АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ,,
ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ
ff
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ТРУДЫ СЕМИНАРА ПО МЕТОДАМ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
И ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ВЫПУСК V
КИЕВ-1967
~ lf,, ~~
с-, J'E,
JP"'Cy; ,.

6П2.15
МЗ4
В сборнике публикуются статьи по теории цепей и электронного
моделирования, синтезу квазианалоговых математических машин с пере­
ключаемыми решающими элементами, моделированию задач исследова­
ния операций, задач строительной механики и оптимальных многосвяз­
ных систем.
Книга рассчитана на инженеров, научных работников, аспирантов и
студентов, интересующихся электронным моделированием, теорией цепей
и различными применениями вычислl!тельной техники.
2-2-4
59-67М
Ответственный редактор
член-корреспондент АН УССР
Г. Е. ПУХОВ
,xA.i>Ьl(OBCI<AЯ ТИПООФСЕТНАЯ ФАБРИКА

О РАСЧЕТЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ ПОДСХЕМ
Н. Г. МАКС11МОВИЧ
В некоторых случаях расчет сложной электрической цепи
с большим числом ветвей и мно гополюсных элементов необходимо
вести по частям. Это значит, что исходная цепь расчленяется на
части и для каждой из них в отдельности составляются уравнения,
а затем определяется уравнение цепи в целом. Применяемые для
этого методы расчета , по
своей структуре действий,
мож но разделить на два
типа .
Wp
а
ij
Первый из них харак­
теризуется тем, что для
составных частей 1, 2, . ., ,
р цепи н?.ходятся уравне­
ния w1, w2,
... ,
wP неза­
висимо от схем соединений этих частей между собой в рассма­
триваемой цепи, а затем при составлении уравнения W цепи в
целом учитывается существующая схема С взаимных соединений
принятых частей цепи. Такая структура действий показана
схематически на рисунке (а) .
Структура действий методов расчета второго типа отличается
от предыдущей тем , что сначала исследуются схемы соединений
с1, с2, ... ,
ер каждой принятой составной части цепи с другими ее
частями, и в зависимости от конкретной схемы соединений Ст
части т цепи, определяется для этой части специальным образом
ее уравнение w:. Искомое уравнение W* цепи в целом получается
из найденных уравнений w: для т = I, 2, . .. , р однотипным про­
стым способом вычисления, не завися щим уже от схемы соедине­
ний С составных частей (рисунок, 6) .
В связи с тем, что в последнем случае методика составления
исходных уравнений отдельных частей цепи, а также и формулы
получения итогового уравнения цепи в целом являются едиными,
не зависящими от конкретной схемы соединений, метод рассчета,
3

основанный на таком принципе, весьма выгодно отличается от
иных методов своей универсальностью. Таким является метод под­
,схем, разработанный Г. Е. Пуховым [1, 2].
В настоящей работе, в дополнение к применяемым в методе
подсхем формулам, приводится новая формула получения уравне­
ния цепи, подчеркивающая своей структурой указанную выше
универсальность этого метода .
В методе подсхем внешние токи и напряжения каждой отдель­
lН ОЙ части т цепи (в дальнейшем - подсхема m) рассматриваются
с точки зрения их взаимозависимостей с токами и напряжениями
д ругих подсхем цепи и на основании этого разделяются на четыре
категьрии : входных, выходных, суммирующихся и общих величин,
выраженных соответственно многомерными векторами р~т), р~т), р~т),
!Р~тJ _ С помощью такого действия учитывается, согласно структур­
,ной схеме рисунка, 6, схема соединений Ст рассматриваемой m-ой
:подсхемы . Затем составляется уравнение w: этой подсхемы в виде
линейной зависимости входных и суммирующихся величин от вы­
ходных и общих
где
(ri;n>, r~m)) = z<m) ( ;~т\ rim)) + Ът\
z<m)=
z<m)
z(m)
11
12
z(m)
1 "21
z(m)
22
(1)
(2)
является обобщенным матричным параметром подсхемы т, а
-;(т) _ (;(m) ;(m))
~о-
~,о , ~20
(3)
ее обобщенный векторный параметр. Для подсхемы, в которой
отсутствуют источники энергии, векторный параметр iim> равен
нулю .
Для получения уравнения W* цепи в целом в методе подсхем
рекомендуются достаточно простые преобразования матричных
и- векторных параметров подсхем (2) и (3) в новые, так называемые
удлиненные или расширенные матрично-векторные параметры под­
схем . Но эту же задачу можно решить без введения удлиненны х
параметров и получить при этом также простые и легко запомина­
ющиеся формулы.
Пусть рассматриваемая схема состоит из двух произвольно
соединенных между собой подсхем . Матричные параметры (2)
4

каждой из подсхем имеют вид
Z'=
Z"=
(4)
а их векторные параметры (3):
➔, (➔' ➔,)
~о=
~10,
~20
-;
(5)
Матрицу Z' первой подсхемы можно расчленить на составляю­
щие, отвечающие ее выходным и общим величинам:
(6)
а матрицу Z" второй подсхемы - на составляющие, отвечающие:
входным и суммирующимся величинам :
(7)
Пользуясь этими составляющими, записываем исходные уравне ­
ния (1) подс хем.
Для первой подс хемы :
(➔, ➔,\ '(➔'
Рн,Ре =ZкРк,
для второй подсхе мы:
(р:. о)= z:(;:.;:) +(1:о, о),
(о, ;:) = z:(;: , ;:)+(о, 1;J .
(8)
) (9)
Обозначая векторами Рн, Рк, Ре, р0 , начальные, конечные, сум­
мирующиеся и общие величины схемы в целом и учитывая , что
для рассматриваемого случая справедливы зависимости
-,,
➔,,
➔
Рн=Рн;Рк=Рн;Рк=Рк,
➔,
➔,,
Ре= Ре+ Ре,
1
( 10)
➔
➔,
➔,,
Ро=Ро=Ро,

получим
(;~' о)=(;:'о)'
(;~, ;~) +(О,;:) =(;н,;J. )
(11)
Пользуясь этими за висимостями и подставляя первое из уравне­
ний (9) в уравнение (8), а затем суммируя полученное со вторым
уравнением (9), находим
(;н';J=[z:z:+ z~ +
z:](;,и;J+ [1~ +
z~1:+ (о, ~;J]' (12)
из чего следует формула, определяющая матричный параметр схемы
(13)
или
(14)
и формула, выражающая ее векторный параметр
1о=1~+z~1~+(о,~:J,
( 15)
или
z'
1
➔"
_
11___
•-
1: + (О, ~20)
z:l
1
( 16)
Полученная формула (14) нахождения эквивалентной матрицы
легко запоминается: составляющие матриц, отвечающие выход­
ным и входным величинам, перемножаются, а отвечающие общим
и суммирующимся - складываются. Ее можно считать формулой
нахождения эквивалентной матрицы для общего случая последова­
тельно-параллельного соединения двух мноrополюсников .
Для частного случая соединения подсхем, когда все токи и на­
пряжения расчленяются только на две категории: общих и сум -
-
-
миμующихся величин, т. е. когда Рн = О и Рк = О, как это имеет
место при параллельном соединении двух многополюсн иков, мат­
рицы Zк и Z11 1,аждой подсхемы равны нулю, и формулы (14)
н (16) переходят в известные формулы суммирования матриц и век­
торов параллельно соединяемых мноrополюсников
j
(17)
6

Для другого частного случая, когда есть только входные и выход-
➔
ные величины, а суммирующиеся и общие равны нулю (Ре = О
➔
и р0 = О), нулевыми являются матрицы Zc и Z0 подсхем, в связи
с чем формулы (14) и (16) становятся идентичными с формулами
для последовательного соединения проходных многополюсников
z= z:1z:1,
)
ia=1~о+z:11:о•
(18)
При произвольном числе р составных подсхем формулы (14)
и (16) надо применить р - 1 раз, находя поочередно эквивалент­
ные многополюсники каждых двух подсхем.
ЛИТЕРАТУРА
!. П ух о в Г. Е.- Электричество, 1952, 8.
2. П у х о в Г. Е. Избранные вопросы теории математических машин.
Изд-во АН УССР, К., 1964.
Рассмотрено на семинаре
24 июня 1966 r.

АНАJIОГОВЫЕ И КВАЗИАНАЛОГОВЫЕ
ВЫЧИСЛИТЕJIЬНЫЕ СРЕДЫ
Г. Е. ПУХОВ, Б. А. БОРКОВСКИЙ
1. Твердые вычислительные среды несомненно являются наи ­
более перспективной конструктивной фор мой как цифровых, так
и аналоговых вычислительных машин будущего . Многие из тех
функций, которые выполняются в настоящее время схемами, по ­
строенными из отдельных элементов, в б удущем будут выполняться
монолитными твердыми схемами. Твердые схемы, изготовленные
в виде одной сплошной платы или объемного тела, имеют целый
ряд хорошо известных преимуществ [1]. В статье излагаются неко­
торые возможные пути развития моделир у ющих мате м атических
машин, связанные с применением твердых аналоговых и квазиана ­
логовых вычислительных сред.
2. Аналоговой вычислительной средой назовем такое тело , ко ­
торое является решающей частью моделирующего устройства, по ­
строенного на основе принципа подобия . При моделировани и
уравнения Лапласа в качестве аналоговых вычислительных сред
применяются электропроводящая бумага, пластины из проводя­
щей резины, проводящие ткани, проводящие пластмассы [2] , при
моделировании уравнения Фурье - электропроводящая бумага с
распределенной емкостью [3] . Находят применение и друг ие вычис­
лительные среды .
Квазианалоговой вычислительной средой назовем такое тел о
или совокупность объединенных и жестко соединенных между со ­
бой твердых схем, которые можно использовать как решающую
часть моделирующего устройства, построенного на основе принцип а
эквивалентности [4] . Состояние квазианалоговых вычислительных
сред описывается уравнениями, подобными не уравнениям объекта ,
а некоторым другим уравнениям, эквивалентным первым в отноше ­
нии получаемых результатов. Необходимость в применении ква­
зианалоговых вычислительных сред возникает тогда, когда нельзя
построить устройства прямой аналогии, содержащие аналоговую
вычислительную среду .
,8

Квазианалоговые вычислительные среды можно подразделить
на две группы.
В первую группу входят вычислительные среды, с помощью
которых можно построить для заданных уравнений моделирующее
устройство без обратных связей. Ввод в них известной информации
позволяет непосредственно получить искомые величины, состоя­
щие в общем случае из основных, соответствующих исходным урав­
нениям моделируемого объекта, и вспомогательных, получающих­
ся вследствие моделирования согласно общему определению ква­
зианалоговых вычислительных сред не заданных, а расширенных
эквивалентных уравнений.
•
Во вторую группу входят такие ква з иан<1_.JJ_<:)Г()ВЫе вычислитель­
ные среды, которые являются решающей частью моделирующих
устройств , имеющих обратные связи , и служат для отработки не­
обходимых управляющих величин с тем, чтобы выполнялись усло­
вия эквивалентности уравнений объекта и уравнений, описываю­
щих состояние квазианалоговой вычислительной среды .
Процесс подбора управляющих величин называется уравнове­
шиванием вычислительной среды. В связи с этим вычислительные
среды первой группы можно назвать неуравновешиваемьiми , а вто ­
рой - уравновешиваемыми или управляемыми .
Квазианалоговая модель, построенная на основе уравновеши ­
ваемой решающей среды, структурно подразделяется на две ос­
новные части : квазианалог, являющийся . собственно моделью
(в качестве его применяется уравновешиваемая квазианалоговая
вычислительная среда) и усrройство управления , служащее для
уравновешивания квазианалога. Устройство управления ква з иана ,
логом может быть выполнено в виде преобразователя, который яв­
ляется некоторой средой направленного действия, пропускающей
сигналы лишь в определенных направлениях . Однако в некоторых
случаях его удобнее выполнить в виде обычной схемы.
3. Моделирующие устройства и их отдельные звенья пр едстав ­
ляют по существу системы, предназначенные для преобра з ования
информации по заданным математическим законам.
При рассмотрении квазианало говых вычислительных сред огра ­
ничимся случаем, 1шгда мате м атические связи между вектором
и вектором
(знак ' означает транспонирование) имеют вид
allXI+а12Х2+••·+ alnХп =f1,
а21Х1+а22Х2 + ···+ а2пх"= f2,
(!)
(2)
(3)

или короче
Ax=f.
(4)
Здесь aij• вообще говоря, могут быть нелинейными дифференциаль­
ными оператора ми , т. е.
(5)
d
где р = cit• Правые части (3) являются заданными функциями
времени.
В настоящее
к ва з ианалоговых
<
х,
время известен целый ряд методов построения
вычислительных устройств . Рассмотрим некото­
рые из них для случаев,
1, когда в качестве квазиана-
А
лога и устройства у равно-
вешивания
используется
lu, вычислительная среда.
4. Альфа-аналоговый
метод состоит в том, что
сначала составляется мо­
дель з аданных уравнений
(4) с невязками 8, т. е .
Ах=f+8,
(6)
Рис. !.
а затем вектор е обраща­
ется в нулевой путем про­
порционального преобразо­
в ания его в вектор х согласно уравнению
X=-kF- .
(7)
При k ---+ оо уравнения (6) и (7) эквивалентны (4) .
Схема альфа-аналоговой моделирующей среды, используемой
в качестве квазиобратимого преобразователя, приведена на рис . 1
{вектор 8 на рисунке не показан).
Часть А вычислительной среды представляет собой реализацию
на твердом теле матричной схемы, изображенной на рис. 2, а. В про ­
стейших случаях звенья a;j этой схемы могут быть линейными
двухполюсниками или диодными схемами . Часть вычислитель­
ной среды обладает направленными свойствами и реализ ует на
,вердом теле устройство уравновешивания, представляющее собой
в данном случае группу из m отрабатывающих усилителей (рис. 2, б)
с большим по модулю отрицательным коэффициентом усиления .
5. Ро-аналоговый метод основан на применении обратимых
р е шак,щих устройств [5] . На рис . 3 изображена обратимая ро­
а н алоговая вычислительная среда . Она состоит из трех областей,
д ве из которых представляют собой интегральные схемы, соответ­
-ствующие матричной схеме (рис . 2, а) . Третья область •является
на п равленной и сл у жит для уравнов е шивания . Она доюкна быть
10

эквивалентна т ()Трабатывающим усилителям. Внешние полюсы
матричных схем А соединяются между собой и служат для задания
у
с,
----0
<1
i
lj
Ф----~ < r------0
i
IJ
:_т__~г;р~-----~т
а
о
Рис. 2.
и получения напряжений, моделирующих компоненты вектора х.
При задании напряжений на п - т полюсах на т свободных по­
люсах получаются напряжения, соответствующие уравнению (4).
у
А
<
А
11
1
111
11
х, х,
х,
Рис. 3.
6. На рис . 4 изображена модель плоской задачи теории упру­
гости, состоящая из жестко соединенных между собой интеграль­
ных схем первого и второго типов . Этим интегральным схемам
соответствуют принципиальные схемы, изображенные на рис. 5 и
ll

6. Для уравновешивания модели между соответственными узлами
Е; - И; и 1']; - V; включаются отрабатывающие усилители, кото­
рые рационально выполнять тоже в виде интегральных схем.
Напряжения и; и V; моделируют перемещения, а токи ах, ау,
'txy• 'Тух - нормальные н касательные напряжения. Эти величины
ii
с
ц
с
й
l
'lVб'у
r1
1
~f
.lU
.cl
17 11
-
f ,_,_
-~
ви
1l
-~
-~
t- 11
l
.......
1
и
tl
-
11v
1
1
!
lйl
.ёl
.LJ
V
11
'l
1
(1
-
V
11
п
й
1cl
1
1
Рис. 4.
f/ .У, dy
в предельном случае, когда
шаг h--+ О,
будут связаны
следующей системой диффе­
ренциальных уравнений в
1 ,......, ц
частных производных [6] :
f,
F:i--
е
~
1 ,..._)
~
-
,~
--,jJ. --
"-- <
1~ц
{]
дах+д,ху=О
дх
ду
'
даУ
д-т:ху
ду+дх=о,
ди'дv
ах=(л+2v)-д-·,- л -д-.
х
у
дv
ди
а,;=(л+ 2v)-д- +А,-д-·
.
у
х
(,
(дu
ди)
'txy=•ух=Vдх+ду,
_
Проводимости а, Ь и с н а
рис . 5 и 6 связаны с коэффициентачи системы (8) следующим
образом:
если масштабные коэффициенты считать равными единице.
Применительно к различным задачам будут изменяться лишь
форма области и краевые условия.
Остановимся на одном весьма перспективном варианте метода
квазианалогий, названном методом динамического моделирования.
Этот метод позволяет строить моделирующие математические маши­
ны с малым числом однотипных блоков и автоматизировать ввод
исходных данных.
Динамическими электронными моделями [7-9] были названы
такие модели, в которых желаемое распределение напряжений
и токов получается путем циклического переключения какого­
либо элемента с постоянными или переменными параметрами, в об­
щем случае многопоJ1юсного. Динамическая модель должна состоять
из двух частей, из которых одна мuжет иметь переменные, а другая
постоянные параметры. Эти две части циклически пересоединяются
между собой при помuщи специального коммутатора. Таким обра­
зом, динамическая модель представляет собой пепь переменной
структуры, в которой напряжtния с допустимой для практики
12

ь
и4"J!, ~!- i1z ~t
а
_J
-
1
.r
~-
2;у -с (}
(} (}
сс
(}с
1
т
-,r-.
~
се
сс
ее
сс'[
f;yсс
ес
ес
Gс
-
--
т~~
-1-н ·~
•. }..
~
ес
ее
ее
~сс
J
J~
J~J
~
J
Jf, й,i t;z ~t ,tJ,
(f
с2~Z-
~
lf;r
V,
~
е,
?z
с,-xg
и,
tf
Рис. 6.
!)

методической погрешностью моделируют неизвестные заданной си­
стемы уравнений.
Развитие интегральной схемотехники, которая в недалеком бу-
дущем получит широкое распространение, позволяет надеяться,
у
~ск<к
А
г
'
'
Рис. 7.
и потребляемой энергией, большой
екай прочностью.
что динамические моде­
лирующие устройства
смогут быть построены
на базе твердых интег­
ральных схем. Это изна­
чает, что можно сuзда­
вать динамическую квd­
зианалогов ую вычисли­
тельную среду и на ее
основе различные миде­
лирующие математиче­
ские маш ины, обладаю­
щие малыми габарита ми
надежностью и механиче-
Схема динамической альфа-аналоговой вычислительной среды
изображена на рис. 7. Она состоит из собственно моделирующей
части А, являющейся квазианалогом моделируемой системы урав­
нений и переключаемой при помощи автоматически работающих
коммутаторов К, уравновешивающей части У, которая в данном
случае является интег­
ральной схемой отра­
батывающего усилителя.
Ро-аналоговая обра­
тимая динамическая вы­
числительная среда (рис .
8) отличается от только
что рассмотренной нали­
чием двух моделирую­
щих областей А. Это не­
::>бходимо для того, что­
бы устройство обладало
свойством обратимости
в том смысле, что при за-
!
1
1
А
к
11
11
1
':f
------0 .1(
<кс
А
---о
t~.
J-,Ь)
Рис. 8.
дании на любых п - т е,о внешних полюсах некоторых ве­
личин, на остальных т полюсах отрабатываются величины, удов­
летворяющие заданной системе уравнений. Кроме того, при на­
личии двух моделирующих областей А в случае конечных урав­
нений моделирующее устройство будет обладать абсолютной
устойчивостью.
Динамические вычислительные среды нуждаются в устройствах
;а.ля запоминания отрабатываемых в процессе циклического измене­
ния структуры среды величин. Таким устройством может являться
14

система емкостных элементов , выполненных на твердом теле
На рис. 7 и 8 она обозначена буквой С.
8. Недостатком аналоговых и квазианалоговых вычислитель ­
ных сред является трудность изменения их параметров в зависи­
мости ОТ КОЭффИUИеН­
ТОВ моделируемых урав­
нений. С помощью ме­
тода динамического мо­
делирования можно пре­
одолеть это и даже
автоматизировать ввод
исходных данных в мо­
дель. С этой uелью uик­
лически переключаемая
двухполюсная или мно­
гополюсная интеграль­
ная схема должна вы­
полняться со ступенчато­
переменными кодоуправ­
ляемыми параметрами,
а в соответствующих точ-
Х1 Х1
Хп
Рис. 9.
ках неизменяемой чаС:ти вычислительной среды должны быть эле­
менты, запоминающие напряжение. В качестве примера на рис. 9
изображена схема модели, предназначенной для моделирования
к
,-------1 у
<
с
х,
Рис . 10.
к
х"
безынерuионных объектов с
переключаемым кодоуправ ­
ляемым активным двухпо­
люсником . Ее аналог на
твердом теле изображен на
рис. 10 .
9. На основании ска-
занного можно сделать за­
ключение, что аналоговые
и динамические квазиана­
логовые
вычислитеJiьные
среды в ближайшее время
смогут быть положены в
основу построения различ­
ных спеuиализированных
моделирующих математи­
ческих маш~,;н и устройств.
Сюда можно отнести машины для решения дифференциальных
уравнений в обыкновенных и частных производных , задач мате­
матического программирования и теории игр, сетевого планиро­
вания и управления и ряда других задач .
)5

ЛИТЕРАТУРА
1. Дам мер Дж. У. А., Гр э R вилл Дж. У. Миниатюризация и мик­
ромпиатюризация радиоэлектронной аппаратуры. «Мир», М . , 1965 .
2. К а р п л ю с У. Моделирующие устройства для решения задач теории
поля . ил, 1962.
3.ТарапонА. Г.,УласовичМ. Н.-В кн:.Некоторыевопро­
сы прикладной математики и аналоговой вычислительной техники . Вып . 2. «Науко­
ва думка», К., 1966.
4. П у х о в Г . Е. Избранные вопросы теории математических машин.
Изд-во АН УССР, К . . 1964.
5.ПуховГ. Е.,Борковский Б. А.
-
В кн.: Математическое мо ­
делирование и электрические цепи. Вып. II . «Наукова думка», К., 1964.
6. Пухов Г . Е ., Васильев В. В., Степанов А. Е., То ка­
р е в а О. Н . Электрическое моделирование задач строительной механики. Изд-во
АН УССР, К., 1963.
7. П у х о в Г. Е.- Кибернетика, 1965, 2.
8.БорковскийБ.А.
-
Кибернетика, 1965. 3 .
9. Борковский Б. А., Пухов Г. Е.-В кн.: Математическое
моделирование и электрические цепи . Вып. IV. «Наукова думка», К., 1966.
Рассмотрено на семинаре
1 апреля 1966 r .
J
1
1
•

О ВОЗМОЖНОСТИ УЛУЧШЕНИЯ РЕЖИМА РАБОТЫ
УСИЛИТЕЛЕЙ В ОБРАТИМЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ МОДЕЛЯХ
Г. Е. ПУХОВ
1. Как известно [1 ), одним из недоста-rков обратимых решаю­
щих элементов является значительное отличие уровней рабочих
напряжений и напряжений на выходах отрабатывающих усилите­
лей. Это приводит к потере точности моделирования соответствую­
щих математических зависимостей из-за низких уровней рабочих
напряжений. Наличие напряжений таких уровней объясняется
тем, что выход каждого из усилителей в схемах обратимых решаю­
щих элементов присоединяется не к одному двухполюснику как
в необратимых элементах, а к нескольким, вследствие чего на вы­
ходе усилителя появляется соответственно увеличенный ток. Рас­
смотрим, например, схему обратимого операционного усилителя
(рис. 1). Выход отрабатывающего электμонноrо усилителя У, имею­
щего большой отрицательный коэффициент усиления, присоеди­
няется к п вспомогательным двухполюсникам с проводимостями
У1, ... , Уп.
Напомним, что основные двухполюсники с проводимостями У1 , ...
Уп, присоединяемые ко входу усилителя, служат для реали­
зации требуемых математических зависимостей между напряже­
ниями Х1, ... ,
Хп·
Ниже рассматривается метод улучшения режима работы от­
рабатывающих усилителей в обратимых моделях, основанный на
возможности уменьшения тока усилителя путем поочередного при­
соединения его выхода к вспомогательным двухполюсникам.
Для простоты изложения рассмотрим этот метод на примере
обратимого сумматора, для которого проводимости основных двух-
полюсников У1 , ... ,
Уп и вспомогательных У1 , ... ,
Уп являются
чисто омическими и связаны между собою выражениями
Yk=mYk, k= 1, ... , п,
(1)
где т - постоянный коэффициент.
2. Способ реализации предлагаемого метода построения обра~
тимых решающих элементов применительно к схеме обратимого
2 7-2622
l7

сумматора показан на рис. 2. Ключи К1 , ... , Кп
служат для пооче ­
редного присоединения выхода отрабатывающего усилителя У
к внешним полюсам вспомогательных двухполюсников, а конден­
саторы С0 - для запоминания получающихся напряжений. Легко
видеть, что данная схема обратимого сумматора соответствует прин­
ципу построения электронных моделирующих устройств, который
называется динамическим [2-5 ].
Рассматривая работу схемы, можно сделать вывод, что ток iд
на выходе усилитеJ1я У в динамическом сумматоре должен быть
у
х,
Х;
х"
Рис. 1. Ооратимый операционный
ус илитель .
с
ll,
{ln
ljV
б,
д,7
1
1
'Р
к,
К;
к"
11
(
iп
~,
Х;
Хп
Рис. 2 . Обратимый сумматор с переклю­
чае~Iым обрабатывающим усилителем.
меньше тока i в обычном обратимом сумматоре из-за того, что
в каждый данный момент к выходу усилителя в схеме рис. 2 при ­
соединяется только один вспомогателL.ный двухполюсник.
Отношение
(2}
показывающее во сколько раз уменьшается ток на выходе отраба­
тывающего усилителя при переходе к динамическому режиму,
далее называется коэффициентом уменьшения тока.
3. Определим величину D для обратимого сумматора в пред­
положении, что напряжение на k-ом полюсе получается, а напря­
жения на всех остальных полюсах являются зада ющими и что ток
этого полюса имеет нулевое значение (ik = О).
Из схем рис . 1 и 2 легко получить для токов усилителей в уста­
новившемся режиме следующие выражения:
если предположить, что напряжения х1 , ... , хп - постоянны.
i8
(3)
(4}

Отсюда
ak
так как по условию -- = т.
ak
(5)
В обратимых электронных моделях обратимые сумматоры часто
находятся в таком режиме [1 ], при котором трудно установить,
какие из его полюсов являются входными и выходными . В этом
случае естественно считать все полюсы равноправными и в каче­
стве коэффициента уменьшения тока принимать величину
п
D= _}__~Dk.
n k=I
(6)
Подставляя сюда выражения (5), получим
D= (1 +тт)п
(7)
Таким образом, средний коэффипиент уменьшения тока на вы ­
ходе отрабатывающего усилителя при переходе от обычной схемы
обратимого сумматора к динамической определяется числом по•
люсов п и отношением т проводимостей вспомогательных и основ­
ных двухполюсников.
ЛИТЕРАТУРА
I. П у х о в Г. Е. Избранные вопросы теории математических машин.
Изд - во АН УССР, К., 1964.
2. П у х о в Г. Е.- Кибернети1<а, 1966, 2.
3.БорковскийБ. А.-Кибернетика,1966,3.
4.БорковскийБ. А.-Кибернетика,1966,6.
5.Пухов Г.Е.,Борковский Б.А. -Кибернетика,1966,6.
Расоютрено на семинаре
24 июня 1966 г.

ДИНАМИЧЕСКИЙ ОБРАТИМЫЙ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАТОР
А. Ф. КАТКОВ
На практике широко применяются электронные необратимые
моделирующие устройства. Основным недостатком их является
неравноправие входных и выходных полюсов. Особенно это сказы­
вается при решении одной и тuй же системы уравнений относи­
тельно различных групп переменных. Применение необратимых мо­
делей приводит к необходимости каждый раз заново подготавливать
систему уравнений к набору, что сопряжено с большими, а иногда
п непреодолимыми математическими трудностями. В работах [1-
3] изложены методы, позволяющие строить модели, которые об­
ладают свойством обратимости - обратимые и квазиобратимые мо­
делирующие устройства. Входные и выходные полюсы в этих
устройствах можно выбирать произвольно: в обратимых - без
какой-либо коммутации, в квазиобратимых - при помощи прос­
тых ключевых схем.
Обычно в необратимых, обратимых и квазиобратимых моделях
все отрабатывающие усилители остаются присоедине_нными к ква­
зианалоговой части цепи в течение всего времени решения задачи.
Количество усилителей равно числу потенциально-нулевых точек,
которые J-Iеобходимо получить. В работе [4] для уменьшения необ­
ходимого количества отрабатывающих усилителей предложен по­
следовательный способ образования потенциально-ну левых точек,
названный методом динамического моделирования. Сущность этого
метода заключается в том, что в электронной модели объекта, по­
строен ной по известным принципам, удаляются все усилители,
а в те точки, к которым были присоединены их выходы, включают­
ся конденсаторы. Далее при помощи переключаемого усилителя
осуществляется процесс последовательной отработки потенциально­
нулевых точек. В работах [5, 6] рассматривался вопрос о методи­
ческих погрешностях необратимых динамических решающих эле­
ментов и их предельных возможностях.
Описанный метод, как указывалось в работе [41, может быть
также применен для построения обратимых моделей, состоящих из
обратимых сумматоров и интегро-дифференциаторов.
20

Рассмотрим работу динамического обратимого интегро-диффе­
ренuиатора При анализе его работы предположим следующее:
а) проводимость закрытых ключей К1 и Kn равна нулю, :;i их
проводимость в открытом состоянFи является достаточно большой
ВеJ!ИЧИНОЙ;
б) длительность отработки
одной потенциально - нулевой точ-
1
ки равна h, а так как один
переключаемый усилитель урав­
новешивает две точки, то дли­
тельность одного цикла уравно­
вешивания равняется 2h;
цщt
1
в) выходная проводимость
отрабатывающего усилителя на-
столько большая, что временем
заряда конденсатора С0 , подклю­
ченного к его выходу, можно {J,(tJ
пренебречь по сравнению с h; U;{tJ
г) коэффициент
усиления
усилителя в режиме холостого
хода отрицателен и достаточно
велик по абсоJ1ю1ной веJiичине;
д) внешняя нагрузка дина­
мического обратимого элемента
такова, что током, который она
потребляет, можно пренебречь;
е) величина емкости конден­
сатора Cu настолько велика, что
напряжение на нем за время h ,
когда усилитель отключается,
пр<1ктически не изменяется;
ж) рассматриваемые функuии
о
с
11
2
R
t
R 1U,(t]
а
t
{J, {t)
о
0,(1)
8
на интервале h являются непрерывными и имеют малые про­
изводные.
Рассматривать работу динамического интегро-дифференциатора,
схема которого приведена на рисунке (а), удобно в два этапа: усилитель
по,цключен (О-< t < h) и отключен (h-< t < 2h). Сначала рас­
смотрим режим интегрирования, когда полюс 2 является входным.
Тогда в конце первого интервала (t = h) получим
h
И0(h) = -
~с .) И2(t) dt-U2 (h),
о
полагая Ис (О) = О.
21

На втором интервале , когда усилитель отключен, состояние
цепи описывается таки м дифференциальным у равнением:
dИс
1
1
1
lit+ 2RC Ис =
-
2RC И2(t)+ 2RC Ио(h).
(1)
Решение этого уравнения можно записать в обще м виде [71
После ряда преобразований решение уравнения (1) приводится
к такому виду :
h
t
t-t1
t-h
Ис(t) =
-
~сSИ2(t)dt- 2~сSе-2Rc И2(t1) dt1 - U2(h)(1-е- 2Rc).
О
,
h
Если далее разложить экспоненциальную функцию в ряд Тей­
лора, то с точностью до нелинейных членов разложения получим
h
2/i
Uc(2h)=- ~с Su2(t)dt-2~c Sи 2 U1)dt1-
o
h.
2/i
h
h'
2RC И2(h) + 2R2C2 Jи2(tJdtl.
,,
Два последних члена определяют погрешность интегрирования
входного напряжения на конденсаторе С в течение времени,
когда усилитель отключен . Чтобы оценить величину этой погреш­
ности, представим входную функцию в виде ряда и рассмотрим
только его линейные члены. Тогда можно показать , что погреш­
ность интегрирования
2h
2h
1s
hs
!i
о= 2RC
И2(tJdt1 + 2R2c2 И2(t1)dt1 - 2RC И2(h)
h
h
имеет следующий вид :
Так как h << RC, то погрешность о имеет незначительную
величину и уменьшается при уменьшении h. Напряжение на по-
22

люсе 1 динамического интегро-дифференциатора на интервале h <
< t < 2h запишется так:
h
•
1Г
h
U1 (2h) =
-
RC JU2(t)dt- 2RC И2(h)
о
(2)
Графически результаты анализа представлены на рисунке (6).
Из соотношения (2) следует, что при отключенном усилителе нап­
ряжение на полюсе 1 изменяется так, как будто интегрирование
происходит с постоянной времени, в два раза большей, чем на ин­
тервале О< t < h. Когда усилитель подключается (t = 2h), нап­
ряжение U1 (t), если положить о = О, определяется формулой
h
2h
•
1r
IS
U1 (2h) =
-
RC.) U2 (t)dt- RC U2(t1)dt1 •
О
h
Обратимый интегро -дифференциатор будет работать в режиме
дифференцирования, когда полюс 1 является входным, а полюс
2 - вы ходным . Полагая, что на первом интервале усилитель под­
ключен, получим
И2(h) =
-
RCU~ (h),
ИO(h) =
-
2Rси; (h).
При отr<люченном усилителе для полученной цепи можно соста­
вить дифференциальное уравнение
d~/ + 2~с И2(t) = 2~сU1(t)+и:(h),
решение которо го имеет вид
Uc (t)=И1 (h)e- ~~~ +ifе- 1~~ [ 2~cU1 (t1)+U:(h)]dt1 .
Тепе рь находим напряжение на выходном полюсе :
t-li
t-h
И2(t) =
-
2Rси:(li)- Иi/l)е - 2RC +Rси:(h)e-2RC
-
t
t-lz
-
_I_ sе- 2RCИ(t)dt + И~(t).
4RC
ii
i
2
lz
(3)
Разложе ние экспоненциальной функции в ряд Тейлора с последую­
щим отбрасыванием н елинейных членов позволяет привести (3)
к виду
И2(t)=-И; (h)- И1U1);И1(t) - U\(h) (t-h)-
(4)
Пр!1RC=1.
23

Подробно анализировать выражение (4) здесь не будем. Отме­
тим только, что для ряда функций, например А t, А (l - е-а 1 ).
сумма последних четырех членов выражения (4) является прене­
брежимо малой величиной. По-видимому, можно с достаточной для
практики точностью считать, что для функций, удовлетворяющих
условию ж) эта сумма также будет малой (рисунок, в).
Таким образом, можно сделать вывод, что методическая по­
грешность получаемых решений будет тем меньше, чем больше час­
тота переключений усилителя, емкость конденсаторов С0 , выход ­
ная проводимость усилителя и его коэффициент усиления .
ЛИТЕРАТУРА
1. П у х о в Г. Е . - Изв. вузов, Электромеханика, 1963, 2.
2. П у х о в Г. Е. Избранные вопросы теории математических машин .
Изд-во АН УССР, К., 1964.
3.Пухов Г. Е., Борковский Б. А.-В кн.: Математическое
моделирование и электрические цепи. Вып. 2. «Наукова думка», К ., 1964.
4. П ух о в Г. Е.- Кибернетика, 1965, 2.
5.БорковскийБ.А.
-
Кибернетика, 1965, 3.
6.Пухов Г. Е.,Борковский Б. А.-Кибернетика, 1965;6.
7. Б ел л м а н Р. Теория устойчивости решения дифференциальных урав­
нений. ИЛ, М., 1954.
Доложено на семинаре
15 апреля 1966 г.

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ
ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
А. А. ТЮТИН
1. В настоящей работе рассматриваются динамические модели~
с переключаемым отрабатывающим усилителем для последователь­
ного образования потенциально-нулевых точек [1 ] . Метод динами­
ческого моделирования алгебраических и дифференциальных урав­
нений с использованием отрабатывающего усилителя описан в ,
работах [2, 3] . Модели такого типа состоят из квазианалога модели­
руемой системы уравнений, коммутирующих ключей, отрабатываю­
щего усилителя и устройства управления. Ключи и усилитель
образуют устройство уравновешивания квазианалога. В дальнейшем
будет показано, что для уравновешивания квазианалога можно ·
также использовать двухпозиционные устройства (типа усилителя.
с релейным выходом [4] и некоторые другие).
2. Рассмотрим вначале особенности работы динамических мо­
делей. Известно, что процесс уравновешивания в таких моделях
организован так, что в течение цикла уравновешивания длитель­
ностью Т переключаемый с частотой fO усилитель отрабатывает п
потенциально-нулевых точек, где п - порядок системы модели­
руемых уравнений. При моделировании алгебраических уравнений ,
каждая i-ая потенциально-нулевая точка отрабатывается в течение -
т
интервала h = п [2]. При моделировании дифференциальных урав-
нений интервал .h делится дополнительно на два такта длитель-­
ностью h' и h", причем h' » h". В течение первого такта усили­
тель отрабатывает i-ую точку, а в течение второго (перед перехо­
дом в следующую точку) - все остальные потенциально-нулевые
точки [3 l.
В динамические модели входят запоминающие конденсаторы, под­
ключенные к тем полюсам модели, напряжения на которых моде-­
лируют неизвестные величины х;; на i-ом запоминающем конден­
саторе хранится результат отработки напряжения Х; [1-3].
Кроме того, для динамических моделей, как и для обычных_
квазианалоговых моделей с уравновешиванием, должно выполнять-
25>

-ся условие малости напряжений 8; в потенциально - нулевых точ­
ках, что достигается за счет большого коэффициента усиления уси­
лителя.
Таким образом, отработка напряжения 8; является периоди­
ческим процессом (при циклической отработке потенциально-нуле­
вых точек): в течение интервала h связь между на п ряжениями 8;
и Х; определяется процессами в замкнутой цепи обратной связи,
:а в течение интервала Т - h
-
процессами в разомкнутой цепи,
-·так как в это время усилитель отрабатывает другие точки. Для
L/мь OOfJOmнou crJюu
1-----
-l
х,1
о
1
С,-
1
r
"I
1
~1
L_ ____ __ _j
f
=k
-,
х,
о
Рис. !.
· пары напряжений 8; и Х; динамическую модель можно п редставить
в виде схемы рис. 1, а, где К1 и К2 - rшммутирующие ключи, У
-
- отрабатывающий усилитель, С0 - запоминающий конденсатор.
На интервале h ключи К 1 и К2 подключают синхронно усилитель
к полюсам (8;, х;) модели; напряжение 8; отрабатывается до ми­
нимума, определяемого величиной коэффициента усиления усили­
теля; конденсатор Cu заряжается до напряжения Х;, т . е. переход­
ный процесс в схеме должен окончиться в пределах интервала h.
В течение остальной части цикла уравновешивания (на интервале
Т - h) усилитель отключен от полюсов (8;, х;); напряжения 8;
и х; меняются по некоторому закону, однако, благодаря запоми­
нающим свойствам конденсатора С0 , изменение напряжения Х;
невелико (1].
Характер переходного процесса на интервале h определяется
собственными числами системы дифференциальных уравнений, о п и­
сывающих состояние цепи. Если наложить условие устойчивой
работы динамической модели на каждом интервале (необходимость
выполнения этого условия пока что не доказана) и потребовать опре­
деле н ное качество переходного процесса, то можно получить тре­
бования к частотным зависимостям модуля и фазы петлевого уси-
26

.ления таким же путем, как это делается в обычных операционных
блоках (см., например, работу [5]). При расчете следует учесть
,большую постоянную времени в выходном каскаде усилителя,
появляющуюся из-за влияния запоминающего конденсатора. Так
как с уменьшением частоты среза увеличивается время регулиро­
·вания и время установления переходного процесса, то очевидно,
что постоянные времени других каскадов отрабатывающего усили­
теля и цепи обратной связи , образованной квазианалогом и ком­
мутирующими ключами, должны быть значительно ме н ьше, чем
-постоянная времени инерционного звена в выходном каскаде уси­
.лителя. Учитывая также условие отработки потенциально - нулевой
точки в течение интервала h, можем сформулировать следующие
требования к постоянным времени:
а) постоянная времени инерционного звена на выходе усили­
теля должна быть меньше длительности интервала уравновеши­
вания:
(1)
б) постоянная времени усилителя (без учета влияния запоми-
)
б
•о.
(Нающего конденсатора должна ыть порядка -к;·
Туе= ;:,
(2)
где К0 - коэффициент усиления отрабатывающего усилителя;
в) сумма постоянных времени цепи обратной связи и монтажа
должна удовлетворять условию:
(3)
Следует, конечно, помнить, что эти условия - приближенные,
так как получены они в предположении линейной системы .
Из условия (2), однако, следует, что при подключении усили ­
теля к i-ой потенциально-нулевой точке нз-за наличия инерцион­
ного з вена на выходе усилителя обратная связь запаздывает и уси­
.литель выходит за пределы линейного участка в область насыще­
ння (рис. 2, а). ДействитЕ:льно, если выбрать диапазон линейного
изменения выходного напряжения усилителя равным ± 100 в,
а 1<оэффициент усиления К0 = 10 ООО, то максимальное входное
напряжение Ивх.ыакс, при котором усилитель еще не выходит за
преде лы линейной области, будет равняться 10 мв. Чем больше
коэффициент усиления отрабатывающего усилителя, тем точнее
выполняется условие эквивалентности квазианалоrа системе моде­
л ир уе~ Iых ур.авн е ний . Следовательно , увеличение коэффициента
уси ле ния К0 еще больше сужает пределы изменения входного нап­
ряж е ния и увеличивает вероятность перехода усилителя в режим
насыще ния в момент его подключения. Поэтому при анализе ра­
боты ~ юдели необходимо учитывать наличие нелинейности типа
насыщения. Можно сказать, что на интервале h ключи, усилитель
27

и запоминающий конденсатор образуют импульсную систему с не­
линейностью типа насыщения и идеальным запаздыванием tзап ::::::::
:::::::: •о (рис. 1, 6). Эту идеализированную схему также можно исполь­
~,rмакс
а
Ив,,,
-----т-~1 •Е
11
11
зовать при анализе процесса
отработки потенциально-нулевой
точки на интервале h.
------= 1:,'-Jl..,_ 1 -+1+_ ,,t:,,.__ ____, _ Uo,
,о
Таким образом, особенности
работы динамических моделей
приводят к тому, что, по край­
ней мере на части интервала /i,
отрабатывающий усилитель на­
ходится в насыщении, а его вы­
ходной каскад работает в клю­
чевом режиме заряда запоми­
нающего конденсатора С0 . Есте­
ственно, что выходной каскад
должен быть построен по сим­
метричной схеме, чтобы обеспе­
чивалось одинаковое зарядное
сопротивление при любой по­
лярности входного напряжения .
Одна из возможных схем такого
рода показана на рис. 3, а, взя­
то м из работы [6]. Очевидно,
что выходной каскад должен
обеспечивать зарядный ток
1
1
-f l,._.._ _ _ __
(j
-6
6
-----"'-i~ooJ-=------'-и~
-Е .,...______
8
Рис. 2.
.
Е
Lзар.макс= -,-.- ; Гзйр= r+Гнас,,
Зар
где r - сопротивление откры­
того коммутирующего выходного
ключа; Гнас - сопротивление на­
сыщения выходного каскада.
Величина зарядного сопро­
тивления Гзар должна подчи ­
няться требованиям, полученным
из следующих рассуждений.
Так как выходной каскад отрабатывающего усилителя работае т
Е ключевом режиме и переходный процесс отработки i-ой потен­
циально -н улевой точки должен окончиться в течение i-го интервала
(условие (1)), то для постоянной времени заряда запоминающего
конденсатора можно написать
Г3арС0= ah; а«1.
В промежутке между интервалами h запоминающий конденсатор
должен сохранить заряд, т. е.
RразрСо=~(Т- h); ~»1.
28

Из этих двух условий получим
а Rразр
n=1+т·
1"
Гзар
(5)
Здесь п - количество потенциально-нулевых точек в схеме ква­
зианалога: Rразр - сопротивление цепи, на которое разряжается
запоминающий конденсатор в интервале Т - h .
---
-Е,
а
UIJПP
Г1
о
Рис. 3.
Из соотношения (5) следует, что требуемая величина зарядного
сопротивления Гзаr зависит от числа отрабатываемых точек, вели­
чины погрешности операции и величин сопротивлений в схеме ква­
зианалога. Коэффициенты а: и ~ должны определяться из анализа
погрешности выполнения операции.
Требования к входному сопротивлению отрабатывающего уси­
лителя, его коэффициенту усиления и компенсации дрейфа нуля,
не отличаются от требований, предъявляемых к усилителям в обыч­
ных квазианалоговых . моделях.
Увеличение коэффициента усиления отрабатывающего усили­
теля можно получить за счет применения внутренней положитель­
ной обратной связи (см., например , [7]). При критической величине
этой обра ·гной связи устройство имеет ступенчатую амплитудную
характеристику (рис. 2, 6), а при обратной связи больше крити-
29

ческой - характеристику с петлей гистерезиса (рис. 2, в) По­
следний тип характеристики интересен тем, что усилитель в разомк ­
нутом состоянии неустойчив и ведет себя как триггер, но, будучи
охвачен отрицательной обратной связью, работает как решающий
усилитель с эквивалентным коэффициентом усиления
Е
Ко.экв= Л,
где Л - половина ширины зоны гистерезиса .
(6);
3. Возможная работа отрабатывающего усилителя в режиме­
насыщения (выходной каскад - в ключевом режиме) приводит
к идее о замене уравновешивающего элемента непрерывнuго дей­
ствия, ка1шм является усилитель с характеристикой а), на урав­
новешивающий элемент релейного типа с характеристикой б) или
в). Такие уравновешивающие элементы (УЭ) назовем двухпози­
ционными первого и второго рода, соответственно. Двухпозицион­
ный УЭ первого рода может быть выполнен либо в виде усилителя
с внутренней положительной обратной связью критической вели­
чины [7], либо в виде усилителя с релейным выходом [41 . Мини­
мальная величина сигнала ошибкй Б; в таких устройствах опреде­
ляется шириной зоны нечувствительности Л (рис. 2, 6). Двухпо­
зи ционный УЭ второго рода можно выполнить либо в виде усили­
теля с внутренней обратной связью, больше критической (собствен­
но, это уже не усилитель, а триггер), либо в виде специального ·
устройства, состоящего из компараторов и триггера [8]. На выходе
триггера должен включаться симметричный ключ, либо выход триг­
гера должен выполняться по симметричной схеме, 1<ак и выход
усилителя в непрерывном УЭ. Одна из возможных схем бесконтакт­
ного симметричного ключа показана на рис. 3, 6.
Процесс отработки потенциально-нулевых точек двухпозицион­
ными УЭ протекает так же, как процесс слежения в двухпозицион­
ных системах автоматического регулирования. Для анализа можно
использовать эквивалентную схему ключа (рис. 3, в), где rзar =
= r+rнас·
Требования к двухпозиционным УЭ можно сформулировать сле­
дующим образом:
а) ширина зоны нечувствительности или зоны гистерезиса
должна быть не меньше ширины области линейной работы в непре ­
рывных УЭ:
Л,<Ивх.макс;
(7}
б) сумма постоянных времени, определяющих скорость пере­
броса схемы из одного состояния в другое, должна быть значитель­
но меньше постоянной времени заряда запоминающего конден­
сатора:
(8)
30

Требования к величине входного и зарядного сопротивлений;·
не меняюгся. Применение двухпозиционных УЭ практически сни­
мает проблему дрейфа в динамических моделях (см. аналогичный
вывод в работе [8] для двухпозиционных стабилизаторов напря- ­
жения).
4. В заключение рассмотрим возмuжность использования опера­
ционных усилителей постоянного тока (ОУПТ) в качестве пере­
ключаемых отрабатывающих усилителей в динамических моделях.
При использовании ОУПТ качество отработки зависит от того,
в какой мере характеристики ОУПТ соответствуют указанным выше
требованиям. Прежде всего это uтносится к динамическим свойст­
вам ОУПТ и его поведению в режиме насыщения. Поведение
ОУПТ в режиме насыщения должно удовлетворять двум услоРиям:
а) симметричности сопротивления насыщения выходного каскада
по отношению к полярности выходного напряжения; б) малости
времени выхода усилителя из насыщения (по сравнению с h).
Первое условие может быть достигнуто путем выбора ОУПТ с сим- ­
метричным выходным каскадом (типа УУ-2), второе - наклады­
вает ограничения на структуру ОУПТ. Известно, что ОУПТ сред­
ней и высокой точности строятся по принципу параллельных кана- ­
л.ов с разными постоянными времени. В этом случае время выхода
усилителя из насыщения будет определяться наибольшей постоян­
ной времени, которая обычно связана с фильтром на выходе канала ,
М-ДМ. Поэтому, если требуется высокая частота переключения,
желательно использовать одноканальные ОУПТ, т. е. без М-ДМ.
Но тогда возникает проблема уменьшения дрейфа нуля. Что же ·
касается динамических свойств, то для уменьшения времени пере­
ходнuго процесса необходимо выбирать ОУПТ с высокой частотой
среза, которая в одноканальных ОУПТ ограничена условием устой­
чивой работы. Таким образом, можно сделать вывод, что наиболее ·
подходящим ОУПТ для работы в динамических моделях является
одноканальный ОУПТ с симметричным выходом (например, из
серии усилителей ЭМУ, разработанных в свое время в Институте
автоматики и телемеханики АН СССР). Следует, конечно, учиты­
вать ограниченные возможности таких усилителей при выборе
частоты переключения и количества отрабатываемых точек и, если
это необходимо, расширять рабочую область частот ОУПТ, учиты­
вая, что роль стабилизирующей цепи может выполнять инерцион- ­
ное звено, связанное с запоминающим конденсатором .
ЛИТЕРАТУРА
1.Пvхов Г. Е.-Кибернетика, 1965.2.
2.БорковскийБ. А.
-
Кибернетика , 1965 , 3.
3.Борковский Б. А.
-
Кибернет- , к3 , 1965, 6.
4.СамойловВ. д.
-
Настоящий сборник, 33.
5.ПолонниковД. Е.-В кн.:Вычислительнаятехникавуправле•
нии. «Наука», М., 1964.
31

6. Л а к v н и н Н. Б. - В кн.: Аналоговая и аналого-цифровая вычисли­
·тельная технЙка. «Машиностроение», М., 1964.
7. Т ют и н А. А. Автореферат кандидатской диссертации. Киевский по ­
_литехнический институт, 1964.
8. Б ел о в В. м·. Автореферат кандидатской диссертации. Сибирское от­
_деление АН СССР, Новосибирск, 1966.
Доложено на семинаре
27 мая 1966 г.

УСИЛИТЕЛЬ С РЕЛЕЙНЫМ ВЫХОДОМ
В.Д.САМОйЛОВ
При построении динамических моделей возникает необходи­
мость в усилителе с достаточно низким выходным сопротивлением
без обратной связи, допускающим работу на большую емкость.
Однако хорошие отечественные УПТ (например, усилитель ТУ- 10)
не допускают подключения на выход большой емкости. Нами пред­
ложена и испытана схема усилителя с релейным выходом. В схеме
,{J, z,
Zo,
г-- -------- - -----
,и
- -----,
1
1
1
1
1
tl
~-~
~
1
> ,- - - ;>----1~
С
1
~~~
и,
I1
1_------------
.
-
-
-
_J_
-
-
-
-
-
_j
1/п;ю§ленuР
-U
(рисунок) можно использовать любой хороший усилитель в каче­
стве нуль-органа (НО), управляющего релейным выходом из двух
ключей К1 и К2 , которые подключаются в зависимости от знака
на выходеНОк шинам+Uили-U
.
Релейный усилитель
работает аналогично обычному операционному усилителю с обрат­
ной связью Z0_0 и входными комплексными сопротивлениями
Z1 , ... , Zn. Суммирующая точка релейного усилителя обозначена s,
выход с емкости С - Ивых· Ключи К1 и К2 , управляемые инвер­
торами И 1 и И2 , в данном случае являются выходным каскадом
релейного УПТ.
Релейный выход позволяет :
1) уменьшить выходное сопротивление УПТ в разомкнутом со­
сто янии, что дает возможность более быстро заряжать выходную
емк ость в динамических моделях;
2) использовать практически любые УПТ в качестве НО;
3) управлять выходным каскадом по дополнительному входу;
J 7-2622
33

4) подключать к одному НО несколькu выходных каскадов ,
т. е. создавать релейный усилитель со многи ми вы хода м и ;
5) увеличить к. п . д. выходного каскада .
Для ослабления высокочастотных колебаний , пооникающих с вы ­
хuда при емкостной uбратной связи релейного усилителя, на в ходе
НО подключались диоды Д1 и Д2 . В качестве выходны х ключей
использовались транзисторные ключи с пuтенциально изолирован­
ным от земли управлением [1 ].
К ключевым транзисторам не предъявлялось особых требований,
крuме обеспечения необходимого тока в открытом состоянии и вы ­
держивании в закрытuм состоянии напряжения 2U. Так как каж­
дый кJiюч коммутирует напряжение только одной полярности,
можно ставить по одному транзистору на ключ .
ЛИТЕРАТУРА
1. С а м ой л о в В . Д.- В кн .: Математическое моделирование и электр и­
ческие цепи. Вып . 4. «Наукова думка», К. , 1966.
Доложено на се!Vlинаре
27 мая 1966 r.

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Б.А. БОРКОВСКИЙ,А. Н. ВОЛЛЕРНЕР,
А. Ф. КАТКОВ, В. П. РОМАНЦОВ
При построении аналоговых математических машин обычно ис­
пользовался метод одновременного получt:ния потенциа:rьно-нуле­
ьых точек при помощи соотвt:тствуюlliего включения отрабатываю­
щих усилителей с большим отрицательным коэффициентом усиле­
ния (паμаллt:J1ьный метод), количество усилитt:J1ей должно равняться
количеству искомых потенциально-нулевых точек.
В работах [1, 2) изложен последовательный способ отработки
потенциально-нулевых точек. Для его реализации необходим уси­
литель, циклически подключаемый к требуемым точкам электри­
ческой цепи. Модели, построенные по такому принципу, относятся
к динамическим, так как заданные уравнения и уравнения мо­
делируемые квазианалогом, эквивалентны в режиме периодического
изменения ее структуры. На рис. 1 приведен общий вид динами­
ческой модели . Как видно из рисую,а, последовательное подклю­
чение усилителя к требуемым точкам квазианалога М осущест­
вляется устройством управления, состоящим из распределительного
устройства (РУ) и ключевых ячеек Kj (КЯ).
С целью экспериментального исследования динамических моде­
лей был изготовлен макет для решения систем линейных алгебраи­
ческих и дифференциальных уравнений * (рис. 2).
Макет состоит из таких основных частей: коммутационных полей
для решения дифференциальных и алгебраических уравнений с по­
стоянными коэффициентами до 6-го порядка включительно; одного
отрабатывающего усилителя ; устройства управления модели; блока
запоминающих конденсаторов; пульта управления и контроля;
блоков нелинейности типа БН-1 О; блоков перемножения типа
БП-4; источника питания.
Набор задачи осуществляется вилочками и короткими провод­
никамн. Коммутационное поле для решения дифференциальных
3*
* В создании м акета принимали участие также Н. А. Буяло и Ю. И. Якубчик.
35

урав н ений выполнено по типу наборного поля электронной модели­
рующей установки МН- 7, а для решения систем алгебраических,
уравнений - в виде матрицы, в узлах которой включены перемен­
ные проводимости, моделирующие коэффициенты системы. Уста­
новка величин проводимостей производится с помощью измери­
тельной мостовой схемы . Для этого предусмотрено от1<лючение про­
водимостей от горизонтальных шин матрицы.
В качестве отрабатывающего усилителя можно использовать
различные усилители постоянного тока (в том числе и полупровод-
j
п
г:-:-------t-------,,-----1~
Ру
Рис. !.
никовые). В экспериментальных работах, проводимых на макете
применялись усилители типа УПТ-4, У-1 и УУ-2. Устройство
управления динамических моделей состоит из РУ и КЯ [З]. Рас­
пределительное устройство управляет работой КЯ, одновременно
подключающих вход и выход отрабатывающего усилителя к со ­
ответствующим точкам электрической цепи, удерживая остальные
ключи в закрытом состоянии. Такое управление легко выполнить
с помощью двоичного счетчика с дешифратором, осуществляющим
переключение по кольцу. В основном, при работе с макетом исполь­
зова лось РУ на элементах потенциальной структуры, однако
предусмотрена возможность подключения других типов РУ, постро­
енных на элементах импульсно - потенциальной стр у 1<туры, четырех­
слойных диодах (динисторах), многофазных триггер ах и др. Клю ­
чевые ячейки потенциально развязаны друг от друга по цепи управ ­
ления и собраны по схеме с симметричным инверсным включением
тран з исторов. Благодаря симметричному включению транзисторов,
I<лючевая схема может работать при различных полярностях пере ­
ключаемого напряжения . Влияние управляющей части на комму-
Зб

тнрующую в такой схеме также сводится к минимуму, так как ток
базы протекает только внутри переключателя и не ответвляется
в коммутируемые цепи. Потенциальная разв яз ка ключей упро­
щает построение схем управления. Конструктивно входные и вы­
ходные ключи смонтированы на одной плате стандартной ячейки
УМШН и имеют общую цепь управления. Подробное описание
ключевой ячейки приведено в работе [4 ].
Рис. 2.
Блок запо м инающих конденсаторов состоит из 20 конденсато­
ров типа МБГП-1 (10 мкф) . Пульт управления и контроля позво­
ляет устанавливать все необходимые режимы работы макета при
решении задач, а также регистрировать средние значения напря­
жений на запоминающих конденсаторах.
На модели производилось:
1) моделирование мате ~ штичесr<Их операций;
2) моделирование систем линейных алгебраических уравнений ;
3) моделирование линейных дифференциальных уравнений.
При динамическом моделировании математических операций
сложения и интегрирования определялась зависимость погрешности
выполнения этих операций. Динамический сумматор (интегратор)
37

на три входа исследовался при суммировании (интегрировании)
различных постоянных напряжений. Погрешность суммирования
(интегрирования) не превышала 1% . Для оценки повторяемости
результатов суммирования и интегрирования каждый опыт повто­
рялся от 1О до 20 раз. Среднеквадратичное отклонение не превы­
шало 1% от величины выходного напряжения.
Рис. 3.
На макете решались системы линейных алгебраических уравне­
ний вида
ап1Х1 + ···+ аппХп = аоfп,
или в матричной форме
где А - неособен н ая квадратная матрица.
(1)
(2)
Динамическая модель системы (1) изображена на рис. 3. Прово­
димости, моделирующие коэффициенты матрицы решаемои си­
стемы уравнений, изменялись от сотен килоом до двух-трех мегом.
Погрешность решения зависела от порядка решаемых систем урав­
нений и не превышала 3% для системы уравнений 6-го порядка .
В экспериментальные работы по динамическому моделированию
дифференциальных уравнений входило решение дифференциальных
уравнений до 4 - го порядка, для моделирования которых методом
параллельного образования потенциально-нулевых точек потребо ­
валось бы шесть отрабатывающих усилителей. Много внимания
38

Оо
Оо
Рис. 4.
t,сек
Рис. 5.
Рис. 6.

уделялось решению линейных дифференциальных уравнений вто­
рого порядка вида
(3}
динамическая модель которого приведена на рис. 4. Это уравнение
характерно тем, что периодический характер решения позволяет
исследовать повторяемость решений на модели. Эксперименты на
Рис. 7.
макете показали, что воспроизводимость решения у динамических
моделей одного порядЕа с машиной МН- 7. Результаты эксперимен­
та по решению дифференuиальных уравнений 1-го и 2-го порядка,
приведены на рис. 5 и 6, где точками отмечено точное значение­
решения, вычисленное аналитически. На рис. 7 изображена осцил­
лограмма выходного напряжения усилителя при решении уравне­
rшя (3). Так как в этом случае усилитель последовательно отрабаты­
вает производную, функцию и ее инверсию, то, наблюдая за на­
пряжением на его выходе, можно следить за всеми тремя кривыми
одновременно.
ЛИТЕРАТУРА
1.ПуховГ.Е.
-
Кибернетика. 1965, 2 .
2. Борковский Б. А., Пухов Г. Е.-8 кн.: Математическое
модР.лирование и электрические uепи. Вып. IV. «НJукова думка», К., 1966.
3. Воллернер А. Н., Катков А. Ф.-8 кн.: Труды семин<1ра
«Методы математического моделирования и теория электрических uепей». Вып .
2. «Наукова думка», К., 1966.
4. С и м а к Д. А.- Настоящий сборник, 56.
Рассмотрено на семинаре
27 мая 1966 r.

---
-- -- ~----- ----
К ВОПРОСУ О МОДЕЛ ИРОВАНИИ УРАВНЕНИЙ
В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
В. П. РОМАНЦОВ
Часто решение дифференциальных уравнений невозмож но по ­
лучить в явном виде. В таких -случаях прибегают к численным
методам решения подобных уравнений.
_Одним
из самых простых численных методов является метод
Эйлера, суть которого в приближенной замене искомой интеграль­
ной кривой ломаной [1 ]. Точки из лома определяются следующим
образом . Отрезок независимой переменной х, на котором необхо ­
димо определить решение, разбивается на п одинаковых промежут­
ков . Величина h = х; + 1 - Х; называется шагом разбиения ~
-При
достаточно малом шаге можно принять, что на его протяжени и
производная сохраняет постоянное значение.
Таким образом, если дано дифференциальное уравнение
dy
f )х=х0,
dx= (х,у'
У= Уо,
то точки излома можно определить по формулам
У1=Уо+hA0,
У2= У1+hA1,
Уп = Уп-l + hАп-1,
где
А;=f(Х;'у;).
(1)
(2)
В работе [2] был предложен способ построения динамических
моделей для решения систем линейных дифференциальных уравне­
ний вида
dx
т Тt + Ax=gf,
(3)
где х - вектор неизвестны х; А
-
квадратная неособенная мат­
рица; f - вектор правых частей; g, ,: - некоторые постоянные.
41

Модели, в которых отработка потенциально-нулевых точек
,осуществляется последовательно одним отрабатывающим усилите-
{it/)
х,
ьь
(tJ
·Х,
.1,
Тj
/4
xtiJ
'
.лем, циклически подключаемым к требуемым точкам электрической
uепи, относятся к динамическим [3, 4].
Из сказанного выше следует, что систему (3) можно заменить
,следующей системой разностных уравнений:
(4)
,где i = О, 1, 2, ... , п указывает номер шага. Динамическая модель
этой системы приведена на рис. 1. Она состоит из матриu омических
х,.,
-х,
х,
Io
!,
/J
/J
/J
/J
х"
Рис. 2.
:проводимостей, запоминающих конденсаторов С0 , источников {;
.для задания правых частей. В места, отмеченные стрелками, с по­
мощью ключей цикличес ки подключается отрабатывающий усили­
тель, причем входу усилителя соответствует конец стрелки, а вы­
.ходу - ее начало .
42

Для экспериментальной проверки данного способа моде-
лирования были решены некоторые дифференциальные уравнения.
Опыты проводились на макете динамической модели алгебраиче-
20
Рис. 3.
ских и дифференци альнь1х уравнений [5] . Решались однородные
дифференциальные уравнения первого порядка
~~=
-
Х, Х0= 1;
(5)
dx
dt=Х, Х0=1.
-х,.
ь
ь
ь
ь
ь
ь
~
It'"
а
xi,,.,
-Х;
ь
ь
'-. _..# ··"':--4- -c~..,~ -c=•J-,-+----;
Iс,
It,
о
Рис. 4.
Аналитическое решение первого уравнения имеет вид
х=е-1,
а разностное уравнение записьшается так:
1
1
hXi+I- hх,+Х;=о,
(6)
(7)
(8)
4З

где h - величина шага независимой пере менной . На рис. 2 пока ­
зана динамическая модель уравнения (8), аппроксимирующего урав-
нение (5). Величина проводимостей Т~ а выбирается в зависимости
/J,8
21,
21
18
15
12
g
6
3
от желаемой величины шага . Запоминаю­
щие конденсаторы С0 должны быть доста­
точно большими .
Перед началом работы на шины - Х; и Х;
необходимо задать напряжения, соответст­
вующие начальному значению х. Для этого
нужно отрабатывающий усилитель подклю­
чить к шине Х;, а на шине - Х; задать на­
пряжение , соответствующее значению - х0 •
Тогда на шине Х; с помощью подключенног о
к ней усилителя получается напряжение, со­
ответствующее х0 .
Алгоритм работы модели состоит в сле­
дующем. При подк лючении усилителя к ши­
не х;+1 получается значение х = х1 , которое
затем используется как исходное для опреде­
ления точки х2 и т . д. Процесс циклически
повторяется. В результате находится искомое
0 ...,,.._а~5--,.0~-,~_5-t.-сек решение. Осциллограмма решения уравнения
приведена на рис. 3.
Рис. 5.
Можно показать, что схема модели урав-
нения (6), построенная по общей схеме (рис. !) ,
приводится к виду, представленному на рис. 4, а. Полученную
схему можно упростить (рис. 4, б). Аналитическое решение этого
уравнения записывается в виде показательной функции х = е1 •
Осциллограмма решения изображена на рис . 5.
Погрешность решения линейных однородных
ных уравнений на моделях, описанных выше, не
10% по отношению к табличным значениям .
ЛИТЕРАТУРА
дифференциаль­
превышала 5-
!. Крыл о в А . • Н. Лекции о приближенных вычислениях. ГИТТЛ ,
М.-Л., 1950 .
2.Пухов Г. Е.-ДАНУРСР,1966,8.
3. П ух о в Г. Е.- Кибернетика, 1965 , 2.
4.Борковский Б. А.,Пухов.Г. Е.
-
В. кн. : МатематичесJ<ое
моделирование и электрические цепи. Вып . IV. «Наукова думка», К ., 1966 .
5. Борковский Б. А., Воллернер А. Н., Катков А. Ф. ,
РоманцовВ. П.- Настоящийсборник,35.
44
Рассмотрено на семинаре
24 июня 1966 г.

О ЧАСТОТЕ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ
РЕШАЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ
,\. Н. ВОЛЛЕРНЕР
1. При построении динамических моделей необходимо опре­
делять частоту переключения динамических решающих элементов
{ДРЭ) [1 ]. Одна из особенностей работы динамических моделей
х
х•
а
'--+ -t-- --+-+-- - -+-+- --+-+-- -- -t
/J
Т=пп
состоит в том , что вместо точных значений функции Х (t) отрабаты ­
вается некоторая кривая Х* (t), аппроксимирующая эту функцию
(рисунок, а). На интервале t; < t' < ti усилитель подключен,
и происходит отработка функции Х (t). При отключенном усили­
теле значение функции Х (t') в любой момент времени, принад­
лежащий интервалу tj < t' < t;+1, принимается равным значению
45

величины, отработанной вычислительным устройством в точке tj '
Поэтому выбор частоты переключения ДРЭ должен производиться
с учетом погрешности, возникающей при аппроксимации отрабаты­
ваемой величины. В данной работе определяется эта частота для
идеализированного ДРЭ с учетом допущений, принятых в рабо­
те [11.
2. В зависимuсти от типа устройства, подключаемого к дина­
мической модели, изменяются требования, предъявляемые к оценке
допустимой погрешности моделирования. При использовании вы­
ходных устройств, реагирующих на мгновенное значение выход­
ных параметров (например, релейных), частота переключения вы­
бирается исходя из требований минимума максимальной погреш­
ности, т. е. точного определения значения величины функций
в любой произвольный момент времени.
Если выходные устройства реагируют не на мгновенное, а на,
усредненное значение функции за какой-то промежуток времени,.
то применяются усредненные оценки хода и з менения отрабатывае­
мых величин во времени. В этом случае частота переключения вы­
бирается по минимуму среднеквадратичной погрешности.
Предположим , что задана абсолютная погрешность моделиро­
вания
ЛХ= \Х(t)- Х(t;)1:::::;1Х'(t;) \Лt (L\t = Т-h).
Максимальная величина погрешности будет на наиболее круто:VТ
участке функции, где первая производная достигает наибольшего
значения. Если известна максимальная скорость изменения функ­
ции, то при заданной величине приведенной погрешности модели­
рования б
f_(11- 1)maxIХ'(t)1.
1-
о
'
( 1)-
f1 - частота переключения ДРЭ; п
-
число ДРЭ, обслуживае­
мых одним отрабатывающим усилителем.
Частоту переключения ДРЭ также можно определить по задан­
ной величине среднеквадратичной погрешности [2]. Мгновенное
значение погрешности моделирования, обусловленное импульсным
характером работы ДРЭ, приведено на рисунке, б . С достаточной
для практики точностью эту кривую можно аппроксимировать се­
рией отрез1юв прямых с переменным наклоном. В таком представ­
лении среднеквадратичная ошибка б отрабатываемой величины Х (t)
имеет вид
,./1 h
О
а=JI hJЛX2dt=уз .
Частота переключения ДРЭ в этом случае должна быть равна
f_~
-
1)maxIХ'(t)1
(2)
11-
уза
46

3. Представляет интерес случай, когда функция имеет ограни­
ченный частотный спектр с максимальной частотой wC' Преобразо ­
вание Фурье, связывающее вещественную функцию времени Х (t)·
и ее спектральную плотность S (w) для функции с оrраниченньп-1;
спектром, имеет вид [3]
Х(t) = 2~ Т S(w) eiwt dw.
-Wc
Можно показать, что максимум производной функции Х (t) запи­
шется так :
шах\Х1(t) \ = 2~ max J\wS (w) 1dw <
-Wc
•
1
(02
< 2:rt max \ wS(w)\[wc-( -wc)J=+maxlS(w)I-
Пoдcтaвляя это выражение в формулы (1) и (2), имеем
f1=
(п- 1)cu~max IS(ш)1
(3);
лб
fп=
(п- 1)ш~max/S((J))1
(4),
узла
Полученные формулы использовались при экспериментах на,
динамической модели линейных дифференциальных уравнений [4].
Моделировалось уравнение 2-ro порядка вида
а1Х11+а2Х=О,
для которого решением является Х = А sin ,ot. Частота пере ­
ключения, подсчитанная по формуле (2), при заданной среднеквад­
ратичной погрешности 2% и w = 1, составляет порядка 60 гц ,
что хорошо согласуется с экспериментальными результатами.
ЛИТЕРАТУРА
1.ПуховГ. Е.,Борковский Б. А.
-
Кибернетика, 1965, 6.
2. Орнатский П. П.- В кн.: Цифровые измерительные приборы.
ЦИНТИ ЭП, М., 1961.
3.ХаркевичА. А.
-
Спектры и анализ . ГИТТЛ, М . , 1957.
4. Борковский Б. А . , Воллернер А. Н., Катков А. Ф.,
РоманuовВ. П.-Настоящий сборник, 35.
Рассмотрено на семинаре
24 июня 1966 г.
47

РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО
ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
НА ЧЕТЫРЕХСЛОЙНЫХ ДИОДАХ
А. Ф. КАТКОВ, А. И. БРАТЧИКОВ
При синтезе динамических моделей [1, 2] возникает необходи-
1\\Юсть в простых и надежных устройствах типа кольцевых счетчи­
ков, в которых можно легко изменять коэффициент пересчета и ко­
торые имеют достаточно мощный выход . чтобы управлять работой
: модели без промежуточных усилительных ступеней. Такими устрой-
icfu,,,!
',
....
' ....
.. ..
....
ствами являются кольцевые
счетчики, построенные с ис­
пользованием четырехслой­
ных диодов. Рассмотрим не­
которые их особенности.
Из характеристики, при­
веденной на рис. 1, можно
получить представление об
основных параметрах четы-
вщ,,,,J
v
рехслоиного диода, или ди-
{)
нистора, как его часто назы­
вают. Точка В (Ив, iв) (Ив -
напряжение и iв - ток пе-
Рис. 1.
реключения) отделяет уча-
сток, где сопротивление дио­
_да велико (состояние «закрыто»), от зоны отрицательного сопро­
тнвления. Величина напряже ния Ив может быrь выбрана в за­
висимости от типа диода в пределах 10 - 500 в. Ток iв со­
ответствует напряжению Ив и может нметь значения в пределах
от нескольких микроампер до нескольких десятков миллиампер.
В состоянии «закрыто» при напряжении , равном половине напря­
жения переключения, сопротивление диода изменяется от сотен
килоом до единиц мегом в зависимости от типа, а его собственная
емкость, уменьшающаяся с увеличением напряжения, равна не­
скольким десят,,ам пикuфарад. Очень важным параметром диода
48

является полное сопротивление его при напряжении, близком
к нулю. Во всех случаях активное сопротивление здесь меньше,
а емкость больше, чем для напряжения запирания. Точка С (Ис,
ic) отделяет участок отрицательного сопротивления на характери~
стике диода от участка, где сопротивление диода мало (состояние
«открыто»). Ток ic - это минимальный ток, необходимый для того,
чтобы диод находился в открытом состоянии. На обратной ветви
характеристики координаты точки А (UA, iA) соответствуют напря­
жению и току лавинного пробоя.
Напряжение И А фактически опре- rенер11тор
""'Л"';, ,пд !--С:}-~-~ощ111логп11ф
ДеЛЯеТСЯ НаПрЯЖеНИеМ На Нар уж- ит, :,п~Cvv
,-
НЫХ переходах, величина которого
при лавинном пробое велика, при-
чем для большинства динисторов
она выше, чем величина напря ­
жения переключения И в- На этой
ветви
характеристики заметна
область отрицательного сопротив-
ления большей или меньшей ве­
личины [3].
Важными параметрами четырех­
слойного диода, определяющими
его быстродействие, являются вре ­
мена его переключения: время
включения, т. е. время перехода из
закрытого состояния в открытое
при подаче на диод на п ряжения
И > Ив, и время выключения,
т. е. время обратного перехода в
за1,рытое состояние после отклю­
чения напряжения питания. Экс­
перименты показывают [4], что,
и
о
{}
{I,
а
t,,
t
о
t
6
Рис. 2.
если подавать на динистор в схеме, изображенной на рис. 2, а,
импульс прямоугольной формы (рис. 2, 6), то напряжение на нем
имеет форму, показанную на рис. 2, в, где Ии - амплитуда импуль­
са, подаваемого от генератора, И1 - величина напряжения на ди­
нисторе до переключения из закрытого состояния в открытое,
f1 - время задержки, t2 - время переключения из закрытого со ­
стояния в открытое, tз - время обратной задержки, t4 - время
обратного перехода в закрытое состояние. Время задержки t1 умень­
шается при увеличении напряжения, приложенного к диоду. За­
висимость времени задержки от напряжения была эксперименталь­
но определена по схеме, изображенной на рис. 2, а, для диодов
типа Д228Б (рис. 3) Из ее · анализа следует, что напряжение И1
может в несколько раз превышать величину напряжения переклю­
чения Ив, измеренную на постоянном токе ·. Превышение И1 над
Ив в 4-5 раз позволяет свести время задержки t1 до величины
4 7-2622
49

в десятые . доли микросекунд : Собственно время переключения tz
лежит в пределах . О, 1-0,3 мксек и уменьшается с увеличением U11 •
t,
5
_
*Д-IА
Что касается времени обратной задержки t3
и времени обратного переключения t4 , то эти
величины . обычно трудно разделить, а их
сумма (; . == tз + t4 представляет собой ве­
. ллчину ,
порядка 2-5 мксек.
4
з
, Д-JА * Д-2А
Д-4-А
: • Ха·рактеристики динисторов, как и боль­
шинства полупроводниковых приборов, су­
ществе1-що зависят от температуры Имеются
данные [5 ], что с повышением температуры
2
величины Ив, iв и ic уменьшаются, причем,
чем мощнее динистор, тем сильнее зависят
его параметр ы от температуры.
Рассмотрим далее некоторые вопросы,·
Д-5А
связанные , с . расчетом схемы кольцевого
о
20 4-0
бО 80. /00
2
3
.Рис. З.
120 140 lбО
4.u
Li
К'U,ма,<
счетчика на четырех­
слойных диодах. Один
ИЗ. ВОЗМОЖНЫХ Ба риан 0
тов такой схемы изоб-
ражен на рис. 4. При
в1с1ючении напряже­
ния Ua (Ua > Ивмакс)
один из динисторов
предположим, дини­
стор Дн2 , переключается в открытое состояние. Тогда
Ur;=-UаR:Ro'
U0 - напряжение в нуле-
вой точке. - Пренебрегая
падением напряжения на
динисторе в - открытом со­
стояаии и - диоде в прямим
направ.JJеЩI_!-!. , можем счи­
тать,чтоU0=U2,Дове- _
личины это г о напряже,ниУI; - -
зарядятся ко~щещатQры- Сi :: , __
и С2 , а , tal{жe - 1_щнде1:1~::а- •·• •
тор Са: • Через дищ1стQрс--; ,:: ,_, ·.
Дн 2 .проте){ает ток ..-
.,:,,,
поэтому динист9р , нахощл'~-; , ;1,,з.::1 ,п' .'-
сн : в , ·уст_о.(!чивом , qtкрьп:uм ;.,;;:,:п -, .~ •, .· .' · _,
СQЩ-ОЩН1'И <. .:,
.,,..,
,; ;, ,,:;jЗ } '-; -;:
11,
о

Если теперь на · вхuд схемы подать импуJJьс отрицательной по'"
лярности достаточной амплитуды от генератора с малым внутренни МI
сопротивлением , то в первый момент напряжение в точке О делает
с1,ачок и становится отрицательным по знаку. В том случае, когда
тuк через динистор в течение времени ts (суммарного времени пе ре - ­
_хода из открытого состояния в закрытое) ~Je станет больше или рав- ·
ны м ic, динистор Дн 2 переключится в закрытое состояние. Далее·
процессы в точках О и 2 протекаю1 по разному, Кuнденсатооь~
С1 и С2 теперь начинают разряжаться: конденсатор С1 - через­
сопротивления R1 и R2 , а конденсатор С2 - через R2 , R3 и об-·
ратное сопротивление диода Д3 . Постоянная времени разряда кон ­
денсатора С2
(1 )1
(Rд - обратное сопротивление диода) значительно больше, по-­
этому на катоде Днз создается длительный отрицательный потен ·-­
циал, облегчающий условия его переключения. В точке О пuсле­
окончания действия отриuательноrо входного импуJJьса напряже­
ние скачком увеличивается и по экспоненте приближается к Иа·
Так как облегченные условия для переключения бьши созданы у Днз ,
то он переключается в открытое состояние через время t1 + t,,.
и это состояние фиксируется до подачи на вход следующего отри ­
uательноrо импульса. Иллюстрацией к описанию работы схемы
является рис. 5, где приводятся диаграммы напряжений в точках
О, 2, 3 в момент подачи входного импульса.
Для устойчивой работы схемы необходимо, чтобь1 ее элементы
удовлетворяли следующим трем неравенствам:
R~+R >ic,
(2)
ИаR <И
Ro+R
в мин,
И
ИаR ·<И
В ма1,с -
Ro+R
Вмин•
(3)
(4)
Выполнение первого неравенства, как указывалось выше, обус­
ловливает усгойчивость открытого состояния к·аждоrО из динисто­
ров. Невыполнение второго неравенства может -повJiечь за собой
такую ситуаuию , когда в открытом состоянии окажется несколько,
динисторов из-за значительного разброса величины Ив среди однu ­
типных приборов, Третье неравен~тво показывает, что при работе­
устройства будет открываться каждый раз динистор, стоящий рядом
с ранее открытым динистором, а не тот, для которого Ив = Ив мин.
Если · в исходные данные для расчета входит ток i,' выраженный
через · сопротивление нагрузки R, то сJiедует выбирать четырехслой- -
ные диоды таких типов, чтобы
•
(5),
4*

-Т огда неравенства (1) - (3) примут такой вид :
Иа
.
R+Ru = L,
iR < ИВмин,
ИВмакс - ИВмин < iR.
и.
и. ----
1⁄4макс
l/2
о
{fal?
Л+R,
Из
о
1
1
1
l
а
\_ _____ 1
ОткрытДн2
о
8
Рис. 5.
t
t
ОшкрытД~
t
(6)
(7)
(8)
Если неравенства (7) и (8) решить относительно R, то получим
предельные значения, которые может иметь сопротивление R:
R<Ивмин,
i
R> ИВмакс-:--ИВмин,
i
/iВЪiтекающие из условий устойчивой работы. О пределяя значение
:сопротивления R как среднее арифметическое его предельных зна ­
•чений., .получим
(9)
52

Из неравенств (3) и (4) следует еще одно соотношение, которое
накладывает ограничение на разброс напряжений Ив, применне­
мых динисторов. Оно получается из неравенства (4) при подста ­
иR
новке в него выражения R +Ro из неравенства (3) и имеет такой вид :
ИВмакс<2UВмин•
( 10)
Для того чтобы определить некоторые соотношения. необхо­
димые для расчета, рассмотрим бuлеt' подробно процессы, проте­
кающие в устройстве при подаче на его вход запускающего им­
пульса. В момент появления на входе
отрицательного импульса с амплитудой U 11
напряжение в точке О практически мгно­
венно становится равным величине
/+~о - И,., <О (Rr :::: О),
R,
к
R
Рис. Ь.
(/,
IJl
как это показано на рис . 5. Так как со­
противление четырехслойного диода при
обратном напряжении на его зажимах ве­
лико, что следует из рассмотрения его
характеристики (рис. 1), то эквивалентная
схема устройства при О < t < tн будет
такая, как показано на рис. 6, при усло­
вии, что ключ К - разомкнут . Напряжение
по экспоненциальному закону
в точке О изменяетс я~
Ro 'И
ИaR+Ro' и
Иo(t)=Ua - Ro Ro+Rr
е
t
'·
Полагая, что R, ~ О, получим упрощенное выражение для Иа (t) :
Ио(t) =Иа-(иа R:0 Ro + ии)е-+ .
(11 }
Для того чтобы динистор, который был от к рыт, успел закрыть ­
ся, необходимо, чтобы напряжение в точке О не становилось по­
ложительным по знаку в течение времени t0 . Аналитически это
условие можно выразить в таком виде:
и(t)-И-(и
Ro
i.И)-
1
;'О
оr,
-
а
аR+Ro
,
ие
-~
•
(12)
Исходя и з требован ий стабильности длительности импульса на вы­
ходе ко льцев ого счетчика , было бы желательно, чтобы переброс
четырехслойных диодов в открьпuе состояние происходил в момент
окончания входного и м пульса при t = fи, когда в точке О имеет
ИнR Д
б
место скачок напряжения на величину R + Rг · ля этого нео ходимо ,

чтобы напряжение Иu (t) в момент t = t 11 не было равным или
больше И Вмин, т. е. чтобы
<С учетом (3). Развернув И 0 Uи) из выражения
R
--
(
)
'и
Иа-ИаR+оRo+Ине
-,; =
(11), получим
ИаR
R+ Ro
( 13)
П роизводя соответствующие преобразования. из условий (12) и (l З)
получим такую систему уравнений:
/и
[J___l! _!!__ .
R+Ro =e"'t
(14)
'
Иа
Ro
lfДe т = R0C0. Совместнuе решение этих уравнений дает возмож­
,ность определить постоянную времени цепи, и зображенной на
р ис. 6, так, чтобы условия (12) и (13) выполнялись, т. е.
1н+!5
't'= -
~-~
lnR+Ro
Ro
(15)
Как указывалось выше, время задержки при переходе динистора
из закрытого состояния в открытое зависит от величины напряже­
ния на его электродах. Для быстрого открывания динистора (t1 <
< 1,0 мксек) необходимо , чтобы величина напряжения в точке О
в момент окончания запускающего импульса, была выбрана с уче­
том зависимости, приведенной на рис. 3. Тогда при Rг ~ О спра­
ведливо следующее равенство:
iR+И,1=КИвмш,с,
где К = 2 --ё-- 3 определено из графика (рис. 3). Находя сопро­
тивление R из формулы (9) , пля величины напряжения запускаю ­
щего импульса получим такое выражение :
и
И Вма1<с
и=КИВмакс -
2
(16)
Скачок напряжения в точке О при t = t ,, сменяется его спада ­
нием дu величины Иа с постоянной вреN1ени т, потому что все дини ­
сторы еще закрыты. Так как желательно, чтобы время задержки
при открывании динистора было минимальным, нужно выбирать
величину Иа так, чтобы выполнялось соотношение
Иа = КИвмакс·
(17)
После открытия очередного динистора напряжение в точке О
и~п
.
уменьшается до зна ч ения R+ Ro.
ри расчете устроиства можно
54

принять любой порядок, исходя из того, какие величины заданы.
Предположим, что исходными величинами является ток нагрузки
i и длительность запускающего импульса fн· Тогда из условия (5)
выбираем тип четырехслойного диода и определяем для него зна­
чения Ивмакс, Ив,.,нн· Далее из соотношения (17) находим вели­
чину напряжения питания Ua и величину сопротивления R из со­
отношения (9) . Из выражения (6) найдем значение сопротивления
R0 , а из формулы (15) - величину емкости конденсатора С0 . Для
опреди1ения амплитуды запускающего импульса U11 воспользуемся
соотношением (16) Выбирая тип диодов Д 1 , Д2 и д~ по допусти­
мому обратному напряжению. из равенства (1) определим величину
емкости конденсатора С так, чтобы З~- 1 « fн ·· Что касается пре­
дельной частоты работы кольцевого счетчика, то подробно этот
вопрос не анализировался, хотя ясно, что она не может быть
больше, чем
f=
1
t1+t2+tз+t4 +tуст
где fуст - время окончания переходных процессов в схеме после
открывания очередного динистора
Изложенная методика применялась при расчете коJiьцевого
счетчика, использованного в качестве р·аспределительного устрой­
ства динамической модели [6 ]. Проведенные эксперименты пока­
зали, что расчетные соотношения достаточно точно отражают про­
цессы, протекающие в схеме.
ЛИТЕРАТУРА ' .
j_ПуховГ. Е.,Борковский Б. А.
-
Кибернетика, 1965, 6.
2.ВоллернерА. Н,,КатковА. Ф.
-
В кн.: Труды семинара
« Методы ~,атематического моделирования и теории электрических uепей» . Вып.
'2 . « На vков<1 ДУМJ<а», К .. 1966.
3."чэпи·М. Диодтипар -п
-
р- п.ПереводП
- 17367, 1962.
4.БергМ. А.,ГаряиновС. А.
-
Радиотехника, 1962, 1.
5.ТнщенкоН. М.,Машлыкин В. Г. Динисторыитиристоры
и их пр11менен1-1е в автоматике. «Связь», М., 1966.
6.Борковский Б.А., Воллернер А.Н.,Катков А. Ф.,
Рома'Нuов В. П. - Настоящий сборник. 35.
Доложено на семинаре
7 января 1966 г.

ТРАНЗИСТОРНАЯ КЛЮЧЕВАЯ ЯЧЕЙКА
ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Л. А. СИМАК
В настоящей статье приводятся рез ульта ты экспериментальной
разработки схемы бесконтактного ключа. предназ наченного для
r
о
(j
г
Рис. 1.
использования в схемах динамических моделей [3, 4 J, на базе клю­
чевой ячейки (КЯ) машины «Днепр-1».
56

•
1
r
Бесконтактный ключ, обладая максимально возможным обрат­
ным и минимальным прямым сопротивлениями и малой вносимой
э. д. с., должен обеспечивать коммутаuию токов до 20 ма , пр и
коммутируемых напряжениях до ± 50 в при сохранении П(Jтен­
циальной развязанности коммутируемых uепей от uепей управ­
ления.
Предварительно рассмотри м основные соотношения для экви­
валентной цепи управления ключевой ячейки Эквивалентная схема
цепи управления транзисторным ключом с инверсным включением
триодов приведена на ри с . 1, а . Соотношения для токов и напря­
жений схемы для двух основных режимов имеют вид [1, 2]
lбо= /51+/62,
(1) Ив"1=Е+1б1Rб1=Е Rбl<l
(4),
Rб!+Rбкl '
/51 =
-
Е
(2)
R51 + Rбl<l '
/52 =
-
Е
(3) иб,2=Е+Iб2Rб2= Е Rбк2
(5),
Rб2+Rбк2 '
R52 + Rбк2
Режим -- «выключено» (Е > О):
fUбкl1
Roкl = [/61 / )) Rб1, (6)
Rбк2 = _L/~бк2/ [ )) Rб2,
62
(7)
Режим - «включено»(Е <0):
R
/Ибк t/ R
13
бкl= --
11-
1
« 61,
(),
61
Е-
0<Iб!~--R =151,
(15),
61
О <Iт ~--/- = 162, (16}
62
160~- E(-Rl ++! =
бl
"'б2 /
= lбl+762,
ои ЕRбк2~О
> бк2= -R-= •
62
(17),
(18)
(19)-
Из приведенны х формул видно, что режим выключенного ключа,
определяется величинами И6 ю, И6 к2 (11), (12), а режим включен-
ного ключа - величинами токов 161 , /~2 (15), (16). Оба режима
мож но реализовать различными способами. Укажем два из них.
571

1. Источник Е реа.iiизуется как последов·ательное сuединение
двух управляемых по величине источников Е1 и Е2 (рис. 1, 6):
Е1 _ Е2 = Е { > О, режим «выключено»,
< О, режим «включено» .
(20)
Например, в режиме «выключено» Е1 = Ех.х, Е2 = О , а в режиме
~<включено» Е2 = Ек.з, . Е1 = О.
2. Управление осуществляется от двух параллельно работаю­
щих источников (рис. 1, в). Используя метод преобразования uепи,
ее можно свести к схеме рис. 1, г со следующими значениями па­
раметров:
E1R~1 - E2R~ 1
Е1э= --~ - ~-
R~l + N~l
(21)
R~1R~1
Rбlэ =
,
,,
,
Rбl + Rбl
(22)
E1R~2 - E2R~2
Е2э= -
~--~-
R~2 +R~2
(23)
R~2R~2
Rб2э =
,
,,
R62 + R62
(24)
Изменяя величины э. д . с. и сопротивлепий, можнu по : 11-юстью
-свести данный вариант к первому .
Известная схема ключевой ячейки машины «Днепр-1» предна­
значена дл .я коммутации токов до 2 ма с напряжениями до 30 в и не
удовлетворяет требованиям, предъявляемым к бесконтактным пере­
ключатещ,м для динамических моделей [3, 4]. Пров едем анализ
работы схемы с uелью выяснения возможности изменения техни­
ческих характеристик ячейки. Схема ячейки изображена на рис. 2.
В режиме «вьшлючено» реали зуется усJювие Е2 > Е 1 за счет
тоrо, что большая часть напряжения сети И падает на первичной
обмотке трансформатора Тр 2 (при одинаковых числах витков об­
моток нагрузка вторичной обмотки Тр 2 меньше, чем Тр 1) . Поэтому
1И2/> 1И1[, 1е2[> 1е11 и, как следствие, Е2> Е1• Переходы
коллектор - база Т1 и Т2 заперты разностью напряжений Е2 -
Е1 . При подаче разрешающего потенциала - 12 в на вход управ­
ляющего триода Тз (режим «включено») срабатывает магнитный
ключ на Тр 2 (резко уменьшается сопротивление, вносимое в цепь
первичной обмотки трансформатора) и напряжение питающей сети
перераспределяется так, что IИ2[ < 1 И,/, отсюда [ е2/ < le1 !, Е2 < ~
< Е1 и к переходам коллектор - база прикладывается разность
напряжений Е,, - Et, от1<рывающая переходы . Через них проте -
кают токи насыщения, определяемые величинами сопротивлЕ:ний
базовых цепей и внутренними сопротивлениями источников Е1 и Е2 .
58

Как показал опыт, прямое изменение параме1ров схемы рис. 2
для увел ичения 6азовы .х токов в режиме насыщения без изменения
конфиг ура uии схемы не приводит к uели . Это происходиг по той
причине, что эффективность магнитного ключа резко падает при
увеличении нагрузки на источник Е 1 , резко увеличиваются потери
в магнитопроводе при повышении коэффиuиента трансформации
и желаемого перераспределения Е2 и Е1 не происходит.
Е
f
Питанu
А
кя
J.
-lr
в
с
·"
ЕUf
д,
,,j ,,1 ь.1
А
e,J Егi Нм
/ком
7i
510
fы /ком
Тг
с {lynp
58
(-!Z,0) 1
в
и,., 1
4;2ком f} (,!,J)
Рис. 2.
Мало работоспособными оказались также схемы с использова­
ниеi\1 в выпрямительных цепях двухполупериодных и мостовых
выпрям11телей.
Приведем некоторые соображения о целесообразных измене­
ниях параметров и схемы управления транзисторами Т 1 и Т 2 , котu­
рые были выяснены во время экспериментов со схемами ключей.
1. Коэффициенты трансформации трансформаторов не должны
быть больше 2-3, если токи нагрузки обмоток составлЯл<ат 5-10 .ма
и более.
59

2. Сопротивления базовых цепей должны быть, по возмож­
ности, не меньше 200-500 ом в связи с тем, что необходимо обес­
печить независимость то1юв база-коллекторных переходов от ве­
личин внутренних сопротивлений их в открьпсм состоянии .
3. Коплекторно-базовые переходы транзисторов Т 1 в Т 2 нельзя
включать параллельно , ввиду того, что суммарный базовый то1,
/ бо распределяется неравномерно между триода ми из - за :-;аме тного
разброса и нестабильности величин внутр енн их сопротивлений
переходов, что приводит к несимметрии свойств ключа по отноше­
нию к коммутируемым токам и напряжениям различной поляр­
~:ости. Особенно это сказывается при малых значениях напряже­
ния питающей сети цепи управления.
4. Схема магнитного ключа должна быть видоизменена так,
чтобы обеспечивалось эффективное перераспределение напряжения
питающей сети между источниками Е1 и Е2 .
5. Следствием п . 1 и 2, а также того, что суммарный ток в от­
крытом состоянии должен быть значительным, является то, что
источник питания uепи управления И должен быть относительно
высоковольтным (практически легко удается построить схемы удов­
летворительных ключей при И> 4 - 6 в).
Испытывалось несколько схем ключей, которые отличались от
ячейки КЯ машины «Днепр-1» следующим:
!) изменена схема магнитного ключа для управления транзи­
сторным ключом с целью повышения пер е ключаемых мощностей;
в одном из вариантов схем магнитный ключ в цепи управления
заменен диодным мостовым;
2) введен режим запирающегося источника в цепи управления,
позволяющий увеличить ее экономичность;
3) благодаря специфике применения ключей в групповых ди­
намических элементах, оказалось возможным построить двойной
ключ с общей схемой управления.
На рис. 3, а пока3ана сх~ма ключа с измененным магнитным
ключом в цепи управления. По сравнению со схемой КЯ «Днепр -! »
введен управляемый дроссель Тр3 , с помощью которого изменяется
величина питающего напряжения Тр 2 - И.2 . Трансформатир Тр 1
питается неизменным по амплитуде напряжением сети И. Сопро­
тивления в базовых цепях транзисторов Т L и Т 2 - R 61 и R 62 слу­
жат для устранения влияния разброса сопротивле ни й переходов
«коллектор - база» транзисторов в режиме «включено)) на вели­
чины токов /61 И /62·
Несколько более удачной может считаться схема рис. 3, б, от­
личающаяся от описанной выше наличием независимых источ1ш ков
смещающих напряжений Е2 и Е';. Схема работает следующим обра­
зом. в состоянии «выключеНОJ) (Иупр = О, обмотка w; разомк­
нута) напряжение питающей сети распrеделяется между первич­
ными обмотками Тр2 и Тр3 так, что U31> 1И21 и Ie2I <!е11,
60

поэтому Ик61 > О и U" 62 > О, транзисторы Т 1 иТ2 заперты. Наличие
сопротивления R2 принципиально необходимо, чтобы ослабить де­
ление напряжения Ик61 и U" 62 , так как если R2 = =, то Rкб~
и R" 62 оказываются сравнимы с выходным обратным сопрот,шле-
~~U~, ..: . J
r:•E,1
!p'Л:zl
о
Рис. 3.
tшем источника Е" и коллекторно-базовые переходы оказываются
закрытыми недостаточно .
При подаче сигнала «включено» (Иупр < О) напряжение И
перераспределяется так, что IИ21 > 1 И11 и Ie2 J > 1е11- При этом
диоды Д 1 и Д3 закрываются (режим запирающегося источника),
напрнжения на сопротиuлениях R1 и R; определяются источни-
61

ком Е2 . Через коллектор но-ба зовые переход ы транзисторов Т 1 и Т 2
текут токи, величины кото ры х ограничиваются сопротивлениями
R1иR~:
Е2 вкл
д/
r
т с,' R:tf/ Р/1
11;
с'
'!{t
,
ldr
1
-
!,,
Ud,
11,
... .
Udl
R,
--- !,,
!,1
о
Е2 вкл
Iб2 = -----
R; + Rбк2 вкл
и
а
fo,
~,
fи,, ~~uli,r
i~Rl
Рис .4.
!упр Uупр
(:::;t--t+-i::=:J-_ ._ ..,,
-
1
Uсм
_,
При необходимости R~ может быть подобрано с учетом разброса
Rбкl И Rбк2·
На • этом же ~рисунке приведена схема измерения основных
статических характери~тик ключ:й. Парам~;РЫ ключ~ имели Сf!е­
дуюшие З l-!ачения : . w1 ~
·
15,
_w1=10, w1=)О,w2=10,w2-=-:-
62,

= 15,w~ == 21, w;=30,R1=450ом,R~=410ом,R2=4,3ком.
Rc,i =4,2ком,Ry= Iком,С1=С~ =С2=0,01мкф,С0=Су =
= 510пкф, Есм= 1,5в,Т1,Т2- типаП-26,Т3-П-16.В.ка­
честве миллиамперметров использовались микроамперметры типа
М - 95 - 10/100 с наружнЬrм ш унтом, Rн зм = 4 ом, мил.1ивольтметр
типа МВЛ-2М . Эта же аппаратура использовалась и при изме­
рении характеристик остальных ключей.
Поскольку в схемах динамических моделей часто встречается
случай синхронной раб()ты двух ключей , переключающи х вход.
'lpl
Ос,.,
Рис. 5.
и выход группового решающего элемента [3, 4], оказалось возмож­
ным управлять этими ключами с помощью одной схемы управле ­
ния . Схема соответствующей , ключевой ячейки приведена на
рис. 4, а.
С целью облегчения рабочего режима ключевого транзистора
Тз цепи управления можно заменить управляемый дроссель Трз
диодным мостом (рис. 5). Эффективность цепи управления и ее
экономичность при этом значительно повышаются. Однако, сле­
дует иметь в виду, что источники питающих напряжений И для
различных ключей должны быть при этом развязаны.
В цепях управления всех описанных выше ключей использо ­
вался так называемый «режим запирающе гося источника», позво ­
ляющий при прочих равных условиях увеличить ток без ключевых
транзисторов в открытом состоянии или при неизменном токе баз
уменьшить мощность, потребляемую цепью управления.
Поясним кратко существо этого режима. Эквивалентная схема
цепи управления одного из ключевых транзисторов по постоян­
ному току в первом приближении имеет вид рис. 4, б . При реали­
зации режима запирающегося источника параметры схемы выбирают­
ся таким образом, чтобы выполнялись следующие соотношения:
е1 = const.
. (25}
63

Режим «выключено»
е1>е2=О,
(26)
tд1>о (Ид1=О),и"б1>о, (27)
/61 <О,R2(<Rкбl,
Если е2 = О, тогда
Ид2<О,Rд2->- =, и
и
е1
~
"б1=---R=е1,
1+ _2
_
Rбкl
(28)
(29) .
Режим «включено»
е1<е2,
(30)
lд2> О, (Ид2 =О), Икб1 < О, (31)
Jбl>О, Ri))Rкбl·
Если Ию= е2
Ri>е1,
Rбкl + R1
(32)
тоИд~<О,
(33)
(режим источника тока).
Из формул (26) - (29) видно, что в режиме «выключено» переходы
коллектор - база ключевых транзисторов з аперты напряжением
Рис. 6.
источника е1 , а в режиме «включено» при выполне,-ши соотношения
(32) диод Д 1 заперт, и ток перехода колл е ктор - база открытого
ключевого транзисто ра определяется лишь величиной напряжения
е2 и сопротивления R1 и совершенно не з ависит от величины е1 .
В обычном случае, когда диод Д1 не запирается, ток / 61 опре­
деляется разностью напряжений, зависящих от е1 и е2 ; обеспече ­
ние необходимого тока базы при этом неи збеж но было бы свявано
с большими потерями мощности в цепи управления.
Внешний вид одного из вариантов ключевой ячейки с магнит­
ным ключом в цепи управления приведен на рис . 6.
64

Характерис:тики, измеренные для ключей по схеме рис. 3, 6,
имели следующие значения:
1) падение напряжения на включенном ключе при коммутир уе­
мом токе:
а) 500 мка (ключ !) не более 100 мв;
б) 20 ма (ключ II) »е более 100 мв;
2) собственное сопротивление включе нного ключа:
а) 200 ом (ключ /),
б) 5 ом (ключ II);
3) пбратный ток выключенного ключа при коммутируемом на­
пряжении 50 в:
;i) не более 0,5 .ика (ключ !), R 06 r > 100 мом,
б) не более 2,5 мка (ключ II), R06P > 20 мом;
4) дл1пельности фронтов импульсов при перекл~очении постоян­
ных напряжений порядка "пер= 10- 15 мксек,
'зад= 30 мксек;
5)цепьуправления:И=-6в,I=10ма;
6)цепьпитания:И=+3- 6в,f=200кгц;
7) кажущаяся мощность, потребляемая ключевой ячейкой
от сети: в режиме «выключено» S 0 :::::::: 0,25 ва,
в режиме «включено» S" ~ 0,5 ва.
В ключе I использовались транзисторы типа П-104, в ключе
II - типа П-26.
Для сравнения заметим, что падение напряжения на включен­
ном ключе ячейки КЯ машины «Днепр-!» при токе 2 ма составляет
1 в, т. е. прямое сопротивление в 100 раз больше при токе, мень­
шем в 10 раз.
Описанные схемы, по-видимому, после соответствующей дора­
ботки, могут быть использованы в качестве бесконтактных ключей
в устройствах специализированных АВМ.
•
ЛИТЕРАТУРА
1. Б v д и н с к и й Я. Транзисторные переключающие схемы. «Связь»,
м., 1965.·
2. С и н и ц к и й •Л. А. Измерительные преобразователи постоянного тока.
«Наvкова дvмка», К .. 1964.
·з. Г1 ух о в Г. Е. - Кибернетика, 1965, 2.
4.Борковский Б. А.
-
Кибернетика, 1965, 3.
Доложено на семинаре
18 февраля 1966 г.
5 7-2622

ПОСТРОЕНИЕ МНОГООПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
В.Д. САМОЙЛОВ
Постановка на аналоговых машинах сложных задач, построение
самонастраивающихся аналоговых моделей, стремление расширить
класс задач, решаемых с помощью аналоговых машин, обуславли-
АналагаtJые
элеммты(АЭ)
Упра8лпющее
логиvеское
ycmpoilcm8o(IJЛY)
Рис. 1.
вает все большее проникновение элементов дискретной техники
в аналоговую .
Использование дискретных логических элементов для управле­
ния работой аналоговых блоков неизбежно приводит к рассмотре­
нию также устройств связи, которые позволяют организовать сов­
местную работу аналоговых и дискретных элементов. Если пред­
ставить себе такую аналого-дискретную модель в виде блок-схемы
рис. 1, то устройствами связи являются:
1) коммутирующие элементы (КЭ), производящие в зависи­
мости от команды управляющего логического устройства (УЛУ):
а) переключения в структуре аналогового решающего элемента
(изменение операции, масштаба, место включения элемента); б) за­
дание новых начальных условий на интеграторы при решении диф­
ференциальных уравнений;
2) устройство индикации выполнения заданных условий (нуль­
орган), отмечающее момент достижения напряжением в модели
66

И (t) определенно го, заранее заданного значения Их или равенств@
нулю некоторой функции от переменных модели
и[и1(t),и2(t), ... , ип(t)]=Q.
Устройство индикации при этом выдает дискретный сигнал в УЛУ.
В настоящее время в аналоговых машинах применяются кон­
тактные и бесконтактные коммутирующие элементы. Контактные
КЭ являются идеальными ключами, но большое время переключе­
ния не позволяет использовать их в быстродействующих моделях
Zo,
о,
с,
{/2
С2
>
сп
l/4
Кп
а
t ~fкзо l tl:o
-
=
,,с-
-
(KJ
r;c
о
Рис. 2.
или при моделировании в натуральном масштабе времени быстро­
протекающих процессов.
При использовании быстродействующих бесконтактных КЭ не ­
обходимо такое построение схем коммутации, чтобы неидеальность
этих ключей оказывала минимальное влияние на результаты реше­
ния задачи. Некоторые модели построения таких схем рассмотрены
в работе [1 ].
Особое внимание необходимо уделять ключам, коммутирующим
вход УПТ, так как проектирование ключей, коммутирующих вы­
ход, проще, и, кроме того, в отдельных случаях можно обойтись.
без выходных ключей.
Обычно коммутация входа УПТ бесконтактными ключами про­
изводится по схемам, аналогичным коммутаuии с помощью . контакт­
ных элементов. При этом неидеальность бесконтактных КЭ вно ,
сит большую погрешность (сдвиг нуля, дрейф) при реализации
заданной операции. Поэтому стараются добиться малого уровня
остаточного напряжения на открытоы и закрытом ключе (для
5*
67,

частичной компенсации остаточного напряжения ставят два триода),
высокого (порядка нескольких сот мегом) сопротивления в закры­
том состоянии. Так, например , даже при сопротивлении ключа
в закрытом состоянии Rк.з = 100 Мом при отключении от сумми­
рующей точки УПТ напряжения 100 в на выходе усилителя (при
Ra.c = 1 Мом) появится дополнительный сдвиг напряжения в 1 в.
Дополнительный дрейф нуля на интеграторе (при Са.с = 1 мкф)
6удет 1 в/сек, что недопустимо много. Расчитывать на триоды с со­
противлением в закрытом состоянии больше 100 Мом практически
трудно, так как даже для отобранных кремниевых триодов повы­
шение температ ур ы вызывает резкое падение этого сопротивления.
Поэтому для уме ньшения дополнительного дрейфа приходится
уменьшать максимальную величину рабочего напряжения, умень­
шать допустимое время интегрирования и т. д.
Ключи на полупроводниковых триодах имеют хорошие хара~,­
теристики в открытом состоянии , поэтому желательно применение
схем коммут ации, использующих эти характеристики.
Схема коммутации входа УПТ с помощью заземляющих ключей
показана на рис. 2.
Усилитель со сменной операционной частью, переключаемой с по­
мощью УЛУ по заранее заданной программе, назовем многоопера­
ци онным.
Рассчитаем дополнител"ный дрейф, появляющийс я в многоопе­
рационном усилителе от неидеальности коммутирующих элементов.
Схемы замещения пол упровод никовых ключей в открытом и закры -
том состояниях приведены на рис. 2, 6. Так как заземление входа
УПТ недопустимо, необходимо ставить сопротивления Rд, отделяю­
щие вход УПТ от ключа. Таким образом появляется п коммути­
руемых точек 81, 82,
... ,
8 11 , которые назовем квазисуммирующими .
В любой момент времени одна из этих точек находится · в рабочем
положении, остальные при помощи ключей заземлены .
На рис. 3 представлена схема замещения многооперационного
усилителя. В схеме учтены остаточные напряжения на ключах
и конечные сопротивления ключей в открытом и закрытом состоя -
ния х. Определим дополнительную погрешность, создаваемую Елю­
чами в схеме.
Суммарное остаточное напряжение на открытых ключах равно
т-1
Ек. о= ~ (е~. о;+ Гк.о/вх,),
i=I
(1)
rде т - общее количество квазисуммирующих точек; / 0 ,;
-
ток
i-uй нерабочей квазисуммирующей точки, создаваемый входными
комплексными сопротивлениями и комплексными сопротивлениями
,обратной связи:
68'
k
I BXj = ИвыхZоi + :Е eijzij•
i=I
(2)

Дополнительный дрейф на выходе УПТ, создаваемый остаточ­
ными напряжениями на открытых ключах
лк.о Е
R~+zoc
евых= к.о(т - 1)
R
·
д
(3)
Дополнительный дрейф от закрытого ключа, подключенного
к рабочей квазисуммирующей точке
е"р
е"' ~
- C:=J-rc'---c:::::/l9j' --:--.,:Е"-0 -1
cг_ __,-, _;Rq'---
2_.
Rl
tn г-C:::J-..:........J
Рис. 3.
Полный дополнительный дрt'йф
Zo,
>
Левых = Ле;~~х + Ле;ь~х'
ZP
р
т-1
_
оо.с,
Rg+2о.с ~ о
Левых - е".з -г- т (т
-
1)R
_, ,l,,. (ек.о; + r,co/вxJ
к.з
д
i=l
(4)
(5)
Полученное выражение для полного дополнительного дрейфа
на выходе многооперационного усилителя позволяет выработать
требования к ключу , а также выбрать значение сопротивлений Rд,
соединяющих квазисуммирующие точки со входом УПТ.
Сопротивление R\:. , связывающее рабочую квазисуммирующую
точку, желательно иметь малой величины, в то время как осталь­
ные сопротивления R!l, подсоединен ные открытыми ключамi-1 на
землю, должны быть большой величины. Использование в качестве
Rд нелинейного сопротивления, составленного из двух параллельно
соединенных кремниевых диодов (анод к катоду), позволяет полу­
чить разную величину сопротивления для рабочей и для отключен­
ных квазисуммирующих точек.
69

У диодов, соединенных таким образом. для малых Г!риложен­
ных напряжений очень большое сопротивление и при увеличении
напряжения это сопротивление резко падает. Диоды, служащие
в данный момент R~ (подключающие рабочую квазисуммирующую
точку), оказываются включенными в цепь обратной связи для оста-
точных напряже1-шй на открытых ключах. Поэтому к Ri прикла ­
дывается напряжение Левых и сопротивление этих диодов ста­
новится значительно меньше сопротивления остальных дио ­
дов (являющихся входными сопротивлениями для напряжения
дрейфа).
Таким
лений Rл
.&!
образом, существенно нелинейный характер сопротив­
позволяет уменьшить дополнительный дрейф от не иде­
альности ключей .
U.'
1
t7ых
т,
Если во включенной операци­
онной части Za.c = С, то выра­
жение (5) можно переписать в сле­
дующем виде:
1/xl .,__ _~
л
о1-1..
евых= екЗ-с-- 1
•рг,сз
1
+Ек.о(т- 1) рСRд• (6)
Рис. 4.
Постоянная времени интегри-
рования остаточных напряжений
на открытых ключах 'tк.о = СRл получается большой (50 --:-
- - : - 60 сек) при С= 1 мкф, пuэтому дополнительный дрейф при инте­
грировании невелик.
Проектирование ключа для мноrооперационных усилителей про­
изводилось с учетом влияния неидеальности ero параметров на
дрейф выходного напряжения (фурмулы (5) и (6)). Основное вни­
мание было uбращено на уменьшение остаточного напряжения на
ключевом триоде в открытом и закрытом состояниях. Закрытый
ключ в каждом мноrооперационном усилителе только один и пи­
этому более существенно влияние открытых ключей.
Схема ключа показана на рис. 4. Для уменьшения остаточного
напряжения на открытом ключе в открытом состоянют испол1-,зуется
инверсное включение триода Т 1 . Кремниевый диод Д2 служит для
уменьшения положительного тока в базу закрытого триода, так как
этот ток вызывает большое остаточное напряжение. (Диод умень­
шает это напряжение с 30 ~ 40 мв до 0.5--: - 1 л1в.). Схема ключа
выполнена аналогично схеме инвертора потенциальной системы
элементов, на которых построено УЛУ, и поэтому ключ легко
управляется от УЛУ. Усредненные параметры ключа при исполь ­
зовании триодов П42Б:
Гк.о==5 ом; Гк.з= 2--:- 3 Мол1; е,~.о= 3--:-4мв; е~.з= 0,5--:- 1мв.
70

- -::>
а
Ц,
ц,,
lf,z
>
Иом,
llиz
кт К~
о
и,,
[/4,
•••Rnt
Coz
Ro
r,
13
с"
>
{J,z
U'вых
Ипz Rпz
KIK2
8
Рис. 5.

Рассмотрим некоторые практические схемы многоопераuионных
усилителей . На рис. 5 показаны экспериментально прuверенные
усиJiители на две и гри квазисуммирующие точки.
Многоопераuионный усилитель пu схеме рис . 5 , а позволяет из­
менять состав (коэффициенты передачи) сумматора
Ивых = [i U; ;а.к]
(k = 1,2).
(7)
i=I
tk
На рис. 5, б и в показаны двухоперацпонный нуль -орган и трех­
операционный сумматор , интегратор -сумматор с запоминанием.
Таким образом, использование кремниевых диодов для созда­
ния квазисуммирующих точек позволяет уменьшить дрейф нуля
многооперационных усилителей, особенно при ре ализации операций
запоминания и интегрирования . Изменение операций, реализуемых
усилителем, достигается с помощью однотранзисторных ключей,
коммутирующих квазисуммирующие точки . Управление кл юча ми
производится с управляющего логического устройства (УЛУ) .
ЛИТЕРАТУРА
!. С а мой л о в В. Д. - В кн.: Математическое моделирование и электри­
ческие цепи. Вып. IV . «Наукова думка», К:,. 1966.
Доложено на семинаре
20 мая 1966 r.

ЛОГИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ
САМОНАСТРАИВАЮЩЕЙСЯ МОДЕЛИ
Ю. П. КОСМАЧ, В. Д. САМОЙЛОВ
~При построении аналоговых вычислительных машин для реше­
ния сложных инженерных задач зачастую применяют принцип
многократного использования решающих элементов, что приводит
к значительному уменьшению объема аппаратуры. Очевиднu, что­
это возможно лишь в том cJiyчae, когда алгоритм решения задачн
построен таким образом, что операции выполняются последова­
тельно во времени. При реализации алгоритма блоки и узлы рабо­
тают по опредеж:нной программе, что дает возможность иметь в ма­
шине одно решающее устройспзо (блок операционных усилителей),
которое вместе с другими блоками машины последовательно реашi­
зует операции алгоритма решения задачи. Вместе с тем возникает
необходимость в запоминающих устройствах для хранения инфор­
мации, полученной в резу:~ьтате промежуточных: вычислений. Со­
единение блоков по заданной программе должно uбеспечивать устрой­
ство управления. Очевидно, такая аналоговая вычислительная ма­
шина по своей структуре и работе в некотором смысле подобна уни­
версальной цифровой машине.
В настоящей работе рассматривается возможность построения
устройства управления на дискретных элементах для аналоговых
машин на примере построения логического автомата самонастраи­
вающейся электронной модели для решения краевых задач.
Алгоритм решения краевой задачи заключается в комбиниро­
ванном применении метода скорейшего спуска и метода Ньютона
[1 J. Метuд скорейшего спуска дает быструю сходимость вдали от­
искомых корней уравнения; с приближением к корням сходимость.
резко ухудшается. Поэтому поправки к начальному вектору на
последующих шагах итерационного цикла опредеJiяются методом­
Ньютона, который дает хорошие резуJiьтаты вблизи от искомых
корней . Такая комбинация методов решения позволяет получить,
удовлетворительные результаты практически для всех задач.
73

Опишем кратко алгоритм решения краевой задачи .
Пусть имеем систему уравнений
dY
dt=F(У,t)
~ ограничениями
Г[У(to), ..., У(tJ, ... , УU1Jl=О,
(1)
(2)
•где t - независимое переменное; У
-
вектор решения; О, i и k -
моменты вре мени на промежутке интегрирования. Необходимо
найти такой задающий вектор Z, чтобы определяемый им вектор
решения У удовлетворял системе (2) .
Процесс решения задачи происходит след у ющим образом. По
выбранному вектору 20 и приращениях его компонент огтреде .;~яют­
•ся коэффициенты матрицы уравновешивания . Найденная матрица
уравновешивания используется на первом шаге для у тичнения
-определяющего вектора методом скорейшего спусн:а . После этого
находится новое значение матрицы уравновешивания, и на после­
дующих шагах определяющий вектор уточняется методом Ньютона
до тех пор, пока процесс нахождения поправок будет сходящимся.
В противном случае определяется новое значение матрицы уравно­
азешивания .
Описанный алгоритм можно записать математически:
ЛZ--+Z0 --+ Р(Z,t)=У0,
--- --+
1
1-
di_=_F -(Y-,-t)-,
+
1
1
1-
г[У(to), ... , У(f;), .. . , У(f1z)]=Е,---
Ле
G= лz
-<-
1
t
-
--
!_ _______
(Е, GG'E)
+----
zс=Zo- (GG'e, GG'-e)-G'Е, +---- ----1
+--------
~
·-
---Z2=Z1-G-1E1-<<- -------------
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Для решения нелинейной краевой задачи 8-го порядка с во­
сьмью нелинейными зависимостями на аналоговых блоках по ал­
горитму (3) - (8) понадобилось бы 156 усилителей постоянного
тока. Применив принцип многократного использования решающих
блоков, число УПТ можно сократить до 32.
Запишем формульный алгоритм решения краевой. задачи (3) -
(8) в виде направле н ного графа. Этот граф, являющийся предва-
74

рительным при построении управляющего логического устройства,
приведен на рис 1.
Для упрощения полный предварительный граф изображен в виде
нескольких подrрафов, каждый из которых соответствует опреде­
.ленному режиму работы модели.
Вершина Н соответствует преобразованию вектора Z в вектор
начальных условий У0 (выражение (З) алгоrитма решения). Инте­
грированию системы дифферен циальных уравнений (4) соuтвет­
{:ТВует вершина М. Вершины К 1 и Кт соответствуют реали зации
краевых условий (5) .
Определение коэффициентов матрицы уравновешивани я произ­
·водится следующим образом. Выбранный задающий веюор Zu
преобразуется в вектор начальных условий и решается система диф­
ференциальных уравнений. Вектор решения подставляется в крае­
вые условия и полученный вектор невязок Е "а поминается. Этому
режиму соответствует подграф рис. 1, а. После этого первой ком­
поненте вектора Z0 задается приращение и снова решается система
дифференциальных уравнений. От полученного вектора невязок е1
покомпонентно вычитается вектор невязок Е. Коэффиrщенты пер­
вого столбца матрицы уравновешива ния определяются в резут,­
тате деления sектора разностей ЛF., 1 на приращение первой ком­
поненты определяющего вектора ЛZ1 . Аналогично находятся
1<0эффициенты всех столбцов матрицы. Режиму определения ко­
эффициентов матрицы уравновешивания соответствуют подграфы
рис.1,6ив.
Уравновешивание методом скорейшего спуска производится co-
tr ласно выражению
ЛZ=
_
(s, GG 's)
G'
(GG'e, GG's)
ё.
(9)
В выражение (9) входит два скалярных произведения, частное
,от деления которых умножается на вектор. Следовательно, для
реализации этого выражения необходимо два такта на порядок:
первый такт - деле ние , второй
-
умножение. Так как мерность
матрицы G и вектора Е равна четырем, то для реализации (9) не­
обходимо восемь тактов.
Режиму уравновешивания методом с1<0рейшего спуска соответ­
::твует подграф рис. 1, г.
При уравновешивании методом Ньютона необходимо иметь ин­
дикатор сходимости . Для этого в модели вычисляется на каждом
4
шаге уравновешивания длина вектора невязок л = ~ 1eil 2 и сравни-
i=I
вается с длиной, вычисленной на предыдущем шаге. В случае уве­
личения л выдается команда на уточ нение матрицы G. Для опре­
деления л необходимо 4 такта.
Режиму уравновешивания методом Ньютона соответствует под­
ораф рис. 1, д.
75

о
о
8
г
Уст r:c Уст Ст Уст ttK
1)
е
Рис. 1.

На рис. 1, е приведен подграф управления режимами модели
при реализации алгоритма (3) - (8). Вершина ОН соответствует
определению невязок , G - вычислению коэффициентов матрицы
уравновешивания; СС и НК - уравновешиванию методами ·. ско­
рейшего спуска и Ньютона.
Для управления порядком включения аналоговых блоков и из­
менением этого порядка в процессе решения задачи необходимо
управляющее логическое устройство (УЛУ), способное произво­
дить логическое преобразование входных сигналов и задавать про­
грамму работы машины в соответствии с графом рис. 1.
Методы реализации автоматов для· упр авления аналоговыми
моделями освещены в ряде работ Однако в каждом отдельном
случае построение логического автомата производится для кон­
кретных методов решения задач. Исходя из предложенного ал го ­
ритма, стооится спе11иализирован1-;ый цифровой логический автомат.
Реализация нового автомата при изменении алгоритма вызывает
·большие затраты времени и средств. Поэтому возникает зада ча вы­
бора элементов цифровой техники и методики синтеза автоматов из
этих элементов, наиболее полно удовлетворяющих следующим тре­
бованиям:
а) наличие небольшого набора надежных логических элементов;
б) простота и удобство коммутации логических элементов межп,у
собой;
в) наличие простой инженерной методики синтеза автоматов из
этих элементов;
r) построени е автоматов, позволяющих менять программу их
_работы путем небольшого изменения их структуры;
д) удобстБо подачи уп равляющих сигналов на аналоговые блоки;
е) простота ввода сигналов с модели на автомат.
Кратко остановимся на некоторых преимуществах и недостат­
-ках основных систем элементов .п:искретной техники для реализации
логических автоматов, управляющих аналоговой моделью. Импульс:• •
ные и потенциально-импульсные элементы требуют специального
,формирования импульсных входных команд из выходны х сигналов
модели. Перестройка автомата на новую програ мму очень сложна.
Возникают также трудности при настройке таких автоматов . На­
дежность схем невысока.
Иногда реализуют автоматы на газоразрядных приборах. К пре­
имуществам этих схем можно отнести наличие в них индикации о
включенном состоянии. Их целесообразно применять для кольце­
.-:вых счетчиков с выводом визуальной индикации и неуправляемых
программных распределителей временных интервалов.
Наиболее полно требованиям, предъявляемым к элементsм для
·синтеза автоматов, удовлетворяют потенциальные элементы. На­
дежность схем на этих элементах значительно выше, чем у импульс­
•ных и потенциально-импульсных элементов. Полный набор потен­
циальных элементов, достаточный для реализации любых автома-
77

тов, невелик. Достаточно разработана и четко определена методик а
структурного синтеза автоматов . Такие авто маты имеют хороший
стык друг с другом и с аналоговой машиной . Имеется возможност1"
конструктивно выполнить логический авто м ат на потенциа л ьных
эле ментах так , чтобы легко перестроить программ у его работы.
Для практической реализации автомата на потенциальных эле­
ментах , работающего в соответствии с графо м рис. 1, необ х одимо
преобразовать этот граф к вид у , пригодно м у дл я структ у рного
синтеза с учетом следующих правил и ограничений:
1. Каждому состоянию предварительного графа соответствует
не менее дв у х состояний окончательного, для во з можности дешиф­
рации состояний с помощью комбинационных схем, реализующих
функции возбуждения .
2 . Окончательный граф желательно разбить на подграфы , свя­
занные управляющими командами (опыт показал, что наибольшая
экономия радиодеталей достигается при разбиении на подграфы
с тремя - четырьмя переменными) .
3. Каждый подграф должен допускать соседнее кодирование.
4 . При необходимости увеличить время нахождения в данно м
состоянии, этому состоянию в окончательном графе ставится в со ­
ответствие необходимое количество вершин. Для задания больших
временных интервалов ставятся дополнительно счетчики .
5. Должно быть соблюдено правильное чередование тактовых
и полутактовых сигналов, управляющих переходами в графе . Ес­
ли переход к данному состоянию осуществляется по такту, то
все переходы из этого состояния должны быть по полутакту и на ­
оборот.
6 . Управляющие команды следует снимать с переходов в под ­
графе на ведущих в состояние, к которому есть переходы с иных
состояний.
Окончательный граф программы работы УЛУ самонастраиваю ­
щейся машины для решения краевых задач, полученный после
преобра зования предварительного графа, представлен на рис . 2.
Он состоит из четырех подграфов А, В, С, D. Кодирование состоя­
ний подграфов осуществлялось с помощью карт Карнау, в которых
соседние коды расположены в соседних клетках, т . е . при
переходе от клетки к клетке меняется только одна булева пере­
менная.
Каждой из использованных клеток карты Карнау присвоен
номер, соответствующий номеру одного из кружков подграфа .
Таким образом, каждому кружку подграфа присваивается опре­
деленный код по карте Кар на у . Около стрелок, соединяющих
кружки подграфа, соответствующие состояниям подавтомата, про­
ставлены управляющие сигналы, переводящие подавтомат в новое
состояние .
Кроме того, около каждого подграфа записаны выражения ,
по которым формируются входные управляющие команды.
78

А
с
Ccd d
З2!
010347
о/;985б
/J/!12
ccd d
а
110
о
1!О98
211б7
З45
Рис. 2.
С'Cdd
910
2!
з
45
(!
(!/J
о
/!8
12 !3
б7
С Cdd
!2З
749
б58
х,,но с {m7d ,а
х2 •НО С (m=I)
Х1 •НО C{Ю:2)vG
x4 HOC(m=2)
x5•HOG{m--:'J)vG
х6•НО·С (т •З)
о

В соответствии с буквами в кружках подграфов, которыми обо ­
значены выходные команды , выбираются схемы совпадения, форми­
рующие команды управления моделью .
Команды с данного подавтомата, управляющие другим подав­
томатом, записаны в скобках около перехода, с которого они сни­
маются.
Структ у рный синтез автомата из элементов потенциальной си­
стемы проводитс я достаточно легко по методнке, изложенной в [2],
13], при наличии окончательного графа .
.-----------12,68
4;,---------'
Д91<
f
- 12,68
!Оком
4-
2
з
Рис. 3.
5
б
+-12,68
В результате синтеза получаются функции возбуждения потен­
циальных триггеров. Количество потенциальных триггеров, необ­
ходимое для реализации данного подавтомата, равно количеству
переменных соответствующей карты Карнау.
В связи с тем, что частота работы автомата низкая, не выше
100 гц, для реализации автомата были использованы упрощенные
элементы с двухступенчатой логикой. Полный набор элементов
включающий инвертор и диодные схемы совпадения, показан на
рис. 3. Потенциальный триггер составляется из · двух инвер­
торов.
На аналогичных элементах собраны и другие цифровые узлы
(счетчики, генератор тактов), имеющиеся в машине.

ЛИТЕРАТУРА
1.ПуховГ. Е., Грездов Г.И.,Верлань А. Ф. Методыре­
шения краевых задач на электронных моделях. «Наукова думка», К., 1965.
2. М а u е в и т ы й Л. В . Синтез устройств ЦВМ из элементов потенциаль­
ного типа . Материалы научных семинаров по теоретическим и прикладным вопро­
сам кибернетики, КДНТП, К., 1963 .
3. М а u е в и ты й Л. В. Особенности этапа структурного синтеза при
использовании элементов потенциальной системы. Материалы научных семи­
наров по теоретическим и прикладным вопросам кибернетики, КдНТП, К., 1966.
Доложено на семинаре
4 марта 1966 r.
6 7-2622

'1
'
ШИРОКОПОЛОСНЫЙ КВАДРАТОР
ДЛЯ АНАЛОГОВОГО МНОЖИТЕЛЯ
В, К, САРАНЧУК, А, П. ТИПИКИН
В множительных устройствах аналоговых вычислительных ма­
шин (АВМ), основанных на соотношении
ХУ= -1⁄4-[(Х+У)2- (Х
-
У)\
(1)
применяются квадраторы, построенные на нелинейных полупро ­
водниковых сопротивлениях (НПС) или на диодах по принципу
кусочно-линейной аппроксимации [1-5].
Сильная зависимость вольт-амперной характеристики НПС от
температуры (температурный коэффициент составляет 2-3% на
10° С [4 ]) не позволяет уменьшить погрешность квадраторов на
НПС менее 1% от максимального значения выходнс,го сигнала,
даже в случае применения специальных схем термокомпенсации
на термосопротивлениях [4]. Квадраторы, построенные на НПС,
имеют узкий диапазон выходно,·о сигнала (мгновенная относитель­
ная погрешность составляет 5% в диапазоне, равном 30). Под
мгновенной относительной погрешностью <\ понимается отноше ние
абсолютной погрешности Л к ожидаем,Jму точному значению вы­
ходного сигнала Е той точке, где определена абсолютная погреш­
ность [5]
(2}
где Ит - точное значение выходного сигнала; ИР
-
реальное зна­
чение выходного сигнала . Рабочий диапазон частот, ограничивае­
мый появлением дополнительной динамической погрешности 2-
• 3% от максимального значения выходного сигнала, состав л яет О <
<f<100гц.
Квадраторы, построенные по принципу кусочно-лин е йной ап­
проксимации, обладают значительно более высокой точностью, ста­
·бильностыо и широким рабочим диапазоном частот. Эти устройства
позволяют получить относительную погрешность О, 1% при мгно-
82

венной относительной погрешности не бол1=,е -2% в диапазоне вы ­
ходного сигщ1ла, равном · 100 .[5]. Ра_бочий -диапазон частот (пр и
дополнительной динамическоji погрешности •не - более 1 %) состав­
ляет О < f < 5000 гц , Достижение указанной точности требует
при менения около 20 диодов и стабильного источника опорног о
напряжения. Существенными недостатками этих квадраторов яв­
ляются · наличие разрывов в первой производной и сравнительно
у зк ий динамич еский диапазон выходного сигнала (у современны х
л и ней ны х решающи х эле ментов АВМ - мгновенная погрешность не
превышает 1-2% в диапазоне вы ходного сигнала, равном 1000) .
Дальнейшее расширение динамического диапазона; равносильное
уменьшению мгновенной погрешности при малых з начениях вы ход ­
н о го сигнала , требует резкого увеличения количества диодов.
Это не имеет смысла, так как общая погрешность может не сни­
з итьс_я , а уве личиться и з -за погрешности , вносимой самими диод ­
ными элементами [1].
В связи с изложенным выше возникает необ ходимость в по­
стро е нии простого по конструкции квадратора, удовлетворяющег о
следующи м требованиям : 1) сравнительно небольшой объем обо ­
р удов а ния и небольшая потребляемая мощность ; 2) относительна я
погрешность не более 0,1% от максимального зна чения выходного
сигнала; 3) широкий динамичес к ий диапа з он вы ходн о го си гн ала
и рабочий диапазон частот, близкие к соответствующим диапазо­
нам линейных решающих элементов; 4) непрерывность первой про­
изводной; 5) высокая температурная и временная стабильность
в лабораторных условиях (диапазон изменения температуры окру­
жающей среды: Е\ = 10 + 60°С).
Принцип действия, Способ настройки
П р и построении данно го квадра то р а -пр и менен принцип кусочно­
нелиней н ой ап п роксимации . . В качестве нелиней ны х элементов · ис­
пользованы начальные участки прямых ветвей вольт-амперных ха­
рактеристик кремниевых диодов. Схема включе ния диодов для
осуществления кусочно-нелинейной аппроксимации показана на
рис. 1. При последовательном включении диодов (количество их
п колеблется в пределах от 1О до 15) потенциальные барьеры от­
делыrых диодов задают шаг разбиения оси аргумента, а их сумма'­
интерва л определения воспроизводимой функции. Делитель на­
пряжения на сопротивлениях r1 , r2 позволяет расширить интервал
определения функции до 100 в. Приведенная схема воспроизводит­
в одном квадранте монотонно во зра стающие функции, имеющие­
нулевое значение первой производной в начале координат .· напр и ­
мер, степенные функции У = ха . Настройка устройства осущест ­
вляется приближением к зад;:шн о й , зависимо сти Ивых = f {И вх)
п утем последовательного nопар н 0го изменен ия сопротщ1ле н ий ,. r .1
fl R1 ; R1 и, R2 , R2 и R3 (при незначительном изменении -R1),B~
6*

•и R4 (при незначительном изменении R 2) и т. д. Такой принцип
последовательной настройки возможен благодаря значительной вы­
соте потенциз.льного барьера у кремниевых диодов. При этом изме­
нение любого R; сопротивления влияет на настройку предыду­
щего (i - 1)-го элемента. На настройку остальных предыдущих
элементов, т. е. (i - 2), (i - 3)-го и т. д., изменение сопротивления
R; практически не оказывает влияния. Суммарное сопротивление
делителя (r1 + r2) рекомендуется выбирать таким образом, чтобы
во всем диапазоне изменения выходного сигнала lвх > 11 (рис. 1).
Наибольшая точность настройки была получена при применении
-
Д;
-т'
-г
,-
-t-
1
1
1
L ____ Дп..:1._:
1
R,
1 ---------,, ,3 1
Рис. 1. Принципиальная схема квадратора.
микросплавных кремниевых диодов Д219, Д220, Д223. Диоды сле­
дует отбирать по величине обратного тока.
Основными недостатками данного устройства являются: 1) не­
возможность расчета ввиду значительного разброса характеристик
диодов; 2) зависимость характеристик диодов от температуры окру ­
жающей среды. Эти же недостатки прис ущи и широко применяе­
мым нелинейным полупроводниковым сопротивлениям. Кремние­
вые диоды при сравнимой с НПС температурной нестабильности
обладают следующими преимуществами : 1) значительно больший
рабочий диапазон частот (например, диод Д223 имеет максималь­
ное значение рабочей частоты 20 мгц); 2) значительно меньший
габарит; 3) герметичность. Благодаря последним двум факторам
можно построить простую и малогабаритную систему их термо­
статирования. В лабораторных условиях (диапазон температур
10-60° С) можно обеспечить достаточную стабильность характе­
ристш, кремниевых диодов поддержанием температуры в термостате
науровне 0т= 70±О,1°С.
Система термостатирования диодов
Для поддержания постоянной температуры окружающей среды
диодов построена система автоматического регулирования, основ­
ными конструктивными элементами которой являются термостат
84

и усилитель. В термостат были помещены диоды, датчик темпера­
туры и нагревательный элемент. В качестве датчика использова­
лось термосопротивление Rт (рис. 2). Температура задавалась
соответствующей установкой задающего постоянного сопротивле- •
ния R 0 в плече делителя напряжения, противоположном Rт- Си­
стема регулирования поддерживает постоянную температуру в ста­
тике путем непрерывного выравнивания мощности нагревания
и мощности, рассеиваемой термостагом.
Применен усилитель переменного тока (рис. 2), что позволило
практически исключить дрейф нулевого уровня. Фазочувствитель-
,----,----------.--Ф•.Jtlfl8
П25
11"
Рис. 2. Принципиальная схема усилителя системы термостатиро­
вания диодов.
ный детектор (транзистор П25) и диод (д202) на выходе усилителя
включены для того, чтобы осуществлять нагревание только при .
значениях температуры в термостате, меньших заданной (0т <
< 0 3 ), а при 0т > (9 3 (в случае перерегулирований, когда фаза
переменного сигнала на входе усилителя изменяется на 180°) на­
гревание прекращать. Усилитель рассчитан на стандартные напря­
жения питания современных АВМ на электронных лампах. Выход­
ной каскад имеет запас по мощности, достаточный для выведеню1
термостата в режим за 30 мин. Статическая ошибка системы регу­
лирования составляет О, 1" С.
В качестве теплоизолирующих материалов для термостата ис­
пользовались хлопковая вата и пенопласт. Внутренняя полость
термостата заполнялась трансформаторным маслом для поддержа­
ния приблизительно одинаковой температуры по всему внутрен­
нему объему. Выводы из внутренней полости через теплоизолятор
осуществляются тонким проводом . Рассеиваемая мощность термо­
стата составляет 1 вт при 0 0 = 20~ С и 0т = 70° С. Термостат,
применяемый в данном устройстве, вмещает 40 диодов типа Д223.
Диоды необходимо экранировать от нагревательного элемента об­
щей точкой сигнала, что позволяет значительно уменьшить утечку
от нагревателя на вход решающего усилителя. Нагревательный эле­
мент следует применить транспонированный во внутренней полости
85

термо·стата (напри-мер~ рядовая · намотка : на , рамку). ' Это повышает :
равномернесть нагреван·~я и стабильнGсть системы автоматического
регулирования .т~_мпературы.:..:
•'
'
При
ствле11а
Экспериментальная проверка ; точности ·
и рабочего диапааона частот ·. квадратора
,! ',
·;
изготовл~нии ·опытного образца устройства • была осуще­
настройк'а двух ветвей параболы . во втором и четвертоNo .
Таблица 1
квадран~,:ах. Для_ настройки одной ветви пара­
болы пuтребивалось 10 диодов.
0,01
0,1
0,2
0,5
1
2
5
10
50
100
30
2
.. 1,5
1'- .
у
0,5
6,3
0,2
0,1
0,1
-·--· Исследование
статической погрешности квад­
ратора _:осуществля.ло~ь при разных значениях
· темперапры окру,,каю,_щей ср,едьJ в диапазоне
Е\ = _ 10_;+ 60° С и '..при периодической проверке
мгновенной погрешности в течение 500 час ра­
·боты устройства. Максимальные значения мгно­
венной погрешности, определенные по форму­
ле (2), сведены в табл. . 1. •
Проведенные исследования показывают, что
относителhная погрешность квадратора не пре­
вышает 0,1 .%- . . Мгновенная
относительная. по­
грешность не превышает 2% в диапазоне выход-
ного сигнала: 1000.
,
Динамическая погрешноств квадратора оп р еделялась - при на 0 ,
б_людении на экране оtциллоrрафа реализ·уемой •кривой 1 1 = f (Uвх) ,
при переменной часто-
•
' -1;
•1,
те ВХОДНОГО синусои-
4мхоt----~
4мкоt-. -
.. -,- -~
дального сигнала . • На­
блюдалась кривая / 1 =
=
f(Ивх),анеИвых=
= f (Ив;), чтобы и_склю­
чить динамическую по-
грешность решающега
усилителя. Из · по,лу~
ченных
осциллограмм
(рис. 3) (а -fвх=1000гц; ·
6-fвх=2000 гц; 8-
-
fв~=4000 гц; г-
lОб
о
4мка,-11--~~
о
208
.
4мхо г-1~•---~
г
..:__fвх = lООООгц)_ ВИДНО, Рис. 3. Частотные характеристики квадратора.
что: значительные откло-
не_ния от ожидаемой точной кривой появляются при частоте
входного сигнала 1о· ООО гц . Максимальным значением рабочей ча.~
стотьr квадратора является 4Q00 гц (при дополнительной динами­
ческой погрешност'и . не более · 1 + 2% от максимального значения
вьrходного - сигнала) :
86

''
!i
,. .. ~.1;1ож1;11те.ць1. J' . . • ,
..
1.,
,
,
·
'..
,,,.1·,-1.
1.'
1
Рассмотренный ВБIШе ; приiщип 1 построения :•квадр ·а:тора •' ~споль-''
зован для ' пов~;rшения fочнос'ти, 1ра'сшiфения 1 динамйчесkоr6 1 ди~:па·~1 ,
зона выходного ' сигна:ла"' 'И рабочет:Ь -диа'riазсiна ' ·чает6f,fана.лdговьrх?
множит~льных' ' устройств~' :'оtн9в'ан:'ньй{ :, на ,., со'отношёний' · 1 :'('l). ,:,при''
разра'боtке •схемьi мно'жителя вознйiлt(•залача: повышеiЬlя- rочнос±ти·'
схем -выделения ·:~юду.ля' 'возводиr:.iоtо· ''в 1кв·адр·ат'. сйrн'ал,а : 1• 'При~е- .·
няемые в наtтояпiее- время ' в· ;эти1х' 'схе'м1iх вакуумньiе ди'олir внdс;'ят ,
большуr'о погрешность ripii ' малы'х ) значен'иях входйог·q •сигнала·/iв-
•
•
;'
'
~-
•
1 1'.
(1 ! .'.,.~ ,.·
T"J:.: ~· } C/J'. ;;t • !
-~:
1;•-il · ., t{~;'.1
ri1 J!
: ~ ,)J!'.. : )r:; _,[)
,
..
.
'
,
,.
2R
.d'
!!
2R
',1
Z=• -
•100·•-
1
~-
!:,. ~)j !,. :J :..
<
.•
i".. )
,,.) )
•
Р,ис, 4,_ Принuилl'lальная, , схема , ,м н,ож_ит~льf!~rо ycт,poiic1:~a~ .. ,,
.
за значительной величиньi ,на~ального , то·ка : , Н:~иболее ' yciI~ш1;16r't1 .:
оказалось , применени:е кремниевых д!:f,ОДQ,В, •• 1:1P,ЯMfie ветви ~apaKJ~~ '
ристик которых дополн.ительно ис'пqльзовались hp'i( настройке на- ·,
чальных участков пар абол (диодьr Д21 и Д~2 ,'Д27 и Д28 , рис, 4). Для.'
достижения высокой точности необходимо, чтобь1 вольт·~амперны~ 1
характеристики диодов были попарно (Д21 и Д22 , Д,7 и Д28) доста ­
точно близки в рабочем диапазоне токов, Учитывая разброс вольт­
амперных характеристик диодов, их сблизили подбором пар диодов
и последующей их корректировкой с помощью ~пециальных схем
коррекции , построенных на диодах д23 (д29) , , д24 (д30) , Д2" (д31),
Д26 (д 32) и сопротивлениях r4 (r8), r" (r9); r6 (r10).. Все -диоды для повыше­
ния стабильности устройства помещены !? . термостат, рассмотренный
ранее, Сближение вольт-ампер~ых характеристик диодов в парах Д21
и Д22 , Д27 и Д28 осуществлялось rio трем точкам в рабочем диапа­
зоне токов нагрузки схем выделения модуля , (цри , маКСJ-!М?ЛЬном,
минимальном и средне м значениях). При максf!мальном значении
тока нагр у зки подстройка осуществлялась изменением сопротив-
87

лений r4 , r5 (r8, r 9) в диапазоне 0-300 ом , причем для простоты
настройки одно из них , или r 4 (r8), ИJIИ r5 (r9), принималось равным
нулю. При минимальном и среднем значениях тока нагрузки под­
стройка осуществлялась изменением сопротивлений r3 (r7) и r6 (r10).
В результате указанной подстройки максимальное отклоне1;1ие тока
нагрузки схемы выделения модуля / н (ток, потребляемый квадра­
тором) из - за несимметрии диодов в указанных выше парах сведено
к Л/н = 0,001 мка в рабочем диапазоне 0,1 + 100 мка .
Квадраторы настраивались непосредственно в схеме множи­
теля. Верхний квадратор настраивался при Х = У (в положении
Таблица 2
Ивых
0,01
0,1
0,2
0,5
1
2
5
10
50
100
50
2
2
1,5
1
0,8
0,4
0,2
0,1
0,1
переключателя П , рис . 4) . Подстройка симмет­
рии схемы выделения модуля (диоды Д~ 1 и д22 )
производилась при перемене знака и Х, и У .
Нижний квадратор настраивался при Х = - У ,
а симметрия схемы . выделения модуля (диоды
Д27 и Д28) подстраивалась при перемене места­
мивходовхиУ.
Экспериментальная проверка точности мно­
жителя производилась аналогично проверке
квадратора. При этом в течение 500 час ра­
боты устройства в диапазоне температур 0 0 =
= 10--;- 60° С мгновенная относительная по­
грешность не превысила значений, указанных
в табл. 2.
Результаты исследования показывают, что
относительная погрешность множительного устройства не превы­
шает О, 1%, а мгновенная относительная погрешность составляет
не более 2 % в диапазоне выходного сигнала, равном 1ООО.
Динамическая погрешность множителя определялась в резу ль­
тате умножения синусоидального сигнала переменной частоты и
амплитуды 100 в на нуль [3]. Выходной сигнал множителя достиг
в отличие от идеального нулевого значения О, 1% и 1% от макси ­
мального значения выходного сигнала при частотах входного сиг­
нала соответственно 500 и 3000 гц .
ЛИТЕРАТУРА
1. К о га н Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их применени е
для исследования систем автоматического регулирования . Физматгиз, М., 1963.
2. Масло в А. А.- Автоматика и телемеханика, 1957, 4.
3. Гуль к о Ф. Б . - Автоматика и телемеханика, 1961, 12 .
4.ФремкеА. В.,МокиенкоД. Н.,Кузьмин В.Я.-Извес­
тия вузов, Приборостроение, 1965, 4 .
5. Л а т е н к о И . В . Аналоговые множительные устройства. Гостехиз ­
дат, М., 1963.
Доложено на семинаре
16 февраля 1966 г.

К ВОПРОСУ О СВЯЗИ МЕЖДУ ДИНАМИЧЕСКОЙ
ПОГРЕШНОСТЬЮ ОПЕРАЦИИ И ЧАСТОТНЫМИ
СВОЙСТВАМИ РЕШАЮЩЕГО УСИJIИТЕЛЯ
А. А. ТЮТИН
Известно, что частотные характеристики решающих усилителей.
используемых в линейных операционных блоках аналоговых вы­
числительных машин (АВМ), должны удовлетворять двум основным
требованиям:
1) операционный блок должен быть устойчивым в любом режиме
работы (чаще всего используются режимы суммирования и инте­
грирования) при изменении величин сопротивлений и емкостей в
пассивной цепи обратной связи в заданной области значений;
2) установившаяся динамическая погрешность или переходная­
динамическая погрешность не должны превышать заданной вели­
чины.
В работах, опубликованных до написания данной статьи, эти
два связанных вопроса рассматривались раздельно: решалась за­
дача об определении оптимальной формы амплитудно-частотной ха­
рактеристики (А ЧХ) решающего усилителя, исходя из заданного,
качества переходного процесса [1 ]; рассматривался вопрос о рас­
чете усилителя на устойчивость и синтезировалась его фазочастот­
ная характеристика (ФЧХ) [2 ]; исследовались погрешности вы­
полнения операции при заданной форме А ЧХ усилителя [3-5 ].
Исключением является работа Н. Н. Ленова [6 ], в которой обсу­
ждалась связь между отклонением А ЧХ операционного блока от
идеальной характеристики и величиной запаса устойчивости по.
фазе . Однако некоторые из полученных в работе [61 результатов
требуют уточнения, особенно в связи с разработкой и применением
в операционных блоках АВМ полупроводниковых решающих уси­
лителей.
Целью настоящей работы является повторное рассмотрение
связи между погрешностью операции над периодическим входным
сигналом в установившемся режиме и частотными свойствами опе­
рационного блока с учетом требования устойчивой работы . При
этом особое внимание обращается на строгое определение величин,
89'

характеризующих свойства блока. Статья основана на материалах
.диссертационной работы автора [7]. Аналогичный подход к задаче
·был использован Д . Е. Полонниковым в его докторской диссерта­
ции [8].
Все используемые в статье величины являются функциями ком­
плексной переменной р, которая при исследовании установивше­
·rося режима полагается равной jro.
Коэффициент передачи линейного операционного блока
~•
-·
•
I
, ..,
.••
'
,
.
--
-
~
Схема блока показана - на рис. •1. Решающий -·-усилйтель, вхо-
дящий в схе·му ; рассматривае'гёi как . четерехfJо'люоник . с. :коротко-
Zог 3
Z' (/3.
-н
'i
.i
замкнутой стороной'_ (тр_ехi10л!6сник), • хар'актеризуемый матрицей
,у-параметров :: • _, -,' i,i ', i<.J. ,;,· ,
':",,
•
•
•')
_/; 1.' .!:...J! .( ,;
.. ...
~
!'-
Уа~' 1
'
Уаь 1
[у]
Уьd. -1
Yq~ :_
'
'.. ·1Ij1· •
1
~ •';.
~-
/,'1
,,,
tJ. .
!
,
,.
'
. Выхощюе
напряжение операционного блока является линей•
'НОЙ КQ~~иначиеii 130.З,!),еЙСТ~ИЙ, 'кал<д,Ое ' ИЗ КОТО~ЫХ О?УСЛОВЛеНО
-~оотJ3етс;гву~рщ~:~м входным .н1:11;1ряжением
'
\-
1_!
j: ,:_1,
•
)1
j.J
п
'
Ивь,х' = ··'1,;Н;Ивх;,
i=l
.где н/~· операторный ~оэффициен;г передачи* по 'i-му входу' [7, 9],
.~
.
'
'
'
.
'
.
.
.
~' ;1J
1'' il1''
'
,,_:';1п·','
1. !;,1,~'
';
,
: :·.
,>
•
,~ 1. Зде~.;1, ц , 4;~лееJ,_rюдразумеваются коэффиlf11еr1ть,1 ,nep,e .L\q~~i по _ на_rуряжени19. .J; ~

(4)
т - «петлевое» усиление,
(5)
Царциальнь~е коэффициенты передаIIи, входящие__в формулы (2) -
{5), определяются следующим образом [7-9]: • •
kш - коэффициент передачи из i-го входного - узла в узел 2 (см .
рис. 1), определяемый при заземлении узла 3 и всех остальных
.ВХОДНЫХ УЗ.!fОВ,
И3 =0
k23 - коэффициент «обратной!> лередачи .напряжения,. т. е. пере ­
дачи из узла 3 в узел 2 при заземлении . всех входных узлов,
k2з = i:1 ' = k2з ~:·с+ !Cl2'3 ус
Иl.i=O
,
(i=1,2, ... , п);
k 32 - коэффициент «прямой» передачи напряжения,' т. е. перtщачи
изузла.2вузел-3
-
•!
•-:
kз-2·== •~з 1··~
·== kз2 о.с+ kз2 ус
2 И1i=О
(i=l,2, ... , п) .
Передача может осуществляться . двумя путями - через сопро-
1'ивление Z0 .c (k 23 о.с) и . через . усилитель (k2 зус)- Коэффициент k230 .c
определяется при дополнительном условии, что _выход усилителя
отключен от узла . 3 •и заземлен; а k 32o.c - при условии, что вход
усилителя отключен от узла 2 и заземлен, Коэффициент k236.c на­
ходится при дополнительном условии, что сопротивление Z0 .с ., О1t­
ключено от выхода усилител,я и с Заземлено., а. k 32Yc - . при _ условии,
что сопротивление Z0 .c отключено :от, .узла 2 и заземлуно. _,
,,,·J;
Для схемы p!'fC. 1 в , соответствии с указанными - выше.. определе 0,
91,,

ниями можно получить следующие выражения для парциальных
коэффициентов передачи [89]:
k2з о.с = -------- ---
п
1+ zo. с ~++ zo.cYaa
q=O q
k
_
zо.сУаь
23 ус=
__ __
п______
~1
1 + zo.c,,,,:,. z + zo.cYaa
q=O q
kз2 о.с = --~z-----,
о.с z
1 + т+ о.сУьь
kз2ус =
н
Ку.х.х
----
1------ = Ку.н,
1+
+---
zо.сУьь ZнУьь
где Ку.х.х- коэффициент передачи ненагруженного усилителя:
Ку.х.х =
-
УУьа .
ьь
(6)
Очевидно, что k32yc -
коэффициент передачи нагруженного уси­
лителя при разомкнутой цепи обратной связи (Ку.н)- Особенно­
стью формул (6) является то, что в них использованы у-параметры
усилителя (параметры короткого замыкания). Напомним, что Уаа­
это входной параметр четырехполюсника, определяемый при корот­
ком замыкании выходных зажимов (Иь = О); Уьь - выходной па ­
раметр, определяемый при коротком замыкании входных зажимов
(Иа = О). Эти параметры отличаются от входной и выходной прово­
димостей (соответственно) четырехполюсника из-за наличия обрат­
ной передачи, характеризуемой параметром обратной связи Уаь
(который входи т также в выражение для коэффициента k23yc обрат­
ной передачи напряжения через усилитель). Эта особенность про­
является наглядно, если представить усилитель схемой замещения
с зависимыми источниками тока (рис. 2, а) или напряжени Я'
(рис. 2, б).
Представление усилителя в виде трехполюсника (четырехполюс­
ника с короткозамкнутой стороной) с у-параметрами позволяет
более четко определить, что следует называть коэффициентом уси-
92

ления усилителя без нагрузки и с нагрузкой, и указать, при каких
условиях этот коэффициент должен определяться. Подставляя да­
лее выражения (6) в формулы (2) - (5), получим
zo .c
Н;и_ц =
-
-
z.
,
S1 = --с----с=---
'
l - zо.сУаь '
Т=
-
(k2з о.с+ k2з ус) (kз2 о.с+ kз2 ус) =
I -Z0.cYaь
(
1
)
п
Кун+ z
.
1
ос
l + zo.c}: z + zo.cYaa
I + Z:- +zо.сУьь
q=O q
У,
У,
(IJ - -с:-::.-::,-
--
У,,
Z,
z,
I___ ________ . 1
а
L __________ I
о
Рис. 2.
(7)
Выражение для коэффициента передачи Hi операторного блока
можно легко получить подстановкой значений (7) в соотношения
(4) и (1). Следует, видимо, подчеркнуть, что в линейном операцион­
ном блоке (рис. 1) всегда осуществляется передача напряжения
в «прямом» и «обратном» направлениях как через сопротивление
Zo.c• так и через усилитель. Такие элементы цепи называются двух­
сторонними. Для цепей с двухсторонними элементами нецелесо­
образно пользоваться по нятием «петля обратной связи», предло­
женным в свое время д,1я цепи с односторонними элементами.
93

В связи с . этим нужно также отказаться от общепринятого опре­
деления , петлевого усиления Т путем размыкания цепи в некото ­
рой точке [10]. Однако для произведения · кос1ффиuиентов передач и
между узлами цепи с двухсторонними элементами можно со х ранить
название «петлевое усиление», беря слово «петлевое» в кавычки и
отмечая тем самым некоторую условность этого понятия. Подроби ()
этот вопрос рассматривается в работах [11, 12].
Отметим, что общеи з вестное выражение для коэффициента пе­
редачи линейного операционного блока по i-му входу (см., напри ме р ,
работу [2]) получается как частный случай и з соотношени я (7) пр и
Уаь = О , что приближенно верно для ламповых решающих у сили­
телей в диапа зоне от нулевой частоты до частоты , при которой у си­
ление ненагруженного у силителя становится равным единице .
О динамической погрешности •операции
Под погрешностью о пе рации принято понимать [13] ра з ност ь
между выходным напряжением идеального операционного бло ка
и вы ходным напряжением реального блока в данный мо мент вре-
мени
ЛUвых (t) = Ивых.ид (t) - Ив ых (t) .
При это м , в з ависимости от х арактера проце ссов в операционно м
блоке, погрешность операции может вычисляться либо для стацио ­
нарного (установившегося) режима, либо для переходного режима.
Погрешность операции в первом режиме называют погрешностью
установившегося режима , во втором режиме .:_ перех од ной по­
грешностью [14 ].
Ошибки операционного блока , связанные с наличием утечек,
с конечным (постоя нным) значением коэффициента усиления, с ошиб­
ками в установке параметров входных сопротивлений и т. п. , про­
анализир ованы достаточно подробно в работе [13] . Погрешность
опер ации, обусловленную этими причина ми, можно назвать ста­
тической в том смысле, что существует еще динамическа я состав­
ляющая погрешности, в о зникающая за счет неидеа л ь ности частот­
ных характеристи1, решающего усилителя и за счет влияния пара­
зитны х р е ан.ти в ностей схемы. Таким об р азом, как погре ш ность
установ ившегося режима , так и погрешность переходного режима
содержат в себе статическую и дина м ическую составляющие.
s: : В дальн ейшем р ассм ат ривается только динамическая составляю ­
щая погрешности (динамическа я погрешность), т. е. считается, что
в ьfходное напряжени е иде аль ного блока
'п
~.,
Uвых11д(р) = j;,, Hiид(р) Uвxi (р).
•
i=l
(8)
i
Для • упрощения ра,счетов. динами че ская задача · сводитс я к стq ти-
.ческой с помощью о пе.р а ционного исчисления . При этом пер еход-
94

ную погрешность ЛИ~ых (t) •находят 1fю ее изображению ЛИвых (р)-:
'
•.
;-'
·J ..•
'. ',
'
'
ЛИвых (f) : ЛИвых (р) =; = Ивых. ид (р) - Ивых (р).
(9}
Погрешность установившегося режима получается из соотношения,
(9) в соответствии с теоремой операционного исчисления
ЛИвых (=). • ЛИ вых ·(О). •
Динамическую погрешность в установившемся режиме удоб­
нее, однако, трактовать в - тер:минах «погрешность по модулю» и «по­
грешность по фазе», если входной сигнал операционного блока·
:является синусоидальной ' функцией времени. Выражение для по­
грешности для такого случая может быть получено из формулы (9)-
заменой аргумента р - на jro: ·
ЛИвых (j(t)) = Ивых.ид (iro) -Ивых (jю).
(10}
Для периодического входного сигнала произвольной формы оценка
погрешности по модулю и фазе ст;Jневитс_я неудобной, и потому
иногда применяют критерий среднеквадратичного отклонения
двух функций на интервале (О, --с), где .' · _:_··период изменения вход­
ного напряжения [5]:
't
а2 = +J0 [Ивых.ид (t) - Ивых (f)] 2 dt.
о
Рассмотрим теперь связь между динамической погрешностью
операции и частотными свойствами операционного блока. Подстав­
ляя равенства (1) и (10) в с;оотношение (8) , получим следующее
выражение для динамической переходной погр ешности :
ЛUвых (f): [1-S(р)]Ивых.ид(Р),
либо, с учетом равенства (4):
Ливых (t) : 1 +IT (t) Ивых.ид (р).
(12)
Дина ми ческая переходная погрешность операции, как это сле­
дует из выражения (12), полностью определяется расположением
корней зн а менателя на плоскости р; с другой стороны, от распо~
ложения тех же корней зависит устойчивость операционного блока.
Динамическая пере ходная погрешность может быть рассчитана
· по формуле (12) после того, как выбрано расположение корней
знаменателя, обеспечивающее устойчивую работу блока. Суще­
ствующая при этом неоднозначность выбора может быть преодо­
лена путем наложения дополнительного ограничения на величину
· перерегулирования [1 ]. В качестве · испытательного сигнала обычно
выбирают ступенчатую единичную функцию: Ивх (t) = 1 (t). Тре­
бования к частотньiм характеристикам решающего усилителя мож ­
· но получить, ' если св язать качество переходного процесса с вели­
чиной наклона частотной зависимости модуля « петлевого» усиления
• Т в : области частоты среза fficp [1 ·].
:,,-,
-95-

Величина перерегулирования, время регулирования и допу­
стимое отклонение, определяющие качество переходного процесса,
являются одновременно критериями оценки динамической переход­
ной погрешности [141.
Выражение для динамической установившейся погрешности
в случае синусоидального входного напряжения получим из со­
отношения (12):
ливых (jro) = 1 + ~ (joo) и вых.ид (jro).
Более удобным, однако, является непосредственное использование
формулы для выходного напряжения реального блока:
ивых (jro) = S (jro) ивых.ид (jro).
Из этого выражения следует, что погрешность операции по модулю
имеет вид
ли вых (ro) = [1 - S (ro)] и вых.ид (ro),
а погрешность операции по фазе -
Л(J)вых (ro) = 1 (J)вых.ид (ro) - (J)вых (ro) 1 = (j)s (ro),
(13)
т. е. модуль и фазовый угол поправочной функции S полностью
характеризуют погрешности операции по модулю и по фазе для
монохроматического сигнала.
Искажения операции будут отсутствовать, если
S(ro) =1;
(JJ5 (w) = О.
( 15)
·Следует подчеркнуть, что условия (15) отличаются от условий
неискаженной передачи сигнала через четырехполюсник, когда
требуется, чтобы коэффициент передачи не зависел от частоты,
.а фазовый сдвиг в четырехполюснике зависел линейно от частоты .
Дело в том, что в АВМ линейные операционные блоки не должны
вносить запаздывание сигнала.
Поправочная функция S однозначно связана с «петлевым» уси­
лением
S(ro)=
Т (ш)
Vl+2T (оо) cos срт(оо)+Т 2(оо)
sin срт (оо)
(j)s(ro) = Aгctg Т(ш)+cosсрт(оо) '
(16)
где Т (ro) и (J)т (ro) - модуль и фазовый угол «петлевого» усиления.
Следовательно, и в этом случае можно установить связь между
погрешностью операции и частотными характеристиками решаю­
щего усилителя, причем, как и при расчете переходной погреш­
ности, вначале должен выбираться наклон частотной зависимости
модуля петлевого усиления в области частоты среза Wcp, а затем
96

• IJ,
2()/;T(uJ
50
50
40
а:
:::,
::t::
q.,
~
"~
с::,
"'
~ J(}
q.,
~
~q. ,
с;;:
.,,.
<:::;
~
с::, 20
~
10
о
·!О
7-2622
...200; -21,.0•
- 220·
-200· -1ао·
- 160°
-1 1,.0·
- 120·
- 100· -во· -оо·
-40•
-20· о·
.. .,,, ----;c~ -J -101
-il--+--+-l----'>-sl---+--J,.'"""f-+--+--+---==!>~-l----l,,L----k---+---t-+--+--+-----,l'---",~-f'c---::Э,,--'9r---/t--J-9
4--1--+--1-~~:+--1--+-+-+-+-~-.J,,L..f---t-'s::::-l--'f==J==t--4::::f<?,;,::-f-"s;:J;,,"'s~-n--tт-t-8
1-г--,с-..,....,,.'--t"с----,.,__.,.,--;-.,....,.....---,.....7
,.l'f'-._-+--"d7\"''P<--'~-t-б
~;:--t--''Г',---\,jc=-\-t-5
т-i-tt-i-~H~:::-14=-t-'#;;:::zг--Ь~n:t:::::::'t:==t==ttt-t7'f~7"fn-'~it-4
~ s:ttfd,,,c;- ~ 1\-:::::1:f=!=:::::tt-:-thr;~ - t;;; '<t---c7'<F'-\--\-fн+t-З
/02
9
8
7
б
5
4
3
2
10
g
~
7
б
5
4
з
2
1,0
9
8
--'l'--i-;,,f:.~-!P~~E--:P<~/Of-l'ёii-f--tl~~:'Нc--'~~~$~~~~>~~i~:~:.~~~i~11~t:t-==~~~~::::ц:=п-J
]i121~trE~~~~~~~~i~~~~~E~~~~cf'~~'\rm--'t---1\1:t::t=~Ftt ;
з
- 200·
-2 1,.0•
-2 20·
- - 200· -1во· -шо·
- 1 1,.0•
-120·
- 100· -во· -оо·
-40•
-20· 1)0
Ф01о!lыи угол У';.
Рис. 3

зависимость Т (ffi) в оставшемся диапазоне частот, исходя из до­
пустимых значений погрешности операции по модулю и по фазе.
Наконец, в случае периодического входного сигнала произ­
вольной формы можно воспользоваться для оценки величины по­
грешности операции формулой (11). Представим входное напряже­
ние рядом Фурье
m=-oo
где
't
1('
( ) -jmшtd
Ст;= ,:JUвх;tе
t;
о
2л:
Т=-·
(u'
(17)
ffi - частота основной (первой) гармоники входного напряже­
ния. Рассматривая Н;ид и S как функции комплексной частоты jmffi,
можем представить выходное напряжение также в виде ряда
Фурье
где
+оо
(t)
~djmшt
Ивых=~111е,
m=-oo
п
dm = s (mffi) ei()Js(mш) ! Cm;Hi ид (mffi) /()J; ид (тш).
i=I
( 18)
Идеальное выходное напряжение может быть получено за счет
идеализации поправочной функции S. Напряжение Uвых- ил (t) может
быть представлено тем же рядом (18), в котором коэффициенты
dm и функция S (mffi) имеют дополнительные индексы.
Учитывая это и подставляя соотношение (18) в формулу (11),
можно п олучить следующее выражение для квадрата среднеквад­
ратичной ошибки;
+""
а2 = I (d;~дd~m + dmd-111
-
2d;;.дd-m)•
m=-00
Для упрощения выкладок предположим, что линейный операцион­
н ый блок имеет один вход. Тогда
а2 = I (а;,+ Ь;,,) [Нид (mffi)] 2 (S~д (mffi) + S 2 (mffi) - 2Sид (mffi) Х
m=O
xS (mffi) cos [(J)s ид (mw) -cps (mffi)]),
( 19)
rде ат и Ьт - синусные и косинусные коэффициенты в разложении
входного напряжения в ряд Фурье :
7 7-2622
а;, +ь;,,
2
97

Если S (mw) = Sид (mw) и <ps (mw) = (J)s ид (mw), то погрешность
операuии будет отсутствовать.
Иногда вместо абсолютного отклонения Ливых (t) используют от­
носительное мгновенное отклонение [5]
ОИвых (f) =
Ливых (t)
ивых.ид (t)
Очевидно, что можно повторить все приведенные рассуждения
и получить соответствующие выражения для бивых(t). В частности,
А. В. Гурнов [5] получил формулу для относительной средне­
квадратичной погрешности на интервале (О, i:), аналогичную со­
отношению (19), в которой не учитывается влияние отклонения,
фазовой характеристики операционного бло1<а от идеальной, т. е.
считается, что cps (mw) = <ps ид(тw). Это справедливо в ограничен­
ном диапазоне частот. Вероятно, именно поэтому в работе [5 r
получен сильно заниженный результат для максимального быстро ­
действия линейного операционного блока.
Замечания об оптимальной форме частотных характеристик
решающего усилителя
Из предыдущего следует, что частотные зависимости модуля
и фазового угла функции Т (jw) должны иметь такой вид, при ко­
тором обеспечивалась бы устойчивая работа операционного блока
и получалась динамическая составляющая погрешности, не пре­
вышающая заданной величины.
Это задача из области теории следящих систем [14 ], и методы
ее решения хорошо известны. В частности Д. Е. Полонников.
определял вид частотной зависимости Т (w), исходя из требований
к динамической переходной погрешности, которые формулируются
в виде требований к допустимой величине перерегу лирования, вре­
мени регулирования и к отклонению [1 ].
Рассмотрим подход к решению той же задачи, исходя из требо ­
ваний к динамической установившейся погрешности при операции­
над синусоидальным входным напряжением.
Воспользуемся диаграммой Никольса, хотя в равной мере­
применимы и другие известные методы расчета характеристик ра­
зомкнутой системы по характеристикам замкнутой системы [14 ].
Возможность использования диаграммы Никольса вытен:ает из
вида формулы для S (jw): функцию Т (jш) можно рассматривать
как коэффициент передачи некоторой «разомкнутой» системы, а
функцию S (jw) - как коэффициент передачи некоторой «замкну­
той» системы; при этом операционный блок рассматривается как
система автоматического регулирования с двухсторонними звень­
ями .
Известно, что по оси абсцисс на диаграмме Никольса отклады­
вается фазовый угол срт функции Т (jw), а по оси ординат - модуль
98

Т (ш) в логарифмическо~1 масштабе [15]. Фазовый угол cpr не дол­
жен включать изменение фазы сигнала, создаваемое усиливаю­
щими каскадами в усилителе и кратное л. В осях cpr, Т (ш) на диа­
грамме строится два семейства линий (рис. 3):
линии постоянного модуля функции S (jш)
т2(w)(~2 - 1)-I
cos cpr = ---2т (w)
, где М =S(ш)= const;
линии постоянного фазового угла функции S (jш)
sin ЧJт
Т(ш)= -К- - cosсрт, где К=tgcps = const.
Диаграмма, показанная на рис. 3, (вклейка между стр . 96-97)
охватывает более широкую область значений модуля и фазового
угла функции Т (jш), чем диаграмма Никольса. Ограничимся рас­
смотрением абсолютно устойчивых систем. Известно, что предель ­
ный годограф «петлевого» усиления Т (jш) для абсолютно устой­
чивых систем характеризуется наклоном - 40 дб /декаду часто­
тной зависимости модуля Т (ш) в районе частоты среза; фазо­
вый угол cpr в этой области частот постоянен и равен - 180 ° . На
диаграмме рис . 3 годограф представляет собой вертикальную ли ­
нию с уравнением cpr = -
180°, которая
проходит через точку
срт =
-
180°; Т (ш) = I . Предельная зависимость Т (ш) позволя­
ет найти предельную А ЧХ решающего усилителя, если параметры
цепи обратной связи известны [5].
Такой предельный годограф характерен для астатических си­
стем [14], у которых коэффициент передачи в разомкнутом состоя­
нии бесконечно велик. Такие операционные блоки можно построить
[7 ]. Однако большинство операционных блоков строится по типу
статических систем, т. е. с очень большим, но конечным коэффи­
циентом усиления в «разомкнутом» состоянии. Предельным годо­
графом функции Т (jш) для таких систем является годограф Боде
[10]. Выражение для функции Т (jш) имеет, согласно [10], вид
T(iw) ~ lVI -_r; )~+ ;-;;;]'" ,, ,
(20)
где у - величина запаса устойчивости по фазе в долях л. Из ра­
венства (20) можно получить следующие выражения для модуJIЯ
и фазового угла функции:
7*
l
f
Т (О)
Т (О)
Т(ш)=~
1
(21)
99

1
-
l arcsin ~
20
Wь
<рт=
ул:
- -:ш
Здесьу=40(1-у).
(О< ro < rоь);
(22)
Предельный годограф Боде получим при у= О. Как следует из
формул, предельный годограф Боде на диаграмме рис. 3 до частоты
ffi = ffiь будет представлять собой горизонтальную линию с урав­
нением Т (ffi) = Т (О), а для ffi > ffiь - вертикальную линию с урав­
нением <рт = -
л. Любой другой годограф системы минимально
фазового типа вписывается в предельный годограф Боде, если
эта система имеет такое же «петлевое» усиление Т (О) на ну­
левой частоте и такой же асимптотический наклон у зависи­
мости т (ffi).
Для обеспечения устойчивой работы вводится запас устойчи­
вости по фазе в долях л(ул радиан). Соответственно уменьшает•
ся наклон частотной зависимости Т (ffi), а предельные годографы
сдвигаются на диаграмме вправо от линий <рт = - л на расстояние
ул. При выборе величины запаса no фазе для линейных операцион­
ных блоков нужно исходить из допустимой величины динамической
погрешности . Например, как уже указывалось, Д. Е . Полонников
исходил из допустимой величины динамической переходной по­
грешности [1 ]. Для величины перерегулирования 30% в работе
[1] получено, что наклон характеристики Т (ffi) должен быть равен
у=
-
30 дб /декаду, что соответствует запасу по фазе 45 ° (у =
= - 1⁄4) . При этом годограф Т (jffi) не должен заходить внутрь
области, ограниченной линией постоянного модуля S (ffi) = 1,4 .
Но на границе этой линии погрешность по модулю составляет 40%,
а погрешность по фазе меняется в пределах от О до 180 ° в зависи­
мости от величины угла срт . Следовательно, если исходить из вели­
чины допустимой установившейся динамической погрешности, то
весь диапазон частот операционного блока можно четко разбить на
две области:
1. Область частот, в пределах которой динамическая погреш­
ность операции не должна превышать заданной величины , в пре­
делах этой области на годограф функции Т (jffi) накладывается
единственное условие - годограф Т (jffi) не должен выходить за
пределы области диаграммы рис . 3, ограниченной предельным го­
дографом для абсолютно устойчивой системы.
2. Область частот, в которой динамическая погрешность опера ­
ции больше допустимой величины; в пределах этой области на годо­
граф функции Т (jffi) накладывается дополнительное условие, свя­
занное либо с величиной запаса устойчивости по фазе, либо с вели­
чиной допустимого подъема в характеристике «замкнутой» системы,
либо с допустимой величиной перерегулирования. Поскольку в обо­
их случаях имеют место некоторые предельные характеристики
100

Т (ш) и срт (ro), то вряд ли целесообразно использовать термин «оп­
тимальная характеристика», как это делается в работах [1.5) .
Что же касается самого расчета А ЧХ и ФЧХ решающего уси­
лителя, то он должен начинаться с расчета на устойчивость, т. е .
с определения зависимостей Т (ш) и <рт (ro) в области частоты среза.
Можно, например, принять условия, чтобы в области значений
модуля (см. рис . 3)
0,5-< Т (ш)-< 10
фазовый угол <рт был постоянным и равным - ~~ , где у - наклон
частотной зависимости Т (ш) [1 ]; а в области, где Т (ш) > 10, фа­
зовый угол <рт > -:rt.
Приведенные рассуждения показывают, что при синтезе частот­
ных зависимостей модуля и фазового угла «петлевого усиления»,
а затем и А ЧХ (ФЧХ) решающего усилителя целесообразно исхо­
дить из предельной фазовой характеристики <рт (ro), а не из пре ­
дельной характеристики Т (ш) . При этом расчет стабилизирующих
цепочек в решающем усилителе можно вести по методике В. Г. Бе­
лякова [2], но не на заданный запас по фазе, как это делается в ра­
боте [2], а на заданную предельную фазовую характеристику.
Выводы
1. При расчете линейных операционных блоков необходимо
учитывать двухсторонний характер передачи сигналов как через
сопротивление Zo .c обратной связи , так и через решающий уси­
литель .
2 . При синтезе частотных характеристик решающего усили ­
теля целесообразно исходить из предельной фазовой характери ­
стики «петлевого» усиления, а не из предельной амплитудной ха­
рактеристики. Расчет может быть выполнен по методике В. Г . Бе­
лякова [2].
3 . Предельная фазовая характеристика «петлевого» усиления
в области частоты среза и границы этой области могут быть полу­
чены, исходя из допустимой величины перерегулирования [1 ]. За
пределами этой области предельная фазовая характеристика со­
ответствует либо предельному годографу для астатических систем ,
либо предельно му годографу Боде, если рассмотрение ограничено
абсолютно устойчивыми системами .
4 . Для оценки величины установившейся динамической погреш ­
ности операции (для синусоидального входного сигнала) и дл я
опр еделения верхней границы области рабочи х частот удобно поль­
зоваться диаграммой Никольса .
101

ЛИТЕРАТУРА
1.ПолонниковД. Е.
-
В кн.: Вычислительная техника в управле­
нии. «Наука», М., 1964.
2. Беляков В. Г.
-
В кн.: Аналоговая и аналого-цифровая вычислитель­
ная техника. «Машиностроение», М., 1965.
3. Мс D о n а 1 d О.,- Review of Scientific lпstruments, 1950, 21, 2 .
4. О р да но в и ч А. Е.- Научные доклады высшей школы. Физико-ма­
тематические науки, 1959, 1 .
5.ГурновА. В.
-
В кн.: Труды семинара «Методы математического
моделирования и теории электрических цепей». Вып. 6. «Наукова думка», К.,
1965.
6. Лен о в Н. Н.- В кн.: Цифровая техника и вычислительные устрой­
ства. Изд-во АН СССР, М., 1959.
7. Т ют и н А. А. Автореферат кандидатской диссертации, Киевский по­
литехнический институт, 1964.
8. П о л он ни к о в Д. Е. Автореферат докторской диссертации, МЭИ,
1965.
9.Тютин А. А.
-
В кн.: Теоретическая электротехника. Львовский
государственный университет, 1966 (в печати).
10. Б оде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью.
ИЛ, М., 1948.
1l.Пампуро В. И.
-
Известия вузов. Радиотехника, 1962, 2.
12. Но s k i n s R. F. - T he Proceedings of !. Е. Е., Electronic Record, De-
cember 1965.
13. К о га н Б. Я. Электронные моделируюшие устройства и их примене­
нне для исследования систем автоматическо го рег улиро вания. Физматгиз, М.,
1959.
14. Ф ел ь д 6 а у м А. А. Электрические системы автоматического регу­
лирования. Оборонгиз. М., 1957.
·15. Джеймс Х., Никольс Н., Филлипс Ф. Теория следящих
систем. ИЛ, М., 1953.
Доложено на семинаре
3 июня 1966 г.

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ
С УЧЕТОМ ДВУНАПРАВЛЕННОСТИ
ПЕРЕДАЧИ БЛОКОВ-ПОДСХЕМ
В. И. 11АМПУРО
Анализ устойчивости замкнутых систем непрерывного дей­
ствия обычно производится в предположении, что ее блоки пред­
сгавляют однонаправленные (детектирующие) подсхемы, харак­
теризуемые коэффициентами передачи со входа на выход. В основе
такого подхода лежит предпосылка о том, что реакцию следующей
подсхемы j на предыдущую i = j - 1 можно учесть через вход­
ную проводимость
Увх = У11 + У12К,
1'де k - комплексный коэффициент передачи входной величины
на выход подсхемы j; У11 - собственная проводимость; У 12 - вза-
111vшая проводимость подсхемы j.
Так как при строгом анализе коэффициента передачи k необ­
ходимо учитывать реакцию системы на подсхему j, то для замкну­
тых систем имеем замкнутую цепь рассматриваемых реакций, кото­
рую подобным подходом количественно оценить нельзя.
Данная задача решается сравнительно просто, если предпо­
ложить, что подсхема двунаправленная, т. е. она характеризуется
коэффициентами передачи со входа на выход и с выхода на вход.
Такой подход предложен в работах [1-3 1, где уравнение под­
схемы с т узлами записывается в виде
1
2
m
1
1
Р12,;
1
...
1
Ptm,i
2 Р21,;
1
1
1
...
1
Р2111.1
...
1
...
1
...
1
...
т
Рт1,; 1 Рт2,;
1
...
1
]
Q:n
103

Здесь Q; - суммирующиеся векторы; Qj - общие векторы (j =
= 1, 2, ... , т). Вторичные Psp. ,-параметры определяются так:
_
~(Qq=О; q=1=- р; q-=J=s)
Psp,, -
Q
_
•
Р q-1,2,
...,т
В случае продольных величин Q вторичные р-параметры опре­
деляются экспериментально для разомкнутых q-контуров, а в слу­
чае поперечных величин - при замыкании всех q-узлов на базис;
аналитически они определены в работах [1-4].
Общее уравнение схемы получим сложением уравнений под­
схем. Некоторые примеры использования указанного подхода для
анализа радиотехнических схем и систем автоматического управ­
ления даны в работе (4 ].
Остановимся на выяснении ошибки при анализе устойчивости
в предположении однонаправленных подсхем. Для этого рассмотрим
расчет фаза-частотной характеристики трехкаскадного лампового
усилителя, каждый каскад которого собран по схеме с общим като­
дом и представляет апериодическое звено. Каскады идентичные.
Как известно, дополнительный фазовый сдвиг <:рт комплексного
коэффициента передачи Кт = Кте-i'Рт достигает 180° при умень­
шении модуля коэффищента передачи Кт в девять раз против его
максимального значения (5-7). Такой вывод получается в пред­
положении однонаправленности подсхем каскадов.
Основные расчетные соотношения
Если положить, что подсхемы каскадов двунаправленны, то коэф­
фициент передачи трехкаскадного усилителя согласно работам
[1-3 1 имеет вид
/(_
Р21,1Р21,2Р21,з
т - 1+ Р12,2Р21,2 - Р12,зР21,з '
где р21 , i - параметр, определяющий передачу сигнала со входа
на выход j-подсхемы; р 12 , i - параметр, определяющий передач.у
с выхода на вход j-подсхемы (j = 1, 2, 3).
Параметры р могут быть выражены через соответствующие
У-параметры подсхем-четырехполюсника [1-4]:
у21,j
(j= 1, 2, 3),
где проводимость У 11 .з+ 1 определяет проводимость нагрузки усили­
теля Ун, носящей емкостный характер, а проводимость У22,1-1 -
проводимость генератора, включенного на вход усилителя.
\04

В случае идентичных каскадов
Р21.1 = Р21,2 = Р21.з = k1,
Р12,1 = Р12,2 = Р12,з =
~-
(2r
(3)
Проводимости У обычно носят активный, емкостный и активноем­
костный характер:
У21,1 = У21,2 = У21,з = G21 , У12,2 = У12,з = -jша,
У22,1 = У22,2 =У22,з = а2 + jшЬ2,
где ш - круговая частота .
Поэтому знаменатели параметров k и ~ можно представить.
в виде
Тогда
wb
(j)k = arctg-
a
1~1=V2(jЩ2? '
{jJf3 = ~ + (j)k.
а+ейь~
Учитывая выражения (2) - (5), получим
•
1k [3 ГjЗ(()k
•
Кт-
( л ) = Кте-J(()т,
-j 2 +2(()k
l-2i~k[e
где
•
1k 13
Кт= VO+21 ~k Isin2 cpk)2(2 1~kIcos2cpk)2 '
.
21~kIcos2срk
(J)т= л +Зсрkт arctg 1+21 ~k Isin 2cpk
(5}'
(7},
(8)
Полученные выражения принципиально отличаются от выра­
жений коэффициента передачи трехкаскадного усилителя, которое
находится в предполо жении однонаправленности передачи его кас­
кадов (5-7]. Действительно, в предположении однонаправленности
передачи кас1<адов, представляющих апериодические звенья , коэф­
фициент передачи трехкаскадного усилителя определяется произ­
ведением трех коэффициентов передачи вида k (4), т. е. в таком
случае коэффициент передачи совпадает по форме с числителем

· коэффициента Кт (6). Допускаемая ошибка по фазе оценивается
,,фазой выражения знаменателя коэффициента k (6). Как увидим
на конкретных примерах, ошибка может быть очень значительной.
Вспомогательные таблицы
Полученные расчетные формулы, несмотря на ряд допущений,
приводят к громоздким вычислениям. Вычисления можно упро ­
.. стить,
если воспользоваться вспомогательными таблицами. Так,
например, расчет коэффициента усиления трехкаскадного усили­
·теля может быть упрощен, если иметь табличные и графические
задания следующих нормированных функций:
fPk = F(*);Зсрk= F2 (i-); I101
= Fз(*)
1: 0:: sin2cp1г=F4 ({J и 'lo 1 =F5 (i-),
, где коэффициенты ~о и k0 определены для частоты
а
fo=2лЬ•
, На частоте fo справедливо равенство
а= bffi0,
•,и фазовый угол fР1г достигает 45°, а модуль параметров k и В соот­
. :ветственно имеют вид
ko = 1klro=ro0 =
021
= а~~-2 ;
Va2 + Ь2wб
r
'.Необходимые вспомогательные функции запишутся так:
106
bw
w
wЬ
f
fР1г = arctg-
= arctg -
.-
0-
= arctg -f- ;
а
w0
а
о
(i)
bw0 У2
f
fУ2
u>o v;2+ь2c:2=toV 1 +(f)2
/k/ уа2+b2(i)a
ko = v;2 + ь2(i)2
у2

Используя приведенные формулы, построим графики (рис. 1)
нормированных функuий. Нормированные функции значительно
сокращают объем вычислений, что будет показано на примерах.
'
I\
~
lE!:l_ 0iп?rp
/Jol(o "
-
х/
\
1⁄4-
/
\/
v'
/
\7
.,
/
7\
/J\V\
,
_J//\/
\
у/~//\
\
/
ь✓-~f,/ \
""'
~
i
~
'-
<р_о
!}0
80
70
50
50
L.•O
за
20
!О
о
!/fб ~/а fl!..
/,
1/2 1
2
4L
\
fг
1
1
~
J]I(/
Jo~;cos2r_px //
~
Рис. 1.
Примеры
10' ,-
0,9
L..---
0,8 -
о, 7-
О,б-
0,5-
0,4
0,3-
0,2-
0,1-
r---
~-
~01-
~
V
0,2-
0,3-
0,4-
05-
В качестве примеров рассмотрим расчет двух трехкаскадных
усилителей.
П р и м е р 1. Для о п ределе н ия максимально допустимой глу­
бины обратной связи рассчитаем в области в ысоких частот коэф­
фиuиент усиления трехкасЕадного усилителя, каждый каскад ко­
торого собран на сдвоенном триоде 6НIП п о схеме с общим като­
дом. Параметры элементов следующие:
G21= S =6,4 •10-3 сим(6,4"1;); У1=G1= 18•10-5 сим;
С3= 4 ·10-12 ф (У3= jwC3); Ун=Gн+jwCн;Gзн=5 •10-5 сим;
Сн= 10-11 ф; У2= jwC2; С2= 10-11 ф.
В величины емкостей С2 и Сн входят как межэлектродные, так
и монтажные емкости. Сделаем расчет:
а
Gн+Gi
& .1 0 -5 +18-10-5
fo = 2лЬ =(Gн+Сз)2л (! .10-11+4.10-12)2л = 2,5 Мгц;
107

с
(2 2 5 lов)2 10-12
~о=~=
rooroo з
=
л:• ,
•
4•
;:;:::: О 2
ау2- (Gн+G;)у2
(5.10-5+18.10-5)
'
•
Используя данные рис. 1, результаты вычислений сводим
в табл. 1. Все параметры обозначим дополнительно штрихом, чтобы
отличить от расчетных параметров второго примера. В таблице
принято также обозначение
2 1~k Icos 2срk
(f)}: = Зсрk + arctg -г+2Т~k I sin 2ср~ = Зсрk + (f)зн-
Таблиuа
_,,
_,,
9-
_,,
_,,
9- "'
"'
Модуль
,
flf o
9-
9-
rл .S
о
о
(k')'
"'
"'
о"'
q,зн •
(j)1:,
знамена-
Кт
-~
"'
u-
8
.,,,
теля
:о, а:,_
""'
_,,
а:,_
+
а: ,_
а:,_
""
"'
"'
-
1/16 22 ООО
0,12
1,0
0,895
429
52
1,5
14 150
1/8 21 300
0,48
1,9
1,28
52 73
2,4
8900
1/4 20 500
1,68
3,28
1,22
51
93
4,2
4760
1/2
15 500
5,12
3,84
0,63
32 111
7,2
2300
1
7650
8
о
о
о 135
9
950
2
1950
5,12
-
3,84
- 0,63
-32
158
7,2
270
4
210
1,68
-3,28
-1,22
-51 176
4,2
74
8
40
0,48
-1,9
-1,28
-52 196
2,4
16,5
16
5,4
0,12
-1 ,0
0,895 -42 217
1,5
3,&
Таблиuа 2
.,,
;ff
9-
.,,,
"'
9-
;ff
"' -~
'
"
о
Модуль
.
flfo
(k") •
"'
"'
"'
(!)ЗН'
о
(j)}:,
знамена-
Кт
-~
"'
8'
о
_,,
теля
1
u
а:,_
:'о,
:'о,
_, .,"'
а:,_
а:,_
~+
"'
"'
1/16 11 600
0,048
0,4
0,38
21
32
1,12
10 200
1/8 11 ООО
0,19
0,76
0,64
33
58
1,41
8600
1/4 10 600
0,67
1,31
0,78
38
80
2,1
5050
1/2
8400
2,04
1,54
0,51
27 106
3,4
2470
1
4100
3,2
о
о
о 135
4,2
1000
2
1020
2,04
-1,54 -0,51 -27 163
3,4
300
4
165
0,67
- 1,31
- 0,75 -38 189
2,1
76
8
22
0,19
-0,76 -0,64 -33 215
1,41
14
16
2,8
0,048
- 0,4
-0,38
-21
239
1,12
2,5
П р и м е р 2. Рассчитаем в области высоких частот коэффи­
uиент усиления трехкаскадного усилителя, в каждом каскаде кото-
108

рого используется один триод лампы 6НIП, а схема каскада со­
брана по схеме с общим катодом . Параметры элементов схемы
<:ледующие:
S=3,2 •10-3 сим; G;=9·10-5 сим; Gн=5.10-5 сим;
G3= 2 ·10-12ф; С2=Сн =10-11 ф.
Н айдем вспомогательные величины
fO= 1,6 Мгц; k0= 16; ~о=0,1; ~0k0= 1,6.
40960
20480
10140
5120
2560
1180
640
320
160
80
t,0
20
10
о
~
1 (K'l3
v
з~; '
.....__к;
lrл"Jl"'---
'
/ %1/
---~
-- -.. ...
......._"'- ....
///
к"-
/
'
1
~ ..............~ 7 7/,,.'Р,
1
~'
х v:,,,.,
"'V~ ,\
,,,Аv" \\
/2-7/ \. \\
/V11
-~
\\
260"
240'
220·
200'
t!J0'
160'
N0"
120·
100'
!}0'
бО'
1;.о•
/v//
~
V
V
у(\
/.
~Г/ · <р~-:;:....,
J,' f
•
v-- 1
'
~\'\?
'~
о·
I
f,
zo·
40•
;;.
1f
/
1
71}д42
1
1"--. _
7
4
8!6
'.
~
__,.,,
.......__
·-·
_.--;
'i',н
.-
,оо·
Рис. 2.
Используя графики, результаты вычислений сводим в табл. 2.
Отметим буквенные величины двумя штрихами. Полученные для
двух примеров зависимости
1k'/3= F~(*), 1k"/3= F;Uo),Зерk=F2(;~)
ер;=F~Uo)Иер;=F;Uo)
построим графически (рис. 2).
Тр и п е рвые зависимости соответствуют зависимостям модуля
и фазы трехкаскад ног о усилителя без учета комплексности обрат-
109

ной связи. Они обычно и приводятся в литературе [5-7]. Согласн ()
им, уменьшению коэффициента усиления в девять раз соответств ует
сдвиг по фазе в 180 °.
В нашем случае аналогичные результаты получаются, е сл и не
учитывать знаменателя выражения коэффициента Кт-
На рис. 2 приведены фазовые хара~-,:теристики знаменателя для
двух примеров, из которых видно, что начиная с частоты f = fа
фазовый угол знаменателя ср,н становится отрицательным и рост
суммарного фазового угла ЧJ2; = З cpk + ЧJзн с частотой замедляется :
происходит стабилизация фазового сдвига обратной связью,
f,O
o--l
т
- o.J
Рис. 3.
Из зависимостей суммарного фазового угла cpL от частоты сле ­
дует, что фазовый угол достигает 180 ° , когда коэффициент усиления
(Кт) с учетом комплексности межкаскадной обратной связи умень­
шается в первом случае (К~) в 170 раз и во втором случае (К:}
в 50 раз. Приведенные результаты имеют особое значение при ох­
вате усилителя общей отрицательной обратной связью. Если за­
даться запасом по фазе в 25 °, то допустимая глубина обратной связи,
цепь которой представляет безынерционный делитель, в первом
случае равна 90, а во втором - 40.
Практическая проверка результатов теоретического анализа
была проделана на усилителе, приведенном на рис. 3. Испытыва­
лось два варианта схемы: первый в качестве ламп Л 1 , Л2 и Л ;;
применялся сдвоенный триод бНIП; второй - в качестве ламп
Л1 , Л2 и Л 3 применялась половина двойного триода бНIП. Для
устранения возбуждения по низким частотам в цепь обратной связи
был включен фильтр верхних частот (разделительный конденсатор
выбирался по величине емкости, значительно меньшей, чем емкость
разделительных межкаскадных конденсаторов). Анодное питание
осуществлялось от выпрямителя с электронной стабилизацией; пи­
тание цепей накала и смещения осуществлялось от аккумулятора.
Максимально допустимая глубина обратной связи, при которой
110

усилитель работал устойчиво, была в перво м случае 95, а во вто--­
ром - 33. Сравнивая экспериментальные и расчетные данные, в1 1- ­
дим, что полученные результаты имеют достаточное совпадение.
Анализ частотных характеристик в конкретных примерах при уело- ·
вии Уг = = объясняется тем, что в практических схемах выход­
ное сопротивление цепи обратной связи мало. В тех случаях, когда
цепь обратной связи включается последовательно с входным гене- ­
ратором, обладающим высокоомным входным сопротивлением, до­
пустимая глуби на обратной связи изменяется из - за до по лнитель- ·
ных фазовых искажений в цепи входа первого каскада.
Из изложенного можно сделать такие выводы:
1. В общем случае анализа замкнутых систем их блоки необ- -
ходИi\Ю представлять двунаправленными подсхемами. Представле­
ние блоков однонаправленными подсхемами допустимо в области .
равномерной амплитудно-частотной характеристики при малых
фазовых искажениях.
2. Метод анализа цепей, учитывающий реакцию подсхем в виде·
входной проводимости так, как это показано в начале статьи, прин­
ципиально нестрогий и может применяться только для приближен - ·
ных расчетов.
3. Для замкнутых систем, состоящих из апериодических под -·
схем, могут быть получены общие нормированные амплитудно­
и фаза -ч астотные зависимости (как это показно в работах [5-7]}
в области низкочастотного спада амплитудно-частотной характери­
стики, где подсхемы можно считать однонаправленными. Такие
общие зависимости не могут быть получены в области высокоча­
стотного спада амплитудно - частотной характеристики, где подсхемы .
следует рассматривать двунаправленными, т. е. выводы, содержа­
щиеся в работах [5-7] для области высокочастотного спада, не­
верны и расчет амплитудно-частотной характеристики следует про­
изводить в каждом конкретном случае отдельно.
ЛИТЕРАТУРА
1. П а м п у р о В. И.- В кн.: Математическое моделирование и электри- -
ческие 11епи. Вып. 3. « Наукова думка», К., 1963 .
2. Памп у р о В. И.- В кн.: Математическое моделирование и теория ,
электрических uепей. Вып. 3. «Наукова думка», К., 1965.
3. Памп у р о В. И. Анализ сложных схем. «Знания», К., 1965.
4. П а м п у р о В. И. Анализ усилительных схем и систем автоматичес­
кого регулирования. «Знания», К., 1965.
5. Кр и з е С. Н. Усилители напряжения низкой частоты, Гостехиздат,
м., 1953.
6. Ламповые усилители. Перевод с английского. Т. II. «Советское радио»,
J\\. ,
1951.
7.ЭйлинккритА. И.,ГликманС. Е. Модуляционныеустрой-­
ства для передатчиков с амплитудной модуляuией. «Советское радио», М., 1954 . ..
Расоютрено на семинаре
24 июня 1966 r;.

::РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ЛИТЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
КОММИВОЯЖЕРА С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ
В. В. ВАСИЛЬЕВ, Г. К. ШАРАШИД3Е
1. В настоящее время специалисты по исследованию операций
,и вычислительной технике проявляют все более возрастающий ин­
терес к задаче коммивояжера [1-3, 7]. Это объясняется тем, что
при предельно ясной и простой постановке задачи до последнего
времени не было разработано достаточно эффективных методов
, и алгоритмов ее решения или моделирования. Между тем задача
коммивояжера возникает очень часто при решении задач по орга-
. низации производства [4].
В области алгоритмов решения задачи коммивояжера заметных
результатов достигли Дж. Литл, К. Мурти, Д. Суини, К. Кэрел [1 ].
По математической постановке задача коммивояжера ближе
· всего подходит к задаче о кратчайшем пути и задаче о назначениях.
В работе [2] описан способ сведения задачи коммивояжера к за­
даче о длиннейшем пути. Однако, несмотря на то, что существуют
- электронные модели упомянутых задач, а также задач расчета сете­
вого графика (частного случая задачи о длиннейшем пути), до сих
пор неизвестны неалгоритмические модели задачи коммивояжера. Ос­
_ новным препятствием получения решения задачи коммивояжера с
помощью моделей задачи о назначениях и задачи расчета сетевого
графика является появление замкнутых контуров, охватывающих
часть пунктов. При этом решение соотвествующей задачи комми­
· вояжера о назначениях не может интерпретироваться как реше­
ние задачи коммивояжера, а модель задачи о длиннейшем пути
- оказывается в аварийном режиме из-за наличия двунаправленных
ветвей и замкнутых контуров, отсутствующих в задаче расчета се­
тевого графика.
В работе [5] описан алгоритм использования модели задачи
, о назначениях для получения решения задачи ком!lшвояжера.
Ниже сделана попытка механизации алгоритма Литла и других
, с помощью электронных цепей, содержащих диоды и источники
напряжения. Предполагается , что элементы цепи имеют идеальные
характеристики .
.11 2

2. Следуя работам [1, 3], приведем постановку задачи ком­
мивояжера. Имеется п городов с известными расстояниями между
ними d;j (i, j = 1, ... , п; i + j). Необходимо определить замкну­
тый маршрут бродячего торговца, охватывающий все города
(пункты), с минимальной длиной. Каждый город разрешается посе­
щать только один раз.
В терминах математического программирования задача комми­
вояжера описывается соотношениями
п
,...,
~Х··=1
,,., .,/
lf
i=I
п
~X ij=1 ,
j=l
j=I, ..., п, i=1=j;
(1)
i=1, ..., п, i=1=j;
(2)
2
•
х;;=Х;;, i,J=I,..., п;
(3)
U;:.._ uj+px;j<.p-1, i,j=I, ... ,n,i-=!=j,
(4)
п
п
μ = ~ ~ d;;x;;-->- min.
i=I i=l
(5)
Решение задачи линейного программирования (1) - (5) интер­
претируется следующим образом. Уравнения (3) накладывают на
компоненты вектора Х требования целочисленности (xij = О либо
X;j = 1) . Если X;j = I, то соответствующая пара городов вклю­
чается в путь (маршрут) коммивояжера. Из соотношений (1) ~
(5) видно, что задача коммивояжера отличается от задачи о назна­
чениях неравенствами (4), определяющими отсутствие контуров
(маршрутов), охватывающих меньше чем п пунктов.
•
Известна также и более компактная запись условий задачи ком­
мивояжера [6]: определить циклическую перестановочную матрицу
Х = \X;j ), (Xn = Е), минимизирующую след Sp (D*Х), где D =
= !d; ) - матрица расстояний коммивояжера .
3 . Простой перебор возможных путей коммивояжера приводит
к необходимости рассмотрения (п - 1)! вариантов. Алгоритм Литла
позволяет осуществить целенаправленный поиск оптимального пути
без перебора вариантов в полном объеме. Оптимальный или весьма
близкий к оптимальному маршрут получается обычно уже после
проведения п шагов алгоритма.
Сущность алгоритма Литла [ l] состоит в следующем. Множество
всех возможных путей на каждом шаге алгоритма разбивается на
все меньшие и меньшие непересекающиеся подмножества, для каж­
дого из которых определяются нижние границы длин путей ком­
мивояжера. Разбиение производят до тех пор, пока нижние гра­
ницы всех пол ученн ы х подмножеств не будут больше длины одного
из полученных путей. Последний в этом случае будет оптимальным.
8 7- 2622
113

Нижние границы подмножеств определяются на каждом шаге
алгоритма путем логического анализа элементов матрицы рас ­
стояний.
Схема алгоритма Литла выглядит следующим образом.
1. Привести матрицу расстояний к виду, когда в каждом столб­
це и каждой строке имеется хотя бы один нулевой элемент, путе м
вычитания минимальных элементов из строк и столбцов; опре ­
делить сумму констант приведения
п
п
W0=
~h;+~hj,i,j=1,...,п,
(6)
i=l
j=l
где W0 - нижняя граница всех путей 1<0ммивояжера .
2. Для каждой нулевой клетки ij (d;j = О) преобразованной
матрицы расстояний определить сумму минимальных элементов
строки i и столбца j (кроме элемента d;) . Из полученных чисел вы­
брать максимальное:
етп = max (min dkj + min dil)
k1=j
ic=!=i
(i, j)Е/=(i,j/d;j=О).
(7)
В результате второго шага определяется пара пунктов тп ,
которая используется в качестве основы для разбиения множества
всех путей коммивояжера на два подмножества Хтп и Хтп· Харак­
терным признаком всех путей, принадлежащих подмножеству Хтп,яв­
ляется то, что ветвь тп не входит ни в один путь подмножества.
Любой путь подмножества Хтп, напротив, в обязательном порядке
включает ветвь тп .
Нижняя граница длин путей подмножества Хтп равна
W1= Wlo+етп·
3. Определить нижнюю границу длин путей подмножества Xmn •
Для этого вычеркнуть строку т и столбец п . Заменить элемент
dnm на бесконечность с целью предотвращения контура, охватываю­
щего два города т и п. Полученную матрицу расстояний п - 1,
порядка привести по строкам и столбцам . Определить сумму кон­
стант приведения
(9),
Нижняя граница длин путей подмножества Хтп определяется по
формуле
W1= W0+ Wтп·
(10)
Операции п. 3 представляют по сути дела п. 1 для матрицы рас­
стояний п - 1 порядка.
114

4. Повторять п. 2 и 3 до тех пор, пока не будет получено под ­
множество Х,л• состоящее из единственного пути. Нижняя гра­
ница этого подмножества, очевидно, будет
равна длине пути .
5. Сравнить длину полученного пути с
нижними границами подмножеств Х, вычис-
ленными ранее: а) если длина этого пути
меньше любой нижней границы, получен-
ный путь оптимален; б) если нижняя гра-
ница какого-либо подмножества меньше дли-
ны пути, оптимальный путь следует искать
п утем дальнейшего разбиения этого подмно­
жества .
4 . С целью реализации алгоритма Литла
-+--
------( ~
Рис. 1.
возьмем цепь матричной структуры, состоящую из идеальных
диодов * и источников напряжения. В этой цепи строки i связаны
со столбцами j ветвями, содержащими диод и источник напряже­
ния, которые соединены последователь н о (рис . 1) .
и
r-------,---т-;=_,
IJC
2 f---j
о
Ео
с-------,Т-
]}С
8
г
Рис. 2.
,il~a
1IlJ
кl
На рис . 1 приняты следующие обозначения: И; - потенциал
строки; Vj - потенциал столб ца; c,j - на п ряжение источника,
моделирующее длину ветви (c,j = d,), 8;j = Vj - И;
-
c;i - на­
пряжение на диоде .
Рассмотрим следующие три режима цепи (рис . 2):
1. К столбцам цепи подключены источники напряжения Ei ,
к строкам - запоминающие конденсаторы (рис. 2, а) . Нетрудно
* Предпо л агается, что gпр = oo,g06P - весьма мало.
8*
115

видеть, что вектор напряжения на конденсаторах будет опреде­
ляться выражением
И= D (Et, С),
(11)
где D - оператор выбора минимума по строке:
И;= - min (c;j - Eti)-
1
(12)
•2. К строкам цепи подключены источники напряжения Еи =
И, к столбцам - запоминающие конденсаторы (рис . 2, 6). При
этом имеем
V=D*(Eu,C)
(13)
где D* - оператор выбора минимума по столбцу:
Vi = min (c;j + Eu;).
(14)
1
3. К строкам и столбцам подключены источники напряжения
Еи=И,Ev=V(рис.2,в),приэтом
O;j=Evi-Eu;-C;г
(15)
Переход от режимов запоминания напряжений U и V к режи ­
мам задания напряжений Eu, Ev может быть осуществлен, напри­
мер, с помощью известной схемы рис. 2, г. В исходном положении
ключей К схема эквивалентна запоминающему конденсатору. При
переключении К конденсатор С включается в цепь обратной связи
усилителя и схема превращается в источник напряжения.
Если в дополнение к трем описанным режимам ввести возмож­
ность разрыва ветвей, а также отключения отдельных строк и столб­
цов, нетрудно организовать последовательность действий, анало ­
гичных шагу алгоритма Литла.
Опишем эту последовательность действий:
1. Установить Ei = О и реализовать первый, второй и третий
режимы последовательно, затем с помощью сумматора определить
L=~Evi-LIEu;;
(16)
1
'
величина L будет пропорциональна сумме констант приведения
или нижней границе длин всех возможных путей коммивояжера
(17)
2. В третьем режиме измерить напряжение на диодах oij и от­
метить те диоды, напряжение на которых равно нулю. Эти диоды
определят нулевые клетки преобразованной матрицы расстояний.
Для нахождения суммы минимальных элементов некоторой
. строки i и ст9лбца j необходимо выполнить следующие операции:
1) разорвать ветвь ij (выключить диод);
2) реализовать первый, второй и третий режимы последова-
тельно, причем в первом режиме установить Ei = V0 , где V0 -
напряжение, полученное при реализации второго в п. 1.
116

Напряжение бij на месте диода будет пропорционально иско­
мой сумме.
Проделать эти же операции для всех нулевых клеток. Из по­
лученных напряжений выбрать максимальные и отметить клетку,
ему соответствующую (тп).
Значение напряжения L при разрыве ветви тп будет пропор­
ционалы-ю W1 .
3. Отключить строку т и столбец п, разорвать ветвь пт, реали­
зовать первый, второй и третий режимы. Значение напряжения L ,
полученное на этом шаге, будет пропорционально нижней границе .
Затем измерить напряжения на диодах и так далее в соответствии
сп.2и3.
Таким образом, описанные операции позволяют реализовать ос­
новные этапы алгоритма Литла, без преобразования матрицы рас­
стояний, а также на каждом шаге определить величины нижних
границ, длин путей без ручных вычислений .
Нам представляется, что материалы статьи можно использовать
при разработке автомата, предназначенного для оперативного и на­
глядного решения задачи коммивояжера, при небольшом числе
пунктов .
Рассмотрим пример реализации алгоритма для задачи комми­
вояжера на 5 пунктов . Напряжения источников, приведенные на
рис. 3, соответствуют расстояниям между пунктами в данной за­
даче.
На первом шаге решения в схеме последовательно реализуются
первый, второй и третий режимы (рис. 2, а, б и в) . В первом режиме
Ei = О, т. е . вертикальные шины заземлены . Конденсаторы, под­
ключенные к горизонтальным шинам, заряжаются до напряжений
И? (i = 1, ... , 5) , равных минимальным напряжениям источников
соответствующих строк . При этом потенциал, установившийся н з
горизонтальных шинах, имеет отрицательный знак :
Ио
.
;= -mшc;j•
/
Для заданной матрицы расстояний иr =
-
16,и~=
-
1,
Щ=
-
5, ug=
-
16,И~=
-
12. Эти величины приводятся
на рис. 3 справа от схемы.
Конденсаторы с напряжениями И~ (i = 1, ... , 5) заменяются
источниками Et = U 0 . К вертикальным шинам подключаются не­
заряженные ко нде н саторы. Осуществляется второй режим . Конден­
саторы заряжаются до напряжений
V~ = min(c;j+Eu;),
'
vr=о,v~= о,v~= 9,vg=о,v~= о.
Эти данные приводятся на рис . 3 под схемой.
117

После подключения источников Et = U0 и Ei = v0 к горизон­
тальным и вертикальным шинам соответственно, схема переходит
в третий режим. Выявляются ветви, на диодах которых падение
напряжения
б?i=Evi-Em-cij
равно нулю. Это условие обязательно выполняется хотя бы для
одной ветви в каждой строке и каждом столбце матрицы. Напря-
жения б?i = О для ветвей 14, 24, 35, 42, 43 и 51.
2З
,;
5
а.о. tf
2З
,;
5
o.tf.tJ
-
/{j
-г---t;;,,=-t-,,~,+,-;±:-,,t---
.
f{j
2
-
1
2
.,
з
-
5з
5
4
-
16
5
-
12
,;
5
· !/)
-
Г1
о
о
о
о
о
ооо
ооо
о
1,!J о
о
9о
о
tf,8
о9о
о
Рис. 3.
Рис. 4.
При помощи сумматора определяется нижняя граница длин
всех путей коммивояжера
W0-L=
~Evi- ~Eui = 59.
j
i
Переходим к определению величин e?i для (ij) Е / = \ij Iб?i =
= О). Для этого поо чередно выключаем диоды из ветвей, для кото-
рых б?i = О. Выключаем диод из ветви 14 и реализуем последова­
тельно первый, второй и третий режимы, причем в первом режиме
-
о
о
на вертикальных шинах устанавливаем напряжения бЕv = V .
Получим новые величины Еи и Ev. Напряжение 614 на месте вы­
ключенного диода имеет вид
614= Ev,- Eu, - C;j=О+27- 16=11,
-
о
о
о
где 614 = 014 = 11 . Аналогично определяются 0 24 = 6, 0 3s = 10,
0~2 =8,0~з =6,egl=11.Таккаке?4 =egl=11,привыборе
ветви с максимальным e?i можно остановиться на любом из них.
Выбираем ветвь 51 и рассматриваем все циклы, включающие эту
ветвь.
Значение напряжения L при разрыве ветви 51 будет соответ­
ствовать W1 .
118

1i
В дальнейшем отключаем пятую строку и первый столбец,
;на пересечении которых находится ветвь 51, и ветвь 15 для
избежания зацикливания. Значение потен циалов И~ и И со­
храняем.
На втором шаге для полученной матрицы четвертого порядка
,(рис . 4) повторяем первый, второй и третий режимы и определяем
нижнюю границу для всех циклов, содержащих ветвь 51: W1 =
= 59.
После в ыявления диодов с нулевыми напряжениями определяем
0~4=11,0;4=6,0;s=10,0:2=8и0:з=6.Ветвь14смак-
12
з
4
5
0,0, tJ
1
-!б
2
-tб
3
-5
4
-kJ
~
-!2
о
о
о
оо
о
D,8
оо
о
Рис. 5.
симальным 0;i включаем в цикл и в ·дальнейшем рассматриваем
все циклы, включающие ветви 51 и 14. Для избежания подцикла
разрываем ветвь 45 . Отключаем ветви первой строки и четвертого
,
о
столбца. За шинами сохраняем значения потенциалов И1, Иs
о
,
и V1, .V4.
На третьем шаге (рис. 5) тем же способом определяем ветвь 35,
Бключающуюся в путь коммивояжера. Отключается третья строка
и пятый столбец, производится разрыв ветви 43. Аналогично выяв­
ляются ветви 42 и 23, которые вместе с ветвями 51, 14, 35 состав­
ляют оптимальный путь коммивояжера; обходящий узлы в порядке
1-4-2-3 -5-1.
-
119

ЛИТЕРАТУРА
1. Литл Дж ., Мурти К. , Суини Д., Кэрел К. -Экономик а
и математические методы. «Наvка», М., 1965 , т. I . вып. I.
2.НаrdgrаvеW. W.,NеmhаusеrG.L.
-
Sa]esmaп and the Lon-
gest - Path ProЫems. Operations Research, 1962 , 10, 5.
3. Юдин Д. Б.,Гол ьштейн Е. Г. Новыенаправлениявлинейном
программировании. «Советское радио», М., 1966 .
. 4.Сафроненко В. А.
-
Настоящий сборник, 129.
5.ШарашидзеГ. К.
-
Настоящий сборник, 121.
6. М е r r i 1 1 М. F]ood. The Traveliпg Salesmaп ProЫem Operatioпs Rese -
arsh, 1956, 4.
7. Экономико-математические методы. Вып. II, Мето,1].ы оптимального плани ­
рования . Транспортные задачи. «Наука», М., 1965 .
Доложено на семинаре
20 мая 1966 г.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПУТИ,
ОХВАТЫВАЮЩЕГО ВСЕ УЗЛЫ
ДВУНАПРАВЛЕННОГО ГРАФА
Г. 1(. ШАРАШИД3Е
Задача определения критического пути, охватывающего все·
узлы двунаправленного графа , заключается в следующем: задаетс5t
двунаправленный граф, составленный из п узлов и ветвей, соеди­
няющих эти узлы. Каждая ветвь характеризуется величиной d;j,
где dij - длина ветви, соединяющей i-ый узел с j-м. Длины ветвей
задаются в виде матрицы D;j (i, j = 1, 2, ... , п) (табл. 1), если i =
= j, d;i = со. Нужно определить путь кратчайшей длины, охва­
тывающей все узлы графа и проходящей через каждый узел не бо­
лее одного раза. Путь должен состоять из п ветвей и быть замкну­
тым, т . е. искомый пут-ь является циклом. Обозначим его длину
через L.
Ниже приводится способ определения цикла минимальной дли­
ны, охватывающего все узлы графа.
В качестве исходного решения рассматривается решение задачи,
о назначениях, в которой при заданных условиях
п
~xij=1, j=1,2, ..., п.
i=l
п
~xij=1, i=1,2, ...., п,
i=l
X;j>O
определяется минимальное значение целевой функции
F=CX,
где
с= 1d11 d12 ••• dnn 1,
Х*= 1Х11Х12•••Х"пJ.
(2) ,
(3) ·
(4}
Допустим, что N есть множество всех узлов графа: k Е N (k =
-
1,2, ..., п), где k - номерузла.
12!

• Решение задачи о назначениях содержит п компонент xij = I :
·:Ветви графа, которым соответствуют xij = 1, образуют подциклы
q(q=1,2,
... , р),
охватывающие подмножества узлов Nq Е N.
-Тем самым множество N разбивается на непересекающиеся подмно­
,жества Nq (q = 1, 2,
..., р):
N,UN2U ... UNP = N,
N1nN2n ... nNP = о.
Таккакd;j== приi=j,подмножестваNq(q=1,2, ..., р)
п
-<Состоят из двух или более элементов, поэтому р < 2 .
Таблица 1
Таблица 2
'Nf2
л
IX1
2
/J
1 d,, d,2
d,n
!
Jj/1
D,,
JJ,,
·2d"d,,
о';п
2D"
JJ"
JJ,p
'
.'
1
,
л dn1 -dn,
dnn
'р
D,,
D,2
D,,
Если длина q-го подцикла есть lq, тогда их сумм а рная длина,
Jравная минимальному значению целевой функции (4), меньше или
,IJ)авна длине цикла L :
р
!_lq=F<L.
(5)
q=I
Если строки и столбцы матрицы D переставить таким образом,
·чтобы номера узлов k Е N q расположились рядом, тогда полу­
·чается клеточная матрица (табл. 2), элементы главной диагонали
,которой Dqq (q = 1, 2, ... , р), содержат ветви , образующие q-ые
.п одциклы.
Равенство в выражении (5) имеет место в том случае, когда
, р = I, т. е. решение задачи о назначениях определяет искомый цикл.
В случае р>2 на следующем этапе решения нужно определить
-способ объединения подциклов q (q = 1, 2, . . . , р) так, чтобы при­
ращение целевой функции (4) было бы наиме н ьшим.
Введем понятие оптимального контура, соединяющего два под­
. цикла.
Рассмотрим контур (рис. 1), составленный из четырех элемен­
'ТОВ матрицы D. На таком контуре компоненты оптимального век-
,122

тора Х задачи о назначениях мо гут равняться единице на диаго­
нальных элементах, для которых сумма длин одной пары ветвей
графа меньше или равна сумме длин пары ветвей, расположенных
{JO другой диагонали.
Любой контур приведенного типа, в котором элементы dij и drзv,
расположенные на главной диагонали, относятся к разным под­
матрицам главной диагонали клеточной матрицы, может рассмат­
р иваться как соединяющий контур двух подциклов, если X;j =
= 1 и хвv = 1, остальные два элемента d;v и dвj, которым соот-
~
-- ---Q
1
1
1
GJ-----@
Рис. !.
ветствуют X;v = О и х13 j = О, относятся к подматрицам D,.,s (л =I=
=!=S;л,S=1,2, ..., р).
Пусть заданы два подцикла, показанные на рис . 2. Изъятие
~из подциклов ветвей d;j и dвv и включение ветвей d;v и dв j приводит
к объединению подциклов. Величина
nри условиях
dij Е Dqq> d;v Е Dq(q+z), dвi Е D(q+z) q,
dвvЕD(q+z> (q+z), где z>О, q+z-<р
(6)
есть приращение к оптимальному значению целевой функции за ­
дачи о назначениях при объединении двух подциклов.
Соединяющих контуров двух подциклов может быть множество.
Контур, для которого величина Л является минимальной, рассмат­
риваем как оптимальный.
Когда клеточная матрица состоит из четырех элементов (табл. 3),
оптимальный контур выявляем следующим образом: добавляем а
к подматрицам D11 и D 22 и увеличиваем его от нуля до некоторой
наи~rеньшей величины а"он, при которой в каком-либо соединяющем
контуре будет выполняться условие
(dвi+d;v)- (d;j+dвv+2акон)=О.
(7)
Такой контур будет оптимальным.
Сравнивая урав нения (6) и (7), получим
Л = 20::кон•
123

В конкретном случае оптимальный контур соединения подцик­
лов определяется следующим образом. Допустим задана матрица
D=ld;il(i,j =1,2,3,4)(табл.4).
Таблица 3
Таблица 4
хf
2
N12з4
1
1005о4-
f ])11+ <Х
JJ,2
2900б1
зоз00б
2
п2, D22 +et
j4з1800
Решение задачи о назначениях дает х13 = х24 = х 31 = Х42 = 1 -
Образовались два подцикла 1- 3-1 и 2-4 -2. Перестановкой
строк и столбцов исходной матрицы получим клеточную матрицу
(табл. 5), аналогичную приведенной в табл. 3.
Таблнuа 6
Таблиuа 5
2
3
!б2.5З4
4
о
7!О15
"°
О54
бО00442021
Зоо<>
б
254 =084
2531"о
00
3''5
29tJ
.2
4З8
100
з f(j; 17'15;;10
о1'
з
4-~
/8 20',:20 2 О100(;
Подциклы l-'-3 -1 и 2-4 -2, составленные из элементов под­
матриц· D11 и D 22 , могут быть соединены контурами, указанными
на таблице 5. Добавляя к D11 и D22 а, обнаруживаем, что при росте
а от нуля условие (7) раньше всех других выполняется для контура
31-32-42 -41, для которого
2акон=(3+3)- (О+1)= 5.
При исключении из подциклов 1-3 -1 и 2- 4-2 ветви 31 и 42'
и включении ветви 32 и 41 подциклы объединяются, так что при­
ращение к минимальному значению функции (4) является наи­
меньшим. Получается искомый цикл 1-3- 2 - 4-1. Длина цикла.
L=F+Л=F+2акон= 7.
В случае, когда р > 2, следуем принципу объединения под­
uи клов в порядке наименьших приращений к оптимальному зна-
124

чению целевой функции (4). Добавляем величину а ко всем ПОk
матрицам Dqq (q = 1, 2,
... ,
р), и определяем оптимальный
контур, объединяющий пару подциклов, а также и акоН1· После
этого элементы исходной клеточной матрицы Dqq (q = 1, 2, ... , р)
увеличиваются на акон~ · Получается новая клеточная матрица, для
1юторой выполняется: равенство d;i = d;j + акон~, если dij яв­
.ляется элементом одной и,з подматриц D qq·
В противном случае d;i = d;j•
Эту операцию повторяем для новой клеточной матрицы, в кото­
рой объединенные подциклы рассматриваются как один подцикл,
а остальные остаются изолированными и т. д. до тех пор пока все
подциклы не окажутся объединенными.
В случае, когда решение задачи о назначениях определяет три
подцикла 1-6-1, 2-5 -2 и 3-4-3, задача в виде клеточной
матрицы, полученной после соответствующей перестановки строк
и столбцов, приведена в табл. 6.
В данном случае объединяются подциклы 1-6-1 и 2-5-2 и
получается подцикл 1-2 -5-6-1 . Соединяющий контур показан
натаблице6акон~=1иЛ1=2акон~=2.
Добавляем акон~ к подматрицам D 11 , D 22 , D 33 и получаем новую
,клеточную матрицу D' (табл. 7).
Таблиuа 7
1
2
(J2.5з4
7!О15
(j
"'
44202!
1 t-----t----t--+---t------+--+---1
2.5400
84
5З!
З!б!715!Ооо
2 t----+- - -,,
,, f---+--t----+H-
+----1
18,20202
2
3
4
2
.5
Таблиuа 8
!
2
!2з<-
5
00
оо710
о00о215
оо00204
12з100011
1382
100
Для определения соединяющего контура подциклов 1-2-5 -6 -
1 и 3-4-3 добавляем величину а к подматрицам п; 1 и п;2.
Определяем оптимальный соединяющий контур, показанный в табл.
7, акон2 = 4, Л2 = 2 а,011 = 8. Исключаем из подциклов ветви 25
и 42 и включаем новую пару ветвей 23 и 45. Получаем оптимальный
цикл, охватывающий все узлы 1-2-3-4~5-6 -1 . Его длина
L=12.
При вычислении величины L нельзя пользоваться формулой
L = F +л1+л2,
так как Л 2 определяется для преобразованной матрицы.
125

Как видно из рассмотренн ы х примеров, все время приходится
решать задачу ~ назначениях; п ри этом элементы заданной мат­
рицы расстоянии D изменяются определенным образом.
Если задача о назначениях имеет множество нецелочисленных
решений, придающих функции цели (4) одно и то же значение ,
тогда она имеет больше одного целочисленных решений. Подциклы,
рассмотренные нами, соответствуют целочисленньiм решения м
задачи .
Таблиuа 9
.
.11
1
2
3
S· ..
i.
I1з524б7
100оз1221
13100о2113
5о1002221
2112""о32
2
4з31о""21
б1131100о
з
732124о00
• В случае, когда задача о назначениях с заданной мат р и цей рас­
стояний, имеет множество решений, или множество реше н ий воз­
никает в преобразованной, после объединения некотор ых подци к­
лов, матри це, то нужно рассматривать всевозмож н ые подциклы.
В зада че, приведенной на табл. 8, образуются два под цикла, ох­
ватывающие узлы 1, 2 и 3. Первый обходит узлы в порядке 1- 2-
3-1, а второй в порядке 1- 3 - 2 - 1. Подциклы 1-2- 1, 1-3 -1,
3- 2 -3 не рассматриваем, так как они объединяются в приве­
денные два подцикла с нулевым приращением к целевой функ­
ции (4) .
Узлы 4 и 5 охватываются одним подциклом 4- 5 -4 .
При определе н ии цикла обхода всех узлов, если иметь в виду
только подциклы 1- 3 - 2 - 1 и 4- 5 - 4, контур , соединяющий
эти два подцикла, показанный пунктиром на рис. 10, дает целе в ой
функцииТ= 2, приращение Л = 6. Получимцикл 1- 3- 5- 4-2- 1
с длиной L-8.
В случае рассмотрения подци клов 1- 2 -3- 1 и 4- 5- 4 получим
Л=3идлинуцикла1-2-4-5-3-1,которыйияВJiяетсяопти­
мальным циклом, L = 8.
Отсюда ясно, что если не рассматривать оба п одцикла 1-2- 3 -1
и 1-3 -2- 1, мы можем допустить ошибку при решении задачи .
В некоторых задачах с увеличе н ием подматрицы Dqq на вели­
чину а при поиске соеди н яющего контура в нескольких п одматри-
126

цах D"s (л + s; л, s = 1, 2, .. . , р) одновременно появляются ком -­
поненты X;j = l (dij Е D "5). Например, в задаче, приведенной на,
табл . 9, при (Хкон = 1 во всех подматрицах D"s (л + s) могут ПО -·
явиться xij равные единице. В этой задаче уже на первом шаге·
выявляются несколько циклов обхода всех узлов, которые объе -­
диняют три подцикла : 1-3 -5-1 , 2--4-2 и 6-7-6 .
Данная задача имеет четыре равноправных решения :
1-3-5-7--6--4-2-1,
1-2 -4 -7- -6-3-5 -1 ,
1-7--6--4 -2-3-5-1,
1-3-6-7-2 -4 -5 -1.
В случаях , аналогич­
ных приведенному, про ­
цесс решения задачи
заканчивается,если под­
циклы объединены и
хотя бы одна подматри­
цаD,.s(л+s;л,s= 1,
2, ... , р) каждого столб­
ца и каждой строки
клеточной матрицы, со­
держит элемент d;j, для
которого xij = 1.
Данный способ реше ­
ния рассматриваемой
задачи можно реализо-
вать при помощи элек -
Рис. з.
трической цепи-аналога ,
состоящей из источников тока, источников напряжения и диодов ..
При помощи цепей, составленных из перечисленных элементов , ..
как известно [1, 2], можно решать класс задач типа транспортной
задачи линейного программирования, в частности и задачу о на ­
значениях. Поэтому исходное решение задачи определения опти -­
мального цикла обхода всех узлов можно получить при помощи
решения задачи о назначениях с заданной матрицей расстояний ·
D;j (i , j = 1, 2, . . . , п) на моделирующей машине. Из полученного ­
решения определяем подциклы, объединяющие отдельные группы .
узлов. Перестановкой строк и столбцов по описанному выше спо­
собу получим набор клеточной матрицы на модели. К: элементам.,
диагональных подматриц Dqq (q = 1, 2,
.. . , р) добавляются на ­
пряжения, пропорциональные величинам сх. Для экономичности
схемы к каждой строке или столбцу подматриц Dqq можно после -•
довательно с Eij подключить один источник напряжения е.
На рис. 3 и 4 приводятся схемы моделирующих цепей задачи,
приведенной на таблица х 6 и 7 на раз ны х этапах решения .
На схеме рис . 3 набрана клеточная матрица, приведенная
в табл . 6 . Последовательно с источниками напряжения , модели -­
рующими длины ветвей подматриц главной диагонали , включают -
127 '

,ся источники напряжения е, моделирующие величину а, Увели­
чивая величину е от нуля до единицы в схеме, получим контур
,.{ рис 3), составленный из токопроводящих ветвей, Этот контур
Рис, 4.
,соединяет подциклы 1-6 -1 и 2-5 - 2 . Получим подцикл 1- 2 -
5-6-1 .
Повторяя эту операцию относительно матрицы, аналогичной
приведенной в табл. 7, при е = 4 выявляем контур, соединяющий
подциклы 1-2 -5 -6-1 и 3-4_: _3 (рис . 4), и определяем опти­
мальный цикл обхода всех узлов .
ЛИТЕРАТУРА
1, Де н ни с Дж. Б. Математ и ческое програ м мирование и электрические
цепи , ИЛ, М., 1961 ,
2. П у х о в Г. Е. Избранные вопросы теории матем атических машин.
:Из д-во АН УССР, К., 1964.
Доложено на семинаре
8 апреля 1966 г .

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
УСТРОЙСТВ ДЛЯ ОПЕРАТИВНО-КАЛЕНДАРНОГО
ПЛАНИРОВАНИЯ
В. А. САФРОНЕНКО
Одной из важнейших проблем оперативно-календарного плани­
рования работы производственных участков с серийным характе­
ром производства является оперативное составление для каждого
рабочего места такого календарного графика обработки деталей,
при котором, с одной стороны, обеспечивается заданная программа
выпуска деталей, а с другой - издержки производства сводятся
к минимуму.
Положенный в основу для дальнейшего рассмотрения участок
с серийным характером производства состоит из непрерывной сбо­
рочной линии (конвейера) и группы из М станков, которые должны
обеспечить заданный темп поступления на сборку п различных
типов деталей.
Указанную группу станков в общем случае можно подразде­
лить на N последовательных линий идентичных станков с коли­
чеством тР станков в каждой линии
(1)
В издержки производства включены затраты на переналадки и из­
держки от пролеживания заделов.
Перестройка каждого рабочего места с обработки одного типа
детали на другой происходит, как правило, не моментально, а тре­
бует затрат рабочего времени и средств. Эти затраты не одинаковы
и в общем случае зависят от последовательности обработки задан -
ного наименования деталей.
Каждаядетальi(i=1,2, ...,
п) проходит последовательно
обработку на станках каждой линии, начиная с N-ой, и затем с за­
данным темпом поступает на сборочный конвейер .
Если окажется, что все необходимые в данный момент времени
для обработки i-ой детали станки какой-либо из линий участка
9 7-2622
129

заняты обработкой других типов деталей, то в этом случае дан­
ная деталь i поступает на некоторое время в межоперационный
задел незавершенного производства. Образующиеся в результате
пролеживания заделов издержки зависят как от размеров заделов,
так и от длительности их пролеживания.
Введем
V;o U,= 1,
Математическая формулировка задачи
следующие обозначения:
2, ... , п) - заданный темп поступления i-ой детали на
•
сборочную линию; -
(• 1ry
)
tr;,т ~ ~ 1•. :i',- _· ::, ~v ~ штучное время, затрачиваемое на · обработку
i-ой. детал11 на станке р - ой линии; обратная
1
величина -- = V;p - производительность
•
.
f1jf,T
станка р-ой линии по i - ой детали;
-rfг _с_ время, затрачиваеrvюе на переналадку станка
р-ой ли·нии при переходе на обработку j-ой
детали после окончания обработки i-ой де 0
тали(i;j=1,2, ..., п);
а ~ коэффициент затрат на переналадки;
Z;p (t) ~ мгновенное значение величины задела в мо.;
мент времени t (количество штук i-ой дета"
ли, находящихся в заделе после обработки
на станках р-ой линии);
~;р - коэффициент затрат от пролеживания заде.:
ла Z;p (t);
Т - период, или отрезок времени, спустя кото•
рьiй процесс производства повторяетс_я.
.
В· общем случае для станков р-ой линии имеем матрицу пе 0
реналадок [afi] размером п х п, у которой a{j-oo при i = j
( условно исключается переналадка с i-ой на ту же i-ю деталь), а
остальные элементы матрицы могут быть произвольными неотрица­
тельными величинами и не предполагаются симметричными .
• - 1 Считаем, что затраты на переналадки прямо пропорциональны
затрачиваемому на них лреме: :и .
При прюrятьrх обозначениях выражение для функции-цели, ко ­
торую необходимо минимизиро вать, имеет следующий вид:
ТNп
R = ; ~}:Тfi ++ _\ ~ }:~;μZ;μ(t)dt.
р i,j
О p=l i=I
(2)
Здесь первое слагаемое представляет собой суммарные затраты
на переналадки, а второе - суммарные затраты от пролеживания
заделов по всем деталям и для всех линий станков, отнесенные
к периоду Т;
130

Упрощенная модель серийного участка
Р ассмотрим упрощенную модель серийного участка, состоящую
из непрерывной сборочной линии и одной линии из т1 идентич ~
ных станков (рис. 1).
•
Для обес пе чения заданно го темпа п оступления деталей на сбо­
;:;очную линию необходимо, чтобы количество i-ых деталей, ушед­
ших из задела на сборку за период Т1 не превышало то количество
□
' 1-b!U
.
стонок '
□2-ои
ClllШ(OK
I2
AJ= r
□ l-ь1Ь п
стонок
□. т, .-Ь!() •
Cl170/IOK
Рис. - !.
,00
~f
i21
~'
/il
~f
'пt
2••J• •п
~t
~'
r-f
112 {)j .•
Z1n
1
~'
00
1⁄2; 12п
~1
~' ~I
1'? i1j t,n
1,
,-1
~'
Ln2 (Пj 00
тех же i-ых деталей, которое поступит в течение времени Т1 в за­
дел после обработки их на _ станках.
Отсюда должно выполняться следующее неравеI:Iстщ> : '; ·: •
-r
(3)
где ta - время обработки i-ой детали за _период Т1 для !,го
.•
;_ . .- J'/.")'_(-:-";
станка линии.
, .1 ,.г,-:;····_ •,
При мем, что для всех станков время ta (i = 1, 2, ... , .ri} 9щ1на~
ково, т. е.
.
, . '. .1:J/~,,_I,·..\ !(k,1
til=t;2=...=t;,т1(i=1,2, ...' п),
(4)
и, кроме того, на всех станках линии каждая i- я деталь запускае­
тся в обработку с относительным сдвигом по времени Л Т:
9*
lЗ!

При таком предположении издержки от пролеживания при про­
чих равных условиях будут минимальными, а условие (3)
запишется в виде
t•,
VТ(12
)
mlf~T>iO1i=
,
,•••,П•
il
(6)
С другой стороны
п
Tl= It;1+l:т:/j,
i=l
i,j
(7)
где l:т:Ji - суммарное время, затрачиваемое каждым из станков
i.j
на переналадки .
Из соотношений (6) и (7) следует
~.1 .
.
.
'I
т ·::;;,,
,,/
1'9'
1п
•
1--
~ giJ
m1 i=l
(8)
где
(9)
Очевидно, что величины заделов по каждой детали будут ми­
нимальными при таком условии [1 ]:
(10)
· • Из выражения (10) вытекает необходимое и достаточное усло­
вие. при выполнении которого линия из т1 станков сможет обес­
печить заданный темп поступления всех деталей на сборку:
п
1-
_1_I gil>о.
m1 i=l
(11)
Время, затрачиваемое каждым из станков на обработку i-ой
детали в течение одного периода, можно определить, согласно
выражениям (6) · и (10) по формуле
(i=1,2, ..., п).
(12)
,
Введем на время та1<0е предположение: пусть за период Т1 ка­
ждая деталь запускается в обработку на каждом из станков линии
132

только один раз (этому случаю соответствуют обозначения R~,
~ ,,._1:0 ТО)·
~'tJ, 1 •
i,j
Тогда после вычисления интеграла получим выражение для
функции-цели
Ro= ат1~,1:0+_!j__~
~;1 {g;1) (l _ 1g-.
)).
1
ТО~tf
2т1 ~ tшт
\й
1t,J
<=1
tl
(13)
Здесь и в дальнейшем с помощью символа (ер) будем обозна,; ать
дробную часть некоторого числа <р.
С учетом условия (10) выражение (13) можно представить в та ­
ком виде:
( 14)
где
(i=1,2, ..., п).
(15)
К:ак следует из уравнений (14) и (15), величину R1 можно
уменьшить только за счет выбора такой последовательности за­
пуска деталей в обработку, которой будет отвечать минимальное
•
"'
10
суммарное время на переналадки mш ,.:,.. 'if, т. е . тем самым вся
i'j
проблема сводится к решению задачи коммивояжера для заданной
матрицы переналадок [,Ji] [2] .
Решив задачу ко мм ивояжера, мы получим искомую последова -
тельность запуска деталей в обработку и min ~ •fi°, а затем по
i,j
уравнения м (10), (12), (5) и (14) определяем соответствующие дан-
ному случаю величины Т~, t~1 , Л Т0 и min R? .
Величины начальных заделов Z;1 (О) (значения Z;1 (t) при t = О
для всех i) определяютс я сл еду ющим образо м .
Если за начало периода Т~ берется мо мент з а пуска в обработку
i-ой детали на не которо м l-о м станке линии, то
Zil(О)=О.
(16)
Если вслед за i-ой деталью по условию минимизации R~
начаться обработка j-ой дета л и , то
zjl (О)= t ~T [1gj1){-;
- 01- (t-
~, -+
-
, -Jj-)}-
11
1•
[{т1о, 11 т~(1-1)]]
-max О,
~(tnт'ii)J-
mi 1- 1gjl
.
должна
(lбaJ
133

Для следующей за 1-ои деталью детали у при определении
Zvr (О) подставляем в формулу (lба) соответственно t;{, gvL, Uf1 +
!
О
1
+•ii+fit+•iv)ит.д.
Таким образом, при условии однократного запуска каждой де­
тали в обработку за время периода мы можем определить параметры,
необходимые для составления оптимального календарного графи-
ка [З].
•
Теперь снимем это ограничение. Пусть, исходя из условия ми­
нимума величины функции-цели, деталь i за соответствующий пе­
риод Т1 должна запускаться в обработку на каждом станке линии
Хпраз(i=1,2,
... , п).
В этом случае
xil
fil= ~f~l (i=!,2, ..., n),
,_
s=l
(17)
(18)
Здес ь tf1 - слагаемое общего времени обработки i-ой детали на
каждом станке линии за период Т1; I -r:fi (х; 1 > 1) - суммарное
ij
время всех произведе нных за период Т1 переналадок при xil :;, -- 1
(i~1,2, ..., п).
По аналогии с предыдущим получим
~,)j(Xil >, J)
т1 = _i _,_i ____
1 ;.,
1-- ~ gi!
Гll1 f;;;l
(i=!,2, ..., п).
(lOa)
(12а)
Выражение для R1 после вычисления интеграла с учетом (18)
запишется в виде
(19)
где
111
851 =
-
(i=1,2, ..., n).
i
t;1
(20)
134

xil
Заметим, что s;1 < 1 и 2: (s;1)2 < 1 при Х;1 > 1. Исходя из физи-
s=(
••
•
ческих соображений, смысл которых сводится к тому, что любому
запуску i -ой детали из общего количества x;i запусков должен
предшествовать запуск другого типа детали, следует, что перемен­
ные .X;i должны удовлетворять такому условию:
п
maxx;1 -<+~ ·x;1 -
i=1
(21)
Для упрощения в качестве некоторого приближения примем, что
l-2
-
-
Xi\ -
j(.
-
12
s.1
-
s.1
-
...
-
s.1
-
-
1-
,
,...,п).
1,
L
L
•
·-Xil··
(22)
В этом случае выражение для R1 примет вид
R1 = а(т1-~gil)+[~тfi(Х;1>1)](i ~;:) · (23)
Для определения такой последовательности обработки деталей,
при которой при заданных значениях x;i (i = 1, 2, ... , п) дости­
гается минимум величины R 1 , необходимо, как следует из выраже­
ния (23), решить задачу коммивояжера для матрицы !\\ (х; 1 > 1)]
размера(~X;i) Х (~Х;1)ИвместеСЭТИМнайтиmin ~-r:i\ (Хи J
> 1).
Матрица [-r:li (x;i > 1)] образуется из заданной матрицы [т;\]
путем последовательного добавления к последней снизу и справа
(xil -1)-го количества i-ых строк и столбцов (i = 1, 2, . .. , п).
Последняя строка и столбец матрицы [тli (х;1 > 1)] будут иметь
п
п
порядковый номер п + }: (хо - 1) = ~Хо.
i=l
i=l
Заметим, что элементы данной матрицы имеют такую особен­
ность:
i,j=k,
k-1
i,j=п+~(х...,1- 1)+1,п+
,,,i
-
"'1 -оопри
"kj-
'ik -
v=l
(24)
k-1
k
+I(х.1- 1)+2,
п+~(х...,1~1).
v= _1
v=l
k=I,2, ..., п.

Из сравнения выражений (14) и (19) с учетом замечания отно­
х;1
сительно величины I (Ebl 2 следует, что для заданных xil (i =
s=l
= 1,2, ..., п) при min~т:)i (х;1>1)1-<min~т:J/, minR1(ха>
i,j
i.j
> 1) < min R~, т. е. в этом случае календарный график
пμи за­
пуске всех или части деталей в обработку за период Т1 более од­
ного раза на каждом из m1 станков будет лучше, чем при одно­
кратном запуске.
Если же min ~ •f; (х; 1 > 1) >min I иJ)°, то все будет зависеть
i,j
i,j
xi1
от конкретных значений величин bil I (c:f 1)2 (i = 1, 2, ... , п), в вы-
s=l
п
ражении (19) или при предположении (22) - от В!=Ли ч ины I ~;i •
i=l
t1
Величина min ~ т:fi (х; 1 > 1) есть однозначная функция от
i,j
п переменных хй, удовлетворяющих ограничению (21). Обозначим
➔
ее через К (хн, х21, ... , хп1) или К (х1) и назовем функцией комми­
вояжера :
К(Х1)=К(хн,Х21,•••,Хп1)= min2:т:t (xii> 1).
(25}
i,j
В ряде случаев к ограничению (21) добавляются ограничения
на величину максимума задела Zj1 (t), например, из -за ограничен­
ности площадей для хранения незавершенных деталей. Это при­
водит к системе неравенств такого вида:
~'ij(Х;1 > 1)
{-)
.
.
g.l
-
.!:..!__/
п
• -t ~T (1 - \gi1J)-< Hjl,
(26)
Х1· 1
m1- ~gi1
jI
i=l
iEРе\1,2, ..., п),
гl',_е Hil - предельная допустимая величина задела Zj1(t).
В итоге проблема определения всех параметров, необходимых
для составления оптимального календарного графика, сводится
к следующей задаче:
➔
определить вектор Х1 = [хн, х21 , ... , хп1 ], при котором дости гается
минимум функции
(27}
136

при следующих ограничениях:
и
Xii>1(целыечисла)(i= 1,2, ..., п)
➔
п
,
1~
ШаХХ;1~ 2 ~Xi!
i=l
(28)
(21 }
K(X1)-hj1Xj1<0, jE,Pc(l, 2, ... , nj,
(29)
где
~ jl .Hjl
hп =---
2bjl
Ограничение (21) можно еще записать в таком виде:
➔
С1Х1>-О,
где С1 = [cfi] - симметричная матрица п х п, у которой
{-1приi= j,
c)i =
1приi=1=j
и .х; - транспонированный вектор Х1 .
(30)·
(31}
(31 а).
Для некоторых конкретных пр оизводственных участков дан­
ная задача иногда упрощается. Так, если время на переналадку
зависит в большей степени от того, какая деталь запускается в обра­
ботку, и в меньшей степени от типа той детали, которая перед этим-
обрабатывалась, то в таком случае элементы матрицы [ai\J, при­
надлежащие одному столбцу, исключая элементы главной диагона-­
ли, будут различаться незначительно, т. е .
со
при i= j,
ai1>Оприi--;-j.
(32),
Тогда
(33)-
➔
и задача сводится к следующей: определить вектор Х1 , при котором
достигается минимум нелинейной функции
(34},
при следующих ограничениях:
(35)
!37

п
maxxil <+ Ix;r,
-
i=l
-
D1X1 <О,
(21)
(36)
гдеD1= [d;il- матрицатхп(т
-
количество индексов из (1,
2, .. . , п), входящих в Р), у которой
dl.= {ail- hi!<ОприiЕР,
ч а0>-О
при ifP.
(37)
Если ограничение (36) отсутствует или, в случае наличия его,
если будет выполняться условие
при ; ь..,,1_ ~
- 1-tVb;i
Vа'°" 2,,_
а.'
yl
i=l
tl
если i =1= 'У
решение имеет следующий вид:
. Xj!
еслиi=у\
если i =1= '\'
пv-
1"'
bil
>-
/
-
.
2 ;::i
ail
~
j
(38)
(39)
..
1

Здесь
l =max(Ь11,Ь21 , .•.'
bni )
(40)
а ,,,1
ан
а21
ат
и q1 - положительный целый коэффициент, при котором значения
хй (j = 1, 2, ... , п) будут взаимно простыми числами.
В общем же случае минимальное значение функции (34) следует
искать на множестве решений, удовлетворяющих ограничениям
(35), (21) и (36).
К: вычислительным устройствам, предназначенным для решения
оперативных производственных задач часто предъявляется ряд спе­
цифических требований.
Одним из важнейших таких требований является обеспечение
большой оперативности получения решения, наличие возможности
простого изменения входных переменных и быстрого просмотра
различных возможных вариантов решения.
С другой стороны, для подобных задач особенно высокая точ­
ность решения как правило не требуется из-за относительно невы­
сокой точности ИСХОДНЫХ данных.
Разработанная в Институте кибернетики АН УССР под руковод­
ство м чл.-корр. АН УССР Г. Е. Пухова теория квазианалоrово го
моделирования позволила к настоящему времени создать ряд схем
для оперативного решения различного рода задач математического
програм ~ш рования с использованием относительно небольшог о
объема счетно-решающей аппаратуры [4-6 ].
Ввиду того, что минимизируемая функция (34) и ограничения
(35) , (21) и (36) являются однородными (решение получается с точ­
ностыо до постоянного множителя), исходную задачу можно свести
к задаче минимизации линейной формы при ограничениях в виде
линейных неравенств и одного нелинейного уравнения, что в свою
очередь позволяет облегчить реализацию модели.
В новой постановке задача будет формулироваться следующим
образом:
требуется найти минимум функции
п
~t1 = ~ апх11
i=l
при условиях (21), (36), (35) li
п
-
~ }?_Q_
_
Е
,.:.,.
Х·-
1·
i=l
'
1
(41)
(42)
Данную задачу предлагается решать на квазианалоговой модели
типа р путем принудительного изменения целевой функции μ1 .
Принципиальная схема модели приведена на рис . 2. Обратимый
линейный преобразователь (ОЛП) моделирует систему неравенств
(36) и линейную форму (41). Обратимый функциональный преобра-
139

зователь, использующий обычные функциональные блоки для мо-
1
делирования зависимости вида у = -
и источник напряжения Е1 ,
х
реализует нелинейное ограничение (42).
С помощью индикатора наибольшего напряжения, выполненного
на диодах Д1, Д2, ... , дп, и блока для
получения полусуммы иско­
мых переменных модели р уется ограничение (21).
ОЛП
Рис. 2.
Диоды дп+1, дп+2 , .. . , д 2п включены для реализации условия
неотрицательности переменных (35).
Принудительное изменение величины целевой функции осуще­
ствляется с помощью регулируемого источника напряжения μ 1.
Данная модель одновременно с определением неизвестных X;i (i =
=
1,2, ..., п),
киторы~ представляют собой количества запусков
i-ой детали в обработку за время периода Т1 , позволяет с помощью
найденного минимального значе ния напряжения μ 1 получать в
не котором масштабе суммарную длительность переналадок и вели­
чину этого периода - уравнения (lOa), (25) и (33) .
Определив Хп (i = 1, 2,
. .., п) с помощью ранее
указанной
матрицы [-rlj (ха > ) ] находим одну из возможных последователь­
ностей обработки деталей.
140
Пусть эта последовательность имеет такой вид:
tfl-r)jf}1 •.. •~i f7l •)13•.. •~;tJI•)б••• 'L~i t:ri1•)г·· • f:fl •~1
i,j,сх,Р,у,о,q,r,е,Е\1,2, ..., nj.

Тогда для составляющих t)i, t}2 , ••• , f~1 • ... ,
t;J 1 времени обра­
ботки i-ой детали (при условии, что все станки линии работают
-с относительным сдвигом по времени, определяемым согласно вы­
ражению (5)) будет справедлива следующая система линейных урав­
нений:
1- (g;1}
S= 2,
1
xel
l-
(-r;,+ · ·•+ tel +'е1)(g;1}
-
, S= Х;1.
1- (g;1}
прит1- 1<
~gп<m1 (43а)
(i=1,2, ..., п),
Здесь индекс k uтносится к той составляющей tf 1, когорой со­
,ответствует минимум времени от момента окончания tf 1 до момента
начала tft1 (в нашем случае полагаем, что таким минимальным
•
1
1Зременем будет ('t;o+ ... +тq1))
' s=!,
f), =
(-r[б + ···+ -rJ1) gil
т1 -gil
приg;1<m1- 1
s= k,
(436)
(i=1,2, ..., п),
(,;,+ ···+(1el+'11)gil
, S=Х;1,
т1 -gil
Таким образом для упрощенной модели серийного участка полу ­
чим все необходимые параметры для составления оптимального
календарного графика.
Модель серийного участка из N линий станков
Расс мотрим теперь модель серийного участка, состоящего из
'Конвейера и N линий станков.
Предварительно разобьем каждый из заделов Z;p (i = 1 , 2, ... , п;
р = 2, 3, ... , N) на два составляющих задела
Z;r(t) = Z;r U)+z;r(t) (i= 1, 2, . .. , п; р=2, 3, ... , N), (44)
141

и затем полuжим, что из задела z;P детали с заданным для них
темпом поступления на конвейер V; 0 переходят в задел z;P ·
После такого преобразования пол учим N в некотором смысле
независимо работающих элементарных участков (рис. 3) :
No1: V;o +-Z;,' Bil +- V;r, т1'[.;j]+-z:2, Bi2,
No2: V;o+-z;2,В;2+-V;2, т2, [тZ;] +-Z:з, В;з,
"
N
NoN: V;o+- ZuvB;,v +- Vilv, m,v , [•;i]+-Z;.N+1; В;,N+I•
Здесь индекс N + 1 относится к заготовительному складу.
No!
Ji'N
Математическая модель дJlЯ каждогu из полученных элементар ­
ных участков полностью аналогична модели ранее рассмотренного
упрощенного участка . Изменится лишь выражение (15) для опре­
деления коэффициента Ь ;р:
Ь- = (В;р+В;,р+1){~)
-
,р
(
п ) (1- \g;p))(i=1,2, ..., п;p=l,2,...,N).
_
2t't),Т тр - ~ g;p
(45 }
L=l
Значение функции - цели для всего участка в целом определится
таким образом:
N
R=~Rμ,
(46 }
p=I
где Rp - значение функции-цели для р-го элементарного участка .
Определив ранее рассмотренным способом параметры оптималь­
ного календарного графика для каждого элементарного участка ,
получим
N
miпR= ~ minRP.
(47}
р
i,=1
Величину min R можно еще дополнительно уменьшить за счет
р
последующего осуществления последовательной синхронизации ра-
142

боты элементарных участков во времени, что приведет к дополни­
тельному уменьшению издержек от пролеживания заделов . При­
мером полной синхронизации нвляется поточная линия - частный
случай серийного участка, которая характерна тем, что все опера ­
ции по изготовлению деталей производятся одновременно.
В результате синхронизации получим
шinшinR<minR.
(4 8}
t
р
р
В случае, если исходные параметры какого-либо из элементар­
ных участков изменяются, например вышел надолго из строя или
добавлен в р-ю линию новый станок, то нет необход!fмости пере­
считывать заново параметр 'ы оптимального календарного ' графика
для всего участка · в целом . Достаточно рассчитать эти параметры
.ТJИШЬ для тех элементарных . участков, которых коснулись измен е­
ния, и затем провести синхронизацию.
При таком способе оптимизации в общем случае не будет до­
стигнут г лобальньiй оптимум. Но здесь же необходимо подчеркнуть ,
что поиски глобального оптимума при · решении подобного рода за·­
дач наталкиваются на чрезвычайные трудности.
С другой стороны, учитывая, что •
Р;1>Р;2>···>~;. N > ~i.N+1 (i= 1, 2, •••, п),
.
(49}
можно с большим основанием ожидать, что указанным выше путем
мы получим календарный график для всего серийного учасп,а в це­
лом со значением функции-цели, нахGдящимся вбщrзи глобального
минимума.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шкур ба В. В., Подчасова Т. П.-В кн. :М атериалы на уч­
ных семинаров по теоретическим и прикладным вопросам кибернетики. «Наукова
думка», К., 1963.
2.ЛитJJ дж.,Мурти К..Суини Д.,Кэрел К.-Вкн.:Эконом:1ка
и математические мет оды, «Наука», М., 1965, т. ! , вып . ! .
3.ВедутаН.И.,ЛапшинС.В.,СафроненкоВ.А.
-
В кн.:
Автоматизированные системы уп ра вления . Сборник научно-технических статей.
Минск, 1965.
4. П у х о в Г. Е. Избра11ные вопр осы теории математических машин.
К. , Изд:во АН УССР, К., 1964 .
5.БорковскийБ.А.,ВасильевВ.В.,ТокареваО.Н.
-
В кн.: Вычислительная техника в управлении. Сборник трудов III Всесоюзной
конференции - семинара по теории и методам математического мщ1,елирования.
«Наука», М., 1964.
6.КлепиковаА.Н.
-
Настоящий сборник, 162.
Доложено на семинаре
6 мая 1966 r.
•

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
'И ЗАДАЧИ О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ НА СТАБИЛИТРОНАХ
Г. К. ШдРдШИд3Е
Как известно [1, 2], из диодов, источников напряжения и ис­
точников тока можно построить электрические цепи-аналоги для
множества задач распределения потока в цепи, в том числе для тран­
спортной задачи и задачи о кратчайшем пути. Если параметры це­
--J ,C. .____
_
__
llj
Рис. !.
пей удовлетворяют условиям за­
дачи, то эти цепи автоматически
приходят в состояние, когда
распределение токов в ветвях со­
ответствует решению задачи.
Большое количество незави-
симых источников напряжения
в электрической цепи-аналоге
2 делают модели данного типа не­
сколько громоздкими. В рабо­
те [3] делалась попытка упро­
Рис. 2. стить эти схемы. Для транс-
портной задачи двухполюсник,
,составленный из диода и источника напряжения, заменялся пере­
менным сопротивлением и переключаемым источником напряжения.
Это привело к сложному итерационному процессу . Модель утрати­
ла свойство автоматического поиска решения, а следовательно, и
оперативность.
Ранее нами рассматривалась электрическая модель транспортной
задачи, составленная из источников тока и нелинейных сопротивле­
ний, обладающих свойством односторонней проводимости.
Проводимость нелинейного элемента изменялась пропорцио­
нально току:
где cij - маршрутная цена перевозки.
144

Характеристика нелинейного элемента приводится на рис. l.
Падение нап ряжения на таком элементе u;i = C;i при i;i > О.
Из анализа электрической цепи, составленной из источников то­
ка и нелинейных пассивных элементов, видно, что эта цепь является
физической моделью транспортной задачи.
Характеристику нелинейного элемента можно воспроизвести при
помощи двухполюсника, приведенного на рис. 2. Двухполюсник
состоит из диода 1 и ста ­
билитрона 2 , включенного
против проводяшего на­
пряжения диода.
На рис. 3 приводится
схема электрической моде­
ли, матрица стоимости ко ­
торой построена из обыч­
ных диодов и стабилит­
ронов.
Указанная матрица со­
стоит из пассивных эле­
ментов , тогда как в схеме ,
составленной из источни­
ков тока, источников на ­
пряжения и диодов каж­
дая строка или каждый
столбец питается от отдель-
наго независимого источ-
Рис. 3.
ника напряжения [4 ]. Очевидно, что применение стабилитронов
приводит к значительной экономии оборудования и упрощает схе­
му модели. При этом схема на рис. 3, также как и схема с матри­
цей, построенной на диодах и источниках напряжения, автомати­
чески приходит в состояние, соответствующее решению задачи .
Маршрутную цену перевозки можно представить в виде двоич­
ного числа:
где
п
Cii= ~av2v,
"1=-n
av= {Оl.
Если каждому двоичному разряду подобрать стабилитрон Dv,
стабилизирующий напряжение Иv, пропорциональное величине ос­
нования разряда
Uv = a2v,
то для набора маршрутной стоимости перевозки ветви можно ис­
пользовать схему , приведенную на рис . 4. Разомкнутое состояние
10 ~-2622
145

ключа соответствует значению коэффициента av = 1, а замкнутое -
значению av = О.
'
На практике оказывается достаточным . рассмотрение величин
маршрутных стоимостей перевозок в пределах двух десятичных
знаков.
На стабилитронах Д808, Д809, Д810, Д811, Д813, Д815 Е и дио­
- дах
Д202 были построены моделирующие схемы для решения задач
небольших размеров. Одна из них приводится
на рис. 5.
Вывод результатов решения производился
при помощи измерения токов в вет вях, или изме­
рения узловых потенциалов V; (i = 1, 2, ... , т),
uj(j=1,2, ..., п).
д
Были разработаны схемы источника тока
n
(рис. 6), ток которого можно устанавливать
r• Е0
~2030бО!О
'
8 309 !011 31
40
45 30
/]
42
45
45
[,
18
411 ll 15
JO lП
10
404510Зб
j
5
Рис. 4.
Рис. 5.
Рис. 6.
в пределах О, 1-5 ма, и приемника тока (рис. 7) с диапазоном
регулирования тока О, 1-30 ма. Так как потенциалы узлов изме­
няются в пределах ± 60 в, то указанные схемы обеспечивают ста ­
билизацию тока с точностью до 1%.
Стабилизаторы имеют небольшое динамическое сопротивление .
При 50-процентном отборе можно выбрать стабилитроны с динамиче­
ским сопротивлением не более 1О ом, при изменении тока от О, 1
до 5 ма. При этом максимальное динамическое сопротивление моде­
ли ветви, составленной из шести последовательно соединенных ста­
билитронов, будет не более 60 ол,1. А шести стабилитронов достаточно
для представления маршрутной цены перевозок величиной в пре­
_ делах двух десятичных знаков в двоичном коде.
Если в качестве диода, обеспечивающего однонаправленность
перевозки груза по маршрутам, использовать диоды Д202 или д203,
то анализ погрешности схемь1 показывает, что модель, построенная
- ·на
стабилитронах, · будет вьщавать решение с точностью не менее 3 %.
• - - Эффектиiзным оказывается применение стабилитронов в модели-
-- · 1'46

рующих uепях задачи о кратчайшем пути. В это м случае, как и в
случае транспортной задачи, значительно упрощается схема и со­
храняются все положительные стороны схемы, построенной на ди-
(jJ5П
8ыxoiJ
/181!
Го
Е,
'------------ - Еа
Рис. 7.
2
а
2
!О
/i
Рис. 8.
одах и источниках напряжения. На рис. 8, а и 8, 6 приводится сеть
и ее электрическая цепь-аналог, построенная на стабилитронах.
Кратчайший путь определяется между узлами 1 и 5. Он состоит из
ветвей 12-24 -45.
ЛИТЕРАТУРА
1. Де н ни с Дж. Б. Математическое программирование и электрические
uепи. ИЛ, М., 1961.
2. П ух о в Г. Е. Избранные вопросы теории математических машин;
Изд-во АН УССР. 1964.
3.ВитенбергИ.М.,Ефремов А. К.
-
Труды lV Всесоюзной
конфер е нuии семинара по теории и методам математического моделирования.
«Наукова думка», К. , 1964.
4. В а с ил ь ев В. В . Вопросы построения схем моделирующих устройств.
для решения транспортной задачи линейного программирования , Семинар «Мето­
ды математического моделирования и теории электрических цепей», КдНТП ..
к., 1964.
'
Доложено на семинаре
8 апреля 1966 г .

ЦИФРОВАЯ МОДЕЛЬ СЕТЕВОГО ГРАФИКА
д. г. додонов
Сетевой график позволяет определить конфигурацию и величину
критического пути и величины временных характеристик отдельных
работ. Определение временных характеристик осуществляется в
настоящее время на электронных аналоговых моделирующих устрой­
ствах [2] и цифровых вычислительных машинах.
Одним из основных преимуществ цифровых вычислительных ма­
шин является высокая точность при определении временных ха­
рактеристик. Однако цифровы е вычислительные машины пока не
позволяют оперативно и наглядно разыгрывать различные ситуации,
возможные при анализе сетевого графика.
Известная электрическая модель сетевого графиЕа для опреде­
ления критического пути [4] является типичным аналоговым уст­
ройством. Аналоговые вычислительные устройства обладают исклю­
чительно высоким быстродействием, позволяющим им оперативно
и наглядно решать широкий класс задач, рассматривать определен­
ные ситуации на сетевом графике. Но точность определения вре­
менных характеристик и точность установки исходны х данных не­
высоки. Другим недостатком аналоговых устройств является то,
что с увеличением объема сетевы х графиков увеличивается напряже­
ние, моделирующее длительность критического пути. Это затруд­
няет техническую реализацию аналоговых моделей сетевых графи­
ков большого объема.
Комбинированные вычислительные устройства , построенные на
использовании цифровых элементов с аналоговым построением
функциональной части устройства, позволяют сочетать преимуще­
ства цифровых и аналоговых вычислительных машин.
Временная разновидность задачи сетевого планирования и управ­
ления с дискретно-задаваемыми продолжительностями отдельных
работ и логическим характером качественной информации достаточ­
но хор ошо поддается моделированию на цифровых элементах.
В цифровой модели сетевого графика продолжительность от­
дельной работы моделируется пропорциональным количеством им­
пульсов . Это повышает точность установки исходных данных сете-
148

вого графика и точность определения его временных характеристик.
Построение модели сетевого графика большого объема не вызывает
затруднений, так как подсчет большого числа импульсов не приво­
дит к техническим трудностям.
Цифровая модель сетевого графика состоит из моделей работ и
моделей событий, набираемых в соответствии с конфигураuией се­
тевого графика. В кач ес тве отдельной модели работы можно выбрать
элемент задержки времени с регулируемой длительностью. Моделя­
ми событий для задачи о длиннейшем пути будут схемы совпадений
«И», т. е. импульс на выходе модели события появится только
тогда , когда все работы, входящие в это событие, выполнятся .
Все временные характеристики сетевого графика определяются
числом импульсов, которое . пропорuионально временной характе­
ристике.
Число импульсов между моментом поступления пус1ювого им­
пульса в начальное событие и моментом появления импульса в ко­
нечном событии пропорuионально длине критического пути.
Ранний срок начала работы пропорuионален числу импульсов
между моментом поступления первого импульса в начальное собы­
тие и моментом появления импульса на выходе этой работы .
Наиболее поздний срок начала какой-либо работы определяется
как разность между числом импульсов , пропорuиональных длине
критического пути, и числом импульсов между моментом поступле­
ния первого импульса на в ход этой работы и моментом появления
импульса в конечном событии.
Наиболее поздний срок окончания какой-либо работы определя­
ется разностью между числом импульсов, пропо-рпиона льн ых дли­
не критического пути , и числом импульсов между моментом поступ ­
ления импульса на выход этой работы и моментом появления импуль­
са в конечном событии.
Резерв вр емени для какой-либо работы определяется разностью
между число м импульсов, пропорuи о нальны х нанболее позднему
начал у этой работы, и числом импульсов, пропорuиональных ранне­
му сроку начала работы.
Техническая реализаци я uифровой модели сетевого графика
может быть различной. В качестве модели работы может при менят ься
ждущий мультивибратор, магнитострикшюнная линия задержки,
триггерные счетчики и т. д.
Ниже рассматривается один из вариантов uифровой модели сете­
вого графика . Функuиональная схема со стоит из счетчиков и импульс ­
но-пот енuиальных элементов (рис. 1).
Основным элементом модели работы (рис. 2) является п-разряд­
ный десятичный счетчик на декатронах. В него перед началом работы
модели заноси тся число и мпульсов, дополняющее длительность
работы до полной емкости счетчика, т. е. заносится количество им­
пульсов, равное (10n - tu), где п - количество разрядов счетчика,
t;1- количество импульсов, пропорцнональное длительности работы.
149

Таким образом, на выходе счетчика появится импульс после по­
ступления на вход числа импульсов, пропорционального длитель-
1-юсти работы. Функциональная схема записи количества импульсов
в счетчик модели работы дана на рис. 3.
В задающий счетчик заносится число импульсов, пропорцио­
нальное длительности работы, в прямом коде. Затем триггерная cxe-
rи
rи
J
Пf
Рис. !.
(fl
r.11
ма Т переключается в такое состояние, что через схему И импульсы
поступают в · счетчик модели работы и в задающий счетчик. После
поступления в задающий счетчик (10" -
t;) импульсов триггерная
схема возвращается в исходное состояние. При этом в модель ра­
боты записывается (10" -
t;) импульсов.
В состав модели работы входят также схема выделения и схема
местной индикацuи.
BxofJ
Счетцuк
Рис. 2.
ИнtJuKOifUOH·
ноя схема
,----__,!Jьvool
Схема
8ыiJмениР BыxoiJl
,--------м.о
ЗоtJающии
счетчик
Рис. 3.
Схема выделения позволяет определить, какая из работ, вхо­
дящих в одно событие, завершилась последней, и сигнализирует о
выполнении этой работы.
Схема местной индикации предназначена для визуальной ин­
дика ции работ, лежащих на критическом пути, и состоит из схе ­
мы совпадения И и индикационного элемента на тиратроне с холод ­
ным катодом МТХ-90.
Модель события состоит из схемы совпадения И, счетчика и триг­
герной схемы Т. Функциональная схема модели события представ­
лена на рис. 4. На входы схемы И подаются импульсы от генератора
150

ГИ, сигналы об окончании работ, входящих в это событие, и сигнал
об окончании регенерации содержимого моделей работ, выходящих
из этого события.
Счетчик модел и события имеет максимальную емкость, равную
максимальной емкости счетчика модели работы. При помощи этого
с четчик а осуществляется регенерация
содержи мого счетчика в моделях ра­
бот, выходящих из данного события.
Рассмотрим принцип работы циф- !JxoiJt
ровой модели на примере одного со­
бытия , в которое входит две работы
и выходит одна работа (рис. 5).
Пусть в модель работы MPl за­
писано 35 импульсов, в МР2 - 61
импульс и в МРЗ - 10 импульсов .
Полная емrrость счетчиков модели
работы и модели события составляет
100 импульсов.
!JьaoiJ
С<1еmчик
т
Рис. ·4_
Ранее было сказано , что в модель работы записывается число
и мпульсов, дополняющее число импульсов, пропорциональных дли­
тельности работы до полной е мкости счетчика модели работы. Зна-
г----------,
!1РЗ
И11iJикоuионноя r
сх ема
Рис. 5.
ч ит, длительности работ МР 1, МР2 и МРЗ равны соответственно 65,
. 3 9 и 90 импульсов.
Счетчик модели события перед началом работы устанавливает­
{:я в «О».
При поступл е нии импульсов на вход MPl и МР2 происходит
,их заполнение. После прихода 39 - го импульса в модель работы МР2
на . ее выходе появится импульс, который устанавливает схему
выделения во включенное состояние. На выходе этой схемы появит­
ся сигнал о том, что работа закончилась. Сигнал поступает в схему И
.модели события и схе му местной индукции . .,
151

Когда: в модель работы MPI поступает 65-й импульс, на ее вы­
ходе появится импульс, который переводит схему выделения этой
работы во включенное состояние. Схема выделения МР2 выключа­
ется, сигнал с индикационного элемента МР2 сни м ается. Однако
при этом остается сигнал, поступающий на схе му И , события о том,
что работа закончена .
Сигнал из схемы выделения поступает на схему И модели собы­
тия и на индикационную схему этой работы. Из рассмотренного вид-
!( схеме
ШfiJUK{lЦUU
г-----,-----4---•Е
- ---,т--
Схемо 1
б/J!IJеления 1
МР1
1
1
1
-с::ем-; -1
rJм!Jелt>ниР 1
MPl 1
1
1
1
1
1
_i L ________ _
Рис. 6.
К схеме
Uнt7UKOUUU
но, что индицироваться будет работа, которая последней закончит­
ся в событии.
На рис. 6 приведена принципиальная с х ема двух схем выделени я,
и их соединение в одн ом событии.
Так как из обеих моделей работ пришел сигнал об их окончании ,
импульсы от генератора ГИ поступают через схему совпадения И
модели события на вход модели работы МРЗ и на вход счетчика мо­
дели события . После поступления на вход счетчика модели работы
80 импульсов, на выходе ее появляется импульс, сигнализирующий
выполнение этой работы . При этом в счетчик модели события по­
ступает число импульсов, равное продолжительности работы МРЗ ,
т. е . до полного заполнения счетчика модели события необходимо•
заслать в этот счетчик еще 100-t;j импульсов . После полного запол­
нения счетчика модели события на его выходе появляется сигнал ,
воздействующий на триггерную схему Т. Эта схема запрещает по­
ступление импульсов на вход модели события от генератора ГИ .
Счет импульсов в модели работы МРЗ также прекращается . В счет­
чике этой работы оказывается записанным 100 - t;j импульсов, т. е .
длительность работы в дополнительном коде. Отсюда видно, ЧТ()
произошло считывание и регенера ц ия числа импульсов в модели
работы.
152

Рассмотрим один из возможных вариантов построения схемы
измерения временных характеристик цифровой модели сетевого•
графика.
Длительность критического пути сетевого графика определя­
ется после записи исходных данных в модели работ. Функциональна я
схема для определения длительности критического пути представле­
на на рис . 7. Импульсы от генератора ГИ подаются в начальное со­
бытие и счетчик измерения. Как только появится в конечном событии
графика сигнал, он прекращает через триггерную схему Т подачу
импульсов в счетчик измерения.
Счетчик измерения устроен таким образом, что длительность .
критического пути запоминается, и в нужные моменты времени сно-
Рис. 7.
[}чет<1ик
шмерения
Рис. 8.
ва используется. Счетчик измерения позволяет производить сум­
мирование и вычитание импульсов.
Ранний срок начала работы определяется согласно функциональ­
ной схеме рис. 8. Импульсы от генератора ГИ поступают в начальное·
событие и счетчик измерения . По появлении первого импульса на
входе модели работы, ранний срок начала которой нужно опреде­
лить, подается сигнал через триггерную схему Т на прекращ ени е ·
подачи импульсов и в счетчик измерения. В счетчике измерения ока­
жется записанным число импульсов, равное максимальному пути ·
между началом графика и началом этой работы .
Аналогичным образом определяется временная хараrперисти­
ка графика - ранний срок окончания работы. Отключение подачи ,
импульсов в счетчик измерения осуществляется после появления им­
пульса на выходе какой-либо работы.
Наиболее позд ни е сроки нач ала работ, окончания работ и их
резервы времени достаточно удобно можно получить с помощью ме­
тода дополнительной работы, описанного в работе [4]. В цифровой
модели дополнительной работой является линия задержки.
Наибол ее поздний срок начала работы определяется согласно
функциональной схеме (рис. 9). Для определения этой временной
характеристики необходимо иметь длительность критического пути
и максимальную длительность пути от начала какой-либо работы и ·
до конца графика. Разность этих величин и является наиболее позд-

ним сроком начала работы. После определения длительности кри­
тического пути она запоминается в счетчю,:е измерения. При изме­
рении наиболее позднего срока начала работы длительность крити­
ческого пути заносится в счетную схему счетчика измерения. Счетчик
измерения ставится в режим вычитания. Начало работы отрывается
от события и подключается к выходу ЛЗ. Максимальная длитель­
ность от начала данной работы до конца графика определяется сле­
дующим образом. Импульсы поступают в начало графика и линию
задержки. В счетчик измерения импульсы не поступают. Длителq­
ность задержки времени выбирается равной длительности крити­
ческого пути. После того, как пройдет число импульсов, равное
ff,
к,
Рис. 9.
длительности критического
пути, цифровая модель се­
тевого графика будет на-
Нр1
ходиться в таком состоя­
нии, что все события под­
готовлены к выдаче им­
пульсов в модеJ1и работ.
После прихода первого им­
пульса в начало модели
работы, наиболее позднее
начало которой определя­
ется, разрешается поступ-
ление импульсов в счетчик
измерения от ГИ. Происходит вычитание этих импульсов из числа
импульсов, за пис анных ранее в счетчик измерения. Когда появится
импульс в конечном событии графика, прекращается подача импуль­
сов в счетчик измерения. Полученная разность и будет пропорцио ­
нальна наиболее позднему сроку начала работы .
Определение наиболее позднего срока окончания работы и ее
резерва времени осуществляется аналогично определению наиболее
позднего срока начала работы.
Для индикации критического пути собирается схема индикации
-сетевого графика. Схема индикации по конфигурации воспроизво­
дит сетевой график. В каждой ветви индикационной схемы имеется
вентиль, управляемый выходным сигналом схемы выделения со­
-ответствующей работы и индикационный элемент.
Пример индикационной схемы для сетевого графика по рис. 1
приведена на рис . 10. После измерения критического пути импульс,
1,:оторый появился в конечном событии, поступает в точку А инди­
Еационной схемы. Этот сигнал пройдет только через те вентили и
.загорятся те индикационные элементы, которые соответствуют ра­
,ботам, лежащим н а критическом пути.
Цифровые модели сетевых графиков, благодаря целому ряду осо­
бенностей, обладают дополнительными возможностями для исполь­
зования их при планировании и управлении ходом разработок.
Вот некоторые из ни х.
-
154

1. Возможна реализация режима остановки текущего времени,
иначе говоря, модель дает ответ на вопрос: «Что будет через извест­
ный промежуток времени после начала работ? Какие работы будут
уже выполнены? Какие будут в стадии выполнения?». Для реализа­
ции этого режима достаточно остановить в заданный момент времени
генератор тактовых импульсов и произвести индикацию состояния
выходных сигналов схем выделения. Если на выходе этих схем нет
сигнала, то работа или не выполнена, или наход?rтся в стадии выпал-
н,
Рис. 10.
нения. Содержимое счетчиков моделей работ свидетельствует о сте­
пени выполнения работ.
2. Существенно облегчается обмен информацией с универсаль­
ными машинами и автоматизированный вывод на печать результа­
тов измерения.
3. Возможно увеличение диапазона длительностей работ за
счет реализации своеобразного режима «плавающей запятой». Для
реализации этого режима достаточно применить несколько такто­
вых генераторов с кратными частотами (при применении генератора
с частотой, например, в 10 раз ниже частоты основного генератора,
длительность соответствующей работы увеличивается в 10 раз).
4. Цифровые модели позволяют моделировать сетевые графики
большого объема.
ЛИТЕРАТУРА
1.ВасильевВ. В.
-
В кн.: Математическое ~ юделирование и электри­
ческие цепи . Вып. III. «Наукова думка», К., 1965.
2. Васильев В. В.,Тимошенко А. Т.-Вкн:Математическоемо­
делирование и электрические цепи. Вып. IV. «Наукова думка», К., 1966.
3. Пух о в Г. Е., В а с иль ев В. •В. Устройство для моделирования
сетевого графика. Авторское свидетельство No 175749. Бюллетень изобретений
No 20, 1965 г.
4. Васильев В. В.,Клепикова А. Н.,Тимошенко А . Г.
Решение задач оптимального планирования. « Наукова думка», К., 1966.
Доложено на се\шнаре
8 апреля 1966 г.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ О МИНИМАЛЬНОМ ПОТОКЕ
А. Г. ТИМОШЕНКО
В отличие от известной проблемы определения максимального
потока [ 1, 2] задача о минимальном потоке содержит ограничения
потока снизу [ 1l. По условию через каждую ветвь должен протекать
поток н~ менее заданно го. Допустимое решение определяет поток,
i
протекающий через сеть и удовлетворяющий
этому условию. Оптимальное решение заклю­
чается в определении минимального поток а
среди допустимых . Задача близка к задаче
н
К определения максимально г о потока и на
практике встречается довольно часто [ 1].
Математическая формулировка в виде задачи
линейного программирования заключается
j
в следующем.
Рис. 1.
Задана сеть, содержащая один входной (н),
и один выходной (к) узел (например, сеть
рис. !). Для каждой ветви з ада н нижний предел потока dij•
Определить
при условиях
Xij:;;>d;j:;;>O
и
~X;j= ~Xji, j =/=Н,К.
(!)
(2)
(3}
Здесь X;j - поток, протекающий через ветвь (i, j).
Неравенство (2) указывает на ограничение потока снизу для
каждой ветви . Выражение (3) формулирует условие непрерывности
потока.
В работе [1] указан алгоритм преобразования данной задачи к
задаче о максимальном потоке . В действительности, приведенный
алгоритм преобразования применим только к одному пути . Суть
алгоритма заключается в следующем [1 ].
156

1. Определяем поток z > dij для всего множества графа.
2. Устанавливаем d;i = z -
d;j для каждой ветви и при помощи
алгоритма Форда - Фулкерсона определяем такой наибольший по-
ток, что Xs-< ii для всего пути.
3.Имеемz- х,>z- ii =d;j·
Поэтому z - xs есть искомый поток для всего пути s.
При решении задачи о максимальном потоке часто используют
теорему Форда - Фулкерсона, согласно которой максимальный поток
,определяется минимальным сечением сети.
В задаче о минимальном потоке нет аналога теоремы Форда -
Фулкерсона. В этом легко убедиться на простом примере . Пусть в
трафе рис. 1 заданы следующие величины нижних границ потоков
:в ветвях (в условных едини цах):
dн;=5,
dнi=1,
d;i=3,
d;к=3,
diк=6.
Простым сечением с максимальной пропускной способностью
является множество U = 1(н, i), (i, j), (j, к)).
Величина потока этого сечения равна
I dmn= d,,i+d;i+djк= 5+3+6= 14.
(т, п) ЕИ
Однако, если канал (н, i) имеет величину потока, равную нижне­
му пределу пропускной способности, то для узла i не будет вы­
полняться условие непрерывности. Условие непрерывности потока
для узла i следующее:
Хн;=Х;к+Xij·
Для данного примера очевидно, что требуется как минимум
·6 единиц, чтобы выполнялось это условие при ограничениях (2).
Таким образом, необходимая величина х,,; = 6, а величина потока
сечения Иравна6+3+6= 15.
Однако более тщательный анализ убеждает нас, что при этом
для узла j также не выполняется условие (3) при ограничениях (2),
так как поток поступает больше, чем исходит. Поэтому требуется,
чтобы поток ветви был равен сумме поступающих потоков. Мини­
мально допустимая величина потока через ветвь должна равняться
Хjк = хнi + X;j = 4 + 3 = 7. Величина потока разреза и теперь
равна lb, а величина минимального, протекающего через сеть , рав-
наХ=~Хнр =~Хqк = 6+4= 3+7= 10.
р
q
Другой особенностью задачи о минимальном потоке является тре­
бование однонаправленности ветвей . Так как для каждой ветви задан
минимальный поток, требуется указать направление потока. В про­
тивном случае требование определенного потока в двух направлени-
157

ях эквивалентно установлению нулевого потока. В дальнейшем бу­
дем рассматривать только направленные графы, не содержащие
UИl(ЛОВ.
llринuипы построения моделей задач об экстремальных потоках
содержат много общего. Для задачи о максимальном потоке они за­
ключаются в реализации арифметической операции суммирования
потоков для параллельных ветвей и логической операции определе­
ния минимума для последовательных ветвей . llpи этом поток ,
ограниченный минимальной пропускной способностью ветви, уста-
-----
J
о
Рис. 2.
а
Е
Рис. 3.
о}
о
tf
навливается единым для
всех последующих и пре­
дыдущих
последователь­
ных ветвей. В силу этого
свойства техническая реа­
лизация модели по указан­
ному алгоритму требует
использования обратимых
решающих элементов [3 ]:
Принципы построения
модели задачи о минималь­
ном потоке состоят в реа­
лизации следующих опера ­
ций: суммирование потоков.
для параллельных соедине­
ний и определени е макси ­
мальной величины среди заданных
следовательного соединения.
нижних границ потока для по -
Простая схема модели задачи о минимальном потоке может быт ь
построена аналогично модели Денниса [1] для задачи о максималь­
ном потоке. Каждой ветви сети соответствует электрическая ветвь ,
состоящая из параллельного соединения источника тока и диода .
Включение диода и источника тока согласное (рис. 2) . Величина то­
ка источника пропорциональна нижней границе величины поток а
данной ветви :
lii='Vdii,
(4)
где 'У - масштабный коэффициент .
Для параллельных ветвей (рис. 3, а) величины токов просу мми ­
руются, если между суммарными точками включить источник э . д . с .
(рис . 3, 6) . Амперметр А фиксир у ет минимальный ток , обусловлен­
ный нижними границами потоков в каждой ветви :
!=}:I;=~'Vd;='УХ.
(5)
i
i
Посл едовательности ветвей (рис. 4, а) моделируются последова­
тельным соединением электрических ветвей (рис. 4, 6). Через ИС'
точник э. д. с., включенный между началом и концом последователь "
158

ности ветвей, протекает ток, равный максимальной величине ток а,
ОДНОГО ИЗ ИСТОЧНИКОВ
I=тахI;=тахyd;=уХ.
(6)
i
i
Пример модели для сети общего вида (рис. 1) приведен на рис. 5.
н
к
~~-- - - --э-
о
~~~@L~
rJ
Рис.:. 4.
Для рассмотренных моделей включение источника э. д. с. прин ­
ципиально не обязательно. При соединении полюсов модели н, к
ток, протекающий по соединению, пропорциональный искомому
потоку.
Схема модели задачи может быть реализована на базе стандарт­
ных блоков вычислительных машин непрерывного действия.
Рис. и.
s,s
-
~
~
оSп
ф
о
Рис. 6.
Модель п параллельных . ветвей приведена на рис. 6. Здесь в ка­
честве модели ветви испол ьз уется ограничитель напр яжения, со­
стоящий из последовательного соединения диода и источника э. д . с.
Величина источника э. д. • с . пропорциональна нижней границе
проп ускной способноспr, соответствующей ветви. Узел моделируется
обратимым сумматором . Модель узла с двумя входящими и двумя
исходящими ветвями приведена на рис. 7. Модели ветвей, входящих
в узел, включены н епосредс твенно в полюса сумматора, а модели
ветвей , исходящих из узла, подключены через инверторы, что обеспе­
чивает согласование знаков напряжений.
159

а
Рис. 7.
Рис. 8.
160

Пример модели сети рис . 1 приведен на рис . 8.
•
В точках включения вольтметров V1 и ~ 2 должны устанавливаться
напряжения, пропорциональные минимальному потоку. Эти вели­
чины равны, но противоположны по направлению и могут быть со­
единены через инвертор. Равенство показаний вольтметров V 1 и V 2
при отключенном инверторе может служить признаком правильного
набора задачи .
Таким образом, предложенные схемы позволяют моделировать
задачу о минимальном потоке . В схеме рис. 5 моделирующей вели­
чиной является ток, а в схеме рис. 8 - напряжение .
Рассмотренные схемы можно использовать при исследовании
сетевых задач небольшого объема .
ЛИТЕРАТУРА
! . Б ер ж К. Теория графов и ее применение. ИЛ, М., 1962.
2. Д е н н и с Дж. Б. Математическое программирование и электрические
цепи. ИЛ, М., 1961.
3. П у х о в Г. Е. Избранные вопросы теории математических машин.
Изд-во АН УССР, К. , 1964.
Доложено на семинаре
10 июня 1966 г.
j\ 7-2622

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
С ДВУХСТОРОННИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
НА ОБРАТИМОМ ЛИНЕЙНОМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕ
А. Н. КЛЕПИКОВА
Обратимый линейный преобразователь используется для ре­
шения систем линейных уравнений с любой неособенной матрицей
коэффициентов [ 1]. С его помощью мож н о также реша т ь задачи ли­
нейного программирования, линейные ограничения которых сфор­
мулированы в виде равенств. Методы получения оптимального зна­
чения целевой функции на такой модели описаны в работах [ 1, 2 ].
162
О,;
•1~
·1~01<
Ф, о"
·1~
-
--
-
-
- +------~
О,1
°'"
!
о,,
or"i
о,л
!
'1~
ст
~ о,,,
От;
Отл
·1
·1~ 1 о,,,,
От;
Отп

Если линейные ограничения заданы в виде двухсторонних нера­
венств, то количество аппаратуры, используемой в модели, значи­
тельно возрастает . При сведении ограничений к равенствам коли­
чество их увеличивается вдвое и на 2m возрастает количество неиз­
вестных (m - количество неравенств) .
Применение диодных ограничителей позволяет моделировать
ограничения непосредственно в виде неравенств и таким образом со­
кратить количество аппаратуры.
Итак, нужно получить экстремальное значение целевой функции
μ= c,xl+...+С;Х,+...+спхп
при ограничениях:
01<G11X1+...+GuX;+...+GtnXn<Ь1,
ат<Gm1 ХI+...+GmjX1+ ...+ GmnXn< Ьт,
Х; >О.
(1)
На рисунке представлена схема, включающая обратимый линей ­
ный преобразователь и диодные ограничители. Эта схема описыва­
ется следующими уравнениями:
-
81(\+~Gt;)+~G1jXj= \ •У1, G1<У1<Ь1,
(
п)п
...,
~
-8; 1+la;i +~a;ixi = 1-У;,
j=I
j=I
(т
)
-
\~ G,n8; +Сп8μ
(
п,
)
т
+2 ~G;п+Сп Хп=ttа;,,Ф;+СпФμ- /дп,
163

-kе=Ф,
х;>,О,
/дi>о,
xJa; = О.
Здесь еμ, е; - напряжения на входах усилителей; Фμ, Ф;
-
на­
пряжения на выходах; k - коэффициент усиления усилителя; xj -
напряжения, моделирующие искомые переменные; а;, Ь; - величи­
ны э. д. с., пропорциональные правым и левым частям неравенств ;
μ - напряжение, моделирующее величину целевой функции; aij•
cj, 1 - проводимости, пропорциональные коэффициентам.
При достаточно большом k напряжения е равны нулю. Тогда
система (2) запишется следующим образом:
п
а1-<! а11х;-<Ь1,
j=I
п
а;-<~ a;ixi-< Ь;,
i=l
п
ат-<~amiх;<Ьт,
i=l
п
~,,.;,,,. Cj Х; = μ,
i=l
2 (iап +с1)Х1 = ~а;1Ф;+с1Фμ- Ia 1,
2 (i а;п + Сп)хп = i а;пФi + спФμ-lдп,
Xj>,0,
· la;>O, x;·la;=O.
(3)
При разомкнутом ключе К: напряжения xi представляют собой
допустимое решение задачи . Оптимальное решение можно получить,
164

применив либо метод регулируемого источника э . д. с. μ [1 ] , либо
метод включения источника тока/μ [2] (на рисунке обведен пункти­
ром).
ЛИТЕРАТУРА
1. П у х о в Г. Е. Избранные вопросы теории математических машин.
Изд-во АН УССР, К . , 1964.
2.Васильев В. В.,Клепикова А. Н.-В кн.:Математическое
моделирование и электрические цепи. Вып. 111 . «Наукова думка», К., 1965.
Доложено на семинаре
10 июня 1966 r.

ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСЧЕТ НЕКОТОРЫХ
ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ НА МОДЕЛЯХ
Ю.О. ЧЕРНhlШЕВ
Одной из задач надежностноrо синтеза автоматов является син­
тез элементов схемы (1 ]. При этом подразумевается нахождение оп­
тимальных величин пара метров, обеспечивающих безотказную ра­
боту устройства в течение определенного промежутка времени при
«наихудших условиях работы». Расчет производится так, чтобы
схема продолжала работать при одновременных максимально до­
пустимых отклонениях питающих напряжений, а также активных
и пассивных компонент схемы, стремящихся сделать ее неработоспо­
собной (2, 31.
Существующие методы расчета схем [1-3 ], хотя и учитывают ус­
ловия наихудшей работы, однако не позволяют выбирать оптималь­
ные значения параметров, так как не принимают во внимание наи­
более важные характеристики функuионирования схем. Поэтому
для оптимального синтеза необходимо вводить определенный кри­
терий оптимальности, который учитывал бы наиболее ха рактерный
(или желаемый) критерий работы схемы (71 . В качестве последнего в
одних случаях можно выбрать максимальную (минимальную) мош­
~юсть, потребляемую схемой, в других - оптимальную величину
времени переключения или поме хоустойчивости и т. п. Поэтому,
вероятно, значения выбираемых параметров при различных крите­
риях будут различными.
В работа х [4-61 выбор оптимальных параметров производится на
цифровых вычислительных машинах (ЦВМ) статистическими мето­
дами (6] или методами линейного программирования (4, 5 ].
В работе [71 предлагается проводить оптимальный синтез логи­
ческих схем методом линейного программирования на современных
аналоговых машинах, разработанных в Институте кибернетики АН
УССР под руководством Г. Е. Пухова [81.
В настоящей работе на указанных моделях проводится оптималь­
ный выбор параметров делителя напряжения и логической схемы
«Нет». Исходя из законов анализа цеп~й с учетом наихудшего соче-
166

тания параметров, составляются уравнения, описывающие функцио­
нирование указанных схем. В качестве критерия оптимальности вы­
брана мо щность, рассеиваемая на сопротивлениях схемы. Согласно
эта па м [71 составляются у рав нения, которые описывают р аботу схе­
м ы и записыва ются в форме, удобной для применения методов линей­
ного программирования. Система уравнений рашается безытера­
ционным методом на р-аналоговой моделирующей машине [9 ]. Ре­
зультаты решения сравниваются с результатами, полученными на
ЦВМ.
Расчет схемы заключается в нахождении оптимального решения
о пределенной группы уравнений, описывающих ее работу. Если эти
уравнения линейны и подлежащий оптимизации критерий в отноше­
нии неизвестных величин тоже линеен, то для синтеза схемы можно
использовать методы линейного программирования. Если же ис­
ком ый критерий или одно из уравнений, описывающих работу схемы,
нелинейно, то следует применять методы нелинейного программи­
рования. К сожалению, общих нелинейных методов, аналогичных
сим пл ексному, в настоящее время нет [4 ]. Поэтому желательно
свести задачу нелинейного программирования к задаче линейного
программирования, проведя некоторые упрощения и аппроксима­
uии. Для этого предлагается следующее:
1. При записи уравнений, описывающих работу схемы, пред­
полагать, что транзистор и диоды являются линейными элементами,
параметр ы которых не зависят от положения рабочей точки.
2. Применять усредненные значения величин токов, зарядов и
других параметров.
3. Логарифмические экспоненциальные и другие зависимости,
встречающиеся в уравнениях, разлагать и линеаризовать при ус­
ловии, что вносимые при этом погр ешности лежат в определенных
пределах, не превышающ их точность искомых величин. Так, напри­
мер:
ех=1+х впределах5%,еслих<0,1;
Jn(1- л)=- лвпределах5%,еслил<0,1;
sinу=увпределах5%,еслиу<0,55.
4. Считать, что каждый из составляющи х периодов, образу­
ющих временные интервалы, является линейным в отношении како­
го-то отдельного (а не общего для всех периодов) параметра или в
отношении функций отдельных составляющих параметров.
Такие у прощения снижают точность решения, однако они позво­
ляют решать задачу оптимального расчета схем, не прибегая к гро­
моздким нелинейным программам, и выражать условия работы схе­
мы в линейной форме. Указанные упрощения и аппроксимации при
расчете логической схемы «Нет » будут иметься в виду. В качестве
основы расчета при этом принимается модель транзистора, пред­
ложенного Эбер сом и Моллом [ 1О] .
167

Выбор оптимальных параметров делителя напряжения
Проведем оптимальный выбор параметров делителя напряжения ,
представленного на рис. 1. Вывод уравнений, описывающих работу
делителя в наихудших условиях, сделаем методом линейного про­
граммирования согласно этапам, изложенным в работе [7].
1. Для расчета необходимо задать следующие параметры:
величина напряжения на полюсе 1 И1 = 18 в;
величина напряжения на полюсе 2 U2 = -28 в :
выходное напряжение на полюсе 3 должно изменяться в пределах
ОТИвых,= 28ДОИвых,=бв;
величина выходного тока должна изменяться в пределах от
-0,1;Иа до 0,2 ма;
допустимое отклонение величины напряжения питания должно
составлять ±5%.
/
!?, 1
1;
u,r
1оых
r~
з
~иош
Рис. 1.
2. Необходимо определить оптимальные величины сопротивле­
ний делителя при возможном отклонении их величин не более чем
на ±5% от номинального. При этом мощность, рассеиваемая на де­
лителе, должна быть минимальной.
3. Из физических соображений работы схемы необходимо чтобы:
а) минимальное выходное напряжение было больше наименьше­
го предельно заданного, т . е.
ивых. мин > ивыч ;
( 1)>
б) максимальное выходное напряжение было мень ше наиболь­
шего предельно заданного:
Ивых. макс,< Ивых2 •
(2)
4. На основании законов анализа цепей составить основные урав­
нения, описывающие работу схемы:
И2 = I2R2 - Ивых,
И2 = l2R2 + 11.'<1 -И~,
(3)
(4)
fвux=f1-f2.
(5)
После совместного решения уравнений (3)-(5) величина выходного,
напряжения определится так:
и _ И1!R1 - И2/R2
-
l яых
вых -
l/R1+l/R2
(б}
168

5. Исходя из принuипа наихудшего условия работы схемы (3),
ввести предельные значения параметров в уравнение схемы*:
и _ '}1/R1-!! . _2 !! 3.2
-
fвых
вых ~
-
'
liR1+ IJR2
(7),
6. Условия работы схемы п . 3 с учетом наихудшего сочетания па­
раметров запишутся :
И1/R1 -
':!_2/R~ -
fаых
(9),
(1 О}·
7. 8 . В качестве критерия оптимальности задана минимальная
мощность, которая рассеивается на делителе и определится с учетом ,
наихудшего сочетания параметров схемы следующим образом :
р. _ (И1- Иьых)2 + (Ивых+И2)2 •
( 11)
макс -
!51
!32
9. После преобразований уравнений (9}-(10) окончательная
система неравенств, пригодная для применения методов линейного •
программирования, может быть записана:
xl [И1 - Ивьщ] + Х2 [-И2 - Ивьщ] ?' lвых,
-
-
-
при минимальной мощности Р:
р=(Dl-Vвых)2xl +(Ивых+й2)2~
,
где
(12)·
(13) ·
10. Подставляя значения номиналов в систему полученных нера­
венств и уравнение критерия оптимальности, получим:
при минимальной
15,lXl - 28,6Х2 > 0,2 ,
J2,9Xl - 23,4Х2-<
-
О,1
Р = 169Xl + 1253,16Х2·
(14},
* З д есь и д а льше в у равнениях схемы м инимальные значения величин отме­
чаются чертой под пара метром , а макси м альным - чертой над параметром .
16 9•

11. Систему неравенств п. 10 легко решить одним из методов ли-
1нейного программирования [4] вручную.
'iЦель настоящей работы - показать на простых примерах рас­
·чета схем решение полученных систем уравнений на р-аналого­
• вой моделирующей установке [8]. Принципиальная схема р-моде­
.ли для решения полученной систе-
мы представлена на рис. 2. Рабо-
та схемы довольно подробно опи-
•{:ана в книге [8]. Поэтому только
R,
напомним, что в данной схеме в
и,
.nунктирном контуре заключены:
г- - ----------------,
1
-,
,--,,-~
1
1
i
1
11
,1
1
1
~- t-+-~-- --~
1
1
г--t-<r--t--1--,
1
·1
1
1
21
1
•х,
_
_
_____.... .... ..., 1
:/
1
1~-
. . _ _+ f-,1---'
г---- -
_J
1
1
1
·/
1
:1
1
,1
1
1
1
1
·1
•/
1
1
·1
1
1
1
______ j
Рис. 2.
р
з
а
о
Рис. 3.
и,
•обратимый линейный п реобразователь; диоды и источники, модели­
рующие соответственно неравенства и правые части (9), а также про­
водимости, которые являются коэффициентами при неизвестных.
Диоды за пунктирным контуром выполняют условие неотрица­
тельности неизвестных Х1 , Х2 , а источник тока п редназначен для
.принудительного изменения критерия оптимальности Р.
Решение системы на модели проводится безытерационным ме­
·тодом в два шага: 1) устанавливаются величины коэффициентов при
,170

неизвестных, величины э. д. с., соответствующие правым частям
Ееизвестных, и получается допустимое решение; 2) принудительно
изменяется критерий оптимальности Р (э. д. с. 3) до получения ре­
шения.
Таблиuа 1
Ис1,омые величины
1
х,.10-3,
1
х,..10-3,
R,. \Qз,
R2•103,
1Р,вт
А!О
,но
fblt
ом
Данные расчета на ЦВМ
0,202
0,0905
4,97
11,05 115
Данные расчета на модели 0,195
0,0876
5,14
11,42 110,5
Величина погрешности
3,5%
3%
3%
3,1 % 3,2%
Данные, полученные на ЦВМ [6] для а налогичной цепи и на мо­
_дели, приведены в табл. 1. Они показывают, что погрешность реше­
ния на модели составляет приблизительно 3%, которая вполне при­
емлема для инженерной практики.
Выбор оптимальных параметров логической схемы «Нет»
Выбор оптимальных параметров проведем для схемы, представ­
ленной на рис. 3. Данные, необходимые для расчета схемы, такие:
Ибэз= О,15 8,
~=60,
Uбэз = 0,] 8,
ИК= 13,5 в,
~= 20,
С=20
вх
ммк,
и,= -16,5 в. сп= 10 ммк,
Иб= 13,5 в,
т13 = 1 мксек,
vr = 16,5 в, t}. зад= 35 мксек,
И"'= -20в,
t211 = 4 мксек,
7ки=2Х1Оа, !зр= 1,5 Аtксек,
Ибэот=0,15в,
!4с=2МКСВК,
Допуск на Rвх ±5%, допуск на R"' R 6 = ± 10%,
допуск на ИК + 10%, допуск на иб ± 10%.
Известно, что логическая операция «Нет:> - отрицание
-
реа­
лизуется следующим образом:
Иях Иных
о
1
о
В связи с этим схема, реализующая данную операцию, должна
находиться в двух состояниях:
171

1) входной сигнал отсутствует (Ивх = О), триод заперт - на вы­
ходе имеется сигнал Ивых = 1;
2) входной сигнал имеется (Ивх = 1), триод открыт, на выходе
сигнал отсутствует (Ивых = О). Схема, соответствующая первому
состоянию, дана на рис. 3, а, а второму - на рис. 3, б .
Исходя из физических соображений, схема может работать при
выполнении следующих условий:
1. Схема надежно закрыта, если минимальная величина тока
базы / 6 .з больше максимального значения тока коллектора [,'°
,,,
закрытого триода, т. е. / б.з?- 7" 0 .
v9,
1
\2
/3
-1-----'
/ "-t
Рис. 4.
----
tу'-t
2. Схема надежно открыта, если
,t минимальная величина тока базы / б.m
больше или равна максимальной ве­
личине тока .
Очевидно, что кроме этих условий
существуют требования к включению
и выключению триода. Поэтому не­
обходимо чтобы (рис. 4, где 1 -
входной сигнал; 2 - напряжение на
базе триода; 3 - напряжение на кол­
лекторе):
3. Время задержки сигнала tза д
при открывании триода было бы мень­
ше или равно заданному _{~зад:
(15)
4. Время нарастания выходного сигнала fн было не больше
заданного t2н :
(16}
5. Время рассасывания избыточного заряда неосновных носи­
телей !Р было меньше или равно заданному ~зр:
(17)
6. Время спада выходного сигнала fc было не больше заданно­
го }4с:
(18}
После записи условий работы схемы на основаи:ии законов ана­
лиза цепей и физических процессов, происходящих в схеме, состав­
ляем уравнения, описывающие работу схемы.
1. Состояние закрытого триода (см . рис. 2):
(19)
172

или
-Иб.э . з
Rax
где И6.э.з - напряжение база - эм и ттер закрытого триода; /"0 -
ток утечки в базе триода; И6 - напряжен и е базового смещения;
Rвх - сопротивление источника входного сигнала; R6 - сопротив­
ление смещения в uепи базы.
2. Состояние открытого триода (см. рис. 3):
(20)
или
-Ивх - иб.э .от
U5 + иб.э.от
16.от = --R
·-
R
ох
б
где Ив , - напряжение на входе схемы; Иб.э.от- на п ряжение база
-
эмиттер открытого триода; Ик - нап ряжение на коллекторе схемы;
Rк - со п ротивление в коллекторной uепи; 1 б.от - ток через базу
открытого триода.
3. Время задержки сигнала можно определить (2, 41 так:
U6 -И
t '°'"' С
.
.э.з
б.э . отп
зад -
вх
/
'
-
б.от
(21)
где Св, - среднее значение входной емкости схемы в закрытом со­
стоянии; Иб.э.отп - напряже н ие отпи р ания триода .
Подставляя значения базово го тока откр ытого триода из п. 2,
можно записать
Иб . э.з - Иб.э.отп
16.от
(22)
4 . Время нарастания входно го сигнала определится [2, 31 так:
В1б.от + О,!/к.от
~н = •в ln В!б.от + 0,9/к.от '
(23)
где тв - постоянная времени на р астания тока коллектора; ~
-
коэффиuиент усиления п о току; / - ток коллектора открытого
триода (ток насыщения).
Подставляя значения /,<.от и / б.от в fн, полу ч им:
(-Ивх- иб
иб+иб )
и
В__
__·_.э_.о_т _
. э.от +О,! _к_
Rвх
Rб
fк
fн = т,, ln -----и-------------
В (-Инх - б.э.от
_
И5+ Иб.э.от)+ О,9 Ик
Rвх
Rб
fк
5. Время рассасывания р авно (2, 4]:
Иб.э.з - Иб.э.от
tp=Свх- -~
/----
6.з
(24)
(25)
173

Подставляя значен ия для тока / 6 _3 из п. 1, получим
f
С
Иб.э.з - И б.э.от
_ r = вх -----,,и-;--б------,,и-,-б--,и,-,-,--
-
-----22 +
о.э.з
Rях
Rб
6. Время спада определится [2 , 3] так:
tc = •в ln ~/б.з + !,<.от
-
~/б_з+ Q,] / 1<.0T
(26)
Подставляя выражения для токов / 6 _3 и lк. от, получим
(И
Иб-Иб ) И
~_~+
.э.з +_к_
f
]
Rвх
Rб
Rк
с='ti3n , И
ИИ)
-
~{_~+ б- б.э.з +О,]Ик
\
Rex
Rб
Rк
Учитывая условия наихудшего сочетания пара метров схемы (2, 3}
и ограничения работы схемы, введенные выше, запишем формулы
п. 1- 6 следующим образом:
1.
(27)
2.
(28)
Иб.э.з - Иб.э.от
3. Свх.ср ---------
---
-
<: f1 зад•
-
Иnх - Иб.э.от U5 + Иб.э.от
(29)
Rб
(30)
5
(31)
(32)
174

В качестве критерия оптимальности задана мощность, рассеивае ­
мая на сопротивлениях схемы (величиной мощности, рассеиваемо й,
на транзисторе, пренебрегаем):
(33) ,
1
1
1
Введя обозначения Х1 = -R; Х2 = -R; Хз = -R и подстав-
нх
б
к
ляя значения известны х параметров (согласно данным, необходимым
для расчета схемы, стр. 171) в уравнения п. 1-6 и уравнение кри­
терия оптимальности (при этом учитывая введенные выше аппрок­
симации), получим линейную систему алгебраических уравнений:.
О,1!Х1 - О,02Х2
> 0,002,
398Х1 - 360Х2 + 13,5Х3 > О,
694Х1 - 619Х2
>-О,001,
1189Х 1 --1080Х2 -3,53Х3 >, 0,
(34)'
О, 15Xl - 20,03Х2
> -- 0,001,
l,8X1 - 1 3,25Х2 -10,8Х3 <0,
при
min Рср -+ Р = 400Х1 + 273Х2+ 273Х3•
Точность аппроксимации лежит в пределах 5-6%, что вполне·
допустимо [12]. Данную систему уравнений можно решить одним из.
методов линейного программирования на цифровой вычислительной
машине. Однако нам представляется более целесообразным решать.
эту и аналогичные задачи нар-аналоговых моделях [8] .
Задачи на р-аналоге можно решать методом, подобным симплекс­
ному, однако для получения более быстрого решения мы примени­
ли, как и при расчете делителя, безытерационный метод [9]. Пре­
имущество последнего состоит в высокой скорости сходимости про­
цесса при малом числе шагов.
Данные полученные на ЦВМ и р-аналоговой машине, приведены
в табл. 2.
Искоr-лая
велнчина
Расчет на
цвм
Расчет на
мод ели
Погрешность
в%
Таблица 2
1
х,-10-з, 1 х,-10-з, 1 х,-10-з, 1 Рх ,R,·10'/я 10, o,,,R 10' ом
МО
Л!О
Щ)
Х IО_з ОМ
,.
,
,•
1
1, 151
0.799
0.314 1 2,73
1.25
3, 18
0,366
1
1
1
0,868
0,292
2,97
1,96
~,151
3,43
0,336
1
9
1
8,2
8
8,6
8,4
8,3
Из сравнения данных табл. 2 видно, что погрешность получен­
ных результатов составляет около 9%. В работе [12] показано, что,
175

:при проектировании схем цифровых вычислительных устройств
точность порядка 10- 15% вполне приемлема . Ориентируясь на эту
работу, а также и на другие источники, подтверждающие практи ­
ческую приемлемость указанной точности, можно заключить, что
выбор оптимальных параметров логической схемы «Нет», проведен­
ный на р-аналоговой модели при точност и порядка 9% вполне при­
емлем для инженерной практики. При этом основными достоинства ­
ми решения подобных задач на модели являются :
1) простота схемы моделирующей установки - отсюда надеж­
ность ее работы ;
2) возможность непосредственного набора системы неравенств
на модели (без предварительного сведения их к равенствам);
3) использование безытерацион н ого метода решения задачи, что
позволяет решать ее практически мгновенно;
4) достаточная для инженерных расчетов точность получаемых
результатов.
У читывая сказанное, необходимо сделать вывод, что квазианало­
говые моделирующие ма ш ины целесообразно применять для реше­
ния подобных задач. При этом очевидно их явное п р еимущество
перед цифровыми машинами, так как для работы на ЦВМ требуются
к валифицированные специалисты-математики для составления про­
граммы решения задачи ; требуется определенное время для отладки
программы на машине, а также время для решения и расшифровки
данных.
ЛИТЕРАТУРА
1.ИвановаО. И. , ЛазаревВ . Г. , Пийль Е. И . Синтезэлект-
р онных схем дискретного действия. «Связь», М., 1964.
1
2. П р е с с м а н А. И. Расчет и проектирование схем на пол у проводнико­
вых приборах для цифровых вычислительных машин. ИЛ, М., 1963.
3. Б у д и н с к и й Я. Транзисторные переключающие схемы. «Связь»,
м. , 1965.
4.Gо1dstiсkG.Н.апdМасkiе D. G.
-
ARE lutern. Conse n t.
Record, 1961, 2 , 224-240.
5.АдонинЛ. Ф. и др.
-
В кн . : Тезисы докладов и сообщений
Х Х Всесоюзной научной сессии, посвященной Дню радио, «Советское радио», М.,
1964, стр. 27- 28.
6.С1uпiсs Rоss С.апd Нussоп S. S.-
Proc. of the Natio-
nal Electr. Coпference, Chicago, 1962, 8, 23, 1523.
7.ЧернышевЮ. 0.-
В кн.: Труды конференции «Методы автомати­
ческих измерений параметров полупроводниковых приборов». Рига , Институr
электроники и вычислительной техники АН ЛатвССР, 1966.
8. П у х о в Г . Е. Избранные вопросы теории математических ма ш ин .
Изд-во АН УССР , К., 1964.
9.Клепикова А.Н.
-
Настоящий сборник, 162.
10. Эбер с и Мол л. Радиоэлектроника за рубежом, 1963, 3, 13 - 14 .
11. Га с с С. Линейное пр ограмми р ование, ИЛ, М . , 1961.
12. Н о р е н к о в И. П . Автореферат кандидатской диссертации. М.,
1965.
Доложено на семинаре
6 мая 1966 г.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
К ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ЭКВИВАЛЕНТНОГО МНОГОПОЛЮСНИКА
В. К. БЕ3РУКОВ
В практике эксплуатаuии радиоэлектронных схем иногда воз­
никает необходимость замера параметров схем - коэффиuиентов
усиления, крутизны ламп, величины сопротивлений и т . д. Эта
и,
Un
Рис. !.
задача решается в настоящее время методами активного экспери ­
мента, например холостого хода и короткого замыкания [1 ]. В на­
стоящей работе предлагается метод пассивного эксперимента, позво­
ляющий определить параметры электрической схемы по параметрам
нормальных режимов. Согласно этому методу, любая электрическая
uепь представляется в виде эквивалентного пассивного многополюс­
н ика (М) , к узлам которого подключены эквивалентные источники
12 7-2622
177

тока (рис. 1). Уравнение такого многопо л юсника в матрично й фор ме
имеет вид
1и"1
Y1k
У1п
Уkп +
Ут
Упk
где U - матрица напряжений узлов, отсчитываемых относительн о
внешнего базисного узла; J - матрица источников тока; / - мат­
рица внешних токов , притекающих к узлу; У - матрица связей
между узлами М, имеющая размерность проводимости. Матрица У
особая , так как сумма элементов каждой строки тождественно равн а
нулю .
• Уравнение (1) можно записать иначе:
1Ui1...1Un11
1-/,, , .
(2)
Матрицы U и / характеризуют только один режим работы схе­
мы . Меняя напряжения узлов, можно получить п различных режи­
мов. Можно записать все эти режимы и условие особенности матри­
цы У в виде одного матричного уравнения
178
ип
ип
1!
о
у
/
_о1_· ·
· 1_··· ~
/1..·1·..
/~
~1'--·-ь· ·--·-
____
--
.... ... .... .
~- --
..1-
..
-.
-;:
(3)

где верхние индексы указывают на условный номер режима. Это
уравнение можно записать проще
UY=l,
где под U, У и / понимаются матрицы формулы (3). Решение этогс
уравнения относительно эквивалентных пар аметров имеет вид
У= u-1 I.
Для пассивных электрических цепей последняя строка матрицы У
нулевая .
В частном случае, когда матрица U диагональная, уравнение (3)
представляет собой матр ич ную форму записи метода холостого хо­
да и короткого замыкания. В дальнейшем совокупность вектороn
(u;и~...и~)и(/~/~
...
/~) будем называть выборкой i, а количество
наблюдений (режимов) - объемом выборки (m). Из формулы (3)
видно, что увеличение числа полюсов, эквивалентного М, требует
пропорционального увеличения объема выборки. В то же время из­
вестно, что число связей, сходящихся в узле, в реальных схемах срав­
нительно мало и редко превышает 4-5 . Это значит, что . в каждом
столбце матрицы У всего 4-5 ненулевых элементов. Как будет по­
казано ниже, это позволяет находить матрицу У при весьма малом
объеме выборки . Рассмотрим следующую вспомогательную задачу.
Дано уравнение
АХ=В,
(6)
матрица А - квадратная, неособая. Решение уравнения (6) Х =
= А- 1 В удовлетворяет следующим условиям:
1) вектор Х имеет только r ненулевых компонент (r < п);
2) ненулевые компоненты положительны.
Матрицей Атп будем называть матрицу, состоящую из m строк
мат рицы А, а Вт из m элементов матрицы В (т < п). Учитывая осо­
бенности вектора Х найти такой метод решения уравнения
А111пХ = В111,
(7)
который бы обеспечивал решение, тождественное решению урав­
нения (6).
Уравнения с прямоугольной матрицей коэффициентов называю­
тся не о пределенными. Решаются такие системы уравнений методами
линейного программирования [2]: приводятся к определенным си­
стемам, содержащим столько неизвестных, сколько и уравнений,
т. е. соответствующее число переменных приравнивается нулю.
Из всех возможных решений отыскивается только одно неотрица­
тельное решение, при котором достигается минимальное· или мак ~
симальное значение некоторой функции, называемой линейно й
формой
F=с1х,.+с2х2+...+с"х",
где с - постоянные коэффициенты. Вспомогательную задачу можно
решить методами линейного программирования при условии задания
12''
179

линейной формы, ми ни мум или максимум которой будут каким -то
образом связаны с решением системы (6).
Зададим линейную форму
F=±(х1+Х2+...+хп),
что обеспечивает получение двух решений, одно из которых отве­
чает наименьшему значению F, а другое максимальному. Пусть в
уравнении (7) m = mi- Решениям этой системы отвечают F 1"a ,c и
F1 мин· Если к матрице Ат1, п добавить одну строку, т = m2 = m1 +
+ 1, то новые решения обеспечивают F2макс и F2мнн·
Поскольку новая система включает в себя старую, а дополнитель­
ное уравнение (если оно не является линейной комбинацией старых)
/
накладывает дополнительные ограничения
,----9 ---- --~2 на переменные, то можно утверждать, что
F 2 макс< F1 макс,
р2мин>рlмин,
(8)
т. е. диапазон изменения линейной формы
может только сужаться. При m = п реше­
ние системы (6) единственно, следовательно
Fтмакс = Fтмин •
(9)
Расчеты показали, что в большинстве
случаев выполнение условия (9) обеспечи­
вает тождественные решения уравнений (6)
б
5
и (7) при r<т <п. Однако не исключена
Рис. 2.
возможность появления конкурирующего
решения (т. е. такого, которое удовлетво­
ряет условию (9) и не тождеств енно решению уравнения (6)). Веро­
ятность появления конкурирующего решения можно уменьшить
и даже совсем исключить, если наложить более жесткие требова­
ния к выборкам (например, чтобы в матрице А не было одинако­
вых столбцов или их линейной комбинации).
Очень важным является вопрос о скорости сходимости решения,
которую можно оценивать величиной о = _!!_ _ При о>2 предла га-
m
емую методику можно считать оправдывающей себя. Проделанные
расчеты показали, что скорость сходимости зависит от количест ва
новой информации в новой выборке. Если выборки мало отличаются
друг от друга, то сходимость медленная.
Исходную задачу определения эквивалентных параметров М
,юж но легко свести к только что рассмотренной задаче, если при­
нять, что вектор Х - один из столбцоа матрицы У, а В
-
соответ­
ствующий столбец матрицы /. В приложении рассматривается при­
мер применения симплекс - метода к задаче определения парамет ров
пассивного десятиполюсника. Расчеты проводились на ЭЦВМ
БЭСМ-2 по стандартной программе (3 ]. Необходимо отметить, что
180

решение подобных задач требует большого времени счета. Поэтому
предста вляет интерес использование квазианалоговых моделей для
решения задач линейного программирования, предложенны х
Г. Е. Пуховым [4]. При этом получение решения существенно упро­
щается. Особый интерес такие модели могут представлять как спе­
циализированные устройства для контроля параметров объекта
в процессе его нормальной работы.
П р и м е р . Задан некоторый десятиполюсник, известны режи­
мы работы всех узлов (токи и напряжения). Посл е первой выборки
можно записать для каждого узла следующее уравнение (например
для 6-го):
-1
-и
6
.iУ16 !=
1~~ 1
о
Уш, 1
Знак (-) шестого столбца матрицы U вызван тем, что необходимо
убрать знак (-) у диагональных элементов матрицы У (1) .
Линейная форма имеет вид
Fв= ±(У1в+У2в+···+У10,6).
Получи м некоторые решения, которым отвечают
F~ мии , F~ макс•
Решая соответствующее уравнение, для каждого узла проверяем
выполнение условия (9). Если оно не выполняется, то производим
нов ую выборку и запишем следующее уравнение:
-1
----------
,
,
,
u2
1
-и
6
-
u2
6
Линейная форма такая же.
и2
10
1~
1-·
··
1~
о
/2
6
П олучим некоторые решения новой системы, которым отвечают
F?,~?
о,,1нн li .1. ьм:акс •
181

-
(Х)
Таблица
tv
к,1"•1 "'1и,1"•1и,1и,1и,1и,1""1L/101 ,,1
,,
1/,1i,1
,,
1/,1
,,
1,,1/,11'"
20130140
1
1
1
1
1
1
1
110
5060708090996,0
1,90 1,52 3,73 ! 2,9010,195 3, 55 -8,3
- 0,4
-11,1
2197590'904174258987256,030,1
- 0,38 -8,0 1 3,0
-
1,08 6,41 -12 -3,1.З 9,01
3607435177532949549323,1-0,.З-1,0
7,1
- 8,0
- 1,2 ,-6,6
- 4,0
- 0,61. 9,0
46090902.З1037.зо9022222,55-0,.З-8,1
6,4 1 2,4
-
0.72
'
1
5,4
- 9,1
1,4 .З 0,1
55030374715723495994830,51+1,2
1
+1,55 2,1
0,42 l,46 4,28 -2,241-1,821-7,5
6 15511661663637 59 70 92 67 5,00 0,50-0,0
-
2,0
4,9
0,52 1,56 -5.85
- 2,0
- 1,9
1
i
Таблица 2
F,
р
2
F
'
Р,
Р,
Fr1
F,
Р,
Р1,
F1 ()
min I max miпImax miпImax miпIтахтiпImax min I max
min 1 ,пах min I max miпImax min Irпах
No
1
9,5 18,9 2,8 6
7.66 16,7 12 40 15,8
00
2,2
00
17,2 22 18,3 31,7 5,05 t ,I 18,5 32,6
3
9,5 9,5 6
6 14,05 14,7 1 8,.З 33,6 16,0 17,8 3,5
00
20,3 21,7 19,2 23,7 7, 18 7,5 26,6 30,1
4
14,1 14 ,25 19.2 27 16,1 16 ,1 3,5 3,5 20,4 21 20.5 22 7.5 7,5 27.9 29,8
5
14,1 14, 1 20,1 25
1
121212222
28,7 29,5
6
1
1
25 25
1
1
1
1
1
29,5 29,5
7
---··
9,5
6
14,1
25
16,1
3,5
21
22
7,5
29,5
110

2
3
4
5
У=
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
У=
6
7
8
9
10
Промежуточное решение (т = 5)
Fmin=(Fimin'F2min• • • ••Fiomin)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-9,51 1 1
1 1,661
1
1
18,61
1
1!-61217,011
1
1
11,51
1
121-14,110,491 0,11
10,761
111
1 111 1-19,2171
1
1
1
1 0,55
110,11
1-16,11 2 1
11,521
1 16,7
11
1
1 2 1-3,51
10,4410,514,8
0.51 1
1
1
1 0,5 1-20,351 8,4
1
1
8131
11.24 I
1
1 9,5 1-20,51 1 1 2,0
1111
1
10,51
1
1-7,51 3,8
11
18,781710,51101
1 5 1-27,9
Fmax=(Fimax• F 2max·
•
•
• • f1omaxJ
2
3
4
5
6
7
8
910
-95111
16,05 1
1
10,5181
1
1,2 7
11-612,11
1
1
1
131
1
1
1 2 1-14,251 4,62 1 0,1 1
1
1
111
1
l 11 ,07 1-27.051 7 1
1
1
1
1
1
1
1
1-1611 2 1
1
1
1 12,5
1
1
1
1
16,61 12 I-з.51 о,51
1 0,51 5,71
0,51
1
1
1
10,51-21 11о1
1 3,37
8131
1
1
1
110l-22I11
1
1 1.0116,06 1
1
0,5 1
1 1 1--7,51 6,9
1
1
1 3,1
1
710,51101
1 5 1-2!!_
183

Опять проверяем выполнение условия (9) для каждого узла. Если
для какого-то узла оно выполняется, то полученное решение счи­
таем решением исходной задачи и этот узел из дальнейших расчетов
исключаем. Затем производится следующая выборка и последующее
решение до тех пор пока все столбцы матрицы У не будут определе­
ны. Если матрица У симметричная, то можно существенно увели­
чить скорость сходимости решения. Ниже приведены таблицы выбо­
рок (табл. 1) линейной формы для узлов десятиполюсника (табл. 2),
промежуточные вычисления для m-5 и конечный результат . Экви­
валентная схема М дана на рис. 2.
Решение исходной задачи:
2
3
4
5
6
7
8
910
-
9,51 1
1
1
1
1
1
0,5
1
8
1
1
21
1-6 1
2
1
1
1
1
1
3
1
1
3
1
2 1-14,11 11
1
0,1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11-257
1
7i
5
У=
6
1
1
0,1
1
7 1-16,11 2
1
1
1
1
7
1
1
1
1
2 1-3,51 0,5
1
1
0,5
1
0,5
7 0,5
1
1
1
1
1
0,5
1-21 1 10
1
1
10
88
1
3
1
1
1
1
1
10 1-221 1
1
9
1
1
1
1
1
1
1
1-7,51
1
0,5
1
1
5
10
1
1
1
1
1
1
1
1 5 1-29,5
'
7
7
0,5
10
i
ЛИТЕРАТУРА
1. З ел я х Э. В. Основы общей теории линейных электрических схем .
Изд-во АН СССР, М., 1951.
2. Г а с с С. Линейное программирование. Физматгиз, М., 196 l .
3. Сборник программ для БЭСМ. Вып. 1, ВИНИТИ, М., 1964.
4. П у х о в Г . Е. Избранные вопросы теории математических машин.
Изд-во АН УССР, К., 1964.
184

ВОПРОСЫ ДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ПОСТОЯННОМ ТОКЕ
О.Н. ТОКАРЕВА,А. Е. СТЕПАНОВ, Н. М. ЛАБИНОВА.
1. Расчет статически неопределимых стержневых систем сред­
ствами электромоделирования получил в настоящее время большое·
распространение.
Известны методы электронного моделирования, позволяющие ·
определить усилия и перемещения, а также спектр частот и крити­
ческих параметров рамных конструкций произвольной конфигура­
ции (1, 2].
Альфа-аналоговый метод со смешанной системой моделирова­
ния неизвестных, как наиболее простой и экономичный, по сравне­
нию с другими методами электронного моделирования при парал­
лельном режиме работы усилителей, пол учил практическую реали­
зацию в серийно выпускаемой отечественной промышленностью,
электронной модели стержневых систем «Альфа» (ЭМСС-8), предна­
значенной для расчета на прочность, а также определения минималь­
ного критического пар аметра и основной частоты собственных коле­
баний рам произво льного вида.
Обратимые же модели стержневых систем, с помощью которых
можно решить те же задачи, что и на машине «Альфа» (ЭМСС-8),
а такж е обратимые модели с дополнительными блоками произведе­
ния для решения прямой и обратной задач динамики (2] встречают
серьез ны е затруднения при практической реализации в виде реаль ­
ных устройств из-за большого числа электронных усилителей.
В работе [3] предло жен динамический метод получения потен­
циально - нулевых точек в электронных моделях безынерционных
объектов, по зволяющий существенно сократить общее количество­
отрабатывающих усилителей.
Суть метода заключается в использовании одного или нескольких
усилителей, последовательно подключаемых входами и выходами с
помощью управляемого коммутатора к узлам электрон ной модели,
к которым подсоединяются входы и выходы усилителей при па­
раллельном режим е . При этом к местам подключения выходов
усилителя подсоеди яются запоминающие конденсаторы, назначение
18&

tКоторых хранить значения напряжений в узлах модели до повтор­
ного подключения усилителя.
В настоящей статье будут рассмотрены вопросы динамического
мод':'лирования стержневых систем, связанные с созданием устройств,
позволяющих производить расчеты на прочность, устойчивость и .
колебан.ия при значительном сокращении числ а электронных усили-
2
Рис. 1.
JА
у
'3
телей, уменьшении потребля емой мощности и стоимости. К чис­
лу указанных устройств относятся: динамическая альфа-аналоговая
модель стержневых систем, динамическая обратимая модель для
расчета рам и устройство для решения прямой и обратной задачи
динамики рамных конструкций.
2. Приведем основные решающие элементы, которые можно ис­
пользовать при постро ении динамической альфа-аналоговой модели
со смешанной системой выражения н еизвестных.
Как известно, состояние стержня переменной жесткости может
быть описано следующими уравнениями метода деформаций :
МА= а11 ерА+ а,2 ер8 + а138 + МА,
Мв= а21 ерА+ а22 ерв + а238 + Мв,
(1)
Q= G31ерА+G32ерв+G338+Q_,
где МА, Мв - концевые изгибающие моменты; Q - поперечная
!86

сила; МА, Мв и Q- грузовые члены; (f)A, срв - углы поворота; 0 -
угол перекоса; aij - жесткостные коэффициенты.
Динамическая схема-аналог изгибаемого стержня изображена
на рис. 1. Схема представляет r1араллельное соединение трехлуче­
вых звезд омических проводимостей, пропорциональных жесткостным
коэффициентам. Источниками тока моделируются грузовые члены.
В результате циклического переключения одного. операционного
усилителя У посредством управляемых ключей 1-1, 2-2, 3-3,
отрабатываются нулевые напряжения невязок БА, ев, s 8, а постоян-
i.
1в
Рис. 2.
ные составляющие токов. r1ротекающих по горизонтальным ветвям,
и напряжений на запоминающих конденсаторах в установившемся
периодическом режиме, возникающем вследствие переключения
усилителя с достаточной частотой, будут по своим значениям близ­
ки величинам токов и напряжений, моделирующих усилия и пере­
мещения, которые имели бы место при параллельной работе усили­
телей.
У равнения метода деформаций для скручиваемого стержня пе­
ременной жесткости имеют вид
ТА= alфА- а3фВ+ТА,
(2)
где Тл, Тв - концевые скручивающие моменты; Фл, Ф8 - углы
закручивания; а, - жесткостные коэффициенты; Т~, Тв
-
грузо­
вые члены.
Динамическая схема-аналог скручиваемого стержня изображена
на рис. 2.
Схема представляет сетку омических проводимостей g;, модели­
рующих жесгкостные коэффициенты а,, и прецизионных проводи-
187

мастей g, предназначенных для инвертирования тока - / в в ! в при
реализации уравнений равновесия по моментам для узла В, и ин­
вертирования напряжения И в, отрабатываемого на полюсах схем­
аналогов изгибаемых стержней, сходящихся в узле В, в напряже-
ние - Ив- Источники тока 1А, -1в моделируют действие крутящей
пролетной нагрузки.
Усилитель постоянного тока У с помощью синхронно замыкаемых
пар ключей 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 последовательно выполняет функ-
4
1--1
с
K2f,3 -
-
-
-
-
-
-
-
-
КпЗ
!,,
п
и,' о
и,п lr
~-
~
Вх2
8хп
Рис. 3.
fJ
ции отрабатывающего усилителя, инвертора тока и инвертора на­
пряжения.
В результате циклического переключения усилителя при до­
статочной частоте коммутации токи / А, ! 8 ,-!в и напряжения ИА,
И 8 , -И в на запоминающих конденсаторах, устанавливаются близ­
кими к токам и напряжениям, моделирующим в схеме неизвестные
скручивающие моменты ТА, Тв, - Тв и углы закручивания ФА ,
Фв, - Фв, а напряжения невязок Ел, Ев, Е 1 , Eu -
близкими к нулю .
Сокращение числа усилителей, а также омических проводимо ­
стей в моделях рамных систем становится более эффективным при
использовании динамического принципа для построения элект­
ронных преобразователей тока. Электронные преобразователи в це­
пях с параллельным получением потенциально-нулевых точек опи­
саны в работе [4] . Они представляют (п + 1)-лучевые звезды омичес ­
ких проводимостей , подключенные общей точкой к выходу, а
п + 1 концом ко входу усилителя постоянного тока. Недостатком
указанной схемы является большое число усилителей постоянного
188

тока, так как требуется по одному усилителю на каждое пропорцио­
нальное преобразование входного тока.
Динамический электронный преобразователь токов (рис. 3)
не имеет такого н едостатка. На рис. 3: / - (i + 1)-лучевые звезды
омических проводимостей; 2 - усилитель постоянного ток:~; 3
-'- -
си нхронно коммутиру ем ые пары клю­
чей; 4 - запоминающие конденсаторы.
Схема работает следующим образом.
Усилитель постоянного тока (2) с по­
мощью управляемых коммутирующих
элементов циклически подключается вхо­
дом к концам сопротивлений R 0 , а вы­
ходом к общим точкам звезд А. При
этом на запоминающих конденсаторах
.автоматически через некоторое число
циклов отрабатываются такие значения
напряжений, при которых обеспечива­
ется преобразование п входных токов
I ~' !~ , ... , 13 в необходимое число выход­
ных токов с коэффициентами передачи,
равными отношению сопротивления в
Рис. 4.
цепи обратной связи усилителя к сопротивлениям на выходах
каждого канала, при услови и
и~=и~=...=и~=и~=и:=...=и~=и;=и~=...=
(3)
При коммутации моделей рамных систем из отдельных схем-ана­
логов в случае последовательной отработки неизвестных имеется ряд
особенностей. Узловые точки соединения полюсов моментов, по­
перечных сил, углов поворота и перекоса подсоединяются к клю­
чевым элементам, а к узловым точкам соединения полюсов, напряже­
ния на которых моделируют углы поворота и перекоса, подключа­
ются конденсаторы.
В моделях регулярных рам усилители выполняют только функ­
цию отработки нулевых потенциалов.
При моделировании нерегулярных рам усилитель последова­
тельно выполняет функции отработки напряжений невязок е, ин­
вертирования напряжений и токов с различными коэффициентами,
а также пропорциональное преобразование токов. Прецизионные
входные, выходные сопротивления и сопротивления в цепи обрат­
ной связи непосредственно связаны с полюсами электронной моде­
ли стержневой системы.
На основе рассмотренных решающих элементов, а также динами­
ческих моделей стержней в неортогональных рамах и стержней, сжа­
тых продольными силами и несущих равномерно распределенные и
сосредоточенные массы, может быть построена динамическая альфг-
189

аналоговая uепь по блок-схеме. представленной на рнс. 4, где:
•z - блок схем - аналогов стержней; 2 - блок линейных вставок;
3 - усилитель постоянного тока; 4 - измерительный блок; 5 -
блок питания; 6 - блок запоминающих конденсаторов; 7 - устрой­
ство управления.
3. Метод последовательной отработки нулевых потенuиалов ока­
зывается также перспективным при построении динамических об­
ратимых моделей стержневых систем, в которых все неизвестные
(усилия и перемещения) моделируются электрическими напряже-
к,
к,
cio,,
~,
к,
о
~,
Рис. 5.
о
К полюсом момЕ'нmо5
t.'%E'M-OHIJЛ0?05 стержнеu
ниями . Создание таких моделей ранее было затруднено из-за боль­
шого числа отрабатывающих электронных усилителей, равного сум­
марной мерности векторов усилий и перемещений.
Обратимые электронные преобразователи с неизбежной сходи­
мостью проuесса уравновешивания могут быть использованы для
решения задач устойчивости и динамики, связанных с определение111,
спектра критических параметров и частот собственных колебаний,
а также для решения задач вынужденных колебаний с произволь­
ным значением частоты внешней пульсирующей нагрузки.
Основным решающим элементом динамических обратимых моде­
лей стержневых систем является обратимая схема-аналог, изобра­
женная на рис . .5, а. Схема рис. 5, а представляет квазианалоr урав­
нений (1), на полюсах которой напряжениями моделируются момен ­
ты, углы поворота и угол перекоса. Для построения модели рамы
необходимо реализовать уравнения равновесия по моментам н по­
перечным силам, что производится с помощью обратимых сум­
маторов (рис. 5, 6), ко входам которых подключаются полюсы момен­
тов схем-аналогов стержней. Для перемены знака напряжений, мо-
190

делирующих углы и линейные смещения, служат обратимые инвер­
торы, схемы которых имеют тот же вид, что и на рис. 5, б с двумя
входами каждая.
Блок-схему динамической обратимой модели стержневых систем,
построенную на основе рассмотренных решающих элементов, мож­
но представить в виде рис. 6, где 1 - блок проводимостей и источ­
ников, моделирую щих параметры стержней; 2 - блок проводимо­
стей сумматоров, подсоединяемы х в обратную связь переключа емо­
го усилителя; 3 - блок проводимостей масштабных звеньев, под­
соединяемых в обратную связь пер еклю ча емо го усилителя; 4 -
усилитель постоянного тока с ком­
мутирующими элементами; 5-изме­
рительный блок; 6 - блок питания;
7 - устройство управления; 8 - бло1,
запоминающих конденсаторов.
4. Динамический метод модели­
рования можно распространить на
решение пря мой и обратной задач
динамики стержневых систем. Пред­
ложенная в работе [2] модель поз­
воляет получить решение системы не­
линейных алгебраических уравнений
f;(Х1,Х2,...,Хп) =О(i=1,2, ...,п),
однако требует большого числа па-
раллельно работающих отрабатываю­
щих усилителей постоянного тока, ин­
верторов тока и блоков произведения.
5
Рис. 6.
Динамическое устройство для решения прямой и обратной за ­
дач динамики стержневых систем изображено на рис. 7: 1 - обра­
тимый квазианало г стержневой системы; 2 - блок произведения;.
3 - инвертор напряжения; 4 - проводимости обратимых сумма­
торов, подсоединяемых в обратную связь переключаемого усилите­
ля; 5 - нуль-индикатор; 6 - переключаемые усилители обратимо­
го квазианалога стержневой системы и обратимых сумматоров; 7-
группы синхронно замыкаемых ключей к;, к;, ... , К~; 8 - синхрон­
но замыкаемые пары ключей к{, к;, ... , к;; 9 - запоминающие
конденсаторы.
Устройство работает следующим образом. Усилители постоян­
ного тока У; и У 2 циклически подключаются к узлам обратимого •
квазианалога стержневой системы и обратимых сумматоров.
На входы обратимых сумматоров последовательно поступают·
через группы синхронно замыкаемых ключей К~, к;, ... , к;, напряже­
ния, пропорциональные произв еде ниям линейных смещений о;
на квадраты частот спектра w~(i = 1, 2, .. . , п) (для прямой задачи
динамики) или произведениям линейных смещений о; на массы т;
(i = 1, 2, .. . , п) (для обратной задачи динамики).
19t,

Искомый спектр частот получается в виде ряда значений регу·
.лируемой э . д. с. Е1 (при решении прямой задачи э. д. с. Е2 + Еп от·
ключены и замкнуты только ключи К1), при которых реакция в
единственной наложенной связи Гпп<n-l), фиксируемая нуль-инди­
катором, равна нулю.
Искомое распределение масс определяется итерационным ме­
тодом, аналогичным методу Зейделя [2], в виде значений э . д. с.
б
!
к,"
ь"
!'}
д
(} !(,
. f-V'-/
~~
'о,
2.011)
Oz
'5 .0(2) оп
к,''{_7
к;р ____Ki_ 7
к.ф'ь7
Е,
!(,ф6 7- -- --;ф,7
Е2
Еп
7
7
7
5
~ crl(,' ----~;t(~; _____~:~
Рис. 7.
Е1 + Е,,, когда при всех положениях ключей К1 , К2 , ... ,
Кп будет
с определенной точностью равна нулю реакция rпп<п-~J.
5. Рассмотренные в статье вопросы построения электронных
моделирующих устройств для решения задач прочности, устойчиво­
·СТИ и колебаний, основанные на динамическом методе моделиро­
вания, представляют несомненный интерес, так как в указанных
устройствах возможно существенно сократить число электронных
il,92

усилителей и уменьшить потребляемую мощность. Поэтому весьма
актуальными становятся исследования в направлении практической
реализации предложенных схем.
ЛИТЕРАТУРА
!.ПуховГ. Е.,ВасильевВ. В.,СтепановА. Е.,Тока
-
р е в а О . Н. Электрическое моделирование задач строительной механики . Изд - во
АН УССР, К., 1963.
2. К он драть ев В . М.- В кн.: Математическое моделирование и те­
ория электрических цепей. Вып . lV. «Наукова думка», К., 1966.
3. П у х о в Г. Е.- Кибернетика, 1965, 2.
•
4. Степанов А. Е . , Токарева О. Н. - В кн. : Математическое
моделирование и теория электрических цепей . Вып . I I ! . «Наукова думка», К . , 1965.
Доложено на семинаре
3 апреля 1966 г.
1~ 7-262 2

О МОДЕЛИРОВАНИИ РАМНЫХ СИСТЕМ
ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Н. М. ЛАБИНОВА, О. Н. ТОКАРЕВА
1. В связи с предложением использовать метод динамического
моделирования для создания новых электронных моделей стержне ­
вых систем [1] возникла необходимость проверить, при меним ли
cIcIcI
т,
.;;
~
ё,[,{п
х,
Xj
!{,
{к, к"
Рис. 1.
ука занный метод к решению задач статики, устойчивости и динами­
ки стержневых систем на альфа-аналоговой модели.
Поскольку рамные конструкции в строительной механике опи­
сываются системой линейных алгебраических уравнений, то для
электронной динамической модели такой конструкции будут спра­
ведливы выводы, полученные для динамической модели линейных
алгебраических уравнений вида
Ах= a0 f.
(1)
Дифференциальное уравнение для вектора х на q-ом интервале
tsq - ts , q-1 = h s- го цикла уравновешивания динамической модели
194

(рис. 1) системы (1) имеет вид [2]
dx
С& +aWqх =а0Fq,
где
(q=1,2, ..., п).
Здесь
(2)
(4)
А - матриuа взаимных проводимостей узлов 8 1 ,
... ,
8n и узлов
х1 , ... , хп, равная матриuе заданной системы уравнений;
Dt> D 2 - диагональные матриuы собственных проводимостей
узлов 81, ... , 8n и х1, ... , хп соответственно;
f- вектор э. д. с., равный вектору правых частей системы;
х - вектор узловых напряжений, моделирующий искомый век­
тор системы;
в - вектор узловых напряжений, представляющий собой век-
тор невязок;
k - модуль коэффиuиента усиления переключаемого усилителя;
С - величины емкости запоминающих конденсаторов;
а 0 - величина проводимостей, служащих для задания правых
частей ;
а - величина проводимости, включенной на выходе усилителя;
А* - транспонированная матриuа;
Bq - ключевая матрица:
Q=I
Решение этого уравнения запишется в виде
-
. . !!!_\\7
_
С q'''+ Go w-lp
х-е
'Уаqq•
где 1р - постоянная интегрирования .
(5)
(6)
2. Сравним динамическую модель, показанную на рис. 1, с
приведенной на рис . 2 статической моделью той же алгебраической
системы уравнений, обозначения оставим те же.
Уравнения статической модели, записанные по методу узловых
потенциалов для узлов 8 1 , .. . , 8n, совпадают с уравнениями (6) в ра­
боте [2] и в матричной форме записываются так:
D1в- Ах+a0f =О.
(7)
Уравне ния статической модели, записанные по методу узловых
потенциалов для узлов х1 , .. . , хп, имеют вид
(а11+...+ап1+а)х1-(а1181+...+а111е,,- ak81) +auf1 = О,
. .... .... ..
.
.
..
.
.
.
...... .....
13*
195

или, в матричной форме,
(D2+аЕ)х- (А*
-
akE)Е=О.
(8)
Подставив в уравнение (8) значение вектора Е из уравнения (7),
получим следующее выражение для векторах в статической модели:
Х _ !:о_ (Wcт)-l fcr
ст-
а
q
q,
r,ц.е
Wст=Е(Е+kD-1А)+-1 (D - A*D-1А)
q
I
а
2
-
1
,
х,
х,
Рис. 2.
(9)
(1О)
(11)
Из сравнения соотношений (9), (1 О) и (11) с выражениями (6), (3)
и (4) соответствен н о видно, что вектор х в динамическои модели,
моделирующий вектор неизвестных системы (1), включает в себя
вектор х в статической модели, как предельный случай пр и t --+ со ,
если учесть при этом формулу (5).
На основании сказанного вектор Хдю, можно представить следую­
щим образом:
Хдин=Хст+Л.
( 12)
На рис. 3 эта зависимость изображена графически , !JJ - угол между
векторами Хст И Хдин ·
196
Воспользовавшись формулами для вычисления длин векторов [3]
!Хдин/ = ]· Хдин•Хдин
1Хст/= V Хст·Хст
lл1=·vл.л
(13)

и угла между ними
COS (jJ = Хдин •Хст
(l4)
1Хдин 11 Хст 1
можно проследить приближение вектора напряжений, моделирую­
щих неизвестные на динамической модели, к тому же вектору для
статической модели.
При этом значения вектора Хст можно полу-
LJ
чить, решив систему (1), а значения вектора Хдин
из зависимости
x(tmп) = H':x(t10) + (Е + Нх +
+Н';;+...+Н':)Lx.
(15)
Равенство (15) выражает зависимость вектора
неизвестных для динамической модели в конuе
Рис. 3.
т-го uикла проuесса уравновешивания от его значения в начале пер­
вого uикла х (t10 ) [2]. Здесь
l
haW
Нх=Пе-сq;
(16)
q=n
пq+\-
_.!!.!!_w.(
-
..!:':. w ·)
Lx=:0~Пе с
1Е-ес
1, WqrFq,
(17)
q=\ j=n
еслиусловиться,чтоприj=пиq=п+1
ha
ha
-
-
W·
-
-
W
ес1есq=1·
'
1
h=То•
где fo - частота переключения усилителя *.
По формулам (13)-(17) можно проследить характер зависимости
длины разности I Л I векторов Хст и Хдин и угла между ними от числа
uиклов уравновешивания и частоты переключения усилителя.
3. Для экспериментальной проверки возможности моделирования
рамных систем динамическим методом была собрана динамическая
модель плоской свободной ортогональной рамы (рис . 4). На рис. 4, а
показана расчетная схема рамы, в кружках приведены номера стер­
жней, I-I и II- II
-
сечения, для которых моделируются урав­
нения равновесия по поперечным силам .
На рис. 4, 6 приведена принuипиальная схема динамической мо­
дели. Использованы условные обозначения схем-аналогов стерж­
ней [4] .
Динамическая модель рамы содержит три усилителя, которые
отрабатывают шесть напряжений, моделирующих шесть независимых
* Времене м перелета контактов пренебрегаем .
197

перемещений рамы. Каждый усилитель отрабатывает две точки,
так что весь цикл уравновешивания состоит из двух отрезков
времени. В течение первого отрезка времени синхронно замыкаются
ключи 1, 3 и 5, а в течение второго - 2, 4 и 6. В качестве ключей
использовались электромагнитные реле, порядок переключения
усилителей задавался на шаговом искателе. Схемы-аналоги стерж­
ней набирались на модели «Альфа».
При переходе от динамической модели к статической из схемы
удалялись конденсаторы и ключи и дополнительно подключались еще
t'2J4 ll.
Р,
VVV
//
Р,
/
1
F
Рис. 4.
три усилителя. Результаты измерений, позволяющие сравнить век­
торы напряжений, моделирующих неизвестные, на статической и
динамической модели, сведены в таблицу.
Результаты реше-
И1
1
И2Из1U41и,
1
L\
ния
На статической мо- 14,5
1
6,7
1
8,75
1
16,5 1-23,5, -31
дели
На динамической 1
модели
14
1
7
1
9,2 1 16 1-23,51-31,5
Из данных таблицы видно, что расхождение между измеренными
значениями на статической и динамической модели не превыша­
ет 5%.
198

Выполненная работа свидетельствует о принципиальной возмож­
ности моделировать рамные системы динамическим методом.
Доведенный до практической реализации этот метод позволил
бы удешевить электронные модели стержневых систем за счет со­
кращения числа усилителей в них.
ЛИТЕРАТУРА
1.ТокареваО. Н. ,СтепановА. Е.,ЛабиноваН. М.­
Настоящий сборник, 185.
2.Борковский Б. А.-Кибернетика,1965,3.
3. П у х о в Г. Е. Избранные вопросы теории математических машин.
Изд-во АН УССР, I<., 1964 .
4. Степанов А . Е., Токарева О . Н. - В кн.: Математическое
моделирование и электрические цепи. Вып. II. Изд-во АН УССР, К., 1964.
Доложено на семинаре
8 апреля 1966 г.

СУММАТОР-СРАВНИТЕЛЬ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМОДЕЛИРОВАНИЯ
ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
в. м. овсянко
Большое количество задач строительной механики может в том
или ином виде описываться системой линейных алгебраических урав­
нений.
При электромоделировании этих уравнений получаемые модели
могут быть неуравновешиваемыми и уравновешиваемыми [ 1 ]. При
уравновешивании электрической модели приходится подбирать зна­
чения электрических величин, моделирующих неизвестные, таким
образом, чтобы уравнения модели и решаемые уравнения были ана­
логичны.
При уравновешивании электрической модели возникает необ­
ходимость разрешения двух основных задач: 1) суммирования по­
лучаемых в ходе решения задачи электрических величин и сравне­
ния их с известными величинами; 2) автоматизации процесса
уравновешива н ия.
Суммирование электрических напряжений обычно осуществля ­
ется более или менее п росто . Прч суммировании токов могут воз­
никнуть некоторые трудности, особен н о если сумматор должен иметь
независимые входы, что часто необходимо осуществлять при элек­
тромоделировании на постоянном токе.
Кроме суммирования токов необходимо сравнивать их с извест­
ной величиной, и, если равенство этих токов не будет осуществлено,
то система автоматизации процесса уравновешивания должна будет
таким образом изменить какие-то величи,ны, скажем, напряжения
источников э. д. с., включенных в систему, чтобы просуммирован­
ный ток и ток сравне н ия были раRны. При этом на выходе устройства,
которое назовем сумматором - сравнителем, получится нулевой ток,
соответствующий уравновешенному состоянию системы.
Примерами токов, которые необходимо суммировать и сравнивать,
являются токи, моделирующие произведения коэффициентов на
неизвестные и свободные члены в системах линейных алгебраических
уравнений, токи, соответствующие моменту разности поперечных
200

сил или поперечным силам при электромоделировании рамных или'
балочных систем. Во всех этих сл у чаях ток сравнения известен, а ··
токи , являющиеся составными частями тока сравнения и изменяю­
щиеся при уравновешивании, неизвестны. Сумматор-сравнитель­
как раз и производит суммирование и сравнение токов и дает на вы­
ходе сигнал о равенстnе или неравенстве просуммированного тока"
и тока сравнения . Этот выходной сигнал управляет системой авто­
матического уравновешивания системы, дает указание увеличить.
или уменьшить величины э. д . с., моделирующие уравновешивае­
мые неизвестные .
Сумматор-сравнитель с предъявленными к немv выше требова­
ниями можно создать, используя реверсивный магнитный уси­
литель .
Магнитные усилители обладают целым рядом достоинств по
сравнению с другими решающими элементами. Мгновенная готов­
ность к работе, высокая надежность, высокая стабильность при1
изменении температуры и во времени, ударопрочность и другие по­
ложительные качества выгодно отличают их от других устройств.
В рассмотренном ниже реверсивном магнитном усилителе ис-­
пользуется важное свойство отличия магнитных усилителей от элек-­
тронных. Если электронный усилитель управляется напряжением ,
подаваемым на сетку лампы , то магнитный управляется током (или
токами), подаваемым в обмотку управления и создающим напряжен­
ность магнитного поля.
Отсюда возникает стремление использовать магнитные усилители;
для суммирования п сигналов, заданных в виде постоянных токов.
Притом имеется возможность суммирования практически неограни­
ченного числа сигналов без введения гальванической связи между ·
ними, т. е. входы этих сигналов совершенно независимы .
Эти положительные свойства магнитных усилителей позволяют ·
значительно сократить количество решающих элементов, использу­
емых при электромоделировании какой-либо задачи строительной1
механики, причем стабильность работы установки с магнитными.
решающими усилителями, по сравнению с электронными или полу­
проводниковыми усилителями, повышается.
На рис. 1 показан реверсивный магнитный усилитель , который
предназначен для суммирования и сравнения токов в случае автома­
тического уравновешивания системы и который вместе с выходным
устройством - поляризованным реле типа РП-5, управляющим
системой автоматики, назван сумматором-сравнителем . Реверсивный
магнитный усилитель содержит п обмоток управления с одинаковым
количеством витков, к у да подаются токи для суммирования, и од­
ну обмотку сравнения с тем же количеством витков, включаемую•
встречно, куда подается известный ток для сравнения с суммой на
остальных обмотках.
Обмотки управления wtпp , .. . ,
ш~пр (рис. !) в двух магнитны х·
усилителях, из которых выполняется реверсивный суммируюшийс1
20Ь

,магнитный усилитель, включены для каждого из магнитных усили­
телей так, что напряженности, создаваемые управляющими токами
·в магнитном усилителе I, направлены в одну сторону, а напряжен­
.ности, создаваемые обмотками управления на магнитном усилителе
II, противоположны направлению напряженностей магнитного уси­
лителя I . Обмотки сравнения Wcr включены так, что их напряжен­
ности противоположны напряженностям, создаваемым обмотками
управления.
При таком противоположном включении обмоток сравнения и уп­
jравления в случае, когда суммируемые в обмотках управления токи
о-
Рис. !.
,будут соответствовать уравновешенному состоянию электрической
модели, суммарный управляющий ток в каждом магнитном усилите­
ле (I и II) будет равен нулю. В этом случае на выходе магнитных уси­
лителей I и II будут получаться токи fн1 и fн 1 1 , создаваемые только
обмотками обратной связи и обмотками смещения .
Обмотки смещения в магнитных усилителях создают напряжен­
ности смещения, которые, складываясь с напряженностями обмоток
-обратной связи, регулируются с помощью потенциометра Пре г так,
чтобы при отсутствии тока в обмотках управления wу п р и в обмотках
сравнения wcp токи / нI и / нII были равны. Такое состояние реверсив­
ного магнитного усилителя будем считать уравновешенным .
Если просуммированный в обмотках управления ток не равен
·известному току сравнения, то токи / нI и fн 11 на выходе реверсив­
,ного магнитного усилителя не равны .
.: ю2

Неравенство токов / нI и fн11 улавливается чувствительным поля­
ризованным реле типа РП - 5 с двумя обмотками, через 1<0торые и
проходят токи fн1 и fнll •
Реле РП-5 имеет три положения якоря: среднее - нейтральное,
когда токи, протекающие в двух обмотках реле, равны и урав­
новешивают друг друга, что соответствует уравновешенному со­
стоянию магнитного усилителя, и два крайних, когда. в зависимости
от того, какой ток - / нI или / нII - больше, якорь отклоняется вле­
во или вправо. Такое отклонение якоря реле свидетельствует о не­
уравновешенности системы и необходимости изменения величины
э. д. с . , подаваемых с блока задания каких-либо неизвестных, вы­
ражаемых напряжениями. Блок задания неизвестных напряжений
обычно выполняется в виде многообмоточного трансформатора, со
вторичных обмоток которого снимаются одинаковые величины э. д. с.
Этот трансформатор по первичной обмотке управляется автотранс­
форматором, выполняемым обычно в виде латра.
Неуравновешенность системы сигнализирует о необходимости
поворота движка латра в сторону увеличения или уменьшения
снимаемого с латра напряжения, т. е. увеличения или уменьшения
напряжений вторичных обмоток.
Для более плавной регулировки первичного напряжения целе­
сообразно применять вместо латров поворотные трансформаторы,
обмотки которых включаются специальным образом.
В случае, если ручное уравновешивание является достаточным,
реверсивный магнитный усилитель будет на выходе содержать на­
грузочное сопротивление, через которое проходят включенные
встречно токи fн1 и lнrI• Кроме того, в цепь токов fн 1 и fн11 добав­
ляются симметричные балластные сопротивления. Нулевой ток в
нагрузочном сопротивлении улавливается микроамперметром.
Итак, в рассмотренных сумматорах-сравнителях реверсивные
магнитные усилители используются только для отработки нулево­
го сигнала, управляющего усилителем тока, и на выходе усилителя
важным является не усиленный управляющий сигнал, а состояние,
когда этот управляющий сигнал равен нулю и нагрузка питается
только током обмоток обратной связи, подкорректированным током
обмоток смещения.
• Для автоматического поворота движков латров или вращения
поворотных трансформаторов можно применить блок автоматики.
Привод блока автоматики осуществляется с помощью одного двига­
теля, вал которого передает вращение шестеренкам левого и право­
го поворота латра. Включение левого или правого поворота осу­
ществляется исполнительными электромагнитами, которые управля­
ются якорем поляризованного реле.
Сумм атор-сравнитель применяется:
1) для суммирования и сравнения токов, моделирующих момент
разности поперечных сил в электрической моделирующей установ­
ке ЭМУ-1-БПИ [4];
203

2) при моделировании систем линейных алгебраических урав ­
нений;
3) при моделировании с использованием схем-аналогов изги ­
баемого стержня, моделирующих непосредственно поперечные силы ,.
что дает возможность моделировать нерегулярные рамы, неразрез ­
ные балки на упруго-смещающихся опорах и систе мы перекрестны х.
балок .
Применение сумматоров-сравнителей покажем на примере элек­
трической модели системы алгебраических линейных уравнений ~
Модель основана на принципе суммирования в сумматоре-сравни­
теле нескольких токов, соответствующих произведениям коэффици­
ентов на неизвестные и свободным членам, что дает возможность.
применить такой сумматор-сравнитель для моделирования каждой
строки системы уравнений.
Предлагаемая модель имеет целый ряд отличительных положи ­
тельных свойств: для ввода в модель уравнения не требуют спе­
циальной подготовки, знаки коэффициентов при неизвестных могут
быть и положительными и отрицательными, модель проще в кон­
структивном отношении (существующие модели на каждый неиз.­
вестный требуют один или два электронных усилителя).
В качестве примера приведем моделирование системы из двух
уравнений с двумя неизвестными
а11х1+012Xs+Ь1= 0,
а21х1+а22х2+Ь2=О.
( 1},
Преобразуем немного систему (1), разделив каждое из уравнений
на число А, величина которого значительно превосходит наиболь­
шие значения коэффициентов а и Ь (число А для каждого уравнения.
может быть свое), и запишем систему (1) в виде
~+Х2+~=Q
А
А
А
'
ан
а12
Х1
Х2
Ь2
т+т+т=о.
(2)
й21
й22
Если теперь трактовать неизвестные как напряжения (в воль -
А
Ь
тах), величина типа а - как сопротивления (в омах), а А - как
токи (в амперах), то уравнения (2) можно записать так:
U1
U2
I
о
-R+-R+ ь1= ,
11
12
U1
U2
I
о
-я+-я+ь2= ·
21
22
Используя закон Ома, имеем
/11+/12+lь1=О,
f21+j22+/Ь2=0.
204
(3)

Предназначим для моделирования каждой строки по одному
-~у мматору-ср авнителю .
На сумматор-сравнитель в обмотки суммирования подаются
токи fu и fij• моделирующие произведения типа a;ixi и aijxj, на
обмотки сравнения подается ток I ь;, моделирующий свободный член
{уравнение (4)).
Обмотки суммирования и сравнения токов чаще всего (в зависи­
мости от знака свободного члена) включаются встречно, так что
.напряженности, создаваемые ими, противоположно направлены.
Регулируя токи In и Iij можно добиться такого состояния сум­
матора-сравнителя, при котором суммарный управляющий ток ра­
вен нулю, т. е. в случае автоматического уравновешивания токи Iнr
и / нir (рис. 1) равны.
Если теперь для каждой строки моделируемой системы урав­
нений (4) взять один сумматор-сравнитель и менять токи In и Iij
{при неизменяемом токе / ь;) таким образом, чтобы на выходе каж­
дого сумматора-сравнителя получить нулевой управляющий ток,
то схема рис.· 1 будет электрической моделью одной строки системы
алгебраических линейных уравнений.
При этом количество витков во всех обмотках управления и срав­
нения одинаково.
Если токи Iнr и fнп, протекающие по обмоткам поляризован­
ного реле, поставленного на выходе, равны между собой, что со­
ответствует уравновешенному состоянию системы, то якорь реле
занимает среднее, нейтральное, положение . При этом суммарный
ток управления равен нулю.
При неуравновешенном состоянии системы в зависимости от
знака управляющего суммарного тока (тогда токи Iнr и Iнrr не рав­
ны) якорь реле отклоняется влево или вправо, что дает сигнал си­
стеме автоматики изменить подаваемые в схему суммирования ве­
личины напряжений, моделирующих неизвестные.
Блок-схема электрической модели в случае автоматического урав­
новешивания системы включает: 1) блок неизвестных х; 2) блок
задания свободных членов; 3) сумматоры-сравнители; 4) блок авто­
матической отработки нуля; 5) блок коэффициентов при неизвест­
ных; 6) измерительный блок.
Блок неизвестных х служит для задания напряжений, модели­
рующих переменные х.
Устройством для задания переменного х является трансформатор,
первичная обмотка которого питается регулируемым автотрансфор­
матором с нулевой средней точкой. Вторичные обмотки трансфор­
Nrатора на своих выходах дают напряжения, пропорциональные не­
известному х. Для получения строго одинаковых напряжений на
вторичных обмотках трансформаторов все вторичные обмотки мо­
таются одновременно с нескольких катушек.
Блок задания свободных членов включает в себя систему источни­
ков тока. На выходе каждого источника тока стоят три сопротивле-
205

ния: одно постоянное, ограничивающее, и два переменных, регули­
ровочных . Токи для задания свободных членов остаются постоян­
ными во время уравновешивания системы.
Сумматор-сравнитель производит суммирование токов в каж­
дой строке уравнения (4) и проверку равенства нулю этой сум м ы .
gJ
п!Jlp
х,
Рис. 2.
Таким устройством является описанный выше реверсивный магнит­
ный усилитель .
Принцип работы блоков электрической модели рассмотрен на
примере моделирования системы ура13нений (1) с двумя неизвестны­
ми х.
Аналогично собирается схема моделирования системы алгебраи­
ческих уравнений с любым количеством неизвестных .
На рис . 2 схематично показана электрическая модель системы
двух уравнений. Здесь первый реверсивный магнитный усилитель
(условно показан прямоугольником) предназначен для суммиро-
206

вания токов по первой строке уравнений (4). Сопротивления R11 w
R12 моделируют коэффициенты а11 и а 12 уравнения (1).
Сопротивление Rь, предназначено для установки тока 1ь,, про ­
порционального свободному члену Ь 1 уравнения (1) (этот ток оста ­
ется постоянным во время уравновешивания системы).
Второй реверсивный магнитный усилитель (так же, как и пер ­
вый, выполнен по схеме рис . 1) предназначен для суммирования то­
ков по второй строке уравнений (4).
Если вращать ручки автотрансформаторов ЛА ТР-1 и ЛАТР-2'
(рис. 2), то на первый и второй сумматоры-сравнители будут пода­
ны токи ! 11 , 112, 121 и / 22 , вначале не равные своим действительным
искомым значениям.
При определенном положении ручек автотрансформаторов можн0;
добиться такого состояния, когда общая сумма входных токов в.
каждом сумматоре-сравнителе будет равна нулю, что соответствует
уравновешенному состоянию системы. Это состояние будет отвечать.
решению уравнений (1).
Тумблеры Т (рис . 2) предназначены для установки знаков коэф­
фициентов а11 , а12 , а21 , а22 , тумблеры т - для установки знаков сво ­
бодных членов Ь1 и Ь2 .
Необходимо, кроме величин неизвестных, получить и их знаки .
В зависимости от знака х меняет свое направление и ток в соответ ­
ствующих обмотках магнитных усилителей.
Для изменения знака х при уравновешивании системы регули­
руемые автотрансформаторы (или еще лучше поворотные трансфор­
маторы с изменением выходного напряжения при повороте на ± 180°)
делаются со средней нулевой точкой.
При этом одна половина латра условно соответствует положи­
тельному х, вторая - отрицательному.
Прохождение движка латра через нулевую точку и соответствен ­
но перемена знака х фиксируется подвижным контактом, который
через шаговый искатель и реле перемены знака управляет группой
реле, контакты которых А и Б (рис . 2) непосредственно изменяют
знак х.
Блок автоматической обработки нуля описан кратко выше .
Контакты поляризованного реле, поставленного на выходе каждого
сумматора-сравнителя, включаются в цепь исполнительных элек ­
тромагнитов, которые подключают через храповики соответствую ­
щие шестеренки левого или правого вращения латра.
Блок коэффициентов при неизвестных служит для задания ве­
личин коэффициентов при неизвестных . Каждый коэффициент моде­
лируется двумя переменными сопротивлениями для грубой и точной
установки.
И змерuтельный блок предназначен для измерения сопротивле­
ний, напряжений и токов.
Процесс работы на установке при автоматическом уравновеши­
вании системы состоит в установке сопротивлений и токов, модели -
207

!рующих коэффициенты при неизвестных и свободные члены, и вклю­
• чении блока автоматической отработки нуля .
ЛИТЕРАТУРА
! . Пух о в Г . Е.- В кн .: Вопросы теории и применения математического
•моделирования . «Советское радио», М. , 1965.
2. Т и щ е н к о Н. М. Стабильность магнитных усилителей. «Энергия»,
. М.,-Л . , 1964.
3. Пухов Г. Е.,Васильев В.В. , Степанов А . Е. ,Токаре­
' сВ а О. Н . Электрическое моделирование задач строительной механики. Изд- во
АН УССР, К., 1963.
4.Овсянко в.
5.Овсянко в.
. Доложено
на семинаре
. 24 декабря 1965 г.
М.- Про мышленность Белор у ссии, 1965, l.
М. - Настоящий сборник, 209 .

ПРИМЕНЕНИЕ РЕВЕРСИВНЫХ МАГНИТНЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
ПРИ ЭЛЕКТРОМОДЕЛИРОВАНИИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
в. м. овсянко
При суммировании токов возникает необходимость создания
устройства с независимыми входами, способного производить сум­
мирование и сравнение величин. Таким устройством может явиться
сумматор-сравнитель, выполненный на основе реверсивного магнит­
ного усилителя.
Рассмт-рим возможности моделирования с применением ревер­
сивных магнитных усилителей.
Уравнения строительной механики для изгибаемого стержня
постоянного сечения [ 1] при расчете неразрезных балок и рам мож­
но записать так:
МА = 4alcpA + 2alq;в - 6al'lj) + МА,
Мв = 2alcpA + 4аlсрв - бal'ljJ + Мв,
В (Q- Q) = Вба(j)л + В6асрв -B12a'lj),
(1)
El
гдеа=
~ ; В - число, значение которого будет получено ниже.
Моделирование уравнений (1) можно производить по следующей
блок-схеме:
1) блок / выполняется как неуравновешиваемая квазианалого­
вая модель для решения двух уравнений с двумя неизвестными;
2) блок / / как уравновешиваемая модель, где производится про­
верка равенства нулю суммы слагаемых третьего уравнения.
В такой блок-схеме не надо отрабатывать нули во всех трех урав­
нениях, так как блок / всегда будет мгновенно решать два уравне­
ния, ибо он не требует уравновешивания. Такой способ позволяет
значительно сократить количество элементов, отрабатывающих
нули при моделировании каждого из уравнений системы (1).
Уравнения (1) будем моделировать при помощи схемы-аналога,
показанной на рис. 1.
14 7-2622
209

Эта схема описывается уравнениями
lл=(gл+ gm + ..fI.!l\U,4+(gn - д.!Е) Ив-Еgл+Iл
2
2/
2
2
'
fв=(ь;п- ь;т)ИА+(gв+ь;т+ь;п)Ив-Еgв+fв.
(2)
Сравнивая уравнения (1) и (2), наблюдаем аналогии: моменты
аналогичны токам , напряжения - углам поворота и перекоса .
1/т
и.
E·tE'P
IJ~
2
----------+
nj l,8(/j-O)
Рис. !.
Проводимости gm и gn вычисляются из уравнений
Тогда
_jgm'gnk4l
gA ---•--=
а
1~
1
2
'
g;, -
~т=k2al.
gA=gв =kВба,
gm = k2al -gл,
gn = k4al+gm,
где k - масштабный коэффициент проводимостей.
Для некоторых случаев проводимость gm может оказаться
ной нулю.
Тогда
В-l
-т
(3)
(4)
рав -
(5)
С помощью схемы - аналога, у которой проводимость gm = О, лег­
ко моделируются регулярные многоэтажные рамы с одинаковыми
длинами стоек в этаже. Для таких схем-аналогов проводимости под-
210

считываются по формулам
2EJ
gA=k
gтп=О,
4EJ
gn=k --z-·
(6)
Теперь рассмотрим ток, моделирующий момент 6 al 'Ф в уравне ­
нии (1). Этот момент моделируется током Еgл в уравнении (2). С дру ­
гой стороны, ток равен k баlЕ,р, где Е,р - э. д . с . , полностью анало­
гичная углу перекоса 'Ф- Отсюда
(7)
Уравнение токов, моделирующее уравнение поперечных си л
системы (1), синтезируется следующим образом. Сумма токов, про­
текающих в ветвях с проводимостямиgл и gв, с учетом соотношени я
(7) равна
(8)
Нам надо получить ток, соответствующий поперечной сил е
в уравнении (1):
(9)
Чтобы получить ток (9) , надо к току (8) добавить ток , равный
2gлEw(f- 1 ).
(10)
Моделирование уравнения rюперечных сил производится сумма ­
тором-сравнителем, выполненным на базе реверсивного магнитног о
у силителя.
На этот реверсивный магнитный усилитель подается известны й
ток, моделирующий известное произведение В (Q - Q) для сече­
ния, перерезывающего смещающиеся стержни . В другие обмотк и
управления сумматора-сравнителя подаются следующи е токи :
1) ток уравнения (8), протекающий в ветвях gл и gв ;
2) ток выражения (1 О).
Для того чтобы со всех трех обмоток трансформатора снимать
!
одно напряжение Е = 8 Е,р , подаваемое в с х ему рис. 1, величин а
проводимости g,p должна иметь значение
( f-1)
g,i, = kB212a
1.•
(11 )
Полученная схема-аналог (рис. 1) изгибаемого стержня позволя ­
ет чисто машинным образом производить расчет нерегулярных рам .
14"
211

Покажем это на примере рамы рис. 2. Особенностью моделирова­
ния данной системы является то, что рама является нерегулярной и
поэтому при моделировании обычными методами приходится при­
бегать к машинно-аналитическому способу расчета, так как непо­
•Средственное моделирование поперечных сил с помощью известных
схем - аналогов (кроме электронных)
Р,=Зт ®
@)
не может быть осуществлено.
--Т При моделировании с помощью
EJ,.
4-Е!о
~
1
./J=
схемы - аналога рис.
имеется воз-
(D 4-EJ,
ф
4т1
2fl0
j
ЗЕJ
®4EJ,
@
ff
2EJ0
fl, ф
®
i!!
2Elg
:>?'?:
7)77,
® 4Е7о
2EJ0
,
можность моделирования сумм попе-
Q)J речных сил в сечениях I-III. Прово­
димости схем-аналогов подсчитыва­
ются по формулам (4) и (11).
з
ff
Примем наименьшую длину пер­
СZ:Ц вого стержня за базисную и по фор­
муле (5) подсчитаем
7
l7i
'7 '7,
Рис. 2.
При В=2/3 в схемах-аналогах стерж­
ней 1 и 2 проводимость g,,, равна нулю. Величины проводимостей
для схем-аналогов стержней рамы рис. 2 приведены в табл. 1.
Уравнения равновесия для сечений I-III имеют вид
Ql--j--Q2+QЗ=р1=3,
Q5+Q4+Qз=Р1+Р2= 7,
Q5+Q6+Q7=р1+р2=7.
Все уравнения поперечных сил умножим на В и произведем мо­
делирование уравнений
В(Ql+Q~+Qз)=2,
в(Q5+Q4+Q3)=4 -},
2
В(Q5+Qв+Q,) =43.
Следует отметить, что можно уравнения поперечных сил не умножать
на В, а моделировать поперечные силы полностью, но тогда уравне­
з
ния моментов системы (1) необходимо умножить на число с = -
.
lбаз
Примем за независимые углы перекоса
тогда
212

Таблица
JYe
1
стерж-
неi:'~
k EJo
о
k 2EJ0
4
k3EJo
2 1 k2EJ0
о
k 4EJ0
8
k3EJo
__
3_1 k1⁄2_E _J_r _, _
_
_
k_: _E _J_o _ _k_{_ыo
_
4 1 k{EJ"
1
k}EJ0 I k{EJ0 _I k3⁄4EJ0
51k~EJ0
38
1
144
k49EJo k 1029EJo
-------
6 1 k3⁄4EJ0
2
k9EJo
14
1
56
k9EJo
k s[EJo
-- ----- -
1
k 3⁄4EJo
7
2
k9EJ0
14
1
56
k9EJ0
k81EJ0
8 1 k2EJ0
о
k 4EJO
1
о
-- ---
9 1 k2EJ0
о
k 4EJ0
1
о
10
4
k3EJu
о
о
11
4
kЗEJ0
о
о
Для моделирования независимых перекосов возьмем три транс­
форматора, напряжения первичных оuмоток которых регулируются
автотрансформаторами . Источники э. д. с., моделирующие перекосы
'Фз и 'tjJ5 , получаются из суммирования частей э. д. с . , моделирующих
'\j)2 и '\j) 4 , '\j)4 и 'tjJ6 с помощью последовательного соединения этих частей
э. д. с. Коэффициенты типа ~: устанавливаются на делителях на­
пряжений.
Уравнения поперечных сил моделируются на сумматорах-сра­
внителях. На каждое сечение предназначен один сумматор-сравни­
тель. Так как В Q3 входит в сечения I и I I, то ток, моделирующий
эту поперечную силу, должен быть последовательно пропущен через
I и II сумматоры-сравнители, а ток, моделирующий поперечную силу
BQ5 , которая попадает во II и- III сечения, .пропускается последова­
тельно через I I и I I I сумматоры-сравнители.

Теперь рассмотрим схему-аналог стержня переменного сечения.
Основные уравнения для стержня переменного сечения запишем так:
Мл= al[КллсрА+КАверв- (КлА +КАв)'Ф]+МА,
Мв= al [Клвсрл + Кввсрв - (Квв + Клв) 'Ф] + Мв,
(12)
,де
В(Q-Q) = Ва[(Клл +КАв)срл +(Квв +Клв)срв-
-
(Клл + Клв) 1р - (Квв + Клв) '\j)],
2EJ0
а=~-,
(13)
К;;- коэффиuиенты , характеризующие жесткостные характеристики
стержня; J 0 - базисная жесткость.
В случае, когда моделируемый стержень имеет характер изме­
нения сечения, определяемый выражением Клл > Квв, схема-ана­
лог его будет несимметричной и отличается от схемы рис. 1 добавоч­
ной проводимостью g~,
которая ставится параллельно источнику
тока Гл. Если Квв > КАА, проводимость g~ отсутствует, а вместо нее
добавляется проводимость g~.
Полученная схема-аналог описывается уравнениями
lA=(gл+g~+~т+~п)ил+(ь;п-ь;т)uв
-EgA +Jл,
(14)
fв=(~п - 6;111) ИЛ+(gВ+;т+g;)ИВ- EgВ+/в.
Эти уравнения являются подобными уравнениям моментов систе­
мы (12) .
Чтобы моделировать уравнение поперечной силы системы (12),
необходимо, чтобы проводимости gл и gв имели следующие значения:
gл = Bka (Клл + КАв),
gв = Bka (Квв + КАв).
( 15)
Тогда токи, протекающие по ветвям gA и gв, будут входить в основ­
ную часть тока, моделирующего поп ере чную силу стержня. Учи­
тывая аналогичность уравнений моментов (12) и токов (14), имеем
g~ = (kal - Bka) (Клл - Квв),
gm = kal(Квв- Клв)
-
gв,
gn = 2kаlКлв + gтп.
(16)
В уравнениях (15) и (16) k - масштабный коэффициент проводимо­
стей. В некоторых случаях проводимость gm может оказаться равной
нулю. Тогда
( 17)
214

В практических расчетах при определении В могут встретиться
три основных случая .
1. Рассчитывается регулярная рама со стержнями, имеющими
одинаковый закон изменения жесткости по высоте для каждого
этажа. Тогда для каждого этажа существует свое число В, а прово­
димости gm будут равны нулю.
2. Если регулярная рама при одинаковых длинах стоек в эта­
же имеет стержни с разными законами изменения сечения, то для
одного из таких стержней подсчитывается В. Для этого стержня про­
водимость gm будет равна нулю, а для остальных подсчитывается по
уравнениям (16) с учетом В для первого стержня.
3. Если рассчитывается нерегулярная рама типа рис. 2, то за
основной принимается стержень с наименьшей длиной и наимень­
шей жесткостью. Для этого стержня подсчитывается В. Проводи­
мость gтдля него равна нулю, а для остальных стержней она подсчи­
тывается с учетом числа В для первого стержня (можно подсчитать
для всех стержней В и выбрать наименьшее).
Из аналогии токов Еgл и Еgв (уравнения (14)) и соответствующих
им моментов (из уравнений (12)) найдем соотношение между Е и Е,р.
где Е - напряжение, подаваемое в схему-аналог, Е,р
-
напряже­
ние, полностью аналогичное углу перекоса 'lj):
l
Е= 8Е,р.
(18)
Сумма токов в ветвях gл и gв имеет вид
gлИл+gвИв- Е(gA+gв).
(19)
Нам необходимо получить ток, моделирующий уравнение попереч·
ной силы из системы (12):
~~-G=~~+h~-~~-h~-
~
Ток (20) может быть получен, если к току (19) добавить (с учетом
(18)) ток
Е(gл+gв) (1- !J-).
(21)
При этом проводимость g,p имеет вид
g,p =(1- 4-)(gA+gв)·
(22)
Суммирование токов (19) и (21) производится на сумматоре-срав­
нителе [7 ], куда для сравнения подается, кроме этих токов, изв~стный
ток, равный У;В (Q- Q), где У; - масштабный коэффициент токов.
На сумматоре-сравнителе происходит суммирование токов и срав­
нение их с известной величиной, т. е. производится отработка нуля.
Эта отработка производится автоматически посредством изменения
величины напряжений Е с помощью системы автоматики, предназна­
ченной для левого и правого вращения латров. Латры (или лучше -
215

вращающиеся трансформаторы) предназначены для подачи напряже­
ния на первичные обмотки трансформаторов, вторичные обмотки
которых дают напряжение Е.
На базе рассмотренных схем-аналогов можно построить схемы­
аналоги для электромоделирования балок на упруго смещающихся
опорах и систем перекрестных балок.
Синтезируем схему-аналог изгибаемого стержня постоянного
сечения при электромоделировании неразрезных балок с упруго
смещающимися опорами . Рассмотрим отдельный стержень балки.
Под действием нагрузки опоры А и В стержня сместились на вели­
чины ◊А и ◊в, при этом прямая АВ повернулась на угол 'Ф (пусть ◊в>
> ◊А):
(23)
При расчете балок на упруго смещающихся опорах необходимо
учитывать упругие характеристики опор . Такой известной характе­
ристикой является коэффициент податливости с, представляющий
собой перемещение опоры. вызванное единичной силой. Тогда пе­
ремещение любой опоры запишется так :
(24)
где RY· 0
-
реакция упруго оседающей опоры . Реакции на упруго
оседающих опорах А и В стержня определяются из равенства (24):
б
б
Ry.o.
А RJ·o = _.!!.. _
А .= с:;,
Св
(25)
Используя известные [1] уравнения для изгибаемого стержня, урав ­
ЕJ
нения (1), (23) и (25) и принимая а = 12
, получим систему уравне -
ний, характеризующих стержень балки на упругих опорах
МА= 4alcpA + 2аlсрв- 6(ов- ОА)+МА,
Мв=2alcpA+4аlсрв- 6(ов- оА)+Мв,
-BQA = В6асрА +Вбасрв --В !~а (◊в
-
ОА) - ВQл,
12а
-
-ВQв = ВбасрА + ВЕасрв -В - 1
-
(ов- ол) - ВQв,
Здесь
BRJ0 • = ЬАВаоА, BR/·0
• = ЬвВаов.
1
Ьв=--
.
асв
Уравнения (26) и (27) подлежат моделированию .
(26)
(27)
Обратимся к схеме рис. 1. Уравнения схемы рис. 1 (2) аналогичны
уравнениям моментов системы (26). Проводимости и число В под­
(:ЧИтывается по формулам (4) и (5).
216

При этом
(28)
где y(j) - масштабный коэффициент напряжений.
При подсчете В за l принимается длина наименьшего пролета.
Теперь рассмотрим, каким образом моделируются уравнения
поперечных сил системы (26).
Сумма токов в ветвях с проводимостями gA и gв (рис . 1) равна
gAUА -!- gAUв- 2gAE.
(29)
Нам же надо получить токи, соответствующие поперечным силам (26}
-BQA и -ВQв. Эти токи равны:
2В
-
By;QA=gAUА+gвИв- -1
-
gAE - By;QA ,
(30)
2В
-
Ву;Qв=gAUA+gвИв--1
- gAE- Ву;Qв.
Токи BYJJ,A и ВУ;Qв известны заранее и могут быть введены в сум­
матор без изменений. Чтобы получить часть тока из уравнений (30) ,
равную
2В
gAUА -!- gAUв- -1-g.4E ,
к току (29) следует добавить ток
2g.4(1- 4-)Е.
Величину э . д. с . можно получить так:
1
Е = 8 (Ев-ЕА),
(31 )
(32 )
(33 )
где Е.4 и Ев - напряжения, моделирующие вертикальные перемеще­
ния б.4 и б 8 концов стержня. Эти перемещения принимаем з а основ­
ные неизвестные и будем подбирать (автоматически) напряжени я
Е.4 и Ев таким образом, чтобы сумма реакций и поперечны х сил н а
опорах балки равнялась нулю.
На сумматор-сравнитель подаем токи :
1) ток выражения (29);
2) дополнительный ток (32), получаемый в цепи с проводимо ­
стью gч,:
(34}
вычитание источников э. д. с. Ев и ЕА производится последователь­
ным включением выходов с одинаковой полярностью вторичны х
обмоток трансформаторов, дающих Е.4 и Ев;
3) ток типа BY;Q~;

4) ток для моделирования реакции упругой опоры, который оп­
ределяется так:
y;BRX0 = kЬлВ2а +Ел,
(35)
BRу.о- kbВ2 1Е
У;В-
Ва8В•
Для получения токов (35) в цепь источника э. д. с. включается про­
водимость g'л_ 0 ИЛИ g1° :
gJ,-
0 = kЬлВ2а,
g{0 = kЬвВ2а.
(36)
При моделировании неразрезных балок на упруго смещающихся
опорах для каждой опоры записываются уравнения сумм поперечных
Рис. 3.
сил и реакций. Так как токи (29) и (32) моделируют части попереч­
ных сил Q~ и Qk на левой и правой опорах пролета, то при суммиро­
вании поперечных сил на опорах эти токи надо пропустить через
два сумматора-сравнителя, реализующие сумму поперечных сил
на двух соседних опорах.
Теперь рассмотрим систему перекрестных балок, находящуюся
под действием нагрузки из плоскости балок. Будем моделировать
расчет балок без учета кручения. Уравнения, описывающие стер­
жень постоянного сечения при плоском изгибе, будут такие же, как и
для неразрезной балки на упруго смещающихся опорах (26). Схема­
аналог будет тоже такой же.
Построение модели системы балок заключается в следующем:
1. Производится набор и соединение схем-аналогов отдельных
стержней в двух взаимно перпендикулярных плоскостях по пери­
метру моделируемой системы. При этом уравнения равновесия момен­
тов в узлах в каждой плоскости и уравнения совместности угловых
перемещений выполняются автоматически.
2. Уравнения равновесия по поперечным силам выполняются для
круговых сечений в узлах пересечения балок. Для таких сечений
сумма проекций всех внутренних и внешних сил в узле на вертикаль­
ную ось должна быть равна нулю. За основные неизвестные тогда

принимаются вертикальные перемещения узлов . Для системы рис. 3
такими узлами являются узлы I и II. Эти перемещения подбираются
(автоматически с помощью следящей системы) таким образом, чтобы
вы полнялись условия равновесия по поперечным силам. Такими
условиями для сечений I и II являются:
для сечения I-I: Qt + Q1 -Qk-Q~ = О,
для сечения II-II: Q1k + Q~ + Q~ -Qi = О.
(11 l, 8[0 d узле
Рис. 4.
Электрическая модел ь одного узла (1) системы перекрестных балок
показана на рис. 4 (на схеме условно не показаны диодные мосты).
Здесь равновесие по изгибающим моментам и углам поворота конце­
вых сечений стержней реализуется в пределах одной плоскости,
а связ11 по поперечным силам и вертикальным смещениям - между
плоскостями. При этом учтено, что:
о~=с1~=c1t=о~=с11=о~=о,
ok=c1t=о~=о1=01,
oi=о}з =с\~ =с\~ =он.
219

При подключении источников э. д . с. к схемам-аналогам стержней
необходимо учитывать выраж е ние (33) . Тогда величины э. д. с.
Е для различных стержней, сходящихся в узле, равны :
1
Е1=в(Еб1- О),
1
Е2=8 (О- Еб1),
1
Ев= 8 (Еб1 -0),
1
Е4= В(Еб11 - Еб1).
Эти величины э. д. с. подаются в схемы-аналоги соответствую ­
щих стержней . Уравнения равновесия по поперечным сила м в I<аж ­
дом под в ижном узле реализуется с помощью сумматора-сравнителя,
на I<оторый со схем-аналогов подаются тоI<и (29) , а с дополнительно й
цепи (ри с. 1) для I<аждой схемы-аналога необходимо подать на сум­
матор ток (32). В нашем случае, учитывая отсутствие перемещений
опор стержней 1, 2 , и 3, этот тоI< для стержней 1, 2 и 3 может быть
1
задан с одного источника э. д. с . 8 Е 61 и суммарная проводимость
g~ с учетом знаков Е1, Е2 и Е3 будет равна:
2::
1
2
3
g,p=g,p -g,p+g,p.
Дополнительный источник тока (32) для стержня 4 равен Е4 =
1
=8
(Еб 11 - Еб 1 ) . На сумматор-сравнитель, кроме токов (29) и (32) ,
величины которых неизвестны и меняются в процессе уравновеши ­
вания системы, подается известный неизменяемый в процессе урав-
новешивания системы ток, моделирующий 1: Q - сумму поперечных
сил в узле в случае, когда концы стрежней, сходящи х ся в узле ,
жестко защемлены.
Предложенный метод моделирования позволяет со1,ратить б олее
чем в два раза количество проводимостей и в 3-4 раза количест во
электронных усилителей.
Так при моделировании шестипролетной неразрезной балки н а
упруго смещающихся опорах [6 1 количество электронных ус1 1 ли ­
телей равно 24, а при моделировании с использованием сумматоров ­
сравнителей количество реверсивных магнитных усилителей равно
7 - по одному на каждую опору.
Особенно уменьшается количество суммирующих элементов пр и
электромоделировании систем перекрестных балок, где на каждый
подвижной узел требуется только по одному реверсивному магнит­
ному усилителю .
Предлагаемые схемы-аналоги с использованием сумматоров ­
сравнителей, выполненных на базе реверсивных магнитных усили -
220

телей, позволяют при небольшом количестве электрической цепи
и при автоматическом уравновешивании системы расширить круг
задач, решаемых при электромоделировании чисто машинным об­
разом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р а 6 и но в и ч И. М. Курс строительной механики. Ч. II, Госстрой­
издат, М., 1956.
2. П у х о в Г. Е. Избранные вопросы теории математических машин.
Изд-во АН УССР, К .. 1964.
3. Пухов Г. Е.,Васильев В. В ., Степанов А. Е.,Токаре­
в а О. Н. Электрическое моделирование задач строительной механики. Изд-во
АН УССР, К., 1963.
4. Кер оп я н К . К ., Ч его ли н П. М. Электрическое моделирование
в строительной механике. Госиздат литературы по строительству, архитектуре
и строй ~1атериалам. М., 1963.
5.Степанов А. Е.,Токарева О. Н.-Вкн.: Математическое
моделирование и электрические цепи. Вып. II. Изд-во АН УССР, К., 1964.
6.Степанов А. Е., Токарева О. Н., Лабинова Н. М.,
Рубле в с кий Н. Т.- В кн.: Математическое моделирование и теория элек­
трических цепей. Вып. III, «Наукова думка», К. , 1965.
7.ОвсянкоВ.М.-Настоящийсборник,222.
Доложено на семинаре
••
24 декабря 1965 r.

СХЕМА-АНАЛОГ СИММЕТРИЧНОГО ИЗГИБАЕМОГО
СТЕРЖНЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ОЧЕРТАНИЯ
в. м. овсянко
При расчетах рамных систем нередко встречаются случаи, ко­
гда часть рамы имеет криволинейное или ломаное очертание . Обычно
таким образом выполняются ригели рамной системы, причем они
1
являются симметричными относитель-
----
0~
но вертикальной оси.
t
Рис. !.
Рассмотрим симметричный эле­
мент произвольного очертания (рис.
1), находящийся под действием ка­
кой-либо нагрузки. После деформа­
ции всего элемента от внешних воз­
действий узлы А и В повернулись
на углы <рА и <рв, сместились по вер­
тикали на величины ОА и бв, а по
горизонтали - на ЛА ил~. При этом
относительные вертикальные и гори­
зонтальные перемещения запишутся
так :
о= Ов-ОА,
Л=Лв-ЛА.
(1)
Уравнения, описывающие такой симметричный ломаный стер­
жень, имеют вид:
2EJO (
Зуб ЗеАЛ) -
МА= -l - 2а<рА =J= ~<рв- -l- -
-l- +МА,
2EJ0 (
Зуб ЗевЛ) -
Мв= -,-
=J=~<рА+2асрв- -1
-
-
-
1- +Мв,
6EJ0 f
2б)-
Vл = -~ \CfJA'\' + срву--1-у + Vл,
(2)
Vв= 6
~f.2-(crA'\' + сrвУ - ~б v) +Vв
6EJ0 (
лЛ) -
н= -[-2
-
\ВА<рА+Вв<рв- -l- +н•
222

Уравнения получены с использованием упругого центра тяжести
и коэффициенты а,~, у, еА, е8 , л записываются следующим образом:
/2
yi
а= 4iW+ lбiJy + 4iJ--;•
1
12
yi
~=-
2iW+8iJу- 2iJх'
12
lyo
~
z2
•
EJо
(3)
у= 12iJУ'ел=
-
вв=бilx ' /\,= бiJх'
i=
-
l-'
W=5;~' Jх=5Y;~s , Jv= Sx;~s .
Учитывая, что ел= -вв, VA = Qл, Vв = -Qв, НА= -Qн и при­
нимая, что
а=-~{0 ,
(4)
перепишем уравнения (2) в виде, удобном для моделирования:
МА = 4alacpA + 2аl~срв - бауо - бавлЛ + МА,
Мв=+ 2alBcpA + 4аlасрв-Ьауо + 6авлЛ + Мв,
12ауб
-
-ВQл = В6аусрА + В6аусрв-В - 1
-
-
ВQл,
12ауб
-
-
ВQв=В6аусрА+В6аусрв- В - 1
-
-
ВQв,
бал,Л
-
-
ВQн = В6аеАсрА - В6аё,лсрв - В - 1
-
-- ВQн.
(5)
Значение коэффициента В будет получено ниже.
Приведенные зависимости будем моделировать по следующей
блок-схеме: первый блок выполняется как неуравновешиваемая
квазианалоговая модель для решения двух уравнений, второй
блок - как уравновешиваемая модель, где проверяется равенство
нулю суммы слагаемых третьего и четвертого уравнений.
Моделирование по такой блок-схеме позволяет значительно со­
кратить количество элементов, отрабатывающих нули .
Схема, показанная на рис. 2, является схемой-аналогом симме­
тричного изгибаемого стержня произвольного очертания .
•
Уравнения, записанные по методу узловых потенциалов, для
этой схемы-аналога имеют вид
lA= (gл+g~+ g2+ g;)UA+(g; - g2)Ив­
-
EgA-E'g~ + fл,
fв=( ;п ___ g;)uA+(gв+g~+ g2 +~п )ив-
-
Еgв+E'g~+/в.
223

Уравнения (6) подобны уравнениям моментов системы (5).
Проводимости gA, g 8 , g~, g~ подсчитаем по формулам
gA=gв=kB6ay,
g~ = g~ = kB6asA.
(7)
Проводимости gm и gn определим, исходя из подобия коэффици­
ентов при ())А и срв в уравнениях моментов (5) и коэффициентов
при И А и Ив в уравнениях токов (6):
gm= k2al(2а±~) - (gA+g~),
gn= +k4al~+gm.
E·JE;
L
-- ------ ----+
~;
Пt l,B(fl-0)
Рис. 2.
и,
8
(8)
В проводимостях grn и gn учтено , что знак при ~ может быть
положительным или отрицательным .
В случае положительного коэффициента ~ проводимость gm мо­
жет оказаться равной нулю, а в случае отрицательного коэффици­
ента ~ проводимость g 11 может равняться нулю . В этих случаях
значение коэффициента В определяется так :
В_l(2а-~)
-З(у+еА) .
(9)
Уравнения поперечных сил системы (5) моделируются уравне­
ниями токов : •
1
-
-v;BQA = gAUА+ [!,"АИв - 2gA 8 Ео - V;BQ.4 ,
1
-
-v;BQв=gAUA+g.4Uн-2gA 8 Ео -у;ВQв,
(10)
'
'
'
?.
-
-v;BQн = g.4U.4-gAUв- gA еГ Е л --уJ;ЗQн.
А
224

В уравнениях (7), (8), (10) k и У; - масштабные коэффициенть1
проводимостей и токов; в схеме рис. 2 источники э. д. с. Е и Е'
определяются так:
( 11)
где Е6 и Ел - величины э. д. с., полностью аналогичные относи­
тельному вертикальному и горизонтальному перемещениям узлов
А и В рассматриваемого элемента (рис. 1.) Эти токи, моделирующие
поперечные силы, будем отрабатывать с помощью сумматоров-срав­
нителей, выполненных на основе реверсивных магнитных усилителей.
На сумматоры-сравнители подаются известные токи, моделиру­
ющие поперечные силы в случае защемленных концов элемента
(рис. 1), а также токи, моделирующие остальные части попереч­
ных сил.
Рассмотрим, как можно замоделировать части токов системы (10):
1
gAUA + gАИв- 2gA -1 Еб,
(12)
(13)
Вначале получим токи (12). Для этой цели подадим на сумматор­
сравнитель токи, протекающие в ветвях gA и . g8 :
(14)
Для получен11::1 тока (12) к току (14) необходимо с дополнитель­
ной цепи с проводимостью gб подать в сумматор-сравнитель ток
2gАЕб(_!___в/).
(15)
При этом проводимость ga имеет вид
gб= 2gA(-1
-/) •
(16)
Просуммируем токи в ветвях g~ и g~:
,
,
,
1
gAUA- gAUв-2gA 8 Ел.
( 17)
Для получения тока (13) к току (17) необходимо добавить ток
•
2
л)
gA в-е;:г Ел.
(18)
Ток (18) получается в дополнительной цепи с проводимостью
gл = g~ (2- :8г).
(19)
'
А
С помощью полученной схемы-ана,1ога можно моделировать все­
возмо:ш:ные элементы, имеющие криволинейное и ломаное очертания.
15 7-2622
225

Кроме того, открываются новые возможности применения метода
электроаналогий для моделирования расчета самокомпенсации пло­
ских трубопроводов.
Рассмотрим в общих чертах моделирование системы, показан­
ной на рис. 3.
У злы А и В моделируемой системы вертикальных перемещений
не имеют, поэтому в схеме-аналоге элемента АВ отсутствуют напря­
жения Е6 , моделирующие относительное вертикальное перемещение
узлов. Горизонтальное перемещение узлов А и В равно Л 1 и Л 2 •
Рис. З.
При моделировании сто­
ек рамы рис. 3 придется
учитывать А и В. В свя­
зи с этим в схемах-ана­
логах стоек придется
провести небольшое из­
менение в толковании
назначения источников
э. д. с. Е. Эти источ­
ники будут предназначе­
ны не для моделирова ­
ния перекоса стержня,
а для моделирования
смещения его узлов.
Относительное смещение узлов В и А для элемента АВ будут мо­
делироваться источниками э. д. с., полученными в . результате
вычитания э. д. с., моделирующих перемещение Л 1 , из э. д. с. ,
моделирующих перемещение Л2 .
Уравнения равновесия записываются и моделируются по дву м
сечениям I и II. В каждом уравнении будут суммироваться: распор
Н, горизонтальная нагрузка , поперечные силы в перерезанных сече­
нием стойках.
Для моделирования сумм сил в сечениях I и I I на каждое сече­
ние предназначается один сумматор-сравнитель.
Полученная схема-аналог симметричного изгибаемого стержня
позволит значительно увеличить количество задач строительной ме ­
ханики, рассчитываемых методом электромоделирования.
ЛИ ТЕРАТУРА
1. П у х о в Г. Е. Избранные вопросы теории математических машин .
Изд-во АН УССР , К., 1962 .
2. ОвсянкоВ. М.-Настоящийсборник,200.
3.Овсянко В. М.-Настоящийсборник,209.
Доложено на семинаре
4 марта 1966 г.

О МОДЕЛИРОВАНИИ КОМБИНИРОВАННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ
КОНСТРУКЦИЙ НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ
Е. А. ПРОСКУРИН
В практических расчетах, особенно в расчетах производствен­
ных зданий, как правило, встречаются комбинированные конструк­
uии из балок и ферм. Обычно при расчетах ферму рассматривают
как балку, что приводит к заметным погрешностям.
В настоящей статье рассматривается одна из возможных схем
на переменном токе для моделирования указанных конструкuий.
На рисунке показана комбинированная стержневая констру1щия
и ее электрическая модель.
Электрическая модель состоит из двух частей - модели фермы
и модели балки.
В модели фермы усилия, действующие в стержнях, разложены на
горизонтальные и вертикальные составляющие. Этому, в свою оче­
редь, соответствуют две электрически е схемы : Х - для горизон­
тальных составляющих, У - для вертикальных. Каждому стер­
жню, соединяющему произвольные узлы фермы, соответствуют два
равных сопротивления R на схемах Х и У. Величина сопротивленип
определяется по формуле
13
R=VR Е} ,
где VR - масштабный коэффиuиент; !Ф
-
длина стержня фермы;
EF - жесткостной параметр стержня.
Каждое ответвление тока на схеме Х соединено с соответствую­
щим ответвлением на схеме У при помощи трансформатора с таким
коэффициентом трансформаuии, что обеспечивается отношение
fy
г=tga,
х
гдеfx- токвRнасхемеХ;lv- ток вRнасхемеУ;а- угол
наклона стержня к горизонту. Величина lv пропорuиональна верти­
кальной составляющей усилия, а I х - горизонтальной составляю ­
щей. Отсюда следует, что если стержень горизонтален, то соответ­
ствующие точки на модели У между собой сопротивлениями не сое­
диняются, т. е. ток между этими точками равен нулю. Аналогично,
узлы, соединенные вертикальными стержнями, •на · модели · Х соот-
ветствующие точки сопротивлениями не соединяются . •
15*
227

Внешние нагрузки задаются током в У-направление, если дейст­
вуют вертикально, и в Х - направление, если действу ют горизонтально.
Для определения усилий доста точно измерить пропорци ональные
им силы токов в элеме нта х элект ричес:кой модели. Для определения
продольных деформаций элементов фермы необходимо измерить
падения напряжений на сопротивлениях.
Параметры модели балки постоянной жесткости выбираются по
следующим формулам:
l
l3
1
Rм=УRмEJ , RQ=YRQ 12EJ , ПА=Пв=Уп2,
где l - длина балки; EJ - жесткость балки; ПА = nв - коэффици­
е нт трансформации ; Уям, YRQ, Уп
-
переходные масштабы .
ЛИТЕРАТУРА
1. Пух о -в Г . Е . Электрическое моделирование стержневых и тонкостен­
ных конструкций. Изд-во АН УССР, К ., 1960 .
Доложено на семинаре
13 мая 1966 r.

ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОИСКА СВЯЗЕЙ
В СТРУКТУРЕ ЛОГИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
Д. И. ПАШКО
Из динамических моделей операторного типа, т. е. таких, реша ­
ющая схема которых представляет квазианалоr оператора задачи ,
заслуживают внимания модели с логической связью проводимо­
стей с усилителями постоянного тока. Усилители используются пр11
этом в режиме отработки, записи и считывания узловых напряжениi·1
на запоминающих конденсаторах [1,2] .
Модели имеют многоканальную структуру связи запоминающих
конденсаторов с усилителями. Каждый канал представляет авто­
номную ключевую схему и обслуживается одним усилителем. Это
расширяет возможность применения в качестве ключей схем на полу­
проводниковых элементах. Модели отличаются большой эко1-юмич­
ностью ключей.
В основу построения многоканальной структуры положен прин­
цип условного группирования узлов сетки аппроксимации в блоки .
Целесообразным оказывается группирование по схеме конечно­
разностного оператора.
В статье предлагается метод поиска связи моделирующих коэф­
фициенты проводимостей с усилителями каналов в зависимости
от положения электрического оператора на области узлов для бигар­
монической задачи. Рассмотрение частного примера не накладывает
ограничений на применение методики при разработке любых дру­
гих моделей операторного типа .
Известная система обозначения коэффициентов тринадцатичлен­
ного конечно-разностного оператора [3] переносится на обозначе­
ние проводимостей модели.
Электрическая схема квазианалога оператора и система обозна­
чения проводимостей приводится на рис . 1. Центральному коэффищ1-
енту соответствует проводимость k, верхнему над ним - а и т. д.
Снстема обозначения коэффициентов используется также при услов­
ном группировании узлов сетки аппроксимации. На рис. 2 приво­
д1пся относительное расположение блоков и система обозначения
узлов в блоках.
229

Запоминающие конденсаторы одноименных узлов (узлов k,
а, Ь и др.) конструктивно сводятся в отдельные группы, каждая из
которых обслуживается своим усилителем . Этим дос т игается много ­
канальная структура.
Задача поиска связи проводимостей с усил ителя ми каналов на
любом шаге электрического оператора лежит в основе построения
модели.
Введем некоторые обозначения:
а) признаком уровня для внутренних узлов блока будем обо­
значать их положение относительно uентрального узла;
Рис. [.
б) признаком уровня блока - положение е го uентрального уз­
ла k относительно uентрального узла блока, принятого за основной;
в) признак уровня оператора определяется положением его uен-
траль ного коэффициент.з ii над областью узлов относительно цент­
рального узла основного блока;
г) признаком уровня коэффициента (соответствующей проводи­
мости) в операторе обозначим его положение относительно цент­
трального коэффициента k;
д) за единицу модуля призна~юв принимается шаг сетки аппро ­
ксимации.
Основным на области узлов может бып, выбран любой блок .
230

В качестве направлений системы отсчета признаков и их услов-
ных обозначений выби р аются следующие:
1) направление вверх
«t»;
2) направление вниз
«+»;
3) на правление вправо
«--+ »;
4) направление влево
«+-»;
Система обозначения признаков:
1) «О» - признак уровня оператора;
2) «Б» - призн ак уровня блока;
3) «У» - признак уровня узла в блоке;
4) «К» - признак уровня коэффициента в операторе.
f----
,- -,-
-
-
-
-
-
~
-
~,
'
1
\
1
1
1
1
L
у '?л.. f
l
1
1
1
'У()' k 6'_ l
[у~.f
1
1
1
""-/} сАl'У{1 k IЬ'-l !
1
["-.,_ / 1/~л_ h с IЛ
1
1
L'3⁄4{1k~~/
1
1
1
у1~ f'_/}
1/2 l
т
1
1
с
1
_1
у()' k ~~VV~.f
1
1
~/} с /2 ту'{1 k ь"\.,.z
1
1
~r/
""-h с/i
1
1
т
1""'1/
1
1
т
1
1
1
1
/
1
''-
--~ -
/
-
-
-
-
-
-
--
-
--
Рис. 2.
Примеры записи признаков уровня:
УО, 1 t - признак узла в блоке с нулевой горизонтальной со-
ставляющей и единицей вверх; Kl,1 + - признак коэффициента
в операторе с единицей составляющей влево и единицей вниз .
В соответствии с принятыми обозначениями (рис. 1 и 2) каждый
коэффициент оператора и каждый узел блока имеют постоянные при­
знаки уровня в системе внутреннего отсчета. Признаки внутренне­
го отсчета для узлов и коэффициентов сведены в табл. 1. Последо ­
вательность точек перемещения оператора назовем его следом, а
последовательность связей коэффициента - следом коэффициента
{ проводимости). Система расположения блоков характеризуется от-
231

Таблица
Оператор
Блок
носительной смежно­
стью. Смежными к люl
бому блоку j считаются
блоки с минимальными
относительно j призна­
ками уровней:
Коэффи­
циенты
k
а
ь
с
ёi
е
l
g
h
т
п
Признаки
уровня 1<0-
эффициентов
ко.о
КО,! t
➔
Кl.О
+-
Кl,0
+-
К!,! t
➔
К!,1 t
->-
КI.1 -1 ,
+-
Кl,1 -1 ,
КО,2 t
К2,0
КО.2 -1,
К:2.0
Адреса
Признаки
узлов
уровня узлов
k
УО,О
а
УО,1 t
➔
ь
YI,O
с
УО,1 -1 ,
+-
d
YI.O
+-
е
YI,I t
➔
YI,I t
➔
g
У!,!-\,
+-
h
YI,I -1 ,
УО,2 t
➔
У2,О
т
УО,2 -1 ,
+-
п
У2,О
62,3fj,с; 63,2fj,с;
63,2 Ji,с; Бi;'3 Ji,с, (1)
где j, с - индексы обоз­
начения признака смеж­
ного к блоку j.
Связь между призна­
ками уровня оператора,
блока, коэффициента и
узла может быть уста­
новлена по рис. 2 и
табл. 1. Пусть опера­
тор получил признак
00,2 t . Тогда коэффи­
циент получит связь с
узлом, признак уровня
которого будет
L;
Ym,nt+ = 00,2 t +
+КО,1t =УО,3t , (2)
где
КО, 1 t признак
уровня коэффициента а
(см. табл. 1).
Полученный по урав­
нению (2) признак вы-
ходит за массив при­
знаков уровня основного блока. Очевидно, что узел связи находит-
ся в смежном к основному блоку, а именно, в блоке Б2,3 t о.с• Пр!!
выборе другого смежного блока результат решения уравнения (3)
окажется вне его массива узлов. При знак уровня узла связи мож­
но найти из выражения
~•
-
-
Ym,ntt = 00,2t+КО,1t- Б2,3tо.с=У2,О.
(З)'
Из табл. 1 следует, что данному признаку соответствует узел l ,
т. е. коэффициент а получает связь с усилителем канала L. Уравне-
232

ние (3) в общем тще
q
q
q
q
Ут,пtt = От,пtt +Кт,пtt - Бт,пt+
является основным уравнением пои ска связи. Независимой пер емен-
q
f...,
ной здесь является признак оператора От, п ·N,, признак Кт, п tt для
q
каждого коэффициента остается постоянным. Признак блока Бт, п '!,~
относительно просто находится, если пm,ск следа связи коэф ­
фици ента ведется от основного блока. При этом переход связи и з,
одного блочного массива узл ов в другой определяется по р езульта­
ту решения уравнения поиска . Если признак оператора получил
единичное изменени е и результат решения уравнения (4) на ходится
в пределах возможных внутриблочных признаков (табл. !), то связь
остается в массиве обследуемого блока. Если результат решения
выходит из массива внутриблочных призна ко в, то коэффициент по ­
лучает связь с узлом смежного блока. Связь оказывается в том смеж­
ном блоке, составляющи е которого имеют направл ения, совпадаю·
щие с направлениями соответствующих составляющих в результат е·
решения уравнения (4) . Если в решении какая - либо составляющап
равна нулю, то выбирается блок с меньшей по м одулю соответству­
ющей составляющей. При поиске следа для коэффициентов с при ­
знаком
f--;;
Кт,пt+ = КО,2tt ,
f-;;
-' -,
Кт,п ·t-t, = K2,U
возможны двойные п ереходы к смежным блокам. Сю1занное следует­
из относительного расположения блоков по узлам области.
Рассмотрим метод на примере поис ка следа коэффициента а.
Первый шаг. Признак оператора 00,0.
Уравнение по иска
00,0+КО,!t- БО,О =УО,1t
дает признак уровня, кот~ому соответствует узел связи а (;в,
табл. !), т. е . коэффициент а получает связь с усилителем канала а ..
Второй щаг. Оператор получает признак 00, 1 t .
У равнение поиска
00,1t+КО,!t- БО,О =УО,2t
приво дит к узлу связи i (усилитель канала i).
Тре ·r и й 1uаг. Признак оператора 00,2 t .
Ypdo1it::HИe поиска
00,2t+КО,!1' -
БО,О = УО,3 t

дает признак, который выходит за массив узлов основного блока
(по табл. 1, за массив внутриблочных признаков).
По результату УО,3 t из выражения (1) может быть выбран смеж­
ный блок. Его признак должен иметь меньшую из горизонтальных
составляющих и вертикальную составляющую с направлением « t ».
Таким блоком является Б2,3 t о.с· Признак смежного блока в общей
системе отсчета (относительно центра основного блока) определяется
из выражения
~
~
L,
Бт,пt+i,с+Бт.п'N,i = Бт,пt+-
При этом Бm,ntt i - обследуемый на предыдущем шаге блок, а
~
Бт,п t+ i,c - смежный к нему. В данном случае обследуемым на пре ­
дыдущем шаге был основной, тогда
+-
➔
Б2,3 'Го.с+ БОД = Б2,3 t.
Из уравнения поиска
+-
➔
00,2t+КО,!t- Б2,3t=У2,О
получаем признак узла l, т . е. коэффициент а получает связь с уси­
лителем канала l.
Четвертый шаг. Оператор имеет признак 00,3 t.
По уравнению поиска
+-
➔
00,3t+КО,!t- Б2,3t=У2,1t
+-
получаем признак, который вышел за массив узлов обследуемого (Б2,3 t )
➔
блока. Поиск следует вести в смежном к нему блоке Б3,2 t с• Признак
этого блока относительно основного
➔
+-
➔
Б3,2tс+Б2,Зt=Бl,5t.
Уравнение поиска
➔
+-
OО,3t+КО,!t- Бl,5t= Yl,It
дает признак vзла связи /i.
Дальнейший поиск связи коэффициента а- состоит в повторении
описанных операций на каждом шаге оператора. Резу льтат поиска
сведен в табл. 2.
После тринадцатого шага ( признак оператора 00,121') резуль­
тат поис ка связей коэффициента а в направлении O0,п t повторя­
ется. Это имеет место и для остальных основных направлений.
Данные табл. 2 пр едставляют собой один интервал следа ко­
эффициента а в поле периодизации связей. Начало сJiедующего ин-
234

Таблиuа 2
1
Признак 1
1
Адрес
уровня
Уравнение поиска в 00, п t
связи
опера т ора
00,0 t
00,0 +ко .1 t -БО,О -УО,1 t
1
а
00,1 t
00,1t +ко,! t -БО,О =У,2 t
1
-<-
1
00,2t
00,2 t +ко. 1 t -Б2.з t -У2,О
+-
1
00,3 t
O0,Зt +ко.1 t-Б1.st =Yl,1 -1
h
-<-
1
00,4 t
00.4 t +ко.1 t -Бl.5 t =Yl,O
d
➔•
-<-
1
00,5 t
00.5t +ко.1 t -Бl,5t =Yl,1t
е
00,6 t
00,6t +ко.1 t-Б1.вt =Yl,l -1
1
g
00,7 t
00,7 t +ко,1 t -БI,в t =Yl,0
1
ь
➔-
1
00,8 t
00,8t +ко.1t-Б1.вt - Yl,1 -1
t
➔-
1
00,9 t
00,9 t +к о.1 t -Б2.101' =У2, о
п
00,10 t
00,10 t + ко,1 t -БО,13 t =УО,2 -1
1
т
00,11 i·
00,11 t +ко,1 t -БО,13 t =УО,1 -1
1
с
00,12 t
00,12 t +ко, ! t -БО,13 t =УО,О
1
k
00,13 t
O0,1.Зt +ко,1 t-БО,13 t =УО,1 t
1
а
-
тер вала имеет признак О 1,0 . Его связи в направлении 00, п t мо-
гут быть найдены изложенным выше способом. Последовательным
поиском св я зей по интервалам можно построить полный след 1ю ­
эффициента в поле периодизации .
Возможен и более экономичный путь поиска связей . Можно по-
~
казать, что последовательность их в любом интервале cлeдa__Omconst,
п t var остается постоянной, полученной для коэффициента а и при­
веденной в табл. 2. Действительно, внутри блока п оследователь ­
ность для одного направления не изменяется: в любом блоке за уз­
лом с следует k, затем а . Не изменяется она и на участках перехода
235

от блока к блоку, что вытекает из самой системы относительного,
расположения блоков. Поэтому последовател ьность связей удобн о
представить в виде замкнутого гр_афа. На рис. 3 приводятся два rpa-
~
~
фа: для направления Omcoпs t, п +,,аг и направления Omco п st, п t va,.
Отличаются они последовательностью связей, которая указыва­
ется стрелками. Воспользоваться графом можно после того, как бу­
дет найдена связь коэффициента в начале интервалов. Для этого це-
от сопs tп/ vor
(i)---0 - - - - -0-~'-- - ~-~
т-----ф~отТопst f vor
Рис. З.
лесообразно прои з вести поиск связей в направлении начальны х
-
узлов, в данном случае - в направлении От, О. В результате по -
лучим последовательность связей коэффициента а, начиная с при-
знака 00,0 и до 013,0 соответственно:
а,е,т,l,Ь,li,d,п,i,g,с,f1,f,а.
Интервалы следа коэффициента получаются путем развертки гра -
±j;
~
фов Omcoпst, п t vаг и Omcoпst, п t vаг от начальных узлов связи: дл я
первого интервала (признак начального узла 00,0) от узла а , для вто-
-
-
роге (01,0) от узла е, для третьего (02,0) от узла т и т. д . Таки~
образом, будет получена вся полуплоскость связи коэфф и циента а.
Как видно из рис. 4, последовательность узлов также может быть.
,-
предст:э.влена графом Omvar, п t..J, con s t · Обратная последовате льность.
-
изображается графом Omvaг, п t..), coпst ·
С помощью полученных графов находится связь для любого ко ­
эфф1щиента на любом шаге оператора. При этом каждый из четыре х
графов можно использовать как ДJlЯ задания начальных узлов ин-
236

тервалов, так и для получения последовательности связей в интер­
;Бале. По двум графам определяется поле связи одного из четырех
,квадрантов основной системы отсчета признаков с центром в узле k
основного блока .
Порядок построения области связи для любого коэффициента
,с помощью графов предполагает следующие этапы:
1. Задание квадранта поиска связей.
2 . Выбор графа начальных узлов связи в интервалах.
3. Выбор графа последовательности связей в интервалах.
4. Определение по графу последовательности начальных узлов,
основанное на том, что признаку оператора 00,0 соответствует связь
п--
~
QfflVQГ П II CQЛS(
0--0 ---0- -0 -- --- -~
~--0~_J
iin, vог пII сопst
Рис. 4.
коэффициента с одноименным узлом: коэффициент k с узлом k;
коэффициент а- с узлом а и т. д. Единичному изменению признака
{)Ператора в направлении развертки графа соответствует единичный
переход в последовательности связей. Таким образом, граф началь­
ных узлов разворачивается от одноименного с коэффициентом узла
{признак оператора 00,0) и задает начальные узлы интервалов.
5. По полученным начальным узлам производится развертка
графа интервалов.
6. Полученные результаты поиска сводятся в таблицы связи
коэффициентов (проводимостей) оператора с усилителями каналов
и используются при построении модели.
Пр им ер. Построим массив связей с помощью графов.
Найдем след коэффициента l в третьем квадранте . В качестве
-
графа начальных узлов выберем 0mvar, пt}const· Графом интервалов
±;:
будет 0mconst, п +var• Для признака оператора 00,0 разворачиваем
~
Omconst, п -1, var от узла l, получим первый интервал. След второго
237

интервала начинается от узла Ь (признак оператора 01 ,О) и задае­
=:;:
тся графом интервалов Omcon st, п -1, var, третьего интервала - от уз-
.....
ла k (по графу Omvar, nl t const) и т. д.
Изложенную методику поиска связей коэффициентов с усилите­
лями каналов можно применить при построении логи~ш оператор а
для любой другой модели операторного типа.
ЛИТЕРАТУРА
1.ПуховГ.Е.
-
Кибернетика, 1965 , 2 .
2.БорковскийБ. А.,ПуховГ. Е.
-
В кн. : Математическое мо­
делирование и электрические цепи. Вып . IV. «Наукова ду мка», К . , 1966.
3 . Же мочки н Б . Н. Теория у пр у гости , Госстройиздат, М ., 1957.
Доложено на семинаре
4 февраля 1966 г.

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
А.Е. СТЕПАНОВ, Т.Г. ХАРЧЕВКО, tl.Т, РУБЛЕВСКИЙ
Расчет пологих оболоче1< при простейших граничных условиях
связан с решением системы дифференциальных уравнений четвер­
того порядка в частных производных. Такая система при конечно­
разностной аппроксимации сводится к системе линейных алгебраи­
ческих уравнений высокого порядка, обычно решаемых на цифровых
машинах.
Значительный интерес ПDедставила бы возможность решать та­
кие оболочки на аналоговых· машинах, а в частности, на сеточных
моделях.
Напряженно деформированное состояние пологой моме,пной
оболочки, согласно теории В. 3. Власова [1 ], описывается систе­
мой уравнений вида:
д2и
1
-
μ д2и
1
+μ д2v
дw
1
-
~,•
дх2+2 •ду2+2 •дхду+(ki+μk2)дх=ЕеХ'
iJ2v
1
-
μ.д2v11+ft.д2и_k
kдw_
1
-
μ2у
ду2+ 2
дх2 '
2
дхдуf-(2+μ2)ду-Ее
'
(k1+μk2) ~~ +(!г2+μk1) :; +(kт+2~tk1k2+k~) w+ (1)
52
1- μ2
+12v74w = --КГz'
где и, v, w - перемещения в направлении осей; k1 , k 2 - главные
кривизны; о - толщина оболочки; μ - коэффициент Пуассона;
Е - модуль упругости; Х, У, Z - составляющие нагрузки по ко­
ординатным осям.
Систему (1) при конечно-разностной аппроксимации, если поль­
зоваться общепринятыми приемами записи уравнений в частных
производных через значения искомых функций в узлах сеточной
области, можно представить как систему Зп зависимых алгебраи­
ческих уравнений, по числу неизвестных (и, v, w) в каждом из 11
узлов сетки.
239

В данной рабuте предлаrается следующий способ моделирования
l[lOJJoгиx оболочек на сеточных моделях: конечно-разностные урав­
нения рассматриваемой задачи записываются таким образом, что­
бы система Зп совместных уравнений распалась на несколько не­
зависимых систем с меньшим числом неизвестных. При этом имеет
см ысл использовать так называемые перекрещивающиеся сетки,
что позволит ограничиться решением лишь одной независимой си­
стемы порядка п.
При моделировании уравнений (1) удобно выбрать систему, со­
ответствующую сеточной области, приведенной на рис. 1, б. В узлах
пунктирной сетки определяются перемещения w, в узлах пересе­
чения вертикальных пунктирных линий со сплошными - переме­
щения v, а в узлах пересечения горизонтальных пунктирных ли­
ний со сплошными - и. При такой конечно-разностной аппрок­
симации удобно план оболочки разбивать на квадратные блоки
размером h Х h. Узлы и, в которых определяются перемещен ия и,
намечаются поср едине граней, параллельны х оси оу; узлы v - по­
средине граней, параллельных оси ох; узлы w - в центре блоков.
Особенностью предлагаемого способа является то, что для каж­
дого узла, содержащего неизвестное перемещение, составляется
лишь одно разностное уравнение. Так, в узлах, содержащих и,
выполняется первое уравнение системы (!), в узлах, содержащих
v-второе,авузлахсw
-
третье.
Системе (]) соответствуют следующие конечно-разностные урав­
нения:
21 -μ2
=h--a -X0 ,
1-μ
V1+V3-
2v0+-2
-
(v2+V4-
2v0) +
+ 1 ~ f!::__ (И17
-
И1s+И1э- U20) +/7(k2+p,k1)(W14 - W1в) =
-
2 1-μ2
-
h J!:6- УO,
(2)
h(k1+μk2) (и15- И13)+/1(k2+ ~~k1)(v14 -
V16) +h2(kf+2μk1k2+
1 {j2
+k~)Wo+fi'i •12[20wo- 8(W1+W2+W3+W4)+2(W5+
++,)+
+ ]_h21-μ2,.,
Wв w,ТWq Wg+W10+W11 W12- ~Lo,
где h - шаг сетки (рис. 1, а).
240

,IJ
!О
5
'
б
18 14- 19
:9413о152
!!
х
171620
8
з
7
!2
о
1
l
l
VI
vт
VI
VI
v,
1
1
1/0
1
1
-с --о-- ,--о-- >--О- - --о-- --о-- -
иw,иw,иw1иWIUWIи
1
1
1
1
l
v,
v1
V1
vт
VI
-
-
-
6-- )--62-
,t
16
1
>--о-- --о-- --0-
-
)-
иWIиWIUw,иw,иWIи
1
1
1/4
l
1
-
v,9 v: 4-
vT
VI
Vf
13,о15,2
)--~I _
_
,
--ь:Z- --о-- - -<>- - :>-- О--
иw,иW1иw,иwiиw,и
1
1
,fб
1
1
,
-
v1
v-
vт
v,
VI
1
iд ,з
17
1
'-< --о-- --о-- --о-- --о-- >--о-->-
иw,иw,иW\UW\Uw,и
1
1
1
1
l
V1
v,
v:12 Vi
VI
1
1
1
1
--(
-
-
о--
--о-- )--·· о- - ,--с--::>--о--г-
цW1иw,иW1иw,(1w,и
1
1
'
1
1
,Т
V
vr
,Г
V
1
Vf
о
Рис. 1.
16 7-2622

Применяя уравнения (2) с учетом граничных условий последо­
вательно к каждому узлу сетки, получи м полную систему конечно­
разностных ур а вн е ний для любой обJ~асти .
Рассмотрим для примера пологую оболочку с шарнирным опн ­
ранием по контуру и нагруженную вертикальной равномерно рас-
Рис. 2.
fп
Щ,
пределенной нагрузкой . Ге ометрические характеристики оболочки
такие :
а=Ь=8h
'
,
{j
1
20'μ=0,3,е=а=150'
k1= 8f1
а,
k-8f2
2- -ь-,
1-μ
-
2-
=
0,345, 1+μ = 0655
2
'
'
242

h(k1 +μk2) = 0,CG55, h2(k~ +2~tk1k2+ k~) = 0,0655,
-
1~;12 = о,0002з104, k1 = k2 = 0
·i~~.
Так ка 1, в пла нс- обоJючки 1<вадрат, то перемещения будем вычислять
для пt'рвой четв t'рти п.пана (рис. '2), разбив ее на 16 блоков размером
h. х h . Законтурные точ1<и при конечно - разностной аппроксимации
исключае~,1 с по мо щ ью граничных условий.
10
!О
г
-
-- --
9!
2!!
'
lол. '
i]с>л
--г т-о----
94-о211
837
!2
,.
i
,о
--
,i
'
fj
-
g 1,.
о ,2 11---
в3.7
,_
-
12
1
1
!О
!О
Усл.FFl J:1 ! 6
п
~
9l-14о211
Г~I.3 7
i2
!11
Vlcл.151б
g4о211
дз7'
12
11 11
1
Рис. З.
На стороне контура х = О: прогиб w = О, изгибающий момент
М 1 = О, продольное усилие N 1 = О, перемещение вдоль оси оу
v = О. На стороне у = О: прогиб w = О, изгибающий момент М1 =
= О, продольное усилие N 2 = О, перемещение вдоль оси ох и = О.
a2w
a2w
ИзусловияМ1=М2=Оиw=Оследует,что дх2 = ду2 =О.
При конечно-разностной аппроксимации этого выражения получим,
что значение прогиба w в законтурной точке будет равно значению
прогиба в пр едконтурной точке только с обратным знаком, т. е. W3." =
.
ди
дv
=
-
Wn.1<• Также из условия N1 = N2 = О следует, что дх- = Ту•
откуда Из.к = Ип.к ВДОЛЬ ОСИ ОХ, а Vз.к = Vп.к ВДОЛЬ ОСИ оу.
243

Из первого уравнения системы (1) с учетом приведенных уело-
"
д2и
,ВИИ следует, ЧТО ду2 = 0, откуда Из.к =
-
Ип.« ВДОЛЬ ОСИ оу.
д2v
Из второго уравнения системы (1) следует, что дх2 = О, откуда
,Vз.i< = -
Vп.i< ВДОЛЬ ОСИ ОХ.
После исключения законтурных точек записываются уравнения
{2) последовательно для каждой точки рассматриваемой области.
В итоге получим систему 48 линейных алгебраических уравнений.
При записи бигармонического оператора у7 4 w в конечных разно­
стях для предконтурных точек (рис. 2) надо учитывать, что шаг
сетки аппроксимации не h, а h/2. На рис. 3 приведены все возмож­
ные виды биrармоническоrо оператора в зависимости от выбора
его центральной точки.
Полученная система 48 линейных алгебраических уравнений бы­
ла записана и решена для следующих случаев:
а) шаг сетки аппроксимации неравномерный и биrармониче­
ский оператор только для предконтурных точек имеет вид (ел. I I I):
'r74 (О)= -1
-(sow - J2~ W1 - 12wo- .!.О_w -- l2w4 _L
V
h4
о
3
"
33
1
+16 1-16
1
8
+8
+
+32
1
_L4
).
- 3-W5- -3-Wвт3W7 3Wв W9 -3-W10 тW 11 1 3W12,
6) шаг сетки аппроксимации неравномерный и оператор изме­
няется в зависимости от того, где находится его нулевая точка (ел. I,
II, III, IV, V):
l
4
!(
160
56
56
160
ел.V(О)=h488wv- -3
-
W1- -3
-w2- -3
-w3- -3 W4+
128
64
32
_L 64
32
+ -9-W5+ -9-Wв+ -9-W7 1 -9-Ws+ -3-W9+
32
4
4
)
+-3-W10+3W11+3W12;
4
--
1(151
128
40
IIел.V(О)-h4 3-w0--3
-
W1- 12w2---3
-w3- 14w4 +
16
1
16
8
8
8
32
+-3-W5т·-3-Wв+ 3W7+ 3 Ws+3W9+ -3-W10+
+ W11 + +W12);
жv ел. у74 (О) =0 /~4 ( 632 Wo- 10w1- 8w2- 8w3- 10w4 + 2w5+ 2wв+
+ 2w7+ 2w8+ +W9+ -%-W1o+ W11+W12);
V ел.V4(О)=~(6iw0- 1Ow1- 8w2--8w3- 8w4+2w5+
+2w6+2w7+2w~+ W9+~W10+W11+W12);
'244

Пере-I'::\·I
меще -
ния k
о
1
и
2
3
4
о
1
V
2
3
4
о
1
w
2
3
4
Добавочный 1
множитель
Пере-Iх· I
меще -
ния k
о
1
и
2
3
4
о
1
и
2
3
4
о
1
w
2
3
4
Добавочный 1
множитель
о
о
о
22,RI6
20,499
48,183
34 ,774
50,236
44,806
63,529
50,236
о
22,816
о
20,499
о
16,027
о
6,6458
о
о
о
о
о
132,259
о
185 ,021
о
226,136
о
34 .326
о
о
18,631
13,642
45,915
34,929
61.073
47,513
67,638
53 .172
о
18,63 1
о
13,642
о
7,579
о
3,283
о
о
о
о
о
152.320
о
260 ,3 10
о
272,620
о
270,9 60
о
16,027
26,059
29,596
3 1,449
48,183
34,774
26,059
12,080
о
о
185,627
266,131
445,627
476,309
qab
0,01412 Е · б
о
7,5 79
20,164
28,250
32 ,097
45,916
34 .929
20,163
8,942
о
о
260,310
450,840
465,400
458,290
Таблиuа
3
о
(}
6,6458 .
о
12,080
о
13, 933
о
14,750
о
50,236
63,528
44,806
50,236
29,596
3 1,449
13,933
14,750
о
о
о
о
226,0
304,338
445 ,626 471 , 319
478,285 467,655
467,645 450,394
Таблиuа 2
3
о
о
3,283
о
8,943
о
12,790
о
14,691
о
61,074
67,640
47,513
53,173
28,150
32,096
12 ,789
14,691
о
о
о
о
272,630 270,969
465,400 458,320
472 ,070 460,990
460,990 448,580
24&

в) шаг сетки аппроксимации h постоянный и тогда существует
два ряда законтурных точе1, (рис. 2), а бигармонический оператор
имеет вид (ел. VI):
'\74(0)=~!20w'1 --8(W1+W2+W3+W4)+2(W5+Wв+w,+
+Ws)+W9+W10+Wн+W.\2]•
Результаты решения приведены в табл. 1-3 .
Пере-1~·1
меще~
ння /сг
о
l
и
2
3
4
о
l
V
2
3
4
о
1
w
2
3
4
Добавочный 1
множитель
о
о
о
20,494
14,074
48,641
35,272
63. 914
47,738
70,483
53,336
о
20,494
о
14,D74
о
7,636
о
3,284
о
о
о
о
1
о
196,036
о
302.395
о
313,405
о
311.553
о
7,636
20,103
28,116
3 1,904
48,641
35,272
20,103
8, 908
о
о
. 3 02,395
463.166
470,092
462,971
qab
0,01412 Е-б
Таблица 3
о
о
3, 284
о
8.908
о
12,736
о
14,6 34
о
63,9 14
70,484
47,738
53,336
28, 116
3 1,914
12,736
14,634
о
о
о
о
3 13,406 3 1l ,553
470,492 462,971
469,639 458, 719
458,719 446,833
Полученные системы решались на ЭЦВМ (М - 20) методом ис1,лю­
чения по Гауссу и итерационным методом Зейделя, так как при мо ­
делировании реализуется итерационный процесс.
Результаты исследования подтверждают возможность модели­
ровать уравнения пологих оболочек на квазианалоговых ма темати­
ческих машинах с использованием перекрещивающихся сеток.
ЛИТЕРАТУРд
l. Влас о в В. В. Общая теорин оболочек. ГИТТЛ. М.-Л . . 1949.
2. Степ ан о в А. Е.- В к н . : /\1\атематическое моделирова ние и электри­
ческие цепи. Вып. 2. Изп-во АН УССР. l9б4.
Доложено на семинаре
3 июнн 1966 г.

О МЕТОДЕ ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИН
А. Е. СТЕПАНОВ, Н. Т. РУБЛЕВСКИЙ, Т. Г. ХАРЧЕНКО
1. Все чаще для решения задач строительной механики и теории
упругости стали применять методы математического моделирования .
При моделировании изгиба пластин, предварительно применив ме­
тод сеток, приходится решать систему линейных алгебраичес1шх
уравнений, матриuа коэффиuиентов которых , вообще говоря, не
всегда является положительно-определенной. Матрица, составлен­
на я по методу деформаций , обладает свойством положительной
определенности [1 ]. А так как д .1я устойчивости ЭJ1ектрической мо­
дели достаточно, чтобы матрица решаемой системы была положи­
тельно-определенной, то представляет интерес применение метода
дефор маuий к расчету изгиба пластин.
2. Расчет изгиба изотропных упругих пластин постоянной тол­
щины сводится к решению неоднородного бигармонического ур.ав­
нения
р
D'
(1)
где w - прогиб пластины из плоскости; р (х, у)
-
интенсивность
о
Е63
распределеннои нагр узки; D = 12 (! _ μ 2 ) - цилиндрическая жест-
кость; Е - модуль упругости; μ - коэффиuиент Пуассона; о
-
тол­
щина пластины.
Погонные силовые факторы выражаются следующим образом:
Мх=- D(::~+μ ::~),1
д"
д2w )
(2)
Му=
-
D(д:~+μТх2,,
Qx= - D(~:~+д::;х)•1
Qу=
-
D(::~ +д~:~у)
(3)
247

3. При расчете на изгиб пластин предлагаем следующую схему.
Пластину разбиваем на квадратные пластинки , 1,оторые назовем
элементарными, и потреб уем выполнения условий равновесия по се­
редина м сторон, а также принuипа взаимности деформаций.
Для вывода уравнений метода деформаuий представим каждую
элементарную пластинку так, как показано на рис 1. Поочередно
♦Оу
задавая в точках зашемления
1 единичные углы поворота ера,
-,---,-~-+-+---,---,
ерь, ере, epd и единичные проги-
z
Рис. 1.
бы Wa, Wь, We, wd, найдем мо­
менты Ма (ера), Мь (ера), Мс(ера),
Md (ера), ма (ерь), Мь ( ерь), ... '
мс (epd), Md (epd), ма (wa),
Мь (wa), · · ·, Мс (wd), Miwd)
и
перерезывающие
силы
Qa (ера), Qb (ера), ... ,
Qc (epd),
Qd (epd), Qa (wa), Qь (wa), ···,
Qc (wd), Qd (wd), как функ­
ции от углов поворота и про­
гибов в точках а, в, с, d. Так­
же определим Ма (р), Мь (р),
Мс (р), Md (р), Qa (р), Qь (р), Qe (р), Qd (р) от едини чной равно­
мерно распределенной нагрузки р.
Таким образом, получим для точки а:
D
-
-
-
Ма = - Т 1h [Ма (ера) ера+ Ма (ерь) ерь+ Ма (ере) ере+
+ Ма(epd)~dl+Ма(wa)Wa+ Ма(wь)wь+Ма(we)We+
+ Ма (wd) wd + h3Ma (р)\,
D
-
-
-
-
Qa = -fi'Г !h [Qa (ера) ера+ Qa (ерь) ерь+ Qa (ере) ере+ Qa (epd) epd] +
+ Qa(wa)Wa+ Qa(wь)wь+Qa(wc)Wc + Qa(wd)wd+h3Qa(р)\, (4}
где М; (ер), М; (w), Q; (epi), Q;_(w/}_ -_мо~енты и перер езывающие
силы от единичных смещений; ера, ерь, ере, epd - действительные углы
поворота; wa, Wь, we, wd - действительные прогибы.
Аналогично записываются Мь, Qь, Мс, Qe, Md, Qd.
4. Для определения коэффициентов в формулах (4) воспользу­
емся методом конечных разностей. Наносим сетку на элементарную
1
пластинку (рис. 1) с шагом h = Лх = Лу = 4 . В пронумерованных
точках найдем прогибы от единичных смещений в местах защемления.
По полученным данным находим все интересующие на с М и Q.
Таккакединичноесмещение(либор=О,ер =1,w = Оилир =О,
ер = О, w = 1) задается только в одной точке, то решение будет
симметрично относительно той оси, fia которой лежит эта точ ка.
248

Еслимыположимр=О,rp=1, w= О,то намдостаточноре­
шить систему алгебраических уравнений двенадцатого порядка
(w 1 --ё--- w12) (рис. !).
Эту систему составляем, пользуясь бигармоническим оператором:
а) для точек 7, 10, 11, 12 с учетом граничных условий (рис. 2, а,
20wo- 8(W1+Wz+W3+W4)+2(w,+Wв+W7+w~)+W9+
ph4
+W10+WlJ+W12= -D-;
!О
5<>---<r'---<>б
94О211
8
37
,
1,
о
!О
5!о
194о2/!
_
..L_8 3 7
1112
t--1 --, -
1
8
Рис. 2.
б) для угловых точек 1, 4 (рис. 2, 6)
10
5!б
94О2
11,'!37
-,-
11
::-i -
-1-
_
12
1
/j
!О
5fб
9402f!
+--837
11/2
г-г-1
1- -+-т-
1
г
(3- 2μ- μ
2
)
(w0
-w
3
-
w4)+(2- 2μ)W8+
ph4
+0,5(1- μ2) (W9+W12)=
-
0-;
в) для внутренних предуг ловых точек 6, 8 (рис. 2, в)
18wo - (б
-
2μ)(W1+W2)- 8(wз+W4)+(2- μ)(W5+W7)+
ph4
+2(1- μ)W6+2w8+W9+W12= -у;-;
г) для предугловых точек- 2, 3 , 5, 9 (рис. 2, г)
(15- 8~t - 4μ2)Wo·- (12- 4μ)W3+(4- 2μ)W7+4W12+2wв-
-
(б-4μ- 2μ2
)
W2- (8-2μ- 2μ2
)
Wa+w9
=
~
4
•
249

-
-
-
-
(j)a
(j)b
(j)c
(l)d
\Va
1,511000
-0, 185125
О, 104605
0, 185125
-0,747540
-0,185125
1,51 ICOO
0, 185125
0.104605
0,343642
0,104605
о, 111512 5
1,511000
-0, 185!25
-0,060256
О, 185125
0.104605
-0, 185125
1,511000
-0,343642
- 1,242573
0,2 92208
-0,0675.ЗО
- 0.292208
0,825880
0,292208
-l,2425 7J
- 0,292208
- 0.0675.ЗО
-0,498278
0.0675.ЗО
0,292208
1.242573
- - 0,292208
0.170736
0,292208
0,067530
-0,292208
1,242573
- 0,498278
Моменты и поперечные силы вычислены по конечно - разностным
1
формулам, приведен ным в работе l2J , при μ = 6 .
1/r/.//////
/
2
Полученные таким об разом уравнения
Г/. метода деформаuий да ны в таблиuе .
t'i
5. В качестве примера рассмотрим 1шад-
'А---о--+--<30--1--с>-+-<>--1,: ратную пластину со стороной т = 2, жест-
4
ко защемJ1енную по краям. Разде J1им ее
Рис. 3.
на элементарные пластиш ( J·I (рис . 3) и для
точе1< 1. 2, 3, 4 (с учетом сим~1етрии) запи­
шем по два уравнения р,шновесия, поль­
зуясь формулами, приведенными в таб­
лице. Первое уравнение равновесия пред·
ставляет собой с умму моыентов в точке со-
пряж ения элементарных п ластинок, а вто.
рое - сумму перерезывающих сил. В итоге пол уч и м систему урав ­
нений с шестью неизвестными ср1, ср2, w1 , w2 , w0 , w4 , решив которую
.найдем:
С/)1 = 0,000606 :; ' С/)2 = 0,001751 -% '
W1 = 0,003567 i; , W2 = 0,004653 iJ ,
W3 = 0,008698 i) , W4 = 0,012184 iJ .
Для сравнения приведем решение той же задачи по конечно­
!
;разностному методу при шаге сетки /1 = ,(
р
•
р
w1= 0,0038210 ,w~ =
0,005921 -0
,
W3= 0,0129 6,W4= 0,020536.

\Vb
Wc
wd
р
0, 343642
0,060256
0,343642
0,986254
ма
-0.747540
0.:343642
0,060256
0,986254
Мь
-0,:343642
0,747540
-0,343642
-0,986254
мс
-0 .060256
-0,343642
0,747540
-0,986254
Md
-0,498278
0,170736
- 0,4982 78
-2,576542
Qa
0, 825820
-0 .498278
о, 170736
-2,576542
Qь
-0,498278
0,825820
-0 . 498278
- - 2 ,576542
Qc
О, 170736
-0,497278
0,825820
-2,576542
Qd
Описанный метод может быть использован для расчета изгиба­
емых пластин с различными граничными условиями на моделиру­
ющих математических машинах.
ЛИТЕРАТУР А
!. См и р но в А. Ф . Устойчивость и 1<0 J1ебан 11е сооружений. М., Трансжел­
дор из дат, !958 .
2.Варва1<П.М.,ГуберманИ.О.,М.нрошниченко М.М.,
П ред теч е нс к и й Н. Д. Таблицы для расчета прямо у голы;ых плит. Изд­
во АН УССР, К.. 1959.
3.ПvховГ. Е.,ВасильевВ.В.,СтепэновА. [., Т о к а­
р ев а о.· Н . Электрическое моделирование задач строительной меха ники. Изд­
во АН УССР, К., 1963.
Доложено на семинаре
3 июня 1966 r.

К ВОПРОСУ О СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССОВ
УРАВНОВЕШИВАНИЯ КВАЗИАНАЛОГА УРАВНЕНИЯ
ТИПА ФУРЬЕ-КИРХГОФА
Н. В. ДИЛИГЕНСКИЙ
В работе приводятся результаты исследования процесса уравно­
вешивания квазианалога, построенного для решения конечно-раз­
ностного уравнения типа Фурье - Кирхгофа, которое может быть
записано в виде [1 ]
AX=F,
(!)
Х - вектор неизвестных; F - вектор заданных величин; А
-
квад­
ратная несимметричная матрица порядка п. Модель квазианалога
построим так, чтобы она реализовала уравнение
(А-D)Х=F-DФ,
(2)
где Ф - вектор уравновешивающих величин; А
-
D - симметрич­
ная матрица .
Процесс уравновешивания квазианалога ведется следующим
образом. На вход модели подается вектор уравновешивания Ф0
и в узлах модели снимается решение Xu. Величина Х 0 направляе­
тся в устройство уравновешивания, где из него вырабатывается
вектор Ф1 , который вновь подается на вход модели и снимается
решение Х1 . Затем процесс повторяется по описанному циклу.
Используя уравнение (2), процесс уравновешивания можно пред­
ставить так:
Xk=ВФk -1-(А-D)-1F,
(3)
гдеВ=- (А
-
D)-1 D.
Процесс уравновешивания сходится к решению, если при k -+ =
Х,, и Фk стремятся к одному и тому же пределу. Этот предел и бу­
дет решением системы(!).
Запишем стандартную форму стационарной линейной итера­
ции (2]
xk = нхk-1+v,
(4)
где Н - некоторая матрица; V
-
вектор-столбец.
252

Необходимым и достаточным условием сходимости итерацион­
ного процесса (5) является выполнение неравенства [2]
f<1,
(5)
гдеI= max/л;/(i= 1, 2, 3, ..., п) - спектральныйрадиусН;
л.; - собственные значения Н, т. е. корни уравнения
det (Н - л.Е) =-"" О;
Е - единичная матрица.
Средняя скорость сходимости r итерационного процесса (5) опре­
деляется по Янгу [3]
r = -Ini.
(6)
Сведем нашу задачу об исследовании уравновешивания квази­
аналога к отысканию матрицы перехода Н и нахождению ее спект­
рального радиуса . Матрица Н определяется видом матрицы В
и принятым методом уравновешивания. Найдем Н для некоторых
канонических матриц В и для наиболее распространенных методов
уравновешивания модели.
Предварительно заметим, что иногда мы будем вместо представ­
ления (4) использовать следующее уравнение:
фk = Н1Ф1,-1 + V1,
(7)
rде Н1 - некоторая матрица; V1 - вектор-столбец .
Сравнивая соотношения (3), (4) и (7), получим
н1=в-1нв,
(8)
т. е . матри цы Н и Н 1 подобны и, следовательно, их спектральные
радиусы равны.
Рассмотрим задачу о движении теплоисточника по стержню
•бесконечной длины. Шаг сетки h примем постоянным h = п ~ 1 .
Электрическая схема модели представлена на рис. 1, а. Матрица А
запишется в виде
А=
(9)
о
еде~ =-R
1
1 =h; 8=-1 -=Ре; y=-
1 -=h (вi+-р1 )• (10)
R2
Rз
а=- (2~+8+у).
(11)

Обозначения приняты такие же, как в работе [ ! ]:
2a.R
--
-·
Bi= -~-
-
число Био; а - 1<оэффициент теплоотдачи;
R1 ; R2 ; R:J - сопротивления схемы рис. l, а.
В 1,ачестве D возы.1ем матрицу с элеrv1ентами d;/
d· ={оприj-i=1,
lj
о
.
l
приJ-i=!=
.
а
о
Рис. ! . Схема модели квазианалога для моделирования движения
теплоисточни ка:
а - по бес1<онечному стержню; б
-
по кольцу.
(12 )
Изучим влияние элементов матрицы А и работы устройства уравно­
вешивания квази аналога на сходимость процесса уравновешивания
данной задачи. ,
Если устройство уравновешивания работает так, что реализует
одновременную передачу всех rюмпонент Xk-1 в вектор уравнове­
шивания Ф 1,, т. е.
( 13)
то из формулы (3) имеем
Н=В.
(14)
254

Используя аппарат матричного исчисления [4, 5] для спектрального,
радиуса матрицы В, получим
(15}
:rt
-
~2
4cos 2 --
n+1
где а, f3, о - определяются соотношениями (10) и (1 ]). При выпол­
нении условия (11) 1, всегда меньше 1, т. е. процесс уравновешива­
ния при принятом способе реализации всегда сходится.
r
J,
2,о~н~,____::,~.а+::::====:::::;~=-..,.~•-•и -
---
---
Oi::_--- -~5L_____i~P----=-=б.c::::..==-====2~0==~
R,
Рис. 2. График зависимости скорости сходимости процесса урав•
новешивания модели от параметров модели:
--- -
задача дJIЯ бесконечного ~тержня; - -- - - задача для кольца.
Скорость сходимости процесса уравновешивания определится
следующим выражением:
Jt
r=ln_4
_
c_o_s2_n _
-!_
- _1__
_
136
(16)
Кривые скоростей сходимости изображены на рис. 2.
Проанализируем зависимость r от следующих параметров урав·
нения:
t = __!3i___ = Ре /i - величина, пропорциональная С1<0рости дви
f'
R2
255-

у
R
.
h2
жения теплоисточника; 13 = -1;- = В1 h2 + -Р- - величина,пря-
мо пропорциональная теплоотдаче и обратно пропорциональная
шагу по времени.
С(,
Скорость сходимости прямо зависит от ~ , т. е. наличие стока
на землю положительно влияет на сходимость процесса уравнове­
шивания модели.
Существенное влияние на скорость сходимости оказывает вели-
6
чина, характеризующая степень асимметрии матри цы - 11
. Для
симметричной матрицы ( f = О) r = =, т. е. решение получает­
с я непосредственно на сетке без уравновешивания. При возрастании
~ скорость сходимости падает, достигает минимума в некоторой
8
точке и затем возрастает при увеличении 11 . При большой степени
асимметрии скорость сходимости имеет вид
8
r=ln~
(17)
8
В пределе при (3 --+ = r --+ =. Это происходит, когда матрица А
вырождается в двухдиагональную и решение тогда можно получить
-без итераuий, последовательно вычисляя компоненты Х.
Зависимость скорости сходимости от числа узлов ярко прояв­
ляется при /а 1 = 2 ~' т. е. с у чето м соотношения (11) при малых
значениях 3⁄4и 1. В этой области r обратно зависит от п. В ос-
"
б
"8у
·тальнои о ласти значении 13 и В зависимостью скорости сходи-
мости r от числа узлов п можно пренебречь.
Рассмотрим теперь проuесс у равнов ешивания, при котором
sравновешивание потенциалов производится сначала в i-ой точке
и затем последовательно во всех остальных точках модели.
Найдем для этого случая матриuу пер ехода Н1 .
В тот момент, когда урав новешивание происходит в i-ой точке,
лотенциал в ней можно определить следующим образом:
(f)ik = bi1 (()1k + bi2(()2k +. • . + bu(()ik +
(18)
,где в;j - элементы матрицы В; (f);k - компоненты вектора уравно­
вешивания Фk. Если уравнение (18) записать для каждой из п то­
чек модели, то в матричной символике имеем
( 19)
:256

7
1
где Т и S - матрицы с элементами
t-
._
{bi; при i>j,
(2О)
lj- Q
j>i,
s·· -Jbij
j>i,
(21)
lj- \О
i>j.
Если теперь матричное уравнение (19) представить в стандартной
форме (7), то имеем
Hl=(Е-Т)-1s.
(22)
При большей несимметричности Н 1 ее спектральный радиус полу­
чается равным
-
4~2
л= -а-2-
(23)
и скорость сходимости
б
r=2ln2Г.
(24)
Сравнивая равенство (24) с выражением (17), видим, что при
большой степени асимметрии матрицы (:) скорость сходимости
второго из разобранных методов приблизительно в 2 раза выше п ре­
дыдущего, т. е. применение п оследовательного уравновешивания
точек дает сокращения числа итераций, а следовательно, и времени
решения, грубо говоря, в 2 раза. Это имеет особенно большое зна­
чение при ручном уравновешивании квазианалога. Заметим, что
изученные выше методы уравновешивания квазианалога можно
рассматривать как неявные матрицы соответственно одновременного
и последовательного смещения для системы (1).
Скорость сходимости их превышает не менее чем в 2 раза скорос­
ти соответств ую щих явных методов одновременного и последователь­
ного смещения.
Так скорость сходимости явного метода одновременных смеще ­
ний имеет вид
(25)
1
а2
r=2 ln
;тt
4~ycos2 --
n+I
'
больших
б
и при
13
1
б
r=тln~
(26)
Скорость сходимости явного метода посJ1едовательных смещений -
метода Зейделя - запишется так:
r=lп
17 7-2622
R
•
;тt
4t-'ycos- - -
п+l
(27)
257

/j
n для больших j
(28)
Сказанное иллюстрируется графиками на рис. 3, где представлены
скорости сходимостей четырех итеративных процессов.
1.0
10. ,
!00.О
Рис. 3. Сравнение скоростей сходимостей итераций для модели
,рис.·1,а(Р= =, п=5):
1 - уравновешивание модели при одновременной передаче потенциалов;
2 - при поочередном уравновешивании точек модели; З - численный метод
одновременных смещений; 4. ;-:- .:Н·I~lJе:1-щы.й , метод после довател ьных смеще -
ний - метод Зе~"!деля.
Рассмотрим влияние качества работы устройства уравновешива­
ния на точность решения задачи. Устройство уравновешивания
должно обращать в нулевой вектор невязок уравновешивания
ek= Х/-Фk.
(29)
Если' бь'i 'век-тор: f,k равнялс· я ~ нулю, то и xk и фk являлись бы точ­
ным решением (1). На самом деле, после того, как процесс уравно~
веr,чи.,rзания модели будет завершен на некоторой k - ой итерации,
вектор f,k будет отличен ОТ ну)1я '( 1! f,k 11 =р О) , и мы получим при­
ближенное решение Xk вместо · точного А - 1 F .

Обозначим невязки решения через Rk:
Rk= А- 1 F-Xk.
(30}
Тогда отклонением вектора Фk от решения А·- 1 F будет вектор Qk:
Qk=А-1F- Фk=Rk+вk.
(31)
QR//
Uc//
20,0t-----+----+--l---+-+----1------J
Рис. 4. Зависимость ll!s.!l от параметров модели рис. \, а .
lfe/1
Важным свойством линейного итерационного проuесса является
то , что для л юбой нормы ошибки, при достаточно большом числе
итераций k, ошибка Rk убывает в среднем в f. раз за каждую ите­
рацию [2], т. е.
(32)
где Х - спектральный радиус матрицы перехода Н.
Если рассматривать уравновешивание с одновременной переда­
чей потенциалов, Фk = Х1, _ 1, то из равенства (31)
Rk-1 =Qk=Rk+в~,
(33)
.1) r:
17*
259

следовательно,
(34)
где f - определяется выражением (15).
Воспользовавшись неравенством треугольника для нормы, из
равенства (34) получим
IIRkll < f - 1/ekil-
(35)
1-л
f
Значение μ = ---- можно интерпретировать как верхнюю грань
1- л,
отношений невязок решения JI R 11 к невязкам уравновешивания JI е /1 .
д1 читывая соотношение (15), имеем
IIRII ,,,,
_
~&
1iёJГ ~μ=
а2
(36)
л:-~2-
~&
· 4cos2 --
n+I
п
"б
"&у
очти во всеи о ласти значении l3 и l3 величина μ мала и дости-
гает существенной величины лишь при большом числе узлов и при
малых 1и : . На рис. 4 изображен график значений μ в зависи­
мости от параметров уравнения.
Проделанный выше анализ относился к решению задачи о дви­
жении теnлоисточника по бесконечно длинному стержню . Рассмот­
рим поведение итерационного процесса уравновешивания квазиана­
лога при решении задачи о движении теплоис точника п о кольцу.
Схема модели изображена на рис . 1, 6.
Матрица А в этом случае имеет вид
а
~о
О~+б
~+б; а
о
А=О
(37)
о
о
~
,~.о
.
О~+б;а
В качестве D примем матри цу
о
Об
б
о
о
D=
(38)
о
ОбО

Если процесс уравновеши вания модели вести по одному из рассмот­
ренных способов, то
-
б
Л,--- ·
-
б+у
(39)
Из равенства (39) видно, что при у = О f" = 1, т. е. процесс итера­
ций расходится. При у > О и любых б >- О процесс сходится. Ско­
рость сходимости определяется формулой
1 A,r
l!R/
t![,H
14,0 /,4
12,0 1 ,2
10,0 (О ~
в.о 0,8
б,О 0.6
1,,0 0 ,1,
1
2
-~-
---
\
V
1\/
/~1
/1>
r=1n(1++).
(40)
i
V
--
--
~-~J __
--
-;?
L
!1
1
'
1,
/
/
--
1/
1
1
--
//
/
1
--
2,0
{О
0,2
о~
V-l._ _
-г--
-
! -т---
1,0
2,0 3.0 4
.0
50 б.О 7.0 8 ,0 9,0 !0,0 !2,0
Рис. 5. Зависимость характеристик проuесса уравновешивания для модели рис. \, 6 :
-
liRII
! - спе1пральный радиус
-
л; 2 - скорость сходимости , ,; З - ТiёТJ·
Из выражения (40) видно, что наличие стока на землю улучшает
сход и м ость, с увели чением же асимметрии матрицы скорость схо­
димости падает, асимптотически стремясь к нулю. Результаты (39)
и (40) приведены на рис. 5. Найдем μ, подставляя значение л (39)
в формулу (35)
б
μ=- .
у
(41)
Сравнивая равенства (40) и (16), заметим, что сходимость процесса
уравновешивания для задачи о движении теплоисточника по бес­
конечному стержню выше, чем при движении по кольцу. Особенно
целесообразно модель рис. 1, а применять при больших скоростях
движения - Ре, переходя , в предельном случае , к получению ре­
шения сразу, без итераций. Анализируя соотношения (41) и (36) .
261

можно отметить, что в модели рис. 1, а происходит как бы демпфи­
рование невязок уравновешивания граничными условиями перво­
го рода - потенциалами. В модели рис. 1, 6 происходит накопление
ошибок уравновешивания с ростом числа итераций и они растут
линейно при увеличении Ре.
ЛИТЕРАТУРА
1. Резников А. Н.,Темников А. В.,Дилиrенский Н. В.,
Гаврилов Б.М.-Настоящийсборник,263.
2.Вазов В., Форсайт Л.Разностныеметодырешения дифференци­
альных у равнений в частных производных. ИЛ , М., 1963.
3. J о u n g D. М. Iterative metl10ds !or solving partial dif!erence equations
о! elliptic type. Trans. Amer. Math. Soc . 76, 92-111.
4.Фадеев Д. К. ,ФадееваВ. Н. Вычислительныеметодылиней­
ной алгебры. Физматrиз, М., 1960.
5. П а р од и М. Локализация характеристических чисел матриц и ее при­
!,! енения . ИЛ, М. , 1960.
Доложено на семинаре
10 декабря 1965 r.

ПРИМЕНЕНИЕ КВАЗИАНАЛОГОВОГО
ЭЛЕКТРОМОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ РЕЗАНИЯ И ИЗНОСА
А. Н. РЕ3НИКОВ, А. В. ТЕМНИКОВ,
Н. В. ДИЛИГЕНСКИЙ, Б.М. ГАВРИЛОВ
При решении задач теплофизики процессов резания и трения
в последнее время наряду с аналитическими методами начали полу­
чать применение методы электрического моделирования, имеющие
ряд преи~rуществ перед первыми, особенно при исследовании тем­
ператур в телах сложной конфигурации и при сложных условиях
те п лообмена [1 - 3].
Как в задачах исследования температурных полей при резании,
так и в тепловых задачах теории трения и износа необходимо мо­
делировать краевые задачи теплообмена при относительном переме­
щении тел, находящихся в тепловом контакте. При этом моделиро­
вание для одного из двух контактирующих тел удобно производить
в подвижной системе координат.
В конечном итоге задача сводится к моделированию дифферен­
циального уравнения ти п а Фурье - Кирхгофа, которое в криво­
линейной ортогональной системе координат в безразмерной форме
может быть записано в виде
(1)
t-t
где{}= t
_
; - безразмерная температура; fм
-
t0 - масштаб-
м
о
а,
ная разность температур; F0 = R2 - число Фурье; R - характер-
ный размер; если q; - криволи н ейная ортогональная координата
q.
.
v.R
имеет размерность длины, то 'Vi =
-/4 -; Ре 1 = -1а- - число Пекле,
vi = Нi :~ ; vi = Нi, где Hi- коэффициент Ламе; если qi без-
263

{- /,/,!(
Uм=f
q,1,j,n
t/,
о
Рис. 1. Схемы: а - узла сетки; б
-
элемента электрической сетки
!!ЛЯ узла i. ;, k.

н.
размерно, то 'Фi = qi, vi = --tf-
2{} _
)[д(V2V3
д-д,)+ д (V3V1
д-д,)+
у' V1V2V3
д~р1 V1
дФ1
д~р2 V2
д~р2
+-д(~-~)]
д~рз
Vз
д'/)з •
Предложенные аналоговые методы электрического моделирова ­
ния уравнения (1) [4-6) оказываются практически неприменимыми
при больших скоростях относительного движения контактирующих
тел (большие числа Ре), при зависимости вектора скорости от коор­
динат и времени, а также при зависимости теплопроводности от тем­
пературы. Поэтому применение аналоговых методов оказывается
в значительной степени ограниченным.
Для модели рования уравнения (!) авторами предложены и внед­
рены в расчетную практику квазианалоговые методы, общая теория
которых разработана Г . Е. Пуховым [7].
Применение квазианалоговых методов позволило рассчитывать.
температуры в телах при значительных скоростях движения тепло­
источников, что имеет место при точении; позволило рассчитыват ь.
температуры в зоне резания с учетом картины течения металла
и при вра щении теплоисточника относительно тела. а также полу­
чать температурные поля в телах при пере ме нной теплопроводности .
Изложению результатов исследований, проведенных в этом
направлении в на у чно-пр о изводственной инструмента льной лабо­
ратории Куйбышевского политехнического института, и посвящена
н астоящая работа.
Обоснование квазианалоговых методов рассмотрим на примере
решения двухNlерного уравнения типа (1) и для того случая, когда
перемещение теплоисточника совершается лишь вдоль одной из.
координатных осей.
В этом случае уравнение (1) запишется в виде
дЬ,Ре1д{}_
1 [ д (v2 • _!!!____)+
~,~-~-~ ~ Vi д1Р1
+_д_(~.~)]+р
(2)
дijJ2 V2
дф2
о·
Представим уравнение (2) в дискретной форме для узла сетки (i,
j, п), изображенного на рис. 1, а:
V1 (i, j) V2 (i, j) (Л'Фн + Л'Ф12) (Л1Р21 + Л1/J22) ( {}i, j, п -;:i, i• п-1 +
-it-+1. - -д-. . )
+,,/,n
1,1,п
=
,
1'
2v1(i+2 .
1
j ) Л1r12
Ре1(i+2 ,j)
+
265

rде Р = ЛF0 - шаг безразмерного времени.
Выражение первого закона Кирхгофа в безразмерной форме
для узла (i, j, п) дифференциального элемента электрической сетки,
изображенного на рис. 1, б при условии
и меет вид
[].-И
.
1
L,/,n
l,J•n-
И-+1 •
-U
.
t
,J,n
L,/,n
R,
R1
RM
RM
~
У;.i. -D
.
+i-
, J,п
i,1,п
Rн
[]. +1
-D
.
+i,J,п
t,J,n +
R22
и.1
- D..
L,J- ,n
L,J,n +
R21
~
!{;
Uм-Иi,j,n
+
Rq
(5)
и-И-И0 б
"
"
И
где =И -И
-
езразмерныи электрическии потенциал; м -
м
о
-
U 0 - масштабная разность потенциалов .
Выбирая Им » И;,j,п и сопоставляя уравнения (3) и (5), по­
лучим следующие формулы для расчета сопротивления квазиана­
лога:
R
2Р
R
РR(6)
т, = v1 (i, j) v2 (i, j) (Л'\jJ11 + Л'\jJ12) (Л'\jJ21 + Л'\jJ22) м = 2Лсr1Лu2 11 '
2v1 (i + +,j) Л'Ф12
R1=
---
-----
--'----
-
--'------(---1
-
-)-Rы=
v1(i, j) V2 (i. j)(Л'\jJ11+Л'Ф12)(Л'Ф21+Л'Ф22) Ре1 i +2 ,j
(7)

R12 =
V1 (i++,j) л,v12
Лсr12
Rм,
V2(i++,j) ЛФ21+ ЛФ22
Rм=
--
,-,
2Лсr 12
Rн=
V1 (i -+ ,;) Л1μ11
Лсr 11
Rм,
V2 (i- -}- ,;) ЛФ21 + Л1V22 Rм=--,
2Лсr 12
V2(i,j++)
Л'Р22
R=Лv22Rм,
V1(i,j++) Л\~11+Л1V1:1 м 2ла;1
Vz (i, j-+)
л,1J21
R=Ла21Rм,
' ' 1 (i, j-+) • ~+л,1J12
м
,
2Ла 21
2
Rq= V1(i, j)V2(i, j)(Л,μ11+л,11~2)(L\Ф21+Л1V22)ро(i, j,п)Rм =
s
где а= R'
1
(8)
(9)
( 1О)
( 11)
(12)
Формулами (6)-(12) удобно пользоваться также и в том случае,
когда 1юэффициенты Ламе неизвестны .
В частном случае декартовой системы координат (х, у, z), пола-
х
у
гаяv1=v2= 1,1jJ1=R =~.
1jJ2=2
=
11, Л1j)1 = h~, Л1j)2 = /1ТJ,
получим
(13)
R-
2
R
q- (h1;+h2~)(h1ТJ+h2ТJ)pn м·
Для цилиндрической системы координат (r, rp), полагая v1 = 1,
v2= ~ =р,ф1=р, 1j)2= rp, Л1j)1=hp, Л1j)2=hrp и учитывая, что
267

V2 (i++•j)=Pi+ \Р ,V2(i-+,j)=Pi--i°-- ,
полу ч им
2Р
-2h9
R,=
Pi (h1p + h2p) hl(j) + h2(j)) Rм, R1 = Pi (h1p + h2p) (h~: + h2(j)) Ре Rм,
h2p
R1z = _(_
__
h_..:...) _____ Rм, Rн =
Р1 + ---; - - (h1(j) + h2(j))
h1p
--
---------
( Pi --i°-) (h 1(j) + h2(j))
( 14)
R-
P;h2(j) R R
pihl(j) R
22- h1p+h2p м, 21
h1p+h2p м•
R=
2
R
q Р; (h1p + h2p) (h1(j) + h2(j)) ро м·
Аналогичные формулы легко получить также для общего случая
трехмерной задачи и при перемещении теплоисточника вдоль всех
трех координатных осей.
Формулы для трехмерной задачи можно записать, если в соот­
ношениях (13) и (14) заменить Rм на
Rм=h ~hR~,
(15)
1~
2~
где
h~ = Л~=Л(~).
В формулах (13) и (14) сопротивления R1 - положительны ,
так как числа Ре отрицательны.
Условия (4), при которых обеспечивается эквивалентность у рав­
нений для объектов и для модели, являются условиями уравнове­
шивания квазианалога. Для того чтобы выполнить эти у словия,
необходимо проводить процесс уравновешивания методом итераций .
В матричной форме уравнение (3) имеет вид
АХ= F,
(16)
где Х - вектор неизвестных, определенный в узловых точках ;
F - вектор заданных величин (начальные и граничные ус ловия) ;
А - несимметрическая матрица, которую вследствие ее асиN1мет­
рии нельзя моделировать обычными аналоговыми методами.
В предлагаемом методе система (16) представляется в следующей
эквивалентной форме:
(A-D)X=F-DФ,
(17)
268

здесь Ф - вектор уравновешивающих величин; D - матрица,
которая выбирается так, чтобы матрица А -D оказалась симметри­
ческой, моделируемой обычными -аналоговыми методами.
Структурная схема математической модели, реализующей пред­
лагаемый метод, показана на рис. 2. Соответствующее ей матричное
у равнение имеет вид
A-DD
х
F
(18)
D*
к
ф
z
где D* - транспонированная матрица D; К. - диагональная мат­
рица; Х - вектор напряжений в узлах модели; Ф
-
вектор напря­
жений источников уравновешивания;
F - вектор токов граничных условий;
Z - вспомогательный вектор токов
источников уравновешивания.
F
11
Блочная симметричная матрица вы­
ражения (18) моделируется обычными ф
аналоговыми методами. Эквивалентное
.уравнение (17) получается из уравне­
ния (18) . Условие м эквивалентности
соотношений (17) и (16) является
Ф=Х.
(19)
Следо вательно, уравновешивание заклю-
!/!/
Рис. 2. Структурная
квазианалога.
х
схема
чается в регулировании величины Ф до обращения в нуль векто­
ра невязок
Е=Ф-Х.
(20)
Если разрешить систему (17) и (20) относительно Е, то получим
Е= (А-D)-1 АФ-(A-D)-1F.
(21)
·Сходимость процесса уравновешивания определяется свойствами
матрицы сходимости Р:
Р=(А -D)-1А
(22)
,и методом уравновешивания.
При больших числах Ре (быстродвижущиеся теплоисточники)
конвективный член типа Ре ~; в уравнении (2) (записанном в де­
картовой системе координат) значительно превышает - соответствую­
д28
щую вторую производную д~ 2 , выражающую количество тепла,
передаваемого теплопроводностью в направлении оси ;. Поэтому
ае
.этой последней производной по сравнению с Ред~ можно прене-
269

бречь [8], тогда уравнение (2) принимает вид
дi}
д{}
д2{}
ат;+Ре---щ- =~+Р0 •
(23)
В этом случае в соотношениях (13) можно положить
R12=R11=оо,
что физически означает отсутствие электрического тока за счет элект­
ропроводности, являющейся аналогом теплопроводности, в направ­
лении оси s-
Этот случай моделирования при Ре _,, оо будем называть предель­
ным квазианалоговым методом.
Для квазистационарного те п лового режима при постоянной
д{}
теплопроводности и при Ре - оо из уравнения (23), положив дFо =
= О, получим
д{}
д2{}-
1Реl--
=--
__l_ Р
д~*
дТ]2 .1
о,
(24)
где
s*
-
s.
Уравнение (24) является дифференциальным уравнением пара­
болического типа и само по себе может быть решено аналоговыми ме­
тодами либо с помощью RС-сетки, либо на R-сетках методом Либ­
манна [9].
Для моделирования же задачи контактного теплообмена двух
тел аналоговый метод непосредственно применить не удается, по­
этому авторами предлагается следующий квазиа н алоговый метод.
Электромоделирование в теле, связанном с подвижной системой
координат, производится на обычной сетке из омических сопротив­
лений для решения уравнения Лапласа. Для тела, перемещающего­
ся относительно подвижной системы координат, электромоделиро­
вание производится на RC- или R-сетках . Координатой, направлен­
ной по вектору скорости, для этого тела служит время,.
Равенство потенциалов, соответствующее равенству температур
в месте контакта моделей, устанавливается путем итераций.
В зависимости от того, какие сетки применяются для модели­
рования уравнения (24), будем различать RС-предельный квазиа­
налоговый метод и R-предельный квазианалоговый метод.
Принципиальная схема моделирования по RС-методу изображена
на рш:;. 3.
На схеме модель первого из указанных тел обозначена В, второго
А; 1, II, III - платы шагового искателя, работающего в режиме
периодизации.
Равенство электрических потенциалов, соответствующее равен­
ству температур в точках контакта тел, достигается путем после­
довательных итераций.
При прохождении контакта модели А по плате I шагового ис­
кателя, соединенной, например, с точкой 2, соответствующий кон-
270

такт К2 реле Р2 отключает потенuиометр П2 от модели В. После этого
с помощью нуль-гальванометра производится установка потенцио­
метра П2 на потенциал, равный среднему значению потенuиала
Л~*
в точке 2 на заданном отрезке времени Ре = Л-r. Все остальные
потенциометры Пп контактами Кп соединены в это время с моделью В .
г - -11Н----'/(}...:..'[):..::..% ___ _J
1
1
L_~
R,
о
о
сн:н'>-о-ооооооо-<J>-<>-<>-<>С>---0-j,_/
00000!/
+ 1- ~ ~Iооооо~оооZll
~Р, 8
~Р,,
Рис. 3. Принципиальная схема моделирования по RС-методу.
После уста новки потенциометра П 2 таким же образом устанавлива­
ются потенциалы на потенциометрах П 3 , П4 и т. д . Процесс установ­
ки потенциалов продолжается до их полной стабилизации.
Мощность теплоисточника трения q иммитируется электрическим
током, протекающим через сопротивление R;-
Соответствующая схема электромоделирования по R-методу изо­
бражена на рис. 4. Гр уп па потенциометров I служит для запомина­
ния потенциалов в точках контакта моделей А и В при проведении
проuесса итераций, а группы потенциометров II и I II для реализа­
uии решения нестаuионарной задачи на модели А по методу Либ­
манна [9].
В предлагаемых RC- и R-методах, в противоположность общему
методу, итерации прои зводятся не во всей области модели А второ­
го те ла, а лишь на поверхности контакта моделей. Двухмерная за ­
дача для второго тела сводится к одномерной, а трехмерная -к двух-
мерной.
-
-
27:.1

В ряде случаев, особенно при высоких температурах, в ходе ре­
шения задач контактного теплообмена необходимо учитывать за­
висимость теплопроводности тел от температуры. Для моделиро­
вания таких задач авторами также предложен излагаемый ниже
квази-аналоговый метод электромоделирова ния. Применение мето­
да рассмотрим на примере краевой задачи теплопроводности в двух
неподвижных контактирующих телах при граничных условиях пер­
вого и четвертого рода. (Этот метод легко обобщается на тот случай ,
когда одно тело перемещается по другому и на случай граничных
условий второго рода - задание теплоисточников трения.)
На рис. 5 приводятся результаты решения нелинейной задачи
теплопроводности в двух контактирующих телах, с различными
теплофизическими свойствами.
Для двух контактирующих тел с различными коэффициентами
теплопроводности, зависящими от температуры л1 = л 1 (t) и л2 =
= л2 (t) (рис. 5), математическая формулировка задачи о теплооб­
мене имеет , вид
_а_(л~)+_а_(л ~) -о
(25)
дх
1
дх
ду
1
ду-
'
t 1w = const,
:х(л2~; )+:У(л2~)=о
ду
'
(26)
t 2w = const,
(27)
а граничные условия на поверхности контакта двух тел запишутся
так:
-л(___!ь__)f= - Л, (~)f
1
дп
2
дп'
(28)
(29)
Эти уравнения можно линеаризировать путем введения перемен­
ных Г. А. Варшавского [1О]
t,
Ф1=fл1(t1)dt1+Ф10,
о
t,
Ф2=fл2(f2)dt2+Ф20•
о
(30)
(31)
После введения переменных (30) и (31) и приведения системы
уравнений (25)-(29) к безразмерному виду, получим
а201 ' а201
-
о
~т ~-'
f\w = const,
а202 , а202
-
о
аv-т~-,
272
(32) •
(33)
(34)
,,

-
00
__,
,:. ,
О>
'"
'"
f, :,
ё;j
Рис. 4. Принципиальная
схема моделирования по
R.-методу.
iтелл
Ltj-~:~~
Рис. 5. Температурные поля в контак-
тирующих телах:
1 - алюмнннй л1 = 20,2 + 0,0282 t "т/м. град;
1! - сталь мягкая л2=62,8-О,062 1 вт/,, град;
-
-
-
решение при теплопроводности, за -
висящей от температуры; ___ решение
при постоянн ой среднеинтегральной тепло­
проводности в данном интервале темпера-
тур (Лер = const).
i!тело

где
(35)
(36)
(37)
Ф2- Ф10
.
f_х
.
_
у.
п
82= Ф
Ф'"'-
-R'Yj-
-R,v=-R.
lM-
10
J
l
iJ
i!
а
о
Рис. 6. Электрические схемы моделирования тепло­
обмена при зависимости теплопроводности от тем­
пературы.
Соотношение (37) и перепишем в виде
811- 821 = Л81 (tJ)-
(38)
При моделировании линеаризированных уравнений переN1ен­
ным 81 и 82 приводятся в соответствие безразмерные электриче-
ские потенциалы И~ и й2 • Так как в месте контакта двух тел, несмот­
ря на равенство температур (37), 811 =;Ь821 , то и электрические по­
тенциалы в месте контакта моделей будут не равны, т. е.
И11 ,=I=- И21-
(39)
При . этом могут встретиться два качественно различных случая:
1) ток течет от модели первого тела к модели второго, а
И1>И2;
2) направление тока то же, а
И1<И2•
Для образования на модели скачка потенциалов в перво м слу­
~ае предлагается использовать регулируем~1е омические _ сопротив-
274 _

ления по схеме рис. 6, а во втором - источники питания по схеме
рис. 6, 6.
В обоих случаях решение задачи ведется методом итерации до­
тех пор, пока во всех узловых точках контакта моделей не будет
установлена разность потенциалов 011 - 021 ; (И11 - И21), соответ­
ствующая соотношению (38).
Рис. 7. Безразмерное температурное поле в зоне резания.
Предложенные квазианалоговые методы использовались для ис­
следования ряда теплофи зических задач теории резания и износа,
представляющих научный и практический интерес.
На рис. 7 показано температурное поле в зоне резания при то ­
чении, полученное квазианалоговым методом . При решении этой
задачи удалось учесть влияние нароста металла на режущ~й кромке
резца и течения металла в стружку на те м пературное поле, что ана ­
литическим путем чрезвычайно сложно сделать . Полученная моде­
лированием картина температурного поля хорошо согласуется в
качественном и количественном отношении с данными других иссле ­
дователей [1 ]. Мощность теплоисточников при моделировании зада­
валась по известной методике [1 ].
На рис. 8, а и б , показаны результаты моделирования темпера.~
турных полей в двух перемещающихся относительно друг друга
18*

-телах (двухмерная задача). В задаче принято, что в месте контакта
тел, за счет сил трения образуется тепловой источник равномерной
.интенсивности. Моделирование производилось при Ре = 133 двумя
.квазианалоговыми методами: общим и RС-предельным методом.
(/J
r;= t
,,,
0,8
/
/
О,б
J
i/
0,4
J
/
0,2
--
о--....
"'
--
1
-~
х
т
•\~
.......
.... .
Y/Jflo
/
1'\ "
1"-
'
r,-....._ 7,?,?о
=t=
!'-..
.....
.__
:iO(l°
1"-
~ (l(l:.
1
)
'
.......
1
о
1
'll~~
/
--
~-----
-----
__., ,/
а
--
,,,,,.
t,°C
1300
600
400
200
о
0.2 0.1,-
0.б 0,8
-~
l
о
Рис. 8. Результаты моделирования теплообмена при
трении двух тел :
--- моделирование
общим квазианалоrовым методом:;
-
-
-
моделирование по RС - предельному методу.
Результаты решений при выбранном шаге сетки отличаются друг
,от друга максимально на 11, 1%.
Температурное поле, возникающее в тонком кольце при движе-
1:1ии по нему точечного теплоисточника, показано на рис . 9. Сравне­
вие данн,мх моделирования с приведенными на этом же рисунке
данными .аналогического решения этой задачи, показывает, что по-
270

грешность решения не превышает 10,8%. Ее можно еще снизить
путем выбора более мелкогu шага.
Как видно из приведенных примеров, квазианалоговые методы
можно использовать для решения широкого круга задач техноло­
гической теплофизики .
8
к"0,025
0.02
t}.015
0,01
0,005
о
Ре• 100
81· 20
•
/
I
//
А-
7i
Ре• 100
в,, 10
Ре• 100
8i• 20
А Ре•20
/i 81•20
Рис. 9. Температурное поле в тонком кольце при
движении по нему точечного теплоисточника:
-
-
-
результаты электромоделирования; __ аналитиче­
ское решение.
При этом не накладывается никаких · ограничений на неличину
скорости перемещения теплоисточников и на скоростное поле вооб­
ще (вектор скорости может зависеть как от координат, так и от вре­
мени) .
Кроме того, квазианалоговыми методами могут успешно реша­
ться нелинейные задачи теплопроводности.
277

ЛИТЕРАТУРА
1. Р е з н и к о в А. Н. Теплообмен при резании и охлаждении инструмен­
тов. Машгиз, М. , 1963.
2.Резников А. Н., Темников А. В., Лимонов И.П.­
Н овое в резании металлов и пластмасс, К у йбышев, 1963.
3. Резников А. Н. , Темников А . В., Лимонов И. П.,
Д ил иге нс к и й Н. В.- Вестник машиностроения, 1963, 11, 43.
4. Р а s с h k i s V. Temperature distribution in the \Vorkpiece Stud y Ь у
means electric analogy. Research report , November, 1954.
5.Jоhпsоп W. С.,А1lеу R. Е. IrAuElecticolMethodfortheSo-
lution of Differeutial Equations, Kept. 3. ONR Contract N 6 ori - 105, Task Orde г
VI, Princeton, N, I. 1948.
6. Коздоба Л. А.,Махненко В.И.-ИФЖ, 1961,4, 11,94.
7. П у х о в Г. Е.- В кн., Электрическое моделирование. Вып . 1. Ки­
,е вский институт гражданского воздушного флота, К ., 1962.
8. Рык ал ин Н. Н. Тепловые основы сварки. Из.11-во АН СССР, М .,
d947 .
9.LiеЬmапп - Trans. дSМЕ,1956,78,3,655.
10.Варшавский Г. А.-ЖЭТФ,1936,6,3.

ЭЛЕКТРОМОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
ТЕРМОУПРУГОСТИ НА СЕТКАХ ОМИЧЕСКИХ
СОПРОТИВЛЕНИЙ И КОМБИНИРОВАННЫХ МОДЕЛЯХ
И. Д. 1<ОНОПЛЕВ
Определение температурного поля в общем случае сводится к ре­
шению дифференциального уравнения вида
v2т=су .ат
/\,
д-.
(1)
rде Т - температура; С
-
теплоемкость; у - удельный вес; л
-
коэффициент теплопроводности; • - время, при заданных гранич ­
ных условиях 1- IV рода .
Методика электромоделирования уравнения (1) приведена в ра­
боте (1 ].
Ниже указаны во з можности решения на таких же, как в работе
f 1] сеточных или комбинированных (электропроводная бумага -
<:етка омических сопротивлений) моделях последовательной задачи
о температурном поле и термических напряжениях, вызванных дей­
ствием поля температур.
Рассмотрим уравнения плоской задачи термоупругости в напря­
жениях с помощью функции напряжений ер (2], которая удобна в слу­
чае когда граничные условия заданы в напряжениях :
а4ср' 2~+а4ср- -Еа(2Т)
дх4 т дх2ду2 ду4 -
V•
Граничные условия при решении (2) имеют вид
дер
сргр= f1(S)дп = f2(S);
Здесь п - нормаль к контуру .
(2)
(3)
Представим уравнение (2) в виде двух гармонических уравнений
д2а д2а
дх2+ду2=
-
Еа (v2T),
(4)
(5)
279

где а = ахх + О'уу - сумма нормальных напряжений; Е
-
модуль
упругости; а - коэффициент температурного удлинения.
Записывая (4) в конечных разностях для конечно-разностной
разбивки области, представленной на рис. 1, а с учетом Лх = Лу = 1,
получи м
)!
0'1 -·-
О'о+0'2 - Go+G3- Go+G4- Gn+
+Еа[Т1+Т:+Т3+Т4- 4Т0]= О.
3.
7
::,,
' S;J
о
2
::,,
' S;J
R4-0
4
о
дХ
дх
а
Рис. 1.
(6)
Записывая закон Кирхгофа для узла сетки омических сопротивле­
ний (рис. 1, 6), получим
V1- V0+V2- V.o+V3- V0+V4- V0+Vo- Vo, =О
(7)
R1-o
R2-o
Rз~о
R4_0
Ro-o'
•
Для аналогии (6) и (7) необходимо, чтобы
Ro-o'=R1-o=R2-o=Rз-о=R4-0=1•RN,
(8)
V0
-·
Vo, = Еа (Т1+Т2+Т3+Т4- 4Т0)тэ.
(9)
Здесь Rн - масштаб сопротивлений; mэ
-
масштаб напряжений;
Ro - сопротивление 1 см 2 электропроводной бумаги.
Запишем уравнение (5) в конечных разностях для разбивки об­
ласти, показанной на рис. 1, а. Учитывая, что Лх = Лу = 1, получим
ср1- сро+ср2- сро+срз- сро+ср4- сро
-
Go=О.
(10)
Для аналогии (10) и (7) необходимо, чтобы
Ro-o'=R1-o=R2-o=Rз-о=R4-0=1•Rн,
(11)
V0 ...,.-
Vo• = - а0тэ,
(12 )
280

Задача решается методом последовательных приближений. В пер­
вом приближении на сетке омических сопротивлений, рассчитанной
по формуле (8), решается уравнение (4), для чего на концах сопро­
тивлений Ro-o' устанавливается разность потенциалов, подсчи­
танная по формуле (9), куда значения температур подставляются
из найденного при решении уравнения теплопроводности темпера ­
турного поля . На границе области задается значение О'гр, переведен ­
ное в потенциалы; затем на этой же сетке решается уравнение (5),
для чего на концах сопротивле­
ний Ra-o' устанавливается раз­
ность потенциалов, подсчитан­
ная по формуле (12), куда под­
ставляются значения <J 0 , полу-
ченные при решении уравне-
ния (4), а на границе области
задается значение функции на-
пряжений, переведенное в по­
тенциалы из известных гранич­
ных условий (2).
Во втором приближении за­
дача решается точно так же,
как и в первом приближении,
однако значение О'гр для второго
приближения определяется с по-
мощью известного из гранич­
ных условий (2) значения нор­
мальной производной функции
напряжений, при использовании
L1х
, 11,:,
1
1
1
L1X
Рис. 2.
1\';"
,р,
::,,,
<J
::,,,
<J
полученных в первом приближении значений функции напряжений
в предконтурных точках.
Рассмотрим участок границы, представленный на рис . 2. Зна­
чения функции напряжений в законтурных точках найдем, исполь­
зуя известное из граничных условий значение производной функ­
ции по нормали к конт у ру , для чего запишем в конечных разностях
дер
.
u
значение дп для t-и точки границы
(~) = (~) = cpi+I - (JJ;+I
дп;
дуi
2Лу '
(13)
откуда получим
<r:+1 = <pi+I - 2Лу(::\-
( 14)
так как (J = д2(JJ
д2ср
хх ду2 и <JУУ = дх2 , то записав эти значения в ко-
нечных разностях, получим
(+)
cp~pi
-
2сргрi + (J);pl + (JJ;+I - 2сргрi + (J);+1
(15)
О'гр = О'..п· О'уу гр =
лх2
Лу2
281

Исходя из уравнения (15), получим значение агр (при Лх = Лу с:.
-
1):
=
'
+"+2
-
2 (~)
-
4
(16)
Grp сргрi сргрi
(!);+1
\дпi
cprpi'
Определив значение агр по формуле (16), задаем их в граничные
точки модели и получаем значение суммы нормальных напряжений
во втором приближении. Затем находим значение функции напря­
жений во втором приближении и т. д.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение
функций напряжений не отличается в двух последовательных при­
ближениях .
Эта же методика применима и при решении .·задачи на комбини­
рованных моделях (электропроводная бумага - сетка омических
сопротивлений) .
Для построения модели из электропроводной бумаги выреза­
€ТСЯ область, геометрически подобная исследуемой, которая услов­
но разбивается сеткой так же, как и в cJiyчae моделирования на се­
точной модели . В узлы плоской модели, полученные в результате
разбивки, подводятся дискретные сопротивления, которые опреде­
ляются по формуле (11), однако значение Rн выбирается не произ­
вольно, а в зависимости от свойств электропроводной бумаги по фор­
муле
Для проверки методики было проведено решение задачи о тер­
мических напряжениях в бесконечной полосе постоянной толщины
и ширины, в которой температурное поле является одномерным.
Сравнение результатов электромоделирования и точного аналити­
ческого решения показывает, что максимальная относительная по­
грешность не превышает 2%.
Были определены также напряжения в железобетонной балке­
стенке, находящейся под действием равномерно распределенной на­
грузки. Решение методомэлектромоделирования сравнивалось с чис­
ленным решением этой же задачи, приведенным в работе [3]. Сред­
няя относительная погрешность оказалась равной 3 %.
При известных граничных условиях в перемещениях плоскую
задачу теории термоупругости удобнее формулировать [2] в пере­
мещениях :
Е д2и
Е
д2и
1- v2 • дх2+2(1+v) ду2+
Е
д2v
аЕ дТ
+2(1- V) дхду 1- V
дх=о,
(17а)
Е
д2v
Е
д~v
1- v2• ду2+2(1+v) дх2+
282

(176)
v - коэффициент Пуассона.
Запишем уравнение (17а) и (176) в конечных разностях для раз­
бивки области, представленной на рис. 1, а, с учетом Лх = Лу = 1
получим
Е
Е
Е
1-v2(111- Uo)+1- v2(и2-Ио)+2(1+v)(из- Uo)+
Е
Е
+2(1+v)(U4- Uo)+2(1-v)(Vs- V4- V2+Vo)-
-~ (_!:!_)
-
О
(18а)
1-v
дх O-
'
Е
Е
Е
1_ v2(Vз- Vo)+1_ v2(V4- Vo)+2(1+v)(V1- Vo)+
Е
Е
+2(1+v)(Vz-V0)+2(l-v)(ив- U4- U2- и0)-
_
~(дТ) - 0
(186)
1-v ду O-
•
Для аналогии уравнений (18а) и (6), а также (186) и (6) необхо­
димо значения сопротивлений для сетки «и» и «v» определять по
формулам:
R «u»
R«ш R«v»
R-
1-v2R
1-0= 2-0= 3-0= 4-0=-Е-• N,
R «v»
_
R«v»
_
R«u»
_
R«u»
_
2(1+v) .RN,
1-0
-
:i-0
-
3-0
-
4-0
-
Е
R «u»
_
R«u»
_
2 (1-v) R
0-0' -
0-0' -
-Е-• N,
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
«и» - перемещения вдоль оси х; «v» - перемещения вдоль оси у.
Решение задачи проводится на двух сетках методом последова­
тельных приближений. Собирается сетка для определения переме­
щений «и» и сетка для определения перемещений «v», сопротивле­
ния которых рассчитываются по формулам (19)-(21 ). В первом
приближении на границы сетки «и» задаются граничные з начения пе­
ремещения «и», переведенные в потенциалы, а на границы сетки «v»-
граничные зна чения перемещения «v», переведенные в потенциалы .
На концах сопротивлений Ro-o ' сетки «и» устанавливается разность
потенциалов, подсчитанная по формуле (23), где значение переме-
283

щения «v» принимаются равными нулю, а на концах сопротивлений
Ro-o' сетки «v» устанавливается разность потенциалов, подсчи­
танная по формуле (22), где значения перемещения «и» принимаю­
тся равными нулю.
Во втором приближении на концах сопротивлений Ro-o' уста­
навливается разность потенциалов, подсчитанная по форм уле (23)
для сетки «и» и формуле (22) для сетки «v»; при этом значения пере­
мещений берутся из первого приближения . Итерационный процесс
считается законченным, когда перемещения «и» и «v» в двух после­
довательных приближениях не отличаются.
В качестве примера были найдены перемещения в прямоуголь­
ной пластине постоянной толщины, находящейся под действием
одномерного линейного температурного поля . Эта задача имеет точ­
ное аналитическое решение [4]. Сравнение результатов точного ана­
литического решения и электромоделирования показало, что сред­
няя относительная погрешность не превышает 3 %.
ЛИТЕРАТУРА
1. К о з доб а Л. А. Электромоделирование температурных полей. «Су­
достроение», Л., 1964.
2. Боли Б., У эй не р Дж. Теория температурных напряжений. «Ми р»,
м., 1964.
3. Же мочки н Б. Н. Теория уп ругости. Госстройиздат, М., 1957 .
4. Л е б е де в Н . Н. Температурные напряжения в теории упругости.
ОНТИ, М.- Л., 1937.
Доложено на семинаре
18 марта 1966 г.

КОМПЛЕКС УСТРОЙСТВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СЕТОЧНЫХ
АНАЛОГОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
э. с. козлов
Сеточные аналоговые вычислительные машины (САВМ) , как
известно, в настоящее время весьма эффективно используются для
решения и анализа практических инженерных задач, сводимых к
уравнениям математической физики. В силу этого они широко при­
меняются в целом ряде отраслей народного хозяйства: нефте­
и газодобывающей промышленности, химии, строительной физике,
геологии и друтих.
САВМ в принципе являются машинами, специализированными
для конкретных типов задач. Однако дальнейшее углубление спе­
циализации их по спецификации различных потребителей в настоя­
щее время вызывает затруднения как в организации промышленно­
го выпуска малых серий машин, так и из - за большого разнообра­
зия специфических требований к машине при решении различных
задач.
Поэтому малые машины и специализированные электромодели­
рующие устройства должны создаваться наряду с крупными ·маши­
нами и системами. Это может наиболее полно удовлетворить расту­
щие потребности в аналоговых средствах для решения краевых
задач.
Расширение круга решаемых задач приводит к необходимости
применения наряд у с методом «прямого моделирования», основан­
ного на аналогии физических процессов, также и других методов
решения краевых задач, в особенности нелинейных , для которых
представляется наиболее целесообразной реализация метода диск­
ретного представления времени («шаг за шагом»). Метод «прямого
моделирования» наиболее целесообразен для решения линейных
стационарных и нестационарных задач, тогда как для решения слож­
ных нелинейных краевых задач значительно более удобно исполь­
зовать метод «шаг за шагом», по своему существу приближающийся
к численным методам решения и обладающий известной универсаль­
ностью. Решение задач Стефана может быть осуществлено методом
285

непрерывного моделирования при помощи специальной сетки со­
противлений.
Для удовлетворения потребности различных организаций в ре­
шении краевых задач ранее была разработана универсальная се­
:гочная электромодель УСМ-1, предназначенная, главным образом,
для решения линейных нестационарных краевых задач (уравнений
в частных производных параболического типа) методом непрерыв­
ного моделирования правой части уравнений с помощью емкостей.
Блок дополнительной сетки модели объемом около 350 узловых
точек послужил основой для минимального комплекта, служа­
щего для решения уравнения эллиптического типа и заменившего
выпускавшийся до этого сеточный электроинтегратор ЭИ-12 [1 ].
Электромодели выпускаются серийно и многие из них в настоящее
время находятся в эксплуатации в различных организациях. Кон­
структивной особенностью электромодели УСМ-1 является блочно­
секционный принцип ее построения, что принципиально давало воз­
можность комплектации машины с учетом специфики каждого
потребителя. При этом предусматривалась некоторая динамичность
комплектации сетки, а также устройств задания граничных ус­
ловий .
Являясь первым опытом создания и эксплуатации сеточных
АВМ блочно-секционного типа, машина УСМ-1, естественно, имела
·ряд недостатков, затруднявших комплектацию и использование ее
разнообразными по специфике организациями.
Современное развитие областей техники ставит все новые зада­
чи, сводящиеся к решению уравнений в частных производных.
Если, например, несколько лет назад практические задачи под­
земной гидравлики линеаризировались и успешно решались имев­
шимися техническими средствами, то теперь на первом плане стоят
проблемы решения нелинейных краевых задач с нелинейными па ­
раметрами области
_!__ [л
дР]+_!__[л
ар]- а2 ~.
дх (х,у,Р, t) дх
ду (х,у,Р, t) дх - (x,y,P,t) dx ,
с переменными и нелинейными граничными условиями
Ulг=ср1(х,у,t),
дИ1
дпг=ср2(х,у,t,И).
Впервые задание нелинейных граничных условий вида
:~lг =а(t,S)[f(t,S)- И(t,S)]- р(S)n(t,S)
было реализовано при решении тепловых задач на машине УСМ-1 .
Для этого была специально спроектирована и изготовлена допол­
нительная нелинейная приставка, позволившая воспроизвести опе­
рации умножения, нелинейного преобразования и суммирования.
286

Подобные задачи все чаще возникают в различных отраслях техники
и требуют разработки новых методов и алгоритмов решения крае­
вых задач и новых технических средств, специализированных для
конкретных целей. Это приводит к необходимости расширения типов
и функциональных возможностей сеточных аналоговых вычислитель­
ных машин для реализации ими различных методов решения краевых
задач . Хорошо известный метод непрерывного представления вре ­
мени получил широкое распространение при решении линейных кра ­
евых задач из-за простоты и наглядности аппаратурных решений,
малого, практически мгновенного времени решения. Однако при мо ­
делировании задач с нелинейными параметрами области этим ме­
тодом возникают сильные осложнения в связи с необходимостью
применения в массовом количестве быстродействующих коммута­
ционных элементов для переключения сопротивлений и емкостей сет­
ки. Поэтому для решения задач с нелинейными параметрами области
следует считать более целесообразным применение метода дискре­
тизации времени («шаг за шагом»). Он позволяет заменить текущее
время моделируемого процесса рядом фиксированных стационар ­
ных состояний и, таким образом, свести исследуемую задачу к ре ­
шению серии уравнений эллиптического типа.
Применение метода дискретизации времени позволяет принци ­
пиально довольно просто реализовать решение нелинейных крае­
вых задач . Прогрессивными методами, которые можно использо ­
вать для решения краевых задач с нелинейными параметрами
области, являются методы квазианалогового моделирования , раз ­
работанные Г . Е. Пуховым и метод дополнительных токовводов
Л . В. Ницецкого, представляющий разновидность предыдущих.
Однако указанные методы в настоящее время требуют уточнения
и проверки для возможности использования их при решении слож ­
ных нелинейных краевых задач типа нефтяных задач подземноЙ'
гидравлики.
Большие объемы информации, достигающие в некоторых нефтя ­
ных задачах миллионов чисел, необходимость во многих случаях
поэтапного решения з адач и учета в задачах дополнительных функ­
циональны х зависимостей выдвигает на первый план вопросы ав­
тономной и комплексной автоматизации процессов решения нелиней ­
ных задач.
Некоторые операции процесса решения сравнительно легко под­
даются автоматизации, другие требуют значительного количества
электронной аппаратуры , что, естественно , ведет к повышению
стои мости машины .
К числу первых относятся устройства, обрабатывающие резуль­
таты решения. Рез ультат решения в виде потенциалов узловых то­
чек сетки передается автоматическим коммутатором на быстродей­
ств ующее автоматическое измерительное устройство , имеющее
выходы на ви з уальную индикацию , печать и на ЦВМ или другие
устройства (рис. 1). Нахождение и построение эквипотенциальных
287

и силовых линий также должно быть автоматизировано, равно
как и задание граничных условий, являющееся довольно трудоем-
I
кой, утомительной и однообразной операцией.
Сложность автоматизации перебора сетки в первую очередь
1
вызвана необходимостью введения в состав сетки огромного коли-
чества коммутирующих элементов (порядка 40-50 штук на одну
узловую точку). Сложность технического решения усугубляется
,отсутствием надежных, дешевых и быстродействующих коммутиру-
ющих элементов.
Специфичные условия работы коммутирующих элементов в сет­
ке сопротивлений препятствуют применению бесконтактных клю-
Коммут.
ГУ
Г!!
блок сетки
соитомат
HQOO/J. COII/J.
У!!
цвм
A8moмQm.
K(JMMIJЩ 1--- ~
!!Т
АИ'!
оПИ
lleч.
!jCШ/J
Рис. 1. Блок-схема аналого - цифрового комплекса для решения нелинейных
краевых задач.
чей, имеющих конечное обратное (5-10 Мом) и значительное пря­
мое (5-15 ом) сопротивления, соизмеримые с сопротивлениями
сетки. Весьма перспективным представляется использование в ка­
честве коммутирующих элементов для перебора сопротивлений сет­
ки безъякорных герметизированных реле (язычковых), по своим
параметрам приближающихся к бесконтактным ключевым элемен­
там, однако в настоящее время отсутствует реальная возможность
практического использования этих элементов в связи с недостаточ -
ностью их промышленного выпуска.
Комплект устройств для построения сеточных АВМ (табл. 1)
предназначен для построения различных по. объему аппаратуры
и назначению электромоделирующих установок от простейших
с малым числом узловых точек сетки и ручным управлением до ав­
томатизированных аналого-цифровых вычислительных комплексов
(АЦВ К). Набор устройств позволяет воспроизводить различные
функциональные зависимости изменения граничных условий, в том
числе нелинейно зависящие от искомых потенциалов сетки, а также
288

строить различные автоматизи р ованные электромодели. Сетка с ав ­
томатическим набором параметров области позволяет моделировать
сложные нелинейные зависимости параметров поля и рассчитана
на использование в составе АЦВ К.
Таблиuа
· полное наиr,,1енование
Блок сетки с ручным набором сопро­
тивлений
Блок автоматической сетки сопротив ­
лений
Блок емкостей
Блок граничных условий с ручным на ­
бором
Блок граничных условий с автомати-
ческим вводом
Блок нелинейных граничных условий
Блок нелинейных параметров области
Автоматическое измерительное устрой -
ство с 1,оммутатором узловых точек
Полуавтоматическое измерительное уст­
ройство
Печатающее устройство
Блок поиска и регистраuии эквипотен­
uиальных и силовых линий
Индикатор нестаuионарного режима
ручного обслуживания
Измерительное устройство стационар­
ного режима ручного обслуживания
1
Сокращенное
наименование
БС-256
БС-512
БС-1024
БС - 8192
БС - 1024А
БЕ -256
БГУ-64
БГУ - 64А
БНГУ-16
БНПО-128
АИУ-1
АИУ -2
АИУ-3
ПЧУ
ИНСР
РИУ
Бло1ш сеток с ручным набором области выполняются из унифи­
цированных деталей и узло в. Основным модулем является сетка
на 256 узлов ых точек. Каждый блок содержит встроенные магази­
ны сопротивлений, коммутационные панели и делители задания
граничных у словий и, таким о~разом, представляет собой закончен­
ную установку, способн ую решать уравнения эллиптического ти­
па. Диапазон изменения сопротивлений сетки около 2 . 10 3 раз.
Блоки сетки могут иметь добавочные сопротивления, позволяющие
производить дополнительные соединения, например образовывать
тре хмер ные области, многократн ые переходы для сопротивления
сеток с разными шагами и т. п. Отсутствие в блuках емкости узло­
вых точеЕ и аппаратура зад ания начальных условий унифицирует
и удешевляет их. Аппаратура внесена в специальный блок емкостей
БЕ-256, который содержит 256 магазинов емкостей, устройства их
разряда, задания начальных условий и управления по времени.
Диапазон изменения емкостей существенно расширен по сравнению
19 7-2622
289

с машиной УСМ-1. С uелью уменьшения погрешностей задания;
начальных ус.новий и правой части уравнения параболическ о rG
типа значения емкостей выбраны большими (наибольшая емкость
может составить около 10 111,кф). Применение больших емкостей
вместе с заданием начальных _условий методом предварительного
заряда емкостей позволяет получить существенно меньшие величины
погрешностей задания начальных условий по сравнению с существ у ­
ющими электромодулиμующими устройствами. Большие емкости
вызывают необходимость увеJJичения времени решения т1 до 2-1 О сек,
что затрудняет непосредственное наблюдение искомых функuий.
Однако наличие быстродействующих автоматических измеритель­
ных устройств позволяет даже сократить общее время решения за­
дачи по сравнению с аналогичными режимами работы машины УСМ-1.
Для визуального наблюдения медленно протекающих решений име­
ется принципиальная возможность ;;ыполнить устройство транс ­
формирования временного масштаба искомой функции с последую ­
щим просмотром на экране индикатора.
Блок автоматизированной сетки сопротивлений рассчитан н а,
совместную работу с автоматическим измерительным устройством
через автоматический коммутатор узловых точек и с цифровой вы­
числительной машиной. Комплекс БС-1024А-ЦВМ является ос­
новным элементом структурной схемы АЦВ К, предназначенного,
для решения нелинейных краевых задач. В числе исходной инфор­
мации об условиях задачи задаются кодовые значения параметров
из ЦВМ в устройства адреса и занесения параметров автоматичес­
кой сетки. По окончании отработки элементами сетки этих значе­
ний на ней устанавливаются значения потенциалов, соответствую­
щих времени Лt (решение ведется методом «шаг за шагом»), которые
с помощью автоматического измерительного устройства с коммута­
тором узловых точек кодируются и отсылаются в ЦВМ для обсчета
значений параметров задачи, в том числе области, для следующего•
шага по времени. По соответствующим функциональным зависи­
мостям происходит управление режимами каналов граничных ус­
ловий, их расположением в исследуемой области и т. п. Необходи­
мые значения потенциалов узловых точек области могут фиксиро­
ваться в оперативном накипителе КQ.tшлекса. Блок автоматической
сетки содержит автоматически управляемые магазины сuпротив­
лений, работающие от адресного устройства и устройства занесе­
ния информации. По соответствующим командам от ЦВМ выбира­
ется адрес нужного магазина сопротивлений Rx, RY и Rt, а также
адрес устройства задания начальных значений потенпиалов узло­
вой точки и 1-
Устройство занесения параметра отсылает по выбранному ад­
ресу значение кода параметра, который отрабатывается выбранно1::Г
схемой в виде соответствующей величины проводимости или напря­
жения. Блок автоматической сетт<И конструктивно составляется
из шкафов по 128 узловых точек в каждом.
290

Блок автоматического задания граничных условий представля­
ет собой группу каналов выдачи токов , пропорциональных подава­
емым на их входы напряжениям . Блок содержит 64 канала задания
тока. Выходные токи распределяются кuммутатором каналов ГУ
по уз.1овым точкам сетки по командам, поступающим и з ЦВМ.
Канал-стабилизатор тока представляет собой транзисторную схе­
~ 1у с обратной связью, преобразующую выходное напряжение в вы­
ходной ток, пропорциональный приложенному на вход напряжению .
Точность преобразования ± 0,5%; ста процентам выходного тока
соответствует ±5 .ма при входных напряжениях + 10 в.
На входы каналов подаются напряжения , пропорциональные
получаемым от ЦВМ кодам амплитудных знач е ний граничных усло­
вий от цифро - аналоговых преобразователей.
Блок граничных условий с ручным набором содержит по 64 ка­
нала задания граничных условий первого и второго рода, отрабаты­
вающих на выходах соответственно напряжение и ток, пропорцио­
нальные поданным на и х входы сигналам . Блок, кроме того, содер­
жит неuбходимые устройства для задания программ входных
сигналов и управления каналами по времени по принципу, анало­
гичному примененному в машине УСМ-1.
Блок нелинейных граничных условий представляет собой набор
аналогичных и дискретных устройств для воспроизведения шестнад­
цати различных функциональных зависимостей изменения гранич­
ных условий И вых = f (И вх, t). Выходные напряжения каналов по ­
даются на входы каналов граничных условий первого или второго
рода.
Блок нелинейных параметров области служит для моделиро­
вания задач с подвижными границами фазовых переходов (задачи
Стефана) методом непрерывного представления времени.
Сущность метода решения задачи Стефана заключается в том,
что имеется сетка сопротивлений и емкостей. содержащая допол­
нительные сопротивления для каждого шага, дополнительные ем­
кости, а также устройства моделирования скрытой теплоты плавле-
ния (рис. 2). Дополнительные сопротивления R:, и R~ и емкости С'
служат для моделирования изменения теплофизических свойств
вещества исслед уемого объекта, претерпевшего фазовое превращение.
Дополнительные сопротивления и емкости коммутируются специ­
альными ключами К1 - К3 , управляемыми устройствами моделиро­
вания скрытой теплоты плавления . Устройство моделирования скры­
той теплоты плавления (отвердевания) представляет собой интегра­
тор , включае м ый входом в узловую точку сетки . Состояние схемы,
когда сопротивления шагов сетки равны Rx и Ry, емкость равна С,
а добавочные сопротивления и емкости R~, R~ и С' отключены от сет­
ки, соответствует одному агрегатному состоянию элемента области .
Подключение к узловой точке области , являющейся центром эле­
мента пространства, входа интегрирующего усилителя эквивалентно
19-,
291

состоянию наличия границы фазового пере хода в пределах этого
элемента. Наконец, подключение к исходным сопротивлениям Rx
и Ry и емкости С элемента добавочных сопротивлений R ~ и R~ и ем­
кости С' и отключение от узла сет1ш интегратора характеризует
полное завершение фазового превращения в части иссле дуемого
пространства, эквивалентного элементу сетки . .Моделирование на­
чала вступления границы фазового перехода в пределы рассматри­
ваемого элемента пространства осуществляется подсоединением
Рис. 2. Схема узловой точки сеточной электромодели
для решения задачи Стефана .
входа интегратора к узловой точке сетки сигналом схемы сравнения
(обычно при равенстве нулю потенциала узловой точки). На выхо­
де интегратора при этом получается напряжение, пропорциональ­
ное интегральному значению входного тока, являющегося экви­
валентом разностного теплового потока в уравнении теплового ба­
ланса для элементарной площадки области решаемой задачи. Это
интегральное значение, взятое в определенных пределах, устанавли­
ваемых заранее, является аналогом скрытой теплоты плавления
для выбранной элементарной площадки области
_
r' (Vли.; ли~ Vли~ 1 ли~)
Qc-kJ
-
9-+-9-
-
-
9-т
-
9-
dt.
и,
Rix
Riy
R-:;_x
R2y
Выходное напряжение интегратора сравнивается схемами срав­
нения (СС) с заданными потенциалами И1 и И2 . Критерием полного
прохождения границы фазового перехода по элементарной площад-
292

ке области служит измерение выходного сигнала от потенциала И1
до потенциала И2 (или наоборот); при этом схема сравнения выдает
сигнал на переключение сопротивлений сетки и отключение от нее
схемы моделирования скрытой теплоты плавления .
Измерение и регистрация результатов решения краевых задач
производится измерительными устройствами стационарного режи­
ма, индикаторами ручного обслуживания нестационарного режима
и автоматическими измерительными устройствами.
Первые два устройства ручного обслуживания являются тран­
зисторными аналогами соответствуюших устройств машины УСМ-1.
Автоматические устройства АИУ-1, АИУ-2, АИУ-3 представляют
собой аналого-цифровые преобразователи.
Автоматическое измерительное устройство АИУ - 1 служит для
измерения и регистрации результатов решения нестационарных за­
дач. Оно измеряет мгновенные значения искомых фую{ций времени
и регистрирует полученные значения с помошью печатающего уст­
ройства, а также выдает замеренные значения в виде двоичных ко­
дов в ЦВМ или другие устройства.
Кодовый эквивалент измеряемого напряжения выдается 10-раз ·
рядным двоич ным кодом, из которых один разряд - знаковый.
Время одного измерения порядка 100 мксек. Устройство АИУ--2
не может производить программного измерения по времени. Оно из­
меряет только постоянные напряжения и применяется для работы
с автоматической сеткой. Остальные параметры аналогичны АИУ-1.
Устройство АИУ-3 пр едставляет собой цифровой вольтметр и пред­
назначено для работы с сетками ручного набора при решении
на них стационарных задач на переменноNr токе.
Блок поиска и регистрации эквипотенциальных и силовых ли­
ний является специализированным цифровым вычислительным
устройством. Нахождение эквипотенциальной линии сводится к оп­
ределению наличия точки потенциала, равного заданному, между
дву,,rя узловыми точками сетки, в обшем случае выбранными произ­
вольно, и 1, нахождению координат эквипотенциальной точки .
Устройство работает по принципу «опроса» всех элементов сетки
по жесткой программе (метод «слежения» за эквипотенциальной
линией требует наличия более громоз д1юй аппаратуры). Возможна
реализация жесткой программы обхода области по координатным
направлениям или диагоналям элементов (рис. 3). Вероятно, по­
следне му способу следует отдать предпочтение, так как он имеет
примерно на 40% меньше расстояния между линиями обхода по
сравнению с методами координатного обхода, что, соответственно,
дает большую частоту встречи линий обхода с эквипотенциальной
линией. Обход производится по двум взаимно перпендикулярным
направлениям во избежание потери эквипотенциальной линии,
идушей параллельно линии обхода, по программе: аЬ, cd, de, Ь f
и т. д. Фиксация эквипотенциальной линии производится в два эта­
па. На первом этапе уста навливается наличие или отсутствие факта
293

пересечения эквипотенциальной линией линии обхода, во втором
этапе вычисляются координаты точки пересечения и произвощ1-
тся ее фиксация на графике [З]. На перво м этапе устройство м срав­
ниваются коды потенциалов узловых точек (например а и Ь) с кодом
заданного потенциала Р, для чего находятся разности Р - И а
ир-Иь(илир
-
ис,р- udит.д.).
Приэтом,еслиР- Иа>О,Р
-
Иь>О,или,еслиР- И0<
< О и Р - И ь < О, устройство выдает ноль, означающий отсутст­
вие эквипотенциальной линии на участке между этими узловыыи
Рис. 3. Схема обхода области по диагоналям элементов.
точками сетки. Наоборот, если знаки разностей разные, устройство
вырабатывает сигнал наличия эквипотенциальной линии, являю­
щийся командой для вычисления дробной части кода координат
(целая часть кода координат принадлежит кооринате узловой точ­
ки сетки). Вычисление дробной части соответствующей координа­
ты производится по зависимости:
P-U
лх=ахи - ua ;
ь
а
где ах и ау - координатные коэффициенты, учитывающие масштабы
по координатной сетке.
После вычисления ЛХ и ЛУ на регистрир ующее или печатающее
устройства выдаются полные коды координат Х 1 + ЛХ и У1 + ЛУ,
по которым происходит фиксация точек эквипотенциальной линии
на карте (с помощью двухкоординатного самописца типа ДРП)
или числовыми таблицами с помощью печатающего устройства
(рис. 4).
Нахождение линии тока основывается на допущении неразрыв­
ности силовой линии в пределах элемента сетки, однородности ве-
294

щества области в границах, эквивалентных элементу сетки, и от­
сутствию особых точек внутри этого элемента.
При этих допущениях можно считать, что проекция вектора то­
ка на ось координат пропорциональна проекции градиента потен­
циала на ту же ось, т. е.
lx = k_0ЛUх; IУ=k)'ЛU,,.
Поиск линии тока ведется из некоторой произвольно выбранной
точки Х0 , У0 ; по координатным составляющим градиентов потенци-
ДРП •
С'хема
сраtlнt>ния
U0·Pи
UaР
*х
Глt'v-;,m--;,o;e;i,___
.._t-----
-
---- ---'
1 ycmpotJcm6o --~
L.:
__
_
Схема
IJычисле­
ния t,Xut,Y
t,X
t,Y
Рис. 4. Блок-схема устройства поиска и регистрации эквипотенциальных
линий.
ала определяется направление вектора тока и в определенном мас­
штабе находится модуль вектора
V-?-
-~
/1/= I;+ fy.
На двухкоординатном регистрирующем устройстве типа ДРП
делается отметка конца вектора, имеющего I<оординаты Х; + ЛХ1 ,
Yj + ЛУ1 , посл е чего выдается сигнал на выполнение следующего
шага и т. д. {рис. 5а). Отмет1ш концов элементарных векторов в пре­
делах одной клетки сепш делаются по одному направлению до тех
пор, пока следующая точка (Х0 + 5ЛХ1 = Х1 + ЛХ2) не выйдет
за пределы этой клетки. В этом случае реверсивный регистр ЛХ
(или ЛУ) переполняется и выдает в реверсивный счетчик координат
Х (или У) единицу, которая прибавляется или вычитается к коду
Х 0 (или У0). Импульс переполнения любого из регистров является
сигналом для смены кодов потенциалов узловых точек при переходе
295

Хо У,
(/2
Ио
Х0 +3Лх 1
Х0 +2/;Х1
Хо•Лх, '
X,IJ1
Up XrlJo
Рис. 5а. Схема аппроксимаuии силовой линии .
ЗоiJrшие порометроt/
'[,иr;
Рис. 56. Блок-схема устройства поиска и регистрации силовых линий.
в соседнюю клетку и вычисления новых координатных составля­
ющих градиента потенциала (рис. 56).
Следующий элементарный вектор ищется по координатным про­
екциям градиента потенциала следующего элемента и т. д. Ха­
рактерные точки линии тока, например, точки изломов аппрок­
симирующей ломаной при переходах в соседние элементы сетки,
могут также печататься с помощью печатающего устройства. При
этом печатаются координаты точки и значения модуля вектора то1,а ,
296

выходящего из этой точки. Координаты точки излома выдаются
координатными регистрами Х + ЛХ и У + ЛУ, а значения модуля
вектора тока
11 1 = Vу2ли2+у2ли2
1х
2у
вычисляются и выдаются специальным вычислительным бло ­
ком ВУ3•
Таблица 2
Комп· 1
лект
Класс решаемых задач 1
Сокращенное 1
наи!'l·tенование
Автоматизация
А
Б
в
г
д
Уравнения эллиптиче - БС-256 или Автоматическое измерение ре-
скоrо типа
БС-512
шения
РИУ АИУ-3
У равнения эллиптиче­
ского типа
Уравнение эллиптиче­
ского и параболиче ­
ского типа
Нелинейные уравне1шя
в частных производ ­
ных второго порядка
Уравнения параболиче ­
ского типа с услови ­
яыи Стефана
FC -1 024
(БС-512)
АИУ -,З
ПЧУ
БПИ
РИУ
(БС-8 1 92)
БС-1024
(БС-512)
БЕ-256
БГУ -64
БГУ-64А
АИУ -1
БНГУ-16
БПИ
ИНСР
РИУ
ПЧУ
БС -10 24А
БГУ-64А
АПУ-2
БПИ
ПЧУ
(ЦВМ)
БС-512
БЕ-256
БНПО-128
ПАУ-1
1
ПЧУ
ИНСР
БГУ-64
Автоматическое измерение и пер­
вичная обработка результатов
решения
Автоматический ввод граничны х.
условий, автоматическое из-­
мерение и первичная обработ ­
ка результатов реше ния
Автоматический ввод условия,
задачи, пересчет параметров, .
вывод результатов решения .
Работа в составе анал оrо-цифро- ­
вого вычисюпелыюrо ко1vш­
лекса
Автоматический поиск движения,
границы фазового перехода
Работа блока поиска эквипотен циальны х и силовых линий воз­
можна как непосредственно от сетки совместно с АИУ, так и от-
2971

,,оперативного накопителя, в котором хранятся коды потенциалов
узловых точек сетки.
Перечисленные устройства позволяют производить комплекта­
. цию машин в соответствии с возможностями и спецификой конкрет­
ных потребителей. Ориентировочная комплектация машин приведе­
на в табл. 2. Кроме указанных комплектов, очевидно, можно при­
нять достаточно произвольно и любую другую комплектацию
· машин устройствами по номенклатуре и количеству.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гуте нм а х ер Л. И. и др. Руководство к электроинтеграторам типа
ЭИ-12. Изд-во АН СССР, М., 1965.
2. Н и к о л а е в Н. С. и др. Аналоговая математическая машина YCJ\1\-1
для решения краевых задач уравне ний математической физики . Машгиз, М., 1962.
3. К о зло в Э. С. и др. Устройство для решения дифферен циальных урав­
:нений с частными производными на сеточных электромоделях. Авторское сви­
_.детельство No 154094, 1963.
Доложено на семинаре
14 января 1966 г.

ПРОГРАММИРУЮЩАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
РАБОТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ
НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦВМ
А.х.БЕрЕслАвский,r.с.rольдЕнБЕрr
Программирующая программа для моделирования работы ЭВМ
:непрерывного действия (ЭВМ НД) представляет собой программу
для решения обыкновенных дифференuиальных уравнений с произ­
Больной правой частью (задача Коши).
Идея специализированной программирующей программы для
решения дифференциальных у равнений встречается в литературе
[ 1, 2] так же, как и идея использования ЦВМ для исследования циф­
ровых моделей и ЦДА [3, 4 ].
При создании настоящей программы авторы руководствовались
<Следующими положениями:
!) программа должна достаточно полно моделировать работу
ЭВМ НД с учетом влияния основных помех и погрешностей;
2) программа должна быть простой в эксплуатации, т. е. характер
работы с программой должен быть близок инженеру, производяще­
ыу исследования с помощью ЭВМ НД.
Основной принцип работы программы заключается в модели­
ровании решаемой задачи с помощью основных операuий, реализу­
емых стандартными блоками (интеграторами, сумматорами, бло­
ками произведения и деления, фу нкциональными преобразователя­
ми и др.), подобно тому, как это осуществляется в ЭВМ НД.
Момент обращения к отдельным стандартным блокам, т. е. их
«коммутация» устанавливается специальными кодами, вводимыми
при заполнении исходных данных.
М.оделирование случайных погрешностей выполняется блоком
ДСЧ (датчик случайных чисел).
Количество «блоков», имеющихся в распоряжении исследователя,
работающегu с описанной программой, существенно зависит от ем­
кости запоминающего устройства используемой ЦВМ. Применение
внешних запоминающих устройств позволяет моделировать на ЦВМ
рабuту всех ЭВМ НД, находящихся в эксплуатации.
299

При построении алгоритмов стандартных блоков, реализующих
основные операции, были использованы уравнения, приведенные
в статье [5] .
Приступая к заполнению исходных данных, исследователь
должен иметь подготовленную структурную схему задачи и список
переменных, каждой из которых присвоен код (порядковый номер
этой переменной в списке).
Массив исходных данных имеет две разновидности: ыассив,
содержащий информацию о переменных (массив переменных) и мас­
сив, содержаший информацию о блоках (массив «блоков»).
В первый массив заносятся следующие величины:
1) число переменных;
2) число констант;
3) число печатающихся параметров;
4) переменные (переменные записываются строго в том же по-
рядке, в котором они находятся в списке);
5) константы;
6) коды пе ременны х, подлежащих печати.
Информация о втором массиве имеет следующий вид:
А. Общая часть
1. Число блоков.
2. Количество интеграторов.
3. «Интервал печати» (под «интервалом печати» понимается
отрезок времени, чере з который производи тся печать необходимых
переменных).
300
4. Шаг интегрирования.
5. Интервал интегрирования.
Б. Информация о «блоках» структурной схемы
1. Интегратор (интегро-сумматор) и сумматор:
а) код интегро-сумматора (сумматора);
б) число входных переменных;
в) код выходной переменной ;
г) максимальная погрешность выходной переменной;
д) номер интегратора (в случае сумматор-нуль);
е) коды входных переменных;
ж) передаточные коэффициенты;
з) допуски по передаточным коэффициентам .
2. «Блок» произведения и «блок» деления:
а) код «блока»;
6) код выходной переменной;
в) максимальная погрешность выходной переменной;
г) коды входных переменных .
3. Функциональный преобразователь:
а) код «блока»;
б) код выходной переменной;

в) максимальная погрешность выходной переменной;
г) число узловых точек;
д) узловые абсциссы;
е) узловые ординаты.
Заполняя таким образом этот массив, исследователь произво­
дит «коммутацию» блоков, «набор» коэффициентов и функциональ­
ных зависимостей и другие операции, связанные с постановкой за­
дачи на ЭВМ НД.
Кроме того, в этот массив исходных данных заносятся началь­
ные у словия и коды интеграторов, к которым они относятся, а также
необходимое количество реализаций. Заполнение блоков происхо­
дит в произвольном порядке.
Програм11шрующая программа состоит из двух частей : программы
ввода переменных (ПВП) и программы решения задачи (ПРЗ). Для
хранения переменных, получаемых в результате решения задачи
в памяти машины выделяются два массива ячеек: основной и про­
межуточный. Входные переменные и передаточные I{оэффициенты
перед работой того или иного блока пересылаются в стандартные ра­
бочие массивы.
Работа программы строится по следующему принципу .
После ввода массива переменных ПВП осуществляет засылку
начальных значений переменных и контакт в основной массив,
а также пересылает в специальный массив коды переменных, под­
лежащих печати. Затем вводится массив блоков и управление пе­
редается на ПРЗ.
ПРЗ осуществляет решение задачи. Решение начинается с вне­
сения погрешностей от ДСЧ, определяемых допусками, в переда­
точные коэффициенты.
Погрешность определяется следующим образом. ДСЧ выраба­
тывает случайное число в заданном интервале. Погрешность, вно­
симая в коэффициент, определяется по формуле
Лх = 2mЛХма1<с - Лхмакс,
(1)
где Лх - случайная погрешность; Лхмакс
-
максимально допусти­
мая погрешность.
Как видно из работы [1 ]
-
Лхыа1<с -< Лх < Лх,,акс•
Далее производится расчет выходных величин «блоков» в поряд­
ке их заполнения в массиве «блоков» (просчет «циклов»).
После пересылки передаточных коэффициентов и входных пе­
ременных очередного блока в стандартные рабочие массивы, маши­
на по коду блока выходит на расчет его выходной величины по со­
ответствующему алгоритму.
Выходные величины интеграторов хранятся в основном и про­
межуточном массивах, выходные величины остальных «блоков»­
только в основном.
301

25
2
f?Cmt
8tloiJ
прогроммы
I
t
BBoiJ
моссu8{1
леременных
2
t
J[JСЫЛКО
Пf!f}f'Mf!ШIЬ/l U КОН -
стонт tJ осноtJнои
з
MOCCUIJ
l
llересылко
кodotJПfV{Jmu tf Cm{JH·
tJортные яvеикv
4
j
B tJoд
мoccutJo
олоко8
5
Про!Jерко
число
fJi' OЛiJЗ{JЦi/U 28
щт
llevomь некоторы.х
/Jероятностньи хо -
r/!жте;шстик ИPO'IU 29
Остоно8
зо
д
З!
23,27
!Jнс'сение i}олl/стимьа
отклоненио блер,!ilа ·
тоvные f.' O:Jrp,:puqu •
енты
6
из проме­
жуто чного
!1ро 81,1жа но нешfхоiJи­
мость пересьшки tJ:,o •
iJньо переменны, из
п,ооме,,,-уто<1ного или
осно8ного моссиtо 7
из
осно!Jного
20
llересылка 810Jны)( пе ­
ременны,;- ovepeiJнoгo
олока" i/J промеж;;.
"mg}JJ33 мoccutJa tf 8
llересылко IJ,roiJныx
педеменных O"epetlнo·
го" О//око" из осно8ного
масси!о dp o lfo,;uu 9
llересылко лереiJаточ ­
нь1J ,ко эфtрицuенто8
tJ стонiJортнмi
раоочиi мqcctлf tO
Pac vem t/ы:,о онои да Срст8нение кoila
8елиvины инте гра - ,,tfлокст ' ' с кoilo,1,,
тора
!2
uнтеграторо
f!
нет
о
13
;~
ДС4
J
е
Рис. !.

20
20
..
1,
Pacvem llьuotlнou Ja Сраllнен11е
8еличинь1
коdо" Олока" с
CIJMMOmepa /4
коJом цммотора
13
нет
Расчет tlыzoJнou tla
Сраt!нение
tfeЛll'IUIIЬ/ фf/НЩU-
коilа"Олока" с
онольного лрео -
коiJом функqионал6
opCJJotlaнuя 16
ного пpeolipaзotJo-
теля
15
нет
Рас,,,ет
ila
Срст6'нение
tlыxotJнotl tlели-
itodu,, tfлокqи с
чины ,fлока лро -
кotJo,,., liлока про-
uзllf'ileнuя
!8
uзtleileн11я f7
!;'efil
Pacvem tfы,roiJнoJ
tff'ЛU'IUHЫ liлока
tl
ilеленип
19
8неание
отклонения tJ 8м ­
хоdную {!ели'tину
{j 21
7
21
Засылка окончательного
JН(Nения tlыroilнou tfеличи­
ны tl соотdететt!ующую
Rчеuку лромежуточ -
наго или осноfJного
мaccufJo
21
Нодщрuкация
Лро8ерко
ai}pecotJ tlля 8ызо-
нет
tlo инtрормацци
на окончание
ослеi!ующем
.tfлоке"
23
.,ЦUl(Л{J"
22
до
ЛРчать
Лро8ерка
JHG''l!!HUU
iJa на нео§хоilимость
параметро8
леvати
25
28
iJa
7
Лро8е;жа
на ОКОН'lание
реще,шя
нет
2б
Нооификация
aiJpecotJ iJлл лрохО1trде- •
ния c/1eiJyющeгo,,11umq
27
г
24
нет
Если входные переменные рассч итываемого «блока» не являются.'
выходами интеграторов, то в стандартный рабочий массив пересы­
лаются их значения, взятые из основного массива.
В противном случае определяется, были ли данные выходы ин-­
теграторов просчитаны в данном цикле или нет.
В первом случае в рабочий массив п осылаются выходы интегра-·
торов из промежуточного массива, во втором - из основного.
После расчета значе ния выходной переменной в нее вносится,
погрешность от ДСЧ, ограниченная максимальным значением по­
грешности.
Окончательное значение выходной переменной интегратора по­
сылается на свое место в промежуточном массиве, значение выход­
ной величины любого другого «блока» - в основном массиве.
После просчета всех блоков (прохождения «цикла») содержимое
промежуточного массива п е ресылается в основной массив.
Т акая схема позволяет осуществить процесс интегрирования
по методу Эйлера, т. е. по формуле
X~+l = Xi +/1п(t, Х1, ... , хп),
зоз ,

rде i - номер переменной; k - номер шага интегрирования при про·
извольном расположе н ии «блоков» в массиве «блоков», что представ­
.ляет значительные удобства при работе с большими структурными
,<::хемами.
При необходимости продолжать решение рассчитывается следую­
·щий «цикл» и т. д.
Нужные переменные выводятся на печать. Печать происходит
,с промежутками, равными «интервалу печати».
Решение прекращается после того, как переменные будут опре­
делены на всем интервале и н тегрирования.
Далее определяется необходимость следующей реализации и рас­
считываются вероятностные характеристики задачи:
хf,аке' Х(!ИН
j-l(, 1), j
хер 1- 'х
xi =~----
-
-
ер
j
j - номер реализа ции реше н ия.
Блок-схема программы приведена на рисунке, а-е.
Описанная программа производит программирование задач,
решаемых на ЭВМ НД, с одновременным моделированием работы
исследуемой ЭВМ НД, т . е. работает как программирующая програм­
ма, входным языком которой служит структурная схема задачи,
а результатом работы - цифровая модель ЭВМ НД.
Необходимо отметить, что программа решения данной задачи
составляется и сохраняется в памяти машины по частям, обеспечи­
вающим работу соответствующих блоков . Эта особенность програм­
мы значительно экономит память машины, что позволяет сохранять
в памяти программирующую п рограмму и оперативно производить
исследование последовательности задач различных классов.
Программа была проверена группой задач различной сложности,
после чего применялась для исследования некоторых специализи­
рованных ЭВМ НД.
Некоторые результаты исследований приведены в работе [5].
ЛИТЕРАТУРА
•
1. Гл у ш к о в В. М.- Проблемы кибернетики, 1959, 2, 181.
2. Ст о г н и й А. А.- Проблемы кибернетики, 1959, 2, 185.
3. См о л о в В. Б. и др. Вычислительные машины непрерывного действия .
.,((Высшая
школа», М. , 1964.
4. I -(e слух о в с кий К. С. Цифр::>вые дифференциальные анализаторы.
· Физматгиз, J\'\.. , 1963.
5. Береславский А. Х., Гольденберг Г. С.-Настоящий
. сборник, 305.
Доложено на семинаре
24 декабря 1965 г.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭВМ
НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦВМ
А.Х.БЕРЕСЛАВС1(ИЙ, Г.С.ГОЛЬДЕНБЕРГ
Работа ЭВМ непрерывного действия (ЭВМ НД) состоит в преоб­
разов а нии информации при наличии помех. Эффективное решение
вопросов, связанных с исследованием работы ЭВМ НД, возможно
на основе общей теории связи (теории информации). Однако, не­
смотря на то, что информационные методы универсальны, а зачастую
и единственны, применение их для оценки и проектирования (ана­
лиза и синтеза) ЭВМ НД затруднено. Это в значительной мере объяс­
няется отсутствием доступных методов расчета для реали з ации ма­
тематического описания чрезвычайно сложных и разнообразных
физических процессов, происходящих в ЭВМ НД .
•
В статье рассмотрены принципы построения статистического мо­
делир у ющего алгоритма ЭВМ НД, позволяющего рассмотреть
наибо лее важные вопросы анализа и синтеза ЭВМ НД . Особое
внимание уделено возможности реализовать рассматриваемый
метод на ЦВМ .
1. При проектировании специализированных ЭВМ НД и под­
готовке к набору на универсальных ЭВМ НД большое внимание
удел яется точности их работы . В работах [ 1, 2] разработаны методы
анализа ошибок в схемах моделей для решения обыкновенных ли ­
нейных дифференциальных у равнений. Однако эти мет~ы слоокны
и применимы лишь в простых случаях.
В то же время знание количественных и качественных характе­
ристик вычислительных комплексов, состоящих из новых или из­
вестных блоков, весьма необходимо.
Действительно, перед решением задачи на ЭВМ НД, она долж­
на быть соответствующим образом «запрограммирована», т . е. слож­
ный оператор решения задачи заменяется комбинацией операций,
возможных на имеющейся ЭВМ НД . Учитывая возможность: рядil
таких комбинаций, ставится задача выбора более эффективной
.комбинации.
20 7-2622

Рассмотрим подробнее процесс получения решения задач с по­
мощью ЭВМ НД .
Пусть заданная для исследования система имеет вид
xj=
F
(х1,х2,•••,х,, ... ,х",
t),
(1)
где j =/= i и х, - физические переменные.
Для реализации на ЭВМ НД исходная система уравнений (1)
при помощи дополнительно вводимых уравнений преобразования
(в общем случае нелинейных) приводится к форме, удобной для
набора на ЭВМ НД
Xj=Ф(Х1,Х2,••• ,
Х,, ... , Х", Т),
(2 ),
где j =/= i и Х, - ма шинные переменные (аналоги физических пе­
ременных уравнения (1)).
Каждая операция в уравнениях (2) выполняется при помощи
схемы, характеристика которой отличается от аппроксимируемого•
ею процеоса. В результате ЭВМ НД дает решение отличной от (2),
системы уравнений:
(3}
где j =/= i и Х;* = Х; + ЛХ,; ЛХ, - абсолютная погрешность в пе­
ременной Х,. Переходя при помощи обратных уравнений преобра­
зования к физическим переменным, получим решение, соответству­
ющее следующей системе уравнений:
*
***
*·
••
xi=F
(х1,Х2,••• , х;, ...,х",t
).
(4)
Степень тождественности систем (1) и (4) зависит от их специфики,
используемых блоков, условий работы, уравнений преобразования
и др.
Изложенный в работе [ 11 ] способ выбора уравнений преобразо ­
вания основывался на предположении об ограниченных значениях
ЛХ; и приблизительном соответствии динамических и статических
погрешностей решения .
Для восполнения этого пробела и решения ряда других важных
вопросов, возникающих при проектировании ЭВМ НД, весьма по­
лезным оказался метод статистического модели рования. Сущность.
этого метода в нашем случае состоит в построении для исследуемой
ЭВ~ НД СjОТветствующего алгоритма, иммитир у ющего при по мо щи
операций ЦВМ характеристики элементов ЭВМ НД и взаимодейст­
вие между ними с у четом неидеальности этих характеристик и слу­
чайных возмущающих факторов.
2. Процесс решения задач на ЭВМ НД представляет собой пе­
редачу и преобразование информации, сопровождающиеся ее ис­
кажениями .
Помехи, сопутствующие циркуляции информации, можно от­
нести к следующим трем группам:
1) случайные помехи (ЛХс): низкочастотные помехи, вызванные
дрейфом нуля операционных усилителей из - за изменения напряже-

ния питания и старения элементов, неидеальными характеристиками
входных цепей и цепей обратной связи, и более широкополосные
помехи, вызванные фоном и генерацией паразитных контуров;
2) помехи , вызванные конечностью величины коэффициента уси­
ления операционного усилителя (ЛХ у);
3) по мехи, вызванные неидеальностью частотных характеристик
операционного усилителя (ЛХч)-
В результате общая погрешность I<акого-либо блока имеет вид
лх=ЛХс+ЛХу+ЛХч.
При этом все случайные процессы, происходящие в самом блоке
и на его входах, заменены эквивалентным случайным сиrнаJJом,
действующим на выходе блока (ЛХс)-
Практика показала, что д,'Тя моделирования ЛХс, достаточно
полно отражающего роль низко- и высокочастотных составляющих
спектра помех, необходимо генерировать случайные сигналы ЛХс
в ограниченном частотном интервале (О; 0,5 кгц) при законе равно­
мерной плотности распределения .
3. Так как ЦВМ устанавливает зависимость между функциями,
определенными на дискретном множестве точек независимой пере­
менной, разделенных конечными интервалами, то пр и моделиро­
вании ЭВМ НД на ЦВМ предус матривае тся заN1ена исходных функ­
ций непрерывного аргумента соответствующими им решетчатыми (61
00
хд=~х(nh) •б(t- п/1),
(5)
о
~() {1при-r =О,
гдеu,:=
Опри-r+О.
Среди множества непрерывных функций взаимно однозначное со­
ответствие с данной решетчатой функцией имеет только функция
Котельникова . Все остальные функции будут содержать избыток
или недостаток информации. Как известно [5] функция Котельни­
кова всегда имеет ограниченный спектр. Отсюда можно сделать
вывод, имеющий существенное значение: на ЦВМ мо жно модели­
ровать функции только с ограниченным спектром, причем величина ..
этого спектра определяется величиной интервала ме ~у то ами
разбиения оси аргумента .
Тш<и м образом , ограниченность полосы пропускания операцион­
ных усилителей ЭВМ НД можно моделировать на ЦВМ выбором
соответств ующего шага численного интегрирования .
Теорема В. А. Котельникова позволяет установить зависимость
между величиной интервала дискретных отсчетов изменения аргу­
мента и шириной частотного спектра блоков ЭВМ НД. Шаг интегри­
рования
(6)
20*
307

1
где fв - граничная частота непрерывного сигнала. Если h = 21 н ,
то интервал дискретности максимальный и преобразование непре­
рывной функции с ограниченным спектром происходит без потери
информации. Очевидно, частотная характеристика цифровой мо­
дели блока ЭВМ НД должна приближаться к реальной. Это можно
реализовать выбором соответствующей квадратурной формулы.
Решение дифференциальных уравнений при помощи квадратур­
ных формул сопровождается погрешностью. Составные части
по грешности - погрешность аппроксимации и погрешность округ-
~#о
:;;яияJз-:~т0iоаг~, ~~~увч:~:
числения производятся
над числами с ограни­
ченным числом разря­
дов. Точности и устой­
чивости квадратурных
формул наиболее полно
исследованы в рабо­
те [10] .
Кривые функции ~=
O L_____
. . .:,::'---' - -""""==----...J. _- - __ J
=' ( f:) для бло1юв
-0,5
О
0,5
f(JcJ ЭВМ НД и некоторых
квадратурных формул
показаны на рис . 1.
Рис. !.
Приведенные кривые определяют возможности каждой квадра­
турной формулы в смысле получаемого соотв~тствия в точности
и полосе пропускаемых частот блокам ЭВМ НД. Отrев идно, что кри­
терий для определения максимально допустимых h, обеспечивающих
заданную устойчивость и точность для всех переменных, основы­
вается на априорном знании или теоретическом расчете собственных
часто_т моделируемой статистически ЭВМ НД при всех ее возмож­
ных сост.ряниях .
Покажем связь между процессом интегрирования в ЭВМ НД
-- r и кацратуj;/.ной формулой Эйлера 1. Интегратор ЭВМ НД выпал­
~ няе~" реше'Wие дифференциального уравнения первого порядка
Х=f,\X,f).
(7)
Уравнение (7) можно представй..ь в виде
х(п+ 1;- х(п) = f[х(п): tnJ,
откуда легко образовать рекуррентное выражение, используемое
при выполнении п + 1-го шага численного интегрирования по ме­
тоду Эйлера 1
х(п+1) =х(n)+Tf[х(n), tп]-
308

При построении алгоритмов отдельных блоков ЭВМ НД исполь­
зуем соотношение
r
Xj= /+1•~Ф(Х,),
(8)
р
1
где Ф (Х;) - функциональный оператор преобразования и i =!= j.
Для интегратора, сумматора и инвертора
~Х.
Ф(Х;)=Zо.с~Т•
1'
для функционального преобразователя
r
Ф(Х;)=Х;(О)+~k, sign[Х;(О) - Х;('t)],
1
где Т - постоянная времени операционного блока (кроме интегра­
тора):
1
Т=2fв« 1.
Для интегратора
Т ?Е.1.
Необходимо отметить, что образующийся в ЦВМ алгоритм за­
дачи вне зависимости от способа его получения представляет систе­
му рекуррентных формул, как и в ЭВМ НД. Особенность цифровых
моделей в том, что если не считать погрешности округления, кото­
рые можно сделать достаточно малыми, ра знос тное уравнение, опи­
сывающее работу модели, решается точно, т. е. без погрешностей,
вносимых устройствами. Это обстоятельство позволяет программным
способом i\Юделировать особенности работы ЭВМ НД.
4. Схема, состоящая из узлов, погрешности которых случайны,
не может иметь определенной погрешности и постановка такого
вопроса с вероятностной точки зрения является необоснованной,
но зато корректна задача определения вероятностной погрешности.
Возникает вопрос об оценке вероятности принятого значения по­
грешности решения. Поставленная задача может быть решена при
применении интегральной теоремы Муавра-Лапласса.
Исходя из опыта и экономико-технических соображений, выби­
раем коэффициент доверия v. Тогда
р{~}<р-КV~(1N Р) '
(9)
где N - число реализаций;
м
Р=-·
N'
k
t•
К=p-I(v); F(v) = iл)е-2 dt.
-00
309

Обозначив
F-1 ( ) VР(Г-Р) _
V -iг--8,
получим
(1О)
Таким образом, зафиксировав коэффициент доверия v и доверитель­
М
ный интервал (Р - в, О), за пределы которого Р = N не выхо-
дит, можно рассчитать необходимое число реализаций.
!,О
0,8
0,4
о
0,3679
.
х
лх
х
0,03
0,02
0,01
t,сек
О24б8!Оt,сек
Рис. 2.
Пример.Пустьданоv= 0,95,Р =0,5, К=1,65.
Тогдае=0,05иN=270.
По результатам N реализаций нетрудно установить (на ЦВМ)
следующие вероятностные характеристики:
а) математическое ожидание параметров;
6) максимаJJьные достоверные откJJонения от точного решения;
в) среднеквадратичную погрешность и др.
5. Подведем некоторые итоги. Статистическое модеJJирование
ЭВМ НД начинается с формализации процесса и построения систе­
мы соотношений, описывающих работу бJJоков ЭВМ НД и взаи­
модействие между ними с учетом основных помех . ЦВМ, выпо л няя
этот алгоритм, выдает информацию о состоинии процеоса и в л ия­
ния на него отдельных факторов так же, как и при на ту ральном
эксперименте. Результаты каждой отдельной реализации процесса
на ЦВМ отражают суммарный эффект совокупного де йстви я учтен­
ных помех во всех блоках . Поэтому они носят случайный характер
и не могут служить объективной оценкой характеристик ЭВМ НД.
310

Для такой оценки необходимо рас­
-смотреть определенное число реа­
лизаций.
Метод статистического модели­
рования позволяет получать кон­
кретные рекомендации по составу
и схеме набора ЭВМ НД, приме­
нению элементов с рационально
выбранной точностью работы и по­
лосой пропускания.
Получение оптимальных в ста­
тистическом смысле результирую­
щих характеристик ЭВМ НД мо­
жет быть достигнуто при неопти­
мальных элементах.
Для решения задач синтеза
необходимо установить критерии
и характеристики ЭВМ НД, ко­
торые должны быть достигнуты.
Каждая из характеристик (точ­
ность, надежность и т. д .) могут
х
Рис. З.
·быть однозначно в вероятностном смысле определены характери­
.стиками отдельных элементов и структурой ЭВМ НД. Такой под­
ход к проблеме синтеза ЭВМ НД является достаточно общим и
наиболее реальным в смысле оценок получаемых результатов.
х
Рис. 4.
На рис. 2- 4 приведены структурные схемы ЭВМ НД и резуль­
-таты исследования их методом статистического моделирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. К о r а н Б. Я. Электронные моделирующие устр ойства и их примене­
·НИе для исследования систем автоматического регулирования. Физматrиз, М., 1963.
2. D о у Р. С. Ап aпalysis of certain errors in electroпic differeпtial analyzeгs
IRE,ЕС - 6,N4,255.
3.Казаков И. Е., ДоступовБ. Г. Статистическаядинамика
-нелине йны х автоматических систем, 1962.
4. Б у с л е н к о Н. П. и др. Мета,!! статистических испытаний (метод Мон­
те -Ка рло). 1962.
311

5. Х ар к ев и ч. Спектры и анализ. 3-е изд., 1957.
6. Баш ар ин Г. П., Шваль 6 В. П . - Энергетика и автоматика,
1962, 3.
7. Цыпки н Я. 3. Теория импульсных систем. Физматгиз, М., 1958.
8.АнисимовБ.В., ВиноградовЮ. В.-Вычислительнаятех­
ника, 1953, 2.
9. Шиле й к о А. В. Цифровые модели. «Энергия», М., 1964.
10. Шур а • Б у р а М. Р.- Прикла д ная математика и механика, 1952,
16,5.-
1!. Б ере слав с кий А. Х. и др.- В кн.: Математическое моделирова•
ние и электрические uепи. Вып. IV. «Наукова думка». К . , 1966.
Доложено на семинаре
24 декабря 1965 r.

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ОБРАТНЫХ И ОБРАТИМЫХ
КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ
ю. м. rоРский, в. в. новоРУсский
Методы переработки информации, повышающие содержатель ­
ность информации, назовем прямыми. Для таких методов характер­
но, что поток информации распространяется от входа к выходу и в.
результате на основе частных информационных параметров форми­
руются общие суждения.
Обратными методами назовем такие, когда в процессе перера­
ботки содержательность информации снижается, т . е. когда на ос­
нове общих суждений определяются частные информационные па ­
раметры (поток информации от выхода к входу). Соответственно с
этими определениями все элементы и устройства, перерабатывающие­
информацию, можно в информационном отношении разделить на
прямые, обратные и обратимые. К последним относятся те, что поз­
воляют осуществлять как прямую, так и обратную переработку ин­
формации. В настоящее время уже созданы непрерывные вычисли­
тельные элементы, обладающие свойствами обратимости [l]. Воз­
можность построения на этих элементах непрерывных обратных
моделей объекта позволяет синтезировать непрерывные оптималь­
ные системы управления [2].
В настоящей работе делается попытка распространить принципы
обратимости на некоторые классы конечных автоматов .
Расс мотрим конечный автомат N\.или. Как известно, его работа •
описывается однозначными операторами f и ер, заданными на мно­
жестве возможных входных сигналов Х = (х1 , х2 , ..• , хт),
множестве
возможных выходных сигналов У = (у1 , у2 , ... ,
yk) и множестве
возмо:жных внутренних состояний А = (а1 , а2 , ... , ап). В даль ней шем ,
операторы f и ер, определяющие функции переходов а (t + 1) =
=
f [а (t); х (t)] и выходов у (t) = ер [а (t); х (t)] конечного автомата Ми­
ли назовем прямыми, а об автомате, реализующем указанные функ ­
ции, будем говорить, что он функционирует в прямом направлении .
Для решения задачи обратной переработки информации необхо-­
димо на основе известных функций а (t + 1) и у (t) определить об--
31 3;

·,ратные операторы f- 1 и ер- 1 , чтобы синтезировать конечный автомат,
,функционирующий в обратном направлении.
Значения функции, описываемой обратным оператором, могут
·-содержать только однобуквенные слова, либо быть представлены
.,в виде последовательностей букв. Тогда конечные автоматы, функ­
ционирующие в соответствии с обратной функцией, множество воз­
можных · значений которой ограничено подмножеством однобуквен­
ных и пустых слов, будем называть одношаговыми . Подмножеству
-возможных значений функции, реализуемой такими автоматами, ко­
торые можно выразить в виде последовательностей букв, будут
- ставиться в соответствии пустые слова.
Конечные автоматы, функционирующие в соответствии с обрат­
ной функцией, множество возможных значений которой не ограни­
чнвается и может выражаться последовательностями букв, будем
называть многошаговыми. Одношаговые обратные конечные авто­
маты являются, таким образом, частным случаем многошаговых.
В зависимости от типа обратных операторов, с помощью кото­
;рых описывается обратный 1,онечный автомат, можно выделить
два класса (I, 11) обратных конечных автоматов.
К обратимым конечным автоматам следует отнести такие конеч­
,ные автоматы, которые описываются прямыми опf=раторами f и ер
'В интервалы времени fпфi Е ТпФ и обратными операторами f- 1 и ер- 1
в интервалы времени foФiE ТоФ· При этом на множества ТпФ и ТоФ,
- определяемых сигналами управления Н, накладывается условие
ТпФ UТ0Ф/ТпФ П ТоФ· Сигналы управления переключают автомат
- с работы в прямом направлении на работу в обратном и наоборот,
·:r.е. ТпФ = WJ(Н) И Тоф = w2(H).
Одношаговые обратные конечные автоматы классов I и 11
Обратный конечный автомат класса I позволяет на основе пре-
:дыдущего и последующего состояний автомата или на основе насто­
ящего состояния и выходного сигнала определить сигнал, действу­
ющий на его входе. Работа тююго автомата может быть охарактери­
: зована так называемыми обратными функциями входов вида
х(t) =Г1[а(t); а(t+1)],
х(t) =ер-1[а(t); у(t)],
или х (t) = Р- 1 [а (t); а (t + 1); у (t)], которые определяются на основе
прямых операторов f и ер исходного автомата. Пусть операторы,
, описывшощие работу исходного прямого автомата, заданы совме­
щенной таблицей переходов и выходов в т строк по количеству
- букв входного алфавита и в п столбцов по количеству возможных
внутренних состояний. Поскольку для обратных методов перера­
бuтки информации в общем случае характерно снижение содержа­
· тельности информации, то обратные операторыf-1, ср- 1 и F-1, описы-
.J14

вающие работу обратных конечных автоматов, в общем случае не мо­
гут быть однозначными, за исключением следующих частных слу­
чаев.
1. Обратный оператор f-1 , характеризующий работу обратного
конечного автомата, может быть однозначным в том только случае,
если число элементов множества Ai (t + 1) = Г[аi (t) х Х] равно т
для всех столбцов i = 1, 2, ... , п. Здесь a;(t) - внутреннее состоя­
ние исходного прямого автомата, определяющее i-ый столбец его
совмещенной таблицы переходов и выходов, Х - множество вход­
ных сигналов (х1, х2, ... , хт), представленных строками этой же таб­
лицы. А (t + 1) - множество внутренних состояний прямого авто­
мата в момент времени (t + 1), являющееся отображением множест­
ва пар, образованных внутренним состоянием автомата в момент вре­
мени t и входным сигналом (элементы этого множества а (t + 1) Е
Е А (t + 1) заполняют внутреннюю часть таблицы переходов пря­
мого автомата). Обратный автомат, определяемый однозначным опе­
ратором f-1 , можно назвать детерминированным по состояниям, так
как элементы множества Х однозначно определяются элементами
множества А (t + 1) для данного а (t ).
2. Обратный оператор ср- 1 , характеризующий работу обратного
конечного автомата, может быть однозначным в том только случае,
если число элементов множества У; (t) = Г [а; (t) Х Х] равно т
для i = 1, 2, ... , п . Здесь У; (t) - подмножество множества выход­
ных сигналов исходного прямого автомата У (у1 , у2 , •.. , Yk) для i-ro
столбца таблицы выходов. Обратный автомат, определяемый одно­
значным оператором qг1, можно назвать детерминированным по вы­
ходам, поскольку элементы множества Х однозначно определяются
элементами множества У (t) для данного внутреннего состояния а (t).
3. Обратный оператор F-1
, характеризующий
работу обратного
конечного автомата, может быт ь однозначным в том только случае,
если число элементов множества (А, У); = Г [а; (t) Х Х] равно т
для i = 1, 2 , ... , п. Здесь (А, У); - подмножество множества пар,
образованных состоянием автомата а (t + 1) и выходным сигналом
у (t) для i-ro столбца совмещенной таблицы переходов и выходов.
В это м случае можно говорить о совмещенном операторе F-1 (f-1 ,cp- 1),
характеризующем однозначно работу обратного автомата, детер­
минированного по выходам или состояниям.
Таким образом, обратный конечный автомат класса I является
детерминированным в тех случаях, 1югда исходный прямой ав­
томат из каждого из п внутренних состояний под действием т
возможных входных сигналов: 1) переходит вт различных внутрен­
них состояний; 2) выдает т различных выходных сигналов; 3) име­
ет т различных сочетаний внутренних состояний а (t + 1) и выход ­
ных сигналов. Во всех остальных случаях в определении входного
сигнала возникает неопределенность, которая может быть рас1,рыта
лишь при использовании вероятностных соотношений, позволяю­
щих выбрать одно из возможных значений х (t).
315

Определим правило нахождения обратных операторов r- 1 И qг 1
по заданным прямым операторам f и ср, пользуясь табличным спо­
собом задания определяемых ими функций.
Для того чтобы найти обратную функцию входов х (t) =
=
ср- 1 [а (t), у (t) 1, необходимо в строках таблицы выходов у (t) =
= ср [х (t) ; а (t) 1символы входного алфавита (х1 , х2 , ••• , х111) заменить
символами выходного алфавита (у1 , у2 , .•• , у,,), а клетки таблицы за­
полнить символами входного алфавита таким образом, чтобы на пе­
ресечении а; столбца и У; строки было бы значение xq, найденное и з
таблицы выходов прямого автомата, как условие пол у чения yj при
переходе из состояния а;.
При этом, если для столбца а; таблицы выходов невозможно
получить значение у j ни при каком значении х, то на месте пересе­
чения столбца а; со строкой У; обратной функции следует вписывать
пустое слово е. Если же в прямом автомате для столбца а; можно
получить значение у j для нескольких значений х, то в таблице об­
ратной функции на месте пересечения столбца а; со строкой у j запи­
сываются значения этих х с указанием значений вероятности появ­
ления каждого из них при состоянии а; .
Для того чтобы найти обратную функцию входов х (t) =
= f- 1 [a(t); a(t + 1)], необходимо в строках таблицы переходов
а (t + 1) = f [а (t); х (t)] символы входного алфавита (х1 ; х2 , ... , х111}
заменить символами алфавита внутренних состояний а1 (t + 1) ;
а2 (t + 1); ... ; ап (t + 1), а клетки таблицы заполнить символа ми вход­
ного алфавита, принимая во внимание соображения, изложенные
для предыдущей таблицы, с той лишь разницей , что переменные
а (t + 1) и у (t) здесь меняются ролями.
Мы рассмотрели пример построения таблиц обратных функций
входов для автомата Мили, заданного таблицей функционировани я
(табл . 1) прямого автомата (а) и обратного (6, в) автомата класса I.
Таблица
а)а(t+1)= f[а(t);х(t)];у(t)= ер[а(t);х(t)J
---
-------~) 1
а11а2
а3
х (t)
--------
а2
а2
а4
аз
Х1
У2
Уз
У1
!!з
аз
а1
al
аз
Х2
У2
У1
Уз
Уз
а4
al
а2
а4
Х3
У1
У2
У2
Yi
316

б)х(t) = ср-1[у(t); а(t)]
~а (1)
1
х (1)
---------------
а1
а2
аз
а4
У1
1
Х3
Х2
Х1
Х3
У2
1
Х1 (Р2)
Х3
Хз
е
Х2 (l -P2)
Х1 (Р1)
Уз
1
е
Х1
Х2
Х2 (1 -Р1)
в)х(t) = f-1[а(t+1); а(t)]
~!
al
а2
аз
а4
)
а1
1
е
Х2 (Рз)
Х2
е
ХзО-Рз)
а2
1
Х1
Х1
Х3
е
Х1 (Р4)
аз
1
Х2
е
е
Х2(1 - Р4)
а4
1
Х3
е
Х1
Х3
в регулярной форме с помощью совмещенного оператора F-1
алгоритм работы обратного автомата для данного примера можно
представить так:
s;- 1
= [а1(t) /\а2(t+1)]V[а2(t)/\а2(t+1)]V[аз(t) /\а4(t+1)]V
V [а4(t)/\аз(t+1)/\Nр.]V[аз(t)/\У1(t)]\/[а2(t)/\Уз(t)]V
V [а1(t)/\Yz(t) /\NР,]V [а4(t)/\Уз(t) /\NpJ[х,;
S21= [а1(t) /\аз(t+1)]V[а2(t)/\а1(t+1)/\NР,]V
V [а4(t)/\аз(t+1)/\N(I-P,)]V [аз(t)/\а1(t+1)]V
V [а1(t) /\У2(t) /\N(I-P,)]V [а2(t)/\У1(t)]V
V [аз (t) /\ Уз (t)] V [а4 (t) /\ Уз (t) /\ N(I-P,)] lx,;
Sз1= [а1(t)/\а4(t+1)]V[а2(t) /\а1(t+1)/\N(l-P,)]V
V [аз(t) /\а2(t+1)]V[а4(t) /\а4(t+1)]V [а1(t)/\!J1(t)]V
V [а2(t)/\у2(t)]V[аз(t) /\У2(t)]V[а4(t)/\У1(t)JJx,;
s41= s;-1 v s21v sз1j,.
317

Здесь N Р - переменная величина, вероятность появления кото­
рой равна Р.
На рис. 1 приводится вариант построения обратимого авто м ата
класса I. Работа автомата в такте прямого функционирования ниче м
не отличается от общеизвестных принципов действия. В такте обрат­
ного функционирования с по м ощью ко мбинационных логических
преобразователей осуществляется определен и е значения в х од н о го­
сигнала х (t) на основе настоящего а (t + 1) и предшествующеГ(}
а (t) состояний автомата или на основе состояния авто м ата а (t) и вы-
//o(t} o(t,i}j
Рис. 1. Возможный вариант построения обратимого
конечного автомата · класса 1.
ходного сигнала у (t), с использованием вероятностной составляю­
щей Р.
Один из возможных вариантов представления графа для приве­
денного в примере обратимого конечного автомата класса I дан на
рис. 2 . По сплошным линиям графа м ожно определить значение Еы ­
ходного сигнала у и последующее состояние автомата а (t + 1) при
воздействии определенного значения входного сигнала х, а также
значение входного сигнала х при имеющемся состоянии автомата
а (t) и воздействии на него выходного сигнала у. По пунктирным ли­
ниям можно опре).1,елить значение входного сигнала х при известны х
предшествующем и последующем состояния х автомата.
Касаясь вопроса о возможных при менениях обратных и обра ­
тимых конечных автоматов класса I, следует указать, что к ним могут
быть сведены задачи технической диагностики, когда по известным
выходной реакции и состоянию автомата треб у ется опреде л ить не ­
контролируе мый входной параметр х (t), или при аварийной ситуа­
ции определить сигнал воздействия, вызвавший эту ситуацию и
т. п.
Обратный конечный автомат класса II позволяет на основе на­
стоящего состояния автомата и выходного сигнала определять не
только сигнал, действующий на входе автомата, но и предшеств у ю­
щее его состояние. Работа такого автомата может быть охарактери ­
зована обратной функцией входов
х(t) = ~1-1la(t+!); у(t)]
318

и обратной функцией переходов
а(t) = у-1[а(t+1);у(t)],
которые находятся на основе прямых операторов исходного автома ·­
та Мили f и ер, заданных таблицами выходов и переходов.
Для автоматов этого класса так же, как для обратных конечных
автоматов класса I, обратные операторы только в некоторых част­
ных случаях могут быть однозначными. Условия однозначности,
Рис. 2. Граф обратимого конечного автомата класса I.
определяются по таблице выходов и переходов исходного автомата,
Мили и формулируются следующим образом:
1. Если упорядоченная пара элементов [а; (t + 1); yj (t)] не пов ­
торяется в таблице выходов и переходов более одного раза, то обрат- ­
ные функции, заданные операторами '\j)- 1 и у-1, для этого набора яв- ­
ляются однозначными.
2. Если упорядоченная пара элементов [а; (t + 1); yj (t)] повто­
ряется более одного раза только в одной строке таблицы выходов
и переходов исходного авто мата Мили, то обратная функция, задан­
ная оператороr,,1 '\j)-1, для этого набора является однозначной.
3. Если упорядоченная пара элементов [а; (t + 1); yj (t)] повто­
ряется более одного раза только в одном столбце таблицы выходов .
и переходов исходного автомата Мили, то обратная функция, за­
данная оператором у-1, для этого набора является однозначной.
Аналогично можно сформулировать условие неоднозначности
обратных операторов.
319

Если упорядоченная пара элементов [а; (t + I ); у j (t)] повторяется
'более одного раза не только в столбце или строке таблицы выходов
и переходов исходного автомата Мили, то обратные функции , задан­
ные оператора м и 1/)- 1 и у- 1 , для этого набора не являются однознач­
ными .
Таким образом, обратный конечный автомат класса II является
детерминированным по входам (у словие 2) в тех случая х, когда
исходный прямой автомат переходит в одно и то же послед у ющее
состояние с выдачей одинаковых выходных сигналов при воздействии
одного и того же входного сигнала независи м о от предшествующего
,с остояния ; является детерминированным по состояниям (у словие 3)
,в тех случаях, когда исходный пря мой авто мат переходит в одно и
то же последующее состояние с выдачей одинаковых выходных сиг­
налов из одного и того же предыд у щего состояния независи м о от
входного сигнала ; является детерминированны м по входа м и состоя­
ниям (условие 1), когда исходный прямой автомат переходит в пос­
ледующее состояние с выдачей различны х выходных сигналов.
При этом неопределенности в определении а (t) для автоматов,
.детерминированных по входам, разрешаются с использованием
априорных значений вероятностей Ра; неопределенности в определе­
нии х (t) для автоматов, детерминированных по состоянию,- с
помощью вероятностей Рх; неопределенности в определении возмож­
ной пары [а (t) ; х (t)] - с помощью Рах•
. Определим
правило нахождения обратных операторов 1/)- 1 и у- 1
по заданным прямым операторам f и ер, пользуясь табличным спосо­
бом задания определяемых ими функций: функции выходов и функ­
пии переходов прямого автомата; обратной функции входов и обрат­
ной функции переходов обратного автомата класса II . При этом бу­
дем оперировать совмещенной таблицей выходов и переходов как
исходной для построения искомой совмещенной таблицы обратных
входов и переходов.
Для того чтобы построить таблицу обратных входов и перехо­
дов, нужно столбцы таблицы поиме новать си м волами а; ( t + 1),
соответствующими внутренним состояниям автомата, а строки
таблицы - символами у j ( t), соответствующими выходным сигналам
прямого автомата. В клетки таблицы, находящиеся на пересечении
столбца с символом а; (t + 1) со строкой - yj (t), записываются
символы состояния автомата а, (t), из которого он переходит в со­
стояние а; (t + 1) и входного сигнала xq, вызывающего этот переход.
Для этого необходимо символы а, (t) и xq, определяющие клетку ис­
ходной таблицы со значениями а; (t + 1) и у j ( t); записать в клетку
искомой таблицы, определяемую значениями а; (t + 1) и Yit). Клет­
ки , оставшиеся свободными после окончания этой операции, запол­
няются пустым словом е. В клетках, соответствующих обратным пе­
реходам, детерминированным по входам, записываются значения
вероятности появления состояний Ра. В клетках, соответствующих
обратным переходам, детерминированным по состояниям, записьша-

ются значения вероятности появления символов входа Рх· В клетках,
соответствующих обратным переходам недетерминированным ни по
входам, ни по состоянию, записываются значения вероятности появ­
ления пары символов xq и а, (t) - Рах·
В качестве примера приводятся операторы '\jJ- 1 и у- 1 , заданные
таблицей обратного функционирования для прямого конечного ав­
томата, определяемого табл. 1. Сумма значений вероятности в каж­
дойклетке табл.3равна1- (Р'+Р"+...+ре)=1.
Таблиuа 3
~al
а2
аз
а4
)
х1( Р;ах)
Х2
аз ( Р;ах)
У1
е
е
Хз (Р;ах)
а2
а1( Р;ах; Р~)
а4 ( Р;ах; Р:)
х1(Р;ах)
Хз
а1 ( Р;ах)
Х2
У2
е
а2
Хз ( р;ах)
аз ( Р;ах)
al
-
1
х1(Р:)
Х2
Х1
Уз
Х2(Р:)
е
аз
а2
а4
В регулярной форме алгоритм работы обратного автомата клас­
са II для рассматриваемого примера запишется так:
S22 = [у1(t) /\а1(t+ l)J\x,; а, S14 = N (Р;х) [Уз(t) /\аз(t + l)J\x,; а,
Sз2=[у2(t) /\а1(t+ l)Jjx,; а, S24 = N(Р,;х)[Уз(t) /\аз(t+ l)J\x,; а,
s23 = [Уз(t) J\al(t+l)J!x,; а, S1з=N(Р;ах)[yl(t) J\а4(t+l)J/x,; а,
21 7-2622
321

S12 = [Уз (t) /\ а2 (t + l)J\x,; а, Sз1 = N (Р;ахР:) [y1(t) /\ait + l)Jlx,; а,
S21 = lY2 (t) /\аз (t + l)J\x,; а, S34 = N (Р;ахР:) lY1 (t) /\а4(t + 1)]\х,; а.
S11 = N (Р;ах) lY2 (t) /\ а2 (t+ l)J/x,; а, Sзз=N(Р;ахНУ2 (t) /\ a2 (t+ I)J/ x,; a~
S = S11 V S12 V S1з V S14 VS21VS22VS2зVS24VSз1VSз2VSззVSз4le.
Здесь N (Р) - переменная величина, вероятность появления кото­
рой равна Р.
На рис. 3 представлена функциональная схема одного из возмож­
ных вариантов обратимого конечного автомата класса 11 . В основу
(
г--
-l
/
1 '!21
х,
Р,ах
1⁄2Oz
'la, х,
'lг!Jт
(Jaz
х, ... хп
IJ,
Х2
IJ,
'la2 Xz
'!а,
А
(l,,..ап
'la, .. · ffgп
Рис. 3. Возможный вариант построения обратимого
конечного автомата класса 1!.
построения схемы положено свойство «обратимости» элементарного
перехода обратимого автомата класса I I , заключающееся в том ,
что всегда вы п олняется соотношение
у(t)/\а(t+1)/\а(t)/\х(t) =1.
Разбивая приведенное соотно ше н ие на системы уравнений и до­
бавляя значения вероятностей, можно получить
!22
{а(t) /\х(t) =а(t+1),
.
а(t)/\х(t)=у(t);
{а(t+1)/\у(t) /\[N(Р0х)VN(Ра)]=а(t),
а(t+1)/\y(t)/\[N(PaJVN(Рх)]= x(t).

Для реализации этих соотнсшений используются логические
I<омбинационные схемы. Входные сигналы для них а1 , а2 , ... , ап
поступают от исходного прямого автомата, выходные же сигналы
qa 1, qa 2, ... , qan служат для управления этим автоматом. Пусть , на­
пример, автомат А находится в состоянии а2 и на вход eIV,y посту лает
сигнал х2 . Тогда с по мо щью схемы «И» формируется сигнал возбуж­
дения автомата qa1, переводящий его в состояние а1 , и выходной сиг­
нал у1 . Если автомат находится в состоянии а1 , а на выход ему по -
Рис. 4. Граф обратимого конечного автомата класса II.
ступает сигнал у1 , то формируется сигнал возбуждения qa 2 и входной
сигнал х2 и т. д.
На рис. 4 приведен граф обратимого конечного автомата клас­
са II.
Переход автомата из состояния а (t) в состояние а (t + 1) в такте
прямого функционирования отмечается одинарной стрелкой и вход­
ным сигналом х, вызывающим этот п ереход; а п ереход автомата из
состояния а (t + !) в состояние а (t) в такте обратного функциониро­
вания - двойной стрелкой и выходным сигналом у, вызывающим
этот переход. Жир ными линиями по контурам узлов графа объеди­
нены обратные переходы, недетерминированные либо по входам,
либо по состояниям, либо и по входам, и по состояниям.
К числу при ме нений обратных и обратимых автоматов клас­
са II можно отнести, например, ассоциативную выборку и з памяти
образов по заданному их классу, решение всевозможных задач ме­
тодом дедук ции, и поиска причин, вызвавших данное следствие
ит.д.
21*
323

Замкнутые схемы с обратными конечными автоматами
При решении некоторых информационных задач, требующих
восстановления всей цепи причинно-следственных связей, могут
найти применение схемы с обратными автоматами, работающими
по замкнутому циклу.
Возможный вариант построения схемы, работающей по замкну­
тому циклу, представлен на рис. 5,а.
Здесь используется обратный конечный автомат класса I I, реа·
лизующий функции
x(t)
а(t) = у-1[а(t+1); у(t)];
x(t)=~г1[а(t+1); у(t)],
o(t) o(t)=t -' [o(t,1), ij(t)J
x(t)=I/J· '[o{t,1); y(tJ}
а
х (t)
,j
Рис. 5. Схема с обратным автоматом класса 1!, работающая по замкну­
тому циклу:
а - без останова; б - с остановом по заданному выходному сигналу .
и вероятнос.тный функциональный преобразователь, реализующий
функциюу(t- 1)=л-1 (а(t);Р[а(t+1);х(t)]).Обратныйопера­
тор л- 1 определяется на основе функции выходов исходного прямо­
гоавтоматау(t) = ер[а(t);х(t)].
Посредством такой замкнутой системы обратного функциониро­
вания можно производить «проигрывание» последовательности собы­
тий, имевших место для исходного прямого автомата, в направле­
нии, обратном их «историческому» развитию. При этом на выходы
его поступают сигналы выходного У и соответствующего им входно­
го Х алфавитов.
Функционирование схемы начинается с момента воздействия
11а ее вход сигнала у (t), в результате чего обратный автомат из со­
стояния а (t + 1) переходит в состояние а (t) с формированием сигна­
лах (t). В соответствии с новым состоянием автомата а (t) с помощью
функционального вероятностного преобразователя формируется сиг­
нал у (t - I), который воздействует на вход схемы и дает тем самым
начало следующему такту работы устройства.
324

В качестве вероятностных величин для функционального преоб ··
разователя используются априорные вероятности, которые в общем
случае могут быть функциями либо от состояния автомата, либо от·
сигнала входного алфавита Х, либо от того и другого одновременно,
чем может обеспечиваться корреляционная связь между предыду­
щим и последующим состояниями обратного автомата. Таким обра - ­
зом, этой связью с большей или меньшей степенью вероятности оп -­
ределяется то или иное из возможных направление обратного раз~
вертывания цепи событий .
Многократное повторение циклов работы схемы позволяет не
только производить развертывание цепи причинно-следственных
связей, но и дает возможность строить плотности вероятностей для
различных версий (последовательностей событий) при переходе
отУ;кyj,либоотагк aqит.д.
Однократное проигрывание некоторой цепи событий с помощью
схемы, работающей по замкнутому циклу, по одному из вероятных
частных циклов позволяет решать задачи по определению последо­
вательности входных сигналов Х, необходимой для получения на
выходе автомата заданного выходного сигнала у. Пример построения
такой схе мы приведен на рис. 5,6. Функционирование ее происходит
таким же образом , как предыдущей, но при совпадении сигнала вы ­
ходного алфавита У с сигналом установки ууст с помощью схем срав­
нения (Сх. ер.), «НЕ» и «И» производится выключение входной цепи
функционального преобразователя, что приводит к останову схемы.
Мноrошаrовые обратные конечные автоматы класса
Обычно используе мые функции переходов и выходов для описа ­
ния конечных автоматов Мили
а(t+1)=f[а(t); х(t)],
у(t)=ер[а(t); х(t)]
характеризуют реакцию автомата на каждый из символов входного
а лфавита, поступающих последовательно по тактам.
На основе этих функций могут быть описаны реакции автомата
на входные слова, состоящие из последовательности символов
a(t + k)=fм[a(t); x(t); x(t+l); . . . ; x(t+k-1)]=
= fы [а (f); Xi+k-1],
у(t+k- 1)=еры[а(t); Xi+1,-1].
Такие функции определяют состояние автомата и выходной сиг­
нал через k тактов после начала поступления входного слова X~..L k -i ·
При функционировании обратных конечных автоматов м'огут
возникать ситуации, при которых пары аргументов из алфавитов
А и У, появляющиеся на их входах и являющиеся смежными по вре­
ЫЕ'НИ, по какой-либо причине не являются такими, исходя из функци-
325

онирования прямого автомата, а сдвинуты на k - 1 тактов. Та киt
автоматы задаются функциями
x:+k-1 = f;1[а(t); а(t +k)];
xi+k-1 = ср;1[а(t); у(t+k- 1)]
и относятся к много шаговы м.
Многошаговый обратный конечный автомат класса I позволяет
на основе информации о двух внутренних состояниях автомата или
на основе его настоящего состояния и выходного сигнала определить
входное слово, действующее на его входе конечное число тактов.
Операторы f;1 и ср; 1 , описывающие -работу много шагового обрат­
ного конечного автомата, так же как и обратные операторы f-1 и ср- 1 ,
описывающие работу одношагового обратного конечного автомата,
в общем случае не могут быть однозначными, за исключением частных
случаев, при которых для каждой ситуации возможен только один
путь многошагового процесса. В остальных случаях искомое вхuд­
ное слово может быть получено с использованием априорных вероят­
ностных соотношений. Для сокращения количества возможных ве­
роятностных решений можно заменять их детерминированными, там,
где это допустимо, исходя из выбора найкратчайшего многошагового
пути.
Определим правило нахождения обратного оператора f;1 . Для
этого необходимо, пользуясь таблицей переходов исходного прямо­
го автомата или его графом, выписать возможные входные слова (по­
следовательности входных сигналов) х1 , ... , Хр для всех интересую­
щих ситуаций - пар внутренних состояний
A;j= [а;(t); аj(t+k)].
Далее составляется совмещенная - таблица п ереходов и выходов
многошагового обратного конечного автомата. Входными сигнала­
ми для такого автомата будут сочетания внутренних состояний а (t)
и а (t + k); выходными - буквы искомого входного слова. Проме­
жуточные внутренние состояния находятся п утем определения
переходов исходного прямого автомата при воздействии на его вход
найденных выше входных слов. Неодно значные решения записы­
ваются в этой таблице с указанием значения их вероятности.
П р и м е р. Исходный конечный автомат задан таблицей функци­
онирования (табл. 1). Определим значения возможных входных слов
для различных сочетаний а (t) и а (t + k) : Результаты оформим в ви­
де табл. 4. Циклические пути из таблицы исключены, входные сло­
ва найдены из условия выбора кратчайшего пути, а в общем случае
таблица усложняется.
Построим таблицу переходов и выходов многошагового автома­
та класса I (табл. 5). Символом Ац+k в ней обозначены входные
сигналы, соответствующие сочетаниям внутренних состояний а (t)
иа(t+k).
326

Таблица 4
а1
G2
G3
G4
G1
е
Х2 (Р1)
Xz
Х2; Х2 (Р2)
Х3 (1 -Р1)
Х1; Х2 (1-Р2)
G2
Х1
Х1
Х3
х2; х3 (Р3)
х1 ; х3 (1-Р3)
G3
Х2
Х2; Х2 (Р4)
е
Х1 (Р5)
Х3; Х2 (l -P4)
Х2 (1 -Р5)
G4
Х3
Х2; Х3 (Р6)
Х1
Х3
Х3; Х3 (1-Р6)
На рис. 6 приведен граф многошагового обратного автомата
класса I, реализующего оператор f-;; 1 .
Обратный многошаговый конечный автомат класса I можно пред­
ставить схемой, изображенной на рис. 1, заменив лишь устройства,
Рис. 6. Граф ф ункциони рования многошагового об·
ратного конечного автомата класса I.
реализующие операторы f- 1 [а (t); а (t + 1)] и (J)-1 [а (t); у (t)], на
устройства, реализующие операторы f;1 [а (t); а (t + k)] и (J);1 [а (t);
у (t + k - 1)] соответственно.
Определим теперь правило нахождения обратного оператора
(J);1 . Для этого по таблице выходов или графу исходного прямого
327

Табл1,1u3 5
~а1
а2
аз
а.
1.1+1,
~
1а1
аz,
G3
а,
А,+ 1
а1
а2
аз
Ci4
а1
а1
G3
G4
А11
е
е
е
е
А21
Х2 (Pi)
е Х3(l-P1)
е
е
а,
а2
аэ
G4
а1
а2
03
а,
А12
Х1
е
е
е
А22
е (l-P7)
е
Х1 (Р7)
е
е
а3
а2
а3
а•
А1э
Х2
е
е
е
G3
а1
G3
1G4
А2з
х2 (Р4)
е\
Х2 Х3(l-P.)
е
а.
а2
03
а.
о.
а1
а,
а,
А14
Х3
е
е
е
А24
х2 (Р6)
Х3 х 3 (l-P6)
е
е
~1
о1
1
Oz
03
а•
+
~G1
Gz
03
G4
'
а1
о2
al
а.
А31
е
е
Х2
е
j
1аз
а1
JGz
а1
А•1
Х2 (Р2}
,,
е
Х2 J Х1 (1-Р2)
а1
'12
1G;
1G4
А32
Х31
е
el
е
1
а1
а2
йz
03
А42
х2 (Р3)
е
е
Х3 Х1 (1-Рз)
а1
а2
аз
а•
а1
Gz
U3
аз
А3з
е
е
е
е
А43
Х1 (Р;)'
е
е
е х2(}-Р5}
;
1
о1
1а2
а,
а.
а1
а2
G3
о,
Аз•
1
е1
е
Х1
е
1
i
А,.
е (1-Psr
е
е
е
Хз (Р8}
автомата выписываются возможные входные слова для п ар внутрен­
них состояний а ( t) и выходных сигналов у ( t + k - 1). Далее со­
ставляется таблица пере ходов и выходов. Входными сигналами для
такого автомата будут символы из алфавита У, выходными - буквы
J28

искомого входного слова. Промежуточные внутренние состояния
находятся так же, как и в предыдущем случае. Так же записывают~
ся и значения вероятностей.
а (t)
у (t+k-1)
Уз
а (t)
y(t+k-J)
Х1 (Р~)
Х2 (Р;)
Yz
Xt (Р~)
Уз
Х3 (Р~.Р ;·)
--
Х1 (Р;)
Х2 (Р;)
Х1Х1 (Р:)
Х3Х1 (Р;)
Х3Х2 (Р~")
о,
а2 (Р;)
а3 (Р;)
а2 (Р~)
о4 (Р;• , Р;)
1
Xz
Х3
Х3
а1
Х1
Xz
а2
Таблипа 6
Х3
Х1Х3 (Р;)
Х2Х3 (Р;·,
Х1Х2Х1 (Р; 0 )
Х1 (Р;)
Х2 (Р;·)
Таб.пипа 7
Х1 (Р;,Р;•)
Х2 (Р;)
а2
аз
Х1 (Р)
Xz (Р 0;)
а,
йз-
Рассматривается пример построения таких таблиц для автомата ,
Мили, заданного табл. 1: таблица возможных входных слов для мно­
гошагового обратного конечного автомата (табл. 6) и таблица пере­
ходов и выходов многошагового конечного автомата класса I (табл. 7) .
Входные слова найдены из условия выбора кратчайшего пути.

В некоторых случаях может быть использован совмещенный об­
:р атный оператор Р; 1 ,который находится на основе операторов f;1
И ср;_;- 1 И определяет функцию
Xi+k-1 = г;:;1[а(t); а(t+k); у(t+k- 1)].
Количество детерминированных значений такой функции больше,
''Чем функций, задаваемых операторами f;1 или ср; 1 в отдельности.
Используя аналогичные методы задания, можно определить опе­
р аторы многошаговых обратных конечных автоматов класса II.
Выводы
1. В зависимости от типа обратных операторов и от способа за­
_:цания обратных функций , можно различать обратные конечные
.автоматы Мили I и II классов и автоматы многошаговые и одноша­
,говые .
2. Обратный автомат класса I позволяет определить сигнал, дей­
ствующий на его входе на основе предыдущего и последующего со­
-стояний автомата или на основе настоящего состояния и выходного
-.:иrнала . Обратные и обратимые автоматы этого класса могут найти
, применение при решении задач технической диагностики.
3. Обратный автомат класса II позволяет определить не только
,сигнал, действовавший на его входе, но и предшествующее состояние
.автомата, на основе настоящего состояния и выходного сигнала. Об­
ратные и обратимые автоматы этого класса могут найти применение
,в построении обратных моделей некоторых ситуаций, ассоциативной
,памяти и т. д.
4. Одношаговые обратные конечные автоматы являются частным
- случаем автоматов мноrошаговых.
5. Логические схемы, содержащие обратные автоматы и рабо­
·тающие по замкнутому циклу, позволяют проигрывать последо­
вательности событий в направлении, обратном их историческому
,развитию, и могут найти применение при решении задач , требующих
восстановления цепи причинно-следственных связей. Такие схемы
по своим свойствам приближаются к многошаrовым обратным ав­
· томатам класса II.
ЛИТЕРАТУРА
•!.'рухов
Г. Е.- В кн.: Вопросы теории и применения математического
·моделирования. «Советское радио», М., 1965.
2. Жук К. Д. - В кн.: Вопросы теории и применения математического
,моделирования. «Советское радио», М., 1965.
Доложено на семинаре
10 декабря 1965 г .

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ СВЯЗИ
МЕЖДУ УПРАВЛЯЮЩИМИ ВЕЛИЧИНАМИ И УКЛОНЕНИЯМИ
ДЛЯ ОБЪЕКТОВ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
Ц.С. ХАТИАШВИЛИ
В работе рассматривается способ получения частных производ ­
ных управляющих функций любого порядка по уклонениям для
объектов с неполной информацией. При этом используются экспери­
ментальные данные, содержащие случайные погрешности и одновре­
менное изменение параметров в широких пределах.
Имеется некоторая выборка объемом N, xt 1> .. . x<N>, уО> . .. y<N>.
По этой выборке необходимо вычислить значения частных произ­
водных, в общем случае до п порядка, в точке М (х0 , у0) . Допустим,
что неизвестная функция такова, что в области взятой выборки воз­
можно ее разложение в ряд Тейлора . Для i-ой компоненты векто­
ра у ряд Тейлора запишется так:
~ду
1 ~~ д2ц.
-
_j_
'Л
1
.,
ЛЛ_j_
У;--Уо ,
-
хj,
-
2,
д-
дХ1Xq,
.....,/ дх-
......... ..
хх
i
,.
рq
рq
... +
[i=ln,р=lm,q=lm,j=lm].
Введем обозначения
д2t;i - а-
дхдх-
l,pq ,
рq
... '
д
д = а;,1...п•
Х1... Хп
В этом случае ряд (1) имеет вид:
Лу; = ~ацЛхj + ~~ а;,рqЛхРЛхq + ... +
рq
(1)
(2)
331

По данной выборке определим значения приращений Лхj1 > и Лу\ 11
относительно точки М(х0 ,у0). В силу того, что вектор у подвержен
случайным погрешностям, значение Лу;, вычисленное по формуле
(2), и значение Лу\ 1 >, полученное по выборке для одних и тех же Лх,
не будут совпадать, т. е. Лу;=l=Лу\l)· Изложенное выше дает возмож­
ность говорить о наличии дисперсии между эти ми величинами. Для
выборки объемом N оценку этой дисперсии можно записать в сле­
дующем виде:
или, обозначив приращение второго поря дк а через z, имеем
Минимизируя дисперсию по каждому из искомых параметров, по­
лучим
дD.
дD.
дD.
__
L=0
дai.j
,
_
_
L-о
дai,pq -
,
... '
д,
=
О,
ац ...п
(5)
или, подставив выражение (2) в формулу (3) и продифференцировав
полученное уравнение по неизвестным коэффициентам, получим
систему
~а· .~ Лх(1>Лх\1> + _I "У~ а "У Лx<1JЛi:U>Лx-UJ + +
~L.J~ J
2! ,.,.,,/~ L,pq _..,
р,q
,J
'
•••
'
j
l
рq
l
+_!_ aiI п~ЛxUJ ...ЛxUJ
· Лх-U> = °У ЛуСl)ЛхU)
n!
• ••• _...
1
п
,.l
~i
1'
l
l
~а· ."УЛх<.1>Лх<1> +-1
-
"У~ а· )., ЛхU>ЛхmлхиJ + +
~ L.J
_..,
J
rz
2! --~
L,pq _,,,,, .
р(/
tL
'
•••
j
l
рq
l
+...+ -1
-
а- 1 Лх(n ... ЛхU>Лх(l) = '5',ЛуС.l)ЛхU)
(6)
n/
t,
..•/1.
1
n
f1,
_. .-
l
n'
l
Из полученной системы можно определить частные производные
любого порядка.
332

Сказанное можно использовать для аппроксимации случайной
векторной функции и векторной функции со случайными аргумента­
ми. Так 1,ак случайная векторная функция получена наложением
случайных возмущений на функцию
у= Ф (х),
(7)
которая в действительности описывает объект, то функцию (7) можно
считать аппроксимирующей для случайной векторной функции.
Следовательно, любая зависимость, аппроксимирующая функцию
(7), будет аппроксимирующей и для случайной векторной функции.
Допустим, что функция (7) такова, что возможна ее аппроксимация
уравнением (2). Коэффициенты этого уравне ния а можно найти из
систеNIЫ (3). Ограничиваясь линейными членами уравнения (2), по­
лу чи м прямую, проведенную через одну точку опыта с минимизацией
ЕВадрата расстояний до других точек. Для уравнения, содер­
жащего и нелинейные члены уравнения (2), это будет парабола соот­
ветствующей степени, пров еденная чере з точку с минимизацией рас­
стояния z. Параметр z является приращением второго порядка . Как
известно, 1,лассический метод наименьших квадратов использует
минимизацию суммы прир ащений первого порядка. Поэтому опи­
санный в данной работе способ дает гораздо большую точность ап­
проксимации, чем метод наименьших квадратов при одной и той же
выборке, или при апnро1,симации данным способом необходим го ­
раздо меньший объем выборки. При этом всегда известна область
минимальной погрешности аппроксимации: она расположена вокруг
точки М (х0 , у0). Объем выборки вычисляется по формуле
N=(3·-;-5)(п+k- 1),
где N - объем выборки; п
-
мерность объекта; k - порядок подле­
жащих определению частных производных.
Доложено на сеj\ 1инаре
10 июня 1966 г.

ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ НАСТРОЙКИ ДИСКРЕТНОГО
КОРРЕКТОРА ПО МИНИМУМУ СУММАРНОЙ
АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ
В.А. КИСЕЛЬ
В статье предложены два алгоритма, позволяющие настроить
дискретный корректор [1-3] таким образом, чтобы по окончании
процесса настройки суммарная абсолютная погрешность уклонениЯ1
выходного сигнала от сигнала заданной формы была минимальной.
Описываются модели коррекгоров, настройка которых выполня­
ется автоматически corласно алгоритмам последовательной опти­
мизации и алгоритма скорейшего спуска .
Постановка задачи
Исходные обозначения: g1 (z) - сигнал, подлежащий коррек­
ции; g2 (z) - сигнал, который необходимо получить на выходе кор­
ректора; К (z) - коэффициент передачи корректора,
,п
g1(z) = ~ akzk,
k=- n
т,+т
g2(z) = ~
ckzk, К (z)
k=- (п,+11)
Корректор с коэффициентом передачи К (z) преобразует сигнал g1 (z)
в сигнал
!'де
,,,.,
с~ = ~ а1,_;а;.
(1)
i=-n1
334

Обозначим суммарную абсолютную погрешность уклонения сигнала,
gi(z) от g2(z) через Л:
т,+т
Л= I /с;,- ck1.
k=- (п,+т
Необходимо указать алгоритм, который позволил бы настроить,
корректор таким образом, чтобы при подаче на его вход сигнала
g1 (z) суммарная абсолютная погрешность уклонения выходного ·
сигнала gi (z) от требуемого сигнала g 2 (z) была минимальной .
•
Алгоритм должен содержать последовательность действий, ко- ­
торая гарантирует достижение Лмин по окончании процесса настрой -­
кн без каких-либо расчетов.
Прежде чем приступить к изложению вuз1vюжных алгоритмов.;
настройки , проанализируем функцию погрешности Л. Подставив зна- ­
чение (1) в формулу (2), получим
Л = т±п 1.2 ak_;(:X;- Ckl·
k=- (п,+п)
<=-п,
Правая часть данного выражения является (п 1 + m1 + 2)-мерной ·
функцией относительно переменных а" (-п1 < k < т1) . В (п1 +
+ т 1 + 2)-мерном пространстве с координатными осями а" выраже­
ние (3) описывает некоторую поверхность Л. Определим характер •
этой поверхности.
Рассмотрим сечение поверхности Л плоскостями Х~ (а'_п ,
а'_п,+1, ... , а~-1,
ап, а~+1, ... ,
a,;,J, параллельными координатны~ ,
,
,
,
,)3
плоскостям Хп (а-п, , а_п,+1 , . . . ,
СХп-1, О, ап+!, ... , ат, • десь •
а'_п,, а'_п,+~, ... ,
а~, ... ,
а~, (k =I= п) - некоторые фиксированные
значения переменны х а"; ап - текущая переменная п ; п
-
любое­
(-п1 < k < m.J. Пересечение поверхности Л с плоскостью Х~ дает
кривую Ln, лежащую в Х~, для нахождения уравнения которой ,
необходимо в выражение (3) подставить а; = а; (i =I= п).
rде
При этом получи м
т,+т
Ln=
~ 1а1г-nап + bk, п!,
k=- (n,+n)
(4),
33&,

о
Рис. !.
-8 36
1
1
1
1
1
------ -
------
______.. ------

Выражение (4) является функuией от переменной ап. Запишем
Ln как сумму элементарных функuий вида
Lk,n = \аk-па.,п + bk,n 1,
Lп=
Очевидно, Lk,n -
непрерывная, кусочно-линейная функuия, имею -
•
~п
щая единствен н ый минимум, равныи нулю, при ап = -
-a--
k-n
(рис. 1, а), т. е. Lk,n -
выпуклая функuия.
Покажем, что Ln также выпуклая функuия. С этой uелью рас­
смотрим сумму двух функuий Lk,n и Lц, (рис. 1, б). Как видно из
этого рисунка, Lk,n + L1, 11 -
непрерывная, кусочно-линейная, вы-
,
bk,n
пуклая функuия, имеющая изломы в точках ап =
-
--
иап=
ak-n
biп
= - -а-.-' - , в которых обращаются в нуль соответственно l~k,n и L;,п.
,-п
Минимум Lk,n + L 1,n совпадает с одной из точек излома, следова­
тельно, с ОДНИМ ИЗ минимумов Lk,n и Li,n ·
Анализируя сумму трех функuий Lk,n, L;,п, Li,n , убеждаемся,
что Lk,n + Li,,, + Li,n также выпуклая функuия.
Нетрудно видеть, что сумма любого числа функuий типа L1,,n
образует выпуклую функuию (рис. 1, в), следовательно, Ln -
вы­
пуклая функuия.
Согласно формуле (4), L 12 - непрерывная, кусочно-линейная
функuия, изломы которой находятся в точках обращения в нуль
bkп
функuий Lk,n, т. е. в точках ап = - --'- (- п1 -< k-< m1). Ее
ak-n
•
•
•
bkп
минимум совпадает по краинеи мере с однои из точек - --·-.
ak-n
Таким образом, показано, что сечение поверхности Л произволь-
ной плоскостью Х'п, параллельной любой координатной плоскости
Х n' всегда дает выпуклую функuию Ln, имеющую минимум. Оче­
видно, поверхность Л является выпуклой и имеет минимум, ибо
только в этом случае все функuии Ln будут обладать указанным
свойством. Из изложенного выше вытекает, что погрешность Л -
выпуклая функция, обладающая минимумом.
Нам необходимо определить коэффиuиенты а;;, минимизирую­
щие Л. Для нахождения значений этих коэффиuиентов в данном слу­
чае нет возможности непосредственно применить обычный способ
отыскания экстремума функuии нескольких переменных, который
заключается в составлении и решении системы уравнений вида
22 7°·2622
337

так как Л - кусочно-линейная функция с разрывными частными
dЛ
производными -d- .
ak
Однако, используя свойство Л как выпуклой функции, можно
определить а; на основе метода последовательных приближений либо
на основе метода скорейшего спуска. Из этих методов соответствен­
но вытекают два алгоритма настройки корректора.
Алгоритм настройки методом последовательной оптимизации
Нахождение а; на основе метода последовательных приближений ,
называемого в дальнейшем также методом последовательной опти ­
мизации, требует выполнения следующих операций.
1. Полагаем в формуле (3) коэффициенты а.1, (кроме а0) равным и
нулю :
ai= О, а0=!=- О,
что превращает Л в двумерную функцию относитель н о переменной а0 :
т1+т
Л=L61)= ~
(5)
k=-(n,+n)
где
Lk~6 = 1akao- ck!-
Полученная функция Lb1) - выпуклая, поэтому найдем аъ1 ), соот­
ветствующее ее минимуму. Согласно изложенному выше , минимум'
L &1 >совпадает с нулем одной из функций L\/:0, а именно, с одним из
ck
значений --z;- (-п < k < т) . Подставляя в выражении (5) а0 =
k
ck
(])
=-
(-п<k<т)ивычисляяпогрешностьЛ= L0 , беремв
ak
качестве аь1) значение ..:.!!.__, соответствующее минимуму Л.
ak
2. Подставляя полученное значение аъ1 ) в формулу (3) и считая
а~0> = О (k =!=- О, 1), рассмотрим Л как функцию от переменной а1 :
Л= L\l)=
где
т,+т
~ 1а,,-1а1 + Ь;/11 =
lг=- (n,+n)
Lk1
,\=1a
k-1a1 +bk1
,\ 1,
ь~1.l = аkаь1) - с,,.
(6)
Функция Ч1 > - выпуклая, ее минимум совпадает с ну лем одной из
ззв

ь(!>
функций Li/1. Нули Ц1,J1 расположены в точках - ~
. Найдем
ak-1
а.\1>, минимизирующее (6). Для этого последовательно полагаем
ь(lJ
а1 = ~ (-п1 < k < m1) и выбираем в качестве а\1) значение
ak-1
b(I)
-~ , обращающее Л = L\1J в минимум.
ak-I
3. Подставляем в формулу (3) а~1 ), а\ 1 >, ai0J = O(k +0,1-1),
и рассматриваем Л как функцию от а_1
где
L (l)
1
b(l) 1
k,-1 =
ak+Ia-1 + k,-1
,
b(J)
(1)
(!)
k,-1 = akao + ak-1a1 -
ck.
Находим значение а~\. минимизирующее L~\- Естественно, а~\ со­
ь<I>
впадает с одним из значений -
- -- -1'::=.1 . .
ak+l
4. Аналогичным образом определяем коэффициенты ak1), каждый
из которых минимизирует соответствующую ему функцию Lk1>.
Величины а~1 > являются приближенными значениями коэффи-
циентов а,;, поэтому уточняем данное решение. Полученные в резуль­
тате уточнения коэффициенты обозначим через aj,2> . Процесс уточне­
ния аналогичен процессу нахождения а k1>.
Многократное повторение процесса уточнения дает ряд значе­
ний ak1>, а~2>, а~3), ... , akn) и т. д.
При нахождении aV> в выражение для Л (3) подставляются зна­
чения а\{- 1 >. Коэффициенты av) для каждого j и k получаются ИЗ
условия минимума соответствующей им функции LV).
В силу выпуклости функции погрешности Л, значения aV) с.
возрастанием j стремятся к а;
lim akf) = а;.
j ➔ -::.O
Таким образом, описанный процесс последовательных приближе••
ний всегда обеспечивает получение искомого результата а;.
Этот процесс может быть положен в основу расчета к,9эффициен-
тов а;.
,
.,.,•,:.;
Однако мы используем метод последоватеJ]ыщх, _нриб,!j,1:\Ж.:уtiий
ДJIЯ осуществления настройки rармо1щческого кqррект'°Р..1!1 ,.,,,:о,;го
22*

Блок-схема корректора, реализующая настройку по данному
методу, и его характеристика изображены на рис. 2, а, б.
Взаимодействие узлов схемы таково. Сигнал g1 (t) периодически
поступает на вход настраиваемого корректора. При этом на выходе
возникает сигнал g; (t) с дискретными значениями g; (kЛt) = с;, .
Ключ Кл . дискретизирует g; (t), что дает сигнал g; (z) . Генератор эта­
лонных сигналов (ГС) вырабатывает дискретный сигнал g 2 (z) за­
данной формы. Естественно, сигналы g 2 (z) и g1 (z) соответствую­
щим образом синхронизированы и сфазированы во времени.
6ыz I
о
Он, {!(,)
5
Рис. 2.
--
-
--
- --,
IJ,' (t)
а
8ыxotJ
1
1
1
1
1
На выходе вычитающего устройства получим сигнал ошибки
е(z) =g~(z) - g2(z)созначениямис~-
ck. Линейный детектор (Лд)
дает абс~лютное значение погрешности / s (z)[. Интегрирующее уст­
ройство и индикатор (вольтметр В) указывают величину суммарной
т,+т
абсолютной погрешности Л = ~
1 с~ - с,, \· В качестве инте­
k=-(п,+пJ
rратора может быть использована обычная RС-цепочка (рис. 2, в).
Алгоритм настройки непосредственно заключается в следующем.
1. Исходное состояние: все отводы ak, кроме а0 , отключены,
чтодаетr;,k = О(k-=!=О),а0-=!= О.
Вращаем регулятор а0 до тех пор, пока вольтметр В покажет
·ми1-шмалыюе значение погрешности Л . На этом прекращается ре­
гулировка отвода а 0 .
2. Включаем отвод а1 и регулятором а1 добиваемся минималь­
ного показания вольтметра. На этом настройка отвода а 1 заканчи­
.вается.
3.' Включаем отвод а ... 1 и добивс:емся минимального показания
nольтметра, после чего прекращаем регулировку а_ 1 .
Аналогичным образом последовате,тп,но настраиваем остальные
отводы а2, a_z, а3, а_з, ... и т. д.
240

Процесс настройки отводов ak повторяется несколько раз, до
тех пор, пока регулировка ak уменьшает погрешность Л.
Подчеркнем, что алгоритм последовательной оптимизации всег­
да приводит к достиже нию Л,шн • В силу очевидной простоты алгорит­
ма, настройку корректора можно выполнить автоматически с исполь­
зованием схемы, указанной на рис. 3.
IJ,(t} ,..---------~
8хоо ·------
-
-- --+ -'
Рис. З.
-
-
-
--- ,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
_
_________
__J
ff,' (t)
8ьиоо г
Здесь вращение регуляторов осуществляется моторами М.
которые управляются напряжением с выхода интегратора через
коммутатор К. Коммутатор К подключает последовательно моторы
отводов а" к интегратору, причем работа моторов прекращается
по достижении мини м ального напряжения на выходе интегратора.
В практических условиях зачастую ставится задача преобразо­
вания сигнала g1 (z) в сигнал g2 (z) = 1. В этом случае можно восполь-
Рис. 4.
1-----------1
1Кл, . Гпп1
.
Г7l r;;-{ I
1~1
-
-
-
-
-
-
_.J
r;,'(t)
8ыхоо
зоваться либо общей схемой (рис . 2), либо схемой , приведенной на
рис. 4.
Ключ Кл. пропускает все дискретные значения g~ (kЛt) =
= с ;,1, (k =1= О) сигнала g; (t), за исключением значения g: (О) = с~,
так что на его выходе имеем
в(z) = g~(z) - с~.
341

Суммарная абсолютная погрешность приобретает вид
т1+т
Л'= ~ lc~I.
k=-(n,+n)
kcfaO
Настройка по минимуму Л' производится аналогично изложенному.
Отвод а0 регулировке не подвергается, т. е. а0 = const. В результа­
те такой настройки сигнал g1 (z) преобразуется в сигнал g; (z) = с~,
где величина с~ заранее неизвестна .
---- ----- - -- -
,
~~~'·
_!!!Р_ектор ~~,~~р J
9/(t.)
Рис. 5.
Однако требование Л' = min является недостаточным для прак­
тических целей, поскольку обычно ставится требование
(7)
Настройка согласно общей схеме (рис. 2) удовлетворяет крите­
рию (7), в то время как при настройке с использованием схемы рис. 4
это требование может не выполняться.
Сформулируем требование (7) в такой форме: минимизировать
Л' при условии с~ = const (т. е. величина с~ остается постоянной
в процессе настройки).
Настройка корректора с учетом (7) осуществляется аналогично
изложенному выше с той лишь разницей , что в схеме используется
усилитель с автоматической регулировкой уровня (РУ) (рис . 5),
который в процессе настройки изменяет свое усиление так, чтобы
выполнялось условие с~ = const.
Вывод: алгоритм настройки методом последовательной оптими­
зации гарантирует достижение минимально возможной погреш­
ности, кроме того, техническая реализация алгоритма отличается
простотой.
Алгоритм настройки методом скорейшего спуска
Настройка корректора по минимуму погрешности Л может быть
осуществлена также на основе метода скорейшего спуска. Этот ме­
тод применительно к рассматриваемой задаче заключается в следу­
ющем.
Градиент функции Л запишется так:
342

где а1г - единичный вектор в направлении координаты ak; ak - ком­
понента градиента:
dЛ
'Л,, = da1, •
Запишем функuию погрешности в виде
где
т1 +т
Л= ~ (с~ - ck)sgn(с~-с1г) =
k=- (n,+n)
sgn(с~- ck)={+1,с~ - ck>О;
-
1,с~- ck<О.
Компоненту лi можно выразить так:
т,
Л;= ~ ak-isgn(с~ - с1г).
k=-n1
Градиент v Л указывает направление и скорость быстрейшего роста
функции Л. Вектор, противоположный градиенту по знаку, указы­
вает направление быстрейшего убывания погрешности Л.
Обозначим вектор, описывающий изменения коэффициентов ak
во времени, через
dCJ.k
где Тt - скорость регулировки отвода ak. Если изменять коэффи-
циенты а1г так, чтобы выполнялось условие
К4=-v'Л
(8)
(К - некоторая постоянная), то мы будем перемещаться по поверх­
ности Л кратчайшим путем по направлению к точке Лмнн и достигнем
Л,шн в кратчайший отрезок времени , в какой бы исходной точке мы
ни на х одились.
Согласно условию (8 ), скорость из ме нения коэффиuиентов ak
должна быть прямо пропорuиональной величине компоненты лk
Кdak = '),,
dt
k•
На рис. 8, а изображена блок-схема корректора с автоматической
настройкой по данному методу.
343

Усилитель-ограничитель (УО) преобраз ует поступающи й на его
вход дискретный сигнал погрешности
m1+m
Е(z) = I (с~- ck)zk в сигнал Е1(z) =
k=-
(п,+п)
q,(t) ,-----------
8хоо ------
....--....--
....----
1
1
1
1
1
1
1
1
L
1
/ ___________I
8сломоготельнысi корректор
а
di
1мL
c(Z)
1't
Тt
о
Рис. 6.
8ыxoiJ
IJ,' (t)
5
представляющий собой последовательность импульсов одинаковой
амплитуды, полярность которых совпадает с полярностью (т. е.
со знаком) погрешности (с~ - ck) (рис. 8, 6 и в).
Сигнал Е1 (z) подается на вспомогательный корректор с коэф­
фициентом передачи
т,
I a_k/.
k=-n ,
344

На выходе такого корректора возникает сигнал
2m,+m
i,(z) =К1(z)в1(z) = ~ лkzk,
k=-2п,+п
дискретные значения которого совпадают по величине с л,, . В даль·
нейшем используется лишь n 1 + m1 + 1 значений лk (-п 1 < k <
-<;:m 1). В качестве вспомогательного корректора можно использовать
два однополярных двоичных регистра сдвига либо один двухполяр­
ный регистр.
Коммутатор К распределяет лk по n 1 + m1 + 1 выходам, которые
одновременно управляют работой п 1 + т 1 + 1 моторов отводов
ak (--п 1 < k < т1 ). Скорость вращения моторов пропорциональн а
величине управляющего напряжения [лk/, а направление враще­
ния-противоположно знаку лk.
В целом настройка осуществляется в такой последовательности .
Исходное состояние: устанавливаем коэффициенты передачи по от­
водам вспомогательного корректора равными a_k (ak = а_"). Вклю-
1,аем одновременно все моторы, после чего настройка производится
автоматически до тех пор, пока погрешность достигнет минимально
возможного значения. На этом настройка прекращается .
Укажем, что алгорит м настройки корректора по методу скорей­
шего спуска для сигнала g 2 (z) = 1 подробно рассмотрен в рабо­
те [З].
Обобщение алгоритмов для случая взвешенной погрешности
Полученный результат обобщим на случай взвешенной (абсолют ­
ной) погрешности
т1+т
Л1 = ~ Pk(c~-ck),
k=- (п, +п)
где Pk - дискретный вес:
!Pk)=Р-(n,+n), • • • ,
Р-1, Ро, Р1,•• ·, Р(т, + 111)•
Введение дискретной весовой функции (Pk ) не нарушает выпуклостн
функции погрешности Л 1 . Поэтому изложенные выше алгоритмы
настройки корректора по м етоду последовательных приближений
либо по методу скорейшего спуска в принципе полностью применимы
и для случая опти м изации (минимизации) взвешенной погрешно­
сти Л1.
Примеры применения алгоритмов
Пример 1.Пустьg1(z) = -0,5z-1+1+0,6z(рис. 7,а),
т.е.а_1=
-0,5;а0= 1;а1= 0,6;
g 2 (z) = А (А - произвольная постоянная) .
345-

Для преобразования , g1 (z) в g2 (z) используется корректор с коэффи­
циентом передачи
К(z) =а.,_12-1+1+a1z.
При подаче на вход корректора сигнала g 1 (z) на выходе получим
сигнал
где
с'-2 = - 0,50:_ 1; с'_1 = о:_1 - 0,5;
с~= О,6сс1 + 1- О,5а1; с; = а.,1 + 0,6; с;= О,6а1•
·1
оft
-2
-!
о
I2t
L1t
c!z =-0,2.5
Лt
cj=-0,Jб
о.,=-0,.5
а
5
Рис. 7.
Погрешность Л' имеет вид
2
Л'= I Iс: 1= 10,5CG-l1+ 1CG-J
-
0,51 + 10,6 + а.,1 1+ 1 0,6CG1 j. (9)
k=- 2
k1°0
Необходимо настроить корректор так, чтобы погрешность Л' приняла
минимально возможное значение Л' мин•
Осуществим настройку методом последовательных приближений.
Для данного примера настройка заключается в подборе коэффиuиен­
това1иа_1(а0=1= const).
1. Исходное состояние: а_ 1 = О, что дает
Л' = L\ 11 = 0,5 + / 0,6+а1 1+1О,6а11·
Вращая регулятор а1 , добиваемся минимума погрешности Л' = L\ 1)·
Определим расчетным путем значение а\ 1 ), минимизирующее L\ 1).
Изломы функuии L\1) находятся в точках а1 = О и ai = -0,6.
Вычисляя величину L\1) в точках излома, убеждаемся, что минимум
L\1) имеет место п ри а\ 1 ) = - 0,6, что и является оптимальным зна·
чением коэффиuиента а1 .
-3 46

2. Настраиваем отвод а_1, Подставляя значение а\1> = -0,6
в равенство (9), получим
Л'=L~1 = 1О,5а.1 1+ 1С'-1 - 0,51+0,36.
Функция L~/ имеет изломы при а_1 = О и а_1 = 0,5. Вычисляя ве­
личину L!..! ./ в точках излома, находим, что значение а~/ = 0,5
L(l)
соответствует минимуму -1 ·
Рис. 8.
т
л'
d
Осуществляя повторную регулировку отводов а1 и а_1, убеждаем­
~я, что дал ьнейшая настройка не приводит 1, уменьшению погреш-
ности Л'. Это свидетельствует о том, что найденные значения а,:_:) и
аР> являются оптимальными
а.~ =
-
0,6; а..:_1 = 0,5.
Минимальное значение погрешности Л' мин равно 0,61. Сигнал g; (z)
имеет вид (рис. 7, 6).
'
-2
2
g2(z) =
-
0,25z + 1,6 - 0,36z .
Значение А равно 1,6.
Рассмотрим процес с настройки корректора графически . Функ­
ция Л' изображена на рис. 8.
347

1. Начальное состояние а 1 = О, а_1 = О соответствует точке с.
При настройке отвода а1 мы движемся по кривой L\ 1 > (кривая abccl),
отыскивая ее минимум, который имеет место в точке Ь. Проекция точ­
киЬнаосьа1даетточкуа\1>=а~.
2. Настраиваем отвод а_ 1 . При этом мы движемся по кривой
L<}j (кривая efbm), отыскивая ее минимум. Минимум L~) находится
в точке f. Проекция f на координатную плоскость а1а_1 дает точку
М с координатами а~ и а.:. 1 . Дальнейшая регулировка отводов а1
и а_ 1 не приводит к уменьшению погрешности Л', так как точка f
является абсолютным минимумом Л' мин функции Л'.
Допустим теперь, что настройка производится по методу ско­
рейшего спуска. В этом случае движение из начальной точки с в
точку f (Л') происходит по кратчайшему пути - прямой cf (штрих­
пунктирная линия рис. 8).
Данный пример наглядно иллюстрирует выпуклость функции
погрешности Л', поэтому метод последовательных приближений и
метод скорейшего спуска могут быть использованы для оптимальной
настройки корректора.
Пример. 2. Даны сигналы
g1(z) = -
z-1+1+z, (а-1 = -
1, а0=а1= !);
g2 (z) = А (А - произвольная постоянная). Необходимо настро­
ить корректор с коэффициентом п е редачи
К(z) = а_1 z-1+1+a1z
так, чтобы погрешность
2
Л'=~ 1с;,1=1а_11+iа_1- 11+1а1+11+1a2I
k=2
k~O
приняла минимальное возможное значение. В выражении погреш­
ности Л' не учитывается член
с~= 1а_1- а1+11-
График функции Л' приведен на рис . 9, в. Как следует из этого ри­
сунка, Л' принимает минимальное значение, равное 2, не в одной
точке, а в целой области, ограннченной кривой О, - 1, М, 1.
При настройке корректора по методу последовательной оптими­
зации либо по методу скорейшего спуска мы можем получить лю­
быезначения а1 иа_1, лежащие впределах- 1< а1<О, О< а_1 <
< 1, т. е. настройка может прекратиться в любой точке прямоуголь­
ника abcd. Это происходит потому, что мы не учитываем значение с~.
так как отвод а0 не регулируется. Однако мы заинтересованы не
только в том, чтобы получить минимальное значение Л', но также
348

,
Со
'В том , чтобы выполнялось соотношение -к,= max. В связи с этим
настройку следует производить так, чтобы для данного значения
погрешности Л' величина с~ была максимальной. Максимальному
0,=f
-1
о!t
.-2
-1о12t
:ат
c_>"t
н
[!,'= -!
(]=-!
а
и
-t
'л'
f
п
Рис. 9.
значению с~ в пределах прямоугольника М, -1, О, 1 соответствует
точка М с координатами а_1 = 1, а1 = 1. В этой точке с~ = 3. Если
стремиться не только уменьшить Л', но и увеличить с~, то настройка
корректора, например, · по методу последовательных приближений,
349

прекратится в точке а, в которой Л'
g; (z) равен
'
-1
g2(z)=- z
.
min, с~ = max . Сиrнал
Сигналы g1 (z) и g; (z) приведены на рис. 9, а, б.
ЛИТЕРАТУРА
1. L i n k е I. М. А variaЫe time eqllal izer for videofreqllenc y \vaveform
coггection Ргос. ! ЕЕ, т. 99, 111 а, No 18, 1952.
2. К: и сел ь В . А.- В кн.: Математическое моделирование и теория элек­
трических цепей. Вып IV. «Наукова думка» К:., 1966.
3.Lllсkу R. М.-BSTY,1965,4.
Рассмотрено на семинаре
24 нюня 1966 r.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ЧАСТОТНОГО УПРАВЛЕНИЯ
АСИНХРОННЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ
А. П. ТИПИКИН
В настоящее время проектируются системы частотного управле­
ния тяговыми асинхронными двигателями для перспективны х локо­
мотивов. Разрабатываются два основных варианта указанных си­
стем: при переменной и постоянной скорости первичного двигателя.
В п ервом варианте системы (рис. 1, а) в качестве первичного двига­
теля использ уется специальный газотурбинный двигатель (ГТД,
рис. 1, а), работающий в широком диапазоне скоростей и обеспе­
чивающий тяговую характер истику приводной системы. Частота
синхронного генератора (СГ) при разгоне локомотива изменяется
в широком диапазоне, что отвечает требованиям частотного управ­
ле ния асинхронными двигателями (АД) . Регулятор возбуждения
СГ предусмотрен для поддержания оптимального закона частотного
управления, предложенного М. П. Костенко
иг
-- = const,
(J)r
гдеИг,Wr-
соответственно напряжение и угловая частота синхрон­
ного двигателя.
Во втором варианте системы (рис . 1, 6) предполагается использо­
вать первичный двигатель, работающий в узком диапазоне эконо­
мичн ы х скоростей (дизель). Тяговая характеристика приводной си­
стемы обеспечивается применением обратной связи по мощности
в регуляторе возбуждения СГ. Регулирование скорости тяговых
АД осуществляется системой частотного управления с промежуточ­
ным звеном постоянного тока, включающей •выпрямитель (В) и
автономный инвертор (И). Оптимальный закон частотного управ­
ления поддерживается регулятором частоты инвертора. Измери­
тельный элемент (Д) регулятора частоть1 подключается на выходе
инвертора.
Известная сложность и нелинейность дифференциальных урав­
нений машин переменного тока при пере мен ной частоте затрудняют
351

аналитическое исследование статических и динамических характери­
стю{ систем частотного управления. При решении данной задачи на
аналоговых вычислительных машинах (АВМ) можно с достаточной
точностью определить основные характеристики указан ны х систем
6
Рис. ! . Блок - схемы систем частотного управлен ия
тяговыми асинхронным11 двига телями локомотивов.
и получить исходные данные для прое1пирования электрооборудо­
вания.
Методы м атематического моделирования элементов регуляторов
рассматриваемых систем хорошо разработаны . Способы моделиро ­
вания на АВМ силовых элементов, т. е. синхронного генератора при
переменной частоте, каскада синхронный генератор - выпрямитель,
асинхронного двигателя при переменной частоте и каскада инвер­
тор - асинхронный двигатель разработаны недостаточно. Исследо ­
вание переходных пр оцессов в машинах переменного тока и вентиль ­
но-машинны х каскадах производится двумя этапами : определение
электромагнитных и электромеханических переходных процессов_
352

Электромагнитные переходные процессы возникают при внезапных
изменениях режима работы и при коммутации вентилей и являются
кратковременными . При их исследовании обычно пренебрегают из­
менением скоростей роторов машин за время переходного процесса
[1-3].
•
При определении электромеханических переходных процессов
пренебрегают наиболее быстротечными электромагнитными процес­
сами, сравнимыми по длительности с периодом основной гармоники
тока статора, носящими характер пульсаций и мало влияющими на
динамику автоматической системы в целом [ 1, 2 ]. Указанное допу­
щение позволяет значительно сократить порядок дифференциаль­
ных урав нений системы, но в каждом конкретном случае требует
проверки путем сравнения реальных процессов и результатов ре­
шения упрощенных уравнений.
Электромеханические пере х одные процессы и статические харак­
теристики синхронного генератора изучаются на его упрощенной
математической модели. При моделировании генератора приняты
следующие основные доп у щения, подтвержденные практикой (2,3 ]:
1) распределение магнитного поля фазных обмоток вдоль окру­
жности статора и ротора принято синусоидальным; 2) не учитываются
потери в стали; 3) электромагнитные переходные процессы в статорных
контурах не учитываются в связи с их кратковременностью по срав­
нению с переходными процессами в контуре возбуждения СГ и це­
пях регулятора. Синхронный генератор моделируется по уравнени­
ям Горева - Парка с учетом насыщения главной магнитной цепи[!] .
Насыщение учитывается приближенно только по продольной оси в
соответствии с характеристикой холостого хода [3 ]. Данный прибли :
женный учет насыщения не проверен в случае работы генератора с
изменяющейся в широком диапазоне частотой . Для оценки погреш­
н ости в данном случае производилось сравнение динамических и
статических характеристик, полученных в результате решения на
ЭЦВМ. уравнений генератора с упрощенным учетом насыщения по
одной оси d и более точным учетом кривой намагничивания как
функции модуля вектора намагничивающего тока. Расчеты произ ­
ведены для наиболее характерных режимов работы генератора при
переменной частоте и поЕазывают, что упрощенный учет насыщения
вносит погрешность, не превышающую 10%.
На основании указанных допущений получены следующие
уравнения синхронного генератора при переменной частоте:
23 '7-2622
Ив=Р'Фd+(rв+РХав)[S('фd)- fd],
'Фсd = 'Фd + Xacfd•
Eq = Wr'Фcd,
Ed = Xaqffiгf q•
ud=Ed- rcfd,
353

uq=Eq- Гclq,
3
Мг= 2 fq ('Фd -xa/d),
Мпд - JНг = Т:мРWг,
где \/)d - проекция на продольную ось потока в зазоре генератора;
'Фсd, 'Фсq, l d• I q - проекция векторов потокосцепления и тока
статора на продольную d и поперечную q оси машины; Eq, Ed, Uq,
Ud - проекции векторов э. д. с. и напряжения статора на оси q
Рис. 2. Схема электронной модели синхронного генератора.
и d; J\IIг - момент синхронного генератора ; Мпд
-
момент первич­
ного двигателя; Гс - активное сопротивление фазы статора; т:м
-
механическая постоянная времени; Ив - напряжение на выходе
возбудителя; xaq• xad - коэффициенты взаимной индукции ротора
и статора.
По данным уравнениям составлена структурная схема модели
СГ на АВМ (рис. 2).
Математическое моделирование переходных процессов в каскаде
с;шхронный генератор - выпрямитель осуществляется при сле­
дующих допущениях: 1) не учитываются электромагнитные переход­
ные процессы, вызываемые внезапным изменением режима работы,
т. е. переходные процессы в статорных контурах; 2) пренебрегается
вь1сшими гармониками I-ia стороне переме нного тока, а на стороне
постоянного тока рассматриваются средние значения за период
повторяемости. Статические характеристики каскада в значительной
степени определяются электромагнитными процессами, происхо­
дящими в статорных контурах генератора при коммутации венти­
лей (51 и не учтенными в данном случае при моделировании переход­
ных процессов. Уравнения статических характеристик получаются
354

в результате теоретического анализа электромагнитных процес­
сов каскада [2, 5], а затем вводятся при моделировании. Для учета
реакции якоря генератора предложен способ разложения модуля
вектора основной гармоники тока статора, пропорционального вы­
прямленному току, на проекции на продольную и поперечную оси
машины.
На основании указанных допущений и соответствующего теоре­
тического анализа получены следующие дифференциальные уравне­
ния каскада синхронный генератор - выпрямитель при переменной
частоте:
Ив= P1J!d + (rв + РХав) [S (1j!d) - f d],
1J!эd= 'Pd- fd(Хк- Хас),
,1,2+(
)2/2- 4 2
1
:n:2 212
-уэd Xq- Х1< q- ЗЧJ,ттgХкlm-
- [ov(~~- :n:~-~~)J-[ovCx": 1"' -ч1,т)Т·
f1т1J!гт = f q (1J!c1 - ха/ d),
Мпд - А-1г = Т:мРЫг,
где 1J!эd - проекция на ось d вектора эквивалентного потока статора
генератора при работе на выпрямитель; 'Ргт - амплитудное значе­
ние потокосцепления статора генератора, совпадающего по фазе
с основной гармоникой тока статора; I1m -
амплитудное значение
основной гармоники тока статора; р - символ дифференцирования
по времени; r 0 -
активное сопротивление цепи возбуждения гене­
ратора; Хав, Хас - индуктивные сопротивления рассеяния обмотки
возбуждения генератора и фазы статора; xq - синхронное индуктив­
ное сопротивление генератора по поперечной оси; xk - эквивалент­
ное индуктивное сопротивление генератора при работе на выпря·
м шель; V - обозначение логической операции дизъюнкции (выбор
максимальной из двух величин); S - условное обозначение функци ­
онального преобразователя, учитывающего насыщение главной маг­
нитной цепи СГ.
Электронная модель, составленная по данны м уравн е ниям ,
приведена на рис . 3. Для проверки точности воспроизведения ста­
тических и динамически х характеристик сравниваются эксперимен­
тальные данные, полученные на макете каскада, с результатами мо­
делирования этого макета на АВМ. Гiогрешность воспроизведения
характерист и к на модели не превышает 10%. В отличие от известных
моделей преобразователей переменного тока в постоянный [2] дан-
23*

ная модель позволяет учесть ряд особенностей автономной установ­
ки: регулирование напряжения возбуждения и частоты, влияние
реакции якоря, работа выпрямителя в глубоких режимах, близких
к короткому замыканию.
При моделировании асинхронного двигателя приняты те же до­
пущения, что и при моделировании синхронного генератора. Диф­
ференциальные уравнения двигателя составляются по методу двух
реакций в системе координат, вращающейся со скоростью, равной
.
1./
J
_
!
-----Т1
х'
-
к/,,
10 x,7J
7
Рис. 3. Схема электронной модели каска да синхронный генератор -
выпря м итель.
угловой частоте тока статора. Насыщение магнитной цепи двигате­
ля по путям рассеяния учитывается введением постоянных насыщен­
ных значений индуктивных сопротивлений рассеяния. Насыщение
главной магнитной цепи не учитывается. При этом характеристики
и диаграмма тока двигателя воспроизводятся с погрешностью, не
превышающей 10% (4 ]. Дифференциальные уравнения асинхрон­
ного двигателя при переменной частоте:
356
Ud = (Р+~)~Jcd - :с 1Ppd- W1Pcq,
Uq=(р+~с)1!Jcq-
:с ~Jpq + W1Pcd,
О=(р+:Р)1μpd - :Р 1Pcd - Лw1Ppq,
О=(р+ ':)1PP'I - :Р 1j)cq +ЛW1Ppd,
<11Pcd = 1μ-pd + х/dt

m/Jcq = 1/Jpq + х!q•
Лw=w-ruд,
3
Мд = 2 (1/Jcdf q - 1/Jcr/d),
Мд - Л1с = т"ршд,
flm= 11f~+fi,
где 'фр,d, 'фр,q - проекuии вектора потокосuепления ротора на оси
d, q; rp - активное сопротивление ротора; Xcrp - индуктивное со-
Рис. 4. Схе,,а электронной модели асинхронного
дви гателя.
противление рассеяния ротора. Структурная схема модели асинхрон­
ного двигателя при переменной частоте приведена на рис. 4.
Электронная модель каскада инвертор - асинхронный двига­
тель пост рое на при допу щения х, аналогичных каскаду синхронный
генератор - выпрямитель. Моделировался инвертор с отсекающи­
ми диода ми и реакт ив ны м мо стом, основны м преимуществом которо­
го является наличие спеuиальных контуров перезаряда коммутиру­
ющи х конденсаторов, минуя фазные обмотки двигателя. Напряжение
на выходе инвертора не содержит гармоник, кратных трем, бла-
357

годаря чему с достаточной точностью можно исследовать характери­
стики двигателя, принимая во внимание только основные гармони­
ки токов и напряжений [6]. Электромагнитные процессы в данном
инверторе при коммутации вентилей кратковременны и не оказы­
вают существенного влияния на характ е ристики системы. Инвертор
по основным гармоникам описывается простыми лин е йны м и соотно­
шениями , поэ тому при моделировании д анно го каскада достаточно
составить модель асинхронного двигат ел я.
/1.fсек
11111111
ifWVWvV
' н '"''""'"'" """M "MM'VVVW
hr
~ "' /"NYl'Y ,'V VV YVY VY 'V
Wa
з,g
Ck
а
/J
11. !с ек
1_.Lт'1,1~
-~и.тГ­
~- "-~I,____
~----~=--
lf
Рис. 5. Переходные процессы в системе частотного управления при разгоне
локомотива.
Особенностью электронных моделей изучаемых систем перемен­
ного тока является наличие большого количества нелинейных ре­
шающих элементов: квадраторов и множителей (рис. 2-4). Точность
нелинейных блоков, входящих в комплекты серийных АВ.М., оказа­
лась недостаточной для данной задачи, так как входные и выходные
сигналы указанных блоков изменяются в широком диапазоне: О, 1-
100 в. Точность, динамический диапазон выходного сигнала и рабо­
чий диапазон частот нелинейных элементов были значительно повы­
шены по сравнению с серийными применением принципа кусочно­
нелинейной аппроксимации параболы на кремниевых диодах (без
опорных источников напряжения) и термостатированием диодов.
При построении множителя дополнительно повышена точность схем
выделения модуля возводимых в квадрат сигналов применением
в этих схемах кремниевых термостатированных диодов и специаль-
:358

ных схем коррекции их характеристик, выполненных на кремниевых
диодах и сопротивлениях. Сконструированные квадраторы и мно­
жители имеют относительную погрешность на более О, 1% и динами­
ческий диапазон выходного сигнала, равный 1000 (при мгновенной
относительной погрешности, не превышающей 2%). Рабочий диапа­
зон частот : 0-4000 гц при дополнительной динамической погрешно­
сти, не превышающей 1% от максимального значения выходного
с игнала . При использовании построенных нелинейных блоков
погрешность решения на АВМ уравнений силовых элементов систем
частотного управления составила не более 5%. Погрешность прове­
рялась сравнением характеристик силовых элементов, полученных
на модели и в результате решения на ЭЦВМ.
Исследованы системы частотного управления двигателями газо­
турбовоза и тепловоза, находящиеся в стадии эскизного проектиро­
вания. Определены границы статической и динамической устойчи ­
вости систем, оптимальные типы гибких связей и их параметры .
Даны рекомендации к техническому проектированию силовых элемен­
тов. Для исследуемых нелинейных систем характерным является по­
теря статической устойчивости при нерациональном выборе типов
корректирующих элементов и их параметров. Так, например, на
рис. 5, в показан аналогичный переходной процесс при разtоне ло­
комотива в системе, составленной по блок-схеме (рис. 1, а). В этом
случае разгон сопровождается опасными ударами тока генератора
и моментов, достигающими четырехкратных значений по сравнению
с номинальными значениями. При правильном выборе параметров
корректирующего звена разгон локомотива осуществляется плавно
(рис. 5, 6). На осциллограмме рис. 5, а показаны переходные про­
цессы в системе при отсутствии корректирующих звеньев.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гр уз о в Л. Н. Методы математического исследования электрических
машин, ГЭИ, 1953.
2. Богачков М. Л., Новицкий В . Г.-В кн . : Электроэнерге­
тика . «Наука», М., 1964.
3. Горб у но в а А. Н., Портной М. Г.- Труды ВНИИЭ. Вып. 15,
,1963.
4. П е т р о в Г. Н.- Электричество, 1948, 12.
5. Ш е х т м а н М . Г.- Труды Ленинградского индустриального института,
! 940, 3.
6. Х а с а ев О. И.- Электричество, 1961, 9.
Доложено на семинаре
18 февраля 1966 г.

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НАГРУЖЕНИЕМ
СЛОЖНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
С.К. ГАНИЕВ, К.Д. ЖУК, В.Г. ТАЦИЙ
1. Проектирование и ввод в экс:~луатацию нового типа самолета
связаны с проведением большого комплекса стендовых испытаний
для определения его действительной прочности .
Самым ответственным видом испытаний являются натурные ста­
тические и повторно 0 статические испытания, т. е. испытания закон­
ченной конструкции планера самолета или отдельных крупных его
агрегатов, таких как крыло, фюзеляж, оперение и т. п. При натур­
ных испытаниях необходимо с максимально возможной точностью
воспроизводит:ь реальные эксплуатационные нагрузки, определяе­
мые при продувках модели и в процессе летних испытаний аналогич­
ных самолетных конструкций. Ввиду большой сложности и разнооб­
разия эксплуатационных нагрузок натурные прочностные испыта­
ния представляют собой достаточно сложный процесс, поэтому их
организация, методика проведения и проектирование испытатель­
ного оборудования превращаются в самостоятельную проблему .
Трудности, связанные с созданием испытательного оборудования,
вытекают из некоторых характерных особенностей авиационны х
конструкций и их эксплуатационных нагрузок, а именно : в конст­
рукциях возникают значительные деформации, а нагрузки в боль­
шинстве являются распределенными и имеют широкий а мпли­
тудный и частотный диапазон. Эти особенности предъявляют
специфические требования к испытательному оборудованию. Так ,
значительны е деформации конструкции заставляют применять си­
ловозбудитель с большим динамическим ходом (гидравлич еские си­
ловые цилиндры). Имитация же распределенной нагрузки требует
одновременного действия большого числа силовозбудителей , что
приводит к необходимости создания довольно сложных систем авто­
матического управления совместной работой силовозбудителей,
которые оказываются взаимосвязанными через испытуемую конст­
рукцию.
360

Система у правления должна обеспечивать синхронное днижение­
штоков силовозбудителей, а сами воздействия на конструкцию дол­
жны быть автономными по отношению к заданным нагрузкам во
всех точ ках.
Под синхронной следует понимать такую работу силовозбудите­
лей, когда в каждый момент времени между равнодействующими
сохраняются определенные соотношения, вытекающие из эпюры
распределенной нагрузки. Автономность воздействия силовозбу-
Нсполнительные
мпrшшмы
Ус111111тм11
Рис. 1.
Исполнитмжые
Me%Qlfll.JMII/
!Jс1111ител11
дителей заключается в том, что система управления i-го силовозбу-­
дителя должна вызывать изменение только i-го усилия, несмотря
на то, что силовозбудители связаны между собой через испытуе мую
конструкцию. Отсутствие автономности может вызвать перераспре­
деление напряжений в конструкции и условия испытаний будут
сильно отличаться от условий эксплуатации. .
Следовател ьно, при проектировании оборудования для натур­
ных проч н остных испытаний авиационных конструкций возникает
задача си н теза многосвязных систем автоматического управленин
(АМС) с указанными специфическими особенностями и требованиями.
В настоящее время известна установка для проведения натур­
ных испытаний [1 ], представляющая собой совокупность силовоз­
будител е й, каждый из которых имеет собственную систему авто ­
матического управления (рис. 1) . Для достижения синхронности
361

.движения штоков силовозбудителей все системы управления рабо­
тают от одного программного задающего устройства. Однако в этой
установке автономность воздействия силовозбудителей обеспечива­
,ется для довольно узкой области экспериментов. Качество автоном­
ности может быть достигнуто за счет бесконечного увеличения коэф ­
фициентов усиления каждого канала управления [2] . Но, как будет
показано ниже, при достаточно большом числе каналов управления
и широком диапазоне изменений коэффициентов взаимного влияния
каналов нагружения потребуются столь большие значения коэффи ­
циентов усиления, которые приведут к тому, что системы управле­
ния в каналах с большой жесткостью конструкции могут выйти за
-границы устойчивости.
В настоящей статье рассматривается решение комплексной зада­
чи автономного управления с одновременным обеспечением син­
хронности работы силовозбудителей.
Так как объект управления (испытуемая конструкция) не под­
дается конструктивному расчленению, предлагается применение
в многосвязной системе управляющей модели [3].
В рассматриваемой задаче синтеза синхронно-автономной систе­
·мы используется метод обратных операторов, теоретические вопросы
,которого освещены в работах Г. Е. Пухова [4, 5].
2. Пусть распределенная нагрузка сведена к п равнодействую­
щим. В процессе испытаний конструкция работает в области упру­
гих деформаций, следовательно, изменения формы пропорциональны
внешним силам и деформа ц ии являются линей ны ми функциями
внешних сил. Применяя принцип суперпозиции, можем выразить
зависимость линейных перемещений У; (i = 1, 2, ... , п) от прило ­
женных усилий Р; (i = 1, 2, ... , п) в виде системы уравнений:
У1=а11Р1+а12Р2+...+ aliP;+...+а1пРп,
У2=а21Р1+а22Р2+...+а2,.Р;+...+а2пРп,
(1)
Уп=ап1Р1+ап2Р2+...+ап;Р;+...+а"пРп,
где а;;, a;j - коэффициенты влияния.
Действительно, a;j пр едставляет собой п еремещение точки i,
вызванное единичной силой Р j = 1, действующей в точке j. Вели­
чины а;; и a;j на зывают соответственно главными и побочными по­
датливостям и .
Систему (1) можно представить в виде:
1
1
1
1
Р1+-а12Р2+...+-aliP;+ ...+ -а1пРп= -У1,
ан
а11
а11
ан
1
1
-а21Р1+Pz+...+ - a21Pi+
an
an
-3 62

1
1
1
1
аап1Р1 +-а-а,.,2Р2 + ... +-а- а,,;Р; + . .. + Рп = аУп,
пп
пп
пп
пп
или в матричной форме
[Е+П7Л,1jР=WY,
где матрицы W и М имеют вид
о
о
о
all
о
о
о
а22
w='
о
о
о
aii
о
о
о
а
1111
о G12
ali
G1n
й21 о
а2;
й2п
М= ап Gi2
о
а;п
Gni
о
вектор-столбцы Р и У:
У1
У2
Р=
У=
У;
рп
уп
'
(3)
Т а1, как в системах отдельных каналов нагружения (рис. 1)
выходными величинами являются значения усилий Р;, а регулирова­
ние осуществляется за счет перемещения У; штоков силовозбуди­
телей, то уравнение объекта (испытуемой конструкции) получим
363

из выражения (3), разрешив его относительно вектор-столбца вы­
ходных переменных Р:
Р= [Е+wмг1wv=нv,
(4)
-
1
где Н = [Е + WМГ W - оператор объекта.
Обратный ему оператор имеет вид
Н-1 = W-1 [Е +\,\'IM].
Как видно из выражения оператора объекта, испытуемая кон­
струкция относится к классу объектов с V-канонической структу-
!I, г- . ----------! Р,
---t--,-
,~,
.
~
1⁄2·
Уп
1
~ {1"Р,.
1
•
~ljI
'
1
/=1.
\•
\
J#l
\•
1
1
Р,
1.
\
. ~ Mii1·
1Р,
J=l+f
~
1•
jli
1
L ___________ _
Рис. 2.
рой [6 ]. Объект с V-канонической структурой
-
это такой объект,
где существуют только главные связи Wu и обратные взаимо-
связи M;j•
Представление модели испытуемой конструкции в виде V-кано­
нической структуры (рис. 2), во-первых, полностью соответствует
физике процесса, происходяшего в конструкции при нагружении ,
во-вторых, как было показано в работе [3 l, является удобным по­
строением при синтезе многосвязной автономной системы методом
обратных операторов.
Применяя этот метод в построении мно госвязной с истемы управ­
ления нагружением, удается решить поставленную выше задачу
синтеза синхронно-автономной многосвязной системы. Структурная
схема синтезируемой системы с рассматриваемым объектом пред ­
ставлена на рис. 3. Для этой системы можем записать
0=Р0- Р; У=К(D)е; е=Н-10.
Закон управления в такой замкнутой системе принимает вид
[Е+S(D)]Р= S(D)Р0,
(5)
где
S(D)= [Е+wмг1ivк(D)w-1[Е+wм1,
S (D) - операторная матрица, являющаяся оператором преобразо-
364

вания множеств сигналов рассогласования 6\ в множества управ­
ляемых переменных объекта Pi.
Система будет автономной и синхронной при условии диаrонали­
заuии матриuы S (D) с обязательным тождеством Ки (D) = Kii (D).
Так как матриuы Н (матриuа жесткости) и Н- 1 (матриuа подат­
ливости) - числовые, симметричные и всегда положительно опре-
f<;(JJ.
п
1
1.
[.о,/;
;~, ,.,
/Fi
~
______1
1
+
.
1
l ia,A
•1
Сп
O,,i:,•t"
/tl
L _ УпроtJлрющо111110/Jель
_
J
Рис. 3.
8,
8,
61,
Р,о
деленные [8], при Ки (D) = Kii (D) они взаимно компенсируются,
т. е. система будет автономной и синхронной при Ки (D) = Kjj(D).
Таким образом, в рассмотренной структуре АМС достигается
автономность и синхронность за счет обычного моделирования мат­
рицы податливости в управляющей модели и идентификации пара­
метров передаточных функций исполнительных органов [Ku (D) =
К jj (D)] без больших коэффиuиентов усиления и без дифференциру­
ющих uепей .
3. Рассмотрим вопрос устойчивости в такой системе. Полное ха­
рактеристическое уравнение замкнутой системы для нашего случая
имеет вид
det \Е+нк(D)н-1)=о.
(6)
Для подобных матриц S (D) и К (D) выполняется равенство [9]
det \Е+нк(D)н-1) = det \Е+к(D)).
(7)
365

Так как матрицы Н и Н- 1 числовые и положительно определен­
ные, в качестве характеристического уравнения для нашей систе­
мы можем принять матричное уравнение [1О]
det (E+K(D) ) =0.
(8)
Из этого следует, что система будет устойчивой, если все корни
уравнения (8) находятся в левой полуплоскости. Но оператор К (D)
представляет собой диагональную матрицу, описывающую исполни-
Рис. 4.
тельные органы, т. е. те устройства, которые находятся вне объек­
та (испытуемой конструкции).
Накладывая условия Ки (D) = К jj (D), практически всегда пред­
ставляется возможным выбрать параметры исполнительных орга­
нов таким образом, чтобы обеспечить устойчивость всей многосвяз­
ной системы.
4. В качестве примера была рассмотрена система автоматического
управления нагружением двумерного объекта (полукрыло самоле­
та АН-24).
Коэффициенты влияния (элементы матрицы податливости)
а 11 , а 12 , а 21 , а 22 определялись экспериментально и вычислены теоре­
тически [11 ], они имеют следующие значения:
а11= 0,098,а21= а12= О,16, а22= 1,71.
Система исследовалась на электронной модели МН-7. Схема
моделирования системы представлена на рис. 4. Задания составле­
ны на основе цикла «стоянка - полет
-
стоянка» и имеют вид .
представленный на рис. 5.
366

Р,т
Ро.т
з
з
Р,
2
2
1
f
о
t,сек
5
10 t,сек
lj
Рис. 5.
Рис. 6.
Р,т
~т
з
з
2
2
f
1
ЛР
Pi
Pz
о
t,сек
о
lj
10 t,сек
Рис. 7.
Рис. 8.

Допустимая частота нагружения определяется по формуле
fo = f,,,vp-1 ,
-rде f,,, -
собственная частота конструкции; р - динамичес1шй коэф­
фициент. В нашем случае f,,, = 2 ,25 гц (собственная частота крыла
-самолета АН-24 при симметричных колебания х ), р = 1,01, т. е.
амплитуда деформации под действием повторной нагрузки отли­
чается от амплитуды, вызываемой действием статической нагрузки,
не более чем на 1%. Следовательно, fO = 2,25 . О,1 = 0,225 щ.
При этой частоте исполнительный механизм и прибор обратной
,связи можно представить безынерционными звеньями , а силовой
цилиндр при отсутствии внешних нагрузок можно рассмотреть
.как интегрирующее звено [12].
Исследовалась автономность и синхронность каналов нагруже­
ния для наиболее тяжелого случая, т . е. когда управляющее воз­
действие первого канала представляет собой остроконечную пило­
образную функцию, а управляющее воздействие второго канала -
постоянную величину .
Сравнительные исследования процессов управления нагружени­
-е м проводились в многосвязных системах со следующими структу­
рами:
а) без управляющей модели с конечными значениями коэф­
фициентов усиления каналов нагружения;
б) без управляющей модели с максимально допустимыми по ус­
ловиям устойчивости значениями коэффициентов усиления каналов
нагружения ;
в) с управляющей моделью.
В системе без управляющей модели с конечными значениями
1юэффици ента усиления каналов нагружения в силу связи силовоз­
будителей через испытуемую конструкцию нельзя достичь синхрон­
ности и автономности нагружения (рис. 6) .
В системе управления без управляющей модели с максимально
допустимыми по условиям устойчивости значениями коэффициентов
усиления каналов нагружения коэффициенты усиления имели зна­
чения К1 = З; К2 = 170, не являясь равнозначными , отличающими­
с я почти на два порядка, в силу различных значений степени вза­
и много влияния силовозбудителей через исследуемую конструкцию.
Регулируемая переменная Р 1 принимала заданное значение Р 01 ,
а регулируемая переменная Р2 отличалась от заданной перемен­
ной Р02 , имевшей значение Р 02 = 0, на значительную величину
ошибки Р2 - Р02 = ЛР (рис. 7).
Действительно, для замкнутой системы без управляющей модели
.можем написать:
.368
Р1 = W11K1 (Pu1 - Р1) + W11M12P2,
Р2 = W22K2 (Ро2 - Р2) + W22M21 P1,
(9)

ИJ!И
[1 + W11K1] Р1 + W11M12P2 = W11K1Po1,
[1 + W22K2] Р2 + W22М°;1Р1 = W22K2Po2·
Отсюда для нашего случая
[1+К1]р а12р - К1р
ан1-~2-ано1,
[1+ К2]Р2- а21р1 = К2 Ро2·
а22
а22
а22
Поделив эти уравнения соответственно на К1 и К2 , получим
[_1 _
.. .L
_1] р __1_
.
!!:Ер _ -'- р
КIiан
1
К1ан2-а1101,
[_1+_1]ро-
_1 .!!ЕР1
-
_1р
1(2
а22"К2а22
-
а22 °2•
(10)
(11)
(12)
ПриК1,К2-
=, как видно из уравнения (12), в пределе i-я регу­
лируемая величина будет зависеть только от эталонного значения
Ро; и не будет зависеть от всех других регулируемых переменных.
Таким образом, увеличение коэффициента усиления каждого
1
из контуров приводит к тому, что процессы с точностью до К; про-
текают автономно.
Но члены уравнения (12), которые должны устремляться к нулю
при увеличении коэффициентов усиления до бесконечности, для нз­
шего случая имеют вид
_1_
.
а12Р2= 1,63 Р1
К1 ан
К1'
(13)
'! '.
е. взаимное влияние развязываемых контуров, вызываемое на ­
личием обратных перекрестных связей а 12 и а 21 , в сочетании с глав-
!
1
ными связями - и
-, на два порядка отличается друг от друга.
ан а22
Таким образом, автономность в АМС за счет бесконечного уси ­
ления может быть получена только при тождестве
Wii M;i = Wii Mii•
С другой стороны, так как реальные усилительные звенья имеют
зону насыщения по уровням входных и выходных сигналов, при
существенном «перекосе» взаимовлияний в объекте одновременно
удовлетворить условиям К;< Ккр и К; - = не представляется
возможным.
Следовательно, в системе без управляющей модели с максималь­
но допустимыми по условиям устойчивости значениями коэффициен-
24 7-2622
Э69

rов усиления каналов нагружения не обеспечиваются качества пол­
ной автономности.
В системе с управляющей моделью взаимное влияние силовозбу­
дителей через испытываемую конструкцию полностью компенси­
руются за счет реализации обратного оператора в управляющей
модели. Максимально допустим ые по условиям ус тойчивости зна­
чения коэффициентов усиления каналов нагружения равны К1 =
= К2 = 7, вследствие чего достигается полная синхронность и ав­
тономность каналов нагружения (рис. 8).
ЛИТЕРАТУРА
1. Лит в а к В. И., Та ц и й В . Г. Авторское свидетельство, Кл. 42К,
4, No 145381 , 18 января 1962.-
Бюллетень изобретения, 1962 , 5 .
2. Меер о в М. В. Системы многосвязного рег ули рования . «Наука», М.,
1965.
3. Ж у к ](. Д.- Автоматика, 1964, 4 .
4. П у х о в Г. Е.- В кн.: Математическое моделирование и электрические
цепи. Вып. 1. Изд - во АН УССР, К., 1963 .
5. Пух о в Г. Е . - Известия вузов, Электро 11 1еханика, 1961 , 9.
6. М е s а r о v i с М. D. The coпtrol of mulli\rariaЬle Systems, New York,
Wi ley, 1960.
7.Мезарович М. Д.-ТрудыИФАК,т.1,М.,1961.
8. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем,
Сборник статей. Суд про мгиз, Л., 1961.
9. П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные у равнения .
«Наука», М., 1965 .
10 . П а р од и М. Локализация характеристических чисел матриц и ее
применение . ИЛ, М., 1960.
11 . Т а u и й В. Г. Автореферат кандидатской диссе ртаци и. КИИГА,
1964.
12.Портнов
-
С о к о лов Ю. П .- Сборник работ по автоматике и те­
лемеханике, Изд-во АН УССР, ](. , 1953.
Доложено на семинаре
20 мая 1966 r.

МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
АНАЛОГОВОЙ ВЕЛИЧИНЫ
л. я. ильницкий
При решении некоторых задач появляется необходимость в оты­
скании двух и больше функций одной переменной. В процессе мо­
делирования подобных задач применяются функциональные преоб­
разователи, 1<0личество которых определяется числом требующихся
зависимостей.
Применение дробно-рациональных приближений функций по­
зволяет создать преобразователь аналоговой величины со многими
выходами. Каждая из выходных величин с известной точностью
будет представлять нужную функцию. Многофункциональный пре­
образователь в ряде случаев может оказаться проще по конструкции
и экономичнее, чем требуемая система однофункциональных пре­
образователей .
Синтез многофункциональных преобразователей
Известно (1 ], что передача графа выражается отношением
~ pjqsлjqs
Tjq = _s_л___
где Tjq - передача графа от j-й до q- й вершины; Pjqs -
передача
s-ro пути от j-й до q-й вершины; Л - определитель графа; Лjqs
-
алгебраическое дополнение s-ro пути (Pjqs) .
Пусть истоком графа является только одна j-я вершина, а сто­
ками будут вершины от 1-й до k-й. Тогда, опуская индекс истока
j, получим передачи графа Т 1 , Т2 , ••• , Tq, .. . , Tk , которые опреде­
ляются формулами, подобными приведенному отношению
(1)
371

Каждое из nо.тtученных выраженю1 передач будет отличаться только
лишь числителем, так как знаменателем является один и тот же опре­
делитель графа.
Построенная по такому графу электрическая схема будет иметь
k выходов с различными коэффиuиентами передач. Целесообразно
при дробно-рациональных функциях п ередач использовать много­
звенные графы, переход от которых к электрическим схемам рассмот­
рен достаточно подробно в работа х [2].
Если имеются дробно-рациональные приближения ряда функций
одной переменной с общим знаменателем, то по ним можно рас­
считать граф с соответствующими передачами . Созданная согласно
графу электрическая схема многофункционального преобразова­
теля должна иметь в некоторых предела х независимые регулиров­
ки по различным выходам. Тогда в процесс е эксплуатации подстрой ­
ка и регулировка каналов многофункционального преобразователя
будет достаточно простая.
Дробно-рациональные приближения нескольких функций у1 ,
у2, •••, Yq, ... , Yk одной переменной с общим знаменателем могут быть
представлены по аналогии с приближением одной функции [3] вы­
ражениями
л
,
У1=а10+а1х+У1;
л
,
Yq=aqo+aqx+yq;
(2)
л
,
Yk=akO+akx+Yk,
л
где aqo - начальное значение функции y(f; acf'" -
составляющая
функции Yq, пропорциональная аргументу х; у; - дробно-раци­
ональная часть, которая имеет вид
п-1
~ aq5x~
=X _s =_O
___
(3)
Здесь коэффициенты aqs и а5 являются постоянными величинами,
не зависящими от аргумента х.
Первые два члена выражения (2) на графе изображаются ветвя­
ми, соединяющими истоки и сток. Начальное значение функции
372

можно представить вершиной, изображающей источник постоянной
(\
величины Pq aq0, где Pq - произвольно выбранное постоянное число.
с
"
1
•
помощью ветви, передача которои равна -
, источник постояннои
Pq
величины соединяется с вершиной, изображающей переменную ве­
личину Yq• Второй член правой части выражений (2) может быть
представлен ветвью с передачей, равной aq, соединяющей вершины
х
'
Рис. 1.
xq и Yq• Дробно-рациональная часть (3) может и зображаться много­
звенным подграфом.
Так как представление на графе и расчет передач ветвей для
(\
величины aq0 и aq хне встречает затруднений, то рассмотрим опреде­
ление передач ветвей подграфа (рис. 1), изображающего только
дробно-рациональные части у~.
В подграфе имеется один исток (х) и k стоков (у;, у;, ... , у~) .
Контура подграфа образованы ветвями /;, f;+1, g; и h; и образуют
цепочку из т звеньев. Контурная цепь с помощью ветви fqs соеди­
няется с q-ым стоком. При построении электричес1<ой схемы по гра­
фу можно потребовать, чтобы ветви fqs моделировались наиболее
простыми элементами аналоговых вычислительных устройств. В
этом случае передачи fqs могут регулироваться только вручную и не
будут зависеть от аргумента х.
Обозначим буквами А 1 контурные передачи звеньев подграфа.
J7З

Контурная передача i-го звена А; находится как произведение пе­
редач ветвей:
А; = Uн 1g/1;,
Определитель подграфа рассчитывается по формуле
т
Л == [(! -Ао) (1-А1) (1 -А2) ... (1 - Ат)]*= П* (1 - А;), (4)
i=O
где звездочка обозначает, что все произведенrrя контурных передач
касающихся звеньев не учитываются .
Передача s-го пути к q-й вершине определяется следующим про­
изведением:
s-1
pqs = fsfqs Пf;g;,
i=l
Здесь следует отметить, что при s = 1 передача пути
Pq1 = f1fqt•
Алгебраическое дополнение s-го пути запишется в виде
т..,
Лqs = П (1-А;).
i=s+l
Окончательно, передача подграфа к q-й вершине по формуле (1)
находится так:
т
s-1
т
~ fsf qs П f;g; П' (1-А;)
т
s=l
i=l
i=s+ 1
q = ____т_______
(5)
П* (1 -А;)
i=O
Для определения передач ветвей подграфа следует приравнять оп­
ределитель (4) к знаменателю выражения (3)
т*
п
П(1 - А;) = 1+~CX5Xs
(6)
i=O
s=
и числители функции передачи (5) к числителям дробно-рациональ­
ных частей приближения (3)
т
-1
т
п-1
~ fsfqs П f;g; П* (1 - А;)=~ a,,sxs.
(7)
s=l
i=l
i=s+ l
s=O
Количество равенств (7) соответспует числу моделируемых функци ­
ональных зависимостей. Таким образом, соотношения (6) и (7) об­
разуют систему k + 1 уравнений. По и;нзестной методике иэ этой
374

системы находится число звеньев подграфа, значения контурных
передач и передач ветвей, в результате чего можно построить элек­
трическую схему функционального преобразователя.
Дробно-рациональное приближение многофункциональной
зависимости
Обычные методы дробно-рациональных приближений для мно­
гофункциональной зависимости не дают возможности находить ап­
проксимирующие выражения с одинаковыми знаменателями. Ниже
предлагается метод получения дробно-рациональных приближений
с общим знаменателем (2), (3).
Пусть имеется несколько функциональных зависимостей одной
переменной: У1 = /1 (х); У2 = /2 (х); ... ; у,, = fk (х).
Найдем дробно-рациональные приближения заданных функций
в виде
т,
~ A1sXs
f1(х)=
5=0
Г!
1 + ~а5х5
s=l
т,
~ A2sXs
..:.J
f2(х)=
s=O
Г!
1+ ~ а5х5
при ~<х<у.
s=l
mk
~ At,s Xs
~
fk(х)=
s=O
1
Г!
1+ ~ а5х5
s=l
J
Здесь А,is -
постоянные коэффициенты, значение которых требует­
ся определить; тп - наибольшие показатели степени полиномов
в числителе прибл.ижений.
Будем считать, что максимальная степень полинома в знамена­
теле п задана. Чтобы дробно-рациональные приближения были
полными, следует принять
n<m,7 <n+1.
Полные дробно-рациональные функции при заданном показателе
степени знаменателя и заданном способе расчета коэффициентов
(7. , s и Aqs обладают наименьшей погрешностью аппро _ксимации. Кро-
375

ме того, при моделировании таких приближений наиболее эффек­
тивно используются элементы электрических схем.
Коэффициенты а5 и Aq5 можно рассчитать по методу равных пло-
щадей [31,для чего нужно составить следующие системы уравнений:
rfA1sX5dX - I(1 + :±asxs) f1 (х) dx = О;
f3 5=0
f\
s=l
I2: A25 X
5
dx- S(1+iа5х5)f2(х)dx = О;
(8)
f3 5=0
[3
5=1
и
(9)
.\(mf1 Au,-l)sX5 \ fk (х) dx -
.r (.2 А1;5х5) fk-1 (х) dx = О.
f'\ 5=0
)
13 5=0
Количество уравнений должно соответствовать количеству оп­
ределяемых коэффициентов. Полученные системы уравнений могут
быть расширены до любого числа разбиением интервала от ~ до у
на требуемое число промежутков и соответствующим изменением
пределов интегрирования.
Уравнения (8) и (9) можно дополнить условиями совпадения
значений заданных и дробно-рациональных функций при некоторых
величинах аргумента. Так в некоторых случаях рационально по­
требовать, чтобы
"
Aqo = aqo = ]iшfr, (х).
Х➔О
Введение дополнительных условий несколько упрощает решение
систем уравне~ий (8) и (9).
37f)

Пример синтеза многофункционального преобразователя
Для иллюстрации предложенного метода рассмотрим синтез
преобразователя, моделирующего функции у1 = sin х и у2 = cos х
при изменении аргумента в пределах от О до 2 рад.
Известно [4 ], что дробно-рациональные выражения с полиномом
второй степени в знаменателе в требуемых пределах изменения ар­
гумента достаточно хорошо аппроксимируют заданные функции.
Поэтому примем, что
п
1+I о.:sxs = 1+О:2Х2
s=I
Дополнительно потребуем, чтобы при малых значениях аргумента
выполнялось условие
и предельные значения заданных и дробно-рациональных функций
совпадали друг с другом
л
л
А10=а10 =О, А20 =а20 =1.
В силу нечетности синусоидальной функции ее приближ~ние долж­
но иметь вид
(10)
Для четной косинусоидальной функции приближение находится
в виде
(11)
Учитывая выражения (10) и (11), запишем систему уравнений (8)
следующим образом:
ry
2
~(х+А13х3)dx - - .\' (1+а2х2)sin xdx = О;
о
о
2
2
_\(1+А22х2)dx-
.\(I+а2х2)cosdx= О,
о
о
а систему (9) так:
2
2
J(х+А13х3)cos xdx - S(1 +А22х2)sinxdx = О.
о
о
377

В выражениях (10) и (11) необходимо определить всего лишь три
коэффиuиента (А 13 , А 22 и а2), для чего достаточно трех составленных
уравнений. В связи с этим пределами интегрирования являются
граничные значения аргумента х.
и
В результате решения системы уравнений находим
х - О, 102Зхз
sin х = ----~
(12)
х + О,0707х 2
1- О4049х2
cosх=1_1_ О00707х2•
1
,
(13)
Полученные выражения аппроксимируют заданные функuии с мень­
шими погрешностями, чем в работе [4].
Ошиб;ш приближения можно охарактеризовать следующими дан­
ными:
!Формула (11) 1
1
х
sin х
cos х
!Формула (12)
1
0,841
1
0,840
1
0,540
1
0.556
2
0,909
0,928
-0,416
- 0,482
Для построения графа функционального преобразователя выра­
жения (11) и (12) приводятся к виду формул (2)
и
х
.
~о1451,
2,45
smх- -
'
хтх 1+О,0707х2
О,4756х
cosx = 1 -х ~~~~~
! + О,0707х2 '
1
.1,
:1,,
Рис. 2.
(14)
(15)
Подграф дробно-рациональны х частей функций (14) и (15) мо­
жет содержать только одно звено, как э то изображено на рис. 2.
Передача от вершины х до вершины у; 11з формулы (5) равна
Ti = f,f11 +f,fi,2g1
) - {J;g1ll1
378

и передача Т2 до вершины у;
т, = Ьtн '!,- .r1fzf~2g1 _ .
"
1 - f1f 2g1l11
Сопоставляя выражения для передач Т1 и Т2 с дробно-рациональны­
ми частями функций (14) и (15), находим, что
f1f 2g1h 1 = - 0,0707х2; f1f11 = 2,45;
f1f2'12g1 = О; f1f 21 =--= О и f1f2f22g1= О,4756х.
Ветви fqs моделируются
наиболее простыми эле ­
ментами электрических це­
пей. Учитывая это, а также
наличие в выражении (14)
составляющей, пропорцио­
нальной аргументу, и в
выражении (15) постоянной
составляющей, можем при­
нять, что
{11 =
-
0,145; f12 = О;
f21=о;f22=1/3иg1=1.
• 0,1 1,5
- 16,9
- -0,-01,. - =95,-,------=-
-о,в1,.5,
Рис. 3.
Передачи остальных ветвей определяются из найденных равенств
так:
f1= -
16,9; f2 =
-
О,845хи/11= -
О,0496х.
и,
1/2
Рис. 4.
Полученный граф функционального преобразователя приведен на
рис. 3. Схема преобразователя, соответствующая графу, изображе ­
на на рис . 4 . Соотношения между значениями сопротивлений опре­
деляются передачами ветвей [2 ].
379

Если сопоставить построенную схему многофункционального
преобразователя со схемами функциональных преобразователей,
моделирующих зависимости у1 = sin х и у2 = cos х в тех же пределах
изменения аргумента, то окажется, что для первой схемы тре­
буется почти в два раза меньше элементов.
Заключение
Применение дробно-рациональных приближений позволяет
синтезировать функциональные преобразователи с несколькими вы­
ходами. Передача напряжения от входа до выхода может соответ­
ствовать наперед заданной функциональной зависимости, поэтому
несколько выходных сигналов мо г ут моделировать ряд функций.
Расширение возможностей функционального преобразователя
достигается не путем увеличения числа элементов, а за счет более
рационального использования последних. Каждая из п ередач много ­
функционального преобразователя может меня ться в некоторых
пределах независимо друг от друга . Это свойство обеспечивает про­
стоту регулировок и настроек устройства.
Предложенный метод расчета коэффициентов дробно-рациональ­
ных функций несколько громоздок, но приводит к лучшим прибли­
жениям. чем методы, использующие разложение в ряд Тейлора .
Метод может применяться как для случая аппроксимации одной
функции, так и для случая аппроксимации многих фун,щий одного
переменного. При этом аппроксимирующие дробно -р ациональные
выражения можно находить с общим знаменателем, что другими ме­
тодами не удается сделать.
Л ИТЕРАТ УРА
1.МэзонС.,Циммерман Г. Электронныецепи,сигна,1ыисвстемы.
ил, м., 1963 .
2. И л ь н и ц к и й Л. Я.- В кн.: Математическое моделирование и теория
электрических цепей. Вып. 111 . Изд -во АН УССР, К., 1965.
3. Мелен т ь ев П. В. Приближенные вычисления. Физматг11з , М., 19 62.
4. Х о ван с к и й А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщенне к
вопросам приближенного анализа. ГИТТЛ, М., 1956 .
Доложено на семинаре
20 мая 1966 г.

СОДЕРЖАНИЕ
Н. Г. М а к с и м о в и ч, О расчете электрических цепе1~1 методо~1 подсхем 3
Г.Е. Пухов, Б.А. Борковский, Аналоговыеиквазианалого-
вые вычислительные среды . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
Г. Е. П у х о в, О возможности улучшения режима работы усилителей в
обратимых электронных ~юделях
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
А. Ф. К ат к о в, Динамический обратимый интегро-дифференциатор
20
А. А. Т ют и н, Некоторые особе н ности работы д и намическ и х моделе й
25
В.Д.Самойлов,Усилительсрелейнымвыходом.........
33
Б.А.Борковский, А.Н.Воллернер, А. Ф. Катков,
В. П. Р о м а н ц о в , Динамическа я модель алгебраических и диффе-
ренциальныхуравнений................ ..... 35
В. П. Р о м а н ц о в, К вопросу о моделировании уравнений в конечных
разностях
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
А. Н. В о л л ер не р , О частоте переключенин д инамических решающих
элементов............................ 45
А. Ф. Катков. А. И. Братчиков, Распределительноеустройство
длн динамическ и х моделей на четырехслойных диодах . . . . . . . . 48
Л. А. С и м а к, Транзисторная ключевая ячейка для динамических моделей 56
В. Д. С а м о й л о в, Построение многооперационных усилителей . . . 66
ЮП. Космач, В. Д. Самойлов,Логическоеуправлениесамона-
страивающейся модели . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
В.К.Саранчук, А.П.Типикин, Широкополосныйквадратор
для аналогового множителя .
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
82
А. А. Тюти н , К вопросу о связи между динамической погрешностью опе-
рации и частотньши свойствами решающего усилителя . . . . . . . . 89
В. И. П а м п у р о, Анализ устойчивости замкнутых систем с учетом дв у на ­
правленностипередачиблоков-подсхем..............103
В. В. Васильев,Г. К. Шарашидзе,РеализацияалгоритмаЛи-
тла для решения за д ачи коммивояжера с помощью электронных цепей 112
Г. К. Ш а р а ш и д. з е . Определение критического пути, охватывающего
всеузлыдвунаправленногографа ................121
В . А. С а ф р о н е н к G. Применение аналоговых вычислительных уст-
ройств для оперативно-кален д арного планирования
.
.
.
.
.
.
129
Г. К. Ш а р а ш и д з е, Электрическая модель транспортной з адачи и за-
дачи о кратчайшем п ути на стабилитронах . . . . . .
144
А. Г. Додонов,Цифроваямодельсетевогографика........ 148
А . Г. Т и м о ш е н к о, Моделирование задачи о минимальном потоке .
156
А. Н. Кл е п и к о в а, Решение задач линейного программирован и я с
двухсторонними ограничениями на обратимом линейном преобразователе 162
Ю. О. Ч е р н ы ш е в, Оптимальный расчет некоторых логических схем на
моделях.............................166
В К. Б е з р у к о в, При ме нение методов линейного программирования
к з адаче определения параметров эквива ле нтного многополюсника . . 177
381

О.I-i. Токарева,А.Е.Степанов,Н.М.Лабинова,Воп­
росы динамического моделирования стержневых систе;-.I на постоянном
токе...............................185
Н.М.Лабинова,О.Н.Токарева,О;-.юделированиира"Iныхси-
стемдинамическ,шметодом...................194
В. М. О в с я н к о, Суммато р- с рав1111т ель для электро;-.юделирован11я задач
строительноймеханики ...................
200
В. М. О в с я н к о, При ;-. 1ен ен и е ревереrщных ;-. Iагн11тIIых ус11лнтелей при
электро"юделированни стержневых сие, e.\I . . . . . . . . . . . . . 209
В. М. О в с я н к о , Схема-аналог С И !\tметрично го изг11бае~юго стержня про -
извольного очертания ........... . ...... . ... 222
Е. А. П р о с к у р и н, О моделировани11 ко,1бинирова11ных стержневых
конструкцийнапере\!енномтоке.................227
Д. И. П а ш к о, Графа-аналитичес кий метод поиска связей в структу р е ло-
гическогооператора ............ .........229
А. Е.,СтепановТ. Г. Харченко, Н. Т. Рублевский,
Об одном спосо бе м оделиров ания пол огих оболочек
.
.
.
.
.
.
.
.
239
А . Е. Степанов, Н . Т. Р vбJ1евский , Т. Г. Харченко,
О методе деформ а ци й для изг ибаем ых пласт1111 .
.
.
.
.
.
247
Н. В. Д ил и г е н с к и й, Квопросу о сход11"юсти процессов уравнове­
шивания квазиа н алога у равнения типа Ф ур ь е - К11рхгофа
.
.
.
.
.
252
А.Н.Резников,А.В.Темников,Н.В.Дилигенский,
Б. М. Га в р и л о в, Применение квазианалогового электромоделиро-
вания для решения теплофи з ических задач теории резаI-IIIя и износа . . 263
И. Д. К о н о п л е в, Электро~юделирование плос кой задачи тер"юупру-
гост и на сетках 0"Iических сопр отивл ени й и ко;-.1бинированных ;-. юделях 279
Э. С. К о з л о в, Комплекс уст ройств для пос тро ения сеточных аналого-
вых вы ч исл и тельных машин
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
285
А. Х. Береславский , Г . С. Гольд енбе рг , П рограм ;-. 1ирую-
щая програ;-. I ма для ыоделирования r,аботы выч11слите.~ьной ;-. Iашины не­
прерывногодействияспомощьюЦВМ...............299
А.Х.БереслаЕский,Г.С.Гольденберr,При\!енение"'ето-
да статистическо го модел иро ва н ия для исследования ЭВМ непрерывно-
годействияспомощьюЦВМ....................305
Ю.М. Горский,В.В. Новорусский,Некоторыеклассыс,брат-
ныхиобратимыхконечныхавтш,~атов................313
Ц. С. Х ат и а ш в ил и , К определен ию коэфф1щнентов уравнения связи
межд у управляющюш величина\If! н ук..1онення ;шI для объектов с н еп ол-
ной информацней
. ....
.
..
.
.
. ....
..
.
.
•
331
В . А. К и се л ь, Опти ~ 1альные алгорнтмы настро~"1к11 д и с кр етного коррек-
тора по м и ни",у " I у сумма рной абсолютной погрешности . . . . . . 334
А. П . Т и п и к и н, Мате мат ическое ~ юделированне автонощ-Iы х систе\1 ча-
стотного уп равления ас и нхронны ;-.Iи дв11гателя.\III . . . . . . . . . 35 1
С.К.Ганиев,К.Д.Жук,В.Г.Таци11,Методпостроенияиис­
следование мн огосвязно й с истемы упр а влен ия нагружение\! сложных
конструкций
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
360
Л . Я. И л ь н и u к и й, Многофу нкциональн ое преобразова нн е аналого-
вой величины
371

Г.ечатается по постановлению _qченого совета Института кибернет,11<11 АН УССР
Редактор Т . С. Мельник . Художественный ре;1актор 11. П. Антонюк . Оформленне художни ­
ка С . М. Габовича. Технический ре;1актор Н . П. Рахлина. Корре:<тор 11. С. 6вдощук.
БФ 011П4. Зак. 7-2fi22. 1-iзд. N, 175 . Тиоаж _3700. Бумаrа No 2. 60 Х90' / 18 . Печ. физ . JН!­
стов 24,0+1 В!\~1. J словн . печ . ..~ н стов 2 -1 .l:!.J. ~ ч е тно-11здат . .riнcтuu :IOAI. Подп и сано к пе­
чати 4/Х 1967 r. Uена 1 руб. 68 коп.
И зда те .r~ьство « Н аукова дум1<а» . Киев, Репина. 3.
Напечатано с матрнц К.невской фабрики набора на Т11поофсет!i о(1 фабр111-:е Коr--11пета l"IO
пе,атн 11р11 Совете Министр ов У"раинскоii ССР. Харьков, ул Энге л ьса, 11.

В иэiЭательстве «Наукова iЭyJ1tK а» в 1967 г. выйдет
из печати кпига:
СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ (межведомственный
сборни~,). Язьш руссший. 10 л. Ц. 70 ноп.
В сборнике помещены статьи по вопросам управ­
ления сложными системами. Выясняются условия инва­
риантности и чувствительности спстем управления и
инвариантности многомерной нелинейной системы. Боль­
шое внимание уделено управлению сложными объеr<та­
ми с самообучением. Рассматриваются системы с обу­
чающимися компаундирующими связями, применение
цифровых вычислительных машин для управления про­
изводством, исследование оптимальной фильтрации в
случае наличия шумовых полей и др.
Представляет интерес для широrиго круга специа­
листов по автоматичесrюму управлению и техюrчесн:ой
кибернетю{е.
Предварительные заl{азы на издания принимают ма­
газины rшиготоргов и потребительсной кооперации, а
также кпижпый ;И,агазип издательства «Наукова ду;мка»
(Киев - 29, ул. l{ирова, 4), который высьшает заказан­
ную н:нигу наложенным платежом.