Исследование операций в военном деле - Чуев Ю.В.

Author: Чуев Ю.В.
Tags: история история военного искусства военные действия военная тактика воениздат
Year: 1970
Similar
История военного искусства в рамках политической истории Т.6
Военная топография в служебно-боевой деятельности оперативных подразделений
Основы исследования операций в военной технике
Text
                    Ю. В. ЧУЕВ
ИССЛЕДОВАНИЕ
ОПЕРАЦИЙ
В ВОЕННОМ ДЕЛЕ
Ордена Трудового Красного Знамени
ВОЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ СССР
МОСКВА- 1970
355.9
4-85
Чуев Ю. В.
4-85 Исследование операций в военном деле. М., Воен-
издат, 1970.
256 стр., 11000 эка., 75 коп.
В 'книге изложены вопросы применения бурно развивающейся в
нестоящее время неуки — исследованы операций к решению заддч
военного дела, и в первую очередь управления войсками; рассмотрены,
основные иоложения исследовании операций, особенности примемте
методов исследовании операций к решению военных аадач и приме*
девы типичные аадачи исследования операций, которые могут быт» ис-
пользованы в военком деве.
Особое внимание уделено методам построения моделей как наибо-
лее сложному вопросу исследования операций.
Применяемый математический аппарат не выходит за пределы
обычного курса математики высших Военных учебных ваведеиий.
В книгу включены тиоловые примеры решения военных аадач
е примеяеяИем методов исследования операций Естественно, что вся
примеры иоеят чисто условный характер.
Книга предиазиачена дли широкого круга военных читателей —
офицерского состава войсковых частей, штабов, военных гневных заве-
дений. Она может оказаться полезной также н для работников обо-
ронной промышленности к соответствукмцих учебных ааведекнй.
1-12-4
84-70
886.9
ВВЕДЕНИЕ
Исследование операций — новая наука, стремитель-
но развивающаяся в настоящее время.
Как наука, предназначенная для решения военных
задач, она возникла в годы второй мировой войны н в
настоящее время применяется во многих областях: в про-
мышленности, сельском хозяйстве, на транспорте нт. д.,
претендуя на универсальность исследования любых
сложных процессов человеческой деятельности.
Характерной чертой военного дела является' противо-
действие противников друг другу в целях решительной
победы. Поэтому в военном Деле много особенностей,
отличающих его от других общественных явлений. Иссле-
дование процессов военного дела особенно сложно по-
тому, что в нем ярко выряжены элементы искусства
военачальника. Эта сложность усугубляется я тем, что
для исследоваиия весьма важных военных процессов
невозможен эксперимент?
Появлениеядерного оружия, современных ракет, вы-
сокоскоростных самолетов, атомных подводных лодок
-< других более совершенных, чем существовавшие ранее,
средств вооруженной борьбы обусловило революцион-
ные преобразования в военном деле.
Перед военной наукой и практикой встали новые
сложные задачи, масштабы и уровень решения которых
потребовали привлечения качественно новых методов в
средств исследования.
Исследование операций и является наукой, прило-
жение методов которой к военному делу может во мио-
-ом помочь решению указанных выше задач.
1»	-3
Однако литературы, изданной на русском языке и
посвященной применению методов исследования опера-
ций к решению военных задач (и в первую очередь за-
дач управления войсками, а не задач воеиио-техннче-
ских), пока еще мало.
Если не считать устаревшей книги Ф. М. Морза и
Д. Е. Кимбелла [6], книги Ю. В. Чуева, П. М. Мельни-
кова, С. И. Петухова, Г. Ф. Степанова н Я. Б. Шора [2],
которая посвящена главным образом решению военно-
технических задач, и книги И. И. Ануреева и А. Е. Та-
тарченко [3], в которой изложены общие аспекты приме-
нения математики к военному делу, то единствейной ра-
ботой, посвященной рассматриваемой проблеме, являет-
ся книга Е. С. Веитцель [1]. Однако и в ней не нашли в
полной мере отражения многие задачи исследования опе-
раций, которые с успехом могут быть использованы в
военном деле.	ь
Целью настоящей книги является попытка изложить
основные, результаты исследования операций, получен-
ные к настоящему времени, применительно к решению
военных задач. Описание же всех методов и задач, ис-
следования операций привело бы к созданию много-
томного труда, который вряд ли прочел бы кто-либо^ кро-
ме специалиста в области исследования операций.
В исследовании операций зачастую применяются до-
статочно сложные математические методы, требующие
специальной математической подготовки. Изложение
доказательств теорем, выводов формул могло бы сде-
лать книгу труднопоннмаемой для читателя, имеющего
математическую подготовку в объеме высшего воен-
ного учебного заведения.
Поэтому aetop пытался изложить только основные
принципы и методы исследования операций, которые
могут найти применение в военном деле. Формулы при-
ведены без доказательств и, где это возможно, про-
иллюстрированы простейшими примерами. Для читате-
ля, заинтересуюшегося более глубоко тем или иным во-
просом, приведен краткий перечень литературы по ис-
следованию операций, изданной на русском языке, кро-
метого, к каждой главе указана дополнительная лите-
ратура.
Книга состоит нз двух разделов.
Первый раздел включает 12 глав. В главе I даны
4
общие вопросы иссйщгавекяя операций, в главах II—XII
рассмотрены общие прийцвпы применения исследования
оввОД&к военным зМдайа** выбор критерия, опреде-
ление информации, вводимой- в модели, методы по-
строения модели исследования й методы маТематнче-
скопШрограммирования.
Во втором разделе приведены типичные задачи ис-
следования операций, которые могут быть применены
в военном деле: задачи поиска, распределения, управ-
ления запасами, массового обслуживания, теории игр,
упорядочения и замены оборудования.
Технические задачи исследования операций в книге
не налагаются.
Автор благодарит товарищей А. А. Ляпунова,
В. А. Баранюка, Д. М. Комарова, Г. Мясоедова за
помощь, оказанную при напвсйнйи этой работы.
Раждвл
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПЕРАЦИЙ К ВОЕННЫМ ЗАДАЧАМ
Глава I
ЧТО ТАКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ?
1. Определение исследования операций
В настоящее время еще нет установившегося обще*
признанного „определения исследования операций. Од-
нако большинство определений близки между собой.
Приведем три из них.
«Исследование операций состоит в применении на-
учных принципов, методов и средств к задачам, связан*
ным с функционированием систем, с целью представить
тем, кто отвечает за управление данными системами,
оптимальные решения поставленных задач» [13].
«Исследованием операций называется специальная
наука, занимающаяся рациональными способами орга-
низации целенаправленной человеческой деятельно-
сти» jl].
«Основной задачей исследования операций является
поиск нанлучшнх или хотя бы удовлетворительных пу-
тей достижения поставленной цели» [4].
Не ставя перед собой задачу суммировать эти и
многие другие определения исследования операций, под-
черкнем основные особенности этой науки.
Исследование операций обеспечивает выработку ко-
личественных основ для принятия решений, но не выра-
батывает самих решений, так как в процессе принятия
решения зачастую необходимо привлечь накопленный
6
опыт и учесть факторы, которые трудно рценить коли-
чественно н ввести в расчет. -Если говорить о военном
деле, то в -процессе принятия решения большую роль
играют-личные качества командира, его воля, опыт и
интуиция.
Основным в исследовании операций является си-
стемный подход, сущность которого сводится К тому,
что деятельность любой части системы оказывает неко-
торое влияние на деятельность всех других ее частей.
Этот принцип является следствием известного положе-
ния-диалектического материализма. Из этого принципа
следует, что для оценки любого решения (или меро-
приятия) необходимо определить все существенные
взаимосвязи и установить его влияние с' учетом этих
взаимосвязей иа поведение всей системы, а ие только
на ее части. Подчеркнем, что здесь речь идет о суще-
ственных связях, а 'ие о связях вообще.
Иначе говоря, исследование операций требует прв
рассмотрении того или иного частного вопроса оценить,
как то или Иное его решение может сказаться иа си-
стеме в целом, разумеется, ие усложняя исследование
рассмотрением второстепенных связей.
-Методом’ исследования .операций является так назы-
ваемы* -операционный метод, сущность которого со-
ставляют:
—	постановка задачи;
—	построение математической моделв с учетом ска-
занного выше о системном подходе;
—	иахождевие оптимального решения с помощью
модели (решения -в математическом, в не в аоеином
смысле): -
—	проверка модели и полученного решения в под-
стройка модели.
Из сказанного об операционном методе ясно, что а
исследовании операций большую роль играет математи-
ка. Иногда об исследовании операций говорят, что
это — математизированный здравый смысл.
Исследование операций является частью более об-
щей ивуки — кибернетики. Если сравнввать исследова-
ние операций с теорией эффективвости, то оно пред-
ставляет собой обобщение этой теории в направления
более полного учета связей и отыскания оптимальных
путей решения задачи.
7
З.Основные понятия исследования операций
Основные понятия, с которыми приходится сталки-
ваться при исследовании операций, это понятия об опе-
рации, модели операции, решении, оптимальном реше-
нии, критерии.
Остановимся коротко на определении этих понятий
и их взаимной связи.
Под операцией в науке «Исследование операций»
понимается любое мероприятие (нлн система мероприя-
тий), объединенное единым' замыслом и направленное
к достижению определенной цели. В военных задачах,
с точки зрения науки «Иоследование операций», это
может бЙ1ть как фронтовая операция, так н более про-
стые процессы, например захват опорного пункта про-
тивника, нанесение удара несколькими ракетами, пуск
одной ракеты.
Применительно к военным задачам могут рассма-
триваться операции, не связанные непосредственно с
ббевой деятельностью войск, например снабжение ча-
стей ракетами, ремонт вооружения н т. д.
Таким образом, понятие «операция» в исследовании
операций отлнчаетсй, от принятого в военном деле. Ойо
значительно шире, чем в военном деле. Именно этим
широким понятием мы и будем пользоваться в даль-
нейшем.
Исследование операций может производиться как
путем исследования оригинала самой операции, так и
путем исследования Модели операции. Однако основным
в исследовании операций является метод исследования
моделей операции. Причину этого лучше всего пояс-
нить нэ примере. Пусть требуется выбрать наиболее ра-
циональные способы боевого применения нового ракет-
ного комплекса.
Наиболее точно это можно было бы сделать, прове-
дя нспытання ряда вариантов способов применения но-
вых ракетных комплексов в процессе боевых действий.
Однако такие испытания в мирное время нере-
альны.
В этом случае наиболее целесообразным методом ис-
следования является моделирование процессов боевых
действий, сравнение на этих моделях различных ва-
риантов боевого применения н выбор лучшего нз них.
8
Существуют три основных метода моделирования:
математический, физический и смешанный. Математи-
четкие модели отличаются от оригиналов физической
природой и геометрической формой, а их сходство со-
стоит в том, что они .описываются одними и теми же
математическими уравнениями. Физические модели
сходны с оригиналом по физической природе и геоме-
трическим формам и отличаются от оригинала разме-
рами, скоростями процесса и другими точно учиты-
ваемыми свойствами. Смешанная модель — это сочета-
ние математической и физической моделей, причем та
часть процесса, которая наиболее трудна или ие под-
дается описанию математическими зависимостями, мо-
делируется физически.
Достоинствами математических моделей являются
универсальность методов и аппаратуры для их иссле-
дования (это различные вычислительные приборы или
машины, начиная от логарифмической линейки и Кон-
чая ЭЦВМ), возможность исследования любых процес-
сов, включая и те, которые в настоящее время ие
удается осуществйть физически, более широкие воз-
можности и простота отыскания оптимальных ре-
шений.
Положительными сторонами физического моделиро-
вания являются возможность исследования процессов
независимо от того, поддаются они описанию средства-
ми математики или нет, бдлыпая наглядность его ре-
зультатов. К числу методов физического моделирования
можно отнести проведение специальных военных игр и
учений, а также проведение отдельных видов полигон-
ных испытаний (исключая те. которые, по существу, яв-
ляются натурными испытаниями). С первого взгляда
может показаться, что эти методы, которые уже давно
нашли применение в военном деле, во всяком случае
раньше, чем появился термин «моделирование», могут
дать ответы на все вопросы. Однако это далеко не так.
Важнейшим элементом боя является противодействие
противника, а этот процесс в любой игре или в испы-
тании учитывается весьма условно, что не может не
сказаться на общих результатах такого моделирования.
Безусловное достоинство физического моделирования в
возможности непосредственного участия в Йем человека,
описать действия которого в каждой коШфетной снтуа-
9
цнн теми или иными алгоритмами бывает очень
трудно.
Очевидно, лучших результатов можно добиться, со*
четая математическое и физическое моделирование,
причем сочетание может быть как поэтапным (матема-
тическая модель, затем проверка результатов на спе-
циальных учениях, затем опять уточненная математи-
ческая модель), так и комбинацией математической н
физической моделей.
Математическое моделирование в последнее время
находит широкое применение благодаря успехам мате-
матики, позволившим создавать и исследовать достаточ-
но сложные модели, а также развитию электронно-вы-
числительных машин.
Математическая модель представляет собой систему
математических уравнений и логических правил, поль-
зуясь которыми можно для каждого выбранного ва-
рианта условий при заданных параметрах вычислить
значение критерия. Математические модели можно раз-
делить на две основные группы: статистические и ана-
литические, которые подробно будут рассмотрены
ниже.
Под решениём в исследовании операций понимаются
те или иные количественные оценки, получаемые в ре-
зультате анализа математических моделей операции.
В военном деле решения оформляются в виде дирек-
тив, приказов или распоряжений, которые могут и ие
содержать количественных данных н которые, как уже
указывалось выше, должны вырабатываться с учетом
количественных данных, получаемых с помощью иссле-
дования операций и других соображений.
Далее под словом «решение» будем понимать реше-
ние математической задачи, полученной и решенной на
основании операционного метода, причем еще раз под-
черкнем, что оно может существенно отличаться от ре-
шения в военном смысле этого слова.
Оптимальное решение — это такое решение, при ко-
тором обеспечивается максимум (минимум) некоторого
критерия при заданной системе ограничений.
Здесь возможны две постановки:
— обеспечить выполнение заданной задачи с мини-
мальной затратой сил н средств, (критерий — функ-
ционал сил н средств);
10
— обеспечить выполнение максимального числа за-
дач при заданной группировке сил н средств (крите-
рий — функционал числа решаемых задач).
При анализе модели операции необходимо распола-
гать определенным количеством исходных данных, к
числу которых относятся:
—	сведения о противнике (где находится, какими
располагает силами и средствами, технические характе-
ристики и количество вооружения, тактика дей-
ствий) ;
—	сведения о внешних условиях (метеорологиче-
ских, геофизических, топографических и т. д.);
—	сведения о своих возможностях (силы и средства,
характеристики вооружения и их связь со стоимостью,
ограничения и т. д.).
Исследование операций содержит в себе четыре ос-
новные проблемы:
—	выбор критериев, по которым проводится оптими-
зация;
—	построение модели операции;
—	определение информации, вводимой в ходель (ис-
ходных данных);
—	отыскание оптимального решения с Помощью ма-
тематических методов. -
Наиболее разработанной к настоящему времени яв-
ляется последняя, которой и посвящено подавляющее
большинство работ в .области исследования опе-
раций.
Вопросам выбора критериев, так же как и опреде-
ления входных данных, уделено значительно мейьше
внимания, несмотря'На их сложность.
Менее изучен вопрос построения модели операции,
хотя исследователю операций приходится с ним стал-
киваться при решении любой задачи
Поэтому, переходя к изложению проблем военного
применения исследования операций, начнем с вопросов
выбора критериев и определения входной информации,
а затем построения модели операции. Изложение об-
щих математических методов описания и исследования
моделей проведем крайне сжато и более подробно оста-
новимся на примерах решения конкретных военных за-
дач методами исследования операций.
11
8. Что дает применение исследования операций
в военном деле?
Исследование операций является достаточно слож-
ной наукой, для изучения которой необходимо потра-
тить много сил и времени.
Встает естественный вопрос, а следует лн это де-
лать? Для того чтобы это решить, необходимо ответить
на другой вопрос: что дает применение исследования
операций в военном деле?
Для ответа на него приведем некоторые примеры,
показывающие необходимость применения исследования
операций в военном деле..
Применение в управлении войсками. В “настоящее
время автоматизация цгнроко применяется во многих
областях военного дела н в частности в сфере управ-
ления войсками. Высокие скорости современных боевых
средств, возможность быстрого изменения обстановки
на поле боя в результате применения средств массо-
вого поражения, большой размах н скоротечность бое-
йых действий приводят к резкой нехватке времени во
всех звеньях управления. Эффективное управление бое-
выми действиями в настоящее время уже невозможно
без автоматизации (хотя бы частичной) этого процесса.
В автоматизированной системе управления часть функ-
ций управления обеспечивается электронными вычисли-
тельными машинами (ЭВМ). В них закладывается так
называемый управляющий алгоритм, представляющий
собой систему уравнений, ограничений и правил, с по-
мощью которых работает управляющее устройство.
Методы исследования операций позволяют сформи-
ровать управляющий алгоритм, сравнить эффективность
разных вариантов управляющих/ алгоритмов, выбрМть
лучший из них, а также внести в них разумные изме-
нения в процессе применения автоматизированных си-
стем управления.
Не следует думать, что использование методов ис-
следования операций для управления войсками обяза-
тельно связано с применением ЭВМ. В ряде случаев
с помощью методов исследования операций удается по-
лучить простые формулы, таблицы и графики, которые
.могут в значительной степени облегчить управление
12
войсками й в Неавтоматизированных авеиьях управ-
ления.
Выбор оптимальных способов боевого применения
новых образцов оружия. Выбор оптимальных способов
боевого применения новых образцов оружия в мирное
время представляет большие трудности. Эти трудности
тем больше, чем существеннее отличие новых образцов
оружия от старых. Методы исследования операций на-
ряду с проведением полигонных испытаний, учений н
военных игр дают возможность выбрать оптимальные
способы применения новых образцов оружия. Зада-
ваясь различными способами боевого применения но-
вого оружия, можно промоделировать боевые действия
в этих случаях, Оценить эффективность того или иного
способа применения и выбрать лучший из них.
Следует отметить, что возникновение и развитие ис-
следования операций связано с отысканием оптималь-
ных способов боевого применения радиолокационной
аппаратуры, созданной в конце 30-х годов.
В литературе [6] приведены примеры применения ме-
тодов исследования операций для решения задач, этого
класса в период второй мировой воины.
В частности, было установлено, что применение са-
молетного магнитного обнаружителя для поиска под-
водных лодок противника целесообразно только в узких
проливах, а для поиска подводных лодок в открытом
море целесообразно применять радиолокационные стан-
ции (до проведения исследований поступали наоборот).
Были решены задачи по выбору оптимального коли-
чества кораблей, действующих против подводных лодок
противника, определены оптимальные-методы примене-
ния оружия против кораблей противника, решена за-
дача о целесообразных методах действия авиации про-
тив подводных лодок в зависимости от количества авиа-
ции и т. д.
Важной частью этой группы задач является опреде-
ление- влияния нового оружия на методы боевого при-
менения старого (перераспределение задач) н целесо-
образность сохранения старого .оружия.
Выбор оптимальных способов борьбы с новым ору-
жием противника. Эта группа задач близка к предыду-
щей, но имеет и некоторые отличия. Применение мето-
дов исследования операций для решения этой группы
13
задач также оказывается весьма эффективным. Моде-
лирование позволяет без больших материальных затрат
оценить эффективность всех имеющихся в нашем рас-
поряжении средств и методов их применения для борь-
бы с новым оружием противника. В случае необходи
мости можно оценить эффективность и тех средств, ко-
торые еще не созданы, и обосновать рещеине о целесо-
образности разработки новых средств.
В литературе [6] даны примеры применения методов
исследования операций для решения именно этой груп-
пы задач. Например, была выработана для разных ко-
раблей оптимальная тактика борьбы с комнкадзе (япон-
скими летчиками-смертниками), определены необходи-
мые изменения в методах применения радиолокаторов
подводных лодок после принятия на вооружение япон-
ских самолетов разведывательных радиоприемников
и т. д.
Решение военно-технических задач. Методы исследо-
вания операций позволяют определить целесообраз-
ность разработки нового образца вооружения. Они по-
зволяют также определить оптимальные тактико-техни-
ческие характеристики этого образца, провести сравни-
тельную оценку двух конкурирующих образцов- без
сравнительных испытаний, оценить ожидаемую эффек-
тивность нового образца 'вооружен^ с учетом возмож-
ных контрмер противника. Если принять во внимание
высокую стоимость вооружения н длительные сроки его
разработки, то важность этих задач вполне очевидна.
Перечень военных задач, для решения которых при-
менение методов исследования операций может ока-
заться весьма эффективным, можно продолжить.
Однако приведенных выше примеров вполне доста-
точно для того, чтобы сделать вывод о том, что более
широкое применение методов исследования операций в
военном деле становится настоятельной необходимостью.
Глава II
КРИТЕРИИ В ИССЛЕДОВАНИИ ОПЕРАЦИЙ
1.	Общие требования, предъявляемые к критериям
Важнейшими требованиями, которым должны отве-
чать критерии в исследовании операций, являются:
—	представительность;
—	критичность к исследуемым параметрам;
—	максимально возможная простота;
—	объединение в себе по возможности всех основ-
ных элементов исследуемой операции;
—	правильный учет стохастичности (случайности)
процесса.
Рассмотрим эти требования подробнее.
Критерий должен быть представительным, то есть
позволять оценить эффективность решения основной за-
дачи операции, а не второстепенных ее задач. Цель
операции должна находить свое .прямое отображение
в критерий-
Неправильный выбор критерия приведет к тому, что
все исследования окажутся бесполезными. Поэтому вы-
яснению цели операции и формализация ее (т. е. опи-
санию в математических символах) должно быть уде-
лено основное внимание.
Можно привести пример удачного и неудачного вы-
бора критерия [6]. В период второй мировой войны на
торговых судах в целях защиты их от авиации против-
ника начали ставить зенитные артиллерийские орудия.
Статистические данные показали, что только 4% само-
летов, атаковавших такие корабля, были сбиты. Этн
результаты, конечно, неудовлетворительные. Они пока-
15
зали, что орудия не окупали затрат даже иа нх уста-
новку. Встал законный вопрос о целесообразности уста-
новки этих орудий.
По критерию ущерба, наносимого самолетам про-
тивника, такая установка была явно нецелесообразной.
Однако этот критерий являлся непредставительным, ибо
не отражал основной цели операции, которая состояла'
не в уничтожении самолетов противника, а в защите
торговых кораблей. Следовательно, представительным
в данном случае должен быть критерий, отражающий
эффективность цели операции, т. е. уменьшение потерь
торговых судов.
Анализ результатов операции по другому крите-
рию— проценту потопленных судов из числа атакован-
ных противником — дал следующее. Процент потоплен-
ных судов из числа атакованных при наличии зенит-
ного прикрытия составил 10%, а при его отсутствий
25%. Экономический анализ показал, что, судя по этим
цифрам, расходы На установку зенитных орудий с из-
бытком окупаются стоимостью сохраненных судов, и
поэтому установка зенитных орудий иа торговые кораб-
ли была продолжена.
В качестве второго примера можно рассмотреть вы-
бор критерия, оценки системы массового обслуживания
(см. главу XVI). Если эта система очень дорогая по
сравнению с потерями вследствие образования очереди,
то наиболее представительным критерием будет отно-
сительное время занятости системы. Если исследование;
производится для случая, когда очень дороги обслужи-i
ваемые единицы, то, видимо, „представительным крите-s
рием является время обслуживания. Если стоимости
того и другого соизмеримы, то представительном кри-j
терием являются суммарные потери, связанные с за-з
держками в обслуживании и недогрузкой системы мае-,
сового обслуживания.
Критерий должен выбираться с учетом системного
подхода, т. е. рассматривать все основные процессы
операции. Так, «апример, рассматривая вопрос построе!
ния обороны, нельзя исходить из концентрации основ;
ных сил и средств в секторе с минимальным значением!
отношения стоимости к эффективности поражения прз|
фиксированной стратегии противника. Следует иметь в
виду, что противник может ее изменить. В качестве кри-
16
теряя правильно рассматривать затраты при стратегии
противник?, являющейся для него оптимальной.
Критерий должен быть критичным, т. е. чувствитель-
ным к изменениям исследуемых параметров; чем эта
критичность выше, тем лучше.
Критерий должен быть максимально простым. Вве-
дение в него второстепенных величин может усложнить
исследования, не приводя ни к каким уточнениям выво-
дов. Одна из самых больших опасностей в исследова-
нии операций «за деревьями не видеть леса».
Крайне желательно, чтобы критерий был единым,
так как решение задачи при наличии двух критериев
крайне затруднено и место математических расчетов в
этих случаях зачастую занимают всякого рода необос-
нованные предложения.
В качестве примера удачного выбора одного крите-
рия, заменяющего несколько, можно привести следую-
щий. Оценку” Эффективности действия снарядов, бомб,
мни и торпед по крейсерам, противника в период вто-
рой мировой войны в США проводили по трем крите-
риям (числу потопленных, поврежденных и суммарному
числу выведенных из строя крейсеров). При этом, судя
по различным критериям, предпочтение следовало от-
дать тому или иному виду средств поражения.
Введение единого критерия «потери крейсеро-меся-
цев», позволяющего в едином эквиваленте сравнить по-
врежденные (кстати говоря, до разной степени) и по-
топленные крейсера (с учетом того, что на постройку
нового крейсера требовалось 36 месяцев), дало возмож-
ность сделать выводы и О наиболее эффективном виде
оружия (им. оказались торцеды, а затем бомбы), и о
необходимых путях совершенствования крейсеров - (за-
щита подводной части и противопожарная за-
щита) .
Исследование операций (особенно при решении воен-
ных задач), как правило, имеет дело со случайными
величинами, и критерий является тоже величиной слу-
чайной. В качестве меры, с которой оперируют' иссле-
дователи операций, зачастую принимают математиче-
ское ожидание критерия М (К). В общем случае это яв-
ляется достаточным, однако, если с изменением
исследуемого параметра существенно меняется средне-
квадратичное отклонение критерия о(К), более пра-
17
аильным может оказаться выбор гарантированной ве-
личины критерия
КГ~[М(Ю + «°(*)Ь
где а—коэффициент, определяемый вероятностью того,
что значение критерия ие превзойдет величины Кг.
Если задача рассматривается в диапазоне условий
(например, оборона, наступление, встречный бой), то ие
всегда целесообразно пользоваться математическим
ожиданием критерия, т. е. осредиениым его значением,
При этом можно ие заметить чрезвычайно интересного
варианта, состоящего в применении двух или более в№
дов тактики, каждая из которых эффективна в одном
диапазоне условий (иапрнмер, в обороне) и неэффек-
тивна в другом (иапрнмер, в наступлении). Можно при-
вести пример сравнения магнитного' обнаружителя под*
водных лодок с радиолокатором, когда, судя по матема-
тическому ожиданию в широком диапазоне условий
первый оказался никуда ие годным (скорость поиска с
его помощью иа два порядка меньше). Однако в специ-
фических условиях (блокирование Гибралтарского про
лива) применение магнитного обнаружения оказалось
более эффективным, чем применение радиолокатора.
2.	Общая форма критерия. Частные формы
критериев
Общая форма критерия вытекает из. Основного по-
стулата исследования операций. Ои состоит в следую-
щем. Оптимальным решением является такое, которое
обеспечивает выполнение поставлевной задачи при ми-
нимуме материальных затрат, либо такое, когда при
фиксированных материальных затратах достигается вы-
полнение поставленной задачи с максимальной эффек-
тивностью. В военном деле более предпочтительна пер-
вая постановка, ибо здесь выполнение задачи, как пра-
вило, должно быть достигнуто. Основной постулат ис-
следования операций применительно к военным зада-
чам представляет единство оперативных требований и
материальных затрат.
Общей формой критерия при первой постановке за-
дачи исследования операций являются материальные
затраты. Поскольку единой мерой человеческого труда
18
являются денься, то в общем случае материальные
затраты, необходимые для выполнения задачи, должны
выражаться в деньгах. Так как в общем случае эти
затраты будут величиной случайной, то следует рассма-
тривать математическое ожидание денежных затрат на
выполнение данной задачи или более общую форму кри-
терия. Итак, общая формулировка цервой задачи ис-
следования операций будет следующей. Требуется най-
ти такое решение, при котором
min К s mln М (С)
при обязательном ограничении Э < Эяов или 3 > ЭДоВ
и дополнительных ограничениях at < или at
где Э — показатель эффективности; а — показатель до-
полнительных ограничений.
При второй постановке задачи исследования Онера-
цнй требуется найти, такое решение, при котором имеет
место
min3
(омх)
при	М (С) ^С^жод»
«*<%>» ЙЛН
В тех случаях, когда сравнение можно производить
по более простым критериям без ущерба для правиль-
ности получаемых результатов, так и следует посту-
пать. Необходимо только иметь в виду, что эти более
простые критерии — производные, т. е. могут быть по-
лучены из критериев, указанных выше.
В первой постановке задачи исследования операций
производными критериями могут быть:
—	математическое ожидание расхода боеприпасов
на выполнение задачи;
—	математическое ожидание количества орудий на
выполнение 'боевой задачи;
—	математическое ожидание числа боевых вылетов
и т. д.
Во второй постановке задачи исследования операций
такими критериями могут быть:
—	вероятность поражения - цели одним выстрелом;
— вероятность поражения цели боекомплектом;
—	полная вероятность поражения цели на заданном
рубеже заданной группировкой;
19
—	математическое ожидание доли пораженных це*
лей заданной группировкой;
—	математическое ожидание ущерба, наносимого
противником нашей фиксированной группировке;
—	математическое ожидание расхода времени на
выполнение боевой задачи фиксированной группировкой
и т. д.
Зачастую в качестве критерия используется отноше-
ние ущерба (причиненного или предотвращенного) Су
к общей затраченной стоимости С3:
Несмотря на возражения, высказываемые отдельны-
ми авторами против такой формы критерия, в ряде слу-
чаев при наличии некоторых ограничений в области его
применения он вполне приемлем и показателен при
сравнении образцов вооружения, особенно для госу-
дарств с близкими экономическими возможностями. Об-
ласть же применения таких критериев должна ограни-
чиваться выполнением неравенства Cyj>Cymin, выте-
кающего из условия нецелесообразности использования
малоэффективных средств.
В качестве критерия оценки тактических решений
иногда целесообразно использовать отношение практи-
чески получаемой характеристики эффективности к
идеальной. Сама величина этого критерия (от 0 до 1)
очень показательна и позволяет судить о качестве вы-
бранной тактики.
Один из распространенных в военном деле крите-
риев— соотношение потерь, которое с учетом сказан-
ного выше может быть весьма показательным.
В военных задачах ограничения имеют особый
смысл, так как Задачи очень сложные, а условия измен-
чивые.
Кроме обязательных ограничений, по существу, сво-
дящихся к двум возможным формам, могут задаваться
и дополнительные, соблюдение которых также необхо-
димо. Например, наряду с общим допустимым коли-
чеством самолетов могут задаваться ограничения по об-
щему габариту аэродромов, связанные с особенностями
театра военных действий; вместе с общей стоимостью
вооружения могут задаваться ограничения по весу и га-
20
барйтам (связанные с возможностью транспортировки)
н т. д.
Важно подчеркнуть одно обстоятельство. Две фор-
мы постановки задач исследования операций, как пра-
вило, являются эквивалентными, т. е. имеют одинако-
вое решение. К настоящему времени удалось показать,
что при соблюдении некоторых условий оптимальные
решения задачи, найденные в одной или другой поста-
новке (минимум затрат при ограничении по уровню
эффективности или максимум эффективности при огра-
ничении по уровню затрат), одинаковы.
Наличие этого принципа в значительной степени об-
легчает решение задач исследования операций, позво-
ляя для исследования выбирать ту форму, которая более
удобна.
3. Случай нескольких критериев
Как указывалось выше, желательно иметь один кри-
терий. Однако это не всегда удается, н прежде всего в
тех случаях, когда имеют место несоизмеримее вели-
чины. В военных задачах это потери людей и мате-
риальные затраты. В ряде работ американских авторов
эти два критерия объединяются путем принятия «стои-
мости» человека, равной' какой-то сумме (например,
20000 долларов). В' иностранной литературе иногда
рассматривают стоимость воспитания н обучения лю-
дей.
Однако определение этой стоимости (правильно го-
ворить о стоимости, которую государство может выде-
лить для сохранения человеческой жизни) в настоящее
время является проблемой.
Могут возникнуть н другие случаи, когда окажется
необходимым рассмотреть ряд критериев вместо одного.
Таким дополнительным критерием в случае нашей обо-
роны может быть, например, кроме ущерба, наноси-
мого противнику, средняя глубина проникновения про-
тивника иа обороняемую территорию, которую можно
допустить.
Одним из наиболее корректных путей отыскания
компромиссного решения при наличии нескольких кри-
териев может явиться следующий. Критерии располага-
ются в порядке.важности и отыскивается решение, оп-
21
тимальное по первому из них. Затем определяется об-
ласть, в которой значение этого критерия отличается
от оптимального на заданную величину (например,
5%). В этой области (а она ввиду пологости функции
критерия в районе экстремума, как правило, оказывает-
ся значительной) производится оптимизация по второму
критерию, и оптимальным считается решение, соответ-
ствующее максимуму (минимуму) второго критерия в
данной области, если число критериев больше Двух, то
далее поступают аналогичным образом.
Второй путь поиска решения этой задачи — превра-
щение второго н последующих критериев в ограниче-
ния, уровень которых должен быть достаточно обосно-
ван. Так, например, в некоторых случаях могут зада-
ваться следующие ограничения: потери людей не должны
превышать потерь в прошлую войну либо потерь, которые
будут иметь место прн существующих видах оружия,
и т. д. Обоснование этих ограничений является доста-
точно сложной задачей, так как при этом-приходится
учитывать цели исследования, решаемую задачу, харак-
тер войны и т. д.
Третьим путем, который рекомендуется рядом авто-
ров, является построение единого критерия, представ-
ляющего собой линейную форму имеющихся; несмотря
на кажущуюся привлекательность' такого метода, его
применение крайне затруднено, таккак методов опре-
деления «коэффициентов важности критериев» пока не
существует. Поэтому от одной трудности в данном слу-
чае можно перейти к другой.
4. Ограничения, смысл их введения
В любой задаче исследования операций как мини-
мум имеется одно ограничение в скрытом или явном
виде. Если исходить из двух постановок задач исследо-
вания операций, то обязательным ограничением будет
либо допустимый уровень затрат, либо заданный по-
казатель эффективности (включающий в себя объем за-
дач, уровень эффективности, временные характеристи-
ки). Без наличия хотя бы единственного ограничения
задачи исследования операций теряют смысл, так как
в этом случае любая задача формально может быть ре-
шена любым образом.
22
Общие формы обязательных ограничений указаны
выше. Однако если исходить из требования упрощать
по мере возможности критерий исследования, то форма
ограничения может быть другой.
Так, например, вместо обобщенных критериев эф-
фективности в первой постановке задачи могут рассма-
триваться количество пораженных единиц противника,
число наших успешных выстрелов, глубина проникно-
вения в оборону противника и т. д.
Вместо допустимого уровня затрат, выраженных в
стоимостной форме, вб второй постановке задачи иссле-
дования- операций в качестве ограничений могут рас-
сматриваться допустимые: группировка, расход боепри-
пасов, количество ракет, количество самолетов и т. д.
В военно-технических задачах вмрсто допустимой
стоимости могут задаваться в зависимости от задач
исследования допустимые вес, габариты, количество де-
фицитных материалов, количество боевых единиц и т. д.
Г л а в a III
ИНФОРМАЦИЯ, ВВОДИМАЯ В МОДЕЛИ
ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ
1.	Общие положения
Информация, вводимая в модели исследования опе-
раций, может быть условно разделена на Следующие
группы:
1.	Внешние условия, к числу которых относятся:
—	метеорологические'условия (температура, давле-
ние, плотность и влажность воздуха, скорость и направ-
ление ветра, облачность);
—	рельеф местности (высота, наличие естественных
препятствий': рек, болот, обрйвов; степень маскировки,
обеспечиваемая местностью; характеристики, опреде-
ляющие скорость перемещения);
—	сведения об освещенности местности;
—	геофизические условия;
—	сведения о наличии населенных пунктов, дорог,
мостов и других объектов, которые могут оказать влия-
ние на ведение боевых действий.
2.	Сведения о положении, состоянии и характере
действий противника, включающие в себя данные о ме-
тодах использования вооружения н его количестве, а
также характеристики этого вооружения.
3.	Сведения о положении, состоянии и характере дей-
ствий наших войск, включающие в себя характеристи-
ки нашего вооружения (в ряде случаев они могут вы-
бираться в ходе решения самой задачи оптимальными),
данные о его количестве (опять-таки они могут иногда
выбираться в ходе решения задачи) н, наконец, данные
24
о методах его использования. Последние, как правило,
выбираются в ходе решения задачи.
В отдельную группу можно выделить сведения, вво-
димые из моделей, находящихся иа более высокой сту-
пени иерархической лестницы задач оптимизации (обыч-
но это объем решаемых задач, который там распреде-
ляется между разными видами вооружения), и нз мо-
делей, находящихся на более низкой ступени этой лест-
ницы (обычно это обобщенные характеристики групп
вооружения). Подробнее об иерархической лестнице за-
дач будет сказано ниже.
Характерным для исследовании операций с точки
зрения входной информации является отсутствие, как
правило, полной информации, необходимой для решения
задачи. Следует отметить, что в военных моделях ис-
следования операций наиболее характерен именно слу-
чай отсутствия полной информации. Поэтому "Этот слу-
чай рассмотрен по возможности полно. Вопросы о под-
ходе к решению задач Исследования операций при
отсутствии' полной информации рассмотрены в гла-
ве IV. В главе III приведены внешние условия, вводи-
мые в модели, а также характеристики вооружения,
с которыми приходится сталкиваться в моделях ис-
следования операций. Вопрос о характеристиках воору-
жения рассмотрен достаточно подробно, так как они
являются важнейшей информацией и оказывают боль-
шое влияние на результаты моделирования.
2.	Внешние условия, вводимые в модели
Прежде всего следует отметить, что эти условия, как
и характеристики вооружения, могут быть частными
(относящимися к конкретному случаю) либо в той или
иной степени обобщенными. Например, частная харак-
теристика температуры воздуха — это температура в за-
данном районе в заданный момент времени. Ее можно
обобщить по времени (например, за весь год), по рай-
ону (например, Западная Европа нлн более высокая
степень обобщения — весь земной шар). Поэтому в каж-
дом случае необходимо решать, с какими характери-
стиками иметь'дело: частными или обобщенными в той
или иной степени.
25
Метеорологические условия приходится учитывать
при анализе-полета снарядов, ракет, самолетов, возмож-
ностей разведки и т. д. Температура воздуха — случай-
ная. функция координат (высоты и географических ко-
ординат) н времени (года, суток). Если исследуется
обобщенный случай, то температура рассматривается
как случайная функция высоты и обычно представляет-
ся в форме канонического разложения.
Давление воздуха на заданной высоте определяется
барометрической формулой исходя из данных о назем-
ном давлении и распределении температуры с высотой.
Ветер обычно представляют в форме проекций на
заданное направление и перпендикулярное к нему. Это
также случайные функции. В качестве аргумента обыч-
но рассматривают высоту и представляют эти' функции
в форме канонического разложения, определяя характе-
ристики обработкой статистического материала.
Один из важных метеофакторов — высота облачно-
сти, определяющая возможность визуальной или оптиче-
ской воздушной разведки. Она может быть представ-
лена а форме вероятности видимости, являющейся не-
случайной функцией от высоты. Получить-эту функцию
можно путем обработки результатов соответствующих
наблюдений.
Рельеф .местности — важнейший фактор, определяю-
щий возможности перемещения, маскировки, прямой ви-
димости^ стрельбы и т. д. Чтобы описать рельеф мест-
ности, в общем случае необходима информация о сле-
дующем:
—	- о высоте участков местности -в зависимости от
координат данного участка;
—	о наличии естественных особенностей (болот, кру-
тых склонов, рек н т. д.), которые могут быть описаны
вероятностью перемещения по местности той или иной
техники;
—	о степени маскировки, обеспечиваемой местно-
стью, которая может быть охарактеризована вероятно-
стью обнаружения заданного объекта стандартным раз-
ведывательным средством на этой местности;
— о .характеристиках, определяющих скорость пере-
мещения по данной местности (коэффициент сцепления
с грунтом, коэффициент сопротивления движению, укло-
ны, ограничения по скорости).
26
Эта информация может вводиться в модели двумя
пособами: конкретно или в осредйенной форме.
В первом случае для каждого участка местности за-
исываются все перечисленные выше характеристики.
Эни определяются либо выбором характерных участков
честности на топографических картах, либо обработкой
«арактеристик ряда участков местности статистически-
ми методами. Недостаток этого способа в необходимо*
-тн введения большого .количества информации в блоки
памяти ЭВМ.
Во втором случае рассматривается средний рельеф.
Его непосредственные характеристики в модель ие вво-
дятся, а рассматриваются средние скорости движения,
.редкие вероятности обнаружения, вероятность прямой
видимости и прямолинейного движения средств.
Кроме рельефа местности, иногда приходится рас-
сматривать характеристики моря (глубину, берега, вол-
нение и т. д.). Общие принципы введения этих харак-
теристик те же, что и рельефа местности.
Время суток при моделировании боевых действий
определяется с учетом необходимости ведения боя в лю-
бое время суток. Наступательные операции по опыту
зедения прошедших войн начиналась, как правило,
угром. Ночные боевые действия во многих случаях
ограничены по масштабам. Определение вероятности
проведения боя в то или иное время суток — задача
сложная, требующая детального анализа тактики про-
тивника и характеристик его вооружения.
Геофизические условия определяются исходя из опе-
ративно-тактических соображений, которые приводят к
определению вероятности ведения боевых действий в
той или иной точке земного шара. Зная широту и дол-
готу, с помощью географической карты можно опреде-
лить высоту над уровнем моря, характеристики релье-
фа, специфические для данного района, продолжитель-
ность дня, ускорение силы тяжести и т. д.
3.	Характеристики вооружения, связанные
с процессом разведки
Разведка может производиться самыми .различными
средствами и способами. Она ведется как разведчиками,
вооруженными элементарными средствами (например, би-
ноклями), так К современными техническими средств!-
27
ми, включая такие, как радиолокаторы и самолеты-раз-
ведчики, снабженные сложнейшей аппаратурой. Основ-
ными характеристиками средств разведки являются сле-
дующие.
1.	Максимальная дальность действия в глубине обо-
роны противника. Обычно это случайная величина (на-
пример, дальность полета для самолетов-разведчиков,
зависящая от метеоусловий, состояния самолета и т. д.).
Ее следует отличать от дальности обнаружения.
Рас. 1. Характер аакокоа обнаружения цели
2.	Закон обнаружения цели данного тина Л-м данным
средством в общем виде описывается зависимостью
вида
Pot=f{x, О,
где х — дальность наблюдения;
t—время наблюдения.
Обычно ее упрощают, разделив аргументы:
= Ри (*) [1 — ехр (— */)],
где Рн(х)— вероятность правильного обнаружения
цели (т. е. того, что Ля цель даст Ле ото-
бражение) ;
ехр — условное обозначение экспоненциальной
функции, представляющей собой е» 2,718
в степени аргумента;
k — интенсивность разведки.
В зависимости от вида средств разведки и вида
цели Р«(лрможет иметь различный характер (рис;. !)•
28
На практике чаще всегалюльзуюТся ступенчатым, экс-
поненциальным и кубическим законами.
3.	Точность определения координат цели обычно ха-
рактеризуется величинами ошибок (оЛр; <^р; ч,р), ко-
торые для данного средства, как правило, являются
функцией расстояния до цели, внешних условий и вре-
мени обработки разведданных.
4.	Временные характеристики. Важнейшей из них яв-
ляется время от момента обнаружения цели до поступ-
1<ёнЯя- данных соответствующему командиру и штабу.
Независимости от средств разведки это время может
5ыть либо,очень малым, либо может достигать значи-
тельных величин. Второй важной временной х'а^актерн-
гтнкой средств разведки является время запаздывания,
е. время с момента постановки задач на разведку до
момента обнаружения цели..
В ряде случаев одной* из важнейших характеристик,
может быть время, затрачиваемое на обнаружение од-
ной цели ^обработку результатов наблюдений.
Выше изложены характеристики средств разведки
зрн выполнения одной (Но не единственной) задачи раз-
ведки — при обнаружении целей.
Очень трудно описать характеристики средств раз-
ведки при решении другой, не менее важной задачи —
зри вскрытия группировки и замыслов- противника. Вн-
1ИМО, измерение полученной информации здесь мысли-
мо только в изменении энтропии, однако этот вопрос
еще не разработан в достаточной степени.
4. Характеристики вооружения, связанные
с нанесением огневого удара (стрельбой)
Нанесение огневого удара (стрельба) может произ-
водиться разными' видами оружия:
—	стрелковым (пистолет, винтовка, автомат, пуле-
мет) ;
—	артиллерийским (пушка, гаубнйа, мортира, ми-
номет) ;
—	реактивным (неуправляемые и управляемые ре-
активные ' снаряды и ракеты разных видов);
—	морским (включающим я себя специфические ви-
ды— торпеды и глубинные бомбы);
29
— авиационным (включающим дополнительно авиа-
бомбы).
Однако все. эти совершенно равные внды оружия
имеют некоторые общие характеристики, важнейшие из
которых рассмотрены ниже.
1.	Дальность стрельбы (максимальная Хтах и ми-
нимальная Xmin) является характеристикой досягаемо-
сти оружия. И та, л другая — случайные величины, за-
висящие, например, от метеоусловий, веса снарядов
(ракет) и других их индивидуальных характеристик
(например, аэродинамических), направления стрельбы,
широты точки старта и т. д.
Р(х)
Рис. 2. Вероятность возможности стрель-
бы на разную дальность
Необходимо различать обобщенные характеристи-
ки, относящиеся ко всем возможным условиям, и част-
ные, относящиеся к конкретным условиям (например,
к точке старта, времени года и т. д.)>
В общем случае дальность' стрельбы может опреде-
ляться Р(х) — вероятностью возможности стрельбы на за-
данную дальность. Вид этой функции показан на рис. 2
Не следует думать, что рассеивание обобщенных ха-
рактеристик дальности мало. Для артиллерийских ору-
дий оно может достигать 25% математического ожида-
ния дальности стрельбы (как максимальной, так и ми-
нимальной) . .
2.	Закон поражения — важная характеристика огне-
вых возможностей (могущества) оружия по данной
цели. Основной задачей каждого удара (пуска, выстре-
ла) является поражение цели. Оно может достигаться
как при непосредственном попадании в цель, так и при
взрыве снаряда (бомбы, боевой части ракеты) на.неко-
тором расстоянии от цели.
ао
Под законом поражения цели понимают вероятность
Сражения цели (т. е. нанесения ей повреждений задан-
ного уровня) при условии попадания данного числа ена-
цдов в цель т или при условий,_что подрыв снаряда
*?6изошел в определенной точке х, заданной координа-
ции х, у, х в системе, качало которой совмещено с цен-
зом цели. Вероятность поражения цели может зави-
сть также н от вектора скорости снаряда в момент под-
-д.
:ыва относительно цели (х).
Закон поражения определяется4 уязвимостью цели и
могуществом боевой части снаряда, уязвимость цели
зависит от двух факторов; характера цели и ее cb-
гтояния.
Состояние цели характеризуется ее защитой допол-
нительными средствами (окоп и т. д.), положением
стрелок, бегущий во весь рост или переползающий по-
дластунски, антенна радиолокатора поднята или опу-
щена и т, д.) и характером действий (двигатель ^або-
~ает или нет). Зачастую для каждого типа целей вво-
дят условные наименования состояний, иапрнмер ракет-
ный комплекс на стартовой позиции, ракетный комплекс
fa марше, ракетный ’комплекс на технической позиции
« т. д.
Могущество боевой части (снаряда, бомбы) зависит
эт ее типа и технических характеристик. По типу раз-
личают боевые части (снаряды, бомбы): ядериые, обыч-
-ые (фугасные, осколочно-фугасные, осколочные, куму-
ятнвные, бетонобойные, бронебойные), зажигательные
н др. Каждая боевая часть воздействует на цель теми
или иными поражающими факторами. Поражающими
ракторамн ядерного взрыва являются световое Излуче-
ние, ударная волна, проникающая радиация. Кроме
того, вследствие ядерного взрыва иногда происходит ра-
диоактнвное заражение местности, которое также мо-
жет вызывать поражения.
Поражающим фактором фугасных боевых частей яв-
ляется ударная волна. Осколочные поражают цель ос-
колками. Осколочно-фугасные воздействуют на цель
двумя факторами: ударной волной и осколками. Строго
говоря, все боевые части, снаряженные обычными
взрывчатыми веществами, являются осколочно-фугас-
ными, ио в зависимости от соотношения поражающих
8!
факторов их относят к осколочным, фугасным нлн осю
лоцно-фугасным.
Поражающим фактором кумулятивных боеприпасе
является кумулятивная струя. Бронебойный и бетон<
бойный снаряды действуют на цель, как и осколок, т.
тело, обладающее определенной кинетической энергие!
Зажигательные боеприпасы могут воздействоват
как непосредственно в момент взрыва, так и спуст
определенное время (пожары). В общем виде закон пс
ражения может быть записан следующим образом. Be
роятнос1*ь поражения j-й цели j-м выстрелом
Рц=*а (ху Xi, Jfgj Xjj ...; Xi, xt)
при условии, что разрывы произошли в точках Хц xj
..., х{ н скорости боевых частей в моменты разрывен
бЫЛИ Xi, Х2, . . ., Xi.
В большинстве случаев не учитывают «ракопленн!
ущерба», т. е. полагают, что все разрывы с фикенра
ванными координатами являются независимыми в смыл
ле поражения или, иными словами говоря, считают
что вероятность поражения цели не зависит от того, к£
кие повреждения причинил ей другой, предыдущий разе
рыв. Тогда закон поражения сильно упрощается (при-
ходится рассматривать функцию ие 6i переменных,
только 6 переменных). Еще более упрощается зако-
поражения в том случае, если можно не учитывать
влияние скорости боевой части.
В этом случае закон поражения, т. е- вероятность по-
ражения /-й цели При йм выстреле, можно записать сле-
дующим образом:
Ря = [1-Oft)] [1 -Oft)] ...Oft),
а одним выстрелом
P7 = Oft).
Выше речь шла о так называемом координатном за-
коне поражения. В ряде случаев ограничиваются рас-
смотрением зависимости вероятности поражения ш
только от расстояния точки взрыва до цели г:
Pz = O(r).
32
В общ^м-случае характер этой зависимости показан
иа ряс. 3.
В целях упрощения последующих расчетов вводят
понятие радиуса зоны поражения, т. е. такого круга,
при попадании в который цель будет поражена, заменяя
фактический закон поражения условным ступенчатым
законом поражения;
r0 = yd (г) dr.
При стрельбе снарядами,
только при непосредственном
ном поражения является
функция вероятности "по-
ражения цели при осу*
ществленнн .. п попада-
ний— Pj(n).
Если не считаться с
накоплением ущерба, то
вероятность поражения це-
ли п выстрелами
где Pj, । — вероятность по-
ражения при одном по-
наносящими поражение
попадании а цель, зако-
оораженИя от расстояния точка
взрыва до цели
падании.
Это так называемый показательный закон пораже-
ния.
3.	Точность стрельбы. Это важнейшее свойство во-
оружения. Оно характеризуется так называемым зако-
си рассеивания, представляющим собой вероятность
разрыва' /-го снаряда /боевой части, бомбы) в той. или
иной точке-? (хи рг, Zi).
Причин, вызывающих рассеивание, очень много, и
они определяются устройством оружия и средств обес-
печения стрельбы. Причины эти могут быть сгруппиро-
ваны, следующим образом;
— ошибки в определении координат цели: они, как
правило, зависят от точности средств разведки, хотя в
некоторых случаях (при самонаведении) определяются
самими образцами вооружения;
2
Ю. В. Чуе»
-зз
— Ошибки в Определений координат точки старта и
основного направления стрельбы, которые зависят от
точности топографической подготовки; в некоторых слу-
чаях (при самонаведении) они не играют никакой роли;
— ошибки метеорологической, баллистической под-
готовки и ошибки таблиц стрельбы могут играть боль-
шую или меньшую рол_ь в зависимости от вида образца
вооружения; они велики для неуправляемых ракет, ар-
тиллерийских снарядов и достаточно малы для управ-
ляемых ракет и снарядов, и тем меньше, чем более со-
вершенна система управления;
— ошибки, связанные с самим процессом выстрела
(наведением, разбросом технических характеристик об-
разца, ошибками приборов в системе управления
и т. д.); как правило, это основная группа ошибок для
управляемых образцов вооружений, она^ составляет
иногда половину общей ошибки для неуправляемых сна-
рядов (ракет).
В связи с тем что общее отклонение является сум-
мой большого числа отклонений, вызываемых отдельны-
ми нсточниками и имеющих близкие величины, общее
рассеивание во всех практически встречающихся слу-
чаях подчинено закону Гаусса с плотностью распреде-
ления
где о», о„, ох — среднеквадратичные'отклонения по глав-
ным осям рассеивания, определяемые путем соответст-
вующих опытов.
В ряде случаев при проведении группы выстрелов
наблюдаются так называемые систематические ошибки,
т. е. ошибки, постоянные для данной группы выстрелов
Так, например, при стрельбе из артиллерийского орудия
с одной и той же позиции по заданной цели ошибки в
определении координат точки нахождения орудия и
цели, большинство ошибок баллистической и метеоро-
логической подготовки будут постоянными (системати-
ческими); случайной будет лишь часть ошибок, связан-
ных с рассеиванием снарядов.
Систематические ошибки являются постоянными
только для данной группы выстрелов. Для разных групп
34
(стрельба ho равным целям с разных Повиций) они бу*
дут также случайными.
В этом случае
2* К
+ м>'
. (У 4 fry , (« + М«
2$ + ~^Г
где Ах, Ду, Ах—систематические групповые ошибки,
т. е. ошибки, повторяющиеся для всей группы выстре-
лов.
?д(Д^ Ьу, Дг)«=
1________ ( J Ал* ,
2ny~SieAjeAfeAil еХР I |	'
Это так называемая схема двух групп ошибок (случай-
ных и систематических — групповых).
В ряде случаев среднеквадратичные отклонения
равны между ёобой (о**«оу"“о2—о); в этом случае имеет
эдесто схема одроф груипы ошибок. Тогда легко вычис-
лить вероятность того, что промах не превышает задан-
ной величины R:
Р(г<«)-».1 - exp [--у -т] •
Следует иметь в виду, что а является функцией даль-
ности стрельбы. Необходимо также различать обобщен-
ные (т е. осредненные по всем* возможным условиям-
стрельбы) и частные величины этой характери-
стики.
В общем случае должны быть заданы.
М*)' М*); °м^х);
В ряде случаев пользуются и другой -формой этих
характеристик, например срединными отклонениями рх,
«максимальными отклонениями» Ахпма, которые для
2*	35
случая нормального закона рассеивания связаны сле-
дующими зависимостями:

4.	Производительность. Очень важным показателем
.является возможность производства того или иного коли-
чества выстрелов в заданное время. Это случайная
функция времени, иногда дальности до цели (напри-
мер, в случае телеуправления), положения оружия (иа
походе, на стартовой позиции), изменения положения
цели (целей).	- <
В большинстве случаев возможная производитель-
ность описывается тремя характеристиками: скоро-
стрельностью (т. е. числом выстрелов или пусков в ми-
нуту), боекомплектом (т. е. количеством выстрелов или
пусков, которые могут быть произведены безлперезаря-
жания) и временем переааряжания. Иногда эти вели-
чины рассматриваются' как случайные; скорострель-
ность определяется как функция числа произведенных
выстрелов. Например, при артиллерийской стрельбе по
мере разогрева стволов темп стрельбы приходится сни-
жать.
С производительностью связаны такие важнейшие
характеристики, как время полета снаряда (оно зави-
сит от конструкции образца вооружения и является слу-
чайной функцией от дальности стрельбы)^и время с мо-
мента подачи команды на выстрел до'выстрела (оно в
значительной степени зависит от состояния системы).
S.	Характеристики, связанные с процессами
перемещения (маневром) войск, управлением
и обеспечением
А. Перемещение войск
Перемещение войск может производиться как в пе-
шем порядке, так и с помощью самых различных
средств и видов транспорта: автомобильного, гусенич-
ною, самолетов, вертолетов, кораблей,, подводных ло-
док и т. д.
36
Общими характеристиками подвижности вооружения-
можно считать:
1.	Скорбеть передвижения, которая является функ-
цией внешних условий (рельефа местности и состояния
грунта для средств, движущихся по земле, состояния
атмосферы для авиационных средств и т. д.). Очень ча-
сто при рассмотрении фигурируют две величины: мак-
симальная скорость и средняя скорость передвижения.
2.	Запас хода по горючему—это также величина
случайная, зависящая от внешних условий. Она показы-
вает, какой путь может быть пройден с одной заправкой
горючим.
3.	Проходимость, определяемая для данного сред-
ства ограничениями по возможности перемещения.^Для
средств, перемещающихся по земле, таковыми могут
быть»- водные преграды определенной глубины, рвы, ка-
навы определенных размеров, состояние дорог и т. д.
Для воздушных?средств это Прежде всего опреде-
ленное состояние атмосферы, а для морских — состоя-
ние моря.
4.	Маневренность—это способность совершить тот
или иной маневр в заданных условиях. Для всех типов
транспортных средств это в первую очередь радиус раз-
ворота.
5.	Временные характеристики, к числу которых мож-
но отнести время, потребное для заправки горючим, для
подготовки к началу движения (например, для запуска
двигателя, взлета и т. д.).
Б. Управление войсками
Процессы управлений включают в себя сбор, пере-
дачу, хранение и обработку информации, ее анализ и
оценку, принятие решений, доведение боевых задач до
исполнителей и осуществление контроля за исполне-
нием.
Система управления может быть в разной степени
автоматизирована (начиная от простейших устройств и
кончая развитыми системами автоматизированного
управления с,объединением в единый комплекс средств
связи, электронных цифровых вычислительных машин,
устройств отображения и т. д.).
87
Основные характеристики, общие в этих системах,
следующие:
1. Пропускная способность системы управления ха-
рактеризуется количеством информации, которая мо-
жет быть обработана системой управленняв единицу
времени..
В терминах теории массового обслуживания она мо«
жет быть охарактеризована средним временем обслу-
живания одной «заявки», которое может-значительно
отличаться в зависимости от характера «заявки», т. е.
полученной информации или запроса.
2. Качество управления в настоящее время очень
трудно или вообще невозможно охарактеризовать ка-i
кон-либо числовой величиной, особенно если речь идет1
о 'разработке общего замысла операции.
-Однако в некоторых простейших задачах управле-
ния такая оценка может быть произведена. Одной нз1
часто встречающихся задач управления является за-*
дача целераспределения, т. е. назначение определенной*
цели каждому огневому средству в обороне или в на-
ступлении.
При этом должна быть проведена оптимизация по
какому-то критерию (например, по математическому ожи-
данию числа пораженных целей при фиксированных
огневых средствах). Сравнение величины критерия, по-
лучаемого в анализируемой системе управления, с ве-
личиной критерии,' получаемого при идеальном управ-
лении, и может быть количественной оценкой качества
управления. Задача целераспределения — не единствен-
ная задача управления. Такую Же оценку.можно произ-
вести при решении транспортной задачи, задачи об опти-
мальном количестве подаваемых боеприпасов (проблема
запасов) и во многих других задачах. Общий подход к
опенке качества управления еще не найден.
В. Обеспечение Лиевых действий войск
Обеспечение боевых действий- является чрезвычайно
сложны* в разносторонним процессом, подробное опи-
сание которого выходят за рамКн рассматриваемых
нами вопросов. Остановимся коротко иа характеристи-
ках .Двух групп процессе®: непосредственного обеспече-
38
ния стрельбы н материально-технического обеспечения
(боеприпасами, продовольствием, медикаментами
и т. Д.). Обеспечение стрельбы включает в себя топо-
графическую (геодезическую), .метеорологическую и
баллистическую подготовку. Общими характеристиками
этих процессов являются:
1. Точность подготовки, которая характеризуется
ошибками ос.
Суммарное рассеивание при стрельбе
*"j/ +	»
где ор — рассеивание, не. зависящее от подготовки;
—производная от рассеивания по ошибке под*
готовки.
2. Время подготовки лп- Зачастую определение сум-
марного времени, затрачиваемого на пуск (выстрел),
с учетом временя подготовки не является столь простой
задачей, как это может показаться с первого аЗгляда,
так как приватом- происходит ряд процессов, часть нз
которых моЖет протекать параллельно, часть последо-
вательно. Для анализа этих вопросов удобно пользовать-
ся сетевыми методами.
Зачастую подготовка может производиться более или
менее точно в зависимости от отводимого на нее врет
меня. Тогда в расчетах приходится пользоваться функ-
цией —/(tn), коГОрая, как правило, имеет разрыв.
Вопросы материально-технического обеспечения
очень разнородны. Если не изучать детально функцио-
нирование систем как таковых, 8 оценивать их влия-
ние на процесс ведения боевых действий,. то они могут
рассматриваться кек системы массового обслуживания,
вагкнейшимн характеристиками которых будет время
обслуживания одного или группы объектов (например,
перевозка вагона боеприпасов).
в. Стоимость вооружения
Стоимость вооружения является важнейшей его ха-
рактеристикой;'во многом определяющей объем и целе-
сообразность возможного его применения. Как абсо-
39
лютная стоимость вооружения, так и удельный весее в
общем объеме военных расходов непрерывно . возра-
стает (последний возрос от 10%\в 1700 г. до 70% в пе-
риод второй мжровой войны)-.
Расходы на вооружение С включают в себя:
1.	Стоимость разработки Ср, в которую входят рас-
ходы на проведение научно-исследовательских работ,
проектирование и изготовление,опытных образцов и. их
испытание. Эти расходы обычно* выражают в стоимости
производства первого образца вооружения. Они зави-
сят глйвшЗм образом от степени; новизны образца во-
оружения ^Небольшое сбвершеиОгЬованне образца по
сравнению с предыдущим значительно дешевле, чем ре-
ализация новых технических идей).
2.	Стоимость производства Са того или иного коли-
чества образцов. • Важно иметь в виду, что стоимость
производства образца уменьшается при увеличении ко-
личестве- изготовленных изделий нВ-за уменьшения на-
кладных расходов, стоимости'Механической обработки,
технических издержек производства^ повышения произ-
водительности лруда по мере приобретения опыта ра-
боты и т. д.
Из опыта установлено, что стоимость,царями в/^из-
делий
СП=СЛ’.
Где С9 •— стоимость первого изделия;
v — показатель стеиени, обычно близкий к 0,7.
3.	Стоимость хранения которая включает в себя
стоимость содержания складов, .регламентных работ,
охраны и т. д.:
г
где — стоимость хранения образца в год:
Ж
С “ С«4-+ У! No ,
где Cfgg — стоимость складов', их оборудования я со-
держания, приходящаяся на одно изделие
в год;
40
стоимость отдельных узлов н агрегатов из-
делия (например, заряда твердого топ-
лива);
at— амортизационный период, т. е. период, в
течение которого те ялн иные узлы при-
ходят в негодность;
Cfi— стоимость содержания обслуживающего
персонала (охраны, технического персона-
ла, производящего раооты по замене узлов
и агрегатов, обслуживанию, контролю
н т. д.);
-Wpi — количество людей, необходимых для об-
служивания одной единицы.
Итак, общие затраты на вооружение
т
C-tCi + Ctrf + C^Ndt
о
являются нелинейной функцией числа произведенных
образцов, при этом в зависимости от типа вооружения
те илн иные составляющие затрат могут быть прева-
лирующими.
При анализе вопроса стоимости вооружения ( необ-
ходимо иметь в виду, что оио состоит не только из ра-
кет, самолетов, боевых машин и тому подобных боевых
единиц, но и целого комплекса обслуживающих меха-
низмов, устройств и т. д. Поэтому сравнивать между
собой следует стоимость комплексов, помня, что, иапрн-
мер, наиболее дешевой'ракете далеко ие всегда соот-
ветствует 'наиболее дешевый комплекс. Говоря о стои-
мости комплекса, следует также учитывать, от Какой
стадии обслуживания, техники мы его рассматриваем
(от аавода, базы, технической позиции и т. д.).
С учетом сказанного общие затраты на комплекс в
расчете иа одну боевую единицу составляют
м
где С* — стоимость боевой единицы;
Ct — стоимость элементов комплекса;
nt—количество /-х элементов комплекса, прихо-
дящихся на одну боевую единицу.
41
Второй член может значительно превосходить пер-
вый.
При анализе вопросов стоимости > необходимо пом-
нить, что стоимость, затраченная в разное время, не-
эквивалентна. Для приведения стоимости к единому вре-
мени существует формула
где г а* 0,10 — коэффициент эффективности .капиталовло-
жений.
При проведении исследований очень важно связать
стоимость образца техники с' его боевыми характеристи-
ками. В качестве примера 'приведем некоторые форму-
лы, показывающие такую связь.
Для определения стоимости производства одной ра-
кеты класса «земля — земля» может быть использована
приближенная зависимость следующего вида:
(Сг 4-	(л, ч- л6, Л)
1-*.
где	г0 — радиус зоны, поражения;
«— характеристика' точности стрель-
бы;
X — максимальная дальность стрель-
бы;
Л,» — конструктивная характеристика
двигателя;-
vt — эффективная скорость истече-
ния;
Ав., — кдэффидиент боевой части;
^с.у — коэффициенты- системы управле-
ния;
Cie.<> Crt — коэффициенты стоимости боевой
части, горючего, конструкции дви-
гателя.
42
Стоимость транспортных средств приближенно опи-
сывается следующей формулой:
С-а + «?„
еде а и b—коэффициенты;
Q — грузоподъемность.
Итак, в каждом конкретном случае стоимость образ-
ца военной техники может быть выражена как функ-
ция его основных параметров, характеризующих состоя-
ние науки, техники, производства.
Важными характеристиками, определяющими стои-
мость. образца военной техники, являются количество и
качество обслуживающего персонала. Они определяют
расходы иа обучение и содержание этого персонала и,
кроме того, количество людей, непосредственно участ-
вующих в войне и подвергающихся опасности пораже-
ния.
7. Надежность вооружения
Надежностью (общей надежностью) называется
свойство изделия, обусловленное безотказностью, долго-
вечностью и ремонтопригодностью и обеспечивающее
нормальное выполнение заданных функций. Это свой-
ство связано с возможностью появления неисправностей
в изделии в процессе его эксплуатации.
Под безотказностью понимается свойство непре-
рывно сохранят^ работоспособность (т. е. не иметь от-
казов) в определенных условиях эксплуатации. Следует
отметить, что, говоря о надежности, имеют в виду нор-
мальные условия' эксплуатации при отсутствии боевых
повреждений. Под-отказом понимается полная или ча-
стичная потеря работоспособности.
Изделие может находиться в трех состояниях:
— исправности, когда оно соответствует всем тре-
бованиям как к основным параметрам, характеризую-
щим "нормальное выполнение заданных функций, так и
к второстепенным, характеризующим удобство эксплуа-
тации, внешний вид и т. д.;
—	неисправности, когда оно и$ удовлетворяет хотя
бы одному нз требований, предъявляемых как в отно-
шении основных, так и второстепенных параметров;
—	работоспособности, когда оно соответствует всем
43
требованиям, предъявляемым к основным параметрам
(но может не удовлетворять требованиям, предъявляе-
мым к второстепенным параметрам).
Долговечность — это свойство изделия длительно, с
возможными перерывами на ремонт сохранять, работо-
способность до разрушения или другого предельного со-
стояния. Она характеризуется либо временем эксплуа-
тации, либо числом циклов' функционирования, либо
объемом произведенной работы.
Ремонтопригодность— это свойство изделия, заклю-
чающееся в его приспособленности к предупреждению,
обнаружению и устранению неисправностей и отказов.
Она характеризуется затратами труда, времени и
средств на проведение .таких работ.
Изделия разделяют на восстанавливаемые и невос-
станавливаемые.
Естественно, что ремонтопригодность — это свойство
только восстанавливаемых изделий. Изделия состоят из
элементов, которые считаются невоостанавлнваемыми.
Характеристикой надежности каждого конкретного'
элемента будет его индивидуальная длительность служ-
бы t. При рассмотрении множества однотипных элемен-
тов длительность нх службы будет случайной веди-
чиной, плотность распределения которой обозначим
через f(0. Величину t часто называют наработкой на
отказ.
Тогда основные характеристики надежности элемен-
тов будут определяться следующими формулами.
1.	Вероятность безотказного действия в течение вре-
мени t
•в
Р(/)-{/(/)Л.
t
2.	Средний срок службы
«в	«в
О'	о
3.	Интенсивность отказов, т. _е. вероятность отказа
на промежутке времени от t до f+Af, при условии, что
в момент t элемент был исправлен:
Заметим, что- достаточно знать одну из указанных
выше функций ддя определения двух Других:
P(f)»=exp
Опыт показывает, что интенсивность отказов зави-
сит-от времени (рис- 4).
Во многих случаях первый период устраняют путем
так называемой тренировки, а в третьем периоде эле-
Рис. 4. Изменение интенсивности отказов в зависимости
от времени
мент не эксплуатируют. Тогда интенсивность отказов
будет величиной постоянной н плотность распределения
длительности службы будет описываться экспоненци-
альным законом
/(О-Хехр [—X/].
Тогда
PV) = exp[-X/J;
'•t—T’’
Ц/)=а.
Для иевосстанавливаемых изделий пользуются теми
же характеристиками надежности, что и для элементов.
Для некоторых типов изделий, работающих задан-
ное время t9 (например, длйч бортовой аппаратуры ра-
кеты полетное время), важной характеристикой являет-
ся Вероятность безотказной работы за время /р:
46
Если,изделие работает циклами длительностью t9,
то вероятность безотказной работы изделия в течение л
циклов
Р(л)«=Р?,
где Pi — вероятность безотказной работы i течение од-
ного цикла.
Надежность восстанавливаемых изделий характери-
зуется теми же параметрами, что и невосстанавливае-
мых, к числу которых добавляются:
— вероятность нормального включения Рв, а также
характеристики ремонтопригодности;
— среднее время восстанойления Та',
— коэффициент готовности (т. е. вероятность за-
стать изделие исправным)
^ср
^Ср + 7»
Если учесть простои, связанные с профилактическими
ремонтами (4фоф), то можно вычислить коэффициент
использования
ь _ Гср
^Ср + ^проф + I'»
Определение критериев надежности сложных систем
является достаточно трудной задачей, методы решения
которой рассматриваются теорией надежности.
8. Характеристики вооружения, связанные
с воздействием противника
К числу важнейших свойств вооружения, связанных
с воздействием противника, относятся живучесть, поме-
хозащищенность и скрытность. При учете противодей-
ствия противника, а этот учет является характерным
для исследования операций, эти характеристики обяза-
тельно должны вводиться в модель исследования.
Живучесть — это свойство образца вооружения со-
хранять боеспособность, т. е. способность выполнять
свои функции при боевых повреждениях. Напомним,
что, говоря о надежности, имеют в виду нормальные
условия эксплуатации при отсутствии боевых повреж-
дений.
Живучесть может быть охарактеризована совокупно-
стью законов поражения от типичных боеприпасов (или
46
боеприпасов, приятых 33 эталон). В частности, для
сравнения удобно пользоваться радиусом зоны нораже*
ния рассматриваемого образца эталонным боеприпасом
в одну килотонну. Этот радиус зависит от состояния
образца и его характеристик (бронирования, габаритов
и т. д.).
При анализе воздействия бронебойных снарядов до*
статочно представительным критерием живучести яв-
ляется проекция толщины брони на возможную траек-
торию снаряда.
Живучесть, как правило, оказывает на эффектив-
ность образца вооружения более сильное влияние, чем
все остальные характеристики.
Помехозащищенность — это свойство выполнять бое-
вые функции в условиях создания -помех противником.
Оно имеет особое значение для радиолокационных, ра-
диотехнических и некоторых других систем. Действи-
тельно, системы, не обладающие достаточной помехоза-
щищенностью, мргут оказаться совершенно неэффек-
тивными в боевых условиях. Помехозащищенность
определяется в основном схемой устройства и его мощ-
ностью.
Характеристикой этого свойства может явиться ве-
роятность нормального функционирования в.условиях
заданных (эталонных) помех противника. Необходимо
помнить о возможности применения противником самых
разнообразных помех.
Скрытность — это свойство образца вооружения не
быть обнаруженным средствами разведки противника.
Оно определяется состоянием образца (на марше, в
укрытии и т. д.), его габаритами, отражающими свой-
ствами поверхности, наличием демаскирующих призна-
ков (излучение, шум, перемещение и т. д.).
Характеристикой этого свойства может служить ве-
роятность обнаружения заданными средствами развед-
ки противница в заданное время.
Скрытность, как и предыдущие свойства, оказывает
весьма сильное влияние иа боевую эффективность образ-
ца вооружения.
Характеристики скрытности обязательно должны учи-
тываться при моделировании процессов боевых дей-
ствий.
Глава IV
ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПЕРАЦИЙ В СЛУЧАЕ ОТСУТСТВИЯ ПОЛНОЙ
ИНФОРМАЦИИ
1. Прогнозирование информации
В исследовании операций часто приходится сталки-
ваться со следующим случаем. Известно изменение с те-
чением времени некоторых параметров, которые необхо-
димо ввести в модель исследования. Однако неизвестно
их значение для того момента времени, в который иссле-
дуется операция. Как правило, этот момент наступает
позже тех, для которых’ имеется информация, Тогда воз-
никает задача прогнозирования информации.
К такой информации могут относиться данные о коли-
честве вооружения в тех или иных подразделениях,
частях и соединениях противника, тактико-технические
характеристики вооружения (как своего, так и против-
ника), оперативно-тактические нормативы, сведения о
методах использования вооружения и т. д.
Какими^бы ни были эти сведения (характеристики),
если они могут быть представлены в виде числа (или
группы чисел), для их определения в указанных выше
условиях могут быть использованы методы прогнозирова-
ния.
Прежде всего следует разделить эти характеристики
на две труппы:
— характеристики, прямо определяемые развитием
народного хозяйства и техническим прогрессом и яв-
ляющиеся в Известной Мере обобщенными (например,
общие затраты на вооружение, показатели оснащенно-
48
сти войск техникой, коэффициент использования веса
артиллерийского орудия, конструктивная характеристи-
ка реактивного двигателя и т. д.);
— характеристики, являющиеся производными от
первых и определяемые не только развитием народного
хозяйства и техническим прогрессом, но и потребностями
в решении тех или иных задач, а также оптимальным рас-
пределением затрат, выбором образцов вооружения и
методов их использования (например, количество раз-
личных противотанковых средств, дальность стрельбы,
могущество боевой части, удаление боевых позиций от
линии боевого соприкосновения и т. д.).
Рис. 5. Характер изменения определяющих характеристик
во времени
Назовем первые определяющими, а вторые произ-
водными. Определяющие характеристики можно полу-
чить только путем прогнозирования. Производные ха-
рактеристики можно также попытаться получить путем
прогнозирования, но более правильно их находить при
решении оптимизационных задач.
Суть этих задач сводится к отысканию такого набо-
ра производных характеристик, который бы обеспечил
минимум (максимум) оценочного критерия. Итак, ка-
кие бы характеристики в конечном итоге не определя-
лись, всегда необходимо найти определяющие характе-
ристики.
Рассмотрим более подробно Эти характеристики. Ис-
следование характера их изменения во времени t для
многих разнообразных случаев показывает, что он
49
имеет вид, изображенный иа рис. 5, где через К обозна-
чена определяющая характеристика, выбранная таким
образом, чтобы ее увеличение соответствовало улучше-
нию качества решения поставленной задачи.
Здесь имеют место участки эволюционного развития,
соответствующие постепенному улучшению характери-
стик путем развития промышленности, совершенствова-
ния тактики, конструктивных доработок оружия, улуч-
шения технологии его изготовления и т- д., и участки ре-
волюционного развития, соответствующие скачкам в
экономике, внедрению изобретений, новых физических
принципов, новых видов вооружения, принципиально но-
вых методов использования вооружения и т. д.
Для прогнозирования могут быть использованы ло-
гический анализ, статистические методы, метод эксперт-
ных оценок, комбинированный метод
Любой из этих методов может быть применен для
прямого я косвенного прогнозирования. Под прямым
прогнозированием понимают непосредственное опреде-
ление искомой величины, под косвенным, прогнозирова-
нием— определение методами прогнозирования некото-
рых вспомогательных величии, всходя нз которых мо-
жет быть вычислена искомая.
Логический анализ весьма широко применяется при
прогнозировании результатов сложных явлений. Он со-
стоит в изучении тенденций развития явления, опреде-
ляющего искомую характеристику, рассмотрении ре-
зультатов аналогичных явлений, оценке информацион-
ного материала и дополнении его с помощью интуиции.
Более или менее надежные результаты могут быть по-
лучены только высококвалифицированным специалистом
/Статистические методы состоят в использовании ин-
формации, обработке ее статистическими методами, по-
лучении математической зависимости, связывающей ис-
комую характеристику со временем, и вычислении с по-
мощью этой зависимости искомой характеристики в за-
данный момент времени.
Статистические методы могут быть разделены натри
группы: задание вида функции с последующим исполь-
зованием метода наименьших квадратов, корреляцион-
ный анализ и использование временных рядов. Рассмо-
трим только первый из этих методов.
60
В кйчёстйе функциц, связывающей иссЛедуейую
характеристику и время, могут быть использованы сту-
пенчатая функция и непрерывные функции: экспонента
и гиперболический тангенс (точнее, его линейная функ-
ция).
Экспонентой описываются процессы, аналогичные
расширенному воспроизводству (приращение пропор-
ционально имеющемуся объему). Гиперболическим тан-
генсом Описываются процессы, аналогичные расширен-
ному воспроизводству, но с коэффициентом приращения
не постоянны м/как это имело место 8 предыдущем случае,
а экспоненциально убывающим со временем (например,
путем исчерпывания возможностей данного принципа).
Рассмотрим прежде всего статистическое прогнози-
рование с использованием ступенчатой функции.
Последняя компактно может быть записана следую-
щим образом:
Я
А(0 — *о +	О — Ы,
где
,	(0 при
И(^_|)в г ~
U при
Итак, для определения этой функции необходимо
знать две функции:
W-
Рассмотрим частный, но нередко встречающийся ив
практике случай, когда а{ и Ift следуют экспоненциаль-
ной зависимости
at * аоехр (kai);
Л
Ц = сexp (—А,/); А —
то есть с течением времени скачки учащаются, а вели-
чина скачков возрастает.
В этом случае задача сводится к отысканию такого
набора величин (Ао; во; «; Ав; kt), при котором ступен-
чатая зависимость наилучшим образом приближалась
бы к имеющимся в распоряжении исследователя дан-
51
ным — множеству точек &♦; tt. Для этой цели приходить-
ся пользоваться методом подбора.- Определив функцию
вычисляют k для требуемого момента времени.
Рассмотрим вопрос о статистическом методе прогно-
зирования . характеристик с использованием непрерыв-
ных функций, подчеркнув еще раз то обстоятельство,
что это именно тот случай, когда формальное примене-
ние статистических методов может привести к абсурду
(если, например, на рассматриваемом интервале вре-
мени предполагается появление скачка, то прогнозиро-
вание с использованием'непрерывных функций, приве-
дет к грубым ошибкам).
Будем аппроксимировать зависимости характеристик
Приближенными экспоненциальными зависимостями,
пользуясь методом наименьших квадратов.
Полагаем
А = Л„ехр («),
где b может быть как положительной, так и отрица-
тельной величиной.
Не останавливаясь иа подробностях вывода соответ-
ствующих формул, отметим, что - если имеется N то-
чек (k{; t{)< то., используя метод наименьших квадратов
и учитывая особенности логарифмически нормального
распределения, получим следующие приближенные фор-
мулы. Математическое ожидание искомой характери-
стики
52
& случае использования гиперболического тангенса
зависимость характеристики от времени записывается
следующим образом:
А = Д [14- th (а + #)].
Имея статистический Материал, коэффициенты Д, а, Ь
определяют путем подбора из условия минимума откло-
нения опытных данных от расчетных. Определив функ-
цию k от времени, вычисляют k для требуемого момен-
та времени.
Метод экспертных оценок.3ышё были описаны ста-
тистические методы прогнозирования, которые во мно-
гих случаях (особенно в окрестностях скачков) могут
оказаться неприемлемыми.
Тогда для прогиозироваиия характеристик вооруже-
ния приходится разрабатывать значительно более сложе-
ние и трудоемкие эвристические методы. В основу раз-
работки этих эвристических методов могут быть поло-
жены идеи, близкие к методике планирования научно-
исследовательских работ PATTERN.
На первом этапе должен быть проведен опрос групп
специалистов в' области естественных наук, которые
укажут, какие научные проблемы, способные оказать
влияние на совершенствование вооружения, будут ре-
шены в фиксированные сроки (например, через 5, 10,
15 лет). На основании такого опроса составляется об-
зор состояния научных разработок в эти сроки.
На втором этапе с обзором знакомится группа кон-
структоров, которые, проведя анализ, расчеты и некото-
рые конструктивные проработки, в возможно, и исполь-
зуя методы статистического прогнозирования, должны
указать ожидаемые определяющие характеристики рас-
сматриваемого объекта вооружения в те или иные сро-
ки. Проведя статистическую обработку результатов, по-
лученных разными конструкторами, действующими не-
зависимо друг от друга, получают ответ на заданный
вопрос. В том случае, если отдельные оценки резко от-
личаются одна от другой, могут быть проведены обсу-
ждение результатов и повторная оценка.
На третьем этапе группа экономистов оценивает
ожидаемые стоимости объектов- вооружения. Статисти-
ческое прогнозирование здесь может быть использова-
но как вспомогательный аппарат для исследования тех
53
процессов, при которых не ожидается качественных
скачков.
Наконец, С результатами оценок' второй и третьей1
групп экспертов* знакомятся .. специалисты в области
стратегии, оперативного искусства и тактики. Они дают
ответы на вопросы о рациональных методах боевого ис-
пользования нового вооружения, изменениях в опера-
тивно-тактических нормативах и т. д. Результаты нх
оценок обрабатываются аналогичным образом.
Комбинированный метод. Статистический метод н
метод'экспертных оценок имеют свои достоинства и не-
достатки. Достоинством первого является высокая объек-
тивность, недостатком — возможность грубых ошибок в
период скачков. Достоинством'второго является мень-
шая вероятность грубых ошибок в районе скачков, не-
достатком — наличие ' субъективных элементов.
Поэтому наиболее целесообразным," с нашей точки
зрения, является использование комбинированного ме-
тода, состоящего в независимом определении искомой
характеристики этими двумя методами.
Если они окажутся близкими, то в качестве искомой
характеристики может быть принято их среднее, зна-
чение.
В лпротивном случае следует обратиться к логическо-
му анализу и отбросить тот- результат, который на -ос-
новании логического анализа окажется сомнительным."
2. Решение задач - исследования операций
в случае отсутствия информации -
Могут встретиться и такие случаи, когда необходи-
мая информация отсутствует н не может быть опреде-
лена методами прогнозирования.
Рассмотрим-для простоты случай, когда мы отыски-
ваем оптимальное значение одного параметра и ие рас-
полагаем полной информацией о другом (например, из-
вестен только возможный диапазон его изменения).
Тогда можно задаваться рядом значений искомого па-
раметра at, рядом значений неизвестного А} и для каж-
дой их комбинации вычислять значение оценочного кри-
терия Кц. Таким образом будет получена матрица зна-
чений критерия, анализ которой представляет собой
одну из самых сложных задач исследования операций.
54
	Д»		• • •		• • •	AJ
в, я ♦ « • вг	* : х : х х а .=•:« =	« я • в • е * it : it : ас	•	• • *	• • •	♦ » •	• •	Ку кч	• • « •	• • •	• « • • •	%2J Ки
В зависимости от характера задачи и характера ве-
личины^ можно пользоваться одним из следующих
критериев.
1.	Критерий Лапласа определяется из условия, что
все значения Ду ^считаются ^равновероятными. Тогда
вычисляем К = 2SKi>, К= 3£К1( и т. д. и, рассматри-
/-1 ' 1 >1 1
вая эти суммы, выбираем такое значение а, при кото-
ром сумма достигает максимума (минимума).
2.	Критерий Гурвица записывается следующим об-
разом:
^7	+О - н) ку т1п,
где Куш и Ку Ш1П—максимальные и минимальные
значения К в l-й строке;
Р — коэффициент, выбираемый нз
общих соображений.
При |1=1 оценка „производится по наиболее выгод-
ным результатам. Это оптимистическая оценка.
3.	Критерий Вальда является частн.ым. случаем кри-
терия Гурвица. Ирк р=0 оценка производится по наи-
более пессимистическим данным. Это самая осторожная
оценка. При этом фактически выбирается
шах [min К|у],
т. е. здесь используется основной критерий теории игр.
4.	Критерий Сэвиджа представляет собой «сожале-
ние между выбором действительным и наиболее благо-*
приятным»:
^-Ку-Кущ».
55
5.	Субъективная оценка математического ожидания
получаемого результата. Просматривая матрицу, под-
считываем для каждого значения А{ сумму удачных 2S,
неудачных 2Р и промежуточных ЯМ результатов и их
количества п, т и р. При этом отнесение той или иной
величины к категории удачных, неудачных или про-
межуточных является в известной мере условным. Опре-
деляется нз 'логических соображений субъективные ве-
роятности получить удачные у, неудачные а и промежу-
точные р результаты, причем а+0+т=1. Оценочный
критерий записывается в следующей форме:
j	j	j
S5
J=L_ + р >1—+ т J=l_.
'*	mt 1 " pi 1 1 ni
6.	Прогностическая оценка математического ожида-
ния получаемых результатов. Методами прогнозирова-
ния определяется вероятность получения X|(Pi)|
.... Затем вычисляется критерий
7.	Определение потерь, „которые имеют место при
той или иной гипотезе.
Исходя нз матрицы, написанной выше, составляется
матрица потерь при принятии той или иной гипотезы
о величине Д и при той или иной истинной величине А.
Эта матрица имеет следующий вид.
Истинно* А	Выбр»ииое А				
	А,	А,	А.		AJ
Ai	0	АКй		• • •	
Аг	. . •	0		• • •	
	• * •	• • •	0	• • «	. • •
А1		АК/2	^/8	• • *	0
Оценочным критерием служит математическое ожи-
дание потерь при принятии той или иной гипотезы о ве-
66
личине А и равнбвероятирм распределении вели-
чин А:
j
Г >-°
—«.
В ряде случаев могут вводиться и некоторые коэф-
фициенты при &Кц, определенные нз каких-то сообра-
жений.
Не останавливаясь на описании других критериев,
отметим, что, к сожалению, обоснованный выбор того
илй иного -критерия (Является столь сложной задачей,
что введение критериев при анализе матрицы фактиче-
ски представляет собой забену одного сложного вопро-
са вторым, не менее сложным.
При выборе критерия нужно прежде'всего исходить
из анализа характера величины А. Если она связана "с
сознательным противодействием противника и измене-
ние ее может быть.осуществлено в короткие сроки (на-
пример, высота полета самолетов в пределах, допускае-
мых техническими характеристиками), то естественным
является критерий Вальда или в общем случае аппарат
теории игр. Здесь мы исходим,из вполне разумной ги-
потезы о том, что противник действует наиболее невы-
годным для нас образом, и к этому мы приспосабли-
ваемся.
Если величина А не св из Тиа с разумным противо-
действием или изменить ее за рассматриваемый в за-
даче отрезок.времени нельзя, то рационально пользо-
ваться критерием 'Лапласа или шестым критерием в за-
висимости от информации.
В тех случаях* когда величина К представляет со-
бой материальные затраты, может целесообразным ока-
заться использование седьмого критерия.
В общем же случае можно рекомендовать выбор
компромиссного решения исходя из анализа всей ма-
трицы с учетом сильных и слабых сторон каждого ре-
шения, а также возможности сознательного противодей-
ствия противника.
Решение задачи в случае отсутствия информации
может облегчить иногда анализ вопроса о связи точ-
ности -решения задачи с точностью вводимой информа-
ции.
57
3. Точность информации, вводимой в модели,
и точность решения задачи
Существуют три основные причины, вызывающие
ошибки при моделировании:
—	неточность входной информации;
—	методические ошибки, связанные с упрощением
модели и иеучетом .ею техили иных факторов и харак-
теризуемые
—	ошибки расчета (при методе статистических ис-
пытаний ввиду малости выборки, при численном инте-
грировании за счёт величины шага, вообще за счет ок-
руглений и т. д.), характеризуемые аь.
Ошибки в определении критерия К для независимых
ошибок этих трех групп, вычисляются ,с .помощью сле-
дующей формулы:
1—1
где А( — входные данные, влияющие на величину кри-
терия;
— величины среднеквадратичных ошибок в нх
определении.
Если при построении модели пренебрегают фактора-
ми, учесть которые можно, ио которые в целях упро-
щения модели принимаются средними значениями, то
методическая ошибка может быть вычислена по фор-
муле
где aA/t —среднеквадратичное отклонение неучитывае-
мых факторов от их средних значений.
Если методическая ошибка возникает вследствие не-
возможности описать влияние каких-либо факторов ана-
литическими зависимостями, то для контроля модели и
определения или хотя бы оценки методической ошибки
приходится пользоваться какими-либо другими метода-
ми (испытания физической либо смешанной модели,
оценки при крайних допущениях и т. д.).
58
Необходим^ вмел» * виду, что изменение величин
составляющих суммарной ошибки в тех случаях, когда
они заметно меньше остальных, не приводит к сущест-
венному изменению суммарной ошибки. Поэтому, если
модель является грубой (велики а»с-и вр) или часть ин-
формации, вводимой в модель, определена с большими
ошибками (часть членов велика), неизвестная
информация может быть определена весьма приближен-
но. Исходя из изложенного во всех случаях необходи-
мо проанализировать, в какой степени неизвестная ин-
формация сказывается иа общей ошибке в определении
критерия.
Вместе с тем если определяющей ошибкой является
ошибка* из-за неточности определений входной инфор-
мации, то стремиться к уменьшению остальных состав-
ляющих нет смысла.
При применении метода статистических испытаний
всегда следует проанализировать такой вопрос,*как воз-
можность упрощения модели. Это увеличивает методи-
ческую ошибку, но сокращает затраты времени иа по:
лучение одной реализации и тем самым при заданном
машинном времени позволяет увеличить число реализа-
ций и, следовательно, уменьшить ошибку расчета. Та-
ким образом, можно найти оптимальную сложность мо-
дели, обеспечивающую минимальную величину суммар-
ной ошибки при заданном машинном времени.
Во всех случаях построения моделей следует выби-
рать оптимальное сочетание сложности модели (опреде-
ляющей методическую ошибку) и метода расчета (опре-
деляющего ошибку расчета) с точностью входной ин-
формации.
Глава V
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МОДЕЛЯХ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ИССЛЕДОВАНИИ ОПЕРАЦИЙ
1. Общие требования к моделям
Как уже указывалось выше, основным видом моде-
лей, используемых в исследовании операций для реше-
ния военных задач, являются математические модели.
Поэтому в дальнейшем изложении рассматривается
именно этот класс моделей.
Философская основа математического моделирова-
ния— явление изоморфизма, который означает сходство
формы при качественном различии явлений. В матема-
тике изучение одной из изоморфных систем сводится
в значительной степени кчизучеиию другой изоморфной
системы. Благодаря изоморфизму появляется возмож-
ность моделировать одну систему с помощью другой.
Изоморфизм указывает на единство, связь, взаимо-
действие и взаимозаменяемость в определенных преде-
лах различных явлений материального мира, на сход-
ство их формы и отдельных закономерностей. Поэтому
в строго определенных границах и условиях можно за-
менить изучение одного явления изучением другого, по-
добного ему по форме и структуре.
При математическом моделировании исследуются
математические зависимости, описывающие явление,
взамен изучения и исследования оригинала (например,
боя).
Основное требование к математической модели со-
стоит в необходимости учета всех основных сторон и
взаимосвязей рассматриваемого явления (напоминаем
60
о сйстемНом подходе) и в необходимости отказаться от
изучений второстепенных сторон и связей.
С первого взгляда может показаться, что рассмо-
трение в модели второстепенных сторон и связей может
уточнить получаемы# результат. Однако практика по-
казывает, что это ии к чему, кроме усложнения модели,
не приводит (если речь идет действительно о второсте-
пенных связях).
Модель должна строиться для- решения конкретной
задачи исследования. В зависимости от цели исследо-
вания те или иные связи и стороны явления могут ока-
заться основными или второстепенными. Попытка соз-
дать универсальную модель, предназначенную для ре-
шения большого числа разнообразных задач, приводит
к такому усложнению ее, что она оказывается практи-
чески непригодной. Опыт показывает, что для каждой
конкретной задачи лучше строить свою модель, отра-
жающую те стороны и связи изучаемого явления, кото-
рые- являются наиболее важными именно для данного
иоследоввиня.
Модели, которые применяются в исследовании опе-
раций, должны позволять вычислить выбранный крите-
рий (напоминаем об операционном методе), так как в
противном случае решение задач исследования опера-
ций окажется невозможным.
В математической форме модель исследования опе-
раций может быть обозначена следующим образом:
= xt),
где К — выбранный' критерий;
F — оператор (символ модели);
Aj — информация, вводимая в модель, которая ие
может измениться по воле исследователя;
Xi — управляющие параметры, которые выбира-
ются в процессе решения задачи исследова-
ния операций.
Математические модели по форме оператора F раз-
деляют на аналитические и статистические.
В аналитических моделях критерий связывается с
величинами Aj и xj аналитическими зависимостями,
позволяющими вычислить как математическое ожидание
критерия, так и в общем случае функцию его распре-
деления.
61
В статистических моделях критерий можно вычис-
лить только для конкретных значений (случайных ре-
ализаций) величин Aj и Математическое ожидание
и в общем случае функция распределения критерия вы-
числяются статистической обработкой значений крите-
рия, найденных для ряда случайных, реализаций вели-
чии А} K'Xj.
2. Классификация моделей
Модели исследования операций могут быть класси-
фицированы по многим признакам, в частности:
—	по месту иа иерархической лестнице;
—	по характеру учета времени;
—	по учитываемым факторам;.
—	по 'числу рассматриваемых этапов;
-	г- по- методам учета действий человека;
—	по целям исследования.
А. По месту иа иерархической лестнице модели мож-
но разделить на. три класса:
—	модели, в которых рассматривается взаимодей-
ствие средств разных видов, имеющих коренное разли-
чие в функционировании, например- разные рода войск
или даже виды вооруженных сил (первый класс);
—	модели, в которых рассматривается^взаимодейст-
вие средств одного вида (т. е. не имеющих коренного
различия в функционировании), но разных типов, напри-
мер ракетные комплексы с разной дальностью стрель-
бы (второй класс);
—	модели, в которых рассматривается взаимодейст-
вие средств одного вида н одного типа (третий класс).
Особенности моделей первого класса:
— невозможность полной замены одного вида
средств другими и зачастую невозможность функцио-
нирования одного ,вида средств без других, иапрнмер
модель стратегической операции, где функционируют
разные виды вооруженных сил, причем недостаток од-
них средств может быть частично компенсирован дру-
гими средствами в целях обеспечения взаимодействия;
вследствие этого существенной частью таких моделей
является наличие большого числа логических связей;
— большой размер таких моделей ие позволяет, как
правило, рассматривать все единицы всех типов средств
62
каждого'вида, вследствие чего в рассмотрение вводится
обобщенное средство (или множество однотипных
средств) каждого вида,- выбраийое оптимальным обра-
зом; поэтому при исследовании таких моделей необхо-
димо пользоваться информацией, получаемой из моде-
лей. следующих классов, в -которых должны быть вы-
браны оптимальные сочетания оптимальных средств
каждого типа;
— модели этого класса, как правило, .предназнача-
ются для решения распределительных задач; в . них вы-
бираются оптимальные сочетания средств разных видов,
производится распределение задач, решаемых средства-
ми разных видов.
Особенности моделей второго-класса:
— действие средств одного вида, ио разных типов,
которые выполняют ие весь объем задач, а только часть
их; поэтому для исследования моделей этого класса не-
обходима информация об объеме- задач, решаемых сред-
ствами данного вида, Получаемая из моделей первого
класса;
— при исследовании моделей этого класса полагает-
ся, что средства каждого типа обладают оптимальными
характеристиками, поэтому для их решения необходи-
ма информация, получаемая из моделей третьего
класса;
— в задачах исследования моделей этого класса,
как правило, определяются основные характеристики
средств- рассматриваемого вида и оптимальное количе-
ство типов средств данного, вида, поэтому такие задачи
иногда называют задачами выбора оптимальных шкал
дальностей, мощностей; в этих задачах определяется
и объем задач, выполняемых средствами каждого
типа.
Особенности моделей третьего класса:
— дёйствие средств одного типа и одного вида, ко-
торые выполняют часть общего' объема задач; вслед-
ствие этогб для. их исследования необходима информа-
ция об объеме задач, получаемая из моделей второго
класса;
— в моделях этого класса определяются оптималь-
ные характеристики средств каждого типа при задан-
ных основных характеристиках (собственно, н определяю-
щих тип); задачи исследования таких моделей, по су-
63
ществу, являются обобщенными задачами оптималь*
ногб проектирования.
Из изложенного выше и из схемы (рис. 6) видна
связь между моделями всех классов и необходимость
одновременного исследования всей лестницы моделей,
что практически осуществить невозможно.
Можно, конечно, пользоваться методом последова-
тельных-, сближений, задаваясь в первом приближении
входными данными эвристическим путем и затем уточ-
няя их, однако неясно, будет ли быстро сходиться такой
процесс.
Наиболее удобным путем было бы исследование от-
дельных, не связанных между собой моделей при усло-
вии обеспечения приемлемой точности получаемых ре-
зультатов. Поскольку ряд практических примеров реше-
ния задач именно таким, образом привел, к неплохим
результатам, оказалось целесообразным оценить вели-
чину отклонений от точных решений из-за погрешностей
в исходных данных.
Удалось показать, что если задачи сводятся к мини-
мизации затрат при фиксированном критерии эффек-
тивности, функции затрат и критерия эффективности
дважды непрерывно .дифференцируемы по всем аргу-
ментам и относительное изменение показателя эффек-
тивности приближенно' пропорционально соответствую-
щим относительным изменениям затрат, то относитель-
-	АС
ное изменение общих затрат вызванное неточно-
стью в определении исходных данных, может быть оце-
нено с помощью следующей формулы:
AC D"+‘
С = 2л+л ’
где D — характеристика точности (дисперсия) прибли-
женного решения задачи оптимизации;
п— модуль разности между номерами классов
той задачи, в которой допущены неточности,
и рассматриваемой.
Так, например, если оптимальные значения характе-
ристик отдельных средств определены в среднем с
ошибкой в 45%, то:
— в задаче этого класса относительное изменение
общих затрат составит 10%;
64
3
Рис, в, Иерархия аадач оптимизации
Ю В Чуе»
65
—	в задачах следующего класса относительное из-
менение общих затрат составит 0,5%;
—	в задачах через один класс относительное изме-
нение затрат составит 0,1%.
Этот вывод позволяет расчленить решение полной
задачи оптимизации* иа ряд отдельных.
Б. По характеру учета - времени модели можно раз-
делить на статические, кинематические и динами-
ческие..
Время в Исследовании операций может, как правило,
измеряться величинами трех разных порядков:
—	временем функционирования различных устройств
при подготовке и проведении пусков (выстрелов) — до
нескольких минут (микроедииицы);
-	. -г- временем проведения операции —до нескольких
суток;
— временем подготовки к войне — порядка несколь-
ких лет (м'акроединицы).
В статических моделях не учитывается изменение
характеристик средств вооружения, объема решаемых за-
дач н т. д. со временем (речь идет не о времени опе-
рации, а о макроединицах времени). Большинство за-
дач исследования операций, решаемых в настоящее вре-
мя, относится к классу статических задач. При этом
иногда допускаются большие неточности, связанные с
неучетом влияния макровремени.
Динамические модели характерны учетом изменений
во времени стратегии и тактики, характеристик воен-
ной техники, объема решаемых задач н г. д., а также
учетом затрат времени и средств на разработку н произ-
водство образцов техники.
Кинематические модели учитывают изменения во
времени стратегии и тактики, характеристик военной
техники и объема-решаемых задач, но не учитывают за-
трат времени иа обучение войск ведению боя примени-
тельно к новым принципам стратегии и тактики, на раз-
работку и производство образцов техники. Они как бы
ие учитывают .«инерционности* процесса обучения войск
и создания вооружения.
В. По учитываемым факторам можно различать мо-
дели с учетом противодействия или без него, с учетом
надежности рассматриваемых образцов боевой техники
или без него, с учетом случайного характера (стохастич-
66
ности) процесса или без него, с учетом процесса до-
ставки, ремонта, хранения вооружения или без
него.
Противодействие наиболее ярко выражено в моде-
лях боевых действий, где учет его обязателен. Этим ис-
следование операций отличается от классической тео-
рии эффективности.
Вопрос об учете надежности образцов боевой техни-
ки связан с нх сложностью и в ряде случаев может ока-
заться решающим.
Что касается учета случайного характера рассматри-
ваемого процесса; то, видимо/ все серьезные исследова-
ния военных операций должны его предполагать, не-
смотря на усложнение моделей. Вопрос об особенно-
стях учета случайностей в больших моделях будет изло-
жен в главе XI.
В моделях могут исследоваться:
—	только функционирование боевых единиц непо-
средственно в операциях;
—	организация управления этими единицами;
—	процессы подготовки, доставки, ремонта, хране-
ния вооружения.
Г. По числу этапов можно различать:
—	одиоэтапные модели (например, один ракетный
удар);
—	модели е ограниченным числом этапов (напри-
мер, несколько ракетных ударов);
—	модели с большим числом этапов (например,
танковый бой).
Эта классификация важна с точки зрения примене-
ния тех или иных математических методов описания и
исследования моделей.
Д. По методам учета действий человека можно раз-
личать модели, в которых:
—	процесс работы человека непосредственно вво-
дится в модель (т. е. часть эпизодов операции описы-
вается теми или иными математическими зависимостя-
ми, а по результатам их исследований опытный опера-
тор принимает то или иное рещение, которое влияет на
ход последующих этапов, причем этот процесс может
многократно повторяться);
— вводится план всей операции, разработанный опе-
раторами (естественно, возможно применение модели и
67
со многими вариантами плана, разработанными разными
группами операторов);
— действия человека описываются теми или иными
математическими зависимостями (алгоритмом).
В настоящее время последнее удается сделать толь-
ко для простейших функций (обнаружение цели, навод-
ка, заряжание и т. д.). Сложные действия командиров
и штаба по управлению войсками пока не поддаются
описанию уравнениями.
Поэтому единственным реальным путем учета этих
действий при моделировании остается построение мо-
дели таким образом, чтобы в ней непосредственно уча-
ствовал человек, т. е. своеобразное сочетание математи-
ческого моделирования и военной игры.
Е. По целям исследования модели разделяются на
следующие две большие группы:
—	модели, предназначенные для решения тактиче-
ских задач;
—	модели, предназначенные для решения техниче-
ских задач.
К первой группе относятся:
1.	Задачи поиска. Суть их‘сводится к следующему.
Имеется ограниченное количество ресурсов. Необходи-
мо определить, какой район охватить поиском (объем
выборки) н каков должен быть характер поиска (струк-
тура выборки), с тем чтобы получить минимальную ве-
личину ошибки поиска.
2.	Задачи распределения, Которые в--общем виде
формулируются следующим образом. Существует ряд
операций, которые должны быть выполнены, причем
часть их может выполняться различными способами;
каждый способ применительно к разным задачам мо-
жет быть более или менее эффективным. Имеется до-
статочное количество ресурсов для выполнения всех
операций, но они таковы, что не все операции удается
выполнить наилучшим способом. Задача состоит в вы-
боре такого распределения ресурсов по операциям, ко-
торый позволит достигнуть максимальной общей эффек-
тивности. Существует много разновидностей этой зада-
чи, в частности известная транспортная задача. Боль-
шинство задач сводится к задачам линейного программи-
рования. Эта задача возникает не только в тактических,
ио и в технических моделях,
68
3.	Задачи управления запасами, в которых рассма-
тривается случай наличия двух типов затрат: один при
увеличении запасов убывает, а другой возрастает. Тре-
буется определить оптимальную величину запаса, при
которой суммарные затраты минимальны. Задача за-
частую усложняется случайным характером процессов.
4.	Задачи массового обслуживания (очередей), ре-
шение которых рассматривается специальной наукой —
теорией массового обслуживания. Задачи этого класса
рассматривают следующую ситуацию. Имеется поток
заявок на обслуживание (случайный). Система обслу-
живания может затрачивать определенное время на
каждую единицу (случайное). Требуется определить
длину очереди, занятость каналов, пропускные возмож-
ности системы и т. д.
5.	Состязательные задачи, в которых на решение,
принимаемое одной стороной, влияют решения, прини-
маемые другой стороной. При этом в военных задачах
отношения строятся иа основе активного противодей-
ствия двух сторон, преследующих решительные цели
(антагонизм). Большинство задач этого класса рассма-
тривается в теории игр.
6.	Задачи упорядочения, в которых выбирается дис-
циплина (порядок) очереди, обеспечивающая оптималь-
ные условия для работы системы (например, ее макси-
мальную пропускную способность).
К числу задач упорядочения относится задача вы-
бора маршрута, классическим примером которой яв-
ляется задача коммивояжера: необходимо посетить не-
сколько пунктов только по одному разу, начав с за-
данного и окончив заданным, таким образом, чтобы сум-
марный путь был минимальным.
К задачам упорядочения относятся и методы сете-
вого планирования.
7.	Задачи замены оборудования, в которых опреде-
ляются оптимальные сроки и порядок замены оборудо-
вания.
К числу технических задач исследования операций
относятся:
—	подготовка рекомендаций по разработке тех или
иных видов военной техники;
—	обоснование требований к новым образцам воен-
ной технйкн (отдельным н целым классам);
69
—-	сравнительная оценка различных проектных ва-
риантов и разработка рекомендаций по выбору лучшего
из них, а том числе и подготовка решения о постановке
на производство;
—	разработка рекомендаций по оптимальным режи-
мам эксплуатации,: в том числе и по техническому об-
служиванию, замене и Т. д.
В настоящей работе технические задачи исследова-
ния-операций рассматриваться не будут.
3. Общие свойства моделей боя. Основные
процессы, из которых' складывается модель боя
Модели боевых действий имеют много общего с дру-
гими моделями, ио у них есть и определенные особен-
ности'..
Бой — это процесс, протекающий в пространстве и
времени, причём отказ от рассмотрения любого из из-
мерений в каждом случае должен быть тщательно-обос-
нован.
Бой характеризуется организованным столкновением
войск воюющих сторон, поэтому обязательно следует
учитывать противодействие противника. В других моде-
лях мы с этим сталкиваемся очень редко. Многие эле-
менты процесса боя по своей природе являются случай-
ными, так как результаты' ряда процессов, происходя-
щих в нем, случайны (результаты разведки, результаты
выстрела, скорость перемещения н т. д.), и неучет этих
особенностей может привести к грубым ошибкам. С пер-
вого взгляда может показаться, что случайность всех
составляющих процессов (кстати говоря, с большими
коэффициентами вариации) может сделать случайными
н сами результаты боя. Однако оказывается, что при
большом числе участвующих единиц результаты боев
становятся стабильными, и тем стабильнее, чем больше
единиц участвует в бою. Подробнее этот вопрос рассмо-
трен в главе XI.
Другим важным свойством моделей боевых действий
является нелинейный характер влияния величины сил
на характер полученных результатов. Концентрация уси-
лий приводит к эффекту, значительно большему, чем
можно было бы ожидать при линейной зависимости
Собственно, на этом свойстве и основан важный прин-
70
цип военного искусства — сосредоточение усилий иа
главном направлении.
Бой —процесс дискретный; он характеризуется рез-
кими изменениями состояния в определенные моменты
времени, обусловленными как приказом (начало арт-
подготовки, начало атаки танков и т. д.), так и изме-
нением характеристик участвующих в нем единиц (уни-
чтожение, израсходование боеприпасов и т. д.). Это, с
одной стороны, облегчает процесс изучения бой, позво-
ляя достаточно обоснованно подразделять его на этапы,
а с другой — усложняет, так как требует рассмотрения
многошагового процесса.
В военной науке, говоря о непрерывности боевого
процесса, имеют в виду не непрерывность в математи-
ческом смысле этого слова (отсутствие скачкообразного
изменения состояний), а требование непрерывного,, на-
растающего воздействия на противника в интересах
удержания инициативы и навязывания ему своей воли.
В бою участвуют разнотипные средства, выполняю-
щие разные задачи. При этом постоянного эквивалента
между разнотипными средствами не существует. По-
этому рассмотрение моделей действия однотипных
средств (с использованием коэффициентов соизмеримо-
сти, каким-то образом определенных) требует в каждом
случае тщательного обоснования.
Важной особенностью боя является участие в нем че-
ловека, находящегося в ряде случаев на пределе своих
духовных н физических возможностей, н большое влия-
ние на результаты боя морального фактора. Учет этих
обстоятельств в математических моделях боя — одна из
наиболее трудных задач, причем в ряде случаев даже
качественное решение будет зависеть от правильности
учета этих факторов.
Итак, бой с точки зрения исследования операций —
это стохастический, нелинейный, дискретный процесс,
протекающий в пространстве и времени, характерный
антагонизмом участвующих в нем сторон и ведущей
ролью людей, владеющих современным оружйем и так-
тикой действий.
В зависимости от целей исследования н многих дру-
гих факторов модели боя значительно отличаются друг
71
от друга. Однако во всех моделях имеются некоторые
общие процессы:
—	процесс разведки противника;
—	процесс нанесения огневого удара (выстрела);
—	процесс перемещения;
—	процесс управления;
—	процесс обеспечения.
В отдельных случаях те или иные процессы могут не
рассматриваться, но при построении модели исследо-
вания все их следует иметь в виду, чтобы не упустить
какого-либо важного момента.
Схема связи этих процессов показана на рис. 7.
Рис. 7. Основные процессы боя
Наиболее изучен процесс нанесения удара (выстре-
ла). Ему посвящена ^дрстаточно разработанная об-
ласть науки —теория эффективности стрельбы. В по-
следнее время успешно развивается теория поиска, яв-
ляющаяся основой решения задач, связанных с оцен-
кой эффективности и выбором оптимальных методов
действия разведки.
Отдельные математические задачи по обеспечению
управления войсками решены, однако общей математи-
ческой теории .моделирования этого процесса еще нет.
Вопросы моделирования процессов перемещения значи-
тельно меиее сложны, чем вопросы управления вой-
сками.
Глава VI
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗВЕДКИ
1.	Общие замечания
Различают стратегическую, оперативную и тактиче-
скую разведку. Стратегическая разведка добывает и
изучает сведения о стратегических возможностях ино-
странных государств, вскрывает вероятный характер их
намерений.
Остановимся более подробно иа оперативной и так-
тической разведке, которая представляет собой непре-
менный элемент боевого обеспечения. Она решает более
узкий круг задач, связанных непосредственно с процес-
сом боевых действий.
Задачи оперативной и тактической разведки:
—	обнаружение сил и средств противника в опре-
деленном районе;
—	распознавание объектов, находящихся в данном
районе;
—	определение численности и координат целей;
—	определение состояния объектов противника после
нанесения по ним удара;
—	выявление иа основе полученных данных замысла
противника и способов его осуществления.
Кроме того, задачей оперативной и тактической раз-
ведки является также выявление условий местности, ее
инженерного оборудования, радиационной, химической,
бактериологической и гидрометеорологической обста-
новки.
Важнейшие требования к разведке — непрерывность,
своевременность и достоверность.
73
Процесс разведки Состоит из циклов, включающих
в себя:
—	планирование разведки и руководство ею;
—	добывание (сбор) разведывательных данных и их
обработку;
—	рассылку и использование разведывательных дан-
ных.
Добывание (сбор) разведывательных данных произ-
водится следующими основными способами:
—	наблюдением с наземных наблюдательных по-
стов, имеющих или не имеющих технические средства;
—	воздушной разведкой, т. е. с самолетов, вертоле-
тов, снабженных той или иной аппаратурой;
—	радиотехнической разведкой, которая может быть
отнесена как к наземной, так и к воздушной, ио в силу
специфики своих действий в исследовании операций рас-
сматривается отдельно;
—	разведкой боем, которая планируется и осуще-
ствляется так же, как и наступление с ограниченными
целями;
—	разведкой огнем, т. е. путем обстрела позиций
противника в целях их демаскировки или вызова ответ-
ного огня;
—	разведкой войсками, действующими в тылу про-
тивника.
Моделировать три последних способа разведки край-
не трудно главным образом из-за определяющей роли
в этих процессах людей.'Поэтому в модели исследова-
ния могут вводиться статистические данные, Характери-
зующие тот или иной способ разведки со всех сторон
(вероятность и достоверность вскрытия целя, точность
определения координат, временные Характеристики
и т. д.).
Ниже рассмотрены некоторые вопросы моделирова-
ния процессов сбора разведывательных данных назем-
ной, воздушной и радиотехнической разведкой, а также
обработки разведывательной информации.
Для полной оценки эффективности разведки можно
воспользоваться моделью боя, так как результаты раз-
ведки выражаются в конечном итоге через те или иные
успехи действий войск. Но это потребует создания гро-
моздких моделей, привлечения большого числа сведений
об ударных средствах, сложных вычислений. Поэтому
74
ниже рассмотрен вопрос о частных критериях Эффек-
тивности средств разведки, позволяющих оценить эф»
фективиость разведки без использовании общей модели
боя.
2.	Частные критерии эффективности средств
разведки
Рассмотрим прежде всего разведку с целью обна-
ружить силы и средства противника в заданном рай-
оне. В качестве частного критерия эффективности раз-
ведки может использоваться математическое ожидание
разведанной площади M(S) с заданной достоверностью
к заданному моменту времени.
В случае разведки дли уточнении координат конкрет-
ных целей могут быть использованы два частных кри-
терии:
—	абсолютное или относительное увеличение пока-
зателя эффективности операции: без разведки с раз-
ведкой Wp (например, вероятности поражения цели с
разведкой иа уточнение решения и без нее):
или
—	относительное приращение показателя эффектив-
ности, измеренное в долях того приращения,* которое
дала разведка, если бы ода была идеальной:
где W — показатель эффективности при идеальной раз-
ведке.
В случае разведки для определения состояния объ-
ектов после иаиесеиия по иим удара (контрольная раз-
ведка) в качестве частного критерии эффективности
средств разведки может быть использовано математи-
ческое ожидание числа сэкономленных "снарядов.
Пусть планируется обстрел одиночной цели М сна-
рядами. После т выстрелов производится контрольная
разведка. Если разведчик доносит, что цель поражена,
то стрельба останавливается н М — т снарядов остают-
ся неизрасходованными. Если разведчик докладывает,
75
что цель не поражена, то стрельба Продолжается до
расходования п снарядов.
В этом случае математическое ожидание числа сэко-
номленных снарядов определяется по формуле
М, = (М - m) [1 - (1 - РУ"],
где Р — вероятность поражения цели одним выстрелом.
Пользуясь этим уравнением, можно найти оптималь-
ное число выстрелов т, после которого целесообразно
производить контрольную разведку. Для этого проще
всего построить график М9 в функции от т и опреде-
лить ту точку, при которой М9 достигает максимума.
Диалогичные формулы могут быть получены и для
случая стрельбы по рассредоточенной групповой цели.
Если в ходе.контрольной разведки отношение пора-
женных объектов, факт поражения которых установлен,
ко всем пораженным объектам составляет е (эта вели-
чина может изменяться от 0 до 1), то удается показать,
что установление факта поражения эквивалентно увели-
чению числа своих боевых единиц иа долю
Эта формула устанавливает соизмеримость контрольной
разведки с боевыми единицами.
Имея данные о стоимости средств контрольной раз-
ведки, необходимой для достижения той или иной вели-
чины е, и стоимости огневых средств, можио вычислить
оптимальную величину е, при которой минимизируются
общие затраты на выполнение боевой задачи.
Одним из важных частных критериев оценки эффек-
тивности разведки является величина информации (из-
менение эитропии), полученной с помощью средств раз-
ведки.
Рассмотрим разведку с целью определить координа-
ты целей (разведка на уточнение решения). Пусть сто-
рона, иа которой производится разведка, пассивна. Раз-
делим условно всю территорию, иа которой производит-
ся разведка, на элементарные районы (иапрнмер, ква-
драты). Размер квадратов определяется требуемой точ-
ностью определения координат целей. Эта требуемая
точность в общем случае пропорциональна радиусам
76
зоны поражения боеприпасами, применяемыми для об-
стрела Гц. Отсюда размер квадрата
Если площадь, на которой производится разведка,
равна Sd, то число квадратов
N=^
кагй
Каждый k-ti квадрат может быть в п разных состоя-
ниях: «есть цель данного типа», «есть ложная цель» или
«нет цели», причем вероятности этих 1-х состояний либо
априорно известны (например, по результатам предва-
рительной разведки), либо могут быть найдены исходя
из организационной структуры и тактики противостоя-
щей группировки Пц и территории SD, ею занимаемой.
Назовем эти вероятности Л*. Очевидно, что
1-1
Неопределенность (энтропия) в данном k-м квадра-
те может быть выражена известной формулой теории
информации
п
1-1
Неопределенность всего района представляет собой
сумму неопределенностей отдельных районов:
k-N	Л-N It
un~ 2 «*=	•
»-i	»-i i-i
Если Р<к равны между собой (это наиболее неопреде-
ленный случай), они равны — , и тогда получим
N	„ 1
Информация, полученная разведкой, определяется
как изменение неопределенности (энтропии) района
77
рОДОДи. &к> изменение и может рассматриваться как
мера эффективности разведки.
Эта величина определяется следующей формулой:
\ /-1 /
где Рук — вероятность того, ято объект 1-го типа в каж-
дом районе после разведки дал отображение /-го типа
(т._ е. воспринят органами разведки как объект /-го
типа).
Если возможность «перепутывания» объектов исклю-
чена и существуют только возможности правильного
распознавания объектов, характеризуемые вероятностя-
ми P{tk, то предыдущая формула упростится:
N. П
*-11-1	'	* '
Пользуясь двумя последними формулами, можно
сравнить разные планы разведки по частному критерию,
т. е. по количеству получаемой информации, и исполь-
зовать эти оценки при планировании разведки.
3. Моделирование процессов наземной разведки
Рассмотрим прежде всего случай разведки наземных
объектов противника с НП. Такая разведка может-осу-
ществляться как визуально с помощью оптических при-
боров, так и с использованием радиотехнических и зву-
кометрических устройств. Необходимо помнить, что вой-
ска противника применяют все средства маскировки,
чтобы ие допустить своего обнаружения до момента на-
чала активных действий (открытия огня или начала
движения). Вероятности обнаружения до и после нача-
ла активных действий зачастую отличаются иа порядок.
Поэтому во многих задачах полагают, что момент об-
наружения цели совпадает с моментом начала ею ак-
тивных действий.
Вероятность обнаружения зависит от средств и спо-
собов разведки, дальности, времени суток и внешних
78
условий, поэтому в формулах для. расчета вероятности
эти условия должны учитываться.
Максимальная дальность обнаружения наземных це-
лей зависит от рельефа местности (наличие прямой ви-
димости). Поэтому вероятность обнаружения Ро(х) яв-
ляется вероятностью сложного события: прямой види-
мости с вероятностью Рщ>(х) и правильного обнаруже-
ний при условии, что прямая видимость обеспечена с
вероятностью Рц(х):
РЛх) = РПр(х)Рл(х).
Вероятность прямой видимости зависит от рельефа
местности и, как показывает обработка опытных дан-
ных, является экспоненциальной функцией отношения
дальности х к высоте цели йц:
Рвр (<*) = ехР (	) •
где k в зависимости от рельефа местности равно 0,001 —
0,003.
Вероятность Ро(х) является функцией не только х,
но и прибора, с помощью которого ведется наблюдение
освещенности и контрастности цели. Она определяется
опытным путем н во многих случаях хорошо согласует-
ся с функцией распределения Релея, умноженной на по-
стоянный коэффициент Ро(0):
Л(х) = Р0(0)[1 -ехр(-Лх’)].
Точность определения координат цели зависит от техни-
ческих характеристик применяемых средств.
Рассмотрим теперь обнаружение воздушной цели с
помощью радиолокационной станции. В исследовании
операций приходится учитывать, что этот процесс яв-
ляется случайным. Это обусловлено случайным харак-
тером величины отражающей поверхности цели, нали-
чием шумов в приемнике и т. д.
Вероятность обнаружения цели иа заданной даль-
ности является функцией высоты полета, типа цели, ха-
рактеристик станции, способа поиска цели и может
быть определена опытным путем по частости обнаруже-
ния. Однако для сокращения числа опытов целесооб-
разно использовать некоторые теоретические зависи-
мости.
79
Вероятность обнаружения цели, движущейся на вы-
соте h с параметром z иа дальности х, определяется по
форцуле
Р(х, А, z)= 1 — ехр
J* Х»<£ (1 — ехр (—т)]’
где — максимальная возможная дальность обна-
ружения цели радиолокатором, зависящая
от технических характеристик радиолокато-
ра, угла места цели и отражающей ее по-
верхности;
vn — скорость цели;
t — среднее время- цикла дюнска;
X — опытный коэффициент.
4. Моделирование процессов воздушной разведки
Если вероятность обнаружения и правильного рас-
познавания цели при пролете известна (Рц), то средняя
доля М9 площади района So, разведанная одним само-
летом, в случае отсутствия перекрытий маршрутов
определяется по формуле
Л4р = -у£-	,
D
где Snp— просматриваемая самолетом площадь:
S —ширина захвата;
оп —скорость самолета;
t—время полета;
В<2КЭГ^Л5;
D— максимальная	дальность обнаружения
цели;
А — высота полета;
B<Atg«;
а—угол обзора приборов, установленных иа
самолете.
80
Ограничения, указанные выше, связаны с макси-
мальной дальностью работы приборов разведки и углом
обзора.
При пролете нескольких (п) самолетов, если считать,
что самолеты обнаруживают цели независимо и, следо-
вательно:
Рис. 8. Зависимость разведанной площади от
затраченных усилий
общая доля просмотренной площади вычисляется по
формуле
п
Л,—у-2^ П-(!-₽„)•].
где «$<*> — площадь, просмотренная k-м самолетом.
Если перекрытия площадей иет, то
_ Л^пр
/ир = -^—
если все площади перекрыты, то
Нетрудно показать, что до тех пор, пока ие покры-
та вся площадь разведываемого района, более целесооб-
разно избегать перекрытий, так как при этом Мр возра-
стает пропорционально затраченным усилиям; затем
можно совершать повторное покрытие района и т. д.
Характер зависимости М9 от затраченных усилий £
(например, самолето-часов nt) показви иа рис. 8.
81
Если самолет для того, чтобы сообщить получен-
ные данные, должен вернуться иа базу, То следует
учесть вероятность его поражения средствами ПВО про-
тивника иа всем маршруте:
/’nop=
Если он передает свои данные по радио, то доста-
точно учитывать воздействие ПВО только за время по-
лета до данного объекта. Сравним Мр,для одного само-
лета в этих двух случаях.
В первом случае
D
во втором случае
t
Всроатиость Набрапям*
песвктяа я проаемт ияо-
врема t щади, раэвв-
ааяпоа за Л
Сравнение формул показывает, что второй слу-
чай выгоднее первого, и тем выгоднее, чем эффективнее
противодействие противника.
6. Моделирование процессов радиотехнической
разведки
Радиотехническая разведка получает необходимую
информацию о противнике путем' приема и вналнза
электромагнитного излучения различных систем против-
ника. Эта информация содержит данные о типах ис-
пользуемых противником систем, количестве этих си-
стем, тактике их применения, развертывании, координа-
тах, а также о технических характеристиках средств про-
тивника. Перехват сообщений, передаваемых по линиям
связи противника, может дать весьма ценную информа-
цию.
Рассмотрим прежде всего вопрос о вероятности об-
наружения и вероятности перехвата сигнала противни-
ка, а затем о точности определения координат излучаю-
щего объекта.
82
А Вероятность обнаружения
Пусть Рх — вероятность того, что объект находится
в зоне обнаружения разведывательной аппаратуры;
Л — вероятность настройки разведывательного при-
емника на соответствующий диапазон волн и включе-
ния соответствующих демодулирующих устройств;
/1 — продолжительность включения объекта;
tt — продолжительность выключения объекта;
г— интенсивность наблюдения.
Тогда вероятность обнаружения сигнала
в = ₽Ат;т771>-'хр(-т')1-
Рассмотрим теперь вероятность обнаружения объек-
та при пролете над районом. Пусть требуется просмо-
треть район площадью S, если источник излучения на-
ходится с равной вероятностью в любом из его пунк-
тов и неподвижен. Обзор осуществляется без пере-
крытия.
Полагая скорость о и высоту полета h постоянны-
ми, получаем при угле обзора 0 и времени полета ta
2vfttg-|-rn t	/
Po =	5	Л V+7T 1 “ exP \ v / J •
Из этого уравнения видно, что существует оптималь-
ная скорость полета, т. е. такая скорость полета, при
которой вероятность обнаружения объекта макси-
мальна.
Б. Точность определения координат излучающего
объекта
Пусть поиск осуществляется горизонтальным спосо-
бом, т. е. пролетом по прямой (рис. 9).
Предположим, что перехваты осуществлены в момен-
ты Л н 4. которым соответствуют расстояния до цели и
и г2 и углы в] и 02, а ширина диаграммы направленно-
сти характеризуется углом ф.
Путем пересечения этих диаграмм в районе объекта
создается зона неопределенности, н приведенная лнией-
83
мая ошибка а определении координат находится по фор*
муле
*•* * j/sraj ski 0, «in (0, + ©3 ’
Исследование этого выражения показывает, что 8»
имеет минимальные значения при
е1 = еа=бо°.
-Рис. 9. Схема расчета точности опреде-
ления координат цели
В этом случае приведенная линейная ошибка
8r=2,49/?tgf.
в. Обработка разведывательных данных
А Обработка сообщений, полученных из разных
источников
Рассмотрим разведываемый элементарный район как
некоторую систему, которая может находиться в раз-
личных состояниях Xi, х3, х3.хп (например, против-
ника нет, противник есть и перемещается, противник
есть и стоит на месте и т. д.).
Группы разведчиков, высланные в район, приносят
некоторые данные (отображения реальной обстановки)
хь Ха, ...,хп или не приносят никаких данных х0.
Задача обработки разведывательных данных состоит
в том, чтобы на основания совокупности данных (в об-
84
щем случае разноречивых) определить наиболее ве-
роятное состояние системы и вероятности других со-
стояний. При этом до начала разведки по тем или иным
соображениям устанавливаются предварительные ве-
роятности тех или иных состояний:
РоСМ; •••> Ро(*„).
Если нет никаких предварительных данных, то все
состояния, можно считать равновероятными.
Обозначим через & совокупность данных, а оконча-
тельные вероятности, рассчитанные с учетом как пред-
варительной информации, так и данных разведчиков:
Рр (xJS); Pp txJS);...; Pf (xJS).
Эти условные вероятности состояний Xi, х2, .... хп
для случая, когда разведка доставила совокупность
данных <S, вычисляются по формуле
Рр (xt/S) =	.
1=1
Здесь Р (S/X{) — вероятность совокупности данных S,
если система была в состоянии х<, определяемая харак-
теристиками разведчиков. Это, если говорить об обнару-
жении конкретных целей, есть закон обнаружения (Р<>).
Для иллюстрации этого метода приведем конкрет-
ный пример. Пусть X — объект, который был обстреляй
п ракетами. Цель разведки — выяснить, поражен он
(xi) или ие поражен (х2). Если известна вероятность
поражения цели одной ракетой Р, то предварительные
вероятности состояния объекта вычисляются следую-
щим образом:
Р0(х1) = 1-(1-Р)»;
Р0(х,) = (1-Р)».
Пусть был выслан один разведчик, который может при-
нести данные xi, х2 и х0.
Закон обнаружения разведчиков известен, вероятно-
сти того, что если цель находится в <-м состоянии, то
разведчик доложит, что она находится в /-м состоянии,
заданы:
85
(очевидно, что Ры + Р9Л + P0,t “ I);
^(*о/*»)-Рм
(очевидно, что Pt,i + Pt,i + P0,j ™ !)•
Если разведчик доложил Xi, то вероятность того, что
цель поражена:
Р₽	'
Р9 (х,) Р (xjx,) + Рв (Xi) Р (Xj/Xj)
Очевидно, что в этом случае
РI (Xt/Xi) = I — Рр (Xi/Xt) .
Если разведчик доложил х3, то
Рр (х,/ха)  ------&(х,)Р(х>/х,)— ----
Pt (X,) Р (Xj/X,) + Р9 (XS) Р (Х^Х,)
Если разведчик не сообщил никаких'данных, то
Pf	’—P^MP(xt/xt)— --------.
Pt (X,) Р (Xe/Xt) + Pt (X,) P(Xt/Xt)
Рассмотрим на частном примере несколько более слож-
ный случай.
Пусть до проведения разведки вероятность сущест-
вования у противника некоторого образца оружия (со-
бытие Xi) равна Ро(*1)- При N разведывательных поле-
тах эта система наблюдалась NNj раз. Известно, что при
существовании системы (событие х<) вероятности обна-
ружения Р1,ь Требуется определить вероятность суще-
ствования системы после разведки.
Очевидно, что Ро(х3) — 1 — Ро(х>), где — отсутст-
вие данного образца оружия.
Очевидно, что Лд-! — Pi.i, где Pij—вероятность
обнаружения оружия, когда его в действительности не
существует.
Вероятности заданной совокупности данных вычис-
ляются по формулам
86
p&iM-np&U
P<N,M - *0 - A. l)''	•
Тогда получим

_________
P& (1 - A.	+ (1 - Pt. tftPt.
Как видно из приведенных примеров, математнче-
ская обработка разведывательных данных является до-
статочно сложным процессом.
Б. Обработка данных о координатах целей
Эта обработка при использовании различных средств
производится с учетом иеравноточностн измерений.
Пусть i-e средство дало сведения о координате у{, а
точность определения координаты этим средством ха-
рактеризуется Среднеквадратичной ошибкой ад.
Тогда математическое ожидание координаты цели
после сообщений от N разведчиков примет вид
N
М (у)
Среднеквадратичная ошибка в определении коорди-
нат цели
Анализ формулы показывает, что по мере увеличе-
ния числа наблюдений точность,определения координат
целей возрастает, н тем значительнее, чем более точны-
ми средствами эти наблюдения получены.
Глава VII
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НАНЕСЕНИЯ
ОГНЕВОГО УДАРА
(СТРЕЛЬБЫ)
1.	Общие положения
В итоге исследования этого процесса должно быть
определено состояние цели после нанесения огневого
удара или группы ударов (выстрелов).
Под огневым ударом будем понимать воздействие
иа противника любыми видами оружия (ракетным, ре-
активным, артиллерийским, стрелковым и т. д.).
Этот процесс можно моделировать как с целью
включить его в общую модель исследования, так и с
целью отыскать' оптимальные способы нанесения огне-
вого удара и анализа влияния различных факторов на
его успешность (в уом числе таких, как время, надеж-
ность и т. д.).
Цели классифицируют на одиночные (танк, само-
лет, корабль и т. д.), групповые- (группа самолетов, тан-
ков. и т. д.) и площадные (населенный пункт, дивизия
в районе сосредоточения и т. д.).
Одиночная цель после нанесения по ней удара мо-
жет быть:
—	уничтожена;
—	подавлена, т. е. повреждена до такого состояния,
что не может выполнять боевую задачу, ио спустя не-
которое время она может быть, восстановлена;
—	повреждена до такого состояния, что может вы-
полнять боевую задачу с пониженной эффективностью;
—	не повреждена.
88
Наконец, возможнр и такое состояние, кргда дель,
не будучи пораженной, не может продолжать выполне-
ние боевой задачи нз-за интенсивного огня, поражения
соседних боевых единиц и т. д.
Обычно рассматривают только два состояния цели:,
цель уничтожена (или подавлена) и цель не поврежде-
на, хотя в ряде случаев необходимо рассматривать и
другие состояния.
Частным критерием эффективности удара (стрель-
бы) является вероятность уничтожения цели.
Состояния элементов групповой цели после нанесе-
ния удара (ударов) могут быть такими же, как и оди-
ночной. Характеризуя общее состояние цели, необхо-
димо определить количество элементов, находящихся в
различных состояниях (в простейшем случае число уни-
чтоженных элементов групповой цели). Критерием,
определяющим состояние экипажей цели, являются ие
только потери, но и их интенсивность.
Под площадной целью понимают совокупность объ-
ектов, расположенных на определенной площади. При
этом их взаимное расположение ие учитывается при
стрельбе и огневое воздействие осуществляется не по
конкретным объектам, а по площади как по единому
целому. Иногда выделяют линейные цели. Один из раз-
меров такой цели значительно превосходит  другой.
В книге они рассматриваются как площадные.
Указанные особенности площадной цели определяют
и характер оценки результатов удара (стрельбы) по
ней. Здесь уже нельзя говорить npbcfo о вероятности,
например, поражения, а рассматривается вероятность
поражения того или иного процента площади.
Безусловно, такая оценка является очень прибли-
женной, и Интереснее было бы рассмотреть функциони-
рование объекта и определить вероятность тех или иных
его состояний после удара. Однако ввиду сложности
такого исследования при рассмотрении результатов
удара по площадной цели ограничиваются определе-
нием процента пораженной площади с заданной вероят-
ностью или математического ожидания части поражен-
ной площади.
По цели может производиться разное число выстре-
лов при разном характере связи между ними (одни,
много, связанные, несвязанные) й разном характере
89
Рас. 10» Классвфккацня моделей вавесения удар*
90
действия боеприцасов (координатный закон поражения
или необходимости попадания в цель).
Кроме того, могут учитываться или ие учитываться
надежность оружия, противодействие противника, эф*
фективиость разведки и подвижность цели. Классифи-
кация всех возможных случаев моделирования процесса
иаиесеиия удара (стредьбы) показана на рис. 10.
2.	Вероятность поражения неподвижной разведанной
одиночной цели без учета надежности оружия
и противодействия противника
Если для поражения цели необходимо попадание в
нее, то цель проектируют иа плоскость, перпендикуляр-
ную направлению стредьбы (так называемую картин-
ную плоскость). В этом случае вероятность попадания
в цель равна вероятности того, что точка попадания на
картинной плоскости окажется в пределах проекции
цели, а вероятность поражения цели при одном вы-
стреле
Р~Р>	y)dxdy,
где Pj, i — вероятность поражения цели при одном по-
падании.
Для ряда случаев составлены таблицы значений
интеграла, входящего в эту формулу.
Так, если цель — круг с радиусом гп и рассеивание
круговое ox-=ov«=a, то в том. случае, когда систематиче-
ская ошибка равна Л, вероятность поражения цели од-
ним выстрелом
D	Л)
Функция Ф^-уЧ •—) показана на рис. 11.
Вероятность поражения цели одним выстрелом, если
закон поражения задан в координатной форме, опреде-
ляется исходя из следующей формулы*.
91
ж х
Q
х ?(xi; л; «ь Л; л; «о ах^у^я^ау^
Р«с. 11. Вероятность поражения цели одним
выстрелом
Обычно пользуются более простой формой этого вы-
ражения. Прежде всего пренебрегают влиянием скоро-
сти снаряда, Тогда
л; z&v (Xi, Уй «О dxt dyt dii.
Q
В общем случае вычисление интеграла оказывается
достаточно громоздким и его производят с помощью
ЭЦВМ.
Чтобы упростить расчеты, пользуются- методом при-
веденных дон, сущность которого сводится к следую-
щему.
По закону поражении определяют приведенный ра-
диус поражения г0>. Затем, аналитическим путем вычис-
92
ляют вероятность попадания в приведенную площадь
(объем) цели, под которой понимают площадь (объем)
цели, увеличенную иа площадь (объем) зоны поражения.
В качестве приведенной площади (объема) цели при-
нимают какую-нибудь площадь (объем) простых очер-
таний.
Рас. 12. Вероятность поражения цела в
пространстве
Например, если положить, что ax=av=az=-a и си-
стематические ошибки отсутствуют, то можно найти
аналитическое выражение для вычисления вероятности
поражения цели исходя из вероятности попадания в
сферу радиуса л> (рис. 12).
При рассмотрении двухмерного случая (случай
стрельбы по наземным целям: либо наземные разрывы,
либо малое рассеивание разрывов по высоте) также
широко пользуются методом приведенных зон. В част-
ности, он удобен для оценки вероятности поражения
малоразмерной цели ядерным боеприпасом.
Вероятность поражения цели, определяемая в этом
случае исходя из вероятности попадания в круг радиу-
са гц при систематических ошибках h н круговом рас-
93
се ив а и ии со среднеквадратичным отклонением о, равна
Функция Ф^-^; изображена на рнс. 11.
Вероятность поражения цели группой N выстрелов,
если для поражения требуется попадание, определяется
по формуле
m-N
PN= 2
т-1
где	N— вероятность получения т попаданий;
G(m)—закон поражения, т. е. вероятность пораже-
- ' ння цели при т попаданиях.
Вели выстрелы независимы, т. е. вероятность попада-
ния при последующем--выстреле- не зависит от того,
имело оно место нли нет при предыдущем, н если веро-
ятности попадания при одном выстреле одинаковы — р,
то
где — число сочетаний из N по т.
Просто решается задача о вероятности поражения
цели при показательном законе поражения.
В этом случае вероятность поражения цели W вы-
стрелами определяется по формуле
Если выстрелы зависимы, то расчеты значительно
усложняются.
Наиболее часто на_ практике встречается случай
двух групп ошибок н показательного'закона поражения.
Тогда вероятность поражения цели определяется срав-
нительно просто:
P№+J {1-[Ь-Р(*)РЛ1Г}т(Л)4А>
гдер(А)—условная вероятность попадания при одном
выстреле и наличии систематической ошиб-
ки h, которая вычисляется, например, с по-
мощью графика на рнс. 11;
94
ф (А)—Плотность распределения систематической
ошибки, обычно
fW-^exp--5J. .
Л	|	Я J
Отметим, что' систематические ошибки значительно
сильнее влияют иа эффективность стрельбы, чем ошиб-
ки неповторяющиеся.'
Вероятность поражения цели группой выстрелов при
координатном законе поражения определяется следую-
щим образом.
Если выстрелы независимы и влияние скоростей бо-
евой части ие учитывается, то вероятность поражения
группой выстрелов Рл равна
”4*
= И • • J ° (Xi; Уй Zy х»; у» . • •) X
— «•
х т (а; л; г») t Уг, «») • • • dzi dx* dy*dz*
Если не учитывать накопления ущерба, То формула
значительно упрощается:
где Р — вероятность поражения цели одним вы«.
стрелой.
Если выстрелы зависимы, то расчеты значительно
усложняются. В схеме двух групп ошибок прн двухмер-
ном рассенванни и отсутствии накопления ущерба веро-
ятность поражения группой выстрелов определяется по
формуле
где Р(А)—вероятность поражения цели одним выстре-
лом при наличии' систематической ошибки А, которая
определяется с помощью формул, приведенных выше.
3.	Эффективность стрельбы по групповой
и площадной целям без учета надежности оружия
и противодействия противника
Следует различать сосредоточенные групповые цели,
характерные тем, что один выстрел может поражать
95
несколько боевых единиц, и рассредоточенные, при
стрельбе по которым один выстрел может поражать
только одну единицу. Следует также различать стрель-
бу без переноса огня, когда по какнм-то причинам (на-
пример, отсутствие видимости) стрельба по боевой
единице ведется независимо от того, поражена она или
нет, н стрельбу с переносом огня, когда в случае пора-
жения одной боевой единицы огонь переносится иа дру-
гие, непораженные.
В случае если огонь не переносится и цель рассре-
доточенная, математическое ожидание числа поражен-
ных целей MN при общем их количестве п н числе про-
изведенных выстрелов N вычисляется по формуле
Г —
Mw== jv[1 -(1 -Р)я
где Р— вероятность поражения цели одним выстрелом.
Вероятность поражения т единиц из п обстрелян-
ных
Вычислив вероятность Рт, можно найти вероятность
поражения не менее k единиц:
ш-л
m—k
Эта вероятность и математическое ожидание пора-
женных единиц являются важнейшими частными крите-
риями, по которым судят об успешности выполнения
боевой задачи.
В случае если цель рассредоточена н перенос огня
производится, поступают следующим образом.
Задача о переносе огня имеет особенности только
тогда, когда n<N (в противном случае по каждой цели
будет произведено не более одного выстрела и никако-
го переноса огия не будет).
Прн любом числе успешных выстрелов m<N—1
96
Вероятность поражения всея целей можно опреде-
лить исходя из того, что оиа дополняет полную группу
несовместных событий:
у ря.
«•*0
Математическое ожидание числа пораженных еди-
ниц
я* л
Я- о
Отметим, что перенос огия повышает эффективность
стрельбы. Так, например, при п«=3, IV«=5, Р=0,7 и на-
личии переноса огня «№2,81, а без переноса огня
Л<№2,52.
При стрельбе по сосредоточенной групповой цели
наиболее характерным является случай, когда цель об-
стреливается как единое целое без-переноса огня. В этом
случае должны' быть предварительно определены ве-
роятности поражения каждой/из целей при одном Вы-
стреле: Рг, Рп; ... ; Р».
Затем вычисляются вероятность поражения каждой
цели при N выстрелах и математическое ожидание чис-
ла пораженных целей как сумма этих вероятностей.
Оценка эффективности стрельбы по площадной цели
имеет ряд особенностей/ Само понятие «площадная
цель» не является столь определенным, ..как, например,
«одиночная или групповая цель». Тем более неопреде-
ленным является понятие «поражение площадной цели».
Обычно полагают, что цель поражена, если математи-
ческое ожидание пораженной площади цели М состав-
ляет заданную долю всей площади (например, 50%)
или с заданной вероятностью Рв доля пораженной пло-
щади т не менее заданной (например, с вероятностью
0,8 не менее 60%).
Первую оценку называют оценкой по математиче-
скому ожиданию, вторую — оценкой по вероятности
(с гарантийностыо).
Из изложенного* ясно, Что оценка факта поражения
площадной цели по своему существу является весьма
приближенной, и поэтому для расчетов обычно поль-
зуются приближенными методами.
< Ю. В. Чуе»	97
Изложим один из таких методов. Прежде всего цель
заменяют равновеликим кругом с радиусом гц, зону по-
ражения— также равновеликим ей кругом с радиусом
го, а эллипс рассеивания — равновеликим кругом
с радиусом в. Тогда величина М может быть вы-
числена с помощью графика (рис. 13), а величина т
при фиксированной Рл — с помощью номограммы
(рис. 14).
В случае нескольких N выстрелов обычно пользуют-
ся приближенной формулой
Afw= 1 — (1 — ЛТ)\
которая дает хорошие результаты в тех случаях, когда
перенос огня не производится, а размеры цели невелики
по сравнению с' площадью зоны поражения.
4.	Моделирование процессов нанесения удара
в случае учета надежности, противодействия,
подвижности цели
Выше рассматривалось моделирование процессов
стрельбы, когда все устройства считались абсолютно
надежными, противодействие противника отсутствова-
ло, цель считалась разведанной и неподвижной. В прак-
тике приходится сталкиваться с более сложными слу-
чаями и учитывать влияние факторов, перечисленных
ниже.
Рассмотрим прежде всего волную схему процесса
иаиесеиия удара по цели огневым комплексом при од-
ном пуске. Поражение цели в этом случае будет слож-
ным событием, состоящим из ряда случайных со-
бытий:
—	обнаружения цели, которое оценивается вероят-
ностью обнаружения цели Ро, определяемой в модели
разведки;
—	исправности огневого комплекса в момент подачи
команды на открытие огня, вероятность которой равна
коэффициенту готовности Лг‘>
—	безотказное^ работы комплекса за время подго-
товки к пуску /и, оцениваемой соответствующей вероят-
ностью Р(ГП);
98
Рас «.Математическое ожидание дола яоражевко! площади
99
— безотказности-ракеты (снаряда, бомбы) иа поле-
те и при попадании в цель, оцениваемой соответствую-
щей вероятностью /’(/пол);
Рис, 14.. Номограмма лая определения.- гарантированного
ущерба
- непоражения нашего комплекса ва время /п (или
V+Аюа), где 4м.—время полета снаряда (при управ-
лении им с земли), вероятность которого (1—/?пр)
W0
определяется исходя из характеристик вооружения и
тактики действий противника;
—	непоражения нашего снаряда (ракеты, бомбы)
соответствующими, -средствами противника, вероятность
которого (1—₽ш>л) определяется в отдельной модели;
—	нахождения цели -на- месте в момент попадания
в нее снаряда (ракеты, бомбы), о вероятности которого
Р(т) будет сказана ниже;, бол ее правильно рассматри-
вать вероятности перемещения цели на то । или иное
расстояние от разведанного положения, условные веро-
ятности поражения цели в этих случаях и путем инте-
грирования вычислять полную вероятность; однако ради
упрощения такие расчеты, как правило, ие делают;
—	поражения цели, вероятность которого рассмат-
ривалась в предыдущем разделе (вероятность пораже-
ния Р прн условии, что события, указанные выше, име-
ли место).
Итак, полная вероятность поражения цели в рас-
сматриваемой- схеме
Ъ = Р^РУп) (1 -	(1 - РВМ)Р^) Р-
Отметим, что прн выводе этой формулы все события
принимались независимыми, что иногда не соблю-
дается.
Если считать, что время подготовки имеет распреде-
ление по закону равной вероятности с математическим
ожиданием тп и максимальными отклонениями ±а,
а цель обнаруживается в моменты времени, также рас-
пределенные по закону равной вероятности в пределах
от 0 до полного времени нахождения цели на пози-
ции то, то P(t) определяется следующим образом.
Если а—О, то
p(t)=»l—i. прн t0>to;
Р(т)*=0 при
В случае когда вчьОитп<то - а,
Если и t0—а<то<т0-|-4, то
101
Если tB > to + а, тб
P(t)-0.
Если производится несколько  выстрелов (пусков,
ударов), расчет значительно усложняется, так как вы-
стрелы, как правило, будут зависимыми. В качестве
примера учета этой зааисимости рассмотрим влияние
надежности пускового устройства на эффективность.
Рассмотрим прежде всего случай стрельбы по одной
цели. Пусть условная вероятность поражения цели (при
условии отсутствия -отказов в пусковом устройстве) не
меняется от выстрела к выстрелу и равна Rj. Надеж-
ность ракеты на полете учтена в /?».
Тогда безусловная вероятность поражения одним вы-
стрелом
/?i = Rt Р\,
где pi — вероятность отказа при первом пуске.
Пусть вероятность отсутствия отказа пускового уст-
ройства при N выстрелах записывается как следующая
функция ре
Пусть в распоряжении стреляющего есть N ра-
кет, которые он использует для поражения одной цели,
наблюдая результаты стрельбы и прекращая ее после
поражения цели.
Как показано в [2], вероятность поражения цели за
стрельбу Rk может быть рассчитана по следующей фор-
муле:
Rn -PiRt 1 _/(!_>,) •
Если бы выстрелы были независимыми, то формула
приняла бы следующий вид:
^?№“1 —(1 ~PiRt)N-
Этой формулой пользоваться нельзя.
Рассмотрим теперь случай стрельбы по иескрльким
целям.
Пусть имеется N ракет. Стрельба ведется из одного
пускового устройства до Поражения одной цели, затем,
102
если пусковое устройство йе отказало, огонь переносит-
ся иа другую цель и т. д. Требуется определить мате-
матическое ожидание Af* числа целей, пораженных при
стрельбе.
Эта задача эквивалентна следующей: имеется n**N
целей и по каждой нз них производится по одному вы-
стрелу из заданного пускового устройства.
Вероятность поражения первой цели будет p^Rt, ве-
роятность поражения второй цели p]R», третьей — p^Rt
и т. д. Отсюда
1 _.лг
5. Учет противодействия противника
Рассмотрим прежде асего случай противодействия,
предшествующего выполнению боевой задачи.
Пусть вероятность поражения цели боевой едини-
цей Kt, а вероятность того, что противник поразит нашу
боевую единицу до выполнения боевой задачи, Rnp.
Тогда безусловная вероятность поражения цели R\
вычисляется по формуле
*!=*»(! “V,
т. е. для того, чтобы учесть предшествующее противо-
действие противника одной боевой единице, достаточно
умножить ее показатель эффективности без учета про-
тиводействия' иа вероятность того, что противодействие
будет безуспешным.
Рассмотрим теперь противодействие в ходе выпол-
нения боевой задачи. Наиболее простым случаем учета
противодействия в ходе выполнения боевой задачи яв-
ляется схема последовательных ударов, при которой
воздействие одних средств иа другие осуществляется
последовательно: удар первого средства по другому —
ответный удар, второй удар первого средства
и т. д.
Пусть Rs — условная вероятность поражения второ-
го средства первым при одном ударе, — аналогич-
ная вероятность поражения первого средства вторым.
Первым открывает.огонь первое средство.
103
Тогда вероятности поражения второго средства пер-
вым и первого вторым N выстрелами, произведенными
каждым средством, соответственно равны:
d в 1-К*	-*>«)]”,	•
Р -в и ??>
Кпр N — «ир» U — Цг)	—
При оценке эффективности, оборонительной стрель-
бы по управляемым снарядам приходится сталкиваться
с третьим случаем противодействия — противодействием
после пуска.
При прохождении зоны противодействия снарядом и
при действии системы обороны может произойти одно
из следующих событий:
— снаряд уиичтожея (вероятность этого события Ду);
— снаряд поврежден (вероятнрсть Этого события Дп);
— снаряд не уничтожен Ч не поврежден (вероят-
ность этого события 1 —Дп~ Ду).
Тогда условная вероятность поражения цели Рс.о
(при условии действия-системы обороны) равна
Pf.О	П 4" (1- 'Ря	•
где Рц.п н Рц —вероятности поражения цели соответст-
венно поврежденным и неповрежденным снарядом..
Обозначим вероятность функционирования системы
обороны роб (она определяется самой системой оборо-
ны,-наличием предварительного воздействия'на систему
обороны другими средствами, а также занятостью си-
стемы другими задачами).
Тогда полная вероятность поражения цели опреде-
ляется по формуле
Р^Рл и. n “h U ~Ра ~‘~Рт)Ря\	~“/,рв) Рк •
В заключение приведем пример совместного учета
противодействия противника и надежности технических
устройств. Рассмотрим случай, когда наш огневой ком-
плекс решает следующую боевую задачу: выдвинуться
на стартовую (огневую) позицию и. произвести по огне-
вому комплексу противника один выстрел, (пуск). При
этом у противника ведется разведка нашего расположе-
ния. В случае если наш комплекс будет, обнаружен
1Q4
до тех пор, тюка -он ке произвел пуск, па нему может
быть нанесен удар (рис. 15). Решающим фактором в
данном случае является время
Рис, 15. Схема модели бои
Пусть заданы как для нашего комплекса, так н для
комплекса противника:
и ^?пр2 — вероятности поражения при условии, что
все Элементы комплексов функционируют безотказно и
комплексы не поращены;
/?ж н /?Вр.»—вероятности безотказного функциониро-
вания комплекса при старте и при
полете ракеты, определяемые вероятно-
стью безотказного функционирования
наземного стартового оборудования, нор-
мального старта н нормального по-
лета;
Деи и Pap.cn—вероятности отсутствия отказов на стар-
товой позиции;
ta и tap. в—время подготовки к выстрелу при отсут-
ствии отказов, включая время полета
снаряда до цели.
105
Допустим, что функция распределения случайной ве-
личины задержки времени подготовки определяется
выражением
р (t) — Вер (/ < т) — 1 — (1 — реп) ехр (— {«),
где * О,
1
——среднее время устранения одной задержки.
Аналогичная зависимость справедлива и для ком-
плекса противника (там имеем ^пр. в и не-
допустим, что вероятность обнаружения противни-
ком нашего комплекса Ро является экспоненциальной
функцией времен^ его пребывания на стартовой пози-
ция, отсчитываемого от момента его прибытия на нее:
Ро (/) = Вер (f <7) - 1 - ехр (- гГ),
где ----среднее "время обнаружения нашего комплек-
са разведкой противника.
Вероятность поражения комплекса противника на-
шим комплексом, как это показано в [2]:
где Q — вероятность того, что комплекс произведет
выстрел до поражения огнем противника.
Обозначим' через рг вероятность того, что-комплекс
сделает выстрел раньше противника.
Тогда
Q “ Рг + U ~ Рг) U ~ ^вр. «Яир»)•
Величина Рг вычисляется по следующей формуле:
.	Г (1 — рсп) (р./>пр сп + Нпр) ,
Л “1---------iT+OTJ+й--------ехр (М) •
где А —	—/пр,и<0.
Глава VIII
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ПЕРЕДВИЖЕНИЯ ВОЙСК
1. Общие замечания. Передвижение пешим порядком
Передвижение войск может совершаться маршем
(на машинах и лешим порядком). Кроме того, соедине-
ния и части можно перевозить железнодорожным
транспортом, воздушным транспортом (самолеты, вер-
толеты ит д.), водным (морским, речным) транспор-
том или перемещать комбинированным способом. Ос-
новной способ передвижения войск—марш. Марш
войск может совершаться в различной обстановке. При
моделировании марша необходимо учитывать степень
воздействия (удары) противника, построение колони,
характер походиогб охранения (непосредственное, пе-
редовое, боковое, тыловое), погоду, время суток, рельеф
местности и т. д. Ниже приведены примеры построения
моделей для конкретных случаев перемещения, которые
дают представление о методологии моделирования этих
процессов в любых случаях.
Рассмотрим передвижение пешим порядком. Несмо-
тря на широкое развитие транспортных средств, этот
вид перемещения в боевых условиях никогда не исклю-
чается. Марш совершается с учетам возможностей лич-
ного состава выдержать определенную нагрузку иа про-
тяжении длительного времени. Для сохранения сил
личного состава устанавливаются малые и большие
привалы, дневной и ночной отдых. Малые привалы про-
должительностью Д/м п назначаются через каждые tj
минут движения Большой привал продолжительностью
107
Afc.K назначается во второй половине пути. Дневной
отдых назначается после ночного марша, ночной —пос-
ле дневного. Продолжительность отдыха обозначим
Д^от-
Если общая продолжительность марша меньше су-
ток, то отдых может быть сокращен до Д/«. а-
Скорость движения на марше зависит от степени
воздействия противника, состава колонн, маршрута, по-
годы, времени суток и т. д.. В случае отсутствия проти-
водействия противника и в нормальных метеоусловиях
скорость при передвижении пешим порядком оп“
=4+5 км/ч, при передвижении на лыжах о*-?5—7 км/ч.
В ночное время эти скорости уменьшаются.
С. учетом изложенного в случае отсутствия противо-
действия противника и в метеорологических -условиях,
допускающих перемещение, путь х, пройденный за вре-
мя t, может быть, вычислен с помощью следующих фор-
мул.
При /<ц пройденный путь
При Т1<«5(-ч+Д£м.п) пройденный путь х-
—v(t—a&fM.n),
гдеа=—— округляется до ближайшего мень-
шего целого числа..
При бОи-НД^п) <7<12 пройденный путь
х =	— Шм.ж — Д/б,0],
где*° '•
При 12</<24 пройденный, путь
х =•» р — Шж. ж -г- 2Д/4ф ж] ,
Наконец, при 24</ пройденный путь определяется
следующим образом. Вычисляется суточный марш в
условиях длительного марша:
Xt =* V	ц Д^в. а Д^вт])
где	*
*1 Т в
108
Путь за Делбе число Суток п Вычисляется как х0П,
а за 'оставшиеся, часы в зависимости от их числа —
с помощью одной из формул, йаписаиных выше.
В случае воздействия противника и сложных усло-
вий погоды необходимо рассматривать по крайней мере
три возможных события: нормальный марш; марш, за-
медленный воздействием противника (вероятность
Рм. пр); марш, замедленный условиями погоды (вероят-
ность Рм. пог) •
Воздействие противника может выразиться в нане-
сении огневых ударов, которые заставят совершить до-
полнительный марш Дх (наррнмер, разрушение пере-
прав, создание радиоактивных зон заражения, затопле-
ние местности и т. д.) с вероятностью рм.прь Оно мо-
жет выразиться также в нанесении удара по переме-
щающимся войскам, приводящего ( к потерям войск и
затрате времени Д/, необходимого для восстановления
управления и т. д., с вероятностью Дм.прг- Подвижные
группировки противника с целью задержать перемеще-
ние наших войск могут атаковать колонны, заставив их
развернуться и принять бой (вероятность рм. прз). В этом
случае время to наши войска будут перемещаться
с боем. При перемещении с боем скорости Vo сущест-
венно уменьшаются. Во время Великой Отечественной
войны средние скорости составляли 8 км/сутки со сред-
неквадратичным отклонением 2 км/сутки. Темп наступ-
ления достигал 1—3 км/ч.
Условия погоды могут привести к необходимости со-
вершения дополнительного марша Дхп (вероятность
Рм поп) или задержки иа Д/п (вероятность ри.пой)-
С учетом изложенного математическое ожидание
пройденного пути х должно вычисляться исходя из ма-
тематического ожидания полезного времени:
— t пр а ~ ^tP*. пр з	пог а
и с учетом математического ожидания дополнительно
пройденного пути
^^Дм. Пр 1 Дм. пог 1 •
Математические зависимости, приведенные выше,
которые в каждом конкретном случае могут быть до-
полнены и видоизменены, позволяют, используя метод
статистических испытаний (см. главу XI), вычислить
109
математическое ожидание пройденного за заданное
время пути и параметры его рассеивания. Чаще тре-
буется вычислить время выхода войск в заданный рай?
он и параметры его рассеиваиия. Это необходимо, на-
пример, для использования сетевых методов планирова-
ния (см. главу XVIII). Наконец, статистическое. моде-
лированне позволяет вычислить и вероятность выхода
войск в заданный район в заданное время.
2. Моделирование перемещения автомобильным
транспортом
Если не требуется тщательно учитывать характери-
стики, этого транспорта (в модели не производится вы-
бор или анализ этих характеристик), то можно приме-
нить приближенный способ моделирования марша с по-
мощью автомобильного транспорта, аналогичный изло-
женному выше.
В этом случае малые привалы устраиваются через
большие интервалы времени, чем при пешем марше,
большой привал назначается в начале второй полови-
ны суток. Одни ночной иди дневной привал назначает-
ся так же, как и для пешего марща.
Кроме того, следует учесть время на вытягивание
колонны н на сосредоточение в назначенном районе.
Это время равио
7* —, 2 (пмДм Дп)
1 к	v ’
где v — скорость движения автомашин;
ли — число машин;
Дп и Дм —сумма расстояний между подразделениями
н машинами соответственно.
С учетом этих особенностей может быть построена
статистическая модель марша войск на автомобильном
транспорте.
В тех случаях, когда производится исследование
примеиення автомобилей в условиях, где натурные
испытания не проводились, либо выбор характеристик
автомобиля, модель .перемещения значительно услож-
няется. В модели должен учитываться процесс пере-
мещения, описанный выше, но вместо средней скорости
необходимо пользоваться функцией пути от времени,
ПО
вычисленной исходя ИЗ уравнений движения автомо-
биля.
Основное уравнение движения автомобиля можно
записать в следующей форме:
где Рг — полное окружное усилие иа ведущих коле-
сах;
2РС — сумма сил сопротивления движению (состав-
ляющая веса при движении по неровной до-
роге, сила сопротивления качению и аэроди-
намическая сила);
2 = О sin « + fG cos а 4- f g ;
О —вес автомобиля;
а — угол подъема дороги;
У—коэффициент трения;
f—скорость автомобиля;
<$м— площадь ми дел ев а сечения автомобиля;
Сх — коэффициент лобового сопротивления;
и)х— проекция скорости ветра на направление дви-
жения автомобиля;
р — плотность воздуха;
8 — коэффициент учета вращающихся масс.
Величины Рк, G, 5М, Сх и 8 относятся к числу основ-
ных параметров автомобиля и должны быть заданы.
Полное окружное усилие иа ведущих колесах ие дол-
жно превышать силы сцепления ведущих колес с доро-
гой, т. е. должно выполняться условие сцепления с грун-
том
где Rn— нормальная реакция между ведущими колеса-
ми и дорогой;
<р — коэффициент сцепления с грунтом.
Эта реакция в случае установившегося движения
автомобиля определяется формулами следующей таб-
лицы.
Ш
Ведущее колеса	Нормальные реахадя на колесах	
	передней ecu	задней оса
Передние	_ * Geos а .   < 4 + <?Л,	« + V Лд Geos а-у——г— I + ?Лд
Задине	b — f лж G сова-;	—	G cos а -у—- V- £ —<?Лд
Передние и задние	b — f лж Geos а			а + f Ад Geos а	д	
Значения условных обозначений, принятых в форму*
лах, кроме оговоренных выше, раскрыты на рнс. 16.
Ряс. 16. Схецд сил, действующих на автомобиль
Величины a, f и у определяются характером дороги
и должны быть заданы в общем случае в виде случай-
ных функций расстояния. Необходимо соблюдать усло-
вия достаточности мощности двигателя Рко< N и
условие непревышення допустимой скорости
Значение допустимой скорости также относится к
числу внешних условий и в общем случае задается в
форме случайной функции пути и метеоусловий.
Наконец, в ряде случаев приходится учитывать про-
пускную способность дорог, мостов, перекрестков, так
как ограничение движения на них может привести к по-
явлению «очереди», время задержки в которой опреде-
ляется методами теории массового обслуживания.
112
Итак, на основании изложенного модель перемеще-
ния автомобиля без учета противодействия противника
записывается -основным уравнением движения • автомо-
биля ири соблюдении условий сцепления о груйтом< до-
статочности мощности и иепревышения скорости, при
учете задержек, связанных с пропускной способностью
магистралей, а также режима движения, описанного в
предыдущем разделе. Строгое решение задачи удается
получить только численными методами с использова-
нием метода статистических испытаний.
В итоге решения определяются математическое
ожидание и характеристики рассеивания времени про-
хождения заданного маршрута или вероятность p(t) его
прохождения за время не больше t.
В случае противодействия противника модель суще-
ственно усложняется. Противодействие противника мо-
жет выразиться:
—	в непосредственном поражении, колонны в дви-
жении или на стоянке;
—	в повреждении мостов и дорог, что потребует
объездов;
—	в создании зои радиоактивного заражения, что
также потребует объездов;
—	в атаке колонны и т. д.
Вероятность поражения колонны R\ есть вероят-
ность сложного события, включающего в себя обнару-
жение колонны средствами разведки противника (веро-
ятности на марше р0 м и стоянке 'р0 J, принятие про-
тивником решения на нанесение удара (вероятности
Рр.м и Др.с), успешное нанесение удара (вероятности
Рп м и Pn.ch Отсюда
= Ро.-Ы Рр. цРц. м 4" Р0. сРр. сРц. с •
Моделирование процессов обнаружения и пораже-
ния рассмотрено в предыдущих разделах. Наиболее
сложно определить вероятность принятия противником
решения иа нанесение удара. Она зависит от важности
колонны как объекта для атаки, состояния войск про-
тивника (в первую очередь наличия свободных ударных
средств), общей оперативной обстановки, расстояния
до линии фронта. В каждой конкретной модели эта ве-
роятность определяется особо.
113
Необходимость объездов и их величина определяют-
ся с учетом конкретной обстановки.
Вероятность /? выполнения боевой задачи одной ма-
шиной в заданный срок определяется, кроме вероят-
ности непораження, вероятностью надежного функцио-
нирование автомобиля (коэффициентом готовности Кг
и вероятностью отсутствия отказа на марше р\), веро-
ятностью своевременного обеспечения горючим рг (в
случае длительных маршей) н, наконец, вероятностью
того, что время марша не превысит заданное
/? = (1 -Ri)KTpjfTPt.
Для определения R группой автомобилей может
быть использована статистическая модель.
Исследование этой модели может оказаться полез-
ным при выборе оптимального маршрута движения (вы-
числение R при разных маршрутах). Она может также
включаться в общие модели боя.
3.	Моделирование перемещения воздушным
транспортом
Общая схема модели такого перемещение показана
на рис. 17, из которого виден объем входной информа-
ции, вводимой в модель.
Следует различать два периода полета: переходный
(взлет н посадка) и установившийся (полет на задан-
ной высоте). Приближенное решение уравнений движе-
ния реактивного самолета позволяет получить следую-
щие формулы.
Математическое ожидание времени набора 4 задан-
ной уя высоты ________________________
где /«о — начальная масса самолета;
Р — тяга реактивного двигателя;
® — угол траектории движения самолета с гори-
зонтом;
g — ускорение силы тяжести;
Хя>ер — средняя величина силы аэродинамического
сопротивления на участке набора высоты;
V ____ о ^«Р
Л«. ср —	5 »
114
р — плотность
скорость (средняя) самолета;
*$м — площадь мид*(1ева сечения самолета;
Сх — коэффициент лобового сопротивления само*
лета
Рае. 17. Схема модели полета самолета
Отметим, Что величины /По, Л $м» Сх определяются
конструкцией самолета и в каждом конкретном случае
должны быть заданы.
Математическое ожидание времени полета на за-
данную дальность х на заданной высоте (крейсерского
полета)
115
где —средняя маем самолета на атом участке по-
лете;
С* и А — аэродинамические коэффициенты самолета
(его подъемной силы и возрастания лобово-
го сопротивления за счет угла атаки);
Wr—-проекция скорости ветра на направление По-
лета.
Суммарное время полета до заданной точки (без
учета времени иа посадку) имеет математическое ожи-
дание, равное сумме ta и ^к-
Ввиду Того что большинство величии, входящих в эти
формулы, являются случайными (метеоданные, опреде-
ляющие р и wx, конструктивные характеристики само-
лета, определяющие Р, тй, тср, Su, и аэродинамиче-
ские характеристики), случайным будет н время полета
до данной точки t. Пользуясь методом статистических
испытаний или приближенным аналитическим методом,
можно вычислить математическое ожидание и рассеи-
вание времени полета, а также вероятность того, что
время полета не превзойдет заданное p(t).
Рассмотрим теперь вероятность выполнения задачи
полета R в заданное время -t. Она определяется веро-
ятностью 7>м метеоусловий, допускающих полет (отсут-
ствие грозы, приемлемые уровни осадков н ветра, в не-
которых случаях допустимая облачность). Они также
определяются безуспешностью противодействия (1 — ра)
противника (поражение аэродрома, поражение самоле-
та на полете), надежностью самолета (коэффициентом
готовности kr и вероятностью отсутствия отказа на
полете pt), а также вероятностью прилета не позже за-
данного времени p(t). Тогда
В ряде случаев можно исходить из известной сред-
ней скорости полета и характеристик ее рассеивания.
Тогда расчеты значительно упрощаются.
Исследование величины R позволяет выбрать опти-
мальную высоту полета (если заданы метеоусловий и
функциональная связь ря с высотой полета).
Глава IX
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
И ОБЕСПЕЧЕНИЯ
1.	Общие замечания
Процесс управления может быть условно представ-
лен как замкнутый цикл, включающий в себя три не-
прерывно- повторяющиеся фазы: получение сведений о
положении и состоянии объекта, принятие или уточне-
ние решения, передача объекту команд и т. д.
Деятельности органа управления свойственны две
функции: творческая, включающая в себя прежде всего
анализ и оценку обстановки и принятие решения, и Тех-
ническая, включающая в себя выполнение-необходимой
технической работы.
Наиболее важной и интересной (и вместе с Тем Наи-
более- трудно моделируемой) является творческая
функция — функция принятия решения. Здесь при мо-
делировании процессов управления сталкиваемся со
следующей особенностью: при исследовании операций
приходится моделировать сам процесс исследования
операций. В ряде случаев эту задачу удается решить,
только сочетая действия квалифицированных операто-
ров с математическим моделированием.
Моделирование процессов использования техниче-
ских устройств, приема и передачи информации — зада-
ча значительно более простая.
Конечная цель, которая преследуется при управле-
нии войсками в бою, состоит в том, чтобы разгромить
определенную группировку противника с наименьшими
потерями своих войск, причем эта цель должна быть
117
достигнута в условиях противодействия 'противника;
ставящего такую же активную задачу.
Управление войсками включает в себя две группы
мероприятий.
Первая группа — это мероприятия, непосредственно
связанные с организацией операции (боя): изучение
Данных о противнике и вскрытие его намерений, свое-
временное Принятие решения иа операцию (бой) и
уточнение его в ходе боевых действий, постановка бое-
вых задач войскам, организация и поддержание их вза-
имодействия.
Вторую группу составляют мероприятия, направлен-
ные иа выполнение решений командира и создание бла-
гоприятных условий для действий своих войск: ведение
политической работы; подготовка .войск к боевым дей-
ствиям; организация разведки;' организация, защиты
войск от' оружия массового поражения; организация
маскировки, охранения, комендантской службы,- инже-
нерного, - материального, технического, медицинского,
топогеодезического и гидрометеорологического обеспе-
чения; организация пунктов управления н связи; посто-
янный контроль за действиями войск н оказание км
помощи.
Управление войсками предполагает принятие опти-
мальных решений и их реализацию.
Основные требования, предъявляемые к управлению
войсками:
—	непрерывность, которая заключается в способно-
сти органов управления поддерживать непосредствен-
ную связь с войсками и влиять иа ход боевых дей-
ствий;
—	-твердость, состоящая в принятии смелого реше-
ния и в настойчивом стремлении к выполнению постав-
ленной задачи в обстановке любой сложности;
—	гибкость, состоящая в способности своевременно
реагировать на изменения' в обстановке с введением
в решение соответствующих коррективов;
—	высокая оперативность, состоящая в быстроте
работы органов управления;
—	скрытность, состоящая в сохранении в тайне от
противника всех мероприятий.
Основным принципом управления войсками является
единоначалие, то есть единовластное руководство
118
командиром подчиненными войсками. В неразрывной
связи с этим принципом находится централизация упра-
вления.
Из изложенного видна сложность и разнохарактер-
ность процессов управления войсками. Ниже 'рассмот-
рены некоторые вопросы моделирования процессов
управления войсками: общие положения, связанные
с построением систем управления, частные критерии для
оценки эффективности систем управления, принципи-
альная схема модели управления.
В настоящее время важнейшие процессы управле-
ния войсками все более автоматизируются с целью по-
высить оперативность управления н эффективность при-
менения современных боевых средств.
В литературе описан проект автоматизированной
системы управления сухопутными войсками армнн США
«Фнлдейта». В нем предусмотрены сложные функцио-
нальные связи, наличие ряда самостоятельных подси-
стем: ПВО, авиации, артиллерии, радиотехнической
разведки, радиопротиводействия, снабжения, наличие
ряда дорогостоящих вычислительных машин («Минн-
пак», «Бейснкпак», «Мобилоджнк», «Мобиднк», «Лод-
жнкпак», «Компаке»).
Создание таких систем — дело сложное н дорого-
стоящее. Поэтому разработке конкретных образцов во-
енной техники, предназначенных для управления вой-
сками, должно обязательно предшествовать моделиро-
вание процессов управления с целью определить звенья,
подлежащие автоматизации в первую очередь. Модели-
рование процессов управления может оказаться весьма
полезным и для исследования системных вопросов.
2.	Общие положения, связанные с моделированием
систем управления
Вопросами создания, изучения н оценки систем упра-
вления занимается теория больших систем.
Любая большая система, в том числе н система во-
енного назначения, состоит нз множества элементов,
находящихся в сложных н разнообразных взанмозави-
снмостях, многие нз которых, квк правило, носят слу-
чайный характер. Энтропия Н такой системы по анало-
119
гии- со статистической физикой может быть записана в
виде следующей формулы:
Н ^а!п В,
где постоянная;
В—неупорядоченность системы.
Эта формула тем справедливее, чем больше элемен-
тов в системе^
Известно, что энтропия системы, предоставленной
самой себе (лишенной управления), возрастает, т. е. в
естественных условиях возрастает неупорядоченность
системы. Противостоять нарастанию беспорядка может
только управление, процесс которого, по Существу, и
представляет собой борьбу с неупорядоченностью.
В качестве меры этого процесса может быть выбра-
но количество управляющей информации. Тогда неупо-
рядоченность системы Вж после внесения в нее управ-
ляющей информации / изменится и станет равной
В = Вжехр(—Z/a).
Неупорядоченность системы приводит к снижению
ее эффективности, причем эффективность системы опре-
деляется по следующей формуле:
Э = Эт„(1-Воехр(-//а)],
где Во—неупорядоченность системы в исходном состоя-
нии при наличии управляющей информации /о-
Полагая, что стоимость системы управления Су про-
порциональна количеству управляющей информация,
получаем связь стоимости системы управления с эф-
фективностью всей системы:
Э = Эщ,, [1 — Во ехр (- -SQ].
Анализ выражений для определения эффективности
управляемой системы позволяет сделать ряд важных
выводов.
1.	По мере усложнения системы управления (т. е.
увеличения объема управляющей информации и ее «де-
тализации») приобретаемая дополнительная эффектив-
ность уменьшается (рис. 18).
120
Поэтому детализация системы управления ие дол-
жна превосходить определенного экономически обосно-
ванного уровня. Наибольший эффект она дает иа на-
чальной стадии. В военном деле, в первую очередь дол-
жны быть удовлетворены требования оперативной не-
обходимости.
2.	-Не следует чрезмерно усложнять управляющие
алгоритмы в погдие за их максимальным совершенст-
вом. Приближенные, но.
простые алгоритмы могут 3 .	&
оказаться оправданными, - njjixa-arj.—/riax
так как обеспечат более W>***^^
экономичную и надежную Xх Дотдри;
систему управления.	>' от неупфюочвмноапи
3.	Доля иеупорядочен- /
ности,. которую с эконо- /
мической точки зрения I 1	________—J
целесообразно оставить в
Рис. 18. Изменение эффективяо-
сти системы с ростом Z
системе управления, тем
больше, чем сложнее про-
цесс управления.
Чем выше по иерархической лестнице возникает, не-
упорядоченность, <шум>, тем ниже должна быть часто-
та его подавления.
Излишне высокая частота управляющих импульсов
на верхних этажах так же, как и излишне низкая на
ннжних, способна полностью расстроить систему упра-
вления.
4.	Наиболее экономичной системой управления яв-
ляется система, построенная по иерархическому прин-
ципу, с разным характером подавления неупорядочен-
ности на разных втажах.
Применительно к военному делу это означает необ-
ходимость более быстро реагировать на изменение об-
становки в инжиих звеньях (частая отдача приказов и
распоряжений) и - необходимость более редких команд
в верхних звеньях.
5.	Правильными являются построение системы управ-
ления в виде, иерархической лестницы и передача в
верхние этажи информации. все меньшего объема, ио
все более обобщенной, перевод по возможности ниж-
них этажей иа саморегулирование. Такая система ока-
жется и наиболее надежной.
121
Применительно к военному делу этот вывод озна-
чает необходимость представления определенной само-
стоятельности нижним звеньям.
б.	Повышение степени управления должно сочетать-
ся с ростом эффективности самой системы, так как
никакая степень управления не позволит превзойти
Эыах (рнс. 18).
Если удается выразить Эшях как функцию вложен-
ных в систему средств (С8), то можно определить опти-
мальный уровень управления и максимальный уровень
эффективности системы. Пусть
эт.х = Эо Г1 - exp (j- £?-)],
где Эо, С8о—коэффициенты.
Тогда, приняв допустимый уровень затрат
И-Су, можно вычислить оптимальные затраты иа управ-
ление и повышение эффективности другими сред-
ствами.
В заключение этого раздела рассмотрим вопрос об
оценке эффективности систем управления.
Выше приводился один частный критерий для оцен-
ки эффективности систем управления — Э, С этой же
целью могут быть использованы критерии, аналогичные
критериям оценки средств разведки (через запаздыва-
ние целеуказания н недопущение стрельбы, по уже по-
раженной цели). Рассмотрим еще один метод оценки
эффективности систем управления и разведки.
Пусть задана система, состоящая нз разведыватель-
ных средств Р, позволяющих обнаружить pi целей в
единицу времени и составляющих простейший поток.
Эти данные поступают в систему управления у, кото-
рая в среднем может обработать ра целей в единицу
времени, причем время <обслуживання» случайное. Си-
стема управления выдает команды на орудия, которые
поражают цели противника. Пусть цели находятся на
месте определенный промежуток времени, после чего
уходят. Интенсивность появления целей характеризует-
ся величиной к. Такую систему в первом приближении
можно рассматривать как систему массового обслужи-
вания с отказами (см. главу XVI),
122
Решение задачи об определении вероятности того,
что цель останется необстрелянной Ротк (по причине
того, что не будет обнаружена или не будет своевремен-
но «обработана» системой управления), дает возмож-
ность получить Следующую формулу:
р 1	И->Н1 (* + и +
(Ь + Hi) (* + Hi) (Hi + и») *
Этот критерий позволяет судить об эффективности
системы управления н системы разведки.
Преобразуем эту формулу, разделив числитель н
знаменатель на величину куба интенсивности появле-
ния целей Xs. Тогда получим

Изменение величины Ротя прн изменении величины
-у-, характеризующей «пропускную способность» си-
стемы управления, при разных характеристиках интен-
сивности разведки -у-, показано на рис, 19.
Из рисунка видно, что увеличение «пропускной спо-
собности» систёмы управления до определенных преде-
лов значительно уменьшает вероятность того, что цель
не будет обстреляна.
3. Принципиальная схема модели управления
Основным в модели управления является прохожде-
ние потоков информации и их обработка; поэтому обыч-
но модель представляют в виде схемы, показывающей
прохождение этих потоков и их обработку.
Весь процесс управления условно можно разделить
на два процесса:
1.	Передача информации, включающая в себя:
—	ввод информации;
—	кодирование информации;
123
—	собственно. передачу информации;
—	раскодирование информации;
—	вывод информация.
Некоторые иа этих процессов могут совпадать во
времени.
Ряс. 19. Зависимость вероятности отказа системы от ее
характеристик
2.	Обработка информации, включающая в себя;
—	отображение информации;
—	расчеты, необходимые для подготовки решения;
—	процесс принятия решения;
—	оформление решения (цапрнме^ приказа}.
124
Возьмем в качестве примера часть системы ^управле-
ния и проследим на ней процесс прохождения разведы-
вательных данных, принятая решения на нанесение ог-
невого удара и подачу соответствующих команд
(рис. 20), не касаясь вопроса реальности рассматри-
ваемого случая.
Пусть средства разведки взвода обнаружили цель,
которая может быть поражена дивизионными артилле-
рийскими средствами. Тогда информация об этой цели
должна пройти до командного пункта дивизии, причем
время этого
*1, IV = + *» + *» + *п +	>
где ti, tb tt — время передачи, информации на соответ-
ствующих участках;
Аь — бремя задержки информации в соответ-
ствующих узловых точках (оно может
быть и равно нулю).
Каналы передачи информации могут быть заняты;
необходимо определить вероятность передачи информа-
цни без дополнительных задержек
Pi,iv = (1 A)U“~A)U —Рз),
где pi, ра, рз —вероятность задержки (отказа) «а соот-
ветствующем участке, о методах .определения которой
125
будет сказано в главе XVI; эта величина определяется
техническими характеристиками системы и общим объ-.
емом передаваемой информации.
Далее происходит обработка информации, время ко?
торой условно можно разделить на время расчетов, не*
обходимых для принятия решения /р, и время для при=.
нятия решения командиром tB, т. е.
/„ =	4-
*о *р ' *п •
Опять-таки необходимо определить вероятность от-
сутствия задержки нз-за занятости КП более срочной
задачей —Далее информация (приказ об обстреле
цели) через соответствующие инстанции идет к батарее,>
на что затрачивается время
^iv, VII =
и вероятность отсутствия задержки в этом случае
Av. vii^ U A)U A)U А) •
Таким образом, из анализа модели будут получены
ожидаемое время от момента обнаружения цели до по?
дачи команды на ее обстрел и вероятность того, чтй
фактическое время не выше вычисленного.
Путем сложных расчетов можно вычислить вероят-
ность получения того или иного времени управления^
математическое ожидание времени управления и его
среднеквадратичное отклонение, установить звенья, в
которых теряется наибольшая часть времени, и разра-
ботать рекомендации по сокращению времени управле-
ния.
Очевидно, что за процессом подачи команды на по-
ражение цели последуют и другие процессы: донесение
батареи об обстреле цели, донесение средств разведки
о результатах обстрела и т. д.
Определение времени передачи информации для за-
данной , аппаратуры особых затруднений не вызывает.
Обычно оно вычисляется по следующей формуле;
t«+ Ш,
где /-!- величина передаваемой информация;
и k — коэффициенты.
126
Наиболее сложно определить время на расчеты, не-
обходимые для подготовки решения. Это время зависит
от характера решаемой задачи, метода решения (при-
ближенный, точный), технических средств: электронных
вычислительных машни, счетных механических маши-
нок и т. д.
Решаемые в интересах органов управления войска-
ми задачи для удобства пояснения объединены в четы-
ре большие группы:
1.	Задачи учета сил и средств.
2.	Определение результатов действий выделенных
сил и средств по имеющемуся плану.
3.	Определение сил и средств (наряда средств), не-
обходимых для достижения заданного результата в за-
данное время.
4.	Выбор оптимального плана действий.
Первая группа задач связана с подсчетом в подраз-
делениях, частях, соединениях н объединениях личного
состава, боевой техники, боеприпасов, продовольствия
и т. д. С точки зрения математики эти задачи какой-
либо новизны и принципиальной трудности не пред-
ставляют, однако нередко они бывают весьма громозд-
кими.
Задачи второй группы зачастую решаются методами
классической теории эффективности. Многие из этих
задач можно решить путем рассмотрения моделей бое-
вых процессов, описанных в главах VI—IX. В ряде слу-
чаев необходимо рассматривать весь процесс боевых
действий, включая все процессы, составляющие его.
Тогда при выбранном плане боевых действий и имею-
щихся силах и средствах (своих и противника) прнхо?
дится моделировать весь процеее боевых действий и
определять результаты этого процесса. Разные матема-
тические методы моделирования процесса боевых дей-
ствий описаны в главах л—XI.
Задачи третьей труппы являются обратными по отно-
шению к задачам второй и также рассматриваются клас-
сической теорией эффективности. В следующем разделе
описаны некоторые из этих задач.
Наконец, задачи четвертой группы относятся к за-
дачам исследования операций и рассматриваются вгла-
127
вах XIII—XIX, где описаны постановки и общие мето-
ды решения таких задач и приведены конкретные при-
меры их решения.
4. Задачи определения Потребного количества
средств
Иногда -их называют задачами определения наряда
средств. Это обратные задачи по отношению к задачам
оценки эффективности страдьбы.
Постановка их сводится к следующему: даиа бое-
вая задача, требуется определить, какое количество
средств данного типа для ее выполнения необходимо
выделить. В общем случае задача всегда решается под-
бором (задается количество средств, определяется по-
казатель эффективности), иногда удается получить
сравнительно простые формулы.
В том случае, когда эффективность растет по пока-
зательиому закону, т. е.
или
1-(1 — М)",
потребное количество средств определяется формулами:
infi-Tp;
"	10(1— Р)
или
„ In (1 — ЛГ)
п in(l-Af) ’
где Р* и М*—заданные значения показателей эффек-
тивности (вероятности -поражения или площади -пора-
жения). Вычисленные величины п округляют до бли-
жайшего большего целого числа.
При обстреле групповой цели из N целей обычно
пользуются следующей приближенной формулой (она
точна,, если для обстрела каждой дели выделено одина-
ковое количество средств):

)в(1— Нп)
in(i
128
м
где ?* = -$— заданная Доля пораженных целей;
Р — вероятность поражения одной цели од-
ним выстрелом.
Противодействие противника и неполная надежность
технических средств приводят к необходимости увели-
чивать-наряд средств по сравнению с указанным выше.
Учет влияния этих двух факторов при показательном
законе сводится приближенно к тому, что показатель
эффективности одного выстрела умножают на вероят-
ность того, что он состоится и посланная ракета не бу-
дет поражена на траектории:
Q = Qn Ра ।
где Qn — вероятность того, что противодействие про-
тивника будет безуспешным;
р„ — вероятность безотказной работы орудия (пу-
сковой установки).
5. Моделирование процессов, связанных
с обеспечением стрельбы
Рассмотрим прежде всего снабжение боеприпасами.
Этот процесс включает в себя погрузку требуемого чис-
ла единиц, характеризуемую случайным временем /п
(Л^ и ), разгрузку, характеризуемую случайным
временем	и at |, и транспортировку (процесс
перемещения), характеризуемую случайным временем
Ч и ®/д).
Вероятность своевременной доставки боеприпасов
определится как вероятности сложного события, вклю-
чающего:
— непоражение	пункта	погрузки	(вероятность
1 — Ра. п) ;
— непоражение	пункта выгрузки	(вероятность
1 —Ра. в) >
— непоражение во вр?мя движения (вероятность
1 — Ра. д);
— своевременную доставку (вероятность pt).
5 ю. в. чу«в	129
Первые три вероятности вычисляются обычным об-
разом (вычисление вероятностей поражения заданного
объекта).
Вероятность своевременной доставки
^доп)
определяется исходя из уравнения,.допускающего нор-
мальный закон рассеивания времени доставки;
/ Gon —— Mt* \
Pt ° \	/ 4++’I / *
где Fq — табличная функция [2J.
Рис. 21. Зависимость ошибок подготовки от
времени
Итак, вероятность своевременного обеспечения бое-
припасами
=	-Л.п)(1	-А..д)А-
Моделирование процессов метеорологического, гопо-
геодезического и баллистического обеспечения имеет
целью определить ошибки, связанные с процессом этих
видов подготовки стрельбы.
В общем случае считаются заданными
чм^/(Д/);	ов=/(А/),
где Д/—время от начала подготовки до пуска;
и ®в~ ошибки метеорологической, топографи-
ческой и баллистической подготовки.
Вид этих функций показан иа рис. 21.
130
Величина ДТ определяется в общей модели боя ис-
ходя из скорости перемещения войск, возможной скоро-
сти перемещения средств обеспечения и потребности в
нанесении ударов.
Общее рассеивание по дальности при пуске опреде-
ляется по формуле
вха /“тех +	+ (ъ; вт)’ +
где «Т4Х — техническое рассеивание по дальности;
«хр—ошибка определения дальности до цели
средствами разведки.
6»
Глава X
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
БОЕВЫХ ДЕЙСТВИЙ
1. Описание боевых действий с помощью цепей
Маркова
Сущность метода описание боевых действий с по-
мощью цепей Маркова покажем на простейшем при-
мере.
Рассмотрим бой двух групп, каждая из которых со-
стоит из двух танков, причем каждый из них видит оба
танка противника. Бой происходит следующим обра*
зом. Сначала таикн первой группы Производят залп по
танкам второй ‘группы, после этого уцелевшие танки
второй группы проводят залп по танкам первой груп-
пы и т. д.
Результаты стрельбы наблюдаются, поэтому по по-
раженным танкам огонь не ведется. Вероятность пора-
жения тайка первой стороны одним выстрелом Рвр,
второй — Р.
Обе группы назовем системой. Эта система может
быть в разных состояниях: по два танка у каждой сто-
роны, по одному у каждой и т. д. Обозначим условно
эти состояния следующим образом: 2,2; 1,1 и т. д., где
первая цифра означает число танков у первой стороны,
вторая — то же самое у второй.
До начала боя система находите? в состоянии 2,2.
После залпа первой стороны возможно сохранение со-
стояния 2,2 (оба танма первой стороны промахнулись)
или переход ее в состояния 2,1 и 2,0. Нетрудно, поль-
132
зуясь методами теории вероятностей, вычислить веро-
ятности этих переходов:
Р(2^->2,2)-(1-Р)’;
Р(2,2-*-2,1) «=2 (1 -Р)/>
Р (2,2-> 2,0) = />».
Переходы нз одного состояния в другое удобно изо-
бражать графически. На рис. 22 показаны возможные
состояния после первого и второго залпов.
Как видно из схемы, мы имеем дело с ветвящимся
процессом, характерным свойством которого является
независимость вероятностей перехода иа одного состоя-
ния в другое от предыдущих переходов. Такие процес-
сы называются марковскими ветвящимися процессами.
Важнейшей характеристикой марковских ветвящих-
ся процессов является матрица вероятностей перехода
из одного состояния в другое.
Для случая залпа первой стороны 'эта матрица имеет
следующий; вид.
Состоя- ние до залпа	Состоите после залпа							
	ЭД	3,1	3,0	1.3	1.1	1,0	од	0,1
2,2	II-/3)’	jf 1	р*	0	0	0	0	0
2,1	0		2Р{1—Р)+Я	0	0	0	0	0
2,0	0	0	1	0	0	0	0	0
1.2	0	0	0	(1-я	р	0	0	0
1.1	0	0	0	0	(Г-Я	р	0	0
1.0	0	0	0	0	0	1	0	0
0,2	0	0	0	0	0	0	1	0
0,1	0	0	0	0	0	0	0	1
Аналогичным образом можно вычислить и матрицу
вероятностей перехода црн залпе второй стороны.
Пользуясь этими матрицами и изображением мар-
ковской цепи, можно рассчитать вероятность любого
состояния системы после любого числа залпов.
Пример 1. Вычислим вероятности состояний системы
при условии Р=Рпр“0,5 после 1, 2, 3, ,4-го этапов боев
(под этапом понимается проведение двух залпов —по
одному с каждой стороны) и предельные нх значения
при очень большом числе залпов. Результаты расчетов
показаны в таблице.
183
Рнс. 22. Возможные переходы нз одного состояния
* другое
134
Coctownu	Веровтвоств состовивв поел» залдов с двух сторон				
	1-го	3-ГО	а-го	4-ГО	
2,2	0,0625	0,004	0,000	0,000	0,000
2,1	0,250	0,078	0,020	0,005	0,000
1,2	0,125	0,039	0,011	0,003	0,000
1.1	0,250	0,141	0,066	0,024	0,000
2,0	0,250	0,390	0,430	0,440	0,445
1,0	—-	0,125	0,195	0,228	0,244
0,2	0,0625	0,160	0,170	0,172	0,173
0,1	—	0,063	0,108	0,128	0,138
Анализ этой таблицы позволяет сделать ряд инте-
ресных выводов. Вероятности всех состояний, в которых
присутствуют танки обеих сторон, с течением боя- бы-
стро убывают н стремятся к нулю. Эти состояния на-
зывают несущественными.
Вероятности состояний, в которых присутствуют еди-
ницы только одной стороны, стремятся к определенно-
му пределу.
Вероятность победы первой стороны (она равна
сумме вероятностей состояний 2,0 и 1,0) равна 0,689,
т. е. значительно превосходит вероятность победы вто-
рой стороны 0,311, несмотря иа то, что исходное число
танков н нх эффективности одинаковы.
Этот пример показывает большую роль нанесения
упреждающего удара. В данном случае упреждение в
ударе оказывается эквивалентным более Чем- двукрат-
ному увеличению эффективности.
Рассмотрим, схему, -в которой обе стороны проводят
залпы одновременно. Тогда после первого залпа воз-
можны следующие состояния системы: 2,2; 2,0; 2,1; 1,2;
1,1; 1,0; 0,2; 0,1; 0,0. Вероятности перехода из одного
состояния в другое нетрудно вычислить, пользуясь ме-
тодами теории вероятностей. Например, вероятность пе-
рехода из состояния 2,2 в состояние 2,2 есть вероятность
события, состоящего в том, что оба танка первой сто-
роны н оба танка второй промахнулись. Отсюда
•Р (2,2 -> 2,2) - (1 - Р)* (1 - Рир)».
Матрица вероятностей перехода для данного случая
будет иметь следующий вид:
135
S 2 "2	СоСТОЯНКе			
t Л				
So о м	2.2	2,1	2,0	1.2
3.2	Р-^О-Рпр)!’	V(i-p)(i-v	'”(1-'3Dpp	
2,1	0		12/>а-/>)+ -ни1(»-'’вр)	0
2.0	0	0	1	0
1.2	0	0	0	
1,1	0	0	0	0
1.0	0	0	0	0
0,2	0	0	0	0
0,1	0	0	0	0
0,0	0	о	0	•
Пример 2. Вычислить вероятности состояний систе-
мы в случае одновременных залпов йри Р^Рвр—0,5
для 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и очень большого числа залпов.
Результаты расчетов показаны в таблице.
Состояния	Вероятности состояния после залпов				
	1-го	2-го	8-го	4-rq	
2,2	0,063	0,004	0,000	0,000	0.000
2,1	0,125	0,024	0,004	0,001	0,000
1,2	0,125	0,024	0,004	0,001	о,ооо>
1,1	0,250	0,109	0,034	0,011	0,000
2,0	0,063	0,113	0,122	0,123	0,123
1,0	0,125	0,242	0,279	0,288	0,292
0,2	0,062	0,113	0,122	0,123	0,123
0,1	0,125	0,242	0,279	0,288	0,292
о,о	0,062	0,129	0,156	0,165	0,170
Как и в примере 1, вероятности несущественных со-
стояний быстро стремятся'к нулю.
136
после еалпа
1.1	1.0	од	0,1	0,0
			u>a-P)P3BV	(р%)’
	(»-₽)+	0	0	0
0	0	•	0	0
₽ (»-%)*	0	ИрЬ1-^	(2РПР (1-%)+ +рпр]р	0
(1-P)(l_pftp)		0		/>/> пр
0	1	0	0	0
0	0	1	0	0
0	0	0	1	0
0	0	0	0	1
Вероятности победы первой и второй сторон равны
н составляют 0,416; вероятность ничейного исхода (обе
стороны поражены) 0,170.
Рассмотренные выше примеры являются простей-
шими и носят чисто, иллюстративный характер. Метод,
изложенный выше, может быть применен и к исследо-
ванию значительно более сложных процессов. В част-
ности, может быть учтена скорострельность боевых еди-
ниц путем учета текущего* времени и соответствующего-
назначения очередности залпов. Может быть также
учтена н вероятность обнаружения боевых единиц сред-
ствами разведки путем введения следующих .состояний:
единица обнаружена - средствами разведки, единица ие
обнаружена средствами разведки. Могут быть учтены
вероятности своевременной подачи команд, своевремен-
ного перемещения н т. д. Однако при этом значительно
усложняется марковская цепь и в ряде случаев решение
задачи оказывается весьма трудоемким даже при при-
менении ЭВМ.
2.	Сведения о теории стохастических дуэлей
В ряде случаев удается получить достаточно простые
решеййя, если не учитывать дискретности процесса (из-
137
мененне состояния системы только в моменты проведе-
ния залпов), а полагать изменение вероятностей состоя-
ний непрерывным. Именно таким является подход к ре-
шению задач в теории стохастических дуэлей.
Одна.из Простейших задач, рассматриваемых этой
теорией, следующая.
Пусть сторона А имеет одну боевую единицу (напри-
мер, танк), которая может поражать боевую единицу
стороны В с вероятностью за один выстрел P{t). Эта
вероятность изменяется со временем (например, вслед-
ствие изменения расстояния между противниками).Сто-
рона В имеет боевую единицу, с вероятностью Лгр(0
поражающую единицу стороны А. Скорострельность
боевых единиц соответственно X и Хдр.
Решение этой задачи позволяет получить формулы,
определяющие вероятности выживания боевой единицы
стороны А[Ра(0] и стороны В(Рв(/)}:
< ( *
Рл Ю = 1 - jЧЛр<’) «Р	J Р>(») +

ехр -f[XP(a) +
+	|Л.
В случае если вероятности P(i) и Pnp(t) не меня-
ются во времени, формулы значительно упрощаются:
W -1 -	11 -
W+ Ч,Рик]).
Важно подчеркнуть, что параметрами,, определяю-
щими исход боя, являются произведения Pi. и РХпр, т. е.
уменьшение вероятности поражения можно компенсиро-
вать увеличением скорострельности, и наоборот.
138
Пример 3. таяха ведут огневую дуэль. Вероят-
ности поражения 0,6 и 0,3 соответственно. Скорострель-
ности 2 выстр!мин н 3 быстр!мим. Определить вероят-
ности состояний через 2 мин боя.
Согласно формулам, написанный выше, получим:
₽А (<)=>-	О -«Pl- (0,6 • 2 +
4-0,3-3)2]} =0,56;
Р> <‘> = 1 -	<1 - «РI-(0,6 • 2 +
+ 0,3 -3)2]} =0,44.
В теории стохастических дуэлей рассматриваются и
более сложные, случаи. Большинство решенных задач
относится к дуэли с двумя участниками (1X1). Однако
в последнее время появились работы, в которых рас-
сматриваются дуэли 2X1 и 2X2, а также дуэли со'мно-
гими участниками, стреляющими залпами.
Дуэли с двумя участниками исследованы для слу-
чайных моментов выстрелов с фиксированным временем
между выстрелами, с ограниченным и неограниченным
боекомплектом, с ограниченным и неограниченным вре-
менем дуэли, с разным временем открытия огня, с уче-
том и без учета времени полета снаряда. Наконец, име-
ются решения для случая передислокации противников,
когда они во время движения не могут стрелять.
Исследования с помощью этих моделей могут ока-
заться весьма полезными для выбора оптимальной так-
тики действий мелких подразделений.
3.	Уравнения динамики средних *
Аналитические модели боевых действий, описанные
выше, удобны в тех случаях, когда рассматривается не-
большое число боевых -единиц. Если боевых единиц
много, то описание боя с помощью марковских цепей
становится очень громоздким. Теория стохастических
* В литературе эти уравнения часто называют уравнениями Лан-
честера, работа которого опубликована в 1916 г. Однако еще в
1915 г. в журнале «Военный сборник» № 6—9 опубликована статья
М. Осипова «Влияние численности сражающихся сторон на нх по-
терн», в которой даны аналогичные уравнения.
139
дуэлей дает решение только для случаев небольшого
числа боевых единиц.
Если боевых единиц очень много, то Применяется
другой подход к аналитическому описанию процесса
боевых действий, состоящий в том, что результаты
взаимодействия боевых единиц на каждом этапе не счи-
таются случайными, а принимаются равными их сред-
ним значениям.
Пусть исходное число боевых 'единиц у одной сто-
роны п0, текущее п и каждая из них с вероятностью Р
при каждом выстреле поражает боевую единицу про-
тивника, имея скорострельность X. Все единицы одной
стороны одинаковы. У противника соответственно Пщ}
Прпр! Рпр’, Хпр.
Пусть бой полностью упорядочен, т. е. все боевые
единицы разведаны и огонь ведется только по непора-
женным единицам.
Тогда с учетом сказанного выше можно полагать,
что скорость потерь одиой стороны пропорциональна
произведению числа боевых единиц другой на скоро-
стрельность каждой из них и на вероятность пораже-
ния, и записать следующие дифференциальные уравне-
ния:
___ и 0 1 •
- — —«пр Гар
Решение этих дифференциальных уравнений позво-
ляет определить количество уцелевших единиц каждой
стороны в любой момент времени.
Не останавливаясь на изложении решений этих
уравнений, сделаем основные выводы, которые можно
сделать из йх анализа.
Основные цараметры, определяющие победу той или
иной стороны:
Ф =* И Фпр Рцр ^пр ^Ойр‘
Побеждает та сторона, у которой величины Ф боль-
ше. Таким образом, количество боевых единиц влияет
значительно сильнее, чем скорострельность или вероят-
ность поражения; оно входит в формулу для Ф во вто-
рой степени.
140
Время окончания боя (полного уничтожения одной
из сторон) определяется по формуле
i/TfTfg 1
'	~ Фир У*^*пр ^ар
Количество сохранившихся, единиц более сильной
стороны определяется по* формуле
п ло Г 1 ф •
Чем больше отношение ф к Фщ» тем быстрее окан-
чивается бой и тем меньшие потери несет победившая
сторона.
Напомним-, что все полученные результаты являются
приближенными, верными лишь «в среднем». Действи-
тельно, согласно полученным формулам для достиже-
ния' победы достаточно малейшего преимущества Ф
над Фцр, хотя совершенно очевидно, что в случае близ-
ких значений -этих величин существует и некоторая ве-
роятность победы, более слабой стороны.
Пример 4. В танковом бою предполагается участие
50 танков с одной стороны и 70 с другой. Скорострель-
ность танков -первой стороны 2 выстр/мин, второй
4 выстр[мин. Вероятность поражения танка второй сто-
роны танком первой —0,5; первой танком второй —0,25.
Определить вероятный исход боя.
Вычислим по формулам, написанным выше:
Ф = 0,5-2-50» =2500,
фпр = 0^5 4-70» = 4900.
Победит вторая сторона, так как Фдр>Ф.
Сохранившееся число танков второй стороны
•»/Т	2500
л — 70 у 1 4^оо 49.
В приведенном примере не учтено влияние на исход
боя многих обстоятельств. Поэтому полученный резуль-
тат дает количественную оценку только рассмотренным
факторам, и он -должен быть проанализирован вместе
с неучтенными факторами.
Рассмотренную выше модель называют квадратич-
ным законом (моделью А).
141
Исследуем теперь другую модель, в которой развед-
ка и управление отсутствуют. Пусть все боевые едини-
цы до начала боя разведаны, но в ходе боя противнику
неизвестно, какая из боевых единиц противника пора-
жена, я огоиь ведется как по непораженным единицам,
так и по пораженным. Очевидно, что скорость потерь
в этом случае зависит не только от числа боевых еди-
ниц, вероятности порЬжения и скорострельности про-
п
тивника, но н от отношения —, т. е. от доли огня, при-
ходящегося на непораженные единицы. Тогда диффе-
ренциальные уравнения боя принимают вид
_______я р 1 2L-
dt «ор^пр'-пр >
_^1 = _лрх-^-.
“*	Иопр
Анализ решений этой системы уравнений позволяет сде-
лать следующие выводы.
Как н в предыдущем случае, основными параметра-
ми, определяющими процесс боя, являются Ф н Фир и
побеждает та сторона, у которой этот параметр
больше.
В отличие от предыдущего случая бой протекает зна-
чительно медленнее (скорость потерь меньше) н про-
должается бесконечно долго (количество боевых еди-
ниц проигрывающей стороны становится равным нулю
только в пределе, при /->оо).
Количество сохранившихся боевых единиц победив-
шей стороны в этом случае равно
лх=л0{1
т. е. при прочих равных условиях оно меньше, чем в
предыдущем случае (это связано с отсутствием развед-
ки н управления).
Эту модель называют линейным законом (мо-
дель Б).
Пример 5. Рассмотреть исход танкового боя при
данных, приведенных в примере 4, в случае отсутствия
управления огнем у обеих сторон. Победит вторая сто-
рона, поскольку Фпр>Ф.
142
Сохранившееся число танков второй стороны
л 70 1
250° А ас
ет/“36-
т. е. меньше, чем в предыдущем случае.
С помощью моделей, аналогичных этой модели, мож-
но рассмотреть и оолеё сложные случаи.
Прежде всего можно рассмотреть разнотипные /-е
боевые единицы, входящие в состав каждой стороны,
учесть возможность одновременного поражения не-
скбльких единиц, естественную убыль (износ, выход из
строя вследствие неисправностей), подвод резервов и
восстановление* боевых еДиниц. С учетом изложенного
уравнение потерь /-го типа боевых единиц первой сто-
роны запишется в следующем виде:
---А % Х'пр % к1 +	Ч₽'%> > ~
'пр
— «/*/ + rij + bffjit — tf),
где п, и п. — число боевых единиц /-го типа пер-
г 'пр
вой и второй сторон соответст-
венно;
J; Jnp—число типов боевых единиц каждой
стороны;
—скорострельность (производитель-
ность) /-х единиц первой и второй
стороны;
Рр Р/вр — эффективность /-х единиц сторон;
$п)
—j3- -г'отношение площади зоны пораже-
ния ко всей площади района бое-
вых действий;
Aj; kief—коэффициенты естественной убыли
средств;
Чу — коэффициент подвода резервов;
Ду — коэффициент восстановления;
143
Ту — время восстановления;
7п₽	( SnJno \
Atp”1
— логический оператор, учитывающий:
— либо возможность воздействия одних средств по
другим (0 —если /-е средство противника не может
действовать по /-му средству нашей стороны; 1 — в про-
тивном случае};
* — либо ограничение по боекомплекту (0 —если
/л7прХ/пр>^пр, где ^/пр -заданный боекомплект
t
/-го средства противника; 1 — если J Лу^Ку^
— либо невозможность поразить больше средств,
чем разведано:
/рммд)*
7);пр/ — управление противника, т. е. о^нрсидвльная
доля его /пр-х средств, направляемых по нашим /-м
средствам, которое может выбираться тем или иным
оптимальным образом:
'пр'
Аналогичные уравнения записываются и для другой
стороны.
Решение такой системы уравнений достаточно слож-
но и может быть выполнено только с помощью ЭВМ,
однако оно дает возможность исследовать картину боя,
более близкую к действительности, чем упрощенная мо-
дель боя однотипных средств без учета подвода резер-
вов, естественной убыли и восстановления пораженных
единиц, а также управления. Эти модели позволяют вы-
брать оптимальное целераспределенне.
4. Пространствейно-времениые модели
Модели, описанные ранее, являются моделями одно-
коордниатнымн, так как единственным аргументом их
является время. Пространство в этих моделях не учи-
144
тыкается. Условно принято, что все боевые единицы
находятся в зоне, где могут действовать одна по дру-
гой. Только в последней модели рассматривается под-
вод резервов, находившихся рне сферы огня противни-
ка. Однако и там перемещение боевых единиц в про-
странстве ие рассматривается. Тем самым однокоорди-
иатиые модели ие дают возможности изучить протека-
ние боя в пространстве и рассмотреть такие вопросы,
как выбор рациональных боевых порядков войск
и т. д.
Интересно изучить протекание боя в пространстве и
во времени. Для этого необходимо построить миогоко-
ординатиые, пространственно-временные модели.
Рассмотрим одну из простейших, моделей этого,
класса, предложенную В. И. Кузьминым совместно с
Ю. В. Чуевым.
Пусть имеются две многочисленные группировки'од-
нотипных средств, элементы которой характеризуются:
— плотностью р и рпр, т. е. количеством боевых еди-
ниц иа единицу площади;	_
— скоростью перемещения линии фронта v с компо-
нентами и и о;
— показателями, боевой эффективности и уязвимо-
сти, определяющими .скорость потерь противника и ско-
рость своих потерь, т. е, /(р, рпр) и /щ>(р,’рпр).
Для рассматриваемого случая могут быть напи-
саны следующие уравнения перемещения линии
фронта:
+ “-Й- +	+ f (т? + ту)= ~/пр(р> Рв₽);
~зг + u~£r+v-%r + ?"₽	+ ту) =	₽пр);
du । „ да । ди е
dv dv dv _ p »
где Fg и F,,—-функции, аналогичные силам сопро-
тивления движению, которые, как по-
145
называют исследования, могут быть
выражены следующим образом:
9оих ~ максимально возможная скорость пе-
редвижения войск в ходе боевых дей-
ствий;
Решение этой системы уравнений позволяет опреде-
лить перемещение войск в • пространстве и во времени
при фиксированном управлении, т. е. При заданных tj;
I и начальных условиях ($);,
/ ди \ f dv \	л
(’Эх/о’ а также выбрать оптимальное управ-
ление.
Исследования этой системы уравнений позволяют
выбрать и оптимальные построения войск, чего с по-
мощью других Моделей сделать нельзя. Анализ уравне-
ний показал, что в зависимости от соотношения и об-
щего количества сил, их эффективности и построения
противника оптимальными по минимуму наших общих
потерь для выполнения поставленной задачи могут быть
следующие построения:
—	построение в линию — одно из первых построе-
ний, известных в истории военного искусства;
—	Построение с одним усиленным флангом, извест-
ное в истории военного искусства как построение Эпа-
мннонда;
—	построение с двумя усиленными флангами, изве-
стное как построение Ганнибала;
—	сосредоточение сил в центре — тевтонский клни.
Интересно отметить, что этими построениями боевых
порядков ограничиваются все построения, известные в
истории военного искусства.
Гл a-в a XI
СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
БОЕВЫХ ДЕЙСТВИИ
1. Сущность метода статистического моделирования
Выяснение сущности метода статистического модели-
рования начнем с рассмотрения простейшего примера.
Пример 6. Рассмотрим бой двух групп, каждая из
которых состоит из двух танков. Все четыре танка ви-
дят друг друга. Сначала производится залп танков пер-
вой стороны по танкам второй, после этого уцелевшие
танки второй стороны стреляют по танкам первой ит. д.
Вероятность поражения танков первой стороны Рпр,
второй Р. Примем их равными 0,5. Этот пример ана-
логичен примеру 1.
Для того чтобы промоделировать бой, можно посту-
пить так. После каждого выстрела каким-то образом
определять, успешен он или нет, и в зависимости от
полученного результатах рассматривать процесс боя
дальше, т. е. считать танк уничтоженным и больше его
не рассматривать или считать его функционирующим.
Таким образом, от вероятностной модели переходим к
детерминированной, которую легко рассматривать.
Остается ответить на вопрос, каким образом опреде-
лить, поражен танк или нет при данном выстреле.
Это можно сделать, используя жеребьевку. Если ве-
роятность поражения танка 0,5, то в среднем в одном
случае из двух он будет поражен. Тогда, подбрасывая
монету и считая, что падение ее иа одну сторону озна-
чает сохранение танка, а на другую — его поражение,
147
s каждом конкретном случае можно ответить на во*
прос, поражен танк иЛи нет.
Практически при расчетах пользуются таблицами
случайных чисел или датчиками случайных чисел, кото-
рые дают числа в пределах от 0 До 1, и если получен-
ное- чрсло будет меньше Р, то считают, что таик по-
ражен, а если больше Р, то танк считается непора-
женным.
Проведем вычисления для изложенного выше при-
мера, пользуясь таблицей случайных чисел из [2].
Первый залп первой_ стороны. Из Таблицы случай-
ных чисел _получаем и=0,57705 и г2 = 0,71608, т. е.
Г|>Р=0,5; г2>Р=0,5. Следовательно, оба танка второй
стороны целы. Первый, залп второй стороны. Из таб-
лицы находим г5=0,73710, г4«0,070131. Оба тайка пер-
вой стороны целы.	_
Второй залп первой стороны. Гб=О, 16961; г6=0,53324.
Один танк второй стороны поражен (0,16961 <0,5), вто-
рой цел.
Второй зцлп второй стороны рассматриваем с уче-
том того, ч-£О у нее остался один танк. г7=0,43166. Сле-
довательно, один таик'первой стороны подбит.
Третий залп первой стороны. г8 = 0,26275. Следова-
тельно, второй таик- второй стороны подбит.
Итак, результаты боя: выиграла первая сторона, по-
терявшая один танк.
Но этот результат (его называют реализацией) яв-
ляется случайным, так как мы пользовались случайны-
ми х числами. Чтобы получить неслучайный результат,
необходимо провести много реализаций, принимая для
каждой последующей реализации другие случайные
числа.
Не описывая подробно результатрв всех последую-
щих реализаций, приведем только конечные результа-
ты десяти реализаций.
Результаты реалиаациВ	2,0	1,0	0,1	од
Число реализаций, в которых по- лучен результат,			4	2	2	2
148
Из этой таблицы следует, что. вероятность победы
первой стороны 0,6 (принимаем ее равной частости
случаев 2,0 и 1,0). Напомним, что в случае точного ре-
шения эта вероятность равна 0,689.
Если провести много реализаций, то получится та*
кая же цифра.
Итак, метод статистических испытаний предусматри*
вает проведение ряда реализаций. В каждой реализа-
ции путем сравнения со случайными числами вероят-
ностей событий определяется, произошло событие или
нет, и в зависимости от этого производится последую-
щее решение задачи. В ряде Случаев, когда необходимо
определить случайные значения чисел, входящих в рас-
чет, пользуются датчиком случайных чисел.
Получив ряд реализаций рассматриваемого процес-
са, производят статистическую обработку результатов.
Такова сущность Метода статистических испытаний.
Теоретической основой метода служит закон боль-
ших чисел. Одной нз форм этого закона является тео-
рема Чебышева: при неограинчеииом числе независи-
мых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых
значений случайной величины, имеющей конечную дис-
персию, сходится по вероятности к ее матеМатнческо'му
ожиданию.
Другой формой закона является теорема Бернулли:
лрн неограниченном увеличении числд независимых ис-
пытаний в постоянных условиях частота рассматривае-
мого события по вероятности сходится к его вероят-
ности.
Таким образом, метод статистических испытаний ос-
нован на самых общих теоремах теории вероятностей н
ие содержит в своей принципиальной сущности ника-
ких ограничений. Этот метод может быть применен к
решению любой задачи, а прн достаточно большом
числе испытаний от него можно требовать любой точ-
ности.
Указанные достоинства метода обусловили его ши-
рокое применение для решения самых разнообразных
и в том числе самых сложных задач моделирования
боя.
Вместе с тем этот метод обладает и недостатком —
большой трудоемкостью, в связи с чем он стал широко
применяться только с момента развития электронной
149
вычислительной техцики. Правда, в отдельных случаях
эта трудоемкость не так велика, как это может пока-
заться с первого взгляда, а в ряде случаев ее удается
существенно уменьшить.
Другим недостатком метода является его «слепота».
В процессе его применения не видно, как влияют те или
иные факторы на полученные результаты, поэтому даже
для качественного исследования влияния разных факто-
ров, что важно в процессе выбора оптимальных реше-
ний, Приходится делать большое число расчетов, а то
время как аналитические методы дают возможность
просто производить такие оценки.
2. Применение метода статистических испытаний
для моделирования процесса стрельбы (пусков)
Выше* были рассмотрены некоторые виды стрельбы,
для .которых удалось получить аналитические формулы,
позволяющие оценить ее результаты. В общем случае
сделать это либо вообще ие удается, либо методы рас-
чета оказываются чрезвычайно сложными. Тогда весь-
ма эффективным оказывается применение метода ста-
тистических испытаний, который при наличии' ЭВМ с
достаточно большим быстродействием позволяет решить
задачу в любом, случае без сколько-нибудь существен-
ных допущений. При этом (если общая модель является
статистической) обработка результатов реализаций
даже ие требуется, а каждый результат может быть
непосредственно использован для последующих расче-
тов. Точность метода лимитируется не его сущностью,
а точностью входной информации и числом проведен-
ных реализаций.
Рассмотрим применение этого метода* для моделиро-
вания процесса стрельбы по площадной цели произ-
вольной формы .при наличии связи между выстрелами
(схема двух групп ошибок) и при координатном (не-
ступеичатом) законе поражения с учетом накопления
ущерба.
Процесс моделирования сводится к трем этапам:
— подготовка к процессу моделирования;
—	проведение статистических испытаний;
— Обработка результатов статистических испы-
таний.
150
Первый этап сострит й разбиении цели на достаточ-
но большой число элементов (квадратов, прямоуголь-
ников, крутой), в определении координат их центров
yi, площадей S< н введении этих данных в блок памяти
машины.
Второй этап состоит в проведении серии испытаний,
каждая нэ которых состоит;
—	в определении с помощью датчика случайных чи-
сел конкретных координат центра 'группирования (Хц.к;
Г) 4"
где ~г} —случайные числа, распределенные по
нормальному закону, с дисперсией, рав-
ной единице, которые также могут быть
получены с помощью датчика случай-
ных чисел;
°хц и °уп — среднеквадратичные отклонения центра
группирования от точки прицеливания с
координатами х, и у*,
—	в определении с помощью датчика случайных чи-
сел конкретных отклонений точки падения • от центра
группирования (Дхк; Д^к):
—	в определении координат точки падения:
*к —+
—	в определений расстояния от каждого элемента
до точки разрыва г1н и угла между направлением
стрельбы и направлением цель —элемент в<к;
—	в 'определении вероятности поражения элемента
исходя из законе поражения:
^|жв/0и» ®*1» г1» г1ю ®Хж)»
—	в определении размеров пораженной площади:
^я.к = Е5ь для которых РЛ(>Лм’
где Ртреб — требуемая вероятность поражения цели.
161
Третий этап состоит й обработке результатов стати-
стических испытаний и, в частности, в определении ма-
тематического ожидания пораженной площади и ее
дисперсии:
22 «
где N — число реализаций.
По результатам статистических испытаний может
быть построена функция распределения F(u) и опреде-
лена величина и, соответствующая заданной вероятно-
сти (гарантийное™).
Метод статистических испытаний, как уже указыва-
лось, может быть применен для оценки эффективности
стрельбы в любых случаях.
8. Статистическая модель отражения атаки таиКов
Порядок боя в общих чертах следующий. Противо-
танковые средства и танки располагаются на заданных
рубежах. Танки движутся к рубежу, обороняемому про-
тивотанковыми средствами. По достижении дальности
эффективного огня (с учетом тактики и -процессов об-
наружения) те или иные противотанковые средства от-
крывают огонь по противнику. После каждого выстрела
производится определение события: поражен танк или
нет. При поражении танка производится перераспреде-
ление целей. С момента открытия огня противотанковы-
ми средствами танки начинают-обнаруживать их и ве-
сти огонь. При каждом выстреле производится опреде-
ление события: поражено противотанковое средство
или нет. При поражении противотанкового средства
производится перераспределение целей. Рассмотрим
параметры, вводимые в модель. Прежде всего каждому
противотанковому средству присвоим индекс I, каждо-
му танку — индекс /, Каждому моменту времени —ин-
декс k.
162
Характеристики Противотанкового оружия:
—	вероятность поражения того или иного танка про*
тивника за один выстрел Ritf,
—	скорострельность;
—	вероятность обнаружения танка при условии пря-
мой ВИДИМОСТИ Po&atj>
—	вероятность обнаружения противотанковых
средств танками противника;
—	закон поражения противотанкового средства.
Важнейшие характеристики танков и их вооружения:
—	толщина брони, определяющая закон поражения
противотанковыми средствами;
—	скорость движения;
—	габаритные размеры танка, определяющие ве-
роятность обнаружения и вероятность попадания;
вероятность поражения противотанковых средств;
—	вороятность обнаружения противотанковых
средств;
—	скорострельность.
Важнейшие параметры тактики противотанковых
средств при моделировании:
— дальность открытия огня До<; она может прини-
маться меньшей, чем дальность эффективного огня, или
равной ей;
— порядок выбора целей; противотанковое средство
ведет огонь в том случае, если таик попадает в выде-
ленный для этого средства сектор: однако в этот сектор
может попасть несколько танков; секторы противотан-
ковых средств, как правило, перекрываются, и тогда
необходимо выбрать такую систему логических правил,
которая обеспечивала бы равномерный обстрел всех це-
лей н исключала случаи обстрела одного и того же
танка двумя средствами при наличии в этом секторе
танков, никем не обстреливаемых.
Важнейшие параметры тактики танков, которые
нужно учитывать при моделировании:
—	выбор типа оружия (пушка, пулемет и др.), при-
меняемого для обстрела той или иной цели, который
определяется соотношением эффективности этих типов
оружия в данных условиях;
—	порядок выбора целей; кроме изложенного о по-
рядке выбора целей противотанковыми средствами,
здесь необходимо учитывать также важность целей;
153
выбор метода огця (с ходу или с коротких оста-
новок); при оценке возможностей противотанковых
средств могут быть приняты план ПТО и тактика, опре-
деляемая уставами противника; однако, учитывая воз-
можность изменения тактики противника при появлении
у нас новых средств, более правильно выбирать и для
противника оптимальную тактику, т. е. считать, что он
действует и ан лучшим образом.
Расположение противотанковых средств определяет-
ся их координатами х<, yt. Оно может быть произведено
операторами и оставаться неизменным в процессе ис-
следований данного варианта. Допустимы определен-
ные вариации с целью выбрать лучшее расположение
В некоторых случаях средства располагаются случай-
ным образом.
Расположение танков характеризуется главным об-
разом удалением рубежа начала атаки от переднего
края. Эта величина задается операторами либо выби-
рается случайным образом.
Модель боя подразделяется на ряд блоков, выпол-
няющих специфические функции:
—	блок координат;
—	блок видимости;
—	блок обнаружения;
—	блок целераспределеиия;
—	блок вероятности поражения.
Эти блоки работают постоянно. Кроме того, можно
выделить еще. два блока: оценки результатов боя и
оценки точности результатов, которые обраба-^ывают ре-
зультаты реализаций. Последний по заданной точности
может давать команду на прекращение реализаций.
В блоке координат определяются координаты танков
в данные моменты времени. В том случае, если харак-
тер местности учитывается, положение танков опреде-
ляется с учетом вероятности их перемещения на сосед-
ний участок. Время перемещения танка с одного уча-
стка иа другой (при котором он проходит путь I) равно
Если рельеф местности не учитывается, лучше всего вы-
брать ось х вдоль направления движения танков, тогда
Xj^Xt — Vjtr
154
В блоке видимости определяется возможность пря-
мой видимости из одной точки в другую.
В блоке обнаружения по заданной формульной за-
висимости вероятности обнаружения от соответствую-
щих параметров вычисляется вероятность обнаружения,
исходя из которой дается ответ иа вопрос, обнаружено
данное средство другим или нет. Важным фактором,
определяющим вероятность обнаружения, является факт
ведения огня средством, поэтому в этот блок поступают
сведения о том, какие средства вели огонь. Разумеется,
вопрос обнаружения рассматривается только для
средств, находящихся в прямой видимости, поэтому в
этот блок поступают сведения' н из блока видимости.
В блоке целераспределения производится распреде-
ление огня между средствами. Вначале определяются
цели для каждого средства, которые:
—	находятся в секторе, выделенном Для средства;
—	обнаружены данным средством;
—	соответствуют дальности открытая огня.
Если таких целей окажется больше, чем одна, то
прднзводнтся выбор по заданным правилам. Например,
первой обстреливается цель, находящаяся в центре сек-
тора или ближе всего к средству, или самая опасная
цель, т. е. та, огонь которой наиболее эффективен.
В начале каждого нового цикла к списку целей пре-
дыдущего цикла необходимо добавить цели, обнаружен-
ные вновь, вычеркнуть из списка цели, уничтоженные и
оказавшиеся скрытыми и вновь выбрать -цели.
В блоке вероятности поражения по формульной за-
висимости или из таблицы находится вероятность пора-
жения цели одним выстрелом и затем дается ответ, про-
изошло поражеияе цели или нет.
Помимо перечисленных блоков, важную роль в мо-
дели играет блок времени — своеобразные часы. Бое-
вые действия обеих сторон должны быть точно опре-
делены во времени, которое зависит от скорости пере-
движения, скорострельности н т. д.
Каждое средство обеспечивается двумя часами:
одни управляют ведением огня, другие — передвиже-
нием от одного участка к другому. Эти часы показы-
вают время, в которое связанное с ними средство дол-
жно начинать двигаться, стрелять или выбирать цель.
На часы движения танков поступает время нахождения
155
г 4 в eotfMM
Число потерь вюят
У противника танки средние
Рис. 23. Гаегалранмы потерь таихов
i
9
8
4
3
2
11
Ю
7
6
S
2 4 в 8 Ю В 14
Число потерь тант
У гротивтлт танки лоцкив
их на каждом участке. На часы ведения огня посту-
пают промежутки между выстрелами, определяемые ис-
ходя из скорострельности средства, его боекомплекта и
времени- перезаряжания.
Для того чтобы выбрать следующее средство, маши-
на проверяет все ячейки (часы), опознает ячейку,
установленную на более раннее время, и начинает сле-
дующий цикл, включающий в себя анализ обстановки,
в которой находится каждое средств'ог проведение опре-
деленного действия и установку нового времени на ча-
сах.
Для упрощения счета время отдельных средств мож-
но уравнять ц произвести одновременный анализ дей-
ствий нескольких средств.
По окончании каждой реализации, в качестве при-
знака которого может приниматься уничтожение всех
танков илн, наоборот, достижение ими переднего края,
производятся вычисление выбранных критериев и ста-
тистическая обработка результатов, полученных при всех
проведенных испытаниях. В итоге вычисляются матема-
тические ожидания критериев и характеристики их точ-
ности. По получении требуемых характеристик точности
испытания для данного варианта прекращаются и на-
чинается исследование другого варианта.
В заключение приведем результаты моделирования
боя двух группировок, состоящих главным образам из
танков. Гистограммы (рис. 23) получены по 50 испыта-
ниям для каждого варианта. Один вариант. соответст-
вует случаю применения противником средних танков,
другой —того же количества легких. Следует отметить,
что среднеквадратичное отклонение числа подбитых
танков составляет около 0,3- танка, т. е. результаты
50 испытаний достаточно надежны.
Описанная выше модель позволяет оценить влияние
тактики применения, количества боевых единиц и их
тактико-технических характеристик на результаты боя
и выбрать эти параметры оптимальными.
4.	Смешанная модель действий частей (соединений)
Построение достаточно полных математических мо-
делей действий усиленных подразделений, частей и тем
более соединений может оказаться сложной задачей.
157
Для ее облегчения можно использовать смешанную мо-
дель, часть действий в которой выполняется математи-
чески (с помощью статистической модели), а часть дей-
ствий (решения) выполняют квалифицированные опера-
торы. Такая модель во .многом напоминает военную
игру.
Модель может быть разбнта на чередующиеся эта-
пы, в которых происходит:-
—	отдача команд и приказов на основе анализа
сложившейся обстановки (зто своеобразное физиче-
ское моделирование);
—	расчет с помощью статистической модели новой
обстаиоаки, сложившейся в результате выполнения этих
приказов.
Схема тАкой последовательности показана иарис.24.
Операторы
Последовательность
ПоакЙоватвлыюапь
<<
Донесение операторах
Новые приказы
/псломжеиые,
скорость. числение
Донесение Операторах
тери-
Сйопвна
логических
правил,
оплыватцих
ЯеОапвия
пофазвмений
ftxvetn новых
Системе
леваческих
запасы еорючыо
Сдоено логических
Рас. 24. Схема модели действий частей
Принципиальная схема модели в данном случае сле-
дующая. В начале действий имеются заданные группи-
ровки войск своих и противника, перед каждой нз ко-
торых поставлены определенные задачи.
Исходя из этого комплекса сведений, операторы раз-
рабатывают частные задачи, вводимые в машину.
Спустя определенное время машина «докладывает» о
выполнении этих задач и о сложившейся обстановке
операторам обеих старой, которые дают новые команды
частям и подразделениям.
Такой процесс повторяется до момента решения од-
ной из сторон всей поставленной задачи или до дости-
жения определенного времени.
Наиболее важной характеристикой, вводимой в мо-
дель, являются количество и тип боевых подразделений
каждой стороны. Каждое подразделение (пехотное, тан-
ковое, артиллерийское и т. д.) в модели может быть
охарактеризовано следующими важнейшими параме-
трами:
—	расположением, которое может определяться коор-
динатами центра подразделения и радиусом круга, в
котором находится подразделение;
—	возможной скоростью передвижения, а также
временем развертывания и свертывания;
—	численностью вооружения;
—	дальностью действительного огня оружия;
—	точностью стрельбы, зависящей от дальности;
—	характеристиками боевых частей применяемых
боеприпасов, определяющими радиусы зоны поражения
по разным целям;
—	надежностью;
—	скорострельностью;
—	количеством боеприпасов, которое можно рассма-
тривать заданным иа все время боя либо пополняемым
в процессе боя;
—	запасами горючего, которые могут, быть как за-
данными, так и пополняемыми;
—	уязвимостью от средств противника, которая мо-
жет описываться законом поражения.
Другой важной характеристикой, вводимой в мо-
дель, являются внешние условия (местность, погода).
Расположение средств на местности и тактика дей-
ствий в данном случае выбираются операторами, н по-
этому вопрос о машинных методах описания этих про-
цессов отпадает.
Команда прн моделировании подается в следующем
виде:
—	выполнить боевую задачу (в наступлении, оборо-
няя заданный район);
—	овладеть указанным объектом (согласно задан-
ным путям следования).
159
При этом указываются возможные действия подраз-
делений (например, сосредоточение подразделений), по-
рядок выхода в район возможного соприкосновения с
Противником, предпочитаемый боевой порядок.
Действия каждого подразделения подчиняются си-
стеме логических правил (например, артиллерийские
подразделения, обнаружив противника, его обстрели-
вают; танковые подразделения уничтожают пехоту ог-
нем и гусеницами и т. д.). Эти правила можно разде-
лить иа исходные, задаваемые в начале процесса, и из-
менения, вносимые за счет изменений состояния под-
разделений (например, израсходованы боеприпасы или
горючее, понесены большие потери) или за счет новых
команд.
Основные блоки модели;
1.	Блок ввода приказов, в котором происходит из-
менение логических правил подразделений на основа-
нии полученных приказов.
2.	Блок расчета параметров, характеризующих под-
разделение.
3.	Блок изменения логических правил на основании
измеиеиия параметров, характеризующих подразде-
ление.
4.	Блок донесения операторам, который выдает па-
раметры подразделений и их логические правила.
Рассмотрим более подробно состав второго блока,
поскольку он является наиболее характерным. Этот
блок в свою очередь может быть разделен на группу
блоков.
В блоке расположения вырабатываются координаты
подразделений и их радиусы. Определение этих коорди-
нат производится на основе координат предыдущего по-
ложения с учетом логических правил (наступление, обо-
рона, перемещение), возможных скоростей движения, а
также вероятности перемещения с одного участка мест-
ности на другие.
Площадь, иа которой размещается подразделение,
определяется с учетом логических правил (наступление,
оборона) и состава подразделения с учетом потерь.
Блок численности подразделения определяет его со-
став в данный момент времени, исходя из состояния
подразделения в предыдущий момент н понесенных по-
терь.
160
Для бпределения своих потерь просматриваются все
подразделения противника, устанавливается факт об-
наружения анализируемого подразделения наших войск,
факт открытия огня теми или иными подразделениями
противнику. Затем исходя из эффективности соответст-
вующих средств- противника вычисляются потери. Из
этого блока должен быть выход в блок изменения ло-
гических правил и блок расположения.
В блоке эффективности средств подразделения ис-
ходя нз номера и координат цели определяется вероят-
ность ее поражения методами, изложенными ранее.
Блок обнаружения и целераспределения решает за-
дачу обнаружении тех или иных средств противника.
Целераспределевие производится иа основании задан-
ных правил с учетом важности целей.
В блоках количества боеприпасов я запасов горю-
чего производится подсчет соответствующих величин
исходя из проведенных действий. Эти блоки носят чи-
сто «бухгалтерский» характер. Данные нз этих блоков
также подаются в блок нзменення логических правил.
В блоке уязвимости от средств противника в зави-
симости от характера действий подразделений вычис-
ляется радиус зоны поражения от разных средств про-
тивника.
Каждый нз перечисленных блоков дублируется
(одни из блоков работает за одну сторону, другой —
за другую). Анализ полученных результатов произво-
дится в общих чертах так же, как и в предыдущей мо-
дели.
Следует отметить большую сложность описанной мо-
дели. Программа одного из вариантов модели состоит
из 25 000 команд;
Такая модель может использоваться ие только в ис-
следовании операций (выбор лучших вариантов дей-
ствий), но н в учебном процессе.
5.	«Стохастический детерминизм»
Бой состоит из большого числа явлений, многие ре-
зультаты которых случайны. Не будет ли случайным и
результат всего боя, и если он будет случайным, то в
какой степени?
6
Ю. в. Чу»»
161
Здесь мы сталкиваемся с вопросом о случайности и
необходимости, который является одним из принци-
пиальных философских вопросов.
Необходимость существует объективно, независимо
от воли и сознания людей. Случайность, как и необхо-
димость, также существует объективно, причем необхо-
димость и случайность диалектически взаимно связаны
между собой.
Необходимость проявляется в форме случайности че-
рез случайность, и грань между необходимостью и слу-
чайностью ие абсолютна.
«Другая противоположность, ,в которой запутывает-
ся метафизика,—это противоположность случайности н
необходимости. Есть ли что-иибудь более резко проти-
воречащее друг другу, чем эти две логические катего-
рии? Как возможно, что обе оии тождественны, что слу-
чайное необходимо, а необходимое точно так же слу-
чайно?:» — пишет Ф. Энгельс в «Диалектике природы*
(К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., изд. 2-е, т. 20,
стр. 532).
Классики марксизма-ленинизма изучали вопрос о со-
отношении случайности и необходимости в совокупности
таких сложных процессов, как история человеческого
общества, развитие экономики и т. д., и для этих слож-
ных процессов-определяли соотношение случайности и
необходимости.
В таких процессах сквозь кажущийся хаос случай-
ностей прокладывает себе дорогу необходимость.
Посмотрим, что в этих процессах является характер-
ным, определяющим проявление необходимости в кажу-
щемся хаосе случайностей.
В. И. Ленин пишет: «Если цена есть меновое отно-
шение, то неизбежно .понять разницу между единич-
ным, меновым отношением и постоянным, между слу-
чайным и массовым, между моментальным и охваты-
вающим длительные промежутки времени. Раз это
так,— а это несомненно так,— мы столь же неизбежно
поднимаемся от случайного и единичного к устойчиво-
му и массовому, от цены к стоимости» (В. И. Л ей и и.
Соч., изд. 4-е, т. 20, стр. 182). (Подчеркнуто мною —
Ю. У.)
Таким образом, В. И. Ленин рассматривает, с одной
стороны, случайное, единичное, моментальное, а с дру»
162
гой — постоянное, массовое, охватывающее длительные
промежутки времени.
Следовательно, для случайного характерно единич-
ное, моментальное; для закономерного — массовое, ох-
ватывающее длительный .промежуток времени.
Подчеркнем еще одно обстоятельство. Грань между
случайностью н необходимостью не абсолютна, т. е. су-
ществует некоторая (пусть очень малая) вероятность
того, что появится не необходимый, а случайный ре-
зультат.
Наконец, подчеркнем вопрос о соотношении роли
элементарных явлений, составляющих рассматриваемый
сложный процесс.
Анализ примера, приведенного в работе Г. В. Пле-
ханова «К вопросу о роли личности в истории>, позво-
ляет сделать вывод о том, что фактом, в известной мере
мешающим проявлению необходимости, является нали-
чие случайного, доминирующего над другими явлениями.
Естественно, что, чем шире и продолжительнее процесс,
тем меньше роль этой доминанты.
Дадим математическую оценку степени случайности
результата, получаемого в итоге сложного процесса.
Прежде всего о мере случайности. В качестве ее
удобнее всего принять коэффициент вариации о, т. е.
отношение среднеквадратичного отклонения о к матема-
тическому ожиданию результата т:
Чем меньше коэффициент вариации, тем более опре*
деленны результаты процесса, и, наконец, если v близ-
ко к нулю, ТО результаты процесса становятся неслу-
чайными. Такое явление — получение неслучайного ре-
зультата в случайном процессе — называют «стохасти-
ческим детерминизмом».
Исследование простейшей модели — суммирования
случайных -результатов — позволило установить условия
появления «стохастического детерминизма» (необходимо-
сти):
1.	Большой размах и продолжительность процесса,
мерой чего может быть число элементарных явлений N,
происходящих в рассматриваемом. процессе за рассма-
триваемый промежуток времени. При отсутствии корре-
6»	163
ляции между результатами элементарных явлений и
при равноценности этих результатов коэффициент ва-
риации результата всего процесса обратно пропорцио-
нален уЫ.
2.	Отсутствие абсолютного доминирования одного
случайного процесса над другими. Наличие доминиро-
вания приводит к увеличению коэффициента вариации
процесса, коэффициент которого k* — Kl+o*, где о —
мера доминирования (коэффициент вариации математи-
ческих ожиданий результатов элементарных процес-
сов).
3.	Отсутствие, хотя бы частичное, корреляционных
связей между результатами элементарных'явлений, про-
текающих в рассматриваемом сложном -процессе. Если
существуют перекрестные корреляционные связи между
результатами всех элементарных явлений (чего практи-
чески никогда не бывает), то «стохастический детерми-
низм» отсутствует. Мерой коррелированное™ процесса
служит корреляционная матрица. Для возникновения
«стохастического детерминизма» необходимо, чтобы чис-
ло ненулевых коэффициентов корреляции было мень-
ше № или чтобы, коэффициенты, корреляции стремились
к нулю при W, стремящемся к бесконечности.
4.	Отсутствие случайных параметров, влияющих иа
все элементарные явления или иа их подавляющее боль-
шинство К числу таких параметров могут относиться
план процесса, эффективность всех элементарных про-
цессов, характеристики управления всем процессом, ха-
рактеристики окружающей среды, влияющие на все эле-
ментарные явления, и т. д.
Исследования рассеивания результатов, получаемых
в моделях динамики средних, показали, что коэффи-
циенты вариации потерь нри равных количественно и
качественно силах в этих моделях составляют:
при квадратичном аакоие
при Линейном законе
г. е. е увеличением численности группировок коэффи-
циенты вариации стремятся к нулю. Следовательно, в
этих моделях имеет место «стохастический детерми-
низм;».
Численные результаты расчетов по модели, описан-
ной в разделе 3, показаны в таблице.
1X1
3X3
6X6
12X12
0,19
0,00 4,00
0,78
0,03 3,00 0.90
0,10 1,53 0.90
0,05 1,31 0,05
Обозначения, принятые в таблице:
«1 и тз — математические ожидания потерь перво#
и второй сторон в данный момент времени, отнесенные
к исходному количеству;
О1 и о» — коэффициенты вариации соответствующих
потерь.
Из данных таблицы видно, что с ростом числа уча-
ствующих в процессе единиц происходит существенное
уменьшение кбэффициейтов вариации, которые пример-
но пропорциональны По мере течения процесса
коэффициенты вариации потерь второй ртороцы суще-
ственно убывают, а первой «горбИЫ меняются менее
значительно, чтосвяздно с быстрым уничтожением пер-
вой стороны,
Таким обравом, в данной модели наблюдаются те же
общие закономерности, что и в предыдущих.
Глава ХИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
I. Общие замечания
После того как выбран критерий, составлена мате-
матическая модель и определена входная информация,
необходимо приступить к определению оптимальных ха-
рактеристик (управления, вооружения и т. д.). Эта чи-
сто математическая задача решается методами мате-
матического программирования.
Задачей математического программирования (не пу-
тать с составлением программ для ЭВМ) является
определение допустимых (ъ е. удовлетворяющих задан-
ной системе ограничений) программ, которые оптималь-
ны с точки зрения некоторого принятого, критерия. Оп-
тимальная программа — это такая программа из числа
допустимых, которая максимизирует (или минимизи-
рует) критерий.
Под программой понимается определенный план
Действий, который может быть непрерывным, много-
этапным иЛи одноэтапным. В первом случае может
определяться либо управление как функция, от времени,
либо параметр (параметры), характеризующий управ-
ление. Во втором случае операция разделяется на шаги
(этапы), на каждом из которых должно приниматься
решенйё.
В зависимости От наличия-и вида ограничений, а
также от количества этапов в операции наибольшее
применение находят те или иные виды-математического
программирования, хотя зачастую одна и та же задача
может быть решена различными методами Математиче-
ского йрограммнрования.
166
В общей виде задачи математического программи-
рования имеют следующую постановку. Требуется най-
ти набор переменных xit х», хп либо непрерывную
функцию управления, максимизирующие (минимизи-
рующие) критерий xj, ..., хЛ) при наличии огра-
ничений как иа управления, так и иа фазовые коорди-
наты.
Если система ограничений отсутствует, то задача ре-
шается классическими методами математического ана-
лиза, на которых останавливаться не будем.
Если критерий представляет собой линейную функ-
цию переменных, а система ограничений — набор ли-
нейных неравенств (уравнений) и процесс одноэтапный,
то это — классическая .постановка задачи лииейиого
программирования. Следует отметить, что и многоэтап-
ные процессы иногда могут быть сведены к задаче ли-
нейного программирования.
Если критерий и ограничения являются нелинейны-
ми функциями, а процесс одиоэтапный, то это — задача
нелинейного программирования, методов решения кото-
рой в общем случае ие существует, хотя довольно ча-
сто (выпуклое программирование) решить ее можно.
Для исследования многоэтапных процессов исполь-
зуется динамическое программирование. Однако этот
метод можно использовать и для решения задач линей-
ного программирования.
Наконец, многие задачи математического програм-
мирования могут .быть решены с использованием прин-
ципа максимума Л. С. Понтрягина. Этот принцип в от-
личие от методов классического вариационного анализа
позволяет решать задачи с ограничениями. Широкое
применение при решении задач математического про-
граммирования может найти н дискретный принцип
максимума.
На решения задач математического программирова-
ния могут быть наложены дополнительные условия, на-
пример целочисленности, когда искомые параметры по
своему физическому смыслу могут принимать лишь
ограниченное число дискретных значений. Это задачи
целочисленного программирования.
В некоторых случаях задачи программирования при-
ходится решать в условиях иеопределейности (напри-
мер, когда часть исходных данных — величины случай-
167
ные). Тогда имеет место стохастическое программирова-
ние, которое в ряде случаев сводится к выпуклому про-
граммированию. Близко к этому разделу программиро-
вания примыкает параметрическое программирование,
изучающее влияние вариаций параметров, определяю-
щих критерий, и ограничений на решение задачи.
Наконец, изучение возможностей получения точного
или приближенного решения задачи большого размера
по решениям ряда частных задач с меньшим числом пе-
ременных и ограничений называется блочным програм-
мированием.
Общая схема классификации задач математического
программирования показана иа рнс. 25.
Наряду с методами математического программиро-
вания, ставшими к, настоящему'времени уже классиче-
скими, в последнее время появились н развиваются но-
вые методы программирования, которые не всегда даже
могут быть названы математическими.
Прежде всего к числу новых методов программиро-
вания необходимо отнести метод случайного поиска,
разновидности которого находят широкое применение
на практике, несмотря на то, что он не относится к ре-
гулярным методам поиска.
В последнее время большое внимание уделяется
эвристическому программированию, применение кото-
рого для решения задач оптимизации является своеоб-
разным бионическим направлеиием в теории оптимиза-
ции. Нельзя не подчеркнуть тот факт, что здесь уже
нет и речи о строгих методах решения. Но вместе с тем
эвристическое программирование дает возможность оты-
скать решения в тех задачах, где применение других
методов затруднительно.
2. Задачи линейного, нелинейного и целочисленного
программирования
Общая постановка задач линейного программиро-
вания следующая. Требуется найти набор перемен-
ных хи ...; хп, максимизирующий (минимизирую-
щий) функцию
/-1
168
напнаяи-
^^Гвв рмфвам] [моксифа
лроцкс
Вфарне
Один
v Тип
прощая
Лвми
' чьем)
зтт»
kyetM
1 Лмвйоя
jj^wj |5«й^8
1
t
цммст
ЛОИ
Линейное
фмумм*
пирование
Ниимвйн»
нрввание
цмдчислвн-
Нвефвран-
нфжние
Бжят
Стиакти-
, <мскм

Рас. 25. Классификация задач математического дрограм-
мироваввя
169
при наличии ограничений
п
Аля /в1, 2^ *>•, пц
ху>0 для У — 1, 2, -., л,
где atjilh\c}—постоянные величины;
т и л — число ограничений.
Для решения задач линейного программирования
разработано много методов, которые можно разделить
на две группы:
—	конечные, т. е. гарантирующие нахождение точ-
ного решения за конечное число шагов;
—	итеративные, которые гарантируют лишь прибли-
женное решение задачи.
Первые можно разделить на три группы:
—	последовательного улучшения плана (симплекс-
ный метод);
—	последовательного уточнения (щенок;
—	последовательного сокращения невязок.
Трудности решения задач определяются главным об-
разом величиной произведения тп. В настоящее время
с помощью ЭВМ удается решать задачи размером
50x50 с. затратами времени около 5 мин.
Зачастую к величинам Xj предъявляется требование
целочисленности, что особенно важно, если х, мало (0,
1, 2), так как прн больших Xj округление не приведет к
существенным ошибкам.
Для решения задач целочисленного программирова-
ния разработаны алгоритмы решения, в частности ме-
тод Гомори. Трудоемкость решения задач целочислен-
ного программирование больше, чем обычного линей-
ного, причем увеличение затрат машинного времени
может составлять от 10—15% до 200—300%.
КрЪме метода Гомори, для решения задач целочис-
ленного программирования применяется аддитивный
метод Балашн. В том случае, если имеется условие
где на f не наложено требование линейности, нмеетре-
сто задача нелинейного программирования. Единые ме-
тоды решения такой задачи в настоящее время не раз-
170
работаны. Она решается (Существуют алгоритмы ее-ре-
шения иа ЭВМ) .только для частных случаев:
1)	когда функция К дважды дифференцируема. Ме-
тод решения такой задачи крайне Трудоемок;
2)	когда функция К вогнутая, а ограничения явля-
ются тоже вогнутыми функциями, методы решения за-
дачи имеются, но они весьма слджны^
3)	если К есть полином второй степени относитель-
но х, а ограничения линейны, то эту задачу называют
задачей квадратичного программирования. Для реше-
ния такой задачи разработан машинный метод.
В ряде случаев величины и Ь} могут быть случай-
ными. Тогда встает вопрос & вычислении оптимальных
величии Xj, а также о дисперсии К. В общем случае
эти вычисления могут быть проведены методом стати-
стических испытаний.
3.	Динамическое программирование
Общая постановка задачи динамического програм-
мирования следующая.
Из множества допустимых управлений U найти та-
кое управление I/*, которое переводит физическую си-
стему S из начального состояния 5^5*0 в конечное
>Уко«^кои так. чтобы некоторый критерий K(U) об-
ращался в максимум, т. е.
U
Таким образом,, в задачах динамического програм-
мирования рассматриваются;
—	управляемая система, т. е. система,которая совре-
менен может менять свое состояние, причем оказывает-
ся возможным управлять этим процессом;
—	критерий д, который численно выражает нашу
заинтересованность в достижении тех или иных резуль-
татов;
—	начальное состояние системы So, которое ограни-
чено некоторыми условиями	(это обозначается
знаком £ —включение);
171
-- конечное состояние системы которое также
ограничено некоторыми условиями ^кон^^ко»;
— управление, которое также может иметь ряд
ограничений
Состояние управляемой физической системы S
всегда можно охарактеризовать тем или иным количе-
ством параметров, которые называют фазовыми ко-
ординатами, а состояние системы S' изобразить в виде
точки с этими Координатами в некотором условном
фазовом пространстве. В этих терминах выбор управ-
ления означает выбор определенной" траектории точки
в фазовом пространстве, определенного закона движе-
ния. Схема для случая двух фазовых координат пока-
зана на рис. 26.
В терминах фазового пространства задача динами-
ческого программирования формулируется следующим
образом.
Найти такое (оптимальное) управление I/*, под
влиянием которого точка S фазового пространства дол-
жна переместиться Из начальной области So в конеч-
ную Skoh так, чтобы при этом критерий К обратился в
максимум.
ДлЯ динамического программирования характерен
следующий прием: процесс перемещения разделяется
иа ряд последовательных этапов и производится последо-
вательная оптимизация каждого из них, начиная с по-
172
следнего. На каждом этапе находятся условное опти-
мальное управление (при всевозможных предположе-
ниях о результатах предыдущего шага), а затем, когда
процесс доведен до исходного состояния So, снова про-
ходят всю последовательность шагов, но уже из множе-
ства условных оптимальных управлений выбирается
одно.
Таким образом, однократное решение сложной за-
дачи заменяется многократным решением простой.
При этом используется принцип оптимальности. Оп-
тимальная стратегия имеет следующее свойство: каковы
бы ни были .начальное состояние и принятое начальное
решение, все остальные решения на последующих ша-
гах должны составлять оптимальную стратегию отнб-
снтельно состояния, возникшего в результате первого
решения.
Структура процессов, исследуемых на основе дина-
мического программирования, имеет следующие основ-
ные черты:
—	небольшое число фазовых координат;
—	управляемый процесс марковский, т. е. преды-
стория не имеет значения при определении будущих
действий;
—	критерий обладает свойством аддитивндсти, т. е
его-значение определяется суммированием частных зна-.
чеиий, достигнутых на отдельных шагах (в ряде слу-
чаев неадднтнвный критерий приводится vs аддитивной
форме искусственными приемами, например логариф-
мированием произведения).
Для динамического программирования характерны
задачи, в которых этапы заданы самим нх существом.
Однако во многих случаях эти этапы вводятся фор-
мально и расстояние между ними выбирается как ком-
промисс между требованиями точности и простоты ре-
шения.
4. Принцип максимума Л. С. Понтрягина
Возможности этого метода выходят далеко за рам-
ки математического программирования. Здесь он изла-
гается как метод, наиболее естественный для решения
задач математического программирования с непрерыв-
ным планом действий.
173
Пусть состояние объекта описывается системой
обыкновенных дифференциальных уравнений:
Xiг= // (Лц ~ч Ху X*, Uy ..., Up »., II/), |
где /—1,2, .-, л;	J
X/—,фазовые координаты (они определяют век*
тор положения системы X);
и} — управления.
Фазовые координаты заключены в'фазовом простраи*
стве, вектор управлений U (характеризуемый компонен-
тами Uj) находится в некоторой области допустимого
управления.
Если правые части явно зависят от времени, то мож-
но ввести вспомогательную переменную хп+1»=/, и тогда
система примет вид
X/ ~ (х1э ..., Ху «., хл; ха+у Hi, Uj, Uj),
где i = 1, 2, ..., п.
ХЯ+1 = 1.
К классу допустимых управлений относятся управ-
ления, представляющие собой кусочно-гладкие кривые,
имеющие конечное число точек разрыва.
Требуется найти срёдя всёх дрИустимых управлений
Щ1), переводящих фазовую точку из начального поло-
жения Х° в конечное Х*, такое,- для которого функцио-
нал
т
принимает минимальное значение. Здесь Х°— вектор с
компонентами х£ Х%,..., х^,..., х$
X* — вектор с компонентами х’ х$,..., xj.х*
При нефиксированных to и Т данная задача^ являет-
ся задачей с незакрепленным временем.
Для использования принципа максимума необходи-
мо составить вспомогательную функцию следующего
вида (типа функции. Гамильтона):
Я
Н(Ф; U; ^-^М*,£/) + М0(Х,£/),
174
где ф •» (фо; ф|;	Ф«) — вспомогательный (при-
соединенный) (я+1)-мерный вектор;
A(Jf, U) —подынтегральное выражение функциона-
ла, рассматриваемое как дополнитель-
ная к вектору F(fit .... fn) компонента.
Взяв частные производные" функции Н по ф< и Х{,
получим следующую систему уравнений:
—	-д-р где О, 1, 2, п;
где /из0, i. 2. —,
л
—	2-^-Фь где / — о, 1, 2, л.
/-0	‘
Согласно принципу максимума управление U(t) и
траектория X(t) будут оптимальными (в смысле обес-
печения минимума функционалу К), если существует та-
кая ненулевая вектор-функция 'F(Z), соответствующая
вектор-функцням 1/(0 н Х(0, что:
а)	для любого /, принадлежащего отрезку РоЛ.
функция //pF (О, Х(0, 1/J переменного U из области до-
пустимых управлений достигает в фиксированной точ-
ке (/—1/(0 максимума AfpF(0; ^(0j;
б)	в конечный момент /—Г выполняются соотноше-
ния
ф(0-0, М[ф(Т), Х(Т)]-0.
Расчеты проводятся примерно в такой последова-
тельности. Сначала составляют функцию Н типа функ-
ции Гамильтона. Затем, задавшись на одном из кон-
цов траектории недостающими начальными условиями,
решают совместно основную и сопряженную системы
уравнений, выбирая на каждом шаге управление U нз
услоаня max Я.
Полученные конечные значения сопоставляют с за-
данными, и цель дальнейших расчетов состоит в нахо-
ждении поправок к начальным приближенным усло-
виям, минимизирующих величины отклонений рассчи-
танных конечных значений от заданных.
175
С некоторыми видоизменениями этот принцип при-
меним и для решения дискретных задач. В таких слу-
чаях era называют дискретным принципом максимума.
В. Сравнение принципа максимума н динамического
программирования
В настоящее время можно считать установленным,
что еще нет ни одного математического метода, кото-
рый лучше, чем другие, подходил бы для решения всех
типов задач.
Принцип максимума и динамическое программиро-
вание математически могут быть получены одни из дру-
гого, однако они используют качественно разную идео-
логию решения задачи.
Динамическое программирование производит иссле-
дование с помощью поиска всей решетки переменных
на одном шаге, заполнения этих переменных в узлах
решетки и затем выбора оптимального пути между ша-
гами.
Принцип/Максимума заключается в исследовании с по-
мощью вычисления сразу всего оптимального пути с по-
следующим его улучшением путем удовлетворения гра-
ничных условий.
Отсюда ясно, что реализация динамического про-
граммирования затруднена ограничениями машинной
памяти, что приводит к ограниченному числу узловых
дочек и к ошибкам интерполяции для промежуточных
значений, которые невозможно оценить.
Решение задач с использованием принципа макси-
мума не связано с ограничениями машинной памяти.
Одна ко. здесь возникают трудности, вызванные необхо-
димостью решать краевую задачу.
Для ряда-процессов было установлено, что решения,
принципиально невозможные для динамического про-
граммирования, удалось получить с использованием ди-
скретного принципа максимума.
Однако динамическое программирование имеет и
ряд серьезных преимуществ.
1.	Оптимизация процессов с ограничениями на пере-
менные состояния только упрощает решение задачи ме-
тодами динамического программирования. В то же вре-
176
мя принцип максимума пока не располагает конструк-
тивными методами решения таких задач.
2.	Динамическое программирование может приме-
няться для управления процессами, преобразование ко-
торых иа каждом шаге не удается описать уравнения-
ми, н поэтому оно описывается словами. Принцип мак-
симума применим только к процессам с хорошо опреде-
ленными уравнениями преобразования, и функции пре-
образования должны быть непрерывны и дифференци-
руемы по переменным состояниям.
3.	Динамическое программирование проводит гло-
бальный поиск, тогда как принцип максимума в неко-
торых случаях может давать локальные оптимумы.
Иногда предлагают применять вначале динамиче-
ское программирование для отыскания области гло-
бального экстремума, а затем уточнять точку экстрему-
ма, применяя принцип максимума.
Одним из наиболее удачных направлений развития
динамического программирования является использова-
ние свойств исследуемых процессов для сокращения
объема просматриваемых вариантов.
В настоящее время установлена связь динамиче-
ского программирования и дискретного принципа мак-
симума с задачами линейного, нелинейного и целочис-
ленного программирования.
Эти задачи достаточно четко формулируются в ди-
намическом программировании и дискретном принципе
максимума как варианты транспортной задачи.
6. Применение метода случайного поиска
Метод случайного поиска возник и получил свое раз-
витие в течение последних нескольких лет.
Случайный поиск может быть применен для отыска-
ния максимума или минимума функции (функционала)
многих переменных^прн любых ограничениях, наклады-
ваемых на последние. Использование специальных алго-
ритмов позволяет отыскивать с некоторой вероятностью
абсолютный максимум или минимум.
Случайный поиск может быть применен независи-
мо от вида оптимизируемой функции и даже тогда,
когда эту функцию не удается записать.
177
Преимущества метода случайного поиска перед ины-
ми универсальными, так- называемыми «регулярными»,
методами поиска возрастают по мере увеличения слож-
ности (размерности) функционала (процесса) и умень-
шения требуемой точности отыскания экстремума. По-
следнее обстоятельство представляет особый интерес
при использовании случайного поиска в исследования
операций, где часто решаются, сложные оптимизацион-
ные задачи весьма приближенного характера.
Сущность метода состоит в следующем.
Пусть нам предстоит найти максимум или минимум
некоторой функции К(Х\, ха, .... х„). Для простоты бу-
дем дальше говорить о4'минимуме и рассматривать
функцию одного аргумента К(х).
Различают две основные разновидности метода слу-
чайного поиска: слепой и последовательный.
Слепой' поиск выполняется очёнь просто. При каж-
дом N-м шаге поиска в качестве х1( Ха,..при-
нимаются величины
где а —масштаб, определяемый возможными преде-
лами изменения х;
величины, равномерно распределенные в пре-
делах от- 0,до 1.
Здесь возможны два случая. Если иам неизвестно ми-
нимальное значение функции Х(х), то после набора до-
статочно большого числа шагов N из всех полученных
численных значений функций выбирают наименьшее,
которое и принимается за искомый минимум.
При известном минимальном значении функции Ki
поиск прекращается тогда, когда выполняется условие
|^-tf(xw)|<«,
где с —некоторая 'заданная величина, определяющая
точность решения.
В последнем случае величины х^* принимаются за
переменные, определяющие с заданной точностью ми-
нимальное значение функции К(х).
Слепой поиск вследствие значительных затрат вре-
мени имеет ограниченное применение.
178
Последовательный поиск построен и а идее последо-
вательного улучшения решения. Этот.вид поиска имеет
более высокую скорость сходимости вследствие того,
что на каждом случайном шаге определяется его удач-
кость. Удачным шагом называется шаг, при котором
численное значение функции оказывается меньшим, чём
та же величина на предыдущем удачном шйге; в про-
тивном случае шаг является неудачным.-Все случайные
шаги совершаются из последнего удачного состояния.
Различают простой и адаптивный (обучаемый) по-
следовательные способы поиска. При простом поиске
вся используемая информация исчерпывается только
установленном удачностн или неудачиости шага.
Из большого количества алгоритмов простого слу-
чайного поиска приведем только одни, который именует-
ся «шаговый поиск с пересчетом».
Формула этого алгоритма имеет вид

дх(*+1)
аС, если ff1"* <K(N~'} (удачный шаг);
—Ax(JV) + аС, если Af(Ar> > (неудач-
ный шаг),
где К — минимальное значение К, полученное за
N шагов.
Вследствие того .что. х изменяется с некоторым слу-
чайным конечным шагом" Дх, этот алгоритм назван ша-
говым. Пересчет здесь заключается в том, что в случае
неудачного шага смещение Дх представляется формаль-
но в виде суммы случайной «добавки» а? и смешения,
полученного иа предыдущем шаге, с обратным знаком,
т. е. фактически Шаг производится из последнего удач-
ного состояния.
Адаптивный (обучающийся, приспособленный) слу-
чайный поиск имеет ту особенность, что случайный шаг
формируется с учетом информации о поведении функ-
ции К иа протяжении всех предшествующих шагов. Эта
информация используется в двух направлениях; в пере-
стройке вероятностных характеристик, определяющих
направление случайного шага, н в изменении масштаба
шага.
179
Прн практическом использовании алгоритмов после*
довательиого случайного поиска необходимо вводить не-
которое условие окончания процесса счета. В качестве
такого условия может быть использовано заданное чис-
ленное значение у,
где AZ—общее число шагов;
г — количество удачных  шагов.
Опыт применения случайного поиска для отыскания
минимумов функций показывает, что средняя точность
порядка 1% может быть достигнута прн значениях
— =5 4-10 для неадаптивного поиска.
В заключение следует отметить, что метод случай-
ного поиска является одним нз самых новых методов,
и поэтому при его использовании может встретиться
много нерешенных вопросов. Одиако простота идеи,
большая универсальность и легкость реализации в ма-
шинных алгоритмах позволяют считать этот метод впол-
не приемлемым для решения большого круга задач про-
граммирования.
7. Эвристическое программирование
Под эвристическим программированием понимается
широкий круг проблем, связанных с исследованием и
моделированием процессов человеческого- мышления, и
прежде всего наиболее тонких нюансов человеческого
поведения в условиях управления все более усложняю-
щимися процессами и объектами.
Эвристическое программирование с точки зрения ис-
следования операций представляет интерес в двух на-
правлениях:
—	использование результатов эвристического про-
граммирования для построения моделей исследования
операций (описание действий людей);
—	использование эвристических программ для ре-
шения задач оптимизации, возникающих в исследова-
нии операций.
Остановимся подробнее на втором направлении.
К настоящему времени создано несколько эвристиче-
ских программ, позволяющих решать различные зада-
чи, в том числе программа общего решения проблем
А. Ньюэма и Г. Сайиона, программа для доказатель-
180
ства теорем математической логики Хао-Ваига, с по-
мощью которой было доказано около 400 сложнейших
теорем, программа для доказательств теорем по веще-
ственным полиномам, созданная в Киеве, наконец, ряд
программ для игры в шахматы. Рассмотрим существо
шахматной программы, предложенной К. Шеноном, ко-
торая наглядно показывает особенности эвристических
программ и по своей идеологии близка к задачам воен-
ным.
Если к составлению шахматной программы подхо-
дить с позиции классического решения задач оптимиза-
ции, то следовало бы просмотреть все варианты, кото-
рые могут последовать за каждым нз возможных ходов
до окончания игры, и выбрать тот ход, который приве-
дет к скорейшему выигрышу или максимально оттянет
проигрыш.
В типовых шахматных позициях обычно бывает око-
ло 30 возможных ходов. Даже считая продолжитель-
ность партии 40 ходов (часто она значительно больше),
получаем 10>S0 вариантов, просмотр которых с помощью
любых ЭВМ невозможен.
Значит, .приходится отказываться от пути строгих
решений и создавать программу, которая позволяла бы
найти решение, хотя и неоптимальное в строгом смысле
этого слова.
Для этого прежде всего необходимо построить оце-
ночную функцию шахматной позиции, используя опыт
специалистов шахматной игры (т. е. опять нестрогую
функцию). Примерный внд этой функции следующий:
/ (Р) = 200 (Кр - Кр') + &(ф - ф') +
+ 5(Л—Д') -ЬЗ(С-С' + К-К') +
+ (п-п’) + 0,5(Д-Д' + 5-5,+/-/')4-
+ 0,1(Л4-АГ)4-..,
где Кр, Ф, Л, С, К, п — соответственно число королей,
ферзей, ладей, слоиов, коней и пе-
шек у одного партнера, а те же
знаки со штрихом — у другого;
Д, 5, I — количество сдвоенных, отставших
и изолированных пешек (опыт
игры показывает, что они значи-
тельно слабее);
181
М— мобильность фигур, измеряемая чис-
лом ходов, возможных в данной позн-
ВД,
Оценочная функция может быть существенно раз-
вита путем более подробного учета пешечной структуры
(контроль центра, слабость пешек вблизи короля, пеш-
ки на полях, цвет которых отличен от цвета слона, про-
ходные пешки), учета положения фигур (продвинутый
конь, ладьн на открытой или полуоткрытой линии, ла-
дьи на седьмой горизонтали, сдвоенные ладьи и т. д.),
учета защиты, атаки и права выбора (фигуры, необхо-
димые для защиты, атака на фигуру, атака полей ря-
дом с королем, связки н т.^д.).
Но как бы там ни было, эта функция создается с
помощью оценок специалистов и может уточняться в
процессе проведения нгр.
Далее из числа возможных выбирается такой ход,
который должен максимизировать изменение оценочной
функции позиции при условии, что противник стремится
ее минимизировать, т. е. для случая двух ходов найти
ход х из условия
max min max min Mt}^ Mtj, Mj, P).
xi xij xij» xifkf
Аналогичная зависимость может быть написана и для
случая, когда просматривается и другое число ходов.
Существующие машины позволяют просмотреть пози-
ции всего на три хода вперед (а не до конца, т. е.
опять-таки не строго). У машины с такой программой
любой опытный шахматист выиграет, применив четы-
рех- и более ходовую комбинацию.
Характерно, что шахматисты проверяют' все возмож-
ные варианты («считают») только в исключительных
случаях в конце игры. Хороший шахматист проверяет
только небольшое избранное число вариантов на раз-
умную глубину, изредка превышающую 6—8 ходов и в
исключительных случаях достигающую 15—20 ходов.
Под ходом здесь понимается ход одного партнера и от-
ветный другого.
Значит, необходимо ввести еще одно эвристическое
правило, согласно которому отдельные варианты долж-
ны просматриваться на большую глубину.
182
Первым приближением такой функции может быть:
g(P)
1 — если фигура атакована фигурой противни-
ка меньшей цены или фигуру атакует боль-
шее число фигур, чем защищает, или* ко-
роль под шахом;
О—₽ противном случае.
Используя эту функцию, можно исследовать вариан-
ты до тех пор, пока 'g(P) не станет равной 0, просмат-
ривая ие менее 2 и не более 10 ходов.
Наконец, можно ввести еще одну эвристическую
функцию Л(Р, М), показывающую, нужно ли в данной
позиции Р исследовать ход М. Она должна быть по-
строена таким образом", чтобы при оценке не отбрасы-
вались ходы, плохие лишь с первого взгляда, и дава-
лось преимущество форсированным -ходам (шахи, взя-
тие фигур и атакующие ходы). Варианты, связанные
с форсированными ходами, легче рассчитать, поэтому
введение функции h(P, М) дает возможность просмот-
реть значительно большее число вариантов (причем
наиболее интересных)".
Для того чтобы игра не была шаблонной, в програм-
му можно ввести элемент случайности, т. е. случайный
выбор между двумя близкими по критерию f(P) хо-
дами.
Дальнейшее развитие шахматных программ может
пойти по пути введения во внешнюю память машины
достаточного числа дебютов, а также внесения в про-
грамму ряда стандартных позиций, комбинаций и ма-
невров, изученных многочисленными практическими
играми.
Итак,( эвристическое программирование отличается
рядом особенностей. Оно не является строгим и не га-
рантирует получения лучшего решения. При составле-
нии эвристической программы используется опыт спе-
циалистов в данной области, формализуемый в виде не-
которых правил, эмпирических зависимостей, вычисли-
тельных схем. Оно дает возможность найти решение
(не обязательно оптимальное) в тех случаях, когда
классические методы программирования бессильны.
183
Использование эвристического программирования в
некоторых задачах исследования операций* может ока-
заться весьма перспективным. Это прежде всего задачи
большой размерности, решением которых занимается
большое количество специалистов (из опыта которых
можно получить те или иные эвристические правила и
общие идеи ддя составления эвристических программ).
К таким процессам в первую очередь относится много-
шаговый процесс боевых действий.
Наконец, эвристическое программирование может
быть использовано для получения опорного плана, ко-
торый затем уточняется другими методами программи-
рования.
Раздел второй
ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
9явяЕвявввся0авневаяаввввва1внаавяввввянвжвя
Глава XIII
ЗАДАЧИ ПОИСКА
1.	Общие замечания. Задачи поиска, относящиеся
к сосредоточенному объекту
При решения многих задач, связанных с организа-
цией разведки, а также маскировки группировки своих
войск, весьма полезным может оказаться применение
методов теории поиска. Задачи поиска в общем виде
могут быть сформулированы следующим образом. Име-
ются ограниченные ресурсы (время, число разведыва-
тельных единиц, денежных средств), которые необходи-
мо распределить таким образом, чтобы максимизиро-
вать вероятность обнаружения искомой единицы. Зада-
ча поиска может быть и частью другой, более общей
задачи, когда требуется определить вероятность обна-
ружения искомой единицы как функцию затрат на
поиск при оптимальной его структуре и средствах (или
только структуре). Наконец, может решаться и задача
о таком расположении своих сил, которое затруднит
разведку противника.
Теория поиска находит широкое применение в воен-
ной разведке. Ее методы могут быть использованы и
для определения оптимальных способов приема продук-
ции (поиск брака), проведения бухгалтерских ревизий,
определения районов, где целесообразно вести геологи-
ческую разведку, хранения информации (начиная от
ЭВМ и кончая библиотеками). Могут рассматриваться
и другие задачи выбора оптимального с точки зрения
поиска порядка (задачи расстановки ложных целей
илн, наоборот, скрытого расположения важных объек-
тов).
185
Таким образом, задачи поиска могут рассматривать*
ся для случая, когда существует противодействие (во-
енная разведка), Для случая отсутствия противодейст-
вия (поиск полезных ископаемых) и, наконец, для слу-
чая, когда поиску оказывается помощь.
Методы, применяемые в теории поиска, еще не све-
дены в единую теорию.
|СЬфаЭипочаяныЛ |—
| Обйомсуный }—
[ Думумй?
| Грвжум?- 1—
Рве. >7. Классификация задач теории поиска
Задачи поиска могут относиться к сосредоточенному
объекту (речь идет, например, об определении наличия
объекта в данной точке, отыскании неисправного изде-
лия в группе исправных), когда не рассматривается
расположение объектов в пространстве; к одномерному
случаю, когда разведываемый объект может распола-
гаться на прямой; к двухмерному (объект на плоскости)
и к трехмерному случаю (объект в пространстве)
(рис. 27).
Ниже на простейших примерах иллюстрируются не-
которые задачи теории поиска. Рассмотрим прежде все-
го задачи поиска, относящиеся к сосредоточенному ^объ-
екту. Это большой класс задач об оптимальных разме-
рах выборки (т. е. о числе испытываемых изделий) при
186
приемных и контрольных испытаниях, которые решают-
ся с использованием методов математической стати-
стики.
Здесь речь идет не о поиске в-пространстве, а о по-
иске' в группе объектов Либо об уточнении характери-
стик этих объектов.
Не останавливаясь на задачах контроля за качест-
вом продукции, которые выходят за рамки чисто роен-
ных задач, рассмотрим простейший пример военной за-
дачи.
Пример 7. Пусть самолет-разведчик определяет ко-
ординаты цели со среднеквадратичной ошибкой. ор,
ошибки измерений независимы.
Пусть стоимость вылета Ср, стоимость пуска раке-
ты Сш точность ракеты характеризуется среднеквадра-
тичным отклонением вп, радиус зоны поражения г, цель
точечная.
Требуется определить оптимальное число вылетов
самолетафааведчнка л0.
При л вылетах точность определения координат цели
согласно уравнениям математической статистики при-
’р
инмает вид	откуда суммарное рассеивание
а вероятность поражения цели
Р«в» 1—ехр -
Математическое ожидание суммарных затрат на раз-
ведку и стрельбу составляет
М = лСр +-----и.
1—ехр------
’ 4 +4
Задаваясь различными л И производя расчеты вели-
чины М, можно Определить Ло, т. е. такое л, при кото-
ром М минимально.
187
2.	Одномерные задачи поиска
Пусть задан некоторый рубеж (прямая линия дли-
ной £), перпендикулярно к которому могут двигаться
единицы противника. Наши дозоры располагаются на
этом рубеже н могут обнаружить противника на рас-
стоянии /?.
Тогда требуемое количество дозоров, если они не-
подвижны:
Если дозоров будет меньше—п, то вероятность обна-
ружения противника
В случае когда дозоры подвижны, они смогут до-
полнительно просматривать некоторой участок, и тогда
где фя— скорость дозора;
•оп — скорость Противника-.
Дозоры должны двигаться синхронно, проходя путь
_ V.
R — и возвращаясь назад.
Пример 8. Определить требуемое число дозоров:
а)	неподвижных, необходимых для надежного патру-
лирования участка-длиной 10 км, еслй дальность обна-
ружения /?=“! км;
б)	подвижных, движущихся со скоростью. 10 км/ч
при ожидаемой скорости движения противника 5 км/ч.
В первом-случае
Во втором случае
188
Как видно из примера, подвижный поиск значительно
эффективнее.
В общем случае задача оптимального распределе-
ния поисковых усилий при одномерном поиске ставится
следующим образом. Необходимо найти функцию плот-
ности поиска f (х) таким образом,' чтобы максимизиро-
вать следующий функционал (математическое ожида-
ние числа обнаруженных целей):
Q (?) = j Р (•*) (1 ~ ехр [-g(x) f (x)J) dx,
где p(x)—плотность вероятности обнаружения цели в
точке х;
£(х) —вероятность контакта с целью при поиске ее
вблизи точки х.
В зависимости от вида функций р(х) и g(x) полу-
чаем то или иное решение.
3.	Двухмерные задачи поиска
Одной из интересных решенных задач двухмерного
поиска является задача оптимального поиска по дан-
ным обнаружения других сил.
Пусть противник, способный перемещаться со ско-
ростью va в любом направлении, которое нам неизве-
стно (причем все направления равновероятны), обнару-
жен в точке с координатами хо, уо. Эти координаты оп-
ределены с некоторой ошибкой.
Спустя некоторое время в точку Хе, Уо может при-
быть дозор, цель которого — встретить противника. Оче-
видно, что в точке х0, у0 противника может ие оказать-
ся, так как он переместится в другую точку, кроме того,
координаты Хо, уа были определены с ошибкой.
Ставится задача: найти такой маршрут дозора, при
котором вероятность встречи с противником макси-
мальна.
Оказывается, что этот маршрут должен представ-
лять собой логарифмическую спираль
/?<=/?оехр (й<р),
где /?0 — радиус-вектор спирали при ф->0;
ф—угол, иа который развернута спираль;
к — параметр, определяющий ее форму и скорость
увеличения текущего радиуса-вектора.
189
Практически задача решается следующим образом:
вначале принимается гипотеза о том, что противник
движется иа дозор и, исходя из этого, дозор движется
по направлению к точке, где был обнаружен против-
ник. Встреча с противником должна в случае правиль-
ности принятой гипотезы произойти спустя время
/е"“ ’
где D — расстояние от дозора до места обнаружения
противника в начале поиска;
vu н — скорости противника я дозора.
Если встреча ие произошла, то из точки С, куда до-
зор пришел спустя время /с, он должен отправиться в
следующую, наиболее вероятную точку нахождения про-
тивника. Эта точка определится следующим образом.
Из точки, где был обнаружен противник, проводится
окружность радиусом »в(/с+Д0> а из точки С делается
засечка радиусом ояД/.
Так определяется точка-Ci, куда должен двигаться
доаор. Спустя еще Д/ проводим из точки, где был об-
наружен противник, окружность радиусом оп(*с+2А/),
а из точки Ct — засечку радиусом получаем точку Cj
и т. д. Кривая, составленная из отрезков прямых, яв-
ляется логарифмической спиралью.
Второй интересной задачей; решаемой в двухмерной
теории поиска, является задача об определении наибо-
лее вероятных направлений на цель.
Если в некотором районе возможно движение целей
со скоростями в любых направлениях, а дозор дви-
жется со скоростью од, то плотность вероятности обна-
ружения цели p(q) под заданным курсовым углом q
может быть определена с помощью полярной диаграм-
мы, показанной на рис. 28.
Из диаграммы видно, что в зависимости от соотно-
шения скоростей цели и дозорд вероятности обнаруже-
ния цели под заданным направлением могут быть либо
одинаковы, либо сильно меняться.
Диаграмма позволяет определить наиболее «опас-
ным направления и распределить поисковые усилия по
этим направлениям.
Строгое решение этой задачи приводит к необходи-
мости вычислять функцию распределения усилий <^{q)
190
исходя из максимизации величины Q(q), определяемой
выражением
Q (?) — jp (?) U - «Р (—? (?)]) dq.
Рнс. 28. Полярная диаграмма плотности веро-
ятности появления целей с различны^ направ-
лений
Существуют приближенные графические, методы ре-
шения этой задачи.
Глава XIV
ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1.	Общие замечания
В военном деле встречаются очень часто задачи, ко-
торые принято называть задачами распределения. Это
прежде всего задачи распределения средств усиления,
целераопределения и транспортные задачи, которые
описаны ниже, задачи выбора оптимального сочетания
различных боевых средств в подразделениях, построе-
ния оптимальной мноЬоэшелонной обороны' (т. е. рас-
пределения сил'и средств .по эшелонам), выбора опти-
мальной системы вооружений: (распределение ресурсов
по разным видам вооружения) и т. д.
Задачи распределения характеризуются следующи-
ми условиями (рис. 29).
Существует ряд операций, которые необходимо вы-
полнить; имеется также ограниченное количество ре-
сурсов, в частном случае достаточное для выполнения
всех операций. Некоторые Операции можно выполнять
разными способами, используя разные количества и
комбинации ресурсов, причем один способы могут быть
лучше других. Надконец, не все операции можно выпол-
нить лучшим способом из-за отсутствия ресурсов. По-
следнее условие и создает трудности в решении задачи,
так как в противном случае каждую операцию следо-
вало бы выполнять иаилучшим способом.
Необходимо в итоге решения задачи выбрать такое
распределение ресурсов по операциям, при котором
будет Достигнута наибольшая суммарная эффектив-
ность.
192
Математическая формулировка задач распределения
следующая.
Требуется найти такое распределение ресурсов (на-
бор величии xf, х3; ... ; хп), при котором критерий К—
e/(Xi; х»; ... ; хп) достигает максимума и выполняются
ограничения по ресурсам:
«11*1 4- «1>*1 + ~ + «1»*ж< А;
«21 *1 4* «П *2 4* ••• 4* «2Л Ха А»
«mlХ1 4- «m2 *2 4- ... 4- «тя*м<^ж,
Задача распределения
Рис. S9. Классификация задач распределения
7
ю. В. Чум
193-
а также условия неотрицательности величин х:
Q; •••» я»
Очень часто критерий является линейной функцией
величин, т. е.
К «	+ Mi + - +
Все задачи распределения решаются методами мате-
матического программирования, и, как правило, их ста-
раются Свести к наиболее простим задачам линейного
программирования.
Если рассматривается только, один внд ресурса, то
задача упрощается и носит название -задачи о назна-
чении.
Если все коэффициенты а равны единице, то задача
относится, к числу транспортных аадач.
В некоторых случаях наличных ресурсов может
быть недостаточно для выполнения всех операций; тог-
да необходимо выбирать, какие операции и каким об-
разом следует выполнять.
Наконец, существуют задачи, в которых можно
варьировать количество ресурсов,, и тогда необходимо
определить, какие ресурсы нужно добавлять и от каких
целесообразно отказаться.
2.	Транспортная задача
Задача об оптимальном прикреплении складов к бое-
вым подразделениям и частям, по существу, сводится
к транспортной задаче, -математическая формулировка
которой следующая.
Имеется N складов, каждый из которых распола-
гает единицами. Имеется М боевых частей, потреб-
ности каждой из которых выражаются т} единицами.
Известны затраты на доставку единицы с Z-го склада
в /-й пункт сц. Под затратами в зависимости от усло->
вий могут пониматься затраты времени, транспортных
средств, наконец, стоимости. Требуется найти такой оп-
тимальный план, т. е. систему величин х<>, показываю-
194
пшх, сколько единиц переводится с f-ro склада в /-й
пункт, при котором
я я
достигает минимума и соблюдаются очевидные ограни-
чения:
я
для всех J,
i-i
я
nt для всех 4
/-1
При этом, очевидно, должны соблюдаться условия:
я я
все х(, >0,
<-1	м
Эта задача является разновидностью классической
задачи линейного программирования, которую легко ре-
шить с помощью ЭВМ.
Пример 9. Необходимо подать в Четыре артиллерий-
ские части боеприпасы, которые имеются на четырех
складах. Путь от каждого склада до каждой части, по-
требности в боеприпдсах и иалнчие боеприпасов на
складах приведены в таблице.
''X. Часть CUU	Расстоакаа				Комкеегэо •марпееов ва шин
	1	1	а	4	
1		50	90	50	4000
2	80	30	80	80	2000
8	76	30	10	40	8000
4	50	90	70	, 20	3000
Потребности частей в бое- припасах	3666	6000	S606	1000	
Требуется определить, с какого склада какой части
необходимо подавать боеприпасы, чтобы общий путь,
проходимый транспортом, был минимальным. Решение
этой задачи с помощью ЭВМ не представляет никаких
трудностей.
7*	195
Оптимальным плаиом оказывается план, помещен-
ный в таблице, где приведено количество боеприпасов,
подаваемых из каждого склада в каждую часть.
Ч«сть Сыы	1	2	S	4
1	1000	3000		
2		2003		«аж
3		1000	2000	
4	2000			1000
3.	Задачи целераспределения
Целераспределение— это назначение определенной
цели определенному средству. Целераспределение мо-
жет проводиться для средств нападения, когда эту за-
дачу решают в ходе планирований операции, и для
средств обороны, когда решать задачу приходится в
ходе самой операции.
Выработка алгоритма задачи целераспределения в
общем случае достаточно сложна. Рассмотрим несколь-
ко простых примеров, показывающих существо' этого
процесса.
Целераспределение по группе имей. Пусть заданы
вероятности Рц поражения каждой /-й цели (всего
их N) каждым /-м орудием (всего их п). Требуется
назначить каждому /-му орудию j-ю цель, сделав это
оптимальным образом по какому-то критерию.
Такими критериями могут быть:
—	математическое, ожидание лисла пораженных це-
лей, тогда говорят о целераспределенин по математи-
ческому ожиданию;
—	вероятность поражения всех без исключения це-
лей, тогда говорят о целераспределенин по вероятности;
—	другие критерии (математическое ожидание за-
трат на поражение-всех целей н т. д.).
В первом случае критерием является математиче-
ское ожидание числа пораженных целей
N
j-i
где — вероятность поражения цели.
196
Неооходимо, чтобы величина 'М(х^) достигла макси-
мума. Итак, при" N > п задача формулируется сле-
дующим образом. Подобрать такие хц, равные 0 или1,
N	N
чтобы 2 хиРи достигла максимума, при этом
при всех i, т. е. орудие может быть прикреплено к Цели
только один раз, и 2	1,т- е- «ель может быть при-
креплена к орудию только один раз.
Это типичная задача целочисленного линейного про-
граммирования, методы решения которой на ЭВМ' раз%
работаны.
При N < п может быть назначено дополнительное
условие: ни одна цель не обстреливается дважды, пока
есть'необстрелянные цели, т. е.
N
2xij	I при всех I.
J-i
Наконец, разным, целям могут быть приписаны раз-
ные коэффициенты важности определение которых
составляет самостоятельную проблему, и тогда будет
максимизироваться выражение
а при N п
N
/-1
При цеддраспределения по (вероятности необходимо
максимизировать вероятность поражения всех целей
= Ш1®8аг3...дал.
Очевидно, Что необходимым условием этого являет-
ся возможность обстрела всех целей, т. е. N < п.
Такую задачу прнхрдитря решать методом перебора,
задаваясь вариантом целераспределения и подсчитывая
W7
Рк; при этом следует помнить, что при обстреле цели
двумя орудиями (иаПример, 1-м и 2-м) вероятность ее
поражения
В том случае, если Рц*const-Р, задача существенно
упрощается.
Можно доказать, что в этом случае максимум М(хп)
и PN достигается при условии, что орудия распределе-
ны по целям наиболее равномерно, на каждое орудие
приходится
А=^4„в целей,
где k — целое число;
О — правильная, дробь,
Очевидно, что .на каждую цель придется направлять
целое число орудий, тогда на М) целей будет направле-
но Л+1 орудие, а на N — Ni целей k орудий. Первые
цели будут поражены с вероятностью
а вторые с вероятностью
р>в 1-^(1-/?)»
Тогда
М (хв) = N {[ 1 - (1 - Р)‘] (1 _ в) + П - (1 -Р)**] •}•
Такое целерасйределение называется полностью ор-
ганизованным. Вычислим М*(ха) для случая неоргани-
зованного целераспределения» т.е. когда.каждое ору-
дие выбирает себе цель само (выбор каждой цели рав-
новероятен) .
В Атом случае вероятность поражения одной, цели
всей группой орудий
а математическое ожидание числа пораженных целей
М* (х„) - Nw - N [1 - (1 - - J)’] •
Отношение М(хп)/М*(хп) является в известной, мере,
критерием эффективности системы управления. При kt
блкаком к I, это отношение может превышать 1,5Q<
Целераснределение по группе площадных целей.
Критерии .выбора варианта целераспределения и в этом
случае могут быть разными, в частности:
— средняя доля поражения всех целей
где —суммарная пораженная площади
—суммарная площадь всех целей4,
— вероятность того, что на каждой цели будет по-
ражено не менее «< площади, т. е.
)
где Rty — Вероятность того, что на /-Й цели будет по-
ражено не менее и} площади.
Второй случай очень сложен (его приходится ре-
шать перебором).
Рассмотрим оптимизацию по первому критерию
(т. е. в конечном итоге по математическому ожида-
нию).
Пусть целераспределение произведено и иа каждую
цель выделено некоторое количество средств. Тогда,
пользуясь изложенными выше методами, для каждой
/й цели можно определить среднюю долю поражения
М^\ среднюю пораженную, площадь M&S®, суммарную
пораженную площадь
N
-J-*
и среднюю долю нораЖеиия по всем целям
N	гл
Таким образом, показано, что критерий оценки ана-
логичен критерию, рассмотренному в предыдущем пунк-
те, следовательно, если заданы величины Мц, то задача
сводится к задаче линейного программирования. На-
помним, что здесь придется пользоваться приближен-
ной формулой для определения М при нескольких уда-
рах.
199
Глава XV
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
1.	Общее сведения
Определение оптимальных запасов боеприпасов,
продовольствия, медикаментов и д', д. является одной из
важных задач, с которыми приходится сталкиваться
при планировании боевых операций.
Задача управления запасами в общем случае имеет
следующую формулировку.
Имеются некоторые запасы, затраты на содержание
которых являются функцией их величины (линейной
или нелинейной). Запасы расходуются тем или иным
образом, причем отсутствие Запасов приводит к тому
или иному штрафу (иногда отсутствие запасов вообще
может не допускаться).
Ставится задача определить размер запаса, опти-
мальный в смысле минимизации общих затрат.
Основными понятиями, с которыми приходится стал-
киватдся при решении этих задач (рис. 30), являются:
— затраты, которые по своему характеру разделя-
ются на затраты, связанные с доставкой партии, хране-
нием одного надел ня, внеплановое приобретение одного
изделия, убыток от продажи излишних изделий либо
иные виды-'функций штрафа;
—	запасы, которые могут относиться к изделиям
одного либо многих ТИПОВ и могут пополняться либо
мгновенно, либо с задерибсой во времени;
—	спрос, который может быть случайным или не-
случайным;
—	ограничения, которые могут иметь самый разный
характер.
200
Сложившейся теория управления запасами в настоя-
щее время не существует, хотя многие -задачи в этой
области решены и описаны.
№ функций
Ровных
издемО
Запасы
Ыды
затрат
Задачи
уяроерения
запасам/
.... . ,
8и?
ограничений
Пополне-
ние
Затраты на 6о-
ставку партии
опроса
.Мгновенное
.[задержкой
Лто изделия
Janpambify/unaQ
оапр^якуизлиш-
никцзхлий
Нелинейные -1
Рве. 30. Клмсяфякапяя задач управления запасами
В общем случае задачи управления запасами сво-
дятся к задаче нелинейного программирования, общих
методов решения которой нет, поэтому применяются
частные методы, нередко не гарантирующие получение
оптимального решения.
201
Ниже приводится наложение некоторых задач упра-
вления запасами, иллюстрирующее общий подход к ик
решению.
2.	Решение задачи в простейших случаях
Пусть некоторые изделия расходуются с постоянной
скоростью, причем допустить нехватки этих изделий
нельзя. Пусть затраты на доставку партии изделий не
зависят от ее размера и равны Q. Затраты иа хране-
ние одного изделия в единицу времени равны С,. Об-
щий спрос за интервал 6 равен N. Полагая, что все
партии состоят из одинакового числа изделий п, най-
дем эту величину из условия минимума суммарных за-
трат:
Суммарные затраты в этом случае
Максимальный размер запаса равен п, а изменение
запасов во времени должно происходить твк, как это
показано на рис. 31 (вверху).
Пример 10. Артиллерия морского десанта в сутки
расходует 10000 артиллерийских выстрелов (^=
— 10 000). Из-за поражения складов боеприпасов на
плацдарме морского десанта ,часть выстрелов пропа-
дает, что условно может быть представлено как стои-
мость хранения одного боеприпаса С,-=Ю руб./сутки.
Затраты на доставку партии боеприпасов ие зависят
ааметиым обрааом от количества доставляемых боепри-
пасов (в основном это затраты иа конвой) и состав-
ляют Gj—50 000 руб.
Определить оптимальный размер доставляемой пар-
тии боеприпасов, при котором суммарные затраты ми-
нимальны при условии, что нехватка боеприпасов ие
допускается.
Согласно-формулам, приведенным выше, получаем
п	= 10000 шт^
Сх-	1-"ГО—100000 руб.
202
Рассмотрим более общий случай, когда нехватка
изделий допускается, но приводит к убыткам Ср на из-
делие в единицу времени. Требуется выбрать макси-
мальный уровень запаса $ я величину п из условия
минимума суммарных затрат.
Г
В атом случае
маменмальиый размер запаса
суммарные затраты
С,- /
а изменение запасов во времени должно происходить
так, как это показано на рцс. 31 (внизу).
203
Пример 11, При тех же условиях, чтд я в предыду-
щем примере, допускается нехватка боеприпасов, но в
случае отсутствия боеЦрипасов на плацдарме ему при-
ходится оказывать огневую поддержку дальнобойной
артиллерией, что обходится в С,»20 руб. иа одни не-
достающий снаряд в сутки.
Определить оптимальный раамер доставляемой пар-
тии, максимальный запас и суммарные затраты.
Согласно формулам, приведенным выше, получаем
„	1/» 10000 50000 10 + 20	_
Л » у 2 —j— • —ф— • —2Q— = 12200 шт.;
з=12200-^^55 =8170 шт^
Сх = У 2-10000-1-60000-10-5^55- = 81700 РУ&
Оптимальный размер партии больше,, чем в преды-
дущем примере, максимальный запас меньше и суммар-
ные затраты также меньше, что говорит об эффектив-
ности резерва.
8. Решение задач в случае непрерывного случайного
спроса
Выше рассматривались, случаи^ .когда спрос непре-
рывный, но иесл^айиый, т. е. в* единицу времени в
требуется одно и то же количество изделий N. Одиако
практически так никогда ие бывает. За один отрезок
времени изделий потребуется больше, за другой отре-
вок времени меньше. В этом случае вместо N необхо-
димо либо знать вероятности той или иной потребно-
сти Р (-J-) > либо, если # достаточно велико, дискретное
распределение вероятностей может быть заменено не-
прерывным, характеризуемым плотностью распределе-
ния вероятностей / ("ё") •
Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть неко-
торые изделия расходуются с постоянной скоростью,
величина которой случайна и характеризуется вероят-
ностями ' Р (-$-) ,-затраты иа хранение одного изделия
204
в единицу времени С,, на доставку партии изде-
лий здесь будем считать достаточно малыми, в случае
нехватки изделий необходимы дополнительные затра-
ты С9 иа.-иедостающее изделие в единицу времени. Тре-
буется найти оптимальный уровень запаса и размер
партии.
Решение этой задачи достаточно сложно н имеет
следующий вид: необходимо рассчитать функцию
затем определить оптимальную величину из усло-
вия
4(«о —	+
а математическое ожидание расходов по формуле
Если распределение непрерывное, то соответствую-
щие суммы заменяются интегралами:
9
И*)
205
Приведем решение для случая, когда потребности
подчинены закону равной вероятности.
Прежде всего напомним, что функция плотности ве-.
роятности в данном случае принимает вид
f (-у) в 0 при -у- > ^‘
Тогда, используя формулу для L(в), получаем
и, используя формулу ДЛЯ
Из этого уравнения методом подбора можно найти -у-.
Для упрощения расчетов составлена следующая
таблица:
% ь	0,0	0,1	од	0.3	0,4	0,5	ОД	0,7	0,8	0,9	1,0
ct+c,	0,000	0,330	0^520	0,661	0,767	0,847	0,906	0,950	0,979	0,995	1,000
206
Математическое ожидание расходов равно
С>'—т‘-|т1«+тГ,,1Т +
+т£(4+-т4-**+«'*т)]-
Пример 12. В задаче, аналогичной указанной в при-
мере 11» вместо постоянной потребности Л^ЮООО сна-
рядов в сутки задано, что потребность может меняться
от 0 до 6=20000 снарядов в сутки по закону 'равной
вероятности, С; “О.
Вычисляем
С-	20 лсм
(?;+с; в 16+ю” °^667
я с помощью таблицы находим
-^«0,306,
откуда
а0« 0,306 • 20000 » 6120 шт.
Математическое ожидание расходов
„ Ю Г.3 е1ОЛ1 , 6120»	20000 ,
с» ” "Зоогяу L V •б12(>+~т~,п “6i2<r +
+	+ -|~.б120*—2-20000-61204-
+ 6120»1п-^)]-53°00 руб.
Математическое ожидание размера подаваемой пар,
тин
л = у «»»10000 шт.
Отметим, что если бы нехватка снарядов ие допу-
скалась (отсутствовала дальнобойная артиллерия), то
необходимо было иметь
s =«= в - Ь = 20000 шт.
т. е.- почти в три раза больше, чем в данном случае»
207
Следовательно, с учетом случайном характера ре-
зультатов ведения боевых действий необходимость в на-
личии резервов возрастает.
4. Общая задача управления запасами
Пусть имеются /-е типы . изделий (всего Р типов).
Обозначим через:z
Cj — затраты иа хранение одного изделия /-го типа
в единицу времени;
—-затраты иа создание запаса изделий /-го типа;
Nt — общее количество изделий f-го типа;
nt — число7 изделий /-го типа в партии;
Tt—интервал времени между заказами партий;
® — продолжительность периода пополнения запа-
сов.
Тогда получаем суммарные затраты
р
В трм случае, если заданы, кроме величин, указан-
ных выше,. /<—'сбыт изделий за1 единицу времени,
а — затраты иа хранение в единицу времейи, выраженные
в долях средней стоимости запаса,’ получаем
р
г (Л<) (liCl + ^Г + ^n‘Ci + т<);

Эти формулы могут быть записаны в следующем виде:

208
В ряде случаев могут быть введены ограничения.
Вычисление минимума Г(М при этих ограничениях
является задачей нелинейного программирования.
К сожалению, общая методика решения таких, задач
отсутствует, поэтому для их решения применяются ча-
стные методы, к числу которых можно отнести метод
Бекмана, позволяющий найти решение при небольшом
числе переменных и ограничений, метод Важоньи, поз-
воляющий найти возможное (но не оптимальное) ре-
шение в любых случаях.
В ряде случаев задачу удается свести к задаче ли-
нейного -программирования, но, как- правило, очень
большого размера.
Глава XVI
ЗАДАЧИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1.	Общие сведения о теории массового обслуживания
Задачи массового обслуживания широко распро-
странены в военном деле.
Так, например, задача отражения .налета бомбарди-
ровочной авиации силами противовоздушной обороны
является типичной задачей массового обслуживания.
Зенитные артиллерийские или ракетные установки об-
ладают ограниченными возможностями по обстрелу
(«обслуживанию») большого числа самолетов.
Каждая установка может обстреливать только одну
цель, затрачивая на это"некоторое время. При налете
большого числа самолетов (прн интенсивном потоке за-
явок) часть целей может остаться'необстрелянной («не-
обслуженной»). Определение оптимальной структуры я
состава системы ПВО (системы массового обслужива-
ния) может быть проведено с использованием теории
массового обслуживания. Методы- этой теории могут
использоваться при решении большого числа военных
задач. Системы разведки и противотанковой обороны,
управления войсками и связи, ремонта военной техники
и снабжения войск боеприпасами^ медицинского обслу-
живания и дегазационных пунктов могут рассматри-
ваться как системы массового обслуживания.
Общая схема задач массового обслуживания пока-
зана на рис. 32. Основные понятия, с которыми прихо-
дится здесь сталкиваться:
—	поток заявок;
—	система обслуживания?
210
ткчсмотся
л Заявки
приниНОттся
Вяартв нпнеров
Лнвраявпйшб&ия
ЪкрпНуц'п^Лцдм
поморе поапупяения
Онрюбныи псррВюм
сяриоритпон
Пкм&во>-пврвоО
tenon
к>чф&{.
1
обсяукамрнп
папок
Криперий
	Оплвлнарный |
	
	насяхвлхиарный|
-| Ойчусйные |
Ж&норЛп* I
число
замок
—(?«ы®Кййё»
-| АНиофа»^]
Одинарный |
ГМВЯВР
—fO^owwMfcwie]
Вр&я
обслуживания
о>
[Уаланосившегося
~ процесса
(Неуапановившвгося
процесаа
йуюйде | ^Неоу«абное
Н^кгаеичиалы«4Е»(пн)
-| Закон Эрпяа
-| Луме |
Рмс, 32. Классификация задач теории массового обслу-
живания
211
—	время обслуживания;
—	порядок обслуживания;
—	очередь;
—	критерий оценки системы.
Поток заявок на обслуживание рассматривается во
времени. Он может быть стационарным, когда его ха-
рактеристики во времени не меняются, и нестационар-
ным, когда его характеристики во времени меняются.
Он моЖет быть без последействия, когда число посту-
пающих заявок не зависит от того, сколько их посту-
пило в предыдущий момент времени, и с последейст-
вием, когда число поступающих в данный момент вре-
мени заявок зависит от того, сколько их поступило в
предыдущий момент времени. Иногда еще рассматри-
вают потоки с ограниченным последействием.
Наконец, потоки могут быть ординарные, когда в
один момент времени не. может поступить несколько
заявок, и неординарные, когда заявки могут поступать
группами.
Чаще всего рассматривают пуассоновский (простей-
ший) поток. Этот поток обладает рядом важных
свойств. Он является стационарным, ординарным и не
имеет последействия. К простейшему потоку системе
массового обслуживания приспособиться наиболее
сложно, поэтому системы, рассчитанные на этот поток,
будут надежно работать в условиях других потоков
(прн одинаковой интенсивности). Этот поток играет та-
кую же роль, как и нормальный закон в теории веро-
ятностей. При суммировании многих случайных пото-
ков образуется поток, приближающийся к простей-
шему. Для этого потока задачи массового обслужива-
ния Решаются наиболее просто.
Для этого потока вероятность поступления за про-
межуток времени г. ровно k требований определяется
формулой Пуассона
p»(^ = -^f-exp (—Х-с).
Интенсивность этого потока, т. е. математическое ожи-
дание числа требований, поступивших в единицу вре-
мени, равно величине параметра X.
Системы обслуживания могут быть однородными
(т. е. состоящими нз одинаковых устройств) н неодно-
212
родными, однофазными (когда заявка обслуживается в
одной фазе) и многофазными (когда заявки, пропущен-
ные в одной фазе, могут обслуживаться в другой), од-
ноканальиыми и многоканальными.
Приборы в системе массового обслуживания могут
подключаться в порядке их номеров, по мере освобож-
дения, случайным порядком. Заявки могут принимать-
ся по мере поступления, случайным порядком, с при-
оритетом (с прекращением обслуживания уже посту-
пившей заявки или без прекращения обслуживания),
по принципу последняя — первой, по определенным ка-
налам.
Время обслуживания заявки может быть неслучай-
ным и случайным. В последнем случае оио может быть
распределено по разным законам. Чаще всего рассмат-
ривается показательный закои, когда функция распре-
деления времени обслуживания имеет вид
F(/) = 1 — ехр(—рО,
Где р — величина, обратная среднему времени обслужи-
вания.
Очереди разделяются на очереди с отказами (при
занятой системе заявка уходит), с ограниченным вре-
менем ожидания (даявка ждет определенное время),
с ограпнчеиной длиной н, наконец, с неограничеииым
временем ожидания.
Длииа очереди может влиять на поток заявок и си-
стему обслуживания, одиако чаще всего это влияние не
учитывается.
При оценке систем массового обслуживания чаще
всего рассматривают установившийся процесс, формулы
для которого не дают существенных ошибок при общей
продолжительности рассматриваемого процесса ие
меньше чем (2—3)р.
В том случае, если система массового обслуживания
в начальный момент ие была загружена, в неустано-
вившемся режиме вероятность пропустить заявку необ-
служенной меньше, чем при установившемся процессе.
Ниже рассматривается только установившийся про-
цесс.
Важнейшими критериями систем массового обслу*
живания являются:
213
—	вероятность пропуска (задержки в обслужива-
нии) заявки;
—	математическое ожидание числа пропущенных
(задержанных) заявок за фиксированное время;
—	математическое ожидание числа занятых кана-
лов;
—	математическое ожидание длины очереди.
Многие частные случаи задач теории массового об-
служивания решены, В общем случае для решения
этих задач может быть применен метод статистических
испытаний.
Ниже на ряде частных примеров показано примене-
ние теории массового обслуживания для решения воен-
ных задач исследования операций.
2.	Определение оптимального числа эшелонов
в системе ПВО м их состава
Пусть время пролета самолетом противника зоны
действия комплекса ПВО соизмеримо со временем об-
стрела. В этом случае имеем систему с отказами (если
комплекс ПВО аанят обстрелом одной цели, то вторая
пройдет. необстрелянной).
Налет противника задан в форме пуассоновского
с интенсивностью X и общим числом самолетов N. Тре-
буется выбрать оптимальное число эшелонов в системе
ПВО, полагая, что число эшелонов не может быть боль-
ше- двух. Для простоты положим, что вероятность по-
ражения цели, если оиа была обстреляна, равна еди-
нице.
Рассмотрим прежде всего случай,, когда рассматри-
ваемые зенитные комплексы однотипны, характеризу-
ются параметром скорострельности р и общее число
их Nk.
В этом случае для любого числа эшелонов вероят-
ность прохода самолета к объекту прикрытия
D —	+ »я -Н» • +
• I 3»+я»+-	’
214
где<—число эшелонов (фаз обслуживания);
п< — число комплексов в Лм эшелоне.
Диализ этой формулы показывает, что для однотип-
ных Комплексов величина Р< зависит не. от числа эше-
лонов, а от общего числа комплексов.
Пример 13. Определить вероятность пролета самоле-
та противника через зону ПВО, если интенсивность по-
тока самолетов Х«=2 сам/мин, параметр скорострельно-
сти комплекса ПВО р»3 сам/мин, число комплексов —
2, эшелонов 1.
Тогда согласно формулам, написанным выше, полу-
чаем у, а
= 0,118.
В том случае, если комплексы разнотипны и в каж-
дом эшелоне может находиться только по одному ком-
плексу и число эшелонов (фаз обслуживания) равно
двум, вероятность прохода самолета необстрелянным
равна
X* 4- X (|*i + Hi) + -yvy- (2Х +	+ |*i)
Л г* Г1
где pi и pa — параметры скорострельности комплексов
первого и второго эшелонов.
Напомним, что в данном случае с .точки зрения тео-
рии массового обслуживания речь идет об одноканаль-
ной, неоднородной, двухфазной системе с откззамн.
Формула позволяет рассмотреть вопрос о целесооб-
разном размещении комплексов в эшелонах.- Анализ
формулы, показывает, что небезразлично, в каком по-
рядке поставлены комплексы.
215
Разумное расположение комплексов при прочих
равных условиях может повысить эффективность си*
стемы ПВО.
Пример 14. Определить вероятность пролета само*
лета противника через зону ПВО, если в первом эше-
лоне стоит зенитный комплекс с pi—2 сам/мин, а во
втором с рз*в4 сам!мин, а интенсивность налета X—
—2 сам]мин.
А------------------ч*—-------------- - °’137'
2» + 2(2 + 4)+-5±р-^-2 + 2 + 4У
т. е. хуже, чем в примере 13.
Если комплексы переставить (pi *2 сам]мин-, р8«-
—4 сам/мин), то
Pt —------------*  4-3------------«0,111,
2* 4- 2 (4 + 2) +	(2-2 +'4 +• 2)
т. е. лучше, чем в предыдущем случае.
3.	Случай очереди с ограничениям временем
ожидания
Этот случай имеет место тогда, когда цель нахо-
дится ограниченное врейя в .зоне-обстрела, но это вре-
мя существенно больше, чем время обстрела. Такой
случай- можёт быть при налетах авиации, атаках Тан-
ков и Пехоты.
Пусть закон времени пребывания, мели в зоне об-
стрела также имеет экспоненциальное распределение
А (/)==* ехр (—»/);
1
‘Ож
где 7ож —1 среднее время ожиданий.
Остальные обозначения сохраним .прежними. Рас-
смотрим п-каиальную, однородную, однофазную си-
стему.
216
Тогда вероятность пропуска цели (заявки)
nt Л; «
П (« + «₽)
где
Расчеты по этой формуле достаточна громоздки.
Для их облегчения составлены специальные таблицы
Р<(а,	л), которые приведены'в [2].
Пользуясь этой формулой, можно решить ряд инте-
ресах задач исследования операций для тех случаев,
когда время пребывания цели в зоне обстрела не яв-
ляется малым по сравнению с временем обстрела од-
ной .единицы.
Пример 15. Определить вероятность пролета само-
лет^ противника при налете сХ—2 сам/мин через зону
ПВО, состоящую на двух зенитных комплексов (а®2),
характеризуемых р—3 сом/жил, если время пребывания
самолета в зоне обстрела /ож=2/з мин. Вычисляем
Согласно табл. 11 из [2] находим Р<=0,038.
Сравнение с примером 13, где /ож“0, показывает, что
увеличение времени пребывания цели в зоне обстрела
существенно уменьшило вероятность ее пролета.
На практике могут встретиться случаи, когда цели
появляются группами (например, звенья самолетов).
Пусть число целей в группе т, а плотность потока
групп X.
Тогда вероятность пролета цели необстрелянной

217
где величину Рк вычисляются из следующей системы
рекуррентных уравнений^ ?
(а + 1°)А —аР>;
(а + т) Рт =» (ж + 1) Р(я+1) + «Ро, йри	т;
(а +*'Л) Р* = "(Л + 1 j Р(Д+1) + прн А > т\
(а + л) Р„ - (л + ?) Р(а+1) + «^(,-м) при п > щ
(а + п + Й) Р{я+4 — (Л + (« + i) й А<Н-Ж) +
+ аР(„+,-т) При !<«<<».
Обычно ограничиваются десятью уравнениями.
4.	Определение оптимального количества
и пропускной способности ремонтных мастерских
С точки зрения теории массового обслуживания ре--
монтные мастерские представляют собой систему с. не-
ограниченным временем ожидания.
Рассмотрим определение оптимального числа кана-
лов и пропускной способности Мастерских для случая,
когда технику привозят и мастерские.
Будем считать известными:
— стоимость мастерских См как функцию числа
каналов обслуживания л:
~ Ас. и Я i
— стоимость единицы вооружения Са;
— параметр пуассоновского потока поступления за*
явок на ремонт X от одного образца вооружения, кото-
рый определяется для мирного периода надежностью
вооружения, а для военного, кроме того, и интенсивно-
стью ударов противника;
— параметр показательного закона времени ремон-
та одного образца р.
При характеристиках потока заявок и времени об-
служивания, указанных выше, получаем среднее число
образцов вооружения, ремонтируемых и ожидающих
ремонта:
да	да
 ж	/я!«*	п
218
где
m!a*
*!(m —*)!
m! a*
(ж — *)! ’
tn — число обслуживаемых боевых единиц.
Учитывая, что число- исправных единиц в среднем
должно быть ие менее заданного тэ, подучаем, что
с. учетом ремонтируемых единиц общее их количество
т равно
Стоимость боевых единиц
Ce = Ctm ==	1 +	•
Стоимость ремонтных мастерских определяется по
формуле, написанной выше, и суммарная стоимость
(мастерских и вооружения) по формуле
С,. — С,т 4- Ас.м п.
При	п, а), причем а задано, задача сводит-
ся' к нахождению такой пэры т и п, при которой со-
блюдается- условие для т и G достигнет минимума.
Практически задачу приходится решать путем под-
бора соответствующих значений т и п, в следующем
порядке:
— задаемся л«1;
— задаемся	вычисляем Ро, М и прове*
ряем выполнение условия для т;
—	 в зависимости от результатов счета задаемся но-
вым значением т;
—	расчет- ведем до тех пор, пока ие лодберем под-
ходящее значение т;
—	вычисляем Ci при этих /пил;
—	повторяем весь цикл при новом п, увеличенном
иа< единицу, н т. д.;
— определяем такое п и соответствующее ему т,
при который Сх минимально.
ЭТОТ алгоритм легко реализуется на любой ЭВМ,
Глава XVII
СОСТЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ (ТЕОРИЯ ИГР)
1.	Общие сведения о теории игр
Теория игр — это математическая теория конфликт»,
них ситуаций, т. е. таких ситуаций, в которых сталки-
ваются интересы двух или более сторон, преследующих
различные цели.
Из определения теорий игр видно, что она рассмат-
ривает Задачу типичные для военного дела.
Игра—это конфликтна» ситуация, регламентиро-
ванная определенными правилами, в которых должны
быть указаны:
—	порядок чередования действий участников (хо-
дов);
—	правила выполнения. каждого хода;
—	количественный результат игры (выигрыш, про-
игрыш)- к которому приводит данная совокупность
ходов.
Партия — это возможная реализация этих пра-
вил.
Стратегией игрока называется совокупность реко-
мендаций по ведению игры от начала до конца. Этот
термин по своему содержанию отличается от термина,
принятого в военном деле.
Схема задач, рассматриваемых в теории игр, пока-
зана на рис. 33. Она не претендует на полную класси-
фикацию задач теории игр, а показывает только те
особенности их, с которыми приходится сталкиваться
в исследовании операций.
220
Различают стратегические игры, где исход зависит
от выбранной стратегии, и игры с чисто случайным ре-
зультатом, которые в книге не рассматриваются.
Игры могут быть с полной информацией (шахматы,
шашки) или с неполной. Последние являются основны-
ми в исследовании операций.
ОфОММКШ
иеры
игры с неполной
информаций
ОЛшвЛяые
__ вяшя *адов
млеттыё
Платежная матрица игры				
\в 4 \	Bt	Bt		Bn
А/	а,/	aS	....	aUI
At		°а	....	
			А . . .	
	' Ош»	Oni		a^tn
Рис 33. Классификация аадач теории игр
В исследовании операций приходится сталкиваться
с одноходовыми и многоходовыми играми, причем чис-
ло стратегий может быть как конечным, так и беско-
нечным.
Рассмотрим прежде всего так называемые матрич-
ные, или прямоугольные,, игры, для которых может быть
составлена платежная матрица»
221
Платежной матрицей называется матрица, показы-
вающая платеж одной стороны другой при условии, что
первая сторона выбрала стратегию а вторая В<.
Если сторона А имеет т стратегий, а сторона В — п
стратегий, то такая игра называется т\п.
Играми с нулевой суммой называются такие игры,
в которых то, что проигрывает одна сторона, выигры-
вает другая. С Такими играми, как правило, приходит-
ся иметь дело в исследовании операций.
Решить игру — значит найти оптимальные стратегии
обеих сторон и определить цену игры: ожидаемый вы-
игрыш стороны А иди проигрыш стороны В.
Оптимальной стратегией называется такая страте-
гия, которая при многократном повторении игры обес-
печивает данному . игроку максимально возможный
средний выигрыш. Любое отклонение от оптимальной
стратегии уменьшает выигрыш.
При рассмотрении платежной матрицы следует сра-
зу же отбросить дублирующие и доминирующие стра-
тегии.
Дублирующими называются такие стратегии, для
которых платежи полностью совпадают друг с дру-
гом.
Доминирующими называются ярно невыгодные
стратегии; т. е. такие, у которых все Платежи выше, чем
у какой-нибудь другой стратегии.
Решение игры может быть найдено либо в чистых
стратегиях, когда игрок должен следовать одной един-
ственной стратегии, либо в смешанных, когда игрок
должен с определенными частостями применять две
чистые стратегии или более. Последние в этом случае
называются активными.
Доказывается, что любая конечная игра имеет ре-
шение в области чистых или смешанных' стратегий, при-
чем число активных стратегий во втором случав не бо-
лее тип.
Прн выборе оптимальной стратегии за основу при-
нимается предположение, что противник является ра-
зумным и делает все, чтобы помешать нам1 добиться
своей цели, откуда -следует основной',принцип теории
игр: выбирай свое поведение так, чтобы оно было рас-
считано на нанхудший для нас-образ ответных дейст-
вий противника.
222-
Принцип выбора каждой стороной наиболее осто-
рожной («перестраховочной») стратегии называется
«принципом минимакса».
Нижняя цена игры а—это максимальный выигрыш,
который можно гарантировать в игре против раяумио-
го противника, выбрав одну из своих стратегий.
Верхняя цена игры {3—это минимальный проигрыш,
на который может рассчитывать противник, выбрав для
себя одну из своих стратегий в расчете иа наихудшее
для себя наше поведение.
Если в“₽, то решение игры находится в области
чистых стратегий, в противном случае в области сме-
шанных.
Применение классической теории игр в военном деле
не всегда оказывается эффективным. Более целесооб-
разным может оказаться введение в теорию.игр «функ-
ций полезности» [24] или использование теории рефлек-
сивных игр [5].
2.	Решение методами теории игр задачи о выборе
оптимального сочетания различных видов
боевой техники
Пусть имеются две системы оружия и Л2 (на-
пример, ЗРК), одна из которых эффективна против од-
ного вида целей (например, иизколетящих), вторая
более эффективна против других (например, высоколе-
тящих).
В результате расчетов эффективности при каждом
варианте действий получается платежная матрица, эле-
ментами которой могут быть вероятности поражения
данной цели данным комплексом.
'Х. в А	В,	в.	mln строк
At	ли	Л|»	“I
4»	«V	ли	“t
max столбцов	е.		
222
Выбрав минимум из каждой строки, находим иижнюк
цену игры а =-max оч, а выбрав максимум из Каждогс
столбца, находим верхнюю цену игры 0=min0{.
Если они совпадают, то пересечение соответствую-
щей строки и столбца дает оптимальные страте-
гии (это будет случай, чистых стратегий). Цена игры
в этом случае о=*вяр.
Если они ие совпадают, то цена игры заключена
между а и 0 и имеет место случай смешанных стра-
тегий.
Для игры 2x2 имеется аналитическое решение. Ча-
стоты применения стороной А стратегий равны
р —_ ____<М — Й»1	Р 1   Р
* «и + «м ““(«»* + Лн)’ 8	*’
Цена игры в этом случае
® = anPl + aJJP1,
оптимальные частоты применения стороной В страте-
гий равны
Пример 16. Имеются две системы J3PK. Одни (вы-
бор их — стратегия Л1) более эффективны против высо-
колетящих целей, другие (выбор нх — стратегия А3)
против иизколетящнх. Противник может лететь на ма-
лых (стратегия. Bi) и больших^ (стратегия В3) высотах.
Расчеты эффективности для всех четырех возмож-
ных вариантов сочетаний стратегий позволили постро-
ить платежную матрицу, в которой показаныъвероятно-
сти поражения самолетов.
в А^Х.	в,	а.
At	0,4	0,2
А»	0,2	0,6
Требуется найти оптимальные стратегии сторон и
цену игры.
224
Согласно написанным выше формулам получаем
D________0,6 —0,2	_ 2 .
0,4 + 0,6 —(ОД + 0,2) Т’
v=o,4-|-+o,2.47=’4-;
-у-0,2 _ 2	2 _ 1
o;r-7j£=“3~’ ?2 з
Следовательно, целесообразно иметь Vs комплексов А г
и */з комплексов А2. Противнику целесообразно прово-
дить 2/э налетов на малых высотах и */а на больших.
При этом вероятность сбнтня целей ’/з- Однако это
справедливо только тогда, когда стороны не знают
о действиях противника.
В случае игры юхп, где т>2 н п>2, решение ока-
зывается более сложным (если верхняя н нижняя цены
игры не совпадают).
Эти задачи в общем случае могут быть сведены к
задаче линейного программирования н точно решены
одним нз большого числа существующих методов ре-
шения задач линейного: программирования.
Задача теории нгр может быть описана следующей
системой уравнений:.
®йЛ + «м *> + ••• + a„t х„ > 1;
а1я *1 + Лм *» + - + Лам > 1,
где xt — ^-, 2-**ss4’ и ТребУется найтн минимум ли-
нейной формы	+хп.
Существуют н приближенные методы задач теории
игр, в частности итеративные методы Неймана, Брауна
и другие. Таким образом, игра mXn может быть реше«
иа, причем трудоемкость-этого решения (машинное
время) возрастает с увеличением /пХл,
8 Ю. В. -Чуев	225
3.	Случай игр с несколькими ходами
Bbinfe рассматривался случай игры с одним ходом,
однако в практике исследования операций приходится
сталкиваться и со случаем игры, где число ходов боль-
ше одного.
Путем процесса, называемого нормализацией, такие
игры сводятся к эквивалентным прямоугольным играм.
Процедура нормализации состоит в построении дерева
игры (рис. 34), подсчете платежа для каждой ветви
игры и составлении платежной матрицы.
Рис. 34. Дерево игры
Пусть у стороны Д есть при первом ходе две стра-
тегии (например, сосредоточение артиллерии на одном
4„ или другом направлении 4’р) и при втором ходе
тоже две стратегии (например, подать бронебойные сна-
ряды А^ или осколочно-фугасные А^). У стороны В
при первом ходе две стратегии (например, послать тан-
ки на одно Bj или на другое Bj направление). Изве-
стен платеж для любого варианта ходов (например,
ущерб, наносимый стороне В).
Рассмотрим теперь все возможные стратегии сто-
роны А:
41 — выбирается А’п и 4^ независимо от поведе-
ние стороны В;
'At — выбирается 4'р а второй ход по правилу:
если'В^, то 4J,; если В'9 то А&
226
Д8— то же, но второй ход делается наоборот по
сравнению с предыдущим порядком;
At — выбирается Д„ и А^ независимо от поведения
стороны В;
Ag — выбирается А'ю и А^ независимо от поведения
стороны В;
— выбирается А^, а второй ход по правилу: если
BJ, то А’21; если В^, то Д^;
А7 — то же, но второй ход делается наоборот по
сравнению с предыдущим порядком;
Д8 — выбирается А’12 и независимо от поведе-
ния стороны В
У стороны В четыре возможные стратегии:
Bt — выбрать Bj независимо от поведения сторо-
ны Д;
В3 — если Д^, то В\, а если А’п, то В£
В8— то же, но наоборот»
В4 — выбрать В' независимо от поведения сторо-
ны А.
Теперь можно составить платежную матрицу, поль-
зуясь рис. 34 н обозначениями стратегий сторон.
Вместо матрицы 2X2, которая имела место при од-
ноходовой игре, получена более громоздкая матрица
8X4.
8*
Игра может проводиться при наличии полной ин-
формации, при наличии информации о первом ходе и
при отсутствии информации.
Если информация полная, то возможны все страте-
гии сторон А и В, указанные выше.
Если у стороны А информации перед вторым ходом
нет, то стратегии Аз, Лз, Ав и Аг пропадают, так как в
них сторона делает ход в зависимости от первого хода
стороны В н имеет место игра 4X2.
Если нет ‘информации у стороны В, то у нее оста-
ются только две стратегии Bi и В4 и имеет место игра
8X2. Наконец, при полном отсутствии информации
имеет место игра 4X2.
Пример 17. Для ситуации, описанной выше, за-
даны математические ожидания потерь стороны В:
в! = 10; аа=2; as=5;	а5=6; Oe“4; ai~lO;
а8=2.
Определить цену игры о в случаях:
1)	полной информации (обе стороны знают о каж-
дом ходе друг друга);
2)	у стороны А нет информации перед вторым хо-
дом (она не знает, как поступила сторона В);
3)	у стороны В нет информации перед первым хо-
дом (дна не знает, как поступила сторона А).
Не останавливаясь иа вычислениях, приводим окон-
чательные результаты: t>i = 7; оа=5,9; о8=9Д
Итак, за счет скрытности действий,-сторона В
уменьшает свой проигрыш с 7 до 5,9, т. е. иа 16%,
а сторона А увеличивает выигрыш с 7 до 9,2, т. е.
иа 30%.
4.	Случай игр с бесконечным числом стратегий
В бесконечной игре уже ие удается составить пла-
тежную матрицу. Она заменяется платежной функцией
М(х, у), где х и у —параметры, характеризующие
стратегии сторон.
С этими играми мы сталкиваемся в тех случаях,
когда речь идет о выборе не из конечного числа образ-
цов, методов действий, а из каких-то непрерывных по-
следовательностей (например, оптимальная дальность
открытия огня, высота полета и т. д.).
228
Стратегиями в общем случае являются функции
распределения F(x) и О (у), а цена игры
1Г1
o,(F, G) = j y)dF(x) dQ(y).
В ряде практически встречающихся случаев беско-
нечные игры могут быть сведены к конечным путем
разбивки непрерывной величины (например, дальности
открытия огня) на ряд дискретных, что снижает точ-
ность решения задачи н приводит к громоздкой пла-
тежной матрице.
Точное решение бесконечных игр с отсутствием ин-
формации удается получить только в отдельных слу-
чаях.
Определенный интерес в исследовании операций мо-
гут представить результаты теории бесконечных игр
для равного вида дуэлей.
Общая схема дуэлей такова. Два противника сбли-
жаются начиная от определенного рубежа. Вероятность
поражения до того, как достигнут рубеж, Л(0) =
—Ps(0) =0, Далее эти функции возрастают в зависи-
мости от пройденного противником расстояния соответ-
ственно на величины 5 и ц, которые меняются от 0 до 1
и составляют на конечном рубеже Р\ (1) =Р»(1) — I.
Противники могут сДелать по Одному выстрелу нлн
более (/nD и пв соответственно), могут иметь или не
иметь информацию о том, произвел противник выстрел
или нет. Цена игры принимается +4 прн поражении
противника и —1 при своем поражении.
Рассмотрим случай одного выстрела. Если против-
ники имеют информацию о проведении выстрела, то
игра имеет чистую стратегию, причем So определяется
йз соотношения
А(М + А«о)-ь
Оптимальным моментом выстрела для второго игро-
ка (в случае его выживания) является -rjo= 1.
Цена игры определяется из выражения

229
Пример 18. Определить оптимальные момеяты про-
ведения противниками выстрелов, если известно, про-
вел противник выстрел или нет, а .вероятность пораже-
ния возрастает линейно от пройденного расстояния, т. е.
Пользуясь соотношением для вероятностей, полу-
чаем
откуда $о=0,5, т. е. целесообразно провести выстрел,
пройдя половину' расстояния до противника. Цена игры
v =2-Q,5 -1 = 0.
Пример 19. Решить ту же задачу, что и в приме-
ре 18, если Pi=5, a Ps-ip, т. е. вероятность поражения
выстрелом второй стороны возрастает пропорциональ-
но квадрату расстояния (с учетом того, что т] < 1,
медленнее, чем у первой стороны).
Пользуясь соотношением для вероятностей, получаем
откуда	_________
$о =—± У(4-)‘+1 °ж0’62'
Второй корень отбрасывается, как ие имеющий физиче-
ского смысла (0< £q <!)•
Цена игры
= 2-0,62-1=0,24,
т. е. первая сторона в 24% случаев-выигрывает.
Если игроки не имеют информации о проведении
выстрелов (выстрелы «бесшумны»), задача также имеет
решение.
В частности, при “/*»($) =$ плотности опти-
мальных стратегий (здесь они смешанные) запишутся
в следующем виде:
т-
о<е<4-;
0
V—0.
290
Если один игрок имеет информацию о проведении
выстрела противником, а другой нет и Pi (0 wP»(t) ° 5.
то оптимальная стратегия первого игрока характери-
зуется плотностью
а второго
^’>-57ПпТ^+2’1-|>'м
Цена игры о—0,11, т. е. отсутствие информации при
прочих равных условиях приводит к проигрышу той
стороны, которая ие располагает информацией.
Теория игр -Дает формулы для определения опти-
мальных стратегий и в тех случаях, когда противники
располагают несколькими выстрелами в различных
условиях.
Глава XVIII
ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ
1.	Общие сведения
В военном деле часто приходится сталкиваться с не-
обходимостью выбора оптимального порядка действие.
При планировании любой военной операции илн боя
приходится вибирвть последовательность мероприятий
по их подготовке и проведению. В некоторых случаях
выбор этого порядка не представляет каких-либо
трудностей, однако иногда он бывает Достаточно труд-
ным.
Вопросы, указанные выше, относятся к задачам упо-
рядочения.
Содержанием задач упорядочения является выбор
порядка действий, оптимального в смысле минимуме не-
которого критерия, например времени обслуживания
группы объектов. При этом могут задаваться опреде-
ленные ограничения, например по срокам выполнения
некоторых групп операций.
Покажем решение задачи упорядочения на простей-
шем примере.
Пример 20. Пусть требуется подготовить переправу
через реку в двух пунктах А и В, причем для этой под-
готовки необходимо в каждом случае сначала проло-
жить дорогу, что может быть сделано подразделением а,
и построить мост, что может быть сделано подразделе-
нием Ь.
232
Время выполнения работ показано в таблице. Две
работы одновременно выполняться не могут.
Подраз* деление	Пункты	
	А	в
а	1	3
ь	5	2
Требуется найти такой порядок выполнения работ,
при котором общее время, затрачиваемое на подготовку
Рис. 35. Диаграмма Ганта
Здесь возможны два решения: сначала готовить пе-
реправу в пункте А, а затем в пункте В (последова-
тельность АВ), и наоборот (последовательность ВА).
Общее время в данном случае легко вычисляется с
помощью так называемой диаграммы Ганта (рис. 35).
На диаграмме сплошной линией показано выполне-
ние работ на переправе А, пунктирной — на перепра-
ве В. Наклонная линия означает время ожидания, пря-
мая— выполнение работы. Заштрихованная область
означает время, когда подразделение не занято.
Из сравнения диаграмм видно, что первая последо-
вательность дает экономию’времени в две единицы.
Исследование каждой последовательности не пред-
ставляет существенных трудностей, однако полный пе-
ребор всех возможных последовательностей связан с та-
ким числом расчетов, что в ряде случаев его применить
не удается даже при использовании ЭВМ. Так, напри-
мер, наличие всего 10 переправ и 2 подразделений при-
233
водит к появлению около 4 • 10е возможных последова-
тельностей.
Анд^ятичеокие методы -решения созданы лишь для
простейших случаев. Практически просматривается огра-
ниченное количество вариантов и выбирается лучший
из них, примем оптимальность его, конечно, не гаранти-
рована.
Известная задача выбора оптимального маршрута
тоже близка к задачам упорядочения и так же, как и
она, не имеет общего решения.
Один из подклассов задач упорядочения (сетевые,
методы планирования) получил в последнее время боль-
шое развитие.
Ниже коротко излагаются эти задачи.
2.	Задача выбора кратчайшего пути
Эта задача, которую называют задачей коммивояже-
ра, ставится следующим образом.
Необходимо посетить несколько пунктов, расстояния
между которыми (либо время, лйбо стоимость затрат)
известны. Необходимо выбрать оптимальный в смысле
минимума расстояния (либо каких-либо затрат) марш-
рут, начинающийся и Заканчивающийся в одном задан-
ном Пункте. Полный перебор вариантов здесь затруд-
нителен. будем рассматривать случай, когда каждый
пункт, кроме заданного, посещается только одни раз,
а заданный —только два раза.
Существуют две разновидности этой задачи: симме-
тричная, Когда цена пути не зависит от направления
движения, и несимметричная, когда такая зависимость
существует.
Общая формулировка задачи следующая. Найти пе-
рестановку P(l\, is, .... in) целых чисел от 1 до л, при
которой достигается минимум функции
С== С1,Ь + Ci,i, + ~ + С1ям
где й й, ..., 1п являются действительными числами.
Если	то имеется (л—1)! перестановок,
если	то число возможных перестановок
4-и-i)i
234
В случае	и 10 пунктов, которые необ-
ходимо посетить, число возможных вариантов состав-
ляет около 200 000, а для 20 пунктов приближается
к 10”. Следовательно, полный перебор всех вариантов
невозможен даже при применении ЭВМ.
Общий метод решения этой задачи не найден', хотя
существуют методы, позволяющие находить улучшенное
решение.
Пример 21. Самолеты разведчики^ вылетающие из
пункта А и возвращающиеся в него, должны пролететь
над тремя пунктами (BCD). Математическое ожидание
потерь самолетов при пролете между этими пунктами
задано таблицей.
О
0,2
0,4
0,6
в	С	D
0,2	0,4	0,6
0	2,2	0,1
2,2	0	0,2
0,1	0,2	0
Требуется найти оптимальный маршрут, при полете
по которому математическое ожидание потерь мини-
мально. ''
Очевидно, что возможные маршруты ABCDA,
ACBDA, ABDCA.
Рассчитываем, пользуясь таблицей, ожидаемые по-
тери самолетов. N при -всех этих маршрутах:
N(ABCDA) =ч 0,2+ Я2 + 0,2 + 0,6 = 3,2;
N(ACBDA) = 0,4 + 22 + 0,1 + 0,6 = 3,3;
N (АВDC A) = 0,2 + 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,9.
Наивыгоднейший маршрут последний.
3.	Сетевые методы планирования
Очень часто для выполнения сложной операции тре-
буется провести ряд частных операций. Некоторые из
ннх могут выполняться последовательно, некоторые
235
одновременно. Для анализа таких процессов удобно
пользоваться методами сетевого планирования. Основ-
ные понятия, с которыми при этом приходится стал-
киваться: события, работы, сети, критический
путь.
События —это некоторые промежуточные или конеч-
ные результаты работы. Момент свершения события —
это момент достижения соответствующей промежуточ-
ной или конечной цели. Каждое событие, кроме началь-
ного и -конечного, означает окончание какой-то работы
(либо-нескольких работ) и возможность начала другой
(последующей) работы-.
Работы (действия, операции) представляют собой
процессы, необходимые для свершения всех событий
сети,- кроме начальных. С помощью понятия «работа»
характеризуются три вида связей между событиями:
—	работа в обычном смысле этого слова, которая
характеризуется продолжительностью, стоимостью, за-
тратами трудовых н материальных ресурсов;
—	ожидание, которое имеет место тоТда, когда обо-
рудование, рабочая сила и т. д. заняты другим видом
работы; оно характеризуется затратами времени;
—	логическая зависимость, т. е. невозможность на-
чала одних работ до -окончания других; оиа не свя-
зана йи q затратами времени, ни с затратами ре-
сурсов.
Сетью (сетевым графиком) называется графическое
изображение последовательности работ.
Критическим путем называется такая последователь-
ность взаимосвязанных событий, которая имеет наи-
большую продолжительность по времени и, следова-
тельно, характеризует продолжительность всей опе-
рации.
Сетевые методы планирования применяются:
-	- при- планировании боевых действий (планирова-
ние операции, организация' взаимодействия, огневой
поддержки, снабжения, транспортировки-и т. д.);
—	при разработке крупного комплекса вооружения;
—	при строительстве крупного объекта;
—	- прн организации крупного предприятия и т. д.
Процесс сетевого планирования состоит в построении
сетевого графика, таблицы работ, в-которой указыва-
ются параметры, характеризующие их продолжитель-
236
и ость, и в анализе сетевого графика. Сетевой график
н таблица работ показаны на рнс. 36.
При анализе сетевого графика:
—	определяется критический путь;
—	определяются резервы времени на других путях;
—	корректируется сетевой график путем сокраще-
ния продолжительности работ иа критическом пути с
учетом - имеющихся ограничений по стоимости, ресурсам
и т. д.;
Мо- ты	фймжитлнмъ			
		пЛп	max	
А				
В				
В				
Г				
А				
Е				
Ж				
Ряс. Зв. Сетевой график  таблица работ
•	— определяется продолжительность операций (нор-
мальной, самых ранних сроков, самых поздних сроков,
вероятностной оценки времени);
— определяется вероятность возникновения других
критических путей.
Се^ерые методы используются не только при плани-
ровании операции, но и при контроле за ходом ее вы-
полнения, когда по Информации о фактических затра-
тах времени производится повторный анализ сетевого
графика и принимаются соответствующие решения.
Рассмотрим прежде всего вопрос об определении
времени выполнения операции. Здесь возможны три
случая.
I.	Время выполнения работ неслучайно. Тогда зада-
ча сводится к определению времени выполнения опера-
ции, что не вызывает никаких принципиальных трудно-
стей. Рассчитывается последовательно время наступле-
ния каждого события путем суммирования времени
237
предшествующих работ и выбора максимального изщих.
Отмечаются те работы, которые являются лимитирую-
щими. При большом числе раббт могут возникнуть тех-
нические трудности, связанные с большим объемом рас-
четов. Тогда используются ЭВМ, для которых отработа-
ны соответствующие программы.
2.	Задано максимальное, минимальное и среднее
время работ. В этом случае задача сводится к трехкрат-
ному решению предыдущей. Отметим только, что -для
каждого случая может быть свой критический путь.
3.	Наиболее сложно задача решается в том случае,
если рассматривается случайное время выполнения
работ.
В этом случае часто пользуются методом статисти-
ческих испытаний. Получив случайную реализацию
всего времени работ, вычисляют критический путь и
время выполнения операций с помощью алгоритма для
неслучайного времени выполнения работ. Произведя
статистическую обработку полученных прн каждой реа-
лизации результатов, вычисляют все требуемые момен-
ты времени выполнения операции и вероятности появ-
ления тех или иных критических путей.'
В ряде случаев приходится рассматривать ц связь
времени работы со стоимостью или .затратами сил и
средств, выраженными вг другой форме. В этом случае
вместо времени работ должны быть заданы функции
tt(Ct) (рис. 37).
Очевидна, что существует минимальное время вы-
полнения работы, уменьшить которое нельзя как бы ни
былн велики затраты на выполнение -работы. Сущест-
вует, очевидно,' и' минимальная стоимость выполнения
работы, уменьшить которую путем увеличения врейени
не удается.
Сетевой график строится вначале для времени, от-
вечающего минимальной стоимости (или стоимости, от-
вечающей имеющемуся оборудованию и ресурсам), а
затем производится его последовательное улучшение с
учетом ограничения по общей стоимости операции.
Разумеется, сокращение времени работ должно про-
водиться на критическом пути, и прежде всего времени
Тех работ, где это сокращение наиболее дешево.
Анализ сложных сетевых графиков может произво-
диться с помощью ЭВМ.
В недавно изданной работе [26] приведены примеры
использования методов сетевого планирования в воен-
ном деле и показано, что использование этих методов
позволяет получить значительную экономию сил,
средств и времени при планировании и управлении.
Глава XIX
ЗАДАЧИ ЗАМЕНЫ ОБОРУДОВАНИЯ
1.	Общие замечания
Высокие требования, предъявляемые в настоящее
время к боеготовности войск, заставляют весьма вни-
мательно относиться к своевременной замене износив-
шейся или морально устаревшей, военной техники. Вы-
сокая стоимость вооружения усугубляет необходимость
тщательного н всестороннего исследования этого вопро-
са. Таким образом, в военном деле приходится стал-
киваться с задачами замены оборудования.
Многие, весьма .разнородные с первого взгляда за-
дачи исследования операций сводятся к отысканию оп-
тимальных сроков замены тех или иных технических
устройств или.отдельных нх узлов нлн блоков, а также
к решению вопросов, связанных, с определением, потреб-
ности в узлах или блоках, расходуемых для поддержа-
ния устройства в работоспособном состоянии.
К числу нх (рис. 38) можно отнести следующие за-
дачи:
—	о целесообразных сроках начала разработки но-
вых видов технических устройств;
—	о целесообразных сроках замены промышленного
оборудования;
—	о. целесообразных сроках продажи оборудования
и покупки нового;
—	о целесообразных сроках групповой замены от-
дельных узлов и агрегатов на-технических устройствах;
—	об определении, оптимального количества запас-
ных частей и приборов,
240
Рис. 38. Классификация задач о замене оборудования
241
Общая постановка задач замены следующая.
Выбрать такие сроки замены оборудования (в об-
щем случае порядок замены), при которых минимизи-
руются суммарные затраты на производство заданного
объема продукции (или в общем случае на выполнение
заданного объема задач).
При этом задача замены, являющаяся по своему су-
ществу задачей динамической, может в той или иной
степени учитывать динамические свойства процесса.
В частности:
—	потребности в оборудовании могут приниматься
изменяющимися со временем или приближенно счи-
таться постоянными;
—	могут учитываться или не учитываться изменение
расходов на эксплуатацию, эффективность капиталовло-
жений, изменение амортизационных расходов и т. д.;
—	может учитываться илн не учитываться техниче-
ский прогресс, обусловливающий возможность получе-
ния более современного оборудования, и т. д.
Выход из строя оборудования может рассматривать-
ся как случайный или детерминированный процесс; при
этом накопление повреждений может учитываться Или
не учитываться.
Существуют разные стратегии замены оборудования;
плановая замена, замена по мере выхода из строя, сме-
шанная стратегия. Могут предусматриваться те или
иные мероприятия, повышающие сроки службы обору-
дования (осмотры, текущее обслуживание и т. д.).
Новое оборудование выбирается либо того же типа,
что и эксплуатируемое, либо новых типов (заданного
типа, выбираемого из имеющегося в продаже, либо спе-
циально разрабатываемого).
Старое оборудование либо используется в менее от-
ветственных местах (одноэтапный или многоэтапный
перевод), либо продается, либо никак ие используется.
Ниже излагаются некоторые задачи, связанные с за-
меной оборудования.
2.	Простейшие задачи замены при неслучайном
износе оборудования
Пусть имеется некоторое оборудование, затраты иа
приобретение и установку которого составляют А, за-
траты иа егр эксплуатацию составляют С< в /-й год.
242
Обычно с Течением времени Ct возрастает, так как обо-
рудование по мере нзиашнваиня требует более частогб
ремонта.
Требуется определить оптимальный срок п замены
оборудования, прн котором минимизируются суммарные
затраты на приобретение оборудования и его эксплуа-
тацию, полагая, что замененное оборудование ие ис-
пользуется.
Если учесть так называемый коэффициент эффектив-
ности капиталовложений г, учитывающий разную зна-
чимость затрат, сделанных в разное время (чем рань-
ше сделаны затраты, тем они весомее), то средние еже-
годные затраты равны
+ 2в'"‘с*
z-i
Пользуясь этой формулой, путем прямых расчетов
можно найтн оптимальную величину л.
Пример 22. Стоимость автомобиля составляет А —
=6000 руб., а=1, затраты на его эксплуатацию в год
в зависимости от срока эксплуатации приведены в таб-
лице.
Го*	1-й	2-й	8-й	4-й	5-й	в-й	7-й
Ci (руб)	500	1000	1500	2000	2500	3000	3500
Требуется определить оптимальный срок, спустя ко-
торый необходимо приобрести новый автомобиль.
Расчет проводим по формуле для у, задаваясь раз-
ной величиной п. Прн этом расчеты удобно свести в
таблицу, учитывая, что четвертая строка получается
при-суммировании предыдущего значения этой строки н
текущего третьей.
243
Я	1	1	2	8	4	6	в	7
А Ci	2 3	6000 500	1000	1500	2000	2500	3000	3500
А % Ci	4	6500	7500	0000	11000	13500	16500	20000
i-i 1	5	6500	3750	3000	2750	2700	2750	2850
Из таблицы видно, что оптимальная величина п=5,
т. е. через 5 лет после покупки автомобиль целесооб-
разно заменить.
В ряде случаев изношенное оборудование подлежит
продаже. Пусть стоимость оборудования в зависимости
от срока эксплуатации является следующей функцией
времени:
Л = Д)[1-ехр (а/)].
Суммарные издержки иа ремонт и содержание обо-
рудования за время t являются следующей функцией
времени:
Св ехр (Л/).
Тогда суммарные ежегодные затраты равны
Т СО ==" 4~ — ех₽ + С» ехР (#)]*
Для определения /, при котором т(<) минимальна,
составлена специальная номограмма (рис. 39).
3.	Случайный износ оборудования
Для учета случайных моментов выхода Оборудова-
ния из строя необходимо знать характеристики его на-
дежности. Это прежде всего интенсивность отказов Х(0,
т. е. вероятность отказа оборудования в интервале вре-
мени /+Д/ (ее в теории замены называют плотностью
отказов).
244
Зная эту характеристику, можно определить вероят-
ность отсутствия отказов в течение времени t:
P(f) = exp
В теории замены ее называют кривой живучести и
обозначают v. Если интенсивность отказов Хо постоян-
на, то
v = P(/)==exp (—М).
Рис. 39. Номограмма для определения оптималь-
ного временя продажи оборудования
Среднее время службы и его среднеквадратичное от-
клонение могут быть найдены из следующих зависимо-
стей:
где /(0—плотность распределения длительности служ-
бы оборудования.
245
Существует следующее соотношение:
В случае если v(t) экспонента, то
1
«/“•-г-.
Пусть N единиц оборудования используются одна за
другой (по мере выхода из строя). Для них извест-
ны v(0-
Требуется определить время Я работы системы из
этих единиц.
Очевидно, что
Яер в^//ср»
также определить вероятности ровно
Иногда важно
т замен.
В общем случае существует рекуррентная формула
P0U)«v(O;
А (С——f * ~ <*/<*0;
АДО-----(/-«)#(«).
о
Если v(0 экспонента, то
M.jfcaf±L.
Это распределение Пуассона. Вычисляем средний рас-
ход единиц и его среднеквадратичное отклонение:
«ср^ = М’1
246
Число действующих к данному моменту времени
единиц
t
fi (0 “ Ч* (/) + J г1 («) v (/ — Л) du,
где No— начальное количество единиц;
г (и) — число единиц, замененных к моменту вре-
мени и.
Это уравнение Вольтерра, которое позволяет уста-
новить связь между функцией замены оборудования
г (и), законом живучести v(0 и количеством действую-
щего оборудования /»%(/)• Если Д (/) >=const при />0, а
v(0 экспонента, то
rW = W
В тех случаях, когда оборудование заменяется пла-
новым порядком (группой), расходы на единицу при
такой замене Ci меньше, чем при внеплановой заме-
не Сг (тогда приходится зачастую искать неисправ-
ность н останавливать надолго процесс производству
и т. д.).
Затраты в единицу времени
Ти) = —ё----1--1—»
где r(t) — интегральная функция замены оборудования,
обеспечивающая работу No единиц оборудования.
Вычислим t0, обеспечивающее минимум т(ф
*1 .., CZ (Л t - [С^о 4- Cz (<)) ... а
dt ~	Р	‘
Отсюда
Зная r(t), можно вычислить конкретную величину to,
т. е. оптимальное время плановой замены.
Пример 23. На боевом дежурстве находится огневой
комплекс, в устройствах которого имеется большое ко-
личество No радиоэлементов. Функция живучести их
247
такова, что функция замены оборудования описывается
следующей зависимостью:
где Х«=0,2 отказа/год2.
Стоимость плановой замены радиоэлемента 100 руб.»
стоимость внеплановой замены 600 руб. Определить оп-
тимальный срок плановой замены.
Подставляя r(t) в уравнение, полученное из условия
минимальных затрат, получаем
•О
откуда
Подставляя численные значения Ci, Сг и X, полу-
чаем
Таким образом, Плановую замену радиоэлементов
целесообразно проводить один раз в год.
Отметим, что в случае постоянной интенсивности от-
казов радиоэлементов, как показано выше, функция за-
мены оборудования —линейная функция времени и пла-
новые замены нецелесообразны.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В книге сделана попытка коротко и. по возможности
просто изложить основные положения исследования опе-
раций, показать особенности применения этой науки в
военном деле, дать примеры военных задач, в которых
С успехом могут найти применение методы исследований'
операций.
Исследование операций можно условно разделить на
четыре раздела: выбор критерия, определение информа-
ции, построение модели исследования и определение
математическими методами рекомендаций по оптималь-
ному плану.
Успех исследования в основном определяется пра-
вильной постановкой задачи, которую могут сделать
только специалисты, глубоко понимающие существо ис-
следуемых процессов. В области военного дела эти за-
дачи решают военные специалисты. Поэтому в книге
основное внимание уделено вопросу построения модели
исследуемого процесса н выбору критерия.
Математические методы оптимизации (математиче--
ское программирование) в настоящее время получили
широкое развитие. Сколько-нибудь полное описание
всех этих методов заняло бы ие одну тысячу страниц.
Поэтому автор ограничился кратким описанием обла-
сти применения этих методов, полагая, что для решения
любой практической задачи могут быть привлечены спе-
циалисты-математики, в достаточной мере владеющие
методами математического программирования. Военно-
му исследователю операций ие следует бояться мате-
матических трудностей, так как математик всегда су-
меет хотя бы приближенно решить задачу и дать
полезные рекомендации в том случае, когда задача
249
поставлена правильно и Существо процесса правильно
описано.
Исходя из складывающейся к настоящему времени
классификации типичных задач исследования операций
в заключительной части книги коротко излагается су-
щество этих задач н приводятся простейшие численные
примеры,, их иллюстрирующие.
Читателя может разочаровать простота этих примеров.
По многим причинам они носят чисто условный харак-
тер и ие имеют своей целью выработать те или иные
Практические рекомендаций. Но усвоив на этих приме-
рах существо методологии исследования операций, чи-
татель сможет приступить к решению практических за-
дач и к изучению значительно более сложных процес-
сов. Цри работе в какой-либо конкретной области
исследования операций он сможет совершенствовать
свои знания, используя литературу, относящуюся к этой
области.
У автора нет никаких сомнений в том, что методы
исследования операций будут все больше и больше вне-
дряться в военное дело.
Если эта книга привлечет внимание читателя к ис-
следованию операций и прн решении простых илн слож-
ных задач, возникающих в практической работе, он по-
пытается использовать методы этой науки, а в дальней-
шем захочет овладеть ею в совершенстве, автор будет
считать свою задачу полностью выполненной.
ЛИТЕРАТУРА ПО ОБЩИМ ВОПРОСАМ
ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ
1.	Вентце ль Е. С. Введение в исследование операций. М.,
«Сов. радио». 1964.
2.	Ч у е в Ю. В. и др. Основы исследования операций в воен-
ной технике. М, «Сов. радио», 1965.
3.	Ануреев И. И. и ТатарченкоА.Е. Применение мате-
матических методов в военном деле. М, Воениздат, 1967.
4.	Г е р м е й е р Ю. В. Методологические и математические ос-
новы исследования операций и теории игр. Изд-во МГУ, ВЦ АН,
1967.
5.	Смолян Г. Л. Исследование операций — инструмент эф-
фективного управления. М., «Знание», 1967.
6.	Морз Ф. и Кнмбелл Д. Методы'исследования операций.
Перевод с англ. И. А. Полетаева и К. Н. Трофимова. Под ред.
А. Ф, Горохова. М„ «Сов радио», 1956.
7.	Мернлл Г. Исследование операций. Перевод с англ.
В. И. Варфоломеева и В. И. Назарова. Под ред. В. Ф. Замковца.
М, Изд. иностр, лит., 1959.
8.	С а а т и Т. Математические методы исследования операций.
Перевод с англ. Ю. М. Пенинцдого [и др.]. Под ред. А. П. Гришина.
М., Воениздат, 1963.
9.	Карлин С. Математические методы в-теории игр, програм-
мировании и экономике. Перевод с англ. Н. А. Воднна [и др.). Под
ред. Н. Н. Воробьева. М., «Мир», 1964.
10.	К о ф и а и А. н Ф о р Р. Займемся исследованием операций.
Перевод с франц. М. Б. Воробьевой [и др.]. Под ред. А. А. Корбу-
та. М., «Мир», 1966.
11.	Райает П. н Акофф Р. Исследование операций. Пере-
вод с англ. В. Я. Алтаева. Под ред. А. 'Я- Лернера. М., «Мир»,
1966.
12.	К о ф м а н А. Методы н модели исследования операций.
С ФРаНП' П°Л оед> Н С предисл‘ Д’ Б' Юдина. Мм «Мир»,
13.	ЧерчменУ., А к о ф ф Р.,. Ар и о ф Л. Введение г иссле-
дование операций. Перев. с англ. В. Я. Алтаева [и Др.]. Под ред.
А. Я. Лернера. М., «Наука», 1968.
251
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
(ПО ГЛАВАМ)
К главе XII
14.	Юдин Д. В. и Гольштейн Е. Г. Задачи и методы л»
вейного программирования. М., «Сов. радио», 1961.
15	Веллман Р. Динамическое программирование. Перев. с
англ. И. М. Андреевой [и др.]. Под ред. Н. Н. Воробьева. М., Изд.
иностр. лит., i960.
16.	Понтрягин Л. Q н др. Математическая теория опти-
мальных процессов М., Фнзматгаз, 1961.
17.	Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. Перев. с англ.
А. Н. Кабалевского [и др.]. Под ред. Фельдбаума. М. «Наука»,
1967.
18.	Растрнгнн Л. А. Случайный поиск в задачах оптими-
зации многопараметоическнх систем. Рига, «Зииатне», 1965.
1,9	Пушкин В. Н. Эвристика — наука о творческом мышле-
нии. М., Госполитиздат, 1967.
К главе XIII
20.	Е м е Л ь я и о в А. Е. и др. Теория поиска в военном деле.
М.. Воениздат, 1964.
К главе XIV
21.	Гурин Л. С и др. Задачи и методы оптимального рас-
пределения ресурсов. М-, «Сов. радио», 1968.
К главе XVI
22.	С а ат и Т. Элементы теории массового обслуживания и ее
приложения. Перев. с англ. Е. Г. Коваленко Под ред. И. Н. Кова-
ленко и Р. Д Когана. М., «Сов. радио», 1965.
К главе XVII
23.	Дрешер М Стратегические игры. Теории и приложении.
Перев. с англ. И. В. Соловьева. Под ред. Ю. С. Голубева-Новожи-
лова. М., «Сов. радио», 1964.	х
24.	Матричные игры. Под ред. Н. Н. Воробьева. М, Фиамат-
гнз, 1961.
К главе XVIII
25.	Абрамов G. А. и др. Сетевые методы планирования и
управления. М, «Сов. радио», 1965.
26.	Скачко П. г. и др. Планирование боевых действий и
управлении войекамн с помощью сетевых графиков. М., Воеийздат,
К главе XIX
27.	Кокс Д. и Смит. В. Теория восстановления Перев. с
англ. В. В, Рыкова и Ю. К. Беляева. Под ред. и с дон. Ю. К. Ва-
ляева. М., «Сов. радио», 1967.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение...................................  .........	&
раздел первый
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПЕРАЦИЙ К ВОЕННЫМ ЗАДАЧАМ
Глава I. Что такое исследование операций?................ 6
1.	Определение исследования операций .............  —
2.	Основные понятия исследования операций	8
3.	Что дает применение исследования операций в во-
енном деле? ...................................... 12
Глава II. Критерии в исследовании операций ......	15
1.	Общие требования, предъявляемые к критериям . .	—
2.	Общая форма критерия. Частные фермы критериев 18
3.	Случай нескольких критериев...................  21
4.	Ограничения, смысл их введения .........	22
Глава III. Информация, вводимая в модели исследова-
ния операций.........................,. . . .	. .j.. . .	24
1.	Общие' положения..................Г . . . .".	—
2.	риешиие условия, вводимые в модели.............	25
3.	Характеристики вооружеянл, связанные с процессом
разведки.......................................... 27
4.	Характеристики вооружения, связанные с нанесе-
нием огневого удара (стрельбой) . ................ 29
5.	Характеристики, связанные с процессами перемеще-
ния (маневром) войск, управлением и обеспече-
нием .................... ............ .	36
6	Стоимость вооружения............	39
7.	Надежность вооружения ........................  43
8.	Характеристики вооружения, связанные с воздей-
ствием противника ... ............................ 46
Глава IV. Подход к решению задач исследования опера*
щЛ в случае отсутствия волной информации	48
1.	Прогнозирование информации.....................  —
2.	Решение задач исследования операций в случае от- ~
сутствия информации	54
258
Стр,
3	Точность информации, вводимой в модели, и точ*
иость решения задачи................................ 58
Глава V. Общие сведения о мод ел их, используемых в ио
следовании операций.............................. 60
1.	Общие требовании к моделям . ..................... —
2.	Классификации моделей.................... 62
3.	Общие свойства моделей бои Основные процессы,
из которых складывается	модель	бои	......	70
Глава VI. Моделирование процессов разведки...............	73
I.	Общие замечания......................... —
2.	Частные критерии эффективности	средств	разведки	75
3.	Моделирование процессов наземной разведки ...	78
4.	Моделирование процессов воздушной разведки . .	80
5.	Моделирование процессов радиотехнической раз-
ведки ............................................... 82
6.	Обработка разведывательных данных ............... 84
Глава VII. Моделирование процесса нанесения огневого
удара (стрельбы)....................................... 88
1.	Общие положении................................... —
2	Вероятность поражения неподвижной разведанной
одиночной цели без учета надежности оружви и
противодействия противника.......................... 91
3.	Эффективность стрельбы по групповой и площад-
ной целям без учета надежности оружия и проти-
водействия противника............................... 95
4.	Моделирование процессов нанесения удара в слу-
чае учета надежности, противодействия, подвижно-
сти целя...........................Ч-	98
5.	Учет противодействия противника ...... ri., -	103
Глава Vllf. Моделирование процессов передвижения войск 107
1.	Общие замечании. Передвижение пешим порядком —
2.	Моделирование перемещении автомобильным транс-
портом .........................-.................. 110
3.	Моделирование перемещения воздушным транспор-
том ..............................................   114
Глава IX. Моделирование процессов управления и обеспе-
чении . ............................/................ j - -1 Н7
I.	Общие' зам'еЧвиия	....... —
2.	Общие положения, связанные с моделированием
систем управления.................................. 119
3.	Принципиальней схема	модели	управлении........	123
4.	Задачи определения	потребного	количества средств 128
Б. Моделирование процессов, связанных с обеспече-
нием стрельбы.......................  ...	129
9М
&р.
Глава X. Амалмпяескае методы моделирования боевых
действий.......................................... 132
1.	Описание богат действий с помощью цепей Мар-
кова ..................._............................   —
2.	Сведения о теории стохастических дуэлей........	137
3.	Уравнеяии динамики средних......................  139
4.	Прострамствеяво-времеяные модели	.	144
Глава XI. Статистическое моделирование боевых действий 147
1.	Сущность метода статистического моделирования . .
2.	Применение метода статистических испытаний для
моделирования процесса стрельбы (пусков) ” '7	150
3.	Статистическая модель отражения атаки	танков . •	*152
4.	Смешанная модель действий частей (соединений)	157
Б. «Стохастический детерминизм» ..................... 161
Глава XII. Математическое программирование	......	166
1.	Общие замечания . . ................................ —
2.	Задачи линейного, нелинейного и целочисленного
программирования............................. 168.
3.	Динамическое программирование............. 171
4.	Принцип максимума Л. С. Понтрягина........ 173
Б. Сравнение принципа максимума и динамического
программирования................................". .	176
6. Применение метода случайного лоиска.............,	177
7, Эвристическое программирование..................,	180
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
Глава XIII. Задачи нокка..............................    185
1.	Общие замечания. Задачи поиска, относящиеся к
сосредоточенному объекту ............................  —
2.	Одномерные задачи поиска .	................... 188
3.	Двухмерные задачи поиска . «  .................. 189
Глава XIV, Задачи распределения ............	192
1.	Общие замечания..................................  —
2.	Траиспортиая задача ..........................   194
3.	Задачи целераспределення  .....................  196
^Лава XV. Задачи управления аанасамн . .,.	.< 200
1.	Общие	сведения................................    —
2.	Решение задачи	в	простейших	случавх...........	202
3.	Решение задач в случае непрерывного случайного
спроса.............................................. 204
4.	Общее	задача управлении	запасами	208
255
Ст*.
Глава XVI. Задача массового обслуживанив ...... 21ft
1.	Общие сведения о теории массового обслуживания —
2.	Определение оптимального числа эшелонов в си-
стеме ПВО и их состава.........................   214-
3.	Случай очереди с ограниченным временем ожида-
ния .............................................. 216
4.	Определение оптимального количества в пропуск-
 ион способности ремонтных мастерских .....	218
Глава XVII. Состязательные задачи (теории игр) г .-. .	220
1.	Общие сведения о теории игр ...... < ... .	—
2.	Решение методами теории игр задача о выборе
онтнмвльного сочетания различных видов боевой
техники.....................................    .)	223
3.	Случай	игр с несколькими	ходами..	226
4.	Случай	игр с бесконечным	числом стратегий .	22*
Глава	XVIII.	Задачи упорядочения................... 232
1.	Общие	сведении................................. —
2.	Задача выбора кратчайшего пути .........	234
3.	Сетевые методы планирования .......... '236
Глааа XIX. Задачи замены оборудования , , .......	240
1.	Общие замечания......... ..........	—
2.	Простейшие задачи замены при неслучайном изно-
се оборудовании................................... 242
3.	Случайный износ оборудования . *..............  244
Заключение......................................,	... ~ 249
Литература по общим вопросам исследовании операций . . 251
Дополнительная литература (по главам) . ..	..... 252
Юрац Васильевич Чуев
шхлйлрымяв. операций в военном двлв
Редактор авжеввр-полсовввк Хаммон Ф. Л.
Перелает художника Иванова S. с.
Техмчвсква редактор Петухова С. А.
Корректор Чернакова Г. И.
Г-74882. Сдано в набор 30.6.68 г.	Подвмеаио к печати 28 4.7В г.
Формат бумаги МХ10в*1м. Печ. а. 8 Уса. печ. д. 13.44 Уч.-км. л. 12,026
Тираж Ц000 эка.'	Цеп 76 коп.	Бумага типографски .4 *
Иа*. 7* 8/1782	Зак ЭВМ
-Ордена Трудового Краевого Знамени
Военное вматвмепо Мжявстерстм обороны СССР. Москва, К-160
3-я тяпографва Воежкамта
Ленинград, Д-65, ДЙрковак мч Ю
Ю. В. Ч У Е В
Исследование
операций
в военном деле