/
Text
ь~'. ~1
"
1-
ТЕ,3 'АРИЯ
U
Г.И.Василенко
ВОССТАНОВЛЕНИЯ
СИГНАЛОВ
ТЕОРИЯ Г.И.Василенко
ВОССТАНОВЛЕНИЯ
СИГНАЛОВ
О редукции к идеаJiьному
прибору в физике
и технике
МОСКВА
«СОВЕТСКОЕ РАДИО»
~~79
УДК 621.391.53 .08
Василенко Г. И. Теория восстановлении
сигналов: О редукции к идеальному прибору
в физике и технике.- М.: Со·в. радиоt 1979. -
272 с.
В обобщенном ·виде излагается теория вос
становления сигналов - научное на·правление,
ставящее своей целью разработку -методов
апостериорного устранения искажений, вноси
мых реальными приборами и окружающей
средой в результат наблюдения каких-либо
процес-сов или явлений. Восста'Iювление сигна
лов рассматривае-гся как некорректно [IОСТав
ленная задача математической физики. На ос
нове общих методов решения таких задач изу
чаются эффективные пути восстановления
с1tгналов. Изл·агаются практические алгоритмы
восстановления, реализуемые на ЭВМ 'И мето
дами оптической обработки информации и го
лографии.
Методы восстановления сигналов, расомот
ренные в книге, находят применение в радио
локации, тех нике связи, измерительной техни
ке, акустике, оптике, спектро.скоnии, рентгено
графии, электронной микроскопии и т. д.
Книга рассчитана на научных работников
и инженеров-исследователей, работающих в раз
личных областях физики и техники.
Рис. 44. табл. 4, библ. 130 назв.
Редакция литературы
по вопросам
космической радиоэлектроники
в~зо401-021
'"046(01 )-79
24-79 1502000000
($) Издательство «Советское радио»~ 197!}
ПРЕДИСЛОВИЕ
l(аждый исследователь хотел бы
пользоваться в своей работе идеаль
ными приборами, т. е. приборами, ко
торые не . вносят искажений в резуль
тат наблюдения исследуемых процес
сов и явлений. На практике вместо
истинного сигнала, который можно
получить от идеального прибора, мы
обычно наблюдаем некоторый иска
женный сигнал. Устранение искаже
ний, вносимых реальными приборами,
требуется в самых различных обла
стях науки и техники: в оптике и
электронной микроскопии (компенса
ция аберраций систем построения
изображений), в радиоастрономии и
локации (устранение сглаживающего
действия антенн), в акустике и технике
связи (выравнивание частотных ха
рактеристик передатчиков и приемни
ков)ит.д.
Существуют два принципиально
различающихся способа устранения
искажений. Первый, который можно
назвать априорным, состоит в том, что
при помощи искусных технических ре
шений совершенствуют конструкцию
реального прибора, добиваясь миниму
ма искажений в системе приема сиг
нала. Этот способ в основном исполь
зуется в современной измерительной
технике. Но возможности техническо
го совершенствования аппаратуры не
всегда безграничны. По мере улучше
ния технических характеристик неиз
бежно возрастают сложность и стои
мость аппаратуры. Кроме того, сами
процессы наблюдения (измерения)
обычно связаны с различными некон-
4
11редисловие
тролируемыми факторами, искажающее влияние кото
рых нельзя устранить никаким конструкrивным улучше
нием аппаратуры. Примером такого фактора может
служить влияние атмосферы на процесс съемки звезд
ного неба с помощью телескопа.
~,.. Другой способ устранения искажений, который бу
дем называть апостериорным, заключается в восстанов
лении самих сигналов. Под восстановлением сигнала
будем понимать такую обработку отклика на выходе
прибора, которая позволяет получать функцию, наибо
лее близкую (по тому или иному критерию) к истинно
му входному сигналу. Процесс восстановления преду
сматривает апостериорное обращение тех этапов форми
рования сигнала, которые вызвали его искажение. При
этом реальные явления, вызывающие искажения, заме
няются их математической моделью.
Восстановление сигналов становится исключительно
актуальной проблемой в свете повышения эффективно
сти и качества научных исследований и производства.
Полное решение проблемы восстановления искаженных
сигналов, по существу, означало бы редукцию к идеаль
ному прибору.
Вопрос о редукции к идеальному прибору был по
ставлен Рэлеем еще в 1871 г. в связи с некоторыми за
дачами спектроскопии и состоял в следующем: можно
ли после опыта так обработать функцию, наблюдаемую
на выходе некоторого реального прибора, чтобы восста
новить истинный сигнал, поступивший на вход прибора?
Фактически речь идет о возможности абсолютно полной
коррекции искажений, вносимых реальными приборами
и окружающей средой в результат набл1одения каких
либо процессов и явлений.
Дальнейшие исследования показали, что редукция
к идеальному прибору возможна лишь в нереальном
случае абсолютно точных измерений. Наличие сколь
угодно малых ошибок измерений и помех приводит
к тому, что на восстановленный сигнал накладывается
некоторая случайная ложная структура, порожденная
неизбежным усилением шумов в процессе редукции.
В результате тот выигрыш, который можно ожидать от
компенсации систематических погрешностей прибора,
сходит на нет из-за возрастания случайных ошибок.
11редисловие
5
Причина этого явления порождена спецификой са
мой задачи восстановления сигналов. С точки зрения
математической физики восстановление сигналов являет
ся типичной обратной задачей и принадлежит к классу
некорректно поставленных задач. Решение таких задач
связано с принципиальными трудностями.
Общие методы решения некорректно поставленных
задач математической физики были развиты в послед
ние 10-15 лет усилиями главным образом математиков
советской школы, возглавляемых А. Н. Тихоновым. Раз
личные методы решения изложены в монографии
А. Н. Тихонова и В. Я. Арсенина L1] и обзоре В. А. Мо
розова (2].
По вопросу применения методов решения некоррект
ных задач непосредственно к восстановлению сигналов
накопилось большое количество статей, опубликованных
в многочисленных отечественных и зарубежных журна
лах и сборниках. Особенности восстановления сигналов
как некорректной задачи показаны также в монографии
Я" И. Хургина и В. П. Яковлева [3]. Ранние попытки
редукции к идеальному прибору были рассмотрены
в работе С. Г. Раутиана [4]. Некоторые зарубежные
исследования по восстановлению сигналов отражены
в обзоре М. Сондхи [5j.
Однако книг, специально посвященных этому направ
лению, в отечественной и зарубежной литературе еще
нет. Кроме того, в опубликованных статьях по теории
восстановления сигналов часто переоцениваются воз
можности реализации обсуждаемых методов и алгорит
мов восстановления при помощи современных средств
электронно-вычислительной техники. 1( сожалению, про
изводительность современных универсальных ЭВМ не
всегда достаточна для решения задач восстановления
высокоинформативных сигналов. Так, например, для
восстановления одного изображения вещательного теле
визионного стандарта даже на ЭВМ, имеющей быстро
действие 1 млн. операций в секунду, может быть затра
чено время порядка десятков минут и даже часов.
Между тем с помощью методов оптической обработки
информации и голографии [6] эта задача решается
практически мгновенно. Но теория и техника голографи
ческих методов восстановления сигналов развиты лишь
Лре&словие
в последние годы и известны узкому кругу специали
стов.
Данна я работа ставит своей целью с единых позиций
рассмотреть как математические аспекты восстановле
ния сигналов с учетом некорректности задачи. так и
научно-технические проблемы восстановления сигналов
на ЭВ1v1 и методами оптической обработки информации
и голографии.
В гл. 1 излагаются математические основы теории
восстановления сигналов, приводятся общие методы
решения основного интегрального уравнения восстанов
ления и обсуждаются способы борьбы с шумами при
восстановлении сигналов. В гл. 2 рассмотрены способы
регуляризации рещения и конкре-г.ные методы восста
новления сигналов, учитывающие некорректность зада
чи. Особое внимание уделяется численным методам и
вопросам их алгоритмизации. Глава 3 посвящена опти
ческим методам восстановления сигналов. Рассматрива
ются процессы восстановления сигналов в когерентны х
оптических системах и способы синтеза голографических
восстанавливающих фильтров. Изложение вопросов
теории сопровождается примерами моделирования алго
ритмов восстановления на ЭВМ и результатами экспе
риментов по восстановлению изображений в оптических
системах.
В качестве математической модели искажений в ра
боте используется в основном модель линейной однород
ной (стационарной) системы. Задачи восстановления
сигналов с более сложными моделями искажений затра
гиваются лишь косвенно.
l(нига рассчитана на широкий круг читателей -
научных работников и исследователей, работающих
в различных областях физики и техники.
Автор выражает благодарность чл.-корр. АН СССР
Л. Д. Бахраху и д-ру физ.-мат. наук В. П. Яковлеву за
ценные замечания, сделанные при рецензировании
рукописи.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЯ
с (-r) - ковариационная функция
С (ro) - фурье-образ ковариационной функции
С - ковариационная матрица
т. dC, !R, §2 - операторы;
D - матрица производных
Е - знак математического ожидания
В-комплексная амплитуда поля
f (х) - наблюдаемая функция, отклик прибора
f-вектор, составленный из отсчетов наблюдаемой
функции
fT - транспонированный вектор
f - фокусное расстояние линзы
F(ro) - спектр наблюдаемой функции
~ - знак преобразования Фурье
h (х) - весовая функция прибора (импульсная переход
ная характеристика)
Н - матриuа весовых коэффициентов, составленная
из 9тсчетов функции h(x)
hmn - элементы матрицы Н
Н (ro) - передаточная функция прибора (системы, филь
тра)
1 - интенсивность поля
К (ro) - стабилизирующий множитель
k - волновое число, 2n/Л
P(s) - априорная плотность вероятности
Р (f /s) - плотность условной вероятности
P(xla) - индикаторная функция
r1(-r) -корреляционная функция процесса f (х)
R1(ro) - спектральная плотность мощности (энергетиче
ский спектр) процесса f (х)
s(x) -входной сигнал
s - вектор, составленный из отсчетов входного сиг
нала
s(x) - оценка входного сигнала (восстановленный си1·
нал)
s«(x) - оценка входного сигнала, завиаящая от парамет
ра регуляризации
S {ro) - спектр входногQ сигщ~л~
.
В
Список обозначений
Т (ro) - функция пропускания пространственно-частотно
го фильтра
v (х) - аддитивный шум
v - вектор шума
V (ro) - спектр реализации шума
w(x) - мультипликативная помеха
а - параметр регуляризации
'Л- длина волны света
'Лi - собственные значения
J.ti - сингулярные числа
'V ..._частота
рF - расстояние между элементами в пространстве F
Ф- интегральное значение отношения сигнал/шум
<р'(а),'Ф(и), Х(Р) -распределения комплексных амплитуд света
'1' ( ro) - отношение сигнал /шум
'1'i - волновые сфероидальные функции
ro - круговая частота
Q1[ s] - стабилизирующий функционал
(
1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
основы
ТЕОРИИ
ВОССТАНОВЛЕНИЯ
СИГНАЛОВ
1.1. ОСНОВНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
В физике и технике широко используется понятие
линейной системы (линейного прибора). Обозначим че
рез s (х) закон изменения входного воздействия, а через
f (х) -функцию на выходе системы. Будем называть s (х)
входным сигналом или просто сигналом, а f (х) -выход
ным сигналом или откликом. Если система линейна, то
она обладает свойством суперпозиции сигналов, которое
предусматривает выполнение следующих требований:
-
при усилении входного сигнала без изменения
его формы в к раз форма выходного сигнала также не
должна изменяться, а амплитуда должна увеличиваться
вкраз;
-
при подаче на вход системы суммы сигналов
отклик системы должен быть равен аналогичной сумме
выходных сигналов, соответствующих отдельным воздей-
ствиям.
Для оператора линейной системы Р, ставящего
в соответствие каждому входному сигналу s (х) из мно
жества S некоторый выходной сигнаJI f(x) из множест
ва F, эти тре·бования можно записать .в виде
Р[к1s1 (х) +к2s2(х) + .. .+Ктsт(х) ]=K1.27'[s1(х)] +
+к221[s2(х)] + ... + ·КmZ[sm(x)]=к1/1 (x) +
+к2f2(х)+ ...+ктfт(х); Si(x)e:S; fi(x)EF. (1.i)
В линейнЬiх системах соотношения между измене
ниями физических величин обычно выражаются линей"
ными дифференциальными уравнениями. Анализ нели-
u
неиных систем, в которых указанные соотношения вы-
jO
1. Математшtеские основы теории вDсстановленuя сuгпаЛов
ражаются нелинейными дифференциальными уравне
ниями, усложняется отсутствием регулярных методов
решения таких уравнений . Различие между процессами
в линейных и нелинейных системах сводится к тому, что
u
"
при анализе линеиных систем в силу своиства суперпо-
зиции по частным процессам можно сделать вполне
u
определенноР. заключение о всех возможных в даннои
"
системе процессах, а для процессов n нелинеиных си-
стемах этого сделать нельзя. Поэтому теория нелиней
ных систем оказывается довольно сложной и в ней обыч
но рассматриваются задачи, относящиеся только к опре
деленному 5Иду нелинейных систем. Несмотря на то, что
большинство реальных систем являются принципиально
нелинейными, часто приходится прибегать к тем или
"
иным методам линеаризации исходных уравнении и за-
тем проводить исследования в классе линейных систем.
Рассмотрим обыкновенное линейное дифференциаль
ное уравнение порядка п с переменными коэффициен
тами
dn-i f(х)
- f--a1 (х) ctxn-•
+ ... +ап (х) f (x)==s (х)
(1.2)
и соответствующее ему операторное уравнение с диф
ференциальным оператором т:
gj}f (x)=s (х),
( 1.3)
которые связывают выходной и входной сигналы неко
торой линейной системы.
Допустим сначала, что граничные условия отсут
ствуют и существует некоторый оператор d& такой, что
q)Ж=:У, где :У- единичный оператор. Тогда, по край
ней мере формально, можно записать:
f(x)=Жs(x).
(1.4)
Выясним смысл оператора d&, полагая, что вход-
"
"
ным воздеиствием служит единичныи импульс, прило-
женный в некоторой точке x==is, т. е. сигналом является
функция Дирака б(х-~). Тогда результирующий вы
ходной сигнал h, как отклик системы в точке х на им
пульсный входной сигнал в точке 5, является функцией
/ .1 . Основное интегральное уравнение
11
двух независимых переменных х п ~ и должен удовде
творять уравнению
qjh (х, ~) =б (х--~).
( 1.5)
Если существует обратный оператор, то откJ1ик должен
быть равен
h (х, s) =~б (х-6).
( 1.6)
Представляя s (х) в виде интегральной сум"мы смещен
ных единичных импульсов и учитывая своиство супер
позиции ( 1.1), разрешающее переносить оператор под
знак суммы, из ( 1.4) форма.пьно получаем
f (х)= ;:н;[Js(е} 11(х - ~)d~] = 1s~);:н; [11 (х-~)] cte.
Учитывая равенство (1.6), находим
00
f(х)= Хh(х,~)s(~)dE.
(1.7)
Таким образом, d'~ - интегральный оператор с ядром
h(x~ ~).
Интеграл вида (1.7) обычно выражает частное,
фундаментальное решение уравнения ( 1.2), соответст
вующее основному закону функционирования линейной
системы в установившемся режиме. Для получения об
щего решения к частному решению необходимо доба
вить все решения однородного ура в нения
q)f (х)=О,
( 1.8)
характеризующие переходные процессы в системе. Еслй
область изменения независимых переменных ограничена
некоторым проме:>кутком [а, Ь] и заданы определенные
граничные условия (начальные или краевые), то обu.1.ее
решение уравнения (1.2) в предположении о непрерыв
ности всех коэффициентов а0 (х), а1 (х), ..., ап (х)
и
функuии s (х) будет
ь
п
f(х)=JН(х, ~)s(~)de+~ c1f1(х),
(1.9)
а
l=I
12
1. Математические основы теории восстаповления сигналов
где fi (х) - линейно независимые решения однородного
уравнения ( 1.8), Ci - постоянные, определяемые по гра
ничным условиям.
Иногда удается определить функцию h(x, 6) таким
образом, что сумма в правой части выра1кения ( 1.9)
становится исчезающе ма.r:rой и частное решение
ь
f(х)=Jh(х, е)s(е)d~
(1.10)
а
оказывается одновременно и общим решением уравне
ния ( 1.2). Если краевые условия линейны и однородны
относительно f (х) и ее производных, то непрерывная
функция h (х, s)' дающая общее решение уравнения
(1.2) в форме (1.10), удовлетворяет тем же краевым
условиям, что и f (х), и всюду на отрезке [а, Ь] за ис
ключением точки х=6 должна удовлетворять уравне
нию
!7/Jh (х, s) =0;
x=t- ·
s.
(1.11)
Нетрудно видеть, что если функция h (х, s) опреде
лена условием (1.5), то она удовлетворяет уравнению
( 1.11). Этим обстоятельством объясняется, в частности,
широкое применение функций отклика на единичный
импульс в различных физических и технических зада
чах. Функuию h (х, s) в таком понимании называют
в физике функцией Грина, в теории автоматического
управления и радиотехнике - импульсной переходной
функцией, в оптике-функцией рассеяния точки, в спек
троскопии- аппаратной функцией и т. д. В дальней
шем, пользуясь терминологией теории систем, будем
называть ее весовой функцией линейной системы.
Дополнительные условия, налагаемые на функцию
h (х, s), а также пределы интегрирования а и Ь в ( 1.1 О)
обычно определяются сущностью задачи. Например,
если в качестве независимой переменной х выступает
текущее время ·t, то условие физической осуществимости
системы как следствие принципа пр11чинности времен
ных процессов (отклик не может опережать входное
воздействие) требует, чтобы b=t, а=О (или а=-СХ>)
и h(х, s)=0 при х<6.
J.1 . Основное интегральное уравнение
13
В соответствии с принятой в математической физи
ке терминологией рассмотренный выше процесс опреде
ления отклика f (х) по информации о входном сигнале
s (х) составляет содержание так называемой прям ой
задачи, т. е. задачи. связанной с отысканием неизвест
ных следствий заданных причин. Нас же интересует за
дача восстановления сигнала s (х) по информации об
отклике .f (х), которая в этом понимании оказывается
обратной задачей, так как она предполагает обра
rцение причинно-следственной связи. По существу.
любая задача интерпретаuии результатов наблюдений
и, в частности. рассматриваемый здесь класс задач вос
становления сигналов, возникающих при попытке исклю
чить влияние на результаты измерений системы наблю
дения {т. е. влияние самого измерительного прибора и
внешних возмvщающих факторов), является в извест
ном смысле обратной.
Если бы коэффициенты ао (х) , ai (х), .. . , ап (х) диф
ференциального уравнения системы были априорно из
вестны, то решение обратной задачи -определение сиг
нала s(x) по наблюдаемой функции f(x) - можно было
бы найти непосредственно из равенства ( 1.2). Но в прак
тических задачах восстановления сигналов вся инфор
мация о характеристиках системы наблюдения обычно
представлена в виде весовой фу1-rкции h (х. G); если по
каким-либо причинг.м эта функuия заранее не задана,
то ее можно измерить как реакцию системы на им
пульсное входное возлействие. В этом случае решение
обратной задачи, как это видно из (1.7). сводится к ре
шению следующего интегрального уравнения:
00
Jh"(x, ~ s (~,~~;
(} .12)
Уравнение (1.12) представляет собой интегральное
уравнение ФредголЬ.fl/tа 1-го рода с ядром h (х, G), ко
торое определяет оператор Ж прямой задачи , переводя
щий неизвестную функцию s (G), выражатощую состоя
ние объекта наблюдения, в некоторую другую функцию
f (х). зарегистрированную системой. Соответствующее
операторное уравнение есть
~s-f.
(1.13)
14
1. Математические основы теории восстановления сигналов
Будем называть уравнение типа ( 1.12) основным
интегральным уравнением обратной задачиt а уравнение
вида ( 1.13) - основным операторны1.t уравнением.
В дальнейшем мы будем"11Юльзоваться различными фор
мами записи· основного интегрального уравненияt учи
тывающичи возможные ограничения области изменения
независимых переменных и другие особенности за
дачи.
Наиболее общую форму записи основного инте
грального уравнения одномерной обратной задачи
можно представить в виде
ь
Sh (х, е) s (~) de=f (х); с<;,х<;, d,
(1.14)
а
где отрезки [а, Ь] и [с, d] могут быть конечными или
бесконечными (часто а=с, b=d). Уравнение много
м ер ной обратной задачи
rh(х, s)s(s)ds= f{х);
J
v
(1.15)
соответствует случаю анализа функций нескольких пе
ременных (х и s- векторы в пространстве Еп с коор
динатами х1, х2, ••. ,
Xn и Stt ·62, ... , sn, причем х при
н·адлежит области Wс=Еп, s-области Vс:::Еп, а инте
грал в ( 1.15) понимается как п-кратный интеграл).
В двумерном случае (например, при восстановлении
оптических сигналов - изображений) основное инте
гральное уравнение записывается в виде
J.fh(х, у; е, 1l)s(~, 1l)d~d1l==f(х, у),
v
(1.16)
где х и у, s и ТJ -координаты nекторов х и 6 на. плоско
сти, Vc:E2.
Часто удобно Допустить, чтu ядро уравнения Фред
гольма является разностным ядром, т. е. h(x, s)=
h {x-s). Такое допущение широко используется в раз
личных физических и технических прикладных задачах
и означает, что форма отклика системы на импульсное
v
u
воздеиствие по условию не зависит от того, в какои
точке области изменения независимой переменной при-
J.1 . Основное интегрщьное уравнение
t5
ложен импульс. Линейные системы, удовлетворяющие
этому условиюt в теории систем называют однородными
или инвариантными к сдвигу. в теории автоматического
управления они называются стационарными системами,
в оптике - изопланатическими и т. д.
Основной закон функционирования однородных си
стем выражается линейными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами, а основ
ное интегральное уравнение является уравнением типа
свертки:
00
Sh(х-~)s(~)de= f(х); -ею<х<оо.
(1.17)
--«>
которое часто записывают в символической форме:
h(x) *s (x)=f (х).
(1.18)
Так как в дальнейшем особое внимание будем уде
лять именно однородным системам, рассмотрим некото
рые полезные сврйства операции свертки. Прежде всего
заметимt что для прямого вычисления интеграла (1.17)
нужно построить функцию h (-6), которая является зер
кальным отражением . (относительно оси ординат) функ
ции h (s), сдвинуть полученную функцию по оси абсцисс
вправо на отрезок х, умножить сдвинутую функцию
h (х-~) на s (~) и рассчитать площадь под кривой
h(x_,~)s(~)" В результате мы получим одно значение
f (х). Повторяя указанные действия для различных зна
чений сдвига х, можно построить вс10 функцию f (х).
Очевидно, что операция свертки, как и любая дру
гая линейная операция, удовлетворяет условию вида
(1.1). Далее, свертка коммутативна и ассоциативна.
1\оммутативность ·свертки следует из тождеств
00
00
5h(x-t)s (е) de= fs@h(x-e}d~=
-оо
-00
со
00
= Ss<x-e)h@de= Sh(Т-~)s(~ +e)de=
-00
-00
16
1. Математилеские основы теории восстановления сигналов
-оо
Если коммутативность свертки позволяет менять порядок
ttсомножителей" (g1 (х) * g 2 (х) ~g2 (х) *g 1 (х)), то ассо·
циативность свертки означает, что
g.(х)*gl(х)*g3(х)= [g.(х)*е2(х)]*ga(х)=
= gi (х) *[g2 (х) *ga (х)].
Другим Полезным свойством свертки является воз
можность дополнительного сдвига, которая состоит
в том, что если функция .s ( s) в ( 1.17) за ранее смещена
на расстояние с относительно своего начального поло
жения, то свертку h (х) * s (х-с) можно легко выразить
через результат свертки исходных функций:
h (х) *s (х-с)== f (х-с) .
Наконец, замечательное свойство свертки вытекает
из теоремы Бореля, согласно которой фурье-образ сверт
ки двух функций равен произведению их фурье-обра
зов. Иначе говоря, если существуют преобразования
Фурье
со
Н (ш) == Jh (х) ехр (-jшх) dx;
-00
00
S (ш) = Ss (х) ехр (-jшх) dx,
--
то для вычисления свертки h (х) *s (х) достаточно пере
множить функции Н (ro) и S (ro) и найти обратное пре
образование Фурье от полученного произведения
со
f (х)= 2~ 5Н(ш)S(m) ехр (j.XW) dш.
-оо
Теорема Бореля о свертке по существу определяет
возможность вычисления свертки косвенно: через произ
ведение фурье-образов начальных функций. Этот путь
1.1. Основное иптегральное уравнение
17
часто оказывается более эффективным, чем прямое вы
числение интеграла ( 1.17), и в дальнейшем мы будем
часто им пользоваться.
Нам придется иметь дело также со сверткой вход
ного сигнала с об-функцией Дирака. Напомним; что функ
ция В (х), определяющая единичный импульс в точке х=
=0, всюду равна нулю, кроме этой точки, где она обра
щается в бесконечность, причем площадь, ограниченная
В-функцией, равна единиuе. Хотя В-функция не является
аналитической и относится к обобщенным функциям,
к ней можно придти, рассматривая предельные формы
некоторых аналитических функций. Не затрагивая во
просов теории обобщенных функций, мы будем фор
мально обращаться с В-функцией, как с обычной функ
цией, имея, однако, в виду ее некоторые интересные
свойства:
свойство симметрии
В (х) =б (-х),
( 1.19)
свойство инвариантности к масштабу аргумента
1
д (сх) :::;;JёГ l> {х),
(1.20)
так называемое фильтрующее свойство
Sg (х) д(х- а) dx=g (а).
(l.21)
-00
Последнее свойство совместно со свойством симме
трии выражают тот факт, что свертка какой-либо функ
ции с 6-функцией равна самой функции. На этом осно
вано определение весовой функции линейной системы
как реакции на единичный импульс. Действительно, за·
меняя в (1.17) s(~) на В(~) и используя (1.19), · (1.21) и
коммутативность· свертки, находим, что отклик одно
родной системы при подаче на ее вход В-функции vа
вен
00
со
f(х)= Jh(х- ~)l>~)d~= Sh(е)l>(х- ~)d~=
-00
--00
со
= Jh (~)о(~- х) de=F}(x).
2--866
18
1. Математические основы теории восстан.овлен.ия сшналоt:J
С другой стороны, если весовая функция некоторой
однородной системы равна 6-функции, то такую систе
му можно считать идеальной, так как она без искаже-
u
u
нии повторяет входнои сигнал:
00
QO
f(х)= Jо(х- ё)s~)dE= Is(~)8(х- ~)d~=
-оо
00
= )s(е)о(е-х)dE= s(х).
-оо
До сих пор мы не интересовались условиями, накла
дываемыми на функции сигнала и отклика. В дальней
шем будем считать s (х) и f (х), как правило, веществен
ными функциями - элементами некоторых метрических
пространств S и F с расстояниями между элементами
ps (iS 1, s2) и PF (f1, f2) соответственно. Мы будем иметь
дело главным образом с функциями, принадлежащими
пространствам (классам) L1 [а, Ь], L2[a, Ь] и С(а, Ь].
Класс L 1 [а, Ь] составляет множество всех функций
fP(X), интегрируемых на промежутке [а, Ь] (-,оо~а<
<,Ь~+ оо), т. е. таких, что
ь
J/cp(x)I dx < + оо.
а
Расстояние между двумя функциями, (j)i (х) и (j)2 (x),
принадлежащими L1.[а, Ь], определяется формулой (ме
трика L1)
ь
PL1{ff1, i1) = S/ср1 (х) - 'Р1(х)1 dx.
Q
К классу L 2 [а, Ь] относят множество всех функций,
интегрируемых в квадрате на [а, ,Ь]:
ь
S[ff (X)] 2dx< +оо.
а
Расстояцие в L2 [а, Ь] дается формулой (метрика L1 )
Pr,. (<р,, '1'2) = {j[f, (х)- f• (х)]1 dx}
112
•
1.2 . Восстановлеt-tие сиг1шлов как обратная задача
19
Здесь всюду интеграл понимается в смысле интеграла
Лебега. В пространствах L 1 и L 2 функции, отличающие
ся лишь на множестве нулевой меры, считаются тожде
ственными.
}(ласе С[а, Ь) составляет множество всех непрерыв
ных функций, заданных на [а, Ь]. Метрика С определя
ется выражением
Ре (!f1, !f2) = max lff 1 (х) - ff2 (х)!.
i.:<x<b
В заключение заметим, что когда пределы измене
ния переменных ~ и х в основном интегральном урав
нении одинаковы, как, например, в свертке ( 1.17), мьr
можем обозначать сигнал s функцией аргумента I{ак ~'
так и 1х., т. е. обозначения s (х) и s (~) в этом случае
можно считать равнозначными.
1.2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ КАК ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
При решении обратных задач естественно возника
ют три следующих вопроса:
1. Существует ли решение основного интегрального
уравнения?
2. Если решение существует, то является '1И оно
единственным?
3. Устойчиво ли решение, т. е. приводят лп малые
изменения исходных данных соответственно к малым
изменениям решения?
Если ответ на все эти вопросы положителLный, то
задача называется корректно поставленной. В против-
"
нам случае задачу называют некорректно поставленнои
или просто некорректной [ 1]. Задачи восстановления
сигналов, как правило, оказываются некорректными.
В связи с этпм целесообразно более подробно рассмо
треть отмеченные выше вопросы.
1. Существование решения. Вопрос о существовании
решения интегрального уравнения
ь
fh(х, е)s(~)d~==f(х);
"
(1.22)
а
тесно связ ан с условиями, налагаемыми на ядро h (х, ~)
и правую часть f (х). Решение может не существовать
2•
20
1. Математuч,еские ос1швы теории восстановления сигtiалов
вообще, либо существовать не для всякой правой ча
сти. Например, если ядро имеет непрерывную производ
ную по х, то и правая часть уравнения также должна
иметь непрерывную производную по х. Если же правая
часть содер~ит точки, в которых функция if (х) не имеет
производнои (этот случай встречается, например, когда
воспроизводимый график f (х) оказывается ломаной ли
нией), то очевидно, что при наличии ядра с непрерыв
ной производной уравнение ( l .22) не имеет решения
в классическом смысле. Таким образом, существование
решения зависит от того, к каким классам (пространст
вам) функций S и F по сути задачи относятся сигнал
s (~) и отклик f (х). Естественно, уравнение ( l .22) имеет
решение (в классическом смысле) только для таких
правых частей 1(х), которые принадлежат образу ~S
множества S функций s (~) при отображении
ь
f=3ts== .f h(x, ~)s~)de; s(~)ES.
а
Пусть ядро уравнения ( 1.22) является симметрич-
ным ядром:
·
h(x, ~)=h(~, х).
Тогда в силу теоремы Гильберта-Шмидта [7] для су
ществования решения уравнения (1.22) необходимо,
чтобы функция f (х) разлагалась по собственным функ
циям <pi (х) ядра h (х, ~):
f (Х) = ~ f1q>1(X).
l
Здесь fi - коэффициенты разложения функции if (х) от
носительно собственных функций ядра:
ь
ft = \-f(х)!f1(х)dx== (f, q>,),
.)
1
а собственные функции q>i(x) удовлетворяют интеграль
ным уравнениям вида
1.2. Восстановлеи,ие сиги,алов как обратная задача
21
где Лi - собственные значения (собственные числа)
ядра h (х, ~). Заметим, что симметричность ядра гаран
тирует существование собственных значений и их дей
ствительность, а также ортогональность собственных
функций, отвечающих различным собственным значе
ниям.
Если система собственных функций симметричного
ядра h(x, ;) является полной, причем, f(x)EL2 [a, Ь] и
h (х, ;) EL2 [а, Ь] (предполагается, что а~х. ~~Ь), то
уравнение ( 1.22) имеет решение, принадлежащее
L2 [a, Ь], и притом единственное, тогда и только тогда,
когда ряд
-211 + -212 + +'1-211 +
А-1 i А-2
2
•••
.,., l
l
•••
(1.23)
сходится. Это утверждение составляет содержание тео
ремы Пикара [7].
Если отказаться от предположения о симметрично
сти ядра и принадлежности его к L2 [a, Ь] и считать, что
h (х, ~) - просто некоторое непрерывное ядро, то можно
показать, что уравнение ( 1.22) может не иметь решения
и в классе С[а, Ь]. Например, если ядро h (х, ~) являет-
u
ся многочленом по переменнои х
h(x, ·;)=ко(~) +к1 (s)х+к2 (~)х2 +
1
•• • +Кт(~)хm,
( 1.24)
то левая часть уравнения (1.22)· будет иметь вид
lo+l1x+l2x2 + ... +lmxm
u
и, следовательно, такои же вид должна иметь правая
часть ( 1.22), т. е. функция f (х). В частности, если ядро
уравнения (1.22) равно h(x, ;)==~+х, то уравнение
имеет решение только для таких правых частей f (х),
которые являются · линейной функцией х. Отсюда сле
дует, что если функция t(x) - произвольная непрерыв
ная на [а, Ь], то при данном ядре ( 1.24) уравнение
( 1.22) не имеет решения.
Перейдем теперь к рассмотрению интегрального
уравнения типа свертки ( 1.17) :
00
Sh{х-~)s(~d~-:f(х); -оо<х<оо.
-со
22
1. Математические основы теории восстановления сигналов
Согласно теореме Бореля о свертке это уравнение при
помощи преобразования Фурье может быть приведено
к виду
Н (ro) S ((i))-F(ro) ,
(l.25)
где H(ro), S(ro), F(.rо)-фурье-образы функций h(~),
s(x) и f(x), т. е. соответственно передаточная функtfUЯ
системы, спектр сигнала и спектр отклика. Из уравне
ния ( 1.25) получим
S ((J) )-F(1ro) / Н (ro)
(1.26)
и с помощью обратного преобразования Фурье из равен
ства ( 1.26) найдем решение уравнения ( 1.17) :
00
s ~)= ;" S~~:~ ехр (j~):dw.
(1.27)
-00
Однако такое решение существует и принадлежит
L 2 (-оо, оо), только если соблюдаются следующие усло
вия [8]:
f (х) EL2 (-оо, оо),
h(х)E.L1(-оо, оо),
F(ro)/H(ro)EL2 (-oo, оо).
( l .28a)
( 1.28б)
( 1.28в)
Если функция l /H(ro) не ограничена (например,
когда функция Н (ro) непрерывна и при некоторых зна
чениях ro обращается в нуль), то при произвольно вы
бранной функции f (х) уравнение (1.17) может не иметь
решения. Однако и в этом случае формула обращения
сохраняет силу, если выполнено условие (1.28в) и функ
ция H(ro) обращается в нуль только на множестве ну
левой меры [9].
В практических задачах восстановления сигналов
мы обычно уверены в существовании функции s (~),
u
u
стоящеи под интегралом в левои части уравнения
( 1.22). Отсутствие решения в таких задачах может
объясняться лишь неадекватностью математической мо
дели реальному функционированию системы.
2. Единственность решения. Ответ на вопрос о един
ственности решения уравнения ( 1.22) с симметричным
1.2 . Восстшювление сuгналов как обратн,ая задаrtа
23
ядром в классе L2.[a, rb] дается теоремой Пикара о схо
димости ряда ( 1.23). Для однозначного решения здесь
существенно важным оказывается условие полноты си
стемы собственных функций ядра h (х, ~) [7].
Пусть, например, существуют не равные нулю почти
всюду функции 'Ф1 (1~), •••, 'Фn (~) такие, что
ь
Sh(х, ~)ф1~)de=О; i= 1, 2, ..., п.
а
Тогда если s 1 (~) - решение уравнения ( 1.22), то функ
ция
п
s.r(~) =s1~(e)~+ ~ ~1Ф1 ~), j
l=I
где ~i (i=l, 2...., п) - произвольные постоянные, также
будет решением этого уравнения и, следовательно, ре
шение определяется неоднозначно.
Сущность неоднозначных решений легко уяснить на
примере уравнения типа свертки ( 1.17), решаемого ме
тодом преобразования Фурье.
Предположим, что на некотором интервале Q, огра
ниченном точками {1)1 и {J)
11
вещественной оси, переда"
точная функция системы тождественно равна нулю:
Н (rro) i.E: О; ro '~oo~ro",
в то время как на том же интервале S(ro)=FO. Тогда со
гласно равенству (1.25) при прибавлении к S (ro) произ
вольной функции G(ro), равной ну.лю вне интервала О,
вид функции F((J)) не изменится и решение (1.27) удов
летворяется не только функцией
S 1 (w)=F((J)) /H((J)); ro$. Q,
но и функцией
S2(ro) S1 ((1)) +G(ro)P(rol·Q),
где Р({1)1 ·'1) -индикаторная функция интервала Q:
р(mIQ)= {1; m' =<m~m"
О; m' > w>m".
24
1. Математические осноэы 1eoputt iюсстшшвления сигналов
Следовательно, решение уравнения (l.17) в этом случае
можно записать в виде
(()'
1 rF(ы)
.
s(е)==2n J 11(w) ехрQ~m)dm+
-се
00
+1 sF(ы)
•
2n
/-/ (ы) ехр (j&o) dm +g (Е),
w''
где g(6) -произвольная функция, фурье-образ которой
равен нулю вне множества 1Q.
Если функция H(ro) обращается в нуль лпшь в не
которых точках ro=юi, то и в этом случае функция S (ro)
остается неопределенной. Тогда решен~·tе (1.27) удов
летворяется как функцией
так и функцией
sl(w) = sl(w)+gal~(m - m,),
l
а искомый сигнал s (~) · равен
( 1.29)
00
s ~)= 2~ J~~=~ ехрU&u) dm+ 2~_Еа, ехрUФ>i),
-оо
l
r де сц - произвольные постоянные.
Таким образом, уравнение ( 1.17) 1~е имеет единст
венного решения, когда фурье-образ ядра уравнения -
передаточная функция системы Н (ro) - в некоторых
точках или в некоторой области вещественной оси обра
щается в нуль.
Этот факт играет важную роль в теории восста
новления сигналов. По существу он означает, что если
спектр S (ro) сигнала содержит гармоники с частотами,
совпадающими с нулями передаточной функции H(ffi),
1.2 . Восстаt·ювление сигналов как обратндя задача
25
то эти гармоники не сказываются на наблюдаемом от
клике f (х) и, следовательно, не могут быть однозначно
восстановлены из него.
Передаточные функции реальных приборов практи
чески всегда имеют «нулевые» точки или области. На
пример, в оптике передаточная функция объектива
(частотно-контрастная характеристика) при сильной де
фокусировке или при «смазе» изображения, происходя
щем вследствие относительного движения аппаратуры
и объекта наблюдения, равна нулю в некоторых точках.
Более того, реальные оптические, радиотехнические,
акустические и другие физические приборы имеют огра-
· нич енную
полосу пропускания. Иначе говоря, переда
точная функция реального физического пр·ибора обычно
обращается в нуль вне некоторого интерва.ла частот
(полосы пропускания). Поэтому те части спектра S(ю.)),
которые лежат вне этого интервала, не участвуют в со
здании отклика f (х) и, следовательно, входные сигналы,
спектры которых отличаются вне полосы пропускания,
а внутри этой полосы совпадают. создают один и тот же
отклик. В этом не было бы большой беды, если бы про
тяженность спектра сигнала S (ro) была не шире поло
сы пропускания прибора, причем внутри полосы про
пускания передаточная функция не обращалась бы
в нуль ни в каких точках. Но реальные сигналы в боль
шинстве случаев широкополосные, а передаточная функ
ция, как уже отмечалось, на практике может равняться
нулю не только вне полосы пропускания, но и в некото
рых точках, лежащих внутри полосы пропускания.
Пример такой ситуации иллюстрируется графиками
рис. 1.1. На рис. 1.1,а приведены спектр некоторого ши
рокополt>сного сигнала S (ffi) и передаточная функция
прибора Н (ro), имеющая полосу пропускания, ограни
ченную интервалом (-·rог. ffiг), и кроме того, обращаю
щаяся в нуль в точках + ro1 и +;ffi2 внутри этого интер
вала. На рис. 1.1,6 показан спектр неоднозначно восста
новленного сигнала, содержащий функцию S1 (ro),
полученную по формуле (1.29).
Для однозначного восстановления сигнала в ука
занной ~итуации необходимы какие-то принципы отбора
единственного «истинного» решения среди всех возмож
ньrх? основацные на дополнительной априорной инфор-
26
/. Математические осt-tовы теории восстаtювления сиг1-tалов
Рис. 1.1. Пример неодно
значного восстановления сиг-
11ала:
а - спектр сигнала н пере
даточная фунI<ция системы;
б ·- восстаноР.ленный сигнал
мации о сигнале. В частности можно воспользоваться
методами интерполяции и экстраполяции функций, если
дополнительная информация позволяет как-то ограни
чить класс возможных функций и ее можно использо
вать для устранения неоднозначности решения. Интересно,
u
что даже на первыи взгляд незначительная дополни-
тельная информация, например информация о протя
женности (длительности) восстанавливаемого сигнала,
позволяет, как будет показано в § 1.7, снять неопреде
ленность решения.
3. Устойчивость решения. До сих пор мы не интере
совались точностью измерения отклика системы, пола
гая, что правая часть основного интегрального уравне
ния ( 1.22) известна точно, без ошибок. На практике
ошибки измерения неизбежны и вместо уравнения с точ
но известной правой частью fт (х) приходится решать
это уравнение с приближенной правой частью f (х) изве
стной, н~пример, с 10ЧНОСТЬЮ v:
PF(fт, f)~v; fт, fEF.
Это было бы вполне приемлемо, если решение уравнения
( 1.22) было бы устойчивым к малым изменениям пра-
u
вои части.
Строгое определение устойчивости решения состоит
в следующем [1]. Пусть каждому элементу fEF отве
чает единственное решение sES, получаемое по некото
рому правилу s=rn(f). Тогда решение s из пространства
S по исходным данным f из пространства F называется
~стойчивым (на этих пространствах), если для лJQбoro
1.2. /Зосстановле1-tие сигналов как обратная Jадача
s>O можно указать такое число v(в) >0, что из нера
венства PF(f1, f2)~v(s) следует p8 (s1, s2)~e, где s1=
- f ll(f1); S2=fll(f2); f1, f2EF; S1, S2ES .
В таком определении решение интегрального урав
нения Фредгольма 1-го рода с ядром, принадлежащим
L2 [а, Ь] или С [а, Ь], оказывается неустойчивым:. Это
объясняется тем, что оператор уравнения ~' действую
щий в L2 [а, Ь] или в С [а, Ь] и переводящий функuию
s(~) в функцию f(x) по правилу
ь
йеs==Sh(х, ~s~)d~=f(х),
а
является вполне непрерывным оператором: он отобра
жает всякое ограниченное множество элементов {rS}
в компактное множество элементов {~s}. Критерием
того, что оператор ~ является вполне непрерывным,
обычно может служить условие [ 1О]:
dь
ss[h (Х, е)] 2 dxde < +оо,
са
которое соблюдается для весовых ·функций реальных
систем.
Вместе с тем одним из существенных моментов
в теории интегральных уравнений является то, что опе
ратор, обратный вполне непрерывному, не ограничен
[7]. Поэтому, если f1 и f2-два близких между собой
элемента из пространства F и оба уравнения cms--:f1 и
~s=f2 разрешимы, то соответствующие решения s1=
;ж-1 f1 и s2 ;ж- 1f2 могут сильно отличаться друг от
друга в пространстве S.
Таким образом! сколь угодно малая погрешность
в определении правой части уравнения ( 1.22) может
привести к сколь угодно большой ошибке в решении.
В качестве примера рассмотрим две функции s (~): произволь
ную функцию s1 (6) ЕС l а, Ь] и функцию
S2<Ю= S1 (6)+АcosffiS,
(1.30)
и предположим, что ядро h (х, ~) уравнения
ь
Sh(x, ~)s(~)d~=f(x); c<x<d; f(x) EL2 [с, ll] (1.31)
а
28
1. Математические основы теории восстановлеt-tия сигналов
является непрерывной функцией по переменной х. Очевидно, что
если функция s1 (~) является решением уравнения ( 1.31) с правой
частью f1 (х), то функция s2 (~), определяемая через ( 1.30), являет
ся решением уравнения (1.31) с правой частью
ь
f2(х)=f1(х)+А5h(xt~)cosro~d~.
а
Уклонение правых частей имеет вид
а уклонение соответствующих решений в метрике С равно
При данном значении аргумента х функция
ь
sh (Х, ~) COS(t)~ d~
и
(1.32)
(1.33)
согласно теореме Римана - Лебега 1[11] стремится к нулюt когда
ro--+oo. Поэтому без дальнейших вычислений ясно) что при любом.
сколь угодно большом числе А можно подобрать столь большое
значение ro, что уклонение правых частей ( 1.32) окажется меньше
любого сколь угодно малого числа "' в то время как уклонение со
ответствующих решений ( 1.33) может быть сколь угодно большим.
Положение не меняется, если уклонение решений оценивать также
в метрике L2 [ 1]. В этом случае
PL, (s,, s.) = 1А1 {f cos' ro>td~} l/2 -
-(А j [cosro(b-a)sinro(b+a)] +(Ь-а) }1/2
-
't
2ro
2
(1.34)
и легко видеть, что числа ы и А могут быть выбраны так, что при
как угодно малых уклонениях правых частей f1 (х) и f2 (х) уклоне
ние соответствующих им решений, вы~исляемое по формуле (1 .34),
может быть произвольным.
Причина этого заключается в «Сглаживающем» действии ядра
рассмотренного типа - ядро уравнения (1.31) может «сгладить»
даже интенсивную. но высокочастотную аддитивную составляющую
сигнала до малого уровня, тем меньшего, чем выше ее частота.
1.2. Восстановле1ше сигналов как обратная задаrю
29
Природу неустойчивости решения легко выяснить,
рассматривая уравнение типа свертки (1.17)
00
;;ts~ Jh(х-е)s(е)ct~===f(х)
--00
и решая его методом преобразования Фурье в случае,
когда f (х) EL2 (-оо, оо); h (х) EL1 (-оо, оо); s (х) Е
EL1 (-оо, оо). Если правая часть уравнения известна
приближенно и содержит аддитивную помеху v (х), т. е.
f(x)-;fт(x) +v(x),
то фурье-образ восстановленного сигнала согласно
( l .26) равен
S (ш)== F((J)) == Fт((J)) + V((J))
н ((J)) н ((J)) н ((J)) '
где Fт(w) и V(w) - спектры функций fт(х)
ответственно. Так как F т (of'J)) =Н (w) Sт (w), то
-t
v ((J))
S(ю)=Sт(ю) -Н((J)) •
И V(Х) СО·
(1.35)
Формальное решение уравнения ( 1.17) с приближенной
правой частью получим из равенства (1.35) с помощью
формулы ( 1.27) :
00
S ~)= ;" SSт(ю)ехр(J~ю)dm+
--0 0
00
+ 2~ J: ::~ ехр (j~ю) dю=8т(Е) +
-оо
00
+ 1 J.v <(J)>
-ut >
2'lt
Н (ы) ехр_ "ю dю.
(1.36)
"
Последний интеграл в ( 1.36) представляет собой ошиб·
ку точного решения уравнения ( 1.17) с приближенной
правой частью. Эта ошибка, естественно, случайная
из·за случайного характера помехи v (х).
30
1. Математические основы теории восстановления сигнаЛйе
Спектральная плотность случайной ошибки
персия решения задачи) равна [4]
00
1 sR"(ro)
О2в= 2п IH (ro)j~ dm,
-- 00
(дис-
(1.37)
где Rv (ro) - спектральная плотность мощности помехи;
Rv(ro)=I V(w) J2
•
Так как передаточная функция системы Н (ro) стре
мится к нулю при w--+oo, а реальная помеха обычно
содержит компоненту белого шума (и, следовательно,
Rv ((.t)) стремится к конечному пределу при ro-+oo), дис
персия решения задачи, оцениваемая по формуле ( 1.37),
оказывается бесконечной.
Действительно, те -высокочастотные составляющие
функции f (х), которые возникают из-за наличия помехи
и которых не должно быть в «Истинной» функции {т (х),
делятся согласно ( 1.36) на малые числа Н ({J)) и при
~оо будут давать в решении бесконечно большие
осцилляции. Даже если помеха не содержит компоненты
белого шума и Rv(ro)-+0 при w~oo, то из-за случай
ного характера помехи стремление к нулю функций
IH(ro) 12 и R"(ro) может оказаться «несогласованным» и
спектральная плотность ошибки будет либо бесконеч
ной, либо конечной, но недопустимо большой.
Таким образом, в качестве оцен1<и решения урав
нения ( 1.17) с приближенно известной правой частью
нельзя брать точное решение этого уравнения, так как
такое решение не обладает свойством устойчивости
к малым отклонениям правой части f (х) из-за влияния
высоких частот фурье-образа V (w) мешающей состав
ляющей v (х).
Возвращаясь к анализу более общего уравнения
(1.31) с приближенной правой частью .f (x), отметим, что
вследствие неустойчивости решения этому уравнению
удовлетворяет бесчисленная совокупность S 1 функций
s(1;),для которых pF(~s, fт)~у. Поэтому неустойчивост~·,
решения приводит, по существу, к неоднозначности вос
становления сигнала. Как было показано выше, среди
функций (элементов) s есть такие, которые сколь угод
но сильно отличаются друг от друга. Поэтому не все
1.2 . Восстановленде сигналов как обратная задача
31
элементы совокvпности S можно брать в качестве
-
т
приближенного решения уравнения ( 1.31). Здесь также
необходимы какие-то принципы отбора возможных реше
ний, пусть даже эвристические. Иначе, решая основное
интегральное уравнение с приближенной правой частью,
мы рискуем получить некоторое ложное решение, содер
жащее неопределенно большие высокочастотные компо
ненты.
Поскольку расхождение интеграла (1.37) происхо
дит за счет высоких частот, простой, но эффективный
принцип отбора приближенных решений, устойчивых
к малым уклонениям правой части f (х), состоит в по
давлении высоких частот наблюдаемой функции. Для
того чтобы при этом не утратить полезных высокоча
стотных составляющих восстанавливаемого сигнала,
здесь желательно использовать всю дополнительную ин~
формацию о задаче, например данные о статистических
характеристиках сигнала и шума и.ли же информацию
о характере «гладкости» решения и поведении его
фурье-образа и спектра помехи при больших ffi.
~ Следует отметить, что если в практических задачах
восстановления сигналов мы обычно уверены в сущест
вовании решения основного интегра.льного уравнения
(причем единственность решения часто также может
присутствовать), то неустойчивость решения является
u
неотъемлемым своиством таких задач, делаю.щим их не-
корректно поставленными. Решать их трудно из-за не
избежных ошибок регистрации наблюдаемой функции.
Первая попытка решения конкретной задачи восста
новления сигналов была предпринята Рэлеем еще
в 1871 г. для устранения искажений, вносимых щелевой
аппаратной функцией, в спектроскопии. С тех пор и
вплоть до 60-х годов нашего столетия, когда стали
интенсивно развиваться методы решения некорректных
задач математической физики, было опубликовано боль-
шое количество работ, в которых конкретные задачи вое,
становления сигналов различной физической природы
обычно рассматривались без учета их некорректности.
Несмотря на это, многие из предложенных методов
!ЧЧПЛ~ практическое прим~нение и для их реализаци~
32
1. Математшtеские основы теории восстановлеtшя сU2ндлов
создавались даже специализированные вычислительные
устройства [4].
Подобные методы основаны на классических спосо
бах решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го
рода в предположении абсолютно точных измерений
правой части. Различные ранние методы восстановления,
имеющиеся в литературе, допускают следующую клас
сификацию:
1) аппроксимативные методы, основанные на зада
нии или аппроксимации сигнала и весовой функции
с помощью «простых» функций, позволяющих вычис
лить s (s) либо в явном виде, либо в виде некоторого
ряда;
2) итерационные методы, предполагающие вычис
ление s(~) путем последовательного определения попра
вок к наблюдаемой функции f (х);
3) алгебраические методы, предусматривающие све
дение основного интегрального уравнения к системе ли
нейных алгебраических уравнений и последующее ее ре
шение.
Приведенная классификация, естественно, условна,
так как многие практические методы можно одновре
менно отнести к различным классам, и используется
только для удобства систематизации различных ме
тодов .
1.3. АППРОКСИМАТИВНЫЕ МЕТОДЫ
Методы, позволяющие вычислить s (~) в явном
виде, хорошо приспособлены к решению интегральных
u
уравнении типа свертки и потому нашли применение для
u
u
компенсации искажении, вносимых в восстанавливаемыи
сигнал приборами, закон функционирования которых
выражается линейными дифференциальнымл уравнения·
ми с постоянными коэффициентами.
Решение интегрального уравнения типа свертки
(1.17) с помощью преобразования Фурье приводит, как
уже отмечалось в § 1.2, к формуле (1.27) для восста:
новленноrо сигнала:
"О
\ sF (ro)
$ (е)=t2tt
Н (ro) ехр (J~m) dш.
-w
1.3 . Аппроксимативt-tЫе методы
33
Поэтому естественный путь вычисления s (;) состоит
в подборе для спектра отклика F (w) и передаточной
функции системы Н ({!)) простых аналитичес1{ИХ выра:ж:е
ний, при которых интеграл в формуле ( 1.27) вычисляет
ся в явном виде.
Наиболее широкое распространение получила ап
проксимация F(ro) и H(ro) выра>кениями вида (4)
ехр (-т11 ro l-т2ro2 ).
( 1.38)
Если. например. F(ro)=exp (-Plrol);
H(ro)=
==ехр (-а 1w1), что соответствует описанию отклика п
весовой функции выражениями
то
1
2~
f (х)--
.
-
21t ~2+х2 '
1
2о:
h(х·-~)=-
2
..,..
-...,,. ..-.,.... --------..,.. -,,_ _
'"
а2+(.х_ ~)2
,
ос
s ~)=2~- Jехр[-(~ - а)lю!+~ш)dш=
-00
~-сх
-
-- -,, ....- ..,.. -_ -- --: : :-;- -
'lt [(~_ а)2+~2] •
Л ругой частный слvчай аппроксимации фурье-образов
F(ш)= ехр(-~
2
ro2/4); Н (ш) = ехр (-a
1
m'/4)
соответствует представлению отклика и весовой функции
в виде гауссовых кривых:
l
.х2
f(х)==рYn ехр - 12;
h(x-e}= ~ ехр- (x-t)
2
аn
сх2
При этом восстановленный сигнал имеет также гауссо
ву форму:
I
Е2
s (Е)=
ехр ---
(р2- сх2)V'1t
~2-а2'
что нетрудно проверить прямым вычислением .
•
•
J
3- 866
34
1. Математическuе основы теории восстановления сuгtiалов
Использование полного выражения ( 1.38), т. е. ап
проксимация фурье-образов в виде
F (ro) =ехр (-Р11(!)f-(322ro2/4);
Н (ro) ==ехр (-а1 l·ro l-a22ro2/ 4) ,
приводит к представлению восстановленного сигнала
s (~) через достаточно подробно табулированные функ
ции.
Если необходимо учесть затухающий колебатель
ный характер рассматриваемых процессов, то можно ре
комендовать произвести аппроксимацию отклика и весо
вой функции экспоненциально-косинусными функция-
ми [6]
.
f (х) ;:=ехр (-(31х1) cos Qx;
h (х-~) =ехр (-а 1х-·~1) cos v (х~~).
При этом отношение F(ro) /H(ro) равно
р(ro) _ ~(ro2+р2+Q2)[ro"+2ы2(ci2_ v2)+(а2+ v2)2]
Н (ro)
а (ro4 + 2ы1 (~2_~2)+(р2+122)2] (ro2 + а2 + -v2)
и, несмотря на довольно громоздкий вид последнего
выражения, определение s (·~) по формуле ( 1.27) возмож
но согласно общим правилам вычисления фурье-преоб
разования от дробно-рациональных функций.
Характерной особенностью приведенных выше мето
дов является описание исходных кривых простыми
выражениями, зависящими не более чем от двух параме
тров, так как попытки введения большего их числа зна
чительно усложняют расчеты. Вместе с тем, рассмотрен
ные методы задания исходных функций в виде простых
выражений во многих случаях оказываются недостаточ
ными. В связи с этим развиты более гибкие методы ап
проксимации, не связанные с конкретным видом наблю
даемой и весовой функций.
Наиболее общим из таких методов можно считать
метод неопределенных коэффициентов, сущность которо
го состоит в разложении искомой функции в ря.ц по н~-
~оторой полноf! сист~ме функциii ~
·
·
1.3 . Аппроl(сU.Мативные методы
35
Будем искать решение основного интегрального
уравнения (1.22)
ь
Jh(.х" ~s(~)d~= f(х); а~.х<.Ь
а
в виде
(1.39)
п
где функции gn (~) образуют некоторую полную систе
му на интервале (а, Ь) с весом w (~). Функцию w (5)
обычно вводят для того, чтобы улучшить сходимость
ряда ( 1.39). Если априорная информация о сигнал€
s (6) отсутствует, то полагают w (~) == 1. Подставляя
s (5) в виде ряда ( 1.39) в уравнение ( 1.22), получаем
ь
f(.х)=~апJh(х, ~)w(е)еп(~)d~,
п
а
или
где Рп (х) - известные функции: ~
ь
Рп (х) = fh=(x, ~):w:(~) еп ~)_~d~.
"
а
(1.40)
Таким образом, решение уравнения ( 1.22) сводится
к нахождению коэффициентов an по известным функ
циям f(x) и Pn(x). Однако на практике определить эти
коэффициенты обычно очень трудно [ 12]. Легко их
можно найти только в частных случаях.
Например, при решении уравнения типа свертки
с ядром гауссового вида
00
sехр r-:(x-.e)f] s_(e) de==f (х)
(1.41)
-оо
для определения коэффициентов разложения удобно
З*
36
1. Математические основы теории восстановления сигналов
использовать известное соотношение между такпм ядром
и полиномами Эрмита Нn (s) (7]:
00
ехр f- (х- 92
) = ~ ~! ехр (-~2)НпI0х".
(1 .42)
n=O
Учитывая, что
00
sН2п (~) ехр (-е 2) d~ == 2пп! v;,
-оо
данное уравнение, если искать решение в виде раэложе-
00
ния по полиномам Эрмита s (е) === ~ апНп (е), приводится к
00
виду f (х) = V 'lt ~ antziXZ и, следовательно, [величины
V 7r.ап2п можно определить как коэффициенты степенно ro
разложения функции f (х) в ряд Маклорена. Ее.пи та
кое разложение существует, то
ап=f<п> (O)/v;t2n nl
и решение s ~) уравнения (1. 41) будет
00
s Ю= v~ Е fln) (О)~~~~).
п==О
В данном случае легко определить коэффициенты
an удалось потому, что функции Pn(X) для уравнения
( 1.41) пропорциональны степеням х, выражение ( 1.40)
оказалось степенным рядом и неизвестные коэффициен
ты были получены путем сравнения этого ряда с разло
жением f (х) по степеням х.
Другой простой способ нахождения неизвестных ко
эффициентов в разложении (1.39) соответствует с,пу
чаю, когда функции образуют ортогональное с весом
р (х) семейство функций на интервале (а, Ь):
ь
\Рп(х)Рт(х)Р(х)dx=={Оqп,·;m==п
J
nz =!= п.
а
1.3. Аппроксимативные методьl
37
В этом случае коэффициенты an можно определить при
помощи квадратур:
ь
an= q~ Sf(х)Рп(х)р(х) dx,
и
где
ь
qn = Sр2п(х)р(х)dx.
а
К: сожалению, в задачах восстановления сигналов
функции Pn·(x) чаще всего не оказываются ни степеня
ми х, ни элементами ортогональной системы функций.
Тогда требуется преобразовать разложение f (х) по дю
бой полной системе функций в ряд по функциям Рп.(х).
Это делают с помощью следующего общего приема.
Пусть f (х) разложена в ряд по функциям ф" (х), обра-
зующим полную систему,
f(х)==~ fкФк{х),
где
ь
fк=.ff(х)ф~{х)dx.
а
Теперь необходимо выразить функции
функции Pn (х):
Фк {х)= ~ ЬкпРп(х); 1С=О, 1, 2, ...
п
(1.43)
Ф.(х) через
(1.44)
Подставляя эти выражения в уравнение (1.43), на
ходим
f (х)= ~ (~ f.Ьв")Рп(х).
(I.45)
Сравнивая (1.45) с (1.40), получаем (при w {х) :r:= 1)
1С=0, 1, 2, ...
1. Математические основы теории еоёстановления сwналов
Таким образом, для определения коэффициентов an до
статочно найти коэффициенты Ькп из уравнений ( 1.44).
Среди всевозможных способов разложения искомой
функции в ряд особый интерес для задач восстановле
ния сигналов представляет разложение по системе соб- ·
ственных функций ядра интегрального уравнения. Во
первых, собственные функции <"Pi (х), соответствующие
различным собственным значениям Ai симметричного
ядра h (х, ~), ортогональны. При этом возможность раз
ложения f (х) в ряд по собственным функциям ядра, как
уже отмечалось в § 1.2, гарантирует существование ре
шения. Во-вторых, ряды по собственным функциям вооб·
ще являются более общими, чем, например, степенные
ряды: с их помощью можно представлять и неаналити
ческие функции, в частности функции, имеющие на ин
тервале (а, Ь) конечное число точек разрыва. Наконец,
"
в-третьих, такое разложение позволяет получить простои
способ решения и легко представить себе смысл процес
са восстановления сигнала.
Рассмотрим для определенности уравнение типа
свертки на конечном симметричном интервале, напри
мер (-а, 1а):
а
5h(x-e)s(~)de=f (х); --а<х~а,
(1.46)
-а
и найдем его решение, полагая, что функция ,s (~) раз
лагается в сходящийся в среднем ряд по собственным
функциям (f)i (х) ядра h (х---~):
(1.47)
Коэффициенты s1 здесь равны
а
s1= Ss(Е)rp1~)dе
-а
1.3 . Аппроксимативные методы
39
а функции <J)i (~) как собственные функции ядра удовле
творяют уравнениям
а
Sh(х- е)р,~)de===l 1p1(х); i= 1, 2, ..., N, (1.48)
-а
где 'Ai - собственные значения ядра h (x-G).
Отметим, что в силу ортогональности функций <pi
S
a
{ х,; i=/
Р1{е)Р1(~)de=.~,в,/== О; i=FJ
--4
и, таким образом,
(1.49)
(1.50)
Выбирая число членов разложения N достаточно
большим для аппроксимации s (~) с заданной степенью
точности и подставляя (1.47) в уравнение (1.46), по
лучаем
а
N
N
f(Х)= sh(Х- е)~ Stfl.(~)de= ~ liSifl(Х).
-а
l=-0
l=-0
(1.51)
Выражение (1.51) показывает, что действие рассма-
v
v
v
v
триваемои линеинои системы на - входнои сигнал за-
ключается в перемножении его компоненты Si по коор
динатной функции ~i ( х) на соответствующее собственное
значение 'Ai. Следовательно, процесс восстановле
ния сигнала (в отсутствие шума) можно рассматривать
как деление i-ro коэффициента разложения наблюдае
мой функции f (х) на 'Ai. Действительно, представляя
f (х) в виде ряда по функциям <pi (х)
N
f (х)= ~ f1P1 (х),
(1.52)
1-0
где
а
f1 = Jf(х)f1(х)dx~
'"':"'0
40
1. Математические основы теории восстановления сигналов
и сравнивая (I.51) и (1.52), получаем
а
s1= {:-=:
1
Sf (х) '1'1 (х) dx.
(1.53)
Таким образом, решение рассматриваемого уравнения
выражается рядом ( 1.4 7), где неизвестные коэффициен
ты определяются по формулам вида (1.53).
Заметим, что собственные значения Лi можно запи
сать как упорядоченную неубывающую последователь
ность чисел Ло~Л1 > Л2> . . . таких, что Лi стремится
к нулю при увеличении ·i (для Р.дер, принадлежащих
L2)- Если в качестве входного сигнала используется соб
ственная функция (J)i (~) , то соответствующее значение
'Лi вследствие выражения ( 1.50) представляет собой ту
часть энергии сигнала, которая передается на выход си
стемы. Для произвольного сигнала Лi дает значение его
энеогии по координатной функции (J)i .
Вполне понятно, что для повышения точности вос
становления сигнала желательно выбирать число N как
можно большим, но при этом необходимо учитывать по
ведение собственных функций и соответствующих соб
ственных значений 'Лi при больших i.
В качестве примера рассмотрим собственные функции ядра
h{х- s)={(l)г/2)ехр{-(!)г1·х·- ~1)'
(1.54}
соответствующего передаточной функции
1
Н(ro) = 1+(ro/ror)2 '
(1.55)
которая встречается в задаче восстановления сигналов, прошедших
через однокаскадный RС-фильтр с полосой пропускания 2ror. Соб
ственными функциями ядра (1.54), удовлетворяющими уравнениям
а
S';'ехр(-rог 1х- ~1)'Pi (е) d~ = Ai'Pi {х);
-а
-
а~х~а; i= 1,2, ...,
являются отрезки синусоидальных функций, определенные на про~
r.tежутке [-а, а]. Они имеют вид (без нормирования):
<p i (;)=cos(Pis/a); i=I, 3, 5, ... ,
rpi {S) =sin (Pt6/а); i=2, 4, 6.... ,
1.3 . Аппрокси1rtативные методьi
4t
где величины ~i определяются трансцендентными уравнениями [13]
tg ~i = {(l)ra/~i;
.i
.
1,3,5, •••,
-
~il(l)ra, t = 2, 4, 6, •••
Соответствующие собственные числа могут быть вычислены по
формуле
(1)2ra2
Л;= ~2;+~са2 .
(1.56)
Графический метод решения указанных трансцендентных урав·
:нений позволяет получить следующие оценки для величии fJ• и
Л1 [14]:
7t
l7t
<i_-
1>2 <~; <т,
(1.f.7a)
1
1
1. + (l~/2(J)гa)2 <Л~< 1+ l(i- 1)7t/2(J)гa]2 •
(1.576)
Из выражений (1.56) и (1 .57) видно, что значения Ai зависят
от величины rora, т. е. от базы сигнала (произведения длительности
сигнала на полосу частот). При этом для больших значений rora
имеется много собственных значений, близких к единице. Сравни
тельно медленное убывание Лi с ростом i вызвано плавным спадом
передаточной функции ( 1.55) при ro--+ror.
Ситуация меняется, если передаточная функция системы резко
падает при (1)--+(J)r. Рассмотрим случай идеального фильтра низких
частот с «прямоугольно:й>> передаточной функцией
1
{1; - (l)r~(J)~ООг,
lf((J)) =2 [1 +sign((l)r -1(1) /)] =
О; -~(l)г > (1) > (l)r-
В этом случае весовая функция системы равна
sin (l)г (х -
')
h(х-~)=
7t(Х_G) ,
а решениями уравнений
-а
(1.58)
(1.59)
(1.60)
являются сфероидальные волновые функции 'l',(юra, ~) [15].
Собственные значения Л.1 сфероидальных волновых функций та
булированы для широкого диапазона значений i и (l)га Llб]. При·
мерный ход зависимости величины Л от i при различных значениях
базы сигнала rora показан на рис. 1.2. Из графиков рис. 1.2 видно,
что при малых i значения Л.1 меняются достаточно медленно. Одна
ко после некоторого критического индекса
iкp=2Юra/n
(1.61)
42
i. Математические основы теории восстановления сигналов
ЦВ
Цб
O,'t
42.
25
D~~~~l--J~....J-JL...J-l~Ш..ULWD~---
1
2 J~5б810
20
i
J>ис. 1.2. Собственные значе
ния сфероидальных волно
вых функция
величина Ai начинает резко уменьшаться и при дальнейшем увели
чении i быстро стремится к нулю.
Таким образом, в разложении (1.47) применительно к рассмот
ренному примеру нецелесообразно использовать число членов разло·
жения N большее, чем iнр, так как «энергия» сигнала по координат
ным функциям с номерами, большими iцр, будет очень мала.
Выбор числа членов разложения восстанавливаемо
го сигнала вообще должен производиться с большой
осторожностью из-за некорректности задачи. Действи·
тельно, ожидаемое среднее квадратическое значение
ошибки восстановления сигнала as из-за наличия поме
хи v(x) равно [17]
.
N
a2s= Е A~i Е (v2,),
(1.62)
ic:O
где
оа
Е (v1i)~ S SЕ [v (x)v (х')] ~1 (х) Ч'l (х') dxdx'.
(1.63)
--Q -а
Для белого шума, некоррелированного с сигналом, кор
реляционная функция E[v(x)v(x')) имеет вид
Е[v(х)v(х')]=0
1
08 (х_- х'),
(1.64)
где a2v ~дисперсия процесса v (х). Тогда, учитывая
формулы (l.50), (1.63) и (l.64), из выражения (1.62)
получаем
N
2
1 ~ ·')-1
as=avLJ "'1
•
(1.65)
i=O
1.4. Итерационные методы
43
Так как a2
v - величина постоянная, ожидаемая ошибка
восстановления при белом шуме целиком определяется
поведением собственных значений Ai-
B связи с тем, что Лi стремится к нулю при i-+-oo,
величина ожидаемой ошибки сог11асно ( 1.65) неограни
ченно возрастает с увеличением числа членов разложе
ния N, и, следовательно, решение оказывается неустой
чивым. Для того, чтобы получить решение с ошибкой,
не превышающей заданной, приходится в любом случае
ограничивать число 1N, хотя точность аппроксимации
восстанавливаемого сигнала, казалось бы, должна уве
личиваться с увеличением этого числа. В связи с осо
бенностями поведения собственных значений, в случае
ядра ( 1.54) можно выбирать число _rN большее, чем при
ядре ( l .59), для одной и той же величины ожидаемой
ошибки восстановления.
В целом случайные погрешности восстановления на
капливаются по мере увеличения числа членов разложе
ния ·N. Следовательно, уменьшение систематических ис
кажений, вносимых прибором, достигается за счет уве
личения случайных ошибок в восстановленном сигнале
по сравнению с наблюдаемым откликом.
В ранних работах по восстановлению сигналов
из-за вычислительных трудностей нельзя было исполь
зовать большое число членов разложения сигнала. Обыч
но ограничивались несколькими членами. При этом
влияние случайных ошибок оказывалось незначительным
и даже сам факт некорректности задачи иногда оста
вался исследователям неизвестным.
1.4 . ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Итерационными методами (методами последова
тельных приближений) называют такие методы решения
математических задач, в которых по известному прибли
жению находится решение следующего, более точного
приближения. Простейший итерационный алгоритм со
стоит В преобразоваНИИ решения Sк(Х) В решение Sк+J (Х)
при помощи поправок, вычисляемых разложением s (х)
в некоторый ряд.
Основной вопрос применения итерационных мето
дов - сходимость итераций. Хотя в каждой конкретной
44
1. Математические основы теории восстановления сигпалов
задаче этот вопрос приходится решать отдельно из-за
некорректности рассматриваемого класса задач, для не
которых типов ядер существуют общие положения о схо
димости последовательных приближений. В частности,
доказана следующая теорема [18].
Пусть h(x, .~) - симметричное положительно опре
деленное ядро, принадлежащее L2 (причем а~х, s~b),
и пусть уравнение
ь
Jh(х,~)s(~)d~==f(х);f(х)ЕL2[а, Ь]
(1.66)
а
однозначно разрешимо. Тогда последовательность
{sn {х) }, определяемая рекуррентным соотношением
где
Sn (х) =Sn-1 (х) +л-1 [f(x)-fn-1 (х)]; n=l, 2, ...,
(l.67)
ь
fn-1 (.Х) = sh (Х, ~) Sn-I {е) de;
•
s0 (х)ЕL2[а, Ь];
и Лmах-наибольшее собственное значение ядра h(x, s),
сходится в среднем к решению уравнения (1.66).
Рассмотрим теперь основное операторное уравнение
(1.13) des=f и предположим, что существует обратныИ
оператор d'e-1
, определяющий решение
s=d'&-1f.
{1.68)
Для разрешения уравнения (l .13) используем раз
ложение обратного оператора в ряд Неймана [7]:
00
ас- 1
=== ~+~ (:J - ::М)'~,
(I.69)
,...
где Э'- единичный (тождественный) оператор. Тогда
решение (1.68) принимает вид
00
s=f +~ {:J-Ш)'if
(1. 70)
n-1
1.4 . Итерационные методы
45
и определение s сводится к нахо.1кдени10 поправок к на
чальному (нулевому) приближению s=f с помощью по
с.тiедовательного применения оператора (:J-CY&). Одна
ко ряд ( 1.69) сходится не всегда даже при абсолютно
точных измерениях правой части. Для сходимости ряда
Неймана требуется, чтобы оператор прямой задачи СУ&
мало отличался от единичного оператора Э' и, соответ
ственно, чтобы ядро интегрального уравнения имело вид
очень узкого импульса. Эта ситуация дово.пьно часто
встречается в задачах восстанов.пения сигналов, связан
ных с компенсацией искажений, вносимых в принятый
сигнал системами, весовая функция которых по форме
близка к <S-функции. К таким системам можно отнести
спектрографы высокого разрешения, телескопы, высоко
точные радиоизмерительные устройства и вообще раз
личные прецизионные приборы, рассматриваемые как
линейные однородные системы с почти {)-образной весо
вой функцией.
Если не интересоваться вопросом сходимости при
ближений, то разложение в ряд Неймана формально
можно применить к решению любого интегрального
уравнения, выде.пив ту часть ядра уравнения, которая
отличается от <S-функции. В задачах восстановления сиг
налов тем самым мы выделяем то, что вызвано неиде
а.пьностью прибора и требует компенсации.
Для уравнений типа свертки это легко сделать, учи
тывая, что фурье-образ б-функции (весовой функции
идеального прибора) равен елинице. Преобразуя фор- ·
мулу ( 1.27) для решения
00
1 С F(ro)
)
s (х) ==2; JН(ro) ехр(jxm dш,
._
-00
получаем
00
s(х)= ;" .\F(ю)[Н:,,,) - 1]ехр(jxm)dш+
-00
00
1
+--
21t JF (<") ехр (jxm) dw,
-оо
46
1. Математические основы теории восстановления сигналов
или
00
s (х)= f(х)+;" ЛН:ю) - 1]F(ю)ехр(j.хш)dш.
--СХ)
(1.71)
Если прибор прецизионный, то второй член в правой ча
сти (1.71) будет сравнительно небольшой поправкой
к нулевому приближению s=f, соответствующему исход
ному прибору. Большинство приближенных методов
решения сводится к тому или иному варианту расчета
этого члена [4].
Нетрудно видеть, что когда такой расчет проиsво
дится представлением выражения 1/ Н (ro )-1 в виде гео
метрической прогрессии
00
; ~ro) 1= 1 -'r~~t°~ю)J = Е (1 - Н (m)]n,
ll.72)
n=I
пн эквивалентен разложению обратного оператора в ряд
Неймана (1.69). Если учитывается только первый член
ряда ( 1.72), то решение имеет вид
s(х)=f(х)+f(х)- h(х)*f(х),
где применена символическая форма записи интеграла
свертки ( 1.18).
и:С'пользуя биномиальную форму
[J -Н(m)Jn= 1-пН (ю) +п<п2-;- I) н•(m)-
-
п(п- 1)(п- 2lн·l :\+
3!
,m,
... ,
решение, учитывающее п членов ряда (1.72), можно
представить в виде
s(х)= f(х)+[nf(х)- еп(х)*f(x)J,
fl.73)
где функция gп (х) выражается следующим образом:
()=(п+l)nh()- _
(п+ I)'n(n-1) h1 (x)+
епх
2!
х
3!
+(п+1)п(п- 1)(п- 2)h-(~_
4!
•Х1
• •.'
h1 (х) = h (х) *h (х); h2 (х)=1z1 (х) *h (х); ...;
h~(х) IJ_, (х)-*h(х).
1.4. Итерационные метооы
47
Легко убедиться, что с помощью приведенных вы
ражений можно составить последовательность решений
{sn}, удовлетворяющую рекуррентным соотношениям
вида
Sn+1 (х)=f(х)+sп(х)-h(х)*sn(х); п =0, 1, 2, ..•;
(1.74)
или
s0 (х)==О; s1 (х) ==f (х)
Sn+1 (х) - Sn (х) = [sп (х) -sп-i (х)] ~- h (х)~*
* [sп (x)-sп-i (x)J;~n-), 2, ...
(l.75)
Эти соотношения, позволяющие вычислять каждое
последующее приближение по предыдущему, лежат в ос
нове метода последовательных приближений Бургера и
Ван Ситтера, который получил широкое распространение
для восстановления сигналов в спектроскопии и радио
астрономии [4, 19]. Подобный метод хорошо зарекомен
довал себя в задачах улучшения качества изображений
[88].
Из сопоставления формул (1.74) и (l.67) видно, что
условия сходимости рассмотренного метода последова
тельных приближений определяются приведенной выше
"
теоремои.
Определить поправки к начальному приближению ре
шения, равному f (х), в принципе можно с помощью раз
ложения выражения l/H(ro)-1 в произвольный функ
циональный ряд
н~ro>-1 = Еапип (ш).
(1.76)
п
Здесь важно лишь, чтобы такое разложение·сходилось и
при вычислении поправок позволяло заменить операции
над f(x), определяемые выражением l/H(ro)-1, сово
купностью других операций, определяемых последова
тельностью функций Un((J)), которые более удобны для
вычислений. Подставляя (l.76) в (l.71) и меняя поря-
4R
1. Математические основы 1'еории восстаноелеuия сигнала~
док интегрирования и суммирования, получаем
QO
s(х)=i(.х)+.!Jап;" JUn(j))F(:о)ехрU.x »)J·o,
п
-:)О
(1. 77)
Рассмотрим сначала разложение в степенной ряд
н~"')- l = ~апшп.
11
Гlо аналогии с (1.77) находим
00
s (х) = f ,(х)+1Jап 2~ JmnF (ш) ехр (jxm) dm.
Так как
1
27t
00
J(j·")n F ("') ехр (jxn) d.j) = d;~~x),
-
00
из (l.78) получим
~а dnf(х)
s(х)=f(х)+'1Jj: dxn •
п
(1. 78)
(1. 79)
(l.80)
Таким образом, разложению 1/H((J))-1 в степенной
ряд отвечает представление s (х) через f (х) и ее произ
водные и потому применение такого разложения можно
рассматривать как способ получения решения, позволя
ющий перейти от интеграла свертки непосредственно
к породившему его дифференциальному уравнению с по
стоянными коэффициентами (см. § l. l).
Коэффициенты an здесь определяются параметрами
весовой функции системы. Формула ( 1.80) принимает
особенно простой вид для систем с экспоненциальной ве
совой функцией:
h(x)=(~/2) ехр (-~Jxl).
Передаточная функция у таких систем равна
1
Н (ш) == 1 + ((1)/~)2
1.4 . Итерационные метоdы
49
и, следовательно, только коэффициент а2 в {l .80) отли
чается от нуля. В этом случае
s(х)==f (х)-_1 d2/(х)
•
•
~2dx2•
(l.8l)
Компенсация искажений, вносимых системой с экс
поненциальной весовой функцией, встречается в задачах
восстановления сигналов, прошедших через однокаскад
ный RС-фильтр [см. (1.54) и (1.55)], а также в задачах
восстановления оптических сигналов-изображений,
когда требуется исключить влияние фотослоя, имеющего
одномерную функцию рассеяния точки вида
Заметим, что в последнем случае часто без доказатель
ства пользуются формулой {l.81) для улучшения каче
ства фотографических изображений методом «подчер
кивания» их контуров [20], причем двумерным аналогом
( 1.81) в этой задаче является так называемый антидиф
фузионный процесс Коважноrо - Джозефа [21]:
s(х, у)= f(х, у)- у[д'f~~у)+.i'f~;; У)]'
который сводится к сложению размытого (нерезкоrо)
изображения f (х, у) с его контурной копией, полученной
в результате применения к f (х, у) оператора Лапласа
д2/дх2+а2/ду2 с некоторым весом у.
При численном решении уравнения типа свертки на
практике оказывается более удобным вычислять не про
изводные функции f (х), а конечные разности. Метод
конечных разностей исторически был развит одним из
первых и применялся еще Рэлеем. Математическое
обоснование этого метода получается при следующем
разложении:
1
-
l==\1а sinn C(J)
Н (ro)
!.J п
2·
п
4-866
-50
1. Математические осньеь~ т~ории восстан.ов.ления сигнаАов
Вычисляя первый член ряда в правой части (l.77)
00
;;, Jsin с; F (m) ехр (jxro) dm =
-00
QO
=;;, Sd1 {exp(i(x+T)m]-
-co
-
ехр [i (x-f) ro]} F (m) dm=
= ~j rf (х++)-f(х-+)]= ~j Л'сf (х),
заключаем, что умножение F(w) на 2jsin(c(J)/2) соот-
"
...
ветствует операции взятия первои конечном разности от
f (х) на интервале (-с/2, с/2). По аналогии можно по
казать, что умножение F ((J)) на (2j) n sinn (C(J)/2) соот
ветствует взятию конечной разности лnJ(x) порядка п
на том же интервале. В целом получим следующее
выражение для s (х):
(1.82)
п
Нетрудно видеть, что при с~о метод конечных разно
стей переходит в рассмотренный выше метод производ
ных, определяемый формулой ( l .80). Метод конечных
разностей нашел применение в самых различных зада
чах восстановления сигналов. Его широкое распростра
нение в значительной степени объясняется простотой
расчета поправок с помощью графического построения.
Если представить 1/Н (ro)-l в виде тригонометри
ческого ряда
Н~ro) - l = Е апехр(-jn6m),
(l .83)
п
то, поскольку
00
;" Jехр (-jnOm) Р (m) ехр (j.xm) dm = f (х- n6),
--00
1.4. Итерационные методы
51
решение интегрального уравнения ( 1.17) будет
s (х)= f(х)+~апf(х-n6).
(1.84)
п
Расчет поправок по формуле (1.84) предусматривает
учет значений наблюдаемой функции в точках, удален
ных на расстояние пе от точки х.
В принципе возможны и другие выражения для
определения поправок к наблюдаемой функции f (х),
помимо приведенных выше формул (1.73), (1.80), (1.82)
и (1.84). Различные их варианты можно получить с по
мощью аппроксимативных методов, рассмотренных
в предыдущем параграфе. В частности, может оказаться
удобным разложение ядра уравнения по полиномам Эр
мита согласно (1.42).
Вообще выбор того или иного способа расчета по-
u
а
правок в значительнои степени определяется своиствами
весовой функции. Кроме того, за начальное (нулевое)
приближение не обязательно брать саму наблюдаемую
функцию. В качестве начального приближения можно,
например, взять решение некоторого близкого уравнения
с близкой правой частью, для которого решение извест
но заранее. Это можно сделать при помощи следующего
приема [4]. Представим наблюдаемое распределение и
весовую функцию в виде
f(х) fo(х)+f1(х); h(х)=ho(xJ +h1(х),
(1.85)
где fo(x) и ho(X) -некоторые заданные аналитически
функции, для которых известно решение so(x) уравнения
(1.17) и которые достаточно близки к f(x) и h(x) соот
ветственно, так что f1 (х) и h1 (х) можно считать доста
точно малыми. Функцию so (х) примем за начальное
приближение. Тогда, подставляя (1 .85) в (1.17), при
ходим к следующему уравнению:
00
00
f1(х) - Jhi(х-~)s0 (t;)d~= .jh(х-е}si~)de,
-оо
-.00
в котором неизвестной является функция s1 (;)=s (;)-
-
s0 (~). Это уравнение можно решать с помощью рас-
4•
52
/. Л1атематuческие основы теории восстановления сигналов
смотренных nьнuе методов и его решение будет опреде
лять поправку I< нулевому приближению .
До сих пор мы рассматривали итерационные методы
без учета некорректности задачи. Как уже неоднократно
отмечалось, вследствие неизбежных ошибок измерения
наблюдаемой функции f (х) решение, полученное обыч
ным для классического анализа образом, будет неустой
чивым. Применительно к итерационным методам это
проявляется в том, что хотя начальные поправки оказы
ваются относительно малыми, если нулевым приближе
нием является достаточно гладкая функция f (х), в даль
нейшем поправки быстро растут, обнаруживая все более
резкие колебания. Восстановленный сигнал у)ке не будет
иметь гладкую форму; появляются «ПИКИ» и «провалы»,
обусловленные присутствием помех в f (х).
ДаЖе если соответствующий ряд сходится, наличие
случайных помех не позволяет достичь правильного ре
шения при увеличении числа приближений.
Например, ряд Неймана ( 1.69) сходится, если толь
ко правая часть f соnпадает с точным образом dfis
истинного решения.
Ситуация здесь вполне аналогична той, что была
рассмотрена при анаJ1изе аппроксимативных методов .
Точно так же можно снизить влияние случайных шумов,
ограничивая число членов ряда, что эквивалентно «сре
занию» высокочастотных гармоник сигнала. Действи
тельно, в разложении l/H(ro)-1 по степеням sin (cro/2) ,
соответствующем методу конечных разностей, наблюда
ется периодичность с периодом 4л/с. Поэтому при за
данном значении параметров с и п правильно восстанав
ливается не весь спектр наблюдаемой функции, а только
гармоники низкой частоты. Те же соображения относят
ся и к разло)кению ( 1.83). При выражении s (х) через
f (х) и dnf (x)/dxn на практи1<е используются приближен
ные значения производных, что выполняется либо заме
ной их конечными разностями, либо ограничением пре
делов интегрирования во втором члене правой части
формулы (1.78), т. е. опять nce сводится к правильно
му восстановлению лишь в конечной области частот.
В результате неустойчивость решения существенно не
проявляется, хотя качество восстановления часто оста
ется далеко не идеальным.
1.5. Алгебраические методы
53
1.5. АЛГЕБРАИЧЕСl(ИЕ МЕТОДЫ
При решении обратных задач численными методами
широко пользуются сведением основного интегрального
ур~внения к системе линейных алгебраических уравне
нии:
N
~hmnSn==. fm; rn= 1, 2, ..., М,
n=I
(1.86)
где hmn, Sn и fт - значения соответственно весовой
функции, входного сигнала и отклика в опорных (от
счетных) точках либо коэффициенты их разложения по
ортогональной системе функций.
С методами разложения по ортогональной системе
функций мы уже встречались в § 1.3. Способ составле
ния системы уравнений вида ( 1.86) при использовании
этих методов очевиден. Алгебраизация задачи с помо
щью взятия отсчетных значений функций h(x, ~), s(~) и
f (х) также понятна: промежуток (а, Ь) изменения пере
менной .~ в уравнении (1.14) разбивают на (N-1) ча
стей, а промежуток (с, d) изменения переменной х - на
(M-l) частей и рассматривают отсчеты s1, s2, ..., SN и
f1, f2, ..., fм функций s(~) и f(x) соответственно. Если
частота отсчетов достаточно велика (например, выбра
на исходя из теоремы Котельникова), то задание после
довательности отсчетных значений эквивалентно зада
нию самой функции. Дискретизация весовой функции
проводится аналогично. Из самого определения весовой
функЦии следует, что ее отсчетные значения представля
ют собой весовые коэффициенты, при помощи которых
значения f в данной точке вычисляются как «взвешен
ная» сумма значений s в этой и в соседних точках. Сле
дует отметить, что в практических задачах восстановле
ния сигналов протяженность весовой функции обычно
много меньше протяженности сигнала и отклика. Поэто
му в каждом из уравнений системы (1.86) большинство
величин hmn равно нулю. Пожалуй, лишь в задачах вос
становления речевых и сейсмических сигналов это не
верно, так как в них весовая функци5_1 среды соизмерима
по длительности с сигналом и откликом f22].
.
54
/. Математические основы теории восстановления сигналов
Систему уравнений (l.86) удобно представить в ви
де одноrо матричного уравнения:
Hs=f,
(l.87)
где Н - матрица коэффициентов hmn, s - искомый век
тор с координатами sr, s2, ..., sN, f- известный вектор
с координатами f1, f2, •.•, fм- Для того чтобы это урав
нение решать классическими методами линейной алгеб
ры, обычно стремятся провести дискретизацию функций
так, что M=N. Тогда матрица Н - квадратная, и если
ее определитель det Н не равен нулю ( Н - невырожден
ная), то уравнение (1.87) имеет единственное решение
S=H-1f,
(1.88)
где Н-1 - обратная матрица, такая, что Н- 1 H=I (1 -
единичная матрица).
Таким образом, для решения системы линейных
уравнений при N-M достаточно найти обратную матри
цу системы. При N>M число неизвестных превышает
количество уравнений. Если N<M и матрица Н имеет
ранг N, то решение может быть найдено по методу наи
меньших квадратов, согласно которому минимизиууется
норма l!Hs-fl/ вектора невязки Л=Hs-f [23J. На
помним, что нормой некоторого вектора-столбца р с ко
ординатами р 1 , р2, ... , р к называется длина этого векто-
ра в евклидовой метрике
(1.89)
где Т-знак транспонирования, а рт обозначает вектор
строку, транспонированную к р. Задача состоит в том,
чтобы найти минимум выражения
11Hs-fll 2=(Hs-f)T(Hs-f)=sтнтнs-
-Hтsтf_fтHs +fTf,
( 1.90)
которое удобно представить в виде
f1Hs-flJ2 =(НT Hs-Hтf)T (Нтн)- 1 (Нт Hs-Hтf)-
-
frН (НтН)- 1 нт f +fтf.
(1.91)
Нетрудно видеть, что так как ( нтн)-1 является поло
жительно определенной матрицей, минимум в (1.91) до-
1.S. Алгебраические Метоаьt
стигается, когда HTHs-HTf==O, 7. е. когда s удовлетво
ряет так называемому нормальному матричному урав
нению
(1.92)
Матрица нтн имеет ранг, совпадающий с рангом матри
цы Н и равный N, и потому нтн - невырожденная ма
трица [23]. Следовательно, уравнение ( 1.92) имеет
единственное решение и его можно найти тем же спо
собом, что и решение уравнения ( 1.87):
(l.93)
Если ранг матрицы Н не равен N, то существует беско
нечное число решений по методу наименьших квадратов,
но лишь единственное среди них имеет минимальную
норму вектора s.
Вычисленная один раз обратная матрица в ( 1.88)
или в ( l .93) полностью характеризует линейную систему,
влияние которой мы хотим исключить, и позволяет легко
находить решение задачи столько раз, сколько наблю
даемых функций требуется взять в рассмотрение. Если
же мы хотим восстановить сигнал только для какой-то
одной наблюдаемой функции, то можно искать решение
системы линейных уравнений минуя процесс вычисления
обратной матрицы. Хотя и для вычисления обратной ма
трицы и для непосредственного решения системы урав
нений обычно испо.пьзуются одни и те же вычислитель
ные схемы, в конкретных задачах можно получить опре
деленные преимущества в необходимом объеме памяти и
-скорости счета при правильном выборе способа решения.
Алгебраические методы можно разделить на прямые
и итерационные. Важнейшим из прямых методов реше
ния системы линейных алгебраических уравнений счита
ется метод исключения Гаусса [25].
Известны многие варианты гауссова исключения,
которые алгебраически тождественны. Варианты отли
чаются характером хранения матриц в памяти ЭВМ,
порядком исключения, способами предупреждения боль
ших погрешностей округления и тем, как уточняются вы
численные решения. Например, метод Жордана требует
обратной подстановки, метод квадратных корней для по-
56
1. Математи1шские основы теории восстановления сигн.алов
ложительно определенных матриц дает компактную вы
числительную схему, метод главных элементов позволяет
бороться с потерей точности при расчетах на ЭВМ и т. д.
Все эти методы хорошо описаны в литературе по вычис
лительным методам линейной алгебры (см., например,
[24-27]) и поэтому мы специально на них не останав
ливаемся.
В целом основную идею гауссовых схем исключения
можно представить как разложение матрицы Н на про
изведение двух треугольных матриц, L и U. При таком
представлении система записывается в виде L Us=f и
сводится к двум системам, скажем, Lg=f и Us=g, кото
рые легко решаются [24]. Доказано, что в общем слу
чае система линейных алгебраических уравнений не мо
жет быть решена с помощью меньшего числа операций,
чем то, которое требуется в гауссовом исключении [28].
Вернемся к обычному способу решения системы
линейных уравнений Hs-f, который состоит в вычисле
нии обратной матрицы н-1 и последу1ощем умножении
н-1 на f. Этот способ может оказаться особенно выгод
ным, если задано несколько правых частей f, так как
обратную матрицу необходимо вычислить только один
раз. Однако специализированные процедуры решения
систем линейных уравнений могут обеспечить выполне
ние этой задачи с меньшим числом операций и большей
точностью. Если вычислены матрицы L и U, то дальней
шее решение системы LUs=f требует всего No операций
умножения и деления. Е-сли же вычислена обратная ма
трица Н-1 , ТО ДЛЯ определения H-If необХОДИМО также
N2 таких операций. С этой точки зрения оба метода
практически равноценны. Однако предшествующие вы
числения LU и Н-1 требуют .соответственно No/3 и No
операций деления и умножения. Поэтому часто оказы
вается выгоднее использовать LU, чем Н-· 1 , даже если
имеется несколько правых частей. Кроме того, меньшее
число операций влечет за собой меньшие ошибки округ
ления и поэтому в большинстве случаев использование
треугольного разложения (LU-разложения) дает более
точное решение. С другой стороны, применение обрат
ной матрицы Н-1 более удобно, так как стандартные
программы обращения матриц входят в математическое
обеспечение любых универсальных ЭВМ. Программы
1.5 . Алгебраические методы
57
различных методов расчета LU-разложения на ЭВМ
приведены, например, в (24].
До сих пор мы не интересовались структурой матри
цы tl. Если система исходных уравнений порождена ко
эффициентами разложения h (х, 6), s (~) и f (х) по орто
гональному семейству функций, то система уравнений,
как правило, имеет не очень большой порядок, а матри
ца Н является плотной, т. е. большинство ее элементов
отлично от нуля. Именно для таких систем справедлива
отмеченная выше оптимальность гауссовых схем исклю
чения.
В случае, когда система алгебраических линейных
•
u
уравнении порождена дискретизациеи отсчетов сигнала,
количество уравнений N в системе равно числу отсчетов
и для сигналов большой протяженности часто оказыва
ется настолько большим, что решение уравнений на ЭВМ
с помощью любой из классических вычислительных схем
затруднено. Действительно, например, для восстановле
ния телевизионного изображения вещательного стандар
та потребуется решить систему, содержащую около по
лумиллиона уравнений. Понятно, что решение такой
системы по программе, предусматривающей выполнение
порядка No операций, за разумное время не под силу
даже самым высокопроизводительным универсальным
ЭВМ. Это обстоятельство иногда приводят в качестве
примера невозможности решения задач восстановления
высокоинформативных сигналов при помощи алгебра
ических методов (см., например, (29]).
Между тем матр.ица Н системы ура1внений, порож
денной дискретизацией отсчетов сигнала, имеет специфи
ческий вид. Из-за того, что протяженность весовой функ
ции, как уже отмечалось, обычно много меньше протя
женности анализИруемых функций, каждая неизвестная
величина в уравнениях связана только с несколькими
другими - для остальных неизвестных коэффициенты
hmn в данном уравнении равны нулю. В результате Н
оказывается редкой матрицей: лишь немногие ее эле
менты отличны от нуля. Кроме того, при естественном
способе упорядочивания уравнений (когда отсчеты сле
дуют последовательно один за другим) ненулевые эле
менты матрицы Н образуют полосу или ленту вдоль
r~нц~ноfl дцаго~ади. T?I<~~ матрицы н~~ыва~т~я лецтQч-
58
1. Математические основы теории восстановления сигналов
ными. Более точно ленточные матрицы с шириной лен
ты 2r+l определяются как матрицы, для которых hmn=
=0, если 1т-п.1 >r. Например, если r=l, то ширина
ленты равна трем и матрица имеет следу1ощий вид:
-h ll
h12
о
h21 h22 h2З
(1.94)
о
hN-1, N
h
N, N--..1
-'
hNN
Для нас важно то, что в рассматриваемом случае,
когда r<<N, решение системы уравнений с ленточной
матрицей существенно упрощается. Используя преиму
щества ленточной структуры матрицы при решении ли
нейной системы, можно сэкономить как необходимое
время вычислений, так и требуемый объем памяти ЭВМ.
Объем памяти уменьшается благодаря тому, что хранить
можно только ненулеву10 часть матрицы и, например,
ленту матрицы (1.94) можно запомнить в виде трех век
торов.
Время счета сокращается вследствие того, что ма
трицы _в треугольном разложении также оказываются
ленточными. Цель гауссова искл1очения - сокращение
числа неизвестных в каждом уравнении до тех пор, пока
уравнение можно будет разрешить непосредственно. Но
для систем с ленточными матрицами число неизвестных
в каждом уравнении с самого начала мало и, следова
тельно, сведение к треугольной форме требует меньше
времени. Действительно, LU-разложение здесь требует
только r N2 операций умножения вместо No/3 таких опе
раций для плотной матрицы.
Можно составить еще более эффективные специали
зированные программы решения систем уравнений
с ленточными матрицами. Такие программы заранее учи
тыва1от то, что сомножители вне ленты равны нулю и
для фиксированной ленты небольшой ширины - в три
или пять элементов - оказыва1отся чрезвычайно просты
ми (24].
В качестве примера приведем вычислительну10 схе
му решенJIЯ системы уравнеf!ИЙ с f\fатрицей вида ( 1~~4) 1
1.5 . Алгебраические метоiJьt
элементы которой хранятся в виде следующих трех век
торов, скажем, d, е, с:
В1 С1
о
d2е2С2
dзВзСз
(1.95)
.
.
CN-1
о
dN eN
Матрццы L и U при этом будут
-1
о-
U1C1
о
121
U2C2
L==
lз1
U==
UзСз
•
t
CN-1
о
lN1
о
-
UN
(1.96)
Их элементы рассчитываются по следуIQщим про-
стым формулам:
U1=e1; Ui=ei-lici-1; li=di/ui-1; i=2, 3, ..., N.
(1.97)
Решение системы Hs=LUs-f выполняется также очень
просто с помощыо соотношений
S1 f1; Si=fi-liSi-1; i=2, 3, ..., N;
(1.98)
su=<fJC -с"sи+1)/и"; «=(N-1), (N-2).- . .. , 1. (l.99)
Дальнейшее сокращение объема вычислительных
011ераций достигается в случае, когда система алгебраи
ческих уравнений порождена отсчетами функций в ин
тегральном уравнении типа свертки, т. е. когда значения
весовой функции зависят только от разности аргументов
сигнала и отклика . В этом случае ленточная матрица Н
имеет так наэываему10 теплицеву структуру: все эле
менты на главной диагонали, а также на л1обой диаго
нали, параллельной главной, одинаковы [30]. Для ре-
\
60
/. Математические основы теоμии вйсстановления сигналов
"
шения систем уравнении
предложены эффективные
использующие простые
[31, 32].
с теплицевыми матрицами
вычислительные процедуры,
рекуррентные соотношения
Для решения систем уравнений высокого порядка
вместо гауссовых вычислительных схем, дающих «точ
ное» решение, часто удобнее использовать прибли>кен
ные, итерационные методы, которые в целом несколько
экономичнее прямых методов. Их достоинством являет
ся простота вычислительных процедур и возможность
проведения вычислений с помощью .корректирующихся
процессов. Отдельная ошибка в вычислениях у таких
процессов не отражается на окончательном результате.
Кроме того, преимуществом итерационных методов яв
ляется то, что одновременно решается только одно урав
нение. Поэтому системы большой размерности с помо
П.J.ЬЮ итерационных методов могут быть решены на ма
J1ых ЭВМ, облада1ощих достаточным объемом внешней
памяти.
Из итерационных методов широкое применение на
шли метод простой итерации, метод Гаусса - Зейделя и
их разновидности [25, 27]. Следует отметить, что для
решения аада ч восстановления сигналов могут оказаться
полезными и другие итерационные методы, такие, как
метод скорейшего спуска [33], метод минимальных не
вязок [25], метод Галеркина [34] и др. Детальное ис
следование итерационных методов решения систем ли
нейных уравнений приведено в [35].
Однако вообще большинсrво итерационных методов
обладает одним существенным недостатком: каждый из
итеративных процессов имеет свою область сходимости
и существуют такие матрицы Н, для которых данный
процесс сходится очень медленно или вообще расходит
ся. Кроме того, заранее трудно предсказать число необ
ходимых приближений для получения решения с напе
ред заданной точностью . Поэтому итерационные методы
в прямой постановке мо>кно рекомендовать тогда, когда
по виду матрицы решаемой системы признаки сходимо
сти итеративных процессов выполняются достаточно хо
рошо.
В вычислительной практике решения систем линей
ных уравнений и обращения матриц на ЭВМ итерацион-
1.5. Алгсбраиrtеские методы
ные методы широко использу1отся также для повышения
точности решений, найденных прямыми методами. Ите
рационное уточнение позволяет, в частности, уменьшить
ошибки округления в методе Гаусса [36]. Такое уточне
ние оказывается очень полезным и при обращении теп
лицевых матриц [37].
Среди различных итерационных методов наиболь
ший интерес для задач восстановления сигналов пред
ставляет метод проекций [38, 39]. Сущность этого мето
да легко уяснить при помощи следующей геометрической
интерпр~тации. Будем рассматривать сигнал как точку
в N-мерном евклидовом пространстве. Координаты этой
точки s 1, s2, ..., sN. Тогда каждое из М уравнений
в (1.86) представляет гиперплоскость в этом простран
стве. Пусть известно некоторое начальное приближение
(~'. ( (О) (О)
(0)) Е
к решению s·-·.
s1 , s2 , ···~ sN . ели никаких сведе-
ний о решении нет, то в качестве координат начального
приближения можно взять последовательность чисел
О, О, ... , 1 [38]. Первое приближение 5<1> вычисляем по
формулам аналитической геометрии I<ак проеI<ци10 точ
ки 5<0> на гиперплоскость
(1.100)
Затем вычисляем 5<2>- проекцию 5(t) на гиперплоскость
(1.101)
Вычисления продолжаем до тех пор, пока не найдем
приближение 5(MJ, соответству1ощее последнему из урав
нений в системе ( 1.86). На этом заканчивается первый
цикл итераций. Далее ищем проекци10 5(м+1> точки s<M>
на гиперплоскость (1.100), затем - проекци10 5(м+2>точ
ки s<м+•> на гиперплоскость (1.101) и т. д., пока не при
дем к точке 5(2М>, соответствующей последнему уравне
нию в ( 1.86). На этом кончается второй цикл итераций.
Основным достоинством метода проекций в отличие
от других итерационных методов является то, что после
довательность векторов 5(0), 5(м>, 5(2М), ... , полученная
в результате многократного повторения указанных цик
лов итераций, всегда сходится, т. е. lim 5UM>=5 при л10-
1~00
бых значениях '~тп и ЧИ'2J1ах N и М [39] . Метод проек-
/
62
/. Математические осноstл т~ории восста1-tовлеkUЯ сигналов
ций применим не только тогда, когда система уравнений
(1.86) имеет единственное решение, но и когда она име
ет бесконечное множество решений. В последнем случае
в качестве решения берется вектор, для которого норма
вектора невязки
fls - s(o>1f = {ls1 - s~o>]2+[s2 - s~o>]2+ ... +
+ [sN - s~>]2}112
достигает минимального значения. В этом смысле ме
тод проекций может давать результаты, аналогичные
решению по методу наименьших квадратов.
Таким образом, даже если исходная система урав
нений допускает бесконечно много решений, можно по
лучить одно «хорошее» решение. Кроме того, при исполь-
v
зевании метода проекции для решения задач восстанов-
ления сигналов легко учесть различну10 дополнительну10
априорну10 информацию о классе восстанавливаемых
сигналов, так как этот метод обеспечивает неизбежную
сходимость. Например, в задачах восстановления изо
бражений априори известно, что воестановленный сиг
нал должен содержать только положительные величи
ны - значения интенсивности света. Учет этого обстоя"
тельства в методе проекций выполняется просто прирав
ниванием нулю всех отрицательных координат вектора
s(1&), прежде чем перейти к следующему (к+ !)-прибли
жению [39].
Другим достоинством метода является простота вы
числительной схемы. Если К- число отсчетов весовой
функции, а N - число неизвестных значений сигнала, то
nnъем вычислительных операций здесь оценивается ве
личиной 2KN на один цикл итераций. Поэтому при удач·
но выбранном начальном приближении, не требу1ощем
большого количества дальнейших приближений, можно
получить существенну10 экономи10 машинного времени
по ер авнению с другими методами.
Возможность учета дополнительной апр.иорной ин
формации может быть реализована и в некоторых дру
гих итерационных методах. В частности, разложение
обратного оператора задачи в ряд Неймана (см. § 1.4)
эквивалентно нахо:>кдени10 решения матричного уравне-
1.5 . Алгебраические методы
ния в виде
N
s==~(1- Н)пf,
n=O
63
(1.102)
и порождает следу1ощий простой итерационный алго
ритм:
s<i>=f+ (1-Н) f<i-t>.
(1.103)
Известны модификации этого алгоритма, позволяющие
учитывать, например. информаци10 о неотрицательности
значений восстановленного сигнала [40]. Однако в от
личие от метода проекций они не обеспечива1от неизбеж
ной сходимости решения.
Может показаться, что свед~ние основного инте
грального уравнения к системе алгебраических уравне
ний (1.86) исчерпывает проблему его решения - нужно
лишь выбрать число N отсчетов сигнала достаточно
большим для получения любой заданной точности реше
ния. Однако следует ожидать, что из-за некоррект
ности задачи восстановления сигналов и на этом пути
возникнет какое-то препятствие. Таким препятствием яв
ляется плохая обусловленность линейной системы ( 1.86),
выража1ощаяся опять-таки в искл1очительно сильной за
висимости решения от вариаций f, а также от ошибок
задания коэффициентов системы и ошибок вычислений.
Вообще алгебраизация некорректных задач при доста
точно большом числе N всегда дает плохо обусловлен-
v
ну10 систему уравнении.
Из-за плохой обусловленности системы уравнений ее
решение становится неустойчивым: малые изменения
входных данных могут вызывать как угодно большие
(по норме) изменения решения и в результате решение
«разбалтывается» [41]. В связи с этим рассмотрим бо-
лее подробно вопрос об обусловленности систем линей
ных уравнений и влиянии этого фактора на процесс их
решения. Для такого рассмотрения нам понадобятся по
нятия нормы матрицы, собственных значений и сингу
лярных чисел.
Нормой квадратной матрицы Н порядка N называ
ется величина
11PJJ=max11 Hpll/llpll; р=#О,
(1.104)
64
1. Математические основы теории восстановления сигналоБ
где нормы ве1<торов Нр и р определя1отся согласно
(1.89). Таким образом, при llPJJ=I формула (1.104) вы
ражает наибольшу10 длину вектора Нр и может служить
мерой максимального искажения единичной сферы ли
нейным преобразованием с матрицей Н. При таI<ом пре
образовании (р--+Нр) собственные значения невырож
денной матрицы Н олределя1отся как числа 'Лi, удовлет
воряющие уравнениям
HPi=AiPi; i=l, 2, ..., N,
(1.105)
где Рi-собственные векторы.
Сингулярными числами μi (i=I, 2, ..., N) называ
ются неотрицательные корни квадратные из собствен
ных значений симметричной матрицы нит. Заметим, что
для невырожденных матриц Н порядка N справедливо
неравенство μ 1~μ2~...~μN >О. Кроме того, имеется
прямая связь между нормами матриц Н и н-1 и экстре
мальными значениями сингулярных чисел:
llHIJ=r-1;" HH-
1
ll=f1N 1
•
(1.106)
Рассмотрим теперь матричное уравнение Hs=f,
имеющее единственное решение (Н - невырожденная
матрица, все μi>O), которое можно записать в форме
s=H-1f. Предположим, что правая часть уравнения из
вестна с ошибкой Лf, которая определяет ошибку реше
ния Лs. Вместо уравнения, определя1ощего точное реше
ние, запишем Н (s+Лs)=f+Лf и посмотрим, как велика
может быть ошибка Лs. Имеем Лs=Н-1Лf и, с"~едова
тельно,
(1.107)
причем равенство в (1.107) возможно лишь для некото
рых векторов Лf. Так как f=Hs,
llf 11~11 Hll llslf.
(1.108)
Умножая (1.108) на (1.107)
!J.Лsll l!fll~llHll llH-111 llsll !1Лfll
(1.109)
и полагая, что !lf!J=FQ, из (1.109) находим
fдsl 1 ~ l\H1IllH- ill lfдfll
нs~\~ l
llfll .
(1.11 О)
1.5. Алгебраические методы
65
Таким образом, связь между относительными ошиб
ками в решении и в f определяется величиной 11 Н IJ IJ Н-111,
которая называется числом обусловленности и обозна
чается cond Н. Из (1.106) следует, что
cond H==llHll llH-1 11=μ1/μN~l.
(1.111)
Нетрудно видеть, что число обусловленности огра
ничивает сверху отношение относительной ошибки в s
к относи.тельной ошибке в f и, так как согласно ( 1.111)
cond H~l, это отношение также не может быть меньше
единицы. Лишь при подходящем выборе направлений
векторов f и Лf в формулах (1.107) и (1.108) возможно
равенство, и следовательно, возможно равенство и
в (1.110). Поэтому для произвольных векторов f и Лf
нельзя дать оценку более точну10, чем ( 1.11 О).
В целом число обусловленности cond Н является эф
фективной мерой того, насколько матрица Н хороша по
отношени10 к вычислениям, возника1ощим при решении
уравнения. Даже если вектор f известен точно, но коэф
фициенты hтп матрицы Н заданы с ошибкой, то и в этом
случае величина cond Н позволяет получить оценку свер
ху в неопределенности решения согласно следующему
выражени10 [24]:
t1лs11 ~ d Н llдHll
l!s+дs:I ~con
l!Hll ·
В работах по применени10 алгебраических методов
в задачах обработки сигналов часто можно встретить
мнение о том, что мерой плохой обусловленности матри
цы Н может служить малость определителя det Н (по"
рядка «машинного нуля» при вычислениях на ЭВМ), чем
якобы и разлиЧаются вырожденные (det Н=О) и плохо
обусловленные системы уравнений. В действительности
это заблуждение. Например, если μ1:;:::::::μ2~ • • • ;:=μN=
=10-20, то det Н будет очень маленьким числом (поряд
ка 10-2°N), но согласно (1.111) в этом случае cond H=I
и относительная ошибка решения llЛsll/llsll, . оцениваемая
по формуле (1.110), в точности равна llЛfll/llfll, т. е. си·
стема очень хорошо обусловлена, хотя ее· определитель
мал.
Для нас важно, что величина cond Н может бытъ
огромной даже в простых задачах, связанных с восста-
5-866
66
1. Математические основы теории восстанов.ления сигналов
новлением сигналов, что приводит к неустойчивости ре
шения. Действительно, как следует из ( 1.111), величина
cond Н и, следовательно, степень неустойчивости реше
ния [см. (1.110)] зависит от отношения наибольшего и
наименьшего сингулярных чисел μ 1/μN или, аналогично,
от отношения наибольшего и наименьшего собственных
значений 'Лmax/'Am1n матрицы Н. При этом «разбалтыва
ние» решения происходит в направлениях тех собствен
ных векторов Pi матрицы Н, которые соответству1от наи
меньшим 'Лi [41]. Однако чем большее число дискретных
отсчетов функций мы берем в рассмотрение с целью
увеличения точности аппроксимации исследуемых рас
пределений, тем выше порядок N системы уравнений и
тем больше возможность получить очень маленькие зна
чения Ai [42]. Кроме того, известно, что, например, у те
плицевых матриц все собственные значения 'Лi лежат
в интервале, ограниченном наибольшим и наименьшим
значением фурье-образа Н (ro) весовой функции свертки,
породившей систему алгебраических уравнений [30].
Поэтому диапазон изменения значений передаточной
функции прибора Н (ro) также может служить в каче
стве подходящей меры обусловленности системы.
Так как мы знаем, что передаточные функции H(ro)
реальных приборов близки к нулю вне полосы пропуска
ния, можно ожидать, что при любом достаточно боль
шом N «размах» собственных значений 'Лi будет велик и
система уравнений будет плохо обусловленной. Возни
ка1ощая ситуация как-бы аналогична той, что была рас
смотрена ранее: некорректность задачи восстановления
сигналов, проявля1ощаяся здесь в плохой обусловлен~о
сти системы алгебраических уравнений, сопряжена
с «нулями» передатоЧной функции прибора. Аналогичны
и общие пути поиска приемлемого решения: для борьбы
с неелинственностью решения нужны какие-то принципы
отбора решений (например, связанные с отбрасыванием
нулевых отсчетных значений при дискретизации функ
ций), а для преодоления неустойчивости решения следу
ет как-то ограничить снизу динамический диапазон пере
даточной функции (например, ограничить число отсче
тов N так, чтобы высокочастотные гармоники шума не
слишком усиливались в полосе пропускания восстанав-
1пп~а1ощего фильтра) ~
·
·
1.5 . Алге6раичеtкие методы
67
Одним из общих способов уменьшения трудностей,
связанных с некорректностью задачи, при решении пло
хо обусловленных систем уравнений является использо
вание п~евдообратных матриц [43]. С помощыо обычной
обратнои матрицы можно записать решение s=H-1f си
стемы линейных уравнений только в случае, когда Н
квадратная матрица и det Н=# О ( Н - невырожденная
матрица). Но матричное уравнение при det Н=О
и в случае, когда Н - прямоугольная матрица размера
NXM (N<M), имеет бесчисленное множество решений.
В теории матриц псевдообратные матрицы Н- вводятся
для обозначения таких решений, т. е. Н- определяется
таким образом, что s=H-f есть решение системы урав
нений (1.86) [44].
Матрица Н- - не единственная для данной Н. Из
всех псевдообратных матриц отметим матрицу Мура,
обозначаемую Н+ и облада1ощу10 свойствами [45]
НН+Н=Н; н+нн+-Н+; (НН+)Т=НН+;
(Н+Н) Т=Н+Н,
которыми она и определяется единственным образом.
Важным качеством псевдообратной матрицы Мура
Н+ является то, что она существует для л1обой матрицы
Н и потому, получая оценку восстановленного сигнала
по формуле
(1.112)
мы можем не сомневаться в существовании и единствен-
u
"
"
ности решения исходнои системы линеиных уравнении
(см. § 1.2) .
Неустойчивость решения при ошибках задания пра
вой части f можно попытаться преодолеть, анализируя
псевдообращение возмущенного уравнения
Hs=f+v,
(1.113)
где v-вектор шума. По аналогии с (1.112) находим
оценку решения уравнения ( 1.113)
s=H+Hf+H+v,
(1.114)
где первый член в правой части определяет оценку сиг
нала в отсутствие шума (полезная составля1ощая),
5*
68
1. Математические основы теории воссrаное.ления сигналов
а второй член представляет вклад в решение шумовой
составля1ощей. Заметим, что полезная составляющая
может рассматриваться как оценка вектора s в уравне
нии (1.87) по методу наименьших квадратов, минимизи
ру1ощая норму вектора s. ·J<ак уже отмечалось, такое
решение единственное.
Для того чтобы учесть влияние шумовой составля10-
щей на оценку сигнала, используем следу1ощее разложе
ние матрицы Н [47]:
R
н = ~ P.1Q1t~.
.
·i=1
(1.115)
где R-ранг Н; Qi и ti- собственные векторы симмет
ричных матриц нит и нтн соответственно; μi-сингу
лярные числа матрицы Н, которые были определены вы
ше. Такое «спектральное» разложение допускает л1обая
матрица Н. Матрица Мура Н+, псевдообратная к Н,
имеет разложение
R
н+ ""
-1 tт
=LIμ.l~Qil•
(1.116)
l=1
Эта форма отчетливо показывает взаимосвязь матрицы
Мура с обычной обратной матрицей, спектральное раз-
v
о
ложение которои имеет такси же вид, как и правая часть
формулы ( 1.116), только суммирование проводится не до
R, а до N. Таким образом, для вычисления Н+ достаточ
но найти сингулярные числа и собственные векторы Qi
и ti.
Используя разложение (1.116) в формуле для оцен
ки решения (1.114), получаем [46]
R
R
-
~-1т(
~-1т
S= р.. q1t. Hs)+ р.. Q1t. V.
&
i
1.
i
(1.117)
i=l
i=l
Теперь понятно, что эффективность метода псевдообра
щения зависит от такого выбора числа R членов разло
жения матрицы Н+, при котором достигается I<омпро
мисс между уровнем шума и качеством восстановленно
го сигнала. Если в (1.117) использовать разложение Н
по формуле (1.115), то можно видеть, что члены первой
1.6 . Борьба с помехами при восстановлении сигналов
69
суммы в правой части (1.117) с ростом R изменяются
медленнее, чем члены второй суммы, которые возраста
ют пропорционально l/μi, и так как в общем случае
справедливо упорядоченное неравенство μ1~μ2~
~ ... ~μR, шумовая составля1ощая по достижении не
которого достаточно большого индекса i начинает пре
обладать над полезной составляющей оценки решения.
Чем большее число членов разложения учитывается
в суммах правой части (1.117), тем ближе полезная со
ставля1ощая оценки к «истинному» решени10, но тем
меньше отношение сигнал/ шум (отношение полезной
составляющей оценки к шумовой).
Итак, в некорректной задаче решение системы урав
нений методом псевдообращения все же неустойчиво,
как и решения, получаемые другими классическими ме
тодами. Это относится и к методу наименьших квадра
тов, предусматривающему решение системы нормальных
уравнений ( 1.92) [ 1]. Общий способ борьбы с неустой
чивостью решения здесь по-прежнему состоит в умень
шении числа членов разложения сигнала, а компромисс
между качеством восстановленного сигнала и уровнем
помехи достигается ограничением числа членов разло
жения на основе эвристической оценки получаемых ре
зультатов. Регулярные вычислительные процедуры, п9~
зволя1ощие получать компромиссные решени·я на базе
априорной информации о задаче, будут рассмотрены
вгл.2.
1.6 . БОРЬБА С ПОМЕХАМИ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ СИГНА
ЛОВ
В предыдущих параграфах было показано, что
ошибки измерения набл1одаемой функции (так же, как
и ошибки задания весовой функции прибора) проявл'я
ются в виде помех, приводящих в конечном счете к не
устойчивости решения. При этом влияние помех можно
уменьшить, ограничивая число членов разложения сиг
нала, что эквивалентно простому ограничению полосы
частот спектра наблюдаемой функции.
.
Для того чтобы рассмотреть более общие пути борь
бы с помехами, представим процесс восстановления сиг-
"
"
"
вала, полученного с помощью некотором линеинои си-
70
1. Математические основы теории воссrан.ов.ления сигналов
....--
f(.I)*hв(x)=G(x}
S(X)_
s(x} *h(x}::::f{;c)
h(x}
hв(Х)
-
-
-
-
в:ioil
выхоf!
11
.
S(.X) -
в:coiJ
hc(X}
J'\
s(x)*hc(.X}=s(:r:)
~------б
выхоiJ
Рис. 1.3. Схема процесса восстановлении сигнала:
а - последовательность систем приема и восстановления сигнала:
6 - суммарная система
стемы, как преобразование его в другой линейной си-
"
стеме, которая последовательно соединена с исходнои
(рис. 1.3). Для упрощения рассуждений допустим, что
обе эти системы являются системами с постоянными па
раметрами, т. е. что процессы их функционирования опи
сываются уравнениями типа свертки.
На выходе последней системы имеем
s(х) =hв (х) *f (х),
( l .118)
где hв (х) - весовая функция прибора, осуществля1още
го восстановление (восстанавливающего фильтра),
а f (х) - функция на выходе системы приема сигнала
f(х)=h(х)*s(х).
(1.119)
Фурье-обраэ Нв (х) функции hв (х) есть передаточная
функция восстанавливающего фильтра. Подставляя
(l.119) в (1.118), получаем формулу, связывающую s(x)
иs(х):
s(x)=hв(х) *(h(х) *s (х)]..
Воспользовавшись свойством ассоциативности свертки,
находим
s(х) = (h0 (х) *h (х)] *s (х) =hc (х) *s (х)" (1.120)
где hc (х) - суммарная (общая) весовая функция r10-
следовательности систем приема и восстановления сиг-
1.6. Борьба с помехами при восстановлепии сигналов
71
нала, равная
hc(х)=hв(х)*h(х).
(1.121)
Из ( 1.120) ясно, что точное восстановление сигнала
Когда S(X)=s(x), ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО при hс(Х)=б(х):
т. е. при условии
h (х) *hв (x)=S (х).
(1.122)
Применяя к обеим частям равенства (1.122) преобразо
вание Фурье, получаем Н (оо) Нв ( ro) = 1. Следовательно,
случаю точного восстановления соответствует передаточ
ная функция восстанавлива1ощей системы вида
1
Нв (Х)= Н ((t)) •
(1.123)
Именно этот случай предполагается в решении по фор
муле (1.27)
00
s (Х) = 2~ JF (ro) Н ~61) ехр (j.юо) dro.
-оо
Фильтр с передаточной функцией (1.123), пользуясь
радиотехнической терминологией, будем называть ин
версным фильтром, а соответству1ощий процесс обра
ботки сигнала - инверсной фильтрацией.
Если не ограничивать полосу частот инверсного
фильтра, то при 1ro1-+rог (rог - граничная частота, при
которой Н ((J)г) =0) функция 1/ Н (ro) стремится к беско
нечности (рис. 1.4). Это приводит к бесконечному уси
лению помехи и, как следствие, возникает неустойчи
вость решения.
Ясно, что .ограничение полосы частот фильтра про
межутком (-ffic, roc), меньшим интервала (-rог, <иг)
(см. рис. 1.4,а), эквивалентно соответствующему огра
ничению пределов интегрирования в формуле ( 1.27) или
умножению передаточной функции инверсного фильтра
1/Н (ro) в подынтегральном выражении этой формулы
на индикаторну10 функцию отрезка (-roc, (!)с):
l
Н0(ш)=н(ю} Р(m fшJ,
72
1. Математические основы теории восстановления сигналов
где
1/Н(w) 11
1
11
1.
'
.
1
о
Шс Wr (t)
Н,Нв
1\
'\
r,
11
1/H(wJy i
J
'
1
Kл(w)/H(W}
z
'
1
о
Н»Нв
1/Н(Ш)-/
{ 1+f 0-Н(wj]'J/
J
/
о
р (ro 1юс)= { 1; lml/~ юс,
Q; lrol >Фе·~
Шr (t)
Шr (t)
Рис.
1.4 .
Передаточные
функции восстаиавливающих
фильтров при различных
методах борьбы с помехами:
а- последовательное огра
ничение полосы частот lfH·
версного фильтра:
б ~ умножение передаточ-
ной функции инверсного
фнльтра на последователь
ность 111ножитепей /(n (ro);
11- разложение переде.. "оч
ной функции инверенt. "'О
фильтра в ряд Неймана
Изменяя значения roc, можно менять соотношение
"
междr качеством в~с9тано~л~н11я с~гна~? и величинои
1.6 . Борьба с помехами hри восстановлении сигна.itов
7~
случайной ошибки. При этом улучшение качества вос
становления при увеличении roc автоматически будет
приводить к росту случайной ошибки.
Однако мы можем регулировать степень приближе
ния к точному восстановлению умножением 1/ Н (ro)
в подынтегральном выражении формулы (1.27) не на
P(rolroc), а на некоторую функцию K(ro), достаточно
быстро убывающую при увеличении ro, такую, что ин
теграл
С1О
.. ....
1 JF(ы)
-
s(х)= 2
7t
Н (ы) К (ro) ехр (j.xro) dro
(1.124)
-оо
не расходится при 1ro1-+rог. Этим способом можно так
же бороться и с неединственностью решения (см. § 1.2),
возникающей при обращении в нуль функции Н (ro)
в некоторых точках внутри интервала (-rог, rог), припи
сывая отношению К (ro) / Н (ro) конечные значения в тех
точках, где Н (ro) равна нулю.
В наших представлениях умножение передаточной
функции инверсного фильтра на К (ro) соответствует
отысканию «сглаженного» решения
s(х)= hв(х)*f(х)==[hи(х)*k(х)]*f(х),
связанного с идеальным решением s (х) выражением
s(х)=hc(х) *s(х) = [hи(х)*k (х) *h(х)] *s(х),
где k (х) - результат обратного преобразования Фурье
от К (ro) ; hи (х) - весовая функция инверсного фильтра
l/H(ro).
Теперь понятно, что подходящим выбором функции
k(x) можно регулировать степень «сглаживания» реше
ния, меняя параметры этой функции. Более того, таким
путем мы можем составить последовательность суммар
ных весовых функций h(~) (х), h(
2
) (х), ... , h<n) (х), ...:
с
с
с
h~п> (х) = h~n> (х) *h (х),
стремящихся к б-функции при n---+oo, таких, что после-
"
довательность соответствующих устоичивых «сглажен-
ных?> решений § 1 (х), s2(x), ... , sn(X), ... :
sn (х) ===h~l) (х) * ·f (х)
'/4
1. Математические основы теории восстаноi:J.ltенuя сигналов
при определенных условиях будет равномерно сходиться
к s(x).
-
Эти условия сводятся, в основном, к томуf что все
функции f (х), s (х), h (х), h~n> (х) и h~n) (х) должны при-
надлежать L1 (-оо, оо), причем f (х) и s (х) должны .
быть ограниченными и иметь ограниченную перву10 про
изводну10 [19].
Для решения практических задач в качестве после-
довательности функций h(n) (х), вообще говоря, можно
с
брать различные семейства функций, сходящиеся к б (х)
при соответству1ощей нормировке. Например, можно ис
пользовать последовательность
h~n) (х) == (ап у;)- 1 ехр (-х1/а 1п),
где an--+0 при n---+-oo. В этом случае
н<п> (ш)=Кп (ro) _ ехр (-а.
2
пrо2/4)
е
Н (ro)
Н (ro)
и при ап-0 передаточная функция восстанавливающего
фильтра н~п) (ш) стремится к инверсной передаточной
функции 1/Н (ffi), причем с увеличением ro рост 1/Н (ы),
приводящий к неустойчивости решения, замедляется.
При выборе формы суммарных весовых функций h(n) (х)
с
подбором множителей Кп (ш) в подынтегральном выраже-
нии (1.124) часто требуется не только хорошая аппрок-
симация функции 1/ н (ш) функциями н~п) (ш) с увеличе
нием п,, но и такое "сгибание" этой функции, при кото
ром в наиболее тяжелых условиях, когда \rol - mr, пере
даточная функция восстанавливающего фильтра стремится
к нулю (рис. 1,4,б). Это необходимо для того, чтобы не
получить большого усиления помехи. Если последователь-
ность точек перегиба функций н<п) (ro) при этом будет
в
стремиться к ror, то можно достичь высокого качества
восстановления сигнала. Однако если точка перегиба бу
дет нахоДИТЬСЯ далеко ОТ ТОЧКИ Фr, ТО ДаFНОе решение
может оказаться слишком сглаженным. Следует отметить,
что ряд 1+ ~ [1-Н (m)]n, используемый в методе 110-
п
1.6. Борьба с помехами при восстановлении сигналов
Рис.
1.5 .
Передаточные
функции:
а-снстемы приема с иг-
11апа;
б - инверсного восстанавли·
вающего фильтра при огра
ничении усиления;
в - суммарной системы
!lроВснь
шумп
- (J)r -llJф
'\
н
1
о
llJф (J)г
Нв
1--1/H(w}
1 Нв(W}
А
1
о
Нс
1
о
75
(J)
(J)
следовательных приближений (см. § 1.4), сходится к
1/Н (m) при n-oo, как это видно из (1.72). Этот метод
также позволяет построить последовательность переда-
-rочных функций н~п) (ш), име1ощих ограниченное усиление
вблизи граничной частоты системы приема сигнала
(рис-. 1.4,в). Однако здесь функция н<п> (ш) при 1U)1- Фг
в
стремится к конечному значени10, равному (n+1) Н (О).
Это означает: , если в f (х) содержится помеха, то при
числе приближений п она может получить, · как следует
из (1.73), (п+I)-кратное усиление в восстановленном
сиrнал,е.
76
/. Математические основы теории восстановления сигналов
Известны также различные эвристические методы
борьбы с шумами, позволяющие на основе интуитивных
соображений достичь компромисса между помехой и
степеныо «сглаженности» решения [48, 49]. Простейший
из них предусматривает ограничение усиления инверс
ного фильтра в той области частот, где шум преоблада
ет над сигналом (рис. 1.5). Этот метод соответствует
применени10 восстанавлива1ощего фильтра с передаточ-
ной функцией вида (рис. 1.5,6)
·
(
l /Н(ro):
frof ~ ФФ'
Нв(m) = А;
mr ~lrof>ФФ,
О;
lm\ > юr,
(1.125)
где величины ООф и А=l/Н(ооФ) определя1отся уровнем
шума (рис. 1.5,а). Можно показать, что фильтру с пере
даточной функцией (1.125) соответствует норм и р о
ваннаявесоваяфункция [19]
hв(х) Аб (x)-Bq(x),
( 1.126)
где q (х) есть фурье-образ функции А-Нв (х), а кон
станта В рассчитывается из условия нормирования:
общее усиление передаточной функции суммарной систе
мы Нс {<u) не должно превышать единицы (рис. 1.5,в).
Приведем численный пример [49] . Пусть на вход сястемы по
лучения информации поступил сигнал s (х), заданный дискретно
в виде отсчетов, показанных на рис. 1.6,а (для наглядности отсчет
ные значения функций на рис. 1.6 ,а соединены ломаными линиями).
Совокупность дискретных значений сигнала s(x) в точках х= 1,
2, ... , 15 представлена в табл. 1.1 .
Таблица 1.1
х
123456789101112131415
s(x)24241624282812202028204282424
/(х)242220232724181822241814212524
-
s(x)
23182228251618222818924
Пусть вес9вая функция системы h (х) имеет симметричную
«треугольную» форму (рис. 1.6,6): h(O) = 1/2, h(l) =h (-1) = 1/4,
h(2)=h(- 2)=0. Наблюдаемую функцию f(x) ВЫЧИСЛIIМ с помощью
дискретного аналога интеграла свертки s(x) с h(x) для неllуnевых
1.6 . Борьба с по.мехами при восстшювлеиtш сигналов
77
значений h (х):
1
f()С')= ~ h(х'- х)s(х)= ll h(х)s(х'- х);
Х=-1
Х=-1
х'= 1,2, ..., 15.
Ясно, что расчет свертки здесь сводится к суммированию значения
функuии s(x) в данной точке х с весом 1/ 2 и ее значений в двух
соседних точках с весом 1 / 4, например:
/(10) =s(9)/4+s(l0) /2+s(1 I) /4.
Рассчитанные таким образом дискретные значения f (х) приве
дены в табл. 1~ и показаны на рис. 1.6,а. Сравнение f (х) и s (х)
иа рис. 1.6,а позволяет проследить сглаживающее действие системы
приема сигнала с весовой функцией рис. 1.6,б. Передаточная функ-
. uия
этой системы как результат преобразования Фурье от h (х)
равна H(,w)=sin2 ro/w 2.
Первый нуль функuии siп2 ro/ro2 достигается в точке ro=rc,
т. е. при частоте v==ro/2n, равной 1/2. График функuии Н (v)
иллюстрируется рис. 1.6,в в предположении, что гармоники с часто
тами, превышающими l /2, пренебрежимо малы. На рис. 1.6,в по
казана также · передаточная функuия последовательности систем
приема и восстановления сигнала (суммарной системы) Нс (v), тре
буемая для передачи сигнала в полосе частот (-Vф, 'VФ) без иска
жений и ослабления гармоник смеси сигнала и шума вне этой по
лосы. Пороговый уровень передаточной функции, при котором шум
начинает превышать сигнал (уровень шума), выбран равным 0,2.
В этом случае усиление, осуществляемое передаточной функцией
восстанавливающего фильтра Нв (v), согласно (1.125) должно бы~ъ
ограничено величиной А = 5 (рис. 1.6,г).
.
Построим вспомогательную функuию Нвс(rо) = 5-Нв(v)
(рис. 1.6,д) и вычислим ее фурье-образ q(x) (рис. 1.6,е). В точках
х =О, + 1, ± 2 эта функция имеет ненулевые значения, равные 17,
1, -2, соответственно. Для определения весовой функции восста
навливающего фильтра hв (х) по формуле (1.126) остается норми
ровать q(x). Нормировка производится из следующих соображений.
На больших частотах усиление фильтра ограничено значением 5.
Этим значением определена константа А в (1.126). На нулевой
частоте, соответствующей постоянной составляющей сигнала, усиле
ние восстанавливающего фильтра должно быть равно 1 (см. значе
ние Нв (О) на рис. 1.6,г). Следовательно, и свертка hв (х) с постоян
ной составляющей единичной величины должна быть равна 1. За
писывая свертку в дискретной форме и учитывая, что суммирование
имеет смысл только для ненулевых зпаченцй q(x), получаем урав
нение
2
1= ~ 1·hf3(~).
х=-2
78
J. Математические основы теории восt.·тановления сигналов
s,f
ZB
'lO
12
11-
0-----=2~-:-~~б:----1.8~-1i~O~-~[.__---lf'f~--1z
h1
-2
-1
о1z
-~qi -:4.
\
\
\
-%. -~ip-r"
о
Нв
5
1r
1
о
1
1/H{i'Jj
Рис. 1.6. Пример восстанов
.nения сигна.па инверсным
фи.nьтром с ограниченным
уси.пением [49J:
а - входной сигнал s (х) и
наб.пюдаемая функция f(x);
б -- весовая функция систе
мы приема сигнала:
в ~ передаточные функции
системы
приема сигнала
H(v) и суммарной с-нстемы
Нс (v);
а - передаточная функция
восстанавпивающего Фи.nьт-
•• Нв(v);
Учитывая (1.126) для нормированной весовой функции, находим
2
1 = ~ [53 (JC)-Bq (JC)].
(1.127)
1.6 . Борьба с помехами tipu воссtан0влении сигналов
79
д - вспомогате.льная функ
ция Н11 с (v);
t! - фурье-образ Q (х) вспо
могательной функции;
:ж ":""" нормированная весовая
функция восстанав.ливающе
го фильтра;
э - входной ~(х) и восста
новпениый s(x) сигна.лы
Нвс
--_-%.._~ __,,:.__-~.L.,_---OL---L-..L.-~%:---
11
S,6
в
-3
1/
17
o..._..___..___1..-_1..-__JL-__JL____J
_
__JL____J
2
't
б8101211tJ;
Так как здесь б(х) =1 при х=О и б(х) =0 при х+О, уравнение
(1.127) для вычисленных значений q(x) дает оценку величины В й:з
соотношения 1=5-27В. Это позволяет представить hв (х) в виде
h. (х) =бб(х)-4q(х) /27.
(1.128)
80
1. Математические основы теории восстановления сигналов
Расчет по формуле (1.128) приводит к следующим отсчетным зна·
ченням hв(х): hв(О)=2,4; hв(l}=hв(-1)=-l; hв(2), hв(-2}=·
=0,3; hв (3} =hв(-3) =О (рис. 1.6,ж). Восстановленный сигнал вы
числим в виде дискретной свертки f (х) и hв(Х) для ненулевых зна
чений hв (х):
2
s(x) 4 ~ hв(х')f(х- х'); х :::::= 2, з...., 13.
[1 ri..J
~х'=--2
Полученные таким образом дискретные значения s(x) приведены
в табл. 1.1 и показаны на рис. 1.6,з.
Сравнение рис. 1.6,а и 1.6,з показывает, что с помощью рас
смотренного метода действительно удалось получить сиrнм s(x),
более близкий к s(x), чем f (х).
Нетрудно проверить, что максимальное отклонение, среднее
арифметическое значение модуля отклонения и среднее квадратиче
ское отклонение f(x) от s(x) У,авны
maxlf(x)-s(x)I =10; Elf(x) - s(x) 1=3,75;
{E[f (x)-s (х) ) 2} 1/ 2=4,5,
а соответствующие величины отклонений s(х) от s (х) составляют
max 1s(x):-._s (x)~I:= 5; Е 1s(x) - s (х) 1=2,25;
·{Е[/(х) - s (х)]2}
1
12 =~2,5.
Таким образом, «качество» сигнала улучшается в 1,7-2 раза в за
висимости от выбранного критерия близости функций.
Обеспечивая довольно хорошее качество восстановления, рас
смотренный метод одновременно позволяет получить решение, устой
чивое к шумам (в рассмотренном численном примере шум возни
кает вследствие ошибок округления при расчетах).
Когда уровень шума. определяющий величину А, заранее не из
- вестен,
можно составить последовательность весовых функций
h~n) (х) вида (1.126). начиная с некотирой функции h~O) (х), выбран
ной «С запасом» (так, что значение А достаточно мало). Такая после-
довательность будет давать семейство реш~пий "Sn (х), равномерно
сходящееся к s (х), если q (х) Е L1 (- со , сх.) [19].
В заключение отметим, что при использовании рас
смотренных выше общих методов борьбы с помехами
исследователь вынужден сам решать, когда следует
прервать процесс приближения s(х) к s (х), руководст
вуясь теми или иными соображениями о реальном или
шумовом происхождении, возникающих после каждого
нового приближения деталей решения. Такая ситуа
ция допустима, например, в задачах восстановления
различного рода изображений, когда форма объектов
1.7 . Аиалитultеское проfJолжсиие спектра
81
наблюдения известна хотя бы приблизительно. Для
решения этих задач привлекаются оптико-электронные
вычислительные комплексы (ОЭВК), содержащие ЭВМ
и позволяющие работать в режиме диалога человека
с машиной [6]. Человек-оператор, пользуясь своим,
субъективным критерием качества изображений, может,
например, остановить процесс поиска решения на том
приближении) которое обеспечивает качество восстанов
ленного сигнала, достаточное для опознавания объекта,
или, например, вернуться к предыдущему приближению,
когда уровень шумов кажется слишком большим. За
метим, что только знание априорной информации дает
оператору основание заключить, что, например, зер
нистость на фотоснимке не имеет никакого отношения
к снятой сцене и вызвана просто несовершенством фо
топроцесса. Точно так же он знает, что штрих на фото
снимке \Iебосвода отображает звезду, переместившуюся
за время экспозиции, а не принадлежит какому-то до
сих пор неопознанному объекту штриховидной формы.
Однако во многих случаях достаточная априорная
информация о классе восстанавливаемых сигналов от
сутствует. В качестве примера можно указать на задачи,
связанные с компенсацией влияния измерительных при
боров на результаты регистрации заранее неизвестных
процессов в физике, биологии и т. д., или на задачи
восстановления изображений неизвестных объектов
в астрофизике и космических исследованиях. В этих слу
чаях нельзя пользоваться субъективными критериями
качества восстановления и потому необходимы регуляр
ные процедуры поиска устойчивых решений. Повторим,
. что такие процедуры рассматриваются в гл. 2.
1.7 . АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПЕКТРА
Изложение проблемы восстановления сигналов бу
дет неполным, если не затронуть вопрос об «идеальном»
восстановлении сигналов, полученных прибором с ко
нечной полосой пропускания. Ограничение полосы про
пускания, неизбежное в реальных системах, как было
отмечено в § 1.2, приводит к полной утрате высокоча
стотных составляющих сигнала, которые никак не про
qвляются в наблюдаемой функции f (х). Этим объясня-
6-866
S2
1. МатеМатUческие основы teopuu воссtановиния сuгнаАlнj
ются ограниченная четкость изобра>Кений в оптических
приборах, дефекты верности воспроизведения акустиче"
ских сигналов при граммзаписи, конечное разрешение
спектральных линий в спектроскопии и т. д. Считается,
что любой измерительный прибор, полоса пропускания
которого ограничена некоторым интервалом (-mr, wr),
может иметь разрешающую спос-обность, не превышаю
щую вел·ичины порядка n/ror. Иначе говоря, реальный
физический прибор может разрешить два отдельных
единичных импульса только тогда, когда они разнесены
на расстояние большее, чем l /2vr, где vr=mr/2n. В про
тивном случае оба импульса сливаются в один на вы
ходе прибора.
В связи с этим вопрос о возможности увеличения
разрешающей способности вышеуказанного предела при
помощи ап-остериорной обработки выходного сигнала
имеет первостепенное значение в физике и технике.
В § 1.2 было показано, что ограничение полосы ча
стот системы в конечном счете порождает неединствен
ность решения - особенность, присущую некорректно
поставленным задачам. По аналогии с приведенными
ранее общими ·соображениями о возможных путях борь
бы с неустойчивостью решения (друга.Я особенность не
корректных задач) можно предположить, что единствен
ное «правильное» решение можно отобрать из всех
возможных решений на ос.нове использования допол
нительной априорной информации о сигнале.
Оказывается, что в качестве такой информации мо
гут слу>Кить данные о конечной протя>Кенности (дли
тельности) входного сигнала, т. е. информация о томt
что функция s (') определена на конечном интервале,
например, (-а, а), а вне этого интервала s (') тождест
венно равна нулю. Это означает, что множество входных
сигналов ограничено классом финитных функций, точ
нее функций, финитных в интервале (-а, а) [3].
Пусть функция s (s) финитна в интервале (-а, а).
Если она кусочно-непрерывна и интегрируема в проме
жутке от -а до а (т. е. s(~)EL1[-a, а]), то ее спектр
является аналитической функцией. Это видно из теоре
мы Винера- Пэли, согласно которой фурье-образ фи
нитной функции s (s) может быть продол>Кен на всю
комплексную плоскость p=m+jo как цепая функция
1.7. Аналитическое продолжение спектра
83
S(p) конечной степени [51]. Напомним, что целой функ
цией называется ана.11итическая функuия комплексного
переменного, представимая сходяшимся всюду степен
ным рядом (в данном случае конечной степени) и, сле
довательно, не имеющая особенностей ни в какой огра
ниченной области комплексной плоскости.
Таким образом, фурье-образ финитной функции,
известный в некоторой области, может быть экстрапо
лирован на всю комплексную плоскость. Отсюда сле
дует, что знание спектра сигнала внутри некоторого
интервала частот, в частности внутри полосы пропуска
ния прибора, можнQ использовать для определения зна
чений спектра за пределами полосы пропускания. Един
ственность аналитического продолжения и, как следст
вие, возможность получения единственного решения
основного интегрального уравнения вытекает из того,
что две любь~е функции комплексной переменной, зна
чения которых совпадают в произвольно малой области
аналитичности, должны быть идентичными [58] .
Все это говорит о том, что если некоторый кусочно
непрерывный сигнал финитен, то его спектр «гладкий»
и потому при абсолютно точных измерениях может быть
единственным образом экстраполирован сколь угодно
далеко за пределы полосы пропускания прибора. В ре
зультате появляется возмо>кность (по крайней мере тео
ретическая) достижения сколь угодно большой разре
шающей способности.
Теорема Винера - Пэли по существу показывает
природу производных от фурье-образа S (ro) финитной
функции: как целая функция S (ro) должна иметь конеч
ные значения производных в любой точке, например
в точке ro-0. Это подсказывает простейший путь вы
полнения аналитического продолжения спектра - раз
ложение S (ro) в ряд Маклорена
S (ro) =S(О) +,roS'(О) +ro2S"(О) /2+ ...,
(1.129)
которое в данн~м случае существует для всех значе
ний ro, в том числе и ле>кащих вне полосы пропускания
прибора.
Теоретически мы мо>кем легко вычислить значения
S(O), S'(O), S"(O) и т. д. в разложении (1.129), исполь
зуя формулу s (ffi) =F(ro) / н (ro); 1(1)1 < оо, ПОЗ·ВОЛЯющую
5•
84
1. Математичес1Сие основы теории восстановления с u?.налов
найти решение уравнения типа свертки (если решение
существует), затем подставить полученные значения
в (1.129) и, выполнив обратное преобразование от S(ro),
получить «идеальный» восстановленный сигнал. Однако
понятно, что ошибки измерения F (О) и Н (О) на прак
тике будут приводить к потере точности вычисления про
изводной S<nJ (О) с ростом п. Вследствие некорректно
сти задачи такое решение будет неустойчивым, если не
принять специальных мер, таких, как ограничение числа
членов в разложении ( 1.129), введение в это разложе
ние весовых коэффициентов и т. д. Возникающая ситуа
ция не отличается от рассмотренной ранее при анализе
общих путей борьбы с помехами.
Известные методы аналитического продолжения
спектра основаны на разложении анализируемых функ
ций в различные функциональные ряды [53-55]. Наи
более удобным оказывается разложение по системе
сфероидальных волновых функций (СВФ), которые
упоминались в § 1.3. Замечательным свойством СВФ
является двойная ортогональность: они образуют орто
нормальную систему, полную в подпространстве функций
с финитным спектром из L2 (-оо, оо), и одновремен
но - ортогональную систему, полную в L2(- a, а). Это
свойст6о позволяет сущестsенно упростить процесс ана
литического продолжения.
Рассмотрим процедуру применения СВФ для вос
становления с аналитическим продолжением спектра
при решении уравнений типа свертки [55].
Задача состоит в решЕ::нии уравнения
00
f.s ~) h (х--е) cte 'f (х)
-:ю
при условии, что сигнал s(6)=0 при J6f >a. а фурье-об
раз весовой функции Н (ro) ==0 пр и 1ro 1> ffiг. Так ка к
сигнал финитен, его фурье-образ S (ro) является функ
цией с финитным спектром. Разло:>ким S (ro) по системе
СВФ Ч'i(ro):
00
S (ro) ~ ~ aitll (ю).
i=O
(1.130)
1.7. Аналитическое продолжение спектра
85
где
В силу двойной ортогональности системы СВФ раз
ложение ( 1.130) существует для всех значений ro (от
-оо до оо), хотя коЭффициенты a i вычисляются по зна
чениям S (ro) на конечном интервале (-ffiг, rог),
а вследствие полноты системы СВФ в множестве функ
ций с финитным спектром ряд (1.130) сходится к S(ffi).
Таким образом, формула ( 1.130) представляет аналити
чески продолженный спектр сигнала.
Восстановленный сигнал s (х) вычислим как ре
зультат преобразования Фурье от S(ro). Получим
00
s (х) === ~ a1g; (х),
(1.131)
•=о
где
00
gl (х) == sчri (о>) ехр (-jxro) dm.
(1.132)
-00
Для нахождения gi (х) используем свойство инвариант
ности СВФ к - преобразованию Фурье на конечном ин
тервале [ 15]
а
i'(~г1·
12
чr, (ш)= ;" sчr, с:г) ехр (jю~ dt. (1.133)
Подставляя выражение для 'l'i(ffi) из (1.133) в (1.132),
находим
J'(~)1/2g,(х) =
=--k JrJ чr, ( ~:г )ехр (j~ dt] ехр (-/хю) dю =
= i" lW1 (~:г) {]ехр [/ш(Е-х)) dш} dE =
86
1. Математические основы теории восстановления сиzналов
1
= 21t
-а
Используя «фильтрующее» свойство <S-функции, из
последнего выражения получаем
(1.134)
Восстановленный сигнал находим, подстав11яя (1.134)
в (1.131):
s(x)={
00
(2'1r.юг/а)112 ~ alj- 11;-l/2
\Jfi (Хюгfа); rxJ ~(l,
i=O
О;
JxJ >а.
(1.135)
При точных измерениях и бесконечном числе чле
нов ряда формула (1.135) определяет восстановленный
сигнал с неограничено высокой разрешающей способ
ностью. Однако если учесть, что «энергия» шумов влияет
на качество восстановления обратно пропорционально
величине 'Лi, как это было показано в§ 1.3 (см . (1.65)),
а собственные значения 'Ai у СБФ (см. рис. 1.2) резко
стремятся к нулю, на чина я с некоторого индекса iкр, то
становится понятным наличие практического предела
числа N используемых членов разложения и, с.т.iедова
тельно, предела разрешающей способности.
Предел разрешающей способности можно ориенти
ровочно оценить из .следующих соображений. Для того
чтобы ограничить влияние шумов, произведем усечение
ряда в (1.135), принимая во внимание лишь N членов
ряда, где -N-iRP· Тогда, согласно ( 1.61),
·N =2aror/ 1t=4a-vг.
( 1.136)
Из общих свойств СБФ следует, что любая коорди
натная функция 'I'i ряда в (1.135) точно i раз обра
щается в нуль на интервале (-а, а) [ 15]. Это позво
ляет принять за численную меру разрешения, достигае-
1.7. Аналитическое продолжениЕ спl!ктра
87
маго при сохранении N членов разложения, среднее рас"
стояние р между нулевыми значениями последней ко
ординатной функции '1'н усеченного ряда на рассматри
ваемом интервале:
_
р 2а/ (N+ 1).
(1.137)
11одставляя (1.136) в (1.137) и учитывая, что 4avr» 1,
получаем величину разрешения порядка p=l / 2vr, со
впадающую с обычной оценкой разрешающей ·способно
сти реального прибора, имеющего полосу пропуска
ния 2vr.
Тем не менее, принципиальная возможность увели
чения разрешающей способности вышеуказанного пре
дела за счет аналитического продолжения спектра при
восстановлении сигнала сохраняется. Приведенная оцен
ка разрешающей способности фактически является оцен
кой снизу. Борьба с помехами предполагалась простым
усечением ряда на координатной функции с индексом
i}(p. Если же при вычислении коэффициентов ai в раз
ложении (1.135) будет использована информация об
отношении сигнал/помеха ·В направлении каждой ко
ординатной функции 'l'i, число членов разложения мо
жет быть увеличено и дости:>кимый предел разрешаю
щей сп~собности повышен. Конкретная процедура вос
становления сигнала с аналитическим продолжением
спектра, использующая информацию об отношении сиг
нал/помеха, рассмотрена в [56].
2
РЕГУЛЯРИЗАЦИ·Я
РЕШЕНИЯ
ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ
СИГНАЛОВ
2.1. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А. Н. ТИХОНОВА
В гл. 1 было показано, что вследствие некоррект
ности задачи восстановления сигналов нельзя получить
точное решение основного интегрального уравнения,
уст.ойчивое к малым изменениям исходных данных. При
ближенное устойчивое решение можно найти, ограничи
вая тем или иным .способом полосу частот сигнала и от
бирая какое-то одно приемлемое решение из всех воз
можных. Однако при произвольном выборе способа
получения приближенного решения очень легко исказить
результат.
Стремление избавиться от произвольных факторов
и определить общие методы решения некорректно по
ставленных задач привело к разработке новых подходов
к их решению [57-64]. Фундаментальное значенйе для
новых подходов имеют понятия регуляризации решения
и регуляризирующего оператора, ~введенные А. l:f. Тихо
новым [65].
Под регуляризацией решения по Тихонову пони
мается построение семейства обратных операторов, за
висящего от некоторого числового параметра а, назы
ваемого параметром регуляризации. Каждый оператор
семейст·ва дает решение корректной задачи, причем при
согласованном стремлении к нулю параметра а и ошиб
ки исходных данных решение корре~тной з адачи стре
мится к истинному решению соответствующей некоррект
ной задачи.
Иначе говоря, ecJJИ в некорректной задаче аеs === f
вместо точной правой части fт мы имеем элемент f1 EF,
для которого рF U'т, f1) ~ у, то элемент s
1
ЕS по Тихо-
.
2.1. Метод регуляризации А. Н. Тихонова
89
нову можно определить с помощью оператора, зависящего
от параметра а, значения которого аадо брать согласо
ванными с погрешностью у исходных данных f1
•
Эта са-
гJtасованность должна быть такой, чтобы при приближе
нии правой части f1 к точному значению fт' т. е. пр~
r- О, приближенное решен~.и.е s
1
стремилось бы к иско
мому точному решению Sт · (в метрике пространства S).
Оператор Pll(f, а), зависящий от параметра а, на
зывается регуляризирующим для ура~нения d&s-f, если
он обладает следующими свойствами:
1) оператор определен для всякого а>О. и любого
fe.F и непрерывен по f;
2) существует такая функция от у, а= а (у), и для
любого е >О существует такое число у (в), что если
Рр(fт, f1)<.y(e), то Ps(sт• s")~e, где s"=.1l(f1, а(у)).
Задача получения приближенного решения уравне
ния d&s f, устойчивого к малым изме:нениям правой
ча.сти, в методе регуляризации А. Н. Тихонова сводится,
во-первых, к нахождению регуляризирующих операто
ров и, во-вторых, к определению параметра регуляри
зации а по дополнительной информации о задаче.
Главной особенностью метода регуляризации
А, Н. Тихонова, отличающей его от других общих ме
тодов решения некорректно поставленных задач (59, 60,
62], является его применимость в ситуации, когда класс
S возможных решений уравнения d&s=f не является
компактом. Эта ситуация как раз характерна для задач
восстановления сигналов, в которых обратный оператор
основного интегрального уравнения заведомо не являет
ся непрерывным.
Способ построения регуляризирующих операторов
в методе А. Н. Тихонова основан на вариационном прин
ципе и состоит в следующем (66]. Пусть Q(s] -неко
торый неотрицательный функционал, определенный на
подмножестве S1 множества S и такой, что для всЯкого
числа с>О множество S 1,c элементов s из S 1, для кото
рых Q [ s]~с, является компактом на S1. Функционалы
g [ s], обладающие такими свойствами, называются ста
билизирующими функционалами. Вполне понятно, что
~~1бор функционала Q [ s1 неоднозначеtJ.
90
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
Пусть далее известно, что sт Е S1 и уклонение пра
вой части f1 от точного значения fт не превосходит у,
т. е. Рр (:1-ts, f
1
) ~у. Тогда приближенное решение естест
венно искать в классе S 1 элементов s, для которых
Рр (P/ts, f1) <.у. Но класс S 1 возможных решений слишком
широкий. Его надо сузить, используя какой-то принцип
отбора возможных решений, обеспечивающий получение
в качестве приближенного решения такого элемента
(или элементов) из S 1
,
который непрерывно зависел бы
от у. В качестве такого принципа и берется вариацион
ный принц~п.
G целью сужения класса возможных решений рас
сматриваются только такие элементы мно:>кества S1
,
на
которых определен заданный функционал Q [s], т. е. рас
сматриваются лишь элементы, принадлежащие мнржеству
S2 =S
1
П S 1 • Среди элементов этого множества находят
такой (такие), который минимизирует функционал Q [ s].
Нахождение такого элемента - задача на условный
экстремум. Решение ее методом неопределенных мно
:>кителей Лагран:>ка сводится к поиску минимума функ
ционала
(2.1)
u
где числовои параметр а определяется ич условия
Рр (:1-esa.,
f1) =у, в котором sa. -
элемент, на котором
функционал (2.1) достигает минимума.
Элемент sа. можно рассматривать как результат пр.u
менения к правой части f 1 исходного уравнения некото-
рого оператора .1l, зависящего от параметра а, т. е.
sa.= .1l(f1
,
а). Доказано [1], что оператор .1l(f, а) яв-
ляется регуляризирующим и, следовательно, в качестве
приближенного решения уравнения йts = f с правой ча
стью f =f
1
можно взять элемент sa. = .1l (f1
,
а).
Таким образом, в качестве приближенного решения
исходной задачи берется решение другой задачи (за
дачи на минимум функционала ма. [f, s]), блiiзкой к ис-
ХОД'fiОЙ при малых значен1Щх погрешности за~ани~ прf}ВОЙ
2.1. Метод регуляризации А. Н. Тихонова
91
части f1• В то время как исходная задача не обладает
устойчивостью к малым изменениям "входных данных" f,
задача минимизации.:..функционала ма. [/' s] обладает этим
свойством. Устойчивость достигнута сужением класса
возможных решений с помощью введения в рассмотре
ние функционала Q [ s], играющего стабилизирующую
роль. Поэтому функционалы Q [ s] называют стабилиза
торами задачи.
В случае, когда S --- множество функций s (s), не-_
прерывных на конечном отрезке [а, Ь], а F1 - множест
во функций, имеющих обобщенные производные до р-го
порядка и интегрируемых с квадратом, в качестве ста
билизатора можно взять
ьр
Q [sJ = SЕ qn ~) (:~)'а~.
а n=O
(2.2)
где Qп (s) - заданные неотрицательные функции.
Функционалы вида (2.2) называются стабилизато
рами р-го порядка. Функционалы этого вида по сущест
ву характеризуют «гладкость» функции s. Следователь
но, используя их при поиске минимума выражения (2.1),
мы стремимся выбрать из множества функций s, удо
влетворяющих условию PF (dбs,f1) ~у, некоторую «са-
мую гладкую» функцию sa. (во всяком случае более
гладкую, чем решение без регуляризации). Различным
критериям гладкости, позволяющим сравнивать функ
ции s рассматриваемого множества, отвечают различ
ные функционалы (2.2), образуемые при различных р.
Степень «сглаживания» решения регулируется парамет
ром а.
Перейдем теперь к применению метода регуляри
зации для решения основного интегрального уравнения
вида (1.14):
ь
Sh(х, е)s(~)d~=f(х); с~x~d,
а
92
2. Регуляризация р~шения npu ~осстановлении сигналов
полагая, что восстанавливаемый сигнал непрерывен на
[а, Ь], а f (х) EL2[с, d]. Воспользуемся для простоты
выкладок стабилизатором 1-го порядка
fь
Q[s) ':J[q.ros1 ~)+q1 ~( :~ )'J d~.
Q
Тогда регуляризованное решение s(6) должно миними
зировать функционал
dь
z
Ma[f, s)= JUh(x, e)s(e)de-f(x)] dx+
ь
+а f(q.~)s•ro:+q,~) ( :~ )1Jde.
(2.3)
а
Условием минимума функционала (2.3) является равен
ство нулю его первой вариации (уравнение Эйлера):
ь
J(-а{ dd~ [q,'~) ~ ]-q.rosro}+
-+jli~. t)s(t)dt-ero)1.~)d~-taq1 ~) ~ иrо :=О.
(2.4)
Здесь и(~) - произвольная вариация функции s (~),
такая, что сумма s(~) +и(~) принадлежит классу допу
стимых функций, а функции 1i (6, t) и g (6) определя
ются выражениями
d
h(е, t)= ~h(а, e)h(а, t)da;
с
d
g(~)= sh(а, е)f(а)do.
с
2.1. Ме1·од регуляризации А . Н. Тихонова
93
Условие (2.4) выполняется, если
ь
Jd[ ds]
'с-
-
а)df q1~)df" - q0(~)S(~)f+Jh(~,t)S(t)dt g(~)
а
и
(2.5)
ds
lь
ql (е)-щ- и (е) а=0.
(2.6)
Так, если известны значения искомого решения s (6)
уравнения (1.14) на обоих концах отрезка [а, Ь], то до
пустимыми функциями при нахождении минимума функ
ционала (2.3) можно брать лишь такие s (6) из мно
жества функций, интегрируемых с квадратом и имею
.щих обобщенную первую производную, которые
принимают- заданные значения в точках а и Ь. В этом
случае функции и (6) должны обращаться в нуль при
6=а и s=b и условие (2.6) будет выполнено.
Таким образом, задача определения регуляризован
ного решения sa. (6) ·В рассматриваемом случае сво-
дится к нахождению решения интегродифференциально
го ура·внения (2.5) с краевыми условиями s(a) =St,
s (Ь) ==S2, где St и s2- известные числа. Если значения
искомого решения s (6) на концах отрезка неизвестны,
тогда условию (2.6) можно удовлетворить, полагая
s'(a)=s'(b)=O. Возможны и другие краевые условия,
которым удовлетворяет решение уравнения (2.5).
Если при решении уравнения (1.14) пользоваться
стабилизаторами р-го порядка, то уравнение Эйлера
для функционала будет иметь вид [66]
ь
[
dns ] J,..,
q11(е) d~n + h(е, t)s(t)dt= g (Е).
(2.7)
Уравнения вида (2.5) и (2.7) с заданными краевы
ми условиями решаются численно на ЭВМ. При числен
ном решении эти уравнения заменяются их конечно-раз
ностной аппроксимацией на заданной сетке. Если брать
94
2. Регу.ляризация решения при Sосстановлении сигналов
равномерную сетку с шагом Л·s, то уравнение (2.5), на
пример, заменяется системой конечно-разностных урав·
нений вида
~- д~2 {q1. «-18к-1 + q•. кs1•+• - (qt, ?& + q•• ~-•> s"-
м
-д~2q0."s1J +ле IJ h«msni = gк; К== 1, 2, ... , М- 1.
m=O
(2.8)
Здесь q1 .«=q1 ~J; q0.к=q0 (r.J; s«=s(~"); gк==g(e,J, при-
-
чем ~" = кд~ +а; ем= Ь; h"· т- коэффициенты квадратур-
ной формулы, с помощью которой интеграл в уравнении
(2.5) заменяется интегральной суммой (обычно это про
сто отсчеты функции n(s, t.) в опорных точках, взятые
с весами, зависящими от вида используемой квадратур
ной формулы).
При использовании матричной формы записи урав
нений (см. § 1.5) регуляризованное решение удается
получить в явном виде. Если в качестве квадратурной
формулы для интеграла в основном уравнении (1.14)
применяется правило трапеций, а производная ds / ds
аппроксимируется с помощью первой конечной разно
сти по формуле ds /ds:::::-.::Л1s (6) / Лs== [s (sя+1)-s (sн)] / Лs
и используются стабилизаторы 1-го порядка (р== 1) с по
стоянными коэффициентами qo (6) =Qo=const, Q1 (s) =
=q1-const, то функционал (2.3) можно записать в сле
дующем виде:
М« (f, s) == дх_(Нs - f)т (Hs - f) +аsт (q1L·2./ л~+
_
+ q0дeI) s,
(2.9)
где f и s - векторы, полученные дискретизацией наблю
даемой функции f (х) и восстанавливаемого сигнала
s (s) на сетках с шагом Лх и Лs соответственно; Н -
матрица отсчетов hтп весовой функции h (х, 6) 'В опор
ных точках (для уравнения типа свертки Н - теплицева
матрица); 1 - единичная матрица; 0 21- ленточная
квадратная матрица, элементы которой определяются
так, что квадратичная форма sтD21s /Л6 является конеч-
2.1. Метод регуляризации А . Н. Тихонова
95
но-разностным аналогом интеграла от квадрата первой
производной ds/ds. Так как л1s(~)==s (Е«+.>-s~к), то
матрица D21 может быть представлена в виде произве
дения D21=D1Dт1, где матрица 0 1 представляет опера
тор вычисления первой конечной разности. Иначе го
воря,
1о
ооо
-1
l
ооо
о-1
1оо
Г·1=
.
оо-11о
'
оо
о-1 1
-
1-1
о
оо
-12-1
оо
02-
о-1
2-1о
1-
оо-1
2-1
оо
о-12
~
•
•
Для того чтобы найти вектор s°', минимизирующий
функционал (2.9), вычислим градиент этого функциона
ла по s, пользуясь следующими формула-ми векторного
дифференцирования [45]:
дт
д
т
дх (х Ах)= 2Ах; дх (Вх) ==В ;
дт2
дх(хх)=х
и приравняем градиент нулю. Полагая
Л.ю~·s= 1, получаем уравнение
2(Hs-f) нт+2a(q1D21+q01)s=0,
(2.10)
для простоты
из которого находим регуляризованное решение в явном
виде:
(2.11)
96
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
Это решение отвечает случаю применения тихонов
ских стабилизаторов 1-го порядка. В более общем слу
чае регуляризованное решение уравнения ( 1.113) Hs +
+v=f, где v - вектор шума, можно найти, исходя из
следующих соображений. Будем оценивать степень глад
кости решения произвольной квадратичной формой
sTQs, где Q - некоторая квадратная матрица, такая,
что, чем меньше величина sTQs, тем более гладкой
является функция s (s), совокупность отсчетов которой
составляет вектор решения s. Из всего множества ре
шений ура·внения ( 1.113) будем выбирать наиболее
гладкое решение, оставляя при этом ограниченной ве:
личину vтv, характеризующую дисперсию шума. Это
типичная вариационная задача с ограничением: найти
минимум функционала M 1=sTQs при ограничении ~=
vтv=const. Решив эту зада чу методом Лагранжа,
найдем минимум функционала М-'М1 +ЛМ2, где ,л, -
множитель Лагранжа. Составив выражение для гради
ента М, используv: формулы дифференцирования (2.10)
и учитывая, что согласно (1.113) v=Hs-f, получим
уравнение
2Qs-2'Л(f-Hs) нт=о,
решение которого будет
s« == (Нтн~+аQ)- 1 Нтf,
(2.12)
где а=l/Л.
Такое решение иногда называют решением по мето
ду обусловленных наименьших квадратов (68]. Вполне
понятно, что различным матрицам Q отвечают различ
ные стабилизаторы соответствующей непрерывной зада
чи. Например, при Q.=q1D21+Qol из (2.12) получаем ре
шение (2.11) с тихоновскими стабилизаторами 1-го
порядка. Другим примером может служить метод Фил
липса [61, 69), в котором критерием гладкости решения
является норма второй производной функции s(s), т. е.
стабилизатором служит функционал
ь
g [s] = S(:~:)' de,
Q
получаемый из (2.2) при р=2, qo(~)=q1(~)=0, q2(~)=l.
2.1 . Метод регуляризации А. Н. Тихонова
97
Матрица Q, соответствующая этому функционалу, мо
жет быть выражена в виде произведения Q=D2Dт2, где
матрица D2 представляет собой оператор вычисления
второй конечной разности по формуле Л2s(~)==s(sк+1)-
- 2s (s,) +s (sк_1). Таким образом,
-
1оооо
-2
1ооо
[\==
1-2
1оо
о1-21о
оо1-21
1-21оо•
n
5-41о
-~
Q=
1-46-41
о 1-46-4
оо1-46
Аналогично можно показать, что если в качестве стаби-
лизатора взять норму третьей производной, то матрица
Q=РзDтз имеет вид [69]
-
1-33-1
о
о
оо
-310-126
-1
о
оо
Q===
3-1219-15 6-1
оо
-1
6-1520-156-1 о
о-1 6
-15 20-156-1
Из (2.12) легко видеть, как влияет параметр ·а на
решение. При а=О получаем оценку вектора восстанов
ленного сигнала по методу наименьших квадратов
(1.93), которая для квадратной матрицы Н ~овпадает
с оценкой (1.88) по методу инверсной фильтрации: so=
=H-1f. Но такое решение, как было показано в § 1.5,
неустойчиво к малым изменениям вектора f. При уве
личении а второй член в квадратных скобках правой
части (2.12) начина~т сгла?!{ивать решен11е s9, дела~ его
7-~<26
98
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
устойчивым к ошибкам наблюдаемой функции. Однако
при больших значениях а решение может оказать·ся
слишком сглаженным. При а=оо, например, мы полу
чим решение в виде функции, тождественно равной
нулю.
В целом выбор величины а зависит от формы сиг
нала, подлежащего восстановлению, и от уровня шума
в наблюдаемой функции. Известны различные способы
определения параметра регуляризации а. Все они зави
сят от той информации, катар ая имеется относительно
приближенных исходных данных. Во многих случаях из
вестно число у, характеризующее неточность исходных
данных, и задача состоит в том, чтобы найти отвечаю
щее ему значение ·а из множества допустимых значе
ний, т. е. таких, для которых оператор !ll(f, a(v))
является ·регуляризирующим. Тогда параметр регуляриза
ции можно определять по «невязке», т. е. из соотноше
ния Рр (:JCsa, f
1
) ==у. Часто это делается методом проб
и ошибqк. В зависимости от дополнительной априорной
информации, которая имеется относительно правой ча
сти исходного уравнения, воз.можны и другие способы
выбора параметра а. Например, если мы знаем прибли
женное значение е функционала Q[s], характеризующе
го степень гладкости восстанавливаемого сигнала или
меру его ограниченности (формула (2.2) при р=О), то
хорошей оценкой а служит величина, обратная е [2].
Эффективность того или иного способа определения ве
личины а обычно устанавливается с помощью вычисли
тельного эксперимента.
Метод регуляризации А. Н. Тихонова хорошо заре
комендовал себя при решении самых разных некоррект
ных задач, в том числе и задач восстановления сиг
налов.
На рис. 2.1 показан пример применения этого метода при вос
становлении импульсного сигнала прямоугольной формы с исполь
зованием тихоновских стабилиз аторов 1-го порядка [67]. Модели
ровалось прохождение входного сигнала в виде прямоугольного
импульсз единичной амплитуды через линейлую систему с весовой
функцией h(x, ~)=r[sin (х-~)/п(х-~)]2. Дискретизация функций
производилась на сетке с шагом .Лх=Л~= 1. Помеха вводилась
квантованием отсчетов наблюдаемой функции f (х) на 32 уровня
с шумом, имеющим равномерное р аспределение. Как видно из
рис. 2.1,а восстановленный сигнал sa, (х) при а=О, т. е . б ез регул~-
'i
-
••
•
,.
-
•
•
2.1 . Метод регуляризации А. Н. Тихонова
99
f,s
z
Sd,(:C)
1
f(:C)
f,s
c:L=10-5
1,0
S{:C)
0,5
f(:C)
\ Sc1.,(;c)
'
о
-10 -5
о
5
10
f,s
d ==10-J
1,0
Рис. 2.1. Пpиl'ttep восстанов-
ления импульсного сиr нала
0,5
пряl'ttоугольной формы l'tteтo-
дol'tt регуляризации А. Н. Ти-
хонова при различ ных а [67]:
входной сигнал s(x), наблю-
о
дael'ttaЯ функция f(x ), вое-
становленный сигн ал -"а. (х)
.. .10 -5
о
5
10
:х
7*
100
2. Регуляризация решения hри восстановлении сигналов
ризации, вследствие неустойчивости задачи не имеет ничего общего
с истинным входным сигналом, хотя значение а=О теоретически
должно соответствовать точному восстановлению. Приближенные ре
шения sa. (х), полученные по формуле (2.9) при a=I0-5 и a=I0-3
,
близки по форме к истинному сигналу, несмотря на то, что на неко
торых участках оси абсцисс они имеют всплески (боковые лепестки),
фактически не содержащиеся во входном сигнале. В этом примере
выявилась слабая зависимость точности приближения регуляризо
ванных решений к истинному сигналу от параметра а, когда ве
личина а изменялась от 10-2 до 10-в.
В заключение подчеркнем, что .метод регуляризации
А. Н. Тихонова требует минимум априорной информа
ции о задаче. Практически используется лишь инфор
мация о характере гладкости решения и о том, что вос
станавливаемый сигнал задан на отрезке [а, Ь]. До
полнительная информация, если она имеется, исполь
зует.ся для определения конкретного значения парамет
ров регуляризации .
2.2 . РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ
При использовании метода регуляризации А. Н. Ти
хонова в общем случае требуется решать сложное ин
тегродифференциальное уравнение вида (2. 7) . Этого
можно избежать в задаче восстановления сигналов,
искаженных однородной линейной системой. В такой
задаче исходное уравнение приводится к уравнению ти
па свертки ( 1.17)
OQ
Sh(х-е)s(е)d~=f(х); -СХ)<х<оо,
-оо
которое решается с помощью преобразования Фурье по
формуле ( 1.27):
00
s (е) = 2~ Ji ~=~ ехр (jЕ,п) dro.
-00
Как было показано в § 1.6, для того, чтобы это ре
шение обладал·о 1свойством устойчивости, подынтеграль
ное выражение формулы (1.27) следует умножить на
некоторую функцию К (ы), достаточно быстро уб~1ваю-
2.2. Регуляризация решения уравнения тиtiа свертки
tOt
щую при увеличении ffi, такую, чтобы интеграл в правой
части (1.27) не расходился при l(J)l~oo. Естест
венно определить эту функцию сагласно § 2.1 так, что
бы она зависела от параметра а и записать ее в виде
К (ffi, а). Решение sa (е), полученное по формуле ( 1.27)
после умножения подынтеграJiьного выражения на
K(ffi, а), можно рассматривать как результат примене
ния к правой части уравнения (1.17) некоторого опера
тора PllR (f, а):
00
_~ 1 {' F(ей)
•
Як(f, а)="2nJ JН(ей) К(ш, а)ехрQ~ю)dш.
-00
Этот оператор является регуляризирующим, если
действительная функция К (ffi, а) удовлетворяет сле-
дующим условиям [70]:
.-"-
1) K(ffi, а) определена в области -oo<(J)<oo, а~О;
2) для всех значений а~О и (J) имеем О~ ((1), a)~l,
К (·ffi, О) == 1;
3) для .всякого а>О К (ffi, а) - четная функция по ffi,
принадлежащая L2 (-оо, оо);
4) для всякого а>О K({i), а)~о при f<Ul~oo;
5) при а~о К (ffi, а) не убывая стремится к еди-
нице;
6) для всякого ·а>О K(ffi, a)/H(ro)EL2(-oo, оо);
7) для всякого ffi=# .О К (ffi, а)~о при а~оо.
Функция K(ro, а), удовлетворяющая этим условиям,
называется стабилизирующим множителем.
Сущесmуют различные семейства регуляризирую
щих операторов РЛR (f, а)) отвечающие различным типам
стабилизирующих множителей K(ffi, а). Цель рассмо
трения различных семейств операторов - для каждого
конкретного класса задач выбрать наилучший оператор,
например такой, который минимизирует уклонение регу
ляризованного решения от точного или который наибо
лее соответствует физическому смыслу задачи и удоб
нее при машинной реализации.
Как следует из общих соображений о мерах борьбы
с помехами, изложенных в § 1.6, при выборе стабилизи
рующих множителей в зада чах восстановления сигналов
:желательно обеспечить такое «сгибание» инверсной пе-
102
2. Регуляризация решения при восстаkов.itении сигнала~
редаточной функции 1/H(ro), соответствующей точному
решению ( 1.17), при котором передаточная функция
восстанавливающего фильтра н; (ro)-K({t), a)/H(ro)
стремится к нулю при приближении Jro 1 к граничной
частоте •ffir (см. рис. 1.4,б). Этому отвечает стабилизи
рующий множитель вида
-
1H(ro)12
К(ro, а)- 1Н (ro) 12+o.Q(ro) '
(2.13)
которому соответствует следующая передаточттая функ
ция восстанавливающего фильтра:
а.
Н* (ro)
Нв(ro)==/Н(ro)12+aQ(ro) .
(2.14)
Здесь 1Н (w) f2=H( ro) Н* (ro) - спектральная плотность
мощ.ности ~Весовой .функции системы h(x) (Н* (ro) -
комплексно - сопряженная величина по отношению
к Н (w)), а Q (ffi) - заданная неотрицательная четная
функция, кусочно-непрерывная на любом конечном от
резке оси частот, причем
а) Q(ro)>О при ro=#=О и Q(О)~О;
б) при достаточ.но больших f·ro J Q ('ffi)~C>O;
в) для всякого а>О передаточная функция восста
навливающего фильтра (2.14) принадлежит L2(-oo, с..... ).
Можно показать, что регуляризованное решение,
определяемое по формуле
00
1.\
Н* (ro)
•
sц (~)===2; JIн(ro) 12+aQ(ro) F(ro)ехрQеш)dш, (2.15)
-оо
мин1:1мизирует выражение
м~ [f, s]=1fl h(x-~) s~) d~-f (x)J dx+aQ[s]
со стабилизирующим функционалом
00 00
Q[s] = JJq(х- ~) s(~) s(х)dxd~,
(2.16)
-00-00
где ij(x) -фурье-образ функции Q(ro).
2.2 . Регуляризация решения уравнения типа свертки
103
Используя равенство Планшереля и теорему о сверт
ке, этот функционал можно представить в виде
00
Q[s] = IQ(ш)Rs(m)dm),
(2.17)
-оо
где Rs (ro) = JS (ы) 12 - спектральная плотность мощно
сти восстанавливаемого сигнала s (6). Полагая
где qn - заданные неотрицательные константы и qp> О,
по формуле (2.17), используя (1.79), можно определить
стабилизаторы р-го порядка,; аналогичные стабилиза
торам (2.2) с постоянными коэффициентами.
Часто удобно пользоваться простейшими стабилиза
торами, которые получим, полагая _Q (ы) =ы2r, где r-
произвольное положительное число. Если r - нецелое
число, то стабилизатор (2.16) будет содержать функ
цию, которую, согласно (1.79). можно ·рассматривать
как производную «нецелого порядка». В дальнейшем
будем рассматривать только простейшие стабилизаторы
с ~елыми r.
После выбора Q(<й) значение параметра регуляри
зации а можно находить по «невязке». Если уклонение
правой части f (х) оценивать :в метрике L2, то квадрат
расстояния между функциями f cr; и f (невязка) будет
вычисляться по формуле
00
Pr.. (P/ts«, f) = S(Жs« - f] 2 dx===
1
= 27t
-оо
00
f1н (ro) sa. ('D) - F (m) 12dm :::=: ф (а).
-оо
(2.18)
Для обоснования способа нахождения а по «невязке»
достаточно доказать монотонность возрастания функции
Ф (а) с ростом а, учитывая равенство inf pF (2/tsa., /) =0,
.
.
~
.
104
2. Регуляризация решения при восстановлении сшналов
Так как
-
Н* ((!))
sa. (ш)- 1н((!))12 + a.Q (w) F (ш),
то
00
2
Ф(о.)= i" J
1Н ((!)) 12 F ((!))
/Н((!))12+aQ(ro) - F(ш) dш=
1
= 2-zt
-оо
00
J
a.2Q2 ((!)) Rt (ro)
ll Н ((!)) 12+ a.Q (ro)J 2 dш,
-оо
где R1 (w)=fF('(J)) 12 - спектральная плотность мощности
наблюдаемой функции f (х). Очевидно, что Ф(О)=О и
00
Ф (о.)><;;; ~ J1F(ro)1' dro= 11 f (х) /1 1
•
-00
Кроме того, Ф(а) стремится к Jlf·(x) 11 при а-+оо и
00
dФ _ 1 Jа.1Н(ro) \2Q2((!))Rt ((!))
da. -- ;-
[1Н(ro)12 + a.Q (rо)]в dш >О.
-оо
Это доказывает, что невязка (2.18) регуляризованного
решения - строго возрастающая функция пере_менного а,
изменяющаяся от О до llf (х) 112 • Следовательно, мы мо
жем находить число a(v) из условия PF (ats., ., /) =v,
-
та·к как существует единственное число а, для .которого
-
Ф(а) у2• При этом должно выполняться условие
y2~llf (х) 11 2• В противном случае уравнение Ф (а)
·v2 не
имеет решения.
На практике приближенное значение а часто нахо
дят следующим образом [ 1]. Задается последователь-
-
"-
ность .чисел a"=a0 z (ао>О; O<z< 1; к- целые поло-
жительные числа). Для каждого а" вычисляют регуля-
ризованное решение s~> и по нему определяют невязку
Ф (а"). В результат~ получают неуб~1вающую цоследо-
2.2. Ре~уляризация решения уравнения т.ufia свертки
10~
вательность чисел {Ф1 (аk)}. Из этих чисел выбирают
ближайшее к числу у2- квадратической ошибке зада
ния правой части f(x). Пусть это будет Ф(Gм.). Тогда
в качестве а берут аи.
Следует отметить, что ф1(а) зависит от выбора
функции Q(ro). Если mользоваться простейшими стаби
лизаторами Q({!)) =ro2r, то можно заметить, что с уве-
,...,
личением порядка регуляризации 2r величина а убывает.
В работе [ 1] получены асимптотические оценки уклоне
ния регуляризованного решения sa. ~}от точного Sт (6)
при а~о для различных типов весовых функций сверт
ки, встречающихся в задачах восстановления сигналов.
Указанные оценки позволяют найти значение а, близкое
к оптимальному значению ао, т. е. к такому, которое
в классе регуляризованных решений, отвечающих задан
ному множителю K(ffi, а), минимизирует :величину
0
2
8 = ЕJ:sa.(~)-sт(~)J
2
,
где Е - знак математического ожидания. Вместе с тем
опыт исследования задач восстановления сиг.палов по"
казывает, что не очень значительные отклонения а от
оптимального значения не приводят к существенным
ошибкам в решении. Это подтверждается и данными
примера, приведенного в § 2.1, где величина а изменя~
лась от I0-2 до 10-6 без существенной потери точности
регуляризованных решений. На практике для определе"
ния а часто берут лишь несколько пробных значений
параметра регуляризации, больших и меньших I0-3
,
оценивая теми или иными способами (иногда даже эври
стическими) близость восстановленного сигнала к истин
ному.
Рассмотрим теперь случай, когда при решении ура·в
нения типа свертки в задачах восстановления сигналов
имеется дополнительная априорная информация о неко
торых статистических характеристиках сигнала и поме
хи, и попробуем определить вид стабилизирующего мно
жителя К (ro, а) в этом случае.
Пуеть Sт (s) - точное решение уравнения ( 1.17)
с правой частью fт(6). Полагаем, что, f (х)--fт(х) +
+v(x), где v(x) -случайная помеха (шум). Таким
образом, считаем, что f (х) есть реализация случайного
tO~
2. Регуляризация peшeнuJt при iзосстанов.Лении сигнаitов
процесса и, следовательно, приближенные решения
s(s)=fll(/) являются также реализациями случайной
функции. Будем также считать, что функции Sт (х) и
v (х) являются реализациями стационарных, некорре
лированных между собой случайных процессов, а инфор
мация о характеристиках этих nроцессов представлена
в виде их спектральных плотностей, которые будем обо
значать ·Rв(ю) и Rv(ro) соответственно.
Среди операторов 91, (f) будем искать такой, который
минимизирует величину Е [ so. (е)- sт (~) ]2
•
Очевидно, что
QO
1 s(F (w)
]
so. ~)-Sт(е) = 2тт LН(w) К(w, а)-Sт(w) Х
-оо
00
ХехрU~)dm= i" л Fт('Z~)V(ю) К(ю, а)-
-оо
QO
-Sт(ю)] expQ~) dm= i" J{IK (ю, а)-1] Sт(ю) +
-оо
+ Кj;(ю;> V(m)} ехр uеш) dш,
(2.19)
где F({i)), Fт(ro), Sт(1ro), V(rо)-спектры Фурье реали"
заций f(x), fт(х), sт(х), v(x) соответственно, причем
F т (ro )-Н (ro) Sт ({!)). Заметим, что К (ro, а) - действи
тельная четная функция, а другие функции в (2.19) -
комплексные. Поэтому
00
+КJ~~;> V (m)}expU~) dm)(i" j {[К(m', а) - 1] Х
ХSт(ш)' +К:;~,;> V (ю')} ехр Uеш') dш')*] =
2.2 . Регуляризация решения уравнения типа свертки
107
00
= ~2SS[К(ш,а)-1] [К(w', а) - 1]Е{Sт(ro)S*т(ш)'}Х
-оо
00
Хехр(j~(w - w')]dшdw'+-
·1ss К(ы,а)К(ы''сх) Х
4п2
Н (ы) Н* (ы')
-00
ХЕ {V (ш) V* (ш')} ехр [j~ (ш- w')] dwdш' +
00
+~П[К(ш,а)- 1]КJ:'(ы~! Е{Sт(w)V*(w')}Х
-оо
00
Хехр[j~(w - ш')) dшdш'+4~SS[К(ш',а)-1]Х
-00
(2.20)
Так ка1к предполагала·сь некоррелированность процессов
Sт(х) и v(x), т. е. E{Sт(ro) V*(ы')}=Е{S*т(ы') V(ы)}=О,
то два ,последних интеграла в (2.20) равны нулю. Кро
ме того, для стационарных случайных процессов [71]
Е{Sт (ы) S* (ы') }=2nRв (ы) б (ы-rо');
Е{V(ы) V*(ы')}=2nRv(ы)6(ro-ro').
(2.21)
Спектральные плотности мощности Rs(ы) и Rv(ro) явля
ются фурье-образами соответствующих корреляционных
функций
rв(t)-E[sт(x+-r)sт(x)]; rv(-r) E[v(x+т)v(x)].
Теперь, учитывая (2.21), представим (2.20) в виде
00
Е [sa ~)-sт ~))2 = ~ П {!К(ш, а)-1] [K(w', а)-
-00
-
1]R (w)+/((ы,сх)К(ы'•сх) R (w)}Х
s
Н (ы) Н* (ы')
v
х s(ш -ш') ехр не (w - ю')] dшdш'.
{2.22)
108
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
Интегрируя в последнем двойном интеграле по пе
ременной ro' и пользуясь фильтрующим свойством
6-·функции, получаем
00
О28=Е[Sa (~)- Sт ~)]'= ;" S{(К(ro, 11) - 1)1Rs (ш)+
-00
+
К2(оо,а)Rv(оо)}d
\Н(оо)12
ш.
(2.23)
Из условия экстремальности функционала (2.23)
на функциях К(оо, а)
2[к( )_ 1]R(:\+2К(оо,о:)Rv(оо) _О
ш,а
sш1
1Н(оо)12 -
'
обеспечивающего минимум этого функционала (так как
вторая производная положительна), находим, что его
минимум достигается на функции
(2.24)
Сравнивая (2.24) с (2.13), видим, что стабилизи
рующий множитель Ко (ro, а), минимизирующий среднее
_квадратическое
уклонение sосстановленного сигнала от
истинного, не зависит от параметра регуляризации а,
а роль стабилизатора Q (ro) в (2.24) играет функция
Rv(oo) /Rs(ro).
Передаточная функция восстанавливающего филь
.тра, аналогичная (2.14), имеет вид
н_
Н*(ю)
во (ш)-1Н(ю)12 + Rv (ю)/Rs (ю) '
(2.25)
u
u
а востановленныи сигнал, получаемым на выходе этого
фильтра, представляется формулой
со
1Г
Н* (ю)
•
So ~) = 2?t .1 1н(ю)12 + Rv (ю)/Rs (ю) F (ш) ехр (J~m).dш,
-оо
(2.26)
аналогичной (2.15).
2.3 . Оптимальная линейная фильтрация
109
Формула (2.25) определяет передаточную функцию
так назы·ваемого оптимального фильтра Винера для на
хождения сигнала ~о его отклику f(x)=.fт(x) +v(x).
Эту формулу можно также вывести с помощью об
щих методов оптимальной линейной фильтрации сиг
налов.
2.3 . ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЯНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Задача оптимальной линейной фильтрации сигналов
в классической постановке формулируется следующим
образом. Наблюдается реализация случайной функции
f (х), которая была получена в результате применения
некоторого оператора 2 к случайному входному сигналу
s(x). Предполагается, что оператор Р учитывает и ·воз
действие шума. Статистические характеристики наблю
даемой функции и входного сигнала считаются извест
ными. Требуется найти весовую функцию hв (х1, х2) л и
ней ног о фильтра, предназначенного для такой
обработки -функции f (х), в результате которой на вы
ходе филь·тра формируется функция g(х), имеющая
наименьшее уклонение (в той или иной вероятностной
метрике) от некоторой желаемой функции g(x). Функ
ция g (х) обычно считается образом сигнала s (х), по
лучаемым из s(x) с помощью идеального оператора 2и
(рис. 2.2).
Если статистические характеристики расоматривае
мых случайных процессов представлены в виде корре
ляционных и взаимокорреляционных функций (для га
уссовых процессов такое описание исчерпывающее),
а уклонение функций g(x) и g(x) оценивается средним
квадратом ошибки, то сформулированная задача сво
дится к оптимальной фильтрации. Запишем функционал
среднего квадрата ошибки для точки х:
0
2
g ==Е[g(х)-g(х)]2===Е[g(х)].2-2Е[g(х)g(х)]+
+Е[g(х)]2•
(2.27)
Полагая, что сигналы - вещественные функции, за
данные на всей оси, и используя общие правила вы-
110
2. Регуляризация решен,ия при восстан,овлен.ии сигн,алов
вхоо
Састсмо
прuсмо
f(;c)
Линсiiныif
Bыxoii
-
-
фильтр
5т(Х)
сигнило
-
g(x)
;t,
flв (3Jt,.::Cz)
Иilсольнол
g(X)
+
-
система
'
Е
-
Ошиб.
с~и
-
ко
Рис. 2.2 . Обwая схема оптимальной пинеАноА фильтрации.
числения математических ожиданий случайных процес
сов, с учетом формулы связи входа и выхода фильтра
00
g(х)== Jhn(х, и)f(и)du
(2.28)
-00
из (2.27) получим
ОС)
a
2
g=ss,,(и. е)hв(х, ~)hв(х, и)dedu-
-со
00
-2 Jf h8 (X, u)r1g(u, x)dи+rg(x, х),
(2.29)
-00
где r 1 и rg- корреляционные функции процессов f и g
соответственно; Гfg - взаимокорреляционная функция
·этих процессов:
r1 (и, s) =Е [f(и) f (s)]; r g(X, х)==Е [g(x) g (х)];
r1g(u, x)=E[f(u)g(x)].
Если составить выражение для градиента функцио
нал а (2.29) и приравнять его нулю, то окажется, что
минимум этого функционала при варьировании hп (х, и)
определяется решениями уравнения [72]
00
sГt (и, е) h8 (Х, е) de=rfg (и, Х).
(2.30)
-оо
2.3 . Оптимадьная линейная фильтрация
111
Уравнение (2.30), выражающее условие оптималь
ности (минимум средней. квадратической ошибки), на
зывается уравнением Винера-Хопфа. В справедливо
сти достижения этого условия можно убедиться непо
средственным вычислением, подставив (2.30) обратно
в (2.29).
Предположим, что оператор 2 дает однородное
отображение функций (является оператором, инвариант
ным относительно сдвига), .а случайные процессы f и
g - стационарные процессы. Тогда результат оптималь
ного взвешивания наблюдаемой функции линейным
фильтром hв (х, 6) должен зависеть только от одной пе
ременной, т. е. оптимальным является фильтр с посто
янными параметрами, весовая функция которого имеет
вид hв (х-6). Поэтому условие (2.30) дл~ стационар
ных процессов принимает форму
00
S't(и - ~)hв(х-~)de=rtg(и-х).
(2.31)
-оо
Заменяя переменные по формулам Т=х-и, 1)=s-и и
учитывая свойст·ва корреляционных функций r1 (11)==
=Гt (-11), Гtg(-т) =ffgf (т), получаем
00
Jrf (1J)h8('t - 1J)d1J= rgf('t).
(2.32)
Из выражеllия (2.32) с помощью преобразования
Фурье легко находится передаточная функция оптималь·
нога фильтра
Hв((J})====RgJ(ffi) JR.1(ffi),
(2.33)
где RgJ ( (J)) - взаимная спектральная плотность мощно
сти процес·сов g и f; R1 (ffi) - спектральная плотность
мощности процесса f.
В задаче восстановления сигналов в качестве же
лаемой функции g (х) выступает точное значение вход
ного сигнала Sт (х) (идеальной системой здесь служит
просто -повторитель сигнала с 6-образной весовой функ
цией). На выходе фильтра должна быть получена оцен
ка сигнала s(х). Таким образом, g (х) Sт (х), g (х) =
=s(x).
112
2. Регуляризация реULения при восстановлении сигналов
V(.X)
Sт(Х)
Систсно
-
8
-x-
0
-
0--....-.i приснz;,гн11л11 -~
а
ПоDторитсль
6(-t)
llf(X)
S1(x}
Систсно
-
8
- x-o_iJ__- .. :i присно сигна.iто -~
h('(}
Ш(Х}
6
Сиетени
ПоDторитсль
b('t}
V(X}
присно сигнола~--~
E[h(r()}
поDторитсль
b('l'}
Линсiiныd
ф11.льтр
h5('t}
Sт{Х)
Линсiiныif
фильтр
hfJ('l'}
.
Sr{:C}
Линсifныif
tрильтр
hв('!'}
S1(x)
s(x}
BыxoiJ
BыxoiJ
sf:cJ
Bыxoil
Рис. 2.3. Схемы восстановления сигналов методом оптимальной фи.пьтрации:
а - при аддитивном шуме; б
-
мультиппикативноА помехе; в - аддитивном
шуме. мупьтипликатнвной помехе и случайной передаточной функции
Схемы восстановления сигнала при оптимальной
фильтрации для различных вариантов смеси сигнала и
шума показаны на рис. 2.3 .
Обычно предполагается наличие аддитивного ста·
ционарного шума v (х) на входе восстанавливающего
фильтра (рис. 2.3,а). Считается также, что сигнал и
2.3. Опти~альная линейная фильтрация
113
-------------------~----
шум статистически независимы. В этом случае на вход
фильтра поступает функция
00
f(х)= J"h(х-· ~)S7 (~)d~+v(х).
(2.34)
-оо
Вычисляя для этого случая корреляционные функции,
входящие в уравнение (2.32), получаем [73]
't (•)=Е[f(х+•)f (х))=Е[Дh(х+•-~)Х
Хh(х- 'JJ) sт(Е) sт('JJ) d~d'Jj] +_Е [v (х+ •) v(х)] =
00
== jSh(х+~-~)h(х- 7J)rs(е-
'IJ) cted1J +r v ('ii),
-00
(2.35а)
00
= sr.(~+е)h~)d~,
(2.356)
-00
где rs - корреляционная функция входного сигнала
Sт (х).
Применяя преобразование Фурье к вычисленным
корреляционным функциям, находим
R1(oo)=IH(oo) l2Rs(w) +Rv(oo),
Rnt (w )-RsJ(ffi) =Rs (оо) Н* (w),
(2.36а)
(2.36б)
где Rs (оо) и Rv (w) - спектральные плотности мощности
входного сигнала и шума соответственно. Подставляя
(2.36а) и (2.36б) в (2.33), получаем передаточную функ
цию оптимального восстанавливающего фильтра
н(w)_
Н* (ы)
во - 1Н(ю)]2+Rv(ro)/Rs(ы) '
полностью совпадающую с (2.25).
8-856
(2.37)
t14
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
Функция Rv(ro)/Rs((J)) в (2.37) является обратной
к отношению сигнал/ шум Ч' (ro) . Таким образом,
_
Н* (ы)
//во (ш) -
, Н (ы)12+l/t.P(ы)•
(2.38)
Специальным вариантом оптимальной фильтрации
является метод обобщенной линейной (гомоморфной)
фильтрации [74, 75]. Не затрагивая деталей этого ме .. .
тода, отметим, что он приводит к такой переда точной
функции восстанавливающего фильтра, которая пред~
ставляет собой среднее геометрическое между переда
точными функциями инверсного фильтра l /H(ro) и
фильтра Винера (2.38):
-[ 1 ]k[ Н*(ы) ]1-к
Нвг(ш)- Н(ю) /Н(ю) /2 + I/t.P (ы)
'
где О~к~l [43]. Для ·симметричной функции H(ro)
с нулевой фазовой характеристикой (H(oo)=H*(ro))
при к=l/2 передаточная функция восстанавливающего
фильтра имеет вид
Н (w)-
1
вr - У/Н(ю)j2+1/t.P(ю) •
Следует отметить, что формула передатоttной функ
ции оптимального фильтра (2.38) определяет различные
семейства линейных регуляризующих операторов. Каж
дое такое семейство задается выбором стабилизатора
Q(оо) (см. (2.14)), удовлетворяющего перечисленным
в § 2.2 условиям. Поэтому можно утверждать, что среди
всех функций Q (оо) существует такая функция Qo ( ro) =
=1/аЧ'(rо), при которой однопараметрическое семейство
регуляризующих операторов RQ (f, а) содержит 1В себе
оператор оптимальной фильтрации Винера [ 1]. Это
означает, что оператор оптимальной фильтрации непре~
рывен по f на всякой заданной точной правой части и
устойчив к ее малым изменениям.
Для практических задач восстановления сигналов
здесь представляет интерес возможность заменить опе
ратор оптимальной фильтрации на близкий к нему, бо
лее простой опера тор, используя для его построения
априорную информацию, меньшую, чем информаuия об
2.3 . Оптималыtая лиliейная фильтрация
115
отношении сигнал/шум. Такая возможность следует из
того, что малым уклонениям функции Q(ffi) от 1/Ч! (ffi)
отвечают малые уклонения регуляризованного решения
от оптимального [ 1].
Смысл оптимальной линейной фильтрации виден из
рассмотрения функционала среднего квадрата ошибки,
записанного в частотной области [14]:
00
а18= ;" SRs(ro) 1\ -Н(ш)Н8(ш)(1 dш+
-оо
00
+2~ SRv(ro)!Н(ro)1'dш.
(2.39)
-~
Первый член в этом выражении представляет собой
систематическую ошибку, обусловленную неполной ком
пенсацией искажающего действия системы приема сиг
нала, а второй - случайную ошибку, обусловленную шу
мом, возникающим на выходе фильтра. В тех частотных
участках, где спектральная .плотность мощности наблю
даемого сигнала Rs(ffi) IH(oo) J2 велика по сравнению со
спектральной плотностью шума Rv(ffi), оптимальный
фильтр близок к инверсному: Hвo(m)~l/H(ffi). В тех
же участках, где Rv (ffi) относительно велика, оптималь
ный фильтр вносит дополнительное затухание. Заметим,
что согласно (2.37) и (2.39) минимальное значение сред
него квадрата ошибки равно
00
2
1s
Rv (Ы)
d
аsmln= 2~
1Н (ы)/2 + 1/Чf (ы) ш.
(2.40)
-оо
Таким образом, структура оптимального восстанав
ливающего фильтра существенно зависит от переда точ
ной функции системы приема Н (ffi). Однако во многих
случаях Н ( оо) точно не известна. В этих случаях естест
венно предположить, что Н (ro) есть функция, выбран
ная из не-которого множества случайных переда точных
функций, и задать соответствующее априорное распреде
ление вероятностей. Фильтр, оптимальный для од'1Iого
8*
116
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
элемента этого множества, будет, конечно, квазиопти
мальным для остальных элементов. Задача нахождения
передаточной функции восстанавливающего фильтра,
обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки,
усредненного по множеству случайных функций Н (ffi),
была решена в р.аботе [76].
Вычисляя требуемые корреляционные функции r1
и rgf с учетом случайного характера Н (ы) и подстав
ляя соответствующие им спектральные плотности в фор
мулу (2.33), получа~м
Rs (w) Е [Н* (ы)]
Нв(ш)= Rs(ы)Е[1Н(ы)l2J+Rv(w) •
(2.41)
Формула (2.41) аналогична (2.37). Различие за
ключается лишь в использовании усредненных характе
ристик системы приема сигнала. Можно наглядно пред
ставить этот результат, если записать средний квадрат
модуля передаточной функции E[JH(oo) )2] как сумму
квадрата среднего случайной передаточной функции
{Е [ Н (ы)] }2 и ее дисперсии cr21i ( ы). Тогда (2.41) имеет
ВИД
Rs (w) Е [Н* (w)]
2 42)
Нв(ш)=== Rs(w){Е[Н(w)]}2+Rv(w)+Rs(w) 02h(w) • ( ·
Выражение (2.42) можно рассматривать как пере
даточную функцию оптимального фильтра, построенного
в соответствии с (2.37) для усредненной системы прие
ма сигнала и дополнительного аддитивного шума, имею
щего спектральную плотность мощности Rs (ы) cr21i ( ы).
Это показывает, что ошибки априорного знания переда
точной функции Н ({J)) должны проявляться на выходе
восстанавливающего фильтра так же, как и погрешности
измерения функции fт (х).
Предположение об аддитивности шума, использован
ное при выводе формулы (2.37) для передаточной функ
ции оптимального фильтра, в конкретных задачах вос
становления сигналов не всегда оправдано. В частности,
в задаче улучшения качества фотографических изобра
жений шум зернистости (гранулярности) фотопленки
...
"
носит скорее мультипликативныи, чем аддитивныи ха-
рактер [77]. При восстановлении акустических и радио-
2.3. Оптимальная линейная фильтрация
117
сигналов часто приходится учитывать случайные флюк
туации усиления в канале системы приема сигнала,
которые также имеют мультипликативный характер . .по
этому значительный интерес представляет влияние муль
типлика тивного шума на процесс восстановления сигна
лов с помощью оптимальной фильтрации.
Пусть w (х) - стационарный шумовой процесс со
средним значением mw, не коррелированный с сигналом
Sт (х). Этот процесс умножается на отклик системы
приема сигнала и на вход восстанавливающего фильтра
поступает мультипликативная смесь сигнала и шума
(рис. 2.3,б)
00
f :(x) === fQJ (х) Jh (х-_е) sт (~ cte~-w:(x) fт (х). (2.43)
-()Q
По-прежнему считая, что желаемой функцией является
сам восстанавливаемый сигнал (g (х) =Sт (х)), а IТiроцес
сы f (х) и g(x) совместно стационарны, вычисляем тре
буемые корреляционные функции и получаем
r;r(t, 6)=E[w(t)fт(x)w(6)fт(s)]=E[w(t)w(6)] Х
XE[fт (t!)fт (s) ]=rw(i-s)r1 (t-6),
(2.44а)
fgJ(X, i)=E[sт(x)w(t)fт(t)]=E[w(t)] Х
ХЕ [sт (х)fт (х) ]=mwr;r(x- t),
(2.44б)
где rт- корреляционная функция процесса fт; rsr- вsа
имокорреляционная функция процессов sт и fт·
С помощью преобразования Фурье и теоремы
о свертке из (2.44а) и (2. 44б) находим
R1 (w)=Rw~(ш) *Rт (ш) = Ru,(w) *[Rs (ш) 1Н(ш)1
1
),
(2.45а)
(2.45б)
где Rw(1w) и Ry(ffi) - спектральные плотности мощности
процессов w и fт соответственно; Rsт- взаимная спек-
t18
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
тральная плотность мощности процессов sт и fт- Сом
гласно (2.33) передаточная функция оптимального фильм
тра имеет вид
Н (w)-
mwRs (ы) Н* (ro)
(2 46)
8
-Rw (ы) *[Rs (ы) 1H((J)) 12] •
•
Представим теперь корреляционную функцию rw('t')
как сумму ковариационной функции cw('t) и квадрата
среднего значения m12w:
rw(-r)=E[w (x+-r)w (х) ]=E{[w (x+,;)-mw] Х
X 1[W(X)-mw]}+m2w=Cw('t') + 'm2w.
Тогда с помощью преобразования Фурье от r w ( ,;) полу
чим
Rw (ro) =Cw(ro) + m2wб (ю),
где Cw (ю) - 1фурье-образ ковариационной функции
Cw (-r).
Теперь (2.45а) можно записать в виде
Rt (w)==Cw (w)* [Rs (w) \Н (w) 1
2
]+т
2
wRs (w) 1Н(w)1 2•
(2.47)
Подставляя (2.45б) и (2.47) в (2.33), на.ходим
Н()
(l/rnrgJ) R8 ((J)) Н* (ы)
8
<D = Rs ((J)) \ Н (ы) \2 + (I/m21:2,) Сw(ы)*[R5(ы) J Н(ы) 1
2
]•
(2.48)
Нетрудно видеть, что если ковариационная функция
шума пренебрежимо мала по сравнению с квадратом
его среднего значения (тогда в правой части (2.47) мож
но учитывать только второй член суммы, а в знаменате
ле правой части (2.48) -первый член суммы), то Нв (ro)
пропорциональна передаточной функции инверсного
фильтра с коэффициентом пропорциональности 1/ mw.
Для выяснения физического смысла влияния кова
риационной функции мультипликативного шума на про
цесс оптимальной фильтрации будем считать систему
приема сигнала идеальной, полагая Н (ю)=l, и рас
смотрим два предельных случая - когда флуктуации
шума либо очень резкие, либо очень плавные по срав
нению с сигналом.
2.3. Оптимальная линейная фильтрация
ii9
В первом случае спектр ковариационной функции
Cw (ro) намного шире, чем Rs (ro), и их свертка в (2.48)
примерно пропорциональна Cw(ffi):
00
Cw(w))]<Rs(w)~Cw(w) JR8(ю)dw= Е [sт(х)]
2
Cw (ю).
-00
Если сигнал является случайным процессом с нулевым
средним, то Е 1[sт (х) ] 2 =cr2s. В рассматриваемом случае
передаточная функция восстанавливающего фильтра
близка к передаточной функции оптимального фильтра
(2.37) для восстановления сигнала из аддитивной смеси
с Ш)"мом, имеющим спектральную плотность мощности,
пропорциональную Cw (ro) :
Нв (w) ~ Rs (ro) ~/~~!1~2~<»Cw (ro) •
Во втором случае, когда флуктуации w (х) сущест
венно более плавные, чем флуктуации sт (х), свертка
функций Cw (<i>) и Rs (ro) приблизительно пропорциональ
на Rs(ro), т. е.
Cw(ffi) *Rs (ro)~2wRs (ro),
и, следовательно, передаточная функция восстанавли
вающего фильтра приблизительно постоянна:
Нв(w)~ 2'~ 2
•
mw
аw
Обобщением приведенных выше результатов вине
ровской теории оптимальной фильтрации сигналов явля-
...
ется решение важнои для практики з адачи восстановле"
ния сигналов при наличии мультипликативной помехи,
аддитивного шума и случайной передаточной функции
одновременно -(14]. В этой задаче
00
f (х) = Sh (x- -i:) w <~> sт(х) d-i:+v (х)
(2.49)
-()О
"
т. е. считается, что мультипликативная помеха деист.ву-
ет на входе случайной системы приема сигнала. а адди-
120
~- Регуляризация решения при восстановлении сигналов
тивный шум - на ее выходе (рис. 2.3,в). Предполагает
ся, что случайные функции h(x), w(x), sт(Х) и v(x)
статистически независимы, а все рассматриваемые про
цессы стационарны.
Вычислим корреляционные функции:
Гt<~>=Е[ s'1 h(I;) h(x) w <х+~ - ~) w(х-х)х
Х sт(х+ '1:- ~) sт (х-х) d~dx] +Е [v (х+~> v(x)] =
00
= JJЕ [h (~) h (х)] rw (-с - ~ +х> rs (,; - ~ +x)d~dx+rv('t),
-оо
(2.БОа)
rвt (~)=Е [s.:_(x+~>1h (!;) w (х- ~ sт (х-~ d~J =
QO
=; JЕ [h (~)] murs (1: +~) de.
(2.БОб)
-о...
При помощи преобразования Фурье из выражений
(2.50а), (2.506) нахvдим
Rt (ю)=Е JH (ю) ]2 [Rw(ю) * Rs(ю)] +Rv(ю),
R.gt (ro) =Е[Н* (·ro)] mwR8 ( ro).
(2.Бlа)
(2.516)
Подставляя (2.51а) и (2.516) в (2.33), получаем пере
даточную функцию оптимальногv восстанавливающего
фильтра
ю_
mwE [Н* (ro)J Rs (ro)
Нв ( )-.Е l H(ro) 12 [RwJro)~*LRs (ro)] + Rv (ro) ·
(2.52)
Характерно, что если среднее значение мультипли
кативной помехи равно нулю, то и Нв(rо) тождественно
равна нулю, и, следовательно, лучшей оценкой входного
сигнала является оценка s(x)=O. Это справедливо и
для передаточной функции (2.48), соответствующей слу
чаю мультипликативного шума на входе восстанавли"
вающего фильтра.
2.4 . Статистическая регуляризация решения
121
В заключение отметим один из основных результа
тов теории {)Птимальной фильтрации сигналов. Линей
ный фильтр, весовая функция которого определяется из
уравнения Винера - Хопфа (2.30), является наилучшим
среди всех возможных фильтров, в том числе и нели
нейных, когда осуществляется фильтрация по критерию
минимума средней квадратической ошибки гауссового
u
u
случаин{)го процесса из аддитивнои смеси с гауссовым
шумом [78]. Если наблюдаемую функцию нельзя счи
тать аддитивной смесью нормальных процессов, т-о ли
нейный винеровский фильтр может не быть абсолютно
лучшим.
2.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ
При оптимальной фильтрации априорная информа
ция о задаче вносится путем задания спектральных
плотностей мощности сигнала и шума (или же их кор
реляционных функций). Как было показано выше, это
приводит к замене точного решения основного инте
грального уравнения регуляризованным, прибли}J{енным
решением. В более общем случае априорную информа
цию об иск{)мой функции можно задать в виде некото-
u
рого распределения вероятностеи.
Сформулируем задачу восстановления сигналов как
задачу математической статистики. Будем рассматри
вать матричный аналог основного интегрального урав
нения (см. § 1.5), в котором ошибки измерений наблю-
u
даемых величин учитываются случаиным вектором адди-
тивного шума v:
Hs+v-f,
(2.53)
где s - вектор, составленный из отсчетов точного значе
ния сигнала s (s), f - вектор, составленный из отсчетов
наблюдаемой функции f (х), Н - матрица весовых ко
эффициентов, составленная из отсчетов весовой функции
h (х. s). Будем считать, что s-N-мерный вектор, f и
v-М-мерные векторы (N~M) и Н - матрица размера
мхw.
Обозначим через P0 (v) априорную плотность вероят
ности вектора 111ума v . Очевидно, что компоненты век
тора f ~~ляются т~к?J<е .случай~~1~11 ~~~ич11на~~' завися•
122
:2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
щими как от отсчетов входного сигнала, так и от ком
понентов случайного вектора v. Плотность условной ве4
роятности Р (f 1s) вектора f при данном векторе s с уче
том (2.53) равна
P(f 1s) =Po(f-Hs).
(2.54)
Заметим, что вектор сигнала s можно рассматривать
либо как детерминированный, либо как случайный.
В люqом случае будем связывать с ним априорную
плотность вероятности Po(s), полагая, что в детермини
рованном случае все возможные в данной задаче сигна
лы равновероятны, т. е. Po(s)=const.
С точки зрения математической статистики теперь
задача формулируется следующим образом. Известна
условная плотность вероятности Р (f J s). Требуется найти
решающее правило (преобразование, алгоритм), позво
ляющее по наблюдаемому вектору определить оптималь-
-
-
ную оценку s :т. (f) искомого вектора s.
Прежде чем перейти к решению этой задачи, кратко
изложим необходимые нам основные положения теории
статистических оценок [ 13, 79].
1\ритерий оптимальности в этой теории обычно свя
зывают с так называемой функцией потерь (иначе,
-
функцией стоимости или штрафов) П(s, s). Вид ее вы-
бирается на основе тех или иных соображений о зад~че.
-
Так, если значение s должно быть как можно ближе
к истинному значению s, то берут такую функцию
-
-
П (s, s) , которая имеет минимум по s вблизи точки s.
Rак правило, полагают, что потери зависят только от
-
ошибки оценки 8. Тогда П (s, s) является функцией
...
...
однои переменнои 8.
Типичные функции потерь показаны на рис. 2.4 .
Функция потерь, приведенная на рис. 2.4,а - просто
квадрат ошибки П(8)=в2. Обычно ее называют квадра
тичной функцией лотерь. Линейная функция потерь
(рис. 2.4 ,6) дает абсолютное значение ошибки П (8) =
=l 8J. В отличие от линейной кваДрат:Ичная функция
потерь подчеркивает значимость больших ошибок. Скач-
1{ообразная ф}'НКЦИЯ чотерь (рис. 2.4,В) припИ~!>IВ~~Т
2.4 . Статистическая регуляризация решения
Рис. 2.4. Типичные функции
потерь:
а - квадратичная;
б - линейная;
П(Е}
о
П(Е) ,
1
/j-
л_
-
в - скачкообразная
../
о
123
Е
Е
-
-
-
нулевые потери всем ошибкам, находящимся в интерва
ле -(-Л/2, Л/2). Иначе говоря, ошибка величиной не бо
лее + Л / 2 эквивалентна отсутствию ошибки. Если же
1в1 больше Л / 2, то ошибке приписывается постоянное
значение потерь, равное, скажем, 1/Л.
-
-
Конкретное значение П (s, s) при s=!ll(f) оказыва-
"
ртгя случаиным и поэтому качество решения можно
определить лишь некоторыми средними величинами.
Усреднением п (s, s) по р (fl s) получают так называе-
124
2. Регуляризация решения при восстан6влениu сигналов
-
мый усливный риск р (s, s). Выбор оптимального решаю-
щего правила, минимизирующего условный риск, можно
произвести на основе различных подходов (байесова,
минимаксного и др.), по-разному учитывающих априор
ную информацию.
В байесовой теории считается заданным априорное
распределение Po(s) и рассматривается средний риск
00
00
Рср= JР(S, s)Р0(s) ds= iSIl(s, s)Р(s, f)dsdf, (2.55)
-оо
-00
где Р (s, f) - плотность совместной вероятности векто
ровsиf.
По существу средний риск - математическое ожида
ние функции потерь, вычисленное усреднением по слу
чайным векторам s и f: рср=Е{П[s, ~(f)]}. Оптималь
ное решающее пра·вило, минимизирующее средний ·риск,
называется байесовым решением, а полученная с его
помощью оценка - байесовой оценкой. Особая роль
байесовых оценок в математической статистике опреде
ляется их общностью. Например, известно, что мини
максное правило выбора решений является частным слу
чаем байесова решения, соответствующим наименее бла
гоприятному априорному распределению оцениваемой
величины, для которого средний риск имеет наибольшее
значение [78, 80].
Будем рассматривать оптимальные байесовы оценки
при функциях потерь, изображенных на рис. 2.4. Для
квадратичной функции потерь средний риск
00
Рср = JJ(s -S}2 Р (s, f) dsdf.
(2.56)
-оо
Учитывая, что P(s, f)=Po(f)P(slf), где Ро(f)- ·апри
орная плотность вероятности вектора f, Р (s 1f) - апо
стериорная плотность вероятности искомого вектора s,
формулу (2.56) запишем в виде
Рср= 1Р•(f) [1(s -S)'Р(s 1f) ds] df.
(2.57)
2.4 . СтатистичесКая регуляризация решен.ил
125
Минимум рср можно найти, минимизируя внутренний
интеграл в (2.57):
Рсрmin ==~n [ т(s -s)2Р(s /f) ds].
(2.58)
s
-00
Будем называть оценку S, приводящую к минимуму рср,
оценкой по минимуму средней квадратической ошибки
или просто МСК-оценкой и обозначать
отыскания продифференцируем интеграл
и приравняем результат нулю. Получим
(Х)
(Х)
-
sмск. Д-ля ее
........
в (2.58) по s
- 2 5sP(slf)cts+2s 5P(s\f)ds _ о.
(2.59)
-00
-оо
Вторая производная положительна, равна константе и,
следовательно, искомый экстремум является единствен
ным минимумом. Замечая, что второй интеграл в (2.59)
равен единице, находим
00
Sмск == JsP (s 1f) ds.
(2.60)
-00
Таким образом, МСК-оценка -просто среднее апосте
риорной плотности вероятности (условное среднее).
Аналогично можно показать, что оценка по миниму
му абсолютного значения ошибки (будем называть ее
МАЗ-оценкой и обозначать SмАз>· соответствующая ли
нейной функции потерь, равна медиане апостериорной
плотности вероятности [13].
Можно также показать, что если в (2.55) для сред
него риска использовать скачкообразную функцию по
терь, то для достаточно малых Л оптимальной байесовой
оценкой ·будет такое значение s, при котором апостери
орная плотность вероятности Р (s 1f) имеет максимум.
Будем называть эту оценку оценкой по максимуму апо
стериорной вероятности (МАЕ-оценкой) и обозначать
S'м_АВ. Обычно находят положение максимума апосте
риорной плотности вероятности по функции ln Р (s1f).
\
126
2. Регуляризаци.я решения при восстановлении сигна.лое
Если 111Р(s1 f) имеет непрерывную первую производную
и максимум лежит внутри области допустимых значений
s, то для его отыскания можно продифференцировать
In Р (s 1f) по s и составить уравнение
дlnР(s1f) 1 _=О.
дs s=:2s
(2.61)
Уравнение (2.61) называется уравнением максимальной
апостериорной вероятности. При его решении в каждом
конкретном случае необходимо проверить, является ли
найденный экстремум абсолютным максимумом.
Для того чтобы выделить роль априорных ~ведений,
М'ожно, используя формулу Байеса
р( ]f)==Р0(s)Р{f1s)
S
Р0{f) '
(2.62)
записать логарифм апостериорной плотности вероятно
сти как
ln Р (s jf) =ln Р (f 1s) +ln Po(s)-ln Po(f),
и, учитывая, что последний член в правой части этого
равенства не зависит от s, представить уравнение мак
симальной апостериорной вероятности для получения
МАВ-оценки в виде
дlnР{f1s) 1 -+дl11Pn (s)1 ""=О.
(2.63)
дs
s=s
дs s=s
В тех случаях, когда нет никаких сведений об апри
орном распределении вероятностей Ро (s) и нельзя от
дать предпочтение той или иной функции потерь, мате
матическая статистика рекомендует для оценивания ис
пользовать метод максимального правдоподобия. Со-
-
гласно этому методу в качестве оценки s выбирается
такое значение s, которое с наибольшей вероятностью
обусловливает появление в задаче именно данного зна
чения f. Уславная плотность вероятности Р (f1s), рас
сматриваемая как функция s, называется функцией
правдоподобия. Оценка по максимуму функции правдо
подобия (будем называть ее МФП-оценкой или оценкой
-
максимального правдоподобия и обозначать SмФп) - это
такое значение s, при ко:rором функция правдоподобия
2.4. Статистическая регуляризация решен.ил
127
максимальна. Необходимое (но не достаточное) усло
вие макси·мума\ получают дифференцированием лога
рифма функции правдоподобия по s и приравниванием
результата нулю:
дlnР(f1s) 1 ...... =О.
дs
s==s
(2.64)
Уравнение (2.64) называется уравнением правдоподо
бия.
Из сравнения (2.63) и (2.64) следуетt что МФП
оценка математически эквивалентна предельному слу
чаю iМАВ-оценки, когда априорная информация о ра·с
пределении векторов s равна нулю. Этим объясняется
широкое применение метода максимального правдопо
добия для получения оценок неслучайных параметров
(13).
Перейдем теперь к оцениванию искомого вектора s
при решении основного уравнения (2.53), полагая, что
векторы s и v статистически независимы, а их распре
деления подчинены нормальному закону. Будем исполь
зовать матричную форму записи многомерного нормаль
ного раопределения, имеющую для произвольного К
мерного вектора х следующий вид (81):
Xexp[-+(x-mx)TC~1 (Х -mx)],
где mx - среднее значение х; Сх - ковариационная ма
трица (матрица ·вторых центральных моментов):
mx=E(x); Cx=E[(x-mx) (x-mx)T).
Значение квадратичной формы (х- mх)тс:;-1 (х - mx) иног
да называют нормой или расстоянием Махаланобиса от
х до mx [82).
Пусть априорное распределение вектора сигнала ·s
характеризуется средним значением ms и ковариацион
ной матрицей Cs, а распределение вектора шума v - ну
~евым средним значени~~ !1 ~овариацион~ой матрице$1
128
2. Регуляризация решен.ия при восстан.овлен.ии сигналов
Cv. Заметим, что, поскольку m v==O, ковариационная ма
трица Cv вектора шума будет совпадать с его корреля
ционной матрицей Rv (матрицей вторых начальных мо
ментов).
Вычислим апостериорную плотность вероятности
Р (s 1f) по формуле Байеса (2.62). Для этого рассмотрим
входящие в эту формулу распределения. Так как P0 (s)
и Po(v) - нормальные распределения, то плотности ве
роятности Po(f 1s) и Po(f) также гауссовы. При этом
согласно (2.54) условное распределение Р (f 1s) характе
ризуется средним значением, равным Hs, и ковариаци
онной матрицей, равной Cv. Далее согласно (2.53) и
(2.54) среднее значение для распределения Po(f) также
равно Hs, а ковариационная матрица равна HCsHT +
+'Cv. Таким образом, входящие в формулу Байеса плот
ности вероятности в рассматриваемом случае имеют
вид
Р0 (s) = (2iit)-N
12
(det С5)-112 Х
Xexp[-{<s-m8)7C~
1
(s-m.>].
р(frs)= (21t)-M
12
(det Со)- 112 х
Х ехр[- + (f- Нs)тС~
1
(f - Hs)].
Р0 (f) = (21t)-M
12
(det (НС8Нт +Cv)]-
112
Х
(2.65)
(2.66)
Х ехр [ -+ (f - Нs)т (НСsНт + с;-1) (f- Hs)]. (2.67)
Подставляя (2.65) - (2.67) в (2.62), находим апосте
риорную плотность вероятности
р( /f)
[det (НС5Нт + Cv)] 1
12Х
S = (21C)Nf2 (det С5)112 (det Cv) 112
Х ехр [-{-(s-g)тG-1 (s-g)],
(2.68)
2.4. Статистическая регуляризация решения
129
где
G-
1
==С:;-1+ НтС~
1
Н,
(2.69)
g === G (НтC~1f +c~Jms) == (С:;-
1
+ нтс;1н)-
1
х
Х (Нтс;1f +c~
1
ms).
(2.70)
Апостериорная плотность вероятности (2.68) дает
нам наиболее полную информацию об искомом векторе,
которую можно получить, зная только наблюдаемый
вектор f и априорные сведения о задаче ms) Cs и Cv.
МСК-оценку получаем по формуле (2.60) как среднее
-
апостериорной плотности (2.68): sмск=g. Так как ме-
диана нормального распределения совпадает со средним
значением, то и МАЗ-оценка равна g.
МАВ-оценка - такое значение s, которое максимизи
рует P(s lf). Отсюда следует, что в рассматриваемом
случае МАБ-оценка также равна g. Чтобы убедиться
в этом, вычислим составляющие уравнения максималь
ной апостериорной вероятности (2.63), используя прави
ла векторного дифференцирования (2.1 О). Получим
дlnP(f 1s) 1 ...... =С-1 (f-HS)Hт;
дs
s=s
v
дlnP0(s) 1 _ -С-1(,,,....- )
д
--
ssms.
s
s=s
Уравнение (2.63) имеет вид
-1
-
т
-1
-
Cv (f-Hs) Н --С8 (s-ms) ===0,
(2.71)
а его решение дает МАЕ-оценку
-
т
-1
.-..
s=ms+н CsCv (f-Hs).
После несложных преобразований этого равенства нахо-
дим, что SмАв в точности совпадает с правой частью
(2.70):
s =(с-1 +нтс~1н)- 1(нтс-11+с-1m \=Cf.
МАВ
s
~-~
v
~.~~ ~
9-866
130
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
Итак, в р~шаемой задаче байесовы оценки, соответст
вующие различным функциям потерь, совпадают <Sмск =
-
_,,.._
== SмАз = SмАв = g) и приводят к одному и тому же оп-
тимальному результату:
(2.72)
или
(2.73)
Совпадение оценок является следствием известного
в теории оценок положения: для самых разных функций
потерь, имеющих симметричную выпуклую форму, опти
мальная оценка есть условное среднее, если апостериор
ная плотность вероятности является унимодальной функ-
"
<>
циеи, симметричном относительно среднего значения
[13].
Отметим, что .при ms=O оптимальная оценка (2.73)
сводится к ·решению по методу оптимальной фильтрации
Винера:
·
-
-1
т-1т
S0===(RvRs +НН) Нf,
(2.74)
где Rs и Rv- корреляционные матрицы сигнала и шума
соответственно (у процессов с нулевым средним кова
риационные и корреляционные матрицы совпадают). Вы-
ражение (RvR;' + нтН)-1 НТ в (2.74) можно считать ма·
тричным аналогом передаточной функции оптимального
фильтра (2.37).
Оценку максимального правдоподобия найдем, под
ставив (2.66) в (2.64) и решив уравнение правдоподо
бия. Нетрудно видеть, что МФП-оценка равна
(2.75)
и совпадает с оптимальной оценкой (2.73) только тогда,
когда с-•=== о.
~
f)
1
2.4. Статисти1tескал регуллризация решенuя
i3i
Для сравнения точности оценок (2. 73) и (2. 75) необ
ходимо вычислить соответствующие им ковариационные
матрицы ошибок по формуле
Се=Е[(е-me)(е- mЕ)т) ==
... .....
........
т
=Е {((s-s)-mE][(s- s) --mE] }.
Можно показать [83). что для оптима.11ьной оценки Се
равно G. т. е.
с50 ==(С;1 +нтс;
1
н)-1 ,
(2.76)
а для оценки максимального правдоподобия
с =(Нтс-1 н)-1
ел
v
•
(2.77)
Таким образом, обратные матрицы в круглых скобках
в (2.73) и (2. 75) есть не что иное, как ковариационные
матрицы ошибок. Сравнивая (2. 76) и (2.77), видим, что
ошибки оптимальной оценки в общем случае меньше,
чем ошибки МФП-оценки. Этого и следовало ожидать,
учитывая, что метод максимального правдоподобия ис
пользует существенно меньшую априорную информацию.
Только при с;-1 ~О ошибки обеих оценок совпадают.
Следует подчеркнуть различие в решениях основного
уравнения, получаемых по формулам (2.73) и (2.75).
В выражении для обратной матрицы в (2.73) содержит-
ся аддитивный дополнительный член c~J I играющий ста-
билизирующую роль и делающий решение устойчивым
(см. § 2.1), а .в (2. 75) такого члена нет. Поэтому реше-
ние, полученное методом максимального правдоподобия,
нельзя считать регуляризованным. Нетрудно видеть, что
такое решение по существу сводится к решению по мето
ду наименьших квадратов (см. (1.93) в §1.5) и в случае
.невырожденной квадратной матрицы эквивалентно
обычному нерегуляризованному решению по методу
инверсной фильтрации s H-tf. Это происходит потому,
что без введения априорной плотности вероятности Po(s)
понятие статистической регуляризации теряет смысл.
9*
tз2
j_ РегуляриЗация решения при восстановлениtt сигналоlJ
Только предположение о том, что опыт по измерению
наблюдаемого вектора f является одним из серии подоб
ных опытов, которые производятся при различных со
стояниях искомого объекта s, выбираемых случайно
в соответствии с плотностью вероятности Р0 ( s), позво
ляет получить в методе статистической регуляризации
"
решение, устоичивое к малым изменениям исходных
данных.
С помощью метода статистической регуляризации
"
"
можно получать устоичивые решения не только линеи-
ных, но и нелинейных уравнений (84). Предположим,
что в составе системы приема сигнала имеется нели
нейный безынерционный элемент, последовательно со
единенный с линейной частью системы. Этот элемент по
некоторому нелинейному закону <р преобразует от.клик
линейной части системы fт=Hs в выходной сигнал
q;(Hs), т. е. компоненты f1, f2, .. • , fм вектора fт отобра
жаются в соот:цетствующие компоненты <р (f1), <р (f2), ...
. . . , ср(fм) вектора ср(fт). Тогда для восстановления сиг
нала необходимо вместо линейного ура1внения (2.53) ре
шить нелинейное уравнение
qJ (Hs) +v-f.
(2. 78)
Для его решения воспользуемся оптимальной оценкой,u
которую вычислим с помощью уравнения максимальнои
апостериорной вероятности (2.63). Если ~охранить все
принятые ранее •предположения о распределениях сигна
ла и шума, то априорная плотность Po(s) будет опреде
ляться согласно (2.65), а условное распределение
Р (f f s) будет равно
Р (f / s) = (2'2t)-м12 (det Cv)-
112
Х
Х ехр [-+[f- ер (Нs)]тС~
1
[f-rp(Нs)]}.
Вычислим составляющие уравнения (2.63), исполь
зуя (2.65) и последнее выражение. Получим
дtn~o(s) 1 .,,...==-c~•(s-ms);
s
s=zs
2.4. СтатuстtlчесkаЯ регуляризация решеJ.lиЛ
дln~(f1s)lsS= с;;-1[f- ~(As))НтDч~'
где Dч> - диагональная матрица
D=
ер
-
дf f1
о
•
•
о
•
-
д<р(f) 1.........
дf fм_,
13~
в которой производные берутся в точках, соответствую-
-
-
щих значениям компонентов вектора f=Hs (при числен-
ных оценках здесь, естественно, используется конечно
разностная аппроксимация производных).
Уравнение максимальной апостериорной вероятно
сти имеет вид
с;1 (f - ер (Hs)) Нт(}ср - С~
1
(S-Ш8)==0
и отличается от (2.71) только наличием нелинейности
ер (Hs) и матрицы производных о,.
Из предыдущего уравнения находим оптимальную
оценку
,,,.....
т
-1
-
s==ms+н пc,ocscv (f-ep(Hs)].
(2.79)
Нетрудно видеть, что решение (2.72) линейной задачи
является специальным случаем оценки (2. 79) при
-
-
(j) ( Hs) =Hs (тогда Dcp становится единичной матрицей).
Однако\ преобразовать (2.79) к виду, аналогичному
(2. 73), в общем случае нельзя. Фактически, оценка
(2.79) предста-вляет собой ·нелинейное уравнение, в ко-
-
...
тором искомыи вектор s входит как в левую, так и в пра-
вую часть ура1внения. Общие способы решения таких
уравнений неизвестны и уравнения обычно пытаются
решать численными методами.
i34
2. Регуляризация рёшёниЯ ripu восс1андвлении сигналов
Вместе с тем и без решения нелинейного уравнения
можно представить себе схему системы, которая вос
станавливает сигнал, лолученный нелинейной системой
приема, с помощью оценки по максимуму апостериор
ной вероятности. Будем считать, что исходное ма
тричное уравнение (2.78) порождено соответствующим
нелинейным интегральным ура1внением
<р[х, fт(х)] +v(x) - f(x),
(2.80)
где
ь
fт (х)== Jh (х, е) s ~) de; а<,х~Ь.
(2.81)
а
Предположим также, что и сигнал, и шум - гауссовы
случайные процессы с нулевыми средними и корреляци
онными функциями rs(X, и) и rv (х, и) соответственно.
Введем обозначения:
ь
ь
fт(и)==sh(и, e)s(е)d~; fq~):== sQп(~, и)f(и)du,
а
а
ь
g(~)==Iqn~. и)~[и,fт(и)]du;
а
ь
hs~. х)==1h(и,е)rs(х, и)du,
а
где §(s) -оценка точного значения сигнала s (s);
qn (s, и) - обратное ядро корреляционной функции шу
ма, определяемое уравнением
ь
~(х- ~) ==Jr0 (и, х)qn(е, и)du; а<х, ~<Ь.
а
Теперь по аналогии с (2. 79) при m8 =0 можно записать
следующее выражение для оценки непрерывного сигнала
по ·максимуму апостериорной вероятности:
ь
., ,.,..
s(x) ===5 hs ~' х) дff [е, /т (~)] [f {Е) -g (е)] de.
(2.82)
а
аТт<Ю q
2.4. Статистическая регуляризация решения
135
линсiiныii
qшльтр
Лu11cil11ыi1 BhlXOiJ
qn
л
Brp(X,fт(X})
11
flfт(X)
.....---------.
ДUффСРСНЦU
руЮЩСС 3~СН0
fJ /ilfт
Фu~:тр scxJ
- ---
-
-
-----,
Г сист~м11 п~и~м11 сигнала \
!l(x,!тrxJ) 1 -------- . ~
нслинеuнис fт(х) линсiiныо
L-----------+t; зВс110
tри.льтр ~-
1
!1
h
1
L------~-_1
Рис. 2.5 . Схема непинеfiноА системы вос~танов.nення сигна.nа
Нетрудно проверить, что дискретизация функций, входя
щих в равенство (2.82), с учетом ·принятых обозначе-
u
"
нии приводит к матричнои записи оценки сигнала
s= HTD~Rs (R;1f- ~:-
1
ср (Hs)] === нтп~RsR;
1
[f- q>(Hs)],
(2.83)
полностью аналогичной (2.79) (при нулевых средних
матрицы корреляции и ковариации совпадают: Rs=Cs,
Rv=Cv).
Строгий вывод нелинейной МАВ-оценки непрерыв
ного сигнала в форме (2.82) можно получить, используя
разложение Карунена - Лоэва, позволяющее характери-
"
зовать гауссовы случаиные процессы при помощи счет-
ного множества статистически независимых случайных
величин, распределенных по нормальному закону [ 13].
Из (2.82) следует, что нелинейная система восстанов
ления сигнала, вычисляющая оценку сигнала по мак
симуму апостериорной вероятности, должна быть систе
мой с обратной связью (рис. 2.5). Как видно из схемы
рис. 2.5, нелинейность системы вызвана тем, что в цепь
обратной связи включена сама система приема сигнала,
содер.щащая, по усло~ИЯ!\1 ~ада чи:, н~линейное ~B~JJO,
136
2. Регуляризация решения при восстановлении сшналов
Система, изображенная на рис. 2.5, я·вляется физи
чесl\и нереализуемой, так как при ее построении был на
рушен принцип причинности: при обработке информации
в темпе приема оценка сигнала, поступающая на вход
системы по цепи обратной связи, должна появляться не
позднее, чем наблюдаемая функция f (х). Такая система
не может восстанавливать сигналы, зависящие от теку
щего времени. Однако физическая нереализуемость не
является препятствием для построения схемы рис. 2.5
с помощью оптических устройств обработки сигналов,
которые не вступают в противоречие с принципом при
чинности. При использовании таких ·систем мы допуска
ем, что н-аблюдаемая функция заранее регистрируется и
хранится в оптической памяти в течение некоторого вре
мени, а уже затем подвергается обработке как ·функция
пространственных переменных (см. гл. 3).
2.5. СРЕДНИЕ КВАДРАТИЧЕСl(ИЕ ОШИБКИ ВОССТАНОВЛЕ
НИЯ
Различные методы восстановления сигналов, рас
смотренные выше, обеспечивают и различное качество
восстановления. Для сравнения методов восстановления
можно воспользоваться разными критериями качества.
Выбор того или иного критерия обычно определяется
особенностями решаемой задачи восстановления и спе
цификой физической природы обрабатываемых сигналов.
Наиболее распространенным критерием является сред
нее квадратическое отклонение восстановленного сигна
ла от истинного.
Ранее было 1показано, что методы восстановления,
предусматривающие решение основного интегрального
уравнения типа свертки, можно различать по способам
обеспечения устойчивости решения, которая достигается
умножением передаточной функции инверсного фильтра
1/ Н (ill) на стабилизирующий множитель К (ro) того или
иного вида. Такой подход позволяет лолучить довольно
простые формулы для средних квадратических ошибок
восстановления .в каждом конкретном методе. Взятые
для анализа методы вое-становления сигналов приведены
в табл. 2.1, где помещены реш ение задачи (в матричной
форме), перед?~оч~ая Фr~~ЦitЯ и стабилизирующцй ~JiO:-
2.5 . Средние квадратилеские ошибки восстановления
tз7
u
u
житель, а также показана форма кривои передаточнои
функции каждого метода. Ясно, что из выбранных мето
дов наименьшей средней квадратической ошибкой вос
становления обладает метод оптимальной фильтрации,
наиоольшей - метод инверсной фильтрации без ограни-
"
чении.
Для получения средних квадратов (дисперсий) оши"
бок различных методов восстановления предположим,
что сигнал и шум относятся к классу стационарных слу
чайных процессов, и воспользуемся формулой, ан;алогич
ной (2.23):
00
0
2
; = Е [S (~)-8т(Е)]2= ;"' 5{[К1(ю)-1)2 Rs (о>)+
--00
+
K2
i (ro)
}
1H((J)) 12 Ro (w) dю.
(2.84)
Подставляя в (2.84) различные функции Ki (1ro) из
табл. 2.1, получаем формулы для расчета дисперсии
ошибки a2 i (i.=1, 2, ..., 6) разлцчных методов восстаН{)В
ления сигналов.
Для метода чисто инверсной фильтрации находим
00
2
1 5 Ro((J)) d
а]= 21t
1Н((J))12 ю.
(2.85)
-оо
Ясно, что так как H(ro)-+0 при l ·rol-+roг, где rог-гра
ничная частота передаточной функции системы приема
сигнала, величина а21 стремится к бесконечности.
Для метода инверсной фильтрации с ограничением
полосы частот фильтра вследствие четности спектраль
ных плот}Iостей сигнала и шума получим
(l)c
оо
~_ 1sRo((J))
15
а2--;- IН((J))12dw+П R8(w)dw.
о
(1)
с
(2.86)
Средний квадрат ошибки в методе инверсной филь
трации ·С ограничением полосы частот и усиления филь-
198
2. Регуляризация решения при восtтанЬвлении сигналов
l'Iаименоваюtе метода (l == 1, . . .•6)
1. Инверсная фильтрация
без ограничений (рнс. а)
2. Инверсная фильтрация
с ограничением полосы
частот фильтра (рис. б)
3. Инверсная фильтрация с
ограничением полосы ча
стот и усиления ср.льтра
(рис. в)
4. Разложение обратного
оператора в ряд Неймана
(рис. г)
5. Регуляризация решения
методом А. Н. Тихонова
(рис. д)
6. Оптимальная фильтрация
(рис. с)
н
\
н
\
"1/Н(ю)
\
Решение
-
-
т
т
s;=н-11илиs=(Н н)-1нf
s- ( ~ 1'-;;-
1
q,,tn) f
n=I
N
S=~ (1-Н)'Ч
n=zO
-
т
т
s =(Н Н+e&Q)-tH f
1
1
1
1
н
2.5 . Средние квадратические ошибки восстановления
139
\
\
Передаточная функция. Н ., (ro)
в~
н• (ro)
1Н (ro) 12
или
{н(~) ;
О·,
.
1
{
Н(ro) ; /ro 1~Шс
А; (l)Ф ~ Jrol>(l)c
О; Jrol > rоФ
N
~[1- Н(ro)]n
n=O
н
1
1
\
1
\--1/Н(Ш)
1
\
1
\
H8 (ltJ) 1
\
\
\
~
il)
н
о
Та блица 2.1
Ста5илнзирующиf\ множитель,
J(i (ro)
1
н
,
\
'
,
\
1
1
\
1
\
1
1
\--1/H(ltJ}
1
\
1
\
1
\
H8 ((J)} 1
1
1
Юг
140
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
тра вследствие того же условия равен
a•.=+Ji:(~)~. dm+ ~·r Rv(m)dm+
Cl)c
(!)ф
00
+ +S[АН(m) - 1)2 R. (m) dm + +SR. (m) dm. (2.87)
mc
mф
Для метода восстановления, основанного на разло
жении обратного оператора задачи •в ~ряд Неймана, на
ходим
00
а••= ;" S[1 - Н (m)]2(N+I) R. (m) dm +
-00
+ 2~1{~[1- Н (m)]"}
1
R" (m) dm.
(2.88)
Для метода регуляризации· А. Н. Тихонова получим
приведенную в [l) формулу
00
0
2 =_.!__ sa
2
Q2(ro)R11(ro)+1Н(ro)12Rv(ro) d
6
2'lt
[1Н(ro)12+aQ (ro)]•
m.
(2.89)
-00
Дисперсия ошибки, свойственная методу оптималь
ной фильтрации, определяется также известной форму
лой (см. (2.40))
00
1
1s
Rs (ro) Rv ((О)
d
о6= 2~
1Н(ro) f2Rs {ю)+Rv(ro) w.
(2.90)
-00
Величины 0 21, · •••,
0 26 характеризуют средний ква
драт ошибки на выходе восстанавливающих фильтров
различных типов. Рассмотрим теперь дисперсию ошибкн
без вос·становления. Очевидно, что уклонение набл1одае-
1\4ОЙ ·функции f (s) от истинного сигнала sт (s) ~ присут-
2.5. Средние квадратические ошибки восстановления
t4J
ствии помехи v(s) равно
со
f(е)-sт~)= i" J[F(m)-Sт(ш)]ехр(jеш)dm =
-со
00
=
i" S[Sт(w) Н(m)+V (ю) - Sт(ш))ехр(jem) dш==
00
== i~ S{[Н (ш)- 1) Sт (w) +V (ш)} ехр (J-em) dш, (2.91)
-оо
где F(ro), Sт(ro) и V(rо)-спектры Фурье реализаций
f (s), sт (6) и v (s) соответственно.
Найдем величину среднего квадратического уклоне
ния, используя формулу (2.91):
0
1
1= Е [f(е)- Sт(е})1-Е [ ( 2~1{(Н(m)- 1] Sт (ш) +
00
+V (w)} ехр(1~)dю)(i" j {[Н(w') - 1] Sт(ш')+
+V (w')} ехр(J~')dwYl = 4~fi[Н(w) - 1]Х
Х(Н(ш')- 1]*Е(Sт(ш)S*т(ш')]ехр[je(ш- ш')]dmdm'+
00
+ 4~SSЕ[V(w)V*(w')) ехр[je(m-m')) dwdш'+
00
+ 4~,П[Н(w)-1)Е[Sт(ш)V* (ш')) Х
-00
со
Х ехр [je (ш- ю')) dmdw' + ~ Jj [Н (w')- l)*X
-оо
ХЕ [S~~ (ш') V (m)] ехр (je (m - w')] dmdш'.
(2.92)
142
2. Регуляризаt{llЯ решения при восстановлении сигналов
Если предполагать некоррелированность процессов sт(~)
и v (~), то два .последних интеграла в (2.92) будут рав
ны нулю. Для этого случая, используя (2.21), получаем
00
0
1
1 = i" 55{[Н (rn)- 1] [Н (ш')- 1]* Rs (о>)+ Rv (ш)} Х
-00
Х8(ш- ш')ехр[~(ш - ш')]dшdш'.
(2.93)
Интегрируя в (2.93) по переменной ro' и пользуясь филь
трующим свойством 6-функции, находим
00
0
1
1_=
i" S[!Н (rn)-11" Rs (rn) -f R0 (rn)] drn.
(2.94)
-00
Определим уклонение средних квадратов ошибки
при наличии восстановления и без него. В общем случае
из (2.84) и (2.93) получим
00
да"/= а2f - а'1= i" S({1Н(rn) - 11" -
-00
-
[К1(rn)- 1]1 } R. (rn) +1Н (~)); {:)~:1 (ro) R0 (rn>) d•>.
(2.95)
Для упрощения выкладок допустим, что h (х) - действи
тельная четная функция, так что Н*(ы)=Н(ы), и пред
ставим (2.95) в виде
00
М,= i" J({Н'(rn)-1(11 (m)+2[К1(rn) - Н(ш}]}Х
-оо
хR 1ю)+No(ы)- К
2
i (ы)R 'ш))dш
s\:
No (ы)
v\:
•
(2.96)
Подставляя в (2.96) стабилизирующие множители
Ki (ю) из табл. 2.1, находим
00
Ла',= i" 5{[Н (rn)- 1)1 R, (rn) + н~~~; 1
R0 (rn)}drn,
(2.97)
2.5 . Средние квадратическ.ие ошибки восстановленил
143
wc
00
да•1 = +S[Н (rn) - 1)" Rв (ш) drn -+ 5Н (m){2-Н(ш)]Х
о
00
wc
ХR.(ш)dш+ 2-J Rv lш) dш + -
1
SН2(ro) -
1
R()d
.,/
п
\:
п
Н2(ы) vш ш,
w
о
с
(2.98)
w
да"•=+f{[Н(ш) - 1] 1 R, (ш) + Н~~~"'}
1
R,,(rn)}dш -
00
-+5{Н(ш)(2-Н (ш)] R.(ш) - Rv (rn)} dm+
(l)ф
+ 1:А J(ю +А)Н" (ш)-2Н (ш)} R,(ш) +
wc
+ (1 +А) R., (ш)) dш,
(2.99)
00
да•.=- i"_ S[Н (ш)- 1}2 {l + (1 -Н (ш)]N-l} R.s(ш) dш +
-со
(2.100}
До11=-i.;- J( [Н(ш)-1)1
-оо
а?.(22(ы) )R ) +
rн2 (ю) + aQ ((1))]2 s(ш dш
00
+ 2~ S[1- Но (<d) ~ aQ(<d)] R11(ш) drn,
(2.101)
-00
144
2. Регуляризация рещения при восстаньвлении Ctti'tюлon
00
S
rН2(ro)R5((J)) + Rv ((J)) - 11 ((J)) Rs ((J)) ]2 dю
Н2 ((J)) Rs ((J)) - V ((J))
.
•
-00
(2.102)
Представляет также интерес определить величину
относительной ошибки различных методов по сравнению
с методом оптимальной фильтрации. Вычитая (2.90) из
(2.84), получаем для i=l, ... , 5
00
&12,=01,-а'.= i" S{[К1 (w)- 1) 2 R.(rn)+
-оо
+
К2 i (roj
Rs (ro) Rv (ro)
}
1Н(ro)12 Rv(ю)- 1Н(ro) J2Rs(ro)+Rv(ro) dш. (2.103)
Подставляя в (2.103) различные функции Ki (ы) из
табл. 2.1 в предположении, что Н* ( ю) =Н (ы), находим
00
82
1s
/(Jv (ro)
d
а 1= 2-zt.
Н2 (ro) [Н2 ((J)) Rs (ro) + Rv (ro)] ш,
'- 00
00
1j'
R2s (ro) Н2 (ro)
+--;-- Н2 ((J)) Rs (ro) + Rv (ro) dш+
(l)ф
(2.104)
(2.105)
(l)ф
+
_1s{А[Н2(ro) Rs(ro) +Rv((J))]- Н (ro) R5(ro)}2 dm
-zt
Н2 (ro) Rs (ro) + Rv ((J))
'
(2.106)
'l.5. Средние квадратичеt1r;;и~ ошибки восстаноtJЛениil
145
00
~024= }" S(11 - Н (m))
2
(N+t)Rs (ш) +
-00
+ {~[1 - Н(ш)]п}
2
R. (ш) - н•<~s~:~ro~·~°'k. (ro) ) d11
,
(2.107)
00
~-2
1
U'O ,= 27t
5[(J.Q (ы)Rs (ы) - Rv (ы) J2
Н2 (ы)
Н2(ы)+aQ(ы)
No(ы)Rs(ы)+Rv(tu) dm.
-00
(2.108)
До сих пор мы предполагали, что мешающее воз
действие на процесс восстановления оказывает в основ
ном аддитивный шум, наложенный на наблюдаемую
функцию. Однако в реальных условиях помехой явля
ются и ошибки измерения передаточной функции систе
мы приема сигнала Н (ro). В этом случае при решении
задачи восстановления вместо истинной функции Н (оо)
мы используем некоторую функцию Н ((\)) +~ (ffi) .
Восстановленный сигнал в случае неточного знания
передаточной функции представим в виде
00
S:.1 ~ = }" JК1 (ю) Н ("{;_~>Н(ro) Sт (ю) ехр (}ею) dю +
-~
00
+i" SК1(ю)н(ro)~ш(ro) V(m)ехр(i~)dm.
(2.109)
-00
Для преобразования (2.109) воспользуемся справедли
вым при 1бН (ffi) / Н (ffi 1< l разложением [85]
1
_
1
liH((J)) +
Н(ы)+~Н(ы) - Н(ы) -1Н(ы)12 ~(m),
(2.110)
rne R'm)/~lliH(ы)12
1-\
~~
1Н(ы) 1з •
10-866
146
2. Регуляризация решений при восстановлении сигнаАОfi
Подставляя (2.110) в (2.109), получаем
-со
ао
хs /. "'!'&
·е..~
1 s ·~н(ю)v· \х
"'w1exp Uvu) dw-2ft К1 (w) I Н(ю) I' (w1
-00
Х ехр (Jcw) dw+ у1 (w),
(2.111)
где
00
У1 (е)...;; ;" S{К, (ю) Мо)[Н (m) S7 (m) +V(m))} ехр ~)dm.
--<Х1
(2.112)
В случае точного знания передаточной функции
Н (ro) ·восстановленный сигнал был бы равен
00
Sro=j,, JК, (m)S7 (m)exp(J'tm)dm+
-со
00
+j,, J:J~: V (m) ехр (/Ьо) dlll.
(2.113)
-со
Вычитая (2.111) из (2.113), получаем величину
уклонения решения задачи при точном и неточном зна
нии характеристики искажающего звена:
00
'
_
-
-
_
1 J дН(rо)
е1 {e)-S ~)- Sв1 (е)- 2n К1 (w) H*(ro) Sт(ш) Х
-00
00
•
1Г
~Н(ю)
Х ехр Qem) dm+~ JК1 (w) I H((J)) 12 V(ш) Х
-00
Х.ехр (j~w) dw -у1(~).
(2.114)
2.5 . Средние квадратические ошибки восстановления
147
с- помощью формулы {2.114) можно легко найти
величину Bi (~) для любого из стабилизирующих множи
телей Ki (ro), не Зависящих от Н (w). Проделаем это на
примере метода инверсной фильтрации с ограничением
полосы частот фильтра (i=2).
Учитывая, что K2(w)=l на интервале (-wc, roc)
и K2(ro)=O вне этого интервала, получаем
wc
s1 (е)=+ s~~:\ S7 (rn)exp(J"em) drn+
о
сос
++ 51~~~~· v (ш) ехр и~> drn -у2 ~).
(2.115)
о
На основании (2.115) получим дисперсию ошибки,
обусловленной неточным знанием Н (ro), для рассматри
ваемого метода:
roc
roc
а2 =-1 s1оН(ы) f2 R (m) dm +-1 r 1liH(ы)12 х
И2 '1t
1Н(ы) 12 s
'1t J1Н(ы)14
о
о
ХRv(ш)dm-у2•
(2.116)
Оценка дисперсии такой же ошибки для метода ре
гуляризации А. Н. Тихонова получена в работе [85]:
00
2
1s
аа11= 2т.
cx
2
Q2(ы)Rs(ы)+Rv(ы)1Н(ы)12 dm+
[1Н(ro)12+a.Q(ы)]2
+
Rv(ы)1Н(ы)12+a.
2
Q2(ы)Rs(ы)}d _
[f Н (ы) 12 +aQ (ы)]2
m
У11•
где 0=Е1 sн (m) \1
,
00
1
~1s
fliH(ы) 1
2
Х
l 'Y11 ~ 2'1t
[1 Н(ro) 12 +aQ(ы)]4
х{D 'm)+Rv(ы)1Н(ы)f2+a.
2
Q2 (ro) Rs (ы)} dm
•ч\
[1Н(ro)•1 + aQ (m)]•
•
10*
(2.117)
148
2. Регуляризш1ия решения при восстановлении сигналов
Дисперсию ошибки вследствие неточного знания пе
редаточной функции для метода оптимальной фильтра
ции находим из (2.117) при aQ(·w)-Rv(w) /Rs(ш). После
несложных преобразований получим
где
00
2
1r
анв==27t J
Rv((J)) Rs((J))
1Н((J)) f2Rs((J)) + Rv((J)) dm+
- -00
00
+1s
0
1
Rs ((J))
~ JН ((J))f2 + Rv ((J))/Rs ((J)),Х
-оо
00
1J
1 (JH ((J)) 1
2
{
\у6 /~~ [JH ((J)) 12+ Rv ((J))/Rs ((J))]4 Rs (m) +
-оо
+
Rv((J)) 1Н((J))12 +R
2
v((J))/R2s ((J))l d
[1Н((J)) 12 +Rv ((J))/Rs (ы)] 2 ( m.
(2.118)
Пользуясь формулами (2.85)-(2.90), (2.97)-
(2.102), (2.104)-(2.108) и (2.116)-(2.118), можно
сравнивать по критерию средней ~вадратической ошиб
ки качество восстановления, достигаемое различными
методами nри тех или иных передаточных функциях
"
искажающеи системы и спектральных плотностях сигна-
ла и шума. Различие методов обычно хорошо проявля
ется при моделировании их на ЭВМ.
2.6. МОДЕЛИРОВАНИJ: МЕТОДОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГ
НАЛОВ НА ЭВМ
Для сравнения методов по критерию средней квад
ратической ошибки оказалось возможным ограничиться
расчетом на ЭВМ ошибок по формулам, выведенным
в предыдущем параграфе. Для сравнения по другим
критериям осуществлялось моделирование процессов
восстановления конкретноr-о тестового сигнала различ
ными методами.
2.6. Моделирование методов восстановления сигналов
t49
~вL--~--.l----+---l---Jt-_,___,_-1-1
Рис. 2.6 . Зависимость дис
персии ошибки метода ин
версной фильтрации с orpa- 0,21.-----1-----+-~~-~--+--1
ничеиием
полосы
частот
фильтра от нормированио~
частоты среза юс/Юr при
различных значениях отно-
шения сигнал/шум Ф
о
0,125
0,250
При расчетах среднего квадрата ошибки использо
валась следующая модель задачи восстановления:
Н (ro) =ехр (-cro2 ); Rs (ro) ~s (О) ехр (-,; 1ro1);
Rv(ro)=Rv(O)~onst.
(2.119)
Отношение сигнал/шум определялось по интегральной
формуле
Ф= JR. (ш) dm / 1R0(ш)dm.
_.r
- t0r
(2.120)
Проведенные расчеты иллюстриру1отся графиками
рис. 2.6 -2 .14 . Обсудим полученные результаты. Зависи
мость дисперсии ошибки метода инверсной фильтрации
от частоты среза ffic, определяющей ширину полосы про
пускания фильтра, характеризуется наличием некоторой
оптимальной частоты среза, при которой дисперсия
ошибки мини~альна (рис. 2.6) . Это объясняется тем, что
ошибка содержит две составляющих: шумовую (первый
член в (2.86)) и сигнальную (второй член в (2.86)). ИJ_С
150
2. Регуляризация решения nptt восстановлении сигналов
\
О,7
D,51---
--1
о,~.__~~_._~~--'~~~-'-~~~~~~~
D
0,1
0,2
0.J
D/t Шrp/liJr
dj
liJc=D/t5liJr
1
1
0,5
·-
(J)c=O. 1{J)г
(J}c=0.2Wr
1
о.~
о.3
o.z
0,1
о
0,1
O,Z
O,J
O.'t wф/(J)r
Oi---~--'-~~~......_~____..__~_.__--~~'--~--'
10
20
50 100 zoo
500 ~
Рис. 2.7. Зависимость дис
персии ошибки метода ин
версной фильтрации с огра
ничением по.лосы частот и
уси.ления фильтра от норми
рованной частоты ограниче
ния усиления ro Ф/ror при
различных значениях часто
ты среза roc:
а- дпя
отношения
сиr-
нал)шум Ф=7;
6-дпя отношения
сиг-
иал/шум Фе:500
Рис. 2.8 . Зависимость дис
персии ошибки метода раз
ложения в ряд Неймана от
отношения сигнал/шум Ф
при раз.личном числе чле
нов разложения N
можно рассматривать как случайную и систематическуld
ошибки. Если выбрать частоту среза меньше оптималь
ной, то вследствие недостаточной компенсации искажаю
щего действия системы приема сигнала увеличивается
систематическая ошибка восстановления. Если же ча-
2.6 . Моделирование методов восстановления сигналов
151
0,01
0,02
0,0J
с
o,z...-~-+~~......;;:11,.._=--+~~r-~~-г-~__,
~tl--~4-~---1f--~t--~+--=~._.-=i
o.__~--L-~~__..__~~~~.__~~...L....~__.
10 20
50 100 200
500 !!!
Рис. 2.9. Завие.имость дис
персии ошибки метода раз
пожения в ряд Неймаиа
(при N - J) от параметра с
Рис. 2.10. Зависимость дис
персии ошибки метода ре
гупяризации А. И. Тихонова
(со стабипизатором 1-ro по
ряАка) от параметра реrу
пиризации а
Рис. 2.1 J. Зависимость дис
персии ошибки метода опти
мапьной фипьтрации от
отношения сигнал/шум Ф
стота среза больше оптимальной, то из-за неустойчиво
сти решения происходит резкое увеличение случайной
ошибки. Естественно, чем больше отно~пение сиг
нал/шум, тем в ыше оптимальное значение частоты ср еза
и тем шире допустимая полоса частот фильтра~
152
~.
.
2. Регуляризация реШения при восстановЛении сигналов
в том случае, когда в методе инверсной филь-r:ра
ции предусмотрено ограничение усиления фильтра на
интервале от roc до некоторой частоты rоФ:::::;;rог, диспер
сия ошибки зависит как от rоф, так и от roc (рис. 2. 7)
Выбор частоты среза ·ffic существенно влияет на зави
симость дисперсии ошибки от частоты rоф. При сравни
тельно небольших значениях отношения сигнал /шум Ф
дисперсия ошибки этого метода Мо}кет быть значительно
меньше, чем в случае ограничения только полосы частот
(рис. 2.7а). Так, например, из рис. 2.7,а видно, что для
значения ·rос=0,05ыг кривая, отража1ощая зависимость
дисперсии ошибки от частоты Ыф, лежит ниже штрихо
вой линии, отражающей такую же зависимость при
ограничении только полосы частот. Однако при больших
значениях отношения сигнал/шум дисперсия ошибки ме
тода, предусматривающего ограничение усиления филь
тра, всегда больше, чем у метода с ограничением поло
сы частот на оптимальной частоте среза (рис. 2.7,6).
Это объясняется неточностью коррекции искажений,
внесенных системой приема сигнала, на интервале от roc
ДО (J)ф.
Ограничение усиления инверсного фильтра в конеч
ном счете позволяет расширить диапазоJJ восстан.?вли
ваемых частот сигнала при ошибке восстановлеlfИ1i, со
измеримой с минимальной ошибкой м~етода, осно~анного
на ограничении полосы частот фильтра. Предельная ча
стота спектра восстановленного сигнала в случае огра
ничени~ усиления фильтра может достигать ыг.
Дисперсия ошибки итерационного метода, основан
но~о на разложении обрат.нога оператора задачи в ряд
Нейма·на, зависит от mнош·ения ·сигнал/шум и от чис
ла N учитываемых в .разложении членов ряда (рис. 2.8).
Этот мет.од эффективен' при дос-таточно «узк'()Й» ·весовой
фу.нкц·ии иокажающей системы (см. § 1.4). В принятой
модел.и шир·ина весовой функции определяется парамет
ром с из формулы Н(ы)=ехр (-cffi2 ). С уменьшением
велич1ины с дисперс.ия ошибки, как и следовало ожи
дать, уменьшается (рис. 2.9). В ча·стности, · при конкрет·
ном значении с=О,025, которое было .взя1'о для .расчета
:iрафи~ов рис. 2.8, мет.од ·разложения в ряд Неймана
дает большую ошибку, - чем методы ограниченной ин-
версной фильтрации.
.
_
_
2.6. Моделирование .111-етодов восстановления сигналов
153
В методе регуля.ризации А. Н. Тихонова для .каж
дого значения отношения сигнал /шум имеется опти
мальное значение параметра регуляризации ао, ·при ко
тором дисперсия ошибки минимальна (рис. 2.10). Не
большие уклонения параметра регуляризации от его
оптимального значения, ·Как видно из графиков ряс. 2.10,
не приводят к значительному увел.ичению ошибки, что
и следовало ожидать (см. § 2.1). На практи1<е это по
зволяет определять велич.ину а, .обеспечивающую при
емлемый результат восстановления, в вы·числительном
эксперименте ·С :небольшим числ·ом лроб.
~Метод ·оптимальной фильтрации, вследствие исполь
зования апр.иорной •и.н-ф·ормации о спектральных -плот.но
стях сигнала и шума, обеспечивает м·инимальную дис
персию ошиб~и восстановления (рис. 2.11). Как видно
из графиков ·рис. 2.11, в .раосматр=иваемой задаче пр.и
больших значениях отношения сиг.нал/•шум (Ф~500)
путем восстановления .сиг.палов можно уменьшить дн-с-
пер.сию ошибки в три •раза и более.
·
Сопоставление зависимостей дисперсии ош·ибки от
О'f!Ношения :сигнал/шум для различных ме11одов восста
новления показано на рис. 2.12. Графики р·ис. 2.12 рас-
"
считаны для оптимальных значении параметров ffic, rоФ
и а при с-0,025. Из рис. 2.12 в.идно, что наилучшее
прибл.ижение к оптимальной ·фильтрации обеспечи.вает
метод регуляризации А. Н. Т·ихонова. Другие методы
дают худший результат воостановлен.ия по ·к1ритерию
средней квадрат.ической ошибки. При этом метод инвер.с
ной фильтрации с ограничением полосы частот позво
ляет 1восстанавл·ивать ·сигналы лишь при отношении
·сигнал/1шум Ф~О. При меньших значениях сигнал/шум
кривая и21 (Ф) проходит выше, чем кривая и21 (Ф), отра
жающая дисперсию ошибки до восстановления.
Подчеркнем еще раз, что проводимое сравнение
относится к :коон~ретной модели задачи восстановления.
П·о этой причине .на рис. 2.1 ·2 не нашел ·отражен.ия ме
т.од ·разложения в ряд Неймана, который в данной за
даче ·при с==О,025 дает заведомо плохой р.езультат.
Эффек1ивность методов восстановления сиг.нал.ов
существенно за•внс-ит от точности вы·бора па:рам·етров roc,
ffiф, N и а, ·согласующих качество в~осстановления с шу
МС?В:РI~·~ характеристикам.и зада~и . Крити~ность ка~дq-г9
154
2. Регуляризаt{ия решения при восстановлении сигналов
df.
0,2
500 •
ЦZL-~~~.__~~--....._______ ._ ___~__.
о
0,5
1,0
1.5
х
&§,oj
0,5
0/t
(J.,Jl--~~~::-t--~+.:--::-=:+-~~-t--~4
o,zt=t~~~
D,1
о
10 20
50 100 200
500 •
Рис. 2.12. Зависимость дис
персий ошибок различных
методов восстановления от
отношения сигнал/шум Ф:
1 - метод инверсной Фил ь
трации с ограничением по
лосы частот фиJiьтРа; 2 -
метод инверсной фипьтра
ции с ограничением полосы
часто-r и усиления Фильтра;
3 __. метод
регуляризации
А. Н. Тихонова; 4- метод
оптимапьной фипьтРации
Рис. 2.13. Зависимость дис
персий ошибок различных
методов восстановления от
величины х, характеризую
щей расстройку согласую
щих параметров от их опти
ма.пьных значений:
1 - метод инверсной Фильт
рации о ограниченнем по
лосы часто-r фильтра <х =
=rocfroc 0 ); 2 - метод ин
версной фиJiьтРации с огра
ничением полосы часто-r и
усиления
Фильтра
(Х=
=rоФ/rоФ 0); 3 - метод регу-
ляризации А. Н. Тихонова
<х=а/а0 )
Рис. 2.14. Дисперсия ошибок
метода регуляризации А. И.
Тихонова (
) и метода
оптимальной
фильтрации
(-- -) при точном (0= 0)н
11еточном (6=0,16) знании
передаточной функции иска
жающей системы H(ro)
метода к точности выбора согла1сующего параметра
"
можно отразить зависимостью величины дисперсии
ошибки o2i от расстройки параметра х; (рис. 2.13). Вели
чина х на р.ис. 2.13 - ·отношение вь1бранноrо значения
парам·етра .к его ·оптимальному значению: ыc/ffico ,
ffiф/Ыфо, а/ао. Как .нидно ·из графиков рис. 2.13, наиме
нее кри1iичными .к ра·сстройке ·согласующего параметра
QК?~ыва~тс~ ~етод реrуля1р·изации А. н. Тих0он9~за Ji м~-
2.Ь. Моделирование А1етодов восстанi)(Jления сигналов
t55
тод инверсной фильтрации с ограничением у0силения
фильтра.
Несмотря на то, что .м.инимальная дисперсия ошиб
ки, возника~ощей вследстви е воздейст-вия аддитивного
шума изм·ерений, достигается в методе оптимальной
фильт·рации, применение его на практике не всегда дает
лучший результат из-за неточного знания 1Спектраль·ных
плотностей сиг.нала ·И шума и характеристик искажаю
щей ·системы. Это иллюстрируется гра~ф.и.ками 1рис. 2.14,
на которых отражены .результаты расчета дисперсии
ошибки, нозникающей вследствие неrочного э.на~ия пе
редаточной функции Н(ы) при 0-Е[lбН(ы) )2]=0,15
для метода регуляризации А. Н. Т·ихонова ·и метода
оптимальной фильтрации. Из сопоставления кривых,
соответ·ствующих значению 8=0,15 ·И e=::jo (с известной
Н (ы)), видно, что качество восстановления сигналов
методом оптимальной фильтрации в боль·шей ·степени
зависит от ошибок измерения передаточной функции,
чем в методе регулнр-изации. Уменьшить .влияние этих
ошибок в методе регуляриза·ции удает·ся подбором зна
чения параметра .регуляризации, .согласова.нного не
rольwо с аддитивным шумом, но •и с погр·ешностью изме
рения передаточной фу:нкции.
М.r0делир1ова1НИе На Э·J31М МеТОДОВ ВООСТЗНQВЛеНИЯ
сиг,налов с целью их .сра.внения по ·различным крите
ринм осуществлялюсь для задачи восстановления, п.ре-
u
дусматривающеи •решение матр·ичного уравнения в.ида
Hsт=fт+·v. Точные .значения •сиг.пала sт(х) и отклика
fт (х) в от,счетных точках .были взяты из табл. 1.1 . Мат
рица Н .формировалась 1из ·от·счетов весовой функции
треугольной ·формы: h('0)=1/2, h(l)==h(-1)=1/ 4 , h(2)=
=h(·--t2) =О (см. ·рис. 1.·6,6) . .Процесс .появл·ения ~случай
ных ошибок пр.и измерении отклика ·моделир•овался ф-ор
мированием ·фу.нкции f (х) fт(х) +v(x) в результате до
бавления к отсчетным значениям fтп .возмущений c~n ,
где 1~п-случайные числа из интервала (-1, 1) с ра1вно
мерным законом распределения, с - масштаб возмуще
ний, определя~ощий величину о-гношения сигнал/шум,
·которая поддерж.ивалась на заданном уровне Ф=З 15.
Восстановл.ение ·сигнала на ЭВ1М проводилось мето
дом псевдообращения, методом пр·оекций и методом ре
гуляризации А. Н . Тихонова. Для оценки качества вое-
156
2. Регуляризация реiиениЯ при восстан()в.itенuи сиiйаЛое
становления в проц-ессе мо.цел'Ирования ра.ссчитывались
следующие ~величины: максимальное значение модуля
уклонения восстановленного сигнала от точног.о (абсо
лютная ·ошибка) t.Мsmax max!s(x)-sт(x) 1, среднее зна
чение модуля ·ошибк1и Mscp Els(x)-sт(x) 1 и с.редний
квадрат ошибки 0 2
8
Е [s(х)1-sт (х)] 2•
Оценка 'реш.ения основного матр·ичноr·о уравнения
при памощи метода псевдообращения находилась по
формул·е (см. § 1.5)
R
-
-1т
S = ~ Р..п qntпf.
(2.121}
Этот метод мож.но рассматривать ~как численный аналог
метода инверсной фильтрации с огр.аничением пол·осы
частот фильт·ра. Он основан 1на построении мат.риц Q
и Т: .матрица Q .формируется ,из собственных векторов,
соответствующих -наиболь•шим ·Собствен.ным значениям
матрицы Н нт, а матрица Т-rиз ·собст.в!енных векторов,
сооrгветствующих наибольшим собственным з·начениям
матрицы нтн. Вычисление сингулярных чисел μn °свя
зано с определ-ением собственных значений матрицы нтн
и упорядочиванием ·их по убывающей последовательно
сти. В машинном алгоритме метода псевдообр.ащения
из исходных матриц Н и нт ·С помощью ·стандартных
п.р-огра·мм ·формировались ма11рицы ннт и нтн, а затем
методом Якоби рас·считывал·ись .их собственные знач·е
ния и ·собс'Гве.нные век'})оры.
Ограничение числа R членов суммы (2. 121) в ме
тоде псевдообращения э.кви.валентно ·огранич·ению ча~то
ты среза mc ·в методе инверсной филырации. Ясно, что
должно 1сущесrгновать некоторое -оптимальное значение
Ro, при котором достигается наилучшее воестановление
-силнала. При больших значениях R сильнее проявляется
случайная ·ошибка, пр.и мень·ших - систематическая.
Завис-имость ·качества в-осстановления тестовог-о сигнала
от числа R, пос'J)роенная по результатам мvделир1ова.ния,
при .различных критериях ведет себя по-раз·ному
(рис. 2.15). Наилучшее ~;качество вооста~новления по кри
териям Msmax 1И IМscp дост.игает·ся при ~=1 О, а по J<:ри-
терию о2в - при R=9. При R<5 восстановление тесто
вого ·сигнала методом псевдообращения вообще ~Не на-
2.6 . Моделирование методов воссtановления сигнаJt()в
Рис. 2.15. Зависимость каче
ства восстановлеиия тесто- 101-----+--....,r--т-----;---т------r~r-t---;
воrо сигнаJJа от числа
чJJеиов разложения в мето
де псевдообращения;
1..,... критерий
М8 max: 2-
крнтерий М8 ею; 3- крите-
2
рий а28
OL..-~-'-~-L-~-'-.----'----'--__...._ _,.....~___.
56
7
В91011·12R
Рис. 2.16. Зависимость нор·
-
мы вектора невязки /lsт-sll
от числа циклов итераций к
в методе проекций
блюдалось (ошибки после 1восстановления были больше
-первоначальных).
АлгебраичесRий метод проекций относится к итера
ционным (ом. § 1.4 и 1.5). п.ри моделировании его на
ЭВ1М_ оценка решения в кажд.ом i-м цикл1е итераций вы-
158
2. Регуляризация решения при 86сстандвЛении сигналов
2
Nscp.ds
в
~1
1
\
1
\
\
\!
1
\
\
\j
1
1
\
\
~
1
б--\
-
"-
1
\
1\
1
\
\
1
1
\
\
1
1
\
9- ----\;
\
\
\
\
\
2.
о
7\
:;./ '
'
Стоdилизотор Стоdилизотир Cmoouлu3omop
J-го порнllко 2-ги по_рнllко 1-го порнllко
0.2
0/t
О,б d·lD-J
Рис. 2.17. Зависимость каче
ства восстановления тесто
-вого сигнала методом регу
ляризации А. Н. Тихонова
от параме-,ра регу.11яризации
по критериям М8 ер (-)и
(J2 (-- -)
8
числялась ло следующей формуле век1орной алгебры:
-.
-
-ьт
f
S1+1==Si-
SJ i+t- i+thT
lh11+1l2
l+i•
(2.122)
где hT - вектор-строка из Н.
Процесс итераций прерывался на к-м цикле по дости
жении заранее заданног() з·начения нор.мы вектора не-
-
вязки llsт-Sк.ll, равного 1.
В результат1е моделирования оказалюсь, чт·о хотя
метод проекций позволяет получить ДОВ()ЛЬ'НО точ.ную
"
оценку восста·новленноrо сигнала и имеет простои вы-
числительный алrор-и тм, он т~ребует довольно з-начитель
ных затрат машин.ног.о времени, которые определяются
в основном количеством циклов итераций, тр1ебуемых
для достижения задан.наго качества восстановления.
П·ри Э])ОМ 1на дл1ительность процесса итераций оказывает
существенное влияние точность выбора ·начального (ну-
.......
левого) приближения решения so.
Зависимость нормы вектора невяз.ки от числа цик
лов итераций к для различных случаев выбора началь
ного приближения показана 1на Р1Ис. 2.16. Как видно .из
графиков рис. 2.16, наименьшее количество итераций
2.6 . Моделировшше методов восстановления сигналов
159
Табдица 2.2
Наименование
Ошибка
мет()Да
Msmax 1 Mscp 1
IJll
s
Метод псевдообраще -
2,74
1,93
1,62
ния
(R=lO)
Метод проекций
3,08
1.02
1,08
(72 цикла итераций)
1\1етод регуляризации
2,84
1, 11
0,88
(стабилизатор 1-го
порядка)
требуеr.ся в том случае, когда за начальное приближе
ние ·берет1ся сама наблюдаемая функция so=f. Ошибка
-
в выборе начального приближения в большую (so=
f +Л) ·или меньшую (so-f-Л) сторону приводит к су
щественному у.величению длительности итеративного
п·роцесса.
Моделирован.не на ЭВМ метода регуля.ризаци.и
А. Н. Тихонова осуществлялось .с применением стабили
заторов 1-, 2- и 3--го порядков . Оценка р1ешения .нахо
дилась по фор·муле (2.12), причем в .качестве стабилиза
тор'°в 2- и 3-го порядка ·иепользовалась норма второй
и третьей производной сигнала (см. § 2.1).
Вычисл.ительная процедура в методе регуляризации
значительно п.роще, чем в ·мет·оде поевдообращ.ения и
методе проекций. Алгоритм этого метода сводится к по
строению ис~одных и регуляризи.рующих матр1иц и их
обращению.
В результате моделирования установлено, что в дан
ной задаче увеличенf!е порядка тихоновского стабилиза
тора при · правильном выб оре па·ра~метра регуля.риза
ци~и а 1не приводит к улучшению ·качества восстановле
·НИЯ (рис. 2.17). Заметим, что повышение порядка ста
билизатора принципиально влечет за собой усложнение
вычислительных алгоритмов и, к ак следствие, ув ел и~е
tJ~е ~ашrинноrо времени,
'
160
2. Регуляризация решения при восстановлении сигналов
Конкретные наименьшие значения критериев качест
ва восстановления тестового сиг.нала для 1рассмот1ренных
методов приведены в табл. 2.2 . Для •сравнения укажем
веЛ~ичину ошибок до восстановления, т. е. значения со
ответствующих уклонений наблюдаемой функции f (х) ==
fт(х) +v(x) от тестового сигнала:
·Mtmax=maxlf (х)-sт (х) 1===12,83;
1Mtcp-E lf (х) ·~sт (х) 1-4,41; 0 21-31,34.
Легко видеть, что в результате восстановления сиг
·нала абсолютную ошибку, ннес<:нную иекажающ.ей си
стемой ·И шумом, удалось уменьшить примерно .в 4 раза,
а дисперсию ош1иб.ки ~в 30 раз. Конеч.но, ·столь значи
тельное улучшение получено при большом отношении
сигнал/шум (Ф-315).
Из табл. 2.2 также видно, что 1в данной задаче ни
один и~ методов нельзя считать абсолю~но лучшим: ме
тод псевдообращения дал -минимум абсолютной ошибки,
u
метод проекции- миниму1м ереднего значения модуля
ошибки, метод р·егуляризации - минимум дисперсии
ошибки. В ереднем по всем критериям лучший ,резуль
тат получен методом регуляризации А. Н. Т1Их·онова.
Таким образом, целесообразность применения т1ого
·или иного 1метода вооста1новления сигналов зависит от
характеристик сигнала и шума, точ.ности определения
передаточной .функции искажающей системы ·И критерия
качества восста·новления. ·При ·отсут·ствии достаточной
априорной информации о задаче ·обычно лучший ·резуль
тат дост-игается с помощью метода 1р.егуляризации
А. Н. Тихонова. Кроме того, передаточная функция вос
станавливающего 1фильтра Нв (ro) в этом методе «глад
кая», •В Т·О время как ~функции Нв(rо) для дру,гих мето
дов (кроме :Метода оптимальной фильтрации) имеют
разрывы первого ·рода, как это вид.но из табл. 2.1 . Нали
чие разрывов передаточной функции означает появление
нулей в весовой функции hв (х), так как фурье-образ
·разрывной ·Функции всегда носит колебательный ха.рак
тер [72]. В ~онечном счете это приводит к определен
ным трудн-остям в ·реализации мащинных алгоритмов
~ОС·СТаНОВJiения,
.
"
•
-
•1;~
2.7. Вычислtп·ельные аспеt<.ты в осстановленшz сигналов
16(
2.7. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГ
НАЛОВ
При решени и задач восстановления .сигнало.в с по
мощью универсальных ЭВМ можно использ овать раз
личные алгоритмы численно го анализа основ-наго инте
гр аль·ного уравнения. Для уравнений типа свертки эти
алгоритмы можно •разделить на три группы: алгоритмы
обработ.ки сигнала в частотной области лри помощи пре
образования Фурье; алгоритмы прямо го вычисле·ния
свертки сигнала ·с в есовой 'Функцией восстанавливающе
го фильтра; алгор.итмы решения систем линейных алгеб
раическ.их уравн ений . Выбор того ил1и иного алгоритма
при прочих равных усJ1 овиях з ависит от требуемых за
трат 'машинного вр ем·ени и объема памяти, необходи
мого для хранения исходной информации и лромежу-
"
точных результатов Dычислении.
Алгоритмы обработки сигнала в частотной области
предусматриваю т последовательное выполнение следую
щих процедур: синтез передаточной функции восста·нав
ливающего фильтра с-огл21сно расчетным формулам ис
пользуемого метGда восстановл ения (инверсная филь
трация, ·регуляризация решения ло методу А. Н. Т.ихо
нова, ·оnт.имальная фильтрация и т. n.), вычисление
преобразования Фурье от наблюдаемой фу.нкции, умно
жение спектра наблюдае·мой функции ·На передаточную
функцию .восстанавливающ~го филь!ра, .вычисление
обр·атного преобразования Фурье от восстановленного
спектра оигна.п:а. П.ри эт·ом основные затраты .времени
приходятся на вычисление преобразования Фурье.
По а налогии с .о бычн ым (нелрерыв.ным) преобра
зованием Фурье лад дискретным преобразованием
Фурье (ДПФ) понимается операция [75]
N-1
F(pQ) == ~ f(nX)exp(- jpQnX),
(2.123)
п=О
где Х - интер вал дискретиз ации функции f (х) (область
определения функции делится .па N :равных интервалов).
п - номер днск·rетпого отсчета функции f (х) (п О,
1,.
...,
N - 1), Q - интервал дискр етизации спектра
F(ro): Q=2л/NX, р - номе·р дискретного отсчета спед
тра(р==О,1, ..., N-1).
II-S66
162
2. Регуляризация решения при восстаНDвлении сигналов
ДП Ф переводит последовательность f (пХ) из N от
сч-етов .в другую последовательность F (pQ), содержа
щую также 1N различных значений. Поэтому формула
(2.123) ·определяет пер и одическую последователь
ность чисе.п с периодом N. На ДПФ ра.спространяю'Г'сЯ
все свойства обычного, непрерывного преобразования
Фурье. В частности, для ДПФ 1справедлива класс-ическая
теорема о свертке с той лишь разницей, что умножение
двух ДП Ф соответствует свертке периодиче·ских, а 1н·е -
апериодических функций.
Для упрощения обозначений перепишем (2.123)
в виде
N-1
FP= ~ f пWРп; р=== О, 1•.... N
-
1,
(2.124)
n=O
где
FP==F(pQ); fп==f(пХ); W==ехр(-jQX).
Ясно, что для вычисления одного .из ~коэффициентов
Фурье Fp по формуле (2.124) требуется N операций
"
умножения и ·Столько же операции ·Сложения ~ом·плекс-
ных чисел. Для .вычисления N ,коэффициентов т·ребуется
N2 операций. Поэтому для вычисления комплексного
спектра высокоинформат1ивного сигнала на современных
ЭВ•М может потребовать·ся недопустимо много маш.ин
ного времени. Так, например, вычисление спектра сиг
нала, имеющего 105 отсчетов, на БЭСМ-6 будет длить
ся105·С,Т.е.ОКОЛО30Ч.
Существенное уменьшение числа .операций, т·р·ебуе
мого для вычисления спект.ра, достигается с помощью
алгоритмов так называемого быстрого преобразования
Фурье (БПФ). Алгоритмы БП Ф основаны на некоторых
свойствах дискретноло преобразования функций и их
спектров. Рас-смотрим эти свойства.
Представим последовательность fn иэ N значений функции
f (х) суммой двух последовательностей, f' n и f"n, каждая из кото
рых состоит из N /2 значений. Сделаем это так, что в первую после
довательность войдут значения f n, заданные в точках с четными
номерами, а во вторую - с нечетными, т. е. положим f'к= f2к и
%'' rc = f2к+1' где t\=O, 1, ... , N /2-1.
.
Так как f n = f' n +f"n, сумму в (2.124) также можно разделить
~а две части, в одной ~з которых суммируются ~~личины fn, ~~дalf-
•
11
~
\
2. 7. /Зычислительньtе асмкtы восс1·ановления сигналов
163
ные на четных точках, во второй - на нечетных:
N-1
N-1
N-1
N /2-1
Fp=~ fпWPn=~ f'пWPn+ ~ f"пWPn= ~ f'кW2pie+
n=O
n=O
11-==О
tc=O
N/2-l
N/2-1
N/2-1
+~ f""Wp(2tc+I) = ~ f'кW2P"+WP ~ f"кW2P"; К=
tc=O
=О,1, ••.,N/2- 1.
(2.125)
Ясно, что суммы в правой части (2.125) для к от О до N /2-1 рав
ны F' Р и F"Р· Следовательно, для половины всех значений спектра
справедливо равенство
F р =F'р+ WP F"р; p=fJ, 1, ..., N /2-1.
(2.126)
Можно показать (см., например, [117]), что для второй поло
вины коэффициентов Фурье выполняется равенство
Fp+N/2 = F'p-WPF"p; р =0, l, ... , N/2-1.
(2.127)
Формулы (2.126) и (2.127) позволяют получить N значений F Р•
имея по N/2 коэффициентов Фурье F'Р и F"р подпоследовательно
стей, заданных на четных и нечетных отсчетных точках. Коэффи
циенты F'Р и F"р, в свою очередь, могут быть получены по форму
лам (2.126) и (2.127) в результате аналогичного разбиения f'" и f"к
на две части, по N /4 значений в каждой. Процедура разбиения под
последовательностей продолжается до тех пор, пока в полученных
группах останется по одному числу. Этими числами являются эле
менты исходной последовательности f n. Таким образом, числа исход
ной последовательности являются первичным массивом для подста
новки в систему рекуррентных соотношений, позволяющих вычис
лить числа Fp.
Наиболее эффективный алгоритм БПФ получается, когда число
отсчетов выбрано так, что N = 2μ (μ = 1, 2, ...) . В этом случае
весь процесс вычисления F р пр::>ходит за t-J. итераций. Так как иа каж
дой итерации из двух подпоследовательностей получается одна с
вдвое большим количеством членов, то к-я итерация переводит
21-L-(к-l) подпоследовате.r~ьностей с 2tc-I значениями каждая в 21-L -tc под-
последовательностеiЙ с 2" значениями каждая (к= 1, 2, ... , ~).
Обо
значив коэффициенты Фурье, получаемые при к-й итерации для i-И
подпоследовательности, через (FрН"> , на основании (2.126) и (2.127)
получим окончательные рекуррентные соотношения [117]:
(F )(tc) (F )(к-1)+ ( .2 Р) (F )(к-1)
Рi=Р2i
ехр-1'Zt~
р2i+1 '
(2.128)
(F
)<к> (F)<к-1> ( .2 P)(F)(tc-1)
Р+21'-1 = Р 2i
-
ехр-/7t
2к Р2i+I '
(2.129)
к=1,2, ..., ~; i=О, l, •.., 21-1--tc; р=о, l, ..., 2te-I - 1.
11*
i64
2. Рсг!Jляривация решения при восстановлении сигпалоt=t
При к=l величины (Fp)"-
1
=(Fp)0 есть значения исходной
последовательности fn·
На каждой итерации пара уравнений (2. 128) и (2.129) решается
i Х р раз, т. е. в :.шолняетсh 2\J-- re+I 27(-I= 2μ.. = N операций комп
лексного умножения и столько же сложения. Все вычислен~я прово- _
дятся за μ = log2 N итераций. В итоге для вычисления комплексного
спектра сиги ала с N отсчетами алгоритм БП Ф требует N log2 N
операций вместо N2 для алгоритма обычного ДПФ, и, следователь
но, выигрыш в объеме вычислительных операций составляет
N /log2 N раз. Ясио, что указанный выигрыш тем больше, чем выше
информативность исходного сигнала. Для фурье-преобразоваиия сиг
нала при N= 105 с помощью БПФ на машине БЭСМ-6 требуется
'""'15 с, т. е. выигрыш по сравнению с ДПФ достигает несколько
тысяч раз.
Заметим, что каждое компл.ексное умно:жение на
ЭВМ содержит четыре ум·ножения и два сложения дей
ствительных чисел, а каждое комплексное сложение -
два .сложения действительных ч~исел. Кроме того, ма
шинная операция ум.ножения экв.ивалентна по в-р;емени
выполнения в среднем полутора операциям сложения.
Поэтому napa комплексн·ых операций умножения и сло
ж·ен.ия эквивалентна десяти принеденным операциям сло
жения дейст.вит1ельных чисел (быстро,цействие БЭОМ-·6
составля-ет 106 приведенных операций сложения в секун
ду, что соо11ветствует выполнению за секунду 105 у.ка
занных операций с к омплекс·ными числами). В дальней
шем будем оценивать объем вычислений по приведен
ным операциям.
Сумма р.ный ·объем вычисле.н.ий для алгоритмов вос
становления сигналов в част.011ной области складывает
ся ·из •Объема вычисления обраТ1ной передаточной функ
ции ( l ,5N), .умножения ее на ста·билиз-ирующий множи
тель ( l ,.5N), .вычисления прям ого преобразования Фурье
наблюдаемого .сигнала ( ION 1og 2 N), умножения спект.ра
на передаточную функцию восстанавливающего фильтра
( l,5N), выч.исления обрат.наго ·преобразования Фурье от
П{)лученно.го пр,оизведения ( lON log2 N) и вспомогатель
ных логических ·операций (r-{),5N). Таким образом, сум
марный объем -вычисл ений с использ.ованием БП Ф со
ставляет примерно 5N ( 1+4 log2 N) приведенных опе-
"
·рации .
Требуемый объем памяти ЭВМ прrи обработке сиг
нала с N отсчетами в частотной облает.и в среднем .ра
вен 6N: N ячеек для хранения наблюдаемой функции,
2.7- /3ычислительные асriекты вdсстановления сигналоl1
165
N ячеек для хранения передаточной функции восстанав
ливающеr·о фильтра и 4N ячеек для з·апоминания дей
ствит1ельных и м.нимых частей комплексных функцийt
полученных на .каждой итерации в алгоритме БПФ.
В зависимости от организации вычислительных про
цедур возможно использ·ование чи~сла ячеек большего
или меньшего, чем 6N. Так, €ели после первой 1Ит1ерации
алгорнтма БПФ ·наблюдаемый ·оигнал не хранится в па
мяти, то числ.о требуемых ячеек может 1быть уменьшено
до SN. Если же .возникает необходимость за-пом.нить сам
восстановленный сигнал (iнаприм·ер, с .целью дальней
шего уточнения процесса вое-становления), то ч.исло
ячеек памяти увел.ичивает·ся до 7N. В любом 'Случае
общее число яч.еек памяти, привлекаемых для обработ
ки .сигнала в частотной области, в ·неск·оль.ко раз ·боль.ше
числа отсчетов сигнала.
Алгоритмы прямого вычисления свертки сигнала
с весовой функцией восстанавливающего фильтра пре
дусматр.ивают формирование требуем.ой весов·ой фу.нк
ции hв(х) и последующее вычисление дискретной сверт
к.и ее с .наблюдаемым .сигналом f (х) по формуле
N-1
s(mX) = ~ h(nX)f (тХ-пХ); m=O. 1, ...,N-1.
n:. -::0
(2.130)
Один из споеобов формирования ,весовой 1функци1и
восстанавливающего фильтра за.ключает·ся в том, что
весовая функция .расе iПтываеnся как результат преоб
разования Фурье от ПЕ>редаточной функции воеста.нав
ливающего фильтра. Е·сли Н (ro) задана N 1отсчета'Ми, то
объем .вычислений по формированию Нв(Ф )~составляет
ЗN приведенных операций. На быстрое преобразование
Фурье ·от Нв (ro) будет затрачено 1ON log2 N J;I•риведен
ных операций, причем пооле пр·оцедуры БПФ будет по
лучена весовая .функция hв(х) ,с N от·счетами. Таким
образом, объем приведенных операций по ~формированию
вес.овой фу·нкции в эrом :способе равен N (З+· lOlog2 N).
Расем.отр~нный ·Способ не самый экономичный, так .ка.к
чиС.'iО /\.1 ненулевых отсчетов функции hв (х), полез~но
иснu:о_,зуемых в диси:ретной свертке, обычно значитель
но ·меньше N.
166
2. Регуляризация решения при воссtанов.Аении сигналов
Более экономичным является ·Формирование 1весо
в-ой фу·нкции восстанавливающего фильтра в виде ·ИН
версного ядра. Этот ~способ основан 1на решении уравне
ния h(x) * hв(x)_.hc(x), где hс(х)-·ста~билиаирующ·ее
ядро (фурье-образ стабилизирующего мно~иrеля К (ro)).
Ясно, что на получение корректного решения этого
уравнения с .использованием БПФ 'I'ребуе'ОСЯ затратить
5М-(1 +4l·og2M) приведенных операций.
Вычисл-ение диекретной ·свертI<iИ по формуле (1.130)
в случае, когда весовая фУ1J!кция имеет М .ненулевых от
счетов, требует выполнения NXM операций ·Сложения и
столько же операций умно)кения. Для .свертки действи
тельных функций потребуется ~всего oкoJio ЗNМ пр.иве
де.нных операций.
Таким образом, rсуммарный объем вычислений ·С ис
пользова·нием алгоритмов свертки может менятЬ!СЯ от
5М (1 +4Iog2 М) + ·ЗNМ до N(З+ 101og2 N) +ЗNМ приве
денных операций в зависим.ости от сп·особа формирова
ния ядра свертки. СооТ~в·ет·ственно требуемый объем
памЯ'~И ЭВtМ ·меняется •ОТ 6М + N д•О 6N + М ячеек.
Алгоритмы решения систем линейных алгебраиче
ских уравнений предусматривают выполнение линейных
операций над матрицами (транспонирование и умноже
ние .матриц, их обращение, ум.ножение мат-рицы на век
Т~ор ·И т. п.) в соответствии ~ вы1бранным "Методом вос
становления сигналов ~На ЭВМ.. Как было показано
-в- §. 1.5, использование для реш;ения основного матр.ич
НОГ{) у.равнения алгорит.ма исключения Гауюса требует
меньшего ·Объема вычислений по сравнению с д·ругими
методами решения уравнения. Е~0л-и специфичес·&ие ·осо
бенности матр1ицы Н не учитываются, то общее число
п ip и в еде н н ы х операций в алгоритме Гаусса пример-
1но равно 1N3+:5N2. В конк1ретных ,методах восстановления
эт~о число ·еще увеличивает·ся за счет дополнительных
операций по формированию исход.ных матриц. Так, 1на
получение оцен.к·и ~сигнала методом регулярrизации
А. Н. Тихонова по формуле (2.12) т0ребуется ориенти
·ровочно 4No+ 12N2 приведенных операций.
В ЭТ~ОМ случае объем вычислений по сравнению
с дру;гими Г·руппам.и алгоритмов обработки сигналов су
щественно ·больше. Однако, если учесть специфику мат
рицы Н, мож.н_о добиться з.начительного уменьшения
2.7. Вычислительные acnet(,TЫ. восстановления сигналов
167
объема вычислений. К.ак указывалось в § 1.5, операция
свертки при.водит к матрице Н ленточного типа. При
числе отсчетов весоной функции, равном М, получает1ся
матрица 1с шмриной ленты M-2r + 1 такая, что hmn=O
при 1m-nl >r, где число r характеризует количество
«ненулевых» диагоналей, расположенных по одну сто
рону от главной д,иаrонали матрицы. Е.сли к тому же
матрица Н симметрическая, то упр·остить .вычислитель
ную процедуру мож.но ·С помощью треу.гольноrо разл-о
жения по схеме Холецкого [86, 187], .которая QСнована
на следующих соображениях.
При треугольном -разлоQжении вида H=LLT для
элементов нижней треугольной матрицы L справедливо
равенство lmn==D, если 1т---1п1 >r. Элементы ~этой мат
рицы на «ненулевых» диагоналях вычисляют по следую
щим формулам:
m-J
hтп-
1
к=m-r
тп = ---------= -1 -- --
пп
... r т-1
lтт= JI hтп-к~-гр""''
где n=m-r, ... , m-l; m=l, . . . , N. Далее решают
основное матричное уравнение в два этапа (Lg=f и
LTs=g) с помощью формул
m--1
"=m-r
gm = --~l----
mm
т+r
gт- ~ lктsк
IC=m+l
Sm = -------,,- - --
lmm
Количество приведенных операщий, требуемых для
получения оценки ~сигнала с исп-ользованием вычисли
тель~.оrо алгоритма Холеuко.го, примерно •равноQ N(r+
+ 2) . С учетом допол.нительных операций на формиро
вание матриц общий объем вычислений, например при
менительно к методу р;егуляризации А. Н. Тихонова,
составит примерно 4Nr2+12Nr приведенных операций.
Так как обычно r~N, выигрыш в объеме вычислений
ро ·сравнению ·С алгорит~ом 1исключ~ния Гаусса ок~з~-,J-
168
2. Регуляризация решения при восстановлешш сигналов
Таблица 2.3
Характеристика
Гpynna
Объем вычислений,
Объем памяти,
алгсритмов
приве де нных операций
ч.ис.110 яrtеек
max
1
mln
max
1 min
Обработка
10N2
5N(l+4Iog2 N)
7N
5N
сигнала в
частотной
области
Прямое
3NM+
ЗNМ+
6N+M 6М+
вычисление
+N(З+lOiog 2N) +5M(l+4log2 M)
+N
свертки
Решение
4(N~+ЗN2)
N(Лil-1) 2+ N(2M+l) NM
системы
+ЗN(М-1)
алгебраи-
ческих
уравнений
вает·ся очень ~большим. Дальнейтлее уменьш·ение ·объема
u
u
вычислении возм·ожно на ·основе учета тепл.ицевои струк-
туры матрицы Н, порожденной уравнением типа
свертки. .
Для использования в полной м·ере преимуществ
разреж·енной структуры матрицы Н в маш.инных про
граммах целесообразно распределять память ЭВМ толь
ко под ненулевые элементы матрицы. ·В ~случае .несим-
u
u
метрическои ленточнои матрицы для их размещения
достат1очно массива .из N(2r+·I) ячеек. Та.кой же массив
требуется для хранения элементов матрицы L. В целом
т~ребуемый объем nамяти ЭВМ для решения систем
уравнений с ленточными матрицам.и составляет N (4r + 3)
ячеек. В ~случае ·С·Имметрической матрицы эта величина
уменьшается ·вдвое.
·Ориент.ировочные оценки ·объема вычислений и па
мяти ЭВМ, требуемые для решения задач носстановле
ния сигналов, пр.именительно к различ·ным группам
алгоритмов численного анализа ·сведены в табл. 2.3.
Максимальны·е оценки соответствуют применению алrо
ритм-qв qf)ЫЧ!"foro ДПФ, прямой свертк11 с выч~н~ле~~ием
2.7 . Вычисли1·ельные аспекты вDtстапов.ления сигналов
весовой фу.нкции через передаточную функцию •системы
и •решению системы алгебраических уравнений методом
исключения Гаусса, минимальные-использованию алг-о
ритмов БПФ, прямой .свертки 1с формированием инверс
ного ядра и решению системы алгебраических уравне-
"
u
нии с учетом ленточнои стру.ктуры .матр.иц.
Анализ данных табл . 2.3 локазывает, что когда ч1ис
ло отсч.етов М весовой ·функции сравнимо по порядку
величины с числом ·отсчетов наблюдаемой функции, сле
дует отдать предпочтение алгоритмам обработки сигна
ла в частотной области 1С использованием БПФ, которы·е
обеспечивают минимальный объем вычислений. Если же
M<t;:..N, причем ·соблюдается ·ориентиро.вочное нера.венст
во 3M<5(1+4Iog2 N), то наименьший объем вычислений
достига·еrея с nомющью ал•горитм·ов прямого вычисления
свертки. Алгоритмы, основанны-е на ·решении системы
алгебраических уравнений, .по объему вычислений в це
лом проигрывают другим алгор'итмам. Но при больших
N и малых М объем вычи~слений для ~решения системы
алгебраических у.равнений ·С ленточными матрицами
оказываеТ1СЯ того же порядка, что и объ·ем .вычислений
прямой ·свертки.
iМинимально необходимый объем памяти Э.ВМ имеет
одинаковый порядок ~величины для .всех групп алгорит
мов. П·ри .боль.ших М ·наименьшее количество ячеек тре
буется для алгоритмов прямого вычисления св1ертки,
наибольшее -для алrоритмов решения системы алr.еб-
"
р аических уравнении.
Следует ·отметить, что хотя ал1горит.мы, основанные
на •решении системы алге6раич·еских уравнений, по
объему вычислений -и памяти ЭВМ несколько хуже
алгоритмов дру~гих групп, они довольно широко приме
няюТ1ся .в задачах восстановления сигнал.ов. Это объяс
няет.ся тем, что алгоритмы этой г.руппы 1в отличие от
других можно использовать как для реш·ения уравнений
типа ·свертки, та.к и для ~решения линейных интеграль-
"
ных уравне·нии других типов.
Т1ребуемые объемы вычислений и памяти ЭВМ
играют особую 1роль в ·случае обработки сигналов, за
висящих от нескольких переменных. Типичным пр1име
ром являются задачи вое.становления ·изображений
функций двух пространст.веннь1х цер·еменных. Предполо-
170
2. Регуляризация решения при восс1·ановлении сигналов
жим, что изображение f (х, у) задано отсчета.ми .на квад
ратной сетке из NXN элем·ентов. Вычисление двумер
ного ДПФ от эт.ого мае-сива производи'nся последова
тельно в два этапа: снач.а~'lа по строкам, затем по ·Столб
uам. На каждом этапе выполняются одномерные пре
образюва·ния. Как уж:е отмечалось, для вычисления
N ·коэффициентов Фурье строки требует·ся 1О.No приве
денных •операций. П1ри квадратной сетке отсчетов изо
бражение содержит N строк и, ·следовательно, для .вы
числения всей матрицы коэффициента.в Фу~рье .требуеТtся
J.ONo приведенных операций. Столько же операций тре
буется для цреобразования по 1ст.олбцам. В итог-е для
получения 1ыо.мпле.к.сного ·спектра изображения необJrоди
.мо 20No при.веденных .операций. Для прим-ера объем
вычислений методом ДПФ спектра ~изображения одного
кадра ~вещательного телевизионного стандарта (N~500)
.составляет 2,5· 109 операций. В алгоритме БПФ для пре
образования N чисел строки тр·ебуется ION log2N, .а для
получения всех отсчетов двумерного ·спектра-2ОN2 lоg2 N
приведенных операций. В раесмот·ренном примере объем
вычислений со.к1ращается за ~счет применения БПФ при
бл•из•ительно на два десятичных порядка, •НО все равно
составляет большую величину: 4,5 · 107 ~операций.
П·ри ,непосредственном вычислении свертки двух
двумерных !функций, имеющих по NXN и МХМ ·отсче
тов ·соот·ветственно, объем .вычислений пропорционален
величине N2XM2. Н·о, ·если анализируются функции
с разделяющимися переменными, объем выч.и~слений
·м.ожно соыратить приблизительно в NM/2 раз приме
нением раздельной обработки по ст1рокам и столбцам .
Алгоритмы, -:предусматривающие решение .систем линей
'НЫХ алгебраических уравнений, невыгодны для обра
ботки изображений, та.к как порядок .матрицы Н оказы
вается пропорциональным квадрату числа отсчетов.
Обработка высокоинформа ти.в-ных ·сигналов - из.о
бражений .наклады.вает определенные т1ребования и на
-организацию машинной памяти. В данном случае объем
оперативной памяти ЭВМ может ·оказаться недостаточ
ным и потому сиг.нал, подлежащий о.бра~ботке, а также
результаты вычислений приходится х1ранить во внешней
памяти машины (на м аг.нитных ·б арабанах, диск ах или
лентах). В З1'ом ~случае -общее время обработки -оигнала
2.7. Выrшслительные аспекты восстановления сигналов
Рис. 2. 18. Пример обрабо1· ки
изобра же1-1ия на ЭВМ:
а - дефокусированное изо·
бражение, подлежащее об
ра ботке; 6, в. г - изображе
ния, nосстаиовле ниые мето
дом регуляризации А. Н. Ти
хоноnа
171
завrисит не только от длительности вычислений, .но и от
времени, затрачиваем.ого .на обмен информацией с внетл
ними устр ойствами памяти. Число циклов обмена
с внешНrими устройствами при обработке изображения)
сос-гоящегю из N X N элементов, оказы.вается пропорпио
нальным величине No/В, где В - объем той части опР
ративной пам·яти ЭВМ, К!оторая используется для запо
минания от·счетов ·сигнала. В •случае больших N дли
тельность циклов обмена с внешними уотройствами
может быть много больше ~длительно.с-r~и вычислений.
В связи с этим задачи восстановления и зо бражений
требуют развития про1блем.но-1ориентированных алгорит
мических языков, учитывающих особенности ввода
в ЭВМ, -организации хранения, обработки и .вывода 'ИЗ
ЭВМ больших информаци·онных массивов.
Пример эксперимента по машинной обработке изображения
показан иа рис. 2.18. Исходное тестовое изображение вводилось
в ЭВМ М-222 с помощью передающего комплекта фототелеграфной
аппаратуры «Нева» через преобраз ователи аналог - цифра в виде
массива из 256Х256 элементов. Процесс искажения изображения
(в данном примере процесс дефокусировки) моделировался на ма
шине. Искаженное изображение (рис. 2.18,а), подлежащее восста
новлению, обрабатывадось алгоритмом, основанным на методе
регуляризации А . Н. Тихонова. Восстановленные изображения
(рис. 2.18,6-г) выводились из ЭВМ на приемный комплект фототе
леграфной 2ппаратур ы «Нева» через преобразователи цифра - ана-
172
2. Регуляризация решен.ия при восстановмнии сигн.алов
лог. Различные восстановленные изображения соответствуют раз~
ли1шым значениям параметра регуляризации а.
Хорошее визуальное качество восстановления было достигнуто
при а= 10-з-10-2 (рис. 2.18,в, г). При больших значениях а на
качестве изображения обычно сказывается неполная компенсация
искажений, при меньших - существенно проявляется ложная шумовая
структура, порождеииая неустойчивостью решения. Так, при а= 10-5
изображение оказалось слишком «зашумленным» (рис. 2.18,6).
Несмотря на то, что в данном примере машинной обработки
изображения информативность входного сигнала была не очень ве
лика (256Х256 отсчетов) и использовался одни из быстрых алгорит
мов восстановления, длительность обработки одного изображения на
машине М-222, имеющей быстродействие ........20 тыс. приведенных опе
раций в секунду, с учетом времени обмена с внешними устройства
ми составила около 1 ч.
Недостаточная произнодительность универсальных
ЭВМ при решении задач .вюестановл-ения высокоинфор
мативных сигналов объясняеrоя принципом последова
тельной обработки, ле}кащи.м в основе действия совре-
u
менных .вычислительных машин: каждыи отсчет сигнала
последовательно выбирается из памяти и -используется
в вычислениях ·независимо от дру.гих отсчетов. Сущест
венный прогресс в скорости 1обра.ботк·и таких сигналов
:может ·быть достигнут ·С помощью мультипроцессорных
ЭВМ будущих по~олений и средств оптической обработ
ки информации, специально предназначенных для па
раллель·ноrо анализа больших массивов данных.
3
ВОССТАНОВЛЕНИЕ
СИГНАЛОВ
МЕТОДАМИ
ОПТИЧЕСКОЙ
ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ
3.1. ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВЫЧИСЛИ
ТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА
Основным достоинством методов опТtической обра
ботки информации является возм1ож·ность практически
мгновенного вычисления результатов умножения и пре
образования Фурье комплексных ·функций одной или
двух переменных. Класс математических операций, ко
торые могут быть реаЛrизованы с использованием только
двух базовых операций, а имен.но, умножения !1'1 преоб
разования Фурье, оказывается довольно широким в
включает в себя операции интегрирования и дифферен
цирова.ния функций, свертки ·и корреляции, а также
различ·ные интегральные преобразования [6]. Ниже бу
дет показано, что реализуемый оптическими средствами
к.пасс математических операций вполне достаточен для
осуществления различных алгоритмов носста:новления
сигналов.
Возм·ожность выполнения операции умножения
комплекс.ных функций с помощью оптических систем
основана на модуляции к·огерент·ного свет1Ового потока,
прошедшего через т.ранспа.рант с заданным I(омплексным
пропусканием, пространственными неоднорюдностями
этого тра.нспаранта. В простейшем случае изменение
прозрачности транспаранта соответствует амплитудной
"
простра1нственнои модуляции пото}(а, а изменение пока-
зателя преломления транспаранта или его толщины
(т. е. изменение поверхности.ого ·рельефа) - фазовой
простра.нственпой модуJJяции. Очевидно, что н-ормальна
падающая ,на транспарант мон.охроматическая световая
волна с п.ттоскттм во .пновым фронтом на выходе •ИЗ транс
паранта представляет функцию комплеК:сного пропуска-
174
3. Восстановление сигналов методами оптической обработки
ния самого транспаранта. Такая же волна, прошедшая
последовательно через два транспаранта, дает произве
дение функций пропускания этих транспарантов. Таким
образом, для того, чтобы осуществить умножение ·не
скольких юомплексных сигналов оптическим методо м,
доетаточно преобразовать эти сигналы в соответствую
щие ~изменения амплитудного и фазового пр·опускания
тра.нспара'нтов, ~собрать эти ~ранспаранты в «стопку» и
осветить их .параллельным монохроматическим пуч:ком
света. П·ространственные изменения амплитуды и ·фазы
выходной ·ОВ~етоВ1ой В1олны будут от.веча·ть произведению
ум:ножаемых .компле.кс.ных сигналов. Для у.множения
вещественных сиг.налов достаточно испQльзовать ампли
тудную часть функции пропускания, а фазу ·В•олны не
модулировать.
Возможно сть выполнения nреобра3()вания Фурье
с помощью оптических систем базируется на основных
результатах скалнрной теории 1с,нетовых воЛ:н [91, 92].
К таким результатам относятся формулы для ·ра·счета
дифракции света на плоском экра'Не с заданным про
пусканием в ближней зоне (дифракция Френеля) и
в дальней з1оне (дифракция Ф.раунгофера).
Если на плоский экран (транспарант), характеризующийся
комплексным пропусканием f(~. 11), падает плоская монохроматиче
ская волна света, имеющая волновое число k=2n/Л (Л - длина вол
ны света) и распространяющаяся в направлении z, перпендикуляр
ном плоскости экрана, то комплексная амплитуда поля в некоторой
точке с координатами х, у, z, расположенной в ближней зоне (непо
средственно за транспарантом), равна (аппроксимация Френеля)
00
'f (х, у, z):::::: А (z) SJf (~, 'tJ) Х
-00
(3.1)
где
А (z)=-i exp(-jkz) j'Лz.
Здесь и далее под комплексной амплитудой моиохроматического ко
лебания понимается комплексное число, модуль которого равен
амплитуде колебания, а аргумент - фазе. Для того чтобы ошибки
аппроксимации Френеля были достаточно малыми, требуется соблю
дение условия z<d2/'J..., где d- наибольший линейный размер транс
паранта. В дальней зоне справедлива формула (аппроксимация
3.1 . Теория зле1.tентарного оптического устройства
t75
Фраунгофера)
'f(х,у, z)~
OQ
"'= В(z)SJf(~. 'IJ)ехр{-j (k : Н k+'lj]}cttd'lj, (3.2)
-оо
где
В (z) = -j ехр {i [2: (х' + y')-kz]} jЛz.
Из последней формулы следует, что в области 11аблюдеиия,
расположенной в дальней зоне, комnлексиая амплитуда поля с точ
ностью до экспоненциальиого миожителя В (z) связана с функцией
пропускания экрана двумерным преобразованием Фурье.
Действительно, обозначая
(3.3)
видим, что интеграл в правой части (3.2) есть преобразование Фурье
от f (~, 11) с простраиственными частотами w$ и (1)11 :
100
JSf (~, 7J) ехр [-j (ы~ + Ыg'YJ)] d~ d'tJ =$' [/ (~, -q)]= F.(ыxt ыg)·
--()( )
(3.4)
Отметим, что пространственные частоты здесь имеют очевид·
ный физический смысл: они определяют иаправления распростране
ния плоских волн, по которым разлагается сложная волна, дифра
гированная на транспаранте. Заметим также, что волновые процес
сы в оптических системах рассматриваются не во временных,
а в пространственных координатах. Поэтому принцип причинности
(отклик не может появиться раньше времени иачала воздействия)
и связанные с иим ограничения физической реализуемости тех или
иных форм частотных характеристик не имеют места для оптических
волновых систем. Роль прошлого и будущего играют правая и ле·
вая стороиы, не обладающие асимметрией, с которой связан прин·
цип причинности •[90]. I(омпенсация влияния множителя В (z) в фор
муле (3.2) во многих приложениях не обязательна, так как все
физические детекторы светового излучения все равно регистрируют
не комплексную амплитуду света, а его интенсивность, которая
в наших обозначениях совпадает с квадратом модуля комплексной
амплитуды. Иначе говоря, вместо функции B(z)F((J)z, (J)11) обычно
регистрируется величина 1В (z)F(rox, ы11 ) 12 , при формировании кото
рой экспоненциальный множитель В (z) исчезает:
IB(z)F(roж, (J) 11 ) 12 = [B(z}F((J)z, ro 11 )] [B(z)F((J)z, (J)11)]*=
=IF(rox, ro 11)1 2 •
t76
3. Восстановление сиг1-tалов методами оптической обработtШ
Ошнбки аппроксимации Фраунгофера обычно считают достаточ
но малыми, если z>25d2 /Л [98]. Это условие приводит к необход11-
мости значительно удалять область набJ1юдения от пJiоскости транс
паранта при выпоJ1нении операции преобразования Фурье. Так, на
пример, при .Л=О,6 мкм и d=2 мм расстояние z от транспаранта до
области наблюдения и, следовательно, длина оптпческого пути
в устройстве для вычисления преобразования Фурье должны быть
не меньше 200 м.
Однако требование к величине z может быть существенно сни
жено и соответственно уменьшены габариты оптического вычисли
тельного устройства, если транспарант освещается «сходящейся»
световой волиой, что достигается размещением собирающих линз
между плоскостью транспаранта и плоскостью регистрации. По су
ществу, идеальная собирающая линза с фокусным расстоянием f
эквивалентна транспаранту, имеющему чисто фазовое пропуска
ние вида
[
k
i
f(х,у)=ехр
-
j -2f (х2+у2)J.
(3.5а)
Аналогично, рассеиuающая линза характеризуется функцией
пропускания
f(х, у)=ехрlj :i (х'+У')].
(3.5б)
С этой точки зрения различие между оптическими элементами, фор
мирующими из волны с плоским водновыы фро~том сходящиеся и
расходящиеся световые пучки, заключено только в знаке экспонен
тальных выражений (3.5а) и (3.5б) .
Реальные оптические вычислительные устройства
состоят из набора транспарантов и линз, расположен
ных на различных ·расстояниях друг от друга. Раосмот
рим действие элементарноrю однолинзовоrо устройства,
Для упрощения результирующих выражений будем счи
тать .входной сигнал функц•ией одной nространст1венной
переменной. В идеалЬ"ном случае такой сигнал записы
вается в виде распределения .комплек1сного пропускания
вдоль ~бесконечно узкой дорожки на транспаранте.
Будем ·считать, что вне этой дорожки транспарант
абсолют.но непрозрачный. Это позволит свести задачу
к рассмотрению дифракции света на ·бесконечно узкой
~цели с переменным пропусканием.
:Пусть тра~нспа рант ,с ·оигналом f (~), записанны~м на
щели длиной 2а, установлен в пл.осК!ости П1 (рис. 3.1) и
"
"
освещен монохроматическом нолнои с плоским волновым
фр·онт.ом. В ·плоск·ости П2 на расстоянии z 1 от т·ранспа
ранта в ,ближней зоне находится ,идеальная собираю-
.1.1 . Теория элементарного оптичеl'1Фго устройства.
Рис. з.1. Схема ЗJ,ементар
lfОГО оптическоrо вы•1исли
т~пьного устройства
_ ......
- --- --·--
--
-а
Zt
п,
Л2
t7'i
lL1
ф(ll)
щая линза, имеющая фокусное расстояние f и размер
2Ь (причем Ь>а). Требуется определить поле в nло~
скости Пз. расположенной на расс'I'оянии z2 ~от линзы.
Так как мы рассматриваем одномер·ный сигнал, факти~
чески ·нас интересует распределение ,комплеконых ампли
туд поля не ·На ,всей плоскости П8, а тюлько .вдоль ли
нии и. Поэтому в (3.1), (3.2) и (3.5) мы будем учиты
вать лишь одну .прост1ранственную переменную.
Обозначим ч·ерез <р-(а) и <р+(а) 1комплеКiсные ампли
туды поля на ВХОДНОМ и ВЫХО~Н'ОМ зрачке линзы соот
ветственно. Если рассrояние z2 вы·бран.о так, что о.но
удовлетворяет условию ближ1ней зоны, то комплек1оная
амплитуда поля -ф(и) в .плюс1~осТ1и П8 и функция q>+(a)
с учетом апертурных .ог·ра.ничений 1будут связаны фор~
1мулой (см. (3.1))
00
<!'(и)= А (z,) J'f+ (а) Р (о/ Ь) ехр [i, 2:. (и,- а)•] do,
-00
где P(al Ь) -индикаторная функция размера линзы
(Р(а1Ь)= 1 при 1а1~Ь и Р(а1Ь)=0 п~р11 1а1>Ь).
Возмущение в плоскости входного з·р ачка линзы
q>- (a) с.вязано с , функцией комплексного пр·опускания
тра·нспа.ранта f (6) анаЛQI1Ичн.ой формулой
со
'f- (о) =А(z,) Jf(е)Р(~1а)ехр[i 2:, (о -е)"] de,
-00
где Р (~ 1а) - индикаторная функция размера транспа·
ранта, равная Р(61а)=1 при 161~а и Р(61а)=0 при
l sI>а.
12--866
f1s
8. lзосстановление сигнаЛов методами оптической обработки
Так ка1к .идеальная собирающая линза рассматри-
1вается нам1и ·как транспа1рант 1с чисто фазовым измене
нием пропу.скания, аналогич.ным (3.5а), связь между
К~омплексными амплитудам1и поля на выхQде и входе
п.ин.зы в одномерном •случае имеет вид
'Р+(о)='1'- (о) ехр (-j ~ а• ).
Обозначим k/2z1 =c1, k/2f=c2, k/2z2=cз и найдем
св.язь между ..р(и) и f (~).Используя формулы для -ф(и),
tp-(a) и q>+(a), получим
00
ф (и)= А (z1) А (z2) ехр (jc1u
2
) JJf(~)Р(~Jа)ехр(jc1e
2
)Х
Х ехр (-j2c1ae) ехр (j (с1 -с2 +с.) 0
2
] Р(оiЬ)Х
Х ехр (- j2c1 ua) dedo.
(3.6)
в.ведем понятие .масштабного преобра1зования
Фурье [6] . В отличие ~от .прямой и обра~ной операций
обычного преобразования Фурье
OQ
~ [f (х)] == Jf (х) ехр(-jюх) dx=F(ю),
OQ
g:-' [F(m)) = d., JF(m) ехр(j.xm) dm = f(х)
-оо
под .масштабным преобразiова.нием при е>О ·будем nо
.нимать следующие прямую tИ обратную интеГ1ральные
операции:
е
оо
~ [f (х)] == Jf (х) ехр (-jеюх) dx,
--00
00
е
1s
~-1[Ф(ю)] == 2
n·
Ф (ю) ехр (jехю) dю.
-оо
Из 1С1ВQЙСтв обычного прео1бр азования Фу.рье [ 11)
f(ех)...\!. I.~1F(: } f(:)J~1е1F(ею)
3.1 . Теория элементарного оптического устройства
179
следует, что
е
г1
/Х)]
1
[(Х)]
~[f(х)]===Р(ero)==iJl1е1 f\е ==1е1 iJ f е '
Пюльзуясь этими 1форму"11ами, ·можно показать, что
последовате"11ь·ное применение двух масштабных преоб
раз~ований Фурье (прямого и обратного) с различными
маоштабами е и d приводит к изменению масшта1ба
аргумента функции в отношении d/e. Действительно,
~-1{ff[f(х)]}=ff-
1
{
1~1 iJ [t(:)]}=~-1 [F(ел))=
=
1~1 ~-1[F(е;)]=1~1 f(:х).
Применение двух .однотипных масштабных преоб~разо
ваний приводит к изменению знака ар1гумента ·функции:
dd
d
d
1
~ {ij [f (х)]} === iJ-
1
{3-
1
[f(х)]}= 1d~ f(--х).
Запишем теперь формулу (З.16) в символичео~ом
виде:
2с8
ф(и)=А(z1) А(z2) ехр(/c3u
2
) ij{ехр[j(с1- с2+с1)0
2
JIX
и
2с1
Х Р (а 1Ь) ij lf ~) Р (~/а) ехр (jc1~2)]},
(3.. 7)
а
2Cs
где ~ означает операцию преобразования Фурье масшта·
и
2С1
ба 2с3 с частотной переменной и, а ij - операцию преоб~
а
разования Фурье масштаба 2с1 с частотной переменной а.
12*
180
3. Восстановление сигналов метоuал~и оптш1ес1юй оfiработки
Используя теорему Бореля о снертке, из (3.7) на-
ходим
2с8
о/(и)=А(21) А(z2) ехрUc3u
2
) ~{ехр(j(с,- с2+С3)0
2
]}*
и
ВычИСJIИ?\1 составляющие выра)I<ения (3.8).
мощью табличной формулы [11]
~ (ехр (j/x")) ="'
112
Г112ехр[-j( ~;- ~)]
(3.8)
с по-
и рассмотренных выше свойств масштабнQГО преобразо
вания Фурье для первого из фурье-об~ра.зов в правой
части (3.8) при с1 -1--сз~с2 получим
2са
1{[сс-L.с1}
~{ехр[j(с1-с2+сз)02]}=== 20: t)- ехр j 1-(2~:)2з02
J=
=ехр (i ~ )V't (с, -·с2+сз)-112 Х
(3.9)
Далее находим
~[P(o/b)]=-=-l-~[P~(aJ Ь )]=-1 sln(ub/2c3 )
и
2с3
2с3
с3
а
'
(3.10)
~{~'lf~)}= 2~, f(- ~:и)'
(3.11)
~,~
}
1
(
\
~\~[Р{~/а)]· = 2 Р и ~а ',
11 tJ
С1
С1j
(3.12)
(3.13)
3.1 . Теория э.л,емснтарного 0111ичеrкого устрийс 1ва
181
-~--------------- --- -------
Подставляя (3.9)-(3.13) ь (3.8), получаем результи
руюrцее выражение
ф (и)=== С ехр (jc3u
2
) fехр[-j с
2
зL и'.!] t(*
\
С1- С2
-,
Сз
* sin (и~2с,) *{f(-~: и)Р(и ~: а)ехр(j ::· и•)}'
(3.14)
где в константе С учтены все множители, не зависнщие
от и.
Формула (3.14) дает •Наиболее общее описание поля
в выходной пл·оскости элементарного оптичес·кого .вычис
лительного устройства. Для уяснения ее физ1ичес~ого
смысла рассмотрим идеализированный ·случай, считая,
что длительность сигнала и •ширина линзы ·бесконеч·ны.
Так как .функция sin тх/х при т~оо с11ремится
к сS-!функции, нахvдим
lim sin (иЬ/2с3) === S (и).
Ь-+оо
и
.
(3.15)
Далее, так ка·к услvвие бесконечной длительности сиг
нала эквивалентно .неограниченности области vпределе
ния е~о индикат.орной функции, имеем
limР (и/!.La)= 1.
й-+00
с.
(3.16)
Подстановка (3.15) и (3.16) в (3.14) с учетом ф.иль
трующего свойства сS-функции приводит к результату
ф(и)=Сехр(jс3и2) .\1ехр [-j С
2
з+ и2] }*
С1-С2 Сз
*{f(-~: и)ехр (/ ~:' и•)}.
(3.17)
Ес.,11и расстояния z1, z2 и f между пл.оскостями опти
ческой системы удовлетв-оряют условию фокусировки
1
1
1
-+~=-
Z1
Za
f'
(3.18)
182
3. Восстановление сигналов методами оптической обработки
которое достиrает-ся в пределе, когда с 1 -l-Сз-+С2, то
в этом случае
ехр[-j с2зL и2J==о(и).
С1 -С2 -,
Сз
(3.19)
Следовательно, при выполнении усл1овия (3.1 ·8) ком
плеконая амплитуда .поля .в выходной пл.ос1<1ости опти
ческGЙ оистемы, показанной на рис. 3.1, как видно из
(3.17) и (3.19), ра.в.на
ф (и)=С ехр [i (с.'+ ~:·)и•] f (-- ~: и).
(3.20)
Так как c1-k/2z1, Cз==:3k/2z2 и в ·рассматриваем.ом
случае
С +"с23 ::::.: с1(с2- с1)+(с2- с.)
2
=
с2(с2-с1) _ с2с3
3
С1
С1
С1
С1'
из (3.20) находим
<!'(и) =С ехр (i
(3.21)
Таким ·образом, распр-еделение КQМ.плексных ампл.итуд
поля в плоскости, оптичес:~и сопряженной с плvс.к.остью
транспаранта, пропорционально функции сигнала (объ
екта), у которой масшта·б независимой ·переменной .изме
нен 'В -.z1 /z2 раз. Это вполне согласуеТ1ся с представле
ниями rеометр1ической оптики: идеаль.ная линза .строит
в сопряженной пл-оск"Ости пер.евер.нуrое сизоб!ражение
объекта: увеличенное (ИЛИ уменьшенное) В Z1/Z2 раз.
Экопоненциальный множитель в (3.21) .не пр~оявляет.ся
в видимом изображении, так ка·к глаз человека, анало
гично другим 1физ1ичес.ким дет~кторам, .реагирует ·г.олько
-на интенсивность света, т. е. на квадрат модуля функ
ции -ф(и).
Для того чтобы оптическую сисrему рис. 3.1 пе.ре-
. вест.и
из .режима построения из·обра·жения в ·режим вы
полнения преобразования Фурье от f (~), достаточно
вместо условия фокусиро'в~и (3.18) выполнить другое
условие: z 2 f (плоскость наблюдения совпадает с зад
ней фокальной плоскосrью линзы). При соблюдении
это110 у•словия ·систему называют ·Оптическим фурье-ана
лизатором.
>
3.1. Теория элементарного onтuчei1tuгv устроиства
183
Рассмотрим наиболее общий случай построения
оптического фурье-а.нализатора:
Z2=f; Z1-f +бz; 1бzl~f.
(3.22)
ГТредставим 1форму"чу (3.6) в виде
00
t (и)=А(z1) А (z2) ехр(jc3u
2
) JJf(Е)Р(Еfа)ехр(jc1~2)Х
-оо
Х ехр [j (с, -с, +с,) а') Р(а 1Ь) ехр {-i2c, [а(~+
00
+ ~: и)]}dИа=А(z,)А(z.)ехр(jс,и2) Jf(!;)Р(~1а)Х
Хехр(jcP)( SР(а1Ь)ехр[j(с, - с2+с.)а']Х
-00
Х ехр {- j2c, [а(~+~: ~)] }da) d~.
(3.23)
Для вычисления интеграла в угл.овых скоб.ках в (3.23),
который будем ра!ссматрrивать ка~к .масштабное преобра
зова·ние Фурье с частотной пер·еменн-ой (~-~сзи/с1), вос
пользуемся теоремой о сверт·ке и фо,рмула-ми типа (3.9)
и (3.10). В 1результате пол1учим
00
'/'(и)= С ехр (jс1и2) Jf (е) Р (!; 1а) ехр (jc,~') Х
-оо
{
sin [(~ -~ с1с!1и) Ы2с1]
х1:+-1
*
~CaCtU
*ехр[- j с.-::·+с. (е + ~: и n}d~.
При доста"Dочно больших знач·ениях Ь
sin [(~ + с1с11и) Ь/2с1]
)
------.--- ~ 8(е+;1зи .
~ + СаС!lи
(3.24)
(3.25)
184
З. Восстаиов.Аеkие сигналов методами ontuчeekou обраооткu
Учитывая (3.25) и используя фильтрующее евойст.во
б-фунI{ЦИИ, ~Из (3.24) находим
00
</'(и)=Сехр(jc,u') jf(9Р(~,а)ехр(jc,~2) Х
-
00
(3.26)
Подставляя в (3.26) значения с1, с2 и сз, соответст
вующие условиям (3..22), а именно
k
k
С1==2(f+ дz) ' С2=Са== 2f '
из (3. 26) получаем результирующее выражение
00
.р(и)=Сexp(i ~ и•) Jf~)Р~1а)ехр[i2(I ~ дz) ~·] Х
-00
Хехр[-j 2(!~дz) (~+f ±/z и)•] d~=
=Сехр(i~и•)ехр[-jk(12~ Oz)и'];<
00
Х ft(~)Р(~1а) exp[j2 (f~Oz~ ~·]ехр [- i 2(f~дz) ~·]х
-оо
·00
х Jfroр~1а)ехр(-j+ш)d~.
-оо
Если Р(~1а)=1для всех ~, то
00
(
k~z
t(и)=Сехр + i 2f2 и') ff(9ехр(-j+~и)d~.
-оо
(3 27)
3.1. Теория элементарного оптического устройства
185
Таким 01бразом, комплеюсная амплитуда поля в зад
ней фокальной 1пл1оскости "rrинзы пропорциональ.на ре
зультату преобразования Фурье ·от фун~ции пропуска·ния
транспаранта, ум.нож·енному .на экспоненциальный мно
житель, зависящий от ра·сстояния между транспарантом
и Л1Инзой ..По 1существу, этот множитель определя-ет сред
нюю кривизну сферического волнового 1фр.онта вблизи
фокальной плоскости ,линзы.
Экспоненциальный множитель отпадает, ·есл.и транс
пара:нт установлен точно в передней фокальной плоско
сти линзы (Bz=O). Во всех других случаях 1его можно
у.странить только тогда, когда -обла,сть наблюдения
является 'Не плоскостью, а сферой соответствующей кри
визны. Так как обычно рег.истрируется ·не комплексная
амплитуда, а интенсивность света, ·На практике .не при
нимают специальных мер для устранения эк~споненци
ального множит·еля. Более того, часто ста·раюТ~ся уста
новить 71ра1нспарант с .входным сигналом вплотную
к линзе (э~им достигается увеличение произведения по
лосы частот на протяженность ана"УJиз·ируемого сигнала
[6]) либо даже раз.местить ero за линзой (этим дюсти
гает.ся .возм·ож.ность управления •ма1сшта6ом фурье-пре
образования просто перемещением транспаранта вдоль
оптической оси .[93]).
,следует от.мет·ить, Что для слож·ных оптических си
стем, содержащих большое число ()Птических элементов,
прямюй расчет системы для работы в ·режиме ·фурье
а·нализато1ра довольно слож;ен. Однако требуемое поло~
жение плоскости входногю транспа.ра·нта и часТ1от.ной
iПлоскости анализатора может ~быть найдено по обыч
ным за·конам геометрической оптики. В частности,
фурье-спектр всегда формируется ~ плоскости мзобра
жения точ·еч·ноrо источника снета независимо от }{!{)ЛИ
чества линз и расположения входной плос~кости. По
эТ1ой причине в обычной .схеме с параллельным осве
щающим пучкюм част·отная ·пл1ос~ость совпадает с зад
ней ~фокальной плоскостью анализирующей линзы, так
как в этой плоскости находится из·ображение точечного
источника, удаленного в 1беско.нечность .
·Отметим некоторые особенности работы оптическо
го вычислительного устройства .в режиме фурь:е-ана"rrи
затора. П·редположим~ что P(~Ja)=l для всех s (ию rда
186 3. Восстаиовлеиие сигналов методами оптической обработки
а-+оо), и представим (3.27) в виде
)с(-
. 'ltOZ 2) р(2-п )
о/(и= ехр +1лr2 и
ЛГи '
(3.28)
где F ( ·) - фурье-о;браз ·функции f (6), 2пи/Лf- про-
странственная част.ста.
Допу1стим сначала, чтю транспарант освещен свето
вым ~пучком, .падающим под углом 1(3 к ос.и ,;. Это экв.и
валентно ум·ножению фувкц·ии f (~) в (3.27) на эк.спо
ненциальный м·ножитель ·ехр (jk sin (3) и, следовательно,
ф(и, ~) =С:ехр [ + j ~: (и+f sin[Э)•] Х
XF[ ~; (и+f sin~)].
Таким образом, ·центр дифракционной .картины, ото
бражающей фурье-обJра!з функции f.(~), п·ри освещении
наклонным пучком оказы•вается ·омещенным 1от оптиче
ской ОС•И системы в п"т~.оскости П3 на величИ1Iу f sin (3.
Допустим теперь, что тра~нопарант смещен во вход
ной плоскости П1 на вел.ичину 1~0 вдоль vси ~, а оове-
u
u
щающии пуч·ок остался параллельным ·Оптичесrоои оси.
Это Э'Квивалентно за.мене в (3.27) функции /1(~) функ
цией f (~-6о).
В соотве~ствии с ·известным свойством преабр азо
вания Фурье
~[f~- Е0)]=ехр(-jш~0)~[f{е))
получим
<f> (и, ~.)=С ехр( + j ~~ ~) ехр (-/'~; ~.и)FU~ и).
Однако модуль компле~сной амплитуды поля .и, следо
вателы-10, ·интенсивность !С·Вета при эт·ом не изменяется.
Псэтюму видимые дифракционные картины от объекта,
центрированного vтносительню оптичес:кюй оси, !И от сме
щенного ·объекта тождест.венны.
П•ри анализе двумерных ·сиг-налов f (~, 11) все пр.и
веденные -выше фОJрмулы •ООХр·аняют силу с той лишь
разницей, что в аргументах фун1<ций добавляется еще
рдн(l независfН'4~ff rtеремен:fнэ.я~ В ч:а~тнQсти, формуль1
3.2 . Оптшlеские устройства для восстановления сигналов
187
(3.21) и (3.28) соответственно принимают вид
</>(и, v)=C ехр [j :i:: (и"+v')] f (- ~: и,
-
:: v),
1f1 (
)
с r- .'it~Z 2+2>JF(2n
2n)
1и,v= ехр+JЛf2(и v
\Ыи,}Jv .
Именно ·Способность оптических вычислительны·х
устройств к параллелЬ'НОЙ 1обра·ботке боль•ш.их массивов
инфор1мации, представленной в виде двумерных полей
(изображ.ений), определяет их большие потенциальные
воз·мvжности. Есл.и анализу под.лежат одномерные .сиг
налы, то вторую координату используют для •реализа
ции мноrt01{анальной обработк1и. ·При спектраль·ном ана
лиз·е .в этом случае применяют оптиче.с:к-ие системы со
сферическими и цилиндричезскими линзами, .наст,роен·ные
так, что ·по одной из координат выполняет.ся преобра
зование Фурье, а по другой строится ·изображение.
Используя в ·качестве входного транс~nара·нта -обыч·ную
35-миллиметровую фотопленку с разрешающей спо
собностью 100 м~м-1 , теоретич·ески .возможно ~еализовать
параллельный спектральный анал-из одновременно
в 1000 каналах. ТеХ!н.ические подробности ~оптического
спектрального анализа сиr~налов читатель может найт,и
в специальной литературе [6, 94, 95].
3.2. ОПТИЧЕСКИЕ УСТРОИСТ'3А ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
СИГНАЛОВ
В гл. 1 и 2 было показано, что большинст.оо мето
дов вое.становления ·Сигналов м~ож.но реализовать с по
мощью линейных систем, .выпо"т:1·няющих операцию
свертки наблюдаемой функции f(x) с весовой функцией
воостанавливающеrо фильтра hв (х):
00
s(х)= sf(е)hв(х- е)d~.
-оо
С практичес:кюй точки зрения такие .методы восста·нов"
ления отличают.ся лишь форм·ой в1осоной функции ·и спо
собом .вычисления интеграла свертки.
188
З. Восстаповление си2налов методами оп1 ической о6работкu
-
-----
-
Л1
Лz
~
ll
р
---
f{t)
hв(U)
Х{р)
~о
---
о
--- -
-
--
Нв((l))
----
Рис. 3.2 . Схема опти•Jескоf!
Zz
zJ
z,,.
системы для
выпопненнп
операции свертки функций
Л1
Л2
л~
л,_
Л5
С помощью оптических .вычислительных устройств
легко осуществляются два основные способа вычисления
све.ртк·и: прямое интег.рирование с весом и вычисление
ее ·с iПОмощью преобразования Фурье на основе теоремы
о свертке.
Для того чтобы оптически выполнить .операцию
интегрирования фулкции f (s) с весом hв(so-s), требует
ся зарегистрировать фунюции f (s) и hв (-6) ·На отдель
ных транспарантах, ·собрать эти транспаранты в «стоп
ку» при относительном •смещении их в nа·раллельных
пл-оскостях •Вдоль оси s ·на величину so и зарегист.риро
.вать интелральный световой поток, прошедш·ий ч·ерез оба
транспаранта. В идеаль·ном •случае бесконечных линей
ных размеров транспарантов величина .этого светового
потока будет 1пропорционалнна одному значению инте
грала 1овертки, соответ.ствую·щему ·смещению x=so. Д"11я
получения веех знач-ений операции свертки необх·одимо
осуществить регистрацию вых-одного потока .при всех
значениях относительного смещения транспарантов. Сте
пень когерентности .света .в такой оптичес~ой схеме не
и11рает сущеС'r~венной роли.
Однако пр.и когерентном освещении .выполнение
операции ·с-верт·ки возможно .как путем интегрирования
с весом, так и с помощью преобразования Фурье. Пока
жем, что для реализации обоих спосо·бов ·вычисления
свертки можн() использовать одну и ту же оптическую
систему, показанную ·НЗ .р·ис. 3.2. Эта .оптическая система
состоит ·из двух ~последовательно установленных элемен
тарных оптических вычислительных устройств (•рис. 3.1)
и содержит две •идеальные л.инзы Л i и -Л2 с одинак()ВЫМ
фокусным рас-стоянием, ра.вным f. В плоскости П1 уста-
3.2 . дптические устройства для восстаиовлеиия сигiшлов
189
новлен транспарант ,с за·писью функции f (6) (будем
сч,итать, что -00<6<00, а значение f(O) приходится на
точн:у пересечения плоскости П 1 ·С оптической осью си
ст·е.мы).
Пусть рас.стояния между плоскостями П1 -П2, П2-
Пз, Пз-П4, П4-Л5 ра.в ны z1, z2, zз, z" соответственно.
Предположим сначала, что плоскости П1 и П3 оптически
оопряжены, т. е. что расстояния z 1 ·и z2 удовлетворяют
условию :фокусировки (3.18). Для !Определенности по
лож·и.м
(3.29)
Тогда в плоскост1и П3 будет формироваться изображение
предмета, находящегося 'В плоскости П1, т. е. согласно
(3.21) 1будет восп.роизводить,ся функция .комплексного
пропускания транспара.нта, умноженная .на эк.споненци-
u
u
альныи множитель, характеризующии среднюю крив-из-
ну вол·новоrо фронта:
</>(и)=С ехр (i :r и•) [(-и).
У'Становим в плоскость П3 маску-транспарант с за
писью функции hв (и) так, чтобы начало отсчета функ
ции hв (и) было сдвинуто относительно оптической оси
системы 1на величину 60- Тогда комnле~сное пропускание
транспаранта ,будет hв (60-l-и). Вы·бе.рем расстояния zз
и z~ так, чтобы оптич.еская система, раоположенная
спра.ва от 1плоскости Пз, ра'ботала в ~реж,име фурье-ана
лизатора. Для ·этого положим
Z~==f; O~zз~f.
(3.30)
Комплексная ампл.итуда поля сразу за плоскостью
П3 равна произ·ведению f (-и) hв (sо-1-и), а в плоскости
П5 1без учета экспоненциальных множителей, определяю
щих кривизну волновых ·Фронтов в пространстве между
плос~остям·и Пз-П4 и П4- П5, пропорциональ·на функции
00
z(р,EJ = Jt(-и)h8 (~+и)ехр(- j ~ ри)dи. (3.31)
-оо
За.меняя В (3.31) Переменную U на 6 'ПО формуле
~0 -1-и==~, видим, что в точке р=О плоскости Л5 (на опти-
190 3. Восстаиовление сигi-tаЛов методами оптической обработки
ческой оси системы) величина комплексной ампл иту
ды по.пя пропорЦ'иональна значению .интеграла свертки:
00
00
Х(О,~о)== .ff(~о-е)hв(е)d~== .ff(~)hв~о- е)de.
-оо
-00
(3.32)
Для и"r~лю·страции •способа вычисления свертки ·в оп
тической системе рис. 3.2 при помощи ·преобразования
Фурье положим
(3.33)
В этом случае с~и-стему рис. 3.2 можно рас-сматривать
как два последовательно установленных фурье-анализа
тора. Такая система обладает свойством переноса функ
ций, заданных в плоскости П1 , в •плоскость Пs, так как
эти плоскости оптически ·сопряжены относитедьно лин
зы Л2•
Согла1сно (3.28) возмущение iПОля в плоскости П3
равно пространственно-ча.стотному ·спектру F (ro) функ
ции комплексного пропускания транспаранта f (~), уста
новленного в .плоскости П1 :
(3.34)
где
· ro= 2nu(J....f .
Установим в плоскости П3 1пространственно-частот
ный фильтр-транспарант, компле1ксное пропускание ко
торого Нв (ro) ра·вно преобразованию Фурье от hв (х).
После умножения (3.34) на Нв (ro) в результате дейст
вия фурье-анализатора, размещенного ·епра·ва от
плоскости П3, комплексная амплитуда поля в плоскости
П5 имеет вид
Х(р)=С'ехр(+ j ":;.• р•) Х
Х~[С ехр(+ j"~; и•)р (ю)Н0(ю) ]·
(3.35)
3.2. Оптические устройства для восстановления сигналов
191
При cSz1=cSZз=O, что достигается соблюдением условия
Z1=Zз=f,
(3.36)
квадратичные экспоненциальные м·ножители в (3.35) ис
чезают и в -соответствии с теоремой о •свертке ·комплекс
ная а1мплитуда поля в плоскости П5 оказывается ·про
порциональной свертке функций f и hв:
00
х(р)~ sf(е)hв(х-е)d~ ==s(х).
(3.37)
-00
Фотоприемное устройство, установленное в mлоско
сти П5, будет регистрировать квадрат модуля функции
х(р). Поэтому ·влияние квадратичных экспQненциальных
множ·ителей в (3.35) не ощущается и при несоблюдении
условия (3.36). В этом ·случае требуется уч~итывать толь
ко увеличение оптики и •соответствующее изменение ма•с
штаба функции сверт.ки. rБолее того, несоблюдение у·сло
вия (3.36) в ряде случаев позволяет улучшить характе
ристики оптического вычислительного устройства.
В ча·стноеrи, эффект виньетирования входного тра·н~с·па
ранта, происходящий вследствие конечного размера
а1пертуры линзы Л 1, можно свести к минимуму, если
у1становить транспарант ~вплотную к линзе~ т. е. если
z1 =0. Как уже отмечалось, при z 1=0 мак-си!Мизируется
база ·сигнала: наряду с увеличением протяженности сиг
нала до значения, определяемого эффективной atJiepтy-
"
рои линзы, увеличивается и ·полоса ча1стот сигнала
вследствие расширения углового спектра плоских волн,
попадаю,щих в апертуру линзы (название «угловой
спектр» отражает связь аргументов :преобразования
Фурье с углам-и распределения 1соответствующих mло
ских волн [90]). Кроме того, если плоскость П 1 входного
транспаранта разместить между линзой Л1 и плоскостью
фильтра Пз, то оказывается возмож1ным гибкое управле
ние масштабом преобразования Фурье без изменения
фокусного расстояния линзы.
Оба метода оптического вычисления свертки - и ин
тегрирование ·с весом, и метод преобраэования Фурье -
формально приводят к одному и тому же результату,
однако потенциаJ1ьные возможности устройств, реа~пf
?ующих эти методы, совершенно различньJ,
192
3. Восстановление сигналов метGдаJ.tи оптической обработки
У·стройство, в котором соблюдены условия (3.29) и
(3.30), приводящие к реализации метода интегрирова
ния с весом, вычисляет только одно значение свертки
функций, соответствующее одному данному значению ~о
параметра относительного смещения функций. Вся све
товая энергия концентрируется вблизи оптической оси
•системы в выходной 'Плоскости П5. Фотоприемник, уста
новленный на оптической оси устройства, будет реги
стр'Ировать интегральный световой поток, прошедший
- через
оба транспаранта при данной величине ~о· Для
вычисления всех требуемых значений с'Вертки в этом
устройстве требуется реализовать последовательный
перебор значений ·параметра относительного смещения
транспарантов, осуществляя это, например, механиче
ским перемещением одного из транспарантов в направ
лении, пер"Пендикулярном оптической оси. Чем больше
независимых отсчетов функций требуется использовать
при вычислении свертки, тем больше будет объем пере
бора значений параметра относительного смещения. По
этому при обработ1{е вы·сокоинформативных сигналов,
когда число отсчетов наблюдаемой функции велико, вре
мя вычисления с·вертки часто станави1'ся недопустимо
большим, а выигрыш в скорости оптической обработки
информации по сравнению со средствами электронно
вычислительной техники либо незначителен, либо вооб
ще отсутствует.
С этой точки зрения устройство, в котором вычис
ление свертки производится методом .преобразования
Фурье, имеет исключительное преИ!\.fУЩество во времени
обработки информации. Действительно, в таком устрой
стве все значения свертки вычисляются одновременно и
отображаются в виде светового распределения вдоль
оси р на плоскости Пs. Это ·происходит mотому, что ин
теграл (3.37) ·существует для uелой обла'Сти различных
значений р, в то время ка1к интеграл (3.32) имеет место
л·ишь для одного значения р=О. Отсчеты •светового рас
пределения в выходной ~плvс.кости теперь могут считы
ваться многоканальным фотоприемником параллельно.
Последовательное относительное смещение транспаран
тов механиче-ски~м или каким-либо другим путем здесь
не требуется, в результате чего скорость обработки ин
формации огран»ч~ца л~ш~ временем распространен~~
'
.
.
.
.
3.2 . Оптические устройства для восстановления сигналов
193
световой энергии от плоекости П1 до плоскости Пs и
инерционностью фотоприемника.
Итак, при оптических вычислениях свертки методом
преобразования Фурье возможно теоретически мгновен
ное решение эадач восстановления сигналов. В1первые
эта возможность была отмечена в работе [96]. При ре
шении задач 'Вое.становления тря.нспарант с за1Jiисью
наблюдаемой функuии устанавливается во входную
плоскость, в ча•стотную плоскость помещается простран
ственно-ча·стотный вос·станавливающий фильтр, а ·вос
становленный сигнал проявляется в выходной плоокости
у·стройства в виде соответствующего распределения
ком.пле:ксных амплитуд света. На практике длительность
процесса восстановления ограничена скоростью записи
наблюдаемой функuии на входном тран·с1паранте. Для
того чтобы избежать не~производительных затрат вре
мени на фотохимическую обработку носителя ттри изго
товлении обычных фотографических транспарантов,
·в технике оптических вычислений применяют динамиче
ские транспара·нты (пространственно-временные модуля
торы света) различных I<онструкuий [6, 95, 97-100].
С помощью оптических вычислительных устройств с ди
намическими транспарантами задачи вое-становления
сигналов можно решать практически в реальном мас
штабе времени.
Для устройств вое-становления ·сигналов важно обес
печить не только вы·сокую С"Корость вычислений, но и
минимум дополнительных помех, та•к как вследствие не
.корректности задачи восстановления ·на выходе у·строй
ства обработки сигнала происходит неизбежное усиление
шумов. Одним из существенных источников шумов в ко
герентных оптических системах является .светорассеяние
на uарапинах, пылинках и внутренних дефектах опти
ческих элементов (линз, зеркал, фотопластинок и т. п.).
По этой причине желате.пьно ·конструировать оптические
устройства восстановления сигналов •с минимальным ко
личество'М оптических элементов.
Минимум оптических элементов достигается в схеме
с осrвещением входного транспаранта не плос"Кой, а сфе
рической волной. В этом случае не требуется колли
мирующая система для формирования параллельного
пучка, которая обычно содержит много элементов.
JЗ-8Щ>
194
3. Восстановление сигналов методами оптической обработки
Zo
Ло
f
Ло п,
Пz
ll
ф(11)
11
ф(ll)
Zz
Рис. 3.3. Схемы оптических
фурье-анапизаторов с осве
щением транспаранта сфери
ческой вол110А:
а - плоскость транспаранта
расположена за линзой:
б - перед линзой
Рассмотрим сначала схемы 1построения оптического
фурье-анализатора, в котором точечный источник моно
хроматического света находится на конечном расстоянии
от плоскости входного транспаранта и на транспарант
ттадает сферическая во.лна (рис . 3.3).
Пусть транспарант с записью сигнала f (~) установ
лен в 'Плоскости П1 , расположенной на расстоянии z1
за плоскостью П2 идеальной собирающей линзы, имею
щей фокусное ра•сстояние f (рис. 3.3,а). Линза преоб
разует ра1сходящийся сферический фронт волны, обра
зованной точечным источником света О, расположенным
в 'Плоскости П0 на расстоянии z 0 ~перед ·плоскостью лин
зы, в сходящийся волновой фрон1. Пусть 'Плоскость
наблюдения Пз находи1ся на ра1с~стоянии z 2 от транспа
ранта. Если ра·остояния z 1, z0 и z 2 удовлетворяют фор
муле линзы
то в плоскости П3 буде~ наблюдаться изображение О'
точечного источника.
•
.,.._
с
-
t
•,
З.2. Оптические устройства fJлit восстаtювл:ения tиг1iаАов
195
Методом, изложенным в § 3.1, МО)КНО показать
[:94, 101], что в случае малых размеров транспаранта и
небольших углов дифракции комплексная амплитуда
поля в плоскости П3 равна
00
t(и)=Сехр(j 2:, и') Jf {!;) ехр (-j z~ ~и) d~.
-00
Та.ким образом, в плоскости изображения линзой точеч
ного источника возникает фурье-спектр сигнала, ра·спо
ложенного в ~плоскости между выходной плоскостью и
линзой. Для лучшего удовлетворения у·слония малости
углов дифракции транспарант желательно· располагать
вплотную к линзе (z1 =0). При изменении раостояния
z2 от входной до выходной плоскости изменяется ма-с
шта б спектра, равный rо=2ли/Лz2• При масштабе ·про
ектирования точечного источника ·света, ·равном 1 : 1,
когда Zo=z2+·z1 =2f, достигается минимальная длина
оптического у.стройства. Ма1сштаб •спектра 1в этом случае
равен ro= nu/Лf.
Интересными свойствами обладает фурье-анализа
тор, у которого плоскость входного транспаранта нахо
дитс:я между источником света и линзой (рис. 3.3,6).
Если ра-естояния z'0 (от источника до транспаранта),
z'1 (от транспаранта до линзы), z'2 (от задней фокаль
ной .плоскости л~нзы до выходной плоскости П3 ) выбра
ны та:к, что удовлетворяется условие
1
1
~'1
z'о
z'2 +т -- f2==~,
то ком-плек·сная амплитуда поля в выходной плоскости
устройства равна [94]
00
х \f(~)ехр (-j ,kr, еи;'d~.
j
z2Zо
(3.38)
-оо
13*
iOO 8. Восстановление сигналов ме тода1.tu оптической обработки
По
af
п1
Zf
Zf
Пz
/1
р
ljJ(U)
Х(Р)
bf
Рис. 3.4 . Схема оптического
устройства с осве~цением
транспаранта сферю1еской
ВОЛНОЙ ДЛЯ BЬl 11ИCJJeHJfЯ
свертки функций методом
преобразования Фурье
Следовательно, при размещении входного транспаранта
между точечным источником и линзой в плоскости изо
бражения источника также получается спектр ·входного
сигнала, но масштаб его за.висит от расстояний z'2 и z'о
и ра·вен ro=2nfu/Лz'2z'0• Передвигая плоскость входного
транспаранта, т. е. меняя расстояние z'0 (при z'o-l-
- l-z'1 =·const), можно изменять масштаб ·спектра. Фазо
вый эк·с'Поненциальный множитель .перед интегралом
в (3.38) достаточно мал при небольших углах дифрак
ции. Если входную 1плоскость разместить в передней
фокальной плоскости линзы (z'1-f), то z'2z'o=f2 и
фазовый множитель вообще исчезает. Масштаб спектра
в этом случае равен ro=2nu/Лf.
Раосмотр-им теперь оптическое устройство для вы
числения 1свертки функций методом 1Преобразования
Фурье при освещении ~сферической волной (рис. 3.4).
Пусть расстояние от точечного источника до линзы рав
но 2f. Тогда согласно формуле линзы изображение то
чечного источника возникает ·в ·плоскости П3, удаленной
от линзы также на ра·сстояние 2f. Пусть далее плоскость
входного транспаранта П1 находится между источником
и линзой на ра-естоянии z'2 =af от линзы (1 <а<2).
Изображение входного транспаранта .при этом будет на
ходить·ся в ·плоскости Л4, удаленной от линзы на рас
стояние Ы, где величина Ь определяется из формулы
линзы
1
1
1
--L -
·=-
af1Ы
f·
3.2 . Оптические устройства для восстановления сигналов
i97
Положим для определенности а==3/2. Тогда соглас
но (3.38) комплексная амплитуда поля в плоскости Пз
пропорциональна фурье-спектру объекта f (~):
00
C'exp(-i ~и•) Jt~exp(-j 2
: ~и)~F(ю)
при масштабе спектра w=4nu/Лf. Плоскость П4 изобра
)Кения входного транспаранта в этом ·случае находится
на ра·сстоянии Зf от линзы. Следовательно, если в .пло
скость П3 введен ·пространственно-ча·стотный с'пектр
Нв(w), то в этой плоскости формируется nроизведен·ие
F(w)Hв(ro), а распределение кt>мплеrксных амllлитуд
поля в выходной плоскости П4, удаленной от линзы на
расстояние . Зf, будет mропорциональным .свертке
f(x) *hв(х), что и требуется.
Таким образом, вычисление с'Вертки для восстанов
ления сигналов воз·мож·но •с помощью ·простейшего опти
ческого устройства при освещении транспаранта сфери
ческой волной. Хотя в этом устройстве имеется лишь
одна линза, формиро·вание всех значений свертки осу
ществляе'Г'ся •параллельно. В результате обеспечивается
вь1~сокая скорость ·обработки информации при низ·ком
уров-не внутренних ·помех. Однако эти качества дости
гаются за •счет у.величения длины оптиче-ского пути по
сравнению с многолинзовыми устройствами, использую
щими освещение параллельным 'Пучком.
Ра·есмотренные выше оптические устройства для
вычисления свертки методом пр_еобразования Фурье ра
ботают при когерентном освещении и основаны на ис
пользовании дифракционных 1явлений. По установившей
ся терминологии та•кие У'стройства называют дифракци
онными оптическими корреляторами. В целом
дифракционный коррелятор можно рассматривать как
линейную систему фильтрации, осуществляющую ·преоб
разование Фурье анализируемой функции, умножение
результата преобразования на передаточную функцию
фильтра и повторное преобразование Фурье над полу
ченным произведением. Заметим, что эта система линей
на по отношению к комплексным амплитудам света,
причем выходной сигнал (результат свертки) представ-
198 3. Восстановление сигнал6в методами 6nтической обработки
лен также в виде распределения комплексных ампли~
туд х(Р).
К сожалению, зарегистрировать распределение ком
плексных амплитуд света с помощью обычных фото
приемников, ка-к уже отмечалось, нельзя. В·место х (р)
регистрируется интенсивность ·света, т. е. функция
lx(P) 12
.
Иначе говоря, вместо восстановленного сигна
ла s(х) мы ·можем наблюдать только rквадрат его мо-.
дуля 1s(х)f2--действительную, всюду неотрицатель
ную функцию. Эта особенность в конечном счете огра
ничивает клаос обрабатываемых ·сигналов множеетвом
действительных положительно определенных функций.
Для однозначного ·вос~тановления таких функций доста
точно извлечь •положительный квадратный корень из _за
регистрированных на выходе коррелятора з·начений
интенсивности света. Е•сли же действительный сигнал
имеет отрицательные значения, то определить их «место
положение» в ·сигнале 'при извлечении корня из ls(x) 12
без дополнительной информации нельзя. Аналогично
в •случае .произвольного комплексного 1сигнала мнимую
его часть вос·становить невvзможно.
В большинстве физических и технических приклад
ных задач ·сигналы 'Представлены действительными
функциями. Так, в различного рода колебательных
задачах функции времени действ-ительны (их ·спектры
комплексны), ·причем для любого физически реализуе
мого фильтра импульсная переходная характеристика
также действительная функция [90]. Часто используется
представление ~сигналов в комплексной форме, которую
...
можно рас·сматривать как единую за1пись двух деистви-
тельных функций.
Во многих случаях сигналы~ действительные функ
ции - биполярны: они имеют как положительные, так и
отрицательные значения.
Для обработки знакопеременных и комплеl{tсных
сигналов в когерентных оптичесК1их вычислительных
устройствах применяют специальные приемы. Наrпример,
пользуясь многоканальностью оптических систем, ана
лиз проводят отдельно по ·положитель·ным и отрицатель
ным частям функции, за•писанным на отдельных дорож
ках, и затем алгебраическц суммируют 'Полученные зна
чения [102].
3.2 . Оптические устройства для восстановления сигналов
199
При анализе в1накопеременных сигналов общее чис
ло каналов в системе сокращается в два раза, а при
анализе компле~сных сигналов число каналов сокраща
ется в четы·ре ~раза.
Другой распространенный ~пр-ием, иепользуемый при
оптической обработке зна1копеременных ·сигнало13, со
стоит в записи сигнала совместно с тщательно контроли
руемой 'Постоянной составляющей, уровень которой боль
ше размаха амплитуды сигнала. В процессе анализа
выходного раопределения интенсивностей квадрат 'По
стоянной ·составляющей вычитают из полученных зна
чений интенсивности света.
Не следует думать, что во ·всех задачах восстанов
ления сигналов требуется использовать специальные
приемы записи функций. Наrпротив, значительная часть
таких задач ·связана либо с обработкой изображений -
положительно определенных функций двух переменных,
либо ·с обработкой одномерных не отрицательных сиг
налов. В телевидении, радиолокации, электронной
микроскопии, ·рентгенографии и других обла·стях рег·и
стрируется пространственное ра·определение интенсив
ности соответствующих волновых полей, естественное
представление которого получается ·с !Помощью полуто
новых фотографических транспарантов. Потому и на
выходе оптических вычислительных устройств для обра
ботки изображений достаточно зарегистрировать выход
ное распределение интенсивности •света, не ·принима1я
особых мер по вое-становлению распределения комплекс-
11ых ампл·итуд.
В технике связ·и иногда используются «клиппирован
ные» ·сигналы, или сигналы, ·принимающие лишь два
значения: О и 1. Я•сно, что для таких сигналов х (р) =
= lx(p) 1=lx(p)1 2 и дополнительная обработка распре
деления интенсивностей света не требуется.
В дальнейшем для простоты изложения будем ·счи
тать анал·изируемые ·сигналы действительными не отри
цательными функциями Gдной или двух переменных,
которые представлены соответствующим распределением
пропускания фотографического транспаранта, однако
помня, что техника ·оптичес:ких вычислений раrсполагает
специальными приемами для анализа знакопеременны~
и комплек·сн~1х сигналов .
-
-
-
:--
~~ ..'), '
200
3. Восстановление сигналов методами оп тической обработки
3.3 . ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
Одной -из основных проблем применения оптических
"
в ычислительных устроиств для решения задач восста-
новления сигналов является создание оптических про
стр анственно-ча1стотных фильтров, име1Qщих заданную
передаточную функцию. Дело в том, что rпередаточная
функция, как ·фурье-образ весовой функпии, пра1ктически
всегда комплексная, даже если весовая функция дейст
вительна. Исключение составляет лишь случай четных
весовых функций, у ·которых преобразование Фурье ве
щественно. Поэтому даже если анализируемый С'Игнал
является действителЬ'ной функцией, которуто 1можно
представить ](ак распределение <<-почернений» на фото
пластинке, пространственно-частотный фильтр для вос
становления сигнала в общем случае нельзя изготовить
в виде обычного фотографического транспаранта . На
фотопластинке можно зарегистрировать лишь ам1плитуд
ную часть комплексной передаточной функции. Для соз
дания фазовой части п ередаточной функции нужен от
дельный транС1Iара•нт, пр{)зрачность которого постоянна,
а индекс рефракции или толщина (поверхностный рель
еф) от точки к точке меняются по заданному закону.
Изготовление такого тр анепа ранта представл·яет -со
бой весьма сложную техническу1{) задачу. К •сожалению,
большинство известных ·способов создания фазовых
транспарантов: методы фотолитографии ·[103], отбели
вание и дубление фотографических ·слоев [ 104], напыле
ние тонких ~пленок [)105], использование электрооптиче
ских .кристаллов и термопла·стических 1слоев [ 106] и т. п.
не обладает достаточной точностью. Кроме того, при
изменении весовой функции ·необходимо заново рас-счи
тывать фазовую часть передаточной функции и заново
изготавливать •соответству1QщИй ей транспарант, т. е.
повторять довольно •сложные технологические ~процессы.
Даже если добиться приемлемой точности и технологич
ности процееса изготовления фазового транс:паранта,
останутся еще трудности прецизионного совмещения
двух транспарантов ~ (фазового и амплитудного) в ча'с
тотной плоскости оптического коррелятора и исключения
паразитных фазовых набегов световой волны, проходя-
щей через оба транспарант~.
·
3.3 . Голографическая {ftильтрация сигналов
201
Если бы удалось зарегистрировать и амплитудную
и фазовую части передаточной функции фильтра на од
ном транспаранте ·с помощью обычного фотограф·иче
ского процееса, то указанные проблемы уепешно реши
лис1) бы. Идея такой регистрации оказалась реальной
с открытием голографии.
Голографический метод создания комплексных про
странственно-частотных фильтров основан на возмож
ности реконструкuии действительной или комплексной
функции из опектральной плотности ·суммы этой функ
ции и б-функции [107].
Пусть требуекя зарегистрировать комплексный
спектр Нв(rо) функции hв(х), где -а~х~а. Сформи
руем вспомогательную функци10 g(x) =б(х+хо) +hв(Х),
котора•я отличается от hв (х) наличием б-функции, со
средоточенной в точке х0, ра1сположенной вне промежут
ка (-а, а). Фурье-образ функции g(x) равен
G(ro) = ехр(jrox0) + Нв(ffi).
(3.39)
Запишем теnерь спектральную плотность функции g(x),
т. е. квадрат модуля (3.39), в виде
JG (ro) (2=:1[ехр (jroxo) + Нв {<U)] [ ехр (jroxo) + Нв (ro)] *=
=l + JHв(ro) ( 2 +H*в(ы)exp(jffiXo) +
+ Нв ( ffi) ехр (-j.roxo).
(3.40)
Последний член в прав-ой ча1сти (3.40) пропорционален
требуемой комплексной функции Нв ((t)), а ·наличие .при
нем линейного фазового множителя ехр (-jwx0 ) обес~пе
чивает возможность пространственного отделения этого
члена от остальных. Действительно, 1после выполнения
операции обратного ·преобразования Фурье над .правой
частью (3.40) ·находим, что в результате такого ·преоб
разования из . последнего члена реконструируется
hв(Х-Хо), т. е. функция hв(х), сдвинутая на величину
-х0 относительно точки х=О. При определенных усло
виях [ l 08], накладываемых на соотношение между а, Хо
и протяженностыо корреляционной функции rh ( х) =
~-1 [ 1Нв (ffi) 12 ], все функции, порожденные другими
членами в (3.40), пространственно отделены от
202
3. Носстанпвление сигналов методами оптической обработки
hв (х-хо) и не .nерекрьrваютоя с ней. Это 'И позволяет
рассматривать в (3.40) ~последний член, пропорциональ
ный Нв(rо), независимо от остальных.
С физической точки зрения в голографическом ме
тоде ·синтеза передаточной функции фильтра на фото
пла·стинке, установленной в вых{)дной плоскости
оптического фурье-анализатора, регистрируется интен
·сивность картины интерференции наклонно падающей
tJ
u
u
u
u
плоскои ·световои волны, называемои опорнои волнои, и
волны, дифрагированной на объекте. Объектом гологра
фирования в нашем ·случае ·служит транспарант ·С за
·писью весовой функции hв (х). Комплек1сной амплитуде
поля опорной волны соответствует :первый член в ~правой
части (З.39), а комплексной а·м,плитуде поля сигнальной
волны, дифрагированной на транспаранте и прошедшей
через линзу анализатора, - второй член. И·спользуются
также варианты метода, в которых точечный опорный
источник света и транспарант 1помещены непосредствен
но во входную плоскость оптического фурье-анализатора
и образуют в этой плоскости распределение комплекс
ных амплитуд ·евета, .соответствующее ·Вспомогательной
функции g(x). В любом варианте ·проявленная фото
пластинка является голограммой Фурье объекта hn (х).
Она и используется в качестве .пространственно-частот
ного фильтра, который устанавливается в ча·стотную
плоскость дифракционного оптическ{)го коррелятора для
вычисления сверт.ки f(x) * hв(х).
Р а·ссмотрим, каким образом изготавливается голо
графический фильтр и формирует~ся интеграл свертки.
Пусть транспарант, имеющий пропускание, ·соответ
ствующее действительной функции hв (~) , установлен
·в ·плоскости П1 оптического фурье-анализатора так, что
точка t=O ·совпадает с оптической осью iсистемы, и оеве
щен параллельным ·световым пучком · (р·ис. 3.5). Будем
считать, что плоскость П1 в общем случае не ·совпадает
с .передней фокальной плоскостью линзы Л1, но соблю
дае1'ся условие
(3.41)
соответствующее рас111оложению транспаранта между
линзой Л1 и ее передней фокальной плоскостыо. В ~пло-
3..1. Голографическая фильтрация сигналов
203
л,
--- - ---- ---+ -----~ ·
Рис. З.5. Схема изготовле
ния голографического филь
тра
п,
z,
I(li)
f
скости П3 помещена фотопластинка. Под углом (3 ·к опти
ческой оси на фотопла·стинку направлен ~параллельный
пучок света, служащий опорным. Будем .считать, что
световая волна, направленна1я на транспарант, и опор
ная световая -волна когерентны. По-1прежнему будем
"
...
ра1С'сматривать одномерныи ·случаи.
При этих допущениях объект ·создает в плоско·сти
П3 следующее распределение комnле~сных амплитуд
света (см. § 3.1):
00
ф(и)=Сехр(/ ~f~· и•) fhвroexp (-i ~ tu)tte=
-оо
с (.~az1 2)Н(2~ )
==
ехр1лr2и вJ:Ги'
(3.42)
где С- константа, ·содержащая множители, не за·вися
шие от и.
Распределение •Комплексных амплитуд с·вета, созда
ваемое в ·плоскости Пз наклонно ·падающей опорной
волной с а'М.плитудой Е0, равно
ф0 (и)=Е0 ехр (i ~" usin~)
(3.43)
Cyммaрную интенсивность ·света в плоскости Пз
l(и)= l'Ф(и) +'Фо(и) 1 2=1[rф(и) +'Фо(и)] ['Ф(и) +
+'Фо (и)]*,
(3.44)
204
3. Восстановление сигналов методами оптической обработки
с учетом (3.42) и (3.43) запишем в следующем виде:
х[.27t( •А
0212)]+СН(27t J'х
ехр 1-r- USlП1J - 2f2 и
Ео вми
Хехр[- j
2
; (и sin~ - ~:: и')J}.
Амплитудное пропускание проявленной
пластинки равно [ l 08]
Т (и) ~ (еп/tэ)1/2 l/ (и)]-т/2 =::К[/ (и)]-т/2,
(3.45)
фото-
(3.46)
где у- коэ·ф1фициент контрастности (тангенс угла на
клона характеристической кривой) фотослоя; ta - дли
тельноеть экспозиции; еп - координата точки ·пересече
ния линейной части характеристической кр"Ивой 'С осью
абсциес.
Формулу (3.46), в которой / (и) выражает·ся соглас
но (3.45), можно заменить ее приближением, соответст
вующим биномиальному разложению
(l +x)n= l + ·nx+n(n-l )х2/2+ ....
Бели а1мплитуда сигнальной волны -ф(и) значитель
но меньше амплитуды опорной ·волны 'Фо (и), то
C2 JHв(<U) J 2/E2o~l и вторым членом -суммы в (3.45)
можно 'Пренебречь. Учитывая это и отбрасывая члены
второго порядка и выше в биномиальном разложении
при n=-y/2, fПолучаем первое приближение ·пропуска
ния голограммы
T<'I (и) ~ к~1+ ( -+)ксв-;;1-•Н*. ( ~; и) Х
Xexp[i 2
; (иsin~- ;;; и')]+(-+)ксв-;;1-•х
хн.(~ и)ехр [-i ~ (иsin~- ~~и')]· (3.47)
3.3. Голографическая фильтрШfUЯ сигналов
о
z~
п:
пl
T(U}
f
z'J
Лz
205
Х(р) tp
+1-ii
f'
..,.
поряоок
0-ii
поряоок
- 1-ii
поряifок
Рис. 3.6 . ОптцческиА корре.пятор д.пя голоrрафическоА фильтрации сигиа.пов
Из формулы (3.47) видно, что функция амплитуд
ного пропускания голограммы содержит три члена, два
из которых пропорциональны Н*в(w) и Нв((J)). Если
голограмму у1становить во входную •плО'скость оптиче
ского фурье-анализатора и осветить параллельным ·све
товым пучком, то в выходной ·плоскости ·появятся два
изображения (прямое и сопряженное) объекта-функции
hв (х). Эти изображения будут разнесены в разные ·сто
роны относительно ·светового пятна нулевого дифракци
онного 'Порядка, ·образованного ·светом, !Прошедшим че
рез голограмму без дифракции.
Для того чтобы использовать голограмму в качестве
пространственно-ча·стотного фильтра, установим ее
в частотную плоскость П'3 дифракционного оптического
коррелятора (рис. 3.6). Будем считать, что ~плоскость
П'1 коррелятора находится на расстоянии .z'1 от линзы
Л1 (·с фокусным расстоянием f. равным фокусному рас
стоянию линзы анализатора), причем z' 1=f-ib·z'1 , а рас
стояние между частотной плоскостью П'3 и линзой Л2
равно z'з-f'--1бz'з. Мы предполагаем, что линза Л2
имеет фокусное расстояние f', в общем случае отличаю
щееся от фокусного расстояния f линзы Л 1 , а выходная
плоскость коррелятора П'5 совпадает с зttдней фокаль
ной плоскостью линзы л2·
Пусть во входной плоскости П' 1 установлен транс
парант с записью функции f (1~') так, что начало отсчета
~'=0 совпадает с оптической осью коррелятора.
206
3. Восстановление сигналов методами оптической обраf5отки
· Вычислим распределение комплексных амплитуд
света в выходной плоскости коррелятора, возникающее
от функции f (~') и последнего члена функции -пропуска
ния голограммы-фильтра. При освещении транспаранта
плоской волной, ра1спространяющейся вдоль оптической
оси и имеющей амплитуду Е1 , объект f (·~') 'Порождает
в фокальной плоскости линзы Л1 коррелятора следую
щее распределение комплексных амплитуд ·света:
00
Х Jf(~')ехр(-j ~; ~·и)d~'.
После прохождения через голограмму это ра·спре
деление ·создаст волну, соответствующую последнему
члену функции пропускания голограммы. Комплексная
амплитуда поля этой волны на выходе из голограммы
без учета nостоянного множителя, зависящего от Е0,
Еi,С,С',Киу,равна
ф+(и)=ехр{-j
2
; [usin~-az•~:дz,и•]}Х
00
хн.(~ и) .ff(е')"ехр(-j ~ e•u)d~':
-00
{
.
2~[•~
az'1 +az1 2 ]}
=ехр - J-л- us1nt'-
2f2
иХ
00
хнf(e')h.~) ехр{-J ~ [и~·+~)] }de'de.
(3.48)
-00
Поле, создаваемое волной w+(и) в задней фокаль
ной плоскости линзы Л2, пропорпионально преобразо
ванию Фурье от '1'+ (и) :
[
•
2'it az' з
t1х
Х(р)~ехр 1-Т 2(f')2р J
00
х .rф+(и)ехр(- ;
. :;: ир) dи.
-QQ
(3.49)
3.8. Голографическая фильтрация сигна.itов
Обозначим Л==6z'1 +1Sz1 и nодста'ВИМ (3.48) в (3.49).
Получим
00
()
[
• 21t oz'1
21;~s(r.21tх
ХР"-'ехрJ-Г2(f')2р ,~ ехр - 11
-со
00
х(usin~ - ~1• и•)] J.\ t ~·> h. (е)'Х
Хехр {- j ~ [и (е' +e>I} de'de) ~~ ( .: _ /~;, ир)dи.
Представим эту формулу в виде
00
х(р)"'ехр [j ~ 2~(~:;. р•]5JSf~)h,,(е)Х
-00
Х exp[i ~ (-fsinp-e• -e-f.-p>] Х
Х ехр (i ~~. и•) de'dedu.
(3.50)
Анализ (3.50) показывает. что х (р) пропорционально
свертке f (х)*hв (х) при условии устранения второго из
экспоненциальных множителей в 1подынтегральном вы~
ражении. Этот множитель исчезает при Л=О, т. е. когда
бz1= 01Sz'=O ·или когда 1Sz'1=-'6z1. Так как
00
;" Jехр (jуи)dи=&(у),
-00
то интегрирование по и при Л-0 в (3.50) приводит
к результату
00
Х(р)'"'-' ехр[1 ~ (2~~:). р')]JSf(е') h,Ю Х
-оо
ХВ(- f sin ~ -+- р-Е' :-t) de' de.
(3.51)
208
. 1. ВосстанлАлС'ние сигна.11ов мст0Пп.1rm rттu11еской 06ра6пт1ш
Используя фильтрующее свойство б-функции, из
(3.51) находим
()
.
[. 27t ~z'з
2jХ
Z р ""'ехр 1-Л-2(f'Pр J
00
Х Sf (- fsin~:-+, р - ~)h.~)_d~.
(3.52)
-оо
Бс.n:и частотная плоскость коррелятора находится
точно Е ·передней фокальной плоскости линзы Л2 , то
бz'з=О ·и экспоненциальный множитель ·перед интегра
лом в (3.52) исчезает. В этом ·случае
00
00
Х (р) "-'
~f(Х- Е)hn(~)d~== fhв(х- ~)f(Е)de,
-00
-00
где
x==--f,-p-fsin~.
(3.53)
Таким образом, комnле~сная ам~плитуда 1поля вол
ны, образованной последним членом функции пропуска
ния голограммы (3.47) ·В выходной плоскости дифр а к
ционного оптического коррелятора, пропорциональна
искомой ·свертке hв (х) * f (х). Начало отсчета с'Вертки
х=О, как видно из (3.53), находится в точке
p=-f' sin р,
(3.54)
соответствующей направлению ---.1-го дифракционного
порядка голограммы.
Аналогич ным методом мож·но !П-оказать [6], что вто
рой член функции пропускания голограммы-фильтра бу
дет отвечать в выходном раС'пределении коМ'плексных
ам:плитуд ·света функции, пропорциональной взаимной
корреляционной функции
00
z(р)~ Jf(е)hв(~- х)d~.
-оо
Эта функция центрирована отноrнтельно точки
р==f' sin р,
(3.55)
(3.56)
3.4 . Голографические методы рсализацuil инверсного фильтра
209
соответствующей направлению + 1-го дифракционного
порядка голограммы. В начале координат выходной
плоскости коррелятора вознпкаст световое ра·спределе
ние от первого члена функции пропускания (3.47), соот
ветствующее нулевому дифракционному порядку голо
граммы.
Следует отметить, что величина расстояния z'3 от
частотной плоокости П'з до линзы Л2 коррелятора мо
жет быть 'Произвольной, так как экопоненциальный мно
житель, зависящий от бz'3, стоит только ·перед интегра
лом в (3.50) и исчезает при переходе от распределения
комплексных амплитуд 'Х (р) к физически регистрируе
мому на выходе коррелятора распреде.пению интенсив
ностей lx(p) 12. Вместе с тем требуется так выбирать
расстояния z1 и z'1, чтобы удовлетворялось условие .
Л= О, приводящее к исчезновению зависящего от Л
квадратичного экспоненциального множителя в подын
тегральном выражении (3.50).
3.4 . ГОЛОГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ИНВЕРС
НОГО ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО ФИЛЬТРА
В предыдущем 'Параграфе мы показали, каким об
разом ·с помощью голографии можно реализовать 1про
странственно-частотный фильтр ·с заданной комплексной
передаточной функцией Нв (ro). Для этого необходимо
получить транспарант с записью весовой функции hв (х)
и изготовить его фурье-голограмму. Одна·ко априорная
информаuия о задаче обычно представлена ·в виде
h(x) - весовой функции ·системы приема ·сигнала. Как
видно из гл. l и 2, вычисление hв (х) по h (х) для боль
шинства алгоритмов воестановления сигналов являет·ся
·весьма трудной задачей. При изменении параметров
h (х) необходимо каждый раз снова рассчиты
вать hв(х). В ряде случаев hв(х) вообще нельзя пред
ставить в аналитическом виде через h (х) или ее ·пара
метры. Кроме того, если даже по условиям задач-и hв (х)
можно выразить аналитически через h (х) и время по
вторного расчета параметров восстанавливающей ·систе
мы при изменении параметров системы приема сигнала
оказывается приемлемым, остаются еще трудности .изго
товления транспаранта с записью hв(х). Последнее свя-
14-866
~10 :J. BOCCTQHOBJteHUe CU?HUЛOB МеТООйМU оптической обрабОТКLl
зано с тем, что ·когда h(x) действительная положитель
ная функция, hв(х) тоже действительная функция, но
пм еющая отрицательные значения. Это легко понять,
если вспомнить, что весовая функция системы приема
h (х) оказывает на входной сигнал s {х) сгла>кивающее
действие и, следовательно, для компенсации сглажива
ния h'!J (х) в некоторых точках должна принимать отри
цательные значения. I-Iаглядный пример такой· ситуации
был 1приведен на рис. 1.6,6 и ~/С.
Сложность изготовления транепарантов 1с записью
знакоп~ременных функций уже отмечалась ранее. Если
не принимать особых мер, то -приходится создавать
«сэндвич» из двух транспарантов: одного амплитудного,
изготавливаемого обычным фотографическим •способом,
и другого фазового, дискретно изменяющего фазу ·про
ходящей через него световой волны на n радиан в тех
интер-валах, где hв (х) отрицательна. Изготовление та
кого рода фазовых тра·нспарантов, как уже отмечалось,
сопряжено -со значительными технологическими трудно
·стями.
Создавшееся 'Положение усугубляется тем, что h (х)
чаще 'Всего являе'I'ся неотрицательной функцией, фото
графический транспарант которой обычно легко полу
чить. Так, в задачах восстановления оптических ~сигна
лов-изображений для записи h (х) достаточно сфото
графировать изображение точечного источника (имита
ция б-функции в оптике) с помощью того же прибора
и в тех же условиях, в которых были получены восста
навливаемые ·сигналы. Часто изображение «точки» мож
но найти на самом ·снимке, подлежащем воостановле
нию (например, если восстанавливается снимок звезд
ного неба). Важ·но лишь, чтобы амплитудное ·пропуска
ние 'Проявленной фотоnла·стинки оказалось пропорцио
нальным ·h (х) .
Получается, что, располагая голографическим спо
собом регистрации передаточных функций любого вида
и имея простой фотогр а фический транспарант для h (х),
мы тем не менее ·вынуждены для реализации этого ·спо
соба пересчитывать h(x) в hn(x) и С()Здавать сложный
входной транспарант. Пути решения этой проблемы бы
ли найдены в работах Дж. Строука и его ·сотрудников
[109-113], где предложено несколько голографических
3.4. Голографическцс методы реализации инв ерсного фильтра
211
методов восстановления изображений, не требующих
создания специального транспаранта ·С записью hв (х) и
реализующих один из наиболее ~простых методов вос
становления сигналов - инверсную фильтрацию.
Согла·сно 'Принципу инверсной фильтрации (см.
§ 1.6) для восстановления ·сигнала s (х), искаженного
линейной стационарной •системой с весовой функцией
'i(x), функция f(x), наблюдаемая на выходе системы,
должна быть пропущена через фильтр, передаточная
функция которого обратна передаточной функции иска
жающей "Системы: Hв(ro)=l/H(w). Различным ·вариан
там записи передаточной функции инверсного фильтра
отвечают различные голографические методы. Рассмот
рим эти методы применительно к случаю, когда h(x) -
весовая функция -системы получения изображений.
Метод создания двухкомпонентного инверсного
фильтра [109, 114, 115]. Этот метод основан на пред
ста'Влении передаточной функции инверсного фильтра
в виде
1
Н* ro)
1
н-к· (ш)
1Н(ro) i2 - 1Н (ro) 12
(3.57)
Н (ro)
и •предусматривает изготовление отдельных транспаран
тов для за•писи функции l / 1Н (ffi) 12 и Н* (ro) .
Оба транспаранта изготавливаются с ~помощью
устройства, содержащего оптический фурье-анализатор
с каналом опорного пуч.ка. Одна из возможных схем
такого устройства приведена на рис. 3.7 .
Источником когерентного светового излучения в этом устрой
стве служит газовый лазер 1. С помощью светоделительного куба 3
формируются два световых пучка. Один из пучков (сигнальный)
расширяется с помощью коллиматора, состоящего из микрообъекти
ва 15, точечной диафрагмы 14 и линзы 13, и направляется на вход
ной транспарант (фотопластинку) 12 с записью функции h (х).
Обычно транспарант устанавливают в кювету с иммерсионной жид
костью, показатель преломления которой выбран равным показателю
преломления фотографической эмульсии транспаранта с целью
исключения случайных фазовых сдвигов световой волны, вызывае
мых н~одноро~ностью эмульсии. Анализирующая линза 11 образует
в своеи заднеи фокальной плоскости, где установлена фотопластин
ка 10, дифракционную картину входного транспаранта. На эту же
пласт~нку под углом (3 направлен параллельный пучок света, слу
жащии опорным при изготовленип голограммы. Канал опорного пуч-
14*
212
3. Восстановление сигналов методами оптической обработки
в9
Рис. 3.7. Устройство для изrотовпения простL)анственно-частотных фильтров:
1 - лазер; 2. 4 - затворы; 3 - светоделительиый куб; 5, 16 - сменные ней
тр альные светофильтры; 6, 15 - микрообъективы; 7, 14- точечные диафраr
мы; 8, 13 - линзы коллиматоров; 9 - призма; 10 - кассета с фотопластинкой;
11 - анализирующая линза; 12-транспарант с записью функции h(x): /7-
зер1{ало
ка образуется микрообъективом 6, точечной диафрагмой 7, линзой 8
и отклоняющей призмой 9. Сменные нейтральные светофильтры 5 и
16 служат для настройки необходимого соотношения между интен
сивностью света в опорном и сигнальном каналах. Экспонирование
фотопластинки 10 осуществляется с помощью затвора 2, а выклю
чение канала опорного пучка производится с помощью затвора 4.
Работа по 'созданию пространственно-частотных
восстанавливающих фильтров начинается ·с регистрации
фотографического транопаранта с за·писью h(x). С по
мощью системы, построившей изображение, подлежащее
обработке, фотографируют изображе11ие точечного ис
точника, представляющее весовую функцию системы
(в оптических системах ее называют функцией ра·осея
ния точки - ФРТ). Системы ·построения изображений
(фотоаппарат" телевизионная камера, электронный мик
роскоп и т. п.) обычно действуют при некогерентном
освещении и, ·Следовательно, регистрации подлежит
ФРТ, представленная в виде распределения интенсивно
стей h (х), которое необходимо перевести в соответству-
1ощие изменения амплитудного пропускания транопаран
та . Для этого 1сначала изготавливают негатив изображе
ния точечного источника, а за тем делают его контакт
ную позитивну10 копию. Амплитудное пропускание .по
зитива пропорционально величине [ 114]
3.4 . Голографические .лштоды реализации инверсного фильтра
213
Тп (х) ~ {[h (х)]-тн }-
1
"
12
,
(3.58)
где '\iн - коэффициент контрастности негатива; vп- ко
эффициент контрастности позитива.
Согласно (3.58), амплитудное ·пропускание транс
паранта будет пропорционально h (х) в том случае,
когда Ун'Vп==2. Поэтому фотоматериалы и режим их про
явления подбираются так, чтобы это условие удовле
творялось .
.
Изготовленный таким образом транспарант уста
навливают во входную ттлоскость оптического фурье-а·на
лизатора в канале ·сигнального ·пучка установки
рис. 3.7 . Канал опорного пучка перекрывают с по
мощью затвора 4 и осуществляют экепонирование фото
пластинки. Интенсивность света, :падающего на фото
пластинку, представляет собой функцию 1Н(ro)f2. Для
того чтобы амплитудное пропуекание проявленной
пла·стинки стало ~пропорциональным функции Тi ( ro) =
==l/IH(ro)l2
,
необходимо получить значение v=2 (см.
(3.46)). Если этого удалось достичь, то этап создания
первой компоненты инвер·сного фильтра (3.57) заканчи
вается.
Вторую :компоненту фильтра, пропорциональную
функции Н* (ro), изготавлива1от голографическим спосо
бом на другой фото:пла·стинке. Экспонирование фото
пластинки осуществля1от при открытом канале опор
ного пучка. В результате интерференции опорной волны
с волной, дифрагированной на транспаранте, на фото
пластинке регистрируется фурье-голограмма объек
та ·h (х).
Существенно важным моментом при изготовлении
голограммы является подбор с помощью светофильтров
5 и 16 соотношения интенсивностей света ·В каналах
опорного и сигнального пучков так, чтобы световой по
ток опорного пучка был в несколько раз больше потока
сигнального пучка. Тогда, согласно (3.47), пер·вое при
ближение функции амплитудного пропускания голо
граммы .будет содержать три члена, 1причем второй -
пропорционален требуемой функции Т2 ( ro) =Н* (ro).
С·ветовую 1вол ну, соответствующую этому члену, можно
наблюдать при реконструкции голограммы в на•правле
нии + 1-_го дифракционного порядка голограммы.
1
21·4 3. Восстановление сигналов методами оптической обработки
1\
Т, Tz
s{:c)
1
7
б
8
9
Рис. 3.8 . Дифракционный оптический коррелятор дпя восстановления изобра
жений:
1 - лазер; 2 - микрооGъектив; 3 - точечная диафрагма; 4 - линза коллимато
ра; 5 -транспарант с записью входного изображения; 6 - анализирующая
линза; 7 - двухкомпонентный инверсный фильтр; 8 - отображающая линз а ;
9 - плоскость наблюдення восстановленного изображения
Обе 1полученные фотопластинки совмещают и уста
навливают в частотную плоскость дифракционного О'ПТИ
ческого коррелятора (рис. 3.8). Во входную плоскость
коррелятора вводят позитивный фотографический транс
парант 5 изображения f (х), подлежащего обра6от.ке.
Как и в случае изготовления фильтра Т1 (ro), коэффи
циент контра·стности позитива с учетом предваритель
ной регистрации негатива ·стараются ·сделать равным
v=2. Входной транспарант 5 и двухкомпонентный
фильтр 7 обычно помещают в кюветы ·с иммерсион·ной
жидкостью. Пучок ·евета от лазера 1, ра·сширенный
с ·помощью коллиматора, состоящего из микрообъекти
ва 2, точечной диафрагмы 3 и линзы 4, освещает вход
ной транс~парант с за'Писью f (х) и ·с-оздает в фокальной
плоскости анализирующей линзы б ·световое ра·спределе
ние, пролорциональное F (ы). Это распределение умно
жает·ся последовательно на функции ·пропускания Т1 ( ro)
и T2 (w) двухкомпонентного инверсного фильтра и после
повторного преобразования Фурье ~ :помощью отобра
жающей линзы 8 образует в 'ВЫХОДНОЙ 'ПЛООКОСТИ кор
релятора 9 вторичное, восстановленное изображение.
Восстановленное изображение наблюдае'f!ся в наrправле
нии + 1-ro дифракционного порядка голограммы.
Заметим, что если весовая функция h (х) действи
тельная и четная, то ноестановленное изображение
можно наблюдать и в направлении -1-го дифракцион
ного порядка, так как :в этом случае
Н (ro) =Н* (ro).
3.4 . f олографuческие методы р~аЛиЗаЦиti Инверсного фильтра 2i5
Другой вариант реализации двухкомпонентного
инверсного фильтра был использован в работе [ 116].
Отличие этого варианта от предыдущего заключается
только в том, что вторая голографическая компонента
фильтра представляет ·собой бинарную цифровую голо
грамму, синтезируемую ·на ЭВМ. Такая голограмма
И'Меет вид пространственной фазоманипулированной ре
шетки [ 117]. Границы участков, ·в которых на решетке
происходит скачок фазы на п радиан, соответствуют
точкам изменения знака передаточной функции Н (ro).
Голографическая компонента фильтра, ;синтезируе
мая на ЭВМ, в ряде -случаев имеет более высокую, чем
у обычной амплитудной голограммы, дифракционную
эффективность {отношение интенсивности световой 'ВОЛ
ны 1-го дифракпионного порядка к интенсивности из
лучения, облучающего голограмму). I-Io слож·ность про
цесса синтеза голограмм на ЭВМ и низкое качество
изображений, реконструируемых с цифровых гологра'Мм,
ограничивают обла1сть применения метода. Кроме того,
общая эффективность двухкомпонентного инверсного
фильтра зависит не столько от второй (голографиче
·ской), ·сколько от первой {амплитудной) компоненты.
Вообще качество вое-становления сигнала 'При ин
версной фильтрации определяется, в основном, динами
чес-ким диапазоном фильтра Нв (ro) = l/H (ro). Так как
обычно при некоторых значениях частоты Н (w) стре
мится к нулю, Нв (ro) на этих частотах должна быть
очень большой. Вместе с тем ·при w=O величина Нв(rо)
равна единице. Поэтому чем больше динамический
диапазон инверсного фильтра, тем лучшего качества
восстановления ·сигнала можно достичь (конечно, если
не учитывать влияние шума). С этой точки зрения ди
намический диаrпазон, равный, например, l 04 : l, ·следует
признать хорошим, а диапазон l О: l - плохим.
Управлять динамическим диапазоном двухкомпо
нентного пространственно-частотного инверсного фильтра
удается только за 0счет 1первой (амплитудной) компо
'Ненты фильтра, изготавливаемой фотографическим спо
собом. Для того чтобы не использовать различных и
ча1сто противоречивых определений динамического диа
пазона фотозаписи, включающих зависимость от ·случай
ных флуктуаций почернения и, как следствие, от ~пло-
216 8. Восстановление сигналов методами оптической обработки
щади ·считывающего элемента, в дальl!ейшем будем
понимать под динамическим диапазоном просто интер
вал почернений ЛD от наименьших до наибольших
плотностей D(D=Ig Т-2, где Т- амплитудное пропуска
ние), отображаемых на проявленной фотопластинке.
При та'КОМ определении коэффициент кqнтра-стности v
каiк тангенс угла наклона линейной части хара.ктеристи
ческой крИВОЙ (КрИВОЙ IПОЧернений) равен '\'=
==ЛD/Л Ig /tэ, где/ - интенсивность ·света, освещающего
1пла·стинку, tэ - время экспозиции.
Обычные фотоматериаJIЫ при традиционных мето
дах их фотохимической обработки обеспечивают на ли
нейном уча·стке характеристической кривой динамиче
·ский диапазон записи, не превышающий 11римерно 102 : 1
и ограниченный сверху вел;ичиной Dmax=·2 -2,5. Поэто
му при изготовлении амплитудной компоненты фильтра
требуется применять особые фотографические ·способы,
увеличивающие интервал почернений транс~паранта при
условии v=2.
Одним из раопространенных фотографических спо
собов управления интервалом :почернений являет·ся мас
кирование. Под маской обычно понимают фотослой, ко
торый используется в копировальном процеесе вместе
с негативом для получения определенных фотографиче
·ских эффектов. Чаще всего маски изготавливаются с ис
пользованием оригинального негатива и резкого или
нерезкого, контрастного или «вялого» позитива [118].
В решаемой задаче достаточно эффективным оказался
метод нерезкой ма·ски [ 11 О].
Процесс получения амплитудной компоненты инверсного фильт
ра с помощью метода нерезкой маски включает следующие этапы:
1. Перед частотной плоскостью оптического фурье-аналиэатора,
с помощью которого формируется распределение H(ro), устанавли
вают нейтральный светофильтр с плотностью D = 3. Путем контроль
ного экспенирования на фотопленку через нейтральный светофильтр
определяют время экспонирования tэ, при котором максимальная
плотность фотографического изображения IH(ro) 12 слегка превышает
уровень вуали.
2. В копировальном приборе с цветным светофильтром, вы
бранным так, чтобы максимум его спектрального пропускания при
мерно соответстВовал длине волны света лазера в оптическом фурье
анализаторе, также устанавливают нейтральный светофильтр с плот
ностью D = 3. Освещенность фотопленки в копировальном приборе
3.4 . Голографические методы реализации инверсного фильтра
217
выставляют таким образом, чтобы при экспонировании за время fэ
получаемая на пленке плотность слегка превышала уровень вуали.
3. Нейтральный светофильтр в оптическом фурье-анализаторе
убирают и в частотной плоскости регистрируют на пленке распреде
ление Н (ro) при времени экспонирования tэ.
4. На ту же самую пленку в копировальном приборе с исполь
зованием только цветного светофильтра при времени экспонирования
tэ контактно впечатывают фотографический клин для построения
характеристической кривой.
5. Пленку проявляют, фиксируют, промывают и сушат. В ре
зультате получают негатив Т1н.
6. Изготавливают «вялую» маску-позитив Тм контактным пере
печатыванием негатива Т1н на пленку в белом свете.
7. Изготавливают нерезкую маску-негатив Тмн контактным пе
репечатыванием позитива Тм на пленку в белом свете с использова
нием тонкого рассеивателя между Тм и пленкой.
8. Изготавливают позитив Тмn перепечатьmанием негатива Тмн
на пленку в белом свете.
9. Изготавливают позитив Т1 п контактным перепечатыванием
негатива Т1 н на пленку в белом свете.
l О. С помощью денситометра при использовании цветного све
тофильтра строят характеристическую кривую для сложенных вме
сте позитивов Тмп и Т~п-
11. Если полученный график характеристической кривой не со
ответствует строго прямой линии, этапы 6-9 повторяют.
12. Изготавливают фотографический транспарант Т1 контакт
ным перепечатыванием сложенных вместе позитивов Тмп и ТJв на
контрастную фотопластинку, контролируя значение у=2.
С ~помощью этого метода удалось достичь динами
ческого диапазона амплитудной комrпоненты инверсного
фильтра ·порядка 104 : 1-106 : l при максимальной плот
ности Dmax=б [110, 114]. Однако изложенный выше
процесс ма·скирования чрезвычайно слож·ный и длитель
ный. Кроме того, из-за большого значения коэффициента
контрастности 'У фотографический транспарант Т1 ока
зывается очень плотным, что приводит к низкой свето
вой эффективности инверсного фильтра в целом.
Метод создания инверсного фильтра с разделенными
амплитудной и фаз-овой частями [111-113]. Этот метод
менее трудоемкий, чем 'Предыдущий, и позволяет до
биться более высокой световой эффективности. Идея ме
тода основана на представлении ком•плексной переда
точной функции инверсного фильтра в виде двух 1сомно
жителей (модуля и аргумента):
ff:..,) = I Н
1
(ro) Iехр[-i<p (fo)l·
(3.59)
218 3. Восстановление сигналов методами оптической обработки
Первую компоненту фильтра Т1 с амплитудным про
пусканием 1/ I Н (ro) 1 получают, как ·и в предыдущем
методе, фотограф:Ическим способом с помощью оптиче
ского фурье-анализатора. Но в этом ~случае фотопластин
ка проявляется до более низкого коэффициента конт
растности v= 1 и имеет световую эффективно·сть выше.
Вторая (фазовая) ком·понента фильтра Т2 с 'Про
Чiусканием, пропорци{)нальным функции ехр [-j(f)(w)],
изготавливается голографическим способом. Так как
Arg [ 1/ Н (·ro) ]-Arg Н* (ro), для реализации фазовой
части (3.59) достаточно зарегистрировать функцию
H*(ro) и умножить результат на 1/JH(ro) J. Поэтому го
лограмму регистрируют в установке, показанной на
рис. 3.7, точно так же, как и в рассмотренном выше
методе, но ·перед плоскостью регистрации устанавливают
уже изготовленный транспарант Т1 , служащий маской.
Полученная голограмма обладает также более высокой
эффективностью, так как ана оказывается просто фазо
модулированной дифра~кuионной решеткой и не имеет
u
ь
амплитуднои модуляции, увеличивающеи светопоглоще-
ние. Такую решетку ·можно изготовить искусственно,
например регистрируя растровую структуру кадра
в фототелевизионной системе (119].
Отсу-гствие необходимости записи на голографиче
·ском фильтре амплитудных соотношений распределения
Н* (ro) в конечном счете позволяет достичь более широ
кой, чем в первом методе, полосы ·пространственных
частот фильтра. Кроме того, регистрация фазовой ком
поненты через амплитудную, служащую маской, приво
дит к автоматической компенсации фазовых неоднород
ностей амплитудной компоненты, обусловленных •случай
ными вариациями коэффициента преломления и толщи
ны стекла и фотоэмульсии. Это позволяет не помещать
фильтр в кювету с иммер·сионной жидкостью.
Проблема динамичес:кого диапазона фильтра в ра·с
сматривае'мом методе, так же, как и в 1предыдущем,
решается ма·скированием. Одна·ко проuесс маскирования
значительно проще и осуществляется без·. копироваль
ного прибора [111]:. На первом этапе в оптическом
фурье-анализаторе на фотопластинке регистрируется
распределение Н (ro). Фотопластинка ·переэкспонируется
д!I~ тогоr чтобы перекрыть желаемый интервал почер-
3.4. tолографически~ методы реализации инверсного фильтра ~19
пений и в области низких плотностей иметь коэффициент
контрастности 1'~1. Проявленная фотопластинка Тп уста
навливается перед частотной плоскостью фурье-анализа
тора, в которой ·снова регистрируется распределение
Н (ro), причем регистрация проводится в линейной об
ла·сти характеристической кривой при тщательно контро
лируемом значении v= 1. Полученная таким образом
фотоплаrстинка Тп -совмещается с Тн и этот «сэндвич»
используется как ·маска-транопарант на этапе гологра
фической записи фазовой части инверсного фильтра
(создание транспаранта Т2). Амплитудный фильтр
«·сэндвич» обеспечивает перекрытие динамического диа
пазона записи не менее 104 : 1 при Dmax~4 [113].
При фильтрации исходного изображения все три
фотопластинки Тн, Тп и Т2 совмещаются и устанавли
ваются в частотную плоскость дифракционного оптиче
ского коррелятора (рис. 3.8). Восстановленное изобра
жение наблюдается в + 1-м дифракционном порядке
голограммы.
Таким образом, в рассмотренном методе простран
ственно-частотный фильтр оказывается трехкомпонент
ны1м. Но, чем больше составляющих приходится вводить
в ·сосrав сложного 'Пространственно-частотного фильтра,
тем труднее добить·ся их точного совмещения в частот
ной плоскости коррелятор а и обеспечить компенсацию
случайных фазовых неоднородностей транспарантов,
входящих в <<'сэндвич». По этой причине оптичес:кие
корреляторы для восстановления изображений ча·сто
строят по многока·скадной 1схеме, в которой для каждой
компоненты фильтра l!Iредусмотрена отделнная ча•стот
ная плоскость.
Метод обобщенной голографической фильтрации
[ 114,6]. Этот метод lflозволяет реализовать процеос ин
версной фильтрации ·с •помощью единственной изготов
ленной с протяженным опорным источником фотоплас
тинки-голограммы исходного изображения.
Метод основа'Н на фундаментальном положении
теории голографии, согласно которому голограмма с за
регистрированной картиной интерференции ·света от двух
предметов (объектов) .s4 и fJd при освещении от опор
ного предмета .s4 может приближенно реконструировать
изображение предмета fJd и наоборот. Точная рекон-
~20 3. Восстшювление сигналов методами оптической обработки
струкция происходит прь определенных условиях, на
кладываемых на структуру опорного предмета [/6].
Пусть изготавливается голограмма Фурье изобра
жения f (х) =h (х) * s (х) при протяженном опорном
источнике, ком:плек·сная амплитуда ·поля которого про
порциональна h (х). Запишем выражение для линейного
приближения функции амплитудного пропускания голо
граммы, для ·простоты пренебрегая экспоненциальными
множителями, обеопечивающими разделение дифракци
онных порядков:
Т(1ro) = 1Н (•ro) +F (ro) 12
= 1Н(ro) 12+1F(ru) 12
+
+F(ro)H* (ro) +F*(tffi)H(ro).
(3.60)
Если реконструировать голограмму Фурье плоской вол
ной единичной амплитуды, то изображение, соответству
ющее третьему члену в правой ча·сти (3.60), будет про
порционально обратному образу Фурье функции
F (ro) Н* (ro) = S (ro) Н (ro) Н* (•ro) . Вполне понятно, что при
соблюдении условия
Н(ro)Н*(ro) = 1,
(3.61)
в направлении + 1-го дифракционного ·порядка голо
гра·ммы появится восстановленное изображение s (х).
Другой вариант 1состоит ·в регистрации голограммы
Фурье объекта .f (х) 1при точечном опорном источнике
с ~последующей реконструкцией ее от протяженного ис
точника. В этом случае функция пропускания голо
граммы пропорциональна величине
Т(ro) = 1+ JF(ro) f2+F(.ro) +F* (rro).
(3.62)
Е·сли такую голограмму осветить волной Н* (tffi), то при
соблюдении условия (3.61) в направлении + 1-го ди
фракционного порядка голограммы также восстанавли
вает.ся изобр ажение s (х).
Одна:ко рассмотренный метод применим лишь для
уэкого класса -приборов, передаточные функции которых
удовлетворяют условию (3.61). По ·существу, это у1сло
вие, сформулированное ·в области изображений, озна
чает, что корреляция весовой функции прибора, строив
шего изображение f (х), должна быть близка к 6-функ
ции: h(x) 0 h(х) =6(х) .
. 1.4. Голографические .методы реализации инверсного фильтра 221
Избежать вы•полнения условия (3.61) можно, если
заранее изготовить транспарант, амплитудное 1пропуска
ние которого пропорционально функпии 1/1Н (ro) I, и на
этапе регистрации голограммы Фурье с протяженным
опорным источником установить этот транспарант непо
средственно перед фотопластинкой. В этом случае вол
на, падающая на фотопластинку, пропорциональна
функции
[F(ro) +Н(ro) ]/ IН(,ffi) 1,
а третий член функции пропускания голограммы равен
F(ro)Н*(ro)/1Н(ro) f2 == S(ro)Н(ro)Н*(ro)/1Н(ro) 12
=S (ro).
Следовательно, при рек'Онструкции такой голо
rра·ммы плос:кой волной, сформированной от точечного
источника, восстанавливается искомое изображение s (х)
без ·ка·ких-бы то ни было требований к корреляции
весовой функции прибора h (х). Другой вариант этого
метода предусматривает изготовление голограммы
Фурье с точечным опорным источником (при этом функ
ция пропускания голограммы пропорциональна (3.62))
и ее реконструкцию ·протяженным источником, образу
ющим волну, комплексная амплитуда которой ттропор
uиональна функции 1/ 1Н (·w) 1-
В любом вариа.нте метода обобщенной голографи
ческой фильтрации чаще всего используют оптические
схемы безлинзовой голографии Фурье, причем форми-
"
u
.
руют ·протяженныи опорныи источник при ~помощи тща-
тельно изготовленного транспаранта с записью весовой
функции h(x) [114].
Хотя рассмотренный метод и допус.кает ·создание
пространственно-частотного инверсного фильтра в один
прием, он 1применяется ограниченно, так как для каж
дого изображения, подлежащего обрабо'ГКе, 1приходит,ся
изготавливать отдельную голограмму.
Голографичес~кие методы реализации инверсного
восстанавливающего фильтра в целом можно использо
вать для улучшения качества изображений, получаемых
приборами различного назначения. Так, в работах [112,
113] приведены результаты экспериментов по улучше-
~22 3. Восстан6вление сигналов методама оhтUческоu обработки
нию качества изобр:ажений, полученных в электронном
микроскопе. Применение голографических инверсных
фильтров поз·волило исключить влияние сфериче~кой
аберрации электронного микроскопа и лоднять разре
шающую спосо6но·сть ·снимков с 0,5 до 0,25 нм, что дало
возможность впервые обнару:жить на ·снимке, ·получен
ном при помощи электронного микроскопа, двойную спи
ральную структуру определенного 'Вида вирусов.
В работах [\110, 114] рассмотрены эксперименты по
восстановлению дефокусированных фотоизображений,
полученных ·с борта американского космического кораб
ля «джемини Xll».
В работе [115] ·показана возможность ·существен
ного повышения четкости рентгенографических 1снимков,
на которых вследствие недостаточной фокусировки элек
тронного пятна рентгеновской трубки снижена передача
вы~сокочастотных компонентов изображения. В некото
рых экепериментах разрешение рентгеновских ·снимков
удавалось поднять в 1,5 раза при фильтрации ·с чисто
амплитудным инвер-сным фильтром и в 5 раз при ин
вер·сной фильтрации ·с амплитудно-фазовым голографи
ческим фильтром.
Приведенные в упомянутых работах ~примеры повы
шения качества изображений убедительно показывают,
что с ·помощью инверсных голографических фильтров
можно существенно повы·сить разрешение снимков. Од
нако метод инвереной фильтрации хотя и обеспечивает
теоретически ·полnое восстановление разрешающей ·спо
собности [lрибора, по своей ·сущности не способен учиты-
. вать
влияние шума на процесс восстановления. Вследст
вие =Неустойчивости процес-са инверсной фильтрации
к малым изменениям исх·одных данных, воостановленные
изображения характеризуются большим уровнем шумов,
которые проявляются в виде сложной крупнозернистой
структуры, которая иногда полностью ·маскирует мелкие
детали изображения, приводит к появлению ложных де
талей и в результате может ·свести на нет эффект уве
личения разрешения. Поэтому были развиты . ·способы
голографической реализации метода оптимальной фильт
раuии и метода регуляризации А. Н. Тихонова, 1свобод
ные от указанных недостатков f89, 120, 122]:.
3.5 . Синтез оптимальных голографических фильтров
223
3.5. СИНТЕЗ ОПТИМАJIЬНЫХ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ФИЛЬ
ТРОВ
Как было пок~зано в гл. 2, одним из эффективных
путей получения корректного решения задачи вое-станов
ления сигналов, устойчивого к шумам, является приме
нение оптимальной фильтраuии Винера, ~предусматри
вающей минимизаnию среднего квадратического 01кло
нения восстановленного сигнала от неискаженного •сиг
нала с учетом отношения сигнал/шум. Согла·сно (2.38)
передаточная функция оптимального восстанавливающе
го фильтра
_
lf* (ю)
Нво (ш) -1Н(ro)12 + 1/1Р( ю)'
(3.63)
где ЧГ (ro) - «энергетическое» отношение 1сигнал/шум,
т. е. отношение спектраль·ных плотностей мощности ·сиг
нала и шума:
ЧГ(rо) =Rs(ffi)/Rv(ro).
Преобразуя (3.63) к виду
l
l
Нво(ш)==Н(ro) 1+ I/IН(ro) !2 qr(оо) '
(3.64)
видим, что illередаточная функция оп7имального фильт
ра отличается от передаточной фу;нкuии инверсного
фильтра наличием действительного ·положительного ·ста
билизирующего множи1еля.
1
(3.65)
1+ 1// Н(ro)j2 1Р(оо) '
который необходимо учесть в функции пропуска•ния
фильтра.
Покажем, что фильтр с передаточной функцией
(3.64) можно реализовать 'На основе ттрименения мето
дов голографии, причем регис1рация фильтра возможна
на единственной фотопла·стинке, в результате чего мож
но избежать технических трудностей, ·связанных с изго
товлением многослойных транспарантов по методу ин
вер-сI-I<?Й голографической фильтрапии [ 120].
'1
~
1
•
224 3. Восстановление сигналов методами оптической обработки
" ...
Такие ·возможности открываются, если использовать
нелинейность кривой почернений фотоматериала, на ко
тором регистрируется голограмма, при ·соответствующем
выборе отношения распределений интенсивностей сиг
нального и опорного пучков света. Действительно, пере
даточная функция инверсного фильтра реализует·ся
в классической схеме голографирования, где голографи
ческая компонента регистрируется в условиях тщатель
ного ·соблюдения линейности ·процесса регистрации.
Как отмечалось ·в § 3.3, одно из требований клас
-сического •процесса регистрации голограммы ·состоит
в том, чтобы амплитуда опорного :пучка света по всей
площади голограммы была значительно больше ампли
туды сигнального пучка. Тогда при линейной за1писи
без искажений будут переда·ваться 'Простран·ственно-час
тотные составляющие спектра объекта при реконструк
ции голограммы. Поэтому можно ожидать, что ·при не
соблюдении указанного требования 1Jiоявится возмож
ность упра·влять из·менением пространственно-ча1стотного
спектра объекта в желаемом направлении.
Для определения у.словий голографическ,ой реги
страции фильтра ·с передаточ•ной функцией (3.64) ~пред
ставим Нво (ffi) в виде степенного ряда при ·сл-едующих
соотношениях:
IH(ffi) p~~l/Ч'(ffi),
1Н (ro) 1~ ~ l/'J! (•Ы),
(H((U) 1 2 ==1/Ч!(w).
(3 .66)
(3.67)
(3.68)
Рассмотрим сначала первый случай, соответствую
щий (3.66). Ограничиваясь двумя первыми членами сте
f!енного разложения выражения (3.64), находим
1
1
Нво(w) :::::: Н(ro) - [Н(ro)р 1»(ro) ·
(3.69)
Будем регистрировать голографический фильтр при
у1сло13ии, что амrплитуда опорного пучка значительно
меньше амплитуды сигнального, т. е. Е0 ~Ес . Пусть
коэффиuиент контрастности 1На -соответствующем -участ-
:J .5 Синтез оптима.zьных голографu11еских филыров
кс Т-Е-характеристиNoи фотоматериала [.106] будет '\'I·
Тогда, разлагая в ряд функuпю амплитудногп пропус1\а
ння rодограммы и ограничиваясь вторым приблн:жением,
полу ч аем для первого порядка дифракuии [ 121]
Т == 'У1 (У1 +2) Ез в-<r1+з>_J1_Е в-<1.+1>
(3.70)
1
4
ос
2ос
.
Сравнивая (3. 70) с (3.69), замечаем. что если положить
Ее ===Н (ю), Ео= l/VW (m), 11 << 1, то
Т ==- ~ Нво(ы)
(3.71)
i
2 VЧ'(ro).
Во втором случае, когда справедлпво (3.67), разло
жение функuии (3.64) до члена второго порядка имеет
ВИД
Hвo(ffi) ~ЧГ(ffi)H(ffi).
(3.72)
Есл и услов1ия регистрации фильтра те- }[<е, что и в пер
вом с~'Iучае, т. е.
(3. 73)
и Ее<. Е0, как в классической схеме голоrрафирова
нияо то можно ограничить·ся первым приближением
функции амплитудного пропускания голограммы. При
регистрации фильтра с коэффициентом контрастности
у2 ~n олучим д.Ля 1-го дифракционного ппрядка
т _ _ _х2_в-r~- 1в
2-
2о
с·
Подставляя в 1последн1-ою формулу значения Е0 и
Ее из (3.73) и сравнивая результат с (3.72), находJiм
(3.74)
Нетрудно видеть, что еслн y2 =\'i<<l, то (3.74) совпа
даеr ·с (3.71).
· В третьем случае, когда Е('=Ео, а условия реrи
страuии выбраны согласно (3. 7З), из (3~64.) видим, что
Нво{~)= 1/2Н (ffi). Второе приближение функuии амп-
1 5-866
226 8. Восстановление сигналов метода.ми оптической обработки
литудного пропускания голограммы при коэффициенте
контрастности фотоматериала 1'з согласно (3.70) будет
равно
т =f~)2 в-1а
8
\2
с
Учитывая, что Ес=Е0, представим последнее выражение
в виде
т == ( ~)2 в-]в-тз+1
а\2
со'
откуда следует, что
Т === ~- [ 1 1-Тз НJJ~(w)
3
2 Yt.P'(ro)
tfЧ'(w) ·
(3.75)
Полагая vз=v1 < 1 и учитывая, что на небольших
участках области пространственных частот величина
чr (<U) мало меняется, находим, что формула (3. 75) для
функции амплитудного пропускания голограммы с точ
ностью до постоянного множителя совпадает с (3. 71),
как и во втором случае.
Таким образом, если при съемке голографического
фильтр.а сигнальную волну промодулировать в соответ
ствии с функцней Н (<U), представдяющей передаточную
функuию системы, искажающей изобра;,кенне. а опор-
ную - в соответствии с функцией 1/VЧ' (ro), то црп р('
гистрации фильтра на пологом участке Т-Е-характери
стики фотоматериала (v« 1) передаточная функuия го
лографического фильтра пропорnиональна произведению
требуемой передаточной функции оптииального восста-
навливающего фильтра на функuию _1/V Ч' (ro). При на
ших рассуждениях осталась без внимания некотора}r
неопределенность для значений Н (ro) блпзкпх, но не
ра13ных l/VЧ'(ro), однако исходя из нвпрерывности за
висимости амплитудного пропускания от '\'· можно ожи
дать. что . закономерность, указанная выше, сохранится
и при этих · значениях.
Можно дать следующее качественное объЯсне-нне
проuесса обращения функцип Н (ro) с умнQЖением на
множитель _(3:65) пр_11)~ел.~-~ейно_f1 - регистраци11. голоrра
фмческого фильтра (120; 122]. Днфракциопная э·ффек-
З.5. Синтез опти.мальных голографи~tеских фил.ьтров
тивность голографического фильтра пропорциональна
контрасту интерференционных полос и определяет мо
дуль передаточной фун1<ции соответствующей об.пастп
фильтра при фильтрации. ВеJUtЧина контраста полос,
возникших вследствие интерференции сигнального (Ее)
н опорного (Ео) равномерных пучков света, равна
_
21Eo11Ecl
7J- 1Е 1!+1Е 2.
о1
с1
(3. 76)
В случае, когда во вс·ей области пространственных ча
стот соблюдается условие Ео> Ее , необходимое для пра
вильной реконструкции объекта голографирования, вели
чина fJ, при равномерной опорной волне E 0 =co11st и
сигнальной волне E c=H((J)), равна 11=const· IH((J)) 1, что
и следовало ожидать. Если же выполнено обратное
условие Е0 <<Ес, то 11=const/ 1Н((J))1 · В более общем
случае величина контраста интерференционных по.пос
с точностью до постоянного мно}кителя 2 (Ео' представ
ляет модуль передаточной функции оптимального филь
тра (3.64), если 1Ео Р~= J / Ч1 ( (J)) =const. Действительно~
из (3. 76) находим
1
1
'1J(ю)== 2 /Ео ~ 1H((l)}l l +1Ео \2/1H(w)\2 •
(
3.77)
Отсюда следует, что если амплитуды сигнального и
опорного пучков в плоскости голограм м ы меняются по
закону (3. 73), то распредсL1ение nеличпны 1<онтраста за
регистрированных полос будет иметь вид
"
2
1
1
1J(ю) === УЧ'(w) 1H(w)\ 1+1/1 Н(ы),2 Ч"(w) ·
(З.7В)
Однако в приведенном объяснении не учитывается
то, что дифракционная эффективность голографического
фильтра и, соответственно, модуль его передаточной~
функции зависят не только от контраста интерф-еренци
онных полос, но и от среднего пропускания в рассма три
ваемой окрестности ro [ 120]. В самом деле, дифракцион
ная эффективность или, что то же самое, амплитуда
u
u
u
восстановленнои световои волны пои единичнои ампли-
туде· вQС~'l.'~'Навливающей волны ... равна
.
произведеНИ.l()
15*
228 3. Восстановление сигналов л1етодаJ1ш оптической обработки
0==T(ro)11((1>), где T(ro) - пропускание фильтра . Если
наклон характеристической кривой мал (v~ 1), та
Следовательно, в этом случае 0=2ТНво ( ro) / VЧI (w),
что с точ.ностью до коэ·ффициента совпадает с (3.71).
Итак, из простых рассуждений следует, что при усло
nии (3. 73) модуль передаточной фун1<ции голографиче
ского фильтра действительно равен модулю передаточ
ной функции оптимального фильтра с точностью до мно-
жителя 1/V'V ((J)). Аргумент требуемой передаточной
функции фильтра, зависящий только от локализации
интерференционных полос, при изменении условий реги
страции не меняется и, следовательно, оптимальный го
лографический фильтр можно реализовать на одной фо
топластинке.
Отметим, что при постоянном значении ЧГ (w) пере
даточная функция (3.64) достигается с точностью до
константы. Однако при реальных для фотоизображений
значениях 'Jf (0)=102-lOЗ отношение средних значений
J1нтенсивностей опорного и сигнального пучков должно
составлять 10-2
- 10-3
, из-за чего происходит перераспре
деление энергии в область высших пространственных ча
·стот и восстанавливаемое в процессе фильтрации изо
бра :жение имеет низкую интенсивность. Этот недостаток
удается преодолеть с помоu1ью специальных мер: умень
шением потерь света в оптических элементах схемы,:
лрименением однорастворного проявления и отбелива
иием голограммы и т. п .
Оптические усtройtтва, реализующие данный метод
в экспериментах по восстановлению сильно дефокуси
рованных изображений, приведены на рис. 3.9 [ 122].
Особенностью указанных экспериментов является воз
можность моделирования функции рассеяния точки (ве
совой функции) оптической системы при большой дефо.:
кусировке с помощью диафрагмы конечного диаметра.
Это позволяет легко осуществить «обмен» каналов
~порноrо и сигнального пучков на этапах изготовления
фильтра и обработки изобра:ж.ения, в результате чего по- ·
вышается св.етовая эффективность процесса фильтрации.
3.5. Синтез опти.нальных голографич еских фи.zьтров
229
Нвv{Ш)
5
а
7
Н50 (ш}
""
1
""
""
'~" ~(:с)
--
-
::;
7
--
---
5
б
10
Рис. 3.9. Оптические устройства для изготовJ1е1н1я оnтt!малыюго rоJJоrрафиче
ского Фильтра ( а ) и для фильтрации дефокусированных изображе1tий (й)
r1221 :-
1 ~лазер; 2 - саетоделите~1ьный 1~уб; 3 - :\шкрообъектнв; 4 - точечная диаф
рагма·; / - фотопласти1-Iк.а-голограмм.а; 8 - зеркало; 9
-
тр.ансп.арант входн ого
изобр.а>1..: с щ1я; 10 - nJ1oc1-t.ocть наблюдси11я 1юсстаноnлсннс.го изображен ия
Схема рис. 3.9,а применяется на этапе нзготонлення гологра
фпчес1<0го фильтра. Свет лазера 1 с помощью светоделительного
н:уба 2 направляется в 1<аналы сигна,Jiыюго и опорного пучка. KaнaJl
сигнального пучка формируется с помощью зер1<ала 8, причем
объектом голографирования служит диафрагма 6, диаметр 1<оторо1i
определяется диаметром функции р ассея ния точки дефокусированной
системы /z (х). Канал опорного 11у111<а формируется с помощью rvшк
рообъектива 3, точечной диафрагмы 4 и линзы 5. На фотопластин"
1<е 7 регистрируется l<артина тштерференцни между опорной волной
постоянной амплитуды н снгш1лы10й волной. представ.rщющей 1<арт11-
ну дифракции света на ~<руг.пом отверстии. Для того чтобы днфра1\
ционная 1<артина с достаточной точностью апнрш<симировала nере
датоЧ:ную фуню..1.ию дефш<усированной оптической схемы Н ((1)).
в схеме предусмотрена возможность подбора масштаба дифракцион
ной картины измrне1шrм расстояния между диафрагмой 6 и фото
пластшшой 7.
230 8. Восстшювление сигналов ,~~етода.;щt оптической обработки
На этапе фильтрацпи проявле111шя фотопластинк а -голограмма 7
устшrавливастся в исходное IЮJ1оженпе, а во входную плоскость
фур1,с-а11ализатора, образованноr·о онти11ескими элементами канала
опорноr·о пучка, вводится транспарант 9 с записью первичн-ого де
фокуснрованного изображения (рис. 3.9,б). Линза 5 в этом случае
должиа обеспечивать формирование фурье-образа входного распред~
лення f (х} точно в плоскости голографического фильтра 7, что до
стигается подбором расстояния- между элементами, расширяющими
пучюt (3 и 4), и плос1юстыо линзы 5. Расстояние между плос костями
nход1юго транспаранта 9 и фильтра 7 в схеме фильтрации должно
быть равно расстоянию от и.1юскостп фотопластинки · до точки фо
кусировки пучка О в схеме изготовления фильтра. Восстановленио~
Изображение s(x) формируется В Первом днфр3КЦИОНИОМ ПОрЯДI<е
rологра:ммы в выходной плос1юсп1 10.
Применение сферического опорного пучка при реги
страции фильтра и освсu1ение uходного транспаранта
сферической волной прн фильтрации позволяют до ми
нимума сократить I{О.ilичсство оптичссI{ИХ элементов
n системе, в результате чего уменьшается светопоглоще
н_ ие н снижается уровень «оптическнх» шумов в системе
(см. § 3.2). Настройка требуемого соотношения меfкду
интенсивностями опорного и сигпа ..'I ьного пучков света
достигается ввсдсние'1 в канал опорного пуЧI{а ней
тра.1ьного светофильтра с постоянным пропусканием,
выбранным · так, чтобы !Eol 2=1 ('l'(ro)=coпst.
В случае. когда qr ('1)) =/= const, синтез оптимального
голографического фильтра можно осуществить путем
маскнре>вания опорног ,) пучка по закону Е0 (ш) ==
== 11 i1чr (ю) (120]. В этом случае жеJiательно с цеJ!ЬЮ
]{омпенсаuии множитеJIЯ 1/ f 'г\JГ (ю) в (3.78) использовать
на этапе фильтрации Дf)полнительный амплитудный фильтр
с пропусканием 1,/ W (ю), который совмещается с голо
графическим фильтром в частотной плоскости установки.
Гlоскольку отношение снгнал'шум на близко ле>кащих про
стр~нственны~ частотах для реальных ф:>тоизабражений
резко не меняется, функция ·1/ чr (л) достаточно пологая
и , сJiедовательно, трсбовання к точности сов\1сu1ения
амплитудного и голографпчсского фильтров не очень
велнкн .
На практике измерение отноп1ения сигнал/ шум фо
тоизображений ЧГ (ы) является ело.жней задачей. Поэто
му часто целесообразно вместо оптпмальной фильтрации
3.5 . Синтез оптимальных голографических фильтров
Рис. 3.10. nримср RОССтанов
псиия изображения методом
субоп-1'имальиоft гопографи
ческой фипьтрации:
а - исходное
дефокусиро-
ваиное изображение;
6 - восстановленно~
231
применять субоптимальную, основанную на регу.пнриза
пии решения по методу А. Н. Тихонова (см. § 2.2) _
Сравнение множителя (3.65) со стабилизирующим
множителем в методе регуляризации А. Н. Тихонова
1
1+a.Q(w)/\Н(w) 12
показывает, что вместо неизвестной функцни 1/Ч1 ( (•))
можно взять произвольную Q(ro), удовлетворяющую из
ложенным в § 2.2 условиям, а степень «сгла>1п1ванпя»
решения регулировать параметром а.
При оптической обработке информации для аппро
ксимации ЧГ(rо) удобно использовать функцию Q(ro) =
=ro2 , соответству1ош.ую простейшс\1}: тнхоноnскому ста-
232 3. Восстановление сигналов ,1-tетодами оптической обработки
бплизатору. Тогда маска в опорном пучке должна иметь
амплитудное пропускание, меняющееся по лин ейному
за 1<ону Т (<U) = 1ro1- Величину а. можно подобрать. меняя
ннтенсивность света в канале опорного пучка [89] .
.
Экспериментальная провер1{а предлагаемого метода
субрптимальной фильтрации проводилась применительно
к случаю компенсации больших ошибок фокуснровки,
приводящих к увеличени10 диаметра ФРТ системы до
300 мкм [ 120]. Снимки, подлежащие восстановлению"
регистрировалисЬl любительской фотокамерой « Зенит»
с объективом «Гелиос-44» с тестовых изображений стан
дартных мир и печатного текста в условиях дефокуси
ровки~ Голрграфические восстанавливающие фильтры
из готавливались в установке, оптическая схема которой
близка к схеме рис. 3.9 . Опорный пучок в плоскости
фильтра маскировался по линейному за1{ону. Подбор
параметра а. производился на основе визуальной оценки
качества восстановленных изображений.
Примером восстанавливающих свойств одного из
созданных субоптимальных фильтров могут служить фо
тоиллюстрации, приведе нные на рис. 3.1 О.
3.6 . ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ В ОПТИЧЕСl(ИХ СИСТЕ
МАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Оснонным достоинством рассмотренных выше опти
ческих систем обработки информ.аuип является вы сокое
быстродействие. Одна1{0 по гибкости программирования
различных ме тодов и алгоритмов эти системы з нач-и
тельно уступа1от не только цифровым ЭВМ, но и сред
ствам аналоговой электронно-вычислительной техники .
Фактичес1{И с помощью оптических систем рассмотрен
ного типа л егко реализуются только те методы восста
новления, которые основаны на фильтрации наблюдае
мого сигнала при его прохождении через разомкнутый
восстанавлпвающий фильтр с заданной передаточной
функцией. Хотя класс таких методов достаточно широк
(инверсная фильтрация, оптима.пьная винеровская ·филь-
трация, фильтраuия с регуляризаuией решения), он не
включает в себя многие полезные методы, предусматри
в ающие введепне обратной связи. К ним относятся, на-
. 1 .6. Восстановление сu.?но.лов в системах с обратной связью
233
JeDC
/З
Рис. 3.1 J. Сх-ема системы
с обратной связью
1.
~
Е
-
Jepr;
fвх
fеы;
пример, методы итерационного типа (см. § 1.4) и"1и
метод МАВ-оценки решения нелинейного уравнения
(см. § 2.4).
Введение обратной связи в оптические системы об
работки информаuии позволило бы не только расширить
класс реализуемых методов восстановления сигналов, но
и упростить синтез восстанавливающих фильтров за
счет включения модели ИСI{ажающего звена в цепь об
ратной связи системы восстановления.
Существуют два типа оптических систем с обратной
связыо: пассивные и активные. Примером пассивной си
стемы в оптике может служить, например, интерферо
\1етр Фабри - Перо, активной
-
лазерный генератор.
Для обрабоТI{И информации таI{Же мо:жно использовать
оптические системы этих двух типов. Пассивные оптиче
ские системы обработки информаuии с обратной связью
рассмотрены в [123-125], активные-в [126, 127]. Д.пя
описанпя процессов функционирования оптических си
стем обработки информации с обратной связью незави
симо от типа системы используется обычный для систем
с обратной связью формализм, который состоит в сле
дующем.
Пусть на вход некоторой произвольной системы, ха
рактеризующейся оператором d'&pc, подан сигнал fвх
(рис. 3.11). Выходной сигнал равен fвых~рсfвх· Если
часть энергии выхода поступает в цепь обратной связи,
характеризующу1ося оператором d'&0 c, и затем СI{Лады
вается с входным сигналом, то на входе первой системы
образуется сигнал fвх +d'&ocf3fвых, где f3 -1 параметр
(в общем случае комплексный), показывающий, какая
часть выходного спrнала поступает в цепь обратной свя-
234 3. Восстановление сигналов .методами оптu~tеской обрабо тки
.зи. Тогда соотношение между входным и выходным сиг
налами определяется формулой
fпых~рс (/вх+Жос~fвых).
(3.79)
.
В случае линейных систем можно, пользуясь, прин
ципом суперпозиции (1.1), . представить (3.79) как
fвых=~рсfвx+ ·~depcdeocfвых
(3.80)
и из (3.80) получить связь между входным и выходным
.сигналами в явном виде:
fвых ===
.n'pc
f
/1/
Q l":f.P
r'f..P
ЯХ'
v - 1101/ pcOvoc
(3.81)
где :У - едипичныi'I оператор. Оператор
l'f .P
-
0'1 зс
(3.82)
11азывают оператором замкнутой системы, а оператор
С/ере-разомкнутой системы (прямой связи).
Легко показать, что для однородных линейных си
.стем, основной закон функционирования которых описы
вается уравнениямп типа свертки, передаточные функ
ции замкнутой и разомкнутой систем связаны соотношс-
11ием, аналогичным (3.82):
Нрс (оо)
Нзс(ш)=== ~Н ( )Н ( )
1-
ре00 ос00
(3.83)
.Для . действительных коэффициентов обратной связи при
(3>0 получим положительную обратную связь, при
(3<0-отрицательну10. Если модули f Hpc(ro) 1 и IHoc(ro) 1
всюду меньше или равны е11ннице, то система считается
nассивной; в противном случае- активной.
Одна из возможных схем пассивной оптической си
стемы обработки информацп11 с обратной связью при
.ведена на рис. 3.12 [ 123].
:l.ь . Восстановление сигналов в системах с обратн.ой связью 235
-
лз,
----~ ;
.
.
-
----- ~.
...---
--
l"(ш}
_..
...-
·
-- --
f
j
п,
Пz
-- .........
-
--
--
f
+в
~-\
.-
ПJz
--
-
1
----i --н--
-----· 1
,~
ПJ
Рис. 3.J2. Схема пассивной оnтическоf! системы обработки ашформацни
с обратной связью ( 1231
В этО'й однокаскадной системе имеется д ва полупрозрачных зер1\ала
ПЗ 1 и ПЗ2, создающих оптическую обратную связь. Зеркало ПЗ1
находится в передней фокальноi'I плоскости линзы Ла. зеркало
ПЗ2 -в задней фокальной плоскости шшзы Л11- Линзы Ла и Ль
расположены на расстоянии 2f друг от друга и оптическая система
в I(елом при когерентном освещении работает как дифракционный
коррелятор. Входной сигнал (изображение) вводится в плос1<0с1ъ
П1 • Линза Лй формирует 13 частотной плоскости коррелятора П2
дифракционную картину входного сигнала, т. е. его фурье-спе1пр
Рвх (w). В пло~кости П2 осущест13д яется у:\шожение с11с1пра входно
го сигнада на передаточную фушщию разом1шутой системы с по
мощью про~тр-анствеино-частотного фильтра Нре ( <ri), устаншзленного
па оптической оси системы в плоскости П2.
При помощи линзы Ль в плоскости Пз образуется повторное
преобразование Фурье фильтруемого сигнала . Часть энероrн сигш1.rr3
через полупрозрачное зеркало П32 поступает на выход, а оставшая
ся · часть, отразившись от поверхности зеркала П32, проходит через
линзу Ль в обратном направлении и снона подвергается фурье-пре
образованию. Так как зеркало ПЗ2 наклонено на некоторый малый
угол +е к плоскости линзы, дифракционная картина входного си['
нала при обратном проходе будет смещена относительно оптическоi'1
оси в плоскости П2. Соответствующим выбором параметров систе
мы f и е можно добиться, чтобы дифракционные картины сигнала
13 плоскости П2 на прямом и обратном проходах не перекрывались.
Поэтому дифракционную картину сигнала на обратном проходе
можно фильтровать с помощью некоторого фильтра Hoc(w), про
странственно отделенного от фильтра Нрс (ro). Распределение ком
плексных амплитуд света, пропорциональное Fвx(ro)Hpc(ro), на
обратном проходе подвергается фурье~преобразованию с помощью
линзы Ла и направляется зеркалом ПЗ1 , наклоненным на угол -0
к плоскости линзы, вдоль оптической оси системы. Т?ким образом,
на каждом прямом: проходе входной сигнал обрабаты'вается фильт
ром H r c (ro), а на обратном-фильтром Hoc(ro).
236 3. Восстоновлен.uс си~налов методами опти11еской о6 ра(юткu
Пусть длина когерентности света много больше
удвоенного расстояния между зеркалами ПЗ1 11 ПЗ2 и
световые волны в системе сохраняют способность интер
ферировать даже пос.пе очень большого чнсла проходов.
Предположим также, что мы можем контролировать
оптическую длину пути в системе. изменяя расстояние
между зеркалами с точностью много большей, чем до11ина
золны света. Это означает, что, изменяя расстояние
между зеркалами, мы можем управлять разностью фаз
Ф волны на прямом проходе и волны, задер1канной
в цепи обратной связи. При этих условиях передаточная
функция замкнутой оптической системы равна r123]
(3.84)
где r1 и r2 - амплитудные коэффициенты отражени л зер
кал ПЗ1 и ПЗ2 соответственно; lt и f2-коэффициенты их
пропускания; fз - суммарный коэффиuиент пропускания
оптических элементов, расположенных между зеркалами.
Сравнение формул (3.83) и (3.84) показывает. что
они совпадают с точностью до постоянного множ:ителя
f1f2, причем ~=r1r2tз ехр (jФ) . Ясно, что настройка рас
стояния между зеркалами так, чтобы Ф·=О, дает поло
жительную обратную связь (exp(jO)=+l). При <l)=л
получим отрицательну10 обратную связь (ехр (jл)=-. 1)-
Так как у обычных оптических пространственно-часТ()Т
ных фильтров 1Нрс (ro) 1~1 и 1Нос (ro) 1~1, система
рис. 3.12 является пассивной. Кроме того, ПОСI{Ольку
произведение r1r2fз также меньше единицы, знаменатель
дроби в (3.84) ни при каких условиях не равен ну.шо
и с точки зрения теории автоматического регулирования
система всегда устойчива.
Для того чтобы показать, как систему рис. 3.12
можно использовать для восстановления сигналов, на
строим расстояние между зеркалами на величину <D.=0
(положительная обратная связь), а в цепь обратной
связи установим фильтр Hoc(ro)==l-H(ro), где Н(rо)
передаточная функция системы приема сигнала, вызвав
шей его искажение. Положим далее Нрс (ro) =1, т. е.
в разомкнуту10 часть оптической системы вводить про-
3.6. Восстановление сигналов в системах с обратной связью
237
странственно-частотный фильтр
(3.84) находим
не б\'дем. Тогда из
.,;
Н (ш)-
t1t?.
_
__
_!Jt~ _ -
·-
--!
JC
-
I- r1r2t3[1 - Н((J))J -(1-r1r2t3) +г1r2t3Н(ы) ·
(3.85)
Если потери в оптичес1<их элементах системы малы,
а зеркала имеют высокий коэффициент отра}кения, то
величина r1rztз близка к единице. Тогда из (3.85) полу
чим
(3.86)
Сдедовательно, в рассмотренном случае передаточная
функция оптической системы с обратной связью пропор
циональна передаточной функции инверсного восстанав
ливающего фильтра. Заметим, что специально создавать
пространственно-частотный инверсный фильтр вида.
1/ Н ((1)), как это делается в разом1<нутых оптических
системах, здесь не требуется. Процесс ~нверсной филь
трации достигается с помощью более простого фильтра
1 - Н (ro) за счет обратной связи.
В оптических системах с обратной связью легко
реализуются и более сложные, чем инверсная фильтра
ция, методы восстановления сигналов. Покажем. напри
мер, как в системе с· обратной связью можно реализо
вать метод оптимальной фильтрации Винера и метод
регуляризации Тихонова. Для этого представим форму
лу (3.83) при (3=-1 (отрицательная обратная связь)
в виде
Нрс(ы)
J
1
Нзс(ш)==J+Н~(ы)Нос(ro)=Нос(ы) 1+1/Нре(ы)Нос(ы)
Полагая
Нос (ю) ==Н (·u); Нрс (ю) = Н~· (ш) ЧГ (:о),
из (3.87) находим
1
1
Нзс(ю)==Н((;)} 1- + 1/,Н(ы) 121Р(ы) .·
(3.87)
(3.88)
-
(3.89)
238 3. Вое.становление сигналов метода.щt оптической обра601·к11
Нетрудно видеть, что передаточная функция замкнутой
системы с отрицательной обратной связью (3.89) и пе
редаточная функция оптимального восстанавливающего
фильтра (2.38) полностью совпада1от.
Если поло:>кить
Нос (ffi) =11(ffi); Нрс (ш) =Н* (ffi) /aQ (w),
из (3.87) получим формулу
·
1
J.
t +a.Q((J))/I н<(J)>,2 '
(3.90)
(3..91)
полностью совпадающую с передато~ной фу1н<i.J.ией вос
станавливающего тихоновскоrо фильтра (2.14). Таким
образом, чтобы реализовать процесс восстановления
сигналов методом оптимальной фильтрации или мето
дом регуляризации в системе с отрицательной обратной
связью, достаточно включить в uепь обратной связи
модель передаточной фун1<цип искажающей системы
Н (w), а в цепь прямой связи системы ввести фильтр
Н*((J))'У(ffi) или Н*((u) /aQ(w) .
В оптической схеме рис. 3.12 при отрицательной ·
обратной связи (Ф=:rt) передаточная функuия замкну
той системы равна
-
t1t2
1
1
-
r1r2t3 Нос (ю) 1 + l/r1r2t3Hpc((J)) Нос (ro) •
(3.92)
Если r 1r2t3~1, то при соблюдении условий (3.88) полу
чим из (3.92) передаточную функцию оптимального вос
станавливающего фильтра
1
1
Нзс (ro) ~ t1t2 Н (ro) 1 + 1/1Н(ro) 12 1.Р (ro) '
(3.93)
а при (3.90) - передаточную функцию восстанавливаю
щего тихоновскоrо фильтра
3.6. Восстановление сигналов в системах с обратной связью 23~
Пра1{п1ческая реализация восстанавливающих фильтров.
с передаточными функциями вида (3.86), (3.92) и (3.94)
il оптичес1\ОЙ системе рис. 3.12 связана с рядом труд-·
"
ностеи.
Во-первых, поглощение света в оптических элемен
тах схемы должно быть сведено к минимуму, а 1\оэффи
циенты отражения зер1\ал должны быть максимальны
ми, чтобы произведение г1r!l.iз было как можно ближе
к единице. Но чем больше отражение зеркал, тем мень
ше световой поток на выходе системы. Кроме того, что
бы минимизировать потери света в системе требуются
пространственно-частотные фильтры с максимальной
световой эффективностью. По этой причине использова·
ние голографических фильтров затруднительно и наи
более целесообразно применять чисто фазовые прост
ранственно-частотные фильтры, обладающие высо1\ОЙ.
световой эффективностью.
Во-вторых, расстояние между зеркалами должно
выдерживаться с очень высо1\ОЙ точностью, чтобы обес
печить требуемую разность фаз Ф. Для этого приходит
ся одно из зеркал у1\реплять на пьезокриста"JJлическом.
датчике, входящем в -состав сложной системы автома
тического регулирования [ 123]. Наконец, в-третьих, наи
большая трудность заключается в выборе источника све
тового излучения, длина когерентности которого должна
быть во много раз больше величины удвоенного расстоя
ния :между зер1\алами.. Даже высокостабильные газов.ы€
лазеры, обеспечивающие длину когерентности порядка.
десятков сантиметров и более, позволяют сохранить
способность синфазного сложения волн лишь на несколь-
1<их проходах. Это существенно ограничивает точность,.
с которой в. оптичес1\ОЙ схеме рис. 3.12 можно модели
ровать передаточную функцию системы с обратной:
связью .
Высо1\ая точность задания расстояния между зерка
лами .и бЬльшая длина когерентности излучения не тре
буются в пассивной о·птической системе, где сложение
сi:}етовых волн, - циркулирующих в цепи об.ратной связи,
осуществляется не по 1\омплексной амi:Iлятуде, а по ин
тенсивности света. Та1\ая систе~а испол~зована в [ 124~
125] для выполнения различных преобразован»й сиrна
Jjрв-.· ~е схема приведена на рис" 3.13. В -этой CJ-Icтeмf:'
240 3. Восстановление сигналов л1етодалпt оптической обработки
Рис. 3.13. Схема пассивной оптической системы с обратной спязью для
преобразования снr11апоп (1241
л.поскости П1 , П3, Пs, П8 являются предметными, пло
скости П2,. Л4, П6, П1- частотными. Цепь обратной свя
зи образована полупрозрачными зеркала:мп ПЗ 1 и ПЗ2
и зеркалами 3 2 и 31.
Рассмотрим работу этой сш:темы [124]. Предположим сначала,
что плоскость П1 свободна, в плоскости Л3 установлен транспарант
обрабатываемого сигнала (изображения), имеющий пропускание по
интенсивности f (х), в плоскости П5 помещен фазовый клин (при3-
ма), амплитудное пропусканне которого пропорционалыю функции
ехр (j0x), а в плоскости П7 введен набор постоянных фнльтров
с пропусканием по интенсивности а ,i, распо.'южениых в ряд на рас
стоянии f3f друг от друга (f- фокусное расстояние линзы Лз).
Если амплитуда освещающего пучка равна единице, то посде
транспаранта распределение комплексных амплитуд поля будет рав-
но V f (х). Часть светового потока после фурье-преобразования на
динзе Лз пройдет через полупрозрачное зеркало ПЗ2, попадет на
первый фильтр а1, расположенный на оптической оси системы в пло
скостп Л1, н после повторного преобразования Фурье на линзе Л6
сфокусируется в плоскости П8• Другую часть потока полупрозрачное
зеркало П32 направит в цепь обратной связи. В плоскости П5 она
получит фазовый набег н снова умножится на амплитудное пропус
канне транспаранта, так что и:омплексная амплитуда волны iюс.ТJе
-транспаранта будет равна [ Vf(x)] 2 ехр (j0x). Из-за фазового на
бега эта часть потока попадает уже на второй фильтр а2, смещен
ный от оси на величину f3f, и также сфокусируется в плоскости Пв.
Далее получим волну rV f (х) ]3 ехр (j20x), которая Через фильтр аз
nройдет на выход. На следующем проходе будет задействонан
фильтр а4, затем as и т. д.
.
Так как длина когерентности светового излучения в рассмат
риваемой схеме предполагается Меньше дл1tньf оптической линии за
держкн, все потоки в плоскости Пs сложатся по ннтенсийности. Е~лп
:З.6. Восстановление сигналов в системах с обратной связью 241
для простоты выкладок не учитывать ослабление света в замкнутой
системе, то для результирующего светового распределения можно
записать
N
:!ltf= a1f (х)+й2 [f(х)]2+...+aN[f(x)]N= ~ ап[f(х)]п.
n=l
(3.95)
Следовательно, на выходе системы можно получить степенное раз
ложение входной фун.кцнн. Изменяя величины Оп, можно менять в.ид
функциональной зависимости входа •И выхода. Ограничением здес1t
является только положительная определенность коэффиц.иентов an.
Однако это ограничение удается преодолеть, записывая входной сиг
нал на «подставке». Известно, что нел.инейное преобразование функ
ции f (х)-А (где А - положительная постоянная яли «подставка»)
оператором, содержащим только положительные коэффициенты,
эквивалентно преобразованию функции f (х) нелинейным оператором
вида (3.95), имеющим знакопеременные коэффициенты an [124].
Предполож·им теперь, что транспарант с записью входного изо
бражения помещен в плоскость П1, в замк·нутом uикле действует
некоторый оператор .92'[f (х)], а плоскость Л1 свободна. Тогда при
первом .проходе в выходную плоскость Пs спроектируется само изо
бражение, при втором проходе - изображение, .преобразованное
оператором !Jl, пр:и третьем - ·изображение, преобразовалное опера
тором fll. 2 и т. д. Если, например, в замкнутом цикле действует
оператор изменения масштаба, то в выходной плоскости получ.им
множество разномасштабных изображений, если действует оператор
изменения ориентации - множество .разл.ично ориентированных мзо
бражений [125]. При освещении непрерывным .излучением все пре
образованные изображения будут присутствовать в выходной пло
скости одновременно. Различные операторы можно получить вве
дением тех ил.и иных оптических элементов (объективов, решеток~
оборачивающих призм и т. п.) в цепь обратной связи системы.
Введеннем пространственно-частотных фильтров в плоскость Л2
можно заранее осуществить фильтрацию входного сигнала.
По.кажем теперь, 1{аким образом эту •систему можно
использовать для реализаuии методов .восстановления
сигналов. Из изложенного .вы·ше Я·СНО, что система обес
печивает либо nоследовательное умножение сигнала са
мого на себя, ·когда rвходной транспарант находится
в замкнутой части схемы, либо ловторное применение
к сигналу оператора, действующего в цепи обратной
овязи, l{ОГда вход.ной 1iра·нспарант в'водится в цепь ю-ря
мой связи схемы. В первом случае оветовые пуч1{И, соот
вет·ствующие различным степеннм функции сигнала,
16-866
242 3. Восстановление сигналов методами оптическоii обработки
взвешиваются с коэффициентами an и суммируются по
интенси~вности на выходе •системы, 1во !втором случае -
сум.мируюося на выходе с одинаковым ·весом. Для про
стра.нственного разделения этих пучков и .независимого
"
вз.вешивания исполызуется 1своиство коrерент.ного света
иметь одно и то же распределение 'Интенсивности при
различных ~фазовых •фронтах.
Установим транапарант с записью искаженного ·сиг
нала f (x)=ih(x)*s(x) ;В плоскость П1 , а в )плоскость
П1 1вв~дем набор лостоянных фильт~ров ао, а1, ... , aNt
причем будем считать, что ·фильтр, размещенный на
оптичеокой оси, имеет nроnус1\ание ао-0. Наст.роим
цепь обратной связи та1к, чтобы •в замкнутом цикле дей
ствовал оператор сдвига изобра~Жения. Для этого доста
точно, .на.пример, .поместить в одну из ча1стот.ных плос1\о
стей цепи обрат.ной связи (Пq или П6) ·Фазовый клин,
осущест.вляющий умножение ~спектра ·сиnнала, циркули
рующего в цепи обратной ~связи, на ·функцию ехр (-j8<1)).
Тогда после ~первого ~прохода сигнала в цепи обратной
связи спектр F ({!)) умножится .на ехр (-j6ы) , после вто
рого - на exip (-j2fJro), после п-го-:на ехр (-,jnew).
Если !В плоскости П5 также ~СТОИТ ~фазовый клин, то све
товой пучок после n-ro прохода попадает .на соответст
вующий п-й фильтр в плоскости П1. Ком1пле1\сная
амплитуда •суммарного юоля ·за ~плоскостью П1 будет
пропорциональна фу.нкции
F(ro) + а.F(т) ехр (-jбш) +... +p,NF (ro) ехр (-JN6ro)==
N
=F(m)+ ~ апF(т) exp(-jn6ro).
(3.96)
n=l
Так как соглаоно теореме о сдвиге
iY-
1
[F(ro) ехр (- jп0ш)) = f (х- п0),
преобразование Фурье функции (3.96) с помощью лин
зы лб !Приведет к ·формир{)ванию •В плоскости Пв выход
ного распределения комплексных амплитуд в виде
N
f(х)+~ aJ(x- п6).
(3.97)
n=l
:3.6 . Восстановление сигналов в системах с обратной связью 243
Сравнивая (3.97) с праrnой частью ( 1.84) (см.
§ 1.4), ·видим, что световое раапределение на выходе
системы соответствует вос.становленному сигналу s(х),
е1сли коэ1ффициенты an равны коэ~ф.фициентам разло
жения функции 1/ Н (ro)-1 в тригонометричес1{ИЙ ряд
( 1.83):
N
Н:..,) - 1= 1Jапехр(-jn6w).
n=l
Следует обратить внимание .на то, что в оптической
системе ;рис. 3.13 нам удалось реализовать один из ме
тодов восстановления сигналов, оонованных на добав
лении поправок к -наблюдаемой функции, ·без примене
ния обратных пространственно-частотных фильтров и
.даже без включения передаточной функции искажающе
;го З·вена в цепь обратной связи. Физика этого процесса
вооста.новления, ~по-видимому, близка к физике фотогра
фического метода «Нерезкой маски», в котором добива
ются улучшения качества фотоизображения f (х) кон
та1{тной перепечаткой ·фот.оснимка, сложенного с его .не
рез1кой копией [ 118]. -Последняя и играет роль суммы
сдвинутых изображений f (х-п0). Однако в методе
u
u
«нерезкои ма.ски» хара1{теристики искажающем системы
Н (ffi) никак не учиты:ваются: сдвинутые изображения
суммируются с .неизменными весами, обусловленны,ми
дефокусировкой изображения f (х) при изготовлении его
нерезкой копии. В предлагаемом же методе осуществля
ется не ~просто улучшение, а восстановление изображе
ния: мы можем управлять весовыми •коэ.ффицие1-iтами
суммирования, изменяя ~пропускание -постоянных филь-
1ров в .соответствии с коэ1ффициентами разложения
обратного оператора задачи в ряд (l.·83).
Очевидно, что с помощью оптической схемы рис. 3.13
мож.но реализовать и другие ~методы изосстановления
сигналов, •предусматривающие добавление поправок
к наблюдаемой ·функции •согласно формулам {1.76),
(l.80) и (l.82) (см. § 1.4). Для этого требуется, чтобы
в замкнутом цикле действовал оператор, отвечающий
разложению 1/ Н ((J))-
.1 в соответствующий функцио-
16*
244 3. Восстановление сигналов методами оптической обработки
-·
.
нальный ряд. Конструктивные решения оптичес1{ИХ си
стем, реализующих у1казанные методы, могут быть раз
личными, но во всех ·случаях потребуется введение за
ра.нее изготовленных пространст.венно-частотных филь
тров в цепь оптической обратной связи.
Одним из недостатков рассмотренной схемы, как и
других возможных пассивных оптичес.ких .схем 1С обрат
ными <:·вязями, является сильное осла·бление светового
потока после каждого цикла '11рохождения ·~игнала
в цепи обратной связи. По этой •причине на 'Практике
удается 1сложить лишь ·несколь~ко единиц (иногда десят
ков) св~товых ·пучков, от:вечающих различным членам
разложения в ряд обратного оператора задачи. Хотя
вследствие
некорректности задачи 1Восстановления
большое число членов ряда mри.нципиально учитывать
нельзя (см. § 1.4), затухание световых лучков .на.клады
вает определенные ограничения ·на возможность реали
зации различных методов восстановления. Другой недо
стато1{ связан со сложением юучков по интенсивности;
в результате .возни1{ают трудности обеспечения отрица
~ельных и комплексных з·начений ~весовых коэ·ффициен
тов an.
·
Активные оптиче.ские системы с обратной связью
св:абодны от указанных недостаткvв. Активными элемен
та·ми та1{ИХ .систем могут ~служить лазерные усилители
света или .пространственно-временные модуляторы е:вета
(динамические тра.нспара~нты). Одна из ~озможных схем
.
"
оптическои системы с лазе1рным у·силителем в качестве
активного элемента показа.на на рис. 3.14 [126].
·В этой оистеме предусмотрена о.дна частот.ная плоскость Пф,
находящаяся в цепи обратной связи, образованной с помощью по
лупрозрачных зерrкал ПЗа и ПЗь и зеркал За и Зь (направлен.пе
распространения световых волн показа.но на рису.нке стрелками).
Фурье-спектр циркулирующего в цепи обратной связи сигнала соз
дается при помощи линзы Лз, а линзы Л1, Л2 и Л,,, служат для
отображения сигнала в предмет.ные плоскости системы .на входе и
~J?IXoдe лазерного усилителя.
Передаточ·ная фу.нкция замкнуто1'1 ~истемы определяется фор
мулой (З.84), где в качестве Нрс (ffi) выступает передаточная фу1нк
ц.ия лазерного усилителя, в качестве Нос (ffi) - передаточная функ~
ц~ия пространственно-част.отного фиJJьтра, установленного в плоско
сп1 11Ф· Как и в случае пассивной системы рис. 3.12, значение
коэфф11циента обратной связи f3 зависит от ·раз.мости фаз Ф волны на
'1рямом проходе и волны, задержанной в цепи обратной связи. Тре-
3.б. ВосстаН6вление сигналов в системах с обратной связью 243
Рис. 3.14. Активная оптиче
ская система с обратной
связью, использующая ла
зерный усилитель света r126l
Рис. 3.15. Схема операцион
ного усилителя
Рис. 3.16. Схема активной
оптической системы с обрат~
ной связью на динамических
транспарантах r1271
*__..,.____ t--- ~ -~
i1
пф
t
фл.
t1
Л1
Лz 1t
~_173~+-- Лазсрныi ._-t-~Jь~ _
~
~ gсилитсль ~
~
B:roD
BыxoiJ
Hoc(f!J}
(3
BxoD
Hpc((J}}
BыxoiJ
8.xoD
ДТ1
~~w~-'3,__..._+- ---~32~ __
.
- ---
~с
t1 РНОТОПТVS
1
1
•
п~щ~
J1
.t'
t.i
PRDJ1
1
s~пз;- +-==~з)~z
ВыхоD
ДТz
буемая настройка величины Ф также осуществляется изменением
оптической длины пути в системе. Однако в отличие от пассивной
схемы из соображений устойчивости системы здесь можно ввести
только отрицательную обратную связь.
Если в плоскости ПФ установлен фильтр с передаточной функ
uией Hoc((J)) =H((J)) и лазерный усилитель света имеет достаточно
большой коэффиuнепт усиления: Hpc(u) >> Hoc(w), то соr~ТJасно
(3.84) передаточная функция замкнутой системы с отрицательной
246 3. Восстановление tигналоs методами оптическоtJ обработк.и
обратной связью ({:i=-l) будет пропорциональна функции 1/H{ro).
В данном случае система рис. 3.14 работает как инверсный фильтр.
Ясно, что в этой системе можно реализовать восста
навливающие фильтры и других типов. Активный ха рак
тер функционирования системы позволяет использовать
пространственно-частотные фильтры с низкой светоной
эффективностью, а также снизить требования к допусти
мому поглощению света оптическими элементами схемы.
Однако создание лазерных усилителей с большой апер
турой, позволяющей вводить в систему высокоинформа
тивные сигналы, является довольно сложной проблемой.
Кроме того, трудности поддержания заданной разности
фаз <р и обеспечения большой длины когерентности из-
"
лучения в рассмотреннои схеме оказываются того же
порядка, что и в пассивной оптической системе рис. 3.12.
Это существенно ограничивает практические возмож
ности ее применения.
Активные оптические системы с обратной связью на
динамических транспарантах обладают более широкими
возможностями [127]. В этих системах легко реализует
ся оптическая модель операционного усилителя - основ-
"
u
нога элемента аналоговои электронно-вычислительнои
техники (рис. 3.15). Главным достоинством их является
возможность реализации вычислительной операции де
ления оптических передаточных функций общего вида.
Действительно, нетрудно показать, что передаточная
функция замкнутой системы. собранной по схеме
рис. 3.15, при большом коэффициенте усиления (А~ 1)
и отрицательной обратной связи (~==~1) равна [128]
(3.98)
Это позволяет, например, полагая Нос Н (ro),
Нрс (ro) =К (ro), осуществить с помощью оптического
операционного усилителя восстановление сигналов с ре
гуляризацией решения различными стабиJiизирующими
множителями K(ro) (см.§ 2.2).
Существует несколько вариантов построения актив
ных оптических систем с динамическими транспарантами
[ 127]. Мы рассмотрим лишь один из них применительно
3.6. Восстановление сигналов в системах с обратной связью
247
1< реализации итерационного метода восстановления,
основанного на алгоритме последовательных прибли:>ке
ний Бургера и Ван Ситтера (см.§ 1.4):
Схема активной оптической системы с динамичес1<и
ми транспарантами для моделирования этого метода
показана на рис. 3.16.
В системе имеются четыре полупрозрачных зеркала ПЗ1-ПЗ4,
два динамических транспаранта ДТ1 и ДТ2 и три источника моно
хроматического света: КС1 и КС2 с длиной волны ЛR, и се с длиной
волны :Лс (КС- красный свет, СС- синий свет). Поскольку кои
структивиые решения такой системы здесь не принципиальны, линзо
вые элементы на схеме не показаны, а направления световых волн
указаны стрелками (сплошные стрелки для источников КС, штрf{хо
вые - для источника СС). Предполагается, что в качестве ДТ1
используется устройство типа PHOTOTITUS [129], чувствительное
к излучению с длиной волны ЛR, а в качестве ДТ2 - устройство
типа PROM 1f1ЗOJ, чувствительное к излучению с длююй волны Лс.
Первое из них в оптическом операционном усилителе выполняет
роль «сумматора», складывающего или вычитающего сигналы -
изображения, а второе служит «интегратором», накапливающим по
даииые иа него сигналы. Транспарант ДТ1 должен работать в режи
ме запись - стирание, а ДТ2 - только в режиме записи. Предпола
гается также, что динамические транспаранты установлены в пред
метные плоскости системы, а в цепи обратной связи имеется по
крайней мере одна частотная плоскость ПФ• в которую можно
ввести пространственно-частотный фильтр, рассчитанный на длину
волны излучения ЛR-
Пусть на вход системы подано искаженное изобра
жение f (х), а в частотную плоскость ПФ введен фильтр
с передаточной функцией искажающего звена Н (ffi).
Будем рассматривать прохождение входного сигнала
в системе по циклам, разбивая каждый цикл по тактам
работы динамических транспарантов.
В первом такте первого цикла осуществляется за
пись функuии f (х) на ДТ1 от источника КС1. Во втором
такте включается источник КС2 и «нулевое» изображе"
ние (обозначим его s0 (x)=0), имеющееся на ДТ2, по
цепи обратной связи подается через фильтр Н (1w) со
знаком минус на ДТ1 . Теперь на ДТ1 будет записан
сигнал
s.(х) ===f(х)- h(x)*s0 (х) =f(х)-h(х)*О=f(х).
1
-
••
(3.99,
248 8. Восстановление сигналов методами оптической обработки
В третьем такте включается источник СС и функция
(3.99) переписывается с ДТ1 на ДТ2 в отраженном све
те. I1зображение, записанное на ДТ1 , стирается. На этом
... .
первыи цикл заканчивается.
В первом такте второго цикла входное изобр аженис
f (х) снова записывается на ДТ1 с помощью источни
ка КС1. Во втором такте изображение s 1 (х), перенесен
ное в первом цикле на ДТ2 (см. функцию (3.99)), после
включения источника КС2 проходит по цепи обратной
связи через фильтр Н(ю) и на ДТ1 складывается со
знаком минус с ВХQдным изображением f (х). Таким
образом, на ДТ1 регистрируется функция / (x)-
- - h (х) * s 1 (х). В третьем такте после включения источ
ника СС эта функция переписывается с ДТ1 на ДТ2 и
суммируется с хранящимся на нем изображением пер
вого цикла s 1 (х). В результате на ДТ2 регистрируется
функция
s2 (х) ===f(х)+s1 (х) - h(х)*s1 (х) ==
=== f (х)+f (х)- h(x)*f(х).
(3.100)
I1зображение, записанное на ДТ1, стирается и второй
цикл заканчивается.
В каждом последующем цикле указанные операции
повторяются. Сигналы s0 (х), s1 (х), s2 (х) и т. д., цирку
лирующие в цепи обратной связи, в каждом цикле по
даются на выход системы (часть светового потока ис
точника КС2 выводится из замкнутой системы через по
лупрозрачное зеркало ПЗ4).
Сравнивая правые части формул (3.100) и (1.73)
видим, что изображение второго цикла есть не что иное,
u
u
как восстановленныи сигнал, соответствующии разложе-
нию обратного оператора задачи в ряд Неймана при
учете только первого члена этого ряда (см. § 1.4). Ясно,
что каждое изображение последующего цикла выража- _
ется через изображение предыдущего цикла рекуррент
ным соотношением
sn+i (х)= f (х) +sn (x)-h (x)*sn (х); п О, 1, 2, ...,
(3.101)
полность!О совпадающи~ с формулой (~.74) д~я восст~-
3.6. Восстановление сигналов в системах с обратно~1 связью 249
новления сигналов методом последовательных прибли
жений Бургера и Ван Ситтера.
Получить несложную реализацию этого метода
в оптической сuстеме рис. 3.16 удалось потому, что на
динамическом транспаранте типа PROM вследствие
особенностей режимов записи и стирания информации
легко получаются операции сложения и вычитания изо
бражений, представленных р~спределение:м интенсивно
стей света. Подробности обработки знакопеременных
сигналов в таких системах описаны в [ 127].
Рассмотренная система восстановления сигналов
обладает одной интересной особенностью. На динамиче
ском транспаранте ДТ 1 во втором такте каждого цикла
фактически регистрируется фун1{ЦИЯ Sn+1 (x)-sn (х),
т. е. «невязка» между последовательными приближения
ми решения. Визуализация этой функции с помощью
периферийной оптики позволяет оператору осуществить
"
оперативныи анализ восстановления и прервать итера-
тивный процесс в том случае, когда вследствие некор
ректности задачи начинают недопустимо усиливаться
шумы и решение «разбалтывается» (см. § 1.4 и 1.6).
К другим достоинствам системы можно отнести просто
ту настройки оптической схемы (вследствие суммиро
вания оптических сигналов по интенсивности) и отсут
ствие затухания сигналов в цепи обратной связи (вслед
ствие усиления световых потоков с помощью динами
ческих транспарантов). Недостатком системы является
конечная, иногда довольно большая, длительность каж-
"
дога цикла итерации, определяемая временем записи и
стирания информации на динамических трансп~рантах.
nOCJJECJ10BИЁ
Итак, возможна ли редукция к идеальному прибо
ру? Было показано, что при ответе на этот вопрос необ
ходимо учитывать аспекты как теоретические, связанные
с решением некорректно поставленных задач, так и
практические, связанные с _реализацией вычислительных
алгоритмов восстановления сигналов.
Рассматривая теоретические аспекты проблемы
в рамках линейной стационарной модели, необходимо
прежде всего уточнить, какой смысл вкладывается в по
нятие идеальный прибор в данной задаче восстановле
ния. Чаще всего под идеальным прибором понимается
прибор с весовой функцией в виде б-функции. Переда
точная функция Нин(оо) такого прибора равна констан
те в диапазоне частот от -оо до +оо (рис. П.1,а). Ясно,
что если передаточная функция реального прибора су
щественно отлична от нуля лишь в некоторой ограничен
ной полосе частот (-<0r, оог) (рис. П.1,6), то для редук
ции к идеальному прибору с б-образной весовой функци
ей понадобится осуществить аналитическое продолже
ние спектра сигнала, используя априорную информацию
о задаче. Конечно, идеальная редукция при аналитиче
ском продолжении практически невозможна из-за влия
ния случайного шума (см. § 1.7). Но в ряде случаев
удается существенно расширить полосу частот реально
го прибора в процессе редукции, подавляя шум методом
оптимальной фильтрации.
В пра1\тичес1\ИХ задачах восстановления сигналов
идеальным прибором иногда считается прибор с «пря
моугольной» передаточной функцией, заданной в проме
жутке (-(i)г, wг), соответствующем полосе пропускания
реального прибора (рис. П.1,в). Это означает, что по
условиям задачи нас не интересуют частоты входного
сигнала, лежащие вне полосы пропускания прибора
(например, сигнал просто не содержит таких частот).
Если передаточная функция реального прибора не имеет
«нулевых точе1\» внутри полосы пропускания, как на
рис. П.1,6, то при восстановлении сигнала каким-либо из
методов, изложенных в гл. l, 2, необходимо позаботиться
только о том, чтобы решение было единственным и
Посдесловие
Рис. П.1. Передаточные
функции:
а - идеального прибора с
неограниченной полосой ча
стот;
б- реального прибора;
в - идеальиоrо я «почти
идеального• приборов с огра
ниченной по.посоА частот
}1
1
о
н
1
н
1
о
251
Нмн (ы)
(1.)
(J)
устойчивым к шумам на «краях» полосы пропускания
прибора, т. е. вблизи точек -{t)г и {t)г. Это можно
достигнуть различными способами: фильтрацией с огра
ничением полосы частот инверсного фильтра; фильтра
цией с ограничением полосы частот и усиления инверс
ного фильтра; регуляризацией решения и т. д. Но, ста
раясь· уменьшить влияние шума на частотах, близких
к -юг и {t)г. мы неизбежно уменьшаем вклад «полезных»
частотных составляющих сигнала на этих частотах. Так,
применяя метод инверсной фильтрации с ограничением
полосы частот фильтра, мы фактичес1<и «срезаем» все
частоты сигнала выше некоторой частоты 1ffic1 <(J)г
(см. § 1.6, 2.5). Передаточная функuия суммарной си
стемы, т. е. последовательности систем приема и восста
новления сигнала, в этом случае имеет вид прямоуголь
ного 0мпульса Hи(ffi) (см. рис. П.l,в).
252
Послесловие
Если передаточная функция реального прибора име
ет «нулевые точки» и внутри полосы пропускания, то
общие потери полез-пых частотных составляющих сигна
ла при восстановлении будут еще большими. Поэтому
редукция к идеальному прибору с «прямоугольной» пе
редаточной функцией на практике также невозможна.
Единственное, что можно сделать - это минимизировать
потери полезных частотных составляющих за счет пра
вильного выбора метода восстановления. При наличии
полной априорной информации о задаче наиболее эффек
тивными оказываются методы статистической регуляри
зации (в частности, метод оптимальной фильтрации),
при отсутствии такой информации - метод регуляриза
ции А. Н. Тихонова.
Применение методов регуляризации в задачах вос
становления приводит 1< тому, что график передаточной
функции суммарной системы оказывается «плоским» на
частотах, дале1<их от «нулевых точек», и плавно умень
шается до нуля на частотах, близких к ним. Следова
тельно, применяя методы регуляризации, мы можем го
ворить о принципиальной в0зможности редукции к «поч
ти идеальному» прибору с ограниченной полосой частот.
Такой прибор имеет передаточную функцию Нпи((J))
в виде прямоугqльного импульса, но с гладкими краями
(рис. П.1,в).
Заметим, что такая идеализация часто бывает по
лезной на практике. Действительно, хорошо известны
· _особенности линейной фильтрации сигналов при спек
тральных 01<нах прямоугольной формы. Эти особенности
связаны с явлением Гиббса, возникающим в точках раз
рыва прямоугольной частотной характеристики. Из-за
явления Гиббса представление функций рядом q>урье
в 01<рестности точек разрыва не вполне удовлетворитель
но: функция, представленная рядом Фурье, переходя че
рез разрыв, делает скачок, примерно на 18 °/0 больший,
чем исходная функция, и 1<олеблется, постепенно при
ближаясь к исходной.
Передаточным функциям с разрывами соответству
ют весовые функции колебательного характера. Прямо
угольной передаточной функции соответствует весовая
функция sin х/х, имеющая достаточно ощутимые поло
жительные и отрицательные всплески (боковые лепест-
Послесловие
253
I{И). Колебательный хара1{тер этой функции проявляется
в нежелательных интерференционных явлениях, сопро
вождающих процесс синтеза сигнала на выходе фильтра
с прямоугольной передаточной функцией. В качестве фи
зического примера этих явлений можно привести эффект
«дребезжания» сигнала в видеоусилителях с резко па
дающей частотной характеристикой. Другой пример -
зернистая структура изображений объектов, освещенных
лазерным излучением («спикл»-эффект). Способы борь
бы с этими нежелательными эффектами-плавный «за
вал» частотной характеристики усилителя и снижение
степени когерентности излучения для приведения опти
ческой передаточной функции к некогерентной - факти
чески эквивалентны сглаживанию краев прямоугольных
передаточных функций. Таким образом, регуляризация
решения при восстановлении сигналов позволяет не толь
ко осуществить редукци10 к «почти идеальному» прибору,
получив корректное приближенное решение, устойчивое
к шумам, но и избежать нежелательных эффектов.
Анализируя конкретные задачи восстановления сиг
налов, мы должны сосредоточить внимание на соотно
шении между шириной спектра восстанавливаемого сиг
нала и полосой пропускания реаJrьного прибора (рис.
П.2). В предположении о том, что «нулевые точки» вну
три полосы пропускания отсутствуют, возможны три
случая. Первые два случая, когда спектр сигнала значи
тельно шире передаточной функции прибора (рис. П.2,а)
и ширина спектра сигнала и полоса пропус1{ания при
бора соизмеримы (рис. П.2,6), мы уже рассмотрели.
В первом случае можно применить аналитическое про
должение спектра сигнала, но в присутствии шумов ре
дукция к идеальному прибору невозможна. Во втором
случае, используя :методы регуляризации решения, мож
но осуществить редукцию к «почти идеальному» прибору.
Наконец, в третьем случае, когда ширина спектра сигна
ла существенно уже полосы пропускания прибора (рис.
П.2,в), задача восстановления оказывается корректной и .
любой из методов восстановления позволяет осуществить
редукцию к идеальному прибору. Действительно, здесь
мы можем заведомо пренебречь теми значениями S ((u).
которые соогвстствуют малым значениям Н ((u). Прп
пренебрежении этими значениями решение основного ин-
254
S,H
Послесдовие
Рис. П.2. Соотношения меж
ду шириноА спектра сигна
ла и полосой пропускания
прибора:
а - спектр сигнала значи
теJiьио шире передаточной
функции прибора;
д- ширина спектра сигна
ла и полоса пропускания
прибора соизмеримы;
в~ шнрина спектра сигна
ла существенно уже попосы
пропускания
тегрального уравнения будет единственным и устойчи
вым вследствие того, что функция S (ffi) равна нулю для
ffi, лежащих вне полосы пропускания. Рассмотренный
u
u
случаи соотношения между ширинои спектра сигнала и
полосой пропускания прибора довольно часто реализует
ся на практике в радиотехнике и спектроскопии [3] и
восстановление сигналов не представляет принципиаль-
"
ных затруднении.
Однако вычислительные трудности в задачах вос
становления сигналов присутствуют практичес1<и всегда.
Как следует из рассмотрения вычислительных аспектов
ттробл.емы (см. § 2.7), требуемые объемы вычислитель
ных операций и памяти в основном определяются ин
формативностью сигналп. Они зависят также от выбран
ного алгоритма восстановления. К:онечно, при относи
тельно небольшом числе отсчетов входного сигнала, ска
жем, порядка 102 или 103, вычислительные трудности не-
значительны для всех методов восстановления. С другой
стороны, при попыт1{е редукции к идеальному прибору
с неограниченной полосой пропускания методом анали
тического продолжения спектра необходимы теоретиче
ски бесконечные объемы вычислений и памяти. Ориен
тировочные оцен1{И объема вычислений и памяти, тре
буемых для решения задач восстановления сигналов
различными методами, приведены в табл. 2.3 .
На практике наибольшие затруднения вызывают за
дачи восстановления многомерных сигналов, т. е. сигна
лов, зависящих от нескольких переменных. Такие сигна
лы обычно характеризуются большой информативно
стью~ Так, двумерный сигнал- плоское изображение
телевизионного вещательного стандарта-имеет число от
счетов порядка 105-106 и для его обработки при восста
новлении требуется выполнить около 107-108 вычисли
тельных операций. Для такой же обработки негативов,
получаемых с помощью современных оптичес1{ИХ теле
скопов или широкоформатных фотоаппаратов, имею
щих число отсчетов порядка 108-1010, необходим вооб
ще огромный объем вычислений порядка 1010-1012 опе
раций и более.
Сравнение приведенных объемов вычислений .с про"
иsводительностью лучших современных универсальных
ЭВМ (106-107 операций/с) по1{аsывает, что при сколь
нибудь значительных требованиях к оперативности обра
ботки сигналов применение универсальных ЭВМ неэф
фективно. Это затруднение можно попытаться обойти,
обрабатывая на ЭВМ только отдельные фрагменты ис
ходного информационного массива, наиболее интересные
с точки зрения получателя информации. Если же по су
ществу задачи этого делать нельзя, то целесообразно
воспользоваться методами оптической обработки инфор
мации, изложенными в гл. 3.
Оптичес1{ие методы позволяют вести параллельно
анализ больших информационных массивов, в чем их
основное преимущество перед электронно-вычислитель
ными методами. Однако, применяя методы когерентной
оптики и голографии для восстановления сигналов, сле
дует иметь в виду некоторые их недостатки: ограничен
ный класс реализуемых математических операций,
относительно небольшая точность вычислений и необхо-
256
llослесл овие
димость борьбы с шумами, вызванными высокой коге
рентностью излучения. :Кроме того, переход от одного ме
тода восстановления к другому в оптических системах
связан со сменой гологр афичес1пiх фильтров или с пере
стройкой оптической схемы. Поэто r"1у для решения задач
восстановления высокоинформативных сигналов может
оказаться целесообразным использование опти1<0-элек
тронных вычислительных комплексов (ОЭВ:К), разрабо
танных для обf абоп<и изображений в целях опознава
ния образов [6 . Та1<ие 1<омплексы, содержащие у:uивер
сальную ЭВМ и специализированные оптические про
цессоры, позволяют сочетать высокое быстродействие и
производительность оптичес1<их методов обработки ин
формации с гибкостью программирования и точностью
вычислений, присущих ЭВМ. Процесс восстановления
сигналов с помощью ОЭВК можно представить в виде
двухэтапной процедуры . На первом этапе с помощыо
быстродействующих оптических методов обрабатывает
ся весь информационный массив, представляющий на
блюдаемую функцию, с целью восстановления входного
сигнала до такой степени, которая позволяет выявить
наиболее важные, интересные информационные зоны
(фрагменты) сигнала. На втором этапе, используя раз-
личные алгоритмы восстановления сигналов на ЭВМ,
можно попытаться улучшить восстановленный сигнал
в предел ах выявленных зон и снизить влияние шумов,
внесенных на первом этапе. Так 1<а1< наиболее интерес
ные для получателя информации фрагменты часто зани
мают лишь небольшую долю общего информационного
массива, длительность дополнительной обработки ин
формации на ЭВМ может быть вполне приемлемой.
Подводя итог, проиллюстрируем приведенные здесь
рассуждения на двух кон1<ретных примерах. Первый
пример относится 1< реставрации старинных граммофон
ных записей. А1<устическая запись речи, пения и музы
кальных произведений примерно до середины 20-х годов
производилась механичес1<им способом с помощью весь
ма несовершенных звукозаписывающих аппаратов, со
держащих примитивнНiй рупор большого размера, соеди
ненный через так называемую з ву ковую коробку с меха
низмо1"1 для нарезки сигнальной канавки на диске из
воска. Граммофонные пластинки з ате м тиражировались
nослесловu~
257
с помощью полученного таким образом вос1<ового ориги
нала. Наряду с характерным поверхностным шумом иг.пы
(шипением) при проигрывании старинных пластино1<
сразу выявляются хара1<терные ис1{ажения звука: «мега
фонное» звучание, резонансы и реверберация. Наиболее
неприятный эффе1<т за1<лючается в громких звуковых
«всплесках», когда при исполнении музьп<альных произ
ведений встречаются определенные частоты. Как пока
зывают измерения частотных характеристик музейных
экземпляров зву1<озаписывающих аппаратов, эти ис1<а
жения вызваны в основном наличием резких пиков вели
чиной 10-20 дБ и более на частотной характерист111<е
прибора.
Логарифмичес1<ая амплитудно-частотная хара1<тери
стика ис1<ажений, внесенных зву1<озаписывающим при
бором, измеренная в диапазоне частот от 1О до 5000 Гц
по граммзаписи голоса Карузо ( 1907 г.), по1<азана на
рис. П.3,а. Эта характеристика была получена в [22]
путем сопоставления сигнала от коллекционной грамм
пластинки с записью того же вокального произведения
в исполнении современного певца, зарегистрированного
u
"
с помощью высококачественнои зву1<озаписывающеи
аппаратуры, в предположении об отсутствии шумов. Ха
ра1<теристика инверсного фильтра для компенсации ис
кажений дана на рис. П.3,б.
Однако применение инверсного фильтра с та1<ой ха
рактеристикой для реставрации записи привело бы к эф
фекту псевдовосстановления вследствие усиления поверх
ностного шума, так как заведомо известно, что старин
ные звукозаписы·вающие приборы не могли записывать
сигналы с частотами существенно ниже 200 Гц и выше
4000 Гц. Ясно, что даже в отсутствие шумов экстрапо
ляция спектра сигнала методом аналитического продол
жения в данной задаче нежелательна, та1< как она при
вела бы 1< искажению голоса 1\арузо (во вся1<ом случае
это был бы уже не его голос). Таким образом, в данной
задаче идеальным следует признать прибор с плоской
частотной характеристикой, имеющий полосу прQпуска
ния примерно от 200 до 4000 Гц. Для редукции к та1<0-
му прибору требуется восстанавливающий фильтр с усе
ченной частотной характеристикой (рис. П.3,в). В [22]
для синтеза восстанавливающего фильтра такого рода
17-866
LglНJ,AБ
10
о
-10
-20
-30
-'f{]
10
Lgl1/H/.AБ
10
о
-10
-20
-JO
-'!О
10
100
1000 5000
1',Гц
100
1000 5000
V,Гц
11ослеслови8
Рис. П.3. Логарифмические
амп.питудно-частотиые
ха
рактеристики {22):
а - звукозаписывающего ап·
парата:
б- инверсного фильтра;
использовались методы оптимальной фильтрации и го
моморфной фильтрации (см. § 2.3). Частотная характе
ристика последовательности систем приема и восстанов
ления сигнала (суммарной системы) оказалась близкой
к «почти идеальному» прибору (рис: П.3,г).
Оценим объем вычислений, требуемый для решения
задачи реставрации граммофонных записей, исходя из
следующих соображений. Пусть интервал дискретизации
спектра сигнала составляет 0,1 Гц. Тогда число отсчетов
сигнала в данной задаче будет N~4· lO(i, что при дли
тельности граммзаписи в 3 мин соответствует взятию
от<;четов через каждые 0,005 с. Для обработки сигнала
в частотной области с помощью алгоритма БПФ потре
буется выполнить 5N ( 1+4Iog2 N) приведе~ных опера
ций (см. табл. 2.3), т. е. ,_,1,2.101 операций. На ЭВМ ти
па БЭСМ-6 при быстродействии порядка 106 операций/с
время решения задачи составит около 12 с, что вполне
приемлемо.
Другой пример ---- восстановление нерезких фото
снимков, искаженных вследствие «смаза» изображения
Послесловие
Lg/Hвl ,,о,Б
10
о
-10
-zo
259
в - восстанавпивающего
-JO
фильтра с ограниченной по-
.nосой частот:
-WL-..L..lJ...LLLW__JL..L.LJ..J.J.~-:--1-~~---::-;-:
70
100
i>,Гц
г - суммарной системы
Lg{IHвl IНV.дБ
10
о
-10
-20
-30
-'f{JL___J_J-L.LШ..UL-L..LJ..U.J.~_.L.-1-:::=-:~-~~
ю
~~
1
или дефокусировки фотоаппарата. Остановимся для кон
кретности на задаче обработки снимков, полученных
с помощью оптического телескопа на спутнике.
Так как длительность экспозиции при съемке звезд
ного неба велика, а за время экспозиции изображе
ние в фокальной плоскости телескопа не должно сме
щаться, необходима система компенсации скоростного
сдвига изображения, возникающего вследствие движе
ния космического аппарата по орбите. Кроме того, не
обходимо позаботиться об устранении вибраций, а так
же поддерживать заданные значения температуры и
давления внутри спутника, чтобы избежать дефокусиров
ки телескопа. Однако система ориентации и стабилиза
ции спутника, механизм компенсации сдвига изображе
ния, приборы терморегулирования обладают собствен
ными погрешностями и, несмотря на принятые меры, по
·лученный фотоснимок звездного неба может оказаться
несколько «смаза~ц1ым».
11•
260
Послесловие
VJ
1-8
1
1
1
1.
1
1
1
1
L
н
в
о
-11-
-8
-12
1~
1
1
1
1
1
1
IV1
1
8 '(/)
1
1
1
1
1
Рис. П.4.
Передаточные
функции:
а - оптической системы при
сильной дефокусировке или
скоростном сдвиге изобра
жения;
1 б - инверсного фильтра;
Остаточный сдвиг изображения и сильная дефоку
сировка объектива вносят искажения, приводящие к то
му, что передаточная функция реального прибора при
обретает колебательный характер, изменяясь приблизи
тельно по закону sin ro/ro (рис. П-4,а). Различие в основ
ном в том, что сдвиг - одномерная операция, а дефоку
сировка - двумерная. Наличие в передаточной функции
нулевых точек внутри полосы пропускания прибора при
водит к бесконечному усилению инверсного фильтра
в окрестности этих точек (рис. П.4,6). Поэтому здесь
необходимо стабилизировать решение не только на кра
ях полосы пропускания, но и в некоторых точках внутри
ее. Передаточная функция одного из вариантов опти
мального восстанавливающего фильтра, рассчитанного
для случая экспоненциальной аппроксимации энергети
ческого спектра шума, показана на рис. П.4,в, переда
точная фун1<ция суммарной системы - на рис. П.4,г.
В данной задаче определяющей характеристикой
является разрешающая способность аппаратуры наблю-
Послесловие
в - оптимального восстанав
ливающего фильтра;
г - суммарной системы
261
Нво
-в
-в
tur-8
-5-~-2О21f68Шrru
дения. Разрешение снимка определяется шириной поло
сы пропускания прибора. Поэтому заманчиво попытать
ся осуществить редукцию к идеальному прибору с не
ограниченной полосой пропускания, с тем чтобы полу
чить бесконечно высокое разрешение снимка. Однако
такая попытка опять-таки за ранее обречена на провал
из-за бесконечно большого усиления шума, вызванного
зернистостью фотоматериала и другими причинами. Бо
лее разумно выполнить восстановление сигнала в неко
торой ограниченной полосе частот (-mг, mг), соответст
вующей, скажем, дифракционному пределу разрешаю
щей способности объектива. Но и в этом случае редук
ция к идеальному или «почти идеальному» прибору не
возможна, так как мы неизбежно теряем некоторые ·зоны
спектра сигнала, расположенные вблизи нулевых точек,
и, кроме того, стремясь снизить влияние шумов с помо
щью метода оптимальной фильтрации, уменьшаем сред
нее усиление суммарной системы в области высоких
частот (рис. П.4,г). Тем не менее с помощью восстанов·
262
Послесловие
пения сигналов на практике удается значительно улуч
шить качество смазанных или дефокусированных изо
бражений, как это видно из рис. 2.18 и 3.10.
В задаче обработки изображений информативность
сигнала может быть очень велика. Будем считать, что
для получения заданного разрешения широкоформатный
снимок раскладывается на N=l04Xl04 элементов. Пусть
далее число отсчетов весовой функции восстанавливаю
щего фильтра равно М=6Х6. Тогда минимальное коли
чество вычислительных операций, соответствующее при-u
менению алгоритмов прямого вычисления дискретнои
свертки и примерно равное ЗNМ, оценивается величиной
порядка 1010• Это означает, что обработка одного сним
ка на ЭВМ типа БЭСМ-6 займет около 104 с, т. е. при
мерно несколько часов машинного времени, а обработка
массива из 1ООО снимков - несколько месяцев.
Вместе с тем, если снимки сначала восстанавлива
ются оптическими методами с реальной производитель
ностью порядка 1О снимков в минуту, а на каждом
снимке находится, допустим, по 10 интересных фрагмен
тов (это, напрнмер, фрагменты, содержащие изображе
ния двойных звезд в астрономии или очагов лесных по
жаров в исследовании природных ресурсов) и найден
ные фрагменты затем обрабатываются на ЭВМ типа
БЭСМ-6 при стандарте разложения 256Х256 элементов,
то общее время электронно-оптической обработки всего
массива из 1ООО снимков составит только около 2 ч.
Приведенные примеры показывают, что каждая кон
кретная задача восстановления сигналов требует де
тального анализа теоретических возможностей и огра
ничений. Дальнейшее развитие теории восстановления
сигналов, по-видимому, будет направлено на совершен
ствование методов восстановления, поиск путей извлече
ния и учета всей априорной информации о задаче, раз
работку принципов построения специализированных
вычислительных средств и оптимизацию проблемы устра
нения искажений в целом. Последнее предполагает изы
скание оптимального распределения усилий, затрачивае
мых на совершенствование самого прибора и на апосте..
риорную обработку информации.
сnисок ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тих он о в А. Н., Арсен ин В. Я. Методы решения некор
ректных задач. - М.: Наука, 1974.
2. Мор о з о в В. А. Линейные и нелинейные некорректные зада
чи. -Итоги науки и техники: Математический анализ/
ВИНИТИ. - 1973.
3.Хурги·н Я. И.,Яковлев В.П. Финитныефункциивфизн·
ке и технике. - М.: Наука, 1971.
4. Р а у т и а н С. Г. Реальные спектральные приборы. - У·Ф Н,
1958, т. 66, вып. 3.
5. С о н д х и М. Реставрация изображения: устранение простран
ственно-инвариантных искажений. - В кн.: Обработка изобра
жений при помощи цифровых вычислительных машин: Пер.
с англ. -М.: Мир, 1973.
6. В а с ил е н к о Г. И. Голографическое опознавание образов.
М.: Сов. радио, 1977, -
326 с.
7. К р а с ~ о в М. Л. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1975.
8. Т и т ч м а р ш Е. Введение в теорию интегралов Фурье: Пер.
с англ. -М.-Л.: Гостехиздат, 1948.
9. Интегральные уравнения./ П. П. Забрейко, Л. И. Коше
лев) М. А. Красносельский и др. -М.: Наука, 1968.
1О. В о р о б ь е в Ю. В. Метод моментов в прикладной математи
ке. - М.: Физматгиз, 1958.
l'l.Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобра
зования и операционное исчисление.-М.: Физматгиз, 1961 .
12. Мор с Ф., Фе ш бах Г. Методы теоретической физики: Пер.
с англ.-М.: ИЛ, 1958.-Т. l.
13. Ван Три с Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции
в 3-х т.: Пер. с англ. -М.: Сов. радио, 1972. -
Т.l.-
744 с.
14. Фр э н к с Л. Теория сигналов: Пер. с англ.- М.: Сов. радио,
1974.
15. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике
и оптике: Сб. переводов/ Под ред. М. К. Размахнииа,
В. П. Яковлева. - М.: Сов. радио, 1971.
16. S1ерiаn D., SоnnеnЬ1iсk Е. Eigenvalues associated with
prolate spheroidal wave functions of zero order. -
Bell Syst. Tech.
J., 1965, v. 44, No 8, р. 1745-1759.
17.Rushfоrth С.1\., Н аrris R.W.R.estoration, resolutionand
noise. -
J. Opt. Soc. Ат., 1968, v. 58, No 4, р. 539-545.
. 18..фр и дм ан В. М. Метод последовательных приближений для
интегрального уравнения Фредгольма 1-ro рода. -УМН, 1956,
т. н, вып. l.
19. В u r r Е. 1. Sharpening of observational data in two dimen-
sions. -
Australian J . of Phys., 1955, v. 7, No l.
20. Лебедев Д. С.,Цуккерман И. И. Телевидение итеория
информации. - М. - Л.: Энергия, 1965.
264
Список лиtерптуры
21.1(оvаsznау L. S., Jоsерh Н. Image processing. -
Proc.
IRE, 1955, v. 43, No 5.
22.Stосkhат Т.G., С а пnоn Т.М., IngеЬrеstеn R. В.
Blind deconvolution through digital signal processing. -
Pro~.
IEEE, 1975, v. 63, No 4.
23. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы тео
рии обработки наблюдений. - М.: Физматгиз, 1958.
24. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем ли
нейных алгебраических уравнений: Пер. с англ. - М. : Мир,
1969.
25. Фаддеева В. Н., Фаддеев Д. 1(.Вычислительные методы
линейной алгебры. - М.: Физматrиз, 1960.
26. 3 а r у с к и н В. П. Справочник по численным методам решения
уравнений. - М.: Физматrиз, 1960.
27.Демидович К. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3.
Численные методы анализа. -М.: Физматгнз. 1962.
28. Клюев В. В., l(оковкин-Щербак Н. И. О минимиза
ции числа арифметических операций при решении линейных
алгебраических систем уравнений. -ЖВМ и МФ, 1965, т. 5,
No 1, с. 21-33.
29. Хуанг Т., Шрейбер У., Третьяк О. Обработка изобра
жений. - В кн.: Обработка изображений при помощи цифровых
вычислительных машин: Пер. с англ. - М.: Мир, 1973.
30. Гренандер У., Сеге Г. Теплицевы формы и их приложе
ния.- М.: ИЛ, 1961.
31. L е v i n s о n N. The Wiener rms error criterion in filter design
and prediction. -
J. Math. Phys., 1947, v. 25, No 1, р. 261-278.
32. R о Ь i n s о n Е. А. Statistical communication and detection. - -
N. У.: Hafner, 1967.
33. 1( а н т о р о в и ч Л. В. Функциональный анализ н прикладная
математика. - УМН, 1948, т. 3, No 6.
34. Иванов В. В., 1(арагодова Е. А. Приближенное реше
ние интегральных уравнений типа свертки методом Галерки
на. - Укр. матем. журн., 1961, No 1.
35. Марчук Г. И., К уз не ц о в Ю . .А. Итерационные методы и
квадратичные функционалы. - В кн.: Методы вычислительной
математики. - Новосибирск: Наука, 1975.
36. V а r g а R. S . Matrix iterative analysis. -
N. У.: Prentice-Hall
Inc., Englewood Gliffs, 1962.
37. Е k s t r о m М. Р. An iterative improvement approach the nume-
rical solution of vector Toeplitz systems. -
IEEE Trans., 1974,
v. С-23, No 3, р. 320-325.
38. Л оп ш и ц А. М. Экстремальная теорема ннтерэллипсоида и ее
применение к решению системы линейных алгебраических урав
нений. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. -
М.: МГУ, 1956, вып. 9.
_
39.Нuаng Т.S., В аrkеrD.А.,Веrgеr S.Р.Iterativeimage
restoration. - Appl. Opt., 1975, v. 14, No 5, р. 1165-1168.
40.Jаnssоn Р.А.,Нunt R. Н., Р1у1еr Е. 1(. Resolution
enchancement of spectra. -
J. Opt. Soc. Ат., 1970, v. 60, No 5,
р. 596-599.
Список литературы
41. Фаддеев Д. К.) Фаддеева В.Н.Оплохообусловленных
системах линейных уравнений. -ЖВМ и МФ, 1961, т. 1, No 3,
с. 412-417.
42. Н u n t В. R. А theorc m оп the difficulty of пumerical decoп
volution. -
IEEE Trans., 1972, v. AU-20) No 3, р. 94- 95.
43. А n d r е w s Н. С. Digital image processiпg. - Computer , 1974,
v. 7, No 5, р. 36-45.
44. Ган т махе р Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967.
45. Р а о С. Р. Линейные статистические методы и их приложения :
Пер. с англ. -М. : Наука, 1968.
46.Нuаng Т. S., Nаrепdrа R. М. Imagerestoratioп Ьу siп
gular value decompositioп. - Appl . Opt.,
1975, v. 14, No 9,
р. 2213-2216.
47. А 1Ь е r t А. Regressioп апd the Moore - Penrose pseudoiпver
se. -
N. У.: Academic Press, 1972.
48. На r r i s 1. L. Image evaluatioп апd restoratioп . - J. Opt. Soc.
Ат., 1967, v. 56, No 3.
49. N а t h а п R. Image processing for electron microscopy епhапсе
mепt procedure. In.: Advaпces iп optical апd electro-optical mic-
roscopy. -
N. У.: Academic Press, 1971, v . 4.
50.Реуrоviаn М. J., Sаwсhuk А. А. Restoratioп of, noisy
Ыurred images Ьу а smoothiпg spliпe filter. -
Appl. Opt., 1977,
v. 16, No 12, р. 3147-3153.
51. Вине р Н., П эли Р. Преобразование Фурье в комплексной
области: Пер. с англ. - М.: Наука, 1964.
52. Мар к у ш ев и ч А. В. Теория аналитических функций. - М.:
Наука, 1965.
53. Н ;i r r i s 1. L . Diffractioп and resolving power. -
J. Opt. Soc.
Am., 1964, v. 54, No 7, р. 931-936.
54. В а r n е s С. W. Object restoration iп а diffraction limited ima-
ging system. -
J . Opt. Soc. Am.) 1966, v. 56, No 5, р. 575-578.
55. F r i е d е n В. R. Baпd-unlimited reconstruction of optical objects
and spectra. -
J. Opt. Soc. Am., 1967, v. 57, No 8.
56. R i n о С. 1. Band-uпlimited image restora tion Ьу line ar mean-
square estimatioп. - J . Opt. Soc. Am.,
1969, v. 59, No 5,
р. 547-553.
57. Т и хо н о в А. Н. Об устойчивости обратных задач. - ДАН
СССР, 1943, т. 39, вып. 5.
58. Марчук Г. И. О постановке некоторых обратных задач. -
ДАН СССР, 1964, т. 156, вып. 3.
59. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого
рода. - ДАН СССР, 11959, т. 127, вып. 1.
60. И в а н о в В. К. О линейных некорректных задачах. - ДАН
СССР, 1962, т. 145, вып. 2.
61. Р h i 11 i р s D. L. А technique for the numerical solution of cer-
tain integral equations of thc first kind. -
J. Assoc. Сотр. Mach.,
1962,v.9,No1.
62. Лат те с Р., Лион с Ж. Л. Метод квазиобращения и его
при:Ложения: Пер. с англ.- М.: Мир, 1970.
63. Ж у к о в с к и й Е. Л. Статистическая регуляризация алгебран
ческих систем уравнений. -ЖВМ и МФ, 1972, т. 12, No 1.
•
•
•
•
\
•
1
•
"
.
266
Список .литературы
64.Лаврентьев М.М.,Васильев В. Г.Опостановкенеко
торых некорректных задач математической физики. - Сиб. ма
тем. журн., 1966, т. 7, No 3.
65. Тих он о в А. Н. О регуляризации некорректно поставленных
задач. -ДАН СССР, 1963, т. 153, вып. 1.
66. Тих он о в А. Н. О решении некорректно поставленных за
дач. - ДАН СССР, 1963, т. 153. вып. 3.
67. Ваrаkаt R., В1асkmаn Е. Application of Tichonov regu-
larization algorithm to object restoratioп. - Opt. Commun., 1973,
v. 9, No 3, р. 252-256.
68. Н u n t В. R. The application of constrained least square esti-
matioп to image restoration Ьу digita1 computer. -
IEEE Trans.,
1973, v. С-22, No 9, р. 805-812.
69. Т w о m е у S. On the numerical so1ution of Fredholm integral
equatioп of first kind Ьу the inversion of the Iinear system pro-
duced Ьу quadrature. -
J. Assoc. Сотр. Mach., 1963, v. 10, No 1,
-
р. 97-101.
70.Арсенин В. Я., Савелова Т. И. О применении метода
регуляризации к интегральным уравнениям первого рода типа
свертки. -ЖВМ и МФ, 1969, т. 2, No 6.
71. Иольшаков И.А., Гуткин Л. С.,Левин Б. Р.,Стра
т он о в и ч Р. Л. Математические основы современной радио
электроники. - М.: Сов. радио, 1968, вып. 2, с. 34. -
(Б-ка «Со
временная радиоэлектроника») .
72. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его при
ложения: Пер. с англ. - М.: Мир, 1971.
73. Н е1s t r о m С. W. lmage restoration Ьу the method of least
squares. -
J. Opt. Soc. Am., 1967, v. 57, No 3, р. 297-303.
74. Оп пен гейм, Шефе р, Ст о к х э м Т. мл. Нелинейная филь
трация сигналов, представленных в виде произведения и сверт
ки. -ТИИЭР, 1968, т. 56, No 8.
75. Го ~'1 д Б., Р эй дер Ч. Цифровая обработка сигналов: Пер.
с англ. - М.: Сов. радио, 1973.
76. S 1е р i а n D. Linear least-square filtering of distorsed ima-
ges. -
J. Opt. Soc. Am., 1967, v. 57, No 7, р. 918-922.
77. F а 1с оп е r D. G. Image enhancement and film-grain пoise. --
Optica Acta, 1970, v. 17, No 9, р. 693-705.
78. Лев ин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотел
ники. -М.: Сов. радио, 1968, -Т. 2.
79. Де Гр о от. Оптимальные статистические решения: Пер.
с англ. - М.: Мир, 1974.
80. Валь д А. Последовательный анализ: Пер. с англ. - М.: Физ
матгиз, 1960.
81. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический ана
лиз: Пер. с англ.-М.: Физматгиз, 1963.
82. Д у д а Р., Х а р т П. Распознавание образов и анализ сцен:
Пер. с англ. - М.: Мир, 1976.
83. S а g е А. Р., М е 1s а 1. L. Estim3tion theory with application
to communication and control. -
N. У.: McGraw-HШ Book Со.,
1971.
84. Хан т Б. Цифровая обработка изображений. -ТИИЭРt 1975r
т.63,No4.
.
•
•
'
-
1.
Список литературы
261
85. Савелова Т. И. О решении уравнений типа свертки с не
точно заданным ядром методом регуляризации. - ЖВМ и МФ,
1972, т. 12, No l.
86. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке
АЛГОЛ: Линейная алгебра.- М.: Машиностроение, 1976.
87. Т ь юар с он Р. Разреженные матрицы. - М.: Мир, 1977.
88.Василенко Г. И., Грибкова В. М., Моисеев Л. Ф.
Алгоритмы улучшения качества изображений.- В кн.: Методы
дешифрирования природных объектов по их многозональным
изображениям. - Л.: Гидрометеоиздат, 1976.
89.Василенко Г. И., Тройников А. И., Люшин
с к а я Е. 1(. О возможности улучшения качества изображений
голографическими методами.- В кн.: Методы дешифрирования
природных объектов по их многозональным изображениям. -
Л.: Гидрометеоиздат, 1976.
90. 3 в е р е в В. А. Радиооптика. - М.: Сов. радио, 1975.
91. Борн М., В о ль ф Э. Основы оптики. Пер. с англ. -М.:
Наука, 1970.
92. П а п ул и с А. Теория систем и преобразований в оптике. Пер.
с англ. - М.: Мир, 1971.
93. Vаndеr Lugt А. Operatioпal notatioп for the aпalysis and
synthesis of optical data-processiпg systems. -
Proc. IEEE, 1966,
v.54,No8.
94. 1( он д р ат е н к о в Г. С. Обработка информации когерентными
оптическими системами. - М. : Сов. радио, 1972.
95. П р е с т о н 1(. Когерентные оптические вычислительные маши
ны: Пер. с англ.- М.: Мир, 1974.
96.Маrесhа1 А" Сrоsе Р. А filter of spatial frequencies for
the improvement of the contra st of optica l images. -
Comptes
Reпdus, 1953, No 237, р. 607.
97. 1( о с аре в А. И., С о к о лов В. К. Пространственно-времен
ные модуляторы света. - Зарубежная радиоэлектроника, 197-1,
No 8, с. 59-80.
98. А. с. 3 8 6 3 6 7. Пространственный модулятор света/ Г. И. Ва
силенко, Е. П. Палагин, А. С. Прибыловский, и др. - Опубл.
в БИ, 1973, No 26.
99. А. с. 4 8 4 4 7 9. Многоканальный ультразвуковой модулятор/
Б. Я. Алексеев, Г. И. Василенко, А. С. Прибыловский. - Опубл.
в БИ, 1975, .No 34.
100. А. с. 5 6 6 9 2 6. Оптический замок/ Г. И. Василенко, Т. С. Ва
хидов, Н. А. Лапшина и др . - Опубл. в БИ, 1977, No 28.
101. L ее Т. С., G о s s е п D. Geпeralized Fourier-traпsform holo-
graphy апd its applicatioпs . - Appl. Opt.,
1971, v. 10, No 4,
р. 961-962.
102. Гибин И. С., Нежевенко Е. С., Пота тур к ин О. И.,
Тверд ох л е б П. Е. l(огерентно-оптические устройства для
обобщенного спектрального анализа изображений. - Автомет
рия, 1972, No 5.
103. Р у б ц о в И. Н. Возможности и ограничения методов изготов
ления фотошаблонов в фотолитографии.- В кн.: Фотолитогра
фия и оптика/ Под ред. Я. А. Федотова, Г. Поля. -М..: Сов.
радио, 1974.
268
Список литературы
104. S m i t h Н. М. Photo-relief images. - J. Opt. Soc. Ат . , 1968,
v.58,No4,р.533.
105. Т s н j i и с h i 1. Corrections of optical images Ьу compensation
of abberations and Ьу spatial frequency filtering. -
In: Progress
in optics, 1963, v. 2.
- 106. К о лье р Р., Бур к ха рт К" Лин Л. Оптическая гологра
фия. - М.: Мир, 1973.
107. V а n d е r L u g t А. Signal detection Ьу complex spatial filte-
ring. -
IEEE Traпs., 1964, IT-10, No 4, р. 139-145.
108. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. - М.: Мир, 1970.
109. Strоkе G. W., Zесh R. G. А posteriory image-correcting
«deconvolution» Ьу holographic Fourier-transform division. -
Phys. Lett., 1967, v. 25А, No 2, р. 89.
110. Строук Дж., Халиуа М., Тон Ф., Виллаш Д. Улуч
шение качества и восстановление трехмерных изображений го
лографическими методами. - ТИИЭР, 1977, т. 65, No 1.
111.Strоkе G. W., Н а1iоuа М.А new methodfor rapidreali-
sation of the high-resolution extended-range ho1ographic image
dcЫuvring filter. -
Phys. Lett., 1972, v. 39А, No 4.
112. Strоkе G. W., Н а1iоuа М. Iшage improvement iпhigl1re-
solution electron microscopy with coherent illumination using 110-
lographic image deЫurring deconvolution. -
Optik, 1972, v. 35,
No1.
113. Strоkе G. W. Optical computing. -
IEEE Spectrum, 1972,
v. 12, р. 24-41.
114.Strоkе G.W., Тsujiuсhi 1.Optical mcthodsofimagede-
Ыurring. - Iп: Applications of holography- N . У.: P1enum Press,
1971.
115. К r u s о s G. А. Restoration of radiological images Ьу optical
spatial filtering. -
Opt. Eng., 1974, v. 13, No 3.
116.Тsujiuсhi 1., Но пdа Т., Fukауа Т. Image restoration
Ьу holography. -
Opt. Commun., 1970, v. 1, No 8, р. 379.
117. Федор о в Б. Ф., Эль м ан Р. И. Цифровая голография. -
М.: Наука, 1976.
118. Круг В., Вей де Г. Г. Применение научной фотографии:
Пер. с нем.- М.: Мир, 1975.
119.Мiпеmоtо Т., Suеmоtо У., Fujitа S. Holographicde-
Ыurring filter made with flying spot scanner exposure device. -
Jap. J . Appl. Phys" 1974, v. 13, No 6, р. 975-983.
-120. Василенко Г. И., Нежевенко Е. С., Мануиль
с к и й А. Д. Оптимальное голографическое восстановление ка
чества изображений. - Автометрия, 1975, No 3.
121. С о р о к о Л. М. Основы голографии и когерентной оптики. -
-
М.: Наука, 1971, с. 351.
122. Rоgnа rssоn S. I. А new l10lographic method of generating
а high effeciency, extended. range spatial _filter 'Yith app1icatioп
to restoration of defocused images. -
Phys1ca Scпpta, 1970, v. 2,
No4-5.
123. JаЫопоwski D. Р., Lее S. Н. А coherent of.tical feedback
system for optical information proccssing. -
Арр . Phys., 1975,
v. 8, р. 51-58.
Список литературы
269
12.f.. Нежевенко Е. С., Сnектор Б. И. Оптическое нелинейное
преобразование изображений. - Автометрия, 1975, No 3.
125. Не же вен к о Е. С., Спек тор Б. И. Аффинные преобразо·
вания изображений в оптических системах с обратной связью. -
Автометрия, 1976, No 6.
126. На g l е r М. D. Active synthesis of iпverse spatial filters. -
Appl. Opt., 1971, v. 10, No 2, р. 2783-2784.
127. 1(оt1iаr Р. Е., Nеzhеvеnkо Е. S.,
Sресtоr В. 1.•
F е 1d Ь u s h V. 1. Optical processing in the feedback systems. -
In: Proc. of the 2-nd Soviet-American seminзr on optical proces·
sing. Plenum Press, 1976.
128.Dе Sаntis, Gоri F., Guаttаri G., Р аlmа С.Optical
systems with feedback. -
Optica Acta, 1976, v. 23, No 7,
р. 505-518.
129. Н а s а n J. Les application de Titus et de Phototitus traitment
dimages et d~ donneas. - Acta Electr., 1975, v. 18, No 3.
130.Nisеnsоn Р., 1wаsа S. Real time optical processing in
PROM. - Appl . Opt., 1972, v. 11, No 12.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм Холецкого 167
Аппроксимация Фраунгофера
175
-
Ф.ренеля 1174
Задача восстановления сигна-
ла 13
-
<>братная 19
-
поставленная некорректно 19
Коррелятор оптическ11й дифрак
ционный 197
Комплекс оптико-электронный
вычислительный 256
1\\атрица л~нточнац 58
-
псевдообратная 67
-
редкая 57
Метод алгебраический 53
-
-
11·теращюнный 60, 61
-
исключения Гаусса 55
-
итерашюнный 43
-
макси1м.аль·ноrо правдоподо-
бия 126
-
наименьших квадратов 96,
97
-
неопределенных
коэффй-
циентов 34- 37
-
проекций 61
-
регуляризации А. Н. Тихо-
нова 89
Норма матрицы 63, 64
Оператор регуляризирующ'Ий
89
Оценка байесова 124
-
по макс-имуму апостериор
ной вероятности 125
-
-
-
функции правдопо-
добия 126
-
-
м1шимуму абсолютного
значения QШибки 125
-
-
-
средней к.вадратиче-
<:к.ой ошибки 125
Преобразование Фурье быстрое
(БПФ) 162
-
-
дискретное (ДПФ) 160
-
масштабное 178
Пропускание голограммы 204,
Q05
Решение байесово 124
-
·регуляризация 88
Роск средпнй 124
-
условный •124
Свертка, ассоциативность 16
-
коммутатооность 15, 16
-
Фурье-образ 1б
Свойство суперпоз·иции сигна
лов 9
Система линейная 9
-
-
однородная (стационар
ная) 15
-
нелинейная 9, 1О
-
оптическая с обратной
связью 233
-
физ~ическая нереализуе.мая
1136
Стабилнзатор задачи 91
Трансшiрант 173, 174
-
дина1мический 193
Уравнение .матричное нормаль-
ное 55
-
основ·ное интегральное 13, 14
-
-
операторное 13, 14
Условие фокусировки 181
Ф:ильтр восста)}!авли.вающий 70
-
rолографическ1Нй 202
-
-
·инверсный 71
-
-
-
двухкомпонентный
1211., 215
-
-
-
трехкомпонентный 219
-
-
оптимальный 223
Функционал стабилизирующий
89
Функuия весовая 12
-
·передаточная 22
-
ПО1'~рь 122
-
сфероидальная
волновая
(СВФ) 84-86
Фурье-анализатор оптический
1182, 183
Числа сингулярные 65
Число обусловленности 6'4-
огллвл-ЕниЕ
Предисловие . .
Список обозначений
'
1
-3
7
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
g
ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
1.1. Основное интегральное ура"Внение .
.
.
.
9
J.2 . Восста1iовление сигналов -как обратная задача
19
1.3. Аппроксимати.вные меiоды .
32
1.4 . Итерационные методы
.
43
J.5. Алrебраическ~ие методы
53
1.6 . Борьба с помехами при восстановлении сиг-
0налов.......
_
69
1.7 . Аналитическое продолжение спектра
81
2
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ПРИ вое-
88
СТАНОВЛЕНИИ СИГНАЛОВ
2.1 . Метод регуляризации А. Н. Тихонова
88
2.2 . Регуляризация решения уравнения типа
свертки . .
.
.
;100
2.3 . Оптимальная линейная фильтрация
1
109
2.4 . Статистическая регуляризация решепия
.
121
2.5 . Средние квадратические ошибки восстановле-
ния.......
.
.
.
.
1136
2.6 . Моделирование методов вооста1iовления сиг-
налов на ЭВМ .
148
2.7. Вычислительные аспекты восстановления -сиг-
налов
161
3
ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ МЕТО-
ДАМИ ОПТИЧЕСl(О.й ОБРАБОТl(И ИН-
173
ФОРМАЦИИ
3.1 . Теория эле.ментарного оптического sычи<:ли-
телыюго устройства
.
.
.
173
3.2. Оптические уi:тройства для восстановления
сигналов . .
.
.
187
3.3 . Голографическая фильтрация сигналов
200
3.4 . Голографические методы реализации инвер-с-
ного восстана·вливающего фильтра
.
209
3.5. Синтез оптимальных голографических филь-
тров....
223
3.6 . Восстановление сигналов в оптических систе-
мах с обратной свя;3ЬЮ .
232
Послесловие
250
Список литературы .
263
Предметный указатель
270
ИБ No 495-
ГЕОРГИй ИВАНОВИЧ ВАСИЛЕНКО
ТЕОРИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
О редукции к идеальному прибору
в физике и технике
Редактор И. К. J(апинина Художествен-ный · редактор А. И.
Художник С. Н. Орпов Технический редактор И. в. Орпова
l(орректор Л. А. Ма.~;симова
Аптуиин
Сдано в набор 12. 10.78.
Формат 84 Х 108/st
Гарнитура w'ШТерат.
Объем 14,28 усл. л.
Тираж 5500 экз .
Подппсано в печать 02.02.79.
Т·ОЗ712
Бумага типографская No 1.
Печать высокая.
13,75 уч.-пзд . п.
Зак. 866
Цена2р.40к.
Издательство «Советское радио:., Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография No 10 «Союзполиграфпр~ома» Государственного
Комитета СССР по депам издательств, попиграфни и книжной тор
l'Овли. Москва. М-114, Шлюзовая наб., 10.
ИБ No 495-
ГЕОРГИй ИВАНОВИЧ ВАСИЛЕНКО
ТЕОРИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
О редукции к идеальному прибору
в физике и технике
Редактор И. К. J(апинина Художествен-ный · редактор А. И.
Художник С. Н. Орпов Технический редактор И. в. Орпова
l(орректор Л. А. Ма.~;симова
Аптуиин
Сдано в набор 12. 10.78.
Формат 84 Х 108/st
Гарнитура w'ШТерат.
Объем 14,28 усл. л.
Тираж 5500 экз .
Подппсано в печать 02.02.79.
Т·ОЗ712
Бумага типографская No 1.
Печать высокая.
13,75 уч.-пзд . п.
Зак. 866
Цена2р.40к.
Издательство «Советское радио:., Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография No 10 «Союзполиграфпр~ома» Государственного
Комитета СССР по депам издательств, попиграфни и книжной тор
l'Овли. Москва. М-114, Шлюзовая наб., 10.
..
2р.40к.
\
/
/
1
\
1
•
Автор монографии доктор
техн и ческ и х наук ГЕОРГИ й
ИВАНОВИЧ ВАСИЛЕНКО из-
nестен своими исс ледова ни ями
и изобретения ми в области
техн и чес кой кибе рнетики, ра-
,..;иооптики и голографии. Его
основн ые научные труды отно
сятся к автоматической обра
ботке с иг налов и опоз н аванию
образов.
Предыдущая работа Г. И.
Василенко «Голографич еское
опознавание образов», опуб
ликованн ая издательством «Со
ветское радио» в 1977 г., по
лучила признание у читателей.