзвешенного максимального
значения.
Выбранный диапазон возможного изменения выходной переменной
X = {х | х G , d2 ]} должен быть разделен на две части пропорци-
онально отношению площадей рассматриваемых частей двух соседних
логических термов. На рис.7.5а - это отношение площади трапеции
АВЬс (обозначим ее Рх) к площади трапеции aDЕF (обозначим ее
Р2 ), а на рис. 7.5b - площади трапеции АВ С 2 (обозначим ееР3) к
площади трапеции abЕF (обозначим ее Р4). На рис.7.6.а - это отно-
шение площади трапеции АВ С1 (обоз-начим ее Р5 ) к площади трапе-
ции 2Z)£'4 (обозначим ее Р6), а на рис. 7.6.Ь - площади трапеции
2ВС1 (обозначим ее Р7) к площади трапеции A DE F (обозначим
ее Р8 ). Эти площади вычисляются по простым геометрическим формулам
Рг = 0.5 • [(^ - т) + (х(б) - т)] • (х),
Р2 = 0.5-
Р3 = 0.5-
Р4 =0.5-
Р5 = 0.5-
Рб=0.5-
(и - т) + (п - х(с))] • рм (х);
(и - т) + (х(с)- т )]/*,(*).
(и - ам ) + (и - х(б))] - //,+1 (х);
(bt -т) + (х(с) -т )]ха(*)>
(и - ам ) + (и - х(£>))] • //,+1 (х);
Р7 = 0.5 • [(&,. - т) + (х(с)- /п)]• //, (х),
Р8 = 0.5 • [(и - ам ) + (« - x(Z>))] • //1+1 (х).
Здесь hL и ai+i - соответственно координаты х правой крайней точки
Д -го и левой крайней точки Ai+i -го логических термов; п и Ш - соот-
ветственно координаты X середины верхней стороны трапеции или вер-
шины треугольника Д. -го и Ам -го логических термов; а х(-) - коорди-
наты X соответствующих точек.
Для определения значения выходной переменной х2 диапазон воз-
можных значений выходной переменной X = {х | х g \dx, d2 ]} делится
пропорционально одному из этих отношений
152
Глава 7
di Рк
——=~ = —к=1,3,5,7.
^2 ~Х2 ^к+\
Как и в случае вычисления значения выходной переменной модифициро-
ванным методом центра тяжести, в зависимости от выбора диапазона из-
менения этого значения X, т.е. значений и d2-> для одного и того же
результата Fuzzy-логического вывода могут быть рассчитаны различные
значения выходной переменной.
Глава 8. Fuzzy-управление
Наибольшее количество приложений методов Fuzzy-логики в послед-
ние годы связано с системами автоматического управления и регули-
рования. В настоящее время хорошо развит математический аппарат ав-
томатического регулирования. Известно [64] большое количество методик
расчёта и настройки регуляторов, синтеза замкнутой оптимальной дина-
мической системы автоматического управления, удовлетворяющей всем
наперёд заданным ограничениям на качество процесса регулирования.
Однако для сложного динамического объекта построение эффективной
системы управления на сегодняшний день является искусством и во мно-
гом определяется опытом и интуицией конструктора или проектировщи-
ка [9]. Особенно сложной является эта задача для динамических объек-
тов с изменяющимися параметрами и неконтролируемыми возмущения-
ми, для которых адекватное математическое описание динамики процесса
полу-чить очень сложно. В ряде случаев очень трудно решить задачу син-
теза системы управления такими объектами, в то время как оператор про-
цесса, не используя никакого математического описания системы, на ос-
нове своих знаний, опыта и интуиции успешно управляет такими объек-
тами. Возможность использования в таких ситуациях различных эвристик
и экс-пертных методов, опыта и знаний операторов, а также обучающих-
ся алгоритмов и является основной предпосылкой широкого внедрения
Fuzzy-технологий.
Ясно, что Fuzzy-логика не является „панацеей от всех бед“, и там, где
успешно могут быть применены традиционные методы непрерывного или
цифрового регулирования, системы на базе Fuzzy-технологий не могут с
ними успешно конкурировать. Однако в тех случаях, когда закон регули-
рования очень простой и для реализации его не требуется построения ди-
намической модели объекта в виде системы дифференциальных уравне-
ний, либо для сложных нелинейных нестационарных систем с изменяю-
щимися параметрами, для которых математическая модель является очень
сложной и со временем становится неадекватной процессу, применение
систем управления и регулирования, основанных на Fuzzy-логике, может
привести к существенно меньшим затратам на создание, техническую
реализацию и проектирование. Такая система обеспечивает качество про-
цесса управления и регулирования не хуже, чем в системах, синтезирован-
ных классическими традиционными методами. Кроме того, в настоящее
время широкое распространение получают комплексные комбинирован-
ные системы управления технологическими процессами, включающие как
непрерывный (или цифровой) динамический ПИ или ПИД регулятор,
функционирующие на традиционной основе, и адаптивный блок, постро-
енный на базе Fuzzy-логики.
154
Глава 8
По мнению специалистов, область применения регуляторов на базе
Fuzzy -логики целесообразна там, где сформулированная на естественном
человеческом языке стратегия управления объектом в виде логических
правил, связывающих различные лингвистические термы входных, вы-
ходных переменных и управляющих воздействий, является полной, реа-
лизуемой на практике и дающей положительные результаты. Эта страте-
гия должна быть преобразована в некоторый алгоритм, обеспечивающий
на основе измеренных значений входных и выходных переменных вычис-
ление значений управляющих воздействий. Преимущество методов
Fuzzy-технологий в данном случае видится в возможности обработки не-
чёткой информации, полученной от оператора и выраженной на качест-
венном или логическом уровне, и моделировании его процессов принятия
решений, например, в виде:
„ЕСЛИ значение 1-й входной переменной очень низкое и оно падает, и
значение 2-й переменной среднее и оно растёт,
ТОГДА необходимо увеличить значение 1-го управляющего воздейст-
вия".
Методы Fuzzy-логики позволяют формализовать данного вида стра-
тегию, используя функции принадлежности для каждого из логических
термов и систематизируя информацию эксперта (оператора) в виде базы
знаний. Таким образом Fuzzy-регулятор, используя представленную в ви-
де базы знаний стратегию управления, преобразовывает на основе ал-
горитмов фуззификации, нечёткого логического вывода и метода дефузи-
фикации измеренные и вычисленные значения отклонений величин фак-
тических регулируемых параметров от их требуемых в данный момент
времени значений в управляющие воздействия. При этом для каждой воз-
можной комбинации лингвистических термов входных (для регулятора)
параметров в базе знаний должно содержаться соответствующее правило
принятия решений.
8.1. Структура регуляторов, построенных на базе
нечеткой логики
Под регулированием понимается замкнутый цикл, в котором осуще-
ствляется (см., например, [3, 9, 36, 64]):
- непрерывное измерение контролируемой величины (входной перемен-
ной);
- сравнение измеренного значения с требуемым в данный момент времени
значением данного параметра и вычисление величины отклонения;
- вычисление в соответствии с величиной и знаком отклонения значения
управляющего (корректирующего) воздействия и реализация его на объ-
екте.
Fuzzy-управление
155
Целью регулирования является поддержание постоянного значения
регулируемой величины в условиях действия на объекте контролируемых
и неконтролируемых возмущающих воздействий. Замкнутый контур регу-
лирования можно схематически представить на рис 8.1.
Рис.8.1: Схема замкнутого контура регулирования
На рис.8.1 приняты следующие обозначения:
x(t) - требуемое значение регулируемой величины в момент времени t;
x(t)- фактическое значение регулируемой величины в момент времени
Дх(/) = x(t) — x(t) - величина отклонения значения регулируемой вели-
чины в момент времени t;
y(t) - вычисленное значение управляющего воздействия.
В классической теории автоматического регулирования предложены
методы вычисления значений управляющих воздействий y(t) на основе
адекватного математического описания динамики и статики объекта регу-
лирования, регулятора и замкнутого контура регулирования. При этом для
выбора параметров регуляторов используют методы идентификации объ-
ектов регулирования на основе аналитического математического описа-
ния, учитывающего физические, кинематические, химические, механиче-
ские и другие закономерности процессов, протекающих в установках, их
конструктивные параметры, а также экспериментальные методы иденти-
фикации, основанные на обработке данных активных или (и) пассивных
экспериментов. Для сложных объектов наиболее эффективными являются
комбинированные методы, использующие как теоретические, так и экспе-
риментальные исследования. При этом различают методы математиче-
ского описания динамики объекта во временной и частотной области.
Во многих случаях одной из важнейших предпосылок при получении
математического описания объектов является предположение о линейном
характере зависимости регулируемой величины от возмущений и управ-
ляющих воздействий в рассматриваемой области. Такое предположение
позволяет использовать принцип суперпозиции относительно возмуща-
ющих и управляющих воздействий, действующих на объект регулирова-
156
Глава 8
ния. Однако при более точном рассмотрении реальных технических объ-
ектов управления приходится, к сожалению, констатировать, что подав-
ляющее большинство таких объектов являются нелинейными. Кроме того,
параметры математических моделей многих объектов являются функция-
ми от времени. То есть многие реальные объекты являются нестацио-
нарными. В ряде случаев возмущающие воздействия, действующие на
объект, являются не детерминированными, а стохастическими функциями
во времени.
Всё вышеизложенное очень затрудняет применение методов иденти-
фикации для получения адекватного математического описания реальных
технических и технологических объектов. В особенности эти трудности
выявляются при описании многосвязных (несколько входов и выходов)
объектов и объектов с распределёнными параметрами.
На рис. 8.2, 8.3 представлены структура, основные компоненты и пе-
ременные Fuzzy-контроллера.
Управляйте
воздействие
У
Рис. 8.2: Структура Fuzzy-контроллера
На рис.8.2 и 8.3 приняты следующие обозначения:
Y = y(t) - измеренное значение контролируемого параметра в момент
времени t;
У = у (у) - заданное значение контролируемого параметра в момент вре-
мени t;
ДУ = Лу(/) = y(t) — y(t) - отклонение контролируемого параметра в
момент времени t ;
Fuzzy-управление
157
Рис.8.3: Структура основные компоненты и переменные
Fuzzy-контроллера
Z = z(t) = Ay(t) — Ay(t -1) - производная от отклонения контролиру-
емого параметра в момент времени t;
X = x(t) - вычисленное значение управляющего воздействия в момент
времени t.
Заметим, что y(t) , y(t), z(t) , ky(t) - действительные числа;
At , i = , - различные термы (нечёткие множества) лингвистиче-
ской переменной
Ау(0 (например, большое положительное отклонение, малое положи-
тельное отклонение, отсутствие отклонения, малое отрицательное и
большое отрицательное отклонение);
juA (у) = jlia (&y(t)) - значение функции принадлежности каждого из линг-
вистических термов;
Bj, j = , - различные термы (Fuzzy-множества) лингвистической
переменной;
z(t) - производной от отклонения в момент времени t;
juB (z) = " значение функции принадлежности каждого из лингви-
стических термов;
Gk, к = 19... , - различные термы (нечёткие множества) лингвистической
переменной x(t) - „значение управляющего воздействия в момент времени t “;
158
Глава 8
//G(x(f)J- значение функции принадлежности каждого из нечётких
множеств лингвистических термов к = 1,..., т .
Отдельные из блоков Fuzzy-регулятора, представленного на рис.8.3,
выполняют следующие функции.
8.1.1. Блок фуззификации.
Блок фуззификации осуществляет преобразование фактических зна-
чений отклонения Ду(/) и производной от отклонения контролируемой
величины z(t), вычисленных на основе измерений и сравнения с задан-
ными величинами и выраженных в виде действительных чисел, в термы
соответствующих лингвистических переменных, которые представлены
нечёткими множествами (соответственно Д., i = и BJ9
j = 1,..., г). Вычисляются значения функций принадлежности для каждо-
го из этих термов - /ЛА (\y(t)}9 i = 1,..., П и (z(/)), j — .
8.1.2. База знаний.
База знаний содержит диапазоны изменения каждой из лингвистиче-
ских переменных (отклонения контролируемой величины Ар(/) и её про-
изводной z(t))9 а также управляющего воздействия x(t), количество,
наименования, диапазоны изменения, математические выражения и алго-
ритмы расчета функций принадлежности для всех термов каждой лин-
гвистической переменной. Кроме того, там хранятся все правила, опера-
торы и математические выражения Fuzzy-логического вывода.
8.1.3. Блок Fuzzy-логического вывода.
На основе базы знаний системы и рассчитанных значений функций
принадлежности для каждого терма лингвистических переменных Ду(£)
и z(t) (степень достоверности частной посылки о принадлежности зна-
чения входной переменной данному лингвистическому терму) осу-
ществляется вычисление значений функций принадлежности для всех не-
чётких множеств термов лингвистических переменных управляющих воз-
действий ]UGk (%(/))> к = 1,...,аи • Эти значения передаются в блок дефуз-
зификации.
8.1.4. Блок дефуззификации.
В блоке дефуззификации осуществляется преобразование значений
функции принадлежности для всех термов лингвистических переменных
Fuzzy-управление
159
управляющих воздействий в значение управляющих воздействий, выра-
женных действительным числом и лежащем в допустимом для них диапа-
зоне. В алгоритме дефуззификации используется информация из базы
знаний о диапазонах изменения и формульных выражениях функций при-
надлежности для каждого из термов лингвистических переменных управ-
ляющих воздействий, а также формульные выражения выбранного алго-
ритма дефуззификации.
8.2. Методы фуззификации
8.2.1. Лингвистические термы и функции принадлежности
Все возможные диапазоны изменения отклонения контролируемой
величины от ее заданного в момент t значения
Ар(0 - [АУццд (/), Ауи,» (0] , а также производной от этого отклонения
Х0- [Azmin(0, Azmax(0], и управляющего воздействия
разбивается на ряд интервалов, соответствующих различным лингвисти-
ческим термам. Каждому из этих интервалов ставится в соответствие не-
который лингвистический терм. Так, например, при разбиении диапазона
изменения переменной на три интервала этими термами являются: поло-
жительное значение (ПЗ или РР), приблизительно нуль (ОО или ZE), от-
рицательное (негативное) значение (НЗ или NN).
При разбиении диапазона изменения переменной на пять интервалов
вводятся следующие 5 термов: большое положительное (БП или ВР), ма-
лое положительное значение (МП или NP), приблизительно нуль (ОО или
ZE), малое отрицательное (негативное) (МН или NN), большое отрица-
тельное значение (БН или BN). При разбиении на семь интервалов линг-
вистические термы часто имеют следующие названия: большое положи-
тельное (БП или ВР), среднее положительное (СП или МР), малое поло-
жительное (МП или NP), приблизительно нуль (ОО или ZE), малое отри-
цательное (негативное) (МН или NN), среднее отрицательное (СН или
MN), большое отрицательное значение (БН или BN). Соответствующим
образом могут быть расширены названия термов (очень большое поло-
жительное или отрицательное значение и др.) при разбиении всего диа-
пазона изменения переменной на большее (9 или 11) количество интерва-
лов (термов).
На основании знания и опыта экспертов для нечёткого множества ка-
ждого из термов лингвистической переменной подбираются вид и пара-
метры функции принадлежности.
160
Глава 8
Наибольшее распространение получили следующие виды функций
принадлежности: для первого и второго термов контролируемых и регу-
лируемых параметров - в виде соответственно Правой и левой трапеции
(реже - правого и левого треугольника либо право- и левосторонних экс-
поненциальных и дробовидных функций). Для остальных термов этих пе-
ременных чаще всего - в виде центральных треугольников, центральных
трапеций, а также центральных экспоненциальных или дробовидных
функций различного вида. Для термов управляющих воздействий также
часто используются функции принадлежности этого же вида, однако в ря-
де случаев широко применяются и функции принадлежности в виде еди-
ничного импульса.
Треугольные и трапецевидные функции находят широкое применение
в системах Fuzzy-регулирования, так как они являются кусочно-линейны-
ми. При этом в процессе расчётов существенно сокращаются объёмы вы-
числений, что позволяет с требуемой точностью производить все вычис-
ления в целочисленной арифметике. На рис.8.4, 8.5 представлены соот-
ветственно примеры лингвистиче-ских переменных, используемых в сис-
темах Fuzzy-регулирования и содержащих три терма (грубое разбиение) и
Рис.8.4: Пример разбиения лингвистической переменной
Рис.8.5: Пример разбиения лингвистической переменной
на 7 лингвистических термов
Fuzzy-управление
161
Следовательно, для эффективной работы блока фуззификации должны
быть определены и занесены в базу знаний системы следующие данные:
а) диапазоны изменения лингвистических переменных для каждой вход-
ной переменной и управляющих воздействий;
в) обозначение и градуировка всех лингвистических переменных;
с) количество, наименования и интервалы для всех термов каждой линг-
вистической переменной;
d) виды и параметры функций принадлежности для каждого из термов
всех лингвистических переменных;
е) опорные множества для каждого из термов;
f) области перекрытия лингвистических термов.
8.2.2. Алгоритмы фуззификации.
В самом общем случае вычисленное или измеренное значение вход-
ной переменной Ау или z может также определяться некоторым нечёт-
ким множеством С(у)с функцией принадлежности //с(у), которая мо-
жет, например, иметь вид экспоненты или равномерного треугольника.
Степень согласованности предпосылки, что вычисленное значение неко-
торой входной переменной у относится к определённому лингвистиче-
скому терму А. (у), как показано в главе 6 (см. выражение (6.33)), опре-
деляется коэффициентом доверия, вычисляемым по формуле
G (I) = max {min(//с (у), Ai(y))}, I = 1,...,£ . (8.1)
yeY
Здесь
L - количество лингвистических термов переменной У ;
Gp (/) - мера совпадения (весовой коэффициент) идеальной предпосыл-
ки Ai ( у) и актуальной предпосылки At (у) , что вычисленное значение
входной переменной У принадлежит / -му лингвистическому терму.
В соответствии с формулой (8.1) в начале для каждого из значений У
находится минимум из значений соответствующих функций принадлеж-
ности, а затем среди этих минимумов определяется максимальное значе-
ние. В частном случае, когда вычисления или измерения значения У вы-
полняются точно, функция принадлежности JUc(y) является импульс-
ной, выражение (8.1) упрощается и имеет вид
G/Z) = max{min(uw(j), (у))}= min[l; цА,(У )]= (У),
l = (8.2)
162
Глава 8
Графическое представление формулы (8.2) приведено на рис. 8.6.
Рис. 8.6: Иллюстрация процесса фуззификации входной переменной
Чрезвычайно важным является рассмотрение случаев наличия пере-
крытий (оверлеев) отдельных нечётких множеств термов лингвистических
переменных контролируемых параметров. Это обстоятельство позволяет
измеренное или вычисленное значение контролируемого параметра отно-
сить с различным значением функции принадлежности (коэффициента
доверия) одновременно к различным термам и на основе этого параллель-
но обрабатывать в дальнейшем несколько альтернатив.
Следовательно, результатом работы блока фуззификации является п
векторов Gp(ij) , / = 1,...,Д; / = (где п - количество входных
переменных), элементы которых - значения функций принадлежности от-
несения вычисленного или измеренного значения входных переменных к
различным термам соответствующей лингвистической переменной.
Рисунок 8.6 иллюстрирует работу алгоритма фуззификации входных
переменных. Значение входной переменной х. = -0.3 принадлежит од-
новременно двум термам: терму (малое отрицательное значение) со зна-
чением (xz) — 0.3, и терму (приблизительно нуль) со значением
№zE = '
8.3. Правила нечеткого логического вывода
8.3.1. Fuzzy-логические правила и операторы
В отличие от классических систем автоматического регулирования, в
которых связь между входными, выходными переменными, возмущающи-
Fuzzy-управление
163
ми и управляющими воздействиями описывается математически с помо-
щью передаточной функции во временной или частотной области, в си-
стемах Fuzzy-регулирования передаточная характеристика системы опи-
сывается с помощью логических правил на основе обобщённого Modus
pones. Эти логические правила базируются на операторах нечёткой ло-
гики, связывающих между собой различные термы лингвистических пе-
ременных контролируемых параметров (отклонений, производных, инте-
гралов от отклонений) с соответствующими термами лингвистических пе-
ременных управляющих воздействий. Аргументами нечётких посылок яв-
ляются значения функций принадлежности нечётких множеств термов
лингвистических переменных контролируемых параметров и управляю-
щих воздействий.
Реализация Fuzzy-логического вывода основана на применении опера-
торов нечёткой логики, позволяющих рассчитать значения функции при-
надлежности (степень доверия) к каждому лингвистическому терму уп-
равляющих воздействий, т.е. на выборе некоторой стратегии управления,
основанной на логических правилах вида:
ЕСЛИ G а у2 е 4 л ... а уи е Ап1),
ТОГДА (^еДц, x2gB21, ..., хтеВт1);
ЕСЛИ (У1 G Д2 а у2 е Ап л ... л е Д,2),
ТОГДА (xj g Bl2, х2 & В22, хт GBm2);
ЕСЛИ g Аь. л у2 е Д,. л ... А уп g Ani),
ТОГДА (x]G^y, x2eB2J, xm&BmJ\ (8.3)
Свод логических правил системы в виде (8.3) - это элемент базы зна-
ний, который формируется на основании мнений экспертов и адаптирует-
ся в процессе обучения. К нему предъявляются требования полноты и од-
нозначности, т.е. все возможные ситуации сочетания различных термов
лингвистических переменных контролируемых параметров должны быть
предусмотрены в базе знаний. Для каждой из этих ситуаций должен быть
найден однозначный ответ относительно выбора вектора термов лингвис-
тических переменных управляющих воздействий.
В импликации вида
ЕСЛИ G Д.), ТОГДА (xj. G Bj)
термы (yi G Д.) называются антецендом (левой частью импликации), а
термы (х. е В.) - заключением.
164
Глава 8
База знаний системы (8.3) может быть представлена в виде некоторой
многомерной матрицы или многомерного массива, размерность которых
определяется количеством входных переменных. Размерность каждой ко-
ординаты определяется при этом количеством термов лингвистической
переменной соответствующего входного параметра. Каждый элемент это-
го многомерного массива - вектор, размерность которого равна количест-
ву управляющих воздействий, содержащий номера (или наименования)
термов лингвистических перемнных всех управляющих воздействий,
расположенных в порядке их индексации.
В качестве примеров приведём матрицу базы знаний системы Fuzzy-
регулирования, содержащую две входных переменных и два управля-
ющих воздействия. В качестве входных переменных выбраны величина
отклонения контролируемого параметра и производная от этого отклоне-
ния. Первая входная лингвистическая переменная имеет пять термов: BN,
NN, ZE, NP, ВР; вторая - три терма: NN, ZE, РР. Первая лингвистическая
управляющего воздействия имеет три терма: NN, ZE, РР, а второе управ-
ляющее воздействие - пять термов: BN, NN, ZE, NP, ВР. Матрица, содер-
жащая базу знаний системы, представлена в таблице 8.1.
Таблица 8.1. Вид многомерной матрицы отражающий базу знаний
системы (правила логического вывода).
BN NN ZE NP BP
РР NP; ZE ZE; ZE NN;NN BN; NN BN; NN
ZE ВР; РР NP; РР ZE; ZE NN; PP BN; NN
NN ВР; РР ВР; РР NP;PP ZE; ZE NN; ZE
Fuzzy-логический вывод преобразовывает качественную информа-
цию, содержащуюся в базе знаний и отражающую мнения экспертов, в
технически реализуемый вывод. Этот вывод формируется на основе сис-
темы логических правил и степени достоверности различных посылок о
принадлежности вектора входных переменных системы к соответствую-
щим термам лингвистической переменной.
Процесс Fuzzy-логического вывода условно можно разделить на три
этапа:
- агрегирование (сведение в блок) элементарных высказываний;
- импликация;
- объединение правил и формирование общего вывода.
8.3.2. Агрегирование.
Агрегирование объединяет различные элементарные высказывания в
одно правило и вычисляет степень достоверности сложной (объединён-
ной) посылки. Каждая сложная посылка логического правила состоит из
Fuzzy-управление
165
П переменных (где п - количество входных переменных) элементарных
посылок о принадлежности входной переменной yt определённому тер-
му лингвистической переменной Л/7 (yt G Ай ) с коэффициентом дове-
рия, равным =
В системах Fuzzy-регулирования и управления в качестве операторов
агрегирования наибольшее распространение, благодаря их простой форме
реализации и ясности получаемого результата, получили операторы 7^п,
^шах ИЛИ ^algebr’
Оператор минимум-агрегация имеет вид
Gs(y) = тт[зд),G2^2),...,V s=l,.4 •
Оператор Product-агрегация имеет следующий вид
п
1=1
Если все единичные посылки, входящие в Fuzzy-логическое правило,
имеют степень достоверности, равную 1, то Gs(y) = 1. Если хотя бы одна
из посылок имеет Gis(<yi) = 0, то Gs(y) = 0, и S -е логическое прави-
ло является неактивным.
8.4. Различные подходы к построению Fuzzy-регуляторов
В функции Fuzzy-регулятора входит установить значение управляю-
щего воздействия, обеспечивающего стабильность работы системы, ми-
нимизировать влияние внешних возмущений на регулируемую величину.
Впервые концепт построения Fuzzy-регулятора был предложен в 1972
году L.Zadeh. Первая система управления паровым котлом с использова-
нием Fuzzy-логики была спроектирована Е. Mamdani и S. Assilian [76].
Создание проф. Е. Mamdani первого Fuzzy-регулятора способствовало
широкому применению Fuzzy-логики во многих промышленных приме-
нениях и в бытовой технике.
8.4.1. Концепт построения Fuzzy-регулятора, предложенный
проф. Мамдани (Е. Mamdani)
Fuzzy-контроллер в философии проф. Е. Mamdani (см., например, [36,
64, 77, 78] )состоит из следующих компонентов:
166
Глава 8
- блок фуззификации, который осуществляет преобразование измеренных
сигналов и значений входных и выходных переменных, представленных
действительными числами, в Fuzzy-множества соответствующих логиче-
ских термов,
- базу знаний, т.е. блок Fuzzy-логического вывода на основе правил вида
(8.3) или табл.8.1,
- блок принятия решений, преобразующий результаты Fuzzy-логического
вывода в значения Fuzzy-множеств управляющих переменных системы,
- блок дефуззификации, который преобразует эти Fuzzy-множества в зна-
чения управляющих переменных, представленных действительными чис-
лами и преобразование этих вычисленных значений в управляющие сиг-
налы.
Эксперты формулируют алгоритм принятия решений в форме некото-
рых Fuzzy-логических правил. Определяются и идентифицируются лин-
гвистические термы всех входных ...,X п и выходных
Yl,Y2, переменных (например, «очень низкое», «низкое», «сред-
нее», «положительное», «очень высокое» или «отрицательное», «почти
ноль», «положительное» значение). Обозначим эти логические термы со-
ответственно AL Л2,.... А?, / = 1,...,и;и В*,2?2,.... , / = 1,...,/п.
Строятся функции принадлежности для каждого из термов всех этих лин-
гвистических переменных входных параметров системы. Каждое постро-
енное нечёткое множество ассоциируется с соответствующим термом
лингвистической переменной конкретного входного или выходного пара-
метра. Следовательно, множество возможных значений каждой входной
и выходной переменной Y. представлено соответственно pL и gk
нечёткими множествами
)>•••,Fg(jy)} е F(ry), j =
Наибольшее распространение для представления этих нечётких мно-
жеств получили треугольные и трапецевидные функции принадлежности.
Правила принятия решений формулируются в виде логических опера-
торов и правил, аргументами которых являются эти логические термы.
Например,
Рг_£: [ЕСЛИ X] еА;&х2 <=Я’&...&хп еАр)
ТОГДА е В2, у2 е В32ут е B'm );
Рг (Л +1): (ЕСЛИ Af & х2е A'U А2 &...&хя^ АД' U АД')
ТОГДА (у, gВ\,у2еВ\, УтеВ*).
Fuzzy-управление
167
Эти Fuzzy-логические правила согласно концепции Мамдани должны
рассматриваться не как правила импликации, а как некоторые Fuzzy-логи-
ческие функции или операторы вида j. = i9(Xj,..., хп), j = 1,..., т.
При принятии решений рассматривается каждое решающее правило,
включенное в базу знаний системы. Для каждого решающего правила вы-
числяется значение функции принадлежности к соответствующему терму
данной выходной переменной //(BJ | Pr_Jt), / = l,...,g,
к = 1,..., К, которое в концепции Мамдани вычисляется по формуле
/л(В7 | Pr_fc) = min{//(^i I Рг_£),//(Л2 I Рг_£),.МА I
Вычисленное значение в дальнейшем принимается во внимание, если оно
не ниже установленного экспертами порога доверия 8, т.е.
/л(В7 |Рг_£)>£.
Если несколько Fuzzy-логических правил определяют один и тот же
терм выходной переменной к &КХ (В7), то значение функции принад-
лежности У^В? ) вычисляется по формуле
/и(В7Л= шах /и(В7 | Рг А;), / = l,—,g , j =
J J
Значение выходной переменной (управляющего воздействия) опреде-
ляется одним из описанных в главе 7 методов дефуззификации.
8.4.2. Метод Sunqeno.
Метод Sungeno [89] является некоторой модификацией метода Мам-
дани. В данном методе разбиваются на термы только множества значений
лингвистические переменных входных параметров Хх,Х2,...,X . Для
каждой переменной множества управляющих воздействий УИУ2, ...,УШ
такое разбиение не производится, а строится некоторое нечёткое множе-
ство с соответствующей функцией принадлежности j) для всего
диапазона возможных значений этой переменной.. Каждое из решающих
правил базы знаний системы формулируется следующим образом:
Рг_ к: (если Xj ё А & х2 е Л’ &... & х„ е А^1)
ТОГДА
ГУ1 = /и(х},х2,...,х„У, у2 = f2k(xl,x2,...,xn); ...;
Л, J’
к = 1,...,К.
168
Глава 8
Задача фуззификации и Fuzzy-логического вывода при этом заключа-
ется в преобразовании вектора значений входных переменных
(х1,х2,...,хп ) g (J4 х Х2 х... х Xп ) в значение функции принадлежности
j ) каждого из управляющих воздействий К, j = 1,..., т. Методами
дефуззификации по формулам
к
yj=-----------к-----------’ J =
XaJk
k-\
рассчитываются значения управляющих воздействий.
8.5. Проектирование Fuzzy-регулятора на основе опыта
и знаний эксперта
На основе информации эксперта может быть сформулирована база
знаний, в которой содержатся простые и логически понятные требования
для проектирования Fuzzy-регулятора. Другой путь построения системы
заключается в копировании правил уже функционирующего аналогового
или цифрового регулятора. Измеренные значения входных, выходных и
управляющих параметров могут служить основой для построения и моде-
лирования регулятора, построенного на основе Fuzzy-технологий. Однако
на основе таких подходов качество регулирования существующей и копи-
руемой системы управления не может быть улучшено. Проектирование
эффективной системы автоматического регулирования на основе принци-
пов Fuzzy-логики связано с выполнением значительных объемов экспери-
ментальных работ [9, 10, 33, 62], порядок выполнения которых представ-
лен на схеме, приведенной на рис. 8.7.
8.5.1. Выбор оптимальных параметров Fuzzy-контроллера метода-
ми имитационного моделирования.
Проектирование систем управления на основе методов Fuzzy-логики
связано с решением следующих проблем:
- выбор количества лингвистических термов для каждой входной, выход-
ной переменной и для каждого управляющего воздействия;
- выбор вида нечёткого множества и параметров функций принадлежно-
сти для каждого из термов всех лингвистических переменных входных
параметров и управляющих воздействий;
- выбор правил логического вывода и параметров Fuzzy-логических опе-
раторов в блоке принятия решений;
Fuzzy-управление
169
Рис. 8.7: Схема проведения экспериментальных работ выбора параметров
Fuzzy-контроллера
- выбор наиболее эффективного алгоритма дефуззификации.
Решение сформулированных проблем при проектировании реальных
систем управления связано с выбором значений большого количества па-
раметров. Эта задача может быть сформулирована в виде многоэкстре-
мальной задачи математического программирования большого размера в
условиях заданной системы ограничений. Сложности решения этой за-
ключаются также и в том, что функционал качества системы и левые час-
ти функций ограничений задачи не являются явными функциями от оп-
тимизируемых параметров. В настоящее время не существует однознач-
ных рекомендаций и аналитических методов эффективного решения этой
проблемы. Рекомендации экспертов могут помочь только в редких и
очень простых ситуациях. Наиболее эффективным методом выбора опти-
мальных параметров таких систем является метод имитационного моде-
лирования, нашедший наиболее широкое применение в практических
приложениях [68, 69] или генетические алгоритмы [17]. Схема проведе-
ния имитационных экспериментов представлена на рис. 8.8.
1) На каждом шаге итеративного процесса случайным образом или на ос-
нове сформулированных эвристик, или на основе анализа результатов ра-
нее проведенных экспериментов из базы данных возможных альтернатив
выбираются:
- количество лингвистических интервалов каждой из входных, выходных
переменных и управляющих воздействий, диапазоны их изменения и ви-
ды функций принадлежности и их параметры этих функций;
- виды и параметры правил Fuzzy-логического вывода и вычисления зна-
чений функций принадлежности вычисляемых значений управляющих
воздействий;
- виды и параметры алгоритмов дефуззификации.
2) Для альтернативных параметров рассматриваемой системы Fuzzy-
логического управления объектом вычисляем значения управляющих воз-
действий и выполняем оценки качества управления для различных видов
170
Глава 8
из возможного диапазона возмущающих воздействий. Параметры альтер-
нативной системы, удовлетворяющей системе ограничений, и комплекс-
ный критерий оценки качества управления сохраняем памяти системы.
3) Выбираем из всех хранящихся в памяти альтернатив альтернативу, обе-
спечивающую выполнение всех ограничений и наилучшее значение ком-
плексного показателя эффективности.
Рис. 8.8: Схема выбора параметров Fuzzy-регулятора методами имитаци-
онного моделирования
8.5.2. Программные системы проектирования FuzzY-регулятора
Выбор эффективных параметров Fuzzy-регулятора может быть осу-
ществлен на основе получившей широкое распространение в различных
областях математического моделирования программной системы
MATLAB (см., например, [12, 13, 15] и др.). Система MATLAB предос-
тавляет пользователю, наряду с широким спектром возможностей анализа
и визуализации динамических характеристик замкнутых систем автома-
тического регулирования, специальное программное обеспечения конст-
руирования и анализа различных систем диагностики и управления, осно-
ванных на Fuzzy-логике. Решение этих проблем может быть осуществле-
Fuzzy-управление
171
но с помощью версии пакета 3.5.1, включив дополнительно программные
системы Fuzzy-Logic-Tolbox (версия 2.0.1) и Simulink-Tolbox (версия
3.0.1).
Fuzzy-Logic-Tolbox позволяет выполнить все этапы проектирования
системы (FIS -Fuzzy-Inferenz-Systeme): фузификация, Fuzzy-логический
вывод и дефузификация.
Одна из модификаций пакета (GUI) ориентирована на менее подго-
товленных пользователей, другая (MATLAB Command Line) - на более
опытных пользователей.
Если выбраны все параметры Fuzzy-регулятора, программными паке-
тами MATLAB и Simulink-Tolbox могут быть интегрированы все состав-
ные части в общую структуру управления, что позволит выполнить де-
тальный анализ и оценку качества управления спроектированной систе-
мы.
8.6. Иллюстративные примеры
8.6.1. Система управления автомобилем при прохождении
туннеля сложной формы
В качестве примера реализации системы управления средствами
Fuzzy-логики рассмотрим известную в литературе и заимствованную из
[61 ] систему управления рулем автомобиля при прохождении туннеля
сложной формы (см. рис. 8.9).
Рис. 8.9: Путь автомобиля в туннеле Рис. 8.10: Основные переменные,
сложной формы определяющие положение руля
На рис. 8.10 приняты следующие обозначения:
172
Глава 8
Xj g [О, 150см] - расстояние автомобиля до горизонтальной стены тунне-
ля; х2 g [0,150еж] - расстояние до внутренней стены туннеля 1-го отрезка
пути; х3 = g [-90°,90° ]- угол автомобиля относительно оси туннеля 1-го
отрезка пути; х4 g [о, 150 см.]- расстояние до внешней стены туннеля 1-го
отрезка пути.
Каждая из переменных разбита на несколько термов, функции при-
надлежности которых представлены соответственно на рис. 8.11-8.14.
Рис. 8.11: Функции принадлежности переменной Х}
Рис. 8.12: Функции принадлежности переменной х2
На этих рисунках приняты следующие обозначения: NN - отрица-
тельное значение переменной, ZE - нейтральное значение (почти 0),
РР - положительное значение переменной.
Для вычисления значения функции принадлежности положения руля
(хх = 10, х2 = 30, х3 = 0°, х4 =50) используются решающие правила
следующего вида:
ПР. к: ЕСЛИ (xj g NN) & (х2 g NN) & (х2 g РР) & (х4 g NN) ,
ТОГДА
Fuzzy-управление
173
р0[х1(тх2(Ж),х3(РР),х4(Ж)] +
^p*[x1(AW),x2(AW),x3(PP),x4(MV)]-xt.
Рис. 8.14: Функции принадлежности переменной х4
Все правила системы вида //(У) = f(xv 9 Х2 9 х3, х4 ) сведены в таб-
лицу 8.2. Значения функции принадлежности выходной переменной в
каждом решающем правиле определяются по формулам
<*(Y \Пр._к) = ак = mm[u1(x1),/z2(x2),/z3(x3),//4(x4)].
Если значения входных переменных определяют несколько логиче-
ских правил (как в данном случае правил №№ 4, 7), производится вычис-
ление соответствующего значения выходной переменной по формуле
А(У ) ~ ’ fk (xi > > хз > Х4 ) ’
keKj
174
Глава 8
где Кх - множество правил, действующих при данных значениях входных
переменных.
Табл. 8.2: Fuzzy-логические правила принятия решений
№ npa вил Логические термы пе- ременных Значения коэффициентов
Xi x2 x3 x4 Рь Pl Pl Pl p4
1 - - NN NN 3.0 0 0 -0.045 -0.004
2 - - - NN 3.0 0 0 -0-3 -0.09
3 NN NN NN - 3.0 -0.041 0.004 0 0
4 NN NN ZE - 0.303 -0.026 0.061 -0.05 0
5 NN NN PP - 0 -0.025 0.07 -0.075 0
6 NN PP NN - 3.0 -0.066 0 -0.034 0
7 NN PP ZE - 2.95 -0.017 0 -0.021 0
8 NN PP PP - 1.5 0.025 0 -0.05 0
9 ZE NN NN - 3.0 -0.017 0.005 -0.036 0
10 ZE NN ZE - 0.053 -0.038 0.08 -0.034 0
11 ZE NN PP - -1.22 -0.016 0.047 -0.018 0
12 ZE PP NN - 3.0 -0.27 0 -0.044 0
13 ZE PP ZE - 7.0 -0.049 0 -0.041 0
14 ZE PP PP - 4.0 -0.25 0 -0.1 0
15 PP NN NN - 0.37 0 0 -0.007 0
16 PP NN ZE - -0.9 0 0.034 -0.03 0
17 PP NN PP - -1.5 0 0.0005 -0.1 0
18 PP PP NN - 1.0 0 0 -0.013 0
19 PP PP ZE - 0 0 0 -0.006 0
20 PP PP PP - 0 0 0 -0.01 0
При данных значениях входных переменных алгоритмом фуззифика-
ции определим значения функций принадлежности соответствующих ло-
гических термов:
х, =10, ju(xl\NN) = Q.8, ju(x1\ZE) = 0, {i(Xl\PP) = 0;
x2 = 30, rfx21=°-25’ p(x2 Ipp)=°-167;
x3 = 0, /z(x3 I NN) = 0, //(*1 I ZE) = 1, p(x3 I PP) = 0 ;
x4 =50, //(x4 |AW) = 0.
Fuzzy-управление
175
Для правила № 4 6Z4 = 0.25, а для правила № 7 - — — \
6
0-25 Л , 1 1 п л.
w4=-------- = 0.6’ w7=-------------- = 0.4
0.25 + - 0.25+ -
6 6
Вычисления значений Т/4 и Лп в соответствии с правилами табл.8.2
дают следующие результаты
т;4 = 0.303-0.026-10+ 0.61-30-0.05 0 + 0-50 = 1.873,
т/7 = 2.99-0.017-10 + 0-30-0.021-0 + 0-50 = 2.820,
т] = 0.6 -1.873 + 0.4 • 2.820 = 2.2518.
8.6.2. Система управления процессом стирки в стиральной
машине
В качестве одного из наиболее успешных примеров применений сис-
тем управления в приборах бытовой техники на основе Fuzzy Logic явля-
ется система автоматического управления процессом стирки в сти-
ральной машине.
В функции системы Fuzzy-управления входит определение дисбалан-
са белья в барабане и его устранение, корректировка программы стирки в
зависимости от типа и количества белья, регулирование расхода воды во
время полоскания в соответствии с загрузкой. Если при полоскании воз-
никает избыточное количество пены, система включает дополнительный
цикл полоскания и при необходимости меняет скорость вращения бараба-
на. Кроме того, система Fuzzy-Control контролирует процесс отжима, рас-
познавая степень дисбаланса (образование комков) белья в барабане, и
подбирает такой режим работы, чтобы белье постоянно отжималось на
максимально возможных оборотах. Вес загруженного белья определяется
как функция от количества воды, поглощенной тканью. Результат сравни-
вается со значениями, хранящимися в памяти процессора, на основе чего
устанавливается прогнозируемая длительность цикла стирки. Кроме того,
система контролирует скорость вращения барабана при стирке и отжиме,
температуру стирки, количество полосканий и др параметры.
На рис.8.15, 8.16 приведены схема микроконтроллера системы Fuzzy-
Logic, управляющего работой стиральной машины. На вход контроллера
(см. рис.8.15), поступает информация от оптического датчика прозрачно-
сти моющего раствора в баке стиральной машины, о степени загрязнения
белья и типе загрязнения. Выходным параметром является время стирки.
О степени загрязнения можно судить по прозрачности моющего раствора;
чем ниже загрязнение белья, тем прозрачнее вода. О типе загрязнения
176
Глава 8
можно судить по скорости изменения прозрачности раствора, т.е. по вре-
мени его насыщения. Жирные загрязнения плохо растворяются в воде.
Входные параметры объекта
Управляющее воздействия
----- ТОГДА ---
Время стирки
большое
Правила Fuzzy-
логического
вывода
Скорбеть при
отжиме низкая
Режим стирки
деликатный
Рис.8.15: Система управления процессом стирки в стиральной машине
Степень у
загрязнения * Контроллер
ТИП FuZ^Lo9iC
загрязнения
----->
Время
стирки
Рис.8.16: Схема микроконтроллера, управ-
ляющего процессом стирки
Загрязнения низкой жирности растворяются лучше, и раствор в баке
стиральной машины скорее становится насыщенным. Вторым входным
параметром здесь является «время насыщения раствора».Входные пере-
менные системы могут быть представлены Fuzzy-множествами с 3-мя
лингвистическими термами, представленными на рис.8.17 и 8.18.
Выходным параметром системы является «время стирки», которое
должно быть определено как величина, измеряемая в минутах. Выходная
переменная представлена также Fuzzy-множеством. Каждый из 5 лингви-
стических термов: «очень малое» - (BN, 8 мин.), «малое» - (NN, 12 мин.),
Fuzzy-управление
177
Рис.8.17: Функция принадлежности для аргумента
«степень загрязнения»
Рис. 8.18. Функция принадлежности для аргумента
«тип загрязнения»
«среднее» - (ZE, 20 мин.), «большое» - (NP, 40 мин.) и «очень большое» -
(ВР, 60 мин.) имеют функции принадлежности вида «Singloton» (см. рис.
8.19).
Таблица нечетких правил для стиральной машины дана в табл. 8.3.
Так, например, правило принятия решений на пересечении 3-й строки и
4-го столбца формулируется следующим образом:
ЕСЛИ Xj = ZE («тип загрязнения средней жирности») &
Х2 = Р («степень загрязнения высокая»),
ТОГДА у — NP («время стирки большое).
178
Глава 8
X»
Л ж w ZE № вр
8 12 20 40 60 ли/
Рис.8.19: Лингвистические термы переменной
«время стирки»
Табл. 8.3: Fuzzy-логические правила управления
процессом стирки
Xj - тип за- грязнен. х2 -степень загрязнения
N- малая ZE -средн. Р-высокая
N -нежирное очень ма- лое - BN малое- NN среднее - ZE
ZE-средней жирности среднее- ZE среднее- ZE большое -NP
Р - высокая жирность большое- NP большое - NP очень боль- шое - ВР
В реальных системах управления число различных вариантов про-
граммы стирки достигает нескольких сотен. Набор нечетких правил в
этом случае представляет многопараметрическую таблицу. При этом рас-
сматриваются и другие выходные параметры: «уровень воды», «скорость
вращения барабана при отжиме» и др., а также и другие входные пара-
метры: «жесткость воды», «загрузка белья», «тип белья» и т.п.
Глава 9. Методы нечёткой логики в задачах
классификации, кластерном анализе,
медицинской и технической диагностике
9.1. Постановка и математическая формулировка задач
классификации и кластерного анализа
9.1.1. Общие положения.
Задача технической диагностики заключается в выявлении различ-
ных классов поведения или отклонений системы от нормального состо-
яния процесса. Построение такого классификатора производится на ос-
нове формирования различных классов состояния системы методами кла-
стерного анализа.
Кластерный анализ (Data clustering) выполняет разбиение заданной
выборки объектов (ситуаций) на подмножества, называемые кластерами,
так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных
кластеров существенно отличались. Кластерный анализ - это многомер-
ная статистическая процедура, включающая сбор данных, содержащих
информацию о выборке объектов, и затем упорядочивающая объекты в
сравнительно однородные группы (кластеры). Кластер - это группа эле-
ментов, характеризуемых общим свойством.
Главные цели кластерного анализа заключаются в следующем [14]:
- нахождение групп схожих объектов в выборке;
- лучшее понимание данных путём выявления кластерной структуры;
- разбиение выборки на группы схожих объектов, что позволяет упростить
дальнейшую обработку данных и алгоритмы принятия решений, приме-
няя к каждому кластеру свой метод анализа;
- сжатие данных в случаях, когда исходная выборка очень большая;
- обнаружение новизны: выделяются нетипичные объекты, которые не
удаётся присоединить ни к одному из кластеров.
Спектр применений кластерного анализа очень широк: его исполь-
зуют в археологии, медицине, психологии, химии, биологии, государст-
венном управлении, филологии, антропологии, маркетинге, социологии и
других дисциплинах.
Если важно обеспечить высокую степень сходства объектов внутри
каждого кластера, число кластеров не ограничивают. Во всех этих случаях
может применяться иерархическая кластеризация (таксономия), когда
крупные кластеры дробятся на более мелкие, те в свою очередь дробятся
ещё мельче, и т. д. Результатом таксономии является древообразная ие-
рархическая структура. При этом каждый объект характеризуется пере-
числением всех кластеров, которым он принадлежит, обычно от крупного
к мелкому.
180
Глава 9
Применение кластерного анализа предполагает следующие этапы:
1) отбор выборки для кластеризации;
2) определение множества переменных, по которым будут оцениваться
объекты в выборке;
3) выбор некоторой меры оценки сходства между объектами;
4) применение метода кластерного анализа для создания групп сходных
объектов;
5) проверка достоверности результатов кластерного решения.
Кластерный анализ предъявляет следующие требования к данным:
- показатели не должны быть коррелированы;
- все показатели должны быть безразмерными (нормированными) или в
одних и тех же единицах измерения;
- распределение значений показателей должно быть близко к нормально-
му;
- показатели должны отвечать требованию «устойчивости», т.е. отсутству-
ет влияние на их значения случайных факторов;
- выборка должна быть однородна, не содержать «выбросов».
В кластерном анализе используются следующие типы входных дан-
ных:
- признаковое описание объектов, когда каждый объект описывается на-
бором своих характеристик, называемых признаками. Признаки могут
быть числовыми или нечисловыми;
- матрица расстояний между объектами. Каждый объект описывается рас-
стояниями до всех остальных объектов обучающей выборки.
9.1.2. Постановка и математическая формулировка задачи
кластеризации
Пусть заданы: X - множество объектов, А множество номеров
(имён) кластеров. Задана также некоторая функция расстояния между
объектами рЦх^Х?). Имеется конечная обучающая выборка объектов
Хк = {xl,x2,...9xk9...9xK}^X . Требуется разбить выборку на непере-
секающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый
кластер состоял из объектов, близких по метрике р, а объекты разных
кластеров существенно отличались. При этом каждому объекту xk ^ХК
приписывается номер кластера Al9 I = .
Алгоритм кластеризации - это функция f’.X-^A, которая лю-
бому объекту х G X ставит в соответствие номер кластера At G А .
Множество А в некоторых случаях известно заранее, однако чаще ста-
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики
181
вится задача определить оптимальное число кластеров, с точки зрения то-
го или иного критерия качества кластеризации.
Кластеризация (обучение без учителя) отличается от классификации
(обучения с учителем) тем, что имена At изначально не заданы, а в ряде
случаев даже может быть неизвестно само множество А .
Решение задачи кластеризации неоднозначно вследствие следующих
причин:
- не существует однозначно наилучшего критерия качества кластери-
зации;
- число кластеров, как правило, неизвестно заранее и устанавливается
в соответствии с некоторым субъективным критерием;
- результат кластеризации существенно зависит от метрики, выбор кото-
рой, как правило, также субъективен и определяется экспертом.
9.1.3. Критерии качества кластеризации
Наибольшее распространение получили следующие критерии каче-
ства кластеризации [14, 59, 91]:
1) Евклидово расстояние и квадрат евклидового расстояния, являющиеся
геометрическим расстоянием в многомерном пространстве
где Zz - центр кластера Al; i = - индексы соответствующих коор-
динат объектов и центров кластеров; I — 1,..., т - индексы кластеров.
2) Манхэттенское расстояние
т К п
^3 = S S S~ Xki | •
1=1 k=l z=l
3) Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, ког-
да желают определить два объекта как ’’различные”, если они различаются
по какой-либо одной координате (каким-либо одним измерением). Рас-
стояние Чебышева вычисляется по формулам:
F4 = maxmaxV|Zz -xJ
1<1<т 1<£<Х"‘ т
z=l
или F. = maxmaxmaxlZ,. -xd .
\<1<т \<к<К l<i<n 1 1
(93)
4) Расстояние, возвышенное в некоторую степень,
F6 =
т К п
Z=1 £=1 Z=1
(9-4)
182
Глава 9
где г up- параметры, определяемые пользователем.
При Г = р = 2 критерий F6 вырождается в критерий Fr.
9.1.4. Анализ применяемых методов кластеризации без
обучающей выборки.
Наибольшее распространение среди методов кластеризации без учи-
теля, когда априори не задано количество кластеров, получили алгоритмы
иерархической кластеризация или таксономия. Важным элементом в этих
методах является правила объединения объектов в кластеры.
На первом шаге, когда каждый объект представляет собой отдельный
кластер, расстояния между этими объектами определяются выбранной
мерой. Когда рассматриваются вместе несколько объектов необходимо
сформулировать правило объединения или связи для двух объектов кла-
стеров. При этом может использоваться ’’правило ближайшего соседа” для
определения расстояния между кластерами (метод одиночной связи). Это
правило строит ’’волокнистые” структуры кластеов, т.е. кластеры, ’’сцеп-
ленные вместе" только отдельными элементами, случайно оказавшимися
ближе остальных друг к другу. Метод полной связи определяет соседей в
кластерах, которые находятся дальше всех остальных пар объектов друг
от друга. Существует также множество других методов объединения кла-
стеров, подобных тем, что были рассмотрены выше.
Выбор ближайшего соседа объединяет объекты вместе для формиро-
вания кластеров, и результирующие кластеры имеют тенденцию быть
представленными длинными ’’цепочками”.
В методе наиболее удаленных соседей расстояния между кластерами
определяются наибольшим расстоянием между любыми двумя объектами
в различных кластерах (т.е. "наиболее удаленными соседями"). Если же
кластеры имеют в некотором роде удлиненную "цепочку", то этот метод
является неэффективным.
В методе невзвешенного попарного среднего расстояние между дву-
мя различными кластерами вычисляется как среднее расстояние между
всеми парами объектов. Метод эффективен, когда объекты формируют
различного вида "рощи", однако он работает одинаково хорошо и в случа-
ях протяженных ("цепочного" типа) кластеров. Метод взвешенного попар-
ного среднего идентичен методу невзвешенного попарного среднего, за
исключением того, что при вычислениях размер соответствующих кла-
стеров (т.е. число объектов, содержащихся в них) используется в качестве
весового коэффициента. Поэтому предлагаемый метод должен быть ис-
пользован, когда предполагаются неравные размеры кластеров. Во взве-
шенном и невзвешенном центроидном методах расстояние между двумя
кластерами определяется как расстояние между их центрами тяжести и
отличаются только тем, что во взвешенном методе при вычислениях ис-
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики
183
пользуются веса для учёта разницы между размерами кластеров (т.е. чис-
лами объектов в них). Поэтому, если имеются (или подозреваются) значи-
тельные отличия в размерах кластеров, этот метод оказывается предпоч-
тительнее предыдущего.
В методе Варда, который стремится создавать кластеры малого раз-
мера, используются методы дисперсионного анализа для оценки рассто-
яний между кластерами. Метод минимизирует сумму квадратов для лю-
бых двух (гипотетических) кластеров, которые могут быть сформированы
на каждом шаге.
Как правило, с увеличением количества кластеров значение критерия
качества кластеризации уменьшается. Характерный вид зависимости
представлен на рис. 9.1. Ось X определяет количество выделенных кла-
стеров, а ось У - относительное значение погрешности используемого ме-
тода кластеризации,
г
2&|-----------------------г----------------------
да V---------------------------------;-----------
15 —V--------------------------:-----------------
Ш------: ч—--------------------------,-----------
5 ---------Ь, :-----------:-----
oL----------------------------------—_...L J
:2 3 4 5: 6 t в 9 io х
Рис.9.1: Зависимость качества кластеризации от количества
кластеров
9.2. Принципы построения классификаторов на основе
Fuzzy-технологий
Методы классификации на основе нечёткой логики строятся на осно-
ве следующих положений. Каждый из классов представлен в виде некото-
рого нечёткого множества. Кластеры характеризуются матрицей нечетко-
го разбиения, которая обладает следующими свойствами:
т К
£д(х*,Л,) = 1, к=Л,...,К-, (9.5)
Z=1 Л=1
Алгоритм нечетких С-средних основывается на минимизации неко-
торого средневзвешенного расстояния от объектов до центров выделен-
ных кластеров
184
Глава 9
т К
F = £ ЕМ**’Ai)]р '\\z‘ ~х* I ->min ’ <В 9-б>
/=1 Л=1
где Zz, I = , - центры нечетких кластеров,
к
-xk
Z, = , I = 1,..., т. (9.7)
Е1Фч>4)К
k=\
Здесь и в дальнейшем р G [1, оо]- некоторый конструктивный пара-
метр, выбираемый эмпирическим образом, значение которого рекоменду-
ется выбирать р = 2.
Отнесение некоторого объекта (состояния системы) к определенному
классу определяется в соответствии со значением функции принадлежно-
сти к нечёткому множеству этого класса.
Классификация на основе обучающейся выборки предполагает нали-
чие некоторой таблицы данных (см. табл. 9.1), в которой для каждого из
К объектов к = характеризующегося п признаками, указана при-
надлежность его к некоторому из т классов. При этом количество клас-
сов фиксировано и равно ТП .
Табл.9.1: Данные обучающей выборки
к Объекты обучающей выборки Классы
1 Хи Х12 А1
2 Х21 Х22 Х2п А2
...
к хк\ Хк2 ... Xkn Ат т
... ...
К ХК\ ХК2 ХКп Ат 1 Щ—1
В система классификации без обучающей выборки в табл. 9.2 отсут-
ствует последний столбец, т.е. принадлежность объекта некоторому клас-
су и количество классов может быть не заданы. Для каждого значения
вектора входных переменных может быть задано соответствующее значе-
ние выходной переменной объекта - ук .
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики
185
Табл.9.2: Значения переменных объектов выборки
к Значения входных переменных выборки Значение выходной перемен.
1 Хп Х12 ... Х1П У1
2 Х21 Х22 Х2п У2
... ...
к Хк1 Хк2 Хкп Ук
... ... ...
К ХК\ ХК2 ХКп Ук
Методы классификации основаны на следующих двух предпосылках:
- для каждого из классов должен быть определен некоторый центр тяже-
сти или центр этого класса. Принадлежность объекта к каждому классу
определяется некоторой нормированной функцией расстояния объекта до
этого центра f{xk^At\ Если к -й объект расположен в центре I -го клас-
са, то а если объект находится на значительном расстоя-
нии от центра этого класса, f (хк, Аг) « 0;
- каждый из объектов должен принадлежать только одному единствен-
ному классу.
9.2.1. Алгоритм нечетких средних (Fuzzy-C-Means-алгоритм).
Кластеры характеризуются матрицей нечеткого разбиения, которая
обладает следующими свойствами (9.5)-(9.7). Алгоритм решения задачи
может быть представлен в виде следующего итеративного процесса.
1) В начале итеративного процесса при 5 = 0 для каждого из объектов
Хк, к = , случайным образом определяются значения функций
принадлежности к каждому классу
Al9 I = 1,...,7И , /LLS(xk, At) G [0,1], S = 0,1,..., S .
2) Определяются центры классов в виде средневзвешенного центра тяже-
сти принадлежащих данному классу функций принадлежности
X [*/(**,
Z/ = -^-------------------, l = , s = 0,1,..,,S. (9.8)
k=l
186
Глава 9
3) Рассчитываются расстояния между 2^ - центром кластера А1, и объек-
том хк
'=1.-,™, *=и..л
1=1
(9.9)
4) Если dslk > 0, то рассчитываем очередное приближение значения
функций принадлежности
5) Если выполняются условия
Z=! 4=1 (9,Ц)
7=1 к=\
то алгоритм завершает свою работу. В противном случае, положив
S := ($ +1), переходим к пункту 2 алгоритма.
9.2.2. Обобщения алгоритма нечетких С-средних
В базовом алгоритме нечетких С-средних расстояние между объек-
том Хк и центром кластера At рассчитывается через стандартную Евкли-
дову норму (9.1) . В кластерном анализе применяются и другие нормы,
среди которых часто используется диагональная норма и норма Маха-
лонобиса.
В общем виде норму можно задать через симметричную положи-
тельно определенную матрицу В размером К* К следующим образом:
IIх* ~л£=(х* - А/У в \хк - А1У ’ <9-12)
где Т - операция транспонирования.
Для Евклидовой нормы матрица В представляет собой единичную матри-
цу. Для диагональной нормы матрица В задается следующим образом:
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики 187
<9, 0 ... О
L0 0 ... а>„
Элементы главной диагонали матрицы интерпретируются как веса
соответствующих координат. Если Евклидова норма позволяет выделять
кластеры в виде гиперсфер, то диагональная норма позволяет выделять
кластеры в виде гиперэллипсоидов, ориентированных вдоль координат-
ных осей, которые могут быть ориентированы в произвольных направле-
ниях.
Для нормы Махалонобиса матрица В рассчитывается через ковари-
ационную матрицу от X: В' = R ~} , где
1 к _ _
R =----(xk — х)Т • (xk — х) - ковариационная матрица,
К k=\
1 к
X —----xk - вектор средних значений данных.
К к=\
Fuzzy-логический аналог кластерного анализа на основе нормы Ма-
халанобиса предусматривает следующий объем вычислений.
Координаты центров кластеров на каждом 5 -м шаге итеративного
процесса вычисляются по формуле (9.8), где значение р может быть при-
нято равным 1. Расстояния между Zst - центром кластера At, и объектом
Хк определяются по формулам
di =(z;-xJb-(z; -хк)= X(z,; -хJ, р.
i=l
а значения функций принадлежности - по формулам (9.10). Значение кри-
терия оптимальности на каждом шаге итерации имеет вид
F‘к/ -^Г 's'lz' <9|5)
7=1 £=1
а правило остановки итеративного процесса - аналогично алгоритму не-
четких средних | Fs+i — Fs |< £ .
Алгоритм Густавсона-Кесселя использует адаптивную норму для ка-
ждого кластера, т.е. для каждого /-го кластера существует своя нор-
мопорождающая матрица В{. В этом алгоритме при кластеризации оп-
188
Глава 9
тимизуруются не только координаты центров кластеров и матрица не-
четкого разбиения, но также и нормопорождающие матрицы для всех кла-
стеров. Это позволяет более эффективно выделять кластеры различной
геометрической формы.
9.3. Алгоритмы технической диагностики на основе
нечеткой логики
В круг задач технической диагностики входит оценка технического
состояния промышленных установок, машин, механизмов, оборудования
и конструкций, а также мониторинг технического состояния объекта. При
этом основными среди выше перечисленных функций являются:
- оценка технического состояния объекта;
- обнаружение и определение места и локализации неисправностей;
- прогнозирование остаточного ресурса объекта.
Задачи технической и медицинской диагностики могут рассматри-
ваться как поиск отображения вида
-> Л=Ц,Л, (9.16)
где X = {^4,Х19 ...,Xi9...,Хп} - множество параметров, определяющих
состояние объекта, а А = {д, А2,..., Aj..., Ат множество возможных
его состояний.
Необходимо каждому значению вектора параметров объекта Xк поста-
вить в соответствие одно из возможных состояний А-.
Различают прямые и косвенные диагностические параметры. Первые
непосредственно характеризуют состояние объекта, а вторые связаны с
основными параметрами некоторой функциональной зависимостью.
Основные трудности в решении рассматриваемой проблемы заключа-
ются в следующем:
- наличие количественной, качественной и интервальной информации о
значениях отдельных параметров вектора X ъ
- отсутствие аналитических зависимостей между вектором состояния
объекта и его классом состояний, к которому он должен быть отнесен,
- большая размерность вектора параметров состояний, а также наличие
ошибок измерения отдельных параметров.
Наибольшее распространение в методах технической и медицинской
диагностики получили кластерный анализ, байесовский подход, методы
регрессионного анализа, логические выводы на основе созданной базы
знаний, метод фазовых интервалов.
Метод логического программирования удобен для построения цепоч-
ки правил. Он широко применялся в экспертных системах и использовал-
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики 189
ся в медицинской диагностике, позволяя в ряде случаев не только устано-
вить диагноз, но и объяснить причину принятого решения. Основным не-
достатком большинства этих методов является сложность работы с нечис-
ловыми данными (лингвистические переменные, интервальные значения),
а также формализация нечетких знаний, заданных на естественном языке,
что не позволяет в полной мере использовать опыт эксперта и причинно-
следственные связи.
Приведем постановку и математическую формулировку задачи тех-
нической и медицинской диагностики на основе методов Fuzzy-логиче-
ского вывода.
Рассмотрим систему с п входными параметрами
, определяющими состояние объекта, и од-
ним выходом, А , содержащим Ш термов , j = , лингвистиче-
ской переменной.
Область значений каждого входного параметра X., в свою очередь,
может быть также разбита на Д интервалов (лингвистических термов)
.= {х^,х2,...,х^,...,х^ } . Количество термов каждой лингвистиче-
ской переменной входных параметров различно. Рассматриваемые пара-
метры Xt могут быть количественными, лингвистическими и качествен-
ными.
Задача классификации заключается в построении некоторой Fuzzy-
логической функции
Л =<р^Х„Х2,..„Х^...,Хп), j = . (9.17)
Все лингвистические термы входных переменных X. и выходной пе-
ременной А будем рассматривать как Fuzzy-множества, заданные на
универсальных множествах соответствующих диапазонов значений ин-
тервалов соответствующих лингвистических термов, функции принад-
лежности которых имеют вид
. % /ЛХ (Х; )
Ах(*,') = J i = ; (9.18)
х‘-~ xi
Pa(Aj) = f j = • (9.19)
i AJ
190
Глава 9
Классификация на основе нечеткого логического вывода происходит
на основе созданной базы знаний в соответствии следующего логического
заключения
(pxj>=U (Же х‘>' )А -А wе & wu- s i4
<7g2jL М
-» A g Aj,
j = l^m. (9.20)
Выражение (9.20) можно понимать следующим образом: если в неко-
тором q -м логическом правиле базы знаний системы каждая входная пе-
ременная Xt принадлежит одному из заданного множества интервалов
(лингвистических термов) L — = п и вес этого заклю-
чения не ниже некоторой пороговой величины S (Wy > 6), то значение
выходной переменной относится к классу А.. Здесь Qj - множество раз-
личных логических правил, определяющих класс А-. Количество р. и
состав лингвистических термов в выражении (9.20) для каждого входного
параметра различен. В частном случае можно принять = 1 или
Pi =Li-
Для некоторых входных переменных X. возможны также высказы-
вания вида
е х'1 )П(Х, ё х'2 )А-f|(Xf ё х\г) & w, > 4 (9.21)
Это выражение применяется в случаях, когда наряду с принадлежностью
переменной некоторому лингвистическому терму, выдвигаются требова-
ния непринадлежности значения переменной определенной области зна-
чений, т.е. одному или нескольким другим лингвистическим термам.
В ряде случаев логические правила вида (9.20) могут определять при-
надлежность объекта Хк одновременно к нескольким классам Aj,
j g Dk. В этих обстоятельствах выбирается тот класс j, для которого
справедливо выражение J = arg гпах (ру. .
Для вычисления значений функции (pXj. используются различные
операторы нечёткой логики, а также t - и S -нормы Fuzzy-логики. На-
пример,
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики
191
^/ = //л(Л )=тахтт <тах ►
^Qj \<i<n
(9.22)
Могут использоваться также другие выражения для вычисления опе-
раций V (ИЛИ) и А (И) на основе t -и S -норм нечёткой логики, при-
веденные во 2-й и 6-й главах книги, как, например, операторы вида
п
<Ру=^(4)=т^хП 1тах ? *
(9.23)
Если в соответствии с правилами логического вывода объект одно-
временно относится к нескольким классам, то в качестве решения выбира-
ют тот класс, значение функции принадлежности для которого макси-
мально, т.е.
j = arg max . = arg max цА (A.). (9.24)
В данном методе классификации каждая строка матрицы базы зна-
ний определяет не только систему логических высказываний типа:
«ЕСЛИ (ЭТО ДА) И (ЭТО ДА).... И (ЭТО ДА),
А (ЭТО НЕТ) И ..., (ЭТО НЕТ),
ТОГДА «КЛАСС », (9.25)
Рис.9.2: Взаимосвязь блоков алгоритма классификации
192
Глава 9
но и виды Fuzzy-логических операторов, позволяющих вычислить дейст-
вительное значение функции принадлежности к соответствующему лин-
гвистическому терму выходной переменной.
Взаимосвязь всех блоков алгоритма классификации представлена на
рис.9.2.
Иллюстративный пример
Каждая из двух входных переменных %| и X2 имеет 3 логических
терма: N - низкий уровень, Z - средний уровень, В - высокий уровень.
Каждый из этих термов представлен нечётким множеством, функции при-
надлежности которых представлены на рис. 9.3. и 9.4.
Нечёткие множества термов выходной переменной А , т.е. каждого
из 3 состояний объекта ( А{ , А2 5 А3 ), приведены на рис.9.5.
Рис.9.3: Переменная Х}
Рис. 9.5: Fuzzy-множества выходной переменной
Правила Fuzzy-логического имеют следующий вид:
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики
193
1) ЕСЛИ (Xj е N & Х2 е N), ТОГДА Y е Д;
2) ЕСЛИ (Ху g N & Х2 е Z), ТОГДА Y е Ау;
3) ЕСЛИ (Ху G N & Х2 е В ), ТОГДА Y е А2;
4) ЕСЛИ (Х} е Z & Х2 е N), ТОГДА Y е Ау;
5) ЕСЛИ ( Ху G Z & Х2 е Z ), ТОГДА Y е А2;
6) ЕСЛИ (Ху eZ& Х2 еВ), ТОГДА Ye Л3;
7) ЕСЛИ (Х} е В & Х2 е N), ТОГДА Y е А2;
8) ЕСЛИ (Ху G В & Х2 е Z), ТОГДА Y е А2;
9) ЕСЛИ (Ху е В & Х2 G В ), ТОГДА Y е А3;
На рис. 9.6 показано разбиение области в пространстве переменных
Ху и Х2 на 3 класса.
Рис. 9.6: Три класса в пространстве переменных Ху и Х2
Альтернативный алгоритм нечеткой классификации.
Рассмотрим другой алгоритм классификации, предусматривающий
введение некоторой вспомогательной выходной переменной Y, область
194
Глава 9
изменения которой Y G [Уи^, Утах ] может быть представлена R лин-
гвистическими термами Yr, г = . Каждый из этих термов Yr -
представлен нечётким множество с функцией принадлежности /лу (Yr ).
Как и в 1-м алгоритме классификации, область значений каждого входно-
го параметра X. также разбита на Д интервалов (лингвистических
термов). Функции принадлежности каждого из этих термов - JUX .
Кроме того, имеет место другое разбиение области изменения
, у тах ] на К, в общем случае не равных по величине интерва-
лов, Zk, к = , где Zk = {у е У | у^ <у<ук}, уо = ymin,
У к = .Утах • Заметим, что как число, так длины интервалов в 1-м и и во
втором разбиении не должны быть одинаковыми и совпадать.
Правила Fuzzy-логического вывода в виде (9.21)-(9.25), как и в алго-
ритме 9.1, определяют значение функции принадлежности к каждому из
лингвистических интервалов нечёткого множества выходной переменной
г = • Затем одним из алгоритмов дефузификации, опи-
санных в 7-й главе книги, вычисляется значение выходной переменной
у . Заключение, к какому классу принадлежит данное состояние объекта
делается на основании следующего логического заключения
ЕСЛИ (у е ZJkl ИЛИ у 6 Z/2, ИЛИИЛИ у е Z]kp),
ТОГДА КЛАСС Aj. (9’26)
При этом должны выполняться условия
п Р]
UU Zkr =Y ’если -А * Л’то > Г = 1,...^?. (9.27)
J=1 r=l
Взаимосвязь всех блоков алгоритма классификации 9.2. представле-
на на рис.9.7.
9.4. Fuzzy-логическая экспертная система для оценки
глубины и качества сварочных швов
Рассматривается построенная на принципах нечёткой логики экс-
пертная система оценки качества сварных швов на основе следующих по-
лученных от оптических датчиков в процессе автоматизированной сварки
и расчетных входных параметров в некотором 5 -м сечении сварочного
шва:
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики
195
Рис. 9.7: Блок-схема алгоритма классификации
- площадь перекрытия ванны расплавленного металла (Fv (л) в тт 2 ),
- площадь вогнутости покрытия ванны расплавленного металла ( Fw (а) в
тт2),
- высота h(s) и ширина b(s) перекрытия сварочного шва (в mm),
- величина отклонения центра площади расплавленного металла от рас-
четного центра шва cr(s) (в mm).
На основе данных входных параметров экспертная система должна
сделать заключение о качестве (глубине) сварочного шва t(js), идентифи-
цировав его одним из термов выбранных лингвистических переменных
Выходных параметров системы. При этом принимаются следующие
предпосылки: так как длина сварочного шва и время сварки не очень ве-
лики, то основные технологические параметры (электрические парамет-
ры, скорость движения сварочного робота, скорость подачи и диаметр
электродов, условия теплопроводности и др.) в процессе сварки остаются
постоянными. Следовательно, объем проступаемого расплавленного ме-
талла в каждый временной интервал является постоянным. Неравномер-
ность ширины сварочного шва, смещение центра площади расплавленно-
го металла от центра шва, отклонение от расчетного значения расстояния
электродов от свариваемой конструкции могут изменить коэффициент по-
196
Глава 9
терь и распределение расплавленного металла относительно сварочного
шва и изменить соотношение между величиной перекрытия и глубины
проникновения металла. Эти изменения отражаются в параметрах, опре-
деляющих качество сварочного шва. При этом входные параметры могут
быть использованы в качестве исходных данных для прогнозирования
этих изменений.
Если предположить, что поступающий объем расплавленного металла
WG (5) в каждом 5 -м сечении является постоянным, могут быть приняты
следующие гипотезы:
- увеличение площади перекрытия (выпуклой части) ванны расплавленно-
го металла сокращает ту часть его объема WG (л), которая должна посту-
пать в глубину шва,
- при наличии вогнутости ванны расплавленного металла, возможно, уве-
личивается глубина проникновения расплавленного металла (провара), и
некоторый объем металла находится за нижней кромкой шва,
- при увеличении отклонения центра сварочного электрода от центра шва
растет коэффициент потерь металла и сокращается объем расплав-
ленного металла, образующего шов,
- если соотношение между шириной b(s) и глубиной й(^) ванны рас-
плавленного металла очень большое, то можно предположить, что глу-
бина сварного шва недостаточна велика и недостаточный объем металла
попал в область соединения конструкции. При малом значении отноше-
ния b(s)/ , вероятно, глубина провара t(s) велика, и может иметь ме-
/h(s)
сто наличие металла за нижней кромкой шва.
В качестве входных переменных используются следующие параметры:
- Fv (5) и Fd (5) > 0 - соответственно площадь перекрытия и впадины
(вогнутости) сварочного шва или ванны расплавленного металла (если
(5) > 0, то принимается Fv (s) = —Fy (s) ),
- отношение ^(5) = и параметр cr(s) .
Л(5)
Выходными параметрами системы диагностики являются:
- Fd(s) - площадь объема металла, проникшего в глубину сварочного
шва,
- - глубина сварочного шва (глубина проникновения металла).
Разобьем диапазоны D изменения входных и выходной переменных
на несколько интервалов (соответственно L или К ), и введем соответ-
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики 197
ствующие лингвистические переменные. Для этих интервалов должны
выполняться соотношения
j-\,1 < j\ > j-i,2 < ^j2’ j = oder j — , (9.28)
[J11,tZ12]U[^2I,^22]U...U[<1,^.2]U...U[^1,^2] = JD, (9.29)
> ^-1,2 ] n \-dji ,dj2] = 0, j = 2,..,К . (9.30)
Каждый интервал изменения переменной (fj (Xj) и f. (yj) ,
j = Z^L или j = Z9..9K) может быть представлен термом некоторой
лингвистической переменной и нечётким множеством с соответствующей
функцией принадлежности с установленными параметрами ( JUA (х) или
Ав (j7) )• Операторы фузификации позволят вычислить значение тер-
ма лингвистической переменной и показатель, определяющий, принад-
лежность этого значения данному лингвистическому интервалу (х).
Каждая входная и выходная переменная разбита на 5 лингвистиче-
ских интервалов: BN, NN, ZE, NP, ВР. Здесь и в решающих правилах при-
няты следующие обозначения: BN - очень низкое значение, NN - низкое
значение, ZE - нейтральное (среднее) значение, NP - большое значение,
ВР - очень большое значение.
В качестве примера на рис. 9.8. приведены функции принадлежности
и термы и интервалы для входной лингвистической переменной «площадь
величины перекрытия поверхности ванны расплавленного металла» -
Рис 9.8: Лингвистические интервалы функции
принадлежности параметра Fv (л )
198
Глава 9
Если правило Fuzzy-логического вывода основано на применении ло-
гической операции «И» („&“), как например,
/?(/):ЕСЛИ(jq g[t/jj, J12]&x2 g[t/2 7_1, t/2y ] & x3 G >^зРD’ (9 31)
ТОГДА (у! g [б/( r_!, t/12 ] & у2 g > ^21D’
тогда для вычисления результирующего значения функции принадлежно-
сти к различным термам выходных переменных используются соответст-
вующие операторы Fuzzy-логики как в виде t- норм
Рвг(ур) = (х2),рАр(х3)}, р = 1,2; (9.32)
Рв, (У р ) = 01) • Рлк (х2 ) • Рлр Оз )} > Р = h2 • (9-33)
Результат выполнения каждого Fuzzy-логического правила принима-
ется во внимание только в том случае, если ]ИВ (у ) > .
База знаний экспертной системы, т.е. правила логического вывода,
для каждой выходной переменной представлены в таблицах 9.3 и 9.4. В
таблице 9.3. представлены логические соотношения в форме (9.31) для
определения значения лингвистического интервала выходной переменной
Fd (5) в зависимости от принадлежности к различным лингвистическим
интервалам входных переменных Fv (5) и <т(5') .
Табл.9.3
Входные переменные W/ /cr(s) Площадь объема металла, проникшего в глубину сварочного шва FD (л )
BN NN ZE NP ВР
ВР NN BN BN BN BN
NP NN NN ZE ZE BN
ZE ZE ZE ZE NN NN
NN NP NP NP ZE ZE
BN ВР ВР ВР ВР ВР
Таблица 9.4 отражает логические правила для выбора лингвистиче-
ского интервала выходной переменной Z(^)b зависимости от значений
лингвистических интервалов входных переменных Ги (л) и 1](s).
Каждая клетка этих таблиц определяет некоторое правило Fuzzy-логи-
ческого вывода. Так например, клетка таблицы 9.4 на пересечении 2-й
строки и 3-го столбца определяет следующее правило:
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики
199
ЕСЛИ
«площадь перекрытия расплавленного металла - Fv (5) »
равна NN, т.е. (низкое значение) &
«величина отклонения центра площади расплавленного металла от
расчетного центра шва - бт(я) » равна ZE, т.е. нейтральное (среднее)
значение,
ТОГДА
«площадь объема металла, проникшего в глубину сварочного шва -
FD (5)уу равна ZE, т.е. нейтральное (среднее) значение.
Табл. 9.4
Входные переменные AGO Глубина проникшего металла t(js)
BN NN ZE NP BP
ВР ZE NN NN BN BN
NP ZE ZE NN NN BN
ZE NP ZE ZE NN NN
NN BP BP NP ZE ZE
BN BP BP BP NP NP
Алгоритм работы системы представлен на рис. 9.9.
Так как в базе знаний количество логических правил больше числа
лингвистических интервалов каждой из выходной переменной, то не-
сколько различных правил могут приводить к одному и тому же резуль-
тату (см. табл.9.3 и 9.4). При этом значения функции принадлежности к
этому лингвистическому интервалу являются, как правило различными.
Следующим шагом Fuzzy-логического вывода является вывод на ос-
нове результатов всех этих правил общего заключения. Этот этап решения
выполняется на основе S-норм, например, Fuzzy-логических операторов
«ИЛИ». Если в результате выполнения различных логических операторов
, q = l9..9Q, получены различные значения функций принадлежности
(У) = Fy (Уг I Щ ) к одному и тому же I -му терму некоторой лин-
гвистической переменной выходного параметра, то результирующее зна-
чение (уz) принадлежности к этому интервалу вычисляется по фор-
муле Rt = accop(R} ,...., Rf ,...,R®),
200
Глава 9
А/у) = тах|//у1 (у), //у2 (у),цу, (у),//уС (у)], I = = 5.
(9.34)
Вычисления (9.34) выполняются для каждого лингвистического ин-
тервала всех выходных переменных.
Рис. 9.9: Структурная схема работы алгоритма диагностики
В качестве алгоритмов дефузификации могут быть использованы сле-
дующие два алгоритма:
1) Если необходимо определить только наименование лингвистического
интервала, то алгоритм дефузификации определяет только номер или имя
этого лингвистического интервала по формуле
Г (У) = argmax(xzZi (y),...,jurL (у)), (9.35)
т.е. выбирается интервал (терм) с максимальным значением функции
принадлежности к этому интервалу.
2) В случае необходимости определить фактическое значение выходной
переменной используется подробно описанный в 7-й главе метод опреде-
ления центра тяжести („Center of Gravity44 - COG)
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики
201
L
Ц \ypBl(y)'dy
= ±!_J________
S j^M^y
(9.36)
В формуле (9.36) принимаются во внимание только активные правила, для
которых /Ив (у) > £ .
Результаты Fuzzy-логического вывода используются в системах авто-
матизированного управления роботизированной электродуговой сваркой
металлических конструкций.
9.5. Применение Fuzzy-технологий в медицинской
диагностике
Правильная постановка диагноза в медицине требует от врача боль-
шого опыта, знаний и интуиции. Своевременно поставленный точный ди-
агноз часто облегчает выбор метода лечения и значительно повышает ве-
роятность выздоровления больного.
Считается, что группы симптомов болезни, принадлежащие разным
диагнозам, представляют собой определенные области в пространстве,
которые образуют некоторые размытые кластеры. Каждую историю бо-
лезни можно представить в виде точки пространства, координаты которой
есть симптомы описания заболевания. Заметим, что информация, необхо-
димая для построения системы, может быть получена как из историй бо-
лезни, так и непосредственно от врачей-экспертов в данной области. Если
положение разделяющей поверхности вычислено, то при предъявлении
новой истории болезни можно легко определить, по какую сторону от
разделяющей поверхности она находится, т. е. правильно поставить диаг-
ноз. Нечеткая логика позволяет улучшить классификационные модели
для определения перекрывающихся (пересекающихся) классов. Нечеткое
моделирование позволяет представить знания в виде набора нечетких ло-
гических правил, что делает этот метод привлекательным для решения
дифференциально-диагностических задач в медицине.
Как правило, число симптомов и синдромов заболевания очень вели-
ко. Так, по самым скромным подсчетам, число двоичных признаков, ха-
рактерных для закрытой травмы черепа и головного мозга, превышает две
тысячи [27, 29]. Использовать все признаки для описания заболевания не-
возможно. При решении одной и той же диагностической задачи разные
врачи считают для себя важнейшими совершенно различные симптомы,
что еще раз подчеркивает необходимость введения комплексных инфор-
мативных групповых экспертных оценок.
202
Глава 9
Истории болезни, принадлежащие разным диагнозам, как правило, не
образуют компактных областей в пространстве описаний. Это означает,
что проведение в этом случае поверхности, точно разделяющей точки,
принадлежащие историям болезни одного заболевания от другого, попро-
сту невозможно, и при диагностике будут неизбежны ошибки, вызванные
этим обстоятельством. Поэтому классы, определяющие один и тот же вид
диагноза, могут находиться в нескольких несвязных областях.
Типичный нечеткий классификатор состоит из набора правил типа
«если, тогда» с нечеткими предпосылками в следствии правила. Предпо-
сылки этих правил разбивают пространство значений признаков на неко-
торое количество нечетких областей, следствия правил описывают выход
классификатора в этих областях. Применение нечетких правил типа «ес-
ли, тогда» позволяет улучшить интерпретируемость результатов.
Рассмотрим методы нечеткой медицинской диагностики при коли-
чественных значениях параметров.
Пусть известны:
а) множество возможных диагнозов А = (д, А2,..., А-,..., Ат } в рассмат-
риваемой симптоматике или области медицины;
б) множество симптомов, т.е. параметров состояния больного, опредляю-
щих диагноз заболевания X = {Х},Х2, ...9Xi9...,Хп } ;
в) лингвистические термины каждого из этих параметров и диапазоны их
изменения;
г) нечёткие множества каждого лингвистического интервала и их функ-
ции принадлежности для всех параметров состояния и каждого из диагно-
зов;
д) матрица знаний, определяющая правила Fuzzy-логического вывода,
виды и математические формулы применяемых операторов.
Алгоритм принятия решений, позволяющий некоторому вектору чи-
словых значений параметров состояния больного (конкретной симптома-
тике заболевания) поставить в соответствие некоторый диагноз болезни
представлен на рис. 9.10.
Истории болезней в базе знаний в системе медицинской диагностики
представлены в виде таблицы вида 9.5.
Если некоторые симптомы заболевания заданы в виде качественных
параметров, то они могут быть преобразованы в количественные показа-
тели с помощью специальных цифровых шкал. Такое представление ис-
торий болезней позволило формализовать накопленный клинический
опыт, что в дальнейшем предоставило возможность на основании этого
опыта формализовать и математически описать логический процесс фор-
мирования заключений. Переход от матрицы знаний историй болезней к
композиционному правилу, построенному на основе анализа симптомов
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики
203
(входных переменных) большого количества пациентов, позволил пра-
вильно определить лингвистические термы и функции принадлежности
Fuzzy-логических множеств входных параметров и различных диагнозов,
а также нечёткие логические связи между значениями этих параметров и
диагнозом заболевания.
Сишшжы результаты
анализов и исследовани
Рис. 9.10: Структурная схема алгоритма медицинской диагностики
Табл. 9.5: Данные историй болезней
№№ Значения параметров состояния больного Диаг- нозы
Л • • • X. • • • Хп
1 хп • • • хи • • • Xln А
2 Х21 • • • X2i • • • Х2п 4
• • • • • • • • • • • • • • •
к Хк\ • • • xki • • • Xkn 4
• • • • • • • • • • • • • • • • • •
К ХК\ • • • XKi ХКп А т
204
Глава 9
В настоящее время известно большое количество примеров эффек-
тивного применения методов Fuzzy-логики в автоматизированных сис-
темах медицинской диагностики, среди которых можно отметить диагно-
стики ишемических болезней сердца, прогнозирования кровотечений при
родах [27], распознавание наличия и локализации внутричерепных трав-
матических кровоизлияний при закрытой травме черепа и головного моз-
га, разработанная в Ленинградском нейрохирургическом институте и опи-
санная проф. В.М. Угрюмовым, для распознания подтипов транзи-торных
ишемических атак, разработанная в Белорусском медицинском универси-
тете, разработанные в Германии системы диагностирования различных
видов цирроза печени, травм коленного сустава и многие другие [70, 71].
Как показывают результаты исследований, достоверность результатов ди-
агностики таких систем на данный момент составляет в среднем до 70% и
постоянно повышается, в то время как достоверность клинической диаг-
ностики по разным источникам равна 70-90%. Широкое распро-
странение получили адаптивные нечеткие системы (adaptive fuzzy sys-
tems), где подбор параметров нечеткой системы производится автомати-
чески в процессе обучения на сведениях, имеющихся в базе данных и не
требующие присутствия эксперта.
В качестве одного из иллюстративных примеров может быть приве-
дена разработанная в отделении термических заболеваний института хи-
рургии им. А.В. Вишневского РАМН нечеткая экспертная система опре-
деления степени тяжести операбельных больных с ожогами с помощью
программы fuzzy в пакете Fuzzy logic Toolbox с использованием алгорит-
мов проф. Мамдани, описанная в работе [35]. В системе используются две
входные переменные: Хг - общая площадь ожогового поражения и Х2 -
глубина ожога. В систему не включен такой фактор, как наличие сопутст-
вующих заболеваний. Выходной переменной системы Y является степень
тяжести ожогового заболевания. Для каждой переменной были установле-
ны диапазон изменения, наименования лингвистических переменных и
виды функций принадлежности для соответствующих интервалов:
- для переменной Х\ - е [О; 60%], 4 лингвистических интервала,
имена которых легкая, средняя, тяжелая и очень тяжелая степень пораже-
ния и выбраны функции принадлежности гауссового типа;
- для переменной Х2 - Х2 G [0; 40%], 3 лингвистических интервала,
имена которых легкая, средняя и тяжелая степень поражения. Функции
принадлежности для каждого из интервала - тоже гауссового типа;
- для выходной переменной Y - Y е [0; 4], выбраны 4 лингвистических
интервала, имена которых легкая, средняя, тяжелая и очень тяжелая фор-
мы и заданы функции принадлежности треугольной формы.
Fuzzy-логика в задачах классификации и диагностики 205
Для каждой комбинации входных переменных были выбраны прави-
ла нечеткого логического вывода в виде MIN-оператора.
Система позволила выявить тяжесть заболевания каждого из пациен-
тов по шкале Y g [О; 4], что дало возможность в дальнейшем с помощью
кластерного анализа правильно определить количество и характеристики
клини-костатистических групп. При этом центры кластеров были выяв-
лены с помощью алгоритма „Fuzzy C-means“ [14, 15, 82], где в качестве
входного параметра выступала степень тяжести заболевания, а в качестве
зависимой переменной - количество наименований применяемых для ле-
чения лекарственных препаратов.
Разработанная система может использоваться для отнесения новых
пациентов к одному из 4 фармаэкономических стандартов.
Глава 10. Программный комплекс автоматизации
программирования систем принятия решений мето-
дами нечёткой логики
В данном разделе книги приводится описание разработанной автором
в соавторстве с инж. Р. Ливенштейном программного комплекса автома-
тизации программирования систем управления и принятия решений, ос-
нованных на Fuzzy-технологиях.
В режиме графического интерфейса пользователь вводит основные
параметры алгоритма принятия решений, на основе которого генериру-
ется программа реализации этого алгоритма на языке программирования
С или Basic. Эта программа может быть загружена в память некоторого
вида контроллеров. При этом формируется протокол, содержащий под-
робное описание алгоритма, включающий количество, название логиче-
ских термов всех входных и выходных переменных, виды и параметры их
функций принадлежности, виды и параметры всех Fuzzy-логических опе-
раторов базы знаний, методы и параметры алгоритмов агрегирования и
дефузификации. Диалог с пользователем ведется на английском или не-
мецком языке.
Каждая проектируемая система хранится в виде отдельного проекта,
имя которого можно занести и редактировать, вызвав меню „Projekt44 в
верхней планке диалогового окна (рис. 10.1).
Кликом на клавишу „New Variable44, расположенную в левом ряду
диалогового окна, вызываем диалоговое окно для ввода всех параметров
каждой входной и выходной переменной системы (см. рис. 10.2). В соот-
ветствующие поля этого диалогового окна могут быть внесены: имя пере-
менной (поле „Name44), диапазон ее значений („Min44 и „Мах44), тип пере-
менной („Input44 или Output44), количество лингвистических термов (в поле
„Number of levels44). С помощью клавиши „Delete44 можно удалить любую
информацию, записанную в базу данных рассматриваемого проекта.
Кликом на кнопку „ОК44 эта информация заносится в память в раздел
разрабатываемого проекта. Кликом на поле „Edit44 открывается диалоговое
окно (см. рис. 10.4) для ввода названий логических термов этой перемен-
ной и параметров их функций принадлежности.
Перечень всех введенных в данном проекте переменных можно уви-
деть в диалоговом окне, представленном на рис. 10.3.
Выбрав в окне любую из переменных из базы данных данного про-
екта, кликом на поле „Edit44 вызывается диалоговое окно рис. 10.4. Наи-
менование, диапазон изменения этой переменной выводится в верхней
строке диалогового окна синим цветом. В левой верхней части этого окна
Автоматизация программирования систем Fuzzy-логики
207
Рис. 10.2: Ввод наименований и параметров переменных системы
208
Глава 10
Рис. 10.4: Ввод, редактирование и визуализация параметров
логических термов переменных
Автоматизация программирования систем Fuzzy-логики 209
пользователем на основе предлагаемых альтернатив из базы знаний вво-
дятся наименования всех логических термов переменной. Вид функции
принадлежности нечёткого множества соответствующего логического
терма выбирается из списка возможных альтернатив в правой верхней
части окна, в поле „Funktion“. Предоставляется возможность выбора сре-
ди более 25 видов функций принадлежности, рассмотренных в 1-й главе
книги. При выборе конкретного вида функции принадлежности в левой
части окна „Parameters^ выводятся поля для задания значений соответ-
ствующих параметров выбранной пользователем функции. В процессе
ввода контролируется правильность ввода и, в случае ошибок, выводится
соответствующее сообщение. После задания всех параметров логического
терма кликом на поле ,,Graph“ в правой части окна производится графиче-
ский вывод данной функции принадлежности, что позволяет контролиро-
вать правильность ввода и вносить соответствующие коррективы. После
ввода данных о всех логических термах данной переменной кликом на
поле „АП Graphs^ производится визуализация нечётких множеств всех ло-
гических термов данной переменной. Клавишей „ОК“ введенная инфор-
мация заносится в базу данных этого проекта, а клавишей ,,Close“ произ-
водится закрытие этого диалогового окна и возвращение в окно рис. 10.3.
Рис. 10.5: Диалоговое окно выбора Fuzzy-Inferenz
Кликом на поле ,,Rules“ окна рис. 103.вызывается диалоговое окно
ввода перечня правил Fuzzy-логического вывода и параметров выбранных
операторов (см. рис. 10.5). Выбор соответствующего Fuzzy-логического
210
Глава 10
правила производится из перечня альтернатив в верхней центральной час-
ти окна „Fuzzy-function". Этот перечень содержит более 15 видов Fuzzy-
логических операторов. Каждый из этих операторов реализует некоторую
формулу Fuzzy-логического вывода. Параметры этих формул - термы
входных переменных, указанных в левой верхней части окна. Кликом на
соответствующую переменную в разделе ,,Input“ мы в центральной части
окна („Parameters") выбираем из возможных альтернатив имена ее термов
для каждой из пере-менных, являющихся параметрами данного Fuzzy-
логического оператора. Располагаем выбранные параметры в порядке
вычисления по формуле данного оператора.
Результатом Fuzzy-логического вывода является значение функции
принадлежности соответствующего некоторого логического терма выход-
ной переменной, имя которой выбирается кликом в правой части диалого-
вого окна «Output Parametrs“. Ввод каждого логического правила завер-
шается кликом на клавишу „ОК“. Введенное правило заносится в базу
данных этого проекта.
В окнах „Compens. Coefficient" и „Weight" мы соответствующими ко-
дами и значениями коэффициентов определяем метод дефузификации, а
также способ агрегирования нескольких правил, идентифицирующих не-
чёткое множество одного и того же лингвистического терма выходной пе-
ременной, а также веса различных операторов, определяющих одно
Fuzzy-логическое правило.
После ввода всех правил Fuzzy-логического вывода выход из данного
диалогового окна осуществляется кликом на клавишу „Close".
Система производит семантический и синтаксический контроль пол-
ноты и корректности сформированной базы знаний (Fuzzy-Logic-Inferenz).
В случае обнаружения ошибок выдается соответствующее сообщение.
Такими сообщениями, например, могут быть: отсутствие правил, опреде-
ляющих Fuzzy-множество некоторого терма выходной переменной, не-
корректное использование операторов в некотором из правил, отсутствие
среди операндов логических правил некоторых термов входных перемен-
ных и др.
При отсутствии ошибок и в случае полноты сформированной баз
знаний кликом на клавишу „Close" мы возвращаемся в первое диалоговое
окно си-стемы (рис. 10.1.). Кликом на клавишу „Generate" система форми-
рует текст программы принятия решений на основе разработанного алго-
ритма на языке С или Basic, а также протокол, в котором достаточно под-
робно описан алгоритм данного приложения. Полученные результаты за-
пи-сываются в память системы как соответствующие разделы данного
про-екта и при необходимости могут быть выведены на экран или на пе-
чать. С помощью интерпретатора текст программы может быть интерпре-
тирован в коды определенных классов контроллеров.
Глава 11. Fuzzy-регрессионный анализ
11.1. Постановка задачи и состояние проблемы
Регрессионный анализ позволяет на основе представительной стати-
стической выборки данных о значениях входных параметрах
X = (х1?х2, ...,xw ) и соответствующих им значениях выходной перемен-
ной у построить некоторую функциональную зависимость
у = /(%|,Х2,...,Хлг). При этом вид этой функцииональной зависимости
должен быть определен с точностью до неизвестных параметров. В про-
цессе алгоритма решения оптимизационной задачи определяются опти-
мальные значения этих неизвестных параметров. В случае линейной зави-
симости у = /(xpx2,...,xw) от неизвестных параметров эта задача явля-
ется одноэкстремальной и сводится к решению системы линейных алгеб-
раических уравнений.
С помощью классического регрессионного анализа можно обрабаты-
вать только данные, представленные обычными действительными числа-
ми. Однако в ряде случаев отдельные показатели и параметры могут быть
описаны либо в лингвистическом виде (например, удовлетворительный,
хороший, превосходный), либо булевыми переменными, либо интерваль-
ными значениями. Методы Fuzzy-регрессионного анализа в качестве ис-
ходной информации могут использовать как нечеткую информацию, так и
информацию, представленную действительными числами, а также значе-
ние данных о принадлежности параметров определенным интервалам
(лингвистическим термам), что существенно расширяет область их при-
менения. Для таких данных теория нечетких множеств обеспечивает ап-
парат оперирования лингвистическими переменными, использующими
нечеткие функции принадлежности.
В нечеткой регрессионной модели параметры представляются нечет-
кими числами (Fuzzy-множествами), которые, в свою очередь, могут быть
и коэффициентами в нечеткой линейной функции. Неопределенность
(vagueness) системы представляется суммарным разбросом («шириной»)
параметров (нечетких коэффициентов). Построение модели представляет
собой в данном случае определение оптимальных в некотором смысле ко-
эффициентов модели с учетом нечеткой информации об объекте и субъ-
ективных представлений исследователя.
Базовые предпосылки методов нечеткой регрессии заключаются в
том, что остатки, полученные как разность между наблюдениями и их
оценками, определяются не случайными ошибками измерения, а неопре-
деленностями (типа нечеткость) при вычислении параметров модели.
212
Глава 11
Можно выделить два основных подхода к построению моделей не-
четкой линейной регрессии [59, 79-81, 91]. Первым подходом является
нечеткая регрессия, основанная на критерии минимизации нечеткости
(Possibilistic Fuzzy Regression Model). Вторым является подход, комбини-
рованный с методом наименьших квадратов и получивший название
FLSRA (Fuzzy least-square regression analysis [92]). Этот метод, в свою
очередь, имеет две разновидности, в одной из которых используется кри-
терий максимальной совместимости, а в другой - критерий минимизации
квадратичного отклонения. Все три метода могут в качестве исходой ин-
формации об исследуемом объекте использовать как нечеткую информа-
цию в виде функций принадлежности, так и полностью детерминирован-
ную информацию, что существенно расширяет область их использования.
Большинство работ, посвященных нечеткой регрессии были осно-
ваны на следующих базовых определениях. На основе представительной
выборки, заданной матрицей чисел:
xin .... xnN yN
необходимо найти нечеткую линейную модель в виде:
Y — ® %] + А2 ® х2 +... + Aj ® Xj +... + Ап ® хп + G. (11.1)
Здесь Л1? Л2,..., Лу.,..., и G некоторые Fuzzy-множества
(ху)), j = (G,XG)) с заданными с точностью до не-
известных параметров функциями принадлежности. Операции «®» и
«+» - соответственно операции умножения и сложения нечётких мно-
жеств. Результат вычисления по формуле (11.1) - также некоторое нечёт-
кое множество. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только не-
которых специальных видов функций принадлежности коэффициентов
Aj мате-матической модели и вычисленного значения выходной пере-
менной Y , а именно - треугольные функций принадлежности LR -
представления вида (см. рис. 11.1), где bj - соответственно пара-
метры этой функ-ции принадлежности. Вид этих функций принадлежно-
сти приведен на рис. 11.1, 11.2.
Fuzzy-регрессионный анализ
213
Рис.11.1
Рис. 11.2
Для Fuzzy-множества значения выходной переменной у. в i -м ком-
плекте информации функция принадлежности может быть представлена
формулой 0, если у. < а(у.) или yt > Z>(ja), 1, если yt = c(Jz),
^y(z) = 4 если a{yi)<yi<c{yl), —, если с(у;)< у <Ь(уХ [b<yi)-c(yiY Л
В выражении (11.2) yt - фактическое значение в i -м комплекте ис-
ходных данных, а ) - параметры функции принадлеж-
ности yt, вычисленные для этого комплекта данных на основе построен-
ной Fuzzy-регрессионной модели (11.1).
Как частный случай функции принадлежности вида (11.1) может рас-
сматриваться равносторонний треугольник (рис. 11.2).
Здесь с - координаты центра, соответствующие центру функции при-
надлежности вычисленного значения, а d - максимальная величина раз-
броса {а = с — d, b = с + d). Если все значения dj = 0 и Ь. = 0,
j = 0,1,...,п , то данные представлены действительными числами, и рас-
сматриваемая модель представляет собой четкую линейную регрессион-
п
ную модель вида у = + c(g), а значение функции принадлеж-
7=1
ности равно 1. Здесь c(g) - свободный член.
214
Глава 11
Вычисление параметров с(У1),а(у^,Ь(у^ функций принадлеж-
ности выходной переменной выражения (11.1) выполняется правилами
Fuzzy-арифметики, приведенными в таблице 3.2 (см. главу 3).
Используются два критерия определения нечетких коэффициентов
модели:
1) Для всех наблюдений принадлежность значения у. к его нечеткой
оценке должна быть минимальной, либо, по крайней мере, находиться
в пределах некоторого порогового значения показателя доверия h , выб-
ранного лицом, принимающим решение, т.е. Yi(jz) h, где 0 < h < 1.
При этом функция принадлежности выходной переменной представлена в
виде
Hr U ) =max f °’ 1 - ' - '
1 \ ei
i = 1,...,7V. (11.3)
Здесь ef. - некоторое субъективное значение допуска, выбираемое экспер-
том.
2) Общая нечеткость предсказываемого значения зависимой переменной
должна быть минимимальной. Это может быть достигнуто минимизацией
суммы разбросов нечетких чисел для всех наборов данных.
Следовательно, задача определения коэффициентов нечеткой регрес-
сионной модели на основе заданной выборки данных
может быть сформулирована в виде задачи математического программи-
рования вида.
Необходимо найти значения неизвестных параметров
)’ и (^0’^1)’ кото"
рые минимизируют функционал
л=п-с0 -(aj +bj)> <1L4)
z=l i=l 7=1
в условиях ограничений
n
Со+Ьо+сг|х,|+(1-й).£|х,|-^>1:.+(1-Л).е1.,г = 1,...Л; (H.5)
7=1
co-ao+cy-|xj-(l-/i).^|xj.67. <^.+(1-/г)-е,., i = . (11.6)
7=1
Fuzzy-регрессионный анализ 215
В формулировке X. Танака [79], являющейся, в некотором смысле,
частным случаем приведенной выше постановки задачи, задача Fuzzy-
регрессионного анализа формулируется следующим образом. Функции
принадлежности коэффициентов регрессионной модели суть треугольные
симметричные функции, у которых а}. = bj
/1 = N-c0+££ar|X.. |->min (11.7)
z=l j=0
в условиях ограничений Cl - , j = 0,1,..., n , а также ограничений вида
+ i = l,...,N', (11.8)
>1
c0+|c0|-(l-A)-^;a.-|x..|<^+(l-/z)-e,., i = l,...,N. (11.9)
J=1
С увеличением значения параметра h растет уровень нечеткости рас-
сматриваемой регрессионной модели, что иллюстрирует рис. 11.3.
Х^)
Рис. 11.3.
Здесь соответственно Y. и Yt виды функций принадлежности фак-
тического значения выходной переменной у. и рассчитанное по Fuzzy-
логической регрессионной модели.
Оценка качества настройки Fuzzy-регрессионной модели может быть
выполнена методм наименьших квадратов
Л -*/«)]’ • <''•'<»
где defQW полученное алгоритмом дефузификации вычисленное по
регрессионной модели значение выходной переменной у..
216
Глава 11
Большинство работ, посвященные данной тематике, либо уточняли
данную схему нечеткой регрессии, либо находили новые приложения для
ее успешного применения.
В случае функций принадлежности, представленных на рис. 11.2,
выражение (11.2) может быть записано в виде
max
0,1-
у;-(^су(Лу)х,у + с(О))
J=1_______________
dQ + J|x|
если d0 + j|x| Ф 0,
(И-ll)
AfU) =
1, если dQ + d\x\ = 0, | у. - (£ с^А^х& + c(D)) |= 0,
j=i
0, если dQ + d|х| = 0, | у, - (£ Cj(Aj)xv + c(D)) 0.
7=1
Здесь б?|х| - скалярное произведение векторов d и X.
В случае треугольных функций принадлежности поставленная задача
может быть математически сформулирована как задача математического
программирования следующего вида.
Необходимо найти значения действительных переменных
Cj., , bj, J = 0,1,..., п, а также с0 = c(g), а0 = a(g), b0 = b(g),
обеспечивающие максимальное значение критерия оптимальности вида
F, = Xff(z) max 0112)
i=l
В качестве дополнительных ограничений могут рассматриваться ограни-
чения вида
min Цу(у^ ^.8, (11.13)
1<Z<# 1
где 0 < 3 < 1 - некоторая пороговая величина.
Могут также рассматриваться другие критерии оптимальности сфор-
мулированной оптимизационной задачи
F2 = ZX-Fy(z)max ’ О114)
Z=1
где 0 < мл < 1, i = , - весовые коэффициенты, определяющие раз-
личную значимость отдельных комплектов информации.
Fuzzy-регрессионный анализ
217
F = min vv -uM —>max, (11.15)
l<i<N rj^i,
f4=SImz)]2 max • <1116)
Z = 1
Трудность решения задач данного вида заключается в том, рассмат-
риваемая задача является многоэкстремальной. Функция цели и левые
части ограничений задачи не являются явными функциями от оптимизи-
руемых параметров. Для проверки выполнения ограничений и вычисле-
нии значения критерия оптимальности на каждой итерации алгоритма и
при фиксированном значении переменных необходимо N раз выполнить
вычисления (11.1) и, подставив вычисленные значения в выражения
(11.13) и одного из критериев оптимальности (11.12), (11.14)-( 11.16) вы-
числить соответствующие значения. В качестве наиболее эффективных
методов решения этих задач могут быть предложены генетические алго-
ритмы [17, 60, 63] и методы глобального случайного поиска [68, 74, 80].
В 1982 г. X. Танака [79] рассмотрел модель линейной регрессии с не-
четким коэффициентом и использовал для решения этой задачи методы
линейного программирования. В 1987 г. А. Селминс и П. Даймонд [93]
ввели анализ нечеткой регрессии, основанной на методе наименьших
квадратов.
Представляют определенный интерес и другие постановки Fuzzy-рег-
рессионного анализа.
Пусть матрица наблюдений
.. •• *Я1
(ХГ)= - - Y2 (Н.17)
А"1ЛГ .. - Yn
представлена Fuzzy-числами. Необходимо найти нечеткую линейную рег-
рессиионную модель вида
Y = a, + а2 ® + ...+лу +...+ли ®Хп ч-л0, (11.18)
где коэффициенты модели и а0 - некоторые действи-
тельные числа.
Рассмотрим методы решения этой задачи в случае, когда Fuzzy-мно-
жества входных и выходных переменных представлены треугольными
функциями принадлежности. Центральные точки функций принадлеж-
ности и //(У ) соответственно входных Ху и выходных пере-
менных Yt этих Fuzzy-множеств обозначим соответственно Су и mi,
218
Глава 11
левые крайние точки - (ctj - ai}) и (т. — Л*), а правые крайние точки -
(с&. + Ptj) и (т, +цр, j = 1,...,П, z = 1,...,N.
В качестве критерия качества аппроксимации выберем минимум
средневзвешенной суммы квадратов отклонений расчетных параметров
выходной переменной по регрессионной модели Fuzzy-множеств от их
фактических значений
-> min,
(11.19)
где 0 < 1jr < 1, г = 1,2,3, - весовые коэффициенты определяющие важ-
ность значения каждого из параметров, причем /д + т;2 + т/3 = 1.
Оптимизируемыми параметрами являются значения коэффициентов
11.2. Алгоритмы решения задачи
Необходимыми и достаточными условиями достижения минималь-
ного значения критерия F являются система линейных уравнений вида
— = 0, — = 0, j = (11.20)
da^ daj.
Вычислив частные производные по каждому из оптимизируемых пара-
метров после некоторых алгебраических преобразований получаем си-
стему линейных алгебраических уравнений вида
^/kJ aj =bk,k = 0,1,...,и. (11.21)
k=Q
Коэффициенты этой системы уравнений вычисляются по формулам:
/оо=ЛГ-(71+72+77з); О1-22)
^7 + + У = о1-23)
/=1 i=l /=1
Fuzzy-регрессионный анализ
219
NN N
boo = 7i ‘ Ew< + ъ ~+ % E^ + #)’ (1 L24)
Z=1 1=1 1=1
N N N
rk0 = • Ec.t + ъ • Е<с* - «J+m • YScik+ At) > k = 1’-,«;
Z=1 Z=1 Z=1
(11.25)
N N
/kJ Ec« + ^2 ‘E^t -a/y) +
1=1 ,=l (11.26)
N
+ + Pik)- (cy +py), k = 1,...,n;
Z=1
N N
ьк=ъ- E™, • c« + • E(w< - A) • (c* - «»)+
'=> i=i (11.27)
N
+ 7з 'E^J + A)’(Cai + АД k = \,...,n.
Z=1
Решив систему (n +1) линейных уравнений (11.21)-(11.27) с (n +1)
неизвестными, мы вычислим все коэффициенты регрессионной модели.
В качестве третьей постановки задачи Fuzzy-регрессионного анализа
может рассматриваться задача, в которой матрица наблюдений (12.17)
представлена Fuzzy-числами и уравнение регрессии ищется в виде
У = Л1®Х1+Л2®Х2+...+Л/ ®X. + ...+An®Xn+G, (11.28)
где Ал, А2 ,..., Aj,..., Ап и G - некоторые Fuzzy-множества , JUA (ху-)j,
j = w, (G,//(G)) с функциями принадлежности , заданными с точ-
ностью до неизвестных пара-метров (например, c(Aj), a(Aj),b(Aj),
7=1,...Л, и c(G), a(G),b(G))-
Вычисленные в соответствии с выражениями (11.28) значения функ-
ций принадлежности выходной переменной должны сравниваться с фак-
тическим значением выходной переменной, также представленных в этих
моделях некоторыми Fuzzy-множествами. Для построения критериев ка-
чества Fuzzy-регрессионной модели используются выражения, определя-
ющие разность двух Fuzzy-множеств //(Д1<) = //(У^ ) — //(!<), которые
приведены в главе 3.
Рассмотрим также некоторые выражения, определяющие детермини-
рованный эквивалент значения разности двух Fuzzy-множеств. Построе-
220
Глава 11
ние этих показателей основано на изложенных в 4-й главе методах срав-
нения и ранжирования Fuzzy-множеств.
Наиболее приемлемой оценкой эффективности Fuzzy-множеств для
данных приложений является, по нашему мнению, некоторая оценка, ко-
торая является модификацией выражения (4.78) и может быть записана в
виде
Л (Ai;) = Л • Z(A^) + ^Z^) + • Z+{AYt), I (11.29)
Здесь
Z(A^)-координата yt центра тяжести Fuzzy-множества //(А)^), вы-
числяемая в соответствии с выражениями, аналогичными (4.75),
Z-(A^),Z+(A1<)- соответственно Fuzzy-множества //(АУ^) части
Fuzzy-множества //(ДУ^) , которые расположены левее и правее значения
0 < Лр < 1, р = 1,2,3, - весовые коэффициенты, \ — 1.
Если " треугольные функции принадлежности, то и раз-
ность этих Fuzzy-множеств //(ДУ) - также функция принадлежности тре-
угольного вида с параметрами с[//(ДУ^)], а [u(Ai;)U[//(A^)]- Тогда
детерминированным эквивалентом разности может служить выражение
Л,(А1Э = 7, • 4/W)]+ Ъ (ф/(А1Э]- akAI^)D, i = UX
(11.30)
Здесь также 0 < Т/р < 1, р = 1,2 , - весовые коэффициенты гр + Г/2 = 1.
Критерий эффективности аппроксимации в данном случае может
иметь вид
z=l i=l
где Z = l,2, а где 0 < w. < 1, i = 1,..., 2V, - весовые коэффициенты, опре-
деляющие как и в выражениях (11.14), (11.15), различную значимость от-
дельных комплектов информации. В частном случае, Wz = 1, Z = 1,..., TV.
Глава 12. Fuzzy-технологии в решении задач
многокритериальной оптимизации
12.1. Постановка и математическая формулировка задачи
Как было многократно показано в литературе (см.., например, [23, 37,
38, 55, 57, 63, 72] и др.) и подтверждено большим числом практических
приложений, использование Fuzzy-технологий в принятии многокри-
териальных решений позволяет представить более адекватную картину
реальной проблемы в условиях неопределенности и размытости исходных
данных и получить допустимое и более эффективное решение.
Методы нечёткой логики в решении задач многокритериальной оп-
тимизации являются естественным развитием детерминированных мето-
дов выбора решений в условиях, когда необходимо выбрать в качестве
наиболее эффективного решения одну из множества возможных альтер-
натив, а весовые коэффициенты предпочтения локальных целевых функ-
ций и (или) значения целевых функций в каждой из альтернатив заданы
лингвистическими термами. Так, например, такими термами для весовых
коэффициентов могут быть понятия „совсем неважно44, „несущественно44,
„существенно44, „крайне (очень) важно44 и другие. Значения целевых
функций в каждой из альтернатив, в свою очередь, могут быть также
представлены лингвистическими термами, в качестве которых могут ис-
пользоваться, например, понятия вида „ очень низкое44, „низкое44, „сред-
нее44, „высокое44, „очень высокое значение44. Кроме того, отдельные огра-
ничения в пространстве принятия решений могут быть описаны на уровне
чисто качественных понятий.
В этих условиях задача многокритериальной оптимизации интерпре-
тируется в терминах нечеткой логики (Fuzzy-логики). Лицом, принимаю-
щим решение (ЛПР), каждой возможной альтернативе Ак ставится в со-
ответствие некоторое нечеткое множество М г, которое определяет сте-
пень эффективности как каждой из целевых функций, так и всего множес-
ва критериев оптимальности в данной альтернативе. Каждое нечёткое
множество М г может быть представлено функцией принадлежности ви-
да //z [f. (X | Ar)] := f. (X | Ar) —> [0,1]. Эти функции принадлежности
могут быть сведены в матрицу принятия решений вида (см. табл. 12.1).
Наиболее эффективное компромиссное решение (альтернатива)
должно, с одной стороны, принадлежать к множеству допустимых аль-
тернатив, а с другой стороны - множеству ниболее эффективных реше-
ний. Если в модели принятия решений
222
Глава 12
Табл. 12.1. Исходные данные для принятия решений
Крите- рии Альтер- нативы ....
4 Д1Ж14)] Я1Ж14)] .... д№14)1
Аг Я1Ж14)] а№П4)] Ж(Ш)1
.... ....
/4№14)] .... а1Ж14)] Ж(Ж)]
Если в модели принятия решений множество значений векторов ло-
кальных целевых функций Z = F(X) = |Zj и множество допустимых
решений G = Цб* ||^ представлены нечеткими множествами, то Fuzzy-
логическое эффективное компромиссное решение D ищется как неко-
торое нечеткое множество, которое принадлежит пересечению этих пер-
вых двух нечетких множеств
{Z, nz2 fl.... Az,. A-.A^„ AG] A.-.-AG^} - Альтернатива A*,
удовлетворяющая условию
VD[F(X IЛ’)] = max//n[F(X | Ar)], (12.1)
является Fuzzy-оптимальным решением сформулированной задачи.
Дальнейшее изложение материала будет основываться на использова-
нии методов Fuzzy-арифметики с Fuzzy-числами и Fuzzy-множествами,
представленными в виде LR -интервалов в форме /3}LR или ,
(тх ,m2,ai9a2 )LR , функция принадлежности которых имеет вид (12.2),
О, если х<ах,х>а2,
L{—1--), если ах<х<т1,
а
1, если <х<т2,
(12.2)
/?(----), если т2 <х<а2,
а также на методах сравнения и ранжирования представленных в таком
виде Fuzzy-множеств, описанных в 4-й главе книги.
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 223
Параметры LR -представления должны удовлетворять следующим
свойствам и соотношениям:
а) должен быть задан диапазон возможных значений х G X;
Ь) а > 0, /3>Q. Если OL = 0, то левая часть функции отсутствует. Если
/? = 0, то отсутствует правая часть функции;
с) должен существовать интервал X G \тх, т2 ] (который может быть вы-
рожден в одну точку, если = т2 ), где функция достигает своего мак-
симального значения;
d) функции £(х) и 7?(х) должны быть заданы и соответственно моно-
тонно возрастающими и убывающими на множестве значений X G X;
е) для значений X G X должны выполняться неравенства
х-т. Л т. -х Л
------L > 0, —------> 0 . (12.3)
а-----Р
Формульные выражения результирующей функции принадлежности
для различных операторов Fuzzy-арифметики представлены в таблице 3.2
3-й главы книги.
Задачи многокритериального выбора могут быть условно разделены
на 2 класса:
- задачи, в которых необходимо осуществить выбор наиболее эффек-
тивной из конечного числа альтернатив,
- проблемы и задачи векторной оптимизации, в которых количество воз-
можных решений бесконечно или такое количество, что их перебрать не-
возможно, и необходимо найти решение как результат некоторой мате-
матической задачи.
В дальнейшем мы остановимся на методах решения этой задачи, ос-
нованных на выборе из конечного множества альтернатив. Рассмотрим
постановку и математическую формулировку этой задачи.
Пусть заданы выражения п критериев эффективности, представлен-
ных Fuzzy-множествами с LR -представлением функцией принадлежно-
сти/^ (X)], / = атакже т LR -представлений правых частей
функцией принадлежности ограничений , к = . Выбран-
ное решение должно удовлетворять системе ограничений в форме Fuzzy-
алгебраических неравенств вида
^(X\Ar)^RE Дк к = r = \,...,R, (12.4)
где Вк - нечёткие множества правых частей ограничений.
224
Глава 12
Известны также значения каждого из локальных критериев в каждой из
рассматриваемых альтернатив fi[f.{X | Ar)], / = 1,...,и, г = 1,...,/? (см.
табл. 12.1), а также нечёткие множества значений левых частей ограниче-
ний для каждой из альтернатив Ar- jttk[(pk(X| Д.)], к = 1,...9К,
Г = . Необходимо выбрать одну из возможных альтернатив, наи-
более полно удовлетворяющую всей системе ограничений задачи и обес-
печивающую наилучшее значение совокупности критериев эффективно-
сти.
Без ограничения общности в дальнейшем будем предполагать, что
все локальные критерии эффективности должны быть максимизированы.
Так как различные локальные критерии эффективности могут быть
выражены в различных единицах измерения и иметь различные диапазо-
ны изменения возможных значений, эти диапазоны возможных значений
этих показателей эффективности должны быть нормированы следующим
образом
Ш = minUTO/J/GO] > 0} ; (12.5)
Z+W - xnaxU W] > О}; (12.6)
<12'7)
Ji (^) Ji )
Для представления д[Х(Ж)]в виДе (12.1) определим f~(X) = an
fi+VO = a2i.
12.2. Методы решения задач многокритериальной оптимизации
Рассмотрим некоторые Fuzzy-логические аналоги известных подхо-
дов к решению задач многокритериальной оптимизации:
- различные виды сверток локальных критериев,
- лексикографическое упорядочение критериев и методы взаимных усту-
пок,
- методы ограничения локальных целей.
Ниже описываются модификации известных в литературе детермини-
рованных методов в условиях нечетих и размытых данных о коэффициен-
тах функций цели задачи и левых частей ограничений.
12.2.1. Различные условия выполнения ограничений для
нечётких множеств
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 225
Рассматриваются следующие условия выполнения ограничений для
нечётких множеств, функции принадлежности которых /Лк [(рк (X | Аг)]
и /Лк (Вк ) представлены LR -интервалами в форме (12.2):
- жесткие требования строгого выполнения Fuzzy-неравенств в каждом
из рассматриваемых сечений соответствующих Fuzzy-множеств
“2 [f>, (X | А,)] < а,(В„), a'[ft (XI А,)] < < (St), s = 1,...,S.
(12.8)
- нестрогое выполнение неравенств в каждом из рассматриваемых сече-
ний
«1 [<Рк 14)]^ «1 (4 ), «2 \<Рк Н I 4 )] «2 (Вк )> (12-9)
< \<рк (X14 )] < (Вк ), а2 (X14 )] < а2 (Вк ), 5 = 1,..., 5:
(12.10)
- слабые требования выполнения неравенств
р = 1.2. (i2.li)
5=1 5=1
12.2.2. Линейные свертки локальных критериев.
Рассмотрим в качестве обобщенного компромиссного критерия эф-
фективности Fuzzy-множество линейной свертки локальных критериев
вида
ХЛ 14) = ч 14)]Ф*2 -Ш*14)]®...® (1212)
®w„ •//„[/„(* I4)L r = l,...,R,
где 0 < ил <1, / = 1,...,И, - весовые коэффициенты, представленные
действительными числами и определяющие значимость каждого из ло-
п
кальных критериев, ил = 1.
1=1
Весовые коэффициенты также могут быть заданы в виде некоторых
Fuzzy-множеств W.. Наибольшее распространение получили треуголь-
ные функции принадлежности этих нечётких множеств. В этом случае
выражение комплексного критерия эффективности может быть представ-
лено в виде
MF2|4)=(a/1(^)®a[71(^I4)])®(x/2(^)®^[72(^I4)])®
©... ® (я, (Ж„) ® цп[/„ (X14)]\ г=1,..., R.
(12.13)
226
Глава 12
Вычисление значений обобщенных критериев эффективности для
каждой из возможных альтернатив производится по формулам Fuzzy-
арифметики, описанными в 3-й главе этой книги, которые существенно
упрощаются для случаев LR -представлений функций принадлежности
(см. раздел 3.3).
к W IЛ)}]' ® к д2 >мх 14)}]' 0|'
-Ц,{/.(Х | Л)}]"
г = 1,...,Я.
(12.14)
Здесь р > 1 - некоторый показатель степени.
В качестве другого вида нелинейных сверток может быть рассмотре-
на свертка локальных критериев вида
//(Г4 1Л) = т1п(х/2(^2)®А2[Л(^1Л)])“>тах- (12.15)
Ж14) =
12.2.3. Алгоритм решения задачи
Алгоритм решения задачи предусматривает выполнение следующих
вычислений.
1) Для каждой из альтернатив Аг, Г = 1?...?7?, проверяем выполне-
ние системы ограничений, т.е. в зависимости от требований задачи вы-
полнение одной из системы неравенств (12.8)-(12.11). Подмножество аль-
тернатив = {г = R} , для которых не выполняется хотя бы
одно из ограничений данной системы, отбрасывается из рассмотрения.
Если 7?! = R, то не существует альтернатив обеспечивающих выполне-
ние всех ограничений задачи, и алгоритм завершает свою работу. В про-
тивном случае переходи к пункту 2.
2) Для оставшегося подмножества альтернатив
R2=R/Rl={p = l,...,R2=R-Rl}
методами Fuzzy-арифметики вычисляем значения нечётких множеств
обобщенных критериев эффективности I ) или p(F2 \Ар),
р G Т?2 , с LR - представлениями функции принадлежности каждого из
этих Fuzzy-множеств вида
Ь1(А \Ap)^l(Ft \Ap)^2(F, I АЖ’ Z = 1’2’
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 227
3) Если среди множества альтернатив существует такая альтернатива
Г е R2 , ддя которой
as2(Ft \Ap)<asl(F,\Af),s = , pcR2,t = l,2, (12.16)
то эта г -я альтернатива выбирается как наиболее эффективная. Алгоритм
завершает работу. В противном случае переходим к пункту 4.
4) Проверяются другие более слабые условия доминирования альтер-
натив. Если найдется такая альтернатива т\ G R2 или r2 G R2, что спра-
ведлива одна из системы неравенств
< (Л I Л.) < < W I А ) • <F,\ Л) S “ (F, | Л,),
5 = 1,peR2, 1 = 1,2, (12.17)
S S
5=1 5=1
^r]s a2(Ft \ Ар) <^7]s • a2(Ft \ Ar ), p^R2,t = l,2, (12.18)
5=1 5=1
то эта rx -я или r2 -я альтернатива выбирается в качестве наиболее эффек-
тивной и алгоритм завершает работу.
Следует отметить, что условие (12.18) является наиболее слабым ус-
ловием доминирования. Вместо этого условия могут использоваться так-
же другие многокритериальные условия доминирования, описанные в 4-й
главе книги и основанные на вычислении центров тяжести Fuzzy-мно-
жеств С (jyj ), рассчитываемых по формулам, аналогичным (4.75)
~ А ’Цгг|4) А + A 'C(Ft[Ar)’ (12.19)
где 0 < Av < 1, - весовые коэффициенты, Л] + Л2 4- Л3 = 1, а значения
Цл1Л)’ ЦлИг) и ) вычисляются по формулам f^F,\Ap) = f (12-20) f*F,\Ap)
228
Глава 12
C(FrKp)
т- _ fllUW___________________________
C{Ft\Ap)
f A(F,|^P)(/) • #
(12.21)
o2WI^)
C+ =. .C- __________________ 112 22)
4.F,\Ap) a2(F,lAp) (IZ.AZ)
J ^(F,\Ap)^f) ' df
C(Ft\Ap)
Среди подмножества альтернатив p E R2 выбирается такая альтер-
натива r3 E R2, которая обеспечивает максимальное значение показателя
(12.19).
12.2.4, Методы лексикографического упорядочения локальных
критериев и алгоритмы последовательных уступок.
Рассматриваемые ниже математические модели и алгоритмы приня-
тия решений являются обобщением известных методов многокритериаль-
ной оптимизации [46] в условиях, когда локальные функции цели заданы
нечёткими множествами.
Пусть все локальные критерии f.\Х), i = , упорядочены по
степени их важности для лица, принимающего решение (ЛПР). То есть,
заданы чисто качественные отношения доминирования вида
f. (Х)>- .... >f. (X) (12.23)
Методы лексикографического упорядочения и последовательных ус-
тупок сводятся в этом случае к решению следующей последовательности
оптимизационных задач
^(4 14) = т|х А, [Д 14)] • (12-24)
reR2 1
Здесь | At) - оптимальное значение наиболее важного в последова-
тельности (12.23) значения локального критерия, которое соответствует
выбору альтернативы .
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 229
Далее ЛПР определяет некоторую уступку по величине данного кри-
терия в виде некоторого нечёткого множества Aj с функция принадлеж-
ности представленной в виде LR -интервалов в форме
[m, (Aj), т2 (Aj), а} (Aj), а2 (Aj )]/7? . Формулируется дополнительное ус-
ловие относительно разности нечётких множеств значений данного ло-
кального критерия для допустимого подмножества альтернатив
ХД I 4 ) ~ МД I 4 ) ^RE rfAx) > г e(R2/l). (12.25)
Проверка выполнения Fuzzy-логических неравенств для каждой из
множества альтернатив Г G Т?2 может осуществляться одним из алгорит-
мов (12.8)-(12.11), описанных в предыдущих разделах данной главы. Если
альтернатив, удовлетворяющих условиям (12.25), не существует, то аль-
тернатива At является решением задачи, и алгоритм завершает свою ра-
боту. В противном случае определяем подмножество альтернатив
01 = U I г е Я2, ц(Ё^ \АГ) - I 4 ) Zre )}• (12.26)
Формулируем и решаем следующую задачу
1 АР) = max// [Д (X 14)], (12.27)
решение которой достигается при выборе альтернативы Ар и соответст-
венно равно JU{E2 I Ар). ЛПР определяет некоторую уступку по вели-
чине критерия f. (X | Аг ) в виде некоторого Fuzzy-множества А2 . Оп-
ределяем подмножество альтернатив
02 = I r 6 01, Х^2 14)- \Ap)<re //(Д2)}. (12.28)
Если подмножество альтернатив Q2 = 0 , то альтернатива Ар явля-
ется решением задачи, и алгоритм завершает работу.
Следовательно, на некотором V -м шаге итеративного процесса реша-
ется задача
МД 14 )=m^x м LA (X14)], v=3,4,...,n. (12.29)
v r(=Qv_i v
Если решения этой задачи не существует, то альтернатива А ч, выбран-
ная на предыдущем шаге, является решением задачи, и алгоритм заверша-
ет работу. В противном случае, назначаем уступку по критерию оптималь-
ности fiv {X) в виде Fuzzy-множества Av. Определяем подмножество
альтернатив
230
Глава 12
Qv = к е Qv-l I A I A ) - ^Ev I A ) ^RE )}> (12-3°)
и переходим к следующему (v + 1) -му шагу итеративного процесса.
На каком-то V-м шаге описанного выше итеративного процесса
V — l,2,...,/7 будет найдена альтернатива, которая и является решением
сформулированной задачи.
Если на некотором V -м шаге итеративного процесса результатом ре-
шения задачи (12.29) является не одна, а несколько альтернатив, у кото-
рых значения локального критерия ]Lli [f. (X | Аг)] равны, а подмно-
жество альтернатив Qv = 0 , то в качестве решения задачи выбирается та
из них, у которой значение локального критерия [f. (X | Аг)] боль-
ше. В случае равенства и этих Fuzzy-множеств сравниваются значения ло-
кальных критериев [f. (X | Аг)] и т.д.
12.2.5. Fuzzy-логический аналог метода ограничения
_______локальных целей (Coal Programming).
В ряде случаев у ЛПР существует некоторое представление о желае-
мых значениях каждого из локальных критериев в оптимальном решении,
а также о допустимых отклонениях от этих граничных значений в компро-
миссном решении. Эти граничные значения и величины допустимых от-
клонений, без ограничения общности, могут быть представлены Fuzzy-
множествами с функциями принадлежности //. )], /Ll\6i )] и
pt[d- (Zz)], i = 1,2,..., n . В этом случае выбор наиболее эффективной из
множества допустимых альтернатив Ar, г G R2, осуществляется в ре-
зультате решения следующей задачи
А)] Д1У,(А)]> i = i,2,...,n, reRr (12.31)
При этом, если функции принадлежности [^z (2f)] нечёткого множе-
ства y/t (Jf) определены в виде LR -интервалов в форме (12.2), то для
проверки выполнения этой системы неравенств может использоваться од-
на из системы формул (12.8)-(12.11).
Если найдется хотя бы одна альтернатива, удовлетворяющая системе
нечётких ограничений (12.31), то она может быть выбрана в качестве ре-
шения сформулированной задачи. Если существует некоторое подмноже-
ство альтернатив, удовлетворяющих системе неравенств (12.31), то наи-
лучшая среди них выбирается на основании максимизации некоторой ли-
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 231
нейной свертки, включающей определенное экспертом подмножество
критериев.
Если задача (12.31) не содержит допустимых решений, то для каждой
альтернативы для всех ограничений i = 1,2,..., п определяются
нечёткие множества вида
I Л)] = I Л)] -(*)],
если pii[fi{X\Ary\
(Z,. | Аг)] = м[^(Х)] - ^(Х | Л)] ,
если A)] ^RE а1к(Х)]-
В качестве решения выбирается некоторая альтернатива Ар , удов-
летворяющая условиям
п
(12.32)
(12.33)
п
Ар = arg max^ £ w,. • (Z; | Аг)] - ^ut (Zt | Ar)] к (12.34)
и=1 /=1 J
Здесь 0 < wz < 1, 0 < ui < 1 - некоторые весовые коэффициенты, удов-
п п
летворяющие соотношениям = 1, ut = 1.
i=l z=l
12.3. Иллюстративный пример
Рассмотрим следующий иллюстративный пример. Рассматривается
задача многокритериальной оптимизации, заключающаяся в выборе наи-
более эффективной из 6 представленных альтернатив. Каждое из значе-
ний 3 целевых функций и правая часть ограничения представлены не-
чёткими множествами, функции принадлежности которых имеют вид
трапеции
= {т,[«>(Л)],т![р(Л)],а,[(г>(Л)],а![р(2|)]!„.
Соответствующие параметры LR -Fuzzy-интервалов этих целевых и огра-
ничения (р(Аг), г = 1,...,6, для каждой из альтернатив приведены в таб-
лице 12.2. Правая часть граничного значения для каждой из аль-
тернатив представлена также нечётким множеством В , функция принад-
леж-ности которого имеет вид
232
Глава 12
//(5) = {тх(В) = 2,т2(В) = 4, ах(В) = 0, а2(В) = 8}м .
Для каждой из альтернатив должно выполняться ограничение
ДД«>(4)] ^RE Г = 1,...,6.
Табл. 12.2. Параметры LR -Fuzzy-интервалов целевых функ-
ций и ограничения для каждой из альтернатив
Аль- тер- на- ти- вы Целе- вые функ- ции и ограни- чний Параметры LR -Fuzzy-интервалов целе- вых функций и ограничений
/п,[/(4] ™2[/(4] а2[/(4]
1 2 3 4 5 6
Л 4(4) 0 3 4 6
4 (4) 5 6 8 9
ЛИ) 0 2 4 7
р(4) -1 1.5 5 10
4 4(4) 1 2 5 7
4(4) 4 7 8 9
4(4) 1 2 5 6
<р(4) 1 3 6 8.5
4 л 4(4) -1 2 4 8
4(4) 2 5 7 10
4(4) 2 3 4 5
р(4) 0.5 2.2 4.8 8.3
4(4) -2 0 5 9
4(4) 3 6 9 10
4(4) -1 3 5 8
<*>(4) 1.5 3 7 10
Табл. 12.2 (продолжение)
1 1 L—2 1 3 1 4 1 L_ 1 LJ
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 233
4 4(4) 2 3 4 5
4(4) 6 7 8 9
4(4) 0 2 4 6
p(4) 0 1.5 3.5 9
4 f,W -1 3 4 10
4(4) 5 7 8 10
4(4) 2 3 4 6
$44) 0.7 3.2 5 8
Так как для альтернатив г = 2,3,4,6 выполняются неравенства
[<р(4)] > т, (В), т2[<р(Аг)] > т2(В), а,[(р(Аг)] > а,(В),
a2[tp(Ar)]>a2(B), (12.35)
то эти альтернативы являются допустимыми.
Проверка выполнения ограничений для альтернатив Д и А5 произ-
водится методом соотношения интервалов этих Fuzzy-множеств в сече-
ниях ах =0 с весовым коэффициентом Wj =0.1; а2 =0.5, w2 =0.2;
а3 = 0.75, w3 = 0.3; а4 = 1.0, w4 = 0.4. Соответствующий показатель
вычисляется по формуле
^[^(Л)] = и\ • [<?! (А) + а2 (Л)] + w2 • |Д (А | а = 0.5) + Ь2 (А | а = 0.5)] +
+ и’з • [Д (А | а = 0.75) + Ь2 (А | а = 0.75)] + w4 • \тх (А) + т2 (Л)].
(12.36)
Здесь Ьр (А | а = у), /7 = 1,2,- координаты крайних точек в соответст-
вующем сечении.
Следовательно, у/(В) = 6.55, ^[^(А1)] = 7.0, у<[^(Л5)] = 6.1. Так
как И^(4)] > )], то альтернатива Ах является допус-
тимой, а альтернатива А5 - недопустимой.
Нормированные в соответствии с выражениями (12.5)-(12.7) пара-
метры функций принадлежности
Г?.ЛЧ1 QP[f(Ar)]-qp[f(A)]
qP \J\Ar)]=.-
qPU(Ay\-q [f(A)]
(12.37)
234
Глава 12
где q = т или q-a, р~ 1,2,
сведены в табл. 12.3.
Табл. 12.3: Параметры LR -Fuzzy-интервалов нормированных значе-
ний целевых функций для допустимых альтернтив
Аль- тер- на- ти- вы Целе- вые функ- ции и ограни- чний Параметры LR -Fuzzy-интервалов нор- мированных значений целевых функций
/пД/СА] «2[/(А]
А /,(4) 0.167 0.417 0.5 0.667
/2(А) 0.375 0.5 0.75 0.875
/з(А) 0.111 0.333 0.555 0.889
А /ЛА) 0.25 0.333 0.583 0.75
А(А) 0.25 0.625 0.75 0.875
/з(А) 0.222 0.333 0.667 0.778
А Л(А) 0.083 0.333 0.5 0.833
А(А) 0 0.375 0.625 1.0
/з(А) 0.333 0.444 0.555 0.667
А 7(A) 0 0.167 0.583 0.917
7(A) 0.125 0.5 0.875 1.0
/3(А) 0 0.444 0.667 1.0
А 7(A) 0.083 0.417 0.5 0.833
Л(А) 0.375 0.625 0.75 1.0
7(A) 0.333 0.444 0.555 0.778
В качестве компромиссного критерия эффективности рассматрива-
ется выражение
F(Z)= max {И ®7.(А)]Ф[Л2 ®/2(Д.)]®
г=1,2,3,4,6
(12.38)
В качестве наиболее эффективной среди всех альтернатив принимается
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 235
альтернатива, которая является наиболее перспективной в смысле Fuzzy-
логического соотношения { >Re> >Re }.
Это Fuzzy-логическое неравенство определяется правилами строгого до-
минирования F(Ar) >Re если справедливы неравенства
ai(F I Л) > ax(FI Л) ’ m^F I А) m^F | Ар),
m2(F\Ar)>m2(F\Ap), a2(F | Ar)> a2(F | Ар), (12.39)
т.е. если выполняются четкие детерминированные соотношения.
Значения весовых коэффициентов, определяющих приоритет различ-
ных локальных целевых функций определим равными \ =0.4,
7^ =0.35, 23 =0.25.
Вычисленные правилами Fuzzy-арифметики значения параметров
функций принадлежности компромиссного критерия F(Ar ) для каждой
из допустимых альтернатив г = 1,2,3,4? 6 приведены в таблице!2.4.
Табл. 12.4. Параметры LR -Fuzzy-интервалов
компромиссного критерия
Допусти- мые аль- Параметры Z/? -Fuzay^HurepEanaz нолшролпссюго критерия
<1.(0 »i(F) 01(^3
А, 0226 0.425 06015 0.795
4 02435 0.435 06625 0.801
А 0.116 0.375 0558 0.85
4 0044 0.353 0.706 0.967
4 0247 0.497 06015 0.878
В соответствии с условиями строгого предпочтения (12.8), (12.16) ус-
танавливается, что F(y42) >Re ^(4) >Re ^(4) • Следова-
тельно, необходимо проверить правила относительного предпочтения в
виде (12.11) только для следующих 4 альтернатив: Л2, Л4, Л5, Ав .
Количество, виды сечений соответствующих нечётких множеств и
значения весовых коэффициентов И}, / = 1,2,3,4, принимаются такими
же, как и выше при проверке выполнения ограничений. В результате вы-
полненных вычислений получены следующие значения показателей эф-
236
Глава 12
фективности для различных альтернатив, представленные действитель-
ными числами: y/(F | А2) = 1.08265, ^(F | А3) = 0.942,
HF | А4) = 1.0458, y/(F | А6) = 1.1058.
Так как ^(F | А3) < yr(F | А4) < y/(F | А2) < y/(F | А6), то в ка-
честве наиболее эффективной альтернативы выбирается альтернатива А6 .
12.4. Примеры принятия многокритериальных решений
в жизненно важных ситуациях
В данном разделе книги рассматриваются ситуации выбора из неко-
торого множества альтернатив наиболее эффективного компромиссного
решения в двух жизненно важных ситуациях: выбор места работы и по-
купка (или аренда) жилого дома или квартиры. Каждая из возможных аль-
тернатив принятия решений характеризуется целой совокупностью пока-
зателей. Неудовлетворительные значения некоторого подмножества по-
казателей одной альтернативы могут компенсироваться приемлемыми
значениями подмножества показателей другой группы, и не существует
ни одной альтернативы, в которой значения всех частных показателей эф-
фективности были бы более приемлемыми, чем значения этих же показа-
телей во всех других альтернативах.
12.4.1. Принятие решений при покупке или аренде
дома и квартиры
Рассматривается задача выбора наиболее эффективной из представ-
ленного множества альтернатив покупки жилого дома.
При покупке дома или квартиры необходимо учитывать следующие 9
основных факторов, оказывающих определяющее влияние на выбор при-
нимаемого решения при рассмотрении различных предложений и альтер-
натив:
1) стоимость покупки с учетом непредвиденных расходов (в млн. EUR),
2
2) полезная для жилья площадь дома (в т ),
3) эффективность использования (с учетом потребности семьи) площади
приусадебного участка,
4) современность оборудования и техническое состояние дома,
5) удобство планировки помещений в соответствии с потребностями всех
членов семьи,
6) экология района (наличие промышленной зоны, вредных выбросов, шу-
ма, близость зеленой зоны, водоемов и т.п.),
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 237
7) характеристика инфраструктуры (престижность района, криминалитет,
близость торговых центров, детских и школьных учреждений, удобство
транспортных коммуникаций, ресторанов, клубов, кинотеатров, близость
автомагистралей и т.п.),
8) средневзвешенное время проезда всех членов семьи до мест работы и
учебы,
9) месячные эксплуатационные расходы на отопление, электроэнергию,
вывоз мусора, уборку окружающей территории и т.п. (в EUR).
Показатели 3-8 оцениваются пользователем в относительных едини-
цах и устанавливаются в пределах Ft е [(), 1], . Каждый из рассматрива-
емых частных показателей представлен нечётким множеством с треуголь-
ной функцией принадлежности, где m(F)- центр треугольника и
)) = 1, a и b(F.) - его левое (минимальное) и правое
(максимальное) возможное значение этого параметра.
В качестве компромиссного критерия выбирается некоторая линей-
ная свертка из Fuzzy-множеств частных критериев вида
Ф = (- • FJ® w2 • F2 Ф w3 • F3 Ф w4 • F4 Ф w5 • F5 Ф w6 • F6 Ф
Ф w7 • F7 Ф w8 • F8 Ф (-w9 • F9) —> max.
Выбранные пользователем значения весовых коэффициентов соот-
ветственно равны =0.3, w2=0.1, W3=0.03, w4=0.1,
w5 =0.12, w6 =0.05, w7 =0.08, w8 =0.07, w9 =0.15.
Параметры треугольных функций принадлежности отдельных пока-
зателей каждой из альтернатив сведены в таблицу 12.5. В каждой из кле-
ток этих таблиц первое число определяет m(F.), второе &(F) , а третье
ад>.
Нормирование показателей эффективности производится в соответствии
с выражением
?(Л1А) =
g(^j_A)
max b(F | А.)
ist<6 ' *
i = l,...,9, k = l,...,6,
(12.40)
где q(Ft | Ак) и q{F( | Ak) - соответственно фактическое и нормирован-
ное значение некоторого i -го показателя треугольной функции принад-
лежности показателя в к -й альтернативе.
Нормированные значения показателей всех треугольных функций
принадлежности приведены в табл. 12.6.
238
Глава 12
Рассчитанные методами Fuzzy-арифметики параметры треугольных
функций принадлежности комплексных показателей эффективности
Fuzzy-множеств различных альтернатив, которые сведены в табл. 12.7
Табл. 12.5: Параметры .множеств показателей каждой из альтернатив
№ аль- терн. Основные показатели эффективности
г. Г2 г3 Г4 Г6 Г7 г8 Г9
1.42 280 11.0 1.0 0.8 0.9 0.85 0.75 700
1 1.5 280 0.5 0.2 0.1 0.1 0.15 0.2 800
1.7 280 0 0 0.15 0.08 0.2 0.2 900
1.1 230 12.5 0.85 0.9 0.85 0.9 0.6 600
2 1.2 230 1.0 0.1 0.05 0.08 0.2 0.1 650
1.33 230 0 0.05 0.1 0.07 0.2 0.15 725
0.84 180 8.0 0.95 1.0 0.95 0.95 0.9 600
3 0.9 180 0.3 0.05 0.2 0.1 0.25 0.15 600
0.99 200 0 0.05 0 0.12 0.1 0.1 700
1.45 300 10.0 0.9 0.75 0.75 0.75 0.85 725
4 1.6 300 0.5 0.15 0.05 0.1 0.1 0.1 800
1.83 300 0 0.15 0.05 0.1 0.1 0.15 900
1.21 250 9.0 0.75 0.9 0.95 0.95 0.5 495
5 1.3 250 0.3 0.03 0.08 0.15 0.15 0.1 550
1.43 250 0 0.05 0.1 0.05 0.05 0.2 650
0.9 175 11.5 0.6 0.9 1.0 1.0 0.7 450
6 0.95 175 0.6 0.1 0.05 0.25 0.25 0.1 450
1.184 205 0 0.05 0.08 0 0 0.25 570
Как видно из результатов вычислений, нечёткое множество показа-
теля эффективности альтернативы А3 //(Ф | А3) имеет абсолютное
предпочтение перед нечёткими множествами альтернатив А{, А2, Ал и
А5 , так как
пш1[а(Ф | А3), т(Ф | А3), Ь(Ф | А3) ] > шах[«(Ф | Ак), т(Ф | Ак), Ь(Ф | Ак ) ]
к = 1,2,4,5. Однако, так как альтернатива а(Ф | А3) < Ь(Ф | А6), альтер-
натива А3 не имеет абсолютного предпочтения перед альтернативой Ав,
воспользуемся правилами относительного предпочтения. Вследствие
справедливости неравенств
а(Ф | А3) > а(Ф | А6) и Ь(Ф | А3) > Ь(Ф | А6)
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 239
имеют место условия относительного предпочтения А3 >- А6.
Следовательно, альтернатива А3 выбирается в качестве наиболее пред-
почтительной среди всех рассматриваемых допустимых альтернатив.
Табл. 12.6: Нормированные значения показателей всех
треугольных функций принадлежности
№ аль- терн. Нормированные значения основных показателей эффективности
Л F2 F3 F< f5 F6 Fj F* F9
0.776 0.933 0.84 0.8 0.7 0.8 0.7 0.55 0.778
0.82 0.933 0.88 1.0 0.8 0.9 0.85 0.75 0.889
1 0.929 0.933 0.88 1.0 0.95 0.98 0.95 0.95 1.0
0.601 0.767 0.92 0.75 0.85 0.77 0.7 0.5 0.666
0.656 0.767 1.0 0.85 0.9 0.85 0.9 0.6 0.722
2 0.727 0.767 1.0 0.9 1.0 0.92 1.0 0.75 0.905
0.459 0.6 0.616 0.9 0.8 0.85 0.7 0.75 0.667
0.492 0.6 0.64 0.95 1.0 0.95 0.9 0.9 0.667
3 0.541 0.667 0.64 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.778
0.792 1.0 0.76 0.75 0.7 0.7 0.65 0.75 0.806
л 0.874 1.0 0.8 0.9 0.75 0.75 0.75 0.85 0.889
4 1.0 1.0 0.8 0.95 0.8 0.8 0.85 1.0 1.0
0.661 0.833 0.696 0.72 0.82 0.9 0.8 0.4 0.545
0.71 0.833 0.72 0.75 0.9 1.0 0.95 0.5 0.611
5 0.781 0.833 0.72 0.8 1.0 1.0 1.0 0.7 0.722
0.492 0.583 0.872 0.56 0.85 0.95 0.75 0.6 0.5
0.519 0.583 0.92 0.6 0.9 1.0 1.0 0.7 0.5
6 0.647 0.683 0.92 0.65 0.98 1.0 1.0 0.95 0.633
12.4.2. Выбор места работы из конечного множества
полученных предложений
В качестве критериев выбора наиболее эффективного места работы
могут рассматриваться следующие показатели:
1) месячный должностной оклад (в евро);
2) перспективы карьерного роста, которые могут быть выражены в раз-
мерах ожидаемого месячного должностного оклада (в евро) через не-
который определенный промежуток времени;
Табл. 12.7: Комплексные показателей эффективности Fuzzy-
множеств различных альтернатив
240
Глава 12
Параметры Fuzzy-множеств показателей эффективности различных альтернатив
4 ^2 4 А 4 4
а(Ф) 0.153 0.2 0.239 0.152 0.206 0.227
/и(Ф) 0.190 0.222 0.284 0.178 0.221 0.267
Й(Ф) 0.190 0.216 0.287 0.143 0.222 0.253
3) требуемое количество работы часов в неделю (в часах);
4) условия работы, техническое оснащение рабочего места;
5) рабочий климат в коллективе и прогнозируемые отношения с руко-
водством и коллегами;
6) время, затрачиваемое на дорогу (продолжительность поездки туда и
обратно (в часах));
7) доля рабочего времени, проводимого в командировках;
8) соответствие профиля выполняемой работы опыту и уровню квалифи-
кации и вероятность прохождения испытательного срока и получения до-
говора на длительный срок;
9) возможность повышения квалификации и приобретения новых знаний.
Критерии 1, 2, 4, 5, 8, 9 рассматриваются как максимизирующие кри-
терии, а критерии 3, 6 и 7 как минимизируемые.
Значения показателей 4, 5 и 7-9 при оценке каждого перспективного
места работы могут быть выражены в относительных единицах в диапа-
зоне [0,1].
Следует отметить, что в процессе оценки каждой из возможных аль-
тернатив значения всех перечисленных выше показателей, кроме пока-
зателей 1 и 4, можно представить только в виде некоторых нечётких мно-
жеств, с треугольными функциями принадлежности. Здесь, как и в при-
мере 1, т(Р\) - центр треугольника и //(тгг(7\-)) = 1, a a(F\) и b^F^ - его
левое (минимальное) и правое (максимальное) возможное значение этого
параметра. Значения каждого из этих показателей для всех рассматривае-
мых альтернатив сведены в таблицу 12.8.
В качестве компромиссного критерия выбирается некоторая линей-
ная свертка из Fuzzy-множеств частных критериев вида
Ф = Wj -Fj ®w2 F2 ®(-w3 -F3)® w4 -F4 Ф w5 F5 ®(-w6 -F6 )®
Ф (-w7 • F7)Ф w8 • F8 Ф (-w9 • F9 ) —> max.
Выбранные пользователем значения весовых коэффициентов соот-
ветственно равны
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 241
w1 = 0.35, w2 =0.13, w3 =0.1, w4 =0.03, w5 =0.1, w6 =0.08,
w7 = 0.07, w8 = 0.08, w9 = 0.06.
Нормированные в соответствии с выражением, аналогичным выра-
жению (12.40), значения показателей всех треугольных функций принад-
лежности приведены в табл. 12.9.
Табл. 12.8: Параметры Fuzzy-множеств значений показателей
№ аль- терн. Основные показатели эффективности
л F2 F, f4 f5 F6 F, Fs F.
6000 6500 55 0.65 0.5 1.8 0.2 0.7 0.3
1 6000 6750 60 0.7 0.55 2.0 0.3 0.75 0.35
6000 7000 70 0.75 0.6 2.2 0.4 0.8 0.4
4000 5000 40 0.8 0.8 1.2 0 0.9 0.5
2 4000 5500 40 0.85 0.85 1.5 0.05 0.92 0.55
4000 5750 40 0.9 0.87 1.7 0.05 0.94 0.6
5500 6200 50 0.5 0.75 1.5 0.1 0.8 0.4
3 5500 7000 55 0.55 0.8 1.6 0.12 0.82 0.42
5500 8000 60 0.6 0.82 1.7 0.15 0.85 0.45
5200 5600 40 0.9 0.95 2.0 0.1 0.9 0.2
4 5200 6000 43 0.95 0.97 2.2 0.15 0.95 0.25
5200 6500 45 1.0 1.0 2.5 0.17 1.0 0.3
4800 5000 40 0.7 0.7 1.0 0.15 0.85 0.8
5 4800 5200 40 0.75 0.75 1.2 0.2 0.87 0.9
4800 5500 45 0.8 0.8 1.3 0.22 0.9 1.0
Методами Fuzzy-арифметики вычислим параметры треугольных функ-
ций принадлежности комплексных показателей эффективности нечётких
мно-жеств различных альтернатив, которые сведены в табл. 12.10.
Как видно из результатов вычислений, нечёткое множество показа-
теля эффективности альтернативы А3 //(Ф | А3 ) имеет абсолютное
предпочтение перед нечёткими множествами альтернатив Аг, А2 и А5,
так как для к = 1,2,5 справедливо соотношение
тт[«(Ф | Л3),ти(Ф | Л, ),Л(Ф | Л3)] >
> тах[а(Ф | ЛЛ),т(Ф | Ак),Ь(Ф | Л4)].
242
Глава 12
Табл. 12.9: Параметры нормированных значений показателей
№ аль- терн. Основные показатели эффективности
Л F1 Ъ F6 F, F,
1.0 0.812 0.786 0.65 0.5 0.72 0.5 0.7 0.3
1 1.0 0.844 0.857 0.7 0.55 0.8 0.75 0.75 0.35
1.0 0.875 1.0 0.75 0.6 0.88 1.0 0.8 0.4
0.667 0.625 0.571 0.8 0.8 0.48 0 0.9 0.5
2 0.667 0.688 0.571 0.85 0.85 0.6 0.125 0.92 0.55
0.667 0.719 0.571 0.9 0.87 0.68 0.125 0.94 0.6
0.917 0.775 0.714 0.5 0.75 0.6 0.25 0.8 0.4
3 0.917 0,875 0.788 0.55 0.8 0.64 0.3 0.82 0.42
0.917 1.0 0.857 0.6 0.82 0.68 0.375 0.85 0.45
0.867 0.7 0.571 0.9 0.95 0.8 0.25 0.9 0.2
4 0.867 0.75 0.614 0.95 0.97 0.88 0.375 0.95 0.25
0.867 0.813 0.643 1.0 1.0 1.0 0.425 1.0 0.3
0.8 0.625 0.571 0.7 0.7 0.4 0.375 0.85 0.8
5 0.8 0.65 0.571 0.75 0.75 0.48 0.5 0.87 0.9
0.8 00.688 0.64 0.8 0.8 0.52 0.55 0.9 1.0
Табл.12.10: Параметры Fuzzy-множеств комплексных
показателей эффективности
Параметры Fuzzy-множеств показателей эффективности различных альтернатив
4 4 4 4 4
а(Ф) 0.4279 0.4247 0.4627 0.4617 0.4479
т(Ф) 0.4575 0.4259 0.4713 0.4636 0.4551
Ь(Ф) 0.3942 0.4317 0.4797 0.463 0.461
Так как а(Ф | А3) < Ь(Ф | А4), то альтернатива А3 не имеет абсо-
лютного предпочтения перед альтернативой А4. Однако вследствие спра-
ведливости неравенств
а(Ф | А3) > а(Ф | А4) и Ь(Ф | А3) > Ь(Ф | А4)
Fuzzy-технологии в задачах многокритериальной оптимизации 243
имеют место условия относительного предпочтения А3 >- А4. Поэтому
альтернатива А3 выбирается в качестве самой эффективной среди всех
рассматриваемых альтернатив.
Глава 13. Задачи нечёткого математического
программирования
13.1. Постановки и математические формулировки задач
нечеткого математического программирования
Стандартная задача математического программирования формули-
руется обычно как задача максимизации (или минимизации) некоторой
целевой функции на заданном множестве допустимых решений, которое
описывается системой равенств или неравенств. Например:
/(%’) = max/(JT), (13.1)
XeG
G = {АГ |^(Х) < 0, i = < Xj < h2J,j - (13.2)
где X = i<x1,x2,....,xJ,...,xn) - вектор действительных чисел, на каждую
компоненту которого, в общем случае, накладываются двухсторонние ог-
раничения вида й1у < Xj < h2j, j = ,
f (X) - функция цели задачи,
(X), i = , - правые части ограничений.
Параметры и коэффициенты функций f(X}, щ(Х), i = а
также граничные значения /21;. ,/22/, у=15...5и, - суть действительные
числа.
В частных случаях на все или отдельные компоненты вектора опти-
мизируемых параметров X могут накладываться ограничения целочис-
ленности, или требования, что они могут быть принимать только булевы
значения. Функции f^X} и (или) i = могут быть пред-
ставлены в форме линейных многочленов от оптимизируемых парамет-
ров.
В практических приложениях рассматриваются также постановки за-
дач, связанных с выбором наиболее эффективного решения из множества
рассматриваемых альтернатив Ак , к = . Для каждой к -й альтер-
нативы заданы значения вектора оптимизируемых параметров - (% | Ак),
критерия эффективности и левых частей функций ограничений
Необходимо найти
Задачи нечеткого математического программирования
245
f(X | Л') = тах<
h., <(х, I А,) <
(13.3)
При формулировании задач математического программирования в
условиях размытых данных, т.е. в нечеткой постановке задачи, коэффици-
енты и параметры функции цели f (, функций ограничений (X),
i — , а также граничные значения и h2j , j = , могут
быть представлены не детерминированными величинами, а нечёткими
множествами. Кроме того, вектор оптимизируемых параметров X в со-
ответствии с условиями задачи должен быть также представлен в виде не-
которого нечёткого множества, определенного с точностью до неиз-
вестных детерминированных параметров.
Формы нечеткого описания исходной информации в задачах приня-
тия решений могут быть различными, что также является причиной раз-
личных постановок и математических формулировок задач нечеткого ма-
тематического программирования. Ниже приводятся наиболее часто
встречающиеся в литературе постановки и математические формулировки
задач математического в условиях нечётких данных.
Задача 13.1. Необходимо найти оптимальное значение вектора дей-
ствительных переменных в условиях, когда коэффициенты критерия оп-
тимальности, а также верхние и нижние граничные значения всех или не-
которых компонент этого вектора заданы некоторыми нечёткими мно-
жествами
F(jr*) = maxF(X), Q = {х | <Re х. <Re H2J, j = 1,.(13.4)
X&Q
В качестве частных случаев постановки этой задачи могут рас-
сматриваться задачи, в которых на некоторые или все компоненты век-
тора X накладываются условия целочисленности, а также задачи, в ко-
торых все граничные значения и h2- - действительные числа.
Обобщением задачи 13.1 является многокритериальная постановка
этой задачи в виде (13.5), в которой необходимо найти компромиссное
наиболее эффективное решение в условиях нескольких критериев опти-
мальности, параметры которых заданы нечёткими множествами и множе-
ство Q определяется аналогично (13.4).
Fr(Jf) —>тах, г = X (13.5)
Представляют интерес также постановки задач, когда оптимальное
решение задач (13.4) и (13.5) необходимо найти среди некоторого множе-
ства рассматриваемых альтернатив
246
Глава 13
max{F(X|A)|(Jr|A)e0},
max {Fr(JV|4),r = l,...,7?|U|A)ee} •
(13.6)
(13-7)
Задача 13.2. В отличие от задачи 13.1, здесь решение ищется не в ви-
де детерминированного вектора X е Q, а в виде вектора компонент не-
чётких множеств X g Q, функции принадлежности которых (Ху ) оп-
ределены с точностью до неизвестных параметров.
Задача 13.3. Рассмотрим нечеткий вариант постановки задачи (13.1),
(13.2), в которой разрешается “смягчить” некоторые или все огра-
ничения, т.е. допустить возможность их нарушения с той или иной сте-
пенью. Это нарушение допустимо только в определенном заданном экс-
пертом диапазоне и связано с некоторой величиной штрафа. Этот штраф
должен учитываться в критерии оптимальности, и величина его может
быть задана нечётким множеством. Кроме того, часто вместо максими-
зации функции /(X) можно стремиться к достижению некоторого за-
данного значения этой функции, причем различным отклонениям значе-
ния функции от этой величины приписывать различные степени допусти-
/(Jf’) = max^
X&G
мости.
т
, (13.8)
1=1 J
G = \<pt(X) < (b. + J,), i = l,...,zw; hXJ < Xj < h2j,j = ,
(13.9)
где
О, если (p^X) <bt
LTr z \ 7 J . i----1--- , если < (JQ < J.
I di — bt
Следует отметить, что задача 13.3 также может быть сформулирована
в случае возможности выбора решения из множества рассматриваемых
альтернатив.
Обобщением задачи 13.3 является многокритериальная постановка
этой задачи, в которой задан не один, а несколько критериев оптималь-
ности. Эта задача подробно рассмотрена в работах автора [45,46 ] и в 14-й
главе книги..
Задача 13.4. В сформулированной в виде (13.1), (13.2) задаче матема-
тического программирования параметры функции цели и ограничений, а
Задачи нечеткого математического программирования
247
также допустимые граничные значения вектора переменных задачи -
нечеткие множества с заданными функциями принадлежности. Решение
задачи ищется в виде вектора действительных чисел.
Частным случаем рассматриваемой задачи является задача нечёткого
линейного (Fuzzy- линейного) программирования в виде
Q •х1 Ф С2-х2 Ф...Ф -Xj Ф...Ф Сп -хп -»шах, (13.11)
Тг =4, - Xj Ф Д2 х2 Ф...Ф 4у -Xj Ф...Ф 4„ хп <ReBt, i = ,
(13.12)
— Re Xj — Re J • (13.13)
Здесь Cj, HXj,H2J, j = l,...,n; Bt, i = Ay, i =
j = , - нечёткие множества с заданными функциями принадлеж-
ности;
Сj • Xj и Ад • Xj - операции умножения нечётких множеств на дей-
ствительное число, результатом выполнения которых является также не-
чёткое множество;
Сj • Xj © Ср • хр - операции сложения двух нечётких множеств, резуль-
татом которой является нечёткое множество.
Обобщением задачи (13.10)-(13.12) является многокритериальная за-
дача нечёткого линейного программирования, в которой не один, несколь-
ко критериев оптимальности
Ср1 -X] Ф Ср2 -х2 Ф...Ф Сру ху. Ф...Ф Ср„-хп —> max, р =
(13.14)
Решение задачи 13.4 можно искать среди множества различных аль-
тернатив , Л2,..., АкАК. Для каждой альтернативы определены зна-
чения вектора оптимизируемых параметров (X | Ак ), функции принад-
лежности нечётких множеств всех ограничений (Ч^ | Ak ), i = т , и
критерия оптимальности (F | Ак ). Подмножество допустимых альтерна-
тив fl = {1,.где L < К, удовлетворяющих системе Fuzzy-логи-
ческих неравенств вида
(Ч^. | Ak}<^Q Bi9 i — , HXj <Re (ху | Ак) <Re Н2р j =
(13.15)
необходимо проранжировать по убыванию нечётких множеств критериев
эффективности
248
Глава 13
(F | Aki) >Re (F | AkJ >Re ... >Re (F | Aki) >Re ... >Re (F | Aki). (13.16)
Альтернатива (F | Ак^) , которая стоит первой в ранжировочном ря-
ду (13.16) принимается в качестве решения сформулированной задачи.
В качестве частного случая задачи нечеткого линейного программи-
рования (13.11), (13.12) может рассматриваться задача булевого нечеткого
программирования, в которой переменные могут принимать только два
значения ху- = О V 1.
В дальнейших разделах этой главы будет показано, что, рассматривая
различные сечения (дискретные а -уровни) нечётких множеств функции
цели и ограничений задачи, исходная задача сводится к решению ряда де-
терминированных задач линейного программирования. В результате не-
чёткие ограничения принимают определённый интервальный вид. Однако
при этом количество ограничений увеличивается, как минимум, в два ра-
за, но полученную задачу уже можно решить симплексным методом. Сле-
довательно, за гибкость в целом ряде случаев приходится платить ценой
увеличения размерности задачи. Общая схема построения алгоритмов ре-
шения задач нечёткого математического программирования, позволяю-
щих получить решение задачи как в виде вектора детерминированных
значений переменных, так и в виде вектора нечетких множеств, представ-
лена на рис. 13.1.
Наиболее общий вид представляет собой многокритериальная поста-
новка задачи нечеткого математического программирования в следующей
самой общей постановке
{f*(X) | X е max, к = 1,...,^, (13.17)
где
G = {X | (X) <Re Bt, i = (13.18)
Здесь X = |х1,...,ху.,...,хя}- вектор действительных чисел переменных
задачи,
Fk (X) - к -я целевая функция, параметры которой - нечеткие множест-
ва,
Ч7. (X) - левая часть функции i -го ограничения задачи, параметры кото-
рой - нечеткие множества,
В. - нечеткое множество i -го ограничения задачи.
Для решения данной задачи в ряде случаев экспертом устанавливаются
некоторые нечеткие множества Ek, к = 1,...,F , (или граничные детер-
Задачи нечеткого математического программирования
249
Рис. 13.1: Общая схема методов построения алгоритмов нечёткого
математического программирования
минированные величины Ек ) наиболее предпочтительных значений каж-
дого из критериев оптимальности. Рассматриваются нечеткие множества
вида
frk(X)\Fk(X)-Ek >Reo}, к=\,...,К; (13.19)
{^(Х) I TZ(X) - >Re о}, i = 1,...,т. (13.20)
Формулируется некоторый обобщенный критерий оптимальности
250
Глава 13
ф= fW*) ntor
(13.21)
U=i J u=i
Оптимальное решение задачи ищется как вектор максимизирующий
выражение (13.21). В качестве оператора объединения нечетких мно-
жеств может быть применена некоторая из t -норм, рассмотренных во 2-й
главе (например, min-оператор или Prod- оператор). Решение сформулиро-
ванной задачи может искаться и среди некоторого конечного множества
альтернатив.
13.2. Методы решения задач нечёткого (Fuzzy-) линейного
программирования
13.2.1. Постановка и математическая модель задачи
Рассматривается задача нечёткого линейного программирования ви-
да (13.11), (13.12) в условиях, когда X G Н - вектор детерминированных
переменных, на которые условиями
Н = {X е 9Г I й’ < х. < h*,j = (13.22)
наложены двухсторонние ограничения;
Ci, С2С j ,...9Сп - Fuzzy-числа (нечёткие множества), представлен-
ные LR -интервалами ja, (су ), ml (Cj), т2 (Cj), а2 , j = 1,.п,
Ay - также нечёткие множества, представленные LR -интервалами вида
{ai(aAy),mx(Ay),m2(Ay),a2(Aij>)}LR, i = , j = ;
Bi - нечёткие множества, представленные LR -интервалами вида
Функции принадлежности таких нечётких множеств А , представ-
ленных трапецевидными LR -интервалами, вычисляются по формулам
(13.23). Если (А) = т2(А) = т(А), то функция принадлежности
(13.23) вырождается в центральный треугольник вида (13.24).
Отметим, что если в формуле (13.23) LR -интервала ах (А) = 0, то
функция принадлежности вырождается в правостороннюю трапецию, ес-
ли в (13.23) а2 (А) = 0, то функция принадлежности вырождается в ле-
Задачи нечеткого математического программирования
251
востороннюю трапецию.
(13.23)
(13.24)
Если (А) = т2 (А) = т(А) и ах (А) = 0, то (13.24) преобразуется в
правосторонний треугольник, а в случае, если тх (А) = т2 (А) = т(А)
и а2 (А) = 0, - в левосторонний. Виды всех этих функций принадлежно-
сти представлены в 1-й главе книги.
В результате выполнения соответствующих операторов Fuzzy-ариф-
метики, описанных в 3-й главе книги, для выражений (13.11), (13.12) рас-
считываются параметры нечётких множества, представленных LR -ин-
тервалами \m?,M°2,D?,D°2 - для целевой функции и
i = , - для левых частей функций ограниче-
ний.
Условия <Re или >Re определяют условия доминирования (предпо-
чтения) двух нечётких множеств соответственно в сторону уменьшения
или увеличения их значений. Знаком „ Ф “ определяется алгебраическая
сумма двух нечётких множеств.
В дальнейших разделах книги используются правила доминирования
для нечётких множеств, представленных LR Fuzzy-интервалами, осно-
ванные на сравнении их сечений, подробно изложенные в 4-й главе и
проиллюстрированные на числовых примерах в 12-й главе книги.
252
Глава 13
13.2.2. Детерминированные эквиваленты нечёткой
(Fuzzy-) оптимизационной задачи.
1) Четкий детерминированный эквивалент проверки выполнения
ограничений.
Пусть задан некоторый детерминированный вектор переменных
X G Я, X = (xi9x2,...,Xj9...9Xn), удовлетворяющий системе ограни-
чений на переменные (13.12). На основе принципа расширения и пользу-
ясь операторами Fuzzy-арифметики может быть построено нечёткое мно-
жество ЧЛ левой части i-го неравенства системы ограничений (13.12),
функция принадлежности которого трапецеидальной формы также может
быть представлена с помощью LR - Fuzzy-интервала
Обозначим Л,2(Л), La2{A)- крайние точки (X -сечений нечёткого
множества А , где 0 < а < 1. В качестве множества А могуч рассмат-
риваться нечеткие множества Су, Н2^,А^, j = , а также
Ч*/, Bi, i = l,...,m .
Утверждение 13.1. Если для двух нечётких множеств ЧЛ и Bi вы-
полняется неравенство
a2^i)<ax(Bi) (13.25)
или системы неравенств
a^i)<aA(Bi}, тх^^<тх(В^9 (13.26)
т2(Ч7,) < т2(Bi), a2(^i)<a2(Bi), (13.27)
La2(^i)<La2(Bi), a = ax,a29...,ap, (13.28)
то детерминированный вектор переменных X G H обеспечивает выпол-
нение Fuzzy-отношений 4х z < Re В/, и следовательно выполнение /-го
ограничения из системы ограничений (13.12).
Если эти условия утверждения 13.1 выполняются для каждого из ог-
раничений (i = системы (13.12), то детерминированный вектор
X G Н удовлетворяет всей системе ограничений задачи.
В качестве детерминированного эквивалента задачи нечеткого линей-
ного программирования может рассматриваться последовательность ре-
шения следующих 2 • (Р + 2) задач детерминированного линейного про-
Задачи нечеткого математического программирования
253
граммирования для значений a = aQ =0,а1,а2,,..,аР9а(р+1) =1 и зна-
чений 5 = 1,2
Задача 13.5 р
п ________________________
К = (Сj) • Xj max, (13.29)
7=1
в условиях ограничений
п ________________________ _
Л i = (13.30)
7=1
£Г(Я17.)<х7. <L2(H2j)9 j = l,...,n. (13.31)
Здесь, если а = а0 = 0, то L& (Л) = а} (Л), L2 (А) = а2(А), а если
а = = 1, Ц(А) = т,(А), 1°(А) - т2(Л).
В результате решения каждой из детерминированных задач (13.29)-
(13.31) будет получен детерминированный вектор значения переменных
задачи X* ••••> х^), представляющий собой гра-
ничные точки соответствующих CL -сечений нечёткого множества X*
решения сформулированной задачи. На основании полученных детер-
минированных значений этих векторов и строится нечеткое множество
решений задачи, функция принадлежности которого имеет вид трапеции.
При построении приближенного детерминированного эквивалента
исходной задачи (13.11), (13.12) в виде задачи 13.6 может быть получено
решение задачи в виде детерминированного вектора оптимизируемых пе-
ременных при существенно меньшем объёме вычислений.
Если обозначить
_ Р+1
р=0
• 0.5 • [i“ (Л) + Z“ (Л)],
(13.32)
где 0 < wa < 1, а = aQ , ах, а2ар , а(Р+1}, - весовые коэффициенты,
р+1
Wa = 1, то задача 13.6 может быть сформулирована в виде
р=0
Задача 13.6
ф = ^M(Cj )ху-> max, (13.33)
7=1
254
Глава 13
$ = ' х> ~ М(В^ ’ 1 = ’ (13.34)
7=1
M(HXj}<Xj <M(H2j), j = l^n. (13.35)
Отметим, что как задача 13.6, так и каждая из задач 13.5_р могут
быть решены симплексным методом линейного программирования.
13.2.3. Частные случаи задач нечеткого линейного
программирования.
Рассмотрим также случаи описанной выше задачи (13.11), (13.12) в
условиях ограничений
Yt *xi ®^‘2 -х2 -Xj ©..©Дп хп <r Bi, i =
(13.36)
Yt =AiX -xx ®At2 -x2 *x7 ®...®4n 'xn -R
i -mx 4-l,...5m2, (13.37)
когда нечёткие множества С1,С2?...,Су,...,Си, Ay, j = и Bt,
i = 4-... 4- m2, представлены треугольными функциями принад-
лежности, крайние и центральные значения которых равны ах, а2 и т ,
где //j(at) = //j(a2) = 0, = 1. Ограничения (13.13) отсутству-
ют.
Ограничения (13.36) и (13.37) могут рассматриваться как условия
строгого предпочтения для всех рассматриваемых (X -сечений Fuzzy-
множеств Yi и Bf и как условия относительного предпочтения. Обозна-
чим соответственно a“(Y), a2(Yf), ma(Yi) и а^(В^, а2{В^,
та(Bt) - соответственно крайние и центральные значения (X -сечений
Fuzzy-множеств Yt и Вt. Тогда условия строгого выполнения неравенств
(13.36) и (13.37) для каждого из СХ -сечений могут быть записаны соответ-
ственно в виде
aa2(Yt} = a? ft) > а“(Bt), i = w. + l,...,m2;
ex ~ (Xq , с/j, cx2(Xp, • (13.38)
Условия относительного предпочтения системы нечётких неравенств
(13.36) и (13.37) могут быть представлены соответственно в виде
Задачи нечеткого математического программирования
255
i = 1,...,тпх; а = aQ9ах 9а2,...,ар,а(Р+1); (13.39)
<(^)><(Д), ma(Yi)>ma(Bi)9 а“(У.)>а“(В.)9
i = m} + 1,...,ли2; a-aQ9aX9a29...9aP9a(P+i); (13.40)
При этом желательно, чтобы одно из неравенств системы (13.39) и (13.40)
для пары индексов i и CL выполнялось в строгом виде.
Следовательно, для безусловного выполнения системы нечётких не-
равенств (13.36) и (13.37) можно потребовать выполнение следующей си-
стемы линейных неравенств
п _
, Pij ’ (Д) ’ I 1,..., Uiy, (X — , <Z2 p >®(p+i) ’
7=1
(13.41)
'xy i = m\ +К-,тг, a = ao,at,a2,...,ap,a(p+l).
7=1
(13.42)
Здесь J3y и у у коэффициенты линейных неравенств, значения которых
соответственно равны:
= «ГЦ,) , если знак перед членом Ау • X. в выражении (13.36) по-
ложительный и значение ах (Ау ) > 0, либо этот знак отрицательный и
значение ах (Ау ) < 0;
если знак перед членом Ау • Ху в выражении (13.36) от-
рицательный и значение ах (Ау ) > 0, либо этот знак положительный и
значение ах (Ау ) < 0.
Уу = ах (Ау ), если знак перед членом Ау • X- в выражении (13.37) по-
ложительный и значение а2 (Ау ) > 0, либо этот знак отрицательный и
значение а2 (Ау ) < 0;
/%=а?(Лу), если знак перед членом Ау • X- в выражении (13.37) от-
рицательный и значение а2 (Ау ) > 0, либо этот знак положительный и
значение а2 (Ау ) < 0.
256
Глава 13
Условия относительного предпочтения при выполнении системы
Fuzzy-логических неравенств (13.36) могут быть представлены в виде
£ад^.).х. <а“(Д), <та(В^,
7=1 7=1
^2 GC; ) * * j —^2(^7)’ 2 — !?•••? ; Ct = #0,#13#2 v--?^p?^(F+l) ’
7=1
(13.43)
а системы неравенств (13.37) - в виде
£<(Л)-ху ><(Я)> ^(4).ху >^(^),
j=i 7=1
'#2 (^7) ' ^ / ~ ^2 ) > / —= €Z0,€Zl,€Z2,...,<Zp,€Z(p+i) .
7=1
(13.44)
Целевая функция задачи может быть представлена также в линейной
форме
F = wa • Л“ (Сj)I • Xj —> max. (13.45)
7=1 \«=1 J
Здесь wa - вес, придаваемый значению целевой функции в определенном
а -м сечении нечёткого множества коэффициентов целевой функции
Лу (Сj) = (Су) + а2 (Сj)]• (1 - tz), ex, = ctQ ,ctl9 ct2 y-9ctp9 ct(p+1>,
j==l9...9n. (13.46)
Задача (13.43)- (13.46) является задачей линейного программирования и
может быть решена симплексным методом. Решение этой задачи - вектор
действительных значений переменных.
Глава 14. Задачи математического программи-
рования с размытыми ограничениями
14.1. Постановка однокритериальной задачи с размытыми
ограничениями и предлагаемые подходы к ее решению
В классических задачах математического программирования (13.1),
(13.2) или более общей постановке (14.1), (14.2) необходимо найти
Фк(Х*} = тах^(Х), к = 1,..(14.1)
XgG
где, в частном случае, R = 1 , a G - множество ограничений,
i =
= m + й* <Xj < hj, J =
При этом нарушение одного из ограничений
N
<bi.i - 1,...,7и,или f.{X}<bni = т + 1,...,М ,
(14.2)
(14.3)
недопустимо. В практических приложениях достаточно часто встречаются
ситуации, когда граничные значения некоторого подмножества из этих
ограничений Ix CZ I , где I = {1,...,/и,...,Л/}, могут быть нарушены до
некоторого значения (bt 4- ), хотя это обстоятельство является крайне
нежелательным.
Впервые такая математическая постановка задачи для задач линейно-
го программирования была сформулирована в 1978 году G. Sommer [86].
В дальнейшем класс таких задач Fuzzy-программирования подробно ис-
следовался S. Orlovski (1984) [31, 87], Rommelfanger [54, 57], где были
предложены эффективные методы их решения.
В дальнейшем изложении выражения
£ dyXj <£ dyXj < bt + dj ИЛИ ft (X) < bt, / (X) < bt +dt,i^I ,
j=i j=i
(14.4)
означают, что может быть нарушено граничное значение bi, но ни в коем
случае нельзя нарушать граничное значение + d.).
Определим множество допустимых планов
258
Глава 14
N
Y.a^x,
/и) ГЦ;
f^X) < (bt + dt), i e (/и + 1,...,М)ПА;
N
т)П(//А); Л(*т
b (14.5)
+ 11х)\ h}<xJ<h2j,j = \,..,N
Эксперт (лицо, принимающее решение - ЛПР) может оценить уро-
вень выполнения любого из ограничений подмножества i G 1Х для каж-
дого решения (вектора переменных задачи X или для каждой альтер-
нативы) с помощью функции принадлежности //. (Л^) е [0,1], i G 1} :
N
1, если Vа.-х. <Ь.,
’ Z-u Ч J 1 ’
/=1
N N
0</zr(X)<l, если ^Г/iijXj >bt, ^OyXj <bt+dt, (14-6)
/=1 y=i
N
0, если ^OyXj >bt +dt,
или функции вида.
д(Ц=
1, если /х(Х)<Ьх,
0 < //,. (X) < 1, если ft (X) > bt, ft (X) < bt + dt, (14.7)
0, если fi{X)>bi + dr
Рассмотрим нечеткие множества
At = {X, (X) | X e Q}, i e Tx (14.8)
Л = Q A =Q{X,//,.(%) | X e Q} ={X,ju-A(X) | X e Q}. (14.9)
zeZ] zeZt
Сформулируем рассматриваемую выше проблему (даже в случае, ес-
ли R = 1) как многокритериальную задачу
Фк(Х*} = тах^(Х), к = 1,.. Jf,
ц,(Х*) = max jut(X) ,ielx.
X^.Q
(14.10)
(14.П)
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
259
Применяя min -оператор, получаем
Р-А{Х) - min^W} = шт{д(А'),//2(А'),...,А(^),...,^(Х)}, (14.12)
ieZ]
где L - количество ограничений, входящих в подмножество 1Х.
Тогда условие (14.11) может быть заменено условием (14.13).
^(Х*) = max//-(JT) = пцд{д.(Х)} =
хее (14.13)
= maxtmin^ (X), (X),...,juL (X)}].
X&Q
Назовем Парето-оптимальным решением (множеством эффективных
решений) некоторый вектор переменных X G Q, такой, что не сущест-
вует никакого другого вектора X G Q, для которого справедливы выра-
жения (14.14) и, по крайней мере, одно из этих выражений выполняется
как строгое неравенство.
<pk(X)<(p(X),k = l,...,R; (14-14)
В литературе (см., например, [54, 57]) такое решение для случая решения
задачи линейного программирования с одной целевой функцией Fuzzy-
эффективным.
В качестве функций принадлежности могут быть приняты линейная
функция, функция экспоненциального вида, линейные и нелинейные
сплайн-функции, функции S-образного вида, а также многие другие виды
функций принадлежности, рассмотренные в 1-й главе книги.
Если ввести понятие 6Z -уровня для множества //- (X), представ-
ленного в виде
~Аа ={Х eg|//-(Jf)>a}, 0<а<1, (14.15)
то решение задачи существует, если Аа 0 .
Рассмотрим некоторый компромиссный критерий, например, в виде
линейной свертки локальных критериев оптимальности
R R
F(JT) = £^-^(Jr),W wk >0, =1. (14.16)
£=1 £=1
Решение сформулированной компромиссной задачи с размытыми ог-
раничениями может быть получено как результат решения следующей за-
дачи
Fa(X*) = maxF(X), (14.17)
ХеАа
которое гарантирует выполнение неравенств
260
Глава 14
n ~ ~
Yayxj ^bi’{i = l,...,m}A(7/ZJ; (14.18)
;=i
/(X) < b{, {i = m + A (Z /ZJ, (14.19)
Д.(X) > a , f G Ix. (14.20)
Найдем решения задачи (14.18)-(14.20) для различных значений а > 0.
С. Орловский в 1985 г. [31, 87] рассматривал методы решения задачи
с размытыми ограничениями (14.1), (14.2) только для одного частного
случая, когда существует только одна целевая функция, которая как и все
ограничения задачи является линейной функцией вектора переменных
X . В качестве метода решения этой задачи предлагалось найти решения
задачи
(С,Ха) = max Vс,х; (14.21)
Хеб(а)^ } J
для различных значений параметра СС > 0, после чего ЛПР, сравнивая,
насколько отличатся различные значения критерия оптимальности
(С,Ха), приходит к соответствующему выводу.
Принятие решений на основе выражений
4(Х) = Wi{A(JZ)}, Q(a) = {X е Q | ^(Х) > а} (14.22)
предусматривает учет только одного «наиболее плохо» выполняемого ог-
раничения, не обращая при этом внимание, как в этом решении выполня-
ются другие размытые ограничения задачи.
Применение PRODUCT -оператора в виде
//£(*) = п>(*)}, О(а) = {X € QI ^(Х) > а} (14.23)
ze/i
позволит учитывать в каждом решении не только одно «наиболее плохо»
выполняемое ограничение, но и уровень выполнения остальных гибких
ограничений задачи.
Наряду с этими, могут использоваться и другие операторы нечёткой
логики. Так проф. H-J. Rommelfanger [56, 57] в развитии этих методов
применительно к решению однокритериальной задачи с гибкими ограни-
чениями был разработан следующий алгоритм.
а) Находим
(p(Z) = max(р(Х), <p(Z+) = max<р(Х). (14.24)
XeG XeQ
в) Введем некоторую функцию принадлежности р-[ф(Х)] вида
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
261
(14.25)
О, если (р(Х) = <p(Z ),
= * 0 < Р[<Р(Х)] < 1, если (p(Z-) < <р(Х) < <p(Z+),
1, если <р(Х) = <p(Z+),
вид которой определяется экспертом (ЛПР) и может быть выбран в виде
монотонно возрастающих или неубывающих функций.
Оптимальное решение задачи ищется в виде
AnaxlXz*)] = maxmin{//-[^(JQ],//-(X)} =
0<“SI ₽ Q (14.26)
= majmm{//-[^(X)]; тщд[/(Х)]}.
Задача (14.26) эквивалентна следующей задаче математического про-
граммирования
AmaxhKZ*)] = таХЛ >
(14.27)
в условиях ограничений
/'-IXX)]7; aUW]7, «еЛ• <14-28)
Если функция цели и функции ограничений задачи (14.1), (14.2) ли-
нейны, то задача (14.27), (14.28) является задачей линейного программи-
рования и может быть решена симплексным методом.
14.2. Многокритериальные задачи с гибкими ограничениями
Следует отметить, что рассматриваемый выше подход к решению за-
дачи математического программирования с гибкими (размытыми) ограни-
чениями даже при наличии одной функции цели не является единствен-
ным и для многих практических приложений наиболее эффективным. В
ряде случаев эксперты (ЛПР) могут иметь несколько другие представле-
ние о наиболее эффективном решении сформулированной задачи, где до-
пустимое множество решений задачи Q определяется выражением (14.5).
Наличие же нескольких критериев эффективности в условиях допустимо-
сти нарушения некоторого подмножества ограничений задачи в какой-то
допустимой области делает еще более актуальным развитие подходов к
решению такого класса задач.
Обобщим и усложним сформулированную постановку многокрите-
риальной задачи с гибкими ограничениями (14.1), (14.2), где множество
Q определяется выражением (14.5), введением следующего дополни-
тельного ограничения. Пусть подмножество гибких ограничений задачи
262
Глава 14
11 включает L ограничений. Тогда в качестве дополнительных ограни-
чений задачи, существенно осложняющем методы ее решения, может
быть условие, что количество ограничений, для которых допустимо, что
значение их левой части допустимо в пределах
bi < fiCX^fy+di, bi<^ai]-Xj<bi + di, iel.,
y=i
должно быть не больше чем Д < L .
Задачи многокритериального выбора с гибкими (размытыми) огра-
ничениями, как и все задачи многокритериальной оптимизации, могут
быть условно разделены на 2 класса:
- задачи, в которых необходимо осуществить выбор наиболее эффектив-
ной из конечного числа альтернатив ( MADM - проблемы) ,
- MODM - проблемы, задачи векторной оптимизации, в которых количе-
ство возможных решений бесконечно или такое количество, что их пере-
брать невозможно. Оптимальное решение необходимо найти в результате
решения некоторой математической задачи.
Как для проблем MADM, так и для MODM проблем функции
принадлежности, связанные с условиями выполнения каждого из гибких
ограничений задачи, могут рассматриваться как некоторые дополнитель-
ные локальные критерии эффективности задачи. Введя эти дополнитель-
ные локальные критерии эффективности, в дальнейшем могут быть при-
менены все рассмотренные в [46] подходы к решению задач многокрите-
риальной оптимизации, основанные на применении различных видов
сверток критериев, наилучшего приближения (в различных метриках) к
оптимальным решениям по каждому из локальных критериев, лексико-
графического упорядочения критериев и взаимных уступок, методы огра-
ничения локальных целей и др. подходы.
Наличие гибких ограничений задачи вносит некоторую специфику в
методах нормализации локальных критериев различного вида, формиро-
вании различных групп одинаковых по значимости локальных критериев,
выборе весовых коэффициентов.
Рассмотрим различные подходы решения задач векторной оптимиза-
ции с гибкими ограничениями.
14.2.1 .Введение обобщенного критерия эффективности на ос-
нове свертки нормированных значений локальных целевых функ-
ций и функций принадлежности размытых ограничений вида
Рассмотрим линейные свертки локальных критериев и гибких огра-
ничений задачи вида
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
263
Г R _
= ЦХ -^(Х) + У wt • AtZW] >>
XeQ [*=1
— R
wk >0, k = l9...9R; > 0,i g Zr, wk + мл = 1;
k=l ielx
( R _
E2(X') = ВД Jwk-<pk(X) + wR+i •min(//,.[y;(X)]) >.
%eS IS ,e/1
(14.29)
(14.30)
(14.31)
На весовые коэффициенты wk накладываются следующие условия
Л+1
wk >0, k = \,...,R', м>й+1 >0; ^wk =1; (14.32)
k=\
Если методы нормировки локальных целевых функций выбраны та-
ким образом, что максимальные значения этих критериев при решении
соответствующих оптимизационных задач по каждому из локальных кри-
териев ( (pk(X ) = шах(рк(JQ, к = 1,..., R ) принимают значения
фк (X ) = 1, то могут быть использованы также следующие виды нели-
нейных обобщенных функций эффективности
f R
[1-^w]2+2^-[I-Aizcn]]2 > (14.33)
к=\
^i
Е,(Х ) = max
XeQ
где весовые коэффициенты могут быть выбираться в соответствии с усло-
виями (14.30), а также выражения
ЕЛХ*) = max
-12
• l-min(//J/.(%)]) (14.34)
ie/i J
R
Л-1
при выборе весовых коэффициентов в соответствии с условиями (14.32).
В качестве других выражений нелинейных сверток могут рассматриваться
ES(X ) = max-j max(wt -[1 -<z>A(X)]); min(w, • д[/(^)])f (14.35)
XeQ k=\,...,R
при выборе весовых коэффициентов в соответствии с условиями (14.30),
а также компромиссные критерии вида
Ee(X) = ma^l.max.(wk-[l-^k(X)J); и>Л+1-min(//,[/;(X)])i (14.36)
X&Q k=l,...,R хед I
при выборе весовых коэффициентов в соответствии с условиями (14.32).
Кроме приведенных выше, могут использоваться другие виды нели-
нейных сверток критериев и функций принадлежности гибких ограниче-
264
Глава 14
ний, а также функции от их отклонений от соответствующих оптималь-
ных значений, подробно описанные в [46].
В настоящее время находят широкое применение и некоторые ли-
нейные комбинации различного вида сверток критериев
Е(Х) = -Ег(Х),те рг >0. =1. (14.37)
р=\ р=\
Так, в качестве примеров сверток таких видов могут рассматриваться
компромиссный критерий вида
r R __
Е(Х) = А • +
•пцп(д.[/;.(х)])У+
U=i
(14.38)
14.2.2. Лексикографическое упорядочение по степени важности
локальных целевых функций и по степени выполнения отдельных
гибких ограничений и методы взаимных уступок.
Основное отличие предлагаемых ниже подходов от описанных лите-
ратуре методов этой группы состоит в том, что в такое подмножество на
каждом из уровне иерархии входят не только локальные критерии опти-
мальности, но и функции прнадлежности соответствующих гибких огра-
ничений. В частном случае, такое подмножество может включать только
один из локальных критериев или функцию прнадлежности только од-
ного из гибких ограничений.
Обозначим <7i >- Jг >-... > Jt >-... > Jt - установленную экспер-
том (ДПР) некоторую иерархию степени важности локальных критериев и
функций принадлежности гибких ограничений.
В каждое из подмножеств Jt входят некоторые индексы локальных
критериев оптимальности и функций принадлежности определенных гиб-
ких ограничений Jt = {к}, ,..., к^, }. При этом выполня-
ются условия
Пл = 0, Пл = {1,.R} ПА. (14.39)
r=l t=l
Решение задачи разбивается на Т этапов. На первом этапе решается
следующей задачи максимизации обобщенной функции полезности вклю-
чающей локальные критерии оптимальности и функции принадлежности
гибких ограничений, входящих в первую по приоритету группу
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
265
| Л} = maxOJE/X | J,}.
л &Q
В качестве обобщенной функции полезности может использоваться
любая из сверток критериев (14.29)-(14.36), включающих нормированные
значения локальных целевых функций и функции принадлежности гибких
ограничений, входящих в первую приоритетную группу. В качестве при-
мера приведем линейные свертки для /-й по степени иерархии группы
вида
El(x\j,) = ^Wk^k(x)+
keJt
> 0 , к G J t , МА > 0 , / (Е: /1 Р| J t , IX + w. = 1;
keJt
или
Е2{XI J,) = £ wk- <рк (X) + а • inin (//Д/(JQ]),
>0ДеЛ,й)>0, +в> = 1.
k<eJt
Пусть в результате выполнения алгоритма на первом этапе решения
получено оптимальное значение вектора оптимальности X ( и соответст-
вующее ему значения обобщенной функции полезности нормированных
значений локальных критериев и функций принадлежности гибких огра-
ничений, входящих в первую приоритетную группу. Обозначим это зна-
чение Ф1 {Ер | Ji} . На втором этапе решения формулируется и ре-
шается задача оптимизации вида
Ф2{^(^2 |Л} = тахФ2{£/Х| Л} (13.86)
в условиях дополнительных ограничений на значение обобщенной функ-
ции полезности первой приоритетной группы вида
Ф^Е^Х I JbZ1} > Z1 • ФДГ/Х 17}, (14.40)
где 0 < /, <1 - величина „уступки", определяющей насколько допуска-
ется ухудшение значения обобщенной функции полезности первой при-
оритетной группы по сравнению с ее оптимальным значением. При зна-
чении /|= 1 такое ухудшение вообще не допускается, и метод последова-
тельных уступок вырождается в метод лексикографического упорядоче-
ния групп критериев и гибких ограничений.
266
Глава 14
Пусть выполнены t этапов решения и получены значения опти-
мальных решений на каждом этапе (X| J i, ух; J 2, /2 ? • • • ? J ) •
Соответствующие им условные (т.е. зависящие от состава более прио-
ритетных групп выбранных видов обобщенных функций полезности и ко-
эффициентов уступок уна предыдущих этапах) оптимальные значения
обобщенных функций полезности нормированных значений локальных
критериев и функций принадлежности гибких ограничений, входящих в
предыдущие приоритетные группы, соответственно равны
|£ = W-1.
Тогда на (t +1) -м этапе решения рассматривается и решается следующая
оптимизационная задача
Ф(/+1) {^р (^(z+i) I •А'+1)} “ Ф(/+1) {^(z+i) I (14.41)
в условиях системы следующих дополнительных ограничений для
I ^-ь/^-1)] — (14 42)
Заметим, что на каждом этапе решения могут использоваться раз-
личные виды обобщенных функций полезности. Выбор величин уступок
, которые могут быть различны для отдельных приоритетных групп, и
значения весовых коэффициентов в обобщенном показателе эффек-
тивности каждой приоритетной группы, выбираются экспертом (ЛПР).
На каждом этапе решения множество допустимых решений задачи
все время сужается, и в конце концов стягивается в точку. Это может про-
изойти на каком-то промежуточном t -м этапе решения. Процесс решения
останавливается, когда на некотором t -м этапе решения получим соотно-
шение вида
(X; |Л,л;72,/2;...; Jz-2?Z/_2). (14.43)
14.2.3. Методы достижения установленных целей
Известные в литературе методы Coal Programming (см., например,
[46]) могут быть модернизированы для решения задач многокритериаль-
ной оптимизации в условиях наличия гибких ограничений. Предполагает-
ся, что у ЛПР существует четкое представление о желаемых значениях
каждого из локальных критереиев, и могут быть установлены некоторые
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
267
значения 0к, к = 1,...,??, которые называют [торговыми значениями ло-
кальных целевых функций в компромиссном решении. В этих условиях
могут быть сформулированы следующие задачи получения компромис-
сного решения с дополнительными ограничениями
E7(Jf*) = max min{//.[/.(X)]} или
i XgQ ielx
Е7(Х*) = max • /ui[fi (X)]}, (14.44)
F8(X‘) - max П AlZ W] или EJX} = maxfjjw (X)]} •
Хей XeQ> tel,
(14.45)
Здесь w. > 0, i G Iвесовые коэффициенты,
Й = {X e Q > 0k,k = 1,.,.,R}. (14.46)
Значения 0k могут выбираться ЛПР на основе информации о локаль-
ных оптимальных значениях, полученных по каждому из критериев опти-
мальности, из содержательной постановки задачи, а также на основе пред-
ставления эксперта о некотором идеальном значении вектора целевых
функций Z* = (z*,...,z*k,...,z*R).
Заслуживают внимания также другие постановки задач, как напри-
мер,
Е9(Х*) = max^,(Jf), (14.47)
где множество допустимых решений Ql может выбираться одним из сле-
дующих способов
Q, = {X G Q \рк(Х) >0к,к = k*l- min//,[Z(X)] > т]},
(14.48)
Й = {X 6 Q l^(JT) > 0к,к = \,...,R, к* к, ПШОО] р},
«е6
(14.49)
ё = {X е Q W>k(X) >ек,к = \,...,R, k^l- A[/(JV)] > i g I.},
(14.50)
а также постановка задачи в виде
^io(^*) = max^[/yW], (14.51)
268
Глава 14
где _
Ф. = {X е Q |^(Х) > вк,к = AtZ W] > е U / j)} •
(14.52)
При неправильном выборе пороговых значений 0к, А: = а
также 7?,/? или fy, i G , рассматриваемые выше задачи (14.44),(14.46)
или (14.45),(14.46) и соответственно (14.47) при выборе множеств Qt со-
гласно выражениям (14.48) или (14.49), или (14.50), как и задачи (14.51),
(14.52), могут оказаться несовместимыми, и ЛПР должен корректировать
какие-то из этих пороговых значений в сторону уменьшения.
14.3. Функции принадлежности выполнения гибких
ограничений
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды функций принад-
лежности для подмножества ограничений i G I . Отметим, что, наряду с
функциями в виде правосторонних трапеций и треугольников, рассмот-
ренных в 1-й главе книги, могут быть также использоваться разрывные
функции принадлежности вида:
1) кусочно-постоянной функции
1, если < bt,
0, если > (fy +с^).
Вид этой кусочно-постоянной функции принадлежности, представ-
лен на рис. 14.1.
Рис. 14.1: Кусочно-постоянная функция
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
269
Здесь и в дальнейшем bf = bt, b& = (Л + dt), К - количество
участков, в диапазоне которых значения функций принадлежности
имеют определенное постоянное значение.
2) Кусочно-линейная сплайн-функция принадлежности, характерная
тем, что при переходе к каждому следующему линейному участку изме-
нения происходит разрыв значения, т.е. значение ее падает на некоторую
определенную величину. Пример вида такой функции приведен на рис.
14.2.
ХА(/,)=
(6*+1-&*)•(£>,*+1-Z)
(/A* -Ai+')
О, если > (bt + dj).
Рис. 14.2: Кусочно-линейная сплайн-функция
3) Разрывная функция принадлежности самого общего вида, состоя-
щая из отельных линейных и различного вида нелинейных сплайнов, а
также участков, в пределах которых значения функции принадлежности
является постоянным. Эта функция характерна тем, что при переходе к
следующему участку значение ее может иметь разрыв и скачкообразно
падать. Пример вида такой функции приведен на рис. 14.3.
Введение функций принадлежности разрывного вида целесообразно
в том случае, если изменение значений правых частей ограничений в оп-
ределенном диапазоне либо вообще не имеет для ЛПР какого-либо значе-
ния, либо влияет на эффективность принимаемого решения несколько
меньше чем при нарушении границ этого диапазона.
270
Глава 14
Рис. 14.3: Разрывная функция общего вида
Вследствие введения этих функций принадлежности результат вы-
полнения любого из ограничений подмножества i G 1 определяется в
диапазоне значений 0 < д [f. (X | А1 ] < 1.0, причем, если f. (X | ) < bi,
то fi.[f.(X |Л;] = 1.0. Чем ближе значение fi(X\Al) к значению
(Ь: + (1^, тем ближе значение /LL [f. (X | At ] к 0 .
14.4. Выбор наиболее эффективного решения из множества
возможных альтернатив
Рассматриваются методы решения задачи (14.1), (14.2), (14.5) в усло-
виях когда выбор решения необходимо осуществить из конечного множе-
ства альтернатив Al9 I = . Для каждой альтернативы определены
значения всех функций f. (X | At), как i G I , так и i G I = I / Ii9 где
/ U Zj = I , IП Л =0, а также значения всех локальных критериев
эффективности (pk^X \ At), k = 1,..J?, / = Под ограничениями
fi{X\Al)< vi9 где v. = bt или vz < bf + dt для простоты изложения в
данном случае подразумеваются как линейные, так и нелинейные функ-
ции ограничений задачи. Если общее число гибких ограничений задачи,
составляющих подмножество Ц равно Р, то в качестве дополнительно-
го ограничения может рассматриваться также условие, что суммарное ко-
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
271
личество гибких ограничений, левая часть которых может превышать
значение bt, не должно превышать числа Рг < Р.
14.4.1. Введение комплексного компромиссного критерия
эффективности
Алгоритмы решения задачи, основанные на введении комплексного
компромиссного критерия эффективности, предусматривают выполнение
следующих шагов.
1) Среди всего множества рассматриваемых альтернатив / =
оставляем только такие альтернативы I = < L, которые удовле-
творяют всем обязательным ограничениям задачи
/е/, fi{X\Al)<bi+di, iel,
/ = !,...,£< 7*. (14.53)
Обозначим подмножество допустимых и рассматриваемых в дальнейшем
альтернатив А.
2) Среди подмножества допустимых альтернатив определим значения
<Рь М) = max (рк (X I А,), (р~ (X | А) = min <рк (X | А,)» k = •
ZeA ZgA
(14.54)
3) Выполним нормировку локальных критериев оптимальности каж-
дой из допустимых альтернатив, например, в соответствии с выражения-
ми
рк (XI А,) = , I G л, к = 1,.../?. (14.55)
При таком виде нормировки значения фк(Х | Л;)для всех альтернатив
лежат в пределах 0 < фк (X | Л7) < 1.0.
4) Выберем вид и параметры функций принадлежности для каждого
из гибких ограничений задачи. В соответствии со значением левых частей
ограничений вычислим по формулам, приведенным в 1-й главе или разде-
ле 14.3, значения соответствующих функций принадлежности
5) Нормированные значения локальных критериев оптимальности и
функций принадлежности гибких ограничений для всех допустимых аль-
тернатив (подмножества допустимых альтернатив А ) сведем в таблицу.
272
Глава 14
6) Проведем предварительный отсев неперспективных альтернатив
на основе следующего правила предпочтения.
Правило доминирования.
Если для двух альтернатив 4 и Aq, для которых выполняются сис-
тема строгих ограничений (14.2) для i G I / , справедливы условия
(X I 4 ) > (X , к = 1,.../?; (14.56)
а[Л(^14)]^а[Л(^1А)]’ (14.57)
и хотя бы для одного индекса кх локальных критериев или одного из ин-
дексов гибких ограничений ix выражение (14.56) или (14.57) выполняется
как строгое неравенство
\ (X I 4) > (XI 4) или I 4)] > A1L/X* I 4)], (14.58)
то альтернатива 4 > Aq , т.е альтернатива 4 доминирует над альтерна-
тивой А , и альтернатива Aq может быть отброшена как неперспектив-
ная.
Оставшееся после исключения из рассмотрения подмножество пер-
спективных альтернатив Л С Л и составляет множество Парето. Среди
этого подмножества альтернатив Л и производится в дальнейшем поиск
наиболее эффективной альтернативы.
7) Эксперт (ЛПР) на основе анализа условий и специфики конкрет-
ной прикладной задачи осуществляет выбор комплексного критерия эф-
фективности Ех (X | А1) - Е6 (X | 4 ) (выражения (14.29), (14.31),
(14.33)-(14.36)) и соответствующих значений весовых коэффициентов,
удовлетворяющих условиям нормировки (14.30) или (14.32).
8) Для каждой альтернативы вычисляется значение выбранного ком-
промиссного критерия эффективности. В качестве наиболее эффективной
альтернативы выбирается такая, значение компромиссного критерия эф-
фективности для которой достигает максимального значения
Ер(Х\Ал) = т^Ер(Х\А1). (14.59)
14.4.2. Лексикографическое упорядочение частных показате-
лей эффективности и введение последовательных уступок
Экспертом (ЛИР) устанавливается некоторая иерархия степени важ-
ности локальных критериев и функций принадлежности гибких ограниче-
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
273
ний. Каждая из таких групп одного уровня иерархии Jt может включать
только индексы отдельных гибких ограничений, либо индексы только ло-
кальных целевых функций, либо индексы как локальных критериев, так и
индексы гибких ограничений. В частном случае, такая группа может со-
стоять только из одного индекса какой-либо из этих групп. В качестве
примеров могут быть рассмотрены следующие ситуации.
1. Рассматриваются две группы иерархии J\ >- J2.
а) В группу Ji входят функции принадлежности гибких ограничений за-
дачи и комплексный критерий эффективности для локальных показа-
телей этой группы выражается в виде
Е^Х I А,71) = I (14.60)
iel
где > 0, i G I, весовые коэффициенты, удовлетворяющие условиям
нормировки w. = 1, либо
zg7
Е2(Х | A, Ji) = min//,.[/.(.¥ | A, Ji] , (14.61)
iel
Е3(Х | A, Ji) = [“J /' № I ЛЛ], (14.62)
iel
либо некоторая средневзвешенная комбинация этих комплексных показа-
телей, как например,
E3(JT | A,Jt) = ахЕ^Х | Л, Ji) + а2Е2(Х | Л,Л). (14.63)
Ь) В группу J 2 входят нормированные значения локальных целевых
функций и комплексный критерий эффективности для локальных показа-
телей этой группы выражается в виде
_ R __________ _
Ех (X | A, Jг ) = X wk • (рк (X | A, J 2), (14.64)
к=\
Е2(Х\А^2) = ^Л-<РЛх\А,А2}\ , (14.65)
к=\
£3(JT| Л,72) = тш{^• q>к(Х \ A,~J2)}, (14.66)
\<k<R
где весовые коэффициенты удовлетворяют условиям нормировки, анало-
гичным условиям для показателя эффективности (14.60).
274
Глава 14
Представляют практический интерес также случаи, когда локальные
целевые функции относятся к первой по степени важности группе пока-
зателей, а индексы гибких ограничений - ко второй.
Первые 6 шагов решения задачи в этом случае полностью совпадают
с алгоритмом, описанном в разделе 14.4.1. В дальнейшем решение распа-
дается на следующих два этапа.
На первом этапе среди подмножества перспективных альтернатив
Л С Л выбирается такая, которая обеспечивает максимальное значение
комплексному показателю эффективности показателей наиболее высокой
иерархической группы. Пусть это будет альтернатива и значение
комплексного показателя эффективности для нее равно Eip (X | А\, Ji).
Здесь индекс р определяет вид выбранного критерия эффективности.
Назначаем некоторую величину уступки по комплексному критерию эф-
фективности показателей первой группы 0 < /j < 1. Среди подмно-
жества альтернатив Л в качестве перспективного подмножества
/ G Aj, где Aj CZ Л, оставляем только те альтернативы, для которых
Е1р(Х | А„4) > Л • ЕХр(Х 14,4). (14.67)
Среди подмножества альтернатив / G Л] можно на основе правил
доминирования, которое в этом случае использует только одну из групп
показателей, исключаются альтернативы, неперспективные для дальней-
шего рассмотрения. Оставшееся для дальнейшего анализа подмножество
альтернатив обозначим I G Л\ С Л,.
Среди подмножества альтернатив I £ Л\ находим такую, которая
обеспечивает максимальное значение комплексному показателю эффек-
тивности следующей по уровню иерархии группы - А\, т.е.
Е2р(Х I 4,4) = max{E2/X | 4,4) | ЕХр(Х | 4,4) >
(14.68)
Гх-Е^Х\А\,А)}.
Процесс решения в этом случае останавливается, если на каком-то
шаге решения перспективное подмножество альтернатив Л, или Л\
включает только одну единственную альтернативу, которая и выбирается
в качестве наиболее эффективной.
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
275
Работу алгоритма проиллюстрируем на следующем числовом приме-
ре 14.1.
14.5. Иллюстративный пример
q\ (X) = max(X] х2 ), (р2 (X) = тах(2х2х2)
G = {Xj ,х2 13xj + х2 < 18; х} • х2 - 2хх < 20; Xj 4- х2 < 15;
-5<х, <10; -10<х2 <20}.
Q = {х15х2 | Зхг + х2 < 24; х} • х2 - 2хх < 25; xt 4- х2 < 21;
-5<Xj <10, -10<х2 <20}
Требуется осуществить оптимальный выбор из следующих 11 допусти-
мых альтернатив. Значения вектора переменных, целевых функций и пра-
вых частей ограничений для этих альтернатив сведены в таблице 14.1.
Табл. 14.1: Исходные данные примера 14.1
№ аль- тер- на- тивы Значения перемен- ных Значения целевых функций Значения правых частей ограничений
Х1 х2 Z(X) /2W
1 -2 5 -50 40 -1 -20 3
2 5 3 45 150 18 9 8
3 4 8 256 128 20 24 12
4 3 6 108 108 15 6 9
5 -5 2 -20 100 -13 -14 -3
6 6 6 216 432 24 24 12
7 2 14 392 112 20 24 16
8 8 -2 32 -256 22 -32 6
9 3 -10 300 -180 -1 -36 -7
10 1 20 400 40 23 18 21
11 9 -4 128 -512 20 -48 4
Здесь /j(X) = 3xj 4-х2; f2(X) = ххх2 -2xt; f3(X) = х} 4-х2.
Все ограничения этих альтернатив соответствуют условиям ограничений
задачи, т.е. Х(Ах) е G, Х(А2 )eG. Выбор будем осуществлять толь-
ко из альтернатив, принадлежащих множеству Парето. Альтернатива № 1
не принадлежит множеству Парето, так как (Ах) < срх (А2 ),
276
Глава 14
(р2 (Д ) < ф2 (Д ) • Следовательно, альтернатива Д может быть отбро-
шена из дальнейшего рассмотрения.
А) Решение примера введением комплексного показателя эффек-
тивности.
Выполним нормирование значения целевых функций во всех остав-
шихся для рассмотрения альтернативах Ар, р = 2,3,4,6,7,9,10, согласно
выражениям
<рАар) =
5%,^>-£“2,nW
Вычислим значения функций принадлежности для всех ограничений
каждой из альтернатив р = 2,3,4,6,7,9,10 по формулам
H(ftlAp])= 1-
1, если
Л 1,-18
—, если 18 </ДЛ,] < 24,
0, если /1[Лр]>24.
1, если f2[Ap]<20,
/.[Л 1.-20
1 - , если 20 < /2 [ Ар ] < 25,
если /2[Лр]>25.
25
0,
/ШзМД^
1, если /3[Лр]<15,
/з[ Л Д -15
<1- - ----, если 15</3[Лр]<21,
0, если /3[Лр]>21.
Вычисленные нормированные значения целевых функций и функций
принадлежностей ограничений для альтернатив А 9 /? = 2,3,4,6,7,9,10,
сведены в таблицу 14.2. Пусть экспертом (ЛПР) определены следующие
значения весовых коэффициентов локальных критериев в компромиссном
критерии оптимальности вида
К[*(ЛД] = W1 фх[Х(ар)\+™2 ^2[X(ap)]+W3 •а[/1(Л)1+
+ w4 • ц2 [f2 (Ар )] + w5 • ц3 [/3 (Ар )],
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
277
где значения весовых коэффициентов равны = 0.3, w2 = 0.25,
;W3 =0.2, w4 =0.15, w5 =0.1.
Табл. 14 2: Нормированные значения целевых функций и функций
принадлежности для перспективных альтернатив
№ аль- тер- нати- вы Нормированные значения целевых функций Значения функций принад- лежности правых частей ограни- чений
<р№ ?2(*) яШ*)]
2 0 0.539 1.0 1.0 1.0
3 0.594 0.503 0.6667 0.2 1.0
4 0.177 0.471 1.0 1.0 1.0
6 0.482 1.0 0 0.2 1.0
7 0.977 0.477 0.6667 0.2 0.2
9 0.718 0 1.0 1.0 1.0
10 1.0 0.359 0.1667 1.0 1.0
Средневзвешенные нормированные значения локальных целевых
функций и функций принадлежности ограничений задачи, а также значе-
ния компромиссных критериев для всех перспективных альтернатив при-
ведены в таблице 14.3.
Табл. 14.3: Компромиссные критерии эффективности всех
_______________перспективных альтернатив_______
№ аль- тер- нати- вы Взвешенные норми- рованные значения целевых функций Взвешенные значения функций принадлежности правых частей ограничений Значение компро- миссного критерия
w2^2(JT) 1=1, р = 3 1 = 2, р = 4 1 = 3, р = 5
2 0 0.135 0.2 0.15 0.1 0.585
3 0.1782 0.126 0.1334 0.03 0.1 0.5676
4 0.0532 0.118 0.2 0.15 0.3 0.6212
6 0.1446 0.25 0 0.03 0.1 0.5246
7 0.2931 0.119 0.1334 0.03 0.05 0.6255
9 0.2154 0 0.2 0.15 0.1 0.6654
10 0.3 0 0.033 0.15 0 0.573
278
Глава 14
Наибольшее значение компромиссного критерия эффективности до-
стигается для альтернативы Л9, которая принимается в качестве опти-
мальной.
В качестве другого комплексного критерия эффективности выберем
критерий вида
E2(X\A) = w} <pl(X\A) + w2tp2(X\A) + w3 -ттх/Д/СХ! А]
i&I
со значениями весовых коэффициентов, равными уц =0.3, w2 =0.25,
w3 = 0.45. При выборе этого вида критерия с данными значениями ве-
совых коэффициентов большее предпочтение по сравнению с критерием
Ех(Х | Я)должно отдаваться тем альтернативам, в которых одновремен-
но левые части всех гибких ограничений принимают значения, наиболее
близкие к величинам Ьг.
Значения компромиссных критериев эффективности Е2(Х\ А) всех
перспективных альтернатив сведены в таблицу 14.4.
Табл. 14.4: Значения компромиссных критериев эффективности
Е2 (X | Л) всех перспективных альтернатив
№ аль- тер- нати- вы Взвешенные норми- рованные значения целевых функций Взвешенные значения функций принадлежно- сти правых частей огра- ничений wp - ALM*)] Значе- ние ком- про- мисс- ного крите- рия
w2^2(X) i = 1, р = 3 J = 2, р = 4 »=3, /> = 5
2 0 0.135 0.2 0.15 0.1 0.585
3 0.1782 0.126 0.1334 0.03 0.1 0.5676
4 0.0532 0.118 0.2 0.15 0.3 0.6212
6 0.1446 0.25 0 0.03 0.1 0.5246
7 0.2931 0.119 0.1334 0.03 0.05 0.6255
9 0.2154 0 0.2 0.15 0.1 0.6654
10 0.3 0 0.033 0.15 0 0.573
Наибольшее значение компромиссного критерия эффективности
Е2(Х\ А) достигается, как и по результатам решения по комплексному
Задачи оптмизации с размытыми ограничениями
279
критерию эффективности (X | А), для альтернативы А9, которая при-
нимается в качестве оптимальной.
Решение примера 14.1 методом последовательных уступок
Найдем решение примера в условиях тех же функций принадлежно-
сти гибких ограничений, если в группу показателей эффективности J i
входят функции принадлежности ограничений, а во вторую приоритет-
ную группу J 2 - локальные целевые функции. Пусть критерии эффек-
тивности показателей 1-й и 2-й групп имеют вид
Ех (X \А /,) = 0.333 • И I Л)] + 0.333 • ju2[f2 (X | Л)] +
+ 0.334-//зуз(Х|Л)Ь
E2(X\Al,Ji) = 0.5-<pl(X\A) + 0.5-<p2(X\A).
Величину уступки по показателям эффективности 1-й приоритетной
группы выберем равной = 0.8.
Результаты решения задачи на 1-м этапе сведем в таблицу 14.5.
Табл. 14.5: Значения гибких ограничений jy[£(X)] и компромиссного
критерия эффективности El (X | А) всех перспективных альтернатив
№ аль- терн. Взвешенные значения функций принадлежности правых частей ог- раничений Критерии эффективно- ности показа- телей 1-й группы
и^|/2(А) ЭД[/з(^Э]
2 0.333 0.333 0.334 1.0
3 0.222 0.0666 0.334 0.6226
4 0.333 0.333 0.334 1.0
6 0 0.0666 0.334 0.4006
7 0.222 0.0666 0.0666 0.3552
9 0.333 0.333 0.334 1.0
10 0.0556 0.333 0.334 0.7226
Подмножество перспективных альтернатив Л2 , рассматриваемых на
2-м этапе решения и выбираемое на основе правил доминирования 14.1 и
280
Глава 14
14.2, которое определяется из условий Л2 = {/ g Л | Е}(Х | At) > 0.8},
включает 3 следующие альтернативы Л2 = {А2, А4, А{) } .
Вычислим значения комплексного критерия эффективности 2-го
уровня иерархии для каждой из этих альтернатив и выберем среди них
оптимальную
Е2 (X | А2 ) = 0.5 • 0 + 0.5 * 0.539 = 0.2695,
Е2(Х | Л4,Л) = 0.5 • 0.177 + 0.5 • 471 = 0.324.
Е2(Х | А99J2) = 0.5 • 0.718 + 0.5 - 0 = 0.359.
Следовательно, А9 >- А4 > А2, так как
Е2(Х IA99J2) > Е2(Х I A49J2) > Е2(Х I А2, Л),
и альтернатива А9 выбирается в качестве оптимальной.
Глава 15. Применение методов нечёткой логики
в бизнесе, управлении финансами
и в менеджменте
15.1. Определение экономических параметров выполнения
проектов, представленных сетью взаимосвязанных работ
15.1.1. Постановка и математическая формулировка задачи
Большие масштабы современных разработок привели к необходимо-
сти создания систем, обеспечивающих возможность оценки текущего со-
стояния и предсказания последующего хода разработки проектов. Такие
системы, базирующиеся на сетевых графиках, получили название СРМ
(метод критического пути) и PERT (метод оценки и обзора программ).
Они был впервые апробированы при управлении строительными рабо-
тами, а также для управления разработкой ракеты "Полярис", позволив
сократить срок этой разработки, по мнению специалистов, на 2-3 года. В
настоящее время эти методы широко используются при создании многих
сложных инженерных объектов и сооружений.
В основе современных методов управления проектами лежат методи-
ки сетевого планирования, разработанные в США в конце 50-х годов и
позволяющие решать определенный круг задач, основными среди кото-
рых являются:
- разработка расписания выполнения всех работ проекта, как с учетом, так
и без учета ограниченности ресурсов;
- определение критического пути и резервов времени выполнения работ
проекта;
- определение потребности проекта в необходимых ресурсах (финансиро-
вании, материалах и оборудовании, составе исполнителей и т.п.);
- анализ возможных рисков и планирование расписания выполнения работ
с учетом рисков;
- анализ отклонений хода выполнения работ от запланированного и про-
гнозирование изменений основных параметров проекта.
Последовательность выполнения и взаимосвязь всех работ, входя-
щих в состав проекта, можно представить некоторым сетевым графиком,
т.е. в виде ориентированного графа с одним входом и одним выходом, в
котором нет путей с повторяющимися вершинами.
Возможны два вида представления таких графов:
- дуги указанного графа понимаются как некоторые работы, а вершины -
события,
- вершины графа определяют работы (задачи), входящие в состав проекта,
которые характеризуются определенной длительностью выполнения, а
282
Глава 15
дуги определяют последовательности их выполнения и взаимоотношения
задач друг к другу.
В дальнейшем изложении мы будем использовать представление се-
тевой модели проекта, в котором вершины определяют определенные со-
бытия проекта, а связи (направленные дуги) - работы, связывающие эти
события.
Начало проекта - это вершина без входящих, а окончание - вершина
без исходящих дуг. Начало и конец реализации проекта связаны множе-
ством путей, длины которых различаются. Наибольшая длина пути опре-
деляет минимальную длительность всего проекта и называется критиче-
ским путем. Знание критических путей в любой точке проекта - необхо-
димое условие успешного выполнения проекта, а также средство выделе-
ния приоритетов задачам, которые требуют особого внимания и опреде-
ляют в данный момент сроки выполнения проекта.
Обозначим:
£7 = {(z, у) | i g I, j g I, i Ф j} - множество дуг сетевого графика,
A(i) = {j g I |(j,z) g U} (после «/ ») - подмножество вершин, являющих-
ся началом дуг, направленных в вершину z;
B(i) = {j g I |(J,z) g U} (перед «Z») - подмножество вершин, являющих-
ся концом дуг, началом которых является вершина i.
Любая Z -я работа (задача, событие, вершина графа), z G I , где
I = {z, j = 1,..., N} , входящая в состав проекта, характеризуется следую-
щими временными параметрами:
t - время, необходимое для выполнения работы \
g. _ наиболее раннее время наступления z-ro события;
0. - допустимый наиболее поздний срок наступления z -го события;
Г. .резерв времени в наступлении Z -го события;
р - резерв времени в выполнении работы (z, J) .
Резерв времени - это время, на которое можно увеличить продол-
жительность (или начало выполнения) данной работы, не изменяя при
этом продолжительность критического пути. Если работа находится на
критическом пути, то величина ее резерва времени является нулевой.
Критический путь определяет работы проекта, который должны быть
закончены точно в установленный срок.
В большинстве реальных проектов точное значение продолжительно-
сти работ неизвестно. Экспертами могут быть установлены верхняя
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 283
(пессимистическая) оценка Л-2, определяющая максимальную опенку
продолжительности с учетом всех возможных срывов, и нижняя (оптими-
стическая) оценка h], определяющая продолжительность работы в иде-
альных условиях. При наличии некоторого опыта может существовать и
наиболее вероятная оценка Й-. Планируемая продолжительность работы
определяется как некоторое действительное число, вычисляемое по одной
из формул
Г,- = 1 (3 h! + 2 й 2 ), t, = -(й’ + 4 • ht + й 2) •
5 6
При этом величина, соответствующая наиболее раннему возможному вре-
мени начала выполнения i -й работы (наступления i -го события), т.е. са-
мому раннему сроку завершения всех работ, предшествующих этому со-
бытию, определяется по формуле
gt = max(g7 + tj), iel. (15.1)
Расчет значений g ведется от начала сетевого графика к концу. Для
фиктивной вершины i = 0 , определяющей начало проекта, значение
— 0.
Рассматриваются также стохастические постановки задач по оценке
времени выполнения работ, в которых математическое ожидание и дис-
персия продолжительности работ рассчитываются по формулам
Г 2 1 "I2
лф,.] = |(3-л; + 2-Й,2), £>[;,]= Й‘ ~А' •
После традиционной обработки сетевого графика отыскивается ди-
сперсия длины критического пути как сумма дисперсий составляющих
его работ. Оценка вероятности той или иной продолжительности выпол-
нения проекта (или отдельной работы) проводится на основе функции
нормального распределения.
Наряду с описанными выше подходами, представляет существенный
интерес рассмотрение постановки и математической формулировки этой
задачи в условиях, когда времена, необходимые для выполнения работы,
заданы нечёткими множествами 7L, функции принадлежности которых
имеют LR -представление в форме трапеции вида (см. [59, 65] и др.)
. (15.2)
284
Глава 15
15.1.2 Методы решения задачи алгоритмами
Fuzzy-арифметики.
Рассмотрим методы решения сформулированной задачи, когда все
показатели сетевого графика: длина критического пути L , наиболее ран-
нее время наступления i -го события Gt, наиболее ранний срок наступ-
ления l-го события и допустимые наиболее поздние сроки резерв
времени в наступлении i -го события R , а также резервы времени в вы-
полнении каждой из работ (/,/) - Qy , будут выражены нечёткими мно-
жествами с функциями принадлежности вида (15.2).
Пусть a.fTJ) =т}(1\) = пг2(Т\) =а2(Тх) = 0-
Параметры функции принадлежности, определяющей ранние сроки на-
ступления каждого i -го события, которые в случае значений t , задан-
ных действительными числами, вычисляются по формуле (15.1), в случае
использования аппарата нечётких множеств вычисляются по одному из
следующих алгоритмов:
О «1 (Gt) = JW k (Gj) + ах(Ту )], (G,) = пщх [т} (Gj) + т} (Ту )],
т2(в,) = Г1&х[т2(С}) + т2(Ту)], а2(Ц) = пмкк(С) + а2(7^)].
2) Для каждого события j G А (/) вычисляются параметры нечётких
множеств
«1 (Gt | j) = а1 (Gj) + а}(Ту), (Gt | j) = ml(Gj) + (Ту), je A(i);
m2(Gl. |j) - m2(G+ m2(Ty), a2(Gt | j) - a2(G,) + a2(Ty), jeA(i).
Все нечёткие множества методами ранжирования, рассмотренными в
4-й главе, на основе условий абсолютного или относительного предпочте-
ния упорядочиваются по убыванию в последовательность вида
(Gt I I у2)> ... >-(Gf I Л)>... 4G; I Л),
где
I 71)—Re (^j I Л)—Re •” “Re (^7 I J k)~ Re — —Re (Qi I J К ) *
Параметры нечёткого множества (Gf | jx) принимаются в качестве пара-
метров нечёткого множества Gt.
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 285
Поздние сроки наступления событий в случае значений t > заданных
действительными числами, рассчитываются в обратном порядке по фор-
мулам
3 = nxin(g,. - , i = (N - 1),(7V - •
В случае, если Ту- трапецевидные нечёткие множества, параметры
нечётких множеств 0t определяются для всех вершин в обратном поряд-
ке. Положив j = N, ap(0N) = ap(GN), mp(0N) = mp(GN), p = l,2,
вычислим для всех работ i = N-1,Nпараметры соответствую-
щих функций принадлежности по одному из следующих алгоритмов:
1)Г7](^) = rnin^CG )-«!(?:.)], /И!(^.) = 1Шп[/И1((?p-TOjC?;)],
zeB(7)u J 7 zeB(y) 7
m2 (Oi) = min [m2 (Gj ) - m2 (Tt)], a2 (ft ) = min [a2 (Gj ) - a2 (7))];
2) для каждой работы i e В(/) находим параметры функции принадлеж-
ности нечёткого множества для всех ik G В (у) , к = , по фор-
мулам
al(0it) = a1(GJ)-al(Tit), т^О^т^-т^),
т2(ft) = т2(Gj)-m2(ft), а2(ft) = а2(Gj)-a2(ft).
Все нечёткие множества , ik G В (у) методами ранжирования,
рассмотренными в 4-й главе, на основе условий абсолютного или относи-
тельного предпочтения упорядочиваются по убыванию в последователь-
ность вида 0. > 0. 0. > ... > 0. , где
*1 12 1к 1К
“Re 0i2 “Re “Re @ik -Re "* —Re &iK *
Параметры нечёткого множества принимаются в качестве параметров
нечёткого множества 0t, i (= В (у) .
Параметры нечёткого множества QL - резерва времени по работам
проекта, т.е. времени, на которое можно увеличить продолжительность
данной работы, не изменяя при этом продолжительность критического
пути, рассчитывается по формулам:
«1(Я> = °i(^)-а1(^)’ т\(^) = wi(G<)(Ту),
286
Глава 15
m2(/?,) = m2(G,)-m2(0,)-т2(Г0, а2(Я,) = a2(G,) -a2(0,)-a2(Ту),
i el.
Допустимые поздние сроки начала выполнения работ в случае зна-
чений t заданных действительными числами, рассчитываются в об-
ратном порядке по формулам
Если Ту - нечёткие множества с параметрами функции принадлежности в
виде (15.2), то
где р = 1,2, i е B(J) ,j = (N-1), (N - .
Резервы времени в выполнении каждой из работ определяются по
формулам
аР(Rijmp(R..) = mp(0v)-mp(Gi), (i,j)eU,
где p = 1,2.
15.1.3.Иллюстративный пример
Сетевой график, определяющий все события, состав и последова-
тельность работ, входящих в состав проекта, представлен на рис. 15.1, а
параметры нечётких множеств определяющих длительности выполнения
работ, функции принадлежности которых имеют трапецеидальный вид,
приведены в табл. 15.1.
Рис. 15.1: Граф отражающий последовательность выполнения
работ проекта
Ниже в табл. 15.2-15.4 приводится результаты решения иллюстратив-
ного примера, в котором значения параметров функций принадлежности
нечётких множеств G- и 0. Rt рассчитываются алгоритмами 2. Жирны-
ми цифрами выделены события, лежащие на критическом пути, который,
в свою очередь, отмечен двойными линиями на рис. 15.1
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 287
Табл. 15.1: Параметры функций принадлежности нечёт-
ких множеств времен выполнения работ
Индексы работ проекта (Л У) Параметры функций принадлежности Fuzzy-множеств //(7^.)
«1 тх т2 а2
(1,2) 1 2 4 6
(1,3) 2 3 5 7
(2,4) 2 3 4 1 5
(3,4) 2 4 5 7
(2,5) 1 3 4 7
(3,6) 3 6 7 8
(4,6) 2 4 6 7
(5,6) 3 5 7 8
(5,7) 4 7 8 9
(6,8) 2 3 5 6
(7,8) 3 4 5 6
(7,9) 2 5 7 8
(8,10) 3 4 6 8
(9,Ю) 2 3 4 5
Табл. 15.2: Параметры функций принадлежности нечётких
__________множеств времен завершения событий_____
Индексы событий проекта Параметры функций принадлежности Fuzzy-множеств //(G-)
«1 тх т2 «2
1 0 0 0 0
2 1 2 4 6
3 2 3 5 7
4 4 7 10 14
5 2 5 8 13
6 6 11 16 21
_ 7 6 12 16 22
8 9 16 21 28
_ 9 8 17 23 30
_ ю 12 20 27 36
288
Глава 15
В таблице 15.4 приведены значения параметров функций принадлеж-
ности нечётких множеств наиболее поздних сроков и резервов времени в
завершении всех работ проекта.
Табл. 15.3: Параметры функций принадлежности нечётких мно-
жеств показателей событий проекта JLL(<0i) и ) .
Индексы событий проекта G, Параметры функций принадлежности Fuzzy-множеств ХЗ) Параметры функций принадлежности Fuzzy-множеств МД)
а1 т2 а2 а1 т1 т2 «2
10 12 20 27 36 0 0 0 0
9 10 17 23 31 2 0 0 1
8 9 16 21 8 0 0 0 0
7 6 12 16 22 0 0 0 0
6 7 13 16 22 2 2 0 1
5 2 5 8 13 0 0 0 0
4 5 9 10 15 1 2 0 1
3 3 5 5 8 1 2 0 1
2 1 2 4 6 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
В результате решения задачи методами Fuzzy-арифметики все основные
показатели, характеризующие ход выполнения проекта, определены не-
чёткими множествами. Это позволяет более объективно оценить степень
риска, связанную с незавершением определенных событий проекта в ус-
тановленные графиком сроки и своевременно принять меры по перерас-
пределению ресурсов, обеспечив наиболее высокую вероятность выпол-
нения проекта в директивные сроки.
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 289
15.2. Транспортные проблемы. Экстремальные
допустимые пути в Fuzzy-графах
15.2.1. Постановка задачи и ее практические приложения
Рассматривается следующая задача построения экстремальных до-
пустимых путей на Fuzzy-графах. Пусть задан некоторый направленный
граф G = (I ,U)9 где I - множество вершин, Z0 - начальная вершина пу-
ти. a U = {(/, f)9i G I G 1} - множество направленных дуг графа.
Табл. 15.4: Параметры функций принадлежности нечётких мно-
жеств показателей работ проекта )и
Индексы работ проекта OJ) Параметры функций принадлежности Fuzzy-множеств Ж) Параметры функций принадлежности Fuzzy-множеств М)
«1 тх /и2 ^2 тх т2 а2
(9,Ю) 10 17 23 31 2 0 0 1
(8,10) 9 16 21 28 0 0 0 0
(7,9) 6 12 16 22 0 0 0 0
(7,8) 6 12 16 22 0 0 0 0
(6,8) 7 13 16 22 1 1 0 0
(5,7) 2 5 8 13 0 0 0 0
(5,6) 2 6 9 13 0 1 1 0
(4,6) 4 7 10 14 0 0 0 0
(3,6) 3 5 9 13 1 2 4 6
(2,5) 1 2 4 6 0 0 0 0
(3,4) 2 3 5 7 0 0 0 0
(2,4) 2 4 6 9 1 2 2 3
(1,3) 0 0 0 0 0 0 0 0
(1,2) 0 0 0 0 0 0 0 0
Пусть длина каждой дуги определяется некоторым нечётким числом
A(i, j). Среди множества всех путей графа необходимо найти путь ми-
нимальной длины, заходящий в каждую из вершин подмножества графа
Zj с: I . При этом подмножество 1Х включает и вершину i G1Х, т.е.
конечную вершину строящегося маршрута.
290
Глава 15
В качестве частных случаев рассматриваемой проблемы может рас-
сматриваться задача, в которой отсутствуют какие-либо ограничения, и
просто необходимо найти наиболее эффективный (например, по длине)
•о •*
путь из вершины I в конечную вершину I .
Сформулированная задача имеет много практических приложений в
маршрутизации грузовых перевозок, организации ремонта и обслужива-
ния технических устройств. Приведем некоторые примеры таких прило-
жений.
Транспортное средство должно доставить грузы в некоторое заданное
подмножество пунктов и выполнить там определенные объемы работ.
Оно начинает свой путь с определенного базового пункта, и должно воз-
вратиться в некоторый фиксированный конечный пункт. В задачах опре-
деления оптимального маршрута основными показателями эффективно-
сти являются время в пути или стоимость выполнения производственного
задания. Основными составляющими затрат при этом является объём за-
работной платы водителя или обслуживающего персонала, которые про-
порциональны времени его работы, т.е. времени выполнения производ-
ственоого задания. Кроме того, скорость движения влияет на расход и
стоимость бензина. Время использования транспортного средства также
влияет на постоянную составляющую затрат, связанную с амортизацией,
затратами на ремонт и т.п.
В случае автомобильных перевозок при известных расстояниях меж-
ду пунктами i и j (вершинами графа) время движения между ними (по
каждой дуге графа) не является детерминированной величиной, а зависит
от погодных условий (снег, дождь), освещенности, рельефа дороги, на-
пряженоости автомагистрали, наличия пробок, связанных с ремонтами
участков магистрали, несчастными случаями и т. п. Следовательно, как
скорость, так и время движения на отдельных участках пути могут рас-
сматриваться как некоторые Fuzzy-числа. При этом значение критерия
эффективности как частичных планов, так и общего маршрута движения
выражается не действительным числом, а некоторым нечётким множест-
вом Е.
Основные трудности решения таких задач в нечёткой постановке свя-
заны с вычислениями сумм Fuzzy-чисел, а также, главным образом, со
сравнением и упорядочением по предпочтениям (в смысле возрастания
или убывания, т.е. Ер или Ер >Re Eq) длины пути, опреде-
ляемой результирующей функций принадлежности суммы нескольких
нечётких множеств. На основе сформулированных правил предпочтений
частичных путей, правилами, описанными в 4-й главе, осуществляется
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 291
исключение из рассмотрения бесперспективных путей, а также строящих-
ся путей, не имеющих допустимых решений.
15.2.2. Свойства допустимых и оптимальных планов
решения задачи.
Пусть G = (/,(/) - направленный граф, Q - матрица смежности
этого графа, т.е.
<1у
1, если Ау Ф 0 или > О,
О, в остальных случаях.
(153)
Qp - матрица смежности графа, возведенная в степень р , где
qfj - элемент матрицы Qp, стоящий на пересечении i -й строки и j -го
столбца. Известно, что q? определяет количество путей из вершины i в
вершину j графа G , содержащих р дуг.
Утверждение 15.1 Если в графе G , содержащем N вершин, выполня-
ется условие
тах<7?=0, (15.4)
l<p<N J
то в графе не существует путей, начинающихся в вершине i и заходящих
в вершину j.
Утверждение 15.2. Если в графе G , содержащем N вершин, выполня-
ется условие
min max qp. =0, (15.5)
jeZ, \<p<N lJ
то в графе не существует путей, начинающихся в вершине i и заходящих
в какую-либо из вершин j, принадлежащих подмножеству , где
Л 01 > У 2 >•••? Jn } •
На основе выражения (15.4) сформулируем правила отсева путей, не
содержащих допустимых маршрутов.
Пусть на некотором этапе решения построен некоторый частичный
план (путь), зашедший в вершину i и прошедший через подмножество
вершин Jx cz Ц i (£ J{. Следовательно, J2 = {Ix I Jx} , - подмножест-
во вершин, в которое должен зайти строящийся путь, / G J2 . Обозначим
Ц С / и М < N - соответственно множество и количество вершин
292
Глава 15
графа, в которые заходил этот путь, i° е. Гг Пусть Г2 = {/ / Г,} - под-
множество оставшихся вершин графа, а (/(Г,) - последовательность вер-
шин графа для этого пути. Удалив из матрицы смежности графа подмно-
жество строк и столбцов, индексы которых принадлежат подмножеству
Ц, получим квадратную матрицу Q2 с множеством строк и столбцов, ин-
дексы которых принадлежат подмножеству Г2 . Размерность этой матри-
цы равна М.
Правило отсева 15.1. Если для частичного пути, пришедшего в
вершину i и прошедшего через подмножество вершин Jx, справедливо
условие
min max ^=0, (15.6)
7eJ2 l<p<(JU-l) lJ
то строящийся путь не содержит допустимых продолжений и может быть
отброшен как неперспективный.
Заметим, что условиями задачи могут быть наложены ограничения,
что допустимый путь должен заходить в каждую из вершин графа не бо-
лее одного раза. Эти условия еще более сужают область допустимых ре-
шений задачи и позволяют более жестко сформулировать правила отсева
недопустимых продолжений.
Сформулируем правила отсева частичных планов, не имеющих оп-
тимальных решений. При этом мы ограничимся рассмотрением только
нечётких множеств с LR -представлением функций принадлежности, вы-
раженных в форме трапеции вида (1.46). Правила Fuzzy-арифметики для
такого представления Fuzzy-чисел приведены в табл. 3.2 3-й главы книги.
Рассмотрим два частичных плана (пути) Пр и ГР, начинающихся в од-
ной и той же вершине Zo и зашедших в одну и ту же вершину j. Обозна-
чим соответственно Г/*, Jtp и Г^ и - подмножества пройденных всех
и требуемых ограничениями задачи вершин графа, в которые еще должен
зайти этот путь, для каждого из этих частичных планов. Показатели эф-
фективности этих частичных планов обозначим соответственно
Ё_р := [а1{Ёр),т^Ёр\т2(Ёр),а2(Ёр)][Я,
Ё9 := [а1(Ёч),т1(Ё9),т2(Ё9),а2(Ёч)\1Я.
Правило отсева 15.2. (правило абсолютного предпочтения)
Если при сравнении двух частичных планов ГР и ГР справедливы все 4
неравенства
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 293
ах{Ер}<а^Е4}, т^Ер)<т^Е4},
т2(Ёр)<т2(Ё9), а2(Ёр)<а2(Ёд), (15 7)
и хотя бы одно из них выполняется как строгое неравенство,
то E(n')<ReE(W), и частичный план ГР может быть отброшен
как неперспективный.
Если хотя бы одно из неравенств (15.7) не выполняется, то для опре-
деления относительного предпочтения одного нечёткого множества перед
другим воспользуемся правилом сечений, описанным в 4-й главе. Показа-
тель эффективности Fuzzy-множества вычисляется по формуле
Л г - - 1 (15-8)
к=\
где 0 < ук < 1, к = + 1, - весовые коэффициенты в каждом
Х+1
ак -м сечении. При этом Z^=1> 0 < ак < 1, а значения
blk(Ep), Ь2к(Ер), к = вычисляются по формулам
bik (Ёр) = пг1(Ёр)-(1-ак)-[т, (Ёр ) - а, (Ёр)], (15.9)
Ь2к (Ёр) = т2(Ёр)-(\-ак)-[а2 (Ёр )-т2(Ёр)]. (15.10)
Правило отсева 15.3. (правило относительного предпочтения)
Если при сравнении двух частичных планов При ГР справедливо
неравенство
^[Ё(1Р)]<И£(П*)], (15.11)
то Е (П р ) <Re Е(П q ) , и частичный план П q может быть отброшен как
неперспективный.
Как частный случай LR -представлением функций принадлежности
в форме трапеции рассмотрим их треугольное представление в виде
Ёр :=[ах(Ёр),т(Ёр),а2(Ёр)]1Л . В этом случае система неравенств
(15.9), (15.10) имеетвид
а1(Ёр)<ах(Ё‘1), т(Ёр)<т(Ёд), а2(Ёр) < а2(Ёд), (15.12)
а выражения (15.8)-(15.10) - соответственно преобразуются в формулы
294
Глава 15
v\.E(ГР)]= w0 • (Ер) + а2(Ер)]+ wK+i т1(Ер) +
+ t^K(Ep) + b2t(Ep)],
bxk(Ё>) = т(Ё_р) - (1 - ак)• [т(Ёр) - а,(Ёр)],
Ь2к(Ёр) = т(Ёр) - (1 - a J [а2(Ёр) - т(Ёр)].
(15.13)
(15.14)
(15.15)
15.2.3. Вычислительная схема алгоритма
Алгоритм решения задачи основан на методах динамического про-
граммирования, последовательного анализа и отсева неперспективных
продолжений. Он использует условия доминирования и исключения из
рассмотрения недопустимых частичных планов, а также процедуры по-
строения допустимых экстремальных путей в графах.
Назовем частичным планом (путем) некоторый строящийся путь с на-
чалом в вершине Z(), который прошел через некоторое подмножество вер-
шин графа, но не заходил в конечную вершину пути i .
Метка строящихся путей содержит следующие признаки:
W‘ Ё‘,1‘. (15.16)
Здесь t - порядковый номер строящегося пути;
- номер вершины графа, в которую зашел t -й путь;
- порядковый номер пути, зашедшего в эту вершину с номером ;
W3 - номер предыдущей вершины этого t -го пути;
W4 - номер пути для предыдущей вершины этого Z-го пути (для вер-
шины W3);
- признак, может ли данный путь продолжен в другие вершины графа
(W5 = 0), или нет (= 1);
Е* - вектор параметров функции принадлежности нечёткого множества,
определяющий эффективность данного t -го частичного пути. Компонен-
ты этого вектора - действительные числа: ах(Е^9 ТП2(Е1>),
а2(Ё‘);
If - подмножество вершин, через которое прошел данный путь.
Обозначим:
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 295
Т = {1,2,...,/,..., Т} - подмножество всех допустимых и перспективных
частичных планов (путей) на некотором этапе решения задачи, которые
могут быть продолжены в другие вершины графа,
Т(/) - подмножество частичных планов, зашедших в вершину j,
Р - множество всех помеченных вершин, т.е. вершин, в которые зашел
хотя бы один из строящихся путей, Р <z I ;
подмножество вершин, в которые может быть продолжен /-й
частичный план, зашедший в вершину j ;
V - множество построенных до конца допустимых планов, удовлетворя-
ющих всей системе ограничений задачи;
Ef (j) - параметры функции принадлежности нечёткого множества, опре-
деляющие показатель эффективность /-го частичного плана, заканчива-
ющегося в вершине j;
djt - показатели, определяющие длину дуги (j, i) eU , т.е. числа
fn2(dy), a2(dy);
В (z ) - нечёткое множество, определяющее длину наилучшего из допу-
стимых планов, построенных на данном этапе решения задачи,
д|Д(Г)]= <1517>
Определим - минимальное среди всех нечётких
множеств, зашедших в вершину j, т.е. нечёткое множество такого из пу-
тей t значение показателя эффективности (15.8) или (15.13) у ко-
торого минимально.
Каждая итерация алгоритма решения задачи состоит из нескольких
шагов, выполняемых в логической последовательности друг за другом.
Шаг 0 (предварительный). Полагаем Т = V = 0, gp(B(i,y))= ОО. Здесь и
в дальнейшем g = а или g — т , р = 1,2 Пометим начальную верши-
ну пути графа z0 меткой со следующими признаками
w*=(™;=o,w‘2 = ox = ox=ox =о), i* = *0> gp(^')=°0-
(15.18)
296
Глава 15
Проверяем выполнение условий (15.6), полагая J2 = Ц . Если это усло-
вие не выполняется, то задача не имеет допустимых решений, и алгоритм
заканчивает с соответствующим сообщением заканчивает работу. В про-
тивном случае переходим к шагу 1, полагая
Р = ’ T(i0) = {0}, gp (В(Г ))=со.
Шаг 1. Выбираем некоторый частичный план с номером , пришедший в
вершину ir, исходя из следующих условий
(А,А) = arg^min'O) = arg{min£'(01 i e P,t e T(7), w' = 0} (15.19)
t,i
Продолжим этот путь в некоторую вершину j G 1?(4) . Если окажется,
что
R(/) = 0 для всех {t G (Т | Wj = 0}, (15.20)
ГеТ(0
а также при этом V = 0, то задача не имеет допустимых решений, и ал-
горитм с соответствующим сообщением заканчивает работу.
Если выполняются условия (15.20), а Кт^0, то построенный допу-
стимый путь, длина которого определяется показателем B(i ) , является
решением задачи. Для восстановления его переходим к шагу 7 алгоритма.
Если условие (15.20) не выполняется, то полагаем R(ix) = R(ix)/ j •
Если R(ix)lJ = 0 , то полагаем = 1, и переходим к шагу 2.
Шаг 2. Для вновь формируемого частичного плана т, зашедшего в вер-
шину j, определяем
Г = I1' и j, J2 = Л'1 /»;, Ц = Ui’i, = м'1 +1„ nt2 = N‘J -1.
(15.21)
Полагаем ЛГ(О = {RT(h)/ j} •
Если для Т -го частичного плана с параметрами, рассчитанными по
формулам (15.21), выполняется условие (15.6), то данный частичный план
не имеет допустимых продолжений и отбрасывается как недопустимый.
Переходим к шагу 1. В противном случае - переходим к шагу 3.
ШагЗ. На этом шаге происходит формирование метки продолженного Г -
го частичного плана. Пусть ?](j) - последний порядковый номер пути за-
шедшего в вершину j. Тогда метка этого частичного плана получает
следующие признаки:
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 297
=J’ w2 =7(j) + l, wl=h’ Ч = Ч' > w5r =0; 7r =(/'' Uj);
(15.22)
al(ET) = a1(Et') + a} (dhJ.), mx (ЁT) = mx (Eh) + mi (d^ ),
т2(Ёт) = т2(Ё‘') + т2(^), а2(ЁТ) = а2(Ё^ + а2^) . (15.23)
Здесь ГЦ1 - номер пути t} -го частичного плана в вершине i{.
Среди путей, зашедших в вершину /, производим отсев путей, не
содержащих оптимальных планов, воспользовавшись правилами отсева
15.1 -15.3.
Для неперспективных частичных планов, номер которых р, полага-
ем = 1, что исключает их дальнейшее развитие. Определяем подмно-
жество вершин RT(j). Если /?г(7)^0, то полагаем T = (T(Jr),
р = (Р (J у). Переходим к шагу 4.
Шаг 4. Если RT(ix} 0 , то переходим к шагу 1. Если Rr(ii) = 0, то по-
лагаем wj1 =1, Т = (Т/^) Если IV 0, то переходим к шагу 5. Если
Т=0, то, если В (Г) Ф оо, получено решение задачи, и переходим к
шагу 7. Если Т=0 и Z?(z*) =оо, то алгоритм заканчивает работу с сооб-
щением, что задача не имеет допустимых решений.
Шаг 5. Если j = i и для построенного Т -го частичного плана выпол-
няются условия 1^ = Zj, то построен допустимый план решения задачи,
показатель эффективности которого определяется нечётким множеством
ЕТ. Если эта пара условий не выполняется, то переходим к шагу 1. В
противном случае (= Д ) выполняем следующие вычисления. Если
B(z ) >Re Ет , т.е. нечеткое множество B(i ) является предпочтитель-
нее нечеткого множества Ет, т.е. ВЕт, то полагаем B(i*) = Ет,
wj = 1, Рг(у) = 0. Переходим к шагу 6. Если выполняются условия
В (i ) <Re Ет, то переходим к шагу 1.
Шаг 6. 1) Для всех частичных планов t G Т, для которых выполняются
условия J?(z*) <Re Е\ полагаем W5 = 1. Частичные планы, для которых
298
Глава 15
признак метки w5 = 1, исключаем из подмножества Т. Производим пе-
реиндексацию всех оставшихся в подмножестве Т планов. Если Т=0э
то построенный Т -й план является решением задачи и переходим к шагу
7. В противном случае выполняем пункт 2 данного шага 6.
2) Находим частичный план с индексом t G Т, удовлетворяющий усло-
виям
Ea,’opt = {minE' 11 е Т, w' = 0}. (15.24)
/еТ
Если B(i ) <Re Eo)'°pt, то получено решение задачи, и переходим к
шагу 7. В противном случае, выбрав в качестве дальнейшего развития
частичный план, номер которого равен СО^Т, переходим к шагу 1.
Шаг 7. Восстановление оптимального пути.
Пусть метка построенного оптимального плана решения задачи имеет вид
wq = (wq = i\w2 = q,Wq = j\,Wq =t^wq =1); Eq; Iq. (15.25)
Перейдем к вершине j\ = wq и рассмотрим частичный план, зашедший в
эту вершину, номер которого равен tx = Wq. Пусть метка этого плана
имеет вид
= j2, = t2, w'*);
Г'1 = F’ -Re J., ; Ij' = (Г /Г). (15.26)
Здесь «—Re» - обозначение операции вычитания двух Fuzzy-множеств и
определения соответствующего числового показателя полученного ре-
зультата.
Далее переходим к вершине /2 = , определив номер пути, зашедшего
в эту вершину, равный t2 = wj . Вычислим значение Е*2 = Eh ^^dj j
и определим множество вершин 172 = (/ 71 / j\ ) для метки этой верши-
ны. Выполняем эти преобразования до тех пор, пока не определим все по-
казатели начальной метки для вершины Zo, показатели которой были оп-
ределены на 0-м шаге алгоритма. Последовательность вершин
{l0,}, восстановленная в результате выполнения шага 7,
является оптимальным решением, которое удовлетворяет всем ограниче-
ниям задачи.
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 299
15.2.4 . Иллюстративный пример 15.2.
Сеть дорог задана графом, представленном на рис. 15.2. Времена
проезда по каждой дороге пути заданы нечёткими множествами, функции
принадлежности которых имеют треугольный вид. Значения параметров
этих функций приведены в табл. 15.5.
Рис. 15.2: Граф сети дорог
Табл. 15.5: Параметры функций принадлежности
Индексы дуггра- фа Параметры функций принадлежности нечётких множеств длин дуг графа
а т ь
(1,2) 2 3 5
(1,3) 3 4 6
(2,4) 4 6 7
(3,5) 5 6 7
(4,6) 2 5 6
(4,7) 3 5 7
(5,6) 5 7 8
(6,8) 3 6 9
(6,9) 4 5 6
(7,8) 4 5 7
(8,10) 2 4 6
(9,Ю) 3 5 7
Необходимо найти наиболее предпочтительный путь из пункта 1 = 1
в пункт i = 10 , который обеспечил бы минимальное время в пути.
Ниже приводится процесс решения задачи.
1) wj = 2, ^=1, wj = 1, w} = 0, и>5 = 0; Ё1 := (2,3,5); 71 = {1,2}.
2) wj2 =3, и£=1, и£=1, и^=0, м£=0; Ё2 := (3,4,6); 71 ={1,3}.
3) и? = 4,w3 =1, w? = 2, w43 =1, =0; Ё3 := (6,9,12); 73 ={1,2,4}.
Полагаем W5 = 1.
300
Глава 15
4) w4 =5, w4=l, w4=3, w4=l, W4 =0; E4 :=(8,1Q13);
14 = {1,3,5}. Полагаем = 1.
5) w8 =6, и^=1, wf =4, и£=1, uf=O; £5 >(8,14,18);
75 ={1,2,4,6}.
6) wf =6, w"=2, w*=5, m£=1, =0; Ё6 := (11,15,20);
I4 = {1,3,5,6}. Полагаем w4 = 1.
Так как в соответствии с условиями g(E5) < g(E6) ( g = а, g = т,
g = fc)HE(n5)<Re Е(П6), то частичный путь П6 может быть от-
брошен как неперспективный. Поэтому полагаем = 1.
7) w[=7, wj=l,wj=4, wj=l, w?=0; Ё1 >(11, 16, 20);
17 = {1,2,4,7}. Полагаем Wj = 1.
8) w* =8, w8 =1, wj=6, w8 =1, uf =0; Ё8 >(11,20,27);
78 ={1,2,4,6,8}.
9) wf =9, =1, v^=6, w4 =1, =0; £’>(15,19,25);
7 9 = {1,2,4,6,9} . Полагаем Wj = 1.
10) w}° =8, v4°=2, и|0=7, w’° = 1, W5°=0; Ё10 >(15,21, 26);
I10 = {1,2,4,7,8}. Полагаем wj = 1.
Сравним частичные планы П8 и П10 . Так как ни одно из нечётких
множеств Е8 и Е'° не имеет абсолютного предпочтения перед другим,
сравним эти два нечётких множества методами вычисления комплексного
показателя их сечений, который вычислим по формуле
^(Е) = 0.1-(бг + 6) + 0.3-/л+ 0.15-(6Z! +6j) +
+ 0.2 • (tz2 + &2) 0.25 • ),
где Cll-)bl , I=1ДЗ, - соответственно крайние точки соответствующих се-
чений ах =0.25, а2 =0.5, а3 =0.75.
В результате выполненных вычислений получаем ^л(Е8) = 33.25,
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 301
у/(Е10) = 35.39. Так как ys(E8) < ys(E10 ), частичный план П10 от-
брасывается как неперспективный. Полагаем = 1.
ll)4*=10, w’’ =1, м^=8, и^=1, W5°=0; Я11 := (13,24, 26);
Iй ={1,2,4,6,8,10}. Полагаем w58 =1.
12) Ч2 =10, Ч2 =1, Ч2 = 9 > Ч2 =1, Ч2=°; Ё12 := (15,24, 32);
712 ={1,2,4,6,9,10}. Полагаем W* =1.
Так как а(£'11) = а(£’12), т(Еи) =т(Е12), а Ь(Еи) = Ь(Е12), то опта-
мальным является путь, представленный меткой 11, который представляет
собой последовательность прохождения вершин графа
fZ" ={1,2,4,6,8,10}.
15.3. Эффективное распределение инвестиций.
Оптимизация фондовых портфелей
15.3.1. Постановка и математическая модель задачи
Классическая модель формирования портфеля инвестиций (модель
Марковица-Тобина [94]) сводится, как известно (см., например, [18-20,
88]), к решению двухкритериальной оптимизационной задачи. Объём
ожидаемой прибыли портфеля (Portfolie ) рассматривается как средне-
взвешенная доходность входящих в него активов, а риск портфеля оцени-
вается по известным формулам теории вероятности через вариации и ко-
вариации этих активов. Как правило, не существует Portfolie, которые при
высоком математическом ожидании прибыли обеспечивает минимальные
проценты риска. Марковиц решал задачу минимизации риска портфеля
при обеспечении заданного уровня его доходности.
Доминирующее определение риска как дисперсии доходности объяс-
няется простотой этого измерителя и в какой-то степени традицией. Недо-
статки дисперсии как модели риска обсуждаются, например, в [18, 19, 42,
46]. Основные среди этих недостатков - следующие:
- дисперсия определяет все отклонения доходности от своего математиче-
ского ожидания, в то время как с термином «риск» для инвестора связаны
только неблагоприятные для него отклонения;
- дисперсия не раскрывает распределение (структуру) отклонений, т.е. од-
на ценная бумага с преобладанием положительных отклонений может
иметь такую же дисперсию, как другая ценная бумага с преобладанием
отрицательных отклонений от математического ожидания прибыли. При
302
Глава 15
этом от инвестора будет скрыт большой риск потерь при покупке второй
из них;
- значения математического ожидания и дисперсии прибыли от сформи-
рованного портфеля инвестиций не дают инвестору полной информации о
распределении вероятности ожидаемых объёмов прибыли и возможных
потерь, т.е. о степени риска при принятии решений.
В литературе [18, 46, 65, 66] рассматриваются следующие альтерна-
тивные измерители риска: математическое ожидание величины отрица-
тельных отклонений, вероятность получения дохода меньше ожидаемого
значения, а также величины моментов отклонений более высоких поряд-
ков. Вероятностные ограничения при формировании эффективного порт-
феля инвестиций рассматривались в монографии [46]. Однако в настоя-
щее время оценки степени риска величиной дисперсии значении ожидае-
мой прибыли является наиболее распространенным подходом в решении
проблем оптимизации фондовых портфелей.
Рассмотрим задачу в более формальной постановке.
Весь объём инвестиций А может быть распределён по К направле-
ниям (источникам финансирования). Пусть ССк - доля общего объёма, на-
правленная в к -й источник вложения активов, где
'£ак =1, 0<«* <1Д=1,..Л- (15.27)
Тогда объём инвестиций, направленный в к -й источник финанси-
рования, равен А*. -акА.
Для каждого из направлений инвестиций известны тк- математи-
ческое ожидание объёма возможной прибыли на единицу инвестируемого
капитала, Vk = (Jk - дисперсия доли ожидаемой прибыли.
Пусть также известны коэффициенты корреляции случайных величин
0<рЛ/<1,
При данном распределении инвестиций математическое ожидание и
дисперсия возможной прибыли сформированного портфеля инвестиций
определяется выражением
К К К
= -Ак, a2(E) = V(E) = ^Ak-Al ри-<гк -а, -(15.28)
Л=1 к~\ /=1
Аналогом множества Парето показателей эффективности различных
вариантов Portfolie в системе координат т(Е) и <з(Е) является кривая,
для любой точки которой увеличение математического ожидания объёма
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 303
а2 (£*) прибыли может быть достигнуто только за счёт роста доли риска
возможности получения потерь. Поэтому при формировании оптималь-
ных Portfolie должны использоваться определённые схемы компромисса.
Большое внимание в литературе и в практических приложениях полу-
чила постановка задачи максимизировать математическое ожидание дохо-
да портфеля условиях различных уровнях доли допускаемого риска
А
аъ...^хк,...^к
К
max \А-У\ак'Тпк
Л=1
К К
I А2-EZX а-а-а-а
Л=1 /=1
(15.29)
Если задаться различным уровнем риска А, то можно построить не-
которую кривую зависимости максимума возможного дохода портфеля
инвестиций от степени допускаемого риска, на основании которой группа
экспертов может принять наиболее эффективное для инвестора решение.
В строгой многокритериальной постановке задача выбора оптималь-
ного Portfolie представляется в виде
к
Fx = max А- Yak'™k’ (1530)
ai,...,ak “
Fi =
min
к к
А2 Щ^ак'стк-аГ^Г Ри
Л=1 /=1
(15.31)
В большинстве рассматриваемых в литературе публикаций, а также
в практических приложениях решение задачи осуществляется с помощью
линейной свёртки критериев
F3 = max
К I К К
-mk -!LlLak-^k ai - a-pki
k=i V *=i /=i
(15.32)
Рассматриваются и другие подходы и математические модели реше-
ния данной задачи
к
max А-'Уак-тк\
аъ...,ак,...,аК ~
К К
Л=1 /=1
(15.33)
где А - некоторое предельное значение дисперсии прибыли сформирован-
ного портфеля инвестиций, например, риск направления инвестиций,
обеспечивающий дисперсию величины дохода меньше значения А.
304
Глава 15
Рассматриваемый выше подход, получивший широчайшее распро-
странение в практике управления портфелями инвестиций, имеет, как от-
мечено А.О. Недосекиным в [18, 19], ряд модельных допущений. Прежде
всего - это отсутствие стационарности ценовых процессов, что не позво-
ляет описывать доходность некоторого направления вложения денежных
средств некоторой случайной величиной с известными параметрами рас-
пределения вероятностей. То же относится и к значениям коэффициентов
корреляции, определяющим взаимные связи и взаимные влияния этих
факторов. Ситуация на рынке одновременно определяется большим ко-
личеством факторов, не подлежащих совокупной оценке, а также непред-
сказуемостью реакции рынка на те или иные ситуации или воздействия.
Динамика научно-технического прогресса, изменения политической и со-
циологической ситуация во многих странах являются причиной того, что
закон распределения вероятности значений некоторого параметра или
некоторой совокупности параметров, построенные на основе представи-
тельной статистической выборки, определяющей поведение системы в
прошлом, как правило, не сохранят свою силу на некоторый период в бу-
дущем. Следовательно, на основе статистических данных поведения сис-
темы в предыдущие периоды времени нельзя прогнозировать тренды бу-
дущих значений основных экономических показателей и расчетные пока-
затели отклонений от этих трендовых значений.
При решении практических проблем перспективного планирования и
управления финансовыми потоками параметры этих законов, как правило,
корректируются на основании мнений экспертов с учетом всех рассмот-
ренных выше факторов. На основе этих коррективов состояние проблемы
может моделироваться посредством N-мерного нечетко-вероятностного
распределения [18, 19, 24]. Оценив параметры этого распределения (зна-
чения параметров mk, (Jk и р1к ) как нечеткие числа, можно сформули-
ровать эту задачу как задачу математического программирования с
Fuzzy-числами и решить ее, используя методы Fuzzy-арифметики и алго-
ритмы сравнения и определения предпочтений нечетких множеств, опи-
санные в 3-й и 4-й главе книги.
Результат решения такой задачи будет представлен детерминирован-
ным вектором А значений параметров ак , удовлетворяющем ограниче-
ниям (15.27). Полученное в результате решение задачи Fuzzy-множество,
определяющее значение критерия оптимальности, должно обеспечить
наиболее предпочтительное решение из всех возможных альтернатив.
При этом нечёткое множество значений параметра дисперсии прибыли
сформированного портфеля должно быть предпочтительнее установлен-
ного в виде нечёткого множества или действительного числа значения Д.
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 305
В нечёткой постановке задачи правая часть ограничения (15.33) и
значение критериев оптимальности (15.30)-(15.32) будут представлены
нечёткими множествами. Мы ограничимся рассмотрением случаев, когда
параметры функций распределения (значения тпк , (5к и р1к) определены
LR -представлениями нечётких множеств, причем значения тк9(Ук,
к = 19.,.9К, - нечёткие множества, функции принадлежности которых
имеют вид трапеции, а значения pik, к,1 = , - нечеткие множе-
ства с функцией принадлежности треугольного вида. В этом случае ожи-
даемая величина прибыли и риск неэффективности портфеля инвестиций
для каждой из рассматриваемых альтернатив также будут выражены в ви-
де нечётких множеств, функции принадлежности которых представлены
LR -представлениями. Параметры этих функции принадлежности долж-
ны быть вычислены рассмотренными в 3-й главе методами Fuzzy-
арифметики, а проверка выполнения ограничений и выбор критериев
оценки наиболее эффективной из допустимых альтернатив - методами
сравнения и ранжирования нечётких множеств, описанными в 4-й главе
книги.
15.3.2. Математическая формулировка задачи в условиях
нечётких исходных данных
Весь объём инвестиций А может быть распределён по К,
к = 1,..., АГ, источникам финансирования. Пусть задана некоторая ма-
трица возможных N альтернатив R., i = , принятия решений,
элементами которой являются детерминированные числа 0 < Aik < А ,
Определяющие объем средств, направленных в i -й альтернативе в к -й
к
источник финансирования, причем Ъ^<А.
к=Х
Все параметры нечеткого многомерного распределения ожидаемой
доли прибыли на единицу вложенных средств представлены Fuzzy-чи-
слами. Функции принадлежности этих параметров (математические ожи-
дания Мк , среднеквадратические отклонения (Jk и коэффициенты кор-
реляции рк1) имеют LR - представление трапецеидального вида
306
Глава 15
{m, (ри ), т2 (рк1), ах [(ры ), а2 (рк, )}£/?.
Обозначим pF(F} 1Ri), pF(F2\Ri), - соответственно функции
принадлежности нечётких множеств математического ожидания, квад-
рата дисперсии ожидаемой прибыли от портфеля инвестиций для альтер-
нативы Rf.
Методами Fuzzy-арифметики (см. таблицы 3.1, 3.2 3-й главы данной
книги) для каждой R. -й альтернативы могут быть вычислены основные
парамет-ры этих функций принадлежности
по следующим формулам
I Я.) = £ Л • , т2 (Fj IF,.) = £ Aik • т2 (Мк),
Л=1 £=1
_ ~ К _ ~ к
ax{Fx |R,) = ^Aik-ах(Мк) , a2(Fx |7?,) = ЕА «2(ЛГ*);
к=1 к=1
JKК
ЪЪДк'Дг mi (ак тх (рк1),
к=\ 2=1
ЕЕ Aik Аи ’
к=1 l=\
J К К
ZE дк- Аи • «1 (°к) • «1 (о-/) • «1 (Рн).
к=1 /=1
J— _
ЕЕ Aik-Aa'a2^k}-a2^i}-a2{Pki)-
2=1
(15.34)
(15.35)
(15.36)
(15.37)
(15.38)
(15.39)
Пусть на математическое ожидание и на дисперсию прибыли порт-
феля инвестиций наложены ограничения, левые части которых выражены
нечёткими множествами Вр, р = 1,2, функции принадлежности кото-
рых имеют вид трапеции
Эти ограничения представлены в виде нечетких неравенств
(Fx | Rx) >Re Вх, (F21Д.) <Re B2, i = 1,..., N.
(15.40)
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 307
Тогда из всего множества рассматриваемых альтернатив N = {/ = 1,...,7V}
выбирается только такие Nj = {j = 1,...,^}, где Nj С N, < TV, ко-
торые удовлетворяют системе ограничений (15.40). Для проверки выпол-
нения этих ограничений для нечётких множеств В р и (Fp | 7? •) могут
использованы условия абсолютного предпочтения в виде системы нера-
венств
mi(Fl I ОТ1(51)> т2 (Л I ™2(й|) >
al(Fl\Ri)>al(Bl), a2(F, | Rt) > a2(Bx}, zeN(; (15.41)
^1(Г2 1Л) (^2> > mi(F2 I ^,) ^2(52)’
ax(F2| £) < ax(B2), a2(F2 | Rt) < a2(B2) i e N1. (15.42)
Если условия абсолютного предпочтения для нечётких множеств в
виде (15.41) и (15.42) не выполняются, то требования к выполнению си-
стемы ограничений могут быть ослаблены условиями относительного
предпочтения, которые основаны на соотношениях показателей различ-
ных сечений этих нечётких множеств. В данной задаче эти условия могут
быть сформулированы следующим образом.
Вычисляется некоторый комплексный показатель нечёткого множе-
ства G , представленный действительным числом y/(G )
Т7—!
-[^(gJ+^gJ+^w, -^(GJ + h^Gj+w, •[z«1(g)+^(G)],
_ _ ' (15.43)
где bv (Gt), b2 (Gt) - соответственно координаты левой и правой край-
ней точки нечёткого множества G в t -м сечении при различных значе-
ниях //- (G) . Например, (G | = 0.25), (G 1t2 = 0.5),
^(G|/3 =0.75) и т.д.
Т
0 < wt < 1, t = ОД,...,?7, - весовые коэффициенты, vvz = 1 •
Г=0
В этом случае система ограничений может быть представлена в виде:
I X) V (Д) > I Д) W (Дг) (15.44)
Компромиссные критерии эффективности портфеля инвестиций F3
308
Глава 15
в виде (15.32) в данном случае также будет представлен нечётким множе-
ством F3 с функцией принадлежности трапецеидального вида, параметры
которого имеют вид
"*1(^3 = IX), (15.45)
™2(^з I К) = | Лг)-7-т2(Д | X), (15.46)
«1(^з I Я) = ai(Fi I Я)“7• «1 (F2 | R;), (15.47)
«2(^з\Ri) = a2(Fi\Ri)-fJ-a2(F2\Ri) (15.48)
Весовой коэффициент Т) целесообразно, как и в методах Марковица [94],
выбирать в пределах 0.2 < г) < 0.3.
15.3.3. Выбор наиболее эффективной из подмножества
допустимых альтернатив.
Сравнение и ранжирование нечётких множеств (7^ раз-
личных допустимых альтернатив i € N , может быть произведено на ос-
нове правил абсолютного предпочтения по формулам, аналогичным
(15.41) и (15.42), а также методами анализа показателей различных сече-
ний по формулам, аналогичным (15.43). Однако, учитывая специфику
данной задачи, могут быть рассмотрены и другие методы анализа предпо-
чтения и ранжирования нечётких множеств, описанные автором в 4-й
главе книги.
Представляет особый интерес в данной области приложений приме-
нение многокритериальных методов сравнения и ранжирования нечётких
множеств, описанных в разделе 4.5 4-й главы книги. Трапецеидальное
представление функций принадлежности нечётких множеств (F3 | Rt)
существенно упрощает объемы необходимых вычислений и позволяет
выполнить расчеты комплексных показателей по явным формулам. Так,
при применении формул (4.75)-(4.78) выбором соответствующих весовых
коэффициентов Лр, р — 1,2,3 в выражениях (4.78) позволяет правильно
отразить мнения экспертов о соотношении уровня возможного риска и
стремление к достижению максимальной прибыли. Показатели Z-сечений
Fuzzy-множеств критериев эффективности различных альтернатив, рас-
смотренные в разделе 4.4 и используемые в комплексных показателях
(4.79)-(4.83), в какой-то степени отражают вероятности того, что величи-
ны потерь и (или) объемы ожидаемой прибыли в каждой из рассматрива-
емых альтернатив будут не ниже или не выше некоторого ранее установ-
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 309
ленного уровня. Соотношением весовых коэффициентов у и /Llq можно
наиболее полно учесть требования экспертов и ЛПР.
15.3.4. Иллюстративный пример
Инвестор имеет возможность вложить средства в объеме 1 млн.евро.
в один из 3 проектов. Прогнозируемые доли прибыли на единицу вложен-
ных средств по каждому из проектов представлены нечёткими множества-
ми, параметры LR -представления функций принадлежности математи-
ческого ожидания и дисперсии доли прибыли которых подставлен в табл.
15.6.
Табл. 15.6: Параметры нечетких множеств различных источников
вложения средств
№ про- екта Параметры мат. ожидания функции принадлежности ЖЕ.) Параметры функции принад- лежности среднеквадратиче- ского отклонения бт(£\)
а\ тх т2 «2 «1 т1 т2 б?2
1 0.035 0.05 0.06 0.12 0.01 0.012 0.015 0.018
2 -0.01 0.06 0.07 0.13 0.005 0.008 0.012 0.015
3 -0.025 0.065 0.09 0.15 0.012 0.015 0.018 0.02
Случайные величины прогнозируемых показателей эффективности
различных проектов коррелированы. Соответствующие коэффициентов
корреляции также представлены нечёткими множествами трапецеидаль-
ного вида, параметры которых сведены в таблицу 15.7.
Табл. 15.7: Параметры нечетких множеств коэффи-
циентов корреляции
Обозна- чение коэфф. Параметры функции принадлежности коэффициентов
ai 7П, т2 а2
Р\2 0.003 0.0035 0.0038 0.004
Р13 0.002 0.0025 0.0028 0.0035
Р13 0.004 0.005 0.0055 0.0065
Выбор распределения средств (наиболее эффективного портфеля инве-
310
Глава 15
стаций) должен быть осуществлен среди 6 альтернатив, представленных
в таблице 15.8.
На принятое решение накладывается ограничение вида: нечёткое
множество математическое ожидания прибыли должно быть предпочти-
тельнее граничного нечёткого множества В в форме
M(F | R.) >Re В ,i = , (15.49)
функция принадлежности которого имеет трапецеидальный вид с пара-
метрами ах(В) = -5000, п\(В) = 60000, т2(В} = 73000,
а2(В) = 132000.
Табл. 15.8: Различные альтернативы инвестиций
№ альтер- нативы Распределени средств (в евро) по различным проетам
1 2 3
Л 500000 300000 200000
r2 400000 250000 35OOOO
*3 100000 500000 400000
r4 200000 200000 600000
Rs 300000 400000 300000
R6 150000 600000 250000
Вычисленные правилами Fuzzy-арифметики соответственно по фор-
мулам (15.34)- (15.39) значения параметров функций принадлежности
M(F | jRf) и cr(F | приведены в табл. 15.9.
Как видно из табл. 15.9, ни одно из нечётких множеств рассматрива-
емых альтернатив не имеет абсолютного предпочтения перед нечётким
множеством ограничения В . Поэтому проверку выполнения ограниче-
ния (15.49) выполним сравнением показателей нечётких множеств В и
M(F\R^ метхщры сравнения их сечений по формулам (15.43). (15.44).
Рассмотрим 5 сечений 6Z0 =0, ^=0.25, <z2 =0.5, =0.75,
<Z4 =1.0, приняв соответственно значения коэффициентов для этих сече-
ний Ло =0.1, Д =0.15, Л^ =0.2, Л$ =0.25, Л4 =0.3. Вычислив край-
ние точки соответствующих сечений b2(ct), комплексный пока-
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 311
затель эффективности рассматриваемого нечёткого множества вычисляет-
ся по формуле
у(в) = 0.1 (6z1[G] + a2[G]) + 0.4- (m1[G] + m2[G]) +
з _ (15.50)
Р=1
Табл. 15.9: Значения параметров функций принадлежности
M(F\Rt) и cr(F|^)
Альтерна- тивы Параметры функции принадлежности математического ожидания прибыли | /0 Показатель эффектив- ности Fuzzy- множества
«1 /и, т2 а2
9500 56000 69000 129000 130012.5
2750 57750 73000 133000 132625.0
7?3 -11500 61000 77000 137000 133312.5
-10000 61000 80000 140000 136875.0
/?5 -1000 58500 74000 133000 132600.0
R6 -7000 59750 73500 133500 130600.0
Значение для правой части ограничения равно у/(В) = 130600, а обоб-
щенные показатели y/(F3 17?z ) для каждой из альтернатив приведены в
6-м столбце табл. 15.9. Как следует из приведенных расчетов, только 1-я
альтернатива не удовлетворяет поставленному ограничению, и поэтому
она должна быть отброшена из дальнейшего рассмотрения.
При выборе в выражении компромиссного критерия эффективности
значения (15.32) значения г] = 0.25 параметры функций принадлежности
]LLf{F3 | R.) сведены в табл.15.10, (столбцы 2-5).
Как видно из параметров нечётких множеств значений 17Q ,
приведенных в таблице 15.10, ни одна из рассматриваемых альтернатив
не имеет абсолютного предпочтения в виде
312
Глава 15
£р '
ки 1дг)]г8Р-
k<Fi I Л;)] •
где gp = ар или gp = тр, р = 1,2.
Следовательно, выбор наиболее эффективной из оставшихся допус-
тимых 5 альтернатив сделаем на основе вычисления и сравнения ком-
плексных показателей сечений их функций принадлежности в соответст-
вии с выражением (15.43), (15.44), т.е. аналогично выполненной выше
проверке выполнения ограничений. Результаты вычислений комплексного
показателя эффективности y/(F3 | Д ) приведены в 6-м столбце таблицы
15.10.
Табл. 15.10: Параметров нечётких множеств значений jdF (F3 | R.)
Допу- сти- мые альтер нати- вы Параметры функции принадлежности компромиссного критерия эффективности Pf(f3 14) Показатель эффектив- ности Fuzzy- множества ИД|Д)
«1 а2 т2
4 1265.2 55901.5 70695.5 130315 128465.7
R3 -2877.5 59151.5 74623.3 134156 129088.9
R< -11541.3 58835.5 77131.5 136775.8 131565.2
1?5 -2275.5 56849.3 71867.3 130479.5 128457.2
7?б -8126.5 58159.5 71300.3 130833.3 126928.9
Результаты сравнения эффективности различных альтернатив дали
следующие результаты. Так как
И41 /?4)> 17?6) > И4 I Д) > ИД I 4) > ИД I 4) ’
то, следовательно, R4 > R6 > R3 > R2 > R}, и в качестве наиболее эф-
фективной выбирается альтернатива R4 .
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 313
15.4. Прогнозирование изменений курсов ценных бумаг
15.4.1. Основные положения фундаментального и технического
анализа.
Основными методами анализа финансовых рынков являются фун-
даментальный и технический анализ. Фундаментальный анализ изучает
ключевые экономические факторы мировой экономики конкретной стра-
ны и пытается предсказать движение цены и рыночные тренды с по-
мощью анализа экономических индикаторов, политики государства, а
также социальных факторов развития бизнеса. В основном, фундамен-
тальный анализ исследует и определяет ситуации, когда реальная стои-
мость ценной бумаги отличается от рыночной цены, т.е. она переоценена
или недооценена. Если можно рассчитать «верную» цену, то можно пред-
полагать, что рынок внесёт коррективы до достижения нужного для нее
уровня. Однако фундаментальный анализ рынка не может быть методом
предсказания точных рыночных цен.
В основе технического анализа рынка ценных бумаг лежит теорети-
ческое положение о том, что все внешние силы, влияющие на рынок, в
конечном итоге проявляются в двух показателях — объемах торговли и
динамике изменения цен финансовых активов. Другие теоретические по-
сылки состоят в том, что прошлые состояния рынка периодически повто-
ряются, и изменение цены подчинено тенденциям (трендам). То есть вре-
менные ряды изменения цен можно разбить на интервалы, в которых пре-
обладают движения цен в определенных направлениях. В связи с этим за-
дача инвестора состоит в том, чтобы на основе изучения прошлой дина-
мики рынка определить, какой будет цена финансового актива в следу-
ющий момент времени. Конъюнктура рынка зависит от взаимодействия
спроса и предложения. Технический анализ не даёт точного прогноза, он
призван определить моменты их несоответствия, чтобы ответить на воп-
рос, когда следует купить или продать ценную бумагу. В качестве первич-
ной информации для технического анализа используют следующие стати-
стические показатели торгов: цена, по которой совершаются сделки, объ-
ём торгов и ликвидность инструментов, показатели спроса и предложе-
ния. На основе этих показателей либо вычисляются различные техниче-
ские индикаторы, либо ищутся паттерны. Основным инструментом техни-
ческого анализа является изучение ценовых трендов. Термин «тренд»,
или, по-другому, - тенденция, описывает поведение цен. Цены могут на-
ходиться либо в состоянии направленного движения вверх или вниз, либо
в состоянии бокового движения, когда они движутся внутри некоторого
коридора.
Успешные трейдеры в настоящее время не могут принадлежать толь-
ко к одной школе анализа. Сторонники чистого технического анализа не
314
Глава 15
могут обойтись без анализа экономических показателей, политических
новостей и социальных проблем, которые воздействуют на цены.
Рынок редко следует четкой логике. Модели прогноза многочислен-
ны и разнообразны. Выводы, полученные на основании технического ана-
лиза, могут расходиться с выводами, получаемыми от фундаментального
анализа. Две различные финансовые компании или два человека, получив
одну и ту же информацию, могут прийти к совершенно разным заключе-
ниям по поводу того, как эта информация повлияет на рынок. Кроме того,
очень трудно построить одно решающее правило, которое бы одинаково
эффективно работало в различных рыночных ситуациях. Поэтому торго-
вая система, по нашему мнению, должна включать несколько правил
принятия решений, параметры которых адаптивно настраиваются и при-
меняются в различные моменты времени и в различных рыночных ситуа-
циях.
15.4.2. Показатели и индикаторы, определяющие поведение
тренда.
Рассмотрим следующие показатели, определяющие поведение трен-
да (см., например, [25, 34, 95] и другие):
1) Скользящее среднее значение цены на некотором временном ин-
тервале.
В качестве одного временного интервала могут выбираться секунды,
одна или несколько минут, часы, дни, недели, месяцы. Количество вре-
менных интервалов п, в течение которых ведется усреднение, также мо-
жет варьироваться в достаточно широких пределах. Для описания ценово-
го движения принято использовать три временных интервала: краткосроч-
ный, среднесрочный и долгосрочный. Метод трех диапазонов дает карти-
ну ценового движения в различных временных диапазонах. Для кратко-
срочной структурой характерны 5-минутные графики, среднесрочной -
15-минутные, а долгосрочной - 60-минутные.Тенденции и методы, приме-
няемые для анализа в одних временных рамках, могут быть использованы
для анализа, проводимого в других временных интервалах.
Скользящие средние - самый популярный инструмент технического
анализа, особенно если есть еще и другое подтверждение благоприятной
возможности для входа в рынок. Линия скользящего среднего приобрета-
ет наклон в направлении тренда, угол наклона показывает нам силу трен-
да. Скользящие средние относятся к числу запаздывающих индикаторов,
т. е. они разворачиваются позднее, чем это делает цена. Линия простого
скользящего среднего (Simple Moving Average - SMA) вычисляется путем
усреднения цен на определенном промежутке времени. Для вычислений
обычно берутся цены закрытия временного интервала, но также можно
использовать максимальные или минимальные цены этого периода или
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 315
среднее всех трех цен. Взвешенные по экспоненте скользящие средние
(Exponential Moving Average - EMA), где значения весов убывают по экс-
поненте по мере удаления во времени от последнего периода, придают
больше значения более свежим данным. Показатель ЕМА будет лучше
откликаться на недавнюю рыночную активность, чем показатель SMA.
В случае отсутствия изменений на рынке цены колеблются внутри
некоторого ценового диапазона. Такие колебания в течение дня могут до-
w т/- Iz^min x-max I
стигать весьма существенной величины. Коридор цен J- это
ценовой диапазон, охватывающий колебания цен за некоторый период
времени. Если в каком-то временном интервале 0Х средняя цена вышла из
пределы этого коридора, то это является сигналом для покупки или про-
дажи данного финансового актива. На рынке происходит ценовой прорыв,
когда цена пробивает линию поддержки либо линию сопротивления.
Подавляющее большинство торговых систем скользящих средних ос-
новано на анализе моментов пересечения линий усреднения в течение
различных моментов времени. Наиболее популярной из них является сис-
тема анализа двух скользящих средних. Она состоит из более продолжи-
тельной средней, которая служит для определения тренда, и краткосроч-
ной средней, которая дает торговые сигналы при пересечении с более
долгосрочной средней. Момент пересечения, когда краткосрочная сколь-
зящая средняя расходится с долгосрочной (см. рис. 15.3), рассматривается
как изменение темпа движения цены.
Уз <0
Рис. 15.3: Пересечение краткосрочных и долгосрочных
средневзвешенных линий изменения цен
На рис. 15.3 - Ск и СD - соответственно краткосрочная и долгосроч-
ная линии скользящего среднего, / -угол линий пересечения.
Сигналы на покупку поступают, когда более короткая скользящая
средняя пересекает снизу вверх более длинную, и на продажу - когда воз-
316
Глава 15
никает противоположная ситуация. В общем случае, когда рынок достиг
дна, основным свидетельством изменения тренда служит пересечение
снизу вверх 4-дневной и 18-дневной скользящих средних. Подтверждаю-
щий сигнал — пересечение 9-дневной с 18-дневной. Когда цены на верши-
не, предварительным сигналом возможного изменения тренда, который
можно использовать для закрытия позиции, будет пересечение 4-и 9-
дневной. Разворот тренда завершится только тогда, когда обе скользящие
средние - и 4-, и 9-дневная - пересекут 18-дневную.
Эффективными ценовыми индикаторами также являются:
2) Момент. М(п) = С2 — С2_и, где С2 - текущая цена; СДИ - цена
п периодов назад. Т.е. из сегодняшней цены закрытия торгов вычитается
цена закрытия Т периодов назад.
Близкий к моменту индикатор - это скорость изменения цены ROC
(Rate of Change)- отклонение в процентах текущей цены от цены п пери-
одов назад, - осциллятор, колеблющийся вокруг 100%
С2
м(и)=юо%—4-.
^t-n
Самые значительные прибыли от следования за трендом можно полу-
чить, когда и момент, и цена ускоряются. Момент дает раннее предупреж-
дение о замедлении скорости рынка и о том, что тренд слабеет. Когда ры-
нок достигает вершины, момент выравнивается и начинает падать, иногда
задолго до реального рыночного пика.
3) Индекс относительной силы RSI (Relative Strength Index), который
вычисляется по формуле
RSI(n) = 100----------
Щп) + £)(«)
где U (п) - сумма положительных изменений цен последних п периодов;
D (п) - сумма отрицательных изменений цены за последние п периодов.
Индикатор RSI дает надежные сигналы перекупленности/перепродан-
ности рынка. Рекомендуется использование 14-дневного временного пе-
риода. Значения RS1, равные 30 и 70, являются, соответственно, уровнями
перекупленности и перепроданности. Считается, что для боковых и сла-
бых трендов уровни 30/70 работают достаточно хорошо, а вот для силь-
ного восходящего или нисходящего тренда параметры перекупленности/
перепроданности должны быть установлены другие - 80/20.
Как показывают результаты анализа рынка, если прорыв произошел
при большом объеме сделок, у него больше шансов оказаться истинным
прорывом. Резкий провал цены тоже говорит о том, что прорыв, скорее
всего, истинный. Поэтому важными показателями являются объемы сде-
лок.
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 317
4)Объем торгов.
Объем торгов, или оборот отражает активность покупателей и про-
давцов. Низкий уровень объема (меньше 50 % от среднего уровня) сви-
детельствует о неопределенности ожиданий участников рынка, что осо-
бенно характерно для периодов бокового движения. При устойчивой вос-
ходящей тенденции объем должен увеличиваться в периоды роста цен и
уменьшаться - в периоды коррекции. В точках, соответствующих окон-
чанию коррекций, часто наблюдается минимальный объем. Снижение
торгового оборота в направлении основной тенденции говорит о потере
интереса участников рынка. Первая категория индикаторов объема вклю-
чает балансовый объем (OBV) и тренд объема - цены (Volume - Price
Trend, V - РТ) и характеризуется расчетами, направляемыми изменением
цены в рассматриваемом периоде.
Показатель „On Balance Vollium“ или „Money flow” в некоторый t -й
день представляет собой отношение суммы произведений приращений це-
ны 1 акции в определенные моменты времени (/, £*) - q (t9 этого сто-
ка на количество акций, купленных при этом превышении B(t9g), к
сумме произведений падений цены 1 акции в определенный момент вре-
мени (/,$*)- q (/,<£) этого стока на количество акций, купленных при
этом падении P(t9 , т.е.
-------------- •
&
Показатели „On Balance Vollium“ и «Relative strenghe“ для каждого из
стоков являются положительными величинами, могут рассматриваться и
вычисляться как интегрированные значения на всем промежутке времени
за п временных интервалов и рост их говорит о силе (т.е. перспектив-
ности) стока.
Все рекомендации фундаментального и технического анализа [34, 95]
сформулированы на качественном лингвистическом уровне. Результаты
различных исследований поведения рынка и мнения квалифицированных
опытных трейдеров относительно пороговых значений различных инди-
каторов изменения поведения ценового тренда и сигналы принятия ре-
шений сильно расходятся и лежат в некоторых размытых областях. Всё
это создаёт хорошие предпосылки для построения экспертных систем
принятия решений на рынке ценных бумаг, основанных на нечёткой логи-
ке. В последние годы в рыночных моделях и торговых стратегиях и сис-
темах трейдинга многих ведущих финансовых компаний все чаще исполь-
318
Глава 15
зуются правила принятия решений на основе методов нечеткой логики.
Такие системы используют правила нечёткого логического вывода на ос-
нове данных, полученных методами фундаментального и технического
анализа. Ниже приводится иллюстративный пример построения таких
систем.
Описанные ниже иллюстративные примеры построения систем на
основе нечёткой логики ни в коей мере не могут быть использованы в ка-
честве решающих правил практического использования для определения
объемов покупки и продажи акций, а предназначены лишь для того, что-
бы показать, как на основе собственного опыта, знаний и интуиции опыт-
ные трейдеры могут построить свои системы принятия решений.
15.4.3. Иллюстративный пример построения решающих правил
на основе нечёткой логики.
Построим решающие правила на основе анализа двух входных факто-
ров:
1) переменная Х{ - угол / пересечения краткосрочного скользящего
среднего цены акции с долгосрочным (см. рис. 15.3) .
2) переменная Х2 - это B(t) - On Balance Vollium.
В качестве выходного параметра Y выберем определяемую часть от мак-
симально допустимых объемов покупок или продаж некоторого конкрет-
ного трейдера в зависимости от ситуации на рынке.
Диапазоны изменения каждой из входных и выходной переменной (в
относительных единицах и в диапазоне от максимального отрицательного
до максимального положительного значения, т.е. от -1 до +1) разобьем на
5 интервалов, соответствующих лингвистических термам: BN - большое
отрицательное значение, NN- отрицательное, ZE -нейтральное или сред-
нее значение, NP - положительное значение, ВР- большое положительное
значение. Значение переменной в каждом из этих интервалов представим
нечёткими множествами, функции принадлежности которых выберем
следующим образом: для BN - правосторонний треугольник или трапе-
цию, для ВР - левосторонний треугольник, а для NN, ZE и NP -
равносторонний треугольник или трапецию. Пример такого разбиения
приведен на рис. 15.4.
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 319
Рис. 15.4: Лингвистические переменные и функции
принадлежности параметров
Отметим, что , что для выходной переменной нечеткие множества пере-
менных BN и NN определяют объемы продажи, a NP и ВР - объемы по-
купок акций.
В качестве сигнала системы фундаментального анализа используем
информацию о наличичии новостей, т.е. переменную Z, которая может
принимать 3 значения Z = 0 - отсутствие новостей, Z = -1 и Z = +1 -
соответственно отрицательные и положительные новости, свидетельству-
ющие о возможном падении и повышении стоимости акций.
Табл.. 15.11: Правила принятия решений
Перемен- ная X 2 Переменная Xt
BN NN ZE NP BP
NN ZE ZE ZE ZE
BN BN NN NN ZE ZE
BN BN NN ZE ZE
ZE ZE ZE ZE ZE
NN NN NN ZE ZE ZE
BN NN NN ZE ZE
ZE ZE ZE NP NP
ZE NN ZE ZE NP NP
NN NN ZE ZE ZE
ZE ZE ZE BP BP
NP ZE ZE ZE NP BP
ZE ZE ZE ZE ZE
ZE ZE ZE BP BP
ВР ZE ZE NP NP BP
ZE ZE ZE ZE ZE
Решающие правила системы принятия решений могут быть пред-
ставлены в табл. 15.11
320
Глава 15
В каждой клетке таблицы представлено значение лингвистической
выходной переменной Y в зависмости от комбинации значений лингви-
стических входных переменных Х} и X2 . Первая строка каждой клетки
определяет значение лингвистической переменной Y при Z = +1, вто-
рая - при Z = 0 , а третья - при Z = — 1.
Так, например, правило нечеткого логичесого вывода, сформулиро-
ванное во 2-й строке клетки, стоящей на пересечении строки NP и столб-
ца ВР, интерпретируется следующим образом:
ЕСЛИ «Нет ни положительных, ни отрицательных новостей ( Z = 0 )»
И «угол пересечения / положительный, но не очень боль-
шой»,
И «показатель On Balance Vollium положительный и очень
большой»,
ТОГДА Покупай акции на большую сумму.
Рассчитав фактические значения входных переменных системы и
произведя нормирование этих значений с целью получения их в диапазо-
не X. G [— 1, 4-1], алгоритмами фузификации определяем значения лин-
гвистической переменной для каждого входного параметра и соответству-
ющие им значения функций принадлежности. В соответствии с реша-
ющими правилами, на основе MIN или PRODUKT-оператора вычисляем
результирующее значение функции принадлежности для лингвистических
значений выходной переменной каждого решающего правила. Агрегацию
различных решающих правил, определяющих одно и то же лингвистиче-
ское значение, осуществляем на основе max-оператора. Если в алгоритме
дефузификации воспользоваться оператором максимума, то система при-
нятия решений определит лишь значение лингвистической переменной
выходного параметра, т.е. подскажет только качественное решение. Алго-
ритм дефузификации центра тяжести плоскости определит действитель-
ное значение той доли капитала, который может участвовать в сделке.
В качестве аналогичных примеров могут быть построены также дру-
гие системы принятия решений, охватывающие большее число входных
факторов. Например, система анализирующая поведение линии среднего
значения индекса наличие новостей, силу стока , т.е. угол, под которым
скользящее среднее пересекает линию (коридор) тренда, RSI (Relative
Strength Index) или В V(п) (On Balance Vollium). Здесь под индексом по-
нимается средневзвешенная сумма цен акций некоторого подмножества
акций тех компаний, которые определяют состояние, тенденции и на-
правления развития бизнеса данной отрасли или страны. Система приня-
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 321
тия решений мелких частных инвесторов может основываться на анализе
объемов покупок и продаж крупных компаний, влияющих на поведение
рынка, изменениях линии тренда (например, ROC - Rate of Change, т.е.
скорости изменения тренда) и соотношениями изменения цен в течение
дня и цен открытия и закрытии торгов на бирже.
Если выводы при одновременном использовании нескольких реша-
ющих систем, включающих различные объёмы входной информации, раз-
личаются, то на основе взвешенного во времении статистического анализа
относительно эффективности каждой из полученных рекомендаций мож-
но сделать правильные выводы о степени доверия каждой системе в кон-
кретной ситуации на рынке.
15.5. Fuzzy-технологии в маркетинговых исследованиях
15.5.1. Постановка задачи и особенности объекта
исследования.
Маркетинговые исследования - это направление прикладной социо-
логии, изучающее поведение, желания и предпочтения потребителей, а
также конкурентов на рынке производства товаров и предоставления ус-
луг. Целью этих исследований является повышение эффективности цено-
образования, планирования и управления производством и реализацией
товаров, увеличение объемов производства и продаж, лучшего удовлетво-
рения потребностей и желаний различных организаций и групп потреби-
телей.
Методы маркетинговых исследований основаны на целенаправлен-
ном изучении рынка, сборе, упорядочении, систематизации, анализе и ма-
тематической обработке полученной информации, а также представлении
результатов исследований лицам, принимающим решения.
Маркетинговые исследования включают также анализ покупатель-
ского поведения, потребностей и мотиваций при распределения своего
дохода покупателем при выборе и потреблении различного видов товаров
и услуг. В настоящее время широкое распространение в маркетинговых
исследованиях находят методы нечисловой статистики (см., например,
[41])-
Исходным объектом в прикладной статистике является выборка. В
классической математической статистике элементы выборки - это числа.
В многомерном статистическом анализе - векторы. А в нечисловой стати-
стике элементы выборки - это объекты нечисловой природы, которые
нельзя складывать и умножать друг на друга или на другие числа. Приме-
рами объектов нечисловой природы являются:
322
Глава 15
- значения качественных признаков, т.е. результаты кодировки объектов
(например, ответов на вопросы социологической анкеты) с помощью за-
данного перечня категорий (градаций);
- упорядочения (ранжировки), классификации, толерантности;
- результаты парных сравнений, т.е. последовательности из 0 и 1;
- множества (обычные или нечеткие);
- слова, предложения, тексты;
- векторы, координаты которых - совокупность значений разнотипных
признаков, часть которых носит качественный, а часть - количественный
характер;
- ответы на вопросы экспертной, маркетинговой или социологической ан-
кеты, часть из которых носит количественный характер (возможно, интер-
вальный), часть сводится к выбору одной из нескольких подсказок, а
часть представляет собой тексты; и т.д.;
Рассмотрим, например, задачу анализа зависимости объемов покупки
какого-то конкретного или целой группы товаров либо вероятности того,
что покупатель снова вернется в этот торговый центр или интернет-мага-
зин, как функция от поведения покупателей, вида рекламы, качества тор-
гового центра и поведения обслуживающего персонала. Символами стро-
ки нечисловой статистической информации для этой задачи являются ко-
ды следующих показателей и действий:
- различные виды рекламы (по радио, телевидению, на страницах интер-
нета, в телетексте различных телевизионных программ, на плакатах, в
форме сетевого маркетинга, на световых табло, витринах магазинов, объ-
явления в газете или на страницах модных журналов, чтение информаци-
онных листков или веб-страницы магазина или фирм-производителей (до
или в процессе покупки), презентация продукта на различных выставках,
ярмарках или в целевых аудиториях, рассылка рекламных листков потре-
бителям и потенциальным покупателям);
- возможные формы оплаты (виды кредитных карт, условия предоставле-
ния кредита и т.п.);
- характеристика торгового центра (район расположения, наличие и удоб-
ство подъезда городским и личным автомобильным транспортом, усло-
вия парковки, температурный климат в магазине в различные периоды го-
да, этажность, наличие грузовых, а также пассажирских лифтов и эска-
латоров, площади различных отделов, удобство доступа и осмотра поку-
паемых товаров, оформление полок и стеллажей, наличие технических
описаний и характеристик товаров, внешний вид, культура, квалифика-
ция, вежливость и качество рекомендаций и консультаций обслужива-
ющего персонала, формы оплаты, потери времени при оплате покупки и
оказание помощи при ее доставке покупателю и др.);
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 323
- наличие защиты прав покупателя (сроки и формы доставки купленного
или заказанного товара, право на возврат и обмен товара, виды предостав-
ляемого гарантийного и сервисного обслуживания при обнаружении де-
фектов в различные периоды эксплуатации);
- поведение покупателя в магазине (время пребывания в магазине, коли-
чество посещаемых отделов и этажей, различные способы рассмотрения
товаров: беглый осмотр группы товаров, снятие продуктов с полки, при-
мерка одежды или обуви, проведение различных замеров выставленного
товара, ознакомление с техническими характеристиками, содержанием
его составных частей, сроков изготовления и хранения продуктов питания
и средств гигиены, анализ динамики снижения цены продажи, получение
консультаций у обслуживающего персонала, консультации по мобильно-
му телефону с членами семьи или знакомыми и др., возможность получе-
ния определенного процента снижения цены покупаемого товара, возмож-
ность получения сувенира за сделанную покупку);
- персональные особенности покупателя (пол, возрастная группа, наличие
свободного времени: работающие, пенсионеры, студенты и учащиеся,
уровень материальной обеспеченности, осуществляющие покупки для
личного потребления или по долгу службы: для фирмы, для больных или
пожилых людей, для ведения домашнего хозяйства в другой семье).
Как показывает выше приведенный пример, большинство отмечен-
ных факторов - это показатели нечисловой природы. Кроме того, количе-
ство этих факторов настолько велико, что использование всех их в таком
виде в какой-либо математической модели (например, регрессионной или
Fuzzy-логической) сопряжено с серьёзными трудностями. В связи с этим
возникают следующие проблемы:
- преобразование строки символьной информации в вектор действитель-
ных чисел;
- объединение группы факторов в некоторый обобщенный показатель;
- построение регрессионных или Fuzzy-логических моделей, определя-
ющих значение выходной переменной по результат значений входных
факторов;
- создание систем анализа и прогнозирования потребительского спроса и
качества обслуживания.
К 1990-м годам статистика объектов нечисловой природы с теорети-
ческой точки зрения была достаточно хорошо развита. Основные идеи,
подходы и методы ее были разработаны и изучены математически. Одна-
ко использование статистики объектов нечисловой природы в маркетин-
говых исследованиях потребовало развития новых подходов, связанных с
преобразованием матрицы статистических объектов нечисловой структу-
ры в релевантные выборки статистических данных, представленных мат-
рицами, элементами которых являются действительные числа. На основе
324
Глава 15
этой информации методами дискриминантного, кластерного, дисперсион-
ного, факторного, корреляционного или регрессионного анализа и др., ли-
бо методами нечёткого логического вывода можно сделать объективные
заключения на основе полученных данных проведенного анализа.
15.5.2. Методы определения вектора действительных пере-
менных на основе строки символьной и символьно-числовой ин-
формации.
Пусть - некоторая последовательность символов, i = 1,...,7V.
Здесь N - количество рассматриваемых последовательностей. Некоторые
из символов могут встречаться в последовательности X t несколько раз,
стоять рядом или на некотором расстоянии друг от друга.
Обозначим:
А = используемый алфавит, т.е. множество всех встречаю-
щихся в последовательностях Xt символов. Пусть к = - индексы
символов, входящих в алфавит А ;
М =|л| - суммарное количество символов в используемом алфавите;
Д. CZ А - подмножество символов, встречающихся в последователь-
ности X.;
Mt=|Д.|, м(<м- суммарное количество символов в последова-
тельности X .;
т^а^т^Ь) .... или к = - количество некоторого опре-
деленного символа, встречающегося в последовательности Xz.
Пусть из содержательной постановки задачи и на основе мнения экс-
пертов о влиянии каждого из символов на значение выходной переменной
(значение функции отклика) определены некоторые нормированные (в
общем случае нелинейные) функции относительной релевантности (важ-
ности) отдельных символов у/[(т(а)], (/>)], у<[(»г(с)],
Эти функции определяют некоторое действительное число в зависимости
от количества символов данного вида, встречающихся в последовательно-
сти. В качестве частных случаев таких функций могут рассматриваться
линейные, нелинейные функции вида
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 325
О, если т(-) = О,
г • [ти(-)] + <5*, если т(-) > О,
(15.51)
О, если т(-) = О,
[(/«(•)! если 0<т(-)<т19
’ _ _ (15.52)
уи(-)J если /и/ч < /и(-) < т1,
Wl [(ш(')1 если ть_1 < т(-) < оо.
В частном случае в выражении (15.52) может рассматриваться вид функ-
ций у7г [wQ] = const, I = 1,...,Z .
Рассмотрим некоторые показатели, определяющие релевантность или
степень влияния на выходную переменную рассматриваемой последова-
тельности символов:
- количество символов в рассматриваемой последовательности (р\ = М.,
- количество различного вида символов в рассматриваемой последова-
тельности $= |а| •
- средневзвешенные показатели релевантности, когда наличие каждого из
символов учитывается различными функциями у* =
Может рассматриваться некоторый комплексный показатель реле-
вантности символьной последовательности в виде некоторой линейной
комбинации (свертки) нормированных значений частных показателей с
3 —к
различными весовыми коэффициентами - Ч7' = , гДе <Р; - нор-
k=i
мированные значения частных показателей, которые могут вычисляться,
(рк _k (рк
например, следующим образом <р. =----------—— или <р. = -^-. Здесь
max (р.
1<<7V
фк > max (рк - некоторое большое число, Лк > 0 - весовые коэффи-
1 l<i<N 1
з
циенты, удовлетворяющие условиям нормировки 'J'ft — 1 •
326
Глава 15
15.5.3. Символьные подмножества и (или) подпоследовательности
Обозначим:
- множество различных и вы-
деленных экспертом, исходя из содержательной постановки задачи, под-
последовательностей стоящих в одном и том же порядке символов. При
этом Р? означает некоторые два различных символа из алфавита А,
стоящих в X t в определенном порядке друг за другом;
- Рр , р = , Л = \..4, - последовательности, содержащие некото-
рые конкретные Я символы из алфавита А стоящих в строке Xz . При-
чем, если порядок следования этих символов меняется, то они образуют
другую подпоследовательность. Примеры таких подпоследовательностей:
Pi = {a,b9с}9 Р^ — {c9a9b}, Р$ = \c9k9a9v9b}. При этом подпосле-
довательности с повторяющимися друг за другом одинаковыми символа-
ми, как, например,
{a,b,b,b,c}= {a,a,b,c,c,c,c}= Pi = {a,Z>,c}
могут рассматриваться как эквивалентные;
- множество некоторых так-
же выделенных экспертом, исходя из содержательной постанови задачи,
подмножеств стоящих друг за другом символов алфавита А , располо-
женных в X; в произвольном порядке друг за другом. Т.е. Qt представ-
ляет собой любую перестановку из этих символов. Так, например, все
подмножества символов
04 = {с, a, v, b} = {a, v, с, Z>} = {b, v,c,a}= {v, v, с, а, а, а, Ь, Ь, с, с}
могут рассматриваться как эквивалентные.
Как и для отдельных символов, для каждой Р? и , аналогично
(15.51),(15.52), могут быть определены функции относительной релевант-
ности (важности) отдельных подпоследовательностей
символов
- Г/|}, ф {т;.|0/1}. Здесь т.^Рр^
и подмножеств
X - соответст-
и mt
венно количество соответствующих подпоследовательностей и подмно-
жеств в некоторой символьной строке X..
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте У17
Показатели последовательности символов X. могут быть сконструи-
рованы на основе анализа подпоследовательностей и (или) подмножеств,
входящих в X t символов и иметь, например, вид (15.53)-(15.55):
_ R _ Т
i.(x,) = t.P-g№. = <15«>
р=2 t=2
где gip- количество выделенных в Xi из Р подпоследовательностей,
содержащих р символов, a git- количество выделенных в Xt из Q
подмножеств, содержащих t символов;
= (15.54)
2=2 р=1
(15.55)
2=2 /=1
Здесь 0 <vp < 1, О < vf < 1 - весовые коэффициенты, удовлетворя-
1 ra I Тл
ющие условиям нормировки Ей"'. 2X^=1-
2=2 р=1 2=2 /=1
Разобьем объединение множества символов алфавита А на некото-
рое количество различных по их значению подмножеств
Д, Av . Введем весовые коэффициенты, определяющие зна-
v
чимость каждого из этих подмножеств 0 < uv < 1, где uv = 1.
У=1
В качестве одного из показателей релевантности последовательности
символов Xt может рассматриваться также показатель вида
<15-56)
V=1 keAv
15.5.4.Частотные характеристики символьных последова-
тельностей
В ряде случаев в качестве дополнительной информации в последо-
вательностях символов используются продолжительность события, опре-
деляемого некоторым символом или некоторой выделенной подпоследо-
328
Глава 15
вательностью символов, а также длительностью интервалов между таки-
ми событиями или их подпоследовательностей. В этом случае эти после-
довательности могут иметь, например, следующий вид:
I ^1,2 b I l> db9t3 | т3 4 |, fke,t4.
я,201 5 I; с,12|6|; dZ>,15|10|; Де,25.
Здесь вслед за символом или подпоследовательностью символов, опреде-
ляющих некоторое событие или подпоследовательность следующих друг
за другом событий, после запятой следует число, определяющее продол-
жительность этого действия. Затем в вертикальных скобках стоит дли-
тельность промежутка между рядом стоящими действиями. Ввод всех
данных каждого символа или некоторой подпоследовательностей симво-
лов завершается символом «;».
Продолжительность событий и промежутков времени между ними
может быть задана как в непрерывном времени и выражена в различных
единицах измерения (секунды, минуты, часы, дни, месяцы и т.д.), так и в
дискретном времени.
Обозначим каждое из событий, определяемое некоторым одним или
последовательностью символов, символами j = 1,2,...,; в порядке
их следования в последовательности Xt. Здесь z. - количество выде-
ленных событий в последовательности X t.
Так как каждый из этих символов принадлежит одному из подмно-
жеств Av V = 1,..., V, алфавита А, а встречающиеся подпоследова-
тельности - одному из подмножеств подпоследовательностей РЛ,
г = , Я = 1,...,/ , то могут быть определены некоторые функции
релевантности для каждого из этих подмножеств в зависимости от време-
ни, т.е. длительности этого события, в виде - Фу(£у), Ф^(^ ). Кроме
того, может быть введена функция оценки суммарных потерь времени
между выполненными действиями Ф(г), где
т = т(1,2) + т(2,3) +... + t(J -1, j).
В качестве характеристик релевантности такого вида последователь-
ностей могут быть рассмотрены следующие виды показателей
zi zi
= vi • 2л + v2 • -1» j) . a5-57)
J=1 J=2
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 329
(15.58)
Здесь Vj > 0,V2 — Oj Ц — О, V2 — 0 - весовые коэффициенты,
Vi+V2 =Vi+V2 =1.
Если в выражении (15.57) положить Vj = 0, а в выражении (15.58)
— 0, то в показателях и vP2f. учитываются только продолжи-
тельности времени между событиями.
Если принимается во внимание вес, придаваемый как каждому из вы-
деленных подмножеств символов, так и подпоследовательностей симво-
лов, может рассматриваться следующий показатель в виде (15.59). В вы-
ражении (15.59) uv и и/ - весовые коэффициенты, удовлетворяющие ус-
ловиям нормировки.
+v2-Zr,(y-1,y)-
>2
(15.59)
Любое подмножество из отмеченных выше релевантных показателей
символьных последовательностей может использоваться в качестве вход-
ных и управляющих воздействий с целью анализа степени их влияния на
значения выходных переменных маркетинговых, социологических или
психологических исследований.
В практических приложениях число исследуемых последовательно-
стей N может быть очень велико. Рассматриваются некоторые методы
сжатия имеющихся в наличие объемов информации и введения нового
подмножества переменных.
В результате выполненных преобразований каждая строка символь-
ной информации может быть представлена вектором действительных чи-
лел.
15.5.5. Подготовка данных для факторного и регресси-
онного анализа.
Пусть Q = {%|,х2хкхк }- некоторое множество входных пе-
ременных, значения которых определены в предыдущем разделе работы.
330
Глава 15
Число К таких факторов может быть очень большим. Для построения
регрессионных моделей или моделей нечеткого логического вывода за-
частую является целесообразным ввести некоторые обобщенные факторы
Zr, г = , где R<K , объединяющие целые группы близких по
релевантности степени влияния на выходную переменную входных пока-
зателей. В рассмотренном выше примере такими обобщенными фактора-
ми могли бы быть ассортимент продукции и цены товаров, качество об-
служивания, защита прав покупателей и условия сервиса и гарантийного
обслуживания, характеристика торгового центра с учетом его инфра-
структуры, удобствами подъезда и парковки, виды рекламы, характери-
стика покупателей.
Покажем как такая задача может быть решена методами нечеткой ло-
гики. Обозначим Qr- подмножество входных переменных, определя-
ющих обобщенный фактор Zr. Найдем минимальные и максимальные
значения каждой переменной на множестве символьных последователь-
ностей Xt
= Iе X.}, h2k = max{x,.A | xik е }.
l<i<N \<i<N
Разобьем весь диапазон изменения каждой переменной Хк
В к = I hk <хк< ti£ | на Lk интервалов. Аналогичным образом вве-
дем диапазон изменения каждого обобщенного фактора в пределах
Zr е [о, 100], г = 1,..,R , и также разобьем его на Vr интервалов. Каж-
дый из интервалов обозначим некоторым термом лингвистической пере-
менной и введем для них функции принадлежности соответствующего
вида. Например, в случае 5 интервалов имена таких лингвистических пе-
ременных мо-гут быть BN, NN, ZE, NP и ВР.
На основе формул, приведенных в предыдущем разделе, входная пе-
ременная, выраженная символьной информацией, преобразуется в дей-
ствительное число.
Методами фузификации значения каждой входной переменной, уже
представленное действительным числом, преобразуется в значения функ-
ций принадлежности к каждому из лингвистических интервалов этой пе-
ременной. Операторы нечеткой логики (MIN, MAX, PRODUCT или дру-
гих более сложных выражений) объединяют все значения функций при-
надлежности входных переменных каждого из подмножеств входных пе-
ременных Qr . Результатом этих вычислений является значения функций
принадлежности всех лингвистических интервалов обобщенного фактора
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 331
Zr. На основе метода дефузификации алгоритмами центра тяжести будет
вычислено значение каждого обобщенного входного фактора Zr,
г = 1,..,7?, которое выражено действительным числом, лежащем в диа-
пазоне значений Zr е [0,100] для данного комплекта (символьной строки)
входной информации. Полученная матрица входных данных в виде ма-
трицы действительных чисел Z = [Zlr], / = 1,..., N . Г = 1,..,7?, служит
исходными данными для построения регрессионных моделей зависимости
объёмов продаж или др. показателей от различных показателей качества
обслуживания, рекламы, ассортимента товаров и уровня цен и др.
Построенные регрессионные модели покажут, какие факторы оказы-
вают наиболее сильное влияние на успешную работу торговых центров и
помогут коллективу предприятия внести необходимые коррективы в свою
работу.
Заметим, что если в качестве алгоритма дефузификации будет ис-
пользован метод максимума, то в результате этого для каждой строки
входных данных будут определены только значения лингвистической пе-
ременной всех факторов Zr, Г = 1,.., /?, и соответствующие им нечеткие
множества. В этом случае сформулированная задача может быть решена
методами нечёткого регрессионного анализа, описанными в 11-й главе
книги. Коэффициенты регрессионной модели и вычисляемое значений
выходной переменной в этом случае будут представлены нечеткими мно-
жествами и определять некоторый диапазон значений, в котором могут
находиться соответствующие параметры.
15.6. Методы нечеткой логики в анализе коммерческих,
производственных и экологических рисков
15.6.1. Общие положения.
В общем случае под риском понимают возможность наступления не-
которого неблагоприятного события, влекущего за собой различного рода
потери (вложенных средств, имущества и т.п.), а также получение дохо-
дов ниже ожидаемого уровня или появления дополнительных расходов в
результате осуществления определенной производственной и финансовой
деятельности. Предпринимательская деятельность, как правило, всегда
содержит определенную долю риска, которую должен взять на себя пред-
приниматель, принимая решение и определив характер и объёмы этого
риска.
Реализация любого проекта также связана с определенными рисками
- фи-нансовыми, имущественными, производственными, экологическими,
торговыми, коммерческими, инвестиционными, кредитными, биржевыми
332
Глава 15
и др. Потери, связанные с риском и имеющие место в предприниматель-
ской деятельности, можно разделить на материальные, имущественные,
трудовые и финансовые.
Производственные риски - это риски, связанные с убытком от оста-
новки производства вследствие воздействия различных факторов и, преж-
де всего, с гибелью или повреждением основных и оборотных фондов
(оборудование, сырье, транспорт и т.п.), а также риски, связанные с внед-
рением в производство новой техники и технологии.
Имущественные риски - это риски, связанные с вероятностью потерь
имущества компании или гражданина-предпринимателя вследствие раз-
личных причин.
Коммерческие риски представляют собой опасность потерь в процес-
се финансово-хозяйственной деятельности. Они означают неопределен-
ность результата коммерческой сделки. Особенно серьезные последствия
могут иметь неправильные оценки рисков и принимаемые на основе их
решения при реализации долгосрочных инвестиционных проектов.
Торговые риски представляют собой риски, связанные с убытком по
причине задержки платежей, отказа от платежа в период транспортировки
товара, непоставки товара и т.п.
Детальный анализ возможных причин и последствий рисков стали
неотъемлемой частью и важной составляющей успеха деятельности каж-
дой компании.
Используемые в настоящее время методы учета и оценки рисков в
условиях неопределенности и различий во мнениях экспертов достаточно
сложны и не лишены субъективизма и существенных просчетов. Это, в
свою очередь, могут повлечь за собой не самые эффективные решения и
потери. В связи с этим теория нечеткой логики - это новый, динамично
развивающийся подход к оценке риска, который в последнее время нахо-
дит все большее применение в производственной и финансовой деятель-
ности многих компаний. Различные факторы, определяющие степень рис-
ка, и его последствия представлены при таком подходе лингвистическими
переменными и нечеткими множествами. Формулирование заключений
осуществляется на основе нечеткого логического вывода либо на основа-
нии значения некоторого комплексного критерия, вычисления которого
производится алгоритмами Fuzzy-арифметики.
К преимуществам методов теории нечетких множеств следует отне-
сти: возможности оперировать с нечеткими входными данными, формали-
зовать и учитывать логические заключения экспертов, включать в анализ
качественные переменные, работать с лингвистическими переменными и
критериями, а также количественно измерять степень неуверенности ли-
ца, принимающего решения.( ЛПР). Недостатки применения этих подхо-
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 333
дов связаны с субъективизмом при выборе функций принадлежности и
выборе конкретных видов операторов нечеткой логики и их параметров.
Ниже приводятся примеры определения методами нечеткой логики
степени риска в различных сферах деятельности: риск банкротства пред-
приятия, риск загрязнения окружающей среды и риск, возникающий при
формировании творческих и производственных коллективов.
15.6.2. Финансовый анализ и оценка риска банкротства.
Вкладывая деньги, инвестор рассчитывает получить доход.
Кредитный риск - это возможность возникновения потерь вследствие
неспособности или нежелания контрагента выполнить свои контрактные
обязательства. Оценка индивидуального кредитного риска предусматри-
вает оценку кредитоспособности отдельного контрагента, т.е. его возмож-
ности и желания своевременно и в полном объеме рассчитаться по приня-
тым обязательствам. Важную часть этого анализа составляет оценка риска
банкротства контрагента.
Степень риска банкротства - это комплексный показатель, определя-
емый финансовым положением предприятия и многими другими факто-
рами,большинство из которых можно выразить в финансовом эквивален-
те. Известен ряд показателей, характеризующих отдельные стороны теку-
щего финансового положения предприятия., как например, показатели
ликвидности, рентабельности, устойчивости, оборачиваемости капитала,
прибыльности и т.д. Разработаны также определенные нормативы оценки
их значений для различных отраслей экономики. На основе анализа всех
релевантных показателей необходима определить количественную оценку
риска банкротства. Большинство применяемых до настоящего времени
методов оценки были основаны на свертке всех этих частных показателей
в один комплексный критерий, значение которого и определяло степень
«живучести» компании, т.е. насколько велика вероятность банкротства.
При этом для анализа используются лишь те показатели, которые в
наибольшей степени определяют риск банкротства данного предприятия.
Отмеченный подход, разработанный в 1968 г. Эдвардом Альтманом,
был применен им самим в том же году применительно к экономике США.
На основе комплексного критерия вида
Fr = 1.2 Е. + 1.4-Е2 +3.3-£3 + 0.6Е4 +1.0-Е5,
где частные показатели Е( определяют отношения следующих величин:
Е{ - собственный оборотный капитал/сумма активов;
Е2 - нераспределенная прибыль/сумма активов;
Е3 - прибыль до уплаты процентов/сумма активов;
334
Глава 15
F4 - рыночная стоимость собственного капитала/заемный капитал;
Е5 - объем продаж/сумма активов.
Интервальная оценка Альтмана: при F <1.81 говорит о высокой ве-
роятности банкротства, при F > 2.67 вероятность банкротства низкая.
Подобные подходы, но с другим набором показателей и другими по-
роговыми значениями, применялись и др. зарубежными авторами (см.,
например, Тоффлер и Тисшоу, Лис, Чессер). Эти модели приведены в мо-
нографии проф. А.О. Недосекина [19].
Однако статистика, которую использовали все эти авторы не является
неоднородной, что не позволяет корректно использовать применяемые
здесь статистические методы.
Используемый метод и математический аппарат оценки риска инве-
стиций должен учитывать информационную неопределенность в части ис-
ходных данных проекта. Наилучшие возможности использования стати-
стических данных работы компании в предыдущие периоды, которые мо-
гут быть скорректированы на основе информации о текущем финансовом
состоянии, существующих коммерческих связях и планах работы компа-
нии на перспективу, а также в соответствии с интуитивным представлени-
ем экспертов, представляют методы нечеткой логики. Работы в этом на-
прав-лении ведутся проф. А.О. Недосекиным [18, 19], Ю.П. Зайченко
[11], А. Масаловичем [16] и многими зарубежными авторами (см., на-
пример, [50, 57, 65, 88] и др.).
Ниже описывается экспертная система оценка риска банкротства
предприятия, описанная в [19] и разработанная А.О. Недосекиным совме-
стно с О. Максимовым.
Основное отличие предлагаемых авторами методов заключается в
том, что вместо моментов функций распределений, используемые в рас-
четах комплексного критерия оценки банкротства, используются нечеткие
множества и лингвистические переменные. Алгоритмами Fuzzy-арифме-
тики, описанными в 3-й главе книги, вычисляется нечеткое множество,
определяющее комплексный показатель степени риска банкротства. Кро-
ме того, внесены коррективы в состав частных показателей и значения ве-
совых коэффициентов.
Лингвистическая выходная переменная системы Y может принимать
5 значений: BN - "риск банкротства весьма незначителен", NN - "низкая
степень риска банкротства", ZE - "степень риска банкротства средняя",
NP - "степень риска банкротства высокая", ВР - "предельный риск бан-
кротства". Носитель этого множества принимает по определению значе-
ния от нуля до единицы.
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 335
В качестве входных параметров системы выбраны следующие 6 фи-
нансовых показателей и показателей, отражающие качество управления
компанией [19]:
Xj - коэффициент автономии (отношение собственного капитала к валю-
те баланса);
Х2- коэффициент обеспеченности оборотных активов собственными
средствами (отношение чистого оборотного капитала к оборотным акти-
вам);
Х3 - коэффициент промежуточной ликвидности (отношение суммы де-
нежных средств и дебиторской задолженности к краткосрочным пасси-
вам);
коэффициент абсолютной ликвидности (отношение суммы денеж-
ных средств к краткосрочным пассивам);
Х5- оборачиваемость всех активов в годовом исчислении (отношение
выручки от реализации к средней за период стоимости активов);
Хв- рентабельность всего капитала (отношение чистой прибыли к сред-
ней за период стоимости активов).
Для входного параметра^- также определены 5 термов: BN - ’’очень
низкий уровень показателя X. ”, NN - "низкий уровень показателя Xt ",
ZE - "средний уровень показателя Хг", NP - "высокий уровень показателя
Xi", ВР - "очень высокий уровень показателя Xi".
Каждый терм входных параметров и выходной переменной пред-
ставлен нечетким множеством, для которого определены диапазон зна-
чений и соответствующие функции принадлежности треугольного вида.
Виды этих функций принадлежности приведены в [19]. Оценка степени
риска определяется по формуле
5 6
=Е Л • Еw‘' ’ <15-6°)
7=1 1=1 ’
где Цу (%.)- значение функции принадлежности значения i -го входного
показателя нечеткому множеству его j -го терма,
W-- весовые коэффициенты, определяющие относительную значимость
каждого показателя в оценке банкротства предприятия
336
Глава 15
Рис. 15.5: Блок-схема последовательности выполнения расчетов
Если все показатели упорядочены по убыванию их важности
ил > ... > мл > .. > w. , то значение в [19] предложено вычислять весо-
вые коэффициенты по формуле
2 (Я-г + 1)
ш ------------
1г (Д + 1)Я
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 337
Здесь ir - индекс входной переменной, стоящей на г -м месте в ран-
1
жировочном ряду. При равной значимости входных параметров W- = — .
R
Значения f. определяется в [19] по формуле fj = 0.9 — 0.2 • (у — 1) .
Последовательность проведения экспертизы на конкретном предпри-
ятии приведен на блок-схеме (рис. 15.5).
15.6.3. Экологические риски.
Рассмотрим иллюстративный пример оценки рисков деятельности
предприятия химической промышленности. Данный пример заимствован
из зарубежной публикации [97] и был также приведен в работе 2006-2007
годов магистра ГУ ВШЭ Е. Фироновой, опубликованной в интернете
(Fuzzy tekst dlya_sajta.doc).
На химическом предприятии, на котором хранится в резервуарах
хлор, была внедрена система безопасности жизни персонала и жителей
прилегающих территорий. Однако всегда существует риск утечки хлора и
связанные с этим последствия влияния этой утечки на здоровье и жизнь
людей как на территории завода, так и на прилегающих территориях. Бы-
ла поставлена задача оценить риск последствий мероприятий, проводи-
мых на заводе, и влияние последствий возможной аварии на жизнедея-
тельность сотрудников и жителей территории, расположенной вблизи от
завода. Возможность и последствия аварии определяется двумя входными
(показатель надежности системы и давление хлора в резервуаре) и одним
выходным (категория риска) параметрами.
Для оценки первой из входных переменных Х} экспертом была сос-
тавлена таблица критериев надежности системы безопасности жизнедея-
тельности, в соответствии с которой группа экспертов оценивала ее на
рассматриваемом заводе. Эти данные сведены в табл. 15.12.
Оценка входной переменной Х2 была основана на анализе давления
(концентрации) в PPM хлора в резервуаре, которое обозначим Ссы . Для
этого экспертами опять же была составлена таблица категорий «сурово-
сти» последствий в случае утечки хлора (см. табл. 15.13).
Выходная переменная Y «Категория риска» операционной деятельности
была оценена по параметрам, которые сведены в табл. 15.14.
Для формирования системы нечеткого вывода были сформулированы
15 правил, которые сведены в табл. 15.15.
338
Глава 15
Табл. 15.12: Критерии надежности системы
Надеж- ность Критерий Значение по шкале Хх с [о, 100]
N - низкая Система не отвечает необхо- димым условиям безопасно- сти, не происходит обучение персонала 25-44
ZE- сред- няя Система в целом, отве- чает необходимым условиям, но уровень подготовки пер- сонала недостаточный 45-75
Р- высокая Система полностью отвечает требованиям безопасности. Персонал обучен. >75
Табл. 15.13: Категории последствий возможной аварии
Категории опасности Критерий Значение по шкале Х2 е[0,100]
NN, т.е Кате- гория 1 Ссы < 50 PPM в случае утечки не принесет вреда людям. 0- 12
Категория 2 Только в короткие промежутки возможно cchl =100PPM- В случае утечки лишь с малой вероятностью принесет лишь не- значительные повреждения 12-37
Категория 3 Ссм < 100 PPM . В случае утеч- ки принесет лишь незначитель- ные повреждения. 37-62
Категория 4 Ссы < 200 РРМ. В случае утеч- ки принесет повреждения людям с низкой вероятностью смертель- ного исхода. 62-87
Категория 5 Ссы > 200 РРМ . В случае утеч- ки с высокой вероятностью ( « 50%) приведет к смертельно- му исходу. 87-100
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 339
Табл. 15.14 : Категории степени риска
Категория риска Критерий оценки
ВР, т.е. Очень высокая Высока вероятность смертельных исходов на заводе и прилегающей территории;
NP, т.е Высо- кая Низкая вероятность смертельных исходов, но высокая вероятность вредя для здоровья;
ZE, т.е Уме- ренная Остается вероятность легких повреждений для здоровья.
NN, т.е Низкая Нет риска смерти или вреда для здоровья.
ВР, т.е Очень низкая Полное отсутствие риска для резидентов.
Табл. 15.15: Система правил нечёткого логического
вывода
Значения перемен. Х2 Значения входной переменной Х\
N ZE Р
BN BN BN BN
NN NN BN
ZE ZE NN BN
NP NP ZE NN
ВР ВР NP ZE
Так например, правило на пересечении 6-й строки и 3-го столбца ин-
терпретируется следующим образом:
ЕСЛИ «Последствия утечки хлора»соответствуют категории 4,
т.е. Х2 = NP, И «Надежность SMS» средняя, т.е. = ZE,
ТОГДА «Категория риска» умеренная, т.е У = ZE .
На основании построенной системы у компании появляется эффек-
тивный инструмент для последующего мониторинга и контроля рисков, а
также планирования мероприятий для охраны окружающей среды.
340
Глава 15
15.6.4. Формирование эффективно работающего коллектива
исполнителей.
Формирование эффективно работающего коллектива исполнителей
является необходимой предпосылкой успешного выполнения всех постав-
ленных перед компанией задач. Поэтому оценка риска возникновения не-
здороваого производственного климата в коллективе, сложных взаимоот-
ношений среди исполнителей является одной из основных задач руково-
дителя предприятия. В зарубежных публикациях сформулированная за-
дача была решена методами нечеткой логики.
Лингвистическая выходная переменная Y «Производственный кли-
мат в коллективе» может принимать следующие значения: - BN- очень
плохой, NN-плохой, ZE-удовлетворительный, NP-хороший (здоровый),
ВР-очень хороший. Лингвистическая переменная - «Способность пер-
сонального состава работы в одном коллективе» может принимать сле-
дующие значения: N - недостаточная , ZE -удовлетворительная, Р-
хорошая. Диапазон значений переменной должен выражен в относитель-
ных единицах в диапазоне е [0,1] и вычисляется как функция двух пе-
ременных хи- среднеквадратическое отклонение от среднего возраста
всех членов коллектива (ук - возраст к -го сотрудника), Х|2 - средне-
квадратическое отклонение от среднего значения показателя квалифика-
ции и опыта работы в данной области всех членов коллектива, который
обозначим Zk. Переменная Zk, определяющая уровень квалификации
к -го сотрудника, в свою очередь, оценивается экспертом по 10-ти баль-
ной шкале и может принимать одно из возможных значений
Zk =1,2, ...,10- Следовательно,
Х} = -хп +а2 -х12 ,
где и а2 - весовые коэффициенты, которые могут выбираться, на-
пример, следующим образом ах е [0.08; 0.12], а2 е [0.05; О.Об].
Диапазон возможных значений переменной Xt разбит на 3 интер-
вала: - недостаточная, допустимая (средняя), высокая. Каждый из этих ин-
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 341
тервалов представлен нечеткими множествами, функции принад-
лежности которых приведены на рис. 15.6.
Т.е. при маленьких значениях %| тенденции успешной работы сот-
рудников в одном коллективе хорошая, при больших - плохая.
Рис. 15.6: Термы и нечеткие множества переменной Хг
Так, например, если хп = 5.5, Х12 = 4.25, то
Хх = 0.1 • хп 4- 0.05 • х12 = 0.7625
и принадлежит лингвистическому терму ZE.
Лингвистическая переменная X2 - «Среднее количество дней в году
отсутствия сотрудника на работе» (не считая выходные, праздничные дни
и отпуск) измеряется в днях имеет 3 значения N-незначительное, ZE-
среднее (допустимое), Р-болыпое. Функции принадлежности нечетких
множеств для каждого из интервалов приведены на рис. 15.7.
Рис. 15.7: Термы и нечеткие множества переменной Х2
Лингвистическая переменная Ху «Эффективность выполнения за-
даний» выраженная в процентах заданий, выполненных качественно и в
установленные сроки также имеет 3 значения N - низкая, ZE- средняя
342
Глава 15
(допустимая), P-высокая. Функции принадлежности нечетких множеств
для каждого из интервалов приведены на рис. 15.8.
Рис. 15.8: Термы и нечеткие множества переменной
Значение лингвистической выходной переменной Y - «Производ-
ственный климат в коллективе» может принимать следующие значения: -
BN- очень плохой, NN-плохой, ZE-удовлетворительный, NP-хороший
(здоровый), ВР-очень хороший. Правила принятия решений в зависи-
мости от значений входных параметров приведены в табл. 15.16.
Например, правило, стоящее в таб.15.16 на пересечении 7-го столбца
и 4-й строки и выделенное жирным шрифтом, интерпретируется следу-
ющим образом:
ЕСЛИ «Способность персонального состава работы в одном
коллективе» недостаточная
И «Среднее количество дней в году отсутствия сотрудника на
работе» незначительное,
И «Эффективность выполнения заданий» высокая
ТОГДА «Производственный климат в коллективе»
очень здоровый (хороший).
Подобного рода системы принятия решений позволят менеджерам по
формированию персонального состава компании более эффективно при-
нимать решения на основе поступающих резюме и персональных бесед с
претендентами на каждое рабочее место.
Методы нечеткой логики в бизнесе, экономике и менеджменте 343
Табл. 15.16: Правила нечёткого логического вывода
В ходи, парам. Рабочий климат е коллективе е входных параметров ( У = ) i зависимости от значении
= = ZE = p
я ZE P N ZE P ZE p
Я NN NP BP NN NP BP NN ZE NP
ZE NN ZE NP NN ZE NP BN NN ZE
Р NN ZE ZE NN ZE ZE BN NN ZE
Литература
1. Заде Л.: - Понятие лингвистической переменной и его применение
к принятию приближенных решений. - М., Мир, 1976,166 с.
2. Беллман Р., Заде Л.: - Принятие решений в расплывчатых услови-
ях И Вопросы анализа и процедуры принятия решений. - Сб. статей / Пер.
с англ.; Под ред. И.Ф. Шахнова. - М., 1976. - С.172- 215.
3. Борисов В.В., Круглов В.В., Федулов А.С.: - Нечеткие модели и се-
ти. - М., Горячая линия, Телеком, 2007, 284 с.
4. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. и др. Обработка не-
четкой информации в системах принятия решений.- М, Радио и связь.
1989.-304 с.
5. Борисов А. Н.: - Принятие решений на основе нечетких моделей:
Примеры использования. - Рига, Зинатне, 1990,184 с.
6. Лю Б.: - Теория и практика неопределенного программирования."
Пер. с англ. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005,416 с.
7. Новак В., Перфильева И., Мочкрож И.: - Математические принци-
пы нечёткой логики, пер с англ. - М., Физматлит, 2006. 352 с.
8. Круглов В. В. Дли М. И. Годунов Р. Ю.: - Нечёткая логика и искус-
ственные нейронные сети.- М.: Физматлит, 2001. 221 с.
9. Тэрано Т., Асаи, К., Сугэно М.: - Прикладные нёчеткие системы. -
М.: Мир, 1993. 368 с.
10. Круглов В.В., Дли М.И.: - Интеллектуальные информационные
системы: компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого
вывода. - М., Физматлит, 2002.
И. Зайченко Ю.П.: - Исследование операций: Нечеткая оптимизация
-Киев: Вищашкола., 1991, 191 с.
12. Леоленков А.В.: - Нечеткое моделирование в среде MATLAB и
fuzzyTECH. - СПб., 2003.
13. Штовба С.Д.: - Проектирование нечетких систем средствами
MATLAB. - М., Горячая линия-Телеком, 2007, 288 с.
14. Мандель И.Д:. Кластерный анализ. - М.: Финансы и статистика,
1988.-176 с.
15. Дьяконов А. П., Круглов В. В.: - MATLAB. Математические па-
кеты расширения. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001.480 с.
16. Масалович А.: - Нечеткая логика в бизнесе и финансах.
www.tora-entre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
17. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л.: - Нейронные сети,
генетические алгоритмы и нечеткие системы. 2-е изд. - М., Горячая ли-
ния-Телеком, 2008, 452 с.
18. Недосекин А.О.: - Нечетко-множественный анализ риска фондо-
вых инвестиций. - Санкт- Петербург, Изд-во Сезам, 2002, 181 с.
Литература
345
19. Недосекин А.О.: - Нечеткий финансовый менеджмент. - Санкт-
Петербург, Типография «Сезам», 2003, 184 с.
20. Бочарников В.П.: - Fuzzy-Технология: математические основы
практика моделирования в экономике. - Санкт-Петербург, Питер, 2001,
328 с.
21. Блюмин С.Л., Шуйкова И.А., Сараев П.В.: - Нечеткая логика: ал-
гебраические основы и приложения. - Липецк: ЛЭГИ, 2002, 111 с.
22. Вятченин Д.А.: - Нечеткие методы автоматической классифика-
ции. - Минск: Технопринт, 2004, 219 с.
23. Жуковин В.Е.: - Нечеткие многокритериальные модели принятия
решений. - Тбилиси: Мецниереба, 1988, 71 с.
24. Чернов В.Г.: - Модели поддержки принятия решений в инвести-
ционной деятельности на основе аппарата нечетких множеств. - М., Го-
рячая линия - Телеком, 2007, 312 с.
25. Рынок ценных бумаг и биржевое дело: Учебник для вузов./ Под
ред. Дегтяревой О.И., Коршунова М.Н., Жукова Е.Ф. - М., ЮНИТИ-Дина,
2003,498 С.
26. Рыжов А.П.: - Элементы теории нечетких множеств и измерения
нечеткости.- М., Диалог-МГУ, 1998.
27. Ротштейн А.П.: - Медицинская диагностика на нечеткой логике.
-Винница, Континент-ПРИМ, 1996. 132с.
28. Ротштейн А.П.: - Интеллектуальные технологии идентификации:
нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети. - Винница,
УНИВЕРСУМ, 1999, 320 с.
29. Кобринский Б.А.: - Нечеткая логика в анализе образных предста-
влений в медицинских системах искусственного интеллекта. - Между-
нар. конф, по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл. Т.1., СПб,
1998, С.233-235.
30. Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Л.: - Ситуационные
советующие системы с нечеткой логикой. - М., Наука, 1990, 272 с.
31. Орловский С.А.: - Проблемы принятия решений при нечеткой
исходной информации. - М., Наука, 1981,206 с.
32. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и
связь, 1982. -432с.
33. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного ин-
теллекта / Под ред. Д.А. Поспелова - М., Наука, 1986. - 311 с.
34. Аппель Д.: - Технический анализ. Эффективные инструменты для
активного инвестора. - СПб.: Питер, 2007.
35. Новожилова Е.Б., Васнецова О.А.: - Разработка фармоэкономиче-
ских стандартов лечения больных с ожоговыми поражениями. - Вестник
ВГУ. Серия: Химия. Биология. Фармация. - 2004, № 2, С. 244-248.
346
Литература
36. Алиев Р.А., Церковный А.Э., Мамедова Г.А.: - Управление про-
изводством при нечеткой исходной информации. - М., Энергоатомиздат,
1991,201 с.
37. Язенин А.В.: - Нечеткое математическое программирование. - Ка-
лининский государственный университет, 1986, 60 с.
38. Язенин А.В.: - Квазиэффективные решения задач многокритери-
альной нечеткой оптимизации. - Изв. РАН. Техническая кибернетика,
№ 5, 1992.
39. Батыршин И.З., Недосекин А.О., Стецко А.А., Тарасов В.Б., Язе-
нин А.В., Ярушкина Н.Г.: - Нечеткие гибридные системы. Теория и прак-
тика/ Под ред. Н.Г. Ярушкиной. - М.: Физматлит, 2007.
40. Ярушкина Н.Г.: - Основы теории нечетких и гибридных систем. -
М.: Финансы и статистика, 2004.
41. Горбач А.Н., Цейтлин Н.А.: - Покупательское поведение: анализ
спонтанных последовательностей и регрессионных моделей в маркетин-
говых исследованиях. - Освгга Украины, Киев, 2011, 244 с.
42. Зак Ю.А.: - Система вероятностных критериев и ограничений в
задачах выбора оптимального портфеля инвестиций. - Информационные
технологии, 2011, № 11, с.52-60.
43. Зак Ю.А.: - Четкий эквивалент задачи Fuzzy-линейного пограм-
мирования - Проблемы управления и информатики, Киев, № 1, 2011, с.
84-101.
44. Зак Ю.А.: - Многокритериальные задачи математического про-
граммирования с размытыми ограничениями. Математические модели
схем компромисса. Выбор решений из конечного множества альтернатив.
- Кибернетика и системный анализ, Киев, № 5, 2010, С. 80-89.
45 .Зак Ю.А.: - Методы многоэкстремальной оптимизации в усло-
виях ограничений для сепарабельно квазимонотонных функций - Извес-
тия РАН. Техническая кибернетика и системный анализ, М., № 2, 2011, С.
38-55.
46. Зак Ю.А.: - Принятие многокритериальных решений. - М., Эконо-
мика, 2011, 236 С.
47. Зак Ю.А.: - Прикладные задачи теории расписаний и маршрути-
зации перевозок. - М., Изд. URSS «Либроком», 2011, 394 С.
48. Zadeh, Lotfi А.: - Fuzzy Logic, Neural Networks, and Soft Compu-
ting. - Communications of the ACM, 1994, Vol. 37, No. 3, P. 77-84.
49. Zimmermann H.-J.: - Fuzzy Set Theorie and its Applications. - Kluver
Academic Publishers, Boston/ Dordrecht/ London, 2001, 544 p.
50. Zimmermann H.-J.: - Fuzzy Engineering Economics with Applications
(Studies in Fuzziness and Soft Computing). - Springer Berlin Heidelberg, 2008,
390 p.
Литература
347
51. Duboi D., Prade H.M.: - Fuzzy sets and systems: theory and applica-
tions. - Academic Press, New Jork- London - Toronto, 1980, 393 p.
52. Duboi D., Prade H.M.: - Possibility theory and formal concept analy-
sis: Characterizing independent sub-contexts. - Fuzzy Sets and Systcms,_2012,
196, P. 4-16
53. Duboi D.: - The role of fuzzy sets in decision sciences: Old techniques
and new directions. - Fuzzy Sets and Systems,_2011, 184 (1), P. 3-28.
54. Rommelfanger H.J.: - Entscheiden bei Unscharfe. Fuzzy Decision
Support-Systeme. - Springer, Berlin- Heidelberg, New York, London, Tokio,
1999, 304 S.
55. Rommelfanger H.J., Keresztfalfi T.: - Multicriteria Fuzzy Operation
Based on Yager’s Parametrized T-Norm. - Foundations of Computing and De-
cision Sciences, 1991,16, P. 99-110.
56. Rommelfanger H.J., Slowinski R. (1998): - Fuzzy Linear Program-
ming with single or multiple Objective Functions.” - In: R. Slowinski (Ed),
“Fuzzy Sets in Decision Analisys, Operations Research and Statistics”, - Klu-
wer Academic Publishers, Norwell, Massachusetts, P. 179-213.
57. Rommelfanger . H.J.: - Fuzzy-Optimierungsmodelle in praktischen
Anwendungen. - in Habenicht W., Scheubrein B., Scheubrein R. (Hrsg.) „Mul-
ti-Criteria- und Fuzzy-Systeme in Theorie und Praxis", Deutscher Universitats-
Verlag, Wiesbaden 2003, 325 S.
58. Friedrich A.: - Logik und Fuzzy-Logik. - Expert Verlag, Stuttgart,
2006, 319 S.
59. Frank H.: - Fuzzy Methoden in der Wirtschaftsmathematik. - Vieweg
& Sohn Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 2002, 242 S.
60. Adamy Ju.: - Fuzzy-Logik, neuronale Netze und evolutionare Algo-
rithmen. - Sharker Verlag, Aachen, 2007, S.
61. Tilli T.: - Fuzzy-Logic. - Franzis-Verlag, Miinchen, 1993.
62. Castilo O.: - Type 2 - fuzzy logic: theory and applications. - Springer,
Berlin, 2008, 223 p.
63. Kahraman C.: - Fuzzy Multi-Criteria Decision Making. Theorie and
Applications with Recent Developments. - Spriger, New Jork, 2008, 592 p.
64. Borcsok J.: - Fuzzy Control. Theorie und Industrieeinsatz. - Verlag
Technik, Berlin, 2000, 230 S.
65. Bojadziev G., Bojadziev M.: -Fuzzy logic for business, finance and
management. - World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong,
1997, 232 p.
66. Fang Yong: - Fuzzy portfolio optimization theory and methods. -
Springer, Boston, 2008, p.
67. Buckley J.: - Fuzzy Probalities and Fuzzy Sets for Web Planning. -
Springer, Berlin-Heidelberg, 2004, 190 p.
348
Литература
68. Buckley J.: - Monte Carlo methods in fuzzy optimization. - Springer,
Berlin-Heidelberg, 2007, p.
69. Buckley J.: - Simulation fuzzy systems. - Springer, Berlin-Heidelberg,
2005,171 p.
70. Tresp Ch.: - Beschreibungslogiken zur Behandlung von unscharfen
Wissen im Kontex eines medizinischen Anwendungsszenarios. - Sharker Ver-
lag, Aachen, 1999, 173 S.
71. Eisele T.: - Unscharfe Klassifikationsverfahren in der medizinischen
Diagnostik. - Sharker Verlag, Aachen, 1995, 147 S.
72. Saaty T.L.: - Exploring the interface between hierarchies, multiple ob-
jectives and fuzzy sets. - Fuzzy Sets and Systems, 1978, Vol.l, P. 57-68.
73. Seising R.: - Views on Fuzzy Sets and Systems from Different Pers-
pectives: Philosophy and Logic, Criticisms and Applications (Studies in Fuzzi-
ness and Soft Computing). - Springer, Berlin-Heidelberg, 2009, 580 P.
74. Li C., Xiaofeng L., Juebang Y.: - Tabu search for fuzzy optimization
and applications. - Informations Sciences, 2004, 158, P. 3-13.
75. Zemankova-Leech M., Kandel A.: - Fuzzy Relational Data Bases: A
Key to Expert Systems. - Cologne, Verlag TUV Rheinland, 1984.
76. Mamdani E.H., Assilian S.: - An experiment in linguistic synthesis
with a fuzzy logic controller. - International Journal of Man-Machine Studies,
1975, Nr.7, P. 1-13.
77. Mamdani E. H.: - Application of fuzzy algorithms for the control of a
simple dynamic plant. - Proc IEEE, 1974, P. 121-159.
78. Yager R., Filev D.: - Essentials of Fuzzy Modeling and Control. -
John Wiley and Sons, NewYork, 1994.
79. Tanaka H., Uejima S., Asai K.: - Linear Regression Analysis with
Fuzzy Model. - IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1982,
Vol. 12, P.903-907.
80. Sawic D., Pedrycz W.: - Evaluation of fuzzy regression models. -
Fuzzy Sets Syst., 1991, № 39, P 51-63.
81. Bardossy A.: - Note on fuzzy regression. - Fuzzy Sets and Systems,
1990, №3 7, P. 65-75.
82. Bedzek J.C.: - Cluster validity with fuzzy sets. - Journal on Cyberne-
tics., 1974, Vol. 3, Nm. 3, P.58-73.
83. Hojati M., Bector C. R., Smimou K.: - A simple method for compu-
tation of fuzzy linear regression. - European Journal of Operational Rese-
arch, 2005, № 166, P. 172-184.
84. Yazenin A.V., Wagenknecht M.: - Possibilistic Optimization. A mea-
sure-based approach. - Brandenburgische Tecnische Universitat, Cotbus, Ger-
many, 1996, Aktuelle Reihe 6/96, 140 p..
Литература
349
85. Yazenin A.V.: - Optimization with fuzzy random data and its applica-
tion in financial analysis. - Int. Conference on fuzzy sets and Soft Computing in
Economics and Finance. Proceedings, 2004, St. Petersburg, v.L, pp. 16-32.
86. Sammer G.: - Lineare Ersatzprogramme fur unscharfe Entscheidungs-
probleme zur Optimierung bei unscharfen Problembeschreibung.- Zeitschrift
fur Operation Research, 1978, 2, S. B1-B24.
87. Orlovski S.A.: - Multiobjective Programming Problems with fuzzy pa-
rameters. - Control and Cybernetics, 1984, 13, P. 173-183.
88. Eickemeier S.: - Das Mengen operationeller Risiko - ein Fuzzy Logic
basierter Ansatz. - In Multi-Criteria- und Fuzzy-Systeme in Theorie und Pra-
xis. , Gabler Edition Wissenschaft Verlag, Wiesbaden, 2003, S. 73-94.
89. Sungeno M.: -Theory of Fuzzy Integral and ist Applications. - Ph. D.
Thesis, Tokyo Inst, of Technology, 1974.
90. Smets P.: - Probability of a Fuzzy Event. - An Axiomatic Approach.
FSS, 1982, 7, P. 153-164.
91. Hardie W., Simar L.: - Applied Multivariate Statistical Analysis. Se-
cond Edition..- Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2007.
92. Diamond P.: - Fuzzy least squares.- Information Sciences, 1988,
46 (3), P. 141-157-
93. Selmins A.: - Least squares model fitting to fuzzy vektor data. - Fuzzy
Sets and Systems, 1987, 22(3), P. 245-269.
94. Markowitz, H.M. - Portfolio Selection. // The Journal of Finance 7
(1), 1952, P. 77-91.
95. Луданов H.H. Интуитивный трейдинг. -
http://lib.rus.ec/b/276105/read
96. Lukasiewicz J.: - Philosophische Bemekungen zu mehrwertigen Sys-
teme des Aussagenkalkuls. - Comtes rendus de seances et des Lettres der
Varsovie. Cl. iii, 1930, S.51-77.
97. Mahant Narendra: - Risk Assessment is Fuzzy Business - Fuzzy Logic
Provides the Way to Assess Off-site Risk from Industrial Installations.- Risk,
2004, No. 206. [18]
Юрий Александрович ЗАК
Специалист по исследованию операций, теории распи-
саний, математическому моделированию и оптимиза-
ции. Опубликовал свыше 220 научных статей по этой
тематике в центральных международных журналах;
автор 8 монографий и книг. Среди последних работ —
монографии «Принятие многокритериальных решений»
(2011) и «Прикладные задачи теории расписаний и мар-
шрутизации перевозок» (2012). До 1995 г. работал
в Киеве в должности заведующего отделом в научно-
исследовательских институтах сельскохозяйственного
машиностроения, робототехники, а также в Украинском
отделении Всемирной лаборатории («World Lab Ukrainian Branch»). С 1995 г.
живет в Германии. Работал в Европейском центре мехатроники. В настоящее
время — научный консультант; выполнял проекты для различных частных фирм
и университетов.
Наше издательство предлагает следующие книги:
IPMJ П . ПРЕМИЯ
ПРИНЯТИЕ
РЕШЕНИЙ
ОДЕЛИВ ВАНИЕ
I И ПРИНЯТИЕ
-
12235 ID 162088
ФИНАНСОВЫМ
МЕНЕДЖМЕНТ
В BBySLJl
И *. Надгии
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
ОРГАНИЗАЦИЙ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИИ У1РДВЛ М».
0РГАНИЗЛЦИ0Н« Ml
СИСТЕМАМИ
л •. с 1ОВ11ЯХ
КРИЗИСА
менп
Руководс
АЛЯ буду1
.оп-менеджеров
Отзывы о настоящем издании,
а также обнаруженные опечатки присылайте
по адресу URSS@URSS.ru.
Ваши замечания и предложения будут учтены
и отражены на web-странице этой книги
в нашем интернет-магазине http://URSS.ru URSS
НЕНАДЕЖНЫХ
РЕШЕНИИ
ТЕОРИИ РАСП
И МАРШРУТИЗАЦИИ
ПЕРЕВОЗОК
ЗЕИг ж.
Стратегических
решений
В ИННОВАТИКЕ
Задачи и методы
рог раммирования
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
~<ТОЛЫ УПРАВЛЕНИМ
В УСЛОВИЯХ
НЕПОЛНОЙ
ИНФОРМАЦИИ
I 1иЫТКОМПЯНЙ<
<. tnro и среднего
э*знеса
ЕДЕН’Е
В ТЕОРИЮ
E-mail:
URSS@URSS.ru
Каталог изданий
в Интернете:
’ 1310911
9
785397
034517
IIDQQ НАШИ НОВЫЕ gSSKt® +7(49' ЯИ
UIXUV КООРДИНАТЫ 117335, Москва, Нахимс У-31-5-2-1
1 шт|165