/
Author: Белов В.Н.
Tags: игры развитие интеллекта развитие памяти саморазвитие увлекательная литература
Year: 1987
Text
ИГРА?
ИГРА!
ЛЕНИЗДАТ . 1987
22.18
И27
Рецензент В. А. Садовский
Составитель
кандидат физико-математических наук
В. Н. Белов
ы 1501000000—048 107 й7
И М171(03)-87" '27~87
© Лениздат, 1987
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Успешное решение задач коммунистического строительства, созда-
ние коммунистических отношений тесно связаны не только с улучше-
нием всех сторон жизни советского народа, повышением его благо-
состояния и культуры, но и с рациональным, разумно спланированным
использованием свободного времени. Коммунистическая партия и Со-
ветское правительство уделяет этой проблеме серьезное внимание.
Особенно остро она была поставлена на июньском (1983 г.) и апрель-
ском (1985 г.) Пленумах ЦК КПСС, а также на XXVII съезде
партии.
Два выходных дня в неделю дают возможность полноценно отдохнуть
каждому советскому человеку. Полнокровный отдых — гарантия высоко-
производительного труда, залог плодотворной учебы и работы.
В организации отдыха немалая роль отводится интеллектуальным
играм, хитроумным задачам и головоломкам. Но игры — это не только
развлечение. Они делают досуг содержательным, учат творчеству,
умению ориентироваться в сложных ситуациях, развивают ум, волю,
терпение и быстроту реакции.
В нашей стране начата реформа общеобразовательной и профессио-
нальной школ, выдвинута задача перестройки высшего и среднего
специального образования. Поставлена задача достижения всеобщей
компьютерной грамотности, более глубокого изучения учащимися научных
основ современного производства, ведущих направлений его интенси-
фикации. В повышении эффективности обучения, воспитании творческого
отношения к труду важная роль принадлежит интеллектуальным играм,
играм с ЭВМ. Психологи утверждают, что учебный процесс наиболее
эффективен, если он облечен в игровую форму, живо и доходчиво орга-
низован. Сегодня игра становится все более неотъемлемой частью школь-
ных предметов. Более того, деловые игры используются при подготовке
специалистов во многих высших учебных заведениях.
Игра — одно из древнейших культурных проявлений человеческого
разума. К третьему тысячелетию до нашей эры относится рисунок, за-
печатлевший египетского фараона за игрой в шашки. Тем же периодом
датируются игральный кубик, найденный археологами в Центральной
Америке, и каменная юла, обнаруженная при раскопках легендарной
Трои.
Не случайно этот сборник игр издан в Ленинграде. В нашем городе,
являющемся крупным культурным и интеллектуальным центром, издавна
сложился интерес к игре во всех ее проявлениях, будь то игра
мысли или игра в буквальном смысле слова. В Ленинграде жил замеча-
тельный популяризатор науки и игр Я. И. Перельман, создавший
до Великой Отечественной войны Дом занимательной науки. Опыт его
работы широко используется и сейчас. В Институте физической куль-
туры имени П. Ф. Лесгафта активно действует единственный в стране
народный университет спортивно-логических игр. Организован город-
ской клуб любителей игры, ведущий широкую пропаганду интел-
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
лектуальных игр. Ленинградцы наладили выпуск знаменитого вен-
герского кубика.
В последние годы все явственнее ощущается недостаток литера-
туры, посвященной популярным играм, головоломкам и занимательным
задачам. Публикации на эти темы немногочисленны и в основном
разбросаны по страницам газет и журналов. Отвечая назревшей по-
требности, Лениздат осуществляет выпуск настоящего сборника. В нем
собраны как старые, так и новые интеллектуальные игры. Полностью
отсутствуют загадки, кроссворды, шарады, ребусы, криптограммы и
другие игры со словами. К минимуму сведены математические развле-
чения — от читателей не требуется какой-либо специальной матема-
тической подготовки. Все приведенные в книге игры просты, доступ-
ны для понимания. Вместе с тем они развивают умение логически
мыслить, учат воспринимать и классифицировать сложные простран-
ственные конфигурации, ориентироваться в быстро меняющейся обста-
новке.
Сборник состоит из двух частей: комбинационные игры и конфи-
гурационные игры. К комбинационным отнесены игры и головоломки,
элементы которых могут менять взаимное положение в процессе игры,
но при этом внешняя форма игровых устройств не изменяется, а так-
же игры на специальным образом разграфленных досках, по которым
перемещаются игровые фишки. Конфигурационные игры характеризуются
изменением формы игровых устройств при игре. Представляется неце-
лесообразным деление игр на чисто логические (шашки, шахматы,
игра го, реверси и т. п.) и игры-головоломки (венгерский кубик,
молдавская пирамидка, кубики сома, шнурковые головоломки и т. п.),
так как все они объединяются одним существенным признаком: будучи
играми интеллектуальными, они требуют умения сосредоточиться,
провести необходимый логический анализ игровой ситуации, наметить
пути достижения цели и реализовать их. Использованное в сборнике
деление игр на два больших класса относится не столько к процессу
игры, сколько к объемным свойствам самих игр, как предметов окру-
жающей нас действительности. Под принятую классификацию подпадают
все интеллектуальные игры в пространстве.
Кроме игр, рассчитанных на одного человека, в сборнике содер-
жатся игры для нескольких партнеров. Игры различны по сложности и
содержанию, поэтому они будут интересны как взрослым, так и детям,
включая самых маленьких.
Ко всем играм, требующим изготовления, в сборнике даны подроб-
ные пояснения, чертежи, эскизы. Изготовив игры и сыграв в них,
читатели, возможно, в дальнейшем и сами придумают интересные игры
и головоломки. Сборник освещает направления развития современных
объемных игр, он может служить пособием для изобретателей.
Авторский коллектив сборника ждет советов, пожеланий, новых тем.
Свои отзывы присылайте по адресу: 191023, Ленинград, Фонтанка, 59,
Лениздат.
КОМБИНАЦИОННЫЕ
ИГРЫ
64 — НЕ ТОЛЬКО ШАХМАТЫ
ВЕНГЕРСКИЙ КУБИК
И МОЛДАВСКАЯ ПИРАМИДКА
(по страницам книг и журналов)
ЭТЮД О РУБИКЕ
НЕОБЪЯТНЫЙ
ТАИНСТВЕННЫЙ МАТЕРИК — ШАШКИ
ИГРАЕМ В КВАДРАТЫ
ИГРЫ С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ
«ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-34»
С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ ПРОТИВ
БОЛЬШОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЧИСЛАМИ
6
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Ю. П. Филатов
64 — НЕ ТОЛЬКО ШАХМАТЫ
Число 64 приобрело особую известность, перешагнувшую гра-
ницы чистой арифметики. О другом числе — 361 — известно не-
сравненно меньше. Однако оба они связаны с двумя великими иг-
рами: одно — с шахматами, в которых игровая доска состоит из
64 клеток, другое — с игрой го, где используется 361 игровой пункт.
Если шахматы можно сравнивать с феерическим театрализован-
ным действом, то го сродни математической абстракции. Обе иг-
ры не получили бы широкого распространения, не будь они пол-
ны глубоких ассоциаций с проблемами, волнующими современ-
ного человека.
Вместе с тем эти игры существенно отличны по своим прин-
ципам. Шахматы наполнены разнообразными свойствами игро-
вых фигур, которые, сочетаясь, прекрасно укладываются в квад-
рат из 64 клеток. В го все камни (игровые фишки) одинаковы по
своим свойствам, поэтому для игры доски 8X8 явно не хватает —
на шахматной доске го теряет всякий смысл. Но всегда ли при
тождественности игровых фишек требуется большое игровое по-
ле? Нет! Самыми скромными средствами, например в русских
шашках, можно достичь множества увлекательных игровых ком-
бинаций. Возможны и другие игры, подходящие тем из вас, кому
шахматы или го покажутся утомительными.
Предлагаем три игры на шахматной доске 8X8. Если вы изго-
товите доску сами, клетки ее можно не раскрашивать. Играют
вдвоем, ходы выполняют по очереди белыми и черными фиш-
ками. За ход передвигается только одна фишка.
Игра «Квадраты». В начале игры у каждого игрока по 32
фишки, на доске фишек нет. Игроки ставят фишки на любые
незанятые клетки доски, не передвигая и не снимая их затем
в течение всей партии. Цель игры — из фишек составить на
доске квадраты своего цвета. Поставив фишку в последнюю,
четвертую вершину квадрата, игрок объявляет об этом и заби-
рает у противника фишки, количество которых равно цене квад-
рата.
Цена квадрата определяется числом крестиков (рис. 1), то
есть кратчайшим горизонтальным путем между парой фишек
в близлежащих вершинах квадрата. Рядом с фишками, обра-
зующими квадрат, могут стоять любые другие фишки — это не
влияет на его цену. Важно только, чтобы в момент объявления
квадрата четыре фишки одного цвета стояли в вершинах. Фиш-
ка может входить в несколько квадратов одновременно. В таком
случае объявляют все квадраты, а цены их складывают. Если
игрок составил квадрат, но не объявил его («прозевал»), цена
64 — НЕ ТОЛЬКО ШАХМАТЫ
7
Рис. 1. Цена различных квадра-
тов в игре «Квадраты».
этого квадрата не учитывается. Запрещается отказываться от
хода. Тот игрок, фишки которого кончатся раньше, проигрывает.
Типичным приемом игры является «вилка», то есть угроза ис-
пользовать очередную фишку в двух разных квадратах. От вилки
полностью защититься невозможно, и надо позволить против-
нику составить тот квадрат, цена которого меньше. В игре можно
использовать серию угроз закончить квадрат и выполнить в кон-
це серии вилку. Вместо защиты можно ответить более сильной
(по цене квадрата) угрозой или, делая «тихие» ходы, атаковать
позже. В начале партии не рекомендуется создавать как можно
больше мелких квадратов, не стоит также делать легко пари-
руемые угрозы. Умеренная тактика позволяет расставить фишки
по всей доске и не пропустить нужного момента для атаки.
Игроку надо научиться выискивать возможности создания
квадратов. Эта задача достаточно трудная, особенно если квад-
раты повернуты относительно вертикалей и горизонталей.
На рис. 2 приведена примерная партия игры «Квадраты».
Цифрами обозначены ходы. Ходам «белых» соответствуют нечет-
ные цифры, ходам «черных» — четные. Кратко поясним сущест-
венные моменты партии, указывая в скобках после номера хода
цену образованных квадратов. Обратимся сразу к середине пар-
тии. Мы видим, что в начале игры «черные» составляют квад-
раты с малой ценой, в то время как «белые» позиционными
8
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
23 6 7
17 29 3 13 21
Ю 20 14 8 15 32
28
27 2 12 4
1 26 25
24 31 22 9 16 33 5
18 19 34 11 30
Рис. 3. Начальная позиция игры
«Стыковка».
Рис. 2. Запись примерной пар-
тии в игре «Квадраты».
Рис. 4. Варианты стыковки.
Рис. 5. Перемещения фишки в
игре «Стыковка».
Рис. 7. Авария в игре «Сты-
ковка».
стыковки.
Рис. 6. Окончание
64 — НЕ ТОЛЬКО ШАХМАТЫ
9
ходами готовят решающую атаку. Два хода: 10 (1), 14 (1) —
неудачны, цена квадратов невелика. Ходами 19 (5), 25 (4)
«белые» получают заведомое преимущество в 7 фишек. После
размена — 33 (4), 34 (4) —у «черных» кончаются фишки, зна-
чит, они проиграли.
Игра «Стыковка». Представьте себе, что в космосе осущест-
вляют взаимный поиск корабли двух экспедиций. В каждой
экспедиции — восемь кораблей (рис. 3). Выигрывает тот, кто
состыкуется первым. Способы стыковки различны (рис. 4). При
выполненной стыковке любой фишкой можно достичь другую
фишку, не двигаясь по диагоналям клеток.
Все фишки ходят одинаково, длина хода, то есть количест-
во клеток, на которое передвигают фишку, определяется с уче-
том расположения соседних фишек. На рис. 5 показано, что
белая фишка может двигаться в восьми направлениях, как шах-
матный ферзь. Длина ее хода точно равна количеству фишек,
находящихся в данном направлении, включая и саму фишку. На-
пример, по горизонтали вправо и по диагонали влево вверх
можно сделать ход длиной в три клетки. По вертикали вниз
фишка может идти на две клетки, а по вертикали вверх — толь-
ко на одну. В конце хода нельзя становиться на клетку, заня-
тую своей (в нашем случае — белой) фишкой. Нельзя перепры-
гивать через любую фишку противника, однако в конце хода
(только в конце!) можно занять ее место, если у фишки против-
ника свободна диагональ длиной не менее четырех клеток, по
которой она и перемещается, как это показано пунктиром на
рис. 5. В противном случае ход белой фишки в данном направ-
лении запрещен.
На рис. 6 приведено несколько возможных способов оконча-
ния стыковки. Экспедиции не враждуют друг с другом и не бьют
чужие фишки. Но, как и в реальности, может произойти авария,
если игрок будет удерживать одну из своих фишек в группе фи-
шек противника, мешая им. На рис. 7 белая фишка ходом
по стрелке запирает блокированную с трех сторон черную фишку,
которая терпит аварию, в результате «черные» проигрывают.
Во избежание проигрыша следовало бы заранее отвести черную
фишку.
Игра «Отражение». На рис. 8 изображена начальная позиция
игры.
При игре фишки ходят на произвольное количество кле-
ток по вертикали и по горизонтали, как шахматные ладьи.
Цель игры — сбить фишку противника. Запрещается ставить
фишку на одну вертикаль или горизонталь с фишкой противника.
На рис. 9 показано, каким образом фишка бьет: она как бы уда-
ряется о край игрового поля и отскакивает по любому из диаго-
нальных направлений, поражая фишку противника, если та ока-
залась на ее пути, обозначенном пунктиром.
10
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 8. Начальная позиция игры
«Отражение».
Рис. 9. Зона поражения одной
игровой фишкой.
Рис. 10. Эпизод игры «Отраже-
ние».
На рис. 10 приведен эпизод игры «Отражение». Ход «черных».
Белые создали вилку, угрожая сбить черные фишки ходом 1
или 2. Однако «черные» бьют левую фишку «белых» ходом 3
и выигрывают партию.
Итак, вы познакомились с тремя играми на шахматной доске.
Вряд ли мы исчерпали возможности 64 клеток! Может быть,
вы придумаете какие-то другие игры?
В. Н. Николаев
ВЕНГЕРСКИЙ КУБИК
И МОЛДАВСКАЯ ПИРАМИДКА
(по страницам книг и журналов)
Вряд ли есть необходимость пояснять читателям, что пред-
ставляют собой игрушки, о которых пойдет речь. Почти каждый
видел, держал в руках, а может быть, и имеет венгерский ку-
бик или молдавскую пирамидку. Эти игрушки незаметно и, оче-
видно, надолго вошли в наш быт. Мы уже не удивляемся, когда
в метро, в автобусах, в поезде дальнего следования, в фойе кино-
ВЕНГЕРСКИМ КУБИК И МОЛДАВСКАЯ ПИРАМИДКА
11
театра встречаем людей с разноцветными кубиками и пирамид-
ками в руках.
Но вспомним начало восьмидесятых годов. Оно ознаменова-
лось необычным увлечением раскрашенным кубиком. Эпидемия
кубикомании охватила все европейские страны, Японию, США,
Австралию. Английские газеты писали о распаде семьи, причиной
которого явился конфликт на почве разрешения головоломки.
Одна поклонница новой игры попала в больницу: ее пальцы были
травмированы беспрестанным манипулированием игрушкой. По-
пытки решить головоломку с применением ЭВМ повлекли за со-
бой злоупотребления машинным временем и электроэнергией.
В Швейцарии была даже разработана программа для микро-
калькулятора, по которой за 14 минут определялась последова-
тельность поворотов, восстанавливающих окраску граней кубика.
А французский инженер, сотрудник одной из фирм, производя-
щих промышленные роботы, запрограммировал для этих целей
робота.
Курьеза ради английские психологи дали головоломку чело-
векообразным обезьянам. Шимпанзе вначале с чрезвычайным
интересом отнеслись к ней, но затем стали беспокоиться, беспо-
койство перешло в сильное волнение, сравнимое с отчаянием.
Одна из обезьян выбросила кубик подальше от клетки, другая
пыталась его съесть, третья в злобе разломала на мелкие кусоч-
ки. Если бы только обезьяны!.. По наблюдениям английских
психиатров и невропатологов, некоторые люди, более часа без-
результатно вертевшие в руках игрушку, начинали нервничать,
злиться, люди, излишне неуравновешенные, становились агрес-
сивными, у них появлялось желание сломать кубик. К услугам
таких экспансивных людей в продажу были выпущены неболь-
шие пластмассовые топорики, предназначенные для «наказания»
строптивой игрушки. К покупке прилагалась инструкция, в ко-
торой говорилось о том, что можно сделать из деталей разло-
манного кубика.
«Пожар» кубикомании раздувала хорошо поставленная ком-
мерческая реклама. Вопреки здравому смыслу кое-кто пытался
наделить разноцветный пластмассовый куб мистической силой,
возвести его в культ новой религии, а в иллюзорных многокра-
сочных комбинациях найти сокровенное содержание.
Немного истории
Так ли уж сложна головоломка, связанная с венгерским куби-
ком, как принято было считать? Действительно ли она уникальна
по своей природе? Оказывается, нет! Полистав страницы па-
тентной литературы, можно отыскать не менее двух десятков раз-
личных вариантов механизма игрушки. Некоторые из них изобре-
тены в нашей стране. Слесарь-механик из Ленинграда Б. А. Ка-
12
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
ретников построил принципиально новый, «ленинградский» ку-
бик. Не так давно конструкцию кубика предложил свердловский
школьник Сергей Макаров.
История кубика восходит к началу века. Преподаватель ма-
тематики Принстонского университета (США) Чарлз Г. Хинтон,
изучая возможности построения пространственных моделей че-
тырехмерных объектов, исследовал простейшую геометрическую
фигуру — четырехмерный куб. Результаты исследования он опу-
бликовал в 1904 году в книге «Четвертое измерение», показав
в ней, что наиболее удачно свойства четырехмерного куба пере-
дает конструкция обычного куба, состоящего из 27 разноцвет-
ных кубиков, которые соединены между собой так, что могут
взаимно перемещаться. Несколько глав книги посвящено свой-
ствам и конструкции куба, представляющего собой не что иное,
как венгерский кубик. В своей книге Хинтон утверждал, что
действующую модель кубика может сделать каждый.
Недавно были найдены воспоминания французского чинов-
ника, из которых стало известно, что этот чиновник, находясь
в 1920 году в Стамбуле, видел там изготовленный из дерева
кубик, которым играли с большим увлечением. Позднее, в 1935
году, он встретил эту игрушку в Марселе. Однако время стерло
память о головоломке, а единичные экземпляры ее с годами за-
терялись.
В 1972 году Уве Мефферт, немец по национальности, приду-
мал и собрал близкую к венгерскому кубику игрушку — тет-
раэдр, известный у нас под названием молдавской пирамидки
(в 1981 году независимо от Мефферта пирамидку изобрел киши-
невский инженер А. А. Ордынец). Мефферт изготовил несколько
образцов головоломки. Играя, он установил, что головоломка
успокаивает, способствует снятию нервного напряжения. Когда
интерес Мефферта к игрушке иссяк, он забыл о своем изобре-
тении, и лишь феноменальный успех венгерского кубика заста-
вил Мефферта вспомнить о пирамидке и наконец-то запатенто-
вать свою игрушку.
Эрнё Рубик, преподаватель Будапештской академии приклад-
ного искусства, в 1975 году завершил работу по созданию новой
игры. Независимо от него кубик изобрел в 1976 году владелец
небольшой механической мастерской вблизи Токио Терутоси
Исигэ. Именно эти люди способствовали всемирной славе голо-
воломки.
Путь к успеху
В чем же секрет успеха несложной комбинаторной игры, кото-
рая, словно сказочная птица феникс, то появлялась, то исчезала
из людской памяти? Причин несколько. Одна из них состоит
в том, что кубик отвечает ряду требований, имеющих сугубо
ВЕНГЕРСКИЙ КУБИК И МОЛДАВСКАЯ ПИРАМИДКА
13
человеческую природу. Он красив, изящен (к слову, его помес-
тили в постоянную экспозицию Музея современного искусства
в Нью-Йорке), невелик по размерам, его удобно держать в ру-
ках, даже простое вращение его элементов доставляет удо-
вольствие. Правила игры с кубиком чрезвычайно просты — по
сути это детская игра, которая приобщает к радости творчества,
развивает пространственное воображение. А ведь все мы родом
из детства!..
Венгерская Народная Республика сумела быстро наладить
широкое производство кубиков. За непродолжительное время,
прошедшее после изготовления Рубиком экспериментального
образца, выпущено несколько десятков миллионов кубиков.
С проектом кубика изобретатель обратился в промышленный
кооператив «Политехника», который приступал к производству
игрушек. Головоломка Рубика пришлась как нельзя кстати, и в
декабре 1977 года первая партия кубиков поступила на пред-
новогоднюю распродажу, разойдясь в считанные часы. После
этого кооператив оказался вовлеченным в соревнование с посто-
янно растущим спросом. К концу 1978 года было выпущено уже
100 тысяч игрушек. Но и этого оказалось мало. Кубики не зале-
живались на прилавках магазинов. На осенней Будапештской
международной ярмарке головоломку заметили представители
крупной американской фирмы по производству и продаже игру-
шек. На 1980 год фирма заказала миллионную партию кубиков.
Выпуск такого огромного количества продукции потребовал ко-
ренного переоборудования производства, перехода от кустарного
ручного труда к автоматизированному технологическому циклу.
Наши венгерские друзья успешно справились с новой задачей.
О кубике узнали в самых отдаленных уголках земного шара.
В 1981 году кубик оказался наиболее популярной игрой, «игрой
года», почти во всех западноевропейских странах. Мелкая ар-
тель, приступившая к его производству, превратилась в крупное
предприятие, известное под названием «Политойс». Начиная
с 1983 года предприятие ежегодно выпускает до 10 миллионов
кубиков.
Игра, спорт, развлечение
Летом 1982 года в Будапеште состоялся чемпионат мира
по скоростной сборке венгерского кубика. В нем приняли учас-
тие представители 19 стран — победители в национальных чем-
пионатах. Для решения предлагались три задания. Засчитыва-
лось лучшее время из трех попыток. Каждый участник состяза-
ния получал новый кубик фирмы «Политойс». Все кубики были
одинаково сложно запутаны 25—30 вращениями с помощью
ЭВМ. Компьютер программировался как генератор случайных
чисел и неизвестным заранее образом определял поворачиваемую
14
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
грань кубика, направление и угол поворота. До начала отсчета
времени каждому участнику соревнования давалось 15 секунд
для изучения исходной раскраски кубика и выбора пути решения.
От участников соревнования требовалось собрать кубик не более
чем за 60 секунд. Победитель чемпионата собрал кубик за 22,95
секунды. Не обошлось и без курьезов: один из претендентов
на победу в спешке сломал подряд два кубика и был дисквали-
фицирован.
Чемпионат завершился, но до сих пор не стихают споры
по поводу назначения венгерского кубика, молдавской пирамид-
ки и других подобных объемных игр. Что это — математическая
проблема, развлечение, новый вид спорта? Можно ли разреше-
ние головоломок считать логической деятельностью? С одной
стороны, выигрышные алгоритмы как бы сводят игру к простому
состязанию на ловкость и быстроту движений рук. С другой
стороны, из многих алгоритмов эффективны лишь те, которые
соответствуют данной разупорядоченности головоломки. В зада-
чу играющего входит их определение. Значит, игра требует тща-
тельного логического обдумывания игровой ситуации, нахожде-
ния наиболее рационального пути решения задачи, который в со-
четании с быстротой вращений приводит к победе.
При проведении соревнования по сборке кубика могут ста-
виться разные задачи. На чемпионате в Венгрии необходимо
было как можно быстрее решить головоломку. Но можно предло-
жить отыскать самый короткий по количеству поворотов спо-
соб сборки кубика без ограничений на время.
Что внутри!
Пожалуй, настала пора рассказать, как устроены кубик и
молдавская пирамидка, а заодно выяснить, какие в них скрыты
возможности для дальнейшего усложнения игры.
Повернем верхний слой элементов венгерского кубика на
45°. С помощью отвертки, как показано на рис. И, извлечем
один из элементов, после чего разберем всю головоломку,
не разрушая ее (сборка кубика осуществляется в обратной по-
следовательности). Мы увидим, что кубик состоит из прямоуголь-
ной трехмерной крестовины, на которой закреплены поворачи-
вающиеся элементы, находящиеся в центрах граней (рис. 12).
8 угловых элементов расположены в вершинах куба, 12 ребер-
ных элементов — в центрах ребер куба. Угловые элементы изнут-
ри имеют выступ, реберные — выступ и впадину цилиндрической
формы.
Почему же кубик не разваливается при вращениях? Особых
секретов нет. При произвольном повороте слоя элементов, со-
ставляющих, например, верхнюю грань куба, их выступы снизу
ВЕНГЕРСКИЙ КУБИК И МОЛДАВСКАЯ ПИРАМИДКА
15
Рис. 11. Разборка венгерского
кубика.
Рис. 12. Детали венгерского ку-
бика.
постоянно находятся в зацеплении с цилиндрической канав-
кой, образованной впадиной на реберных элементах и внутренней
поверхностью центральных элементов боковых граней, а сверху
поджимаются центральным элементом верхней грани. Кроме то-
го, выступы реберных элементов упираются своей прямоугольной
частью в крестовину и придают всему кубику дополнительную
прочность.
В начальном положении каждый реберный элемент кубика
закрепляется выступом за два соседних центральных эле-
мента, а каждый угловой элемент цепляется выступом за три со-
седних реберных элемента (см. рис. 12). Таким образом, все ре-
берные и угловые элементы, по существу, прикреплены только к
центральным элементам, что позволяет им свободно перемещать-
ся в пределах всего кубика, придавая головоломке на первый
взгляд физически не осуществимые свойства. Нетривиальное уст-
Рис. 13. Разрез японского ку-
бика.
16
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 15. Головоломки-доде-
каэдр, тетраэдр.
Рис. 14. Головоломиа-поизк*а.
ройство! Удивительно, что по конструкции японский кубик почти
полностью совпадает с венгерским, но для придания игрушке
большей надежности, характерной, впрочем, многим японским
изделиям, в центр ее помещен шар, а все выступы игровых
элементов изнутри имеют соответствующее сферическое усече-
ние.
Разрез японского кубика показан на рис. 13. Из-за наличия
шара разобрать японский кубик так же легко, как венгерский,
не удается.
Если срезать боковые ребра, кубик превратится в восьми-
гранную призму (рис. 14). Головоломка приобретет совершенно
иные конфигурационные свойства: с развертки куба игровые
действия переместятся в трехмерное пространство. Игра будет
очень похожа на головоломку «Причешите „ежика"» (см. статью
А. Т. Калинина «Вокруг кубика Рубика»).
Вместо куба можно применить додекаэдр, грани которого
образованы 12 пятиугольниками, или тетраэдр с гранями из
четырех треугольников (рис. 15).
Конструкционную основу додекаэдра и тетраэдра также со-
ставляет трехмерная крестовина, на которой закреплены пово-
рачивающиеся элементы, находящиеся в центрах граней. Все
остальные элементы, как и у кубика, имеют изнутри выступы
и впадины, с помощью которых они крепятся к крестовине. В от-
личие от кубика, грани которого имеют девять элементов, грань
додекаэдра состоит из одиннадцати элементов, а тетраэдра —
из семи. Понятно, что додекаэдр — наиболее сложная голово-
ломка.
ВЕНГЕРСКИЙ КУБИК И МОЛДАВСКАЯ ПИРАМИДКА
17
Пора рассказать и о молдавской пирамидке (рис. 16). В отли-
чие от тетраэдра, она не имеет элементов в центрах граней. Будь
пирамидка устроена наподобие кубика, она непременно рассы-
палась бы. Но этого не происходит. Почему? Пирамидка состоит
из шести реберных элементов, находящихся в центрах ребер, че-
тырех угловых элементов, расположенных в вершинах пира-
мидки, и четырех примыкающих к ним привершинных элементов.
На рис. 17 показаны все детали пирамидки. Основой ее является
трехмерная крестовина, но ее стержни направлены не к центрам
граней, а к вершинам пирамидки. На крестовине закреплены
поворачивающиеся угловые элементы. Стержни крестовины про-
ходят насквозь через привершинные элементы, которые могут по-
ворачиваться на стержнях. Реберные элементы имеют изнутри
цилиндрические выступы, находящиеся постоянно в зацеплении
с цилиндрическими впадинами привершинных элементов, тем са-
мым реберные элементы фиксируются при вращениях пирамидки.
Более сложной разновидностью пирамидки является октаэдр,
грани которого состоят из восьми треугольников (рис. 18). Внут-
Рис. 16. Молдавская пирамидка.
Рис. 17. Детали молдавской пи-
рамидки.
18
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 18. Головоломка-октаэдр.
реннее устройство октаэдра полностью идентично устройству
пирамидки.
Мы узнали об устройстве головоломок, но не менее важно
научиться их собирать.
Как собрать молдавскую пирамидку!
Расположим пирамидку так, чтобы одна из ее граней была
направлена в нашу сторону. Обозначим ее вершины буквами:
Л — левая, В — верхняя, П — правая, Т — тыльная (рис. 19).
Главная операция при сборке — поворот углового элемента вмес-
те с прилегающим слоем, включающим три реберных и один при-
вершинный элементы (см. рис. 16). Если направить поворачивае-
мую вершину к себе, то поворот ее на 120° по часовой стрелке
будет обозначен той же буквой, что и вершина, поворот на 120°
против часовой стрелки — той же буквой, но со штрихом. При-
веденный ниже алгоритм сборки пирамидки разработан инжене-
ром А. А. Ордынцом.
Первый этап — выставим трилистники. Повернем все угловые
элементы так, чтобы цвета их граней совпали с цветами треу-
гольников привершинных элементов. Тогда при каждой вершине
пирамидки образуются ромбики одного цвета, которые необходи-
мо развернуть так, чтобы на любой грани пирамидки были рас-
положены ромбики только одного цвета, образующие три-
листник.
Второй этап — соберем нижний слой. На место элемента 1
(см. рис. 19) выставим реберные элементы, которые будут участ-
вовать в сборке нижнего слоя. Для этого переместим элемент 4,
выполнив операцию
ПВП'В',
ВЕНГЕРСКИЙ КУБИК И МОЛДАВСКАЯ ПИРАМИДКА
19
либо переместим элементы 2 или 3 путем поворота вершины В
против (по часовой) стрелки. Элемент 1 переведем в нижний
слой на место элемента 5 операцией
ТВ'Т'
или на место элемента 4 операцией
Л'ВЛ,
в зависимости от цвета граней элемента. При сборке нижнего слоя
все описанные операции повторим несколько раз. В заключение
этапа вершину В повернем так, чтобы восстановить на гранях
пирамидки трилистники из ромбов, которые к этому времени
могли разрушиться.
Третий этап — соберем средний слой. Возможны три состоя-
ния пирамидки, в каждом из которых для окончательной сборки
используются свои операции.
1. Элементы 1 и 2 находятся на своих местах, но повернуты
на 180°, элемент 3 установлен верно. Выполняем операцию
П'ЛПЛ'ВЛ'В'Л.
2. Элементы 1, 2 и 3 стоят не на своих местах, но при пово-
роте вершины В оказываются правильно установленными и пра-
вильно ориентированными. Перестановку элементов по схеме
1—2—3—1 осуществляем операцией
П'В'ПВ'П'В'П,
а по схеме 1—3—2—1 операцией
ПВП'ВПВП'.
3. Элементы 1, 2 и 3 стоят не на своих местах и повернуты на
180°. Вращением вершины В устанавливаем их на свои места, но
при этом они окажутся неправильно ориентированными. Переста-
новку по схеме /—2—3—1 с изменением ориентации элементов
произведем операцией
ПТ'П'ТВТВ'Т',
Рис. 19. Сборка молдавской пи-
рамидки.
20
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
а по схеме /—3—2—1 операцией
П'ЛПЛ'В'Л'ВЛ.
Итак, пирамидка собрана. Если вы хорошо освоили алгоритм,
то на сборку вам потребуется не более 20—30 секунд.
Как собрать венгерский кубик!
Основная операция при сборке кубика — поворот слоя из де-
вяти элементов, образующих грань кубика (см. рис. 11). Буквами
обозначим грани кубика: Ф — фасадная (ближняя к нам), Т —
тыльная, Л — левая, П — правая, В — верхняя, Н — нижняя
(рис. 20). Поворот грани на 90° по часовой стрелке обозначим
той же буквой, что и грань, поворот на 90° против часовой стрел-
ки — буквой со штрихом, поворот грани на 180° — буквой во вто-
рой степени.
Ниже описан алгоритм сборки кубика, предложенный
ленинградским математиком В. А. Залгаллером.
Первый этап — выставим реберные кубики. Кубики / и 2
(рис. 21) переставим местами, выполнив операцию
Ф'В'П'Ф'ПФВ.
При этом правильным будет такое положение реберного кубика,
при котором цвета его граней совпадают с цветами прилегающих
центральных кубиков. Любые два реберных кубика вспомога-
тельными поворотами можно поставить на место кубиков 1 и 2,
переставить, произведя указанную операцию, а затем в обратной
последовательности выполнить в обратных направлениях все
вспомогательные повороты так, чтобы не нарушить достигнутую
упорядоченность кубика. К концу этапа реберные кубики ока-
жутся на своих местах.
Второй этап — выставим кресты. Кубики 2 и 3 (см. рис. 21)
одновременно повернем на 180°, выполнив операцию
ФП'Ф'П2В'П'В2Ф'В'Ф.
Рис. 20. Обозначение граней
венгерского кубика.
ВЕНГЕРСКИЙ КУБИК И МОЛДАВСКАЯ ПИРАМИДКА
21
Рис. 21. Выставление крестов на
венгерском кубике.
Повернуть можно любые два реберных кубика, если вспомогатель-
ными поворотами их привести в положения 2 и 3. После этого
вспомогательные повороты осуществляют в обратной последова-
тельности в обратных направлениях. К концу этапа на каждой
грани кубика образуются кресты, по цвету совпадающие с цве-
том центрального кубика.
Третий этап — выставим угловые кубики. Кубики 1 и 2 и
кубики 3 и 5 (рис. 22) поменяем местами с помощью операции
(ФПФ'П')\
Третья степень означает, что операция, указанная в скобках,
повторяется три раза. Кубики 4, 1 и 3 (см. рис. 22) переставляем
по схеме 4—1—3—4 операцией
(ФВФ'В')г(П'Ф'ПФ)\
Угловые кубики приводят в положения 1—5 вспомогательными
поворотами, после выполнения которых осуществляют их пере-
становку. Можно воспользоваться операцией
(Ф'П'ФП)г(ВФВ'Ф') 3,
предусматривающей перестановку кубиков 4, 1 и 3 в обратном
направлении по схеме 4—3—1—4. После вспомогательных пово-
ротов все кубики необходимо вернуть в исходное состоя-
ние. К концу этапа угловые кубики должны быть на своих
местах.
Четвертый этап — повернем угловые кубики. Кубики 1, 2 и 3
(см. рис. 22) одновременно повернем на 120° по часовой стрелке
Рис. 22. Выставление вершин
венгерского кубика.
22
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
вокруг геометрических осей, ориентированных от центра куба
к его вершинам, выполнив операцию
(Ф'ВФВ2ПВП2ФПФ')2.
Поворот этих кубиков на 120° против часовой стрелки произво-
дят обратной операцией
(ФП'Ф'П2В'П'В2Ф'В'Ф)2.
Чтобы выставить поворачиваемые кубики в положения 1, 2 и 3,
воспользуемся, как и ранее, вспомогательными поворотами. Не
исключено, что выполнение указанных операций приведет к пово-
роту правильно ориентированных угловых кубиков. Не огорчай-
тесь! На заключительной стадии сборки у вас окажется три угло-
вых кубика, требующих поворота в одну сторону. К концу этапа
кубик будет собран.
Известны и другие пути сборки венгерского кубика. Разрабо-
таны, например, алгоритм послойной сборки кубика, блочный
способ сборки, когда на кубике сначала собирают столбик
из 2x2x3 элементов (см. журналы: «Наука и жизнь», 1982,
№2; 1983, №5; «Квант», 1982, №7; 1983, №9). Наиболее
полная информация по сборке венгерского кубика приведена
в нескольких номерах журнала «Наука и жизнь» за 1985 г.
* * *
Пройдет некоторое время, и вы научитесь решать голово-
ломки. Что же дальше? Мы думаем, нет границ совершен-
ствованию в игре с молдавской пирамидкой и венгерским куби-
ком. Можно попробовать изобрести свои алгоритмы решения за-
дач. Мы знаем результат победителя чемпионата в Венгрии —
22,95 секунды. Предел ли это? Возможно, вы достигнете боль-
шего. Соберете ли вы кубик или пирамидку за две минуты,
вращая их одной рукой? Попробуйте воспользоваться микро-
калькулятором для сборки игрушек. Существует еще «слепая»
сборка, при которой все промежуточные состояния держатся
в уме. Видимо, в будущем появятся новые головоломки, сде-
ланные по образцу кубика и пирамидки. Научившись соби-
рать их, вы легко освоите и новые игры.
А. П. Смолин
ЭТЮД О РУБИКЕ
К сожалению, история не сохранила имен создателей многих
игр, в которые мы играем. Например, шахмат, домино. Думается,
что это были выдающиеся люди своего времени. Если даже пред-
ЭТЮД О РУБИКЕ
23
положить, что каждая игра изобреталась не сразу, был, видимо,
некто, кто доводил ее до логического совершенства.
Нашему поколению повезло. Среди нас нашелся человек, су-
мевший совершить чудо — изобрести новый вид игры, в короткий
срок захватившей миллионы людей. Имя этого человека Эрнё
Рубик, он — венгр по национальности, инженер, дипломирован-
ный художник-дизайнер. Его имя ассоциируется с чем-то надлич-
ным, становится нарицательным. Популярность Рубика в мире
очень велика. Славе Рубика могут позавидовать самые именитые
актеры, спортсмены, музыканты, «звезды» эстрады.
Что в изобретателе от физика, а что от лирика? На первый
взгляд понять трудно. Скорее всего, это удачное соединение того
и другого. Отец Рубика — известный в Венгрии авиаконструк-
тор. Он изобретает планеры. Мать — поэтесса. Сначала Эрнё за-
кончил Политехнический университет, получив образование ин-
женера-строителя, затем Академию прикладного искусства.
Когда его спрашивают, кем он себя считает — дизайнером,
математиком, изобретателем игрушек, он отвечает: «В первую
очередь мыслящим человеком». Будучи учеником школы, он мно-
гим интересовался, в том числе литературой, техникой, ма-
тематикой, живописью. Родители боялись, что ему трудно будет
выбрать профессию. Но, как утверждает сам Рубик, его детские
увлечения очень помогают ему в работе конструктора-
дизайнера.
Почему именно Рубику удалось изобрести новый вид игры?
Непростой вопрос. И все же попробуем на него ответить. Мы жи-
вем в мире все усложняющейся техники, небывалого развития
науки, высокого уровня информативности во всех областях
знаний. Современный человек много знает, его не пугают слож-
ности, более того, он тянется к сложному. И вот появляется
«волшебный» кубик. Своей сложностью он отвечает духу вре-
мени, вместе с тем он удивительно прост и всегда под рукой.
В нем нет фальши, жульничества. Это не фокус, основанный
на обмане зрения. С самого начала абсолютно известно — у за-
дачи есть решение. Оно заключается в одном: из состояния
хаотичности прийти к состоянию упорядоченности путем вра-
щения элементов вокруг оси. Вращение — одна из основных
форм движения в мире, будь то макрокосм или микрокосм.
Для человека это привычно.
Изобретатель как-то сказал, что его всегда волновало от-
ношение человека к предметному миру: с одной стороны, чело-
век создает различные предметы, пользуется ими, с другой, пред-
меты оказывают на него свое влияние. Есть предметы, обладаю-
щие выдающимися свойствами. По мнению Рубика, именно этим
они обязаны своей популярности.
Вначале кубик Рубика использовался как учебное пособие
для студентов, с помощью которого можно развивать простран-
24
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
ственное воображение. Ведя курс дизайна в Академии приклад-
ного искусства, Рубик заметил, что студенты не всегда обладают
умением видеть предметы с разных точек. Это не позволяет им
представлять размещение их в замкнутом пространстве, без чего
не может работать художник-дизайнер. Кубик должен был по-
мочь в развитии этого чувства. Результат превзошел все ожида-
ния.
Из учебного пособия кубик неожиданно стал популярной
игрушкой. Он получил имя своего создателя.
Миллиарды миллиардов цветовых комбинаций заключают в
себе три десятка разноцветных кубиков, соединенных сложными
шарнирами. Чтобы перебрать их одну за другой, мощной ЭВМ
потребовалось бы сотни тысяч лет. Но человек отличается
от самой умной машины тем, что может раскрыть законы
магического кубика. Не случайно кубик способствовал разви-
тию нового вида спорта. Участники чемпионатов по сборке
кубика соревнуются не только друг с другом, но и с предметом.
Победители соревнований собирают кубик менее чем за
30 секунд.
Изобретатель признается, что для него успех кубика — еще
одно доказательство того, что правильно поставленный вопрос
может пробудить невиданные творческие силы и фантазию лю-
дей.
По мнению некоторых ученых, кубик в определенном смысле
моделирует логику открытия, исследования. С другой стороны,
популярность его свидетельствует о возрастающем интересе че-
ловека, особенно молодого, к сложным, интеллектуальным ви-
дам творчества. «Играть, размышляя, учить, учась при этом
самому, пробуждать у людей потребность в логике — такой
мой принцип», — говорит Эрнё Рубик.
Навряд ли это единственный принцип и жизненная установка
венгерского изобретателя. Многое значит его отношение к попу-
лярности. Он говорит, что известность ему мешает работать.
А работать он умеет. Он не только преподает в Академии
прикладного искусства, но является еще и редактором журнала
«Игра». Как архитектор, он принимает участие в комиссии
по реконструкции исторической части Будапешта. Заботы не-
простые, и времени Эрнё не хватает.
Изобретатель много ездит, он не раз бывал в Советском
Союзе. И всюду к нему внимание особое, к которому, как он
утверждает, привыкнуть нельзя.
Популярность Рубика объяснима. Он дал людям новую инте-
ресную, отвечающую потребностям современного человека игру.
Это удается немногим, и лишь раз в жизни. Ему это удалось.
Однако точку ставить рано. Изобретатель волшебного кубика,
возможно, еще удивит нас!
НЕОБЪЯТНЫЙ ТАИНСТВЕННЫЙ МАТЕРИК — ШАШКИ
25
В. А. Трубицын
НЕОБЪЯТНЫЙ ТАИНСТВЕННЫЙ
МАТЕРИК — ШАШКИ
Во второй половине нашего века многие игры перестали слу-
жить только средством организации досуга, а некоторые из них
даже превратились в инструмент познания окружающего нас
мира. Игры широко применяются при решении экономических
и военных задач, в системе образования и профессиональной
ориентации, при создании машин, моделирующих определенные
стороны интеллектуальной деятельности человека. Сама жизнь
заставила внимательнее отнестись даже к весьма известным
играм. За последние десятилетия получили распространение
многие незаслуженно забытые или малоизвестные игры, в том
числе шашечные игры, головоломки, математические развле-
чения.
С шашками связано огромное количество игр и головоломок.
Это древнейшие по происхождению нардовые игры (кюбейя,
плинтион, триктрак, длинные нарды), игры облавного типа
(«Лиса и гуси»), игры чистого расчета, имитирующие сражение
(петтейя, латрункули, русские и международные шашки), комби-
наторные игры и головоломки («Мельница», крестики и нолики,
рэндзю, уголки, реверси, солитёр), саморазвивающиеся игры
(«Эволюция» и ее модификации), топологические шашечные
игры (гекс или го).
Отличительная особенность шашечных игр — простота пра-
вил, равенство всех фигур, высокий уровень отвлеченности. Это
позволяет создать логические модели игр, с помощью которых
можно описать не только отражающее суть игры сражение двух
«армий», но и показать возможную эволюцию развивающихся
структур — вплоть до имитации некоторых процессов, происхо-
дящих в живой природе.
Однако европейцы, зачарованные такой совершенной и не-
вероятно привлекательной игрой, какой являются шахматы,
явно недооценили шашки. Хотя шахматы втрое моложе шашек,
после появления в Европе популярность шахмат постоянно
росла. А европейским шашкам долгое время отводилась роль
оруженосца Санчо при славном рыцаре из Ламанчи.
Крайне мало книг вышло на русском языке об истории ша-
шечных игр. Среди них наиболее интересные — «Древность игр
в шашки и шахматы» Д. И. Саргина (М., 1916), «По-
спеши, Юлиус!» Б. М. Герцензона и Э. И. Малева (М., Знание,
1965), «Приключения на шашечной доске» Ю. П. Барского и
Б. М. Герцензона (Лениздат, 1969), «История развития русских
шашек» А. И. Куличихина (М., Физкультура и спорт, 1982).
Материалы этих книг использованы автором данной статьи.
26
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Отправная точка — Древний Восток
История шашек полна загадок. При археологических раскоп-
ках найдены шашечницы древних цивилизаций — шумерской
и египетской. Однако правила игры до нас не дошли. Есть
основания считать, что древнейшие шашечные игры были играми
нардового типа, возникшими на основе астрологических таблиц.
Большая роль при этом отводилась всякого рода магическим
числам и геометрическим построениям. У древних римлян шашки
были известны под названием «латрункули» (от латинского
«латро» — воин). Первые исследователи часто относили латрун-
кули к шахматам. В силу этого заблуждения переводы истори-
ческих текстов делались с большими неточностями. Ошибки,
допущенные при переводах, зачастую выдавались за истори-
ческие факты. В книге знаменитого русского шахматиста и зна-
тока шашек А. Петрова «Шахматная игра, приведенная в си-
стематический порядок» (1824 г.), например, сообщается, что
один римский консул приобрел великую славу, выиграв сразу
десять партий в шахматы. На самом деле речь идет о началь-
нике римского легиона в Галлии Прокуле. Играя во времена
императора Аврелиана (270—275 гг.) на пиру в Лионе в лат-
рункули, Прокул выиграл подряд десять партий, за что в шутку
был провозглашен императором.
Казалось бы, какие могут быть тайны в современных евро-
пейских шашках. А между тем мы до сих пор не знаем ни вре-
мени, ни места их происхождения. Сразу после появления в сред-
невековой Европе шахматные и шашечные игры, наряду с дру-
гими азартными развлечениями, были запрещены духовенством
как «измышление дьявола». Лишь спустя пять веков (в 1393 г.)
официальный запрет на шахматные и шашечные игры был снят.
Исследователи пытаются реконструировать историю игр по
скудным литературным источникам и археологическим находкам,
сопоставляют накопленный исторический материал, изучают его
с новых, современных позиций. Ведь знание древних игр по-
могает созданию новых игр и головоломок.
Изобретая новые игры, следует иметь в виду, что они должны
быть основаны не на произвольном наборе каких-то правил, а на
определенных закономерностях, последовательное постижение
которых приведет игрока к победе. Сколько бы ни создавалось
комбинационных игр, все они должны иметь игровую завер-
шенность, то есть строгое согласование формы доски с ходами
фигур, их количеством и числом игроков. Совершенная игра
не имеет ничего лишнего: ни надуманных ограничений, ни запу-
танных правил. Именно такими играми являются, например,
го и шахматы.
По мнению одного из первых популяризаторов го в нашей
стране ленинградца В. Асташкина, настоящей бедой даже самых
НЕОБЪЯТНЫЙ ТАИНСТВЕННЫЙ МАТЕРИК — ШАШКИ
27
Рис. 23. Линейная структура до-
ски русских шашек.
Рис. 24. Одноцветная клеточная
доска русских шашек.
хороших правил является то, что к их написанию не привле-
каются профессиональные юристы. Поэтому существует много
изложений правил, но нет их самих. Это в какой-то мере отно-
сится к русским и международным шашкам. Попробуем внести
некоторую ясность в правила игры в шашки. Те из читателей,
кого интересует исключительно игровая сторона шашек, могут
пропустить два следующих раздела и сразу перейти к описанию
новых шашечных игр, приведенных после них.
Проделки шахматного слона
Европейские шашки по странному стечению обстоятельств до
сих пор находятся в гостях на чужой (шахматной) доске, кото-
рая для них является избыточной. Этот казус замечен давно.
На рис. 23 линиями отмечены пути возможного перемещения
шашек. Если перевести эту структуру в более привычное для
нас клетчатое поле, то доска станет одноцветной и потеряет
половину шахматных полей (рис. 24). «Любопытно, что древ-
ние шашечные доски не обладали какой-либо избыточностью.
Они были предназначены именно для игры в шашки. Одно-
цветные клеточные шашечные доски были известны в Древнем
Египте и в цивилизациях Междуречья. Линейные доски до сих
пор широко применяются в шашечных играх на Востоке.
Линейными являются все доски, игровые пункты которых
определяются точками пересечения линий либо точками, обозна-
ченными на отрезках прямых или изогнутых линий. Например,
доска для игры в длинные нарды, такая, казалось бы, экзоти-
ческая, похожая на ярко раскрашенный ковер, относится к
доскам линейного типа. Функциональная структура этой доски
представляет собой замкнутое кольцо с точечными игровыми
пунктами, символизирующими 12 созвездий зодиака.
28
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Но вернемся к шашечной доске.
Невероятно, но факт: даже новейшие шашечные учебники
обходят молчанием парадокс об избыточности досок европейских
шашек. А ведь решение этого вопроса во многом проясни-
ло бы историю возникновения этих и подобных игр, относя-
щихся к семейству шашек.
Прежде всего, мы бы отказались от понятия «диагональ».
Если на обычной шахматной доске мы явственно видим диаго-
нальные ряды темных клеток, то на подлинно шашечной доске
(см. рис. 23 и 24) никаких диагоналей нет. Шашки ходят
не по диагональным, а по основным ортогональным направ-
лениям доски (см. рис. 24), то есть не по направлениям дви-
жения слона, а по направлениям хода пешки, хотя число этих
направлений и удвоилось.
Кроме того, мы отказались бы от двухцветности шашечных
досок, от не участвующих в игре клеток, от устаревших названий
«64-клеточная доска» или «100-клеточная доска», от нумерации
игровых пунктов доски, от термина «игровое поле», заменив его
термином «игровой пункт», подходящим для шашечных досок
всех типов, включая и линейные. Термин «игровое поле» лучше
относить ко всей игровой доске для любых игр.
Диагональные направления и двухцветность доски в шаш-
ках — «проделки шахматного слона». Первоначально в шахмат-
ной игре слон отождествлялся с лодкой (ладьей), пересекающей
реку. При этом, как и в действительности, «лодка» как бы от-
носилась течением. Таким образом, древний слон ходил и про-
изводил взятие через одну клетку по диагонали.
В древнейшей шахматной игре чатуранге четыре игрока,
принимавшие в ней участие, имели по одному слону с ограничен-
ной активностью. Поэтому вопрос о раскрашивании доски не воз-
никал. Когда же игроков стало двое и число фигур удвоилось,
внешне одинаковые слоны, расположенные на симметричных
флангах, на деле стали разнопольными (то есть разно-
цветными). Они никак не хотели встречаться в процессе игры.
Это позволило древним изобретателям, совершенствовавшим
шахматную игру, раскрасить шахматную доску в два цвета
в определенном (шахматном) порядке. Как выяснилось впослед-
ствии, такой принцип раскрашивания шахматных досок оказал-
ся универсальным. Он годился для любых шахматных систем.
Но к шашечным доскам он не имел никакого отношения.
Марциал, Овидий и другие
Каков же итог поисков? С одной стороны, мы убедились,
что европейские шашки не нуждаются в двухцветных досках,
на которых используется лишь половина клеток, с другой сто-
роны, удостоверились в том, что никто и никогда не находил
НЕОБЪЯТНЫЙ ТАИНСТВЕННЫЙ МАТЕРИК — ШАШКИ
29
Рис. 25. Исходная расстановка
турецких шашек (внизу белые
шашки расставлены, как рим-
ские легионы).
правильных шашечниц, таких, какие изображены на рис. 23 или
24. Европейские шашки возникли не ранее VIII века в Испании,
Италии или Франции — как шашечная игра на шахматной
доске. Ведь именно в это время арабы завоевывают Испанию
и знакомят европейцев с шатранджем (несовершенным средне-
вековым вариантом шахматной игры).
Знала ли Европа какую-либо шашечную игру, близкую к со-
временным шашкам, до своего знакомства с шахматами? Одной
из «реликтовых» шашечных игр несомненно являются турецкие
шашки. Доска турецких шашек (рис. 25) — клеточная одно-
цветная, то есть правильная шашечная доска (явно «дошахмат-
ная»). Шашки в игре не знают диагональных направлений
ни при выполнении хода, ни при взятии. В игре используются
все клетки доски.
Есть основания полагать, что турецкие шашки похожи на зна-
менитые в прошлом латрункули — шашки Древнего Рима. Одна-
ко игра римлян более совершенная: вместо двух сплошных рядов
шашек они применяли оригинальную свободную их расстанов-
ку — по аналогии с боевым порядком римских легионов. Римские
военачальники в бою разделяли полк (легион) на отделения
и ставили их в три ряда с промежутками в каждом ряду. Когда
в битве гибли или утомлялись воины первого ряда, в проме-
жутки между ними быстро и без помех продвигался второй ряд.
Третий ряд состоял из старых солдат, которых вводили в бой
лишь в случае крайней опасности. Именно так расставлены
белые шашки на рис. 25. При этом число шашек у одного
игрока уменьшилось с 16 до 12. Не исключено, что римляне
в латрункулях вместо клеточной применяли линейную доску.
Такая доска с исходной расстановкой шашек показана на
рис. 26.
Предлагаемая реконструкция древнеримских шашек не проти-
воречит известным латинским текстам. У каждого игрока 12 ша-
шек, расставленных в три ряда. Доска им^ет линейную струк-
30
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 26. Исходная расстановка
шашек в латрункулях на ли-
нейной доске 8X8 линий
(кружками обведены дамки, или
латроны).
туру (8x8 линий). Простая шашка ходит вперед по вертикали и
в обе стороны по горизонтали, назад по вертикали она не ходит.
Дамка ходит и бьет по двум ортогональным направлениям (по
вертикали и по горизонтали). Взятие простой шашкой назад за-
прещено. Простая шашка берет несколько шашек. Взятие при
очередном ходе — обязательно.
Что касается запирания шашек, то оно происходит довольно
часто, но не за счет структуры доски, как при игре на шахматной
доске, а за счет способности шашки производить боковые ходы.
Если бы шашки в латрункулях ходили только прямо, то запира-
ния их не происходило бы. Римский поэт Марциал во второй
половине I века написал: «Так победишь ты Новия и Публия,
в загоны запертых...» Следовательно, шашки в латрункулях хо-
дили не только прямо по вертикали, но и в обе стороны по го-
ризонтали.
Таким образом, турецкие шашки и латрункули принадле-
жат к одному и тому же «дошахматному» семейству шашечных
игр Средиземноморья. Их родство легко объясняется высоким
развитием культурных связей в этом географическом районе.
Куда загадочней сходство между турецкими шашками и древней
японской шашечной игрой — хасами сёги. Неужели так далеко
распространялись культурные связи в древнем мире?
В одном из стихотворений знаменитый римский поэт Овидий
(конец I века до нашей эры) описывает ранний вариант игры
в шашки: «Как солдат двигается вперед по прямой линии —
в той игре, где шашка гибнет от двойной атаки неприятеля».
Овидий ясно указывает на линейную структуру доски и направ-
ление хода шашки. Можно предположить, что римляне знали
и современный способ взятия шашки, заключающийся в «пере-
прыгивании» снимаемой шашки, и способ двусторонней блокады,
встречающийся в Древнем Египте в нардовых играх.
В японской шашечной игре хасами сёги шашке разрешается
беспрепятственно проходить между двумя шашками противни-
ка. Однако, если очередным ходом своей шашки игрок создает
НЕОБЪЯТНЫЙ ТАИНСТВЕННЫЙ МАТЕРИК — ШАШКИ
31
ситуацию тисков, то есть в результате хода зажимает шашку
противника между двумя своими шашками, шашка противника
снимается с доски.
Когда правила игры изменились, шашки стали снимать пере-
скакиванием. Тогда ситуацию, изображенную на рис. 27, стали
трактовать не как двустороннюю блокаду белой шашки, а как
двойную угрозу со стороны этой шашки. Вот почему в поэме,
восхваляющей одного из лучших игроков в латрункули Пизона,
римский поэт Басс говорит: «Шашка, похожая на обложенную,
сама облагает двух».
В именном указателе к книге римского историка и писателя
Светония «Жизнь двенадцати цезарей» упомянуты шесть Пизо-
нов. Один из крупнейших немецких шахматистов XIX века,
теоретик в области шахмат и писатель Тассило фон дер Лаза
связывает приведенное выше высказывание Басса, встречаю-
щееся во многих исторических исследованиях, с конкретным
историческим лицом — Гаем Кальпурнием Пизоном (см.: Тацит.
Анналы, кн. 15). Это был богатый римлянин из высшего сосло-
вия, наделенный высоким ростом и благородными чертами лица.
Будучи прекрасным оратором, он занимал важное общественное
положение. Но конец его печален. Пизон возглавил заговор
против жестокого римского императора Нерона. После выне-
сения смертного приговора Пизон вскрыл себе вены. Такая же
участь постигла римского поэта Марка Аннея Лукана и воспи-
тателя Нерона, римского политического деятеля, философа и
писателя Луция Аннея Сенеку.
Повествуя об этом, Тацит упоминает о двух кометах, которые
появлялись в 60 и 64 годах. «Хвостатые звезды», грозящие,
по общему поверью, смертью верховным властителям, стояли
в небе по нескольку ночей подряд. Встревоженному Нерону
астрологи подсказали, что обычно цари откупаются от таких
бедствий какой-нибудь блистательной казнью. Это и предрешило
судьбу трех выдающихся римлян.
Игра в современные европейские шашки, на наш взгляд, воз-
никла в результате соединения оригинальной разреженной рас-
становки шашек, применявшейся римлянами в начале I века,
с двухцветной шахматной доской. Упоминания о латрункулях
встречаются в латинской литературе до конца четвертого столе-
тия нашей эры (см.: Макробий. Сатурналии). Упоминания же
о двухцветной шахматной доске относятся к XIII веку. В ру-
кописном трактате короля Кастилии Альфонса X Мудрого
Рис. 27. Блокада или двойной
УДар-
32
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
(1283 г.) встречаются миниатюры, созданные по персидским
мотивам. На них изображены шахматные диаграммы на двух-
цветных досках.
В отношении дамок старинные шашечные игры не знали
единых правил. Иногда дамки присутствовали в исходной рас-
становке шашек (у испанцев — одна или две, у римлян в лат-
рункулях — четыре). Позднее из начальной расстановки дамки
стали исчезать.
Псковские, новгородские,
невские шашки и триада
Возможности шашечных игр далеко не исчерпаны. При более
гибкой структуре доски (например, гексагональной) или при уве-
личении числа игроков (до трех, четырех) резко повышается ак-
тивность игры, кардинально изменяются ее стратегия и тактика.
Предлагаем читателям сыграть в семь новых шашечных игр.
Одна из них (триада) — игра в уголки для трех соперников
на гексагональной доске. Остальные игры основаны на междуна-
родных правилах. Некоторые отличия в правилах предлагаемых
игр являются следствием изменения структуры доски, свойств
шашки и числа игроков.
Гексагональные доски (от греческого «гекс» — шесть) имеют
шестиугольную форму. Они состоят из шестиугольных ячеек —
игровых пунктов одинакового размера и цвета. Большая доска
включает 61 ячейку, малая — 37.
Чтобы изготовить гексагональную доску, купите картонную
складную доску для стоклеточных шашек и заклейте ее игровую
поверхность белой бумагой. На картонном квадрате проведите
две пересекающиеся диагонали. Определив центр доски, опишите
вокруг него с помощью циркуля окружность радиусом 24 мм.
В полученный круг впишите шестиугольник таким образом,
чтобы две его противоположные стороны были параллельны
двум сторонам доски, возле которых сидят игроки. Полученную
центральную ячейку доски последовательно нарастите таки-
ми же шестиугольными ячейками слой за слоем. Чтобы опре-
делить центр любой из соседних ячеек, с помощью циркуля из
двух соседних вершин шестиугольной ячейки опишите пересе-
кающиеся дуги радиусом 24 мм. В точке пересечения дуг снова
опишите круг и впишите в него шестиугольник. Таким образом,
в доске первого уровня у вас будет одна ячейка, второго уров-
ня — 7, третьего — 19, четвертого — 37, пятого — 61 и т. д.
Формула для определения количества ячеек: Х=1+Зп(п—1),
где X — количество ячеек, п — количество слоев.
Псковские шашки — игра для двух игроков. Играют на гекса-
гональной доске. Соперники имеют по 13 шашек разного цвета
при игре на малой доске (37 ячеек) или по 24 шашки при игре на
НЕОБЪЯТНЫЙ ТАИНСТВЕННЫЙ МАТЕРИК — ШАШКИ
33
Рис. 28. Псковские шашки на
малой доске.
Рис. 29. Псковские шашки на
большой доске.
большой доске (61 ячейка). Исходные позиции игры показаны
на рис. 28 и 29. Цель игры — выиграть партию путем снятия ша-
шек. Чем больше у игрока дамок, тем быстрее он может выиграть
партию. Превращения простой шашки в дамку можно достигнуть
только на одном игровом пункте, в противоположном от игрока
углу доски. В игре применяется стратегия трехстороннего дейст-
вия, то есть шашки могут ходить вперед по трем направлениям,
передвигаясь между центрами двух соседних ячеек через сере-
дину общей для них стороны (рис. 30). Взятие шашка произ-
водит по всем шести направлениям (рис. 31), перепрыгивая
через снимаемую шашку на свободный пункт доски (на рисунке
помечен крестиком). По числу комбинаций псковские шашки
Рис. 30. Трехсторонняя шашка
ходит вперед по трем направ-
лениям.
Рис. 31. Черная шашка произ-
водит взятие по шести направ-
лениям.
34
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 32. Новгородские шашки
на малой доске.
Рис. 33. Новгородские шашки
на большой доске.
на малой доске превосходят русские шашки, а на большой
доске — международные стоклеточные шашки.
Новгородские шашки — игра для трех игроков. Для игры ис-
пользуются такие же доски, как и при игре в псковские шашки,
но исходная расстановка шашек здесь иная (рис. 32 и 33). На
малой доске соперники имеют по 8 шашек, на большой — по 15.
Каждый играет за себя. Цель игры — выиграть партию у двух
соперников путем снятия шашек. Превратить простую шашку
в дамку игрок может только в самом дальнем от него угловом
пункте доски. Право первого хода определяют жребием. Ход
начинают белые. Играть следует не менее трех партий с после-
довательной передачей права первого хода от игрока к игроку.
Очередность ходов в партии задается направлением движения
часовой стрелки. После белых ходят черные, затем — красные
и снова белые. Ответный внеочередной удар правилами игры
запрещен.
В новгородских шашках (как и в псковских) используется
трехсторонняя шашка с той лишь разницей, что игрок
одним ходом может снять несколько шашек сразу у двух сопер-
ников. Эта стратегия пока мало изучена. Ясно, что при такой
игре размен шашками между двумя соперниками дает автома-
тическое преимущество третьему игроку. В борьбе с сильным
соперником следует искать хотя бы временного союза со слабым
игроком. Но особенно надо опасаться внезапных двойных ударов
от двух игроков в разных пунктах доски. Одним словом, эта
малоизученная стратегия с элементами дипломатии является ин-
тересной моделью реальных ситуаций. Нет сомнения в том, что
НЕОБЪЯТНЫЙ ТАИНСТВЕННЫЙ МАТЕРИК — ШАШКИ 35
знакомство с такой игрой не только позабавит вас, но и обога-
тит ваше логическое мышление.
Невские шашки — многосторонняя игра для четырех игроков.
Играют на одноцветной шашечной доске клеточной структуры
(игровым пунктом является квадрат) с применением стратегии
двустороннего действия, то есть шашки ходят вперед по двум
ортогональным направлениям, а взятие производится по четырем
ортогональным направлениям (рис. 34). Исходные расстановки
шашек для малой и большой досок показаны на рис. 35 и 36.
Игроки образуют четыре лагеря: «Утро» (игрок играет белыми
шашками), «День» (красные шашки), «Вечер» (зеленые шашки)
и «Ночь» (черные шашки). При такой расстановке игрокам легче
соблюдать очередность ходов по направлению движения часовой
стрелки (ход черных после хода белых — такая же нелепость,
как и наступление ночи сразу после утра). Цель игры—выиг-
рыш партии у трех соперников путем снятия шашек. Каждый
играет за себя, но возможна и парная игра.
Право первого хода определяется жребием. Играть рекомен-
дуется не менее четырех партий. Шашка может превратиться
в дамку только в одном самом дальнем от игрока пункте доски.
Играть можно на шахматной доске, не обращая внимания на ее
двухцветность. При этом каждый из соперников должен иметь 13
шашек. Для записи партий допускается использование шахмат-
ной буквенно-цифровой нотации, но чисто цифровая нотация
Рис. 34. Характеристика ходов
и взятия для двусторонней шаш-
ки в невских шашках.
Рис. 35. Невские шашки на ма-
лой доске.
Рис. 36. Невские шашки на боль-
шой доске.
36
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 37. Триада — игра в уголки
для трех игроков.
более удобна. Малую доску для игры в невские шашки можно
сделать самому, начертив ее на плотном листе бумаги.
Игра в невские шашки ведется по международным правилам,
но особенностью этой игры является то, что одним ходом можно
снять шашки сразу у нескольких игроков. Невские шашки разви-
вают способность вести борьбу в быстро меняющейся обстановке.
Сложные и почти непредсказуемые ситуации на доске часто за-
ставляют принимать решения в условиях, когда игрок не может
предвидеть ближайших событий. Такие ситуации в шашечных
играх мало изучены, а в реальной жизни они встречаются до-
вольно часто.
Триада — многосторонняя игра в уголки для трех игроков на
большой доске псковских и новгородских шашек. В триаду
играют, применяя общеизвестные правила игры в уголки на
обычной шахматной доске. Цель игры — выигрыш партии одним
игроком у двух соперников. Победитель должен раньше своих
соперников переставить свои шашки в ту же позицию, но у
противоположного угла доски. Исходная позиция шашек изо-
бражена на рис. 37.
Право первого хода принадлежит белым шашкам. Затем
ходят по часовой стрелке. Если партию первым закончит игрок,
игравший белыми шашками, остальные игроки имеют по одно-
му последнему ходу. Все соперники должны сделать одинаковое
количество ходов.
В триаде применяется стратегия шестистороннего кругового
действия — шашки могут ходить на любой соседний пункт доски,
если он не занят. Кроме того, они могут делать скачущие ходы
на свободные ячейки, перепрыгивая через свои и чужие шашки,
НЕОБЪЯТНЫЙ ТАИНСТВЕННЫЙ МАТЕРИК — ШАШКИ
37
но никакого взятия шашек в игре не производится. Сов-
мещать простой и скачущий ходы запрещается.
Для тех, кто заинтересовался шашечными играми, предлагаем
следующие задачи:
измените игровую структуру доски, применив, например, в ка-
честве ее основы треугольные ячейки;
модифицируйте правила хода и взятия шашек;
усложните цель игры (например, вместо взятия шашек можно
добиваться их определенных построений).
Игра в шашки для двух игроков на гексагональной доске
неправильной формы с 67 ячейками в России впервые была
описана неизвестным автором в 1882 году (Шашки сложные.
Складной лист с описанием игры на четырех языках. Пб., ти-
политография Э. Винеке).
В 1895 году в Москве было издано описание игры в шашки
для четырех игроков (Лебедев К. Новая игра в шашки для
четверых. М., типография Общества распространения полезных
книг). Для игры предлагалось использовать двухцветную доску
с 169 клетками (13x13). Каждый из четырех игроков имел
12 шашек. Игра парная.
В 1938 году вышло описание игры в шашки втроем на двух-
цветной доске, состоящей из треугольных ячеек с усеченными
углами (Маркович А., Баженова Е. Шашки втроем. Издано
Областным методическим кабинетом по работе с политико-про-
светительными и внешкольными кадрами при Ленинградском
областном отделе народного образования). Игра ведется на 69
черных ячейках. Каждый игрок имеет 12 шашек.
* * *
В настоящее время известно несколько десятков шашечных
игр. К сожалению, почти все они находятся вне сферы деятель-
ности Шашечной федерации СССР, которая организует спортив-
ные соревнования лишь по трем видам шашек: русским и между-
народным на большой и малой досках. Трудно ожидать,
что очень скоро в мире шашек произойдут какие-либо изме-
нения.
Игры нравятся всем, однако их пропаганда носит случайный
характер. Не пора ли создать крупный информационно-методи-
ческий центр с широкими правами в области планомерного изу-
чения игр и их пропаганды?
38
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
В. Н. Белов
ИГРАЕМ В КВАДРАТЫ
Среди великого многообразия игр с плоскими фигурами выде-
ляются игры с раскрашенными карточками, из которых склады-
вают какие-либо геометрические узоры, орнаменты или картин-
ки. Карточки группируют по определенным признакам: по цвету
карточек или их частей, изображенным на них символам, геомет-
рическим линиям и тому подобному. Такие игры характеризуют-
ся большим числом различных комбинаций. Быстрый выигрыш
может оказаться результатом стечения непредсказуемых случай-
ностей и слепого везения. Действительно, кроме перебора раз-
личных вариантов, до сих пор не найдено выигрышного алго-
ритма (например, типа алгоритма сборки венгерского кубика),
облегчающего получение заданной комбинации карточек. Игрок
полагается лишь на свой опыт, в какой-то мере на чутье и
на благосклонность «госпожи удачи».
Простейшие игры с фигурами — известные вам домино и дет-
ские кубики с наклеенными на гранях частями целой картинки.
При игре в домино складывается цепочка так, чтобы количество
точек на концах двух соприкасающихся костей было одинаковым.
Играющий в кубики должен из разрозненных фрагментов, на-
несенных на грани кубиков, получить законченный рисунок.
Возьмем краски
Значительно более сложную игру предложил изобретатель
многих комбинационных игр Александр Макмагон. Для игры
используются 24 карточки, имеющие форму квадратов. Каждый
квадрат разделен на четыре одинаковых 90-градусных сектора,
раскрашенных в один из трех цветов (рис. 38). Карточки не-
трудно изготовить из картона или плотной бумаги. Вырезанные
квадраты можно покрасить акварельными красками. Из ком-
плекта карточек надо сложить прямоугольник размером 4x6
ИГРАЕМ В КВАДРАТЫ
39
Рис. 39. Прямоугольник 4X6
квадратов Александра Макма-
гона.
Рис. 40. Часть комплекта из 24
карточек с окрашенными вер-
шинами.
№1
ИЯ
Рис. 41. Совмещение карточек
с окрашенными вершинами.
единиц (за единицу принята сторона квадрата). При этом
необходимо выполнить следующие условия: каждые два сопри-
касающихся сектора разных квадратов должны быть одного
цвета, а стороны прямоугольника образованы секторами одного
цвета (любого из трех). С помощью ЭВМ получено 12 261
решение, отвечающее поставленным требованиям. Три решения
приведены на рис. 39.
По указанным правилам из квадратов нельзя построить пря-
моугольник 2х 12 или 3x8 (если хотите, можете это проверить).
Вряд ли представляет интерес искать уже найденные ЭВМ ре-
шения, поэтому мы предлагаем новые задачи. Читатель, отыскав-
ший их решения, сделает свое, пусть маленькое, но настоящее
открытие.
Итак, изменим игру, по-иному раскрасив карточки. Окрасим
вершины квадратов. Порядок следования цветов при раскраске
секторов тот же, что на рис. 38, однако сектора повернуты на 45°
по часовой стрелке. На рис. 40 изображен верхний ряд таких
карточек. Цель игры — сложить прямоугольники размерами
2X12, 3x8, 4x6, причем карточки следует группировать так,
чтобы четыре соприкасающихся сектора разных квадратов были
одинаково окрашены (рис. 41, квадрат в центре). Естественно,
стороны прямоугольников уже не будут одного цвета.
4Г
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 42. Комплект из 30 карто-
чек, раскрашенных в пять цве-
тов.
Рис. 43. Фигуры, получаемые
из 30 раскрашенных карточек.
Рис. 44. Фигура, полученная из
30 карточек.
Следующее усложнение игры связано с раскраской карточек
пятью цветами. Ни на одной из карточек не должно быть оди-
наково окрашенных секторов. Существует 30 таких раскрасок
(рис. 42).
По указанным выше правилам составьте из квадратов пря-
моугольник размером 5x6 и некоторые более сложные фигу-
ры, изображенные на рис. 43. Составьте те же фигуры из
квадратов, у которых раскрашены вершины. Чтобы вы не сомне-
вались в возможности решения поставленных задач, на рис. 44
приведено решение одной из них.
ИГРАЕМ В КВАДРАТЫ
41
Вместо квадрата — круг
Заменим квадратные карточки круглыми, вырезав их также
из картона. Каждую карточку разделим на четыре сектора, рас-
красив их, как и квадраты. Совмещая на соседних кружках
сектора одного цвета, мы сможем группировать их по два и
по четыре, тогда на игровом поле образуются раскрашенные
квадраты разной величины. Одна модификация игры носит на-
звание «малые квадраты», другая — «большие квадраты». В це-
лом игра именуется «игрой в квадраты». Имея один комплект
кружков, можно усложнить или, наоборот, облегчить игру, в за-
висимости от того, по каким правилам составлять квадраты.
При отсутствии опыта рекомендуется начать игру с малых
квадратов, постепенно усложняя собираемую фигуру, затем
перейти к большим квадратам. Предупреждаем, что приняться
за эту игру гораздо проще, нежели бросить. Игра еще «опас-
нее», если соревнуются два или большее число участников. Рас-
смотрим два варианта игры.
Домино из квадратов. Комплект кружков делят между участ-
никами игры. Каждый из игроков по очереди совершает ход
и ставит на прямоугольное игровое поле размером 5x6 свой
кружок, удовлетворяя правилам игры в малые или большие
квадраты. При невыполнимости хода из-за отсутствия кружка
требуемой раскраски ход передается следующему участнику.
Игра заканчивается, когда все участники не могут совершать
дальнейшие ходы. Выигрывает тот, у кого на руках остается
меньшее количество кружков.
Пасьянс из квадратов. Игра осуществляется на нескольких
игровых полях размером 5x5. Каждый участник имеет комплект
из 30 кружков. Цель игры — за установленное время получить
наибольшее количество малых или больших квадратов.
Игра в квадраты будет более удобной, если предусмотреть
возможность ее приостановления с фиксацией достигнутой цвето-
вой композиции. Для этого можно приобрести в магазине маг-
нитные шашки и наклеить на них сверху игровые кружки.
Делаем сами
Игру в квадраты можно совместить с игрой в «15». Игра осу-
ществляется на квадратном поле размером 5x5, по которому пе-
ремещаются (на свободные места) 24 игровых элемента в виде
дисков, раскрашенных в пять цветов. Цель игры — составить
наибольшее количество квадратов — малых (их всего 38) или
больших (их 15).
Игровое поле ограничено бортиком, на поле — 25 грибовид-
ных держателей. На 24 держателя надеты игровые диски (шляп-
ки держателей заходят в Т-образные прорези дисков), один
42
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 45. Головоломка «Игра
в квадраты»:
а — общий вид; б — сечения
игрового диска; в — разрез
игрового диска.
держатель свободен. Любой диск, находящийся рядом с не-
занятым держателем, может быть передвинут на него. Перед
перемещением диск поворачивают на шляпке держателя относи-
тельно центра так, чтобы прорезь на нем была направлена
в сторону свободного держателя. Все игровые диски находятся
в контакте друг с другом и с огораживающим бортиком, поэтому
их нельзя снять с игрового поля. На рис. 45, а показано игровое
поле сверху. В правом нижнем углу игрового поля диск отсут-
ствует и виден держатель. На рис. 45, б изображены два пер-
пендикулярных сечения игрового диска, надетого на держатель,
на рис. 45, в — его разрез параллельно плоскости игрового поля.
Изготовить все необходимое для данной игры можно в до-
машних условиях, выпилив детали из пластмассы или органи-
ческого стекла и склеив их. Игра требует особого внимания и
наблюдательности, так как раскрашенные игровые диски не от-
деляются от игрового поля и направленное перемещение любо-
го из них приводит к необходимости вынужденного перемещения
соседних дисков, которые к этому моменту могли оказаться
в упорядоченном состоянии.
Новые идеи
Мы рассмотрели лишь некоторые из игр с фигурами. Форма
карточек и количество секторов на них могут быть самыми раз-
личными. Попытайтесь использовать несимметричные плоские
фигуры, геометрически совершенные правильные многоугольники,
развертки многогранников и так далее. Сектора не обязательно
раскрашивать, при этом на карточки наносят разнообразные сим-
волы: цифры, буквы, точки — всего не перечесть. На рис. 46, а
показано игровое поле с одной пустой шестиугольной ячейкой,
на рис. 46, б заполнены все ячейки, на рис. 46, в показаны 24
ИГРАЕМ В КВАДРАТЫ
43
а
Рис. 46. Игры с шестиугольны-
ми (а, б) и треугольными (в)
карточками.
треугольные карточки, раскрашенные четырьмя цветами. Попро-
буйте поиграть, пользуясь этими рисунками.
Надеемся, что вы и сами придумаете новые увлекательные
игры с фигурами.
Н. А. Александров
ИГРЫ С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ
«ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-Э4»
Не каждый человек имеет возможность реально стрелять из
пушки или совершать межпланетные путешествия. А между тем
физические законы, управляющие полетом снаряда или косми-
ческого корабля, известны. Поэтому можно, например, рассчи-
тать траекторию полета спутника или снаряда. Не так уж
важно, что вы не увидите попадания снаряда в цель, вы убе-
дитесь в этом путем точного расчета. С математическим описа-
нием играть не менее интересно, чем с реальным предметом.
Подобного рода игры ранее не могли получить широкого
распространения только из-за того, что проведение вычислений
отнимало много времени и вся занимательность игры пропадала.
С появлением электронных вычислительных машин положение
изменилось: ЭВМ совершает вычисления без участия игрока
и достаточно быстро. Электронный счетчик — микрокалькулятор
(МК) позволяет в форме занимательной игры рассматривать
многие вполне серьезные проблемы.
44
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Одним из наиболее совершенных отечественных МК являет-
ся «Электроника БЗ-34». Предлагаемые ниже программы игр
рассчитаны именно на него. Желающие могут составить про-
грамму самостоятельно, но для этого надо знать основы про-
граммирования. Те читатели, которые не ставят перед собой
столь серьезных целей, вполне смогут использовать МК для
игр, если будут помнить следующее:
1. Все операции, указанные в инструкциях к программам,
необходимо выполнять дословно. Достаточно не нажать только
одну клавишу или нажать ее два раза, и МК будет выдавать
бессмысленные результаты.
2. Набор всех программ производят одинаково: после вклю-
чения МК нажимают клавиши F и ПРГ, при этом на табло
справа высвечивается 00. Затем в строгом соответствии с ин-
струкцией нажимают клавиши операций программы и сверяют
показания табло с указанными в программе. После окончания
набора нажимают клавиши F и АВТ и дальнейшие действия
выполняют в соответствии с инструкцией к игре.
После нажатия клавиш F и АВТ любые нажатия других
клавиш на программе уже никак не отразятся. Программа игры
в память МК вводится только один раз. В случае повторения
игры или изменения начальных условий набирать программу
заново не надо.
3. Любое, даже самое кратковременное выключение МК при-
водит к стиранию программы, и ее приходится набирать заново.
4. Если в процессе набора операций совершена ошибка, сле-
дует нажать клавишу ШГ и набрать правильный код. Если
название операции состоит из двух цифр, при исправлении
необходимо повторить и набор предыдущей операции. Например,
при наборе клавиш ИП, 5, ПП,Д, 5 вы набрали 4, 6 вместо 4,
5. Нажмите два раза клавишу ШГ, а затем клавиши ПП, 4 и 5.
5. Введение чисел в ячейки памяти осуществляют нажатием
клавиши Сх, при этом на индикаторе загорается 0. Затем на-
бирают требуемое число, нажимают клавишу П и набирают но-
мер соответствующей ячейки. Если число набрано неправильно,
снова нажимают клавишу Сх и заново производят набор числа.
Знак «минус» присваивается набранному числу после нажатия
клавиши /—/. Числа в МК хранятся как целая часть и по-
рядок: если набрать число 0,5, то при вводе в какую-нибудь
ячейку оно преобразуется к виду 5Х10-1 и высветит-
ся как 5 —01.
6. Содержимое ячейки извлекают нажатием клавиши ИП
и набором номера ячейки. При этом на индикаторе высвечи-
вается ее содержимое.
Приводимые далее программы написаны для МК «Электро-
ника БЗ-34», но они могут быть использованы и для аналогичных
по возможностям калькуляторов: «Электроника МК-54», «Элек-
ИГРЫ С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ «ЭЛЕКТРОНИКА 63-34»
45
троника МК-56», «Электроника МК-64» с учетом эквивалент-
ности символов: | и В f, ИП и П—>-х, П и х—>-П, sin-1 и arcsin
и пр.
Мягкая посадка
Чтобы осуществить посадку космической станции на планету,
необходимо учесть целую гамму разнородных параметров: массу
станции, которая непрерывно уменьшается из-за расхода топ-
лива, силу притяжения планеты, силу тяги тормозного дви-
гателя, трение об атмосферу. Как видно, задача непростая.
Решить ее абсолютно точно МК не может, но для игры точ-
ность получаемых результатов вполне достаточна.
Сначала в память МК вводят характеристики планеты: уско-
рение свободного падения вблизи поверхности и коэффициент
трения станции об атмосферу, а также параметры: масса стан-
ции, масса топлива, расход топлива в единицу времени, на-
чальная скорость полета, исходная высота над поверхностью,
сила тяги тормозного двигателя. Задача игрока — включить
двигатель станции на определенное время и посадить ее на по-
верхность планеты с минимальной скоростью. Для этого играю-
щий задает долю силы тяги двигателя и время его работы, а МК
рассчитывает скорость и высоту полета станции, расход топлива,
изменение массы станции в конце указанного интервала времени.
Используя эти данные, игрок вновь задает мощность двигателя
и время, а МК производит новый расчет. Так продолжается
до тех пор, пока высота полета станции не станет равной нулю.
Скорость станции в этот момент должна быть минимальной.
Используемые при игре величины должны быть выражены
в следующих единицах: масса — в килограммах, высота — в мет-
рах, время — в секундах, скорость — в метрах в секунду, сила
тяги — в ньютонах (1 килограмм силы равен 9,8 ньютона). По-
скольку расчеты выполняются по упрощенным формулам, при за-
дании интервала времени, равного одной секунде, ошибка в ре-
зультатах не превышает 1%, двум секундам — 1,5, четырем —6,
восьми — 15%. Поэтому, задав, например, интервал времени
в восемь секунд, вы получите результат, несколько отличный
от того, который получили бы, задав четыре раза по две се-
кунды.
Подготовка МК к игре. После включения МК нажимают
клавиши F, ПРГ и производят набор команд программы. После
этого нажимают клавиши F, АВТ и вводят в ячейки памяти
МК начальные параметры. Что куда вводить, ясно из табл. 1.
Игра. МК работает в диалоговом режиме — это значит, что
в нужные моменты МК задает вопросы, выдает необходимую
для ответа на них информацию и учитывает ответы играющего
при проведении вычислений. На практике это происходит следую-
46
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Таблица 1
Данные, вводимые в память микрокалькулятора
в игре «Мягкая посадка»
Параметр Ячейка Единица измерения Земля Луна Марс
Ускорение свободного 4 Метр 9,81 1,62 3,73
падения вблизи поверхности планеты Коэффициент трения 5 в секунду за секунду 0,98 0 0,001
станции в атмосфере
Сила тяги двигателя д Ньютон 20 000 15 000 20 000
Начальная высота стан- 0 Метр 500 500 500
ции над поверхностью
Начальная скорость 1 Метр в 100 100 100
Масса станции 2 секунду Килограмм 1000 1000 1000
Масса топлива, потреб- 8 Килограмм 70 85 60
ляемая двигателем при полной тяге за одну секунду
Масса топлива 3 Килограмм 500 500 500
Время полета 7 Секунда — — —
щим образом. После выполнения всех подготовительных опера-
ций нажимают клавиши В/О и С/П, на табло при этом
высвечивается «1». Это означает, что МК задает вопрос: «Ка-
кую долю силы тяги двигателя использовать?» В ответ на кла-
виатуре набирают число, меньшее или равное единице, это число
появится на индикаторе. Если при наборе числа допущена ошиб-
ка, нажимают клавишу Сх и снова производят набор. Затем на-
жимают клавишу С/П. МК запоминает ответ, и на индикаторе
появляется следующий вопрос — «2»: «На какое время включен
тормозной двигатель?»
Программа к игре «Мягкая посадка»
Нажимаемые клавиши Индикация Нажимаемые клавиши Индикация
0 00 01 ИП 3 63 49 12 14
П 7 47 00 02 — 11 63 49 15
1 01 47 00 03 /-/ 0L 11 63 16
С/П 50 01 47 04 F х>0 59 0L 11 17
П А 4- 50 01 05 7 9 79 59 0L 18
2 02 4- 50 06 ИП 3 63 79 59 19
С/П 50 02 4- 07 ИП 9 69 63 79 20
П В 4L 50 02 08 — 11 69 63 21
ИП 8 68 4L 50 09 П 3 43 11 69 22
X 12 68 4L 10 ИП 2 62 43 11 23
ИП А 6- 12 68 11 ИП 9 69 62 43 24
X 12 6- 12 12 — 11 69 62 25
П 9 49 12 6- 13 П 2 42 11 69 26
ИГРЫ С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ «ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-34»
47
Нажимаемые клавиши Индикация Нажимаемые клавиши Индикация
ИП 7 67 42 11 27 ИП 1 61 12 6L 57
ИП В 6L 67 42 28 + 10 61 12 58
+ 10 6L 67 29 П 1 41 10 61 59
П 7 47 10 6L 30 Ft 0 41 10 60
ИП 1 61 47 10 31 ИП В 6L 0 41 61
F х2 22 61 47 32 X 12 6L 0 62
ИП 5 65 22 61 33 ИП 0 60 12 6L 63
X 12 65 22 34 — 11 60 12 64
П С 4С 12 65 35 п с 4С 11 60 65
ИП Д 6Г 4С 12 36 ип в 6L 4С 11 66
ИП А 6- 6Г4С 37 F х2 22 6L 4С 67
X 12 6- 6Г 38 ИП 6 66 22 6L 68
ИП С 6С 12 6- 39 X 12 66 22 69
4- 10 6С 12 40 2 02 12 66 70
п с 4С 10 6С 41 — 13 02 12 71
ИП 9 69 4С 10 42 ЙП с 6С 13 02 72
2 02 69 4С 43 4- 10 6С 13 73
— 13 02 69 44 /-/ 0L 10 6С 74
ЙП 2 62 13 02 45 П 0 40 0L 10 75
— 11 62 13 46 ИП 1 61 40 0L 76
/-/ 0L 11 62 47 С/П 50 61 40 77
ип с 6С 0L 11 48 БП 51 50 61 78
ХУ 14 6С 0L 49 0 2 02 51 50 79
13 14 6С 50 ИП 3 63 02 51 80
ИП 4 64 13 14 51 5 05 63 02 81
— 11 64 13 52 0 00 05 63 82
/-/ 0L 11 64 53 5 05 00 05 83
П 6 46 0L 11 54 С/П 50 05 00 84
ип в 6L 46 0L 55 БП 51 50 05 85
X 12 6L 46 56 0 2 02 51 50 86
В ответ указывают время (в секундах). При нажатии клавиши
С/П МК производит вычисления по программе, о чем свиде-
тельствует мигание индикатора. По окончании вычислений (при-
мерно через 30 секунд) на табло появляется значение ско-
рости станции. Нажимают клавишу — на табло высвечи-
вается высота полета станции. Вызывая поочередно содержимое
ячеек памяти МК, выясняют, сколько осталось топлива, какова
масса станции. Все эти данные необходимо учитывать при от-
ветах на вопросы МК, касающиеся очередного этапа посадки.
После анализа данных нажимают клавишу С/П — на табло
снова появится «1», и все пойдет так, как уже описано.
МК в диалоговом режиме воспринимает в качестве ответа
на свой вопрос число, которое было на индикаторе в момент на-
жатия клавиши С/П. Можно вызвать из ячеек памяти их со-
держимое, произвести любые вычисления, но перед нажатием кла-
виши С/П на табло должен быть только ответ на вопрос МК,
иначе машина использует неправильное значение и игра нарушит-
ся настолько, что придется начинать ее заново. Сама программа,
впрочем, не пострадает.
48
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Игру ведут до того момента, пока высота полета стан-
ции не станет нулевой или отрицательной (немного). Если
скорость станции не превышает метра в секунду, можете считать,
что задача решена. Положительная скорость свидетельствует
о снижении станции, если же на табло появилось значе-
ние скорости со знаком «минус», значит, станция пошла на
взлет.
При очередном нажатии клавиши С/П на табло может высве-
титься число 505. Это означает, что у вас не осталось до-
статочно топлива, чтобывключить двигатель на указанное время.
При нажатии клавиши ^УМК выдаст на табло данные о наличии
топлива. После нажатия клавиши С/П МК снова начнет задавать
вопросы. При ответах учтите остаток топлива.
Программа позволяет моделировать посадку на различные
планеты. Необходимые для игры данные приведены в табл. 1. Па-
раметры станции задают произвольно. Для начала лучше поль-
зоваться табличными значениями. При желании игру можно
усложнить: добиваться, например, минимального времени по-
садки (оно хранится в ячейке 7), минимального расхода топли-
ва и т. д.
Соперник — калькулятор
Современные большие ЭВМ настолько совершенны, что их
удается даже обучить игре в шахматы, причем машина играет
на уровне шахматиста первого разряда. В последнее время устра-
ивают матчи между ЭВМ. Карманный калькулятор обучить по-
добным сложным играм пока нельзя, но в игры попроще он играть
может. Машина может быть серьезным соперником. Чтобы в этом
убедиться, попытайтесь поиграть с МК в следующую нехитрую
игру, известную в математике как «игра Баше».
Имеется некоторое количество одинаковых предметов, напри-
мер спичек. Двое играющих по очереди берут спички, не менее
одной, но не более заранее оговоренного числа. Побеждает тот, кто
возьмет последние спички. Конечно, МК реально брать спички
не может, но он будет вычитать их в виде чисел. Игра строит-
ся так: в память МК вводят начальное число спичек и максималь-
ное количество спичек, которое игрок может снять за один ход.
Затем выполняют ходы. Игра заканчивается победой одной из
сторон.
Подготовка МК к игре. После включения МК нажимают кла-
виши F и ПРГ и набирают команды программы. Затем нажимают
клавиши F и АВТ и вводят в ячейки памяти МК следующие числа:
в ячейку А — исходное количество спичек, в ячейку В — макси-
мальное число спичек, которое можно снять за один ход (число В),
в ячейку 2 — число 1010101, в ячейку 4 — число 5050505, в ячей-
ку 5 — 0,555555, в ячейку 6 — 2020202.
ИГРЫ С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ «ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-34»
49
Игра. Нажимают клавиши В/0 и С/П. Через несколько
секунд на табло высвечивается 1010101. Нажимают клавишу
— на индикаторе появляется исходное число спичек. На кла-
виатуре набирают число спичек, которые желательно снять, и на-
жимают клавишу С/П. Примерно через 15 секунд на табло появ-
ляется оставшееся после хода МК количество спичек. Нажав
клавишу @ вы узнаете, какой ход сделал МК- После этого ваш
ход. Выполните его так же, как и предыдущий. Игра длится до тех
пор, пока на табло не появится итоговый сигнал. Если вы выигра-
ли, то загорится число 5050505. Число 2020202 означает, что
вы проиграли.
Сигнал 1010101, загорающийся во время игры, свидетель-
ствует о том, что при очередном ходе вы нарушили правила игры,
набрав на клавиатуре число, не лежащее в интервале от 1 до В.
Число набирают правильно и нажимают клавишу С/П.
Стрельба (первый вариант)
Предлагаемая игра моделирует стрельбу по движущейся
мишени из-за укрытия. Размеры мишени: длина — 6 метров,
ширина — 4 метра, высота — 2 метра. Мишень движется со ско-
ростью V перпендикулярно направлению на орудие на расстоя-
нии х от него. Между мишенью и орудием на расстоянии М от по-
следнего находится препятствие, например гора, высотой Н.
Орудие наводят под углом а к горизонту и углом р к линии,
соединяющей мишень и орудие в момент выстрела. Скорость
полета снаряда может быть изменена добавлением к основному
заряду, придающему снаряду в момент вылета скорость 400 мет-
ров в секунду, дополнительных зарядов (не более трех).
Один дополнительный заряд увеличивает скорость снаряда на 100
метров в секунду.
Программа к игре «Соперник — калькулятор»
Нажимаемые клавиши Индикация Нажимаемые клавиши Индикация
ИП В 6 L 01 F х>0 59 10 6L 14
1 01 6L 02 0 5 05 59 10 15
+ 10 01 6L 03 ИП 0 60 05 59 16
П 1 41 10 01 04 ИП А 6- 60 05 17
ИП А 6- 41 10 05 — 11 6- 60 18
ИП 2 62 6- 41 06 /-/ 0L 11 6- 19
С/П 50 62 6- 07 П А 4- 0L 11 20
П 0 40 50 62 08 F х = 0 5Е 4- 0L 21
/—/ 0L 40 50 09 2 4 24 5Е 4- 22
F х<0 5С 0L 40 10 ИП 4 64 24 5Е 23
0 5 05 5С 0L 11 С/П 50 64 24 24
ИП В 6L 05 5С 12 ИП А 6- 50 64 25
+ 10 6L 05 13 ИП 1 61 6- 50 26
50
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Нажимаемые клавиши Индикация Нажимаемые клавиши Индикация
— 13 61 6- 27 П С 4С 0L И 41
ЙП 5 65 13 61 28 F х=0 5Е 4С 0L 42
— И 65 13 29 4 5 45 5Е 4С 43
1 01 11 65 30 2 02 45 5Е 44
вп ОС 01 11 31 П С 4С 02 45 45
7 07 ОС 01 32 ИП А 6- 4С 02 46
+ 10 07 ОС 33 ИП С 6С 6- 4С 47
F Вх 0 10 07 34 — 11 6С 6- 48
— 11 0 10 35 F х=0 5Е 11 6С 49
ИП 1 61 И 0 36 5 1 51 5Е 11 50
X 12 61 11 37 ИП 6 66 51 5Е 51
ИП А 6- 12 61 38 П А 4- 66 51 52
— 116- 12 39 БП 51 4- 66 53
/-/ 0L 11 6- 40 0 6 06 51 4- 54
Перед игрой в соответствующие ячейки памяти МК вводят на-
чальные условия игры: расстояние между орудием и мишенью —
х, скорость мишени — V, высота препятствия — Н, расстояние
до него — М. Задача играющего — указать углы а и р, а также
заряд. На основании этих данных МК рассчитает траекторию
снаряда и определит, попали ли вы в мишень. При промахе МК
сообщит информацию, необходимую для корректировки стрельбы.
После введения поправки в установку орудия выстрел произ-
водится заново. МК опять рассчитывает траекторию и отмечает
попадание или выдает информацию для новой корректировки.
Подготовка МК к игре. Нажимают клавиши F и ПРГ и на-
бирают команды программы. После этого нажимают клавиши
F и АВТ и в ячейки памяти МК вводят величины х, М, И, вы-
раженные в метрах, и величину V, выраженную в метрах в секун-
ду. В ячейки 5 и 6 вводят необходимые константы, поль-
зуясь табл. 2.
Примечания. 1. Если вы хотите играть без препятствия и стрелять
«прямой наводкой», введите нули в ячейки 0 и 1.
2. При изменении условий стрельбы (х, V, М, Н) нет необходимости снова
вводить константы в ячейки 5 и 6.
Таблица 2
Распределение ячеек памяти МК
в программе игры «Стрельба»
Ячейка Величина Ячейка Величина
А а — угол возвышения орудия 1 Н — высота препятствия
В р — угол доворота орудия 2 X — дальность полета снаряда
С X — расстояние до мишени 3 а — перелет-недолет
д V — скорость мишени 4 в — левее-правее
0 м — расстояние до препятствия 5 100
6 4,905
ИГРЫ С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ «ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-34»
51
Игра. Как и в «Мягкой посадке», используется диалоговый
режим. Это означает, что МК будет задавать вопросы и обрабаты-
вать получаемые от вас ответы. После выполнения указанных
выше операций вводят в ячейки А и В нули и нажимают кла-
виши В/О и С/П. Мигание индикатора будет свидетельство-
вать о том, что МК производит вычисления. На индикаторе за-
горается цифра 1 — это значит, МК задает вопрос: «На какой угол
поднять ствол орудия?» На клавиатуре набирают ответ и нажи-
мают клавишу С/П (угол, как правило, указывают в градусах,
поэтому надо проверить положение переключателя «градусы—
Программа к игре «Стрельба». Первый вариант
Нажимаемые Индикация Нажимаемые Индикация
клавиши клавиши
1 01 01 X 12 67 68 39
С/П 50 01 02 ИП 6 66 12 67 40
ИП А 6- 50 01 03 — 13 66 12 41
-F 10 6- 50 04 П 2 42 13 66 42
П А 4- 10 6- 05 ИП С 6С 42 13 43
2 02 4- 10 06 — 11 6С 42 44
С/П 50 02 4- 07 П 3 43 11 6С 45
ИП В 6L 50 02 08 ИП 7 67 43 И 46
+ 10 6L 50 09 ИП 6 66 67 43 47
п в 4L 10 6L 10 — 13 66 67 48
3 03 4L 10 11 ЙП д 6Г 13 66 49
С/П 50 03 4L 12 X 12 6Г 13 50
f 0Е 50 03 13 П 9 49 12 6Г 51
4 04 0Е 50 14 ИП В 6L 49 12 52
+ 10 04 0Е 15 F sin 1С 6L 49 53
ИП 5 65 10 04 16 ИП 2 62 1С 6L 54
X 12 65 10 17 X 12 62 1С 55
П 2 42 12 65 18 ИП 9 69 12 62 56
ИП А 6- 42 12 19 — И 69 12 57
F sin 1С 6- 42 20 П 4 44 11 69 58
X 12 1С 6- 21 F х2 22 44 11 59
П 7 47 12 1С 22 9 09 22 44 60
ИП А 6- 47 12 23 — 11 09 22 61
F cos 11' 6- 47 24 F х<0 5С И 09 62
ИП 2 62 1Г 6- 25 8 2 82 5С 11 63
X 12 62 1Г 26 ИП 3 63 82 5С 64
П 8 48 12 62 27 F х2 22 63 82 65
ИП 0 60 48 12 28 4 04 22 63 66
F х#=0 57 60 48 29 — 11 04 22 67
3 6 36 57 60 30 F х>0 59 11 04 68
ПП 53 36 57 31 7 8 78 59 И 69
8 7 87 53 36 32 ИП С 6С 78 59 70
ИП 1 61 87 53 33 ПП 53 6С 78 71
— И 61 87 34 8 7 87 53 6С 72
F х>0 59 11 61 35 F х>0 59 87 53 73
0 0 00 59 11 36 8 2 82 59 87 74
ИП 8 68 00 59 37 2 02 82 59 75
ИП 7 67 68 00 38 — 11 02 82 76
52
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Нажимаемые клавиши Индикация Нажимаемые клавиши Индикация
F х<0 5С 11 02 77 ИП 8 68 00 51 88
8 2 82 5С 11 78 — 13 68 00 89
0 00 82 5С 79 П 9 49 13 68 90
С/П 50 00 82 80 ИП 6 66 49 13 91
БП 51 50 00 81 X 12 66 49 92
8 5 85 51 50 82 ИП 7 67 12 66 93
ИП 4 64 85 51 83 — 11 67 12 94
ИП 3 63 64 85 84 ИП 9 69 11 67 95
С/П 50 63 64 85 X 12 69 11 96
БП 51 50 63 86 /-/ 0L 12 69 97
0 0 00 51 50 87 в/о 52 0L 12 98
радианы» и поставить его в положение «градусы»; углы можно
задавать и в радианах). Цифра 2 на экране означает вопрос:
«На какой угол довернуть орудие, чтобы учесть сдвиг мишени
за время полета снаряда?» Ответ вводят аналогично и нажимают
клавишу С/П. Когда на экране появится цифра 3 (вопрос:
«Каким зарядом стрелять?»), нажимают клавишу 0, если допол-
нительных зарядов не надо, или клавиши 1, 2, 3 — по числу до-
полнительных зарядов. Нажав клавишу С/П, пускают МК на
счет. Время расчетов — примерно 30 секунд. При попадании
в мишень на табло загорается 0. Если в мишень вы не попали,
на табло высвечивается расстояние от мишени до места паде-
ния снаряда. В случае перелета оно будет положительным, при
недолете — отрицательным. После нажатия клавиши на
табло высвечивается, насколько правее мишени (если число
положительное) или левее (если число отрицательное) вы
попали.
Проанализировав результат выстрела, нажимают клавишу
С/П. На табло загорается цифра 1. Для ответа набирают только
величину, на которую требуется изменить угол а (а не новое
значение угла). При увеличении угла — поправка положитель-
ная, при уменьшении — отрицательная. Нажимают клавишу
С/П. МК задает вопрос 2, ответ на который аналогичен преды-
дущему. После ответа нажимают клавишу С/П. После появ-
ления на табло вопроса, выраженного цифрой 3, указыва-
ют заряд для стрельбы. Нажав клавишу С/П, пускают МК на
счет.
Снаряд может попасть в препятствие, тогда примерно через
10 секунд на табло загорится цифра 1. МК сообщает вам об этом
и снова задает вопросы.
Для облегчения «пристрелки» полезно записывать поправки
и результаты стрельб с этими поправками. Запись, кроме того,
позволяет сделать выводы о влиянии различных факторов на по-
лет снаряда, например препятствия.
ИГРЫ С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ «ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-34»
53
Правильность работы программы можно проверить с по-
мощью следующего теста. Вводят в память МК условия стрель-
бы: х=12 000 метров, У=10 метров в секунду, А4=2000 метров,
//=400 метров. Попадание должно произойти при а =14,045718°
и р =1,1813154°. Если задать //=500 метров, снаряд попадет
в гору. В обоих случаях используют один дополнительный заряд.
Случайные числа
Многие игры основаны на использовании случайных чисел.
Их получают различными способами: бросают монету или кубик,
крутят рулетку, вытаскивают пронумерованные шарики из бара-
бана, как в «Спортлото», и т. д. Программа для МК позволяет
смоделировать все эти способы. Особенность такой программы —
введение в ячейки А и 0 произвольных чисел, удачность выбора
которых необходимо проверить. Перед тем как использовать
случайные числа в игре, выясняют, нет ли периодичности
в их появлении. Если периодичность выявлена, надо подобрать
более удачные исходные числа (выбор во многом зависит от ин-
туиции и везения).
Подготовка МК к работе. Нажимают клавиши F и ПРГ
и набирают команды программы. Нажимают клавиши F и АВТ
и вводят в память МК исходные данные: в ячейку В — 1, ВП,
7, в ячейку С — 0,5555555; в ячейку Д — число К (случайные
числа будут получаться в интервале от 1 до К включительно),
в ячейку 0 — 97 .(997 или другое число), в ячейку А — 0,6358974
(или другое число).
Игра. После набора всех исходных данных нажимают клави-
ши В/О и С/П. Примерно через 20 секунд на табло появит-
ся первое случайное число, нажимают еще раз клавишу С/П
и получают следующее число и т. д. Задав К равным 2, вы
смоделируете подбрасывание монеты, равным 6 — подбрасыва-
ние кубика, 36 и 49 означают, что вы смоделировали игру
в «Спортлото».
Программа к игре «Случайные числа»
Нажимаемые клавиши Индикация Нажимаемые клавиши Индикация
ИП А 6- 01 X 12 6Г 11 11
ИП 0 60 6- 02 1 01 12 6Г 12
X 12 60 6- 03 + 10 01 12 13
П 1 41 12 60 04 П 1 41 10 01 14
ПП 53 41 12 05 ПП 53 41 10 15
2 5 25 53 41 06 2 5 25 53 41 16
ИП 1 61 25 53 07 ИП 2 62 25 53 17
ИП 2 62 61 25 08 С/П 50 62 25 18
— 11 62 61 09 ИП 1 61 50 62 19
ИП д 6Г 11 62 10 ИП д 6Г 61 50 20
54
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Нажимаемые Индикация Нажимаемые Индикация
клавиши клавиши
— 11 6Г 61 21 — 11 6С 61 28
ип д 6Г 11 6Г 22 ип в 6 11 6С 29
— 13 6Г 11 23 Н- 10 6L И 30
БП 51 13 6Г 24 ип в 6L 10 6L 31
0 1 01 51 13 25 — И 6L 10 32
ИП 1 61 01 51 26 П 2 42 11 6L 33
ип с 6С 61 01 27 В/О 52 42 11 34
Стрельба (второй вариант)
В этой игре необходимо несколько раз поразить мишень,
устроенную по принципу матрешки: в результате попадания она
уменьшается вдвое. После каждого выстрела мишень прибли-
жается на один шаг. Количество шагов равно количеству сна-
рядов, а величина шага такова, что если мишень не будет пора-
жена требуемое число раз, то она «наедет» на орудие при послед-
нем шаге. Это означает поражение.
Подготовка МК к игре. После включения МК нажимают
клавиши F и ПРГ и набирают команды программы. Затем нажи-
мают клавиши F, АВТ и вводят исходные данные: в ячейку 8 —
первоначальное расстояние до мишени, выраженное в метрах
(например, 5000), в ячейку 1 —начальное количество снарядов,
равное количеству шагов мишени (например, 20), в ячейку
В — скорость снаряда в метрах в секунду (примерно от 500 до
800), в ячейку 2 — начальную высоту мишени в метрах (напри-
мер, 10), в ячейку 0 — число мишеней, которые последовательно
необходимо поразить, чтобы выиграть (например, 3). Кроме
того, вводят числа: 4,905 — в ячейку 3, 50505 — в ячейку С
и 20202 — в ячейку Д.
Игра. Нажимают клавиши В/О и С/П. На табло появляется
гвоначальное расстояние до мишени. При нажатии клавиши
на табло высвечивается начальное количество снарядов.
>бы произвести выстрел, набирают на клавиатуре значение
угла возвышения орудия и нажимают клавишу С/П. МК рас-
считывает траекторию снаряда. При попадании в мишень на
табло появляется сигнал «55». Нажимают клавиши F, «,» (по-
ворот стека для вывода числа в регистр). На табло высвечива-
ется число мишеней, которое осталось поразить. После повтор-
ного нажатия указанных клавиш на табло выводится остав-
шееся количество снарядов. Если вы не попали в мишень,
то на табло появится значение перелета или недолета в
метрах.
ИГРЫ С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ «ЭЛЕКТРОНИКА 83-34»
55
Нажимаемые клавиши Программа к игре «Стрельба». Второй вариант Индикация
Индикация Нажимаемые клавиши
ИП 8 ИП 1 68 01 61 68 02 6 3 F L0 63 5С 11 41 5Г 63 5С 42
— 13 61 68 03 4 5 45 5Г 63 43
П 7 47 13 61 04 ИП С 6С 45 5Г 44
0 00 47 13 05 С/П 50 6С 45 45
П 6 46 00 47 06 F L1 5L 50 6С 46
ИП 1 61 46 00 07 4 9 49 5L 50 47
ИП 8 68 61 46 08 ИП Д 6Г 49 5L 48
С/П 50 68 61 09 С/П 50 6Г 49 49
ИП 6 66 50 68 10 ИП 2 62 50 6Г 50
+ 10 66 50 11 2 02 62 50 51
П 6 46 10 66 12 — 13 02 62 52
F cos 1Г 46 10 13 П 2 42 13 02 53
ИП В 6L 1Г 46 14 ИП 1 61 42 13 54
X 12 6L 1Г 15 ИП 7 67 61 42 55
F х2 22 12 6L 16 X 12 67 61 56
П 5 45 22 12 17 П 8 48 12 67 57
ИП В 6L 45 22 18 ИП 1 61 48 12 58
F х2 22 6L 45 19 ИП 0 60 61 48 59
ИП 6 66 22 6L 20 5 05 60 61 60
2 02 66 22 21 5 05 05 60 61
X 12 02 66 22 БП 51 05 05 62
F sin 1С 12 02 23 0 8 08 51 05 63
X 12 1С 12 24 F L1 5L 08 51 64
2 02 12 1С 25 6 7 67 5L 08 65
— 13 02 12 26 ИП Д 6Г 67 5L 66
П 4 44 13 02 27 С/П 50 6Г 67 67
ИП 3 63 44 13 28 ИП 4 64 50 6Г 68
ИП 8 68 63 44 29 ИП 3 63 64 50 69
X 12 68 63 30 — 13 63 64 70
— 11 12 68 31 ИП 8 68 13 63 71
ИП 8 68 11 12 32 — 11 68 13 72
ИП 5 65 68 11 33 П 9 49 11 68 73
— 13 65 68 34 ИП 1 61 49 11 74
X 12 13 65 35 ИП 7 67 61 49 75
F х>0 59 12 13 36 X 12 67 61 76
6 3 63 58 12 37 П 8 48 12 67 77
ИП 2 62 63 59 38 ИП 9 69 48 12 78
— 11 62 63 39 БП 51 69 13 79
F х<0 5С 11 62 40 0 8 08 51 69 80
Нажав клавишу вы узнаете расстояние до мишени. Недолет
или перелет отсчитывают от положения мишени в момент выст-
рела, после которого мишень сдвигается на один шаг (на табло
будет показатель ее нового положения).
Вводя поправку в установку орудия, необходимо учитывать
и сдвиг мишени, и промах. Так, если шаг составляет 500 метров,
а перелет— 100 метров, то для поражения мишени в ее новом
положении точка попадания должна быть приближена на
56
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
600 (500+100) метров, а при недолете — на 400 (500—100) мет-
ров. Величину шага при расчетах можно вызвать из ячейки 7.
После анализа результата выстрела вводят необходимую
поправку к углу возвышения орудия. Поправка положительна
при подъеме ствола и отрицательна при его опускании. Значение
поправки набирают на клавиатуре, «выстрел» производят на-
жатием клавиши С/П. После расчетов, длящихся примерно 30
секунд, МК сообщит о результате. Когда все мишени будут пора-
жены, на табло появится число 50505. Если мишень достигнет
орудия, высветится число 20202 — вы проиграли.
Неправильно введенные поправки могут привести к пара-
доксальным результатам. Тогда следует вызвать из ячейки
6 значение угла возвышения орудия и проверить его. Обычное
его значение — от 0 до 45°. Для устранения обнаруженной ошиб-
ки на клавиатуре набирают правильное значение угла и вводят
его в ячейку 6.
Для удобства введения поправок в установку орудия можно
составить таблицу, в которую заносят расстояния до мишени,
поправки и величину промаха. Сначала рекомендуется «стре-
лять» при следующих условиях: начальные дальности— 10 000,
2000, 500 метров, количество снарядов — 20, мишеней — 3, пер-
воначальная высота мишени — 10 метров, скорость снаряда —
500 метров в секунду.
♦ * *
С помощью микрокалькулятора можно моделировать всевоз-
можные ситуации и решать задачи разной степени сложности.
Мы привели пять игровых программ, которые, безусловно, не
исчерпывают всего многообразия возможностей программируе-
мого калькулятора. Если игры заинтересуют вас, изучите пра-
вила программирования и сами придумайте игры, затрагивающие
любые сферы человеческой деятельности. Изобретательство
подобного рода позволит освоить микрокалькулятор и со знанием
дела пользоваться им в повседневной практике. Область приме-
нения карманного калькулятора, как можно убедиться, не
столь уж мала.
А. В. Миронов
С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ ПРОТИВ
большой теоремы ферма
Юрист по образованию, советник парламента в Тулузе Пьер
Ферма (1601 —1665) был к тому же еще и великим математиком.
Ферма имел привычку делать пометки на полях книг. Однажды
С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ ПРОТИВ БОЛЬШОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 57
против восьмой задачи второй книги Диофанта он записал, что
разделить куб на два других куба, четвертую степень или вообще
какую-либо степень выше второй на две степени с тем же пока-
зателем невозможно. Ферма утверждал, что нашел воистину
замечательное доказательство этого, однако поля книги оказа-
лись слишком узкими, чтобы поместить его. Иными словами,
не существует целых положительных а, Ь, с и целого п>2,
чтобы ап+Ьл=сп.
За прошедшие три столетия так и не удалось получить дока-
зательства теоремы, хотя она, несомненно, верна для опреде-
ленных значений п. Предпринималась даже прямая численная
проверка теоремы на мощных ЭВМ, но однозначных сведений
о доказательстве либо опровержении теоремы до сих пор нет.
Предлагаем читателю попытаться разрешить этот вопрос с по-
мощью микрокалькулятора «Электроника БЗ-34».
Первоначально можно сделать следующее. Все операции над
числами и их сравнение выполнить только для избранных не-
скольких младших разрядов, например только для единиц, еди-
ниц и десятков и т. д. Старшие разряды при каждом умножении
и сложении «срезаются», для чего расчет осуществляется в ре-
жиме фиксированной запятой (с целыми числами), а числовые
регистры калькулятора не переполняются, хотя имеется всего
восемь десятичных разрядов. Положительный результат счета,
то есть совпадение левой и правой частей равенства для млад-
ших разрядов (например, единиц), служит основанием для про-
должения расчетов с добавлением следующего старшего раз-
ряда (десятков). Если при какой-то разрядности ни одного сов-
падения не получится, значит, для данного показателя степени
теорема верна.
Если имеются совпадения, то разрядность увеличивается на
единицу. Для каждого результата предыдущего цикла вычисле-
ний проверяются последовательно все комбинации цифр от 0 до 9
следующего разряда (таких комбинаций — тысяча) и т. д. Ес-
ли, наконец, появится комбинация 0—0—0, например а=О<цао,
Ь=Орфо, c=Oyiyo (буквами а,р,у обозначены деся-
тичные цифры), особенно если эта комбинация повторилась
(a=OOaiao), рекомендуется повторить расчет вручную с пол-
ным количеством разрядов, то есть перемножить числа стол-
биком.
В табл. 3 приведена программа, которую необходимо ввести
в память калькулятора. Обозначения в программе соответствуют
принятым в книге В. П. Дьяконова «Справочник по расчетам
на микрокалькуляторах» (М., Наука, 1985).
Распределение памяти в программе: Р7=а, Р8=Ь, Р9=с,
РД=10к, РА=5,5555555 • 10 ', РВ=п. Результат расчета:
a1=a+(P0—1)Х10к, Ь'=Ь+(Р1 —1)ХЮК, с‘=с+(Р2—1)Х10к.
58
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Таблица 3
Программа для микрокалькулятора
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
00 1 0 по 1 0 П1 1 0 П2 ИП7
10 ипо пп 42 ПС ИП8 ИП1 пп 42 ИПС +
20 пп 58 ПС ИП9 ИП2 пп 42 ИПС — Fx=0
30 32 С/П fl2 09 FL, 06 FL0 03 ипо 1
40 — Fx 1, — ИПД X 1 0 — +
50 ипв ПЗ Г 1 1 X ипд —
60 f ИПА 1 вп 7 + FBx — —
70 ипд X FL3 57 В/О
В регистр В вводят показатель степени п, в регистр Д —
число 10к (к<4, например, 100— при счете с двумя разрядами),
в регистры 7, 8, 9 — числа, полученные на предыдущем этапе (их
разрядность: к—1). При к=1 вводят нули. После останова каль-
кулятора и индикации нуля результат определяют указанным вы-
ше способом. Он используется в дальнейших вычислениях. Если
при останове высвечивается ЕГГОГ, значит, комбинаций,
дающих равенство левой и правой частей утверждения, не
найдено.
Пример вычислений. Вводим п=2->РВ, 10к=100->РД,
а=7-»-Р7, Ь=6-*-Р8, с=5—»-Р9. Нажимаем клавиши В/О, С/П.
Практически сразу происходит останов с индикацией 0. Изв-
лекаем: Р0—ИО, Р1-И0, Р2-И0, получаем результат:
а'=97, Ь*=96, с*=95. Нажимаем клавишу С/П и продолжа-
ем поиск.
После того как вы освоите вычисления при небольших зна-
чениях п (п<19), попытайтесь усовершенствовать программу
с целью ускорения процесса возведения в степень. Для этого
вместо п последовательных умножений перейдите к чередованию
действий умножения и возведения в квадрат, взяв за основу
чередование нулей и единиц при записи числа п в двоичной
системе счисления. Тогда, например, возведение в степень
п = 2000 будет осуществляться всего вдвое дольше, чем в сте-
пень п= 11.
Великие математические проблемы поглощают громадное ко-
личество свободного времени, интеллекта, а порой и человеческие
судьбы. Трудно сказать, хорошо это или плохо. Однако, как пи-
сал видный советский генетик М. Е. Лобашев, только в одержи-
мости идеей, вызывающей желание что-то сделать, чего-то до-
стигнуть, исследователь может двигаться вперед. Поиграйте с
калькулятором в теорему Ферма, и рано или поздно вы ощутите
потребность глубже вникнуть в программирование и теорию
чисел.
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЧИСЛАМИ
59
В. А. Глинский
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЧИСЛАМИ
Играм с числами, по мнению математиков, присущи некото-
рые черты произведений искусства: простые и четкие правила,
создающие строго упорядоченный мир, где все целесообразно,
полно внутренней гармонии и красоты. Это особенно характерно
для математических игр с числами на специальной клеточной
доске типа шахматной. В математических играх на шахматной
доске практически исключается случайный успех. Удача опреде-
ляется единственно мышлением.
Игры на клеточной доске иногда сравнивают с живыми орга-
низмами, которые развиваются, размножаются, и в процессе
их развития появляются новые виды. Между наиболее извест-
ными играми родственные связи, как правило, условны, опосре-
дованы, не всегда строго доказуемы и однозначны. И это естест-
венно: чтобы одна игра сменила другую, новые игровые отли-
чия в ней должны перерасти в незнакомое игровое качество.
В этой статье мы рассматриваем лишь одну ветвь генеало-
гического игрового древа — перестановочные игры на клеточной
доске, точнее, три их вида: магические квадраты, шахматы и
игру в «15».
Магические квадраты
На знаменитой гравюре «Меланхолия» выдающегося немец-
кого художника Альбрехта Дюрера (1471 —1528) воспроизведена
любопытная геометрическая фигура, представляющая собой та-
блицу с цифрами, подобранными таким образом, что сумма цифр
каждой строки, каждого столбца и двух главных диагоналей
одна и та же. Это так называемый магический квадрат. Во
времена художника магические квадраты привлекали внимание
математиков, алхимиков и астрологов. Часто им приписывали
волшебные свойства.
Составление магических квадратов — одна из древнейших
комбинаторных игр. В наши дни интерес к магическим квад-
ратам вновь оживился в связи с возникновением любопыт-
ной версии о непосредственной исторической связи магических
квадратов и шахмат. Эту версию неизменно поддерживают со-
ставители сборников математических головоломок, включающие
в такие сборники, наряду с заданиями по построению магических
квадратов, классические шахматные задачи. Так, в замечатель-
ной книге известного польского математика Г. Штейнгауза «Ма-
тематический калейдоскоп» (М., Наука, 1981), посвященной за-
нимательным вопросам математики, сама форма изложения ма-
териала наталкивает на мысль о прямом родстве шахмат и маги-
6С
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
4 9 2
3 5 7
со 1 6
Рис. 47. Магический квадрат
Ло Шу.
ческих квадратов. У читателя невольно рождается желание
найти связь между магическими квадратами и законами шахмат-
ной игры.
Гипотезу, согласно которой шахматы произошли из маги-
ческих квадратов, впервые высказал в прошлом веке англий-
ский математик Кессон. Много аргументов в ее пользу приво-
дится и в современной литературе'.
Конечно, не вызывает сомнения тот факт, что исторически
магические квадраты предшествовали шахматам (большинство
исследователей полагает, что шахматы появились в VI веке на-
шей эры, их родина — Индия). Магические квадраты существо-
вали уже более двух тысяч лет, прежде чем о них узнала средне-
вековая Европа. Еще в X веке до нашей эры китайские матема-
тики занимались изучением комбинаций и перестановок цифр.
Показанный на рис. 47 древний китайский магический квадрат
Ло Шу представляет собой одну из элементарных задач этого
рода. Магический квадрат типа Ло Шу, по-видимому, впервые
упоминается в трактате испанского филолога и поэта XII века
Ибн-Эзра, хорошо знакомого с достижениями математиков араб-
ского Востока.
Чтобы построить магический квадрат, необходимо расставить
в квадрате п\п числа от 1 до п.2 так, чтобы суммы чисел по гори-
зонтали, вертикали и диагонали были равны одному и тому же
числу, которое называют магическим. Значение магического
числа или магической константы (к) можно подсчитать по
формуле:
к = + ”1 2)-
Принцип составления магических квадратов довольно прост.
При желании читатель может потренироваться в этом деле, руко-
водствуясь правилами, которые мы изложим на примере маги-
ческого квадрата 3X3 (или квадрата Ло Шу). Эти правила
запоминают правила составления кроссвордов.
Выпишем в ряд все числа, подлежащие расстановке:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Определим магическое число квадрата Ло Шу. С этой целью
суммируем все числа от 1 до 9 и полученную сумму раз-
1 См.: Рудин Н. От магического квадрата к шахматам. М., Просвещение,
1969; Гик Е. Математика на шахматной доске. М., Наука, 1976.
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЧИСЛАМИ
61
Рис. 48. Этапы построения маги-
ческого квадрата Ло Шу:
а — нахождение центрального
числа; б — выбор тройки чисел,
не содержащих центрального
числа, в — дополнение строки
9, 5 и диагоналей 4, 5 и 2, 5.
б
4 9 2
5
делим на порядок квадрата, то есть на 3. Суммировать числа
лучше попарно, то есть
14-9 + 2+8 + 3+7 + 4+6 + 5= 10Х 4 + 5 = 45.
Отсюда легко получить значение магического числа:
45:3=15.
Далее необходимо составить все возможные комбинации
трех чисел, суммы которых равнялись бы 15. Рекомендуем сле-
дующую методику последовательного поиска таких комбинаций.
Как видно из предыдущего, мы имеем четыре пары чисел:
1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6, суммы которых равны
10. Добавив в каждую указанную пару (между парами чи-
сел) неучтенное число 5, мы получим четыре тройки чисел,
сумма каждой из которых равна магическому числу 15:
1, 5, 9; 2, 5, 8; 3, 5, 7; 4, 5, 6.
Нетрудно догадаться, что в искомом магическом квадрате
число 5, называемое центральным, должно находиться на цент-
ральной клеточке (рис. 48, а)1.
Можно выбрать тройку чисел таким образом, чтобы она не
содержала цифры 5, но сумма цифр равнялась бы 15, например
4, 9, 2 (рис. 48, б). Правильность выбора последовательности
цифр подтверждается появлением в квадрате предсказанных ра-
нее троек цифр 4, 5, 6; 9, 5, 1 (или 1, 5, 9) и 2, 5, 8
(рис. 48, в). Размещение оставшейся тройки 3, 5, 7 возможно
только однозначным образом, как показано на рис. 47.
Предлагаем читателям самостоятельно апробировать описан-
ную методику при составлении магического квадрата 5Х 5. Попы-
тайтесь сформулировать приемы построения магических квадра-
тов четного порядка, например 4Х 4. Заинтересовавшись этой
проблемой, читатель, несомненно, испытает необычайный твор-
ческий азарт, сродни азарту первооткрывателя, и не удивится
тому факту, что А. Дюрер, очарованный цифровой магией, вос-
1 Центральное число имеется в любом магическом квадрате нечетного
порядка. Например, в квадрате 5X5 это число 13. Существует простая законо-
мерность, позволяющая легко определить центральное число. Для этого надо
сложить первое и последнее числа рассматриваемого ряда и результат разде-
лить на 2. Например, для квадрата Ло Шу: (1-|-9)/2= 5, для квадрата 5X5:
(Ц-25)/2 = 13.
62
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
произвел один из магических квадратов на своей знаменитой
гравюре.
Интерес человечества к магическим квадратам поразительно
устойчив. Неугомонные искатели и почитатели цифровой гар-
монии, исчерпав плоское шахматное поле и его размеры, не оста-
новились на достигнутом. Почти всем, кто много занимался маги-
ческими плоскими фигурами, рано или поздно приходило жела-
ние построить магический куб (например, 3X3X3). Энтузиасты
древнего талисмана попытались это сделать еще 70 лет назад,
руководствуясь при этом идеей цифровой гармонии. Сегодня,
в век решения сложнейших математических задач, поиск объем-
ных магических структур представляется вполне естественным.
Если при построении квадрата Ло Шу еще можно надеяться
на простое везение, то магический куб невозможно создать,
не выработав предварительно стратегии поиска.
Попробуем построить магический куб 3X3X3. Начнем с опре-
деления центрального числа среди цифр, подлежащих расста-
новке: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27.
В приведенном ряду цифр центральное число— 14. Составим
13 троек с центральным числом: 1, 14, 27; 2, 14, 26; 3, 14, 25;
4, 14, 24; 5, 14, 23; 6, 14, 22; 7, 14, 21; 8, 14, 20;
9, 14, 19; 10, 14, 18; И, 14, 17; 12, 14, 16; 13, 14, 15. Сумма цифр
в каждой тройке соответствует магическому числу 42.
Предоставляем читателю возможность самостоятельно рас-
ставить цифры на поверхностях куба (ясно, что в «ядре» куба
следует поместить цифру 14). Это будет нелегкий труд. Отметим,
что построение совершенного магического куба 3x3x3 невоз-
можно. Но не надо отступать. Можно построить магический
куб 3X3X3, в котором магический закон будет выполнен лишь
частично. Доказано, что таких кубов может быть четыре. Попы-
тайтесь построить хотя бы один из них. Магическую константу
в кубе 3X3X3 можно подсчитать 31 раз (рис. 49).
В книге Е. Гуревича «Тайна древнего талисмана» (М., Наука,
1969) приведены совершенный магический куб 8X8X8 и совер-
шенный пандиагональный куб 7X7X7. Методы рационального
решения комбинаторных задач по построению магических кубов
порядка п>3 изложены в работе С. Ершова (сб. трудов Челя-
бинского политехнического института, 1969, №81).
Манипуляции с цифрами, приводившие к построению маги-
ческих квадратов, издавна рождали желание выработать уни-
версальные приемы и возможные закономерности расстановки
цифр. С этой целью полученные в результате длительного
поиска магические структуры подвергались специальному иссле-
дованию. Возможно, именно поиск алгоритма расстановки цифр
в определенные последовательности на клеточной доске привел
к возникновению новой игры — шахмат. В последовательности
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЧИСЛАМИ
63
Рис. 49. Магический куб 3X3X3.
ходов шахматных фигур можно усмотреть много общего с рас-
становкой цифр на клеточном поле при построении маги-
ческих квадратов.
Рассмотрим некоторые известные задачи, иллюстрирующие
родство магических квадратов и шахмат.
Шахматы
В «Визаришни чатранг» — сочинении, написанном на средне-
персидском языке, на котором говорила и писала значительная
часть предков таджиков и персов, дается древняя формулировка
комбинаторной задачи, к которой сводится шахматная игра:
главная цель игры состоит в том, чтобы одерживать победу
умом; суть же игры — быть постоянно внимательным, стремить-
ся сохранять собственные фигуры и в то же время усердно
добиваться того, чтобы захватить фигуры соперника, однако
при этом не прибегать к обману, а вести честную игру по пра-
вилам.
Шахматная комбинаторика — это задача распределения эле-
ментов в соответствии с заранее поставленными условиями.
В шахматах необходимо так разместить шахматные фигуры
на доске 8X8 клеток, чтобы один выделенный элемент (король
противника) не мог избежать мата.
Как известно, самая удивительная фигура в шахматах —
это конь. Отличительное свойство коня состоит в том, что он
в результате каждого своего хода оказывается на поле другого
цвета. Кстати, именно это свойство не позволяет решить задачу
об обходе конем всех клеток шахматной доски с началом марш-
рута в левом нижнем углу поля и с концом в правом верхнем
64
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
54 21 34 9 58 19 32 7
35 Ю 55 20 33 8 57 18
22 53 64 59 56 45 6 31
11 36 49 46 63 60 17 44
50 23 52 61 40 47 30 5
37 12 25 48 27 62 43 16
24 51 2 39 14 41 4 29
1 38 13 26 3 28 15 42
Рис. 50. Маршрут коня на шах-
матной доске, заданный после-
довательностью цифр.
40 <3
6$ 33'
48
59 & 4
ед О 1 СС
Рис. 51. Полумагический мар-
шрут коня.
углу на той же диагонали. Благодаря свойству менять цвет поля
на каждом ходу за конем закрепилось прозвище «хамелеон».
Одной из самых популярных в шахматной математике являет-
ся задача о возможности реализации полумагического квадрата1
ходом коня. Эта задача привлекала внимание крупнейших
математиков XVIII и XIX веков. Академик Петербургской
академии наук Леонард Эйлер посвятил этому вопросу большой
трактат «Решение одного любопытного вопроса, который, ка-
жется, не подчиняется никакому исследованию». Впоследствии
задачу о ходе коня часто связывали с именем Л. Эйлера.
Среди множества правил нахождения маршрута коня, спра-
ведливость которых апробирована временем, сформулируем са-
мое простое, предложенное 150 лет назад: при обходе шахмат-
ной доски коня следует всякий раз ставить на поле, из которого
он может сделать наименьшее число ходов на еще не пройденные
поля; если таких полей несколько, можно выбрать любое из них.
Иными словами, маршрут коня надо начинать с угловой пози-
ции. На рис. 50 цифрами представлена последовательность ходов
коня, которая соответствует сформулированному правилу,
на рис. 51 показан маршрут коня, который содержит некий эсте-
тический элемент. Он замкнут, образует полумагический квадрат
(равны только суммы чисел вдоль вертикалей и горизонталей).
График маршрута коня имеет элементы симметрии и также
не лишен эстетического начала.
Схема передвижения коня наиболее наглядно иллюстрирует
вероятный генезис шахмат из комбинаторной процедуры со-
1 Полумагическим называется квадрат, который отличается от магического
тем, что сумма чисел, находящихся на его диагоналях, не равна магическому
числу.
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЧИСЛАМИ
65
ставления магических квадратов. Гипотеза о связи магических
квадратов с шахматами и строится главным образом на большом
числе подобных примеров. Но даже если шахматы и обязаны
своим происхождением древним комбинаторным задачам по со-
ставлению магических квадратов, сегодня подобная связь утра-
тила свою очевидность и расценивается как неожиданный пара-
докс. На наш взгляд, в шахматах изначально заложен строго
математический порядок (и неважно, было ли это действительно
обусловлено связью шахмат с магическими квадратами или
нет). Четкие правила игры, большое многообразие комбинаций,
строгая последовательность ходов, наличие устойчивых законо-
мерностей предопределяют превосходство древних шахмат над
множеством игр на клеточном поле. Это подтверждается еще
и тем, что исходя из правил игры в шахматы путем введения
дополнительных, чаще упрощающих правил можно получить но-
вые игры. К числу таких игр — младших «родственников» шах-
мат— относится некогда популярная игра в «15».
Игра в «15»
Расставим на уменьшенной шахматной доске (4X4) 15 ла-
дей, пронумеровав их от 1 до 15. Расстановку ладей по номе-
рам в возрастающем порядке с пустым полем в правом нижнем
углу назовем нормальной. Поменяем местами ладьи с номерами
14 и 15 и сформулируем в качестве условия игры возвращение
получившейся позиции к «нормальной». Так как ход ладьи на
шахматной доске совпадает с перестановкой шашки в игре
в «15», то данная задача полностью сводится к этой игре.
Автором головоломки является американец С. Лойд (1841 —
1911), прославленный составитель шахматных, арифметических,
геометрических задач, шарад, ребусов и игр.
Игра в «15» относится к перестановочным играм и в отличие
от шахмат, будучи значительно проще их, имеет строгую матема-
тическую теорию.
Без преувеличения можно сказать, что в XIX веке игра в «15»
наделала не меньше шуму, чем в наше время венгерский кубик.
Игра привлекает кажущейся простотой задачи. Ведь добиться
надо немногого — поменять местами всего две шашки — 15 и 14.
Вот как описывает ажиотаж вокруг игры в «15» ее изобре-
татель С. Лойд: «Из уст в уста передавались удивительные рас-
сказы о лавочнике, забывшем открыть свою лавку, о священнике,
простоявшем под уличным фонарем долгую зимнюю ночь в на-
дежде припомнить, как ему удалось решить задачу... Один из-
вестный редактор из Балтиморы рассказывает, что как-то раз он
ушел в полдень на ленч и лишь поздней ночью был обнаружен
вконец отчаявшимися сотрудниками газеты сидящим за столом
и гоняющим взад-вперед по тарелке маленькие кусочки пирога!»
66
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
История умалчивает, знал ли изобретатель игры в «15» ключ
к своей головоломке, но, как впоследствии оказалось, он ничем
не рисковал, когда учредил приз в 1000 долларов счастливцу,
который нашел бы полную ее разгадку.
Лишь в 1879 году несколько математиков опубликовали тео-
рию игры в «15», раскрывшую «невольное» коварство ее изо-
бретателя. Теория оказалась чрезвычайно простой, но поучитель-
ной. Для изложения ее сути введем следующие понятия: пере-
становка— любое конкретное расположение чисел от 1 до 15;
беспорядок — такое расположение чисел i и j в перестановке,
при котором большее по сравнению с j число i встречается
в ряду чисел перестановки раньше. Например, в перестановке а
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
нет беспорядка, а в перестановке b
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 14
имеется один беспорядок, так как число 15 стоит в ряду рань-
ше числа 14. Ясно, что число беспорядков может оказаться
четным или нечетным. Например, в перестановке b число беспо-
рядков нечетное, поэтому данную перестановку можно назвать
нечетной.
Рассмотрим еще один пример. В перестановке с
1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 10, 11, 12, 15, 13, 14
числа 7, 6 и 5 стоят после 8 — три беспорядка, 6 и 5 стоят
после 7 — два беспорядка, 5 стоит после 6 — один беспорядок,
13 и 14 стоят после 15 — два беспорядка, то есть всего в пе-
рестановке с восемь беспорядков, значит, эта перестановка
четная.
Нетрудно убедиться, что передвижению фигуры по горизон-
тали и по вертикали на соседнюю пустую клетку соответствует
перестановка той же четности, что и первоначальная, если это
передвижение осуществляется вдоль направляющей линии
(рис. 52).
Передвижение с отходом от направляющей линии, а это
происходит в большинстве перестановок по вертикали, приводит
к новой перестановке, причем интересно, что старая и новая
перестановки в любом случае имеют одинаковую четность. На-
пример, нечетная перестановка (один беспорядок)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 15, 14,
соответствующая рис. 53, а, приводит при передвижении фигу-
ры 3 вниз к перестановке g (рис. 53, б)
1, 2, 4, 5, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 14,
Рис. 52. Варианты передвижения
шашки по вертикали и гори-
зонтали вдоль направляющей
линии.
Рис. 53. Пример передвижения
шашки с отходом от направ-
ляющей линии.
Рис. 54. Произвольный верти-
кальный сдвиг шашки на пустое
место.
при этом возникают два новых беспорядка (3 стоит после 4 и 5)
помимо сохранившегося прежнего беспорядка (как и ранее,
14 стоит после 15). Таким образом, перестановка g содержит
три беспорядка и остается нечетной.
Легко убедиться, что при любом вертикальном сдвиге фигуры
на пустое место (вверх или вниз), например из положения
А в положение В, на участке направляющей от Л до б распола-
гается четное число фигур. В нашем примере это четыре фигуры:
I, II, III, IV (рис. 54).
Допустим, фигура А имеет номер п. Четное число фигур, рас-
полагающихся на участке направляющей от А до В (в нашем
случае четыре), с номерами меньше п обозначим гл, с номерами
больше п обозначим k (т-|-к — четное). Тогда при передвиже-
нии фигуры А на пустое место В m беспорядков исчезнет, а к
беспорядков образуется. Таким образом, общее число беспоряд-
ков изменится на к—т. Так как к-|-т — число четное, то и
к—m — четное. Итак, вытекающие друг из друга перестановки
имеют одинаковую четность. Отсюда следует, что перестановки
а и b нельзя получить друг из друга, поскольку их четность
неодинакова.
После опубликования доказательства неразрешимости го-
ловоломки Лойда интерес публики к ней пропал.
68
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Другие перестановочные игры
Предлагаем читателям самостоятельно придумать правила
игры в «63» (аналог игры в «15» на шахматной доске 8X8),
руководствуясь только что описанной методикой.
На рис. 51 и 55 показаны полумагический и магический квад-
раты на шахматной доске. Оцените четность представленных
перестановок. Можно ли из магического квадрата получить пере-
становку, соответствующую полумагическому квадрату, и наобо-
рот? Предложите варианты перестановок 63 шашек.
При составлении магических квадратов с помощью игры
в «63» квадрат пустого поля принимают за шашку с номером 64.
В качестве тренировочного задания, наглядно иллюстрирую-
щего связь перестановочных игр (шахмат и игры в «15»), пред-
лагаем следующее. Выясните четность перестановки (рис. 56),
представляющей собой магический квадрат 4X4. Именно этот
магический квадрат изображен А. Дюрером на гравюре «Мелан-
холия». Существует мнение, что он привлек внимание худож-
ника по той причине, что в нижней строке квадрата читается
дата создания гравюры. Кстати, этот вариант магического квад-
рата, по-видимому, особенно привлекал современников худож-
ника, поскольку на нем можно отыскать почти все знаменатель-
ные даты XV—XVI веков, в том числе год рождения и смерти
самого Дюрера.
Более подробно с математической теорией игры в «15» можно
ознакомиться в книге С. Боброва «Волшебный двурог» (Детгиз,
1946). В связи с предлагаемыми заданиями заметим, что эта
теория приложима ко всем головоломкам подобного типа.
Среди игр, аналогичных игре в «15», наибольшим успехом
пользуется одна из самых ранних игр этого класса, так назы-
Рис. 55. Магический квадрат на
шахматной доске 8X8.
Рис. 56. Магический квадрат в
коробочке для игры в «15».
16 3 2 13
5 Ю 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЧИСЛАМИ
69
Рис. 57. «Папина головоломка».
1.1 1111
Рис. 58. Исходная позиция «Ко-
ролевской игры на досуге».
Рис. 59. Конечная позиция «Ко-
ролевской игры на досуге».
ваемая «Папина головоломка». В отечественной литературе ее
чаще называют «игрой в 9 шашек»1.
Для игры вам потребуются 9 шашек (3 квадратные и 6 пря-
моугольных), которые вы можете изготовить сами из картона,
фанеры или пластмассы. Размеры шашек легко установить по
рис. 57. Задача состоит в том, чтобы большой квадрат перемес-
тить в правый нижний угол. Предлагаемая головоломка, в от-
личие от игры в «15», разрешима.
В 1982 году швейцарец Вальдемар Мейер придумал новую
игру, получившую название «Королевская игра на досуге».
В исходной позиции (рис. 58) на небольшой доске расстав-
ляют в несколько рядов подвижные элементы разных форм. Одна
фигура — в виде короны. Необходимо сделать около ста ходов,
прежде чем корона переместится с самого верхнего ряда в самый
нижний (рис. 59). Добиться этого надо как можно быстрее.
Одной из модификаций игры в «15» является игра «Узоры».
На 16 квадратных шашках рисуют дуги окружности так, чтобы
из них можно было сложить определенный узор1 2.
Странно, но интерес к игре в «15» и аналогичным играм вновь
по-настоящему возродился лишь с появлением объемных голо-
воломок типа венгерского кубика. Обращение к старым играм
не случайно. Человек любит играть, и не просто играть, но
и выигрывать. Венгерский кубик для большинства людей так
и остался лишь наполовину разгаданной головоломкой. Игры
на плоском клеточном поле в основном поддаются разгадке.
Проигрыш с венгерским кубиком можно компенсировать побе-
1 См.: Наука и жизнь, 1964, №7; 1970, №8; Гарднер М. Математические
досуги. М., Мир, 1972, с. 401—409.
2 См.: Наука и жизнь, 1976, №5, с. 136.
70
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 60. Игра в «15» на ци-
линдре.
дами в «Папиной головоломке» или в «Королевской игре на
досуге».
Появление объемных головоломок заставило по-новому по-
смотреть на известные игры на клеточном поле. Так появились
трехмерные игры. Рассмотрим некоторые из них.
Двухэтажная игра в «31». Игру нетрудно изготовить. В коро-
бочку для игры в «15» укладывают 31 шашку в два этажа:
16 шашек внизу, 15 — наверху. Одно место в коробочке остает-
ся пустым. На каждой шашке на нижней и верхней гранях
проставляют номер. Для удобства дно и крышку в коробочке
делают прозрачными, напротив каждой шашки просверливают
небольшое отверстие. Попытайтесь разработать правила игры.
Игра в «15» на цилиндре. Представим себе, что в обычной
игре в «15» помимо устоявшихся правил разрешены циклические
сдвиги строк. Например, шашку 4 (рис. 60) можно поста-
вить перед шашкой 1 и сдвинуть вновь образовавшуюся строку
4—1—2—3 вправо на свободное место. Такое расширение пра-
вил игры в «15» позволяет создать забавную головоломку —
игру в «15» на цилиндре. Для игры необходимы 15 изогнутых
шашек, которые помещают в специальную коробочку между
двумя цилиндрами. Во внешнем прозрачном цилиндре проде-
лывают 16 небольших отверстий для перемещения шашек.
Если в правила игры ввести циклические сдвиги строк
и столбцов, а также шашку с номером 16, получится игра в «16»
на торе (поверхность всем известного бублика)1.
Рассмотренные варианты игры в «15» почти вплотную при-
ближают нас к сегодняшнему королю головоломок венгерскому
кубику. Убедиться в этом легко на примере двух модификаций
кубика Рубика.
' Подробное изложение различных модификаций игры в «15» см. в кн.:
Ковалевский Г. Избранные главы математической теории игр. М., 1924.
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЧИСЛАМИ
71
Куб 4X4X4. Каждая грань куба представляет собой коро-
бочку для игры в «15». Пронумеровав элементы куба, получим
шесть (по числу граней) задач Лойда, решаемых одновременно.
Логическая головоломка «Перевертыш» — модификация игры
с кубиком 3X3X3. Играют с 9 фишками. Одна фишка пронуме-
рована или специальным образом окрашена, одна фишка под но-
мером 9 отсутствует (как и в игре в «15»).
Эта головоломка позволяет решить еще одну цифровую зада-
чу — построение четырех возможных вариантов несовершенного
магического куба 3X3X3.
История возникновения многих популярных игр, включая ком-
бинаторные игры с числами, до конца неясна. Мы лишь проил-
люстрировали возможные связи между играми. На деле этих
связей могло и не быть. Так, казалось бы, от известных объем-
ных модификаций игры в «15» до венгерского кубика лишь
один шаг. Игры с кубиками А. Макмагона еще ближе к кубику
Рубика. Однако изобретатель кубика, как известно, использовал
совсем другие ассоциативные связи при создании своей голово-
ломки, которые не имеют ничего общего с известными играми.
Если говорить о еще более сложных ассоциациях, нельзя
не упомянуть о связи игр с музыкой.
* * *
Как ни странно, но математика весьма близко соприкасается
с музыкой. В основе современной (темперированной) гаммы на-
ходится такое математическое понятие, как логарифм. Так, номер
октавы представляет собой характеристику, а номер звука в дан-
ной октаве (деленный на 12) — мантиссу этого логарифма.
Пушкинская идея «поверить алгеброй гармонию», найти в
творчестве, необязательно музыкальном — любом, счетные зако-
номерности высказывалась задолго до рождения поэта. Интерес-
но, что древнегреческий струнный инструмент монохорд исполь-
зовали главным образом для математических целей. Греки,
таким образом, ставили задачу, «обратную пушкинской»: не
алгеброй поверяли гармонию, а наоборот — гармонией алгебру.
А. Дюрер пытался строить свои рисунки по законам геомет-
рии, составлял математические каноны идеальной человеческой
фигуры. Иногда ему казалось, что живописное совершенство
таится в точно выверенной математической мере. Он испещрял
подготовительные рисунки сотнями цифр, за что современники
не раз подозревали его в кабалистике.
В средневековых трактатах серьезно ставился такой вопрос:
сколько раз пришлось бы человеку наполнять мешок буквами
и высыпать их на землю, прежде чем из этих букв случайно
сложилась бы прекрасная поэма или прозаический трактат? Раз-
ве не может маленькая книга быть создана игрой случая, так же
как и вся необъятная Вселенная?
72
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
В XIII веке испанский богослов Рамон Луллий превратил
комбинаторику в своего рода культ. Он считал, что каждая
область знания сводится к нескольким основным закономерно-
стям. Изучая их возможные комбинации, исследователь (уче-
ный, литератор, музыкант) может открыть новые закономерно-
сти. Луллий даже придумал своеобразное дисковое устройство
для механического набора возможных сочетаний известных зако-
номерностей. Позже эту идею высмеял Джонатан Свифт в своей
знаменитой книге «Путешествие Гулливера».
История знает проекты литературного, музыкального и шах-
матного автоматов. Мысли Луллия и поныне находят привер-
женцев в лице создателей различных устройств, предназначен-
ных для имитации процессов творчества. Мы скептически отно-
симся ко всякого рода подобным изысканиям, а между тем
энтузиастам время от времени удается добиться неоспоримых
успехов. Так, Лейбниц, много размышлявший над вертушкой
Луллия, изобрел счетную машину, компьютерные исследования
в филологии привели к разработке методов идентификации ав-
торства литературного текста, нахождения основных фонетиче-
ских закономерностей конкретных языков. Известно о попытках
создания на основе шахматной игры так называемого музыкаль-
ного автомата. Впрочем, как и попытки создания ЭВМ — чем-
пиона мира, они далеки от успеха.
Шахматы — удобная модель для лабораторного исследования
любого вида творческой деятельности. Но не следует забывать,
что любая модель, разбивая целостный процесс на элементы,
обедняет и искажает реальное течение процесса, основные черты
которого носят всегда интегральный характер.
Однако в век компьютерной техники не исключены неожи-
данные контакты творца с ЭВМ. Если сегодня архитектор, ис-
пользуя ЭВМ, освобождается от рутинной чертежной и конструк-
торской работы, то почему в музыке нельзя применить ЭВМ, до-
пустим, для оркестровки и аранжировки произведений? Даже
первые опыты использования ЭВМ в игровой (музыкальной)
сфере привели к впечатляющим результатам. Сконструирован-
ный японскими студентами робот-пианист экспонировался на
выставке «Экспо-85». Робот свободно играл двумя механиче-
скими руками, читал ноты с листа с помощью телезрения, необы-
чайно быстро играл, делая до 50 ударов по клавишам в секунду.
Старые математические игры и забавы с числами заводят нас
иногда в самые далекие от игрового поприща сферы. Если же го-
ворить о развлекательной стороне игр, то необходимо отметить,
что в последние годы головоломки и игры становятся все более
многообразными, — на помощь приходит компьютерная техника.
Сейчас многое из того, что когда-то считалось фантастикой
реализовано на практике. Поэтому и связь игр с музыкальными
эффектами уже не кажется фантастикой.
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ
ИГРЫ
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ
ЗАГАДОЧНЫЕ ЦЕПОЧКИ
И СНОВА КУБИКИ
«ЕЖИ» И «ЗВЕЗДЫ»
(по страницам книг
и журналов)
ПРОВОЛОЧНЫЕ ЛАБИРИНТЫ
74
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
А. Т. Калинин
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА
Знаменитый венгерский кубик был придуман Эрнё Рубиком
в 1975 году. Спустя пять лет более ста миллионов людей инте-
ресовались забавной игрушкой. Почему же она стала такой зна-
менитой? И вообще, что привлекает людей в головоломках?
Не будет большим преувеличением сказать, что головоломки
относятся к самым умным, самым занимательным вещам, создан-
ным человеком, поэтому они и интересны. Их характеризуют три
удивительных свойства:
во-первых, они возбуждают интерес как у ребенка, так и
у взрослого, учат и развлекают, дарят человеку радость преодо-
ления трудностей, гордость победы, ощущение прекрасного;
во-вторых, заставляют думать, находить связи между явле-
ниями, повышают уровень интеллекта, улучшают память, вни-
мание, логику, пространственное воображение;
в-третьих, головоломки учат нестандартно мыслить: разгады-
вать их не понимая — неинтересно, а часто и невозможно.
Венгерский кубик относится к так называемым комбинатор-
ным играм. С первыми комбинаторными головоломками люди
столкнулись, видимо, более трех тысячелетий назад, когда учи-
лись складывать из отдельных плоских кусочков камней различ-
ные геометрические фигуры, то есть когда появилась первая
мозаика. С тех пор придуманы сотни различных комбинаторных
головоломок. Расскажем о некоторых из них.
Недетские головоломки из детских кубиков
В знакомой всем с детства игре кубики складывают в прямо-
угольник или квадрат так, чтобы из отдельных картинок на гра-
нях кубиков создать единую картину. При этом разрешается
брать каждый кубик в отдельности и ставить на любое место.
Дети с удовольствием играют в кубики, но для школьника она
становится слишком простой, и кубики забывают.
Но может быть, они еще лежат на самом дне ящика для игру-
шек? Достаньте их. Мы расскажем, как простейшие кубики пре-
вратить в головоломки, не менее трудные и интересные, чем
венгерский кубик.
Читателям, которые еще не имеют венгерской игрушки или не
умеют ее собирать, рассмотренные нами головоломки помогут
в будущем быстрее освоить кубик Рубика, а тем, кто склады-
вает кубик только по заученным наизусть формулам, будет инте-
ресно узнать, как такие формулы составляют.
Для игры годятся любые кубики одинакового размера. Чтобы
освоить игру, достаточно четырех кубиков, но чем их больше, тем
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА
7S
сложнее и интереснее головоломки. Если готового комплекта ку-
биков у вас нет, склейте их из плотной бумаги или картона.
Каждый кубик покрасьте в шесть цветов (по числу граней).
На одной из граней, например белой, напишите номер кубика.
А теперь познакомимся с новыми головоломками. Начнем
с самой простой.
Игра первая — переставляем кубики. Расположим комплект
кубиков на столе так, чтобы на верхних гранях получилась пра-
вильно собранная картинка. Взяв любой ряд кубиков, например
горизонтальный из середины, переставим его вниз. После этого
ряды кубиков сдвинем в исходный прямоугольник. Затем поме-
няем местами еще несколько вертикальных и горизонтальных
рядов (рис. 61). В результате таких перестановок первоначаль-
ная картинка нарушится. Задача состоит в том, чтобы восста-
новить картинку. При решении головоломки разрешается пере-
мещать ряды кубиков только показанным на рис. 61 способом,
то есть меняя ряды кубиков местами.
Решение головоломки. Сначала продолжим перестановку ря-
дов кубиков и поищем какую-нибудь закономерность в видимом
их беспорядке. Можно заметить, что, как бы ни перепутывались
ряды, все кубики, находящиеся в данном ряду, остаются в нем
всегда, только меняются местами друг с другом внутри ряда.
Такое постоянство подсказывает и простой алгоритм решения:
сначала надо поставить на свои места все горизонтальные ряды
кубиков, а затем все вертикальные. Порядок кубиков будет вос-
становлен. Решение этой задачи каждый может найти само-
стоятельно, а вот следующая головоломка — посложнее.
Игра вторая — поворачиваем кубики. Для игры возьмем че-
тыре кубика. В начале игры кубики находятся в исходном (упо-
рядоченном) состоянии. Перевернем ряды, как показано на
рис. 62, не переставляя их. Поворачивать ряды можно произ-
вольно в любую сторону на 90 или 180°. Как и в первой
головоломке, картинка на верхних гранях нарушится. Задача
Рис. 61. Игра в кубики с пере-
становкой горизонтальных и
вертикальных рядов.
76
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 62. Головоломка с враще-
нием рядов кубиков.
Рис. 63. Обозначение рядов кубиков:
Ф| — первый вертикальный ряд (состоит из
кубиков 1 и 3); П2 — второй горизонтальный
ряд (состоит из кубиков 3 и 4).
Рис. 64. Запись поворотов рядов в голово-
ломке (похожа на запись, принятую для вен-
герского кубика):
П} — поворот первого горизонтального ряда
кубиков на 90° по часовой стрелке, если
смотреть на этот ряд справа ; П2 — поворот
второго горизонтального ряда на 90° против
часовой стрелки; — поворот первого верти-
кального ряда на 180°.
состоит в том, чтобы ее восстановить. При решении задачи
можно только поворачивать ряды кубиков, другие действия за-
прещены.
Решение головоломки. Несколько раз повернем пары кубиков,
а затем попытаемся вернуть их в исходное положение. Убеждены,
что сразу найти решение вам не удастся. Безуспешно повора-
чивая ряды кубиков и все более запутывая картинку, вы, воз-
можно, подумаете: а решается ли эта головоломка вообще? Ре-
шается. Ведь если вы проделаете все повороты, какие сделали
первоначально, но в обратном порядке и в противоположных
направлениях, то безусловно придете к исходному положению.
Значит, перед нами трудная головоломка, которая требует серь-
езного изучения. Начнем изучение с подсчета количества воз-
можных состояний, в которых игра может находиться.
Мы имеем четыре кубика. Каждый из них может быть обра-
щен кверху одной из шести граней, а любая грань может нахо-
диться в четырех состояниях — по числу возможных поворотов
кубика. Итого 24 состояния. Для четырех кубиков количество со-
стояний равно (24)4=331 776. Число вариантов расположения
кубиков оказалось гораздо больше, чем можно было бы пред-
положить на первый взгляд. Отсюда и сложность решения за-
дачи, но такую задачу и решать интересно.
Раз головоломка решается сложно, советуем сначала на-
учиться записывать повороты кубиков, то есть ходы. На рис. 63
и 64 показано, как это делается. Один поворот пары кубиков —
один ход. Поворот правого вертикального столбика на 90° по
часовой стрелке обозначим буквой Ф, поворот на 90° против
часовой стрелки — Ф' и т. д.
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА
77
Далее необходимо найти ходы — операции, которые изменяют
состояние головоломки. Для головоломки из четырех кубиков
задача решается в два этапа. На первом этапе все куби-
ки поворачивают так, чтобы сверху головоломки были нуж-
ные грани. Для этого выполняют операции типа /71ФгДь ко-
торые меняют верхнюю грань одного кубика. Освоив эти опе-
рации для различных поворотов кубиков, устанавливают все
кубики нужной гранью вверх. При этом некоторые из верхних
граней могут быть неправильно ориентированы, то есть повер-
нуты на 90 или 180° относительно требуемого состояния. Поэто-
му цель второго, заключительного этапа решения головоломки
состоит в том, чтобы разрозненные картинки вернуть в правиль-
ное положение. Для этого сначала два кубика поворачивают
на 90° в разные стороны, а два других оставляют на своих
местах, то есть выполняют операцию /7|/7гФ2Д2Дь
Затем осуществляют вторую операцию: ПхПъФ'ъП'гП'х. В резуль-
тате два кубика в одном ряду поворачиваются в одну сторону
на 90°, а два других не меняют своего положения. Если нужно
повернуть другой ряд, то вид формул остается прежним, меня-
ются лишь индексы, обозначающие номера рядов.
При решении иногда встречается случай, когда у одного ку-
бика верхнюю грань надо развернуть на 180°. Это достигает-
ся последовательным выполнением двух указанных выше опера-
ций. Но возможно объединение этих двух операций. Тогда зада-
ча решается по формуле (ФП' Ф' П) • (ГГ Ф' ПФ) = ФП' Ф2ПФ.
А вот случая, чтобы только один кубик был повернут на 90°,
быть не может. Такое положение возникает только вследствие
ошибки при выполнении поворотов. Нет и формулы для вывода
кубика из этого положения.
Рассмотренная головоломка оказалась интересной и трудной.
А если взять не четыре, а большее количество кубиков? Пра-
вила, которые мы применили для решения задачи из четы-
рех кубиков, приемлемы для головоломки из любого числа
кубиков.
Допустим, мы имеем прямоугольник из кубиков, в котором п
горизонтальных и m вертикальных рядов. Головоломку решаем
описанным выше способом. На первом этапе поворачиваем все
кубики нужной гранью вверх, выполняя операцию 77].../7'_|/7'+1...
/7'0j/7|...77j_l/7i+1.../7n, которая позволяет поднять сбоку наверх
грань i, j-того кубика, то есть кубика, стоящего на пересечении
i-того горизонтального и j-того вертикального рядов.
На втором этапе, разворачивая верхние грани, используем
две формулы: Ф^П<Р2ЩФ} (разворачиваем на 180° любой i, j-тый
кубик) и /7k/7(0j/7£/7, (поворачиваем на 90° верхние грани
в j-том вертикальном ряду). Кубики с индексами к поворачи-
ваем на 90° против часовой стрелки, кубики с индексами 1 —
на 90° по часовой стрелке.
78
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
2 экз.
Рис. 65. Изготовление голово-
ломки.
Игры с кубиками привлекают своей доступностью. Но играть
с отдельными кубиками удобно только на столе. А как быть,
например, в дороге или на отдыхе? Ведь рассыпанные кубики
легко потерять. Что, если кубики соединить между собой? На
рис. 65 показано, как это сделать. Берут два куска прозрачного
полиэтилена, желательно толстого, и с помощью обычной игол-
ки с ниткой шьют контейнер для кубиков. Объем контейнера
должен быть таким, чтобы кубики (деревянные или пластмас-
совые) легко проворачивались внутри него. Ребра кубиков за-
кругляют напильником. Можно обойтись и без контейнера. Тог-
да из тонкого картона или плотной бумаги склеивают комплект
кубиков. Грани кубиков оклеивают цветной бумагой. На верхние
грани можно приклеить картинку — аппликацию.
Игра третья — переставляем и поворачиваем кубики. Это
самая трудная головоломка. Она объединяет правила игры двух
первых. При перемешивании кубиков переставляют и поворачи-
вают ряды. Задача состоит в том, чтобы восстановить первона-
чальное размещение кубиков.
Головоломку решают по тем же правилам, о которых мы уже
рассказывали. Кубики приводят в порядок за три этапа. Сначала
переставляют ряды кубиков так, чтобы каждый кубик занял свое
место. В большинстве случаев он при этом будет неправильно
повернут. На втором этапе все кубики по очереди поворачи-
вают нужной гранью вверх. На третьем этапе верхние грани
кубиков разворачивают на 90 или 180° и устанавливают в пра-
вильное положение.
Венгерский кубик может быть плоским
Мир головоломок замечателен тем, что в нем есть как слож-
ные игрушки, так и очень простые, такие, которые легко сде-
лать самим. Игрушки интересно мастерить, а потом вместе,
взрослым и детям, разгадывать головоломки. Такие занятия
полезны не только для ума, но и для рук. Известный педагог
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА
79
Рис. 66. Головоломка «Вертуш-
ка».
Рис. 67. Устройство вертушки.
XVII века Ян Коменский в своей книге «Великая дидактика»
писал: «Делая что-либо, делаем себя».
В этом разделе мы хотим познакомить читателей с незатей-
ливой игрушкой, для изготовления которой требуются две пуго-
вицы, корпус старой авторучки, пластмассовый угольник и кар-
тинка (рис. 66). Игрушка устроена по тем же законам, что
и венгерский кубик, недаром ее иногда называют «плоским ку-
биком». Мы же будем называть ее «вертушкой».
Играют в вертушку, слегка оттягивая в сторону и повора-
чивая сразу шесть треугольных элементов. Как и в венгерском
кубике, подвижные элементы сначала произвольно перепутыва-
ют, а затем пытаются восстановить нарушенный порядок. Игра
эта очень увлекательна, хотя она и проще венгерского кубика.
Но, играя с кубиком, многие ищут готового решения в журналь-
ных статьях или пользуются подсказкой знакомых. Вертушку
вы сделаете сами и сами найдете решение головоломки. Того,
кто сумеет решить эту задачу, уже не будут пугать венгерский
кубик и подобные ему головоломки.
Делаем вертушку. Игрушка состоит из двух центральных
дисков, 10 треугольных подвижных элементов, оси и резинки
(рис. 67). В качестве дисков используют две большие, совер-
шенно плоские пуговицы (если пуговицы недостаточно плоские,
их обтачивают напильником).
Треугольные элементы представляют собой равносторонние
треугольники, приклеенные попарно к оси. Чтобы элементы были
одинаковыми, при их изготовлении применяют шаблон (кусок
твердого картона). Острые углы треугольников закругляют.
80
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 68. Различные варианты
раскраски вертушки.
Оси делают из распиленного на части корпуса авторучки.
Сечение оси может быть как круглым, так и шестигранным. Дли-
на оси подвижного элемента должна быть на 0,2—0,3 мм больше
толщины центрального диска.
Резинку лучше взять галантерейную, оплетенную тканью. Ши-
рина ее должна соответствовать длине оси подвижного элемента.
Чтобы резинка хорошо скользила, ее можно смазать машинным
маслом.
Изготовив детали, собирают вертушку. Группы из шести эле-
ментов должны легко поворачиваться вокруг центров дисков.
Если играть с головоломкой неудобно, это означает, что она
изготовлена плохо.
На одну сторону вертушки приклеивают кусочки цветной бу-
маги, на другую — картинку, которую после высыхания клея
аккуратно разрезают по границам треугольников. Обе стороны
вертушки можно покрыть несколькими слоями прозрачного лака.
На рис. 68 показаны различные варианты раскраски вер-
тушки.
Играем с вертушкой. Вертушка — сложная игрушка, и осваи-
вать ее надо постепенно. Прежде чем разгадывать головоломку,
необходимо понять закономерности, по которым она действует.
Десять подвижных элементов вертушки разбивают на две
группы—левую (Л) и правую (П), по шесть треугольников
в каждой группе (два треугольника, расположенные в центре
вертушки, принадлежат обеим группам). При вращении общие
для двух групп треугольники сдвигаются и их место занимают
другие. Таким образом, при повороте одной группы треуголь-
ников изменяется состав другой группы. При поочередном вра-
щении элементов происходит их перемешивание. В результате
треугольники не только перераспределяются, но и поворачива-
ются, меняют свою ориентацию. Аналогичными свойствами обла-
дают и кубики в головоломке Рубика.
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА
81
Рис. 69. Пример простого ком-
мутатора и правила записи хо-
дов.
Х=Л2ПЧЛПЛ''Л'2
Х’Л^ЛП-'Л-'пУЛ'2
х^л'п^гг^п'л^п
Х=Х’’»П"'(Л’'пУп(|Г,Л)5
х=л(лп|л3пл|п|л2п)3л|
Рис. 70. Один из этапов реше-
ния вертушки.
Рис. 71. Конструкция голово-
ломки «Такеноскоп».
82
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 72. Различные варианты
головоломок-вертушек. Вер-
тушка в правом верхнем углу
представляет собой аналог двух
смежных граней венгерского
кубика.
В основе решения головоломок типа венгерского кубика
лежат так называемые коммутаторы. Простейший коммутатор —
это четыре движения, во время которых две группы элементов
поворачивают сначала в одну, а затем в другую сторону. Главное
свойство коммутаторов — за данное количество ходов они вносят
минимальные изменения в расположение элементов. Исследуя
и комбинируя коммутаторы, можно найти формулы перестано-
вок и поворотов треугольников вертушки. Пример простого ком-
мутатора и правила записи ходов показаны на рис. 69. Каждый
поворот группы элементов записывается символами, например:
П_|; Л+3. Буквы П и Л означают, что поворачивается соответ-
ственно правая или левая группа элементов. Знак «-)-» или
«—» указывает направление поворота, соответственно, по или
против часовой стрелки (знак «-)-» можно не писать). Цифра
в показателе степени означает количество единичных поворотов
(поворотов группы из шести элементов на 60°). На рис. 69
показан коммутатор Л-1П_|ЛП: а — исходное положение; б —
результат поворота Л~'; в — результат поворота П *; г — ре-
зультат поворота Л; д— результат поворота П, то есть резуль-
ВОКРУГ КУБИКА РУЬИКА 83
тэт выполнения коммутатора Л_|П_|«ПП (поменялись местами
элементы 3 и 4, 7 и 8, при этом элементы повернулись на ±60°).
Приведем один из способов восстановления рисунка вертуш-
ки, предложенный болгарским математиком Д. Вакареловым.
Головоломка решается в четыре этапа.
Этап 1. Устанавливают на место элементы 1, 2 и 7 (рис. 70),
не обращая внимания на их ориентацию. Это можно сделать без
всяких формул.
Этап 2. С помощью операций Х\, Х2, Хз меняют местами эле-
менты 4 и 6, по-разному ориентируя их. Используя формулы,
нетрудно правильно установить и ориентировать элементы 3,
4, 5, 8, 9, 10.
Этап 3. После окончания второго этапа элементы 1 и 2
могут поменяться местами. В этом случае правильное их поло-
жение восстанавливают операцией Х4.
Этап 4. Поворачивают в правильное положение элементы
/, 2, 6 и 7, используя операцию и обратную ей операцию Х6.
Если это решение кажется вам слишком сложным, попытай-
тесь придумать свое! Удовольствие от самостоятельного раскры-
тия тайн вертушки не идет ни в какое сравнение с решением
задачи по известным формулам.
Попробуйте придумать другие варианты вертушки, изменяя
форму или количество подвижных элементов. Идеи некоторых
подобных игрушек показаны на рис., 71 и 72. Ни одна из идей,
показанных на рис. 72, пока не реализована и не проверена
в реальной конструкции. Предложив оригинальную конструкцию,
вы сможете стать изобретателем новой игры.
«Причешите „ежика"»
В науке и технике часто бывает так, что одно открытие дает
толчок к быстрому появлению множества новых любопытных идей
и изобретений. Что-то похожее произошло и с кубиком Рубика.
Рассмотрим некоторые интересные идеи, связанные с венгерским
кубиком, осуществление которых привело к появлению новых
оригинальных игрушек.
Идея первая — изменим форму. В игрушке Рубика 26 малень-
ких кубиков, которые группами (по 9 кубиков) вращаются в ше-
сти плоскостях. Число возможных расположений маленьких ку-
биков превышает 43 квинтиллиона, то есть 43 • 1018. Если
уменьшить количество кубиков, расположенных вдоль ребра, с
трех до двух, получится головоломка из восьми кубиков. Не
думайте, что она проще венгерской. Вы можете часами крутить
ее в руках и не получить решения.
84
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 73. Головоломки из восьми
элементов в виде куба и шара.
Рис. 74. Различные варианты
многогранников-головоломок.
Подвижные элементы головоломки могут не быть кубиками.
Для примера на рис. 73 показана головоломка в виде сферы.
Правда, сложность ее разгадывания не уменьшится. А если
за основу головоломки вместо куба взять другие многогранники,
появятся новые игрушки различной сложности (рис. 74). Назо-
вем эти игрушки цветными шарнирными многогранниками. Что-
бы понять, как и какие многогранники можно использовать
для головоломок, отметим четыре свойства, которым они долж-
ны отвечать:
1. Сечения должны делить цветной шарнирный многогранник
на равные подвижные части, являющиеся правильными много-
угольниками, центры которых совпадают.
2. Таких сечений должно быть не менее трех.
3. Сечения могут проходить по ребрам многогранника или
пересекать его грани.
4. Каждый подвижный элемент цветного шарнирного много-
гранника сам должен быть многогранником, часть граней которо-
го всегда находится снаружи, а другие грани, расположенные
всегда внутри, во время игры остаются невидимыми.
Исходя из этого, попытайтесь придумать варианты цветных
шарнирных многогранников — головоломок.
Идея вторая — изменим окраску. Если в любом из показан-
ных на рис. 74 многогранников все грани окрасить в один цвет,
никакой головоломки не будет. Раскрашивая подвижные элемен-
ты по-разному, в разные цвета, можно получить головоломки
различной сложности. Попробуем это сделать на головоломке,
состоящей из восьми маленьких кубиков. Если половину кубиков
окрасить в один цвет, а вторую половину — в другой, получится
несложная головоломка, которая будет иметь всего семь различ-
ных состояний. Решить ее нетрудно. Поскольку каждый кубик
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА
85
Рис. 75. Кубик с обычной и
сдвинутой границей окраски.
Рис. 76. За три поворота од-
ной половинки относительно
другой параллелепипед (шести-
гранник) превращается в 34-
гранник.
окрашен в один цвет, внешний вид его при изменении места
в головоломке не меняется.
Сдвинем границу окраски так, чтобы она пересекала кубик
(рис. 75), головоломка сразу усложнится. При поворотах граней
кубики будут менять не только свое место в головоломке, но и
ориентацию. После нескольких ходов двухцветный маленький
кубик может вернуться на свое место повернутым на 90°, при
этом граница раскраски, которая первоначально была верти-
кальной, станет горизонтальной. Как говорят математики, в этом
случае одинаковым состояниям первой головоломки будут соот-
ветствовать различные состояния головоломки со сдвинутой гра-
ницей раскраски.
Идея третья — «причешите ,,ежика“». Мы уже говорили, что,
если все грани многогранника окрасить в один цвет, никакой
головоломки не будет. И все же это вроде бы очевидное утверж-
дение можно опровергнуть. Возьмем любой параллелепипед.
Представим себе, что в центр его помещен шарнир, а сам па-
раллелепипед разрезан на восемь частей так, как показано на
рис. 76. Повернем любую половину нашей новой головоломки
на 90° — параллелепипед, имевший первоначально шесть гра-
ней, превратится в 14-гранник. При следующем повороте в дру-
гой плоскости количество граней возрастет до 26. Трех поворо-
тов достаточно, чтобы превратить параллелепипед в 34-гранного
«ежа». После этого можно очень долго крутить игрушку в ру-
ках и не причесать получившегося «ежика». Вместо параллеле-
пипеда можно взять любой другой многогранник или, например,
модель автомобиля. Даже такие простейшие фигуры, как куб
или шар, если их разрезать не по центру симметрии, превраща-
ются в занимательные головоломки-«ежи».
Большие и интересные возможности открываются, если, на-
пример, создать набор, состоящий из элементов различной рас-
цветки и конфигурации. Из таких элементов, используя один
шарнир, собирают игрушки различной сложности. Попытайтесь
это сделать сами, без подсказки. Не исключено, что вам удаст-
ся раскрыть новые законы подобных игр. Идея «ежа» позволяет
придумать головоломки самой оригинальной формы. Трудность
связана с шарниром. Изобретены конструкции шарниров для
кубиков (типа кубика Рубика) 4X4X4 и 5X5X5. Предложено
несколько вариантов шарниров для головоломок из восьми эле-
ментов. А простого шарнира для кубиков 2x2x2 придумать
пока никому не удалось.
Простой способ сделать сложную головоломку. В центре голо-
воломки-«ежа» находится шарнир. Он должен обеспечивать воз-
можность поворота любого подвижного элемента на любой угол
в любом направлении, параллельном граням подвижного эле-
мента. Все пары противоположных подвижных элементов голово-
ломки можно стянуть тонкими резинками в направлении центра.
В центре головоломки резинки будут переплетаться случайным
образом. Такая простейшая конструкция позволяет поворачи-
вать подвижные элементы в любом направлении. Правда, за
простоту приходится расплачиваться удобством игры. Дело в
том, что после ста — двухсот поворотов резинки так запутыва-
ются, что иногда обрываются. Но и распутать резинки очень
легко — на это уходит не более двух-трех минут. Если резинка
оборвется, ее нетрудно заменить.
Проще всего головоломку изготовить из детских деревянных
кубиков. Для этого достаточно восьми (а для тех, кто хорошо
знает геометрию, — трех) кубиков. Кроме того, нужна тонкая ре-
зинка и восемь колечек (их можно нарезать из пластмассовой
трубки) или маленьких пуговиц (бусинок). Головоломку делают
в следующей последовательности. Сначала из кубиков выпили-
вают составляющие элементы (рис. 77). Закругляют ножом и
напильником края взаимно перпендикулярных граней так, чтобы
элементы не задевали друг за друга при вращении. Внутри
каждого элемента просверливают тонким сверлом или гвоздем
канал. Через каналы пропускают резинку, которую завязывают
за колечки, бусинки или пуговицы так, как показано на
рис. 78 (учтите, что на рисунке резинка показана в растяну-
том виде, на самом деле она должна плотно стягивать элемен-
ты). Раскрасьте грани головоломки. Трущиеся части зачистите
шкуркой, покройте лаком и снова зачистите. Соберите голово-
ломку, зацепив друг за друга соединенные резинками четыре
пары элементов. У вас получится причесанный «еж».
Несколько раз поверните одну половину головоломки отно-
сительно другой. Делайте это в разных плоскостях. После нес-
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА
87
Рис. 77. Подвижные элементы
головоломки «Причешите „ежи-
ка44».
Рис. 78. Подвижные элементы
головоломки, соединенные ре-
зинкой.
Рис. 79. Один из вариантов головоломки «Причешите „ежика44». Первона-
чально головоломка похожа на восьмигранный кристалл, в центре —
причесанный «еж», вокруг него — другие его положения. Каждое по-
ложение получено из предыдущего поворотом одной половинки голо-
воломки на 90°. Направление поворота указано стрелкой.
8В
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 80. Если шар
разрезать не по цент-
ру симметрии, то он
превратится в инте-
ресную головоломку.
Рис. 81. Варианты шар-
нирных головоломок
(шарнир, спрятанный
внутри игрушки, по-
зволяет разбирать и
собирать ее, повора-
чивая группы элемен-
тов).
кольких поворотов грани головоломки будут торчать в разные
стороны. Это хорошо видно на рис. 79. Попробуйте вернуть
головоломку в первоначальное положение. Задача эта окажется
довольно трудной, но и увлекательной. Другие варианты голово-
ломки показаны на рис. 80 и 81.
«Минус-кубики» и «минус-шарики»
Во многих странах широко известна игра в «15». Ее иногда
называют «такен» (игра описана в первом разделе этой книги).
Когда кубик Рубика стал популярен, появились многочисленные
объемные варианты игры в «15». При этом вместо плоской квад-
ратной коробки стали использовать цилиндр, конус и т. п.,
а плоские фишки заменили маленькими кубиками или шари-
ками. Рассмотрим некоторые варианты такой головоломки.
В прозрачной коробке размещают одинакового размера куби-
ки или шарики (рис. 82 и 83), окрашенные в разные цвета. Одно
место оставляют свободным. Благодаря пустой ячейке элементы
перемещают и меняют местами. Из-за этого головоломка полу-
чила название «Минус-кубик» (или «Минус-шарик»).
Цель игры — упорядочить кубики (шарики) по цвету. Накло-
няя и встряхивая коробку, играющий заставляет кубики пере-
мещаться. Очень быстро он начинает понимать, что «Минус-
кубик» — головоломка трудная и сходство с игрой в «15» до-
вольно отдаленное. В игре в «15» за один ход передвигают
одну фишку, а в «минус-кубиках» одновременно всегда переме-
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА
89
Рис. 82. Головоломка «Минус-
шарик».
Рис. 83. Варианты головоломки
«Минус-кубик».
Рис. 84. Плоский вариант го-
ловоломки «Минус-кубик». Две
смежные грани «минус-кубика»
развернуты в плоскость, кубики
заменены плоскими фишками.
Рис. 85. Головоломка «Вави-
лонская башня».
КОНФИ! УР4ЦИОННЫЕ ИГРЫ
щаются два кубика, и притом только кубики, прилегающие к реб-
рам коробки.
Учиться разгадывать секреты «минус-кубиков» лучше всего
на плоской модели, которую и сделать проще, чем объемную го-
ловоломку. На ней и понять легче, чем отличается новая игра
от знакомой «пятнашки».
Плоский вариант головоломки без особого труда можно сде-
лать, если фишки игры в «15» переложить в специально склеен-
ную прямоугольную коробку размером 3X5 маленьких квадра-
тов (рис. 84). При этом две фишки, занимающие поля в сере-
дине коробки, необходимо прикрепить ко дну так, чтобы они
не перемещались. Произвольно передвигая фишки в коробке,
меняют их местами. Задача состоит в том, чтобы восстановить
их первоначальное расположение. Тот, кто решит эту трудную
задачу, легко справится и с объемным «минус-кубиком».
И все-таки «минус-кубик» гораздо проще венгерского кубика.
Но может быть, это не так уж и плохо? Громадное боль-
шинство людей учится разгадывать венгерский кубик не само-
стоятельно, а заучив специальные формулы. «Минус-кубик», осо-
бенно если начать его изучение с плоского варианта, доставит
вам удовольствие возможностью самостоятельно додуматься до
путей его решения.
Существуют различные варианты окраски граней маленьких
кубиков. Однако это почти не влияет на сложность игры, так как
окраска каждого кубика даже в два цвета однозначно опреде-
ляет его место среди других кубиков.
Игру с «минус-кубиком» можно сделать более разнообразной.
Например, в прозрачных стенках коробки просверливают отвер-
стия. Зажимая пальцами ряды кубиков, прилегающие к отвер-
стиям, заставляют перемещаться кубики поодиночке, даже тот,
который находится в центре и не виден снаружи. В таком виде
игра с «минус-кубиком» аналогична игре в «15».
Если кубики в коробке заменить шариками, получится игра
«Минус-шарик». Игра с шариками легче, чем с кубиками, но
только в том случае, если мы лишь заменяем кубики на шарики.
Если же внутри коробки поставить перегородки, затрудняющие
перемещение шариков, головоломка сразу усложнится. И дело
не только в том, что мы превратим пустотелую коробку в объем-
ный лабиринт. В лабиринте все места, кроме одного, заняты
шариками, которые представляют собой как бы постоянно ме-
няющиеся стенки хитрейшего лабиринта. Разместить шарики
по требуемым цветам очень трудно.
На рис. 85 показана игра «Вавилонская башня». Если крыш-
ку такого лабиринта сделать съемной, игру можно начать с того,
что произвольно насыпать в лабиринт разноцветные шарики,
а потом попытаться разместить их цветными слоями.
ОИРУ' КУБИНЛ РУБИ’./
9 .
Перевертыши
Перевертыши — это целый класс увлекательных и одновре-
менно очень простых по конструкции головоломок. Удивительно,
что эту игру придумали совсем недавно. Первый патент на пере-
вертыши был выдан во Франции в 1981 году. А между тем
в нашей стране, в городе Кривой Рог, в семье молодого изобре-
тателя Александра Дремова уже играли в эту головоломку,
которую они придумали сами.
В простейшем варианте перевертыши — это восемь одинако-
вых кубиков, лежащих в квадратной коробке (рис. 86). Дно
коробки разделено на девять квадратов (три ряда по три квад-
рата). В каждом квадрате лежит по кубику, один квадрат сво-
боден. Каждый кубик окрашен в шесть цветов — по числу гра-
ней, притом все кубики окрашены одинаково. В исходном
положении кубики лежат в коробке так, что верхние и осталь-
ные их грани расположены одинаково. Кубики последовательно
перекатывают из квадрата в квадрат, при этом цвета верхних
граней все время изменяются. Вынимать и переворачивать ку-
бики не разрешается. Взаимная ориентация кубиков должна
сохраниться, то есть цвета боковых граней должны быть ориен-
тированы одинаково. Задача эта непростая, во всяком слу-
чае, самое короткое из найденных решений состоит из 100
ходов. Напомним, что в венгерском кубике требуется сде-
лать около 50 ходов, чтобы из любого состояния прийти к ре-
шению.
В семье А. Дремова была изобретена еще одна головолом-
ка-перевертыш. Вместо кубиков они поместили в коробку тре-
угольные пирамидки. Такие пирамидки (четырехгранники или
восьмигранники) можно склеить из плотной бумаги или тонкого
картона.
Конфигурация игровых полей игр-перевертышей может быть
самой разнообразной, здесь еще много неоткрытого и инте-
ресного. Пока лишь можно сказать, что головоломка с пере-
вертышами в виде кубиков становится разрешимой начиная с по-
ля из шести квадратов — 2x3 (рис. 87, 88), а с перевертыша-
ми в виде пирамидок — с шестиугольного поля, разделенного
на 10 треугольников.
Рис. 86. Кубики-перевертыши
(общий вид, игровое поле,
перекатывание кубика).
92
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 87. Игра с пятью кубиками-
перевертышами.
Рис. 88. Нумерация позиций
игрового поля.
Дно коробки, в которую укладывают перевертыши, лучше
делать рельефным. Границы между клетками могут выступать
над поверхностью или, наоборот, иметь форму канавок. Соответ-
ственно, на ребрах перевертышей должны быть впадины или
выступы. Такое конструктивное решение обеспечивает удобное
перекатывание элементов и в то же время препятствует их прово-
рачиванию на одном месте и смешиванию. В качестве кубиков
можно использовать игральные кости, тогда упорядочивать при-
дется не цвета, а очки на гранях.
Несвязанность кубиков между собой и многообразие конфи-
гураций игровых полей в играх-перевертышах позволяют создать
различные варианты этой головоломки.
У венгерского кубика есть недостаток — с этой головоломкой
обычно играет один человек. В перевертыши могут играть двое
и большее число людей. Кроме того, играющие сами придумы-
вают правила игры.
Если кубики в перевертышах пронумеровать, то окажется, что
из всех возможных вариантов их взаимного расположения мето-
дом перекатывания можно получить только 1 /29 = 1 /256 часть
этих вариантов. Для сравнения скажем, что у кубика Рубика эта
доля составляет 1/12. Если же не нумеровать перевертыши,
то достижимой становится 1 /2 часть всех комбинаций. Этот
пример демонстрирует широту возможностей, заложенных в пе-
ревертышах. Это и некоторые другие свойства перевертышей
открыты московским математиком А. Б. Ходулевым. Он же ав-
тор самого пока короткого (в 100 ходов) решения головоломки
из кубиков-перевертышей на поле 3X3. Для читателей, которые
захотят побить этот рекорд, приводим правило записи ходов
в перевертышах. Они очень просты. При каждом ходе записы-
вают номер ячейки пустого поля, то есть поля, в котором отсут-
ствует кубик. При начальном положении пустого поля в левом
нижнем углу запись лучшего решения выглядит так: 7 (исход-
ное положение пустого поля), 8, 5, 2, 1, (4, 7, 8, 5)4, 2, 3,
6, 9, (8, 7, 4, 5)3, 2, 1, 4, 5, 8, 7, 4, 1, 2, 3, 6, 5, 8, 7,
4, 1, 2, 5, 6, 3, 2, 1, 4, 7, 8, 9, 6, 3, 2, 5, 6, 9, 8, 7, 4,
1, 2, 5, 8, 7, 4, 5, 2, 1, 4, 7, 8, 9, 6, 3, 2, 1, 4, 5, 2, 3,
6, 9, 8, 7, 4, 5, 8, 7 (показатель степени у выражений
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ
93
в скобках указывает, сколько раз повторяются движения, за-
ключенные в скобки).
Другой московский математик, А. Г. Пантелеев, доказал,
что решение головоломки возможно и на поле 3X2. При таком
варианте играют всего пятью кубиками, а какая интересная
и трудная получается игра! Лучшее решение Пантелеева содер-
жит 37 ходов: 5, 3, 4, 6, 5, (3, 1, 2, 4)2, 6, 5, 3, 1, 2, 4,
3, 5, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 4, 3, 5, 6, 4, 2, 1, 3, 4, 2.
А. Т. Калинин
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ
Шнурковые (веревочные) головоломки и игры относятся к са-
мым древним. В старинной легенде рассказывается, что почти
за тысячу лет до нашей эры жил Гордий, царь Фригии, области
в древней Малой Азии. Построил он город Гордион — свою сто-
лицу, а в нем храм Зевса. Незадолго до своей смерти Гордий
подарил храму колесницу. Как утверждает легенда, к колеснице
очень сложным узлом было привязано ярмо. После смерти Гор-
дия оракул предсказал, что тот человек, который сумеет раз-
вязать узел Гордия и освободить ярмо, чтобы запрячь в колес-
ницу коня, станет властелином мира.
Гордий умер в 738 году до нашей эры. Больше 400 лет стояла
колесница в храме, оставался завязанным и царев узел. В 334 го-
ду в город Гордион вошли войска Александра Македонского. Ко-
гда жители города сказали Александру, что, по предсказанию
оракула, Азию покорит тот, кто развяжет запутанный узел, им
овладело страстное желание добиться выполнения предсказания.
Как свидетельствует римский историк Курций Руф, вокруг царя
собралась толпа фригийцев и македонцев: первые напряженно
ждали, а вторые испытывали страх из-за безрассудной самоуве-
ренности царя. И действительно, ремень был так плотно связан
узлами, что невозможно было ни рассчитать, ни увидеть, где
начинается и где кончается сплетение. Попытки царя развязать
узел внушали толпе опасение, как бы неудача не оказалась
плохим предзнаменованием. Долго и напрасно провозившись
с этими запутанными узлами, царь сказал, что безразлично,
каким способом они будут развязаны, и, разрубив узлы мечом,
он не то посмеялся над предсказанием оракула, не то выпол-
нил его.
Тысячи лет назад люди придумали различные способы завя-
зывания узлов. Искусные мастера древности были и первыми
изобретателями игр-головоломок с веревочками. Просидев час
над такой головоломкой (и не решив ее), несомненно проник-
нешься уважением к уму ее изобретателя. Подобных гордиеву
?4 КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
узлу головоломок, в которых требуется распутать веревки или
разъединить связанные детали, известно несколько сотен. В
давние времена они использовались не только как хитроумные
игрушки, но и как задачи для проверки мастерства древних
корабелов, плетельщиков циновок и корзин, строителей жилищ.
Мы познакомим вас с некоторыми из таких головоломок. Нач-
нем с более простых и в изготовлении, и в решении.
Игрушки-загадки из пуговиц и ниток
Нитки и старые пуговицы найдутся в любом доме. Из этих
обычных вещей легко сделать занимательные игры-головоломки
(рис. 89—93).
Почти во всех головоломках требуется одно: разъединить
сцепленные между собой части. Задача эта на первый взгляд
может показаться неразрешимой. Попытки расцепить петли
часто приводят к тому, что нитки только еще больше пере-
путываются между собой. Не отчаивайтесь. В 1983 году на кон-
курсе изобретателей головоломок, проведенном газетой «Комсо-
мольская правда», опытные члены жюри, пытаясь решить одну
шнурковую головоломку, так запутали веревки, что самому ав-
тору игрушки не удалось их распутать. В таких случаях проще
обрезать шнурок или, развязав узел, разобрать головоломку на
части и заново правильно собрать ее.
И тем не менее научиться решать подобные задачи не так уж
трудно. Не приводя здесь точного описания решения каждой го-
ловоломки, расскажем об общем правиле, которое позволяет раз-
гадывать любые головоломки данного типа.
Прежде всего внимательно рассмотрите рисунок и попытай-
тесь решить головоломку в уме. Для этого петлю (см. рис. 93)
протяните вдоль нитки, за которую она зацеплена, и, не пере-
кручивая ее, просуньте во все встречающиеся отверстия. Дойдя
до конца нитки, обогните маленькую пуговицу на конце и вытя-
ните петлю через все отверстия обратно. В результате петля
окажется по другую сторону нитки, то есть отцепится от нее.
Но слепо следовать этому правилу тоже нельзя. Например, при
решении головоломки, показанной на рис. 90, петлю не надо
просовывать через отверстия в соседних пуговицах, а пуговицу
необходимо пропустить через петлю.
Пуговицы лучше всего брать большие, а нитки — толстые.
Отверстия в пуговицах следует увеличить, расточив их надфилем
или рассверлив. При отсутствии инструментов отверстия в пуго-
вицах расширяют с помощью обыкновенных острых ножниц.
При сборке игрушек надо быть предельно внимательными
и точными. Достаточно в одном месте неправильно сцепить
нитки, и головоломку невозможно будет решить или, наоборот,
решение будет слишком простым.
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ
Рис. 89. Освободите левую пу-
говицу от бечевки.
Рис. 90. Переместите левую пу-
говицу вдоль нитки вплотную
к правой пуговице.
Рис. 91. Распутайте нитки и
освободите четыре пуговицы.
Рис. 92. Отцепите красную пу-
говицу.
Рис. 93. Освободите петлю
с маленькой пуговицей от
остальных пуговиц.
96
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Если вы хорошо освоили приведенные на рисунках голово-
ломки, попробуйте придумать свои собственные. При этом вы мо-
жете увеличивать количество пуговиц, сцепленных петель, изме-
нять пути прохождения ниток.
Веселые фигурки
Из обрезков одножильных проводов в цветной изоляции
можно сделать всевозможные занимательные головоломки. Неко-
торые из таких головоломок показаны на рис. 94—100. Чтобы
изготовить их, необходимо строго по рисунку выдержать про-
порции фигурок и длину веревок. Например, «мышата» должны
быть больше, чем лапка «кошки». А вот петля на конце шнурка
должна быть больше «мышонка». Шнурок подбирают такой
толщины, чтобы он свободно проходил через проволочные петли.
Необязательно повторять показанные на рисунке фигурки. При-
думайте свои. Если вам удастся получить новое, более хитрое
переплетение веревок, это будет новая оригинальная голово-
ломка.
Как же разгадывать эти головоломки? Если вы хорошо
освоили игрушки-загадки из пуговиц и ниток, вам нетрудно
будет решить и головоломки с фигурками.
Начнем с «утят». Двух «утят», показанных на рис. 94, можно
освободить одним способом. Петлю, которая охватывает шнурок,
протягивают вдоль этого шнурка, просовывая ее через все встре-
чающиеся препятствия, например лапки «гуся». Дойдя до конца
шнурка, просовывают в петлю привязанный цветок или грибок.
После этого, вытянув петлю на старое место, освобождают
ее из лапок «утенка». Точно так же освобождают «мышат», ко-
торых поймала «кошка», а также «утенка» Тима (см. рис. 95
и 96).
Рис. 94. Освободите запутав-
шихся в веревочках «утят».
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ
97
Рис. 97. Освободите «утят».
98
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 99. Разъедините петли.
Рис. 100. Освободите «собачек».
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ
99
Трех «утят», связанных одной веревкой, кажется, невозможно
освободить (см. рис. 97). Но это не так. Протяните петлю, стя-
гивающую лапки любого «утенка», вдоль параллельных шнурков
и пропустите через эту петлю двух остальных «утят». Неожи-
данно для себя вы обнаружите, что один «утенок» свободен.
Точно так же освобождают и остальных «утят». Поняв секрет
этой игрушки, вы сможете сами освободить «зайчишек» от
«лисы» и «утенка» с «гусеницей» от «ежика» (см. рис. 98).
С веселыми фигурками «Вани» и «Маши» (см. рис. 99) слож-
нее. Сначала надо разъединить петли, идущие от рук «Вани»
и «Маши». Для этого одну из петель, например ту, которую дер-
жит «Маша», пропускают через рукав «Вани», продевают через
нее грибок и вытягивают петлю обратно. Для того чтобы разъе-
динить петли, связывающие ноги «Вани» и «Маши», одну из
петель, например, идущую от ног «Вани» (назовем ее петля В),
пропускают сверху в петлю, завязанную вокруг правой ноги
«Маши», продевают правый башмак ее через петлю В, вытя-
гивают петлю обратно, продевают петлю В сверху в петлю,
завязанную вокруг левой ноги «Маши», продевают через петлю В
левый башмак «Маши», вытягивают петлю обратно и тянут
петлю В вверх, пропустив через нее всю фигуру «Маши». Го-
ловоломка решена. «Собачек» (см. рис. 100) попробуйте осво-
бодить сами.
Такие разные «восьмерки»
Каждая из трех головоломок, показанных на рис. 101, имеет
форму «восьмерки». Задачи этих головоломок одинаковые —
освободить зацепленные за проволоку шнурки. Но на этом сход-
ство их кончается. У «восьмерок» разная сложность и разные
способы решения задач.
Об одной из этих головоломок уже сообщалось в печати,
и она стала знаменитой. Какая из трех — вам предстоит дога-
даться самим. Несколько лет назад ее придумал американский
изобретатель Стефорд Коффин, и с тех пор о ней регулярно пи-
шут в сборниках головоломок, издаваемых в разных странах.
Публикации головоломки Коффина сопровождаются рисунками,
на которых показан ход решения, в публикациях подробно рас-
сказывается, как надо перемещать шнурок и при каких обстоя-
тельствах изобретатель придумал игрушку. Текстовое поясне-
ние обычно заканчивается словами о том, что в результате всех
действий шнурок или станет свободным, или нет и что никто
еще не смог доказать невозможность этого. В этой туманной
заключительной фразе и скрывается секрет головоломки: ока-
зывается, ее невозможно решить...
Какая из головоломок принадлежит Коффину, вы узнаете,
если сумеете отцепить шнурки от двух из трех приведенных на
100
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 101. Головоломки-«вось-
мерки».
рисунке «восьмерок». Как это сделать? Со школьных лет мы
знаем, что проще всего решить задачу, заглянув в ответ. Но это
и самый неинтересный способ. Одна самостоятельно решенная
головоломка дает больше пользы и радости, чем десяток задач
с известными ответами. В данном случае решение «восьмерок»
находится не в конце книги, как это бывает в школьных учебни-
ках, а на предыдущих страницах, на которых мы учили вас раз-
гадывать секреты забавных фигурок и головоломок из пуговиц
и ниток.
Рассматриваемые головоломки или подобные им легко сде-
лать. Для этого подойдет любая проволока или одножильный
провод диаметром от 1 до 5 мм. Размеры «восьмерок» могут
быть любыми, важно лишь, чтобы их удобно было держать
в руках и чтобы шнурки легко продевались через петли. Про-
волоку можно изгибать на болванке или шаблоне подходящего
диаметра. Длина шнурка для петель должна быть примерно
вдвое больше высоты «восьмерки».
«Звезды» с выставки головоломок
Весной 1984 года в Новочеркасске проводилась первая Все-
союзная студенческая выставка-ярмарка. Новочеркасск — город
студентов, их здесь несколько тысяч. Огромный зал с экспоната-
ми заполняла любознательная, шумная, веселая молодежь. У
каждого стенда было много посетителей, независимо от того,
показывали на нем микромопед, платформу на воздушной по-
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ
101
душке, модные модели одежды или картины начинающих ху-
дожников. Но один стенд все же пользовался особой популяр-
ностью посетителей всех возрастов и профессий: на нем были
представлены десятки разнообразных игрушек-загадок, прислан-
ных со всех концов страны. Желающие могли попробовать свои
силы в решении головоломок. Некоторые из игр можно даже
было унести с собой при одном условии... если вы сумели разга-
дать головоломку. Здесь же посетителям предлагалось сделать
головоломки.
Некоторые думают, что сложные в решении игры должны
быть обязательно сложными в изготовлении. Это совсем не так.
На ярмарке были представлены хитроумные игрушки, изготов-
ленные из обрезков обычной проволоки и кусков бечевки. Наи-
больший интерес у всех вызвала головоломка «Две звезды».
Вы видите ее на рис. 102. Чтобы решить эту головоломку,
надо отцепить челнок от шнура и звезд.
Для изготовления игрушки подойдут обрезки любой прово-
локи толщиной от 0,5 до 2 мм или одножильный провод, очи-
щенный от изоляции. Кроме того, понадобятся куски шнурка
или толстых ниток. Инструмент — обычные плоскогубцы с кусач-
ками и круглогубцы. Головоломка должна быть красивой, тогда
ее приятно будет держать в руках, можно даже использовать
как подарок.
Переведите на обычную тетрадную бумагу в клеточку рисунок
звезды из этой статьи. Изготовьте шаблон игрушки. Для этого
положите рисунок звезды на обрезок доски и отметьте каран-
дашом отверстия для штырей. Возьмите гвозди толщиной
1—2 мм и укоротите их, отрубив концы. Полученные штыри,
длина которых не должна превышать 15—20 мм, забейте в цент-
ры размеченных на доске отверстий. Штыри должны возвы-
шаться над доской не более чем на 5 мм. Шляпки гвоздей
должны быть на тыльной стороне доски. Общий вид шаблона
показан на рис. 103 и 104.
Подготовьте куски проволоки длиной 30 см. Проволоку тща-
тельно выправьте и зачистите до блеска наждачной бумагой (для
зачистки можно использовать также различные хозяйственные
порошки и пасты). Обогните куском проволоки штыри шаблона.
При этом старайтесь как можно сильнее натягивать проволоку,
тогда лучи звезды будут прямыми и красивыми. Сняв звезду
со штырей, загните на концах проволоки кольца, лишние концы
проволоки удалите кусачками. Окончательно выправьте звезду
плоскогубцами и проверьте качество вашей работы, приложив
звезду к рисунку на клетчатой бумаге. Колечки и челнок лучше
гнуть на подходящих по размеру болванках круглого и оваль-
ного сечений. Сборку и соединение отдельных частей игрушки
выполняют по рисункам, как можно точнее соблюдая все указан-
ные размеры.
102
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 102. Головоломка «Две
звезды».
Рис. 103. Отдельные фрагменты
головоломки «Две звезды».
Рис. 104. Шаблон для изготов-
ления головоломки прикреп-
ляется струбциной к краю стола
или верстака.
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ
103
Теперь надо решить головоломку — отцепить один элемент
(челнок) от другого (звезды). Подробного решения мы опять
давать не будем. Приведем лишь три правила, соблюдая которые
вы сможете решить задачу.
Правило первое: сначала думайте, потом действуйте. Отце-
пить один элемент от другого можно только в тех местах, где
кончаются части головоломки, например там, где у звезды согну-
ты колечки. Здесь и надо пытаться снять челнок.
Правило второе: попытайтесь мысленно (или на модели)
заменить жесткие части головоломки гибкими. Например, вместо
проволоки возьмите мягкий провод и сделайте из него звезду.
В процессе разгадки выпрямите их, тогда головоломка решит-
ся очень просто. Подумайте, почему гибкая головоломка ре-
шается легко. Как обойти эту трудность для жесткой голово-
ломки?
Правило третье: если задача не решается, попробуйте изме-
нить ее на обратную. Вам надо отделить челнок от звезды.
Возьмите другой челнок и наденьте его на звезду.
Если вы будете внимательными и терпеливыми, обязательно
разгадаете головоломку.
Африканская головоломка
Посмотрите на рис. 105 и ответьте на вопрос: как «щенку» до-
браться до косточки? Задачу эту можно решить разными спосо-
бами. Например, вытащить один из гвоздей, развязать любой
узел или разобрать забор. Наконец, можно подвинуть миску
ближе к «щенку». Но всегда ли такие решения приемлемы? Ведь
забор и гвозди могут быть очень прочными, узлы — крепкими,
а миску нельзя передвинуть. Как же быть? Эта задача имеет
очень оригинальное решение: «щенок» достает до миски, не на-
рушая связи между предметами. Внешне все выглядит так, как
будто «собаке» удалось пролезть сквозь скобу в середине забо-
ра и перебраться на правую часть веревки. Хотя скоба слишком
Рис. 105. Как «щенку» добраться
до косточки?
104
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
мала, чтобы «щенок» мог пролезть сквозь нее. Решение задачи
найдено много лет назад, древними жителями Африки.
Среди африканцев с давних времен были популярны различ-
ные игры и головоломки с веревочками. В Гамбии, например,
любят разгадывать головоломку, показанную на рис. 106. К
планке в трех точках привязан шнурок. На шнурке висит коль-
цо, которое надо передвинуть вдоль всей веревки, не отвязывая
ее от планки. Ситуация, в которую попал «щенок», аналогична
этой.
Сделать подобные игрушки несложно. Чтобы изготовить
игрушку со «щенком», необходимо взять полоску твердого кар-
тона, шнурок, длина которого примерно в четыре раза превы-
шает длину полоски, и колечко или ненужную пуговицу. Разме-
ры игрушки могут быть любыми. Обязательное условие: кольцо
должно быть больше центрального отверстия планки.
Чем больше смотришь на головоломку со «щенком», тем
сильнее укрепляешься в мнении, что решить ее невозможно. Но
решение есть. После первого решения головоломки у вас оста-
нется чувство непонимания: как же все-таки колечко переска-
кивает через отверстие? Да, это удивительная задача! Секрет
ее — в особых свойствах узла, которым шнурок завязан за цент-
ральное отверстие планки. Продвигайте кольцо вдоль шнура
в желаемом направлении, пока это возможно. Затем переведите
узел с одной стороны отверстия на другую и снова продвигайте
кольцо. И так до тех пор, пока не переведете кольцо на правую
петлю шнурка. Войдя в центральное отверстие, шнурок возвра-
щается назад, то есть в отверстие входит петля шнурка. Мы
вытаскиваем петлю и продвигаем вдоль вытянутой части кольцо,
а затем петлю возвращаем на место.
Можно попробовать привязать шнурок к планке разными спо-
собами. Испытав восемь разных узлов, приведенных на рис. 107,
вы убедитесь, что головоломка решается только в половине слу-
чаев.
Если решение есть, шнурок, выйдя из отверстия, делает
петлю и возвращается к нему с той же стороны. Если же
шнурок проходит через отверстие и возвращается в него с дру-
гой стороны, решение невозможно. Так же не разрешима си-
туация, при которой через отверстие проходит только один ко-
нец шнурка.
На рис. 108 и 109 приведены еще несколько головоломок.
Одну из них, с шариками, придумал чешский коллекционер го-
ловоломок Станислав Тврдик, другую, с кольцами, — инженер
К. «Лазарев из Подмосковья. На первый взгляд они очень
сложные, но, освоив головоломку с «собачкой», вы сможете
разгадать и эти головоломки.
На рис. 110 приведено решение африканской головоломки
(планка с кольцом на шнурке).
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ
105
Рис. 106. Африканская голово-
ломка.
Рис. 108. Переместите шарики
на нижнюю петлю.
Рис. 107. Завязывание шнура
в африканской головоломке.
Рис. 109. Поменяйте местами
кольца и шарики.
Рис. 110. Решение африканской
головоломки (переведите коль-
цо направо к центральному
отверстию; потяните на себя
два шнурка, выходящие из
отверстия; вытащите наружу
узел, в который переплелись
шнурки; продвигайте кольцо
вдоль шнурка, на котором оно
висит, через весь узел, узел
втащите обратно внутрь от-
верстия; кольцо переведите на-
право до конца планки).
106
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
А. Т. Калинин
ЗАГАДОЧНЫЕ ЦЕПОЧКИ
Первые головоломки появились в глубокой древности в Гре-
ции, в Риме, Индии и Китае. Часто археологи находят их при
раскопках. Головоломки попадаются самые разнообразные. Ши-
роко были распространены наборы пластинок, из которых тре-
бовалось собрать различные геометрические фигуры. Но пла-
стинки легко потерять. Видимо, поэтому в более поздние вре-
мена изобретатели игр-загадок стали сцеплять отдельные эле-
менты шарнирами. Получались цепочки, из которых собирали
фигуры. Оказалось, что собрать заданную фигуру из цепочки
гораздо труднее, чем из отдельных пластинок. Связи между
элементами мешают положить их так, как требуется. Иногда
надо положить только один элемент, и головоломка будет ре-
шена. А он не укладывается, и приходится начинать сначала.
Головоломок-цепочек известно очень много, о некоторых из
них мы расскажем ниже.
«Волшебная змея»
По популярности «волшебная змея» занимает второе место
после кубика среди всех головоломок, придуманных Эрнё Ру-
биком. Всемирный успех венгерского кубика пробудил у многих
изобретателей желание создать игрушки, похожие на знамени-
тый кубик. Но пока изобретались новые головоломки, анало-
гичные кубику Рубика, автор кубика размышлял над игрой,
в корне отличной от его первого изобретения. Он думал о голово-
ломке, которая не пугала бы сложностью и отличалась много-
образием задач. Так он придумал «волшебную змею» — по за-
мыслу противоположную кубику. Если кубик из-за сложности
решения иногда откладывают в сторону, то «змея» доступна
всем. Игра с ней заключается в построении разнообразных фи-
гур. Задача играющего — найти самые интересные и сложные
фигуры. Математики подсчитали, что таких фигур может быть
20 квадриллионов. Игра со «змеей» благотворно влияет
Рис. 111. Разметка заготовки —
бруска, из которого выпиливают
элементы головоломки:
а — ширина бруска; в — раз-
мер боковой грани элемента;
с — ширина пропила, завися-
щая от развода зубьев пилы.
ЗАГАДОЧНЫЕ ЦЕПОЧКИ
107
Рис. 112. Элемент для «змеи»
с резиновым шнуром.
Рис. 113. Головоломка в собран-
ном виде.
Рис. 114. Соединение элементов
«змеи» с помощью шурупов.
Рис. 115. Устройство фикса-
торов положения «змеи».
Рис. 116. Различные варианты
подвижных элементов «волшеб-
ных змей».
108
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 117. Фигуры, выполненные из «волшебной змеи» Рубика:
1 — коробка; 2 — «щенок»; 3 — винт; 4, 5 — шары; 6 — «стра-
ус»; 7 — спираль; 8 — «пепельница»; 9 — розетка; 10, 11 —
треугольники;
ЗАГАДОЧНЫЕ ЦЕПОЧКИ
109
12— восьмерка; 13 — «борец»; 14, 15 — цветы; 16 — круг;
17 — стрелка; 18 — ладья; 19 — косичка; 20 — овал; 21 — квад-
рат; 22 — изгиб; 23 — узел.
110
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
на нервную систему, чего никак не скажешь про кубик. Именно
поэтому «волшебную змею» стали называть «игрой от стресса». У
«змеи» Рубика есть еще одно достоинство: ее легко сделать.
Как сделать «волшебную змею»? Она состоит из 24 одина-
ковых треугольных призм, последовательно соединенных между
собой в серединах боковых граней (рис. Ill и 112). Соединение
подвижно — каждый элемент «змеи» вращается относительно
соседних. Элементы «змеи» несложно выпилить из деревянного
бруска квадратного сечения. Размеры бруска могут не соответ-
ствовать размерам, указанным на рисунках, но если ваш брусок
окажется толще или тоньше, необходимо пересчитать размеры
элементов в соответствии с приведенными на рисунках.
Прежде чем распилить брусок на заготовки для элементов,
в нем просверливают сквозные взаимно перпендикулярные от-
верстия диаметром 1,5—2,5 мм. Затем брусок распиливают сна-
чала вдоль оси по диагональному сечению, а затем поперек на
отдельные элементы. В результате получают 24 заготовки. Их
аккуратно зачищают напильником и шкуркой, а затем покры-
вают краской: одну половину элементов красят в один цвет,
вторую половину — в другой. При сборке цвета чередуют.
Если сечение бруска меньше 25x25 мм, «змею» собирают,
протянув через внутренние каналы всех 24 элементов рыболов-
ную леску или прочную резинку (рис. 113). На концах игрушки
леску (резинку) привязывают к пластмассовым колечкам. Ко-
лечки можно нарезать из тонкой трубочки или сделать из ку-
сочка шнура. Подойдут и небольшие бусины.
Если размеры сечения бруска превышают 25x25 мм, эле-
менты соединяют с помощью шурупов (рис. 114). Это крепление
немного сложнее, зато прочнее и надежнее. Диаметр шурупов —
2—3 мм, длина — 15—25 мм, в зависимости от размеров эле-
ментов. Под головки шурупов подкладывают шайбы, а под
шайбы — резиновые амортизаторы толщиной 2—4 мм. Аморти-
заторы можно заменить пружинками (2—3 витка) из тонкой
стальной проволоки.
Для того чтобы «змея» сохраняла заданную форму тела, на
всех ее элементах устанавливают фиксаторы (рис. 115). Их
сгибают из проволоки в виде буквы П и вбивают в соприка-
сающиеся торцы элементов. С одной стороны ставят фиксатор,
с другой делают пропил в виде канавки. При поворотах элемен-
тов фиксаторы попадают в канавки и обеспечивают конструкции
жесткость.
Как играть с «волшебной змеей»? Попробуйте сделать из
«змеи» какие-нибудь замысловатые фигуры, поворачивая элемен-
ты относительно друг друга. Сначала «змея» может показаться
очень простой игрушкой. Но не спешите с выводами. После
первых успехов вы выясните, что сложить из «змеи» красивую
симметричную фигуру не так-то просто.
ЗАГАДОЧНЫЕ ЦЕПОЧКИ 111
Советуем завести специальную тетрадь в клеточку и зари-
совывать в ней все придуманные вами фигуры. В конце концов
ваша коллекция рисунков может оказаться богаче набора фигур
из любой книги о «змее» Рубика. Попытайтесь создать коллек-
цию фигур на определенную тему. Возможности для творчества
в этой игре поистине неограниченны. Вы можете изобрести
новые виды «волшебных змей», заменив треугольные призмы
другими многогранниками. Некоторые варианты элементов
«змеи» показаны на рис. И6. Каждый вариант имеет свои осо-
бенности. Из элементов с закругленными поверхностями полу-
чают фигуры красивых пластичных форм с плавными изгибами.
Оригинальная «змея» со своими законами изменения формы
получается из тех же треугольных призм, но соединенных по-дру-
гому. На рис. Н7 показаны различные фигуры, выполненные из
«волшебной змеи».
«Кубик-змея»
На первый взгляд эта головоломка напоминает «змею» Ру-
бика, а в собранном виде «кубик-змею» (рис. 118 и 119) можно
спутать с другой головоломкой Рубика — знаменитым венгер-
ским кубиком. На самом же деле «кубик-змея» имеет с ними
мало общего. Вы убедитесь в этом при решении головоломки.
Эту игрушку сделать проще, чем «змею» Рубика. Сначала из
доски или бруска толщиной 15—25 мм выпиливают кубики (для
головоломки нужно 27 кубиков, но желательно сделать их боль-
ше, чтобы потом отобрать лучшие). Кубики зачищают напиль-
ником и шкуркой, проверяя, чтобы размеры всех граней были
одинаковыми. Чем лучше, точнее сделаны кубики, тем красивее
будет выглядеть головоломка и тем проще с ней играть.
Кубики соединяют в цепочку. Для этого просверливают в них
отверстия диаметром I—2 мм, причем в центровых кубиках от-
верстия сверлят через центры двух противоположных граней,
а в угловых — через центры двух смежных граней под углом 45°.
Рис. 119. «Кубик-змея» в со-
бранном виде.
Рис. 118. «Кубик-змея».
112
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 120. Варианты соединения
кубиков в головоломке «кубик-
змея» (чем больше угловых
кубиков у «змеи», тем труднее
решить головоломку).
Рис. 121. Решение третьего ва-
рианта головоломки.
После этого кубики еще раз зачищают шкуркой и покрывают
лаком или олифой. Отбирают 27 лучших кубиков и протягивают
через просверленные в них отверстия рыболовную леску или
резинку. На концах завязывают маленькие колечки, вырезанные
из тонкой мягкой трубки или сделанные из тонкого шнурка.
Сколько нужно центровых и угловых кубиков и в какой последо-
вательности их соединять, видно из рис. 120. На рисунке при-
ведены три варианта соединения кубиков. Они отличаются меж-
ду собой количеством и порядком расположения угловых ку-
биков. Выбирайте любой из вариантов.
Цель игры — сложить из цепочки кубиков один большой куб.
Чем больше угловых кубиков в головоломке, тем труднее решить
задачу. Советуем сначала поиграть с кубиками, соединенными по
первому варианту. В цепочке — 16 угловых кубиков и И центро-
вых. Собрать кубик из этой цепочки — нелегкая задача, так как
из множества возможных изгибов цепочки только один ведет
к цели. На рис. 121 показано решение третьего варианта голово-
ломки.
Хотя эта игрушка придумана более тридцати лет назад, у нее
есть еще никем не решенная задача. Неизвестно, сколько сущест-
вует цепочек из 27 кубиков, которые можно сложить в большой
куб. В «змее» Рубика и в «кубике-змее» отдельные элементы
соединяются между собой в центрах граней. Если точки сопри-
косновения элементов, например кубиков, переместить на ребра,
получатся совершенно новые головоломки. Об одной из них мы
расскажем ниже.
ЗАГАДОЧНЫЕ ЦЕПОЧКИ
113
«Емелина печка»
Кажется, какая простая вещь — кубик! Неизвестно, когда
впервые стали с ним играть, но с тех пор придумано такое
множество игр, задач и головоломок с кубиками, что, если со-
брать все их описания вместе, получится книга в несколько
раз толще этой. Можно ли еще придумать что-нибудь новое
и интересное? Оказывается, да!
Головоломку «Емелина печка» (рис. 122) изобрел инженер
В. И. Красноухов из Подмосковья, а имя ей дала его дочь Оля.
Головоломка состоит из восьми обыкновенных детских кубиков
(рис. 123), соединенных между собой шарнирами. Поворачивая
отдельные части игрушки, получают различные фигуры.
Головоломку можно легко сделать самим. Для этого понадо-
бятся восемь кубиков одинакового размера, цветная бумага,
клей, обрезки ткани и нитки. Если кубики старые, их очищают
от остатков наклеек. Для этого кубики опускают на несколько
секунд в горячую воду, а затем ножом счищают с них бумагу
и клей. Подготовленные кубики соединяют между собой с по-
мощью приклеенных к ним матерчатых прокладок (рис. 124).
Для прокладок лучше всего подходит шелковая лента: два
куска ленты сшивают вдоль, а затем разрезают на отдельные
Рис. 122. Головоломка «Емели-
на печка».
Рис. 123. Внешний вид голо-
воломки «Емелина печка», схе-
ма соединения кубиков.
Рис. 124. Изготовление голово-
ломки «Емелина печка».
114
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
куски. При использовании клея ПВА место склейки проглажи-
вают не очень горячим утюгом. Это ускоряет изготовление голо-
воломки, место склейки получается более прочным. Остатки клея
с утюга легко удаляют водой.
Соединенные между собой кубики оклеивают цветной бума-
гой. В углу каждой грани указывают номер кубика. Это необхо-
димо для записи решений головоломки. Для того чтобы придать
игрушке нарядный вид и сделать ее более прочной, рекомен-
дуется покрыть головоломку слоем разведенного водой клея
ПВА (на одну часть клея добавляют четыре части воды) или
любым бесцветным лаком.
Сделав головоломку, не спешите решать сложные задачи.
Сначала просто покрутите игрушку в руках, посмотрите, какие
фигуры у вас получаются, попробуйте их повторить. И лишь
хорошо познакомившись со свойствами головоломки, присту-
пайте к сборке фигур. Начать лучше с простейшей фигуры —
«Емелиной печки». Она получается, если головоломку просто
сложить пополам.
На рис. 125 показаны некоторые фигуры, построенные с по-
мощью данной головоломки. Номера на кубиках облегчили бы
поиск решения. Но даже зная, какой кубик где должен стоять,
иногда нелегко решить задачу. Среди задач есть такие, которые
можно решить разными способами.
Если подумать, всегда можно найти способ что-то изменить
в игре, сделать ее разнообразнее, интересней. Попробуйте соеди-
Рис. 125. Фигуры, построенные
с помощью головоломки «Еме-
лина печка»:
1 — «Емелина печка»; 2 — куб;
3 — «валенок»; 4, 5, 6 — па-
дающие кубики; 7 — крепость;
8 — развалины крепости; 9,
10— стены; 11, 12 — башни; 13,
14, 15—углы; 16, 17, 18 —до-
ма.
И СНОВА КУБИКИ
115
нить кубики другим способом, посмотрите, что получится. Вы на-
верняка построите новые фигуры, которые невозможно собрать
из «Емелиной печки».
На нашем рисунке места соединений кубиков показаны в
условно-растянутом виде. В правильно изготовленной голово-
ломке прокладки приклеивают так, чтобы кубики вплотную при-
мыкали друг к другу. Но ведь это необязательно. Представляет
интерес головоломка, в которой кубики соединены между собой
тонкими пластинками. Каждая пластинка по размеру равна
грани кубика и соединена с ним гибкой прокладкой — шарни-
ром. У этой головоломки — свои, еще не изведанные возмож-
ности. Сделайте головоломку и попытайтесь раскрыть ее секреты.
В. Н. Николаев
И СНОВА КУБИКИ
Такая, казалось бы, простая и привычная с детства игра
в кубики иногда ставит проблемы, с трудом разрешимые даже
при использовании современных ЭВМ. В Скандинавских стра-
нах, например, очень популярны кубики сома. Эту изящную
игру с чрезвычайно простыми правилами изобрел датчанин
Пит Хейн. Занимаясь абстрактными идеями квантовой меха-
ники, Хейн обратил внимание на квантовые ячейки, которыми
при определенных условиях можно заполнить так называемое
фазовое пространство. Поиски иллюстраций квантования (неко-
торого зримого аналога) привели его к созданию новой игры.
Кубики сома относятся к интеллектуальным играм. Они раз-
вивают ум, внимание, пространственное воображение, облегчают
восприятие таких предметов, как стереометрия, черчение, начер-
тательная геометрия. Что такое сома? В переводе с греческого
слово «сома» означает живое тело, организм, а в древне-
индийской мифологии так называли обрядовый напиток, надолго
дурманящий человека.
Кубики сома
На рис. 126, 127 изображены различные пространственные
комбинации из кубиков. Кубики сома (рис. 127) — семь простран-
ственных фигур (элементов), не имеющих формы прямоугольных
параллелепипедов. У трех из них кубики расположены не в одной
плоскости. Всего в элементах кубиков сома использовано 27
кубиков, каждый элемент, кроме третьего, состоит из четырех
кубиков.
Хейн поставил перед собой задачу сложить из указанных эле-
ментов куб, грани которого образованы девятью кубиками. Такой
116
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 126. Комбинации из ку-
биков в форме параллелепи-
педов.
куб имитирует квантовую ячейку. Задача оказалась сложной и
сначала повергла Хейна в уныние. Тем не менее он составил
искомый куб после того, как собственноручно изготовил кубики
сома. Впоследствии выяснилось, что существует, ни много ни
мало, 240 способов сборки такого куба. Из кубиков сома мож-
но построить и другие фигуры, напоминающие животных, моде-
ли зданий, всевозможные предметы.
Игра с кубиками сома быстро привлекла внимание любителей
занимательных головоломок. При этом они не только овладевали
способами сборки известных фигур, но и придумывали новые
комбинации. На второй и третьей сторонах обложки представ-
лены фигуры, которые мы предлагаем вам собрать самостоя-
тельно. Мы не даем их названий, так как форма фигур говорит
сама за себя.
Кубики сома нетрудно изготовить из обычных детских куби-
ков. Для этого требуются 27 одинаковых кубиков и клей. Ку-
бики склеивают так, как показано на рис. 127. После просушки
места склеивания зачищают наждачной бумагой для удаления
выступивших капель клея. Набор кубиков сома удобнее хранить
в специальной кубической коробке со стороной, в три раза
Рис. 127. Элементы кубиков
сома.
И СНОВА КУБИКИ
117
Рис. 128. Сборка некоторых
фигур.
превышающей длину ребра кубика. Кубики сома должны плотно
заполнять такую коробку. Сложить их в коробку вы сможете
в том случае, если научитесь собирать из них куб.
Чтобы добиться успеха в игре, необходимо научиться зримо
представлять взаимодействие элементов кубиков сома в простран-
стве. Поначалу не избежать ошибок, но со временем их будет все
меньше. Впоследствии вы сможете решать задачи в уме, то есть
видеть собираемые фигуры как бы насквозь. Для того чтобы за-
помнить, каким образом собирается та или иная фигура, элемен-
ты кубиков сома необходимо пронумеровать или покрасить
в разные цвета. Собрав фигуру, зарисуйте ее и отметьте циф-
рами все элементы. Используя такой рисунок, вы сможете без
труда собрать фигуру повторно. На рис. 128 показаны варианты
сборки трех объемных фигур.
Любопытно, что некоторые фигуры нельзя построить из ку-
биков сома. Такая фигура изображена, например, на рис. 129.
Чтобы убедиться в этом, посмотрим на фигуру сверху и за-
красим ее столбики в шахматном порядке. Предположим, что
Рис. 129. Фигура, не соби-
раемая из кубиков сома.
118
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 130. Шахматная раскрас-
ка кубиков сома.
все стороны кубиков, образующих столбики, окрашены так же,
как и верхняя сторона столбика. В целом получится 8 розовых
и 19 синих кубиков. Повернем элементы кубиков сома в про-
странстве так, чтобы при шахматной их раскраске полу-
чить наибольшее число синих и наименьшее число розовых
кубиков.
Как это сделать, показано на рис. 130. В сумме на-
берется 18 синих и 9 розовых кубиков. Значит, фигуру,
показанную на рис. 129, построить нельзя, так как для этого
недостает одного синего кубика, а один розовый является
лишним.
Уберем из комплекта кубиков сома один элемент, например
третий (см. рис. 127). Тогда из оставшихся элементов, содер-
жащих 24 кубика, можно будет сложить такой же элемент,
но вдвое большего размера в каждом из трех измерений. По-
пытайтесь произвести подобную операцию с любым другим эле-
ментом, но при этом к оставшимся элементам, содержа-
щим 23 кубика, добавляйте несколько элементов в форме па-
раллелепипедов, состоящих из 9 кубиков (они показаны на
рис. 126).
Из кубиков сома можно собирать разные фигуры на скорость.
Однако соревновательная сторона такой игры невелика. Более
интересны для игры вдвоем разборные кубики.
Разборные кубики
В игре используют два одинаковых набора обычных кубиков,
например из 27 штук каждый. Специальными креплениями куби-
ки временно соединяют между собой. Игроки уславливаются,
с какой объемной фигурой они будут играть. Это может быть
куб Пита Хейна или любая другая фигура. Каждый из игроков
пользуется своим набором кубиков. Противники разбирают
И СНОВА КУБИКИ
119
Рис. 131. Вариант группировки
разборных кубиков.
Рис. 132. Крепление кубиков
между собой.
фигуры (каждый свою) за небольшой картонной ширмой, чтобы
не видеть друг друга.
Сначала из отдельных кубиков формируют группы. Их может
оказаться несколько, разной конфигурации, как частный случай
это могут быть и кубики сома. Типичные группы кубиков, из
которых составляется куб, показаны на рис. 131. Игроки обме-
ниваются наборами сгруппированных кубиков, после чего каж-
дый из полученного набора собирает условленную фигуру. Тот,
кто сделает это раньше, выигрывает.
Разборные кубики можно изготовить самим. Чтобы соединить
кубики между собой, в центрах их граней с помощью ручной
дрели просверливают отверстия. Для соединения кубиков
используют трубки из упругой пластмассы, например из кап-
рона. Лучше сцепляются с отверстиями трубки, имеющие риф-
леную внешнюю поверхность. Диаметр трубок должен слегка
превышать диаметр отверстий. Для двух наборов из 27 кубиков
требуется не более 50 соединительных трубок. Как сделать
кубики, поясняет рис. 132.
При игре в разборные кубики счет ведут по-разному. В одном
случае учитывают сложность фигуры, в другом — количество
групп кубиков, которые не сумел использовать проигравший.
Проигравший вправе потребовать реванш: просить победителя
собрать фигуру из своего набора кубиков. Если выигравший
не сумеет это сделать за условленное время (например, за
30 секунд), он теряет право на победу.
Читатели могут предложить другие правила игры (можно из-
менить количество кубиков в наборах, взять для сборки более за-
мысловатые фигуры, ограничить число кубиков в группах и т. д.).
Игра в кубики доставляет радость и детям, и взрослым. По-
лученное удовольствие с избытком окупает труд, затраченный на
изготовление кубиков.
120
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
В. Н. Белов
«ЕЖИ» И «ЗВЕЗДЫ»
(по страницам книг и журналов)
В одной из басен И. А. Крылова повествуется о человеке,
который, считая себя знатоком механики, затратил много вре-
мени в попытках открыть новую шкатулку. Он полагал, что
шкатулка сделана с секретом, и обязательно хотел его найти.
Однако весь секрет состоял в том, что шкатулка открывалась
без всяких ухищрений — стоило «за дело просто взяться»!
Слова Крылова как нельзя точнее относятся к оригинальным
развлекательным сооружениям из деревянных брусков. Одно та-
кое сооружение — «еж» — показано на рис. 133. Оно состоит
из шести брусков квадратного сечения, объединенных попарно.
Предполагается, что такую конструкцию несколько тысяч лет
назад придумали китайские столяры. На примере «ежа» они
показывали ученикам, как простейшими столярными инструмен-
тами можно обработать древесину, добившись полного смыка-
ния всех брусков и создав иллюзию монолитности. Бруски кре-
пились между собой потайными шпунтами, то есть выступами
и вырезами на их внутренних частях. Такое соединение, неза-
метное снаружи, обеспечивало «ежу» прочность.
Вряд ли эта игрушка служила лишь заурядным образцом сто-
лярного мастерства или обычным развлечением. Ведь собрать
или разобрать «ежа» означает решить весьма трудную логи-
ческую задачу, что невозможно без четкого пространственного
представления о расположении шпунтов на брусках. Именно
это качество требуется столяру, создающему сложные поделки,
вроде тех, какие оставила после себя древняя китайская куль-
тура. Значит, «еж» мог являться своеобразным учебным посо-
бием при подготовке молодых столяров или тестом на профес-
сиональную пригодность.
В нашей стране «еж» появился благодаря адмиралу
С. О. Макарову: побывав в Китае, он не преминул привезти
домой хитроумную головоломку. «Еж» — не единственная Китай-
Рис. 133. Головоломка «Еж».
ЕЖИ» И «ЗВЕЗДЫ»
121
Рис. 134. Головоломка «Звез-
да».
Рис. 135. Получение кубиков из
бруска.
ская деревянная игрушка. Известна «звезда» (рис. 134), со-
стоящая из шести брусков квадратного сечения. В «звезде»
бруски соприкасаются не гранями, как в «еже», а ребрами,
что придает ей более замысловатый вид. И в «еже», и в «звезде»
нет пустот — все внутреннее пространство занято шпунтами.
Игра с «ежом» заключается в расчленении его на отдельные
бруски и последующей их сборке. Чтобы разобрать «ежа», нужно
найти ключ головоломки — брусок без шпунтов, который выни-
мают первым. Затем поочередно вынимают все остальные
бруски.
Какую форму должны иметь шпунты на пяти брусках? Рас-
смотрим случай, когда из бруска вырезают небольшие кубики
с ребром, равным половине ширины бруска. Таких кубиков на
одном бруске 16 (рис. 135). Объем области пересечения шести
брусков «ежа» равен 32 кубикам. Каждый из 16 кубиков на
бруске вырезан или оставлен. Полное число их комбинаций —
2 =65 536. Это и будет количество различных шпунтов на
бруске. Разумеется, отсюда необходимо выбросить все бессмыс-
ленные комбинации кубиков, например такую, при которой выре-
заны четыре кубика, образующие параллелепипед, соприкасаю-
щийся большей гранью с плоскостью поперечного сечения
бруска. В этом случае брусок оказывается пропиленным на-
сквозь. Расчеты, выполненные на ЭВМ, показывают, что прак-
тически реализуется 2|2 = 4096 вариантов шпунтов, из них в
конструкции «ежа» сочетаются всего 369 типов.
На рис. 136 и 137 изображено несколько комплектов брусков
для сборки «ежа». На рис. 138 показан собранный «еж». Здесь
после номера бруска (см. рис. 136) в скобках указано число,
определяющее порядковый номер этапа, на котором данный
брусок используется при сборке. Ключ (последний брусок)
вставляется на шестом (заключительном) этапе (на рис. 138
ключ не виден). Разбирается «еж» в обратном порядке.
122
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
«ЕЖИ» И «ЗВЕЗДЫ»
123
Рис. 139. Бруски для сборки
«звезды» без ключевого эле-
мента.
Рис. 140. Бруски для сборки
«звезды» с ключевым элемен-
том.
«Звезду» собирают из двух различных наборов брусков. В
одном случае (рис. 139) используют шесть одинаковых брусков,
ключ отсутствует, но тем не менее «звезда» успешно разбирается
и собирается — эти операции предлагаем вам освоить самостоя-
тельно. В другом случае (рис. 140) один из брусков является
ключом головоломки.
Изготовьте бруски, пользуясь приведенными рисунками. С по-
мощью линейки найдите нужные размеры шпунтов (эскизы вы-
полнены в масштабе). Для брусков подходит струганая дере-
вянная рейка шириной от 5 до 20 мм. Наилучшим материалом
являются бук и липа, не подверженные скалыванию. Можно
Рис. 141. «Клетка» из брусков.
124
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
6 экз
2 экз
Рис. 143. Двойной «еж».
4 экз.
3 экз.
Рис. 142. «Ежи» из брусков.
Рис. 144. «Еж» из 18 брусков.
сделать бруски и из органического стекла или пластмассы, но
при работе вам понадобится фрезерный станок.
При сборке головоломок вас ждут сюрпризы, от которых вы
получите немало удовольствия. Научившись хорошо манипули-
ровать брусками, познакомьте с ними своих друзей и вместе
позабавьтесь.
«Ежа» и «звезду» можно поместить внутрь «клетки», которая
тоже монтируется из брусков (рис. 141). Получится как бы голо-
воломка в квадрате, — ведь чтобы разобрать «ежа» или
«звезду», их надо еще и вынуть из клетки.
Более сложны «ежи», изображенные на рис. 142. Из восем-
надцати брусков необходимо отобрать те, которые будут исполь-
зованы при сборке.
В заключение предлагаем вам решить три задачи:
1. Придумайте конструкцию «ежа» (см. рис. 133) без ключе-
вого бруска. Сделайте так, чтобы внутри «ежа» не было пустот
(это условие относится и к двум следующим задачам).
2. Разработайте конструкцию двойного «ежа» (рис. 143), на-
зываемого иногда «каторжным крестом». Если вы всерьез займе-
тесь этой проблемой, то скоро поймете смысл второго названия.
3. Попытайтесь собрать «ежа» из 18 брусков (рис. 144).
Подумайте, нельзя ли для крепления брусков между собой ис-
пользовать шпунты, форма которых отличается от прямоуголь-
ной. Возможно, вы найдете новые удачные решения — напишите
нам об этом.
ПРОВОЛОЧНЫЕ ЛАБИРИНТЫ
125
В. Н. Белов
ПРОВОЛОЧНЫЕ ЛАБИРИНТЫ
В Толковом словаре В. И. Даля есть немало слов, вышедших
из употребления и ставших анахронизмами. Встретятся и, на наш
взгляд, незаслуженно забытые слова, как, например, слово «ме-
леда», которое не значится ни в современном толковом словаре
С. И. Ожегова, ни в новом энциклопедическом словаре. Глагол
«меледить» в русском языке действительно не употребляется,
но как название конструкции из сцепленных проволочных колец
слово «меледа» не потеряло своего значения.
Меледа уходит своими корнями в далекое средневековье,
даже дальше — в ханьский Китай.
Старинная легенда гласит, что эта головоломка была изобре-
тена в начале нашей эры китайским воином. В те давние времена
мужчина часто был вынужден брать в руки оружие и уходить из
дома. Изнуряющие походы надолго разлучали его с семьей.
Воин, о котором идет речь, не хотел, чтобы любимая жена
тосковала и скучала в его отсутствие, но, возвращаясь, он видел,
что прелестные глаза его маленькой Го-Линьхуа становятся все
более печальными. Воин дарил ей изумительные по красоте
цветы дикой сливы, из стеблей риса и веточек делал забавные
фигурки, которые на время развеивали грустные мысли. Однако
длинные темные вечера снова приносили печаль в ее сердце.
И вот однажды, после жестокой битвы, израненному воину
пришла мысль подарить жене занятную игрушку, которая по-
могла бы в ее долгом ожидании. Используя бамбуковое древко
копья и шелковые нити из распущенных бинтов, воин изготовил
игру, в которую можно было играть очень долго. Воин подарил
эту игру своей жене, и скоро она снова стала лучше всех
и глаза ее блестели ярче, чем прежде. Так утверждает легенда.
В современном Китае эта игра известна под названием «Ужас
гостей»: в нее можно играть до бесконечности. Англичане про-
звали ее «Утомляющая железяка», а ироничные французы
называют меледу «Бездельник».
Достоверно известно, что древние скандинавы использовали
меледу в качестве запора для сундуков. Скорее всего, именно
скандинавы и завезли головоломку в Европу. Долгое время
экземпляр игрушки можно было видеть в Лейпцигском музее.
Европейцы назвали ее китайскими кольцами. Ремесленники и ко-
роли, знатные вельможи, шуты и обнищалые крестьяне — все
с одинаковым интересом играли в меледу. Образованнейшие
люди своего времени задумывались над разрешением голово-
ломки.
Итальянский математик Джероламо Кардано, первым
вычисливший корни кубического уравнения, был в полном вое-
126
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
торге от игры и в 1550 году посвятил ей целый трактат, отнюдь
не математического содержания. По-видимому, в то же время
меледа появилась на Руси. Игра до такой степени ассимили-
ровалась, что стала органичной частицей народной культу-
ры, получила исконно русское название, сохранившееся до сих
пор.
Изготовлением и распространением игрушки занимались кузне-
цы, знавшие толк в работе с металлом.
Загадки в проволоке
Характерным для многих игр и головоломок является то, что
они имеют сходную судьбу. Случается, что какие-то из них на
время забываются, но вдруг в другом месте и под другим назва-
нием они появляются снова. Их вызывают к жизни неуемная
человеческая фантазия, непрерывный поиск нового.
Меледа изобреталась неоднократно то в Старом, то в Новом
Свете. Последний европейский патент на меледу выдан в Венгрии
в 1931 году, в США — в 1977 году.
Ниже вы познакомитесь не только с этой замечательной
игрой, но и с рядом других, относящихся к проволочным играм-
головоломкам.
Таких игр очень много.
Откуда и как появляются проволочные головоломки? В жизни
часто встречаются замысловатые переплетения из бечевок, про-
волоки, прутьев — в металлических оградах, орнаментах ковров,
барельефах, в ювелирных поделках. Даже привычная корзина
для грибов или ягод представляет собой упорядоченное сплете-
ние лозы. Глядя на переплетение, вы спросите себя: а каким
образом оно выполнено? Вопрос будоражит ум, вызывает по-
требность разобраться. А увлеченный разгадыванием одной го-
ловоломки, человек нередко придумывает другие, не менее инте-
ресные.
Сама жизнь часто подсказывает новые задачи. Проволочными
хитросплетениями переполнена электронная аппаратура. Тот, кто
видел модули современных компьютеров, знает, насколько слож-
ны их технотронные узоры. Взять хотя бы двусторонние печатные
платы для радиоприемников, усилителей и т. д. или печатные
схемы микроэлектронных узлов. На монтажные платы микро-
схем особым способом наносятся в несколько слоев не только
электропроводящие металлические полоски, но и все радиотех-
нические элементы — резисторы, конденсаторы, диоды и т. п.,
увидеть которые можно только под микроскопом. Плотность упа-
ковки деталей составляет десятки тысяч штук на один квадрат-
ный сантиметр. Без помощи ЭВМ изготовить такие платы не-
возможно. Чем не сложнейшая головоломка?
Но вернемся к меледе.
ПРОВОЛОЧНЫЕ ЛАБИРИНТЫ
127
Меледа
Основные элементы меледы (рис. 145) — проволочные кольца,
закрепленные на концах металлических подвесок, и челнок, ко-
торый проходит сквозь кольца. Другой конец каждой подвески
пропущен сквозь металлическую (деревянную или пластмас-
совую) пластинку. Подвеска перемещается в отверстии пластин-
ки, но не может быть из него вынута, чему мешает небольшое
колечко на конце подвески. Задача состоит в том, чтобы разъеди-
нить челнок и кольца.
Для начала попытайтесь изготовить меледу, тогда вы пойме-
те, что определенными операциями кольцо снимается с челнока и
опускается вниз (на рис. 146 опущенное вниз кольцо помечено
буквой н) или поднимается вверх и надевается на челнок (на
рис. 146 эти кольца помечены буквой в). Разобрать головоломку
сразу вам вряд ли удастся, но в процессе ознакомления с ней вы
установите три основных правила, которым подчиняются все опе-
рации с кольцами: во-первых, любое из колец с номером больше
двух может быть снято с челнока и опущено вниз или поднято
снизу и надето на челнок только в том случае, если кольцо
с номером на единицу меньше надето на челнок, а кольца с еще
меньшими номерами — опущены вниз; во-вторых, кольцо 2
опускается и поднимается только вместе с кольцом 1 (одной
операцией); в-третьих, кольцо 1 всегда можно опустить или
поднять. Выявленных закономерностей вполне достаточно
для того, чтобы составить подробный алгоритм извлечения
челнока.
В начальном состоянии все кольца меледы надеты на челнок,
в конечном — все кольца опущены вниз и челнок свободен. На-
чальное состояние запишем как 1в, 2в, Зв, 4в, 5в или, для
краткости, ввввв (цифрами обозначены номера колец, буква-
ми— их положения), конечное—как 1н, 2н, Зн, 4н, 5н или
ннннн. Построим цепочку превращений, переводящих меледу из
начального состояния в конечное (при этом будем следить
за выполнением сформулированных выше правил): ввввв-нвввв-
нвнвв-ввнвв-нннвв-нннвн-ввнвн-нвнвн-нвввн-ввввн-ннввн-ннвнн-
Рис. 145. Меледа из пяти колец.
128
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 146. Возможные положе-
ния колец меледы.
вввнн-нввнн-нвннн-ввннн-ннннн. Итак, всего 16 операций. Вы-
полнение их позволит освободить челнок. А теперь проверим
алгоритм на практике.
Алгебра превращений
Впервые математическая теория меледы была обоснована
французским математиком Л. Гро в 1872 году. Остановимся
кратко на ее содержании.
Рассмотрим меледу с произвольным количеством колец к.
Сколько понадобится выполнить операций, чтобы освободить
челнок? Обозначим это число NK. Очевидно, меньше всего
требуется операций при последовательном опускании колец, на-
чиная с кольца под номером к и кончая первым кольцом. Со-
гласно установленным выше закономерностям для опускания
кольца под номером к предварительно необходимо опустить
кольца с первого по к—2, а кольцо под номером к—1 оставить
на челноке. На это потребуется NK_2 операций, то есть ровно
столько, сколько необходимо для разборки меледы из к—2 ко-
лец. После того как кольцо под номером к будет опущено
(одной операцией), кольца с первого по к—2 надо снова надеть
на челнок, чтобы впоследствии опустить кольцо под номером
к—1. На это потребуются те же N 2 операций. Теперь
на челноке меледы к— 1 кольца, которые опускают NK , опера-
циями.
Согласно нашим рассуждениям для меледы из к колец:
Nk = Nk_2+1+Nk_2+Nc_1 = Nk_| + 2Nc_2+1. Поскольку для ме-
леды из одного и двух колец N1 = N2=1, находим:
N3 = N2 + 2N| + 1 =4,
N4 = N3 + 2N2+ 1 =7,
N5 = N4 + 2N3 + 1 = 16.
Как видно, N5 совпадает с подсчитанным выше числом операций.
Нетрудно установить закономерность, по которой меняется NK.
ПРОВОЛОЧНЫЕ ЛАБИРИНТЫ
129
При четных к
N =2К“1 — 1,
к ’
при нечетных к
N =2К~
К
Кто знаком с методом математической индукции, может дока-
зать эти соотношения. Чем больше в меледе колец, тем значи-
тельнее время, за которое головоломка разбирается или соби-
рается (если N5=16, то N10 = 551, a N20 = 524 287). Допустим,
для выполнения любой операции с меледой в среднем требуется
две секунды, тогда решение головоломки из пяти колец займет
всего полминуты, из десяти колец — около пятнадцати минут,
из двенадцати колец — больше недели, притом если заниматься
головоломкой непрерывно. Всякое нарушение описанной выше
последовательности снятия колец с челнока приведет к увели-
чению времени решения задачи. Вот так игрушка! Количество
колец увеличивается вдвое, а сложность возрастает несоизме-
римо. (Вспомним, что даже средний по качеству алгоритм сборки
венгерского кубика включает не более 100 операций.)
Если вас заинтересует математический аспект меледы, пред-
лагаем заняться решением следующих задач:
1. Найдите наименьшее количество операций по полному сни-
манию или полному вдеванию челнока в меледу из 12 колец при
начальных положениях колец: внвввннвнввн, ввннввннввнн,
внвнвнвнвнвн, нннвввннввнв (задачи А. Доморяда).
2. Определите, каким должно быть состояние меледы из к
колец, при котором потребуется наибольшее число операций для
освобождения челнока (задача В. Аренса). Предполагается, что
выполняются только необходимые операции.
3. Составьте алгоритм разборки и сборки меледы с произ-
вольными положениями колец. Нельзя ли для этих целей исполь-
зовать программируемый микрокалькулятор?
Головоломки, головоломки...
По типу меледы можно сконструировать и другие голово-
ломки из проволоки. Одна из таких головоломок приведена
на рис. 147. Требуется снять челнок с проволочной дужки.
Попробуйте самостоятельно решить эту задачу, постепенно уве-
личивая количество вложенных одна в другую дужек. Опре-
делите минимальное количество операций, необходимых для ре-
шения задачи. Постройте алгоритм. В чем сходство этой голово-
ломки с меледой, дающее основание причислять их к одному
типу? Все задачи, сформулированные выше для меледы, могут
быть отнесены и к этой головоломке.
130
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Рис. 147. Меледа с проволоч-
ными дужками.
Головоломки другого типа изображены на рис. 148. Каждая
из них состоит не менее чем из двух частей, которые необходимо
расцепить, не нарушая целостности конструкции. В некоторых
головоломках требуется отсоединить какую-либо одну часть из
многих. Отдельные задачи покажутся вам легкими, и вы сумеете
решить их быстро, другие потребуют определенных размышле-
ний, третьи вы сможете решить лишь изготовив головоломки,
что поможет наглядно разобраться в их пространственных свой-
ствах. Решение головоломок покажет, в какой степени у вас
Рис. 148. Головоломки разных
ТИПОВ.
ПРОВОЛОЧНЫЕ ЛАБИРИНТЫ
131
развита пространственная интуиция. Поиски ответов расширят
объем вашего воображения, дадут возможность развлечься
самим и позабавить других. Некоторые головоломки содержат
сюрприз. Какой — догадайтесь.
Все рассмотренные головоломки, в том числе меледу, можно
сделать дома. Для этого необходимы кусачки, небольшие плоско-
губцы и круглогубцы, нежесткая проволока (медная, алюминие-
вая, железная) диаметром от 1 до 4 мм и металлическая,
деревянная или пластмассовая пластинка. Эскизы головоломок
на рисунках приведены в произвольном масштабе. Чтобы легче
было сгибать проволоку, сделайте шаблон. Плоскогубцы потре-
буются для изготовления колец большого диаметра, которые
выгибаются на любом подходящем цилиндрическом основании.
Маленькие кольца сгибаются круглогубцами. Чтобы излишне
не усложнять изготовление головоломок, можно восполь-
зоваться купленными в магазине кольцами для ключей.
В головоломках I и 2 (см. рис. 148) надо освободить челнок.
(В головоломке 2 плоскость кольца перпендикулярна плоскости
челнока.) В головоломках 3, 4, 5 и 6 необходимо снять кольцо,
головоломку 7 следует разобрать на части. Задачи не допускают
математического описания, как в меледе. Но поиски решения
так же захватывающи и увлекательны.
* * *
Было бы неправильным считать проволочные головоломки, да
и головоломки вообще, только задачами на сообразительность.
Они сродни произведениям искусства; обладают уникальным
свойством связывать прошлое и настоящее, дают парадоксаль-
ную возможность соприкоснуться с проблемами, возбуждав-
шими умы живших ранее поколений людей, но не ставшими
от этого менее интересными для каждого из нас. Новые голово-
ломки, которые придумаете вы, прочитав эту книгу, станут
достоянием людей третьего тысячелетия.
132
Содержание
Предисловие................................... 3
КОМБИНАЦИОННЫЕ ИГРЫ
Ю. П. Филатов
64 — НЕ ТОЛЬКО ШАХМАТЫ........................ 6
Игра «Квадраты»........................ 6
Игра «Стыковка»........................ 9
Игра «Отражение»........................9
В. Н. Николаев
ВЕНГЕРСКИЙ КУБИК И МОЛДАВСКАЯ ПИРАМИДКА
(по страницам книг и журналов)................10
Немного истории...........................11
Путь к успеху.............................12
Игра, спорт, развлечение..................13
Что внутри?...............................14
Как собрать молдавскую пирамидку?.........18
Как собрать венгерский кубик?.............20
А. П. Смолин
ЭТЮД О РУБИКЕ.................................22
В. А. Трубицын
НЕОБЪЯТНЫЙ ТАИНСТВЕННЫЙ МАТЕРИК — ШАШКИ........25
Отправная точка — Древний Восток..........26
Проделки шахматного слона.................27
Марциал, Овидий и другие..................28
Псковские, новгородские, невские шашки и триада .... 32
В. Н. Белов
ИГРАЕМ В КВАДРАТЫ.............................38
Возьмем краски............................38
Вместо квадрата — круг....................41
СОДЕРЖАНИЕ
133
Домино из квадратов.....................41
Пасьянс из квадратов....................41
Делаем сами................................41
Новые идеи.................................42
Н. А. Александров
ИГРЫ С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ «ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-34» . . 43
Мягкая посадка.............................45
Соперник — калькулятор.....................48
Стрельба (первый вариант)..................49
Случайные числа............................53
Стрельба (второй вариант)..................54
А. В. Миронов
С МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ ПРОТИВ БОЛЬШОЙ ТЕОРЕМЫ
ФЕРМА..........................................56
В. А. Глинский
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЧИСЛАМИ...................59
Магические квадраты........................59
Шахматы....................................63
Игра в «15»................................65
Другие перестановочные игры................68
Двухэтажная игра в «31».................70
Игра в «15» на цилиндре.................70
Куб 4X4X4...............................71
Логическая головоломка «Перевертыш».....71
КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ИГРЫ
А. Т. Калинин
ВОКРУГ КУБИКА РУБИКА...........................74
Недетские головоломки из детских кубиков...74
Венгерский кубик может быть плоским........78
«Причешите ,,ежика“».......................83
«Минус-кубики» и «минус-шарики»............88
Перевертыши................................91
134
СОДЕРЖАНИЕ
А. Т. Калинин
УЗЛЫ ЦАРЯ ГОРДИЯ................................. 93
Игрушки-загадки из пуговиц и ниток........... 94
Веселые фигурки.............................. 96
Такие разные «восьмерки»..................... 99
«Звезды» с выставки головоломок..............100
Африканская головоломка.......................103
А. Т. Калинин
ЗАГАДОЧНЫЕ ЦЕПОЧКИ 106
«Волшебная змея»..............................106
«Кубик-змея».................................111
«Емелина печка»..............................113
В. Н. Николаев
И СНОВА КУБИКИ 115
Кубики сома..................................115
Разборные кубики.............................118
В. Н. Белов
«ЕЖИ» И «ЗВЕЗДЫ» (по страницам книг и журналов) .... 120
В. Н. Белов
ПРОВОЛОЧНЫЕ ЛАБИРИНТЫ............................125
Загадки в проволоке..........................126
Меледа.......................................127
Алгебра превращений..........................128
Головоломки, головоломки.....................129
Составитель
Владимир Николаевич БЕЛОВ
ИГРА! ИГРА!
Заведующий редакцией Л. Н. ДЕЛЮКИН
Редактор Р. А. КОСТРЮКОВА
Младший редактор Л. М. ПОЗИНА
Художник Н. Н. ГУЛЬКОВСКИЙ
Художественный редактор В. А. БАКАНОВ
Технический редактор И. В. БУЗДАЛЕВА
Корректор Е. В. НОВОСЕЛЬСКАЯ
ИБ № 4056
Сдано в набор 13.10.86. Подписано к печати
20.03.87. М-35591. Формат 60Х901/16.
Бумага офсетная. Гарн. литерат. Печать
офсетная. Усл. печ. л. 8,50.
Усл. кр.-отт. 34,75. Уч.-изд. л. 7,90.
Тираж 50 000 экз. Заказ № 596.
Цена 85 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени
Лениздат, 191023, Ленинград,
Фонтанка, 59. Ордена Трудового Красного
Знамени типография им. Володарского
Лениздата, 191023, Ленинград.
Фонтанка, 57.
Игра? Игра! /Сост.: В. Н. Белов.— Л.: Лениздат,
И27 1987,— 134 с., ил.
Сегодня интеллектуальные игры становятся все более неотъемлемой
частью нашей жизни. Игры помогают живо и доходчиво организовать
преподавание учебных предметов, делают интересным, содержательным
и творческим досуг. Предлагаемый читателям сборник содержит
описания некоторых интеллектуальных игр (в том числе с исполь-
зованием микроЭВМ), способствующих развитию творческих возмож-
ностей человека.
Сборник предназначен для широкого круга читателей. Он может
быть также полезен изобретателям и рационализаторам в поиске
нестандартных, оригинальных решений.
u 1501000000—048 1<r7 fi_
И М171(03)-87 127-87
22.18
85 коп.
ИГРА?
ИГРА!
ЛЕНИЗДАТ
Вниманию читателей
предлагается
необычный сборник.
Тема его —
интеллектуальные игры,
головоломки, игры
с микрокалькулятором.
Все описанные игры
просты, доступны,
развивают умение
логически мыслить,
учат воспринимать
и классифицировать
пространственные
конфигурации,
ориентироваться
в быстро меняющейся
обстановке.
Этот занимательный
сборник
одинаково интересен
и детям,
и взрослым.
Соёетасие шиш и игеИниши
sovietime.ru
СКАЧАТЬ