Расчётно-графическая работа
по курсу «Дискретная метематика»
Задание 1. Шевелев §1.1. (Задания для самостоятельной работы.)
Задание 2. Шевелев §1.3. (Задания для самостоятельной работы.)
Задание 3. Шевелев §1.4. (Задания для самостоятельной работы.)
Задание 4. Доказать равенство двумя способами (методом двух включений
и используя свойства операций над множествами). Проиллюстрировать
при помощи диаграмм Эйлера-Венна.
1.
(A\B)(A\C)=A\(BC)
2.
(AB) \ (AC) = (AB) \C
3.
(A\B)  (A\C) = A \ (BC)
4.
(A\B)  (C\B) = (AC) \ B
5.
(AB) \ (AC) = A(B\C)
6.
(A\C) \ (B\C) = (A\B)\C
7.
(A\C)  (B\C) = (AB)\C
( A  B) \ ( A  C )  ( A  C )  ( A  B)
8.
9.
(A\C)  (B\C) = (AB) \ C
10. (A\B)  (AC) = A\(B\C)
11. (AB) \ (AB) = (A \B)  (B\A)
12. A \ (BC) = (A\B) \ C
13. A  ( A  B )  A \ B
14.
(AB) \ (AC) = (B\A)  (A\C)
15.
(A\B) \ C = (A\C) \ B
16.
(A\B)  (AC) = (AC) \ B
17.
(A\B) \ (AC) = (A\C) \ B
18.
A\ ((AB)\C) = (A\B)  (AC)
19.
(AB)\(BC) = (A\B)(B\C)
20. A\((AB)(AC)) = (A\B)\C
21.
A(B\C) = (AB)\(C\A)
22.
A(BC) = (AB)(AC)
23.
A\B = A(AB)
24.
AB = (AB)(AB)
25.
A\(BC) = (A\C)\(B\C)
26.
(A\B)(A\C)=A\(BC)
27. ( A \ B)(AC) = A\(B\ C)
28.
(AB)C = (AC)(BC)
29. (A\B)  (B\A) = (AB)\( AB)
30. A\(BC) = (A\B)  (A\C)

Задание 5. Упростить, используя свойства операций над множествами.
A (B \ (AB)).
1.
2.
A \  B \  C \ A .

  A  B  C    A  B  C  .

3.

A B

4.
5.

A  B  C  B.
( A  B  C  D)  ( A  C )  ( B  C )  ( D  C ) .

6.

( A  B  С)  ( A  B  C)  B  C .

7.

( A  B  D)  ( A  B  C  D)  ( A  D  A) .

8.

A  B  (( A  B  C )  ( A  B  C )) .

9.

А  В  С    А  В  С   В  А

10.

A  B  C  ( A  B  C)

11.

( A  B)  ( B  C )  C  A

12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.

A B C  A B C C C
A BC  A B C
C  A BC  A B  A B
C  A B A B  A B C
A B A B  A B  A
A B A B  A B C C
C  B A B  B A  A B
B A A B  B A  A B
A B AC  C  A  A B
A B C  A B C C

22.

(A  B)  ( A  B)  (A  B);

23.

(A  B)  ( A  B)  (A  B);

24.
25.

[( A  B )  ( B  C )  ( A  C )  ( B  D)]  ( A  B  C  D  U );
(A  B  C  D )  (A  B  C  D )  (A  B  C  D)  (A  B  C  D );

26.

(A \ B \ B  C) \ C  D;

27.
28.
29.
30.

A \ B  C \ A  B  C  A  B  C;
A \ B  C \ A  B  C  A  B  C;
( A  B  C ) \ ( B  C  A  B  C )  ( A  B  C );
( A  A  B  A  C)  A  B  C ;
































 



 










Задание 6.
1.
Фирма имеет 100 предприятий, причем каждое предприятие выпускает
хотя бы одну продукцию вида А, В, С. Продукцию всех трех видов выпускают
10 предприятий, продукцию А и В – 18 предприятий, продукцию А и С – 15
предприятий, продукцию В и С – 21 предприятие. Число предприятий, выпускающих продукцию А равно числу предприятий, выпускающих продукцию В и
равно числу предприятий, выпускающих продукцию С. Найти число предприятий, выпускающих продукцию А, число предприятий выпускающих продукцию В и число предприятий выпускающих продукцию С.

2.
В группе спортсменов 30 человек. Из них 20 занимаются плаванием, 18 –
легкой атлетикой и 10 – лыжами. Плаванием и легкой атлетикой занимаются 11
человек, плаванием и лыжами – 8, легкой атлетикой и лыжами – 6 человек.
Сколько спортсменов занимаются всеми тремя видами спорта?
3.
В студенческой группе 20 человек. Из них 10 имеют оценку “отлично” по
английскому языку, 8 - по математике, 7 - по физике, 4 - по английскому языку
и по математике, 5 - по английскому языку и по физике, 4 - по математике и по
физике, 3 - по английскому языку, по математике и по физике. Сколько студентов группе не имеют отличных оценок?
4.
В классе 20 человек. На экзаменах по истории, математике и литературе
10 учеников не получили ни одной пятерки, 6 учеников получили 5 по истории,
5 – по математике и 4 – по литературе; 2 - по истории и математике, 2 - по истории и литературе, 1 - по математике и литературе. Сколько учеников получили 5 по всем предметам?
5.
В спортивном лагере 100 человек, занимающихся плаванием, легкой атлетикой и лыжами. Из них 10 занимаются и плаванием, и легкой атлетикой, и
лыжами, 18 – плаванием и легкой атлетикой, 15 – плаванием и лыжами, 21 –
легкой атлетикой и лыжами. Число спортсменов, занимающихся плаванием,
равно числу спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, и равно числу
спортсменов, занимающихся лыжами. Найти это число.
6.
Группе студентов предложено три спецкурса: по мультимедиа, искусственному интеллекту и имитационному моделированию. 22 студента записались
на спецкурс по мультимедиа, 18 – на спецкурс по искусственному интеллекту,
10 – на спецкурс по имитационному моделированию, 15 – на спецкурсы по
мультимедиа и искусственному интеллекту, 8 – на спецкурсы по мультимедиа и
имитационному моделированию, 7 – на спецкурсы по искусственному интеллекту и имитационному моделированию. 5 студентов записались на все три
спецкурса. Сколько студентов в группе?
7.
Во время сессии 24 студента группы должны сдать три зачета: по физике,
математике и программированию. 20 студентов сдали зачет по физике, 10 – по
математике, 5 – по программированию, 7 – по физике и математике, 3 – по физике и программированию, 2 – по математике и программированию. Сколько
студентов сдали все три зачета?
8.
В группе переводчиков 15 человек владеет английским языком, 19 –
французским, 8 – немецким. 9 переводчиков владеют английским и француз-

ским языком, 7 – английским и немецким, 6 – французским и немецким. 4 переводчика владеют всеми тремя языками. Сколько переводчиков в группе?
9.
Опрос группы студентов показал, что 70% из них любят ходить в кино,
60% в театр, 30% на концерты. В кино и театр ходят 40% студентов, в кино и на
концерты – 20%, в театр и на концерты – 10%. Сколько студентов (в %) ходят в
кино, театр и на концерты?
10. В группе 20 учеников. После медицинского осмотра на дополнительное
обследование 14 учеников были направлены к терапевту, 6 – к окулисту, 5 – к
ортопеду. К терапевту и окулисту были направлены 3 ученика, к терапевту и
ортопеду –3, к окулисту и ортопеду – 2. Сколько учеников были направлены к
терапевту, окулисту и ортопеду?
11. При обследовании рынка спроса инспектор указал в опросном листе следующие данные. Из 1000 опрошенных 811 покупают жевательную резинку
"Дирол", 752 – "Орбит" , 418 – "Стиморол", 570 – "Дирол" и "Орбит", 356 –
"Дирол" и "Стиморол", 348 – "Орбит" и "Стиморол", 297 – все виды жевательной резинки. Показать, что инспектор ошибся.
12. Всем участникам автопробега не повезло. 12 из них увязли в песке –
пришлось толкать машину, 8 понадобилась замена колеса, у шестерых перегрелся мотор, пятеро и толкали машину и меняли колесо, четверо толкали машину и остужали мотор, трое меняли колесо и остужали мотор. Одному пришлось испытать все виды неполадок. Сколько было участников?
13. Из 10 участников ансамбля шестеро умеют играть на гитаре, пятеро – на
ударных инструментах, пятеро – на духовых. Двумя инструментами владеют:
гитарой и ударными – трое, ударными и духовыми – двое, гитарой и духовыми
– четверо. Один человек играет на всех трех инструментах. Остальные участники ансамбля только поют. Сколько певцов в ансамбле?
14. В одной студенческой группе 10 человек могут работать на Дельфи, 10 –
на Паскале, 6 – на Си. По два языка знают: 6 человек – Дельфи и Паскаль, 4 –
Паскаль и Си, 3 – Дельфи и Си. Один человек знает все три языка. Сколько студентов в группе?
15. В день авиации на аэродроме всех желающих катали на самолете, планере, дельтаплане. На самолете прокатились 30 человек, на планере – 20, на дельтаплане – 15. И на самолете, и на планере каталось 10 человек, на самолете и
дельтаплане – 12, На планере и дельтаплане – 5. Два человека прокатились и на
самолете, и на планере, и на дельтаплане. Сколько было желающих прокатиться?
16. Все грибники вернулись домой с полными корзинами. У десятерых из
них в корзинах были белые грибы, у восемнадцати – подберезовики, у двенадцати – лисички. Белые и подберезовики были в шести корзинах, белые и лисички – в четырех, Подберезовики и лисички – в пяти. Все три вида грибов были у двух грибников. Сколько было грибников?
17. Все туристы взяли в поход консервы. Шесть человек взяли тушенку, пять
– сгущенку, восемь – кашу (с мясом). У троих в рюкзаках была тушенка и сгу-

щенка, у двоих – тушенка и каша, у троих – сгущенка и каша, и только в одном
рюкзаке лежали все три вида консервов. Сколько было туристов?
18. Было опрошено 70 человек. В результате опроса выяснили, что 45 человек знают английский язык, 29 – немецкий и 9 – оба языка. Сколько человек из
опрошенных не знает ни английского, ни немецкого языков?
19. В туристической группе 10 человек знают английский язык, 10 – итальянский, 6 – испанский. По два языка знают: 6 человек – английский и итальянский, 4 – английский и испанский, 3 – итальянский и испанский. Один человек
знает все три языка. Сколько туристов в группе?
20. Предприятие объявило набор рабочих на должности токаря, слесаря и
сварщика. В отдел кадров обратились 25 человек. Из них 10 человек владели
профессией токаря, 15 – слесаря, 12 – сварщика. Профессией и токаря и слесаря
владели 6 человек, и токаря, и сварщика – 5 человек, и слесаря и сварщика – 3
человека. Сколько человек владеют всеми тремя профессиями?
21. Оказалось, что в группе туристов 15 человек были раньше во Франции, 19
– в Италии, 8 – в Германии. 9 туристов были во Франции и в Италии, 7 – во
Франции и в Германии, 6 – и в Италии, и в Германии. 4 туриста были во всех
трех странах. Сколько туристов были хотя бы в одной из трех стран?
22. Группе студентов из 30 человек была предложена контрольная работа из
трех задач. Первую задачу решили 15 студентов, вторую – 13, третью – 12.
Первую и вторую задачи решили 7 человек, первую и третью – 6, вторую и третью – 5 человек. Все три задачи решили 2 студента. Сколько студентов из группы не решили ни одной задачи?
23. Анализ историй болезней группы из 20 детей показало, что 10 детей болели ветрянкой, 6 – корью, 5 – свинкой. Ветрянкой и корью болели 3 ребенка,
ветрянкой и свинкой – 3, корью и свинкой – 2. Всеми тремя болезнями болел
один ребенок. Сколько детей не болели ни одной из перечисленных болезней?
24. В книжный киоск привезли для продажи книги Пушкина, Лермонтова и
Тургенева. В киоск пришли 100 человек и что-то купили. Книги Пушкина купили 60 человек, книги Лермонтова – 50, книги Тургенева – 30 человек. Книги
Пушкина и Лермонтова купили 40 человек, книги Пушкина и Тургенева – 20,
книги Лермонтова и Тургенева – 10 человек. Пять человек купили книги всех
трех писателей. Сколько человек не купили ни одной из перечисленных книг?
25. Группа научных работников состоит из 100 человек. Из них 70 человек
владеют английским языком, 50 – немецким, 40 – французским, 30 – английским и немецким, 25 – английским и французским, 15 – французским и немецким. Хотя бы один язык знает каждый научный работник. Сколько человек
владеют всеми тремя языками?
26. На курсы иностранных языков записалось 100 человек. Оказалось, что 70
человек будут изучать английский язык, 60 человек – французский и 30 человек
- немецкий. Английский и французский собираются изучать 40 человек, английский и немецкий – 20, французский и немецкий – 10. Сколько студентов
будут изучать все три языка?

27. В команде бегунов десять спортсменов бегают на длинные дистанции,
восемнадцать – на средние, двенадцать – на короткие. На длинные и средние
дистанции бегают пять спортсменов, на средние и короткие – шесть. На длинные и короткие дистанции не бегает никто. Сколько бегунов в команде?
28. В студенческой группе 25 человек. Чтобы получить допуск на экзамен по
данному курсу необходимо защитить курсовую работу, выполнить лабораторную работу и сдать зачет. 15 студентов защитили курсовую работу, 20 выполнили лабораторную работу, 17 сдали зачет. Защитили курсовую работу и выполнили лабораторную работу 12 человек. Защитили курсовую работу и сдали
зачет 13 человек. Выполнили лабораторную работу и сдали зачет 16 человек.
Сколько студентов допущено к экзамену?
29. В классе 20 детей. Из них 10 дополнительно занимаются в музыкальной
школе, 6 – теннисом, 5 – китайским языком. Музыкальную школу и занятия по
теннису посещают три ребенка, музыкой и китайским языком занимаются трое,
теннисом и китайским языком двое. Всеми тремя видами дополнительных занятий занимается один ребенок. Сколько детей не занимается ни одним из перечисленных занятий?
30. В цеху имеется 25 станков, которые могут выполнять три вида операций:
А, В и С. Из них 10 станков выполняют операцию А, 15 – В, 12 – С. Операции
А и В могут быть выполнены на 6 станках, А и С – на 5, В и С – на 3 станках.
Сколько станков могут выполнять все три операции?
Задание 7. Тишин 1.1.1
Задание 8. Тишин 1.1.2
Задание 9. Тишин 1.1.3
Задание 10. Тишин 1.1.4
Задание 11. Тишин 1.1.5
Задание 12. Тишин 1.1.6
Задание 13. Тишин 1.1.7

Задание 14. Доказать равенство, используя определения операций над
множествами.
1.
(AB)C=(AC)(BC).
2.
(AB)C=(AC)(BC).
3.
A(B\C)=(AB)\(AC).
4.
A(BC)=(AB)(AC).
5.
A(BC)=(AB)(AC).
6.
(AB)C=(AC)  (BС).
7.
(A\B)C=(AC)\(BC).
8.
(AB)(CD)  (AC)(BD).
9.
(AB)(CD)=(AC)(BC)(AD)(BD).
10.
(AC)(BD)  (AB) (CD).
11.
(A\B)C=((AB)C)\(BC).
12.
(AC)(DB)(AB)(CD).
13.
U2 \ (CD) = (U(U\D))  ((U\C)U).
14.
(AB)(CD)=(AC)(BC)(AD).
15.
(AB)(CB) = (AC)B.
16.
A(BC)=(AB)\(A(B\C).
17.
(AB)\(A(BC)) = A(B\C).
18.
(AC)B = (CB) ((AC)B)  (AB).
19.
(AB)(CB)(CD) = (AC)(BD).
20.
(AB)C=(AC)(BC).
( A  B)  (C  D)  ( A  C )  ( B  D)
21.

22.

U 2 \ ( A  B )  ((U \ A)  U )  (U  (U \ B ))

23.

A  B  ( A  D)  (C  B), если A  C , B  D

25.

 A  B   C   A  C    B  C .
U 2 \  A  B    A  U   U  B  .

26.
27.
28.
29.
30.

AC=(A(СB))  (AC).
A(C\B)=(AС) \ (A(CB)).
C(B\A)=(CB)  (C(AB)).
C(AB)=(CA)  (C(B\A)).
CB=(C(B\A))  (CB).

24.

Задание 15. Тишин 1.2.1
Задание 16. Тишин 1.2.2

Задание 17. Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1  AB, P2  B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти отношение P = (P1◦P2)–1 и найти матрицу этого отношения, используя операции над матрицами. Найти области определения и области значений всех
трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. Для отношений P1, P2 найти замыкания.

1.
P1 = {(a,1),(a,2),(b,3),(c,2),(c,3),(c,4)};
P2 = {(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,4)}.
2.
P1 = {(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,3),(c,2)};
P2 = {(1,1),(1,4),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2),(4,1),(4,4)}.
3.

P1 = {(a,1),(a,2),(a,4),(c,3),(c,2),(c,4)};

P2 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,3)}.
4.
P1 = {(a,1),(a,2),(b,2),(b,4),(c,3),(c,2)};
P2 = {(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,3),(4,4)}
5.
P1 = {(a,1),(a,4),(b,2),(b,3),(c,1),(c,4)};
P2 = {(1,1),(1,4),(2,1),(3,4),(4,3),(4,1)}.
6.
P1 = {(a,1),(a,2),(a,4),(b,1),(b,4),(c,3)};
P2 = {(1,1),(2,4),(2,1),(3,3),(4,2),(4,1)}.
7.
P1 = {(a,1),(b,3),(b,1),(b,4),(c,3),(c,2)};
P2 = {(1,3),(1,4),(2,2),(3,3),(4,3),(4,4)}.
8.
P1 = {(a,1),(b,3),(c,1),(c,4),(c,3),(c,2)};
P2 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,4),(4,1)}.
9.
P1 = {(a,1),(a,2),(a,4),(b,3),(с,1),(c,4)};
P2 = {(1,3),(1,2),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1)}.
10.
P1 = {(a,3),(a,2),(b,2),(b,3),(c,1),(c,4)};
P2 = {(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}.
11.
P1 = {(a,2),(a,4),(b,3),(c,1),(c,2)};
P2 = {(1,1),(1,3),(2,4),(3,1),(3,4),(4,3),(4,2)}.
12. P1 = {(b,1),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(c,4)};
P2 = {(1,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}.
13.
P1 = {(a,1),(a,2),(a,4),(b,2),(b,4),(c,3)};
P2 = {(1,1),(2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4)}
14. P1 = {(a,2),(a,3),(a,4),(c,1),(c,3),(c,4)};
P2 = {(1,4),(2,3),(2,1),(3,4),(4,2)}.
15. P1 = {(a,1),(a,2),(b,3),(b,4),(c,3),(c,4)};
P2 = {(1,1),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,3)}.

16. P1 = {(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,4)};
P2 = {(1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),(4,4)}.
17. P1 = {(a,3),(b,4),(b,3),(b,1),(b,2),(c,2)};
P2 = {(1,1),(1,3),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2)}.
18. P1 = {(a,3),(b,4),(b,3),(c,1),(c,2),(c,4)};
P2 = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(4,3),(4,2)}.
19. P1 = {(a,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,3),(c,4)};
P2 = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,1),(4,4)}.
20. P1 = {(a,2),(a,4),(a,3),(c,1),(c,2),(c,3)};
P2 = {(1,1),(1,4),(2,3),(3,3),(4,1),(4,3),(4,4)}.
21.

P1 = {(a,2),(a,4),(b,1),(b,2),(b,4),(c,2), (c,4)};

P2 = {(1,1),(2,2),(2,4),(3,3),(3,2),(4,4),(1,3),(4,1)}.
22. P1 = {(b,1),(b,4),(a,3),(a,4),(c,4),(c,2)};
P2 = {(1,1),(2,4),(2,3),(2,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,4)}.
23. P1 = {(a,3),(a,2),(a,4),(b,1),(c,4),(c,3),(c,2)};
P2 = {(1,1),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4),(4,3),(3,2),(3,4)}.
24. P1 = {(a,3),(b,2),(b,1),(b,4),(c,1),(c,2),(c,4)};
P2 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(3,2),(3,4),(4,4)}.\
25.
P1 = {(a,2),(a,3),(a,4),(b,3),(c,1),(c,4)};
P2 = {(1,1),(2,3),(2,2),(3,4),(1,4),(2,4),(4,2)}.
26. P1 = {(a,1),(a,2),(b,3),(c,2),(c,3),(c,4)};
P2 = {(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,4)}.
27.

P1 = {(a,1),(a,3),(a,4),(c,1),(c,3),(c,4)};

P2 = {(1,1),(2,3),(2,1),(3,4),(4,1)}.
28. P1 = {(a,2),(a,3),(b,4),(b,3),(c,1),(c,4)};
P2 = {(1,1),(2,3),(2,2),(3,3),(1,4),(2,4),(4,4)}.
29.

P1 = {(a,2),(a,3),(a,4),(c,1),(c,2),(c,4)};

P2 = {(1,3),(1,4),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3)}.
30. P1 = {(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(c,3),(c,2)};
P2 = {(1,1),(1,4),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2),(4,1)}.

Задание 18. Даны отображения (числовые функции) ƒ и g. Найдите область
определения и область значений отображений. Определите, являются ли
они инъективными, сюрьективными или биективными в найденных областях. Найдите композицию (ƒ ◦ g), (g ◦ ƒ). Для заданных множеств A,
B  R найдите f(A), g(A), ƒ –1(B), g-1(B).
1.
f(x) = –(x + 1)2; g(x) = –x –2; А = [–1.5; 1]; В = [–2; –1]
f(x) = (x + 1)2 – 1; g(x) = x + 1; А = [–1.5; 1]; В = [0; 1]
2.
f(x) = (x + 1)2 + 1; g(x) = x + 3; А = [–1.5; 1]; В = [2; 3]
3.
f(x) = (x + 1)2; g(x) = x + 2; А = [–1.5; 1]; В = [1; 2]
4.
f(x) = (x – 1)2 – 1; g(x) = x – 1; А = [0.5; 3]; В = [0; 1]
5.
f(x) = (x – 1)2 + 1; g(x) = x + 1; А = [0.5; 3]; В = [2; 3]
6.
f(x) = (x – 1)2; g(x) = x; А = [0.5; 3]; В = [1; 2]
7.
f(x) = – (x + 1)2 –1; g(x) = x–1; А = [–1.5; 1]; В = [–3; –2]
8.
f(x) = 1– (x + 1)2; g(x) = x+1; А = [–1.5; 1]; В = [–1; 0]
9.
10. f(x) = – (x – 1)2 –1; g(x) = x–3; А = [0.5; 3]; В = [–3; –2]
11. f(x) = 1– (x – 1)2; g(x) = x–1; А = [0.5; 3]; В = [–1; 0]
12. f(x) = – (x – 1)2; g(x) = x; А = [–1.5; 1]; В = [–2; –1]
13. f(x) = – (x – 1)2; g(x) = x – 2; А = [0.5; 3]; В = [–2; –1]
14. f(x) = (x+ 1)2–1; g(x) = –x – 1; А = [–1.5; 1]; В = [0; 1]
15. f(x) = (x+ 1)2 +1; g(x) = 1– x; А = [–1.5; 1]; В = [2; 3]
16. f(x) = (x – 1)2 –1; g(x) = 1 – x; А = [0.5; 3]; В = [0; 1]
17. f(x) = (x – 1)2 +1; g(x) = 3 – x; А = [0.5; 3]; В = [2; 3]
18. f (x)=(x+1)2; g(x)= –x; A=[–1.5; 1]; B= [1; 2]
19. f (x)=(x – 1)2; g(x)=2– x; A=[0.5; 3]; B=[1; 2]
20. f (x)= –x2 – 1; g(x)= –x – 3; A=[–0.5; 2]; B=[–3; –1]
21. f (x)= 1–x2; g(x)= –x – 1; A=[–0.5; 2]; B=[–1; 0]
22. f (x)= –x2; g(x)= –x – 2; A=[–0.5; 2]; B=[–2; –1]
23. f(x)= x2; g(x)= 2–x; A=[–0.5; 2]; B=[1; 2]
24. f(x)= x2 +1; g(x)= –x; A=[–0.5; 2]; B=[2; 3]
25. f (x)= x2–1; g(x)=1– x; A=[–0.5; 2]; B=[0; 1]
26. f (x)= –2x2; g(x)= –x; A=[–0.5; 2]; B=[–2; –1]
27. f (x)= –x2; g(x)= x + 2; A=[–1; 2]; B=[–2; 1]
28. f (x)= 2–x2; g(x)= 4–x; A=[–0.5; 1]; B=[4; –1]
29. f (x)= 3+x2; g(x)= –x2; A=[1; -2]; B=[–2; 1]
30. f (x)= –x2; g(x)= x; A=[5; -3]; B=[2; 1]
31. f (x)= x2+3x; g(x)= –x – 2; A=[0; 2]; B=[–2; 0]

Задание 19. Отношение на множестве А={1, 2, 3, 4, 5} задано набором пар.
Выяснить, является ли оно отношением эквивалентности. Если нет, привести опровергающий пример. Если да, выписать соответствующее ему
разбиение множества А.

Задание 20. Дано семейство подмножеств множества А={1, 2, 3, 4, 5}. Является ли это семейство разбиением множества А? Если нет, объяснить почему. Если да, выписать в виде совокупности пар соответствующее этому
разбиению отношение эквивалентности.

Задание 21.
Эквивалентны ли множества A = {x: x2 – 8x + 15= 0} и B = {2, 3}?
1.
2.
Какое из множеств A = {1, 4, 9, 16, 25,…} и B = {1, 1/2, 1/4, 1/6, 1/8,…}
имеет большую мощность?
3.
Доказать, что множества точек контуров всех треугольников эквивалентны.
x2 y 2
4.
Установить биекцию между точками эллипса

 1 и точками ок4
9
ружности x 2  y 2  16 .
5.
Эквивалентны ли множества A = {2x, 0< x< } и B = {2n, n = 1, 2, …}?
Доказать, что множество точек A= {(x, y): y = x, – 1  x  1} несчетно.
6.
Эквивалентны ли множества A = {x: x2 –3x + 2 = 0} и B = {1, 3}?
7.
Эквивалентны ли множества A = {y: y = x3, 1< x <2} и B = {y: y = 3x,
8.
3< x < }?
Какова мощность множества все матриц, элементами которых являются
9.
рациональные числа?
10. Эквивалентны ли множества A = {x: x3 – 1 = 0} и B = {x: x2 – 3x + 2 = 0}?
11. Эквивалентны ли множества A = {(x, y): y = lnx, 0 < x < } и B = {(x, y):
y = sinx, – <x < }?
12. Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины
которых имеют рациональные координаты?
13. Доказать, что множество точек A = {y: y = 2n, n = 1, 2, …} счетно.
14. Эквивалентны ли множества A = {(x, y): y = x3, 1< x <2} и B = {(x, y):
y = 3x, 3< x < }?

15. Эквивалентны ли множества A = {y: y = 3x, 0<x< } и B = {y: y = 3n, n = 1,
2, …}?
16. Счетно ли множество {(x, y): y = 3x, 0<x< }?
17. Эквивалентны ли множества A = { 2n, n = 1, 2, …} и B = {n2, n = 1, 2, …}?
18. Найти мощность множества точек окружности с центром в точке (0, 0) и
радиусом 1.
19.

Найти мощность множества точек гиперболы y 

1
при x  ( 3, ).
x2

20. Доказать, что множество точек A= {(x, y): y = x+1, – 1  x  1} несчетно.
21. Можно ли построить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел N и множеством действительных чисел отрезка [0, 1]?
Ответ обосновать.
22. Можно ли утверждать, что множество всех положительных пятизначных
чисел счетно? Ответ обосновать.
23. Доказать, что множество периодических дробей счетно.
k
n
, k , n, m   ?
24. Какую мощность имеют числа вида
m2
25. Эквивалентны ли множества A = {x: x3 – 1 = 0} и B = {x: x2 – 3x + 2 = 0}?
26. Можно ли утверждать, что множество всех положительных действительных чисел имеет меньшую мощность, чем множество всех действительных чисел? Ответ обосновать.
27. Эквивалентны ли множества A = {(x, y): y = x2, 1< x <2} и B = {(x, y): y =
2x, 3< x < }?
28. Доказать, что множество точек A = {y: y = 2n, n = 1, 2, …} счетно.
29. Установить биекцию между точками окружности и точками сторон квадрата.
30. Какую мощность имеет множество всех иррациональных чисел?
31. Какова мощность множества комплексных чисел z  x  i y с рациональной действительной частью x и иррациональной мнимой частью y?
32. Пусть  – множество натуральных чисел, а  – множество простых чисел. Какова мощность множеств:   ;   \    ;   \     ?

Задание 22. Определить, какие из следующих операций являются бинарными алгебраическими операциями, какие из них ассоциативны, коммутативны?
ab
a b 
1.
на множестве действительных положительных чисел
2

2.

a  b  a  b  1 на множестве действительных положительных чисел

3.

a  b  a b 2 на множестве действительных положительных чисел

4.

a  b  a b на множестве действительных положительных чисел

5.

a  b  ab на множестве действительных положительных чисел

6.

a  b  log a b на множестве действительных положительных чисел

7.

a  b  a  b на множестве действительных положительных чисел

8.

a  b  b  a на множестве действительных положительных чисел

9.

a  b  log b a на множестве действительных положительных чисел

10.

a  b  a 2  b 2 на множестве действительных положительных чисел

11.

a  b  a 2  b 2 на множестве натуральных чисел

12.

a  b  b a на множестве действительных положительных чисел

13.

a  b  a на множестве натуральных чисел

14.

a  b  b на множестве натуральных чисел

15.

a  b  a  b  1 на множестве рациональных положительных чисел

16.

a  b  a  b  2 на множестве натуральных чисел

17.

a  b  a 2  b на множестве натуральных чисел

18.

a  b  ( a  b ) 2 на множестве натуральных чисел

19.

a  b  a 2  b на множестве натуральных чисел

20.

a  b  a 2b на множестве натуральных чисел с нулем

21.

a  b  a 4b на множестве действительных положительных чисел

22.

a  b  a 2b 2 на множестве действительных положительных чисел

23.

a  b  a 2b 3 на множестве действительных положительных чисел

24.

a  b  a 4b 3 на множестве действительных положительных чисел

25.

a  b  a b 1 на множестве действительных положительных чисел

26.

a  b  ( a  b) 2  1 на множестве целых чисел

27.

a  b  a  b  2 на множестве целых чисел

28.

a b 

ab
на множестве M  x  R 0  x  1
2

29. a  b  a  b на множестве M  x  R 0  x  1, где
числа
30.



– дробная часть

a  b  ab  a на множестве M  x  R 0  x  1

Задание 23. Определить, образуют ли заданные множества группу.

1.
Комплексные числа, отличные от нуля, группу по сложению и умножению.
Комплексные числа с модулем, равным 1, группу по сложению и умно2.
жению.
Комплексные числа с модулем больше 1 группу по сложению и умноже3.
нию.
4.

Числа 1; 1; i ; i группу по сложению и умножению.

5.

Числа 1; 1; 0 группу по сложению и умножению.

Числа вида a  i b , где а и b – рациональные числа, кроме нуля, группу
6.
по сложению и умножению.
7.

Все целые степени числа три группу по сложению и умножению.

Положительные иррациональные числа группу по сложению и умноже8.
нию.
9.
10.

Все целые степени числа четыре группу по сложению и умножению.
Числа вида 2 n n  Z группу по сложению и умножению.





 a 3b 
Множество матриц вида 
, где a, b  , a 2  b 2  0 , группу по

b a 
сложению и умножению матриц.
 a 3b 
12. Множество матриц вида 
, где a, b  , a 2  b 2  0 , группу по

b a 
сложению и умножению матриц.
11.

13.

Числа вида { 5n : n  Z } группу по сложению и умножению.

14.

Числа вида { 3n : n  Z } группу по сложению и умножению.

Числа {1/2, 1, 2} группу по сложению и умножению.
a  b
 , где a, b  , a 2  b 2  0 группу по
16. Множество матриц вида 
b a 
сложению и умножению.

15.

 a b
 , где a, b  , группу по сложению и
Множество матриц вида 
2
b
a


умножению.
18. Множество векторов пространства группу по сложению.
1 a b


19. Множество матриц вида  0 1 c  , где a, b, c – действительные числа
0 0 1


группу по сложению и умножению.
1 а
 , где a – действительное число группу по
20. Множество матриц вида 
0 1
сложению и умножению.
 cos   sin  
 , где   R , группу по умноже21. Множество матриц вида 
 sin  cos  
нию.
 1 0   1 0    1 0    1 0 
, 
, 
, 
 группу по ум22. Множество матриц 

0

1
0
1
0
1
0
1
 
 
 


ножению.
23. Множество чисел вида a  2b , где a, b  Q , группу по сложению и умножению.
a b
 , где a, b, c – действительные числа группу
24. Множество матриц вида 
0
c


по сложению и умножению.

17.

25. Множество геометрических векторов на плоскости, лежащих на одной
или на параллельных прямых группу по сложению.
26.

Булеан множества {1, 2} относительно операции пересечения.

27.

Булеан множества {1, 2} относительно операции объединения.

28.

Множество R \ Q по сложению и умножению.

29.

Множество матриц n с целыми элементами по сложению и умножению.

30. Множество матриц n с целыми элементами и определителем, равным  1,
по сложению и умножению.

Задание 24. Выяснить является ли группой алгебра (G , ) .

Задание 25.
Показать, что множество M с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Коммутативно ли это кольцо? Ассоциативно
ли? Если это кольцо содержит единицу, то найти обратимые элементы.

1.

 a 3b 
M – множество матриц вида 
 a, b  Z .
b a 

2.

 a 3b 
M – множество матриц вида 
 , a, b  3 Z
b
a



a
2
M
– множество матриц вида 
3.
b

2
ковой четности.



3b 
2 ,
 где a и b – целые числа одинаa 

2 

4.

 a 3b 
 , где a и b – рациональные числа.
M – множество матриц вида 
b a 

5.

 a 3b 
 , где a, b  Z
M – множество матриц вида 
b
a



6.

 a  3b 
 , где a и b – целые числа.
M – множество матриц вида 
b
a



7.

 a  3b 
 , где a и b – рациональные числа.
M – множество матриц вида 
a 
b

8.

 a 0
 , где a и b – целые числа.
M – множество матриц вида 
0
b



9.

 a 3b 
 , где a и b – чётные целые числа.
M – множество матриц вида 
b
a



10.

a  b
 , где a и b – целые числа.
M – множество матриц вида 
b
a



11.

a  b
 , где a и b – рациональные числа.
M – множество матриц вида 
b a 

12.

a b
 , где a и b – целые числа.
M – множество матриц вида 
b a

13.

a b c


M – множество матриц вида  0 a b  , где a , b и c – целые числа.
0 0 a



Показать, что множество Z  Z со следующими операциями является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей:

14.

<a1, b1 > + <a2, b2 > =<a1+ a2, b1+ b2 >,

<a1, b1 > ꞏ <a2, b2 > =<a1ꞏ a2+ b1ꞏ b2, a1ꞏ b2+ b1ꞏ a2 >.
15.

<a1, b1 > + <a2, b2 > =<a1+ a2, b1+ b2 >,

<a1, b1 > ꞏ <a2, b2 > =<a1ꞏ a2+ 3b1ꞏ b2, a1ꞏ b2+ b1ꞏ a2 >.
16.

<a1, b1 > + <a2, b2 > =<a1+ a2, b1+ b2 >,

<a1, b1 > ꞏ <a2, b2 > =<a1ꞏ a – 3b1ꞏ b2, a1ꞏ b2+ b1ꞏ a2 >.
17. Доказать, что множество M  {a, b} c двумя элементами и операциями
a  a  b  b  a , a  b  b  a  b , a  a  a  b  b  a  a , b  b  b является полем.
18.
цо.

Доказать, что числа вида a  b 5 ( a и b – целые числа) образуют коль-

19. Доказать, что множество Z4={ 0 , 1 , 2 , 3 } с операциями «сложение по модулю 4» и «умножение по модулю 4» является кольцом, но не полем.
20. Доказать, что множество чисел a  i 3b , где a и b – рациональные числа, с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Является ли это кольцо с единицей? Найдите обратимые элементы.
21. Доказать, что множество чисел a  ib , где a и b – рациональные числа, с
обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Является ли
это кольцо с единицей? Найдите обратимые элементы.
 a 1
 , где a и b – рациональные
Верно ли, что множество матриц вида 
 b 1
числа, образует поле относительно сложения и умножения матриц?

22.

23.

Доказать, что множество матриц образует поле относительно сложения и
 a b
 , где a и b – рациональные числа.
умножения матриц 
 2b a 
 a b
Верно ли, что множество матриц вида 
 , где a и b – рациональные
0
0


числа, образует поле относительно сложения и умножения матриц?
24.

Доказать, что множество матриц образует поле относительно сложения и
 a b
 , где a и b – действительные числа.
умножения матриц 

b
a


25.

26. Является ли множество чисел a  2b , где a и b – действительные числа,
с обычными операциями сложения и умножения является полем?
27. Является ли множество чисел a  2b , где a и b – рациональные числа,
с обычными операциями сложения и умножения является полем?

28. Является ли кольцом множество трехмерных векторов относительно операций векторного сложения и умножения?
29. Является ли множество чисел a  5b , где a и b – действительные числа,
с обычными операциями сложения и умножения является полем?
30. Является ли множество чисел a  5b , где a и b – рациональные числа,
с обычными операциями сложения и умножения является полем?

Задание 26. Тишин 5.1.1
Задание 27. Тишин 5.1.2
Задание 28. Тишин 5.2.1
Задание 29. Тишин 5.2.2
Задание 30. Тишин 5.2.4
Задание 31. Тишин 5.3.1
Задание 32. Тишин 5.3.2
Задание 33. Тишин 5.3.3
Задание 34. Тишин 5.4.1
Задание 35. Тишин 5.6.1
Задание 36. Тишин 5.6.3