/
Text
ЕД СМИРНОВА
ЛОГИЧЕСКАЯ
СБИ4НТИК4
И ФИЛОСОФСКИЕ
ОСНОВАНИЯ
ЛОГИКИ
В. С. Моськин, кандидат философских наук,
Б. В. Еирнжон, доктор философских няук
Печатается ле шкпЯновлепшо
Рсдйкцпсппо-и.1 дмтельского сони а
Мпсковского у 11 и перс и тет а
В монографии и систематической форме ни.u к in фндософскне сх'.-
нозания классической и нскласскческо'Д ло>нк Но р.Иш. нс. лгдомян фило
софский смысл теорем об огракичеппостях форм 'иг.мчи Нроиеделы ,-оиые
исследования логических ги:.чсм, позволившие ii.ihuil uis-tauiapTirbte с.но-
coftrf кпеодолезия семантических парадоксе .(к in разработана теории
сёмаптьп-ских категорий и уточнено понятие лип . .и фарад,!. Последу
готся концептуальный аппарат, абстракции и пнут । . и к алнзинии, лежа
тле л основе логических систем различного tiih.i. имин нигн>-я санцобы л
пути их обое::опания.
Для (чи’нкялпстои в области логики, теории in ни ( mikiihkh, линг-
вистики, проблем «искусе тленного интеллекта».
Елена Дмитриевна Смирнова
ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИК А
II ФИЛОСОФСКИЕ ОСНОВАНИЯ ЛОГИКИ
Зав. редакцией Г. С. Ливане н и
Ре диктор Т. М, Прокаина
Обложка художника С. Н. О к м и и
Художественный редактор Е. М Д с. я н и и
Техплтеские редакторы Г. Д. 3 а х д р «> и и, I < Чистяк о в а
Корректора В. П. К а д а д н н с к а », II II b > и <> и а л о з а
HD .v> эта!»
С.'ишо в t^ilap 05.04.^5 Подписано в пгч, , , цонн »ц,
•Л-NSi'J-.! Oo]«xai iiyr.jit и run Al i
Глрпнтура jurjcf[.Hiтуркая. Вьжокоы iivuii.
Vi’-'I. iX-n. л. ICJI Уч.-ИЗД. Л. I!.I)
Тлрз/S 3OMI =ika. Заказ fi'J
IIi*nii '}!> к-"П. Изд X ЗЫЧ
Ордена еЗпак if имея» издательс гнл .Vi и i-« ii . iiuwpii'-cra
KSlXH. Л'ггскзз, ул. Гярдсна, 5;7
ТМЛ-.11 р.х]1кя ордёнл «Знак Пс-агтл». изд и МГ1
llgS9:?, МсСдВЗ. Jlttl ЛЦСККС ГСр},1
z, 0303040000—004
С (ГТ7(02)-№-----'9-ЙВ
Cj И ,г;е.11,ство x'J.ockcr::sOi >
yir верситета. 1S84
< ОДЕРЖАНИЕ
и n < а«'и и г . ................................... ......... 4
I ji । и а I Понятие истинности в референциальной семантике, выра-
зительные и дедуктивные возможности формализмов 15
§ 1. Искусственные и естественные языки................ 15
§ 2. Классическое понятие истинности и его роль в логике 23
§ 3. Референциальная семантика для первопорядковых
языков............................................... 29
§ 4. Выразительные и дедуктивные возможности ф«р-
мализзкнз ................................ 3b
§ 5. Философский смысл теорем о выразительных и дсдук
зивлых возможностях формализмов....................... 45
I л а п а 11. Аналитическая истинность...................... ... 54
§ 1- . Проблема аналитической истинности и истории фи-
лософии ............................................... 54
§ 2. Логическая истинность и аналитическая истинность.
Постулаты значения................................ - 53
§ 3. Аналитическая истинность как истинность но всех
допустимых интерпретациях.............................. 55
Глава 111. Рост знания, конкретность истинности и семантика воз-
можных миров................................................... 72
§ I. Проблема истинности утверждений о будущем, воз-
можном а необходимом.............................- . 72
§ 2. Реляционная семантика интуиционистской логики и
проблема роста и накопления знания .................... 78
§ 3. Проблемы смысла н семантике возможных миров . 81
§ 4. Проблема конкрсгпоети истинности в логической се
мачтпке. Точки соотнесения н контексты использования 85
§ -5. Возможные миры, описания состояний и ситуации 87
Глава IV. Нестандартные семантики и проблема семантических
парадоксов....................................................... 91
§ 1. Расширение нестиИдэртпой семантики и гс альтер-
нативы . . . - - 91
5 2. Семантика с нс всюду определенным нопитием истин-
ности . . .................................. . 93
к 3. Семантик» с пресыщенными сценками. Невозмож-
ные возможные миры ............................. .... 101
§ 4. Модальные и релевантные импликации в системах е.
истинностными провалами и пресыщенными оценками 105
§ 5. Нестандартные рассмотрения семантических антиномий 107
Г л а н » V- Теория семантических категорий, структура формализо-
ванных Язынин и проблемы обосновании логики . . , 120
§ 1. Теория семантических категорий и понятие логнчг- •
окон формы .............................. 121
§ 2. Теория семантических категорий, структура форкклн-
зованнь’.х языков п олто.-к1Г1!ческис допущения .... 131
§ 3. Методы обоснованна вводимых идеализаций и фи-
нитная установка Д Гильберта .................... 140
§ 4. Логическая сем пн ика и обоснование, логики . . 152
Примечания ,......................................... 155
ВВЕДЕНИЕ
Созданная трудами Аристотеля формальная логика непре-
рывно обогащалась и развязалась. Аристотель детально раз-
работал теорию силлогистического вывода, сгонки, ио сущест-
ву, разработали то, что ныне именуют логикой выгк&зынакнй,
логики средних веков внесли существе! нын вклад н анализ
важных семантических проблем. Выдвинутая Лейбницем про-
грамма применения методов исчисления к логическим пробле-
мам привела к существенному обогащению сферы логическо-
го — к построению в XIX в. Г. Фреге и Ч. Пирсом логики пре-
дикатов. В XX столетия были построены различные классы
нсдлассичесхих логик: интуиционистская, многозначные, мо-
дальные, временные. В настоящее время в сферу логических
последований включаются интенсиональные контексты, нормы,
императивы.
Приложения логики к основаниям математики, методологии
пауки, вычислительной технике, к программированию, логиче-
скому анализу естественных языков выдвигают новые пробле-
мы и способствуют расширению сферы логического.
Характерной чертой развития логики является преемствен
пость: старые результаты не отбрасываются, а сохраняются и
включаются в контекст более широких и глубоких разработок.
Формальная логика всегда была связана с принципиальными
философскими проблемами гносеологического и онтологическо-
го характера. С одной стороны, логика выдвигала основопола-
гающие философские проблемы, а с другой — была важным
средством для их решения и обсуждения, Более, того, само
обоснование логики есть одна из центральных философских
проблем. С превращением формальной логики и символиче-
скую она стала применять сложный технический аппарат ис-
числений, а также использовать достаточно богатые матема-
тические средства. Однако это нс отдалило логику от филосо-
фии, как может показаться на первый, поверхностный взгляд.
Связь формальной логики с философией, особенно с теорией
познания, стала более глубокой, многосторонней и основатель-
ной. Этот феномен становится понятным, если мы уясним, что
основания логики лежат в теории познания Нарисованная пы
те картина поступательного развития логики не должна со
зда.чать иллюзии, что логика находится в стороне от борьбы
философских направлений. «. .Теория законов мышления от-
нюдь не. есть какая-то раз нансегда установленная «вечная
истина», — писал Ф. Энгельс, — как это связывает со словом
«логика» филистерская мысль. Сама формальная логика оста-
ется, начиная с Аристотеля и до наших дней, ареной ожесто-
ченных споров» J.
Вопрос обоснования логики теснейшим образом связан с во-
4
пр и м <) природе логического. Что изучает логика? Является
никл наукой эмпирической или теоретической? Имеет ли она
. ..6i iiiciiinjii базис, или се. основания лежат в психологии, в
ivopnu щипания, в математике?
• )г||гшипе этих вопросов во многом связано с критикой пси-
,i, .(.(И iM.i в логике. В конце XIX в. господствующим паправле-
>1н. XI I. обосновании логики был психологизм. Согласно пред-
। । ii .i-.im этого направления, логика — эмпирическая паука,
иг'.ы-кты существуют независимо от лее самой так же, как
, > |щ-г1 вуюг процессы, изучаемые физикой, химией и т. д. ..1о-
riih-t лишь изучает способы рассуждений, существующие до
ip с и независимо от нес. 1 Ляпис писал, что логика есть фи-
нн. мышления или же логика вообще не существует. Соглас-
ил Дж. Ст. Миллю, логика не обособленная от психологии,
« соподчиненная ей наука. Ока есть часть или ветвь пенхоло-
HIII, своими теоретическими основаниями целиком обязанная
психологии?. Мышление есть психический процесс, и логика
iiiynaei законы, и формы этого процесса. Ссылка на то, что ло-
тка изучает законы и формы правильного мышления, ничего
। х меняет в этом плане, поскольку правильное мышление есть
гоже мышление и логика, изучая его закономерности, являет-
ся частью эмпирической психологии. Нормативный характер
чо1 яки также нс меняет существа дела, так как логические
нормы и правила могут объясняться закономерностями объек-
тивно протекающего процесса человеческого мышления — то-
го, «как люди мыслят». При таком подходе вопросы обоснова-
ния логики, по существу, снимаются: изучай, как люди мыслят,
и том числе и закономерности правильного мышления, и толь-
ко. Такой плоский эмпиризм в трактовке логических ферм и
иконок естественным образом приводит к пониманию логиче-
ских форм как изначально данных, независимых от практиче-
ской познавательной деятельности людей, делает невозмож-
ной саму постановку вопроса об информативности логических
форм и законов, об их отношении к реальности. Критика эмпи-
ризма в .«огикс была важной и необходимой предпосылкой
разработки и обоснования современной логики.
Важными вехами в критике психологизма в логике явились
работы Ь. Больцано, Г. Фреге, Э. Гуссерля и других видных
логиков и философов. Э_. Гуссерль противопоставлял эмпириче-
скому истолкованию логических связен (в .духе психологизма)
не их нормативный характер, а то, что они носят непременной,
пскричиннын характер. Он подчеркивал, что связи эти идеаль-
ны,-. Однако идеальный характер логических связей Гуссерль
1||.нх1овал в духе своей феноменологии (в конечном счете это
привозит к своеобразной форме субъективизма, сочетаемого
х ш-меитами платонизма). Критика Гуссерлем психологизма
и 'пинке, верная и глубокая, хотя и односторонняя, не утратл
л < щкто значения и в наши дни. В то же время концепция
I \ । еср.-.я не дает возможности выявить специфику логики как
5
теоретической науки, выявить отношение идеальных связей, ис |. «) и том что логические законы и формы обусловлены
следуемых логикой, к объективной реальности. 1(, ,’Г11 шннтями человеческого сознания и не являются ре-
Логические законы не потому носят нормативный характер эу||(,1Л111М конвенции, они «суть отражения объективного в
что мы так должны мыслить, следуя природе нашего ума. i иннЮм сознании человека»3. Именно абсолютизация
ди инолне могут мыслить, нарушая законы логики. Необходи .|йtl|11,1|ц,||.11|1>1 форм мышления, с одной стороны, и его содер-
мый характер логических законов — эго не та необходимость.,ц.шпн с другой, приводит к пониманию логических форм
которую носят законы гравитации, отмечал Г. Фреге. , швальни"данных, неизменных, независимых от содержа-
ло и представители крайне негативного отношения к психо Жw .циплния.
логизму в логике, рассматривающие логику как теоретическую* i > ni.-i из важнейших задач логики — описать правильные
науку об объективных, идеальных связях и отношениях, при «щ)||11,|1| рассуждения. По какие выводы считать правильными?
ходят нередко к другому крайнему выводу, что логика вообщ Ж ,И(, соответствуют правилам? Но почему принимаются те,
не имеет отношения к изучению законов и форм мышления и| В(. ццЫС правила, тс, а не другие, логические системы? Во-
сс трактовка как науки о законах и формах .мышления ест стоит о законности, оправданности способов рассуждения,
возврат к психологизму. Так, Я- Лукасевич пишет: «Однако* (> об обосновании логики, И отпет состоит нс в ссылке па
неверно, что логика — наука о законах мышления. Исслсдо ,.Гн-пности нашего интеллекта и нс в указании на принимае-
вать, как мы действительно мыслим или как должны мыс-ми,. правила оперирования ю знаками или на соглашения об
лить, - не предмет логики. Первая задача принадлежит ней употреблении логических констант. В теории дедуктивных pac-
оологии, вторая относится к области практического искусства (>у рдений обязательным образом требуется: правила вывода
наподобие мнемоники»3. Лукасевич подчеркивает, что логика ,|,>..1'Кны с необходимостью гарантировать при истинности no-
il ее законы не есть нечто субъективное. нечто присущее при- 1и’Ю)( истинность' заключения. «Если наши предпосылки вер-
родс человеческого ума. Логика изучает вполне объективные от- I1U ____ писал Ф. Энгельс, — и если мы правильно применяем
ношения (силлогистика, например, базируется на объективных л Ш|М законы мышления, то результат должен соответствовать
отношениях в сфере общих терминов, фактически объемов но- н нствитсльности»е.
нятий). Это такие же объективные отношения, как и отиоше- Логика основывается не на закономерностях психической
пия, изучаемые математикой. Именно на таком основании, на деятельности людей, а на объективных отношениях, склады-
осповйнии объективного характера отношений, лежащих в ос- поющихся между результатами абстрагирующей, познаватель-
ноне логики, Лукасевич и делает вывод, что законы логики во- 1и,й деятельности людей. Логические законы, способы рассуж-
обще не имеют никакого отношения к нашему мышлению1. Издания тем самым не являются абсолютными, раз и навсегда
контекста видно, что само мышление Лукасевич понимает уз- данными; они — продукт научного и культурного развития,
ко, трактуя его, в духе того же психологизма, чисто натурали- Логическая семантика, имеющая дело с отношением наших ут-
стпческц как процесс психической деятельности людей. И при вгржденнй к действительности, и является средством с по-
подходе Лукасевич» аспект отражения исчезает, снимается во- М1.щыо которого происходит обоснование логических процедур,
прос. об отношении логических форм и законов к действитель- Понятие истинности является центральным, основным по-
нести, ибо они сами объективированы. питием логической семантики. Суть дела заключается в особом
В качестве альтернативы выдвигались и объективно идса- отношении логики к понятию истинности. Если психологию,
диетические, л конвенционалистские подходы к истолкованию например, истинность интересует как любую другую науку,
оснований логики. В последнем случае акцепт переносился ибо люб я наука заинтересована в истинности своих положе-
на нормативный характер логических принципов, хотя норма- пнй, то в логике истинность включается собственно в ее пред-
тивныи характер логики, вообще говоря, может обосновывать- лг.т. Ибо н^рматнвпый, аподиктический характер логических
ся по-разному. Крайняя форада этого направления нашла вы- j.ikoihth п правил означает лишь то, что мы должны мыслить
ряжение в логическом позитивизме. Особенно характерен в гл к. чтобы из истинных посылок получать истинные заклю-
этом плане «принцип терпимости» Р. Карнапа. пгння.
Наконец, можно считать, что логические связи настолько Ни логика, ни логическая семантика не создают причисли-
фундаментальны и первичны, что не нуждаются вообще в д u.ih> новых концепций истинности. Логическая семантика
обосновании. Логическое знание — наиболее обоснованная, на- (ипмовуст учение, об истинности из теории познания, обраба-
дежния и универсальная часть вашего знания. Во всяком слу- ji.nia<i его для решения своих задач. Таким образом, обосно-
ван, логика, полатют, нуждается в обосновании меньше, чем к ате логики, как мы постараемся показать в книге, есть фи-
математика. Но разным основаниям такое понимание ирису- ЛчгофскоО, теоретико-познавательное обоснование: Попытка
ще и логицизму, и И. Кангу. |q»cii. в логике вес более глубокие теоретико-познавательные
харэктсрнстпкп iiCihku приводит к появлению новых лотнч<
ских систем. Построение логических языков со все более бо
гатыми выразительными и дедуктивными возможностями те<
нейшим образом связано с учетом все более глубоких и многс
образных теоретико-познавательных характеристик знания.
Логика как таковая не рассматривает, использует ли некто J
такие-то и такие-то способы рассуждения. Ес задача иная '
выявить и систематическим образом описать способы рассуй '
дення, которые гарантируют при истинности посылок нстнипостЛ
заключения. Разработав и обосновав приемлемые способы ра< г
суждений, логики надеются, что ими будут пользоваться в на
уке, культуре, в общении друг с другом, а возможно, они бу
дут переданы компьютерным системам.
Современная логика является не только теорией дедуктив
пых способов рассуждения и не только теорией о предел и мост
и определений, индуктивных способов рассуждения. Значитель
ное место в ней занимает разработка процедур поиска доказа
тсльслв. Ф. Энгельс писал, что «даже формальная логика пред
прежде всего метод для отыскания новых ре
перехода от известного к неизвестному»7,
интенсивно разрабатывается в настоящее вре
связи с проблемами, объединенными именем
интеллект». Не заставляет ли обращение к
методы поиска доказательств не преследуют цель
: коп
тшему-то сделаны из влажной нервной тканы, а не
и < , >н 1 чсктропных компонентов. Поэтому у пас нет жела-
11и.) i.iширина гь человеческий интеллект, как нет и предубежде-
на iipiiiin использования методов, которые, по-вн-днмому, ис-
п в интеллекте человека». И далее Уинстон пишет’
। । же, как сведения из психологии, касающиеся об-
। и информации У людей, могут способствовать совершеи-
' । к. г iiiiiKi компьютеров, так и теории, построенные кежночи-
II юн пи основе размышления о вычислительных машинах,
I. । наводят на различные соображения о том, как можно бы-
bi г,и улучшить образование людей. Иначе говоря, мстодоло-
iiiii, ш иолпзуемая, чтобы сделать разумнее машины, может
ин видимо, использована и дли того, чтобы сделать разум-
и. < самих людей»9.
Мы бы сказали еще резче- ааддшь-лоижи состоит не в том,
'ti.ir.u описать, как из посылок извлекаются следствия человс-
ы>м пли компьютером (или как ищутся доказательства), а в
п.м, чтобы рбосдовать возможные способы рассуждения, мсто-
ti.t поиска доказательств и т. д. Логика, как и математика, не
шляется эмпирической наукой. Ни первая, ни вторая не обос-
новываются ссылкой, что некто так рассуждает или вычисляет.
Р.ншнрсние горизонтов логики не дает оснований вернуться к
пяпческому психологизму» даже на новом уровне.
Сказанное нс означает, что между логикой (особенно в
laeni, связанной с поиском доказательств) и психологией (пси-
хологией мышления и психологией творчества) нет и не может
быть взаимодействия,0. Однако ни психология, ни Computer
Science не могут обосновать логику (равным образом матсма-
гнку и методологию).
Логическая семантика Как раздел логики, ориентированный
ил обоснование логических нранил и процедур, существенно
опирается на теорию познания. Однако в каждом конкретном
случае характеристики логических процедур используются лишь
io цельные аспекты знания. Так, для обоснования классической
кивки достаточно понятия истинности как соответствия утвер
.кдений положениям дел. При .-лом отвлекаются от многих,
и I I.пых самих по себе, аспектов знания. Более того, чтобы
выполнить свою задачу обоснования той или иной системы ло-
гических способов рассуждения логическая семантика строит-
я па 01 нове очень сильных идеализаций. Выявить эти идса-
UI сити, указать границы правомерности их использования —
iiiu.i из основных задач философского осмысления логики и
ни шаткой семантики.
{.биение идеализирующего Подхода в семантических иссле-
'ci шпях приводит к непониманию существа семантических
ши рпрегацип К настоящему времени не только построено Ol-
р. luii и число логических систем но и сформулированы ссман-
'||| и различных типов. Иногда для одной к той же логической
• Л' . ми предлагаются различные типы семантик, различные
ставляст собой
зультагов, для
Этот аспект
МЯ, особенно в
«искусственн ы н
проблемам разработки методов «опека (и ряду других) оста-
вить жесткие антипсихологические установки и вернуться к
некоторой новой версии психологизма? Б. В. Бирюков в этой
связи пшнет: «Ныне — в свете работ по «искусственному ин
теллекту» — происходит как бы возрождение «логического ней
холо! нзма», правда, на ином, более высоком уровне, чем это
было ранее, например, в эпоху такого резкого’кригика психо
логпзма в логике, каким был I Фреге» я. На наш взгляд, ло-
гические
изучить, как человек изобретает доказательства. Интерес
центрируется на изучении возможных методов поиска доказа-
тельств, их сравнении и систематизации независимо от того
как и кем они реализуются, людьми или компьютерами В об
щем, способ реализации процедур интеллектуального характе
ра, который разработан в рамках «искусственного интеллек-
та», может существенным образом отличаться or тех процедур,
которые осуществляются человеком. Аналогично производствен-
ные орудия и механизмы не обязательно копируют биологиче-
ские органы, идея колеса не нашла реализации в живых орга-
низм-ах. П. Уинстон очеш, четко формулирует эту «антнпсихо-
логнческую» установку: «Заметим, что желание заставить вы
числительные машины быть разумными — это не то же самое,
что жечапис засгаиить вычислительные машины моделировать
интеллект. Искусственный интеллект привлекает людей, кото
рые хотят вскрыть принципы, применимые ко всем интеллек-
туальным информационным процессорам, а не только к тем.
способы обоснования этих систем. Наряду с традиционной (pi ||м.||1.|1.| кцЧ формул. В развитых науках в той или иной мера
ференцпальной, теоретико-модельной) мы имеем истпнностн«^Е( и (специальные языки математики. Важность соз-
значную семантику, вероятностную семантику, семантику во. II...., , ui^apTiuupoHaHHbTX языков науки осознавалась клас-
можных миров (включая реляционную и окрсстностную). ш , (М1 . ,, u,,VKH. Так, Э. Кондильяк отмечал, что язык по толь-
туационную, алгебраическую, топологическую, семантику н б , )(1 ,,I1UJ общения, но и аналитический метод. «Науки мя
паховых пространствах (использующую идеи функционально! .......... , зто науки, язык которых плохо построен»; «Ес-
апалнза) и ряд других. Если не смотреть па логическую ссная^К^, ,lliun заметили, что языки также являются аналитиче-
тку как на некоторое вспомогательное техническое средствн^Кц методами, было бы нетрудно найти правила искусства
а нидсть в пей способ обоснования логики, тогда необходим!( (| ||||ъ^ Далее Кондильяк подчеркивал, что наш способ
выявлять теоретико-позиавагельные и онтологические нредп I м, ч 11ч цоцсния совершенствуется с усовершенствованием язы-
сылкн и концепции, связанные с тем или иным типом семая^К \уьи.пь Кондильяка развивает Лавуазье в «Элементах
•пки. ..... «Занимаясь этим трудом («Элементами химии». —
Как отмечалось, понятие истинности является одним 1 Ж « ) я лх-чше, чем прежде, сознал очевидность принципов,
центральных в семантических построениях. Однако проблем у,, поденных аббатом Кондильяком в его «Логике» и других
философских оснований логики к этому ис сводятся. Друга ш>рых его сочинениях. Он утверждает, что мы мыслим
линия связана с проблемой предметности, проблемой методоЖи П1)МОщИ с;;ов и языки суть истинные аналитические мето-
ссмантичсского анализа смысла и значения выражений логи1н длгебра. которая есть более простой, более точный и луч-
чсских систем. Это очень трудный и философски насыщенны <fllll приспособленный к своему предмету способ выражения, сеть
круг проблем. К какого рода объектам относятся утвержд? । 1М, (.гг язык и аналитический метод; наконец, искусство уме-
ния? Каков логический статус утверждении с пустыми имена Jltl, и)Чения сводится к хорошо обработанному языку. И в са-
ми типа «Зевс — бог греков» или «Русалки не умеют летагь»|, ,м деле, между гем, как я думал, что я занимался помен-
«Круглый квадрат не кругл» или утверждений об идеальны ь ллгурсм и усовершенствовал язык в химии, мое сочинение
и идеализированных объектах типа «число л меньше 3,2» иметно преобразовалось в моих руках» 12
Как представить логическую форму предложений, выражаю Использование стандартных, типовых способов описания
щнх пропозициональные установки? Все эти вопросы приводя и «обходимо в любой науке. Типовой способ описания уже
к сложным проблемам теории смысла, содержания понятии. предполагает абстрагирование от несущественных для данно-
Градидионно этот круг вопросов связан с философской про,,, рассмотрения факторов, возможность использования уже
блемой универсалий, с борьбой нлатониетического реализм?цуработанных методов постановки и решения проблем. Для
номинализма и концептуализма. В целом возникает проблема^)|п чтобы производить вычисления и делать умозаключения,
онтологических допущений, к которым обязывает принимаемая^, обходимо «’формулировать исходные данные и посылки в
система логики, возникает вопрос об отношении самих логи ( ।,1Вдартиой форме. С осознания этого началось развитие ло-
чееких законов к реальности. Несу, ли логически и аиалиги iukii и математики. Чтобы использовать силлогистические сио-
чески истинные высказывания некоторую информацию о дей <ч»бы рассуждения, необходимо выразить посылки и утвержде-
ствитслыгостн? С общих позиций диалектического материализ 1)|1Н в четкой форме категорических утверждений, чго было
ма ответ ясен: паше знание является отражением дслствитсль , ц-.члио Аристотелем. Развитие логики состояло и состоит в
пости не только по своему содержанию, по и по форме. Нор.ц-щирении запаса стандартных способов представления ло-
как реализовать эту’ установку в конкретных ссмаптцчсски.'|цческих структур. Стоики ввели в оборот способы рассуж-
исследованиях? к пня. основанные на структуре сложных утверждений.
Человек в своей деятельности использует разнообразны,® XIX в. стандартные способы выражения посылок и заключе
семиотические системы, устные и письменные естественны,,цВ| были существенным образом обогащены, что знаменовало
языки. Возникновение науки потребовало стандартизации не H ini.iii этап в развитии логической науки. Тенденция к рас.ши-
которой части естественных языков, а затем и создания асо л,чпв<> п обогащению вырази тельных средств, входящих в ком
бой символики к даже, особых специализированных языке: и, « нцню логики, характерна и для современного этапа раз
Внедрение в логику, я затем и в математику переменны??, со , ни логики.
здание десятичной системы счисления, буквенной алгебры, язы Представляя знание в стандартной, типовой форме, мож-
ка математического анализа сыграли важную роль в развп цу . мнить перед собой разные задачи. При этом для разных
тии логики и математики. Становление новой отрасли науки |г и наиболее удобными могут оказаться разные формы
хак правило, сопровождалось и созданием специализирован (Цн ,, । лцлепня. Можно искать формы представления, удобные
пых языков. Так были созданы номенклатуры в биологии, язы дди хранения информации, се сообщения другим лицам, спо-
"_____________________________ _______________________________________________________________________________________:
собствуюгцие ее понятности. Для логики наиболее важной я:, л штио» вырази |.ельныл и дедуктивных возможностей
ляе-ся такая форма представления знания, которая позволь •» 111,1 ,и|ых логических систем теснейшим образом связано
делать умозаключения. Способ выражения знания должен i.-Jf'l11" им.н мыми идеализациями, с гносеологическими предпо-
раитировать возможность умозаключения по форме, способ- . 4'" 1 &тих систем. Этот факт определяет оруктхру книги,
вовать повышению оперативности языка. Именно поэтому и- И * перкой главе исследуются стандартны ;к тспсиоиальныс
пользование специально построенных языков с точными пр вЦИ'М!. логики. Для их обоснования доегз i понимания
вилами образования и преобразования явлысп-я одним как соответствия «нанпя деис.витг.'Н.ности. ••
важнейших методов в логике. И ' уровне рассмотрения абстрагируются от а*их важны
Развитие логических методов, особенно создание различу^'* ii'poB. как рост знания, конкретность истинности, от юше-
иых вариантов семантики возможных миров, позволяет а ми' м'Ч ДУ абсолютным и относительным в знании. Показы-
лизировагь достаточно сложные по своей структуре способ*по понятие объективном истинпос)и. примененное к
выражения, учитывать не только обьекгнвныс, но и прагм ' лм со стандартной формализацией, дает средства ооосио-
тичсскис условия использования языка н утверждения прсИ*'1’*1 классической логики. В главе подрооно анализирую!
ложеннй. Эти успехи позволяют сближать достаточно .хоров-; Ф" । " "фский смысл теорем о выразительны т них
стандартизированные фрагменты естественного языка с иску Иохмпжностях формализмов, а также вопросы, .вязанные с х
огненными языками логики. При этом имеются две ноаможн I' кгеристикой понятия истинности предложены! языков стен-
сти: во-первых, исследовать стандартизированные фрагмен”
естественных языков теми же методами, как и искусственны
языки логики; во-вторых, исследовать стандйртнзироваппы]
фрагменты естественного языка путем установления их огни
шении к специальным логическим языкам, цугом перевода ю
ражеинй естественного языка на искусственный. Решение эти
задач открыло мощное комплексное наира зление
ний — логический анализ естественных языков.
Внедрение в науку и практику ЭВМ, ярко
исследов
выражений
тенденция :< компьютеризации уже сейчас привели к создании
специализированных языков программирования. Тенденци
развития языков программирования состоит в их прпблыжо
нии к потребностям составителя задач. От ориентации на ocoj
беипости ЭВМ перешли к ориентации на особенность посты*1
новки самих задач, на выработку средств, удобных для фор
здулпронки задач и методов их решения. Языки программирс
вания, как и стандартизированные, фрагменты естественны
языков, изучаются строгим» синтаксическими и семактиче ,
скими методами. По мерс превращения программирования к 1
искусе та в науку все большую роль начинают играть логич,
скпе методы. В качестве характерного примера можно ука.
зать разработку так называемых динамических логик, или л< I
гик программирования,3. Их разработка и исследование от
раются на методы реляционной семантики, разработанные пер
воначально для модальных и временных логик.
Идеал в использовании компьютеров, особенно в систем
диалога, состоит в том, чтобы компьютеру был доступен язы
задач, являющийся по существу специализированным и стал
дартизиропанпым фрагментом естественного языка. Эта з;
дача ставится перед разработчиками ЭВМ пятого поколешь
и она объединяет исследования, осуществляемые в чистой л
гике, логической семантике и в логическом анализе естестве
пых языков и языков программирования.
лртпого ТИНЗ-
Вторая глава посвящена проблемам логической и аналнти-
•1м кчн истинности. Выявляются некоторые принципиальные
п\ hi истолкования и решения этой проблемы в истории фило-
<фин и логики, проводится критический анализ предлагаемых
решений и дается уточнение понятия логической истинности
i.’ii стандартных языков. Предлагается способ уточнения бо-
иес широкого понятия аналитической истинности.
Развитие семантики возможных миров дало средства для
обоснования модальных, временных, интуиционистских логик,
а также более широкого класса интенсиональных логик. Для
семантического обоснования способов рассуждения, использу-
ющих указанные контексты, необходимо принимать во внима
пне такие характеристики знания, как его рост, зависимость
истинностного значения предложений от ряда объективных и
субъективных факторов. Этого рода проблемы рассматрива-
ются в третьей главе. Развиваемый нами метод ссмантическо-
II анализа интенсиональных контекстов (учитывающий два
< и >соба приложения функтора к аргументам) из-за недостатка
мкл а изложен сжато. Более подробное изложение этого под-
дела представлено в других наших публикациях.
В четвертей главе строится семантика с частично оиредс-
1ГНПЫМ11 понятиями истинности и ложности. Если требовать,
чтобы понятие истинности было всюду определено, то ввести
«•о понятие в сам исследуемый язык непротиворечивым обра-
мим невозможно. Возникающие семантические парадоксы pe-
in.потея путем разграничения объектного языка и метаязыка.
«J i.i.ixo частично определенные предикаты «быть истинным» и
||.нь ложным» могут быть введены в рассматриваемый язык
М - рогнворечнвым образом В этой главе систематически стро-
пим семантика для такого рода языков, реализующая идеи
Наряду с индуктивной семантикой строится так называе-
13
мая аппроксимативная семантика, допускающая сущсствова
цис одновременно истинных и ложных предложении (семан
тика с пресыщенными оценками). В рассматриваемой главе
вводятся различные понятия логического следования. Эго даст
возможность, например, построить семантику для логики, двои
ственной логике Хао Вэна, на основе истинностных провалов
(а не пресыщенных оценок, если принимается стандартное
определение логического следования). Вопросы, поднимаемые
в этой главе, являются предметом интенсивных исследований
в настоящее время и имеют важное философское н приклад-
ное значение.
Глубокие философские вопросы о соотношении абсолютной
и относительной истинности, понимание, что наше знание яв
.чается отражением нс только но содержанию, но и по с.яоей
форме, требуют рассмотрения категориальных структур и он-
тологических предпосылок, лежащих в основе тех или иных
логических языков. Этому кругу «опросов посвящена пятая
глава. В ней развивается теория семантических категорий, вы
яснястся связь между структурой формализованных языков и
онтологическими допущениями. Семантическое обоснование
логики предполагает очень сильные идеализации, нуждающие-
ся сами в обосновании. В этом аспекте рассматривается про-
грамма Д. Гильберта, показывается, что обоснование некото-
рой формальной системы следует понимать нс как доказатель-
ство ее непротиворечивости, а скорее как доказательство того,
что эта система является консервативным расширением неко-
торой содержательно приемлемой теории. В заключение де-
лаются выводы о возможности обоснования идеализаций, но
которых основаны тс или иные логические системы.
I It А II A I
ПОНЯГИЕ ИСТИННОСТИ \
II 11 ФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СЕМАНТИКЕ,
ВЫРАЗИТЕЛЬНЫЕ И ДЕДУКТИВНЫЕ
ВОЗМОЖНОСТИ ФОРМАЛИЗМОВ
I Искусственные и естественные языки
.'li.uiKa изучает интеллектуальные процедуры, и прежде все-
гп ум. "заключения. Для этого необходимо, чтобы досылки и
4*к.111>|сния формулировались стандартным образом. Более то-
то, фирмзльный характер рассуждения, при котором правнль-
Ki'ii> рассуждения усматривается из формы посылок и заилю-,
ч. пня, обязывает особо внимательно анализировать языковые
011|<|пТ>ы предстанлсния знания, информации. Особую роль для
Исследования логических процедур приобретает метод конст-
руирования искусственных, формализованных языков.
Построение специальных формализованных языков для за-
i|ipi логики послужило мощным стимулом ее раз вития. Дело нс
। in пользовании специальных символов. Именно возможность
представлять содержательные логические отношения и проце-
дуры (например, логические рассуждения) точным и эффектив-
ным образом в исчислении послужила основой развития новых
...истей и разделов логики. За короткий период в логике
। риизошли изменения, несоизмеримые со всей ее прежней
шторной. Использование языков с точным образом заданной
i(руктурой давало новые средства выявления и воспроизвело
пня логических связей. Тем самым развитие логики нодтверж-
t.ui тезис диалектического материализма, в соответствии с
1<нирым вне материального носителя, вне. языка не существует
побого царства мысли. «Нзык есть непосредственная дейотни-
Т1,.1ыюсть мысли, — писали К. Марке п Ф. Энгельс.— Также,
i .ik философы обособили мышление в самостоятельную -силу,
। и должны были они обособить и язык в некое самостоя-
|' и.пос, особое царство... Ни мысли, ни язык не образуют са-
ми но себе особого царства... они — только проявления деист-
Illi I i-.'lblloll жизни» ’.
Искусственные языки создаются вс для замены сстсствсн-
1И.1Ч языков, у них разные пели. Естественные языки склады-
ii.norot в процессе коммуникативной деятельности людей н яв-
1.ГО1СЯ средством общения, передачи информации. Отсюда их
мн. г-ч раиноегь, многоплановость, гибкость. В отличие от них,
и . ,. < гненпыс языки ориентированы на строго ограниченные,
। и. |11|.)Л|.пыс задачи
При гиком подходе искусственные языки можно рассматри-
вай ' ..к фрагменты, модели определенных аспектов сстсствен-
15
шия предложений, которые можно выразить словес-
еокращгнпую запись даст и стенография! Главное-
ic и >)»м. а в том, что над формулами можно производить
ниш. производить чисто механически, и таким путем по-
............................. формулы и соотношения... Таким образом, с по-
непосрсдственно за ЮЦЦ1.10 буквенного исчисления, мы заменяем часть умозаклю-
выкладками (механическими опсрация-
пых языков. Собственно уже синхронное описание естествеин |,
го языка в лингвистике дает не реальное, исторически сложи |^Е
шееся. состояние языка, а некоторую «проекцию этого состо >|
ния на неподвижный экран исследователя». Такое синхронн 1
описание языка Ф. де Соссюр сравнивал с проекцией тела н Л
плоскость. Проекция тела на плоскость i---------------- ®
висит от проецируемого тела и в то же время ирсдставлясг^Кй (рассуждений)
собой иную, отличную от самого тела вещь2 ми) |. lh говорил Лейбниц, буквенное исчисление разгружает
Аналогично языки, задаваемые формальными грамматик, Вш1|ы.епке» \ Таким образом, искусственные языки нельзя
ми, могут рассматриваться как определенные проекции» осте ।|ишать как системы специальных символов, вводимые
ственпых, исторических языков. Правила конструирования дагшжешш краткости и простоты сообщений и играющие
таких языках могут задаваться таким образом, чтобы объекты ПГопшшению к естественным языкам роль стенограммы.
. порождаемые этими правилами, в 1астиости предложения нс ’ |1<яь использования искусственных языков в логике — не
кусствсппых языков, отвечали тем ж грамматическим, струк Шк* из слов естественного языка некоторыми специальными
турным требованиям, которым от веч i т осмысленные выра Л, пол ям и в процессе описания логических процедур и пра-
ження естественного языка. Искусств i ы языки в этом слу он л воспроизведение логической дедукции. Логические си-
час выполняют роль некоторых «мо,- i i с рождения» грамма Ко’.ы строятся таким образом, чтобы репрезентировать аде-
тически правильных единиц естественно ыка. Точно так ж Emilio логические структуры и связи, норой даже «в ущерб
построение искусственных языков лоп нотволяет модслир fpn । мили и легкости общения». I Фреге отмечал, что тсн-
вать различные способы рассуждений пиния к кнаткости не всегда оправдана даже в языках мате-
Однсьо искусственные, языки и ли i i же и логически трынки, она приводила ко многим неточным выражениям, а
системы являются яс только приблизит ими моделями i «шш оказывали обратное действие, открыв дорогу ошибочным
описаниями естественных языков или еетс генных» способов определениям... Логическую правильность нельзя приносить в-
рассуждения, они играю» и самостояге р .i. Искусетвсч ц< рту краткости выражения»4.
ныс языки математики, логики, химии с a.' i важным цистру Им ино Г. Фреге поставил задачу построения особого рода
ментом исследования, средством для д пл шя определён и, куге; венного языка, в котором бы правила оперирования с
ных научных целей. .......... ........”"’J'
Построение формализованных языков в м емттпке. ныяв
леппе их роли и границ применения спя и ы с обсуждением
глубоких проблем оснований матем тики, с :и ином допус
Каемых в ней абстракций и идсализап i, тико-познавз
тельных предпосылок.
Иногда полагают, что в естественны язык х можно сфор
мулироват;. все то, что фиксируется с едствамн пециалнзиро
ванных искусственных языков. Предн лагасгся, что все отли-
тие иску ест веяных языков от естестве! i >ix 'осгоит в принци
ис з замене ооычных слои п выражени ' ‘цециальньглн сим
иолами. Таким путем достигается онр деленный эффект крат
кости, сжатости сообщений, как бы ic оторзя их стспограм
ма. Таксе понимание роли нскусствепн 4\ языков в познании
не является верным. Прежде всего существенную роль црг
создан1:Л искусственных языков играют вопросы эффективно
сгп. Искусе таенные языки могут вводиться как ппегрумеи ।
эффективного представления определи пых связей и отноше
пий. При переводе с искусственного языка па естественный м • |
жет теряться этот оперативный характер искусственных язь
ков, особенно возможность проведения достаточно сложны
рассуждений.
«Формулы математики — это не только сокращенный язы
16
i.i'Mniiiian ими символов, наглядными чувственно воспринимае-
мыми объектами, воспроизводили отношение логического сле-
.н>и.‘||вя. Естественный язык неадекватен для представления
,||.уктуры логических рассуждений; точным и однозначным
|,‘||..г;ом Фреге строит язык, записанный специальными симво-
'Ц1мн. с которыми надо манипулировать по строго установлен-
ным правилам, — некоторый род исчисления. Однако Фреге
Интел свою задачу нс в том чтобы представить логику в виде
||ц.|1мул, подобных формулам алгебры или арифметики, и при-
ц|'ПН1т> математические, алгебраические методы к логике. а в
ii»M, чтобы построить специальный искусственный язык симво-
,,,и дли «чистого мышления», адекватным образом воспроизво-
дящий отношения между понятиями и отношение логического-
т,|г'.|пп;шия между высказываниями. Фреге подчеркивал мето-
в<| 1ч| ii'iecKVK). гносеологическую роль искусственных языковых
in, гем как инструмента исследования содержательных проце-
i,p Именно как инструмент решения определенных познава-
I, и.пых задач рассматривал Фреге искусственные языки. Он
«исчисления по-
ЧИСТОГО МЫ1ПЛС-
можно пояснить,
к глазу. Глаз, в
его способности
чit> отношение построенного им, языка
, специального языка формул для
к ссгсствсннсму язику «лучше всего
его с отношением микроскопа
широкой сферы его применения, в силу
IIN । <•
HIM
III III ••]> IHlIlil r
17
шриспосаблизаться к различным обстоятельствам, обладав
большим преимуществом чо сравнению с микроскопом... bl!
как только научные задачи предъявляют бо.чее сильные треб<И
вания к остроге различения, оказывается, что глаз нс в состгыИ
пии с ними справиться. Напротив, микроскоп самым совсрше £
ным образом подходит для решения именно таких задач и к в
раз поэтому непригоден для решения всех иных. Гак и дани В
исчисление понятий является созданным для определенных к
учны.х целей вспомогательным средством, которое поэтому t
следует осуждать за то, что для других целей оно нс подх
днт»5.
Далее, способы рассуждения нс являются <----- 7
всегда данным, от природы присущим ..полям. Нельзя прими
мать за некий эталон те способы рассуждения, которые наш. <|
спою реализацию именно в естественном языке. Построение
кусственных языков логических систем позволяет выявлять
конструировать
гносеологи-
для их
с.тиму-
Miftpi ирясль знания.
чем-то раз и H iUr ш о,оные системы
иск формализованных языков зависит от
д у, ..тонок к в свою очередь является средством
H>fO. iiioi в изучения.
Утричн- обшей теории знаковых систем но многом
XfinuHi успехами в области логики, результатами коист-
В....... особых логических систем, а также задачами ис-
К.Ц...11111 структуры языков пауки. К началу века эти раз-
........ выкристаллизовывались и складывались в
МЫК> выделить некоторые общие тенденции, нршщяпиаль-
. пшики, которые легли в основу ряда наук, исследую-
l^jiioii из таких установок явился антипенхологизм в 1,ст^
.Him природы логического знания. Г. '
* 1 '^Loi.'io, что «логические фигуры» вне. языка нс существуют,
— .
новые спосооы рассуй (епмя. Посредством и
кусствеппых языков реализуются определенные шиги констп
нрующей, познавательной деятельности людей, практика чело
века, «миллиарды раз повторяясь, закрепляется в сознании ч
ловека фигурами логики»6.
Таким образом, искусственные языки г .'_________
чаев не просто упрощенные фрагменты естсстт-ппых
но дополнительные снеииализярованные системы
важную роль в познании. (?ни служат особым веиочогатсл i
ным средством для достижения определенных научных зада
Одна пз них — сделать явными те предпосылки ?
нимаются в теории, представить точным образом
свяли п структуру рассуждений.
Отметим еще одну важную функцию искусственных языке! !!
Юстроеннс искусственных языков с точным синтаксисом и cpL.,M
?Д пИгг°??“ВОЛ>,еГ ,кслеловать п>тем реконструкций оивсдеК М1
нип ш1Хнч^Х',Ь1,ЫС’ "Одиавате-"Ь11ЫС процедуры, ВЫЯСЖа.|(.м ВСН0МИЩТ.Щ
НЛП. О.1ТОЛО1 нчссьие допущения, связанные с ними. Так нов
строение точных семантик для логических систем ппзн.>.««тЯ"
выяв.чя।ь тсоретико-познавательные предпосылки
принимаемыми способами рассуждений,
манию, которую несут логические законы.
природы логического знания. Как следствие из нее
что «логические фигуры» ине языка нс существуют,
языке получают они свою «непосредственную дсястни-
1т . и и.», свое выражение. _
( л< дующая идея, связанная с разработкой семиотики, со-
мин (/признании возможности и правомерности синхроиного
........................in знаковых систем. Важнейшим завоеванием XIX в. бы-
ц нои развития, эволюции; исторические методы применялись
в большинстве ел I игчн. социологии. языкознании. Языкознание изучало
языки J|^ |, Ц1С11НЫС, исторически сложившиеся языки. Основным мс-
нграюи1И11,, ,11Ы исследования был сравнительно-исторический метод.
41. идет не о двух способах существования языка (реальные-
(.ян всегда развиваются во времени), а о двух различных
которые пр iot‘*i6ax описания языка, о двух различных подходах к язы-
логически j ...мм системам. Рассмотрение языка на данном срезе его раз-
„ — методологический прием. Мы рассматриваем язык
, tioivfo функционирующую систему. Абстрагируясь от про-
u пленения системы, мы изучаем отношения в этой си-
«Цля описания данной шахматной позиции совершенно
' ,, чю случилось па доске десять секунд то-
. по Ь и-м-щ» '. Синхронный метод нс объясняет возникновения
систем позволяет н-мы" законов се развития, ио он позволяет исследовать
, связанные cLiivurvpy взаимодействие .элементов системы, механизм ее
’г...рассуждении, выявлять ту инфор Km'oim «Спедуя за эволюцией языка, лингвист уподобляется,
манию, которую несут логические законы. Для решения ряди ,.«, 1И. отелю. 'который передвигается с одного конца Юрских
логических задач стандартные языки классической логики ока • чо .......
зались недостаточными. В процессе, развития логики были по- конструируя искусственно языки
строены формализованные языки с '
тельными и дедуктивными средствами, г ю
м од ал ьпым и, времени й м и, эпи стсм ич ее к и м и,
другими интенсиональными операторами. Чем более богаты
х-эптктснистиг^'1 п-И псс'1ед-тем> тем бо-1‘’е глубокие аспекты Ц^дшвспио связано
характеристики понятия истинности мы используем. В зави L,..в в
тмости от того, каким условиям отвечает принимаемое в се ।
мантикс понятие истинности, находят свое оправдание и обое '
нованме тс или иные способы рассуждения. Таким образом,
1£
логичсских
другого, отмечая при этом изменения перспективы»®.
боле» Г -я- ....... w . - *' логики, мы абс-трагиру-
L. 1 оогатыми вырази-*м< u ог проблемы развития логики, абстрагируемся, но вовсе
юм числе языки с К < читаем, что логика и ее законы неизменны, раз и навсегда
дсонтическнмп имы
• синхронным способом описания знаковых систем пепо-
> применение структурно-функциональных
логике н лингвистике. Структура, взаимосвязь элс-
в се вин ни системы объясняются условиями функционирования
ЙИ'Кмы в целом. Мы нс можем объяснить сущности человека,
1<л<. м,.।рииая изолированного, «абстрактного» человека. Че-
15>
ловок как социальное существо есть продукт общественных j
ногнсний. Поведение, сущность объекта, включенного в кек J
рую систему отношений, объясняются его ролью, местом в э |
системе, а не его абстрактной природой.
В семиотических системах вещи, процессы наделяются о |
бымн свойствами, приобретают значение не сами по себе
силу своей природы и физических свойств, с в силу их отноп
пий к чему-то, что они в этой системе репрезентируют. Де]
винная фигурка является королем в шахматной игре не в с
своих природных качеств, а благодаря той роли, которую
выполняет в системе. Та ков же характер религиозных кулы
.вых действий. Вне семиотической системы они теряют сп
смысл.
С Другой стороны, изучение семиотического аспекта рели
о.зиых культовых действий не объясняет ни происхождения
рядов, ни их социальной функции — для -того надо выйти
рамки семиотической системы.
Смысл, значение знаков л выражений языка невозмон 1
объяснить, рассматривая их изолированно, вне их места и р
ли в знаковой системе. Смысл и значение знаков языка мой
но установить, лишь выявляя условия и принципы функцнони^
вания данной знаковой системы. Исследуя искусственные и <
естественные языки, необходимо иметь в виду, что только
процессе коммуникации складываются такого рода знаков .
•системы. Вне определенного коллектива, вне коммуникативно
функции рассматриваемые системы вешей остаются система
вещей, но нс являются знаковыми системами.
Уровень рассмотрения, устанавливающий, какие, объект
включены в знаковую систему, какие комбинации знаков в к.
честве средств общения допустимы, называется синтаксич
ским.
Комбинации материальных объектов являются знаками
-силу того, что участники знакового общения связывают с внм
нелингвистическнс объекты п ситуации. Отношение сметем
материальных объектов, являющихся знаками, к обозначаемы
ими объектам н ситуациям является предметом семаитик!
К области семантики относится также и тот смысл, которы
связывают со знаками участники знакового общения. Отнош
ние носителей языка к знаковым комбинациям и выражаемом
ими содержанию, а также отношения лиц в процессе знакомо!
общения составляют предмет прагматики. Чтобы имело мео
понимание, объект, репрезентируемый знаком для производите
ля знака, должен совпадать с объектом, репрезентируемы ।
знаком для лица, воспринимающего знак.
С помощью знаков в процессе общения передается не тол
ко информация о нслингвистическнх положениях дел, ио и в .)
ражается отношение носителей языка к этой информации. Г
что используются не отдельные знаки, а организованные спел
2С
gn HGihoit, позволяет передавать информацию также посред-
HH-u'f структуры и взаимного расположения знаков.
(ии (.K ino,' что вне знаковой деятельноеги, вне отношения
коммуникации не может быть семантнческо-
о сношения знаков к означаемому. Однако,
.nuni таковые системы, мы используем достаточно сильные
Ml |р.<1.!1ИИ и идеализации и даже «оборачиваем» порядок пс-
Кшпнншя. Можно исследовать знаковые системы как сред-
И11 , фиксации, переработки и хранения информации. Таким об-
М1им, первая абстракция — это отвлечение от того, что язык
&|И( о я средством общения. В таком случае язык перестает
ftuii собственно языком в лингвистическом смысле. Тик, в ло-
щ.. знаковые системы используются не как средство общения.
Mid 1 бе датируемся от отношения лиц, использующих язык.
। . н сучение феномена понимания предполагает включение в
Ши . могрение отношений между пшамп.
(паковые системы, исследуемые только с точки зрения фор-
^цзьиых, синтаксических связей между знаками, нс могут рас-
♦ шнрпвагься как механизмы хранения и переработки инфор-
mhiiuii — для этого необходимо учитывать по кряйней мере
>( («.in гпческий аспект. Но при анализе языков мы можем до-
K’l t aib и эту абстракцию и начинать исследование с чисто
пи. акепческих связей.
Гакнм образом, хотя роль в процессе, практической позна-
|,.|1|,1ы1он деятельности людей определяет п формирование и
ipyKrypy и интерпретацию знаковых систем, порядок иссле-
л. шпиня аспектов знаковых систем может быть обратным.
«.телует отметить, что в логических рассмотрениях термин
»И(ык», «языковая система» в различных контекстах и разны-
MI .шторами употребляется неоднозначно. Это обусловлено, на
|И(н взгляд, тем, что одно и то же явление может рассматри-
п о ci я в различных аспектах. В частности, то, что называют
ян,к 1мп (языковыми системами) в логике, как правило, от-
Л1Г1.<'-гся от того, что называют языками в лингвистике. По-
н<1'||.ку искусственный язык в логике создается не для нетей
«о «Ии-пни, а в первую очередь для представления в нем про-
111. (mi логической дедукции, постольку естественно понимать
цел языками в логике знаковые системы, включающие лроне-
U', |ii.i логического вывода.
Ссщесгнуют два пути построения логический теории. В од-
ним .чучае в качестве, языков, подходящих для представления
Дн1 и'кч-ких процедур, принимают формальные, логистические
in н-мы п к описанию этих систем присоединяют некоторую
1<НГ|'|ч|ротацию При таком подходе з каждом языке существу-
• । ниш. одно понятие -доказательства. Логика, процедуры ло-
•НЧнкий дедукции выступают как нечто исходное, задаваемое
to wii'ii явно сформулированных правил преобразования. Мож-
и, 11И11)|П111> лишь о различны?; интерпретациях логических си-
21
стем: правильных, превращающих системы в языки с прщу|
щеп им логикой, и неправильных.
Но возможен и /Другой путь построения логической теория
при Котором МЫ ИСХОДИМ КЗ предположения, ЧТО принципы Л"1
гической дедукции определяются семантикой языка. Язык >
этим случае задается только правилами образования и сема"
тическими правилами.. Допустимые правила вывода детерм i
пируются семантикой языка. При таком подходе вопросы ф<
мулировки законов и правил дедуктивной логики отчленяют
от вопросов их аксиоматизации.
С точки зрения нашей интуиции, термин «язык», пожалуй
более естествен но относить к интерпретированным форма?
ным системам (без правил преобразования). Чёрч также о
мечает возможность двоякого понимания термина «язык» в л
гике; «Но другой точке зрения, которая, как может показаться
больше соответствует повседневному употреблению слои i
«язык», следовало бы определить «язык* как состоящий и
исходных символов, понятия правильно построенной формул!
и некоторой интерпретации, а аксиомы и правила вывода еле
довало бы считать образующими «логику» языка. В этом еду
чае вместо того, чтобы говорить о правильной или исправили
ной интерпретации логистической системы, мы говорили бы
о правильной или неправильной для языка логике. В пользу
этой точки зрения можно было бы принести некоторые довс
ды»9. Однако Чёрч предпочитает употреблять тернии «язык
применительно к интерпретированным логистическим сисле
мам, г. с. «таким образом, что во всяком языке существуем
лишь одно понятие доказательства. Поэтому введение допол
нитс.тьной аксиомы или правила вывода, так же как и измене
ние какой-либо аксиомы или правила вывода, дает новый, от-
личный от исходного язык» Такое употребление термина
«язык» в логике Чёрч принимает отчасти из нежелания менять
уже хорошо разработанную терминологию, отчасти потому
что считает, что «новая терминология потребовала бы двояко-
го подразделения предмета синтаксиса и семантики в завися
мости от того, рассматривается ли язык-объект отдельно или
вместе с какой-чибо его логикой» ,с. Такое подразделение
предметов синтаксиса и особенно семантики в зависимости от
характера рассматриваемых систем представляется Чёрчу «не-
естественным» и «бесполезным».
Вопрос, конечно, не в терминологии, не в том, какого рода
системы предпочтительнее называть языками в логике. Речь
идет о принципах принятия логических процедур, их обоснова-
нии. На наш взгляд, описанный путь построения логической
теории нс является «неестественным» или «бесполезным». Во
первых, он дает возможность показать в явном виде завися
мость системы дедуктивной лотки от принимаемой семанти-
ки. Во вторых, правила логической дедукции выступают не как
нечто данное, исходное, а обосновываются семантикой языка
72
| Кнлссическое понятке истинности
II mu роль в логике
I' ।’ tn 11'Кс я теория от ражения опирается на весь многовеко-
н >i‘ii накопленный передовой философской мыслью. Ос-
,i । н-я, основной принцип геории отражения — понпма-
кипя как отображения, воспроизведения действителыю-
i.< I. II Лепин неоднократно подчеркивал, что познание как
pfinpr* ппс нс является простым, непосредственны?,!, зеркаль-
.. «ни? представляет собой сложный диалектический процесс,
> ряда абстракций, формирования, образования поня-
№ пиитов...»н. Особо важная роль в ленинской теории ог-
|.,.||Цц>| отводится практике, активности познающего субъек-
ношению абсолютного и относительною в знании, со-
Hllu тому характеру познания и другим основополагающим
UpilllinllhlM
'||>1пческая семантика, являясь разделом логики, базируст-
«4 и । геории отражения, на ее основном принципе. Она форму-
ч', । ч разрабатывает его с учетом своих специфических за-
Att't 1><1лсе того, дальнейшее развитие логической семантики,
н||и,| и мы интерпретации модальных, интуиционистских, вре-
। иных логик приводят к более, тонкому анализу и необходи-
ма nt учета других принципов теории отражения.
«Логическая семантика как раздел логики имеет дело с осо-
। । рода знаковыми системами, с языками, пригодными для
। .и линя процессов логического вывода. Основная задача ло-
гп'вчкой семантики состоит в обосновании процедур рассуж-
IUOI, описываемых логикой- Со времен Аристотеля формаль-
II । 1 логика выступает как наука, изучающая структуру, или
Погнчегкую форму, наших рассуждений, отвлекаясь от «мате-
рии вывода, т е конкретного содержания посылок и заклю-
...пи Нод правильным выводом в формальной логике пони-
ll и к я вывод, который делается в соответствии с точно сфор-
Mi шрованными правилами; эти правила относятся только к
• ip iiype посылок и заключения. Очевидно, можно строить
। । г чинные системы формального вывода, видоизменяя н варьн-
1<', ч правила вывода. Однако отсюда вовсе нс следует, как ино-
i । । юлпгают, что правила вывода в логике носят произволь
tn й копиенциопальный характер. Какова бы ни была струк-
|ур.г допускаемых способов рассуждения, и логике к ним
И|н । [является одно обязательное требование: они должны вос-
ир п водить отношение логического следования, г, е. обсспечи-
Пи1' при истинности посылок истинность заключения. Поэтому
Ннччгие истинности является основным понятием логической
чаи гики, необходимым для обоснования принимаемых логи-
4te<nuy. процедур. Способы рассуждения находят свое оправда-
ли' п обоснование в принимаемой системе семантики, в част-
•с in и принимаемой концепции истинности. В зависимости
in пин, каким условиям отвечает принимаемое н семантике
23
понятие истинности, находят свое оправдание н обосновд)
те или иные правила логики. Именно различные способы •*••*'* ,"ПП'|Л,ОТ в ссСя Э1Г)Т акт сопоставления, тогда как
толкования высказываний, условии их истинности в тт-г ""и >«'<грждают соответствие своего содержания денет-
41 1,1 являются отчетом о результатах сопоставления
<in ।ни(<*.'1ы1<1стыо. Термин «истинно», применяемый к суж-
•фиии и термин «истинно» («адекватно»), применяемый к об-
М и понятиям, различаются и своими логическими свойст-
I in риый является одноместным предикатом, тогда как
И двухместным.
iiiiii.ы оценивают как истинные и ложные также умоза-
miiuii Мы будет их характеризовать как семантически
МрИ"| I'.ide, если они воспроизводят отношение логического
и» мши. Применимость терминов «истинно» и «ложно» к
^рь, им, предписаниям, желаниям, нормам в настоящее вре-
ММ huipiiKo обсуждается. Нам представляется, что если и мож-
. - - - - -----
ческой в конструктивной логиках объясняют различие про ;i
дур рассуждения, допускаемых н них 12.
В философии выдвигались различные концепции истинн.
стн: классическая, утилитаристская (прагматическая), теор
когеренпии и другие. В основе семантики классической логи
лежит понятие истинности, восходящее к Аристотелю13. Oi
предполагает основной принцип теории отражения, являет
его реализацией. /Альтернативные концепции истинности отве|
гают основной принцип теории отражения, отказываются рг
сматривать знание как отражение действительности; ни одно
альтернативных понятий нс оказалось пригодным для постри ........... ,
ния лея ичес-кой семантики и обоснования приемлемой деду ^^рнмсиять истинностную характеристику к указанным Ф°Р"
тпвпой логики !4. В логической семантике классическое, ари
тотс.'.енекое понятие истинности получает техническую разр
ботку и уточнение, необходимые для реализации стоящих
ред ней задач.
Прежде всего необходимо ответить на вопрос, к какого
да объектам отпогшея термин «быть истинным», какова
область определения. Так, областью определения «делится
3» являются целые числа, а областью определения
«млекопитающее» - живые организмы. Иногда \-
тинно» употребляют таким образом, что он относится к сами <1
вещам. Например, говорят об истинном друге и т. н. Одна к I
в теории познания и логике не употребляют термин «истинно 5
по отношению к вешам в событиям материального мира, пп 1
гагая (независимо от того, какой концепции они придержи |
иаются -классической, утилитаристской или когерентной), 41
истинными могут быть лишь наши мысли, утверждения, но п
объекты материальной де.йстви тельное i и
.Можно ли сщепввать как пстиииые п ложные с.;;
образы восприятия, памяти и воображения, понятия, i
такие формы мысли, как предписания, нормы, вопросы, ......pw, , утдешт, 1хми.Го...
термины «истинно» н «ложно» относятся только к суждепияк <; чисто формальной,
утверждениям? ирг i i пня языка можно рассматривать
В теории познааия термин «истинно» нередко употребляю .................... "
по отношению к ощущениям, образам восприятия, памяти и во |
ображспня, а также к понятиям. В логике, как правило, обла
стью определения свойства истинности считают только сужде
Й1:я. На наш взгляд, надо различать со-держание термина
тинно» в зависимости от его применения к ощущениям. 1
приятиям или понятиям, с одной стороны, и к суждениям
-------л и является
Пг
Истинностная характеристика du-
д. отвечает совершенно иным условиям, не-
Р’ I
е.
к J
термин |Д
термин «и фриШИИ)
МЫСЛИ, то лишь в смысле, ОТЛИЧНОМ от понятия истины,
I мин । ося к суждениям.
ОП, норм н т.
и и случаях применения к обычным суждениям.
IbnHn.ie говоря, вопрос стоит шире. Каковы критерии осмыс-
id'iio применения свойства «быть истинным» в логике?
n<i6i.iM ли суждениям оно применимо (например, к суждепи-
г несуществующих объектах типа: «Нынешний король
лыс», «Гамлет не черноволос» и т. ».)? Пока не уточ-
II условия и особенности истинностных характеристик суж-
iu’i, нс выявлено четко, какая философская концепция исти-
u-жиг в основе, лишено смысла обсуждение вопроса о ден-
ниц таких логических законов, как закон непротиворечия и
4**iii исключенного третьего, бессмысленно решать, могут ли
ИI ци утверждения быть ни истинными, ни ложными или од-
1 ii'p' мгппо и истинными, и ложными.
I' им гея, все согласны, что суждения выражаются и повест-
ощущенля ^Ьц..''11.пых предложениях того или иного языка. Но что это
нако.чс ( М|М.|1(|р Означает ли это, что имеется некий идеальный обь-
, пли ж 1ц, суждение, который лишь находит выражение, в иредло-
' , “, синтаксической, точки зрения
НМ и шагипя языка можно рассматривать как особого рода
л>н' ) 'Kui.i гсльностн дискретных элементов некоторого конечного
vh)i......... Построить формальную грамматику языка — значит
ДОмт. по виду и способам сочленения элементов языка, ка-
ши ц'довательностп языка являются грамматически пра-
1-иино» в зависимости от его применения к отуш/нням ко- ВГ’,им"’ а КаКИС “ пст ” частнссти- кг«“с последователь-
приятиям или понятиям с очной его сны и г V ' • v Я’"1 '-и-мептов являются предложениями. 1акоц чисто фор-
С другой. В первом случае '«истинно» яв 1яется "....' спосо6 построения и анализа языка
«адекватно». И ощущения, н образы щ.гпрпятня пам» ’??' К 'V< '1” ДЛЯ искУсствсиных языков логики. (Имеются серь-
ображеция так же как к 11 вс' попытки применить аналогичные методы к анализу есте-
,,, 1 11 'Ю11ЯИ15., можно сопоставлять с дей
сти Hn °CTbf° 11 СуЛ11ТЬ ,|Х здекватности млн неадекватно
ти. Но само сравнение происходит извне, сами образы и по
24
Сиш попытки применить аналогичные методы к анализу есте-
I ы> иных языков.)
Ч'|<| ли предложение, рассматриваемое с таком еинтак-
»|Чи >.ih точки зрения, быть истинным? Ответ на этот вопрос
25
только отрицательный, так как предложение в этом слу i "I1 в'.каг «быть истинным» должен удовлетворять сле-
есть некоторая материальная вещь (или вид, схема вещей, fj»*U схеме:
ли графически равные формулы отождествляются). Чтоп^ИГ1 ' истинное высказывание тогда и только тогда, ког-
быть оцененными б качестве истинных или ложных, грам>
тичсски правильные последовательности должны соотносит, Г подставляется любое высказывание, а вместо А
с виелингвистическими ситуациями, представлять их. НЯ " * 1 11•>, конечно, нс определение предиката «быть истин-
Одна пещь может представлять другую пещь, быть знак •“" мычанием», ио схема, выявляющая общее условие,
этой вещи только при наличии системы", использующей од|^ВйМ\ должно удовлетворять любое определение, чтобы
материальные процессы в качестве средств описания друп Китделением понятия истинного высказывания в клас-
сно так же предложения могут задавать определенные смысле, введенное по определению понятие нсгин-
ложеиия дел, внелингвистичсские ситуации, лишь в онрсдсле ^^В"бУ'1гг адекватным только в случае, если для него верны
ной системе, системе употребления языка. Это относится » г доказаны) все случаи подстановки в схему (1).
искусственным языкам логики, логическим системам. Необ onp.i-зом, схема Тдрского пе связана с каким-либо во-
димо также учитывать, что суждения выносит субъект. Про» кшпманпём истинности (ложности; наших утверждении,
нося или записывая предложение, выражающее сужден уточняет обычные условия истинности, сформулиро-
субъект совершает некоторый акт утверждения (отрииани. ИЬ1" 1'1,1е Аристотелем.
отличный от актов повеления, предписания или запроса ииф< П ’ ' ' 1 *||> ‘хеме’ утверждать истинность некоторого выска-
мации. В логической семантике на определенном уровне р- означает то же, что и утверждать само это высказы-
смотрення мы отвлекаемся от прагматического аспекта, от у В,,,‘ !' itob тогда смысл применения предиката «истинно» и
та субъекта, совершающего акт суждения (хотя само сужден ыюгся ли случаи подстановки в схему просто тавтоло-
невозможпо без этого аспекта), но пе отвлекаемся от саме fljb*1"'' (>,и«ако легко усмотреть, что в левой части эквивалент-
акта суждения. В силу сказанного мы имеем дело не с суж. Ь»1 *’ I4"11’ «Дст (» высказывании (дается определенная его
нпямп непосредственно, а с интерпретированными предлож я в правой — нс о высказывании, а об определенном
киями, выражающими суждения. Такою рода предложен! М(< 1 и*11 Дел в действительности утверждаемом этим ныска-
оудсм называть высказываниями. Свойства «быть истинны1 |ИЯ|,||игм. Списываемое употребление предиката «истинно»
и «быть ложным» относятся к высказываниям, т. е. интерпрет iW*1'11'' согласуется с ооычпым его употреблением. Мы посто-
ронампым предложениям ;ь. ' •""" характеризуем наши высказывания естественного языка
Пока мы принимаем довольно сильное допущение, что кажИ И-тпипыс и неистинные, не обязательно непосредственно
дос отдельно взятое высказывание может быть оценено i чiBl1 ' к 14 нх» часто непрямым образом («Утверждение о том,
истинное или ложное. Это допущение не столь очевидно к Иг « истинно» пли «Высказывание такого-то лица не истин-
представляется на первый взгляд, и. возможно, от него придс f" ' 11 ) Саш1 характеризуемые высказывания в свою оче-
ся отказаться или модифицировать Дело в том, что част ^В ' 1,1 vr содержать предика т «истинно» и т. д. — нроисхо-
сопоставляются с действительностью нс отдельно взятые В1 "1"'Цссс итерации.
сказывания, а целые системы высказывания, научные теориЖ1 ‘,,|> "Р” Достаточно естественных условиях требования
в целом; предложения же, взятые изолированно’ от систем 1,е ш:В1Да могут быть реализованы. .Может оказэть-
не получают интерпретации. Но пока мы примем сформулир! В........'мест место то. о чем говорит предложение, п н то же
ванное выше допущение. " opt « nii'i не будет истинным.
Истинными считаются высказывания, соответствующие дсаЯ 1 '"l’»1'-. чти, язык семантически замкнут, если в нем для
стии гсльности, ложными — нс соответствующие действите.' 1 •1'1 ' " выражения может быть построено его имя (или опи-
1Ю0ТИ. Другими слонами, если то, что утверждает высказыг В"1, 1 " 1чЛИ rtH 1’к-1Ючает семантические понятия, относящие-
инс, имеет место, то высказывание истинно, и противном ст,^В^'' 1,1 ы выражениям этого языка, например предикат «ис-
чае — ложно. Подобное понимание истинности было «.формопределенный на всех высказываниях языка. Если
лировано еще Аристотелем"3. Содержательно оно является д .^И пиитически замкнут, io нетрудно средствами этого язы-
статочпо ясным, однако для использования в логике долж ^Ир"||1"'нп> предложение, утверждающее свою собственную
получить более точную формулировку. Следует однозначны гИВ»,,,,|||<|,ТЬ- hc,nn MU к том>' Z4C лопУстим, что действует
образам задать условия применения понятия’«быть истинны ф’"1 1 кл:и‘‘«ческая логика, то предложение, говорящее о
к высказываниям. Подобное уточнение, классического вопим ‘нк-п.чой исистинности. оказывается одновременно
пня истинности применительно к языкам с точным образг 11 ложным (неистинным). Получаем известный со
описанной структурой предложил А. Тарский. Согласно’ lap ВИ’' ” """чаост парадокс Лжеца, или парадокс Эпименидэ.
26 27
Аналогично можно сформулировать другие семантические па-
радоксы, связанные с понятия ми определимое ги и обозначения
Каким образом можно справиться с такого рода парадок-
сами? Наряду с семантическими парадоксами хорошо извест
иы логические иля теоретико-множественные парадоксы. Тео
ретико-мнижсственные (логические) парадоксы разрешаются
раз,1:ичпыл:н методам и:
(1) путем принятия простой теории типов, т. с. путем вве-
дения ограничении на правила образования предложений;
(2) путем ослабления аксиомы свертывания: мы не мо-
жем образовать множество во любому заданному условию, с
помощью условия можно ли1 in выделить некоторое подмнзже
сгво из п.заестпого множества;
(3) путем изменения правил логики.
Наиболее принятым в теории множеств является второй спо-
соб устранения логических парадоксов, хотя и остальные два
представляют значительный интерес.
От семантических Парадоксов можно избавиться также раз-
личными способами. Исторически первым является разветвлен-
ная теория типов Б. Рассела. В разветвленной теории типов
имеются различные уровня внутри одного и того же типа, в
частности нет едино: о типа предложений. Поэтому мы нс пме
ом и единого понятия истинности. Разветвленная теория типов
налагает чрезмерно жесткие ограничения на выразительные
возможности и способы образования понятии; в силу этого
она по получила широкого распространения.
Второй, широкоизвестный метод -элиминации семантических
антиномий был сформулирован А. Тарским. Он предложил ог-
раничиться семантически незамкнутыми языками, разграничив
объектный язык и метаязык. В объектном языке нс содержат
см и ис могут быть определены семантические понятия, относя
щиеся ко всем выражениям этого языка. Подход Тарского
запрещает некоторые процедуры еа неприменимости, в частно
стн, в семантически незамкнутом языке не может быть сфер
муштровано предложение, утверждающее свою собственную
неистииность. Но это требование нс устраняет любые процеду-
ры самонри.менимоети, в частности, в достаточно богатом язы-
ке. может быть сформулировано предложение, утверждающее
свою и с до к а з уем о ст ь.
Иногда говорят, что ограничение языков семантически не
замкнутыми есть не решение, а простое отбрасывание семан-
тических парадоксов. Возможно, это и так. Однако способ
устранения семантических парадоксов, разработанный А. Таэ-
ским, с четким подразделением на объектный язык и метаязык
привел к исключительно важным результатам. Во-первых, точ-
ными средствами удалось исследовать дедуктивные и вырази-
тельные возможности логических систем со стандартной фор
мализанией. Далее, были получены важные характеристики
семантических понятий, в том числе и понятия истинности
28
шнмпк илю к стандартным логическим языкам; исслсдова-
ы । пи нт- истинности п доказуемости. Этот круг вопросов.
Мыи роняется ниже, в последующих параграфах.
jb'Hi н.п имеется и принципиально иной способ преодоления
Иг1'| I. in кпх парадоксов Можно поставить под сомнение ос-
JlbiiiiiiiTT парадоксального утверждения Лжеца, во всяком
Пив нм 1можность сю истинностной оценки. Дело не просто
М‘4 ик пил» семантических парадоксов. Парадоксы типа ка-
I и । Лжеца связаны с важным кругом логи-ко-семантнче-
ма h iiiHTiiH. Анализ причин их возникновения ведет к выяв-
Wm<. ii jiinix до |ущсний относительно истинности и смысла вы-
Ьь
• Пий, их семантической корректности. Это в спою оче-
твп.чяет рассмотреть те средства, которые «блокируют*
Ь|»г к противоречиям допущения.
yi'iложение, утверждающее свою собственную невстин-
V приводит к противоречию при допущении, что понятие-
Kin 'Tin является всюду определенным: относительно .чюбо-
мыкания можно утверждать, что оно истинно или лож-
I II iдполагаеген также, что никакое высказывание нс мо-
>1 । | |н. одновременно истинным и ложным. Отказ от этих
KbHiini'i позволяет избежать семантических парадоксов без
।деления языка ни объектный и метаязык. Но логические-
Khи п такого рода семантически замкнутых системах не
Mfti'nior с правилами классической логики. Одним из пер-
I । । он способ преодоления парадоксов предложил в 1938 т.
I I • зчвар. Логика для языков с частично определенными
В «ими была построена С Клини. В 1975 г . Крипке, с
Н| । троны, и Р. Мартин с II. Вудруффом — с другой, по-
п hi начало новому этапу в исследованиях семантически
Пит ых языков. Этого рода вопросы рассматриваются нами
Ни рта главе.
И В. Референциальная семантика
Шр» псрЕопорядксзых языков
.пн, ыртный иервопорядконый прикладной язык строится:
Ьп рилгивных нслогических констант, множество которых
м ил пивать словарем А данного языка L. счетного числа
Мигиых переменных х,, х£.......югических констант <&, \/,
F|, I —« скобок и занятой. Среди знаков словаря А
। iH.ui, индивидные константы а(. а3, ..., « местные ирсди-
констан ты А’.11. Ар’1, .... где «^1, А-мсствыс функцио-
Ьы< константы /Л /а", ... Индивидные константы
н рассматривать как пуль-местные функциональные кон-
Пй
рлн '.ipiiibiM образом определяем понятия терма и фор-
11н||11пи1пая константа и индивидная переменная суть
2$
2. Если а есть fe-местная функциональная константа !
.6, .... 1;. — термы, то uU:, U) суть терм.
Теперь о:| редел им понятие формулы:
1. Если /| и 12 — термы, то = — формула
2. Если Р — п-мсстная предикатная константа u h.. tn >
термы, то /’(Л. /,.) — формула.
<3. Если а — формула, то |а — формула.
1. Если аир — формулы, то (а&Р), (<iVP). (а=Ф)
формулы.
5. Если а формула их- индивидная переменная,
V-Vri и Jxa — формулы
Стандартным образом определяем понятия свободного и
связанного вхождения переменной. Предложение есть форм
ла без свободных вхождений индивидных переменных.
Построенная формальная система пока еще не являет
языком, так как выражения не имеют интерпретации. При г
строении референциальной семантики мы можем дать интс
претацию выражениям нашего языка двояким образом. Во-пс
вых, мы можем интерпретировать выражения языка I., указ, J
для каждого выражения (терма и формулы) его перевод н м
таязык. Естественно, метаязык мыслится как уже нптерпреп
ровапный. Именно так поступает А. Тарский в своей рабо
«Понятие истинности в формализованных языках»17. Но во,
можен и другой путь: можно сопоставить каждому выражении I
языка некоторый нем и атеистический объект. Естественно, сам
это сопоставление описывается в метаязыке. В метаязыке miII
можем описывать выражения исследуемого языка, некоторые!
объекты и отношения между выражениями этого языка и об I
сктами. Остановимся на втором пути. Будем предполагать,!
что наш метаязык достаточно богат, в частности, мы можем!
говорить на нем о множествах объектов, отношениях меж. J
объектами данного множества и т. д., т. е. практически буде I
рассуждать в рамках теории множеств.
Под интерпретацией 1 языка (т. е. языка L со слов I
рем А) на непустую область Li будем понимать функцию, к I
торая каждой индивидной константе словаря Л сопоставят I
элемент U, каждой «-местной предикатной константе conocrai I
ляст множество «-ок U н каждой Л-иестной функционально >1
константе - функцию из ЕЕ в U, где IE - декартово ирон I
ведение степени k. ।
Пару <U, 1(A)} будем называть возможней рсализацш I
языка Ьд. Возможная реализация есть реляционная систем I
(система с отношениями), соотнесенная с языком. Для обознт I
пения возможных реализаций будем использовать букву МI
возможно, с индексами.
Пусть гр, ф, ... суть переменные метаязыка, пробегаюшш'|
по функциям, сопоставляющим индивидным переменным элг I
менты из U Введем предикат «ф. приписывает всем перемен!
иыы, кроме, возможно, х, те же значения, что и сокращс! I
30
J^»t| I нерь мы можем ннесги понятие истинности фор
МтможпоЛ реализации М относительно
Вон ini нитяным переменным ф и понятие
В « । иможной реализации М относительно
Икни ги<|бодны.м переменным ф. Последний
и будем обозначать Зн(1, ф), опуская
J и к । о значении в данной I------------_
К । М)
Al 'll
If i| I 1(/), если t есть индивидная константа;
। -I I i|'(f) если t есть индивидная переменная
МД».. М. <р) “ (Г(/)) (Зн(6? ф), Зн(1^ <()).
Ь мы также индуктивно вводим предикат «Л истинно в
uni. hi реализации М относительно приписывания свобод-
ш с мецным ф». сокращенно: ц 2_Д-
приписывания
значения тср-
принисывалвя
предикат для
указание, что
о значении в данной возможной реализации
Этот предикат вводим с помощью индуктивного
<т
Mr— /j — 1л^3н({1г ф) — Зк (t,, q;);
Мп
P (Gr . Л.) «=> (I (P)) (3м (f„ <r), ...,3h (tB, ф));
__ ф
М г— Я с=> неверно, что М .= Д;
т , <?
МF - Л&В<=>М <— ,4 и МII— В;
If Ч' • V
М к— /1 V В « МII— Я или М — В-
<Р Ч' V
М — Я=>/?<=; неверно, что Mi—.4, или М,— В,
£• ' — 1|:
М (—У л’Л е—для всякой ф, такой, что флф, М—/1;
М для некоторой ф, такой, что флтр.М ц— Я.
V г, ,1 обй'ез.чачилш в возможной реализации М (еркрй-
Ми— Я), если и только если для всякой функции прпнн
к !начет1Й ф Л истинно в М относительно <р. т. е
'I
iM I) Формула Я выполнима в возможной pea.tu-
N>> М (сокращенно: Вып(/1, М)), если и только если суще-
Н । iKoc приписывание ф что А истинно в М при
|| .1) О предложении, т. е. замкнутой формуле, вместо
||пГ1ы говорить, что оно общезначимо в М, будем гово-
Ь*1111 НПО истинно в М
kni1, 1110 показать, что предложение истинно и М тогда и
I пи ы. когда оно выполнимо в М. Формула Д общезна-
К nOuuiu U, если и только если опа общезначима в
Hl НЛО при всякой интерпретации I’ аналогично вводит-
ПНИ ' пыиолнимостп в U Наконец, в достаточно богатом
31
метаязыке можно ввести понятие общезначимости и выпол
мости. Формула А общезначима, если п только если она оби
значима во всех возможных реализациях. Для общезначимое!
примем сокращение: !=/1, Формула А выполнима, если и то. i
ко если она нынолнима по крайней мере в одной возможш
реализации.
Целесообразно ввести два оператора. Множеству иредл
женин (или формул) X можно сопоставить множество возмс
ных реализаций, в которых они истинны:
Mod (2) - (М (tf.4 (Л е= X =4 М — А)}
Возможная реализация, в которой истинно каждое пре
ложенис X, является моделью X.
С другой стороны, каждому классу возможных реализац-.
можно сопоставить класс всех предложений, истинных в на
доя из возможных реализаций:
7‘й(/<) —{.4 I V Ml’Me/w-M II—Л)}.
.Мы по традиции кишем Th, но могли бы писать 7>,я. Дело
том, что T!i(K) замкнуто относительно отношения логлческо
следования и является теорией. В частности, если К есть п
-стой класс, то Th{K) есть противоречивое множество форм}
и совпадает с классом всех формул.
Общезначимые формулы иначе называют логически истц
ними формулами.
Наряду с понятием логической истинности на основе и
денного понятия истинности мы можем ввести необходим!
нам семантическое понятие логического следования. Мы ра
дичаем три отношения. Начнем со случая, когда речь идет
отношениях между двумя формулами.
Из А логически следует В тогда и только тогда, когда дл>
всякой возможной реализации М и для всякого приписывали
значений переменным ф, если .4 истинно в М относительно ц
то В истинно в М относительно ф. Символически
ц? ц,
/1 — Ву М у <р (М|=- Д =4 М — В).
.Из Л следует В тогда и только тогда, когда, для всякой ж
можиои реализации М, если А истинно в М, то В истинно
И, т е. из Л следует В<^> у' М (у <р (М — Л) === V ф (М — В)).
Легко видеть, что первое отношение сильнее второго. При
ведем пример, когда имеет место отношение следования, 11
не имеет мес и» отношение логического следования. Из 4 (х) с
дует ухД(х), но из А (х) не следует логически ух.4(х). Ес. i
/1 и В суть предложения, то понятия следования и логическо i
следования совпадают. Наконец, мы можем ввести еще боли
слабое отношение.
Из ,4 следует В относительно общезначимости тогда и тс
32.
; ь i.utjia если Л общезначимо, то В общезначимо. Сим-
ll г и in общезначимости Л следует общезначимость В
с ff
с=> г/ At V ф (AJ — Л) =Д V м V Ф (Л5II В).
п«ип11ме отношения могут быть обобщены до отношений
|у Hvvr.i множествами формул. Эти отношения цслесооб-
Рдштгн на семантическом уровне, так как известное еек-
Hii н.п •и- построение можно рассматривать как пеиосрсд
Ь|И1 формализацию отношения логического следонанит
IV мшокествамн формул. Пусть i и гУ — множеств;.
югда и только тогда, когда для
М и всякой функции прннисыва-
I гощмеекк следует А
Ьзможвой реализации
гели каждая формула Л из Г истинная в М при <р, то
|yi4 1акая формула В из Л, что они истинна в М при
и)in чески
i -> V M V<p (tf л И e Г -> ГД - /1) ~ в (В е Л Л М |Д В)).
логики известно, что отношение логического слс-
п т.н; же как и свойство логической истинности для пер-
Сц»|>иого языка, может быть формализовано. Возможны
Л <погобы формализации семантического отношения ло-
ц<> следования: аксиоматический, натуралг.ного вывода,
Mui льиый, основанный па понятии дерева поиска дока-
м,И1<1. Имеются также разные способы доказательства
И>,<| < мцости семантических понятий логического следова-
ц игпцезначнмости и соответствующих им синтаксических
и 11.|иб<1лсс известный — метод Хснкина. Однако очень
। и метод, основанный на хинтикковских модельных ыно-
1 11 Таким образом, удается дать семантическое обос-
> классической логики. Отношение логического слсдо-
uii первопорядковой логики может быть формализова-
•<||, логики предикатов первого порядка будут гаран-
ii, при истинности посылок истинность заключения. При
Bfc-ма этих правил оказывается исчерпывающей, полной,
jiiip iAKtiHOM случае.
) ini о семантическом обосновании классической логики,
г । Юм некоторую условность, гак как само обоспова-
|".|1ня при допущении очень сильных идеализаций. По
иу. используются методы теории множеств. Для докэза-
fni чюремы полноты необходима лемма Цорна или лсм-
|И|и . «квивалентные аксиоме выбора теории множеств.
jl I пльберт ставил вопрос о полноте классической ло-
Пи шпонов, то он имел в виду нечто другое, чем нострое-
। пко множественной семантики для первопорядковой
I нр< Н1КЯГОВ. Попытки найти более эффективную интер-
ifoo i.k-сичсской логики предпринимались многими ав-
М А Л Марков, наконец, получил решение, доказав пол-
33
ноту классической логики на основе более конструктивной <
мантиким. Но это особый вопрос, к которому мы вернет
позже.
Иногда возражают, что введенное понятие логической iH
тинности как истинности во всех непустых индивидных об
стях основано на внелогическом допущении, ибо доиутцс in
ненустоты области рассмотрения действительно является по к
гпческим. В принципе можно построить логику, в которо
класс доказуемых формул будет совпадать с. классом форм ,
общезначимых во всех областях. Эта формализация была on
ществлсна А. Мостовским21- В этом случае формула А (у)
сjX/1 (х) нс будет общезначимой, ио ее замыкание всеобщи!
сти уже будет общезначимым. Формализация получается ну
тем рассмотрения в качестве аксиом замыканий всеобщие'
всех стандартных аксиом и наложением некоторых ограни
ний па rr.odns ponens”.
Наряду с понятием истинности центральную роль пгр.и
другое семантическое понятие — понятие определимости. В л<
гике понятие определимости используется в двух смысл
можно говорить об определимости (семантической или синт;п
сической) одних терминов через другие н можно говорить <
определимости внелннгвистпческнх объектов (отиошенп
свойств, индивидов) средствами некоторого языка. В нерв'
смысле понятие, определимости терминов используется в фо|
мулировках теоремы Бета об эквивалентности явной и неявип
определимости. Мы будем говорить об определимости во ви
ром смысле, т. с. об определимости внелингвистическцх обь
ектов. Заметим, что между этими понятиями определимое!
имеется связь.
Пусть L — первонорядковый язык и M = (U, Т> — некое
рая возможная реализация L. Рассмотрим некоторое п-местио
отношение /? на области II. Мы можем расширить язык I,
введя для каждого элемента а из V сто имя Da. Такое расти
рейне называют элементарным. Пусть г,
тат подстановки вместо свободных вхождений
Xi, .... х„ соответственно термов Мы предоплата
что подстановка правильна. Будем говорить, что «-местное о?
ношение /? (на области Б) определимо в L, если и толк ।
если существует формула а языка L ровно с п свободный)
переменными хь х„, такая, что
(I) если .... а„), то a(Dai, .... Da,.) истинно в М;
(2) если неверно, что R(a-_.. a„), то a(Drt.„ Da,,} и
истинно в М.
Вообще говоря, мы могли бы обойтись без введения в я:ч.|
L дополни тельных имен объектов. Для каждого набора об<
ектов аь .... afi найдется такая функция ф приписывания зн i
чсний индивидным переменным языка L, что <p(xj)—а;,
.... if.(х..) - an. Тогда наше определение определимости ц-мс
есть резу III
псремедшн
34
M|ib'irciiii5i /? примет следующий вид:
Kn,jii>>e отношение А* определимо в К если и только ес-
Ьш<< шуст формула u(xj, .... хи) ровно с п свободными пе-
puni a'i, ..., х«, такая, что
(I) г< .in /?(ах, ... , а7) и ф(л'1) -«J,.-., =«„, то
|«Ь|.......*л);
Г'1 'ли неверно, что Я(а1г ..а.) и ф(х,) —alt ..ср (х.) =ал,
ч
а(д п ... , х1;).
а рпнчпо может быть введено понятие, определимости
Ш1П) и индивидов.
пиная функция / определима в если и только если
Kiyei такой терм /(хь х») ровно с 1г свободными пе-
Iioimii .V|, ..., хг, такой, что
/<•».. - b => V Ф [Ф (А‘1) ~ «1А .. - А ф (л*) — «л; А
Ч'
Ф (X...,,) — b => М II— г (xls .... — X... J.
>цм и t а определим в L, если п только если существует
Г| i . л свободных переменных, такой, что
V Ф (ф U1) - « =Т м a- / - Xj).
[дн.п.|> для обобщений понятия определимости в техниче-
<и ношении удобно иметь дело с элементарными расширс-
н языка, т. с. с обогащением языка именами индивидов
н МII—Л мы могли бы писать /1C£?7i(M). Обобщение
pin определимости состоит в следующем. 77е(М) есть
К и* цх предложений, истинных в возможной реализации
*<. io этого класса предложений можно взять произволь-
Вмр<>|нворечивый класс предложений Л', замкнутый от-
fe.niiio синтаксического отношения выводимости. /( может
Г к ыесом всех истинных предложений некоторой возмож-
«.’in laiinn М, классом всех предложений, истинных в
классе возможных реализаций, наконец. Л' может' быть
Вы in ех доказуемых формул рассматриваемой теории.
Нобщ. пне принадлежит Л. Мостовскому23.
fa> 1>ь можно внести понятие /(-определимости, п-местнос
I пи R (на элементах области Ь) К-определглмо, если и
К и in существует такая формула а(хь ..., х„) ровно с п
и .IMH переменными, такля, что
(< ли Ria.... йп), то (/>«|. ..., /9ntl)e/<:
I) ' in неверно, что R(at, ..., «р.), то ]а(/)аь .... Dau)<=K.
B/lui п ню вводятся понятия для /(-определимости
Ни
мн 1\ совпадает с классом истинных предложений в М,
А /’й(М), го мы имеем старое понятие определимости.
35
Если Л' совладает с классом доказуемых предложений неко-
торой теории Т, то мы имеем доказуеяостяую определимость.
Эти обобщенные понятия определимости позволяют единым
методом доказать известные теоремы о дедуктивных и вырази-
тельных возможностях формализмов.
§ 4. Вь разительные и дедуктивные
возможности формализмов
Подразделение языка на объектный язык л метаязык хота
и исключает из сферы корректного использования ссмент ически
замкнутые языки и приводит к устранению некоторых видов
самонримснимости. по пе запрещает самапримепимосп. как та-
ковую. Более того, анализ логических систем, в рамхах кото-
рых можно формулировать самснрнмсннмые предложения, поз-
воляет получить важные принципиальные .заключения относи-
тельно выразительных и дедуктивных возможностей систем со
стандартной формализацией, а также получить некоторые су-
щественные характеристики ряда семантических понятий, п пре-
жде всего понятия истинности.
Мы будем иметь дело со стандартными формальными си-
стемами, кратко называемыми формализмами. Для этих систем
эффективным образом описывается, что есть переменная, терм,
формула. Сэм синтаксис исследуемого языка описывается в
некотором метаязыке. Мы предполагаем, что понятие формулы
является рекурсивным31. Стандартный формальный язык ис-
пользуется л логике, чтобы проводить рассуждения, из одних
утверждений выводить другие. Пойтому помимо правил обра-
зования имеются правила преобразования формуя. Эти прави-
ла являются финитными, т. е. разрешают переходить ст конеч-
ного числа формул к некоторой формуле. Во-вторых, эти пра-
вила структурны и эффективны, т. е. только форма, структура
посылок и заключения принимаются во внимание, при мои
сама форма посылок и заключения распознается механически,
эффективно. Правила н.з пустого множества посылок суть схе-
мы аксиом. Помимо задания самих правил вывода нужно они
сать и их применение. Обычно эффективным путем вводится
понятие формального вывода из множества посылок (или по-
нятие формального доказательства). Эти понятия также явля
ются эффективными.
Синтаксис, естественно, строится в некотором метаязыке.
Вес перечисленные понятия переменной, терма, формулы, пра-
вила вывода, формального вывода принадлежат метаязыку,
так же как и утверждения синтаксического характера.
До сих пор мы имели дело с прикладными первопорядкозы-
ми языками и логическими системами. Однако языки второго и
более высокого порядка, как п язык простой теории типов, яв-
ляются языками со стандартной формализацией.
35
Мы нее время подчеркиваем, что основные синтаксические
Ппнашя терма, формулы, вывода в системах со стандартной
фирм Л I нлацней должны быть эффективными. Однако это пе от-
ibmihih ко всем синтаксическим понятиям. Так, понятия иыво-
•iiim'h in и доказуемости не обязательно являются эффективны-
ми. рекурсивными. Для языков со стандартной формализацией.
• tn и. пятня будут рскурсивпо-псречислимымн.
Исследуемая формальная система, поскольку она нредна-
11<чтаг1ся для формулировки утверждений и производства рас-
к кий, должна быть интерпретирована. Семантика, как и
г << пксис, описывается также в метаязыке. На семантические-
Мыннгия не налагается требование, чтобы они были эффск-
К^НЫМИ.
Рассмотрим и качестве такой достаточно богатой теории
и. |ш<1:юря .(.новую арифметику. Ее алфавит содержит знак опс-
I'Riiini следования за. знаки операций сложения и умножения.
11|П1чгия терма и формулы определяются стандартным обра-
иты Кроме логических аксиом исчисления предикатен первого
и>>||ядка имеются стандартные аксиомы арифметики Р.
В метаязыке мы можем построить как синтаксис, так и се-
мантику для Р. В этом метаязыке мы можем говорить как о
числах, так и о выражениях и формальных конструкциях си-
<нмы Р. В самом языке системы Р объектами наших утвер-
ждений являются числа.
Естественно, возникает вопрос, нельзя ли выражение языка
и |гослсдовате.’!ьнор.ти таких выражений закодировать с по-
чинило чисел? К. Гёдель предложил метод кодирования фор-
мальных выражений натуральными числами. Этот метод полу-
чил название гёделнзапии. К настоящему времени предложены
1> । |.|ичныс способы гсдслизацин выражений и их послсдова-
н 1ЬЦРСТСЙ,
Предикаты, заданные па натуральных числах, будем назы-
r.iii. числовыми. Следует различать два вопроса: на какой об-
щей! задан предикат, и определим ли он средствами кервопо-
кяцковой системы. Если предикат задан на числовой области,
pi, как сказано выше, мы будем называть его числовым неза-
<||ц имо от ini о, каким способом он может быть представлен.
Предикат, определимый в первопорядковой арифметике, будем
называть арифметическим. В дальнейшем будет показано, что
и. всякий числовой предикат является арифметическим.
Формулы первопорядкового языка в предваренной нор-
bl i.Kofi форме могут быть расклассифицированы следующим
..пр.иом. Последовательность одних кванторов общности (од-
Uiit кванторов существования) причисляем к одной группе. За-
йм подсчитываем число таких групп, т. е. число перемен кван-
Hipnii Учитываем также, с какого квантора начинается при-
ник. । Если приставка начинается с квантора общности и
К| ня п перемен кванторов, то формула относится к типу
II,., ы.111 начинается с квантора существования и имеется л пс7
37
ромеи кванторов, то относится к типу Sn. Бескванторная фор
мула относится к типу П.?. и S(1 (П- — Sp).
Гсперь мы можем дать классификацию числовых предика
той. определимых в первопорядковой арифметике по типу фор
мулы, определяющей этот предикат. Предикаты rima S; явля-
ются рекурсивными, типа X) — рекурсивно-1еречис..1имыми
Классификация арифметических предикатов по типу формул
их определяющих, предложена А. Мостовским и С. К. Клини и
носит название классификации Мостовского—К шин.
Эта классификация может быть обобщена на случай систем
высших порядков. Известно, что каждая формула теории типов
может быть приведена к совершенной предваренной форме
В этой форме сначала написаны кванторы самого высшего по-
рядка. Формулы классифицирую гея но типам Snft и Tin*, где
верхний индекс обозначает тин высшего квантора, а нижний
число перемен высших кванторов.
Числовые предикаты, определимые с. помощью формул типа
Sn‘ или ПД т. е. во второпорядковон арифметике, иосят па
звание аналитических (от слова «анализ»). Для нас будут
представлять интерес наислабейшне из аналитических преди-
катов. принадлежащие множеству Si‘ГИБ1, они носят название
гиперарифметических.
Вернемся к рассмотрению синтаксиса и семантики первопо-
рядконой арифметики. Выражения и последовательности перво-
порядковой арифметики, как было отмечено выше, могут быть
геделизированы, т. с. им однозначным образом сопоставлены
натуральные числа.
Болес того, имеется возможность синтаксическим и семан-
тическим понятиям сопоставить некоторые числовые преди-
каты.
Числовым предикатом, вполне соответствующим синтаксиче-
скому или семантическому предикату, будем называть преди-
ка г. выполняющийся на тех и только тех числах, которые яв-
ляются гёдслеискими номерами выражений или формальных
объектов, на которых выполняется соответствующий синтакси-
ческий или семантический предикат.
Что касается синтаксических •предикатов «терм», «перемен-
ная», «формула», «доказательство», то вполне соответствующие
им числовые предикаты примитивно-рекурсивны и определимы
в Р. Числовой предикат, вполне соответствующий синтаксиче-
скому предикату «быть доказуемой формулой Р», не является
рекурсивным, но он рекурсивно-перечислим, г. е. определим с
помощью формулы типа S °.
Таким образом, синтаксис первопорядковой арифметики и
вообще ..побои формальной системы со стандартной формали
записи может быть арифметизирован. Утверждениям синтак-
сиса системы Р соответствуют утверждения, сформулирован-
ные. в самой системе Р. В формальной системе, содержащей
рекурсивную арифметику, мы можем говорить о синтаксиче
зз
СЦи свойствах этой системы и любой системы со стандартной
'!< |М милицией.
При этом следует различать вопрос о выразительных воз-
»!• । ши гях формальной системы и вопрос о ее дедуктивных
итможностях. Выразительных средств первопорядковой ариф-
м<1пки достаточно для формулировки синтаксических утвер-
ждений (точнее, числовых утверждений, соответствующих сии-
। ? плоским), но, как будет показано ниже, ее. дедуктивных
। 'к тп недостаточно для доказательства всех верных утвер-
u н инн синтаксиса.
Иначе обстоит дело с семантическими предикатами и утвер-
• И1111ЯМН. Если бы числовой предикат, вполне соответетную-
iiiir i семантическому предикату «быть истинным предложением
I ’ был бы определим в Р, г. е. был бы арифметическим, то
пн пн. возникал бы семантический парадокс. Ниже будет пока-
чено, что этот предикат не. определим в Р.
lor факт, что некоторый числовой предикат, вполне соот-
ветствующий синтаксическому или семантическому, принадле-
жи! к некоторому тину в иерархии Клини Мостовского или
i Юнинпенной классификации Клини—Мостовского, устанавлн-
।Ш-1СЯ «в лоб». Для этою требуется некоторая работа, но нс
нужны новые идеи. Иначе обстоит дело с установлением того,
чю некоторый предикат не принадлежит к данному классу в
in papxkii Мостовского—Клини. Общий метод построения само-
шприменимых предикатов связан со следующей теоремой о
А неопределимости. Такое обобщение ограничительных теорем
принадлежит А. Мостовскому 2ь.
Теорема. Для любого непротиворечивого и замкнутого клас-
с.| формул Л’ класс КПД не является Л-опрсдслимым. К(]П
шначает здесь класс предложений, принадлежащих К, П —
। ысс всех предложений языка системы Р.
При формулировке понятия определимости предполагалось,
•ин для каждого объекта можно построить сто имя. В случае
рнфметики полезно выделить особые, термы, которые назовем
нинералами: это последовательности единиц. Пусть 5 — функ-
ция приписывания единицы справа. Тогда26
{1 есть нумерал.
Если а — нумерал, то х(а)— нумерал.
Значениями иумералов являются натуральные числа:
{ Зн(1)- 1.
I Зн (за) = Зн (а) + 1.
Ним потребуется также, функция, обратная функции, прп-
। •• ыпвюшей значение нумсралам, обозначим ее буквой Д. Эта
I шипя натуральным числам сопоставляет нумсралы, т. е
рмы объектного языка. Ее можно определить рекурсивно:
39
[ A(l)=l.
i A (n-j l)-=sA(n).
При гёделизации функции Д сопоставляется вполне соотве
ствуюшая ей числовая функция. Она будет прнмитивно-реку'гч
спиной.
Нумералы являются термами объектного языка и при гс
делизации нм сопоставляются числа, гсделсвские номера эти
нумсралов. Если и - некоторое выражение языка Р, то пусп.
/?(«) есть его гёдслевский иомер. В свою очередь каждому чи
слу, в том числе и g'(a). сопоставляется нумерал. Нумерал, со
ответствутощий числу будет A(gTiz)), сокращенно будем
записывать его Аа (нумерал гёделевского номера вираже
ния а).
В синтаксис вводится операция правильной подстановки
вместо индивидной переменной х{ терма i в формулу А:Т^'А.
Числовая функция, ей вполне соответствующая, будет прими
тинно-рекурсивной.
В доказательстве теоремы используется особый случай под-
становки. когда термом, подставляемым в формулу 4, является
нумерал гёделевского номера формулы /1, т. е. подстановка
вида Рг’ 4. Вполне соотвстствтютсй ей функцией будет F.1 п,
• АЛ *' ‘ ‘
где н гёдслевский номер 4, a i — гёдслевский помер х.. Эта
функция является диагональной функцией. Она примитивно-
рекурсивна. Эта функция дает возможность формулировать са-
монрименпмые утверждения. Пусть Док(х) означает «г дока-
зуема», а |Док(х) — неверно, что «х доказуема». Тогда
утверждает свою собственную недоказуе-
мость.
Теперь приступим к доказательству сформулированной
выше теоремы.
По условию класс формул К непротиворечив, отсюда сле-
дует, что его подкласс Ли//, т. е. класс предложений из К, так
же непротиворечив. Допустим, что класс КГ.П является Л-опрс
делимым. Тогда дополнение этого класса, г. с. также
будет К-определимым (это следует из того, что булева комби
нация /(-определимых классов сама /(-определима), Fi^rt яв-
ляется /(-определимой. Из последних двух утверждений сле-
дует, что Рд^я е= (К О П')' также /(-определим.
Отсюда мы можем заключить, что существует формула 13 <
одной свободной переменной, такая, что для всякого п
Р1пяе=(КП/7)'^/?(Д,.)е^
и
П„п<=*(Л'П//)' =Г|Ж)е>С
Проделав элементарные преобразования, получаем, что для
всякого и
J0
I liскольку сформулированные утверждения имеют место
4 ди Линино п, они имеют место и для В, и мы имеем
W е;«в^ап//^в(Дв)сап/7
К П П В(Д.() е КП П.
1искольку из | А =^А следует Л, то из первого утверждения
дуч.им
/П \й)с=АП//-
И, второго утверждении и только что полученного имеем
I iktim образом, В(Лв)еКП/7 и ;В (Дв) е АП/7, т. с. класс
All// противоречив. Но это противоречит условию, что К ненро-
Н'речивый класс, формул. Поэтому допущение, что К(]П
А ппределим. неверно. Следовательно, класс КП// не является.
Я ипределимым. Теорема доказана.
Доказательство велось для любого непротиворечивого и
>чокнутого класса формул системы Р. Для любого К доказа-
но, чю если он непротиворечивый и замкнутый класс формул,
Гк предикат нс является A-определимым в Р.
('.jedertfue I. Если Л' — непротиворечивый и замкнутый
МДлгс формул, го Л' пе является А' определимым’в Р.
Доказательство:
I. 1<Г\П—нс является /(-определимым в Р в силу доказан-
illiiii теоремы.
> Класс П—А'-онределим в Р, предикат ncli примитивио-
ВМмурснвен, и, следовательно, Т-определим в Р и тем самым
Л определим в Р.
.1. Если П и К /(-определимы в Р, то А"// /(-определим в Р.
I Следовательно. класс А нс является /(-определимым.
Иными словами, если Л' — непротиворечивый и замкнутый
«‘Йдгнт формул, то неверно, что найдется такая формула Л сн-
ими Р, содержащая в точности одну свободную переменную
н |,тя которой выполняется условие V (Дп)еА)&
I Kz3~j.4 (Д»)еА)]. Последнее эквивалентно тому, что
н и п.-тся такое число п. которое «нарушает» условие А-оиреде-
чнм и- и класса А, т. е.
Эл [ (пеК&А (А„) Еб А) V (л<Т А&"]Л (Д„) Ст А) I -
Нискольку теорема и следствие 1 доказаны для любого пе-
прми1воречивого класса формул К, в качестве А' можно взять-
IMtfViii класс формул Р. относительно которого доказано, что
в iiinipoiиворечив и замкнут. Если в качестве А взять класс
I in как следствие получаем теорему Тарского о неопрсдсли-
Ы* И I п
4$
Следствие 2. Класс истинных предложений Р не определим
в Р
Класс, общезначимых формул системы Р непротиворечив и
замкнут. Для случая К—Тг как следствие доказанной теоремы
получаем: класс Тг{\11 не является Гл-опрсдслимым в Р. Класс
истинных предложений Р не определим в Р. Аналогично: класс
общезначимых формул Тг нс определим н Р.
Это означает, что семантика формальной арифметики Р не
может быть описана в языке самой арифметики. Любые утвер
жденпя, относящиеся к синтаксису Р, могут быть выражены в
языке Р: числовые предикаты и функции, вполне соответствую
тис синтаксическим, Тт-опредслимы в Р. При этом нс только
рекурсивные предикаты (функции), вполне соответствующие
синтаксическим, но и предикат п^Т «быть доказуемой форму
лой» формально определим в Р. Выразительных средств языка
элементарной арифметики достаточно для описания формаль-
ных, структурных свойств системы Р (и даже любой более бо-
гатой системы, содержащей арифметику). Но семантические
свойства и отношения системы Р не могут быть представлены
в языке Р: предикат, выполняющийся на гёделевских номерах
истинных предложений, не определим в Р. Иными словами,
этот предикат не может быть представлен посредством число-
вых предикатов и операций над числами, определимых в языке
арифметики первого порядка. Парадоксы типа парадокса Лже-
ца, парадокса Ришара в принципе не могут быть реконструи-
рованы в Р.
Следствие 3 (теорема Россера). Класс доказуемых предло-
жений Р не является Г-определнмым в Р.
Класс Т непротиворечив и замкнут. Теорема 1 и следствие. 1
верпы для случая К. — Т. Класс теорем элементарной арифмети-
ки Р не определим рекурсивно в Р. Поскольку класс рекурсив-
ны?: предикатов и функций эквивалентен классу предикатов и
функций, 7-определнмых в Р, как следствие теоремы 1 мы по-
лучили результат Россера: класс теорем арифметики первого
порядка не. рекурсивен. Проблема разрешения для элементар-
ной арифметики неразрешима.
Неразрешимость чистого исчисления прсдикйтов первого по-
рядка вытекает из доказательства неразрешимое!и некоторой
конечно-аксиомагизируемой первопорядковой теории Т. Пусть
Z — конъюнкция замыканий аксиом некоторой неразрешимой
теории Т. Обозначим (S^>j4) *—результат замещения всех дес-
криптивных констант свободными переменными — различных
различными и одинаковых одинаковыми. Тогда для любого
предложения А, сформулированного на языке теории Т, имеет
место: А доказуемо в Т тогда и только тогда, когда (£=>/!)+
.доквзуеМа в чистом печпеле.нпп предикатов псового порядка.
Если бы проблема разрешения для чистого исчисления преди-
катов была разрешима, то тогда имелся бы метод, позволяю-
щий для каждой формулы исчисления предикатов, в том числе
42
u Ни формул вида (Хдэ.4)+, устанавливать, доказуема она
и hi in , Но в гаком случае мы имели бы разрешающую иро-
•iMypv и для теории Т.
п| качестве теории 7' можно, например, взять систему Р. Ро-
AjHhiiii.i, являющуюся подсистемой системы Р. Система эта.
Мц|)'|авляст собой первбпорядковую формальную систему с
>ц|‘ мним числом аксиом; непротиворечивоегь этой системы до-
• и И.1В.ТСТСЯ финитными средствами. Из того, что проблема раз-
решения для системы Робинсона неразрешима, легко лолу-
«#1Л<">| результат А. Черча о неразрешимости проблемы разре-
KiTiiii-.i для чистого исчисления предикатов первого порядка21
<' tvocreue 4. Дополнение к классу Т нс является рекурсив-
Ni’ перечислимым.
К лк известно, если класс Q и его дополнение Q' рекурсив-
на перечислимы, то оба класса рекурсивны. Если имеется ре-
Щч-нвиая функция, перечисляющая один за другим элементы
В^нта ’2, и есть рекурсивная функция, один за другим псре-
Келяющая элементы класса <2', го класс Q разрешим. По-
t'hn п,ку класс Т рекурсивно-перечислим и согласно слсд-
। Пино 3 не рекурсивен, следовательно, класс. Т' не является
курсивно-перечислимым.
Отсюда, в частности, следует, что множество рекурсивно-пс-
|ц числимых предикатов и множество формально определимых
пр шкатов не совпадают. Все рекурсивно-перечислимые пре-
днкагы формально определимы в Р.
Однако существуют формально определимые предикаты, нс
ни'1я;ощиеся рекурсивно-перечислимыми. Так, предикат це=Т
формально определим в Р, следовательно, Тг-опрсдслпм в Р
мр-дпкат п^Т' (класс Т'). Но предикат nd' нс является по
к.таанному рекурсивно-перечислимым.
< ледсгеие 5. Элементарная арифметика Р неполна, г. е. су-
нн 1 твуст такое, предложение Л, что ни .4, ни ] /1 недоказуемы
и I ’
। Согласно следствию 2 класс истинных предложений Тг{\11 не
in овчея формально определимым. Класс доказуемых предло-
NiiiiifH Т\\11 формально определим. Следовательно, Т(]П^
7 / |//^ТгП/7.
1 ( .ледова гельно, существует такое предложение, которое при-
un । п?жит классу истинных предложений Тг\]П и не принадле-
жи । классу доказуемых предложений ТС\И. Символически:
-|.4((А«=7г?/7)&(ЛсГ7'П/7)). Не все истинные предложения Р
Кциуемы в Р. Отсюда легко показать, что существует нераз-
решимое предложение Р. Обозначим через 4* то самое предло-
ачпн1 Р, которое принадлежит классу ТгГ\П и не принадлежит
Jl'/f. тогда
1 । Рг-ТгГ1/7)&(Я*е7П77).
Класс 7’rfi/7 непротиворечив, отсюда У Л | [(ЛеТгр/У )&
। | I- 7гП/7)1-
43
6 . “I [ (.4*&Тг,'|П)&С|Л*еЕ W/) • 5. V/\
7 Л*С2ГлПЛ. 4i &y
8 ]/!* у, в силу нс
противоречь
вости клас
С *1 у1
-9. —]А*СаТП/Г 8, поскольку
Т^Тг
10. Л*=€=ТП/7. 4, &„
II. ( ,/Р=7'П//)&(Д*ет7’П/7). 9, 10, &„
12. ^11(-]Дс7П/7)&(ДЙ7П27)]. Ц, Je
Таким образом, как следствие теоремы 1 мы получили теорему
Гёделя о неполноте элементарной арифметики с неконструктн»
иым доказательством; идея доказательства принадлежит
А. Тарскому.
Теорема о Л'-неопредслимости непротиворечивого и замкну-
того класса формул /< позволяет получить единым методом до-
казательства ряда важнейших теорем, связанных с приникли
альной ограниченностью стандартных формальных систем, со
держащих элементарную арифметику.
Теорема Тарского (следствие 2) устанавливает ограничен-
ность выразительных возможностей системы Р. Семантика тео-
рии Р не может быть погружена в саму систему Р Теорема
Гёделя о неполноте формальной арифметики (следствие 5) го-
ворит о принципиальной ограниченности дедуктивных средств
систем со стандартной формализацией типа системы Р.
Мы можем усилить дедуктивные средства Р, добавив, на-
пример, в качестве аксиомы неразрешимое предложение, ио в
усиленной таким путем системе возникнут новые неразреши-
мые предложения, которые строятся по той же схеме.. Систе-
ма Р не только неполна, но и существенно не.пополпима, а это
означает, что класс истинных предложений арифметики нс яв-
ляется рекурсивно-перечислимым, его нельзя представить как
класс доказуемых формул некоторой стандартной формальной
системы. Действительно, если некоторый класс рекурсивно-пе-
речислим, то он Гг-онредслим в Р. По класс истинных предло-
жений арифметики ГгрЯ согласно следствию 2 нс определим
в Р.
Несколько иначе обстоит дело с результатами Россера н
А. Черча (следствие 3). Результат Россера означает, что для
предиката «быть теоремой элементарной арифметики» не суще-
ствует такой формальной системы, в которой этот предика!
был бы Г-определим. Если принять тезис Чёрча, отождествляю-
щий понятие эффективности с одним из его уточнений, напри-
мер с понятием Г-опрсделимости в Р, то доказанная теорема
(следствие 3) означает, что свойство «быть теоремой формаль-
ной арифметики» не является эффективным ни в одном из точ-
ных смыслов этого понятия.
44
1>«>р<*мы Тарского, I ёделя и Чёрча—Россера (следствия
Л >1 '>) показывают принципиальную ограниченность стг-ндарт-
Мы« формальных систем и приводит к ряду важных философ-
сн следствий. Однако прежде чем перейти к обсуждению
(ни следствий ограничительных теорем, отмстим, что можно
4*>< конструктивное доказательство теоремы о К-пеопредели-
поп класса Л' в том смысле, что это доказательство предпо-
tHi . г наличие точного метода построения таких предложений,
»> н>рые нарушают условия Л’-определимостн класса /(. Этот
фг••<« является также методом построения неразрешимого
। лложепия системы Р и позволяет осуществить конструктив-
ное семантическое доказательство теоремы Гёделя о неполноте
’! >рмальноп арифметики !я.
§ 5. Философский смысл теорем
о выразительных и дедуктивных
возможностях формализмов
Рассмотренные в предыдущем параграфе теоремы Тарского,
। йделя, Чёрча — Россера, равно как и теорема о полноте пер-
ши грядкового исчисления предикатов, имеют важное философ-
।т.чс значение, связанное с оценкой выразительных и дедуктив-
ные возможностей формальных систем со стандартной форыа-
,и11лцией и с исследованием такого гносеологического понятия,
истинность. Значение этих теорем выходит за пределы сне-
ПНЮ1Ы10И проблематики, носит методологический характер.
П 1НЯПИС ограничительных теорем на стиль мышления науки
\'Х столетия можно сопоставить, пожалуй, только с влиянием
фундаментальных открытий в области физики (теория относи-
тельности. квантовая физика).
Теоремы о дедуктивных и выразительных возможностях
формализмов связаны с фундаментальными вопросами стиля
мышления, истолкованием природы необходимого, теоретиче-
ского знания, роли и характера абстракций и идеализаций, ис-
« (едовгнием возможностей дедуктивного представления науч-
ного знания, выявлением связей концептуального аппарата п
принимаемых логических процедур
Результаты, сформулированные в предыдущих параграфах,
имеют место не только для системы пер во порядковой арифме-
HIKH, но и для любых формальных систем со стандартной фор-
м ишзацией, удовлетворяющих определенным требованиям.
Нод стандартными языками имеются в виду языки с конечны-
ми или счетными алфавитами, для которых эффективным об-
р।п>м определены основные синтаксические понятия: индпнид-
н.ш переменная, терм, формула, предложение. При этом пред-
полагается, что все выражения языка являются конечными но-
човатсльностямн символов алфавита.
В стандартной формальной системе (в формальной системе
45
со стандартной формализацией), построенной над некоторым
стандартным языком, дополнительно, также эффективным (ре
курсивным) способом описывается, что есть аксиома, правило
вывода, формальный вывод. При этом правила вывода носят
финитный и эффективный характер, т. с. это правила, разре-
шающие от конечного числа посылок определенного вида не
ректи к заключению. Формальный вывод представляет собой
также финитную конструкцию.
Такого рода формальными стандартными системами явля-
ются построенная выше цервопорядковая арифметика, арифме
тика второго порядка и арифметика любого конечного поряд-
ка. Некоторые из прикладных теорий со стандартной формали-
зацией могут оказаться полными, т. с. для всякой замкнутой
формулы, сформулированной в языке этой теории, либо она
сама, либо се отрицание являются теоремами теории. Однако
выразительные возможности таких систем ограничены: в тер-
минах их языков нельзя сформулировать синтаксис этих тео-
рий. Если же и терминах теории определимы примитивно-ре-
курсивные функции, то, хотя такая теория неполна но своим
дедуктивным средствам (согласно теореме Гёделя), ее выра-
зительные возможности позволяют сформулировать синтаксис
этой теории в языке, самой этой теории. Из теоремы Тарского
следует, что для всякого языка со стандартной формализацией
найдется некоторое отношение, свойство, нс определимое срсд-
стнами этого языка. Универсальный язык, в котором были бы
определимы все отношения (между объектами типа объектов
системы натуральных чисел), невозможен. Отсюда всегда
встает проблема выбора языка с достаточно богатыми вырази-
тельными возможностями для данных целей. Это отнюдь не
тривиальный вопрос. Скажем, достаточен ли первопорядковый
язык, пли необходимы и языки высших порядков, или возмож-
но ограничиться расширением иервопорядкового языка допол-
нительными средствами выражения типа кванторов Мостов-
ского или кванторов Генкина? Во всяком случае, универсаль-
ный язык с неограниченными выразительными возможностями
в принципе невозможен. Все программы его создания являются
иллюзорными.
Теорему Тарского, а также теоремы Гёделя и Чёрча—Рос-
сера принято называть теоремами об ограниченностях форма-
лизмов. Однако это название не совсем адекватно выражает их
смысл и значение. Прежде всего отметим, что сими теоремы
не говорят о какой-то ущербности формальных систем. Но они
действительно характеризуют возможности формальных систем
и границы их применимости. Однако их смысл этим не ограни-
чивается: они дают возможность выявить важные характери-
стики таких содержательных понятий, как истинность, дока-
зуемость, логическое следование.
Введение понятий определимости свойств и отношений и
формализованном языке позволяет выявить существенные ха-
•16
Ilvpi" ПКИ самих этих свойств и отношений, провести их
। фнкацню. Класс (отношение), определимый в первспо-
||«>к-и арифметике, называют арифметическим; опредсли-
। Ф рму.чой второпорядковой арифметики аналитическим
Клип «анализ»). Более детальную классификацию свойств
Кошений дает обобщенная иерархия Клини—Мостовского.
гп.1ло отмечено выше, формулы в предваренной нормаль-
форме могут быть разбиты на классы в зависимости от
। < какого квантора (общности или существования) начи-
Н» приставка, от указания тина высшего квантора (верх-
нндекс) и числа перемен кванторов высшего тина (нижний
•нс). Каждая формула относится к типу II,."1 или S,,®1. На
I основе можно построить соответствующую иерархию клас-
и отношений, указав типы формул, с помощью которых
|вр| шлимы эти классы или отношения. К типу ^и'1—Ио° отно-
t«iMi псе рекурсивные классы и отношения, к типу Si0— ре-
• ур нвио-перечислимые, к типу 1IO„US%- арифметические, к
тину Ib’pSi1 — гиперарифмстическис, к тину П'гЦЗ5,,— анали-
кие.
Или того чтобы установить место того или иного класса
In hi (нношения) н иерархии Клини—Мостовского, необходимо
Нпллть минимальный класс, к которому он принадлежит, и
Инпсимальный, к которому он не принадлежи!.
Семантические понятия относятся непосредственно к лннг-
»|р । ическим объектам, по, как было показано выше, лпнгви-
^Кфпхкис объекты можно закодировать с помощью чисел. Се-
ЬиИ1 нчсскпм понятиям можно сопоставить вполне соответ-
jPliv,кццпе нм теоретико-числовые. Поэтому можно ставить во-
ftnuiH о месте семантических понятий, включая понятие иетик-
ib.i in. в иерархии Клини—Мостовского.
Гсорсма Тарского говорит, что понятие истинности для пер-
виипрядковой арифметики нс определимо в первопорядковой
нфметнке. и тогда оно нс принадлежит к тину TPuijS0,,, т. с.
Ди» является арифметическим. Однако было бы неправильно
ДжгЛпгать, что понятие истинности для первопорядковой ариф-
fliMruiKH вообще не определимо в формализованных языках.
оно определимо, г. с. может быть охарактеризован.’.! фор-
Мц ши некоторой формальной системы со стандартной форма-
Kw |.’> пн'й. Можно показать, что оно определимо во иторопоряд-
.....и! арифметике. В общем случае для системы порядка п, со-
Е 4i р г,иней теорию рекурсии, понятие истины определяется в
М)1> шпрепии этой системы до порядка п | 1 (результат Тарско-
Ihi гем г.)
Гйким образом, понятие «истинное предложение пернопо-
tw'ii iiinii арифметики» определимо во второпорядковой ариф-
11,н>- и является аналитическим. Можно уточнить тип этого
fi. iMii'H. оно является гииерарифмегическим (т. с. принадле-
>|н к типу n/n^t'). Таким образом, теорему Тарского можно
К»| м.ирпвать как теорему, характеризующую понятие, истин-
47
ности, определенное для высказываний данного стандартное,
языка. При этом теорема характеризует ие «бедность», а
«богатство» этого понятия.
Что касается синтаксических понятии формальных систем
со стандартной формализацией, то все они являются по край
ней мере рекурсивно-перечислимыми, т. е. принадлежат к толу
S,n. В частности, понятие доказуемости для каждой формаль-
ной системы (со стандартной формализацией) как первопоряд-
ковой, так и высших порядков является рекурсивно-иеречисли
мым. Таким образом, класс теорем первоиорядковой арифме-
тики Z'c^Si0 и ТсдХ,)0 в силу упомянутого выше результата
Россера.
Теорему Гёделя можно также рассматривать как результат,
характеризующий понятие истинности. Oita выявляет, что по-
нятие истинности для первопорядковой арифметики не яв-
ляется рекурсивно-перечислимым, так как найдется истинная,
пи не доказуемая формула, в частности формула, утверждаю-
щая свою собственную недоказуемость.
Нс следует полагать, адресуясь к результату Гёделя, что
всякая нервонорядкивая теория неполна. Нетрудно привести
примеры полных первопорядковых теорий (например, теорию
иле!кого линейного порядка без первого и последнего элемен-
тов). Для них понятия истинности и доказуемости- совпадут.
Более того, поскольку теории представлены как формальные
системы, а в формальных системах допускается только рекур-
сивное множество аксиом, множество теорем таких теории так-
же будет рекурсивным. Отсюда и понятие истинности для та-
ких теорий будет разрешимым. По если теория содержит при-
митивно-рекурсивную арифметику, то такая теория неполна и
понятие истинности для нее не является рекурсивно-перечис-
лимым.
В связи с рассмотренными характеристиками понятия истин-
ности целесообразно сделать одно замечание обшегпоссологи-
ческото характера. Включает ли содержание понятия истинно-
сти критерий истинности? Приведенные, результаты показывают,
что классическое понятие истинности (истинного высказы-
вания) этому условию не удовлетворяет, так как для доста-
и>чао богатых языков понятие истинности не будет рекурсив-
ным и даже рекурсивно-перечислимым.
Вопрос об отношении между понятиями истинности и дока-
зуемости является вопросом об отношении между семантиче-
ским и синтаксическим попягиямп. Одним из инструментов ло-
гики является метод сопоставления семантическим понятиям
равиообъемпых пи синтаксических. Логику прежде всего инте-
ресуют понятия логической истинности и логического следова-
ния. Как же обстоит дело с понятием логической истинности?
Для пернопоридковых языков понятие логической истинности
до объему совпадает с понятием доказуемости, тем самым яв-
ляется рекурсивно-перечислимым. Эго известный результат Гё-
48
ч полноте пернопорядкового исчисления предикатов. Та-
нм образом, формализация иервопорядконой логики оказы-
ImBhh осуществленной. Но как обстоит дело с понятием логи-
ЯМ'тоП истинности и логического следования для второпоряд-
В*1"1 логик»?
Н»трудно видеть, что предложение Л истинно но второпо-
^Вкпной арифметике тогда и только тогда, когда логически
Нгпипл формула РтэА, где Р есть конъюнкция аксиом Пеано
4*1 и широпорядковой арифметики. Отсюда, поскольку понятие
pit и пости для второнорядковой арифметики нс принадлежит
Jfc'14'к. то таковыми будут и понятия логической истинности
и .*• нчсского следования для второнорядковой логики преди-
jtaoiii Гем самым понятие логического следования не является
{^ву||Сит1о-псречис.,Н1мым и не может быть описано с помощью
! рмальноя системы со стандартной формализацией.
1> лервонорядковой арифметике схема аксиом индукции от-
Пргтся только к свойствам, определимым в первонорядковой
Арифметике, но имеются и свойства, не определимые в пей.
t’i<’•1‘iri и неполнота характеристики системы натуральных чч-
ifKi Аксиомам первопорядковой арифметики могут удовлетво-
..... п системы объектов, отличные от системы натуральных
। 1 Во второнорядковой арифметике системе! аксиом Пеано
пи нитей категоричной, из нее логически следуют (в семанти-
м| < । iM смысле) все истинные утверждения второнорядковой
•шнфметики. Система объектов теории (система натуральных
Mrc.Ti характеризуется в этом случае полностью, с точностью
ио и диморфизма. Причина неполноты аксиоматически постро-
(nnr.fi вгоропорядконпй арифметики обусловлена не ограппчен-
Ки Hao собственно арифметических аксиом, а невозможностью
п» 1р.тктсризовгтъ с помощью исчисления стандартного типа
Ши/Лорядковое отношение логического следования. Неполно-
го пн-.пикает из-за «большой силы» отношения логического
f.i» азнания. Второпорядковое отношение логического следова-
ИЬр* полностью не формализуемо (посредством систем со сган-
|Дм|ч1юй формализацией). Первоначально Гёдель доказывал
►рСму о неполноте не для первопорядковой арифметики, как
tin 1 была сформулирована и доказана выше, а для простой
Kipiin питов (модифицированной системы РМ). Поэтому тео-
|п ч о неполноте можно рассматривать нс как свидетельство
»игнч imiokhocth с точностью до изоморфизма описать (иосред-
*ц1нм аксиом) систему натуральных чисел, а как свидстель-
Мпи невозможности формализовать отношение логического
.г *п ап ня второпорядкового языка к языков более высоких
w'l'" дк-'Н.
। лгдующин важный вопрос, связанный с формализацией,—
l)i. biinpoc о существовании алгоритма, по виду формулы уста-
1вц.11111. к)И1сго, является опа доказуемой или пег. Известно,
фи и hi логики высказываний такая эффективная процедура-
ifiin шуст. т. е. но виду формулы можно установить, доказус-
49;
ма она или ист; проблема разрешения для классического ис-
числения высказываний разрешима. Г. Лейбниц полагал, что
существует единый метод установления, доказуема некоторая
формула или нет. 1 оноря современным языком, он полагал,
что проблема разрешения для всей логики разрешима. Однако
оказалось, что уже для исчисления предикатов первого поряд
ка проблема разрешения неразрешима. Это составляет содер
жание теоремы А. Черча, Как невозможен единый завершен-
ный универсальный язык, так невозможен и метод, решающий
все массовые проблемы. Существуют алгоритмически неразре-
шимые массовые проблемы
Уточнение интуитивного понятия алгоритма явилось значи-
тельным достижением научной мысли. Конечно, тезис, соглас-
но которому предложенные точные понятая алгоритма (Т-опре-
делпмостц в арифметике, алгорифма Маркова, машины Тью-
ринга, частично рекурсивной функции, системы Поста и др.)
являются уточнениями интуитивного понятия эффективности и
вычислимости, представляет собой содержательное утвержде-
ние. Этот тезис по своей природе не может быть объектом фор
мяльного доказательства. Его принятие, как и принятие мно-
гих фундаментальных принципов тина законов сохранения,
оправдывается научной практикой, всем стилем научного мы
шления. Аргументы в пользу его принятия хорошо известны30.
Таким образом, ограничительные теоремы явились важным
этапом в исследовании формальных систем как средства изуче-
ния и репрезентации содержательных понятий. Нс менее сушс-
сл ценна их роль в исследовании тех средств и методов, которые
используются при описании формальных систем к их интер-
претаций, г. с. при исследовании выразительных и дедуктивных
средств метатеорий. В этом плане ограничительные теоремы
явились переломным моментом в исследованиях по философии
математики. Прежде всего они засвидетельствовали несостоя-
тельность гильбертовской программы обоснования математики
ц сс первоначальном виде и открыли новые горизонты в иссле-
дованиях по основаниям математики. Связь методов семанти-
ческого анализа с определенными методологическими установ-
ками. с исследованием «стиля мышления» особенно ярко вы-
ступает в гильбертовской программе обоснования математики
в его методе «идеальных элементов» и трактовке смысла и
знйчсния идеальных предложений. Эти вопросы будут рассмот-
рены в пятой главе.
Не следует думать, что ограниченности стандартных фор-
мализмов связаны только с отрицательными теоремами, преж-
де всего теоремами Тарского и Гёделя, «Позитивные» теоремы,
прежде всего теорема о полноте первоиорядкового исчисления
предикатов, также связаны с некоторыми ограниченностями
формализмов. Остановимся па понятии характеризуй пости
класса возможных реализаций. В логической литературе, вслед
за А. И. Мальцевым, чаще используется термин «аксноматиэп
sc
Р" класса реляционных систем». Поскольку термин «ак-
^niii <прус.мость» занят, мы будем использовать термин «ха-
. |Г|Ч1 цч мость».
ИЬ>ь. ’W —класс возможных реализаций, этому классу мы
К|>м ci .поставить класс Тг( ЭД), т. е. класс, всех пред.чоже-
ИИ ь питых вЭД. Тг( ЭД ) есть теория, it ей мы можем сопо-
№>П1ь класс всех ее моделей Alod( Тг( ЭД )), Совпадает ли
Вру ц1<-х моделей этой теории с пер юначальным классом ЭД ?
Utv «но показать, что ЭД sAlod(Tr( ЭД )). Цо имеет ли место-
flit'« . I с. будет ли ЭД — Afod(7r( ЭД ))? Другими слонами,
цю «’it представить любой класс возможных реализаций как
. । ю всех моделей некоторой теории Существует ли та-
в--|П1жеетво предложений Г, что они истинны в каждой рса-
Шпнп пз ЭД, и класс моделей этого множества предложений
МЦчн к hi совпадает с ЭД: Л1сн/(Г)— ЭД ? В общем случае это
t >i|b «I места. Класс возможных реализаций назовем хирик-
в первопорядконом языке, если и только если он
^^В<1Ы ст с классом моделей некоторой теории.
Г 11. которые классы реализаций могут быть охарактеризова-
ли ритм образом, что множество предложении Г рекурсивно.
) ’itiriiKiM случае — конечно Тогда множество Г может рас-
Ш'п pin ..и ься как система аксиом теории, характеризующая
нл.«* ' ЭД Однако в общем случае не требуется, чтобы Г было
вин* 'и им или рекурсивным.
н. всякий класс возможных реализаций может быть оха-
Bliii pii loiian средствами первопорядкового языка. Например,
Н" ।' то всех конечных реализаций не характеризуемо срсд-
Ммп первопорядкового языка.
I тгрждеиме, что не всякий класс возможных реализаций
и«и । быть охарактеризован в первопорядконом языке, яв-
пндом ограничительной теоремы относительно выразн-
Н'"И возможностей языка. Этот результат следует из тео-
“ полноте исчисления предикатов первого порядка и из
об ультранроизведениях.
Dbbi'iito считают, что результаты об ограниченности систем
ц , । П1,1..|ртной формализацией вытекают из известных теорем
Паено и Геделя. Однако, на наш взгляд, нс меныиий инте-
М* п|и де। являет опенка выразительных возможностей стан-
bpinux формализованных языков, в частности иернолорядко-
И । ня шная с понятием характери уемости. Речь идет о си-
teMu- объектов—возможных реализациях данного языка и
। ногтях их описания в этом языке. Но что понимать код
•М" > n iT.io описания систем в языке? Понятие характер»-
। и позволяет уточнить это отношение между языками и
^Вм"з нымп реализациями.
М. ibii'i установить ряд теорем о невозможности рекурсив-
Hili ...p imерип-емости или конечной характеризуемости нско-
ри< । ы сов реляционных систем.
। * ги о, оказывается, что средствами первопорядковых
теорий мы не можем охарактеризовать какую-либо выделен
иую возможную реализацию. Пусть дана какая-то фнкенро
ванная возможная реализация М*. Пн одна теория, даже та-
кая широкая, как класс всех предложений, истинных в М*, нс
может однозначным образом характеризовать эту возможную
реализацию. Во-первых, в силу теоремы об изоморфизме, если
М* есть модель множества высказываний И, то всякая воз
ложная реализация М, изоморфная М'!, также будет моделыг
Из этой теоремы следует, что невозможно задать множество
высказываний, которое было бы истинно в одной-единственной
реализации и тем самым характеризовало бы именно эту, и
только эту реализацию. Означает ли последнее, что возможные
реализации языка можно характеризовать (в первопорядковыч
теориях) с точностью до изоморфизма? Оказывается, что и это
верно только для конечных моделей. Исли возможная реализа
ция бесконечна, то се невозм жно охарактеризовать средства-
ми первонорядкового языка даже с точностью до изоморфиз
ма. Это положение непосредственно следует из теорем о пол-
ноте и об ультрапроизведенцях. Действительно, пусть М— не-
которая бесконечная возможная реализация, например, с не-
•сче'ной областью. Этой реализации можно сопоставить класс
предложений, истинных в ней, — Tr(М). Класс этот непротиво
речив и согласно теореме о полноте имеет счетную юдель (ил
ис более, чем счетную модель, если логика с равенством). Та-
ким образом, если была дана несчетная модель, то найдется и
счетная. Если имеется модель некоторой произвольной беско
нечноп мощности, то согласно теореме об ультрапроизведенкя
можно построить модель большей мощности. Таким образом,
если теория имеет бесконечную модель, то сс нельзя охаракте-
ризовать даже с точностью до изоморфизма. Точным обра-Ю
эго .можно выразить, используя понятие элементарной эквива-
лентности: две возможные реализации элементарно эквива
лентны, если все предложения, истинные в одной реализации,
истинны и н другой. Элементарно-эквивалентные возможные
реализации неразличимы средствами червопорядкового языка,
все, что истинно для одной, истинно и для другой. Имеет мс
сто теорема: если две возможные реализации изоморфны, т >
они элсме тарно-эквивалентны. Однако обратное по имеет м(
ста: существуют элемен гарно-эквивалентные, пензоморфныс
модели.
Если мы установим, что некоторый класс возможных реалг
заций характеризуем в первопорядковом языке, то это дао
нам существенную информацию об объектах нашего рассмог
рения. Важно установить зависимость между характеризуем
мостыо классов возможных реализации и их свойствами. Во
пикет вопрос о более тонких связях между некоторыми гнил
мн характеризуемое™ (рекурсивной, конечной и т. д.) и свой
сгвами, структурой, организацией соответствующих пл возмож
ных реализаций. Чтобы рассмотреть эту зависимость, полсш
R<>iii другого типа описания классов возможных реализаций.
Г . смотрим классы возможных реализаций, замкнутые от-
^«И iri.no определенных преобразований. Например, класс
^Кмпжпых реализаций может быть замкнут относительно язо-
Мор-1'п тма. Класс возможных реализации замкнут относительно
^Ь^мирфизма. если и только если всякая возможная реализа-
litoi изоморфная одной из реализаций, принадлежащих Ж ,
(HM.I принадлежит ® Аналогично можно говорить о замкну-
Kfrn относительно элементарной эквивалентности, улырапро-
। iiK'jirtiiHi, подсистем, надсистем, декартовых произведений си-
< о н т. д.
Имеются связи между характсризуемостыо (и определенны-
ми 1ч- видами) классов возможных реализаций, с одной сторо-
Ulit и замкнутостью этих классов относительно определенных
ГШлщ+й — с другой. Установлено, что:
класс возможных реализаций ® характеризуем тогда и
ttrii.ho тогда, когда Э? замкнут относительно элементарной
<п кпвалентностн и ультрапроизведений;
I конечно характеризуем тогда и только тогда, когда SJJ л
д(|(| дополнение 5®' замкнуты относительно элементарной экви-
^рептности и ультрапроизведений.
Г 1 Iomhmo рекурсивной и конечной характеризуемое™ рас-
1'м 11 рипаются другие, классификации этого свойства, например,
Нн<> виду формул, характеризующих данные классы возможных
l*-lMJiri3amiii. Виды характеризуемости могут описываться на ос-
нове классификации формул Клини—Мостовского по виду
«„.шторных приставок (11%-характеризуемое™ и 2°п-характе-
1'4 цч'мость) или на основе других классификаций (хорповскне,
Иртптивные). Этим различным видам формул, характеризую-
||»н . классы возможных реализаций, соответствуют различные
Мч.юиия замкнутости этих классов.
Попятие характеризуемости позволяет формулировать зави-
|iiiM<Ti4Ti между определенными свойствами самих объектов
। |1мотрсния (классов возможных реализаций) и свойствами
Ит<Т‘|пп"1, посредством которых эти объекты характеризуются.
I' скрывается определенная зависимость между синтаксически-
) мп и семантическими свойствами теорий.
Вернемся к ограничительным результатам, связанным с по-
ни нем характеризуемости систем объектов в языках первово-
ри,-псовых теорий. Тот факт, что не всякий класс возможных
р> 1лнзаний может быть охарактеризован и, в частности, что
НАнн отдельно взятая реализация не характеризуема средства-
пирвопорядкового языка, имеет важные тсоретико-нозпава-
К|и| пые следствия в связи с проблемами интерпретации эмпи-
кнх теорий.
i >1посительно эмпирических теорий следует различать нс-
«л*-д>н.-шне логической структуры этих теорий и вопросы их
эмпирической интерпретации. Первый аспект не выводит нас
чп рамки методологии дедуктивных наук. Остается в силе лро-
53
блема Гильберта — проблема аксиоматизации физики как фуи
дамента эмпирических наук.
Второй аспект предполагает уточнение понятия эмпирнче
скоп интерпретации теорий. Можно понимать под этим выделе
ние из класса всех возможных реализаций теории, в которых
истинны все утверждения теории, некоторой подразумеваемой
модели М* и под эмпирической интерпретацией иметь в вид;,
именно эту выделенную модель. Но как выделить М ? Мно-
жество предложений, истинных в М*. выделяет не единствен
яую модель, а целый класс .моделей, элементарно-эквивалент-
ных н обпюм случае и изоморфных в случае, если область М
конечна. Таким образом, задать подразумеваемую модель с
помощью постулатов значения, т. е. средствами первоиорядко-
вого языка, мы не можем. Это прямо следует из описанных
выше ограничительных результатов для первопорядковых язы-
ков. Возникает сомнение, можно ли вообще методологию эмпи-
рических наук строить на основе методологии дедуктивных
наук. В литературе известны попытки преодолеть указанные
трудности при описании эмпирической интерпретации. Один из
подходов состоит в том, чтобы эмпирическую интерпретацию
характеризовать не одной возможной реализацией, а целым
классом возможных реализаций. Именно такой путь предлагает
М. Пщслспкий3-. С помощью постулатов значения мы не мо-
жем выделить класс реализации фиксированной мощности
(если эта мощность бесконечна). Согласно Птпеленкому, выде
ленне области данной мощности должно реализоваться ис с по-
мощью постулатов значения, а другими, внеязыковымн, сред-
ствами. Яри таком подходе под эмпирической интерпретацией
не имеется непременно в виду интерпретация в терминах на
блюдеиия.
• и A II А H
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИСТИННОСТЬ
I I 11роблсма аналитической истинности
0 IK горни философии
»Ф"
Ярц i ншение необходимого знания, знания о законах, и фак-
*|л<'н> случайного знания является традиционным в исто-
юсофии. Подразделение Лейбницем всех истин на слу-
Й«И‘ н необходимые, кантовское разграничение суждений на
«Мерные и апостериорные, гегелевская классификация суж-
Кии (суждения наличного бытия и рефлексии, с одной сторо-
и суждения необходимости с другой) примерно соотнет-
».• । рассмотренному подразделению мы здесь констати-
Ки |<|.1ько факт такого разграничения, а не его истолкование.
рГеСт iнении в истории философии вопрос СТОЯ.'! не о том,
hi различать необходимое и фактическое знание, а о том,
рнходпт эта граница, как обосновать природу нсобходи-
пиния, можно ли чисто логически перейти от знания эм-
&I..... фактического, к знанию необходимому. Как объ-
Кипгь. например, факт математического знания? Как устанв-
ISjftb что 5+7—12? В опыте мы можем легко убедиться, что
М41>>||.1< пять объектов в сумме с данными семью дают двена-
A|ini> Но как убедиться, что это соотношение будет иметь ме,-
• и иода, а нс только в первом, втором и т д. случаях?
Проблема необходимого, теоретического звания, его нриро-
Si.i । пилась одной из центральных в истории философии ново-
। [• мепн; ее различные решения привели к образованию па-
МЕц и ппй эмпиризма и рационализма.
Представители рационализма усматривали, что тсоретичс-
hi..пне невозможно дедуцировать из фактического. Из не-
M|hxi>>rij[ достоверного необходимого знания к эмиирнческо-
^жлпнниализм делает вывод об особой природе необходимого
и о существовании особого, отличного от опыта, источ-
находимого знания, а именно разума. Необходимый ха-
SKwn р истин обусловлен тем, что они выводятся из присущих
принципов, разум содержит определенные врожденные
|(li к .>6 ходим ые истины и т. и.
Fbu.ii для представителей классического рационализма (Де-
Рнбпиц) необходимое, теоретическое знание нс является
происхожденпю опытным, они все же рассматривают
Мт .шаппе о мире — лингвистическая трактовка пеобходи-
«11.111114 была им чужда. Такое решение проблемы достн-
^К|к I, л* счет допущения, в той или иной форме, идеи вреду
Кннн/н пний гармонии разума н действительности.
fin октю эмпиризму все знание по своему источнику носи г
hiiiiui характер. Представители материалистического эмии-
Kqi.ii । грсмились обосновать науку, но обосновать науку —
55
это значит показать, как возможно общее знание, знание не
обходимых к существенных связей, и каким образом оно до
стигастся. Поэтому первые представители материалистического
эмпиризма как раз стремились разработать методы переход,
от эмпирического знания к знанию законов. Теоретическое на
учное знание не отвергалось, оно рассматривалось как резуль
таг определенной переработки того знания, которое дано в
опыте. Бэконом разрабатывались методы научной индукции
Но в силу созерцательного характера материализма эти по-
пытки обоснования общего необходимого знания не могли
увенчаться успехом. Бэкон, по-видимому, не сознавал, что ин
дукипя доставляет общее знание лишь с определенной сте-
пенью вероятности; обосновать знание законов с достовер-
ностью она нс может. Следует отметить, что представители
поелебэконовского эмпиризма, отрицая возможность врожден
пых идей, признают в то же время возможность усмотрения от-
ношений между идеями, т. с. признают интеллектуальную ин-
туицию как способ постижения необходимых достоверных
истин, прежде всего математических (Локк, Юм).
Для философии рационализма и эмпиризма XVII—XVIII нв
в целом характерно:
1) признание как факта наличия достоверных необходимых
истин;
2) констатация невозможности обосновать достоверные не
обходимые истины истинами факта, истинами, полученными в
опыте;
3) признание интеллектуальной интуиции как способности
непосредственно усматривать отношение между идеями.
Исключение представляет философия Гоббса. Гоббс, при
знания достоверные необходимые истины, отрицает интеллек-
туальную интуицию. Он дает номиналистическую, лингвистиче-
скую— вообще говоря, чуждую духу философии XVII
XVIII вв. трактовку необходимых суждений.
Некоторые пз указанных выше характерных черт филосо-
фии XVII—XVIII вн. не относятся полностью и к Бэкону, кото-
рый, по-видимому, не признавал интеллектуальную интуицию
и, как мы указывали выше, пытался обосновать достоверное
необходимое знание эмпирическими методами, посредством ин
дукции. Однако нослебэкоповский эмпиризм встал на путь от
каза от поисков эмпирических средств обоснования достовер-
ного необходимого знания. Так Юм приходит к мысли о неэм
ппричсском характере логического и математического знания
с одной стороны, и к невозможности достоверного необходимо
го знания, контролирующего реальность,— с другой.
И рационалисты." и эмпирики считают источником фактиче-
ского знания в конечном счете опыт. Пи одни рационалист ни
когда ие отвергал опытного, фактического знания, его полез
пости для пауки. Все дело в том, что рационалист признает су-
ществование некоторых основных необходимых истин, единст
56
htni iii очником которых является разум, но которые «кон-
пр »'1<п » физическую реальность.
г II Кьчковаиис необходимого, теоретического знания классп-
*1'ы рационализмом базировалось на исследовании природы
и iiii'ii-cKOro знания. Образцом всякого знания объявля-
ем «и nine, подобное математическому. Именно матсматиче-
Ktf пинне признавалось за идеал надежного, нео и.ход и .мото,
н иш пою знания, истины которого в принципе не могут
ft опровергнуты никакими фактическими, опытными данны-
III Иными словами, необходимые истины, теоретическое зна-
№t, । с подлинно научное знание — в понимании того вре.ме-
П, |рикювалис;> как абсолютные истины, абсолютное знание.
11<> существу, в эмпиризме выступает го же толкование не-
Вкыпмого, теоретического знания, что и в рационализме. Эм-
р«им. как и рационализм, признает образцом научного зна-
In.tune абсолютное, надежное, необходимое, наподобие ма-
нческого знания. Рейхспбах оценивал такой подход как
< заражения эмпиризма рационализмом . Только одни
^Кдг ынптсли эмпиризма считают, что такого рода необхСди-
могunsepuoe знание достижимо эмпирическими методами
B«i i). а другие — что такого рода знание эмпирическим пу
Нш и может быть получено (Локк).
Г рационализме и эмпиризме. XVII—XVIII вв., как правн-
ук пр'и'|-1сма аналитического знания не отчленялась от пробле-
яв1 цыИ'Ходимого знания. Более того, например Лейбниц и Юм,
Шц.'пч>вывая необходимое знание как знание аналитическое,
мг» мп ।рпвали его как знание, получаемое в акте интеллекту-
Мьпкп интуиции. Таким образом, аналитическая истинность
Me противопоставлялась интеллектуальной интуиции, а скорее
IRtiii ।част, как ее результат, тогда как в более позднее время,
|t|4iM<‘p в философии логического позитивизма, понятие аиа
firnkhoii истинности высказываний привлекается для того,
•VI"' к не прибегать к очень позорному обращению к иитуи-
пч«ч>идпостп необходимых связей»2.
[|-tnii iti страница в понимании теоретического и аналитиче-
П1ЛПИЯ открывается родоначальником немецкой класси-
|И’> ' философии И. Кантом. Канг, как и представители клас-
Мчт<|< . и рационализма и классического эмпиризма, признает
^Mtt'iiii- достоверного необходимого знания. В отличие ст Юма,
К in 1'подпт это знание к логико-математическому. Согласно
Яш право на обладание безусловными необходимыми нсти-
ttfeiui пмгют не только логика и математика, нс н теоретическое
। и" hi лпне. В этом праве он отказывает рациональной пси-
Il 1111 IГОЛОГИИ и космологии.
цц н его предшественники, Кант считает также, что опыт
^Ki iiiitaci нам никогда строгой всеобщности, а сообщает
^^•ранпнгельную всеобщность посредством индукции. Опыт
in д,ц'| нам необходимости, поэтому полученные в оиы-
ffKTt 1мцирнчсскне, суждения не. обладают необходимостью.
57
В отличие от Лейбница, Локка, Юма, Кант не признает ruJ
теллсктуальную интуицию, которая оправдывала бы достовер!
ныс необходимые истины (в терминологии Канта, априорные) J
Некоторые из достоверных необходимых истин возможны
согласно Й. Канту, в силу их аналитического характера. Ан;
литичпость не связана у Канта с интеллектуальной интуицией
(как у Лейбница) и не является лингвистической (Гоббс логт
ческис позитивисты).
Согласно Канту, аналитическим называется суждение, пре
дикат которого содержится в субъекте. Это определение ииес;
смысл при объемном истолковании логики, характерном для
Канта. Узость такого определения проявляется даже в том слу
чае, если не выходить за границы объемного понимания лиги
ки. Так, в начало нашего века развернулась дискуссия по но
просу о том, относится ли данное определение к отрипателт
пым, условным, разделительным суждениям.
Кант даст еще одно определение аналитических суждений
Аналитическими являются суждения, которые «основываются
на законе противоречия Это определение аналитической истин
ности в определенном смысле свободно от ограничений субъск
тно-преднкатпой формы суждения. Сам принцип противоречим
Кант формулирует не для любой формы суждений, а только
для субъектно-предикатной. При замене кантовской формулп
ровки принципа противоречия более общей открывается воз
можиость для применения этого критерия к более широкому
классу высказываний.
Однако неоднократно отмечалось, что одного закона проти-
воречия недостаточно, чтобы на его основе установить истин
ность положений логики. Как говорит Л Кутюра, «формаль-
ную логику невозможно обосновать без добрых двух десятков
независимых принципов». Вполне можно согласиться с Л. Ку
тюра, который далее пишет: «Впрочем, каковы бы нн были
число и форма их выражения, для того, чтобы интерпретиро-
вать мысль Канта в наиболее широком и благоприятном смыс-
ле, надо вместо его выражения «закон противоречия» подста-
вить выражение «принципы логики». И следовательно, надо го
ворить, что аналитическими суждениями являются тс суждения,
которые опираются единственно на принципы логики»'3.
Таким образом, если довести до логического конца подход
Канта к определению аналитической истинности, то аналитн
чески истинные высказывания будут определяться как тгкиг
высказывания, для установления истинности которых достаточ
но формальной логики. В связи с вышесказанным нам пред
ставляется, что Кантово понимание аналитической истинности,
по существу, предполагает понятие системы логики.
Поэтому, с нашей точки зрения, при таком подходе понятие
аналитической истинности, его объем зависят от понимания са
мой системы формальной логики. Сам Кант, разумеется, и
ставит вопрос, почему действуют именно такие-то законы лога
58
| l) «>>>ич»бы рассуждения. он просто исходит из логики как
они» Волге того он убежден, что система формальной
B|hii hi к-ходящая к Аристотелю. является замкнутой и уни-
Kiai.uoii Формальная логика, из которой исходит Канг, есть
Нщн формального вывода, основанная на анализе суждений
' Кг*<1 «субъект—предикат». Дальнейшее развитие логики
к построению теории вывода, базирующейся на более
Jffl форме суждения Ьолее лого. развитие логики отбросило
>К). i(j универсальности логической системы и поставило во
^li различных системах логики и соответственно о критс-
I* принятия той пли иной логической системы.
I l.'iiii исходит из логики как чего-то данного и определяет
^MpiiH'MxKvio истинность как истинность, устанавливаемую
Н'лыю на основе логики. Однако его подход никак не
расцениваться как лингвистическая концепция ана.тити-
»> Л истины — логика, но Канту, не есть результат коивеи-
Н| 11 1, с другой стороны, Кант откалывается решать вопрос
Inношении логики (и вообще средств и форм познания) к
№<> । ।пнному миру. Говоря современным языком, он отклоняет
ИГ' несут ли аналитические суждения информацию о ден-
fcio' 'и.посги (это определяется тем, что он исходит из логики
ш универсальной и присущей природе человеческого ума).
Или ьшлос довольно широкое понимание достоверных нс-
шп inмых истин — в терминологии Кайта априорных — и, с
yinii i тороны, узкое понимание аналитических истин ириво-
гч। I' иа к мысли, что класс априорных истин не исчсрпы-
рп 1 нп инами аналитическими., т. е. к признанию синтетичс-
^^Ш,'ужде1П1й априори. Отсюда знаменитая проблема канто-
*1Л философии: «как возможны синтетические суждения анрио-
НК^аггическни позитивизм провозглашает опыт в качестве
НИп> О" 1ПЮ1 о источника знания. В некотором отношении он
Кц । <и лгдоватслсн. чем эмпиризм XVH XVIII вн.. остав-
Вп>"< । место интеллектуальной интуиции, ио и более плоский.
Л 14 классического позитивизма (Конт, Милль, Спенсер) и
()<"<< «нанке ноенг опытный характер. Классический пози-
mn<Ai и махизм рассматривали теоретическое, в том числе и
м । it магическое, знание как «просто сокращенные... за-
В|Цн ши (Сителыю.. частных фактов»4. Проблема теоретпчес-
.......пня была ахиллесовой пяп й позитивизма Не вскрывая
......... теоретического знания, игнорируя его специфику, по-
Кшнкм фактически недооценивал роль теоретического (в
Ш щи че и логико-математического) знания в науке. «Если бы
Кй1 <>|.1л,'1 достаточно обширная память, — писал Дж. Ст.
если бы мы обладали способностью помнить в нзве-
11 порядке । ромадную массу подробностей, то можно было
Им" лк । зчагь и вовсе без общих предложений, так как это
Ы’|> формулы умозаключений or частного к частному»3
< . pi । сведения всего знания к непосредственно данному,
59
к ощущениям в старом позитивизме осложнялась явной нсво.з
можностыо сведения логико-математического знания к непо
следственно данному в опыте. Бурное развитие пауки в перво!
четверти нашего века, вес более возрастающая роль гёатемати
ки в естествознании, пересмотр логических основ математики
сближение логики и математики все это привело к нсбыва
лому росту теоретического знания.
Махизм потерпел крах как раз в результате бурного разви
тия новейшего естествознания, за теоретическое обоснование
которого он себя выдавал. Махизм, гак же как и классические
позитивизм, нс мок создать даже иллюзии объяснения логико-
математического знания. По меткому выражению Б Рассела,
математика создавала предубеждение против позитивизма.
Логический позитивизм помимо «фактуального» оцытпелч
знания, естественного для старого позитивизма вида знания,
признает также логико-математическое знание, носящее прин-
ципиально иной характер. Представители логического позити-
визма считают, что логика и математика нс выводятся из опы-
та, «поскольку всякое исследование, эмпирически проверяемое
предполагает логику». Правила логики определяются не зако-
нами природы, а только законами символизации. Предложения
логики истинны уже на основе своей формы («тавтологии», по
Витгенштейну). Они ничего не высказывают о действительно
сти. но служат для трансформации высказываний о действи-
тельности. Отрицания тавтологий противоречивы и являются
ложными на основании своей формы. Логико-математическое
знание не эмпирическое, не априорное (в кантовском смысле),
а чисто словесное, относящееся к употреблению языка.
Именно с такой трактовкой проблемы теоретического зна
ния и связаны претензии логического позитивизма на револю-
цию в философии. Именно ио этой линии идет признаваемо»
самими логическими позитивистами их принципиальное отли-
чие or махизма. Такое изменение взглядов на природу логико-
математического знания очень высоко оценивается самими
представителями логическою позитивизма. Ъ Рассел считает
что благодаря такому пониманию было разрушено предубежде-
ние против эмпиризма со стороны математиков. Что же про-
изошло? Почему стало возможным появление такого учения,
согласно которому математическое знание «имеет такую же
природу, как и «великая истина», что и ярде 3 фута»?-.
Прежде всего отметим, что со времен Фреге изменился сам
объем истин, причисляемых к аналитическим. Если аналитике
ские истины есть истины, устанавливаемые, на основе логики,
то объем понятия «аналитическая истина» зависит от прини-
маемой логики. Логика, из которой исходил Кайт, являлась на
деле лишь фрагментом более широкой логической системы. Со
временная классическая логика, основы которой сформулиро-
вал Фреге, обычно подразделяется на элементарную и нсэлс
мсншрную. Элементарная логика охватывает теорию нронозн
6С
n.iиных связок, теорию квантификации и теорию гождест-
Ей hi как более принято говорить — исчисление высказына-
Вб m ршнюрядковос иечкеление предикатов, первопорядяоное
Выш и пне предикатов с тождеством. Уже эта «элементарная»
&IO । является более широкой системой, чем та логина, кото-
вмел в виду Кант. Но Фреге идет дальше. Он включает и
liiio. не юлько теорию квантификации индивидных псремеи-
Ы* но и теорию квантификации переменных, пробегающих по
Mbii.im, т. е., но существу, включает в логику теорию мно-
•>< in, Неважно, что собственная система Фреге оказалась про-
*|||><;'П1вой. Возможны построения неэле./,еи гарной. логики,
|1>|>>рЫС СВОбоДНЫ ОТ ПрбТИВОреЧИЙ фрСГСВСКОЙ СИСТЕМЫ.
Fi nil исходить из столь широкого понимания ЛОГИКИ, то
М)|*1 аналитических истин значительно расширяется. Логика, по
ИЬн, столь широка, что должна содержать в себе гею арнф-
Blii<у, а но Расселу, и всю чистую математику. Отсюда по-
логицизма трактовать математику как выводимую из ло-
tNii, а исигны математики как аналитические. Мы не будем
Йл-ься здесь трудностей, на которые натолкнулась програм-
fr.i .ицинизма. Отметим те выводы которые важны для нас:
Jfrn.ii логицизма вынуждает не исходить из логики как из чего*
В n.iinioro (как это делал и Кант), а установить, что oiho-
• II' । к логическому, а что нет. Правомерно ли вообще аб-
fc.noiiioc разграничение на логические законы и ««логические?
'1'нлософия XVII XV111 ив., по существу, исходила из
F.«,iпосылки об универсальном характере категориальной сн-
। мы, единственности действующей логики.
При рассмотрении взглядов представителей логического
Ишптивизма по вопросу об аналитической истине (особенно
Вин епции Р. Карнапа) необходимо иметь в виду, что они ис-
0i.ni.in из положения об аналитическом характере матсмаги-
«и > них истин как из факта, установленного самой математикой.
I nn рждепие об аналитическом характере математики является
Ч* hi важным для логического эмпиризма, но нс является его
Люгвепным тезисом, а заимствовано из логицизма.
Колее, специфическим для логического позитивизма является
Толкование природы аналитического знания. Для логического
Илнгцвизма характерна лингвистическая теория аналитической
кницы. Согласно этой теории аналитические высказывания не
in । i । никакой информации о действительности, они относятся
ш к дейстнигельностн, а к языку, их истинность основана на
Ьнл.тшсниях об употреблении языковых выражений.
На наш взгляд, следует различать два вопроса: 1) сводимо
пн некоторое высказывание к высказываниям фактофнксирую-
11нн> характера? и 2) несет ли высказывание информацию о
<lt и । ни |Ояьаости?
I ели .1од эмпирическими, опытными высказываниями пони-
Вии высказывания, в том или ином смысле сводимые к выска-
• II пням факта, то ясно, что существуют такие высказывення;
61
которые не являются эмпирическими, в частности, таковыь
не являются аналитические высказывания.
Если же. под эмпирическими, опытными высказываниями
понимать высказывания, несущие информацию о действительт
нести, то псе истинные высказывания н этом смысле являютс
эмпирическими, в том числе и аналитически истинные выск
зывання. На наш взгляд, эти две проблемы часто смешивались
н силу узкого понимания опыта в логическом позитивизме.
Диалектический материализм расширил понимание опы.
до общественно-исторической практики и тем самым создал
основу для решения проблемы теоретического знания. Позлти
визм продолжал исходить из узкого понимания опыта как о
новы полнапия.
Если опыт понимать узко как наблюдение, фиксирование
результатов эксперимента, а под эмпирическим знанием иметь
в виду высказывания, фиксирующие результаты наблюдения
(или высказывания, являющиеся индуктивным обобщением по
следпих), тогда, естественно, такого рода опыт не может слу
жить базой для обоснования аналитических высказываний (ди
и вообще необходимого, теоретического знания).
Аналитически истинные высказывания нс сводятся к пред
ложенпям наблюдения и потому пе являются опытными при
указанном узком понимании опыта. Но тогда не будут опытны
мн — при том же узком понимании опыта — и многие универ
сальные теоретические положения науки.
Процесс познания осуществляется в рамках определенной
категориальной системы, всякое знание формулируется на
определенном языке. Поэтому возникает вопрос, можно ли под
разделить высказывания определенного языка на высказыва
пня, истинность которых может быть обоснована исключитсль
но средствами принятого языка и средствами принятой кй/Всо
реальной системы, и высказывания, в обосновании истинности
которых необходимо обратиться к иным средствам. Это и есть
собственно проблема аналитической истины в ее логическое
аспекте. Ее решение состоит нс просто в ответе «да» или «ист»
а в нахождении точных и строгих критериев подразделения
высказываний на аналитические и синтетические.
Эта логическая проблема непосредственно связана с гне
ссолг»! ичсской проблемой обоснования структ уры языка науки
Каковы критерии принятия языка науки (логики, катсгориаль
ной системы мышления)? Есть ли это чистое соглашение п
принятие системы детерминируется некоторыми мотивами вн
сферы познания или же оно является в определенном смысле
познавательной задачей? В связи с этим встает вопрос об уни
нереальном или неуниверсальном характере обычной системы
мышления, а также вопрос о том, песет ли мышление своей
структурой некоторую информацию о впслингвиетической рс
алкности, т. с. имеют ли аналитические выеказыпапия чисто
ли-:; •.•.псткчсскую природу пли нечто сообщают о познаваемом
6?
4 i Логическая истинность
г »н«литическая истинность.
11<|<гулаты значения
нк было показано выше, понятие логической пето кости
шпгрнретированной языковой системы, по крайней мере
Й >. i .шдлртных экстенсиональных языков, может быть уточ-
Ки г. ж истинность ео всех возможных реализациях языка
К> и истинность во всех областях при любых нглерпрета-
«II» •)
При условии четкого разграничения знаков на логические и
гнвныс вопрос об уточнении понятия логической истин*
К»|ц и тем самым логического следования, можно считать ре-
Мвй*-> Однако класс аналитических истин шире класса логв-
in пгнных высказываний.
|'||»лнчсннс аналитических суждений двух родов проводится
К9личными авторами, но вопрос этот довольно запутан, осо-
Bhn" относительно аналитических высказывании второго рода.
КО" прямо выделяет два класса аналитических истиц и уно-
нт термин «логически истинный» для более узкого рода
|<т шизапий (типа «Фидо черен или Фидо не черен») н тср-
Ий •явалнгвческий» для более широкого класса высказыва-
нии । iiiu.i «Если Джек холост, то он по. женат»). При .этом ло-
В«к< । уи> истину (аналитичность в узком смысле) он определяет
Кц «нысказыванис, которое истинно и остается истинным при
ДВ(Г<ых интерпретациях его компонентов, кроме логических ча-
► । ин»1.
Нцрактсрной чертой аналитических высказываний второго
Mty.। п, согласно Куайну, является то, что они могут стать ло-
К|гткой истиной в результате замещения выражений их еппо-
Кынми: «Если Джек холост, то он не женат» — это высказы-
Кц*1> Аналитическое в широком смысле; «Если Джек холост,
К и । М1.ЧОС1» — это логическая истина.
I уяйи считает что главная трудность связана нс с логиче-
|bii и истинами, а с высказываниями второго класса, которые
Апин'яг от определения синонимичности. По существу, Куайн
Rj-n । лег аналитичность в узком смысле и отбрасывает аиали-
»Н1пчсгь второго рода. Согласно Куайну, понятие аналптиче-
► •’II истинности правомерно лишь в отношении логических,
uni более широкое ноши не аналитичности предполагает вве-
М'" других понятий, требующих в свою очередь такою же
Ьеыи исния, как и понятие аналитической истинноеги. Болес
К|н на наш взгляд, признание Куайном логических истин
ш> । принципиально иной смысл, чем. например, у Карнапа.
Ки п иная правомерность выделения класса логических истин.
Kinin имел в виду не аналитический характер этих суждений,
[ ниш, предметное отграничение области логики. А это до-
^Kh rcsi посредством разграничения логических л дескрипгтв-
К* ”'1ков.
63-
В какой-то мере под влиянием критики со стороны Куан i
Карнап отступил от своей первоначальной трактовки апалитп
чгского знания как логически истинного. Вслед за Куайном сп|
употребляет термин «аналитический» для более широкого кр
га высказываний, а термин «логически истинный» — для бол к
узкого. Карнап пытается провести уточнение понятия аналитич]
носги в рамках семантической системы посредством использ*
вания постулатов значения.8.
Пусть у нас имеется логическая система М. Если мы к hci|
прибавим какие-то нслогические постулаты Р, то получим си
стому Л!'. Если высказывание .4 логически следует в М из '
(т. с. Ртэ/1 «//-истинно в Л1), то А аналитически истинно в А«
Или в терминах описаний состояния: /1 аналитически истин ы
относительно постулатов значения Р тогда и только тогда, ко
гда А выполняется во всех тех описаниях состояния, в когорт
выполняются Р.
Если под «постулатами значения» иметь в виду просто я
которое множество высказываний, то предпринятое Р. Карка
пом расширение. класса аналитических («//-истинных относ
только постулатов значения) высказываний охватывает боле
широкий круг высказываний, чем этого требует Куайн. Пол
жеинс «Если Джек холост, то он нс женат» будет авалнтичс
ским только в системе с постулатами значения. По в chctcmi
с постулатами значения аналитическими будут не только пред
ложения этого типа, по и другие. Так, если за постулаты зн
чений принять аксиомы геометрии, то в этой системе апалитп
ческой окажется любая теорема геометрии. Таким образом
аналитическими высказываниями в широком смысле оказыва
ются не только те высказывания, которые преобразуются в л<
гические истины на основе использования постулатов, по и тс,
которые логически следуют из них.
Р. Карнап специально оговаривается, что его «поступать
значения» не тождественны понятию системы аксиом. Согла»
но Карнапу, выбор постулатов значения определяется нс зие
писм относительно фактов окружающего мира, а решением
«относительно значений, т. с. способов употребления дескрин
тинных постоянных»9.
Пусть мы имеем высказывание: «Если Джек холост (В), то
он не женат (С)». Согласно Карнапу, этот пример не охваты
вастся определением Л истинности. По если мы сформулируем
постулат \-х(В(х)=лДС(х)), го этот постулат дает нам как ра
то, что существенно для аналитичности, а именно устанавли-
вал’г несовместимость свойств й и С. С точки зрения Карнака
это логические отношения, и если такие логические отношения
имею;- место между подразумеваемыми значениями исходны
предикатов системы, то они должны быть сформулированы По
средством постулатов. Аналитичность в широком смысле и ба
П'рустся иа таких логических отношениях (тина совместимо
сги. несовместимости), которые существуют между знач<
64
s и К'.цшмх предикатов системы. Постулаты значения как
ниш, формулируют их. Но в таком случае нельзя со-
*« . и е Р. Карнапом, что принятие тех или иных постула-
делом просто решения.
ylim рассмотрении различных видов аналитичности пеобхо-
К нм<1Т. в виду ту интуитивную основу, исходя из которой
экспликация. В чем различие между высказыва-
|Кмп си кого типа, как:
I «Фидо черен или Фидо не черен».
f «Квадрат—это равносторонний прямоугольник».
I Тело протяженно».
4 |Сумма углов треугольника равна ISO'0».
В|1 Первом случае мы имеем дело с аналитическими высказы-
№«'11, являющимися результатом замещения переменных в
0|||ч<1' I.UX аксиомах (или их следствиях) дескриптивными зна-
Ии Во втором случае мы имеем суждения, являющиеся ре-
KtJiiiM подстановки дескриптивных знаков в логические
Мш inn., (или их следствия) на основании принятых дсфини-
Дефиниции здесь играют роль постулатов значения,
ip п.см случае мы имеем аналитические суждения, являю-
ВЬ><ч преобразованием постулатов значения логическими сред-
Kivr И в последнем случае имеет место высказывание апа-
щ.ц1Ч'1Л1 (или логически) истинное относительно системы ак-
1м кометрпп.
II' угулаты значения вводились с тем, чтобы отвеешь на во-
и статусе анал и Гически.х высказываний в широком смыс-
I । । высказывания, нс являющихся Л-неги иными, но исгнн-
м<| н.1 основании значений. Если пост) латы значения понк-
' просто как некоторые принятые, множества высказыза-
^,1'1 постулаты значения дают слишком много, если же в
|<« не постулатов выступают не любые множества высказы-
««•' >п а лишь множества высказываний, удовлетворяющих ка-
п особым, условиям, т. е. специфические в некотором с.мыс-
югда эта специфичность не установлена и :ie определена.
пРщдимо уточнение критериев принятия пос тулитов зиа-
••1ПН
§ 3. Аналитическая истинность
ник истинность во всех
допустимых интерпретациях
I 1Ь'НЯтис возможной реализации является одним из утопне-
ц< 1ПШЯ1ИЯ возможного .мира. Класс возможных реализаций
В' । । максимальным лишь при условии, что исходные термины
В« < мII-риваемого языка взаимонсзависимы. Если выявить и
фш 1 провать некоторые зависимости примитивных предикатов
;*<> прутик исходных терминов), т. е. принять постулаты зпа-
Biiiiii io класс возможных миров сужается. Именно в качест-
| I 'I I ми;:|кэ(>.э
65
инпры у, 3:
^>vii"Moi .тгельиые знаки: ), ( и , .
'ii.ipii ж формула и формула определяются обычно
• будем рассматривать как логический знак; во всех
Hhnniux реализациях он имеет одно и то же значение.
11 • • обстоит дело так же, как с «У» и «-.»: как только
МЯроп । индивидная область, так однозначно приписывается
|шы11< « », равно как и «7», и « J».
II к ни етве I* выберем интерпретацию с индивидной об-
... V {1, 2, 3}и функцией приписывания дескриптивным
ве «возможных миров» рассматриваются уже не просто I
можные реализации, а те возможные реализации, в кото 1
значимы постулаты значения.
Но можно поступить наоборот. Нс исходить из постулат Л
значения как данного, а в основу положить понятие йоиугтД
мого класса возможных реализаций. Если допустимый кл I
возможных реализаций нс совпадает с множеством всех в >1
ножных реализаций, то термины рассматриваемого языка к!
будут независимыми. При этом предполагается, что «возмс 1
ным миром» этого языка является уже по возможная реали 11
ния, а допустимая реализация И отсюда аналитическая ист I
ность определяется как значимость во всех допустимых реали!
зациях (а логическая — как значимость но всех реализация.iI
Пона каком основании из класса всех реализаций вы I
ляется некоторый класс допустимых реализаций? Каковы огр il
нпчения, накладываемые на понятие допустимого класса рс • I
лизаний?
Очевидно, что первым требованием является, чтобы нигер I
предания 1", с помощью которой осуществляется перевод с ой I
битного языка на метаязык, определяла реализацию М*, при!
надлежащую к допустимому классу реализаций.
Это требование вполне разумно, но слишком слабо, чтоб ‘I
ограничиться нм одним. Ниже мы предлагаем более силы: I
требование к допустимому классу реализаций. Под допустим, I
реализацией языка L мы имеем в виду реализацию, нзоморд1^^_ , 6ш1.;ркым ОТП01пеписм между примитивными дсскрип-
н'*\’ . Ttii.i hi знаками языка L и объектами. ....
Понятие изоморфизма возможных реализации, конечно, о “ 1,1 "• ' р изоморфных интерпретаций- 1вк. ««тер-
лично от понятия изоморфизма детерминируемых ими рсляп I"’ \, ,пжна ь ' В качестве w выбепем следующее сл-
анных систем. Возможную реализацию можно рассматриват । ^^i",noi « изо ч j
как систему, объектами которой являются примитивные пел1
гичсские знаки словаря А, некоторая система впелингвистичс I
ских объектов (индивиды, свойства, отношения и г. д.) и отн
шение I между ними. Пусть (А'|, А, !]) и (Х2, А, 12)— две. ре I
лнзацни языка L. Реализация (Хь А, 1|) изоморфна реализ I
нии (Х3. А, 1«), если и только если существует взаимно-одш I
значное отображение гр первой системы на вторую такое, чт I
(J) если s=A, то cp(s)=s, (2) каждому индивиду йетА', ел
р.п гея в соответствие индивид ф(«)сХ2, «-местному отношен и •
на Х-. п-местпос отношение па Хя, fe-местпой функции и ।
Х|—Л-местная функция на Х3, (3) для всех sc~A ii(s)=w те
гда и только тогда, когда I2(<p(s)) — <р(ш) (или в силу iiynKi
(1) i5(s)—гр(гн)), где гп объект соответствующею тина.
Проиллюстрируем введенное понятие изоморфизма возмо
чых реализаций (или интерпретаций) на простом примере.
Пусть Li содержи! н качестве примитивных знаков:
1) 4 индивидных константы — а, Ь. с, <Г.
бесконечное число индивидных переменных: Хц х3,...;
две двухместные предикатные константы: =, Q;
пропозициональные связки: “| &, \/, zj;
a b c d Q
| । » имеет обычный смысл или же может рассматриваться
пикцпение, заданное следующей матрицей:
1112 2 2
2 3
л л
1
л
2 3
л л
Примером реализации.
1
и
отличной
3
1
и
от
3 3
2 3
и
М*,
a btdQ
л
может служить
Функция приписывания значений дескриптивным константам
a b с d Q I 2 3 >
4)
взгляд кажется, что каждое предложение, зиа-
интсриретацин, будет значимо в каждой интер-
.." , ’’’ г. предложение
[<» в) значимо в №.*, так как 2>1, ио нс значимо в Мг,
д7<3 ио имеет места.
II > пвределепия непосредственно вытекает, что если два при-
чинных знака обозначают в некоторой реализации М один
пн же объект, то они будут также обозначать один и гот же
• I । н каждой интерпретации, изоморфной М Действительно,
BL т н г л М; принимают одно и то же. значение и М4 изо-
fo'I'Hir М,-. Пусть s в М, принимает значение t. Тогда $ и МА
К*. । шачсние. ф(0» г также по условию принимает значение
1 М н отсюда в М.4 значение <р(/), г. е. s и г принимают в М,4
ъ и то же значение.
I hi язык содержит логическую константу «-=», то нредло-
Mh< вида s — r, где s и г дескриптивные знаки, будет значимо
67
III первый
IIII в одной
jt.iiiiiii, ей изоморфной. Однако это не так. Так.
так
66
I» интерпретации, если s и г обозначают один и тог же объе
Отсюда:
если н «г» нрлмптшшыс дескриптивные константы i
предложение «5 —г» истинно (значимо в ГА*), то о:п> акали >
чески истинно (значимо ио всех допустимых реализациях).
Для построенного языка Lt с М*. как указано выше, прими
ром аналитически' истинного, но не Д-кстинного предложи и
будет а —с.
Мы специально подчеркнули, что речь идет о примшивш.
дескриптивных константах. Они всегда нечто обозначают
обозначают только одну сущность. Сформулированные выл
утверждения нельзя распространять па дескриптивные знак
вообще. В частности, выражения дескрипции («тот. который..
не. подчиняются сформулированному утверждению, т. с. в одщ
допустимой интерпретации две дескрипции .могут обозжтчз
одно п то же, по в другой допустимой интерпретации — д
различные сущности. Более того, в одной допустимой :гн терир
тапии дескрипция может обозначать определенный объект,
в другой интерпретации «быть пустой», не обозначать ника ко
объект а.
Сформулированное памп определение аналитической нстш
пости как значимости в М* и всех реализациях, изоморфны
М*, позволяет устанавливать не. только тождество примигииць
знаков, но и их различие! Действительно, если s и г в АГ и?
писаны разные значения, например, t и </, то а любой друге
допустимой реализации им будут также приписаны разные зн
чения. Если бы в М., изоморфной М*, s и г было бы приписан
одно значение, то в М* им также должно быть приписано од:п
значение, во поскольку по условию в М* им приписаны дг<
различных значения, то ни в одной допустимой иктернретйцг
им пе могут быть приписаны одинаковые .значения.
До сих нор мы иллюстрировали синонимию примитивны
дескриптивных знаков на примерах индивидных констант. И
ю же самсе относится и к синонимии примитивных дсскрн i
"мвпых предикатных знаков. Если два примитивных предика
лых'знака обозначают одну п ту же сущность (функцию) в М
то они будут обозначать одну и ту же сущность в каждой дрх
гой допустимой реализации. II если два предикатных знак
в М” обозначают разные сущности, то п в других допустимы
реализациях они будут обозначать разные сущности.
Вместо того чтобы говорить о силоипкпи предикатных' знч
ков, можно говорить об аналитической истинности формул вид
?(A’i.. A'n)-^£(л’|, ... .х.Г1) или их замыканий всеобщности.
До сих । ор мы говорили о синонимии примитивных знаке
Как обстоит дело с синонимией нспримит явных, сложных 31 ,
ков? Достаточно ли нашего критерия, согласно которому, в.
пример, два индивидных выражения г и s синонимичны, сел
предложение г—$ аналитически истинно, или же два fe-местнь.
предикатных выражения /’ и Q синонимичны, если предложен!!
ез
,, Mf ♦ , (/’< V„ x^—Qixi, X.0) аналитически истинно?
Ивлп принять этот критерий синонимии для сложных выра-
^К| I.. Вопрос о синонимии двух сложных выражений свсдет-
i< 1ро,у о синонимии примитивных знаков. ВХОДЯЩИХ
К* и проблеме //-истинности (общезначимости) некоторого
^^EmiTHiH, гик как имеет имссто следующая теорема:
Wjp. i иимшие Л аналитически истинно тогда и только тогда.
Ир оГше-.нлчима формула «4°, где .4° есть результат замеще-
нЙ 11 ’ всех примитивных знаков переменными соотвстствую-
......... 'рпн, причем нее синонимичные между собой знаки
^•vi.iioii я одной я гон же переменной, а песинонимичпые —-
1.1*111
Ли» теорема может быть использована для установления
Ши ни вкч кой истинности. Но нет ли здесь круга, гак как Сп-
«Йнмню мы устанавливаем на основании аналитической истин-
11 i)i, » для установления последней опираемся на синонимию?
Й|)> । тдееь нет, ибо при установлении аналитической истин-
Жги мы опираемся па знание синонимии примитивных знаков.
пшпшмию примитивных терминов, мы решаем вопрос об
^К)н|пчеекой истинности (па основе сформулированной выше
Впнш) Наконец, умея устанавливать аналитическую кстин-
^К)., мы можем решить вопрос и о синонимии сложных выра-
1 f»“nn
Нрнпедем пример Л-истинкого, но не Л-истинного высказы-
[М|)«О1
ГV' & у>2=>х>т)о(10питср>,Марса & Марс>
И*'" ш'•!_ЯОннгер>Луны).
Сп илено нашему критерию, это предложение «.'/-истинно тог-
|| и иоп.ко тогда, когда общезначима формула
h V'/tf г (Р(х, у)&Р(у, z)zdP(x, z))^(P(l, u)&P{u. v}=>
^P(l, a-))..
AeiK<> видеть, что эта формула не является общезначимой.
(’липко указанная формула будет Л-истиииой. Согласно на-
। рптерию, это предложение Л-истиппо тогда и только
когда общезначима формула
ВЬ< ! y\fz(P(x, ij)&.P(y, z)=>P(x, z))^(P(t> и)&Р(и, п)=э
=>P(t,v)).
H i »га формула, как легко видеть, общезначима.
I При Тим уровне анализа, на котором мы ведем обсуждс-
-Мр смысл примитивных терминов трактуется чисто экстепсио-
Н>| u.i i> Каждый примитивный юрмин имеет одил-единствсннын
^Ктнпг, II вопрос о синонимии примитивных терминов сводится
В bi'iip н у <> тождестве и различии их денотатов.
ijiiiiiЧ1ПМИЯ сложных знаков заключается нс в тождестве де-
Сложные знаки вообще могут нс иметь денотатов или
М inn сложных знака могут иметь одни и тот же денотат, но
кЙрыих допустимых реализациях различные. Вопрос о си-
Wmoiiiii сложных выражений, как было показано, решается на
69
I
основе эквивалентности их структур и синонимии примитивен
знаков.
До сих пор мы рассматривали вопрос об аналитической и
тинности для языков, в которые не вводятся новые термины
Если новые термины вводятся с помощью явных определен ।
то вопрос об аналитической истинности для языка L.7i+1. со.и ;
жашего новый термин К, сводится к вопросу об аналитически
истинности для языка Ът, этого термина не содержаще i
Предложение. Lmii аналитически истинно тогда и только toi i
когда его перевод в L,,. также аналитически истинен.
Так, пусть Ln содержит примитивные предикаты; Л1 — му
чина, двухместный предикат «состоять в браке» — Б, двухьь
стпып предикат «быть ребенком» — Р.
Тогда можно ннследователыю ввести с помощью опреде. ।
нпй следующие предикаты;
х муж y=i>,.Af(x)&-|AI(y)&fi(x, у)
х онщ у-“1>?Л'Цх)&Р(у, х)
х мать у- f,r^jM(x)&.P(y, х)
X ДОЧЬ y = D! М{х}&Р(х, у)
х свекор у=£.'^г (х отец 2 & г муж у)
х свекровь у = д,3г(х магьг&гмуж у)
X родная сестра у — Djjsj и (хдочь z& г отец у & х дочь и
м мать у).
Для того чтобы установить синонимию двух выражений, i
пример «родная сестра мужа» и «дочь свекра и свекрови», п
обходимо заменить определяемые термины определяющим
выражениями до тех пор, пока нс получим выражений, состс ।
тих только из примитивных терминов. Если полученные выр
жеиия синонимичны, то и первоначальные также синонимичны
Синонимию указанной пары легко установить.
При пашем подходе подразделение знаков на логические ।
нелогические в фиксированном языке было основополагающим
Однако нам представляется, что подразделение знаков на .
гпческпс и нелогические не является абсолютным, а зависит с
ряда моментов, прежде всего от уровня рассмотрения: так, щ
одном уровне рассмотрения модальные и временные oneparopi
не рассматриваются как логические, но при другом — мог\
рассматриваться как логические. Далее, подразделение знак и
па логические и дескриптивные, no-видимому, зависит от усп •
хов в «рационализации» познаваемого. Тенденция исторически
го развития познания направлена к большей рационализацп i
к расширению сферы логического. Вряд ли уместно считать, чj-
сфера логического раз и навсегда замкнута и ограничиваете
пропозициональными связками и «количественными» онсратг
рамп общности и существования. Предположение о раешир
нии сферы логического, о превращении в процессе развития ч
ловеческого знания дескриптивных знаков в логические пач
представляется разумным. Во всяком случае, подразделен и-
на логические и нелогические знаки не абсолютно, а относи
70
ни < 'дпако для каждого данного языка логики подразде*
1Ц» । |шинтимных знаков языка па логические и дескрнитив-
<|н| епровапо.
Кггми ривасмая нами семантика является экстеисиональ-
г. и к иретико-множественной. Поэтому определение аналнти-
BLfi истинности для этого рода языков как истинности на
К».ппн правил интерпретации является чрезмерно широким,
^h ic в этом случае любое истинное предложение будет ана-
Mfen i.n истинным по крайней мерс для «бесконечного разу-
|.лк в свое время полагал Г. Лейбниц., Действительно,
свойство Р задастся списком (возможно бесконечным)
^Hfeioii, обладающих этим свойством, то вопрос о том, обла-
Mti । шпый объект свойством Р, может быть решен не эмни-
Kfr< i им исследованием, а с помощью обращения к интерпрс-
niiiii .Чти чрезмерные следствия свидетельствуют о том, что
^Кпч широком контексте исследования понятия аналитич-
,ф(н следует учесть возможность нсобъемной. содержательной
угрпрегадии.
ГЛАВА III
РОСТ ЗНАНИЯ,
КОНКРЕТНОСТЬ истинности
СЕМАНТИКА ВОЗМОЖНЫХ МИРОВ
И
§
1. Проблема истинности утверждений
будущем, возможном и необходимом
В предыдущих главах было показано, какие важные .розу, i.l
тэты вытекают из простого классического понимания истннж Г
ти как соответствия знания действительности, прпменепн о I
к стандартным экстенсиональным теориям. Однако классячг- |
кая концепция истинности сталкивалась с трудгос.гя.мп п
применении к анализу утверждений о будущем п прошло:,
к модальным утвержденьям о возможном, необходимом, ел1,
чайном. Тик. чему н настоящем соответствуют утверждена
о будущих событиях? Может ли утверждение о завтрашнем с
бытии рассматриваться как истинное сегодня, и если да. i
чему оно соответствует? Если действительность понимать в дух<|
атомизма Витгенштейна, как совокупность наличных факте
ситуаций, pcftiHTb проблему невозможно. При таком поппмаив
действительности нет иной необходимости, кроме логически
С позиций диалект ического материализма действительность pa ।
сматривается не просто как совокупность наличных ситуацн
а как то. что включает взаимосвязи, содержит в себе тенденци i
и возможности будущих состояний. С. другой стороны, настоя
1це.е содержит последствия прошедших событий, обусловлю
предшествующим состоянием. Такой более глубокий полке
к пониманию действте.чьпостн в своеобразной форме реалпз
ется в так называемой семантике возможных мирон. Сохраю I
стен классическая концепция истинности, но для се сохранении
при переходе к модальным и временным контекстам приходит i|
учитывать отношения между возможными состояниями действ
дельности, или, как говорят, между возможными мирами.
Речь идет пс об иных реальных мирах, отличных от iianicrJ
мира, в смысле иных планет, галактик н т. п. Такое рассмотри
ние лежит за рамками . ’ "
перебор обстоятельств, альтернативных
можны.х
пие лежит за рамками .дотики. «Возможные миры» моделирую г
" . : положений дел, н<и
относительно данного состояния или относительно и
которых фиксированных условий. Одно дело реально существ' В
TOlUCH. П МИПн ГОложонпа uan п ГИ’ТГТГ» ________ ГГГ\ПЛ\,/11Г«ГГ,. _
Тощее в мире положение дел, другое — положения
тимыс в
аппаратом, законами
мами н т. ,
щиеся с нашими установками — желанием, верой,
полагакисм, с этическими установками и, наконец, даже с ми
раки мечты или фантазии.
дел, лону
соответствии с нашим знанием или концептуальным
логики, принимаемыми гипотезами, пои
г»м иника возможных миров фактически моделирует —
। хгматпзируя и огрубляя — определенные аспекты рс-
’, процесса познания. Реально люди учитывают более
пин возможный ход развития событий, и если рассматри-
IK .....ятийный аппарат, который используется при этом, то
Kmv i учитывать возможные направления развития собы-
। 1ПШ.ЫС от того направления, по которому пошло дейст-
ВК(H.ii'ie развитие» ’.
1')щя возможного мира не является необходимой при пост-
семантики стандартной классической логики, при вве-
понятия истинности для экстенсиональных контекстов,
hi > «ilia нужна при определении понятия логической кстин-
i । н логического следовавня. Выше было введено понятие
^^K)i клон реализации, г. е. множества индивидов вместе с
fcHiirit интерпретации,— это и есть один из способов enn-
ui возможного мира, возможного положения дел. При
|нм подходе возможный мир задается множеством атомяр-
ныеказываний или их отрицаний (описание состояния).
Гпм случае под возможным миром имеется и виду совокуп-
I. фактов, задаваемых этими высказываниями. Следует
юркнуть, что есть простые и сложные высказывания, по-
мпам которых могут описываться возможные положения
ни нет атомарных фактов, из которых составлялся бы мир.
Можно, применив оборачивание метода при построении сс-
1МП1Ю1 возможных миров, исходить из множества возможных
ф!Ч1 как чего-то данного и' ввести одпу-единственную фулк-
Ю интерпретации, но в таком случае эта функция будет фуцк-
гН двух аргументов нелогнческой константы и возможного
J.i Идеи реляционной семантики восходят к лейбницевской
। ihi.hu возможных миров. Если Кант исходил из логики
до чего-то данного и потому сама идея возможного мира высту-
ВД производной, то у Лейбница идея возможного мира явля-
г в нпрвичпой и логические, необходимые истины опрсДсляют-
П*|>к истины во всех возможных мирах.
1 Lh пополол агаюшая установка при построении семантики
ш не жстснсиональных языков состоит в том, что понятие
'^^Ьожпого мира привлекается не для уточнения логической
uiiiKicTH, а для уточнения понятия истинности выскиныоиниа-.
Ait Lin возможный мир рассматривается как элемент иекото-
ковокуппос.ти миров, наделенной некоторой структурой.
(Цы 1..1 можно встретить утверждение, что семантика возмож-
J миров слишком абстрактна и является скорее формальным
Etiii |*.<1М исследования интересующих пас систем, чем содср-
и.ным их истолкованием. Однако, как нам представляет-
_ _____ ‘ ----- |* ,| чи обстоит иначе Начнем с наиболее ясного случая —
л ’ занимают положения дел, согласуй Иц ипргцой временной логики. Чтобы нс .загружать изложение
.мнение |рМ1|,
кткимн подробностями, остановимся только на пропози-
Иимн.1 н.пой временной логике. Помимо обычных классических
|дон>|'. включаются временные связки Н, Р, G, F, имеющие со-
сое гонт
73
ответственно следующее интуитивное содержание, «всегда Г I
гак, что,.,», «когда-то бычо так, что..», «всег ш будет так, чт |
«когда-нибудь будет так, что..». Понятие формулы логики I
сказываний вводится стандар' 'ы.м образом. Под возможны ']
мирами понимаются мгновенные «срезы», состояния мира в ]
который момент, или просто моменты времени. Одни из ено* I
бов описания структуры временных связей осу шест вл я е I
с помощью отнонге шя «раньше», имеющего место между ; I
ментами. Пусть W7 есть некоторо . множество м ментов (нс оГп
затсльно всех) nJ? — бинарное отношение, Rhtj означает,
/г раньше li. Пару (IV' У?) назовем модельной временной стр i
турой Каковы свойства отношения R — зависит от ирнним
мод концепции времени. Следуе; отметить, что для различны
целей, в различных теориях могут допускаться различные ид
лизации относительно структуры временных отношений. '1 i
в классической механике и классической физике структура в]
меня отождествляется со структурой действительной прямо
В специальной теории отпоемтеГьиосги свойства времени
порядка отличаются от свойств временного порядка класси
кой механики частиц При изучении дискретных процессов пр
нимают идеализирующее допущение о дискретности време н
Изучение вычислительных процессов помимо идеалнзанн
дискретности, приводит к необходим сти отказаться от услови
линейности временного порядка. Вообще говоря, свопе?'
времени могут описываться не только с помощью времени
порядка между моментами времени, но и путем задания
множестве моментов группы пли даже некоторой топологи,
Остановимся па случае, когда временная erpyt тура опнсапИ
с помощью бинарною отношения предшествования. Семан Я
ческая характеристика временных операторов вводится обтЛ
, • • . ..L i - ....— - - I 4Н1ГЛ.1Я l.llClLMcl I\f livmx tit и\Д1.1 мшшгаа.-wnun. vni-i*i uuviyw
мни образом. Пусть \tt-, /? — модельная временная струкгу ЖЬ| „ременные системы, основанные на других условиях сопря
I In ITT’k.f Г If'lWiH ’Till, IT'’ ОГТ/'ГТППГТГТГ, тНч n-i-r-r T-птг ГГЛТГЛ..,.,. ’
IV' Тепе
высказы
Подмножества IV7 естественно рассматривать как некоторо
события. Иными словами, мыслимые положения дел описы
ются множествами миров, в которых они имеют место3.
Пусть <р — функция, сопоставляющая каждой
налыюг неременнон некоторое подмножество из
стандартным образом вводим понятие истинности
нпй относительно приписав пня значений <р:
• v
а II— р <=> а <= ф (р),
f <г „ Ф
а II— А & R —А/\а — В,
ф _ Д1
at- | неверно, что и — Л,
а II—СЛ <=> у b (Rai) b — Л),
v «г
a ,—FA^ 3 b(Rab A tri1— Л),
а и— НА «=> V b (Rba^bw— Л),
а |Н- РА <=> 3 b (Rba A b II— ^)-
Формула общезначима в данной молельной структуре, если
ныл она общезначима И каждой возможной мире, т. с
кл.кдый момент из множества ЙУ. Формула уппверсальпо-об-
Ьпичхма, если и только если опа общезначима в каждой мо-
ри,ной структуре данного класса. Сам класс модельных струк-
П1 ie терминируется принимаемой концепцией времени.
Уже то допущение, что структура временного порядка опн-
ln.icTc-я с помощью бинарного отношения между моментами
I мини и неявно принимается, что «о позже «» является обра-
blincM отношения «а раньше е», детерминирует некоторую
ишимальиую» временную логику. Именно в этой логике будут
п< пачимымп формулы вида ””
Е^е)=>(слгзСВ), ; '
H (A^>B =)(HA=>HB},
________________ t_ /•’Л = “|6-|Д РЛ= 1/Г]Л, Аэб/М и
Жр///’Л, при общезначимости формулы А .общезначимы и фбр-
А .4
мм>- G/1 и НА (т. е. обоснованы правила 11 Т/Т Г
i тапдартными методами может быть доказано что пропо-
рциональная логика, расширенная указанными схемами акси-
ом и дополнительными правилами вывода, является полной
ф.рмализацией класса общезначимых формул «минимальной
«гики», 1. е. тон логики, которая детерминируется классом
ж х временных структур; в этом случае на временное отноше-
щ|| R нс накладываются никакие, дополнительные условия,
liiiиг iиную сне гему обычно обозначают К? Еще раз подчерк-
ам, чго при общей схеме описания временной структуры ука-
Ин1пдя система Кг вовсе нс будет минимальной. Выли постро-
Лышости будущего и прошлою 4
Г Как было отмечено выше, концепции времени, используемые
о pH 1ЛИЧНЫХ областях пауки налагают дополнительные онтоло
пропозпш ^кГ(.К|(е условия на временное отношение. В настоящее время
tfci.TTOHiro хорошо исследованы различные временные логики
грмннируемые- различными системами допущений о времсн-
iM порядке. Особый философский интерес представляют сис-
П мы, допускающие ветвление в будущее. Эти системы связаны
|<>|к;гом от жесткого механистического детерминизма (по су
Шг ту, предполагающего линейность временного порядка) 3.
Н .ало отмстить следующие моменты:
| но-нервых, удается распространить классическую концепцию
BlniiiiocTn как соответствия знания действительности па оврс-
М(|н иные высказывания;
I in> вторых, семантика возможных миров для временной ло-
>11111 является содержательной и интуитивно ясной,
и третьих, существует четкая корреляция между способами
75
74
рассуждения, способами оперирования с временными конт I
стами и онтологическими допущениями относительно структур!
и свойств временных отношений; связь логики с оитилогк 1
налицо. I
Семантику, основанную на отношениях между момента 1
времени или в общем случае между возможными мирами, ее 11
ственно называть реляционной семантикой, в отличие от друг, I
форм семантики возможных миров, в частности окрсстпостных!
Семантика возможных миров в форме реляционной ссмангим!
первоначально была сформулирована не для временных, а д. I
модальных логик С Кайсером, Я- Хнптиккой, С. Крипке J
рядом других исследователей. Па множестве возможных мирг J
фиксировалось некоторое отношение, достижимости (альтерн I
THEHOc.ru). удовлетворяющее определенным свойствам (рефле I
сииности, транзитивности, симметричности и г. д.) Такю!
путем удалось построить достаточно естественные семантик!
для ранее построенных систем модальной дотики Т, S4, В, S I
S4.3 п многих других.
Отмечают, что в силу абстрактности свойств, которыми а. I
делается отношение достижимости, реляционные семантики к!
вскрывают содержания таких понятий, как алстическая нео< I
ходимость, возможность или случайность. Действительно, ссль|
в семантиках временных логик свойства отношения доетижн I
мости обусловлены определенной концепцией времсЙи, то oti? I
шение.^ достижимости в семантиках элегических модальности I
характеризуется общим образом: выявляется нс то, каково эт'1
отношение конкретно, а лишь то, какими обшими свойствами!
оно наделено. Однако это отнюдь не значит, что модальные one I
раторы вообще нс получают содержательного истолкования I । I
меткому замечанию В. Рзнталы, не следует преувеличивать po.ni I
семантик возможных миров в исследовании философского сны I
ла модальных понятий, в и» концептуальном анализе, однако ниI
в коей мере не следует и недооценивать тс важные ироникне I
пения, которые позволяют делать теоретико-модельные пистрн I
пия в том же концептуальном анализе.
Более того, привлекая дополнительную информацию, можп I
давать и более конкретное содержательное не толкование алети I
ческим модвлышм операторам Г Конкретизация может, папр i1
мер, идти по липин их интерпретации в терминах временных!
понятий. Так, еще со времен античности алстическис модаль I
ности пытались определить в терминах временных операторе! I
Диодоровская необходимость понимается при этом как то, чт I
есть и всегда будет, а возможность — как то. что есть ил I
когда-нибудь будет, т е символически: □ и 0.4 = I
А\/FA Такое понимание возможности не обязательно трак I
то'вать в духе фатализма, так как FA при стандартной инге[ I
прстации понимается как «возможно когда-нибудь будет Л I
Лишь в случае постулирования линейности в будущее «во. I
можно когда-нибудь будет Л» совпадает с «обязательно когд< !
76 '
»T|>jii. будет Л». Логики с оператором «обязательно когда-ип-
J7il будет Л», так называемым цирсовскпм оператором, в пос-
цщп годы интенсивно исследуются7 Второе истолкование
*>> । (лыюстей — мсгаро-аристотелсвское: □Лгя//Л&.4й(7Л, т. е.
Кюходикп то, что всегда было', есть и всегда будет, и ОЛ-~
Г В последние годы предложено повое, своеобразное опреде-
IviLe модальных операторов через временные, возможность
.Win густея как то, чю могло бы быть оЛ = /-*Л4, а пеобходи-
И' г как HGA ®.
Грвктовка алогических модальностей в терминах врсмеп-
um безусловно, придает им столь же содержательную ишер-
г| |.тцню, как и временным операторам, и также зависит от
Кш.имасмой концепции времени.
Но-виднмому, элегические (онтологические) модальности
Кончаются от логических модальностей, на чем настаивает
М Хшпнкка. Можно ли дать интерпретацию логических мо-
Клыюстсй и терминах семантики возможных миров? На наш
|л ляд, определенный свет на эту проблему проливают успехи,
i пгпутые в построении так называемой доказуемое гной ло-
мки. В. Куайн неоднократно подчеркивал, что необходимость
• и гнется скорее, метапрсдикатом, а не оператором объектного
iix’Ka. К. Гёдель в 30-е п поставил проблему аксиоматизации
> (дальний логики, в которой модальный оператор понимается
•• н аналог мсталредиката доказуемости. В языке арифметхжи
I’ можно сформулировать предложение, которое является псре-
t in ivt с метаязыка утверждения Док (|_-^_ )• ссть 'ёле-
джнекрн номер предложения /1, а метаязыковому предикату
г пазуемое т и вполне соответствует некоторый числовой предп-
k нт. определимый в арифметике. Цель состоит в том, чтобы
11.1 модальной логики интерпретировать как перевод утверж-
||< | ня арифметики Док (|_А_). Над этой .задачей интенсивно
Нжботали 1\. Гёдель, 11. С. Новиков Р. Монтегю. Ре.'пение было
иыпдепо Р. М. Соловьем \ Логикой, формализующей подобное
нпикманис необходимости, оказывается система K4W, введен-
1яя К. Ссгербергом в качестве одной из систем временной ло-
рики. Ее аксиоматика проста; к булевым тавтологиям добавля-
ются □ ('□ ЛдзПЙ), D/lnCD .4 (аксиомы системы
1'1), формула Лёба С (□Ло.-1)гэГЪ4; правилами вывода явля-
ются modus poncns и правило Геделя — - Значительный
г' тад. в разработку доказуемостнон логики внес А В. Кузнс-
ц>л<
I • Построение доказуемостнон логики позволяет поставить
ft и'дуюшпп вопрос. Понятие логической истинности для перво-
ш.рядковых языков, как хорошо известно, формализуемо и ран-
им бьемпо. понятию доказуемости в исчислении предикатов
юркого порядка. Этот предика г определим в арифметике.. Ка-
i.'?ua будет пропозициональная логика, если ОЛ интерпрети-
77
ропать как утверждение о доказуемости Л в исчислении пред <
катов первого порядка?
С другой стороны, мы знаем, что понятия логической нети
ноет и для языка второго и более высоких порядков не язл
ются арифметическими. Это проливает свет па скепсис Я. Хш
тиккй относительно возможности формализовать идею логине
кой необходимости. По-видимому, это можно сделать для лог;
ки первого порядка, по не для нторопорядковой логики.
Ит ак, мы видим, что семантика возможных миров, в,част
кости в форме реляционной семантики, дает определенную сс
держатслькую интерпретацию временным н алогическим мт
дальним операторам. Это, конечно, не означает, что мы доли
ны ограничиться исследованием только тех систем, которы
к данному моменту обладают содержательной интерпретацией
Выработка целого класса логических систем, детерминируемы
различными условиями, налагаемыми па отношение достижп
мости, так сказать, впрок — необходимое условие успешное
развития логической науки.
В результате разработки семантики возможных миров уда
лось реализовать классическую концепцию истинности и отно
сительно оврсмснештых и модальных утверждений.
§ 2. Реляционная семантика
интуиционистской логики
и проблема роста
и накопления знания
Теоретико-множественная семантика, описанная в предыду
1цнх главах, полностью абстрагируется от того, что знание
не дано раз н навсегда, что знание есть результат нозн^ва
тельной деятельности, протекающей во времени Даже в § 1
этой главы, где речь шла о временных логиках, фактор времени
учитывался в объективном, онтологическом плане как относя
шийся к событиям, а нс к знанию. Рассмотрение познания ка>
процесса и соответственно рассмотрение знания как исторп
ческого продукта является важнейшей чертой марксистской
теории познания, ленинской теории отражения.
В логике вопрос о познании как процессе встал в связи
с построением и истолкованием интуиционистской логики. Пи
туициопистекая логика учитывает фактор времени, ио он ка
сается в этом случае наших знаний о фактах, событиях, «1 не
самих событий. Само знание рассматривается как возникаю-
щее со временем. А, Рейтинг в одной из ранних работ притизо
поставил интуиционистскую логику как логику знания класси-
ческой логике как логике бытия Реализация этого подхода
к семантике ставит пас перед дилеммой: или же отказаться от
чрезмерно сильных идеализаций теоретико-множественной се
«антики и для интуиционистской логики построить кешетрук
78
£.ivio семантику, или же попытаться ввести дополнительные
юры. не пересматривая основных идеализаций тсоретнко-
сетвснного подхода. Первый «уть был реализован совст-
। конструктивной школой А. А. Маркова. Была построена
|г>п< фуктивная семантика нс только для интуиционистской,
и для классической логики |г, Второй путь также оказался
Ь'ыпжныи. С. Крипке и Л. Гжегорчик построили теоретико-
иижественную семантику возможных миров для ип 1ушшонв-
Ггкон логики ,3.
Погружение классической логики в интуиционистскую поз-
Жычет рассматривать последнюю как некоторое обогащение
Кт к си ческой логики.
Г Сначала была построена семантика возможных миров для
• < |и>шо известной модальной системы S4. Связь интуиционист-
Kiiii логики с модальной системой S-1 была установлена ранее;
Л Гарский предложил перевод интуиционистской логики в S4.
|1'>>гому вполне естественна идея построения для интуицнопм-
<4 < коп логики реляционной семантики, аналогичной семантике
ч кт S4.
Г Однако имеется существенное отличие в содержательном
»ь и>лкованин интуиционистской логики и временных или мо-
ральных элегических логик. В последних под возможным ми-
К|М имеется в виду возможное состояние внелингвистичсских,
Внелогических объектов; отношения достижимости (пли вре-
менные отношения) понимаются как объективные отношения,
Bi ношения между онтологическими сущностями.
При построении семантики возможных миров иптунциоиист-
<iioii логики под возможными мирами понимаются состояния
|иапия. Временное отношение, (отношение достижимости)
Трактуется, соответственно, как отношение, имеющее нс онтоло-
Ггочсский, а гносеологический характер. Знание, как и объекты
исследования, нс дано раз и навсегда. С прогрессом познания
может расширяться предметная область и расширяться запас
пиния. При построении семантики интуиционистской логики
I tin пускаются достаточно сильные идеализации. Во-первых,
предполагается, что объекты познания могут появиться, но
нс могут исчезнуть. Пусть а, Ь. с. ... — возможные миры. А’
ы 1ь временное отношение между состояниями знания (пред-
полагается, что оно транзитивно и рефлексивно, г. е. тракту-
‘гп’Я как «раньше или одновременно»). ’Г есть функция, сопос-
i.паяющая каждому моменту времени (состоянию знания,
возможному миру) область объектов, доступных исследователю
и этот момент. Первое предположение формулируется в виде
/.,,|/?=>’И(а) (fe). Во-вторых, принимается сильное донуще-
"II что знание растет, шаг за шагом, но уже добытое знание
но забывается, оно не может отбрасываться и корректировать
тч. т. е. принимается А’аЬД « — Л = ftiH-А. Логические связки
1!'>пыо.чкция и дизъюнкция понимаются гак же, как в класси-
ч сков логике14. Но отрицание и импликация интерпретируют-
79
см по-новому. Отрицание трактуется не как нспстмпяосгь к
сказывания в данный момент (и нс как утверждение, что в да ।
пын момент истинность высказывания неизвестна), а как пр
нятис того, что оно нс будет ИСТИННЫМ ни в один из последу!
щих моментов, как бы долго исследование ни продолжалось
т. е.
«г- fl-
а II— Л .4 ** V b (Rab => b ||=й= Л).
Аналогично по-другому трактуется и импликация:
<р « <р
а II—• -4 „ В b (Rab (Ь Л b ||— В)).
Квантор существования интерпретируется так же, кзт
в классической логике, а квантор общности следующим об
разом:
о • if
аулЛVЬ'\/y-.(Rab/\ ф —Л).
X
Эта семантика является адекватной для интуиционистской
логики.
Таким образом, в определенном плане удастся учесть фаю
рост и накоплении знания. Проблема роста и накопления
знания является лишь одним аспектом более широкой пробле-
мы изменения и развития знания.
Другим, также частным аспектом этой проблемы является
вопрос об отбрасывании гипотетических (неадекватных) эле-
ментов в нашем знании. В гипертрофированной форме эта проб
.тема рассматривалась К. Поппером, который прогресс знания
усматривал в' последовательной фальсификации гипотез. По
реальная проблема здесь имеется и она может быть исследова-
на с. помощью хорошей логической модели. Мы можем постро-
ить формальную систему, двойственную интуиционистской логи-
ке. Изирстцо, что интуиционистская логика может быть постро-
ена в виде секвенциального исчисления с темп же правилами
вывода, что и классическая логика, но с одним ограничением
сукпедснг секпенцин нс может содержать более одной фор-
мулы. Мы получим систему, двойственную интуиционистской,
если потребуем, чтобы, в отличие от классического случая, ан-
тецедент секвенции содержал бы не более одной формулы 15.
Для нас важна семантика этой логики. Вместо условия сохран-
ности истинности в случае интуиционистской логики постулиру-
ется условие сохранности ложности. Если нечто па данном шаге
исследования мы отбрасываем, признаем за ложное, то с прог-
рессом познания оно никогда не может стать истинным. В более
общем контексте к этого рода проблемам мы вернемся
в главе 4.
£0
§ 3. Проблемы смысла
в семантике возможных мироа
Референциальная семантика является сугубо акстснсиональ-
fiil, и проблема смысла выражений, содержания понятий на ее
Сне не решае тся. Однако смысл логических констант в иеян-
d<>ii форме играет важную роль » в референциальной семати-
1< Проблема смысля, содержания логических выражений яв-
нется одной из центральных в логике. При обсуждении проб-
к м логической и особенно аналитической истинности мы уже
олкнулнсь с. острой необходимостью уточнения понятия
Имела.
[ Семантика возможных миров предоставляет хорошо разра-
Ф тайный понятийный аппарат для постановки и обсуждения
.<•< ли не всей, то значительной части проблематики, связанной
П! понятием смысла и содержания. Но для этого необходимо
Обратиться к более обшей, чем реляционная семантика, форме
К'маитикн возможных миров, предложенной Р. Монтегю и
П Скоттом и именуемой окрсстностиой семан тикой 16.
Существуют разные способы представления окрсстностиой
семантики. Теоретико-множественная функция из множества В
и множество /1 записывается в виде! _4В. В частности, если 2 =
[ • {0.1}, то 2Л есть класс всех подмножеств В, т. е. 2Гг={Л | .4 =/>}.
Пусть /1, В, С — множества, тогда (.4с)<сС), /1Сх,,>С л (Л ,ь ') —
разные способы представления функций. Модальные, операторы,
интенсиональные предикаты рассматриваются н окрестное!ной
Ь/Kai;гике как особого рода функторы. Первый из упомянутых
пшеобов представления функций избирает Д. Скотт, второй —
Р. Монтегю, третий использует К. Ссгсрберг. Мы предпочитаем
последний способ, так как он позволяет развить некоторые но-
вые идеи. Поясним на простом примере эти три разных спосо-
ба приписывания значений интенсиональным операторам. Пусть
имеется пропозициональный язык с одним унарным модальным
оператором U и двумя классическими связками. Пусть IV —
множество возможных миров, <р функция, приписывающая
Ьиачения пропозициональным переметным: <р(р)2*’. •
Сложным формулам, пос троенным посредством классичес-
ких связок, приписываются стандартные значения:
Зн\р, ф)-ф(р),
Зн(Л&В, ф)~Зн(/1, 1|.:)|"|Зн(В, ф),
Зн{ .4,<p) = lV—.?н(Л, ф).
Пусть Qs=Wx2“', т. е. является бинарным отношением между7
мирами и множествами миров.
Тогда 3«(ОЛ, ф) — {u|«Q3h(A <()}.
Л го соответствует второму подходу — подходу Монтегю.
Пусть .V есть функция тина 2ц?-»-2'*'. Тогда
Зн (С Л, ф) = А' (Зн (Д, ф)).
Такое построение использует Д. Скотт. Пусть 0 есть функци
типа , т. е. О сопоставляет каждому миру семейств
множеств миров. В этом случае
Зн (П Д, ф.) -={а | Зн (Д ф) о0 (а)}.
Во всех случаях формула Д истинна в мире а при нрнннсы
нации ф тогда и только тогда, когда «€=3н(/1ф).
Нетрудно показать, что отношение Q и функции -V и 0 ива
имооцределммы друг через друга.
Окрестное!рая семантика (заданная одним из трех споен
бон) является более общей, чем реляционная. В случае систег
с одним унарным оператором «минимальной* логикой, детср
минируемой окрсстностнон семантикой, будет так называемая
классическая система Е (в номенклатуре К- Ссгсрберга), т. с
классическая логика вместе с правилом «если доказуема фор
мула Л=В. то доказуема 'формула □ДваПВ». Минимально;
логикой, детерминируемой реляционной семантикой, будет. ка>
отмечено выше, система К. Но если отношение Q удовлетвори
ст условиям:
V. oQSt/\aQS2=>oQSiriS2,
35(«(257\5^0).
то отношения Q и R взанмоопреДелимы:
aQS<=>yb(Rab=>b^S) и Rab<=>'tf S(aQS=>b=S).
Таким образом, реляционная семантика является частным слу
чаем окрсстпостной.
Но вернемся к нашей более общей проблеме — уточненщг
понятия содержания выражений в семантике возможных миров
Уже для обычной классической логики семантика возможны'
мирон позволяет ввести понятия экстенснонала (экстенсии) г
интснсионала (интенсии), которые рассмагривиются как экс
плнкаты в известном смысле пары понятий — объем н содер-
жание, обобщенных и применяемых нс только к общим терма
вам, по к высказываниям и индивидным выражениям.
Под интениионалом предложения имеется в виду множестве
миров, н которых оно истинно, т е. hit (А, у)=Зн(А, ф). Ин
'гснсионад предложения принято называть пропозициональным
концептом, хотя по смыслу понятие нптенсионала никак не охва
гывает того, что имеют в виду под смыслом, содержанием пред
ложения. Под зкстенсионалом предложения в данном мире
имеется в виду" истинностное значение предложения в данном
мире:
3ХМА ф)~Ь^<т&?«(Д ф) И Зх^(/1, Ф)-=1<=>аг*Зд(Л, ф).
Интенсионален индивидного знака является функция, сонос
32
нлиющая каждому миру некоторый индивид из области рас-
|»<1нрепня, ипгснсиопал индивидного знака целесообразно,
I k-д за Р. Карнапом, называть индивидным концептом. Экс-
ii жпоналом индивидного злака в данном мире является индв-
»ч11. В общем случае, если некоторому выражению в качестве
|ьсп’пс.ионала (и данном мире) сопоставлен объект из области
I то в качестве интепсионала ему сопоставляется объект типа
Интенсиональные языки отличаются от экстенсиональных
пЬежде всего наличием двух типов знаков: помимо обычных,
цепдяртным образом интерпретируемых экстенсиональных вы-
ражений, оби включают особые интенсиональные предикаты
н операторы.
Уже одноместная унарная связка С является интеясиональ-
iiuii. Если унарной связке “I в качестве интснсноиала припи-
сывается объект типа (22) а экстепспоиала — типа 2г (где
V (t, f}>, то связке П в качестве интепсионала приписывается
объект типа (2(2 или при других подходах — объекты типа
|21Г)<!1 ' (Скотт) или 2* г (Монтегю).
При построении логики с интенсиональными контекстами
мы стремимся, во-первых, к тому, чтобы каждое осмысленное
выражение имело как экстенсионал. гак и интенсионал. Ска-
танное относится и к интенсиональным предикатам и операта-
там (по их интенсионалы м экстенсии налы иного типа, чем ил-
। нснопалы в экстснсиопалы обычных предикатных и оператор-
ных знаков).
Во-вторых, мы исходим из идеи, что в интенсиональных:
языках пет двух типов высказываний и двух типов индивидных
«паков: все высказывания и вес индивидные выражения имеют
>><}ин тип интепсионала и один тип эксгснсионала. Эти требова-
ния приводят к идее: не только различать экстенсиональные и
интенсиональные выражения, но и ввести два способа прило-
жения функтора к аргументам и соответственно две обратные
нм операции абстракции. Таким образом, принципиальное от-
личие предлагаемого подхода к анализу интенсиональных
языков состоит нс в выделении двух типов предикатных и опе-
раторных знаков, а к выявлении существенно иного способа
связи интенсиональных функторов с их аргументами. На син-
таксическом уровне мы будем отмечать этот способ связи квад-
ратными скобками 1' [а | в отличие, от обычного Р(а) |?.
Кратко изложим идейную сторону нашего подхода. В осно-
IH- лежит теория синтаксических категорий, отличная от сган-
j иртной: п и 5 суть индексы категорий, если аир индексы
.. а а ’
категории, то — и = суть индексы категории.
а -
Выражения категории т- будем называть экстенеиональ-
83
.нымн, а выражения категории -
—1 принадлежит ка тегории —, а □
S
инте. щ-нопальны мп. Так
- категории . Так и
-синтаксисе языка получает реализацию центральная идея
различения двух операций приложения функтора к аргумент
и двух операций абстракции. Каждому знаку словаря и логи
чееквм знакам приписывается определенная синтаксическая
категория. Сложные выражения определяются индуктивно:
I) если /1 — выражение категории — и В — выражение
р
категории то Л (В) есть выражение категории а;
2) если .4 — выражение категории = и,В — выражение
категории 0, то .4 [В] есть выражение категории а;
3) если Л — выражение категории а и Р есть переменная
категории р и Р не имеет интенсиональных вхождений в /1
(т. с. ни одно вхождение Р нс находится внутри какой-либо
пары квадратных скобок), то 7.РЛ есть выражение катего-
р.„.
4) если а есть выражение категории а н Р есть перемен-
ная категория 0, то аРА есть выражение категории =*.
При подходе. Р Монтегю невозможно построить интенсио-
нальную логику как первопорядковую. Предлагаемый нами
подход с двумя способами приложения функторов к аргумен-
там позволяет строить перврпоря^ковую интенсиональную ло-
гику.
Систематическим образом каждому выражению приписыва
стся как иитенсионал. так и экстенсионал (в возможном мире).
При этом экстенсионалы п интенспоналы сложных выражений,
построенных посредством различных операций приложения,
устанавливаются по-разному. Иитенсионал выражения -1(B)
вычисляется но схеме:
(Х^^хУ^Х^,
те (А'/)и — иитенсионал. приписанный выражению Л. а У*-
пнтепсионзл, приписанный выражению В. Экстенспонал выра-
жения .4(B) (в некотором возможном мире) вычисляется по
схеме:
ХГХУ^Х.
В экстенсиональных контекстах иитенсионал сложного выраже-
ния есть функция нцтенсионалон составляющих, а экстснсионал
сложного выражения есть функция -жстеисионалон составляю-
щих.
Однако иитенсионал сложного выражения Л [В] устанавли-
вается но иной схеме:
84
II в этом случае иитенсионал сложного выражения является
функцией иитепейоналов составляющих.
Экстепснонал выражения /![/?] вычисляется по схеме:
I
I У,ы видим, что экстенсивная выражения вида является
функцией экстснснонала функторпого знака и интенсионала
аргументного знака.
Развиваемый подход позволяет выявить, что в интенсио-
нальных контекстах даже экстенсионалы сложных выражений
Зависят от интенсиона.тов аргументных выражений.
Систематическая разработка семантики возможных миров
па указанной основе позволяет преодолеть многие трудности’
связанные с анализом интенсиональных контекстов1К.
§ 4 Проблема конкретности истинности
в логической семантике.
Точки соотнесения
и контексты использования
Во втором параграфе мы отмечали, что в семантике воз-
можных миров нс обязательно отождествлять «возможный
мир» с возможной реализацией или с описанием состояния.
Интерпретация в терминах возможных реализаций является
лишь одной из возможных. В общем случае следует учиты-
вать целый набор факторов как объективного, так и субъектив-
ного, прагматического, характера, относительно которых реля-
тивизируется истинность высказываний. Вслед за Д. Скоттом,
в этой более общей ситуации целесообразно использовать тер-
мин «точка соотнесениях’. Сама точка соотнесения представ-
тяст собой кортеж различных факторов: собственно возможных
миров, состояний знания, моментов времени, условий, в кото-
рых делаются утверждения, лип, их высказывающих, и г. д.
Введение в семантику точек соотнесения позволяет, учиты-
вать важный гносеологический аспект концепции истинности —
идею конкретности истинности. Проблемы конкретности истин-
ности интенсивно псслсдЬва.чись в марксистско-ленинской фи-
лософии. Существенное развитие эти проблемы получили в ра-
ботах В. И. Лепина.
Нс следует полагать, что в семантиках с точками соотне-
сения учитывается все богатство учения о конкретности исти-
ны. Однако в рассмотрение явным образом включается спе-
1ема зависимостей истинности высказываний от определенных
условий.
85
Следует отметить, что, разливая семантику возможных ми-
ров в более обобщенном виде, Р. Монтегю и ранних своих
работах под точками соотнесения имел в виду исключительно
прагматические аспекты. Поэтому свой семантический метод
он называл нс семантикой, а теоретической прагматикой. Нам
представляется, что такое отождествление с прагматикой не
правомерно. В более иоздних работах сам Р. Монтегю под-
разделяет точки соотнесения на два подкласса, мы бы сказали,
на семантико-онтологические и прагматические. В последнем,
случае он использует гермпн «контексты употребления»
(context of use). Это даст ему возможность наряду с понятием
значения (Meaning) ввести понятие смысла (Sense). Первое
отождествляется с понятием иптенсионала, где под иптеисио-
налами выражений имеются в виду функции, сопоставляющие
каждому возможному миру (т. е. компонентам точки соотне-
сения, нс являющимся прагматическими) экстснспоналы этих
выражений н .этом мире. Смысл выражения отождествляется с
функцией, сопоставляющей каждой точке использования (т е.
совокупности прагматических факторов) некоторый иитеисио-
нал. Мы не. будем входить в технические детали этого под-
хода.
Отметим только, что, ла наш взгляд, при обсуждении про-
блемы смысла необходимо учитывать деятельностный харак-
тер познания, что не учитывается в концепции Монтегю и во-
обще в теоретико-множественной семантике. Однако для нас
особенно важно, что теоретике множественная семантика воз-
можных миров позволяет учитывать зависимость истинности
утверждений от объективных и субъективных обстоятельств —
учитывается определенный аспект философской идеи конкрет
пости истинности. С другой стороны, семантика возможных ми-
ров расширяет сферу логического, позволяя анализировать
точными методами не только экстенсиональные, по и интенсио-
на л в и ы е ко и ге кеты.
В связи с достижениями в этой области открываются новые
перспективы логического анализа естсстненных языков. С одной
стороны, логическими методами могут быть реконструированы
отдельные фрагменты естсстненных языков. С другой стороны,,
построение логических систем с достаточно богатыми вырази-
тельными возможностями позволяет переводить сложные утвер-
ждения естественных языков па логические языки и тем самым
дает в руки средства для анализа логической структуры слож-
ных контекстов естественных языков.
Особое значение приобретает логическая реконструкция кон-
текстов, включающих сложные сочетания и пересечения облас-
тей действия временных и модальных терминов, эпис гемических
терминов, квапторных слов, дескриптивных выражений и де-
монстративов. Во всяком случае, успехи семантики возможных
миров открывают новые перспективы для сотрудничества логи-
ков !f Л1П1ГВПСТОН.
Е6
§ 5. Возможные миры,
описания состояний и ситуации
В семантике возможных миров основным. исходным поня-
тием является понятие возможного мира. Каждому предложе-
нию в качестве его значения (интенсиопала) сопоставляется
некоторое подмножество возможных миров. Множества воз-
можных мирон можно отождествить при этом с мыслимыми по-
ложениями дел. В этом случае сами мыслимые, положения
дел, «ситуации», получают особую экстенсиональную трак-
товку.
Однако в основу построения семантики в качестве исходных,
основных, могут быть положены иного рода понятия: понятие
«атомарного факта» или понятие ситуации (как это делается
в ситуационных семантиках). Па. рассмотрении .этих возмож-
ностей мы остановимся ниже.
Сначала проанализируем семантическую концепцию Г. Фре-
ге в терминах возможных миров. В книге «Формализованные
языки и проблемы логической семантики» нами была пред-
ложена семантика возможных миров для стандартного экстен-
сионального исчисления предикатов первого порядка |3. При
этом налагалось требование, чтобы множество возможных ми-
ров IF было непусто. Однако при построении семантики воз-
можных мирон для экстенсиональной логики достаточно допу-
стить, что множество 1Г состоит из одного, действительного ми-
ря, т. е. Это допущение позволяет проанализировать
основополагающие для семантики Фреге понятия, в том числе
понятия das Wahre и das Falsche.
Если абстрагироваться полностью от смысля, содержания
предложений, то задаваемые предложениями положения дел.
становятся неразличимыми, о них только можно сказать, реа-
лизуются ли они в действительном мире или нс реализуются.
Отсутствие факта, задаваемого предложен icm, само, как ням
представляется, рассматривается Фреге как некий особый
«негативный факт» — так возникает das Falsche как особый
референт, денотат, предложения. Таким путем можно объяс-
нить возникновение у Фреге двух абстрактных предметов в ка-
честве денотатов, значений, предложений: das Wahre. (наличе-
ствующий факт) и das Falsche (отсутствующий факт) 20. Введе-
ние Г. Фреге этих абстрактных объектов как предметов рас-
смотрения (как предметов индивидной области) определяет
классическую логику высказываний.
При семантическом анализе мы должны четко различать
следующие понятия и объекты
> 1) логические константы i и f, которые являются выраже-
ниями объектного языка;
2) предикат «быть истинным предложением», формулируе-
мый в метаязыке;
3) ситуации, положения дел, задаваемые предложениями;
. 87
4) истинностные значения денотаты предложений.
В общем случае нельзя говорить об истинностном значении;
высказываний безотносительно к возможному миру. Однакс
при допущении, что 1Г={а}, .истинностное значение высказыва-
ния есть его истинностное значение в мире а.
При допущении, что U7—{о}, мы имеем всего два мысли-
мых положения дел, представленных пустым множеством { } и
универсальным множеством {а}. Первое есть нереализуемая
ситуация, а вторая — действительная ситуация.
При указанном подходе, (когда U7=(c}j различие между
интенсиоиалом и экстенсионалом (в единственном мире) ста-
новится чисто формальным. Аналогично становится формаль-
ным различие между истин постными значениями и мыслимы
ми положениями дел («ситуациями»). Поэтому сохраняется
возможность в качестве значений предложений рассматривать
как истинностные, значения (das Wahre и das Falsche), так и
дна положения дол (все. и ничто) *
Отмстим, что фрегевскос разграничение на смысл (Sinn) п
значение (BedcnUing) отлично от пары понятий иитенсионал п
укстеисионал. Разграничение же. того, что в семантиках воз-
можных миров называют экстенсионалом и пнтснсионалом, у
Фреге исчезает.
Не естественнее ли анализировать семантические свойства
предложений нс в терминах возможных миров и экс генсиона-
лов предложений (т. е. абстрактных объектов, которые обозна-
чаются предложениями), а в терминах фактов, ситуаций, кото-
рые сопоставляются предложениям? Впервые такой подход на-
мечен был Л. Витгенштейном. Основным, исходным понятием
выступает понятие атомарного факта. Каждому элементарному
предложению сопоставляется некоторый атомарный факт..
В техническом плане несущественно, что понимать под атомар-
ными фактами, но принципиально, что совокупность атомвр
пых фактов должна состоять из поиарпо-незявисимых фактов.
Последнее обстоятельство дает возможность ввести понятие
логического нрдсгринсгна. Каждому измерению логического
пространства соответствует атомарный факт. Значение I ебот-
нетстнует наличию факта, а 0 — его отсутствию. Тогда точка
логического пространства представляет описание состояния. Ее
можно задать или в виде характеристической функции, опре-
деленной па области атомарных фактов, или в воде множе-
ства атомарных фактов и их отсутствий.
В последнем случае мы пишем (<?, <?2,...), где для любого i
(Ji нс предложение, а атомарный факт отсутствие атомар-
ного факта.
Указанная конструкция нередко излагается в более синтак-
сической форме. Вместо атомарных фактов имеют дело с про-
позициональными переменными м под описанием состоянии
имеют в виду множество пропозициональных переменных пли
их отрицаний. Следует отметить, что в этом случае смешивш-
ее
жгся, не различаются синтаксический к семантический ас-
пекты.
Понятие описания состояния соответствует понятию воз-
можного мира. Каждому предложению в качестве его значения
(интенсип) теперь сопоставляется множество описаний состоя-
ния — в терминологии Р. Карнапа — область предложения.
i 1етрудно видеть, что область предложения соответствует тому,
Is-JCi ранее мы называли интснсионалом предложения. Таким
образом, исходя из понятия атомарного факта, можно ввести
понятие, описания состояния (возможного мира) и ситуации
(пропозиции, интеисноиала предложения).
Слабым звеном в этой конструкции является понятие ато-
марного факта. Непонятно, что ему соответствует в действи-
тельности, п каким образом выделяются атомарные факты.
Пожалуй, конструкция в терминах возможных миров является
более гибкой, допускающей естественные обобщения класси-
ческой логики. При желании в семантику возможных миров
как вторичное можно ввести понятие атомарного факта Если
множество возможных миров представимо в виде точек пеки
горого пространства, г. е. если можно внестп в это множество
некоторую координатную систему, тогда естественно атомар-
ный факт отождествить с проекцией точки па какую-либо пег,.
В последние годы все. большее внимание привлекает семан-
тический анализ, основанный на идее ситуации. Каждому
предложению сопоставляется ситуация. Предложения не рас-
сматриваются как обозначающие выражения ы нет смысла го-
ворить об их референтах. Стимул к разработке ситуационной
семантики был дан Б. ВольнеНнчсм в его анализе сЛогкко-
философского трактата» Л. Витгенштейна. Затем Р. Суш,ко.
опираясь на идеи Б, Вольнсвнча, начал систематически раз-
рабатывать так называемую «нсфрсгевскую логику».
Введение понятия ситуации позволило Сушки разработать
принципиально иной метод анализа значений предложении,
отличный от метода Фреге. Построенная на этой базе пропози-
циональная логика («нефрегсвская логика») представляет со-
бой фактически интенсиональную логику. Предложения рас-
сматриваются в ней как тождественные, если тождественны
соответствующие им ситуации. Предложения не раесматрива-
Ю1ся как дссигнативпыс выражения, и пет смысла говорить
об их референтах. По и в «логике ситуаций», какой является
пропозициональная логика Сушко, особую роль играют абст-
рактные (иные, чем у Фреге) ситуации: универсальная, необ-
ходимая ситуация, охватывающая все логическое простран-
ство, и пустая, невозможная ситуация. Ситуации. задаваемые
пропозициональными тавтологиями, отождествляются, «слова
клея». рождая единую абстрактную, необходимую ситуацию;
аналогично «склеиваются» ситуации, задаваемые логическими
противоречиями. В основе нефрегевской логики лежит иная
система абстракций и идеализаций. нежели в основе обычных,
89
классических пропозициональных систем: понятие ситуации,,
тождества ситуаций и т. д. При этом под ситуацией, положе-
нием дел, отвечающим предложению, имеется в виду нс кон-
кретное положение дел, имеющее реализацию в мире, по по-
ложение дел. «описываемое», задаваемое предложением, не-
зависимо от истинностной оценки предложения. Выделение осо-
бых ситуаций, отвечающих тавтологиям п лрогиворсчиям, а
также тождества (ситуаций) позволяют вводить по определе-
нию модальные понятия.
В настоящее время идеи ситуационной семантики, правда,
несколько в ином аспекте и без ссылок па работы школы
Р. Сушко и Б. Вольпевича, разрабатываются Бептемсм, Бар-
вайсом.
Следует отметить, что алгебраические семантики близки
к ситуационным семантикам По-существу, н качестве алгеб-
ры рассматривается алгебра событий (пропозиций) с соответ-
ствующей структурой.
Иден семантики возможных- миров и ситуационной семан-
тики используются одновременно в первопорядконых реляцион-
ных семантиках. Под нервопорядкокой модельной структурой
имеют в виду тройку (W, R, П). где - множество возмож-
ных мирон, R бинарное отношение на U7, П — непустое се-
мейство подмножеств W. элементы П мы рассматриваем как
события. При стандартном подходе общезначимость понима-
ется как общезначимость во всех структурах (tt7, R, Г1\ где на
R налагаются определенные ограничения. Но класс реляцион-
ных структур может быть ограничен и некоторыми условиями,
налагаемыми па структуру П. Другими словами, модельная
структура может определяться к.м структурой возможных ми-
рсв, так и структурой допустимых событий.
Для стандартных систем все описанные способы семантиче-
ского описания эквивалентны. Однако различные способы опи-
сания семантики открыты для различных путей пх обобщения.
Г Л АВ А IV
НЕСТАНДАРТНЫЕ СЕМАНТИКИ
И ПРОБЛЕМА СЕМАНТИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ
§ 1. Расширение нестандартной семантики
и ее альтернативы
Решение проблемы семантических парадоксов, предложен-
ное А. Тарским, состояло в требовании исключить из сферы
рассмотрения семантически замкнутые языки. Семантически
замкнутые языки в предположении, что сохраняется обычная
классическая логика, являются самопротнворсчнвыми и тем
самым непригодными для употребления. Этот подход устра-
няет семантические парадоксы (см гл. 1, § 4). Однако он осно-
вывается на очень сильных идеализациях. Семантические пара-
доксы просто устраняются, исследуются только семантически
незамкнутые языки.
Вслед за работой А. Тарского появились критические статьи
и альтернативные предложения. Многие из них основывались
на непонимании конструкций Тарского и были направлены не
столько против действительной теории, сколько против фанто-
мов, изобретенных самими авторами. Это замечание, естест-
венно, не относится к пионерским работам Д. Л. Бочвара,
Ф. Фитча и ряда других авторов, которые предложили дей-
ствительно альтернативные решения.
Как отмсчалосп выше, Д. А. Бочвар в 1938 г. предложил
оригинальный способ преодоления логических и семантических
парадоксов. Он це отказывается ни от неограниченного прин-
ципа свертывания, ни от семантической замкнутости. Парадок-
сы преодолеваются за счет отказа от принципа бивалентности,
т. с. нс предполагается, что каждое высказывание является
либо испитым, либо ложным, могут бы in бессмысленные, аб-
сурдные утверждения. Такой подход приводит к необходимо
сти введения новой логики.
Исключение из сферы рассмотрения семантически замкну-
тых языков позволило построить богатую семантическую тео-
рию. Успехи, достигнутые в теории моделей (стандартной ре-
ференциальной семантике), семантике возможных миров, поз-
волили вернуться к альтернативным способам преодоления се-
мантических парадоксов Новым стимулом для исследования
г. угон направлении послужили работы С. Крипке, Р. Мартина
и П Вудруффа 1975 г.
Стандартная семантика, включая семантику
миров, носит ярко выраженный экстенсиональный,
множественный характер. Свойства и отношения
мантике задаются указанием их объемов. Даже тогда, когда
вводится понятие интенспоиала, сам интенсионал выражения
возможных
георетнко-
в -пой се-
91
отождествляется с теоретико-множественной функцией, сопо-
ставляющей каждому миру объем этого выражения в данном
мире. В принципе хотелось бы иметь семантику, в которой зна-
чения выражениям приписывались бы не только в зависимо-
сти от того, к каким объектам эти .выражения относятся, иными
словами, такую семантику, в которой значения выражений
трактовались бы более операционально
Далее, предполагалось, что функции и предикаты являют-
ся всюду определенными. Это относится и к семантическим
предика гам, таким, как предикат «испитое высказывание».
Разработка теории рекурсивных функции неизбежно при-
водит к идее не всюду определенной (частичной) рекурсивной
функции. Рекурсивной функции сопоставляется алгоритм, вы
числякндий ио аргументам функции ее значение. Но алгортГтм
может не закончить работу, т. с. соответствующая ему функ-
ция может оказаться нс всюду определенной. В общем случае
мы не имеем метода распознавания, является ли функция, за-
даваемая алгоритмом, всюду определенной иля пет. Идея чн-
• сгичноя рекурсивной функции является более фундаменталь-
ной. чем идея истоду Определенной рекурсивной функции. Бо-
лее того, частично-рекурсивные функции позволяют преодолеть
трудности., связанные с диагонализацией *.
При теоретико-множественном подходе функции f(xb..., х„)
может быть сопоставлен предикх-т /?(Х|,...,хп, у), удовлетво-
ряющий условию единственности A’(xt....хп, л'п,
тэу=г. В случае всюду определенной функции должно выпол-
няться дополнительное условие V xi---V-rndi/^(xi,...,xr., у). Для
частичной функции последнее условие нс выполняется. Таким
образом, при теоретике-множественном истолковании функции
они, в том числе и частичные. функции, заменяются предика-
та м и.
Но в некотором смысле понятие функции является более
фундаментальным, нежели понятие класса и отношения. Ре-
курсивное п местное отношение можно, рассматривать как за-
даваемое я-местной характеристической функцией, т. с. функ-
цией типа Л’л-*-{0, 1}. Если характеристическая функция «-мест-
ного предиката це является всюду определенной, а только частич-
ной, то мы имеем не всюду определенные предикаты. В целом
это соответствует нашей интуиции. Еще. Г. Гегель отмечал, что
о духе нельзя сказать, чго он зеленый, как и нельзя сказать,
что он нс зеленый.
Такой подход приводит к идее, что’и понятие истинности
не является определенным на всем классе высказываний. Тах,
высказывания «Дух зеленый», «Гэй Юлий Цезарь есть простое
число» нс будут пи истинными, ни ложными. Эти соображения
приводят к сильной трехзначной логике Клини. По существу,
эту логику можно рассматривать как двузначную логику с не
ьеюду определенным понятием истинности.
Наконец, встает вопрос о необходимости восстановления
92
Симметрии между истинностью и ложностью. Даже в конст-
руктивной логике истинность в некотором смысле понимается,
полос опсрационно, чем ложность; ложность трактуется просто-
как неистпниость й.
Мы начнем с проблемы не всюду’ определенных предика-
тив, включая п предикат истинности. В некотором смысле та-
кой подход является нс столько альтернативным ортодоксаль-
ному подходу (подходу Тарского), сколько его расширением
н обогащением. лМы учтем также симметрию истинности и лож-
ности. хотя на этом этапе не отказываемся от тсоретико-мио-
|х<ественных предпосылок., как и от кооперационного характера.
f романтики. Затем перейдем собственно к анализу альтерна-
тивных подходов к преодолению семантических парадоксов.
§ 2. Семантика с не всюду
определенным понятием истинности
Предварительно построим семантику для логики высказы-
вании. исходя, во-первых, из идеи симметрии между истин-
ностью и ложностью, и во-вторых, допуская истинностные при-
вады. Будем строить -семантику, используя идею возможных
миров. Пусть IF непустое множество возможных миров, на
[этом множестве могут быть заданы некоторые отношения иля
введена некоторая топология. К .этому вопросу мы вернемся
позже.
Пусть <р — функция, приписывающая каждой переменной
пару множеств (Нь Н2). Примем обозначения фт(р)~Hi и
(|ч(р)—Hg. ч»т(,у) — это класс миров, в котором р истинно,
ifi фг(р) — класс миров, в котором р ложно. В другой терми-
нологии, фт(р) событие, подтверждающее /), фь(р) — собы-
тие, опровергающее р.
Можно потребовать, чтобы вы .излпялись следующие усло-
вия:
(1.1 фт(р)р<р> \р) — 0, ’
(2.) фт(р)иМр) №.
При принятии (1) и (2) мы имеем стандартную семантику,
при принятии (1) и отбрасывании (2) — семантику с истинно-
стио-знач.ными провалами (gap), при принятии (2) и отбра-
сывании (1) — двойственную ей семантику с пресыщенной
(glut) оценкой. Наконец, четвертый случай — при отбрасыва
ппи (1) и (2) — даст нам релевантную (аппроксимативную)
семантику.
Введем условия тршшсывэпия значений сложным форму-
лам:
•рг (~ /1) фР (.4), фг (~ Л) = фт (Л),
Фт (Л & В) - Фг (Л) П т (В), <рт (Л & В) - Чт (Л) U Фг (В).
93.
q;f (Л V В) - ф.т (Л) J q;T (В), <pr (Л V Л) “ Tf (4) П <f F (B),
фт (4 => 8) — <pF (zl) (J tpT (B)> Фр ('4 =5 В} — фТ (Л) П фр (#)-
Bcc введенные. связки, как можно видеть, являются сильны
ми связками трехзначной клинсвской логики.
Мы могли бы цвести и импликацию, соответствующую им
пликацни Лукасевича:
L L
фт (Л 8) = фр (Л) и фт (В) и (фт (4) и Фг (В))' и фр (Л — В) -=
-Ф?(Л)ЛФн(В).
Нематериальные импликации и отрицания могут быть вве-
дены дополнительно на основе отношений Достижимости.
Однако к этому мы вернемся позже.
Определим оценку последовательности формул:
ф. г (.41Л= фт (Л:) Ч...Пф , (Л г),
ф! (Л|!...,Лл) -ф. 1ч'т(4.;,
Теперь мы можем ввести понятие истинности в данном мире
модельной структуры при данном приписывании:
alh-Л (.4).
Аналогично может быть введено понятие ложности при дан
ном приписывании в данном мире:
<р
а-Ле>йе фт-(А).
Будем говорить, что Л тавтологично, если и только если
г/ф(фг(Л)-и").
Л — неопровержимо, если и только если
Уф(<р(Д)=0).
Если принимаются условия (1) и (2), то класс тавтологии
вых формул совпадает с классом неопровержимых формул и
совпадает с классом тавтологий классической логики.
Если принимать условие (1) фт (р)Пфь (р) — 0, но нс прини-
мать условие (2), то мы имеем дело собственно с клиневскнми
связками или в более общем случае с семантикой с истинност
но-зийчиыми провалами. При отождествлении возможного мира
с обобщенным описанием состояния (множеством атомарных
предложений или их отрицаний) условие (I) запрещает про-
тиворечивые описания состояний, а условно (2) — неполные
описания состояний. В терминологии обобщенных описаний со
стояний семантика разрабатывается Е. К. Войшвнлло.
В рассматриваемом случае — с. не всюду определенным по-
нятием истинности — класс тавтологий будет пуст. Нетрудно
показать, что кл«сс неопровержимых формул совпадает с клас-
сом доказуемых формул классической логики высказываний.
При нашем подходе мы могли бы внести не одно, а целый
Класс отношений логического следования. Основными будут от-
•□тения [а|. [b], [d], [е]; остальные получаются их усилением
или ослаблением. Мы рассмотрим следующие шесть отношений:.
[aj <рт(Д)Еф1(В), I
[bl фр(В)&фн(А), Д
[с] фт(Л)Ефт(В) и Фе(В)£=Фг/ЛИ
Id] фт(А)СфЕ-(/?)', т. с. фт(А)П<1т(в)-0,
[е] фЕ(Л)'^фт(В), т. е. фг(Л)1)ч г(Р) =
[1’1 Фт(Я)Пф1;(В)Ефг(Д)ифТ(/?) Ад. с. фт(Л)'1ф-(Л)'==
^фр(Д)'Рф-;-(В)
Если принимаются допущения (?) /рт(Л)Пч;р(Л ) — 0 и (2)
!1?(Л )1)фг(А) — то все введенные д-тношения логического-
.ледова кия оказываются эквивалентными. Действительно, из
(1) следует фТ(Л )<=фг(,4)' и фГ(А)<=фт(4)'’, из (2) следует
||т(/1)'г—фт(Л) н ф. (Л)'ЕНфк(Л). Таким образом,фн(Л)'=фт(4)
п 4рт(Л)'—<рн(Д). Отсюда легко видеть, что [а]— [с] эквива-
лентны. Эквивалентность [f] следованию типа [а] также имеет
место:
фт ( Л ) |"|ф- (В) ^q;r (A) Uфт (В ) <=>q)T (Л ) Пфт (В) Р (ф r (А ) J
Нфт (В))' = 0^=>фТ (А) Пф(В) Пф г (Я) 'Г]фТ (В)' =
<=^фт ( а ) пфт (В) ' = (А) =Ф т [В).
Логикой, формализующей псе эти отношения, является
обычная классическая логика.
Рассмотрим вопрос о формализуемости отношений логнче-
Ickoto следования [up—|}] при допущении условия (1), т. е. в
семантике с. не всюду определенным понятием истинности.
Рассмотрим следование в смысле [о]. Оно может быть обоб-
щено на случаи множества посылок Г:
|С1
Л....... А;к= «p-т (А,) П - А фт (A J Фт (В).
Для этого вида следования bcdch modus ponens, так как
фт(А)Афт(Л :эЯ)Еч'(К). Действительно,
Ч'г (А) () ч-г (А о В) — фт (А) П (фР (.4) IJ фТ (В)) —
— (фт (А) ". фр- (A)) J (фг (А) П фт (В)) — фТ (А) (] фТ (В).
Но фт(А)Пф-1-(В)^=фт(й).
Но для следования [а] не верна теорема дедукции: если
фт(А)Г|фт(^) ^ф'т(С), то <р| (В)Ефт(Лд5С).
Е’сли ограничиться только конъюнкцией, дизъюнкцией и
отрицанием, то аксиоматизацией отношения следования типа
а] будет логика Хао Вана. Пусть I- есть синтаксический ана-
лог следования типа [а]. Тогда аксиоматизация А. Роуза логя-
кн Хао Вана следующая3:
95
AI.
А2.
Л4.
Лб.
A I- A VB.
Л V# А.
Л & В |- А.
/1Х-В Н Н&Л.
----Л 1-А.
л ।_____/1
HMi
А8.
А9-
А10
А’
А&(. 7С)|-А&
~ • > АВ) /1
- /1 V—В |-
- (/1V Я) |- -
~АА~В
А&^А Ь
1равила всзог
Г
Д)
4Y в.
>ИМВ).
.«а а
лсме
L
К2
R3
А V Я - ~
А— С А •— С
.4 - зАс
А в в I- с
систему в виде акеиомпых схем, без пр;
Мы форму 1 ируем
ги.ла' подстановки.
Импликация zd может быть введена с помощью опрсдсле
ния /НЙ -4 г - ,~А\/В, или дос:' пю добавит две схемы
АдэВ Ь^АХ/Я и ~/i jB н ЯрВ. Это клинсвская импликация
Заменяв аксиому А12 па А13 В Н AV -А, получаем логи-
ку, двойственную логике Хао Ва..а. Система с аксиомами А12
и А13 эгвивалеитир классической логике. Нак< под. логика Хао
Вана без аксиомы А12 есть логика де Моргана Наконец, воз
можна логика со схемой аксиом А&-|А }- В'' вместо А! 2.
Логику Хао Вана нетрудно переформулировать в виде сек-
венциального исчисления4. Основные секвенции есть секвенции
айда
А. Г h Д. .4
Я, ~ /1, Г Н Л
В качестве знака секвенции вместо ст- лки мы используем
знак «штопора».
Логические ф' гуры заключения:
х । 0 АГ Q, Б
Г - 0, А & В
{А л Я)
А, Д, I | 0
А&В, Г
А. Г । 0 Гь_0
-UA&.4;, Г.г 0
Г1-0 А В
Г | 0, А В
Гнб.^А Г ь н.
А Г|- 0 Л, Г -6
А у Н, Г — 0
- А. — В, Г । 0
В
Гн О, ^(А\/В)
г I- е д
- -
Имеются обычные фигу[ ы п
Г - 0 ,И Л1
М)
{А\/В) Г
А. Г - 0
из к и и сеч
те;
у
Лла. Роуза
' системе
доказуема в <. еквен-
•огда Ai& ... &' Ап Ь
’и тости сеченчя
•на. введя клннсв-
нтичсски описа-
- Хао Вана (г. е.
А.Г ь и О, Г -0
А Ь В. 1 ь 0
А. ^В. Г| 0
— (АэЙ). Г 0’
секвегциальной форме вместе
в спето io. GKli,
Г, Д| 0 T(J
Построенное исчисление эквив;ы>
*! следующем смысле: Л}>..., А г |-В ' (/?)
(циальном исчислении тогда и тольк ’
/?iV — \/В7Л доказуема в снст< г
Нетрудно также доказан теорем, г
шля секвенциального исчисления.
Теперь мы можем расширить .логи"
скую сильную импликацию, кат она с л.’
Bia выше. Предостережение: не путать с
naiii мстазнак •— с ез)!
Правила введения и удаления для клиневской импликации'
Г - 0, ^-А. Д
l ir- 0. А=>£1
Г - 0. А Г I- 0. ^В
Г । 0, -МА = 2?)
Обозначим логику Хао Bail
|с правилами для клиневской имгчикаци.ч GKh. Для этой систе-
мы верна теорема об устрани*--дти сечениз.
Имеет место следующая теорема:
Теорема. Если секвенция Г |-А доказуема
то < т(Г)=фт(А) <
Доказательств:. GKh эквивалентна системе Хао Вана в ак-
Исноматнзации А. Роуза, расширенной схемами аксиом: А=>В J-
~А\/В н ~ЛуВ }-Л=>В.
Дальнейшее дока агельство теоремы сводится к проверке,
аксиом и правил вывода.
1. А |-А В. Надо доказать, что фт(А)£<рт (А V®)- Исполь-
руя условия для V» достаточно доказать, что
<рт (А) ‘“Фт (А) Цфт (В).
Но последнее имеет место Аналогично для д их аксиом Для
А12:
фт ( 1) П‘Рт (~А) 1=^'т(В),
фт (А)ПфНА)^фт(В).
Но <рт(А) Of (А) согласно у ловшо (1) эквивалентно пустому
|4 Е. Д. Смирнова
97
-М>
классу. Таким образом достаточно убедиться, что 0£фТ(В)
что, естественно, имеет место.
При доказательстве, теоремы о полноте мы используем мо-
дифицированный хиптикковский метод модельных множеств
Теорема (полнота). Если Ч)Т(1 )S(fT(/}1)L) ..ифт(В„), то сек
веицня Г - В» доказуема в GKh-
При семантическом определении логического следования не
предполагалось, что множество посылок или множество следст
ний конечно. Поэтому при более точной формулировке теоремы
мы должны были бы ее сформулировать следующим образом-
если из Г логически следует (в смысле [а]) одна из формул Д,
то найдутся такие конечные подмножества Г'ЧгГ и A,J$zA, что
секвенция Tfl |~.YJ доказуема в GKU Однако, чтобы нс «труд
нять понимания, мы будем предполагать конечность Г и Л.
Для доказательства теоремы целесообразно переформулиро
вать исчисление секвенций, положив в основу не понятие дока
зательства секвенций, а понятие дерева поиска доказательства
Все наши правила сформулированы таким образом, что под-
формулы формулы, входящей в сукцедснт нижней секвенции,
являются формулами сукцсдента верхней секвенции, аналогия
но для антецедентных формул. Мы предполагаем известным по
нятие нити дерева поиска доказательства. Каждой точке дерева
поиска соответствует пара множеств формул (S, Г), где S —
множество антецедентных формул, а Т множество сукцедснт
пых формул. Пусть (S, Т) — пара, где S — объединение всех
антецедентных множеств, Т — объединение всех сукцсдептиых
множеств секвенций, расположенных в одной и гой же. нити.
Нить замкнута, если и только если найдется формула Л та
кая. что Ae=S и АсеТ. или Ле5 и ~AeS.
Дерево поиска доказательства замкнуто, если и только если
каждая его нить замкнута.
Обобщенной хиитикйовской парой назовем пару множесп
формул (М, X), удовлетворяющую следующим условиям:
если А<£ВеМ, то Асе ЭД и йеМ;
если Лу/?с=М, то ЛеМ или BgM.;
если ЛгзВсеМ то ~ЛеМ или
если ~(.4&В)еМ, то ~ЛеМ или ,ЭД;
если — (AyBJszM, то ~4еМ и ~ВеМ
если ~(ЛгэВ)еМ, то Лее.ЭД и ~5еМ
Аналогично для N; пересечение .ЭД и X пусто, т. е. Mf|N=0;
не существует формулы А такой, что ,4еМ и — AczM.
Лемма 1. Если (М., N) обобщенная хингнкковская пара мно
жеств, то существует такая функция приписывания зпачепи
пропозициональным переменным <р и такой возможный мир я
что
а€Ефт (М) и у А (Л е=Л'^д (А)).
93
Лемма 2. Незамкнутая нить дерева поиска доказательства
I является обобщенной хиитикковской нарой.
С помощью лемм 1 и 2 доказываем теорему. Пусть секвен-
ция Г |-Д недоказуема н GKh Тогда найдется по крайней мере
одна незамкнутая нить доказательства секвенции Г й Д. По лем-
ме 2 она будет обобщенной хннтнкковской парой, и- но лемме I
существует такая функция приписывания значений пропозицио-
нальным переменным tp, что а^фт(М) и
к£фт(А)) (I). По это противоречит условию, что из Г логически
следует Д, т. с. ^ФУо(«^фт(Г)=>ЗА(АеДЛабфт(А))) (II).
Из определения нити следует, что Г£2.М » AsN.
I. ueL^T(M)/\VA(AeN^trfc£ t|.iT(-4)) 3». I
2. Г<=М
3. оеФт(Г) 1-2
4. аея>т(Г)^ЗА(ЛеДДа&рт(А)) Vv II
5. 3/1 (АегДДаефт(A)) 3>4
б. АсДЛаеЕфт(А) 3».5
7. AsN
8. AeN 6,7
9. а<АФт(А) I> 8
10. ас:Фт(А)Лс1<?Фт(А) 5,9
II. Противоречие
Таким образом, допущение неверно и секвенция 1 •- Д дока
руема в GKh-
Обратимся теперь к следованию в смысле [Ь]. В более об-
лцем виде:
[Ь] ты
Г|= А<=>Фг(А)ЕФр(Г) и Г1»— Д с=><рр(Лр) с Фн (Г).
•Формализацией этого отношения при допущении, что фт(4)П
Пфг(А) — 0, будет логика, двойственная логике Хао Вана (с нм
пликацией). В секвенционной формулировке логика GKij, двой-
ственная GKli, получается заменой основной секвенции GKh
| вида
А, ~Л, Г |-0
на основную секвенцию Г |- 0, А, ~А.
Теорема. Т |-Д доказуема в GKk тогда и только тогда, когда
фр(Лп) Ефк(1)
Теорема доказывается стандартными методами. Отметим,
•что для следования в смысле [b] де верен модус нонене (естест-
венно, без допущения (2), с последним допущением он верен),
.но верна теорема дедукции. Действительно,
1. фр (В) с фь. (Л) и фь- (Г) условие
2. фт (А) П фр (В) с фт (Л) п (<j,r (Д) J фГ (Г)) из 1 п% л
3. фр(А=>В)1=(фТ(Л)1']фр(Л))иФр(Г) из 2
4. (рг(АоВ)^фр(Г) из 3 и усл. (1)
1* 99
Рассмотрим теперь отношение следования типа [с], онс
имеет место, когда имеет место одновременно и отношение еле
дования типа [а] и отношение, типа [Ь]. Для отношения типе
[cj не имеет места modus ponens и нс имеет места теорема де
дукции 0. Это отношение формализуется логикой, полученной
из логики Моргана добавлением в качестве основных секвсн
ций вида А,—Л, Г-»-В,~В. Эта логика является фрагментом
логики Лукасеиича. Обозначим ее буквой J1, а се секвенциаль-
ный вариант — GJ1.
Назовем отношение следования типа [с] сильным следова-
нием. Имеет место теорема: из Г сильно следует Д тогда и толь-
ко тогда, когда секвенция Г НА доказуема в GJ1.
Обратимся теперь к следованию тина [<1]. Выше было отме-
чено, что формула В доказуема классически тогда и только
тогда, когда она неопровержима, т. е. чрР(В)=^0. Из Г класси-
чески выводима формула А, если и только если формула ГК=>А
доказуема классически, т. с. если и только если ч'г(Г^=>А) =*0,
т. е. фт(Г)Г1фг(А) =0. Таким образом, отношение логического
следования типа [d] формализуется выводимостью классической
логики.
Отношение типа [с] в логике с истинностными провалами
является пустым, т. е. ни одна формула не находится в отноше-
нии следования типа [е] с любой другой, в частности пи одна
формула логически не следует из самой себя.
Отношение логического следования типа [f] в логике с
истинностными провалами совпадает с отношением типа [d].
Действительно, пусть имеет место отношение [d], т. е. фт(А)П
Пфк(В)=0, но 0&y.K(A)IJ<fT(B) и отсюда <рг(А)Пфи(В)Е
Е^р(.4)и<Гт(Д), т. с. имеет место [Г]. Пусть имеет место отно-
шение логического следования типа [fj, т. е.
фт(А)ЛфР(В)£:<ГтИ)1,1ф.т(В).
Используя соотношение, что если ХеГ, то Х,у]К/=0, имеем
(фтИ)Пц)Р(Н))Г|(рг(А 1Т|фт(Я)'~0. Отсюда получаем
Фт (А) (В) Пфк (А) 'Пфт (В)0.
Но <рт(А)^фр(А)'. так как чт(А)Пфт(А) = 0 и фр(В)Еф1т(В)Л
Используя предыдущее равенство, имеем
Ч'т(А)Г|«]?т(В) = 0
Таким образом, если имеет место отношение [1], то имеет
место и [dj. Отсюда отношение логического следования типа
[fj формализуется классическим исчислением высказываний.
Подведем некоторый итог. Исходя из клипевского понимания
пропозициональных связок, т. с. развивая семантику с истин
ностпыми провалами, мы ввели ряд отношений логического еле
дования. которые формализуются различными исчислениями
Дадим сводку. Пусть ХВ — логика Хао Вана, ДХВ—логика
двойственная ХВ, Л — фрагмент логики Лукасевича, С —
классическая логика, [а|—[1J — введенные выше отношения
логического следования, 11 — пустая логика.
!00
фи- нческое следование 1*1 1 LbJ I [с] I [d] [=] [fl
лигнкя ХВ дхв л С п с
Как мы отмечали выше, семантика с истинностными прова-
лами — это то же самое, что семантика с нс всюду определен-
ным понятием истинности, или. при другом подходе, семантика,
опускающая неполные описания состояния. В семантике с не
Всюду определенным предикатом истинности имеются и отно-
ппеквя логического следования; |а|, (bj, [с] и [d]=[i]. хМежду
НИМИ, как было показано выше, имеют место следующие отно-
шения включения:
& И Л
и * *• и
ы
Следует подчеркнуть, что все четыре отношения могут быть
[формализованы в одПом и том же формальном исчислении. От-
|метим, что выше была построена семантика с провалами зна-
чепиц или — в терминах описаний состояний - с допущением
[неполных описаний состояний. Идея пресыщенных опенок или
противоречивых описаний состояний пока не привлекалась.
§ 3. Семантика с пресыщенными оценками.
Невозможные возможные миры
В предыдущем параграфе мы рассмотрели подход, когда по-
|нятия, и в частности понятие истинности, не являются всюду
определенными. Предикатному знаку в каждом мире приписы-
вался объем и антиобъем. Нс всюду определенность означала,
что объединение объема и аитиобъема не обязательно тождест-
венно всей области объектов. Но имеется и другая сторона в
[соотношении объема и антиобъема предикатного знака. Доста-
1ОЧНО ли четко они отделимы друг от друга? Не может ли быть,
что граничные элементы принадлежат объему и антиобъему?
Если некоторому предикатному знаку в качестве объема припи-
[сывается замкнутое (в топологическом смысле) множество, а
1г. качестве антиобъема — замыкание дополнения объема, то
1перессчелие объема и аитиобъема можс1 оказаться непустым.
В случае семантик для пропозициональных логик мы рас-
смотрим случай, когда выполняется условие (2) <рт (р) Офк (р) =
*-!£', но не обязательно выполняется условие (1) <рт (р) ПфР (Р) =
г-0. В другой терминологии возможна супероценка, когда вы-
сказывание одновременно истинно и ложно. Иначе говоря, до-
пускаются невозможные возможные миры или в терминах опи-
10)
саний состояний допускаются противоречивые описания состо
ния. Это более трудное для понимания допущение, нежели доп;
щение не всюду определенных предикатов. Возможны разли>
ные содержательные истолкования невозможных возможны
миров. Одно из них является гносеологическим; миры, допуска-
мые субъектом, так называемые эпистеммчески возможные
миры, могут быть как логически возможными, так и логическ i
невозможными. Такова позиция Я. Хиптиккн. Противоречивые
миры допускаются по чисто гносеологическим основаниям,
силу недостаточности информации субъекта. По возможна
болев онтологическая интерпретация, когда границы между
объемами и антиобъемамц оказываются смежными. Ф. Энгель
допускал такую онтологическую возможность, в равной мер
допуская и гносеологическую возможность граничных элемеп
тов: знание содержит как истину, так и ложь, в предельны
случаях граница между истиной и ложью нс является четкой
В этом параграфе мы будем исходить из допущения, чт
всякое утверждение либо истинно, либо ложно, но нскоторы
утверждения могут быть и истинными, и ло гными одновремег
ио, т. с. мы принимаем условие
I (2) Фт (р) Ыфг (р) =
но не принимаем условия
(1) фт(р)Афг(р) — &
Семантика с пресыщенными оценками двойственна семап
тике с истинностными провалами.
Нетрудно убедиться в том, что класс тавтологий будет сов
падать с классом классически доказуемых формул. Класс н<
опровержимых формул будет пуст.
Отношение логического следования типа [а] формализуется
логикой, двойственной логике Хао Вана, т. е. секвенция Г |-
доказуема в GK12 тогда и только тогда, когда <рт(Г)&рт(А )
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству пре
дыдущего параграфа — для этого надо модифицировать поня
тис обобщенной хннгикковской пары. Отношение логического
следования типа [Ь] формализуется логикой Хао Вана, т. с. сек.
вепцня Г |- А доказуема в GKL тогда и только тогда, когд ।
ф1.-(Дл)£-фг(Г).
Отношение логического следования типа [с] формализуем
логикой Л, т. с. Г |-А доказуема в G/I го да и юлько тогда, ко
Да <рт(Г)Ефт(А°) и фг(А1’)^<(т(Г). Отношение логическое
следования в смысле [d] является пустым, т. е^ не выполняет! я
ни для одной пары формул.
Отношения логического следования типов [е] и [I] при д< '
пущении (2) эквивалентны между собой и формализуются клас 1
снческой логикой высказываний. Покажем, что [с] эквивалент
но [f] Пусть имеет место [е], г. е. фНЛ)ифт(В) — К7- В W
включается любой класс, отсюда q: г (/4)Пфн (^?) — и тем самым
фтИ)П1рг(Я)^ФгИ)ифт(В), т. е. ,[fj. Пусть фТ(Л)Пфк(2?)
£<рг(Л)ифт(^)- Используя отношение, что если А'еУ, то X'
102
иИ=№, имеем (<ртИ)Пфу(В)),и(фн(^)^Ч:т(В)) = ^. Отсюда по-
пучасм
Фт(Л)'Ь^г(В)11фг(Л)ифт(Я) — И7-
Но так как <fгМ)Ифг(Л) = Wz, то фт(Л)л£=<рк(.4); аналогично
|г(/?)'с—<Гт(В) Отсюда из предыдущего равенства (и учиты-
вая, что если и то YlJZ=Wr) получаем (pj»(.4)U
т. е. [е].
1 Отношение [е] и эквивалентное ему [f] формализуются
классическим исчислением высказывании.
В Итоге при пресыщенном означивании мы имеем следующую
мпуаипю:
1’ДиИ;-.|1ий
Eb] | fcl | (-1)
[ej | [fJ
ДХБ
хв
л
п
с
С
Отношения логического следования находятся в следующем
laatiMoi ношении:
и
И
Й’И
и "
ОтмеТим. что все четыре отношения могут быть формализо-
ваны в одном и том же исчислении.
Логики, построенные на идее пресыщенных оценок, оказы-
ваются двойственными логикам, построенным в рамках семан-
тики с истинностными провалами.
Теперь остается рассмотреть случай, когда не принимается
in условие (1), ни условие (2), г. е. возможны как истинност-
ше провалы, так и пресыщенные оценки.
В этом случае класс тавтологий и класс неопровержимых
Ьормул пусты. Отношения логического следования сипов [а],
|Ъ] и [с| хотя и не эквивалентны, но все формализуются логи-
кой де Моргана. Отношения логического следования типов [d]
। [е] пусты, а отношение типа [fJ формализуется классической
Ютикой. Интересно отметить, что отношение, логического сле-
дования типа [I] формализуется классической логикой незави-
симо от того, принимаются ли допущения (1) и (2).
Результаты о формализации отношений логического следо-
вания, полученные в этом и предыдущем параграфах, сведем в
таблицу (с, 104).
Если возможные миры задавать с помощью, описаний состоя-
ли, то в стандартных логиках описания должны быть полными
i непротиворечивыми. Семантика с истинно-значными провала-
in будет ассоциироваться с допущением неполных (по обязат-
ельно непротиворечивых) описании состояний Семантика с
фесыщенными оценками свяжется с допущением противоречи-
103
[=] [В] 1. м 1 И] к-1 HJ
(I). (2) М М м Пуста I lycra С
(1). (2) Л хв ДХВ С Пуга с
(1). (2) л Дхв хв Пуга С с
(П. (2) £ с с С С €
провалами и пресыщенными
допущение как неполных.
оцеп
так ।
и терминах противоречивых
было осуществлено Е. !\. Войшви
И КС
вых (но в любом случае полных) описаний состоянии. HaKoiei
семантике с испшностнымп
ками будет соответствовать
противоречивых состоянии.
Исследование проблемы
полных описаний состояний
ло®. Он исходит из фиксированного, стандартного определено>
отношения логического следования, обозначенного нами ко*
[aj. Разные следования появляются в результате допущен!
или недопущения противоречивых и неполных описаний состоя
ннп. Недопущение противоречивых описаний соответствует 1 «1
шему условию (1), т. е. г(р)(р) а недопущение пене
ных описаний состояний — условию (2). т. с. фт(р)Нфг(р) =
Если допускаются противоречивые и неполные описания состо
ний, то получаем логику де Моргана. Если противоречивые со
стояния не допускаются, но допускаются неполные, то иолуча "И
логику .Хао Вана. При допущении противоречивых и недопущ
нии неполных — логику, двойственную логике Хао Вана. Если
не допускаются ни противоречивые, ни неполные описания со
стояния, то получим классическое следование. Более тот о,
Е. К- Войшвилло формулирует ограничения на описания состоя,
нпя, при которых мы получаем фрагмент логики Лукасснича
Л. Чтобы получить Л, следует принять условие, что всякое пр
тиворечивое описание состояния является полным; в термин
Е. К- Войшвилло
\/а(ЗР(Р^«Л~ ~ рееа)).
Мы анализировали нс только истинностные провалы и пр
.сыщенные оценки, что соответствует принятию неполных и про
тиворечивых описаний состояний, но и рассматривали разли':
ные способы введении понятий логического следования [а] []
Классическая логика, система Л, логика Хао Вана и ей дво
ствепная былц получены как при допущении истинностны i
провалов (и недопущении пресыщенных оценок), так и при до
пугцении пресыщенных оценок. Это достигалось за счет вары
рования определения логического следования. Пам предстал^
ляется, что это важное нововведение. Этот подход мы попытаем
104
развить в следующем параграфе при рассмотрении молаль-
. н релевантных импликаций в логических системах с истин-
>п1ымп провалами н пресыщенными оценками.
§ 4. Модальные и релевантные импликации
в системах с истинностными провалами
и пресыщенными оценками
Помимо логик с клиневскими связками, включая клиневскую
тдикацию, мы могли бы ввести импликацию, соответствую-
ш трехзначной логике Лукассвича. Условия истинности и
и кости для нее следующие:
L
'J фт(Я) IJ (Фт(Л) U Фт (/?))',
L
Фр(Л^)-Фт(Л) A
В секвенциальной форме этой импликации соответствуют
г чующие правила введения:
А, Г--(•», -^4, Д
L
г &,а-+в
^А, Г| В В.Г 6 Г ьв. А, 'Д
£
А ►/?, Г । Н
Г - в. .4 Г| - в, Д
А, ^В, Г г©
Г н в. -^(А--Д)
L
^(А->-В), Г н «
I Модальные и релевантные импликации тесно связаны с от-
енением логического следования. Введенные нами различные
«ношения логического следования подсказывают нам и различ-
ен способы введения импликаций. В системах льюисовской
индикации семантические условия для импликации формули-
готся в терминах бинарного отношения достижимости. Пусть
есть бинарное отношение па элементах IV'. Мы можем ввести
Ьдующие условия истинности и ложности для импликаций,
Билогичныс отношениям логического следования:
а е фт (Л -> В) «=> V b (R ab b е: фТ (Л)' U ч-т (В)),
а (н <fF(Л-*-В) <=>3(Rab Ab^ffr(Л) А <рт(В)').
a = (fy(A->-B)e*Vb(Rab^bcz фр (В)' (J Фр (Л)),
а е <Pf (Л-> В) « 3(RаЬ А Ь е (рг (В) А фр (Л)')-
а е фт (Л-► В) V b (Rab=$b cl фт (Л)' U фк (В)').
105
(С)
а Tf (-4-*- В) 3b (Rab/\(b е- фт(Л) П Фт (В)' IJ Ь <= фр (В) П фг(Д)')
а е фт (Л -+ В) <=> V b (R ah b = фт (Л)' Ц фр (В)'),
(D)
а = s’f (Л-* В) «=> з b (R ab /\Ь<= фТ (Л) f) фЕ (В)).
а <рг (Л -► В) « у b (R at) b е Фр (Л) J Фт (В)) >
(Е)
a =,q>F (Л -> В) «=> 3 b (R ab/\b<= <|* (Л)' (~| фт (В)').
ае<рт(Л -+B)<^'tfb(Rab^bGq>v(Ay U фр(В)' (j фР(Л) (J ф, । (В)ь
(F)
аеф.р(Л-->-В)<^Эй(/?а&Л/’еч>т(Л) Р q>F(B) р фи (Л)' р фт(В)')
В каждом пункте условия сформулированы таким образом
что ложность импликации является классическим отрицание.''
истинности импликации. Представляет интерес ввести такие
импликации, условия истинности которых берутся из одной п<
ры, а ложности — из другой.
Прежде всего рассмотрим импликацию, условие истинности
для которой вводится пунктом Е, а ложности — (D), т. с
ае=фЧ. (Л->В) V b (Rab=>b&fF (Л) Рфт (В)),
aetpr (Л->В )-ф=^ j 6 (7? aft Л Ь^Фт(Д)Пфг (В))
Без дополнительных предпосылок нс обязательно, чтобы
Л->В была истинной или ложной, и не невозможно, чтобы он ?
была и истинной и ложной. Целесообразно пересмотреть и дру
гие возможности; Т.4—FB, ТВ — ЕЛ и т. д.
Естественно, накладывая на R различные ограничения (рсф
лектнипость транзитивность связность в др ), мы получаем
различные импликации.
Необходимо отметить еще условие наследуемости. Поскольку
понятия истинности и ложности независимы, можно сформули
ровать принцип сохранности истинности и принцип сохранности
мощности:
Г а^-г(р), Rab-
II Rab
Естественно, имеются четыре возможности: когда принимаются
и I, и II (классический случай), когда принимается I, но и
принимается И (интуиционистский), когда принимается П, но
не принимается I (антииптуиционистский) и, наконец, когда не
принимаются ни I, ни II (модальный).
Д. V4. Данн9 предложил семантику для системы RM Уело
вин истинности для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания тс
же, что были сформулированы выше. Семантические условия
106
•|ля импликации имеют следующий вид (в нашей системе обо-
значений) :
аа$т (А-+В)<=>уь (Rab=> (bc=<j г (А ),Т1фт (В)) Л
И))-
Таким образом, условие истинности Данна совпадает со сду-
ваем ТС.
I Условие ложности .4 >В Данн формулирует следующим об-
разом:
а<=<рр (А—>-В)е=>
а&рт(Я->В) или ПЕ([ 1 (Д)Ла^<рт(^)-
Условие ложности, предложенное Данном для импликации,
Выпадает из нашей классификации.
' Следование Данн трактует в смысле нашего следования [о].
Аналогичным способом могут быть введены унарные модаль-
ные операторы.
Мы имеем два условия истинности и два ложности:
(1) а= рт (□ Я) <=>УЬ (7?«Ь=>6^фТ (А)),
(2) аеа;<рт (□ Л)<=>V & (Rab^b гг <f f (Л)),
(а) ае=<рг(С]Л)<=> 3^(^с^Л^^-<Рт(Л)),
(б) й^<рр(ПЛ)-^Зь(^^Л^<рн(А)).
Соответственно мы получим 4 оператора, определяемых ус-
ловиями 1а, 16, 2а и 26.
Аналогично вводятся четыре типа отрицания. Мы не будем
развивать здесь логики с этими операторами, хотя само это
рассмотрение представляет несомненный интерес.
§ 5. Нестандартные рассмотрения
семантических антиномий
Семантические идеи, изложенные в предыдущих параграфах,
могут быть реализованы относительно логики предикатов. Ин-
терпретация каждой нелогической константе приписывает в
каждом возможном мире, некоторый объем и антиобъем. В об-
щем случае не предполагается нй то, что объем и антиобъем не
пересекаются, ни то, что их объединение совпадает с универсу-
мом. Это же относится к семантическим предикатам.
Прежде всего рассмофим ситуацию, когда пересечение
[объема и аитиобъема пусто. Абстрактно говоря, имеются четы-
ре возможности.
(1) Как стандартные, так и семантические предикаты могут
быть нс всюду определенными.
(2) Стандартные, т. е. несемаптические, предикаты могут
быть нс всюду определенными, но семантические предикаты
всюду определены.
(3) Стандартные предикаты являются всюду окределенны-
107
ми, ио семантические предикаты могут быть и не всюду оПре
деленными.
(4) Как стандартные, так и Семантические предикаты веюд
определены.
Последний случай является хорошо разработанным ортодоь
сальным случаем. Семантически замкнутые языки с нсюд
определенными стандартными и семантическими предикатам
прот иноречпвы.
Начнем анализ с первого случая. Повторяем, что на данном
этапе мы предполагаем, что объем и аптиобъем предикатны
знаков нс пересекаются.
Схема, которой должен удовлетворять предикат «истннно<
высказывание», в Случав, когда имеются не всюду определен
ные предикаты, естественно, меняет свой смысл. Какого тип.
эквивалентность скрывается за словами «если и только если» г
схеме «X — истинное высказывание, если и только если р>-?
Очевидно, что в случае с не всюду определенными предиката
ми она не является материальной эквиваяенцией. Эквивален
ция Л^В истинна, если и только если и формула /1, и формул
В обе истинны, или обе ложны, или обе нс определены; в про
тивном случае формула А^В ложна. Эту эквивалентно можно
задать следующей таблицей
s t f и
t t f f
f f t f
u f f t
В принятой в предыдущих параграфах терминологии имеем
следующие условия истинности и ложности:
<рт (Л ^В) = [ирт (.4) Афт (В) J U [<FF (Л) (В) ] U [фт (4) 'А
Рфг (.4) 'Афт (В) 'Афр (В)'],
фг (.4 ^В) = [<рг (4) Афт (В) ] ЬЦфК (А) Афт (В) ] и [ф г (4) А
Пф-т (В) 'Афт (В)'] и [фт И) Афт (В) 'A<fF(B)'] 'Л<рт (4) 'А
Г4тИ)/Пфт(В)'Афг(В)'].
Аналогично можно ввести импликацию о, такую, что /1^В
тогда и только тогда, когда Л эВ и Вэ А Она определяется
следующей трехзначной матрицей;
t f u
t t f f
f t t t
Л tit
108
т с. получается из матрицы для импликации трехзначной логи-
ки Лукассвича заменой и на г в значениях таблицы. Условия
истинности для этой импликации следующие:
Ч т(ЛБВ) — ирр(Л.) Ц<Гт (5)и[<рт (ЛКЛфи М)Т1<£т (Л)'Г)
Пфр(Я)'],
<рр(Л SB) -
и[^г(Л)'П<Рт(Л)'р.о:Р(В)].
I Формализацией отношения типа [я] в логике с истинност-
ными провалами, как было показано выше, является логика
Хао Вана, а в секвенциальной форме (имеете с клинсвской им-
пликацией) - система Gi. Можно расширить систему GKL.
обогатив ее правилами для S и —. Обозначим ее GKIa- Пра-
вила введения для S и се отрицания при условии, что <гт(р)П
Пфг(р) =0, следующие
а, г, е, в в.п е,д -д.г-а в, г-в Г|й.д.м,5,^в
Г1-0, А^В ASB, Г i- 6
Отметим, что в GKL, производны правила
-Л..Д, г и н, д н д, г е, ^ д
д, г - в Л, г - е
Действительно, в GKLt имеет место А, ~Л отсюда
-^Д, Г| 6, А Л, — Ai 6
------!------—---------- сечение,
-^А, Д, Г О, 0
-г--—р—--------- сокращение.
Для интересующей нас связки = правила введения будут
'Следующими (опять-таки в системе с истинностными прова-
лами!) :
а, г । н> д ~ д, г I-е>,д д, ri о, д г-и.-^д
г t л а р
А, Г I 8 А, К, Г О Г| 0, А, ^А, В, В
а в, г । е
Мы не формулируем здесь правил для введения отрицания
эквиваленции == справа и слева. При желании эти правила
можно извлечь из семантических условий
Безусловно, детальное исследование обобщенного исчисле-
ния GKI-i с дополнительной связкой является интересной и
важной задачей.
Пас интересует схема, ко юрой должен удовлетворять пре-
дикат’«истинное высказывание». Нетрудно убедиться, что в ло-
гике с истинностными провалами, т. с. в GKLb обогащенной пра-
вилами для из Ид нс следует А&-А В этом нетрудно
убедиться и с помощью семантических выкладок и- посредством
процедур поиска доказательства секвенции
10?
4с^А |—/1&~Л.
Таким образом, в системе с не всюду определенными прсди
катами, в то?л числе и с не всюду определенным предикатом
«быть истинным высказыванием», формулировка предложении
говорящего о своей собственной неистинности, не приводит к
противоречиям.
Можно ввести понятно /(-определимости нс всюду определен
ных отношений и свойств (классов). Нс всюду определенное от-
ношение R /(-определимо, если и только если существует такая
формула Л(х,...хп), что выполняются следующие условия:
..aT' )=>~4(,7lfаг,)^К,
К{Щ,«»)=>Л (а.....)€=/(,
R пе определено ма (щ,йк)=ф-/1 (aj..... аи) %?/( и ~Л (а^ ..
.... ап) Ft К. В случае с пе всюду определенными предикатами
теорема о /(-неопределимости класса К не имеет места.
В связи с развиваемым подходом вози икает интересный воп
рос о классификации частичных функций и предикатов. Частич
пая рекурсивность сохраняется относительно комбинаций с по-
мощью сильных клиневских связок (&, V, ) и ограничен
них кванторов, но неограниченные кванторы выводят за пре-
делы частичной рскурсивности. Можно ли провести классифи-
кацию частичных функций и предикатов, аналогичную класси-
фикации Клини — Мостовского? Насколько нам известно, этот
вопрос не исследован.
Обратимся теперь к подходу, который обозначен выше как
второй. При этом подходе несемантнчсскне понятия могут быть
не всюду определены, а семантические являются всюду опреде-
ленными. Рассматриваемый подход, на пат взгляд, восходит к
идеям Д. Л. Бочвара. Д. А. Бочвар различает внутренние и
внешние связки. Внутренние связки — это связки, которые
С. К. Клини позже назвал слабыми трехзнлчпыми связками.
Введем принятым нами способом внутренние бочваровскпс
связки: бочнаровскую конъюнкцию га и альтернативное отрица
ние Условия для ~ совпадают с введенными ранее, т. с.
фт(~А)=фР(Л),
фг(~Л) =фт(А).
Для бочваровской конъюнкции имеем следующие условия:
тр г (4 =фт(Л)Пфт(Я),
ФТ (Л m В) - («PF(Л)Гф,,(В))и (фт(А)Пфт(В))и(фтИ)Пфк (В)).
Помимо внутренних связок в логике Бочвара имеется внеш-
няя связка. Д. А. Бочвар обозначает ее знаком |- . Но посколь
ку этот знак занят, мы вслед за Херцбсргером будем обозначать
се буквой й (от слова horisontal). Хорнбергер называет эту
связку бочваровско-фрегевской 10. У Г Фреге горизонтальная
черта —А является функцией, которая в случае не всюду опрс
деленности А делает —Л ложным предложением. Семантические
условия для h следующие:
110
<рт(АЛ) ^<рг(-'П,
11a основе введенных могут быть определены связки “|, | :
ПА^-й-А; |А^(~М)Л(~ J/1) Д-^-ЛА. ~
Отметим, что введенная нами выше импликация В может
f
быть определена через h и импликацию Лукассвича А=> В
L
когда и только тогда, когда h(A-»~B).
В эюм случае предикат истинности аналогичен операции
внешнего утверждения Д. А Бочвара. Его смысл следующий
j_A I истинно тогдд и только тогда, когда А определено и
имеет место А:
фт(Гг([_А J)) -<рт(А),
<fF(7>(LAJ))'<PT(A)'.
При предыдущем подходе <Ре(?г(|_А_') ~<рг(А). В этом случае
схема, которой должен удовлетворять всюду определенный пре-
дикат «быть истинным высказыванием», должна быть видоизме-
нена, например, следующим образом:
если р определено, то X истинно, если и только если р,
если р не определено, то А' не истинно.
Вместо «/?» подставляется высказывание, а вместо «X» — его
имя.
Представляется интересным следующим образом видоизме-
нить условие адекватности Тарского:
X истинно, если и только если h(p).
В этом случае семантическое понятие Тг будет аналогом объект-
ной связки А, подобно тому как в доказуемостной логике син-
таксическому предикату Док (!_А |) мы сопоставляем форму-
лу объектного языка □/!.
Третий из упомянутых подходов, при котором несемантиче-
скис понятия являются всюду определенными, а семантические
являются только частичными (пе всюду определенными) поня-
тиями, лежит, иа наш взгляд, в основе построений С. Крипке. и
и целого ряда других исследователей в.
Прежде всего следует обратиться к оригинальным исследо-
ваниям ваи Фрассена ио пресуппозиниоиальным языкам Уче-
ние о пресуппозициях возникло в результате ошибочной крити-
ки расселовской теории дескрипций. Стросон 13, а затем многие
другие, авторы, рассматривая расселовскую теорию дескрипций,
игнорировали Аопрос об области действия дескрипции. Сама по
себе расселовская теория дескрипций корректна, се критика
Стросоном и другими основана на непонимании.
Однако возможны альтернативные теории . дескрипций, не
опирающиеся на необходимость указания области действия дес-
крипций. Согласно одной из них, прежде чем вводить неопре-
деленную дескрипцию, необходимо доказать существование
объекта, удовлетворяющего условию, по которому образуется
lit
дескрипция: и случае определенной дескрипции необходимо по
мимо существования доказать и единственность. Третий подход
состоит в возможности образовывать дескрипции по любому
условию. Это приводит к £-псчисленто Гильберта и так пазы
ваемым свободным логикам.
Неправомерная критика расселовского подхода породила
интересное направление исследований - учение о так на.<ыиас
мых пресуппозициях, предпосылках. Так, утверждая «цыне.пцшп
король Франции лыс» (1), неявно предполагают, что утвержде
ние «король Франции существует» (2) истинно. Пне принятия
(2) вопрос об истинности (1) бессмыслен. Опенка (1) как ис
тинного пли ложного возможна только при условна, что утверж
дсние (2) оценено как истинное1’.
Наиболее интересные результаты в этом направлении — i
исследовании пресуппозиций — получены вац Фрассеиом. Bai
Фрасссн предложил и исследовал т. п. пресуппозицнональныс
языки ,ь. Говорят, что В сель предпосылка .4 (/1 предполагает
В), если и только если из .4 логически следует В и из не-Л ли
гпчсски следует В. Очевидно, что если логика классическая, то
предпосылкой может быть только логически истинное утверж
дснис В. Ван Фрас.сен вводит некоторое отношение нресуппози
ции -А’, означающее, что .4 есть предпосылка X, это отношение
отлично от стандартного классического понятия следования
Ван Фрассеи вводит понятие супсроценки. Пусть X — пекото
рое множество предложений. Супсронеика, индуцируемая мно-
жеством X. есть функция к, которая удовлетворяет следующим
условиям:
х(Л)-Л если ^vB/B(B^X-^v(B) = T)=>v(A) =Т),
д(Л)-Р, если уц(У В (Be=.X=>u(B) =I?)=s>v(_4) = F),
«(Л) не. определена в остальных случаях.
Другими словами, приписывает значение Т(F) формуле А
если всякая оценка, приписывающая всем формулам из А" зна-
чение T(F), приписывает Т (F) и формуле Л; s нс определена в
остальных случаях.
В качестве X можно взять насыщенное множество, т. с. вы-
полнимое множество формул, замкнутое относительно классике
ского отношения логического следования и отношения пресуп-
позиции А' (если ZY|A'4 и Х<^Х, то ЛеА'), В этом случае супср-
оценка называется допустимой оценкой. На этой основе опре-
деляется отношение логического следования Для пресуппозицчоп-
ного языка: н.з Г логически следует Л, если и только если вся-
кая допустимая оценка, выполняющая Г, выполняет Л. Очевид-
но, что допустимая оценка не обязательно всюду определена.
Идея супероценок применяется ван фрассеиом к анализу семан
тическнх парадоксов. Он рассматривает язык со связкой Т, яв-
ляющейся формальным аналогом предиката «быть истинным
выражением». Возможна итерация связки Т: Р+’Л —Т(Т«Л) i
ТД(Л)*=Л. Возможны случал, когда А не истинно п ре ложно,
112
рю ТА ложно, также возможен случай, когда ни В, ни ТВ нс
истинны и нс ложны, но Т(ТВ) ложно и т. д. Эта итерация
иожст быть продолжена до достаточно высоких ординалов.
А. Тарский показал, что. стандартное понятие истинности
можно сформулировать в теоретико-типовой системе уровня
1 для языка уровня п. Целый ряд авторов в 50-е и 60-е гг.
(Исследовали эту проблему (Дж. Кеменп, Хао Ван, В Куайн) ,я.
При анализе семантических замкнутых языков все авторы
исходят из установки, что понятие истинности должно быть еди-
ным. а не особым для каждого уровня. При итерации Т может
оказаться, что самонрнменимое предложение формулируется не
на конечном уровне, а на достаточно высоком трансфинитиом
уровне. Идеи итерации выдвигались уже в конце 60-х гг., одна-
ко новый стимул к их исследованию был дан работами С. Крип-
ке, Р. Л. Мартина в П. В. Вудруффа.
Остановимся несколько подробнее ня идеях С. Крипке,т.
Пуси. L — нернопорядковын язык, доел а точный для описания
собственного синтаксиса Предикаты и функции этого языка яв
ляются всюду определенными. Пусть фиксирована некоторая
интерпретация этою языка.
Расширим язык L, добавив к нему одноместный предикат Т
Обозначим этот расширенный язык буквой S'. Помимо формул
языка L язык S'- содержит п формулы вида Т (1_/1 ,), где
к|_,4 »- геделсв номер формулы' «А», а также формулы,
построенные не них посредством логических связок и кванто-
ров. Перейдем к интерпретации языка 5?. Вес несем ант ические
предикаты интерпретируются так же, как в L. Предикат Т, в от-
лично от остальных предикатов объектного языка, не. всюду
определен. Ему приписывается объем S, и антиобъем Sv, при
этом пересечение объема и антиобъема пусто, т. с. i’lflSa—0;
в то же время объединение и S’2 не равно универсуму. Нс на-
рушая общности рассмотрения, в качестве объектов индивид-
ной области можно рассматривать натуральные числа; преди-
кат Т — первонорядковый предикат. Значение предикату Т
приписываете»; посредством индукции. Поскольку язык £ со-
держит нс всюду определенный предикат, в качестве логических
связок естественно рассматривать сильные клнневские связки
н кванторы. Приписывание, значений сложным выражениям, в
том числе содержащим предикат Т, осуществляется индуктив-
но. Па некотором шаге предикату Т приписывается пара (Si,
S2), где S, есть объем Т, a S< — его антиобъем; этим опреде-
ляется вся интерпретация языка S па этом шаге. Обозначим
интерпретацию языка 2 на шаге а посредством J?, (Si, S2)
Пусть Ф — функция, сопоставляющая паре (Sb S2). полученном
на шаге а, пару Ф(5Ь Si) = (Ф(5(), Ф(32)), которая приписы-
вает значение Т на «следующем» шаге. Индукция ведется по
всем ординалам Ниже подробнее рассмотрим это индуктивное
определение.
С. Кринке требует, чтобы Ф (индуктивный шаг, оператор
скачка) был монотонным, т. е. удовлетворял следующему ус
ловию: если (SJ, S2*)S(Sia« is2). то S'2:)£C’(Sr, S/)
Под (S,1, S21) —(ii2. S2a) имеется в виду, что S^sS,2 и Ssl£=Ss2.
Предполагается также, что (Si, Ss)s<I’(Sb <S8). А это овна
чает, чго индуктивный переход может лишь сузить область не
определенности, но нс превращает истинные на предыдущем
шаге высказывания в ложные или в неопределенные, аналогии
по и ложные — в истинные или в неопределенные.
Чтобы введенный в объектный язык предикат Т выступал
как предикат, соответствующий содержательному предикату
истинности, необходимо, чтобы он выполнял конвенцию Тарско
го или ее аналог. Обратим внимание на то, что конвенция Тар
ского может быть сформулирована как в объектном языке, так
и в метаязыке. Поскольку Т не всюду определен, конвенция в
объектном языке формулируется в виде 1S
(1) I
Отмстим, что из не следует Л&ДЛ. В метаязыке кон
ве.уцня Тарского имеет вид:
Т (|ДАД|) истинна, е. т. е. /1 истинна,
Т (г А.;) ложна, е. т. е. А ложна.
Обратим внимание, что языки с нс всюду определенными преди-
катами рассматриваются в стандартном метаязыке, использую
щем классическую логику. Следует также различать предика-
истинности, используемый в объектном языке, т. е. Т, и семан
тическую оценку, даваемую в метаязыке.
Индуктивный уровень, на котором истинна формула
T(UJ>J (уровень, на котором выполняются условия (1))
будем называть фиксированной точкой (неподвижной точкой)
Сразу же отметим, что в фиксированной точке некоторы
утверждения могут не получить истинностного значения. Гак
утверждение, говорящее о своей собственной ложности, нс
имеет истинностной оценки в фиксированной точке. Индуктиа
ная интерпретация языка S с предикатом Г предложенная
С. Крипке, гарантирует существование фиксированной точки
Ниже мы несколько модифицируем подход С. Кринке и из
дожим индуктивную семантику в терминах, отличных от псполь
зуемых Крипке.
Пусть а|[-Л — метаязыковым предикат, означающий, что
формула А истинна на уровне а, а и —fiA означает, что А лож
на на уровне а.
Истинрбсть и ложность атомарных формул языка L на уров
не 0 вводятся стандартным образом:
0|нР(а)^1(а)с21(Р),
0-sP(a)«>I(a)5?-I(P).
Для пропозициональных связок на любом уровне а имеем
114
all— Д&Дел а:— А и a,r-B,
a—5 Д&В«=>а—?'Л или a—нВ,
ai— Д V В<=>а11—Л пли ah-В,
а—<]А \/ В<=ьа-Ч1А и а—-нВ,
all— J Д «=> а—л Л,
ex.—if ~] Де=>а||— Д,
a J— V хА (х) ел а — А (а) для любых а D,
а—ну хЛ (х)ела—Д (а) для некоторого a^D
Если а. = £4-1, то
а'>—T(L Д_Л,
а —1| Т (|_ Л_]) ел £ —,,’Д.
Если а предельный ординал, то
ЛИ—Т(|_Д )е*У£< Ь(£^-/1),
Л—1ГТ((_Л i)«Vp< л(Р-нЛ).
Оценки удовлетворяют условию:
а < £ и а 'I— А р II— Л,
а<£ и а —Д=4£—нЛ.
Чтобы перейти к терминологии С. Крипке, положим
Sia-H ~{LДU |all— Д},
*^га+1 — {□ Л_] |« —1| Д).
Для предельных ординалов:
Si* = {L. Д13 I У a < К (ан— Д)},
{СД'—ЛУ а< А(а=—и Л)}_
В отличие от Крипке, на аргументном месте Т могут стоять
'олько номера предложений, поэтому при определении $2 мы
не оговариваемся, что это номера ложных предложений пред-
тествующего уровня или номера объектов, не являющихся фор-
гулами.
При главной интерпретации формула Т(!_Д J) нс определе-
ia на нулевом уровне, т. е. Sltt=0 и S2a—0.
Последовательность (S]a, .S^a) является неубывающей Эта
последовательность состоит из строго возрастающей части и по-
стоянной части, т. с. существует ординал р, такой, что для всех
(^ip, 52j = (Sls, SJP).
Легко видеть, что в pit—Т((_'Л_|) тогда и только тогда, когда
115
р Ч— А, и р—<T([JA I) тогда и только тогда, когда рнМ
В р также истинна эквивалентность Т ( .4_|)^Я.
Таким образом, р является искомой фиксированной точкой
Болес того, существует такое р, что р есть фиксированная точк
и для всех а<р
Sja) <= (Stt»
где с?--знак строгого включения. ,
То, что построенное индуктивное означивание формул с
знаком Г гарантирует существование фиксированной точки
конечно, нуждается в доказательстве. Однако это доказательст
во имеет общий характер и его лучше вычленить из контекста
Это прекрасно сделано в статье Стива Ябло *®. Он рассматрн
васт абстрактный объект, называемый индуктивным простран-
ством. Пусть U — универсум и Р — семейство подмножеств
такое, что г.устое множество 0 является элементом Р и объели
некие возрастающей (относительно включения) последователь
пости элементов Р само принадлежит Р.
На Р задай оператор J, т. е. функция J. Р->Р, удовлетв:
ряющнп условию монотонности: если Si^P, 52^Р и т
J (S,)^J(52).
Этот оператор называется оператором скачка. Тройк
(I), Р, J), удовлетворяющая сформулированным условиям, на-
зывается индуктивным пространством. 8 называется нормаль
кым (sound), если 5<z;J(5).
С помощью индукции но ординалам можно определить по
следовательность (JU(S) > для нормального S:
Г(5)=(5);
lft(S) — I (f*-1 (S)), если а не предельный ординал;
Iх (S) — (J (S), если 1 предельный ординал.
fl<>.
Нетрудно доказать следующие утверждения:
1. Последовательность (Ja(5)) нс убывающая.
2. Существует единственный ординал п, такой, что
(1) для всех а и 0, таких, что а<0<р,
' Jn(S)cJP(.S),
(2) для всех
JT(S)=J₽(5).
Доказательство см. в упомянутой статье С. Ябло.
Возвратимся к индуктивной семантике Кронке. Фиксирован
ную точку главной интерпретации (в этом случае па нулевом
уровне объем и антнобъем Т пустые) будем называть наимень
шей фиксированной точкой. Но возможны интерпретации (нс
главные), в которых Т имеет па пулевом шаге непустой объем
пли антнобъем.
Введенная семантика позволяет осуществить тонкий ан ал и
предложений, содержащих предикат истинности Т, выделить
различные, типы такого рода предложений. Предложение А
116
С. Крипке называет обоснованным (grounded), если и только
куш оно имеет истинностное значение в наименьшей фиксиро-
панной точке; в протонном случае /1 не обосновано.
К числу необоснованных предложений относятся, например,
такие самоприменпмыс предложения, которые говорят о своей
собственной ложности - «я не истинно» и о своей собственной
истинности — «я истинно». Уже на интуитивном уровне усмат-
ривается различие- между этими предложениями. Первое — нн-
п-уитивно парадоксально, второе же нс является таковым, хотя
и то, в другое не обоснованы. Важно провести различие между
ними точным образом. Индуктивная семантика Крипке позво-
ляет сделать это.
При индуктивном определении объема и антиобъема преди-
ката Т в главной интерпретации принималось допущение, что
па нулевом шаге Т имеет пустой объем и пустой антиобъем. Это
вполне естественное допущение, так как вопрос об объеме и
антиобъсмс Т на данном шаге сводится к вопросу о том, какие
предложения принимаются или отбрасываются на предыдущем
уровне (или множестве предыдущих уровней, если данный уро-
вень характеризуется предельным ординалом). Фиксированная
точка, к которой приводит эта конструкция, является мини-
мальной.
Однако могут быть "индуктивно введены другие объемы и
антиоб'ьемы предиката Т. Так, можно постулировать, что на
нулевом уровне предикату Т приписывается непустой объем, на-
пример в объем предикаia включается предложение, утверж-
дающее свою собственную истинность. В остальном конструк-
ция нс отличается от исходной. Сама конструкция в известном
смысле, искусственна, поскольку решение, какое предложение
включить в объем Т на нулевом уровне, ничем нс обосновано.
Конструкция имеет фиксированную точку. В этой точке пред-
ложение, утверждающее свою собственную истинность, будет
истинным. Помимо данной конструкции могут быть построены
и иные, имеющие фиксированную точку.
На базе проведенных семантических конструкций можно
уточнить понятие парадоксального предложения, выявить его
отличие от других самопримеиимых предложений, включающих
предикат истинности. Предложение Л парадоксально, если оно
не имеет истинностного значения пи и одной фиксированной
точке. Всякое парадоксальное предложение необоснованно, но
не наоборот. Так, предложение, утверждающее свою собствен-
ную нсистинность, парадоксально п гем самым не обосновано.
По предложение, постулирующее свою собственную истинность,
не парадоксально, хотя и пе обосновано.
С. Крипке вводит и другие характеристики предложений,
позволяющие провести важные разграничения в исследовании
предложений, содержащих предикаты истинности и ложности.
Фиксированная точка максимальна, если и только если она не
имеет собственных расширений. С помощью леммы Цорна мож
117
но доказать, что всякая фиксированная точка может быть рас
ширена до максимальной. Предложение, утверждающее свою
собственную истинность (хотя и не обосновано, т. е. не истинно
в минимальной фиксированной точке), истинно в любой макси
мальвой фиксированной точке. Но, как отмечает С. Крипке
существуют необоснованные предложения, имеющие истипност
ное значение только в некоторых максимальных фиксирован-
ных точках.
Фиксированная точка называется внутренней (intrinsic)
если и только если нет предложения, истинностное значение
которого в этой точке отлично от его значения в любой другой
фиксированной точке.
Предложение .4 имеет внутреннее истинностное значение
если и только если существует внутренняя фиксированная точка
(Sf, 5-), такая, что м.
Предложение, утверждающее, что оно само или его отрица
ние истинно, является примером необоснованного, ненарадок-
сальпого предложения, имеющего внутреннее истинностное зна
чение. Предложение «я истинно или ложно» необоснованно, нс
внутренне истинно; предложение «я не истинно и не ложно» не
обоснованно, но внутренне ложно. Рассмотренная конструкция
семантики показывает возможность введения в объектный язык
предиката «быть истинным высказыванием» (как это делается
в естественных языках) и в то же время выявляет условия его
непротиворечивого употребления. Язык становится ссмантн
чески замкнутым, возможно построение самопримсннмых вы
сказываний, утверждающих собственную истинность или не-
истинность, однако парадокс не возникает. Это достигается за
счет того, что предикат истинности не является всюду опреде-
ленным.
Если предикат Т является всюду определенным, то объект-
ный язык, его содержащий, будет противоречивым. Индуктив-
ная семантика с объектным предикатом Т никоим образом нс
отменяет традиционных исследований А. Тарского, а дополняет
и развивает их.
Как было отмечено выше, семантикой, двойственной ссмап
тике е. провалами значений, является семантика с пресыщении
мп оценками, т. е на некотором уровне пересечения объема н
антиобъема могут быть непустыми. В рамках этой двойственной
семантики может быть рассмотрен язык с предикатом истин-
ности21. В более общем случае можно перейти к «релевантно-
му» случаю, допускающему как истинностные провалы, так и
пресыщенные оценки. Семантика такого рода называется часто
аппроксимативной семантикой 2г. Для логики высказываний она
была построена нами выше. Конечно, анализ парадоксальных
утверждений в рамках этой семантики представляет несомнен-
ный интерес.
Другое направление исследований разрабатывают Гупта
(Gupta) и Хернбергер8Л. Вместо индуктивного пространства
118
рассматриваются так называемые полу-индуктивные простран-
ства. В случае предельных ординалов образуется не бесконеч-
ное объединение, а берется предел. В каждой точке предикат
является всюду определенным, но истинностное значение может
меняться от точки к точке. Обоснованным высказываниям будут
соответствовать высказывания, чьи значения, начиная с некото-
рой точки, стабилизируются. Парадоксальные предложения —
эю систематически нестабильные предложения. Подход Хсрц-
бергера можно рассматривать как модернизацию и кринкевско-
го подхода, и первоначального, подхода Р. Мартина и П. Вуд-
руффа Ч
Парадокс Лжеца поднимает важные философские вопросы,
связанные с анализом языка и мышления, с анализом таких по-
нятий, как суждение, высказывание, истинность, ложность, от-
рицание, осмысленность, с выявлением условий, при которых
высказывание имеет истинностное значение. Особое значение
.приобретает выявление тех допущений, которые приводят к па-
радоксам.
В настоящее время неортодоксальный анал лз семантических
ларадоксов. как, впрочем, в целом проблема истинности, нахо-
дится в центре внимания логиков и философов. Это одна из то-
чек роста 25.
При всей важности проблемы неортодоксального решения
•семантических парадоксов другие проблемы, и прежде всего
построение семантики для языков с не всюду определенными
предикатами, а также семантики, исследующей граничные усло-
вия (пресыщенные оценки), имеют самостоятельное значение.
Именно эти соображения послужили основанием для избранной
лослсдова гслыюсти изложения в данной главе. Новые исследо-
вания семантических парадоксов, естественно, нуждаются в
Дальнейшем более специальном и детальном анализе.
ГЛАВА V
ТЕОРИЯ СЕМАНТИЧЕСКИХ КАТЕГОРИЙ,
СТРУКТУРА ФОРМАЛИЗОВАННЫХ ЯЗЫКОВ
И ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЛОГИКИ
Рассматривая проблему изменения и развития научного
знания, следует различать его уровни и аспекты. Изменение
знания может происходить на уровне принятия некоторых по-
ложений. Последние могут выступать как результаты зкепе.ри
мента, могут приниматься как гипотезы пли как результаты
доказательства или каких-то иных способов обоснования. Изме-
нения могут происходить на уровне принятия новых теорий. На
этом уровне возникают проблемы сравнения, сопоставления
научных теорий в плане их дедуктивных и выразительных воз-
можностей, в плане их объяснительной силы. Существенную
роль в такого рода рассмотрениях играет логика.
Наконец, изменения могут происходить на уровне концеп-
туальных схем. Меняется сам каркас, в рамках которого Кроне
ходят описание явлений, формулировка теорий. Изменяется
категориальная сетка, структура языка теорий, способы рас-
суждения. С точки зрения логики и теории познания на каждом
этапе познания имеются определенные концептуальные схемы,
которые фиксируются в языке — не только в терминах языка,
но и в его структуре — способах рассуждения, допускаемых
приемах абстракции и идеализации. Именно такого рода изме-
нения связываются, на наш взгляд, с понятием стиля мыш-
ления.
Любой «стиль мышления» включает логику, се средства и
методы, но не обязательно одну и. ту же логику. Болес того,
принятие определенных способов рассуждения, определенных
логически^’ процедур коррелятивно принятию определенных аб
стракний и идеализаций, т. е. в конечном счете определенных
концептуальных схем.
Центральный и наиболее сложный вопрос — исследование
концептуального аппарата, лежащего и основе того или иного
типа логических систем. Философия XVII—XVIII ни., по су-
ществу, исходила из предпосылки единственности и универсаль
пости логики. Для Канта, в Центре рассмотрения которого была
проблема обоснования необходимого теоретического знания
не возникал вопрос о статусе логических законов или право-
мерности тех или иных способов рассуждений. Как отмечалось,
он исходил из логики как данного; система формальной логики
восходящая к Аристотелю, является для него замкнутой и уни-
версальной.
Именно развитие логики, отбросив идею универсальности
логики, поставило вопрос о различных системах логики и соот
120
|ветс71»енно о критериях принятия той или ттнои логическом сис-
темы, В математике с ее сложной, многоступенчатой системой
абстракций особую роль приобретает вопрос допустимости тех
п..тп иных логических средств рассуждения. Принятие опреде-
ленного рода абстракций и идеализаций связано с допущением
вполне определенных логических средств. Так, классическая
логика, по мнению интуиционистов. «была абстрагирована от
математики конечных множеств и их подмножеств... Забывая об
(этом ограниченном происхождении, впоследствии эту логику
Вошнбочно приняли за нечто высшее и первичное ио отношению
ко всей математике и в конце концов стали применять се без
[какого-либо оправдания к математике бесконечных .множеств» 1
[Дело в том, что логические фигуры заключений хотя и нс за-
висят от конкретного содержания понятий, возникающих в той
или иной области знания, но они зависят от концептуального
[аппарата в целом, от допускаемых абстракций и идеализаций.
«Стиль мышления» в логике, тины логических систем опре-
деляются способом анализа логической формы. Логические за-
коны и логические структуры пе есть прямое, «зеркальное» от-
I раженпе природных связей и отношений вощен. Их выявление
предполагает поэтому определенную систему категориального
анализа 1» логике, выделение той или иной системы семантиче-
ских категорий.
§ 1. Теория семантических категорий
и понятие логической формы
Обратимся к анализу логической структуры выражений ин-
терпретированных знаковых систем. Предполагается, что в лю-
бом из известных языков, как искусственных, так и естествен-
ных, осмысленные выражения языка удовлетворяют определен-
ным структурным требованиям. Нс любые знаковые системы,,
описываемые правилами образования, могут интерпретироваться
таким образом, что допускаемые комбинации символов превра-
щаются в осмысленные предложения или юрмины. Возникает
вопрос: каковы общие структурные требования, связанные
именно с осмысленностью выражений, с теми видами значений,
которые этим выражениям могут сопоставляться при интерпре-
тации? Теория семантических категорий, или категорий значе
ннй выражений языка, позволяет выявить такие общие струк-
турные требования, соблюдение, которых является необходимым
(хотя и недостаточным) условием осмысленности выражений
интерпретированных систем.
Учение о семантических категориях восходит к Фреге и Гус-
серлю. Интенсивную разработку оно получило в польской школе
логики. Очень близка к концепции семантических категорий тео-
рия типов Б. Рассела. Однако надо отметить, что если у Б. Рас-
села теория типов была введена как средство для прсдотвра-
Шелия парадоксов, то в польской школе логики у Ст. Леснсв
сколю, А. Тарского, К Лйдуксвича теория семантических катего
рий связана с глубокими философскими и лингвистическими
проблемами. Для лих элиминация парадоксов логики не един
ственный и не главный стимул для введения теории семантичс
с к их категорий.
Ст. Лссневский использует теорию семантических категорий
в исследовании оснований дедуктивных паук. А. Тарский дает
классификацию формализованных языков в зависимости от по
рядка и числа семантических категорий, к которым припал
лежат переменные языка. Целый ряд важнейших результатов
Тарского (о том, что метаязык, в котором определяется понятие
истины, должен быть богаче объектного-языка; о невозможное
ти семантического определения истины для языков бесконечного
порядка без использования трансфинитной индукции) невоз-
можно даже точно сформулировать, не предполагая определен
ной теории семантических категории. В работе К. Лйдуксвича
систематически разработана теория синтаксических категорий
(аналог теории семантических категорий), позволяющая выяв-
лять структурные особенности осмысленных выражений языка;
в то же время опа явилась первой работой, заложившей основу
для внедрения теории семантических (синтаксических) катего-
рий нс только в логику, по и в лингвистику \
На основе теории семантических категорий нам представ-
ляется также возможным уточнить понятие логической формы
высказываний, имеющее существенное значение, для логики3
Система, построенная в соответствии с данной иерархиеГл
синтаксических категорий, еще не является языком. Отнесение
выражений формальной системы к определенным категориям
устанавливается в синтаксисе. Такого рода систему можно пре-
вратить в язык посредством семантических правил. На наш
взгляд, семантические правила естественно подразделяются на
два типа. Правила первого типа фиксируют общие аспекты ин-
терпретации, г. е. указывают, какого рода системы обьектов
могут приписываться выражениям соответствующих синтаксиче-
ских категорий.
Утверждение «область X приписывается категории а» упот-
ребляется как сокращение для «Д' есть область изменения пере-
менных категории а. и X есть множество, элементы которого
приписываются константам категории а».
К семантическим правилам первого типа относятся:
1) правила, устанавливающие, какого рода области объектов
приписываются основным, исходным синтаксическим катего-
риям,
2) правила, устанавливающие, какие области приписываются
производным синтаксическим категориям, категориям фуиктор-
11ЫХ выражений, т. с. категориям типа—, если известно, какие
области приписываются категориям а и [>.
i22
Так, пусть п и з — индексы исходных категорий. Выражениям
категории п сопоставляется некоторая область индивидов; пра-
вила первого типа не фиксируют определенной индивидной об-
ласти эго дело правил второго гида. Выражениям категории
з cot оставляется область истинностных значений. Для уточне-
ния понятия семантической категории 5 не существенно, какова
эта область истинностных значений. Однако для систем, основан-
ных на классической логике, Ro= {и, л}. Выбор области истиц*
иостных значений мы будем относить к правилам первого тина.
_ а ,
Выражениям категории — сопоставляется множество функ-
Р
цпи. область определения которых — множество, сопоставлен-
ное р, и область значений — множество, сопоставленное а, т. е.
категории приписывается множество А'1', где ¥ сопоставле
р
но р. а А — категории а. Так. выражениям синтаксической ка-
тегории — приписываются функции, областью определения
которых является индивидная область, а областью значений —
•область истинностных значений Ru. Синтаксической категории
я приписывается множество функции, область определения
п
которых — множество упорядоченных нар индивидов, а область
значения — Rp. Поскольку индивидная область не фиксирова-
на, приписывание областей этим категориям релятивизировано
«относительно приписывания области объектов синтаксической
категории п. Синтаксической категории — приписывается мно-
жество унарных пропозициональных функций. Правила первого
тина, даже обогащенные Правилом выбора области истинност-
ных значений, не устанавливают значения, скажем знака ],
а только указывают, что оно может быть одним из четырех (ес-
ли Ro= (и, л}). Таким образом, посредством семантических пра-
вил первого типа система синтаксических категорий превра-
щается в систему семантических категорий,
Правила второго типа из всех возможных областей, приписы-
ваемых категории п. фиксируют одну определенную область
(например, множество натуральных чисел) и из всех возможных
приписываний объектов дескриптивным выражениям языка
фиксируют одно определенное- Если фиксированы приписыва-
ния областей основным синтаксическим категориям, .то тем
самым фиксируются области, приписанные производным син-
-I- «
таксачсскнм категориям. Гак, синтаксической категории
сопоставится множество свойств натуральных чисел, если кате-
гории п сопоставлено множество натуральных чисел.
Параллелизм между синтаксическими и семантическими ка-
тегориями оказался возможным благодаря наличию двух пред-
123
посылок-, выражения основных категорий рассматривались каь
обозначающие, и все функторы рассматривались как категорс
магические выражения.
С чисто синтаксической позиции функтор можно рассматри-
вать не как особое выражение, языка, а как метку способа об
разования (порождения) сложного выражения из составляю-
щих. Семантические правила первого типа могут быть построены
так, что не всем синтаксическим категориям сопоставятся се-
мантические.
Рассмотрим пример такого построения. Семантические пра-
вила формулируются следующим образом:
1. Выражениям категории п приписывается индивидная об
ласты
2. Если категории ₽ приписана область У, то категории —
приписана область 2Т.
3. Если категории р приписана область У, то категории -у-
принисана область Ау, где X есть область, приписанная кате-
гории п.
Построенная система есть система семантических категории
с двумя видами функторов — пмяобразующими и высказывание-
образующими. Отметим, что выражения категории 5, так же как
s
II выражения категории —, ------и т. д., не будут обозначаю-
s $
[НИМИ.
В этом случае понятие семантической категории выражений
может быть введено индуктивно следующим образом:
Д1 1. п — семантическая категория.
S Л
2. Если а — семантическая категория, то ~ и ~----семан
тические категории.
3. Никакая другая категория нс является семантической
В соответствии с двумя способами истолкования функторов
логические константы могут рассматриваться как обозначающие
выражения и могут рассматриваться как синкатегорематичс-
ские, им нс приписываются значения. В первом случае должны
вводиться дополнительные семантические правила, приписываю
щпс значения логическим константам. Во втором — должны
иметься правила, позволяющие сводить значения сложных вы-
ражений, образованных посредством этих функторов, к значе-
ниям составляющих. Осуществляется это посредством правил
истин ноет и (выполнимости).
На базе построенной указанным образом теории ссмаитичс
ских категорий можно уточнить понятие логической формы вы
ряжений. Основной задачей формальной логики является нзуче
пне правильных форм дедуктивных рассуждений. Поэтому
понятие, логической формы является одним из центральных в
124
Логике. Под логической формой обычно понимают способ связи
^ставных частей мысленного содержания в отличие от самого
Г держания. Но такое понимание логической формы нуждается
уточнении. Что понимается вод «мысленным содержанием»
[каким образом могуч- быть представлены различные способы
1зи составных частей этого «мысленного содержания», иными
Вовами логическая форма?
Рассматривая рассуждения, правильные в силу своей струк-
туры, мы отвлекаемся от «материи» наших высказываний, т. с.
Ьт информации о свойствах и отношениях тех вещей, о которых
н рассуждаем. Может быть, поэтому логику иногда рассмат-
ривают как науку о законах «чистого мышления». В таком слу-
чае приходится предполагать, что вант мысли имеют вполне-
ппределенную структуру (форму) независимо от языка, и эта
тоорма лишь в дальнейшем получает свое выражение в некото-
ром языке. В известном смысле подобное понимание логической
Ьюрмы можно усмотреть у Г. Фреге в его «Begriffsschrift», где
«троится специальный язык символов для чистого мышления —
«formula language for pure thought». Само название «Bcgrif-
isschriit» нс случайно, ибо «Begriffsschrift» — эго язык для
деквапюго предс тавления понятийного содержания (begriffisch-
en Inhalt). «Поскольку только концептуальное содержание имеет
значение для нашей идеографии, нам нс нужно вводить разли-
чия для высказываний, имеющих то же концептуальное содер-
жание»4. Поэтому в его символическом языке два высказыва-
ния — «греки победили персов под Платеями» и «персы были
побеждены греками под Платеями», имеющие одно и то же кон-
цептуальное содержание, нс должны различаться по форме.
С нашей точки зрения, логическая форма концептуальных
образований суждений, умозаключений и т. д. — не может
анализироваться «в чистом виде», вне языка. При таком подхо-
1дс понятие логической формы становится относительным, завн-
симым от принципов анализа структуры выражений языка. Так,
логическая структура высказывания «Металлы — электронро-
IIводные вещества» будет различной в зависимости от способа
анализа, от выделения и учета содержания составляющих. Мож-
но построить язык логики, представив каждое высказывание как
результат конструкции но схеме: «функторы н их аргументы»
вместо прнняюго в аристотелевской силлогистике членения лю-
бого высказывания на субъект и предикат. «Эти отклонения от
традиции. — пишет Г Фреге. — оправдываются в том отиошс-
пии, что логика до сих нор слишком близко следовала обычио-
I му языку и грамматике... Я полагаю, что замещение понятий
субъект и предикат понятиями аргумент и функция соответст-
сгвенно выдержит испытание временем»5.
В современной логике следует различать два понятия фор-
мы. Первое понятие формы — синтаксическое. Мы говорим о
| формальном рассмотрении выражений языка, если оно касаст-
1ся лишь вида знаков, их порядка*и способов сочленения. Второе
125
понятие, формы (понятие логической формы) является семаи
тичсским; оно апеллирует к значениям логических констант, н»
ие зависит от значений конкретных терминов, составляющи
«материю» высказывания. «Если вы удали те из силлогизма ik
конкретные термины,-, пишет Я Лукассвич,- заменив их бук I
вамп, — вы удалите материю силлогизма, и то, что остается
называется его формой»6. Такой подход предполагает пред
дарительное подразделение всех знаков (выражений) языка н
логические л дескриптивные. По какие знаки считать логине
скнмн, а какие дескриптивными и по какому принципу?
Обычно в качестве логических знаков рассматривают те зна
ки, которые относятся к логической форме, к тому, что остастс т
после удаления «материи» высказывания, г. е, после удалспи
дескриптивных терминов. Из анализа природы самих знаков, од
нако. мы не можем установить, какие из них логические, а ка
кис дескриптивные. Только обращаясь к значениям знаков язы
ка, к способам приписывания им значении, мы можем наметив
путь подразделения знаков языка на логические и дескрипгив
ные Интересно, что подобный подход намечался в логике схо
ластов. Термины языка подразделялись ими на категорсмати
чсскйе и синкатсгорематичсские. Первые имеют вполне опрсдс
лепное, точно установленное значение, обозначают вещи, свой
ства и т. п. (например, термины «человек», «Сократ*, «белыГ
человек»). Термины «каждый», «никакой», «некоторый», «кро
мс», «постольку» пе имеют в этом смысле самостоятельное
твердо установленного значения, они пе обозначают каких-то
особых сущностей. Термин «каждый» не обозначает какой-либо
сущности, вещи или свойства, во, будучи присоединен к терми
ну «человек» (например, в предложении «Каждый человек бе
жит»), придаст особое значение, особый статус самому термину
«человек» делает его представляющим всех людей. Аналогия
но ведут себя остальные сицкатсгорсматнческие термины, хот
разным синкатегорематическим терминам соответствуют разны
функции в языке.
Подразделение терминов на категорематлчсские п сипкатс
горематическве по их референциальному аспекту, по их функции
в языке играет существенную роль в выявлении логической
формы высказываний. «Поскольку речь идет о форме п о мате
рии, го под материей высказывания и соответственно консег
веянии имеют в виду чисто катсгорсматические термины, т. t
субъекты и предикаты, при условии исключения присоединен
ных к ним синкагегорем'атических терминов, посредством кото
рых они связываются, отрицаются или подразделяются и кото
рые придают нм определенный способ отнесен пости к объектам
Говорят (здесь), что к форме относится все остальное. Поэто
.му говорят, что связка как категорического, , так и гнпотстяче
ского высказываний относится к форме...»7
Таким образом, к логической форме высказываний относите
синкатегорематические термины (Synkategoreinata) типа «каж
126
1ьтй», «НИ ОДНИ», «некоторый», «весь», «ТОТ», «который 11(1
скольку» и т. Д-, рассматриваемые в современной логик» как
Логические константы. Логика изучает значения такого рода
терминов. Следует отметить, что в современной логике преди
катные знаки трактуются в некоторых случаях как синкагего
рематические, т. с. не все синкатееорематические знаки тракту
|отся в логических системах как логические константы.
При указанном понимании логика нс является наукой о за-
конах и формах мышления как психического процесса, опа изу-
рае.т вполне определенные объективные отношения в сфере об-
щих терминов (теория терминов) или в сфере высказываний
[учение о следовании) и т. п. Вопрос о природе этих отношений
[вязан с исследован нем теоретико-познавательных предпосылок
иогики Важно, что этого тина отношения носят объективный ха-
рактер н выражаются посредством особого рода знаков языка,
рникатегорематических терминов, не являющихся обычными
внаками вещей и отношений.
Кроме того, с.пнкатсгорематическис термины рассматривают-
ся как термины второй ступени, «вторичной интенсив»— они
относятся к материальным вещам и их отношениям лишь в том
аспекте, в каком эти последние сами являются знаками других
вещей. Таким образом, логические константы являются особого
рода знаками, терминами «вторичной ийтенсип», характеризую-
щими семантический референциальный аспект употребления
^терминов языка. Именно такого рода термины относятся к логи-
ческой форме высказываний наряду с видом, числом и поряд-
ком терминов высказываний.
Под логической формой высказываний обычно понимают
Выражения вида «Все X суть Р». «aRh», «р или не-р» — резуль-
тат замещения дескриптивных терминов переменными. Конкрет-
ные термины, подставляемые вместо этих переменных, представ-
ляют материю высказываний. Полагают, что, если мы удалим
конкретные термины, заменив их переменными, мы тем самым
удалим материю рассуждения и получим его логическую фор-
му. Такая трактовка логической формы нам представляется не-
адекватной, если в качестве переменных рассматриваются пере-
менные объектного языка. Результат такого замещения даст
нам формулу этого же языка, а нс логическую форму его выра-
жений. Логическая форма выражений языка нс- есть формула
этого языка, опа должна описываться не в объектном, а в ме-
таязыке.
Переменные в -вышеприведенном случае Я- Лукассвич отно-
сит к форме силлогизма. Г. фон Вригг рассматривает перемен-
ные. как знаки, относящиеся к содержанию высказываний.
В выражении «Если, если р, то </ то, если не.-</, то пе-р» пере-
менные указывают, что речь идет о высказываниях произвола
кого рода. «Мы можем сказать, - замечает Г. Вригг,— что пере-
менные приписывают нашему предложению его содержание, а
константы дают ему его форму»8.
127
Если дескриптивные термины замешать переменными мета
языка, то тогда эти переменные предварительно должны быт
отнесены к определенным тинам, категориям, в таком случи,
онп просто выполняют роль индексов категорий замещаемы
терминов в выражении логической формы.
Дело в том, что при выявлении логической формы высказы
взний мы пе просто освобождаемся от «материи» высказывания
(это действительно достигается удалением дескриптивных тер
мипов и заменой их переменными), но мы должны еще выявить
тип удаляемых выражений, их категориальные характеристики
Таким образом, к логической форме высказываний, помимо ло-
гических терминов, относятся указании мест и категорий значе
пий удаляемых дескриптивных терминов (соответственно заме
щающих их переменных). Существенную роль в анализе логи-
ческой формы, как нам представляется, играет сам принцип чле
нения выражений па составляющие, например способ связь
функтора с его аргументами.
Понятие логической формы осмысленных выражений можно
ввести более точным образом, с учетом упомянутых аспектов
если в основу анализа-структуры выражений положить опредс
лепную теорию семантических категорий.
Под логической формой первого уровня выражения а будем
иметь в виду результат замещения всех примитивных знаков
выражения а индексами соответствующих категорий. Выражс
ние а по своей структуре представляет дерево. Его мы можем
записывать линейно с использованием скобок или двумерно в
виде (ориентированного) графа выражения.
Под логической формой второго уровня, учитывающей .значе
нпя логических констант, будем иметь в виду граф в виде обоб-
щенного дерева, при вершинах которого стоят индексы катего
рий соответствующих выражений, и при точках, • отиетствую-
щих логическим константам, кроме того, стоят саки логически,
константы s.
Например, логическую форму второго уровня выражения
7?(х. у) дзР(х) представляет граф:
Именно понятие логической формы второго уровня соответст
вуст приведенному выше предварительному, неуточненному и <
пятню логической формы. Оно учитывает значения логически
констант; дескриг:i ивныс термины удалены, и, следователь™
12В
далепа «материя» высказывания, ко на местах' вхождения уда-
ленных терминов стоят показатели их семантического тина —
идсксы соответствующих семантических категории.
Рассмотрим логическую структуру вырахсеипй языков, со-
кержа:пих операторы: функторы, связывающие переменные. Па
каш взгляд, основное отличие этих языков от языков без опе-
раторов состоит ио просто в том, что вводятся новые семантн-
Lckijc. категории выражений, но прежде всего в том, что добав-
ляются новые способы образования одних выражений из дру-
гих. Для описания структуры выражений, составленных с по-
мощью логических операторов, недостаточно одной только опе-
кании приложения функтора к аргументу, необходима обрат-
ная операция — операция абстракции. Эта операция состоит в
вычеркивании всех вхождений некоторого выражения Li в Л.
р дальнейшем мы будем вычеркивать только переменные, т. с.
калсс неразложимые выражения (поэтому не возникает опасно-
сти наложения одних вхождений В в Л иа другие) Как и для
Операции сочленения, у нас нет особого знака для операции аб-
стракции, и ни та, пи другая операция нс относятся ни к одной
!1з семантических категорий. В языках с операторами операция
цбстракции выступает как новая, порождающая выражения,
операция, а не как самостоятельное выражение языка: она по-
казана определенным расположением символов (тоню так же,
как н операция приложения функтора к аргументам). по не
Ьбозиачсна. Результат применения операции абстракция к вы-
ражению А по переменной В будем представлять фигурой
И
К каким семантическим категориям принадлежат операторы,
рязывающие переменные? Категории операторов устаиавлина-
клон следующим образом: для кванторов по индивидным пе-
S и
.В об-
геменным ----;—. для операторов типа i-ог.ератора
дем случае индекс категория квантора по переменной катего-
s
пи а имеет вид ,
а
для операторов типа г-ояерйгора но пс-
г
семенной категории а.---При указанном подходе кван-
торы (и другие операторы), связывающие. переменные различ-
ны х семантических категорий, сами относятся к различным
Семантическим категориям. Другими словам::, указанный способ
рвализа предполагает типовую неоднозначность операторов.
Под логической формой выражений языков с операторами
будем иметь в виду граф в виде обобщенного дерева с замы-
каниями, имеете с индексами, приписанными каждой точке
и;ога
129
графа, при точках, соответствующих логическим констз! там, по-
мимо индексов написаны сами эти константы '°.
Существенно не то, графически или линейно запишем мы
структуру выражении языка, важно, что в анализ логической
структуры включаются способ порождения (сложных) выражс-
ний из составляющих, а также трактовка порождающих опе-
раций.
При переходе к более стандартному, линейному способу
представления логической формы результат применения опера-
ции абстракции (но переменной х) к выражению Л вместо —
х
будем записывать линейно в виде хЛ. Правила приписывания
категорий выражениям принимают следующий вид.
1) каждый примитивный знак (константа или временная)
относится к определенной категории;
2) вводится конечный или потенциально бесконечный пере-
чень логических предикатов, в частности и принадлежат
категории — ;
и
3) если Л сеть выражение категории — и п есть выражс-
р
ппе категории fj, то (ЛЯ) есть выражение категории о;
4) если Л есть выражение категории « и В сеть переменная
категории р, то В/1 есть выражение категории — .
Линейная форма записи логической структуры выражения
х(К(х, у)аР(х), или V—-— ------2-^-, примет дид
Л
---п I й — । ' пп ' । ~ п i i
л , »• ttti , п ; )
— -t t
При указанном способе анализа структуры выражений язы-
ка выявляется особая роль самих способов образования слож-
ных выражений из составляющих Основное отличие стрмктррм
выражений языков а операторами заключается не и появлении
новых семантических категорий, а в появлении новых способов
образования сложных выражений из составляющих. В языках
без операторов единственной операцией образования сложных
выражений является операция приложения функтора к аргу
менту. В языках с операторами необходима также операция
абстракции.
Указанный способ анализа логической структуры выражений
с кванторами и операторами (типа i- и в-операторов), выявление
и учет порождающих операций, па наш взгляд, играют су цесг
венную роль в исследованиях логическс я формы. Особую рол)
13 кой подход приобретает при переходе к анализу логической
13С
структуры интенсиональных контекстов (высказываний с мо-
ральными операторами и других), при установлении семантиче-
ских категорий интенсиональных предикатов и операторов (ср.
.гл. 3, § 3).
§ 2. Теория семантических категорий,
структура формализованных языков
и онтологические допущения
Принимаемая система семантических категорий служит паж-
рой характеристикой формализованного языка. Построение
[того или иного формализованного языка базируется н« приня-
тии (явном или неявном) определенной системы семантических
категорий. Следует раз мчать типы, категории самих сущностей
и категории языковых выражений.
Учение о типах символов представляет собой скорее фор-
мальное разграничение выражений по чисто синтаксическим
признакам с целью, например, устранения антиномий. Теорети-
.ко-типовое разграничение символов полезно и удобно, когда
•речь идет о чисто синтаксической форме выражений, детерми-
нирующей допустимые процедуры рассуждения.
Па наш взгляд, принятие гоп нлп иной системы ссмаитнче-
ких категорий коррелятивно принятию определенной системы
анализа познаваемого мира п тем самым принятию определен-
ных онтологических предпосылок. Иерархия семантических
категорий, положенная в основу формализованного языка, обус-
ловливает способ анализа логической структуры выражений
Ьтого языка и те?л самым допустимые способы рассуждения.
Так, язык стандартной логики (систем фреге-расселовского
чипа) н язык системы онтологии Ясеневского отличаются преж-
де всего тем, что в их основе лежат разные системы сс?лантичс-
кких категорий. В качес ;е основных категорий в языках фреге-
расселовского типа выступают собственные имена (имена пред-
метов индивидной области) и высказывания. Общие имена, та-
кие, как «металл», «человек», «электропроводное вещество»
и т. д., относятся ае к категории имен, а к категории —, т. е.
fl
рассматриваются как одноместные предикаты. В силу этого в
языках фреге-расселовского типа субъект и предикат выеказы-
.вания не могут принадлежать к одной и той же семантической
’категории, тогда как в традиционной силлогистике и онтологии
Песзевского — могут11. По существу, принципиально меняется
само понятие предиката. В логических языках, где общие имена
отнесены к гон же семантической категории, что и собственные,
логическая структура высказывания «Жучка — собака» (в си-
стеме индексации Айдуксвича) имеет вид ——, п'п', где —-----
п'п' п п
.категория констан in «есть», а пг—категория имен (общих п
5:
131
собственных). В системах фреге-расселонского типа структур
указанного высказывания принимает вид: JL и, где — кате
я п
горня Одноместных предикатных функций, а п категория с о Г
ствсиных имен. Соответственно в аристотелевской силлогистике
логические константы А, Е, I, О («все суть», «ни одна ие суть
и 1. л.) следует отнести к категории 5 .
л 'л
Дело в том, что логическую структуру суждении (высказы-
ваний) нельзя рассматривать как нечто абсолютное, раз и на-
всегда данное, независимое от принципов анализа логической
формы, от выявления семантики логических констант 12. Логиче
скан форма нс зависит от особенностей лингвистической струк
туры конкретных языков (английского или японского, напри-
мер) По она зависит от способов выделения объектов рас-
смотрения, от допускаемых приемов абстракции, идеализации
обобщения. Закрепляясь в языке, в его категориальной структу-
ре, результаты практической познавательной деятельности лю-
дей определяют способы анализа логических форм.
При построении иерархии семантических категорий речь идет
о разработке определенной типологии значений, а это познава-
тельная задача. Следует заметить, что речь идет о стабильных
значениях выражении, а не о тех аспектах содержания, которые
зависят от контекста употребления. — это уже вопросы прагма-
। тки. Дело не но введении особых символов в качестве логиче-
ских констант, а н способах приписывания нм значений. Трак-
товка категорий кванторов, логических связок, операторов, даже
предикатоз зависит от методов семантического анализа и в ко
иечцом счете ог истолкования природы логического знания, той
информации, которую несут логические структуры. Точно тек
же способ членения выражений на составляющие, выявление
категории значения этих составляющих — не формальная, син-
таксическая, задача. Само выделение исходных семантических
категорий диктуется определенными тсоретпио познавательны
ми предпосылками, как раз припгщпамл различения предметов
мысли, т. е. аспектами, относящимися к содержанию познания.
В качестве основных категорий выражений 1\ Фреге, по су-
ществу. принимал категорию собственных имен предметов ин
дивидной области и категорию предложений и эго определялось
самим методом анализа логической структуры. Указанного типа
выражения Фреге рассматривал как «насыщен лыс», «завершен-
ные», имеющие самостоятельное значение в изоляции. Акали,
логической структуры Фреге, естественно, начинал с «насыщен-
ных», завершенных ймоажоний.
Основное, принципиальное отличие ।рниятого дм способа
анализа логической формы Фреге видел в тем. что анализ он
начинает с CiucKastxsanuii. мысленно расчленяя их ио схеме —
функторы и имена аргументов Такой способ .члене тя Фрсг
за 1.чствозал из языка математики, но, юренося его в логику
132
Существенно расширил понятно функции, ввел логические функ-
щи. Свойства, отношения объектов он рассматривал как особо-
го рода логические функции, область значения которых — ис-
тинностные значения; логические связки также получили функ-
йнонально-псти1:1:ост’1ое истолкование. Анализируя предложе-
ния (пропозициональные формы), например, «I2— 1» («х2=1»
IooTBCTCTBCHHo), Фреге отмечал, что если мы знак «1» (или пе-
смснную «х») будем замещать другими константами, обозна-
дюшпми объекты индивидной области, т. е. константами типа
«3» и т. д., то в результате получим опять-таки ноедложе-
ня (истинные пли ложные). Рассматриваемые выражения при
гам расчленяются на знаки аргументов «собственные име-
на» (и нашем случае: «1». «2» п т. д.) и общую для них, неиз-
меняюшуюся ча-сть: «( )2=1э, выражающую понятие «корень
квадратный из 1», или свойство объектов «быть корнем квадрат-
ным из I»13. Такого рода выражения, включающие пустые
места для аргументных выражений, Фреге рассматривал как
«ненасыщенные», незавершенные и относил их к категориям
функторов Так, «( )>0», «( ) = ( )», «( ) современник ( )»
выражают одноместные и двухместные предикатные функции.
Скобки в указанных выражениях символизируют операцию при-
ложения функтора к его аргументам п таким образом операцию
[образования завершенных, обозначающих выражений. Перемен-
ные «х» и «х/» в пропозициональных формах: «(х)2=1», «(х)
современник (у)» и г, д. не относятся к выражению функции,
они - показатели места и типа аргументных выражений языка.
По существу, в основе семантического метода Фреге лежит
разграничение предметов и функций (свойств, операций), т, е.
принятие предпосылок, относящихся к содержанию познания и.
(Утверждение о том, что общая (формальная) логика, рассмат-
ривая всеобщие правила мышления, полностью отвлекается от
всякого содержания знания, не соответствует тому, что мы па-
* ходим в логике при исследовании ее. оснований.
Принятие 1 Фреге принципиально иного способа анализа
логической структуры, отказ от традиционного членения сужде
|Нпп па субъект и предикат приводят к созданию особой теория
[логического вывода — теории квантификации.
Иной способ анализа логической структуры, связанный с
иными теоретика познавательными предпосылкам::, приводит к
тонет рунрованшо логических систем совершенно ивой катего-
риальной структуры. Как отмечает Фреге, как в традиционной
логике, так и в логике Буля анализ логической формы начпна-
рт нс с высказываний (суждений), а с понятий и уже из поня-
тий. выявляя отношения между ними, конструируют суждения.
кУ Аристотеля, именно как у Буля, образование понятий через
Абстракцию является первоначальной логической деятельностью,
а суждение ч умозаключение получаются путем непосредствен-
ного или опосредованного сравнения понятий по объему. Разли-
чие состоит только в том. что Аристотель выдвигает на первый
133
план случай, когда объем одного понятия включается а обг.е\
другою, случай соподчинения таким образом, и то время как
Буль все другие случаи сводит к случаю равенства объемов» ь.
При таком способе анализа основными логическими отношения
ми, определяющими допустимые логические преобразования, яв
ляются отношения понятий но объему. Соответственно основной,
исходной, категорией выражений языка выступают термины, вы
ражающис эти понятия, т. с. общие имена.
Фреге отмечал, что точно так же, как мы различаем понятия
и прение !Ы (единичные объекты) — относительно понятия
«осмысленны вопросы, подпадает ли нечто и что именно под это
понятие, вопросы, которые бессмысленны относительно предке
тов — точно так же следует отличать случай соподчинении по
нятий от случая, когда мы имеем дело с подпаданием предмета
под понятие, хотя в языке, оба могут выражаться одинаковым
образом» -ь.
Таким образом, исторически сложившиеся типы логических
систем опираются па различные способы анализа структуры вы
сказывании (суждений), различного типа системы семантических
категорий лежат в их основе.
(^отношение структуры языка и систем объектов, о которых
может идти речь в языке,— часть более широкого вопроса об
онтологических допущениях, к которым обязывает вас логиче-
ская структура принимаемого языка. По существу, это глубокая
философская проблема отношения структуры языка п мышления
к структуре мира, соотношения логики и онтологии. Категори-
альная структура языка и мышления и их роль в формировании
картины мира стояли в центре философских изысканий Канта,
Гумбольдта, в новейшей философии — в исследованиях Вит
генштейна, Карнапа. Айдукевича.
Проблему «структуры мира» и «структуры языка» остро по-
ставил Л. Витгенштейн в «Логико-философском трактате» и
решал ее с позиций определяющей роли структуры языка. Белес
того, именно язык, фактически даже синтаксическая структура
высказываний (вид и расположение символов), изображает,
копирует, «рисует» структуру атомарных фатов (изобразитель
нал, «картинная», теория языка). Проблема смысла, типологии
значений исчезает. Именно язык своей структурой определяет
паше восприятие мира, создает ту сетку, которая детерминирует
нашу картину мира.
В дальнейшем проблема роли и природы языковых структур
подробно рассматривалась представителями логического пози-
тивизма. особенно Р. Карнапом (теория «языковых каркасов»),
С позиций конвенционализма решался Карнапом вопрос о взгш
моотношсеии языковых структур и типов объектов, о которых
может идти речь в языке. Построение языка той или иной ка
гегорнальной структуры («языкового каркаса») является, сог
ласпо Р Карнапу, вопросом целесообразности, удобства и ни в
коей мере не теоретико-познавательны» вопросом. Вместе с тем
134
само введение определенного типа объектов рассмотрения дик
тустся принятием определенного языкового каркаса и тем < тмым
также становится вопросом удобства, конвенции,в. «Принятие
какого-либо языкового каркаса не должно рассматриваться ка .
подразумевающее некую метафизическую доктрину, касающую-
ся реальности рассматриваемых объектов» |д.
Принципиально по-иному рассматривается и решается эта
проблема отношения логики и реальности с позиций дналектико-
иатсриалистической концепции отражения: объективный мир
отражается не только содержанием мышления, но и его форма-
ми, категориальной структурой. «Над веем нашим теоретиче-
ским мышлением господствует с абсолютной силой тот факт,
что па.не субъективное мышлет не и объем явный мир подчине-
ны одним и тем же законам и что поэтому ог.и и не могут про-
тиворечить друг другу в своих результатах, а должны согласо-
ваться между собою... Материализм XVШ века «следствие
своего по существу метафизического характера исследовал эту
предпосылку только со стороны се содержания. Он ограничил-
ся доказательством того, что содержание всякого мышления и
знания должно происходить из чувственного опыта... Только но-
вейшая идеалистическая, но вместе с тем и диалектическая фи-
лософия — ив особенности Гегель — исследовала эту предно-
I сылку также и со стороны формы»20.
Проблема взаимоотношения между способами речи п типами
объектов о которых может идти речь в языке, сформулирован
пая в терминах теории семантических категорий, означает нечто
большее, чем вопрос о корреляции между принятием новых спо-
собов речи и объектами, о которых может идти речь в языке.
Дело в том, что у нас есть не просто список категорий, а име-
ется иерархия ка/егорий п, помимо самих категорий, способы
образования одних выражений из других. Поэтому должен об-
суждаться не только вопрос о корреляции способов речи и ти-
пов объектов, но и вопрос о корреляции между способами обра-
зования выражений, их логической структурой и способами ана
лиза. Однако этот вопрос не может решаться в духе вптгенш
I теГшоиекой изобразительной концепции, языка, при которой
понимание отражения как процесса заменяется зеркальной
корреляцией, простым кодированием.
Обсуждение в теории семантических категорий проблемы
[информативности логических структур, методов анализа смыс-
Iла и значения выражений языка различных категории является
Iв определенном смысле иной формулировкой известной ироблс-
|мы статуса универсалий.
। Проблема универсалий многогранна. В логике эта проблема
[встает прежде всего как проблема допущения разного типа
[сущностей в качестве объектов рассмотрения. С другой сторо-
ны, она трансформируется в проблему способов членения позна-
ваемого на составляющие (объекты и свойства, объекты и от-
ношения) и влияния .этих способов членения на логическую
135
структуру выражений языка. В связи с нос троен кем искусствен
ных языков логики и результатами, полученными в области ло
гическсло анализа естественных языков и языков пауки, появи
тась возможность более точной i остановки вопроса об сп-толо
гичегкнх допущениях связанны?: с логической структурой вы
ражееий языка.
Па синтаксическом уровне выражения языка могут рассмат
ркзаться как конечные линейные последовательности симво-
лов — элементов некоторого алфавита. При таком подходе вы
раженпя строятся из исходных атомов с помощью одной по-
рождающей операции, именно операции присоединения элемен-
та алфавита справа. Но чтобы щтсрыть структурные, логические
связи, необходимо нс просто представление выражений языка
в виде линейных цепочек символов, по и выявление глубинных
структур — способов связи между составляющими выражения
ми. Сложные выраженья языка выступают и таком случае как ре-
зультат построения из составляющих, а в конечном счете и.
исходных, с помощью одной или нескольких операций соплене-
ния одних выражений с другими. В этом случае способ настрое
ния выражения из составляющих естестнепзым образом пред
ставляется нс в виде линейной последовательности, а в виде
дерева. Чтобы от такого представления структуры в форме де-
рева перси и к .чиненному, необходимо расширить алфавит
Выражение в форме дерева получит представление в виде ок
ределепиои последовательности символов, но не исходного сло-
варя, а обогащенного дополнительными символами, например
правой и левой скобками, если дерево строилось с помощью
одной операции сочленения, или несколькими парами скобок со
ответственно числу операций сочленения. Следует подчеркнуть,
что первоначальные элементы алфавита н дополнительные
(скобки) играют разную роль: если первые при семантическом
анализе могут рассматриваться как обозначающие. го вторые
прямо нс являются обозначающими, они являются показа гелями
перехода от одного (глубинного) способа представления к дру-
гому (поверхностному). Дополнительные символы типа скобок
показывают, каким образом одни выражения строятся из дру-
гих. Поверхностному и глубинному прочтению линейных после
доватсльностей соответствуют разные способы их гёдедйзании
в первом случае гёделевскнс номера приписываются всем после
доватсльпостям к символам, включая дополнительные (скобки);
со втором случае дополнительные символы не имеют гсдслсв
ских номеров.
В символической логике, начиная С Г. Фреге, принимается
следующее: каждое сложное выражение образовано из состав
ляющих с помощью одной операции сочленения; среди неносрсд
ствснпо составляющих можно выделить главную часть и нс
сколько дополнительных. Как отмечалось, главную часть Фрег
рассматривал как функтор (выражение функции), а дополни
тельные части — как имена аргументов. При таким подход
136
[каждое выражение выступает как результат операции приложе-
ния функтора к именам аргументов, lie подсказывает ли нам
[членение выражений по схеме «функтор — аргументы» принятие
на семантическом уровне наряду с сущностями, соответствую-
цп’ли именам аргументов, также сущностей, соответствующих
функтору, сущностей более высокого порядка, т. е. универсалий?
[Прежде чем отвечать на этот вопрос, рассмотрим альтернагив-
hyio возможное it. на чисто синтаксическом уровне.
Во-первых, можно отказаться от идеи выделять среди иепо-
кредствснно составляющих главную часть и дополнительные,
[все непосредственно составляющие рассматриваются как равно
травные. С другой стороны, можно не ограничиваться одной-
кдинствеппой операцией сочленения’ Поясним эту мысль на при-
мере языка исчисления высказываний. Мы можем не вводить
логические связки в качестве элементов алфавита и не рассмат-
ривать их как самостоятельные знаки. Конъюнкцию, дизъюнк-
цию, импликацию высказываний можно рассматривать как но-
вые вымазывания, полученные из составляющих с помошьео
разных способов сочленения. При многомерной записи эти опе-
рации сочленения изображались бы особым взапморасположе
нием составных частей. Но при переходе к представлению в виде
линейных последовательностей, естественно, потребуются вспо-
могательные злаки. Так, можно ввести несколько пар скобок
посредством [АВ| изображается конъюнктивная связь, ИВ] —
дизъюнктивная, [Aii) - импликагивная, (Я] — отрицание А.
Мы могли бы скобки записывать иначе, считая обычную форму'
записи (A&Zf), (Я\/Я), (А=>В), (~И) другим способом записи
различных скобок’. Знаки &, V. ""I указывают люпь па иную
форму скобок и тем самым на разные способы конструирова-
ния выражений. ИмеЙно таким образом трактовались логиче-
ские связки у Фреге (или так может быть истолкован Фреге):
он не рассматривал их как самостоятельные знаки языка; логи-
ческие связи между высказываниями изображались определен-
ными способами взаиморасположения высказываний; имплика
ция в виде I отрицание ;—А. Указанный подход
• —/1 I
। позволяет исключить логические связки как особые выражения
[Связок нет, имеются лишь различные способы сочленения ис-
I ходных высказываний в сложное.
Такой подход может быть распространен, по крайней мерс
I на чисто синтаксическом уровне, и на анализ структуры агомар-
[иых предложений. Обычно принимается, что атомарное лредло
|жснпе является результатом приложения предикатного знака к
иидхввдвым. При альтернативном подходе атомарное погдло
[женпе строится из индивидных констант посредством различных
способов их расположения относительно друг друга. Разные со
[отношения выражаются разными способами соединения инди-
видных знаков; при линейной записи этого можно добиться, на-
пример, индексируя пары скобок. В качестве таких индексов
137
могут использоваться буквы, принимаемые при указанном под-
хода за предикатные знаки. Предикатные знаки рассматрива-
ются не пак самостоятельные, кагегоремитические знаки, а как
вспомогательные знаки — показатели особых способов сочлене-
ния индивидных знаков друг с другом при представлении выра-
жепин языка в виде линейных последовательностей.
Итак, на чисто синтаксическом уровне язык логики предика-
тов (без кванторов и операторов) может рассматриваться двоя
ким образом. Можно принять, что имеются следующие типы
знаков: индивидные знаки, предикатные знаки, логические
связки. Все выражения языка представляют собой по своей глу-
бинной структуре результаты приложения глазных знаков (на-
зываемых функторами) к их аргументам. При переходе па се-
мантический уровень, естественно, возникает вопрос, не только
о том, к какого рода сущностям относятся индивидные знаки, но
и что обозначают функторы, в частности предикатные знаки и
логические связки. Конечно, не обязательно постулировать, что
каждой синтаксической категории соответствует семантическая.
При втором подходе логические связки и предикатные констан
ты выступают как вспомогательные символы; по существу, пет
нн предикатных знаков, ни логических связок. Имеются только
индивидные знаки и различные способы сочленении одних выра-
жений с другими. В таком случае вопрос о том, что обозначают
предикатные знаки, просто не может быть поставлен. Отметим,
что и при втором подходе применима техника синтаксических
категорий, но производные категории характеризуют нс типы
выражений, а способы сочленения одних выражений с другими.
Теоретико-множественная семантика, по существу, платоии-
стическая, выражениям каждой синтаксической категории сопо-
ставляются объекты определенного типа: индивидным коне кан-
там (и) — объекты из непустой индивидной области X, пред
ложенням (х) — из области истинностных значений {и, л}, вы
раженпям категории -----------функция г. областью определения
«1 • • • «к
в декартовом произведении множеств, сопоставленных катего-
риям Л|,.... пк, и областью значений в множестве., соностаплен-
ном категории s. При таком подходе все синтаксические кате
горни являются семантическими.
Возможен подход, когда нс всякая синтаксическая категория
является семантической. Основываясь на изложении такого под
хода н § 1, рассмотрим следующий пример построения системы
категорий: п — индекс синтаксической категории, являющейся
семантической', но синтаксическая категория X не является се
мантнческой. Другими словами, предложения нс расснатрива
готся ках обозначающие выражения. Они могут быть истинны
ми или ложными, но опн не обозначают абстрактные сущно-
сти — Истину и Ложь. Категория вида I j будет семанти
Ру >
ческой тогда и только тогда, когда р и у — семантические кате
138
1гории. В этом случае, предикатные знаки, т. е. знаки категорий
—, —, ..., ---------, имеют самостоятельное значение и
Л пл % ... лк
рассматриваются как обозначающие, но логические, связки, т. е.
выражения категорий —, .... —-—, ничего не обозна-
ss sss S' ... Л
чают и нс имеют самостоятельного значения.
Наконец, в качестве обозначающих можно рассматривать
Только выражения категории н. В этом случае не только логи-
ческис связки, но и предикатные знаки ничего нс обозначают
fl ис имеют самостоятельною значения.
Выше .мы проанализировали языки, содержащие операторы
и построенные но схеме приложения функтора к аргументам.
Наша общая установка состояла в том, что для анализа какого
рода языков выражения необходимо рассматривать как резуль-
I тат применения двух порождающих операций: операции прило-
I женим функтора к аргументам и обратной ей операции абстрак-
ции. При этом принятие абстракции по выражениям некоторой
категории принуждает рассматривать эту категорию как семан-
тическую, что соответствует известному критерию Куайна:
I «Быть объектом рассуждения — означает быть значением кван-.
тифицнруемой переменной».
Основная задача остальной части параграфа состоит в обос-
новании возможности такой интерпретации исчисления предика-
тов первого порядка (без предикатных и пропозициональных
переменных), при которой в качестве обозначающих признаются
только индивидные знаки. Хотя ни пропозициональные связки,
ни предикатные знаки (как и скобки) сами ничего не обознача-
ют, но предложения, построенные с их помощью, являются
осмысленными и могут быть истинными пли ложными. Интер-
претация предложений, содержащих предикатные и пронози
цпоиальиыс знаки, формулируется в виде правил выполнимости
п истинности. Таким образом, указанная интерпретация воз
можна.
Языки второго порядка своей структурой заведомо принуж-
дают принять универсалии, т. е. рассматривать предикатные
. знаки как обозначающие. В згой связи привлекает внимание,
интенсивная разработка обобщенных нервопорядковых языков:
с кванторами Генкина, кванторами Мостовского, с бесконечно
длинными формулами и т. д. По выразительным возможностям
они приближаются к нгороиорядковым языкам, но, и отличие от
них, допускаю! номиналистическую нпюрпрстацию.
Возможность номиналистической трактовки иервопорядково-
го языка, в особенности рассмотрения предикатных знаков как
|синка1егорематпческих, вызывает естественную ассоциацию с
1«Логнко-фнлософским трактатом* Л. Витгенштейна. Имеются
[основания истолковывать «Логико-философский трактат» как
попытку построить некоторый идеальный язык без предикатных
знаков. Так понимает «Трактат» Кюнг21. Я- Хинтикка в своей
139
очень интересной реконструкции Витгенштейна, к сожалению,
исходит кз трактовки предикативов как обозначающих выражс
кий. Обратимся к самому Вшччшштсйау. Согласно тезису 3.22
только имена являются обозначающими знаками. Предложены;
ничего нс обозначают. «Положения вещей могут быть описаны,
но не названы. (Имена подобны точкам, предложения — стрел
кам, они имеют смысл)» (3.144). Отношения не обозначаются,
они выражаются через взаиморасположение имев (3.1432)
«Сущность крОпозициоиального знака станет очень ясной, если
мы будем представлять себе его составленным не из письмен-
ных знаков, а из пространственных объектов (например, столов
стульев, книг) Пространственное взаиморасположение веще!
выразит тогда смысл предложения» (3.1431) В тезисе 4 22 чи
таем: «Элементарное предложение состоит из имен. Оно есть
связь, сцепление имен». Но Витгенштейну, предложение в целом
«является логическим образом положения вещей». Нам пред
стаялястся очевидным, что Витгенштейн дает номиналытиче
скую трактовку логики: не только логические связки, но и пре
дикатные знаки трактуются им как си.чкатегорематические.
Как отмечалось выше, Витгенштейн трактует процесс иозиа
ния слишком прямолинейно, схематично. Отражение, по суще
ству, отождествляется нм с проецированием и кодированием
Обязательно ли связывать отказ от рассмотрения предикатных
знаков как обозначающих выражений с такой установкой?
Мы полагаем, что нет. Помимо витгенштейновской концепции
отражения имеется глубокая и тонкая теория отражения осно
ванная на идее активности познающего с.убьекта. В последнем
случае предложения можно рассматривать как отчет о резуль
тате взаимодействия с объектом. С предикатным знаком при
таком подходе связывается алгоритм или алгоритмоподобное
предписание. Во всяком случае, трактовка предикатных знаков
как нсобозначающих выражений нс требует принятия «изобра
зителыюй» концепции языка Витгенштейна
§ 3. Методы обоснования
вводимых идеализаций
и финитная установка Д. Гильберта
По общему призванию, целью гпльбертивской программы
обоснования математики является доказательство исПроткв.оре
чивости аксиоматически построенной математики. Иногда дело
представляется таким образом, что, поскольку были обнаруже-
ны теоретико-множественные парадоксы, возникла необходп
кость в доказательстве непротиворечивости математических тео
рий. У Френкеля и Бар-Хиллела мы находим следующую харак
тсристику задач, стоящих перед Гильбертом: «Нужно показать
что применяемые в математике методы доказательства диета
точно сильны для того, чтобы получить всю классическую мате.
140
матийу, в тем числе нею канторовскую теорию множеств, исходя
пз подходящим образом выбранных аксиом, по в то же время
не настолько сильны, чтобы вывести из аксиом противоречие»22
БссслОрно, непротиворечивость теории более чем желательный
результат. Но почему доказательство непротиворечивости явля-
ется обоснованием математики? «Неправильная теория, не па-
толкиуцнаяся на противоречие, — писал Брауэр, — не стано-
вится of этого менее неправильной, подобно тому как преступ-
ное поведение, не остановленное правосудием, ке становится от
этого мсйее преступным»’-3.
Нередко сам Гильберт лапал основания полагать, что келью
сто программы обоснования математики является доказательст
во ее непротиворечивоегн. Так, в отпет на возражение, что даже
если какое- ’ ибо понятие может быть введено «без опасений,
г. е. без появления противоречий, м это может быть доказано, то
все же это понятие не является в достаточной мере оправдан-
ным», Гильберт пишет: «...если, помимо доказательства непро-
тиворечивости, может иметь смысл еще и вопрос, о законности
некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только
вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие, соответствую-
щим успехом или нет»24
Нам представляется, что основным содержанием подхода
Гильберта является обоснование вводимых идеализаций, а не
доказательство непротиворечивости само по себе. Мы покажем,
что при тех допущениях, которые принимал Д. Гильберг, дока-
зательство непротиворечивости эквивалентно доказательству
устранимости идеальных образований. Поэтому он имел полное
право заменять требование устрани мости требованием формаль-
ной непротиворечивости. Мы постараемся выяснить, учитывая
теоремы об ограниченностях формализмов, в киком отношении
находятся проблема непротиворечивости формальной системы и
вопрос, об устранимоеIи идеальных образований. В вопросе об
элиминируемости непосредственно неннтерпрстируемых терми
нов и образований, па наш взгляд, возможны следующие под-
ходы. Самый жесткий состоит в требовании элиминируемости
всех неннтерпрстируемых терминов. Это требование можно уточ-
нить: каждый термин, не имеющий пепосредсгненной интерпре-
тицин, должен быть явно определим посредством интерпретиро-
ванных терминов системы. Понятие явной определимости форму-
лируется следующим образом (для случая предикатных терми-
нов): й-местппя предикатная константа Q явно определима в
терминах высказывания X тогда и только тогда когда сущест-
вует такая формула А с k свободными переменными, сформули-
рованная в терминах X, отличных от Q, такая, что из X выво-
дима: V*i..... V (Q(*i........... хк)), где ™ есть
знак эквивалент fл.
Болес либеральная установка ограничивается требованием
переводи мости всех предложений, содержащих неинтеопрсткро-
иякныс термины или построенных посредством новых способов
К1
i
образования, в прсдложе< ня, их не содержащие п построенные
без использования новых способов образования. Это прежде все
го контекстуальная определимость в смысле Б. РасселМ. Так.
определенные дескрипции, выражения абстракции и другие
«неполные символы» не определимы явно, по все кортексты
(в данном случае формулы), их содержащие, могут быть устра-
нены, т. е. заменены формулами, их нс содержащими, Естест-
венно, всякий термин, определимый явно, определим й контек-
стуально, во не наоборот.
Логицизм, пытаясь свести математику к логике, требует кон-
текстуальной (но нс обязательно явной) он ределпмоп-и всех ма-
тематических терминов в логических и выводимости л'се.х мате-
матических утверждении из логических. Известно, что первое
осуществимо, второе — нет. Уточним понятие контекстуальной
определимое гп. сформулирован его в терминах отношения не-
которой формальной системы и ее расширения.
Пусть система Si является расширением системы Sb Будем
говорить, что новое правило образования контекстуально опре-
делимо, если существует такая рекурсивная функция q, что:
(1) л тя всякого предложения А системы существует предло
жение Li системы Si, что I ф (.4) =s В; (2) если /1 есть форму
ла S[, то 1 ф(-4)=Л; (3) если 4-, ..., ЛК1Е есть правило вы
иода S2, то ф(Л;), .... ч>(^,<)Ар(Е) является производным прави-
лом S|.
Правило вывода .4Ь ..., A,JE производно в системе S. соли
в S может быть построен вывод формулы Е из посылок .4Ь
.... Я;<. Правило вывода допустимо, если его добавление к S в
качестве основного ие расширяет класс доказуемых форму.:.
Всякое производное правило допустимо, но ие наоборот.
Можно ослабить условия кои текстуальной устранимости сим-
волов, вводимых в систему посредством новых правил образо-
вания, заменив требование (3) условьем (3');
Если Л|, .. , AJE есть правило вывода в S?. то ...
, С|'(Дк) !i|.'(£) является допустимым правилом вывода S,
В случае явной определимости интерпретацию получают тер-
мины, в условиях контекстуальной определимости и устранимо-
сти термина мптерпрста.цвю получают предложения, содержа-
щие дтп термины, тогда как отдельно взятый термин может ине
иметь интерпретации.
Можно пойти еще дальше и потребовать, чтобы интерпре-
тацию получали ко отдельно взятые предложения, а вся теория
в целом. Такое понятие элиминируемости было выработано
Д- Гильбертом при формулировке им программы обоснования
математики.
Обоснование можно понимать по-разному. Можно считать
теорию обоснованной, если каждая аксиома этой теории истин-
на и способы рассуждения таковы, что при истинности посылок
они гарантируют истинность заключения. Однако «выставить
142
общец требование, согласно которому отдельные. ф<>рм$ ш > iuh
по ссбр должны быть истолкованы, — отнюдь не разумно, ни
сад Д1 Гильберт, — напротив, сущности теории соответ..-шу> г.
что при ее развитии нет необходимости, между прочим, нознр.т
щаться'.к наглядности или значимости». Даже в физике мы не
можем пребовагь проверяемости каждого утверждения, выво
дикого рз законов физики, тем более бессмысленно пред ьяиля и.
подобны^ требования ко всем высказываниям математ.чческоп
теории, «только известная часть комбинаций и следствий из
физических законов может быть контролируема опытом, подоб
ио тому &ак в моей теории доказательства только реальные
высказывания могут быть непосредственно проверяемы»и. Ины-
ми словами, Д. Гильберт не предполагает верификацию каж-
дого утверждения математики, его интерпретацию в терминах
конкретный объектов.
Гильберт считает, что мы нс можем отказаться от высказы-
ваний об идеальных элементах; мы должны обосновать теорию,
использующую понятие актуальной бесконечности, если хотим
сохранить всю классическую математику в полном объеме.
Поэтому обоснование математики Д. Гильберт видел в обос-
новании правомерности использования идеальных образова-
ний — в доказательстве устранимости идеальных высказываний.
«Мы должны бесконечное, в смысле бесконечной совокупности,
в тех случаях, где оно встречается в выводах еще к теперь, по-
нимать как нечто кажущееся, подобно тому, как в предельных
процессах исчисления бесконечно малых оказалось возможным
показать, что бесконечное, в смысле бесконечно малого и бес-
конечно большого, есть просто оборот речи»23.
Все предложения математики Гильберт подразделяет на
реальные и идеальные. О я нс отказывается ни от чистых тео-
рем существования. ни от высказываний о трансфиивтных объ-
ектах, По только реальные предложения математики имеют са-
мостоятельное значение, сопоставимы с действительностью, это
содержательные сообщении о конструктивных объектах, которые
могут быть построены в рамках абстракции потенциальной осу-
ществимости и представлены в виде конечных, наглядных кон-
фигурации. В элементарной теории чисел это содержательные
сообщения о числовых знаках, о «конкретных образах нагляд-
ного созерцания» (2<3, 3 + 5=8, 102=100).
В формальных системах все математические формулы вы-
ступают как объекты наглядного созерцания, они выполняют ту
же функцию, что и числовые знаки в элементарной теории чи-
сел. Утверждение о непротиворечивости формальной системы
при таком подходе рассматривается как реальное предложение:
исходя из наглядных, конкретных свойств принимаемых конст-
рукции. мы утверждаем, что объект определенного вида (напри-
мер, формальное доказательство с заключительной формулой
0#=G) нс может быть построен в нашей системе ко тем правилам
построения. которые приняты.
из
Согласно концепции Гильберта, основу собственно матема-
тического .талия, его устойчивое, нс зависящее от логт/ки со-
держание определяют не гипотезы, не конструирующие /нособ
jiocTii ума и не интуиция, а определенные конкретные, внелоги-
ческие объекты, «непосредственно данные в созерцании/б’о вся-
кого мышления». Об объектах наглядного созерцания мы рас-
суждаем содержательным образом, опираясь на их обозримые,
конкретные свойства. Обычные законы логики вполне кидекны,
если они применяются к реальным предложениям. Отсюда та
«надежность заключений, которая имеет место в обыкновенной,
низшей теории чисел, н которой никто нс сомневается|'и где воз-
никают противоречия и парадоксы только вследствие нашей не-
винна тельности» 1??.
Идеальные предложения не являются утверждениями об объ-
екта рассматриваемых в математике, это предложения о
фикциях. Они не рассматриваются как содержательные сообще-
ния п являются лишь «идеальными образами нашей теории».
Естественно, к ним неприменимы содержа : ел иные способы рас-
суждения. обычные законы логики.
Логические операции над ними не могут проводиться содер-
жательно. они заменяются внешними действиями с. этими выска-
зываниями как с наглядными вещами согласно принятым нра
пилам.
Мы не можем отказаться от высказываний об идеальных
элементах, если хотим сохранить классическую математику во
всем ее объеме. Однако именно использование абстракций н
идеализаций приводит нас к высказываниям, которым ничто нс
соответствует в действительности не только в том смысле, что
в действительности нет конкретных объектов иля совокупностей
с указанными свойствами, но и в том смысле, что такого рода
объекты и не могут в принципе существовать, не могут быть
построены, даже если отвлечься от материальных, пространст-
венно-временных возможностей их построения.
Использование абстракций, идеализаций всегда означает
«отлет» от реальности (идеальная прямая, мнимые числа, бес-
конечно удаленные точки и т. д.), но все дело в том, что теория
с идеальными элементами должна быть построена таким обра-
зом, чтобы всегда имелся «обратный путь» к реальным предло-
жениям. Для Гильберта это означает, что допускаемые идеали-
зации не. привносят ничего нового в наше знание относительно
подлинных объектов математики. Идеальные элементы можно
вводить в теорию лишь в том случае, если те соотношения, ко-
торые после расширения выявляются в пей для прежних объек-
тов при исключении идеальных образов, серны в старой обла-
сти28. Другими словами, идеальные элементы принимаются,
если все то. чго можно сделать с их помощью, можно сделать
и без них. Они вводятся лишь для простоты, удобства, едино-
образия применяемых методов.
Д Гильберт в своей установке на элиминируемость идевль-
144
Иных образований нс требует явной определимости всех терминов:
пли пе^воднмости всех идеальных предложений в реальные,
шили rot’o, чтобы все дополнительные, травил ,> вывода были нро-
нзводньтмн); ею установка сводится к устранимости идеальных
предложений, более широко — к устранимости некоторых спо-
собов об|!й1зования выражений и способов умозаключений из
юн текста всей теории. Понятие устранимости в смысле Ги.чь-
Ксрта хоров.о иллюстрируется процедурой устранимости неоп-
(рсделенных дескрипций («-термов).
Понятия явной определимости терминов, контекстуальной
определимости. контекстуальной устранимости выражений, уст-
ранимости, по Гильберту, по существу, устанавливают от:<он:е-
Кые между теорией, не содержащей определенных терминов, спо-
собов образования выражений и правил заключения, и теорией,
их содержащей.
Пусть S и Р — системы с обычным синтаксисом и пусть язык
[системы LS является расширением языка I.P системы Р. Будем
I говорить, что между S и Р имеет место отношение устранимости
(в смысле Гильберта), если для любой формулы А языка LP,.
из того, что она доказуема в S, следует, что опа доказуема в Р.
Если между S м Р кмест место отношение устранимости, мы
будем говорить, что S является консервативным расширением Р.
Верна следующая теорема I. Если между S и Р имеет место
отношение устранимом и и если Р непротиворечива, го S непро-
тиворечива. Другими словами, каждое консервативное расшире-
ние непротиворечивой системы непротиворечиво.
Лейс" внтелыю, допустим, что S противоречива. Тогда для
всякой формулы, в том числе для формулы ЛеЬР, доказуема
формула А и доказуема формула ~-Л. Из условия теоремы и
тою, что Л&ЬР (А не содержит идеальных терминов) и Н
получаем h-4- Поскольку Л<—I.P то и ~At LP. отсюда из
условия теоремы и того, что Ь —А, получаем, что — А
[.Таким образом, система Р противоречива. По мы приняли, что
система предложений Р непротиворечива. Следовательно, наше
допущение неверно и имеет место, что система S непротиворе-
чива.
Имеет место также следующая п-орема II: Если система Р
рол-на и являете л подсистемой S (т. с. если 1 А то ~ 'V
г р s
п S непротиворечива, п> между S и Р имеет место отношение
Lit ранимом и. Иными словами, всякое непротиворечивое расшть
Ьенис полной системы консервативно.
Полноту и непротиворечивость мы понимаем в сипгакснчс-
Ьком смысле. Мы будем говорить, что система Р полна, если
кля любой формулы Л доказуема она сама либо ее. отрицание.
сорема верна и при таком определении полноты. Естесгвеиао,
юолылнчст.чо систем неполны в этом смысле. При обычном поня-
145
rut; синтаксической полноты для любой замкнутой формулы
доказуема опа или се отрицание — устранимость S отиЬситсль-
ао Р проходит соответственно для замкнутых формул,
Допустим, что формула .4 языка LP доказуема в S. Соглас.
по условию S непротиворечива, следовательно, неверно,
что । Поскольку р подсистема S к -~Д
s
не доказуема в Р, тогда в силу полноты системы Р Д. Таким
р
образом, если формула языка LP доказуема в S, то она дока
зусма в Р.
Сформулированная теорема верна, если иод полнотой и не
противоречивостью системы иметь в виду семантическую полно
ту (система Р полна, если истинная — относительно данной ин-
терпретации 7 формула языка LP доказуема н Р) и семантг:
четкую непротиворечивость (система S непротиворечива, ес.'м
всякая доказуемая формула S истиниа в /). Формула со сно
бедными переменными нсгипна, если и только если истинен
каждый ее подстановочный случ-дй. Дсйстзителыт>, если форму
ла языка LP доказуема в S, то она истинна и н силу ссмаити
ческой полноты системы Р доказуема в Р.
Объединяя результаты двух теорем, получаем теорему III
Если система Р полна и непротиворечива, то всякое ее расти
рение непротиворечиво, когда оно консервативно.
Но будет' ли верна теорема II, если отбросить условие пол-
ноты системы Р? Очевидно, не будет. Не всякое непротнноречи
вое расширение Р консервативно: не всегда, если P^S ;< ci
стема S непротиворечива, то между S п Р имеет место етло
тонне устранимости.
Действительно, пусть SK — классическая арифметика перво
го порядка, Д неразрешимое предложение системы SK. Рас
ширим S^, присоединив в качестве, аксиомы неразрешимое грел
ложение Л, и получим систему SK. LSK — LSK, SKcSi;, системе
SK непротиворечива. Однако отношения устрккимостп межд>
SK и S„ нет: А, но нс имеет места |- А, где Д — нсразэешп
s; sx
мое предложение.
Аналогично пусть Р множество доказуемых утверждении
рекурсивной арифметики, S — множество истинных формул
арифметики (не обязательно замкнутых) P^S (для всяхон
формулы Д, если Z<zP, то .4&S), система S непротиворечив ri,
но S нс является консервативным расширением Р, так как и
языке LP может быть сформулировано истинное предложение Н
(например, утверждение о непротиворечивости Р), Йе5 и и г
доказуемо в Р.
Таким образом, доказательство непротиворечивости системы
может отождествляться с доказательством устранимости отно
сительно Р в том и только в том случае, если система Р полна
и непротиворечива.
146
Гильберт нс только считал, что финитная система мышления
Iikijhui и' содержится в достаточно богатой системе, например в
арифметике первого порядка, но и полагал, что все рассужде-
ния о непротиворечивости (и тем самым об элиминируемости)
можно осуществить финитными среде [нами.
Суть метода идеальных элементов, предлагаемого Гильбер-
том, как раз в том и состоит, что к системе реальных предло-
жений Р присоединяют идеальные образы, высказывания о фик-
циях, без mix невозможно сохранить классическую математику
*в полном объеме.
Обоснованном правомерности привлечения идеальных обра-
зований служи т дока, ательстгю непротиворечивости системы с-
идсальпымп предложениями, ибо при тех предпосылках, кото-
рые Гильберт принимал относительно Р, доказательство непро-
тиворечивости эквивалентно доказательству устранимости иде-
альных элементов. «С применением метода идеальных элементов.
I связано одно условие, одно-единствсшюе, но необходимое — это
I доказательство непротиворечивости. Именно расширение посред-
ством приобщения идеальных элементов дозволено только в том
случае., когда при этом в старой, более узкой области не возни-
кает никаких противоречий, т. с. если отношения, которые вы-
являются для старых образов при исключении идеальных обра-
зов, всегда остаются справедливыми в старой области» 2Г. Ины-
ми слонами, Гильберт явно отождествляет доказательство не-
противоречивости расширения S относительно Р е доказатель-
ством отношения устранимости между S и Р.
Гильберт стремился оправдать использование фикций в язы-
i кс самой математики, перенося весь комплекс проблем, связан-
ных с обоснованием, в метаматематику. Другое дело, что само
доказательство непротиворечивости S Гильберт полагал осуще-
ствить в рамках финитной системы мышления, не прибегая к
фикциям, т. с. рассматривая как задачу, которая «принципиаль-
но лежит в области наглядного рассмотрения».
В связи со всем вышесказанным нам представляется, что фи-
нитная установка Д. Гильберта может быть оценена как «еса.ки
. своеобразный номинализм. Гильберт хочет сохранить «капто-
ровекий ран» в полном объеме, разрешить пользоваться акту-
ально бесконечным в доказательствах. Однако для этого все
идеальные образования и утверждения, выводящие за пределы
высказываний о конкретных конфигурациях, реализуемых в про-
странстве и времени, следует рассматривать как фикции, ис-
пользуемые лишь для удобства выводов. В отличие от обычного
номинализма, требующего элиминируемости идеализаций из
всех контекстов («способы речи»), Гильберт требует устранимо-
сти идеализаций в рамках всей теории. Его номинализм более
глубок п гибок.
Если пол обоснованием теории S с идеальными элементами
понимать доказательство того, что она является консервативным
^расширением некоторой системы реальных предложений Р, то
147
возникает вопрос, какого рода системы можно рассматривать
как системы реальных предложении математики.
Пусть Р; есть множество бескванторных предложений ариф
метики, тогда Р; полна, непротиворечива к является подсвете
мой формальной арифметики SK. В этом случае из непр«т,,ш.>ре-
чизостн SK следует, что SK есть консервативное расширение Р
Но система Pi бедна, в языке этой системы пс может бит
сформулировано, в частности, утверждение о непротиворечиво
сти S4.
Пусть Р2 есть множество доказуемых формул рекурсивно,
арифметики (например, арифметики Скулема или арифметик
Гудстейна), гогда Р* является подсистемой формальной яри<|
метики. В рамках этой системы может быть сформулирован^
утверждение непротиворечивости формальной арифмети:-:
(и вообще любой стандартной формальной системы). По сисле
ма рекурсивной арифметики нс полна. В таким случае доказа
гельство непротиворечивости формальной арифметики пс обес
печивает доказательства того, что формальная арпфмеги
ка является консервативным расширением финитной систе
мы Р2.
Известно, что вопрос о непротиворечивости классически
арифметики может быть сведен к вопросу непротиворечивости
интуиционистской арифметики. При этом само доказательств
относительной иешютиноречивости осуществляется финитным <
средствами, например с. помощью погружающих операций, пред
ложеииых Гёделем. Интуиционистская арифметика Sn являете,
подсистемой классической арифметики S>;, по SK не являете
консервативным расширением SK. Действительно, пусть В
предложение, неразрешимое в SK, по в SK доказуемо (Д\/~/?)
В интуиционистской системе Su для .любого высказывания Л
высказывание (Ду~Л) доказуемо тогда и только тогда, еелг
Ь А или -----А. Отсюда в S„ доказуемо предложен,
(Ьу — В), недоказуемое в S„, т. е. SK не является консервант
ным расширением S...
Таким образом, из того, что одна система непротиворечив!
относительно своей подсистемы, еще не следует, что она являет
ся се консервативным расширением. Отметим также, что если
под обоснованием теории S понимать доказательство того, что
она является консервативным расширением некоторой подте
рин Р, для неполных систем (а именно они. достаточно богат;,
.системы, нуждаются в обосновании) в качестве Р нельзя брать
интуиционистскую. подсистему.
Ка, было показано выше, вопрос о непротиворечивости (нс |
противоречивости S относительно Р) эквивалентен вопросу от
устранимости между S и Р при допущении, что подсистема нОЛ
на. Однако мы видим, что определение системы реальных пред-
-ложений математики представляет значительные трудности
Целесообразно задачу обоснования переформулировать следуй
Т48
г.'И’л образом: вместо требования устранимости между S и I*
выдвигается условие, согласно которому каждая доказу мая
фоому.ч^ S, сформулированная на языке финитной системы Р.
г, е. бескванторная формула, представленная в терминах вычис-
лимых предикатов и функций, эффективно истинна.
Формулируя задачу и терминах консервативного расширения-
S стассительио Р, мы ставим эту задачу в рамках синтаксиче-
ского подхода и должны определить систему Р. Вторая форму-
лировка предполагает только характеристику языка Р и его
семантику-с эффективным понятием истинности.
До сих пор мы отвлекались от того, какими средствами мо-
гут быть доказаны непротиворечивость некоторой системы, не-
противоречивость одной системы относительно другой, отноше-
ние устрани «ост между системами. Пусть Ф есть финитная
система мышления, например рекурсивная арифметика. В языке
финитной системы могут быть сформулированы утверждения о
непротиворечивости стандартных формальных систем, относи-
тельной непротиворечивости и устранимости. Если рассматри-
ваемая система S содержит Ф как подсистему, то, естественно,
-средствами финитной системы Ф нельзя доказать непротиворе-
чивость S Однако непротиворечивость одной системы относи-
тельно другой может быть доказана средствами финитной си-
стемы мышления. Если вместо непротиворечивости системы S
доказывать непротиворечивое гь S относительно другой, более
приемлемой системы Р, то нет.необходимости выходить за рам-
ки финитной установки Гильберта. Какими средствами может
быть доказано отношение. устранимости между S и Р? Заметим,
что сформулированная выше теорема I, согласно которой устра-
нимость имплицирует непротиворечивость, доказывается приме-
нением очень простых средств. Допустим, что отношение, устра-
нимости между S и Р доказывается внутри системы М. тогда
если М содержит средства, используемые при доказательстве
первой теоремы, что является очень слабым требованием, то в
<V\ доказуема непротиворечивость S. Но согласно второй теоре-
ме Гёделя, если в М доказуема непротиворечивость S, то М нс
содержится в S. Отсюда если в М доказуема теорема об устра-
нимости между S и Р, то М пс содержится в S. Иными слова-
ми. гильбертовская протрамма пс проходит, если предполага-
ется, что устранимость между S, системой с идеальны мн элемен-
тами, и системой реальных предложений Р (PcrS) доказывает-
ся финитными средствами, формализуемыми в S.
Выдвигая свою программу, Д. Гильберт фактически стремил-
ся, но удачному выражению Крайзела, изъять задачу обосно-
вания математики из-под опеки философии и решить се чисто
м атсм атическ и м и с ре дс т в а м н.
Результаты Гёделя действительно показывают, что обосно-
вание математики невозможно в ра?,тках финитной математики
Л, Гильберта. С философской точки зрения это свидетельствует,
мы полагаем, о невозможности обоснования всей матеман/кл в
149
•рамках последовательного номинализма. Вея осмысленная ма-
тематика нс сводима к высказывания кт о конкретных, обозри-
мых, реализуемых в пространстве объектах. Выход за пределы
финитной установки Гильберта означает, что для обоснования
математики приходится использовать абстрактные понятия,,
«существенно принадлежащие второй и более высокой ступе-
пи»5-, относящиеся не к свойствам и отношениям конкретных
объектов, таких, как формальные доказательства, числовые зна-
ки или формулы, а к «мысленным образам».
Траисфинитеая индукция до еа, с помощью которой доказы-
вается непротиворечивость арифметики, «является способом
умозаключения, согласованным с принципом конструктивного
понимания бесконечности»31. Однако истинность рекурсии до си
нельзя сделать непосредственно наглядно очевидной. К типу
абстрактных понятий относится и понятие вычислимой функции
конечного типа над натуральными числами, используемое Гёде
лсм в доказательстве непротиворечивости теории чисел. Такого
типа абстрактные понятия нельзя рассматривать как «абстракт-
ные бессмыслицы», «способы речи», устранимые из контекста
всей теории. В процессе доказательства мы существенно опира-
емся на их смысл и содержание.
Таким образом, философский аспект проблемы обоснования
математики вновь восстанавливает свое значение.
Если обоснование математики в силу теоремы Гёделя требу-
ет выхода за пределы финитной гилъбертовской математики,.
то сама поставленная Д. Гильбертом задача общ новация вводи-
мых идеализаций остается полностью в силе. В большинстве
случаев оказывается, что доказательство непротиворечивости
теории чисел является, но существу, доказательством устрани-
мости идеальных элементов, предполагающих абстракцию акту-
альной бесконечности.
Пам представляется, что расширение финитной установки
Гильберта совершается по двум линиям. Или существенно рас-
ширяется понятие системы реальных предложений математики^
системы Р. Под системой Р понимается некоторая «приемлемая»
система мышления, предложения которой рассматриваются как
осмысленные предложения математики, несмотря на то что в
них могут использоваться абстрактные «гонят я, относящиеся к
идеальным конструктам «второй и более высокой ступени».
Каждому предложению (формуле) Л системы S, содержащей
«неоправданные» идеальные сущности, не допускаемые нами
способы идеализации, некоторым эффективным способом сопо-
ставляется предложение (формула) .4'- дается метод сто по-
строения, принадлежащее системе Р (и качестве Р может»
каиримср, выступать рассматриваемая Гёделем система Т функ-
ционалов конечного типа). При таком подходе Р может и не
быть подсистемой S и IP ::е принадлежать языку S. Доказа-
тельство нснротиворечизости классической теории чисел сводет-
ся к доказательству непротиворечивости Г.
150
Указанный путь обоснования математических теорий прел
полагает в общем, чн) можно выделить некоторую совокупно! п.
'Систем, таких, что содержание их свободно от вызывающих
сомнения элементов теоретико-множественного подхода в не
противоречивость их доказывается на основании выражаемого
ими содержания (опираясь существенно на смысл используемых
абстрактных понятий). Затем непротиворечивость исследуемого
формализм^! сводится уже финитными в гпльбертовско.м смысле
средствами к непротиворечивости формализмов .угон совокупно-
сти. О возможности такого пути обоснования математики пишет
[1. С. Ловиков32.
При указанном подходе речь нс вдет об отношении устрани-
мости между S и Р, S ле является консервативным расширением
Р невозможно говорить об эквивалентности доказательства
непротиворечивости доказательству устранимости в смысле
Гильберта. Однако гсдслевское доказательство непротлзорсчи-
востп теории чисел включает в определенном смысле доказа-
тельство устранимости неконструктивных идеальных сущностей.
Формуле А системы 7. с идеальными элементами эффективным
образом сопоставляется формула В системы Т, содержащая
•соответствующие функционалы конечного типа Q, таким обра-
зом, что если в Z доказуема .4, то В доказуема н Т. Доказуе-
мость формулы с идеальными элементами сводится к доказуе-
мости соответствующего осмысленного утверждения расширен-
ной финитной системы Т (содержащей абстракт ные понятая
функционалов конечного тина).
Другоп путь доказательства непротиворечивости теории чи-
сел связан с существенным расширением той системы, средст-
вами которой доказывается непротиворечивость S. И хотя до-
казательство ведется в рамках средств, свободных от сомни
тельных элементов теоретику-множественной концепции, исполь-
зование метода траясфииитпой индукции до ь-j означает отказ
от финитной, номиналистической установки гнльбертовской тео-
рии доказательства.
Пусть Р — множество реальных предложений арифметики.
Понятие «наличия редукционного предписания» выступает у
Гейдена как формальный аналог понятия истинности. Высказы-
вания «о себе» у Геииепа, как п идеальные предложения у
Гильберта, не имеют смысла п пе являются действительными
предложениями математики. Эю высказывания об «абстракт-
ных бессмыслицах». Допустимость подобных абстракций в S
обосновывается доказательством того, что для каждой формулы
.4, если опа доказуема в S, имеется редукционное предписание,
г. с. для нее имеется финитное истолкование. Это отнюдь нс
означает, что S есть кошервативпое расширение Р, но это озна-
чает, что гспцеиовское доказательство непротиворечивости обес-
печивает элиминируемость идеальных элементов пз контекста
всей теории S в том смысле, что каждое доказуемое утверж-
дение S получает финитное истолкование, (стоит только рсдуци-
151
ронять его доказательство и само это утнерждеине автоматиче-
ски редуцируется вместе с пик).
§ 4. Логическая семантика
и обоснование логики
Согласно нашей основной установке, основания логики (спо-
собов рассуждения) лежат в логической семантике. Именно ло-
гическая семантика, опирающаяся на теорию лозаанля. даст
искомые оспеятания логики. На этом пути удается попять фено-
мен многообразия логических систем. Логика ограничивается
стандартными способам.i выражения знания и четко фиксирует
те гносеологические аспекты и характеристики знания, которые
принимаются во внимание. Но то и другое не дано раз п на-
всегда. Прогресс логической пауки состоит в расширении ис-
пользуемых стандартных способов выражения знания и в учете
все более глубоких гносеологических характеристик знания.
Этим об вгоняется построение новых логических систем с более
богатыми выразительными и дедуктивными возможностями.
Конечно, можно получать модификации логических систем и па
чисто синтаксическом уровне Даже синтаксическое исследова-
ние различных систем исключительно важно. Однако на имя
логической системы могут претендовать такие системы, которые
имеют содержательное семантическое истолкование и учитыва-
ют те или иные теоретико-познавательные аспекты.
Таким образом, первый шаг в обосновании логики состоит
в построении для нее адекватной семантики. Однако построить
адекватную семантику для достаточно богатых логических си-
стем без сильных идеализаций н допущений — по крайней мере
до настоящего момента — не удалось. Чем дальше мы разраба-
тываем семантику, чем больше факторов учитываем, тем более
абстрактные объекты приходится вводить. Мы вводим такие
объекты, как ист!':1ностпыс- значения, возможные миры, мысли-
мые положения дел, функции и отношения, заданные на воз-
можных мирах и семействах возможных миров, семейства под-
множеств возможных миров и другие. В доказательстве семан-
тических утверждений используются очень сильные — во всяком
случае сами нуждающиеся в обосновании — математические
средства. Так, для доказательства теоремы о полноте первопо-
рядкоиого исчисления предикатов относи сельпо свойства обще-
значимости существенным образом используется лемма Цориа,
эквивалентная аксиоме выбора33. Нс получается ли так, что,
соматически обосновывая правильные способы рассуждения,
мы одну проблему заменяем другой, более сложной?
Конечно, используемые семантические средства, принимае-
мые в семантике абстракции и идеализации, нуждаются в обос-
новании. Но, па наш взгляд, первый шаг. который необходимо
сделать, состоит в том, чтобы дать содержательное, истолкование
152
логики и выявить те допущения и идеализации, которые при
этом принимаются. Обоспокаиис их приемлемости — второй
шаг.
Простое принятие универсалии как неких клеильных сущно-
стей, существующих наряду с индивидами, конечно, неприемле-
мо с позиций материализма. По без их использования очень тя-
жело продвинуться сколько-нибудь далеко. Необходимо иссле-
дование статуса универсалий, их отношения к реальности, усло-
вии их введения, роли в обосновании различного типа рассуж-
дении.
В предыдущем параграфе мы проанализировали гильбср-
тозскую программу обоснования математики и се исторические
судьбы. Д. Гильберт не ставил задачу обоснования логики в
качестве самостоятельной, однако обоснован не математической
системы, построенной па базе той или иной логики, одновремен-
но является и обоснованием самой этой логической системы.
В целом Д. Гильберт считал логику чем-то более устойчивым,
чем математику. Сама задача обоснования митематической си-
стемы нередко волникает из-за нежелания менять правила ло-
гики. Идеальные. элементы, как правило, и вводятся для того,
чтобы обеспечить неизменность логических правил вывода.
Какие следствия можно извлечь для обоснования логики из
работ но реализации программы Гильберта? Напомним, что
Д. Гильберт предполагает, что реальные предложения являют-
ся вполне интерпретированными, имеющими ясную семантику.
Обосновать математическую систему с идеальными предложе-
ниями — это доказать, что опа является консервативным рас-
ширением некоторой подсистемы реальных предложений. Логи-
ка предикатов первого порядка содержит как реальные пред-
ложения таковыми являются бескванторные предложения,
так и идеальные — формулы с неограниченными кзЬиторамп.
Можно ли доказать, что исчисление предикатов первого Порядка
представляет собой консервативное расширение бескванторной
логики высказываний? На этот вопрос имеется положительный
ответ. Исчисление предикатов можно сформулировать в секвен-
циальной форме, все фигуры которого обладают свойством под-
формульиости (кроме фигуры, называемой сечением). Всякая
секвенция, доказуемая в этом исчислении, будет доказуема без
использования сечения. Отсюда следует, что если бескванторная
формула доказуема в исчислении предикатов, го она доказуема
и средствами исчисления зыскалывапий. Таким образом, исчис-
ление предикатов является консервативным расширением исчис-
ления высказываний. Доказательство допустимости сечения, как
и остальные шаги, является финитным.
К числу важных результатов в области обоснования логиче-
ских систем относятся доказательства теорем об устранимости
сечения для исчисления предикатов второго порядка и теории
тиков.
Указанный способ обоснования, скажем, нервопорядковрй
153
логики реализуется в духе первоначальной программы Д. Гиль-
берта. По этот способ обоснования оставляет некоторое чувство
неудовлетворенности. Мы все же с+ромпмся рассматривать
утверждения с кванторамз. ас крайней мере некоторые предло-
жения, не просто как вспомогательные, и как осмысленные ут-
верждения, имеющие самостоятельное значегпе.
Обоснование допустимости идеальных образований в смысле-
гилнбертовскон программы для конкретной логической пл:; ма-
тематической системы является серьезным продвижением впе-
ред. Однако, как правило, на этом не останавливаются. Имеется
неустранимая потребность дать некоторое содержательное, ис-
толкование и этим фиктивным элементам. В истории математи-
ки так обстояло дело с отрицательными, затем мнимыми
(комплексными) числами. Отношение между стандартным и не-
стандартным анализом — эю требуемое Гильбертом отношемпе
консервативности (мы отвлекаемся от того, какими средствами
доказывается эта консервативность) Однако пет никакой га-
рантии, что снерхдекствптельпыс числа навсегда останутся толь-
ко иеннтсрпрстаруемыми фикциями.
По-видимому, более конструктивное и более интенсиональное
понимание семантики должно сопровождаться и более сложны-
ми логическими системами. Как было отмечено выше, именно
сохранение классической логики нередко приводит к необходи-
мости введения идеальных элементов. Альтернативным подхо-
дом будет дифференцированное, слспкалкзпровапное использо-
вание различных логик. А это связано со все более дифферен-
цированным учетом гносеологических предпосылок, лежащих н.
их основе.
Озпачас! ли ориентация па более конструктивную и огера-
цконную семантику отказ от классических, теоретико-множест
ценных разработок семантики? Пожалуй, следует ответить на
этот вопрост отрицательно. Хотя теоретико-множественная се-
мантика и оставляет необоснованными некоторые абстракции и
идеализации, но в ряде случаев она более проста, более, мощна
в своих технических возможностях и проливает новый снег
даже на системы, ориентированные на нестандартную, свобод-
ную от терретико-множествсиных идеализации семантику. Пре-
красным примером тому может служить семантика возможных
миров для интуиционистской логики.
В заключение erne раз подчеркнем, что применение, матема-
тических методов в логике и логической семантике, использова-
ние точного аппарата и специализированных языков пи в коей
мере нс отдаляют логику от философии, но. наоборот, поднима-
ют целый пласт важнейших философских, теоретико-познава-
тельных вопросов, относящихся к природе логического знания.
ПРИМЕЧАНИЯ
Введение
* М а р к с К., Э г( г е л ь с Ф. Соч.. т. 20, с. 367.
2 См.: Милль Дж. Ст. Система логики. М., 1914.
* Лука сени ч Я. Аристотелевская силлотиегпка с точки зрения совре-
менной формальной логики. М., 1959, с. 48.
‘ «Логика имеет цело с мышлением не более, чем математика Вы. ко-
нечно, должны думать, когда вам надо сделать вывод или построит!, доказа-
тельство... По при этом законы логики к вашим мыслим имеют отношение
не н большей мере, чем законы математики. То, что называется «не.ихолопм-
«ом» в логике, признак упадка логики в современной философии» (Л у к а -
с е в и т Я. Аристотелевская силлогистика с. точки зрения современной фор-
мальной логики, с. 481.
’ Л с н л п В. И. Поли. собр. соч , т. 29, с. 165.
п М арке К., 3 н геяьс Ф. Соч., т. 20, с. 629.
• М а о к с К., Э пгелье Ф. Соч., т. 20. с. 138,
» Бирюков Б. В. Актуальные проблемы философско-кибернетических
нсглелоиаипй. — Философские пауки, 1981, № 2, с. 32.
- Уинстон II. Искусственный юпеллект. — Мир, 1980, N> 14, с. 14.
1и Интересные наметки такого валимодействни изложены в ст.; Мас-
лов С. 10. Теория поиска вывода и вопросы психологии творчества. — В кп.:
Семиотика и информатика. Вьш. 13. М.', 1979, с. (7—46.
11 См.. Кондильяк Э. Логика, или начала искусства мыслить, т. 3.
AL, 1983, е. 259. 210.
'= Цит. по: 3 е л е н о г о р с к и й Ф. Л. О математическом, метафизиче-
ском, индуктивном и критическом методах исследования и доказательства.
Харьков. 1877. с. 202.
•» См. статьи Р. Пратта и К. Сегербсргя в журнале. — Studia Logics,
IPS'), vol. XXXIX, X 2/3.
Глава I
1 Маркс К, Энгельс Ф. Соч., т. 3, с. 448—449.
® См.: Де С ос сюр Ф. Труды по языкознанию. М, 1977.
J Башмакова И. Г.. Сям путин Е И. История диафантова анали-
за от Дпнфаита до Ферма. М.. 1984, с. 190—191.
» F'cge G. Was 1st cine Fcnktion? — Festschrift L. Boltzmann gewid-
niet zutn seclizigsten Gcbtirlstage, 20 Fchruar 1904. Leipzig, 1904, 650—666.
s Frege G. Begriflschriil, eine tier atillitneiisdiuii nachgebijlctc Fonn,,i-
sprachc des reinen Denkens. Halle, 1879, S. 5.
я Ленин В. H. Поли. собр. соч., т, 29, с. 198.
7 Де С ос сюр Ф. Труды по языкознанию, с. 122.
s Так же. с. 115.
“Чёрч А. Впсденнс в математическую логику. М., 1960, примет. 116.
г* Чёрч А. Введение в математическую логику, с. 3.
11 Лезин В. И. Поли, собр СОЧ., Т. 29, с. 164.
12 «По крайней мере дне из обычных шести логических связок: «и»,
«ил::», «если... то», «неверно, что», «при всяком», «существует..., такой, что»
поп и каюте я в конструктивной математике иначе, чем в классической. Другое
понимание логических связок, естественно, требует и другого обращения с
пики, других правил действия, одним словом, другой логики» (Мар-
ков А. А. О логике конструктивной математики. — Вести. Моск, ун -та.
Сер. 1. Математика, Механика, 1970, 2, с. II—28).
«’ В литературе его обычно называют классическим (аристотелевским)
понятием истинности (Tarski A. Der Wahrheilsbegt'iif in den formalisierten
Spradic-n. — S’.inlia Philosophies. 1935, Bd 1, S. 261—405).
14 Понятия истинпссти, лежащие в основе классической и интуиционист-
ской логик, рлхличны, однако в с.беч;х случаях они основываются на основ
ном принципе теории отражайся.
,я Во избежание недоразукепи" otmchim, сто при рассмотрении специаль-
ных языков логики иод «предложением» нн синтаксическом уровне мы бу-
дем име.-к в виду, ках .что принято, замкнутую формулу. Высказынауш-.м в-,
упомянутой смысле прс^июжение становится только на семантическом урон-
пе, когда получает интерпретацию и рассматривается как нечто утверждаю-
щее н,;и отрицающее.
1С «Говорить о сущем, что его нет, или о пс-сущем, что оно есть. зна-
чит говорить ложное; а говорить, что сушее есть н не-сучцес не есть. значит
говорхть ис1И1.пг.е» (Аристотель. Метафизик*. 1026ч—1028в Соч .
т. I. М,. 1975, с. ]?]).
17 Tarski A. Der Wahrlieitsbegcfr :п den formaiis'crteri Sprachen.
Sltidia Philosophic*, 19.33, Bd 1. S. Ilf:I— 405.
,я Последнюю терминологию мы нспОлычуем в кк.: С мир по на Е. Д.
Логическая семантика н форкалнзовахпые языки М„ 1982, и ряде сдачей.
111 См.: Смирнова Е. Д. Упрощенке бето.чско-хпнтнкковского доказа-
тельства полноты исчисления предикатов первого порядки. — В кп.: VII Все-
союзны > симпозиум по логике и методологии науки. Тезисы. Киев, 1976.
2” См: Марков А. А. О полноте классического исчисления предика юн
в конструктивной математа’гееноц логике — ДАН СССР, 197-1 т. 215, ЛЬ 2,
с. 266 259.
21 Most о w ski Л. On the rules ol proof in the pure fv.nelional calculus
of ihe First Order. — JSL. 1951, p. 107—111,
12 Было бы интересным дать реконструкцию логики Мостовского (с допу
шенисм пустых областей) в виде секленцодпщого исчисления.
=’ М о s t о и- s k i A Sen.ences undecidable in formalized arithrne'sc. An
c-xpc,sii:tin of the theory of Kurl Godcl. Anislerdarn, 1952.
“ В логике u формально-) грамматике расг.матрцваются языки с нсрекуп-
сивсым понятием формулы. Понятие формул я н языках общего тш:п транс-
формационной грамматики Хомского является рекурсивно -перечислимым, Ис-
следуются также языки с нсс-.с.тннм словарем. Все они выпадают' из обла-
сти стандартных языков.
Mos towski A. Sentences tut deci da bic in foiiiial.zed arithmetic. An
exposi. or: of the theory of Kurt Goilcf.
Жирная единица есть имя пхлочки (единицы) объектного языка.
17 См.: К л и й и С. К. Введение в метаматематику М„ [957. § 76.
Еа Изложение этого метода см.: Смирнова Е. Д. Формализоваисыс
языки я проблемы логической семашикз. .М„ 1982. с. 114 - 120
2В Наложение
мактика н логике.
1967.
вопроса см.: Смирнова Е. Д., Гаванец
- В кп.: Логическая семантика н модальная
П. В. Се-
югика. М.,
См.: Клини С. К. Вщгденке в метаматематику; Маркой А. А. Тео-
рия алгоритмов. — Труды Магсм. ин-та иы. В. А. .’Стеклова АН СССР,
т. XT II. М„ 1954: Смал иси Р. Теория формаль ъх систем. 51.. 1981.
я’ Przelecki М. The Logic oi Empirical Theories. Loudon, 1969.
Глава 11
1 Reichenbach H. Modern Philosophy oi Science. London, 1959.
2 Pap A. Semantic and Necessary Truth. New Haven, 1958.
a Кутюра Л. Кантона философия математики. — В кп.: Философе
нрчииипы матсм;-. riiK-д. Спб., 1913, с. 208.
4 Милль Дж. Ст. Система логики. М„ 1914, с. 172.
’ Там же, с. 191.
л Рассел Б. История западной фплософки М., 1959, с 839.
7 Quine W. Two dogtnas of empiricism. — Philosophic:»! Review, 1951,
vol. 60, p. 23.
К я pttan P. Постулаты значения. — В кп.: Значение и необходимость
Ч_, 1959.
156
“ К арка и Р. Постулаты значения. — В ин.: Зил теине к n<n6»i iiimimt»
с. 325.
Глава III
1 Хн нткяка Я. Логино-эпистсмнческие. исследовании. М. 1980, с. 81
2 Техническая перестройка стандартной референциальной семантики и
терминах возможных мирон была осуществлена з кп.: Смирнова Г Л
Формалпэозапиые языки и проблемы логической семантики. М., 1982,
Вс. 141-149.
s В англоязычной литературе для обозначения мыслимого положения/
дел чьею используется термин «proposition». Отмстим, что 1. Фреге разли-
чал три понятии: «Saiz», «Uhrie.il» к «Gedanke», что па русский язык егтсст
сеяно переводить соответственна как «предложение», «суждение» и «мысль»
(или «мыслимое положение дел»). При переводе на английски;; термину «Ge
dsnkc» coikiciавляют обычно термин «proposition». Поэтому сложившаяся
традиция переводить «proposition» к* к «суждение» sc является адекватной.
Видимо, под влиянием этой традиции переводчик работы Г. Фреге на рус-
ский язык переводит «Gedanke» как суждение (см.; Семиотика и информа-
тика, вын. 8. М.. 1977, с. 177—210).
1 См.: Смирнов В. А, Временные логики с нестандартными условиями
сопряженности Gy.-iyntcro и прошлого. В кн.: Модальные, и кптепсиока.чь-
ные логики. Материалы к V111 Всесоюзной конференции «Логика и методо-
логия науки», 1982. М., 1982, с. 190 104.
* Prior A. N. Time and Modality. Oxford, 1957: Prior A. N. Past, Pre-
sent ami Futon-. Oxiord, 1967; Seger berg K. An Essay on Modal Logic.
Lppssla. 1971; М с Л r I h u r R. P. Tense Logic. Dordrecht—Boston, 1976: G a -
bay D. M. investigations in Modal and Tense Logics with Applications tr>
Pro-dems in Philosophy and Lingnisixs. Dordrecht Boston, 1976; Cere-
!>ерг К. Временная логика фон Бригга. В кп.: Логический вывод. М„
1979, с. 173—205; Сема'.тика модальных и интенскоиальных логик. М„ 1981.
•> Интереснее содержательное псто.тколанне нлетичег.чих модальных one
риторов предложено в работах Е. К. Нойшвилло (см. Войшвмлло Е. К.
Содержательный анализ модальностей S4 и -S5. — Философские науки,
1983. № 3).
7 См.: Смирнов В. А. Логики в модальными временными опера.-сра-
ми. В кп.: Модальцые и интенсиональные логики Тезисы коордшиг.полно-
го совещания. М., 1978; Burgess .1. Р. Decidability tor branching time. —
Stadia I-ogica, 1980, vol. XXXIX. N 2-3, p. 203 218.
’ Smirnov V A. The DeiiniticH on Modal Operators by Means ol Tense
Operators. Acta Philosopbica leiinica, 1:182, veil. 35.
9 Solova у R. M. Pi ovability inlet prditiions of modal logic. - J. Math.,
1967, vol. 25, p. 287 -804; G и л a p а г i D. and Solovay R. M. Rossi;- senten-
ces. — Annals of inallicinalical logic, 1979, vol. 16, N 1, p. 81 99.
,e См.: Кузнец oh A. IL, My pa в пики ft А. Ю. Дснсазуемск-.п. как
модальность. — В кп.: Актх-а.и.ине проблемы логики и методологии пауки
К;:ен. 1980, с. 193 230
11 Неу ling Л. 1л) conception inluiiionniste de ia Jogiqac. — I.es etiuics-
philnsophi<]i:cs, 1956, vol. 2, 226 233.
12 Cm.: Ill a huh H. Л О конструктивном понимании математических
суждений. Тру.гы Математическою институт;; нм. В. А. Сгек.т.ям, т. I.I1.
Проблемы копструк) нвпого н.тправлепия п мятсматаке 1. М.—Л., 1958,
с. 226 -3)2; Маркой А. А. С) логике конструктивной математики. - Вести
Моск. ун-та. Сер. I. Математика, Механика. 1970, К<г 2, с. 7—29; Мар
ков А. А. О .•нивке ког-сгруктишюй матеглатихн. М.. 1572: On же. О иол
ноте кляссичесхсп о исчисления предикатов в копструкгивпой ммтеиьтнчссхойг
логике. — ДЛИ СССР, 1974, т. 215, Лё 2. с. 266 -269; 3 а с л я в с к и и 11. Д.
Сикметэическая конструктивная логика. Ереван, 1978.
>s Kripke S. SetiiHiirical analysis oi intuiiionistic logic, — In’ Forni.il
Sysiiriis and Recursive Fnnktions. Aitistcrilani, 1965; Grzcgorczyk A. A.
I’ii.losapfiic.iUy plausible formal interpretation til iiiliriioiiis in logic. — indu
gatiorrcs Malborn» iicne, 1961 vol. 20.
l* В семантике Бета для интуиционистской логики ,ii:h:>iOiik!i,iih интерпре-
тируется способом, ОТ.ИН' HI.IM от классического и :-;р::пкевского.
*’ Мы отпекаемся ндспь от проблем интерпретации импликации н xhiiibh-
туициоиистской логике п святки, дуальной импликации. По допросам или-
вктуиииони стекой логики см.: С*е гтпяк J. A remark on (ientzcn’s calculus
sequent? Notre Dame Journal of Forrmi Logic, 1977 vol. 18; Good-
man N. D. The logic of contradiction. — ZMLC.M. 1981. Bd 22. S. 11!) 124k
Смирно в В. А. Об одной системе параие.протпнорсчпвой логики. В к::.:
Паранепротизоречпвые, релевантные и мнпгоян.ччнне логики. (Труды научно
песчедовятельсхого семинара по логике ИФ АП СССР) М. изд. ПФ АН
СССР 198'1. с. 129 133.
,s См.: Монг.тю Р Прагматика и и ‘.тенгие-а.чьн.чя логика В кп.:
Семантик» мо...йль-;ых и интенсиональных логик. М., 1981; Монгсгю Р.
Прагматика. —Там же; Montague R. Formal Philosophy: Sdceled Papers
oi R. Montague. New Haven. 1974; Скотт Д. Сонеты по’ модально? .'пин-
ке. В кп.: Семантема мидхлкпнх и интенсиональных логик. М., 1981.
11 Эта идеи били сформулированы к развиты памп п работах: Смир-
нова Е. Д. Интенсиональные нредкхяты н операторы и их семантически"
статус. В кн.: Модальные и пнтенсиоияльные логики. (Тезисы кооадина-
цж-.нного совещания). М„ изд. ИФ АН СССР. 1978, с. 1'9 152; S m i г и о-
v л Е. А-i Approach to the Seir.anties ot No:i—Extensional Context. Abstracts
o: 6-th Inlernti ional Congress of Logic, Methodology and Philosophy or Scien
ce. Hannover, 1979; Смирнова E. Д. Форма иловая ые языки п проблемы
логической семантики. М., 1982 (см. гл. V, г. 139—165); Smirnova Е. D.
First-order iniiiisional logic In. 7-th Internal-onul Congress oi Logic, Metho-
doiogv and Piiilosophv of Science. Abstracts, vol. 2, sect, 5. Salzburg, 1983.
p. 168 171.
liS См.: Смирнова E. Д. Формализованные языки u проблемы логиче-
ской семаитиин. At, 1982, с. 162—165.
* ' См.: Смирнова Е. Д. Формализованные языки и проблемы логиче-
ской семантики, с. 147—149.
2 П Си.: Смирнова Е. Д. Логика, научные идеализации и онтологи-
ческие допущения. В кн.: Методология развития научного зна и>. At, 1982.
21 В статье. «Логика, научные ндеали-мция и онтологические допущения»
мы проанализировали возможность рассматривать в качестве референтов
предложения именно два положенья дед — пустое и универсальное (см.:
Там же, с. 102—105).
Глава IV
1 Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычисли
мости. М„ 1972.
2 Симметрическую копсгрукгннную логику, в которой ноее> внан.ч икается
ра.чнонес.ие между нстинность.о и ложностью, строит И. Д. Заслангкнн (см.:
Заела некий И. Д. Симметрическая конструктивная логика. Ереван, 1978)
3 См.: Ермолаева Н. М. и Мучник А. А. Модельные расширения
логических исчислений типа Хао Вана. Исследования по формализованным
языкам и нсклясси'-ескпм логикам. М., 1974, с.. 172—193.
‘ Anderson A. R., Belnap К. D. — ,1*. EiiUilment. Princeton, 1975
vol. 1. В. М. Понов предложил формулировку логики «е Моргана, Хао Ва.ча
и логики, двойственной логике Хао Вала, в терминах аналитических таблиц с
днум.ч типами отмеченных формул (см: Попов В. М. Ана.гнiwiecK’e форму-
лировки и модели Кринке некоторых пропозсцноиалы|мх логик первопоряд-
коного с.тедопаглгя. В кн.: Релевантные логики и теория слсюнання (2-й
соиетс-ко-фипский коллоквиум по логике). At, 1979.
5 В более общем в;;де: сели Г j. А в система GK1,. го фт (Г)Е<|т (Л15),
где Л-0 ест > дизъюнкция формул из Д.
5 58
“ См. статыо: Смирнова Г.. ,'1. Упрощение Гит-пи ни • лип им нм«м ни
казательетва полноты исчисления иредгнштии нерпою ш>| । i < I u .«
VII Веселии.:uii снмпоанум но логике и мег<1Д<>ли11Ш imvkii ! 1*76
7 «Дшлектина, которая точно так же нс .ищет loin! iniil fml 11п« • (,irt...
риппо резких разграничительных лилий] и безусловною. ......................
«или или», которая переводит друг в друга иеподинжныс Me ni|iiiii< i"
различия, признает н надлежащих случаях наряду с снлн — или» 1«ка пт
то, тик и другое» к опосредствует противоположности, иилнеп я г 11"“ '
нс.:пым, в высшей инстанции, методом мышления, соо|ветстиук>ниги тспср*ш
мей стадии развития естеегвознан/и» (Маркс К„ Энгельс Ф. (.оч„ г .*>,
с. 527—528).
£ См.: Войшвилло Е. К. Семантика релевантной логики и вопрос
природе логических законов. — В кн.; Разум и культура. (Груды Междупа
родного фргпко-с1>всгского коллоквиум»). М„ 1983, с. 73
’Dunn J. М. A Kripkc-stvle semantics Kit R-raigle. Studia Logic i
1976, vol. XXXV. N 2, p. 163—172
io Ilcrzberger II. G. Truth and Modality in Semantical у Closed l.«n
giiages. — In: Martin R. L. (ed.). The Paradox oi Un- Liar. Yale University
Press. 1970, p. 29.
11 К r io he S. Oulline oi a theory of iruth. — The Journal of Philosophy,
1975, vol. 72, p. 690 -715.
12 Marlin R. L. and Woodruff P W. On representing •rw-Ti-L» in
L. — Philosophia, 1975, vol. 5, p. 213—217.
,J Strawson P. F. On reiering. Mind. 1950, vol. 39, p. 320—341.
Русский перевод и кн.: Новое в зарубежной лингвистике, т. Х111. М., 1932,
с. аб—86.
н Заметим, что свободная логика (логика, сньбояпая от экзистенциаль-
ных предпосылок) может быть построена независимо от принятия концепции
пресуппозиций.
f» van Fraassr. п В С. Pressnppositions. Snpervaluations and rree Lo-
gic. In: The Logical Way of Doing Things (ed. Lambert). New Haven, 1969;
Prcssupposilion. Implication and Seif-refer cnee. — Journal of Philosophy, 1968
vol. 6-3, p. 136 152; Truth .:nd Paradoxical Consequences. — In: Paradox oi
the Liar. Yale Un, Press, 197(1.
•* См. обзор этой проблемы в работе: Смирнова Е. Д., Та ва-
не ц П. В. Семантике ц лсп-.кс. — В кн,- Логическая семшпика н модаль-
ная липка. М., 1967.
17 Kripke S. Outline ot a Theory of truth. — The Journal of Philosophy,
1975, vol. 72, p. 690—716.
•• Напомним, что ?i = В истинна, если Л и В истинны пл» Л и В лож-
ны пли .1 и В не определен к, и ложна по всех опальных случаях.
Y п h I о S. Grounding. Depeiidi-uce. and P.iiadox. — Journal ст Philo-
sophical Logic, 1982. vol. II, N I. p 117 138,
‘° f. Крип чтчечлет, in wimv uiivipeiiiiiix фиксированных точек отно-
свтелынт G ob uiiyer полнею peuieiKV.
21 Won dr til I I’ W AppKixi.ii.ih hcinariijcs and iterative Theories of
Tnrh. •— In; T ill liileui.ilion.il (niigrrss of Logic, Methodology and Philo-
sophy of Science Ahi.fi tci.i of Mil .» *in! 12, vol. 2. Salzburg. 1983. p. 228- 231
22 Ibidem
II с г z b e r g e г 11. Noles on Njiv< Semantics. Journal oi Philosop-
hical Logic, 1982. vol. it N 2, p. til 102; Gupta A. Trulli and Paradox. —
Ibid., p. 1—61.
.Martin R. «nd Wood in fl P. On representing «true-in-L» in L. —
Philosophia. 197-5, vol. 3, p. 213 217.
21 См. специальный выпуск. Journal oi Philosophical Logic, 1682, vol. II
N’ I. Из более ранних работ фунд.т метальное значение имеет книга: Mar-
Vi n R. L. (ed.). The Paradox of Ike Liar. Yale University Press, 1970; cm.
также: Journal of Philosophical Logic 1984, vol. 13, N 2; R AL Martin (ed.).
Recent Essays on Thrulh and the Lier Paradox. Oxford, 1984.
159
нуз> очередь следует отметить [мботы Р. CyiHico, Л. Борковского, Р. Монтегю
М. Кресвелла и Й. Лимбека. И и те леей о отметить, чю метод анализа струн
тури зьрижслия Я.ЧЫКО11 по непоередстнс.кпо состаиляютим в структурно;'
аипгзпетике во многом копирует метод Л^дуксвича. Однако у Айдукезич»
имеется н ш:ду именно типология значений и построение определенной перар
хии см «еловых ки гсгорий.
я См.: Смирнова Е. Д. Теория ссмыгп1ческ:;х категорий: синтаксиче-
ская структура и логическая ферма предложении. В кн.: Проблем:: на ,но-
гиката. Софии, 1973.
‘ Frege G. Begriiiscbrif;. — In: From Frege to Gotlftl. Cambridge, Mass.
1967. p. 6.
5 Ibid., p. 7.
e Л у к я с е в и ч Я. Аристотелевская . ллогиьтикп с точки зрения севре
менкой формальной логики. М., 1959, с. 50.
' Бур и дан. Tractaf.13 ccniscc ueirliai-inn Ц r i.o кн.: Bcid'.enskl D. For
mat Log;k. Freiburg und Miirielicn. 1956, S. 1 1
L Von Wright G. Logical S.tidies. Loncon, 1957 p. 3.
“ Уточнение понятия логической формы u.i базе гсорип семаптитеткн
категорий см подробно н к:;.. Смирнова I Д. Фор.чализованкыг языки
н проблемы логической семантики. 1982. гл. 2.
w Си.: Смирнова Е. Д. Формализованные языки и проблемы логиче-
ской семантики, гл. 2, § 2.
11 Я. Лукасевич отмечает, что «для аристотелевской силло'Дстики суще
ствешго ТО, что один и тот же термин без какого- ибо огоаничепиы может
быть исивлызоваи и как субъект и как предикат. Г>о нс< трех известных Ар::
стоте.чкг фигурах силчогизма имеется термин, который встречается один раз
как суб.Д'ьТ, а затем как предикат в первой фигуре это средней термин,
по второй фигуре — большие, а в трепли фигуре — меикший» (Лукасе-
вич Я- Аристотс.чснская силлогистика г точки зренпи современной формаль-
ной «.глпкй. М . 1969, § 4).
>г Подобное иозимлнне логической рормы возможно, если абсо-иотзэкро
вать разграничение, содержания и форм мышления г: познания. По Канту,
поскольку общая (формальная) логика изучает только форму мышления. а
нс материю, она полностью абстрагируется от всякого содержания по.тзапля
См., вапр.: «Общая логика открывает только форму мышления, но не мат
рию. Опа абстрагируется от всякого содержания по«н ния» (Kant ,1. G -
samr.iel-e Scliriften. Bd XVI. Berlin, 1921, фрагмент 1627). Поскольку иссле-
дуются лишь необходимые к всеобщие правила ыышле.л»- soofcjc "без раз-
личения объектов, т. с. материя, являющейся предметом мысли», наука ис-
следующий их, отзлекнется от всякого содержа, к знания. .
При таком подходе только содержание мышления связано с познаваемым,
логические формы носят априорный характер и не имели- теоретико-поз::аня-
тельного значения.
1 * «Подпадать под понятие» Фреге трактует как «обладать (соответ сну-
ющим) свойством».
Понятия предмета и функции в анализе Фреге являются исходными.
По Фреге, невозможно дать «школярски правильное определение Функции»,
ибо это есть нечто простое, «логически далее неразложимое». Предмет — это
то,- о чем нечто может сказываться, короче, можно сказать, чю предмет есть
ясс то, что нс есть функция.
|Ь Frege G. Schriil.cn zur Logik. Aus deni Nachlaft. Berlin, 1973, S. 180.
l* Ibid., S. 183.
17 «То, что n дейетпительносгп подразумевает солипсизм, вполне пра-
вильно, только это не .может быть сказано, а .петь показывает себя. Гот
факт. что мкр есть мои мир, проявляется в том, что границы языка (един-
)Н, он ДГ НИИ
1.1 М; мы itii'O^H
|атрпваемы <<1нцЛ
:.гня.
г»
I
В кн Л
К а р и ' в
М а р к । I
К Й Л U (Q
•9G6.
ктрпи. е
Ф р С II И I
-.318 II
11.111 III I
и Г’ в ч ь Л ।
« Г и ч I. л I
н|
(' II Л bl >
г и . и сн
ан
SU
Г
I зг-
Ьчки
е Л * 41
iptlllatl
»1<1Ш1« «ш
|(г II' Miff I ^IIHIUI (i«V HlU|*b||i|H финмппН
и» 'I >| । и । 1111 11 । i । 11 11 i -' । । । i4 I ‘ n
* 1 -LiTJUL-lUULJUjieLI t.,r ' I I II 5 I
г II « и •• . »ч пи ____________
iiciuiuei kii„ n-opiiK чш ii'i.i i i.i < । пыицдп M I'u'i/ ।
:w См II Illi II KOH II T'll-MCIIIM Ml-tllMIHVMil illu-.lUill impuii. M
173. с. ЛЛ.
В iiacroiiiKCC время pa ,p»6anunaioicii Персии теории мпожесиг. где ими
го аксиомы выборл ириинмж-тся иесоимесгимая с пей аксиома детерыиик
|>заин<к-щ Для г ноги чисто матгиагичссних целей ша версия теории мио
еств достаточна (см : Капов е. it В. I Аксиома выбора и яиснома дегер
г-:ш<|н>вг1шости. М., 1984) По как быть с теоремой подпиты исчислснкя пре
йкагов. ес.пи ipiiHKMneicn теория л >жеств с аксион й дс-гермиштромн
Замеченные опечатки
напечатано
стрпкв
31
св.
16
сн,
15
СП.
св.
св.
следует читять
1
флф
4 = Ф
ф.1ф
ф ф
ф=-ф
ф=г<Р
93
(>11tptiilll''llHO
и ..-:ср. n..oniio-о
/1,- -1. / ‘4
3
1
операционально
иеонсрационалыюго
й,~л г-»ев -в.
100