Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений - Вольтерра В.

Author: Вольтерра В.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математический анализ дифференциальные уравнения интегральные уравнения
Year: 1982
Similar
Современные численные методы решенияобыкновенных дифференциальных уравнений
Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения
Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие
Интегрируемость и сингулярность
Text
                    В. ВОЛЬТЕРРА
ТЕОРИЯ
ФУНКЦИОНАЛОВ,
ИНТЕГРАЛЬНЫХ
И ИНТЕГРО-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Перевод с английского
и дополнение М. К. КЕРИМОВА,
под редакцией П. И. КУЗНЕЦОВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982

22.191.6
В 71
УДК 517.948
THEORY
OF FUNCTIONALS
AND OF INTEGRAL
AND INTEGRO-DIFFERENTIAL
EQUATIONS
DOVER PUBLICATIONS, INC
NEW YORK
Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-
дифференциальных уравнений: Пер. с англ. /Под ред. П. И. Кузне-
Кузнецова. — М.: Наука. Главная редакция физико-магматической лите-
литературы, 1982. —304 с.
Книга написана одним из крупнейших математиков XX века.
В ней изложена теория функционалов, интегральных и интегро-диф-
ференциальных уравнений, теория обобщенных аналитических функ-
функций, теория композиций и перестановочных функций. В последней
главе указаны многочисленные приложения изложенных вопросов в
других науках (механика, физика, биология и др.)
Предназначенная главным образом для научных работников —
математиков, механиков и физиков,— книга может быть полезной
для студентов и аспирантов, а также инженеров-исследоиа гелей.
J702050000-102
053 ~~^
КБ-9-34-82
Перевод на русский язык.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической лшерахуры,

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода . , t 7
Из предисловия к американскому изданию 10
Биография Вито Вольтерра 13
Работы В. Вольтерра, цитированные в биографии -. . 38
Предисловие к английскому изданию 42
Глава I. Функционалы 45
Часть 1. Общие понятия и определения , 45
§ 1. Общие понятия 45
§ 2. Определения 48
§ 3. Функциональные поля и абстрактные множества . . . 51
§ 4. Непрерывность 53
§ 5. Линейные функционалы 58
§ 6. Функционалы высших степеней 63
§ 7. Функциональные степенные ряды 65
Часть II. Операции над функционалами 66
§ 1. Дифференцирование и производная 66
§ 2. Производные второго и высших порядков 68
§ 3. Обобщение теоремы Тейлора 69
§ 4. Другие дифференцируемые функционалы 71
§ 5. Вычисление некоторых вариаций . . , 73
§ 6. Интегрирование функционалов 76
Библиография к главе 1 .••••••• 78
Глава I). Задачи функционального анализа. Интегральные
уравнения ....................... 83
§ 1. Общие понятия , , , 83
§ 2. Определения , 84
§ 3. Уравнения Вольтерра второго рода 86
§ 4. Уравнения Фредгольма второго рода 91
§ 5. Симметрические ядра. Регулярные однородные функ-
функционалы второй степени .,••••••••••••••• 94

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Интегральные уравнения первого рода о, постоянными
пределами 95
§ 7. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода . , 97
§ 8. Сингулярные ядра 98
§ 9. Случай, когда ядро обращается в нуль 104
§ 10. Системы интегральных уравнений; обращение кратных
интегралов 106
§ 11. Общие функциональные уравнения и неявные функ-
функционалы 107
§ 12. Вычисление разрешающих ядер и приближенное реше-
решение . . 111
Библиография к главе II • ..,••••.••••.••• 112
Глава 111. Обобщение аналитических функций ........ 117
§ 1. Общие понятия . 117
§ 2. Функции от линии первой степени 120
§ 3. Связность пространств относительно полидромии функ-
функций от линий первой степени 125
§ 4. Случай п-мерного пространства ¦ , . • , 128
§ 5. Сопряженные функции 129
§ 6. Моногенность и изогенность 133
§ 7. Аналитическое продолжение в пространстве моноген-
моногенных функций , 138
Библиография к главе III *•• 140
Глава IV. Теория композиций и пермутабельных функций 141
§ 1. Композиция и пермутабельность первого и второго
родов . 141
§ 2. Композиционные степени и полиномы .....•••• 143
§ 3. Композиционные ряды и функции первого рода . . , , 144
§ 4. Интегральные теоремы сложения 146
§ 5. Общая теорема о решении интегральных уравнений 147
§ 6. Функции, пермутабельные с единицей . , • 150
§ 7. Порядок функции 152
§ 8. Группа функций, пермутабельных с данной функ-
функцией 152
§ 9. Преобразование, которое сохраняет закон компози-
композиции, или преобразование Пере 156
§ 10. Основная теорема о пермутабельных функциях .... 159
§ 11. Композиционные степени с дробными показателями 159
§ 12. Асимптотические методы 162
§ 13. Композиционные дроби и композиционные степени
с отрицательными показателями ............ 163
§ 14. Композиционные логарифмы «... 165
§ 15. Композиционные функции 169
§ 16. Композиционные ряды второго рода . 172
Библиография к главе IV ••••• •••••••• 174

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V Интегро-дифференциальные уравнения и уравнения
с функциональными производными 177
Часть I. Интегро-дифференциальные уравнения 177
§ 1. Общие понятия теории интегро-дифференциальных
уравнений 177
§ 2. Первые примеры интегро-дифференциальных уравнений 180
§ 3 Интегро-дифференциальные уравнения, возникающие
в теории пермутабельных функций первого рода .... 182
§ 4 Интегро-дифференциальные уравнения, возникающие
в теории пермутабельных функций второго рода .... 184
§ 5 Предварительные рассмотрения о вопросах эредитар-
ности. Интегро-дифференциальные уравнения для упру-
упругого кручения струны 186
§ 6 Интегро-дифференциальные уравнения эллиптического
типа 189
§ 7. Интегро-дифференциальные уравнения гиперболического
и параболического типов . 193
Часть П. Уравнения t функциональными производными .... 195
§ 1. Обобщение теории Гамильтона—Якоби ......... 195
§ 2. Полный дифференциал функционала 196
§ 3. Обобщение теоремы Стокса 197
§ 4. Обобщение теоремы Эйлера 199
§ 5. Связь между линейными уравнениями с функциональ-
функциональными производными и интегро-дифференциальными
уравнениями 201
§ 6. Канонические уравнения 202
§ 7 Уравнения с функциональными производными второго
порядка 204
§ 8. Уравнение с функциональной производной для функции
Грина , . 205
Библиография к главе V 206
Главе VI. Применения. Другие направления теории функ-
функционалов ............. • • • 211
Часть 1 211
§ 1. Вариационное исчисление ................. 211
§ 2. Интегральные уравнения 213
§ 3 Исследования Гильберта, Шмидта, Гурса, Витали .... 214
§ 4. Сейши 216
§ 5. Колебания мембран 217
§ 6, Новые исследования о сейшах , , . 218
§ 7. Некоторые исследования Г. С. Ивенса и его школы .... 219
Част1 II 221
$ 1. Пермутабельные функции. Функциональные группы 221

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Интегральные теоремы сложения • . • . 221
§ 3. Функциональные преобразования. Функциональные
инварианты 222
Часть 111 . . . . 223
§ 1. Функциональная динамика . .,,••.......... 223
§ 2. Функциональные вращения ...» 224
§ 3. Функционал энергии напряжения в теории упругости 226
Часть IV . . . . . 226
§ 1. Общие законы эредитарновти 226
§ 2. Эредитарная динамика •,,.•••..,,• 229
§ 3. Эредитарная упругость ••..,.. 231
§ 4. Эредитарный электромагнетизм 233
§ 5. Уравнения энергии . . 234
Часть V ,.,....., 239
§ 1. Функциональные операторы ..•.»•........• 239
§ 2. Аналитические функционалы . . ¦ , 240
§ 3. Абстрактные пространства . . . . 243
§ 4. Другие применения .••••••....•.»..••. 244
Библиография к главе VI .••••• •*••• 246
Дополнение. Библиография некоторых новых работ по
интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям
(М. К, Керимов) , . • . 257
Предметный указатель . . . . • • 303

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Вито Вольтерра — один из создателей функционального
анализа, теории интегральных и интегро-дифференциаль*
ных уравнений. Его труды, особенно по интегральным и
интегро-дифференциальным уравнениям, актуальны и по-
поныне. Несмотря на то, что с момента выхода первого изда-
издания книги «Теория функционалов, интегральных и интегро-
дифференциальных уравнений» прошло уже более 50 лет,
она не потеряла своего значения при изучении теории интег-
интегральных уравнений (в настоящее время они называются
«интегральными уравнениями В. Вольтерра» и «интегро-
дифференциальными уравнениями В. Вольтерра»), которые
имеют большое значение в связи с исследованиями по тео-
теории наследственности (последействия). Приведем по этому
поводу высказывание Н. Н. Лузина: «...«Феномен запазды-
запаздывания», о котором говорят все наблюдавшие регуляторы
в работе, может здесь пролить свет. Если он являет собою
удержание следов прошлого состояния, т. е. являет оче-
очевидную «наследственность», то это означает, что здесь при-
применим не аппарат дифференциальных уравнений, каковы
бы они ни были, но интегро-дифференциальные уравнения
В. Вольтерра» *).
В настоящее время по функциональному анализу есть
много монографий и учебников.
В то же время литература, имеющаяся по интегральным
уравнениям В. Вольтерра, крайне бедна и ограничивается,
по существу, несколькими монографиями. В сущности тео-
теория этих уравнений рассмотрена наиболее полно в ориги-
оригинальных работах самого В. Вольтерра. В связи с этим пере-
*) Лузин Н. Н. К изучению матричной теории дифференци-
дифференциальных уравнений. — М.: Автоматика и телемеханика, 1940, вып. б,
С 66,

о ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
водчиком настоящей книги составлено Дополнение: «Биб-
«Библиография некоторых новых работ по интегральным и
интегро-дифференциальным уравнениям».
Предлагаемая читателю книга В. Вольтерра, давно став-
ставшая классической, не потеряла своего научного и истори-
исторического значения до настоящего времени и широко цити-
цитируется в литературе.
Книга впервые появилась на испанском языке в 1927 г.
в Мадриде, затем значительно переработанный ее вариант
вышел на английском языке в 1929 г. в Лондоне.
Последнее издание было выпущено издательством «До-
вер» в США в 1959 г. с добавлением научной биографии
В. Вольтерра, написанной Э. Уиттекером, и списком его
научных работ. Настоящий перевод был осуществлен с этого
американского издания. При переводе был устранен ряд
погрешностей, замеченных как в тексте, так и в библиогра-
библиографии, и оставлена ^олько та литература, на которую имеются
соответствующие ссылки в биографии.
Полную библиографию работ В. Вольтерра можно найти
в собрании его сочинений, изданном в пяти томах в Риме
в 1954—1962 гг. (имеется в Государственной библиотеке
СССР им. В. И. Ленина).
В СССР в 1977 г. была издана научная биография
В. Вольтерра, написанная Е. М. Полищуком (см. Допол-
Дополнение).
Книга имеет шесть глав. В гл. I излагаются общие поня-
понятия и основные свойства функционалов. Гл. II посвящена
интегральным уравнениям. В гл. III содержится теория
обобщенных аналитических функций. В гл. IV излагается
теория композиций и перестановочных функций, играющая
важную роль при решении интегральных и интегро-диффе-
ренциальных уравнений. Гл. V посвящена интегро-диффе-
интегро-дифференциальным уравнениям и уравнениям с функциональ-
функциональными производными. В гл. VI указаны многочисленные
приложения теории функционалов в различных разделах
математики и в других областях естествознания (механика,
физика, биология и др.). Каждая глава заканчивается
обширной библиографией.
Как было сказано выше, особую ценность представляют
главы книги, посвященные интегральным и интегро-диффе-
интегро-дифференциальным уравнениям. Переводчик старался сохранить
стиль изложения и терминологию, которые существовали

ПРЕДИСЛОВИИ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 9
в 30-х годах нашего века, и тем самым сохранить научный
почерк выдающегося математика.
Изучение трудов творцов важных разделов науки позво-
позволяет читателям глубже заглянуть в их творческую лабора-
лабораторию. Примером может служить настоящая книга. Мы
надеемся, что издание ее на русском языке вновь вызовет
интерес к интегральным и интегро-дифференциальным урав-
уравнениям и послужит развитию исследований как в самой
теории, так и в ее приложениях.
П. И. Кузнецов

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К АМЕРИКАНСКОМУ
ИЗДАНИЮ
Данное издание книги Вито Вольтерра содержит пре-
предисловия к предыдущим изданиям, а также статью Э. Уит-
текера, посвященную биографии Вольтерра и его научным
трудам. Она и приложенная к ней библиография, а также
богатое содержание книги, несомненно, должны побудить
читателя к мысли о дальнейшем изучении трудов автора по
Собранию его сочинений.
В 1909 г. была опубликована книга Боше *), которая
содержала методы алгебраического и аналитического иссле-
исследования интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма.
Эта небольшая книга содержала изложение исследований
Абеля, Лиувилля, Вольтерра и Фредгольма.
Вольтерра особое внимание уделял некоторому методу
анализа, который он называл методом «перехода от конеч-
конечного к бесконечному» или «перехода от разрывного к непре-
непрерывному». Под этим он подразумевал метод, немного отлич-
отличный от известного процесса перехода к пределу, являвше-
являвшегося в течение более ста лет предметом дискуссий. Однако
для понимания подхода Вольтерра необходимо представить
себе девятнадцатый век, вернее его студенческие годы от
1879 до 1880 гг. В 1854 г. Риман определил интеграл как
предел суммы. Профессор Дини и молодой Вольтерра инте-
интересовались вопросами интегрируемости, которым Воль-
Вольтерра посвятил в 1881 г. две статьи. Во второй из них,
после изучения верхних и нижних интегралов от функции
и условий интегрируемости, он применил метод верхних и ниж-
нихсумм для доказательства теорем существования для обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, улучшая при этом
исследования Коши в этом направлении. Все это происхо-
происходило в период, когда он еще был студентом Высшей Нор-
Нормальной школы в Пизе. Очевидно, концепция Римана ока-
*) В 6 с h е г М. An introduction to the study of integral equa-
equations. — London: Cambridge Tracts in Math, and Phys., 1909.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ И
-зала на него большое влияние. Так, в 1887 г. Вольтерра
обобщает метод Римана и применяет его для решения ли-
линейных дифференциальных уравнений. В том же году он
применяет этот метод к функционалам и функциям от ли-
линий, включая также интегральные уравнения. Величину,
зависящую от всех значений функции или от всех точек
некоторой области, он заменяет на время величиной, зави-
зависящей от конечного числа значений. Вскоре эта теория полу-
получает дальнейшее развитие.
В это же время Вольтерра параллельно изучает два ме-
метода. исследования интегральных уравнений.
Исследования и открытия Вольтерра обогатили также
другие области математики и ее приложений. Об этом го-
говорится более подробно в статье Уиттекера.
Беркли, 1958 Г. ИввНС

ВИТО ВОЛЬТЕРРА
A860—1940)

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА *)
Вито Вольтерра родился в Анконе 3 мая 1860 г. и был
единственным ребенком Абрамо Вольтерра и Анжелики
Альмаджо. В то время город Анкона был осажден итальян-
итальянской армией, трехмесячный малыш едва не погиб от упав-
упавшей недалеко бомбы.
Когда Вито исполнилось два года, у него умер отец и
вместе с матерью он остался на попечении ее брата Аль-
фонсо Альмаджо, который принял сестру в свой дом и
стал отцом для ее сына. Некоторое время они жили в Терни,
затем в Турине, а после во Флоренции, где Вито провел
большую часть своей юности, поэтому он считал себя фло-
флорентийцем.
В одиннадцатилетнем возрасте Вольтерра начал изу-
изучать Арифметику Бертрана и Геометрию Лежандра. Именно
в это время резко возрастает увлечение мальчика мате-
математикой и физикой. В тринадцать лет, после чтения романа
Жюля Верна «Путешествие на Луну», он попытался решить
задачу об определении траектории снаряда в комбиниро-
комбинированном гравитационном поле Земли и Луны: эта задача
является по существу «ограниченной задачей трех тел»,
которой до попытки юного Вольтерра и после этого зани-
занимались многие знаменитые математики. Метод Вольтерра
состоял в делении времени на короткие интервалы и за-
замене силы на каждом из них константой, так что траекто-
траектория получалась как последовательность малых дуг пара-
параболы.
Сорок лет спустя, в 1912 г., он приводил это решение
в своем курсе лекций, читанных в Сорбонне. В четырнад-
четырнадцать лет мальчик самостоятельно изучает книгу Бертрана
«Дифференциальное исчисление» и, несмотря на то, что
*) Эта биография Вито Вольтерра, написанная Эдмундом Уитте-
кером, появилась в «Obituary Noticed of Fellow of the Royal Society»
в 1941 г. Она перепечатываете я с некоторыми сокращениями с раз-
разрешения Королевского общества.

14 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
к этому моменту он совсем не был знаком с интегральным
исчислением, при разборе различных специальных задач,
связанных с определением центра тяжести, он открыл для
себя, что эти задачи можно было бы решить с помощью
операции (интегрирования), которая является обратной
к операции дифференцирования.
В силу стесненности в средствах семья Вито хотела,
чтобы он сделал коммерческую карьеру. Однако Вито
настаивал на том, чтобы посвятить себя науке. Борьба
между призванием и практической необходимостью ста-
становилась все острее. Поэтому семья обратилась к его даль-
дальнему кузену, преуспевающему в делах, с просьбой уговорить
мальчика согласиться с их мнением. Разговор дал резуль-
результат, противоположный ожидаемому. Пораженный сердеч-
сердечностью, решительностью и дарованиями мальчика, влиятель-
влиятельный родственник круто повернул его судьбу и направил
его в науку. Профессор Роити пригласил его в качестве
препаратора в физическую лабораторию университета Фло-
Флоренции, хотя Вито и не начинал еще там учиться. Это пред-
предложение было принято, и теперь жребий уже был брошен.
Молодой человек поступил на факультет естественных наук
университета во Флоренции и прослушал курсы по минера-
минералогии и геологии, а также по математике и физике. С 1878 г.
в университете города Пизы он слушал лекции Дини,
Бетти и Падова, а в 1880 г. Вито поступает в Высшую нор-
нормальную школу, где проучился три года. Здесь, будучи еще
студентом, он написал свою первую оригинальную статью.
Под влиянием Дини он стал интересоваться теорией мно-
множеств и функций действительной переменной и привел не-
некоторые примеры [1] *), которые указывают на недостаточ-
недостаточность теории интегрирования Римана, и предвосхищают
исследования, выполненные значительно позже Лебегом.
В 1882 г. за диссертацию по гидродинамике, где незави-
независимо были переоткрыты некоторые результаты, ранее полу-
полученные Стоксом, Вольтерра присваивают степень доктора
по физике в Пизе. После этого Бетти назначил его своим
ассистентом. В 1883 г. в возрасте двадцати трех лет он
получил звание профессора по механике в университете
*) В квадратных скобках указывается номер соответствующей
работы из библиографии, приведенной в конце данной биографии
В Рольтерра.

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
15
Пизы, где после смерти Бетти стал заведующим кафедрой
математической физики. Теперь Вито обосновался в Пизе
вместе с матерью, которая до этого продолжала жить с бра-
братом. В 1883 г. Вольтерра был избран членом Академии
Линчейи. В 1892 г. он стал профессором механики Турин-
Туринского университета, а в 1900 г. был назначен заведующим
кафедрой математической физики в Риме и заменил на
этом посту Эудженио Бельтрами. В июле того же года он
женился на Вирджинии Альмалья. В их семье родилось
шестеро детей. Его мать продолжала жить вместе с ним и
умерла в 1916 г. в возрасте восьмидесяти лет.
Теперь мы переходим к обзору научных работ Вольтерра.
Вместо того чтобы рассматривать отдельные работы в хро-
хронологическом порядке, мы группируем их по тематике.
В первую очередь рассмотрим работы, относящиеся к функ-
функционалам.
Понятие функционала можно ввести обобщением функ-
функции у нескольких независимых переменных <р1э ф2, ..., фл.
Предположим, что вместо конечного множества перемен-
переменных ф1э ф2, ..., ф/1 мы имеем счетное множество переменных.
Чтобы это выразить аналитически, мы считаем ф* как функ-
функцию своего индекса х. Тогда функционал у представляет
собой функцию от всех значений, которые принимает функ-
функция ф (х) при изменении х на некотором интервале А ^
^ х ^ В. Функция ф (х) является произвольной и служит
независимой переменной для функционала у. Это опреде-
определение легко обобщается на функционалы, зависящие от
нескольких функций ф! (х), ф2 (#), ..., а также от парамет-
параметров tly t2, ..., причем относительно этих параметров функцио-
функционал у является функцией в обычном смысле. Вместо функ-
функций фг (х) можно ввести также функции нескольких пере-
переменных ф (*!, дг2, ...). Переход от обычных функций к функ-
функционалам в точности соответствует переходу от теории
экстремумов для функций нескольких переменных к вариа-
вариационному исчислению, и интегралы, для которых в вариа-
вариационном исчислении находят экстремумы в классе неко-
некоторых функций, представляют собой простейшие, но очень
важные функционалы.
По-видимому, первоначальные идеи общей теории функ-
функций, зависящих от непрерывного множества значений дру-
другой функции, родились у Вольтерра еще в 1883 г., однако
первая его работа в этой области [4] появилась в печати

16 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
только в 1887 г. Термин «функционал» позже был введен
Адамаром и заменяет теперь первоначальную терминоло-
терминологию Вольтерра.
Первыми шагами, естественно, должны были быть обоб-
обобщение на случай функционалов хорошо известных основ-
основных понятий теории функций. Сначала были определены
непрерывность функционала, понятие производной и диф-
дифференциала. По аналогии с частной производной относи-
относительно некоторой переменной была определена производ-
производная функционала у относительно ф в некоторой точке из
интервала определения ф, например в точке х — |. Полному
дифференциалу, являющемуся линейной формой от диф-
дифференциалов независимых переменных, с частными про-
производными в качестве коэффициентов, соответствует полная
вариация функционала, т. е. интеграл от вариаций неза-
независимых переменных ф (?), у которого коэффициентами слу-
служат производные функционала у относительно перемен-
переменных ф в точке ?. Повторным применением этих операций
можно получить дифференциальные коэффициенты и ва-
вариации высших порядков. Можно показать, что диффе-
дифференциальные коэффициенты высших порядков относительно
Ф в точке llt ?a> ... являются симметричными в этой точке
(по аналогии с ^ = в дх )' ^днако в некоторых
случаях приходится вводить несколько обобщенное опре-
определение вариации, в котором наряду с интегралом фигу-
фигурирует конечное или счетное множество членов, линейных
относительно вариации функции ф и производных ф в не-
некоторых исключительных точках. Последние часто встре-
встречаются в вариационном исчислении, где исключительными
точками обычно являются пределы интегрирования.
В работе [5] было введено понятие функции от линии.
Пусть в пространстве п измерений дана замкнутая кривая L
с уравнениями xt = ф,- (/) (i = 1, 2, ..., я), и пусть каждой
такой кривой L соответствует определенное значение ве-
величины у. Тогда говорят, что у есть функция otfi линии L.
Очевидно, у является функционалом от ф. Однако это не
является самым общим типом функционалов, так как он
инвариантен при замене ф другой функцией if», полученной
из первой заменой параметра / = t (и), ^ (и) = ф,- (f).
В действительности у зависит от линии L, но не от ее пара-
параметрического представления. Вольтерра определил произ-

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 17
водную функции от линии относительно линии в некоторой
точке, а затем ввел понятие вариации. Далее он ввел поня-
понятие простой функции от линии. Пусть Lj и L2 суть две кри-
кривые, имеющие общую дугу, и направленные в противопо-
противоположные стороны, и пусть Lx + L2 есть контур, получен-
полученный исключением этой общей дуги. Тогда простая функ-
функция от линии определяется как функция, обладающая
свойством ф (Lx + L2) = ф (Lx) + ф (L2). Вольтерра дока-
доказал ряд теорем, относящихся к этим простым функциям.
В статьях, первая из которых [6] опубликована в том же
году, он привел замечательные приложения простых функ-
функций от линии. Пусть L есть линия, F и Ф суть две функции
от этой линии, L + AL — линия, совпадающая с L всюду,
за исключением окрестности фиксированной точки М, и
пусть F + AF = F (L + AL), Ф + ДФ = Ф (L + AL).
Пусть, далее, приращение AL стремится к нулю, тогда AF
и АФ тоже стремятся к нулю. Если А/^/АФ стремится к пре-
пределу, который зависит только от М и не зависит от после-
последовательности исчезающих приращений AL, то, согласно
определению Вольтерра, функции F и Ф связаны друг с дру-
другом в смысле Римана. Он полагал, что это соответствует
соотношению между двумя комплексными переменными г
и w, для которых dw/dz не зависит от пути, по которому
приближается к пределу, а зависит только от значения г.
Он развил теорию этих функций и показал, что она зави-
зависит от некоторых дифференциальных уравнений, соответст-
соответствующих известным уравнениям Коши — Римана.
В двух других работах [8] он развил теорию дифферен-
дифференцирования и интегрирования для связанных функций от
линии, определяя сначала связанность между обычной функ-
функцией и функцией от линии: введенный выше предел dO/dF
и является обычной функцией, связанной с обеими функ-
функциями F и Ф. Если / (обычная функция) и F (функция от
линии) связаны и не имеют особенностей внутри замкнутой
поверхности, то $/dF = 0. Это соответствует интеграль-
а
ной теореме Коши из теории аналитических функций. На
случай связанных функций от линии можно обобщить
также теорему Морера, являющуюся обратной к теореме
Коши. Операции дифференцирования и интегрирования,
введенные в [8], являются взаимно обратными. Эта теория
связана также с теорией аналитических функций от двух

18 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
переменных. Обобщение теории функций комплексной пе-
переменной было систематически изложено в 1889 г. в важной
работе [10]. В то же время в ряде статей [11], [12], [13]
понятие функции от линии было обобщено на случай, когда
вместо линии фигурирует произвольное подпространство Sr
пространства Sn любого числа п измерений. В частности,
было введено понятие «сопряженных функций» (зависящих
соответственно от Sr.Y и Sn-r-J, а также определены диф-
дифференциальные операторы, аналогичные обычным операто-
операторам у и А. Как и в обычной теории потенциала, равенство
нулю второго дифференциального оператора является не-
необходимым условием существования сопряженной фун-
функции.
В следующем году Вольтерра показал [14], что с помо-
помощью его функционального анализа можно обобщить тео-
теорию Гамильтона — Якоби интегрирования дифференциаль-
дифференциальных уравнений динамики на случай общих задач матема-
математической физики. При этом он считал, что по аналогии
с уравнениями динамики, возникающими из рассмотрения
вариационных задач для однократных интегралов, можно
получить уравнения математической физики из вариацион-
вариационных задач для кратных интегралов, считая эти функционалы
зависящими от границы областей интегрирования. После
этого прошло несколько лет, прежде чем он продолжал ра-
работу над теорией функционалов. В 1892—1894 гг. он опуб-
опубликовал ряд работ [15] — [20], посвященных дифферен-
дифференциальным уравнениям математической физики, в особен-
особенности уравнению цилиндрических волн
W ~" дх* "•" ду*'
Для этого уравнения он получил решение, выраженное
ди
через начальные значения и и §г;это решение можно рас-
рассматривать в качестве двумерного аналога формулы Ри-
мана — Грина для распространения волн в одномерном
случае. Он указал также способ распространения на слу-
случай двух или большего числа измерений известной формулы
Кирхгофа для принципа Гюйгенса в теории световых волн.
Он получил формулу, выражающую значение функции ци-
цилиндрической волны в точке на расстоянии t через возму-

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 19
щение в точке Q заданной кривой на расстоянии t — PQ/c,
а также во всех предшествующих точках *).
После этого Вольтерра начал свои знаменитые исследо-
исследования по теории интегральных уравнений. Впервые ему
пришлось изучать интегральные уравнения в 1884 г. в ра-
работе [2], посвященной распределению электрического за-
заряда на сферическом сегменте. Он показал, что эта задача
приводит к решению уравнения, которое в современных
терминах называется интегральным уравнением первого
рода с симметрическим ядром. Однако до 1896 г. он серьезно
не работал в этой области, занимаясь в основном примене-
применением своей теории функционалов к тому, что он называл
в то время «обращением определенных интегралов». В этом
направлении он опубликовал работы [21], [22], [23], ока-
оказавшиеся замечательными. В этих работах он рассматри-
рассматривал интегральное уравнение второго рода с переменным
верхним пределом интегрирования
\ y)dx
(где / — неизвестная функция); это уравнение теперь назы-
называется интегральным уравнением типа Вольтерра, и его
можно считать предельным случаем системы линейных
алгебраических уравнений. В этой системе м-е уравнение
содержит только первые п неизвестных, поэтому ее можно
решить рекуррентным методом. От решения алгебраической
системы Вольтерра перешел к решению соответствующего
интегрального уравнения, получая при этом формулу
l9 y)dx,
где Т (х, у) есть функция (по современной терминологии
резольвентное ядро), которую легко можно построить с по-
помощью заданной функции S (х, у). Вольтерра использовал
аналогию с линейными алгебраическими уравнениями
только эвристически, окончательные результаты он дока-
доказал независимо друг от друга. Чтобы перейти к интеграль-
*) Эти результаты связаны с более поздними работами Адамара,
Марселя Риса и других, изложенных в книге: В. Н. Baker and
Е. J. Cop son. The mathematical theory of Huygens' principle.-**
Oxford; 1939, f 1* Y r

20 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
ным уравнениям первого рода
4y)-Q{a) = \f(x)H(xy y)dx
а
(где / — неизвестная функция), он продифференцировал
это уравнение по у и получил интегральное уравнение вто-
второго рода, которое можно решить ранее найденным им
методом. Здесь возникают затруднения, связанные с обра-
обращением в некоторых точках в нуль или бесконечность
функции Н (у, у). Вольтерра исследовал некоторые типы
этих «сингулярных» ядер и указал пути преодоления воз-
возникающих здесь затруднений.
Все эти исследования далее были обобщены на случай
кратных интегралов, а также совместных систем интеграль-
интегральных уравнений, содержащих несколько неизвестных функ-
функций. В 1897 г. Вольтерра показал [23], что его метод при-
применим также к интегральным уравнениям, у которых оба
предела интегрирования являются переменными, при этом
рассматриваемым интервалом интегрирования является
ш/ ^ х ^ у, где —1 ^ а ^ 1.
В лекции [25] о колебаниях жидкостей при воздействии
гравитационных сил (задача о сейшах) он предлагал при-
применить бесконечные определители в теории интегральных
уравнений. Как известно, этот метод в дальнейшем получил
большое развитие в работах Фредгольма.
В статье, написанной по случаю столетия со дня рожде-
рождения Абеля [28], Вольтерра применил свою теорию «обраще-
«обращения определенных интегралов» к задаче об устойчивости.
После указания на то, что Абель был первым, кто решил
интегральное уравнение первого рода такого типа (именно
в теории таутохроны), автор исследовал задачу об устой-
устойчивости жидкой массы, вращающейся вокруг одной из
своих главных осей и состоящей из концентрических, по-
подобных и подобна расположенных слоев. В статье показано,
что эта конфигурация является неустойчивой, и дано также
простое, не зависящее от теории интегральных уравнений,
доказательство. Однако это доказательство является менее
общим вследствие условий, которым должна удовлетворять
функция, представляющая плотность жидкости.
Тем временем большой интерес к интегральным уравне-
уравнениям был вызван теорией Фредгольма, которая была опуб-

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 21
ликована на шведском языке в 1900 г. и на французском
(в журнале «Acta Mathematica») в 1903 г. Вольтерра [30]
указал связь между теорией Фредгольма и своей теорией
функционалов, а именно, что решение интегрального урав-
уравнения является частным случаем решения функционального
уравнения. В той же статье, а также в одной из его лекций,
прочитанных в Стокгольме, он рассмотрел некоторое тран-
трансцендентное интегральное уравнение, возникающее при
«разложении Тейлора» в теории функционалов.
К этому периоду жизни Вольтерра относятся также не-
некоторые знаменитые его работы по теории упругости, кото-
которые важны не ^только сами по себе, но оказали большое
влияние на его последующую работу в теоретической ма-
математике. Однако самой значительной из работ по теории
упругости стала теория явления, названного им самим
distorsioni (кручение), а позже выраженного Ловом на
английском языке словом dislocations (дислокация). В уп-
упругом твердом теле, занимающем многосвязную область
пространства, перемещения могут быть многозначными
функциями, соответствующими деформациям, для которых
несправедливы некоторые основные результаты обычной
теории упругости. В качестве простого примера рассмотрим
круговое кольцо и удалим его часть, произведя два близ-
близких радиальных разреза. Затем склеим образовавшиеся
края. Тогда данное тело находится во внутреннем напря-
напряженном состоянии, хотя и отсутствуют внешние силы,
а также возникают некоторые разрывы в перемещениях,
хотя напряжение и деформация непрерывны. Стык можно
при этом рассматривать либо как место скопления разры-
разрывов в перемещениях, либо как барьер (место ветвления)
для многозначных функций, которые изображают компо-
компоненты перемещения.
Такие системы были введены и раньше, например,
Лармором при попытке объяснения электронов как места
внутренних деформаций среды.
Однако Вольтерра был первым, кто в 1905—1906 гг.
(см. [29], [31]) развил весьма общую теорию дислокаций.
Подробное изложение этих вопросов с некоторыми исправ-
исправлениями, данными Э. Чезаро, было опубликовано в 1907 г.
[311. Вольтерра впервые определил многозначное переме-
перемещение в многосвязной области, соответствующее заданной
однозначной деформации. С помощью полученных при этом

22 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
формул удалось исследовать типы разрывов на барьере и
доказать, что они должны быть типа разрывов перемеще-
перемещений твердого тела. В частности, подробно были исследованы
возможные перемещения в полом цилиндре, а также в си-
системе тонких стержней. В первом случае он сумел сравнить
свои выводы с результатами эксперимента.
Однажды, во время войны, когда Вольтерра приехал
в Англию для обсуждения научных вопросов, вернувшись
после утомительного дня в колледж, где гостил, он нашел,
что любезный хозяин гостиницы расставил у стен комнаты
множество моделей цилиндров, подверженных дислокациям
Вольтерра. Вольтерра был глубоко тронут и часто вспо-
вспоминал этот случай в своей дальнейшей жизни.
Работа по теории упругости стала началом его теории
интегро-дифференциальных уравнений, т. е. интегральных
уравнений, связывающих неизвестную функцию и ее (част-
(частные) производные. В 1909 г. [33] Вольтерра изучил частный
тип таких уравнений и показал, что задача о решении этого
интегро-дифференциального уравнения эквивалентна задаче
о решении некоторой совместной системы, состоящей из трех
линейных интегральных уравнений и дифференциального
уравнения с частными производными второго порядка.
Интегро-дифференциальные уравнения возникают в раз-
различных разделах математической физики. Так, при неко-
некоторых условиях электрическая или магнитная поляриза-
поляризация зависит не только от электромагнитного поля в данный
момент, но также от истории электромагнитного поля ве-
вещества во все предыдущие моменты (гистерезис). Если
члены, соответствующие этому физическому явлению, вклю-
включить в основное уравнение, то оно становится интегро-
дифференциальным уравнением [34].
Аналогичная ситуация наблюдается в «эредитарной уп-
упругости» (по терминологии Пикара), которой посвящены
две работы Вольтерра'[35], [36], опубликованные в том же
году. Он предположил «линейную эредитарность», т. е. что
деформация представляет собой линейный функционал от
давления. В этом случае основной является система линей-
линейных интегро-дифференциальных уравнений, и в некотором
отрезке времени можно определить деформацию по извест-
известной силе и давлению.
В 1910 г. в теории функционалов Вольтерра ввел пло-
дртворные понятия композиции и иермутабельяых фущ*

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 23
ций [40]. Композиция двух функций F (х, у) и Ф (я, у) опре-
определяется интегралом
и обозначается F*0. Она называется композицией первого
рода, если пределами интегрирования являются х и у, и
композицией второго рода, если пределами являются посто-
постоянные a n b. Эти два случая соответствуют интегральным
уравнениям Вольтерра и Фредгольма. Две функции F и Ф
называются пермутабельными, если их композиция яв-
является коммутативной.
В первой своей заметке Вольтерра ввел понятие перму-
табельности первого рода и, в частности, исследовал функ-
функции Ф, которые пермутабельны (первого рода) с заданной
функцией F. Он преобразовал определяющее уравнение
р*(р = у*р в интегро-дифференциальное уравнение. Решая
это уравнение, он показал, что любую пермутабельную
(первого рода) с F функцию можно представить в виде
линейной комбинации F и композиций (первого рода) функ-
функции F с собой. Поскольку операция, композиции является
обобщением операции умножения матриц, число столбцов
и строк которых равны бесконечному множеству значений,
то очевидно, что результат Вольтерра соответствует хорошо
известной теореме о том, что любая матрица, перестановоч-
перестановочная с матрицей F (все собственные значения которой яв-
являются простыми), является полиномом относительно F.
Применение теоремы Вольтерра в случае, когда F является
постоянной, позволяет получить важный результат: мно-
множество всех функций, пермутабельных (первого рода)
с константой, совпадает с множеством всех функций от
(У-Х). ^
В двух заметках [38], [40] теория композиций и перму-
пермутабельных функций применена для решения интеграль-
интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Рассмотрим
алгебраическое соотношение F (г, ?) = 0 между двумя пе-
переменными. Пусть переменные заменяются двумя функ-
функциями f и ф, а все умножения переменной г на себя или
на ? заменяются композициями соответствующих функций.
Тогда получим интегральное уравнение, связывающее /
и ф. Если можно представить решение уравнения F (z, ?) =
=» 0 (где ? является неизвестной) в виде степенного ряда

24 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
относительно z, то это представление при замене г на /,
а умножения на композицию становится решением ср интег-
интегрального уравнения. Таким образом, решение интеграль-
интегрального уравнения оказывается зависимым от решения алгеб-
алгебраического уравнения. Поступая аналогичным образом,
можно показать, что решение интегро-дифференциального
уравнения получается из решения некоторого дифферен-
дифференциального уравнения. Результаты этих заметок были при-
применены [37], [39] к задаче об эредитарной упругости; при
этом Вольтерра решил основные интегро-дифференциаль-
ные уравнения в случае изотропной сферы. Во второй ра-
работе он решил также одно квадратное интегральное урав-
уравнение.
В 1911 г. Вольтерра исследовал интегро-дифференциаль-
ные уравнения с постоянными пределами, т. е. уравнения
типа Фредгольма [42]. Как мы видели, задачу о решении
интегро-дифференциального уравнения можно свести к за-
задаче о нахождении «фундаментального решения» некото-
некоторого связанного с ним дифференциального уравнения. Это
фундаментальное решение представляется в виде ряда по
степеням параметра, входящего в интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциальное уравнение; если этот параметр равен нулю, то интегро-
дифференциальное уравнение, изученное Вольтерра, сво-
сводится к дифференциальному уравнению с частными произ-
производными Лапласа в случае п переменных, а его фундамен-
фундаментальное решение — к элементарному решению уравнения
Лапласа. Для решения интегро-дифференциальных урав-
уравнений из фундаментальных рядов были получены компо-
композиционные ряды. Эти ряды в случае композиций первого
рода всегда сходятся, но в случае интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма появляются композиции
второго рода и образуемые ими ряды не всегда сходятся.
Поэтому для линейных интегро-дифференциальных урав-
уравнений типа Фредгольма Вольтерра развил другую теорию.
Главной особенностью новой теории является то, что теперь
фундаментальное решение является решением линейного
интегрального уравнения типа Фредгольма (вместо реше-
решения дифференциального уравнения).
В другой заметке [43] Вольтерра определил все функции
второго порядка, т е такие, что

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 25
и показал, что они зависят от произвольной функции одной
переменной. Он полностью решил также уравнение г|)*я|) = ф
при условии, что ф является функцией второго порядка.
В следующей работе [134] Вольтерра указал, что для функ-
функций специального вида
вопрос о пермутабельности идентичен вопросу о коммутатив-
коммутативности произведения составляющих матриц (aik). Так, при
помощи матричной алгебры он сумел находить все функ-
функции, пермутабельные с функцией F (т. е. все матрицы,
перестановочные с (aik)). Эта теория была применена к ре-
решению одного интегрального уравнения /г-й степени.
Далее, в 1911 г. Вольтерра опубликовал 141] подробное
изложение своего метода использования теории компози-
композиций и пермутабельных функций для решения интеграль-
интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.
В 1912 г. было опубликовано подробное изложение [45]
теории интегро-дифференциальных уравнений эллиптиче-
эллиптического типа с переменным верхним пределом. В этой же
работе была развита теория эредитарной упругости, а
также электрического и магнитного гистерезисов. Он обоб-
обобщил также [46] свою теорию эредитарной упругости на
случай эредитарных колебаний. Это привело его к интегро-
дифференциальным уравнениям гиперболического типа, а
также к некоторым важным результатам, касающимся коле-
колебаний эредитарного типа. Во многих простых случаях
эредитарное решение можно получить из хорошо извест-
известного решения заменой тригонометрических функций неко-
некоторыми введенными Вольтерра трансцендентными функ-
функциями. В следующем году A913) он снова вернулся [49]
к интегро-дифференциальным уравнениям эллиптического
типа и завершил свои исследования 1911 г. более полным
рассмотрением случая нечетного числа (пространственных)
измерений. В лекции на Пятом Международном матема-
математическом конгрессе в Кембридже [50] он рассказал о своих
результатах по трансцендентным интегральным уравнениям.
В том же году появилась книга его лекций, прочитанных
в Риме об интегральных и интегро-дифференциальных
уравнениях [47], а также лекции в Сорбонне о функциях

26 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
от линий [48]. В них изложена полная теория функциона-
функционалов, причем основой метода всегда является переход от
конечного числа переменных к бесконечному числу их.
Эти работы способствовали широкому ознакомлению чита-
читателей с идеями Вольтерра. По приглашению Берлинского
математического общества он прочитал также лекции [511,
посвященные основным понятиям функционального анализа
и применению их в вариационном исчислении, в теории
интегральных и интегро-дифференциальных уравнений,
в теории квадратичных форм бесконечного числа перемен-
переменных, в эредитарной теории упругости, в механике и элек-
электромагнетизме.
В 1914 г. он опубликовал две работы [52], [53], посвя-
посвященные уравнениям с функциональными производными,
т. е. уравнениям, связывающим функционал и его произ-
производную. После изучения некоторых простых типов таких
уравнений (линейных уравнений с функциональными про-
производными первого и второго порядка) он показал, что эти
уравнения соответствуют обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям. Он исследовал также системы интегро-
дифференциальных уравнений, соответствующих канониче-
каноническим системам уравнений динамики, и получил уравнение
с функциональным производным, соответствующее уравне-
уравнению Гамильтона — Якоби. В следующей работе, написан-
написанной для юбилейного сборника по поводу трехсотлетия со
дня рождения Непера, состоявшегося в июле 1914 г., но
опубликованной только в 1916 г. [59], [82], он дал систе-
систематическое изложение своей теории композиций первого
рода с добавлением некоторых важных новых идей. Наи-
Наиболее существенной из них является «нулевая компози-
композиционная степень функции», которая играет роль единицы
и в сущности совпадает с 6-функцией Дирака. С помощью
этой единицы легко определяются композиционные дроби,
а следовательно, и отрицательные композиционные степени.
Следуя далее по этому же пути, он получил определение
«композиционного логарифма» и развил теорию «компози-
«композиционных функций». В частности, основные понятия ана-
анализа обобщаются в область композиционных функций. На-
Например, он определил производную композиционной функ-
функции, которая оказывается (новой) композиционной функ-
функцией, а также композиционный определенный интеграл от
композиционной функции.

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 27
Эта' теория композиционных функций составила темы
трех лекций, прочитанных в институте Раиса в Хьюстоне,
Техас [54].
Прежде чем перейти к обзору научных работ, появив-
появившихся в последние двадцать пять лет жизни Вольтерра,
вернемся снова к истории его личной жизни. В марте
1905 г. он был назначен сенатором Итальянского королев-
королевства—весьма почетное звание для столь молодого чело-
человека. Примерно в то же время он стал директором политех-
политехнической школы в Турине, а также королевским комисса-
комиссаром. Для него была открыта дорога, чтобы стать большой
фигурой в политической и административной жизни страны.
Однако он предпочел карьеру чисто научную и в граждан-
гражданских делах принял активное участие только дважды — во
время первой мировой войны 1914—1918 гг. и в борьбе
с фашизмом.
В июле 1914 г. Вольтерра, как обычно, находился на
своей даче в Ариччиа, когда началась война. Его взгляды
сразу же определились: по его мнению, Италия должна
была присоединиться к союзникам. Вместе с Д'Аннунцио,
Биссолати, Барцилаи и другими он организует митинги
и ведет агитацию, которая увенчалась успехом 24 мая сле-
следующего года, когда Италия вступила в войну. В качестве
лейтенанта корпуса технических войск Вольтерра вступил
в армию и, хотя ему уже шел пятьдесят пятый год, стал
служить в воздушных силах. Более двух лет с юношеским
энтузиазмом он жил среди военных летчиков, усовершен-
усовершенствуя новый тип дирижабля и изучая возможности уста-
установки на нем пушек. Наконец, он сконструировал системы
ведения огня с борта дирижабля и начал испытания, не-
несмотря на общее мнение, что дирижабль может загореться
или взорваться после первого же выстрела. Он опубликовал
также несколько математических работ, связанных с веде-
ведением воздушной войны, и проверил свои выводы на само-
самолете. Он был награжден высшей военной наградой — Же-
Железным крестом.
Несколько дней спустя после капитуляции города Гори-
ции, когда город еще находился под огнем австрийских
пушек, он отправился туда для того, чтобы испытать италь-
итальянские приборы для определения местонахождения вра-
вражеских батарей по звуку. В начале 1917 г. Вольтерра
основал в Италии Ведомство военных изобретений и стал

28 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
его начальником, совершил много поездок во Францию и
Англию для установления научных и технических связей
среди союзников. Он ездил в Тулон и Гарвич для изучения
подводной войны. В мае и октябре 1917 г. в Лондоне Воль-
терра принял участие в работе международного научного
комитета, членом которого он являлся. Он был первым,
кто предложил использовать вместо водорода гелий, и
организовал его производство.
Когда в 1917 г. некоторые политические партии, осо-
особенно социалисты, хотели заключить сепаратный мир для
Италии, Вольтерра решительно противился их предло-
предложениям. Вместе с Соннино он помог организовать парла-
парламентский блок, который решил вести войну до победного
конца. После заключения перемирия в 1918 г. Вольтерра
вернулся к своим чисто научным занятиям и к преподава-
преподавательской деятельности в университете.
Наиболее важные открытия в его жизни после войны
относятся к математической биологии. Перейдем теперь
к обзору этих работ.
Название его лекции [27], прочитанной при открытии
академического года после его избрания заведующим ка-
кафедрой в Римском университете, показывает, что уже в
1901 г. он интересовался применением математики в био-
биологии. Его собственные исследования в этой области, обя-
обязанные его связи с биологом Умберто Д'Анкона из универ-
университета Сиена, начались в конце 1925 г. Его первая и фун-
фундаментальная работа [57] (перепечатана с изменениями и
дополнениями в работе [60]; краткое изложение на англий-
английском языке см. [58]; более полное издание [65], критиче-
критическое резюме, написанное Пере см. Rev. gen. sci. pur. Appl.,
1927, 38, 285—300, 337—341) в этой области появилась
в следующем году. Теория была развита в нескольких
последующих работах и зимой 1928—1929 г. она стала
[61] — [64] объектом курса лекций, читанных Вольтерра
в Институте Анри Пуанкаре в Париже. Эти лекции вместе
с исторической и библиографической главой, написанной
Д'Анкона, были опубликованы в 1931 г. [67].
Объектами, исследованными в этих работах, были био-
биологические ассоциации, т. е. системы популяций животных
(или растений) различных видов, живущих вместе в общей
среде в условиях конкуренции или союза. Теория была
связана с взаимодействием этих популяций друг с другом

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 29
и с окружающей их средой, выраженных в их численных
изменениях.
В начале этих исследований Вольтерра не был знаком
с аналогичными работами, проведенными ранее. Некоторые
из них (например, анализ уравнения малярии Росс — Мар-
Мартини) относились только к специальным проблемам. Дру-
Другая работа, например работа У. Р. Томсона по паразито-
паразитологии, хотя косила более общий характер и была связана
с исследованиями Вольтерра, но отличалась тем, что здесь
нужно было рассматривать поколения различными, а число
популяций изменяющимся не непрерывно по времени.
Очевидно, что существует много задач, связанных с ви-
видами, в которых поколения перекрываются, где число по-
популяций можно с некоторым приближением считать непре-
непрерывной функцией времени. Именно к таким проблемам и
применяются методы Вольтерра. Аналогичные вопросы рас-
рассматривались также в работах А. Лотка, который получил
некоторые простые результаты Вольтерра, относящиеся
к ассоциациям двух видов.
Чтобы объяснить идеи, на которых основана теория
Вольтерра, мы сначала рассмотрим не совсем тривиальный
случай одного вида. Пусть число популяций в момент t
обозначено N @ Простейшее предположение о постоянстве
скоростей рождения и смерти приводит нас к уравнению
Мальтуса
f = e", A)
из которого после интегрирования получается геометриче-
геометрический закон роста
ЛГ = Л/оее/. B)
При более общих условиях в правую часть уравнения A)
потребуется внести некоторые поправки. Эти поправки
относятся к изменениям, связанным с известными предпо-
предположениями Мальтуса относительно человеческих популя-
популяций. Если среда содержит только ограниченное количество
индивидов, то мы должны предположить, что «коэффициент
прироста» е является не константой, а убывающей функ-
функцией от N. Проще предположить, что это убывание линей-

30 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
ное, при котором мы получаем уравнение Ферхюлста
^f C)
где 8, % суть константы; в последующих работах 8 был на-
назван коэффициентом автоприроста популяции, чтобы отли-
отличить его от всего коэффициента прироста 8 — XN. Интегри-
Интегрируя уравнение C), мы получаем хорошо известную «логи-
«логистическую кривую»
N ekr**), D)
которая появляется во многих экспериментах в биологии и
экономике.
При еще более общих условиях необходимо ввести
дальнейшие поправки. Например, в сложном случае не-
необходимо рассмотреть интегро-дифференциальное уравнение
вида
^ —Je —
Общий коэффициент прироста здесь состоит из коэффициента
автоприроста популяций е и трех других: XN, означающего
эффект Ферхюлста о конкуренции внутри видов; периоди-
периодических членов, возникающих благодаря сезонным измене-
изменениям среды и вызывающих иногда сильные изменения в N\
и, наконец, интеграла, выражающего эффект запаздыва-
запаздывания, такой, как интоксикация замкнутой среды накопле-
накоплением отбросов. Последняя константа а выражает иммигра-
иммиграцию с равномерной скоростью. Однако Вольтерра интере-
интересовался ассоциациями, состоящими из 2, 3 ... или п видов,
с которыми связаны 2, 3 ... или п дифференциальных урав-
уравнений (или интегро-дифференциальных уравнений, если
появляются эффекты запаздывания). Он подробно исследо-
исследовал ассоциации, состоящие из двух видов, один из которых
пожирается другим. Мы можем назвать их «хищник —
жертва». Для этого случая мы имеем уравнения Лотка —
Вольтерра
(жертва) -^ «¦ (е, —
(хищник) ^ - (— ч + у»^) N%.

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
31
При этом число жертв может возрасти, а хищники погиб-
погибнуть. Поэтому коэффициенты автоприроста (е1э —е2) соот-
соответственно будут положительными и отрицательными. Чле-
Члены, относящиеся к конкуренции, зависят от встреч
видов и пропорциональны N^2. Они положительны для
хищников и отрицательны для жертв. При помощи интег-
интегрирования этих уравнений Вольтерра доказал существо-
существование периодических флуктуации, период которых зависит
от Yi» Y2 (так» например, на них не влияют возрастающие
меры по охране жертв). Средние величины Nx и Nt не зави-
зависят от их начальных значений и выражаются по формулам
F)
Существование периодических флуктуации в биологических
ассоциациях было давно известно из опытов. Однако эко-
экологи предполагали, что необходимо искать объяснение этих
флуктуации в некоторых внешних факторах таких, как
времена года или вмешательство со стороны людей. Ча-
Частично, как результат исследования уравнений Лотка —
Вольтерра, теперь допускают, что периодические флуктуа-
флуктуации в постоянной среде при некоторых условиях можно
с достаточной точностью объяснить простым фактом взаи-
взаимодействия.
Если популяциями, рассмотренными в уравнениях E),
являются различные виды рыб, то эффект рыбной ловли
(т. е. равномерное уничтожение обоих видов рыб пропор-
пропорционально их количеству) должен был увеличить е2 и умень-
уменьшить гг. Из F) следует, что среднее число хищников N2
уменьшается, а число их жертв (#i) увеличивается. Ана-
Аналогичным образом прекращение рыбной ловли, которое
произошло, например, во время войны, благоприятствовало
росту хищных видов. Этот эффект уже был отмечен Д'Ан-
Д'Анкона в его статистическом исследовании рыбной ловли
в Адриатическом море в период 1905—1923 гг. Он нашел
временное увеличение в 1914—1918 гг. количества более
прожорливых видов рыб по сравнению с рыбами, которыми
они питаются. В своей книге «Математическая теория
борьбы за существование» [67] Вольтерра развил общую
теорию для п видов и предложил ввести динамическую
аналогию различением между так называемыми консерва-
консервативными и диссипативными ассоциациями. Не вдаваясь
в детали этих понятий, мы можем подчеркнуть, что ассо-

32 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
циация (одного вида), изображаемая уравнением A), яв-
является консервативной, а ассоциация, изображаемая урав-
уравнением C),—диссипативной. Уравнения E) изображают
консервативную ассоциацию. Если мы изменим их с учетом
конкуренции внутри каждого из видов, как раньше мы
получили C) изменением A), то мы получим уравнения
для диссипативной ассоциации:
Влияние этого изменения состоит в том, что флуктуации
для Nx и N2 теперь являются затухающими, т. е. их ам-
амплитуды уменьшаются и ассоциация со временем стремится
к своему устойчивому положению. Как показал Вольтерра,
это является общим свойством ассоциаций, названных им
диссипативными, которое наводит на мысль аналогии с ме-
механикой. Он смотрел на консервативные ассоциации как
на идеальные, которые не существуют в природе, поэтому
предполагал, что действительные ассоциации чаще являются
диссипативными *).
Наконец, Вольтерра обобщает свою теорию двух видов
на случай, столь важный во многих задачах биологии, где
появляется эффект запаздывания. Теперь приведенные выше
два дифференциальных уравнения следует заменить на пару
интегро-дифференциальных уравнений. Эти уравнения он
решил методом последовательных приближений и подробно
исследовал аналогию этого случая со своими предыдущими
работами, связанными с явлением остаточного действия
в теории упругости и в электромагнетизме.
Обобщение изучения этих эффектов запаздывания на
случай ассоциаций из п видов было предпринято только
*) См. Gause G. F. The struggle for existence, Baltimore: Williams
and Wilkins, 1934. В этой книге описываются эксперименты, которые
помогают воспроизвести некоторые из математических моделей Воль-
Вольтерра с помощью простых биологических моделей, в которых исполь-
используются дрожжевые клетки и различные виды простейших одноклеточ-
одноклеточных живых организмов Попытки эти были не вполне успешными, од-
однако следует подчеркнуть, что периодические колебания, иногда обна-
обнаруживаемые в эксперименте хищник—жертва, имели убывающие ампли-
амплитуды.

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 33
в последней работе Вольтерра по* математической биоЛо
гии [80], опубликованной в 1939 г. Еще раньше появились
два очень различных направления теории, которые можно
назвать ее «прикладным» и «чистым» аспектами.
Во-дтервых [77], Вольтерра сотрудничал с Д'Анкона
при обзоре соответствующей литературы по биологии для
ее изучения и применения. Специфические трудности в этом
вопросе были связаны скорее с большим количеством осо-
особых условий, встречающихся в различных случаях, и оцен-
оценкой этих условий в каждом частном случае, нежели с ма-
математическим исследованием уже принятых условий. Факт,
что авторы сумели для многих различных случаев составить
соответствующие математические модели, говорит в пользу
Вольтерра. Во-вторых, в вопросах «чистой» теории [68] —
[73] он распространил во многие вопросы классической
динамики понятие аналогии. Это новое направление, кото-
которое изложено в лекции [74], прочитанной в Женевском
университете 17 июня 1937 г., просто можно объяснить
на примере тех же уравнений (б) о хищнике — жертве.
Изменяя обозначения, их можно записать в виде
Отсюда легко получаем, что
aNi + Р Af2 — aexiVi + Ре2Л?2 = О,
t t
аЫг + р#2 - агг $ Nx dt + ре2 $ N2 dt =. Я = const.
(8)
Вводя величины, названные им количествами жизни двух
популяций,
и рассматривая их как аналоги координат в динамике, мы
получим из (8) результат, который Вольтерра назвал урав-
уравнением сохранения демографической энергии, а именно,
где Т = ах + ру равна действительной демографической
энергии, V = — агхх + ре^ — потенциальная демографи-
2 В. Вольтерра

34 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
ческая энергия. Кроме того, если ввести функцию
то можно показать, что первоначальные уравнения флук-
флуктуации (б) эквивалентны уравнениям движения Лагранжа
d (дФ\ дФ p. d /дФ\ дФ л
Отсюда, как и в классической динамике, следует, что в слу-
случае изменений Nx и N2 свойства ассоциации можно описать
вариационным принципом
t
d\Odt = 0. (9)
to
До сих пор аналогия относилась к специальной ассоциа-
ассоциации (б). Однако Вольтерра развил ее для консервативной
ассоциации (а также для некоторых типов диссипативных
ассоциаций) п видов.
Еще одна аналогия была описана в лекции [75], [761 на
заседании Международного математического конгресса.
Обобщая исследование о «прекращении рыболовства», опи-
описанное выше в случае уравнений E) и F), он рассматривает
изменения в положении равновесия консервативной ассо-
ассоциации п видов, порожденные изменением ее коэффициен-
коэффициентов автоприроста. При этом возникает некоторый принцип
взаимности, не похожий на принципы, появляющиеся в тео-
теориях упругости и электростатики.
Биологи критиковали Вольтерра за то, что он столь
тщательно разрабатывает абстрактные математические мо-
модели, основанные на упрощающих допущениях, далеких
от сложностей природы. Теперь этот принцип является
основным, на котором основан триумф физических наук.
Было бы затруднительно с определенностью сказать, станут
ли физические аналогии, которые он открыл, и которые
на первый взгляд кажутся остроумными и замечательными,
мощным инструментом научного познания или они являются
зародышами глубокой биодинамики, существенными для
теоретической и экономической биологии будущего.
Однако нельзя сомневаться в том, что его исследования
в чистой математике будут неизбежно находить в будущем
применение в математической биологии. Хотя исследования,

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
о которых мы только что говорили, относились к основным
интересам Вольтерра в течение последних лет его жизни,
тем не менее время от времени он публиковал также ра-
работы по чистой математике. В 1924 г. появилась хорошо
известная книга Вольтерра и Пере [561 о теории компози-
композиций и пермутабельных функций, завершившая его работу
в этой области. Был опубликован также курс его лекций
о теории функционалов, интегральных и интегро-дифферен-
циальных уравнений, читанных в Мадриде в 1926 г. Эта
книга, появившаяся сначала на испанском языке в 1927 г.
[59], в 1930 г. переведена на английский язык [66].
Более важной с современной точки зрения является ра-
работа об общей теории функционалов, написанная в сотруд-
сотрудничестве с Пере. Первый том [78] из трех задуманных*) по-
появился в 1936 г. Он содержит общие принципы функ-
функционального анализа и его применений к теории интег-
интегральных уравнений. По замыслу, второй том должен был
содержать теорию композиций, пермутабельных функций,
интегро-дифференциальных уравнений и уравнений с функ-
функциональными производными, а также обобщение аналити-
аналитических функций, данное Вольтерра. Третий том должен
был быть посвящен дополнительным вопросам и примене-
применениям функционального анализа. Основной упор был сделан
на современную теорию функций и абстрактных пространств.
В 1938 г. Вольтерра опубликовал в Бореллевской серии
монографий работу [79], написанную совместно с П. Хо-
стинским, и относящуюся к исследованиям, начало которых
было заложено в ранний период его деятельности. В 1887 —
1888 гг. он написал две заметки [7], [9], а также основатель-
основательный труд [3], посвященный теории подстановок или матриц,
инфинитезимальным операциям над ними и их приложе-
приложениям к теории линейных дифференциальных уравнений.
Он рассматривал п2 элементов матрицы порядка п как
функции одной переменной х, являвшейся действительной
в этих ранних работах, но предполагавшейся комплексной
в последующей работе [26]. Он ввел понятие производной
и интеграла матрицы относительно х и показал, что эти
операции являются взаимно обратными. Значение этих
исследований становится понятным, если рассмотреть
*) Второй и третий гома остались неопубликованными. — Прим,
перев.
а»

36 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
систему линейных дифференциальных уравнений первого
порядка
/«1
Вольтерра показал, что элементы «интеграла» от матрицы
из ац (х) дают фундаментальную систему решений диффе-
дифференциальных уравнений. Нетрудно обобщить соответству-
соответствующие формулы для случая неоднородных систем дифферен-
дифференциальных уравнений или для случая более одной незави-
независимой переменной. Далее он разработал теорию полного
дифференциала матрицы, двойных и криволинейных ин-
интегралов. Преобразование этих последних друг в друга при-
приводит к введению дифференциальных параметров. Если х
считать комплексной, то можно определить интеграл от
матрицы вдоль замкнутого контура и развить теорию вы-
вычетов, при этом вычеты будут зависеть от особенностей
элементов матрицы. Короче говоря, на теорию матриц можно
перенести все основные идеи теории функций комплексной
переменной. Было получено также обобщение известных
результатов Фукса о разложении решений линейного диф-
дифференциального уравнения в окрестности одной из его осо-
особых точек. Далее Вольтерра перешел к исследованию ма-
матриц, элементами которых являются однозначные и регу-
регулярные функции от положения на римановой поверхности.
Такие матрицы он назвал алгебраическими, а интегралы от
них — абелевыми матрицами. Таким образом он получил
интересную аналогию обычной теории алгебраических функ-
функций и их интегралов. Последние главы монографии 1938 г.,
в основном написанные Хостинским, содержат много обоб-
обобщений и приложений оригинальной работы Вольтерра.
Одно из наиболее важных из них связано с решением зна-
знаменитого функционального уравнения, введенного С. Чеп-
меном в 1928 г. при решении одной задачи из теории диффу-
диффузии (Ргос. Roy. Soc. London, 1928, (А)И9, p. 34—54).
Научная активность Вольтерра простиралась во многие
области, совсем выходящие за пределы его основных иссле-
исследований. Например, студент-тополог, прочитавший пре-
превосходную монографию профессора Лефшеца «Analysis
situs», Parish 1924, найдет там фотографии многих остроум-
остроумных моделей, сконструированных Вольтерра для того,

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 37
чтобы показать, как два многообразия, определенных сов-
совсем различными путями, тем не менее могут быть гомеоморф-
ными друг другу.
Остается рассказать о грустной истории его последних
лет жизни. В 1922 г. фашисты захватили власть в Италии.
Вольтерра был одним из немногих, кто с самого начала
понял опасность для свободы мысли и немедленно начал
противиться некоторым изменениям в системе образования,
которые лишали итальянские средние школы свободы.
В то время как противники фашистского правительства
в палате депутатов отклонились от дебатов, небольшая
группа сенаторов, во главе с Вольтерра, Бенедетто Кроче
и Франческо Руффини, подвергая себя большому риску,
появлялась на всех заседаниях сената и постоянно была
в оппозиции. В то время Вольтерра был президентом Ака-
Академии дей Линчейи и вообще считался одним из самых
знаменитых ученых Италии.
В 1930 г. парламентская система, основанная в XIX веке
Кавуром, была полностью упразднена. Вольтерра больше
никогда не появлялся в сенате. В 1931 г., после отказа
присягнуть на верность фашистскому правительству, он
был вынужден оставить Римский университет, где препо-
преподавал более 30 лет. В 1932 г. его принудили оставить все
итальянские Академии наук *). Начиная с этого времени,
Вольтерра большую часть своей жизни проводит в Па-
Париже, где каждый год в институте Анри Пуанкаре читает
лекции. Он читал лекции также в Испании, Румынии и Че-
Чехословакии. Все эти поездки он совершает в сопровожде-
сопровождении своей жены, которая никогда не покидала его, печатала
и читала его рукописи. Он имел привычку говорить, что
подпись «В. Вольтерра» в его последних работах означает
не Вито, а Вирджиния Вольтерра.
В декабре 1938 г. Вольтерра заболел флебитом, но ин-
интеллектуальная энергия сохранилась и он успел опубли-
опубликовать две свои последние статьи [80], 181] соответственно
в трудах Эдинбургского математического общества и Ака-
Академии Понтифиччья. Утром 11 октября 1940 г. Вольтерра
умер в своем доме в Риме. Согласно его завещанию, он был
похоронен на маленьком кладбище в Ариччиа, на неболь-
*) Однако папа Пий XI назначил его членом академии Понтифиччья
в Ватикане, и это почетное звание сохранялось за ним до его смерти.

38 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
шом холме, вблизи дачи, которую он так любил и где про-
провел спокойные часы своей благородной и активной жизни.
Вольтерра был удостоен несчетным количеством наград.
Он был избран иностранным членом Английского Королев-
Королевского общества в 1910 г. и был удостоен такого звания
почти всех национальных академий и математических об-
обществ мира. Он был почетным доктором многих универси-
университетов, в частности Кембриджского, Оксфордского и Эдин-
Эдинбургского. В своей родной стране Вольтерра был удостоен
ордена Великого кордона Итальянской короны и Воен-
Военного креста; он был сенатором Королевства. Во Франции
Вольтерра был», удостоен звания Большого офицера Почет-
Почетного легиона. Он имел также ордена Леопольда Бельгий-
Бельгийского, Святого Карла от Монако и Полярной звезды от
Швеции. 23 августа 1921 г. он получил от короля Георга V
орден Британской империи.
В словах, которыми почтила кончину своего члена Ака-
Академия Понтифиччья, сказано: «Из этой жизни неустанных
поисков в науках ушел и перешел в обитель вечной муд-
мудрости».
Э. Т. Уиттекер
РАБОТЫ В. ВОЛЬТЕРРА, ЦИТИРОВАННЫЕ В БИОГРАФИИ
1. Sui principii del calcolo integrate. — G. Mat., 1881, 19, 333—372.
2. Sopra un problema di elettrostatica. — Rend. Accad. Lincei, 1884,
C) 8, 315—318.
3. Sui ¦ -
3. Sui fondamenti della teoria delle equazioni differenziali lineari.
Parte prima. — Mem. Soc. Ital. Sci. Nat., 1887, C) 6, № 8, 104 pp.
4. Sopra le funzioni che dipendono da altre funzioni. — Rend. Accad.
Lincei 1887, D) 3, 97—105, 141—146, 153—158
5. Sopra le funzioni dipendenti da linee. — Rend. Accad. Lincei, 1887,
D) 3, 225—230, 274—281.
6. Sopra una estensione della teoria di Riemann sulle funzioni di vari-
abili complesse, I. — Rend. Accad. Lincei, 1887, D) 3, 281—287.
7. Sulle equazioni differenziali lineari. — Rend. Accad. Lincei, 1887
D) 3, 393—396.
8. Sopra una estensione della teoria di Riemann sulle funzioni di va-
riabili complesse, II, III. — Rend. Accad. Lincei, 1888, D) 4, 107—
115, 196—202.
9. Sulla teoria delle equazioni differenziali lineari. — Rend. Circolo
Mat. Palermo, 1888, 2, 69—75
10. Sur une generalisation de la theorie des fonctions d'une variable
imaginaire, I. — Acta Math., 1889, 12, 233—286.
11. Delle variabili complesse negli iperspazi. —Rend. Accad. Lincei,
1889, D) 5, 158—165, 291-299.

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 39
12. Sulle funzioni conjugate. — Rend. Accad. Lincei, 1889, 14) 5, 599—
611.
13. Sulle funzioni di iperspazi e sui loro parametri differenziali. — Rend.
Accad. Lincei, 1889, D) 5, 630—640.
14. Sopra une estensione della teoria Jacobi—Hamilton del calcolo delle
variazioni. — Rend. Accad. Lincei, 1890, D) 6, 127—138.
16. Sulla vibrazioni luminose nei mezzi isotropi. — Rend. Accad. Lin-
Lincei, 1892, E) 1, 161—170.
16. Sulle onde cilindriche nei mezzi isotropi. — Rend. Accad. Lincei
1892, E) 1, 265—277.
17. Sulle vibrazioni dei corpi elastici. — Rend. Accad. Lincei, 1893,
E) 2, 389—397.
18. Sulla integrazione delle equazioni differenziali del moto di un corpo
elastico isotropo. — Rend. Accad. Lincei, 1893, E) 2, 549—558.
19. Sul principio di Huygens, — Nuovo Cim., 1893, C) 33, 32—36,
71-77.
20. Sur les vibrations des corps elastiques isotropes.—Acta Math.,
1894, 18, 161—232.
21. Sulla inversione degli integrali definiti. — Rend. Accad. Lincei,
1896, E) 5, 177—185.
22. Sulla inversione degli integrali imultipli. — Rend. Accad. Lincei,
1896, E) 5, 289—300.
23. Sulla inversione degli integrali definiti. — Atti Accad. Torino, 1896,
31, 311—323, 400—408, 537—567, 693—708.
24. Sopra alcune questioni d'inversione di integrali definiti, — Ann.
Mat. Рига ed. Appl., 1897, B) 25, 139—178.
25. Sul fenomeno delle seiches. — Nuovo Cim., 1898, 8, 270—272.
26. Sui fondamenti della teoria delle equazioni differenziali lineari,
II.—Mem. Soc. Ital. Sci. Nat., 1899, C) 12, 3—68.
27. Sui tentativi di applicazione delle matematiche alle scienze biolo-
giche e sociali. — Discorso letto il 4 novembre 1901 alia inaugura-
zione deiranno scolastico nella R. Universita di Roma, 1901,
1—25.
28. Sur la stratification d'une masse fluide en equilibre. — Acta Math.,
1903, 27, 105—124.
29. Sull' equilibrio dei corpi elastici piu volte connessi. — Nuovo Cim.,
1905, E) 10, 361—385; 1906, E) 11, 5—20, 144—161, 205—221,
338—347.
30. Sur des fonctions qui dependent d'autres fonctions. —C. R. Acad.
Sci. Paris, 1906, 142, 400—409.
31. Nuovi studii sulle distorsioni dei solidi elastici. — Rend. Accad.
Lincei, 1906, E) 15, 519—525.
32. Sur l'equilibre des corps elastiques multiplement connexes. — Ann.
Ecole Norm. Sup., 1907, C) 24, 401—517.
33. Sulle equazioni integro-differenziali. — Rend. Accad. Lincei, 1909,
E) 18, 167—174.
4. Su
34. Sulle equazioni della elettrodinamica. — Rend. Accad. Lincei, 1909,
E) 18, 203—211.
35. Sulle equazioni integro-differenziali della teoria dell* elasticita —
Rend. Accad. Lincei, 1909, E) 18, 296—301.
36. Equazioni integro-differenziali della elasticita nei caso della isotro»
pica. - Rend. Accad. Lincei, 1909, E) 18, 577—586.

40 БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА
37. Soluzione delle equazioni integro-differenziali del' elasticity nel
caso di una sfera isotropa. — Rend. Accad. Lincei, 1910, E) 19,
107—114.
38. Questioni generali sulle equazioni integrali ed integrodifferenziali. —
Rend. Accad. Lincei, 1Ш0, E) 19, 169—180.
39. Deformazion di una sfera elastica, soggetta a date tensioni, nel caso
eraditario. — Rend. Accad. Lincei, 1910, E) 19, 239—243.
40. Sopra le funzioni permutabili. — Rend. Accad. Lincei, 1910, E)
19, 425—437.
41. Sopra una proprieta generale delle equazioni integrali ed integro-
integrodifferenziali. — Rend. Accad. Lincei, 1911, E) 20, 79—88.
42. Equazioni integro—differenziali con limiti costanti. — Rend. Accad.
Lincei, 1911, E) 20, 95—99.
43. Contribute allo studio delle funzioni permutabili. — Rend. Accad.
Lincei, 1911, E) 20, 296—304.
44. Sopre le funzioni permutabili di seconda specie e le equazioni inte-
integrali. — Rend. Accad. Lincei, 1911, E) 20, 521—527.
45. Sur les equations integro-differentielles et leurs applications. —
Acta Math., 1912, 35, 295—356.
46. Vibrazione elastiche nel caso della eredita. — Rend. Accad: Lin-
Lincei, 1912, E) 21, 3—12.
47. Lemons sur les equations integrales et les equations integro-diffe-
integro-differentielles, professees a la Faculte des sciences de Rome en 1910, pub-
liees par M. Tomassetti et F. S. Zarlatti. Paris: Gauthier-Viliars,
1913.
48. Lemons sur les fonctions de lignes, professees a la Sorbonne en 1912,
recuellies et redigees par J. Peres. Paris: Gauthier-Villars, 1913.
49. Sopra le equazioni integro-differenziali aventi i limiti costanti. —
Rend. Accad. Lincei, 1913, E) 22, 43—49.
50. Sopra le equazioni di tipo integrale. — Proc. 5th Intern. Congr.
Math. 1913, 1, 403—406.
51. Les problemes qui ressortent du concept de fonctions de lignes. —
Sitzungsber. Berlin. Math. Ges., 1914, 13, 130—150.
52. Sulle equazioni alle derivate funzionali. — Rend. Accad. Lincei,
1914, E) 23, 393—399.
53. Equazioni integro-differenziali ed equazioni alle derivate funzio-
funzionali. — Rend. Accad. Lincei, 1914, E) 23, 551—557.
54. Teoria delle potenze dei logarithmi e delle funzioni di composiozi-
one. — Mem. Accad. Lincei 1916, E) 11, 167—269.
55. Functions of composition. Three lectures delivered at the Rice Insti-
Institute in the autumn of 1919. — Rice Inst. PamphL, 1920, 7, № 4,
181—251.
56. Lemons sur la composition et les fonctions perrnutables. — Paris:
Gauthier-Villars, 1924.
57. Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie animali
conviventi. — Mem. Accad. Lincei, 1926, 2, 31—113.
58. Fluctuations in the abundance of a species considered mathemati-
mathematically. — Nature, 1926, 118, 558—560.
59. Teoria de los functionales у de las ecuaciones integrales e integro-
differenciales. Conferencias explicadas en la Facultad de la Cien-
cias de la Universidad, 1925, redactados por L. Fantappie. — Ma-
Madrid: 1927.

БИОГРАФИЯ ВИТО ВОЛЬТЕРРА 41
60 Variazioni e fluttuazioni in specie animali conviventi. — R, Co-,
mit. Talass. Italiano, Memorie CXXXI, Venezia, 1927.
61 Sulle fluttuazioni biologiche. — Rend. Accad. Lincei, 1927, F) 5,
3—lp.
62 Leggi delle fluttuazioni biologiche. — Rend. Accad. Lincei, 1927,
F) 5, 61—67.
63. Sulla periodicita delle fluttuazioni biologiche. — Rend. Accad.
Lincei, 1927, F) 5, 463—470.
64. Essai mathematique sur les fluctuations biologiques. — Bull, de la
Soc. d'Oceanographie de France, 1927, 1—4.
65. Variations and fluctuations of the number of individuals in animal
species living together. — J. Conseil Int. Explor. Мег., 1928, 3, 1—51.
66. Theory of functional and of integral and integro-differential equa-
equations. Edited by L. Fantappie. Translated by M. Long. — London:
Blackie, 1929.
67. Lemons sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie. Paris:
Gauthier-Villars, 1931.
68. Les equations des fluctuations biologiques et la calcul des variati-
variations, — С R. Acad. Sci. Paris, 1936, 202, 1953—1957.
69. Les equations canoniques des fluctuations biologiques. — C. R. Acad.
Sci. Paris, 1936, 202, 2023—2026.
70. Sur Г integration des equations des fluctuations biologiques. —•
C. R. Acad. Sci. Paris, 1936, 202, 2113—2116.
71. Le principe de la moindre action en biologie. —С R. Acad. Sci. Pa-
Paris, 1936, 203, 417—421.
72. Sur la moindre action vitale. — С R. Acad. Sci. Paris, 1937, 203,
480—481.
73. Principes de biologie mathematique. — Acta biotheor., 1937, 3,
1—36.
74. Applications des mathematiques a la biologie. — Enseign. Math.,
1937, 36, 297—330.
75. Leggi delle fluttuazione e principii di reciprocity in biologia. —
Riv. Biol., 1937, 22, 365—380.
76. Fluctuations dans la lutte pour la vie, leurs lois fondamentales et
le reciprocite. Conf. Reunion int. mathem. — Paris: 1938.
77. (With U. d'Ancona) Les associations biologiques au point de vue
mathematique. — Paris: Gauthier-Villars, 1935.
78 (With j Peres) Theorie generate des fonctionelles. Tome I: Genera-
lites sur les fonctionnelles. Theorie des equations integrales. — Pa-
Paris: Gauthier-Villars, 1936.
79. (With B. Hostinsky) Operations infinitesimales lineaires, applica-
applications aux equations differentielles et fonctionelles.— Paris: Gauthier-
Villars, 1938.
80. The general equations of biological strife in the case of historical
actions. — Proc. Edinburgh Math. Soc, 1939, 6, 4—10.
81. Energia nei fenomeni elastici ereditarii.—Pontif. Acad. Scient.
Acta, 1940, 4, 115—130.
82. Teoria delle potenze, dei logaritmi e delle funzioni di composizio-
ne. — Dedica della memoria all'Universita di Edinburgo, 1918.
83*). Opere matematiche. Memorie e Note, v. 1—5. — Roma: Accade-
mia Nazionale dei Lincei, 1954—1962.
*) Добавлено переводчиком.

ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Этот курс лекций, вышедший из печати в Англии, был
прочитан мною в Мадридском университете в 1925 г. Он
впервые был издан в 1927 г. факультетом наук этого универ-
университета на основании текста, подготовленного профессором
Луиджи Фантаппие, и переведенного на испанский язык
профессором Октавио де Толедо.
Книга была нами переработана, исправлены неточности
и опечатки и местами полностью переписана. Было сделано
много дополнений, учитывающих большое число статей по
рассматриваемым вопросам, опубликованных в последние
годы; библиография была доведена до последнего времени
и дополнена многими новыми работами. Новые библиогра-
библиографические ссылки (около сотни) и текст были тщательно све-
сверены и согласованы. В книге упомянуты только авторы,
работавшие в области функционального анализа и тесно
связанных с ним областей.
Все это показывает, что в течение последних сорока лет
рассматриваемые вопросы обогащались новыми интересными
результатами и глубоко проникли во многие области мате-
математики и ее приложений. Все, что относится к интеграль-
интегральным, интегро-дифференциальным и функциональным урав-
уравнениям, исследования о функциональных пространствах,
вариационному исчислению в широком смысле, вопросы,
связанные с эффектами, описанными словом «эредитарные»
(hereditary)*), — все это в настоящее время входит в область
теории функционалов, поэтому для рассмотрения перечис-
перечисленных вопросов можно использовать общие методы и ре-
результаты функционального анализа.
Среди новых результатов, добавленных в настоящем из-
издании, следует упомянуть результаты Г. Ивенса, относя-
относящиеся к интегральным уравнениям с сингулярными ядрами
*) Для перевода термина «эредитарность» в русском языке встре-
встречаются слова память, наследственные, последействия, запаздываю-
запаздывающие, остаточные. Для унификации и сокращения записи мы в данной
книге придерживаемся термина «эредитарные». — Прим. перев.

ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 43
и к интегро-дифференциальным уравнениям, результаты
его учеников, а также приложения этих результатов к эко-
экономике. Следует указать, что я более внимательно изучил
работы Фантаппие и их приложения. Я должен упомянуть
также исследования Мишеля о преобразованиях и инте-
интегральных инвариантах, работы Мойсиля о динамике сплош-
сплошных сред, работы Делсарта по кинематике; все эти работы
тесно связаны с теорией групп подстановок. Наконец,
я дал обзор моих недавних собственных исследований об
уравнениях энергии явления эредитарности, а также кос-
коснулся результатов, полученных мною в области биологи-
биологических флуктуации при наличии эредитарных эффектов.
Эта книга не является первой, которая была посвя-
посвящена теории функционалов. Еще в 1913 г. в «Серии Бо-
реля» вышла книга, основанная на прочитанных мною
в 1912 г. в Сорбонне лекциях. В эту же серию входят мои
лекции об интегральных и интегро-дифференциальных урав-
уравнениях, о композициях и пермутабельных функциях.
Этим же вопросам посвящены лекции, прочитанные в Прин-
стонском университете и в Институте Раиса. Мне достав-
доставляет удовольствие сообщить, что первая обстоятельная ра-
работа с названием «Функционалы», принадлежащая
Г. Ивенсу, опубликована в 1918 г. в томе «Функционалы и
их применения: избранные главы, включающие интеграль-
интегральные уравнения». Этот том состоит из пяти глав, посвящен-
посвященных функционалам, дифференциальным операциям над
функционалами, комплексным функционалам и отношениям
изогенности, функциональным уравнениям и интегро-диф-
интегро-дифференциальным уравнениям. В частности, Ивенс ввел ин-
тегро-дифференциальные уравнения типа Боше, т. е. та-
такие, где интегрирование ведется вдоль кривых или полей»
которые являются произвольными и переменными. Книга
завершается обобщениями теории интегральных уравне-
уравнений, которые привели Ивенса, с одной стороны, к резуль-
результатам Мура по общему анализу (круг вопросов, недавно изу-
изученных в работах Фреше) и, с другой стороны, к теории
пермутабельных функций, которая в дальнейшем получила
большое развитие в работах Пере. Все эти вопросы были об-
обстоятельно изложены в интересной работе Ивенса.
Книга Пауля Леви «Лекции по функциональному ана-
анализу» была опубликована на четыре года позже. После об-
обстоятельного изложения основ функционального анализа

44 ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Леви вводит фундаментальные концепции функциональных
операций и тщательно их исследует; далее с больше й под-
подробностью излагает он свою теорию уравнений с функцио-
функциональными производными. Леви дает обзор нсвых идей Гато
о кратном интегрировании с бесконечным числом перемен-
переменных, о потенциалах в функциональных полях бесконеч-
бесконечного числа измерений, о функциональных и интегро-диф-
ференциальных уравнениях. Этот материал сснован на идеях
и заметках молодого математика Гато, погибшего во время
войны. Леви собрал, обработал, развил эти заметки и опуб-
опубликовал. Однако значительная часть книги посвящена ин-
интересным исследованиям Адамара, внесшего столь большой
вклад в теорию функционалов. Адамар (так же, как позже
него Тонелли) принял теорию функционалов в качестве
основы вариационного исчисления. Он нашел общее выра-
выражение для линейного функционала и, среди других прило-
приложений, дал функциональный закон изменения функции
Грина. Развитие теории функционалов во многом обязано
работам Адамара. Он весьма удачно ввел термин «функцио-
«функционал», выражая одним словом то, что я определил много
лет раньше в первой моей работе 1887 г. словами «функция,
зависящая от другой функции», термин, который в после-
последующем я выразил словами «функция от линии»; последний
термин теперь выражает более ограниченный класс объектов.
Я надеюсь, что эти лекции о теории функционалов ука-
укажут студентам-математикам новые направления исследо-
исследования, пути новых приложений и дадут толчок к система-
систематическому и более полному исследованию рассмотренных
здесь вопросов в том же плане, в каком следует настоящая
книга. Надежда на более интенсивное развитие и расшире-
расширение этих исследований была высказана по случаю начала
выхода журнала «Studia Mathematica», основанного Сте-
Стефаном Банахом и Гуго Штейнхаузом. Новый журнал,
который начал выходить в Польше, будет посвящен иссле-
исследованиям по функциональному анализу.
Я не могу не выразить здесь моей благодарности про-
профессорам Г. Ивенсу, Элен Фреда, Ж. Пере и Г. Вакка за
ценные замечания, советы и помощь, которые они мне ока-
оказали, а также мисс М. Лонг за ее внимание и интерес, про-
проявленные при нелегком труде по переводу книги.
Pijm, июнь 19§0 г, Вито Вольтерра

Глава I
ФУНКЦИОНАЛЫ
ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 1. Общие понятия
1. Прежде чем определять величины, которые мы хотим
исследовать в дальнейшем, рассмотрим простейшую задачу
о максимуме и минимуме, указывающую нам путь естест-
естественного перехода от функций конечного числа переменных
к величинам, зависящим от бесконечного числа перемен-
переменных, т. е. от бесконечного числа значений, принимаемых
произвольной функцией х (t) при изменении t в интервале
(а, Ь).
2. Рассмотрим произведение двух чисел х> у, сумма ко-
которых равна константе; известно, что это произведение имеет
максимальное значение, если сомножители равны друг
другу. Выражая этот факт геометрическим языком, можно
сказать, что среди всех прямоугольников, сумма двух
последовательных сторон которых является постоянной,
а следовательно, имеет постоянный периметр, квадрат имеет
наибольшую площадь. Переходя к более общей задаче об
определении среди всех плоских многоугольников с п сто-
сторонами, имеющих постоянный периметр, такого многоуголь-
многоугольника, который имеет наибольшую площадь, мы увидим,
что искомым является регулярный многоугольник с г.
сторонами. Если мы обозначим 2п координат п вершин
многоугольника через {хъ уг), (х2, у2)> ..., (хпу уп)> то вели
чиной, для которой находится максимум, является пло-
площадь Л, выражающаяся формулой
t = I
величина является функцией %п переменных

46 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЫ
таких, что
= const, (Г)
где xn+i = xl9 Уп+1 = Уъ &Xi = xi+1 — xh Ayi y y
Однако если перейти от случая многоугольника с посто-
постоянным периметром к более общей задаче об определении
среди всех замкнутых кривых С заданной длины такой кри-
кривой, которая ограничивала бы наибольшую площадь А
(окружность), то рассматриваемая величина А выражается
формулой
А=\ ^(xdy-ydx) B)
с условием
$ = / = const. B')
Теперь она уже не зависит от конечного числа переменных,
а зависит от координат бесконечного числа точек линии С.
Вместо задачи дифференциального исчисления о максимуме
и минимуме, в которой требуется определить некоторое
конечное множество неизвестных, мы имеем задачу вари-
вариационного исчисления, в которой неизвестной является
функция (ее значения во всех точках рассматриваемого ин-
интервала) или кривая (координаты всех ее точек).
3. В случае многоугольника с п сторонами для его
нахождения достаточно определить величины (хъ г/х),
(#2> У2$у •••> (хп, Уп), зависящие от индекса t, принимающего
дискретные целые значения от 1 до п. Однако в случае зам-
замкнутой кривой С для ее нахождения необходимо задание
координат х и у для всех ее точек
= у(а)\
теперь величины хну зависят от параметра /, который
меняется непрерывным образом в некотором интервале
(a, b)j и этот непрерывный параметр t фигурирует вместо
дискретного индекса i. Вместо формул A) и (Г), содержащих
суммы относительно индекса i> мы имеем формулы B) и

$ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ П
B'), содержащие интегралы, в которых параметр t высту-
выступает в качестве переменной интегрирования.
Путь, которым мы следуем в этом простом примере, при
переходе от задачи с конечным числом неизвестных к за-
задаче, в которой неизвестной является функция (задача
с бесконечным числом неизвестных), имеет характер общего
метода. Во многих случаях, в которых такой путь возмо-
возможен, достаточно заменить дискретный индекс i непрерыв-
непрерывным индексом или параметром t> а сумму относительно
индекса i — интегралом с переменной интегрирования t.
4. Однако имеются задачи, в которых неизвестной яв-
является функция, имеющая иной характер. Например, если
мы хотим определить кривую у = у (х), угловой коэффици-
коэффициент которой является постоянным (= а), то мы придем
к дифференциальному уравнению a ~==yt и в этом урав-
уравнении уже нет интеграла относительно х; бесконечное
число значений неизвестной у, соответствующих беско-
бесконечному числу значений х, не определяется явным обра-
образом; мы можем только сказать, что это уравнение устанав-
устанавливает некоторое отношение между значением у и значением,
которое она принимает в бесконечно близкой точке и опре-
определяемое величиной У. Вообще, все задачи, связанные с
обыкновенными дифференциальными уравнениями вида
/(*, У, У', ..., </(л)) = 0,
которые устанавливают связь между значениями, прини-
принимаемыми у в точке х и в п бесконечно близких точках,
являются задачами такого типа.
5. Существенно отличной от рассмотренных выше, но
связанной с ними является задача об определении плоской
кривой (с уравнением у = у (х)), проходящей через две
заданные точки на плоскости (с координатами х0, у0 =
= у (х0); хъ уг = у (хг)) такой, что если кривая вращается
вокруг фиксированной плоской кривой, например оси Ох,
то она порождает поверхность минимальной площади.
В этом случае площадь А, т. е. величина, для которой ищется
минимум, выражается формулой
{у

48 гл т функционалы
и зависит от всех значений у, принимаемых ею на интервале
(#0, л^). Вообще, все задачи, рассматриваемые в вариацион-
вариационном исчислении, имеют такой характер.
§ 2. Определения
6. От частных примеров теперь можно перейти к общему
определению, которое будет содержать все ранее рассмотрен-
рассмотренные случаи. Мы скажем, что величина z является функцио-
функционалом от функции х @, заданной на интервале (a, ft),
если она зависит от всех значений, принимаемых х (t), при
изменении t в интервале (а, ft); иначе говоря, если задан
закон, по которому каждой функции х (t), определенной на
(а, ft) (независимой переменной из некоторого функциональ-
функционального поля), можно сопоставить одну и только одну вполне
определенную величину г, то мы будем писать
¦ни-
Это определение *) функционала напоминает в принципе
обычное общее определение функции, данное Дирихле.
Если в функции х (t) (независимой переменной) входят еще
другие переменные а, Р, ..., то будем писать
(/, а, р, ...I = г(а, р, ...),
чтобы показать, что функциональный оператор F приме-
применяется к функции х для получения г в предположении, что
а, р, ... являются постоянными; теперь г будет обычной
функцией от а, р, ... и нужно отметить, что она не является
функцией от t, каковой являлась функция х.
*) Начиная с моей первой статьи 1887 г., всегда применялось
¦ Ь -'
обозначение F
?!!¦
однако для сокращения записи, когда это
не вызовет путаницы, мы будем употреблять одно из следующих
обозначений:
F ! \х (t)) |, или F \х@ , или даже F [х (/)].
В данной книге часто будет употребляться именно последнее обо-
обозначение.

§ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЯ 49
Функционал г может содержать также некоторые пара-
параметры X, [А, ...,
Ь
х\
а I
В этом случае величина г для любой системы значений па-
параметров будет функционалом от х (t) в определенном выше
смысле, в то время как она будет обычной функцией
г (к, \iy ...) от параметров, если х (t) считать фиксиро-
фиксированной.
Мы можем также сказать, что в этом случае каждой
функции х (f) из некоторого поля вариаций функциональ-
функциональный оператор F ставит в соответствие другую функцию *)
7. Это определение функционала немедленно распростра-
распространяется на величины г, зависящие от всех значений, прини-
принимаемых не одной, а несколькими функциями, например
двумя х = х (t)t у = у (и), соответственно на интервалах
(а, Ь) и (с, d):
Однако рассмотрение таких функционалов представляет
меньший интерес, так как они сводятся к функционалам,
зависящим от одной функции. Действительно, пусть а'Ь' «=
= о!с9 + с'Ъ' есть интервал изменения параметра v с дли-
длиной, равной сумме двух интервалов (а, Ь) и (с, d)\ пусть с'
есть точка из (а\ Ь1) такая, что с1 — а' = Ь — а, Ь' — с' =
= d — с. Для каждой пары функций х (f), у (и), определен-
определенных соответственно на (а, Ь) и (с, d), построим новую функ-
функцию X (v) на интервале (а', Ь') таким образом: при v = а1
или на интервале (а', с') положим X (v) = х (а + v — а')\
для и = 6' или на интервале (с', &') полагаем_ X (у) =
= у (с + у — с')\ для и = с' мы приравняем X (с') од-
одному из значений х (Ь) или у (с). Так как пара функций
*) В случае, когда нет опасности путаницы в ролях переменной /
и других переменных а, р, ...; A,, \i9 ..., мы будем опускать буквы
а, Ь и писать просто
а, р# ...)] и F[x@; X, ц, ...1.

50
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЫ
х (f), у (и) полностью определяет функцию X (v) (за исклю-
исключением одной точки v = с') и, наоборот, X (v) определяет
две функции х (t)y у (и) (за исключением значения t = Ь
для хи« = с для у), то мы можем сказать, что поскольку
неопределенность функции в изолированной точке не вли-
4Ь d -|
х (t), у (и)
а с \
зависит от всех значений, принимаемых одной функ-
функцией X (v) на интервале (а\ Ь'), т. е.
-[*(?), у («)"] =
8. Другое обобщение понятия функционала получается
при рассмотрении тех величин г, которые зависят от всех
значений, принимаемых одной или несколькими функци-
функциями многих переменных фх (хъ х2, ..., хп), ср2 (уи уъ ...
..., Ут)> •-., определенных соответственно в полях Съ С2, ...
(см. [19], [20]) *):
Z = /4<Pi(*i, Хг> ..-, Хп), ф2(Уь Уъ ..., Ут), .-•]•
9. Эта концепция функционала содержит также функ-
функции от линий или в более общем случае от гиперповерхно-
гиперповерхностей (см. [83], [84]). Мы скажем, что величина г является
функцией от переменной гиперповерхности Sry принадле-
принадлежащей другой гиперповерхности Sn (п > г) и изображаемой
параметрическими уравнениями
*«вФ*(*1» **,...•*/•)> i' = l, 2, ..., я,
если каждой такой Sr соответствует определенная величина
г = F [Sr], зависящая от всех величин, принимаемых п
функциями (jpt- в точках поля С (размерности г), в которых
они определены. Однако следует заметить, что эта функция
г, как функция от гиперповерхности Sn не является общим
функционалом от п функций qy, в самом деле, если пара-
параметры tk заменить на другие иь при помощи преобразования
tb^tkitiu u2, ..., иг)у 6=1, 2, ..., г,
*) Числа в квадратных скобках указывают на библиографию,
приведенную в конце соответствующей главы.

§ 3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 81
то координаты xt больше не будут задаваться функциями ф
от tk, а будут другими функциями Ф от щ:
Xi = ^i(uly U29 ..., Ur) = <Pt(tt, t2, ..., tr),
однако величина z, зависящая только от вида гиперповерх-
гиперповерхности Sr (или многообразия, как часто ее называют), но не
от способа ее представления, не будет изменяться; иначе
говоря, г есть функционал от функций ср,-, который не ме-
меняется, когда ц>1 заменяется другими функциями tyi9 полу-
полученными из них переходом к другим параметрам.
§ 3. Функциональные поля и абстрактные множества
10. Функционал F [x (t)] от функции х (t), как пра-
правило, определяется при условии, что х (t) меняется внутри
некоторого поля функций. Например, функционал
определен только в поле функций х (?), являющихся инте-
интегрируемыми на интервале (а, Ь)\ функционал
h
dx d2x d
x, -ir w, ....
определен только для тех функций х (f), которые имеют про-
производные вплоть до n-го порядка и для которых
Ф(*) = /(*, *@, x'V), ..- *in)(t))
является интегрируемой на интервале (а, Ь).
Следовательно, изучение полей функционалов, т. е. тех
множеств, элементами которых являются функции, пред-
представляет большой интерес для точного понимания концеп-
концепции функционала. Наиболее широкое функциональное
поле, которое состоит из всевозможных функций, опреде-
определенных на интервале (а, Ь)у очевидно, представляет собой
пространство несчетной размерности (т. е. имеет конти-
континуальную размерность), так как каждый его элемент х (t)
определен только в том случае, когда известно бесконечное
число значений ху соответствующих бесконечному числу зна-
нений t на интервале (а, Ь). Однако очень мало функщщ-

52 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЫ
налов определено на всем этом поле. Значительно более
узким полем, но представляющим большой интерес, явля-
является поле функций а @, аналитических в области, содер-
содержащей действительный отрезок (а, Ь); это поле имеет беско-
бесконечную, но счетную размерность, так как его элементы
a (t) определены, например, величинами а и ее последова-
последовательными производными в фиксированной точке t0. Бо-
Более широким полем является поле непрерывных функций
у (t) (также имеющее бесконечную, но счетную размерность,
так как они определяются только значениями в рациональ-
рациональных точках), элементы у (t) которого всегда можно рассмат-
рассматривать как пределы аналитических функций или даже по-
полиномов (см. [90]).
11. Немного более широкое поле составляют функции,
являющиеся пределами непрерывных функций. Вообще,
мы можем принять известную классификацию Бэра (см.
[7]), которая хотя и не содержит некоторые иррегулярные
функции, тем не менее включает все функции, имеющие
большое значение в анализе.
Другими интересными функциональными полями яв-
являются: поле функций, дифференцируемых до какого-то
порядка, функций ограниченной вариации, функций, ква-
квадраты которых интегрируемы, и др.
12. Общая теория не только функциональных полей,
но и «абстрактных множеств», элементами которых могут
быть любые количества Л, В, ..., не определенных в отдель-
отдельности, была дана Муром и Фреше (см. ниже, гл. VI, п. 164
и указанную там библиографию) в ряде статей и в моногра-
монографии, содержащей основы новой теории, называемой общим
анализом.
13. Обобщая концепцию функции или функционального
оператора в случае этих абстрактных множеств, можно
сказать, что U [А] есть функция или функционал, непре-
непрерывный в множестве У, если любому элементу А из У
можно сопоставить вполне определенное число U [А] *).
Если, в частности, дано множество У, то мы можем рассмат-
рассматривать в качестве элементов нового множества подмноже-
подмножества Yl9 У2, ..., Ул, которые получаются из У. Если каж-
каждому из них сопоставить число V [У/J, то мы скажем, что
*) Фреше обобщил это понятие на любые отношения между двумя
элементами произвольной природы,

§ 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ 53
V [Yh] есть функция от множества (обобщение понятия
функции от линии (см. выше п. 9), рассматривая линию
как подмножество точек, полученных из пространства Sn,
в котором они находятся). Среди них особый интерес пред-
представляют аддитивные функции множеств V [Yh], которые
имеют свойства: если У1э У2 суть два множества, не имею-
имеющих общего элемента, и если Y = Ух + У2 есть множество,
образованное их комбинацией, то значение V [7] =
= V [Ух + Y2] равно сумме V [FJ + V [У2]. Этим свой-
свойством обладает, например, мера М [Yh] множества Yh
точек сегмента, которая используется для определения
интеграла в смысле Лебега (см. [55]). Другим примером
является разность А/ == / (t2) — f (t^j функции ограничен-
ограниченной вариации на интервале {гъ t2) (подмножество точек от-
отрезка (а, &)). Эта функция множества служит для определе-
определения интеграла Стилтьеса (см. [60])
\x(t)df(t)
a
n
как предела lim У] XrAfri если он существует, т. е. пре-
дела сумм произведений величин хг (содержащихся между
верхним и нижним пределами функции х (t) на интервале
(tr-ъ tr)) на разность А/г = / (tr) — / (^-0, если максималь-
максимальная длина \х подынтервалов (tr~u tr)> на которые разбит
интервал (а, Ь), стремится к нулю.
§ 4. Непрерывность
14. Прежде чем продолжить изучение этих абстрактных
множеств, мы должны сделать некоторые предположения
о природе их элементов. Так, например, для введения фун-
фундаментального понятия предельного элемента последова-
последовательности, Фреше предполагает, что любой паре элементов
множества можно сопоставить число (Л, В) = (В, Л) ^ 0
(расстояние между двумя элементами) такое, что: 1) (Л, В)
не равно нулю, исключая только случай Л = В\ 2) для трех
элементов Л, Б, С мы имеем (Л, В) ^ (Л, С) + (С, В).
Элемент Л называется пределом последовательности Аъ
Ар ..., Ля, ... /это пишется в виде А= lim ЛАесли поло-

W ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЫ
жительная величина (Л, Ап) стремится к нулю при я-»- сх>.
Аналогично можно определить предельные элементы
множества как элементы, которые являются пределами соот-
соответствующих последовательностей, извлеченных из множе-
множества. Если некоторое множество содержит Множество (пер-
(первую производную), состоящее из всех его предельных эле-
элементов, то говорят, что оно является замкнутым. Если мно-
множество состоит из конечного числа элементов или если оно
содержит их бесконечно много, но любая бесконечная
последовательность его элементов всегда стремится к од-
одному предельному элементу, то множество называется ком-
компактным (см. [28]).
15. Таким образом, введя понятие предела, можно те-
теперь дать определение непрерывности функционала U [А].
Мы скажем, что функционал непрерывен на некотором эле-
элементе А (предельном элементе множества Y, в котором U
определен), если
\imU[An] = U[A], когда lim
П-+СО
Функционал является равномерно непрерывным в поле,
если он является непрерывным не только на каждом его эле-
элементе Л, но и если для любого е > 0 можно определить
число т) > 0 такое, что имеет место
\U[A]-U[A']\<e
для (А, А') < т), каковы бы ни были Л и Л'. Однако следует
отметить, что функционал, непрерывный на каждом эле-
элементе множества, не обязательно является непрерывным
в самом множестве, что является существенным отличием от
случая функций конечного числа переменных. Непрерыв-
Непрерывность, однако, будет равномерной, если множество будет
компактным (п. 14) (см. [28]). Заметим, что поскольку не-
непрерывность функционала зависит от определения предела
последовательности, содержащейся в множестве У, то она
в конечном счете зависит от более или менее произвольного
определения, данного для расстояния (Л, В) между двумя
элементами; поэтому всякое изменение в этом определении
будет означать, что функционал перестает быть непрерыв-
непрерывным, и наоборот.
Допустим, например, что множество Y, на котором опре-
определен функционал, ест& множество функций х (t)} дифферен*

§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 55
цируемых на интервале @, 1). Тогда в качестве определе-
определения расстояния между двумя функциями хх (t) и х2 (t)
можно принять максимальное значение, принимаемое вы-
выражением | хх (t) — х2 @ | при изменении t на интервале
(О, 1). Учитывая такое определение, функционал
F[x(t)] = \f(t, x(t))dt,
о
где f есть непрерывная функция своих аргументов, является
непрерывным функционалом от х (f)f в то время как функ-
функционал *)
не является непрерывным функционалом от х (t). В самом
деле, если положить
хг (t) = k, х2 (t) = k + к sin —,
то мы будем иметь | хг (t) — х2 (t) | < е, следовательно,
согласно нашему определению расстояния,
Однако
О [х2 (t)] = fim 4 (t) = 2я Ф О
и, следовательно,
которое отлично от G Ux @1. Если в смысле этого опреде-
определения расстояний между двумя функциями функционал
U [x (t)] является непрерывным на элементе х (/), то гово-
говорят, что он имеет непрерывность нулевого порядка на эле-
элементе х (t).
Во многих книгах (см. [60]) такая непрерывность назы-
называется равномерной непрерывностью нулевого порядка; это
связано с тем, что если \im xn(t) = x(t)y то разность
*) lim означает «наибольший из пределов».

56 гл. i функционалы
I хп (t) — х (f) | можно сделать сколь угодна малой, однако
переменный элемент (в данном случае число) выбирается из
его интервала изменения (а, Ь). Чтобы избежать путаницы
с равномерной непрерывностью функционала, определен-
определенного в этом пункте (в котором переменный элемент, выби-
выбираемый произвольно, не является числом, а элементом Л,
который может оказаться и функцией), мы не будем исполь-
использовать прилагательное «равномерный». Другими словами,
в этом случае он не является функционалом, обладающим
равномерной непрерывностью, а является переменным эле-
элементом хп (f), рассматриваемым как функция от t из интер-
интервала (a, &), стремящимся «равномерно» к х (i). Если, наобо-
наоборот, мы возьмем за определение расстояния между двумя
функциями хг (f), x2 (t) верхнюю грань значений, принима-
принимаемых величинами | хг (f) — x2(t) \ и | х[ (f) — х% (f) \ на
рассматриваемом интервале, то получающаяся непрерыв-
непрерывность будет первого порядка, и т. д. С учетом этого второго
определения рассмотренный выше функционал G [x (t)]>
который не является непрерывным нулевого порядка, те-
теперь будет непрерывным (имеет непрерывность первого
порядка). Если мы рассмотрим множество Y функций
х (t)> определенных на интервале @, 1), квадраты которых
интегрируемы, и если не рассматривать расстояние двух
функций хг (t) и х2 @, разность которых хг (t) — x2 (t)
отлична от нуля только на множестве точек меры нуль, то
мы можем принять другое определение расстояния р между
двумя функциями хг (f)y x2 (t)9 а именно,
(см. [60]).
В самом деле, если р *= 0, то хг (t) — х2 (/) == 0, исклю-
исключая только множество точек меры нуль.
Непрерывные функционалы с таким определением рас-
расстояния называются непрерывными в среднем.
16. Прежде чем закончить все рассмотрения о непрерыв-
непрерывности функционалов, остановимся на одном замечании,
принадлежащем Гато (см. [43] *)), относительно аппрокси-
*) Неопубликованные работы этого молодого французского мате-
математика, погибшего на войне, были изданы П. Леви в 1919 и 1922 гг.
См. [43], [44], [461.

§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ В7
мацни функционалов, непрерывных нулевого порядка (см.
п. 15).
Если обозначить F [у (t)] такой функционал, определен-
определенный в поле действительных непрерывных функций
У @ @ < t < 1, А ^ у ^ В), то получим обычную функ-
функцию я переменных уъ у$> ...>уп, когда г/ (t) заменена на функ-
функцию tj @, определенную следующим образом:
где т](<) меняется линейно между у(-) и #(-—-) на
интервале ?</<?±it ft^i, 2, ..., л-1.
Полагая
^ [л @1 = Ы#ъ Л. ••.. Уп)
и вспоминая, что lim т| (t) = y{t), так как у (f) непрерывна,
П—»-00
и что функционал обладает непрерывностью нулевого по-
порядка, мы можем легко показать, что
FIf/@1= Hm fn(yly уъ ..., уя)
п -+со
и что сходимость является непрерывной на любом компакт-
компактном множестве непрерывных функций.
Таким образом, непрерывные функционалы нулевого
порядка выражаются в виде предела функций п перемен-
переменных, когда число переменных п стремится к оо.
17. Экстремумы функционалов. Многие теоремы, из-
известные для функций действительных переменных, можно
обобщить на функционалы, определенные на абстрактных
множествах. Особо важной для применения в вариационном
исчислении является теорема, аналогичная теореме Вейерш-
трасса. Эта теорема, доказанная Фреше (см. [27]) в ее наи-
наиболее общей форме, состоит в следующем:
Каждый функционал U [Л], являющийся равномерным и
непрерывным в замкнутом компактном множестве Y (см.
п. 14): 1) ограничен в У; 2) принимает свое наибольшее
(максимальное) значение по крайней мере один раз в У.
Для непрерывных функционалов нулевого порядка, опре-
определенных в замкнутом множестве функций л (f), являю-
являющихся непрерывными (т. е. такими, что отношение

58 гл. i. функционалы
[х (У — х (*2)I/(*i — *г) всегда остается между двумя ко-
конечными числами /, L), фундаментальная теорема такого
рода вместе с многими другими аналогичными теоремами
была доказана еще в 1895 г. Арцела [21.
Сравнительно недавно Адамар в своей книге по вари-
вариационному исчислению (см. [48]) также рассмотрел это ис-
исчисление как одну из глав более общего функционального
анализа, при этом он применил в вариационном исчислении
общие методы функционального анализа.
18. Для функционалов, встречающихся в вариацион-
вариационном исчислении, непрерывность нулевого порядка явля-
является слишком стесняющим условием, при котором из рас-
рассмотрения выпадают многие важные из них. По этой причине
Тонелли [76], [77] обобщил на функционалы понятие полу-
полунепрерывности снизу (или сверху), введенное ранее Бэром
для обычных функций. Согласно этому определению мы
скажем, что функционал F [А] является полунепрерывным
снизу (или сверху) на элементе Л, если для любого произ-
произвольно заданного е > 0 найдется р > О такое, что
F[A']>F[A]-b (или F[A']<F[A] + *)
для любого Л', для которого (Л, Л') < р.
Функционал, являющийся полунепрерывным либо снизу,
либо сверху, будет непрерывным функционалом в обычном
смысле (при данном выше определении расстояния (Л, Л')).
Полунепрерывные функционалы составляют большую часть
тех функционалов, которые рассматриваются в вариацион-
вариационном исчислении, и Тонелли распространил на них ранее
известные теоремы существования максимума или минимума,
и, таким образом, поставил вариационное исчисление на
свое естественное место в функциональном анализе, где оно
составляет одну из наиболее важных и наиболее старых
глав, и сделал его независимым от теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
§ 5. Линейные функционалы
19. После общих рассмотрений перейдем к исследованию
некоторых классов отдельных интересных функционалов,
в первую очередь так называемых линейных функционалов
первой степени. Эти функционалы получаются из линейных

§ б. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 59
форм п переменных Рг (yt) = 2 &*У* при помощи извест-
ного метода, изложенного выше (п. 3), переходом от ко-
конечного к бесконечному числу переменных. Следовательно,
они имеют вид
где k (t) есть заданная функция, а у (t) — переменная функ-
функция. Если положить
0, B)
то мы будем иметь
Fi [У @1 = *Fi [Уг (/)] + iiF, [y2 (*)], C)
откуда и происходит название линейного функционала или
функционала первой степени. Эти функционалы непрерыв-
непрерывны в среднем (см. [26] и [7]). Однако этим не исчерпываются
функционалы, обладающие свойством C). Например, функ-
функционал
\k (t) У (t) dt + ^ сад (х,),
где т^ — некоторые значения, лежащие между а и Ь),
удовлетворяет условию C), поэтому является линейным
функционалом с непрерывностью нулевого порядка, если
2 1а*1 сходится; однако этот функционал нельзя предста-
представ-
вить в виде A). Часть, представленная обыкновенным
интегралом, называется регулярной частью, а часть, изо-
изображенная суммой, —дискретной (exceptional) частью. По-
Поэтому мы будем говорить, что в этом случае функционал за-
зависит особым образом от значений, принимаемых у в дис-
дискретных точках %i\ конечный вклад щу (т,), вносимый
каждой из этих точек в значение функционала, имеет боль-
большее значение, чем бесконечно малый вклад k (t) у (t) dt>
вносимый точками, не являющимися дискретными.
20. Общий вид линейного функционала любого порядка
непрерывности был указан в 1903 г. Адамаром 147], [48].

60 гл. i функционалы
Так как функционал линеен, то в случае у (t) = У] fe,-yt- (t)
i
мы имеем
i
поэтому, переходя от суммы к интегралу, получаем
u\\ f (Я) ух @ dx] = \ / (Я) (У \у
В частности, если положить
о
(в этом случае в качестве f (к) будет фигурировать у (Я)),
то получаем
где
•гв-^(в-о-л
(который не зависит от переменной функции #). Так как
Уц (t) стремится равномерно к у (f) при стремлении \х к оо,
то из предположенной непрерывности функционала следует
U[y(t)]= lim f/[^@]= lim ?F(Я, f
Это есть общая формула Адамара. Аналогичные выражения
можно цайти для линейных функционалов (пределов инте-
интегралов), если взять в качестве F (к, (х) бесконечно много
других функций.
21. Другой вид для всех возможных функционалов
U ly (f)], являющихся линейными (т. е. удовлетворяющих
условию C)), непрерывными нулевого порядка и ограни-

§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 61
ченными в поле функций, непрерывных на (а, Ь) или имею-
имеющих конечное число разрывов первого рода, получается сле-
следующим образом. Пусть функция ух (f) равна 1 на 0 ^ t ^ т
и 0 при т ^ / < Ь\ положим
t/UMOWW D)
(см. п. 6). Легко видеть, что функция / (т) имеет ограничен-
ограниченную вариацию, так как мы предположили, что функционал
является ограниченным. Теперь заменим любую функцию
у (t) из поля через другую функцию уп (t), определенную
таким образом: разделим интервал (а, Ь) на п подынтервалов
(ti ь tj), на каждом из них уп (t) приравняем одному из
значений уп (//), принимаемых функцией у на том же подын-
подынтервале; тогда уп (t) будет равномерно стремиться к у (/),
если максимальная длина подынтервалов стремится к нулю.
Так как функционал является линейным, то мы имеем
п (*)]=2 Уп (id U (td - f ('«)];
поскольку мы предположили U непрерывным, получаем
U \у @] -= Hm U [yn (t)] = lim J] у„ (t,) [f (/,) - / (t^)].
t = l
Отсюда следует, что предел суммы существует, если макси-
максимальная длина подынтервалов стремится к нулю, и в точ-
точности равен U [у (t)], который, по определению, представ-
представляет собой интеграл Стилтьеса (см. [72])
U[y(t)]~\y(t)df(t).
а
Это и есть наиболее общий вид линейного функционала,
являющегося непрерывным нулевого порядка и ограничен-
ограниченным. Данный функционал определяется характеристиче-
характеристической функцией / (t) вида D). Если / (f) непрерывна и диффе-
дифференцируема на всем интервале (а, Ь), то функционал при-
принимает вид регулярного функционала
Если / @ имеет точки разрыва (они должны быть первого
рода, так как функция имеет ограниченную вариацию)

62 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЫ
в конечном числе (или в счетном множестве) точек, и если
через щ обозначить скачки функции в этих точках разрыва,
при этом во всех других точках функция остается дифферен-
дифференцируемой, то функционал принимает вид
т. е. особым образом зависит от значений у в точках разрыва
функции / (t). Если / (/) не имеет производной в несчетном
множестве точек, имеющем меру нуль (так же как множе-
множество точек разрыва), то в этом общем случае линейный
функционал можно разбить на сумму трех слагаемых:
U [У @1 = \ Г if) У if) Л + Д] ЩУ (х,) + \y(t) df3 (*),
a i a
из которых первое представляет собой регулярный функци-
функционал, второе есть дискретная часть, а третье является новым
элементом, введенным интегралом Стилтьеса (определен-
(определенным непрерывной функцией /3 (/), производная которой
равна нулю всюду, исключая несчетное множество точек
меры нуль).
22. Другие линейные функционалы, в некотором смысле
более общие, с непрерывностью порядка р (все непрерывные
функционалы нулевого порядка являются также непрерыв-
непрерывными /?-го порядка, но не наоборот) представляются в виде
il i
определенном для функций, имеющих производные р-то
порядка. Мы скажем, что они зависят особым образом от
значения у и от ее производных р-го порядка в точках т*.
Так как функции у (/), на которых эти функционалы опреде-
определены, можно представить в виде
(здесь т является произвольным на интервале (а, Ь)9
на котором / (t) определена), то общее представление

§ 6. ФУНКЦИОНАЛЫ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ 63
всех линейных, ограниченных и непрерывных порядка р
функционалов имеет вид (см. [60])
и \у @1 = **у W + сщ* (т)+...+пр-т*-х (х)+\ yw (t) df @,
а
где
] и f(t) = U[yt(s)]t
(s — т)р
yt (s) =v p| для a ^ s ^ /,
f/z (s) = 0 для f < s < 6.
§ 6. Функционалы высших степеней
23. В начале п. 22 мы исходили из рассмотрения линей-
линейных форм п переменных и потом перешли от них к линей-
линейным функционалам. Аналогично можно перейти от одно-
однородных функций второй степени от п переменных
Pt-EUMfr A)
rs
к функционалам F2 [у (/)], которые мы будем называть регу-
регулярными однородными функционалами второй степени. Эти
функционалы имеют общий вид
B)
Как и в A), всегда можно полагать krs = ksr (так как в про-
противном случае мы могли бы записать ^2=2 КнУгУэ* где
rs
k'r%»» г ^ sr\, поэтому в B) всегда можно положить
* (If Л) == k (г], I) (т. е. функция k (|, г|), которая опреде-
определяет функционал, является симметрической относительно
переменных 5, ч)> так как в противном случае мы можем
выражение B) заменить на эквивалентное
ьъ
где А'E, г,) = ^^±А^А поэтому k'(\, rj) = *'D. !)•

64 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЫ
Вообще, мы будем употреблять термин регулярные одно-
однородные функционалы степени п (обобщение форм степени k
на случай бесконечного числа переменных) к функциона-
функционалам,-имеющим общее представление
Fn\y{t)]T
.•*&)<&<&...db, C)
в котором на основании рассмотрений, приведенных выше,
всегда можно предполагать, что функция k (?ь ?2, ..., ?я),
т. е. характеристика, или ядро функционала, симметрична
относительно своих п переменных. Тогда мы можем при-
применить термин регулярный функционал степени п к функ-
функционалам вида
G [у (*)] = h + Fi [У @] + F2 [у @] + ... + Fn\!/ (t)l D)
являющимся суммой регулярных однородных функциона-
функционалов, наивысшая степень которых равна п (обобщение поли-
полиномов степени п на случай бесконечного числа переменных).
24. Важным свойством этих регулярных функционалов
Gn [у (f)] степени п является то, что их можно использовать
для получения аппроксимаций к любым непрерывным
функционалам G[y(t)]. Говоря точнее, имеет место (см.
[30]) следующая
Теорема. Любой непрерывный в поле непрерывных
функций функционал G [у (f)] можно представить в виде
a
т. е.
ь Г ь
G [y(Ol= Hm
a n-+co |
b b
а а
ьь ь
Xy{li)y(l2)..-y(tra)dl1d?2...<%r^ E)

§ 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 65
где функции кп%г (?ъ ?2, ..., \г ) суть непрерывные функ-
функции, определенные для функционала G вне зависимости от
функции у (f).
Эта теорема обобщает теорему Вейерштрасса (см. [90])
о непрерывных функциях (которые можно представлять как
пределы полиномов) на случай бесконечного числа перемен-
переменных. Далее, разложение E) равномерно сходмся в любом
компактном множестве (см. п. 14) непрерывных функций
(компактные множества в функциональном поле выступают
в качестве конечных интервалов в одномерном поле). Это
соответствует утверждению в теореме Вейерштрасса о том,
что полиномы сходятся равномерно к пределу, если функ-
функции определены на конечном интервале.
§ 7. Функциональные степенные ряды
25. Теперь вместо конечных сумм однородных функцио-
функционалов мы можем рассмотреть ряды
/»=0
?ь 5.) У (Si) У
а а
ьь ь
а а а
)^.y(ln)dl1dl2...dln + ...i A)
сходящиеся при | у (t) \ < р (радиус сходимости) к опреде-
Г ь~\
ленному значению функционала Gh/(/)L соответствую-
соответствующему функции у @, для которой ряд сходится. Определен-
Определенный таким образом функционал не будет иметь конечную
степень, но можно считать, что он получается из степенных
рядов от нескольких переменных (а следовательно, из ана-
аналитических функций нескольких переменных), когда число
этих переменных бесконечно возрастает. Эти функционалы,
которые представляются в виде ряда A) и которые мы бу-
будем называть также функциональными степенными рядами,
по этой причине многими авторами (см. [831, [301) были на-
вваны аналитическими функционалами. Они являются не-
^ В. Больтерра

6Ь ГЛ. I ФУНКЦИОНАЛЫ
прерывными нулевого порядка. Следовательно, если пере-
переменная функция у в области сходимости аналитически зави-
зависит от параметра а, т. е. если у = у (§, а) (аналитическая
функция от а), то функционал G [у (§, а)] = / (а), будучи
суммой равномерно сходящегося ряда аналитических функ-
функций от а, сам является аналитической функцией от а. Та-
Таким образом, можно сказать, что эти функционалы сохра-
сохраняют свой аналитический характер относительно параметра
а. Это основное свойство мы в дальнейшем (гл. 6, п. 161)
примем в качестве характеристического свойства для опре-
определения аналитических функционалов.
ЧАСТЬ II. ОПЕРАЦИИ НАД ФУНКЦИОНАЛАМИ
§ 1. Дифференцирование и производная
26. Имея в виду приведенные выше определения и при-
примеры, перейдем теперь, по аналогии с обычным анализом,
использующим операции над функциями, к построению
общего функционального анализа. Этого можно добиться
введением соответствующих операций над функционалами,
которые относятся к более высокой категории, чем сами
функционалы.
Мы начнем с определения операции дифференцирования
I ь 1
для данного функционала F\y(t) . Для функции п пере-
переменных / (уъ у2у ..., уп) полный дифференциал df опреде-
определяется формулой
Эта величина имеет два основных свойства: 1) она является
линейной формой относительно п величин dyt\ 2) если по-
положить dtji = by\i и считать 8 бесконечно малой, то df бу-
будет отличаться на бесконечно малую выше первого порядка
от приращения /, соответствующего приращению erj,- пере-
переменных .
Переходя от случая функций п переменных к случаю
I ь Л
функционалов /ч#(/), придадим функции у (t) прира-

§ 1 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДНАЯ 67
щение by (t) = гц (t) и попытаемся найти величину 6F,
соответствующую этому приращению, которая должна об-
обладать следующими свойствами:
1) быть линейным функционалом относительно Ьу (/) =
= ел (*);
2) отличаться на бесконечно малую величину более
высокого порядка чем е от приращения AF функционала,
соответствующего приращению by (t) переменной функции.
27. Еще в 1887 г. было доказано (см. [83], [84]), что
этого можно добиться, если функционал является диффе-
дифференцируемым (имеет первую производную) в каждой точке
интервала (а, Ь). Чтобы определить первую производную
непрерывного функционала нулевого порядка в точке ?,
мы будем следовать методу, аналогичному методу для функ-
функций / (уъ уа, ..., уп) многих переменных. Для этих функций
~ определяется как предел (если он существует) отноше-
отношения Aj//ft, где h есть приращение переменной yit А*/ есть
приращение функции /, соответствующее приращению h.
В случае функционалов мы придадим у (t) приращение
&У @ ~ * @> которое не меняет знака и такое, что | О (f) \ <
<С е, О (f) = 0 вне подынтервала (т, п) длины h интервала
(а, Ь)у содержащего внутри себя §. При этом мы полагаем,
что: 1) отношение AF/e/г всегда меньше, чем конечное число
М; 2) существует вполне определенный конечный предел
отношения AF/a, когда еи/i одновременно стремятся к нулю
при условии, что подынтервал (т, п) всегда содержит вну-
п
три себя точку ?; здесь введено обозначение a = $ ft(t)dt\
т
3) отношение AF/a стремится к своему пределу равно-
равномерно относительно всевозможных функций у (t) и всех
точек I,
Предел этого отношения, вообще говоря, зависит от
функции у (t)\ поэтому он является функционалом от у (*),
а также зависит от параметра ?, т. е. является функцией
от ?. Будем обозначать этот предел символом F' [у (t)\ ?]
и назовем первой производной функционала F относительно
функции у (f) в точке §. Так же как для функций
/ (Уъ Уъ •••» Уп) от п переменных, мы имеем п частных про-
производных ~у зависящих от дискретного индекса i, а также
от п переменных, для функционала мы имеем бесконечное

68 гл. т функционалы
число производных, зависящих как от переменной у (О, так
и от всех возможных значений непрерывного парамет-
параметра |, расположенных на интервале (а, Ь). Далее, для
дифференцируемой функции полный дифференциал df да-
дается формулой
Аналогично этому можно показать (см. [83]), что
для функционала F ly (t)]> имеющего производную
F' \-У (t)\ 5Ь непрерывную относительно Е- и непрерывную
нулевого порядка относительно у (t), можно построить ве-
величину
) dg.
обладающую приведенными выше двумя свойствами. Поэ-
Поэтому мы назовем ее дифференциалом, или первой вариацией
функционала F.
28. Полученный нами результат можно выразить также
в другой форме. В самом деле, полагая by (t) = еф (О,
можно, с учетом сделанных выше предположений, написать
(см. [9])
ъ
lim ~ = (~ F [у (t) + 8Ф @])g-o = J Р [у @; I] ф (I
§ 2. Производные второго и высших порядков
29. Если функционал F' [у (t)\ 1г] в свою очередь явля-
является дифференцируемым, то мы можем обозначить F" [у (t)\
llt |2] его первую производную в точке |2 и называть ее
второй производной функционала F в точках 1г и |2. Если
F" [у @; gi, |21 является непрерывным нулевого порядка
относительно у (t) функционалом, а также непрерывной
функцией относительно \г и ?2, то можно показать (см.
[83]), что
так что она является симметрической функцией двух пара-
параметров 1Х и ?2. Это свойство обобщает хорошо известное

§ 3. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕЙЛОРА 69
свойство функций д ./ = д д (смешанные производные
симметрично зависят от индексов; теорема о перемене по-
порядка дифференцирования), и его можно выразить также
словами: производная в точке ?2 от производной в точке ?х
равна производной в точке ?i от производной в точке ?2,
или: результат не изменится от перемены порядка дифферен-
дифференцирования. Применяя последнюю формулу предыдущего
пункта к F', мы получим
b
| F' [у @ + щ(t): li])8_0 = \ F" [у @; 1Ъ Ы ф F,
а
8-0
8-0
поэтому
ь ъ
^гр[У @ + еФ @1) ^ = И ^[^/ @; 5i> Ы ф (Ы ф (S2) ^id|2-
При сделанных выше предположениях аналогично можно
показать, что производные высших порядков ЯЛ) [у (t)\
1ъ ..., In) суть симметрические функции относительно п
параметров ?ъ ?2, ..., %п и что
х ф Aг) ф (|2)... Ф (in
Поэтому в предположении, что у (f) является фиксирован-
фиксированной, п-я производная относительно параметра е выражает-
выражается через регулярные функционалы л-й степени от функ-
функции ф (I).
§ 3. Обобщение теоремы Тейлора (см. [83])
30. Если в функционале F [у (f) + еф (t)] считать функ-
функции у (f) и ф (t) фиксированными, то функционал превра-
превратится в обычную функцию от е:

70
ГЛ I ФУНКЦИОНАЛЫ
Если функционал является дифференцируемым до п-то
порядка включительно, то, согласно сказанному выше,
функция f (e) также будет дифференцируемой до n-го по-
порядка включительно. Применяя к ней теорему Тейлора,
получим
где 6 лежит между 0 и 1. Далее имеем
п, — 1 Ь Ь h
а а а
... + „7 $$•••$ ^"'[^/(О + ЭФ^); li, 5„ .... ?,]х
а а а
X Ф Aг) Ф (?2)... Ф (h) dlx d{2...din.
Эта формула обобщает на дифференцируемые функционалы
обычную формулу Тейлора для функций п переменных.
Если функционал имеет производные любого порядка и
если предел последнего слагаемого стремится к нулю при
п-*оо, то мы получим
b ') b
п=\ а а
Если предположить у (t) фиксированной, то эта формула
позволяет нам получить для функционала выражение в виде
определенного интеграла:
который поэтому является аналитическим (см. п. 25).

§ 4. ДРУГИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 71
§ 4. Другие дифференцируемые функционалы
31. Дифференцируемые функционалы, рассмотренные
выше, не исчерпывают класс функционалов F [у (/)!, допу-
допускающих дифференциалы. В рассмотренных выше случаях
дифференциал SF представлял собой регулярный линейный
функционал от приращения б*/ (t). Однако существует функ-
функционалы, например, в вариационном исчислении, у которых
вариация б/7 является линейным функционалом от Ьу (/),
но зависит особым образом (см. п. 19) от значений Ьу и ее
производной в некоторых точках интервала (в этих точках
производная функционала в определенном выше смысле
может не существовать или в лучшем случае обращается
в бесконечность). Обозначая &F [у (<), Ф (t)] первую вариа-
вариацию (или дифференциал функционала F [у (t)])y соответ-
соответствующую приращению by (f) = ф (t) функции у> мы ви-
видим, что 6F есть функционал от двух функций у (t) и ф (t).
Если вспомнить два основных свойства вариаций (см. п. 26),
то для любого дифференцируемого функционала мы полу-
получим формулу
F[y{t) + <p(t)] = F[y(t)] + 6F[y{t), ф@] + п/.(ф), A)
где L (ф) обозначает расстояние от частной функции ф = О
до ф @, а г) есть величина, стремящаяся к нулю вместе
с L (ф). Отсюда следует, что если вариация есть линейный
функционал от ф с непрерывностью порядка |х, то функ-
функционал F [у (t)] тоже будет непрерывным порядка \i (см.
[31]). Если в A) вместо ф (/) положить еф (t) и дифференци-
дифференцировать по е, то, учитывая, что 6F является линейной отно-
относительно второй из переменных функций, будем иметь
который, в случае, когда б/7 является регулярным линей-
линейным функционалом относительно ф @, сводится к уже най-
найденной формуле C) из п. 28.
32. В общем случае можно показать (см. [311), что если
у (ty а) есть дифференцируемая по а функция и если
у (/, а) и ya(l, ol) — cJ-- непрерывны в ноле аг ^ а < а3,

72 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЫ
а^ t^b9 а функционал F\ У (t) дифференцируем, то про-
производная -j- функции / (а) = F [у (t, а)] существует для а
из интервала (<xlf а2), и мы имеем формулу
as e as
которая является обобщением на функционалы правила диф-
дифференцирования сложной функции / (у19 уъ ..., уп), где
tji = у( (а), а именно, формулы
da Li dyt da * ^
В частности, в случае дифференцируемого функционала
F [у (t)] FF есть регулярный линейный функционал отно-
относительно второй переменной функции) формула C) прини-
принимает вид
ь
которую можно получить из D) обычным методом (см. п. 3)
перехода от конечного числа к бесконечному числу пере-
переменных.
33. Из C) следует, что если функционал F [у (f)] имеет
относительный максимум (или минимум) при у0 (f) ==
= У (U <*о)> т- е* если имеет место неравенство F [y0 (t)] >
> Р 1^/@1 Для У @» лежащего достаточно близко к у0 (t),
то выражение
EeE
, a), y*a(t, a)]
должно равняться нулю при а = а0, где у'а (/, а0) есть
произвольная функция от t. Другими словами, первый
дифференциал 6F [у @, Ф (t)l функционала равен нулю
для той функции у0 @, которая доставляет функционалу
максимальное или минимальное значение (см. [83]). В ка-
качестве следствия этого для дифференцируемого функцио-

§ 5 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВАРИАЦИЙ 73
нала будем иметь, что производный функционал F' [у (t)\ ?]
тождественно равен нулю при любом ? для тех функций
у0 @, для которых функционал принимает максимальное
или минимальное значение.
§ 5. Вычисление некоторых вариаций
34. Если взять регулярный функционал степени п (см.
п. 23)
i=\a a a
xy(t1)y(t2)...y(ti)dt1dt2...dth
то его вариация 6F, соответствующая приращению бу (t)
переменной функции, будет иметь вид
ЬЬ
t = l a a a a
X У (h) у «,)... г/ (*,-!) dtx Л,... Л,-ь
поэтому его первая производная в точке |, а именно,
i
будет регулярным функционалом степени я— 1. Вообще,
его р-я производная при 0 < р <.п будет регулярным
функционалом степени п — р, в то время как при р « л
она сводится к виду
т. е. к функции от одних параметров, не зависящей от
у (f); при р > я, по аналогии со случаем полинома степени
я, всегда получаем Яр> [у (/); ?1э ?2,..., |р] = 0. И наоборот,
если во всех точках интервала (а, Ь) функционал имеет про-
производную порядка р, которая является регулярным функ-
функционалом степени п — р, то он сам будет регулярным
функционалом степени п.
35. Если мы рассмотрим нерегулярный функционал (по
поводу определения нерегулярного функционала степени п

74 гл. т. функционалы
см. [311) второй степени
а а
то его вариация имеет вид
+ 2 $$*,(*,
а а
а первая производная принимает форму
Р'[У«); Б]-*i
которая является функционалом первой степени относи-
относительно у и зависит особым образом (см. п. 19) от значения у
в точке ?. Чтобы найти максимум и минимум регулярного
функционала второй степени, нужно, как мы видели раньше,
приравнять нулю первую производную, т. е. мы должны
решить функциональное уравнение
kx(l) 2\k2(t, b)y(t)dt
а
(линейное интегральное уравнение первого рода, см. гл. II)
относительно неизвестной функции у (t). С другой стороны,
чтобы найти максимум и минимум указанного выше нерегу-
нерегулярного функционала, нужно решить уравнение
(линейное интегральное уравнение второго рода).
36. Для функционала
ь
= $/('» 0@, 0#(О, ..., yn{t))dt9
а

§ 5 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВАРИАЦИЙ 75
встречающегося в вариационном исчислении, вариация яв-
является линейным функционалом от Ьу @, который особым
образом зависит от значения by (t) и ее производных до
(п — 1)-го порядка на концах интервала (а, Ь)\ эта вариация
записывается в виде
висящие от значений Ьу, Ьу\ ..., Ьу{п~1] в точках а и Ь.
Следовательно, функционал является дифференцируе-
дифференцируемым в любой точке ?, расположенной на интервале (а, Ь),
и первая производная
F'
есть обычная функция от |, #(?)»#'(?)» •••» У^п) (S). Чтобы
найти функцию у (|), на которой функционал принимает
свое наибольшее или наименьшее значение, мы должны,
следуя предыдущему, решить обыкновенное дифференци-
дифференциальное уравнение 2п-то порядка (уравнение Эйлера)
37. Рассмотрим функционал
ЬЬ
л-\\и\\, я yd),
где /2 предполагается симметричной относительно \ и х\
при любом у. Его вариация имеет вид
члены, зависящие от значений бу в точках а и

76 гл. i. функционалы
Приравнивая нулю функциональную производную
F' 1# @; 51» определенную для любого \ из интервала (а, Ь),
мы получим функциональное уравнение относительно не-
неизвестной у:
dfx\ « С Г в/, dt df2
Это функциональное уравнение отлично от рассмотренного
выше, так как оно имеет характер как интегрального, так
и дифференциального уравнений. Поэтому оно называется
интегро-дифференциальным. Уравнения такого типа вклю-
включают как частные случаи интегральные уравнения (не со-
содержащие производные неизвестной функции) и дифферен-
дифференциальные уравнения (в которых неизвестная функция не
содержится под знаком интеграла).
§ 6. Интегрирование функционалов
38. Для функций п переменных / (уъ y2i ..., уп) опреде-
определяем интеграл / в виде
I-=\dy1 \ dy2...\ f(yl9 у29 ..., yn)dyny
где интегрирование распространяется на параллелепи-
параллелепипед Рп в n-мерном пространстве, имеющий объем Vn ==
ю(Ьг — аг) (Ь2 — а2) ... (Ьп — ап). Этот интеграл, разде-
разделенный на Vn, используется для указания порядка значе-
значения функции / в комплексе (отношение I/Vn есть среднее
значений функции / в Рп). Аналогично можно поступить
и в случае функционала, обычным путем переходя от конеч-
конечного к бесконечному числу переменных.
Первой трудностью, встречающейся при попытке опреде-
определения объема или меры функционального поля или множе-
множества, является то, что он должен быть аддитивной функцией
множества. Например, для поля всех функций у (t) таких,
что #i @ < 1/@ < #2 (')• У At) — УгЬ)>0 (его можно
назвать бесконечномерным параллелепипедом), объем, т. в,
произведение всех возможных разностей yt (f) —yx (f)f
должен равняться нулю, если у% (t) — уг {t) <; 1, и
цечности? если y%(t) — y%(t)>h

§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ Т7
39. Вместо того чтобы рассмотреть отдельно интеграл и
объем функционального поля, мы попытаемся непосред-
непосредственно определить среднее значение функционала в неко-
некотором поле. Замечая, что в случае обычных функций
f (Уъ У^ •••» Уп) среднее значение совпадает с интегралом,
если рассматриваемое поле является я-мерным кубом
О «^ yi < 1, i = 1,2, ..., п, и в этом случае принимает про-
простую форму, мы ограничимся вычислением среднего значе-
значения функционала F \у (/) L определенного для у (f) между
О и 1.
Принимая у (t) в этом поле произвольным образом, рас-
рассмотрим F [у (t) + ft! *= f (ft) как функцию от ft, определен-
определенную на интервале @, 1) (заменяя у (t) + ft на у (f) + ft — 1
при тех значениях t, для которых последняя величина > 1).
Вычислим интеграл
Если обозначить верхнюю и нижнюю грани функционала
в поле соответственно L и /, то интеграл также будет за-
заключен между этими пределами и при фиксированной
у @ даст среднее (в обычном смысле) значений F для мно-
множества функций у (t) + h (или у (t) + h — 1 при тех зна-
значениях ty для которых у (t) + h> \). Обозначая Ьъ 1г
соответственно верхнюю и нижнюю грани интеграла
h ly @1 ПРИ изменении у (f) в обычном поле, мы получим
/ ^ l\ ^ Lx ^ L. Разделим теперь интервал (а, Ь) на две
части (а, с) и (с, Ь). Выбирая у (t) произвольным образом,
рассмотрим функцию д (t, къ /ц), которая равна у (t) + hx
на интервале (а, с) и величине у (t) + К на интервале
(с, d) (в каждом из этих случаев из нее следует вычесть 1
при тех значениях /, для которых она > 1). Интеграл
изображает среднее значение функционала для множества
функций у (f, къ Аа), которое содержит бесконечные множе-
множества рассмотренного выше типа, а следовательно, всегда
лежащие между 1Х и Lv Если обозначить L% и 1%

78 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ I
ственно верхнюю и нижнюю грани, когда у (t) произволь-
произвольным образом меняется в поле, то будем иметь / ^ /х ^ /2^
<: L2 ^ Lx ^ L. Разделим каждый из интервалов (а, с)
и (с, Ь) на два подынтервала и вычислим верхнюю и ниж-
нижнюю грани L3 и 1Ъ соответствующего четырехкратного инте-
интеграла. Продолжая этот процесс, мы можем получить неубы-
неубывающую последовательность lt и невозрастающую последо-
последовательность L/, стремящихся к одному и тому же пределу /.
Этот предел будем называть средним или интегралом функ-
функционала F в рассматриваемом поле. Следует, однако, заме-
заметить, что сходимость двух последовательностей и их пре-
предельное значение, вообще говоря, будут зависеть от ме-
метода разделения интервала (а, Ь) на частичные подын-
подынтервалы. Это определение интеграла принадлежит Гато
[43], [45].
40. Другое определение было дано Даниелем [14] при
рассмотрении функционалов ограниченной вариации, опре-
определенных в функциональном поле счетного числа измере-
измерений (функций бесконечного числа переменных), и обобще-
обобщении в случае этих полей понятия интеграла Стилтьеса.
Этот процесс аналогичен тому, с чем мы встречались в ко-
конечном поле п измерений при заданной функции ограничен-
ограниченной вариации а (уъ у21 ..., уп), с помощью которой опреде-
определяется интеграл Стилтьеса
, у2, ..., yn)dy1dy2...dyna(y1, y2, ..., */„).
Интеграл Даниеля был использован Винером (см. [911)
для исследования броуновского движения.
БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛАВЕ I
1. Arzela С. Funzioni di linee.—Rend. Real. Accad. dei Lincei
1889, 5, 342—348.
2. А г z e 1 a C. Sulle funzioni di linee.—Mem. R. Accad. delle sci
dell Istituto di Bologna, 1895, Series 5, 5, 225—244.
3. А г z e 1 & C. Sul' principio di Dirichlet. — Rend. Accad. delle Sci.
dell 1st. di Bologna, 1896—1897, 1, 1-14.
4. А г z e 1 a C. Sulinversione di tin sistema di funzioni. — Rend.
Accad. delle Sci. dell 1st. di Bologna, 1902—1903, 7, 1—20.
Б. А г z e 1 a C. Sul limite di un integral doppio. — Rend. Accad.
delle Sci. dell 1st. di Bologna, 1907—1908, 11, 62—75.
6. А г z e 1 a C. Su alcune questioni di calcolo funzionale, — Mem.
R. Accad. delle Sci. dell Istituto di Bologna, 1910, Series 6, 7, 297—
915,

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ I 79
7. В a i г е R. Lemons sur les fonctions discontinues. — Paris, Gaut-
hier-Villars, 1905.
8 Bouligand G. Sur les modes de continuite de certaines fonc-
tionnelles. — Bull, des Sci. Math., 1923, B) 47, 229—243.
9 Co u rant R. Ober eine neue KJasse von kovarianten Funktional-
ausdrucken, welche aus Variationsproblemen entspringen. — Got-
tinger. Nachr., 1925, 1925, 111—117.
10. D a n i e 1 e E. Formole di derivazione funzionale. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1914, E) 24, 319—324, 496—498.
11 D a n i e 1 e E. Sulle derivate delle funzioni di linee inverse. —
Atti Accad. Gioenia, Catania, 1915, E) 8, mem. 18, 1—9.
12. D a n i e 1 1 P. J. A general form of integral. — Ann. of Math., 1918,
B) 19, 279—294.
13. D a n i e 1 1 P. J. Functions of limited variation in an infinite num-
number of dimensions. — Ann. of Math., 1919, 21, 30—38.
14 D a n i e 1 1 P. J. Integrals in an infinite number of dimensions. —
Ann. of Math., 1919, 20, 281-288.
15 D a n i e 1 1 P. J. The derivative of a functional. — Bull. Amer.
Math. Soc, 1919, B) 25, 414—416.
16 Dienes P. Versuch einer systematischen Begrundung der Funk-
tionalrechnung. — Math, es termesz Ungar, Budapest, 1916, 34,
154—194, 656—692 (Ungarisch).
17. Evans G. C. Topics from the theory and applications of functio-
functional», including integral equations. — Amer. Math. Soc. Cambridge
Colloqium, 1916, part I, 1—136.
18. Evans G. C. An extension of Hadamard's formula for a linear
functional. — Bull. Amer. Math. Soc, 1917, 23, 211—212.
19. F a b г i C. Sopra alcune proprieta generali delle funzioni che di-
pendono da altre funzioni li da linee. — Atti R. Accad. Torino, 1890,
26, 654—674.
20. F a b г i C. Sopre le funzioni di iperspazii. — Atti 1st. Veneto,
1893 G) 4, 283—295.
21. Fischer С A. Functions of surfaces with exceptional points or
curves. — Amer. J. Math., 1916, 38, 259—266.
22 Fischer С A. Note on the order of continuity of functions of
lines.— Bull. Amer. Math. Soc, 1916, 23, 88—90.
23. F i s с h e г С. A. Linear functional of л-space. — Bull. Amer.
Math. Soc, 1917, 23; — Ann. of Math., 1917, B) 19, 37—43.
24. F i s с h e г С. A. On bilinear and n-linear functionals.—Proc.
Nat. Acad. of Sci. USA, 1917, 3, 640-644.
25. Fischer C. A. Necessary and sufficient conditions that a linear
transformation be completely continuous. — Bull. Amer. Math.
Soc., 1920—1921, 27, 10—17.
26. Free h e t M. Sur les operations lineaires. — Trans. Amer. Math.
Soc, 1904, 5, 493—499; 1905, 6, 134—140.
27 Frechet M. Generalisation d'un theoreme de Weierstrass.—
С R. de l'Acad. des Sciences de Paris, 1904, 139, 848—850.
28 Frechet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel These. —
Paris, Gauthier-Villars, 1906; Rend. Circolo Mat. di Palermo, 1906,
22, 1—74.
29. F г ё с h e t M. Les fonctions d'une infinite de variables. « Сотр.
rend, du Congres des Soc Sav., 1909. — Paris: 1—8.

80 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ I
30. F г ё с h e t M. Sur les fonctionnelles continues. — Ann. de l'Ecole
Normale Sup., 1910, C) 27, 193—216.
31* Frechet M. Sur la notion de differentielle dans le calcul fonction-
nel. —Сотр. rend, du Congres des Soc. Say. —Paris: 1912.
32. F г ё с h e t M. Sur les fonctionnelles lineaires et l'integrale de
Stieltjes. — Extrait des Сотр. rend du Congres des Soc. Sav., 1913. —
Paris: 1914.
33. F г ё с h e t M. Sur la notion de differentielle d'une fonction de lig-
ne. — Trans. Amer. Math. Soc, 1914, 15, 135—161.
34. F г ё с h e t M. Sur Tintegrale d'une fonctionelle etendue к un en-
ensemble abstrait. — Bull. Soc. Math, de France, 1915, 43, 248—265.
35. F г ё с h e t M. L'ecart de deux fonctions quelconques. — C. R. de
l'Acad. de Sci. de Paris, 1916, 162, 154—155.
36. Frechet M. Sur divers modes de convergence d'une suite de fonc-
fonctions d'une variable. — Bull. Calcutta Math. Soc, 1921, 11, 187—
206.
37. F г ё с h e t M. Prolongement des fonctionnelles continues sur un
ensemble abstrait. — Bull. Sci. Math., 1924, B) 48, 171—183.
38. Gateaux R. Sur la representation des fonctionnelles continues. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1913, E) 22, 646—648.
39. Gateaux R. Sur les fonctionelles continues et les fonctionnelles
analytiques. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1913, 157, 325—
327.
40. Gateaux R. Sur la representation des fonctionnelles continues. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1914, E) 22t 646—648.
41. Gateaux R. Representation d'une fonctionelle continue satis-
faisant й la condition du cycle ferme. — Rend. R. Accad. dei Lin-
Lincei, 1914, E) 23, 310—315.
42. Gateaux R. Sur les fonctionnelles d'orde entier d'approxima-
tion. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1914, E) 23, 405—408.
43. Gateaux R. Sur la notion d'integrale dans le domaine fonction-
nel et sur la theorie du porentiel, avec note de Paul Levy. — Bull.
Soc. Math, de France, 1919, 47, 47—70.
44. Gateaux R. Fonctions d'une infinite de variables independan-
tes, avec note de Paul Levy. — Bull. Soc. Math, de France, 1919,
47, 70—96.
45. G a t e a u x R. Sur deverses questions de calcul fonctionnel.—
Bull. Soc. Math, de France, 1922, 50, 1—37.
46. Hadamard J. Sur les derivees des fonctions de lignes. — Bull.
Soc Math de France, 1902, 30, 40—42.
47. H a d a m a r d J. Sur les operations fonctionnelles.—C. R. de
l'Acad. des Sci. de Paris, 1903, 136, 351—354.
48. Hadamard J. Lemons sur le calcul des variations, Tome I, —
Paris, A. Hermann, 1910.
49. H a d a m а г d J. Le calcul fonctionnel. — Enseig. Math., 1912,
14, 1-18.
50. H e 1 1 у E. Ober lineare Funktionaloperationen. — Sitzungsber.
Akad. Wiss. in Wien, 1912, 121, 265—297.
61. Hildebrand Т. Н. A contribution to the foundation of Fre-
chefs calcul fonctionnel. —Amer. J. Math., 1912, 34, 237—290.
52. К а к е у a S. On linear operations and some groups of continuous
functions.— Sci. Rep. Tohoku Imper. Univ. Sendai, 1915, 4,361—372.

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. Т 81
53. К а к е у a S. Theory of analytic functions of lines. — Sci. Rep.
Tdhoku Imp. Univ. Sendai, 1917, 6, 341—358.
54. К а к е у a S. On functions of lines and a set of curves. — Sci. Rep.
Tohoku Imper. Univ. Sendai, 1918, 7, 177—196.
55. bebesgue H. Lemons sur l'integration et la recherche des foncti-
ons primitives. — Paris; Gauthier-Villars, 1904.
56. Le Stourgeon E. Minima of functions of lines. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1920, 21, 357—383.
57. L e у i E. E. Funzioni di linee. — Estrat. dal Boll, di Bibliografia
e Storia delle Scienze Mathematiche. —Paris, 1915.
58. Levy P. Sur les derivees des fonctions des lignes planes. — C. R. de
l'Acad. des Sci. de Paris, 1911, 152, 178—180.
59. Levy P. Sur la notion de moyenne dans le domaine fonctionnel —
С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1919, 169, 375—377.
60. L ё v у Р. Lemons d'analyse fonctionnel. — Paris: Gauthier-Villars,
1922.
61. Levy P. Sur la derivation et l'integration generalisees.— Bull.
Sci. Math., 1923, B) 47, 307—320; 343—352.
62. L ё v у P. Analyse fonctionnelle. Memorial des Sciences Mathema-
tiques, 5th Fasc. — Paris: Gauthier-Villars, 1925.
63. N a 1 1 i P. Sulle operazioni funzionali lineari. — Rend. Circ. Mat.
Palermo, 1922, 46, 49—90.
64. Pascal E. Sui principi della teoria delle funzioni di linee. Gli inte-
grali Riemanniani delle funzioni di linee. Le formole di Green e di
Stokes per le funzioni di linee. — R. Accad. di Napoli, 1914, C)
20, 1—27.
65. P a s с a 1 E. Le linee funzioni di linee. — Giornale di Mat. di Bat-
taglini, 1915, 53 [C) 6], 318—348.
66. P i с о n e M. Le equazionl alle variazioni, per cause perturbatrici
variabili, nel concetto di Volterra di variazioni prima per una funzi-
one di linea. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1919, E) 28, 127—131.
67. P i с о n e M. Sulle funzioni additive di campo. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1919, E) 28, 232—235.
68. R a d о n F. Theorie und Anwendungen der absolut additiyen Men-
genfunktionen. — Sitzungsber. der K. Akad. der Wiss. in Wien,
1913, Abt. 2, 122, 1295—1438.
69. R a d о n F. Uber lineare Funktionaltransformationen und Funk-
tionalgleichungen, — Sitzunsber. K. Acad. in Wien, 1919, Abt.
2, 128, 1083—1121.
70. R a s о r S. E. On the integration of Volterra's derivatives. — Bull.
Amer. Math. Soc, 1916, 22, p. 293.
71. R i e s z F. Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre. — Atti 4.
Congresso intern, dei Matematici, V II. — Rome: 1909, 18—24.
72. R i e s z F. Sur les operations fonctionnelles lineaires. —С R. de
l'Acad. des Sciences de Paris, 1909, 149, 974—977.
73. R i e s z F. Sur certaines systemes d'equations fonctionnelles et
rapproximation des fonctions continues. — C. R. de l'Acad. des
Sci. de Paris, 1910, 150, 674—677.
74. Riesz F. Ober lineare Funktionalgleichungen. — Acta Math.,
1916, 41, 71—98.
75. S t e i n h a u s H. Additive und stetige Funktionaloperationen. —
Math. Zeitsch., 1919, 5, 186—221.

82 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ I
76. Т о п е 1 1 i L. Sulle funzioni di linee. — Rend. R. Acad. del Lin-
Lincei, 1914, E) 23, 28—33.
77. T о n e 1 1 i L. La semicontinuitu nel calcolo delle variazioni —
Rend. Circ. Mat. Palermo, 1920, 44, 167—249.
78. T о n e 1 1 i L. Fondamenti di calcolo delle variazioni, Tome 1 e 11 —
Bologna: Zanichelli, 1921 e 1923.
79. T г i с о m i F. Sull'iterazioni delle funzioni di linee. — Giornafe
di Mat. di Battaglini, 1917, 55 [C) 8], 35—42.
80. T г i с о m i F. Sulle serie di funzioni di linee. — Rend. Accad.
Sci. di Napoli, 1920, C) 26, 160—169.
81. T г i с о m i F. Le serie di pptenze nel campo delle funzioni di li-
linee. — Rend. Accad. Sci. di Napoli, 1920, C) 26, 193—202.
82. V e s s i о t E. Sur la theorie des multiplicites et le calcul des vari-
variations. — Bull. Soc. Math, de France, 1912, 40, 68—73.
83. V о 1 t e г г a V. Sopra le funzioni che dipendono da altre funzo-
ni. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1887, D) 3, 97—105; 141—146;
153—158.
84. V о 1 t e r r a V. Sopra le funzioni dipendenti da linee. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1887, D) 3, 225—230, 274—281.
85. V о 1 t e г г a V. Lec.on sur {'integration des equations differentiates
aux derivees partielles. — Upsala: 1906.
86. V о 1 t e r r a V. Trois lemons sur quelques progres recents de la phy-
physique mathematique. Lectures delivered at the celebration of the
20th anniversary of the foundation of Clark University. — Worce-
Worcester, Mass., 1909.
87. V о 1 t e г г a V. Lemons sur les fonctions de lignes (Coll. Borel)
Paris, Gauthier-Villar, 1913.
88. V о 1 t e г r a V. Les problemes qui ressortent du concept de fonc-
tion de ligne. — Sitzungber. Berliner Math. Gesell., 1914, 13, 130--»
150.
89. V о 1 t e г r a V. Saggi scientifici. (L'evoluzione delle idee fondamen-
tali del calcolo infinitesimale. L'applicazione del calcolo ai fenomenf
d'eredita). — Bologna, Zanichelli, 1924.
90. Weierstrass K. Ober die analytische Darstellbarkeit soge-
nannter wilkurlicher Funktionen reeler Argumente. — Math. Werke,
Bd. III. —Berlin: 1903.
91. W i e n e r N. Differential space. — Publications of the Massachus.
Inst. of Technol., Series II, № 60, 1923.
92. W i n t e r M. Les principes du calcul fonctionnel. — Rev. de Мё-
taphysique et de Morale, 1913, 21, 462—510.
93. W i s h n e w s к у L. A. The absolute extremum of a certain poli-
nomial functional. — Proc. Math. Labor Tauric-Univ., 1920, 1,
37—40 (Russian).

Глава II
ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Общие понятия
41. В предыдущей главе мы видели, как из задач ва-
вариационного исчисления естественным путем вытекают
уравнения, в которых неизвестным является не число или
конечное множество чисел, как в алгебре, а некоторая
функция. Если мы хотим фактически определить функ-
функцию у (f), которая дает дифференцируемому функцио-
функционалу Fu/(/) (см. п. 27) максимальное или минимальное
значение, то для этой функции у (f) вариация 6F функцио-
функционала должна равняться нулю, где 6F выражается форму-
формулой (см. пп. 27, 28)
\; x]6y(x)dx,
by (x) принимает произвольное значение. Поэтому
F'[y(t)\ *] = 0, A)
т. е. производная тождественно равна нулю при любом
значении х.
Теперь мы хотим показать, что уравнения такого типа
получаются как обобщения систем п обычных уравнений
с п неизвестными
ft,
B)
1п(Уъ ft, ..., Уп) = гп
или короче,
hil/v ft» •-., Уп)=**и *¦=-!• 2, ..., п. B')

84 ГЛ И. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Подставим непрерывный параметр х или /, изменяю-
изменяющийся между а и Ь> вместо дискретного индекса, изменяю-
изменяющегося от 1 до п\ тогда функция ft (уъ уъ ..., уп) от п пере-
переменных yk превратится в функционал от функции у (t),
зависящей также вместо индекса I от непрерывного пара-
параметра х\ система B) или B') превращается в более общее
функциональное уравнение
F[y(t)\x] = z(x) C)
с неизвестной функцией у (t). Следовательно, задаче о реше-
решении уравнения C) в функциональном анализе соответствует
задача обращения системы B) в обычном анализе; поэтому
можно сказать, что она состоит в обращении функционала
F[y(t); х] = г(х)
относительно неизвестной функции у (t). Если записать C)
в другой форме:
F[y(t); x]-z(x)-G[y(t); *] = 0,
мы увидим, что уравнения типа C) включают, как частный
случай, уравнения типа A), которые выходят из рамок
вариационного исчисления.
Мы получаем частный случай уравнения C), когда
F \у @*> *3 является функционалом степени т (см. п. 23);
этот случай соответствует в обычной алгебре системе B),
в которой в качестве функций Д фигурируют полиномы
степени т.
§ 2. Определения
42. Немного более частный случай, но очень интересный
тем, что он, помимо прочего, может служить основой для
исследования уравнений высших степеней, встречается,
когда F [у (t); x] является линейным функционалом от у (t)f
соответствующим системе B) п обычных линейных урав-
уравнений с п неизвестными. Если линейный функционал
является регулярным (см. пп. 19, 20, 21), т. е. если он
не имеет исключительных точек, то рассматриваемое урав-
цение принимает вид
\ t=z{x) A)

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ 85
(линейное интегральное уравнение первого рода). При на-
наличии у функционала исключительной точки t = х урав-
уравнение принимает вид
$ К (х, t) у (t) dt + аоу (х) + а1У' (х) +... + апу^х = г (х). B)
а
При аг я а2 = ...== а„ = 0, а0 = 1 это уравнение приводится
к виду
\К(ху t)y(t)dt + y(x) = z(x) C)
а
(интегральное уравнение Фредгольма второго рода). В слу-
случае, когда аг = (ц = ... = ап = 0, а0 = а (я), мы полу-
получаем уравнение
*(*), D)
которое Пикар назвал уравнением третьего рода. Если в B)
фигурируют несколько исключительных членов, то само
уравнение, содержащее неизвестную функцию под зна-
знаком интеграла и под символом дифференцирования, можно
отнести к классу уравнений, называемых обыкновенными
интегро-дифференциальными уравнениями (см. гл. V).
Если линейный функционал F [у (t)\ x] зависит от всех
возможных значений у (t) при изменении t между а и 6,
а ^ х < Ь, мы получаем такое же количество других
уравнений (называемых уравнениями Вольтерра, так как
эти уравнения впервые им были исследованы с исчерпываю-
исчерпывающей полнотой): линейное уравнение первого рода
\к(х, t)y(t)dt~z(x), (Г)
а
линейное уравнение второго рода
z(x) (У)
и т. д. Эти уравнения Вольтерра, в которых верхний пре-
предел интеграла является переменным параметром х, суще-
существенно не отличаются от предыдущих уравнений, в кото-
которых верхний предел является постоянным (— Ь). В самом

об ГЛ. II ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
деле, если допустить, что функция К (х, 0» называемая
ядром уравнения, может иметь разрыв (разрывы первого
рода), то нам достаточно в уравнениях A) — D) с постоян-
постоянными пределами предположить К (х, t) = О для t > х,
чтобы эти уравнения превратились в соответствующие
уравнения Вольтерра с переменным верхним пределом.
§ 3. Уравнения Вольтерра второго рода
43. Остановимся на следующих основных типах инте-
интегральных уравнений:
с переменным верхним пределом
у(х)+]к(х9 t)y(t)dt = z(x\
о
х
\К(х, t)y(t)dt = z(x);
с постоянным верхним пределом
о
lK(x9 t)y{t)dt = z{x).
о
Для решения этих уравнений (см. [76] — [82]; см. также
[86] — [88] из библиографии к гл. I) мы начнем с методов,
применяющихся для решения систем п линейных алгебраи-
алгебраических уравнений с п неизвестными, а затем обычным
способом перейдем от конечного числа к бесконечному
числу неизвестных; далее этим путем мы получим общее
решение нашего функционального уравнения.
Мы начнем с интегрального уравнения Вольтерра вто-
второго рода
и t)y(t)dt = z(x), A)
в котором К и г предполагаются непрерывными функ-
функциями своих аргументов. Можно считать, что это уравне-
уравнение порождено системой п линейных уравнений с п неиз-

§ 3 УРАВНЕНИЯ ВОЛЪТЕРРА ВТОРОГО РОДА
87
вестными вида
i=l, 2, ..., n,
B)
когда дискретный индекс i заменяется через х> а г — че-
через t. Эта линейная система B) имеет одну особенность,
которая сильно облегчает ее решение. Действительно, если
обозначить Д определитель из коэффициентов, а Д,> — алге-
алгебраическое дополнение (или минор) для /(,>, то мы будем
иметь
1 о о ... о
K2i 1 о ... о
/Сз1 Кз2 1 ... О
= 1;
C)
следовательно, применяя правило Крамера и замечая,
что Д,7 = 0 при i > г и Дгл = 1, для нахождения неиз-
неизвестных уг мы получим формулы
' — 1
D)
где Л,г = Sr/.
Применяя аналогичный метод для уравнения A), можно
искать его решение у (х) в виде
, t)z(t)dt,
E)
где S (я, f) — некоторая функция, называемая взаимным
или разрешающим ядром уравнения A).
Для получения определителей Д*г = Sri подставим
решение D) в уравнение B). Тогда
1
Следовательно,
F)

88 ГЛ. II. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Положим
где Kll\ Kte\ ..., /C/s~s) суть слагаемые степеней 1,2,...
..., *' — s. Из предыдущего уравнения мы получаем
is = Zi
—О
G)
Таким образом, мы нашли правило для вычисления опре-
определителей Sis. Это правило дает нам метод вычисления S(zJ),
если перейти от конечного числа к бесконечному числу
переменных, и мы имеем
, t) = -K(x, О,
(8)
(итерированные ядра для ядра К{%)) и
S(x, t)=2,K^(x, f).
(9)
h=\
Поступая более строго и учитывая ограниченность К (х> t)
по абсолютной величине (т. е. | К (х> t) | ^ М для лю-
любых х и /, а поэтому | К A) (л:, 0 | ^ М), мы находим для (8)
Отсюда следует, что ряд (9) всегда равномерно сходится

§ 3. УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА 89
(принцип сходимости) и
lim/C(A)(*, 0 = 0. A0)
ft-+oo
Мы будем иметь также (принцип взаимности) (см. F))
{
х
-JS(jc, l)K(t, t)dl = K(x, t) + S(x, t), A1)
X
следовательно, умножая обе части A) (заменяя х через I)
на S (х, ?) и интегрируя относительно | от 0 до х> мы по-
получаем
\ \(l, t)y(t)dt =
0
и по правилу Дирихле и из предыдущей формулы:
\S(x, t)ya)d$-^K(x, t)y(t)dt-jS(x, t)y{t)dt =
0
Наконец^ согласно A), имеем
y{x)-z(x) = \s(x, t)z(t)dtt
0
или
\(x, t)z(t)dt,
0
т. е. формулу, решающую уравнение A) (принцип обра-
обращения). Это решение единственно, так как если бы суще-
существовало другое решение уг (#), то разность уг (х) — у (х) ¦=«
= и (х) удовлетворяла бы (однородному) уравнению
и(х)+\к(х, t)u(t)dt = O,
о
или
], t)u(t)dt,

90 ГЛ ТТ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
а потому для любых i
и(х) = \к*(х9 t)u(t)dt.
о
Однако, согласно A0), предел интеграла в правой части
равен нулю при п-> оо, поэтому и (х) = 0. Строя тем же
методом, что и в случае уравнений (8), итерированные
ядра SW(x, t) для SA) (jc, t) = —5 (x> t)> можно показать,
что ряд 2 S(I#) (%, t) сходится равномерно, и его сумма
i
совпадает с К (х, f), так как она, так же как и К (#, 0»
является единственным решением интегрального уравне-
уравнения A1) (принцип взаимности).
Функция S (л:, t)y определенная формулой (9), которую
мы называли взаимным, или разрешающим, ядром урав-
уравнения A), очевидно, является функционалом Fl/((?i, ?2);*» t]
от функции двух переменных К (Ъъ Ы- Если к ней, рас-
рассматривая ее как функцию от х и t> снова применить функ-
функционал F, то, учитывая сделанные выше замечания, полу-
получим К (ху 0» т. е.
F[S(tt, 1,); х, t] = K(x, t).
Таким образом, мы получили интересный пример функцио-
функционала, совпадающего со своим обратным функционалом
(см. п. 41).
Заметим, что некоторые из сделанных выше предполо-
предположений относительно природы функций К {х, t) и г (х)
можно значительно ослабить (разрывные ядра и др.) (см.
ниже § 8). Мы можем решить уравнение A) методом после-
последовательных приближений (см. [36], 145], [6], [331). При-
Применяя этот метод и заменяя у его выражением, данным
в первой строчке равенства A2), мы получаем
¦]K(x, t)y(t)dt,
О
х
-\К(х, t)z(t)dt +
о
, t)dt\l\(t, -J
A2)

§ 4 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА 91
и т. д. Если в полученных этим путем выражениях, при-
применяя правило Дирихле, провести замену порядка инте-
интегрирования, то после (i — 1)-й подстановки будем иметь
], t)z(t)dt + ...
о
9 t)y(t)dt =
К<'-У(х. t))z(t)dt +
, t)y(t)dt;
если при возрастании i последний член стремится к нулю,
то у (х) примет вид E).
44. Формулы (8), выражающие итерированные ядра
K(h) (*, 0 для К{1) (х9 0 через K{g) и /(<*-*>, дают пер-
первый пример частного функционала, зависящего от двух
функций K(g) и /((*-*) двух переменных, которые будут
исследованы более подробно в гл. IV и V (п. 1 § 3). Этот
функционал носит название композиционного произведения
первого рода двух функций K{g) и K{h~g) и обозначается
I({g)]((b-g) -a j((h)m Если мы построим композиционное
произведение функции К на себя, то получаем компози-
* * * *
ционную степень КК = К = ЛB), и, вообще, К* =
= К1'ХК == (—\у K{i\ т. е. i-e итерированное ядро K{i) есть
1-я композиционная степень для /С. Если построить схо-
оо
дящийся ряд 2 ai^ly T0 получим выражение, которое
называется композиционной функцией для /С. Примером
оо
этого служит разрешающее ядро 5 (х> 0 = 2] (—W К* (Л:» ^)*
§ 4. Уравнения Фредгольма второго рода
45. Два метода последовательных приближений и обобще-
обобщение формул Крамера на случай бесконечного числа пере-
переменных можно применить также к интегральным уравне-

92 ГЛ. II. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ниям второго рода с постоянными пределами:
\ z(x). A)
Согласно методу последовательных приближений мы
следуем по пути, использованному в § 3, однако это можно
сделать только для достаточно малых X. Действительно,
если построить выражения, аналогичные выражениям (8)
из п. 43:
О,
B)
о
т. е. итерированные ядра или композиционные степени
для К{1) второго рода (см. гл. IV, § 2), и если предполо-
предположить | К{1) (х, Q | < М, то мы будем иметь для K{i) (x9 t)
оценку
\K{i4*, ОКА*1*"-
Поэтому ряд
с, 0 C)
будет сходиться для | ХМЬ | < 1, т.е. для | Х\ < 1/(ЬМ).
Однако не ясно, будет ли это иметь место при | X \ ^ \/(ЬМ).
Если ряд C) сходится равномерно для t из интервала (О, Ь),
то решение уравнения A) будет единственным и выража-
выражается формулой
t\ X)z(t)dt. D)
Обычный метод перехода от конечного к бесконечному
числу переменных, уже примененный в случае уравнений
Вольтерра, и в рассматриваемом случае оказывается более
удобным. Если мы начнем с линейной системы
п
У1 + Ь% kiryr=*zh i=l, 2, ..., п9 E)

$ 4. УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА 93
соответствующей уравнению A) в случае п неизвестных уг
(г = 1, 2, ..., я), то можно указать (единственное) реше-
решение системы, полученное по правилу Крамера:
~ = г + ^~ > F)
если определитель Air (к) из коэффициентов отличен от нуля;
здесь Д,> (Я) (полином степени п — 1 относительно к)
обозначены алгебраические дополнения определителя А (к)
(полинома степени п относительно к), a At> (к) — выраже-
выражения Д,> (к), разделенные на к при i Ф г и полиномы
*г' ^Г~—^ при i = г. Переходя от конечного к беско-
бесконечному числу неизвестных, мы можем показать (см. [20]),
что в случае уравнения B) можно построить две целые
функции от к (вместо полиномов), Dk (к) и Dk (x> t\ k)f
т. е. функционалы от ядра К (х> t), из которых первая
соответствует определителю Д (к) неизвестных, а вторая,
зависящая также от параметров х и /, соответствует вели-
величине Д/г^Я). Если положить
с/г /. 1ч E>k(x* Ь к)
где Dk (к) отличен от нуля (S есть мераморфная функция
от к), то решение (являющееся единственным) уравнения
A) дается формулой D), соответствующей в точности F).
Если теперь рассмотреть те значения кг величины к, для
которых определитель Dk (к) интегрального уравнения
равен нулю (характеристические значения), то можно
показать, что однородные интегральные уравнения, полу-
полученные из A) при г (х) = 0, имеют решения % (х), кото-
которые не равны тождественно нулю (характеристические
функции); поэтому уравнение F), если оно вообще имеет
решение, допускает не одно, а бесконечно много решений.
Дальнейшие детали этого чрезвычайно интересного во-
вопроса теории функционалов читатель может найти во мно-
многих оригинальных работах по данному вопросу (см., на-
например, [73], 123], [6], [33]).

94 ГЛ И. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
§ 5, Симметрические ядра. Регулярные однородные
функционалы второй степени
46, Особый интерес представляет класс интегральных
уравнений, ядро которых К (#, 0 является симметриче-
симметрической функцией двух переменных х и t\ эти уравнения соот-
соответствуют линейным системам E), в которых kir — kri.
Для этих симметрических ядер было доказано, что харак-
характеристические значения А,,- являются действительными;
другими словами, функционал Dk (к) (рассматриваемый
как функция от %) обращается в нуль в точках действи-
действительной оси (см. [23]).
Это свойство является естественным обобщением на слу-
случай бесконечного числа переменных хорошо известных
свойств так называемых вековых уравнений. Вследствие
этого особое внимание было уделено тем ядрам, которые,
не будучи симметрическими, могут быть сделаны такими
(симметризуемыми) (см. [21], т. 3, стр. 466). Симметриче-
Симметрическое ядро К {ху t) можно представить в виде равномерно
сходящегося ряда
где фь ф2, ..., Фь ... образуют нормальную систему (см.
[23], [21]) характеристических функций, соответствующих
характеристическим значениям 1,-, для которых
В этом случае регулярный однородный функционал вто-
второй степени
Р[У(Щ = \\к(х, t)y{x)y(t)dxdt,
о о
в котором К (х, f) всегда можно считать симметрическим
(аналогично случаю формы второй степени относительно п
переменных), записывается в канонической форме (см. [23]):
\2

$ 6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА 95
т. е. в виде, который в точности соответствует канониче-
каноническому виду формы второй степени. Эти свойства обобща-
обобщаются на несимметрические ядра. Такое обобщение было
сделано Шмидтом 160].
§ 6. Интегральные уравнения первого рода
с постоянными пределами
47. Дано интегральное уравнение первого рода g по-
постоянными пределами
ь
с, t)y(t)dt9 A)
где всегда К можно считать симметрическим. В противном
случае, умножая A) на К (х, 6) и интегрируя относи-
относительно ху мы получим
J К (х, |) z (x) dx = J J К (Ху I) К (х, t) у (t) dx dt.
о 0 0
Полагая
ь
К(х, l)z(x)dx,
ь
Н(Ъ, t) = lK(x, t)K(x, l)dx
о
(Н есть симметрическая функция от ? и t), мы получим
из A) другое уравнение такого же типа
I E) = J U (I, t)y(t)dt.
о
Если симметрическое ядро К (х, t) уравнения A) явля-
етбя замкнутым (см. [21]), т. е. если не существует функ-
функции W (х) такой, что выполняется тождественно
ь
J/C(jc, t)V(x)dx = 0
для любого значения t, то мы можем разложить неизвеа-

96 ГЛ. II. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ную функцию у (t) в ряд по характеристическим функ-
функциям (ft (t):
0. B)
в котором, поскольку функции ср* являются нормальными,
коэффициенты at выражаются формулой
Принимая во внимание разложение A) из п. 46 для K(xyt),
мы получим из A)
$2(x)q>,(*)d*=- 2 i\l ^(x)Vt(x)dx\U <Vr(t)y(t)dt\.
b
Отсюда, полагая cj = $z (x) Ф* (*) ^* и вспоминая, что функ-
о
ции фг образуют нормальную систему, находим
Ci = — ±ah di^ — XiCi. C)
Следовательно, если решение у (t) уравнения A) суще-
существует и его можно разложить в ряд B), то коэффициенты
вычисляются по формуле C). Это и есть метод Лауричелла,
изложенный в различных его работах (см., например,
[34], [35]). Пикар и другие (см. [47], [48]) показали, что
необходимым и достаточным условием существования реше-
оо
ния уравнения A) является сходимость ряда 2 ^*с?> и
в этом случае решение дается формулами B) и C). Можно
применить простой метод решения уравнения A) в слу-
случае, когда ядро К {ху t) и известная функция г (х) обе
являются аналитическими функциями своих аргументов,
а ядро К (х, t) имеет при t = s (x) полюс первого порядка
(его положение меняется при изменении х) с вычетом г (х)
(см. [19]). В этом случае, если существует регулярное
решение у (/), не равное нулю, то г (х) должна быть поли-
дромической и иметь в качестве критических точек те

$ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА 97
точки Р, для которых s (Р) = b или 0 (один из пределов
интегрирования). Обозначим z0 (x) и гх (х) значения функ-
функции г (х) на двух последовательных ветвях, исходящих
из точки р, а через s (t) = х — обратную функцию для
t = s (x)\ тогда решение, если оно существует, дается
простой формулой
Если имеется полюс не первого, а п-го порядка, то опре-
определение решения у (f), когда Ъно существует, сводится
к интегрированию линейного дифференциального уравне-
уравнения порядка п — 1 относительно у.
§ 7. Интегральные уравнения Вольтерра
первого рода
48. Переходя к изучению интегрального уравнения
Вольтерра первого рода
\ t)y(t)dU A)
где г @) = 0, мы заметим, что при выполнении некоторых
условий регулярности относительно ядра К и функции г (х),
мы после однократного дифференцирования получаем
B)
Если К (х, х) Ф О, то приходим к уже изученному урав-
уравнению второго рода
Вместо дифференцирования A) мы можем интегрированием
по частям получить другое уравнение
4 В. Вольтерра

98
ГЛ II ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
в котором мы положили
Если К (я, х) Ф О, то таким же образом можно получить
уравнение второго рода относительно неизвестной 0 (х)
х дК
из которого можем найти 0 (х) и далее дифференцирова-
дифференцированием получить у (х) = 0' (х).
§ 8. Сингулярные ядра
49. Случай, когда ядро обращается в бесконечность.
Производные по любому индексу. Изложенный выше метод
перестает работать в случае К (#, х) = 0 или когда К (xt f)
является сингулярным при t = x9 или, вообще, если ядра
уравнений C) и E) из п. 48 имеют особенности. Пара-
Парадоксальным является тот факт, что раньше других были
рассмотрены именно эти сингулярные случаи. Например,
первым интегральным уравнением, восходящим еще к Абелю
[11, [21, является уравнение
где ядро \Г]/"х—t при х *= t обращается в бесконеч-
бесконечность. Это уравнение описывает задачу (обобщение задачи
о кривой таутохронии) об определении кривой в верти-
вертикальной плоскости такой, что тяжелая частица, движу-
движущаяся по этой кривой и начавшая движение с нулевой
скоростью, чтобы опуститься на высоту х (разность рас-
расстояний между уровнями, на которых находятся началь-
начальная и конечная точки), должна потратить время z (x).
Для него и для более общего уравнения

§ 8. СИНГУЛЯРНЫЕ ЯДРА 99
Абель получил решение
t
Г г (х
J (t-
sin ал d_ Г г (х) dx
я dt J
Ниже (в п. 50) мы найдем его более общим методом.
Позже к решению уравнения Абеля (не зная о его
работах) пришел также Лиувиль [40], [41], [423 при раз-
разработке теории дифференцирования любого порядка а.
Это изучение производных любого порядка было далее
продолжено Риманом [53], Хольмгреном [25] и другими,
причем за определение такой производной принималось
выражение
- О"*"гУ @ dt для а < 0,
j py(x) для 0<а<р (р —целое число)
или эквивалентные ему формулы (см. [22], гл. V). С по-
помощью этого понятия легко можно получить интегральные
уравнения Вольтерра (см. [59]). Производные любого
порядка были использованы также Мандельбройтом [43]
при весьма интересном обобщении обыкновенного вариа-
вариационного исчисления. В этом исчислении величинами,
для которых находятся максимумы и минимумы, являются
интегралы вида
(*, У. <Л .... y{n))dx,
которые связаны с обычной функцией от х и с п + 1 пере*
менной yW (i = 0, 1, ..., п обозначают дифференцировав
ние). Однако Мандельбройт, применяя обычный метод
перехода от конечного числа к бесконечному числу пере-
переменных, рассматривал интеграл, связанный с функциона-
функционалом Fa [y<a) (х)\ х], который зависит от х и от всех зна-
значений функций уа (х) = Daxy (x), где а меняется на интер-
интервале @, А). Чтобы найти максимум или минимум величины
нужно приравнять нулю первую вариацию б/ и вместо
обычного интегрирования по частям применять правило
4*

100 ГЛ. II. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Дирихле. Тогда мы увидим, что функция у (х) должна
удовлетворять функциональному уравнению вида
т, е. уравнению, которое можно назвать обыкновенным
непрерывным дифференциальным уравнением с неизвест-
неизвестной функцией у (х).
Интегральное уравнение, более общее, чем уравнение,
исследованное Абелем и Лиувилем, было рассмотрено
Сониным (см. [61J, [62]); в этом уравнении предполагается,
что ядро К (ху t) = К (х — t) есть фнукция разности х — t.
Однако для всех этих частных случаев интегральных урав-
уравнений, рассмотренных различными и трудоемкими мето-
методами, не было единой теории, пока не возникла общая теория
линейных интегральных уравнений.
50. Метод преобразования ядра (см. [76]). Мы рассмо-
рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра первого рода
в случае, когда К (х, t) обращается в бесконечность по-
порядка а < 1 при х = t\ поэтому можно записать
и интегральное уравнение принимает вид
X
A)
в котором предполагается, что функции G (х, 0 и у явля-
являются непрерывными и ограниченными. Для решения урав-
уравнения A) умножаем обе его части на dxl (| — х)х~а и про-
проинтегрируем от 0 до |. Тогда
Полагая
G(x,t)dx

§ 8. СИНГУЛЯРНЫЕ ЯДРА 101
согласно правилу Дирихле, мы будем иметь другое инте-
интегральное уравнение первого рода с неизвестной функ-
функцией у @
/(?) = $ L(?, t)y(t)dU B)
о
в котором, однако, преобразованное ядро L (?, t) не имеет
особенностей. В самом деле, полагая х = t + E — t) и,
мы будем иметь
( '~~ J A—иI""*6 U"»
следовательно, поскольку мы предполагали G ограничен-
ограниченной, | G | < М, то получим
Таким образом, после преобразования уравнения A) к ви-
виду B), мы можем к последнему, ядро которого является
регулярным, применить изложенные ранее методы, так
как можно показать, что любое решение уравнения B)
является также решением уравнения A).
Интегральное уравнение Вольтерра второго рода в слу-
случае, когда ядро имеет особенность неинтегрируемого по-
порядка, было исследовано Ивенсом. Ядро берется в виде
А (#, t) If @, где / @ обращается в нуль при t = 0 та-
ким образом, что \ т-^г не обязательно должен быть схо-
сходящимся. В этом случае может существовать бесконечное
множество непрерывных решений, обращающихся в нуль
при t = 0. Этим методом можно рассмотреть интегральные
уравнения с бесконечными пределами интегрирования,
если использовать замену переменных. При этом, если
ядро является ограниченным и непрерывным, в исключи-
исключительных случаях может существовать бесконечное мно-
множество непрерывных решений. Для этого случая Ивенс
указал также достаточные условия, при выполнении кото-
которых могут существовать разрешающее ядро и единствен-

102 ГЛ. II. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ное ограниченное решение. Из этих условий главным
является условие: должна, существовать постоянная N < 1
такая, что
К(х, t)\dt<N<\
для достаточно больших х (см. [14] — [16], а также [45]).
51. Особенности логарифмических ядер. Интегральные
уравнения с логарифмическими ядрами, как это будет
видно в гл. IV (теория композиций), также представляют
интерес для приложений. Здесь, однако, мы ограничимся
уравнением
X
z(x) A)
(где С = 0,57721... есть константа Эйлера); полное иссле-
исследование этого вопроса проводится в работах Вольтерра
(см. [42], [44] из библиографии к гл. IV). Уравнение A)
можно также записать в виде
и, полагая
да
z(xy а) =-з-\f (x, а), г(х,
мы получим
Далее, функция
является конечной и непрерывной; поэтому, умножая обе
части равенства C) на hd§ и интегрируя от 0 до х,

§ 8. СИНГУЛЯРНЫЕ ЯДРА ЮЗ
находим
ME. *>fi
X
$
и, дифференцируя по а, получаем
Однако второй интеграл в правой части равен
оо
1 Y
a-\- )
поэтому его производная по а равна
a
"~г7ГТ~Т Следовательно, D) принимает вид
и при a = 1 имеем
ly{t){x-t)dt = -\z(l)Ka9 x)dt,
о о
откуда, дифференцируя дважды, получаем окончательно
т. е. решение уравнения A). В этом случае для решения
уравнения с сингулярным ядром мы опять применили
метод преобразования ядра.

104 ГЛ. II. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Другие интересные случаи частных интегральных урав-
уравнений можно найти в работах Вольтерра (см. [42] и [44]
из библиографии к гл. V).
§ 9. Случай, когда ядро обращается в нуль
52. Случай, когда ядро при t = x обращается в нуль.
Если К (х, х) = 0 тождественно для любого х, то урав-
уравнения B) и D) из п. 48 являются уравнениями первого,
а не второго рода. Поэтому из данного уравнения
г(х) = 1к(х, t)y(t)dt A)
о
дифференцированием получим
U B)
которое также является уравнением первого рода. Чтобы
уравнение A) имело решение, необходимо не только
г @) = 0, но и г' @) = 0. Если известные функции также
являются дифференцируемыми, то, опять дифференцируя,
получим
о
В случае, когда в этом уравнении (-§¦?¦) ?=0, то мы
опять имеем уравнение второго рода, в то время как в слу-
случае тождественного обращения этого выражения в нуль,
мы должны продолжать применять тот же метод до тех
пор (если это возможно), пока не получим производную,
которая либо не обращается в нуль в рассматриваемом
интервале, либо равняется нулю в изолированных точках.
В последнем из этих случаев задача сводится к изучению
уравнения первого рода типа A), в котором, однако, функ-
функция К (х, х) обращается в нуль в изолированных точках
Х\ < х2 < ... Если х1 > 0, то для х, изменяющегося в ин-
интервале @, ^i), уравнение можно свести к виду B) из п. 48.
Если х > хъ то его можно свести к случаю уравнения A),
в котором К {ху х) обращается в нуль в нижнем пределе

§ 9. СЛУЧАЙ, КОГДА ЯДРО ОБРАЩАЕТСЯ В НУЛЬ Ю5
интеграла, т. е. К (О, 0) == 0. Поэтому этот случай явля-
является единственным, который имеет принципиальную но-
новизну. В этом случае (см. [30], [31], [76]), если предполо-
предположить, что К (х, t) есть полином степени п относительно х
и такой, что К (х, х) имеет л-кратный нуль при х = 0,
то можно показать, что необходимым условием существо-
существования решения уравнения A) и его конечности в начале
координат является существование (п + 1)-кратного нуля
функции г (х) при х = 0. Дифференцируя п + 1 раз урав-
уравнение A), мы придем к обыкновенному линейному диффе-
дифференциальному уравнению п-то порядка
а, (х) уЫ (х) + ах (х) у^) {х) + ... + ап (х) у (х) = г*"*1* (*), D)
которому должна удовлетворять у (х). Предполагая, что
у (х) является регулярной в начале координат, при неко-
некоторых условиях мы можем показать, что существует одно
и только одно решение дифференциального уравнения,
которое является единственным решением интегрального
уравнения A). В общем случае, когда функция К (х% х)
не является полиномом относительно х, но такая, что она
имеет я-кратный нуль при х = 0, аналогичным методом
(т. е. дифференцированием п + 1 раз уравнения A)) мы
получим не дифференциальное уравнение п-то порядка
относительно у (х), а уравнение интегро-дифференциаль-
ного типа
по (х) у^ (х) + а, (х) 0<»-i> (*) + ... + an (x) у (х) +
t=z^V(x).* E)
Для определения у мы будем употреблять метод последо-
последовательных приближений, определяя у0 (лс), как и раньше,
из дифференциального уравнения, полученного из E)
отбрасыванием интеграла; тогда уг (х) определяется по фор-
формуле E), подставляя под знаком интеграла у0 вместо у (/),
и т. д. Тогда можно показать, что определенная таким
способом последовательность {уь (х)} при i -> оо равно-
равномерно сходится в некотором интервале к функции у (х).
Следовательно, при некоторых условиях, обеспечивающих
интегрируемость дифференциального уравнения, решение
У (х) уравнения A) существует и единственно. Эти рас-
рассмотрения, особенно та часть их, которая приводит к диф-

106 ГЛ. И. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ференциальному уравнению D), показывает тесную связь
между линейными обыкновенными дифференциальными
уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра.
§ 10. Системы интегральных уравнений;
обращение кратных интегралов
53. Системы интегральных уравнений с переменными
или постоянными пределами можно рассмотреть в точности
так же, как мы исследовали выше уравнения с одной
неизвестной функцией. Так, например, для систем с пере-
переменными пределами вида
i'=l,2,...f л, A)
0 г= 1
(система второго рода) мы можем доказать, что система
решений tji (x) существует и единственна. Однако для
систем с постоянными пределами единственное решение
существует только в том случае, когда X не является нулем
некоторой целой трансцендентной функции D (к) (опреде-
(определитель системы, см. [20]).
Далее, согласно одному замечанию Фредгольма, эти
системы интегральных уравнений всегда сводятся к одному
интегральному уравнению с разрывным ядром.
Те же методы применяются и к случаю (представляю-
(представляющему особый интерес с точки зрения приложений к мате-
математической физике) линейных интегральных уравнений,
в которых неизвестной является функция нескольких
переменных. Так, например, для интегрального уравнения
ь ь
К(хъ х2\ tl9 t2)y(tl9 t2)dtxdt2 B)
или эквивалентного ему уравнения
г (хъ х2) = у (хъ х2) + К J К (xl9 x2\ t1% /a) у (tl9 t2) dtx dt2
о
(в котором область интегрирования а не является квадра-
квадратом, однако ее можно свести к предыдущему случаю, если
описать вокруг а квадрат и приравнять ядро нулю во всех
точках квадрата, лежащих вне а) мы можем строить две

§ 11. ОБЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 107
целых функции относительно А,, а именно: определитель
системы Dk (К) и функцию Dk (к; хъ х2\ гъ t2). Если к
не есть нуль функции Dk (к) (т. е. не является характе-
характеристическим значением), то единственное решение уравне-
уравнения записывается с помощью двойного интеграла от отно-
отношения Dk (Я; хъ х2, tu t2) IDk (К). Если, с другой стороны,
Dk (X) = 0, то решение уравнения B) не всегда суще-
существует, и если даже оно существует, то не единственно.
Однако для однородного уравнения, полученного из B) при
г {хъ х2) = 0, некоторое решение обязательно существует.
Случай тройных и большей кратности интегралов
можно рассмотреть аналогичным путем.
§ 11. Общие функциональные уравнения и неявные
функционалы
54. После изучения некоторых основных линейных
функциональных уравнений мы можем теперь снова вер-
вернуться к общему случаю
F[y(t)\ х]гг(х). A)
Если предположить, что этому уравнению удовлетворяет
пара функций у0 (/), zQ (x), то можно попытаться опреде-
определить такую вариацию by (f), при прибавлении которой
к Уо (t) она продолжала бы удовлетворять уравнению A)
при одновременном прибавлении г0 (х) к вариации 8z (x).
Для определения вариации by (t) мы получаем другое
функциональное уравнение
W[y(t)\ x]y=yo = bz(x), B)
являющееся линейным уравнением (см. выше п. 42) отно-
относительно. неизвестной by (t). Поэтому мы можем класси-
классифицировать уравнение A) в соответствии с линейным урав-
уравнением B) (уравнением в вариациях). Так, например,
если уравнение A) имеет вид
{кЛх, t)y(t)dt + ...+
о
1 1 1
$][$«(*, 'ь и,.... их
об п
xy(tl)y(t2)...y(tn)dtldti...atn + ... C)

108 ГЛ. II. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
(с ядрами Кп, симметричными относительно /*), то соот-
соответствующее уравнение в вариациях при z0 (х) = у0 (t) = 0
будет иметь вид
1
!ыбг (х) = 6у (х) + Я, $ Kx (x, t) 8у (t) dt D)
о
(интегральное уравнение второго рода с постоянными пре-
пределами). Поэтому мы можем применить то же название
к трансцендентному уравнению C), из которого оно полу-
получено. Для решения уравнения C) (см. [80]; см. также [84]
из библиографии к гл. I) мы попытаемся определить у
как функцию от |х таким образом, чтобы она удовлетворяла
уравнению C) и чтобы у равнялась нулю при jx = 0. Диф-
Дифференцируя C) по |х и полагая [i = 0, мы получим
т. е. линейное интегральное уравнение второго рода с неиз-
неизвестной функцией Д^ч . Если предположить, что
определитель Dkx (Я) уравнения отличен от нуля, мы можем
найти одну и только одну функцию М^р . Дифферен-
Дифференцируя C) дважды по |i и полагая |х = 0, будем иметь урав-
уравнение
о о
(интегральное уравнение второго рода с неизвестной функ-
функцией -т~ ], из которого при условии Dkx {Ц Ф 0 можно
получить Г-— и т. д. Если построить ряд

§ 11. ОБЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ W9
то можно показать, что он сходится равномерно при
| \iz (х) | < е, где 8 — достаточно малое число, и в этой
области, ограниченной условием \iz0 = 0, ряд дает то ре-
решение у (х) уравнения C), которое можно получить из ре-
решения у0 = 0, соответствующего условию \iz0 = 0. Эта
теорема функционального анализа соответствует теореме
о неявной функции из обычного анализа; как в обычном
анализе для системы
fid/i, #2, ..., Уп) = *и t = l, 2, ..., /г,
мы исключаем равенство нулю функционального опреде-
определителя у1' *"••" '** на начальном решении, так и здесь
мы исключили равенство нулю определителя Dkx (А,) ли-
линейного уравнения E). Таким образом, этот определитель
в функциональном анализе так же важен и имеет такие же
свойства, как соответствующий функциональный опреде-
определитель в обычном анализе.
55. Точнее, Шмидт (см. [60]) показал, что если относи-
относительно решения у0 (t) функционального уравнения
F [у ф; *] = *(*), F [у0 (/); А = *о (х), G)
t
мы имеем уравнение в вариациях вида
бг (х) - Ьу (х) + Ко{к (х9 t) by (t) dt
о
и его определитель Dk (к0) равен нулю, то при некоторых
дополнительных предположениях функция г0 (х) является
элементом ветвления для функционала
определяемого неявно уравнением A), и наоборот; иначе
говоря, если г (х) взята в достаточно малой области, содер-
содержащей внутри себя z0 (х)у то существует несколько функ-
функций у (t) из окрестности у0 (f)t которые удовлетворяют
уравнению G).
56. Если в уравнении G) функционал F зависит от зна-
значений, принимаемых у, когда t меняется только на интер-
интервале @, х)у то соответствующее уравнение в вариациях

ПО ГЛ. II. ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
будет интегральным уравнением Вольтерра, поэтому его
определитель Dk всегда отличен от нуля.
Исходя из этого, мы могли бы ожидать, что для неявной
функции у (t) = G [z (x)\ t]> определяемой из уравнения
не могут существовать два или более элементов ветвле-
ветвления z (х)\ и действительно, Сабатини (см. [54]) показал,
что при этих условиях решение у (t) уравнения (8) всегда
единственно.
Мы теперь кратко наметим доказательство для случая
функционала второй степени, т. е. для уравнения вида
+ И К, (*, h, U) у (*0 у (U) dtt dtt = z (x).
о о
Если бы существовали два решения уг (х), у2 (х) этого
уравнения, то, полагая и (х) = уг (х) — уг (х), мы имели бы
у t)u(t)dt +
K%(x, tly t%)y1(tju(t2)dt1dt1 +
+ J J Kt (x, tlt t2) y2 (t%) и (tj dtx dt2 = 0,
о о
т. е. допуская /С2 сумметрическим относительно ^ и t2
и обозначая
H(x9 /) = /Ci(^ t) + \Kt(x, tl9
о
мы имели бы
\(х, t)u(t)dt=*O.
Но это — однородное уравнение Вольтерра, и оно не имеет
других решений, кроме и (х) == 0, поэтому получаем

$ 12. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩИХ ЯДЕР 111
§ 12. Вычисление разрешающих ядер
и приближенное решение
57. Прежде чем закончить эту часть исследования
интегральных уравнений, укажем некоторые методы фак-
фактического вычисления разрешающего ядра S (я, t) или
ассоциированного ядра к К (#, 0» линейного уравнения
второго рода
l
о
Согласно уравнению A1) из п. 43 имеем
$ К (х9 I) S (g, t)dt = K (х, t) + S (x, f). A)
х
Если предположить, что К {х> t) удовлетворяет одно-
однородному дифференциальному уравнению вида
^К(х, 0 = 0, B)
то, дифференцируя A) i раз по х, мы получаем
,t), ;=o, l,...,«. C)
Умножая эти уравнения на щ (х) и суммируя, получим
новое уравнение, в котором из-за B) слагаемое с интегра-
интегралом исчезает и остается линейное дифференциальное урав-
уравнение я-го порядка относительно разрешающего ядра S(x, t),
из которого мы можем определить S (x> t) с начальными
условиями (при х = f), данными соотношениями C). Этот
метод, принадлежащий Ивенсу (см. [17]), особенно удобен
в случае так называемого замкнутого цикла (см. п. 87),
в котором К (х, t) и его разрешающее ядро оба являются
функциями от х — t. Так, например, если К {х% t) =*
в — sin (х — О» то
45

112 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. II
и для взаимного ядра легко получается
S(x, t) = ^s
Этот случай замкнутого цикла был далее обобщен в работе
Уиттекера (см. [84]).
Тедоне (см. [63]) исследовал задачу определения тех
ядер К (ху t) (также для уравнений с переменными пре-
пределами), для которых взаимные ядра можно вычислить
с помощью элементарных операций и операций дифферен-
дифференцирования и интегрирования. Наконец, были предложены
различные методы для численного решения линейных
интегральных уравнений.
БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛАВЕ II
1. Abel N. Н. Resolution d'un probleme de mecanique. — Oeuvres,
Completes, vol. 1, 1839, p. 97.
2. A b e 1 N. H. Solutions des quelques problemes a l'aide d'integrales
definies. Oeuvres Completes, v. 1, 1839, p. 113.
3. В e n n e t t A. C. Newton's method in general analysis. — Proc.
Nat. Acad. of Sci., 1916, 2, 592—598.
4. Bernstein F. Die Integralgleichung der elliptischen Theta-
nullfunktion. — Berliner Berichte, 1920, 735—747.
5. Block H. Sur la solution de certaines equations fonctionnelles. —
Ark. Math., Astr. och Fys., Stockholm, 1907, 3, № 22, 1—18.
6. В 6 с h e г М. An introduction to the study of integral equations. —
Cambridge University Press, 1909; 2nd ed., Cambridge, 1914.
7. Browne P. J. Integral equation proposed by Abel. — Proc. Roy.
Irish Acad., 1915, D) 32, № 6.
8. В г о w n e P. Sur quelques cas singuliers de 1'equation de Volter-
ra. — С R. de l'Acad. des Sciences de Paris, 1912, 154, 1402—1404.
9. В u с h t G. Uber nichtlineare Integralgleichungen mit unverzweig-
ten Losungen. — Ark. Math., Astr. och Fys., Stockholm, 1912, 8,
№ 8, 1—20.
10. В u г g a t t i M. Sull'inversione degli integrali definite. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1903, E) 12, 443—452; 596—601.
11. D a v i s H. T. The present status of integral equations. — Indiana
University Stadies, 1926, 13, № 70, 1—55.
12. D a v i s H. T. A survey of methods for the inversion of integrals
of Volterra type. — Indiana University Studies, 1927, № 76—77,
1—72.
13. D i x о n A. C. Note on functional equations which are limiting
forms of integral equations. — Proc. London Math. Soc, 1919, B)
17, 20—22.
14. Evans G. C. The integral equation of the second kind of Volterra,
with singular kernel- — Bull. Amer. Math. Soc; 1909, B) 16, 130—
136.

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ II ИЗ
15. Evans G. С. Volterra's integral equation of the second kind with
discontinuous kernel.—Trans. Amer. Math. Soc, 1910, 11, 393—
413; 1911, 12, 429—472.
16. E v a n s G. C. L'equazioni integrate di Volterra di seconda specie
con tin limite dell'integrale infinite — Rend. R. Accad. dei Lincei,
1911, E) 20, 409—415; 656—662.
17. E v a n s G. C. Sul calcolo del nucleo dell'equazione risolvente per
una data equazione integrale. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1911,
20, 453—460.
18. Evans G. С Some general types of functional equations. — Proc.
Internet. Congress of Math., Cambridge, 1912, vol. 1, 387—396.
19. F a n t a p p i ё L. Risoluzione di una classe di equazioni integrali
di Ia specie a limiti costanti. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1925,
F) 1, 97—103.
20. F г e d h о 1 m I. Sur une classe d'equations fonctionnelles. —
Acta Math., 1903, 27, 365—390.
21. Goursat E. Cours d'analyse mathematique. Tome III: Equation*
integrates. 3rd ed. — Paris: Gauthier-Villars, 1923.
22. H a d a m a r d J. La serie de Taylor et son prolongement analy-
tique. —Paris. C. Naud, 1901.
23. H i 1 b e r t D. Grundzuge einer allgerneinen Theorie der linearen
Integralgluchungen — Leipzig: Teubner, 1912.
24. Holmgren E. Sur un theoreme de M. Volterra sur l'inversion
des integrales definies. — Atti Accad. Torino, 1900, 35, 570—580.
25. Holmgren H. Om Differentialkalkylen med indices af hvad
Natur som heist. — Stockholm Akad. Handl., 1866, 5, Кя 11.
26. Horn J. Ober nichtlineare Integralgleichungen vom Volterraschen
Typus. — Deutsche Math.-Verein., 1918, 27, 48—53.
27. Horn J. Singulare Systeme linearer Volterraschen Integralgleichun-
Integralgleichungen. — Math. Zeitschr., 1919, 3, 265—313.
28. I n с е Е. L. On the connexion between linear differential systems
and integral equations.—Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1922,42,43—53.
29. К а к е у a S. On an infinite number of linear integral equations. —
Sci. Rep. Tohoku Imp. Univ., Sendai, 1916, 5, 127—134.
30. L a 1 e s с о Т. Sur I'equation de Volterra, These. — Paris, Gaut-
Gauthier-Villars, 1908.
31. Lalesco T. Sur i'equation de Volterra.—J. de Math., 1908,
F) 4, 125—202.
32. L a 1 e s с о Т. Sur une equation Integrate du type Volterra. —
С R. de. l'Acad. de Sci. de Paris, 1911, 152, 579—580.
33. Lalesco T. Introduction a la theorie des equations integrales. —
Paris. A Hermann, 1912.
34. L a u г i с e 1 1 a G. Sopra alcune equazioni integrali. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1908, E) 17, 775—786; 1909, E) 18, 71—75.
35. L a u г i с e 1 1 a G. Sulla resoluzione delP equazione integrale di
Ia specie. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1911, E) 20, 528—536.
36. L e R о u x J. Sur les integrales des equations lineaires aux deri-
vees partielles du second ordre a deux variables independants, The-
These. — Paris: Gauthier-Villars, 1894; — Ann. Ecol. Norm., 1895,
C) 12, 227—316.
37. L e v i - С i v i t a T. SuH'inversione degli integrali definiti nel
campo reale. — Atti Accad. di Torino, 1895, 31, 25—51.

116
БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. II
78. V о 1 t е г г а V. Sulla inversione degli integrali multipli. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1896, E) 5, 289—300.
79. V о 1 t e r r a V. Sopra alcune questioni d'inversione di integrali
definiti. —Ann. di Mat. pura ed Appl. 1897, B) 25, 139—178.
80. V о 1 t e г r a V. Sur les fonctions qui dependent d'autres fonctions. —
С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1906, 142, 400—409.
81. Volt err a V. Sopra l'equazioni di tipo integrale. Proc. 6th In-
Intern. Congress of Math. Cambridge, vol. 1, 1913, 403—406.
82. V о 1 t e г r a V. Lemons sur les equations integrates et les equations
integro-differentielles (Coll. Borel). — Paris: Gauthier-Villars, 1913.
83. V о 1 t e г г a V. Osservazioni sui nuclei delle equazioni integrali. —
Rene. R. Accad. dei Lincei, 1914, E) 23, 266—269.
84. Whittaker Е. С. On the numerical solution of integral equa-
equations. — Proc. Roy. Soc. London, 1918, A 94, 367—383.
85. Z e i 1 о n N. Sur quelques points de la theorie de l'equation inte-
integrale d'Abel. — Arkiv for Math., Astron. och Fys. Stockholm, 1924,
18, № 5, 1—19.

Глава III
ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Общие понятия
58. Из обычной теории аналитических функций из-
известно, что существуют три основных метода их исследо-
исследования: 1) метод Лагранжа — Вейерштрасса (разложение
в ряды); 2) метод Коши (условия моногенности); 3) метод
Римана (сопряженные гармонические функции; дифферен-
дифференциальные параметры).
Вообще говоря, эти три метода не были разработаны
независимо, а дополняли друг друга. Все они допускают
различные обобщения теории аналитических функций та-
таких, например, как разложение в ряды и аналитические
функции нескольких переменных (см. также обобщение
теории функций, данное в диссертации Николеско [8]).
Однако обобщение концепции аналитических функций,
которое мы хотим предложить, тесно связано с теорией
функционалов, или, точнее, с функцией от линий (или
гиперпространств), определенных выше (п. 9). Термин
«функция от линии» впервые был введен для обозначения
того, что теперь называют функционалом. В этом смысле
он был использован многими авторами, и в частности
Вольтерра, который впервые ввел это понятие в его Па-
Парижских Лекциях (см. [871 из библиографии к гл. I) и мно-
многих более ранних работах. Однако сейчас, после принятия
термина «функционал», как более подходящего и менее
специфического, мы оставляем название функция от ли-
линии для тех частных функций, имеющих более узкую
геометрическую структуру, которые мы рассмотрим ниже.
59. Мы скажем, что величина является функцией от ли-
линии (замкнутой и непересекающейся) в пространстве, если
каждой такой линии (которую мы всегда будем предпола-
предполагать спрямляемой) L можно сопоставить вполне опреде-
определенное значение этой величины, которое обозначается F (L).
Эти функции от линии F (L), очевидно, будут частными

И8 ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
функционалами от трех функций х (s), у (s), г (s), которые
дают координаты х, у, г точки на линии L, когда s меня-
меняется между некоторыми пределами 0 и S; здесь s — длина
дуги между переменной точкой и фиксированной точкой
на L, называемой началом, т. е.
(s)\
о J
где S означает длину кривой L.
Если предположить две функции у (s) и z (s) фиксиро-
фиксированными, а функции х (s) придать вариацию Ьх (т. е. пере-
переместить кривую L вдоль цилиндра, направляющие кото-
которого параллельны оси х), то функционал
s s
(s), y(s)t z(
о о
предполагаемый регулярным, будет допускать вариа-
вариацию 8xFt выражаемую формулой
где F'x [L; s] обозначает функциональную производную
rs s si
x(s)> y(s)> г (s) относительно функ-
0 О О J
ции х (s) в точке s (см. пп. 25—28).
Аналогично, если только у допускает вариацию 8у,
или только г допускает вариацию 6z, то мы получаем
8yF = ^ F'y [L\ s] by ds, S?F = J F'z [L\ s] 8z ds;
о о
если мы обозначим X, У, Z три функциональных произ-
производных FXy Fyy F'z функционала F [L] (которые, вообще
говоря, также являются функциями от линии L или функ-
функциями от точки s), то полная вариация 8F функционала F[L]
примет вид (см. п. 26 и последующие)
s
bF «I (Х8х + УЬу + Zbz) ds. (I)

§ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ П9
60. Мы уже говорили, что эти функции от линии F [L]
являются частными функционалами от трех функций х($),
у (s), г (s), определяющих линию L. В самом деле, если
перемещать точку вдоль линии L, то функционал F не изме-
изменится, так как он зависит только от линии, но не от поло-
положения отдельных точек на L. Это можно выразить также
словами, что если функциям х (s), у (s), z (s) придать вариа-
вариации дх = k (s) a (s), by - k (s) P (s), 6z = k (s) у (s) (k(s) —
бесконечно мало), пропорциональные направляющим ко-
косинусам а, р, у касательной к L в точке s (которые экви-
эквивалентны перемещению L вдоль самой себя), то значение
функционала F [L] не изменится, так что мы будем иметь
s
6F = \ k (s) (Xa+ Fp + Zy) ds = 0; B)
о
так как k (s) — произвольное, то функциональные произ-
производные X, У, Z функционала F [L] в точке s относитель-
относительно х (s), у (s), г (s) должны удовлетворять соотношению
O. (З)
Чтобы оно выполнялось, нам достаточно только положить
X = Bv-CP, У-Са-Лу, Z-Лр-Ва, D)
т. е. мы рассматриваем три функциональные производ-
производные X, У, Z как три компоненты векторного произведения
двух векторов (a, P, у) и (Л, В, С), вторая из которых
не вполне определена, так как мы можем эти компоненты
заменить на А\ В', С, имеющие вид
Учитывая преобразование D), выражение A) для 8F
можно записать в виде
s
8F = J [A (P8z - у8у) + В (у8х - абг) + С (аб# - рвх)] ds,
о
или, обозначая dsx, dsy, dsz соответственно три компо-
компоненты a ds, P ds, у ds вектора ds (с длиной ds и направле-
направлением, совпадающим с направлением касательной), мы

120 ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
будем иметь
8F = $ [A {dSybz - dszby) + В (dsz8x - dsx8z) +
+ С (dsx6y — d
Если обозначить do площадь бесконечно малого парал-
параллелограмма, описанного вектором ds при его перемещении
на величину б (/) = Fл;, б#, 8z) от начального положения,
a cos nx> cos ш/, cos nz — направляющие косинусы нор-
нормали к этому параллелограмму, то выражения в круглых
скобках из последней формулы можно рассматривать как
компоненты do cos пх> do cos ш/, do cos nz векторного про-
произведения ds Д б/ и мы будем иметь
8F==^(A cos nx + В cos ny-\-C cos nz) da, E)
где интеграл берется вдоль бесконечно малой кольце-
кольцеобразной поверхности, получающейся при перемещении
точек линии L на расстояние б/. Если перемещать замкну-
замкнутую кривую L непрерывным образом от положения LQ
до другого положения Ьъ то она описывает поверхность а,
ограниченную кривыми Lo и L,; тогда разность F [Ьл\ —
— F [Lo] функций от линий, согласно предыдущей фор-
формуле, запишется в виде
F [Lx] — F [Lo] = I (A cos nx + B cos ny + C cos nz) da.
о
Если, в частности, начальная кривая L сводится к точке
и в соответствии с этим функция от линии F [Lo] исчезает,
то мы получим
F [Lx] = \(А cos nx + B cos ny + C cos nz) da, F)
а
где теперь а есть часть поверхности, границей которой
является кривая Lx.
§ 2. Функции от линии первой степени
61. Рассмотрим теперь величины Л, В, С, которые,
вообще говоря, являются функциями от линии L и от точки
на ней; эти величины (не вполне определенные) можно
выбрать так, чтобы они не зависели от кривой L, т. е. не яв-
пялись функционалами от # (s), у (s), z(s). Иначе говоря,

§ 2. ФУНКЦИИ ОТ ЛИНИИ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 121
мы предполагаем, что существуют три функции Л, В, С
точки пространства (функции от координат х, у, z точки),
которые, как и в предыдущем пункте, можно использо-
использовать вне зависимости от замкнутой кривой L, проходя-
проходящей через точку. Если интерпретировать Л, В, С как три
компоненты вектора, в свою очередь являющегося функ-
функцией от точки пространства, то формула F) из п. 60 выра-
выражает значение F [LJ нашей функции от линии как поток
этого вектора через поверхность а, имеющую полной своей
границей кривую Lv Так как величина F [LJ зависит
только от кривой Ьъ но не от поверхности а, то отсюда
следует, что если а' есть другая поверхность, которая
также имеет своей полной границей кривую Lx, то мы
получим
$ (Л cos nx + В cos ny-\-C cos nz) do =
а
= $ (A cos nx + В cos пу +С cos m) do'=*F[Li]. A)
а'
Тогда поток вектора (Л, В, С) вдоль любой замкнутой
поверхности (например, объединения двух поверхностей
а и а') будет равен нулю. Однако замкнутую поверхность,
ограничивающую произвольную точку, можно как угодно
ужать, поэтому в любой точке рассматриваемой области
дивергенция вектора тоже должна равняться нулю, так
что в каждой точке этой области (см. [13]) мы имеем тож-
тождество
а±+М + *?-<>. B)
Следовательно, три функции Л, В, С координат х, у, г
связаны этим дифференциальным уравнением, которое
является также условием (не только необходимым, но и
достаточным) для определения функции от линии F [L]
как потока вектора (Л, В, С), связанного с самой линией.
62. Мы теперь более подробно исследуем свойства тех
функций от линий F [L], для которых величины А, В, С
можно выбрать независимо от кривой L. Пусть заданы
две кривые Ьъ L2 с общей дугой, имеющей два противо-
противоположных направления; мы назовем кривую, образован-
образованную объединением Lx и L2 вдоль общей дуги, их суммой
(Lx + L2)- Если обозначить ох и сг2 два куска поверх-

122 ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ности, ограниченных кривыми Ьг и L2, a ot + а2 — по-
поверхность, полученную объединением а, и о2 и ограничен-
ограниченную кривой Ьг + L2, то по формуле F) п. 60 мы будем
иметь
F [Li] = \ {A cos nx + B cos пу + С cos яг) da,
F [L2] = $ (Л cos nx + B cos ny + C cos nz) da,
jF [Lx + L2] = J (^ cos nx+Я cos ny + C cos nz) da,
ai-f af
поэтому
/4L1+L2]==F[LJ + JF[L2]. C)
Это соотношение выражает свойство аддитивности функ-
функций от линий; поэтому по аналогии с обычными линейными
функциями, для которых / (х + у) = / (х) + f (у), мы бу-
будем называть их функциями первой степени или линей-
линейными. Следует заметить, что, рассматривая функционалы
от трех функций х (s), у (s), г (s), мы могли бы считать их
в отдельности линейными функционалами относительно
х (s), у (s), г (s) в том смысле, как это указано в п. 19; это
следует из того, что, например, функциональная производ-
производная по х (s) в точке s, согласно формуле D) п. 60, равна
X = Bzr (s) — Су1 (s), и она теперь не зависит от функ-
функции х (s). Учитывая определение функционала первой
степени, данного в гл. I, мы видим, что предыдущее опре-
определение функции от линии первой степени не противоре-
противоречит ему, но в соответствии с примечанием к п. 58, явля-
является его частным случаем. Это действительно так, ибо
если первая производная функционала не зависит от функ-
функции, рассматриваемой в качестве независимой переменной
(т. е. функционал имеет нулевую степень), то функционал
является линейным, а также регулярным (см. п. 34).
Теория функций от линий степени выше первой, а также
разложения в ряды функций от линий бесконечно возра-
возрастающих степеней были исследованы в работах Фабри;
им же были обобщены эти результаты на функции от по-
поверхностей (см. [19], [20] из библиографии к гл. I).
63. Далее, чтобы увидеть важность трех функций А, В, С,
мы возьмем произвольную кривую L и изменим ее в окрест-
окрестности одной из ее точек; обозначим полученную от этого

§ 2. ФУНКЦИИ ОТ ЛИНИИ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 123
изменения кривую через Ьъ а через 2 — поверхность,
образовавшуюся при замене L на Lx. Соответствующее
приращение AF = F [Ьг] — F [L] функции от линии, со-
согласно формуле F) п. 60, будет иметь вид
AF = ^ (A cos nx + B cos ny + C cos nz) da.
Если поверхность 2 беспредельно уменьшить и устремить
к нулю вокруг рассматриваемой точки так, что она сов-
совпадает с элементом плоской нормали к направлению я,
то мы получим
AF = (A cos nx + В cos ny + C cos nz) 2 + е,
где е есть бесконечно малая более высокого порядка,
чем 2, и в пределе получаем
lim -^- = Л cos nx + B cosny + C cos nz = -^. D)
Предел -j— отношения -=- при стремлении площади 2
к нулю таким образом, что направление нормали во всех
точках площади 2 бесконечно мало отличается от направ-
направления п нормали к некоторой плоскости, будем называть
производной функции от линии F [L] относительно этой
плоскости в рассматриваемой точке. Если, в частности,
плоскостью является одна из координатных плоскостей
dF dF
yz, zxy xy, то мы получаем три производных -тт—т, d( ,
. относительно этих плоскостей в некоторой точке
dF Л dF г» dF s* ,г-\
d{yz) У d(zx) ~> d(x,y) *" *"'
Отсюда мы видим, что три функции Л, В, С от точки в про-
пространстве в точности являются тремя производными функ-
функции F [L] относительно трех координатных плоскостей.
Мы получаем также следующее важное свойство этих функ-
функций от линий первой степени (для которых А, В, С являются
независимыми от рассматриваемой кривой): производная
относительно любой плоскости в некоторой точке, со-
согласно D), зависит только от этой точки и от ориентации
плоскости, но не зависит от кривой.

124
ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Следующее свойство этих функций от линий можно
получить из F) п. 60, если изменить направление кри-
кривой. В самом деле, если обозначить — L кривую L, имею-
имеющую противоположное направление, то мы будем иметь
F [—L] = —F [L], так как это эквивалентно изменению
направления нормали п к поверхности а, ограниченной
кривой L.
64. Сравнивая полученные для функций от линий ре-
результаты с хорошо известными результатами для обычных
функций / (х, у, г) от точки, мы видим, что, в то время
как для последних мы имеем несколько производных,
зависящих от различных направлений, в частности три
основные производные
df _ у df _ у df -. у (*\
дх~~Лг' ~Щ~А%> д?~*Аз' W
взятые по направлениям трех координатных осей, для
функций от линий мы также получаем несколько произ-
производных, но они зависят от положений плоскостей; тремя
основными из них являются
dF У dF У dF У П\
взятые относительно трех координатных плоскостей. Когда
мы знаем три производные F) функции / (х, у, г), то раз-
разность /х — /о значений этой функции в двух различных
точках Рг и Ро дается формулой
dz
(8)
где / есть произвольная линия, соединяющая точки Ро и
Рх. Аналогично, если мы знаем три производные G) функ-
функции от линии F [L], то, замечая, что cos nx do = dy dz,
cos ny do = dz dx, cos nz do = dx dy, согласно (З) для раз-
разности F [LJ — F [Lo] получаем формулу
где a — произвольная поверхность, имеющая Lt и Lo
в качестве полной границы, порождаемой замкнутой кри-

§ 3. СВЯЗНОСТЬ ПРОСТРАНСТВ 125
вой, непрерывно перемещающейся из начального положе-
положения Lo в конечное положение Lx. Таким образом, в то
время как для F) условие интегрируемости дается форму-
формулами
дХ3 дХ2 дХг дХ3 дХ2 дХх
ду дг э дг дх ' дх ду
A0)
для G), наоборот, единственное условие, которое мы также
можем назвать условием интегрируемости, дается фор-
формулой B) п. 61, поэтому имеет вид
дХ2з | дХ31 . дХ12 г\ (\\\
дх "^ ду "*" дг ~"и# I11'
§ 3. Связность пространств относительно полидромии
функций от линий первой степени
65. Чтобы определить точный смысл формул (8) и (9)
предыдущего пункта, рассмотрим далее различные воз-
возможные типы связности области R пространства, в кото-
которой наши функции определены и регулярны. Так, для
случая полного дифференциала ~ dx + j~ dy + -J-dz мы
можем считать, что интеграл от него, взятый от точки Ро
до точки Ръ принимает значение, независимое от пути /
от Ро до Ри если заменить I другой линией /', также сое-
соединяющей Ро и Рх и получающейся из нее при перемеще-
перемещении непрерывным образом, не выходя за пределы рас-
рассматриваемой области. Другими словами, интеграл
будет равен $ df только в том случае, если замкнутую
v
кривую, состоящую из /и V\ непрерывной деформацией,
не выводящей кривую за рассматриваемую область, можно
свести в точку; иначе говоря, если область линейно одно-
связна. Примерами линейно односвязных областей явля-
являются: внутренность сферы или параллелепипеда, область
между двумя концентрическими сферами.
Для всех этих областей интеграл от полного дифферен-
дифференциала вполне определен в любой точке, если его значение
известно в одной произвольной точке, т. е. он является
монодромной, или однозначной, функцией от точки. Вообще
говоря, этого нельзя сказать, если в качестве области мы

126 ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
возьмем, например, внутренность тора, так как в этой
области наверняка найдется замкнутая кривая С, кото-
которая не сводится к точке, если не выходить из тора (линей-
(линейная многосвязная область). Если взять две точки А и В
в
на одной из этих кривых С, то интеграл $ d/, вообще го-
А
воря, будет иметь различные значения в зависимости
от того, по какой из дуг, на которые делят точки А и В
замкнутую кривую, ведется интегрирование. Точнее, раз-
разность между двумя значениями интеграла будет в точ-
точности равна J df и называется модулем периодичности*,
с
значение этого интеграла в любой точке не вполне будет
определено на основании его значения в одной заданной
точке; оно будет кратным модулю периодичности (множи-
(множитель является произвольным целым), если только модуль
не равен нулю. Следовательно, если область является
линейно многосвязной, то не все модули периодичности
равны нулю, интеграл от полного дифференциала, опре-
определенного внутри области, будет иметь в каждой точке
ряд различных значений в зависимости от того, по ка-
какому пути ведется интегрирование; иначе говоря, он явля-
является полидромной, или многозначной, функцией от точки.
66. Аналогичные результаты можно получить и для
функций от линий, если только заменить линейно связную
область на поверхностно связную. В этом случае фор-
формула (9) из п. 64, когда начальная кривая Lo сводится
к точке, дает значение F [L] функции от линии в виде
A)
где о — есть поверхность, имеющая границу L. Если
а' — другая поверхность, имеющая ту же границу L
и получающаяся из а непрерывной деформацией, не вы-
выводящей ее за рассматриваемую область, то J будет ра-
вен \, так как, согласно условию интегрируемости (И)
о'
из п. 64, интеграл, взятый по замкнутой поверхности,
состоящей из а и а' (с изменением на одной из них направ-
направления нормали), будет равен нулю. Мы можем также ска-

§ 3. СВЯЗНОСТЬ ПРОСТРАНСТВ 127
зать, что в A) поверхность о можно заменить на другую
поверхность а', имеющую ту же границу L, что и а, при
условии, что замкнутая поверхность, состоящая из а и а',
непрерывной деформацией, не выводящей нас из рассма-
рассматриваемой области, можно свести в точку. В частности,
это всегда возможно, если область является поверхностно
односвязной, т. е. если любую замкнутую поверхность
в ней можно свести в точку. Примерами областей такого
типа связности являются внутренность сферы или парал-
параллелепипеда, и др.
Если мы теперь возьмем поверхностно многосвязную
пространственную область, то картина будет совсем иная.
Пусть, например, дана область между двумя концентриче-
концентрическими сферами, которая, как мы видели ранее, является
линейно односвязной; с другой стороны, она является
поверхностно многосвязной, так как внутри нее найдется
замкнутая поверхность 2 (т. е. концентрическая сфериче-
сферическая поверхность, лежащая между двумя поверхностями,
образующими границу области), которая не сводится
в точку при непрерывной деформации, не выводящей нас
из рассматриваемой области. Если мы возьмем на одной
из этих замкнутых поверхностей 2 простую кривую L,
то поверхность делится на две части, или две шапки (обо-
(обозначим их соответственно аи а'), каждая из которых имеет
в качестве границы ту же самую кривую L. Следовательно,
мы получаем два различных выражения для функции
от линии F [L]: одно в виде интеграла вдоль а (см. фор-
формулу A)), а другое в виде интеграла того же вида вдоль а'.
Если интеграл, взятый по замкнутой поверхности 2,
состоящий из а и а', не равен нулю (что в общем случае
имеет место, так как 2 не сводится к точке), то эти два
выражения дадут для F [L] различные значения. Раз-
Разность между этими двумя значениями в точности будет
равна J, и также называется модулем периодичности
для функции от линии; эта функция, будучи многознач-
многозначной, называется полидромной. Следовательно, вообще го-
говоря, различные значения полидромной функции от
линии, принимаемые вдоль частной кривой L, будут зави-
зависеть от пути, по которому, начиная от одной точки, сжи-
сжимаясь и расширяясь, замкнутая кривая пробегает поверх-
поверхность а, имеющую своей границей линию L (конечное

128 ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
положение движущейся кривой); эти значения будут отли-
отличаться друг от друга на целое кратное модуля периодич-
периодичности и равны значениям интеграла $ вдоль тех замкну-
s
тых поверхностей. 2, которые в случае некоторых типов
поверхностных связностей области при непрерывной де-
деформации не сводятся к точке.
Мы видим, что, как и для интегралов от полных диф-
дифференциалов (интегралов, взягых вдоль линий), поли-
дромность (или многозначность) тесным образом связана
с линейной связностью области и модули периодичности
выражаются интегралами вдоль тех замкнутых кривых,
которые не сводятся к точке (одномерные циклы), так что
для функций от линий первой степени (интегралов, взя-
взятых вдоль поверхностей) полидромность тесно связана
с поверхностной связностью самой области и модули перио-
периодичности даются интегралами, взятыми вдоль замкнутых
поверхностей, не сводящихся при непрерывной деформа-
деформации к точке (двумерные циклы).
67. Исследование случая трехмерных областей одно-
связных или многосвязных, которые не ограничены ника-
никакими поверхностями, по-видимому, проводится таким же
образом. Для интуитивного представления этих областей
автор разработал ряд пластических моделей, фотографии
которых с необходимыми объяснениями воспроизведены
в конце книги Лефшеца ([5]).
§ 4. Случай /i-мерного пространства
68. Приведенные рассмотрения о функциях от линий
первой степени, относящиеся к трехмерным областям,
можно обобщить на n-мерные области; если п > 3, то мы,
в дополнение к функциям от точек и линий, можем рас-
рассмотреть функции от (замкнутых) гиперповерхностей до
п — 2 измерения. Функции F [SJ от /-мерных гиперповерх-
гиперповерхностей Si (i = 1, 2, ..., п — 2) первой степени выражаются
интегралами, взятыми по i + 1-мерным областям, гра-
границами которых являются замкнутые гиперповерхности S*
(см. [14], [19], [21]). Для этих функций от гиперповерх-
гиперповерхностей гиперповерхность Si+1 интегрирования можно заме-
заменить на любую другую S;+1, имеющую ту же границу и
получающуюся из первой непрерывной деформацией. Од-

§ 5. СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ 129
нако, поскольку изучение полидромности этих функ-
функций F [St\ от гиперповерхностей тесно связано с i + 1-мер-
1-мерной связностью рассматриваемой области, по мере увели-
увеличения числа измерений они становятся все более слож-
сложными.
Другим возможным обобщением (ограничиваясь, на-
например, рассмотрением функций от линий) мог быть слу-
случай, когда число измерений п пространства, в котором
расположена линия, стремится к бесконечности и дискрет-
дискретный индекс i координат xi (s) (i = 1, 2, ..., п) точек ли-
линии, следуя обычному методу, заменяется через непрерыв-
непрерывный параметр X. Функции от линий F [L] в этих простран-
пространствах с бесконечным числом измерений становятся функ-
функционалами не от п функций xt (s) одной переменной, а от
одной функции х (X, s) двух переменных. Эти функции
от линий пока еще не исследованы, поэтому мы обращаем
на это внимание других исследователей.
§ 5. Сопряженные функции
69. Возвращаясь к трехмерному пространству, мы
будем исследовать два пути обобщения на это пространство
обычной теории функций одной комплексной перемен-
переменной г = х + iy. Первый возможный метод обобщения
представляется теорией Римана о сопряженных функциях.
Мы скажем, что величина и + iv = / (х + iy) является
функцией комплексной переменной х + iy, если две дей-
действительные функции и = и (ху у), v = v (ху у) являются
сопряженными, т. е. если они удовлетворяют условиям
или,
говоря
ди
дх
иначе,
ди
dv
' в ду •
условиям
dv
ди
ду
ди
dv
я а*
аи
ар "^г-а(=^# М
Эти два условия содержатся в более общем одном, кото-
которое в свою очередь является следствием двух условий A);
другими словами, если s и п суть два направления, нормаль-
нормальные друг к другу и образующие в этом порядке пару,
конгруэнтную паре ху у двух осей координат, то для двух
функций и (х, у), v (х, у) точки плоскости х, у мы
5 В. Вольтерра«

130 ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
получим
ds ~~ dn' W
Как следствие, будем иметь далее, что две сопряженные
функции и и v (удовлетворяющие соотношениям A) и B)),
удовлетворяют уравнениям Лапласа
д*и д*и __ 0 д*и , д*о _ 0 (ок
¦a^ + ^~Uj 1^ + W ( '
или, короче,
А2и = 0, Д*у = 0.
Две сопряженные функции всегда будут гармониче-
гармоническими. И наоборот, если дана гармоническая функция,
т. е. решение уравнения C), то всегда существует другая
гармоническая функция, сопряженная к этой функции.
Вторым методом является метод Коши, основанный
на понятии моногенности. Даны две комплексные вели-
величины w = и + iv, г = х + iy, где и = и (х, y),v = v (x, у),
которые можно сопоставить точке х, у плоскости; мы ска-
скажем, что w есть моногенная функция от z, если предел -—>
отношения -д- приращений не зависит от направления,
по которому точка х + А^, г/ + Аг/ стремится к начальной
точке х, у.
Для обычных функций двух переменных, т. е. для
функций точки плоскости, эти два метода эквивалентны,
так как, если и и v сопряжены, то w = и + iv является
моногенной функцией от г = х + и/, и наоборот. Однако
если мы перейдем от плоскости к трехмерному пространству,
то эти два метода отличаются друг от друга, и мы прихо-
приходим к двум различным обобщениям понятия аналитической
функции.
70. Сопряженные функции в пространстве. Мы начнем
с теории, основанной на первом из упомянутых обобще-
обобщений, а именно, на понятии сопряженных функций в про-
пространстве. Начиная с условия B) из п. 69, которое удов-
удовлетворяется на плоскости, вместо пары возьмем систему
трех ортогональных направлений пъ п2, п3, конгруэнтных
системе трех направлений х, у> z координатных осей. Для
определения пары сопряженных функций в пространстве

§ 5. СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ 131
мы вместо двух производных в двух перпендикулярных
направлениях, как это имело место в соотношении B)
из п. 69, рассмотрим одну производную по направлению
(например, по направлению пг) и одну производную отно-
относительно плоскости п2п3, нормальной к п1э и имеющую
ту же ориентацию по отношению к пъ что и плоскость уг
относительно положительного направления оси х.
Мы теперь вместо двух функций точек будем иметь
одну функцию точки (имеющую производные в различных
направлениях в точке) и одну функцию от линии (которая
имеет производные относительно различных плоскостей,
проходящих через точку на линии).
Скажем, что функция / (х, у, z) точки и функция F [L]
от линии первой степени являются взаимно сопряженными,
если для их производных в любой точке удовлетворяет-
удовлетворяется условие
dfi do ' ^ '
где п — произвольное направление, da лежит на пло-
плоскости, нормальной к п и имеющей по отношению к п
такую же ориентацию, как и плоскость уг по отношению
к оси х. В качестве частных случаев из D) мы получаем
HL dF К. dF EL — dF (ъ\
дх "e d(yz) ' by e d(zx) ' dz ~" d(xy) ' ' '
т. е. условия, в совокупности эквивалентные соотноше-
соотношению D). Отсюда и из условия A1) п. 64, которому должны
удовлетворять три производные относительно трех коор.-
динатных плоскостей функции от линии (условие инте-
интегрируемости), мы получаем, что если / (х> у, г) имеет
сопряженную функцию F [L], то она должна удовлетво-
удовлетворять уравнению Лапласа
т. е. является гармонической функцией. Наоборот, для
любой гармонической функции / (я, у> г) всегда можно
найти функцию F [L] от линии, сопряженную и определяе-
определяемую уравнениями E). Имеем также, что если дана функ-
функция F [L] от линии, то существует функция / (х, у, г) точ-
точки, сопряженная с F [L], и мы получим из E) и из условий

дх
д
д
'дг
d(xz)
dF
d(yx)
d(zy) '
1 ду
1 3
д
d(yz)
dF
d(zx)
dixy)
132 ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
интегрируемости A0) п. 64, что справедливо условие
д dF = д dF
ду d (yz) ==г дх d (zx)
и другие ему аналогичные условия между производными
функции F [L] относительно трех координатных плоско-
плоскостей. Изменяя направление плоскости zx на xz> так что
соответствующие производные меняют знак, получаем
a dF , a dF л
G)
Употребляя термин «гармонический» также в случае функ-
функций от линий первой степени, которые вместе с производ-
производными удовлетворяют дифференциальной системе G), можно
сказать, что необходимым и достаточным условием суще-
существования функции от точки, сопряженной заданной функ-
функции от линии, является гармоничность этой функции от ли-
линии. Из этих рассмотрений мы видим, что теория сопря-
сопряженных функций в трехмерном пространстве тесно связана
с теорией гармонических функций, являющейся хорошо
разработанной ветвью математики. По этому поводу мы
отсылаем читателя к теореме Гаусса и теореме Грина для
решения уравнения Лапласа (см. [15] — [17]).
71. Примерами сопряженных функций в пространстве,
встречающихся в физике, являются потенциал / (х, у, г)
некоторой магнитной массы относительно единичного маг-
магнитного полюса, расположенного в точке с координа-
координатами ху у, z (функция от точки) или потенциал той же массы
относительно тока единичной интенсивности, протекающего
по цепи, имеющей форму замкнутой кривой L (функция
от линии L).
Легко видеть, что функция от точки, данная потенциа-
потенциалом относительно полюса, является сопряженной в опре-
определенном выше смысле к функции от линии, данной потен-
потенциалом относительно тока.
72. Порле того как мы развили теорию сопряженных
функций в пространстве трех измерений, можно перейти
к рассмотрению сопряженных функций в пространствах

§ 6. МОНОГЕННОСТЬ И ИЗОГЕННОСТЬ 133
большего числа измерений. Если п — число измерений,
то с каждой функцией F [SJ от гиперповерхности (i =
= 1, 2, ..., п — 2) при некоторых условиях (аналогичных
условиям F) и G) из п. 70) можно связать другую функ-
функцию F IS^j-gl от гиперповерхности, сопряженную первой
(см. [15] — [17]). Чтобы эти две функции были одинако-
одинакового вида, т. е. чтобы гиперповерхности S/ и Sn_*_2 имели
одинаковые размерности, мы должны положить i = п — i—2
или п — 2 (i + 1). Если размерность п является четной,
то отсюда следует, что существует пара взаимно сопряжен-
сопряженных функций от поверхностей F\Sn_ 1 одинакового вида.
Так, при п = 2 (на плоскости) мы имеем пару сопряжен-
сопряженных функций от точек F [So] = / (х, у)\ при п = 4 полу-
получаем пару взаимно сопряженных функций от линии
F [Sx] - F Ш и т. д.
§ 6. Моногенность и изогенность
73. Переходя к обобщению понятия моногенности,
напомним читателю, что две комплексные функции ф =
= Ф1 + *'ф2, / == /i + if2 от точек поверхности называются
моногенными друг с другом, если дифференциальное отно-
шение -^ = lim -^y не зависит от направления, по кото-
которому переменная точка (к которой относятся ф + Дф,
/ + Af) стремится к начальной точке (к которой отно-
относятся ф и /). Если и я v — криволинейные координаты
поверхности, то сказанное будет эквивалентно соотношению
ди dv
ди dv
Положим
P2Q1 —
тогда условие (Л преобразуется в следующие два:
ди ~ D • dv ~ D
B)
-. C)

134
ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
связывающие производные функций ф, и ф2; далее, обе
функции фх и ф2 удовлетворяют уравнению Лапласа.
74. Рассмотрим теперь две комплексные функции от линий
Вычислим производные этих функций на одной и той же
линии L в одной и той же точке относительно одной и той же
плоскости. Если их отношение
do
dF
do
d<&
dF
D)
зависит только от точки, но не зависит от плоскости, на
которой лежит а, то говорят, что две функции Ф [L] и
F [L] являются изогенными, а дифференциальное отношение
— =*/(#, у, z) (функция от точки) называется производ-
производной функции Ф по F в рассматриваемой точке. Так же,
как для моногенных функций от точки, для изогенных
функций от линии мы получим соотношения между произ-
производными относительно трех координатных плоскостей, ана-
аналогичные соотношениям C). Точнее, полагая'
dF\ dF-i dF\
d(yz)
d(z
dixy)
dF%
d(xy)
= PiQi + Р2Й2 у D3 = p2qx — p±q2
E)
и рассматривая производные относительно трех координат-
координатных плоскостей, из D) получим три эквивалентных соот-
соотношения (см. [13], [18], [173 из библиографии к гл. I)
d(yz) Dx
d(xz)
823
d(zx)
d{yz)
— E2l
d(yx)
U(zx)
D,
d(zy) .
F)

§ б. МОНОГЕННОСТЬ И ИЗОГЕННОСТЬ 135
которые в случае, если даны производные функции F,
а значит, и ehk (/i, k = 1, 2, 3) и Dh (h = 1, 2, 3), связы-
связывают производные двух функций от линии Фх [L] и Ф2 Ш,
т. е. действительные части и коэффициенты при мнимой
части функции Ф, являющейся изогенной с F. Из F) далее
следует, что
О1^+оТфг+О~Л^ = 0
аналогичное соотношение справедливо и для Ф1#
Из уравнений F) и условия интегрируемости A1) п. 64,
следует другое уравнение, аналогичное уравнению Лап-
Лапласа, которое связывает производные функции Фх; анало-
аналогично и для Ф2. Для функций от линии, удовлетворяющих
этим дифференциальным уравнениям, можно установить
различные характерные свойства, аналогичные свойствам
гармонических функций.
75. Покажем, что две функции, изогенные третьей,
изогенны друг другу.
Пусть Ф изогенна F; это значит, что отношение двух
d<b dF г
производных -т— :~j—= / не зависит от плоскости, относи-
относительно которой они вычислены. То же самое справедливо
для отношения -г- : -х- = /ъ если Y изогенна F. Отсюда
do do
следует, что отношение
. /1
do ' do "~~ f
не будет зависеть от плоскости, относительно которой вы-
вычислены производные: это означает, что Ч* является изо-
изогенной Ф. Поэтому можно сказать, что все функции от
линии, изогенные заданной функции, образуют группу
функций, которые все взаимно изогенны.
76. Мы уже видели в п. 74, что, согласно определению
d<D s/ ч ,
изогенности, производная ^р =/(*> У, z) функции от
линии Ф по другой, изогенной ей функции F, является
функцией от точки х, у, г (см. [13], [18]). Вспоминая (опять
по определению изогенности) соотношения
dQ> __ г dF d<$ __rdF dd> z dF
Aluy\ ' И (ii?\ » Л Gy\ /
d(tjz) • d(zx) ""' d{zx) • d{xy) ""' d(xy) *

136 ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
а также условие интегрируемости A1) из п. 64, можно
получить следующий результат: функция от точки f должна
удовлетворять линейному однородному дифференциальному
уравнению с частными производными первого порядка
дх d(yz) ^ ду d{zx) ^~ dzd(xy)
Функция / от точки, удовлетворяющая дифференциаль-
дифференциальному уравнению такого рода, называется изогенной функ-
функции F от линии. Легко видеть, что она также изогениа
всем другим функциям от линии, которые изогенны F.
Мы уже видели, что производная / функции Ф от ли-
линии по другой функции F, изогенной ей, удовлетворяет
уравнению G) (изогенна двум функциям F и Ф). И наоборот,
если функция от точки / удовлетворяет уравнению G), то,
согласно условию интегрируемости, она будет удовлетво-
удовлетворять, вместе с тремя производными функции F относительно
трех координатных плоскостей, уравнению
д (fJLJ\+ д (f dF \jl д If dF
dx [ )^ г^1
которое является необходимым и достаточным условием
(условием интегрируемости) существования функции Ф от
линии, имеющей производные
d<& с dF dO с dF dO __ * dF ,Q*
d (yz) ' d (yz) ' d (zx) ' d (zx) ' d (xy) ' d (xy) ' w>
Поэтому, если функция f от точки удовлетворяет уравнению
G), /п. е. является изогенной функции F от линии, то обя-
обязательно существует другая функция Ф от линии, опреде-
определенная уравнениями (9) и изогенная F такая, что ее произ-
производная -jp no F равна функции f (х9 г/, г) от точки. Тогда Ф
можно назвать интегралом от / и записать в виде
где а — поверхность, ограниченная замкнутой кривой L.
Таким образом, для получения Ф необходимо вычислить
поверхностный интеграл.

§ б. МОНОГЕННОСТЬ И ИЗОГЕННОСТЬ 137
77. Далее мы рассмотрим функции от точек /, Д, /2, •••»
изогенные одной функции F [L] от линии; мы скажем, что
они взаимно изогенны. Так как все эти функции удовлетво-
удовлетворяют уравнению G) из п. 76, то, беря любые три из них,
например /, /1э /2, и предполагая, что три производные
функции F тождественно не равны нулю, мы находим, что
функциональный определитель (якобиан) у 'и *2' будет
равен нулю. Другими словами, одна из этих функций,
например /, будет функцией двух других, / = ф (/ь /2).
И наоборот, если /х и /2 являются изогенными функции F
от линии (т. е. удовлетворяют уравнению G) из п. 76),
то любая другая функция / = q> (fl9 /2) от /2 и /2 также
будет изогенной F. Поэтому мы можем сказать иначе, что
множество всех функций / от точек, изогенных данной
функции от линии, получается из любых двух из них /2
и /2 (независимых одна от другой), и функции эти можно
представить в виде / = ф (Д, /2).
Дана функция F [L] от линии; установим свойства функ-
функций от точек, изогенных F [L], и дадим метод построения
всех таких функций. Если мы начнем с любых двух функ-
функций /lf /a от точки, то будем иметь тождественно
д djfuh) , д d(fl9f%) , д d(fltf%) _п ,1т
дх d(y,z) ^ду d(z,x) "^ дг d(x, у) "и ^и;
(где ^ъ '$• — якобиан функций fx и /2 относительно у,
и z и т. п.). Отсюда и из п. 64 следует, что существует
функция F от линии такая, что
dF d(fltf2) dF d(fltft) dF d(fl9 Ы {}u
diyzj^ d(y,z) > d(zx) d(z,x)> d(xy) d(x,y)' I11'
Эта функция F [L] от линии, очевидно, изогенна обеим
функциям /i и /2, а также всем функциям / «=¦ ф (flt /2),
изогенным им. Обозначим ее (/1э /2) = F [L], а ее диффе-
дифференциал d(fl9f2) (см. [13], [18]).
78. Мы уже видели (п. 76), что если Ф есть произволь-
произвольная функция от линии, изогенная F> а / — ее производная
-тгг, то функция Ф получается в виде поверхностного инте-
интеграла

138 ГЛ. III. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Так как / = ср (/ь /2), то, согласно (И), этот интеграл сво-
сводится к виду
Ф[I] = $/dF = $ф(/ь Wtfxd/t. A2)
Мы видим, таким образом, что двойное интегрирование
функции от двух комплексных переменных является задачей,
относящейся к теории изогенных функций от линий. В част-
частности, из A2) следует, что если двойное интегрирование
осуществляется по замкнутой поверхности а, не имеющей
особенностей, то
h^0, A3)
т. е. мы получили обобщение на функции от двух комплекс-
комплексных переменных известной теоремы Коши
A4)
для интеграла от функции одной комплексной переменной,
взятого вдоль замкнутой кривой s на плоскости, не имею-
имеющей никаких особенностей. И наоборот, справедлива также
теорема, аналогичная теореме Морера (см. [214] из библио-
библиографии к гл. VI), а именно: если для любой замкнутой по-
поверхности а удовлетворяется условие A3), то f будет функ-
функцией от точки, изогенной функции F от линии, а также
Ф (/ъ /2) является функцией от двух комплексных перемен-
переменных /] и f2 в обычном смысле.
Теорию изогенных функций можно обобщить на случай
функций от гиперповерхностей. Таким образом, мы получи-
получили обобщение теории повторного комплексного интегриро-
интегрирования (см. [14], [19], [21]).
§ 7. Аналитическое продолжение в пространстве
моногенных функций
79. В заключение приведем важное утверждение, при-
принадлежащее Мандельбройту [6], [7]. Как известно, если
f (x) — заданная функция действительной переменной, опре-
определенная для значений переменной, изображаемых точками
прямой линии, и если / (х) можно разложить в ряд Тейлора,
то определение функции можно продолжить также на комп-

§ 7. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 139
лексные значения х + iy; в этом случае мы говорим, что
функция f (x + iy) комплексной переменной является ана-
аналитическим продолжением первоначальной функции f (x)
действительной переменной.
Покажем теперь, что изогенную функцию от линии
можно рассматривать как аналитическое продолжение в
пространстве моногенных функций от точки на поверхности.
В самом деле, пусть Ф [L] и F [L] являются двумя взаимно
изогенными функциями от линий; возьмем поверхность а;
каждой точке Q поверхности сопоставим одну и только
одну замкнутую кривую L, проходящую через Q, таким
образом, чтобы эти оо2 замкнутые кривые попарно имели
общую дугу АМВ, так что на всех этих кривых определя-
определяется направление, если известно направление на одной
из них; предположим далее, что если Qx есть другая точка
на а, к которой относится кривая Lly то дуга АМВ, общая
для L и Ьъ увеличивается, когда Qx стремится к Q, так
что две дополнительные дуги AQB и AQXB соответственно
кривых L и Lx обе стремятся к нулю. Теперь определим
на а две функции <р и / от точки, сопоставляя значение
Ф = Ф [L] и / = F IL] в каждой точке Q, где L есть замк-
замкнутая кривая, соответствующая точке Q; так как Ф и F
взаимно изогенны, то отсюда следует, что предел lim -дтг
(где Дф = ф [LJ — Ф [L], &F = FILJ — FILI) "Суще-
"Существует и не зависит от пути, по которому кривая Ьъ изме-
изменяющаяся в окрестности точки, стремится к первоначаль-
первоначальной кривой L. Если, в частности, Qx стремится к Q, то
кривая Lx (соответствующая точке Qlf которая отличается
от L только в окрестности точки Q) будет стремиться к L
и величина
1. Аф л. АФ
lim ^гт= lim -хтг
Ч?1 -*¦ Q ' Lt-+L
не будет зависеть от направления, по которому на поверх-
поверхности точка Qx стремится к Q. Это доказывает, что две
функции ф и /, определенные ранее в точках поверхности а,
взаимно изогенны. Две изогенные функции Фи/7 от линии,
которые принимают одинаковые с ф и / значения на ооа
кривых L, соответствующих точкам поверхности а, можно
рассматривать как аналитическое продолжение на кривые
в пространстве двух моногенных функций ф и / от точек.

140 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. III
БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛАВЕ III
1. Bohannan R. D. Pascal line equation and some consequen-
consequences. — Amer. Math. Monthly, 1916, 23, 194—201.
2. De Donder Th. Sur les fonctions de Volterra et les invariants
integraux. — Publ. Acad. Roy. de Belgique, 1906, № 6, 400—409.
3. Frechet M. Sur les fonctions de lignes fermees. — Ann. de
l'Ecole Norm., 1904, C) 21, 557—582.
4. Gr a ustein W C. Note on isogenous complex functions of cur-
curves. — Bull. Amer. Math. Soc., 1918, 24, 473—477.
5. Lefschetz S. L'analysis situs et la geometrie algebrique. —
Paris: Gauthier-Villars, 1924.
6. Mandelbrojt S. Sur le prolongement analytique des fonctions
monogenes au sens de Cauchy en fonctions isogenes au sens de Vol-
Volterra. — C. R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1925, 180, 636—639.
7. Mandelbrojt S. Remarques sur la maniere dont peuvent etre
engendress les fonctionelles isogenes. — C. R. de l'Acad. des Sci.
de Paris, 1925, 181, 651—653.
8. N i в о 1 e s с о M. Fonctions complexes dans le plant et dans l'es-
pace. These de Doctorat presentee a la Faculte des Sci. de Paris. —
Paris. Gauthier-Villars, 1928.
9. P a s с a 1 E. L'integrazione doppia nel carnpo complesso. — Rend.
Accad. Sci. di Napoli, 1917, 'C) 23, 63—66.
10. P a s с a 1 E. II teorema di Cauchy—Morera esteso agli integrali
doppi delle funzioni di variabili complesse. — Rend. Accad. Sci.
di Napoli, 1919, C) 25, 70—77, 87—96.
11. Pascal M. Le funzioni monogene di linee complesse. — Rend.
Accad. Sci. di Napoli, 1919, C) 25, 70—77.
12. Pascal M. II teorema e la formula di Cauchy per la funzioni mo-
monogene di linee complese, II. — Rend. Accad. Sci. di Napoli 1919
C) 25, 87—96.
13. Volterra V. Sopra un'estensione delle teoria di Riemann sulle
funzioni di variabili complesse. — Rend. R. Accad. dei Lincei,
1887 D) 3, 281—287; 1888, D) 4, 107—115, 196—202.
14. Volterra V. Delle variabili complesse negli iperspazi. — Rend
R. Accad. dei Lincei, 1889, D) 5, 158-165, 291—299.
15. V о 1 t e г r a V. Sulle funzioni coniugate. — Rend. R. Accad. dei
Lincei, 1889, D) 5, 599—611.
16. V о 1 t e r r a V. Sulle funzioni di iperspazii e sui loro parametri
differenziali. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1889, D) 5, 630—640.
17. V о 1 t e r r a V. Sulla integrazione di un sistema di equazioni
differenziali a derivate parziali che si presenta nella teoria delle
funzioni coniugate. — Rend. Circ. Mat. Palermo, 1889, 3, 260—272.
18. V о 1 t e г г a V. Sur une generalisation de la theorie des fonctions
d'une variable imaginaire. — Acta Math., 1889, 12, 233—286.
19. Volterra V. Sulle variabili complesse negli iperspazi. — Rend. R.
Accad. dei Lincei, 1890, D) 6, 241—252.
20. V о 11 e г г a V. Un teorema sugli integrali multipli. — Atti R.
Accad. Sci. di Torino, 1897, 32, 859-868.
21. Volterra V. The generalization of analytic functions. — Rice
Inst. Pamphl., 1917, 8, №> 1, 53—101.

Глава IV
ТЕОРИЯ КОМПОЗИЦИЙ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
§ 1. Композиция и пермутабельность первого
и второго родов
80. В гл. II (п. 44) мы уже столкнулись с примерами
отдельных функционалов K{i) (х> t) от функций двух пере-
переменных К1 (#, 0» зависящих также от двух параметров
#, t (итерированные ядра первого и второго рода для ядра
К{1)). Здесь мы более подробно исследуем один важный
класс функционалов, содержащий в качестве частных слу-
случаев ранее рассмотренные функционалы и имеющий боль-
большие приложения при исследовании многих интегральных
и интегро-дифференциальных уравнений (см. пп. 112—114).
Пусть даны две функции / (х, у), g (x, у) от двух пере-
переменных. Функцию h (#, у), определенную по формуле
*(*, У) = Ь(х, l)g(l, y)d\ A)
X
и представляющую собой функционал от двух функций /
и g, будем называть композиционным произведением первого
рода двух функций / и g и будем его обозначать
н-
операцию A), с помощью которой мы переходим от двух
функций / и g к одной функции Л, будем называть компози-
композицией первого рода двух функций / и g.
Аналогично, скажем, что k (x, у) является композицион-
композиционным произведением второго рода двух функций / и g, если
k(xt */) = $/(*, E)g(g, y)dg B)
а
(где а и Ь суть константы), а операцию, выражающуюся
равенством B), будем называть композицией второго рода

142 ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
и обозначать символом
** **
?= f g-
Эти операции композиции обобщают на случай бесконеч-
бесконечного числа переменных обычное понятие произведения
двух квадратных матриц || air II, II brs ||, i, г, s = 1, 2, ..., п.
Композиция второго рода соответствует случаю общих
квадратных матриц, в то время как композиция первого
рода отвечает случаю матриц || air ||, в которых air = О
для г ^ 1.
В соответствии с этими двумя типами композиций мы
имеем два типа пермутабельности.
Две функции / и g называются пермутабельными пер-
первого рода, если
**
т. е. если
I y)dt;
они называются пермутабельными второго podat если
*# **
"- g I *
т. е. если
ъ ъ
Композиционные произведения двух, трех или более перму-
табельных функций являются пермутабельными друг с дру-
другом, а также с данной функцией.
Операции композиции первого и второго рода, очевидно,
ассоциативны, т. е.
и дистрибутивны, т. е.
*** *# ** **
ff
h,
каковы бы ни были три функции /, g, ft, в то время как они
вообще не коммутативны. Однако если ограничиться иссле-
исследованием множеств функций, являющихся попарно перму-

§ 2. КОМПОЗИЦИОННЫЕ СТЕПЕНИ И ПОЛИНОМЫ ИЗ
табельными, формальная аналогия между композицией и
арифметическим произведением является точной (см. [44],
с. 7). Очевидно, композиционное произведение может рав-
равняться нулю и тогда, когда сомножители необязательно
равны нулю.
§ 2. Композиционные степени и полиномы
81. Если функцию композиционно умножить на себя,
то получим функцию // = /2, которую мы будем называть
композиционным квадратом первого рода функции f. Вообще,
мы будем называть функцию
# * *
fn = fn-if (п положительное целое)
композиционной п-й степенью функции /. Аналогично об-
обстоит дело и с композицией второго рода.
Композиционные степени данной функции будут перму-
табельны друг другу, и правила их вычисления те же самые,
что для обычных степеней.
Если мы рассмотрим множество пермутабельных функ-
функций fu /a, ..., // и образуем сумму конечного числа членов
вида
п {п>ъ
2, •••» Щ — положительные целые),
полученных композицией нескольких степеней и умноже-
умножением на константу, то найденное таким образом выражение
будем называть композиционным полиномом первого рода.
Аналогично определяется композиционный полином вто-
второго рода. Для этих композиционных полиномов справед-
справедлива следующая
Теорема. Композиционный полином, построенный
при помощи пермутабельных функций fv f2, ..., является
новой функцией, которая сама будет пермутабельной с этими
функциями; композиция полиномов осуществляется по тем же
правилам, какие справедливы для обычных полиномов от
переменных flt f2, ... (см. [44], с. 7).
Эта алгебра пермутабельных функций, которая пол-
полностью аналогична обычной алгебре, впервые была изучена
Ивенсом [71 — [91.

144 ГЛ IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Кроме степеней с положительными целыми показате-
показателями, для удобства вычислений мы определим также новое
(чисто символическое) выражение, которое назовем сте-
степенью с нулевым показателем:
Она играет ту же роль в теории композиций, что и едини-
единица в обычном анализе. Будем ее обозначать символом
•1: # tfc
§ 3. Композиционные ряды и функции первого рода
82. Ограничиваясь теорией композиций первого рода,
мы можем перейти от композиционных полиномов, опреде-
определенных в предыдущем пункте, к рассмотрению более общих
функционалов, получаемых из обычных степенных рядов
при подстановке вместо обычных степеней композиционных
степеней функции /. Например, из степенного ряда
..., A)
сходящегося в круге | г | < 1, можно получить другой ряд
..., B)
который представляет собой функционал, рассмотренный
нами выше (разрешающее или взаимное ядро для ядра —
f (х> у)\ см. п. 43). Ряд B) всегда сходится, какова бы ни
была функция f, лишь бы она была ограничена (см. п. 43).
Это можно выразить также словами: ряд
zf + z2b + z*ft + ... + z»*fn + ... C)
т. е. функционал от /, рассматриваемый как функция от г,
есть целая функция.
Полученное свойство имеет характер общей теоремы, ко-
которая справедлива для любых степенных рядов (без посто-
постоянного члена, если мы не хотим принять символическое
выражение /°, определенное выше). В самом деле, если ряд
. D)

§ 3. КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ И ФУНКЦИИ ПЕРВОГО РОДА Н5
сходится для некоторого значения г, отличного от нуля,
то это означает, согласно теореме Коши—Адамара, что
последовательность >/*1 ап \ ограничена (см. [22] из библио-
библиографии к гл. II, с. 17), следовательно, | ап | < Мп (М —
некоторая константа). Если построить новый ряд
• + OnZ'fc +..., E)
то он для любого значения г и любых / (при условии их
ограниченности) всегда будет сходиться, так как если
\f(x,y) I < ?> то имеем также
и, следовательно,
т. е. члены ряда E) по абсолютной величине меньше, чем
члены экспоненциального ряда.
Эта теорема допускает дальнейшее обобщение. Мы мо-
можем аналогично показать, что если
есть степенной ряд относительно переменных гг, который
сходится, когда модули \zr \ (г = 1, 2, ..., п) достаточно
малы, то ряд
„2, <¦,,,,....„№••* w
Ч12 ••* 1П
(который мы называем композиционным рядом) всегда схо-
сходится, каковы бы ни были fr (если они ограничены), и
суммой его является функция от х и у, пермутабель-
ная со всеми функциями /г, если они пермутабельны
друг с другом.
Сумма ряда F), очевидно, является функционалом от
функций fr\ ее мы также назовем композиционной функ-
функцией и обозначим символом
Ф
Таким образом, мы видим, как из любой аналитической
функции ф (г19 ..., гл), регулярной в окрестности точки

146 ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Z\ = z2 = ... = zn = 0, можно получить функционал (ком-
(композиционную функцию). Следует заметить, что для компози-
композиционного произведения двух композиционных функций
<Pi(L /2, •. •, Д), ф2 (К* /2,.. • • fn) остаются справедливыми
соответствующие правила для обычных произведений двух
аналитических функций ^ (zb z2, ..., zn), <р2 (zb z2, ..., zn).
Другими словами, если
22, ..., гл) = ф1(гь z2, ..., гп)щ{гъ z2i ..., zn),
то в результате композиции <pi(/lf f2, ...» /л) и
фг(/1» L ... , /*) мы получим ф3(/ь /2, ..., fn).
§ 4. Интегральные теоремы сложения
83. В качестве приложения рассмотрим ряд
содержащий параметр X. Для этой функции от z справедлива
формула
В соответствии с этим, если мы построим композиционный
ряд
то из результата, установленного выше, следует справед-
справедливость формулы
и(Х\ х, у) и (р; х, y) = u(k + ii; xy у). (8)
*
Если мы хотим избежать введения символа 1°, то достаточно
рассмотреть другой композиционный ряд (целую функцию
от X и функционал от /)
v(%; х, (/) ^ ^
подставляя в (8) вместо и величину 1° + v, мы получим
[\о + Ь(Х; х, y)][l° + v(ix\ х, */)]=l° + ^ + fx; x9 у),

§ 5. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА 147
т. е.
У
.\ х, y) + \v(%\x,l)v(\i; 1, y)dl. (9)
Это соотношение выражает интегральную теорему сложе-
сложения для функции v (к; х, у).
Сделанные выше замечания относительно частных слу-
случаев, вообще говоря, справедливы и в общем случае, так
как с помощью преобразования (рассмотренного в преды-
предыдущем пункте), позволившего нам перейти от степенных
рядов к композиционным степеням, все формулы, выража-
выражающие теоремы сложения в обычном анализе (например,
G)), приводят к формулам (например, (9)), выражающим
интегральные теоремы сложения.
Другими примерами являются композиционные функ-
функции, возникающие в теории эллиптических функций.
Наконец (см. [12]), мы можем напомнить читателю, что
с интегральными теоремами сложения мы сталкиваемся
также в теории дифференциальных уравнений с частными
производными (элементарное решение линейного уравне-
уравнения), когда мы хотим перейти от положения системы в мо-
момент tOy характеризующегося решением ф (/0) уравнения,
к положению в момент t0 + к + k> характеризующегося
решением <р (tQ + h + k) при переходе от t0 к /0 + К а за-
затем от tQ + h к t0 + h + k. В этом случае полное преобра-
преобразование, позволяющее переходить от ф (/0) к ф (/0 + h + k)
выражается интегральной теоремой сложения при помощи
двух частичных преобразований, порожденных введением
промежуточного положения ф (/0 + h).
§ 5. Общая теорема о решении интегральных
уравнений
84. Рассмотрим теперь уравнение
или

148 гл. iv. композиции и пермутабельные функции
которое получается приравниванием нулю аналитической
функции ф от zr, регулярной в окрестности начала коорди-
координат; предположим, что ф @, 0, ..., 0) = 0 (т. е. аоо...о = 0),
но [-—¦) Ф0 (т. е. Яоо ,.\Ф0). Как известно,
l2 n
при выполнении этих условий из уравнения A) или (Г)
можно определить неявную функцию гп = г|) (zl9 z2, ..., z,^),
регулярную в окрестности точки zx = z2 = ... = zn.x = 0
и равную нулю в этой точке. Следовательно, мы имеем
= %\i%...iJpi-*JR' V..o"O. B)
Согласно замечанию, сделанному в конце предыдущего
пункта, мы получаем, что интегральное (вообще трансцен-
трансцендентное) уравнение относительно неизвестной функции fn
(в котором мы предполагаем fl9 /2, ..., fn-x пермутабель-
ными друг с другом) имеет решение (также пермутабельное
с /i, /2. •••» /я-i) виДа
¦ <fv К* — U
Хотя ряд B), вообще говоря, сходится только в неко-
некоторой области, но ряд D) всегда сходится, каковы бы ни
были / (при условии их ограниченности), поэтому его
сумма в любом случае даст нужное решение. Пере рас-
рассмотрел случай уравнения C)и аналогичных уравнений,
когда /ь f2,..-,fn не являются пермутабельными друг с
другом. См. [19]. Он рассмотрел также случай, когда
ряды (Г) и B) не сходятся, и дал условия, которым
должны удовлетворять а^ ...* , &/,*2.../ . (См. [22], с. 11
и [30]).
Таким образом, мы видим, что задача, аналогичная ре-
решению интегрального уравнения C), но являющаяся более
сложной, чем решение обыкновенного уравнения A) или
(Г), имеет в некоторых случаях простое решение, так как

§ 5. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА 149
ряд D), который представляет решение уравнения C),
отличается от B) тем, что он всегда сходится.
Из этих рассмотрений следует, что параллельно алгебре
и обыкновенному анализу, имеющим дело с числами, мы
получили теорию пермутабельных функций первого рода.
Эта теория с некоторых точек зрения является более абст-
абстрактной, поскольку здесь рассматриваемыми элементами
являются не числа, а функции, и операциями (композиция,
композиционная функция) являются не функции, приме-
применяемые к числам, а функционалы, применяемые к функ-
функциям, причем более простые, так как все встречающиеся
здесь ряды всегда сходятся; кроме того, все сингулярные
элементы композиционных функций, имеющие своим источ-
источником обычную теорию аналитических функций, здесь пере-
передвигаются в бесконечность.
85. В качестве примера решения трансцендентного ин-
интегрального уравнения рассмотрим уравнение с неизвест-
неизвестной функцией /:
*-/ + ? + ! + ... + ? + .... E)
которое получается из обыкновенного уравнения
21Т31Т-ТДТ--С ~1 w
заменой величин гиг соответственно на g и /, а степени —
композиционными степенями. Решая F) относительно г, мы
получаем
2;2 /-3 д/г
Z ==: 10g A "\- Г) ==: Г q -р ^г}~ .. . -j- (—- 1^ — ~р . .. , \1)
поэтому решение / трансцендентного интегрального уравне-
уравнения E) имеет вид ряда
* * *
f=s—2 ~Ь"з — • • •+(— 1 У'1 -- + • • • > (8)
который всегда сходится для любой заданной функции g.
86. В качестве примера решения интегрального уравне-
уравнения второй степени рассмотрим уравнение относительно
неизвестной функции /:
= Фо (9)

150 ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ИЛИ
(aj0 + Фх)} + (а31° + Фа) Ь = Фо,
получаемое из обычного уравнения
(аг + иг) z + (а2 +11%) z2 = w0 (9')
заменой z на /, а гг0, ах, w2 — на функции ф0, фг, ф2 (перму-
табельные друг другу). Так как последнее уравнение имеет
решение
обращающееся в нуль при и0 = иг = и2 — 0, то решение
уравнения (9) получится из A0) разложением z в степенной
ряд по и и заменой фигурирующих здесь степеней компо-
композиционными степенями функций ф. Однако следует заме-
заметить, что, в то время как обычное уравнение (9') имеет
два решения, интегральное уравнение (9) имеет только
одно решение, получающееся из A0) описанным выше спо-
способом. Можно показать также, что в общем случае (см.
[87] из библиографии к гл. I, гл. IX, § 16) интегральное
уравнение m-й степени
(aJ° + ?m)/m + (am-J^^
всегда имеет одно и только одно решение, если только
агф0.
§ 6. Функции, пермутабельные с единицей
87. Во всех приведенных выше рассмотрениях, особенно
тех, которые относились к композиционным рядам и функ-
функциям, мы предполагали, что функции /ъ /2, ..., /л, фигури-
фигурирующие одновременно во всех формулах, являются перму-
табельными друг другу. Это условие наложено для того,
чтобы аналогия между композицией и обычным произве-
произведением была полной, т. е. для того, чтобы в случае компо-
композиций были справедливы как свойство коммутативности,
так и свойства ассоциативности и дистрибутивности и чтобы
все обычные правила, выполняемые для алгебраических
операций, были справедливы без исключения и в этом слу-
случае (см. п. 80). Следовательно, особый интерес представляет

§ 6 ФУНКЦИИ. ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ С ЕДИНИЦЕЙ 151
задача определения различных множеств пермутабельных
функций, в рамках которых, согласно рассмотрениям преды-
предыдущих пунктов^ можно построить теорию композиций;
иначе говоря, построить теорию, имеющую дело с отдель-
отдельными функционалами (композиционными рядами и функ-
функциями), определенными в рассматриваемых множествах.
Точнее, основной задачей, подлежащей решению, является
определение всех функций, пермутабельных сданной функ-
функцией. Множество всех таких функций, очевидно, имеет ха-
характер группы, так как композиция любых двух из них
является функцией, принадлежащей тому же множеству.
Мы начнем с исследования частного случая функций
/ (х, у), пермутабельных с константой, которую можно пред-
предполагать равной единице. Тогда для / (я, у) будет справед-
справедливо соотношение
f = ?/E, y)dt
X
Полагая общее значение этих величин равным ф (х, у) и
дифференцируя, получим
fly ,Л_дФ_ ^ <*Р ! аф-П
П*. У)-ду--дх' дх+ dy-V,
откуда следует, что ср (х, у), а значит и / (х, у), является
только функцией от разности у — х. Далее можно пока-
показать, что все функции от разности у — х пермутабельны
друг с другом, а также с единицей. В самом деле, если по-
положить ? — х = у — т), то получим
т. е.
Таким образом, справедлива
Теорема. Все функции, пермутабельные с единицей,
являются также перму табельными друг с другом.
Они образуют особую группу пермутабельных функций,
которую в силу важности в теории эредитарности (см. ниже,
гл. VI, ч. IV) автор ([44], с. 9) назвал группой замкнутого
цикла.

152 ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 7. Порядок функции
88. Прежде чем перейти к исследованию общего случая,
мы дадим некоторые определения и перечислим свойства
пермутабельных функций.
Если функцию / (х, у) можно представить в виде
где а не равно нулю или отрицательному целому числу,
функция ф (х, у) конечна, непрерывна и такая, что ф (х, х) Ф
Ф О, то мы скажем, что / (х, у) имеет порядок а; функция
Ф (л:, х) называется диагональю, а ф (ху у) — характеристи-
характеристикой функции f (xt у). Легко показать, что (см. [42], [44],
с. 11) если две заданные функции имеют соответственно
порядки а и р, то результат их объединения имеет порядок
<х + р, его диагональ равна произведению диагоналей двух
заданных функций.
Можно показать также, что (см. [42], [44], с. 12), если
две функции Д (х, у), /2 (х, */)> соответственно порядков
аир, пермутабельны и их характеристики фх (я, у), ф2 (я, у)
дифференцируемы, то диагонали удовлетворяют соотно-
соотношению
а^^- const.
§ 8. Группа функций, пермутабельных с данной
функцией
89. Возвращаясь к основной задаче об определении
всех функций, пермутабельных данной функции / (х, у)
первого порядка, мы замечаем в первую очередь, что функ-
функцию / (х, у) можно взять в канонической форме, т. е. в виде
Если функция не приведена к каноническому виду, то при
помощи преобразования
h (xl9 Ух) - а (хг) Ъ (yt) f (т (хг), т (уг)) B)
(где а (хг) Ъ (хг) = т' (хг) Ф 0) можно соответствующим вы-
выбором а (хх), Ъ fa), m (jcx) перейти от первоначальной функ-

§ 8. О ГРУППЕ ПЕРМУТАБЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 153
ции / (х, у) к функции /х (х, у) в канонической форме (см.
[44], с. 38). Так как преобразование B), при помощи кото-
которого мы переходим от f к flf не влияет на композицию
в том смысле, что композиция двух преобразованных функ-
функций /i и gx имеет своим результатом преобразованную функ-
функцию для h = fg, т. е.
h (xl9 t/i) =/ili = a (*i) b (уг) h (т {хг)у т {ух)),
то отсюда следует, что для того, чтобы найти все функции,
пермутабельные с/, нужно только определить все те функции,
которые пермутабельны с/х (в канонической форме) и приме-
применить к определенным таким образом функциям обратное
преобразование для B).
Следовательно, мы можем ограничить задачу нахожде-
нахождением всех функций g (x, у), пермутабельных с данной функ-
функцией / (х, у) в канонической форме. Введем вспомогательную
функцию ф (ху у) по формуле
X X
тогда
9(xf^)-0. C)
Дифференцируя и применяя A), получаем
D)
где
Рассматривая D) как два интегральных уравнения с неиз-
неизвестной функцией g и полагая

154 гл. iv. композиции и пермутабельные функции
(разрешающие ядра для D)), мы будем иметь
Интегрируя по частям и полагая
(можно показать (см.* [22]), что
h + hlhlh
где h(x, #) = я7т^)> мы получаем окончательно
С l)F(t,
X
У
откуда для ф имеем интегро-дифференциальное уравнение
(см. также ниже гл. V, § 4)
Обозначая правую часть I (х, у) и полагая и = (у — х)/2,
v == (у + хI2у находим из E) интегральное уравнение
Ф(*. y) = \l(t-u, ? + и)К + Ъ(у-х), F)
и
где д есть произвольная дифференцируемая функция, обра-
обращающаяся (как и ф) при х = у в нуль. Полагая (см. [87]
из библиографии к гл. I, с. 164)

§ 8. О ГРУППЕ ПЕРМУТАБЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 155
можно при помощи метода последовательных приближений
получить решение по формуле
2м
ф(*> У) = \ МлЖл; х, y)dr\,
о
где
Отсюда легко можно вывести (см. [44], с. 42), что все функ-
функции g (х, у), пермутабельные с / {х, у), получаются по фор-
формуле
g(x, У) = Ь(У~х) + ] ЯШф(?; х, y)dl, G)
о
где % {у — х) — произвольная функция, а ф (?; х, у) имеет
вид
х, У) = ^A\ х, у)-
Из G), в частности, следует, что существует одна и только
одна функция g (x, у), которая пермутабельна cf(xyy) и
принимает при х = 0 заданное значение. Достаточно поэтому
определить соответствующую функцию к из интегрального
уравнения Вольтерра
* @, i/) = X(z/) + f^(|)T(i; 0, 0)d6.
О
Метод, описанный здесь для нахождения функций, перму-
табельных с функцией / (я, у) первого порядка, можно рас-
распространить для решения задачи о нахождении всех функ-
функций, пермутабельных с функциями f (x, у) порядков более
высоких, чем первый. Для функций второго порядка этот
процесс был описан в работе автора [40], а для функций
любого целого порядка, при некоторых предположениях
об аналитическом характере рассматриваемых функций,
это рассмотрено в работе Пере [21].

156 ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 9. Преобразование, которое сохраняет закон
композиции, или преобразование Пере
90. Формула G) предыдущего пункта определяет преоб-
преобразование, при помощи которого мы можем перейти от
группы всех функций X (у —х), пермутабельных с единицей,
к группе всех функций g (xy у), пермутабельных с данной
функцией / (х, у). Это преобразование, фактически являю-
являющееся функционалом, определенным в поле функций
X (у— х), пермутабельных с единицей, для краткости будем
обозначать Q (X), или (если мы захотим указать ядро
Ф (?', *, У), от которого она зависит) ?2ф (X).
Однако следует указать, что существуют функцио-
функционалы Q (X) такие, что если их применить к функции X
замкнутого цикла, то они порождают группу функций,
пермутабельных с данной функцией f. Если применить пре-
преобразование Вольтерра
$ A)
к произвольной функции X, то формула G) из предыдущего
пункта принимает вид
]1A; х, y)dl, B)
о
где \i является произвольной функцией и
y)dt. C)
Отсюда мы видим, что B) является также преобразованием
Q9i (|л) таким, что если его применить к группе функций
\i (у —х)у пермутабельных с единицей, то снова порождается
группа функций, пермутабельных с / (х, у). Ядро q>lf кото-
которое определяет это новое преобразование, дается по фор-
формуле C), которая далее позволяет получить наиболее общее
выражение для ^ при произвольной функции k (см. [21]).
Среди всех преобразований йф (X), зависящих от произ-
произвольной функции k (x> у) двух переменных, мы попытаемся
найти такое (если оно существует), которое сохранило бы

§ 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕ 157
композиционное свойство (преобразование Пере), т. е. та-
такое, для которого имеем
|* Q(X)Q() Q(V) D)
где g = Q (к), h = Q (|л).
Соотношение D) при помощи A) легко преобразуется
(см. [44], с. 58) к виду
; х, у-х) +
)ф(т; ?, */)dg, E)
т. е. мы получаем уравнение, которому должно удовлетво-
удовлетворять ядро ф (?; х, у)у являющееся характеристическим для
Q. Беря теперь функцию п (х, у) произвольной и полагая
"Ф, у) = — п(х, у) + п2(х, у)-п?(ху у) + ...
(т. е. т есть обратная для п функция), мы получаем соот-
соотношение (см. формулу A1) п. 43)
т(х, у) + п(х,
X
связывающее т и п, т. е.
(Г0 + т)A*0 + п) = Г0 = (Р + л)A*0 + т). F)
Легко убедиться (см. [29], [44], с. 60), что наиболее общее
выражение для ядра ф преобразования Q, сохраняющего
композиционное свойство (выражение, зависящее от про-
произвольной функции п (х, у) от двух переменных), дается
формулой
Ъ, у) + т(х, у-1) +
+ J m(x, t)n(t + l, y)dt, G)
X
а соответствующее преобразование йф (к) — формулой
g(x, й-A° + л)Ц1° + т). (8)

158 гл. iv. композиции и пермутабельные функции
В самом деле, если h(x> у) есть любая другая функция
вида
h(x, t/) = Q(|i)
то мы будем иметь
Q%)U) ih (b )X\" )(l"
и, согласно F),
* * *****
Таким образом, преобразование Q, определяемое соотно-
соотношением (8), где пит связаны равенством F), является
наиболее общим преобразованием, сохраняющим компози-
композиционное свойство.
Чтобы показать, что группа функций, пермутабельных
сданной функцией/(ху у) (в канонической форме), порожда-
порождается преобразованием Пере, т. е. одним из этих преобра-
преобразований ?2ф, сохраняющим композиционное свойство, нам
достаточно только показать, что ядро ф определяется из
соотношения
f(x, У) = ОФA),
так как все функции g, пермутабельные с /, определяются
в виде
g(x, у)=*Оф(Я,),
где X — любая функция, принадлежащая группе замкну-
замкнутого цикла.
Такое ядро ф (?; х, у) фактически дается (см. [26]) фор-
формулой
!•$ Лц*1ц*1Ц2..Хп(х, У-5), (9)
0 О
где 1Ц (х, у) = / (х + г), у + ц), a I (xf у) определяется из
уравнения
*** *****
/(ж, у) = 14-1/1 + ШИ+... A0)
при помощи формулы
1{х, y) = — h-h\h-h\h\h-..., A1)
#* * ** ***

i II. СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 159
vjyth{x, y)=:jf-jf- Следовательно, функция I (х, у), опре-
определяемая по формуле A1) (ее нужно подставить в (9), чтобы
получить ядро ф преобразования), в точности совпадает
с функцией F (х, у), рассмотренной в предыдущем пункте.
§ 10. Основная теорема о пермутабельных функциях
9t. Поскольку существует подходящее ядро ф (?; х, у)
преобразования Йф, которое сохраняет композиционное
свойство такое, что ?2Ф A) равно заданной произвольной
функции f (x, у), то для группы всех функций g (x, у), пер-
пермутабельных с / (х, у) и таких, что
g(x, У) = а9(Ь) = Цу-х)+У]*ХA)<р(Ъ; х, y)dt, A)
о
справедлива следующая основная
Теорема. Все функции, пермутабельные с данной
функцией f первого порядка, пермутабельны друг с другом.
Действительно, если g и h суть две такие функции, по-
получаемые при помощи общего преобразования A) соответ-
соответственно из двух других функций К и |х, принадлежащих
группе замкнутого цикла, то
и, так как Q есть преобразование Пере (сохраняющее ком-
композиционное свойство), то отсюда следует (учитывая, что
Я и |л пермутабельны с единицей, а следовательно, и друг с
другом), что
gh=*Q (I) Q (ji) = Q (k\i) == Q (\xk) = Q (\i) Q (h)*=*hg.
Доказательство этой теоремы, данное здесь, принадлежит
Пере, однако она была сформулирована автором ([42], [44],
с. 66).
§ 11. Композиционные степени с дробными
показателями
92. Ранее (см. п. 81) мы уже определили композицион-
композиционные степени с положительными целыми показателями,
а также степень с показателем 0. Если для заданной функ-

160 ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ции A (x\ у) существует другая функция g (х, у) такая, что
*
gn = A (n есть положительное целое), то мы скажем, что
g есть степень функции А, показателем которой является
1/я, и будем писать
Мы определяем степень функции с показателем pin (положи-
(положительная дробь) при помощи соотношения
}iPin = gp (p —целое).
Следовательно, для определения композиционной дробной
степени функции А мы должны решить двучленное уравне-
уравнение вида
8"(х, y) = h(x, у) A)
относительно неизвестной g (х, у). Если функция А имеет
порядок Р (положительный), то порядок функции g будет
равен р//г (см. п. 88). Мы покажем, что уравнение A) раз-
разрешимо, если можно определить функцию О (х> у) порядка
р/дг, пермутабельную с h (x, у).
В этом случае Ъп будет иметь порядок р и она пермута-
бельна с А. Поэтому (см. п. 88) отношение диагоналей А и
$п будет равно постоянной с, а функция А — сЬп будет
иметь более высокий порядок чем р. Но интегральное
уравнение
$ $ B)
при некоторых условиях таких, как условие дифференци-
дифференцируемое™ (см. п. 48), будет иметь решение ф, пермутабель-
ное с О, поэтому
Если функция ф определена по B), то для определения h1/n
= g нужно только положить
1*
\
I

$ 11. СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 161
В частности, если А пермутабельна с функцией / (х,у) пер-
первого порядка, которую всегда можно считать заданной в
канонической форме (см. п. 89), то, определив (как и в пре-
предыдущем пункте) преобразование Оф (А,), которое порожда-
порождает все функции, пермутабельные с /, достаточно взять Ф
в виде
•(*. У) = (У-х)*~1+У1*е*~1ч(Ъ\ х,
93. Композиционные степени с любым показателем.
Если А имеет заданный порядок а, т. е. если
и если степени с дробным показателем hpin и порядка U~ ал
определяются по формуле
* '- -ч/г , / р\
ЧХ> У'9 п)'
где / (х, х\ pin) = [h (x, x)]p/n, то во многих случаях можно
перейти к определению степеней с иррациональным пока-
показателем. В самом деле, если / (я, у\ pin) равномерно стре-
стремится к / (х, у\ у) при стремлении pin к рациональному
числу у и если оно стремится равномерно к определенному
конечному пределу, который мы обозначим / (х, у, z),
когда pin стремится к иррациональному числу z9 то, по
определению, мы можем положить
П г (az) l \Xf У' Z>*
Все алгебраические правила для обычных степеней легко
распространяются на композиционные степени с действи-
действительными показателями. Среди прочих результатов мы бу-
будем иметь формулы
В частности, если взять А = 1, то получим
\P,,r<K=*L
в В. BoxbTtppt

162 JJI. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
и, следовательно, для любой положительной величины г
справедливо соотношение
Г (г)
(целая функция от г). Если h есть функция (принадлежа-
(принадлежащая группе с замкнутым циклом первого порядка), диффе-
дифференцируемая и с диагональю, равной единице, то мы полу-
получаем
чаем
где h' обозначена производная функции h (у — х) по у;
поэтому
Тогда hz также будет целой функцией от z.
Если h — функция первого порядка, заданная в кано-
*
нической форме, то можно определить hz\ это следует из
того, что если йф есть преобразование Пере (сохраняющее
композиционное свойство), для которого
(см. п. 91), то степень h" будет иметь вид
*
Здесь h* также является целой функцией от z.
Эта теорема впервые была сформулирована автором
в 1919 г., а впоследствии доказана Пере 128].
§ 12. Асимптотические методы
94. Другой метод вычисления композиционной m-й сте-
степени функции /, который можно назвать асимптотическим,
основан на соотношении

§ 13. композиционные дроби 163
и переходе к пределу при г = 1. В самом деле, если этот
предел существует, то будем иметь
В частности, если / имеет порядок п (см. п. 88), то этим
методом мы можем вычислить fl/n, имеющий первый по-
порядок. Если мы хотим определить все функции, пермута-
бельные с функцией / любого целого порядка п (задача, ре-
решенная Пере для случая, когда / является аналитической
функцией), то достаточно только определить группу функ-
функций, пермутабельных с fl/n (функцией первого порядка),
и эти функции также будут пермутабельными с / = (f1^I1
(см. [45]).
§ 13. Композиционные дроби и композиционные
степени с отрицательными показателями
95. Как и в случае степеней, если мы имеем две функ-
функции fug, принадлежащие группе пермутабельных функ-
* *
ций, то, по определению, символ glf будет обозначать ком-
композиционную дробь (принадлежащую группе) с числителем
* * * *
g и знаменателем /. Две композиционные дроби gx/ft и g2/f2
будем называть равными, если gj2 = gj^ Легко видеть,
что при таком определении основные свойства равенства
сохраняются; например, две композиционные дроби, рав-
равные третьей, равны друг другу (см. [42], [44], с. 89).
Можно доказать также, что
**
8 -.& п\
* — * * • V *;
1 fh
Свойство A) полезно при упрощении композиционных дро-
дробей. Например, если g более высокого порядка, чем /,
то найдется точная (не символически) функция такая, что
g = fh, поэтому
* #* *
S.-fJL-1-h
/ /А» Ы>
в*

164 ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
В этом случае (и только в этом случае) композиционная
дробь gff есть не только символ, но и точная функция Л,
которая при умножении на знаменатель / дает числитель g.
Благодаря свойству A) можно видеть также, что несколько
композиционных дробей можно привести к общему знаме-
знаменателю. Поэтому мы получаем определение суммы (или
разности) двух или более композиционных дробей. Ком-
Композиция двух или большего числа дробей получается умно-
умножением всех числителей и всех знаменателей.
96. Из приведенных выше определений и правил сле-
следует формула
i-
*
т. е. результат умножения дроби на ее знаменатель дает
числитель. Если ввести символ /-1 по формуле f'H — f0, то
увидим, что (gr1) f = g. Поэтому естественно написать
После того как мы ввели определение степени f~l$ для
определения f~m положим
где т — произвольная положительная величина (см. п. 95).
Заметим (см. [23]), что эти композиционные степени с отри-
отрицательными показателями, имевшие до сих пор чисто сим-
символическое значение, во многих случаях можно заменить
точными функциями. Для этого нам нужно только опреде-
определить функцию порядка а (где а может быть отрицательным,
но не нулем или отрицательным целым) как функцию /,
которую можно представить в виде
fix* *)-fir|F
где ф (xf х) Ф 0. Функции порядка а (а не равно нулю
1ли отрицательному целому) будем называть функциями
регулярного порядка. Композиция двух функций / и g ре-
регулярных порядков а и Р при условии регулярности а + |$

§ 14. КОМПОЗИЦИОННЫЕ ЛОГАРИФМЫ 165
определяется по обычной формуле
при этом, если интеграл будет бесконечным, следует брать
его конечную часть (по поводу определения конечной части
несобственного интеграла и его свойств см. работу Адамара
[11]). Кроме того, если дано любое соотношение, содержа-
содержащее символические выражения (композиционные дроби,
степени с нулевым или отрицательным показателем), то
для преобразования первоначального соотношения в соот-
соотношение с обычными функциями необходимо умножить
все его члены на функцию достаточно высокого положи-
положительного порядка.
§ 14. Композиционные логарифмы
97. Мы будем называть последовательность
?-1 1-1 ?0 f ?2
композиционной прогрессией, показатели композиционными
логарифмами различных степеней, а / — основанием, и бу-
будем писать
log//m*=m или иначе log/ }m «log/ fmf°» m/°,
если даже т не есть целое.
Теперь рассмотрим функцию е/°*=е нулевого порядка;
мы имеем ez = ezf° = ezf°y поэтому
Примем е в качестве основания системы композиционных
логарифмов, которое будем называть неперианом.
Так как
то, по определению, положим

166 ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
где ф — произвольная функция. Если
?ф = г|), B)
го, опять по определению, ф есть композиционный лога-
рифм от \|) с основанием е, и будем писать
* *
ф = log* -ф ИЛИ ф = /i|5. C)
В п. 85 мы уже рассмотрели ряд A); формула (8) из п. 83
есть частный случай формулы
Аналогично
%mw = фО? *ф+2пя&° в ^ф (п _ целое).
98. Определим теперь композиционный неперовый ло-
логарифм функции if. Если ф в формуле B) есть функция
положительного порядка, то мы получаем
где
е-»+§ + ... + ? + ... D)
Если функция "ф, логарифм которой мы хотим определить,
имеет вид
t|>=!« + ft, E)
то для определения /ф = ф мы должны решить уравнение
поэтому (см. п. 85)
Ф = ^ = Л-| + |_...+(_1)^| + ... E')
Если "ф не имеет вида E), то из C) следует, чтсф* =е*ф,
и, дифференцируя по г, получаем
А * * * * *

§ 14. КОМПОЗИЦИОННЫЕ ЛОГАРИФМЫ 167
откуда, наконец, находим
*
ах
Таким образом, мы получили ]г|? в виде композиционной
дроби, которая, как легко видеть, не зависит от г (см. [44],
с. 121), если i|) (л:, у) имеет порядок а > 0 и
есть аналитическая функция от г.
*
99. В качестве примера вычислим Л. Так как
1 ж
Г (г)
(см. п. 93), то будем иметь (во избежание путаницы мы
обозначаем log А неперов арифметический логарифм числа А)
*fi^-*)-fi^r(z)-«(*. у, г)
Поскольку Л не зависит от г, то полагаем z = 1 и
получаем
0(xf y\ l) =
(здесь С =¦ 0,57721 ... есть константа Эйлера), поэтому
\og(!J-x)+C
100. Композиционные логарифмы имеют следующие
свойства:
(а) Щ)=Лг]) + Ш, (Ь)
(с) f^ ?

168 ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
или, в другой форме,
Свойства (с) и (с')» которые были доказаны для действи-
действительных т, можно распространить на случай произволь-
произвольных комплексных т. Следовательно, мы имеем
*
Таким образом, если ф = еФ, то для любого комплексного
т можно определить tym в виде
Далее, если <р и Ь являются пермутабельными, то, по
* *** *
определению, мы положим (e^r = e^t и если ?ф = г|?э то
^-e^r.jt. (8)
Обобщая опять определение логарифма, будем полагать
в этом случае
и называть Ф композиционным логарифмом от х с основа-
основанием г|).
Из (8) еледует, что
i1- (9)
101. Если мы хотим определить неперов логарифм
функции f (у — #), принадлежащей группе замкнутого
цикла, дифференцируемой и имеющей первый порядок
(/ @) = 1), то, учитывая, что
будем иметь

§ 15. КОМПОЗИЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ 169
и, согласно E'),
tf = H+f-/2+V--" = n+(I>' A0)
*
где Л есть символическая функция, а ф — точная (не сим-
символическая) функция.
Если мы определим логарифм функции / с основанием Дэ
то, согласно (9), мы получим
/1 Ш
поэтому необходимо решить интегральное уравнение Воль-
Вольтерра первого рода с ядром log (у — х) + С, т. е. уравне-
уравнение, которое мы выше, в п. 51, уже исследовали.
Вообще, пусть даны две пермутабельные функции ф
и х; если
Y^iy-xr^hix, у; г),
*? = а (у - хГ'-1 h (xt у; z) log {у - х) + (у- х)**-1 К (х, у; г),
* *
то для определения log1|Jx==* = i* мы придем к инте-
гральному уравнению Вольтерра первого рода с логариф-
логарифмическим ядром вида
* *
(см. [42], [44], с. 127).
§ 15. Композиционные функции
102. В п. 82 мы уже рассмотрели некоторые частные
функционалы, зависящие от функции / двух переменных
и от двух параметров х и у. Эти функционалы, имеющие вид
g(x, y)~F\f\ x, y] = aJ+a$ + a3f* + ... + anf» + ..., A)
мы назвали композиционными рядами и композиционными
функциями.
Теперь покажем, что все они обладают следующими ос-
основными свойствами:

170
ГЛ. IV. КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1) функционал F [f\ x,y] = g(x, у), рассматриваемый
как функция от двух параметров, есть функция, пермута-
бельная с/;
2) если взять любую другую функцию <р (х, у), пермута-
бельную с /, то предел
1ЬпРи+«я-Р\п
о
существует и не зависит от ср. Этот предел будем называть
композиционной производной функционала F по / и обо-
dF
значать -* .
df
df
В случае функционала A) получаем
df e—о еф
n fO ! On f I Qa Й I \ v*n fn-1 I /O\
= CL\J -j- Zw2/ ~\~ OU3/ -p . . . -j- nCi; I -J- ... ^Zj
В общем случае функционал F [/; л:, у], зависящий от
функции J двух переменных и от двух параметров х и у,
есть композиционная функция (первого рода) от /, если
она обладает сформулированными выше двумя основными
свойствами.
Поэтому мы примем эти два свойства в качестве основы
для определения композиционной функции. Заметим, что
второе из этих свойств аналогично условию моногенности
Л. f (z-fez') —/(?) Л
lim-^—!—т—LljlHe зависит от комплексного числа z ,
являющемуся основой для определения функции f(z)
одной комплексной переменной. В частности, чтобы вычис-
вычислить производную -j-, мы придаем / приращение е/° и
df
получаем соотношение
при помощи которого вычисление композиционной произ-
производной -у сводится к вычислению обычной производной.
df

15. КОМПОЗИЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
171
Можно показать (см. [42], [44], с. 152), что композицион-
*
ная производная -*- сама является новой композиционной
df
функцией от /. И наоборот, если дана композиционная
функция Ф [/], то можно ставить задачу об определении
той композиционной функции F [/], производной которой
является Ф [/]. Естественно обозначить
Сначала определим композиционный определенный интег-
интеграл следующим образом. Если / (х, у\ s) — однопараметри-
ческое семейство функций (зависящих от параметра s),
принадлежащих группе пермутабельных функций, то ре-
результат умножения Ф [/ (а:, у\ s)] на Л*.* Mill также бу-
будет функцией от параметра s. Полагая
/(*• У\ а) = к(х, */), f(x, y\ Ь) = Ы*. у),
по определению, будем иметь
^;з)]%^. C)
Это определение и обозначение вполне приемлемы, так как
можно доказать (см. [42], [44], с. 159) теорему, аналогичную
теореме Коши для функций одной комплексной переменной,
а именно, что приведенное выше выражение зависит только
от двух функций fx и f2, являющихся пределами интеграла,
и не зависит от пути перехода от fx к /2> т. е. не зависит
от промежуточной функции
f(x, y\ s), a<s<b.
Точнее, можно доказать, что если / (х, у\ и, v) есть множе-
ство пермутабельных функций f (я, у) и если / и Ф [/1 —
обе регулярные непрерывные и дифференцируемые функ-
функции отмии (когда точка с координатами и и v изменяется
в области а с границей s), то композиционный интеграл
будет тождественно равен нулю.

172 ГЛ. IV КОМПОЗИЦИИ И ПЕРМУТАБЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Легко видеть также (см. [421, [44], с. 161), что если
в композиционном интеграле C) считать верхний предел /2
переменным, то сам интеграл будет композиционной функ-
функцией F [/а] от предела /2 и
§ 16. Композиционные ряды второго рода
103. Выше, в п. 82, мы уже видели, что если
. A)
есть степенной ряд с радиусом сходимости, отличным от
нуля, то композиционный ряд первого рода
a1zf + a2z*f* + ... + anz»h + ... B)
всегда будет сходиться для любых z и /, т. е. он представ-
представляет собой целую функцию от г.
Если мы теперь рассмотрим ряд -
** #* **
axzf + a2z*f* + a3z*f* + ... + anznf* + ..., C)
который будем называть композиционным рядом второго
рода, то он является функционалом от f, но, вообще говоря,
не будет выражать целую функцию от z. Для ряда C)
справедлива следующая основная
Теорема. Если функция ф (z), данная формулой A),
является целой функцией, то ряд C) также является целой
функцией от z; если функция ф (г) представляет собой отно-
отношение двух целых функций (мероморфную функцию от z),
то ряд C) также является отношением двух целых функций
от z (мероморфной функцией от z).
Автор дал прямое доказательство этой теоремы, исполь-
используя при этом метод перехода от конечного числа переменных
к бесконечному числу (см. п. 3; [871 из библиографии к гл. I,
с. 192. См. также гл. V, § 7). Другое доказательство этой
теоремы дал Лебег [15].
Если мы знаем сингулярные точки zt (характеристиче-
(характеристические значения, см. п. 45) для
S(x, у; z) = zf + z*Y* + z**f* + ... + z"*f* + ... D)

§ 16. КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ ВТОРОГО РОДА 173
(взаимное или разрешающее ядро второго рода для —zf)
и сингулярные точки Zj для ср (z), то из хорошо известной
теоремы Адамара следует, что сингулярные точки z степен-
степенного ряда C), коэффициентами которого являются произ-
произведения соответствующих коэффициентов рядов A) и D),
все содержатся среди точек tu z/, так как z{ и Zj не зависят
от л: и у, то положения сингулярных точек г ряда C), который
также является функцией от х и у, не зависят ни от х, ни
от у (т. е. они являются фиксированными сингулярными
точками).
104. Для композиционных рядов второго рода C) также
справедливы некоторые свойства, которыми обладают ком-
композиционные ряды первого рода. Например, для целой
функции v (г, х, у) из п. 83, имеющей вид
v(z\ х, y)~zf + ~b + ... + ?~
справедлива интегральная теорема сложения (т. е. (9) из
п. 83)
у
v(z2\ x, y) + ]v(z1\xfl)v(zt\l9 y)dl
x
Кроме того, если /j и f2 суть пермутабельные функции
первого рода, то
F (h + h] = F [h] + F [f2] + F \fi] F [/,];
в соответствии с этим для целой функции вида
u(z; х, у) = г/ + |*Л + ... + 5Тл + ...
(композиционный ряд второго рода) имеет место интеграль-
интегральная теорема сложения второго рода
u(zx + z2\ х, y) = u(zi, xt y) + u(z2f x, y) +
+ И*ь *• 5)^B2; 5, y)dt, E)
a
а также
Ф [/i + /2] = Ф [fi] + Ф [/2] + Ф [Ф U2I

174 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. IV
Вообще говоря, мы видели, что новые функции от z, полу-
полученные при помощи C) из известных целых функций ф (г)
(или из известных мероморфных функций), обладают свой-
свойствами, аналогичными свойствам первоначальных функций
Ф (г). Например, продолжают оставаться справедливыми
теоремы сложения, однако вместо алгебраических теорем
сложения теперь мы имеем интегральные теоремы сложе-
сложения второго рода (т. е. формулу E)).
105. Из композиций второго рода особенно хорошо изу-
изучены функции, называемые периодическими ядрами Ивенса,
т. е. функции вида f (х — у) + ф (х + у), где / и <р явля-
являются периодическими функциями с периодом, равным ин-
интервалу интегрирования. Ивенс показал, что его взаимные
ядра D) имеют такую форму (см. [10], а также [1], [4]).
БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛАВЕ IV
1. A n d г е о 1 i G. Sui nuclei periodici di Evans e la composizione
di seconda specie, I, 11.—Rend. R. Accad. dei Lincei, 1916, E)
25, 252—257, 299—305.
2. A n d г е о 1 i G. Sulla risoluzione di certe equazioni di composi-
composizione di seconda specie. Note I. Sulla soluzione generale di una classe
di equazioni di composizione. Note II. — Rend. R. Accad. dei Lin-
Lincei, 1916, E) 25, 360—366, 427—433.
3. A n d г е о 1 i G. Sopra certe equazioni di composizione di seconda
specie. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1917, E) 26, 234—239.
4. A n d г е о 1 i G. Sulle equazioni integrali a nuclei di Evans. —
Rend. Accad. Sci. Fis. e Mat. di Napoli, 1923, C) 29, 42—50.
5. В о m p i a n i E. Sopra le funzioni permutabili. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1910, E) 19, 101—104.
6. D a n i e 1 e E. Sui nuclei che si riproducono per iterazione (Algebra
delle funzioni permutabili). — Rend. Circ. Mat. di Palermo, 1914,
37, 262—266.
7. E v a n s G. C. Sopra Talgebra delle funzioni permutabili. — Mem.
R. Accad. dei Lincei, 1911, E) 8, 695—710.
8. E v a n s G. С Applicazione dell'algebra delle funzioni permuta-
permutabili al calcolo delle funzioni associate. — Rend. R. Accad. dei Lin-
Lincei, 1911, E) 20, 688—694.
9. E v a n s G. С L'algebra delle funzioni permutabili e non permu-
permutabili. — Rend. Circ. Mat di Palermo, 1912, 34, 1—28.
10. E v a n s G. C. Application of an equation in variable differences
to integral equations. — Bull. Amer. Math. Soc, 1916, 22, 493—503.
11. Ha da mar d J. Recherches sur les solutions fondamentales et
l'integration des equations lineaires aux derivees partielles. — Ann.
Ecole Nor. Super., 1904, C) 21, 535—556.
12. H a d a m a r d J. Le principe de Huygens et prolongement analyti-
que. Hull. Soc. Math, de France, 1924, 52, 241—278.

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. IV 175
13. L a u г i с е 1 1 a G. Sopra l'algebra delle funzioni permutabili di
seconda specie. — Ann. di Math. Рига ed Appl., 1913, C) 21, 317—
351.
14. L а и r i с e 1 1 a G. Sopra le funzioni permutabili di seconda spe-
specie. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1913, E) 22, 331—346.
15. L e b e s g и e H. Sur un theoreme de M. Volterra. — Bull. Soc.
Math, de France, 1912, 40, 238—244.
16. L и s i s A. Permutables funkcijas un Volterra integralvienadojums
(On permutable functions and Volterra's integral equation). — Ann.
of the Univ. of Latvia, 1927, 17, 623—638.
17. N a 1 1 i P. Sopra una relazione fra la teoria della composizione
di prima specie e lo studio delle serie divergenti. — Rend. Circ. Math,
di Palermo, 1917, 42, 206—226.
18. Norlund N. E. Sur une application des fonctions permutables. —
Lunds. Univ. Arrsskrift, 1920, N. F. Adv. 2, 16, № 3.
19. P ё г ё s J. Sulle equazioni integrali. —Rend. R. Accad. dei Lin-
Lincei, 1913, E) 22, 66—70.
20. P ё г ё s J. Sur les fonctions permutables analytiques.—Rend. R.
Accad. dei Lincei, 1913, E) 22, 646—648; 1914, E) 23, 870—873.
21. Peres J. Sur les fonctions permutables de premiere espece de
M. Volterra. — J. de Math., 1914, G) 1, 1—97.
22. P ё г ё s J. Sur les fonctions permutables de premiere espece de
M. Vito Volterra. These de doctorat. — Paris: Gauthier-Villars,
1915.
23. P ё г ё s J. Sur la composition de premiere espece. Les fonctions
d'ordre quelconque et leur composition. — Rend. R. Accad. dei
Lincei, 1917, E) 26, 45—49, 104—109.
24. P ё г ё s J. Quelques proprietes des fonctions de Bessel. I, II. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1918, E) 27, 374—378, 400—402.
25. Peres J. Sur certaines transformation fonctionnelles. —C. R. de
L'Acad. des Sci. de Paris 1918, 166, 939—941.
26. P ё г ё s J. Sur certaines transformations fonctionnelles et leur
application a la theorie des fonctions permutables. — Ann. Ecole
Norm. Super., 1919, C) 36, 37—50.
27. Peres J. Sur les transformations qui conservent la composition. —
Bull. Soc. Math, de France, 1919, 47, 16—37.
28. Peres J. Sulla teoria delle funzioni permutabili.—Rend. Seminario
Math., Roma, 1920, 6.
29. P ё г ё s J. Transformations qui conservent la composition. Sur
les fonctions permutables. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1921,
E) 30, 318—322, 344—348.
30. Peres J. Sur l'inversion de certaines relations integrales. — Сотр.
Rend. Congres des Soc. Savants, 1922.
31. Peres J. Quelques complements sur les transformations qui con-
conservent la composition. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1924, E)
33, 393—396.
32. R e с с h i a M. Sopra l'algebra delle funzioni permutabili di se-
seconda specia. — Atti Accad. Gioenia di Sci. Naturali in Catania,
1917, E) 10, memoria 25, 1—41.
33. S e v e г i n i С Sulle funzioni permutabili di seconda specie. —
Atti Accad. Gioenia di Sci. Naturali in Catania, 1914, E) 7, memoria
20, 1—22.

176 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ TV
34. S I n I g а 11 ? a L. Sulle funzioni permutabili di seconda specie. —«
Rend. Accad. del Lincei, 1911, E) 20, 563—569, 460—465, 1912, E)
21, 831—837, 1913, E) 22, 70—76.
35. V e s s i о t E. Sur les groupes fonctionnels et les equations integro-
differentielles lineaires. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1912,
154, 571—573.
*6. V e s s i о t E. Sur les functions permutables et les groupes conti-
nus de transformations fonctionnelles lineaires. — G. R. de l'Acad.
des Sci. de Paris, 1912, 154, 682—684.
J7. V о 1 t e г г а V. Questioni generali sulle equazioni integrali ed in-
tegro-differenziali. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1910, E) 19, 107—
114.
38. V о 11 e г г а V. Sopra le funzioni permutabili. Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1910, E) 19, 425—437.
39. V о 1 t e г r a V. Sopra le funzioni permutabili di seconda specie
e le equazioni integrali. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1911, E) 20,
521—527.
40. V о 1 t e г г а V. Contributo allo studio delle funzioni permutabili. ~-
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1911, E) 20, 296—304.
41. Volterra V. The theory of permutable functions (Lectures de-
delivered at Princeton University, October 1912). — Princeton: Prin-
Princeton Univ. Press, 1915.
12. V о 1 t e г r a V. Teoria delle potenze dei logaritmi e delle funzioni
di composizione. —Mem. R. Accad. dei Lincei, 1916, E) 11, 167—
269.
43. Volterra V. Functions of composition. — Rice Inst. Pamphl.,
1920, 7, № 4, 181—251.
44. Volterra V. et P 6 г ё s J. Lecons sur la composition et les
fonctions permutables. (Coll. Borel). — Paris: Gauthier-Villars, 1924.
45. V о 11 e г г a V. Sur les fonctions permutables. *- Bull. Soc. Math.
d« France, 1923, 52, 548^568.

Глава V
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И УРАВНЕНИЯ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
ЧАСТЬ I. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Общие понятия теории интегро-дифференциальных
уравнений
106. Вообще говоря, дифференциальные уравнения свя-
связывают неизвестные функции, их производные и независи-
независимые переменные. С другой стороны, интегральные уравне-
уравнения (см. гл. II) содержат неизвестные функции под зна-
знаком интеграла.
Мы будем теперь употреблять термин интегро-дифферен-
циальное уравнение в том случае, когда уравнение содер-
содержит неизвестную функцию вместе с ее производной и когда
либо неизвестная функция, либо ее производная, либо обе
вместе встречаются под знаком интеграла. Однако это
является чисто формальной классификацией, так как можно
легко перейти от одного типа уравнений к другому типу.
Например, функциональное уравнение типа
F\jf(t)\ x] = z(x)9 A)
которое можно получить из системы конечных уравнений
У*, ...» Уп) = *и 1=1» 2, ..., п, B)
обычным процессом перехода от конечного числа к беско-
бесконечному числу переменных, классифицируется как интег-
интегральное уравнение (см. п. 41), так как мы предполагаем,
что, вообще говоря, функционал F [у (t)\ x\ можно разло-
разложить в ряд (по интегралам), аналогичный ряду Тейлора
(см. п. 30). Если вместо системы B) конечных уравнений
рассмотреть систему обыкновенных дифференциальных

178 ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
уравнений
ТйГ = /i (Уъ Уъ .. •, Уп,
dx
i, У2, ...» Уп,
C)
то неоднократно примененный выше метод перехода от ко-
конечного числа к бесконечному числу переменных, замена
дискретной последовательности значений 1, 2? ..., п непре-
непрерывно меняющимся параметром t в интервале (а, Ъ) при-
приведет нас к уравнению вида *
* Л] D)
относительно неизвестной функции у (х, ?) *).
Уравнения такого типа, согласно нашему определению,
можно считать интегро-дифференциальными уравнениями.
Поэтому мы будем называть их обыкновенными интегро-
дифференциальными уравнениями первого порядка.
107. Легко видеть, что уравнения вида D) сводятся
к интегральным уравнениям вида A), изученным ранее.
В самом деле, интегрируя D) от х0 до х, обозначая у0 (I)
(произвольное) значение неизвестной функции у (х, ?) при
х = х0 (начальное значение), мы получаем
F \у(х, 0; х, t]dx, E)
- L a J
т. е. уравнение, которое (если считать первую переменную х
неизвестной функции в качестве параметра) совпадает
с уравнением вида A); условия разрешимости таких урав-
уравнений уже были изучены в гл. II (пп. 54—56). Далее, для
интегрирования уравнения D) мы можем использовать ме-
метод последовательных приближений Пикара. Если пред-
предположить, что функционал F является непрерывным и
удовлетворяет неравенству
F[@; х, t
*) По поводу обозначений см. п. 6.

§ 1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ l79
(где А — некоторая константа) при условии, что
(это является аналогом условия Липшица для обыкновен-
обыкновенных дифференциальных систем), то, задавая произвольно
начальное значение if (?) = у0 (?) == у (хо> ?) неизвестной
функции при х = х0, мы можем построить последователь-
последовательность функций yt (а:, ?), которая будет сходиться равно-
равномерно к функции у (х, |), зависящей от ф (I) (т. е. к функ-
функционалу от if) и имеющей вид
эта функция при сделанных выше предположениях дает
единственное решение уравнения D), которое при х = х0
принимает заранее заданное значение г|э (?).
108. Легко видеть, насколько трудна классификация
интегро-дифференциальных уравнений. Если производная
берется всегда по одной переменной, то интегро-дифферен-
циальное уравнение называется обыкновенным. Оно назы-
называется уравнением п-го порядка, если п есть порядок наи-
наивысшей производной. С другой стороны, интегро-дифферен-
циальные уравнения, часто встречающиеся в физике и ма-
математике (см. пп. 116—121), содержат производные по
различным переменным; поэтому эти уравнения называ-
называются интегро-дифференциальными уравнениями с частными
производными. Ниже, в §§ 3—7, мы дадим некоторые при-
примеры таких уравнений. Интегро-дифференциальные урав-
уравнения с частными производными существенно отличаются
от обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений,
как это имеет место и в случае дифференциальных уравне-
уравнений, однако следует указать, что есть также существенная
разница между различными типами обыкновенных интегро-
дифференциальных уравнений. Так, например, в то время
как решения обыкновенных уравнений, рассмотренных
в пп. 106, 107 и 109, зависят от произвольных функций,
решения уравнений (также обыкновенных), рассмотренных
в п. 115, зависят только от произвольных постоянных.
Имеется большой класс интегро-дифференциальных
уравнений, тесно связанных с дифференциальными урав-
уравнениями, и поэтому допускающих классификацию, анало-
аналогичную классификации уравнений. Такими являются урав-

180 ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
нения, получающиеся из теории пермутабельных функций
методом, аналогичным методу, использованному для ин-
интегральных уравнений в пп. 84—86 (эти уравнения мы
рассмотрим ниже в § 3 и в п. 118). Можно среди интегро-
дифференциальных уравнений с частными производными
выделить некоторые типы, аналогичные эллиптическим,
гиперболическим и параболическим типам дифференци-
дифференциальных уравнений. (Такие уравнения мы рассмотрим в
§§ 6, 7.)
Основные вопросы о существовании интегралов интегро-
дифференциальных уравнений в случаях линейных и
нелинейных, в случае любого числа переменных и уравне-
уравнений и даже в случае бесконечного числа их были исследо-
исследованы в работах Помейа. Далее, результаты Помейа позво-
позволяют получить решения интегро-дифференциальных урав-
уравнений, иногда при всех значениях переменных, а иногда
в конечных областях (см. [45]—[51]).
§ 2. Первые примеры интегро-дифференциальных
уравнений
109. Особо интересный случай был исследован Шлезин-
Шлезингером [53], [54], когда F является линейным функционалом,
т. е. уравнение D) имеет вид
, t)y(x, f)dt.
Для этих уравнений можно построить теорию, полностью
аналогичную теории Фукса для систем линейных дифферен-
дифференциальных уравнений.
ПО. Другие интересные примеры интегро-дифферен-
интегро-дифференциальных уравнений можно получить из вариационного
исчисления, когда для нахождения минимума или макси-
максимума функционала F приходится приравнивать нулю его
функциональную производную (см. п. 33). Так, например,
приравнивая нулю функциональную производную функ-
функционала
F[y(t)] = \\f(t, и, у it), y{u))dtdu,

§ 2. ПРИМЕРЫ 181
имеем интегральное уравнение
а
где
df(x, U y(x),y(t))_, df(t} x,
ду(х) ~/ь ду(х) ~[2'
Для функционала
F[y(t)]^\f(t, х, у{t), у{t), y'(t), y'(x))dtdx,
а а
полагая
х dj_ f _Jt_ f __?_ г _ df
'i-dyity l2~~dy(x)> l3~~ dy'(t)> и~~ду'(хУ
можно написать
где Jl9 /s обозначают выражения, полученные соответственно
из /х и /3 заменой t на х. Интегрируя второй член по частям,
находим
ь ь
Если приравнять это выражение нулю или известной функ-
функции г (х), то очевидно, мы получим интегро-дифференциаль-
ное уравнение (так как /i, /2» /з» Л содержат у и ее произ-
производную), отличное от уравнения (рассмотренного в п. 106),
в котором переменная дифференцирования х не совпадает
с переменной интегрирования t.
111. Другой пример интегро-дифференциального урав-
уравнения, сводящегося к интегральному уравнению, встречался
ранее и был решен в п. 89. Это уравнение
относительно неизвестной функции <р (я, у) возникает при
определении всех функций, являющихся пермутабельными
первого рода данной функции / (х, у).

182 ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 3. Интегро-дифференциальные уравнения,
возникающие в теории пермутабельных
функций первого рода
112. Рассмотрим соотношение
дф дер
. 22) .... Zn\ ф, ^,д|, ...
A)
связывающее гъ г2, ..., гл, функцию ф {гъ г2, ..., zn) и ее
производные до некоторого порядка. Пусть
Ф (zv zv ..., zn) = 2 ацш... t/&... г1* {2)
есть решение дифференциального уравнения A). Если под-
подставить гг1и z2l2t ..., znln вместо zlf z2t ..., zn и -ф/?0 вместо
Ф, где Sfe (k = 1, 2, ..., п) не зависят от 2Л (k = 1, 2, ..., д),
то уравнение A) принимает вид
Приведя его к интегральной форме, мы получаем дифферен-
дифференциальное уравнение
которому тождественно удовлетворяет функция
1, 22|2, ..., гл|л). D)
Если теперь вместо |0, glf ..., ?„ подставить произвольные
функции /0 (х, у), /х (х, у), ..., /„ (х, у), пермутабельные
друг с другом (первого рода) и если в C) и D) интерпретиро-
интерпретировать обычные произведения как пермутабельные произве-
произведения первого рода, то W и г|э становятся композиционными
функциями от fk (k = 0, 1, ..., /г); тогда из C) находим

§ 3. ТЕОРИЯ ПЕРМУТАБЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО РОДА 183
интегро-дифференциальное уравнение
относительно неизвестной функции ф (гь г2, ..., zw; л:, */),
одним из решений которого является функция
<P(Zl, Z2, ..., 2Л; X, 0)==/o<P(Zi/i, Z2/2, ..., *„/„). F)
Следовательно, для интегро-дифференциальных уравнений
справедлива
Теорема. Если интегро-дифференциальное уравнение
(Б) можно получить из дифференциального уравнения A),
для которого известно одно аналитическое и регулярное реше-
решение ф, то решением уравнения E) будет функция г|э вида
F), являющаяся целой функцией от гъ z2, •••» гл (см- 161],
а также п. 84).
Эти рассмотрения легко распространяются на случай
нескольких дифференциальных уравнений с несколькими
неизвестными функциями, что приводит нас к системе ин-
интегро-дифференциальных уравнений, для которой можно
получить одно решение, если известно какое-нибудь реше-
решение первоначальной системы дифференциальных уравнений.
Следует вспомнить также результаты п. 83 об интеграль-
интегральных теоремах сложения, которые можно применить к функ-
функциям, полученным указанным выше способом, если для ин-
интегралов соответствующих дифференциальных уравнений
справедливы теоремы сложения.
113. В качестве применения полученных выше резуль-
результатов рассмотрим систему обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений для трех эллиптических функций sn, en, dn:
d d
¦fe sn z = en z dn г, . en г = — sn г dn zt
jz dn z = — k2 sn z en z.
Полагая
Фх = \ sn ?z, ф2 = I en |z, фз = I dn lz,
получаем
$ $ —«Wfc. 5 = -*V<P, G)

184
ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функции (plt ф2, ф8 можно разложить в окрестности точки
| =» 0, г = 0 в степенные ряды вида
(8)
Если \ заменить произвольной функцией / (х, у) и вместо
обычных степеней рассмотреть композиционные степени,
то ряды (8) принимают вид
ф2(г; х, t/) =
г; х, у) =
(9)
и представляют собой целые функции относительно г, удов-
удовлетворяющие системе интегро-дифференциальных уравнений
dz
=?--\ф»(«*.
|)фа(г; g, y)d\,
A0)
т. е. системе нелинейных уравнений, относящейся к новому
типу интегро-дифференциальных уравнений. Для решения
(9) этой системы справедливы интегральные теоремы сло-
сложения (см.п. 83) относительно переменной г, получающиеся
из соответствующих алгебраических теорем сложения для
эллиптических функций.
§ 4. Интегро-дифференциальные уравнения,
возникающие в теории пермутабельных функций
второго рода
114. В дополнение к рассмотренному классу интегро-
дифференциальных уравнений, полученных заменой обыч-
обычных произведений г на композиции первого рода для /,

§ 4. ТЕОРИЯ ПЕРМУТАБЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВТОРОГО РОДА 185
рассмотрим другой класс, полученный аналогичным путем
заменой на композиции второго рода.
Так, если данное дифференциальное уравнение
Ф\ги г2, ..., zn\ ф, ~^~, ~-t ...
имеет известное решение ф (гъ г2, ..., zn), то из него мы
получаем уравнение (см. п. 112)
Ччг1э г2, ..., zn\ ?0, ?ъ ...» \п\ "Ф» §7» §7» ...1=0, B)
имеющее решение У = Ъа Ч> (гг1г, г2 ?2, ..., гя|л).
Отсюда следует, что интегро-дифференциальное уравнение
К ?„; ?, |, f, ...)-0, C)
полученное из B) заменой ^ на /* (л:, у) и произведений
всех I на композиции всех / второго рода, будет иметь
своим решением функцию
#**# / ** *# **\
^(*i, г2, .•., zn; х, у)= fo<p\zifi, z2f29 ..., znfn).
Эта функция г|), т. е. решение интегро-дифференциального
уравнения C), является целой функцией от zlf г2, ..., znt
если решение ф (г19 ..., zn) дифференциального уравнения
A) будет целой функцией; оно будет отношением двух це-
целых функций (мероморфной функцией) от гъ ..., гл, если ф
также является таким отношением (см. пп. 103—105).
Здесь мы можем повторить то, что было сказано в п. 112
(см. также п. 83) относительно интегральных теорем сло-
сложения.
Те же рассмотрения будут справедливы для систем диф-
дифференциальных уравнений, которые преобразуются в си-
системы интегро-дифференциальных уравнений, если заме-
заменить обычные произведения на композиции второго рода.
Так, например, из рядов (8) п. ИЗ, являющихся мероморф-

186 ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ными функциями от г, мы переходим к функциям
(f (xy у) является произвольной функцией), также являю-
являющимся мероморфными функциями от г и удовлетворяющим
системе интегро-дифференциальных уравнений
г; х, t)rh(z; I, y)dl,
которая отличается от системы A0) из п. 113 только посто-
постоянными пределами в интегралах.
Таким образом, мы видим, что из дифференциаль-
дифференциальных уравнений для эллиптических функций можно полу-
получить два различных типа интегро-дифференциальных си-
систем: систему с переменными пределами в интегралах,
решениями которой являются целые функции от z, и систему
с постоянными пределами в интегралах, решениями которой
являются мероморфные функции от г.
Следует также заметить, что все целые функции от г,
полученные таким путем, являются быстро сходящимися
рядами, очень удобными для использования при реальных
вычислениях. В указанных двух случаях теоремы сложения
для эллиптических функций приводят к интегральным тео-
теоремам сложения.
§ 5. Предварительные рассмотрения о вопросах
эредитарности. Интегро-дифференциальные уравнения
для упругого кручения струны
115. Если учитывать явления эредитарного характера,
то различные вопросы физики и механики сводятся к ин-
тегро-дифференвдальным уравнениям. Таким уравнениям

§ 5. OB ЭРЕДИТАРНОСТИ 187
будет посвящена следующая глава; здесь же мы дадим бег-
беглый обзор задач, тесно связанных с интегро-дифференциаль-
ными уравнениями.
Явление эредитарности возникает в таких системах,
в которых учитывается не только настоящее положение
системы или ее ближайшее предыдущее положение (т. е.
начальные значения параметров, определяющих состояние
системы, а также некоторые производные по времени), но
также все предшествующие положения, которые занимала
данная система; иначе говоря, это явление зависит от пре-
предыдущей истории системы, поэтому его можно назвать эре-
дитарным. Примером может служить явление упругости,
где деформация упругого бруса или кручение струны зави-
зависит не только от природы применяемых сил, но также от
предыдущих деформаций, которым был подвергнут брус или
струна. Другими явлениями такого рода являются магнит-
магнитный или электрический гистерезис, запаздывание и др.
В частности, в случае кручения струны, мы будем учи-
учитывать связь между моментом т рассматриваемого элемента
и соответствующим углом кручения со при статистическом
равновесии. В первом приближении эта связь дается ли-
линейными соотношениями
со = km, m = h(o, h = -j, A)
где k и h = \lk суть константы, зависящие от характери-
характеристик струны. Однако точные эксперименты показывают,
что со будет зависеть не только от данного момента круче-
кручения, но и от всех предыдущих моментов, т. е. явление имеет
эредитарный характер. Если т (т) обозначить момент кру-
кручения, действующий на струну в момент т, то отсюда будет
следовать, что для нахождения угла кручения со (t) в мо-
момент / мы должны прибавить к правой части первого урав-
уравнения в A) поправочный член, зависящий от всех значений
т (т) при т, предшествующих t, а следовательно, функцио-
функционал F \т (т ) от т (т). Таким образом, искомое уравне-
L —оо I
ние примет более точный вид
( х VI
B)
Если функционал F можно разложить в ряд, аналогичный

190 гЛ. V. ИНТЕГРО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
t, заключенных между 0 и Т, если для тех же t значения и
на границе о области S известны.
117. Чтобы фактически построить решение и при помощи
элементов, которые его определяют, можно применить ме-
метод, аналогичный методу, использованному в случае урав-
уравнения Лапласа. Для этого уравнения мы сначала докажем
теорему взаимности между двумя его решениями и и v,
которая выражается формулой
? dv , ? du .
J dn J dn
(n — нормаль к а). Далее, при помощи частного решения
\1г (фундаментального решения), где г — расстояние между
точкой х> у, г и точкой А внутри S, мы получим значение
решения в полюсе Л; здесь \1г обращается в бесконечность.
По аналогии с этим в случае уравнения A) мы сначала
докажем теорему о взаимности, а затем построим фундамен-
фундаментальное решение. Точнее говоря, если v (x, у, 2, t) есть ре-
решение интегро-дифференциального уравнения
B)
которое мы будем называть сопряженным уравнению A),
то теорема о взаимности состоит в том, что выражение
+ J dt ? * J {[v (т) *& - и @ *?>] / (т, 0 cos пх+
. 0со8«}Лг... C)
(функционал от двух функций и и v) тождественно равно
нулю, каковы бы ни были решение и уравнения A) и реше-
решение v уравнения B) (см. i64]).

§ б. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 191
118. Если предположить, что три функции /# ср, if
являются пермутабельными первого рода, то (см. п. 112)
уравнение B) можно получить из дифференциального урав-
уравнения
заменой гъ z2, z3 соответственно на /, ср, я|) и переходом к ком-
композициям первого рода для их произведений. Полагая
k 1 (f==1'2, 3), E)
фундаментальное решение уравнения D) с полюсом в на-
начале координат можно записать ц виде
(где ? — произвольная величина, не зависящая от х, у, z);
или, разлагая в ряд и полагая г = Ух2 + У2 + z2, мы по-
получим ?/* = ?{1+?}» где k обозначено выражение
/1=1
в котором, согласно E),
& = *,-*? + *?-... (t=l, 2, 3). G)
Обычным методом, изложенным в п. 112, из рядов F) и G)
мы получим решение уравнения B), которое будем назы-
называть фундаментальным решением, поскольку оно полу-
получено из фундаментального решения уравнения D). Это
решение, аналогично предыдущему, будет обращаться в
бесконечность в начале координат, как и 1/г. Поэтому
достаточно только заменить гъгъ z3 на/, ф, if, функцию ?
на функцию х, пермутабельную с первыми тремя и обычные
степени на композиционные степени. Тогда ряды G) при-
принимают вид
/(т, 0 = *
ф(т, 0 =

192 ГЛ, V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Полагая
Р(*. У, К т, 0 = (yJf(T, 0+(f)%(T, 0+(yL(^ 0.
мы получаем из F) фундаментальное решение v уравнения
B) в виде
г
где
w _1 /1 , Л /1
Чг\ Т)Р*(Т' 0 Л. (8)
Л-1 t
Здесь х (<К 0 — произвольная функция, которую, однако,
можно положить равной единице (см. [87], с. 153 из библио-
библиографии к гл. I).
119. Поскольку мы имеем теорему о взаимности C) и
фундаментальное решение (8), нетрудно применить метод
Грина. Действительно, если v в C) есть фундаментальное
решение (8) уравнения B) и если полюс, в котором v обра-
обращается в бесконечность, расположен вне области S, то спра-
справедлива теорема о взаимности, т. е. Но [и, v\ d] == 0.
Однако если полюс расположен внутри S, то эта теорема
неприменима, так как теперь функция v не является регу-
регулярной во всей области S (она в полюсе обращается в бес-
бесконечность). Теорема будет справедлива в части области S,
полученной из S исключением из нее малой сферы с цен-
центром в полюсе, ограниченной поверхностью со, так что упо-
упомянутая часть области ограничена поверхностями а и со.
Тогда будем иметь
На[и, v\ Щ + Н^и, v\ ft] = 0.
Устремляя радиус сферы к нулю, мы убедимся, что это урав-
уравнение все еще будет удовлетворяться. Так как
•&
ИтЯш[а, v\ О]- —4я$ио(*)#,
о
где и0 (t) есть значение решения и (х, у, 2, t) уравнения A)
в полюсе (см. [64]; см. также [87], с. 85 из библиографии
к гл. I), то в пределе получим
4я J «о @ А = Я„ [u, v; О], и0 (д) = ± ^ Н„ [и, v; Щ, (9)
о

§ 7. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 193
т. е. формулы, дающие значение решения и уравнения A)
в точке, лежащей внутри S (полюс фундаментального ре-
решения и), через значение решения и и его производной на
границе а (значения, фигурирующие в C) для Н).
Если бы w было другим решением сопряженного урав-
уравнения B), для которого v + w равно нулю на границе а,
то мы могли бы вместо (9) взять формулу
i#[" <>+«> *]
где, как это следует из выражения C) для Я, значение
решения и в полюсе выражалось бы только через значение
и на границе а (так как при этом условии коэффициенты
производной функции и равны нулю). Это решение v + w
сопряженного уравнения B), исчезающее на границе а обла-
области S, соответствует функции Грина для уравнения Лапласа.
§ 7. Интегро-дифференциальные уравнения
гиперболического и параболического типов
120. В п. 115 мы уже рассмотрели уравнение колебаний
упругой струны. Если теперь вместо этого рассмотреть ко-
колебания упругой струны в случае линейной эредитарности,
то получим интегро-дифференциальное уравнение g част-
частными производными гиперболического типа
(см. [65]).
Для интегрирования этого уравнения, как и в классиче-
классическом случае, когда отсутствует интегральный член, мы при-
применяем метод Фурье разделения переменных. Поступая
таким образом, попытаемся найти решение в виде
u(z, t)==sinm(z+a)f(t) A)
(m и а суть константы). Для того чтобы это было реше-
решением, необходимо и достаточно, чтобы функция / (f) удо-
удовлетворяла обыкновенному интегро-дифференциальному
уравнению
7 В. Вольтерра

194 ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
которое было уже решено в п. 115 в случае крутильных
колебаний. Формула A) соответствует формуле Тейлора,
однако для колеблющейся струны мы можем получить
также решение типа Даламбера.
121. В других вопросах, также связанных с эредитар-
ными явлениями, мы сталкиваемся с интегро-дифференци-
альными уравнениями параболического типа, которые
были исследованы Ивенсом ([14]). Эти уравнения имеют вид
ди(х, t) д2и (х} t; ,
~dt дх*~^
Рассматривая B) как интегральное уравнение второго рода
д* )
и решая относи
ему уравнение
р
ди(х, t)
и решая относительно —^2 ;, мы получим эквивалентное
ди (х,
Ж
Как доказал Ивенс, решение уравнения C) существует и
единственно, если заданы его значения на границе. Он
указал также общий метод решения при помощи последова-
последовательных приближений. Если вместо этого мы применим
к уравнению B) метод разделения переменных, т. е. если
мы попытаемся найти частное решение уравнения B) в виде
« = /(/) (a sin kx + b cos kx),
то для неизвестной функции / (t) получим обыкновенное
интегро-дифференциальное уравнение
/, т)/(т)А,
которое сразу приводится к интегральному уравнению вто-
второго рода
j
метод решения которого нам уже известен (см. п. 43).

§ 1. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 195
ЧАСТЬ II. УРАВНЕНИЯ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Обобщение теории Гамильтона—Якоби
122. Теперь мы переходим к изучению раздела теории
функционалов, который является совсем новым, однако он
связан с теорией интегро-дифференциальных уравнений,
а именно с соотношениями между функциональными про-
производными (см. пп. 26, 27) функционала, самим функцио-
функционалом и независимой переменной; такие уравнения мы
будем называть уравнениями с функциональными производ-
производными. Их можно получить также обычным методом пере-
перехода от конечного к бесконечному числу переменных (см.
пп. 1—5) из обыкновенных дифференциальных уравнений
в полных дифференциалах (решения которых зависят от
произвольных постоянных), а также из дифференциальных
уравнений с частными производными (решения которых
зависят от произвольных функций). В соответствии с этим
мы будем иметь два различных типа уравнений с функцио-
функциональными производными.
Первый по времени давности пример уравнения с функ-
функциональными производными был получен (см. [59]) при
обобщении теории Гамильтона — Якоби на случай двой-
двойных интегралов. Именно, если выразить условие равен-
равенства нулю вариации интеграла
(где, как обычно, ,*" Xf*' обозначен функциональный
определитель функций Х{ и xh относительно и и v), то при-
придем к дифференциальным уравнениям с частными произ-
производными
d(xh xs)__ дН yd(Piht xh) _ дН ж
d(u,v)~dpu9 L d(u,v) ~ ~Щ KL)
h
относительно трех неизвестных функций хг от и и v (i =
= 1, 2, 3). Эти уравнения напоминают канонические урав-
уравнения динамики (см. также п. 112). Между уравнениями A)
и уравнением с функциональными производными
dF dF ^ у х
x*t xB)> d(xZi Xly d(xlt xz)>
7*

196 ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
полученным заменой в Н переменных р на производные
dF
-JJ-—~т функции от линии первого порядка относительно
» \xl* xs)
плоскости %и xs (см. пп. 61—65), существует такая же связь,
как и открытая Якоби связь между каноническими уравне-
уравнениями и уравнением с частными производными Якоби.
В рассматриваемом случае вместо канонических уравнений
фигурируют уравнения с частными производными A),
а вместо дифференциального уравнения с частными произ-
производными Якоби мы имеем уравнение B) нового типа,
а именно, уравнение с функциональными производными.
Для общего случая такое обобщение теории Гамиль-
Гамильтона — Якоби рассмотрено в работе Фреше tl91.
§ 2. Полный дифференциал функционала
123. В качестве примера первого типа задач рассмотрим
Г ЪЛ
определение регулярного функционала Fly (f) L производ-
производной в точке х которого является заданный функционал
<Dh/(f); лЛ т. е. попытаемся решить уравнение
F'\y{t)\ х\-Ф[У(*I *]• О)
Эту задачу можно рассматривать как предельный случай
для системы в полных дифференциалах
Фг(л. у%, .... y*)~Wr (Ги1> 2> "•' n)t B)
когда число п переменных уг стремится к бесконечности,
а вместо дискретного индекса i (или г) фигурирует непрерыв-
непрерывная переменная t (или х). Теперь, в случае системы B) не-
необходимым и достаточным условием существования решения
будет выполнение для любой пары индексов г us соотношения
(условия интегрируемости). Учитывая, что вторая произ-
производная функционала F в точках х и ? есть симметрическая
функция от х и I (см. п. 29), для уравнения A) получим
аналогичное условие (условие интегрируемости уравне-

§ 3. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ СТОКСА 197
НИЯ A))
ф#[у@; х, а-Ф'[*('); 6. *], D)
т. е. функциональная производная известного функционала
Ф [у (f)\ х] в точке I должна быть симметрической функ-
функцией от х и | (см. [87], с. 43 из библиографии к гл. I). Это
можно сформулировать также следующим образом: соот-
соотношение D) выражает необходимое и достаточное условие
для того, чтобы функционал Ф [у (t)\ x] можно было рас-
рассматривать как функциональную производную в точке х
другого функционала F [у (t)]. Иначе говоря, выражение
$ФЫ'); x]by(x)dx
а
должно быть точным полным дифференциалом или вариа-
вариацией bF функционала F\y (t)\.
§ 3. Обобщение теоремы Стокса
124. Для доказательства приведенного выше утвержде-
утверждения мы должны сначала обобщить на случай бесконечного
числа переменных теорему Стокса, которая обычно при-
применяется в случае системы B) (см. п. 123) от трех перемен-
переменных уъ у2, Уз- Если обозначить / границу поверхности а,
an — нормаль к ней, то теорема Стокса записывается в виде
Хг dyx + X2 dyt + Х3 dy3) = J [(Ц3 - Щ*) cos пуг +
или, полагая yt = yi (и, v), имеем
где s обозначена граница области со плоскости и, у, на
которую проектируются точки области а. Обобщая формулу

198 ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
B) на случай п переменных уъ у2, ..., ynt мы получаем
' ~ds~ s~~
О) Г = 1 k= 1
Чтобы перейти от п к бесконечному числу переменнь х, мы
должны рассмотреть не функцию Xt (уъ у2, ..., уп)9 завися-
г ь л
щую от дискретного индекса t, а функционал Ф \у (/); х I,
зависящий от непрерывной переменной х, и заменить суммы
интегралами. Тогда получим
ъ ь
\ds Jo[y(/, s); xfJ^dx-
$ a a
b b b
5 \
где |/ (/, s) обозначено значение функции г/ (t\ и, v), когда
точка и, v области о совпадает с точкой s границы, а
Ф' [у (t; и, v)) xy |] и другие обозначают функциональные
производные функционала Ф ly (t\ и, v)\ x] в точке ?. С уче-
учетом этого обобщения теоремы Стокса на случай функциона-
функционалов мы видим, что интеграл в левой части, взятый вдоль
замкнутой кривой, являющейся границей области со, ра-
равен нулю, если выполнено условие D) из п. 123. Сказанное
эквивалентно тому, что интеграл
. в); x
не зависит от пути, проходимому от у0 (t) = у (t, s0) до
Hi (t) = У d \)- Так как его вариация S/ при переходе
от ух до уг + оуг равна
81 = \Ф[уху); x]6yidxt

§ 4. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА 199
то отсюда следует, что искомый функционал F [у (t)], про-
производная которого равна Ф [у (f)\ x], вполне определяется
заданием начального значения F [у0 (/)] (произвольной
константы) при некоторой функции yQ (t). Значение функ-
функционала для любой другой функции уг (t) получается выбо-
выбором произвольной функции у (/, s) двух переменных такой,
что у (t, s0) = у0 (t)9 у (ty Si) = уг (t), а также в предполо-
предположении
Sl b Г 1
F [Уг @1 = F [Уо @1 + \ ds ^ Ф [у {t s); х\ Ц^ dx- E)
Последняя формула представляет собой обобщение на слу-
случай функционалов хорошо известной формулы, дающей ин-
интеграл системы в полных дифференциалах B), рассмотрен-
рассмотренной в п. 123. Много различных результатов, относящихся
к уравнениям с функциональными производными, анало-
аналогичных результатам для дифференциальных систем в пол-
полных дифференциалах, было получено в работах Пауля Леви
[36] — [43].
§ 4. Обобщение теоремы Эйлера
125. Теперь мы рассмотрим уравнение в функциональ-
функциональных производных вида
5^4^@; x]y{x)dx = Q A)
а
относительно неизвестного (регулярного) функционала
F [у (/)]. Можно считать, что оно получено обычным процес-
процессом перехода от конечного к бесконечному числу перемен-
переменных (см. пп. 1—5) из дифференциального уравнения с част-
частными производными
п
\
L
2, ••• > Уп)
дуг
общий интеграл которого, согласно известной теореме Эй-
Эйлера, дается произвольной однородной функцией нулевой

200
ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
степени, т. е. функцией
Уп
где ф — произвольная функция от п переменных.
Таким же образом можно показать, что если Ф \y(f) —
произвольный функционал, то общий интеграл уравнения A)
дается по формуле
т
т. е. функционалом от у (f). Этот функционал мы назовем
однородным нулевой степени, так как его значение не ме-
меняется при подстановке вместо у (t) другой, пропорциональ-
пропорциональной ей, функции ру (/). Следовательно, в этом случае мы
видим, что решение зависит от произвольного функцио-
функционала Ф, а не от константы, как в предыдущем случае.
Уравнение, частным случаем которого является A),
имеет вид
J Р [у (?) х] у (х) dx = rF [у (/)], B)
где г — действительное число. Такие уравнения были иссле-
исследованы Элен Фреда (см. [67]). Можно показать, что B)
есть характеристическое уравнение однородного функцио-
функционала степени г, т. е. функционала, удовлетворяющего соот-
соотношению
Следовательно, общий интеграл уравнения B) выражается
формулой
Ф
ь
y(t)
а
(I i| ••• J f' (У Г * (?,).. • Г* (Is) dii dg,... dE..

§ 5. СВЯЗЬ С ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 201
где Ф есть произвольный функционал и гг + г% + ... + rs ~
= г. Из этого интеграла легко можно получить также об-
общие интегралы нескольких других уравнений с функцио-
функциональными производными, приводящихся к уравнению B)
(см. [20]).
§ 5. Связь между линейными уравнениями
с функциональными производными
и интегро-дифференциальными уравнениями
126. Хорошо известно, что если
yi*=yi(x\ съ с%, ..., сп) (*«1, 2, ..., п) A)
есть система интегралов дифференциальной системы
fj--M&. У*> •••> Уп, х) (/=1, 2, ..., п) B)
и если решить систему A) относительно произвольных
постоянных сг\
С1 = %(Уъ #2, ..., Уп> х),
то функции ф;, а также любая функция ф (фь ф2, ..., фл)
от них будут решением линейного дифференциального урав-
уравнения с частными производными первого порядка
2&<«ьл л>&-°- C)
Переходя от конечного числа переменных к бесконечному;
дифференциальную систему B) можно преобразовать в ин*
тегро-дифференциальное уравнение
, t); x, I] D)
(изученное выше в п. 106), имеющее в качестве решения
функцию у (х, ?), зависящую не от произвольных констант,
как в случае уравнения A), а от произвольной функции,
i|) (f) (т. е. от начального значения у (х0> f) — у0 @, прини-
принимаемого функцией у при х = д:0). Это решение записы-
записывается в виде
у(х, Б)«*(Б>+ф[ф(О; х, |]. E)

202 ГЛ. V ИНТЕГРО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассматривая здесь х как параметр, мы можем решить его
относительно произвольной функции i|) (t) и получить соот-
соотношение
(*. 0; х,
Если теперь рассмотреть функцию у как независимую пере-
переменную (не зависящую также от параметра х), то выра-
выражение
y(k х, g]
будет функционалом от у (соответствующим функциям
Ч>г(Уъ Уъ> •••> Упу х), полученным из A)), который, анало-
аналогично любому другому функционалу Л от у (t\, получен-
полученному из предыдущего при помощи произвольного функци-
функционала в,
ь
[
y(l) + Q
г ъ
[y(t)\
y(t)\
будет удовлетворять линейному уравнению в функциональ-
функциональных производных первого порядка
дА р
^х #)
а
где Л' [у (t)\ х, %\ обозначена функциональная производ-
производная от Л в точке ?. Уравнение F) представляет собой обоб-
обобщение уравнения C) на случай бесконечного числа перемен-
переменных. Наоборот, для того чтобы проинтегрировать линейное
уравнение в функциональных производных первого порядка
вида F), достаточно проинтегрировать интегро-дифферен-
циальное уравнение D) (см. [68]).
§ 6. Канонические уравнения
127. Очень важными с точки зрения приложений яв-
являются системы канонических уравнений вида
6ц{ дН (Яъ Яъ ... , Яп> Ръ Ра> •••» Рп> О
dt dp;
.„, . (i)
ОН (<у1( .... qn, Рх рп, t).
Wi

§ б. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 203
Эти системы, к которым Гамильтон привел уравнения дина-
динамики, были решены Якоби с помощью интегрирования
одного дифференциального уравнения с частными производ-
производными. В случае бесконечного числа переменных соответ-
соответствующая задача сводится к исследованию интегро-диффе-
ренциальных уравнений, которые мы будем называть
каноническими. В самом деле, если взять функционал
[ь ь "]
/(?), ф(|); / , зависящий от всех значений двух ПрОИЗ-
вольных функций f и ф параметра t, и если обозначить
Щ [/ (?), ф (?); U х], Яф [/ (?), ф (|); U х] две производные
относительно / и <р в точке х9 то канонические интегро-
дифференциальные уравнения принимают вид
*L = H'p\q(t, |), p(t, I); t, x],
t, 1), p{t,
B)
Для интегрирования этих уравнений достаточно опреде-
определить функционал V [f (|), a (|); t] от двух функций / и а,
удовлетворяющий уравнению в функциональных производ-
производных
где Vf [/(?), a(^); ^, ^] = УК'»^) обозначена производная
функции V по / в точке л\ Решения р (^, х)> q (t> x) канони-
канонических уравнений B) получаются из решения V этого урав-
уравнения с помощью (интегральных) уравнений
*. 1), «ф; *,
I), «ф; <,
где Ь (х) — произвольная функция, а вариация 6У« функ-
функции Va удовлетворяет некоторым условиям (см. [68]). Та-
Таким же образом можно обобщить на случай бесконечного
числа переменных теорию скобок Пуассона и теорию раз*

204 ГЛ. V. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
деления переменных Штеккеля (см. [87] из библиографии
к гл. I, и [681 — к данной главе).
В рабрте Гейзенберга и Паули (см. [81] из библиографии
к гл. VI) рассмотрен частный случай уравнений B) для
квантовой механики. То, что они назвали уравнением
Гамильтона или уравнением в функциональных производ-
производных, является только уравнением с функциональной про-
производной первого порядка от функционала (см. п. 27. См.
также работу [29]). Поэтому нет основания называть его
уравнением с производной Гамильтона.
§ 7. Уравнения с функциональными производными
второго порядка
128. В дополнение к рассмотренным выше уравнениям
с функциональными производными первого порядка возь-
возьмем другой интересный тип линейных уравнений с функ-
функциональными производными второго порядка
(Это уравнение было исследовано также Гато при его по-
попытке обобщить теорию потенциала на функциональные
пространства; см. [431 из библиографии к гл. I.) Другим
уравнением такого типа является уравнение
(Е. 1\)<%<1ц + \г\у (?); 6,
a
которое соответствует линейному дифференциальному урав-
уравнению с частными производными второго порядка с посто-
постоянными коэффициентами (в частности, уравнению Лап-
Лапласа).
Эти два типа уравнений мы будем называть соответ-
соответственно уравнениями первого и второго рода.
Иордан и Паули [29] использовали функционалы в но-
новой квантовой электродинамике. В случае одномерной среды
(не релятивистской) теорема об энергии приводит к следую-
следующему уравнению с функциональной производной, анало-
аналогичному уравцедаю Шредингера Q частными производ-

§ 8. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА 205
ными:
В общем релятивистском случае электродинамики в вакууме
имеются четыре уравнения с функциональными производ-
производными, играющие ту же роль, что и дифференциальное урав-
уравнение Шредингера.
§ 8. Уравнение с функциональной производной
для функции Грина
129. Хорошо известно, что если h* — регулярная гар-
гармоническая функция от точки А плоской области (ограни-
(ограниченной замкнутым контуром С длины s), принимающая на
контуре такие же значения, как log - (где г — расстояние
от точки А до точки В внутри рассматриваемой области),
то функция
1
называемая функцией Грина относительно контура, будет
гармонической внутри области, но обращается в точке В
в бесконечность так же, как и log -, а на контуре С равна
нулю.
С помощью функции g* можно выразить любую другую
функцию ua, гармоническую и регулярную в рассматрива-
рассматриваемой области, если только известны значения и на контуре С
(но не значения нормальной производной):
dSM
(где М движется вдоль кривой С, -д?= — нормальная про-
производная). Эта формула дает решение так называемой за-
задачи Дирихле. Следовательно, функция Грина д% зависит

206 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. V
не только от точки А и полюса В, где она обращается в бес-
бесконечность, но и от контура С; поэтому рна является функ-
функцией от линии С (см. п. 9) или функционалом от функций,
определяющих замкнутую кривую С. Этот частный функцио-
функционал от линии С удовлетворяет известному дифференциаль-
дифференциальному уравнению в полных производных, найденному Ада-
маром [23]. В самом деле, если обозначить 6g^ вариацию
этого функционала при фиксированных Л и В и перемен-
переменном контуре С (точнее говоря, при перемещении каждой
точки М контура на величину б/г вдоль нормали к С), то эта
вариация выражается по формуле
Уравнение A) в точности совпадает с уравнением Адамара,
которому удовлетворяет функция Грина gi, рассматривае-
рассматриваемая как функционал от контура С. Другие аналогичные
случаи были исследованы в работах Леви [39] — [42].
Кралл исследовал случай многосвязной области. Он при-
применил также аналогичные методы к формулам Сомильяна
и к другим интересным задачам (см. [30] — [35]).
Обобщение формулы A) в случае теории упругости было
дано в работе Цанони [69]. Хостинский (см. [87] из библио-
библиографии к гл. VI) показал, что приведенное выше уравнение
Адамара можно применить также к функции Грина для
уравнения
БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛАВЕ V
1. Amoroso L. Sopra un'equazione integro-differenziale del tipo
parabolico, I, II. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1912, E) 21, 141 —
146, 257—263.
2. Amoroso L. Estensione di alcuni precedenti risultati. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1912, E) 21, 400—404.
3. Amoroso L. Sopra un nuovo tipo di equazione integro-differen-
integro-differenziale. — Atti Soc. Ital. Prog. Scienze, 6a riunione, Genoa, 1912.
4. A n d г а о 1 i G. Sulle espressioni lineari integro-differenziali. —
Rtnd. R. Accad. dei Lincei, 1913, E) 22, 409—414.
5. A n d г е о 1 i G. Sulle equazioni integrali miste ed integro-differen-
integro-differenziali. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1914, E) 23, 196—201.
6. A n d г е о 1 i G. Sulle piu generali equazioni integrali ed integro-
differen-iali ad una variabile. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1914,
E) 23, 196-201.

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. V 207
7. A n d г е о 1 i G. Su alcune equazioni integro-differenziali lineari
a due e piu variabili. — Atti R. 1st. Veneto, 1914-1915, 74, 1265—
1274.
8. В a e r i L. Sulle equazioni integro-differenziali della forma
У)
J
— Rend. Circolo Mat. di Palermo, 1920, 44, 103—138.
9. В a r n e t t LA. Integro-differential equations with constant limits
of integration. — Bull. Amer. Math. Soc. 1920, 26, 193—203.
10. В а г n e t I. C. Linear partial differential equations with a continu-
continuous ;nfinitude of variables. —Amer. J. Math., 1923, 45, 42—53.
11. Bedarida A. M. Un problema al contorno in un tipo di equ-
zioni integro-differenziali. — Rend, del Circolo Mat. di Palermo,
1924, 48, 281—288.
12. С r u d e 1 i U. Contributo alia teoria di certe equazioni funzio-
nali. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1909, E) 18, 493—496.
13. D a n i e 1 e E. Sulle equazioni differenziali e le equazioni integro-
differenziali correlative. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1917, E) 26,
302—308.
14. E v a n s G. C. Sull equazione integro-differenziale di tipo parabo-
lico. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1912, E) 21, 25—31.
15. Evans G. С Sul calcolo della funzione di Green per le equazioni
differenziali ed integro-differenziali di tipo parabolico. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1913, E) 22, 855—860.
16. E v a n § G. С The Cauchy problem for integro-differential equa-
equations. — Trans. Amer. Math. Soc., 1914, 15, № 2, 215—226.
17. E v a n s G. С Sopra un'equazione integro-defferenziale di tipo
Bocher. — Rend. Seminario Mat. R. Univ. di Roma, 1920; Rend.
Accad. dei Lincei, 1919, E) 28, 262—265.
18. F i s с h e r C. A. Equations involving the partial derivatives of
a function of a surface. —Amer. J. of Math., 1917, 39, 123—134.
19. F г е с h e t M. Sur une extension de la methode de Jacobi — Hamil-
Hamilton. — Annali di Math. Рига de Appl., 1905, C) 11, 187—199.
20. Freda Elena. II teorema di Eulero per le funzioni di linea
omogenee. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1915, E) 24, 1035—1039.
21. Fubini G. Alcuni nuovi problemi del calcolo delle variazioni
con applicazioni alia teoria delle equazioni integrodifferenziali. —
Annali di Mat. Рига ed Appl., 1913, C) 20, 217—244.
22. G r a m e g n a M. Serie di equazioni differenziali lineari ed equa-
equazioni integro-differenziali.—Atti Accad. Torino, 1910, 45, 469—491.
23. Hadamard J. Memoire sur le probleme d'analyse relatif a Tequi-
libre des plaques elastiques encastrees. — Memoires presentes par
divers savants а Г Academie des Sciences de Г Institut de France,
1908, 33, № 4, 1—128.
24. Hadamard J. Sur les ondes liquides. — Rend. R. Accad. dei
Lincei, 1916, E) 35, 716—719.
25. Hadamard J. Sur certaines solutions d'une equation aux deri-
vees fonctionnelles. — C. R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1920, 170,
355—359.

208 библиография к гл. v
26. Н е b г о n i P. Ober sogenannte sweigliedrige, kontinuisierte Matri-
zen und ihre Anwendung auf Integral- und Inetgrodifferentialgleich-
ungen.-~ Monatsh. fur Math, und Phys., 1923, 33, 71—112.
27. H i 1 b E. Zur Theorie der linearen Integrodifferentialgleichungen. —
Math. Ann., 1916, 77, 514-535.
28. H u M. T. Linear integro-differential equations with a boundary
condition. — Trans. Amer. Math. Soc, 1918, 19, 363—407.
29. J о r d a n P. and P a u 1 i W., J r. Zur Quantenelektrodynamik
ladungs freier Felder. — Z. fur Phys., 1928, 47, 151—173.
30. К г a 1 1 G. Sulla deformazione infinitesima del campo di integra-
zione nelle equazioni di Fredholm. — Rend. R. Accad. dei Lincei,
1926, F) 4, 429—435.
31. К г a 1 1 G. Sulle funzioni di Green relative a campi pluriconnessi. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1927, F) 5, 967—972.
32. К г a 1 1 G. Variazione Infinitesima delle funzioni di Green rela-
relative a campi piani pluriconnessi. — Rend. R. Accad. del Lincei,
1927, F) 6, 28—31.
33. К г a 1 1 G. Dipendenza funzionale dal contorno del tensore
Green—Semigliana per le equazioni di elasticity. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1927, F) 6, 488—492.
34. К г a 1 1 G. Variazione del campo nelle equazioni del moto elastico. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1927, F) 6, 590—694.
35. К г a 11 G. Sur la variation du domaine dans le probleme de Dirich-
let. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1930, 190, 39—41.
36. Levy P. Sur quelquesequations definissant des fonctions de ligne. —•
С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1910, 151, 373—375.
37. L ё v у Р. Sur l'integrabilite des equations definissant des fonctions
de ligne. — С R. de l'Acad., des Sci. de Paris, 1910, 151, 977—979.
38. L ё v у Р. Sur les equations integro-differentielles definissant des
fonctions de ligne. These. —Paris: Gauthier-Villars, 1911.
39. L ё v у P. Sur les equations aux derivees fonctionnelles et leur
application a la physique mathematique. — Rend, del Circolo Mat.
di Palermo, 1912, 33, 281—312.
40: Levy P. Sur la fonction de Green ordinaire et la fonction de Green
d'ordre deux relative au cylindre de revolution. — Rend, del Cir-
Circolo Mat. di Palermo, 1912, 34, 187—219.
41. Lev у P. Sur l'integration des equations aux derivees fonctionnel-
fonctionnelles partielles. — Rend, del Gircolo Mat. di Palermo, 1914, 37, 113—
168.
42. L ё v у P. Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans
le voisinage du contour. — Acta Math., 1919, 42, 207—267.
43. L ё v у P. Sur la generalisation de l'equation de Laplace dans le
domaine fonctionnel.—C. R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1919,
168, 752—755.
44. Peres J. Resolution des problemes aux limites relatifs a une
equation integro-differentielle de M. Volterra. — Rend, del Circolo
Mat. di Palermo, 1913, 35, 253—264.
45. P о m e у L. Sur les equations integro-differentielles lineares a plu-
sieurs variables. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1923, 177,
Ю94—1096.
46. P о m e у L. Sur les equations integro-differentielles, These. — Pa-
Paris: Gauthier-Villars, 1924.

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. V 209
47. Р о m е у Ь. Sur les singularites des equations differentielles et
integro-differentielles a une ou plusieurs variables. — C. R. de l'Acad.
des Sci. de Paris, 1924, 178, 1778—1780; Sur les equations integro-
differentielles a plusieurs variables et leurs singularites. — Proc.
of the Intern. Math. Congr. Toronto, 1924. — Toronto: Toronto Univ.
Press, 1928, vol. I, 529—533.
48. P о m e у L. Sur les solutions rfcgulieres des equations differfetielles
et integro-differentielles a une ou plusieurs variables. — Giornale
di Mat. di Battaglini, 1925, 63, 49—70.
49. Pomey L. Integration d'un systeme comprenant une infinite
d'equations differentielles ordinaires a une infinite d'inconnues. —
С R. de l'Acad. des Sci. de Pans, 1926, 183, 943—945.
50. Pomey L. Sur les equations integro-differentielles normales d'ordre
infini. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1927, 184, 1400—1402.
61. Pomey L. Sur les equations integro-differentielles aux derivees
partielles d'ordre infini, dont la solution a le meme domaine d'existence
que les coefficients. — C. R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1927, 184,
925—928.
62. Sassmannshausen A. Zur Theorie der Linearen Integro-
differentialgleichungen. — Deutsche Math.-Ver., 1916, 25, 145—156;
Diss. Giessen. — Berlin: B. G. Teubner, 1916.
53. S с h 1 e s i n g e r L. Sur les equations integro-differentielles. —
С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1914, 158, 1872—1875.
64. Schlesinger L. Zur Theorie der Linearen Integro-differential-
gleichungen. — Jahr. d. deutsch. Math. Ver., 1915, 24, 84—123;
reprinted in Mod. Tud. Akad. Math, es termesz. Ertesito, 1916,
34.
65. S с h 6 n b a u m E. On an integro-differential equation (in Czech.).
— Rozpravy Ceske Akad. Ved., 1920, 29, № 15, 1—5.
56. S i n i g a 11 i a L. Sopra un'equazione integro-differenziale del tipo
ellittico. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1915, E) 24, 325—330.
57. Tricomi T. Su di una classe di equazioni alle derivate funzionali,
I, II. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1921, E) 30, 402—405, 466—
460.
68. V e г g e г i о A. Sopra un tipo di equazioni integro-differenziali. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1919, E) 28, 274—276, 297—300.
59. V о 1 t e г г а V. Sopra un'estensione della teoria Jacobi—Hamil-
Jacobi—Hamilton del calcolo delle variazioni. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1890,
D) 6, 127-\138.
60. V о 11 e г г a V. Sulle equazioni integro-differenziali. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1909, E) 18, 167—174.
61. Volterra V. Osservazioni sulle equazioni integro-differenziali
ed integrali. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1910, E) 19, 361—363.
62. V о 1 t e г г a V. Sopra una propriety generale delle equazioni inte-
integrali ed integro-differenziali. —Rend. R. Accad., dei Lincei, 1911,
E) 20, 79—88.
63. Volterra V. Equazioni integro-differenziali con limiti con-
constant i. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1911, E) 20, 96—99.
64. V о 11 e г г a V. Sur les equations integro-differentielles et leurs
applications. — Acta Math., 1912, 36, 295—356.
65. V о 1 t e г г a V. Vibrazioni elastiche nel caso della eredita. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1912, E) 21, 3—12.

210 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. V
66. V о 11 е г г,а V. Sopra le equazioni integro-differenziali aventi
limiti costanti. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1913, E) 22, 43—49.
67. V о 11 e г г a V. Sulle equazioni alle derivate funzionali. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1914, E) 23, 393—399.
68. Volterra V. Equazioni integro-differenziali ed equazioni alle
derivate funzionali. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1914, E) 23,
551—557.
69. Z a n о n i G. Estensione della equazione alle derivate funzionali
di Hadamard per le funzioni di Green all'elasticita. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1924, E) 33, 486—491.
70. Z e i 1 о n N. Sulle soluzioni fondamentali delle equazioni integro-
differenziali. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1916, E) 24, 584—587,
801—806.
71. G r a f f i D. Sulle funzioni di varieta vettoriali. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1927, F) 6, 383—389.
72. G r a f f i D. Sulla induzione magnetica. — Rend. R. Accad. dei
Lincei, 1927, F) 6, 595—601.
73. G г a f f i D. Sui problemi (ella ereditarieta lineare. — Nuovo
Cimento, 1928, B) 6, 53—71.
74. G г a f f i D. Sulla teoria delle oscillazioni elastichecon ereditarieta. —
Nuovo Cimento, 1928, B) 5, 310—317.
75. G г a f f i D. Su un metodo di calcolo delle proprieta di corpi pros-
simi alia sfera о al cilindro. — Bollet. Unione Mat. Italiana, 1928,
7, 245-247.

Глава VI
ПРИМЕНЕНИЯ. ДРУГИЕ НАПРАВЛЕНИЯ
ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛОВ
ЧАСТЬ I
§ 1. Вариационное исчисление
130. Невозможно охватить все применения теории функ-
функционалов и связанных с ними теорий. Поэтому мы упомя-
упомянем лишь некоторые из них, и то скорее в виде примеров.
Следует, однако, подчеркнуть, что вариационное исчисле-
исчисление можно рассматривать как одну из глав теории функцио-
функционалов, и это обстоятельство позволяет нам оценить широту
возможных приложений теории функционалов. Не вдаваясь
i конкретные вопросы вариационного исчисления — раз-
раздела математики, значительно более древнего, чем функ-
функциональный анализ, мы только отметим, что исследо-
исследование многих задач естествознания можно свести к задачам
вариационного исчисления. Например, хорошо известно,
что при помощи принципа Гамильтона уравнения динамики
можно получить как уравнения вариационного исчисле-
исчисления. Однако принцип Гамильтона можно развивать в двух
направлениях: как принцип стационарного действия и как
принцип переменного действия, при этом второе направле-
направление приводит к новому приложению теории функционалов.
Здесь действие рассматривается как функция конечных
шначений интегралов и времени; если мы рассмотрим си-
систему с п степенями свободы, то увидим, что действие яв-
является обычной функцией от п + 1 переменных. Если си-
система непрерывна и имеет бесконечное число степеней
с поводы, то мы придем к случаю, когда действие нужно
рассматривать как функцию бесконечного числа перемен-
переменных, т. е. как функционал. Таким образом, распростране-
распространение принципа переменного действия на случаи электрич§-

212 ГЛ. VI. ПРИМЕНЕНИЯ
ства, магнетизма, упругости и др., и вообще на классиче-
классические вопросы математической физики, приводит к соответ-
соответствующим принципам, которые нельзя сформулировать без
терминологии функционального анализа, поэтому развитие
этих наук входит в поле действительности теории функцио-
функционалов. Мы придерживались этой точки зрения, начиная
с самых первых наших исследований (см. п. 122). Приятно
видеть, что правильность этой точки зрения подтверждается
самыми последними исследованиями, проводимыми физи-
физиками (см. [81]).
131. Методы вариационного исчисления использовались
также для доказательства некоторых знаменитых теорем
существования, наиболее значительным из которых яв-
является так называемый принцип Дирихле. История этого
принципа хорошо известна; в решение задачи внесли вклады
Гаусс, Томсон, Дирихле и Риман. После возражений, выд-
выдвинутых Вейерштрассом, метод доказательства, применен-
примененный ими, был отвергнут (п. 133), пока к нему вновь не вер-
вернулся Арцела (см. [1], [2] из библиографии к гл. I), кото-
который применил его и в теории функционалов. Попытка
Арцела нашла поддержку со стороны Гильберта, добив-
добившегося большого успеха [831, [84], а также многих других
ученых, например Тонелли (см. [78], т. I, с. 26 из библио-
библиографии к гл. I).
132. В гл. I (пп. 17, 18) мы уже говорили о новой пер-
перспективе, открывшейся перед вариационным исчислением
благодаря развитию функционального анализа; мы упомя-
упомянули замечательную работу Адамара (см. [48] из библиогра-
библиографии к гл. I), а также книгу Тоннели (см. [78] из библиогра-
библиографии к гл. I), в которых очень широко применяются новые
методы. Многие знают пример, данный Шварцом и Пеано
[163], [134], о том, что поверхность можно сколь угодно
близко аппроксимировать многогранником так, что площадь
многогранника не будет приближаться к площади поверх-
поверхности. Это замечание наглядно демонстрирует трудность
задач, относящихся к обоснованию основных концепций
вариационного исчисления. Наряду с принципами функцио-
функционального анализа Тонелли широко использовал идеи,
связанные с полунепрерывностью (см. пп. 17, 18), ко-
которые имеют очень большое значение. Эти идеи явились
принципиально новыми, сделавшими его книгу ориги-
оригинальной.

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 213
§ 2. Интегральные уравнения
133. Переходя к интегральным уравнениям, следует за-
заметить, что развитие этого раздела анализа за последние
годы было столь бурным, что вряд ли можно дать обзор
новых достижений и их приложений. (По поводу обзора
всего вопроса вместе с обширной библиографией см. работу
Девиса [11] из библиографии к гл. II.) Мы укажем лишь
некоторые из этих вопросов, о которых нельзя умолчать,
начиная с так называемых краевых задач (для дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными эллипти-
эллиптического типа).
Типичным здесь является уравнение Лапласа. Решение
Ф (#» У) (гармоническая функция), регулярное в некоторой
области (в случае функций двух переменных), вполне опре-
определяется, если известны значения, принимаемые им на гра-
границе s рассматриваемой области (ом. п. 131). Задача Ди-
Дирихле состоит в фактическом построении решения, когда
его значения заданы на границе. Хорошо известным мето-
методом решения является определение функции Грина отно-
относительно этой границы (функционал от линии, представ-
представляющей границу; см. п. 129), интегрирование выражения,
содержащего заданные значения и производную функции
Грина по направлению нормали к границе. Однако опреде-
определение функции Грина часто является трудной задачей.
Если вместо этого использовать интегральные уравне-
уравнения, то мы можем представить гармоническую функцию ф
в виде потенциала простого слоя
где через ц>А обозначено значение ф в точке А области,
а г (s, А) есть расстояние от А до точек s границы; далее,
нужно попытаться определить неизвестную плотность р (s)
из интегрального уравнения первого рода
J-7-rds, B)
которое получается из A), когда точка А совпадает с точ-
точкой границы (так что г (s, sx) обозначает расстояние между
Точками s и Si границы). Уравнение первого рода, kil|c

214 гл. vi. применения
видно, имеет ядро, обращающееся в бесконечность при
s = sv Чтобы устранить трудности, связанные с этим урав-
уравнением, мы, следуя Нейману и Пуанкаре, представим гар-
гармоническую функцию ф в виде потенциала двойного слоя
(з) °S'A)ds, C)
затем попытаемся определить неизвестную плотность р (s)
из интегрального уравнения, полученного при совпадении
точки А с точкой sx границы (см. [71]):
„ d log 1
Ф (Si) = яр (Sl) - J Р («) Jp-^ *, D)
т. е. уравнения второго рода с конечным ядром
для которого, как легко показать, определитель DF(\ln)
(см. п. 45) отличен от нуля. Поэтому оно имеет одно и только
одно решение, которое вполне определяется по известным
формулам (см. п. 45).
§ 3. Исследования Гильберта, Шмидта, Гурса,
Витали
134. К моменту, когда Фредгольм опубликовал свою
первую классическую работу ([711), в которой он рассмо-
рассмотрел задачу Дирихле в качестве отправной точки, Воль-
терра уже успел опубликовать (см. [761 из библиографии
к гл. II) свои результаты об интегральных уравнениях с пе-
переменными пределами, и сделал замечание, что интеграль-
интегральные уравнения можно рассматривать в качестве предельного
случая обычных систем линейных уравнений; в краткой за-
заметке ([180]), посвященной исследованию задачи о сейшах
он уже решил эту задачу при помощи бесконечных опреде-
определителей.
Позже Гильберт (см. [23] из библиографии к гл. II)
применил уравнения Фредгольма к различным задачам
анализа, геометрии и физики, и под влиянием работы
Шмидта (см. [60] из библиографии к гл. II) теория разло-
разложений в ряды и теория ортогональных функций получили

§ 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА И ДР. 215
значительное развитие. Гурса указал новый метод решения
уравнений Фредгольма, а Лалеско (см. [2] из библиогра-
библиографии к гл. II) исследовал некоторые важные особые случаи.
Исследования, посвященные интегро-функциональным урав-
уравнениям Вольтерра, недавно были выполнены в работах
Поповичи [147], Тамаркина [167] и Адамса [1].
135. В упомянутой выше работе Гильберта по интеграль-
интегральным уравнениям развита теория функций бесконечного числа
переменных хОу хъ ..., хпу ..., в частности линейных форм
00 СО Ю
2 апхп и квадратичных форм 2 2 ar&xrXs- Эта теория ока-
залась применимой для функций с суммируемым квадра-
квадратом, которые можно определить при помощи обобщенных
коэффициентов Фурье ап соответствующих разложений
в ряд по ортонормированным функциям. Следовательно,
для теории Гильберта рассмотрение предельных функций
(т. е. такие функции, которые всегда остаются ограничен-
ограниченными, каковы бы ни были х0, хъ ..., хп при условии, что
является основным. В частности, линейная
форма 2] апхп будет ограниченной только тогда, когда
п
оо
ряд 2] ап сходится. Недавно Витали [176] разработал
«геометрию», где функции (или точки) представляются
бесконечной системой- «координат» ап, для которых ряд
00
2 al (квадрат «расстояния» от начала координат) схо-
сходится; среди других приложений упомянем разработан-
разработанное таким образом «обобщенное абсолютное дифференциаль-
дифференциальное исчисление», включающее классическое исчисление
Риччи.
Теория функций бесконечного числа переменных, пред-
предложенная Гильбертом, возникла в связи с обоснованием раз-
разложений, связанных с матрицами, появляющимися в кван-
квантовой теории. Однако в этом случае гипотеза Гильберта
о «стремлении к пределу» этих функций бесконечного числа
переменных обычно перестает действовать (см. [29] из биб-
библиографии к гл. V).

216 ГЛ. VI. ПРИМЕНЕНИЯ
§ 4. Сейши
136. Интересное применение интегральных уравнений
встречается при изучении колебаний или приливов озер.
Это явление, впервые исследовано под названием сейшов
в озере Женева, где благодаря его удлиненной форме
изменения уровня иногда доходят до двух метров. Долгое
время это явление считалось курьезом, пока его серьез-
серьезным исследованием не занялись Мериан [119], Форел (см.
[53] с указанной там библиографией) и др.
Мы рассмотрим сначала частный случай ограниченной
свободной поверхностью и твердыми стенками тяжелой жид-
жидкости, которая колеблется параллельно вертикальной пло-
плоскости х, у (здесь у направлена вертикально) и не зависит
от третьей координаты г. Попытаемся найти периоды коле-
колебаний. Если обозначить ф (х> у> г) потенциал скорости, то
внутри жидкости мы будем иметь А2ф =» 0, на свободной
д2Ф дф
поверхности выполняется условие р- = аг-, а на твер-
твердых стенках условие ^ = 0 (где п — нормаль к границе,
а — константа, / — время).
Будем теперь искать такие решения ф нашей задачи, ко-
которые можно представить в виде ф = sin htty (x, y)> т. е.
будем применять обычный метод разделения переменных.
Приведенные выше уравнения принимают вид
и, следовательно, значение гармонической функции
в точке А выражается по формуле
где /д (s) есть ядро (см. [180] библиографии к этой главе и
[82] из библиографии к гл. II), полученное из известного
решения задачи Неймана, / — часть оси х> содержащаяся
в пределах свободной горизонтальной поверхности жидко-
жидкости в состоянии равновесия. Тогда мы будем иметь

§ 5. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН
а при i|H « 0 и в случае, когда А находится в точке хх гра-
границы, получаем условие
/(*. «1)*(# = 0. A)
Мы видим, что значения i|> (л:), принимаемые гармонической
функцией г|) на границе (значения, которые полностью опре-
определяют ее), суть значения функции, удовлетворяющей од-
однородному интегральному уравнению A), ядро которого,
однако, в точке х =* хх обращается в бесконечность. Од-
Однако методом итерации мы можем свести это уравнение
к другому однородному интегральному уравнению, имею-
имеющему конечное ядро. Для того чтобы ф (х) не была тождест-
тождественным нулем, детерминант D (X) этого интегрального урав-
уравнения должен обращаться в нуль (см. п. 45); подставляя
вместо 31 его значение, являющееся в рассматриваемом слу-
случае функцией от h и а, мы получим трансцендентное уравне-
уравнение, доставляющее нам искомые значения ft, а следова-
следовательно, и возможные значения периодов колебаний жид-
жидкости.
§ 5. Колебания мембран
137. Другой задачей, связанной с рассмотренной выше,
является задача о колебаниях мембраны, в которой урав-
уравнение имеет вид
IF — дх* ^ ду* (к)
или короче
Это уравнение также можно решить методом разделения пе-
переменных. Полагая и = / (t) v (x> у), мы получим из A)
0, B)
Q C)
(Л — константа), а следовательно,
f = sin (fit + с), и = sin (ht + с) v (x9 у).
Для значения vA функции v (x, у) в точке Л, которое удо-
удовлетворяет уравнению C), мы получаем по теореме Грина

218 гл. vi. применения
(см. п. 129)
где первый интеграл взят вдоль контура s площади а, за-
занимаемой мембраной в положении равновесия. Если пред-
предположим, что мембрана закреплена вдоль границы, т. е.
v (s) « 0, то, согласно C), мы имеем
D)
где g% есть функция Грина (с полюсом в точке А) задачи
Дирихле для s и а. Следовательно, функция 0 (ху у) должна
быть решением однородного интегрального уравнения D),
ядро которого оEращается в бесконечность так же, как и
log—, когда переменная точка совпадает с А (г = 0). Од-
Однако итерационным методом, примененным в случае колеба-
колебаний воды в озере, мы можем свести это уравнение к другому
однородному интегральному уравнению с конечным ядром.
Приравнивая нулю детерминант этого уравнения (для того
чтобы не допустить тождественного обращения v в нуль),
мы и здесь получим трансцендентное уравнение для Л, из
которого можно найти периоды колебаний мембраны.
§ 6. Новые исследования о сейшах
138. Возвращаясь к задаче о сейшах, или к колебаниям
воды в озере, мы коснемся прежде всего метода, предло-
предложенного Прудманом [149]. Обобщая исследования Лагранжа
по теории колебаний струны, Прудман разделил озеро на
ряд узких полос и исследовал их колебания, а затем беско-
бесконечно ужал полосы и перешел к пределу. В своей работе
он использовал бесконечные детерминанты. После этого
Матеуцци [118] показал, что метод Прудмана является не
чем иным, как процессом перехода к пределу, применяе-
применяемому в теории интегральных уравнений; однако он не
счел необходимым повторить общий процесс в этом частном
случае, а прямо применил метод, который в некотором
смысле аналогичен процессу перехода к пределу, часто при-
применяемому в элементарных курсах для вычисления цен-

§ 7. ИССЛЕДОВАНИЯ Г. С. ИВЕНСА И ЕГО ШКОЛЫ 219
Тров тяжести и моментов инершш; таким образом он достиг
существенного упрощения, при котором возможно приме-
применение общих методов интегрального исчисления. Он нашел,
что периоды колебаний зависят от трансцендентного урав-
уравнения, определяемого непосредственно при помощи неко-
некоторого интегрального уравнения. Аналогичный процесс
можно применить также к задаче об океанских приливах;
здесь мы имеем в виду один из методов, использованных
Пуанкаре [145] и другими после него, для исследования
этого явления.
§ 7. Некоторые исследования Г. С. Ивенса
и его школы
139. Другим направлением применения функций от
линии можно считать упрощение теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений с частными производными. В самом деле,
аддитивные функции от линий с большим основанием, чем
аддитивные функции от точечных множеств, можно рассма-
рассматривать как пределы интегралов, содержащих параметр,
когда они распространены на области, ограниченные кри-
кривыми. Имея в виду такого рода приложения, Мариа иссле-
исследовал в своей диссертации [117] свойства вполне аддитивных
функций от плюрисегментов на плоскости сингулярных
функций от линий, множеств особых точек и др. Эти иссле-
исследования являются естественным обобщением нового на-
направления из фундаментального труда Витали [175], по-
посвященного таким же вопросам для функций / (х) одной
переменной. Ивенс и Брей применили эти идеи в теории
интегро-дифференциальных уравнений типа Боше (Bocher),
причем точкой отправления являлась теорема Боше о том,
что если и> ~, -?- являются непрерывными в области, то
из уравнения
справедливого для всех кругов в области, следует, что про-
производные всех порядков существуют, являются непрерыв-
непрерывными и функция и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Ивенс показал также, что если исключить движущиеся
особенности, то утверждение справедливо при значительно
менее стеснительных условиях (см. [26], [31]). Используя

220 ГЛ. VI. ПРИМЕНЕНИЯ
это, Ивенс сумел решить разрывные краевые задачи типа
задачи Дирихле для уравнения Пуассона в случае, когда
оно описывает наиболее общее распределение конечной
положительной или отрицательной массы в произвольной
односвязной плоской области (см. [32]). Функция массы
является произвольной вполне аддитивной функцией то-
точечного множества Ф (е)\ ей соответствует единственная
аддитивная функция Ф (s) от замкнутой кривой с регу-
регулярными особенностями, и такая, что для каждой s, на ко-
которой Ф (s) непрерывна, имеет место равенство Ф (s) =
= Ф (ё)\ здесь е — множество точек, лежащих внутри s.
Рассматриваемое уравнение принимает вид
Согласно обобщенной теореме Боше разность двух решений
этого уравнения в рассматриваемом классе функций стано-
становится гармонической. Поэтому достаточно исследовать
свойства главного решения
P)d<D(e),
где g(M, P) есть функция Грина для области.
140. Брей и Ивенс показали, что исследование функции,
гармонической внутри сферы, которую можно записать как
разность двух неотрицательных функций, гармонических
внутри сферы, при помощи обобщения интеграла Пуассона
можно свести к исследованию аддитивных функций линий
на поверхности сферы и основанных на них интегралов
Стилтьеса [30]. Этот же метод применим для исследования
задачи Неймана для сферы [17]. Ивенс и Майлс [33] анало-
аналогичным образом исследовали задачи Дирихле и Неймана
для областей, ограниченных достаточно гладкими поверх-
поверхностями, а также для потенциалов простого и двойного
слоев в терминах общих распределений масс. Здесь опять
соответствующие краевые задачи изучены в терминах адди-
аддитивных функций от линий на поверхности; например, пре-
предел потока через замкнутую кривую, когда кривая движется
по поверхности, является именно такой величиной. Эти
задачи были решены при помощи интегральных уравнений
с интегралами Стилтьеса.

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 221
ЧАСТЬ II
§ 1. Пермутабельные функции. Функциональные
группы
141. Библиографию теории пермутабельных функций
можно найти в работе Ивенса (см. [71, [8], [9] из библиогра-
библиографии к гл. IV), впервые сделавшего попытку построить
алгебру пермутабельных функций первого рода. Он прео-
преодолел затруднения, связанные с отсутствием нулевой сте-
степени, при помощи введения специальной и элегантной кон-
конструкции.
Пере является автором одной из глав в теории пермута-
пермутабельных функций первого рода, а именно фундаментальной
главы о преобразованиях, сохраняющих свойство компо-
композиции. Об этом мы уже говорили выше (см. п. 90), показав,
каким образом можно дать новые и строгие доказательства
двух основных теорем: несколько функций, являющихся
пермутабельными с другой функцией первой степени, явля-
являются пермутабельными друг с другом; и композиционная
степень с показателем г функции первой степени являет-
является целой функцией от г (см. пп. 91 и 92).
§ 2. Интегральные теоремы сложения
142. В главе о теории пермутабельных функций мы
говорили об интегральных аддитивных теоремах (см. п. 83)
и в связи с этими теоремами указали на связанные с ними
важные результаты Адамара, который часто обращался
к такого рода вопросам (см. [12] из библиографии к гл. IV).
Он заметил, что уравнения математической физики приво-
приводят к интегральным аддитивным теоремам. По словам Ада-
Адамара, «само определение решения при помощи начальных
условий показывает нам, что оно является преобразова-
преобразованием системы функций, выраженных через эти условия;
например, в случае задачи Коши мы имеем систему, зави-
зависящую от функций / и g, к которой сводятся ии| при
t « t0» (см. [79]).
Если мы теперь рассмотрим значения /х и gl9 которые
принимают и и ¦? при t = t0 + А, то они получаются из

222 гл. vi. применения
предыдущих значений при помощи преобразования Th,
зависящего от параметра h. Теперь принцип Гюйгенса, по
крайней мере в одном из его вариантов, выражает тот
факт, что полученное таким образом семейство преобразо-
преобразований образует группу, или, другими словами, мы имеем
h ' l k — I h+k-
Принимая во внимание метод, с помощью которого интег-
интегрируется рассматриваемое уравнение и который поэтому
позволяет нам вычислить преобразование Th> можно ввести
в качестве основного элемента элементарное решение урав-
уравнения. Принцип Гюйгенса, т. е. существование упомянутой
выше группы, приводит нас к интегральной аддитивной
теореме, которой удовлетворяет наше элементарное реше-
решение. Таким же путем можно получить другие интегральные
аддитивные теоремы.
§ 3. Функциональные преобразования.
Функциональные инварианты
143. В связи с применением функциональных преобра-
преобразований в теории дифференциальных уравнений с частными
производными, а значит и в физике непрерывных систем,
в работах Ковалевского [96], [97], Вессио [173], [174],
а также Михела [120] — [124] на изучение непрерывных
групп линейных функциональных преобразований с одним
параметром было обращено большое внимание. Наиболее
полно исследованными преобразованиями (которые всегда
обратимы) являются преобразования типа Вольтерра
\(х, в; a)y(s)ds. A)
При помощи этих преобразований можно для любого значе-
значения параметра а от функции у (х) перейти к преобразован-
преобразованной функции Ух (х). Они обладают свойствами, похожими
на свбйства групп линейных преобразований Ли, опреде-
определенных в пространстве п измерений. Преобразование A)
можно также рассматривать как преобразование, получен-
полученное из групп Ли, определенных в функциональном прост-
пространстве бесконечного числа измерений. В своих интерес-
интересных работах Михел исследовал также функционалы

§ 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ДИНАМИКА 223
являющиеся инвариантными относительно
групп вида A); таким образом, мы получаем группы преобра-
преобразований с постоянными пределами интегрирования (типа Фред-
гольма), а также аналогичные инварианты. Общее выраже-
выражение для линейной аналитической функциональной группы
С одним параметром было найдено Фантаппие [39]. Т. Леви-
Чивита [1053 — [107] еще раньше рассмотрел дифферен-
дифференциальные уравнения, являющиеся инвариантными относи-
относительно обобщенного класса бесконечных функциональных
групп.
144. Преобразования общей группы, порожденной прин-
принципом Гюйгенса, не являются непрерывными нулевой сте-
степени, как это имело место в случае преобразований, рас-
рассмотренных Ковалевским и Вессио. Это обстоятельство при-
приводит к существенным изменениям в полученных результа-
результатах (см. [79]).
ЧАСТЬ III
§ 1. Функциональная динамика
145. В заметке Вольтерра, опубликованной в 1914 г.
(см. [88] из библиографии к гл. I), была высказана идея
о применении функционального анализа к исследованию
непрерывных систем, особенно тех, которые относятся к со-
совокупности корпускул, не связанных друг с другом диффе-
дифференциальными соотношениями. Этд идея была использо-
использована в замечательной диссертации Мойсила [127]; он связал
с каждой конфигурацией непрерывной и переменной систе-
системы, подверженной ограничениям любой природы, множество
функций, которые можно рассматривать как координаты
системы, и получил интегро-дифференциальные уравнения,
пналогичные уравнениям Лагранжа. Геометрическая схема
риманова многообразия, представляющего динамику си-
системы, соответствует функциональному многообразию (про-
(пространство бесконечного числа измерений), имеющему соот-
соответствующую метрику, и к которому можно применить
тензорное исчисление (см. [125]). В кинематической части
вопроса Мойсил изучил функциональную группу с бесконеч-

224 гл. vi. применения
ным числом параметров, порожденную перемещениями не-
непрерывной системы. Он работал на параллельной линии
с классической теорией конечных групп и добился анало-
аналогичных результатов (см. [1261).
Практические применения этих результатов связаны
с движением гибкой и нерастяжимой струны, однако они
интересны также с точки зрения функциональной геомет-
геометрии, в особенности с точки зрения бесконечных групп, изу-
изучаемых функциональными методами.
§ 2. Функциональные вращения
146. Мы не можем закончить кинематические вопросы
функциональных пространств и теории функциональных
групп без упоминания исследований Делсарта [23], [24].
В теории непрерывных групп линейных преобразований
n-мерного пространства некоторые подгруппы играют осо-
особую роль. Такими, например, являются группа ортогональ-
ортогональных преобразований и унимодулярная группа. Простой
метод построения этих групп состоит в априорном опреде-
определении их инвариантов, например расстояния для первой
группы и элемента объема для второй группы.
Если рассмотреть функциональное пространство функ-
функций с суммируемым квадратом и если в этом пространстве
взять группу Фредгольма или группу линейных функцио-
функциональных преобразований, имеющих специальный вид
u)f{u)du~K\f\>
то можно аналогичным образом определить одну из ее под-
подгрупп, считая инвариант этой подгруппы заданным. В част-
частности, подгруппа «функциональных вращений» получается
при условии, что евклидово расстояние \f2(s)ds является
инвариантом. Из соотношения

§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ВРАЩЕНИЯ 225
мы видим, что ядро вращения К (s, и) удовлетворяет усло-
условиям
(t, s) + \k(s9 u)K(t, u)du
о
t) + K(t9 s) + \k(u, s)K(u,
которые фактически являются эквивалентными. Из этих
условий следует, что:
1) обратное преобразование имеет вид
(u, s)g(u)du;
2) каждое ядро вращения К (s9 f) представляет собой
значение, принимаемое разрешающим ядром любого косо-
симметрического ядра при X = 1/2;
3) функциональные вращения представляют собой
смещения в рассматриваемом функциональном простран-
пространстве;
4) каждое фредгольмово преобразование есть произве-
произведение функционального вращения и функционального растя-
растяжения (см. [22]) (мы применяем этот термин к преобразова-
преобразованию Фредгольма с симметрическим ядром). Далее следует
заметить, что эти преобразования оставляют инвариантными
также понятия объема и поверхности, определенные Гато.
Это связано с тем, что данные преобразования сохраняют
нормальную плотность последовательностей координатных
функций. С точки зрения геометрии эти преобразования
имеют свойства, очень похожие на свойства вращений прост-
пространства с конечным числом измерений. Можно показать, что
они сохраняют инвариантными систему двойных линейных
множеств точек, которые вполне ортогональны попарно
друг другу при вращении вокруг начала на угол, который
связан с соответствующим сингулярным значением ядра.
В случав, когда ядро имеет только конечное число 2п сингу-
сингулярных значений, мы получаем преобразование, которое
топологически идентично вращению в пространстве п изме-
измерений.
8 В. Вольтерра •

226 ГЛ. VI. ПРИМЕНЕНИЯ
§ 3. Функционал энергии напряжения
в теории упругости
147. Донати [200] в 1888 г. предложил одну интересную
теорему теории упругости, в которой использовались опера-
операции дифференцирования и понятие производной функциона-
функционалов, введенных Вольтерра незадолго до этого.
Донати заметил, что работу напряжения упругого тела
можно рассматривать как функционал от компонент и,
v, w смещений различных точек или как функционал от
компонент X, F, Z напряжения поля сил в любой точке.
Но компоненты смещений не только являются функциями
отточек тела, их можно рассматривать так же, как функцио-
функционалы от компонент напряжения силового поля. Аналогич-
Аналогичным образом эти компоненты можно рассматривать не
только как функции от точек тела, но и как функционалы
от компонент смещений.
Таким образом, функциональными производными ра-
работы относительно функций «, vt w являются Х,У, Z, a функ-
функциональными производными работы относительно функ-
функций X, У, Z являются и, v, w. Эта теорема Донати для уп-
упругого тела обобщает теорему Кастильяно об упругих ра-
рамах (см. Castigliano A., Theorie de Tequilibre des systemes
elastiques et ses applications. — Turin: 1879).
ЧАСТЬ IV
§ 1. Общие законы эредитарности
148. В предыдущей главе мы уже говорили о явлении
эредитарности для того, чтобы привести частный пример
возникновения интегро-дифференциальных уравнений (см.
п. 115). Однако общая теория этого явления требует при-
применения теории функционалов, на которой следует кратко
остановиться.
Мы видели, как с учетом гипотезы эредитарности в раз-
различных физических теориях появляются величины вида
г = F / т ,т. е. функционалы, зависящие от значений,
принимаемых одной или несколькими функциями от вре-
времени (например, / (т)) на интервале между — оо и данным
моментом t\ или, в случае линейной эредитарности, вели-

§ 1. ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ЭРЕДИТАРНОСТИ 227
чины вида
*- J ф(*. T)f(T)dT.
— оо
Эти величины г, являющиеся функционалами от / (т), пред-
представляют собой также функции от t в обычном смысле.
Однако во многих случаях, как мы увидим, налагая некото-
некоторые простые условия, природу этих функционалов можно
упростить. Первым весьма естественным постулатом яв-
является предположение о том, что эредитарность, соответст-
соответствующая состояниям, предшествующим рассматриваемому
моменту, постепенно затухает, точнее, если функция / (т) по
абсолютной величине всегда ограничена (<М), то модуль
Г / * \1
вариации величины г «= F / т при произвольном изме-
нении f (т) на интервале (—оо, у, где t± <C t, можно сделать
сколь угодно малой, принимая интервал (tltt) достаточно
большим. Этот постулат представляет собой принцип зату-
затухания (диссипации) эредитарного действия.
тации) эреоитарь
<"№Ъ
Полагая г' =/7 / т — h ) можно добиться, чтобы для
любых / и h всегда имело место равенство г == г1. Здесь
состояние г в некоторый момент времени будет определено
способом, учитывающим историю, предшествующую этому
моменту времени. Оно будет зависеть только от прошло о
и не будет зависеть от самого момента. Если г инвариантно
относительно всякого перемещения кривой у — / (т), то
будем говорить, что имеет место инвариантность эредитар-
ности. Принимая этот закон как постулат (см. [166]), по
крайней мере для изолированных систем, мы скажем, что
эредитарность инвариантна; если функция у = / (т) перио-
периодична с периодом 71, то функционал z тоже периодичен
с тем же периодом Т. Сопоставляя с явлением на плоскости
движение точки с декартовыми координатами у = / (О»
г = г @, мы увидим, что при изменении t точка при любом
периоде Т описывает замкнутую кривую. Наоборот, можно
показать, что если z (f) периодична при периодичности / (/),
с одинаковым для них периодом Т (каков бы он ни был),
то эредитарность будет инвариантной (см, [186]). Поскольку
явление представляется замкнутой кривой, этот принцип
называется принципом замкнутого цикла*
8*

228 гл. vi. применения
В случае замкнутого цикла, который полностью экви-
эквивалентен случаю, когда эредитарность является инвариант-
инвариантной, можно показать (см. [186], а также [86] из библиогра-
библиографии к гл. I), что все ядра полученных интегральных урав-
уравнений просто являются функциями от разности / — т двух
переменных, т. е. являются пермутабельными первого рода
единице и друг другу (группа замкнутых циклов; см. гл. IV,
п. 87). Этот результат чрезвычайно полезен, так как можно
сразу же применить теорию композиций, изложенную в пре-
предыдущей главе.
Таким образом, например, в случае упругого кручения
(см. п. 115), для которого мы предполагали линейную эре-
эредитарность, если эредитарное действие инвариантно (слу-
(случай замкнутого цикла), то вместо более общего уравнения E)
из п. 115 мы получаем простое интегральное уравнение
с ядром, являющимся функцией от разности t — т.
Рассмотрим теперь случай линейной эредитарности.
Пусть р — параметр, значение которого в момент времени t
связано с параметром q соотношением линейной эредитар-
эредитарности, т. е. пусть
t
p(t) = aq(t)+ $ <7(*)Ф(*-т)с!т. A)
— 00
Функция q (т) определяет историю параметра q (первичная
история), а функция р (t) определяет историю параметра р
(история эредитарности). В этом случае мы будем говорить,
что эредитарность является полной. Если Ф обращается
в нуль для значений аргумента, равных или больших То,
то эредитарность ограничена периодом То и мы получаем
p(t) = aq(t)~ J q(x)<b(t-T)dT. B)
t-T6
Однако если эредитарностью до момента t0 можно прене-
пренебречь, то уравнение A) принимает вид
т)Л. C)

* 2. ЭРЕДИТАРНАЯ ДИНАМИКА 229
В этом случае будем говорить, что эредитарность следует
после момента to\ тогда приведенное выше интегральное
уравнение можно обратить и записать в виде
где функция ф является разрешающим ядром уравнения C).
Таким образом, мы видим, что как только первичная исто-
история, следующая за tOi определяет эредитарную историю,
так эредитарная история, следующая за tOy определяет пер-
первичную историю. Следовательно, эредитарность, следую-
следующую за t0, можно полностью обратить и q можно рассматри-
рассматривать эредитарно зависимой от р. Аналогичные свойства не
имеют места, если эредитарность является полной или
ограниченной; например, в этих случаях, если не наложить
некоторые ограничения, заданной истории эредитарности
могут соответствовать различные первичные истории (см.
[190], [188], [92]).
Если первичная эредитарность следует за /0, то не исклю-
исключена возможность того, что она является также ограничен-
ограниченной временем Го; однако обратная эредитарность не обя-
обязательно должна быть ограниченной временем То или любым
другим способом.
§ 2. Эредитарная динамика
149. Общие уравнения динамики (в форме Лагранжа)
имеют вид
ddT d(T-Q) п п
ШЩ 5^~~ = Qb A)
где <7ъ <7г» •••» Яп — независимые координаты, Т — живая
сила, —Q — потенциал, Ql9 Q2, ..., Qn — внешние силы.
Если в выражениях
коэффициенты ais и bis предполагать постоянными, то урав-
уравнения становятся линейными:

230 гл. vi. применения
из этих уравнений (если форма B) положительна) мы можем
вывести теорию малых движений.
Если имеет место линейный эредитарный эффект, то
приведенные выше уравнения меняются и принимают сле-
следующий вид (см. [188], [189]):
и в случае замкнутого цикла и времени То продолжитель-
продолжительности эредитарности (см. п. 148) получаем
s s <« t — To
или, иначе,
To
23 (hai + 2 bisqs+2] 5 ф* w ?* (' -T>dT=^-
s s s 0
150* Если имеется один параметр, т. е. если система
имеет только одну степень свободы, то предыдущее уравне-
уравнение принимает вид (Ь > 0)
То
Ф (т) q(t — x)d% — Q. C)
б
Легко видеть, что Ф (т) является непрерывной отрицатель-
отрицательной функцией, обращающейся в нуль при т ^ 70, и удов-
удовлетворяющей условию
Го
Ь + J Ф (т) dx = т > 0.
о
Уравнение C) можно записать также в виде
То
q" + mq—^ Ф(x)[q(t) — q(t--x)]dx — Q.
о
Если положить
1 Г*
-q(t — т)Г2 ах, D)

« 3. &РЕДИТАРНАЯ УПРУГОСТЬ 231
то отрицательный функционал —Ер можно называть по-
потенциалом всех внутренних сил, как эредитарных, так и
неэредитарных.
§ 3. Эредитарная упругость
151. Пусть Yn, V22» 7зз> Тгз» 7з1» 7ia — шесть элементов,
которые определяют напряжение (или деформацию), так
что если и, v, w обозначить компоненты смещения точки, то
A)
Пусть через tik (t, k = 1, 2, 3) обозначены шесть компонент
с условием tik = hi вдоль трех осей давлений (или натяже-
натяжений) на каждой грани бесконечно малого параллелепипеда
с ребрами, параллельными осям координат. Согласно за-
закону Коши уравнения равновесия упругого тела имеют
вид
dtn , dt^ , dtb
** dtu, , dt23 __ ^v L
- z/ —
7ii==
723 =
du
dx •
722 =
a»
731
» 7зз =
712 =
du
где p — плотность, a X, У, Z — компоненты силы, дейст-
действующей на единицу массы. Кроме того, имеем краевые
условия
tn cos nx + tn cos ny + /13 cos nz я Ха, ]
/21 cos nx + /22 cos ny + ?2з cos nz = Yay \ C)
<3i cos nx +132 cos ny + ^33 cos nz = ZOf J
где п есть нормаль к поверхности а, являющейся границей
упругого тела, Ха, Ya> Za суть компоненты внешних сил,
действующих на а. Однако этих уравнений недостаточно
для определения общих законов упругости; поэтому мы
наложим также некоторые условия, связывающие компо-
компоненты yrs напряжений с компонентами tik давлений и для
упрощения предполагаем, что (по крайней мере в первом

232
ГЛ. VI. ПРИМЕНЕНИЯ
приближении) yrs являются функциями от tik. Эти условия
носят название закона Гука (Гук сформулировал этот закон
еще в 1660 г.). Поэтому мы имеем
2
ik
если разрешить D) относительно tik, то получаем
fo = 2>*.r,Y«. E)
rs
Подставляя эти выражения в B) и учитывая A), мы полу-
получаем систему дифференциальных уравнений с частными
производными второго порядка (эллиптического типа), ко-
которая вместе с краевыми условиями C) определяет компо-
компоненты напряжений.
152. В полученных таким образом уравнениях мы,
однако, не учитывали явление упругой усталости и вообще
все эредитарные явления. Принимая их во внимание, мы
можем записать D) в виде (см. [1811)
yrs = 2 ars, iktik + Frs [ tnt t129 ...;/], F)
fa —00 —00
добавив поправочный член Frsy который, будучи зависимым
от всех значений давлений, действовавших на тело до этого,
становится функционалом от компонент tik (т), являющихся
в свою очередь функциями времени t> изменяющегося на
интервале от —со до рассматриваемого момента t. Поэтому
мы видим, что только при помощи теории функционалов
возможно сколько-нибудь полное исследование явления
упругости, происходящего в реальном мире, т. е. с учетом
предыдущей истории тела. Если, в частности, предполо-
предположить, что функционал допускает разложение в ряд, анало-
аналогичный ряду Тейлора, и если в этом случае имеет место
закон Гука, то уравнения F) принимают более простой вид:
Ъш = 2 а». ikUk + I 2 Ф«. т С *) Uk (т) d%. G)
ik —oo
Если до момента 0 эредитарностью можно пренебречь, то
интегрирование ограничивается конечным интервалом @, f).
Если эредитарное действие продолжается в течение вре-
времени TQ9 то интегрирование можно ограничить интервалом

$ 4. ЭРЕДИТАРНЫЙ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 233
(t — Т09 t) (см. п. 148). В случае замкнутого цикла будем
иметь
Разрешая систему интегральных уравнений G) относи-
относительно tik и подставляя, как и раньше, в уравнение B), мы
получаем для определения трех неизвестных функций и,
v, w три интегро-дифференциальных уравнения с частными
производными эллиптического типа.
§ 4. Эредитарный электромагнетизм
153. Другой пример применения функционалов в явле-
явлении эредитарности дает нам теория магнетизма и электри-
электричества. При выполнении классических условий, когда не
учитывается явление эредитарности (см. [82]), основные
уравнения электродинамики имеют вид
a%*- = -rotF,, ad-§f = votFm-4naCe, A)
где Pm и Fm — векторы магнитной индукции и напря-
напряженности магнитного поля, а Ре, Fe и Се — соответственно
векторы электрической индукции, напряженности электри-
электрического поля и плотности электрического тока, причем эти
векторы связаны линейными соотношениями
Ре, х = BnFgf х + &12Fe> у + B13Fef
Ре, у = e2iFe, х + е22^, у + e23fy z, B)
Ре. z =
Pm, x \\\m, x + |i2m, у + ^I3m. z>
F C)
у
12 (Fe, у—F'e, t/)+^i3 (Fe, z—
e, -Fe, ,), D)
Сe, *=A,31 (Fe> x—Fe, *)+h32 {Fet y—Fe, y)+X3s (Fe, z—
где F'e, x, F'e, yy F'e, г суть компоненты электродвижущей силы.
Если принимать во внимание явление эредитарности,
рассмотреть явление магнитного гистерезиса, а также дру-
другие аналогичные явления, то мы должны добавить к линей-
линейным выражениям B) и C) ряд поправочных членов, анало-

234 гл. vi. применения
гичных членам в уравнениях F) из п. 152, которые пред-
представляют собой функционалы соответственно от функций
f..*W, FMW. F*.*№ и- Fm,x(%), Fm.y(i;), Fmtgfr),
зависящих от значений, принимаемых этими функция-
функциями при изменении времени т от —оо до рассматривае-
рассматриваемого момента t (см. [64] из библиографии к гл. V). В случае
линейной эредитарности (которой, однако, недостаточно
для объяснения некоторых явлений электродинамики) (см.
[189], с. 249; [164], [166], [93]), члены, которые следует доба-
добавить, будут интегралами, аналогичными интегралам из G)
п. 152. Имея в виду эти более уточненные условия, мы есте-
естественным образом придем к интегро-дифференциальным
уравнениям, которые заменяют обычные дифференциальные
уравнения с частными производными, встречающимися в
классической теории.
154. Пусть мы имеем линейную эредитарность, среда одно-
однородна и изотропна; рассматриваем случай замкнутого цикла
и F'e = 0. Тогда вместо B), C) и D) получаем соотношения
Ре @ = eFe @ + f V (т) Fe (t - х) dx,
6
Pm (t) = lxFm (t) + f Ф (t) Fm (t - t) dx,
Ce(t) = XFe.
В этих уравнениях коэффициенты эредитарности 4я (/) и
Ф (т) должны быть положительными и убывающими, а также
обращаться в нуль при т « Го, где То является временем
продолжения эредитарного явления и где в качестве первич-
первичных историй берутся истории электрической силы и маг-
магнитной силы, а в качестве эредитарных историй — те, кото-
которые относятся к индукциям. Подставляя эти выражения
в уравнения A), мы получим интегро-дифференциальные
уравнения, которые выражают поведение явления электро-
электромагнетизма в эредитарном случае (см. [72] и [73] из библио-
библиографии к гл. V).
§ 5. Уравнения энергии
155. Если эредитарный эффект отсутствует, то уравне-
уравнение C) из п. 150 сводится к соотношению
Qq'dt9 A)

§ 5. УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 235
где Т = qnl2 есть живая сила *), а Е = bq2/2 — потен-
потенциальная энергия. Мы имеем также
t
[
адесь Em = Т + Е (механическая энергия).
Эти уравнения являются основными в неэредитарной
динамике. В эредитарном случае (см. [181]) вместо A) полу-
получаем уравнение
1т* \
| q'% @ +1- mq* (t) - -П Ф (т) [q (t) -q(t- x)f dx\ +
У (т) [д @ - я V - x)f dx = Q (о d<7 (О.
Так как
т0
1 mf (t) —И
-4Q- XW dx =
(cm. D) из п. 160), то полагая
Ед -4
получаем
Величина Ед является положительной, поэтому работа
внешних сил всегда больше, чем приращение величины
Т + Ер. Учитывая, что Т + Ер = Ет, и интегрируя от t0
до /, из предыдущего уравнения мы получаем
{ L9 B)
где Ет и EQm суть значения ?"т в моменты t и t0, a L — ра-
работа внешних сил.
*) В современной литературе используется термин «кинетическая
рнергия». --- Прим. перев.

236 ГЛ. VI. ПРИМЕНЕНИЯ
По определению будем называть Ер внутренней потен-
потенциальной энергией, а Ет — механической энергией. Теперь
можно сформулировать
Принцип энергии. Работа внешних сил всегда
превышает изменение механической энергии на положитель-
положительную величину.
Допустим, что после некоторого времени система возвра-
возвращается в первоначальное состояние (т. е. в начальное с
точки зрения эредитарности *)); тогда механическая энер-
энергия опять принимает свое первоначальное значение. Поэтому
справедлива
Теорема. Если в конце некоторого периода времени
система с точки зрения эредитарности возвращается к
своему первоначальному состоянию, то работа, выполнен-
выполненная внешними силами, является положительной.
В этом случае с механической точки зрения состояние
системы не меняется, поэтому положительная работа яв-
является работой рассеяния. Принимая Ет = EQm, мы можем
вычислить ее по формуле B), которая дает в качестве меха-
механической работы рассеяния выражение
\Eddt. C)
и
Согласно принципу сохранения энергии она должна пре-
превращаться в другие формы энергии.
Если цикл, описанный системой, не является замкнутым,
т. е. если в момент t система не возвращается в первоначаль-
первоначальное состояние (с точки зрения эредитарности), в котором
она находилась в момент t0, то мы не можем утверждать,
что величина C) всегда дает нам величину механической
работы, которая преобразована в другие формы энергии.
В действительности только по определению мы назвали Ер
внутренней потенциальной энергией, а Ет — механической
энергией. Однако мы доказали, что существует функционал,
зависящий от состояний системы, с точки зрения эредитар-
*) С точки зрения эредитарности система в два различных момента
времени находится в одинаковых состояниях, если в эти моменты имеют
одинаковые значения параметры, определяющие положение системы,
и, кроме того, значения этих параметров равны друг другу на двух
интервалах времени длиной Ту, которые предшествуют рассматривае-
рассматриваемым моментам,

§ 5. УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Mf
ности такой, что работа, совершенная внешними силами
при переходе из одного состояния в другое, всегда больше^
нем вариация функционала. Рассмотренный функционал не
является единственным, обладающим такими свойствами.
Различные типы эредитарности и их свойства (см. п. 148)
приводят нас к различным формам уравнений энергии.
156. В качестве примера другой формы соотношения
энергии мы исследуем электромагнитное явление эредитар-
ного характера. Для определения основного закона энер-
энергии применим к уравнениям A) из п. 153 известный метод
Пойнтинга (см. [148]). Мы должны вычислить сумму ска-
скалярных произведений
Ы dt " 4я dt mt
которые (после выполнения всех необходимых вычислений и
преобразований) выражаются по формуле
где i
Ет-
юложено:
¦&l '
М- Z72
г.
г.
о
"Р (т)
8я
Ф(т)
8я
dt(E*
Fl{t
¦Pm(t
t + Em)+Ed,
-x)dx,
Ч'\ sif
tj ax,
г»
и где
Fl(t)9 F*m{t), [Fe(t-x)-Fe(t)]\ [Fm(t-x)-Fm(t)?
обозначают соответственно квадраты векторов
Fe(t), Fm(t), Fe{t-x)-Fe{t), Fm{t-x)-Fm{t).
Если, по определению, мы назовем Ее плотностью электри-
электрической потенциальной энергии, а Ет — плотностью маг-
магнитной потенциальной энергии, в то время как Ее назовем
плотностью электромагнитной энергии рассеяния, обусло$-

ГЛ. V!. ПРИМЕНЕНИЯ
ленной явлением эредитарности, то эти величины все будут
положительными, а поток электромагнитной энергии, кото-
который проходит через поверхность поля S за время (tQ, t),
Судет равен
\EddS + J,
S
где J обозначено тепло Джоуля (измеренное в единицах
механической энергии), и где значок 0 сверху использован
для указания начальных значений (в момент tQ) величин Ее
и Ет. Отсюда следует
Теорема. Поток электромагнитной энергии, про-
проходящей через поверхность поля, превосходит сумму энергии
Джоуля и приращения электромагнитной энергии поля на
положительную величину.
Часть энергии, относящаяся к рассеянию (которая,
вообще говоря, превращается в тепло), выражается интег-
интегралом
\dt \EddS.
U s
Это утверждение можно сделать по крайней мере в случае,
если система с точки зрения эредитарности, возвращается
в первоначальное состояние.
Мы доказали существование функционала, зависящего от
состояния системы с точки зрения эредитарности и та-
такого, что его вариация на любом интервале времени, в сумме
с прибавленной к ней энергией Джоуля, всегда превосходит
поток электромагнитной энергии, проникающей в поле через
его поверхность.
Этот функционал не является единственным, обладаю-
обладающим такими свойствами. Можно вычислить другой такой
функционал (аналогично тому, как был найден для динами-
динамических систем), отличный от первого только тем, что если
в первый входят величины, определяющие положения си-
системы в течение времени, равного периоду эредитарности,
то во втором фигурирует разность между элементами, опре-
определяющими состояние системы в данный момент и в после-
последующий момент. В случае динамики можно обобщить также
принцип энергии, если даже эредитарность не является
линейной.

§ 1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ^39
ЧАСТЬ V
§ 1. Функциональные операторы
167. Точка зрения, которой мы придерживались в вопро-
вопросах функционального анализа, в корне отличается от той
(алгоритмической и формальной), что принята в так назы-
называемом символическом исчислении. Среди тех, кто зани-
занимался этим вопросом, следует упомянуть Лейбница, Лагран-
жа, Сервуа и многих других. История этих исследований
была изложена в работе Тарди [220]. Эта область исследо-
исследований (функциональные операции) включает также изуче-
изучение производных с дробным порядком (см. гл. II, п. 49).
158. В своих важных исследованиях по электродинамике
Хивисайд [209], [210] постоянно и систематически исполь-
использовал функциональные операторы. Джорджи [74] — [77],
[202], [203] применил строгие методы теории функциональ-
функциональных операторов и получил интересные результаты, относя-
относящиеся к переменному электрическому току, а также к ин-
интегрированию дифференциальных уравнений. Теория функ-
функциональных операторов широко используется в современ-
современных физических теориях (см. [198]).
159. Основные результаты символического исчисления,
по крайней мере в случае линейных функциональных .опе-
.операций (или «дистрибутивных операций») в области анали-
аналитических функций, принадлежат Пинкерле [140] — [144],
[217], здесь мы не имеем возможности упомянуть много-
многочисленные другие его работы, посвященные этим вопросам.
Прошло много лет после того, как Кало [18] получил соот-
соотношения (см. также [34]) между квадратурами и дистрибу-
дистрибутивными операциями Пинкерле, которые, как мы видели,
являются линейными функционалами, определенными в об-
области аналитических функций. Они сохраняют свойство
аналитичности относительно параметра, встречающегося
в функциях, к которым эти функционалы применяются.
Как заметил Винтер (см. [92] из библиографии к гл. I),
идеи, относящиеся к формальному развитию свойств опера-
операторов, которые связаны с исследованиями Пинкерле, имеют
совсем другую природу в вопросах обобщения основных по-
понятий дифференциального и интегрального исчислений. Как
мы видели, последние составляют содержание настоящей
книги.

240 ГЛ. VI. ПРИМЕНЕНИЯ
160. Интересные исследования Бурле [16] относятся
к функциональным операциям, называемым функциональ-
функциональными трансмутациями. Он применил функциональные
трансмутации к любым двум функциям и их суммам и рас-
рассмотрел задачу получения трансмутации из соотношений
между ними.
§ 2. Аналитические функционалы
161. Л. Фантаппье [35] свел изучение линейных анали-
аналитических функционалов F [у (t)] *) к исследованию функции
v (а) одной комплексной переменной (функциональная инди-
индикатриса ддя F), которая в случае заданного функционала F
вполне определяется по формуле
а)
и которая в свою очередь определяет функционал по фор-
формуле
53 $»('H@Л. B)
где С есть любая замкнутая кривая на комплексной сфере,
содержащая внутри себя все особые точки функции у (t)
и вне себя особые точки функции v (t).
Фантаппье назвал правую часть равенства B) осесиммет-
ричным функциональным произведением. Если F зависит
от параметра г, т. е. F [у (t)\ г] *= / (г), то v тоже зависит
от г, т. е. v « v (z, а). Легко видеть, что особые точки функ-
функции / (г) совпадают с особыми точками функций v (z, tx)9
v (г, t2), ..., если tt, t2i ... являются особыми точками функ-
функции у (f). В качестве частного случая этого утверждения
мы получаем хорошо известную теорему Адамара (см.
п. 103), определяющую положения особых точек «нормаль-
«нормальных операций» Пинкерле, а также другую аналогичную
теорему, которая определяет положения особых точек
функций, получающихся применением дистрибутивных опе-
операций и являющихся пермутабельными производной.
*) F называется аналитическим функционалом, если F [у (/, а)]
есть аналитическая функция параметра а, когда у (/, а) — аналитиче-
аналитическая функция от / и от параметра а.

§ 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 241
Вариация 6F ly (t)] нелинейного функционала F [у (/)],
соответствующая вариации Ьу зависимой функции, есть
линейный функционал от Ьу. Фантаппье принял функцио-
функциональную индикатрису этого линейного функционала в ка-
качестве определения функциональной производной для F.
Фантаппье нашел правила для исчисления функциональных
производных и при помощи этого сумел выразить аналити-
аналитический функционал в классе заданных функций в виде ряда,
аналогичного ряду Тейлора. Разложения Вольтерра и Фреше
(см. п. 25) являются частными случаями этих рядов. От этого
общего выражения для аналитического функционала можно
перейти к решению (в области его аналитичности) функцио-
функционального уравнения
F[y{t), «]-/(*).
Фантаппье получил решение у (t) в виде ряда упомянутого
выше типа, вычисляя его последовательные члены при по-
помощи решения некоторого уравнения, ядром которого яв-
является функция двух переменных (см. [46], [48]). Это дало
повод к использованию исследований по аналитическим
функционалам двух переменных.
Если
есть функциональная индикатриса линейного функционала
F If/ (*ii 4I» то мы можем вычислить этот функционал при
помощи двойного интеграла, зависящего от г; интегриро-
интегрирование, однако, можно проводить по нескольким поверхно-
поверхностям и, таким образом, мы можем получить различные
значения для интеграла. Отсюда следует, что линейный
функционал от функции у двух переменных может быть
многозначным даже и тогда, когда функциональная инди-
индикатриса v и функция у являются однозначными. Это показы-
показывает существенное отличие между аналитическими функ-
функционалами от функций одной переменной и аналитическими
функционалами от функций двух переменных.
Если особые кривые функции у касательны к особым
кривым индикатрисы, то у может быть функцией с ветвле-
ветвлением. Отсюда Фантаппье получил теорему для двойных
степенных рядов, аналогичную теореме Адамара [36] —
N61, [51], [52].

242 ГЛ. VI. ПРИМЕНЕНИЯ
162. Применяя теорию аналитических функционалов,
Фантаппье модифицировал некоторые методы квантовой ме-
оо
ханики, в которой рассматриваются ряды вида 2 arkbks
* —о
оо
(произведение двух матриц), 2 апп (диагональная сумма
матрицы) и 2 fna{rV (Функция / (А) матрицы). Эти ряды
п
иногда использовались без исследования вопроса о сходи-
сходимости. Так же как и формы бесконечного числа переменных
Гильберта, они использовались и тогда, когда их нельзя
было применить. Фантаппье заменил выражение
Гильберта на выражение
(симметрическое функциональное произведение), где
равны 2 QnXn в случае сходимости этих рядов, но имеют
смысл и тогда, когда они не сходятся; в этом случае пред-
предполагается, что особые точки функций a (t) и х (f) не яв-
являются взаимно обратными. Поэтому не обязательно чтобы
ы 2*4, %Хп сходились, а достаточно, чтобы /
/
ряды 2*4, %Хп сходились, а достаточно, чтобы 1/"|ал|
и ]/*| хп | всегда были меньше некоторого конечного
числа.
Вместо бесконечных матриц || ars ||, встречающихся в
квантовой теории, Фантаппье использовал соответствую-
соответствующую функцию двух переменных вида а(гъ г2) = 2j arszizl-
rs
Для произведения двух матриц || ars \\ \\ brs || он взял компо-
композиционное симметрическое произведение соответствующих
функций, а для матричной функции от другой матрицы
использовал то, что он назвал симметрическими функцио-
функциональными композиционными рядами. Таким образом, он
сумел обойтись без использования расходящихся рядов.
Следует заметить, что вычисление диагональной суммы при-
привело его к многозначным выражениям (см. [471, [50]).

§ 3. АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 243
§ 3. Абстрактные пространства
163. Идея рассмотрения не функциональных производ-
производных, а дифференциалов функционалов и последующего
перехода к функциональным производным принадлежит
Фреше (см. [31] из библиографии к гл. I). В противополож-
противоположность этому, в более ранней работе Вольтерра (см. [831 из
библиографии к гл. I) сначала рассматривалась функцио-
функциональная производная, а затем уже дифференциал. Этот
метод и принят в данной книге. В основе своего подхода
к теории функционалов Фреше с самого начала сохранил
функцию как независимую переменную, вместо того чтобы
рассматривать функционал как предел функции бесконеч-
бесконечного числа переменных. Однако следует заметить, что на
практике имела место простая концепция, которая привела
Вольтерра к его первым результатам; с простой концепции
начинали также Фредгольм и Гильберт, которые далее сле-
следовали по одному направлению (см. [201 и [23] из библио-
библиографии к гл. II). Теперь, однако, предпочитают идти этим
новым путем, принадлежащим Фреше и другим авторам из
этой школы. Этот путь приводит к более современным кон-
концепциям о функционалах.
164. Новая идея Фреше состоит в том, что не обязательно
учитывать природу переменной, является ли она числом,
линией, функцией или чем-то другим; он фактически пред-
предпринял попытку распространить исчисление бесконечно
малых на случай, в котором переменная может иметь лю-
любую природу. В этом смысле Фреше приблизился к идеям,
которые, начиная с 1908 г., развивал Мур [128] в Америке
и которые относятся к так называемому «общему анализу».
«Общий анализ» предлагает выделить из известных теорий
наиболее абстрактные общие понятия и обобщить эти тео-
теории исключением из них любых частных свойств, связанных
с конкретными элементами, на которых они основаны.
Фреше дает пример этого подхода в своей теории векторов.
Такой переход от конкретного к абстрактному является
обычным для математики.
Итак, новая концепция функционалов лишает перемен-
переменную всякого конкретного характера. Однако если мы хотим
построить исчисление бесконечно малых, мы должны также
придавать этим абстрактным переменным очень малые из-
изменения, а следовательно, необходимо перенести в эту

244 гл. vi. применения
новую область абстрактных переменных идею расстояния
(см. пп. 13—19). Поэтому необходимо в первую очередь
исследовать эти идеи и изучить инфинитезимальные свой-
свойства множеств точек таких областей. Однако с самых пер-
первых своих шагов общий анализ и функциональный анализ
нуждались в тех понятиях, которые в обычной теории функ-
функций использовались лишь в последней стадии своего раз-
развития; к ним относится, например, полунепрерывность,
которая впервые была использована в упомянутом выше
(см. п. 132) случае рассмотрения площади поверхности как
предела полиэдров. Для абстрактных множеств первое, что
необходимо сделать, это ввести понятие «расстояния», или
более общее понятие «интервала», чтобы для данного мно-
множества можно было определить «производное» множество.
Однако можно рассмотреть абстрактные множества, в кото-
которых операция производного множества определяется произ-
произвольным способом, не прибегая ни к каким промежуточным
понятиям (расстояние, интервал, «окрестность» Фреше и др.).
Термин «топологическое пространство» применяется к лю-
любому множеству элементов одинаковой природы, для ко-
которых определено понятие производных множеств, причем
определено так, что производные множества также содер-
содержатся в том же пространстве (см. [571 — [60], [204] — [208],
[165]). Очень частными случаями топологических прост-
пространств являются векторные пространства, т. е простран-
пространства, в которых с каждой парой элементов или точек можно
связать элемент другой природы, обладающий основными
свойствами векторов.
Среди работ, относящихся к этим вопросам, упомянем
работы Урысона [172], Александрова [21, заметку Леви [4]
о теории вероятностей в абстрактных множествах и многие
другие (см. [208]), где содержится библиография по этому
поводу).
§ 4. Другие применения
165. Теория функционалов применяется во многих дру-
других областях; можно упомянуть применение в баллистике
(см. [11]), в политической экономии (см. [3]) и в статистике
(см. [151], [161], [162], [28], [29], [88], [152] — [157]).
166. Интересные применения интегро-дифференциаль-
рых уравнений имеют место $ б^олого-математической тер-

§ 4. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ 245
рии флуктуации (колебаний) совместно живущих видов
(см. [187]). Если два вида имеют коэффициенты прироста уьг
и |л2 и если число особей видов в момент t равно соответ-
соответственно Ыг и N2, то будем иметь
dN1 Лт dN2 ir /1Ч
-Зг = Л ^ = ^2^. A)
Если \1г = ег = const > 0 и jx2 = е2 = const *< 0, то пер-
первый вид возрастает, а второй убывает по экспоненциальному
закону. Однако если второй вид поедает особей первого
вида, то jutx и \i2 не будут постоянными, так как при возра-
возрастании N2 число |хх уменьшается, a \i2 возрастает при воз-
возрастании Nx. Поэтому, если принять
ц2 = — е2 + y2Nlt
где Vi и 7г — положительные постоянные, и подставить
эти величины в A), то получим два дифференциальных урав-
уравнения, которые описывают общий закон колебаний двух
совместно живущих видов, один из которых поедается дру-
другим видом.
Теперь коэффициент прироста |х2 в каждый момент за-
зависит не только от количества пищи, которую находит вто-
второй вид в данный момент, но также и от ранее имевшейся
пищи, которая по функциональному закону зависит от
всех значений, ранее принимавшихся величиной Л^. Учи-
Учитывая этот факт, мы придем к функциональным уравнениям,
названным нами ранее эредитарными (см. гл. V, п. 115),
поэтому второе из уравнений заменяется интегро-дифферен-
циальным уравнением. Чтобы исследовать этот вопрос ана-
аналитически и более общим и симметрическим путем, можно
заменить два уравнения A) двумя интегро-дифференциаль-
ными уравнениями, которые вследствие предположения об
эредитарности с продолжительностью То принимают вид
- J F1(t-T)N2(x)dx\t
Можно показать, что интегралы этих уравнений существуют
Также в предположении, что время простирается до б

246 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI
конечности, что существует стационарное состояние и что
числа особей двух видов бесконечно колеблются около чи-
чисел, соответствующих стационарным состояниям, являю-
являющимся их асимптотическими средними. Наконец, можно
найти законы возмущения этих средних и показать, что
малые периодические флуктуации невозможны.
БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛАВЕ VI
1. Adams С. R. Note on integro-^-difference equations. —Trans.
Amer. Math. Sx:., 1929, 31, 861—867.
2. Alexandroff P. Sur les ensembles complementaries aux
ensembles A. —Fundamenta Mathematica, 1924, 5, 160—165.
3. A m о г о s о L. Le equazioni differenziali della dinamica economi-
ca. — Atti Congr. Int. Mat. Bologna, Tomo I, 1928, 255—266.
4. A n d г е о 1 i G. Sulla calibrazione dei tubi termometrici e le
equazioni funzionali. —Atti R. 1st. Veneto, 1914—1915, 74, 319—
325.
б. В a n а с h St. Sur les operations dans les ensembles abstraits
et leur application aux equations integrates. — Fundamenta Mathe-
Mathematica, 1922, 3, 133—181.
6. Bar R. Ober Greensche Randwertaufgaben bei der Schwinguns-
gleichung. — Math. Ann., 1917—1918, 78, 177—186.
7. Barnett J. A. Functionals invariant under one-parameter
continuous groups of transformations in the space of continuous
functions. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA., 1920, 6, 200—204.
8. В a t e m a n H. An integral equation occurring in a mathematical
theory of retail trade. —Messenger of Math., 1920, 49, 134—137.
9. В е г t r a n d G. Le theorie des marees et les equations integrales. —
Annal. Ecol. Normale de Paris, 1923, C) 40, 151—258.
10. В i r k h о f f G. D., К e 1 1 о g g O. D. Invariant points in function
space. — Trans. Amer. Math. Soc, 1922, 23, 96—115.
11. Bliss G. A. Differential equations containing arbitrary functions.
Functions of lines in Ballistics. — Trans. Amer. Math. Soc., 1920,
21, 79—92, 93—106.
12. В о 1 t z m a n n L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung. —
Wien Akad. Sitzungsberichte, 1874, 70, 275—306; Wiss. Abhand-
lungen, Bd. I.
13. В о n f e г г о n i С E. Teoria degli accumuli e legge di capitaliz-
zazione. — Giornale di Math. Finanziari, 1924, 6.
14. Born M., Heisenberg W. La mecanique des quanta. —
Rapp. Disc. 5e Cons. Physique, Inst. Solvay, Brussels, 1928, 143—
181.
16. В о u 1 i g a n d G. Fonctions harmoniques. Principes de Picard
et de Dirichlet. (Memorial des Sci. Math., Fasc. 11) — Paris; Gaut-
hier-Villars, 1926.
16. В о u г 1 e t C. Sur les operations en general et les equations dif-
ferentielles lineaires d'ordre infini. — Ann. Ecol. Normale de Paris,
}897, C) 14, 133—190,

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI 247
17. В г а у Н. Е., Evans G. С. A class of functions harmonic within
the sphere. — Amer. J. Math., 1927, 49, 153—180.
18. С a 1 6 B. Sulle operazioni funzionali distributive. — Rend. R.
Accad. dei Lincei, 1895, E) 4, 52—59.
19. С h г у s t a 1 G. On the hydrodynamical theory of seiches. — Trans.
Roy. Soc. Edinburgh, 1905, 41, 599—649.
20. С о u r a n t R. Ober die Abhangigkeit der Schwingungszahlen
einer Membran von ihrer Begrenzung und tiber asymptotische Eigen-
wertverteilung. — Gottinger Nachr., 1919, 255—264.
21. D a v i s H. T. Relating to the proof of an existence theorem for
a certain type of boundary value problem. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1922, B) 28, 390—394.
22. D^lsarte J. Sur les transformations fonctionneles et les rota-
rotations fonctionnelles non-euclidiennes.—C. R. Acad. Sci. Paris,
1928, 186, 415—416.
23. Delsarte J. Les rotations fonctionnelles.—Ann. Fac. Sci.
Toulouse, 1928, C) 20, 47—127.
24. Delsarte J. Memoire sur les groupes finis de rotations fon-
fonctionnelles. — Rend. Circ. Mat. Palermo, 1929, 53, 135—216.
25. D i n e s L. L. Projective transformations in function space. —•
Trans. Amer. Math. Soc, 1919, 20, 45—65.
26. E v a n s G. C. Fundamental points of potential theory. — Rice
Inst. Pamphlet, 1920, 7, 252—329.
27. Evans G. C. The dynamics of monopoly. — Amer. Math. Monthly,
1924, 31, 77—83.
28. E v a n s G. С Economics and calculus of variations. — Proc.
Nat. Acad. Sci. USA., 1925, 11, 90—95.
29. E v a n s G. C. The mathematical theory of economics. — Amer.
Math. Monthly, 1925, 32, 104—110.
30. E v a n s G. C. Generalized Neumann problems for the sphere. —
Amer. J. Math., 1928, 50, 127—138.
31. Evans G. С Note on a theorem of Bocher. — Amer. J. Math.,
1928, 50, 123—126.
32. E v a n s G. C. Discontinuous boundary value problems of the
first kind for Poisson's equation. — Amer. J. Math., 1929, 51,
1—18.
33. E v a n s G. C, Miles E. R. C. Potentials of general masses
in single and double layers. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1929,
15, 102—108.
34. Fantappie L. Sulla riduzione delle operazioni distributive
di Pincherle alle funzionali lineari di Volterra. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1925, F) 1, 70—73.
35. F a n t a p p i ё L. Le funzionali lineari analitiche e le loro sin-
golarita. —Rend. R. Accad. dei Lincei, 1925, F) 1, 502—508.
36. Fantappie L. La derivazione delle funzionali analitiche. —
Rend. R. Accad. dei Licei, 1925, F) 1, 509—514.
37. F a n t a p p i ё L. Le operazioni distributive esprimibili con un
numero finite di operazioni elementari. — Boll. Unione Mat.
Italiano, 1925, 4, № 4, 158—162.
38. Fantappie L. Risoluzione di una classe di equazioni integrali di
la specie a limiti costanti. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1925,
F) 2, 97—103.

248 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI
39. F a n t a p p i ё L. Determinazione dei gruppi a un parametro di
funzionali lineari. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1926, F) 3,
378—383.
40. F a n t a p p i ё L. I funzionali analitici non lineari. — Rend. R.
Accad. dei Lincei, 1926, F) 3, 529—534.
41. F a n t a p p i ё L. La polidromia dei funzionali analitici lineari. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1926, F) 4, 26—31.
42. F a n t a p p i ё L. Les fonctionnelles analytiques qui sont des
fonctions d'un nombre fini de fonctionnelles lineaires. — С R.
de l'Acad. des Sci. de Paris, 1926, 183, 12—14.
43. F a n t a p p i ё L. Sur une classe de fonctionnelles analytiques. —
С R. de l'Acad. des Scl. de Paris, 1926, 183, 179—181.
44. F a n t a p p i ё L. I funzionali analitici. Rend, del Semin. —-
Mat. della R. Univ. di Roma, 1926, B) 4, 34—93.
45. FantappieL. La teoria dei funzionali analitici nell' integra-
zione delle equazioni lineari a derivate parziali di qualsiasi ordine. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1926, F) 14, 557—560.
46. FantappieL. I funzionali analitici delle funzioni di due va-
riabili complesse. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1927, F) 5, 495—
499.
47. F a n t a p p i ё L. Le calcul des matrices. — C. R. de l'Acad. des
Sci. de Paris, 1928, 186, 619—621.
48. FantappieL. I funzionali lineari delle funzioni di due varia-
bili complesse. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1928, F) 7, 216—
223, 384—389, 710—715.
49. FantappieL. Sobre un nuevo determinante funcional. — Rev.
Mat. Hispano-Amer., 1928, B) 3, 9—14.
50. FantappieL. Gli operatori funzionali e il calcolo delle mat-
rici infinite nella teoria dei quanti I, II. — Rend. R. Accad. dei
Lincei, 1928, F) 8, 645—650; 1929, F) 9, 197—202.
51. Fantappie L. Cenni riassuntivi sulla teoria dei funzionali
analitici. — Studia Math., 1929, 1, 141—158.
52. F a n t a p p i ё L. Le equazioni funzionali lineari nel campo com-
plesso. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1929, F) 9, 603—608.
53. F о г e 1 M. Le Leman.—Monographie limnologique. Vol. II.—
Lausanne: Rouge, 1895.
64. Frank Ph. Die Integralgleichungen in der Theorie der kleinen
Schwingungen von Fa*den und das Rayleighsche Prinzip. — Sitz.
Akad. der Wissensch. Wien, 1908, 117, 279—298.
65. Frank Ph., Pick G. Sur quelques measures dans l'espace
fonctionnel. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1914, 158, 104—105.
56. Frank Ph., Pick G. Distanzschatzungen im Funktionenraum.—
Math. Ann., 1915, 76, 354—375.
67. F г ё с h e t M. Essai de geometrie analytique a une infinite de
coordonnees.— Nouv. Ann. de Math., 1908, D) 8, 97—116, 289—317.
68. F г ё с h e t M. Les ensembles abstraits et le calcul fonctionnel. —
Rend, del Cir. Mat. di Palermo, 1910, 30, 1—26.
59. F г ё с h e t M. Sur la notion de voisinage dans les ensembles ab-
abstraits. — Bull. Soc. Math., 1918, B) 42, 138—156.
60. Frechet M. Sur rhomeomorphie des ensembles denombrables. —
Bull. Intern. Acad. Polonaise, Sci. et Lettres, Sci. Math., 1920,
107—108.

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI 849
61. Frechet M. Sur les ensembles abstraits. — Ann. E'col. Normal
de Paris, 1921, 38, 341—387.
62. Frechet M. Esquisse d'une theorie des ensembles abstraits.
Sir Asutosh Moorjee's Solver Jubilee Volumes, vol. II. —Calcutta;
The Baptist Mission Press, 1922, 233—394.
63. F г ё с h e t M. Des families et fonctions additives d'ensembles
abstraits. — Fundamenta Math., 1923, 4, 329—365; 1924, 5, 206—
251.
64. Frechet M. Sur la distance de deux ensembles. — Bull, of Cal-
Calcutta Math. Soc, 1923—1924, 15, 1—8.
65. F г ё с h e t M. I. Sur l'aire des surfaces polyedrales. II. Sur
la distance de deux surfaces. — Ann. Soc. Polonaise de Math.,
1924, 2, 232—247.
66. F г ё с h e t M. Sur la terminologie de la theorie des ensembles
abstraits. — Extrait des C. R. Congres des Soc. Sav., 1924.
67. F г ё с h e t M. L'analyse generate et les ensembles abstraits. —•
Rev. de Metaph. et Mora 11, 1925, 32, 1—30.
68. F г ё с h e t M. La notion de differentielle dans l'analyse genera-
generale. — Ann. Ecol. Normale de Paris, 1925, C) 42, 293—323.
69. F г ё с h e t M. Demonstration de quelques proprietes des ensembles
abstraits. — Amer. J. Math., 1928, 50, 49—72.
70. F г ё с h e t M. Quelques proprietes des ensembles abstraits. *—
Fund. Math., 1927, 10, 328—357; 1928, 12, 298—310.
71. Fr e d h о 1 m I. Sur une nouvelle methode pour la resolution du
probleme de Dirichlet. — K. Vet. Akad. Stockholm, Ofv., 1900,
57, 39—46.
72. F r e d h о 1 m I. Sur la reduction d'une probleme de la mecanique
rationnelle a une equation integrate lineaire. — C. R. de l'Acad.
des Sci. de Paris, 1920, 171, 426—428.
73. F r e d h о 1 m I. Une application de la theorie des equations
integrales. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1922, 174, 980—
982.
74. G i о r g i G. II metodo simbolico nello studio delle correnti
variabili. — Atti Assoc. Elettrotecnica Italiana, 1904, 8, 65 —
141.
75. G i о г g i G. Sul calcolo delle soluzioni funzionali originate dai
problemi di elettrodinamica. — Atti Assog. Elettrotecnica Italiana,
1905, 9, 651—699.
76. G i о r g i G. Sui problemi della elasticity ereditaria. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1912, E) 21, 412—418.
77. G i о г g i G. Sugli operatori funzionali ereditari. — Rend. R.
Accad. deil Lincei, 1912, E) 21, 683—687.
78. Hadamard J. Les problemes aux limites dans la theorie des
equations aux derivees partielles. — Bull. Soc. Franc,, de Physi-
Physique, Journ. Phys., 1906.
79. Hadamard J. Le developpement et le r61e scientifique du
calcul fonctionnel. — Atti Congr. Int. Mat., Bologna, vol. I, 1928,
143—161.
80. H e с к e E. Uber die Integralgleichung der kinetischen Gastheo-
rie. —Math. Zeitschr., 1922, 12, 274—286.
81. He i sen berg W., Pauli W. Zur Quantendynamik der
Wellenfelder. — Zeitschr. f. Physik, 1929, 66, 161

250 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI
82. Н е г t z H. Ober die Grundgleichungen der Elektrodynamik fur
ruhende Korper. — Ann. der Phys., 1890, 40, 577—624; Gesammelte
Werke. — Leipzig; Barth, 1914, Bd. II, pp. 208—255.
83. H i 1 b e г t D. Ober das Dirichlet'sche Prinzip. — Jahresber.
Deutsch. Math. Verein., 1900, 8, 184—188.
84. H i 1 b e г t D. Ober das Dirichlet'sche Prinzip. — Festschr. zur
Feier des 150-jahr. Best. d. K. Ges. Wiss. Gottingen, 1901, 1—27.
85. H i 1 b e r t D. Wesen und Zieleeiner Analysis der unendlich vielen
Variabeln. — Rend, del Circ. Mat. di Palermo, 1908, 27, 59—74.
86. H i r a h a w a H. On a simple integral equations. — Tohoku Math.
J., 1915—1916, 8, 38—41.
87. Hostinsky B. Les fonctions fondamentales du probleme de
Dirichlet. — Publ. de la Fac. des Sci. de L'Universite Masaryk,
Brno, 1924, № 42, 1—16.
88. H о t e 1 i n g H. A general mathematical theory of depreciation. —«
J. Amer. Statist. Assoc. 1925, 20, 340—353.
89. Kellogg O. D. Invariant points in function space (ch. В i r k-
hoff G. D., К el log O. D. [10]).
90. К о r n C. Ober die beiden bisher zur Losung der ersten Rand-
wertaufgabe der Elastizitatstheorie eingeschlagenen Wege. — Ann.
da Acad. Polyt. do Porto, Coimbra, 1915, 10, 1—28.
91. К о s t i t z i n V. A. Sur les solutions singulieres des equations
integrales du cycle*ferme. — Rec. Math. Moscou, 1926, 33, 41—42.
92. К о s t i t z i n V. A. Sur les solutions singulieres des equations
integrales de Volterra. — С R. Acad. Sci. Paris, 1927, 184, 1403—
1404.
93. К о s t i t z i n V. A. Sur quelques applications des equations
integrales au probleme de l'hysteresis magnetique. — Proc. Int.
Math. Congr., Toronto, v. II, 1928, 153—156.
94. К о w a 1 e w s к i G. Les formules de Frenet dans d'espace fonc-
tionnel. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1910, 151, 1338—
1340.
95. Ко wa 1 e ws к i G. Ober Funktionenra*ume I, II. — Sitz. K.
Akad. in Wien, 1911, 120, 77—109, 1435—1472.
96. К о w a 1 e w s к i G. Sur une propriete des transformations de
Volterra. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1911, 153, 931 —
933.
97. К о w a 1 e w s к i G. Sur une classe de transformations infinite-
simales de l'espace fonctionnel. —C. R. de l'Acad. des Sci. de Pa-
Paris, 1911, 153, 1452—1454.
98. L a u г i с e 1 1 a G. Sulla risoluzione del problema di Dirichlet
colmetodo di Fredholm. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1906, E)
15, 611—619.
99. Lauricella G. Applicazione della teoria de Fredholm al prob-
problema del raffreddamento dei corpi. — Ann. di Mat. Рига ed Appl.,
1907, C) 14, 143—169.
100. Lauricella G. Alcune applicazioni della teoria delle eaua-
zioni funzionali alia fisica matematitia. — Nuovo Cimento; 1907,
E) 13, 104—118, 115—174, 237—262, 501—518.
101. L а и г i с e 1 1 a G. SuH'equazione integrale di la specie relativa
al problema di Dirichlet sul piano. — Rend. R. Accad. dei Lincei,
1910, E) 19, 521—531.

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ VI 261
102. Lauricella G. Sulla risoluzione delle equazioni integro-
differenzali del* equilibrio dei corpi elastici isotropi per dati spost-
amenti in superficie. — Rend. R. Ace. dei Lincei, 1912, E) 21,
165—174.
103. Leose J. Ober eine Integralgleichung in der Theorie der hetero-
genen Gleichgewichtsfiguren. — Math. Zeitsch., 1923, 16, 296—
300.
104. L e v i E. E. Sur Tapplication des equations integrales au prob-
leme de Riemann. — Nachr K. Ges. zu Gottingen, 1908, 249—
252.
105. L e v i-C i v i t a T, Sui gruppi di operazioni funzionali. — R. 1st.
Lombardo,
106. L e v i-C i v i t a
sione degli
l v l t a i. bui gruppi ш operazioni iunzionan. — к. isi.
o, 1895, B) 28, 458—468.
i v i t a T. I gruppi di operazioni funzionali e l'inver-
gli integral! definiti. I, II. — R. 1st. Lombardo, 1895,
B) 28, 529—544, 565—577.
Le1
107. L e v i-C i v i t a T Alcune osservazioni alia nota: Sui gruppi di
operazioni funzionali. — R. 1st. Lombardo, 1895, B) 28, 864—873.
108. Levy P. Sur une generalisation de la methode de Fredholm pour
la resolution du probleme de Dirichlet. — J. de l'Ecole Polyt.,
1911, B) 15, 197—210.
109. Levy P. Sur la variation de la distribution de Pelectrocite
sur un conducteur dont la surface se deforme. — Bull. Soc. Math,
de France, 1918, 46, 35—68.
110. Levy P. Calcul des probabilities: Les lois de probabilite dans
les ensembles abstraits. — Paris; Gauthier-Villars, 1925.
111. Lich tenstein L. Untersuchungen uber die Figur der Him-
melkorger. —Math Zeitsch., 1923, 17, 62—110.
112. Lichtenstein L. Ober die erste Randwertaufgabe der Elasti-
zitatstheorie. — Math. Zeitsch., 1924, 20, 21—28.
113. Lichtenstein L. Uber ein Existenzprobleme der Hydro-
dynamik der homogener unzusammendruckbarer reibungsloser Flus-
sigkeiten und die Helmholtsshen Wirbelsatze. — Math. Zeitsch.,
1925, 23, 89—154.
114. Manneback Ch. An integral equation for skin effect in pa-
parallel conductors.—J. Math, and Phys., 1922, 1, 123—146.
115. M arcolongo R. La teoria delle equazioni integrali e le sue
applicazioni alia fisica matematica. — Rend. R. Accad. dei Lincei,
1907, E) 16, 742—749.
116. Marcolongo R. La theorie des equations integrales et ses
applications a la physique mathematique. — Ann. Fac. des Sci.
de Toulouse, 1908, B) 9, 99—112.
117. Maria A. J. Functions of plurisegments. —Trans, of Amer.
Math. Soc, 1926, 28, 448—471.
118. M a 11 e u z z i L. Sulla determinazione delle seiches forzate e delle
seiches libere mediante un equazione integrale di Volterra di se-
conda specie. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1924, E) 33, 474—
480.
119. Merian J. R. Ober die Bewegung tropfbarer Flussigkeiten in
Gefafien. Basel, 1828. — Math. Ann., 1885, 27, 575—600
120. M i с h a 1 A. B. Integro-differential invariants of one-parameter
groups of Fredholm transformations.—Bull. Amer. Math. Soc,
1924, 30, 338—344.

252 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI
121. Mich a 1 А. В. Functional of curves admitting one-parameter
groups of infinitesimal point transformations. — Proc. Nat. Acad.
of Sci. USA, 1925, 11, 98—101.
122. M i с h a 1 A. B. Integro-differential expressions invariant under
Volterra's group of transformations. — Ann. of Math., 1925, B) 26,
181—201.
123. M i с h a 1 A. B. Functional invariants, with a continuity of or-
order p, of one-parameter Fredholm and Volterra transformation
groups. — Bull. Amer. Math. Soc, 1925, 31, 335—346
124. M i с h a 1 A. B. Affinely connected function space manifolds.
Amer. J. Math., 1928, 50, 473—517.
125. M о i s i 1 G. С Sur les varietes fonctionnelles. -— C. R. de Г Acad.
des Sci. de Paris, 1928, 187, 796—798.
126. M о i s i 1 G. С Sur les groupes fonctionnelles. — С R. de l'Acad.
des Sci. de Paris, 1929, 188, 691—692.
127. M о i s i 1 G. C. La mecanique analytique des systemes continus. —
These Fac. Sci. — Bucaresti: 1929.
128. Moore E. H. On a form of general analysis with applications
to differential and integral equations. — Atti Congr. Intern. Mat.
Rome, 1908, vol. II.
129. Moore E. H. An introduction to a form of general analysis. —
Newhaven Math. Coll. Newhaven; Yale Univ Press, 1910.
130. M у 1 1 e r. Randwertaufgaben bei partiellen hyperbolischen
Differentialgleichungen. — Math. Ann., 1910, 68, 75—106.
131. My Her — Lebe def f W. Ober die Anwendung der
Integralgleichungen in einer parabolischen Randwertaufgabe. —
Math. Ann., 1908, 66, 325—330.
132. Nicholson J. W. The electrification of two parallel circular
discs. — Phil. Trans, of Royal Soc. of London, 1924, (A) 224, 303—
369.
133. Oseen C. W. Ober die Bedeutung der Integralgleichungen in der
Theorie der Bewegung einer reibenden unzusammendruckbaren
Flussigkeit. — Ark. f6r Mat., Astr. och Fys., 1910, 6, № 23, 1 —
19.
134. Pea no G. Definizioni dell'area d'una superficie. — Rend. R.
Accad. dei Lincei, 1890, 6, 54—57.
135. P i с а г d E. Sur quelques applications de l'equation fonctionn-
elle de M. Fredholm. — Rend. Circolo Mat. di Palermo, 1906, 22,
241—259.
136. P i с а г d E. Sur une equation fonctionnelle se presentant dans
la theorie de la distribution de l'electricite avec la loi de Neu-
Neumann. — С R. de l'Acad. Sci. de Paris, 1917, 165, 777—781; Ann.
de l'Ecole Norm. Super., 1917, 34, 355—361.
137. P i с k G. Sur 1'evaluation des distances dans l'espace fonction-
nel. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1914, 158, 549—551.
138. Pick G. Distanzschatzungen im Funktionenraum (cf. Frank [56]).
139. P i с о n e M. Sopra un problems dei valori al contorno nelle
equazioni iperboliche alle derivate parziali del second' ordine e
sopra una classe di equazioni integraliche a quello si riconnettono. —
Rend. Circolo Mat. di Palermo, 1911, 31, 133—169.
140. Pincherle S. Equations et aperations fonctionnelles. —
Engcycl. des Sci. Math., Tome II, v. V, fasc. 26, 1909.

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI 263
141. Pincherle S. Sull'inversione degli integrali definitl. — Mem.
Soc Ital. delle Scienze, 1908, C) 15, 3—43.
142. Pincherle S. Appunti di calcolo funzionale. — Mem. Accad.
di Bologna, 1911, F) 8, 117—152.
143. Pincherle S. Sulle operazioni lineari permutabili colla deri-
vazione. — R. Accad. delle Sci. dell'1st. di Bologna, 1922.
144. Pincherle S., Amaldi U. Le operazioni distributive e le
loro applicazioni aU'analisi. — Bologna, Zanichelli, 1901.
145. Peincare H. Lecons de mecanique celeste. V. Ill, Chap X.
Theorie des marees. — Paris, Gauthier-Villars, 1910.
146 Poole E. G. С A new integral equation satisfied by the solu-
solutions of a certain linear differential equation, which occurs in the
theory of electrical oscillations and of the tides. — Messenger of
Math., 1920, 49, 91—96.
147. P о р о v i с i C. Sur les equations integro-fonctionnelles. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1929, F) 10, p. 413.
148. P о у n t i n g J. H. Gn the transfer of energy in the electromag-
electromagnetic field. — Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1884 (A) 175,
343—361.
149. Proudman J. Free and forced longitudinal tidal motion in
a lake. — Proc. London Math. Soc, 1915, B) 14, 240—250.
150. Richardson R. G. D. A new method in boundary problems
for differential equations. — Trans. Amer. Math. Soc, 1917, 18,
489—518.
151. R isser H. Sur une application de liquation de Volterra au
probleme de la repartition par a*ge dans les milieux a effectif con-
constant. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris, 1920, 171, 845—847.
152. R о о s С J. A mathematical theory of competition. — Amer. J.
of Math., 1925, 47, 163—175.
153. R о о s G. J. A dynamical theory of economics. — J. of Political
Ecenomy, 1927, 35, № 5.
154. R о о s C. J. Dynamical economics. — Proc. Nat Acad. Sci. USA,
1927, 13, 145—150.
155. Roos C. J. A dynamical theory of economic equilibrium.—
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1927, 13, 280—285.
156 Roos C. J. A mathematical theory of depreciation and repla-
replacement. — Amer. J Math., 1928, 50, 147—157.
157. Roos C. J. Generalized Lagrange problems in the calculus of
variations. — Trans. Amer. Math. Soc, 1928, 30, 360—384.
158 Roster W. Over de Theorie der hysteresis volgens Volterra. —
Anich. Akad. Versl., 1920, 29.
159. S b г a n a F. Sul potenziale di un disco con ditribuzione simmetri-
ca. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1924, E) 33, 127—128.
160. S b г a n a F. Di un'equazione integrate, che si presenta nella
teoria statistica dell'effetto fotoelettrico. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1925, F) 1, 157—162.
161. S с h 6 n b a u m E. Application of Volterra integral equations to
the problems of mathematical statistics (In czech.). — Rozpravy
Ueski Akademie, 1917, 26, № 26, 1—29.
162. Schonbaum E. A contribution to the mathematical theory
©f ©Id-age disability insurance (In czech.). — Casopis pro pesto-
vani mathematiky a fysiky, 1918, 47, 104—112, 287—294.

264 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI
163. Schwarz H. Sur une definition еггопёе de l'aire d'une surface
courbe. — Ges. Math. Abhandl., Berlin, 1890, Band 2.
164. Serini R. Sulle leggi ereditarie che conservano i massimi.
Notes I and II. — R. 1st. Veneto, 1917, 1919.
166. Sierpinski W. La notion de derivee comme base d'une theorie
des ensembles abstraits. — Math. Ann., 1926, 97, 321—337
166. Stranea P. Sull'espressione dei fenomeni ereditari. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1925, F) 1, 29—33.
167. Tamarkin J. D. On Volterra's integro-functional equation. —
Trans. Amer. Math. Soc, 1926, 28, 426—431. (This paper contains
a bibliography of the subject).
168. Ted osn e O. Su l'inversione di alcuni integrali e la integrazione
delle equazioni a derivate parziali col metodo delle caratteristiche. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1914, E) 23, 473—480.
169. T e d о n e O. Su alcune altre formole d'inversione collegate col
metodo d'integrazione di Riemann. — Rend. R. Accad. dei Lin-
Lincei, 1920, E) 29, 333—344.
170. Teichmann S. Mechanische Probleme, die auf belastete Inte-
Integra lgelichungen fuhren. — Diss. Univ. Breslau, 1918.
171. T г е f f t z E. Schwingungsprobleme und Integralgelichungen. —
Math. Ann., 1922, 87, 307—314.
172. Urysohn P. Un theoreme sur la puissance des ensembles or-
donnees. — Fundamenta Math., 1924, 5, 14—19.
173. V e s s i о t E. Sur les groupes fonctionnels et les equations integro-
differentielles lineaires. — С R. de l'Acad. des Sci. de Paris,
1912, 154, 571—573.
174. V e s s i о t E Sur les fonctions permutables et les groupes con-
tinus de transformations fonctionnelles lineaires. — С R. de l'Acad.
des Sci. de Paris, 1912, 154, 682—684.
175. V i t a 1 i G. Analisi delle funzioni a variazione limitata. — Rend.
Circ. Mat. Palermo, 1922, 46, 388—408.
176. V i t a 1 i G. Geometria nello spazio hilbertiano. — Bologna,
N. Zanichelli, 1929.
177. V i t e r b i A. Sull'operazione funzionale rappresentata da un
integrale definito riguardata come elemento d'un calcolo. — Rend.
R. Accad. dei Lincei, 1897, E) 6, 247—254
178. V i t e г b i A. Sull'operazione funzionale rappresentata da un
integrale definito, considerata come elemento d'un calcolo. — Ann.
di Mat. Рига ed Appl., 1897, B) 26, 261—342.
179. V i t e г b i A. Sull'operazione funzionale rappresentata da un
integrale definito, riguardata come elemento d'un calcolo, — Ann.
di Mat. Рига ed Appl., 1899, C) 3, 299—343.
180. V о 1 t e r r a V. Sul fenomeno delle seiches. — Nuovo Cimento,
1898, D) 8, 270—272.
181. V о 1 t e г г a V. Sulle equazioni integro-differenziali della teoria
dell'elasticita.— Rend. R. Accad. dei Lincei, 1909, E) 18, 295 — 301.
182. Volterra V. Equazioni integro-differenziali dell'elasticita
nel caso della isotropia. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1909 E) 18,
577—586.
183. Volterra V. Soluzione delle equazioni integro-differenziali
dell'elasticita nel caso di une sfera isotropa. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1910, E) 19, 107—114.

БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI 235
184. Volte гга V. Deformazioni di una sfera elastica soggetta a date
tensioni nel caso ereditario. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1910,
E) 19, 239—243.
V<
185 Volterra V. Vibrazioni elastiche nel caso della eredita. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1912, E) 21, 3—12.
186. Volterra V. Sui fenomeni ereditari. — Rend. R. Accad. dei
Lincei, 1913, E) 22, 529—539.
187. Volterra V. Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui
in specie animali conviventi. — R. Comit. Talass. Italiano, Mem.
131, Venezia, 1927.
188. Volterra V. La teoria dei funzionali applicata ai fenomeni
ereditari. — Atti Congr. Intern. Mat., Bologna, 1928, v. I, 215—
232.
189. Volterra V. Sur la theorie mathematique des phenomenes
hereditaires. — J. Math. Рига ed Appl., 1928, (9) 7, 249—298.
190 Volterra V. Alcune osservazioni sui fenomeni ereditari. —
Rend. R. Accad. dei Lincei, 1929, F) 9, 585—595.
191. Wiechert E. Gesetze der elastischen Nachwirkung fur kon-
itante Temperatur. — Ann. der Phys., 1893, 50,335 — 348,546 —
570.
192. Wiener N. The mean of a functional of arbitrary elements. —
Bull. Massachusetts Inst. of Technology, 1922, Series II, № 14.
193. Wiener N. The average of an analytic functional. — Proc.
Nat. Acad. of Sci. USA., 1921, 7, 253—260.
194. Wiener N. Limit in terms of continuous transformation.—
Bull. Soc. Math, de France, 1922, 50, 119—134.
195. Wiener N. Differential space. — Bull. Massachusetts Inst. of
Technology, 1923, Series II, № 60.
196. Wiener N. The average value of a functional. — Proc. London
Math. Soc, 1924, B) 22, 454—467.
197. Zaremba S. Contribution a la theorie d\'une equation fonctionn-
elle de la physique — Rend. Circ Mat. di Palermo, 1905, 19,
140-150.
198. Birtwistle G. The new quantum mechanics. — Cambridge.
Cambridge Univ. Press, 1928.
199. De Donder T. Sur les equations canoniques de Hamilton—
Volterra. —Paris, Gauthier-Villars, 1911 (Memoires publies par
la classe des sciences de Г Acad. Royale de Belgique, 1911, He Serie,
tome III).
200. D о n a t i L. Sui lavoro di deformazione dei sistemi elastici. —
Memorie della R. Accad delle Scienze dell'Ist. di Bologna, 1888,
Series IV, 9, 345—367.
201. Giorgi G On the functional dependence of physical variab-
variables. — Proc. Intern. Math. Cong. Toronto, 1924. — Toronto: To-
Toronto Univ. Press, 1928, v. 2, 31—56.
202. Giorgi G. Sulle funzioni delle matrici. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1928, F) 7, 178—184.
203. Giorgi G. Nuove osservazioni sulle funzioni delle matrici. —
Rend R. Accad. dei Lincei, 1928, F) 8, 3—8.
204. Freehet M. Number of dimensions of an abstract set. — Proc.
Intern. Math. Cong. Toronto, 1924. — Toronto: Toronto Univ
Press, 1928, v. 1, 399—412.

286 БИБЛИОГРАФИЯ К ГЛ. VI
205. Frechet M. L'expression la plus generate de la «distance» sur
une drolte. — Proc. Intern. Math. Cong. Toronto, 1924. — To-
Toronto: Toronto Univ. Press, 1928, v. 1, 413—414.
206. Frechet M. Sur une representation parametrique intrinsique
de la courbe continue la plus generate. — Proc. Intern. Math. Cong.
Toronto, 1924. —Toronto: Toronto Univ. Press, 1928, v. 1, 415—
418.
207. Frechet M. L'analyse generate et les espaces abstraits. —
Atti Congr. Intern. Mat. Bologna, 1928, v. 1, 267—274.
208. Frechet M. Les espaces abstraits et leur theorie considered
comme introduction a l'Analyse generate. — Paris; Gauthier-Vill-
ars, 1928.
209 H e a v i s i d e O. Electrical Papers. 2 vols., 1872.
210. H e a v i s i d e O. Electromagnetic Theory. 3 vols. — London:
Benn; Second reprint 1925.
211. Korn A. Anwendung der Heaviside'schen Methode zur Integra-
Integration der Warmeleitungsgleichung. — Sitzungsb. d. Berl. Math.
Gesellschaft, 1929, 28, 46—54.
212. К о г n A. Verallgemeinerung von Iterationen fur nicht ganze
Iterationszahlen. — Sitzungsb. d. Berl. Math. Gesellschaft, 1929,
28, 55—60.
213. Leibniz G. G. Miscellanea Berolinensia, v. I, 1710; Opera
Omnia, v. III. — Geneva, 1768.
214. Mo re г a G. Un teorema fondamentale nella teorica delle fun-
zioni di una variabile complessa. — Rend. R. 1st. Lombardo,
Milan, 1886, Series II, 19, 304—307.
215. О s e e n C. W. Uber einen Satz von Green und uber die Definition
von Rot. und Div. — Rend Circ. Mat. di Palermo, 1914, 38, 167—
179.
216. О s e e n С W Hydrodynamik. — Leipzig, 1927.
217. P i n с h e г 1 e S. Suite operazioni funzionali linear!. — Proc.
Intern. Math. Cong. Toronto, 1924. — Toronto: Toronto Univ.
Press, 1928, v. 1, 129—137.
218. Steinhaus H. Anwendungen der Funktionalanalysis auf einige
Fragen der reelen Funktionentheorie. — Studia Mathematica, 1929,
1, 51—81.
219. S t г a n e о S. L. Sulla risoluzione funzionale dei problemi Hneari
di propagazione del calore. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1929,
F) 9, 765—771.
220. Tardy P. Intorno ad una formula del Leibniz. — Bull, di bibl.
e storia delle Scienze mat. e fis. di Boncompagni, 1868, 1, 177—186.

Дополнение
БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
ПО ИНТЕГРАЛЬНЫМ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
М. К. КЕРИМОВ
Настоящая библиография включает некоторые новые ра-
работы по интегральным и интегро-дифференциальным урав-
уравнениям, опубликованные в последние годы. В основном они
относятся к интегральным и интегро-дифференциальным
уравнениям типа Вольтерра.
Эта библиография вместе с довольно богатой библиогра-
библиографией, имеющейся в книге В. Вольтерра, позволит читателю
оценить направления развития теории этих важных для
приложений уравнений.
Поскольку библиография помещается в книге В. Воль-
Вольтерра, посвященной широкому кругу проблем анализа, мы
включили в дополнительную библиографию и некоторые
важные работы (в основном учебники и монографии), отно-
относящиеся к функциональному анализу, вариационному ис-
исчислению и др. Следует отметить, что библиография в книге
В. Вольтерра (включающая работы, опубликованные до
1928 г.) была оформлена крайне небрежно (отсутствовали
многие выходные данные: совсем не были приведены стра-
страницы, а иногда даже год, том и др.)* Эта небрежность,
а также многие опечатки и неточности остались и в амери-
американском издании книги. При восстановлении недостающих
данных нам пришлось провести очень большую и кропот-
кропотливую работу. Можно надеяться, что теперь включенная
в книгу В. Вольтерра библиография вместе с обширной
библиографией из обзорных статей Дэвиса (см. [111, [12]
из библиографии к гл. II), принесет большую пользу вся-
всякому, кто захочет проследить за истоками развития функ-
функционального анализа, интегральных и интегро-дифферен-
циальных уравнений, а также многих их приложений.
А д о н ц М. Т. Об одном классе нелинейных интегро-дифферен-
циальных уравнений. — ДАН АзССР, 1954, 10, № 3, 167—174.
А д о н ц М. Т. Применение метода вырожденных ядер к нелиней-
нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям. — ДАН АзССР, 1965,
11, 833—838.
9 В, Вольтерра

258
БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Айзикович А. Л. Одна оценка разности решений двух ли-
линейных интегральных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргумен-
аргументом. — Тр. Ижевск, матем. семин., Ижевск, мех. институт, 1974,
вып. 2, 71—73.
Айматов К. Об особых решениях квазилинейных сингулярных
интегро-дифференциальных уравнений первого порядка. — Тр. Самар-
Самарканд, ун-та, 1973, вып. 235, 13—22.
Александров П. С, Колмогоров А. Н. Введение
в теорию множеств и теорию функций. Ч. I. — М.: Гостехиздат,
1948.
Амбарцумян В. А. Научные труды в двух томах. — Ереван,
Изд-во АН АрмССР, 1960, т. I.
Анваров Р. К методу усреднения в гильбертовом пространстве
для интегро-дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения,
1976, 12, 1297-1300.
Анваров Р., Ларионов Г. С. Модель Вольтерра со слабо-
слаболинейной наследственной характеристикой. — Дифференц. уравнения,
1978, 14, 1494—1496.
Ангелов В. Г., Байнов Д. Д. Существование и единствен-
единственность решения обобщенной начальной задачи Коши для некоторых
нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в банаховом про-
пространстве. — Arch. Mat., 1979, 15, 185—192.
Ан тос и к П., Минусинский Я., Сикорский Р.
Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход./Перев. с англ.
В. В. Жаринова под ред. Е. Д. Соломенцева. — Мл Мир, 1976.
Апарцин А. С. Применение различных квадратурных формул
для приближенного решения интегральных уравнении Вольтерра
I рода методом квадратурных сумм. — В кн.: Дифференц. и интегр.
уравнения. — Иркутск: 1973, вып. 2, 107—116.
Апарцин А. С. О численном решении интегральных уравне-
уравнений Вольтерра I рода регуляризованным методом квадратур. — В кн.:
Методы оптимиз. и их прилож. — Иркутск: 1979, 99—10/.
Апарцин А. С, Бакушинский А В. Приближенное
решение интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратур-
квадратурных сумм. — В кн.: Дифференц. и интегр. уравнения. — Иркутск: 1973,
вып. I, 248—258.
Апарцин А. С, Тен Мен Ян. О корректности многомер-
многомерных интегральных уравнений Вольтерра I рода. — В кн.: Вопросы
прикл. матем. — Иркутск: 1975, 120—126.
Апарцин А. С, Тен Мен Ян. О неулучшаемых оценках
решений некоторых интегральных неравенств. — Сиб. матем. ж.,
1978, 20, 192—195.
Асаиов А. О единственности решения систем уравнений Воль-
Вольтерра первого рода типа свертки. — В кн.: Обратные задачи для диф-
дифференц. уравнений матем. физ. — Новосибирск: 1978, 26—34.
А с а н о в А. Регуляризация и достаточные условия единственности
решения для интегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра—Уры-
сона. — В кн.: Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. — Фрунзе!
1979, 165-176.
Аоанбв А. Регуляризация и достаточные условия единствен-
единственности решения линейного интегрального уравнения типа Вольтерра
первого рода с двумя независимыми переменными в пространстве не-

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ ^б9
Прерывных функций. — В кн.: Исслед. по интегро-дифференц. уравне-
уравнениям. — Фрунзе: 1979, 154—164.
А т д а е в С. Некоторые методы двухсторонних приближений для
решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. — Изв АН
Тур км ССР, серия физ.-техн. хим. и геол. наук, 1980, № 2, 14—20.
Ахмедов К. Т. О задаче Коши для одного класса нелинейных
уравнений в функциональных пространствах. — ДАН СССР, 1957,
115, 9-12.
Ахмедов К. Т. Аналитический метод Некрасова — Назарова
в нелинейном анализе. — УМН, 1957, 12, 135—153.
Ахмедов К. Т., Нуримов Т. О некоторых классах дву-
двумерных нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра. —
В кн.: Вопросы вычисл. и прикл матем. — Ташкент: 1971, вып. 6,
И—14.
Бадалов Ф. О построении точных решений некоторых систем
линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра при по-
помощи степенного ряда. — Изв. АН Узб. ССР, серия техн. наук, 1972,
№ 5, 54—57.
Бадалов Ф., Ширинкулов Т. Решение нелинейных
интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра и их систем при по-
помощи степенных рядов. —ДАН Узб. ССР, 1971, № 9, 14—16.
Бадалов Ф. Об одном методе решения нелинейных интеграль-
интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. — В кн.:
Вопросы вычисл. и прикл. матем —Ташкент: 1973, вып. 19, 3 —
10.
Байнов Д. Д., Милушева С. Д. О применении метода
усреднения к одной двухточечной краевой задаче для систем интегро-
дифференциальных уравнений типа Вольтерра, не разрешенных отно-
относительно производной. — Arch. Mat., 1972, 8, 161—171.
Байнов Д. Д., Милушева С. Д. О применении одного
способа частичного усреднения для решения многоточечных краевых
задач с нелинейным краевым условием для систем интегро-дифферен-
интегро-дифференциальных уравнений. — Годишник Висш. учебн. завед. Прилож. матем.,
1977 A978), 13, № 2, 43—52.
Байнов Д. Д., Милушева С. Д. О применении метода
усреднения для решения многоточечных краевых задач с нелинейным
краевым условием для одного класса интегро-дифференциальных урав-
уравнений, содержащих кратные интегралы. — Anal Univers Bucure§ti
Mat., 1979, 28, 17—24.
Байнов Д. Д., Самойленко А. М., Сарафова Г. X.
Существование ограниченных решений одного класса интегро-диффе-
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. — Nonlinear Vibration Prob-
Problems, 1979, 19, 127—135.
Бачурская А. Ф. Существование решений одного класса
уравнений Вольтерра. — В кн.: Матем. анализ — Краснодар: 1971,
3--7.
Бачурская А Ф., Ц а л ю к 3. Б. О существовании решения
интегро-функционального уравнения Вольтерра — Научн. тр. Кубанск.
ун-та, 1974, вып. 180, 12—14.
Бачурская А. Ф. Единственность и сходимость последова-
последовательных приближений для одного класса уравнений Вольгерра. — Диф«
ференц. уравнения, 1974, 10, 1721—1724.
9*

260 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Бельтюков Б. А. Об одном аналоге метода Рунге—Кутта
для решения нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра. —
Дифференц. уравнения, 1965, 1, 417—433.
Берикелашвили Г. К., Павленишвили Г. Д.
О приближенном решении некоторых систем нелинейных интегральных
уравнений Вольтерра второго рода. — Сообщ. АН Груз. ССР, 1980,
99, № 2, 313—316.
Бицадзе А. В, Уравнения математической физики. — М.:
Наука, 1976.
Б л и с с Дж. А. Лекции по вариационному исчислению./Перев.
с англ. Ю. К. Солнцева под ред. Л. Э Эльсгольца — М.: ИЛ,
1950.
Боглаев Ю. П. Сингулярно-возмущенные системы интеграль-
интегральных уравнений Волыерра с неинтегрируемой особенностью. — ДАН
СССР, 1974, 218, 261—263.
Боглаев Ю. П. Пограничный слой в решениях нелинейных
сингулярно-возмущенных интегральных уравнений Вольтерра —
Ж- вычисл матем. и матем. физ., 1975, 15, 1602—1607.
Богданова- Гатева Н. Върху численою решение на ин-
тегралното уравнение на Волтер от I род и приложениете му в меха-
никата, — Годишн висш. учебн. завед Техн мех., 1976 A978). 11,
Ня 3, 65—76.
Бойков ИВ., Жечев Й. И К приближенному решению
сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. I. Линейные
уравнения. — Дифференц. уравнения, 1973, 9, 1493—1502.
Боташев АИ., Талипова Л.А. Условия существования
периодических решений нелинейных систем интегро-дифференциальных
уравнений типа Вольтерра в некритическом случае. — Изв. АН Кирг.
ССР, 1974, № 1, 8—11.
Бояринцев Ю. Е., Назаренко Т. И. Метод слабой
аппроксимации решения линейных обыкновенных интегро-дифферен-
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. — В кн. Дифференц. и интегр.
уравнения. — Иркутск: 1973, вып. I, 91—103.
Бурым В. М. Об асимптотике решений матричного интегро-
дифференциального уравнения второго порядка. — Изв. высш. учебн.
завед., Математика, 1974, № 9, 13—17.
Бухгейм АЛ. Один класс операторных уравнений Вольтерра
первого рода. — В кн.: Обратные задачи для дифференц. уравнений
матем. физ. — Новосибирск: 1978, 45—50.
Быков Я- В Об одном классе интегро-дифференциальных урав-
уравнений. — Тр. физ.-матем. фак-та Кирг. ун-та, 1953, 2, 85—109.
Быков Я. В. К теории линейных интегро-дифференциальных
уравнений типа Вольтерра — Тр. физ.-матем. фак-та Кирг. ун-та,
1953, 2, 67—83.
Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро-дифферен-
интегро-дифференциальных уравнений. — Фрунзе: Кирг ун-т, 1957.
Быков Я В. О' некоторых методах построения решений интег-
интегральных и интегро-дифференциальных уравнений — Фрунзе: Изд-во
АН Кирг. ССР, 1961.
В а й н б е р г М .М Об одной теореме Гаммерштейна для нели-
нелинейных интегральных уравнений. — Учен. зап. Моск. ун-та, 1946,
100, 93—103.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВБ1Х РАБОТ 261
Вайнберг М. М. Теоремы существования собственных зна-
значений для одного класса систем нелинейных интегральных уравне-
уравнений. — Матем. сб., 1950, 26, 365—394.
Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нели-
нелинейных операторов. — М.: Гостехиздат, 1956.
Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных
операторов в теории нелинейных уравнений. —М.: Наука, 1972.
Вайнберг М. М., Треногий В. А. Теория ветвления
решений нелинейных уравнений.—М.: Наука, 1969.
Васильев В. В. К решению линейных интегро-дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами и вырожденным
ядром. — Прикл. матем. и мех., 1949, 2, 207—208.
Васильев В. В. Решение линейных обобщенных интегро-
дифференциальных уравнений. — Прикл. матем. и мех., 1951, 16,
609—614.
Васильев В. В. Решение задачи Коши для одного класса
линейных интегро-дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1955,
ЮО, 849-852. &
Васильев В. В. Об одном случае решения интегрального
уравнения Вольтерра. — Учен. зап. Благовещ. пед. ин-та, 1956, 7,
57—61.
Васильев В.В. Решение задачи Коши для линейных интегро-
дифференциальных уравнений. — Тр. Иркутск, ун-та, 1957, 15, 32—
45.
Васильев В. В. Решение одного класса линейных интегро-
дифференциальных уравнений типа Вольтерра — Тр Иркутск, ун-та,
серия матем., 1968, 26, 3—18.
Васильев В. В. О специализированных задачах в теории
линейных интегро-дифференциальных уравнений. —Тр. Иркутск, ун-та,
серия матем., 1970, 74, 3—15.
Васильев В. В. Об одном методе, решения краевой задачи
для линейного интегро-дифференциального уравнения с вырожденным
ядром. —Тр. Иркутск, ун-та, серия матем., 1970, 74, 29—34.
Васильев В. В.О решении разрешающих уравнений для не-
некоторых классов линейных интегро-дифференциальных уравнений. —
В кн.: Дифференц. и интегр. уравнения. — Иркутск: 1973, вып. 2,
127—133.
Васильев В. Г. Интегральное уравнение Вольтерра I рода
и некоторые неравенства. — В кн.: Некорректн. матем. задачи и проб-
проблемы геофизики. — Новосибирск: 1979, 47—48.
Ведь Ю. А. Об одном методе изучения однозначной разрешимости
задач Коши для систем линейных однородных интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. — Тр. Фрунз. политехи, ин-та, 1974,
вып. 76, 19—24.
Ведь Ю. А. Об асимптотических свойствах решений уравнений
с последействием. — Дифференц. уравнения, 1976, 12, 1669—1682.
Ведь Ю. А. Степенная асимптотика решений интегро-диффе-
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. — В кн.: Исслед. по интегро-
дифференц. уравнениям. — Фрунзе: 1979, 44—75.
Ведь Ю. А. Об одной асимптотической задаче для нелинейных
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. — Изв. АН
Кирг. ССР, 1980, № 1, 17—22.

262 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Ведь Ю. А.,Искандеров СО характерных особенностях
интегро-дифференциальных систем типа Вольтерра. — Изв. АН Кирг.
ССР, 1980, № 3, 30—34.
Ведь Ю. А., Ражапов Р. Об асимптотическом представле-
представлении решений нелинейных интегро-дифференциальных уравнений вто-
второго порядка.—Тр. Фрунз. политехи, ин-та, 1974, вып. 76, 39—41.
Ведь Ю. А., Пахыров 3. Достаточные признаки ограни-
ограниченности решений линейных интегро-дифференциальных уравнений. —
Тр. Фрунз. политехи, ин-та, 1974, вып. 76, 32—39.
Ведь Ю. А. Асимптотические оценки решения (етинейных
иитегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. — Изв. АН
Кирг. ССР, 1979, № 1, 9—16.
В е к у а И. Н. Обобщенные аналитические функции. — М.:
Физматгиз, 1959.
В е к у а Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений
и некоторые граничные задачи. Изд. 2-е.—М.: Наука, 1970.
Верлань А. Ф.,Сизиков В. С. Методы решения интеграль-
интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Справочное пособие. — Киев:
Наукова думка, 1978.
Виграненко Т. И. О решениях одного класса линейных
интегро-дифференциальных уравнений. — Зап. Ленингр. горн, ин-та,
1952, 26, 141—152.
Виграненко Т. И. О решениях одного класса интегро-диффе-
интегро-дифференциальных уравнений. — Тр. Ин-та матем. и мех. АН Узб. CGP,
1953, 10, 85—104.
Виграненко Т. И. Об одном классе линейных интегро-
дифференциальных уравнений в частных производных первого по-
порядка. — Зап. Ленингр. горн, ин-та, 1954, 29, 31—41.
Виграненко Т. И. О задаче Коши для интегро-дифферен-
интегро-дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. —
УМН, 1955, 10, 147—152.
Виграненко Т. И. Об одном классе линейных интегро-диф-
интегро-дифференциальных уравнений. — Зап. Ленингр. горн, ин-та, 1956, 33,
161—176.
Виграненко Т. И. Об одной граничной задаче для линей-
линейных интегро-дифференциальных уравнений. — Зап. Ленингр. горн,
ин-та, 1956, 33, 177—187.
Виграненко Т. И. Об одной системе линейных интегро-
дифференциальных уравнений. — Тр. Высшего военно-морск. инжен.
уч-ща, 1957, 22, 159—176.
Виграненко Т. И. О решениях одного класса интегро-
дифференциальных уравнений и условиях А. И. Некрасова. — Изв.
высш. учебн. завед., Математика, 1960, № 3, 93—100.
Винокуров В. Р. Один метод исследования асимптотических
свойств резольвенты системы интегральных уравнений Вольтерра. —
Изв. высш. учебн. завед., Математика, 1964, № 6, 24—31.
Винокуров В. Р. О положительных и монотонных решениях
интегральных уравнений Вольтерра. — Изв. высш. учебн. завед.,
Математика, 1967, № 4, 40—46.
Винокуров В. Ф., Смолин Ю. Н. Об асимптотике урав-
уравнений Вольтерра с почти-периодическими ядрами и запаздываниями. —
ДАН СССР, 1971, 201, 771-773-

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 263
Винокуров В. Ф, Разложение ядра уравнения Вольтерра
в ассоциированное произведение трех ядер. — тр. Моск. ин-та хим.
машиноетр., 1972, вып. 39, 65—66.
Винокуров В. Ф. Близкие к диагональным системы урав-
уравнений Вольтерра. — Изв. высш. учебн. завед., Математика, 1973, Jsts 6,
19—31.
Винокуров В. Ф. Предельные циклы системы уравнений
Вольтерра. — Изв. высш. учебн. завед., Математика, 1974, № 9, 18—26.
Владимиров В. С. Об одном интегро-дифференциальном
уравнении. —Изв. АН СССР, серия матем., 1957, 21, 3—52
Владимиров В. С. Об интегро-дифференциальном уравне-
уравнении переноса частиц. —Изв. АН СССР, серия матем., 1957, 21, 681—
710.
Владимиров В. С. Об интегро-дифференциальном уравнении
переноса частиц. Докторская диссертация, Матем. ин-т. АН СССР, 1959.
Владимиров B.C. Численное решение кинетического урав-
уравнения для сферы. — В кн.: Вычисл. матем. — Москва: 1968, № 3,
3-33.
Владимиров В. С. О некоторых вариационных методах
приближенного решения уравнения переноса. — В кн.: Вычисл. ма-
матем. — Москва: 1961, JSfe 7, 95—114.
Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной
теории переноса частиц. — Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1961, 61, 1—159.
В о в к А. И. О сведении интегральных уравнений Фредгольма
к уравнениям Вольтерра. — В кн.: Линейные краевые задачи матем.
физ. - Киев: 1973, 285—299.
Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существо-
существование. /Перев. с франц. О. Н. Бондаренко под ред. и с послесловием
Ю. М. Свирежева. — М.: Наука, 1976.
Всесоюзн. конференц. по асимптотическим методам в теории сингу-
сингулярно-возмущенных дифференциальных и интегро-дифференциальных
уравнений и их приложения, Тезисы докладов. — Фрунзе, 1975.
Гаврин В. П. Индекс и нормальная разрешимость краевых
задач для сингулярного интегро-дифференциального оператора. —
ДАН БССР, 1772, 16, 781—783.
Гагаев Б. М. Теоремы существования решений интегро-диф-
интегро-дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1952, 85, 469—472.
Гагаев Б. М. Теоремы существования решений интегро-диффе-
интегро-дифференциальных уравнений. — Учен. зап. Казанск. ун-та, 1955, 115,
21—28.
Г а х о в Ф. Д. Краевые задачи. Изд. 2-е. — М.: Физматгиз, 1963.
Г а х о в Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. —
М.: Наука, 1978.
Гетманцева Т. И. Об асимптотической эквивалентности
уравнений Вольтерра. — Научн. тр. Кубанск. ун-та, 1974, вып. 180,
38—42.
Глазунова Л В. Некоторые достаточные условия существо-
существования узла и слабого узла системы нелинейных интегро-дифферен-
интегро-дифференциальных уравнений. — Волжск, матем. сб., 1973, вып. 15, 42—49
Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых опе-
операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. —М.: Наука,
1967.

264 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Г р и г о л и я М. П. Об одной системе сингулярных интегральных
уравнений типа Вольтерра. — В кн.: Краевые задачи. — Пермь:
Пермский политехи, ин-т, 1979, 147—152.
Громов В. Г. Алгебра операторов Вольтерра и ее применения
в задачах вязко-упругости. — ДАН СССР, 1968, 182, 56—59.
Г р у д о Э. И. О решениях одной системы интегро-дифференциаль-
ных уравнений с ограниченными коэффициентами. — ДАН БССР,
1972, 16, 1085—1088.
Г у р с а Э. Курс математического анализа. Том 3, часть 2: Ин-
Интегральные уравнения./Перев. с франц. В. В. Степанова. — М.: Гос-
техиздат, 1933.
Гурьянов И. Н. К аналитической теории интегро-дифферен-
циальных уравнений типа Вольтерра. Кандидатская диссертация. —
Фрунзе: Кир г. ун-т, 1955.
Гусейнов А. И. Теоремы существования и единственности
адя нелинейных интегральных сингулярных уравнений. — Матем. сб.,
1947, 20, 239—310.
Гусейнов А. И. Об одном классе нелинейных сингулярных
интегральных уравнений. — Изв. АН СССР, серия матем., 1948, 12,
193—212.
Гусейнов А. И. К теории линейных сингулярных интеграль-
интегральных уравнений. —Тр. Азерб. ун-та, серия физ.-матем., 1953, 3, 65—
84.
Гусейнов А. И., Аба со в А М. Теорема существования
для системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений с яд-
ядром Коши. — Учен. зап. Азерб. ун-та, 1957, 6, 3—29.
Гусейнова С. А. Об особых решениях одного класса нели-
нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. — Учен. зап. Азерб.
ун-та, серия физ.-матем. наук, 1964, № 3, 67—73.
Гюнтер Н. М. Основы математической физики. Часть I: Интег-
Интегральные уравнения. — Ленинград: КУБУЧ, 1931
Гюнтер И. М. К теории интегралов Стилтьеса—Радона и ин-
интегральных уравнений. — ДАН СССР, 1938, 21, 219—223.
Гюнтер Н. М. К общей теории интегральных уравнений. —
ДАН СССР, 1939, 2?, 215—219.
Гюнтер Н. М. Об интегральных уравнениях третьего рода. —
ДАН СССР, 1941, 30, 677—680.
Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. — Л.—М.:
Гостехиздат, 1941.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы./Перев.
с англ. — М.: Мир, 1962, 1966, 1973, т. 1, 2, 3.
Денисов А. М. О приближенном решении уравнений Воль-
Вольтерра первого рода.—Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, 15,
1053—1056.
Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Воль-
Вольтерра I рода, связанного с одной обратной задачей для уравнения тепло-
теплопроводности. — Вестн. МГУ. Вычисл. матем. и киберн., 1980, № 3,
49-52.
Дринфельд Г. И. Про композищю функцШ. Ж- 1нст. матем.
АН УССР, 1936, 4, 33—38.
Дядченко Ю. А. О зависимости решения операторного урав-
уравнения Вольтерра от параметра. — В кн. Приближен, методы исслед.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 265
дифференц. уравнений и их прилож. — Куйбышев: 1978, № 4, 40—
Егоров А. И. Об асимптотическом поведении решений системы
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. Кандидатская
диссертация. — Фрунзе. Кирг. ун-т., 1955.
ЖенхэнО. О существовании и единственности решений интегро-
дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1952, 86, 229—230.
Женхэн О. О существовании решений интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1953, 91, 1261—1262.
Забрейко П. П., Кошелев А. И. идр Интегральные
уравнения. — М.: Наука, 1968.
Иванаускас Ф. Ф. О решении задачи Коши для одной ин-
тегро-дифференциальной системы уравнений. — Ж. вычисл. матем.
и матем. физ., 1978, 18, 1025—1028.
Иванаускас Ф. Ф. О существовании и свойствах решения
задачи Коши для одной нелинейной системы интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциальных уравнений.—Литовск. матем. сб., 1979, 19, 87—92.
Иванов В. К-, Васин В. В., Танана В. П. Теория
линейных некорректных задач и ее приложения.—М.: Наука, 1978.
Иманалиев М. О поведении решений интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных.
Кандидатская диссертация. — Фрунзе: Киргизский ун-т, 1956.
Иманалиев М. О поведении решений обобщенной краевой
задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с ма-
малым параметром при старшей производной. — Изв. АН Кирг. ССР,
1957, 4, 137—156.
Иманалиев М. О поведении решений последовательности
нелинейных и линейных интегро-дифференциальных уравнений типа
Вольтерра с малым параметром при старшей производной. — Изв.
АН Кирг. ССР, 1957, 4, 157—188.
Иманалиев М. Асимптотические методы в теории сингулярно-
возмущенных интегро-дифференциальных уравнений. — Фрунзе: Илим,
1972.
Иманалиев М. Асимптотические методы в теории сингулярно-
возмущенных нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра. —
Math. Balkan., 1973, 3, 145—149.
Иманалиев М. Колебания и устойчивость решений сингуляр-
сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем. — Фрунзе: Илим,
1974.
Иманалиев М. Интегро-дифференциальные уравнения и их
приложения. — Фрунзе: АН Кирг. ССР, 1978, вып. 1; 1979, вып. 2.
Иосипчук Н. Д., Сявавко М. С. Решение одного класса
уравнений в функциональных производных методом последовательных
приближений. —Вестн. Львов, политехи, ин-та, 1980, № 141, 38—39.
И о с и д а К Функциональный анализ./Перев. с англ. — М.:
Мир, 1967.
Искандаров С. Об одном признаке ограниченности реше-
решения линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка
типа Вольтерра. — Изв. АН Кирг. ССР, 1978, № 3, 30—33.
Искандаров С. Об ограниченности и устойчивости решений
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. — В кн.: Исслед.
по интегро-дифференц. уравнениям. — Фрунзе: 1979, 85—102-

266 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Искандеров С. Асимптотическая эквивалентность систем
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. — В кн.:
Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. — Фрунзе, 1979, 76—84.
Исраилов И., Рузикулов Дж. О периодических ре-
решениях нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Воль-
Вольтерра с запаздыванием. — Тр. Самаркандск. ун-та, 1975, вып. 283,
60—70.
Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Ред.
М. И. Иманалиев. — Фрунзе: Илим, 1979.
Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Кир-
Киргизии. — Фрунзе: АН Кирг. ССР, 1961, вып. 1; 1962, вып. 2; 1966,
вып. 3; 1967, еып. 4; 1968, вып. 5, 1969, вып. 6, 1970, вып. 7; 1971,
вып. 8; 1973, вып. 9, 1974, вып. 10.
Исследования по краевым задачам и интегральным уравнениям. —
Душанбе: 1976.
Кадырбеков Т. Существование и единственность решения
счетных систем интегро-дифференциальных уравнений. — В кн.: Во-
Вопросы вычисл. и прикл. матем. —Ташкент: 1971, вып. 6, 16—21.
Калайда А. Ф., Мозок Г. М. Решение одного класса ин-
интегро-дифференциальных уравнений квадратурным методом расщепле-
расщепления. — Вычисл. и прикл. матем. межвед. научн. сб., 1972, вып. 18,
108—116.
Калайда А. Ф., Мозок Г. М. Решение одного класса ин-
интегро-дифференциальных уравнений методом расщепления решения. —
Вычисл. и прикл. матем. межвед. научн. сб., 1973, вып. 19, 116—121.
Калашников А. С. Классы единственности для интегро-
дифференциальных уравнений с операторами Вольтерра типа свертки.—
Функц. анализ и его прилож., 1979, 13, 83—84.
Карпиловская Э. П. О сходимости метода подобластей
для обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений. — Ж. вы-
вычисл. матем. и матем. физ., 1965, б, 124—132.
Кащеев Н. А. Об одной системе интегро-дифференциальных
уравнений типа Вольтерра. — Учен. зап. Куйбыш. пед. и учит, ин-та,
1943, 7, 181—197.
Ким Е. И., Р а м а з а н о в М. И. Решение одного особого
интегрального уравнения типа Вольтерра второго рода. — Изв. АН
Каз. ССР, серия физ.-матем., 1980, № 3, 44—50.
Китаева Л.Н.О существовании решений с линейной асимпто-
асимптотикой интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргу-
аргументом. — Тр. Фрунз. политехи, ин-та, 1974, вып 76, 70—75.
К и ш О. О сходимости метода подобластей. — Acta Math. Acad.
Sci Hung. 1967, 18, 175—179.
Ковальчик И. М. Представление решений некоторых урав-
уравнений с функциональными производными с помощью интегралов Ви-
Винера. ДАН УССР, 1978, серия А, № 12, 1079—1083.
Ковальчик И. М., Медынский И. П. Об одном классе
линейных уравнений в функциональных производных высшего по-
порядка. ДАН УССР, 1978, серия А, № 12, 1083—1086.
К о з а к П. П. О представлении решения характеристической
задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений высших
порядков в виде винеровского интеграла.—Укр. матем. ж., 1979,
31, 13—22.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 267
Кокарева Т А. Некоторые теоремы существования аналити-
аналитических решений для интегро-дифференциальных уравнений. — ДАН
СССР, 1951, 79, 13—16.
Колмогоров А. Н., Фомин СВ. Элементы теории функ-
функций и функционального анализа. Изд. 4-е. — М.: Наука, 1976.
Комленко Ю В. Одно интегральное представление решения
линейного интегрального уравнения Вольтерра. — Тр. Ижевск, матем.
семинара, Ижевск, мех. ин-т, 1974, вып. 2, 67—71.
Комленко Ю. В. Нелинейные интегральные уравнения Воль-
Вольтерра с немонотонным оператором, обладающие положительными реше-
решениями. — Дифференц. уравнения, 1979, 16, 885—889.
К о м я к И. И. Формула обращения для уравнения Вольтерра
с разностным ядром. ДАН БССР, 1976, 20, 106—109.
Краснов М. Л. Итегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
Красносельский М. А. Топологические методы в теории
нелинейных интегральных уравнений.—М.: Гостехиздат, 1956.
Красносельский М. А. Положительные решения опера-
операторных уравнений.—М.: Физматгиз, 1962.
Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометри-
Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975.
Красносельский М. А., Забрейко П. П., П у-
стыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные опе-
операторы в пространствах суммируемых функций. — М.: Наука, 1966.
Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Заб-
Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений.—
М.: Наука, 1969.
К р е й н С. Г., ред., Функциональный анализ.— М.: Наука, 1972.
Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. А. Интер-
Интерполяция линейных операторов. — М.: Наука, 1978.
Кривошеий Л. Е. Об одном способе решения некоторых
линейных интегро-дифференциальных уравнений. — Учен. зап. физ.-
матем. фак-та Кирг. ун-та, 1957, вып. 4, ч. 2, 19—37.
Кривошеий Л. Е. К приближенному решению некоторых
интегро-дифференциальных уравнений. — Учен. зап. физ.-матем. фак-та
Кирг. ун-та, 1957, вып. 4, ч. 2, 39—68.
Кривошеий Л. Е. Приближенное решение некоторых задач
для линейных интегро-дифференциальных уравнений. Кандидатская
диссертация. — Ташкент: Средне-азиатск. ун-т, 1958.
Кривошеий Л. Е. К решению одного класса интегро-диффе-
интегро-дифференциальных уравнений. — В кн.: Исслед. по интегро-дифференц.
уравнениям в Киргизии, 1962, вып. 2, 211—219.
Кривошеий Л. Е. Приближенные методы решения обыкно-
обыкновенных линейных интегро-дифференциальных уравнений. — Фрунзе:
АН Кирг. ССР, 1962.
Кривошеий Л. Е. Об одном способе решения граничных
задач для обыкновенных нелинейных интегро-дифференциальных урав-
уравнений.— Тр. Кирг. ун-та, серия матем., 1974, вып. 9, 17—22.
Кривошеий Л. Е. Решение начальной задачи для одной
системы интегро-дифференциальных уравнений. — Тр. Кирг. ун-та,
серия матем., 1976, вып. 11, 58—62.
Кривошеий Л. Е. Решение обобщенной начальной задачи
для одного класса интегро-дифференциальных уравнений в частных

268 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
производных. — В кн.: Интегро-дифференц. уравнения, 1978, № 1,
44—47.
Кривошеий Л. Е., Манжерон Д., Огюзторе-
л и М. Н. Приближенное решение нелинейных систем второго порядка
с наследственностью одного независимого переменного. — Bui. Inst.
Politehn. Ja?i, 1972, sec la, 18, 121—125.
К у л т ы ш е в С. Ю. Устойчивость линейного интегрального
уравнения Вольтерра с отрицательным ядром. — Тр. Ижевск, матем.
семинара, Ижевск, мех. ин-т, 1974, вып. 2, 73—76.
Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики./
Перев. с нем. 3. Либина и Ю. Л. Рабиновича, изд. 3-е. — М.: Гостех-
издат, 1951, Т. I, II.
Курчатов В. А., Каримов Т. X. Приближенное реше-
решение нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом симмет-
симметричной разностной линеаризации. — В кн. Дифференц. и интегр.
уравнения. Межвуз. сб. — Горький, 1979, № 3, 113—117.
Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Основы ва-
вариационного исчисления. Том I, части I, II.—М.: Гостехиздат,
1935.
Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариа-
вариационного исчисления, изд. 2-е. — М.: Гостехиздат, 1950.
Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Ш и ш а т-
с к и й СП. Некорректные задачи математической физики и анализа.—
М.: Наука, 1980.
Л е в и П. Конкретные проблемы функционального анализа.
С добавлением Ф. Пеллегрино об аналитических функционалах./Перев.
со 2-го франц. изд. В. С. Бермана под ред. Г. Е. Шилова. — М.: Наука,
1967.
Л е в и П. Функции линий и уравнения с вариационными произ-
производными. В кн.: Историко-матем. исследования. — М.: 1973, № 18,
13—30.
Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интеграль-
интегральные уравнения со сдвигом. — М.: Наука, 1977.
Логунов А. И., Логунов В. И. Об интегральных урав-
уравнениях Вольтерра с запаздывающим аргументом. — Тр. Ижевск, матем.
семинара, Ижевск, мех. ин-т., 1974, вып. 2, 77—84.
Логунов АИ., Логунов В. И. Линейные интегральные
уравнения типа Вольтерра, содержащие распределенное запаздыва-
запаздывание. — В кн.: Физико-матем. моделирование технолог, процессов Но-
Норильского горно-металлургич. промышл. комплекса. Межвуз. и меж-
межведомств, сб., Ред. Дидык Ю. К. — Норильск: Красноярский ун-т,
1979, 76—80.
Л у с и с А. Я. Интегральные уравнения Вольтерра и пермута-
бельные функции (Латышек, яз.). — Тр. Латв ун-та, 1927, 17,
623—638.
Л у с и с А. Я. Функции линий как обобщение понятия о функции
(Латышек, яз.). — Тр. Латв. ун-та, 1929, 20, 187—213.
Лусис А. Я. Приближенное решение линейных интегральных
уравнений Вольтерра методом верхних и нижних функций. — Учен,
зап. Латв. ун-та, физ.-матем. науки, 1952, 4, 51—60.
Лусис А. Я., Л е в и Б. Б. Применение сингулярных интег-
интегральных уравнений типа Вольтерра к нахождению периодических ре-

ЕИКЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 269
шений нелинейных дифференциальных уравнений. — Научно-техн. сб.,
Рига: 1954, 16, 3—26.
Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функцио-
функционального анализа. Изд. 2-е. — М.: Наука, 1965.
Магницкий Н. А. Приближенные методы решения илтеграль-
ных и функциональных уравнений Вольтерра первого рода Кандидат-
Кандидатская диссертация. — М.: МГУ, 1977.
Магницкий Н. А. О существовании многопараметрических
семейств решений интегрального уравнения Вольтерра первого рода. —
ДАН СССР, 1977, 235, 772—774.
Магницкий Н. А. Многопараметрические семейства решений
интегральных уравнений Вольтерра. — ДАН СССР, 1978, 240, 268—
271.
Магницкий Н А О приближенном решении некоторых ин-
интегральных уравнений Вольтерра первого рода. — Вестн. МГУ, серия
Вычисл. матем. и кибернетика, 1978, № 1, 91—96.
Магницкий Н А. Линейные интегральные уравнения Воль-
Вольтерра I и III рода. — Ж. вычисл. матем и матем. физ., 1979, 19, 970—
988.
Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Линейное
функционально-дифференциальное уравнение, разрешенное относитель-
относительно производной. — Дифференц. уравнения, 1973, 9, 2231—2240.
Маричев О. И. Два уравнения Вольтерра с функциями Горна.—
ДАН ОХР, 1972, 204, 546—549.
Марусич А И. О неколеблемости линейного интегро-диффе-
ренциального уравнения второго порядка. — Тр. Фрунз. политехи,
ин-та, 1972, вып. 53, 14—21.
Медведев Ф. А. Основоположники функционального анализа
о его ранней истории. В кн.: Историко-магем исследования. — М.:
1973, вып. 18, 55—70.
Мейнарович Е. В., Поляков Р. В., Шлепа-
к о в Л. Н. Решение интегральных уравнений второго рода типа Воль-
Вольтерра. В кн.: Матем. обесп. для ЭВМ серии «Мир». — Киев: 1974,
121—127.
Микеладзе Ш. Е. Избранные труды. Том 1: Численное реше-
решение дифференциальных уравнений с частными производными и интег-
интегральных уравнений. — Тбилиси: Мецниереба, 1979.
Микусинский Я. Операторное исчисление. /Перев. с польск
А. И. Плеснера. — M.s ИЛ, 1956.
Милушева С. Д. Обоснование метода усреднения для одного
класса интегро-дифференциальных уравнений. — Arch. Mat., 1972, 8,
195—206.
Милушева С. Д. Применение метода усреднения к одной
двухточечной краевой задаче для систем интегро-дифференциальных
уравнений типа Вольтерра, — Укр. матем ж., 1974, 26, 338 —
347
Милушева С. Д. Применение метода усреднения для одного
класса сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравне-
уравнений. — Годишник Висш. учебн. завед. Прилож. матем., 1977 A978),
13, 53—67.
Милушева С. Д., Байнов Д. Д. Применение метода
усреднения к одной двухточечной краевой задаче для систем интегро-

270 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
дифференциальных уравнений типа Вольтерра, не разрешенных отно-
относительно производной. —Math. Balcan., 1973, 3, 347—357.
М и х л и н С. Г. Интегральные уравнения и их приложения к не-
некоторым проблемам механики, математической физики и техники. Изд.
2-е. —- М. — Л.: Гостехиздат, 1949.
М и х л и н С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.—
М.: Физматгиз, 1959.
М и х л и н С. Г. Линейные интегральные уравнения. — В кн.:
Математика в СССР за сорок лет, 1917—1957. Том I. — М.: Физмат-
Физматгиз, 1959, 649—674.
М и х л и н С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интег-
интегральные уравнения. — М.: Физматгиз, 1962.
Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. Приближенные ме-
методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — М.:
Наука, 1965.
Мовлянкулов X. Об усреднении некоторых классов нели-
нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. — ДАН Узб. ССР,
1972, № 5, 9—10.
Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно
поставленных задач. — М.: Изд-во МГУ, 1974.
Морозов В. А. О решении операторных уравнений первого
рода методом конечно-ранговых аппроксимаций. — ДАН СССР, 1979,
247, 1317—1320.
Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравне-
уравнения. Изд. 2-е. — М.: Физматгиз, 1962.
Мухамадиев Э., Покорный Ю. В. О монотонных опе-
операторах с несколькими неподвижными точками. — ДАН Тадж. ССР,
1967, 10, На 4, 3—6.
М ю н т ц Г. М. Интегральные уравнения. Часть I: Линейные
уравнения Вольтерра. — М.: ОНТИ, 1934.
Назаренко Т. И. К вопросу об устойчивости разностного ме-
метода решения задачи Коши для интегро-дифференциальных уравнений
типа Вольтерра.— Тр. Иркутск, ун-та, серия матем., 1970, 74,62—69.
Назаров Н. Н. К теории нелинейных интегральных уравне-
уравнений. — Тр. Средне-Азиатск. ун-та, 1937, 17, 1—13.
Назаров Н. Н. Об одном классе нелинейных интегро-диффе-
интегро-дифференциальных уравнений. —ДАН СССР, 1947, 58, 741—744.
Назаров Н.Н. Точки ветвления решений нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений. — Тр. Ин-та матем. и мех. АН Узб. ССР,
1948, 4, 59—65.
Назаров Н. Н. К вопросу о существовании решения нели-
нелинейного интегро-дифференциального уравнения. — Тр. Ин-та матем.
и мех. АН Узб. ССР, 1948, 4, 74—76.
Назаров Н. Н. Об одном классе нелинейных интегро-диффе-
интегро-дифференциальных уравнений. — Тр. Ин-та матем. и мех. АН Узб. ССР,
1948, 4, 118—123.
Назаров Н. Н. Об одном классе линейных и нтегро-дифферент
циальных уравнений. — Тр. Йн-та матем. и мех. АН Узб. ОСР, 1948,
4, 124—133.
Назаров Н. Н. Применение метода Неймана к нелинейным
интегро-дифференциальным уравнениям. — Тр. Ин-та матем. и мех.
АН Узб. ССР, 1948, 4, 134-136.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОТШХ РЛПОТ 271
Н а й м а р к М. А. Линейные представления группы Лоренца.—
М.: Физматгиз, 1958.
Наймарк М. А. Нормированные кольца. Изд. 2-е. — М.:
Наука, 1968.
Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.
Изд. 2-е. — М.: Наука, 1969
Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных интегро-
дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их
приложения к прогнозу почвенной влаги. — Дифференц. уравнения,
1979, 15, 96—105.
Некрасов А. И. Об одном классе линейных интегро-диффе-
ренциальных уравнений. — Тр. ЦАГИ, 1934, вып. 190, 12—17.
Н е м ы ц к и й В. В. Об одном общем классе нелинейных интег-
интегральных уравнений. — Матем. сб., 1934, 41, 655—658.
Немыцкий В. В. Метод неподвижных точек в анализе. УМН,
1936, 1, 141—175,
Николова Т. С, Байнов Д. Д. Съществуване и единстве-
ност на решението на някои интегро-диференциални уравнения. —
Годишн. Висш. учебн. завед. Прилож. матем , 1977 A978), 13, 123—126.
Нуримов Т. Исследование решений систем двумерных нелиней-
нелинейных интегральных уравнений гипа Вольтерра по параметрам. — В кн.:
Краевые задачи для дифференц. уравнений. — Ташкент: 1972, № 2,
139—148.
Омаров Т. Е., Отелбаев М. Об одном классе сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений типа Вольтерра. — В кн.: Дифференц.
уравнения и их прилож. — Алма-Ата: 1975, 155—161.
Пархимович И. В. Многоточечные краевые задачи для ли-
линейных интегро-дифференциальных уравнений в классе гладких функ-
функций. — Дифференц. уравнения, 1972, 8, 549—552.
Пахыров 3. Достаточные признаки ограниченности решений
линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. —
Тр. Фрунз. политехи, ин-та, 1979, № 111, 78—82.
Петревокий И. Г. Лекции по теории интегральных урав-
уравнений. Изд. 3-е, — М.: Наука, 1965.
Покорный В. В. О сходимости формальных решений нели-
нелинейных интегральных уравнений. — ДАН СССР, 1958, 120, 711—714.
Покорный В. В. Об уравнениях разветвления в теории малых
решений нелинейных интегральных уравнений. — Тр. Воронежск.
ун-та, 1962, 61, 65—74.
Политюков В. П. К теории верхних и нижних решений
и разрешимости квазилинейных интегро-дифференциальных уравне-
уравнений. — Матем. сб., 1978, 107, 218—226.
П о л и щ у к Е. М. Композиции Вольтерра и нормированные
кольца. — Учен. зап. Высш. аркт. мор училища, 1954, вып. 5, 263—
269.
Полищук Е. М. Интегральные представления аналитических
функционалов. — Укр. матем. ж., 1964, 26, 487—495.
Полищук Е. М. Вито Вольтерра, 1860—1940. — Ленинград:
Наука, 1977.
Попов В. В. О решении задачи Коши для некоторого линей-
линейного интегро-дифференциального уравнения. В кн.; Методы вычисл.
матем. и их применения. — М.» 1974, 62—66.

БИБЛИОГРАФИЙ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Привалов И. И. Интегральные уравнения. — М.: ОНТИ,
1935.
Прокопченко А. В. Применение метода Чаплыгина к реше-
решению нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Воль-
терра, — ДАН Узб. ССР, 1972, N° 10, 7—9.
Пуляев В. Ф. Существование асимптотически о-периодиче-
ских решений у интегральных уравнений Вольтерра. — Изв. Сев.-
Кавказ. научн. центра высш. школы, серия естеств. наук, 1973, № 4,
75—78.
Пуляев В. Ф. Об (о-периодических решениях линейных ин-
интегральных уравнений Вольтерра. — Научн. тр. Кубанск. ун-та, 1974,
вып. 180, 132—134.
Пуляев В. Ф., Ц а л ю к 3. Б. Об асимптотически ю-перио-
дических решениях интегральных уравнений Вольтерра. — Дифференц.
уравнения, 1974, 10, 1103—1110.
Пуляев В. Ф., Ц а л ю к 3. Б. Асимптотически почти-перио-
почти-периодические решения интегрального уравнения Вольтерра. — Научн. тр.
Кубанск. ун-та, 1974, вып. 180, 127—131.
Ражапов Г. Об асимптотическом поведении решений нели-
нелинейного интегро-дифференциального уравнения второго порядка. —
Тр. Фрунз. политехи, ин-та, 1975, вып. 88, 73—77.
Рамазанов М. И. Исследование собственных значений и соб-
собственных функций особого интегрального уравнения Вольтерра второго
рода. — В кн.: Дифференц. уравнения и их приложения. — Алма-Ата:
1979, 121—127.
Рахманов Р. Решение задачи Коши для одного класса нагру-
нагруженных интегро-дифференциальных уравнений. — Тр. Самаркандск.
ун-та, 1972, вып. 202, 135—143.
Рисе Ф., Секефал ьви-Надь Б. Лекции по функцио-
функциональному анализу ./Перев. с франц. Д. А. Василькова под ред. С. В. Фо-
Фомина. — М.: ИЛ, 1954.
Розовский М. И. Приложение интегро-дифференциальных
уравнений к некоторым динамическим задачам теории упругости при
наличии последействия.—Прикл. матем. и мех., 1947, 11, 329 —
33$.
Розовский М. И. Задача Коши для интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциального уравнения с частными производными в неограниченном простран-
пространстве. — УМН, 1957, 12, 369—376.
Розовский М. И., Бадалов Ф. Б. Об одном методе
решения системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений
Вольтерра. — Укр. матем. ж., 1973, 25, 121—123.
Рузикулов Дж., Исраилов И. Решение нелинейных
интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
с начальными и краевыми условиями. — Тр. Самаркандск. ун-та,
1973, вып. 235, 76—83.
Ручинский В. С. К вопросу об оценке решений нелинейных
интегро-дифференциальных уравнений. — Вестн. МГУ, матем. мех.,
1975, № 6, 91—98.
Самойленко М., Нуржанов О. Д. Метод Бубнова—
Галеркина построения периодических решений интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. — Дифференц. уравнения, 1979, 15,
1503—1617.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 273
С а р а ф о в а Г. X., Байнов Д. Д. О применении метода
двухсторонних приближений к отысканию периодических решений
интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра. — Arch. Mat.,
1978, 14, 183—190.
Сарафова Г. X., Байнов Д. Д. О применении метода
двухсторонних приближений к отысканию периодических решений ин-
интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра. — Anal. Univ.
Bucure§ti, Mat., 1979, 28, 101—109.
Сатыгулова С. С. К обобщенному методу типа Адамса для
интегро-дифференциальных уравнений. — В кн.: Качеств, теория диф-
ференц. уравнений. — Алма-Ата: 1978, 45—49.
Сергеев В, О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого
рода.— ДАН СССР, 1971, 197, 531—634.
Смирнов М. М. Об одной системе интегро-дифференциальных
уравнений. — В кн.: Дифференц. уравнения — Рязань: 1973, вып. 2,
162—169.
Смирнов Н. С. Введение в теорию нелинейных интегральных
уравнений.—Л.—М.: ОНТИ, 1936.
Смирнов Н. С. Применение рядов Фурье к решению интег-
интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. — Изв. АН СССР,
серия матем., 1939, № 4, 413—428.
Смолин 10. Н. О порядке роста резольвентных ядер системы
интегральных уравнений Вольтерра с периодическими ядрами и за-
запаздываниями.— Дифференц. уравнения, 1971, 7, 2246—2252.
Смолин Ю. Н. Об уравнениях Вольтерра с малым параметром—
Сб. тр. Всесоюзн. заочн. политехи, ин-та, 1972, вып. 73, 79—82.
Смолина Р. И., Смолин Ю. Н. Об оценке снизу решения
системы линейных интегральных уравнений Вольтерра, — Тр. Моск.
ин-та хим. машиностр., 1974, вып. 53, 66—68.
Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики. Изд. 2-е, —
М.: Наука, 1975.
Соболев С. Л. Об одном классе интегро-дифференциальных
уравнений для нескольких независимых переменных, I. — Изв. АН
СССР, серия матем., Ш37, № 4, 515—550.
Соболев С. Л. Об одном классе интегро-дифференциальных
уравнений с несколькими переменными. II. — Изв. АН СССР, серий
матем., 1938, № 1, 61—90.
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального ана-
анализа в математической физике. — Ленинград: Изд-во Ленннгр. ун-та,
1950. Второе издание в 1962 году.
Соболев С. Л. Некоторые замечания о численном решении
интегральных уравнений. — Изв. АН СССР, серия матем., 1056, 20.
413-436.
Соболев С. Л. Уравнения математической физики. Изд. 4-tt —
M.i Наука, 1966.
Сражидинев А. О единственности решений уравнения Валь-
Вальтер р а первого реда. — В кн. Исслед. по интегро-дифференц. уравна-
ниям. — Фрунзе: 1979, 177—189.
Сражидинов А. Об асимптотике решения и способе регуля-
регуляризации линейных и нелинейных уравнений Вольтерра первого рода. —
В кн.: Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. — Фрунзе: 1979,
249—253.

274 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
CTojaHOBHh M. Решение системы линейных интегральных
уравнений Вольтерра по методу остатков. — Математички весник,
1978, 2, 85—89.
Талипова Л. А. Ветвление решений периодической краевой
задачи для интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра. —
Тр. Фрунз. политехи, ин-та, 1975, вып. 88, 92—99.
Тен Мен Ян, Приближенное решение двумерных интеграль-
интегральных уравнений Вольтерра первого рода методом кубатур. — В кн.:
Дифференц. и интегр. уравнения — Иркутск: 1975, вып. 3, 194—211.
Тен Мен Ян. Блочный метод для решения двумерных интег-
интегральных уравнений Вольтерра первого рода. — Дифференц. уравне-
уравнения, 1978, 15, 1121—1126.
Тивончук В. И. Про оцшку похибки одного вар1анту методу
Ю. Д. Соколова розв'язання лшШних штегральных р1внянь типу
Вольтерра та р!внянь змшаного типу." — Допов. АН УРСР, 1964,
№ 10, 1281—1284.
Тивончук В. И. О решении линейных интегральных уравне-
уравнений типа Вольтерра при помощи одного варианта метода Ю. Д. Соко-
Соколова. — Укр. матем. ж., 1965, 17, 77—88.
Тивончук В. И., Шлепаков Л. Н. Сплайн-интерполя-
Сплайн-интерполяционный метод решения линейных интегральных уравнений Воль-
Вольтерра. — В кн.: Краевые задачи матем. физ. — Киев: 1978, 159—166.
Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра
и их применениях к некоторым задачам математической физики. —
Бюлл. МГУ, серия матем. мех., 1938, 1, № 8, 1—25.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения матема-
математической физики. Изд. 3-е. — М.: Наука, 1966.
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некор-
некорректных задач. Изд. 2-е. — М.: Наука, 1979.
Трикоми Ф. Дж. Интегральные уравнения./Перев. с англ. —
М.: ИЛ, 1960.
Т р у б и н В. Г. Асимптотика решения задачи Коши для вырож-
вырождающегося интегро-дифференциального уравнения с малым парамет-
параметром при производной. — В кн.: Дифференц. и интегр. уравнения. —
Иркутск: 1973, вып. 2, 127—133.
Тукалевская Н. И. Численная реализация метода осред-
осреднения функциональных поправок к решению линейных интегральных
уравнений типа Вольтерра. — В кн.: Труды научн. конфер. инжен.,
аспир. и мл. научн. сотр. Ин-та матем. АН УССР. — Киев: 1963, 77 —
83.
Филатов А. Н. Методы усреднения в дифференциальных и
интегро-дифференциальных уравнениях. — Ташкент: ФАН, 1971.
Филатов А. Н Асимптотические методы в теории дифферен-
дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. — Ташкент: ФАН,
1974.
Халилов 3. И. Основы функционального анализа. — Баку:
Изд-во Азерб. ун-та, 1949.
Халилов 3. И. Линейные уравнения в линейных нормирован-
нормированных пространствах. — Баку: Изд-во АН Азерб. ССР, 1949.
Хаиров А. А. О единственности решения одного интеграль-
интегрального уравнения первого рода с переменной областью интегрирования. —
Тр. Фрунз. политехи, ин-та, 1957, вып. I, 82—88.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ $75
Хаиров А. А. К проблеме отыскания функций, переместимых
с данной. — Тр Фрунз. политехи, ин-та, 1957, вып. I, 89—94.
Хаиров А. А. Об одном классе переместимых функций. —
Тр Пржевальск. педагог, ин-та, 1957 A958), вып. б, 103—106.
Хаиров А. А. О некоторых вопросах теории переместимых
функций от п пар переменных и их применениях к решению интеграль-
интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Кандидатская диссер
тация. Казахск. ун-т. — Алма-Ата: 1958.
Х А А К б
у
Хаиров А. А. К проблеме отыскания функций, переместимых
с данной. В кн.: Материалы 8-й научн. конфер. проф.-препод, состава
физ.-матем. фак-та Кирг. ун-та. — Фрунзе: 1959, 51—55.
X Э Фй
ф р у ру ,
X и л л е Э. Функциональный анализ и полугруппы./Перев
с англ. — М.: ИЛ, 1951.
Холл Дж., У.а тт Дж. Современные численные методы реше-
решения обыкновенных дифференциальных уравнений./Перев. с англ. под
ред. А. Д. Горбунова. — М.: Мир, 1979.
Христова С. Г., Байнов Д. Д. Глобально-ограниченные
решения систем интегро-дифференциальных уравнений сверхлинейного
типа. — Годишн Висш. учебн. завед. Прилож. матем., 1977 A978),
13, 77—86
Цалюк 3. Б., Шамсутдинов М. М. Об ограниченности
решений одного класса нелинейных уравнений Вольтерра. — В кн.:
Матем. анализ. — Краснодар: 1971, 63—71.
Чалидзе А. К. О задаче Коши для одного класса нелинейных
сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. — В кн.: Исслед.
некоторых уравнений матем. физ. — Тбилиси: 1972, 23—36.
Чалидзе А. К. О задаче Коши для одного класса линейных
сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. — Сообщ. АН
Груз. ССР, 1972, 66, 283—286.
Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии./Перев. с англ
под ред. Е. С. Кузнецова. — М.: ИЛ, 1953.
Шарогл азов В. С. Об однозначной разрешимости краевых
задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Воль-
Вольтерра. — В кн.: Дифференц. и интегр. уравнения. — Иркутск: 1978,
№ 5, 111-119.
Шарогл азов В. С. К решению краевой задачи для одного
класса интегро-дифференциальных уравнений в вырожденном случае. —
В кн.: Дифференц. и интегр. уравнения. — Иркутск: 1979, № ё, 126—
135.
Шишкин Г. А. Решение одного класса линейных интегро-диф
ференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью
интегральных рядов.—Дальневосточн. матем. сб., 1972, 3, 73 —
82.
Шишкин Г. А. Применение интегральных рядов к решению
линейных ингегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с пере-
переменными коэффициентами. — В кн.: Дифференц. и интегр. уравне-
уравнения. — Иркутск: 1973, вып. I, 119—130.
Шишкин Г. А. Решение линейных интегро-дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом — В кн.: Дифференц
и интегр. уравнения, — Иркутск: 1973, вып. I, 131—145.
Шишкин Г. А. Приближенное решение линейных интегро-
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с за-

ВИВЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
паздывающим аргументом. — В кн.: Дифференц. и интегр. урав-
уравнения. — Иркутск: 1973, вып. 2, 146—167.
Шишкин Г. А. Об одном приближенном методе решения ли-
линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняю-
отклоняющимся аргументом нейтрального типа. — В кн.: Методы оптимизации
и их прилож. — Иркутск: 1979, 178—179.
Шишкин Г. А. Решение линейных интегро-дифференциальных
уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием на основе
функций с гибкой структурой. — В кн. Дифференц. и интегр. уравне-
уравнения. — Иркутск, 1979, № 6, 136—146.
Щ е р б а А. 3. Асимптотическое разложение решения интеграль-
интегрального уравнения Вольтерра. — В кн.: Матом, аналиг — Краснодар:
1971, 86—91.
Щ е р б а А. 3. Голоморфные решения одного класса интегральных
уравнений Вольтерра. — Дифференц. уравнения, 1974, 10, 2079—2080.
Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения
/Перев. с англ. Г. X. Бермана и И. Б. Раскиной — М.: Мир, 1969.
Эшматов X. Об одном свойстве нелинейных интегральных
уравнений типа Вольтерра. —Дифференц. уравнения, 1974, 10, 1911 —
1913.
Эшматов X. Об усреднении в некоторых системах интегро-
дифференциальных уравнений на бесконечном промежутке. — Изв.
АН Уаб. ССР, серия физ.-матем. наук, 1975, № 2, 34—36.
Эшматов X. Об усреднении в некоторых системах интегро-
дифференциальных уравнений. — Укр. матем. ж., 1976, 27, 421—427,
Яковлева Г. Ф. Об условиях существования периодических
решений некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Кандидатская диссертация. — Фрунзе:
Кирг. ун-т, 1953.
Яковлева Г. Ф. Об условиях существования периодических
решений линейных интегро-дифференциальных уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами. —- Учен. зап. физ.-матем. фак-та Кирг. ун-та,
1957, 4, 111—127.
A d 6 m e z M. Nota sebre las ecuaciones de Volterra do primera
especie reducible* a ecuacionet de convoluclon. — Gac. Mat., 1972, 24,
1С»—119.
A b d-E 1 a 1 L. F. An asymptotic expansion for a regularization
technique far numerical singular integrals and its application to Vol-
Volterra integral equations. — J. Inst. Math, and Appl.,1979, 28, 291—309.
Alzikovici S. On a nonlinear integro-differential equation. —
J. Math. Anal, and Appl., 1978, 63, 385—395.
A i г i k о v i e i S. Existence theorems for a class of integro-dif-
fertntial equations. — Anal. §tin. Univ. Jasi, 1978, Sec. la, 24, 113-124.
A i i i k © v i с i S. On an abstract Volterra equation. — Lecture
Notes in Math., 1979, № 737, 1—8.
Anderson A. S., Whyte E. E. Improved numerical methods
for Volterra integral equations of the first kind. — Comput. J., 1971,
14, 442—443.
Andrade C, McKee S. On optimal high accuracy linear
mulfotep methods for first kind Volterra equations. — BIT, 1979, 19,
1—11.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 27?
Artstein 2. Continuous dependence oi solutions of Volterra
integral equations. — SIAM J. Math. AnaL, 1975, 6, 446—456.
В a i n о v D. D., Milusheva S. D. Application of the ave-
averaging method to solving boundary problems for systems of integro-
differential equations with a linear boundary condition. — Stud. Sci.
Math. Hung., 1976, 11, 51—58.
Baker С. Т. Н. Methods for Volterra equations of the first kind,
In: Numerical solution of integral equations. Edited by L. M. Delves
and J. Walsh. —Oxford; Clarendon Pres, 1974, 162—174.
Baker С. Т. Н. Initial value problems for Volterra integro-dif-
ferential equations. — In: Modern numerical methods for ordinary dif-
differential equations. Edit, by G. Hall and J. M. Watt. —Oxford; Claren-
Clarendon Press, 1976, ch. 21.
Baker G. Т. Н. Numerical solution of integral equatious. —
Oxford; Clarendon Press, 1977.
Baker С. Т. Н. Runge—Kutta methods for Volterra integral
equations of the second kind. — Lecture Notes in Math. 1978, № 630,
1-13.
Baker С. Т. Н. К е е с h M. S. Stability regions in the numeri-
numerical treatment of Volterra integral equations. — SIAM J. Numer. Anal.,
1978, 15, 394—417.
Baker С T. H., Keec h M. S. Stability analysis of certain
Runge—Kutta procedures for Volterra integral equations. — ACM Trans,
Math. Software, 1978, JSfe 4, 305—315.
Baker С T. H., Makroglou A., Short E . Regions of
stability in the numerical treatment of Volterra integro-differential
equations. — SIAM J. Numer. Anal.,1979, 16, № 6, 890—910.
В a n f i С Su una nuova impostanzione per Tanalisi dei sistemi
ereditari. — Ann. Univ. Ferrara, Sez; 7, Sci. Mat., 1977, 23, 29 —
38.
В a n t a § Gh. Volterra integro-functional equations which have
solutions with finite limit at infinity. —Bull. Math. Soc. Sci. Math.
RSR, 1970 A972), 14, 405—418.
В a n t a f Gh. Sur un cornportement a Tinfini des solutions des
equations integro-fonctionnelles de Volter a. — Anal. Univ. Timi$oara,
Ser. §ti. Mat., 1972, 10, 5—11.
В a n t a s. Gh. Theoremes d'existence et d'unicite dans la theorie
des equations integro-fonctionnelles de Volterra. — Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1972, 52, 856—860.
В a n t a s. Gh. On the existence of solutions of some Volterra
integral equations in the functional space Ac. — Bui. Inst. Politehn.
Ja?i, 1973, Sec. la, 19, 77—83.
В a n t a s. Gh. On the asymptotic behavior in the theory of Vol-
Volterra integro-functional equations. — Period. Math. Hung., 1974, 5,
323—332.
В a n t a § Gh. On the existence of convergent solutions in the
theory of Velterra integro-functional equations. — Anal. Stin. Uni-
ver. Ja§i, 1974, Sec. la, 20, 93—100.
В a r b u V. Nonlinear Volterra equations in a Hilbert space. —
SIAM J. Math. Anal., 1975, 6, 728—741.
В а г b u V. On a nonlinear Volterra integral equation on a Hil-
Hilbert space. — SIAM J. Math. Anal., 1977, 8, 345—355.

278 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
В а г b u V. Degenerate nonlinear Volterra integral equations
in Hilbert space. — Lecture Notes in Math., 1979, № 737, 9—23.
Barbu V., Grossman S. I. Asymptotic behavior of linear
integro-differential systems. — Trans. Amer. Math. Soc, 1972, 171,
277—288.
В h a r u с h a-R e i d A. T. Random integral equations. — New
York; Academic Press, 1972.
В i t zer C. W. Convolution, fixed point, and approximation
in Stieltjes—Volterra integral equations.—J. Austral. Math. Soc,
1972, 14, 182—199.
В 1 о n d e 1 J. M. Phenomene de perturbation singuliere pour une
equation integrate lineaire de Volterra. — Rev. Franc. Inform, et Rech.
Oper., 1971, 5, 67—72.
Branca H. W. The nonlinear Volterra equations of Abel's kind
and its numerical treatment. — Computing, 1978, 20, 307—324.
Brauer F. A nonlinear variation of constants formula for Vol-
Volterra equations. — Math. Systems Theory, 1972, 6, 226—234.
Brauer F. Asymptotic stability of a class of integro-differential
equations. — J. Different. Equat. 1978, 28, 180—188.
Bownds J. M. On solving weakly singular Volterra equations
of the first kind with Galerkin approximations. — Math. Comput., 1976,
30, 747—757.
Bownds J. M. On an initial value method for quickly solving
Volterra integral equations: a review. —J. Optimiz, Theory and Appl.,
1978, 24, 133—151.
Bownds J. M. On an initial—value method for quickly solving
Volterra integral equations: a review.— In: Solution Methods of Integral
Equat. Theory and Appl.—New York: Academic Press, 1979, 225—243.
Bownds J. M., Cushing J. M. Some stability criteria for
linear systems of Volterra integral equations. — Funkcialaj Ekvacioj,
1972, 15, 101—117.
Bownds J. M., Cushing J. M. A representation formula
for linear Volterra integral equations. — Bull. Amer. Math. Soc, 1973,
79, 532—536.
Bownds J. M., Wood B. On numerically solving nonlinear
Volterra integral equations with fewer computations. — SIAM J. Numer.
Anal., 1976, 13, 705—719.
Bownds J. M., Wood B. A note on solving Volterra integral
equations with convolution kernels. — Appl. Math, and Comput., 1977,
3, 307—315.
Bownds J. M., Wood B. A smoothed projection method for
singular, nonlinear Volterra equations.—J. Approxim. Theory, 1979,
26, 120—141.
Brunner H. The solution of nonlinear Volterra integral equa-
equations by piecewise polynomials. — Proc Manitoba Confer, on Numeri-
Numerical Math. Edited by R. S. D. Thomas and H. С Williams. Univ. of Ma-
Manitoba, Winnipeg, Canada, 1971, 65—78.
Brunner H. The solution of Volterra integral equations of the
first kind by piecewise polynomials. —J. Inst. Math, and Appl., 1973,
12, 295—302.
Brunner H. On the numerical solution of nonlinear Volterra
integro-differential equations. — BIT, 1973, 13, 381—390.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 279
Brunner H. On the approximate solution of first-kind integral
equations of Volterra type. — Computing, 1974, 13, 67—79.
Brunner H. An approximation property of certain nonlinear
Volterra integral operators. — Mathematika (GR. Brit.), 1976, 23,
45—50.
Brunner H. The approximate solution of linear and nonlinear
first-kind integral equations of Volterra type. — In: Numerical Analysis.
Edited by G. A. Watson. — Berlin: Springer, 1976, 15—27 (Lecture
Notes in Math., № 506).
Brunner H. Discretization of Volterra integral equations of
the first kind. —Math. Comput., 1977, 31, 708—716.
Brunner H. Discretization of Volterra integral equations of
the first kind. II. — Numer. Math., 1978, 30, 117—136.
Brunner H. Superconvergence of collocation methods for Vol-
Volterra integral equations of the first kind. — Computing, 1979, 21, 151 —
157.
Brunner H. A note on collocation methods for Volterra integral
equations of the first kind. — Computing, 1979, 23, 179—187.
Brunner H., Evans M. D. Piecewise polynomial collocation
for Volterra-type integral equations of the second kind. — J. Inst. Math.
Appl., 1977, 20, 415—423.
Brunner H., Lambert H. D. Stability of numerical met-
methods for Volterra integro-differential equations. — Computing, 1974, 12,
75—84.
Brunner H., N 0rsett S. P. Superconvergence of colloca-
collocation methods for Volterra and Abel integral equations of the second
kind. — Math, and Comput. Dep. Math. Univ. Trondheim, 1979, № 3,
1-25.
Brunner H., N0rsett S. P., W о 1 к e n f e 11 P. H. M.
On ^-stability of numerical methods for Volterra integral equations of
the second kind. Math. Centrum Amsterdam, Afdel. Numericke Wiskunde,
1980, Report № 84/80, 1—12.
Burton T. A. Stability theory for Volterra equations. — J. Dif-
Differ. Equat. 1979, 32, 101 — 118.
Burton T. A. Uniform stabilities for Volterra equations. —
J. Different. Equat., 1980, 36, № 1, 40—53.
Burton T. A. An integro-differential equation. — Proc. Amer.
Math. Soc, 1980, 79, № 3, 393—399.
Buscham W. Die Zuruckfuhrung von spezielen linearen Integro-
Differentialgleichungen auf gewohnliche Integralgleichungen. — Z. angew.
Math, und Mech., 1952, 32, 20—21.
Bushell P. J. On a class of Volterra and Fredholm nonlinear
integral equations. —Math. Proc. Cambridge Phil. Soc, 1976, 79, 329—
335.
Campbell G. M., Day J. T. A block by block method
for the numerical solution of Volterra integral equations. — BIT,
1971, 11, 120—124.
С а г г R. W., Hannsgen К. В. A nonhomogeneous integro-
differential equation in Hilbert space. — SIAM J. Math. Anal., 1979,
10, 961—984.
Се г h a J. A note on Volterra integral equations with degenerate
kernels, — Commentarii Math. Univ. Carolinae, 1972, 13, 659—678.

2W БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Chambers L. G. The problem of eigenvalues in some singular
homogeneous Volterra Integral equations. — Proc. Amer. Math. Soc.,
1974, 42, 140—142.
Chen G., Grimmer R. Well-posedness and approximations
of linear Volterra integro-differential equations in Banach spaces. — Lecture
Notes in Math., 1979, № 737, 83—87.
Chen Hun g-Y i h Solutions for certain nonlinear Volterra
integral equations. — J. Math. Anal, and Appl. 1979, 69r 475—488.
Clarysse Т. Н. Rational predictor-corrector methods for non-
nonlinear Volterra integral equations of the second kind. — Lecture Notes
in Math., 1979, № 765, 278—294.
Clement Ph. On abstract Velterra equations with kernel of
positive resolvent. — Lecture Notes in Math., 1979, № 737, 45—49.
Clement Ph., N о h e 1 J. A. Abstract linear and nonlinear
Volterra equations preserving positivity. — SIAM J. Math. Anal. 1979,
10, 365—388.
Cochran J. The analysis of linear integral equations, New
York, McGraw-Hill, 1972.
Congedo G., Lepore A. Suun sistema di equazioni integrali
di Volterra di prima specie non riconducibile ad uno di seconda specie,
I, II. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1975, 68, 284—292, 515—523.
Congedo G. Lepore A. Teoremi di eststenza e di unicita
per una classe di sistemi dl equazioni integro-differenziali non lineari. —
Rend. Circ. Mat. Palermo, 1976, 25, 161—175.
Corduneanu С Preblemes globaux dans la theorie des equa-
equations integrales de Volterra. — Annali di Mat. Рига ed Appl. 1966, 67,
349—363.
Corduneanu C. Absolute stability of some integro-differen-
integro-differential systems, ordinary differential equations. NRL—MRG^Conference.
Edited by L. Weiss. — New York: Academic Press, 1971, 55—70.
Corduneanu С Integral equations and stability of feedbacs
systems. — New York: Academic Press, 1973.
Corduneanu A. Sur l'existence et la stabilite de la solution
de Tequation integrate non-lineaire de Volterra. — Bull. Inst. Poll-
tehn. Ja§i, 1972, Sec. la, 18, 87—94.
Corduneanu C. A functional equation of Volterra type. —
Bui. Inst. Politehn. Jasi, 1973, Sec. la, 19, 101—106.
Corduneanu A. Uniform asymptotic stability for systems of
Volterra integral equations. — Bull. Inst. Politechn. Ja§i, 1979, Sect, la,
25, № 3—4, 27—34.
Coroian I. Approximarea solujiei unui sistem de ecua^ii in-
tegro-differentiale de tip Volterra. — Bui. Sti. Inst. Ped., 1972 A974),
Ser. B, 4, 258—263.
С г a n d a 11 M. G., L © n d e n S. O., N о h e 1 J. A. An abstract
nonlinear Velterra integre-differential equation. MRS Technical Sum-
Summary Report, Univ. of Wisconsin, Madison, 1976.
С r a n d a 11 M. J., Londen S. ©., N о h e 1 J. An abstract
nonlinear Volterra intefre-differentlal equation.—J. Math. Anal, and
Appl. 1978, 64, 701—735.
Crandall M. J., Nohel J. A. An abstract functional dif-
differential equation and related nonlinear Volterra equation. — Isr. J.
Math. 1978, 29, 313—328.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 281
G г у е г С. W., Tavernini L. The numerical solution of
Volterra functional differential equations by Euler's method. — SIAM
J. Numer. Anal., 1972, 9, 105—129.
Cushing J. M. Srong stability of perturbed systems of Vol-
Volterra integral equations. — Math. Syst. Theory, 1974, 7, 360—366.
Cushing J. Stability of perturbed Volterra integral equations. —
J. Math. Anal, and A»pl., 1975, 60, 325—340.
Cushing J. An operator equation and bounded solutions of
mtegro-differential systems. — SIAM J. Math. Anal., 1975, 6, 433—446.
Cushing J. Periodic solutions of Volterra's population equation
with hereditary effects. — SIAM J. Appl. Math., 1976, 31, 251—261.
Cushing J. Forced asymptotically periodic solutions of pre-
predator-prey system with or without hereditary effects. — SIAM J. Appl.
Math., 1976, 30, 665—674.
Cushing J. Bounded solutions of perturbed Volterra integro-
differential systems.—J. Differ. Equat., 1976, 20, 61—70.
Cushing J. M. Integro-differential equations and delay models
in population dynamics. — Berlin: Springer, 1977. (Lecture Notes in Bio-
mathematics, № 20).
Cushing J. M. Bifurcation of periodic solutions of integro-
differential systems with applications to time delay models in popula-
population dynamics. —SIAM J. Appl. Math., 1977, 33, 640—654.
Cushing J. M. Nontrivial periodic solutions of some Volterra
integral equations. — Lecture Notes in Math., 1979, № 737, 50—66.
D'Adhemar R. Sur les equations integrates de M. Volterra. —
Intern. Math. Congr. Roma, 1909, v. 2, 115—121.
D a f e r m о s С. М. An abstract Volterra equation with applica-
applications to linear viscoelasticity. — J. Differential Equat. 1970, 7, 554—
569.
Dafermos C. M., N о h e 1 J. A. Energy methods for nonlinear
hyperbolic Volterra integro-differential equations. — Commun. Part.
Differ. Equat. 1979, 4, 219—278.
Dale A. J. On a general random Volterra integral equatioa.—
Anal. §tint. Univ. Jasi, 1978, Sec. la, 24, 101-112.
Davis H. T. The theory of linear operators. — Bloomington:
The Principia Press, 1936.
Day J. T. A note on the numerical solution of integro-different
tial equations. — Comput. J., 1967, 9, 394—395.
Day J. T. On the numerical solution of integro-differential equa-
equations. — BIT, 1970, 10, 511—514.
DeFranco R. Stability results for multiple Volterra integral
equations. —Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl., 1978, 2, 375—
390.
Deimling K. On the set of solutions of a systems of Volterra
integral equations. — Annal. Mat. Рига ed Appl., 1970, 85, 369—381.
Deimling K. Eigenschaften der L6sungsmenge eines Systems
von Volterra—Integralgleichungen.—Manuscr. Math., 1971, 4, 201—212.
Delves L., Walsh J. Numerical solutions of integral equa-
equations. — Oxford, Clarendon Press, 1974.
Dhongade U. D., Deo S. G. Pointwise estimates of solutions
of some Volterra integral equations. —J. Math. Anal, and Appl., 1974,
46, 615—628.

282 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Diekmann О., Run for your life. A note on the asymptotic
speed of propagation of an epidemic.—J. Different. Equat., 1979,
33, 58—73.
Dieudonne J. Elements d'Analyse. — Paris: Gauthier-Villars,
1970.
E 1-G e n d i S. E. Chebyshev solution of differential, integral
and integro-differential equations. — Comput. J., 1970, 12, 282—287.
El-Tom M. E. A. Application of spline functions to Volterra
integral equations. — J. Inst. Math, and Appl., 1971, 8, 354—357.
El-Tom M. E. A. Numerical solution of Volterra integral equa-
equations by spline functions. — BIT, 1973, 13, 1—7.
El-Tom M. E. A. On the numerical stability of spline function
approximations to solutions of Volterra integral equations of the second
kind. — BIT, 1974, 14, 136—143.
E 1-T о m M. E. A. Spline function approximation to the solution
Qf singular Volterra integral equations of the second kind. —J. Inst
Math, and Appl., 1974, 14, 303—309.
El-Tom M. E. A. Efficient computing algorithms for Volterra
integral equations of the second kind. — Computing, 1975, 14, 153—
166.
E г d ё 1 у i A. An integral equation involving Legendre functions
J. Soc. Industr. and Appl. Math., 1964, 12, 15—30.
Fan t a p p ie L. I funzionali analitici. — Memorie delle R.
Accad. dei Lincei, 1930, FK, 453—683.
F e i 1 m e i e r M., Gessner P., W а с к е г H. J. Oberstimmte
Randwertprobleme bei Integrodifferentialgleichungen. — Abh. Math.
Semin. Univer. Hamburg, 1971, 36, 1—8.
Feldstein A., Sopka J.R. Numerical methods for nonlinear
Volterra integro-differential equations. — SI AM J. Numer. Anal. 1974,
11, 826—846.
F г е с h e t M. Les espaces abstraits et leur theorie consideree
comme introduction a Г analyse generate. — Paris: Gauthier-Villars,
1928.
Frechet M. Pages choisies d'analyse generate. — Paris: Gaut-
Gauthier-Villars, 1953.
F г е i r i a A. A. Asymptotic behavior and nonoscillation of Vol-
Volterra integral equations and functional differential equations. — Proc.
Amer. Math. Soc, 1975, 52, 169—177.
Friedman A. On integral equations of Volterra type. — J. Ana-
Analyse Math., 1963, 11, 381—413.
Friedman A. Monotonicity of solutions of Volterra integral
equations in Banach space. — Tran. Amer. Math. Soc, 1969, 138, 129—
148.
Friedman A., Shinbrot M. Volterra integral equations
in Banach space. — Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 126, 131 — 179.
Friedman A., Shinbrot M. Volterra integral equations
in Banach space. — Tran. Amer. Math. Soc 1969, 138, 129—148.
G а г е у L. Predictor-corrector methods for nonlinear Volterra
integral equations of the second kind. — BIT, 1972, 12, 325—333.
G a r e у L. Solving nonlinear second kind Volterra equations
by modified increment methods. — SIAM J. Numer. Anal. 1975, 12,
601—508.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 283
Gibson W. Embedding Stieltjes—Volterra integral equations
In Stieltjes integral equations. — Trans. Amer. Math. Soc, 19/7, 227,
263—277.
G 1 a d w i n C. J. Methods of high order for the numerical solu-
solution of first kind Volterra integral equations. — In: Proc. Second Moni-
toba Conf. Numer. Math., Univ. of Manitoba, Winnipeg, 1972, 179—193.
Gladwin C. J., Some remarks on the numerical solution of
first kind Volterra integral equations. — In: Proc. Third Manitoba Conf.
Numer. Math., Univ. of Manitoba, Winnipeg, 1973, 223—237.
Gladwin C. J. Numerical solution of Volterra integral equa-
equations of the first kind. — Ph. Doct. thesis, Dalhousie University, 1975.
Gladwin C. J. Quadrature rule methods for Volterra integral
equations of the first kind. —Math. Comput., 1979, 33, 705—716.
Gladwin C. J., Jeltsch R. Stability of quadrature rules
for first kind Volterra integral tquations. — BIT, 1974, 14, 144—151.
G о 1 b e г g M. A. On a method of Bownds for solving Volterra
integral equations. — J. Optim. Theory and Appl., 1978, 24, 221 —
232.
G о 1 b e г g M. A. On a method of Bownds for solving Volterra
integral equations. — In: Solut. Meth. Integral Equat. Theory and
Appl. — New York: Academic Press, 1979, 245—256.
Golberg M. A. A survey of numerical methods for integral
equations. — In: Solut. Meth. Integral Equat. Theory and Appl. —
New York: Academic Press, 1979, 1—58.
G о 1 d f i n e A. An algorithm for the numerical solution of in-
integro-differential equationss. — BIT, 1972, 12, 578—580.
G о 1 d f i n e A. Tylor series methods for the solution of Volterra
integral equations and integro-differential equations. — Math. Comput.,
1977, 31, 691—707.
Grace S. R., L a 1 1 i B. S. Asymptotic behaviour of certain
second order integro-differential equations. — J. Math. Anal, and Appl.,
1980, 7§, № 1, 84—90.
Gregory J. An oscillation theory for second-order integral
differential equations.—J. Math. Anal, and Appl., 1974, 47, 69—77.
Grimmer R. C, Miller R. K. Existence, uniqueness, and
continuity for integral equations in a Banach space. — J. Math. Anal,
and Appl., 1977, 57, 429—447.
Grimmer R. C, Seifert G. Stability properties of Vol-
Volterra integro-differential equations.—J. Different. Equat., 1975, 19,
142-166.
Grip enberg G. Integrability properties of resolvents of Vol-
Volterra equations. — Reports—HTKK—MAT—A117, Helsinki Univ. of
Technology, 1978.
Gripenberg G. On positive, nonincreasing resolvents of
Volterra equations. — J. Different. Equat., 1978, 30, 380—390.
Gripenberg G. An existence result for a nonlinear Volterra
integral equation in Hilbert space. — SI AM J. Math. Anal., 1978, 9,
793—805.
Gripenberg G. Bounded solutions of a Volterra equation. —
J. Different. Equat., 1978, 28, 18—22.
Gripenberg G. On a nonlinear Volterra integral equation
in a Banach space.—J. Math. Anal, and Appl., 1978, 66, 207—219.

284 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Gripenberg G. On a frequency domain condition used In the
theory of Volterra equations. — SIAM J. Math. Anal., 1979, 10, 839—
843.
Gripenberg G. On an abstract integral equation. — SIAM
J. Math. Anal., 1979, 10, 1817—1021.
Gripenberg G. @n the boundedness of solutions of Volterra
equations. — Indiana Univ. Math. J., 1979, 28, 279—290.
Gripenberg G. An abstract nonlinear Volterra equation. —
Isr. J. Math., 1979, 34, № 3, 198—212.
Gripenberg G. On the asymptotic behavior of resolvents of
Volterra equations. — SIAM J. Math. Anal., 1980, 11, № 4, 654—662.
Gripenberg G. On nonlinear Volterra equations with non-
integrable kernels. — SIAM J. Math. Anal., .1980, 11, № 4, 668—682.
Gripenberg G. On the resolvents of Volterra equations with
nonincreasing kernels. — J. Math. Anal, and Appl. 1980, 76, № 1, 134—
145.
Grossman S. I. Existence and stability of a class of nonlinear
Volterra integral equations. — Trans. Amer. Math. Soc, 1970, 150,
541—656.
Grossman S. Pfcriodicite finale des systemes integro-differen-
tiels de Volterra. — Rev. Roum. Math. Pures et Appl., 1973, 18, 665—
671.
Grossman S. Integrability of resolvents of certain Volterra
integral equations. — J. Math. Anal, and Appl., 1974, 48, 785—793.
Grossman S. Some notes on the resolvents of Volterra integral
equations. — Lecture Notes in Math., 1979, N* 737, 88—91.
Grossman S., Miller R. K. Perturbation theory for Vol-
Volterra integro-differential systems. — J. Different. Equat., 1970, 8, 457—
474.
Grossman S., Miller R. K. Nonlinear Volterra integro-
differential systems with ^-kernels. — J. Different. Equat., 1973, 13,
551—556.
Groh J. A nonlinear Volterra — Stiltjes integral equation and
a Gronwall inequality in one dimension. — Illinois J. Math., 1980, 24,
№ 2, 244—263.
Grundy R. E. On the solution of nonlinear Volttrra integral
equations using two-point rational approximants.—J. Inst. Math, and
Appl. 1978, 22, 317—320.
Grundy R. E. The solution of Volterra integral equations of
the convolution type using two-point rational approximants. —J. Inst.
Math, and Appl., 1978, 22, 147—158.
G u e n t e г N. M. Sur les problemes des fBelastete Integralglei-
chungtm. — Studia Math., 1933, 4, 8—14.
Qutmin R. L., M i с h t 1 А. Ы, Stability of interconnected
systems described by stochastic nonlinear Volterra integral equations. —
SIAM J. Math. Anal., 1979, 10, 217—236.
Guzek J.A., Kemper G. A. A new error analysis for a cubic
spline approximation solution of a class of Volterra integro-differential
equations. — Math. Comput., 1973, 27, 663—570.
H a 1 a n а у A. On the asymptotic behavior of the solutions of
an integro-differential equation. — J. Math. Anal, and Appl., 1965, 10,
319—324.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАВОТ 885
Hammerstein A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst
Anwendungen. — Acta Math., 1930, 64, 117—176.
Handelsman R. A., Olmstead W. E. Asymptotic solu-
solution to a class of nonlinear Volterra integral equations. — SI AM J. Appl
Math. 1972, 22, 373—384.
Hannsgen К. В. Indirect abelian theorems and a linear Vol-
Volterra equation. — Trans. Amer. Math. Soc, 1969, 142, 639—666.
Hannsgen К. В. A Volterra equation with completely mono-
tonic convolution kernel. — J. Math. Anal, and Appl., 1970, 81, 469—
471.
Hannsgen К. В. A Volterra equation with parameter. — SI AM
J. Math. Anal., 1973, 4, 22—30.
Hannsgen К. В. A Volterra equation la Hilbert spact. —
SIAM J. Math. Anal., 1974, 5, 412—416.
Hannsgen К. В.А linear Volterra equation in Hilbert space. —
SIAM J. Math. Anal., 1974, 6, 927—940.
Hannsgen K. 6. Uniform boundedness in a class of Volterra
equations. — SIAM J. Math. Anal., 1975, 6, 689—697.
Hannsgen K. B. The resolvent kernel of an integro-differen
tial equation in Hilbert space. — SIAM J. Math. Anal., 1976, 7, 481—
490.
Hannsgen K. B. — Uniform L1 behavior for an integro-dif-
ferential equation with parameter. — SIAM J. Math. Anal., 1977, 8,
626—639.
Hannsgen K. B. An L1 remainder theorem for an integro-dif-
ferential equation with asymptotically periodic solution. — Proc. Amer.
Math. Soc, 1979, 73, 331—337.
Hannsgen К. B. An integro-differential equation with Para-
Parameter. — Lecture Notes ia Math., 1979, JSfe 737, d2—§8.
Hannsgen К. В., ShHtpsky C. A boundedness theo-
theorem for Volterra equations. — J. Differ. Equat., 1971, 10, 378—387.
Hans ion F. В., К lints A., Ramanathan G. V.,
$ a u d r i G. Uniformly valid asymptotic solution to a Volterra equa-
equation on an infinite interval. — J. Math. Phys., 1973, 14, 1592—1600.
H e i к к i 1 a* S. On the method of successive approximations for
Volterra integral equations. —Anal. Acad. Sci. Fennicae, 1976, 3«r. Al,
1, 39-47.
Hendry W. L. A Volterra integral equation of the first kind. —
J. Math. Anal, and Appl., 1976, 54, 266—Я78.
U e.r d m a n T. L., В u г n s J. A. Functional differential taxa-
taxations with discontinuous right hand side. — Lecture Notes in Math.,
1979, № 737, 99—106.
H с u s e r H. Funktionalanalysis. — Stuttgart; B. G. Teubner,
1975.
Hochstadt H. Integral equations. — Ntw York: John Wiley —-
Interscience, 1973.
H б n i g C. S. Volterra—5tielt]ee integral equations with linear
constraints and discontinuous solutions. ¦— Bull. Amer. Math. Soc., 1975,
81, 693-698.
H б n i g С S. Volterra—Stilties integral equations: functional
flytic methods; linear constraints. ¦— Amsterdam: North-Holland,
analyt

286 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Н 5 n i g С. S. Volterra—Stieltjes integral equations. — Lecture
Notes in Math., 1980, № 799, 173—216.
Hock W. Asymptotische Entwicklungen bei Mehrschrittverfahren
zur numerischen Behandlung von Volterra-Integralgleichungen 2. Art.
Dissertation, Wtirzburg, 1978.
Hock W. Asymptotic expansions for multistep methods applied
to nonlinear Volterra integral equations of the second kind. — Numer.
Math., 1979, 33, 77—100.
H о 1 у h e a d P. A. W. Direct methods for the numerical solution
of Volterra integral equations of the first kind. Ph. Doct. thesis, Uni-
University of Southampton, 1976.
H о 1 у h e a d P. A. W., M с К в в S. Stability and convergence
of multistep methods for linear Volterra integral equations of the first
kind. — SIAM J. Numer. Math., 1976, 13, 269—292.
H о 1 у h e a d P. A. W., M с К e e S., Taylor P. J. Multi-
step methods for solving linear Volterra integral equations of the first
kind. — SIAM J. Numer. Anal., 1975, 12, 698—711.
H о о g F. d e, W e i s s R. On the solution of Volterra integral
equations of the first kind. — Numer. Math., 1973, 21, 22-^32.
Hoog F. de, Weiss R. High order methods for Volterra inte-
integral equations of the first kind. — SIAM J. Numer. Anal., 1973, 10,
647—664.
Hoog F. de, Weiss R. High order methods for a class of Vol-
Volterra integral equations with weakly singular kernels. — SIAM J. Nu-
Numer. Anal., 1974, 11, 1166—1180.
Hoog F. de, Weiss R. Implicit Runge — Kutta methods for
second kind Volterra integral equations. — Numer. Math., 1975, 23,
199—213.
H о u w e n P. J. v a n d e r. On the numerical solution of Vol-
Volterra integral equations of the second kind, I. Stability.—Mathem.
Centrum Amsterdam, Afdel. Nuir.er. Wiskunde; 1977, Report NM
42/77.
Houwen P. J. van der. Convergence and stability analysis
of Runge — Kutta type methods for Volterra integral equations of the
second kind. — Math. Centrum Amsterdam, Afdel ing Numer. Wis-
Wiskunde, 1980, NW 83/80, 1—15.
Houwen P. J. van der, В 1 о m J. G. On the numerical
solution of Volterra integral equations of the second kind, II. Runge —
Kutta methods. — Math. Centrum Amsterdam, Afdel. Numer. Wiskunde,
1978, NW 61/78, 1—30.
Houwen P. J. v a n der, Те R i e 1 e H. J. J. Backward
differentiation formulas for Volterra integral equations of the second
kind, I. Convergence and stability. — Math. Centrum Amsterdam, Afdel.
Numer. Wiskunde, 1977, Report NW 48/77.
Houwen P. J. van d e r, W о 1 к e n f e 11 P. H. M. On the
stability of multistep formulas for Volterra integral equations of the
second kind. — Math. Centrum Amsterdam, Afdel. Numer. Wiskunde,
1978, Report NW 59/78, 1—18.
I g 1 i s с h R. Existenz und Eindeutigkeitssatz bei Nlchtlinearen
Integralgleichungen. — Math. Anal., 1933, 108, 161—189.
I z e F. On an asymptotic property of a Volterra integral equa-
equation. — Proc. Amer. Math. Soc., 1971, 28, 93—99.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 287
'Jackiewicz Z. Convergence of multistep methods for Vol-
terra functional differential equations. — Numer. Math., 1979, 32, 307—
332.
Jackiewicz Z., Kwapisz M. Convergence of multistep
methods for Volterra integro-differential equations. — Inst. of Math.,
University of Gdansk, 1978, Report 7.
Jordan G. S. A nonlinear singularly perturbed Volterra integro-
differential equation of nonconvolution type. — Proc. Roy. Soc. Edin-
Edinburgh, 1978, A80, 235--247.
Jordan G. S. Asymptotic stability of a class of integro-differen-
integro-differential systems. — J. Different. Equat., 1979, 31, 359—365.
Jordan G. S. Some nonlinear singularly perturbed Volterra
integro-differential equations. — Lecture Notes in Math., 1979, № 737,
103—119.
Jordan G. S., Wheeler R. L. A generalization of the Wie-
Wiener—Levy theorem applicable to some Volterra equations. — Proc.
Amer. Math. Soc, 1976, 57, 109—114.
Jordan G. S., Wheeler R. L. Structure of resolvents of
Volterra integral and integro-differential systems. — SI AM J. Math.
Anal., 1980, 11, № 1, 119—132.
К a g i w a d a H., К a 1 a b a R. Imbedding methods for integral
equations with applications. — In: Solut. Math. Integral Equat. Theory
and Appl. — New York: Academic Press, 1979, 195—223.
Kanazawa T. On a non-linear Volterra integral equation with
singular kernel. —Proc. Japan. Acad., 1971, 47, 921—924.
Kanwal Ram P. Linear integral equations; theory and tech-
technique.— New York: Academic Press, 1971.
Kaplan J. L. On the asymptotic behavior of Volterra integral
equations. — SIAM J. Math. Anal., 1972, 3, 148—156.
Kartsatos A. Existence of solutions of heavily nonlinear
Volterra integral equations. — Hiroshima Math. J., 1973, 3, 243 —
249.
Kartsatos A. Existence of bounded solutions and asymptotic
relationships for nonlinear Volterra integral equations. — Math. Syst.
Theory, 1975, 8, 266—275.
Kartsatos A., Saff E. B. Hyperpolynomial approximation
of solutions of nonlinear integro-differential equations. — Pacific J. Math.,
1973, 49, 117—125.
Kartsatos A.,Zigler W. R.Ona new method for studying
the stability of Volterra integral equations. — Rend. R. Accad. dei
Lincei, 1974, 56, 22—29.
К a t о T. Perturbation theory for linear operators. — New York
Springer, 1966.
К e 1 1 e у W. G. A Kneser theorem for Volterra integral equa-
equations. — Proc. Amer. Math. Soc, 1973, 40, 183—190.
К i f f e T. R. On nonlinear Volterra equations of nonconvolution
type. — J. Different. Equat., 1976, 22, 349—367.
К i f f e T. R. A Volterra equation with a nonconvolution kernel
SIAM J. Math. Anal., 1977, 8, 938-949.
К i f f e T. R. The asymptotic behavior of bounded solutions of
a nonconvolution Volterra equation. — J. Different. Equat., 1979, 31,
99—108.

288 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
К i f f е Т. R., S t е с h e г М. Existence and uniqueness of solu-
solutions to abstract Volterra Integral equations. — Proc. Amer. Math. Soc.,
1978, 68, 169—175.
Kiffe T. R., Stecher M. A caracterization of the range
of a nonlinear Volterra integral operator. — In: Nonjinear Equat. Abstr.
Spaces. — New York, 1978, 365—374.
Kiffe T. R., Stecher M. L2 solutions of Volterra integral
equations.—SIAM J. Math. Anal., 1979, 10, 274—280.
Kiffe T. R., S t e с h e r M. An abstract Volterra integral equa-
equation in a reflexive Banach space. — J. Different. Equat., 1979, 34, № 2,
303—325.
Kiffe T. R., S t e с h e г М. Properties and applications of the
resolvent operator to a Volterra integral equation in Hilbert space. —
SI AM J. Math. Anal., 1980, II, № 1, 82—91.
К о b а у a s i M. On the numerical solution of Volterra integral
equations of the second kind by linear multistep methods. — Rep. Stat.
Appl. Res., Union Japan Sci. Engrs, 1966, 13, 1—21, 101—137.
К о b а у a s i M. On the numerical solution of Volterra integral
equations of the first kind by the trapezoidal rule. — Rep. Stat. Appl. Res.
Union Japan Sci. Engrs, 1967, 14, 1—14.
Kolmogoroff A. Sulla teoria di Volterra della lotta per
l'esistenza. — Giorn. 1st. Ital. Attuar., 1936, 7, 74—80.
К о s t i t z i n V. A. Symbiose, parasitisme et evolution. — Paris,
Hermann, 1934.
Krivocheine L. E. Sur un probleme a la frontiere pour les
equations integro-differentielles non lineair de Mangeron. *— Bull. Cl.
Sci. Acad. Roy. Belg., 1973, 59, 332—340.
Krivocheine L. E., Mangeron D., О g u 11 5 г e 1 i M.N.
Studi concernanti certe estensioni delle equazionf integro-differenziali
di Volterra, I. Problemi di valori iniziali. -^ Rend. R. Accad. dei Lin-
cei, 1973, 54, 187—192.
Krivocheine L. E., Leung K. V., Mangeron D.,
О g u z t б г e 1 i M. N. Sur une nouvelle extension du probleme de
Cauchy pour certain systemes integro-differenitelle non lineaires. — Bull.
Acad. Roy. Belgique, Cl. Sci., 1974, E) 60, 28—36.
Krivocheine L. E., Mangeron D., 0guzt6reli
M. N., R о s s i F. S. Studi concernanti certe estensioni delle equazioni
integrali ed integro-differenziali di Volterra. II. —- Rend. R. Accad.
dei Lincei, 1973 A974), 54, 860—864.
Krivocheine L. E., Mangeron D., Oguztore-
li M. N., Voinea R. P. Etudes de certaines extensions des equations
integro-differentielles de Volterra. III. Extension du probleme de valeurs
initiates. — Bull. Soc. Roy. Sci. Liege, 1974, 43, 9—13.
Krivocheine L. E., Leung K. V., Mangeron D.,
Oguzt6reli M. N. Etudes de certaines extensions nouvelles des
equations integro-differentielles non lineaires de Volterra. IV. Extension
du probleme de valeurs initiales. — Bull. Soc. Roy. Sci. Liege, 1974,
43, 14—19.
Kumar I. ?. On the asymptotic solution of a nonlinear
Volterra integral equation. — Proc. Roy. Soc. London, 1971, 324,
45-61.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Kumar She о. On a method of Noble for second kind Volterra
integral equations. — BIT, 1979, 19, № 4, 482—488.
Kung F. С, С h e n S. Y. Solution of integral equations using
a set of block pulse functions. — J. Franklin Inst., 1978, 306, 283—291.
Kurihara M. On approximate solutions of nonlinear Volterra
integro-differential equations in Chebyshev series. — Memoirs of Nu-
mer. Math., 1978, № 5, 33—72.
Laird P. G. Multidimensional Volterra integral equations of
convolution type. — J. Austral. Math. Soc, 1979, A27, 305—312.
Lakshm ikantham V. Existence and comparison results
for Volterra integral equations in a Banach space. — Lecture Notes
in Math., 1979, № 737, 120—126.
L a u d e t M., Oules H. Sur l'integration numerique des equa-
equations integrates du type de Volterra. — In: Symposium on the numeri-
numerical treatment of ordinary differential equations, integral and integro-
differential equations. —Basel: Birkhauser Veflag, 1960, 117—-121.
Lee C. F. Optimization of control systems described by Volterra
integral equations. Bui. Inst. Politehn. Jasi, 1973, Sec. la, 19, 97 —
100.
Lehmann N. J. Bemerkungen zu einer Klasse polarer Integro-
Differentialgleichungen. — Math. Nachr., 1953, 9, 45—50.
Leitman M. J., Mizel V. J. Hereditary laws and nonlinear
integral equations on the line. — Advances in Math., 1976, 22, 220—
266.
Leitman M. J.? Mizel V. J. Asymptotic stability and the
t
periodic solutions of x (i) + J a (t — s) g (s, x (s)) dx = / (Q. — J. Math.
Anal, and Appl., 1978, 66, 606—625.
Leung K. V., Ma nger on D., О g u z t б г e 1 i M. N.,
Stein R. B. On a class of non-linear integro-differential equations,
III. Bull. Cl. Sci. Acad. Roy. Belg., 1973, 59, 492—499.
Levin J. J. The asymptotic behavior of the solutions of a Vol-
Volterra equation. — Proc. Amer. Math. Soc, 1963, 14, 534—541.
Levin J. J. The qualitative behavior of a nonlinear Volterra
equation. — Proc. Amer. Math. Soc, 1965, 16, 711—718.
Levin J. J. A nonlinear Volterra equation not of convolution
type. — J. Different. Equat., 1968, 4, 176—186.
Levin J. J.-Ona nonlinear Volterra equation. ** Lecture Notes
in Math., 1971, № 243, 66—75.
Levin J. J. On a nonlinear Volterra equation. — J. Math. Anal,
and Appl. 1972, 39, 458—476.
Levin J. J. A bound on the solutions of a Volterra equation.
Arch. Ration. Mech. and Anal., 1973, 52, 339—349.
Levin J. J. Resolvents and bounds for linear and nonlinear Vol-
Volterra equations. — Trans. Amer. Math. Soc, 1977, 228, 207—222.
Levin J. J. Some a priori bounds for nonlinear Volterra equa-
equations. — SIAM J. Math. Anal., 1976, 7, 872—897.
Levin J. J. On some geometric structures for integro-differen-
integro-differential equations. — Advances in Math., 1976, 22, 146—186.
Levin J. J. Resolvents and bounds for linear and nonlinear Vol-
Volterra equations. — Trans. Amer. Math. Soc, 1977, 228, 207—222.

290 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Levin J. J. On the asymptotic behavior of solutions of integral
equations. — Lectures Notes in Math., 1979, № 737, 137—148.
Levin J J. Nonlinearly perturbed Volterra equations. Tohoku
Math. J., 1980, 32, № 2, 317—335.
Levin J. J., Nohel J. A. On a system of integro-differential
equations occuring in reactor dynamics, I. — J. Math, and Mech., 1960,
9, 347—368.
Levin J. J., Nohel J. A. On a system of integro-differential
equations occuring in reactor dynamics, II. — Arch. Ration. Mech. and
Anal., 1962, 11, 210—243.
Levin J. J., Nohel J. A. Perturbations of a nonlinear Vol-
Volterra equation. —Michigan Math. J., 1965, 12, 431—447.
Levin J. J., S h e a D. F. On the asymptotic behavior of some
integral equations, I, II, III. J. Math. Anal, and Appl., 1972, 37, 42—
82, 288—326, 537—575.
Levinson N. A nonlinear Volterra equation arising in the
theory of superfluidity. — J. Math. Anal, and Appl., 1960, 1, 1—11.
Levy P. Sur les equations integrates non lineares. — C. R. Acad.
Sci. Paris, 1910, 150, 899—901.
Lew J. S. On linear Volterra integral equations of convolution
type. — Proc. Amer. Math. Soc, 1972, 35, 450—456.
Lichtenstein L. Vorlesungen tiber einige Klassen nicht-
linearer Integralgleichungen und Integro-differentialgleichungen nebst
Anwendungen.—Berlin, Springer, 1931.
Lima A. C. Asymptotic equivalence of Volterra integral equa-
equations. — Acta Fac. Rerum. Natur. Univ. Comen. Math., 1977 A978),
33, 19—33.
Ling R. Uniform approximations to integral and integro-diff-
rential equations. — J. Math. Phys., 1978, 19, 1137—1140.
Ling R. Integral equations of Volterra type. — J. Math. Anal,
and Appl., 1978, 64, 381—397.
L i n z P. The numerical solution of Volterra integral equations
by finite difference methods. — MRC Summary Report 825, 1967.
Linz P. Numerical methods for Volterra integral equations with
applications to certain boundary-value problems. — Ph. Doct. thesis,
Univ. of Wisconsin, Madison, 1968.
Linz P. A method for solving nonlinear Volterra integral equa-
equations of the second kind. —Math. Comput., 1969, 23, 595—599.
Linz P. Numerical methods for Volterra integral equations with
singular kernels. — SIAM J. Numer. Anal., 1969, 6, 365—374.
Linz P. Numerical methods for Volterra integral equations of
the first kind. —Comput. J., 1969, 12, 393—397.
Linz P. Linear multistep methods for Volterra integro-differen-
integro-differential equations. — J. Assoc. Comput. Mach., 1969, 16, 293—301.
Linz P. Product integration methods for Volterra integral equa-
equations. — BIT, 1971, 11, 413—421.
Lions I. Supports de produits composition. —G. R. Acad. Sci.
Paris, 1951, 232, 1530—1532, 1622—1624.
Lodge A. S., M с L e о d J. В., Nohel J. A. A nonlinear
singularly perturbed Volterra integro-differential equation occuring in
polymer rheology. — Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1978, A80, 99—
137.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 291
Logan J. E. The approximate solution of Volterra integral equa-
equations of the second kind. Ph. Doct. thesis, Univ of Iowa, Iowa City, 1976.
L о n d e n S. O. The qualitative behaviour of the solutions of a
nonlinear Volterra equation. — Michigan Math. J., 1971, 18, 321—
330.
L о n d e n S. O. On the asymptotic behaviour of the solution of
a nonlinear integro-differential equation. — SIAM J. Math. Anal., 1971,
2, 366—367.
L о n d e n S. O. On the solutions of a nonlinear Volterra equa-
equation.—J. Math. Anal, and Appl., 1972, 39, 564—573.
L о n d e n S. O. On the asymptotic behavior of the solution of
a nonlinear Volterra equation. —Annali di Mat. Рига ed Appl., 1972,
93, 263—269.
L о n d e n S. O. An existence result on a Volterra equation in a
Banach space. Techn. Summary Rep. 1558, MRC, Univ. of Wisconsin,
Madison, 1975.
L о n d e n S. O. On an integro-differential Volterra equation with
a maximal monotone mapping. Report HTKK-MAT-A 89, Helsinki,
1976.
L о n d e n S. O. On an integral equation in a Hilbert space. —
SIAM J. Math. Anal., 1977, 8, 950—970.
L о n d e n S. O. An existence result on a Volterra equation In
a Banach space. — Trans. Amer. Math. Soc, 1978, 235, 285—305.
L о n d e n S. O. On the asymtotics of a nonlinear scalar Volterra
integro-differential equation. —Lectures Notes in Math., 1979, № 737,
149—172.
L о n d e n S. O. On a Volterra integro-differential equation with
L°°-perturbation and noncountable zero-set of the transformed kernel. —
J. Integral Equat., 1979, 1, № 4, 275—280.
L о n d e n S. O. Sur une equation integrate du type Volterra non-
lineare — Anal. <>tiin. Univer. Ja?i, 1979, Sec. la, 25, 287—295.
Londen S. O., Staffans O. J. A note on Volterra equations
in a Hilbert space. — Proc. Amer. Math. Soc, 1978, 70, 57—62.
Londen S. O.,Staffans O. J. Editors, Volterra Equations. —
Proc. Helsinki Sympos. on Integral Equations, Otaniemi, Finland,
August 11—14, 1978, Lecture Notes in Math., № 737. —Berlin: Sprin-
Springer, 1979.
Lowell L. D. Eventual perturbations of Volterra integral equa-
equations. — Boll. Unione Mat. Hal., 1973, 7, 494—500.
L us i s A. J. Sur la recherche des fonctions permutables de pre-
premiere espece avec une fonction donnee. — Rendiconti R. Accad. dei
Lincei, 1930, 11, 166—169.
Lusis A. J. Sur la recherche des fonctions permutables de pre-
premiere espece. —Ann. Fac. Sci. de Toulouse, 1930, 22, 171—184.
Lusis A. J. Sur le probleme fondamental de la theorie des fon-
fonctions permutables. — Acta Univ. Latv., Math., 1938, C) 5, 125—
194.
MacComy R. C. Nonlinear Volterra equations on a Hilbert
space.—J. Different. Equat., 1974, 16, 373—393.
MacComy R. C. Remarks on frequency domain methods for
Volterra integral equations. — J. Math. Anal, and Appl., 1976, 56,
666-575.

29J БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
MacComy R. С. An integro-differential equation with applica-
application in heat flow. — Quart. Appl. Math., 1977, 35, 1—19.
MacComy R. C, M i z e 1 V. J. Nonlinear vector-valutd here-
hereditary equations on the line. — Lecture Notes in Math., 1979, № 737,
206—219.
MacComy R. C, Smith R. L. Limits of solutions of non-
nonlinear Volterra equations. — Applic. Anal., 1977, 7, 19—27.
MacComy R. C, Weiss Ph. Numerical approximations for
Volterra integral equations. — Lecture Notes in Math., 1979, M 737,
173—191.
M a e d a H. Stability considerations for a Volterra integral equa-
equation with discontinuous nonlinearity. — SIAM J. Contr., 1973, 11,
202—214.
Makroglou Athena. Numerical solution of Volterra in-
tegrodifferential equations. — Ph. D. Thesis. Univers. of Manchester,
Manchester U. K., 1977.
Makroglou Athena. Convergence of block-by-block method
for nonlinear Volterra integro-differential equations.—Math. Cornput,
1980, 35, № 151, 783—796.
M a 1 i n a L. A-stable methods of high order for Volterra integral
equations. — Aplikace Matematiky, 1975, 20, 336—344.
Malinowski H., Smarzewski R. A numerical method
for solving the Abel integral equation.—Zastosow. Matem., 1978, 16,
№ 2, 275—281.
Malinowski H., Smarzewski R. Determination of the
solution of Abel integral equations. II. — Zastosow. Matem., 1980, 16,
X8 4, 657—663.
Malinowski H., Smarzewski R. Determination of the
solution of Abel integral equations. III. — Zastosow. Matem., 1980,
16, JNIb 4, 665—670.
Maraval Casesnoves D. Nuevos tipos de ecuaciones dif-
ferenciales e integro-differenciales. Nuevos fenomenos de oscillacion. —
Rev. Real. Acad. Cienc. exact, fis. у natur. Madrid. 1956, 60, 287 —
435.
M a n g e г о n D., C>vg u z t б r e 1 i M. N.. К г i v о s h • i n L. E.
Nouvelles extensions des equations integro-differtntieUgs non liniaires
de Volterra, I. — Problemes des valeurs initial».—Monatsh. Math.,
1973, 77, 404—410.
Manougian M. N.t Wanamaktr W. M. On Volttrra's
integral equation. — Rend. R. Accad. del Lincti, 1971, 50, 104—107.
Matthys J. A stable linear multistep methods for Volterra
integro-differential equations. — Numer. Math., 1976, 27, 85—94.
M a z i 1 u P. Semi-discretization method for the numerical solving
of Volterra integral equations. — In: Proc. Inttm. Symp. Appl. Math.
Syst. Theory, Brasov, 1978. — Brasov, 1979, v. 2, 245—253.
McDermott T. 8. Successive approximations in ordered vector
spaces and global solutions of nonlinear Volterra integral equations. —
Trans. Amer. Math. Soc, 1972, 165, 57—64.
M с К e e S. Cyclic multistep methods for solving Volterra integro-
differential equations. — SIAM J. Numer. Anal., 1979, 16, 106—114.
M с К • • S. Best convergence rates of linear multistep methods
for Volterra first kind equations. — Computing, 1979, 21, 343—368.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 293
Miller R. К. On Volterra's population equation. — SI AM J.
Appl. Math., 1966, 14, 446—452.
Miller R. K. Asymptotic behavior of solutions of nonlinear
Volterra equations. — Bull. Amer. Math. Soc, 1966, 72, 163—156.
Miller R. K. On the linearization of Volterra integral equa-
equations.—J. Math. Anal, and Appl., 1968, 23, 198—208.
Miller R. K. On Volterra integral equations with nonnegative
integrable resolvents. — J. Math. Anal, and Appl., 1968, 22, 319—340.
Miller R. K. Nonlinear Volterra integral equations. — Menlo
Park, California, W. A. Benjamin, 1971.
Miller R. K. Almost-periodic behavior of solutions of a nonlinear
Velterra system. — Quart, of Appl. Math., 1971, 28, 553—570.
Miller R. K. Asymptotic stability properties of linear Volterra
integro-differential equations. — J. Different. Equat., 1971, 10, 485—
606.
Miller R. K. Some Volterra integral equations of growth type. —
6th Int. Conf. Nonlinear Oscillations, Poznan, 1972. — Warsaw, 1972,
92—93.
Miller R. K. Asymptotic stability and perturbations for linear
Volterra integro-differential systems. In: Delay and Functions Differen-
Differential Equations and Their Applications. — New York. Academic Press,
1972, 257—268.
Miller R. K. Linear Volterra integro-differential equations as
semigroups. — Funk. Ekvac, 1974, 17, 39—55.
Miller R. K. Structure of solutions of unstable linear Volterra
integro-differential equations. — J. Different. Equat., 1974, 15, 129—157.
Miller R. K. Some Volterra integral equations of growth rate
type. — Zag. drgan nielin., 1974, 15, 125—137.
Miller R. K. Linear Volterra integro-differential equations as
semi-groups. — Funk. Ekvac, 1974, 17, 35—51.
Miller R. K. Volterra integral equations in Banach tpace. —
Funk. Ekvac. 1975, 18, 163—193.
Miller R. K. Well posedness of abstract Volterra problems. —
Lecture Notes in Math., 1979, № 737, 192—205.
Miller R. K-, F e 1 d s t e i n A. Smoothness of solutions of
Volterra integral equations with weakly singular kernels. — SIAM
J. Math. Anal., 1971, 2, 242—258.
Miller R. K., Michel A. N. Instability and instability of
large scale systems described by integro-differential equations. — SiAM
J. Math. Anal., 1977, 8, 547—557.
Miller R. K., Michel A. N. Stability of linear Volterra
integro-differential equations of order n. — SIAM J. Math. Anal., 1979,
10, 1089—1091.
Miller R. K., Nohel J. A., Wong J. S. W. Perturbations
of Volterra integral equations. — J. Math. Anal, and Appl., 1969, 26,
676—691.
Miller R. K., Sell Q. R. Volterra integral equations and
topological dynamics. — Mem. Amer. Math. Soc, Providence, 1970,
№ 102.
Miller R. K., Wheeler R. L. Asymptotic behavior for
a linear Volterra integral equation in Hilbert space. — J. Different
Equat., 1977, 23, 270—284.

294 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Miller R. К., Wheeler R. L. Well-posedness and stability
of linear Volterra integro-differential equations in abstract spaces. —
Func. Ekvac, 1978, 21, 279—305.
Micula M., Micula G. Sur la resolution numerique des
equations integrates du type de Volterra de second espece a l'aide des
fonctions splines. — Studia Univ. Babe§-Bolyai, ser. Math., Mech.,
1973, № 2, 64—68.
Micula G. The numerical solution of Volterra integro-differential
equations by spline functions. — Revue Roumaine de Math, pures et
Appl., 1975, 20, 341-258.
Micula G. Numerische Behandlung der Volterra Integralglei-
chungen mit Splines. — Stud. Univ. Babes.-Bolyai., ser. Math. 1979,
24, № 2, 46—54.
Mocarsky W. L. Convergence of step-by-step methods for
linear integro-differential equations, J. Inst. Math, and Appl., 1971,
8, 235—239.
Morchato J а г о s I a w. Integral inequalities for Volterra
equation in the Banach space with cone. — Demonstr. Math., 1979, 12,
№ 3, 705—715.
M u 1 1 e г G. О. Zum asymptotischen Verhalten von Volterra-und
Fredholmintegralgleichungen. — Arch. Math. 1979, 32, 200—208.
Nagy J., Novakovu E. Concerning resolvent kernels of
Volterra integral equations.— Comment. Math. Carol., 1971,12,737—752.
Nakarigi Shin-ichi. Oscillator! property for Volterra
integro-differential equations of higher order. — Math. Semin. Notes
Kobe Univ., 1978, 6, 537—544.
Nakagiri S., Murakami H. Approximate solutions for
some non-linear Volterra integral equations. — Proc. Japan Acad., 1974,
60, 212—217.
Nakagiri S., Murakami H. Kneser's property of solution
families of non-linear Volterra integral equations. — Proc. Japan Acad.,
1974, 50, 296—300.
Nelson W. Existence, uniqueness and stability of solutions to
Chandrasekhar's integro-differential equation for X and Y functions. —
J. Math. Anal, and Appl., 1972, 37, 580—606.
Netravali A. N. Spline approximation to the solution of the
Volterra integral equation of the second kind. — Math. Comput., 1973,
27, 99—106.
Noble B. The numerical solution of nonlinear integral equations
and related topics. — In: Nonlinear integral equations. Edit, by P. M. An-
selone. — Madison: Univ. of Wisconsin Press, 1964, 215—318.
Noble B. Instability when solving Volterra integral equations
of the second kind by multistep methods. — Lecture Notes in Math.,
1969, № 101, 23—39.
Nohel J. A. Some problems in nonlinear Volterra integral equa-
equations. — Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, 323—329.
Nohel J. A. Asymptotic relationships between systems of Vol-
Volterra equations. — Annali di Mat. Рига ed Appl., 1971, 90, 149—165.
Nohel J. A. Perturbations of Volterra equations and admissibi-
lity. — Lecture Notes in Math., 1971, № 243, 40—53.
Nohel J. Asymptotic equivalence of Volterra equations. — Annali
di Mat. Рига ed Appl., 1973, 96, 339—347.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 295
N о h е 1 J. A. A nonlinear hyperbolic Volterra equation. — Lecture
Notes in Math., 1979, JNIb 737, 220—235.
N о h e 1 J. A. A nonlinear singularly perturbed Volterra functio-
functional differential equation. — Lecture Notes in Math., 1979, № 730, 265—
282.
N о h e 1 J. A., Shea D. F. On the global behavior of a nonlinear
Volterra equation. — In: International Conference of Different Equat. —
New York. Academic Press, 1975, 580—594.
Nohel J. A., Shea D. F. Frequency domain methods for Vol-
Volterra equations. — Advanced in Math., 1976, 22, 278—304.
Numerische Behandlung von Integralgleichungen. — Tagungsber.
Math. Forschungsinstit. Oberwolfach, 1979, № 48, 1—19.
Oguztoreli M. N. On an extension of an integral equation con-
considered by Volterra and Picone. — Rend. R. Accad. dei Lincei, 1972
A973), 53, 368—375.
Oldham К. В., Spanier J. The fractional calculus. — New
York: Academic Press, 1974.
Olmstead W. E., Handelsman R. A. Asymptotic solu-
solution to a class of nonlinear Volterra integral equations. — SIAM J. Appl.
Math., 1976, 30, 180—189.
Orlando L. Sopra alcune equazione integrali. — Rend. R.
Accad. dei Lincei, 1907, B) 16, 601—604.
Orlando L. Sulle equazioni integrali. — Giornale di Battag-
lini, 1908, 46, 173—196.
Pachpatte B. G. Perturbations of nonlinear integro-differen-
tial equations. — Math. Stud., 1972 A974), 40, 292—296.
Pachpatte B. G. Quantitative stability analysis of integro-
differential equations in Banach spaces. — Indian J. Pure and Appl.
Math., 1973, 4, 696—704.
Pachpatte B. G. On the stability problems of difference equa-
equations of the Volterra type. —Math. Stud., 1973 A974), 41, 370—372.
Pachpatte B. G. Boundedness and asymptotic behavior of
perturbed Volterra integro-differential systems. — Math. Stud. 1974
A975), 42, 1—4, 185—188.
Pachpatte B. G. On some integro-differential equations in
Banach spaces. — Bull. Austral. Math. Soc, 1975, 12, 337—350.
Pachpatte B. G. On the stability and asymptotic behavior of
solutions of integro-differential equations in Banach spaces. —J. Math.
Anal, and Appl., 1976, 53, 604—617.
Pachpatte B. G. Perturbations of nonlinear systems of Vol-
Volterra equations, — J. Math, and Phys. Sci., 1976, 10, 295—305.
Pachpatte B. G. Stability and asymptotic behavior of pertur-
perturbed Volterra integral equations. — J. Math, and Phys. Sci., 1976, 10,
519—533.
Pachpatte B. G, Some problems in Volterra integro-differen-
integro-differential equations under a general class of perturbations, J. of MACT, 1976,
9, 115—128.
Pachpatte B. G. Behavioral relationships between two non-
nonlinear integro-differential equations. — Proc. Indian Acad, Sci., 1976,
A83, 219—230.
Pachpatte B. G. Stability of Volterra integral equations under
a general class of perturbations. — Utilitas Math., 1976, 10, 65—75.

296 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАВОТ
Pachpatte В. G. On some nonlinear Volterra in tegro- differen-
differential equations. — Anal. ?tiint. Univ. Ja?i, 1976, Ser. la, 22, 163—160.
Pachpatte B. G. Preservation of stability and asymptotic
behavior of perturbed integro-differential equations in a Banach space. —
Proc. Indian Acad. Sci., 1978, A87, 189—200.
Pachpatte B. G. On the behavior of solutions of a certain class
o! nonlinear integro-differential equations. — Anal. Stiint. Univ. Jasi,
1978, Ser. la, 24, 77—86.
Pachpatte B. G. Comparison theorems for Volterra integral
equations in a Banach space. — Bull. Techn. Univ. Istanbul, 1978, 31,
85—93.
Pachpatte B. G. On some new integral and Integro-differential
inequalities in two independent variables and their applications, J. Dif-
Different. Equat., 1979, 33, 249—272.
Pandit S. G. On Stieltjes — Volterra integral equations. — Bull
Austral. Math. Soc, 1978, 18, 321—334.
Papatheodorou T. S., Jesanis M. E. Collocation met-
methods for Volterra integro-differential equations with singular kernels. —
J. Comput. and Appl. Math., 1980, 6, № 1, 3—8.
P a r о d i M. Sur une propriete des equations integrates de Vol-
Volterra n variables. — C. R. Acad. Sci. Paris, 1950, 230, 2252—2253.
P a r о d i M. Equations de Mathieu et equations integrales de Vol-
Volterra. — С R. Acad. Sci. Paris, 1956, 243, 1006—1007.
Peres J. Sur liquation de Volterra singuliere. — Ann. Scuola
Normale Super, di Pisa, 1936, B) 6, 73—88.
Petsoulas A. G. The approximate solutions of Volterra integ-
integral equations. — J. Approx. Theory, 1975, 14, 152—159.
Piskorek A. Rownania calkowe. — Warszawa; WNT, 1971.
Pogorzelski W. Integral equations and their applications. —
Oxford; Pergamon Press; — Warsaw, Polish Sci. Publishers, 1966.
Рога th G. Storungsrechnung fur lineare Volterrasche Integral-
gleichungen. — Math. Nachr., 1968, 37, 83—98.
P о г a t h G, Ober die praktische Behandlung der mchtlinearen
Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art. — Wiss. Z. Pad. Hochsch
tLiselotte Hermann», Gustrow, Math. — Naturwiss. Fak., 1974, № 2,
76—82.
P о г a t h G. Lineare Volterrasche Integralgleichungen zweiter
Art mit Kernen vom allgemeinen Тур. — Beitr. Numer. Math., 1974,
2, 147—162.
P о г a t h G. Lineare Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art
mit Kernen vom allgemeinen Тур. — Wiss. Schriftenr. Techn. Hochsch.
Karl-Marx-Stadt, 1975, № 2, 357—360.
P о г a t h G. Das Ersatzoperatorenverfahren fur lineare Volter-
Volterrasche. Integralgleichungen zweiter Art. — Beitr. zur Numer. Math.,
1975, 3, 115—130.
P о r a t h G. Eine spezielle Anlaufrechnung ffir lfoeare Volter-
Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art. — Wiss. Z. Pfid. fiochsch. «Lfse-
lotte Hermann», Gustrow, Math. — Naturwiss. Fak. 1978, № 1, 7—12.
Porath G., Tabbert E. Fehlererfassungsmethoden fur Nehe-
rungsl6sungen von linearen Volterraschen Integralgleichungen zweiter
Art. Wiss. Z. Pa*d. Hochsch. «Liselotte Hermann», Gustrow, Math. —
natur wies. Fak., 1977, № 2, 86—46.

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Porath G., Tabbert E. Die Kollokationsmethode ale An-
laufrechnung fur lineare Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art. —
Wiss. Z. Padagog. Hochschule «Liselotte Hermann», Gustrow, Math. —
Naturwiss. Fak., 1978, № 1, 13—16.
Porath G., Tabbert E. Das Tschebyscheffsche Iterations-
verfahren fur lineare Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art. Beitr.
zur Numer. Math., 1979, 7, 83—96.
P о u z e t P. Methode d'integration num'erique des equations inte-
integrates et integro-differentielles du type Volterra de seconde espece. — In:
«Symposion on the Niimer. Treatment of Ordinary Different. Equat.,
Integral and Integro-different. Equat. — Basel: Birkhauser Verlag, 1960,
362—368.
P о u z e t P. Etude, en vue de leur traitment numerique d'equa-
tions integrates et integro-differentielles du type de Volterra pour des
problemes de conditions initiates. Thesis, Univ. Strassbourg, 1962.
P о u z e t P. Etude, en vue de leur traitment numerique des equa-
equations integrales de type Volterra. — Revue Franchise de Traitment de
Г Information, 1963, 6, 79—112.
P о u z e t P. Systemes differentiels, equations integrales et integro-
differentielles. Procedures ALGOL en analyse numerique. — Paris: Edi-
Editions du Centre National de la Recherche Scientifique 1967, 2nd edit.,
1970.
P u z i о Zd, Sur un probleme generalise de Fourier pour un systeme
d'equations integro-differentielles. — Demonstr. Math., 1978, 11, 761—
760.
Raghavendra V., Rama Mohana Rao M. Integral
equations of Volterra type and admissibility theory. — Rev. Roum.
Pure et Appl., 1973, 18, 571—580.
Rail L. B. Resolvent kernels of Green's function kernel» and
other finite-rank modifications of Fredholm and Volterra kernels. —
J. Optimiz. Theory and Appl., 1978, 24, 59—88.
Rail L. B. Resolvent kernels of Green's function kernels and
other finite-rank modifications of Fredholm and Volterra kernels. — In:
Solut. Meth. Integral Equat. Theory and Appl. — New York: Academic
Press, 1979, 257—286.
R a scle M. Sur une equation integro-differentielle non lineaire
issue de la Biologic — J. Different. Equat., 1979, 32, 420—453.
Rao A. N. V. Asymptotic behavior of a class of nonlinear Volterra
integral equations. —Ann. Mat. Рига ed Appl., 1971, 89, 309—320.
Reichert M. Zusammenhang der Fixpunktmenge bei Volterra -
Integraloperatoren in Lo-Raumen.—J. reine und angew. Math., 1978,
299—300, 220—233.
Reichert M. Ober die Fixpunktmenge einer KJasse Vol terra -
scher Integraloperatoren in Banachraumen. —J. reine und angew. Math.
1973, 258, 173—185.
Reneke J. A. Continuity for Stieltjes — Volterra integral equa-
equations. — Rev. Roum. Math. Pures et Appl., 1972, 17, 389—401.
R e n n о 1 e t С L. Abstract nonlinear Volterra integro-differential
equations of nonconvolution type. Thesis, Univ. of Wisconsin, Madison,
1977.
Reuter G. E. H. Ober eine Volterrasche Integralgleichung mit
teial-monotoneum Kern. — Arch. Math., 1966, 7, 59—66,

БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Ross В. Fractional calculus and its applications. — Berlin: Sprin-
Springer, 1976.
Rzepecki B. Some properties oi a nonlinear integral Volterra
equation with deviated argument. — Ann. Pol. Math., 1976, 31, 241—253.
Sato T. Sur l'equation integrate non lineaire de Volterra. — Com-
positio Math., 1953, 11, 271—290.
Schechter M. Principles of functional analysis. — New York:
Academic Press, 1973.
Schiaffino A. A compactness method for a class of semilinear
Volterrra integro-differential equations in Banach space. — Rend. R.
Accad. Lincei, 1976, (8) 61, 222—228.
Schiaffino A. On a Volterra diffusion system. — Boll. Unione
Mat. Ital., 1979, A16, 610—616.
Schmeidler W. Integralgleichungen mit Anwendungen in
Physik und Technik, I. Lineare Integralgleichungen. — Leipzig, Geest
und Portig, 1950.
Schilder J. N. Single-step Runge-Kutta type methods for sol-
solving nonlinear Volterra integral equations of the second kind. Master's
thesis, Univ. of Amsterdam, Amsterdam, 1978.
S с h w a b i к St. On Volterra — Stieltjes integral equations. —
Cas. Pestov. Mat., 1974, 99, 255—278.
Schwartz J. Nonlinear functional analysis. — New York: Gordon
and Breach, 1969.
S с u d о F. M. Vito Volterra and theoretical Ecology. — Theor.
Populat. Biology, 1971, 2, 1—23.
S e i f e г t G. Liapunov — Razumikhin conditions for stability and
boundedness of functional differential equations of Volterra type. —
J. Different. Equat., 1973, 14, 424—430.
S e i f e г t G. Liapunov — Razumikhin conditions for asymptotic
stability in functional differential equations of Volterra type. J. Diffe-
Different. Equat., 1974, 16, 289—297.
S e i f e r t G. On certain bounded solutions of a Volterra integral
equation. — Lecture Notes in Math., 1979, JNIb 737, 267—270.
S e 1 f e r t G. Positive invariance of closed sets for generalized
Volterra equations. — Nonlinear Analysis: Theory, Meth. and Appl.,
1980, 4, № 1, 41—50.
Sell G. R. Hyperbolic structures for linear Volterra differential
equations. —Lecture Notes in Math., 1979, № 737, 271—280.
Shea D. F., Wainger S. Variants of the Wiener — Levy
theorem with applications to stability problems Tor some Volterra inte-
integral equations. — Amer. J. Math., 1975, 97, 312—343.
Short E. On the stability of some numerical methods for the
solution of initial value problems in Volterra integro-differential equa-
equations. — M. Sc. thesis. Univ. of Manchester, Manchester, U. K., 1975.
Singh Peetam. A note on the solution of two-dimensional
Volterra integral equation by splines. — Indian J. Math., 1976, 18,
№ 1, 61—64.
Slemrod M. A hereditary partial differential equation with
applications in the theory of simple fluids. — Arch. Ration. Mech. and
Anal., 1976, 62, 303—321.
Smarzewski R. A method for solving the Volterra integral
equation of the first kind. — Zastos. Mat., 1976, 15, 117—123.

БИПЛИОГРЛФИЯ Iff-КОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ 299
Smarzewski R., Malinowski H., Numerical solutions
of a class of Abel integral equations. — J. Inst. Math, and Appl., 1978,
22, 159—170.
So u 1 a J. L'equation integrate de premiere espece a limites fixes
et les fonctions permutables a limites fixes.—Mem. des Sci. Math.,
1936, Fasc. 80, 1—63.
Staffans O. J. Nonlinear Volterre equations with positive de-
definite kernels. — Proc. Amer. Math. Soc, 1975, 51, 103—108.
Staffans O. J. Positive definite measures with applications
to a Volterra equation. — Trans. Amer. Math. Soc, 1976, 218, 219—237.
Staffans O. J. Tauberian theorems for a positive definite form
with applications to a Volterra equation. — Trans. Amer. Math. Soc,
1976, 218, 239—259.
Staffans O. J. An inequality for positive definite Volterra
kernels. — Proc Amer. Math. Soc, 1976, 58, 205—210.
Staffans O. J. Boundedness and asymptotic behaviour of solu-
solutions of a Volterra equation. —Michigan Math. J., 1977, 24, 77—95.
Staffans O. J. On the integrability of the resolvent of a Vol-
Volterra equation. — Report HTKK-MAT-A103, Helsinki Univ. of Techno-
Technology, 1977.
Staffans O. J. On the asymptotic spectra of the bounded solu-
solutions of a nonlinear Volterra equation. — J. Different. Equat., 1977, 24,
365—382.
Staffans O. J. Systems of nonlinear Volterra equations with
positive definite kernels. — Trans. Amer. Math. Soc 1977, 228, 99—116.
Staffans O. J. An asymptotic problem for a positive definite
operator-valued Volterra kernel.—SIAM J. Math.Anal., 1978,9,855—866.
Staffans O. J. On the asymptotic behavior of finite energy
solutions of an abstract integral equation. — SIAM J. Math. Anal.,
1978, 9, 867—875.
Staffans O. J. A nonlinear Volterra integral equation with
square integrable solutions. — Lecture Notes in Math., 1979, № 737,
281—286.
Staffans O. J. On a nonlinear integral equation with a non-
integrable perturbation. — J. Integr. Equat., 1979, 1, № 4, 291—307.
Staffans O. J. A nonlinear Volterra equation with rapidly
decaying solutions. — Trans. Amer. Math. Soc, 1980, 258, № 2, 523—530.
Steinberg J. Numerical solution of Volterra integral equa-
equation. — Numer. Math., 1972, 19, № 3, 212—217.
Strauss A. On a perturbed Volterra Integral equation. —
J. Math. Anal, and Appl., 1970, 30, 564—575.
Suryanarayana M. B. On multidimensional integral equa-
equations of Volterra type. —Pacific J. Math., 1972, 41, 809—828.
T а к e s a d a T. On the singular point of integral equations of
Volterra type. — J. Math. Soc Japan, 1955, 7, 123—136.
Tanabe Hiroki. Note on nonlinear Volterra integral equation
in Hilbert space. —Proc. Japan Acad., 1980, A56, № 1, 9—11.
T a r i n i с i M. Volterra functional equations with transformed
argument. —Bull. Math. Soc Sci. Math. RSR, 1978, 22, 99—107.
Tavernini L. One-step methods for the numerical solution of
Volterra functional differential equations. — SIAM J. Numer. Anal.,
1971, 8, 786—795.

ЗЙО БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
Tavernini L. Linear multi-step methods for the numerical
solution of Volterra functional differential equations. — Applic. Anal.,
1973, 1, 169—185.
Taylor A. E. Introduction to functional analysis. — New York:
John Wiley and Sons, 1958.
Taylor P. J.The solution of Volterra integral equations of the first
kind using inverted differentiation formulae. —BIT, 1976, 16, 416—425.
Те R i e 1 e H. J. J., H о u w e n P. J. van der. Backward diffe-
differentiation formulas for Volterra integral equations of the second kind.
II. Numerical experiments. — Math. Centrum Amsterdam, Afdel. Numer.
Wiskunde, 1978, Report NW 57/78, 1—21.
T h i e m e H. R. On the boundedness and the asymptotic behaviour
of the non-negative solutions of Volterra — Hammerstein integral equa-
equations. — Manuscr. Math., 1980, 31, № 4, 379—412.
Travis С. С. An abstract Volterra Steiltjes-integral equation,
Lecture Notes in Math., 1979, № 737, 287—294.
Travis C. C, Webb G. F. Existence, stability and compactness
in the a-norm for partial functional differential equations. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1978, 240, 129—143.
Travis С. С, Webb G. F. An abstract second order semilinear
Volterra integro-differential equation. — SIAM J. Math. Anal. 1979,
10, 412—424.
T г 1 v e d i V. K., Kumar I. J. On a Mellin transform technique
for the asymptotic solution of a nonlinear Volterra integral equation. —
Proc. Roy. Soc. London, 1977, A352, 339—349.
Tsokos C. P., Padgett W. J. Random integral equations
with applications to stochastic systems. — Berlin: Springer, 1971.
Tsuruta K., Ohmori K. A posteriori error estimation for
.Volterra integro-differential equations. — Mem. of Numer Math. 1976,
№ 3, 33—47.
Tvrdf M., Vejvoda 0. General boundary value problem for an
integro-differential system and its adjoint. — Casopis pro pest. Mat.,
1972, 97, 399—419.
TvrdJ M. Boundary value problems for generalized linear integro-
differential equations and their adjoints. —Czechoslov. Math. J., 1973,
23, 183—217.
TvrdJ M. Boundary value problems for generalized linear integro-
differential equations with left-continuous solutions. — Casopis pro pest.
Mat., 1974, 99, 147—157.
Ugowski H. On integro-differential equations of parabolic
type. —Ann. Polon. Math., 1971, 25, 9—22.
Ugowski H. Some theorems on the estimate and existence ©f
solutions of integro-differential equations of parabolic type. — Ann.
Polon. Math., 1972, 25, 311-323.
Ugowski H. On integro-differential equations of parabolic type
with functional arguments. — Demonstr. Math., 1973, Б, 105—126
Ugowski H. On integro-differential equations of parabolic type
with functional arguments in unbounded domains. — Demonstr. Math.,
1973, 5, 143—169.
Ugowski H. On a certain non-linear initial boundary value
problem for integro-differential equations of parabolic typt. — Ann.
Poles. Math., 1973, 28, 249—259.

ВИВЛИОГРЛФИ* НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАВО? К"
Vasilache S. Sur un calcul opOratianel algebiique pour fonc-
tions de deux variables. — Rev. Math. Pures et Appl., 1957, 2, 181 —
238.
Vaughu R. L. Criteria for the existence and comparison of solu-
solutions to nonlinear Volterra integral equations in Banach space. — In:
Nonlinear Equat. Abstr. Spaces. — New York, 1978, 463—468.
Vejvoda O., T v г d ? M. Existence of solutions to a linear
integro-boundary-differential equation with additional conditions. —
Ann. di Mat Рига ed Appl., 1971, 89, 169—216.
Wagner С On the numerical solution of Volterra integral equa-
equations. — J. of Math, and Phys., 1954, 32, № 4, 289—301.
Wagner E., Ober die Asymptotik der L5sungen linearer Volter-
raschen Integralgleichungen 2. Art vom Faltungstyp. — Beitrage zur
Analysis, 1978, 11, 165—183.
Wagner E. Zur Asymptotik der Losungen linearer Volterraschen
Integralgleichungssysteme zweiter Art vom Faltungstyp mit nichtnegati-
ven Kerner. -Math. Nachr., 1979, 90, 173—187;
Walter W. Ober suksessive Approximation bei Volterra-Integral-
Volterra-Integralgleichungen in unteren Veranderlichen. — Ann Acad. Sci. Fennicae,
1956, Ser. Al, 345, 1—31.
Walter W. Differential and integral inequalities. — Berlin!
Springer, 1970.
Walter W. On nonlinear Volterra-integral equations in several
variables.—J. Math, and Mech., 1976, 16, 967—985.
Webb G. F. An abstract semflinear Volterra integro-differential
equation. — Proc. Amer. Math. Soc, 1978, 69, 255—260.
Webb G. F. Abstract Volterra integro-differential equations and
Э class of reaction-diffusion equations. — Lecture Notes in Math., 1979,
№ 737, 295—303.
W e i s D. G. Asymptotic behavior of some nonlinear Volterra
integral equations. — J. Math, Anal, and Appl., 1975, 49, 59—87.
Weiss Ph. Numerical solutions of Volterra integral equations. —
Thesis, Depart, of Math., Carnegie-Mellon Univ., 1978.
Weiss R Numerical procedures for Volterra integral equations. —
Ph. Doct. thesis, The Australian Nation. Univ., Canberra, 1972.
Weiss R. Product integration for the generalized Abel equation. —
Math. Comput, 1972, 26, 117—190.
Weiss R., Anderssen R. S. A product integration method
for a class of singular first kind Volterra equations. — Numer. Math.
1972, 18, 442—456.
Wheeler R. b. Asymptotic behavior of solutions of linear Vol-
Volterra integro-differential equations in Hilbert space. — Lecture Notes
in Math., 1979, № 737, 304—314.
Wiggins К L. Successive approximations to solutions of
Volterra integral equations, <— J. Approx, Theory, 1978, 22, 340—
349.
Wiggins K. L. Best Lp approximate solutions of nonlinear
integro-differential equations— J. Approxim. Theory, 1979, 26, 329—
339
W © If e M. A., Phillips G. M. Some methods for the solu-
solution of non-singular Volterra integro-differential equati@ss. — Gomput.
Л. 1969, II, 334—336,

302 БИБЛИОГРАФИЯ НЕКОТОРЫХ НОВЫХ РАБОТ
W о 1 к е п ! е 1 t P. H. M. Backward differentiation formulas for
Volterra integro-differential equations. — Math. Centrum Amsterdam,
Afdel. Numericke Wiskunde, 1977, Report NW 53/77.
Wolkenfelt P. H. M. Linear multistep methods and the
construction of quadrature formulae for Volterra integral and integro-
differential equations. Math. Centrum Amsterdam, Afdel Numericke
Wiskunde 1979, Report NW 79/79, 1—47.
Wong J S. W. Positive definite functions and Volterra integral
equations. — Bull. Amer. Math. Soc, 1974, 80, 679—682.
Wong J. S W., Wong R. Asymptotic solutions of linear Vol-
Volterra integral equations with singular kernels. — Trans Amer. Math.
Soc, 1974, 189, 185—200.
Young A. The application of approximate product-integration
to the numerical solution of integral equations. — Proc. Roy. Soc London,
1954, A224, 561-573.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абстрактные пространства 243
Адамара представление для ли-
линейного функционала 60
— функциональное уравнение для
функции Грина 206
Аналитических функций обобще-
обобщения 117
Вариационное исчисление 74, 211
Вариация функционала 73, 83
Веиерштрасса теорема о представ-
представлении функции полиномами (об-
(обобщение) 64
Вольтерра биография 13—41
— интегральные уравнения 2-го
рода 85
1-го рода 97
— преобразование 156
Гамильтона — Якоби теория (об-
(обобщение) 195
Дирихле задача 213
• , вариационный метод реше-
решения 218
, метод Ивенса для разрыв-
разрывных краевых задач 219
, метод интегральных урав-
уравнений 213
Дифференциал функционала пол-
полный 196
Изогенность функции от линии 136
Интегральные теоремы сложения
146, 221
— уравнения 84
Интегральных уравнений системы
106
Интегрирование функционалов 76
Интегро-дифференциальное урав-
уравнение типа Боше 219
Интегро-дифференциальные урав-
уравнения 177
Интегро-дифференциальные урав-
уравнения в вариационном исчисле-
исчислении 180
в теории пермутабель-
ных функций 2-го рода 184
1_го рода 132
гиперболического типа
193
обыкновенные 83, 178
параболического типа
193
эллиптического типа 189
Композиционное произведение 2-го
рода 141
1-го рода 141
Композиционной функции произ-
производная 170
Композиционные полиномы 143
— ряды 2-го рода 172
1-го рода 144
— степени дробные 159
отрицательные 163
— функции 169
Композиционный логарифм 166
— определенный интеграл 171
Моногенность функции от линии
136
Непрерывность функционала 64
Пере преобразование 166
Пермутабельность 2-го и 1-го рода
141, 150, 159
Пермутабельные функции 221
, основная теорема 159
Полидромность функции от линии
125, 127
Полунепрерывность функционала
58
Производные функционала 68
Пуассона скобки (обобщение) 203

Сейши (колебания воды в озерах)
216, 218
Стокса теорема (обобщение) 197
Тейлора теорема для функциона-
функционалов (обобщение) 69
Уравнения с функциональными
производными 2-го рода 204
для функции Грина
205
1-го рода 204
Фредгольма интегральные уравне-
уравнения 2-го рода 91
1-го рода 96
Функционалы аналитические 240
— высших степеней 63
— 1-й степени
Функциональная динамика 223
— индикатриса линейного функ-
функционала 241
Функциональные вращения ii24
Функциональные степенные рядн
65
Штеккеля теорема разделения пе-
переменных (обобщение) 204
Экстремум функционала 57
Эредитарная упругость 231
— электродинамика 223
Эредитарности общие законы 227
Ядра итерированные 91
— логарифмические 102
— разрешающие 87
— симметрические 91
-*- сингулярные 98
Ядро замкнутого цикла 111
— интегрального уравнения 104
, метод Ивенса вычисле-
вычисления разрешающего ядра 111
—, обращение ядра в нуль
104
— — —, периодические ядра
Ивенса 174
ВИТО ВОЛЫЕРРА
ТЕОРИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ, ИНТЕГРАЛЬНЫХ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Редактор И. Б. Морозова
Технический редактор 8. Я. Кондакова
Корректоры О. А. Сигал, Н. В. Румянцева
ИБ № 11544
Сдано в набор 17.04.81. Подписано к печати 07.07.82. Формат 84X 1087м.
Бумага тип. JVfc 1. Литературная гарнитура. Высокая «печать. Условя.
Пбч. л. 15,96. Уч.-изд. л. 17,93. Тираж 13 000 экз. Заказ N 294.
Цена 1 р. 60 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный
Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном
Комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тов-
reutt. 1S7136» Ленинград, П-133, Чкаловскнй пр„ 16,
Отпечатано с матриц в тип. № 2 изд-ва «Наука», мказ Ш 20,;: