/
Author: Иванов В.А. Балахонцев В.Г. Шабанов В.И.
Tags: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника космонавтика
Year: 1973
Text
В. Г. БАЛАХОНЦЕВ
В. А. ИВАНОВ
В. И. ШАБАНОВ
СБЛИЖЕНИЕ
В
КОСМОСЕ
Ордена Трудового Красного Знамени
ВОЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ СССР
МОСКВА - 1973
GT6
Б20
УДК 629.78.015.001
Балахонцев В. Г. и др.
Б20 Сближение в космосе. М., Воениздат, 1973,
240 с. с ил.
Пред. загл. авт.: В. Г. Балахонцев,
В.А.Иванов и В. И. Шабанов
В книге изложены теоретические основы динамики сближения
космических аппаратов, а также некоторые вопросы перемещения
космонавтов в открытом космосе. Рассмотрены уравнения
относительного движения в различных системах координат и приведены
методы расчета траекторий сближения на этапах дальнего и
ближнего наведения. Для ближнего этапа детально
проанализированы способы наведения как с использованием, так и без
использования законов орбитального движения. Обсуждается вопрос
о необходимости создания специальных устройств для
перемещения в открытом космосе, рассматриваются возможные типы таких
устройств и особенности их движения.
Книга рассчитана на инженеров, специализирующихся в
области космической техники.
»™ «»
© Воениздат, 1973
ПРЕДИСЛОВИЕ
D ыдающиеся достижения науки и тех-
*-* ники в Советском Союзе и за
рубежом приводят к постепенному практическому освоению
человеком космического пространства, предсказанному
еще несколько десятилетий тому назад великим русским
ученым К. Э. Циолковским.
Запуск в Советском Союзе первого искусственного
спутника Земли, первый космический полет человека,
выход человека в открытый космос, запуски лунников,
автоматических станций к Венере и Марсу, создание
первой пилотируемой орбитальной станции имеют
большое научное значение.
Наряду со многими задачами, которые должны быть
решены космической техникой при практическом
освоении космического пространства, значительной является
задача сближения, встречи и стыковки космических
объектов на орбите.
Осуществление первой в мире автоматической
стыковки космических аппаратов и ручная стыковка
пилотируемых кораблей «Союз-4» и «Союз-5» при создании
первой экспериментальной орбитальной станции, а
также решение инженерно-технической задачи доставки
экипажа кораблем «Союз-11» на борт научной станции
«Салют» свидетельствуют о том, что и в этой области
советская наука и техника -занимают передовые
позиции.
Заключенное между правительствами СССР и США
соглашение о,-сотрудничестве,в исследовании и
использовании космического пространства., в. -.мирных...целях
предусматривает наряду с проведением совместных
исследований околоземного космического пространства,
Луны, планет Солнечной системы, природной среды,
космической метеорологии, биологии и медицины
выполнение работ по созданию средств сближения и сты-
Г
3
ковки советских и американских пилотируемых
космических кораблей и станций.
В целях проверки технических решений
предполагается проведение совместных космических
экспериментальных полетов, первый из которых должен быть
осуществлен в 1975 г. и будет состоять в стыковке
советского космического корабля типа «Союз» и
американского космического корабля тийа «Аполлон» с
взаимным переходом космонавтов.
В последние годы в Советском Союзе и за рубежом
публикуется много научных работ, посвященных
отдельным аспектам проблемы сближения и встречи
космических аппаратов. Для ознакомления широкого круга
читателей с возможными методами и средствами решения
этой проблемы, а также для развития дальнейших
исследований необходима литература, в которой были бы
последовательно обобщены и систематизированы
результаты отдельных работ.
В предлагаемой читателю книге рассматриваются
основные вопросы динамики сближения космических
аппаратов и некоторые вопросы перемещения
космонавтов в открытом космосе.
Книга предназначена для широкого круга читателей.
Материал, изложенный в гл. 1, а также в первых
параграфах остальных глав (за исключением гл. II),
позволяет читателю, не прибегая к помощи математического
аппарата, составить общее представление о возможных
методах и средствах сближения и перемещения в
космосе.
Книга будет полезной для лиц, специализирующихся
в области космической техники, а также для тех, кто
желает более детально ознакомиться с постановкой и
решением рассматриваемых вопросов.
При написании книги были использованы материалы,
опубликованные в отечественной и зарубежной печати.
Все примеры, поясняющие основные теоретические
положения, приведены применительно к гипотетическим
космическим объектам.
Редактор
Глава I
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ВОЗМОЖНЫХ СХЕМ СБЛИЖЕНИЯ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
§ 1.1. ЗАДАЧА СБЛИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ
ГЛ существление многих орбитальных и
^ межпланетных полетов связано с
решением задачи сближения и встречи космических
аппаратов (КА). Сближение КА на орбите может
завершаться последующими операциями стыковки, инспекции
или группового полета [2] *.
Стыковка предполагает безопасное сближение и
соединение двухКА в одну орбитальную систему.
Сближение и стыковка КА необходимы для
транспортировки грузов на КА, сборки тяжелых космических станций,
смены их экипажей, спасения космонавтов в аварийных
ситуациях, профилактического осмотра оборудования
КА, производства ремонтных работ и замены отдельных
приборов, а также для выполнения ряда других задач.
Техническая реализация сближения и стыковки КА
представляет собой весьма сложную задачу. Поэтому
осуществление первой в мире автоматической стыковки
КА явилось большим достижением советской науки и
техники.
Процесс инспекции в целях оценки состояния
аппарата и наличия повреждений предполагает
определенное управление движением центра масс, а также
ориентацию аппарата-инспектора относительно
орбитального аппарата-цели.
Групповой полет представляет собой движение
двух или нескольких КА при сохранении определенной
дистанции между ними.
Впервые групповой полет двух космических
объектов был осуществлен в Советском Союзе при запусках
* Здесь и далее цифры в прямых скобках означают порядковый
номер по списку литературы, приведенному в конце книги.
5
кораблей «Восток-3» и «Восток-4», а трех —при
запусках «Союз-6», «Союз-7» и «Союз-8». В будущем,
безусловно, потребуется осуществлять групповой полет с
самыми различными орбитальными объектами, например
с орбитальным телескопом, который не будет иметь
стыковочных устройств [40].
В этих случаях сближение должно заканчиваться
при нулевой или близкой к нулю относительной
скорости. Для осуществления инспекции или
группового полета КА в зависимости от поставленных задач
значения относительных координат и скоростей могут
находиться в некотором фиксированном диапазоне.
Сближение и стыковка КА имеют также большое
значение для обеспечения межпланетных полетов.
Выполнение этих операций может оказаться необходимым
как на орбите вокруг Земли, так и на орбите вокруг
планеты, на которую совершается перелет. Стыковка
нескольких объектов на околоземной орбите дает
возможность собрать тяжелый космический корабль,
осуществить запуск которого с помощью одного носителя
было бы значительно труднее. Встреча на планетоцен-
трических орбитах необходима для выбора наиболее
оптимальной траектории возвращения на Землю.
Большинство перечисленных задач отличаются друг
от друга по своему целевому назначению. Это влечет
за собой различие как в методах сближения КА, так и
в аппаратурном составе систем управления. Однако
задачи сближения КА различного целевого назначения
имеют вместе с тем очень много общего. Эта общность
заключается прежде всего в том, что решается задача
встречи двух движущихся объектов. Кроме того, во
всех случаях процесс сближения КА слагается из
совокупности таких частных задач, как поиск и
обнаружение КА, слежение за ним и измерение параметров
движения, формирование и реализация управлений,
обеспечивающих их встречу.
Результаты исследований [47, 61, 62] выявили, что
возможные схемы сближения КА могут быть отнесены
либо к сближению с участка выведения на орбиту, либо
к сближению с промежуточной орбиты (или орбиты
ожидания). Остановимся кратко на каждом из
указанных способов сближения.
6
При сближении с участка выведения на
орбиту время запуска ракеты-носителя и траектория
выведения выбираются такими, чтобы в конце этого
участка параметры движения активного
маневрирующего аппарата (КА) * соответствовали требуемым
условиям сближения (рис. 1.1). Траектория выведения
может или лежать в плоскости орбиты цели
(компланарное выведение), или в общем случае не совпадать с этой
плоскостью (некомпланарное выведение).
Рис. 1.1. Сближение КА и цели Ц
с участка выведения на орбиту
(В —- точка встречи)
При компланарном выведении КА запускается в
плоскости орбиты цели в такой момент времени и с таким
периодом обращения, чтобы, во-первых, выйти сразу в
район цели и, во-вторых, как можно дольше оставаться
в ее окрестности.
Для реализации этой схемы сближения при запуске
обоих объектов с одной и той же точки старта
необходимо период обращения цели выбирать таким, чтобы
она через строго определенное время (например,
ежедневно или один раз в двое или трое суток) проходила
над стартовой установкой. Некоторые значения
периодов обращения цели вокруг Земли, обеспечивающие
выполнение этого условия, приведены в табл. 1.1.
* В дальнейшем активный маневрирующий аппарат будем
обозначать КА, а космический объект, с которым осуществляется
сближение, будем называть целью.
7
Таблица 1.1
Периодичность пролета цели над стартовой установкой [35]
Период
обращения,
мин
88.5
90.5
91,5
Высота
круговой
орбиты цели,
км
230
320
370
Повторяемость витков
Ежедневно
Через двое суток
Через сутки
Время существования
цели
10 суток
100 суток
1 год
Осуществление мягкой встречи КА при
некомпланарном выводе возможно только в том случае, когда на
конечном участке сближения производится специальный
маневр для выравнивания скоростей в момент встречи.
Этап выведения КА может быть полностью
активным или содержать пассивные участки полета. Для
второй из этих двух схем целесообразно последний
пассивный участок выбирать так, чтобы апогей его был
расположен вблизи орбиты цели. Тогда последний
активный участок должен начинаться также вблизи апогея.
В том случае, когда управление на этапе выведения
осуществляется по заранее рассчитанной программе,
необходимо предъявлять весьма высокие требования к
выдерживанию расчетного момента запуска КА.
Например, если потребовать, чтобы в конце участка
выведения расстояние между КА и целью не превышало
нескольких десятков километров, то допустимое
отклонение времени запуска составляет всего несколько
секунд [59]. Если же движение ракеты-носителя может
корректироваться в процессе вывода КА, то допустимое
отклонение времени запуска можно увеличить до
нескольких минут [62]. За счет применения еще более
гибкого управления на участке вывода можно добиться
дальнейшего расширения диапазона допустимого
времени запуска. Но это приведет к повышенному расходу
топлива при выведении КА.
Во многих случаях сближение с участка выведения
на орбиту оказывается нецелесообразным или
невозможным. Так, может оказаться, что для вывода КА при
допустимых значениях углов некомпланарности (углов
8
между плоскостью орбиты цели и плоскостью
траектории вывода) потребуется значительная задержка его
запуска до прохождения цели над районом старта КА
(табл. 1.1).
Указанный недостаток не наблюдается при способе
сближения с промежуточной орбиты.
При этом способе сближения КА предварительно
выводится на орбиту ожидания. Далее сближение
осуществляется переходом КА с орбиты ожидания на орбиту
Рис. 1.2. Сближение КА и цели Ц с промежуточной
орбиты ожидания:
а —круговой; б — эллиптической (В —точка встречи)
цели. Разница в периодах обращения КА и цели
позволяет выбрать момент начала сближения при наиболее
выгодном взаимном положении.
Время, необходимое для достижения этого
положения, называют временем фазирования. Оно
определяется взаимным начальным положением объектов,
параметрами орбит цели и орбиты ожидания, а также
видом критерия оптимальности.
Есть основания полагать, что наиболее выгодным в
смысле простоты управления, а также по
энергетическим затратам является случай, когда орбита ожидания
лежит в плоскости орбиты цели [28].
Для круговой орбиты цели орбита ожидания
может быть круговой (рис. 1.2, а) или эллиптической
(рис. 1.2,6).
Если эллиптическая орбита ожидания лежит внутри
орбиты цели или орбита цели лежит внутри
эллиптической орбиты ожидания, то ее апогей или перигей для
второго случая должен быть близок к орбите цели.
9
При круговой орбите ожидания минимальные
энергетические затраты для «мягкого» сближения обычно
получаются в случае перехода КА на орбиту цели по
эллиптической орбите (траектория перехода — половина
эллипса, рис. 1.2, а). Это так называемая хомановская
двухимпульсная программа перехода. Первый импульс
сообщается КА в момент схода его с орбиты ожидания,
а второй — в момент перехода на орбиту цели для
увеличения или уменьшения скорости до круговой на
заданной высоте.
§ 1.2. ДАЛЬНЕЕ И БЛИЖНЕЕ НАВЕДЕНИЕ КА
При управлении сближением КА предъявляются
весьма высокие требования к точности измерения
параметров движения сближающихся объектов. Вследствие
этого рассматриваемые в настоящее время схемы
управления сближением, особенно сближением с
непосредственным контактом, предусматривают использование
бортовых систем, следящих за целью и выдающих
информацию о параметрах относительного движения.
Дальность действия таких систем, учитывая
ограничения по весу, около 100 км [28].
Поэтому при больших относительных дальностях
между сближающимися аппаратами основная
информация для управления сближением будет поступать с
наземных измерительных пунктов, точность которых
значительно ниже, чем точность бортовых систем,
работающих на меньших расстояниях до цели. Такой
характер получения первичной информации для управления
сближением КА делает целесообразным разделение
всей траектории сближения маневрирующего КА на
этапы дальнего и ближнего наведения.
На этапе дальнего наведения для управления
сближением используются данные наземных измерительных
средств. В процессе движения на этом этапе
(участок А Б на рис. 1.3) КА должен быть выведен в
некоторую окрестность цели, величина которой определяется
дальностью действия бортовых измерительных средств.
С переходом на автономное управление сближением
начинается этап ближнего наведения (участок БВ).
В зависимости от типа решаемой задачи сближения
к параметрам относительного движения в конце этапа
10
ближнего наведения предъявляются различные
требования. Если конечной задачей сближения является
непосредственный контакт двух объектов при
значительных скоростях встречи, совместный их полет на
некотором расстоянии в течение определенного времени или
пролет маневрирующего аппарата мимо цели, то эти
конечные условия могут быть выполнены в процессе
этапа ближнего наведения. Если же сближение КА
должно завершиться «мягкой» встречей и стыковкой, то
после этапа ближнего
наведения (точнее, в конце его)
следует участок
причаливания, завершающийся
встречей при близких к нулю
значениях относительных
скоростей двух объектов и
механической стыковкой КА.
В этом случае задачей
ближнего наведения является
сближение КА до
расстояний порядка сотен метров
с относительной скоростью
до 3 м/с [11, 46].
Дальнее наведение в
соответствии с ранее
рассмотренными схемами может осуществляться при
сближении с участка выведения КА на орбиту или при
сближении с промежуточной орбиты. Как в первом, так и
во втором случае траектория этапа дальнего
наведения может быть компланарной или иекомпланарной по
отношению к плоскости орбиты цели.
При изучении сближения КА с компланарной
промежуточной орбиты чаще всего рассматривают переход
КА по эллипсу Хомана, биэллиптический и
полутангенциальный переходы. Дальнее наведение при
некомпланарной орбите ожидания должно включать маневр
совмещения плоскостей орбит и маневр фазирования.
Эти два маневра могут выполняться раздельно или
совместно. В соответствии с этим различают раздельный
или комбинированный способы дальнего наведения с
некомпланарной орбиты ожидания. Обстоятельному
изложению вопросов дальнего наведения посвящена гл. III.
Управление сближением КА на этапе ближнего на-
Рис. 1.3. Этапы дальнего (АБ)
и ближнего (БВ) наведения
И
ведения может осуществляться либо с помощью
методов, основанных на использовании законов
орбитального движения, либо с помощью методов, при которых
законы орбитального движения не учитываются [11].
К методам первой группы относятся различные
импульсные и непрерывные схемы управления
сближением. Вычисление величины и ориентации импульсов
тяги, а также законов ее изменения для
непрерывных методов производится бортовым вычислительным
устройством с учетом законов орбитального движения
сближающихся КА.
Для реализации этих методов наведения помимо
параметров относительного движения сближающихся
объектов необходимо иметь данные об орбитах цели и
маневрирующего аппарата. Для реализации методов
наведения второй группы достаточно иметь
информацию только о параметрах относительного движения.
Методы наведения, не использующие законы
орбитального движения, отличаются простотой приборной
реализации, но энергетические затраты на осуществление
процесса сближения при пользовании этими методами
значительны.
К методам наведения второй группы могут
быть.отнесены: прямое наведение, методы погони и накрытия
цели, параллельное сближение, метод
пропорциональной навигации и др. Подробному рассмотрению
методов наведения, основанных на использовании законов
орбитального движения, посвящена гл. IV, а
рассмотрению методов наведения, при которых законы
орбитального движения не используются, гл. V.
На участке причаливания задача управления
сближением заключается не только в обеспечении
определенного закона относительного движения центров масс
двух объектов, но и в управлении взаимной ориентацией
их корпусов. Принципиально достаточно управлять
ориентацией маневрирующего аппарата, однако во многих
случаях выполнение стыковки значительно облегчается,
если одновременно производится управление
ориентацией двух объектов. В противном случае от КА может
потребоваться выполнение сложных маневров вокруг
цели.
КА и цель должны ориентироваться по осям одной
•и той же системы координат так, чтобы их стыковоч-
12
ные узлы были направлены навстречу друг другу
(рис. 1.4). Если стыковочные узлы обладают осевой
симметрией, то задача ориентации упрощается и
сводится к обеспечению совпадения продольных осей
стыкуемых объектов.
Рис. 1.4. Ориентация КА при стыковке с целью
§ 1.3. СПОСОБЫ УПРАВЛЕНИЯ
СБЛИЖЕНИЕМ КА
Управление сближением КА рассматривается как
задача встречи двух движущихся объектов. Для
наведения КА могут быть использованы принципы
телеуправления и самонаведения.
Однако управление сближением КА имеет целый
ряд особенностей. Так, для обеспечения «мягкой»
встречи КА необходимо сочетание нулевого промаха
с нулевой относительной скоростью в момент встречи.
Процесс управления сближением в этом случае длится
вплоть до момента встречи КА. На конечном его
участке — на участке причаливания — надо обеспечить
не только требуемый характер относительного
движения, но и строго определенную взаимную ориентацию
корпусов стыкуемых объектов.
В тех случаях, когда решается задача встречи
кооперируемых (сотрудничающих) КА, на объекте, с
которым осуществляется сближение, может быть
установлена специальная аппаратура, облегчающая управление
13
сближением (например, радиомаяки, ответчики и т. п.).
Это обстоятельство приводит к тому, что
принципиально можно рассматривать целый ряд способов
управления сближением КА. К ним можно отнести
телеуправление 1, 2, 3 и 4-го видов (рис. 1.5,а — г),
самонаведение (рис. 1.5,(3) и наведение на
себя (рис. 1.5,е).
Рис. 1.5. Способы управления сближением КА:
а, б, в, г—\, 2, 3 и 4-й виды телеуправления; д — самонаведение; е —
наведение на себя; / — канал контроля движения цели; 2 — канал контроля
движения КА; 5 —канал контроля относительного движения; 4 «-канал
связи; 5 «• канал управления
При телеуправлении 1-го вида управление
сближением КА осуществляется по данным наземных
измерительных средств. Этот способ можно использовать
только на этапе дальнего наведения.
При телеуправлении 2-го вида управление
сближением КА осуществляется по измерениям, проводимым
с борта маневрирующего аппарата, а при
телеуправлении 3-го вида — с использованием измерительных
средств, расположенных на цели. В том и другом
случае вычислительное устройство, вырабатывающее
команды управления, и передатчик командной радиолинии
расположены на Земле. Применение телеуправления
2-го и 3-го видов целесообразно лишь тогда, когда
размещение этих устройств на наземном пункте позволяет
14
получать существенное уменьшение массы бортовой
аппаратуры.
Телеуправление 4-го вида может применяться в том
случае, когда необходимо осуществить наведение
специального устройства перемещения (УП), запускаемого
с КА для встречи с целью. Измерение параметров
относительного движения и выработка команд управления
производится с помощью средств, установленных на КА.
В числе задач, для решения которых потребуется
применение указанного вида телеуправления, можно,
например, отметить задачу управления специальными
устройствами перемещения в открытом космосе.
Необходимость создания подобных УП вытекает из
потребности выполнения целого ряда операций в открытом
космосе, таких, как сборка орбитальных станций,
транспортировка экипажа и грузов между КА, ремонтные
работы, спасение космонавтов в аварийных ситуациях
и др. Изложению вопросов, связанных с решением
задачи перемещения специальных устройств в открытом
космосе, посвящена гл. VI.
При самонаведении весь основной комплекс
необходимой аппаратуры располагается на маневрирующем
аппарате. Измерительные устройства могут работать
совместно со вспомогательной аппаратурой пассивного
объекта (радиолокационные ответчики, источники
инфракрасного излучения и т. п.). Это позволяет
повысить точность измерения параметров относительного
движения.
При наведении на себя аппаратура для измерения
параметров относительного движения и вычислительное
устройство, вырабатывающее команды управления,
располагаются на цели (на космической станции).
Применение этого способа управления целесообразно при
создании больших космических станций, когда
производится последовательная стыковка нескольких КА и на
одном из них находится оператор-космонавт. Последний
может активно вмешаться в управление процессом
сближения. Наведение на себя требует наличия командной
радиолинии. Все это несколько увеличивает массу
маневрирующего аппарата.
При использовании методов телеуправления 1, 2 и
3-го видов продолжительность сближения КА
ограничена временем нахождения сближающихся объектов в
15
поле зрения наземного командного пункта.
Телеуправление 4-го вида, самонаведение и наведение на себя
свободны от этого недостатка.
Для осуществления сближения КА необходимо в
каждом случае вполне определенное управление
вектором тяги. При этом чаще всего рассматривают два
принципиально различных способа создания тяги в
требуемом направлении — полярный и декартовый.
Соответственно этому различают полярное и
декартовое управление.
Рис. 1.6. Способы создания тяги в требуемом направлении при
управлении КА:
а —полярном; б —декартовом; в — промежуточном
При полярном управлении для реализации маневра
используется один маршевый двигатель, закрепленный
на корпусе аппарата (рис. 1.6, а). Направление вектора
тяги Р изменяется поворотом корпуса КА.
При декартовом управлении на КА устанавливаются
шесть двигателей по трем взаимно перпендикулярным
осям (рис. 1.6,6). Плавное регулирование тяги этих
двигателей_может обеспечить нужное направление
вектора тяги Р без изменения ориентации аппарата и без
маневра на переориентацию КА. В этом заключается
одно из основных преимуществ декартового управления
по сравнению с полярным, так как задержки на
переориентацию КА приводят к запаздыванию в
выполнении команд управления движением его центра масс,
а следовательно, и к увеличению ошибок сближения.
16
Кроме того, декартовое управление может применяться
в течение всего процесса сближения, в то время как
полярное управление на участке причаливания
неприменимо (ориентация корпуса КА на этом участке
должна строго соответствовать условию стыковки).
К недостаткам декартового управления следует
отнести большую конструктивную сложность, меньшую
надежность работы двигателей с плавным
регулированием тяги и повышенный по сравнению с полярным
управлением расход топлива. Последнее определяется
тем, что при декартовом управлении суммарный вектор
тяги jP является геометрической суммой составляющих
Рхи Руи Pz\ по трем взаимно перпендикулярным осям.
Помимо двух рассматриваемых способов управления
вектором тяги для сближения КА может быть
использован еще один — промежуточный между полярным и
декартовым. Маневрирующий аппарат в этом случае
имеет три двигателя, два из которых расположены по
продольной оси КА и направлены в разные стороны,
а третий —перпендикулярно двум первым (рис. 1.6,в).
Тогда для создания вектора тяги в любом направлении
достаточно повернуть аппарат вокруг продольной оси
на некоторый угол и подобрать необходимое
соотношение тяг бокового двигателя и одного из двух
двигателей, расположенных вдоль продольной оси.
Создание двигателей с плавным регулированием
тяги в достаточно широком диапазоне — задача
довольно сложная. Поэтому в большинстве случаев для
управления сближением КА используются маршевые
двигатели, тяга которых не регулируется, а может принимать
нулевое или максимальное значение. Управление
движением в таких системах заключается в проведении
импульсных коррекций вектора скорости КА. _Величина и
направление корректирующего импульса AV
рассчитываются бортовым вычислительным устройством, которое
управляет ориентацией КА и выдает команды на
включение и выключение двигателей.
В случае полярного управления с использованием
двигателя постоянной тяги, работающего в режиме
«включено — выключено», управление заключается в
совмещении линии действия тяги с направлением
вектора Д1Л Для декартового управления этот вектор рас-
17
кладывается на компоненты по трем взаимно
перпендикулярным осям, вдоль которых расположены
двигатели КА. Эти компоненты (&Vxu AVyi, &VX\) создаются
путем включения на определенное время каждого из
координатных двигателей.
Учитывая все достоинства и недостатки
рассмотренных способов управления движением центра масс КА,
можно сделать вывод о целесообразности применения
следующих комбинированных способов [11].
1. На этапах дальнего и ближнего наведения (за
исключением участка причаливания)—полярное
управление или промежуточное между полярным и
декартовым. Промежуточное управление позволяет иметь
аппарат с меньшим числом двигателей, чем декартовое
управление, и требует меньших угловых маневров
корпуса, чем полярное. Недостаток полярного и
промежуточного способов управления, заключающийся в
запаздывании выполнения команд, не играет большой роли,
так как продолжительность этапов дальнего и ближнего
наведения достаточно большая и измеряется десятками
минут.
2. На участке причаливания — декартовое
управление. Необходимые коррекции вектора скорости КА на
этом участке малы и могут выполняться с помощью
маломощных двигателей. Некоторое относительное
увеличение расхода топлива несущественно, так как
абсолютные расходы для малых коррекций весьма
невелики. На участке причаливания можно использовать
одни и те же двигатели для ориентации и управления
движением центра масс КА.
Глава II
УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ КА ПРИ СБЛИЖЕНИИ
§ 2.1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И МАТРИЦЫ
ПЕРЕХОДА
При изучении движения КА обычно
применяют несколько систем
координат. Из них наиболее распространенными являются
правые прямоугольные, цилиндрические и сферические
системы. Вид и число систем координат, используемых для
описания движения, определяются классом решаемой
задачи, ее сложностью, а также степенью полноты учета
сил и моментов, действующих на КА.
При введении систем координат, используемых при
решении задач сближения двух КА, необходимо
учитывать, что чаще всего требуется знать параметры
движения одного КА относительно другого, и поэтому
движение удобно изучать в системе координат, связанной
с центром масс одного из них. Чаще всего ее связывают
с целью, движение которой происходило
геоцентрической кеплеровой орбите. Движение же самой цели
целесообразно рассматривать в системе координат с
началом в центре Земли. При этом следует иметь в виду,
что плоскость орбиты цели не участвует во вращении
Земли, и поэтому систему координат желательно
также выбирать неподвижной, т. е. не вращающейся вместе
с Землей.
Учитывая эти особенности, в дальнейшем будем
употреблять следующие основные системы координат.
1. AxatjzZz — неподвижная (абсолютная) система с
началом А в центре Земли (рис. 2.1). Ось Az& этой
системы направлена по оси вращения Земли, ось Ллга
лежит в плоскости экватора и направлена в точку
весеннего равноденствия Т.
Положение орбиты цели или КА относительно
абсолютной системы координат определяется долготой вос-
19
ходящего узла <Г^ и наклонением орбиты /, а положение
перигея в плоскости орбиты — угловым расстоянием со
от восходящего узла. Текущее положение КА или цели
на орбите может быть определено истинной
аномалией д и радиусом г. В некоторых случаях вместо
угла 9 используется угол w=w+ft.
9 i W
Рис. 2.1. Геоцентрическая и орбитальная
системы координат
2. Ахгуггг — геоцентрическая вращающаяся система
с началом А в центре Земли (рис. 2.1). Ось Ауг системы
направлена по текущему радиусу-вектору цели, а ось
Azr— по вектору ее угловой скорости движения на
орбите.
3. Oxyz— орбитальная система координат с
началом О в центре масс цели (рис. 2.1). Оси этой системы
параллельны соответствующим осям геоцентрической
вращающейся системы координат. Орбита цели в
общем случае может быть оскулирующей.
4. OxHyHzn—орбитальная невращающаяся система.
Начало этой системы совпадает с началом системы
Oxyz, а ее оси перемещаются поступательно. В
начальный момент (/=0 или &=&0) система OxHyHza совпадает
с орбитальной системой.
5. Сферические координаты Dt q>, б и Д фн, 6Н
(рис. 2.2). При этом индекс «н» означает, что углы фЯ
и вн определяются относительно невращающейся
системы координат.
20
Заметим, что для описания относительного
движения космического аппарата и цели геоцентрическую
вращающуюся систему, а также орбитальные системы
иногда удобнее связывать с КА. При дальнейшем
изложении использование таких систем всякий раз будет
оговариваться.
2,2*
Рис. 2.2. Сферические координаты
Как уже отмечалось, при решении одной и той же
задачи могут использоваться несколько различных
систем координат. Поэтому в процессе решения
необходимо уметь переходить от одной системы координат
к другой.
Переход от сферических координат Д <р, 8 или Д <рн,
бн к прямоугольным ху у> z или хв, ун> £н осуществляется
по формулам:
jc=Dcos6cos<p; у = Z)cos6sin<p; z= — Dsin6; |
a:h=Dcos6hcos9h; Ун=^С08 Min ?,,'> zH=—D sin$H. I
Формулы обратного перехода легко получить при
рассмотрении рис. 2.2:
D = Vx2+y2 + z*;
<P = arctg-£; 6 = — arctg
V* +? '
D = Vxl + yl + zl;
?н = arctg -^-; бн = - arctg
У^Ы
(2.2)
21
Связь между двумя системами прямоугольных
координат, имеющих общее начало, может быть
осуществлена с помощью направляющих косинусов ацу под
которыми понимаются косинусы углов между осями О*
/-й системы (1=хи Уи *i) и осями Oj /-й системы (/ =
Обычно направляющие косинусы записывают в виде
таблицы
(2.3)
х'
Vi
1 Zi
х)
«и
а21
а31
У/
«12
а22
а32
Zi
а13
а?з
азз
или матрицы
Иь] =
Га11 а12 alsl
I а?1 а22 а23 I
La»l а32 a33J
(2.4)
Тогда координаты точки в системе Ox$jZj при
переходе к системе Ол^г* преобразуются с помощью
матрицы [Aij]:
С;ЬЧЭ
(2.5)
В координатной форме это преобразование
запишется в следующем виде:
У/ = а21*у + а22У; + «23^ I (2.6)
zt = clziXj + a32yy + аззгу I
Если же необходимо перейти от системы OxiyiZi к
системе OxjyjZj, то преобразование координат
осуществляется с помощью транспонированной матрицы [Л^.]:
22
ЁНН
(2.7)
В координатной форме это преобразование будет
иметь такой вид:
у. = dl2xi + а22у/ + а32г/;
^ = а13^/ + а2зУ/+аЗЗ^
(2.8)
В силу ортогональности преобразования на
направляющие косинусы накладываются следующие условия:
' — сумма квадратов элементов любой строки или
столбца равна единице;
— сумма парных произведений соответствующих
элементов, взятых в любых двух строках или столбцах,
равна нулю;
— любой из элементов равен соответствующему ему
алгебраическому дополнению.
Запишем теперь матрицы направляющих косинусов
между введенными выше прямоугольными системами
координат.
1. Матрица \А00 ] перехода от системы OxHyBza к
системе Oxyz:
Г cos(&-&0) sin (» — »о) 01
[Аооп\ = - sin (» - В0) cos (» - »0) 0 (2.9)
L 0 0 1J
Чтобы перейти от орбитальной системы координат
Oxyz к геоцентрической вращающейся системе,
достаточно воспользоваться формулами параллельного
переноса:
хт = х\ уг = у + г, zr = zy
где г — текущий радиус-вектор цели.
2. Матрица [Ашт] перехода от системы AxvyTzv к
системе Ах&уага:
и. j=
cos S\j sin и + cos fi, cos и —
+ sin fi cos и cos / — sin <f^ sin и cos i
sin <fb sin w — sin fi, cos и +
— cos S{, cos и cos i + cos s[, sin и cos /
L— cos и sin / sin и sin i
sin S[, sin i
—cos SI, sin i
cos*
(2.10)
23
§ 2.2. УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ В ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
КООРДИНАТ
При изучении относительного движения КА и цели
в наиболее общей постановке необходимо учитывать,
что оба аппарата могут совершать управляемый
полет.
Относительное движение цели и КА будем
рассматривать в орбитальной системе координат Oxyz (рис. 2.1),
начало которой связано с центром масс цели.
Для записи уравнений относительного движения
воспользуемся теоремой Кориолиса, устанавливающей
зависимость между ускорениями материальной точки в
абсолютном и относительном движениях:
WB=We+W,+ Wc, (2.11)
где W& — вектор абсолютного ускорения центра масс
КА; We — вектор переносного ускорения; Wr — вектор
относительного ускорения КА; Wc — вектор ускорения
Кориолиса.
Абсолютное движение рассмотрим в неподвижной
системе координат Ах&улгл (рис. 2.1). Векторы,
входящие в уравнение (2.11), равны:
Ж =—;
а т '
W^Wb + ^XD + vxfaXD);
¥, = 2«хД
где Fe—главный вектор внешних сил, действующих
на КА; т — текущее значение массы КА; Wn—вектор
ускорения начала орбитальной системы координат, т. е.
вектор абсолютного ускорения, действующего на цель;
D — вектор относительной дальности, определяющий
положение центра масс КА относительно цели; D, £)—*
24
\*«**/
первая и вторая производные по времени от вектора
относительной дальности; е—вектор углового
ускорения орбитальной системы координат; о>—вектор
угловой скорости вращения орбитальной_системы координат.
Главный вектор внешних сил Fe в общем случае
представляет собой сумму следующих основных
элементов: тяги реактивного двигателя Л_ полной
аэродинамической силы R и силы тяготения G. В дальнейшем при
изучении относительного движения будем полагать, что
движение происходит в центральном ньютоновском поле
тяготения и на таких высотах, где действием
аэродинамических сил можно пренебречь. Поэтому
а т
или
Wa=~P+g, (2.13)
где р — отношение Р\т\ g— вектор ускорения от сил
тяготения, действующих на КА.
Аналогично может быть записано выражение для W4:
^д-Л + Л, (2.14)
где рц — отношение Рц/тц*\ Рц —тяга реактивного
двигателя цели; тц—текущее значение массы цели;
#ц—вектор от сил тяготения, действующих на цель.
С учетом приведенных выше соотношений (2.11) —
(2.14) векторное уравнение относительного движения
центра масс КА может быть записано в таком виде:
fi=p-p*+g-g*-Wia-~W.-W„ (2.15)
1 В случае необходимости в вектор р, так же как и в рц,
могут быть включены ускорения от других возмущающих сил,
действующих на КА.
25
где
Г„ = »Х(«ХЯ);
Wt=7xD.
(2.15а)
Запишем это векторное уравнение в проекциях на
оси орбитальной системы координат:
x=px-pv+gx-gw- (WJX- {Wt)x-(We)x;
y=P,-P*y+gy-g*,- (Wm),-{W.)y- (Юу.
Z =P,-Pa,+g,-gu,-(WJ,- (WX-(Wc)zl
(2.16)
где px,_py, £z, Pwc, рцу, Рт — проекции управляющих
ускорений p и рц на оси орбитальной системы координат.
Проектируя векторы #ц и g, получим следующее:
Ли — О,
©Цу ^2 *
(2.17)
gy=>
[х* + (г + Уу + г*]'1''
«о (г + .V)
[ле« + (г + >)» + «■] "Л'
«о*
[*• +(г+ >)*+*•]•'»• J
(2.18)
где что— произведение гравитационной постоянной на
массу Земли, равное 0,39896 • 1015м3/с2.
26
Используя выражения (2.15а), а также выражение
для Wc в равенстве (2.12), найдем:
(WX = шу К* + ««уУ + »,г) - <о2у;
(2.19)
(2.20)
(Ге)х = 2(»,г-«,у);|
(Г,), = 2(«^-»^);
(^), = 2Ку-о.Д)
(2.21)
где л:, г/, г— текущие координаты центра масс КА
в орбитальной системе координат; to*, а>у, шг — проекции
вектора угловой скорости о на оси орбитальной
системы координат; е*, гу, е2 — проекции вектора углового
ускорения s на оси орбитальной системы координат.
Чтобы система дифференциальных уравнений (2.16)
была замкнутой, необходимо иметь» соотношения,
определяющие проекции векторов рц, /?, со, е на оси
орбитальной системы координат. Проекции векторов рп и р
определяются принятыми методами управления
объектами. Для каждого конкретного метода или программы
управления могут быть получены свои соотношения,
определяющие проекции этих векторов на оси
орбитальной системы координат. Более подробно этот вопрос
будет рассмотрен в последующих главах. Для
определения проекций векторов со иТ на оси орбитальной
системы координат необходимо получить выражения,
устанавливающие зависимость характера вращения
орбитальной системы координат от управляющего
ускорения рц.
27
§ 2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТАВЛЯЮЩИХ
УГЛОВОЙ СКОРОСТИ И УГЛОВОГО
УСКОРЕНИЯ ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
КООРДИНАТ
При записи соотношений, устанавливающих
зависимость характера вращения орбитальной системы
координат от управляющего ускорения /7Ц, необходимо
учитывать, в какой системе координат осуществляется
управление движением цели. В том случае, когда на борту
имеется аппаратура построения орбитальной системы
координат и управление движением центра масс
аппарата производится в этой системе координат, для
определения составляющих векторов ш и s целесообразно
использовать метод оскулирующих элементов. Если же
управление целью осуществляется в абсолютной
системе координат, тогда для определения угловой
скорости и углового ускорения орбитальной системы
координат необходимо использовать соотношения абсолютной
системы координат. Рассмотрим последовательно оба
указанных метода.
Запишем систему дифференциальных уравнений
движения цели в оскулирующих элементах [38]:
dt P** У 1С0 ^
^=l/"?{^sin^^[(l + ^)cos» +
dio
COSd
sinO
'цу
'ax
0+7)
-Au4-ct2*
sin
и];
dPp
dt
■£-l/*[>+*'
sin w
p sin/
COS Щ
COSd
+
28
+ Pn
sind
0 + t)].
(2.22)
где г —отношение /?/(l+ecosft); и — сумма ш+8; р, е,
<*>, сП, *, 9 — текущие значения фокального параметра,
эксцентриситета, аргумента перигея, долготы
восходящего узла, наклонения плоскости орбиты и истинной
аномалии соответственно.
Решая систему уравнений (2.22) при заданном
законе изменения вектора управляющего ускорения /?ц,
определим движение цели, а следовательно, и характер
вращения орбитальной системы координат, связанной
с ее центром масс.
Угловая ^скорость вращения орбитальной системы
координат (отбудет определяться значениями угловых
. dfi di du
СКОрОСТеИ -gp
dt ' dt
т. е.
dil , dl ,
du
dt
(2.23)
Переход к проекциям вектора со на оси орбитальной
системы координат может быть осуществлен с помощью
матрицы [Лаг] (2.10), элементы которой записываются
при условии, что £ =0. Тогда
di .
di
и>У = -gp COS U +
d*l
dt
dt
sin / cos щ
sin i sin u; }
dS\j . . du
°* = -drcost+-df
(2.24)
Подставим в уравнение (2.24) значения -зг
di dS\j
du
dm
-д-, равное -3T- +
dt
du
dt
dt
dt
из уравнения (2.22):
0)^ = 0;
y V*oP
(2.25)
Следовательно, вращение орбитальной системы
координат при управляемом полете целр происходит
только вокруг осей у и г, а при /^=0 только вокруг
29
оси z. Составляющие рцх и РцУ не оказывают влияния
на угловую скорость орбитальной системы координат.
Дифференцированием уравнения (2.25) по времени
найдем значения составляющих углового ускорения
орбитальной системы координат:
** = 0\
е _ ГPuz + PaZr раггр .
е — тоР
Воспользовавшись выражением
2рУ*оР
&У*оР
г*
(2.26)
г _р_ , е& sin 0 — g cos О
Г р 1 + £ COS г>
и уравнениями (2.22), исключим из уравнения (2.26)
риг. Тогда будем иметь:
ех = 0;
е.. =
е, =
(2.27)
Видно, что рЦу не оказывает влияния на угловое
ускорение орбитальной системы координат.
Составляющая углового ускорения гг зависит только от рцх, в то
время как еу зависит от р^, р^ и рщ.
Перейдем к рассмотрению методики определения со^
ставляющих угловой скорости <о и углового ускорения е
при управлении движением центра масс цели в
абсолютной системе координат. В этом случае выбранный
закон управления позволяет установить значение
составляющих вектора управляющего ускорения рп по
осям абсолютной системы координат Axayaz& (рис. 2.1).
Запишем уравнения движения цели в этой системе
координат:
ха~Рихл W
30
Уа = />цУа JT-. ?
(258)
J
где г = Ух\ + у\ + z* ха, г/а, га —текущие значения
координат центра масс цели в абсолютной системе
координат; рпх , puv у piU —составляющие вектора рп по
а ^а а
осям абсолютной системы координат. _
Угловая скорость орбитальной системы координат со
может быть представлена в виде векторной суммы
угловой скорости вращения вектора г и угловой скорости
вращения орбитальной системы координат
относительно оси у:
ш = шг+ юг (2.29)
Запишем выражения для составляющих вектора
угловой скорости по осям абсолютной системы
координат:
ш* =
Уа*а — *аУа .
*а-*а хага
~ Г2
а _*аУа—Уа*ш
(0а =
ту г
(2.30)
Переход к составляющим угловой скорости о)г в
орбитальной системе координат может быть осуществлен
с помощью следующего матричного уравнения:
"гх
"гу
= И1
ГУ
L «J
(2.31)
где
«и =
И] =
Уа уа
У»* . п — У**У . п .
Va » «12— 77Г* «18*
Yn vп
Vя
гя
31
a2l
— ^T » "22 — ^T
a23~
a •
«31 =
_ У**а — ^a
Г^л
. _ *a*a — *a*a . _ -*аУа —.Va-^a
vnx = *a - -рг {хлхл + yaya + zaza);
V% = Уа ~ 7Г (*a*a + УаУа + *&Ь
У\г = К-^Г (*a*a + УаУа + ZtZt);
v\=Viv^ + iv^ + ivj*.
В результате решения матричного уравнения (2.31)
найдем значения составляющих:
(2.32)
Второй элемент правой части уравнения (2.29)
определяет угловую скорость вращения плоскости орбиты
цели вокруг радиуса-вектора г:
(О = ■&*•
wy i/a »
(2.33)
где Ръ = а31рЦДГа + а32/?цУа + <*es Aut.
С учетом приведенных выше зависимостей (2.29),
(2.32), (2.33) запишем выражения для составляющих
угловой скорости со по осям орбитальной системы
координат:
^=0;
0)у =
a*iPnxa + g32«%a + *зз/?цга
ш
',=*>.
(2.34)
32
(2.35)
Составляющие углового ускорения е получим
дифференцированием соотношений (2.34):
•х-ft
+ А^аУ. - Уа^а -Г**)- ('*+»»+** +
+ тг/ * [/'ю, (уа - *«У«) + Л*,(*л-*а) +
+ />„ (-«.У. - Уа-*а) 1 + /V (УА - *аУа) +
Э J 3
+рцУа («л - ад) + Л*а (ад - ул)} ;
где*
Кх = *а + Цг (*a-*a + У.У. + *а*а) ~
- 7Г [*• (^а + УаУа + Za*a) +
+ -«а (*2 + У| + *a? + ХЛ + УаУа + г.*а)Ь
^у — Уа + ^Т- (V. + УаУа + *А) ~
- -^ (Уа (*a*. + УаУа + *а*.) +
+ Уа С*2,+у2 + «* + ад + у,Уа + *а)];
^ — *а + Ц± (Va + УаУа + *а*а) —
- тт & (*Л + У«У» + *А) +
+ *» (** + у2.+*\+ад + у«у. + *a)J.
Для определения составляющих угловой скорости ш
и углового ускорения е как при управлении движением
* Сближение а космосе 33
центра масс в орбитальной системе координат, так и
при управлении в абсолютной системе координат
необходимо интегрировать уравнения движения цели.
Дополнив систему уравнений (2.16) зависимостями
(2.22), (2.25), (2.26) или (2.27), (2.34), (2.35) при
известных законах управления КА и цели, получим
замкнутую систему дифференциальных уравнений,
описывающую относительное движение аппаратов в
орбитальной системе координат.
§ 2.4. УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ ПРИ СБЛИЖЕНИИ С
НЕМАНЕВРИРУЮЩЕИ ЦЕЛЬЮ.
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
Дифференциальные уравнения (2.16), описывающие
относительное движение цели и КА, были получены в
предположении, что цель, с центром масс которой
связана орбитальная система координат, совершает
управляемый полет и ее траектория представляет собой
кривую двоякой кривизны. Однако на практике очень
часто приходится рассматривать решение задачи
сближения с целью, совершающей свободный орбитальный
полет в центральном поле. В этом случае на нее
действует только_сила притяжения, а сила тяги реактивного
двигателя Рц=0. С учетом этого условия уравнение
(2.15) перепишем в виде
D^p + g-gb-W.-W.-W, (2.36)
Чтобы записать уравнения движения в проекциях на
оси орбитальной системы координат, связанной с целью,
найдем выражения для проекций векторов WmJ Wv Wc.
При движении по кеплеровой орбите проекции
вектора угловой скорости со и углового ускорения е на оси
орбитальной системы координат на основании (2.25) и
(2.26) будут иметь такой вид:
сож = 0;соу = 0;сог = » = -^-;
(2.37)
34
В выражении (2.37) величина 0 представляет собой
истинную аномалию, соответствующую текущему
положению цели на орбите.
Подставляя выражения (2.37) в равенства (2.19) —
(2.21), найдем следующие соотношения:
'X " ' «'у
(2.38)
Используя выражения (2.38), а также выражения
(2.17) и (2.18), можем записать уравнения
относительного движения в проекциях на оси орбитальной системы
координат:
х = рх - -3£ + &х + Ьу + 2»у;
У = РУ-
г]
+ -^ + №у-»х-2Ъх;
(2.39)
В этих уравнениях
(2.40)
Выражения (2.39) представляют собой систему
нелинейных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами. Методы получения аналитического
решения таких систем в общем случае неизвестны. Однако
если предположить, что расстояние между двумя
космическими аппаратами D мало по сравнению с
расстоянием от центра притяжения до цели (D<0),to
нелинейные члены можно разложить в степенные ряды,
сохранив только линейные и квадратичные члены [3]. Тогда
можем записать
^ = n*[l-£y-^p4*-& + *)]>
где
t2=W8; f*=i/r.
(2.41)
(2.42)
35
Подставляя выражение (2.41) в уравнения (2.39) и
(2.40) и удерживая члены, линейные относительно \х,
получим систему:
х — Ну — 2» у + (я2 - &) х — Зц п?ху =рх
у + Ьх + 2Ьх- (& + 2~п*)у—\-?п{х2-
-2y2 + z2)=/>y;
г + tfiz — 3|*zy = рг.
(2.43)
Если эксцентриситет орбиты цели достаточно мал,
то зависимость угловой скорости 9 и ее производной 0,
а также радиуса орбиты г от времени можно
представить в виде рядов по степеням эксцентриситета е [14].
Тогда с точностью до первой степени е получим
выражения:
b = n[\+2ecosn{t — /л)];
» = — 2n2esmti{t — /п);
п2 = п2 [1 + 3* cos n (/ — /„)];
f* = f*[l + *cos/*(/-/n)],
(2.44)
где л2=1со/а8; [а=1/я; а — большая полуось орбиты цели;
tn — время прохождения перигея.
Используя разложения (2.44), систему (2.43) можно
теперь записать в таком виде:
х — 2пу = 3[Ш2л#у + е [п2х cos n (t — /п) —
— 2h2y sin п (t — /л) + 4лу cos n (t — /п)] + /?,;
у + 2/г;с~Зл2у = -|-^2(д:2-2у2 + 2:2) +
+ ^ [2л2л- sin n (t — /п) + 10/*2j/ cos я (* — /п) —
— 4/гл: cos я (/ — /п)] + ру\
z+ n2z = 3pn2yz — 3en2z cos n (t — *п) + рг.
36
(2.45)
Для интегрирования системы (2.45) принимаем
величины р. и е в качестве малых параметров и
представим ее решение следующим образом:
x = xK + \ixx + ех2;
У^Ук + Мх + еУъ
z = *к + Р*г + е**
(2.46)
(2.47)
Подставив уравнения (2.46) в систему (2.45) и
приравнивая члены, содержащие [i и е в одинаковых
степенях, получим системы дифференциальных уравнений
для определения интересующих нас величин:
хк-2пук=рх\
ук + 2пхк — 3п2у=ру;
zK + n2zK=p2;
хх — 2пух = Зп2хкук;
ух + 2пхх - Зп2ух = \п2 (х2к - 2у\ + z2K);
гг + n2zx = 3n2yKzK;
х2 — 2пу2 = п (4ук + пхк) cos n (t — tn) —
— 2л2ук sin л (/ — /п);
у2 + 2пх2 — Зп2у2 = п (10пук — 4xK) cos л (/— }
— /п) + 2п2хк sin я (^ — *п);
z2 + n2z2 = — 3n2zK cos n (t — /n). J
(2.48)
(2.49)
Системы (2.47) — (2.49) должны решаться при
следующих начальных условиях:
*к(0)=*0; ук(0)=л; zK(0)=z0;
х*(0)=х0; yK(0)=j)0, 4(0)=i0,
*|(0)=Л(0)-*,(<>)-ft
*i(0)=yi(0)=zi(0)=0; 1 = 1,2.}
(2.50)
37
Задание условий в виде выражений (2.50)
предполагает, что в момент начала сближения /=0, а в момент
его окончания t=x. Поэтому в системе (2.49) tn<0 и по
модулю равно времени движения цели от перигея своей
орбиты до точки, в которой она находится в момент
начала сближения.
При решении широкого класса практических задач
на сближение можно считать, что время сближения х
значительно больше времени работы двигательной
установки, создающей ускорения pXi ру, pz. Тогда
изменением координат за время работы двигательной
установки можно пренебречь и, положив рх=ру=^=0,
считать, что изменение скорости КА происходит мгновенно
(импульсно). При начальных условиях (2.50) решение
системы (2.47) можно записать в таком виде:
^K = 2(^-3y0)sin^--^cos«/ +
+ (бУо—^)л* + дь + 2-5-;
Л - 1Г sin nt + (^Г ~ 3Уо) ^snt + 4у0- ~-°;
zK = — sin nt + z0 cos nt.
n
(2.51)
)
Уравнения (2.51) представляют собой решение
линеаризованной системы уравнений относительного
движения для круговой орбиты цели. В этом случае л=
= (о= К^оЛ* и представляет собой угловую скорость
движения цели по орбите. В дальнейшем при
рассмотрении задач сближения с целью, движущейся по
круговой орбите, очень часто будет использоваться только
линеаризованное решение в виде уравнений (2.51).
В этом случае индекс «к» мы будем опускать.
Подставляя полученные выражения для хк, #к, *к в
уравнения (2.48) и (2.49), найдем поправки,
учитывающие влияние квадратичных по относительному
расстоянию членов выражения (2.48) и эксцентриситета орбиты
цели как величины первого порядка равенств (2.49).
38
Выражения для этих решений удобно записать в
следующем виде:
*, = AlQ + А\ sin nt + Al2 cos nt + Л^ sin 2л/ +
+ A\ cos 2я/ + Al5nt + A[ nt sin nt -f Л'7 я/ cos nt;
yi = Bi0 + B\ sin nt + 02cos л* + ^ sin 2л/ +
+ B\ cos 2nt + Bl5nt + Blb nt sin nt + I (2.52)
+ fi^cos/*/ + #j(/*02;
Zi = CJ + Cj sin nt + Q cos л/ + CJ sin 2/г/ +
+ C\ cos 2я/ + q я/ sin л/ + q я/ cos я/,
где индекс i может принимать значения 1 и 2.
При 1=1 получим решение для круговой орбиты
цели, а при /=2 — поправку на эксцентриситет.
Коэффициенты в выражениях для хи Уи *\ вычисляются по
формулам:
4— 3*о^ + Зб4уо-1о(^/-2(4)'-
-80318-8^-^-2(4)';
л,=2^ь._6уо^._зХоУо_22оА.;
4—(4)'+4-(¥+3*4---f^+ i <2-53>
+ 4 I л / 4 Z0*
И1 *о.Уо
Л4~ „2
2 Уо п + 2 г°~'
39
i
+
*i
П
\2
= 2(^)4 18Л Х°
Зль-^ + бдсьУо+гЬ-т
Тло_
> 9
2 *о
-5 (AJ-15^
Зуо^—I
2 V л/ 2 ZoJ'
^=з(^0А_2х0Уо + 2^-4Уо4);
*=зИ4Г
/
Ч"2^
^4 — 9
12yo% + 9yg +
+ ■
5'
7у0^ + 6уф
fi'=3(2y0^-if-),
СЪ-
»[2y0^-2yg--2-(4)'];
о /; * • \
г{А+2г0А-3Уогоу,
С,— zQ
C\ = 2z0
40
.Уо тштя х0*0
П
П
о -Уо*о
^ ~2
п2
Зуо^о?
(2.53)
С1 = -Ц*о% + 2^ф--Ъо$},
Коэффициенты в выражениях для Х2, уг, 2г
вычисляются по формулам:
А\ = (-f Уо - 3 -*■) sin л/„ + (х0 - 4" ^) cos «/„;
А\ = 3 (jcq + 2 ^-j sin я*„ - 12^0 cos л/„;
^1 = 2 (з -й. - 4у0) sin nta + (%- - ль) cos n/„;
Лз= 4-^"sin^n + -|-(2-T-3>'o)cos^
А\ = 4" (3Л - 2 4) sin *'» - 4 ^ cos л'»
Л£ = - 3 (ль + ^-) sin ntn + 3 (бу0 - ^) cos л/п;
Al = -s{^-2y0)sinnta;
А* = - з(-£ -2у0) cos ntn;
Щ = -(2х0 + 3 £l) sin ntn + (l3y0 - ^-) cos «/„;
5J = - Д sin «4 - 2 JJ- cos л*п;
Я* = 2 (*o + 2 Jj.) sin nta + (2 ^- - Юл) cos nta;
Щ = (2 -£ - 3j/0) sin nta + ^ cos Л/*
(2.54)
41
Щ = - ^ sin ntn + (2 ■§• - Зуо) cos л/п;
Я| = 0;
5б = з(^-2у0)со8л/п;
fi7=3(-JT + 2yo)sin^n;
Co = 4" ("T sin "/n "" z°cos я/«);
C\ = — 20 sin я*п — -^- cos /t*n;
C\ = 2 -^- sin я/п + г0 cos л/п;
Сз = 4" (г°sin л/п + "Т cos "/п/;
С42 = -у- (z0 cos л/п - ^ sin я/п) J
q = q-o.
На рис. 2.3 приведен график, иллюстрирующий
точность линейного и квадратичного приближения [3]#
Расчет проводили для случая, когда высота перигея
орбиты цели Ац^ЗгО км, е=0,023 и для начальных
условий /„=0, ль—Л^гЬ—О, y0 = zQ = 0f х0 = 30 м/с.
График дан для координаты у, так как именно эта
составляющая при расчете по линейной теории дает
наибольшую ошибку.
Использование квадратичного приближения
позволяет значительно повысить точность расчетов для более
продолжительных отрезков времени (п/<4зг)идля
начальных расстояний порядка 4000 км, тогда как
линейная теория дает удовлетворительные результаты для
начальных расстояний 100—150 км [28] и для времени
движения, не превышающего половины периода (я/<тс).
В заключение запишем решения линеаризованных
уравнений движения (2.47) для случая, когда КА
движется под действием ускорения, составляющие кото-
} (2.54)
42
рого по осям орбитальной системы координат
постоянны, т. е. рх=const, ру=* const, pz=const. Интегрируя не-
-160
-200
Рис. 2.3. Координата у, рассчитанная по
линейной и квадратичной теории
однородную систему (2.47) и учитывая, что я=<о,
получим выражения:
«—(4-+*-)«»«+(£-«»-£)х!
X sin »<+ (х, + ■& +■*&■)- (з* - «•» -
, - (i. - £) sin .< + (^ - 3Л- £) cos „<- ' (2-55>
7*<-(^-<»"3)!
»-A-tln^+ («,--5-)cosW + -g..
' 43
X
У
г
5
аи
а21
«31
Ч
* а12
а22
а32
С
«13
а23
а33
§ 2.5. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ КА В
СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, СВЯЗАННОЙ С
ЛИНИЕЙ ВИЗИРОВАНИЯ
При исследовании относительного движения КА и
цели в некоторых случаях удобно использовать систему
координат, оси которой определенным образом связаны
с линией визирования, соединяющей КА с целью. Для
записи уравнений движения в такой системе координат
предварительно представим их в системе 0£т)£,
ориентация которой относительно орбитальной системы
координат Oxyz задается таблицей направляющих косинусов:
(2.56)
Если цель совершает пассивный полет по кеплеро-
вой орбите, то /?ц=0 и из выражения (2.15) следует, что
5 = p + g-g,-{W„+W9+Wc). (2.57)
Проектируя равенство (2.57) на оси системы 0£т£,
находим:
*-*+g, -g* - (wa\ - (ir.), - (w.)t
ч-/\+*,-*ч-(*.),-(1Г.),-0Г,),?
С=Л + ^-^с-(^)с-(^.)с-(^)с.
Чтобы определить составляющие вектора #ц,
воспользуемся условием, по которому ось у орбитальной
системы координат направлена по вектору _г.
Следовательно, направляющие косинусы вектора г в системе
0§т)£ будут равны направляющим косинусам оси у в
этой системе и вектор ускорения
Л = - 7Г ('«21^ + /«И^ + Г*»^). <2'59)
(2.58)
где ev e°v ^ — единичные векторы по осям £, % С.
44
На основании формулы (2.59) получим:
«* - -"? "ЗД «ч = - Т^ «* - - тг ^з. (2.60)
Для определения проекций ускорения g введем
вспомогательную геоцентрическую систему координат
Л?г?]г£г, оси которой в каждый момент времени
параллельны осям системы 0£г)£. Если "текущие координаты
КА в системе Л^гСг соответственно $г, тг)Г, Сг, то
*--^(^ + чЗ + Сгф. (2.61)
где^-К^+чг + Ч-
Геоцентрические координаты можно выразить через
координаты 5, ч> С, а именно:
5Г = ^21 + 5; Чг = га22 + ч; Сг = лх23 + С. (2.62)
Подставляя выражения (2.62) в формулу (2.61),
находим:
(2.63)
Пусть Q — вектор угловой скорости вращения, a Q —
вектор углового ускорения системы OfrjC. Тогда на
основании выражений (2.19) — (2.21), полагая <o=Q, Г=й,
можем записать:
< w.),—^+а?) ч + W + цдс;
(^Jc — (2? + 2?) с + «W + a,ac*
(2.64^
45
(re){=2(^C-Qc/i);|
(^ = 2(9((-^); [ (264)
Теперь, используя выражения (2.60) — (2.64),
уравнения относительного движения КА в системе
координат 0?tjC можно представить в таком виде:
6 + 2Q,C - 22сч - (2* + Q>) 5 + .(2^ - U{) Ч + |
+ ^ч + Й,)С-Л-«Ьгч,(^—^-)—^ft
У) + 22c? - 2Q4C - (2* + Q\) Y) + (QtQ4 + Qc) 5 +
/1 1 \ < 1 (2.65)
e+2Q44-_29,5-(g»+2»)C + (9^.-tf,)« +
В уравнения (2.65) входят направляющие косинусы,
определяющие положение вектора г относительно ос!ей
системы 0$т)С. Для записи системы уравнений,
связывающих направляющие косинусы с угловой скоростью
вращения системы координат и параметрами орбиты
цели, воспользуемся орбитальной системой координат.
Абсолютная угловая скорость вращения Q системы
координат 0£т)С_ будет складываться из угловой
скорости вращения со этой системы относительно
орбитальной и скорости вращения 9 орбитальной системы
относительно инерциального пространства, т. е,
2 = ш + 6. (2.66)
46
Проектируя векторное равенство (2.66) на оси
координат 0£т)С, получим следующее:
о6 = о>с + \;)
ас = о)с + »с# j
(2.67)
Имея в виду, что вектор угловой скорости вращения
орбитальной системы координат Ь совпадает с осью Ог,
его составляющие будут равны:
»{ = »cos(S, г)-**,,;
0^ = » cos (vi, г)=»а$2;
*c = »cos(C, г)=Ц3-
(2.68)
Найдем теперь соотношения между проекциями Qit
Q , Qr и элементами матрицы направляющих
косинусов таблицы (2.56). Для этого возьмем единичный
вектор по оси Ох. Его можно представить в виде проекций
по осям системы O^rjC:
г»-««^+«,^+04,4
(2.69)
dZ
*г
Используя соотношение -^- = -^- + ® Хе%
возьмем от правой и левой части выражения (2.69) произ-
d~e°x
водную по времени, имея в виду, что -^т есть
производная от единичного вектора е°х в системе 0£т)С. В
результате получим:
de\
dai9 -Л
dan —л
47
at
Но так как "м"~® (вектор постоянный по модулю
и направлен по оси л: орбитальной системы), то на
основании выражения (2.70) следует:
ац+ Ка1з — ®саю)™°5
«12+ (»саИ — Ш6в18)в^
«i3 + (Vi3— V")e0#
(2.71)
Подставляя в выражение (2.71) проекции
относительной угловой скорости (равенства 2.67) и учитывая
равенства (2.68), получим:
an = Qca12 — Q^a18 + ft (<*82а1з — азза12)*>
a12 = 2^a13 — Qcan -f 0 (a33an — a31a13);
a13 *= 2i,all — 2ea12 + * (a31a12 — a32all)'
(2.72)
Чтобы привести эти выражения к окончательному
виду, воспользуемся свойством матриц направляющих
косинусов, по которому любой из элементов матрицы
равен величине соответствующего ему алгебраического
ДОПОЛНеНИЯ, Т. е. «21 = — (a33a12 — а32а1з)5 а2? = (а33а11 —
"~аз1а1з)> а2з =— (а82аи — asiai2)- На основе этих
равенств выражения (2.72) можно записать в таком виде:
«11 = 2са12--2,,а1з + &а21; )
ai2=2{ai3 — 2сап +
а13 в 2„а11 ~ 2£а12 + *а28-
(2.73)
Беря за исходные значения единичных векторов
*°у — *»«£ + a22^ + а2з*; И 3 — *пЩ + аз2е° + а33£о
48
и определяя из них производные относительно
орбитальной системы координат, после преобразований,
аналогичных предыдущим, получим:
<х21 = 2са22 — 2^9* — &а
Л23"
Л23
Л21
а22 = Qf2B — 2^ — Оа
а9я = 2 jx0i — 2,а22 — &а
w^a33>
и»
л1з5
а31 = йса32 "
аз2 = 2£а33 •
а33 = Qi/*3l — 2£а32-
(2.74)
(2.75)
Соотношения (2.72) — (2.75) носят название
уравнений Пуассона. С их помощью можно определить
направляющие косинусы вектора г как функции
времени при условии, что закон изменения вектора угловой
скорости вращения системы координат Q(t) задан.
Угловая скорость вращения 9 орбитальной системы
координат представляет собой производную по времени
от истинной аномалии 0 и определяется по формуле
Запишем теперь уравнения относительного
движения для случая, когда система 0£т)С связана с линией
визирования КА — цель. Для этого оси системы ОЗД
ориентируем следующим образом: ось 0$ совместим с
направлением вектора угловой скорости линии
визирования £2л.в, а ось Ог\ с линией визирования КА — цель
(рис. 2.4). При таком направлении осей угловую
скорость линии визирования можно представить в виде
векторного произведения
S... = e?X("5xiJ)
или
2Л.В = 2^ + 2С^ (2.76)
Так как ось 0$ направлена по вектору £2ЛВ, то из
выражения (2.76) следует, что^ = 2л#в; 2С=0.
Составляющая 2^ в общем случае не равна нулю и иредстав-
49
ляет собой угловую скорость вращения вектора йл.в
относительно инерциального пространства. Для принятого
направления осей 5=0, т)=Д £=0.
Рис. 2.4. Система координат, связанная
с линией визирования
Подставляя указанные значения в уравнения (2.65),
получим:
2^л.вZ>+6л.»Я=^c-*or«2s(-^--p-y } (2.77)
^л. . Я, я=/>{ - v«2i 1-рг - -рг) •
Теперь найдем соотношения для направляющих
косинусов, используя эти же значения и равенства
(2.73) —(2.74):
«11 = -S4au + &«2i5 *
«12 = 2л. в«13 + *«2?'«
«is = 2,аи — 2^в«12 + Цгз5
а21 = -2»«?8 — *«ц:
«22 = 2л. ва?3 ~ ft«12;
«23 = 2П«21 — 2л, в «?2 — 8«13- ]
(2.78)
50
Система уравнений (2.77) и (2.78) замкнута и
позволяет определить все переменные, входящие в нее.
Однако следует иметь в виду, что не все они
независимы.* В общем случае систему можно дополнить
уравнениями для азь азг, азз:
Х31 = — Stja33'>
Х32 = ^л. ва33»
а33 = ^ J*
л31 — ^л. ва32«
(2.79)
Систему (2.77) можно упростить, если принять, что
отношение D/r и эксцентриситет е малы. Тогда из
выражения (2.41) с точностью до линейных членов найдем,
что
*olr* = n2(l —3(i,a22D).
(2.80)
Подставляя выражение (2.80) в уравнения (2.77) и
используя зависимости (2.44) для 8, п и ц, получим:
+ пЮ (3 а», - 1) [1 + 3 е cos n (t - /„)];
22Л.В£)+9Л.В£>=/7С +
+ 3/l2Z)a22a2s[l + 3<?C0S«(/--/„)];
+ 3/i2Dawa2,[l + 3ecos n(t — tn)}\
«n = - 2,«is + "«а [1+ 2<?cosn {t — /n)];
«i2 = 2л. в «1$ + я*22 [1 + 2 e cos *{* — *■)]»
«18 = 24aU —2л.в«12 +
+ ««23 [1 + 2 <? COS It {t — ta)\,
i21 = — Qna2s — ла„ [l+2ecosn(t —1„)];
«22 — 2л. в «2$ — ««12 [ 1 + 2 «? COS tl (t — *„)];
«28 = 2„ «21 — 2л. в «22 —
— яа,а [1+ 2 e cos я (/ — /„)].
(2.81)
51
Уравнения (2.81) в дальнейшем будут использованы
при исследовании методов наведения при сближении КА
с неманеврирующей целью.
§ 2.6. УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
КООРДИНАТ
В предыдущем параграфе были получены уравнения
относительного движения в системе координат,
связанной с линией визирования. В дифференциальной форме
они дают зависимость изменения во времени
относительной дальности D и направляющих косинусов,
определяющих положение линии визирования КА — цель
относительно орбитальной системы координат.
Запишем теперь уравнения относительного движения
в сферической системе координат (рис. 2.2), которая
оказывается предпочтительнее при исследовании
некоторых методов наведения. Очевидно, что эти уравнения
могут быть получены из уравнений (2.77) или (2.81),
если в них подставить зависимости, связывающие
между собой сферические координаты б, <р л
направляющие косинусы dij (/, /=1, 2, 3). Однако уравнения
относительного движения в сферической системе проще
получить, если воспользоваться уравнениями Лагранжа
второго рода:
■l-Cfblr-QyC/-1,2.3), (2-82)
где К—кинетическая энергия КА, принимаемого за
материальную точку с массой т\ ^- — обобщенные
координаты; Qj — обобщенные силы.
Для определения кинетической энергии КА выразим
значение абсолютной скорости V через составляющие
относительной скорости и параметры орбиты цели:
1/2 = [х _ (у + Г) Ц2 + (у + у + xfy + £2# (2.83)
Тогда
К = -у т V2 = -у т {х2 + у2 + & +
+ [(У + г)2 + х2]Ъ2 + 2уг + >2 +
+ 2[х(г + у)-(у + г)х[Ь). (2.84)
52
Чтобы получить выражение для кинетической
энергии К в сферических координатах, в равенство (2.84)
подставим, используя преобразования координат (2.1),
значения прямоугольных координат и их производные.
После преобразования получим:
К=-1- т {D2 + D2 92 + D V cos2 в +
+ [(г + Dcos 9 sin cp)2 + D2cos2 в cos <p]»2 +
+ г2 + 2rb D cos в cos 9 + 2 (D cos 9 sin 9 —
— D9 sin 9 sin 9 + D <p cos в cos 9) (/* + D& cos в cos 9) —
— 2 (г + D cos 9 sin 9) (D со> 9 cos <p —
— D 6 sin в cos 9— D8 cos 9 sin?)»}. (2.85)
Принимая за обобщенные координаты <71=Д 92—фэ
<7з=9, из уравнений Лагранжа получим следующие
дифференциальные уравнения:
'D — D92 — D(cp+ »)2cos29 +
+ (г sin 9 — rft cos 9) cos 9 -—
— »(2r cos 9 + r ft sin 9)cos 9 = ^
D (9 + 6) cos9 + 2D (9 + ft) cos9 —
— 2D (9 + ft) 9 sin 9 + r cos 9 + г ft* sin 9 +
+ 2r ft sin 9 — rft2 cos 9 = W$
D9 — 2D9+-i-D(»+9)2sin29 +
+ (rft cos 9 — r sin 9) sin 9 +
+ ft(2r cos 9 + rft sin 9) sin 9 = Wz.
(2.86)
Для нахождения ускорений Wj воспользуемся
формулой
^-•'^■ + »^ + ^ С/— 1. 2. 3), (2.87)
где wx% Wy9 w2 представляют собой проекции на оси
орбитальной системы координат ускорения от сил,
действующих на КА.
53
Имея в виду, что на КА действует только ускорение
от силы земного притяжения и ускорение от двигателя,
можем записать:
wy=Py 3 »
г1
Щ=Рг
ко г
-3 »
(2.88)
где рх, Ру, рг — ускорения, создаваемые тягой
реактивного двигателя; гх = VD2 + г2 + 2rDcos 0 sin <p.
Обозначив через pDi /V Р9 ускорения от
реактивного двигателя по направлениям D0, 9°, 6°, на основании
выражений (2.87) и (2.88) найдем:
Wx~pD-^(D + r cos 6sin *)••
ri
п
Щ=Р9--^г cosy;
Wb=Pt + ^rsin9sin<?.
(2.89)
Перейдем теперь к рассмотрению частного случая
относительного движения, когда орбита цели круговая,
а радиус орбиты г. Очевидно, r=r=0, & = a>=j/~7c0/r8f
9=0, а уравнения движения примут вид:
£) _ £62 _ D (ф + О))2 COS2 в = pD +
7Г л
sin cp cos 0 — ^3-;
54
D'cp cos 6 + 2Z>(? + «о) cos в —
-2D(cp + (o)esine=/7? +
+ W^-^)coscp;
De + 2Z)e + ^-D(c> + a))2sin2e =
— Л — <V (-рг - -рг) sine sin ср.
(2.90)
Уравнения (2.90) значительно упрощаются, если
предположить, что на участке сближения движение КА
происходит в плоскости орбиты цели. В этом случае
6=8=6=0 и
1
*0D \
Jr--jlco$<p.
(2.91)
Я9+2£(ф + ш)=/;9 + *Л
Уравнения (2.86), (2.90) и (2.91) описывают
относительное движение КА в сферических координатах,
отсчитанных относительно орбитальной вращающейся
системы координат. Чтобы перейти к сферическим
координатам Д фн, 0н, отсчет которых производится
относительно невращающейся орбитальной системы
координат, достаточно в уравнениях положить ф=<рн— (& —9о)
и 6=6Н.
Тогда уравнения (2.91) будут иметь вид:
1
Xsin(»0-& + cpH)-^;
X
Z?9„ + 2D?„ -pf + 4r (± -i]cos(»0~»+9„),
(2.92)
так как <p = <pH — »• a <p = <p„.
Полученные уравнения движения в сферической
системе координат, особенно в виде выражений (2.91) и
(2.92), в дальнейшем будут использованы для
исследования некоторых методов ближнего наведения при
сближении КА с целью.
Глава III
ДВИЖЕНИЕ КА НА ЭТАПЕ
ДАЛЬНЕГО НАВЕДЕНИЯ
§ 3.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭТАПА
ДАЛЬНЕГО НАВЕДЕНИЯ
Задача этапа дальнего наведения
состоит в выведении космического
аппарата в окрестность цели, где начинается этап
ближнего наведения.
При анализе траекторий сближения на этапе
дальнего наведения обычно выбирается оптимальная
траектория, удовлетворяющая некоторым критериям, которые
определяются поставленной задачей. Наиболее
распространенным критерием для выбора оптимальной
траектории является требование минимального расхода
топлива для осуществления маневра сближения. Однако
кроме этого критерия при выборе оптимальной
траектории сближения важными факторами могут являться
как время сближения, так и точность вывода в
заданную область.
В зависимости от задач, для решения которых
осуществляется сближение, время, затрачиваемое на
маневр, может быть различным.
В некоторых случаях, например при выполнении
спасательных работ в космосе, на время сближения могут
накладываться довольно жесткие ограничения. В
других случаях время, затрачиваемое на сближение, т. е.
время от момента подачи команды на запуск КА до
момента его встречи с аппаратом-целью, может быть
неограниченным или ограниченным по верхнему пределу.
При неограниченном времени маневр сближения по
существу преобразуется в маневр оптимального
межорбитального перехода с требуемым для этой цели периодом
ожидания на начальной орбите. Однако во многих
случаях время, затрачиваемое на ожидание (фазирование),
56
может стать недопустимо большим, и тогда
рассматриваются оптимальные траектории дальнего наведения с
ограничением времени сближения по верхнему пределу.
Маневр сближения при фиксированном времени
отличается от двух описанных выше тем, что это время
определяется из каких-либо соображений заранее и
основная задача состоит в отыскании траектории,
обеспечивающей встречу за заданное время.
Основные проблемы, которые возникают при
рассмотрении траекторий сближения аа этапе дальнего
наведения, связаны с тем, что запуск КА в общем случае
не может быть произведен в любой момент времени.
Движение точки старта КА вместе с вращающейся
Землей не зависит от движения цели на ее орбите. Это
приводит к несовпадению плоскостей орбит КА и цели.
Причем, если широта точки старта КА будет больше
наклонения орбиты цели, точка старта никогда не будет
совпадать с плоскостью орбиты цели, и, следовательно,
орбиты будут некомпланарны, если не проводить
дополнительный маневр для совмещения их плоскостей.
При широте точки старта, меньшей наклонения орбиты
цели, эта точка дважды в сутки будет совпадать с
плоскостью орбиты цели, и при запуске КА в эти моменты
времени орбиты могут стать компланарными.
Компланарность орбит обоих аппаратов может быть
обеспечена при запуске в любое время суток только в двух
случаях: при запуске с экватора на экваториальную
орбиту и при запуске с полюса на полярную орбиту.
Таким образом, несовпадение плоскостей орбит требует
проведения маневра для их совмещения. Такие маневры
требуют дополнительных расходов энергии КА, иногда
сравнимых с его орбитальной энергией, особенно при
больших значениях углов между плоскостями орбит.
С этой точки зрения более предпочтительными
являются траектории сближения, лежащие в плоскости
орбиты цели. Запуск КА на такие траектории должен
быть очень точно выдержан по времени.
Известно, что оптимальные по энергетике
.траектории сближения на этапе дальнего наведения отвечают
вполне определенным положениям начала и конца
маневра межорбитального перехода. Поэтому маневр
сближения во многих случаях, особенно при
неограниченном или ограниченном по верхнему пределу вре-
57
мени сближения, целесообразно начинать не сразу по
получении команды, а спустя время, в течение которого
КА и цель займут такое взаимное положение, при
котором траектория сближения будет оптимальной.
Орбита, на которой находится КА и ожидает
благоприятного момента для начала сближения, называется
орбитой ожидания или фазирующей
орбитой. Взаимное расположение КА и цели определяется
центральным углом между их радиусами-векторами.
При известных орбитах КА и цели для каждого
маневра перехода существует свое, значение центрального
угла, при котором данный маневр выполним.
Обеспечение требуемого угла между КА и целью представляет
собой фазирование их движения.
Таким образом, на этапе дальнего наведения для
обеспечения встречи КА с целью необходимо решать
задачи совмещения плоскостей орбит и фазирования
движения аппаратов.
Исходя из вышесказанного можно предположить три
общих случая решения этих задач:
— осуществлением запуска КА, когда точка старта
лежит в плоскости орбиты цели, с последующим
маневром фазирования на орбите;
— осуществлением запуска КА, когда взаимное
положение аппаратов отвечает условиям оптимального
перехода (но орбиты некомпланарны), с последующим
проведением маневра совмещения плоскостей орбит;
— осуществлением запуска в любое произвольное
время с последующим проведением маневров
фазирования и совмещения плоскостей орбит.
Перспективные космические операции, которые
будут связаны со снабжением орбитальных объектов,
сменой экипажей и технологическим обслуживанием, будут
проводиться через заданные промежутки времени. Для
сокращения продолжительности фазирования орбиты и
энергетических затрат на выполнение различных
маневров потребуется обеспечивать своевременный запуск КА
в пределах заданного интервала времени пуска.
Излишняя продолжительность фазирования при
несвоевременном пуске приведет к соответствующему уменьшению
надежности выполнения всей операции сближения, а
дополнительные затраты топлива на совмещение
плоскостей орбит уменьшат вес полезной нагрузки.
58
В настоящее время обычно рассматривают два
возможных способа сближения на этапе дальнего
наведения: непосредственно с участка выведения на орбиту и
с промежуточной орбиты.
Рассмотрению этих двух способов и посвящена
данная глава.
§ 3.2. СБЛИЖЕНИЕ С УЧАСТКА ВЫВЕДЕНИЯ
Как уже отмечалось, сближение с участка
выведения характеризуется тем, что время запуска КА и
траектория участка выведения выбираются так, чтобы в
конце этого участка параметры движения
соответствовали условиям начала этапа ближнего наведения. Во
избежание больших энергетических затрат желательно
производить запуск КА в момент нахождения точки
старта в плоскости орбиты цели.
Участок выведения может быть полностью активным
или может содержать пассивные участки. Если участок
выведения полностью активен, то за ним
непосредственно следует участок ближнего наведения. Если же
траектория выведения содержит пассивные участки, то
на них осуществляется маневр фазирования взаимного
положения КА и цели.
В главе 1 отмечалось, что при сближении с участка
выведения предъявляются чрезвычайно высокие
требования к точности выдерживания момента запуска КА.
Особенно жесткими эти требования становятся тогда,
когда управление ракетой-носителем на участке
выведения производится в соответствии с заранее заданной
программой.
Рассмотрим, каким образом можно определить
момент запуска КА для обеспечения его сближения
с целью непосредственно с участка выведения,
лежащего в плоскости орбиты цели. При этом будем
полагать, что параметры орбиты цели известны.
Часовой угол, измеряемый от линии равноденствия
до начального меридиана и соответствующий
нахождению точки старта в плоскости орбиты цели (рис. 3.1),
находим по формуле
^-Jt + AX-Xc, (3.1)
59
где *Ь — долгота восходящего узла орбиты цели; Хс —
долгота точки старта, измеряемая от начального
меридиана; АХ— долгота точки старта, измеряемая от
восходящего узла орбиты цели.
В предыдущей формуле величина ДХ равна
AX==arcsin^c. (3.2)
Для более точного определения момента запуска
необходимо учитывать регрессию линии узлов орбиты це-
Рис. 3.1. Взаимное расположение точки
старта КА и орбиты цели
ли, происходящую под действием силы притяжения
Земли, обусловленной ее несферичностью, и брать
текущее значение <П> на момент запуска. Примем за
начало отсчета времени момент первоначального
прохождения цели через перигей, определяемый часовым углом
t*. Тогда относительно начального прохождения через
перигей время запуска КА
^±4pt, (з.з,
где L — целое количество суток, прошедших с момента
первого прохождения через перигей; 23 — угловая
скорость вращения Земли,
60
Выражение (3.3) по существу определяет момент
запуска КА как момент нахождения точки старта в
плоскости орбиты и никак не зависит от положения цели
на орбите. Однако естественно, что в зависимости от
расположения цели на орбите будет меняться
продолжительность движения КА на участке выведения для
заданного момента старта.
Исходя из этих соображений выражение для
определения времени запуска можно записать в виде
tc = NT + At-Ata-AtttJ (3.4)
где N — количество полных оборотов, сделанных целью
с момента первого прохождения через перигей; Т —
период обращения цели; At — интервал времени, который
соответствует времени движения цели от последнего
прохождения через перигей до точки встречи; А/а —
продолжительность активного участка; А/п —
продолжительность пассивного участка траектории
выведения КА.
Очевидно, что для обеспечения встречи с целью
время запуска КА, определяемое по формуле (3.4),
должно быть равно времени запуска, определенного по
формуле (3.3). Достижение такого равенства может
быть выполнено только варьированием интервала
времени А^п, стоящего в правой части выражения (3.4).
Действительно, параметры N и Т являются
постоянными величинами, а время движения Д/а на активной
участке траектории выведения также можно считать
постоянным, поскольку запуск КА осуществляется
определенной ракетой. Кроме того, время движения цели At
от момента последнего прохождения через перигей до
точки встречи будет зависеть от продолжительности
пассивного участка траектории выведения.
Обычно с целью уменьшения расхода топлива
активный участок заканчивается в перигее пассивного
участка траектории выведения. Тем самым
-определяется ориентация большой оси пассивного участка
траектории выведения. Траектория пассивного участка, а
следовательно, и время движения А/п на этом участке
до момента начала этапа ближнего наведения будут
определяться параметрами движения КА в конце
активного участка. Следовательно, меняя, например,
скорость КА в конце активного участка, можно подобрать
61
такое значение А/ш при котором время запуска,
определяемое по формуле (3.4), будет равно требуемому
времени запуска, определенному из выражения (3.3).
Кратко рассмотрим последовательность расчета \tn.
Будем полагать, что параметры движения КА в
конце активного участка (V\K — скорость,
г1к—геоцентрическое расстояние, 6^=0 — угол наклона вектора
скорости к плоскости местного горизонта) и элементы
орбиты цели (а, е, /, а>, SI) нам известны.
Тогда большая полуось <%и эксцентриситет е\ и
аргумент перигея coi пассивного участка траектории
выведения определяются по выражениям:
а1 =
I
?5-V5
Л к
1к
arc sin 4^ + »;,
v?KriK\
2it0 /
sin i
J
(3.5)
где Ъ'а— угловая дальность активного участка
траектории выведения.
Точка встречи аппаратов, являющаяся точкой
пересечения орбиты цели и траектории пассивного участка
выведения, определяется истинной аномалией 8„ на
орбите цели и Oib на траектории выведения. Поскольку
угол между линиями апсид орбиты цели и траектории
выведения в этом случае равен Да>, то
»В = »1В-Да>.
Так как в точке пересечения геоцентрические
расстояния для орбиты цели и траектории выведения
одинаковы, то, используя уравнение орбиты, получим
£l
1 + е cos (dlB — Aw) 1 + в\ cos 0lB
(3.6)
где р и р\ — фокальные параметры орбиты цели и
траектории выведения.
62
Из соотношения (3.6) найдем истинную аномалию
точки пересечения на траектории пассивного участка
выведения. Преобразуя формулу (3.6), получим
(е cos Да) — ex-£-j cos &lB + ег sin Ao> sin &1в *
Обозначив
Pi
Q — ecos До> — ех —
(3.7)
А'
/>=>*! sin Лю;
и преобразуя равенство (3.7), получим квадратное
уравнение относительно cos djB:
(Q2 + Я2) cos2 »1B - 2 Q# cos »lB + (#2 - Я2) - 0, (3.8)
откуда
оЛС a QR±PVrQ* + P2-R* /q Qv
cos &lB = g2 + p2 • (3.9)
Если подкоренное выражение в формуле (3.9)
больше нуля, то получаем два значения cos 8m, которые
соответствуют двум точкам пересечения:
cos»' _<?/? + яК<?2+ /»-/?* .)
r <?/?-рК<?2 + />2-/?2 .
sin*.
, __pr—qVq* + p*—r*
1в
Q2 + P2
sin
°1в — л* + P2
Q2 + P2
(3.10)
При равенстве подкоренного выражения нулю
получаем одно значение cosdu, соответствующее точке
касания орбит.
63
Комплексные корни уравнения (3.9) показывают,
что орбита цели и пассивный участок траектории
выведения не имеют общих точек.
Теперь, после того как истинная аномалия точки
пересечения на траектории выведения определена, можно
определить эксцентрическую аномалию ЕХв этой точки:
^=arctg£t;. <311>
где
SHl£lB— i+£?1costflB
F _ gi + cosOlB
cos/:lB — j + e?1cosulB-
(3.12)
Воспользовавшись уравнением Кеплера, получим
время движения КА на пассивном участке траектории
выведения:
Мп = £lB7/—"£lB aV*. (3.13)
V *о
Аналогичным образом, используя формулы (3.11)—
(3.13), в которые подставляются параметры орбиты
цели, и учитывая, что 9b = &ib—До>, можно определить
время движения цели Д/ от последнего прохождения через
перигей до точки встречи, соответствующее времени Д/п.
Следовательно, скорость КА в конце активного
участка выведения может быть использована в качестве
независимой переменной при выборе интервала
времени Д/п и зависимого от него Д/, которые будут
обеспечивать требуемый момент времени запуска КА. На
практике запуск КА на траекторию выведения,
лежащую в плоскости орбиты цели, осуществить достаточно
трудно из-за ограничений, накладываемых
характеристиками ракеты-носителя, запаздывания момента
старта, ограничений по азимуту вектора скорости КА в
конце активного участка и др. Поэтому необходимым
условием осуществления маневра сближения
непосредственно с участка выведения является ожидание на
стартовой площадке в течение некоторого интервала времени,
называемого интервалом запуска Д/Зап,
серединой которого является расчетный момент запуска /с
для выведения КА точно в плоскость орбиты цели.
64
В общем случае старт КА в интервале запуска
приводит к некомпланарности плоскостей орбиты цели и
траектории выведения. Для последующего проведения
сближения КА с целью необходимо проводить маневр
совмещения плоскостей орбит, что требует
дополнительной затраты топлива, которая тем больше, чем
больше угол некомпланарности % (угол между
плоскостями орбит).
Величина угла % определяет требуемый для
совмещения плоскостей импульс скорости А1/х, который в
свою очередь определяется энергетическими ресурсами
КА.
Поскольку эти ресурсы (запас топлива для
проведения маневра) можно считать заданными, то можно
найти максимальное значение угла х в зависимости от
располагаемого &VX. Импульс скорости <&VX должен
подаваться в узловой точке на линии пересечения
плоскостей орбиты цели и траектории выведения КА. Его
величина определяется выражением
AVx-21/xCOsMn-j-, (3.14)
где V\ и 9i — скорость КА и угол между векторами
скорости КА и плоскостью местного горизонта в момент
подачи импульса.
Следовательно,
X = 2^sin(^el). (3.15)
Таким образом, располагая определенным запасом
топлива на проведение маневра по совмещению
плоскостей орбит, можно осуществить поворот плоскости
траектории выведения КА на угол относительно плоскости
орбиты цели. Максимально располагаемому значению
угла % соответствует максимальный интервал запуска.
Анализ, связанный с определением интервала запуска
КА, основан на геометрических соображениях.
За начало отсчета времени ожидания на стартовой
позиции выбирается расчетный момент /с запуска КА,
когда точка старта совпадает с плоскостью орбиты
цели. Положительному времени ожидания А/с (запуск
КА с запаздыванием относительно расчетного момента
Сближение в космосе
65
tc) будет соответствовать положительное значение
угла х> отрицательному времени ожидания &t*c
(запуск КА с опережением относительно расчетного
момента tc) — отрицательное значение угла %.
Допустимому значению угла некомпланарности
между плоскостями орбит цели и КА будет отвечать
интервал запуска
Д/м„-Д/с + Д£ (ЗЛ6)
Для определения наклонения плоскости траектории
выведения КА при заданных значениях углов i и х вос"
пользуемся зависимостью
ix = arc cos (cos X cos i — sin X sin i cos u)} (3.17)
где и—аргумент широты узловой точки линии
пересечения плоскостей орбит, который выбирается из
условий последующего фазирования или из условий встречи
в данной точке.
Поскольку аргумент широты и может меняться в
пределах от 0 до 360°, то угол i\ будет находиться в
пределах i — K.^il^i + Xa
Необходимость проведения маневра совмещения
плоскостей орбит при первом прохождении узловой точки
вводит ограничения на угол и, т. е. его величина
должна быть в пределах
-.|<0)<»<«+«-№*)- <ЗЛ8)
Различие в долготе восходящего узла траектории
выведения и орбиты цели Д<$ определяется по
формулам:
^ л л n cos у — cos i cos /i
cosДSL = л. . . . -
^ sin i sin it
sinA<q/ = iiai^.
^ sin/
(3.19)
Положение меридиана точки старта в расчетный
момент запуска относительно восходящего узла орбиты
цели определяется углом:
AX0==arcsin^c. (3.20)
66
Положение меридиана той же точки в
действительный момент запуска относительно восходящего узла
траектории выведения определяется углом
AX1 = arcsin{|f. (3.21)
На основании полученных зависимостей (3.17) —
(3.21) можно определить возможный интервал
запаздывания запуска (положительное время ожидания):
А;с = А^ + У'-дЧ (3.22)
Кроме того, можно определить и возможный
интервал опережения запуска (отрицательное время
ожидания):
Uj-'V-**-'*. (353,
3
В выражении (3.23) А<*1Л Д*0> ДЧ определяются
по формулам (3.19) — (3.21), однако в этом случае
наклонение орбиты КА
i\ = arc cos (cos X cos i + sin X sin / cos a). (3.24)
Зная A/c и Д/*, по выражению (3.16) определяют
полный интервал запуска КА, в течение которого угол
между плоскостями орбиты цели и траектории
выведения не будет превышать заданной величины |Х/,
соответствующей располагаемому 41^. Выбором
параметров, определяющих полный интервал запуска, можно
добиться максимально возможного ожидания КА на
стартовой площадке.
§ 3.3. СБЛИЖЕНИЕ С КОМПЛАНАРНОЙ
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ОРБИТЫ
Ограничения, накладываемые на сближение КА
непосредственно с участка выведения, приводят к
необходимости рассмотреть другой способ сближения на
этапе дальнего наведения. Таким способом является
сближение с промежуточной орбиты, называемой орбитой
ожидания. В этом случае КА первоначально выво-
3*
67
дится на орбиту ожидания, обычно меньшую по высоте,
чем орбита цели, и находится на ней до создания
благоприятных условий для осуществления сближения.
В момент, когда аппараты займут требуемое взаимное
положение, КА осуществляет межорбитальный переход
для встречи с целью.
Орбита ожидания КА может быть как компланарна,
так и некомпланарна с орбитой цели. В компланарном
случае КА на орбиту ожидания может быть запущен
лишь дважды в сутки,
если наклонение орбиты
цели больше широты
точки старта КА. В
последующем для
осуществления сближения на этапе
дальнего наведения
проводятся маневры
фазирования взаимного
положения аппаратов и маневр
компланарного перехода.
Рассмотрим маневр
сближения КА на этапе
дальнего наведения с
компланарной
промежуточной орбиты. Здесь и
в дальнейшем будем
предполагать, что
сближение осуществляется с неманеврирующеи целью, а
скорость КА изменяется мгновенно под действием
импульса силы тяги. В целях большей конкретизации
вопросов, связанных с исследованием и анализом
маневра КА на этапе дальнего наведения, будем считать
орбиты КА и цели круговыми. Такое предположение
имеет и свой практический смысл, поскольку многие
запускаемые в настоящее время КА движутся по
орбитам, близким к круговым.
Проанализируем некоторые способы дальнего
наведения КА, выведенного на круговую орбиту ожидания,
компланарную с орбитой цели. В качестве возможных
способов перехода рассмотрим: переход по
эллиптической траектории, касающейся обеих круговых орбит
(хомановский переход), с ожиданием на начальной
круговой орбите; биэллиптический переход без ожида-
Рис. 3.2. Переход по эллипсу Хо-
мана
68
ния и с ожиданием на одной из эллиптических
переходных орбит; полутангенциальный переход без
ожидания и с ожиданием на эллиптической переходной
орбите [42].
Хомановский переход (рис. 3.2) является наиболее
простым переходом с круговой орбиты ожидания на
круговую орбиту цели и требует минимальных
энергетических затрат.
Пусть орбита ожидания находится внутри орбиты
цели. Обозначим радиус орбиты ожидания через ru a
радиус орбиты цели через г.
Переход КА на орбиту цели осуществляется по
эллипсу, касающемуся обеих орбит, приложением двух
тангенциальных импульсов AVi и hV2. Формулы,
определяющие величину этих импульсов, выражаются через
радиусы орбит:
кд1/Г1+;_;: (з.25)
Суммарный импульс скорости, требуемый для
проведения всего маневра, А^£н = AV\ + &V2.
Для осуществления сближения КА с целью по такой
траектории перехода требуется, чтобы аппараты
занимали определенное взаимное положение в момент
начала маневра (в момент подачи импульса AVi). Будем
характеризовать взаимное положение аппаратов
центральным углом, измеряемым от радиуса-вектора КА
до радиуса-вектора цели в направлении их движения, и
определим угол ин, при котором может быть начат
маневр хомановского перехода.
За время перехода tu КА с орбиты ожидания на
орбиту цели цель по орбите сместится на угол и'=ъ—ия
относительно своего положения на момент начала
маневра. Время перехода КА
69
Поскольку период обращения цели Т и угловая ее
скорость о) известны, то и'=а)*н, а следовательно,
B„ = ,(l-^)=«[l-(^)"]- (327)
Рис. 3.3. Изменение угла ин в зависимости от
т\\г
Пределы изменения угла ип определяются
соотношением между радиусами орбит КА и цели (ri=r и гх<^т)
и равны
О < и„ < «(1 -1/1/8) ж 0,6465 тт. (3.28)
Эта зависимость угла ии от отношения rjr
приведена на рис. 3.3.
Однако цель и КА могут занимать произвольное
взаимное положение, характеризуемое углом и = ип+Аи.
При этом Ли может принимать все значения от 0 до 2 тс.
Следовательно, для фазирования двил^ения КА долл<ен
70
ожидать на орбите или проводить дополнительный
маневр фазирования.
Требуемое время ожидания на орбите, по истечении
которого отклонение Аи станет равным нулю,
определяется по формуле
где (oi и Т\ — угловая скорость и период обращения КА
на орбите ожидания.
Рис. 3.4. Биэллиптический переход
Полное время, затрачиваемое на маневр сближения,
представляет собой сумму времени перехода tH и
времени ожидания tom, г. е.
h"~V4
«(^Г+*•■&]• <зм>
При осуп1ествлении биэллиптического перехода
(рис. 3.4) первый тангенциальный импульс скорости
AV\ прикладывается на орбите ожидания так, чтобы
КА перешел на эллиптическую орбиту — внутреннюю
7J
или внешнюю по отношению к орбите цели. В апогее
этой орбиты прикладывается второй тангенциальный
импульс AV2 для перехода на новую эллиптическую
орбиту с радиусом перигея (для внешней орбиты) или
радиусом апогея (для внутренней орбиты), равным
радиусу орбиты цели. В точке касания этой
эллиптической и круговой орбиты цели в момент встречи КА и
цели прикладывается третий тангенциальный импульс
скорости А Уз и КА переходит на орбиту цели.
Величины импульсов и суммарного импульса
скорости определяются с помощью выражений:
AVX
AV2
AV,
*\
Время перехода
<<=F=[m"+(^)'"]. ™
где г2 — радиус апогея первой переходной
эллиптической орбиты.
Предположим, что положение цели относительно КА
определяется углом и = иа+Аи и переход КА для
осуществления встречи по траектории Хомана без
ожидания невозможен. В этом случае можно осуществить
переход по биэллиптической траектории. За время
движения /б КА по переходным орбитам переместится на
угол 2 тс—иа—Аи.
При выполнении биэллиптического перехода, когда
на момент начала маневра смещение цели
характеризуется углом 2 тс—ин < Аи < 2тс, цель до осуществления
встречи сделает не более одного оборота. Если угол Аи
изменяется в пределах 0<Ди<^2тс—ин, цель сделает
более одного оборота, но менее двух. Исходя из этих
соображений продолжительность осуществления манев-
72
2r2
r* + rx
"~2r~~
r2 + г
(3.31)
.AV^AVt + AVs.
pa дальнего наведения при сближении по биэллиптиче-
ским траекториям без ожидания составит:
для внешнего перехода;
^«..^(l-U.)
для внутреннего перехода.
(3.33)
Встреча при внешнем биэллиптическом переходе
может быть осуществлена при любом значении угла Да
(0<Ди<2тс). При Ди = 2тс — ии величина tz = T.
Внутренний биэллиптический переход для
выполнения встречи КА с целью без ожидания на
промежуточной орбите может быть осуществлен в ограниченном
диапазоне углов, который определяется соотношением
радиусов орбиты ожидания, орбиты цели и радиуса
апогея первой переходной орбиты (рис. 3.5).
Определим величину угла Дм, при котором хоманов-
ский переход с ожиданием и внутренний
биэллиптический переход без ожидания эквивалентны по времени.
Приравняв зависимости (3.30) и (3.32), получим
A5 = 1t[l_(^yA]. (3.34)
При хомановском переходе
tz =tH при Ай=0и
*ъ = *н + 0,5 Т при Ди = йщ
(3.35)
(3.36)
при внутреннем биэллиптическом переходе
*2б = tH + 0,5 Т при Ди = о и
t4 = tH + 0,5 7\ при Ди = Дй.
Так как время /1б является линейной функцией Дн,
полное время сближения tz = tH + /ож всегда меньше,
чем полное время сближения при внутреннем
биэллиптическом переходе,
73
Внутренний биэллиптический переход с радиусом
перигея первого эллипса, меньшим радиуса орбиты
ожидания {г2<Г\)у требует меньшего времени перехода,
0,01 0,1 1,0 10 Г,/г
Рис. 3.5. Изменение угла Ди в зависимости от rjr
чем хомановский переход, и может быть применен в
диапазоне углов Ди< Д# < Д#Г2=0-
При внешнем биэллиптическом переходе
t4 = tu+ 1,5 Г при Ди = 0и
t4 = tH + 0,5 Т при Да = 2*.
Угол смещения, при котором хомановский и
внешний биэллиптический переходы эквивалентны по
времени осуществления сближения, определяется величиной
A« = 3ic[l- (-Мв/П==ЗДи.
(3.37)
74
На основании выражения (3.32) время биэллиптиче-
ского перехода, соответствующее углу Аи,
^6 = '»+-f 7,[1-(1--т)]=/н+4-7\- (3.38)
Следовательно, время ожидания при хомановском
переходе, соответствующее этому же углу Ди,
составляет
Таким образом, при Ди = 0 любой биэллиптический,
/^
а при Аи<Аи внешний биэллиптический переходы
требуют большей затраты времени, чем переход по
касающемуся орбит эллипсу.
Воспользовавшись зависимостью (3.37), определим
величину отношения п/r, при котором Aa=2ic, т. е. при
котором по времени сближения всегда
предпочтительнее хомановскии переход.
Получим 0 <Ди <[2ти при
гх/г> 1/2,08. (3.39)
Как известно [42], с энергетической точки зрения
более экономичным является хомановскии переход, если
выполняется условие г/гх< 11,94. При 11,94<г/л< 15,582
существуют некоторые биэллиптические переходы,
которые являются более экономичными, чем переходы по
эллипсу Хомана, а при г/г\> 15,582 всегда более
экономичен внешний биэллиптический переход. Этот вывод
свидетельствует о том, что при выборе того или иного
способа перехода для осуществления встречи
необходимо находить компромиссное решение между
энергетическими и временными затратами на переход.
Оценим характер изменения продолжительности
этапа дальнего наведения при ожидании КА.
Ожидание до начала биэллиптического перехода
приводит к уменьшению угла Да, что в свою очередь
согласно уравнениям (3.33) вызывает увеличение
полного времени сближения при биэллиптическом
переходе. Рассмотрим ожидание на одном из переходных
эллипсов.
75
Из уравнений (3.33) следует, что углы смещения Аи
для внешнего и внутреннего биэллиптических переходов
равны соответственно:
2тс
Дя-3*-^-^-*.);
2тс
AH-W-.-y-^-*.)
(3.40)
Рис. 3.6. Биэллиптический переход с ожиданием на орбите
перехода
Исследуем ожидание на первом и втором
переходных эллипсах при внешнем биэллиптическом переходе.
При ожидании в течение п оборотов на первом
эллипсе (рис. 3.6,а), радиус перигея которого равен гь
полное время сближения
Гч = р|= [(2л + 1) (гх + г2)'А + (г8 + г)Ц. (3.41)
При ожидании в течение п оборотов на втором
эллипсе (рис. 3.6,6), радиус перигея которого равен г,
полное время сближения
Гч = р|= [(г, + rjh + (2л + 1) (r2 + г)П (3.42)
Случай, когда /г=0, соответствует биэллиптическому
переходу без ожидания,
76
Уравнения, аналогичные уравнениям (3.33), (3.34),
(3.37), могут быть получены для общего случая
ожидания на втором эллипсе. Можно показать также, что при
ожидании на втором эллипсе полное время tmy
необходимое для осуществления этапа дальнего наведения,
при Дг->0 будет определяться зависимостью
Тогда при внешнем переходе полное время
+ £[<2а + 3)—£]. С3-44)
При внутреннем переходе
Угол Дн, при котором хомановский переход с
ожиданием эквивалентен по времени внутреннему биэллип-
тическому переходу с ожиданием на втором эллипсе,
определяется по формуле
25 = *(2л+1)(1-Г1/Г)-
-*(2л+1)[1-(г1/г)'л]. (3.46)
/^
Угол смещения Дн, при котором хомановский
переход с ожиданием и внешний биэллиптический переход
с ожиданием эквивалентны по времени осуществления
этапа дальнего наведения, определяется по формуле
Аи=*п(2п + 3) (1 - Тг/Т) —
= TC(2„ + 3)[l-(rJr)s/»b (3.47)
> /^
Соответствующие углам Ди и Ди времена биэллип-
тических переходов найдем по следующим формулам:
';б=4+(«+4-)7,;
(3.48)
77
Из уравнений (3.30) и (3.46) следует, что время
ожидания при хомановском переходе
*ож = fc *н«
Поэтому время и соответствующее ему угловое
перемещение КА (o)i ^0ж) при Ды=Ди определяются
выражениями:
При Аи=Аи
'•«-(л+ 3/2) Г,;
Vo« = (2/* + 3)*.
На основании последних соотношений можно
сделать вывод, что время перехода по эллипсу Хомана
меньше, чем время
внешнего биэллиптического
перехода для всех углов
фазирования, т. е. при
О < Ды<Ды =2ir, если
г/гх больше, чем
«•/<•■>■ =(!£)*"•
(3.49)
Полутангенциальным
называется переход с
использованием
переходного эллипса,
касательного к орбите ожидания
и пересекающего
орбиту цели (рис. 3.7).
Положение точек пересечения переходного эллипса с
орбитой цели характеризуется углами истинной аномалии
Oj (/=1, 2) и определяется из уравнения орбиты
перехода
■_ £
Рис. 3.7. Полутангенциальный
переход
J l+e*cosbj'
(3.50)
78
где р*ие* — фокальный параметр и эксцентриситет
орбиты перехода.
Поскольку радиус-вектор г*, точек пересечения
известен и равен радиусу орбиты цели г, а радиус перигея
переходного эллипса равен радиусу орбиты ожидания
Г\у то /?*=ri(l+e*), а истинная аномалия первой точки
пересечения
*! = arccos
-7MI+«•)-!
(О <»!<*).
Эту зависимость можно представить в виде функции
от скорости Vu в перигейной точке орбиты перехода,
которая для данного случая определяется по формуле
V2-7J-<!+«•>.
Тогда
&! = arc cos
2 т/2 П
г?Г;
1 кп
Гтс0
^
*0
(О <»!<«). (3.51)
Вторая точка пересечения характеризуется истинной
аномалией:
j —2те—»j (ir<»2<2тс).
(3.52)
Для совершения маневра перехода первый
тангенциальный импульс AVi прикладывается на орбите
ожидания и КА переходит на эллиптическую траекторию,
касающуюся орбиты ожидания.
AVl = Vn-V1 = Vn-Y^-.
(3.53)
Второй импульс прикладывается в точке
пересечения орбит для перехода на орбиту цели.
AV2 = УЦ + V* - 2Vb. К cos 9 j (/=1,2), (3.54)
где V — скорость цели на круговой орбите; V» —
скорость КА на переходной траектории в точке пересече-
79
ния; 6j — угол между вектором скорости V0. и
плоскостью местного горизонта.
Выражение (3.54) можно представить в виде
функции от VUf Г\ и г путем несложных преобразований:
^.cos0y=/^(l+ecos&y.)=T-^n; '
VJ,- Vr-S./l+2eco8»y + ^-
ДК2= l/^+l/2_2i/2+2^(l/f_^i/n),
(3.55)
где V2 = ic0/r; V7 = *0/>V
Время сближения КА с целью представляет собой
сумму времен, требуемых на проведение маневра
перехода (tj) и на ожидание на переходном эллипсе:
'2п = 'у + ^*(У=1> 2),
(3.56)
где Т* — период обращения КА на переходной орбите;
п—число оборотов на орбите перехода, отсчитываемое
с момента пересечения орбиты цели.
Время перехода tj определяется по уравнению
Кеплера, а именно:
/y==^(£y-e*sin£y), (3.57)
где а* — большая полуось переходного эллипса; Ej—
эксцентрическая аномалия точки пересечения.
Эти величины вычисляются по формулам:
sin Е,
J/"(l — ***)8ta3ye
1 + e* cos bj '
e* -f cos Oy
cos£y=1 + e#cogd^;
(0<£;<2ic).
80
Период обращения КА по переходному эллипсу
Т* = 2* 2 . (3.58)
Для осуществления встречи КА с целью необходимо,
чтобы угловое расстояние, которое пройдет КА за
время tz , равнялось сумме углового расстояния,
пройденного целью за это время, и углового расстояния,
определяемого углом смещения цели относительно
КА на момент начала маневра, т. е.
»у + 2ш = ин + Ди + wt (3.59)
откуда
Аи = »у + 2кп — ин — о>4 . (3.60)
Проведем сравнение рассматриваемых методов
перехода. Анализ показывает, что внешний
биэллиптический переход длительнее, чем хомановский переход с
ожиданием, когда Ди>3тс(1—Т\/Т) и А«<2тс. При
Аи>2ъ хомановский переход с ожиданием длительнее
внешнего биэллиптического перехода. Внутренний
биэллиптический переход всегда длительнее хомановского
перехода при г2<Г\ и короче при Г\<г2<г. Ожидание
на каком-либо промежуточном эллипсе при внешнем
биэллиптическом переходе приводит к уменьшению
энергетических затрат. При этом переход с ожиданием
на втором промежуточном эллипсе всегда более
длителен, чем хомановский при Ди>тс(2я + 3) (1—Т]/Т).
Хомановский переход по сравнению с биэллиптическим
более длителен при rjrx> [(2п + 3)/(2/г + l)]Va.
Полутангенциальный переход требует больших
энергетических затрат, чем биэллиптический и хомановский
переходы, и может служить только в качестве одного
из методов фазирования, когда запас топлива на
маневр может быть достаточно большим.
Рассмотренные выше способы перехода относятся к
случаю, когда орбита КА имеет высоту, меньшую
высоты орбиты цели. Аналогично можно рассматривать те
же способы и для случая, когда орбита КА имеет
высоту, равную или большую высоты орбиты цели.
81
§ 3.4. СБЛИЖЕНИЕ С НЕКОМПЛАНАРНОИ
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ОРБИТЫ
Выведение КА на орбиту ожидания,
некомпланарную с орбитой цели, значительно расширяет диапазон
возможных интервалов запуска КА. Однако при этом
необходимо проведение маневров совмещения
плоскостей и маневров фазирования движения КА и цели.
Поскольку увеличение угла между плоскостями орбит
приводит к значительному
увеличению расхода топлива на
маневр для их совмещения,
естественно, что при
выведении КА стараются выбрать
такой азимут пуска, чтобы
этот угол был малым.
Маневр дальнего
наведения для обеспечения
встречи КА и цели, движущихся
по некомпланарным
круговым орбитам, может быть
проведен двумя способами:
раздельным и
комбинированным.
При раздельном способе
независимо друг от друга
проводятся маневр
совмещения плоскостей орбит и маневр фазирования с
последующим переходом на орбиту цели в район встречи.
Первый маневр проводится в любое удобное время при
прохождении линии пересечения плоскостей орбит.
После его совершения задача дальнего наведения
решается, как это показано в § 3.3.
При комбинированном способе маневр совмещения
плоскостей орбит и маневр фазирования с последующим
переходом на орбиту цели в район встречи
объединяются. Безусловно, что в этом случае можно достигнуть
экономии в расходе топлива по сравнению с
раздельным способом, особенно при больших углах между
плоскостями орбит.
Рассмотрим раздельный способ дальнего наведения
и остановимся на первой его части, связанной с
маневром совмещения плоскостей орбит, который может
Рис. 3.8. Трехимпульсный
маневр перехода при
некомпланарных орбитах
82
быть осуществлен с похмощью импульсного изменения
скорости в узловых точках, т. е. на линии пересечения
плоскостей орбит.
Возможны два типа маневра, проводящихся без
изменения высоты орбиты КА: одноимпульсный и трех-
импульсный. При одноимпульсном маневре для
изменения положения плоскости орбиты на угол %
требуемый импульс скорости
Al/ = 2VlSin^-, (3.61)
Трехимпульсный маневр (рис. 3.8), проводящийся
для снижения энергетических затрат, состоит в
переходе с круговой орбиты на эллиптическую, лежащую в
той же плоскости. Второй импульс, подаваемый в
апогее этой орбиты, производит поворот плоскости
орбиты на угол х- Третий импульс в перигее эллиптической
орбиты переводит КА на первоначальную круговую
орбиту.
Величины импульсов определяются такими
соотношениями:
1 ' r, + ra У г, г г,1
(3.62)
г\ + га
Ws = AVh |
где га — радиус апогея эллиптической орбиты.
Суммарный импульс для этого маневра
Сравнение формул (3.61) и (3.63) показывает, что
переход от одноимпульсного маневра к трехимпульсно-
му будет целесообразным, если
l + sin-|->/r?4^(l + ^sin-|-). (3.64)
83
Величина >Vra может изменяться от 0 до 1. Первое
значение соответствует бесконечно большому га и
является предельным случаем. При этом %>49°. Второе
значение соответствует одноимпульсному случаю
маневра.
При углах х>49° и при достаточно малых отношениях
ri/ra трехимпульсная схема в энергетическом
отношении более выгодна. Определим
значение Г\/г&> при котором
разность между величинами
суммарных импульсов при одноим-
пульсном и трехимпульсном
переходах будет экстремальной.
С этой целью приравняем
нулю частную производную от
разности импульсов по Г\/га.
Поскольку 0<ri/ra< 1, получим
4-<зт-|-<4-или 39°<эс<60°.
Следовательно, только на
данном интервале углов можно
говорить об экстремальном в
энергетическом отношении значении
величины ri/ra. На рис. 3.9
приведена зависимость этого
значения Г\/г& в функции угла %.
Значения ri/ra, определяемые на
основании анализа этой кривой,
соответствуют минимальным
затратам энергии при
трехимпульсном маневре. При значениях
ri/ra, выбранных в пределах
заштрихованной области, требуется затрата энергии,
больше минимальной, но меньше той, которая
потребуется при одноимпульсном маневре. После
проведения маневра поворота орбиты дальнейшие маневры
этапа дальнего наведения осуществляются, как
показано в § 3.3.
Комбинированный способ проведения маневра
состоит в объединении импульсов, предназначенных для
коррекции наклонения, фазы и положения КА. Такое
совмещение импульсов требует выбора определенных
параметров переходных орбит для обеспечения фази-
50 40 50
Рис. 3.9. Область
изменения Г]/гл в
зависимости от угла %
84
рования движения КА и цели. Возможных комбинаций
маневров достаточно много и для их выбора так же, как
и в компланарном случае, следует проводить оценку
требуемых энергетических затрат и полного времени,
затрачиваемого на сближение. Исследуем несколько
возможных случаев комбинированного маневра
дальнего наведения при условии, что орбиты КА и цели
некомпланарны и ожидание на орбитах перехода не
проводится.
Пусть высота орбиты цели больше высоты орбиты
КА (r>/*i). Рассмотрим хомановский переход на
орбиту цели с поворотом плоскости орбиты в узловой точке
на начальной орбите или в узловой точке в апогее
переходной орбиты, что определяется величиной угла %.
Суммарный импульс находим по соотношению
Д1/2н = А1/1н + Д1/2н + АЦн, (3.65)
где AVih и ДУ2н определяются по формулам (3.25), а
А^зн — по формуле (3.61) при повороте плоскости в
узловой точке начальной орбиты. При повороте
плоскости в апогее орбиты перехода (/а=г)
A^3H = 2Kasin-f. (3.66)
Так же, как и в компланарном случае, для
осуществления сближения КА с целью требуется
определенное взаимное их расположение в момент начала
маневра. Однако поскольку маневр начинается не в
произвольной, а в узловой точке орбиты, то должно
сохраняться определенное взаимное расположение между КА,
находящимся в узловой точке, и целью. Формула для
определения угла между узловой точкой, в которой
находится КА, и целью совершенно идентична формуле
(3.27). Естественно, что для обеспечения требуемого
значения угла необходимо значительное ожидание на
орбите, существенно большее, чем при аналогичном
компланарном случае.
Импульс АУзн, подаваемый в узловой точке на
начальной орбите или в узловой точке в апогее
переходной орбиты (на орбите цели), можно совместить с
импульсом AFih (в первом случае) и с импульсом ДКгн
85
(во втором случае). Тогда суммарные энергетические
затраты, определяемые суммарными импульсами
скорости, будут меньше.
Биэллиптический некомпланарный переход на
орбиту цели предполагает поворот плоскости орбиты или в
узловой точке на начальной орбите, или в узловой точке
в апогее первой переходной орбиты, или в узловой
точке в перигее второй переходной орбиты. Величина
суммарного импульса
А1/1б = Д1/1б + AV26 + ДКзб + Д^б,
где ДУ]б — импульс для перехода КА на внешнюю
эллиптическую орбиту; AV26 — импульс, прикладываемый
в апогее первой переходной орбиты, для перехода на
эллиптическую орбиту, касающуюся орбиты цели; ДУ3б—
импульс, прикладываемый в перигее второй переходной
орбиты, для перехода «на орбиту цели.
Величина импульса ДУ4б, осуществляющего поворот
плоскости орбиты КА, определяется в зависимости от
места расположения узловой точки:
— в узловой точке на начальной орбите
Al/46=2]/^sin-f-; (3.67)
— в узловой точке в апогее первого переходного
эллипса
— в перигее второго переходного эллипса
Wi6 = 2 ]/i |/"f-^r sin -f-. (3.69)
Что касается условий взаимного расположения КА
и цели в момент начала маневра, то они полностью
соответствуют условиям, полученным в § 3.3 для
компланарного биэллиптического перехода, но определяют
взаимное положение узловой точки на начальной
орбите, в которой начинается маневр, и положение цели.
Возможности биэллиптического некомпланарного
маневра по сравнению с хомановским некомпланарным
86
маневром в смысле фазирования движения КА
значительно шире, так как согласование движения
обеспечивается выбором параметров переходных орбит в
большом диапазоне.
В качестве модификации биэллиптического
некомпланарного перехода можно рассмотреть такой
переход, при котором радиус апогея первой переходной
орбиты меньше радиуса орбиты цели. В апогее этой
орбиты осуществляется поворот плоскости орбиты и
переход на круговую орбиту, близкую по высоте к орбите
цели. После требуемого ожидания на этой
промежуточной орбите производится хомановский переход на
орбиту цели в район встречи. Такой тип маневра дает
возможность получить малую скорость изменения
относительного положения КА и, следовательно, в конечном
итоге более точную встречу.
§ 3.5. ДАЛЬНЕЕ НАВЕДЕНИЕ ПРИ
ФИКСИРОВАННОМ ВРЕМЕНИ
Рассмотрим случай определения орбиты дальнего
наведения при условии, что задано общее время
сближения, а также момент его начала. Для этого положим,
что параметры исходных орбит цели (Q, i, <o, е, р) и
КА (йь i\, coi, ей Р\) известны, а их положения на
орбитах в момент начала маневра t=t0 определяются
истинными аномалиями 9 и Oi соответственно.
Используя уравнения орбит КА и цели, можно
определить расстояния г и гх от центра притяжения до
точек L и М, соответствующих положениям цели и КА на
орбитах в момент t=t0 (рис. 3.10):
р Рх
гь — 1 + е cosa; rM~i+ei cos «^ •
Найдем теперь координаты точки М в абсолютной
системе АхауАга1 для чего воспользуемся выражениями
(2.10). Учитывая, что координаты точки М во
вращающейся геоцентрической системе координат Ax\y\z\,
связанной с КА, х} = 0, ylr = rMy 2j = 0, получим:
*а м = гм (cos <*Li cos u\ — sin Яр\ sin ux cos ix);
Уа м = Гм (sin S\jX cos ux + cos fix sin ux cos ix)\
z^Al = rHsinulsinil.
87
Если истинная аномалия точки L равна 9ь, то
соответствующую ей эксцентрическую аномалию можно
определить из выражения
Эксцентрическая аномалия точки Ny в которой будет
находиться цель спустя время т, равное времени
сближения, может быть определена из уравнения Кеплера:
т = У^ №" ~EL)-e (sin EN - sin EL)]y
которое решается каким-либо из численных методов.
Рис. ЗЛО. Траектория сближения при
фиксированном времени
После определения EN находим
а затем прямоугольные координаты точки N, в которой
должна произойти встреча КА с целью:
x*n = rN (cos S{, cos и — sin £(, sin a cos i); \
Улп = rN (sin £\jCos 11 +cos S\j sin и cost); \
zaN = rN sin и sin i. j
Здесь
88
Рассмотрим теперь центральный угол между
радиусами-векторами гм = гх и rN = r2, определяющими
положение КА в момент начала и конца сближения. Этот
угол можем_найти, представив скалярное произведение
векторов rLrN в виде
COS Ф* = XaMX*N +yaMy*N + *aM*aW /g jq\
rMrN
Выражение (3.70) при ф*= 180° не определяет
однозначно величину угла перехода ф, а дает лишь значение
угла между векторами гм и rN, не превышающего 180°.
Чтобы однозначно определить угол перехода ф, который
может быть равен как ф*, так и 360° — ф*, будем
исходить из условия, что импульс скорости Д1Л,
прикладываемый в точке М и переводящий КА с исходной
орбиты на орбиту сближения, может лишь незначительно
изменить направление движения. Следовательно,
направление отсчета угла ф должно совпадать с
направлением движения КА на исходной орбите.
Найдем теперь координаты точки N,
соответствующей положению цели в момент встречи, в
геоцентрической системе Ax\y\z\, связанной с КА, в момент /=0.
Если координаты точки в абсолютной системе xaN, yaNi
zaN, то
у*» = №]• л* , (2.Ю)
zvN J L^aiNrJ
где [Л^г1]—транспонированная матрица [Лаг1].
Очевидно, что координаты точки М в системе
Ах\ у\ г\ будут х1тм = 0, у\м = rM} zT M = 0. Тогда
ylTN
ф* = arccos-r-(0<ф*<тс), а угол перехода ф определит-
rN
ся из условий:
ф = ф*, если *^<0;
ф = 2тс — ф*, если x\N>0.
Таким образом, теперь в качестве исходных данных
для определения орбиты сближения, по которой обеспе-
89
чивается переход из точки М в точку N за данное
время т, можно принять значения r\=rMi r2 = rNy фит. При
использовании этих величин в качестве исходных
данных для решения задачи сближения мы тем самым
сводим ее к решению задачи определения орбиты КА,
проходящей через две заданные точки пространства М и N,
причем время движения от точки М до точки N должно
быть равно х.
§ 3.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ КА ПО ДВУМ
ЗАДАННЫМ ПОЛОЖЕНИЯМ
В общем случае переход из точки М в точку N
может быть произведен по гиперболической, параболиче-
Рис. 3.11. Возможные орбиты
перехода между точками М и N
ской или эллиптической орбите. Тип орбиты
определяется взаимным положением точек М и N, а также
временем перехода т. Однако при рассмотрении задачи
сближения с орбиты ожидания в условиях ближнего
космоса наиболее вероятными орбитами перехода будут
эллиптические вследствие того, что переход по
параболическим или гиперболическим орбитам потребует
большого импульса скорости ДУь реализация которого
будет практически невозможна. Поэтому все дальнейшее
изложение мы будем проводить для эллиптических
орбит сближения и наша задача будет заключаться в оп-
90
ределении параметров эллипса, проходящего через
точки М и N, положение которых относительно одного из
фокусов F известно. Если известно и положение
второго фокуса F*9 то задача определения траектории,
проходящей через точки М и N, решается однозначно.
Очевидно, что положение второго фокуса нельзя
выбирать произвольно, поэтому предварительно найдем
геометрическое место вторых фокусов всех эллипсов, по
которым возможен переход из точки М в точку N без
ограничения на время^перехода.
Бели через гг и т\ (рис. 3.11) обозначить
расстояния от точек М и N до второго фокуса, то, используя
свойство эллипса, можем записать следующее:
г; = 2я — гг; г*2 = 2а — г2. (3.71)
Из формул (3.71) следует, что если большая
полуось эллипса равна а, то второй фокус орбиты F*
является точкой пересечения двух окружностей с
центрами в точках М и N и радиусами 2 а— Г\ и 2 а — г2.
Введем в рассмотрение величину S как расстояние
между точками М и N:
5 = Kri + i-2^2COs1>. (3.72)
В зависимости от значения 2 а возможны следующие
случаи [38].
1) r[ + r*2<S. Из выражения (3.71) следует, что
это равносильно условию
2a<±-(rx+r, + S). (3.73)
В этом случае окружности не пересекаются и
переход из точки М в точку-N по эллиптической орбите
невозможен.
2) r\ + r*2 = S. Это равносильно условию
2a = ^-(rx+r2 + S). (3.74)
В этом случае окружности касаются и второй
фокус F* орбиты находится на прямой MN. Очевидно, что
91
это наименьшее значение большой полуоси а — ат, при
котором эллиптическая орбита еще возможна.
3) r*x+r*2>S. Это равносильно условию
2a>±(rl + r7 + S). (3.75)
В этом случае окружности пересекаются в двух
точках F* и F*. Следовательно, существуют две
эллиптические орбиты, связывающие точки М и N. Эти орбиты
имеют одну и ту же большую полуось, а их вторые
фокусы располагаются симметрично относительно
прямой MN.
Как видно из рис. 3.11, переход из точки М в
точку N по эллиптической орбите с заданным значением
большой полуоси может быть произведен по четырем
различным траекториям: MN\N, MN2N, MMXN и MM2N.
Если же направление обхода фокуса F задано, то
остаются только две возможные траектории, например
MNXN и MMiN.
При решении задачи определения параметров
траектории встречи направление обхода всегда будет задано,
так как, находясь в точке М% КА обладает орбитальной
скоростью, а его энергетические возможности позволят
изменить направление вектора скорости лишь так, что
направление обхода останется неизменным. Поэтому
при дальнейшем изложении мы будем считать, что
направление обхода задано и для определенности примем,
что оно совпадает с направлением движения часовой
стрелки.
Из рис. 3.11 также видно, что эллиптическая орбита
MM\N характеризуется тем, что ее второй фокус F*
лежит вне эллиптического сегмента, образуемого прямой
MN и рассматриваемой орбитой. Подобные орбиты
будем называть эллиптическими орбитами
(траекториями) первого рода [38]. Если второй
фокус F*9 отвечающий орбите MN\N, лежит внутри
соответствующего эллиптического сегмента, то такую
орбиту будем называть эллиптической орбитой
(траекторией) второго рода. Если величина
большой полуоси определяется из условия формулы (3.74),
то орбиты первого и второго рода сливаются в одну
орбиту, которую будем называть граничной.
92
Рассмотрим теперь характер изменения величины и
направления скорости в точке М, при которой
обеспечивается переход из точки М в точку N по эллиптической
орбите без учета времени. Связь между величиной
скорости Vm и ее направлением в точке М и заданными
величинами гь г2, ф дается уравнением семейства
траекторий одинаковой дальности [27]. Это уравнение после
незначительных преобразований можно записать в виде
у-2 _ 1Г0(1 — COSfr) ,3 ^gx
м Г! cos0/V| [sin<)> sin в И -f (fc — cos^) cos0/M] ' * ' '
где вд! — угол между вектором скорости и плоскостью
местного горизонта в точке М\ k—отношение г{/г2.
Для проведения дальнейшего анализа удобно
ввести безразмерные величины:
Г ^лм, умсо**м.
— v — v 9
V V*,. sin 6M
7)= Ш =
УМк УМк
(3.77)
где VMK — круговая скорость на орбите радиуса /у,
^/иг» Кмч—радиальная и трансверсальная
составляющие вектора скорости в точке М.
Подставив значения выражений (3.77) в формулу
(3.76), получим
(^— cos+)?2+ (sin^)?^—(1 — cosq>)^2^0. (3.78)
Уравнение (3.78) представляет собой уравнение
кривой второго порядка с инвариантами:
4
Д = -Ь(1 —cos<|0sin2<|>>0,
8 = —i-sin2^<<0 при ф^ятг (/г = 0,1,...). (3.79)
Таким образом, для перехода из точки М в точку N
по эллиптической орбите необходимо, чтобы конец
вектора скорости в точке М лежал на гиперболе,
задаваемой уравнением (3.78). Легко показать, что
асимптотами гиперболы являются ось г\ и линия, соединяющая
точки М и N. Отсюда следует, что гипербола «выпрям-
93
ляется» при приближении значения угла ф к 180° при
заданном Лис увеличением k при фиксированном ф.
При ф = яти инварианты Д = 0 и 8 = 0, а уравнение
(3.78) дает две прямые. Так как случай ф = 2л тс (я=0,1,...)
практического интереса не представляет, то определим
положение этих прямых при ф= (2лг+1) тт (я = 0, 1, ...).
Из формулы (3.79) следует, что при ф=(2я+1)1с
(" = 0,1,...)
Знак перед корнем определяется направлением
обхода притягивающего центра. Поскольку мы условились
рассматривать движение только по ходу часовой
стрелки, то из двух ветвей гиперболы при ф фпъ и двух
прямых при ф=(2п+1)тс будем выбирать только те, для
которых £>0.
Как известно, параболическая скорость Vn в точке,
удаленной на расстояние г от притягивающего центра,
и круговая скорость VK в этой же точке связаны
соотношением Vrn = "j/~2~I/K или в безразмерных величинах
в соответствии с формулой (3.77)
Vn = VT. (3.81)
Таким образом, для обеспечения эллиптической
орбиты перехода между точками М и N величины $ и г\
должны удовлетворять условию
Е2+Ч2<2. (3.82)
Как видно из выражения (3.80), для перехода из
точки М в точку N по эллиптической орбите при ф=
= (2п+1)тс достаточно обеспечить значение трансвер-
сальной скорости 6 = |/ jlTk' тогда как значение
радиальной скорости может быть любым, но
удовлетворяющим условию
Uk/m- (3-83>
которое следует из условия (3.82).
94
Введем новые безразмерные координаты gb *П и
приведем уравнение (3.78) к каноническому виду. В
результате получим
а2 62 ~i%
(3.84)
В этом уравнении
V 2(1-cos») = • /2(l+*S-
AjS + (* - cos ф) у 1 + л5 +
= / 2(1-ее
— cos^)
cos<|;)
)
\ (3.85)
Перейдя в выражении (3.74) к безразмерным
величинам, для граничной эллиптической орбиты можем
записать
2гр
1 + k + kS
rx 4 k
Затем, используя зависимость
(3.86)
(3.87)
найдем
~2 ~2 _2(l+*S-fe)
*гр -Г ^гр — .
1 + kS + к
(3.88)
Из сравнения выражений (3.85) и (3.88) видно, что
большая полуось годографа скорости равна той
скорости, которую должен иметь КА в точке М, чтобы
перейти из точки М в точку N по граничной
эллиптической орбите (рис. 3.12). Отсюда также следует, что
граничная орбита обеспечивает переход при минимальной
величине вектора скорости в точке М, и поэтому ее
иногда называют орбитой минимальной энергии.
Используя зависимости для канонического
преобразования кривой второго порядка, найдем, что угол по-
95
ворота у системы О^гц относительно системы Ofy
определяется из выражения
*5-(*-со8ф) . (3.89)
° ' sirup
Очевидно, что угол г=8Гр, т. е. углу между
плоскостью местного горизонта и направлением вектора
скорости для граничной эллиптической орбиты. При ф ф ъп
Рис. 3.12. Годограф скорости и
преобразование координат:
ab — параболические орбиты; ас —
эллиптические орбиты I рода; сЬ — орбиты
II рода; с —граничная орбита
числитель в выражении (3.89) всегда больше нуля и
знак tgy будет определяться знаком sin ф. Отсюда
следует, что при углах перехода, меньших (2 /г +1) ти, век-
тор скорости в точке М для граничной эллиптической
орбиты направлен выше, а при ф>(2п+1)тс —ниже
плоскости местного горизонта.
Из правила Лопиталя следует, что при ф=тсп
tgy=0 и граничная орбита для этого случая
представляет собой орбиту Хомана.
Все геометрические соотношения и аналитические
зависимости настоящего параграфа получены без учета
времени перехода между заданными точками М и N.
Из этих зависимостей следует, что при
нефиксированном времени существует бесчисленное множество
эллиптических орбит, обеспечивающих переход из точки М в
точку N.
96
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы из всего
семейства возможных эллиптических орбит выбрать
такую (если этот выбор вообще возможен), которая
обеспечивала бы переход из М в N в течение заданного
времени т. Для определения такой орбиты
воспользуемся уравнением Эйлера—Ламберта [32].
§ 3.7. РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ С
ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА —
ЛАМБЕРТА
Уравнение Эйлера—Ламберта дает связь между
временем движения от точки М до точки N,
величинами г\, >*2, Ф и большой полуосью орбиты. В зависимости
от типа орбиты перелета оно записывается в
следующем виде [38]:
— для параболических орбит
+ V(ri + r3-S)'\; (3.90)
— для эллиптических орбит первого рода
/9I = j/iL [2т + (• - sin е) + (8 - sin8)], (3.91)
(-5- ]> -5- > 0, -j- > -g- > 0 J; и — число полных
оборотов, совершенных при переходе из точки М в точку N
(при 0<ф<2ип=0);
— для граничных эллиптических орбит
tr> = Vl£ №n +1)тс + <8гр — sin 8гр)], (3.92)
^4=Ш(т>т>°)=
— для эллиптических орбит второго рода
t9i} = У^- [2(л +1)* -(s - sine) + (8 - sin8)]. (3.93)
4 Сближение в космосе 97
В формулах (3.90) —(3.93) величина 5 определяется
с помощью равенства (3.72), знак «—» соответствует
случаю, когда ф—2тсп<тс, а знак « + » — случаю, когда
ф—2 гсп > тс.
Уравнение Эйлера—Ламберта является
трансцендентным, и для его решения относительно искомой
величины а могут быть использованы различные
численные методы. Однако при
и
1 2 3
C0Dj C,D2Cz
использовании
численных методов необходимо
знать, имеет ли данное
уравнение решение, а
если имеет, то одно или
несколько.
Исследование числа
возможных решений
уравнения Эйлера —
Ламберта для эллиптических
орбит подробно
проведено в работе [38], для чего
используется
разложение в ряд Тейлора вы-
# ражений (3.91) и (3.93)
по переменной х=1/а,
при возрастании которой
происходит переход от
параболической орбиты
(а=оо, х=0) к
эллиптическим (х>0).
Зависимость t{%) при ф<2тс имеет вид кривой i,
изображенной на рис. 3.13, где по оси ординат отложена
пропорциональная времени безразмерная величина
-L
0 °>$ 'ft 4j>
Рис. 3.13. Зависимость времени
полета т от величины х=1/а
'= i/\2L.JL
при £ = 0,7 и ф = 45°. На этой кривой
точка А0 соответствует параболической орбите, интервал
А0В0 — эллиптическим орбитам первого рода, точка
Во — граничной эллиптической орбите и интервал
ВоСо—эллиптическим орбитам второго рода.
На рис. 3.14 для ф = 30° и различных k изображены
гиперболы годографа скорости в координатах 5, % а
также изохроны для различных значений безразмерно-
98
го времени т. При этом дугам гипербол, для которых
т<тгр, соответствуют эллиптические орбиты первого
рода, а при т>тГр —орбиты второго рода.
0
0,8
0,6
0,4
0,2
1
Ч=о,б
*•«
Орбит
1 второ
Г рода
\\\
6/ \ V
30 \ \
x*o,v/
%-Хг1р
4
^
Х-0,15
)=30°
к^оД
-0,е/Ч
уЩ7^
^W
'Орбиты
первого
рода
-4te-
0,2
0,4
ftc? 0,8
Рис. 3.14. Годограф скорости в точке М сизо-
хронами
Из рассмотрения кривой 1 на рис. 3.13 и кривых
рис. 3.14 следует, что при ф<2тс каждому значению х
соответствует одно впол-не определенное значение х или
одно значение скорости в точке М. Так как величины %
или Ум однозначно определяют величину а, то в этом
случае уравнение Эйлера—Ламберта всегда имеет
решение и 'притом единственное.
В том случае, когда до момента встречи с целью КА
должен совершить более одного оборота (п^ 1),
возможны только эллиптические орбиты. Зависимость t(%)
для <j>>2icn (/1=1, 2, ...) имеет вид кривых 2 (л=1) и
3 (п=2) на рис. 3.13. На этих кривых интервалы DnBn
(п=1, 2) соответствуют орбитам первого рода,
точки Вп — граничным орбитам, а интервалы ВпСп — ор-
4*
99
битам второго рода. Из рассмотрения кривых следует,
что в этом случае имеются точки Лп, в которых
производная ^г-=0. Этим точкам соответствуют орбиты
первого рода с минимальным временем полета t$ и,
следовательно, при *<t$ переход из точки М в точку N
более чем за один оборот невозможен. Для
определения времени t$ достаточно каким-либо методом
решить уравнение
3[2iu/z + (e — sine) + (8 — sin8)] —
- 2 [(1 - cos e) tg -£- + (1 - cos 8) tg -f] - 0, (3.94)
которое получается после дифференцирования по а
выражения (3.91). Найдя из уравнения (3.94)
соответствующую величину а = а(п) и подставив ее в выражение
(3.91), можем вычислить t$.
Из вида кривых DnAnBnCn следует, что при т=аЭД>
уравнение имеет одно решение, а при ^Гр>т>^? —
два решения в области орбит первого рода. При
т=^гр уравнение имеет также два решения, одно из
которых соответствует граничной орбите, а другое —
орбите первого рода. Если z>tTT>, то имеются два решения,
соответствующие орбитам первого и второго рода.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых
численных методов решения уравнения Эйлера—Ламберта.
Наиболее распространенными для уравнений подобного
типа являются итерационные методы, которые требуют
знания начального значения искомого корня. При этом
сходимость процесса существенно зависит как от
степени приближения начального значения корня к
действительному, так и от условий задачи.
При применении для расчета траекторий сближения
ЭЦВМ уравнение Эйлера—Ламберта удобно решать
методом половинного деления [12], который
предполагает знание интервала, на концах которого функция
т=т(а) имеет разные знаки. Для отыскания этого
интервала при ф<2тс и т Ф £гр в зависимости от заданного
времени сближения т вычисляются правые части t9i(aj)
100
формул (3.91) или (3.93) и определяются знаки
выражений:
/(ау) = т-^(ау);
<ij = ягр +/дя для /= 0, 1, 2,... (3.95)
Вычисление ведется до тех пор, пока не будут
получены противоположные знаки, и значения f(aj) и
/(#;+1) принимаются за значения функций на концах
искомого интервала. После этого расчет производят по
общим правилам метода половинного деления.
Решение уравнения Эйлера—Ламберта усложняется,
если за время сближения КА должен сделать более
одного оборота. В этом случае из уравнения (3.94),
которое также можно решать методом половинного
деления, необходимо найти величину #(л). Процедура
отыскания интервала, на концах которого выражение
(3.94) принимает различные знаки, остается прежней,
так как и в этом случае должно выполняться условие
а{п) > а г„
Если величина t$9 найденная по ак из
выражения (3.91), окажется больше, чем заданное время т, то
при п=£0 задача решения «не имеет. При *>*Му как
уже отмечалось, уравнение имеет два решения. Если
^в? <т < *гр> то оба решения ищут в области
эллиптических орбит первого рода. При этом одно решение
ищут в интервале а ^ а > #Гр> а для второго решения
в качестве ао принимают я и повторяют процедуру,
которая изложена для углов перехода ф<2тс.
Если т=^Гр, то в качестве одной из орбит перехода
принимают орбиту с большой полуосью а = атр =
= ——^ , а в качестве второй — одну из орбит
первого рода, причем границу интервала отыскивают так
же, как и для второго решения в предыдущем случае.
Наконец, если время сближения т>/Гр, то одно решение
ищут в области эллиптических орбит первого рода из
уравнения (3.91), а второе — в области орбит второго
рода из уравнения (3.93). В первом случае в
качестве а0 принимается значение яГр, а во
втором—значение а{п). После определения величины а можно найти
101
остальные параметры орбиты сближения. Для этого
достаточно воспользоваться выражениями вида п =
=a(l—ecosEM) и r2 = a(l—ecosEN), где EMt EN —
эксцентрические аномалии точек М и N соответственно.
Складывая и вычитая эти равенства, находим:
esin-n-(EM + EN) =
'-^cosec-L (EN-EM);
e cos -i (EM + EN) =( 1 ~^2)sec ±(EN-EM).
С другой стороны, можем записать следующее:
(3.96)
'N'
Ем —
2ъ п + s T 8 — для орбит I рода;
2тс (п + 1) + 8гр— Для граничных орбит;
Ъ. (п + 1) — s + 8 — для орбит II рода,
где знак «—» соответствует случаю, когда О^ф—2im<tc,
знак « + » — случаю, когда 2тс>ф—2im>ic.
Чтобы определить эксцентриситет орбиты е,
возведем равенства (3.96) в квадрат. После сложения
получим
е = /(r"l?)2cosec2 т(Е»~Ем)+('" ЧР)"^**-**)-
Теперь по формулам (3.96) легко найти сумму
EM+ENi а затем определить величины Ем и EN в
отдельности. Чтобы перейти от эксцентрических аномалий
к истинным, достаточно воспользоваться зависимостью
Абсолютную величину вектора скорости Vm в
точке М и угол наклона его к местному горизонту вм
можно найти по формулам:
*W*.(2-2-);
tfsinO.
•«-■«^г+ТвзЛ
м
(3.97)
102
Для определения импульса скорости Д1Л, который
необходимо сообщить КА в точке М, найдем угол /м
(рис. 3.15) между плоскостями начальной орбиты и
требуемой орбиты сближения.
Рис. 3.15. Определение
величины импульса в точке М
Уравнение плоскости орбиты сближения,
проходящей через три точки: А (О, 0, 0), М (ха ,и, ул M, za M) и
N(xaN> Уаль zzn)> в абсолютной геоцентрической
системе координат можно записать в виде Ахха •+ Вхуа •+
+ Cxza = 0, тле Ax = yaMzaIV — yaNzaM; Bx=xaNzaM —
xaMzaN> ^1 — ха М Уа N ха N Уа М-
В свою очередь уравнение начальной орбиты КА в
той же системе координат будет иметь вид: А0ха +
+ #о Уа + С0 za=0, где A0=za N sin ft x; B0 = — zaN cos ft x;
C0 = yiN cos ft! — xaN sin ft i.
Следовательно, ..
Хл = arccos
A0AX + B0Bt + C0C,
V{Al+Bl + Cl)(A\ + B\ + C\Y
При этом Хм выбирают всегда в первой четверти,
так как разворот плоскости орбиты на угол более чем
90° практически невозможен. Если же точки М и N
лежат на одной прямой ф=тс(т + 1), где /п=0, 1,..., то
Хм=0.
Из рис, 3.15 следует, что
WX-VM-V0M.
(3.98)
103
Проектируя векторное равенство (3.98) на оси
орбитальной системы координат Mxlylzl, связанной с
центром масс КА, найдем составляющие импульса
скорости:
д Vx хг = - VM cos 9M cos XM + V0 m cos в0 м;
А Vi yt = Vm sin 9Ж - V0 M sin 90 M;
bVl2l=VMcosQMsmXM.
Составляющие второго импульса АУг, который
сообщается КА в точке N при осуществлении «мягкой»
встречи, рассчитывают по аналогичным зависимостям, а
именно:
AV2x* = — ^о n cos 60 N cos 1N + VN cos 0y,
AV2y> = vo n sin % N — VN sin 6^;
AV2 zx = V0 N cos 60 „ sin X^,
где I^ojv — скорость КА в точке N\ %N — угол между
плоскостью исходной орбиты КА и плоскостью
сближения.
При исследовании возможных решений уравнения
Эйлера—Ламберта было отмечено, что при ф<2тс
существует всего лишь одна орбита сближения,
полностью определяемая взаимным положением точек М, N
и временем сближения т. Если же ф>2тс/г (п=1, 2,...),
то при х > ЭД> существует два решения, которым
соответствуют две орбиты сближения с полуосями а\ и а*
Очевидно, что в этом случае суммарные энергетические
затраты будут определяться величинами AVlx и ДК£а.
При этом, как видно из рис. 3.13, с увеличением п
кривая AnDn приближается к кривой АпСп- Это значит,
что с ростом п уменьшается разность между
величинами больших полуосей а\ и аг> соответствующих двум
решениям, а следовательно, будет уменьшаться и
разность между &VZi и &Vzr
Изложенный алгоритм определения параметров
орбиты сближения основывался на решении уравнения
Эйлера—Ламберта, причем в качестве независимой
переменной выступала величина большой полуоси а.
В этом случае для применения метода половинного
деления необходимо было отыскивать второй конец от-
104
резка, который содержит искомое решение. Между
тем, если вместе с уравнением Эйлера—Ламберта
использовать и уравнение годографа скорости, а в
качестве независимой переменной величину Si, то для нее
можно всегда указать отрезок, на концах которого
функция вида (3.95) имеет противоположные знаки.
Для перехода к переменной £i запишем уравнение
Эйлера—Ламберта, используя безразмерные величины:
~а = 77'>х==4г\/^:3 = 7;>к = 17- Тогда
получим следующие выражения:
— для орбит первого рода
т„ = -^ |/а» [2«л + (е - sin е) + (8 - sin8)]; (3.99)
— для орбит второго рода
te„=-57j/a8 [2(« + l)«-(.-sint)T
+ (8-sin 8)J; (3.100)
— для граничных орбит
;гр== |/а?р [(2 л + 1) х + (8 - sin8)]. (3.101)
В этих уравнениях
е
sinT
Aak Aak
2 ~ V ~ * ГР— 4
sin-' ■• -■■ -■■■■«
1 + л + «
Если теперь перейти к безразмерным величинам 5Ь
г\и то можно записать, что
-L-2-({J+4?). (3.102)
105
Из уравнения годографа скорости следует, что
^ = *2 + (f )2^ (З-103)
Подставив Щ из равенства (3.103) в формулу (3.102),
получим
-L = tt2==(2_a2) + [1 + (a/?)2] Vf (3.104)
а
где v = У)2.
С учетом выражения (3.104) правые части
уравнений (3.99) — (3.101) будут функциями переменной
v=r\2. Пределы изменения этой переменной можно
установить из совместного решения уравнений годографа
скорости для эллиптических и параболических орбит.
Последнее уравнение в координатах £ь 1\\ будет
представлять собой уравнение окружности, т. е. Ц + 'гЦ = 2.
В результате решения найдем
0<*<*тах=г^. (3.105)
Выражение (3.105) задает полуотрезок изменения v,
так как при v= a2 'г обращается в нуль и и в
уравнениях (3.99) — (3.101) возникают неопределенности
вида 0/0. Чтобы избежать этого, значение v на правом
i v
конце последовательно принимается vj:= 2-рг ДО
тех пор, пока при Vj знак выражения т— *9i(Vj)ne
будет противоположен знаку выражения t —т./(0), гДе
x*i(vj)> тэ/<(0) —правые части уравнений (3.99) или
(3.100) соответственно при v=*v3 и t>=0; % — заданное
безразмерное время сближения.
После определения величины v находим:
Ъм=±УТ; llM = V** + (*IWv, (3.106)
10$
причем в выражении (3.106) следует брать знак « + »
для орбит второго рода и знак «—» для орбит первого
рода. В выражении для £ш перед корнем всегда
берется знак « + ».
Теперь, чтобы определить составляющие скорости в
точке М, при которой обеспечивается переход из М в N
за время т, достаточно перейти от величин Ьт> tjim к
величинам ?м, *)ль а затем к Умг и Ущ. Этот переход
осуществляется по следующим формулам: 5^ =
=?1/Wcosy —TQiMsiny; 73M = el/MsinTf+Y]i(WcosTf,a угол т
определяют из выражения (3.89). Составляющие
скорости равны:
vv=i,j/f; ^=^|/f. (З.Ю7)
При использовании в уравнении Эйлера—Ламберта
переменной и следует иметь в виду, что при ф=тс(2т+1),
где т=0, 1,... годограф скорости превращается в
прямую линию и, следовательно, р->оо. Для этого случая:
"2=(»*)2 = 2-а2_г;; vmm = ю'тлх = 2-а* т = т* = 0;
После определения составляющих скорости в
точке М можно найти составляющие импульсов скорости в
точках М н N, обеспечивающих мягкую встречу КА с
целью.
§ 3.8. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ОРБИТ ДАЛЬНЕГО НАВЕДЕНИЯ
Определение параметров орбиты дальнего
наведения при фиксированном времени может производиться
на основе решения уравнения Эйлера—Ламберта,
являющегося трансцендентным относительно большой
полуоси или относительно величины скорости в точке М,
при записи его в виде уравнений (3.91)—(3.93). Для
его решения используется метод половинного деления,
изложенный в предыдущем параграфе, или один из
методов последовательных приближений, например метод
Ньютона.
107
Как известно, метод последовательных приближений
требует знания начального значения корня, для
отыскания которого должны применяться какие-либо другие
методы. Кроме того, при проведении инженерных
расчетов иногда достаточно знать лишь приближенные
значения параметров орбиты сближения. В связи с
этим возникает необходимость применять
приближенные методы решения уравнения Эйлера—Ламберта,
обеспечивающие достаточную точность для того или
иного класса задач.
Один из способов приближенного решения
уравнения Эйлера—Ламберта основан на применении
нормированной энергетической характеристики [26] х = х/хгр =
=/\А Ф» Чу гАе * = */*гр-Если угол перехода ф=180°,
то S = ri+r2 и из формулы (3.92) следует, что 8=0. Для
граничной эллиптической орбиты
п _ 1 _ rx + r2 + S.
агр~*гр~ 4
8in^-/5_/T. (3.108)
Используя зависимость (3.108) и учитывая, что 8=0,
для эллиптических орбит первого и второго рода
получим такие выражения:
У х8
'9n = 7l/^[2(*+1)*-e(*) + sM*)]=^(*)-
У X3
Следовательно, нормированная энергетическая
характеристика для угла перехода ф=180° не зависит от
параметра к (рис. 3.16). Из рис. 3.16 видно, что кривые
x=x(f) при значениях ф Ф 180° лежат в некоторой
окрестности для кривой ф = 180° и тем ближе к ней, чем
меньше k и ближе время перехода к граничному.
Учитывая, что при ф<360° уравнение Эйлера—Ламберта
всегда имеет решение и притом единственное, нормиро-
108
ванные энергетические характеристики можно
аппроксимировать зависимостью вида
2
X =
Ш tl
(3.10Э)
Коэффициенты ао, аь аг в выражении (3.109) могут
вычисляться из условия прохождения кривой через две
Рис. 3.16. Нормированные энергетические
характеристики
* dZ
заданные точки и равенства нулю производной -gj- в
точке с координатами х=1, /=1.
Для эллиптических орбит первого рода (t<\) в
качестве таких точек можно взять точку %=1, /=1 и
точку *=0; /=/п, соответствующую параболической орбите
перехода. Исходя из этих условий получим систему
линейных уравнений:
а1+2а2 = 0;
«o + ai + a2=si;
«о + «Л1 + «at2-a J
109
Определив значения ац (/ = 0, 1, 2) и подставив их в
выражение (3.109), получим
*-'-ЫУ(¥)' <зпо)
Для эллиптических орбит второго рода в качестве
второй точки можно выбрать, например, точку х = х* =
=0,75 и соответствующее ей значение /*, определяемое
непосредственно из уравнения Эйлера—Ламберта для
орбит второго рода и граничной орбиты. Тогда, решая
соответствующую систему уравнений, получим
;э11=1—0,75 (^37) (~у) • (зли)
Формулы (3.110) и (3.111) можно использовать для
расчета начальных значений большой полуоси орбиты
сближения при применении методов последовательных
приближений, а также для приближенного анализа
энергетических затрат «а сближение. Для этого достаточно по
формулам (3.90), (3.92) рассчитать /ш frp, а затем в
зависимости от величины т по формулам (ЗЛЮ) или
(3.111) соответствующее значение хЭг 0 = 1, II).
Как видно из рис. 3.16, точность расчета по
формулам (3.110) и (3.111) повышается при £->!, т. е. когда
время сближения примерно равно времени перехода по
соответствующей граничной орбите. Однако наряду с
этим случаем целесообразно рассмотреть также случай
сближения КА с исходной орбиты, близкой к круговой.
Если при этом еще допустить, что энергетические
запасы КА по характеристической скорости не превышают
двух десятых круговой скорости на орбите радиуса гь
то можно пренебречь квадратом отношения импульса
скорости в точке М к скорости на круговой орбите
радиуса п.
Для вывода этих зависимостей воспользуемся
безразмерными величинами из выражений (3.77), а также
величиной V=Vm/Vmk. Очевидно, можем записать, что
ПО
V2 = 2—x, где x=l/a = ri/a. Полагая, что VM = l+&VM,
Х=1-ДХ, ДКЖ<1, АХ<С1, получим ДХвгЛУ^
Теперь допустим, что прикладываемый в точке М
импульс скорости изменяет только тангенциальную
составляющую скорости. Тогда Дх~2Д$. Используя
разложение для средней аномалии М по степеням
эксцентриситета е с точностью до линейных членов, будем
иметь:
— для точки М
^ = &M-2*sin^; (3.112)
— для точки N
MN = bM + )-2esin(bM + Vf (3.113)
где Ом — значение истинной аномалии в точке М для
орбиты сближения.
Используя выражения (3.112) и (3.113), зависимости
5тдж = — ?т), cos&m = — (S2—1) [39] и равенство
(k—совф) £2+Stqsin ф— (1—cosф) =0, получаемое из
уравнения годографа скорости, и, принимая во внимание,
что ?=1 +А$, т)=Лт], получим:
д£ = -J- [2(1 - k)(\ - cos <M - (2irx - <|>)sin 4>]; I
д^ =-L[2(A-cos <|>)(2i£- <J>)-(6*x-4sin ♦)(!-*)],)
(3.114)
X
где A =4(1 + k)(\ — cos<J>) — бтсхэтф; x = -=r-;
-.-«■/4
Г|
Вычислив AS и At], можно определить требуемое
значение скорости в точке М, при которой обеспечивается
переход в точку N за время х, а затем по общим
правилам найти параметры орбиты сближения или
составляющие импульсов скорости.
Ш
Глава IV
МЕТОДЫ БЛИЖНЕГО НАВЕДЕНИЯ,
ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЗАКОНЫ
ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 4.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ
БЛИЖНЕГО НАВЕДЕНИЯ, ОСНОВАННЫХ
НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЗАКОНОВ
ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
О адача этапа ближнего наведения со-
^ стоит в том, чтобы маневрирующий КА
попал в зону причаливания, т. е. на расстояние
нескольких сот метров от объекта, совершающего свободный
орбитальный полет [11]. Относительная скорость при
этом не должна превышать допустимого значения.
Непосредственный «мягкий» контакт стыкуемых объектов
совершается на этапе причаливания.
Движение КА и принципы управления на этапе
ближнего наведения и причаливания существенно
отличаются друг от друга. Поэтому эти два этапа обычно
рассматриваются отдельно.
Если сближение КА не должно завершаться
стыковкой (например, пролет мимо цели на некотором
расстоянии), то этап причаливания отсутствует.
Перейдем к характеристике методов ближнего
наведения КА. Эти методы обычно разделяют на две
группы [11]: методы наведения, основанные на
использовании законов орбитального движения, и методы
наведения, при которых законы орбитального движения не
используются.
В данной главе излагаются методы ближнего
наведения первой группы. Они предполагают знание
параметров орбиты КА и наличие на его борту устройств
для определения параметров относительного движения
в орбитальной системе координат.
Как показывает само название этих методов,
значительная часть траектории сближения КА представляет
собой участок (или несколько участков) свободного ор-
П2
битального движения. Управление сближением
сводится к последовательной коррекции орбитального
движения КА, обеспечивающей выполнение заданных
конечных условий. При этом для «мягкой» встречи КА этап
ближнего наведения обычно рассматривается из
условия обеспечения встречи объектов с нулевой
относительной скоростью, так как на этапе причаливания
предполагается только незначительная коррекция
параметров относительного движения.
В зависимости от соотношения между
продолжительностью участков коррекции и участков свободного
орбитального движения рассматривают импульсные и
непрерывные программы сближения КА [28]. В том
случае, когда каждый из активных участков коррекции
составляет незначительную часть от общей
продолжительности процесса сближения, для решения многих
практических задач можно принять импульсную схему
изменения скорости КА на участке коррекции (импульсные
методы сближения). Если же тяга двигательной
установки маневрирующего аппарата невелика и
продолжительностью участка коррекции пренебречь нельзя, то
рассматривают непрерывные программы управления
сближением. В ряде случаев, например для определения
характеристик точности процесса сближения, даже при
малой продолжительности активных участков
использование импульсной схемы оказывается неприемлемым.
Таким образом, под непрерывными программами
сближения КА будем понимать не только такие
программы, при которых осуществляется управление
аппаратом на всем участке ближнего наведения, но и такие,
когда участок коррекции составляет только некоторую
часть всей траектории сближения. Очевидно, более
точно следовало бы называть эти методы не методами
непрерывного управления, а программами сближения с
учетом конечной величины тяги двигательной установки
КА на участке коррекции. Но для краткости указанные
методы будем все же называть методами непрерывного
управления сближением КА.
При импульсных методах управления сближение КА
и конечное выравнивание скорости достигаются за счет
приложения отдельных импульсов тяги, рассчитываемых
по данным измерений всех шести параметров
относительного движения.
113
Наиболее известным и простым из импульсных
методов является двухимпульсный метод сближения, при
котором первый импульс обеспечивает прохождение
траектории через расчетную точку встречи в заданное
время, а второй импульс сообщается в конце
сближения для выравнивания скоростей КА.
Основное достоинство двухимпульсного метода
заключается в том, что при времени сближения, не
превышающем половины периода обращения цели,
обеспечивается меньший расход топлива по сравнению с
другими известными методами сближения [11].
Следовательно, при указанных ограничениях на
продолжительность процесса сближения КА этот метод в
энергетическом отношении является оптимальным.
К недостаткам двухимпульсного метода сближения
следует отнести то обстоятельство, что при
практическом его осуществлении ошибки в величине и
направлении первого корректирующего импульса неизбежно
приводят к промаху, т. е. к тому, что через заданное
время х КА не приходит в начало орбитальной системы
координат. Ошибки корректирующего импульса
определяются погрешностью измерительных и вычислительных
средств, неточностью уравнений, заложенных в
вычислительные устройства, неточным знанием параметров
орбиты КА, ошибками исполнения команд и т. д.
Вследствие этого двухимпульсный метод без проведения
промежуточных коррекций не может обеспечить требуемую
точность сближения КА.
Коррекция может осуществляться: в заданные
моменты времени, при заданных значениях какого-либо
из параметров, при определенных соотношениях между
прогнозируемым отклонением траектории от точки
встречи и оставшимся временем до встречи. Последний
способ более выгоден по расходу топлива, а первый
наиболее просто реализуем.
Моменты коррекции до начала этапа ближнего
наведения могут выбираться только на основе априорных
данных об ошибках, обусловливающих отклонение
реальной траектории сближения от программной.
Определение же моментов коррекции в процессе сближения
осуществляется на основании известных параметров
относительного движения, вычисленных по измерениям на
интервале, предшествующем очередной коррекции,
114
Значительным недостатком двухимпульсного метода
и его разновидностей является необходимость
импульсного гашения относительной скорости в конце
сближения. Это приводит к тому, что за счет конечной
величины тяги, ошибок в определении величины и
направления второго импульса, задержки включения двигателя
и вследствие других причин начальные условия для
этапа причаливания могут существенно отличаться от
требуемых.
Свободным от указанного недостатка оказывается
метод затухающего перехвата [11]. Этот метод не
требует заключительного тормозного импульса, но в
отличие от двухимпульсного он уже является методом
непрерывного управления, хотя расчетные зависимости
остаются прежними. Непрерывное управление может
быть заменено несколькими импульсами. Число
импульсов выбирается таким, чтобы получить допустимые
значения промаха и относительной скорости в конце этапа
ближнего наведения.
Одним из простейших методов непрерывного
программного управления сближением КА является метод,
основанный на предположении, что величины
составляющих управляющего ускорения по осям орбитальной
системы координат постоянны. Задавая то или иное
значение продолжительности активного участка при
фиксированном времени сближения, можно
получить требуемые значения составляющих
управляющего ускорения по осям орбитальной системы
координат.
В случае необходимости может быть решена и
обратная задача — определение продолжительности
участка коррекции по заданным значениям величин
управляющих ускорений.
К непрерывным методам управления сближением
КА также относятся оптимальные программы
сближения. Решение задачи оптимального управления
сближением КА чаще всего производится в двух постановках:
выбор энергетически оптимальной программы
сближения или программы максимального быстродействия.
При этом полученная программа должна гарантировать
достаточную точность решения задачи встречи.
Иногда в качестве критерия выбирается
максимальная точность сближения при заданных ограничениях на
115
расход топлива. Требования наилучшей точности и
минимальных энергетических затрат являются
противоречивыми. Поэтому в качестве критерия обычно
выбирают один из этих показателей с учетом ограничений по
второму. То же самое относится к критериям
максимального быстродействия и минимума расхода топлива.
Кроме выбора того или иного критерия качества
существенное значение на процесс сближения оказывают те
ограничения, которые накладываются на управление и
вид траектории маневрирующего КА, а также
принимаемые при решении задачи упрощения и
допущения.
Заканчивая общую характеристику методов
наведения, основанных на использовании законов
орбитального движения, следует отметить некоторые их общие
недостатки [11].
1. Для осуществления этих методов необходимо
знать параметры орбиты цели. Ошибки в их
определении равносильны погрешностям управления.
2. Расчетные зависимости для определения
потребных импульсов скорости или параметров,
определяющих программу непрерывного управления, получаются
сравнительно простыми, если орбита цели круговая.
Учет эллиптичности орбиты значительно усложняет
расчетные зависимости, поэтому предъявляются
повышенные требования к бортовому вычислительному
устройству. Использование же для эллиптических орбит
расчетных зависимостей, справедливых для круговых
орбит, приводит при двухимпульсном методе к промаху,
а при наведении по методу затухающего перехвата — к
возрастанию расхода топлива.
3. Для осуществления сближения КА по методам,
использующим законы орбитального движения,
необходимо наличие на борту КА устройств, производящих
построение орбитальной системы координат. Это
усложняет бортовую аппаратуру.
От указанных недостатков свободны методы
ближнего наведения, не использующие законы орбитального
движения. Но применение методов наведения этой
группы обычно приводит к большим энергетическим
затратам на реализацию процесса сближения. Рассмотрению
методов наведения, не использующих законы
орбитального движения, посвящена гл. V,
116
Изучение методов ближнего наведения первой
группы начнем с рассмотрения импульсных методов
сближения.
§ 4.2. ИМПУЛЬСНЫЕ МЕТОДЫ СБЛИЖЕНИЯ.
УЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЧЛЕНОВ ПРИ РАСЧЕТЕ
ИМПУЛЬСОВ
Как уже отмечалось в гл. II, при решении ряда
практических задач можно считать, что время работы
двигательной установки КА мало по сравнению с
общим временем сближения. В этом случае изменением
положения КА за время работы двигательной
установки можно пренебречь, а изменение скорости считать
мгновенным (импульсным), приняв в уравнениях (2.45)
Px = Py = Pz = 0.
Для определения относительной скорости КА, при
которой обеспечивается встреча за заданное время т,
воспользуемся решениями системы (2.45), записанными
в виде уравнений (2.46).
Чтобы произошла встреча, необходимо выполнить
условия:
*(?о» ?отР> *) = У(?о, ?отР> *)=*(<!<» ?отр> *)=0; (4.1)
q = x, у, z,
которые образуют систему из трех уравнений
относительно требуемых значений составляющих скорости х0 тр,
{/отр, г0Тр, обеспечивающих встречу за время т.
В общем случае эта система будет нелинейной, но
каждое из уравнений в выражении (4.1) можно
представить в виде:
/ кв (^0 тр» Уо тр» ^0 тр» *v ~г /лин («^0 тр» Уо тр» ^0 тр» V "Т
+ /(*о, Уор *о. *)=0, (4.2)
где /лш(^отр, 1/отр, 2отр> т)—линейная, а /кв(#отр, #отр,
*отр, т)—квадратичная формы относительно искомых
составляющих скорости.
Для решения системы (4.1) в каждом отдельном
случае можно использовать численные методы. Если
сделать некоторые допущения, можно получить прибли-
117
женные аналитические решения. Наиболее просто они
получаются, если в уравнениях (4.1) пренебречь
квадратичными членами относительно координат и состав^
ЛЯЮЩИХ СКОрОСТИ, Т. е. ПОЛОЖИТЬ /кв(*0тр, #0тр, 2отр,
т)=0, или, что одно и то же, в уравнениях (2.46)
принять *i = t/i=2i=0. Обозначив требуемые значения
составляющих скорости, определенные при этих условиях,
через iJTp, yJTp, ijTp, систему (4.1) можно записать
так:
(4.3)
где
К*
ij — fyj + 6fyji *> J — * i 2, 3;
Ml = ml + emh i = 1, 2, 3.
Для записи коэффициентов /Ctj, M{ достаточно
подставить в решения (2.46) выражения для qKf q2 (q=*
=х9 у, г). Тогда получим:
kn == 4 sin nx — Злт, kl2 = 2 (1 — cos n x);
A21 = — 2 (1 — cos n x); &22 = s*n #x;
£88 = sin nx; mx = /глг0 + 6 (ят — sin /tx) /гу0>
m2 = (4 — 3 cos nx) ny0; m% = Я20 cos nx;
kn = 3 (2 cos nx — cos 2 /ix — nx sin /ix—1) sin ntn +
+ 3 (sin 2nx — nx — nx cos nx) cos /i*„;
A12=3 (2 sin nx —^ s*n 2ях — Дх J sin я/л +
+ -j- (4 cos лх — 3 cos 2/tx — 1) cos я*я;
fc21 = (—sin nx + 2 sin 2nx — Злх cos nx) sin л/л -f
+ (2 cos nx + 2 cos 2лх + Зях sin nx — 4) cos ntn;
(4.4)
118
k22 = (4 cos nx — 2 cos nx — 3) sin ntn —
— 2 (sin лх — sin 2nx) cos /*/„;
£33 = (-|- + 2cos/ix + -^cos2nx) sin/i/„-
— [sin nx — -y- sin 2nxJ cos я*л;
m1=[3(sinAtx—/it)sinAt^+(l— cosAtx)cos/i^]Atx0+
+ Г(-2" ~~8 cosлх+ Tcos2/1x+6aixsin/txjsinntn+
+ ( — 12sin/zx — -~sin2A*x+ 15/tx +
+ 6/tx cos nx j cos /i/„ J ny0;
m2 = [2 (cos nx — 1) sin л/л] /tx0 +
+ [(6nx cos /ix — sin 2nx) sin #/„ +
+ (13 — lOcos nx — 3 cos 2/tx —
— 6 nx sin /гх) cos я/п] /ty0;
/и3 = Гf — sin nx + ~2- sin 2#x J sin #*„ +
+ ( —j" + cos лх + T cos 2/lx) cos ntn\ nz°-
Решая систему (4.3), найдем:
*U = \(KnM2-KnMx)\\
Л1а
(4.4)
(4.5)
где Д = ^11^22—^21^12 — определитель системы (4.3).
Если орбита цели круговая, то £=0, л=(о, Кц=кц,
Mi=mi. Тогда
Д = 8 (1 — cos (ох) — Зюх sin «)т
(4.6)
И9
и требуемые значения составляющих скорости по осям
орбитальной системы координат можно найти таким
образом:
% <ох0 sin сот + [6<от sin (от —-14 (1 — cos <qt] &y01
Х0тр 3(от sin от— 8(1— cos <от) '
•t 2(1 — cos (от) ых0 Н- (4 sin (от — Зот cos сот) <оу0 .
«У о тр 3(от sin <от — 8 (1 — cos (от) '
4TP = ^0)^oCtga)x.
(4.7)
Эти же выражения для составляющих скорости
можно получить непосредственно из уравнений (2.51),
положив в них хк = ук = zv = 0; t = х и п = а>.
Более точное решение можно получить, если
представить его в такой форме:
Xq тр — «*о тр ^~ ***Ь5 1
Уотр=угтр + 8уо; м4-8)
^0 тр в ^0 тр + О20, /
гДе ^?тР> Уотр> ^отР —решение уравнений (4.1) в
случае, когда опущены квадратичные члены по
составляющим скорости и сохранены квадратичные члены по
координатам.
Система уравнений относительно неизвестных л$тр,
Уотр» ^отр бУДет иметь вид
ап
«21
#31
#12 #is
#22 #23
#32 #33-
•
Л0тр
Уотр
Z*
+
~Л1
*2
UJ
(4.9)
В этой системе
ап = Кп + к (36 sin #х + 3 sin 2#х — 21#х — 21 /it cos /гх) у0;
а12 = /Ci2 + К- Г(2/гх — Ssinnx)x0 + (-$—6cos#x —
—Y cos 2/tx — бях sin /tx) y0J;
als = -j- (a (3 — 4 cos /ix -f- cos 2ях) г0;
120
а21 = Кц + 3(л [(ях — sin ях) х0 + (б cos ях — 4 —
— 2 cos 2nx — 7лх sin Ях -f бя2х2) у0];
а22 = /Ся + 3f* (4 sin ях — sin 2ях — 4ях + 2ях cos пх) у0; _
а2з = а82 — f* ( sin йх —2~ s'n ^Wzl z°'
a3l = ц (3 — 2 cos ях — cos 2ях — Зях sin ях) z0\
«ss = АГзз + 3}* ( sin ях + -^- sin 2ях—2ях cos ях ) у0;
*! = Мх + рд [3*0у0 - (30у02 + З*2 + г2) sin ях -
— Зл:0у0 cos ях — -j- (9у2 + z\) sin 2ях +
+ з(л§+-£у8+4- г02) «« + 18у02ях cos ях];
*2=^2 + ря [-J" (21Уо + 3*2 + -г г0 +
+ 6х0у0 sin ях - (15у2 + -j- x\ + -j- z2) cos ях +
+ 4" (9Уо —Г *о) cos 2rtt ~ 6-W« +
+ 18ях(зтях—1)у2];
£3 = Мь + -j- р# (2 cos #х — 3 + cos 2/ix + 4/гх sin лх) y0z0.
Уравнения относительно неизвестных 8#о, Ъу0> 8г0
можно записать в виде системы
сп с\2 с\г
с2\ сгг ^2з
^31 ^32 ^33
•
" 8*о '
8Уо
8г0
+
~си 1
С24
'34
= 0,
(4.10)
в которой
сп = а„ + 2ххх* тр + х^з тр + x52j тр;
«12 — «12 + 2*2У5 тр + XWTP + хв^о тР;
«м=«и + 2xs^ тр + *«*sTp + хвуЗтр;
«14 = «1 Ктр)2 + *2 (У0Л1Р)2 + х3 Ктр)2 +
"+" Х4*0трУ()тр "Ь Х5-*0тр20тр + ХвУотргОтр*
121
Чтобы записать выражения для Сц (/=2, 3; /=1, 2,
3, 4), нужно взять соответствующие ац, а %я (<7=1, ..., 6)
заменить йа Xq для г=2 и vg для г=3. При этом
хх = — jx/г [ 10 sin /гх + sin 2/гх — 6/гх (1 + cos /гх)];
x2 = x3 = —— [in (8 sin /гх — sin 2/гх — 6/гх);
x4 = — fx/i (3 -— 2 cos /zx — cos 2/гх — 3/гх sin /гх);
xo = x6=0;
Хх = у.п(3 —5cos#x + 2 cos 2/гх + 6/гх sin/гх—2"^2x2J;
X2 = — 2XS = —g- [л/г (3 — 4 cos /гх + cos 2/гх);
X4 = — р/г (7 sin /гх — 2 sin 2/гх — б/гх + 3/гх cos /гх);
Xo = \ = ft vi = v2 = v3 = v4 = ft
v5 = — fji/г (sin /гх + sin 2/гх — 3/гх cos /гх);
v6 = -X2.
Таким образом, мы получили две системы линейных
уравнений (4.9) и (4.10), решая которые можно найти
приближенные значения для составляющих скорости по
осям орбитальной системы координат. Тогда
составляющие первого импульса скорости, обеспечивающего
встречу КА с целью за время х, определятся из
выражений
Ах1 = х0тр —х0; АУ1 = УотР — Уо; А^1 = ^отр — k-
Величина импульса скорости Al/*=K(Axi)2+ (Ayi)'+(A*,)S
при полярном управлении и АЦ=| AxJ+ | AyJ-f | Дг^
при декартовом управлении.
Углы <рЛуИ0д1Л определяющие ориентацию импульса
скорости относительно орбитальной системы координат,
при полярном управлении будут найдены таким
образом:
•м,. —aictg- ^
122
В том случае, когда осуществляется «мягкая»
встреча, в момент t=z необходимо приложить второй
импульс скорости, который должен выравнять скорости
сближающихся объектов. Чтобы определить величину
этого импульса, достаточно знать составляющие
относительной скорости в момент встречи. Составляющие
импульса скорости Д#2, Д#2, A*2, прикладываемого к КА,
будут равны по величине и противоположны по
направлению составляющим относительной скорости КА в
момент / = т.
Величину относительной скорости КА в момент
встречи можно определить, если продифференцировать
выражения (2.46), (2.51) и (2.52). Тогда будем иметь
следующее:
х — хк + рх\ + ех$ I
У = Ук + № + еу* (4-П)
z = zK + ixzx + ezQ; J
хк = (4х0 — 6/гу0) cos nt + 2у0 sin nt + 6пу0 — Зх0; \
ук = у0 cos nt — (2х0 — 3/гуо) sin nt; > (4.12)
zK = z0 cos nt —- nz0 sin nt\ j
xt = n [A[ cos nt — Al2 sin nt + 2Л£ cos 2nt — j
— 2AlA sin 2nt + Al5 + Al6 (sin nt + nt cos nt) + I
+ A\ (cos nt — nt sin nt)]; I
yt = n [B[ cos я/ — B\ sin л/ + 2££ cos 2nt — [
— 2BlA sin 2/г/ + £<+££ (sin nt + nt cos я/) + | (4.13)
+ Bl7 (cos nt — /г/ sin nt) + 25£ /г*];
2/«л [C[ cos /z* — C£ sin nt + 2Clz cos 2nt —
— 2C£ sin 2nt + Cl5 (sin л* + nt cos л/) +
+ Cl6 (cos л/ — nt sin л*),
где i4f, 5j, Cj определяются по формулам (2.53) и (2.54).
Теперь для определения составляющих скорости в
момент £=т достаточно в формулах (4.12) и (4.13) при-
123
нять л:о=#отр, #о=#отр> 2о=20тт>. Тогда получим
&х2=—*; ду2=—у; д4=—*-
Следовательно, Д V2 = ]/(Aa:2)2 + (Ду2)2 + (Аг2)2;
<РАТ/ =arctgTY71; в = ~ arctg-7===^==- при по-
лярном управлении и А 1^2 = I д-^21 + IДУ21 + I ^г! ПРИ
декартовом управлении.
§ 4.3. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
АНАЛИЗА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
КА
Анализ относительного движения и маневра
сближения упрощается при переходе к нормализованным
уравнениям движения [65].
Будем полагать, что цель движется по круговой
орбите радиуса г. не маневрируя, а тяга, создаваемая КА,
носит импульсный характер. При таких предположениях
угловое ускорение орбитальной системы координат
равно нулю, а угловая скорость я—со постоянна. Если
предположить, что расстояние между КА достаточно мало,
то линеаризованные уравнения движения КА в
орбитальной системе координат запишутся в следующем
виде:
Зс —2соу = 0; у + 2ш;с —3а>2у = 0; z + (t>2z = 0. (4.14)
Прежде чем интегрировать систему уравнений (4.14),
перейдем к новым безразмерным переменным, с
помощью которых в дальнейшем можно будет проводить
графоаналитический анализ. Введем безразмерные
координаты а, р, у и безразмерное время 9:
а = у/г; р = —х/r, т = *1п ¥ = <*>*• (4.15)
Безразмерные координаты представляют собой
отношения координат КА к радиусу круговой орбиты'цели,
124
а безразмерное время <р — угловую дальность полета
цели за время от ^=0 до текущего момента времени.
Перейдя в уравнениях (4.14) к безразмерным
переменным и проведя преобразования, получим уравнения
движения в виде:
Перед тем как переходить к непосредственному
интегрированию уравнений (4.16), преобразуем их, введя
нормализованные скорости.
Для этого рассмотрим проекции разностей
абсолютных скоростей КА V\=dr{/dt и цели V=dr/dt на оси
орбитальной системы координат. Обозначим проекции
разностей скоростей на оси х, у, z через Vc, Vr, Vn
соответственно. По существу Vr будет радиальной, Vc —
трансверсальной и Vn — нормальной составляющими:
1/ — ( d'* _ JL\ • т/ —. (j^L _ lL\ •
v*~\dt dt )x' vr — \dt dt j;
".-(•&-■£).• («ч
По теореме об относительном движении абсолютная
скорость КА равна геометрической сумме
относительной и переносной скоростей, т. е.
■#—ЗГ + -ХГ,. (4Л8)
где -^ относительная скорость; o)X/*i= —®(y+r)tx +
[+шХ/у —переносная скорость; 1Ху 1У — единичные
векторы «по осям х и у.
Обозначив проекции относительной скорости на оси
системы Oxyz через *, у, г, получим проекции
абсолютной скорости на эти же оси в таком виде:
(•£).-*-fr+JH (■#•),->+« (£) -А
125
Поскольку движение цели происходит по круговой
орбите и вектор ее скорости направлен вдоль оси Ох в
отрицательном направлении, то
а проекции разности абсолютных скоростей
(4.19)
Перейдем к нормализованным разностям скоростей,
разделив Vc, Vr и Vn на скорость движения цели по
круговой орбите (V=<ог). Обозначив A = Vr/V9 B= —VJV,
C=*Vn/V> получим следующее:
л _ У + <** . 5==_
• 0)_у
ь— v.
(4.20)
Если воспользоваться введенными ранее
безразмерными переменными а, р, у и <р, то соотношения (4.20)
приобретут следующий вид:
*~ЯГ-Р5 * = ^ + *: C-^L. (4.21)
Интегрирование системы уравнений (4.16) дает
возможность записать выражения для безразмерных
координат в таком виде:
a = 2(2a0 + ^)+-^sin9-(3«0+2^)cos<p;
+ 2-^cos<p + 2(3a0 + 2^-)sin(p;
T = ToCOscp+-§-sin?,
\ (4-22)
rf<f
<Ц, d% df0
где «о, ft,, To, -щ-, -^f-, -^ — значения безразмерных
координат и их производных по <р в момент *=0.
Если использовать безразмерные скорости (4.21),
определенные для момента /=»0, то выражения (4.22)
126
(4.23)
можно записать в следующем виде:
0L = 2(a0 + B0)-(aQ + 2B0)cos4+(A0 + %)slnff;\
Р = -(Ро + 2Л0)-3(а0 + Я0)<р +
+ 2(А0 + р0) cos 9 + 2 («о + 2В0) sin <p;
T = Tocos9 + C0sincip.
Дифференцирование по <р последних выражений
позволяет определить производные:
■£ = А + р = («о + 2fi0) sin <p + (Л0 + р0) cos <р; j
^i = 5-a = -3(a0 + 50)-2(^0 + po)sin4)+ 4
+ 2(a0 + 2fi0)cos<p; '
-|l = C = C0cos<p-Tosin<p.
Уравнения (4.23), (4.24) определяют три
независимые безразмерные координаты и три безразмерные
скорости, выраженные через их начальные значения.
Координаты а и у относительного движения
являются периодическими и их частота определяется орбитой
цели. Координата (3 содержит кроме периодических еще
и вековой член, присутствие которого объясняется
отличием орбитальных периодов цели и КА.
Полученные соотношения показывают, что
безразмерные координаты аир плоского движения
взаимосвязаны. В то же время плоское движение КА и
движение вдоль оси у не зависят друг от.друга.
Выводы, полученные на основании анализа решения
уравнений (4.16), позволяют после некоторых
преобразований получить достаточно простое графическое
изображение относительного движения КА. Эти решения,
записанные через безразмерные параметры, позволяют
проводить анализ движения КА в широком диапазоне
начальных условий. Однако задача анализа
значительно упрощается, если решения представить в виде
диаграмм в фазовых плоскостях. Причем, поскольку
движение КА в плоскости орбиты цели Оху не зависит от
движения, нормального к этой плоскости, фазовые
диаграммы, характеризующие эти движения, можно
представить в отдельности.
127
Рассмотрим первоначально диаграмму,
определяющую плоское движение КА. Движение КА в плоскости
орбиты цели описывается четырьмя уравнениями из
систем (4.23) и (4.24), характеризующими изменение
параметров а, р, da/dy, d$/dy. Это движение может быть
представлено в виде круговой диаграммы в фазовой
плоскости а, р/2. Для такого представления движения
необходимо провести некоторые преобразования
уравнений.
Исследование уравнений показывает, что при малых
начальных значениях безразмерных параметров ао, ро>
Л0, Во движение КА будет осуществляться по почти
круговой орбите. В системе координат Oxyz
эксцентриситет этой орбиты
е> = (оо + 2£0)2 + №о + А0)\ (4.25)
Безразмерное время прохождения КА через
перигей срш отсчитываемое от <р=0, определяется из того
очевидного факта, что при ф=<рп da}d<p=0. Тогда первое
уравнение системы (4.23) примет следующий вид:
(А0 + Ро) cos <рп + (а0 + 2#0) sin <j>„ = 0,
откуда
Нормализованная координата р„ КА в перигее будет
определяться вторым уравнением системы (4.23):
К = - (Ро + 2Л,) - 3 (а„ + В0) 9п. (4.27)
Выражения (4.25) — (4.27) позволяют записать
уравнения движения КА в плоскости орбиты цели через е,
фш рп в таком виде:
а = 2 (а0 + В0) — е cos («p — <р„);
Р = Р„ - 3 (а0 + В0) (<р - ?п) + 2е sin (<p - ?„);
-£-« sin (*-*); M4.28)
-|Е = _ а - (а0 + В0) + ecos (? - ?„).
128
Учитывая выражения (4.21), можно записать, что
da/d<p=A + $. Тогда, обозначив Л+Р через М, получим
решения уравнений плоского движения в виде:
a = 2(a0 + 50) — ecos(<p — <рп);
P==Pn-3(a0 + 50)(9-9n) + 2^sin(9-?n);
Я— - (ао + #о) + ^cos(cp-?„);
М = е sin (<р — 9П).
(4.29)
Выражение для эксцентриситета можно представить
в виде
е* = е* [sin2 (9 - ?п) + cos2 (9 - *„)].
Подставляя значения e2sin2 (ср—<рп) и е2 cos2 (ср—срп)
из первого и второго уравнений системы (4.29),
получим
*2=[а_2(а0 + Д0)]2 +
+ {"§— [¥~ "Г*** + 5о) (?-Ь)]}2
или с учетом уравнения (4.27)
e2=[a-2(a0 + fi0)]2 +
+ {4 - ["Г - М* ~ Т <a<> + 5°) *]}' <4-30>
Равенство (4.30) представляет собой уравнение
окружности радиуса е в фазовой плоскости а, р/2.
Положение центра окружности определяется координатами
2(a0 + fio) по оси a и-j—М0 — -g- (а0 + /?0)9 по оси р/2.
В общем виде круговая диаграмма плоского
движения представлена на рис. 4.1. Безразмерные
координаты КА определяются положением радиуса е
относительно начала отсчета (9=0), которое характеризуется
углом 9- Необходимо отметить, что центр окружности
смещается при увеличении ср вдоль оси р/2 со скоростью
§-(«о + Д>).
Как следует из уравнения (4.30), траектория
относительного движения КА имеет вид циклоидной
кривой — трохоиды. При 31 а0 + В0 | < 2е траектория имеет
вид удлиненной циклоиды (циклоиды с петлями), при
5 Сближение в космосе *^
3|а0 + 50| = 2£ она превращается в обычную, а при
3|«о+ ^ol> 2#—в укороченную циклоиду, которая при
3|а0 + В0\^>2е стремится к прямой.
Величины безразмерных параметров движения КА
а, В, М достаточно легко определяются из диаграммы
(рис. 4.1). Координата р определяется несколько
сложнее ввиду наличия одновременного вращения точки,
характеризующей положение КА вдоль окружности, и
*М>) f-г"
*9+вр\ -V
I Мо [1*0 ,
Рис. 4.1. Круговая диаграмма плоского
движения
смещения самой окружности вдоль оси р/2. Значение
координаты а для любого <р определяется положением
текущей точки на окружности. Для определения
безразмерной скорости В по найденному значению а
можно воспользоваться соотношением, полученным из
первого и третьего уравнений системы (4.29):
В=(а0 + В0)-а.
Величина параметра М, как следует из уравнения
(4.29), равна горизонтальному смещению текущей
точки от вертикальной линии, проходящей через центр
окружности.
Метод круговой диаграммы может быть применен и
для исследования движения КА относительно цели,
находящейся на эллиптической орбите с малым
эксцентриситетом.
Известно, что при малых эксцентриситетах орбиты
среднее движение аппарата является круговым с
радиусом, равным большой полуоси орбиты. Для получе-
130
ния круговой диаграммы эллиптического движения цели
относительно ее среднего кругового движения можно
использовать полученные выше результаты. Для этого
достаточно рассмотреть движение цели относительно
некоторого фиктивного аппарата, движущегося по
круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси
орбиты цели.
Все свойства полученной ранее круговой диаграммы
остаются в силе. При этом необходимо учесть, что
среднее движение и движение цели по эллиптической орби-
Рис. 4.2. Круговая диаграмма плоского движения
при эллиптической орбите цели
те совпадают по периоду. Центр окружности круговой
диаграммы, характеризующей это движение, не
смещается.
Диаграмма, характеризующая движение КА
относительно цели, движущейся по эллиптической орбите,
приведена на рис. 4.2. Окружность, характеризующая
движение цели, имеет радиус, равный эксцентриситету ее
орбиты е\ с центром в начале координат а, (3/2.
Круговую диаграмму можно использовать и при
анализе бокового движения КА, причем ее построение
оказывается более простым, чем построение диаграммы
плоского движения.
Боковое движение КА описывается уравнениями:
i-*«-* + <W"*} (4.31)
C = C0cos9 — Tosm<p- ) v '
5* 131
Решая совместно эти уравнения и исключая
переменную <р, получим
Полагая, что угол % между плоскостями орбит КА и
цели (рис. 4.3) является достаточно малым, найдем
зависимость его от начальных параметров г0 и Со.
Рис. 4.3. Взаимное расположение
орбит КА и цели
Пусть текущее положение КА на орбите
определяется углом ср. Радиус-вектор гх и вектор скорости V\ КА
образуют с ребром двугранного угла х углы <р—ср0 и
~Y -f ср — ср0. Проекции векторов гх и V\ на нормаль к
плоскости орбиты КА с точностью до малых первого
порядка определяются по формулам:
Т = "Г" = х sin (<р — ср0); |
. (4.32)
C = ir=Xcos(<p-cpo). I
Из уравнений (4.32) следует, что
Х2 = С2 + Т2. (4.33)
Полученная зависимость представляет собой
уравнение окружности радиуса х в фазовой плоскости у, С
с центром в начале координат при аргументе <р,
который изменяется на 2 ic за один оборот КА. Окружность
характеризует изменение параметров у и С и является
круговой диаграммой бокового движения КА (рис. 4.4).
Точка пересечения окружности с положительным
направлением оси С соответствует восходящей узловой
точке пересечения орбит.
132
Полученная круговая диаграмма позволяет
проводить анализ изменения параметров бокового движения
и определять их текущие значения.
,
/ с°
\ ^
\с
УЧ\
x/i\
/ 1 ^
%у
у Рис. 4.4. Круговая диаграмма
' бокового движения
§ 4.4. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
РАСЧЕТА ИМПУЛЬСНЫХ ТРАЕКТОРИИ
СБЛИЖЕНИЯ
Анализ относительного движения КА при наличии
импульсного изменения его скорости, создаваемого для
осуществления сближения аппаратов на этапе
ближнего наведения, может быть достаточно легко проведен с
помощью графоаналитического метода, основанного на
круговых диаграммах.
Импульс скорости ДУ, сообщаемый двигателем КА,
можно представить в виде трех составляющих по осям
орбитальной системы координат Oxyz: радиальной ДУГ,
трансверсальной ДУС и нормальной ДКП составляющих.
При анализе сближения будем использовать
безразмерные импульсы: ДЛ=ДУГ/У, AB=AVJV и ДС=
Как следует из уравнений (4.30) и (4.33),
представляющих собой уравнения окружностей, описывающих
плоское и боковое движение КА, а также из самих
круговых диаграмм, при известных начальных условиях
параметры движения КА можно определить в любой
текущий момент времени, в том числе и в момент
начала этапа ближнего наведения.
133
Рассмотрим, как можно представить безразмерные
импульсы скорости на круговых диаграммах,
характеризующих относительное движение КА, и как эти
диаграммы будут изменяться в зависимости от
приращения скорости. Вначале проведем анализ диаграммы
плоского движения (в фазовой плоскости а, р/2).
Обозначим через <р безразмерный момент времени приложения
импульса. Поскольку импульс прикладывается
мгновенно, то координаты КА в момент его приложения не
изменяются.
По известным начальным условиям можно
построить круговую диаграмму, характеризующую
движение КА в любой момент вреАмени, в том числе и в
момент приложения импульса. На рис. 4.5 приведена
такая диаграмма. Окружность Ко радиуса е0
характеризует движение, а точка Р (а, р/2) определяет
положение КА в момент <р до приложения импульса.
Составляющие скорости КА равны Л и В.
Рассмотрим последовательно, как будет
видоизменяться диаграмма при приложении безразмерных
импульсов ДЛ (рис. 4.5, а) и ДВ (рис. 4.5,6). В момент
времени <р после приложения импульса (АЛ или ДВ)
координаты КА не изменяются, и та же самая точка
Р (а, р/2) определяет положение КА. Безразмерный
радиальный импульс АЛ, направленный параллельно
местной вертикали цели, приводит к приращению
параметра М, определяющего горизонтальное смещение
точки Р от вертикальной линии, проходящей через центр
окружности, причем ДМ=ДЛ. Но так как положение
самой точки не изменяется, то приложение радиального
безразмерного импульса АЛ приводит к
горизонтальному сдвигу (вдоль оси р/2) центра окружности
[(рис. 4.5, а). В результате такого сдвига и неизменного
положения точки Р (си, р/2) получаем новую
окружность К\ радиуса еи которая будет характеризовать
движение КА на момент после приложения
радиального импульса. Скорости смещения центров
окружности /Со и К\ вдоль оси р/2 одинаковы.
Исходя из того, что радиус окружности численно
равен величине эксцентриситета орбиты КА, по
диаграмме можно определить величину и место
приложения импульса АЛ для сведения орбиты к круговой. Им-
134
Рис. 4.5. Круговая диаграмма маневра в плоскости орбиты цели в случае приложения;
в —импульса * А; б—-импульса *В
Сл
пульс должен прикладываться в тот момент ср, когда
М=±е0. При этом
АА=Те0. (4.34)
Из диаграммы видно, что такой импульс может
быть приложен в момент времени 9 = сРп + -|"-
Аналогичным образом можно рассмотреть
приложение безразмерного импульса ДВ в направлении,
перпендикулярном радиусу-вектору цели (рис. 4.5,6).
Импульс ДВ приводит к сдвигу центра окружности на
величину 2ДВ. Ввиду того что в момент подачи
импульса координаты КА не изменяются, смещение центра
окружности вызывает изменение ее радиуса. Кроме того,
скорость смещения центра новой окружности вдоль
оси будет отличаться от первоначальной и равна
Если ао+£0>0, то при ДВ>0 центр смещается в
отрицательном направлении оси (3/2 с большей скоростью;
при ДВ<0 и[Д£[<|а0 + В0\ центр смещается в
отрицательном направлении, но с меньшей скоростью; при
ДЖО и| ДВ|>|а0+В0|смещение происходит в
положительном направлении оси (3/2.
Трансверсальный импульс, приложенный в момент
времени <р=<рп+тсА1 (я=0, 1, 2, ...), может свести орбиту
КА к круговой. При четных значениях п приращение
скорости ДВ =—е0/2, при нечетных ДВ=е0/2.
Сравнение величин импульсов ДЛ и ДВ, потребных
для сведения к нулю эксцентриситета орбиты,
показывает, что требуемый импульс ДВ вдвое меньше
требуемого радиального импульса ДЛ.
Представление нормального безразмерного
импульса ДС на круговой диаграмме бокового движения КА
несколько проще предыдущих случаев. Круговая
диаграмма, описывающая движение КА до и после
приложения импульса в момент <р, приведена на рис. 4.6. До
приложения импульса ДС движение КА
характеризуется окружностью радиуса %о, после приложения
импульса — окружностью радиуса %. Положение КА в фазовой
плоскости у С до приложения импульса определяется
координатами у, С; после приложения — у» С+ДС.
136
Как следует из диаграммы, угол х между плоскостями
орбит аппаратов можно устранить и тем самым
совместить плоскости орбит, если приложить нормальный
импульс АС= ±хо в момент, когда у = 0. Равенство нулю
координаты у соответствует узловым точкам,
находящимся на линии пересечения плоскостей орбит аппаратов.
Рис. 4.6. Круговая диаграмма боко- Рис. 4.7. Взаимное распо-
вого маневра ложение КА и цели
Проиллюстрируем применение метода круговых
диаграмм некоторыми примерами маневра сближения КА
с целью. Рассмотрим наиболее простой случай, когда
Рис. 4.8. Круговая диаграмма двухимпульсного маневра
сближения
оба аппарата двигаются по круговым орбитам одного и
того же радиуса г, а угол между плоскостями орбит
равен хо; КА находится впереди цели (рис. 4.7). Круговые
диаграммы движения КА в фазовых плоскостях а, р/2
и у, С на момент пересечения КА орбиты цели
приведены на рис. 4.8. Этот момент движения примем за на-
137
чальный ф0, и ему соответствуют следующие начальные
условия: 00 = 0, % Ф О, Ло = 0, 50 = 0, То = 0, С0фО.
Один из возможных маневров сближения будет
состоять в следующем. Если время сближения КА не
фиксировано, то маневр можно осуществлять с помощью
двух импульсов. Первый импульс имеет две
составляющие — трансверсальную ASi и нормальную ACi — и
прикладывается в узловой точке. Трансверсальный
импульс переводит КА на эллиптическую орбиту так,
чтобы при последующем касании орбит в точке касания
находились оба аппарата. Нормальный импульс
совмещает плоскости орбит. Диаграмма относительного
движения КА после приложения этого импульса приведена
на рис. 4.8. Теперь плоское движение КА
характеризуется окружностью Ки которая смещается в
отрицательном направлении оси {3/2. Величина импульса ABi
выбирается такой, чтобы спустя т оборотов КА он
сблизился с целью, т. е. <х=0, 0/2=0. В этот момент
прикладывается второй трансверсальный импульс ДВг=—Д^1
и КА занимает требуемое положение.
Величина импульса Afii, а следовательно, и Д£г
определяется из второго уравнения системы (4.23) при
условии 0=0:
P = -(Po + 2^0)~3(a0 + 50)(p + 2(p0 + ^o)cos<p +
+ 2(a0+250)sin9.
Так как после приложения первого импульса
А) = 0, а0 = 0, B0 = ABV р0^0, 9 = 2тш, то
р = — р0 — ЗАВ^пт + 2% = 0.
Отсюда
Нормальный безразмерный импульс ACi
определяется в соответствии с формулой АС=|Х0|.
Суммарный импульс скорости, создаваемый
двигателями, ориентированными вдоль осей орбитальной
системы координат Oxyz, составляет
138
В случае если импульс создается одним двигателем,
то
^=У^ЫШ2+Ш- <4-38>
Как видно из выражений (4.37) и (4.38), величина
импульса может быть уменьшена до достаточно малого
значения, если увеличить число оборото-в КА между
подачей первого и второго импульсов.
Предположим, что время сближения задано и
равно <рс. В этом случае необходимо определить требуемые
приращения скорости КА, обеспечивающие сближение
КА в заданный момент. Для определения
безразмерного времени сближения в зависимости от начальных
условий воспользуемся первым и вторым уравнениями
системы (4.23), приравняв нулю безразмерные
координаты а и р в момент сближения. Из первого уравнения
следует, что
2В0 + М0 sin <рс — 250 cos ?с = О,
откуда
<Pc=2arctg^ или x = 4arctg -^-. (4.39)
Из второго уравнения системы (4.23) определяется
связь между параметрами j3o, Mo, 50, которые
удовлетворяют равенству (4.39).
Отношение времени сближения т к периоду
обращения цели t
Пусть т задано и равно Т/4. Тогда М0/В0 = 2 tg -£- =
=2. Это означает, что для осуществления сближения
радиальный импульс должен быть вдвое больше транс-
версального.
Найдем величины требуемых импульсов при двух-
импульсном сближении за время х=Г/4. Первый
импульс прикладывается в момент пересечения КА
орбиты цели для совмещения плоскостей орбит и перехода
на эллиптическую орбиту. Этот импульс будет иметь
все три составляющие ДВь ДЛЬ ДСь
139
Нормальная составляющая ACi = xo. Радиальную и
трансверсальную составляющие импульса находят с
помощью уравнений (4.23), при условии, что в момент
встречи <х=0, (3/2 = 0, а безразмерное время сближения
<Рс = -§- • В этом случае
ДЯХ = %—. (4.41)
Учитывая условие х=7'/4, получим
ДД= ^—. (4.42)
4- — *
Второй импульс прикладывается в момент
пересечения КА орбиты цели. Одновременно в этой точке
находится цель. Импульс имеет две составляющие: ДВг и
АЛ2, равные по абсолютной величине ABi и ДЛ1
соответственно. В результате его приложения КА переходит
на орбиту цели.
Окончательно величины первого и второго
импульсов определяют из выражений:
AVX=V
AV2= %^5 V.
(4.43)
Для сравнения с предыдущими случаями проведем
анализ сближения КА, осуществляемого подачей трех
трансверсальных импульсов, прикладываемых в апси-
дальных точках орбиты КА (орбита слабо
эллиптическая). Орбиты цели и КА компланарны. Диаграмма
этой схемы сближения приведена на рис. 4.9.
Окружность /Со характеризует орбиту КА в текущий момент
времени (например, в момент начала этапа ближнего
наведения).
Первый трансверсальный импульс &В\ подается при
первом прохождении КА через перигей (в точке Р\). За
время, прошедшее с момента выведения до первого про-
140
хождения перигея, окружность Ко сместится вдоль оси
р/2 влево.
После приложения первого отрицательного
импульса | A5j | > | а0 + В01 КА переходит на орбиту,
характеризуемую окружностью /Сь которая будет уже
смещаться вправо вдоль оси (3/2. Через поло>вину периода
в апогейной точке (<рП1 + *} прикладывается второй
отрицательный трансверсальный импульс АВ2у величина
которого выбирается так, чтобы окружность /Сг,
которая будет характеризовать новую орбиту КА, касалась
оси р/2 в точке (фП1 + 2те).
Рис. 4.9. Круговая диаграмма трехимпульсного маневра сближения
Соотношение между величинами импульсов ABi и
АВ2 выбирают таким, чтобы второе прохождение КА
через апогей (фП| + 4ти) совпало с началом координат
а, р/2. В этот момент подается третий импульс АВ3,
положительный по направлению, который обеспечивает
переход КА на орбиту цели в момент встречи.
Смещение КА вдоль оси р/2 до приложения первого
импульса определяется на основании уравнений (4.23)
и (4.27):
К = - (Ро + 2А>) - 3 («о + Во) (-aictg-A^). (4.44)
Чтобы второе прохождение апогея после подачи
второго импульса совпало с началом координат а, (3/2,
необходимо выполнить следующее условие:
Ро. ~ Зте (*<• + Во + Щ) - 3* (а0 + В0 +
+ AB1 + ABi)=0, (4.45)
141
полученное из второго уравнения системы (4.23) при
Р = 0. После подачи первого импульса эксцентриситет
орбиты
*i = 2 (а0 + В0) - е0 + 2 (а0 + В0 + &Вг). (4.46)
Кроме того, координаты а перигея орбиты К\ и
перигея орбиты /С2 равны между собой, т. е.
-2(а0 + 50+Л51)~^1 = ~4(а0+50+А51 + А52),
откуда
ег = 4 («о + 50 + А^ + АЯ2) - 2 (а0 + 50 + АВг). (4.47)
Приравнивая выражения (4.46) и (4.47), получим
Щ = ±[2(*0+В0)-е0]. (4.48)
Подставляя формулу (4.48) в выражение (4.45),
получим
А5>=w —f ("о+5°) - 4- *• <4-49>
Третий трансверсальный импульс
А53 = ~(а0+50)-.А^-А52
или
45» = —fer + 4" <*о + В0) - -jj е0- (4.50)
Суммарный импульс
ЛВ* = ТЯГ - 4- (a° + 5«) - 4 «о- (4.51)
Рассмотренная схема сближения на этапе ближнего
наведения, конечно, не является единственной при
данных начальных условиях. Видоизменение схемы
сближения может быть проведено для увеличения времени
слежения за КА в интервалах между приложением
импульсов и для уменьшения энергетических затрат на
сближение.
142
§ 4.5. ПРОГРАММА СБЛИЖЕНИЯ КА БЕЗ
ОГРАНИЧЕНИЙ НА УСЛОВИЯ ВСТРЕЧИ
В предыдущих параграфах были рассмотрены
импульсные методы сближения КА, которые могут быть
использованы при небольшой продолжительности
активных участков и для предварительной оценки
энергетических затрат, необходимых для реализации процесса
сближения. При значительной величине
корректирующих импульсов, учитывая ограничения на величину
тяги маневрирующего аппарата, применение указанных
методов будет приводить к существенным ошибкам.
Чтобы более точно определить расход топлива на
сближение КА, также необходимо решить эту задачу с
учетом конечного времени действия тяги на участках
коррекции, так как энергетические затраты на сближение
зависят от продолжительности этих участков.
Наиболее простой алгоритм решения указанной
задачи для круговой орбиты цели получается, если
предположить, что двигательная установка КА имеет
регулируемую тягу и обеспечивает постоянные значения
составляющих управляющего ускорения по осям
орбитальной системы координат. Тогда, задавая ту или иную
величину продолжительности участка коррекции tu
будем получать потребные значения составляющих рХу ру,
pZy гарантирующих встречу КА с целью через время т.
Так как ограничения на условия встречи не
накладываются, то задача может быть решена при наличии
одного участка коррекции.
Чтобы определить значения рХ9 ру, pz, используя
полученные ранее выражения (2.55) и (4.7), запишем
следующую систему уравнений (при U ф т):
xt sin о) (x-/i)4-yi {-И Il-cos ш (?-/|)H-6w(t-/i) sin (x-/i)}
1ТР "~ 3 (т-Л) sin со (х-/,) - — [1 - cos о (x-tt)]
__ 2хх \\ - cos (о (t-frfrfy,[4 sin Ит-М-Зш (т-Л) cos cofc-/,))
1 ТР 3 (т-/|) sin <d (т-fi) - — [1 - cos (о (т - tt)\
Z\ тр = — Z\ <*> Ctg О) (t — tx))
(4.52)
143
-1 = -(^- + *-)соз^+(^-6Уо-^)х
-(з^-бшуо-^.)/,-^-/'^
л- (4+2£) *п •<>-(- 4 +»»+$)«>..<,+
г, = -J- sin «/, + (z0 - -g-j cos ml, + -g;
*i- (2Уо + %) sin •*, + (4^о - 6о,у0 - Ц£)Х
Xcos m/, — SpJi — [Зх0 — бшуо — -~j;
y'i = \—2х0 + Зшу0 + -^J sin ш/, +
+ (yo + ^)cos<-%;
*i == ( — (»z0 + -^ J sin (o^ + г0 cos (otx;
x\ тр s=s -*Y> У\ тр == У1> *1 тр = ^b
(4.52)
где лг0, у0, z0, лг0> Уо» *о— координаты КА и их
производные в момент начала участка коррекции; х\9 Уи *и %и
Уи z\— координаты аппарата и их производные в
момент окончания этапа коррекции t\\ ^1 тр, *Лтр, Zitp—
требуемые значения производных Х\9 Уи *\ для
обеспечения встречи КА с целью через время т.
Система уравнений (4.52) содержит 12 неизвестных
величин: хь уа, zu хь уь zvxlTp, ylTP, г1тр, p# ру} р?
144
Решив ее, получим следующие зависимости для
определения рх, ру, pz:
_ (аъа4 + Мб — Aza6) (В2ав — М4 — Мб) —
р* (Лхав — «Л — Мв) (В2ав — М4 — Мб) —
— (А2а6 — а2а4 — Мб) (М4 + Мб — £зДе) .
— (А2а6 — а2а4 — Мб) (#i<*6 — М4 "" Ь{Ь** '
_ (Д3Д4 + Мб— Аъав) (В^ — ахЬ4 — Мб) —
"у (А2а6 — а2а4— Мб) {Bta6 — а{Ь4— Мб) —
— (Aia6 -— 0^4 — Мб) (М4 + Мб — #зДв) .
— (i4jae — я^ — Мб) (#2<*6 — М4 — Мб) '
я -- ЬФг — С2
Р* С, — схсъ '
В этих равенствах
в1»-у(1-С08О—§-ф
> (4.53)
«2-40
sin (о^
)'
<г3 = ^ cos < + (^ - 6у0) sin <rf, -
-(3*0-6(оу0);1 + (л-0+-^);
а4 = sin с» (т — /х);
а5 = —14[1 — coso)(x — ^1)] +бю(х — <i)sin<o(t — tx);
«в = 3 (х - tt) Sin а) (х - tt) ~ А [ 1 - COS <о(т - f x) J;
*1 = —Л»
*а—5г(1 —cosorf,);
*»-(^ ~ Зл)совЧ + ^.ein-rf, + (--^ + 4у0);
*4 = 2 [1 - cos «>(т-*,)];
*з = 4 sin ш (х — *,) — 3(» (х — /,) cos (о (т — *!>;
J45
сх = b2;
га
С2 = Z0 COS (o/j + -£- sin ш^;
cs = — (Dctg(a(x — tj;
Ax = —sinw/j —3^;
Л = —(1 —costt^);
Л3 = 2y0 sin mf, + (4л:0 — 6o>y0) cos «>/, — (3x0 — 6<oy0);
D sin <•>£«
/5 2== -;
#з = (~2л:0 + 3(oy0) sin Ыг + y0 cos w^;
С i = B2\
С2 = z0 cos vtx — <*>z0 sin u>tv
При непрерывном управлении КА до момента
встречи с целью (/i = t) решение системы (4.52) оказывается
неопределенным. В этом случае для расчета рХу ру, рг
можно воспользоваться зависимостями, полученными в
результате решения системы (2.55) при лс=#=2=0:
(4.54)
афъ — йз^2 .
Р*~ ахЬ2—а2Ьх '
_ Ьх (аъЬ2 — а2Ьъ)
Fy ~~~ b2(alb2—a2bl)
?2
*..
*!'
После определения составляющих рх, ру, рг можно
рассчитать необходимую величину управляющего
ускорения р при полярном управлении и определить
направление вектора тяги КА:
p = VpI + p* + p$
X
у • '*' ) (4.55)
cos / = pjp; cos m = pylp; cos n = pjp, J
где /, m, n — углы, определяющие ориентацию вектора р
относительно орбитальной системы координат.
146
Для реализации процесса сближения при полярном
управлении величина характеристической скорости
V»P=M. (4.56)
В табл. 4.1 приведены результаты расчетов,
иллюстрирующие зависимость величин р и Кхар от
продолжительности участка коррекции t\.
Таблица 4.1
Зависимость р и Кхар от времени t\
tt. с
/>,м/с2
^хар.М/С
2
338,3
676,5
5
140.2
701.0
10
72.64
726.4
20
40.04
800.7
60
(/1=т)
22.23
1334
Импульсное
сближение
667.1
Из табл. 4.1 видно, что энергетические затраты на
сближение КА при непрерывной программе управления
оказываются больше, чем для импульсной схемы
сближения. Увеличение продолжительности участка
коррекции приводит к повышению расхода топлива.
Перейдем к рассмотрению приближенной методики
оценки точности участка коррекции.
Определение ориентации КА и вектора тяги на
участке коррекции может быть осуществлено по
имеющейся на его борту информации о параметрах движения
цели с учетом желаемой продолжительности этапа сбли*
жения.
Но исходные данные для решения этой задачи
обычно известны с некоторыми ошибками. Кроме того,
параметры двигательной установки отличаются от
номинальных значений и ориентация самого аппарата
осуществляется с определенными ошибками. Все это
приведет к тому, что встречи КА с целью не произойдет и
в назначенный момент времени х аппарат пройдет
на некотором удалении от цели, определяемом
составляющими Ъх, Ьу, Ьг по осям орбитальной системы
координат.
147
Используя уравнения (2.55), можно записать
следующие зависимости для определения положения КА в
орбитальной системе координат в момент времени т:
. ^^(-^-^o-^fcos/wjsincox-
-(^ + -S-cos/)cos<ox +
+ -^f [cos m sin ш (x — fj) + 2 cos /cos u>(t— *,)] —
— 3/^x cos / + -|- /?/,2 cos / — Зх0т + 6у0«я +
+ j£./lCos» + .*o + ^r;
y, = (^- + ^c^/)sin«>r + (4-3yo-
/? \ 2/> « Г^ sin w (т—Ml ,
— -—- COS W ) COS cox f" COS / /2 ^ - +
+ -4- COS /71 COS (0 (x — /j)
^-""~ %+4Ж
ZT = -~ Sin 0)T + f Z0 — -^ COS Л J COS (Ot -f
+ -4- cos л cos a) (x — /j).
(4.57)
Зависимости (4.57) могут быть представлены в виде
следующего выражения:
?;т = ?у(*°> Уо> «6. *о, Уо, *о. А /, л, л, *ь *). (4.58)
где 0А = *Т, У,, *t.
Принимая в выражении (4.58) в качестве
переменных хо, г/о, Zo, х0у |/о, 2о, />, /, /и, /г, tu разложим
равенства для *t> yt, zx в ряд Тейлора. Тогда отклонения
148
относительных координат будут определяться
следующими выражениями:
1
(4.59)
Ьх =
Ьу-
Ьг--
/=1
-2*
=2^
:+/**';
> + **+';
' + /?•+',
/=1
где 84 = ih^ + 8yo-^ + ^^+8ifli- +
+ 8yo^ + 8i04-
,^ + 8'4- + 8'йж + 8'*-ж +
+8'ч1гК
Считая отклонения 8лс0, 8#о, 8<г0, 8х0, 8у0, 8г0, 8р, 8/,
8т, 8я, 8/i достаточно малыми, можно ограничиться
приближенными выражениями искомых зависимостей
(4.59), пренебрегая при разложении в ряд Тейлора
членами выше первого порядка малости. При этом
выражения для отклонений КА от цели в момент времени т
могут быть записаны в таком виде:
*-%*+%■■
Уо+&**о +
^I8z I дд*
dzQ
^ч,+
дх0
**
дт
Ьт +
+ ^8* + *г
^И,.
(4.60)
Следовательно, задача оценки точности решения
коррекции движения КА сводится к определению
частных производных от относительных координат хх, ут
2Т по соответствующим параметрам. Эти производные
могут быть получены дифференцированием выражений
(4.57).
149
1. Частные производные от координат по начальным
значениям х0, #о, z0:
дхг 1 аЛ л о
0Уо
-— = 6 (ост — sin сот); -^- = cos сот;
дг0
dz0
dv0 dzQ дх0 дуо
(4.61)
В случае сближения КА без ограничений на условия
встречи продолжительность этапа ближнего наведения,
как правило, невелика. Поэтому для решения
некоторых задач, учитывая малость величины шт, можно
принять sin ох=сот и cos(ox=l.
Тогда зависимости (4.61) можно записать в более
простом виде:
дх^ дух dzm
дх0
tyo
dz0 l'
дхг _ дх^ = ду, _ дух _ dz^ = dzr _
ду0 dz0 дх0 dz0 дх0 ду0
(4.62)
2. Частные производные от координат по хо, уо, z0:
дх 4 . о дЛ sin (от \
-Л = — Sin сот — Зт; -т- = •
дх0
ду0
*хх 2 /t ч d2t sin от
—-А- = — (1 — coswt); —Л = ;
ду0 " V ' dz0
дх_
*Л
dz0
дх0
dz0
дх0
= (1 —COS сот).
(4.63)
Если принять sino)t=o)T, cos<ot=1, зависимости
можно записать в таком виде:
150
дх0 ду0 дг0
дхч = дхх = дух _ ду, _ дг, ^ дг, _
дуа дг„ дха дг0 дх0 ду0
(4.64)
3. Частные производные от относительных
координат по модулю управляющего ускорения р и углам,
определяющим ориентацию вектора р:
~df =^-{cosmsino) (т — tx) +
+ 2 cos / [cos о) (х — /j) — сое сот]} +
Н cos m
О)
(<1--^)-а,(*--£-)со.*
*л
COS/Я
^
[cos ш (т — /,) — cos их] —
др
дх.
2 cos/ Г, . sin ю (-с — <|) — sin art ~|.
= -^r [cos а) (х — /j) — cos дас];
^L = 3M(x-4-)sinZ-
—^ [cos w (x — ^) — cos cox] sin /;
to.
to.
tor.
«Л
a/
д/я
dn
dn
•0;
"dS"e • IV [smcox-sinco^-/!)] -^Jsin/ю;
-ssr=~~^~ tcos OT ~cos ш (T"" 'i)l;
to.
jpsm/i
d/i
[COS cox — COS co(x — /2)]
(4.65)
Продолжительность участка коррекции U не
превышает общего времени полета т. Поэтому при
упрощении зависимостей (4.65) примем sina>T=wT, sinco/i = co^i
151
и cos cot = cos (0^1 = 1. Тогда выражения (4.65) можно
переписать в таком виде:
dl
ду ду
-j^ = titcosm; -^- = — Mxsinwt;
dm
= — Ptiy + T 'vsin';
— ptxz sin n\ -^ — txx cos n\
dzm
— ifl—i^L — Jj^L — i_L —
(to
d/
ал
d/
dm
:0.
(4.66)
4. Частные производные от относительных
координат по времени работы двигательной установки t\:
-^ = Ц- {cos т [1 - cos о) (х - tx)\ +
+ 2 cos / sin (о (х — /j)} — Зр (х — ^) cos /;
—L = — {COS /И Sin 0) (х — /х) —
— 2cos/[l ~cos<*>(x —/j)]};
-371 = — cos я sin со (x — /Л
После упрощения выражения (4.67) примут
следующий вид:
\ (4.67)
I-asjpfx-- tx)ZOSl\
\
^1
dz.
=p(? — tl)cosm;
~dtr = P(*-tl)cosn.
} (4.68)
Результаты расчетов по методике, рассмотренной в
данном параграфе, показывают, что сравнительно
небольшие ошибки в величине и ориентации вектора тяги
на участке коррекции, а также небольшие отклонения
от расчетного значения продолжительности работы дви-
152
гательной установки, Даже при т = 60 с, могут привести
к значительным отклонениям по координатам в
расчетный момент времени. Так, для /?=200 м/с2 и/| = 5с
разброс величины тяги, дающий отклонение 8р=0,5 м/с2,
может привести к ошибке по координатам до 170 м.
Отклонение в продолжительности работы двигательной
установки от расчетного значения на 0,05 с может
привести к отклонениям координат до 550 м, а ошибка в
ориентации вектора тяги на 30' — отклонениям
координат до 590 м.
Поэтому для обеспечения решения задачи встречи с
большей точностью необходимо предусмотреть один или
несколько участков повторной коррекции или
осуществить переход на непрерывное управление КА.
Глава V
МЕТОДЫ БЛИЖНЕГО НАВЕДЕНИЯ,
НЕ ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЗАКОНЫ
ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 5.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ
БЛИЖНЕГО НАВЕДЕНИЯ, НЕ
ИСПОЛЬЗУЮЩИХ ЗАКОНЫ ОРБИТАЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ
В гл. IV были рассмотрены методы
ближнего наведения КА, основанные
на использовании законов орбитального движения.
Применение этих методов при соответствующем
выборе программы позволяет получить траекторию
сближения, оптимальную (или близкую к оптимальной) по
тому или иному критерию. Однако реализация указанных
методов требует наличия на борту довольно сложной
аппаратуры. В ряде случаев может оказаться
целесообразным использовать более простые методы наведения,
в которых законы орбитального движения не
используются. Проигрывая в качестве процесса сближения по
выбранному критерию, например по энергетике, они
выигрывают в простоте их приборной реализации.
Применение методов наведения, не использующих
законы орбитального движения, позволяет решить
задачу с помощью более простой аппаратуры и при
неизвестных параметрах орбиты КА. Осуществление
сближения с помощью этих методов предполагает
использование текущей информации о параметрах
относительного движения КА. Это оказывается возможным, если
движение наводимого аппарата подчинено вполне
определенным связям, гарантирующим в случае их
идеального выполнения встречу двух объектов. Такого рода
связи называют методами наведения. Поэтому в
дальнейшем методы наведения, не использующие законы
орбитального движения, будем именовать просто
методами наведения.
154
Метод наведения является своего рода программой
движения наводимого аппарата. Если программа пол
ностью определяет закон движения управляемого
объекта, то ее называют полной [20]. Программы, которые
не определяют закон движения, называются
неполными. Методы наведения КА, основанные на
использовании законов орбитального движения, в этом смысле
представляют собой полные программы. Методы жена-
ведения второй группы являются неполными
программами, так как параметры движения наводимого
аппарата зависят не только от выбранного метода
наведения, но и от параметров орбиты цели и от полетных
свойств самого наводимого аппарата.
Решение задачи сближения не является
однозначным: движение наводимого КА возможно по
бесчисленному множеству траекторий. Вид траектории
сближения для конкретного аппарата зависит от принятого
метода наведения, выбор которого определяется целым
рядом факторов. К ним относятся:
— возможный диапазон изменения параметров,
определяющих взаимное положение сближаемых
объектов в момент начала этапа ближнего наведения;
— целевое назначение наводимого аппарата и его
полетные свойства;
— возможности системы управления;
— требуемая точность сближения на этапе
ближнего наведения и др.
Метод наведения кроме вида траектории
определяет также условия встречи КА (или начальные
условия этапа причаливания), величину потребного
управляющего ускорения (или перегрузки) и
продолжительность этапа ближнего наведения. От выбора метода
наведения зависит функциональная схема системы
наведения и состав аппаратуры, необходимый для
реализации сближения КА.
Ближнее наведение КА может осуществляться с
помощью систем самонаведения или теленаведения.
Самонаведение применяется в том случае, когда решается
задача встречи непосредственно КА с целью. Если же
задачу встречи с целью решает не КА, а запускаемое
с него специальное устройство перемещения (УП), то
для наведения УП на цель может быть использовано
как самонаведение, так и теленаведение с КА. В по-
155
следнем случае конструктивное выполнение УП может
быть более простым. Поэтому в данном параграфе
будет дана краткая характеристика методов
самонаведения и теленаведения. Некоторые из известных методов
наведения проще реализовать с помощью системы
теленаведения, а другие — с помощью системы
самонаведения. Есть и такие методы наведения, которые можно
осуществить только одним из двух указанных способов
управления.
Методы самонаведения. Для реализации
самонаведения на борту КА надо иметь устройство, измеряющее
некоторые параметры относительного движения
сближаемых объектов.
Рис. 5.1. Основные кинематические параметры
при наведении КА на цель
В системах самонаведения, как и в других системах
автоматического наведения, используется принцип
управления по отклонению. В соответствии с этим
принципом определяется отклонение некоторых параметров
истинного движения аппарата от значения этих
параметров, отвечающих требуемому движению. Это
отклонение определяется в виде сигнала ошибки системы
наведения, который в конечном итоге воздействует на
автоматику двигательной установки КА и тем самым
приводит к созданию некоторого управляющего ускорения.
Чтобы сформировать сигнал ошибки, надо знать, какой
метод наведения требуется реализовать.
Для задания метода самонаведения необходимо
определить требуемое положение линии визирования
(линии КА — цель) относительно какой-либо системы от-
156
счета. В зависимости от выбора этой системы
различаются три группы методов самонаведения [24].
Для первой группы методов самонаведения
требуется, чтобы при движении аппарата линия визирования
занимала вполне определенное положение
относительно продольной оси аппарата хх (рис. 5.1). Здесь
накладывается связь на изменение угла пеленга ?. В
простейшем случае требуется совпадение линии
визирования с продольной осью КА, т. е. £=0 (метод прямого
наведения) *. В другом
случае £=constat). В
общем случае пеленг
может меняться по какому-
либо сложному закону.
Ко второй группе
относятся методы
самонаведения, в которых
требуется, чтобы линия
визирования в процессе
сближения занимала вполне
определенное
положение относительно вектора
скорости КА. В этом
случае накладывается связь
на изменение угла
упреждения [11. Наиболее
простым вариантом является
случай при рп=0, когда
вектор скорости наводимого аппарата направлен на
цель (метод погони, рис. 5.2).
Если в процессе наведения угол упреждения p.i =
= const=^0, то такой метод наведения называют
методом погони с упреждением. В общем случае угол
упреждения может быть переменным, изменяясь по вполне
определенному закону во времени или в зависимости от
некоторых кинематических параметров, как в методе
пропорционального сближения, когда угловая скорость
вращения вектора скорости наводимого аппарата 8i
пропорциональна угловой скорости линии визирования
Рис. 5.2. Наведение по методу
погони
* Предполагается, что вектор тяги направлен по продольной
оси аппарата,
157
К третьей группе методов самонаведения относятся
те из них, в которых при управлении движением КА
требуется обеспечить вполне определенное положение
линии визирования относительно некоторого
фиксированного в пространстве направления. В этом случае
необходимо потребовать, чтобы угол <р (рис. 5.1) менялся
в соответствии с некоторым законом. Здесь самому
простому случаю соответствует метод параллельного
сближения, когда ср =
=const и линия
визирования перемещается
поступательно (рис. 5.3).
Рассмотренные
методы самонаведения, как
и другие методы
наведения, применяемые для
телеуправляемых
аппаратов, в случае их иде-
Рис. 5.3. Наведение по методу ального выполнения га-
параллельного сближения рантируют встречу двух
объектов *.
Условия встречи, в том числе и относительная
скорость в момент встречи, могут быть самыми
различными. Поэтому для обеспечения сближения КА с нулевой
или близкой к нулю относительной скоростью в момент
их контакта применение указанных методов наведения
оказывается недостаточным. Для «мягкой» встречи КА
необходимо дополнительно предусмотреть управление
скоростью сближения, с тем чтобы к моменту начала
этапа причаливания она не превышала допустимых
значений. Выбирая закон изменения скорости сближения
КА, необходимо учитывать влияние этого закона на
расход топлива и на другие важные показатели процесса,
например на время сближения.
Методы теленаведения. Методы теленаведения,
определяющие взаимное положение цели, наводимого
устройства перемещения и пункта наведения (КА), т.е.
трехточечные методы, можно разделить на две группы
[24]. К первой группе относится метод наведения, для
которого траектория требуемого движения наводимого
* Метод прямого наведения не всегда может обеспечить
встречу двух движущихся объектов.
158
аппарата определяется условием Дср = 0 (рис. 5.4 и 5.5)
или ср2 = 9- В этом случае для точного выполнения
условия наведения УП должно всегда находиться на
прямой, соединяющей КА и цель. Поэтому такой метод
называют методом совмещения, или методом накрытия
цели. Иногда указанный метод именуют методом трех
точек, или наведением по лучу.
Рис. 5.4. Основные кинематиче- Рис. 5.5. Наведение по методу
ские параметры при теленаве- накрытия цели
дении КА на цель
Метод накрытия цели для своей реализации требует
измерения только угловых координат наводимого
аппарата и цели: <р и ф2- Исследование траекторий
аппаратов, наводимых на цель по этому методу, показывает,
что кривизна их в ряде случаев может быть достаточно
большой. Если же относительные скорости КА и цели
невелики и угловая скорость линии, соединяющей эти
два объекта, тоже мала, то применение метода
накрытия цели может оказаться вполне оправданным.
Для спрямления траекторий и уменьшения
динамических ошибок УП можно наводить в упрежденную
точку. Такое наведение относится ко второй группе
методов наведения. В том случае, когда закон движения
цели точно известен и известен закон изменения
скорости наводимого устройства, можно построить такую,
даже в некоторых случаях прямолинейную
(относительно КА), траекторию, двигаясь по которой УП придет
одновременно с целью в некоторую упрежденную точку
159
встречи. Если закон движения цели неизвестен (а это
наблюдается в нашем случае), задаются гипотезой о
характере движения цели. В простейшем случае можно
предположить, что цель летит по прямой с постоянной
скоростью. Метод параллельного сближения
представляет собой метод наведения в упрежденную точку в
предположении, что движение цели является
равномерным и прямолинейным (точка В на рис. 5.1 является
упрежденной точкой встречи).
Можно задавать различные законы или программы
изменения угла упреждения, получая при этом
различные методы наведения с упреждением. Анализируя эти
законы, можно выбирать их параметры так, чтобы
получить траектории, удовлетворяющие каким-либо
заданным особым требованиям, например требованию
минимальных потребных перегрузок.
Из рассмотренных методов наведения для встречи
КА наиболее перспективным считается метод
параллельного сближения.
Заканчивая характеристику методов наведения, не
использующих законы орбитального движения, еще раз
отметим, что основным достоинством этих методов
является возможность их реализации с помощью более
простой аппаратуры и при неизвестных параметрах
орбиты цели. Главный недостаток этих методов —
больший расход топлива, чем при наведении по методам,
использующим законы орбитального движения [11].
§ 5.2. ИНЕРЦИАЛЬНОЕ И ОРБИТАЛЬНОЕ
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СБЛИЖЕНИЕ
При наведении КА по методу параллельного
сближения линия визирования цели должна перемещаться
поступательно. Рассматривая решение задачи встречи
орбитальных аппаратов, ориентацию линии визирования
цели можно определять либо относительно инерциаль-
ной базисной системы отсчета (инерциальное
параллельное сближение), либо относительно орбитальной
системы отсчета (орбитальное параллельное сближение)
[36], когда в качестве базиса отсчета используется
местный горизонт. Эти базисы представляют особый
интерес для упрощения измерения и обработки данных,
необходимых для решения задачи встречи с помощью та-
160
кой аппаратуры, как гироскопические датчики угловой
скорости и сканирующие датчики горизонта.
Траектории сближения космических аппаратов для двух
рассматриваемых модификаций метода параллельного
сближения и характер перемещения линии визирования
изображены на рис. 5.6. Решение задачи
рассматривается при следующих предположениях:
— орбита цели круговая или близка к круговой;
— движение сближающихся аппаратов происходит
по компланарным орбитам;
Рис. 5.6. Параллельное сближение:
а — инерциальное; б — орбитальное
— Земля представляет собой тело сферической
структуры;
— этап ближнего наведения начинается при
небольшой относительной дальности по сравнению с
радиусом-вектором, определяющим положение цели
относительно центра Земли;
— оба сближающихся объекта представляют собой
материальные точки.
Для изучения орбитального и инерциального
параллельного сближения КА воспользуемся полученными
ранее уравнениями относительного движения
сближающихся объектов в сферической системе координат (2.91) и
(2.92). Первая из двух указанных систем уравнений
более пригодна для исследования орбитального
параллельного сближения, а вторая — инерциального.
Для наведения по методу параллельного сближения
КА необходимо сообщить вполне определенную
скорость, величина и направление которой соответствуют
траектории метода наведения при заданном времени
полета до встречи.
6 Сближение в космосе
161
Законы параллельного сближения, рассматриваемые
в данном параграфе, обеспечивают встречу аппарата с
целью за счет регулирования только угловой скорости
линии визирования. В том случае, когда необходимо
«мягкое» сближение, требуется предусмотреть
регулирование скорости сближения в функции от дальности
на конечном участке встречи. Однако чтобы сближение
выполнялось достаточно быстро, торможение должно
производиться по возможности позже. В работе [36]
предполагалось, что конечное торможение
производится на последних 600 м. Установлено было, что величина
энергии, которая расходуется на торможение при
дальностях, меньших этого значения, мало зависит от
способа торможения. Но это справедливо лишь тогда,
когда сближение выполняется за ограниченное время.
Перейдем к более детальному рассмотрению инерци-
ального и орбитального параллельного сближения.
Инерциальное параллельное сближение. В случае
инерциального параллельного сближения идеальное
управление означает, что в выражении (2.92) <рн=0, и,
следовательно, <рн=<рно. Используя это условие, а также
принимая во внимание равенство до—9=—со? и то, что
для поддержания метода наведения нет необходимости
прикладывать тягу вдоль линии визирования (pD=Q),
получим уравнения инерциального параллельного
сближения:
О + ^ + чг^^±ут(9н0^Ы)^0; (5.1)
- чг (тг - -j\ cos (<p„o - ©0 =рп . (5.2)
Уравнением (5.1) определяется зависимость
дальности от времени при сближении вдоль линии
визирования. По второму уравнению находим величину
управляющего ускорения * по нормали к линии визирования,
необходимого для поддержания метода наведения.
Уравнения (5.1) и (5.2) легко могут быть решены
численными методами. Однако в ряде случаев
оказывается целесообразным использовать соответствующие
* При записи уравнений относительного движения нормальную
составляющую управляющего ускорения р9 будем обозначать
через рп.
162
линеаризованные уравнения. Линеаризуем сначала
второе из рассматриваемых уравнений. Учитывая, что
это уравнение весьма легко привести к такому виду:
— За>2£> sin (9но ~ «О cos (<рн0 — «/) = рп. (5.3)
Для линеаризации уравнения (5.1) воспользуемся
вытекающей из уравнений (5.2) и (5.3) подстановкой
*°г (1* ~ 7з \ = 3a)2jD sin (?но — <°0 и учтем, что — »
~7*" и "^==:а)2- Тогда получим
D - ш2£> [2 sin (<ри0 ~ «О — cos2 (ср„о — «>/)] = °- (5-4)
Принятые при линеаризации допущения не
оказывают существенного влияния на точность вычисления
расходуемой при сближении энергии. Результаты,
полученные на основе линеаризованных и точных уравнений,
различаются меньше чем на 5%, если начальная
дальность меньше 45 км и время сближения не больше
одного орбитального периода. Линеаризация дает
возможность получить аналитическое решение уравнения
(5.4) в виде рядов [36].
Потребный расход энергии для реализации «мягкой»
встречи КА может быть определен суммарным
значением характеристической скорости:
Д1/2 = Д1/1 + Д1/пс + Д1/2, (5.5)
где SV\ — характеристическая скорость, необходимая
для перехода КА на траекторию метода параллельного
сближения; Д1/пс— затраты характеристической
скорости для реализации метода наведения;. ДК2 — импульс
скорости для торможения КА при встрече с целью.
Определение характеристической скорости AVi будет
рассмотрено отдельно (в следующем параграфе).
Сумма Д1^ = ДУпС+ AV2 может быть представлена в
виде графиков в функции начальных значений
переменных D0, Do, Фно, соответствующих моменту перехода на
наведение по методу параллельного сближения
6*
163
(рис. 5.7). С помощью этих графиков по известным
начальным условиям определяется значение V'z.
Время, требуемое для сближения, можно выразить
в функции тех же начальных условий. Кривые времени
12 D0(o/lD0
Рис. 5.7. Безразмерная характеристическая
скорость для инерциального параллельного
сближения
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2Ъ0и/\Ь6\
Рис. 5.8. Безразмерное полетное время для инерциального
параллельного сближения
сближения показаны на рис. 5.8, где в качестве
безразмерного времени используется величина ют. По этим
кривым можно найти значение отношения D0(o/|D0l> со-
164
ответствующее желаемому времени сближения.
Выбранное отношение может служить для нахождения
необходимого ресурса V'z% а также для определения
величины Д).
Приведенные на рис. 5.7 и 5.8 графики для
определения необходимого ресурса характеристической
скорости V± и времени сближения были построены по
результатам решения на ЭВМ полных (нелинеаризован-
ных) уравнений движения [36].
Орбитальное параллельное сближение. При
идеальном выполнении орбитального параллельного
сближения угловая скорость вращения линии визирования
относительно местного горизонта сохраняется все время
нулевой (<р=0).
Приравнивая угловую скорость <р и составляющую
управляющего ускорения pD в выражениях (2.91) к
нулю, получим следующие два уравнения:
D_i)(02 + J^_^/^_^\sin<p=0; (5.6)
2Z)o) - iv /±. - ±Л cos cp =pn. (5.7)
Используя приведенные ранее допущения, будем
иметь следующие линеаризованные уравнения:
D-(3a>2sin2<p)D = 0; (5.8)
2Da> — (За)2 sin? cos 9) Р =рп. (5.9)
Из уравнения (5.8) можно получить зависимости
для дальности и скорости изменения дальности, а из
уравнения (5.9) управляющее ускорение, необходимое
для поддержания метода. На этот раз коэффициент
при D в линеаризованном уравнении дальности будет
лостоянным, что позволяет для <р=0 получить решение
в конечном виде:
D = Т V1 (°о + ^) + <■« (А - £)] (5Л0)
или
D = D0chp/ + -jLshp*, (5.11)
где р2 = Зсо2 sin2 9o-
Тогда скорость сближения будет определяться
следующими выражениями:
D = -f Ш (J* - е-*') + D0 (е* + е~*')]; (5.12)
D = D0pshp/ + D0chp*. (5.13)
Из уравнения (5.8) видно, что при <р0, равном 0 или
180°, D = const. Следовательно, в этом случае
D = D0 и D = D0 + D0t. (5.14)
Воспользовавшись зависимостями (5.11) и (5.13),
можно сравнительно легко определить скорость
сближения /)в в момент встречи (^=т). Из уравнения (5.13)
можно записать
Dl = Do?2 sh2 рт + 2D0D0P sh Рт ch рт + Do ch2 Рт. (5.15)
Принимая в уравнении (5.11) /=т и D = 0, после
возведения этого выражения в квадрат получим
DoP2 ch2 рт + 2D0D0p sh рт ch рт + Do sh2 рт = 0. (5.16)
Вычтем выражение (5.16) из выражения (5.15).
Тогда
Dl = DoP2 (sh2 рт - ch2 рт) + Dl (ch2 рт — sh2 Рт),
откуда
De = D0jA^D0p/D0)2. (5.17)
Из выражения (5.11) можно получить выражение
для определения времени сближения т:
th рх = — DoP/Do для sin % ^ 0. (5Л8)
После подстановки в равенство (5.18) значения {3
получим окончательное выражение для определения %
при sin 90 Ф 0:
ют_ Arth(-K3A><osiny0/A)) ,519.
K3siny0 # l ' '
166
При sin<p0 = 0 время
т = -Д/Ц, (5.20)
Определим необходимый ресурс характеристической
скорости для реализации орбитального параллельного
сближения, предполагая при этом, что тяга
двигательной установки ориентирована по нормали к линии
визирования:
t
Wae = $p„dt. (5.21)
о
Используя зависимости (5.8) и (5.9), можем
записать
/^ = 2D(o--Dctgcpo. (5.22)
После подстановки этого выражения в равенство
(5.21) получим
A Vnc = (А - Ьв) ctg % - 2D0co. (5.23)
Используя зависимости (5.17) и (5.23), можно
записать выражение для безразмерной характеристической
скорости:
_j/. sag.» . 2 у«
Кроме того, можно построить графические
зависимости безразмерных величин 1^/|Д)|и ют от начальных
условий для случая орбитального параллельного
сближения (рис. 5.9 и 5.10). Эти графики построены в
результате расчетов по приведенным выше зависимостям,
полученным решением линеаризованных уравнений
движения.
Приведенные на рис. 5.7 и 5.9 результаты расчетов
показывают, что метод инерциального параллельного
сближения энергетически более выгоден, чем метод
орбитального параллельного сближения. Это объясняется
тем, что для стабилизации линии визирования
относительно инерциального пространства величина нормаль-
(5.24)
167
j)i Qfi Qfi Ofi J^O 1,2 V0oyf\D0\
Рис. 5.9. Безразмерная характеристическая скорость
для орбитального параллельного сближения
1
cor
4
3
2
J
Л
1
Ld
cj>=90<
_^
5270°!
1
У
^
и-
feo°,20Cf° 40°22
72О°30О° 740f 3
ы
¥*
/
^
^*~
0° 30?2/0°.|
20* /50*330° |
/
/
/
/
°^ Ofi Ofi 0^6 ^8 М> 1,2 1)0<^|Й0|
Рис. 5.10. Безразмерное полетное время для
орбитального параллельного сближения
168
ной к линии визирования тяги определяется целиком
разностью гравитационных сил, действующих на КА и
цель. При параллельном сближении в любой другой
системе координат, кроме инерциальной, требуются
дополнительные затраты энергии на компенсацию корио-
лисова ускорения.
Кроме более высокого расхода топлива для
реализации орбитальное параллельное сближение по
сравнению с инерциальным обладает еще и тем недостатком,
что его реализация возможна лишь при измерении
параметров относительного движения с борта аппарата,
совершающего свободный орбитальный полет, т. е. при
наведении на себя. Это в ряде случаев оказывается
нерациональным. Поэтому более перспективным
считается использование метода инерциального
параллельного сближения. В этом случае для осуществления
«мягкой» встречи КА необходимо измерение на борту
маневрирующего аппарата вектора относительной дальности,
скорости сближения и вектора угловой скорости линии
визирования.
Определение направления линии визирования
относительно системы координат, связанной с корпусом КА,
может быть произведено с помощью радиотехнических
пеленгационных устройств. Величина скорости
сближения может быть также измерена радиотехническими
средствами, например доплеровской системой.
Бортовыми измерительными средствами могут быть определены
модуль и направление угловой скорости линии
визирования. Следовательно, на борту маневрирующего
аппарата может быть построена визирная система
координат. Управляя движением КА в этой системе
координат, можно реализовать метод инерциального
параллельного сближения.
§ 5.3. ОЦЕНКА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ
ДЛЯ ЛИКВИДАЦИИ НАЧАЛЬНОГО ПРОМАХА
ПРИ ПЕРЕХОДЕ КА НА ТРАЕКТОРИЮ
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ
Переход на управление КА по методу параллельного
сближения предполагает, что вектор относительной
скорости аппарата У0тн должен быть направлен по линии
169
визирования в сторону цели, т. е. должен быть
ликвидирован начальный промах А0 (рис. 5.11). Очевидно,
* отн 1 = ^но + Д^ (5.25)
где Ко™ о — вектор начальной относительной скорости;
ДVi — импульс скорости, сообщаемый КА для
ликвидации начального промаха Ло при переходе на траекторию
метода параллельного сближения; V0Thi — вектор
относительной скорости после приложения импульса ДУь
Сравнительно просто решение задачи определения
величины и направления корректирующего импульса
Д1Л может быть осуществлено в предположении
движения сближающихся аппаратов в однородном поле
тяготения. Правомочность данного допущения для
приближенной энергетической оценки при ограниченных
значениях начальной относительной дальности D0 и
полетного времени т подтверждается данными, приводимыми в
табл. 5.1, которые характеризуют возможный диапазон
ошибок (промаха) за счет определения импульса AVi в
однородном поле, в то время как реальное сближение
предполагается происходящим в центральном поле
тяготения.
Таблица 5.1
Промах (в м) за счет определения AKj в однородном поле
D„ км
50
100
При Л -1000 км для т
50 с
0.5-63
0.9-130
75 с
1.0-140
3,0-280
100 с
1.3-250
5.0-500
При Лц-3500 км для т
50 с
0.3-26
0,4-52
75 с
0,7-59
1.1-120
100 с
1,0-104
1.6-210
Рассматривая схему сближения КА в однородном
поле тяготения, мы тем самым предполагаем, что на
оба объекта действуют одинаковые гравитационные
силы. Сближение в этом случае будет происходить в
перемещающейся поступательно плоскости сближения.
Положение плоскости сближения будет
определяться линией визирования и вектором относительной ско-
170
рОСТИ готнО
(рис. 5.11). Точками Ц и КА на рис. 5.11
обозначены положения цели и маневрирующего
аппарата в момент начала этапа ближнего наведения. Из это-
го_рисунка видно, что минимальное значение импульса
AV\ будет при ориентации его по нормали к линии
визирования. В этом случае величина его определяется
весьма просто:
Д^ = Уотн<Л/А>. (5-26)
Рис. 5.11. Кинематические параметры
относительного движения КА
Корректирующий импульс AVi может
рассматриваться не только как импульс, необходимый для
перехода КА на наведение по методу параллельного
сближения, но и как импульс, который в идеальном случае
обеспечивает встречу аппарата с целью.
Выражение (5.26) записано в предположении
импульсного изменения вектора скорости маневрирующего
аппарата. Для более точного определения потребного
значения характеристической скорости необходимо
учитывать возможные ограничения по величине тяги
двигательной установки КА. Увеличение
характеристической скорости по сравнению со значением ДУь
определяемым по формуле (5.26), будет тем больше, чем
меньше тяга Р двигательной установки и чем больше
потребный импульс скорости. Получим выражение для
необходимого ресурса характеристической скорости &V\
на участке коррекции в предположении, что вектор
тяги Р на участке коррекции все время ориентирован по
нормали к линии визирования и управляющее
ускорение р постоянно по величине. Предварительно
рассмотрим, как изменяется на участке коррекции дальность
до цели D.
171
Приближенное значение D может быть определено
следующим выражением (рис. 5.11):
D = [А2 + (W)2 - 21W VW^U • (527)
Известный закон изменения относительной
дальности позволит подойти к более точному определению
потребного значения характеристической скорости в
целях ликвидации начального промаха.
Для рассматриваемой в данном параграфе
упрощенной схемы сближения КА уравнения (2.77)
относительного движения в визирной системе координат при
ориентации управляющего ускорения по нормали к
линии визирования могут быть записаны в таком виде:
D-DQLb = 0; ]
(5.28)
Подставляя во второе из этих уравнений выражение
(5.27) и найденное из него дифференцированием
значение D, получаем следующее решение;
Q _ Рп \ЬУс 4ас-Ь*. Г 2УТс + Ь 1
rfi+M-Ц 4а "Г 8а у~а ш[2 ya{at*+bt+c)+2at+b]
-^.(2at + b)Vat> + bt + c-?±f}, (5.29)
где Q]i, во — начальное значение угловой скорости линии
визирования; / — текущее время, отсчитываемое от на-
чала этапа коррекции;а = V2orH0] b = — 2Vom<>YDl — Ао'<
Используя выражение (5.29), можно решить ряд
задач, относящихся к участку коррекции движения КА.
В том случае, когда время коррекции U задано,
необходимое значение управляющего ускорения может быть
рассчитано по формуле
( (2atx + b) Yat\ + wi + c
Рп = ~~ с®л. во I 4^ h
. Aac
172
a L 2yac + b J 4a J '
Тогда сравнительна легко можно определить и
необходимый ресурс характеристической скорости для
реализации этапа коррекции:
AV, = -/>A (5.31)
Но более интересным случаем, вероятно, будет тот,
когда задана величина рп и необходимо найти время t\.
Искомое значение t{ может быть определено из
уравнения (5.29) при £2Л. в = 0. Ввиду сложности
получаемого выражения более удобным оказывается определение
времени t\ методом последовательных приближений,
например используя способ Ньютона (метод
касательных). Процесс сближения сходится весьма быстро, если
в качестве первого приближения t\ взять значение f10,
полученное в предположении, что дальность D на
участке коррекции изменяется по линейному закону. Ввиду
небольшой продолжительности участка коррекции это
допущение вполне оправдано. Принимая D=D0+Dt,
решение второго дифференциального уравнения
системы (5.28) можно получить в таком виде:
^л.. = е* во (■§■)* + *§г (д> + Щ-) (5.32)
или
0 2л. во^ + Рп* (А. + <>.5Dt)
2-B = (D0 + Dtr (533)
Для определения t{0 в уравнении (5.33) положим
t=t\o и 2Л. в=0. Тогда, решая квадратное уравнение,
получим
/„ = - D0 (1 - j/l - ^%^) /А (5.34)
В качестве D может быть принято начальное
значение А) = — V0TH0Vl — (&o/D0)2. Результаты
проведенных расчетов показывают, что ti0 оказывается весьма
близким к/(И уже при третьем сближении величина
поправки близки к нулю.
В табл. 5.2 приведены данные, характеризующие
зависимость U и AVi от значений управляющего
ускорения рп.
173
Таблица 5.2
Зависимость величин tx и AKi от \рД
(D0=70607 м. D0=-1286 м/с. Ол.в0=0.0058147 с-1)
\Рп\> М/С2
'i. с
Д1Л. м/с
30
16.02
480.7
60
7.33
439.9
100
4,27
427.2
150
2,81
421.3
200
2.09
418.5
300
1,39
415.8
- Величина ДУЬ рассчитанная для тех же исходных
данных, но в предположении импульсного изменения
вектора скорости ня участке коррекции, когда можно
Дл + VT
Рис. 5.12. Кинематические параметры
относительного движения КА при заданном
времени сближения
воспользоваться формулой (5.26), оказывается равной
410,6 м/с. Очевидно, что в том случае, когда t\
получается сравнительно небольшим, эта приближенная
формула дает вполне приемлемые по точности результаты.
Если время U задано, потребные значения \рп\ и hV\
для коррекции движения космического аппарата легко
определяются из полученного ранее решения (5.33):
1л1=-
20&,. во
/, (Dtt + 2D0) '
AVV
2Ш
0мл. во
(5.35)
(5.36)
Dtt + 2D0
Рассмотренная методика определения потребных
энергетических затрат на этапе коррекции была
изложена без учета возможных ограничений на
продолжительность процесса сближения. Полетное время т в
174
этом случае определяется начальными условиями.
В действительности для каждого конкретного аппарата
существует некоторый диапазон допустимых значений
времени т. При заданной величине т могут быть
получены приближенные выражения для потребного
импульса скорости Д1Л и угла у, определяющего его
ориентацию относительно линии визирования (рис. 5.12).
Импульс скорости
Но А£л.во =
Д Vx = /(ОД,. во)2 + 0о + АЛ)2-
ДА)
Vol
Л2
поэтому
Д1Л
-/-£
+ 0о +ад2
Sin у = —
ДА
}ЛАА>)2 + {О20 - А02) (D0 - D0/t)2 '
cosy =
(D0 + D0/z)VD20-b20
у (ДА,)2 +(D02-A2)(d0+Do/-)2
(5.37)
(5.38)
(5.39)
J
На рис. 5.13 приведены графики, иллюстрирующие
зависимость Д1Л от т для трех значений D0. Видно, что
графики Д1Мт) имеют явно
выраженный минимум при
х= —Do/D0. Увеличение Д1Л
с уменьшением т
происходит более интенсивно, чем
при увеличении т.
Изменение Do может по разному
сказываться на величине AV\
в зависимости от заданного
значения т. Это необходимо
учитывать при расчете
потребного ресурса
характеристической скорости, а
также при определении
возможного диапазона
исходных данных, при которых может быть реализован
процесс сближения.
175
200 300% с
Рис. 5.13. Потребный импульс
скорости для сближения КЛ
§ 5.4. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ КА
ВДОЛЬ ЛИНИИ ВИЗИРОВАНИЯ
После того как маневрирующий аппарат выведен на
траекторию метода параллельного сближения, т. е.
угловая скорость линии визирования сведена к нулю,
задача управления сближением превращается в
одномерную и состоит в том, чтобы найти закон движения вдоль
линии визирования *. Для обеспечения «мягкой»
встречи КА этот закон должен быть таким, чтобы скорость
сближения стремилась к нулю в момент встречи. Кроме
того, на закон движения могут быть наложены
дополнительные ограничения, обеспечивающие оптимальность
управления.
Закон движения вдоль линии визирования может
быть задан различно. Когда он задан в виде некоторой
функции времени, а также зависит от каких-либо
фиксированных постоянных, задаваемых до начала маневра
сближения, говорят, что осуществляется
программное управление продольным движением КА вдоль
линии визирования. Если же закон движения вдоль
линии визирования представляет собой функцию только
текущих значений фазовых координат сближаемых
объектов, то имеет место параметрическое
управление сближением КА [28].
Программные системы управления обладают рядом
недостатков. Одним из них является то, что программа
движения, заданная в виде функции времени,
существенно зависит от начальных условий сближения.
Поэтому расчет программы сближения связан с
выполнением на борту КА большой вычислительной работы.
Сближение же по одной и той же программе при
различных начальных условиях может привести к
значительному увеличению расхода топлива и к потере
точности. Учитывая это, при рассмотрении сближения КА
вдоль линии визирования в большинстве работ
основное внимание уделяется параметрическим программам.
При этом стремятся к тому, чтобы параметрическая
программа была пригодна для всего диапазона
возможных начальных условий.
* В предположении, что задача решается э однородном поле
тяготения,
17$
Рассмотрим такого рода программу движения КА.
Запишем уравнение относительного движения КА вдоль
неподвижной линии визирования:
d*D _
dt2 —Pd>
(5.40)
где pD — величина управляющего ускорения вдоль
линии визирования.
Предположим, что \pD\ =p = const. Уравнение (5.40)
представим в виде системы двух дифференциальных
уравнений:
dD
dt
= D;
(5.41)
Программу движения маневрирующего аппарата
вдоль линии визирования будем искать для следующих
граничных условий:
D(0)=Z)0; D(0) = Z)0>0; £>(т)==0; D(x)=0.
При постоянном по модулю управляющем ускорении
программа сближения для «мягкой» встречи может
состоять из двух участков, на каждом из которых
сохраняется постоянное направление управляющего
ускорения [28]: pD\ и pD2-
Запишем решение системы (5.41) для первого
участка:
1
D(t)=D0 + D0t + ±-pDlt*
D(t)=D0 + pDlt.
(5.42)
Для рассмотрения второго участка систему
уравнений (5.41) перепишем для отрицательного времени
*'=*-т:
dD —п. dD __„
4F — U> "hF—Pd*
М
df
(5.43)
177
Учитывая, что при /'=0, D=D = 0, решение системы
(5.43) можно получить в таком весьма простом виде:
I
D(t>) = -^pD2(tf)2\ D(t')=pD2t*.
(5.44)
Обозначим через tx и t[=t\—x момент
времени,.соответствующий точке перехода от первого ко второму
участку. Значения параметров относительного
движения для этого момента времени, получаемые в
результате решения (5.42) и (5.44), должны быть
одинаковыми:
А> + D0tx + ^Pmt\^\pm {t[Y\
D0 + pDitl=pD2tu
(5.45)
Так как £>>0, то из рассмотрения первых
уравнений (5.44) и (5.45) можно заключить, что роъ=р> т. е.
Pd2>0. Из выражений (5.45) можно установить, что
/?di= —ри т. е. Pd\<0.
Следовательно, при D0>0 на первом участке
управляющее ускорение pD направлено по линии
визирования в сторону цели (участок разгона), а на втором
участке— в обратную сторону (участок торможения).
Подставляя значение /?di=—Р в систему уравнений
(5.42), a /?jd2=P в систему (5.44), получаем:
— для первого участка:
DW^Do + Dot-^-pt*
D(t)=D0 — pfi
— для второго участка:
D(t<) = 4rp(t')*
D(t')=pt\
(5.46)
(5,47)
Исключив из уравнений (5.46) время ty получим
зависимость, устанавливающую связь между текущими
значениями параметров D и Ь на первом участке:
D = -lp°2+lp6l + Do-
(5.48)
178
Эта кривая представляет собой параболу ОСГ
,(рис. 5.14). Исключив из уравнений (5.47) время ?,
получим аналогичное выражение для второго участка:
D = ^b\ (5.49)
Эта кривая представляет собой параболу ГТ
(рис. 5.14), проходящую через начало координат. Ее
иногда называют параболой
торможения, так как по мере
сближения КА
относительная скорость гасится до
нуля. Вид параболы
торможения зависит только от
величины управляющего
ускорения р. Начальные условия
не оказывают влияния на
движение на участке
торможения. Скорость сближения
D для фиксированного
значения р является функцией
относительной дальности:
D = -V2pD. (5.50)
Следовательно,
программа управления в этом
случае определяется условием
Pd=P = const и не зависит
от времени и текущих значений параметров
движения.
Точка пересечения двух рассматриваемых парабол
(точка Г на рис. 5.14) определяет момент
перемены.направления управляющего ускорения р. Координаты этой
точки Д., Ьг на фазовой плоскости могут быть
определены совместным решением уравнений (5.48) и (5.49):
Рис. 5.14. Фазовые траектории
сближения КА вдоль линии
визирования
Я' = 4" (if- + °о) *' А- = - У°оР + °'5z>o • (5.
51)
Рассматриваемая программа сближения КА вдоль
линии визирования в соответствии с принципом
максимума [29] является для принятой постановки задачи
179
оптимальной по быстродействию. Время сближения t
представляет собой сумму времени движения на
участке разгона ii и на участке торможения т^:
х = т1 + т2. (5.52)
Величины Ti и Т2 могут быть определены по
известным значениям D0, D0 и р с помощью соотношений
(5.51):
*i—j (l + Kz?oP + 0,5D02);
^2 = -yKD0/; + 0,5D02. (5.53)
Подставив выражение (5.53) в формулу (5.52),
получим
T=-i-(D0 + 2l/D0/; + 0,5D2o). (5.54)
Анализ этого выражения показывает, что -j- < 0.
Следовательно, при увеличении управляющего
ускорения р время т уменьшается. На рис. 5.15 «приведены
графики, иллюстрирующие зависимость времени сближения
от величины Д> и управляющего ускорения р.
Используя выражение (5.54), можно определить
суммарное значение характеристической скорости,
необходимой для управления движением КА вдоль линии
визирования:
Vm = А> + 2 VDoP + 0$D\ (5.55)
Видно, что с увеличением управляющего ускорения
энергетические затраты для сближения по линии
визирования возрастают. На рис. 5.16 представлены
графики, определяющие зависимость VD1 от величин Do и р.
Если продолжительность процесса сближения может
быть больше, чем в случае управления, оптимального
по быстродействию, то за счет включения участка
свободного полета при р=0 (прямая СГ2 на рис. 5.14)
энергетические затраты на сближение могут быть
уменьшены. Тогда фазовая траектория движения вдоль
180
линии визирования представляет собой линию ОСГ2Т.
Чем короче участок разгона ОС, тем меньше будут
энергетические затраты и бЬльше полетное время т.
*,cj
$00
400
200
Д
9=30КМ.
\р=Щ
1
2
«1
О 25 50 75 100 D0,M/Q
Рис. 5.15. Время сближения КА
В пределе необходимое значение характеристической
скорости будет стремиться к Do, а время т — к
бесконечности. Напомним, что выбор программы управления
м/с | Do=30km
25 50 75 100 Ь09м/с
Рис. 5.16. Характеристическая скорость
для сближения вдоль линии
визирования
сближением производился в предположении, что D0 ^0.
В этом случае при /?D=p=€onst программа состоит из
двух или трех участков. Если Z)0<0, то при /?D=p=const
программа движения вдоль линии визирования будет
состоять из участка свободного полета (прямая 0\Г\
181
на рис. 5.14) и участка торможения (кривая ГХТ).
Необходимым условием осуществимости «мягкой» встречи
при заданном значении управляющего ускорения
является нахождение начальной точки 0\ на фазовой
плоскости выше параболы торможения для
фиксированного р.
Часто при рассмотрении параметрических программ
движения КА вдоль линии визирования используются
весьма простые степенные функции вида [9]
D = mD\ (5.56)
где тип — постоянные коэффициенты, значения
которых выбираются при проектировании параметрической
системы управления.
Из выражения (5.56) видно, что использование
этого соотношения позволяет решить задачу «мягкой»
встречи КА только при значениях я>0.
Уравнение (5.56) может быть записано в виде
следующего дифференциального соотношения:
dD
dt-
mDn
Интегрируя его, для п =£ 1 получаем
(5.57)
' тп (1 - п) I лл-1 лл-
где D — текущее значение относительной дальности в
момент времени t
Для /1=1
/ = 4-(lnD0-lnD). (5.58)
Чтобы получить конечные значения времени
сближения, необходимо величину константы задавать в
диапазоне 0<л<1. Но если сближение заканчивать при
весьма малом значении дальности, но отличном от нуля, то
при я = 1 время сближения будет конечным.
Для окончательного определения диапазона
значений константы п необходимо учесть те величины
управляющих ускорений, которые потребуются для
реализации сближения по линии визирования. Выражение для
управляющего ускорения по линии визирования может
182
быть получено дифференцированием по времени
зависимости (5.56):
pD = D = m?nD2n-1. (5.59)
Если /г<0,5, то при уменьшении D до нулевого
значения Pd неограниченно возрастает, т. е. осуществление
сближения оказывается невозможным.
Следовательно, если сближение должно
оканчиваться при D=0, то в законе управления вида (5.56)
константа п должна находиться в диапазоне 0,5<я<1.
Наиболее целесообразным в ряде случаев принимать
п=0,5. Тогда, как это видно из выражения (5.59), для
реализации сближения вдоль линии визирования
необходимо постоянное по величине управляющее ускорение.
§ 5.5. МЕТОД ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ
НАВИГАЦИИ
Методом пропорциональной навигации называют
такой метод наведения аппарата на цель, при котором
угловая скорость вращения вектора скорости
наводимого аппарата пропорциональна угловой скорости линии
визирования:
*1 = ^д... (5.60)
где Ь — коэффициент, называемый навигационной
постоянной.
Этот метод включает наведение методами погони,
постоянного угла упреждения и параллельного
сближения.
Впервые метод пропорциональной навигации
рассматривался в 1945—1946 гг. [53, 63]. В тот период было
дано замкнутое решение уравнений пропорциональной
навигации при 6=2. Дальнейшему развитию теории
пропорциональной навигации посвящено исследование
относительного движения двух объектов; при этом
большое внимание уделяется качественному анализу
траекторий [18].
Рассмотрим основные кинематические соотношения
метода пропорциональной навигации при
прямолинейном движении цели и постоянных скоростях
сближаемых объектов. Относительное движение сближаемых
183
объектов будем изучать в системе координат Оху
(рис. 5.17), ось х которой направлена вдоль
вектора скорости цели. Ориентация линии визирования
(вектора относительной дальности D) определяется
УГЛОМ Т).
Уравнение (5.60) можно записать в таком виде:
b^bi (5.61)
Покажем, что наведение КА на цель методами
погони, постоянного угла упреждения и параллельного
сближения является
частными случаями метода
пропорциональной
навигации.
Проинтегрируем
выражение (5.61):
Ъг = Ьп + С. (5.62)
Приняв в выражении
'(5.62) 6=1 и С=0,
получим 6i = tq. Следовательно,
угол упреждения \х=0 и
КА будет двигаться по
кривой погони. При 6 = 1,
СФО угол 6i=t)+C.
Поэтому [л= —С и КА
будет наводиться на цель
при постоянном угле
упреждения. Когда навигационная постоянная 6
неограниченно возрастает, yj стремится к нулю и траектория
КА приближается к траектории параллельного
сближения [18].
Значит, траектории метода пропорциональной
навигации при 6>1 могут рассматриваться как
промежуточные между траекториями постоянного и нулевого угла
упреждения (6=1) и прямолинейными траекториями
параллельного сближения (6 = оо). Кроме того, за счет
определенного выбора начальных условий
относительного движения метод пропорциональной навигации
будет приводить к движению наводимого аппарата по
Рис. 5.17. Кинематические
параметры относительного
движения КА
184
траектории параллельного сближения. Действительно,
если выполняется условие
Vx sin f*0 — V sin yjo = 0, (5.63)
то начальная угловая скорость линии визирования тг)о=0
и при любом конечном значении навигационной
постоянной движение КА будет происходить по траектории
параллельного сближения.
Следовательно, параллельное сближение может быть
осуществлено или определенным выбором начального
угла упреждения jjlo в соответствии с условием (5.63),
или при любых начальных условиях сближения
неограниченным увеличением навигационной постоянной Ь.
Запишем систему уравнений относительного
движения КА, наводимого по методу пропорциональной
навигации в подвижной системе координат xtyu
перемещающейся совместно с целью (рис. 5.17):
D = у cos у) — Vx cos ja;
Dri = Vx sin p. — Vsin %
y) = ex + p.
I (5.64)
Интеграл уравнения (5.61) 6i=8io+&r)—Ьщ. Введем
постоянную величину so, которая определяется
выражением
*Чо-*ю-(*-1К (5.65)
Из уравнения (5.64) можно записать, что jjl=tq—81.
Подставляем в него значение Oi, записанное с учетом
(5.65), и получим
Р = (1-*)(Ч-*), (5.66)
откуда е0 = у)0 + Ко/ (* — 1).
Подставим в первые два уравнения (5.64) значение
угла упреждения из выражения (5.66). Тогда
£> = К [cos yj - qcos (Ь - 1) (уз - е0)]; (5.67)
Dyj = - V[sinУ) + q sin (* - 1) (4 - e0)L (5.68)
где q=Vi/V.
Выражения (5.67) и (5.68) представляют замкнутую
систему кинематических уравнений метода пропорцио-
185
нальной навигации. Для удобства дальнейшего анализа
введем функции F(r\) и /(*)):
F (у)) = cos v) - q cos (b - 1) (ч - e0); (5.69)
/(4) = sinij + ^sin(*-l)(4-«o). (5.70)
Используя их, перепишем уравнения (5.67) и (5.68):
D = Vr/?(r1); (5.71)
Dri^-Vfin). (5.72)
Принимая во внимание уравнение (5.68), функция
/(y|) может быть равной нулю только в том случае,
когда D = 0 или т]=0. Условие D=0 соответствует
встрече КА с целью. Поэтому встреча сближающихся
объектов может иметь место только при T)=r)i, которые
представляют собой корни уравнения
sin У) + q sin (b — 1) (т) — е0) = 0.
Если в начальный момент т)о=т)г, то и последующее
движение происходит при неизменном направлении
линии визирования, т. е. осуществляется параллельное
сближение. В том случае, когда в начальный момент
yjo Фч\и последующее сближение характеризуется тем,
что выполнение условия rj=irj< возможно только в
момент встречи КА. Следовательно, функция f(r\)9 а
значит, и угловая скорость линии визирования г\ в
процессе сближения не могут стать равными нулю, если они
не были равны нулю в начальный момент.
Когда корень гц является также и корнем функции
F(r\) *, система уравнений (5.71), (5.72) допускает
решение Y)=T)i = const, D=D0=const. Этот случай означает,
что движение КА и цели происходит при постоянной
относительной дальности и нулевой угловой скорости
линии визирования.
Рассмотрим кинематику метода пропорциональной
навигации при 6 = 2 [60]. Уравнение метода в этом
случае записывается в виде
0!=2yi. (5.73)
* В работе [18] показано, что это может наблюдаться только
при <7=1.
186
Из соотношения (5.66), являющегося результатом
интегрирования этого уравнения в общем виде, для
£ = 2 можно записать
fx = e0-Y), (5.74)
откуда
Ч--Р. (5.75)
Перепишем уравнения (5.67) и (5.68) для 6 = 2 с
учетом формул (5.74) и (5.75):
D = у [cos (во — р) — q cos ц]; (5.76)
D:t\ = V [sin (s0 — p.) —. q sin fx]. (5.77)
Разделив выражение (5.76) на выражение (5.77),
после некоторых преобразований получим следующее
дифференциальное уравнение:
dD (д — cos £0) cos \х - sin e0 sin \х , (^7R\
D (q + cos s0) sin \x — sin s0 cos jj. ' ' ' * ' '
Решение этого уравнения можно записать в таком
виде:
2? Оч-Р-) sin e0 <7a-l
П=Г) е4*+2(1 cos **+1 Г Я Sin {Л + Sin ({X — б0) "I q*+2q cos •,+1 /g 79)
0 L? sin tA0 -f- sin (^0 — 4) J • I • J
Решение (5.79) является уравнением относительной
траектории сближения для метода пропорциональной
навигации. Оно определяет относительную дальность
между КА и целью в виде функции угла упреждения ц.
Более наглядное представление об относительной
траектории сближающихся аппаратов будет, если величину D
выразить в виде функции угла rj. Для записи уравнения
траектории в таком виде подставим в уравнение (5.79)
значение угла jjl из выражения (5.74). После некоторых
преобразований получим
2? (Ч-тЫ sin »0 д*—1
П— П р^+Ъ cos ь*+1 Г sin *1 + ? sin (v) — 60) ~\gi+2q cos *0+l /с дПч
D ~ °°в Lsin^0 + ^sin(^0-e0)J • (5-8°)
Из уравнений (5.79) и (5.80) видно, что прямое
попадание КА в цель (D—0) возможно лишь в случае,
когда <7>1. При <7<1 встреча состоится лишь при
параллельном сближении на встречных курсах.
187
Определим величину получаемого промаха Д, т. е. то
минимальное расстояние, на котором КА пройдет мимо
цели. Для этого воспользуемся выражением (5.76) и
определим угол упреждения ц*, при котором Z)=0:
Подставим выражение (5.81) в уравнение (5.79).
Тогда относительный промах
А _ / 92 — * \Я*+2Я cos e0-H ^
А> \[q sin e0 + sin (р0 — е0)1 V Я2—%Я cos е0 + 1/
2g (Ео-р.*) sin »0
х^+2*соз.0+1 (582)
В табл. 5.3 приведены значения относительного
промаха для различных величин начального угла щ [18].
Как видно, относительный промах возрастает с
увеличением отклонения угла у]0 от значения, соответствующего
параллельному сближению, но уменьшается при V\**V.
Таблица 5.3
Зависимость относительных промахов от начального угла
поворота линии визирования
(WV=0.5)
%» град
178
175
170
165
150
120
Относительный промах Д/£>0
1*0-2°
0.4285-Ю-4
0.2054-Ю-2
0.1592. Ю-1
0.4379-Ю-1
0.2447
0.5668
р.о-5°
0.7745-Ю-5
0.663 -Ю-8
0.1141-Ю-*
0.3720.10-1
0.1830
0.5649
Рассмотрим характер етз-менения угловой скорости
линии визирования в процессе наведения КА по методу
пропорциональной навигации. Для этого воспользуемся
188
выражением (5.77), в которое подставим значение D из
уравнения (5.79). С учетом уравнения (5.75) получим
2q (р.—р.0) sin 80 2 (lj-g cos t0)
= ^[qsin^0-sm(B0-H)]e q'~l (■£) +~l .(5.83)
Видно, что угол упреждения [i изменяется
монотонно (так же, как и угол г\). В том случае, когда
начальный угол упреждения меньше угла, соответствующего
параллельному сближению, указанному в выражении
(5.63), угол упреждения непрерывно увеличивается.
Если же [ло больше угла, соответствующего
параллельному сближению, то угол упреждения непрерывно
уменьшается. Когда [lo удовлетворяет условию параллельного
сближения (5.63), ji=0 и [i=[io.
Возвращаясь к рассмотрению выражения (5.79),
замечаем, что при q>\ встреча КА с целью происходит
при выполнении условия
q sin p. + sin (ц — e0) = 0. (5.84)
Используя это соотношение, запишем выражение для
угла упреждения в момент встречи:
^arctgjp^. (5.85)
Определим предельные значения угловой скорости
линии визирования в момент встречи. Воспользовавшись
выражением (5.83) при q>lt получаем
|0 при ?cose0> 1;
lim yi = lim (— ц) = ^ i (5.86)
z>-o z>-o l°° при <7COse0<— 1. N '
При известной угловой скорости линии визирования
нормальное ускорение
№„ = УА = 2Уя. (5.87)
Тогда в момент встречи предельные значения
нормального ускорения КА таковы:
Нт№Л =
_[0 npH?cose0> — 1 wmn0<arccos(—1/<?)— у)0;
~ \оо при qcosbq < — 1 или fx0 > arccos(—l/q)— Y)0. '
189
Рассмотрим отдельно случай, когда <7coseo = —' или
[io=arccos(—l/q)—rjo. Можно показать, что в этом
случае угловая скорость линии визирования и величина
нормального ускорения оказываются конечными на всем
участке наведения. Подставим в выражение (5.83)
значение <7cose0=—1:
-D0peV^= vyf-l (j/gaZTsinpo-cosfa). (5.89)
Проинтегрируем это дифференциальное уравнение:
Определим производную р, как функцию времени:
♦ _ vIVg^icosh-tf-i)sin^1
f1"- 2H*V—lsin|io-coe|iol* + f0o '
Видно, что у. остается конечным, пока / не станет
равным:
<г = —7 Ч?г ; (5-92)
2K(cos^o-^2-lsiniA0) v '
Подставив в выражение (5.90) значение угла jiB из
выражения (5.85), можно определить время полета до
встречи т:
Г 2^0-^)1
х- ^Ь^^Ч (593)
Поделив выражение (5.93) на выражение (5.92),
найдем отношение
20^в)
-J.-!-,"'-1 . (5.94)
Отношение -£-<1, следовательно, встреча КА с
целью произойдет при x<t\ Поэтому нормальное
ускорение наводимого аппарата будет конечным вплоть до
точки встречи.
Выражение (5.89) показывает, что р представляет
собой возрастающую или убывающую функцию времени в
190
зависимости от того, будет [лв больше или меньше до.
При цв=ро arctg ^-т—-. = arccos ( — — J — y)0.
Следовательно, у]о = тс/2.
Когда начальное положение характеризуется углом
т1о>тг/2, максимальное нормальное ускорение
получается в момент встречи КА и определяется следующим
выражением:
wm
-7T"J4t2 (cos^-K^-lsin^)*? q
Do
При T)o<ir/2 максимальное нормальное ускорение КА
имеет место в начальный момент и равно
Wa max - 4 • ^ф3 <cos К» - VF=~\ sin p.),
если выполняется первое из условий (5.88), т. е.
у
Ро + 'Ао< arccos (-1/?). (5.95) -?
На рис. 5.18 изображены 08
три абсолютные траектории '
КА, наводимого на цель по
методу пропорциональной на- о,б\
вигации для q = 2 и т)о = 90°
[60]. Траектория А построена
при [ю=15° (выполняется
условие (5.95)), траектория В при
jjlo=30° (параллельное сближе- J
ние) и траектория С при ' '
цо=45°.
Для решения некоторых
практических задач может
оказаться необходимым
определить угол поворота линии
визирования в момент встречи
КА в зависимости от
начального угла so. Воспользуемся для этого выражениями
(5.85) и (5.74):
04
• /
ш
\1
А
У/
V
lh
7\
1
0,2 0,4 0,6 0о
Рис. 5.18. Абсолютные
траектории КА, наводимого на
цель по методу
пропорциональной навигации
Ъ = *о-arctg
sine0
q + cos t0'
(5.96)
191
Графики на рис. 5.19 иллюстрируют зависимость у)В
от начального угла е0 Для различных значений q. Видно,
что при </>1 величина т)В незначительно отличается от
угла ео, поэтому при малых углах упреждения поворот
линии визирования на участке наведения происходит на
небольшой угол. Траектория КА получается близкой к
прямолинейной.
Заканчивая рассмотрение наведения КА на цель по
методу пропорциональной навигации при 6=2,
сформулируем некоторые выводы [18].
Рис. 5.19. Зависимость угла
встречи т)в от значения во
1. Для произвольных начальных относительных
положений сближающихся объектов существует
прямолинейная траектория параллельного сближения, которая
представляет собой один из частных случаев
сближения по методу пропорциональной навигации.
2. При наведении по методу пропорциональной
навигации в случае 6=2 все траектории наводимого
аппарата могут быть разбиты на три группы. Для
траекторий первой группы угловая скорость линии визирования
и нормальное ускорение КА в момент встречи равны
нулю. Для траекторий второй группы угловая скорость?)
и ускорение Wn неограниченно возрастают по мере
сближения КА с целью. Для траекторий третьей группы
значения tj и Wn конечные, но не равные нулю.
192
3. Наведение КА по траекториям с нулевыми или
конечными значениями г\ и Wn в момент встречи
возможно только для начальных значений т)о, меньших
некоторой граничной величины (когда начальный угол
упреждения |ло>0), которая зависит от отношения
скоростей сближающихся объектов.
§ 5.6. ОПТИМАЛЬНАЯ ДВУХИМПУЛЬСНАЯ
СХЕМА СБЛИЖЕНИЯ КА В ОДНОРОДНОМ
ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
Ранее было показано, что в однородном поле
тяготения задача сближения КА может быть сведена к
задаче, решаемой в плоскости сближения, которая
определяется векторами относительной дальности и
относительной скорости. Кроме того, при оптимальных
маневрах в однородном поле вектор управляющего ускорения
поворачивается в неподвижной плоскости [16, 17].
Следовательно, задача оптимального сближения КА в
однородном поле тяготения сводится к четырехмерной.
В качестве критерия для выбора оптимальной
программы сближения примем значение характеристической
скорости, необходимой для перевода маневрирующего
КА за время х из заданного начального состояния,
определяемого относительной дальностью D0 и вектором
относительной скорости V0, в некоторую конечную
точку К, находящуюся на расстоянии DK от цели. При этом
относительная скорость в момент пролета мимо цели
должна иметь значение VK. Это достаточно общая
постановка задачи сближения КА. Задача «мягкой» встречи
представляет собой частный случай сформулированной
выше задачи при DK = 0 и Кк=0. Будем полагать, что
ограничений на вектор управляющего ускорения не
накладывается. Минимальное значение суммарной
характеристической скорости Уг будет при двухимпульсной
схеме сближения. Первый импульс AVi обеспечивает
переход КА из начальной точки в заданную конечную
точку за время т. Он прикладывается в начальный момент
времени. Второй импульс ДУ2 прикладывается в
конечной точке траектории сближения для придания КА
заданной относительной скорости VK.
7 Сближение в космосе
193
Из рис. 5.20 следует, что
AV^VWrTWT2 (5.97)
Рис. 5.20. Кинематические параметры при двухим-
пульсном сближении КА (A><0; Д>>0 и А)=0)
ИЛИ
дV, = [V* ± 2-^ YD\-D\cos(arcsin A ± arcsin§j) +
194
Знак плюс следует брать при Д>>0, минус — при
Д)<0. Ориентация импульса Д171 относительно
направления вектора V0 определяется углом (рис. 5.20):
<р = arcsin -—- ± arcsin -^- + arctg -^г. (5.99)
При выводе соотношений (5.97) — (5.99)
предполагалось, что A0^DK. Если До<А<, в указанных выше
зависимостях отношения &o/D0 и DK/D0 надо поменять
местами.
Для А) = 0, что соответствует условию D0=Ao,
выражения для &V\ и угла <р могут быть получены также из
рис. 5.20:
А1/1 =
VI-2V,
n«VDl~Dl Dl-Dl
Daz
+
(f = arcsin
Do
Второй импульс
+ arcsin I -n£
AVt
A
AV2 =
VDl-Dl
-v.
; (5.100)
. (5.101)
(5.102)
всегда ориентирован по направлению вектора
относительной скорости. Он прикладывается в момент пролета
мимо цели и, следовательно, ориентирован по нормали
к линии визирования. При > VK импульс
Д1/2 является тормозным и направлен против вектора
относительной скорости КА, при < VK
импульс AV2 является разгонным и направлен по вектору
относительной скорости.
Суммарная характеристическая скорость
K.-AKj + AVa.
7*
(5.103)
195
Подставляя значения AVi и AV2, получим:
— для D0 Ф О
Vxsss[yi±-T' VDl~Dlcos (arcsin ж ± arcsin тг) +
at-pit* , I У°1-°1
+■
+
VK; (5.104)
— для Д)=0
v.-[4-Wi4.J^ + ^r+
+
1/"^-^
(5.105)
Рассматривая диаграмму скоростей на рис. 5.21 и
принимая во внимание зависимость (5.103), можно уста-
Рис. 5.21. Диаграмма
относительных скоростей
новить, что для заданных значений Do, DK, До, V0y VK
суммарная характеристическая скорость будет
минимальной, когда А 1^2=0, т. е. когда сближение
становится одноимпульсным. Одноимпульсной схеме
соответствует вполне определенное время сближения
т' = _———
Dl
(5.106)
При VK, стремящемся к нулю, %' стремится к
бесконечности. Следовательно, для сближения КА с нулевой
конечной относительной скоростью потребуется
минимальная характеристическая скорость, но
продолжительность процесса сближения будет стремиться к
бесконечности (табл. 5.4).
196
Таблица 5.4
Продолжительность одноимпульсного сближения т' (в с)
(К0=100 м/с. 1/к=10 м/с)
DK, км
0.1
0.5
1.0
2.0
2,5 км
250
245
229
150
Величина
5.0 км
500
497
490
458
т' при D0
7,5 км
750
748
743
723
10,0 км
1000
999
995
980
Для Z)0 ф 0
У г mi„ = \V\ ± W9Vt cos (arcsin £ ± arcsin %) +
+ ^]Т: (5.107)
для D0=0
У г mta - [>о2 ~ 2W -gjf + V*] 2 . (5.108)
Зависимости (5.98), (5.104) и (5.107) можно
записать в виде, более удобном для расчетов, если
воспользоваться выражением
cos i
АК
(arcsin -jj- ± arcsin -^J =
Для Do Ф0 получаем следующее:
**
+ ^3
_1^
2 .
(5.109)
197
Г v r y(Dl-^)(Dl-Dl)-(±l0DK)
-v„
Vl min = [V02±2K01/K —2
(5.110)
+
+ vi
(5.111)
На рис 5.22 приведены Трафики, иллюстрирующие
зависимость A Vi и Vz от х для двух значений D0.
О 700
300
$00 600 *V. с
Рис. 5.22. Зависимость потребной
характеристической скорости от времени % для D0=5 км (/)
и Do=20 км (2)
Очень часто при решении задачи сближения
известна не относительная начальная скорость Vo, а начальная
скорость сближения D0. Эти величины связаны
соотношением
ДА
которое справедливо при t>0 Ф 0
198
(5.112)
После подстановки выражения (5.112) в
приведенные ранее зависимости получим:
Для D0^0
-^—до Д,т
-{±A*Vb
-ф
*)
D2—D2) 2
оА , 24
* [Dl-^ *V
^«-(±v>/^)]
+
+ -V-5! + 1"^ 4;
(5.114)
+ V>\
(5.115)
При D0=0 подстановка выражения (5.112) не
правомочна, поэтому для определения ДУь Vz, Vimln в
этом случае могут быть использованы только выражения
(5.100), (5.105), (5.108).
В случае сближения КА с «мягким» контактом £>к=0,
Ук=0 и расчетные зависимости для определения ДУь
ДУг и Vj значительно упрощаются:
Д1/2 = £>0/т.
(5.116)
Для £>о Ф 0
Д^ = [^±2-^^^РД| + (3)4]2 (5.117)
199
или
Ф!
*"--[я±^+
Л) "0
(ь+Щ
(5.118)
V, = [Vl±2^VW^+{^)y +^ (5Л19>
м/с
7000
аоо
600
400
100
200
300 Т?%С
Рис. 5.23. Зависимость потребной характеристической
скорости от времени х для различных значений промаха До
ИЛИ
v.-J^+^+a^+a. ьт
200
Для D0=0
^-[^+(*)*]"*+*• (5.122)
На рис. 5.23 приведены графики зависимости Vz от
времени для нескольких значений Д0.
Когда ограничения на условия встречи КА не
накладываются, двухимпульсная схема сближения переходит
в одноимпульсную. Характеристическая скорость в этом
случае определяется только импульсом АУь сообщаемым
КА в начальный момент времени. Для Д)<0
минимальное значение AV\ будет при ориентации его по нормали
к линии визирования.
Продолжительность процесса сближения т= —Dq/D0,
скорость сближения в момент встречи |Db|=D0/t. Когда
нет ограничений на условия встречи, то для Z)01> 0
величина характеристической скорости становится
минимальной при т-^оо.
§ 5.7. ПРИЧАЛИВАНИЕ И СТЫКОВКА
При сближении, завершающемся стыковкой КА с
целью, на конечном этапе ближнего наведения
осуществляется причаливание. Оно заключается в проведении
маневра, обеспечивающего выход КА в
непосредственную окрестность цели (на расстояние до 1 м) с нулевой
или минимальной относительной скоростью,
определяющейся конструкцией стыковочных узлов КА и цели, и
с требуемой взаимной ориентацией КА и цели
относительно их центров масс. После причаливания
происходит стыковка аппаратов, т. е. их механическое
соединение.
Первые космические полеты с выполнением стыковки
аппаратов на орбите проводились для отработки
последовательности операций и исследования некоторых
способов стыковки. В дальнейшем стыковка как завершение
маневра сближения будет выполняться для решения
201
чрезвычайно широкого круга задач при исследовании
космического пространства.
Для выполнения стыковки цель должна иметь на
борту специальную аппаратуру, обеспечивающую
управление сближением КА на этапе причаливания. Условия
выполнения стыковки определяются характеристиками
системы управления КА и цели, типом стыковочных
узлов, динамикой процесса столкновения объектов при
стыковке и воздействием факела двигательной
установки К А на цель.
Полагают, что этап причаливания может начинаться
при максимальном относительном удалении КА от цели
на расстояние до 500 м и при относительной скорости
до 3 м/с [23].
Для осуществления маневра причаливания КА
целесообразно применять декартовое управление вектором
тяги. При этом шесть двигателей, установленных на КА
по трем взаимно перпендикулярным осям, обеспечат
направление вектора тяги без изменения ориентации
самого КА. Преимуществом такого способа управления по
сравнению с полярным является отсутствие задержек
на переориентацию КА, которые в конечном счете
приводят к увеличению ошибок сближения.
Декартовое управление имеет и недостатки,
заключающиеся в большей конструктивной сложности,
меньшей надежности работы двигателей и большем расходе
топлива по сравнению с полярным управлением. Однако
относительное увеличение расхода топлива не
существенно, так как абсолютные расходы для коррекций на
этапе причаливания достаточно малы и необходимость
их минимизации отпадает.
Метод наведения КА на этапе причаливания
определяется составом измерительной аппаратуры,
характеристиками двигательной установки и возможностями
применяемых стыковочных механизмов.
Один из методов наведения при наличии
специальной бортовой аппаратуры на борту цели
предусматривает построение поверхности переключений в виде
прямоугольной пирамиды (или конуса) с вершиной в точке
цели [23]. КА, приближаясь к цели, все время остается
внутри поверхности переключений. При попадании КА
на эту поверхность прикладываются корректирующие
импульсы, уменьшающие радиальную составляющую
202
скорости сближения до требуемого значения. Боковые
составляющие скорости меняются так, чтобы КА
возвращался внутрь поверхности переключений.
Для реализации данного метода требуется измерять
дальность до цели, скорость сближения, угловую
скорость линии визирования и угловые отклонения от
номинальной линии сближения (оси пирамиды).
Метод позволяет применять ручное управление
причаливанием, так как необходимая скорость реакции
космонавта вполне допускает включение его в контур
управления. Кроме того, достоинство метода состоит в
том, что в случае отказа измерительных устройств и
двигателей возможность столкновения с целью
полностью исключается.
Результаты расчетов показывают, что если маневр
причаливания КА начинается на относительном
удалении от цели 300 м при относительной скорости
сближения 3 м/с, то суммарный импульс скорости по каждому
направлению, ортогональному к оси пирамиды
управления, будет составлять примерно 3 м/с. Следовательно,
суммарный импульс скорости для проведения маневра
причаливания составит примерно 10 м/с.
Стыковка КА с целью начинается после окончания
этапа причаливания, когда дальность становится
сравнительно небольшой. До момента столкновения
аппараты движутся по инерции с фиксированной
относительно инерциального пространства ориентацией. После
столкновения производится механическая стыковка
объектов в соответствии с применяемой схемой стыковки.
Для стыковки космического аппарата с целью
требуется применение специальных стыковочных
механизмов, которые могут иметь тандемное и боковое
расположение стыковочных узлов.
В тандемных стыковочных системах оси объектов
должны быть коллинеарны как перед стыковкой, так и
после ее завершения. В системах с боковым
расположением стыковочных узлов оси объектов должны быть
параллельны, но перед стыковкой расстояние между ними
должно составлять несколько метров для исключения
столкновения во время причаливания.
Стыковочные механизмы тандемного типа
подразделяются на два вида — ударные и безударные [54]. При
использовании ударного механизма стыковки энергия
203
взаимодействия аппаратов, поглощается
демпфирующими устройствами. При безударной стыковке стыкуемые
объекты приближаются друг к другу на несколько
метров, а специальное устройство, связанное тросом с
одним из объектов, обеспечивает начальное мягкое
соединение объектов.
Ударные стыковочные системы. В системе стыковки
КА «Gemini» используются внутренний усеченный конус
на ракете-цели и внешний усеченный конус на КА.
Внутренний конус имеет больший угол раствора, чем
внешний, что допускает боковые смещения.
Три боковых и четыре продольных демпфера
расположены тремя группами вокруг основания внутреннего
конуса на угловом расстоянии 120° друг от друга для
поглощения энергии при столкновении. При стыковке КА
приближается к цели таким образом, чтобы внешний
конус вошел во внутренний и три пружинные защелки
на внутреннем конусе вдвинулись в соответствующие
ответные устройства на внешнем стыковочном конусе.
Затем внешний конус плотно упирается в три стопора
на основании внутреннего конуса, который в свою
очередь жестко запирается замками, будучи прижат к
мощному основанию на корпусе ракеты-цели.
Стыковочная система «Menasco» состоит из
кольцевой конструкции, жестко установленной на цели, и трех
или более качающихся рычагов, установленных на КА.
Крюки с защелками, движущиеся вдоль каждого рычага,
обеспечивают механическую связь между стыковочными
узлами.
После зацепления крюков за кольцо пневматические
приводы оттягивают рычаги назад, обеспечивая
выравнивание объектов. Затем срабатывают замки, жестко
соединяя аппараты.
Во время стыковки рычаги, имеющие шарниры
вблизи точек крепления, сначала ударяются о кольцо и
поворачиваются вокруг шарниров, преодолевая
сопротивление амортизационных стоек. В момент столкновения
крюки высвобождаются и скользят вдоль рычагов пока
не наткнутся на кольцо и не захватят его с помощью
защелок. После того как относительная скорость
объектов станет равной нулю, амортизаторы медленно
отожмут рычаги в исходное положение. При этом аппараты
останутся механически связанными. Затем рычаги оття-
204
гиваются назад пневматическими приводами и
одновременно осуществляется точное выравнивание осей
аппаратов. Рычаги и крюки запираются замками и
защелками в окончательном положении.
Расстыковка аппаратов производится специальными
пневматическими приводами, открывающими защелки,
после чего крюки сразу же соскальзывают к основаниям
рычагов. Амортизационные стойки отжимают рычаги в
первоначальное положение, и аппараты отталкиваются
друг от друга.
Буферно-гнездовая стыковочная система состоит из
буферов, установленных на КА, и соответствующих им
гнезд на цели. При стыковке буферы входят в гнезда.
Крепление буферов производится на амортизирующих
цилиндрах, которые поглощают ударные нагрузки, а
затем стягивают аппараты вместе, обеспечивая жесткое
соединение. Гнезда имеют V-образные прорези,
допускающие смещения по крену.
При подходе КА к цели один из буферов
соприкасается с поверхностью соответствующего гнезда и
скользит до момента захвата. После захвата одного буфера
соответствующим управлением ориентацией КА
обеспечивается попадание остальных буферов в гнезда.
Соленоидные замки запирают каждый буфер в
соответствующем гнезде. Жесткое механическое соединение
аппаратов обеспечивается втягиванием буферов внутрь КА.
Безударные стыковочные системы. При разработке
стыковочной системы КА «Apollo» рассматривались два
способа «мягкой» стыковки, когда аппараты после
предварительного зацепления подтягиваются друг к другу с
помощью нежестких элементов.
При первом способе на КА используется надувной
шланг с жестким зондом на конце. При стыковке зонд
должен попасть в гнездо цели. Перед стыковкой шланг
намотан на барабан. В процессе стыковки он
разматывается и внутреннее давление придает ему некоторую
жесткость. Шланг вытягивается вперед до тех пор, пока
зонд, укрепленный на его конце, не попадет в гнездо.
После этого шланг вновь наматывается на барабан,
аппараты подтягиваются друг к другу (вплоть до жесткого
механического соединения, которое обеспечивается
замками.
205
При втором способе используется складной
трубчатый вытягиваемый зонд, устанавливаемый на КА. В
исходном положении зонд намотан на барабан в виде
ленты. Разматываясь с барабана и проходя через
специальный механизм, он приобретает форму грубы. Труба
постепенно вытягивается вперед до тех пор, пока
пружинная защелка на конце зонда не попадет в гнездо,
имеющееся на цели. После этого зонд наматывается на
барабан, превращаясь в ленту, аппараты подтягиваются
друг к другу, осуществляется их жесткое соединение с
помощью замков.
Приведенные примеры указывают на возможность
использования разнообразных конструкций стыковочных
систем.
Глава VI
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ КОСМОНАВТА
В ОТКРЫТОМ КОСМОСЕ
§ 6.1. НАЗНАЧЕНИЕ И ОБЩАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКА СРЕДСТВ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
W спешное развитие космических ис-
v следований позволило перейти к
новому этапу освоения космического пространства —
этапу создания тяжелых пилотируемых и автоматических
орбитальных станций. Создание орбитальных станций
позволяет проводить длительные исследования,
включающие широкий круг задач научного и технического
характера. Наряду с орбитальными станциями в
космическом пространстве будет функционировать и большое
количество космических систем (комплексов)
различного целевого назначения (навигационные,
геодезические, связи и др.), в состав которых могут входить
тяжелые космические аппараты (станции).
Для сборки орбитальных станций, их обслуживания
и ремонта потребуется выполнение различных работ и
операций в открытом космосе. К их числу можно
отнести:
— сборку тяжелой космической станции или
отдельных ее элементов;
— обслуживание и ремонт различного оборудования
космических аппаратов и станций;
— транспортировку грузов между космическими
аппаратами и перевозку экипажей орбитальных станций;
— спасение космонавтов и космических аппаратов в
аварийных ситуациях (например, остановка вращения
корабля, принудительное возвращение в атмосферу
и т. д.);
— инспектирование космических аппаратов для
оценки их состояния и наличия повреждений;
— съем информации с космического аппарата
(станции).
207
Для проведения перечисленных выше операций в
космическом пространстве потребуется комплекс
специальных приспособлений и устройств, обеспечивающих
работу и передвижение космонавтов в открытом космосе.
Одним из простейших приспособлений,
обеспечивающих выход космонавта в открытый космос и его
возвращение на борт КА, является специальная тросовая
система, гибко связывающая космонавта с КА.
Однако, как показывают проведенные исследования
[41], [55], такая система дает возможность осуществить
безопасное возвращение космонавта на борт КА лишь
при его небольших удалениях (до 10 м). В противном
случае может возникнуть нежелательное вращение КА
относительно его центра масс, приводящее к
накручиванию троса на КА, увеличению скорости сближения
космонавта с КА и силы натяжения троса сверх
допустимых пределов. Безопасная дальность действия
тросовой системы может быть увеличена сокращением или
устранением накручивания троса на КА, что может быть
достигнуто созданием реактивной тяги на обоих концах
троса, перемещением точки крепления троса к носовой
части КА, применением дополнительной, «якорной»
массы и др. Полное устранение закручивания троса вокруг
КА может быть осуществлено активным управлением
пространственным положением КА.
Устройства для перемещения в зависимости от своего
целевого назначения могут быть пилотируемыми или
беспилотными (автоматическими). В свою очередь те и
другие могут иметь командную, автономную или
комбинированную систему управления.
Беспилотные устройства имеют перед
пилотируемыми важное преимущество, заключающееся в том, что
они не требуют наличия системы жизнеобеспечения и
приспособления к условиям космического пространства.
Поэтому время непрерывного пребывания их в
космическом пространстве может быть значительно больше,
чем для пилотируемых.
Беспилотные устройства найдут свое применение в
первую очередь при выполнении операций, не
гарантирующих безопасность космонавтов. К числу операций
с повышенной опасностью можно отнести, например,
операции по сборке и обслуживанию ядерных
энергетических установок и двигателей. Среди устройств подоб-
208
ного типа наиболее широкое применение найдут
дистанционные манипуляторы, управляемые
человеком-оператором с Земли или с борта орбитальной станции. При
выполнении операций с повышенной опасностью они
могут значительно превосходить возможности человека,
обеспечивая при этом такую гибкость, которая
недоступна для полностью автоматизированной системы.
Вместе с тем выполнение многих работ, например
таких, как монтаж и ремонт в труднодоступных местах,
Рис. 6.1. Ручное маневрирующее
устройство HHHMU
анализ неисправностей и замена отказавших блоков, без
участия человека потребует весьма сложных и
достаточно громоздких автоматических устройств.
При проведении работ в космическом пространстве с
непосредственным участием человека возникает
необходимость передвижения космонавта (или группы
космонавтов) от одного космического объекта к другому.
Такое передвижение может быть осуществлено с помощью
специального устройства, которое впредь будем
называть устройством для перемещения
космонавта (УПК).
Такие устройства в зависимости от целевого
назначения могут быть ручными или ножными, типа ранца
или контейнера, а также платформно-рамными.
Ручные и ножные устройства предполагается
использовать для перемещения космонавтов в
непосредственной близости от КА. Среди этого типа УПК следует
отметить реактивное ручное маневрирующее устройство
HHHMU, работающее на смеси гидразина с водой
(рис. 6.1). Оно имеет два боковых сопла с тягой по
209
0,45 кгс каждое и одно центральное с тягой 0,9 кгс.
Разложение гидразина обеспечивается катализатором
«Shell-405». Вода добавляется в гидразин для
снижения температуры истекающей струи до 260° С, чтобы она
не могла повредить скафандр, случайно попав на него.
Рабочая смесь хранится в бачке, который крепится к
рукоятке, или в ранце на спине космонавта.
Опорожненный бачок может быть заменен новым. Космонавт
держит устройство в руке и с помощью специальной
рукоятки включает любое из трех сопел. Аналогичные
устройства HHMU были разработаны фирмой «Rocket
Research» по программе «Gemini», однако в качестве
рабочего тела использовался сжатый газ. Так, например,
на КК «Gemini-X» использовалось устройство HHMUG-X
массой 1,6 кг, обеспечивающее приращение скорости в
25,6 м/с. В качестве рабочего тела использовался
сжатый азот, причем баллоны с азотом устанавливались
на корпусе КК, а его подача к устройству
осуществлялась по шлангу длиной 15 м.
Примером устройства ножного типа являются
реактивные сопла, смонтированные в подошвах ботинок
космонавта. На каждый ботинок под углом 30° к плоскости
подошвы устанавливается сопло тягой 1 кгс и
переключатель, который срабатывает при сгибании пальцев ноги.
Для стабилизации и управления положением
космонавта при работе в открытом космосе может
использоваться система, разработанная фирмой «General
Dynamics». Масса ее 6,3 кг, она состоит из четырех
двухстепенных гироскопов, установленных на подошвах
башмаков космонавта.
Устройства ранцевого и контейнерного типа
предназначаются для перемещения космонавта на значительно
большие расстояния от КА. К ним относится
автономная ранцевая установка AMU массой 76 кг (рис. 6.2),
состоящая из нагрудного и заплечного ранцев, в
которых наряду с элементами системы жизнеобеспечения
размещаются баллоны с перекисью водорода,
гироскопическая система управления, телеметрическая и
радиотехническая аппаратура. В ней используются 12
реактивных управляющих сопел, работающих на продуктах
разложения перекиси водорода. Бак с перекисью
водорода, а также баллон с кислородом для дыхания
снабжены датчиками расхода, связанными со световыми и
210
звуковыми сигнальными устройствами, которые
предупреждают космонавта, если запас перекиси водорода
или кислорода уменьшится до критической величины.
Установка AMU обеспечивает перемещение космонавта
в открытом космосе и его стабилизацию относительно
осей тангажа, рыскания и крена. Управление AMU
может осуществляться как самим космонавтом, так и по
командной линии с КА.
Рис. 6.2. Установка AMU: Рис 6.3. Космонавт, нс-
/- антенна; 2 - осветительная лампа; ПОЛЬЗуЮЩИЙ установку
3 — приборная панель; 4 — нагрудный DMU
ранец; 5 — ручка управления
перемещением; 6 — ручка управления
ориентацией; 7 — подлокотник; 8 —
управляющие реактивные сопла; 9 — отсек
для размещения бака с перекисью
водорода; 10 — отсек для размещения
баллона с кислородом; // — батареи
Более совершенным устройством ранцевого типа
является маневрирующий аппарат DMU (рис. 6.3),
разрабатываемый фирмой «Bell Aerosystems». Масса
аппарата 86 кг, он снабжен 16 двигателями, работающими на
продуктах разложения гидразина. Запас топлива
обеспечивает суммарный импульс 1800 кгс-с, а ускорения,
сообщаемые космонавту, составляют 0,3—0,6 м/с2.
Предполагается, что аппарат может быть
использован для выполнения 50 различных задач, в том числе
211
таких, как сборка на орбите крупногабаритных
конструкций, развертывание антенн в космосе,
обслуживание КА, опознавание неизвестных космических
объектов, перемещение космонавта и грузов, спасение
космонавтов и др. Электропитание установки обеспечивается
серебряно-цинковыми батареями.
Работа DMU предусматривается в пилотируемом и
в автоматическом режимах. В режиме автоматического
управления аппарат дистанционно управляется
космонавтом, находящимся на КА, через телевизионную или
радиолокационную систему. Система управления аппарата
будет осуществлять стабилизацию скорости и
стабилизацию пространственного положения для обеспечения
безопасного маневрирования на небольшом удалении
от КА.
На небольших расстояниях (до 2 км) между
базовым КА и устройством перемещения наведение для
обеспечения стыковки осуществляется по линии
визирования. При больших расстояниях потребуется
счетно-решающее устройство для расчета траектории движения.
Для получения данных о дальности между аппаратами
и скорости ее изменения применяются радиолокаторы с
дальностью действия от 3 до 27 км.
Система передачи команд и данных содержит
приемопередатчик с частотной или кодово-импульсной
модуляцией. Эта система в пилотируемом режиме может
работать совместно с двусторонней радиотелефонной и
биомедицинской телеметрической системами. Номинальная
емкость системы передачи команд и данных
составляет 17 аналоговых каналов и два цифровых
канала.
Поскольку одной из наиболее важных операций в
открытом космосе является проведение спасательных
работ, рассматриваются три различных способа
использования установки для спасения космонавтов.
Если один из космонавтов во время выхода в
космос оказался слишком далеко от КА, второй, оставаясь
на КА, может выслать ему дистанционно управляемую
установку DMU, пользуясь которой первый космонавт
вернется на КА.
Если космонавт, находящийся в открытом космосе
и снабженный установкой DMU, потерял способность
управлять ею, то второй космонавт может взять на себя
212
дистанционное управление и возвратить установку на
КА.
При возникновении каких-либо технических
неисправностей во время работы в открытом космосе
космонавт, оставшийся на базовом КА, может выслать
первому космонавту установку с оборудованием для
ремонта или запасными частями.
Устройство MMU фирмы «LTV Aerospace»
обеспечивает выход космонавта из КК «Apollo» и свободное
маневрирование в открытом космосе. MMU состоит из двух
отдельных блоков, закрепленных на спине и на груди
космонавта. В нагрудном блоке располагается система
жизнеобеспечения. Во втором блоке находятся силовая
установка, автомат стабилизации, кислородный баллон,
система связи и телеметрическая система, система
управления и источники питания. Силовая установка
полностью дублирована, состоит из двух одинаковых систем
и включает 12 сопел, обеспечивающих движение
космонавта в любом направлении. В качестве топлива
используется перекись водорода, запас которой равен
10,4 кг.
Автомат стабилизации, состоящий из блока
гироскопов и электронного устройства, формирует сигналы
управления соплами и обеспечивает устойчивое
положение космонавта в пределах ±2°. На стабилизацию
расходуется не более 5% суммарного импульса. При
передвижении обеспечивается ускорение 1 м/с2. Допустимая
скорость изменения пространственного положения
составляет 1 град /с. Предполагается, что с помощью
MMU космонавт сможет удаляться от КА на расстояние
до 300 м.
Более сложными пилотируемыми аппаратами,
предназначенными для проведения различных операций на
орбите, являются платформно-рамные устройства.
Фирмой «LTV Aerospace» разработано два проекта таких
устройств: MWP и ST.
Устройство MWP (рис. 6.4) представляет собой
платформу, оборудованную двигательной установкой,
баллоном с кислородом, никель-кадмиевыми батареями,
пультом управления, тремя дистанционно управляемыми
захватами в средней части и одним захватом в задней
части. Захваты позволяют закреплять устройство в
нужном положении относительно обслуживаемого объекта.
213
Кислород в скафандрах космонавта поступает по
трубопроводу, размещенному в фале, из баллона,
расположенного на устройстве. Фал достаточно длинный и поз-
Рис. 6.4. Макет MWP
воляет космонавту удаляться от платформы, используя,
например, ручное реактивное устройство.
Устройство ST (рис. 6.5)
имеет форму цилиндра
высотой 3,8 м и
диаметром 1,5 м.
Герметизированная кабина имеет два
люка: один для выхода
в открытый космос,
другой— для перехода в КА,
к которому
пристыковывается устройство. Оно
снабжено двумя
дистанционно управляемыми
захватами в верхней
части и одним — в нижней
части. Закрепленное с
помощью захватов
устройство может вращать-
Рис. 6.5. Макет ST СЯ вокруг продольной
оси. В кабине создается
искусственная атмосфера, состоящая из 70%
кислорода и 30% азота. Космонавт имеет автономную систему
214
жизнеобеспечения, что позволяет ему выходить в
открытый космос. Аппарат ST, как и MWP, снабжен
радиолокатором, обеспечивающим сближение с
обслуживаемым объектом.
Предполагается, что аппарат MWP будет
доставляться на орбиту в двигательном отсеке КК «Apollo»
или внутри переходника, соединяющего ракету-носитель
«Saturn» с КК «Apollo». Аппарат ST может
доставляться на орбиту внутри
переходника.
Дальность действия
обоих аппаратов 200 км,
время работы 10 ч.
Передвижение их в космосе
будет осуществляться
двигательной системой,
состоящей из 14 сопел,
работающих на гидразине.
Одноместный аппарат
фирмы «Bendix» (рис. 6.6)
предназначен для
проверки и обслуживания КА,
сборки орбитальных
конструкций,
транспортировки космических объектов
с одной орбиты на
другую. Масса аппарата, Рис# 66# Аппарат фирмы «Bendix»
включая массу
космонавта и 90 кг груза,
составит 680 кг. Высота аппарата около 2,4 м. Он снабжен
пультом управления, системами наведения,
жизнеобеспечения, электропитания и связи, механическими
манипуляторами, средствами крепления в рабочем
положении. Радиус действия аппарата 5,5 км. Запас
кислорода в системе жизнеобеспечения рассчитан
на 8 ч.
Космонавт, использующий описанные выше
устройства перемещения, может рассматриваться как
механическая система, состоящая из одного жесткого тела.
Подобная система будет испытывать возмущающие
моменты, так как вектор тяги в общем случае не проходит
через центр масс системы. Поэтому для стабилизации
углового положения космонавта в пространстве аппа-
215
Рис. 6.7. Схема устройства для перемещения в
открытом космосе с шарнирным соединением сиденья
космонавта и двигательной установки:
/ — сиденье; 2 —спинка сиденья; 3, 4 — ремни для крепления
к сиденью; 5 — подвижной стержень; 6 — втулка; 7 — головка
стержня; 8 — соединительная муфта; 9 — рукоятка; 10 —
соединительный стержень; // — рычаг для управления двигательной
установкой; 12— баллон с запасом рабочего тела: 13 — рама;
14 — стержень, приваренный к сиденью; 15 — стержень для
крепления подножек; 16 — рукоятки; 17 — сопла
раты имеют двигательную установку, обеспечивающую
управление по тангажу, рысканию и вращению, и
достаточно сложную систему управления. В связи с этим
специалистами фирмы «Marguart» предложено
устройство, которое, как полагают, не будет иметь указанного
недостатка.
Принципиальное отличие этого устройства (рис. 6.7)
от других состоит в том, что космонавт и двигательная
Рис. 6.8. Этапы управления движением устройства для
передвижения космонавта в открытом космосе:
а — по тангажу; б — по крену; в — по рысканию
установка связываются между собой шарнирно. Такое
соединение обеспечивает перемещение космонавта
относительно двигательной установки по тангажу, рысканию
и крену (рис. 6.8). Эти перемещения космонавт
осуществляет вручную с помощью рукояток. Для управления
двигательной установкой служит рычаг.
217
При номинальном положении центр масс системы
совпадает с центром шарнира, с помощью которого
космонавт и двигательная установка соединяются в единую
систему. При возникновении момента тяги, создаваемой
соплами относительно центра масс системы, происходит
угловое перемещение тел, которое приводит к
уменьшению вращательного момента для полной
стабилизации системы. В таком устройстве отпадает
необходимость управления ориентацией вектора тяги
относительно центра масс устройства, а следовательно,
необходимость достаточно сложной системы стабилизации
углового положения космонавта.
§ 6.2. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ КОСМОНАВТА
ОТНОСИТЕЛЬНО КА ПРИ ИМПУЛЬСНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Выход космонавта в открытый космос ставит перед
исследователями ряд важных вопросов. К таким
вопросам относятся закономерности движения космонавта
относительно КА после его отделения и условия его
возвращения на борт КА. Основным требованием при
выполнении работ в открытом космосе является
надежное, быстрое и безопасное возвращение космонавтов
на КА.
Исследуем закономерности движения космонавта
относительно КА, если его отделение от КА происходит
с помощью какого-либо импульсного механизма
(например, реактивного двигателя) или простым
отталкиванием. Такое исследование позволит оценить также
возможные аварийные ситуации, которые могут
возникнуть при работе в открытом космосе.
Для упрощения решения задачи предположим, что
КА движется по круговой орбите вокруг сферической
Земли. Сопротивлением атмосферы и влиянием других
возмущающих сил будем пренебрегать ввиду их
малости по сравнению с силой притяжения Земли.
Проведем анализ движения космонавта относительно
КА, полагая, что связь между ними отсутствует, а
скорость отделения мала по сравнению со скоростью
движения КА [44].
218
Уравнения движения в орбитальной системе
координат Oxyz приведены в § 2.4, а их решения имеют
следующий вид:
+ 2(-^-3j/o)sin«>/-
-(з-£-6у0)<
j, = 2(2y0—&■) + •£ sin arf-
z = z0 cos o>t + —2- sin m/
(6.1)
Составляющие относительной скорости:
x=2 y0 sin a>/ + 2 (2л:0 — 3 a>y0) cos <»/ -
— 3 (Ло — 2coy0);
y = y0 cos a>/ -f (3j/0 <*> — 2x0) sin «>/;
i= — a)2:0sinco/ + i:0cosa)/.
> (6.2)
Уравнения (6.1) й (6.2) определяют положение и
скорость космонавта относительно КА в любой момент
времени как функцию начальных значений его координат х0,
у0, z0 и составляющих скорости х0, Уо, Zo- Будем
полагать, что до отталкивания космонавта от аппарата (или
до приложения импульса) его координаты и скорость
относительно КА равнялись нулю.
В общем случае космонавт может оттолкнуться в
любом направлении. Вектор скорости отталкивания можно
представить как векторную сумму составляющих
вектора скорости в проекциях на оси орбитальной системы
координат Oxyz. Зная траектории движения,
возникающие в результате воздействия каждой составляющей
скорости, можно получить представление о характере
результирующей траектории космонавта. Проанализи-
219
руем последовательно различные случаи движения в
зависимости от направления отталкивания.
1) Отталкивание по нормали к плоскости орбиты КА
(*о=#о=2о=0, х0 = 0у у'о=0, 2о=£0). Движение
космонавта в этом случае описывается уравнениями:
z = -^ sin Ы\ z = z0 cos со/. (6.3)
Оно будет представлять собой простые
гармонические колебания вдоль оси z с периодом, равным периоду
обращения КА, и амплитудой, равной г0/со.
Как следует из уравнений (6.3), космонавт после
отделения будет двигаться вокруг Земли по такой же
круговой орбите, как и КА. Плоскости этих орбит не
совпадают, а пересекаются по прямой, проходящей
через центр Земли и через положение КА в момент
отталкивания. После отделения от КА космонавт начнет
удаляться от него. Максимальное удаление произойдет
через четверть периода, после чего космонавт опять начнет
приближаться к КА. Через половину периода он
сблизится с КА и при своем дальнейшем движении будет
удаляться уже в противоположном направлении. Ровно
через период он опять сблизится с КА. Описанное
движение будет повторяться с периодичностью, равной
периоду обращения КА по орбите. За каждый период
космонавт будет дважды сближаться с КА.
2) Отталкивание^ в радиальном направлении, т. е.
вдоль оси у (*о=*/о=2о=0, *o=z0=0, уо Ф 0). Уравнения,
описывающие данное движение, имеют такой вид:
;c = 2^-2-^cosco/;j/ = ^sin<^. (6.4)
Они представляют собой параметрические уравнения
эллипса
Как видно из уравнения (6.5), при отталкивании
космонавта в радиальном направлении его движение
относительно КА будет происходить по эллипсу, большая по-
220
луось которого равна 2#0/<о, а малая — у0/о) (рис. 6.9).
Геометрический центр эллипса располагается на оси х,
его координаты 2г/0/а> и 0. Период полного обращения
космонавта вокруг КА равен периоду обращения КА по
орбите, и космонавт будет сближаться с КА только один
раз за период.
а?
91
(^^
^ >
Г~^
Рис. 6.9. Траектория движения при
отталкивании в радиальном
направлении
3) Отталкивание в произвольном направлении в
плоскости Oyz(x0=yo=Zo=0, t/от^О, х0=0, гоф0).
Движение космонавта описывается совместно уравнениями
(6.3) и (6.4) и происходит в плоскости, наклоненной к
плоскости Оху под углом o = arctg^r- (ось х — линия
Уо
пересечения плоскостей).
Уравнения, описывающие движение космонавта в
этой плоскости, можно записать в системе координат
Ох'у'г\ повернутой относительно системы Oxyz на угол о
вокруг оси х:
У = -й- sin Ы cos о + -&- sin u>t sin о; \
* 0> 'ft) |
^ == — — sinatfsina + — sin<o/ cos о.
ft) ' <D J
(6.6)
221
Поскольку tg a = z0/y0, то
jo
Sin a =
v%
COS a = . ^L
y% + ч
Vti
о + 4
Следовательно, г'—О и движение происходит только
в плоскости Ох'у'. Подставив выражения для sin о и
cos о в уравнение, определяющее у', получим
У =
Я + % ]
sina>/.
Тогда уравнение траектории движения будет иметь
следующий вид:
№
+ Су')8 =1
+ Я + 4 '
(6.7)
т. е. представляет собой эллипс в плоскости Ох'у\
наклоненной к плоскости орбиты под углом о. Большая
полуось этого эллипса не будет вдвое больше малой,
как это было в предыдущем случае. Центр эллипса
располагается на оси х\ совпадающей с осью х, его
координаты 2#оДо и 0.
Встречи космонавта с КА будут происходить один
раз за период.
4) Отталкивание в трансверсалъном направлении,
т. е. вдоль оси х (х0=у0=го=0, yo=zQ=0, х0¥=0).
Уравнения, описывающие движение космонавта, имеют вид:
^ = 4^-sin со/ — 3x0t;
что представляет собой эллипс
(6.8)
(6.9)
222
Большая полуось эллипса расположена параллельно
оси Ох и равна 4лго/о>. Малая полуось в два раза
меньше. Эллипс движется вдоль оси х со скоростью —Зл:0.
В момент отделения космонавта геометрический центр
эллипса имеет координаты 0 и —2a:0/co. По существу
такое движение описывается кривой, называемой
удлиненной циклоидой или трахоидой (рис. 6.10).
Рис. 6.10. Траектория движения при
отталкивании в трансверсальном
направлении
Оттолкнувшись от КА в направлении его полета
(#о<0), космонавт вначале обгонит КА, одновременно
поднимаясь над ним. Затем он начнет отставать от КА,
все время находясь выше его. Через период обращения
КА по орбите космонавт окажется позади КА на той
же высоте, что и КА. В дальнейшем характер движения
будет повторяться и космонавт все больше будет
отставать от КА. При отделении космонавта в направлении,
противоположном полету (#о>0), он будет двигаться
ниже КА, обгоняя его.
Таким образом, отделение космонавта в
трансверсальном направлении движения КА приведет к
постепенному его удалению от КА. Этот случай является для
космонавта наиболее опасным, особенно если он не
связан с КА.
5) Отделение в произвольном направлении в
плоскости Оху (л:0=уо=20=0, г0=0, х0ф0, уоф0). Уравнения
движения имеют вид:
223
* = 2^-2^cosorf + 4^-sin«>;-3A:o*;
<0 (О ' О) V 7
(6.10)
y = _2^.+2^-cosa)]f + ^.sin«)<.
•^ <o <o ' со
Они представляют собой эллипс
Большая полуось эллипса в два раза больше малой.
Геометрический центр эллипса в начальный момент
времени определяется координатами 2у0/о> и —2х0Ао. Этот
эллипс перемещается вдоль оси х со скоростью, равной
—Зх0. Следовательно, траектория движения будет так
же, как и в предыдущем случае, представлять собой
циклоидную кривую и космонавт будет удаляться от КА,
но с большей скоростью.
Рассмотренные случаи показывают, что только при
отделении космонавта по нормали к плоскости орбиты
он совершает прямолинейное движение относительно
КА. Во всех остальных случаях траектории его
движения являются криволинейными. Чтобы космонавт мог
вернуться на КА без использования каких-либо
дополнительных средств, он должен отделяться от КА в
любом направлении, перпендикулярном вектору скорости
КА. При отталкивании в трансверсальном направлении
космонавт .удаляется от КА.
Очевидно, что в реальных условиях направление
отталкивания космонавта всегда будет иметь трансвер-
сальную составляющую, поэтому трудно предположить,
что космонавт может снова оказаться на КА без
помощи каких-либо средств, способствующих его
возвращению.
§ 6.3. ОЦЕНКА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ
ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В ОТКРЫТОМ
КОСМОСЕ
Перемещение космонавта в открытом космосе с
помощью специальных устройств связано с
определенными энергетическими затратами. Расход топлива для пе-
224
ремещения космонавта между двумя космическими
объектами с возвращением на базовый КА будет
зависеть от большого числа факторов, к которым, например,
могут быть отнесены:
— массы устройства и космонавта;
— продолжительность операции и отдельных ее
этапов;
— значения параметров относительного движения
двух космических объектов;
— применяемые методы управления движением
устройства перемещения в открытом космосе;
— натренированность космонавта для выполнения
операций ручного управления устройством перемещения
и др.
Учет в полной мере всех этих факторов представляет
весьма сложную задачу, решение которой, по-видимому,
возможно только в результате экспериментальной
отработки конкретных УПК. Чтобы составить
первоначальное представление о потребных энергетических
затратах, можно ограничиться определением необходимого
ресурса характеристической скорости для выполнения
прямого и обратного перелета УПК с учетом параметров
относительного движения объектов, между которыми
оно курсирует, и продолжительности прямого и
обратного перелета, а также времени пребывания космонавта
на втором космическом объекте для выполнения
определенных работ.
Будем считать, что движение базового КА, с
которого проводится запуск УПК, происходит по круговой
орбите высотой Л. КА в начальный момент (момент
запуска УПК) находится в точке Ко (рис. 6.11).
Движение второго космического объекта (цели) может
происходить по произвольной орбите. Начальное положение
его обозначено точкой До-
Продолжительность прямого перелета устройства от
КА к цели равна %\. Далее в течение времени тг
космонавт выполняет на втором объекте определенную
работу, т. е. устройство и космонавт совершают свободный
орбитальный полет вместе со вторым объектом
(участок Ц\Ц2). В тот момент времени, когда базовый КА
и цель занимают соответственно положения /С2 и Ц2,
УПК стартует со второго объекта для возвращения на
8 Сближение в космосе
225
КА. Длительность обратного перелета равна тз.
Суммарная продолжительность «операции»
Т = хг + ъ + Ъ (6Л2)
В общем случае как на общее время Г, так и на
каждое из слагаемых правой части выражения (6.12)
могут быть наложены ограничения. В дальнейшем вели-
Рис. 6.11. Схема движения КА, цели и УПК
чины Г и Т2 будем считать заданными. Тогда т1 + тз =
= Т — Т2. Распределение времени между прямым и
обратным перелетами целесообразно принимать таким, при
котором суммарный расход характеристической
скорости будет минимальным.
Введем параметр (3, устанавливающий связь между ii
и xi + тз:
т8 = (1 — р) (тх + Тз) = (1 — р) (Г — т2).
Рассмотрим импульсную схему управления
движением УПК.
Первый импульс AV\ прикладывается в момент
старта устройства с базового КА и позволяет осуществить
(6.13)
226
встречу УПК с целью через время %\. Второй
импульс ДК2 предназначен для выравнивания скоростей в
момент встречи, а третий ДУа необходим для
возвращения УПК на КА при продолжительности этапа
возвращения тз. Последний — четвертый — импульс Д V4
обеспечивает «мягкую» встречу устройства с КА.
Потребный ресурс характеристической скорости Vz
на всю «операцию» представляет собой сумму четырех
указанных импульсов:
4
Для определения импульсов ДУ* можно
воспользоваться решениями линеаризованной системы уравнений,
описывающей относительное движение устройства в
орбитальной системе координат Кохуг, связанной с
базовым КА (рис. 6.11). При этом будем полагать, что
начальные значения параметров относительного движения
цели в этой системе координат известны.
Запишем выражения для координат цели в момент
времени ть*
^1 = (%s-6Ao)sin<ot1-%°cosa«l +
+ (•*«<> + Щ - (Зхц0 - 6шуц0) ,,;
у^-^ЯПак.+^-Зу^СОЗ^- | (6.15)
__/2A.o_4v V
Sm — ^sine^ + ^ocosaw,, }
где ха0, Уа.о, 2цо> хио, Уцо. гцо — начальные значения
координат и производных от координат цели; ш —
угловая скорость движения. КА по круговой орбите вокруг
Земли.
Требуемые значения производных Хтро» Утро. £тро
после сообщения устройству импульса скорости ДК|
8* 227
определяются из условия обеспечения встречи его с
целью через время ii после запуска с базового КА:
<о [xal sin сот! — 2j'm (1 — cos 0)^)] #
8 (1 — cos сьт,) — 3 cdtj sin сот, f
•^тр 0 —
• __ <о [2 (1 -- cos (от,) Хцх Ч- (4 sin сот, — 3 от,) ^ш]. ^
Утр ° 8(1 — cos сот,) — 3 (от, sin сот, '
ТР ° sin (от, '
Следовательно, величина первого импульса
1 Г ЛтрО^ ->трО ^*тр
(еле)
(6Л7)
"тр 0 > «^ тр 0 ' тр О
Определим составляющие относительных скоростей
(относительно КА в системе координат Koxyz) цели и
УПК в момент их встречи:
*т = 2.Уцо sin тх + (4 лгц0 — б о>уц0) cos тг —
— Зл:ц0 + 6соуц0;
Ут = Уцо cos cct! — (2хд0 — 3 ^Уцо) sin wxf,
*m = 2ц0 cos tot! — (огц0 sin тх;
•^1 = 2 j>Tp о sin сот! — л:тр 0 (3 — 4 cos тх);
Ух = Утр о cos totj — 2лгтр о sin тг)
^l = ^TpoCOSO)t1.
Имея выражения (6.18) и (6.19), можно рассчитать
импульс ДУ2> необходимый для выравнивания скоростей
встречающихся объектов:
(6.18)
(6.19)
Д^2 = / (im-^+^m-y^ + ^m-i,)8 • (6.20)
Значения координат цели в момент запуска УПК тг
для возвращения на КА могут быть определены по
формулам (6.15), в которые надо подставить в качестве
начальных значений параметры относительного
движения цели в момент времени х\ и заменить %\ на тг. Таким
же образом по выражениям (6.18) можно получить
значения производных #ц2, #ц2, ^ц2, а затем х$, у$, г3.
Требуемые значения составляющих относительной
скорости УПК после сообщения ему импульса определя-
228
ются из условия возвращения на базовый КА за
время т3:
• <о { лгц2 sin (от3 -f уа* [6о)т3 sin <д>т3 — 14(1 — cos cqt3)] ) ^ >
ТР 2 3(от3 sin <от3 — 8(1 — cos (от3) '
о [jcu2(1 — cos <dt3) -f >^ц2 (^ sin (от3 — 3 (от3 cos (от3)] #
^ТР 2 3 (от3 sin wx3 —- 8 (1 —- cos u>T3) '
V(6.21)
^тР2=— ^U?CtgO)X3. j
Зная требуемые и действительные значения
составляющих скорости УПК в момент запуска для обратного
перелета, можем рассчитать третий импульс:
АКз = /(хц2-хтр2)2 + (уц2~утр2)2+(гц2-^тр2)2. (6.22)
По производным #з, уг, г3 определяем четвертый
импульс ДК4, необходимый для «мягкой» встречи
устройства с КА:
AV4=)/ x2+y2 + z2 . (6.23)
На рис. 6.12 приведены графики, иллюстрирующие
зависимость суммарной характеристической скорости Vz
от параметра р. Расчеты производились по зависимостям
(6.14) — (6.23) для компланарных маневров УПК
при различных значениях угла <р0 между осью Кх и
начальным положением линии визирования цели.
Как следует из приведенных зависимостей,
энергетические затраты, связанные с перелетом УПК к цели
и обратно, существенно зависят от общего времени
продолжительности операции Г, которое включает как
время пребывания устройства у цели, так и время прямого
и обратного перелета.
В свою очередь время операции Т будет зависеть
от характера выполняемой у цели задачи, возможностей
систем управления базового КА и УПК, ресурса
времени системы жизнеобеспечения и многих других
факторов.
Вместе с тем следует иметь в виду следующее. Если
дальность действия системы управления базового КА
или устройства перемещения при автономном варианте
не превышает некоторой величины £>д, то максимально
229
допустимое время выполнения операции Гд будет
определяться моментом входа цели в сферу радиуса Од, центр
которой совпадает с положением базового КА на орбите,
и моментом выхода цели из этой сферы. При этом
предполагается, что за время прямого и обратного перелета
устройства оно не выходит за пределы сферы радиуса £д.
90*(270&)
Рис. 6.12. Зависимость суммарной
характеристической скорости от параметра Р
Рассмотрим в первую очередь случай, когда цель и
базовый КА совершают полет по компланарным
круговым орбитам с разностью высот Дг~гц— Гб (рис.6.13)
Очевидно, что при этом должно удовлетворяться
неравенство |Дг| </)д.
Положение цели относительно КА будет
определяться разностью высот Дг и смещением вдоль орбиты /д.
230
Из рис. 6.13 следует, что допустимое смещение цели
вдоль орбиты
_ \2
1+ "
/д = ± r6 arccos
Пусть в начальный момент t0 положение цели
относительно КА определяется координатами Дг и /0 так, что
-£>д<Дг<£д; -/д</о</д. (6.24)
Рис. 6.13. Начальное
положение цели и корабля-носителя
Текущее смещение вдоль орбиты
(6.25)
где coo, озц — угловая скорость движения по орбите
базового КА и цели.
Чтобы цель и УПК не удалились от базового
корабля на дальность, большую чем Од, необходимо
выполнение следующего условия:
/>-/д при Дг>0 и /</д при Дг<0. (6.26)
Подставив выражение (6.25) в условие (6.26), можно
определить время Гд пребывания цели внутри
окружности радиуса DA в зависимости от ее начального
положения /о и разности высот Дг:
'0±"д1 (6.27)
Д Гб(шб-
(Оц) *
231
Знак « + » соответствует случаю, когда Дг>0, а знак
«—» случаю, когда Дг<0.
На рис. 6.14 представлен график, иллюстрирующий
зависимость Гд от /0 и Дг для /)д=10 км и гб = 6670 км.
Кривая на графике соответствует функции/д(Дг), а
прямые линии — функции Гд(/0) заданного значения Дг. Из
графика следует, что допустимое время выполнения
операции будет более 30 мин лишь при разностях высот
менее 3 км.
Рис. 6.14. Зависимость Гд от Аг и /о
Изложенная выше методика определения
энергетических затрат не учитывала ограничений на максимально
допустимое удаление устройства от базового КА. Для
приближенного определения энергетических затрат на
выполнение прямого и обратного перелета с учетом
указанного ограничения примем, что движение трех
движущихся объектов происходит в однородном поле
тяготения. В том случае, когда допустимая величина
максимального удаления Ьд и суммарное время «операций» Т
невелики, указанное допущение, по-видимому, позволит
решить задачу с приемлемой точностью.
Характер движения КА и УПК относительно цели
схематично отражен на рис. 6.15. Предполагается, что
запуск устройства с базового КА производится в тот
момент, когда в процессе сближения расстояние между
ним и целью уменьшится до допустимой величины £)д.
232
Импульс AV3 для возвращения устройства на КА
сообщается в тот момент, когда относительная дальность
снова увеличится до величины Од. В этом случае время
Рис. 6.15. Схема движения корабля-носителя и
УПК
пребывания космонавта на втором космическом объекте
будет максимальным. При решении задачи будем пола-
7=20май
30 мин
О 5 10 ПХг>Ш
Рис. 6.16. Зависимость Vz от Т и т2
гать, что нам заданы £д, Г, т* величина пролета КА
относительно цели Д0 и начальная относительная
скорость Уотно- Определим время Гд, в течение которого
цель будет находиться в зоне действия УПК, т. е. когда
233
расстояние между базовым КА и целью не
превышает £д. Очевидно, что
* я
д V,
отно
Величины необходимых импульсов скорости ДКг
могут быть рассчитаны по таким формулам:
Д^ = [(^иО^-)Ч
2П 2
1 Д — Т2
Я£
_1_
4V,-^r. (6.31)
После этого можно определить суммарное значение
характеристической скорости ДУг как функцию от та
(рис. 6.16),
ЛИТЕРАТУРА
1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. «Мир», 1967.
2. А л ь т м а н С. П. Анализ орбитальных движений
методом годографов. «Мир», 1968.
3. Антон и, Сазаки. Проблемы встречи на близких к
круговым орбитах. «Ракетная техника и космонавтика», 1965, № 9.
4. А т а н с М., Ф а л б П. Оптимальное управление.
«Машиностроение», 1968.
5. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией.
«Наука», 1964.
6. Беллман Р., К а л а б а Р. Динамическое
программирование и современная теория управления. «Наука», 1969.
7. Б и л л и к. Некоторые оптимальные маневры встречи с
малым ускорением. «Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 3.
8. Болтянский В. Г. Математические методы
оптимального управления. «Наука», 1969.
9. Грин. Логарифмическая навигация для точного
управления космическими кораблями. «Вопросы ракетной техники», 1962,
№ 7.
10. Г утки н Л. С. Принципы радиоуправления беспилотными
объектами. «Советское радио», 1959.
П.Гуткин Л. С, Борисов Ю. П., Валуев А. А.,
Зиновьев А. Л., Лебедев В. Л., Первачев С. В.,
Полйщук Е. П., Пономарев Д. А. Радиоуправление
реактивными снарядами и космическими аппаратами. «Советское
радио», 1968.
12. Д е м и д о в и ч Б. П., Марон И. А. Основы
вычислительной математики. «Наука», 1966.
13. Д обр о л ен ск и й Ю. П., Иванова В. И., П о с п е*
лов Г. С. Автоматика управляемых снарядов. Оборонгиз, 1963.
14. Д у б о ш и н Г. Н. Небесная механика. Основные задачи
и методы. Физматгиз, 1963.
15. Дисопстон Р. С, Хаус Е. Л. Разработка и
эксплуатация "оборудования для выхода в космос по программе «Дже-
мини». «Вопросы ракетной техники», 1967, № 4.
16. Исаев В. К. Принцип максимума Л. С. Понтрягина и
235
оптимальное программирование тяги ракет. «Автоматика и
телемеханика», 1961, № 8.
17. Исаев В. К. Дополнение к работе «Принцип максимума
Л. С. Понтрягина и оптимальное программирование тяги ракет».
«Автоматика и телемеханика», 1962, № 1.
18. Кан В. Л., Кельзон А. С. Теория пропорциональной
навигации. «Судостроение», 1965.
19. Кельзон А. С. Динамические задачи кибернетики. Суд-
промгиз, 1959.
20. К о р е н е в Г. В. Введение в механику управляемого тела.
«Наука», 1964.
21. К л о х е с с и, У и л т ш а и р. Система наведения на
конечном участке встречи спутников (в книге «Управление полетом
космических аппаратов»), ИЛ, 1963.
22. К р а с о в с к и и Н. Н. Теория управления движением.
Линейные системы. «Наука», 1968.
23. Л е б е д е в А. А., Соколов В. Б. Встреча на орбите.
«Машиностроение», 1969.
24. Л е б е д е в А. А., К а р а б а н о в В. А. Динамика
систем управления беспилотными летательными аппаратами.
«Машиностроение», 1965.
25. Остославский И. В., Стражева И. В.
Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. Оборонгиз, 1963.
26. Петухов С. В. Об одном способе приближенного
решения уравнения Эйлера — Ламберта. «Космические исследования»,
1966, № 4.
27. П о г о р е л о в Д. А. Теория кеплеровых движений
летательных аппаратов. Физматгиз, 1961.
28. П о н о м а р е в В. М. Теория управления движением
космических аппаратов. «Наука», 1965.
29. Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г.,
Мищенко Е. Ф., Г а м к р е л и д з е Р. В. Математическая теория
оптимальных процессов. «Наука», 1969.
30. Сихарулидзе Ю. Г. Исследование оптимальных
режимов сближения космических аппаратов. «Космические
исследования», 1969, вып. 1.
31. Спрэдлин. Траектория перехвата спутника, который
длительное время обращается по орбите. «Вопросы ракетной техники»,
1962, № 7.
32. С у б б о т и н М. Ф. Введение в теоретическую
астрономию. «Наука», 1968.
33. Суслов Г. К. Теоретическая механика. ГИТТЛ, 1946.
34. С ю и Л о. Перехват скоростной цели снарядом,
наводимым по лучу. «Ракетная техника и космонавтика», 1963, № 7.
35. Т и х о н р а в о в М. К., Я ц у н с к и й И. М.,
Максимов Г. Ю., Б а ж и н о в И. К., Гурко О. В. Основы
теории полета и элементы проектирования искусственных спутников
Земли. «Машиностроение», 1967.
36. X а р р и с о н. Энергия, требуемая для встречи при инерци-
альном и орбитальном параллельных сближениях. «Вопросы
ракетной техники», 1965, № 7.
37. Чо.н Хунь-ци. Закон управления для встречи с коиеч-
236
ной тягой на околокруговой орбите. «Ракетная техника и
космонавтика», 1967, № 2, 5.
38. Э л ь я с б е р г П. Е. Введение в теорию полета
искусственных спутников Земли. «Наука», 1965.
39. Эрике К. Космический полет. Т. I. «Наука», 1969.
40. A d a m s J. J., M о е n G. С. Station keeping studies. "A1AA
Paper", 1967.
41. В e a s 1 e у G. P., Brissenden R. F., S t г a 1 у W. H.,
A d 1 h о с h R. W. Retrieving the tethered astronaut. "Astronautics
and Aeronautics", January 1965.
42. В i 1 1 i k B. H., Roth H. L. Stadies relative to rendezvous
between circular orbits. "Astronautica Acta", 1967, vol. 13, No 1.
43. С a 11 a h u n J. A.., N о 11 i n у R. R. The development of
Gemini docking system. SAE Preprints. 857E.
44. D e w i 11 R. N. Relative motion of a body about an orbiting
satellite. "Journal of Spacecraft and Rockets", 1966, vol. 3, No 12.
45. D о w e 1 E. M., S e d d о n J. Orbital rendezvous techniques.
"Journal of the British Interplanetary Society", 1964, vol. 19, No 2.
46. F a r b e s s D. L., С a g g i a n о G. Techniques for
rendezvous and docking. Space rendezvous, rescue and recovery. 1963,
vol. 16, No 2.
47. H о u b о 11 J. С Problems and potentialities of space
rendezvous. "Astronautica Acta", 1961, vol. 7, No 5—6.
48. H о 11 z R. A., J а с k s о n D. R. Prediction of availability
to launch-on-time. "AIAA Paper", 1967, No 271.
49. I r v i n g J. H. Low thrust flight: variable exhaust velocity
in gravitational flieds. Space Technology. Ed. by Seifert H. S.
J. Wiley and Sons. 1959.
50. К a s s S. Maximum rendezvous launch window
characteristics. "AIAA Journal", 1964.
51. Lawden D. F. Optimal rocket trajectories. "Jet
Propulsion", 1957, vol. 27, No 12.
52. L a w d e n D. F. Dynamic problems of interplanetary
flight. "Aeronautical Quarterly", 1955, vol. 6.
53. N e w e 11 H. E. Guided missile kinematics. Naval Research
Laboratory, Washington, Report No R-2538, 1945.
54. N i s h i z a k i T. J. Docking mechanism applicable to
logistics spacecraft systems. "Journal of Spacecraft and Rockets", 1968,
vol. 5, No 9.
55. P о 1 i С R., H a n a v a n E. J. A threemass retrieval study
for the Gemini tethered astronaut. "Journal of Astronautical
Sciences", 1966, vol. 13, No 2.
56. Research and design trends; modular astronaut pack; hyd-
ranlic fluid for XB-70 submerged gimbaling nozzel. "Space
Aeronautics", 1965, vol. 43, No 5.
57. R e u t e г Н. A. Radar systems for unmanned cooperative
rendezvous in space. "IRE International Conventing Record", 1962,
vol. 10, No 5.
58. Schneider Alan M. ABC's of rendezvous. "Naviga*
tion", 1968, vol. 15, No 1.
237
59. S о u 1 e P. W., К i d d A. T. Terminal maneuvers for
satellite ascent rendezvous. "ARS Journal", 1962, vol 32, No 1.
60. S p i t z H. Partial navigation courses for a guided missile
attacking a constant velocity target. Naval Research Laboratory,
Washington, Report No R-2790, 1946.
61. Steinhof f E. A. Orbital rendezvous and guidance. Proc,
Manned Space Station Symposium, Los Angeles, Calif., 1960.
62. S t r a 1 у W. H. The phasing technique in rendezvous "ARS
Journal", 1962, vol. 32, No 4.
63. Y u a n L. С Homing and navigational couses of automatic
target seeking devices. "Journal of Applied Physics", 1948,
vol. 19, No 12.
64. V a n S с h a i к Р. N. Latest developments for EVA space
operations. 19th Congress of the JAF, New York, 1968.
65. Flight performance handbook for orbital operations. Ed. by
R. W. Wolverton. J. Wiley and Sons Inc., 1963.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие . 3
Глава I. Общая характеристика возможных схем
сближения космических аппаратов 5
§ 1.1. Задача сближения космических аппаратов ... —
§ 1.2. Дальнее и ближнее наведение КА 10
§ 1.3. Способы управления сближением КА ..... . 13
Глава II. Уравнения относительного движения КА при
сближении 19
§ 2.1. Системы координат и матрицы перехода .... —
§ 2.2. Уравнения относительного движения в
орбитальной системе координат 24
§ 2.3. Определение составляющих угловой скорости и
углового ускорения орбитальной системы
координат 28
§ 2.4. Уравнения относительного движения при
сближении с неманеврирующей целью. Разложение в
ряды решений уравнений движения 34
§ 2.5. Относительное движение КА в системе координат,
связанной с линией визирования 44
§ 2.6 Уравнения относительного движения в
сферической системе координат 52
Глава III. Движение КА на этапе дальнего наведения 56
§ 3.1. Общая характеристика этапа дальнего наведения —
§ 3.2. Сближение с участка выведения 59
§ 3.3. Сближение с компланарной промежуточной орбиты 67
§ 3.4. Сближение с некомплаиарной промежуточной
орбиты 82
§ 3.5. Дальнее наведение при фиксированном времени 87
§ 3.6. Определение орбиты КА по двум заданным
положениям 90
§ 3.7. Расчет траектории сближения с помощью
уравнения Эйлера — Ламберта 97
§ 3.8. Приближенные методы расчета орбит дальнего
наведения 107
Глава IV. Методы ближнего наведения, использующие
законы орбитального движения 112
§ 4.1. Общая характеристика методов ближнего
наведения, основанных на использовании законов
орбитального движения лШ . .,._. . —
239
Стр.
§ 4.2 Импульсные методы сближения. Учет нелинейных
членов при расчете импульсов **'
§ 4.3. Графоаналитический метод анализа
относительного движения КА 124
§ 4.4. Графоаналитический метод расчета импульсных
траекторий сближения 133
§ 4.5. Программа сближения КА без ограничений на
условия встречи *43
Глава V. Методы ближнего наведения, не использующие
законы орбитального движения 154
§ 5.1. Общая характеристика методов ближнего
наведения, не использующих законы орбитального
движения —
§ 5.2. Инерциальное и орбитальное параллельное
сближение 160
§ 5.3. Оценка энергетических затрат для ликвидации
начального промаха при переходе КА на траекторию
параллельного сближения 169
§ 5.4. Управление движением КА вдоль линии
визирования 176
§ 5.5. Метод пропорциональной навигации 183
§ 5.6. Оптимальная двухимпульсная схема сближения
КА в однородном поле тяготения 193
§ 5.7. Причаливание и стыковка 201
Глава VI. Перемещение космонавта в открытом космосе 207
§ 6.1. Назначение и общая характеристика средств
перемещения —
§ 6.2. Перемещение космонавта относительно КА при
импульсных воздействиях 218
§ 6.3. Оценка энергетических затрат для перемещения в
открытом космосе 224
Литература 235
Балахонцев Виталий Григорьевич, Иванов Виталий Александрович,
Шабанов Владимир Иванович
СБЛИЖЕНИЕ В КОСМОСЕ
Редактор И. М. Медведев
Художник И. И, Кар пиков
Технический редактор Г. Ф. Соколова Корректор В. Е. Посохина
Г-34406 Сдано в набор 27.10.72 г. Подписано к печати 29.3.73 г.
Формат бумаги 84X108*/$» печ. л. 7!/я» усл. печ. л. 12,60, Уч.-изд. л. 11,073
Бумага типографская № 2. Тираж 7000 экз.
Изд. № 7/2831 Цена 78 коп. Зак. 771
Ордена Трудового Красного Знамени
Военное издательство Министерства обороны СССР
103160, Москва, К-160
2-я типография Воениздата
Ленинград, Д-65, Дворцовая пл„ 10