Дж. РИОРДАН
Комбинаторные
тождества
Перевод с английского
A. Е. ЖУКОВА
Под редакцией
B. П. ЧИСТЯКОВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982

22.18
P 52
УДК 519.G
Combinatorial Identities
John Riordan
John Wiley & Sons, Inc.
New York — London — Sydney
1968
'I
1502000000 — in
p on CO
053@2)-82
Перевод на русский язык.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-.математической литературы,
1082
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие °
Глава 1
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1.1. Введение * ' • ^
1.2. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов ... 13
1.3. Применение основного рекуррентного соотношения 10
1.4. Некоторые формулы разложения . . . о ....... **
1.5. Обобщенная биномиальная формула Абеля ...... Я
1.6. Полиномиальные тождества Абеля • у"
Задачи дь
Глава 2
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
2.1. Введение 51
2.2. Простейшие взаимно обратпые соотношения ¦ . 52
2.3. Один класс взаимно обратных соотношений 57
2.4. Взаимно обратные соотношения чебышовского типа . 02
2.5. Взаимно обратные соотношения лижандровского типа .... 72
Задачи „ 75
Глава 3
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И
3.1. Введение. 00
3.2. Взаимно обратные соотношения абелева типа ..... . 95
3.3. Обычные производящие функции 103
'¦АЛ. Экспоненциальные производящие фупкцпп 109
3.5. Многомерные взаимно обратные соотношения ....... НО
Задачи ..... 118
Глава 4
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
4.1. Введение 129
4.2. Произведения обыкновенных производящих функций ..... 130
4.3. Мулмисекция рядов 132
А А. Циклы биномиальных коэффициентов 141
4.5. Ряды Дагранжа 147
Задачи 152
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
Вильяму Феллеру
Глава 5
МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЙ
5.1. Введение
5.2. Многочлены Белла
5.3. Обращение многочленов Белла
5.4. Многочлены для производных обратных функций
5.5. Многочлены разбиений в теории чисел .
Задачи
Глава 6
ОПЕРАТОРЫ
6.1. Введение . ,
6.2. Разностный оператор Д . . . .
6.3. Разностные операторы xlS. и Аг
6.4. Разностные операторы xV и Vi
6.5. Оператор центральных разностей .
6.6. Дифференциальные операторы xD и Dx
Задачи
Таблицы
Литература - .
Предметный указатель
173
173
174
176
180
185
196
197
201
204
207
212
219
239
251
254
ПРЕДИСЛОВИЕ
Тождества с биномиальными коэффициентами, которым посвя-
посвящена большая часть этой книги, занимают в математике особое
место. Поскольку биномиальные коэффициенты являются, по-види-
по-видимому, простейшими комбинаторными величинами (например, число
сочетаний с повторениями или без повторений), то некоторые ком-
комбинаторные тождества возникают непосредственно в результате
сравнения различных решений одной и той же комбинаторной за-
задачи, в связи с чем оказывается полезно решение задачи и «труд-
«трудным» способом. Такой путь появления комбинаторных тождеств явля-
является обычным практически для всех разделов комбинаторной матема-
математики, и в этом смысле настоящая книга может служить дополнени-
дополнением к моей предыдущей книге «Введение в комбинаторный анализ»
(М., ИЛ, 1963). Однако возможно появление комбинаторных тож-
тождеств и другим путем. В этом случае подбор для их доказатель-
доказательства подходящей комбинаторной задачи оказывается часто вне на-
наших возможностей. Проверка комбинаторных тождеств может осно-
основываться помимо их непосредственного комбинаторного содержа-
содержания еще и на свойствах биномиальных коэффициентов. Специали-
сты-комбинаторики пользуются при этом рекуррентными соотноше-
соотношениями, производящими функциями, а также преобразованиями ти-
типа свертки Вандермонда. Некоторые же, к моему ужасу, исполь-
используют еще и контурные интегралы, дифференциальные уравнения и
прочий арсенал математического анализа. Многочисленный опыт
показывает, что основной иптерес представляет сам выбор способа
проверки доказываемого тождества; будучи единожды доказанным,
тождество, как правило, перестает привлекать к себе внимание.
Целью настоящей книги является попытка преподнести комби-
комбинаторные тождества вместе с их естественным «математическим ок-
окружением», что могло бы дать возможность для их частичного упо-
упорядочения и установления взаимных связей между ними. Однако
первоначальная надежда на осуществление этих планов теперь са-
самому мне кажется иллюзорной. Не удалось также обнаружить по-
полезных критериев для градации тождеств по степени их важности
и тому интересу, который они представляют. Рассмотренные тож-
тождества, как старые, так и новые, возможно, теряют своеобразие
в окружении многочисленных конструкций, так или иначе с ними
связанных.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Я хочу предостеречь читателя от надежды немедленно обнару-
обнаружить в этой книге доказательство интересующего его в данный мо-
момент тождества. Тем не менее он сможет найти различные подходы
для доказательства или проверки своего тождества. Основным вы-
выявившимся фактом является то, что комбинаторные тождества не-
неисчерпаемы и непредсказуемы. Старая мечта навести порядок в
этом хаосе, кажется, обречена на провал.
Исследуемые тождества не являются исключительно тождества-
тождествами для биномиальных коэффициентов. Среди них часто появляют-
появляются такие комбинаторные величины, как числа Каталана, Фибонач-
Фибоначчи или Стирлинга. Вот почему название этой книги носит самый
общий характер: «Комбинаторные тождества». Использование тако-
такого несколько неопределенного названия для этого интенсивно раз-
развивающегося раздела комбинаторной математики очень удобно.
Прежде всего, это название дает возможность выразить все сфор-
сформулированные тождества в знакомых комбинаторных терминах (та-
(таких, например, как подстановки, сочетания, перестановки, разбие-
разбиения), а также использовать числа, появляющиеся при перечисле-
перечислении указанных комбинаторных объектов. При этом остается воз-
возможность получения аналогичных тождеств и для таких сравни-
сравнительно новых комбинаторных объектов, как деревья, графы, раз-
разностные множества, блок-схемы, коды и различные их обобщения.
В самом деле, термин «комбинаторные тождества» можно рассмат-
рассматривать как название для любого тождества, имеющего комбинатор-
комбинаторный смысл. Одной разновидностью таких тождеств, которой, однако,
в этой книге почти не уделяется внимания, являются тождества,
непосредственно вытекающие из собственно комбинаторных задач,
связанных с установлением эквивалентности (две комбинаторные
задачи называются эквивалентными, если они имеют один и тот же
энумератор — перечисляющую производящую функцию). Пример
тождеств такого вида, отмеченный в моей предыдущей книге, сво-
сводится к тому, что несколько разнородных комбинаторных объектов
перечисляются с помощью чисел Стирлинга. Установление взаимно
однозначного соответствия между такими задачами представляет
большой интерес для комбинаторики. Однако в настоящий момент
мне известны лишь отдельные соответствия такого рода; никакого
систематического исследования в этом направлении не проводилось.
Это может служить моим оправданием почти нолного отсутствия
в этой книге разбора подобных вопросов.
В этой книге я постарался исследовать рекурреитпые соотноше-
соотношения для большинства известных комбинаторных чисел, в частности
и для так называемых «баллотировочных» чисел, связанных со слу-
случайным блужданием. Баллотировочное число апт обозначает число
способов подсчета голосов, полученных па выборах двумя кандида-
кандидатами А и В, если известно, что за кандидата А было подано п го-
голосов, за кандидата В — т, т < п, и при этом в процессе подсчета
число голосов, поданных за кандидата В, пи разу не превышало
ПРЕДИСЛОВИЕ
числа голосов, поданных за кандидата А. Кроме того, я нашел воз-
возможность показать с новой точки зрения моих «старых друзей» —
многочлены Белла и числа Белла, а также тесно связанные с ними
понятия: цикловые индексы симметрических групп п числа де-
деревьев.
Хотя мне удалось показать все изученные тождества в их «ма-
«математическом окружении», я обнаружил, что в большинстве случа-
случаев исследование того или иного комбинаторного тождества имеет
обыкновение уходить в сторону. Этой тенденции ни я, ни мои пред-
предшественники не могли сопротивляться. Однако это не является
столь большим недостатком, каким может показаться на первый
взгляд, так как некоторые из этих исследований стали частью ма-
математического аппарата комбинаторики и могут служить для про-
проверки тех или иных комбинаторных тождеств. На самом деле это
что-то вроде свежей струи в той доброй старой математике, кото-
которая, как мне все больше и больше кажется, заслуживает сохра-
сохранения.
Краткий обзор содержания этой книги может быть сделан сле-
следующим образом.
Глава 1 в основном посвящена тождествам, вытекающим из ос-
основного рекуррентного соотношения для биномиальных коэффици-
коэффициентов. В главе приводятся также разнообразные варианты формулы
свертки Вандермонда, являющейся, по-видимому, наиболее важным
из всех этих тождеств. Кроме того, первая глава содержит раздел,
посвященный обобщению [принадлежащему И. X. Абелю] биноми-
биномиальной формулы. Приводится новое (во всяком случае для меня)
и удивительно простое доказательство этого обобщения, а также
различных его вариантов (в том числе и полиномиальных). В раз-
разделе задач приводится доказательство двух простых взаимно обрат-
обратных соотношений, что является своеобразным введением к следую-
следующим главам.
Главы 2 и 3 посвящены взаимно обратным соотношениям. Две
главы по одной теме появились ввиду того, что объем соответству-
соответствующего материала превысил объем одной главы.
В качестве примера взаимно обратных соотношений, изучаемых
во второй главе, можно привести пару соотношений ап= 2jdnhbk,
Ьп = 2 b-nkuk, в которых суммирование ведется в конечных преде-
пределах, а коэффициенты выражаются в виде сумм или разностей би-
биномиальных коэффициентов. Каждое соотношение из этой пары вле-
влечет другое. Эти соотношения привлекательны прежде всего потому,
что нам предоставляются различные возможности для доказатель-
доказательства каждого тождества, связанного с данной парой. Это па пер-
первый взгляд дает возможность надеяться на то, что наличие боль-
большого набора различных пар взаимно обратных соотношений позво-
позволит получпть еще большее количество комбинаторных тождеств.
Подобным надеждам, одпако, ие суждено было сбыться: число

a
ПРЕДИСЛОВИЕ
различных пар взаимно обратных соотношений пока невелико, а воз-
возможности для дальнейшего увеличения их числа определить труд-
трудно. Тем не менее эти соотношения интересны сами по себе, а так-
также своим широким применением в теории вероятностей, математи-
математической статистике и, возможно, в остальных разделах математики.
В главе 3, в которой продолжается изучение взаимно обратных со-
соотношений, начатое в главе 2, исследуются пары взаимно обратных
соотношений, следующие из тождеств абелева типа, а также из
обыкновенных и экспоненциальных производящих функций. Глава
завершается краткими замечаниями по поводу многочисленных воз-
возможностей для обобщений подобных соотношений на случай многих
переменных.
Главы 4 и 5 — также результат разделения на две главы одной
темы, объем материала по которой превзошел объем одной главы.
Обе эти главы посвящены использованию производящих функций
для вывода или проверки комбинаторных тождеств. Глава 4 начина-
начинается с тождеств, получаемых из произведений простых производя-
производящих функций. Затем следует большой раздел, посвященный муль-
тисекции рядов — приема, обобщающего известный метод представ-
представления данного ряда в виде суммы его четных и отдельно нечетных
степеней. Пожалуй, здесь наиболее примечательным является при-
применение этого метода для получения лакунарных рекуррентных со-
соотношений. Замечательным примером последних являются лаку-
нарные рекуррентные соотношения для чисел Бернулли, которые
были получены моим другом Д. X. Лемером в 1935 г. Далее следу-
следует раздел, посвященный суммам величин, которые я называю цик-
циклами биномиальных коэффициентов и изучение которых с помощью
производящих функций от нескольких переменных было проведено
другим моим другом — Л. Карлицем. Мне кажется, что эти резуль-
результаты нельзя было не привести в этой книге. Четвертая глава завер-
завершается кратким разделом, посвященным рядам Лагранжа. При этом
обращается внимание не только на полученные из них тождества
(наиболее 'примечательным из которых является обобщение форму-
формулы свертки Вандермонда), но также и на обращение рядов.
Многочлены разбиения, изучаемые в главе 5, являются много-
многочленами от нескольких переменных, которые определяются с по-
помощью сумм по различным разбиениям соответствующего парамет-
параметра. В число многочленов разбиения входят уже упоминавшиеся вы-
выше многочлены Белла, а также обратные им многочлены. Два та-
таких многочлена существенно зависят от многочленов, связанных
о производными для обратных функций, которые, как я с удоволь-
удовольствием это обнаружил, сами являются многочленами Белла. Пятая
глава также содержит расширенный обзор теоретико-числовых ас-
аспектов применения многочленов разбиения.
И, наконец, последняя, шестая глава посвящепа использованию
различных разностных и дифференциальных операторов для по-
ПРЕДИСЛОВИЕ v
лучения и проверки комбинаторных тождеств. При изучении этого
круга вопросов особое положение занимают числа Стирлинга, кото-
которые я рассматриваю как частный случай так называемых цент-
центральных факториальных чисел, связанных с оператором центральных
разностей. В разделе, посвященном дифференциальным операторам
xD, Dx и xDx, приводится повый вывод операторных представлений
для многочленов Лагерра, которые были получены В. А. Аль-Саля-
мом в 1964 г.
Каждая глава книги снабжена обширным списком задач, кото-
которые не только иллюстрируют результаты, полученные в тексте, но
также могут содержать и результаты, более интересные и важные,
чем результаты, содержащиеся в основном тексте данной главы
и соответствующих примерах. Поэтому задачи, приводимые в каче-
качестве дополнения к основному тексту, окажутся для читателя более
полезными, чем это обычно бывает в тех случаях, когда задачи
предназначаются лишь для проверки степени понимания читате-
читателем материала, изложенного в главе. Более того, предложенные
здесь задачи взаимосвязаны и часто обуславливают друг друга. Од-
Однако, чтобы чрезмерно не увеличивать объем книги, количество за-
задач ограничено. Я заранее приношу свои извинения как тем чита-
читателям, для которых эти дополнения излишни, так и тем, для кото-
которых они недостаточны. Последним я могу посоветовать самим поис-
поискать задачи, связанные с приводимыми в этой книге.
На протяжении всей книги постоянно используется символиче-
символическое исчисление Блиссара, которым я уже неоднократно пользовал-
пользовался в моей предыдущей книге «Введение в комбинаторный анализ».
В этих обозначениях выражение
ехр ха, ап = а„
является сокращенной записью для суммы
а выражение
Ъ)п, ah^ah, Ък^
является сокращенной записью суммы вида
А=0
Приведенная в конце книги библиография включает только ра-
работы, упоминаемые в тексте, и ни в коем случае не претендует на
полноту; тем более не претендует она на отражение вклада авто-
авторов в рассматриваемую тематику.

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
При указании значений, которые принимает та пли ипая пере-
переменная, я часто пользуюсь принятым в последнее время сокращен-
сокращенным обозначением, в котором выражение « = 0AI0 означает, что
п принимает значения 0, 1, ..., 10. Подобная запись особенно удоб-
удобна для целочисленных переменных.
Я благодарен моему другу Леонарду Карлицу, который знако-
знакомился с первоначальными набросками некоторых глав этой книги.
Другие мои друзья — Джон Бриллхарт, Чен Ли и Генри Поллак —
помогли выявить имеющиеся ошибки и опечатки. Я также благода-
благодарю секретарей и машинисток — Диану Томас, Элайн Калайникас,
Мюррей Хилл, Джой Катанзаро — которые тоже внесли свой вклад
в создание этой книги.
Джон Риордап
Март 1968 г.
ГЛАВА 1
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1.1. Введение
По-видимому, простейшими комбинаторными объектами являют-
являются биномиальные коэффициенты. Их можно интерпретировать, на-
например, как число различных сочетаний из п элементов по к. Свое
пазвапие биномиальные коэффициенты получили от соответствую-
соответствующей им производящей функции, являющейся степенью бипома:
-л _ п- -_ обычное обозначение для биномиального
п *¦) (п ¦— кп
коэффициента. Произвольное сочетание из гс элементов но к может
либо содержать данный фиксированный элемент, либо неть Подсчи-
Подсчитывая в отдельности число сочетаний, содержащих этот элемент,
и число сочетаний, его не содержащих, получаем следующее ре-
рекуррентное соотношение:
-1\ ,/п-1
к ) + U-i
(I)
Это же соотношение можно получить и из формулы для произ-
производящей функции. Рекуррентное соотношение (I) вместе с соответ^
ствующими граничными условиями полностью определяет биноми-
биномиальные коэффициенты. Комбинаторная природа биномиальных ко-
коэффициентов предполагает, на первый взгляд, что следует ограни-
ограничиться целыми неотрицательными значениями для параметров п
и к. Однако величину
можпо интерпретировать как число различных сочетаний с неогра-
неограниченными повторениями из п элементов по т*). Соотношение (I)
*) Соотношение (II) естественно получается, если биномиальный йоэффи-
цпент LJ определять формулой \к)~~ТГ' где (п)к = п(п — i) (п — 2) ...
... (п — к-\-\). Выражение (n)h обычно называют fe-ii обобщенной степенью
числа п или убывающим факториалом. Определение сочетаний с повторением
см. в книге [51] (гл. 1, § 3.2). (Прим. перев.) .

12
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
вместе с (II) является неиссякаемым источником при получении
различных тождеств с биномиальными коэффициентами.
Таким образом, исходя из комбинаторных свойств биномиаль-
биномиальных коэффициентов, граничные условия для рекуррентного соотно-
соотношения (I) можно определить следующим образом. Во-первых, по-
положим №) = 1, п = О, ± 1, ± 2, ..., затем [к\ = 80ь, где 6mn — сим-
символ Кронекера (б„„ = 1, 8пт = О, п Ф т). Из этих соотношений сле-
следует, что
-т) = 0' и = 0, ±1,±2, .... w = l,2, ....
= 0, « = 0,1,2,..., т=1,2,...
Для большей наглядности приведем в табл. 1.1 значения вели-
чин биномиальных коэффициентов \тJ для малых значепий пара-
параметров п и т.
Наличие граничных условий позволяет опускать пределы сумми-
суммирования для сумм с биномиальными коэффициентами в тех случа-
случаях, когда предполагается суммирование по всем возможным значе-
пиям соответствующего параметра, а указание пределов суммирова-
суммирования в явном виде по каким-либо причинам неудобно. Это естествен-
естественно при суммировании членов, содержащих элементы одной строки
из нижней половины табл. 1.1 (т. е. когда суммирование идет но
параметру т при фиксированном п> 0). Когда же суммирование
происходит по элементам столбца табл. 1.1, то следует учитывать,
что при переходе из нижней части таблицы в верхнюю вновь появ-
появляются пенулевые элементы. В этом случае необходимо различать,
ограничиваемся ли мы суммированием до первых нулевых значений
в столбце или нет. Таким образом, пределы суммирования должны
указываться всякий раз, когда появляется возможность неоднознач-
неоднозначного понимания; в противном случае их удобно опускать.
В силу того, что рекуррентное соотношение (I) играет особую
роль в исследовании биномиальных коэффициентов, представляется
правильным пачинать изучение комбинаторных тождеств с тех, ко-
которые легко или естественно вытекают из (I). Мы не будем стре-
стремиться исчерпать все возможности, заложенные в рекуррентном
соотношении (I), что невозможно, а просто выделим класс тож-
тождеств, которые имеют своим общим источником соотношение (I) и,
в силу этого, объясняют, усиливают и дополняют друг друга. По-
Получаемые при этом тождества возникают как в результате после-
последовательного применения рекуррентного соотношения (I) и неко-
некоторых специальных разложений, так и просто потому, что такие
тождества уже «есть» (результат праздного любопытства или не-
невозможности остановиться).
1.2. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
13
1.2. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов
Приведем еще два соотношения, играющие почти такую же важ-
важную роль, как и соотношения (I) и (N):
("W " V (Ш)
Л(п-Р\-_( п \(п~т + Р\ (Ту)
Соотношение (III) выводится из следующего соотношения для про-
производящих функций:
A + х)п = хп A + х-х)п = S A\хп-\
которое в свою очередь само может быть выведено пз соотношения
(III). Каждое из произведений биномиальных коэффициентов, встре-
встречающееся в соотношении (IV), можно, используя (III), представить
еще в трех эквивалентных формах записи. Таким образом, соотно-
соотношение (IV) можно записать 48 различными эквивалентными спосо-
способами (простой пример изменчивой природы биномиальных коэффи-
коэффициентов). Одна из этих эквивалентных форм получается из (IV)
с помощью замены т па п — т:
п\(п—т\_(п\(п — р\_/ п \(
Приведем несколько примеров использования соотношений
(I) - (IV).
Пример 1. Покажем, как из рекуррентного соотношения (I)
и граничных условий можно получить производящую функцию для
биномиальных коэффициентов. Пусть
Из соотношения (I) следует, что
= A + х) 6„_, (х) - A + xf Ъп.% (х) = ... = A + х)\ {х) = A + х)п,
01
Распространение рекуррентного соотношения на отрицательные
значения п приводит к равенству
согласующемуся с тождеством (II).

14
Л.
/Л. I. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
В заключение замети^ что ftn(-1) = A - 1)» = л
вол Кронекера); в то ж/время
° (б"т ~ сии-
MD = 2 (?) = 2".
ft=o\'7
Пример 2. Рассмотрим сумму
-Я™ =2 (-
Из соотношения (IV) и примера 1, опуская индекс и пределы сум-
суммирования, получаем ортогональное соотношение
Опт — Zt\— Ч \mf\k ~
пли эквивалентное ему соотношение
(— 1) ОПт— Опт~ Zl{— Ч \к)[тГ
Это соотношение связапо с парой так называемых взаимно
ратных соотношений
об-
обВ самом деле, возьмем ап = (— i)m (mJ; тогда из первого соотноше-
соотношения следует bh — 8km, а из второго — равенство
Используя соотношения (I) и (IV) и учиты
учитывая, что /, = 1, „олу-
Еслп теперь обратиться к паре взаимно обратных соотношении
примера 2 и положить в них а0 = 0, а„ = /„, п = 1, 2, ..., &0 = О,
1.2. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
15
Ъп—gm и= 1, 2, ..., то нетрудно проверить, что выполняется соот-
соотношение
Последнее равенство можно проверить и непосредственно:
,.-а (-«¦¦¦ [(')+(:=!)]'>-
Л— 1
п-1
= gn-i -rfi — gn-i + ]L (— !)''
1
-г i
Таким образом, доказательство этого тождества довольно трудоемко.
Рассмотренный пример показывает, что использование взаимно
обратных соотношений при получении комбинаторных тождеств
очепь удобно. Несколько позже мы познакомимся с другими пара-
парами взаимно обратных соотношений и еще больше убедимся в дей-
действенности рекомендации Якобн: «всегда обращай».
Пример 4. (Задача 39 к первой главе книги [49].) Рас-
Рассмотрим сумму
/п = 2j (— 1) 2 [2k -f 1
/i-=0 \
пли
к ----- о
Тогда
или
(—
2<
о
к =

16
Далее,
. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
( )
Следовательно, имеет место рекуррентное соотношение
/я == Цп-l — /п-2
и, так как /<, = 1, /i = 2, индукцией получаем, что
-* - 2) = 4/,., - <?„-,.
)
Заметим, что gn = 2/г+ 1, так что имеет место и такое соотношение
(+ к
—1) ^ 1 2/t I = л/г + 1.
Читатель может сравнить предложенный метод решения с методол!,
приведенным Пойа и Cere.
1.3. Применение основного рекуррентного соотношения
Основное рекуррентное соотношение для биномиальных коэффи-
коэффициентов (I) можно применять различными способами. Сначала при-
применим его для разложения последнего члена в самой формуле (I).
В этом случае последовательное применение соотношения (I) дает
разложение
о
т — 3
и, наконец,
= 2
я-1-А
n-1-
Отсюда для положительных п и т „ > т
(Ш), получаем следующие тождестаа ' ИСП0ЛЬЗуя соотношение
A)
1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО РЕКУРРЕНТНОГО СООТНОШЕНИЯ
17
(Верхний предел суммирования не указан, так как имеется в виду
суммирование по всем возможным значениям параметра).
Соотношения A) являются по сути эквивалентными формами
записи одного и того же тождественного соотношения и приводятся
для того, чтобы вновь проиллюстрировать изменчивость внешней
формы у соотношений с биномиальными коэффициентами. Измен-
Изменчивость формы проявится еще сильнее, если рассмотреть возмож-
возможные изменения индекса суммирования, однако в дальнейшем обыч-
по мы будем избегать этого в целях экономии места.
Далее, к A) можно снова применить рекуррентное соотноше-
пие (I) и для начала заменить на сумму каждое слагаемое, входя-
входящее в A):
, (п — 4\ , , /в —3\
п —
го
т-2
Повторные применения соотношения (I) приводят к формуле
— к
B)
Как и в формуле A), здесь нет необходимости указывать верхний
предел суммирования; разумеется, что и для соотношения B) мож-
можно также привести много различных эквивалентных форм записи.
Вернемся теперь снова к формуле (I) и применим основное ре-
рекуррентное соотношение для разложения всех членов, входящих
в (I). Во-первых, сразу получаем
— 2\ . 1п — 2\ , /« — 2^
Далее,
п — 3
Ясно, что числовые коэффициенты сами являются биномиальными
коэффициентами. Общий результат, а именно тождество
C)
известен как формула свертки Вандермонда (или соотношение Ван-
Вандермонда) и является, по-видимому, наиболее широко используе-
используемым комбинаторным тождеством.
2 Дж. Риордан

18
/ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Формула свертки ле^ко доказывается по индукции с помощью
рекуррентного соотношения (I) и указанных разложении; она же
является простым ^следствием тождества A + х)п — A + х)п~1>A ¦+¦
+ х)р и примера 1, а это в свою очередь следует из того, что соче-
сочетания из п элементов по т можно классифицировать но числу вы-
выбранных элементов, принадлежащих данному подмножеству мощ-
мощности р.
Замена п на п + р в C) дает соотношение
(п + р\ у/ п \lP\_ V (>А( Р \ /oon
Кроме того, используя соотношение (II), легко получить соотно-
соотношения
С)(
)
/п — р\ _ ,_ m
Д
Р \(п — т-\-к
[ к
соотношения E) также заслуживает того, чтобы ее
етим, что E) влечет равенство
-2(-«/(:i*»)(-/)-2(:i*)('+t*-')-
=2(::1)(р+»-'> (зь)
которое с ^точностью до обозначений совпадает с соотношением B).
Таким образом, способы получения соотношений B) и C), кажу-
кажущиеся различными, оказываются связанными благодаря соотноше-
соотношению (II).
Замепы т на п — т в формуле (ЗЬ) или р на — р в формуле
Eа) дают равенство
Возвращаясь к E), отметим, что соотношение E) имеет другие
эквивалентные формы записи, такие, папрпмер, как
к
1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО РЕКУРРЕНТНОГО СООТНОШЕНИЯ
ИЛИ
19
(С)
Заметим, что соотношение F) может быть получено и из соотно-
соотношения (За), если положить р = т и воспользоваться взаимно об-
обратными соотношениями из примера 2, в которых нужно положить
, . (т 4- п\ , , , .
amEsam(re) = ^ ^ j, ftm s bm (га) =
Интересно отметить, что соотношения (За) и D) также являют-
являются взаимно обратными соотношениями, так как их можно записать
в следующем виде:
m — /с' \т
т~кУ
Чтобы получить стандартную форму записи взаимно обратных
( + (\
(
соотношении, положим ат =( т
соотношения принимают вид
, (Р\
от = I mу п тогда указанные
к=о
т = >j л am-h=2j(—1) д. я
fe=o V *¦ / ft=o \ к j
Ъ
Ортогональное соотношение для этих величин может быть записа-
записано в следующем виде:
Частными случаями полученных соотношений являются
а0 = b0, a1 = bl + nbu, а.2 = Ь2 + пЪх + (п) Ьо,
VI
bl = al- па0, 6а = а2 - nav
Полученные взаимно обратные соотношения можно записать и в
симметричной форме:
«„= 2 (-if! m }
ft=0 \п~К1
ьк,
h=n
^hfn + m — i — к\
п-к ) п>{>
где а„ = an(m), bn = bn(m). В следующей главе будет получено
обобщение этих формул.

20
/ ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО РЕКУРРЕНТНОГО СООТНОШЕНИЯ
21
Приведем еще песколько эквивалентных форм записи для соот-
соотношения E):
.k+m
Каждое из соотношений Eс) и Ed), являясь, в сущности, одним и
тем же соотношением E), влечет тождество
J
т — к
которое на самом деле есть соотношение (ЗЬ) с заменой п на п ~ 1,
а р на р + 1, и, кроме того, соотношение
Cd)
Тождества F) и G) являются частными случаями более общего
соотношения, а именно соотношения
к
(8)
которое может быть выведено следующим образом. Используя соот-
соотношение F), получаем
_у. ,m+h+i\(m
-[к)\( к J-
V
Теперь, применив индукцию, легко получим тождество
[т + р)-*^-1) (к)[ р + к )'
которое с точностью до обозначений совпадает с соотношением (8).
Этот же результат легко получить, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях х в тождестве
4-?rt-?-l
m
Si
ft=o
4— m—q — 1 + k
Пример 5. Пусть дано п элементов, занумерованных числами
1, .. ., п. Будем называть «успехом» наличие пары (г, i + 1), i =
= 1A)(ге— 1), в выборке объема к из этих п элементов. Рассмотрим
/Дге, к) — число сочетаний из п элементов по к с / «успехами». Ес-
Если fn,k^ — производящая функция для /Д/г, к), то она должна
удовлетворять рекуррентному соотношению, определяемому следую-
следующим образом. Во-первых, сочетание из п элементов по к или содер-
содержит элемент п, или нет. Для сочетаний, не содержащих элемент п,
производящая функция равна /п-1,Л(х). Производящую функцию
для сочетаний, содержащих элемент п, обозпачим через gn,kix),
и тогда
gn.h^x) = fn.hix) — /„-i.fcla:).
В свою очередь, сочетания, содержащие элемент п, или содержат
элемент п — 1, или нет. В первом случае производящая функция
для таких сочетаний равна xgn-i,k-t(x), так как пара (п— 1, п) об-
образует «успех». Производящая функция для сочетаний, содержа-
содержащих элемент п и не содержащих элемент п — 1, равна /„_2, (,-i(x).
Следовательно,
gn, h(x) = Xgn-l, h-
/n-2, ft-l
что вместе с предыдущим уравнением дает рекуррентную формулу
/п, к(х) = fn-l, к(х) + x/n-i, t-i(x) + A — х)/„-2. k-i(x).
f1a:(ra—1).Вмоств
Ясно, что/„,„(*)= 1. /п. 1 (*) = ». /п. 2(a;)=fB
/„, h A) = (п\ U, и (х) = х'-\ Тогда
-/п-,. з (х) =i/n_ll ,+A - а) /„_,, а
с тем
что в совокупности с граничными условиями дает
По индукции легко доказать, что
ft-i
j=o
+ У,
так что
] Госледпее равенство означает, что число сочетаний из п элементов
по к с j «успехами» равно
(см. [50]). Это тождество для / = 0 встречалось в решении «зада-
«задачи о супружеских парах», предложенном Каплапским в [40].

22
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Тождество
является частным случаем соотношения Вандермонда.
Другое соотношение Вандермонда — D) — получается при реше-
решении этой же задачи методом включения-исключения. Делается это
следующим образом. Для подсчета числа сочетаний из п элемен-
элементов по к с одинаковым числом «успехов» от общего числа сочета-
сочетаний из п элементов по к нужно отпять число сочетаний с одним
фиксированным «успехом». Элементы, образующие «успех», можно
выбрать и — 1 способами, а остальные к — 2 элемента нужпо вы-
выбрать из оставшихся п — 2 элементов. Таким образом, первый вычи-
вычитаемый член в формуле включения-исключепия равен
Следующий член формулы, стоящий со знаком плюс, определяется
числом сочетаний с двумя фиксированными «успехами». Такие со-
сочетания в свою очередь распадаются на два класса в зависимости
от того, пересекаются ли пары, определяющие успех (как, напрп-
[п — 1\
мер, A, 2) и B, 3)), или нет. Всего может быть I 2 ) двойных ус-
успехов, в том числе п — 2 — с пересекающимися парами. Отсюда со-
соответствующий член в формуле включения-исключения равен
п — г
2
га - 4
-4
к - 1
2
п - 2
-2
Если предположить, что при одновременном выполнении не ме-
менее чем / «успехов» соответствующий член в формуле включенпя-
псключенкя равен
(k-l\
то нетрудно проверить, что справедливо равенство
- к -
к
д
эквивалентное соотношению D).
Сделанное предположение легко выводится из предыдущих ре-
результатов п проверка его справедливости предоставляется читателю.
Пример 6. (Клее [42].) Рассмотрим сумму
U(n, m)=2(-
Ц1
1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО РЕКУРРЕНТНОГО СООТНОШЕНИЯ 23
Тогда из (За) получаем
примера 2 следует тождество
и (». т) = 2 („ 1;
Пример 7. Тождество
было первоначально доказано в [33], а затем в [8] и в [261. Приве-
Приведем еще один способ его доказательства. Прежде всего, заменяя к
на 2р — к и сокращая на общий множитель 2~tp, приводим наше
то;кдество к виду
Затем, так как
2 ; Д- 1) к )[2т-1-
то, используя E) с заменой п на 2n — j, т на 2т — j, a p ua n — j,
11олучаем
1
Далее,
-)+
Так как впутрепппе суммы сокращаются, мы приходим к рекур-
рекуррентному соотношению

24
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1.4. НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ РАЗЛОЖЕНИЯ
25
и если положить gnm = (—l)m/nm, то получим рекуррентное соотно-
соотношение
gnm = gn-l, m i gn-t, m-1.
Последнее соотношение совпадает по форме с рекуррентным соот-
соотношением (I). Так какё'„о==/по==1 = (о) и Snn = (—1)(—2)[l) =
= 1=1 1
З
, ТО МЫ ПОЛучаем, ЧТО gnm = (ml, a/nm =
Заметим, что тождество
= (— 1) lm
появляющееся здесь как промежуточный результат, интересно как
само по себе, так и в сравнении с
2
ft=o
2т + 1 —А-
1.4. Некоторые формулы разложения
Часто бывает удобно представить произведение биномиальных
коэффициентов в виде суммы, т. е. найти, например, формулу вида
Такая формула легко паходится с помощью формулы свертки Вап-
дермонда:
тт (п\(П\
Другое представление произведения Ipju) B виДе суммы можно
получить из (9):
Используя взаимно обратное соотношение из примера 2, легко
получить соотношение, обратное соотношению (9):
Замена q на п— т показывает, что это тождество представляет со-
собой одну из форм записи соотношения Eа).
Формула, обобщающая соотношения (9), выводится такими же
методами; так, при т <п
• к\( п ^ ч^1 1т — п -|- а\ 1к\ (п
р — к
Вывод соответствующего обобщения формулы A0) из соотноше-
соотношения (И) отчасти похож на предыдущий. Во-первых, соотношение
E) эквивалентно тождеству
Используя соотношение (III), получаем
(р){ч)
Р-*
Заменяя в этом соотношении параметры т на q + к, р на р — к,
а к на /', и используя предпоследнее выражение в A1), получаем
In + p — к — j \ (р — к\
p + q )[ 1 J
(p - k\
\V-h-i
— n + q\ ip
)(
p — j — k
n~ltq) A2)
Последнее равенство в A2) следует из соотношений D) и (II). Ра-
Ранее это тождество появлялось в работе [47].
Частный случай соотношения A0), а именно тождество

26
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1.5. ОБОБЩЕННАЯ БИНОМИАЛЬНАЯ ФОРМУЛА АБЕЛЯ
27
представляет особый интерес, так как в другой записи опо имеет
вид
пли, что то же самое,
;)'-2 (г/с+г-*)
Последнее тождество, как указывается в [66], встречается без до-
доказательства в книге китайского математика Ле Жен Шу в 1867 г.
Работа [66] вызвала целую волну интереса, что нашло свое отра-
отражение в библиографии. Заметим также, что, заменяя в A2) т на
п + р, а п — яа n-jr q, мы получим тождество
(
p-i)[i
W
р + я
которое можно найти в работе [60].
Пример 8. Рассмотрим числа гпт:
1 /и-П/я + П 1 (n~i\(n
Гпт n + { ){) [
(буква г в обозпачепии — в честь моего коллеги Дж. П. Руньопа, ко-
который использовал эти величины при решении вопросов, связанных
с работой телефонных сетей). Из A2) нетрудно получить соотно-
соотношение
г — 1\ (п + к\
к )[ 2т
или, что то же самое,
г ¦—
п + "
2m
}
Заменяя в A0) р и д па т, можно получить следующее тождестпо:
(\ 2
2т
п + к
2т У
Таким образом, мы пришли к необходимости исследования урав-
уравнений вида
Е« - ^ 1™>> [ 2т
с граничными условиями t0ll = tao6oh, где б„т — символ Кронекера.
Решением уравпенпп такого типа являются треугольные массивы
чисел.
Вначале следует отметить, что приведенное выше рекуррентное
соотношение оставляет величину tnn неопределенной, так что в об-
общем случае величина tnm может быть представлена в виде
ГС
tnm = 1jTh(n,m)thh.
о
Величины Тк{п, тп), как определили Грэхем и Рпордап в [32],
равны
гр , ч 2* + 4 /л — 1 — к\(п + АЛ
"v ' ' in + к -{- 1 ^ ш — к )\гп -~kj
Тогда из соотношений A2) получаем
h=0
2к + 1 In — I — k\/n
m -\~ к -f 1 \ т —к j\m-\-k
,Bfe + l)'.
tkh
2m
2А+1
m -t- к -j- 1 I m — / Д j — к
m - k ~
—k
" + Л
I 2m I 2d к ~\- / -t- 1 I / — ft j I j + fc
Заметим, что T0(n, m) = rnm, a rnn = бп0, так что величины rnm
являются решением лишь при thk = бьо- Кроме того, в силу равен-
равенства Qua = 1 становится справедливым тождество
¦у 2/с + 1 1и — \—к\1п + к\
= jmd '» + ft + 11 m — к I \ m + ft Г
Дальнейшие обобщения этих результатов приводятся в разделе
задач.
1.5. Обобщенная биномиальная формула Абеля
Известное обобщение биномиальной формулы, полученное Абе-
Абелем в работе [1], в работе [38] представлено в виде
х~х {х + у + па)п = 2 (I) {з + ка)"-1 (у + (п - к) а)п~\ A3)
Если х заменить па ах, а у — на ау, то мы получим
х~1 (х + у + л)" = 2 (|!) {х + ^'i-1 (У + п - k)n-h A3а)
п, следовательно, параметр а является несущественным. Формула
Абе.ш A3а) является частным случаем сумм следующего вида:
Аи [х, у; р, д) =
/i—О
A4)

28
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Полагая в A4) р = — 1, q = 0, получаем правую часть формулы
A3а).
Изучение сумм вида A4), как это ни странно, упрощает доказа-
доказательство тождества A3а). Для этого сначала заметим, что замена
к на п — к в правой части формулы A4) приводит к соотношению
Ап(х, у; р, q) = Ап(у, х; q, p). A5)
Далее, из основного рекуррентного соотношения (I) получаем соот-
соотношение
А„(х, у; р, д) =
= Ап.,{х, у+1;р, q + 1) + Ап-,(х + 1, у; p+i, q). A6)
Кроме того,
Ап (х, у; р, q) = ? (fj (х + к)(х + к)к~^ (у + п - k)n~k+q =
% ~ J
/г -
= а;Л„ (х, y;p — l,q) + n An-t {x + l,y; p, q). A7)
Аналогичным образом получается соотношение
Ап (х,у р, q) = 2 (^ (у + /г - А) (х + к)к+* (у + п- кГ'"^1
или, эквивалентное ему,
Л„(х, г/; р, q) = yAn(x, у; р, q — 1) + nAn-t(x, г/ + 1; ?, q). A7а)
Это другая форма записи соотношения A7), которую можно по-
получить, одновременно меняя местами х и у, р и q и используя со-
соотношение A5). Подставляя A6) в A7), получаем следующие два
соотношения:
Ап(х, у; р, q) =
—xAn-iix, у + 1; р — 1, q + 1) + (х + и)Лп_,(ж + 1, у; р, q) =
= U + п)Лп(х, г/; /7 — 1, q) — пАп^{х, у + 1; р — 1, g + 1). A8>
Полагая в первом из тождеств A8) /> = 0, 7 = 1, можно легко
получить формулу Абеля A3а). Действительно, во-первых,
Ап(х, у; 0, — 1) =
=хАп-1{х, у + 1; —1, 0) + (х + n)An-i(x + 1, у; 0, —1),
что в силу A5) эквивалентно соотношению
Ап(у, х; -1,0) =
•=xAn-t(x, y+l; -1, 0) + (х + п)А„-1(у, х+1; -1, 0).
1.5. ОБОБЩЕННАЯ БИНОМИАЛЬНАЯ ФОРМУЛА АБЕЛЯ 29
Опуская для краткости постоянные параметры —1 и 0 и меняя ме-
местами х и у, получаем
Ап(х, у) = уАп-,{у, х + 1) + {у + и)Лп_,и, у + 1). A9)
Из соотношения A4) вытекают тождества
А„(х, у) е» А„(х, у; —1, 0) = х~\ А{{х, у) = х~1(х + у + 1),
it если Ak{x, у) —х~1{х + у + к)", к = 0A)(ге — 1), то из A9) следу-
следует, что
Лп(х, у) =
- /г)-1 + (у 4- п)х-{(х + у + га)" = х~Чх + у + п)п.
Правая часть последнего равенства совпадает с левой частью соот-
соотношения A3а), что и требовалось доказать.
Из этого результата, а также из соотношений A6) и A5) немед-
немедленно следует хорошо известное тождество
Ап{х, у; -1, -1) =
-Лп-iU, у + 1; -1, 0) + An-tix + 1, у; 0, -1) =
~Ап^(х, у + 1; -1, 0) + АпЛу, х + 1; -1, 0) =
-*{х-* + у-хНх + у + п)*-1, B0>
фигурирующее обычно вместе с тождеством A3).
С другой стороны, из соотношения A7) вытекают соотношения
хЛи(х, у; -2,0) =
= Ап(х, у; —1, 0) — nAn-i(x + 1, у; —1, 0) =
= х~Чх + у + п)п — nix + l)~l(x + у + п)п~\
Лп(х, у; -2,0) =
у + п)п - пх(х
которые значительно менее известны.
Применение соотношения A7) в форме
хАп{х, у; р — 1, q) = Ап(х, у; р, q) — геЛ„_Дх + 1, у; р, q)
прежде всего дает тождество
хЧх + 1)Ап{х, у; р — 2, q) = {х + i)An(x, у; р, q) —
—п{2х + i)An-i(x + 1, у; р, q) + п{п — 1)хАп-2(х + 2, у; р, q).
В этом случае справедливо равенство
х2(х + 1)Ап(х, у; -3, 0) ==
•= х-1 U + i)(x + y + n)n- n(x + 1)-Ч2ж + 1)(х + у + п)п~1 +
у+ п)п~%

ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
шщ, эквивалентное ему,
ЛЛх, у; -3,0) =
=х~Чх + 1)~Чх +
~пх(х +
B2)
Дальнейшие, более сложные обобщения полученных соотношений
можно найти в задаче 18.
Повторное прпмеиепне соотношения A7) немедленно дает
Ап (х, У, Р, q) = 2 (?) к\ (х + к) An_k (х + к, у; р - 1, q). B3)
Отметим в первую очередь следующий частный случай:
Ап (х, у; 0, 0) = 2 (") к\ (х + к) (х + кГ1 (х + у + n)n'k =
= (х + у + п + а)п, ак=&ак = к\, B4)
или, что то же самое,
Последнее тождество обычно называется формулой Коши.
Заметим, что из A7) следует
хАЛх, у; -1, 0) = Ап(х, у; 0, 0) - пАп-Ах + 1, у; 0, 0);
это равносильно
Сх + у + п)п = {х + у + п+ а)" - п(х + у + п + а)"'1.
Последнее равенство легко проверяется.
Далее, из B3) и B0) следует
Ап (х, у; 0, -1) = 2 pj к\ (х + к) An_h (х + к, у; - 1, - 1) =
+ к)
= 2() к\ у
по Лн(х, у; 0, —1) = Аи{у, ж; —1, 0) = у~1(х + у + п)п, так что спра-
справедливо равенство
p) + п)п~\ B5)
п) »+i= S p) A-! {х + у + к) (х
1.5. ОБОБЩЕННАЯ БИНОМИАЛЬНАЯ ФОРМУЛА АБЕЛЯ
Используя снова соотношение B3), получаем
Л„ (х. у; 1, 0) = 2 {Tj Ы (х + к) Аа...к (х + к, у; 0, 0) =
! (х + к) (х + у + п + a)n~h = [х + у + п-
a" s= ah = Л-!, pft (x) = pft (x) = к\ {х + к).
Заметим теперь, что
= 2
ехр ф (х) =
отсюда следует тождество
а тогда соотпошение B6) эквивалентно соотношению
2 Qu + tf+'u,+ »-*)-*-
= 2 (J) А! [(* ^ *) + * (к + 1)] (х + у +
Применяя B3) вновь, легко получить тождества
Аи{х, у; 1, -1) = 2(а)р*(*) Лл-*(* + Л, J/; 0, -1) =
"' 2 (J) Р* (*) (* + У + п) ""* =
Ап(х, у; 1, 1) = 2(a JPfc(«) An.h (x + к, у; 0, 1) -
= 2 (И Рл (ж) [ж + у + п + a +
B6)
(п + 1)] in,
B6а)
B7)
B8)
Заметим, что
ехр /to
- t)Ut + yil-t)},

32
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
откуда следует
Имеет смысл специально рассмотреть одно следствие из соотно-
соотношения B6). Его можно получить следующим образом. Заметим сна-
сначала, что справедливо равенство
Ап (х, у; 2, 0) =
Затем из B6) находим
(х) Ап.„ (х + к, у; 1, 0).
у) [ у + + + ${ +
2 (" ~ *) (* + У + п + «)""""' Л (
к (х ¦
п + а + а)
П—ft
и, наконец, обозначая a"B)=aftB)=(a+a)ft, чАЫ=/с[},,(;г), $к(х; 2)
[(Ц) + р(а;)]\ получаем
пи, у; 2,0)
(а:; 2)]м + [ж + у + п + аB)
п. B9)
Все эти и, кроме того, некоторые другие результаты приведены
в табл. 1.2. Напоминаем читателю, что дальнейшие результаты в
этой области можно найти в разделе задач.
1.6. Полиномиальные тождества Абеля
Полиномиальные обобщения трех биномиальных тождеств Абеля
впервые появляются в 1902 г. в работе Гурвица [38]. Из всех воз-
возможных обобщений биномиальных тождеств они, по-видимому, яв-
являются самыми важными. Рассмотрим некоторые из них.
Так, полиномиальным обобщением формулы A4) является
хп; pv
; Ь\, ...,кт)Л {х} + ks) } Р\ C0)
3=1
Здесь (п; к±, ..., кт) — полиномиальный коэффициент, равный
n\/(kt] ... кт\), где /с, + ... + кт = п. Основной рекуррентной фор-
формулой для полиномиальных коэффициентов является
(п; ки ,.., кт) =
¦= (п — 1; fci — 1, к2, ..., кт) + (п — 1; ки kz — 1, к3, ..., кт) + ...
... ~г \п 1; hi, ..., kj I, kj+t, ..., кт) + ,..
- 1; ku ..., km-u km - 1). C1).
l.C. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ТОЖДКСТВА АБЕЛЯ
33
С ее помощью можно найти аналог формулы A6):
/lnUi, ..., хт; Pi, ..., pj =
+Лп_1(а;1, х, + 1, х,, ..., хт; ри рг + 1, р3, ..., рт) + .. •
... + An-t(xu ..., хт + 1; pi, ..., рт + 1).
Далее, выделяя в Ап сомножитель {xt + kt), аналогично тому,
как это делалось при доказательстве формулы A7), приходим к со-
соотношению
Anixu ..., хт; р^ ..., pj = XiAn(Xi, ..., хт; pt - 1, рг, ..., рт) +
+ nAn-iiXl + 1, Хг, • • ., Хт\ Pi, . . ., Рт). C2)
Следовательно, полиномиальным аналогом формулы B3) будет
An\Xi, . . ., Хщ] Pi, • ¦ ¦, Рт' —
(I) &! (хх + к) Aa^h {ху + к, х2, ..., хт; рх ~ 1, р2, ..., рт). C3)
Обратимся теперь к первому из полиномиальных тождеств, по-
полученных Гурвицем, которое является обобщением тождества A3):
Ап(х, у; - 1, 0) = 2 ("){х + к)' (У + п- к)п-к =
'1
п)п.
Докажем это соотношение не так, как это было сделано Гурвицем,
а с помощью итераций. Для этого сначала отметим, что
у~1Ап (х, у + z; - 1, 0) = (хуУ1 (x + y + z+n)n~
2
= 2 (I) (х + кГ> Ъ(п7к) (у + it1 (* + »-*- г
ггк~> -
2 (и; к,), п _ Л- - /) (.х + A-)*" (у + /Г1 (z + n-k- /)"~"^
или
Ал(х, у, z; -1, -1, 0) = (ху)~1(х + у + z + п)п.
Повторное применение указанных преобразований приводит к тож-
тождеству Гурвица
An(Xi, ..., хщ; —1, —1, ..., —1, 0) = (XiX2 ... хт)-1хт(х + п)п, C4)
где х ~ Xi + ... + хт.
Второе тождество Гурвица связано с биномиальным тождеством
Ап{х, у; 0, 0) = {х + у + п + а)", а'' = ак = к\.
3 Дж. Риордан

34
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1.6. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА АБЕЛЯ
35
В этом случае, как и раньше,
An{x,y + z + а;О, 0) =
= Ап(х,у,г;0,0,0).
Общий результат очевиден: полагая, как и раньше, х — Xi + ... + хт,
получаем
Ап (х1( ..., хт; 0, ..., 0) = [х + п + а (т — 1)]" =
= 2о [I) (* + *)П~Ч (m - 1), C5)
где, конечно (ср. с формулой B9) и табл. 1.2),
exp to (m) = (exp ta)m = A - t)~m =
*=o
* /
к - l)\/k\(m - 1)! = (m + fc- l)!/(m- 1)!.
так что
ah(m) = /с!
Третье тождество Гурвица, являющееся обобщением для соот-
соответствующего биномиального тождества, имеет вид
Ап{х, у; -1, -1) = {х-1 + у-*Нх + у + ?г)п~\
Из тождества C4) с помощью рекуррентного соотношения C1) по-
получаем
An(xi, ..., Хт', -1, -1, ..., -1) = (.Х:Хг...х,„)-1х(х+ га)"-1. C6)
Вернемся теперь к первому биномиальному тождеству Абеля для
Ап(х, у; —1,0). Так как выполняются соотношения
Ап {х, У + z + а; — 1, 0) = х~х (х + у + ъ + а + п)п =.
2 (J
1 0/
а + « - А)п~* =
= Л„(ж, у, z; — 1,0, 0),
то, повторяя указанные преобразования, приходим # тождеству
An(xl,...,xm; — l,0,...,0) = xTi[x + a(m—2) + n\n. C7)
Здесь, как и раньше, полагаем х = х, + ... + хт.
Заметим, что из C7) и C3) следует C5), а из C3) и C5) следу-
следует соотношение
S [I)
ln{xv ...,a-m;l,O, ...,0) =
fc! (a-, + /0 An.h (a-, 4- /¦'. r, a-m: 0, 0 0) =>
t= 2(")ii'i^1^J "*" " —а1'и— l)J"^': = I1-4- «-г a(m— 1) + P(^1)]n.
C8)
Аналогично получаются и соотношения
А,(а;„ ..., жт; 1,1,0, ..., 0) =
= \_Х "Т" ?2 "Т" ОС \/?2 1 / "Т* р\Х±) ~Т~ р\Хз/J ^
Лпи,. ..., хт; 1, 1, 1,0, ..., 0) =
= [х + п + aim ~
C9)
= [x + n + aim -
Отметим также, что соотношения
m m
= II osp ф (xi) = A - 0m П [t + A - t)
exp г [a (m - 1) +
дают возможность получить выражения для коэффициентов экспо-
экспоненциальной производящей функции, однако ввиду недостатка мес-
места мы не будем останавливаться на этом.
В качестве заключительного примера использования соотноше-
соотношения C3) приведем тождество
= (xt ... ХпУ11 х + п +
D0)
3*

36
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Задачи
1. О б о б щ е н и е примера 3. Пусть
Доказать, что
3—1
= 2 (~
и получить из этих соотношений равенство
П J, П
й=1 ft=]
2. Используя основное рекуррентное соотношение A), записанное в виде
т
доказать тождество
/ ;(=0 V / " \т / "~ V
3. Рассмотрим сумму
" . (п
(a) Показать, что
51 (л) = (— 1)" [nS0 (n) — St (л)],
S (n) -f- S, (п) = (л ¦
Получить из этих соотношений равенства
5оBп) = Bл + 1) (л + I)",
SiBn) ¦= л50Bл),
5iB« + 1) = —2(в + 1J(га + 2)-'.
(b) Показать, что
h " -Д-о [)) п J)h-isi n)'
2 (- dj а + *)* (") ' = 2(*) (kh-isj (») = (и + kh я* (»-i- *) - /* (»),
ЗАДАЧИ
87
где
h-l
7
ft-1
7=0 \ ' 1 n
Вывести с помощью рекуррентных соотношений формулу
(n + k + 2)fk(n) = (п
В частности, проверить, что
/,(п) = п+ 1, /з(») = (w + l)(«2 + 4n + 6),
/2(,г) = (П + IJ, П{п) = (n H- 1) (n» + 8n2 H- 23п + 16).
Величина Fj,(») = (" + k)hSQ(n + /i) — /Л (к) удовлетворяет соотношению
ЛI
Воспользовавшись взаимно обратными соотношениями из примера 1, показать,
что
Проверить равенства
52Bл) = лBл + 1) Bл2 + Зл — 1) (л + 1)-'(га + 2),
53Bл + 1) = —2л(л + 1) Dл3 + 14л2 + 5л — 5) (л + 2)~!(л -f 3),
4. Рассмотрим сумму
п
-
2/c
Показать, что
(fiij — символ Кронекера). Получить отсюда равенство
Bл + 1)/„-2л/„_,=ео„.
Применяя это рекуррентное соотношение, доказать, что
/п = B
Bл + 1)! 2« -|-1 \ л
Заметим, что обратным соотношением является

33 ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
5. Обобщение задачи 4. Рассмотрим сумму
Показать, что
2
/„-! ("О-^/„-,
Из этого рекуррентного соотношения, учитывая, что /0(т) = 1, /, (т)
(т + 1)"'» получить равенство
л!
+ л\-1
Обратным к получеппому будет соотношение
т у,
Случай т = 1/2 уже рассматривался в задаче 3. Полагая т = —1/2, полу-
получить пару взаимно обратных соотношений
22т\
Аналогично, для in = —3/2 показать, что
или
Г"'Г
2 <-«•(:)"-»> Г»"')
fc=0 W Ч '
6. (а) Пусть
покааагь, что
ft=0
ЗАДАЧИ
39
(Ь) Используя пример 3, показать, что
п
(с) Обобщая пункт (а), показать, что
ii In + m — l —к
«„ ("О = >i
— 1 — АД " /п + пА
-i s=2(-DftU + m v
(d) Используя результат задачи 4, получить соотношения
п + т — 1 — к
_, л
til ~~ 1
fe=O
п
т — 1
к + т р+к'
*
7. Задача Бапаха о спичечных коробках. Пусть имеются
два спичечных коробка, каждый из которых первоначально содержит га спичек.
Спички расходуются по одной, причем каждый раз коробок, из которого берет-
берется спичка, выбирается случайно. Какова вероятность ц„,г того, что в момент,
когда один из коробков окажется пустым, другой будет содержать ровно г спи-
спичек? Искомая вероятность равна
(см. Феллер [21]).
(а) Используя рекуррентное соотношение (I),.показать, что
«п = 2 "»,г = 2 «„.„-г = 2 „
1=0
r=0
1 Bп\ 1 /2га — 1\ ,„ 1 1
= Т "п -(„ ) 2-2"-1 + Т tt«-i + [п - 1 j2~"n = Т и» + Т вп-1.
п получить равенства ип = un-i = ... = u0 = 1.
(b) Используя результат пункта (а), показать, что среднее для вероятност-
вероятностного распределения {в»,г}, определяемое формулой
»\ (»)=s г%, = s (»- '> (" tг) 2~п~т>
Г=() г=0 \ '
можно представить в виде
(с) Показать аналогичным образом, что второй биномиальный момент, опре--
дсляемый равенством

40
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
можно представить в виде
+V-'-Bn)-(»-i)(»+i)S1/B+1+r
в2 (»)
i — г \ / в +
2
Х2~п-
2я + 1
»+2\»^а/» + 2-
2
= (л + 2)-2(л + 1)
Следовательно, дисперсию распределения, определяемую формулой V(n) =
= 2В (п) + т1 (п) — т^ (в), можно вычислить по формуле V(n)=2n — 3m (л) +
+ т»(я).
(Иптересно отметить, что для третьего бппомпального момента Вг(п), ко-
который определяется аналогично 5г('г), оказывается верным равенство 353(и) =
=» 2(л + 6)го|(л) —In.)
(d) Обозначим через Uп (х) = ~S\ un rxr производящую функцию для ве-
вероятностей ип,г. Показать, что
Bх - 1) Un (х) = Л'„_1 (х) + 2 (х - 1) ^"JT
откуда получить, что производящая функция для биномиальных моментов
В (х\ п) = 2 5ft (в) xfe = ?/n A + ж) удовлетворяет соотношению
A + 2т) Л (ж; в) = A + xf В (х; п — 1) + х Bп) 2~2п
\п 1
и что для А-го бинолшального момента 5а (в) справедливо рекуррентное соот-
соотношение
Bh {n) -r 2Bh_x (n) -
Bh (п
,_1 (я -
,_2 (В -
2л'
2-2пбя1.
Проверить, что результаты пунктов (Ь) и (с) удовлетворяют этому рекур-
рекуррентному воотношению.
(е) Пусть в некоторый момент в одном из коробков впервые осталось ров-
ровно к сплчек, к = 0, 1, ..., п. Производящую функцию для вероятностей распре-
распределения спичек в другом коробке обозначил! через Un (x; к) (Un (x; 0) =
= и„(х)). Показать, что
Un(x, к) =xkUn-.h(x).
8. (а) Показать, что
Воспользовавшись взаимно обратными соотношениями, получить тождество
г—m+h
(Ь) Используя пункт (а), показать, что
ЗАДАЧИ 41
Воспользовавшись взаимно обратными соотношениями, получить равенства
(Последний переход делается с помощью пункта (а).) Заметим, что мы вновь
получили соотношение Вандермопда.
(с) Показать, что
удовлетворяет соотношениям
an(m, — 1) = an(m,
Доказать, что
Показать также, что
(n
an(m — 1,-1) =
«n (m — 1, — 1).
,-2к
откуда получить соотношения
[m'2] /„ о . p/
«„ К - 1) = 2 2j m _ 2k
9. (а) Рассмотрим сумму
Используя одпо из соотношений
н равенства 5no = li Sn\ = — (n — 1), показать, что
я-2-
m
— 9i-m V f
(b) Дополнительной к сумме, рассматриваемой в пункте (а), является
сумма
n / \ n—m—1
т _ V I t\h I 1_ V Г <\ft+m+l
h=m+l ^ ' fe=0

ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Получить отсюда тождоства
Т
•о.
Последнее тождество можно упростигь, заменяя т па т — 1; в этом случав
п — \
т —
Заметим также, что Г„„ = (-1)», Г„, „_, = (-1)»-'(л - п
10. Показать, что
2п —
п
« = 1,2,...,
V
= » B» + 1) 22"-1 _ BB
« = 2, 3,
-^.1). « = 2,3
2) 2—-(n
ЗАДАЧИ
11. (а) Показать, что
43
(b) Показать, что
/л
(с) Показать, что
м
— 2 ,f Г"~
L 2
12. Рассмотрим следующие суммы:
" In — k\lk \ "
апт= li I т }[т ' bnm= Z
Пре;кде всего отметим, что ап0 = п + 1, Ьпй = 0, а1п,п='Л,
k \
m — 1 '
Ьг„, п
о о
Вывести рекуррентные соотношения
I» = "n-l, m + Ьц-1, т, ™, = 1,2, . . .,
bum = ''ti-i, m + вп-1, т-1, "I = 1, 2, ...
Доказать тождества
^ (п-к\Ш
2;п[ )[
Ъп
13. Обобщение задачи 12. Рассмотрим сумму
к\1 к
Получить рекуррентные соотношения
апт{р) = а„_1, m(p) + an-i, m-i(p +
= an-i, m
1).
*) [л-] обозначает целую часть числа х.

ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ЗАДАЧИ
45
Из этих соотношений и тождеств задачи 12 получить тождество
«4-1
Заметим, что для величины Ьпт из задачи 12 справедливо равенство &„„ =
= апт (—1).
14. Используя формулу свертки Ваидермопда и тождества аадачи 13, по-
показать, что
В частности, показать, что выполпяются соотпошеппя
2m + 1\/л 4-A1
2k Д 2m
2/п + 1\/л + <
2m
/
n /2л -f
Полученные соотношения показывают, что величины .-> | и
Bт+1)-'( " I удовлетворяют рекуррентному соотпошенню из примера 8,
а именно
t
n
( \
mh \ 2m Г
Заметим, что в первом случае in = 2fe + 1, в то время как во втором
thh = B4 + I) и, таким образом, общее решение рассматриваемого рекуррент-
рекуррентного соотношения дает два тождества:
'2л
2т
= V B^ + D2
SB + * + l
(От + 1)
-1
о
т-к
15. (а) Показать, что суммы вида
L " ) (*).
Кт (р) = 2 L +" _
["'+2Р~1|, р = о, 1,....
L J
удовлетворяет рекуррентному соотношению
Ъпт(р) = f»n-l, m(p) + 6n-l, m(P + 1) = 6n, m(p —2) + Ьп, m_i (p — 2) =
= 6n-l, m(p) + &„_!, n,(p — 1) + !>n-i, m-l(p — 1).
Используя полученные соотношения, доказать тождество
Ь„,„ (р) — 26„_|, ш(р) — Ь„_2, m-l(p) == 0.
(Ь) Положим р = 0. Проверни, что
Ьпт(О) = 0, п = 0, 1, ..., 2т.,
bjm + l, т @) = 1,
вывести равенства
"„„ (°) = 26n_ll0 @)
= 2»-1, « = 1.2,...,
Используя эти равенства, показать, что
Ьпт A) = Ьп+ит @) - Ьпт @) =
@) = | ^
(i.
— („ 4- 1 — 2га) (ге — 2т) °пт ^' — 4 (л + 1 — т) (п — т) "п+2,
Доказать, чго в общем случае выполняется соотношение
— 1 —/л\—
/ )
— 1 — 2fc
Заметим, что 6n0(p) = 2"-1, bnm(p) =0, re < 2m + 1 — p, b2m+i-j>, m(p) = 1,
и из последнего равенства следует
(с) Обозначим через fmp сумму, стоящую в правой части приведенного
выше тождества. Показать, что
h (т\ 12т — 27Л _
Jmp -г /,п_1)Р_г = 2j (~ *) ^р J у р — 2к J -
== 'т—1,р "Т" "Лп—1,р— 1 ~Г *т—г,р— 2,
откуда вывести соотношение
jmp = /m— I, p + 2/m —I, P-I-
Последнему соотношению удовлетворяют величины /тр=2р| I. Заметим,
что при т = р полученное тождество может быть также записано в виде
16. Используя результаты задач 14 и 15, показать, что
-„5 (--') '¦•«•'1"-"»-
„5

40
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Особо отметпм частные случаи:
12п +
\ 2т
т + 1 (
FTT1
/А 2т + 1 (т "Ь к
2F1
2т
h=0
17. Используя производящие функцип для полиномиалыгых коэффициентов
(или .каким-либо другим способом), показать, что полиномиалышм обобщени-
обобщением формулы свертки Вандермонда является формула
где /, + ... + /m = р, к, + ...+ fera = п.
18. Используя соотношение A7), записанное в форме
гЛ„(т, У, р — I, q) — Ап(х, у; р, q) — nAn-i(x + 1, у; р, q),
получить равенство
xh (х + if'1 ... (х + к - 1) Ап (х, у; р - к, Ч) =
2
j=o
п_} (X + j, ,j; p, q).
Показать, что
aki(x) = (x+l) ...
''-I),
i),
+1) =Хь-Чх
Используя эти рекуррентные соотношения и соответствующие граничные
условия, получить равенства
«*1(i) = (i + 2)M(i + 3)»-!... (*+1--1)[(г+1)'-4 ft = 2, 3, ..., ь
ап(х) =1 = (ж+1I-г1.
Для к ~$s j положим
ahl(x) = (x + / + l)*-i-i(x + / + 2)"~i-2... (ж + /с - i)bhj{x),
пкк(х) — Ъкк(х).
Вывести отсюда рекуррептное соотношеипе
Ьы(х) = (x+l)... (x + /)uft_J,i + ^*-1bl,-,,J_1(x+l).
Пусть bj (x, у) = 2 !>ftj (x) I/ 7. Доказать тождества
М*. у) = [
bj(x, у) = (
ЗАДАЧИ
47
I —
В частности,
Ь^*,у) = ~Y {(x + I) (x + 2) [I ~ (z-[-\) (x + 2) y}-
~ 2x (x -i- 2) 11 - x (x -;- 2) y]~l -f л (x + 1) [1 - x (x + 1) y\~l)
{(х + 1) (х + 2) (х + 3) [1 -
(* + 2) (х + 3) у] х -
- Зх (х + 2) (ж -Ь 3) |1 - х (х + 2) (* + 3) уГ1 +
+ Ъх (х + 1) (* + 3) [1 - * (* + 1) (* + 3) J/1 -
- х (х + 1) (х + 2) [1 - * (* + 1) (* + 2^  '>•
Замечая, что первый множитель равен «„(*)//!, представить общий резуль-
тат в виде
где
-«(х+г-1)ь и таким образом,
i=o
Отметим частные случаи:
bkl (x) = (х + 1)" - **•
*,., (*) - Т {«* +D(* + 2)]" - 2 '^ + 2) Т)Л~1 + f(* + " X]k'l}'
, , ч _ хг (х + 1) f [(х + з) (х + 2) (х + 1Iк"» - 3 [(ж + 3) (х + 2) ж]Л -« 4-
"кз \х' g l
+ 3 [(х + 3) (ж + 1) ж]4 - [(ж + 2) {х + 1) ж]4}-
Заметим также, что «„(*)-«„(*)-1 - 1 - 0; » рекуррентных соот-
ношений для akj следует
2 %
Заметим, наконец, что применение этих результатов дает возможность по-
получить много тождеств и, в первую очередь,
хАп(х, у; —1, 0) =4„(*, у; 0, 0) - п4„_,(ж + 1, у; 0, 0)
или, что то же самое,
(* + У + л)" = (ж + у + п +а)" — п(х + у + п + а)", а" *¦ а» = к\.
Последний результат легко получить, воспользовавшись равенством (п)* =»
= п(п — l)/,_i. Из тех же результатов следует равенство
*¦-(* + 1)Ап(х, у; -2, 0) =- х(х+1) [Ап(х, у; -1, 0)-
— п4„_,(ж + 1, у; —1, 0)] =- (ж+ 1L„(ж, у; 0, 0)—
-лBж + 1)Л„_1(ж + 1, у; 0, 0) + п(я-1)хЛп_,(ж + ^ у; 0,0),

48
ГЛ. 1. РККУРРКПТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
откуда можно вывести
(х + 1) (х + у + п) » — пх(х + у + п) »-' = (х + 1) (Л + у + п + а) » — .
—пBх + I) (х + у + п + а)"-] + п(п — 1)х(х + у + в + а)»-2."
19. Корневые деревья. Рассмотрим Я„ (т) — число корневых де-
деревьев с п различными (помеченными) вершппами и т ребрами, выходящими
из корня. Из формулы, приведенной в [51], следует, что
тШп (т) = п (R + . . . + Л)", Rk^Rk = kh~1,
(член в скобках содержит т слагаемых). Показать, что
= О
m)]l
где к)Ф01 /==1A)щ, к\ + ... + кт = п—1, и, следовательно, в обозначе-
обозначениях C0),
m\Rn (m) = и (в - l)m
- 1 - «5 *2 -
*m _ 1) Д к)}
)т??_1_гп(,...I;_1,...,-1).
Заметим, что Ап-\-т имеет т параметров. Используя C6), доказать тож-
тождество
тШ„(т) = (n)
( )
или, что эквивалентно, Rn (т) = п I ^ j (n — i)"-*-.
Величина Т„(т) = n~lRn (m), очевидно, является числом различных де-
деревьев с п различными вершинами, в которых выделенная вершина (корень)
является вершиной т-й степени (т. е. эта вершина инцидентна т ребрам].
Формула
приводится Кларком в работе [17]. Заметим, что из этой формулы легко полу-
получить формулу Кэли для числа Тп — различных деревьев так как
фрмул
различных деревьев, так как
m=l
20. Используя соотношение C2) н полагая х — х\ + ... + хт, доказать,
что
xiAn(xi, ..., хт; —1, 0, ..., 0) = ?
= Ап(хи >•., хт; 0, ..., 0) — пАп-\{х\ + 1, х2, ..., хп; 0, ..., 0) ==
=- [х + п + а{т — 1)]п — п[х + п + а(т — I)]" = [х + п + а(т — 2)]п,
Для этого воспользоваться соотношением
[х + п + а (т — 1)]п — п [х + п + а (т — I)]™ =
= [х + л + а (т — 2) + а]п — п [х + и + а (т — 2) + а]п =
= [« + п + а (т - 2)]" + J J^
aft - в
I J j aA_jj [г + и + о (m -2)]"-fr
ЗАДАЧИ
п тем, что выражение п скобках под знаком суммы обращается в нуль. Полу-
Полученные соотношения согласуются с тождеством C7). Далее показать, что
х,ж2Л„(а:1, ..., хт\ —1, —1, 0, ,,., 0) = [х + п + а(т — 3)]",
и по индукции доказать равенство
(х, ... xk)An(xu ..., хт; —1, ..., —1, 0, ..., 0) = [х + и + а(га — к — 1)]п
(р, = ... = pk = —1, а остальные р в Ап равны нулю). Заметим, что при
к = т это равенство согласуется с формулой C6), если положить ао(—1) = 1,
oi(—'•1)=—1, и с соотношениями ехр (а(—1) = (ехр (а) = 1 — *, так как
(х + п)п — в(.т + п)"-1 = х(х + п)п~К
21. Пола1лая в формуле C3) Pi = ... =Рн = 1, p*+i = ... = Ph+j = —1,.
pk+j+i =. ... =рт = 0 и используя результат задачи 20, показать, что
Л,.(¦*!, ¦•., хт; 1, ..., 1, —1, ..., —1, 0, ...,0) =
22. Формулу (9):
(pK") = i\ ч }\i)\P
при р = q = к можно записать в виде
(?J= 2^ (в, А),
\ / з—о
где
(а) Показать, что
к А.(п,к)
п - к\ [к - /
i-/
Получить отсюда соотношения
= 2
,-S» (п — А — Л! (* — /)!Л3
j=0'
л-2/
Х -
Последнее тождество встречается в работе [23]. При i = -l, n »= 2р по-
получаем известную формулу Диксона (см. [19])
у Bр + Л
ЙЯ3Bр-
Дж. Риордан

•SO
•Очевидно, что
2 (-1)"^'ft' ")=О.
При х & 1 получаем соотношение
ГЛ. 1. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
¦которое появляется в [45], т. 1, с. 122. Прп х == —1/2 выражение принимает
Zi ( 1> [к
(b) Точно таким же образом показать, что
) jS
где
anj ~
«откуда, в частности, следует
«Ti\M
I
an = Н- Зл + Зге2.
ГЛАВА 2
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
2.1. Введение
Примеры взаимно обратных соотношений, изучению которых
будет посвящена эта глава, уже дважды встречались в первой гла-
главе. Во-первых, это простейшие в своем роде соотношения
Второй пример — это соотношения
Первая пара взаимно обратных соотношений, по-видимому, бо-
более известна в следующей, «тривиальной» форме:
„» = (*+ 1)" = S (а) ^- ^ = (У - 1)" = S (~ l)B+fc (I)Ук- Aа>
Тем не менее, как мы это увидим в следующем разделе, все-
всестороннее их изучение представляет интерес с различных точен
зрения и в ряде случаев приводит к неожиданным результатам.
Взаимно обратные соотношения оказываются полезными при
изучении комбинаторных тождеств по разным причинам. Во-пер-
Во-первых, для каждой пары взаимно обратных соотношений существует
соответствующее ортогональное соотношение, которое само по себе
может служить источником получения одного или нескольких ком-
комбинаторных тождеств. Во-вторых, как было показано в гл. 1, для
каждого тождества, которое можно представить в форме одного из
тождеств, образующих пару взаимно обратных соотношений, суще-
существует соответствующее ему обратное тождество (которое, однако,,
может и совпадать с исходным). Если наше тождество уже доказа-
доказано и прп этом отличается от своего обратного, то тем самым уже
получено еще одно (обратное) тождество. Если же необходимо до-
доказать некоторое тождество, то у нас появляется выбор: доказать
само это тождество или обратное к нему, может быть, доказатель-
доказательство обратного тождества окажется проще. И, наконец, конкретный
выбор значений параметров в данной паре взаимно обратных со-
соотношений может также служить для получепия новых тождеств;,
при этом выбор параметров может быть подсказан выбором мето-
метода доказательства обратного тождества. Для полного использования
всех этих возможностей желательно иметь как можно более-
4*

52
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
обширный и разнообразный список пар взаимно обратных соотноше-
соотношений. Некоторая работа в этом направлении будет проделана как
в этой главе, так и в следующей за ней. Несмотря па то, что нами
будет получено большое количество самых разнообразных тождеств,
имеющих заведомо различные источники, остается трудным опре-
определить степень их разнообразия, которое на первый взгляд ка-
кажется несколько меньшим, чем есть на самом деле. Во всяком слу-
случае, их разнообразие неисчерпаемо.
Коротко содержание настоящей главы таково: в следующем раз-
разделе детально изучается пара взаимно обратных соотношений A);
при этом мы будем стремиться показать изменчивость внешних
форм соотношений такого типа. Это в свою очередь облегчает полу-
получение различных обобщений пары взаимно обратных соотношений
B), которыми мы займемся в последующем разделе. И, наконец,
два последних раздела этой главы будут посвящены так называе-
называемым парам взаимно обратных соотношений чебышевского и ле-
жандровского типа. Как уже упоминалось ранее, эти исследования
будут потом продолжены в третьей главе.
2.2. Простейшие взаимно обратные соотношения
Как уже отмечалось в гл. 1, наиболее важной характеристикой
пары взаимно обратных соотношений является ортогональное соот-
соотношение, соответствующее этой паре. Оно находится подстановкой
одного из соотношений, образующих рассматриваемую пару, в дру-
другое. Если второе соотношение пары A) подставить в первое, то
мы получаем
Следовательно, соответствующее ортогональное соотношение
имеет вид
!
C)
где 8„% — символ Кропекера. С другой стороны, ортогональное соот-
соотношение можно использовать для получения пары взаимно обрат-
обратных соотношений; так, в гл. 1 соотношение C) было использовано
для нахождения пары A). Заметим, что в силу C) пара взаимно
обратных соотношений A) и ее «тривиальная» форма Aа) имеют
один и тот же математический смысл.
Заметим также, что простая подстановка может придать паре
взаимно обратных соотношений совершенно другой внешний вид;
например, подстановка Bh={ — l)kbk приводит к соотношениям
Вп = 2 (-
ah;
лишь во втором из них остается знакочередующийся множитель.
2.2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
53
Пусть задана матрица А = (afj), i = 0, 1, ..., / = 0, 1, ..., а А~1 —
ее обратная матрица: А'1 = (а«), где АА~* = А~ХА = /; / — единич-
единичная матрица (неопределенного размера). Тогда из соотношений C)
следует, что при
элементы обратной матрицы а,ц определяются равенством
Таким образом, коэффициенты в паре взаимно обратных соот-
соотношений являются элементами взаимно обратных матриц. Эти ко-
коэффициенты образуют числовые таблицы; так, например, в рассмат-
рассматриваемом случае мы имеем
I 1
II -11
12 1 1—2 1
13 3 1 —1 3—3 1
Такие числовые таблицы обычно не рассматриваются в каче-
качестве математических объектов. Если же эти таблицы заключены в
скобки, то это означает, что их предлагается рассматривать как
матрицы. Известпо, что транспонированная матрица А* (матрица,
в которой строки заменяются иа столбцы, а столбцы — на строки,
* — знак транспонирования) в качестве своей обратной матрицы
имеет транспонированную обратную матрицу:
U*)-' = U-1)*.
В рассматриваемом случае таблицы коэффициентов после транс-
транспонирования принимают вид
1111 1—11—1
12 3 1—2 3
13'" 1 -3 '"'
1 1
Коэффициенты этих таблиц являются коэффициентами следую-
следующей пары взаимно обратных соотношений:
„ „ 2(D
h=n
Верхний предел суммирования опущен, так как он может быть
произвольно выбран конечным или бесконечным. Равенства D) яв-
являются соотношениями, связывающими биномиальные моменты (я„)
и вероятности (Ь„) некоторого дискретного вероятностного распре-
распределения, и, как правило, их не связывают с соотношениями A).
Заметим, что производящая функция a{t)=2juntn связана с со-
соответствующей производящей функцией bit) соотношениями a{t) =•

54
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
2.2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
=«ЬA + 2) пли ait — 1) = bit), которые являются хорошо пзвест- >
иыми соотношениями, связывающими производящую функцию би-
биномиальных моментов н производящую функцию вероятностей дис-
кретного распределения. Заметим также, что соотношения D) вы-
вытекают из C) и очевидного тождества 6nft = 8кп. И, наконец, если
в D) положить верхний предел суммирования равным р и обозна- *
чить ар~п через А„, а Ьр-п — через Вп, то мы получим соотношения
V (р ~ к
Я —
\k+n
Z
k=--0
. 1
или, переходя к обычным обозначениям,
(Р I 3 Ьк, Ъп = 2
h=0
«« = 2 (РР I 3 Ьк, Ъп = 2 (- 1)*+" (p I *) ah. Da)
ft=0 ^ ' h=0 \ '
Соотношения Dа) образуют пару взаимно обратных соотношений,
имеющихся в работе 158].
Аналогично, соотношения C) и тождества
приводят к соотпошенням
E)
Соотношения E) использовались в работе [12] и связаны с мно-
многочленами Лагерра. В самом деле, если Lvn (x) — обобщенный много-
многочлен Лагерра, определяемый равенством n\Lft(x) = ехх vDn (е~ххп р),
D = dldx, то имеет место равенство
Перенося в E) знакочередующийся множитель из одного соот-
соотношения в другое, получаем обратное соотношение
Заметим, что для целых положительных р матрицы коэффици-
ептов для соотношений E) при отбрасывании первых р столбцов
совпадают с матрицами коэффициентов для соотношений A); транс-
транспонируя их, мы получаем матрицы коэффициентов, соответствую-
соответствующие соотношениям F).
Так как соотношения E) могут быть также записаны в виде
п\Ь
п\ Ida,
+
Eа)
то становится ясно, что эти соотношения в сущности не отличаются
от соотношений AЬ), а значит, и от A). Тем не менее внешне они
выглядят совершенно иначе, и это наводит на мысль другого их
применения, как это будет проиллюстрировано в следующем при-
примере.
11 р и мер 1. Положим в E) Ьк — хн и перепишем соотношения
E) в виде
ап (х; р) = 2
2 [к
х"- 2j —
Тогда из основного рекуррентпого соотношения для биномиальных
коэффициентов находим
а,Лх; р) = а„(х; р — 1) + ап-,{х; р), п = 0, 1, ...
Если положить а (ж, (/; р) =2вт> (г; 73) J/"» то получим соотношение
A - у)а(х, (/; р) = о (ж, у; р - 1),
последовательное применение которого приводит к соотношению
(i-ij)pa(x, у; р)-а{х, у; 0) = [l ~(i +х)у\~1.
Следовательно, справедливо равенство
а(х, у; р) = A - у)-1 -A + х)у}~\
Разложение правой части этого равенства приводит к тождеству
\
A + X)
п-к
С другой стороны, используя определение ап(х; р), можно, по-
получить тождество
В частности, справедливо соотношение
обратным для которого является соотношение

56
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
ИЛИ
N ' Ь—п \ / ' I У
Этот результат уже приводился в задаче 5 гл. 1. Кроме того, раз-
разлагая рациональную дробь в правой части равенства
на простейшие дроби, находим
аA,у;р) = 2рA-2уГ1
и, следовательно,
а ({• р) = 2р+п У 9p~h
Из обратного соотношения
следует равенство
?
A
(Тождественные преобразования, используемые для получения про-
промежуточных выражений величины а„A; р), легко сводятся к три-
тривиальным тождествам.)
Вновь возвращаясь к матрицам, заметим, что из равенства
АА~1 — А~1А — I следует равенство АРА~Р = I. Таким образом, сте-
степень матрицы в качестве своей обратной имеет соответствующую
степень матрицы, обратной А. Пусть Ар = (а,Др)). Тогда
{Р) = 2 aih (р - 1) (*
= р1~>
± 1, ± 2, ...
Таким образом, никаких существенно новых пар взаимно обратных
соотношений при этом не появляется.
Наконец, поучительным примером служат так называемые чис-
числа Лаха, введенные в [43]. Эти числа являются коэффициентами
2.3. ОДИН КЛАСС ВЗАИМНО ОБРАТНЫХ СООТНОШЕНИЙ
57
пч в выражении
к—О
'-'nh {x)k,
где (x)h = xix — 1) ... (ж — к + 1) — убывающий факториал *). Ясно,
что обратным соотношением является
п
{х)п = ZJ Ьпк (— ?)й>
так что
i=h
Известно (см. [51], гл. 2, задача 16), что
Ьпп = 6П„,
Следовательно,
Ьпп = 6П„, Lnh = (- 1)" ^ [к I!). к = 1 A) я, п = 1, 2, ...
i(\JL(
п [j-ij к\ [к-I
Последнее преобразование получается из соотношения C). Таким
образом, ортогональное соотношение остается ортогональным, даже
если обе его части помножить на множитель F(n, к) такой, что
F(n, п) — 1, a Fin, к) Ф °° при п Ф к.
В табл. 2.1 приводится несколько простейших пар взаимно об-
обратных соотношений, полученных ранее.
2.3. Один класс взаимно обратных соотношений
Пара взаимно обратных соотношений B), а именно
а = if P )h Ь = У\( ~Р)ак
является частным случаем целого класса взаимно обратных соот-
соотношений, полученных в [29]. Эти соотношения можно представить
в виде
F(n)= 2 (-1) U п )/(*),
*) См. примечание к с. 11.

58
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
Заменяя а па р, Ь — на q, F(n) — на а„ и полагая 6"=^ п v'j/(re),
запишем указанные выше соотношения в виде
G)
Тогда соотношения B) стаповятся частным случаем соотношений G)
при. q = 1.
Нетрудно получить тождество
+ qn —
— к fp-j-qn-
п — к
\ f
= ( п-к )-Я[ n-k-i
которое оказывается полезным при доказательстве ортогонального
соотношения для пары G). Так как паре взаимно обратных соот-
соотношений вида an=j>janhbui bn—j?jbnitah соответствуют ортогональные
соотношения б„т == 2 ап/Ат = 2 Ь„пакт, то в нашем случае ортого-
ортогональное соотношение имеет две формы записи:
2 п-к ( fc-m J-*l A-m-1
h=m
Р + «7* - fe
к -
к~п
¦ (8)
Запишем первую форму в виде бПт = /Пт + 9^пт, где
' — 1)т,
h=m
j—о
k-m-l
Тогда /0W, ?) = 1, 1№, q)=A-(A + q) = -q.
Общее равенство /nU, 9) = C-g)" легко доказывается с помощью
разностных операторов. Положим
2.3. ОДНИ КЛАСС ВЗАИМНО ОБРАТНЫХ СООТНОШЕНИЙ
59
•тогда в силу того, что
(А + qi -
+ qi -)\(A+ qj\ (n\(A+ qj\
и-* )[ / j^Wl » j'
получаем
. • • + 11"Дв (j) =
- A - Ь'!')г' (?) = (- 1)"
Следовательно, для п Ф т б„„ = (—q)"-m + q{—q)n~m-1 = 0, в то вре-
время как при п — т правая часть (8), очевидно, равна единице.
Заметим, что из приведенного доказательства дополнительно вы-
вытекает тождество
Соотношение, обратное для этого тождества, следует из соотношений
Гоулда и имеет вид
(Р + qn
qk — к (Р + V" — Л'
что можно проверить с помощью тождеств, легко получающихся пз
соотношений G).
Аналогичным образом, вторая формула ортогонального соотно-
соотношения (8) может быть записана в виде 6nm = Fnm + qGnm,
n^l(- A-HI- q) (n - m) -i\(A\ ({i - q) (n - m) — 1
q{n-m)
)
(Здесь предпоследнее преобразование вытекает из равенства
1 т I — i— 1I т )> а последнее — пз формулы свертки

ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ С
Вандермонда). Кроме того,
к —т.
Таким образом, qGnm = (—l)Fnm, n?*m, что и доказывает ортого-
ортогональное соотношение.
Для пары взаимно обратных соотношений G), так же, как и в
случае простейшей пары взаимно обратных соотношений, соответ-
соответствующие коэффициенты образуют треугольные матрицы. Транспо-
Транспонированные матрицы также являются треугольными и приводят к
новым («перевернутым») парам взаимно обратных соотношений
2(p + qn — n
и_ { к-п
(9)
k-n
ah
ИЛИ
fp+qn— n
bn+h,
X h P ~\~ Qn — n
Ъп = 2d (— 1) p-^ qn — n-\-qk
h=0
I an+k-
Другая разновидность соотношений G) получается следующим
образом: домножим каждое соотношение на р + qn — n и положим
Ап = (р + qn — п)ап, Вп — {—{)п{р + qn — п)Ъп, так что
дп-п
Заменяя р на р + 1 и переходя к обычным обозначениям, полу-
получаем пару взаимно обратных соотношений
(P + Ф — к
q[n-i-k
Gа)
2.3. ОДИН КЛАСС ВЗАИМНО ОБРАТНЫХ СООТНОШЕНИЙ
Она также имеет «перевернутую» форму, которую из экономии ме-
места мы здесь не приводим и которая уже встречалась в табл. 2.2.
Пример 2. Тождество, появляющееся при доказательстве вто-
второй записи для ортогонального соотношения (8), может быть пере-
переписано в виде
o
п-к
Это частный случай второго соотношения из Gа) при ап — (А Ьп=
= (—1)"L )• Следовательно, из первого соотношения Gа) получаем
Я не знаю прямого и при этом достаточно простого доказатель-
доказательства тождества (*). Конечно, предположив, что тождество (*) спра-
справедливо, и заметив, что сумма в правой части не зависит от q, при
q — 1 получаем следующее элементарное тождество:
которое уже встречалось в гл. 1.
Косвенное доказательство этого тождества можно провести сле-
следующим образом. Положим
o
Тогда тождество (*) эквивалентно тождеству
sn iP, q) = [п) — Ч*п-х {р, q).
Итерируя его, находим
snip, я) = S („!*)(-?)*.
С другой стороны, используя свертку Вандермонда, получаем
2
Последний переход осуществляется в силу того, что Д@, q) = (— q)k,
где fn(A, q) — сумма, появляющаяся в первом доказательстве

62
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИИ I
ортогонального соотношения для пары взаимно обратных соот-
соотношении G). Заметим также, что в силу B) имеет место тожде-
тождество
(-</)"= 2 (,ГЛк (/>,</)•
2.4. Взаимно обратные соотношения чебышевского типа
Классическая пара взаимно обратных соотношений чебышевского
типа получила свое название ввиду тесной связи входящих в нее
соотношений с многочленами Чебышева Тп{х) = cos (ггб), cos0 = a:.
В наших обозначениях она имеет вид
fe=O
а»-
где ln/2] означает целую часть от п/2.
Заметим, что знакочередующийся множитель может быть пере-
перенесен из второго соотношения в первое с помощью подстановки
Ап — (—1)та„, #„ = (—l)mbn, m = ln/2J. Связанное с этой парой ор-
ортогональное соотношение может быть легко доказано само по себе,
но будет полезнее (п в духе Чебышева) получить прямое доказа-
доказательство соотношений A0). Если
(заметим при этом, что Ьв(х) = 1, Ь„(х) = 2Тп{х/2), п == 1, 2, ...),
то достаточно показать (так же, как и в случае простейших взаим-
взаимно обратных соотношений), что
Вначале отметим, что
X
п - к -2
к — 1
n - к - i
x =
A:-2
2 (х), « = 3, 4,
или
ebnU) = bn+l{x) + bn_,U), /г = 2, 3, 4, ...
A1)
Ho xba(x) = ЬДж), так что xb^x) — Ъ2{х) + 2Ь0(х) — соотношение, до-
дополняющее A1).
2.4. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЧЕБЫШЕВСКОГО ТИПА 6»
Пусть теперь х" = 2аплЬп-2й (я)- Тогда
= 2 а ^
Vi , , . vi
— 2j {a2rn,k
так что
U2m+1, h — «2т, к i "am, h—1> п, = U,
Аналогично получаем
т т — \
2П1 VI и I \ "V U
в, значит,
агт, К = a2m-l, я + «2m-i. *-i, & = 0, 1, . . ., /« — 1,
йат, m === ^^2m—1, m—1.
Из этих рекуррентных соотпошений и граничных условий 1 =
•=йо(ж), ж=Ь,(а:) получаем, что апА=Ы, и, следовательно, соотно-
соотношения A0) доказаны.
Пример 3. Другое доказательство соотношений A0), получае-
получаемое с помощью производящих функций, достаточно поучительна
и информативно. Во-первых, обозначим
Тогда рекуррентное соотношение A1) вместе с соотношением
xbt{x) = Ь2(х) + 2Ь,(х) показывает, что A — ху + уг)Ых, у) = 1-у*
или
Если г/ = Bz)-ill-ri-4z2J, то y2 = y/z-l,
Следовательно,
У2) A -

ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
Положим
р„ B) = A + у2) A -
h {*) = Ро B) / = Ро (
тогда как
pt(z) =
Таким образом,
Используя эти результаты и математическую индукцию, легко
показать, что
In
= z-'Pft-j (z) - р„_2 (г), А- -2,3,...,
(^(z) - 1).
+ 1\ „*-n+\
z .
in R ,„ч ^ /2п+1\ ¦;
A 4- y2) A — y2) 1b (x, y) = *?ibh (x) p,, i
ft=O
n=0 ft=
Таким образом, получаем, наконец, равенства
2п _ » / In \ _ "
" /9„ + 1\ " Bп 4- 1
В качестве дополнительной информации о Ь„(а;) отметим, что
1 - г/2 2-х?/ , 1 , L_
Ь(х,у)
1 — ху 4 !/2 1 - 1} f J
1,
где 1 — д:у + г/г = A —УУ|)A —yyJ\ это означает, что г/,+ ?у2=^,
i/jj/z = 1, т. е. 2г/, = а: + Тат - 4, 2уг = х - }'х* - 4. Следовательно,
6.U) = 1 и Ь„ (ж) = г/," + г/?. м = 1, 2, .. •, т. е.
_ /^=4)"], m = [j], n = 1, 2,...
2.4. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЧЕБЫШЕВСКОГО ТИПА 65
В частности,
пг
— к
= 2, „ = 1,2,...
Обратное соотношение
^ = 2j [к)°n-2h{x), Ь0(ж) = 1, Ь„(.г) = у1 +уг,
h=o \ '
можно записать в виде двух тождеств:
п-1
А=0
п
1+1—2
¦Ух2-4
2л
2П+1-2Й"
Отметим, наконец, что
)"-" С"L,
(i — tuus) (I — (г 4- и) v + tuv2)'1 = 1 4- tv A — fг;) +
4- uv A - иг;) = 1 4- ^ (Г 4- un) yn.
Из этих соотношений легко получается одно очень старое тож-
тождество:
m i
/0 Ч
/1=0
i
Г1
= [2j' " =1,2, ...
Ортогональное соотношение, соответствующее паре взаимно об-
обратных соотношений A0), может быть записано в следующих двух
формах:
l n-m-A m-}
& ' \т-ч*-Л i i
Дж. Рнордая

G6
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
ИЛИ
?=0
и — / — 1
; —i
Отметим, что из формулы свертки Вапдермонда следуют соот-
соотношения
"' ., (n\(n — m—1\ S (п\ /2/ге —л —1\ Bт — 1\
2(-1У+"(,)( »-, )-S(;)( „-, ) = ( » J.
и» = 0, 1. 2, ....
-n-i\ /2m-l\
и мы, таким образом, сразу получаем доказательство первой формы
нашего ортогонального соотношения.
Для доказательства второй формы записи ортогонального соот-
соотношения достаточно оценить сумму
3=0
где Е — оператор сдвига, определяемый равенством EymJ= у т J,
а Д-Я-1.
Соотношения A0) можно записать в другой форме, если поло-
положить Ап = а„/п, Вп = Ь„/и, и = 1, 2, ...; при этом получаются со-
соотношения
Тогда, полагая 4П+, = а„, Вп+1 = Ьп, находим
«„ = |о [(I) - (* - l)] bn-ih, bn = |о (- If (" Г к) an^
m = [f ]. A2)
Эта пара соотношений связана с многочленами Чебышева Um(x) =
sinU+ I)e/sin6, cos 6= x. Здесь, как и в случае A0), зна-
2.4. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЧЕБЫШЕВСКОГО ТИПА
67
кочередующийся сомножитель (—1)* также может быть перенесен
из одного соотношения, составляющего пару, в другое. Нетрудно
заметить, что многочлен, связанный со вторым соотношением в A2),
а именно
(п — к\
т= 1-^-1,
то;кдественно совпадает с Un(x/2). Кроме того, если Ьп(х) — много-
многочлен, связанный с соотношениями A0), то
Ьп{х) = Ьп(х; 1) - Ъп-г{х; 1)
или
2Тп(х) = UJix) - Un^(x), п = 1, 2, ...
Таким образом, мы получили известное соотношение между мно-
многочленами Чебышева первого и второго рода. Весьма заманчиво при-
применить эту процедуру рекуррентио. Для этого нужно воспользовать-
воспользоваться равенствами
Ьп(х; 1) = bjx; 2) - bn^(x; 2),
чтобы получить дополнительные взаимно обратные соотношения.
Однако простых результатов такой подход не дает.
С другой стороны, определим $п(х) формулой рп(ж) + р„-2Ы =¦
¦= Ь„(х) и получим
й=о
И-
Обратным для этого соотношения является второе соотношение
из A0), в котором нужно заменить п на п+ 1:
Это соотношение легко проверить, исходя из определения $п(х) и
соотношения
п -f 1 (п + 1 — к\ п — 1 (п — к\_ п (п — к\
л + 1 — к[ к J n—lc[k — iJ~i^lc{ к J-
Повторное применение указанных преобразований показывает,
что обобщением соотношений A0) являются соотношения
V
2
A3)

68 ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
где р — О, 1, ... Аналогично находим обобщения соотношений A2):
A4)
2 (-
"^
«Перевернутыми» формами для соотношений A3) и A4) явля-
являются соответственно соотношения
„ _
«п —
п+
-г2к
A5)
ап =
(п-\-р-\
AС)
Перейдем теперь к другим обобщениям соотношений A0). Гоулд
в 1962 г. в f30] получил пару взаимно обратных соотношений, ко-
которая в наших обозначениях может быть записана в виде
2['А,
[к)Оп+Л,
ft=0
п '
an+ch,
где с — целое^ (положительное пли отрицательное) число. Заметим,
что при с < 0 рассматриваемые суммы автоматически ограничивают-
ограничиваются условиями я_„ = Ь-п = 0, п = 1, 2, ... В частности, полагая с =
= — 2, из соотношений A7) получаем соотношения A0). Заметим
также, что
п ( + + \_/ +
п + ок + А
п + ск + к —
к
In + ск -\- Аг — 1\ п
\ к — 1 ) п -\- ск
п + ск + к — 1
к
В силу того, что ортогональное соотношение для пары ап —
"° 2j an,hbn+ch-, bn = 2^n,ftan+a имеет две формы записи: б;0 ^=
"= 2 an,h^n+ftc,i-h — 2an+ftc,j-ftfen,/!, мы получаем две формы записи
для ортогонального соотношения, соответствующего паре взаимно
2.4. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЧЕБЫШЕВСКОГО ТИПА 69
обратных соотношений A7):
Если первую форму представить в виде б,-0
из формулы свертки Вандермонда получаем
— (с + Dgni, то
с> +] ~к
с/
7 = 0,1,2,...,
/=1,2,...,
что и доказывает справедливость первой формы записи данного
ортогонального соотношения.
Для доказательства справедливости второй формы достаточно
заметить, что если ее записать в виде 6JO =• Fni— (c+ l)Gnj, то
_ ъ , ,\h(})(n+ck + k)
"~й0( }иД / Je
A _ ЕС+1У (;") = (- 1)' (Ес + Е'-1 +..-+1У Л' (;п) =,
где, как и раньше, ^G)=( ,• 1, а А ¦= ? — 1. Аналогичным же об-
образом получаем, что Gnj •= (—1)'(сЧ- 1)J-'.
Если соотношения A7) переписать в виде
П
П +
П\ (п -1-
J I" т
n+Ch,
h=0 П
—li X1 /
n 6n=2j(—
то становится ясно, что эти соотношения имеют и другую форму
ваписи:
A8)

70
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
«Перевернутой» формой для пары A7) является пара
п — ск
*
I On—сЛ»
A9)
а для пары A8) — пара
n — ck\
n + i-ck-f- ' fc ' °n~c
ь»-2 (-
B0)
Так как с принимает значения ±1, ±2, ..., то знак перед с
опускается; как и раньше, знакочередующийся множитель можно
перенести по выбору в любое из образующих пару соотношений;
параметр п можно заменить на п + р, р = 0, 1, ... Соотношения
A9) и B0) при с =¦ 1 представляют особый интерес, и поэтому они
включены в табл. 2.3, объединяющую простейшие взаимно обратные
соотношения чебышевского типа. Более общие соотношения при-
приведены в табл. 2.4.
Пример 4. Проиллюстрируем, как из взаимно обратных соот-
соотношений получать комбинаторные тождества. Положим в A0) Ъп =¦
- 1, п -= 0, 1, ... Тогда
[*¦+(
271+1 ~
[*¦+(;)]•
_ „2
и из второго соотношения в A0) получаем
Примечательно, что оба полученных тождества являются видо-
видоизмененными формами тождеств, полученных в примере 4 гл. 1,
а именно
2.4. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЧЕБЫШЕВСКОГО ТИПА 71
Используя тождество
п (п — к
\ (п — к\ . (n — k — i
их можно переписать в виде
/и — /п-1.
В то же время вторая, форма записи ортогонального соотноше-
соотношения, соответствующего соотношениям A0), с заменой т на п, а п
на 2п, имеет вид
Если положить
f2"
k\Bn ~ 2к
то приведенное выше соотношение принимает вид
Отсюда получаем, что hn = 1, п = 0, 1, 2, ...
Последнее равенство можно также получить из A2), полагая
(что является очевидным тождеством). В самом деле, в силу того,
что
из соотношения A2) находим
Кроме того, заметим, что соотношения
^ 2(
2/. = Ъг + 2 = 2 (-
получаются из A2) при ап = 2", о„ =
общее обратное соотношение имеет вид
+1. Соответствующее им

72
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
Следовательно,
или
2.5. Взаимно обратные соотношения лежандровского типа
Большинство взаимно обратных соотношений, изучаемых в этом
разделе, являются видоизмененными формами взаимно обратных со-
соотношений чебышевского типа, которые изучались в предыдущем
разделе, однако вид этих соотношений настолько отличен, что они
заслуживают специального рассмотрения. Кроме того, в процессе
их изучения и будет обнаружена их связь со взаимно обратными
соотношениями чебышевского типа.
Чтобы получпть связь этих соотношений с многочленами Ле-
жандра, заметим, во-первых, что многочлены Лежандра Рп{х), за-
записываемые обычно в виде
А=0
. — к\12п~2к
n~k
х
т
-[г].
имеют и другую форму записи (Уиттекер и Ватсоп [67] приписы-
приписывают ее Р. Марфи A833)):
ft-o
fe=o
k\Bk\(x-i\k
так что
Чтобы найти взаимно обратные соотношения, связанные с мно-
многочленами Лежандра, положим, следуя [53],
Тогда р0Ы = 1, рДж) = х + 1 и
—*
n + fc-2\ /n + fr-i
n-k-l)+[n-k-l
2.5. СООТНОШЕНИЯ ЛЕЖАНДРОВСКОГО ТИПА
73
= B + ж) р„_! (ж) — р„_2 (х), и = 2, 3, ...
Из полученного рекуррентного соотношения и граничных условий
следует, что рпМ является многочленом степени п и что выполня-
выполняются соотношения
хрЛх) — pn+i(a;) — 2pn(a;) + pn~i(x), « = 1,2,...,
Если обратное соотношение записать в виде хп = 2 (— 1) " anhPk (х>>
то из полученных результатов можно получить, что
„_1, о
яп-1, й "т я„-1, »+?, ft = 1, 2, ..., га.
В качестве решения этого рекуррентного соотношения (согласую-
(согласующегося с граничными условиями) находим
_ + / In \ 2fe + l 12п + 1\ / 2п \ I 2n
п + 1 + ^ [п -
Таким образом,
2л + 1 ^л —
л — ft] \n — Л - lj"
А=0
или
Замечая, что второе из этих соотношений можно записать в виде
Ьп= h=a(—l) (и-
а из первого соотношения следует, что
" [7 л + fe\ /n
йп + Яп-1 = 2j 2ft +
— 1
2/с
получаем пару взаимно обратных соотношений, связанную с B1):
(" t/) 2 ( )Л+П (
Для того чтобы показать, что полученные взаимно обратные со-
соотношения в сущности являются соотношениями чебышевского

74
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
" ь Г/2п\ [ 2п \\
ft=0 1Л / \ /J
типа, запишем B1) в виде
" Bп — к\
«п=2 к б»-*,
Эти соотношения в точности совпадают с соотношениями A2), если
в них га заменить на 2га, а2п — на (—1)"В„, &2п — на (—1)М„ и, на-
наконец, положить Ап es а„, 5„ s fcn. Лежандровским аналогом соот-
соотношений A2) (с заменой га па 2га + 1) является пара
"'
Только что полученная пара взаимно обратных соотношений
вместе с соотношениями B1) являются частными случаями (для
р ¦= 0 и р = 1) соотношений
» [п+р + к\ " ,,, \[2п+р\ (
вп-SI п-к К ъп= 2 (-1)к+п\[п-к j-L
B3)
которые можно вывести из соотношений A4) точно таким же мето-
методом, каким B1) было получено из A2).
Вообще, класс чебышевских взаимно обратных соотношений вида
где с — простое число, при подстановке сп +р вместо га, Ап вместо
a-cn+t, Вп вместо bm+r порождает пару взаимно обратных соотно-
соотношений типа Лежандра — Чебышева:
Ап = 2 -^cn+p, hBn~h, Вп — 2 (— 1) ^cn+p, hA-n-h
или, при подстановке /с вместо п — к, пару
hBh B = 2{1) "S Л
Если же с — число составное, то появляются и другие возможности.
Пусть, например, c — d-e; заменим п на dn + р, cidn+р — на А„,
ЬЛп+р — на Вп. Тогда
Ап =
n = 2 (—
, hAn-eh-
Например, при с = 6 из взаимно обратных соотношений чебышев-
ского типа получаем
У (
= Zi U
- 5k
Зи-5Л-1
ЗАДАЧИ
75
/2n - 5A- -
an — 2j I к
где m = lra/2J, p = [ra/3].
Подобные результаты не включены в приведенные таблицы, так
как таблиц явно недостаточно для того, чтобы отразить характер
и разнообразие подобных соотношений. Еще две простые пары
соотношений подобного типа можно найти в табл. 2.5, в которой
приводятся простейшие пары взаимно обратных соотношений ле-
жандровского типа. В табл. 2.6 приводятся классы взаимно обрат-
обратных соотношений типа Лежандра — Чебышева,
Задачи
1. (а) Запишем простейшую пару взаимно обратных соотношений в виде
ft-o
Показать, что при соответствующем переопределении величин ап и Ьп справед-
справедливы следующие взаимно обратные соотношения:
~к\ ""-"'
(b) Из полученных соотношений вывести две пары взаимно обратных со-
соотношений:
п " .,ь
2" JU к\
fe=0
п
V 1
1 В
k]
2П-2А'
(-1)"
2 1 „
В
ft—о
2П+1 .^ "¦ д.|
ft=O
и в качестве следствия получить из них пару взаимно обратных соотношений
ft=O ft=0
(с) Обобщить результаты пункта (Ь) и вывести для целого положительного
с следующую пару взаимно обратных соотношений:
'" г.
1 V^ (— 1)
ft=O
и
Переопределяя величины ап и Ь„, получить пару взаимно обратных соот-
соотношений
- V п\

76
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
(d) Определим полиномы Эрмита Нп(х) с полющыо следующего тождества
для экспоненциальных производящих функций:
Показать, что
exp Bxt — I2) = ехр Ш(х), //»(х) = 11 ^ (*).
и с помощью соотношений, полученных в пункте (Ь), вывести обратное соот-
соотношение
m
"w ^ ' fc!(n 2/И '
2. Полагая 6* = ж* в соотношении Dа) и учитывая, что р =0A)ге— 1, по-
получить соотношение
Проверить справедливость обратпого соотношения
3. Рассмотрим ряд (обобщающий [57], с. 56)
Показать, что выполняются тождества
л — V—n
^))
4. Рассмотрим следующие тождества (частное сообщение Р. Доусона):
2га
(а) Положим ап = 2~п I j и запишем наши тождества в виде
fc=0 \ /
- 0.
ЗАДАЧИ
77
Заметим, что Ь„ =*= A — а)п, ah = ак, п что я„
что
= 2«„_1 — n~'an-i. Показать,
п-1
и, следовательно, nbn = (га— 1)Ь,г_2.
Показать, что из этого соотношения и начальных условий 6о = 1, Ь\ = О
вытекают равенства
Bга-1)-Bл-2)-...-ЗП Bга)!
Ьгп" 2л-Bп —2)-...-4-2 ~п!222п "" ""'
что согласуется с исходными тождествами. Отметим также следующие тожде-
тождества: сгп =2nb2n, сгп+1 = Bл + 1)Ь2п. Таким образом,
(Ь) Полагая ?jm = A — а)п, ак =з
ношения, показать, что
и применяя взаимно обратные соот-
соотЗаметим, что отсюда следуют тождества
2А-
которые можпо проверить с помощью известпого равенства f(x) = A
Теми же методами получить еще и следующие тождества:
п \ /2к
ИЛИ
rr(/n+i
2"-2'4
i -
ra — 1 \ 12k
:-i A
г—2ft
2A-1J1 га

78
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
5. Обобщая задачу 4, положим ап (х) = хп ( J,
6П (*) = [1 - а (х)]» = 2 (- 1)А (I) B1) Л I а" (*) - ah («).
ft=o \ /V / /
(а) Показать, что
=.»)- 2 Ьп(х)уп = 2
n=o ft=
- A - If) [1 + **j/ A -у)]'2 = Id - уJ + ixy A - y)]-V> =
= [1 - 2 A - 2ж) у + A - 4ж) /]~1/2.
Получить отсюда равенства
Ь (*.
- У A -
{[1 - A
- 4*У}-1/2 =
и вывести тождества
Проверить частные случаи:
и вывести следующие тождества:
— 2х, Ъ2(х)
2к\(Ап —
* U
+ 2 - 2А
\
ЗАДАЧИ¦
79
М1) =
/г=0
Следует также отметить обратное соотношение
(Ь) Из третьего выражения для Ьп(х) вывести соотношения
t^,2] /л\ /л — /
Рп-2(*)( *
Отметим также обратное соотношение
п следующие тождества:
е;)^|(-)Н2;>-
2П+1
0=
где 6n(l) = (—l)n?n, что согласуется с пунктом (а). Проверить следующую
таблицу:
п
к
0
1
1
1
2
3
3
7
4
19
5
51
6
141
.7
393
8
1107
9
3139
10
8953
(с) Используя нижние ипдексы для обозначения частных производных,
а штрихи — для обозначения обычных производных, вывести следующие тож-
тождества:
[1 - 2A - 2х)у + A - 4z)iflM*. У) = (-2!/ + W)b(x, у),
Ь„(*, у) - [i-2x-y(i-Ax)]b(x, у),

80
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
/
и получить рекуррептпыо соотношения /
Ь'п (х) - 2 A - 2х) Ь'п_г (х) ¦+ A-4*) Ь'п_2 (х) = - 2bnJ(x) + 2б„_2 (ж),
пЬп (х) - A - 2х) Bл - 1) Jn_j (г) + A - Ах) (п -,() Ьп_ъ (х) = 0.
Проверить, что значения Ь0(х) = 1, 6, (я) = 1 — 2х, Ь2(х) = 1 — Ах -f- 6хг,
63(я)=1— 6х + 18х2 — 20х3 удовлетворяют полученным соотношениям. По-
Показать, что
пР„ = Bл-1)Рп-1+3(/г-1)рп_3 = /г|Зп_1+ (я-1) (Р„_, + 3?„_2)
и что при этом {5„_1 + 3pn_2 s= 0 (mod n).
Проверять эти результаты с помощью приведенной выше таблицы числен-
численных значений величины |3П-
6. По-видимому, простейшими взаимно обратными соотношениями в тео-
теории чисел являются формулы обращения Мёбиуса, которые выглядят следую-
следующим образом:
2
d\n
d\n
d\n d\n
где обе суммы берутся по всем делителям числа п (включая 1 и само число
п), a р. (и) —функция Мёбиуса, определяемая равенствами цA) «= 1, \i(n) = О,
если число л делится на квадрат простого числа: \\,(р\Р2... рг) = (—1)г, если
pi, ..., рг — различные простые числа.
Положим а{{) = « а(р)
..., рг различ
Положим а{{)
р
Положим а{{) = «о, а(р) — в), где р — простое число; а(р\ръ ... рг) = аг,
где р\, ..., рг — различные простые числа. Определяя Ь(п) аналогичным обра-
образом, показать, что эти соотношения являются простейшими взаимно обратны-
обратными соотношениями
А0 W
7. Рассмотрим многочлены в
вида
(обозначение выбрано специально, чтобы продемонстрировать их связь с мно-
многочленами Чебышева второго рода Un (х) = sin (п + lH/sin G, cos 0 = х).
(а) Показать, что при щ(х) = и\(х) = 1
ип(х) = un_i(ar) + хип-2(х), п = 2, 3, ...
Из этого рекуррентного соотношения получить соотношение
ип + т(х) = ит(х)ип(х) + xum_i(x)un^i(x)
и вывести тождество
(п + т-к\ у Г/л - А Ли - А + Л ,(п - 1 - /Л (т — к + /\]
(Ь) В па,ре взаимно обратных соотношений, приведенной в табл. 2.3 под
номером 5, положим Ьь =» а;*. Тогда
(последнее равенство является определением величины и*п(х)). Получить об-
обратное соотношение
ЗАДАЧИ
(с) Положим и (х, у) = 2 un (г) УП- Используя начальные условия п
п=о
рекуррентное соотношение из пункта (а), доказать, что
и(х, у) = A-у-ху*)-1.
Сравнив этот результат с известным равенством U {х, ;/)= У, Uп (х)уп
•= (l — 2ху + i/2), вывести следующие соотношения:
(— I) х Uпу о -,/-). I — — 1,
(d) Представим 1 — у — хуг в виде 1 — у — ху1 — A — уух) A — ууг), где-
2yi = i + a, 2i/2 = 1 — a, a= A + 4г)'''. Используя разложение на простей-
простейшие дроби, показать, что
и (х, у) = ^ (^ - у,)'1 (у"+1 - г/"+1) г/п-
п=о
Вывести отсюда тождество
2 (п — k)xh = 2-"-1 a [(I + a)n+1 - A - a)n+1], a = A + 4а:I/а.
h=o\ * /
Отметим частные случаи:
(я-^2А = 3- [2"+1 + (-!)"],
k
а также предельный (при а -*¦ 0) случай
Последнее соотношение встречается в работе [18]. Вариантом того же тожде-
тождества является тождество
8. (Продолжение задачи 7.) Показать, что
Эти соотношения, используя вычеты @, 1, —1) по mod 3, можно представить.
в виде
6 Дж. Риордан

82
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
Переписав обратное соотношение для un (х) в виде
2л —
h=o
получить тождество
[п/з]
9. Положим vn (х) =
/
Bt + i /2л — 3/ — 1
' 2» — 3/ — 1 I га
**' "" {Х)
Показать, что имеют место соотношения
vl W = "* (х> + xun-i (х) = xvn-\ (*) + гуп-2
» = 3, 4
с начальными условиями и*0 {х) = 1, i^ (г) = ж, i>.2 (z) = г" -J- 2х. Исполь- '>
«уя результаты задачи 8, доказать, что выполняются соотношения ;
(- 1) = 2 - бп0, ?>
п0, ?>„ + !
— УЗп+2^~ 1) — —
:-бп0, 3| в,
где Smn — дельта Кронекера, а запись «3|га» означает, что число п делится на
3. Этот результат встречается в [35]. Используя взаимно обратные соотноше-
соотношения, приведенные в табл. 2.3 под номером 6, и полагая в них Ь„ = хп, пока-
показать, что
[п t«-., » , ч " = тах СО п 11
кк=1 ^
и для п = 2, 3, ... вывести тождество
J
10. Многочлен Бесселя уп(х) определяется формулой
V (« + *)! I*
!A;!l 2
(см. [24]) или, что то я;е самое, формулой
h=0 Ч
j /d2
хК
ЗАДАЧИ
83
Используя первую пару взаимно обратных соотношений Лежандра, пока-
показать, что
ML h+n\
А >-
, h
Проверить, в частности, что уо = 1,
ух = 1 + х, у2 = 1 + Зх
11. (а) Используя производящую функцию для многочленов Лежандра,
а именно
х, у)
п=0
показать, что
РA + 2х,у) = A-2A
= A-»)-'[!-
Пусть Qn(x) =Pn(i + 2x), Q(x, у) =РA + 2х, у). Проверить справедли-
справедливость следующих равенств:
<?о = 1 <?2 = 1 + 6г + б*2,
<?, = 1 + 2х, (?з = 1 + 12г + 30*2 + 20г3.
Получить для Q{x, у) следующие разло;кения:
Q(x, у) = A- »)-'[1-
h=0
П=0
" Г
<? (г, j,) = A _ A +
и доказать тождества
[1 - 4 (х
n=0 ft=O
Первое из них является формулой Мэрфи, уже встречавшейся в тексте»
Запишем Qn (x) в виде
Используя вторую из выведенных выше формул, показать, что
и получить выражение
6*
2
h=0

84
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
Отметим, что обратным соотношением к первой формуле для Qn (х) явля-
является соотношение
(Ь) Показать, что
Q (- 1, г/) =
г/Г
и вывести тождества
Обратным соотпошеннем к первому из ппх является тождество
(с) Показать, что
[1-2A +2*J/ +г/2] <?*(*, у) *=2yQ(x, у),
[1-2A+ 2*)у +г/2] <?„(*, y) = (l + 2x-y)Q(x, у),
я вывести следующие рекуррентные соотношения:
<?; (х) -2A+ 2х) Q'n_x (х) + <>;_2 (х) = 2<>n_j (x),
(и + 1) <?п+1 (*) - Bя + 1) A + 2х) <?„ (х) + л<?п_1 (х) = 0;
частные производпые обозначены нижними индексами, а обыкноветптые
производные — штрихами.
12. (а) Из равенства Qn (х) = Рп A + 2х) п формулы для Рп{х), приве-
приведенной в тексте, вывести еще одну формулу для Qn (x):
?„ w - 2 (-
I f
Сравнивая ео со второй формулой для Qn(x) пз задачи 11 и используя равен-
равенство 4 (г + г2) = A + 2яJ — 1, вывести тождество
(Ь) Сравнивая коэффициенты при х* в формулах для Q,,(x), получить
тождества
ЗАДАЧИ
85
Показать, что обратным для первого нз полученных тождеств является
соотношение
Указание. Воспользоваться третьей парой взаимно обратных соотно-
соотношений пз табл. 2.1.
Используя тождество
/Я_А/В_2л /я_л/я_;
[ 1 А к )-{ к ){ /
и заменяя п на п + к, представить второе тождество в виде
... , _.. ,.2А\ „ -/л —
¦ ' i=3 V
7=0
Доказать, что обратным к нему будет соотношение
(п + к\/2п + 2к\ ж-. Г/л 4-7 — 1\ (»+} —
.
•¦-) + 2к\ Bк)
2А U
Так как
п+к\[2к\ (п\(п+к
(п+
\ 2к
то
что является видоизмененным соотношением Вандермонда. Заметим также,
что второе тождество можно переписать в виде
13. (а) Положим 9 „(ж) = A — г)"()„[а:A — г)-'] = A — х)пРп[A
х)A — х)-1]. Используя результаты задач И и 12, показать, что

8C
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
и вывести тождества
Первое из них уже встречалось в задаче 12. Показать, что второе является
видоизмененным соотношением Вандермонда.
(b) Получить следующие соотношения:
д(х, у) - [1-2A+ x)y+(l-*)V]-*
[1 - 2 A + х) У + A - гJ у2] ?х (х, г/) = [у + A - х) у2] д (х, у),
[1 - 2 A + х) у + A - *)а J,2] ?и (х, j,) = [1 + х - A - гJ у2] q (х, у),
[1 + х - A - xf у2} дх (х, у) = [у + A - х) у2] qy (х, у),
д'п (х) - 2 A + х) „;_1 (г) + A - xf q'n_2 (x) = <?n-i (x) + A - г) ?п_2 (х),
(i + 1) Яп+1 (х) — Bи + 1) A + х) qn (Ж) + п A — «J 9n_j («) =• О,
A + х) q'n (х) - A - гJ ^_j (х) = и?п (I) + A - х) (в - 1) 9п_! (г),
^ (*) - A + х) ^ (х) = П(?п_г (г) + A _ *) („ _ 1) дп_г (х),
2х?; (г) = щ (х) -d-x) nqJl_l (x).
Здесь частные производные обозначены нижними индексами, а обыкновен-
обыкновенные производные — штрихами.
(c) Показать, что
A + и)~хЯ[х, 2/A + У)'1] - A - ху)~Ч1 - 4*0A - ху)-*]~\
и, следовательно,
Пусть р* (г1) = хпрп{х~1). Вывести соотношения
Ъп (х) «= A - 2х)пР; [х2 A - 2х)~Ц, qn (х) - A + х)>; [г A + *Г2],
где Ь,г(г)—многочлены, определенные в задаче 5. Доказать, что обратными
будут соотношения
р'п (*2) = A + 2*)ПЬ„ [х A + 2Х)-1],
р; (*) = [с (х)]~п qn [с (х) - 1], с (х) = BХГ1 A - УГ=4х),
где с(г)—производящая функция для чисел Каталана; с(х)—1 = хсг(х).
Отмстим также следующие тождества:
р*(*, у) -Ь[у1A + 2
ЗАДАЧИ
87
Проверить, в частности, что
Р*о = К = *• Рг = 1 + 2*. ?4 = j + 12*
р* = 1 -f 6г, р* = 1 + 20т + ЗОх2.
14 Рассмотрим сумму
(+*) *-
Доказать тождества
A-l
n=l,2, ...
¦ fc — l\ 2k
:_1 )\k
Используя результат задачи 11, а именно тождество
ft=0
показать, что выполняются соотношения
«=1,2, ...,
h[k+4( * J
п, таким образом,
h=0
(~ 1)h= *+2
Из доказанного получить соотношения
где »» = 1 + 2 + ... + «"',
(лежандровского типа)
= 0. Получить также обратное соотношение
15. Возвращаясь к задаче 11, показать, что
Qx (- i. у) = 2у[1 + у)~я = 2 <~ 1)" 2 f"
n=i

88
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
откуда получить равенство
Пользуясь этими соотношениями, а также соотношениями
(-1) = (-1)" = 2 (п) (п+^(—uk =
-2(V)fr)<
-2 С Г1) С
ft=0
-»-зГ71)(Ч*)<-«л
h=0
получить тождества
ft=0
16. Положим Л„ (*) = <?„ (х) + Qn_x (х) =2 ^fb ("J *) ('
Отметим обратные соотношения лежандровского типа (штрихом обозна-
обозначена обыкновенная производная):
пх- * = > — :
Показать, что Ап (— 1) = 6„0, А'п(— 1) = (— 1)" 1 Bге), п получить тождества
2п /л + ^
"по ~ ?+ п + к \ 2к )[ к
fc=o
ft=0
2ft
/ 2л
(в —ft
U \
2л — 1\ -у I 2л
ft(-l)A,
ЗАДАЧИ
89
Первое из приведенных тождеств уже было получено другим способом в за-
задаче 14, третье является разновидностью первого, а последнее уже встреча-
встречалось в задаче 10 гл. 1.
Vi / 2n \ 1
17. Рассмотрим сумму /п = > (и —/г/Т* Доказать тождество,
, "^ Г/2га — 2\ / 2п — 2
/п = „-1 -Ь 2 + 2/п_х + ^ [( „ _ ^. ) + („_/,_
/i—1
2лBп—1)
Используя это тождество и последнее тождество из задачи 16, получить со-
соотношения
Н = п~1 + 2 + 2 Vi + (" -,1) Bп - 1)~г [fn ~ n~1 - 2п (» - !)-1] +
1
или
-I- л'Чгп— l) n
In
nfn = 2 Bп - 1) /„_! +
Проверить, что начальные зпачения /, = 1, /2 = 9/2, /3 = 55/3 удовлетворяют
полученным рекуррентным соотношениям.
Доказать тождество
I
где sn = 1 + 2~! + ... + п~К Проверить, что обратным соотношением явля-
является
где s0 = 0. Отметим также, что в силу равенств nsn = nsn-\ + 1 имеет место
тождество
1 = (- i)^Qn_l{- 1) = 2V 1)П + 1+'!
V /о о \ _ У1. С П"+'!С
x(s«+/r~'«+*-i)-,4'( а) sn+;
/j—О
п — 1\/п — 2 + к
f17l) ^l+ k
l+ k) ^
2
A=0
-k)

80 ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
Получить отсюда тождество
18. (а) Рассмотрим присоединенные многочлены Лежандра рп(х), опреде-
определяемые формулой
Показать, что
Р (*. У) = 2 Рп (х) уп = A - у) [I - B + *) у + у2]
П=0
или р (х, у) = A — у) U 11 -f- -^-, j/1, и получить отсюда равенство
где f/Ti (х) — многочлен Чебышева.
Обозначим через f(y) производящую функцию для чисел Фибоначчи;
f(y) = A — у — 2/2). Проверить следующие тождества;
= 2
71=0
Р (- 1, у) = A - у) A - у + у'1)'1 = A - у2) A + у3) =
= 2 к- DVn + (- i)n+vn+2i,
0
Р A, vl = A - ?/) A - Зу + У2) - 4" [/ (^) + / (- Vv)l
Получить отсюда равенства
Р„@=1, рпA) = /2п,
Pan С" 1) = |
8П + 2
Рзп+2(-1)= 2
ft=0
(Ь) Используя обратные соотпошеппя
ЗАДАЧИ
л полагая х = —1, показать, что
" Г/ 2в \ / 2п
1 = 2 „- A -L-fc-
91
Получить отсюда тождество
2»
Показать также, что при т. = [га/3], Л/= [(ге — 2)/3] имеет место тождество
(с) Пусть рп(х) =п„(х)—nn-i(x), так что я (г, у) = [1 —
+j/2]~! = [A —уJ — ??/]¦"'*)• Доказать тождество
Используя представление 1 — B + х)у + i/2 = A — г/г/х) A — ууг) и разло-
разложение на простейшие дроби, получить другое выражение для лп(х):
Полагая 2jn = 2 + а; + а, 2»» = 2 + ж — а, а2 = 4х + г2 = B + хJ — 4, вы-
вывести еще одно выражение для лп {х):
,п (х) = S (-
%\
J
Сравнивая его с предыдущим результатом, получить тождество
2> + i)w
= \2L] A =
(d) Показать, что
я (- 1, у) = A - у + г/2)-1 = 2 (- Dn (уяп + г/3п+1).
п=0
я A, у2) = A - 3j/2 + у')-1 = J/ 4 I/ {У) - / (- J/)] = 2 /.
* П=0
П=0
¦) Здесь я (х, у) = 2 яп (х) ^"- (пРим- перев.)
п=о

92
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
и получить следующие тождества:
(-1)"=
2
h=0
Зи —Л
*
.Sf t'+V)-_?
+ l —'
*
— к
19. Рассмотрим сумму
п + /Л /2/Л
2* ) ( А (*
Обратным для этого соотношепия будет
п
Показать, что ап(р) = Ап{—х), хк = xh (р) = (/с + р)-\ где
многочлены, определенные в задаче 16.
Вывести формулу
А=0
) U
= 2 2 W"~
Используя тождества р~1 = р ', р~1(р + 1) ' = Р~' — (р + 1)~' и мате-
математическую индукцию, получить тождество
Л- -У ( W"
** - *ft = (ft-г-рГ1.
Доказать отсюда справедливость следующих соотпошепий:
'•г — /с)!
+ *)
и)
ЗАДАЧИ
= ^ (- x) = 2
n—1
{n — k)\
(р + к) ... (р+п)
2n\
n-l
n) 2i
h
h=o
(р + «)!
n-l
(последнее преобразование осуществляется с помощью формулы EЬ) гл. 1).
Другой формой записи полученного соотношения является
где а„(р)=0 при и=р + 1, р + 2, ... При р = 1 и га = 2, 3, ... имеем
аоA) = aiA) = 1, апA) =0. Следовательно,
где б„т —дельта Кропекера. Для р = 1, 2, ... проверить справедливость сле-
следующих равенств:
2п
2р\-1
[0,
2я
2» \ /2р\-1 12п
)
или
2л
20. С в е р т к а чисел Фибоначчи.. Производящая функция для чи-
чисел Фибоначчи с начальными значениями /0 = /i = 1 определяется формулой
/(г) = (l — х — х2)" =2 /пхП- Производящей функцией для /с-й свертки чи-
чисел Фибоначчи является функция
F (х; к) =[
(а) Показать, что
== A - х - x
)~h =
- п — j — 1\ /в —

94
ГЛ. 2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ I
Получить обратное соотношение
»Uv(-,)ig("}'
3=0
Отметим, что справедливо следующее тождество:
(Ь) Пусть *¦(*,
h=0
. Показать, что F(z, у)
h0
A — х — х2) A — х — х1 — у)~\ и получить отсюда равенство
= 1 + у A — у — ху — *У)-г = 1 + yu [х* (I -f г)"», A + х) у],
где величина и(х, у) определяется так же, как и в задаче 7.
п
Положив gn (x) «- 2 /^i.fc*n~*i показать, что
ft=0
g0 (х) - 1,
Х B),
Получить, в частности, тождества
еп+1(-2 + У2)
/— б + У 6
gn+l{ 5
21. Числа Стирлинга. Следуя [51], обозначим через s(n, к) числа
Стирлинга первого рода, а через S(n, к) — числа Стирлинга второго рода. Эти
числа определяются соответственно равенствами
ft=o
где (г)„ = а;(г — 1) ... (х — п + 1), и удовлетворяют следующим взаимно
обратным соотношениям:
ah<
2 5 ("•/i") **•
где ао(г) = 1, ai (г) = х, а2(х) = а; + г2 и т. д.
(а) Положим, по определению, ап(х; 1) — ап-\{х; i)=an(x). Получить
новую пару взаимпо обратных соотношений:
™ 2
2
ТП=О
xn = 2 [* (n, *) - « (n, ft + 1)] nft (г; 1).
ЗАДАЧИ
95
Из рекуррентного соотношения ап{х) = хап_1(х) + ха'п_1{х) (штрих означает
производную) вывести соотношение
оп (х; 1) = 1 + хап_х {х- 1) + ха'п_х {х; 1).
Для величин anh(l), определяемых равенством ап (х; 1) = 2 апк W г">
вывести рекуррентное соотношение
и равенство о„0A) = 1.
(b) Обобщая пункт (а), положим а„(х; j)—an-.\(x; /)=а„(г, / —1),
/•=1, 2, ..., где ап(х\ 0) =в„(я). Заметим, что ао(х; /) = ао(х) = 1. Доказать
тождество
"г ' \-\-хап_1{х; ]')-{-xan_1(x;j),
из которого следуют равенства
апоA) = { га }
Получить пару взаимно обратных соотношений
г=о
(c) Пусть последовательность многочленов определяется рекуррентным
соотношением
an (г; /)+а„_,(г;/) =а„(х, /-1), / = 1, 2, ...,
где an(z, 0) =а„(г). Вывести пару взаимно обратных соотношений
где
5 /}\
= 2 \J « К к -г 0. ane (/) = (- f)n
7=0

ГЛАВА 3
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
3.1. Введение
В этой главе продолжается исследование взаимно обратных со-
соотношений, начатое в гл. 2. Вначале идет раздел, посвященный со-
соотношениям, связанным с абелевым обобщением биномиальной фор-
формулы. Далее следуют два раздела, в которых для получения взаим-
взаимно обратных соотношений используются производящие функции:
вначале — обыкновенные, а затем — экспоненциальные. В послед-
последнем разделе этой главы вкратце рассмотрены многомерные обобще-
обобщения взаимно обратных соотношений.
3.2. Взаимно обратные соотношения абелева типа
Как уже отмечалось, взаимно обратные соотношения абелева ти-
типа связаны с абелевым обобщением биномиальной формулы, изучав-
изучавшимся в гл. 1.
Вначале рассмотрим простейшие тождества Абеля
(х + у + п)п =
I) х(х + к)к~1 (у
п- k)
n-h
пли
а=о
Тогда
Ьп = Ъп
х(х+ k
п)п
Если использовать стандартную форму записи взаимно обратных
соотношений, приведенную в гл. 2, то первая пара взаимно обрат-
обратных соотношений абелева типа может быть записана в виде
х (х + п - /О"-"-1 bh,
Ъп = S (- l)h+n , )х(х- п
A)
3.2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ АБЕЛЕВА ТИПА 97
Соответствующее ей ортогональное отношение имеет вид
Mum — 2^ v ' \)-\\т\ ^ — ' ^ — ' ' ==
^ О П2 (" Т Л (~ DA ж2 (ж - ^"~г (* + »-«- A)-'""*-'
или
б„0 = — а;2Лп(— а;, ж; — 1, — 1),
что легко проверить с помощью следующего равенства, полученного
в гл. 1: Ап{х, у; -1, -1) = (ж-1 + y~i)(x + у + га)".
Если простейшее тождество Абеля записать в виде
\П— ft —
или
fe=0
то вторая пара взаимно обратных соотношений находится разложе-
разложением у(у + п)п-* по степеням (х + у + к)к. Делается это следующим
образом. Заметим сначала, что
у(у + п)п-1 = {у + п)п - п(у + ге)"-1.
Первый член в правой части этого равенства уже имеет указанное
разложение. Для второго члена получаем разложение
л (у + п)"'1 = п(у+1 + п_ 1)п-1 =
в —1
к \(-х)(-х + ку-1(х + у + п-к)г'
Так как эта величина не зависит от х, то
Таким образом, получаем
А—О
Д;и.
чП-ft-l
\ft-2
\ft-2 ,
+ п- к).

08
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
V !n\ i
II/'* t/\/ i ^ \Xi~~n —ft
"n =- ^j ft )(z* — n + k) (— x + n — n) lah.
и, следовательно, вторая пара взаимно обратных соотношений Абе-
Абеля, записанная в стандартной форме, имеет вид
B)
Частный случай соотношений B) при х = 0 заслуживает особого
внимания. В этом случае
Bа)
Заметим, что 0° считается равным 1. Кроме того, следует помнить,
что величина х в соотношениях B) является свободным параметром;
замена х на — х приводит к соотношениям
» = 2 (ft) (*а - л + /г) (а + n
BЬ)
\n—h—2
'«ft»
являющимся разновидностью соотношений B).
Как и раньше, знакочередующийся множитель (— 1)* можно пе-
перенести из одного соотношения, образующего BЬ), в другое, если
соответствующим образом переопределить ап и Ъп. Ортогональное
соотношение для B) может быть представлено в виде
\ a —ft
1>[1)(х>-к)(-х + к)к~>(х+п-кУ
-=x{x— 1) Ah(— x, x\ — 2,0) — An[
, ж; — 1, 0);
справедливость его можно проверить с помощью результатов гл. 1.
Ниже, в задаче 2 к этой главе, будет приведен другой способ полу-
получения соотношений B).
Запишем теперь простейшее тонадество Абеля в следующем виде:
(х + у)п = 2 (?)*(* + а-)* (у - А)"-\
Меняя местами х и у, получаем симметричное тождество
I* + УТ = 2 (") (а: ~ A)""" i/ (i/ + A')".
, 2 ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ АБЕЛЕВЛ ТИПА
99
Тогда, если ап — 2 [к)(х ~ А)" Ък,
то
Ьп =
"I /- _ 4\ П-1
n n-
7=0
- 2 (") (* + уУ
- 2 (Г) (* + ^)' I(-
(- хГ'-V-1 (п - к)
= 2 (а) (- * + Л) (- ж + n)"-"-'^.
Следовательно, третья пара взаимно обратных соотношений Абеля
имеет вид
Оп= 2 (ft) (*-*)""V
fe=o ^ /
Ъ„ = 2 ("к) (~ х + к) (- х -V n)n~h-\h;
h=n
C)
отсюда, заменяя х на — х, получаем другую форму этих соотноше-
соотношений:
fe=o
n
(За)
Эти соотношения эквивалентны соотношениям, полученным п
[29]. Заметим, что второе соотношение в (За) может быть также за-
записано в виде
/;„ = (а + х)(а + х+ п)"~\ а" =з ак.
Конечно, как и в случае простейших взаимно обратных соотно-
соотношений, знакочередующийся множитель может быть перенесен па
первого соотношения соответствующей пары во второе. В результа-
результате этого преобразования получаем
(х + п)'»ап = S (") (* + А)""™"* (^ -!- пГ {а + k)mbh,

100
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ П
к=П
„ | „У";, У | Л\>' + п1 Ht-L 11^+™"'^ I j\—m+1r . i.\m
х -+- п) оп — Zj {—l) \k)\x~rn) \х-\-к) (х -f к) ah.
Таким образом, другой формой соотношений (За) будет
Соотношения (ЗЬ) в случае т = 1, а: = 0 принимают вид
Эти соотношения встречаются в [64], а также (без ссылки на этот
иредшествующий результат) в [53]. Заметим еще, что последнее со-
соотношение из этой пары можно записать в символическом виде:
Ъп = (.а — п)п, ah ез ah.
Пример 1. Если в соотношениях C) положить ? = 0, то они
примут вид
Пусть Sin, к) — числа Стерлинга второго рода, Е — оператор
сдвига, а А —Е— 1; тогда
га! = п\ S (га, п) = Ап0п
(-
f] kn.
<)то равенство совпадает с первым из наших взаимно обратных со-
соотношений, если положить я„ = (—\)пп\, Ьп = {— 1)"п". Тогда из вто-
второго соотношения следует тождество
(*) п-1-* (Л + 1)!,
= S (I
полученное в [52].
Запишем теперь нашу пару взаимно обратных соотношений в
следующем виде:
\nn~1"hh h — У I 4\A
l Од, 0п = Zj, \— I)
W
3.2. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ АБЕЛЕВА ТИПА
101
Тогда из первого соотношения получаем
п—1
n—1
ап = 2|Дл:—ijre °h —
В формуле Лагранжа
n — 1
rt-X— h.
«)" , Ь н= Й/(.
где w = ze~\ D = d/da;, а штрих обозначает производную, положим
J(z) = expzb, bh = bh- Тогда имеет место равенство
1 = ze
Если теперь.взять а„ = 6(& + 7г)'г~' и ао = Ь0, то предыдущее ра-
равенство можно записать в виде
exp zb = аа
, о" = an, b" = bn.
Приравнивая коэффициенты при zn/n\, получаем доказательство
второго соотношения рассматриваемой пары. Кроме того, если Ьк =
= х", так что а„ = ап{х) = х(х + п)п-\ то
= хАп (х, — п; — 1, 0) = хх 1 (х — п -\- п)п
(еще одна проверка справедливости полученных соотношений).
Далее, присутствие элемента w = ze~z в полученном для произ-
производящих функций тождестве дает возможность получить некоторые
результаты для корневых деревьев с помеченными верштшами (в си-
силу того, что соотношение w = ze~z имеет обратное соотношение
z=t>R(w), где R(w) — энумератор числа корневых деревьев с поме-
оо
ченными вершинами по числу вершин: И (w) = ? п ^ ^ ^
П=1 ' П=1
Если положить Ък — хк, то производящая функция может быть
переписана в виде exp wa = expxR(w), a" = ап(х) — х(х + п)п~1.
Сравнивая с известным соотношением для перечисления графов с
помеченными вершинами по числу компонент связности (см. [52]),
получаем, что ап{х) — энумератор леса корневых деревьев с поме-
ченпыми вершинами по числу входящих деревьев.
Еще две пары взаимно обратных соотношений, имеющих не-
несколько другой характер, можно получить следующим образом.

102
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
Положим для краткости
К(х, у) = (- 1)п~1Ап(-х, -у; —1, 0) = (- \)nx-\n-x-yf=*
= 2 (*) {х - к)"-1 (» - га + А)""*.
Тогда
(г-\-2п)А*п(х-\-2п, —х) =
= 2 (I) {х + 2п)(х + п+ А)""" ( -1)* (* + А)* = „»,
(ж 4- 2га) Л* (ж + 2га, 0) = (х + га)" =
= 2 (") (* + 2га) (х + га + А)""* (_ 1) V.
Если взять ап — пп, Ъп — (х + п)п, то эти соотношения принимают
вид
^ = 2 (к) (x + 2га) (х + п + А)""" (- 1)%,
Ъп - 2 C (* + 2га) (х + га + A)""" (-1) hah.
ft=o
D)
Если же ап заменить на (х + 2п)ап, а 6„ — на (ж + 2га)Ь„, то мы
получим другую форму тех же соотношений:
а« = 2
.Ь« = 2 (t) (*
Далее,
„ {х, — 2ге; — 1, 0) = (х — п)п =
2пА
= 2 (Я (- l)ft+n (n + к)п-и х(х + к)"-\
* Bп, ж) - (а; + п)п = 2 (") 2ге (га + A)""* (ж - к)\
Bга — 1) A*_x Bга — 1, х) = (х + п)п~л =
= 2 I" 7 J) Bга - 1) (га + &)"-*-2(* - А-)".
Полагая а„ = (ж - п)п, bn = x{x + n)Z-i и замечая, что
х^ч-га)"-^(л+гаГ-га(^+«)п-1, (" ~ *) = ^=
ft — /г /п
U
3 3. ОБЫЧНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
получаем пару взаимно обратных соотношений
ЮЗ
= 2 (а) 12
E)
га (га + А) - (га - А) Bга - 1I (га + А)П"Л"Ч =
- 2 (") [п + к Dга - 1)] (га + А^'Ч.
Сравнивая полученные пары взаимно обратных соотношений с
простейшими взаимно обратными соотношениями, можно ожидать,
что все полученные взаимно обратные соотношения абелева типа
останутся справедливыми, если заменить в них каждый биномиаль-
биномиальный коэффициент)") на к , Ч. Можно показать, что это пред-
предположение выполняется на самом деле. Кроме того, все взаимно об-
обратные соотношения абелева типа могут быть «перевернуты», если
в коэффициентах поменять местами га и А. Например, «переверну-
«перевернутой» формой первой пары взаимно обратных соотношений абелева
типа является пара
/АЛ
«п = 2 U )х
/1=0
В табл. 3.1 приводятся некоторые пары взаимно обратных соот-
соотношений абелева типа.
3.3. Обычные производящие функции
Простейшим примером пары взаимно обратных соотношений,
связанных с обычной производящей функцией, являются соотноше-
соотношения
ап = b0 + ... + bn, Ьп = ап — an-i.
Если а (х) = 2 dnx", b (х) = 2 Ьпхп, то эти соотношения соот-
п=0 п=0
ветствуют следующему соотношению между производящими функ-
функциями:
о(ж) = A - х)-'Ь(х), Нх) = A - х)а(х).
Аналогично, в общем случае соотношения между производящими
функциями
а{х) — Ых)с(х), Ых) — а{х)с*(х),

104
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
где с{х) с*(ж) = 1, дают пару взаимно обратных соотношений
п п
О-п = 2 Cn-hbk, Ьп = 2 C*n-hah-
А=0 ft=0
F)
Очевидное обобщение дает замена х на хч одновременно в с{х) п
с*(х). В этом случае получаем пару взаимно обратных соотношений
N N
яп= 2 сФп-qk, Ъп = 2 Cftan_,ft, iV= [re?]- (fia)
*=о fe=o
Пример 2. Приведенный выше простой пример легко обобщить,
если положить
что дает
а(х)=Ъ (х) A - х)-*-1 = Ъ {х) 2 (Р t
2(-
ft=0
Л
и тогда соответствующая пара взаимно обратных соотношений при-
принимает вид
«„ = 2 P
Как и выше, равенство
= 2
h=o
— х")~р~1 дает обобщение
Lv J
Рассмотрим первую из полученных пар и положим в пей Ъп =
тогда ш) формуле (Зс) гл. 1
Обратным соотношением является
или
которое на самом деле совпадает с соотношением Eа) гл. 1 (если в
последнем заменить п па п + р, а m — на re — яг + />). Таким образом,
хотя мы и не получили новых тождеств, приведенные рассуждения
послужили для проверки этой пары взаимно обратных соотношений.
3.3. ОБЫЧНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
105
Ясно, что множество подобных взаимно обратных соотношений
неисчерпаемо. К сожалению, не существует какого-либо правила,
которое дало бы возможность их классифицировать по степени зна-
значимости.
Примеры, которые будут приведены нпже, служат просто для ил-
иллюстрации.
Для начала положим с{х) = fix) — A — х — xz)~\ где fix) — про-
производящая функция чисел Фибоначчи /„: /o = /i = l, fn = /„-i +
+ fn-г, п = 2, 3,... Тогда с*(х) = 1 — х — х2, а соответствующая пара
взаимно обратных соотношений принимает вид
п
яп = 2
bn = an — an_, — а„_2
Как и в примере 2, эти соотношения легко обобщить, если вместо
х брать xq.
Пусть, так же как в задаче 20 гл. 2, F(x; p) =[/(z)]p= 2 ЛР)#П-
11=0
Тогда
ар)
/
п ~ 1 ~ *\ /« -
А
-Р) _ у , лчз+тг
п -?(-1)
—
Соответствующие взаимно обратные соотношения принимают вид
ап = 2 /Ap>6n-k, &n = 2 /rp)an_h. G)
В целях экономии места не будем приводить аналогичное Fа) обоб-
обобщение этих соотношений.
Рассмотрим теперь производящую функцию
d(x) = A - 4*Г1/а = 2 Bп)хп = 2 dn*n.
n=n \ п I п=п
Тогда d-Чж) = A - 4жI/2 = A - 4ж)й(ж) = 1 - 2жсЫ, так как rf0 = 1 и
d" = [n =D« —2)и М = 4dn_! — г.с,,-!, п=1, 2, ...,
\ " / \п~~ 11
где сп = (га + I) ( ) —числа Каталана.
\п I
Соответствующей парой взаимно обратных соотношений будет
п
ы*
- 4
(8)
Второе соотношение, входящее в (8), имеет и другую, эквивалент-

108
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
ную форму:
Ьп = ап - 2 2 /Г1 д. _ А ап_„ = 2A- 2АГ1 Г/, а„_к.
Заметим, что при я„ = б„0 (дельта Кроыекера) из этого соотноше-
соотношения следует
" [2к\/2п~
6п,= 2 (ft )(п-
2к\/2п~2к\
)(к A ~ 2
Последнее соотношение является ортогональным соотношением, со-
соответствующим рассматриваемой паре взаимно обратных соотноше-
соотношений, и, кроме того, оно интересно само по себе.
Используя соотношение й~г{х) = 1 — Ах = [ 1 — 2хс(х)]г или 1 =
= с(а;)[1 — хс(хI = с(.х)с~1(х), можно получить другой вариант со-
соотношений (8):
ап = 2 {к + I)

п = а„ - 2
О)
Для второго соотношения, входящего в (9), существует и другая
эквивалентная форма1 записи:
, /2А\
Полагая ап = б„0, из второго соотношения в (9) получаем равен-
равенства bo = 1, Ьп = — с„-1, и тогда ортогональное соотношение приво-
приводится к виду
п—1
что легко проверить с помощью соотношения 1 — cix) — хсг(х).
В силу того, что йгп{х) = A — 4z)~", взаимно обратные соотноше-
соотношения для четных степеней — в точности такие же, как и в примере 2.
Для нечетных степеней справедливы равенства
Г + " ~
= 2 Г + Ч(~
2p-f 2п\/2и\/р-Ь
P-1-" Л" il "
г 1
3.3. ОБЫЧНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
107
^р+т_( ( ( )
= V » / ' 2" ^ " А 2« j -( 2п
Соответствующая пара взаимно обратных соотношений имеет вид
ап = 2 dn-h Bр + 1) 6л, Ьп =
h=0
ИЛИ
2*
о* (Ю)
A0a)
Конечно, с помощью соотношений Fа) из соотношений A0) мож-
можно получить их обобщение:
ап = 2 dk Bр + 1) bn.qh, Ьп = 2 <4 (- 2р - 1) an_,ft. A1)
h0
ft=0
Займемся теперь примерами другого рода. Пусть
= \ [d {х) + d (- x)\ =
n=0
Тогда
= 2 A - )[( ( ]
= Dа;)-1 [A 4- 4s) /l — 4а; — A - 4s) /Г+li] =
Ш2йгп(-
= 2 (-8п -1) D?г - D~l B?г
Отсюда следуют взаимно обратные соотношения
BA 4 1) A - 4A)
Аналогично, если d1 (x) = ±[d(x) — d (— a;)] = 2 (гп + l) ж2П
TO
d~l (x) = Da;)-1 [A 4- 4a:) /l - 4x 4- A - 4s) /l + 4z] =
= 21+2 f 2d*»+i (- !) + T <Ws (- 1I ^2n+1 =
n=o L J
2x
4- 5
Bn 4 2) Dn 4

108
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
П.4. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
109
и тогда
1 ^ 8п — 3 /4л - 2\ in
-=  — ^j 2„ D„ _ 3) I 2„ _ 1) J •
»=1 \
Соответствующая пара взаимно обратных соотношении имеет вид
Mfc + 2\,
й ^ 8А- — 3 /4fc — 2\
'V = " - \ Ik D* - 3) \2A: - 1 а"~г'-
<-'» -
Полагая в A2) ап = б„0, получаем, Ь2п+1 = 0 и Ьгп= (В/г+1) Bп + 1) гХ
X A — 4л)" \пН\ Следовательно, аа = Ьо = 1 и
Vz'
м„ - 4fc
^2n - 2/v
— 4Л) '
В силу того, что
(8fc + 1) B4+ I)
=2A- 4b)-1
+ I)
последнее тождество можно записать в следующих двух видах:
Л» = Ъ \2п - 2Л 24* (- 1) -6,о - 2j U» - 2ft) T d«+i (- О-
Тогда, если ^0131) = S ^an*'2"» то из первого тождества следует
о (х) - d0 (.г) [и {х) + d'1 (-х)] =
= 1 A _ 1б^)-1/а [A + 4^I/3 + A
Конечно, такое же выражение можно аналогичным образом полу-
получить и из второго тождества.
Из соотношений A2) следует, что обратные для них тождества
имеют вид
I
4-
+
^ DА. _.
. _.. 1} A _ 4/,) ^2*Д « - A- J -
Эти два тождества в сущности являются одним и тем же тождест-
тождеством.
Аналогичным образом, из соотношений A3) можно получпть тож-
тождества
Соответствующие им обратные соотношения можно объединить в
тождество
В качестве последнего примера рассмотрим соотношение
iu' (•*; — 1) = — ^[A — 4жI/г — A -[
и соответствующая пара взаимно обратных соотношений имеет вид
ап =2A- 4Л-)-1 E*)бп-«,
ъ = 2° (at + D-1 И а * A4)
Полученные соотношения сведены в табл. 3.2; разумеется, при-
приведены только некоторые из возможных соотношений. В этом раз-
разделе нами было использовано лишь несколько производящих функ-
функций; кроме того, прием разложения степенного ряда по четным и
нечетным степеням (бисекция ряда) может быть естественно обоб-
обобщен (так называемая мультисекция). Примеры мультисекцип рядов
появятся в следующем разделе этой главы, а также в гл. 4.
3.4. Экспоненциальные производящие функции
Экспоненциальные производящие функции непосредственно при-
приводят к целому ряду взаимно обратных соотношений с биномиаль-
биномиальными коэффициентами. Простейшая из пар таких взаимно обратных

110
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
соотношений, а именно пара A) гл. 2, в символических обозначе-
обозначениях Блиссара (а" = а„, bn s bn) может быть записана в виде
ехржа = ехржA — b), exp ixb) — expxii — а), а" = ап, Ьп = Ьп.
Обобщая этот результат, отметим, что соотношения
" 1п
ап — 2j [k
Ь„ —
становятся взаимно обратными соотношениями, если 1 = ехр хс X
Xf = ехрж(с + у), с" = с„, ч" = 7«> т. е. если l = co"f0 a
(с
k=n
n = 2 A c"-*Va = 0. га=1, 2, ...
Последнее соотношение следует из равенств ехр ха = ехр хЪ ехр же и
ехр хЪ = ехр жа ехр ху = ехр zb ехр хс ехр гу.
В силу того, что из равенства 1 =ехр,г(с + у) следует равенство
1 = ехр?"(с + f), можно получить дальнейшие обобщения:
ft=o
k=n
ИЛИ
21 п\(дк)\
n\(qk))yh
Ы
В качестве первого примера рассмотрим соотношение ехр хс =
= х-1{ё*— 1), так что с„ = (я+1)-'. Тогда ехрж'у = х(ех — 1)-' =
= ехр Вж, где В„ при дг четном являются числами Бернулли, а Во =
— 1, Z?, = —1/2, В2п+1 = 0, «=1, 2,... Следовательно, из соотноше-
соотношений A5) получаем
«г, = 2 B) (А + irX-H, К = 2 (а) Я*вп-л. ' A7)
«Перевернутой» формой для соотношений A7) являются
+к. A8)
к=
Ортогональное соотношение, соответствующее соотношениям A7),
можно записать в виде
«по = 2 К) (к + lrX-ft
ft=0
или
(W
п [п -L. 1\ п In -j- IN
+ 1) б„0 = б„,„ = 2 U -{-I j Rn-h = 2 ( к )Bh-
h=n \ ' / A=0 \ '
Оба приведенных выражения следуют таюке и из определяющего
соотношения (е* — 1) ехр хВ = х, Вп '= Вп.
3.4. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
ш
Непосредственным следствием второй формы записи ортогональ-
ортогонального соотношения является тождество
(В1) [t], « = 1,2,...,
ft, /г = 0, 1, ...,
или, что то же самое,
" [In
п + В,п = >j 2/,'
Отсюда можно получить, что
2* -I- l) Rth+2, П == 0, 1, . .
Кроме того, из A6а) следует
Заметим, что замена п па qn, anq на ап, Ь„ч на Ь„ приводит к со-
соотношениям
С)ойУ
«перевернуто11» формой для которых являются соотношения
Iqn -|- /Л
Положим теперь
ехр хс = т (ех + е"х) ^
так что ехр ху = 2{ех + е~х)-* = ехр хЕ, Е" = Еп, где Еп — число Эй-
Эйлера. Очевидно, что E2ll+i = 0, /г = 0, 1, ... Тогда из A3) получаем
«„ = 2 B",) bn-2k, bn = 2о B1) ^ftfln-sft. B1)
B,) (
«Перевернутой» формой для B1) являются
In + 2/Л , , v 1п + 2к
Ортогональное соотношение для B1) может быть записано в виде
Ош — 2 BЛ-J E-zn-'itn
fc0 \ '
2 In + 2/
) E2han + th'

112
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
3.4. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
математическое содержание которого совпадает в сущности с опре-
определяющим соотношением ехр х(Е + 1) + ехр х(Е — 1) = 2, Е" = Е„.
Далее рассмотрим соотношение
так что с2л = Bn+I), c2n+i = 0. Запишем обратное соотношение в
виде
Тот факт, что d2n+i = 0, немедленно следует из четности функции
ехржй, т. е. из того, что expxd = ехр (— xd). Числа dn, по-видимому,
не имеют собственного названия, но, конечно, они обладают рядом
свойств, аналогичных свойствам чисел Эйлера. Соответствующей па-
парой взаимно обратных соотношений является пара
2 (м
ее «перевернутая» форма имеет вид
B3)
, bn
o
Если воспользоваться тождеством
и заменить а„ на ап-и п~1Ъп — на bn-t, то мы получим взаимно об-
обратные соотношения в другой форме:
= 2
n-rt- B3а)
Соответствующие «перевернутые» соотношения имеют вид
B4а)
Ортогональным соотношением для пары B3) является соотношение
которое по сути совпадает с соответствующим ортогональным соот-
соотношением для пары B3а):
/2я+1\ ,
2М'"
ч
Это соотношение, так же как п первое ортогональное соотношение,
вытекает пз определяющего соотношения (е* — е~х) ехр a;d = 2х,
Пары взаимно обратных соотношений B1) и B3) являются при-
примерами взаимно обратных соотношении, получаемых с помощью так
называемой мультпсекщга рядов — приема (уже упоминавшегося в
предыдущем разделе), который будет исследоваться на протяжении
всей следующей главы. В качестве еще одной иллюстрации к исполь-
использованию этого приема рассмотрим трисекцию.
Пусть г — первообразный корень третьей степени из 1, т. е. г==
1 -Ь i ]/^), '-2 = — 1- Очевидно, что при этом выполняется
равенство 1 + г + гг = 0. Рассмотрим три экспоненциальные произ-
производящие функции:
Пус
Верхние индексы у рассматриваемых функций выбраны именно та-
таким образом ввиду того, что выполняются равенства с^п = 1* 4n+i =
„<о>
А А1} — г'л) — О-
'-371+2
— А
2 — -1'
tS7l+l
— О
Функции, обратные к рассматриваемым, определяются соответст-
соответственно равенствами
1 ут = (ех + егх + в'8*),
1 ехр ху
' ехр
ехр
fe=n
= 4- (е* + rer
Соответствующие пары взаимно обратных соотношений имеют вид
n-3ft» ^n = 2
«п = 2 (з! +
+ 2
1) &п = 2
J &n = Zj
"
BГ>>
\ B)
Зк ]Узк o-n-z
Другое обобщение взаимно обратных соотношений B1) и B3)
может быть получено с помощью так называемого «усечения». От-
Отбрасывая первый член в экспоненциальной производящей функции,
8 дж. Рпордан

ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
использованной при выводе соотношений B1), приходим к опреде-
определяющему соотношению
или
2,-2 ехр хс - х- (е* + е~* - 2) = 2 B"а+
Обратной функцией является функция
ехр хе = ±-х* (ехр .тс) = г2 (ех + е~х - 2)~1 = 2 !§?"'
и соответствующая пара взаимно обратных соотношений имеет вид
п \ Ilk + 2\-1
)( 2 )
Другой формой соотношений B6) являются
S/л —2
B6)
Bba)
Ортогональным соотношением, соответствующим B6), является
т
2к + 2\-i
2
в то время как ортогональное соотношение, соответствующее B6а),
имеет вид
2\ . vi 12п + 2\
я _ V
-\- 2
2к
Эти ортогональные соотношения согласованы между собой, как,
впрочем, и должно быть. Несколько неожиданным окапывается тот
факт, что е2п = A — 2п)В2п, где Вп — числа Бернулли *). Проверяется
это следующим образом:
Если в найденное выше ортогональпое соотношение подставить
е-т = A — 2п)В2п, то получаем равенство
п /Ои _<_ о\ П—1 /0„ _!_ 1
S»o = 2 2, ^^ - 2 Ш + 1) 2 (« -|-1
*) См. с. 137,
3 4 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
115
Используя ортогональное соотношение для A7), можно пока-
показать, что первая сумма в правой части этого равенства равна п + 1
л, следовательно,
Так как это равенство можно записать в виде
^ 2\ д , -у /2л + 2
то в силу того, что первая сумма в правой части равна
мы получаем второе тождество:
я А Bп +:
h=
Если теперь взять производящую функцию, использовавшуюся
для вывода соотношений B3), и отбросить в ней первый член, то мы
придем к соотношениям
ехр хс
= Bа:)-1 (ех - е~*) ~ 1 = 2 ^
1)!
или
6а; 2ехржс=
2п
Bя)Г
Соответствующей обратной функцией является
ехр xf = 6~la;2 (ехр хс)'1 = З
— е — гх) — ^ Bи)!,
а соответствующая пара взаимно обратных соотношений имеет вид
Яп=2(91.|( Я I bn~2k, Ьп= 2 ( "k)fik(ln-2h- B7)
Другой формой тех же соотношений является пара
^3)bn=Zn[ntk3)f^an-^ B7&)
Ортогональные соотношения для обеих этих форм в сущности
одинаковы и записываются в виде
»/2»W2A + 3\-i «!2п + 3\
бпи= 2j 2A 3 hn-ih= Zi \2к-\-3 tin-zh

11G
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ It
ИЛИ
_
fik-
Разумеется, для обеих форм записи соотношений B6) и B7) су-
существуют и «перевернутые» формы, которые здесь приводиться не
будут. Приведем небольшую табличку значений величин, встречаю-
встречающихся в тексте:
и
& ъ
fl
"л
En
en
f»
0
1
<
1
1
1
1
1
2
0
0
0
о
•)
1
fi
1
3
—1
1
(Г
1
10
4
1
30
7
15
5
1
— To-
Toil
350
(i
1
42
31
21
—01
5
17
1050
8
I
30
127
15
1385
7
~30~
503
57750
10
5
00
2555
33
—50521
15
22
В табл. 3.3 приводится сводка соотношений, полученных в этом
разделе.
3.5. Многомерные взаимно обратные соотношения
Этот раздел написап кратко и сделано это умышленно ввиду то-
того, что перед яами открываются неисчерпаемые возможности для
получения различных тождеств, но определять степень их значимо-
значимости мы можем, лишь ориентируясь на полученные ранее результаты.
Вначале, для обобщения простейших взаимпо обратных соотно-
соотношений на случай двух переменных, воспользуемся тем, что ра-
венстпа xt = 1 — уи х2 = 1 — у2, очевидно, влекут два соотношения:
хТА. = A - УхГ A - УгУ, У?У* = A - Ъ)т A - а2)п. Отсюда иахо-
днм взаимпо обратные соотношения для величии, зависящих ох
двух индексов:
j=0 /<=0
b - V V ( \V+k(m\(n\n
B8)
3.5. МНОГОМЕРНЫЕ ВЗАИМПО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
117
Соответствующие формулы для величин, зависящих от несколь-
нескольких индексов, имеют вид
B9)
где суммирование ведется по fci = 0(l)ra,-, i=l(l)/. Это тривиальное
обобщение появляется в работах [36] и [5]. Результаты 15] пока-
показывают, что даже тривиальные замечания в этом случае могут ока-
оказаться существенными.
Аналогичная процедура может быть применена и к другим вза-
взаимно обратным соотношениям. Для этого запишем, например, пер-
первую пару взаимно обратных соотношений чебышевского типа в виде
V (п\ „»-2* .п _ у ,_ , чй п Iп - АЛ „-.2ft
4\)У ' У — &У Ч ^ТГ1-1 А- Г
m—2h
ЛУ
тт m ^l /m\ m—2h n V In\ n—1k
Из равенств a-'i = 2j /. ^i , ^г = 2j [ ЛУ-г следует, что
2j
A=o
Соответствующие взаимно обратные соотношения для величии,
зависящих от двух индексов, имеют вид
¦ -,g. GH'"'¦¦-
7 (
(п~~к\д ¦ „ь
Г /, \ат—2?. n— 2ft-
п — к\ К I
C0)
Ясно, как получить обобщение этих формул на большее число ин-
индексов; поэтому для экономии места мы его не приводим.
Разумеется, при получении подобных формул можно одновре-
одновременно пользоваться п разными взаимно обратными соотношениями
между величинами, зависящими от одного индекса. Так, например,
если
гп-2А п __ у , ,чй (П\ к
[ , -t., — Zj \— 1; /. J/si
ft -о V I
C1)
Далее, для обычных производящих функций от нескольких пе-
ременных, нз равенства a{xh ..., xm)=b(xu ..., хт)с(хи ¦ ¦-,хт)

118
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
следует, что Ыхи ..., хт)—а{х,, ..., хт)с*(х„ ..., хт), если выпол-
выполняется равенство с{хи ..., xm)c*(xt, ..., хт) = \.
В качестве простого примера возьмем
а(х, y) = b(x,
Обратное соотпошепие имеет вид
Ых, у)=а{х, /,
где а (х,.у) = 2 атпхтуп.
т, /*=О
Аналогичное выражение справедливо и для Ь(х, у). Тогда имеют
место взаимно обратные соотношения для величин, зависящих от
двух индексов:
&тп ~ Отп От—\,п ^>т,п—1 ~Т~ "т—1,я—li
а»-
Задачи
НИН
1. В разложении величины п(у + я)™-1, полученном при выводе соотноше-
й B),.положить у = 1, х = 0 и получить тождество
2 (а) **"' <» - А + И"""" = л (« + D"-
Заметим, что кк-1 = Rh — число помеченных корневых деревьев с к верши-
вершинами.
2. Чтобы получить другим способом вторую пару взаимно обратных соот-
соотношений Абеля B), воспользуемся тождеством Абеля
(х + у + п + а)'1 =
(у + л _ А)»-\ а* в ад = А.!(
и запишем его в виде *„ = 2 Ш <* + /c>4-ft- Показать, что
Ьп = (У + л)" = [а(-1)-1 + 1+У+« + а)" =
= ftS B) l« (- 1) - *1 1а (- 1) - * + *!»-> (* + j, +
1« (— 1) — г] [а (— 1) — х + к}11'1 =
= (- я - *) (_ * + ft)"-1 + * (к - 1)
= U- * - А) (- , + к) + ft (А _ 1}] (_
А* (- xf-*-i
ЗАДАЧИ
3. Во взаимно обратных соотношениях из примера 1 положим bn = Dn,
где О,. —так называемое число беспорядков: Dn = Д! = п?>„_, + (—1)в,
exp zD = e~z(l — г). Пусть теперь D — оператор дифференцирования. Исполь-
Используя формулу Лаграшка, показать, что
„п = D"-1 \х A - *Г1)в(п-1)*)
)ар,0
2j
/|=П
А- (и
1-^! = (п - 1)п.
Указание. На последнем шаге использовать первое тождество из при-
iiepa 1.
Получить взаимно обратные соотношения
Первое из этих соотношений имеется в [52]; второе, полученное совершенно
другим цутем, приводится в [55].
4. Для величин ап(х), определенных в примере 1, получить тождества
оп A) = (п + I)» = 2 (I) пп~'-кк,
ап B) = 2 (п + 2)" = 2 (a) "-n~l~hM
и доказать, что обратными для них являются соотношения
1 = 2 (- 1)*+я(а) кп~к {к + 1)"-\
2п = 2 (— 1)"+п ['к) kU~h2 (к + 2)h~1-
5. В паре взаимно обратных соотношений
«п = 2
положить рй === (Зй = kh, a0 = —1, <zh = «ft = ''""' =
Rh — число помеченных корневых деревьев с к вершипами
Тогда
" ' ">- '-' 1. Oft — R.
, А = 1, 2, ..., где
„ = _(а + а)п, в11 = ак, а" s а».
Показать, что
ехр
п\
ц, следовательно, ехр х$ = [1 — Л (ж)]-1.

120
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
Используя формулу для производной сложной функции в термппах много-
многочленов Белла*), вывести соотношения
в» = Кп(/Я //?„), /*=/„ = ?!.
Проверить частные случаи:
З3 =
22 = Да + 27?*, 44 = Л4 + 8Д3Л, + 67?^ + 36Л,/?* + 24/?*.
п
Полагая У n(fRv .. •, /Л„) = 2 hY n k (Rv ¦••• пп) и используя тождесг-
во пз примера 1, а именноn" = JLi I, )n"~^~llk.k\t показать, что
i
6. В первой паре взаимпообратпых соотношений Абеля A) положи
i = l а получить следующие соотношения:
"» = 2
4
2
4=0
"„= S (-
Пользуясь символическими перемепными
отношения в виде
из задачи 5, представить эти со-
соьп = — (я + а)", о" ^ oft, ак = ak = (к— 1)"-',
где ai = 0° = 1. Для R(x), определенного как и выше, показать, что
exp х|3 = z~'/?(.r),
откуда — exp za = x/R (x).
Используя соотношение R(x) exp — R(x) = х, показать, что
_(„_!)»-! = У„(_Д,, ... _Д„)
или
(» —1)»-" = У„(/Д,, ..., /Д„), fk^fk = (-1)*-'.
Проверить следующие частные случаи:
1 = Д2 - Д2? Зз = Д4 _ ^Л, - ЗЛ| + 6/?2/?J - Л«.
Используя последний результат из задачи 5, получить тождество
а также и обратное к нему соотпошепае
2
А=0
(-1)A+Ifj)*n-*(A-I)ft-1
(воспользоваться примером 1).
*) См. гл. 5.
ЗАДАЧИ
121
7. Положив в формуле (За) bk = (х-\- к)к, показать, что
(i + /с)" = д"х" = ге1,
где А — обычный разностный оператор. Получить отсюда формулу
(I)
(х Л- п)п =
)"-"-1 к\.
Заметим, что частный случаи этой формулы (при х = 0) уже встречался
в примере 1 п задаче 5.
8. Показать, что для соотношения
существует обратное к нему соотношение вида
" Bп — 2к\Bк\
тде бпт — символ Кронекера (ср. с формулой (8)).
9. Рассмотрим многочлены Ьп(х), определенные в задаче 5 гл. 2, п запа-
запашем их в виде
fe=0
fe=n
=f) (
1 — .7, I of.
ft=n
Положим ж11 е= !(, = m(m +А-)~'. Воспользовавшись результатом задачи 5
гл. 1, показать, что
(l-.)* = |(*)(-l)i»(m + /)- = fB + *).
ift = it = т (т -у- А;)~г.
Вывести отсюда для первого выражения 6,,[4~1A— х)] представление вида
(*)
к\-1 2
Проверить справедлпвость следующих равенств:
2т + 1 _ Bта + 1) Bт + 3)
2(m+l)' 62(m) = 4(m-|:l)(ra + 2)'
ноторые являются частными случаями равенства

122 ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
Обратным для (*) является соотношение
к=0
, ("О
Если предположить, что приведенное выше выражение для Ьп(т) спра-
справедливо, то последнее соотношение можно записать в виде
2т\ [т
п\ Bт + 2/
(**)
Заметим, что левая часть этого равенства симметрична относительно п и т.
Обозначив эту сумму через fn(m), получить следующее рекуррентное соотно-
соотношение:
/„(го) = fn-i(m) —fn-i(m + 1).
Проверить граничные условия
и доказать справедливость тождества (**), а значит, и справедливость тож-
тождеств
ft=o
2/г —27Л/2/Л го /2/и -'- 2/г\ /2m\-i
" — к )[ к I т -\- к [ т -\- п )[ т
Из третьего выражения для величины 6ПD~'A — ж)) вывести соотношении
V /« — 2/Л 2V A _ Х)п-з = V /га —
3=0 \ ' J ,=0 V '
2' .
J=0
п \— 1 (т -т-п\— 1
n—2ft
\-i у /„-/Wro-l + A •
-j- /)~\
и получить тождество
m -+- n I \ m \ m
n—2ft
Заметим, что пример 2 позволяет для соотношения
ЗАДАЧИ '
123
получить обратное к нему соотвошенпе
/га -|- 2А
" . /го\
(т).
10. (а) Положив в задаче 9 т = 1/2, показать, что
,2
V Г
I) = 24'
Заметим, что если Ьп = ( Л Bп + i)~l, ап = 24"/B« + i)\, Ь(х) п п(х) —
соответствующие пропзводящпе функции, a d(x) = A — 4ж)~1/2, то справедли-
справедливо соотношение d(x)b(x) = а(х).
Доказать, что
d~l(x)b(x) = A— Ax)d(x)blx) = A — 4х)а(х).
Используя рекуррентное соотношение 8non-i = Bn + 1)ая, получить тож-
тождество
1-1 =
B«4-
"=-1,2....
(Ь) Используя соотношения (8), получить следующие пары взаимно обрат-
ттых соотношений:
или
11. (а) Из тождества
I2n — 2k\[2k\ m
A=0
2т -f In \ /2m\-i
полученного в эадаче 9, с помощью методов, использованных при решении за-
задачи 10 (а), получить тождество
2га — 2/Л Bк
J
¦у /2га — 2/Л Bк\
Zi \ n — k J\k J
4" к) (^

124
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
A)) Используя соотношения (8), получить взаимно обратпые соотношения;
&--0
1
п-к
л)
л — 2к
12т + 2Д
-W ' к
12. Записав производящую функцию для чисел Бернулли в виде
(ех — 1) ехр Вх = х, В" е= В„, получить соотношение
" /и\
т _ (# 4- г -f-1) — (й -j- г) = Zi 111 o/j К'+ l) — t" I, i?™= /?n.
Используя соотношения A7), получить обратное соотношение
» /п\ _ _ft_ ( п \
•*—J I /с i ' >^J I fc -f- 1 / *
ft=O » ' k=0 \ '
справедливость которого легко проверить. Заметим, что при п = 1, 2, ... первое
соотношение эквивалентно соотношению
у« [(, + 1)П-1 + fn-l] = у Гп\ Bj{t + 1у
ft=O
"
)»"*
При t = 1 оно принимает вид
i я B"-1 + 1) = V / п\ Bih BП-й _ I)t „ = 1, г, ...
Отсюда, используя соотношения, связанные с ортогональным соотпошением для
A7), получить тождества
VI /2'Л
2"+ 1) B—1 + iL
„ = 0. 1, ....
из которых в свою очередь следуют тождества
п /о,, _L Ч \
22n+i п_4_ У [ ' Ir 22n + 1~2ft
¦^J \2k ~\- 1 1 2Й + 2 *
Bп -!- 2\
22n+i . 2д 1 =
2,4+2'
Для < = —1/2 при четном п тождество (*) становится тривиальным, а при
п нечетном сводится к соотношению
>» + '= 2
Этот результат был получен зще Эйлером (см. [48]).
ЗАДАЧИ 125
13. (а) Из тождества
полученного при го = 1 из соответствующего тождества задачи 5 гл. 1, и взаим-
взаимно обратных соотношений A7) получить тождество
лД ft . , _i
1 ^^ / п \ _.
яквпвалеитпое равенствам Во = 1, "J = 2j \2A;j Вгл (ге + 1 ~ 2А'^ • Последнее
тождество в сущности совпадает с ортогональным соотношением для пары A7).
г,
(Ь)В более общем случае получить из тождества ^
<= (л + I) [(I -f t)n+l — tn+i] тождество
jji+i— /<i
- tn
Заметил!, что дифференцирование по t дает первое соотношение из задачи
12. Заметим также, что при п = 1, 2, ... последнее тождество эквивалентно
тождеству
_l t)n jr tn]
(n + 1 -
14. (а) Применяя формулу бисекции рядов к производяп(ей функции
A + <)", получить соотношения
1
,2k
n—2ft
п, воспользовавшись формулами B1), получить обратное соотношение
2{П = 2 A
Записывая последнее соотношение в виде 2in = (? + *+1)"+ (? 4-
+( —1)", ?" = ?п, проверить, что из него следует соотношение для произво-
производящей функции чисел Эйлера: (ех + е~*)ехр хЕ = 2.
(Ь) Полагая I — 1 и г = 1/2, получить тождества
о_ у (
feC \
Z (*) 2ft ' fi2
— V /2" +
— 2j[ 2к
2 = 2 (¦!,
л-=о

12G
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
15. (а) Из тождества
- 2 B Д l) tn"-°-h =
+ I) (» - 2/,-) «
n-1—2ft
я соотношений B3) получать тождество
2ntn~* = 2 foil d» l(t + l)"-2ft - (t - l)"-2ftl
и проверить, что из него следует соотношение (е1 — е~х) ехр жй = 2ж, d" == d,,.
(b). Полагая г = 1, получить тождества
1 о _
/i=0
+ 1Wn+i-2fc
2ra
Полагая i = 1/2, получить тождество
16. (а) Из тождества -j l(« + 1)T' + С - D" - 2t"\ = 2 B/+ 2) '""
« взаимно ооратпых соотношений B6) получить тождество
2—2 А
а проверить, что из него следует (ех + е~* — 2)ехр хе = ж2, е" == е„,
(Ь) Полагая < = 1, получить тождества
п (п - 1) =
2, B, - 1) = 2 (Ц
e2k B
."-**-2 + 6п-гА),
*-2) + .,п =
к—0
.« B—й - 2),
ЗАДАЧИ
127
О2П + 2—2ft
=2ft'
B„ + 1) = V /2" + JV B««+-*-2>.
_ B, + 4)
Полагая i == 1/2, получить тождество
in („-!)= 2о B*) 'й I3"" - 2 "Ь f- D"l 22"-
17. (а) Пз тождества для производящих функций (ех — е~* — 2ж)ехр ж/=
= х3/'А (или из соответствующего частного случая соотношений B7)) полу-
получить тождество
~3 = Д (гл) /«1(г + 1)n~2ft -(' ~ 1)n"ft - 2 (и - 2А) i"-i-2ft].
Заметим, что полученное тождество теряет смысл при п — 0 A) 2.
(Ь) В полученном тождестве положить 1 = 1 i получить соотношения
3
2п -1- 1
3
чп /
= 2
i,=n
12 — 2Bи — 2A)J — fin,
2 Bn
Используя ортогональное соотношение для B7), преобразовать первое из
полученных соотношений к виду
18. Заплсывая простейшую пару взаимно обратных соотношений в виде
_ V I U / — V г 1
"п — Zj у/с) п-1<> °п — j?j I х
и заменяя в ной оп на ап1х"п\, а 6„—на 6„/ж"и!, получить пару взаимно
обратных соотношений
«»= 2 (ff «л»-*, "я = 2 (З2 и'- *>Ч-Л.
приведенную в [64].
Заметим; что ладейный многочлен *) для квадратной доска со стороной п
задается формулой
С многочленол! 5„ (х) связан так называемый присоединенный ладейный
многочлен sn(x), задаваемый формулой
•» (*> = *nsn (- *-') = 2 (- d
*) См. [51], гл. 7. (Я^ил. перев.)

128
ГЛ. 3. ВЗАИМНО ОБГАТИЫЕ СООТНОШЕНИЯ II
Цспользуя последпее выражение, записать получеппые соотношения в виде
о„ = (—x)"sn(—x-'b), 6" == Ь„,
Ьп = xnsn{x~la), о"==а„.
Показать, что
где E —оператор сдвига: ESn{x) = Sn + [(x).
Последнее тождество выражает ладейный мпогочлен для дополнения к
квадратиоя доске со стороной п в квадратной доске со стороной п, ц который,
очевидно, равняется S0(x)=i.
19. Рассмотрим следующую формулу (см. [13]):
В частности,
Ь=о
- А
N = min
m-f-2
2
m-f- 3
3
Вывести следующие соотношения:
"
m+2.0-
"m, = "m + 2,2
2) «
Естественно предположить, что
4) (m
Доказать это предположение, получив одно из следующих ортогональных со-
соотношений:
cjo ~
— 2i\ m — n
)
i—0
j- i,
— n + 2f —
I
т — п + 2/ — i
V (— п« " + 2? fm -I- A fm + 2/\
~ Z* ' т -|- i I i A / — (/**
ГЛАВА 4
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
4.1. Введение
Производящие функции уже встречались в предыдущих главах
по различным поводам. Так, в первой и третьей главах они приме-
применялись в качестве метода, альтернативного методу рекуррентных
соотношений; кроме того, в третьей главе с их помощью были полу-
получены взаимно обратные соотношения. Производящие функции неиз-
неизменно появляются во всех разделах перечислительного комбинатор-
комбинаторного анализа. В настоящей главе акцент будет делаться на наибо-
наиболее естественных применениях производящих функций для полу-
получения или проверки комбинаторных тождеств, когда другие методы
менее «естественны» или менее эффективны.
Как и многие разбиравшиеся ранее вопросы, тема эта практи-
практически неисчерпаема, и подбор приводимого материала определялся
в основном моими склонностями и симпатиями.
Вначале мы займемся обыкновенными производящими функция-
функциями (типа степенных рядов). В первом разделе этой главы изучаются
произведения производящих функций от одной переменной. Затем
на примерах следует рассмотрение метода мультисекции рядов —
приема, ставшего вновь популярным после длительного периода заб-
забвения; многочисленные результаты, полученные за последнее время
этим методом, с трудом поддаются обозрению. По-видимому, наибо-
наиболее интересными из этих результатов являются результаты, связан-
связанные с получением при помощи экспоненциальных производящих
функций лакунарпых рекуррентных формул для чисел Бернулли —
тема великолепной работы Лемера [44]. Далее следует раздел, по-
посвященный суммам величин, называемых мной циклами биномиаль-
биномиальных коэффициентов:
Исследование сумм таких слагаемых с помощью производящих
функций от нескольких переменных естественным образом прово-
проводится в прекрасных работах [14] и [15]. Завершает эту главу раз-
раздел, посвященный рядам Лагранжа. В этом разделе рассматривают-
рассматриваются приложения рядов Лагранжа к получению комбинаторных тож-
тождеств и формул обращения рядов.
9 Д?к. Риордаа

130
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
4.2. Произведения обыкновенных производящих функций
Если А(х) — обыкновенная производящая функция, A (x) = 2lanxn,
где суммирование начинается с п = 0, а В{х) — другая производя-
производящая функция, В (х) = 2 Ьпхп, то коэффициентами их произведе-
произведения Cix) -=> Aix)B(x) являются произведения Коши
Если величины сп могут быть определены другим способом, то со-
соотношение A) становится тождеством.
По-видимому, простейшим примером соотношений такого типа
является следующий пример свертки коэффициентов. Пусть
Ап(х) — а0 + а,х + ... + апх'\
Вп(х) •= а0 + (а0 + ajx + ... + (я0 + «i + • • • + ап)хп.
Тогда очевидно, что
(l-z)Bn(x)=An(x)-An(l)x"+i. B)
Проиллюстрируем возможности, предоставляемые равенством B),
следующими примерами.
Пример 1. Положим Ап(х) — A + х)п, а Вп{х)
где
A - аОД.Ы - A + х)" - 2пхп+\
п - 2в-'х"A + х)
Отсюда в силу того, что B^ix) = Аа{х) = 1, получаем
D I т\ /A I ~\ D fv\ Л. ') п~1-гп ¦
Uyi \ I "~~ \ -I i ***/ п~~\ \ I ~Т~ ^ ~—
- A + xf Вп_, (х) + 2"-V1 A + х) + 2П-V
- A + xf Bn_h (x) + S Т~1Чхп-> A + хУ -
n-i
Следовательно,
или
x)K
h+1
V
oj-l
2
*) Коэффициенты cn обычно называют сверткой коэффициентов ап и 6»,
(Дрим, перев.)
4.2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИИ 131
Кроме того, это тождество может быть записано в виде
в о
"n.h — -D
3=0
где аш» — баллотировочные числа, определяемые соотношениями
«„,, = 1, ап,„ = «„,„-1, anm = an,m_, + an-i,m, n> m (или соотношением
о„™ = я„-м + ... + an-i,m). Явные выражения для апт имеют следу-
ющий вид:
n + т
!п 4- гп\ __ /?. + 1 — т In -(- т\
~ [т - 1) „ + 1 V '" /"
При м е р 2. Рассмотрим производящую функцию dix) <=•
¦— A — 4а;)"/2. Как уже указывалось выше (и что, конечно, хорошо
известно само по себе),
п=0
Так как йг(а;) = A — Ax) ', то немедленно получаем, что
" 12к\12п — \
П /ОЬ\ /0-м OZ>\
92П V! 1Ы\14П — 4Ь\
2 =й,1*Д»-*>
Так как d(x)d(-x) = A - 4V)-1/2, то
2n\
2k\ (in - 2/
2П+1
о=2 (~1)Л
Далее, как и в гл. 3,
n=.0a
где с(я) — производящая функция для чисел Каталана: с„
= (и+1)-Ч,.
Так как d""'(x)d2(a;) = d(x), то
т
Далее, обозначая через D оператор дифференцирования d/dx,
получаем
Dd"(x) = ndn-x{.x)Dd{x) = 2nrf"+2(x)
или
2(n-2)d"(ж)-Z?d"-4a;).
Последовательно применяя это соотношение, легко иолучшъ
9*

132
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
равенство
2т\ ,2т+1
п=о
Так как di+h{x) = d'(x)dk(x), то последняя формула дает возмож-
возможность получения различных тождеств. Простейшим из них явля-
является тождество
i=-2Bn+l)dnxn=d°-{x)d(x).
n=0
Отсюда
Разумеется,
w+; ~
d2mi
Соотношение d''(x) = d3(x)d(x) дает тождество
(re + 1) 4" - 2 BA + 1) dkdn-h = 2
и, следовательно,
n-k + 4n,
4.3. Мультисекция рядов
Мулътисещия рядов — это название одного старого приема, ко-
который основан на использовании примитивных корней из 1 для
разбиения ряда на две или большее количество частей. Простей-
Простейшим примером является бисекция, при которой суммирование про-
проводится отдельно по четным и отдельно по нечетным степеням х:
так, если а(х) == о0 + atx + ... + апхп + ..., то
«о (*; 2) = 4 [а(х) + а (- х)\ = а0 + а^ + ... + ainx2n + ...,
йх (ж; 2) = -j [а (х) — а(— х)] = а^х + а3х3 + ... + ain+1x"-n+1 + . ..
В общем случае этот процесс, уже использовавшийся в гл. 3,
описывается следующим образом: если г — примитивный корень
тп-й. степени из 1, т. е. rm = l, гФ\ (в качестве г можно взять
exp Bn2m-'), где f =» — 1), то к-я пг-секция ряда а(х) определяется
равенством
«, (x; m) = m-1 2 ^"^a (Л) = 2 aft+jm/+j"\ * = 0 A) m - 1. C)
j—1 4=0 . .
4.3. МУЛЬТИСЕКЦИЯ РЯДОВ
133
Если т четно, то нечетные степени величины г являются так-
л,е п корнями из — 1 и тогда возможно разбиение исходного ряда
ка знакочередующиеся ряды, определяющиеся следующим равен-
равенством:
_r °a(r2j+1x) =
3=1
= 2 (- l)j ah+]mxh+>m, к = 0 A) ^ГГТ, r™ = _ 1. D)
3=0
Заметим, что обе эти операции линейны; последнее означает, что
если с(х) — Аа{х) +ВЫх), то
ск(х; т) = Aah(x; т) + ВЬк(х; т),
E).
"{к(х; т) = Aah(x; m) + B$h(x; m).
Заметим также, что
т — 1 т—1
2 0-и {х; т) = а (х), 2 ^fc (х> т) = а (гх).
к=0 ft=0
Если а(х) = i, то ah(x; m)~8h0, где бм — символ Кронекера.
Если aix) — A — ж), то
ah (x; m) == т2 rm~k' (l - r^) = 2 xk+jm = xft (l - ж), F)
з=1 ;=о
что само по себе является интересным тождеством. В то же время
справедливо тождество
т
ak (х; т) = пГ1 2 г2
= xh
3=1
1. G)
Следующий пример иллюстрирует возможности применения
этих тождеств.
Пример 3. Рассмотрим производящую функцию для чисел
Фибоначчи, а именно / (х) = A — х — х2) = 2 /п#"» где /0 =
¦== /i = 1, /п = /п-1 + /п-2, п = 2, 3. Тогда
/(ж) = ЛA - ал;)-1 + 5A - ЪхУ\
где А = а{а— Ь)~\ B-b(b-a)-1, а+Ь = 1, аЬ = — 1. Заметим,
что отсюда следует равенство /„ = (a"+1 — bn+i)(a— b)~l.
Далее, пользуясь линейностью и первым нз двух приведенных
выше тождеств, получаем
U (х; т) = 2 fk+jmxh+jm =
i
i=o
xh [h + (- 1)"
- amxm)~l + Bbhxh (l - Ътхт)

ш
ГЛ. i. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Сокращая общий множитель х" и заменяя хш на х, приходим
i; тождеству
[! __ (в™ + ът) х + (- 1)"V] 2 fk+!m*? = /* + (- l)k+1/m-fc-,x.
Последовательность /„ =¦ а" + &" называется последователь-
последовательностью чисел Лукича: 10 = 2. Z4 = 1, /„ = /„_,+/п_2. Так как
(а- Ь)г„ = ая+1 - bn+i +{а"-1 - б'1), п = 1, 2, ..., то для Zn получа-
получаем выражение
In = /n + /n-2, ft = 1, 2, . . .,
/„=¦2/,-/»-,, п = 0, 1, ...
Наконец, приравнивая коэффпциенты при х\ получаем лакунар-
ное рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи:
fk+im — Цт + fm-z)fk+ml-m + (~ l)m/ft+mj-2m = /Ао + (~ D*+' fm-k-Al,
где б„т — символ Кронекера. Важный частный случай получается
при к — 0. В этом случае, используя рекуррентное соотношение
Для чисел Фибоначчи, методом математической индукции можно
доказать гораздо более общий результат (в силу того, что для па-
чальных значений параметра этот результат теряет смысл, запи-
запишем его в слегка измененных обозначениях):
fnm — \fn "т" fn-2'Jnm-n "г (. 1) ]nm—zn = U,
т = 2, 3, ...; п — 1, 2, ...
В частности, при пг = 2, 3 получаем
/.» - (/» + /»-i)/- + (- Dn/o = 0,
/.. - (/» + /-i)/*- + (- D"/« = 0.
Первое из этих равенств можно легко проверить с помощью изве-
известных результатов: /2П = fn + fn-п /n = /n+i/n-i + (— l)n-
Знакочередующаяся мультисекция приводит к тем же рекур-
рекуррентным соотношениям, что и полученные выше. Другие возможно-
возможности мультисекщш иллюстрирует следующий пример.
Пример 4. Положим aix) = ап(х) = A + ж)\ Тогда, в других
обозначениях,
«„.„(я; 2)=-|-[(i + хг +
«пл (*; 2) = 1 Id + -)"
- *>П1 = 2 BД J ^+1'
Отсюда нельзя получить нетривиальных тождеств, однако при,
4.8. МУЛЬТИСЕКЦИЯ РЯДОВ
185
/j 2s m из соотношений
«„,„ (ж; 2) ат,0 (ж; 2) = 1 [ап+Я1,в (а-; 2) + A - *Ta»_m,e (х; 2)],
«„,, (ж; 2) атл (ж; 2) « 1 [а„+т>0 (j:; 2) - A - xa)m«n-m,o (ж; 2)],
fln,0 (х; 2)ата (ж; 2) = | [а»+™д («5 2) - A - х2)та„_тЛ (*; 2)],
а,1Л (ж; 2) ат,0 (ж; 2) - |-[ап+тл (х; 2) + A -^ *2)'X-m,i (ж; 2)]
получаем тождества
U ;,) (» _г _,) - С J") -1, <-1L-' (•»¦)(,-,).
7-
2
n \( m
+ i) \2k - ;
ft
-Si
3=0
В частности, при п —= /п
ft-1
Разумеется, ни в этих, ни в предыдущих тождествах мы не
требуем неотрицательности значений для гейт. Полагая т, п или
тип одновременно отрицательными (и подчиняющимися условию
п > т), получаем тождества, внешне отличающиеся от полученных
ранее. В целях экономии места мы не станем приводить эдесь все
»ти тождества, однако отметим, что при п — т, п < 0 они принима-
принимают вид
„ + 2/—
2)
2k-2i
2к
h
9 ^ [n + 2'\( n + 2k ~ 2/ \ — Bn + 2fc — J\ In + к — i\
-ti И + 2// V-— 1 + 2Ar — 2// ~~ V 2Л J I A J'
n + 2/ - iUn + 2k - 2/
J \
iUn + 2k - 2/\ _ /2«
J \l -i- 2k - 2j) ~~~ \ 1 -
+
-1- 2A i'

136
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Попытка получить аналогичные тождества с помощью мульти-
секции (при разбиении более чем па два ряда) приводит к значи-
значительным трудностям. Рассмотрим, например, трисекцию. Тогда, ес-
если г3 •= 1, 1 + г + г2 = 0, то
За„,0 (х; 3) = A + xf + A + rx)n + A + гЧ)п = 3 2 C"J x^
Q/12 I -У Ч\ Чп / -V Ч\ _1_ Р\П t-V Ч^ П Iг\ 9/J / Л I 9Н
Чтобы получить соответствующие тождества, положим /„(ж) —
¦«= A — а; + ж2)". Тогда
j=0
Кроме того,
|о С) (-1)'! 2 (*) (- DV+* - Д (- *? 2 (й 7;) (ft 1 ,)•
Отметим следующее тождество:
[ft/2]
Применение полученных результатов к соотношениям для про-
производящих функций приводит к тождествам
31 (;) (»• *) - е)+2 <-«" s г г о (»- д
то ?= 3/г.
Разумеется, применение мультпсекцир1 ие ограничивается лить
обычными степенными рядами. По-видимому, наиболее интересны-
интересными примерами ее применения к другим рядам является получение
лакунарпых рекуррентных формул для чисел Бернулли. Как уже
упоминалось во введении к настоящей главе, вся история получе-
получения этих формул приводится в [44], (однако, автор мультисекцией
ые пользовался).
4,3. МУЛЬТИСЕКЦИЯ РЯДОВ
437
Пример 5. Рассмотрим числа Бернулли, определяемые сле-
следующей формулой:
(обозначения слегка изменены по сравнению с гл. 3).
Вначале рассмотрим бпсекцию
60 (ж; 2) = -i- [Ъ(х) +b(~x)] = 2i b-2n ;
11=0
6](.x;2)=--lfMx)-b(-x)] =
„2Я+1
?1=0
По
¦5- \Ъ (х) + Ь(- х)} - JL \(ех - 1)- + A -
-L fb
(_ у)] = ь (х) - Ьо (х- 2) - - -I,
так что &i = — 1/2, &2n+i = 0, /1=1,2,..., что является хорошо
известным результатом.
Далее рассмотрим трисекцию п, в частности, ряд
Ьо (х; 3) = -1 \Ъ (х) + 6 (г*) + Ъ
п=0
3п^ = 2
Записывая 60 (ж; 3) = .,л3, , находим, что
iV8 (.г) = ех + reTX + rV
+ re
re~rx
D3 (х) = ех + егх + ег*х - е~* - е~гх -
Тогда, во-первых, N3(x) ~ D3(x), где штрих обозначает производ-
нуго, a D3(x) = d3(x) - d3i-x), где d3(x) = ex-{-erx+er2x •=
Следовательно,
(Он -,- 3)!
х
в11+э
(бп-(-З)Г

138 ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Приравнивая коэффициенты при хап+', находим
Если соотношение
М*; 3) - у [Ь (х) + гЧ (гх) + гЬ (г1*)] = 6.x +
-вн+4
««+* (б»+ 4)!
записать аналогичным образом в виде xN,(.x; 1)/(ЗД,(.г)), то полу-
получаем, что N,{x; 1) =» 3 — 2ds(x) + ds(— ж), откуда
4- Nt (<c; 1)- 6x1), (x) - 1 - i- rf3 (*) - -i- ds (- *) = -2 -n
Аналагичным же образом получаем
', (х; 2) - вх + rVx + гегЧ + е~х + гЧ
+ re"'"" = 6
,8I+4
Fn-f-5
ft—о
Все эти результаты имеются в уже упоминавшейся работе Ле-
мера. Однако аналогичные результаты для пятисекции в ней не
приводятся. Их можно получить следующим образом. Положим,
как и выше,
М»;б)- 'ЦУУ*. *-0AL,
и заметим также, что
2xl0n+a(k)
Ьюп+aih) (lO?i + a(fe))|['
п—О
где 6И — символ Кронекера, а а{к) определяется формулой
{к при к четном,
5 + к при к нечетном;
в частности, «Ш принимает следующие значения!
к
а(к)
0
0
1
С
2
2
3
S
4
4
4.3. МУЛЬТИСБКЦИЯ РЯДОВ
139
Тогда Diix) = dbix) — db{— x), где
_|_ е* r+r _|_ gx r+r _|_ ex t _^_ gx i _,^ ех г +т ^
или, используя очевидные обозначения,
db{x) = dii(x) — db2{x).
Первое слагаемое, db, i(x), очевидно, равняется 5 2 х""/(оп)\.
-it—О
Чтобы оценить второе слагаемое, запишем
Тогда
dnB) == A + г)" + A + г2)" + A + г3)" + A + г4)" +
или в силу того, что 1 + г3 = г3 + г5 = г3( 1 + г), 1 + г4 — г4 + г5.—
— гЧ1 + г), получаем
йяB) - 1A + г)п + A + г)"] A + г" + г2" + г3" + г4").
Второй сомножитель, который также можно представить в виде
A — г5п)A — гп)"¦'•, равен 0, если п не делится на 5, и 5, если п на
5 делится.
Таким образом,
где
1
Заметим, что
б0 = 2, 6, = 4 + 13(г + г + г3 + г4) = - 11,
2, ,..,
в силу равепств A + г)A + г2) = 1 + г + г + г9 = -г'.
Полученное рекуррентное соотношение вместе с соответствую-
соответствующими начальными значеппями полностью определяет величину б„.
Приведем несколько первых значении величины б„:
п
«„
0
2
1
—11
2
123
3
—1364
4
15127
5
— 167761

140
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Производящая функция величин б„ равняется
б (х) » ? Ьпхп - [1 - х A + гN] + [1 - х A + г2M] =
11=0
= B - ЬАх) A
- х-)'1 =
х-)'1 = B + На:) A + Их - ат8).
Тогда
Как и в случае трисекции,
N, (х-1) = 5 - Ыъл (х)
2Й5,2 (- а:) + d6ll (- a;),
Л'» (х; 1) - 55^ (ж) = 5 - 4- йъл (х) + 1 4,2 (*) +
4" <*e.s (~ «) - 4 4м (- лг) = 5 2 Fгп+а - 3)
10)!'
(х; к) = п,п (х) + тгй1 (— х) — nh2(x) — nft2 (— х), к = 2 A) 4,
где
хЪп+к— 1
Положив
получим соотношение
8iVn(k) = vn+1U0 — Yn-Д/с), «=1, 2, ...,
со следующими начальными условиями:
\
\
n
0
1
к
2
3
—29
3
1
-18
4
-3
29
Из рекуррентных соотношений и приведенных начальных условий,
положив vnB) = Vn, получаем
vnC) = vn — б„, vnD) = — л-„.
4.4. ЦИКЛЫ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
141
Приведем полпый набор ла^нарных рекуррентных соотноше-
ii с ша1^ом 10:
S (lOft
fe=0 \
n_10fc = Bи
1\
J A ~ 62ft+i
/Юл-t- 7 \ _10n + 7 ,,
I io/r + 5 у v1 — °2fc+U °ion-iofc+2 5 V1
/1O« + 13\ 10» +13 ,, , «. v
I 10ft + 5 I A ~ 02ft + l) Ol0n-10ft + 8 = 5 U — Л 2П + 2 + O2n+2b
j/10n + 9\ 10n + 9n , ,
^ I io/c + 5) V1 — °2ft+i) Oion-ioft+4 — 5 U "Г v-jn+i;-
Для удобства читателей приведем также небольшую табличку
чисел Берыулли Ь2п и значений величины v,,:
\n
0
1
3
1
1
6
—29
2
1
30
322
3
1
42
—3571
4
1
30
39003
5
5
Gti
—4392H4
(>
091
2730
7
7
6
8
3617
510
4.4. Циклы биномиальных коэффициентов
Под циклами биномиальных коэффициентов мы подразумеваем
произведения вида
В работе [14] указывается естественная связь производящих
функций с суммами циклов биномиальных коэффициентов. Чтобы
продемонстрировать эту связь, рассмотрим цикл длины два. Так
как
то
(l-v(l-
= A - ш)т A - v -

142
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
ИЛИ
t') (' t
у
Решающий шаг в формировании цикла делается теперь следую-
следующим образом: вначале отметим, что
«*»-*(!-
= 1A — У — Ш) — A — W) НЮ'1].
В этой формуле коэффициентом при и;0 (т. е. при к = 0 является
производящая функция
Кроме того,
Вдесь коэффициентом при w" является выражение
2 B;) W(i + u- v)-*'-1 = [A + и - v)* - 4«j-1/«.
Таким образом,
*У = [A + ц _ у)* _ Аи\~х1г -
= [(!_„_ „)* _ Auv]-lfi - ? (ц^1, v), (8)
где д„(д;) — присоединенный многочлен Лежандра 2uJ з; , у;ке
встречавшийся в гл. 2.
Приведенные выше рассуждения легко обобщаются. Для этого
положим
/„(ц,, . . ., ц„) ¦= A - uj/n-jdi,, . . ., ц„_2, «„-
га =• 2, 3, .. .,
в пусть для удобства /0 = 1. Тогда
/;_, (м„, .. ., н„) /-1 (ци .. ., ип) =
- ;;„)-'),
(9)
-"-- A0>
4Л.ЧХИКЛЫ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
143
V
n-i<i^' ••чипIп Х(Щ> • •-, Un)
= [/„A*!, ..., Wn) — UoMnVn-lt^i ...,"я)] V A1)
Коэффициентом при и°пв последнем выражении является произ-
нодящая функция для цикла длины га. Чтобы получить ее в явном
виде, заметим сначала, что
= 1 — Mi — tt» — Ц»A — Wi) = /2(tti, Ц2) — U,/,((J,).
С помощью математической индукции легко проверяется соот-
соотношение
fn(uu ..., ип) — /n-i(»i, ..., un-i) — unfn-2{uu ..., Un-i), A2)
которое позволяет установить связь этих функций с теорией цеп-
цепных дробей. Таким образом,
fn (Щ, ...,Un)~ U0U~Vn-l {Щ, • • •, Un) = /„-ц (Ц.1? . . •, Un_x) +
+ uo/n_8 (u2, ..., un_2) — ujn-i (ult ..., un_a) —
— «о1*п1/п-2("г. •••, Wn-i) = P — wn(? — UoU/?. A3)
Так как в разложении выражения (Р — мп^ — «„и/?) коэффи-
коэффициент, не зависящий от и„, равен
| Br) (u.QRYP-^-1 = (i» -
г-о ч г'
то отсюда следует, что
где
Р =* fn-i(lli, . . ., Un-i) + М0/п-»(м>, • • м Wn_j),
\ A4)
A5)
При «-=2 имеем Р — /i(«t) + м0 — 1 — и, + и»,
согласуется в полученным выше результатом.
— Л =- 1, что

144
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКГШИ
/
/
При П = 3 Р = fzilli, ll2) + Uo — 1 —
-и„ Д = /,(и*) = 1-ц2 и Р2-4гг„<?Д
ХA — «(Hi — Ц2) = A — Ко — «1 — Н2J —
Таким образом,
U2 + Мо, Q —
1+/
A6)
uoul u2 —
= [A — u0 — u1 — щJ — 4!<0Ui!/2rTl
или, опуская нижние индексы,
ш 2=о (т ПН ") (Л р Р) (Р I" т) №и? = [A - и - i; - w? - 4«i-«;]-1''s.
A6а)
Так как выражение, стоящее в правой части, равняется
V' 12Л (uvw)r __
*~~п A U V W)
(;)
где .s = .?i + s2 + ss, то мы приходим к равенству
I'm + «\ In -f- р^ /р + »г\ ^ V ("» + Д + Р — »')!
\ п )\ р )\ т
(верхний предел суммирования равняется minim, n, р)). Это выра-
выражение можно также записать в виде
/т + Р\ (П + Р\ _ Чу! /'"А /7!
\ т 1 \ п ) ,, „ \ft / \ft
m +
что с точностью до обозначений совпадает с приведенным в гл. 2
соотношением, полученным в [60J. В частности, при т *= п = р по-
получаем
CР - к
аквивялептно
ip -f
2/J
4./i. ЦПКЛЫ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
145
При гс = 4 имеем Р = /s(ui, н2, и3) + wo/i(m2), <? = /2(^1, Ma),
Л = /а(м2, и,) и
;>2 - 4в,ф? =
= [A - м,)A - и3) + щ + моA - гг2)]2 - 4моA - и, - нг)A — иг — щ) =
== A — щ — «1 — и2 — Из + Мо«2 + и,гг3J — 4и0и1и2м3>
откуда, опуская нижние индексы, получаем
s
т, п, р, д =о
= [A — и — г^ — ii? — .г -г uw + vxY — Auvwx]~1/2. A7)
Отсюда также можно получить еще целый ряд тождеств. Положим
и — w, v = х. Тогда
A _ 2и - 2v + иг + v-Y - 4uV = К1 - и - уI - 2ud2 - 4и2у2 =
= A - и - yJt(l - и -
Таким образом, если
+ п - р - ч\ (п - д -!- р\ (р Ч- <А С? Н-
Л il il
ТО
Я (И, У) =
2
т,п=0
= A _ ц _ и) [A — Ц — УJ — 4иУ]~1/8 = A — U — I')? ("У, v)
или A — и — v)H(u, v) = q(uv-\ v), откуда следует рекуррентное
соотношение
Кроме того,
«ш — nm— I, n "n, m—1 —\ „t J •
s=0
Следовательно,
min(n, ти)
, )
"!-!-»-!- 1 f'«\ fra\ (m -}- п\
J 2г+1 \г МгД n J'
Возвращаясь к равенству
д-,к. Риордан

146
получаем
ГЛ. 4, ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦ
гамцил
г—о ««=0 * '
Далее, если и — x, v =» w, то
A - 2« - 2v + 2uv)% - 4u2y' = A - 2и - 2v)% +'
+ buvd — 2u~ 2v) ¦=» A — 2гг)A — 2w)(l — 2« -
а если
r 'V V1 fm 4" n — p — g\ (p + ?\ /"jt\ /m\
p_0 g~ " — p 1 \ q 1 \pj \ q!
TO
Из соотношения
A - 2u)-1/a A - 2
- 2и -
2 Br) 2~V 2 f2') 2-V У (Ы
f«O V r ; «~o v* ' m, n=0 ^ m
следует, что
om+nr
2r\ Bs\ Bm + 2и — 2r — 2s\ /'m + n — r — s
Кроме того,
/ (u, i/) - [(i - 2u - 2i'J + 4uy A - 2u
- 2o (- Dr B;) (мг)Г A - 2и - 2У)--1
mln(m, n)
г „ V от+п-гг , . ,r 2r\ (m -{- n — Л (m + n — 2r\
mn ,ti (~1) \r)\ r )\ m-r )'
Заметим, что Пи, v) является симметричной функцией и 1тп =¦=• /я
И, наконец, приравнивая и = v, w = ж, запишем
'Л С"» — Р "Ь 9\ ("и -I- P -
Тогда ив равенства
A - 2и - 2w + 2uwY - 2u9'w% = A - 2u)(l - 2да
- 2w)
k.\ РЯДЫ ЛАГРАНЖА
147
с.неЛУет
J(u,v)= 2 ^ш„ит"у"-
ГО. «=0
= [A - 2ы) A - 2/;) A — 2и — 2г)]/2 - /(и, г),
откуда /mn ¦= Jmn — результат, с очевидностью вытекающий из оп-
определения, если в нем q заменить на п — q.
4.5. Ряды Лагранжа
Ряд Лагранжа можно представить в следующих двух эквива-
эквивалентных формах:
{х) = /@) +
1ГГ
A8)
п=0
где у = х/(р(х), D = d/dx, а штрих обозначает производную. Ряды
Лангранжа обычно возникают при решении уравнении, заданных
в пеявном виде, или при получении формул для обращения рядов,
и для специалистов по анализу наибольший интерес представляет
область их сходимости. Здесь же ряды Лагранжа рассматриваются
как источник получения производящих функций с неявпо заданны-
заданными переменными. Такие функции, так же как и прочие производя-
производящие функции, используются при выводе различных тождеств.
Простейший пример ряда Лагранжа является, по-виднмому,
и старейшим. Чтобы его получить, положим ф(ж) = ехра; и fix) «=
= ехр ах. Тогда, используя первую формулу записи ряда Лагран-
Лагранжа, получаем
ехр ах
{а + п) ¦
ТГ а (« + п)П~Х = 2 "И"в (« + "Г'
У
(cm. [^9J, t. 1, задачи 210 и 2И). В то же время вторая форма
дает
оо оо
ехр яд _ у ц" Гг
1 — г
Так как ехр (а + Ъ)х = ехр ах ехр kr, то из первого равенства
10*

148
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
следует равенство
(а + Ь) (а + b + п)п~х = аЪ 2 ft) (а + Ь)* (Ь + » - А-)""*,
являющееся одним из абелевых обобщений биномиальной форму-
формулы гл. 1. В свою очередь, тождество
(I - х)~Чехр Ы + Ь)х]A — х)-1 = (expazKl — я)-'(ехр Ъх){\ — х)~\
примененное ко второму равенству при а = 0, а именно к равен-
равенству
дает другое тождество Абеля из гл. 1:
2 (Й kh (a + b + n-k)h= 2 (l)(a + k)h (b + n — k)n~h.
k=0
Второй пример можно построить на основе задач 212 и 216 из
раздела 3 первого тома книги 149]. Для его построения рассмотрим
уравнение 1 — х + ух9 = 0 или, эквивалентное ему, у = (х — 1)х~№.
Тогда
_ \
f
п\ я - i
a + Bn I n
Если положить
то из тождества а;а+т = хах^ следует тождество, являющееся обоб-
обобщением формулы свертки Вандермопда и появляющееся в [27]:
оо
А„ (a + Y. Р) = 2 Ан (а, р) Ап-к (у, р).
Р1з второй формы получаем тождество
(Щ (а + т + <» -Л")
п-к 1 — ft-e0 V *¦ )\ n — k
.Это тождество при [J = 0 дает формулу свертки Ваидермонда, а при
4.?. РЯДЫ ЛАГРЛНЖА
149
1 и соответствующей замене параметров — тождество
+n — h\
п-к )*
которое в сущности является тождеством (За) гл. 1. Заметим, что
из тождества
следует соотношение
Дальнейшие обобщения появляются в разделе задач.
Займемся теперь обращением рядов. Положим
х = J/ ехр
так что
(ехр ах) — ехр 6г/.
Ряд Лагранжа для (ехр ах) при q>ix) = (ехр ах) ' припимает
вид
(ехр
= a0-1 + 2 Sr l^"1- (exp ax)-"/) ехр
I", [Dn~l (п + I) D (ехр в*)-
71=1
Следовательно, Ьо = а0 и
Представляя (ехраа;)"" в виде сложпой функции f(g(x)), где
fix) = а;"", ^(а;) = ехр ах, ап «э а„, и переходя к обозначениям,
использовавшимся в гл. 2 книги [51], немедленпо получаем
ЮЧвх]уах)-п-Чх^ = Уп(/о1, ..., fan),
где fh^fh = {-i)k(n + k)(n + k-l) ...Ы + \)а-п-к-\ а У„ — мно-
многочлен Белла от нескольких переменных. Таким образом, если

150
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
(n)k =» п(п — 1)... (га — к + 1), то
- К - Yn(gat, ..., gaj, g^gb-i-ir-^n + k)^^-"-"-*. A9)
Выпишем несколько начальных значений величины — Ь„:
Нормализованную форму можно получить, полагая а„=апявп \
Тогда
— ЬпЬо1 «= Yn (gat, ¦•-, gan), g*«s tfft — (— l)h (n + k)h~\ A9a)
• Результат становится заметно проще, если экспоненциальную
производящую функцию заменить обыкновенной производящей
функцией. В этом случае удобно записать
у — хA — Atx — А2хг — ...),
х — у(\
Отсюда а0 ¦= Ьо = 1, ап ¦=
A9) следует
Вп
bo = i, aa-=—n\An, bn •= п\Вп, га=1, 2, ... Тогда из
1Yn(—iAn —g2\At, ..., —gn\An) =
'*,!••.*„!
ft - (- I)*"'(» + *)*-!, Л - Л, + ... + ft»,
или
1,2,..., B0)
где суммирование ведется по всем целочисленным неотрицатель-
неотрицательным решениям уравнения кг + 2кг + ... + пк„ = п, т. е. по всем
разбиениям числа п. Таким образом, получаем Вх = Аг, Z?2 = A.z -\-
-{-2А\, В3 =А3 -\- ЪАгАг -\- ЪА\. В табл. 4.1 приводятся значения
Вп для п = 1A)9.
Соотношением, обратным к формуле B0), является соотношение
Если А •" А\ "• Аг
-х)-\
так что A + А)хг — A + у)х + у == 0, то решением этого уравнения
для у Ф(} является
; Л) - B + 2Л)-1!! + у - A - 2A + 2А)у + г/')]1/4.
4.5. РЯДЫ ЛАГРАШКА
161
Записывая
By + 2yz)H(y,z)
получаем
если В„ 5= Вп{Аи ..., Л„).
На самом деле многочлены #„(#), в несколько другом виде, по-
появляются в работе [46J, в которой приводятся следующие соотпо-
шения:
Нп (z)
2; 2; - z] =
!*)(*! i)a". »=1,2,..M B1)
ft-1
где F — гипергеометрическая функция.
Эти соотношения немедленно следуют из определения Вп, если
заметить, что при фиксированных кип сумма ^kl/ik^. . .?п!), где
/с.г.^-}-.. . +?„, п = А!!+2А;2+... +пкп. является числом разбпепий
In —1\
п на к положительных слагаемых и равняется \ь — 1 ]• Если д-1я
выражения
B + 2z)yH(y, z) - 1 + у - [1 - 2A + 2z)i/ + i/2]1/2
взять частные производные по у (обозначив их нижними индекса-
индексами), -то мы получим
z) + By + 2yz)Hv{y, z) -
. - 1 + A + 2г - у)A - B + 4г)г/ + у2)-
или
2)
- 1 - B + 4z)y + г/а + A + 2z -
Следовательно,
2yz)Hy(y, z)]-
+ у - B» + 2yz)If(y, z)).
-B + 2*)[l-0-(l-0-2z0)//@, z)l.
Приравнивая коэффициенты при у", получаем рекуррентное соот-
соотношение
(п + 1)Я„(«) - Bга - 1)A + 2z)Hn-l(z) + (га - 2)Я„_2(г) -
- 6.. - в„„ B2)

152
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
где б „т — символ Кронекера. В справедливости получеппого соот-
соотношения можно убедиться, если подставить в него несколько пер-
первых значений величины //„(z): H0{z) = 1, Hl{z) = z, Hz{z)=z +
+ 2z\ ff,(z) = z + 5z2 + 5z\ //t(z) =z + 9z2 + 21z3 + Mz4.
Задачи
1. (а). Пусть a,,m — баллотировочные числа, введенные в примере 1
(апп = ап, п-1, апт = аП] m_r + an-i, m, л > m). Показать, что при ад(х) «= 1
«» <*> = 2 °пт*П' *п = »„» = (» + I) (Ч
т=о V '* /
A — х)ап(х) = a,,-i(x)—cnxn+1, п = 1, 2, ...
Применяя это соотношение, получить тождество
и, в частности (полагая ао(х) — 1),
A - х)пап (х) = 1 - 2 cn-fn+1~> A - xf-1-*
или
A - z)n+1 ап (х) = 1 - 2 е
Для к — 1A) и получить тождества
j=0
)=0
(Ь) Полоншм о (ж, у) = 2 ап (*) */"' с(а;)= 2 Si*" (заметим, что с(х)
приводится в я^впом виде в примере 2). Используя полученное выше рекур-
рекуррентное соотношение для ап(х) и полагая ав(х) = 1, показать, что
A — х — у)а(х, у) = i-xc(xy).
Воспользовавшись полученным тождеством и соотношением хсг(х) =
= с (х) — 1, доказать следующие соотношения:
[1 — ус(ху)]а(х, у) = с(ху),
[\ — у — хус(ху)]а(х, у) = I,
A~2у)а(х, у) + уA-х-у)аЦх, у) = 1.
Получить из этих соотношений следующие тождества:
п—1
ап М = ап () +2 () i Ь 2
ап-\
П-1
n = 1, 2, ...
ЗАДАЧИ
153
(Заметим, что переход от одного из полученных соотношений к другому осу-
осуществляется с помощью рекуррентного соотпошения для ап(х); таким обра-
образом, соответствующие тождества для коэффициентов апт согласуются с по-
помощью рекуррентного соотпошения апт = а-n-i, т + ап, m_i, n > т).
Доказать тождество
"пт = S en-l-fc. m-kch' m=Kl)B-l, "=1,2,...
ft=O
(с). Используя соотношения с„ = а„„ = on, „_i и onm = an_1? m +
+ а„, m-i, и > т, доказать тождества
с, = On, п-г + an-i, п-1 = о„, п_2 + Яп-i, п-2 =1
= On, п-з + 2оп-1, п-2 = оп, п_з + 2an—i, п—з "f" 2ап_2, л-з,
которые согласуются с равенством
'7ГГ1 « = I- 2, ...
Обратным соотношением (которое вместе с полученным образует «поре-
пернутую» пару взаимно обратных соотношений чебывского типа) является
соотношение
м
7=0
Из рекуррентных соотношений индукцией доказать любое из этих взаим-
взаимно обратных соотношепий.
2. (а) Обозначая (как и в задаче 1) через с (х) «перевернутую» функцию
для чисел Каталана и полагая с (х) = 2 сп № *"> с (х) = 1, показать, что
хс*(х) = с*-Цх)хсЦх) = с*-'(;г) — с"-2(г), & = 2, 3
cn(ft) =cn+i(A — 1) — cn + i(/c — 2), /е = 2, 3, ...; га = 0, 1, 2, ...,
где Сп(г) = сп, Сп B) = en + i, co(fc) = с0 = 1. Используя последнее соотноше-
соотношение из задачи 1 (с), показать, что
j ffc - d - Л S+ft-i-j = an+k-x,w * = 0,1, ...,
3=0
где аПт — баллотировочные числа. Заметим, что величины an+k_1 n=
— к Bга + ^)~х I п I удовлетворяют рекуррентпым соотношениям для
сп(к) с начальным условием со(к) = 1.
(Ь) Показать, что
А"+1 (х) = гй (х) с (х) - vh_1 (х), к = 0, 1, .. .,
где i>o(s) ¦= vi(x) = 1, У/г + 1(х) = vh(x) — xvh-i(x), к = 1, 2, ...
Из производящей функции
v (х, у) =
У
П=0
и результатов задачи 7 (с) гл. 2 получить следующее соотношение!
I* (*) ^ "а (- * /= 2
j—о

154
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Таким образом, из первого соотношения, полученного в этом пункте, следу-
следует, что
j-o V /
(результат, полученный ранее в пункте (а)) и
,~о ¦ \ 1 ) •¦' ' 0, m - JT+1 A) * - 1,
¦ Г(А-1)/2].
(с) Из соотношения, полученного в пункте (а), а именно из равенства
где Я- Г(А-1)/2].
п—0
полагая
2 Bге+*)*".
ввести соотношение
«»(*) -i(x; fc)-2xi(x; fc + 1), к - 0, 1,2,...
Из полученного соотношения и граничного условия i(xi 0)«— A — 4x)~1/t —
= d{x) получить соотношения
1(х; к) -d(x)c"(x), fc-0, 1, ...,
2х
Из определения величины -((х; к) и простейшего рекуррентного соотноше-
соотношения для биномиальных коэффициентов получить рекуррентное соотношение
1(х; к) —ч(х; *-1)+х1(я; А + 1),
а из него в свею очередь вывести соотношения
2ц(*; -1) -1 +<*(*),
2i(x;-2) = l+(l
21 (*; -A) =i>»-1(*)
где 1>*(аг)—многочлены, определенные в пункте (Ь). Воспользовавшись ра-
равенством d(x) A — 2хс(х)) = 1, записать это рекуррентное соотношение в виде
\(х; —к) _ d(x)[oh(x) — же(a;)i;*_,(я)].
В силу того, что с (я) = 1 — гс(а:) = vi(x) — xc(x)vo(x), показать, вос-
воспользовавшись математической индукцией, что c~h(x) = i>i,(x) —zc(z)p*-i(x),
и получить, наконец, тождество
1(х; А) = d(x)c*(*), A = 0, ±1, ±2, ...
8. Как и выше, через апт обозначим баллотировочные числа. Полошим
п
Вп
• • ¦'" anh-
8АДАЧИ
Показать, что
155
xBn(x) = e,l + i(x) — а„(х).
Полагая В (лг, у) = 2 Вп(х)уп, доказать соотношения, уже полученные
71=0
ранее в задаче 1 (Ь):
хуВ (х, у) = A — у) а (х, у) — 1 = хус (ху) а (х, у),
1. A
= 0 A) П.
Заметим, что отсюда следует тождество
3=0
п + к-2]\
к-, )>
*_/
4. Пусть Kn(i)—многочлены, определенные в задаче 7 гл. 2: ио(х)>
== И1(ж) = 1, Ип(х) = "n-l(x) +ХМП_2(Ж), П «= 2, 3, ...,
m .
Положим
2
ft-0
й- vnh " "по + • • • + ««*•
Показать, что для чисел Фибоначчи /„ (/0 «= /i = 1, /п =/n-i +
я «= 2, 3, ...) справедливы следующие соотношения:
A - х) Vn (х) = ип (х) - /nxm+1,
П=0
п—1
«(X,!/Jl+ 2 /.„-, (*»*)П1
и (ж, у) = F (х, ;/) [1 - ху* A -
= «(* у) A - жу2J (
= v(«, у) Г< - 2 (
[ n=o
Получить отсюда взаимно обратные соотношения
Vn (.г) = и„ (х) + /,хи„_2 (х) + ... + /s,_ixJMn_8j (х) + ...,

156
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
н тождества
= 2 (" -
- С 7 *)+ 2'«- С
или
5. Следуя работе [63], показать, что
с[хDх — I)] = 2 —е(г),
-.mm.
где с(х)—производящая функция для чисел Каталана. Используя обобщен-*
ное преобразование Эйлера (а именно, если а (х) = ^ апхП' т0 1 4- тх *
п=о
I < _L m^.J ~ /. (а— т)пхп, an=onji показать, что выполняются соотно-
шенпя
D_с)«-4D-с)"-1 =2бп0-с„, с"
(с —2J" + 2(с — 2J"~2 = б„0, с* s= ck, ¦
где б „,п —символ Кронекера.
Эти соотношения можно перепнсать в виде
с„ = сD—с)"-1 = с(с —2J", га = 1, 2, ....
О = с(с —2J"-1, п = 1, 2, ...,
п.'ш, полагая с2 (х) = 2 сп B)*"• сп B) — cn+i' B ВИД°
expfcB) =expt[4—сB)], с" B) = с„ B),
ехр«[сB)-2] =cxpt[2-cB)], с™ B) =с„B).
Из каждого получеппого-соотношения можно получить любое другое. Кро-
Кроме того, справедливо соотношение
expt[cB)—3] = ехрф —сB)], с B) аэ с„B).
Заметив, что с„B) = [сB) — 2]2"+\ с" B) == с„B), показать, что
ехр«сB)- (exp2O|H--^-c0B)-!- •••
*J 2П-2А^-1 B). '
V ( М 9H-2/V
i!l
с„_1 B)
/i-=0
"n+l
ЗАДАЧИ
157
Проверить следующие частные случаи: ci = с0, с2 = 2с0, с3 = 4с0 + си
и = 8с0 + 6с,.
6. (а) Обозначая через / (х) = 2 /л35™ производящую функцию для чи-
чисел Фибоначчи: f(x) = A — х — хг)~{ и полагая /_i = 0, показать, что
/ (*; т) = 2 /„+,„*" = (/„ + */m-i) / (*)• "' = 0,1
71=0
откуда fn+m = fnfm + fm-ifn-i. Проверить это рек5фронтное соотношение с
помощью рекуррентного соотпошения /n+2 = /n+i + /п. Заметим, что
A - x)f(x; 2т) - f(x; 2т — 2) = /2т_,, т = 1, 2, ...
(Ь) Положим /т(г) == A — x)~mf(x). С помощью разложения па простей-
простейшие дроби показать, что
П(х) = B+ *)/(*)-A-я)-1
или
/(*) - A -*)(/2+ */i)/(*) -/l.
Последнее соотношение становптся частным случаем (при т == 1) послед-
последнего соотношения из пункта (а). Далее, используя это соотношение, равенст-
равенство fi(x) = A — х)~^1(х) и то же самое соотношение для случая т = 2,
а именно A — х) (/4 + xf3)f(x) — (/2 + zfi)f(x) = /3, показать, что
Ипдукцаей по т доказать общую формулу
1т М = (/ЯИ + */»m-l) / (*) - 2
ft=l
и получить тождество
m
2
J^ + ra-l
В частности, проверить справедливость двух соотношений:
/n + /n-i + ... + /о = /п + г — 1,
fn + 2fn-i + ...+ (« +1)/о = /»+* —/з- (п + 1)Л = /п+4 —л-4.
(с) Используя первое соотношение из примера 3, а именно f(x) =
= A(l — ах)~1 + B(l — Ьху-\ где Л = а(а— Ъ)~\ В = —Ь(а —Ь), а + 6 =
= 1, «Ь = —1, о — Ь = }'5, и соотношение ?*, (ж) = а* A — аг)~'1 + (—b)k X
ХA — Ьг)-'1 (из которого следуют равенства go(x) =2, gt(x) = (а Ь))
показать, что
= [(a — b)gk(x) —gh-l(x)]f(x).
Применяя полученное соотношение, получить тождество
7
К
<*>¦
Отмстим также обратное соотношение

158
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Проверить справедливость следующих частных случаев:
gi(x) = (a-b)f(x), /(*) = (a-6)-Vi(*),
8г(х) = (я-ЬJ/2 (х), f(x) = (a-b)-*gi(x) +2(a-b)-3gi(x),
gs(x) = (a-bKf3(x)-3(a-b)IHx),
f(x) = (a-b)-3gi{x)+d(a-b)-*g2(x)+6(a-b)-sgl(x).
Показать, что
t 2fe) - 6> W"' * = 0. 1, ...
П=0
Вывести тождества
где /(А) (x) —> 2
цует равенство
*"• Заметим, что из результатов задачи 20 гл. 2 еле-
Заметим также, что справедливы следующие частные случаи!
5/яB)=(и+1)(/в+в+/я) + 2/я,
25/„ C) = 5 (Л J 2) /,(+2 + 3 (и + Г (/п+2 + /„) + 6/п.
25/„ D) = (п + 3) (/„+4 + /п+1) + 4 (и | 2) fn+t + 2 (и + 1) (/п+8'+ /п) + 4/п.
7. Суммы степеней. Следуя [48], обозначим через Sr{n) сумму вида
Sr(n) =ir + 2' + ... + n*.
(а) Показать, что двойная экспоненциальная производящая функция
принимает вид
S(t, и) — A — р-«)-' Гехр(ме') — ехр (и)].
(Ь) Приравнивая коэффициенты при и", перепишем последнее соотноше-
соотношение в виде
A — е-')ехр tS(n) — е"' — 1, 5' (п) = 5г(л).
ЗАДАЧИ
159
Получить тождество
2 (Й(
Проверить следующие частные случаи: S0(n) = п, 25i (л) — 50(")=-"',
&Sa(ii)—3St(n) +50(n)=n».
(с) Последовательно дифференцируя первое соотношение из пункта (Ь)
Я сокращенно обозначая через S символическую переменную S(га), вывести
Соотношения
ехр tS - nhent
ехр tS,
где 6»o — символ Кронекера, а также получить соотношение
Sh ехр tS
Из последнего соотношения получить тождество
или, полагая т «— max (r, fc), получить тождество
п — 6г0.
Эта формула совершенно другим образом была получена Нильсеном (см.
[48], стр. 305). Частный случай этого соотношения, получающийся при г = к,
fi именно
2 2) О/ О- 4 ) S2ft-2i-l (") = (" + 1) » . '
1. 2, ...,
рриписывается Стерну [59]. Отметим частные случаи! 2Si(n) = п(п + i),
4S,(ra) -= пг(п + 1)", 6Ss(n) + 258(n) -= »3(л + 1)'.
Заметим также, что
1)"
(n + -f) - -у f"A+1 (n
-1-
nh (n
(d) Получить следующие частные случаи основной формулы пункта (с):

160
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Вывести из них соотношения
(„ + 1)' + „' _ 1 = 2 2
Пусть Ar == A,(n) = (n + lJr + n2r, x =sx(n) — n(n — 1); тогда Ao = 2,
^4!== 2ж + 1, Лг = 2x'~ + 4я + 1. Получить рекуррептные соотношения
Лг^1 = Лг+i + а;2^,-,, г = 1, 2, ...,
или
4г+1 =Bг + 1)Лг — тМг_,.
Положим < (*) = хтАт (х-1)- тогда <+1 (г) = B + х) А* (х) - А*_г (х).
Показать, что
A*(z) = pr(x) + pT_1(x), r = 1,2, ....
где Рп(г) —многочлены, уже встречавшиеся в разделе 5 гл. 2.
Получить тождество
(в
|
J
[в (в + i)]'-i, ,= 1,2, ...
Сопоставляя первое из полученпых выше соотношений с формулой
1i
fc ._,
*Л к =1,2
из пункта (с), получить тождество
j { 2/ J [ 21 )\{2к+1-2])
а показать, что оно эквивалентно тождеству, полученному в задаче 14 гл. 1:
)п; тогда, если rm = 1,
8. Как и в примере 4, положим ап(х)
Т ф \, ТО
V* (*:"») = ^ 2 '•т""!G« ^ = 2 (т/ +
j=l 7=0 V
(а) Для га = 3 показать, что
i--=o
"V / «^ L ГОП I || L /in) (л _
_L. -,П]
ЗАДАЧИ
e».i (i; з) = 2 (з/ +1) = т [2П.+ С-3 + '•-n+1) (i + r)nl,
an,, (i:3^ = 2 (з; + г) = T t2" + (»¦ + r8n+2) (i + r)"].
j=0 » J
Положим ЗЛр(г) =23P+r+ (—1)p+'+i „ в„вв|1|4(|; 3), Проверить
следующую таблицу:
п=3р
9 Л 1")\
к<®
^р(О)
А
А
2А
рA)
рA)
Р(О)
„B)
Проверить таблицу
«ПО
вп2
КМ
К№
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
3
5
11
2
1
2
1
21
43
85
3
2
3
3
171
341
683
4
5
5
6
1365
2731
5461
5
11
10
11
10923
21845
43691
{Ь) Аналогичным образом, для m = 4 показать, что
•пл (»;4) = 2 L + к) = т I2" + (г4"" + '•зп+'1) A + г
fr = 0AK, г4 —. 1.
Соответствующие значения приводятся в следующей таблице:
N. П
к ^ч
О
1
2
3
4р
24р-а
2 ~2ар-1
"р
\
Р
W 4,+,
°Р
Р
•>4р р4Р 1" 2
~ " 'р Р
"р
"р
где вр=2^B»
+ "«г = «п: +
11 Дж. Риордан
2"-', nt= 1.2,,,,
».). Заметим, что в11.+.

162
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
(с) Положим
Доказать равенство
а*(х, у; т) = (ху)" A - у) «-*-' [A - j/)™
Заметим, что отсюда следует множество рекуррентных соотношений для ве-
величин вп,*{*; "г) и, а частности (если я„,*A; т) обозначить для краткости
через ап (ft, т)), соотношения
а „(к; 3) — Зв„_,(?; 3) + 3an_2(ft; 3) — 2а„_8(Л; 3) -. О, п «« 3, 4, ...,
an(ft; 4) — 4в„_,(А-; 4) + 6я„_»(*; 4) -4в„_8(Л; 4)
(d) Показать, что если г2 = —1, то
ап h (х; 2) = (г*"* + rm+h) A + г)п - 2 / "
j=o \2/ +
Проверить следующую таблицу:
0,
4, 5, ...
* =
Ар
(-4)р (-4)"
О (—4)"
0
(—4)р
-2(-4)р
Вывести следующие соотношения:
2а„,0A; 4) =2"-' + а«,оA; 2),
2ап,,A; 4) =2—' +а„.,A; 2),
2яп,аA; 4)
2«„,,A; 4)
2п-1-а„,0A; 2),
2"-» —а„. ,A; 2).
9. Рассмотрим производящую функцию Ь(х, у) =
многочлены Чебышева, определяемые формулой
йп(-с) --¦
Используя результат примера 3 из гл. 2:
(откуда, в частности, следует, что Ьо (х) — 1, Ьп (х) = ;/" -f- у™, п ==1, 2, .. .)'•
и мультисекцию, показать, что
где бит — символ! Кропекера, а 4 = 0A)т — 1. Получить отсюда соотношения
[1 — Ьт(х)ут + у2т]Ь0(х, у; т) •= 1 — у2'",
[l-bm(i)!/'» + уг"]Ьь(х, у; т) = у»[**(г) ~ У"'*.»
ЗАДАЧИ
163
вывести рекуррентные соотношения
Ъ,„Л-Г~) —Ът(х)Ъ>т-т(х)+ Ь]т„гт(х) =
Показать, что из первого рекуррентного соотношения вытекает тождество
ь»(х)у~а' /=(U
и обратное к нему соотношение
Заметим, что первое из этих соотношений может быть также записано в
виде bjn(x) = bj(bn(x)). Показать, что нз второго соотношения следуют со-
соотношения
bk+tl (x)^bh(x)bn(x)-bn_h(x), ft = 0(l)n-l,
bk+in{x) = bh + n(x)bn(x)-bb(x), k = i, 2, ...
10. Рассмотрим производящую функцию и(х, у) для присоединенных мно-*
еочленов Чебышева ип(х), где
»«(*)=S(""V' в = 0,1,...
А=0 \ * )
Используя формулу из задачи 7 гл. 2:
где j/i + j/i = 1, У1У3 = — г,
и мультисекцию. показать, что
). По-
Пог/г), Уг==
- / [«А (*) + (- *)*+1»m"m_h_s W] [1 - (и? + У?) Ут + (-
Полагая у,( (х) = у™ -f- ?/"¦ Доказать, что уп (х) = 2и„ (х) —
лучить рекуррентные соотношения
ft ==
Отсюда при ft = 0(l)« —1 и и~„(х) =0, п = 1, 2, ..., получить тождества
«* + „(*•) = [2и„(г) — nn-t(x)]ui,(x) + {—х)" + 'ин-к-2(х), п = 1, 2
!(Ai,n(i) = [2и„(лг) — и„_|(г)]и» + д„_1)(г) — (—г)п«А + „(^_г >(яг), / =2, 3, ...
Проверить следующие частные случаи: ut •=> u0, us = A + 2ж)цо+ (—•r)«o,
«3 = A + 2)Ui, Un = B«n — Un-\)UO — XUn-t.
IIj С00ТИОШСПИЯ
11*

1M ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
полученного в задаче 7 (а) гл. 2, вывести равенство
ип(ж)ик(х) ~u,, + l(x)Uk-i(x) — (~x)lliin-k(x), к =. 0A)/* — 1.
Показать также, что н * (х) — «п+1 (г) "n_t О) == (— ж)п.
Аналогично полученным выше соотношениям показать, что при у. (s) ^
*=* S/j* -f Jg •¦= 2un О) — м^-г (л-) справедливо соотношение
Ук+зп \х> Уп ^х> Vh-Y(j — l)n ^х> ~ \ Х1 ^Л4О'—8)n ~
11. Рассмотрим производящую функцию «(г, j/) для многочленов ?„(г)
где
Используя результат задачи 13 гл.
и мультиеекцшо. показать, что
?0 A. У\ 2) = -^ [A _
?1 A, г/; 2) =. т1A._
и получить тождества
Л=0
? Мл -f 2
2 b'-MJ'
2»
2« 4- 1 / \ п
Для трисекции A + г + гг = 0) показать сначала, что
гдо в соответствии с обозначениями, введенными в вадаче 5 гл. 2,
ЯАДЛЧП
165
Далее получить соотпошеиио
3/ -!- А-
Для величин г'^*1 + г2п+2* проверить следующую таблицу:
N
ft
«
\
0
1
2
Зр
2
— 1
Зр+1
-1
—1
2
3/>-; 2
— 1
2
и вывести тождества
/ \2 / \2 Г/\
,,„+,
1)
V
3ft
U + 2J " LU« -I- 2J
'in ~ 2\2 _ V /3'* +
1
;?—о
_ 1 Шп +
- T [Is» +
+ 2/ Ч
6i» +
U
Для киадрнсекции A + г2 = 0) показать сначала, что
1 ЗП hi
1'ЯI+2
4
Используя равенства ?„(г) = A — '/•) " />„ ((i + г) A — г)-') = A —г)"Х
X Р(, ('). получить рекуррентное соотношение

ICO
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Показать, что
«n.o U: 4) + «„.« A; 4) = Y [«« t1) + «n (- *)]•
qnl A; 4) + ,„_„ A; 4) = -j К (D - <?„ (- D].
где <7n U) = [ л
4</n, o(^i 4) = <? n A) + 9 n (— 1) 4~ A + г^")A + г)ПТ«'
Ag n, i(lj4) ==9n(l)'— 9i(—1) + (^3-f-f3"~^)(l"T"'")'lvn.
Для величин (г4-* + r3n+'1) A + r)n проверить следующую таблицу:
4р+2 4р+3
2(-4)р 2(-4)р
О 2(—4)"
(—4)р 4(—4)"
Выписать тождества вида
12. Рассмотрим производящую функцию из § 4.4:
")(Р +
р Д то
Полошим в ней ш = и и
т^р=0\ « Ар /\ то /
U И
¦)(¦
(а, <;)= 2 * "m"r'-
Разлагая в ряд выражение для величины А(«, v):
h(и, v) = [(.l-2«-yJ-
получить тождества
г=о \г/\2г/\ т ) r=o
_ Л/2то — 2г\/и + т —
Проверить, в частности, что Ло„ = 1, hin = 2(« + 1),
!п + 2\ „ /п + 2\ In + 1\ in -г 2
( I )t2( + l)a 4( J ) + 2( ^ ) е(
Полагая h{xy, у) = 2jt/"hn(x) и обозначая частные производные ниж-
нижними индексами, показать, что из равенства
М-'-'Л г/) = [A + 2х) - A + 2тJу + ^уЦНЦхц, ц)
ЗАДАЧИ
1E7
вытекает
(а -р 1) /*,,
— п A -|- 2.r)Vin_1 (д-) -(- Dм — 2) .Л*_„ (
Получить следующее выражение для Л* (г):
гк J -г -* • х- , , ¦ = j^_
Обозначим через h*%h коэффициенты при х» в h*n(x). Проверить,
h* h V О* —2Г /2i
дящую
13. (а) Как и в аадаче 217 из раздела 3 книги [491, рассмотрим проиаво-
ую функцию для коэффициентов многочлена A + х + хг)п;
где (l + i+i /п — ^j An,hx ¦ Положим у = х.,'ц>(х), <р(х) = 1 + х + .г2
Используя вторую формулу для рядов Лаграпжа, доказать равенства
Ап пуп = ^ _2_ |д"ф™ (г)|х_0 =
— 1A — У)~ — 4i/'r ''¦* = A _ 2i/ — 3{/')~1/3.
Заметим, что 2ху = 1 — у — A — 2у — ЗугI/2.
(Ь) Используя разложение обеих форм записи величины Л0(у) показать
что ' '
_ у /»\ Bк\ у (п\(п-к\_
Заметим, что величина .4„,„ тождественно совпадает с величиной Вп из за-
задачи 11.
(с) Вновь воспользовавшись формулой для рядов Лагрпнжа, показать, что
Ai tv) = 2 Ап+ипУп- 2 тг|Z)T< A +х + '2)n+1U =
ft=0
' (х)Г1 = -^1 =
' [A
(у) - 1 |.
Используя рекуррентное соотношение Ап + ик=Ап к + Ап ft_, + ^n »_3
которое следует из определения величии Л„,А, и равепство /1ПЙ = А„ ,' ^/
показать, что ' ' *'
2Л,1 + 1, п = А „ + 2. „+2 — А „ + 1 n + I, n = 0, 1, ...,
еРИП' ""-''Ученные выше соотношения между производящими фупк-

108
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
(d) Аналогичные образом показать, что
угА,(у) = (l-y)Ak_i(y)~Al,-2(y), A- = 2.3,..,
в то время как
/1_4((/) = у'1кАк(у).
= х ех
ующи
^ Ы") = (-1)"-'(«
И. В паре взаимно обратных рядов г/ = х ехр ах, х = ;/ охр 6г/ положить
flu = (— 1)". Для н = 1. 2, ... получить следующие тождества:
где ? и = пп~г — число деревьев с п помеченными вершинами.
15. Р» паре взаимно обратных рядов у — хA — С,х — С2х2 — ...), х =
«=> (/ A -(-¦ Гм." + ^2'/2 + ...) положить 6',, = С. Получить соотношения
2CV- A + Г;/)х+ У = 0,
+ гJ -8;],
где с (х) = 2 °пхП ~~ производящая функция для чисел Каталаиа сп-~
п-п
(п -j- 1). Показать, что отсюда следует равенство
в„(г, ...,с»)-с» 2 (-
Полагая С~"Ви(С, ..., Cn) = ?>„, показать, что
и проверить следующую таблицу:
пп-й /2/г — к\
1 n-ft-
7!
ь
II
0
1
1
1
2
3
3
И
4
45
5
197
6
ООН
7
427»
8
20739
9
103D9
lti. (а) Положим, как и в тексте,
А (а, Р) =
а (и-\- Р"
а
или А „(и, 3) = а(а + j}ft)~'^>i (а, P). Используя тождество
,1„ (а,
нокавать, что
_
= Вп (а,
„_1 (ее
ft--o
^ V в'' а А
( 1
а т „р _ А- \ н — /с J-
8АДАЧИ
1E9
(Ь) Нетрудно заметить, что из тождества
пА„(а, Р) =аВ„_,(а + р-1, Р)
и иолучепного в тексте соотношения
В (у; а, Р) = 2 .У"в„ («. Р) = га+1 IP + ^ - Р) ^l
п=0
при у = (х— 1)л~Р следует соотношение
^ у"^п (а, Р) = «У 2 УПВп (а+ Р - 1. Р) =*
= а (г/^1^) ха [р + A - Р) х] -1 = а (х - 1) ха [р + A - f$) x] "Ч
Таким образом,
2 У" 0» + Q") Ап (а, р) = ха [Р + qa {х - 1) ф + d - Р) *)~г1.
п=о
Полагая А {у; а, Р) = 2 УПАп (а' Р)> показать, что
А (у, у, р) 2 У" (Р + ?") лп («- Р) = I<X+V Ь + в« (ж — 1)<Р -Ь A — Р) *)-Ч -
= р.4 (у; а + у, Р) + 9«j/P (г/; а + v -|- Р - 1. Р)
и получить тождество
2 (Р + дк) Ah (а, Р)Л„_Л (Y, Р)= рЛ„ (а + Т,
fe=0
пли тождество
n.! (а + V + Р - 1.
I к )\ 11—к ) (а + р/с) G + В» — ЬЩ
i j, \ i_ any* In A- ^ -'
а -f- 7 + Рге ' п
(Как было отмечено в [27], полагая в последней формуле х = а, у = f + рп,
мы получаем формулу A7) пз [34].)
17. Положим
С (у; а,р) = 2 УпСп («- Р) = *а+2 IP + d - Р) *Г2-
(а) Показать, что если величина В(у; а, Р) —такая же, как и в задаче 16,
то справедливо тождество
В (у; а, Р) = С (у; а, Р) - $уС(у; а + р - 1, Р).
Таким образом,
Вп (а, р) = Сп (а, р) - pcn_j (а + Р - 1, р),
п п , . _
С„ (а, Р) = 2 P^n-fc (а - /l'P ~ /с' Р) = 2 Р ' ,
Из соотношения С(у; а, Р) = В{у; а, $)В(у; 0, р) вывести тождество
fa -\- пр—к\ __ XI fa + рга — |
\ п — к) ,~. I n — /с
n
2

170
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
(Ь) Показать, что
С (у; а, Р)-С(у; а - 1, р)
«+'(*-1) [р + A—р)аг]-* =
= j/C(y; а + Р — 1, р),
откуда С„ (а. Р) — С„ (а — 1, р) — Сп-\ (а + р — 1, р). Применяя это соотноше-
соотношение, получить тождества
it
2 <~ *)'' (*) Ся (« - Ь Р) - Cn_h (а + *р - А, р),
А ...
2 ,) c«-j (а
^0 7 '
Аналогичным образом можно доказать, что величины Л „(а. ,8) и В „(a. JJ)"
удовлетворяют аналогичным же соотношениям,
(с) Показать, что
2 ;/" (Р -f qn) AJa, P) ^ !/" (г + s») Л„ (V, P) =
=- prA (у; а + v Р) + (?га -f /«Т) уВ(у;а + у + р — 1, р) +
+ qsayi/c (у; a -f 7 + 2fS — 2, Р),
2 Ah (а, Р) ^n_ft (v, р) (Р -г </*) (г + ^« - «*•) =
=- Я/-.4П (а + у, р) + (9га ~r psy) вп_1 (а + у + р - 1, р) +
4- ?s«Vf'„-г (а -t- V + 2Р - 2, р). (*)
Используя равенства
ргЛп (а + у, р) + (дга -|- psV) Вп_1 (а + v + Р - 1. Р) =
" (а J<~ У +
~ а Н-v + Р» ^ "
показать, что при /) = г = 0 соотношение (*) эквивалентно соотношению
^2 5Й (a, P) Bn_h (v, р) = С„ (а + Т- Р)-
18. (а) С помощью математической индукции получить следующую фор-
формулу свертки:
Ап (а. + у, Р) = 2 лл («' Р) An-k (Y. Р).
Для итого показать сначала, что
a - 1 -! p,i
a + p»
. p Joe -b pn -
a - 1 + Pn Г ; I n
(a _1( p) .,. ^^ (a +
ЗАДАЧИ
171
откуда
sn (a + v, P) = 2 Ak <a- P) \-ft (Y. P) =
ft=0
= 2 Hfc(«-l.P) + i4h-i(« + P-l>P)]^n-*(V.P) =
ft=o
= sn (a - 1 + v, P) + *n_! (a - 1 + P -
Проверить граничпыо условия sa(a + f, p) = 1,
sn (V. P) = 2 Ak (О- Р) ^«-ft (V. P) = 2 Vn-ft (V. P) = An (V- P)-
Показать, что
»1A + ТГ, р) =i4,(Tf, p) + l =
Ъ Р).
- P)-
и индукцией доказать равенство s4(a + 4, P) = Л((а -f 'у,
Аналогичным образом доказываются равенства
«гA + 1, Р) = Аг(ч, Р) + Л4(Р + ч, Р) = Л2(
Отсюда, применяя индукцию, получить равенство s2(a + f, P) =^2(a +
И, наконец, двойной ипдукцией показать, что sn(a + Y, Р)=Лп(а +
Здесь а предполагалось целым и неотрицательным.
(Ь) Как и в задаче 16, для величин Вп(а, Р), С„(а, Р) получить
ношения
"f, P).
, Р).
соот-
соот= 2i
ft=O
=
Из
[В„(«,Р)-РВ
Сп (а + V. Р) -
соотношения
Р) = 2 Bh (о-
Л-1 (« + Р - '
-2PCn_j(а +
. Р) Я„_„ (а, р
ЬРI(
Y + f
) =
^n-ft (V, Р) - f
J-1.P)+P"C
**n_s_l(V +
n-2 (а + Y +
P-1
2P-
получить тождество sn (a + f, P) = Bn (a -t- f, P) — pi?n-i (a + 4 + p — 1, p) =
= i4»(a + if, P).
n
19. (а) Из определяющей формулы С„(а + у, р) = 2 Bh (a, Р) В„_й (v, P)
ft=o
получить соотношение
2
В„ (у, Р) + prn_x (a -!- v + Р - 1, Р) + 2 Ah («. Р) «„-а (V- Р)

172
ГЛ. 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
или, используя задачу 17 (Ь), показать, что
К (« -Ь V, Р) - 2 Ah («. Р) Bn_h {у, р).
а':'81 УЖв бЫЛ получен 8 Т0Ксте с помощью тождеств для ряде.
(Ь) На тождества
<п 1«. Р) =
(а. Р) = 2 Р"*,,
- P, P)
н соотношений, полученных в пункте (а), вывести соотношения
(hf\^. \Г- aj л на .• вч _, VI /.-1 Дф
\ к )
t рЧ-.; (ур~/,
' (А:р,7_!~')/р'.
Исиользуя равенство Л„(«, р) =Й„(а, р) - {Шп_,(а + 3 - 1, 8), показать
что полученное выше соотношение сводится к тождеству
ft
ГЛАВА 5
МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЙ
5.1. Введение
Многочлен разбиений — понятие, введенное Беллом в работе
13] для обозначения многочлена от нескольких переменных, опре-
определенного с помощью суммы по различным разбиениям значения
его индекса. По-видимому, наиболее удачным примером таких мно-
многочленов являются многочлены, связанные с производными от слож-
сложных функций (будем называть их многочленом Белла; см. 151]).
Это очень широкий класс функций. В него входят самые различ-
различные многочлены, например, такие, как цикловые индикаторы сим-
симметрических групп пли многочлены Bn(At, ..., Ап), введенные
в четвертой главе в связи с обращением степенных рядов. Кроме
того, в конце этой главы будут изучаться многочлены, связанные
с различными теоретико-числовыми величинами.
Таким образом, содержание этой главы следующее. Вначале,
для удобства читателей, приводится сводка основных свойств мно-
многочленов Белла. Затем изучаются функции, обратные к многочле-
многочленам Белла. Две такие функции существенно зависят от мпогочле-
пов, евязышпощггх производные обратных функций; показывается,
что эти многочлены являются многочленами Белла. И, наконец,
в конце главы приводится обзор теоретико-числовых аспектов этой
тематики по работам 13J, [22].
5.2. Многочлены Белла
Многочленами Белла, о которых пойдет речь, называются мно-
многочлены Y,,{fgt, ..., fgn), где /'' ss Д (обозначения взяты из книги
151J). С такими многочленами мы уже встречались в гл. 4.
Для удобства читателей приведем основные определения и свой-
свойства многочленов Г„. Прежде всего укажем, что многочлен У„ мож-
можно задать формулой
" !/
i, ...,Jgn)-2i к
) l
n{n)
где суммирование проводится но всем разбиениям я(п) числа п,
т. е. но всем представлениям п в виде суммы целых положитель-
31Ы.\ чисел. Обычно разбиение обозначается i12'"...Mn, где к, +
+ 2А-2 + ... -f пк,„ = п, а ки — число слагаемых разбиения, равных i *),
*) См. [:¦>{] гл. 7. {Прим, персе.)

174
ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЙ
Общее число слагаемых в разбиении равняется к = kin) ¦=
-А» + ... + *„.
Далее, если Ait) = f(g(t)),An = D?A {t), /„ = DZf(u) при м=#(*),
#n = Z)"g (<)< где Dt — d/dt — оператор дифференцирования по t, a A,
определен аналогично, то
An=Yn(fg4 .... feJ, /*-/*• B)
Имеют место два основных рекуррентных соотношения, которые
можно, объединить в одну формулу
Уп + l (fei, • • • , fen+l) =
'n-ft (fei, • • •, fen-*) =
= (fg1+D)Yn(fg1,..<.,fgn), C)
где /" =з Д, Z) = giid/dgi) + g3id/dg2) + ..., a Fo = 1. Полагая У„ =¦
— 2/ft^n,ft(gi. • ••,?«.) (Упа не зависят от /) и выбирая второе из
приведенных выше рекуррентных соотношений, получаем
Yn+l,h = glYn,ll-l+DYn,k. D)
Таким образом,
У, = fgx = /lftl
У. = ?i/^i + ft/To = /s?? + Л& = fei^i
Уа = gifY% + 2gtfY1 + g3f =
= Ex {Pg\ + PgJ + 2gtf*gl + fes = h
В табл. 5.1 приводится явный вид многочленов Г„ для
71 = 1AI0.
В конце приведем следующее тождество для экспоненциальных
производящих функций:
где У" - FJfeb . .., fej, f - Д.
5.3. Обращение многочленов Белла
Простейшая обратная формула для многочленов Белла получает-
получается следующим образом: в производящей функции E) заменим сим-
символическую переменную / на обычную переменную х и прологариф-
прологарифмируем обе части полученного равенства. Тогда
* !2 8jf = bg (exp tY), У" - Yn {xgv .. ., rgn).
5.Л. ОБРАЩЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ВИЛЛА
175
Используя равенство B), предварительно положив в нем Ait) =
= logiexp tY), получаем эквивалентное соотношение
rgn - 7n(F7,, .. ., FYJ, F" - Fh - (- 1)" Ч/с - 1)!, Ea)
которое с точностью до обозначений совпадает с формулой E0) из
второй главы книги [51]. В частности, из формулы Eа) следует
rgl = 1\ {FYJ - Y, (xgj?
gv xgs) — ЗУ4 (xgx, xg2) Yx {x
В более общем случае молшо получать обратные формулы как
для /„, которые выражают /„ через gn и 7„, так и для gn, выража-
выражающие gn через /„ и У„.
Укажем вначале, как получить выражения для /„. Обозначил!
через Git) функцию, обратную к git), т. е. функцию, определяемую
равенством giGit)) = Gigit)) = t, а через Gn обозначим DvtGit).
Тогда AiGit)) — figiGit))) = fit). Из соотношения B) получаем
формулу обращения
U - YniYGt, .. ., YGn), Yh - 7k(fe1, . . ., fgk). F)
Так как в полученном равенстве игреки, стоящие в скобках, отли-
отличаются от игреков, стоящих вне скобок, то имеет смысл выписать
в явном виде несколько частных случаев равенства F);
U = У* (УСх) - У! (fei) G, = /lftGlt
/2 - У„ (FG,, УСа) - Ух (fgl) Ga + У2 (fei, fe») GJ -
= /i^iG, + (/rf, + /sfir!) GJ - A (glG 2 + glG\) 4 /rf«Gj.
Первое из приведенных выше соотношений дает равенство
gfii = 1, т. е. Gx == ^г . Из второго соотношения получаем #iG2 +
+ gfi\ = 0 или 6'2 = — ^2^Г8- Обратные формулы имеют соответ-
соответственно вид
/х = ёТ'Уг, U = - /у^Г'Ух + ^Г2У2-
Таким образом, полученные формулы обращения необходимо до-
дополнить формулой, выражающей Gn через gn, п — 1, 2, .. . Это выра-
выражение неявно содержится в уравнении giGit)) = t, которое будет
детально изучено в следующем, разделе. Здесь же отметим только,
что gi(*n+i — Zn(— zlT . .., — zn), zA — gh+\g\ , где Zn — мно-
многочлены от нескольких переменных, которые еще надо будет опре-
определить (из приведенных выше результатов следует, что Z,, = 1,
Ziizt) = z,). Тогда формула обращения F) дополняется выражением
€п :,- g^Zn^ {—zu .. ., — zn-i), п = 1, 2, .. .
Для получения формулы обращения второго типа, выражающей
gn через /„ и У„, n = J, 2, .. ., введем функцию Fit), обратную к

ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЯ
fit) : F(f(t)) = f(F(t)) «= t. Тогда из соотношения F(Ait)) -=
= /l/(gU))] = gW следует, что
*„ = yB(FF,, ..., FYJ, Fh »/-\ = D^ («) |u=a(o, (')
що Yi^Y((fgu ..., fg{), f ^jh~Dhuj(u)\u^ut). Таким образом, ве-
величины Д и Fk задаются с помощью, различных, по сходных по
внешнему виду выражений и связаны соотношением f1Fn+1 »-
•= Zv (— zlt .. ., — zn), zh = fk+iii ~\ которое немедленно прове-
проверяется в следующих частных случаях:
„ fg2) + FJT\ (fgl) =
- (/2/Г3)
Чтобы понять происхождение этой связи, проследим, как из со-
соотношения G) можно вывести соотношение E). Пусть /Ш=е*';
в этом случае jh = хк expxg(t). Тогда YnQgi, • •., fgJ =
= (ехрж?Ш)У„(а#1, . . ., /rgj, f ^s fh = xh ex-pxg(t). Далее, Fit) =
— x~4ogt, Fh = x~1(— l)k-'(k — 1)! cxp (— kxg(t)), и соотношение G)
принимает вид
где ^
, ..., jg,) -
,, .. ., a:gft), или
и
fe) OXP
что совпадает с соотношением (о). Разумеется, те игреки, которые
появляются без аргументов в двух последних строках полученного
выражения, на самом деле определяются тождеством Yh = Yh(xgu ...
5.4. Многочлены для производных обратных функций
Рассмотрим теперь производные правой и левой частей уравне-
уравнения g(G(t)) = t. С точностью до обозначений, наше уравнение сов-
совпадает с уравнением вида A(.i) — jigit)), где A(t) — t. Следователь-
Следовательно, Ап = 6,u, n = 1, 2, . . ., п из соотношения B) получаем
оп1 - YJgGt, . . ., gGn), gh - gk. (8)
Разумеется, здесь gh =- Dug (и), где и = G(O.
5.4. МНОГОЧЛЕНЫ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЯ
177
Совершенно аналогично, из уравнения G(gtt)) = < получаем со-
соотношение
бя1 = Yn(Ggu ..., Ggn), G> - Gh. . (8a)
Б частпости, соотношение (8) дает следующие равенства:
1 =
gfi\
О = gfi3 +
0 = gfi, +
gaG*v
3G1) + ^3 (QGtG\) + ^GJ
ИЛИ
, = 1
= - z3 + 102,2, -
которые можно также получить и из соотношения (8а). Заметим,
что если D — оператор, определенный в C), то все эти соотноше-
соотношения (кроме первого) удовлетворяют соотношению
2 dg^ 3 dg^
Соотношение (9) можно доказать следующим образом. Сначала
из соотношения (8а) получаем
О = DYn (Ggl, ..., Ggn) = 2 D \GhYnk (gl, ..., gn)} =
или, используя соотношение D), находим, что
0=2 (DGk) Ynh + Gh (УП+1,Л - glYn.h-i) =
S
DGh) Ynh (gl. k'z, ...)
Отсюда, а также из того, что Ynk^=0, к— 1A)«, получаем форму-
формулу (9).
Из равенства (9) можно получить рекуррентные соотношения
для многочленов Zn{—zh .. ., — zn), определяемых равенством
Zn(— zv . . ., — г„), zk
,-ft-l
A0)
12 Дж. Риордап

173
ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЙ
В самом деле, опуская для краткости аргументы у соответствующих
функций, получаем
Zn=D(ft %-i)
A1)
Положим 8 = za~ + h jr~ + • • • Напомним, что zri = gn+igi " *•
Тогда
g1xDzn = zn+1 — (n + 1) ZjZn «= |6 — (n + 1) zt] zn,
и, аналогично,
—l
ил it
Если
# (^A • • • zft;.) = |_б — (n + j) zj zhl . . . zh.
'xDZn<k{z1,zi, .. .) rr-- [б — (« + A)z1]Zn,ft(z1,z2, •••)¦ A2)
П
7 tт т \ -i N^ 7 In v \ i) 10 (\'\\
то из A1) и A2) следует
S (- Dft zn.fc =  (- Dh [6 - (« +1) zx] zn_1>ft -
= S (- l)ft|62n_llft + (n - 1 + A) z,^-!,^,],
откуда получаем равенство
Ъп,к = 6Zn_lik + (/» — 1 + /г) z,Zn_1,A_1. (I /i)
С помощью равенства A4) можно показать, что
Zn,h(z(, z2, . ..) = У„+»,»@, z,, ...), п - 1, 2, . .., A5)
де, разумеется, Zo,o = i'o.o =• 1. Легко проверить, что
-> пп ~- 6 1?
* n+i.n
13) *Г
V 4+ (" t3)
t3) ^
(в +3) еГ3 A5Й).
5.4. МНОГОЧЛЕНЫ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ
179
Представим
Уп+k.n(л,л, • • •) = S ("t к)gi4Ck.}(g*ft, • ¦ ¦ )¦
3—1
Тогда из D), опуская для краткости аргументы, получаем Yn+Kn —
— gtYn-i+Kn-t = DYn-i+Kn или
У [n~i + k)^-ir
2л \] — l + к) Si ^hj =
J=l
- 1 + J ftn"J f(n - 7) ^'
3=1
= S ("/+Й ??"'
7 -
Следовательно,
CM(ft, ft, ...) » CM = CCn-.j + (A + / - DftC».,.,., A7)
или Cnh(zt, z2, ...) = Cnh = 6С„_1, ц + (n — 1 + AJziCn-!, fc_i, что совпа-
совпадает с соотношением A4). Так как С00 = 1 = 200, то Cnh = Znk. Мепяя.
местами п и к в формуле A6), получаем Yn+h, &@, Zi) = Cn>n(z,,
z2, ...). Тем самым равенство A5) доказано.
Теперь разложение экспоненциальной производящей функции
в E) дает равенства
2tn i
^i^n.h(ft, ft, ¦•¦) = jf
ИЛИ
(i. + A)!
И, накопец, обозначая через (га + A)ft А-ю обобщепную степень
числа га + А, получаем тождество
(Z Z \
21' Г' " '¦)'
из которого следует тождество
A8)
%п (/Zlt . . . , /Zn) = ^ /ftZnft (Z,, Z2, . . .
A)ft/ft.
A9)

ISO
ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЯ
Частными случаями тождества A8) являются тождества
_ У (п г 2\ -t , . ,
i—¦•
последнее из которых получается с помощью результатов задачи
28 гл. 2 книги [51]. Кроме того, из соотношения A6) и равенства
t\jizi, ...) = ZujiZi, .. .) получаем
7 У
откуда
У __ Bп)! „
*-* ii'ii — ————— 2,1 .
2"п!
B,1 -I- 1)! _ „_;
3-2" (н — 1)!
Заметим, что Znhil, ..., 1) = Ь(л + Аг, А) являются присоединен-
иымц числами Стирлинга второго рода (обозначения работы [51J).
Числа bin, к) можно определить следующим образом: bin, 0) =•
=б„. о и bin + 1, АО = /с6(и, АО + /ifc(ra - 1, А: - 1).
В табл. 5.2 приводятся многочлены Zn(zu ..., zj для м = 1A)8.
5.5. Многочлены разбиений в теории чисел
Следуя f22J, обозначим через л=л(п) разбиение 1 г2 " .. . п п,
где A,*j — число слагаемых, равных i, в разбиении числа п:
п = А-, + 2А*2+ • • ¦ + пк„; /« = ДЧп) = A*i + ... + /с„ — общее число сла-
слагаемых в ралбяенни л, а р д(я) — число различных слагаемых н
разбнешш л, т. е. число тех i, для которых А-, Ф 0. Например, раз-
разбиение числа 7 вида A32) состоит из трех слагаемых, па которых
различными являются два.
Первый из результатов, полученных Файлом, имеет следующий
вид:
Л, (.г) Аг [хг) , .. =¦- У. .г11 2 я, (A'i) a, (kt) ...,
ft.- о зх(п)
B0)
где Л,(,г) => flj@) + дД1)х+ ... + аД-Ь11 + ...,/ = 1, 2, ... Эта форму-
формула является естественным обобщением формулы для рп (числа раз-
различных разбиений числа п):
Р {¦*)¦-
V ,,"„ __ V ,.т>
--i •< /'A — >i. a
Л -: 0 П -Ч!
5.5. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИО В ТКОРИИ ЧИСКЛ
181
В самом деле, последняя формула следует из формулы B0),
сели в ней положить все Oj(fe) •= 1. Другие частные случаи формулы
B0) (также указанные Файном) имеют впд
*о-1= s ^ 2 (-о*1я).
D
j=l
n=o ж n)
V r" V ,
Zi ^ Zi
n==U n(n) ! 3
Так как левую часть последнего равенства можно представить п виде
fc! V 1 —x)
I
к -I- /
V т" V
j=o
то
« —1\ , , , . , , , ,
I , к — /.• (л) = /,-, и- /г, -,- ..
a. —1/
Этот результат уже был отмечен в 3aNre4annii к формуле
B1) гл. 4.
Если теперь положить в B0) А,(х) = exp ixyjj), то получим
¦2
1
• B1)
Внутренняя сумма в правой части полученного равенства равняется
(и!)~'С„()/1, .. ., ;/„), где Cniiji, . . ., ijn) — цикловой индикатор сим-
симметрической группы (см. [51], гл. 4). Следовательно,
охр
Если у = г/i = (/2 == ¦ • ¦> то левая часть равенства B1) равняется
ехр i/Lt-f — 'i" • • • I = ехр г/ log A — x) l = A — x) y =
,/")
где !/<0) = 1, 1/(|° = г/(у + 1)...(;/ + и — 1). Таким образом, получаем
известное равенство
<",. (g. ¦¦¦'!!)
= у
г/((/-1-1) ... (?/-{-«- 1)
Приведем еще одно применение формулы B0), отмеченное Фай-
Файлом, Пусть Pain) — число разбиений п иа четное число слагаемых,

182
ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ РЛЗБИЕШ1П
т. е. рЕ(п) = 2 Т I1 + <~ 1>'МЯ)]- Тогда
я(п)
\А<я)
Используя равенство
П(\ -гЛ (\ _l т^-1 _ ТТ (\
\\ — х Д1 + х ) = цA —
5=1 ;=i
7=1
и известное тождество Якоби
3=1
П
3=1
- х
зп+т
2
(см. [45], т. 2, с. 23), которое при п = 1, т = О имеет вид
ц A - *«-*)• A - х*0 = 2 (-
3=1 — оо
получим
2 pfi(n)x" = p
n==o
2 s (-
ft=l
ft=i
(- 1)V2
B2)
ИЛИ pE{n) = Pn- Pn-l + Pn-i — Pn-9 +•••+(— l)ftPn_ft2 + • • •
Рассмотрим теперь производящую функцию
2 ^n 5 (а,А, + а2/с2) = 2 ^ 2 вгА, + 2 *" 2 «А.
п=0 п(п) п=0 п(п) п=0 л(п)
Первое слагаемое в правой части получается, если положить
Ах (х) = а, 2 /i"^' 4jU) = A — ж)-1, /=^1, а второе — если поло-
положить Аг(х) = а2.г-A — х)-2, Aj(x) = A — я), / =>* 2. Таким образом,
71=0 Я(п) (J ~ Х> 7=2
Становится очевидпым обобщение этого равенства, которое в
форме, полученной Файном, имеет вид
2 хп 2 L (п) = р ix) 2 а,х 5A - х5)-1 =
»=0 Я(П) 7 = 1
- ^(а-)!,^^-!)-1, л:«A-.т«)-11 ...], B3)
5.5. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЙ В ТЕОРИИ ЧИСЛО!
183
где Мл) — atki + a2/ca + ... Отсюда следует, что
2^(я)= 2 Pu2«d, » = 0,l,2,...; y-1,2,3,..., B4)
d\v
где внутренняя сумма в правой части берется по всем делителям
числа v (включая 1 н v). Если 1 •= а{ = аг = ..., то /Ля) == к(я), в
•го время как2 1 = f(v) — число делителей числа i'. Таким образом,
n-l
2 к (я) = 2 Pat (га —
я(п) fe=0
Если a,- = i, то Lin) — k{ + 2k2
ма делителей числа v, и тогда
re, a
2 1 = а, -
сум-
п—I
= 2
h=0
Отсюда можно получить <одно интересное следствие: если aix) «=*
= Oi + о2ж + . .. + апхп~1 + ..., то (см. [491, гл. 8, задача 75) p'ix) —
•=/i(x)o(x), где /?'(л;) — производная pix). Отсюда в свою очередь
следует равенство
ха ха
р (х) =¦ ехр [ха1 -\ ^- Л- ... Л -~~ +...! = ехр а; С (ст1; аг, . . .),
Ч & fit
Сп (<>1> СТ2< • • •) = ^„@,, а.,, .. .).
где Cnitu t,, ...) — цикловой индикатор симметрической группы.
Следовательно,
Sn(<Ji, .. ., а„) = in\)~lCniai, ..., oj = рп.
Кроме того,
ехр — хС (а,, а.2, ...) == ехра:С(— а,, — а2. . . .) —
В полученном соотношении последнее равенство следует из тож-
тождества Эйлера для теории разбиений. Тем самым мы получили один
из результатов Белла (см. [3]). Отсюда находим, что
С
Г (~ {) ' осли " =
/r(.VH-l)
<
О в противном случае,
и, разумеется, Со =» 1.
В силу тождества ехр жС(« + <) =» ехр xCis) ехр xCit), где s — век-
jop (sj, s2, ...), a t — вектор U1( <2, ..,), справедливо следующее

184
ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЙ
равенство:
С{- кои - ка2, .. .)
[A
хг).. .A - хп).. ,]
При к = 3 другой частный случай тождества Якобп дает воз-
возможность получить еще один результат Белла, а именно
C(-3olt - Зая, ...)= 2 (- IK' B/ + 1) х^ *'.
3=0
Тождество expa.€(oi, о2, .. .) = pU) молено разбить на части сле-
следующим образом: обозначим через о„(о) сумму нечетных делителей
числа п, через о„(е) — сумму четных делителей того же числа, че-
через о{х) — производящую функцию для числа разбиений на нечет-
нечетные слагаемые и через е(х) — производящую функцию для числа
разбиений на четные слагаемые. Тогда.
ехря(ЛоДо), az(o), . ..] =о{х), схряСЕоДе), о2(е), ...] = е(х).
Очевидно, что е(х) = р(х2); отсюда о2„(е) = 2о„, о2п+Де) = 0 и,
следовательно, а2п(о) — а2п — 2о„, o2n+i(o) = o2n+i, что легко прове-
проверяется. Кроме того, хорошо известно тождество о{х) = и(х) = A +
+ x)(l + xz).. .A + хп)... (производящая функция для числа раз-
разбиений с неравными слагаемыми).
Подобный прием с разбиением использовался Беллом для при-
применения тождеств Якоби к задачам теории чисел (см. задачи в кон-
конце отоп главы). Здесь же отметим лишь, что пз полученных соотно-
соотношений следуют равенства о'(х) = о(х)а(х; о), е'(х) = е(х)о(х; е),
где, разумеется, а(х; /) = оД/) + а2(])х+ ...; / = о, е, или
??-1 71-1
поп = 2 ohan-k(o), nen = 2 ehan-k (e).
Для удобства читателей приведем небольшую табличку значении
определенны^ выше величин:
п
Рп
°п
еп
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
и
2
2
1
1
1
2
3
3
2
0
4
0
4
5
2
2
1
0
5
7
3
0
6
0
G
11
4
3
4
8
7
15
5
0
8
0
8
22
0
5
1
14
9
30
8
0
13
0
10
42
10
7
(i
12
В табл. 5.3 приводятся тождества Белла и другие тождества для
цикловых индексов симметрических групп. Для краткости мы при-
приводим эти тождества в форме производящих функций и оставляем
читателям в качестве упражнения найти следующие из них соотно-
соотношения (некоторые из которых были уже получены в тексте).
ЗАДАЧИ
185
Задачи
1. Применить мпогочлены Белла для установления соотношений
гимметрпчески.ми функциями (помимо уже приведенных в задаче 27
кштгп [51]). Для этого в соотношении, связывающем элементарные
рические функции я„ и суммы одпородных произведений hn, а
1 — а1х + а2х2 — а3х3 + ... = A + М + М2 + •¦.)"'. положить Л„
ип = »!'*» п получить соотношение
ехр {—хА) = (ехр/Ух)-1, А" ее Л„, Я" =« //„.
Отсюда, используя задачу 22 гл. 2 книги [51], получить тождество
(-1)«.4„ =Я„(-1) = >'„(///,,..., ///«), П = (-D* =» (
Проверить частные случаи:
между
к гл. 2
симмет-
симметименно
= л!я„,
2 2 1' 4 4 ' 3 1' 2 2 1 ¦ ~ 1"
Показать, что полученные выше соотношения эквивалентны тождеству;
где суммирование ведется по всем разбиениям числа п, а А-= /,-, Ч-.,.+ /,-„,
2. Перестановки с ограниченными повторениям и.
(а) Обозначим через Р/,(», г) число А--перестаповок из п различных элементов,
каждый из которых может встречаться не более г раз. Соответствующая про-
производящая функция равна
exp tP (п, г) —
4d
Л=о
= 1 -- t -¦-.
f
2!
Полагая 1 -f- t -~ — + .. . -г — = exp tC, С" га Сп, так что 1 = Г,, = С, = ..,
,.. = С,., О = С\.+ м, л = 1, 2, ..., показать, что
exp tP(n, r) — (exp tC)n = exp lC(n),
1\ (гк г) = Cft(») = *">- (/Ci, • • ., fCh), Я = /j = («)j,
ГдУ (/г) j _ обобщенная степень (убывающий факториал). Сравнить этот ре-
результат с работой [25].
(Ь) Обобщить результат пункта (а), разрешив nt элемептам из п встре-
встречаться не более г\ раз каждый, а оставшимся п2 элементам па п — не более
тч раз. Положим теперь
1 ¦!¦*-;• -Lj. -I- ...-; — = exp 1С B), Сп B) _ Сп B).
ToiviH. если Р>, (п,, иа; Г|, г2) обозначает число описанных выше /(--перестано-
/(--перестановок с повторениями, a P('ii, n2; rs, г2)—соответствующая символическая

186
переменная, то
Показать, что
Ph {ni'nv Г1'
ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЙ
*-j Ki A). • • •' xCh-i (D] Г; [»С, B), ..., VC} B)] --,
= Yk [xCt A) + yC1 B), ..., xCh A) г yCh B)],
где a:' № г; = (re,),-, j/* es jj *= (и2)я
Соответствующее обобщение этой формулы на случай многих переменных
делается очевидным образом, во, по-видимому, представляет лишь формаль-
формальный интерес.
3. С т е п е н и степенных рядов, (а) Рассмотрим р-ю степень,
степенного ряда 1 + а,х + "^ + ... Положим A + а^х -j- а^хг + .. .)р =-
= 2 ЛрЛ",.",'.-'),™ что4р0=1, Apl = pav Apo^poi -f (Л а*. Введя
символическую переменную А такую, что Л" в= An = п!а„, показать, что
A + а,х + а2г! + ...)Р == (ехрхА)Р
где Ап(р) = Yn(fAh ..., /Л„), /J «a/j =- (р);. Таким образом, если л(п) обо-
обозначает разбиение числа «, то
Отметим следующие частные случаи:
2
Пусть Apn(ava2, ...)= >] (П В))А («,, «2, ...); тогда
Заметим, что
Ж л)
в то же время
ге —2
2
ЗАДАЧИ
Покапай», что
187
АР,П (aV ¦ ¦ •) = Ар-1.п + «Ир-1,„-1 + • • • + "n^p-l.O1
йн,й+1 = aiBn-i.k + a2Bn-2,h + • • ¦ "Г an-hBhk'
(п-1\
n — 1
/p\ /re — 1\
ми (p + re - 1) „ = Уп (/, /2, . . ., /re!), /J = /j = (p),.
(b) Проверить последний результат с помощью тождества A +
+ ...)'¦ = A — х)~р. Из соотношения [1 ¦+ 2х + За:2 + .,, + (ге +
,..] v = A — x)~2l> получить равенство
" +
Аналогично, из равенства A + х2 + г4 + ...) р =• A — ж2)-р получить равен-
равенства
Лр>гп{0, 1,0, 1, ...) =
и вывести отсюда, что
1В,Л @, 1, 0, 1. .. .) = (J _ 1). B2n+1.ft @, 1, 0, 1. • • •) = 0.
И, наконец, из соотношения A-Ь ж + ж3 + ... +x2n + l + ...)p
_ (i -\-х(.1 — ж2)~')р получить тождество
fn-1-Л
откуда следует, что
fln.n_2j(l-0,l,0, ...) =
= о,1,...,
Bft.n-aj_iA.0,l,0, ...) = 0, / = 0,1,...
(с) Воспользовавшись соотношением Bnh (а^, а , ...) = а"ЛЛ n_ft
Яда", ...) и результатами пункта (Ь), показать, что
(ге+*-1\
I '
к\
2*1
Заметим, что Вп,/,B, 3, ..., п + 1) =2"Лк, ,_ьC-2-2, 4 • 2~3, ...); получить
отсюда тождество
1-1-3-2-2х4-4.2-3ж2+ ... + (п + 2J~п-1хп+ ... =

188
ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ ГАЛБИЕНШ1
ЗАДАЧИ
189
В итоге показать, что
Получить также из последнего соотношения равенства
Тогда тождество
можно п])едставпть в трех разлнчгшх формах, соответствующих полученным
выше выражениям.
4. (а) Пели в соотношении E) символическую переменную / заменить па
обыкновенную переменную х и положить gn = i, n = 1, 2, .,., то получится
соотношение exp tY(x, х, ...) = ехр х(е< — i). Показать, что
елрг(е' — 1) «= oxpta(x), ап (х) ея а„{х),
п
где я;| (х) ¦-= V s (и, к) xh, a S(n, k) — числа Стерлинга второго рода. Тогда
Y,,(r, х,...) =ап(х), У„A, 1, ...) =я„A) =5„,
где /?„ —числа Белла. Показать такжр, что для п == 1, 2, ... справедливы со^
отношопнн
х= YnlFa^x), ..., Fan(x)], Fk ~ Fh =
1 «=ГП(А'В, fS,,).
/c - 1I,
(Ь) Определяющее соотношение для чисел Стирлинга &"(п, It) можно зя->
писать в виде
,д0 fk = Z)*/ (и) при и = е!, а 5(н, А), как и в задаче 4,—числа Стирлпнга
второго рода. Положим /(/j)— log"; тогда A{l)=t (ввиду того, что log г и
схр t — взаимно обратные функции). Вывести тождество
п
(b) Положить /(a) = ехрхгг. Тогда Л @ = схр (хе') = е* exp la{x), v;w
я (.г) определено в вадаче 4. Показать, что
т
"п+т W — ^J S(' '} х Iя (г) "Г 1 > " (¦*' ^ ah (Х1<
и получить обратную формулу
т
хт \а (х) + т]п = 2 s ('"' fr) °»+ft (х)' ^ {х) ет ЯЛ (i')l
где s(m, к) —числа Стирлинга первого рода.
Заметим, что последнее соотношение можно также переписать в виде
х"Ча(х)+т]п = [а{х)]п[а(х)]т, ак(х)^ак(х).
Если теперь в полученном соотношении положить п = 0, то мы приходим1
к соотношению хт = [а(х)]т (см. задачу 5 к гл. 4 [51]).
(c) Используя интериоляциопяую формулу Ньютона *)
(?/(*)=/(*+!), А ==?—1) и результат пункта (Ь), показать, что
Отсюда, полагая /(г) = х", получить
Используя результаты пункта (а), показать, что
схр tY[{x), (г),...] = ехр/а [(а:)] ==
= ехр (ж) («' ~ 1) = ехр tx = охр /Г(ж, 0, ...),
и найти обращение Y»(xgu ¦ ¦ •, a^ffn), f,'« =й,ц, j-6;ij = У„ (/-'х, ..., F.c"),
feafj =. (—l)"-i(A-—1)!, и = 1, 2,..., или
*=¦=*,-!-••¦ "I"
б. (а) Из уравнения A(t) =/(e') вывести соотношение
...... ^ _. .. ,„ .. d
(Последнее гоотпогаенно легко проверить с помощью равенства S(n, /.)
,= (А-|)~'Д'1О'1.) Получпть соотношения
Последнее соотношение является известным результатом Добцпского
(см. [20]). Другой вывод того же соотношения содержится в [54].
6. Из соотношения
4;
24^°П»2 гг2
*) См. также с. 197. (Прим. пере в.)

ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЙ
490
получить формулу
где Dn (x) — многочлен попаданий в «задаче о встречах*,
U II — X) ^= П\ /
fc=0
fe=0
здесь D,, = Dn @) — число беспорядков или субфакториал.
Разумеется, в обеих формулах полагаем 0п = 1 при п — 0. Последний ре-
результат приводится в [6] и является упрощенным вариантом формулы До-
Дофинского из задачи 5.
7. Из производящей функции A — xt) exp tS(x) = exp t(i—xt)~\ где
S" (x) s= 5* (x)—ладейные многочлены для квадратной доски со стороной п
(см. задачу 18 гл. 3), Sn (х) = 2 (; ) *'* ' ПОЛУЧИТЬ соотношение
Yn A, 2х, . .., п\хп~1) = 5„ (х) - nxSn_1 (х) = 2 (?) Г 7
Заметим, что
n!
n-l
где Л™ (ж) -многочлен Лагерра: L% (x) = ^ (« JI "
fto
Из рекуррентного соотношения 8„ {х) — [1 + Bга — l)x]5n_i (а;)
-f г2(/( — lJSn_2B;) = 0 получить формулу
УпA, 2х nil»)- (ге-1)хГ„_,[1, 2х, ..., (п - l)\x"~2] =,Sn..l{
Полагая уп = F,,(l, 2, ..., п!), получить рекуррентное соотношение
y*+s-3(n + 2)yn+t+ (n+l)Cn + 5)yn + l - (п + \уПуп =0.
Проверить следующую таблицу:
п
Уп
0
1
1
\
2
3
3
13
4
73
5
501
6
4051
8. (а)В формуле g(G(t))=t положить g(t)=expt; тогда G(i)=log«.
Показать, что величина Gn = D7^ (log и) при и = ехр г задается формулой
С г. = (—1)"-'(« — 1)!е-"', и вывести тождество
—е-'"
е-'")
ЗАДАЧИ
191
или
,= Г„ (- /2~], ...,-/ [п + I)-1) =
(Ъ) Полагая, как и в яадаче 5, Л(<) с=/(е'), показать, что обратное соот
ношение для
Ап (t) - Д?Л {t) = У„ (/«', ...,/«') = 2 S {n, k) eh!fh, /» ш. /ft,
задается формулой «п'/п =^ 2 »(".fc)^
<1=0
Стерлинга. Используя соотношение (E), вывести тождество
> где 5(л, fe) и s(n, /r) — числа
enl
Yn\Ae-',
(n
или
Отметим также, что из тождества Уп(х, ..., х) =ап(х), доказанного в за-
задаче 4, следует тождество
¦(ra,fc)=2
п!
... fen!ralV
(с) Положим ^4 (t) = ei" = /(е1), так что /(t) = tp, а обратная для нее
функция равняется F(t) = (f). Используя соотношение G), показать, что
где А„ = pnA{t). Показать, что полученные соотношения эквивалентны тож
дествам
pti = 2 s <"•fc) (i")b-
fc=o
Последнее равенство часто используется в качестве определения 5(га, ft).
9. (а) В равенстве g(G(t))=t положить g(t)=t~i; тогда G(t) = /-'
и р„ = (—l)nra!i-"-', Gn = (—l)»nlin+1. Показать, что
= Zn [—2* — (n
У„

192
ГЛ. Г.. МНОГОЧЛЕНЫ РАЗБИЕНИЙ
или
/ j}?1
(п
(п +
что эквивалентно тождеству
" + '-?«-*(¦"
/л \ /п + 1\
Пусть я(тМ m )
" Г'Г"*
."*)•
,); показать, что
(Ь) Положим A(t) =/(/-'). Показать, что
к А ... к Л
(_ !)»<-"-«,
fe!
Обратным соотношением является соотношение»
/„«
— п it
k-i
Показать, что этот же результат следует из формулы F) и результатов
пункта (а), т. е. из равенств /„ = Yn(AGi, ..., AGn), A'a^i, и Gn •=•
10. (а) Пользуясь равенством A8), представить соотношение
„-Л-1
в следующем
_5
I" i 1)!
гдо A- = fe! + ... + кп, или Г„ = Bn (-7,, ..., -,„)• Здесь Г„ = gjG^jAw -|-1)!,
y.=zg. /(] -\- l)lg\+1, a En — введенный в гл. 4 многочлен от нескольких но-
ремсппых, связанный с обращением рядов.
(Ъ) Из формулы 2„(г,, ..., г„) = (га + 1)Ш„(Л. Л„), ЛА = яА/(А + 1I,
отличающейся от последней формулы пункта (а) лишь обозначениями, иолу-
чить соотношение
< (л + 1)! Вя (i, ... ,-|"
8ЛДЛНИ
19.5
lie Iln(z)—многочлен, определяемый формулой B1) гл. 4. Положить hn =
sL (« + l)//,i A/2) и получить из формулы B2) гл. 4 соотношение
(in —
2, 3, ...
При этом, разумеется, Ло = /«i = 1. Асимптотическое поведение hn опре-
определяется максимальным корнем характеристического уравнения х1 — 4х + 1 =
s= 0, соответствующего соотношению й„ — 4/(,i_, + Л„_2 ¦=¦ 0. Доказать, что этот
корень равен л = 2 + УЗ и, таким образом, при больших п Zn(l, 1, ..., 1) ^
sC иААХ", где Л — некоторая константа. Проверить следующую табличку:
0
8
1
1
1
2
4
8
26
48
236
384
2752
3840
39 208
46 080
660 032
645 120
12 818 912
10 321 920
(Интересно также отметить, что рекуррентное соотношение для hn(z) ¦=
=* (п + 1)Я„ (г) асимптотически соответствует характеристическому много-
многочлену х2 — 2A + 2г)г -f 1, имеющему максимальный корень, равный
l + 2z + 2(z + z^'.)
11. Показать, что цнкловой индикатор симметрической груины С„(<1, ...
..., tn), где и = a,t(o) == Ол(с), удовлетворяет тождеству
ехрхС {lvt%, ...) =
*) A + х2) A + х3) ... A - х*) A - *4) ...
У1
Замечание. Последнее тождество принадлежит Гауссу и является
частным случаем следующего тождества Нкоби:
1A -|- хп~т)
- xin)\ 1A -г
V
— оо
в котором надо положить и = 1/2, т = 1/2.
12. Показать, что если tn = —о„(о) — я„, то
exp xC (ij, <2, .. .) =
2 У (-
(последнее преобразование аналогично преобразованию, сделанному при по-
получении формулы B2)).
13. Пусть S — произвольное множество целых положительных чисел.
Обозначим через я произведение всех с!, из S. Вывести следующие соотно-
соотношения:
и A - zxd)a ^ exp (- a log я (l - zx11)'1) =
^pL +4*+ Uexp.rC, C"-f
13 Дж. Х'иирдаи

194
ГЛ. 5. МНОГОЧЛЕНЫ ГЛ31П1ЕШШ
где Сп — цикловой индикатор симметрической группы, а
tn = _ „ v ,Л
dd=n
(a) В качестве S взять мио;кество всех натуральных чисел и положить-
г = —а = 1. Доказать полученный ранее результат:
р(х) = ехр хС(а-п Ог, •. •)•
(b) В качестве S взять множество всех нечетных положительных чисел
и положить г = —а = 1. Получить соотношение
о(х) expxC(oi(o), 02@), ...)•
Кроме того, при г — а = —1 получить соотношение
A + x)~l(i + х3)-1 ... A + ж2'^1)-1 ... = в\рхС(!и t2 ...),
где in = (—1)ио„(о).
(c) Полагая г„ ==—2(—1)"о„(о) — о„(е), показать, что
2 **
«•хр
х4) ... = 1-1- 2
Полагая г„ = 2A + (—1)")о„(о) — о„ (е), показать, что
u t2, ...) =
= оЦх) A + *)-»A + г3) ... A-х2)A-^) ...
^и2(ж)A + а;)-2A +ж3)-2 ... A — ж2)A— х*) ...
= A + х2JA + х4J ... A — х1) A — г4) ... =
= 1 + Х2 + Жв+ ...
Полагая tn = —о„ (о) — о„, показать, что
u t2, ...) =
Все эти результаты ужо встречались в [3]. Последняя строчка в первом из
полученных соотношении следует из тождества Янобп, приведенного в зада-
задаче 11, если в нем положить и = 1, т = 0. Второе из полученных соотношений
следует из того^ же тождества, если в ном положить п = т = 1. 11, наконец,
третье следует из тождества Якоби, использовавшегося при выводе соотно-
соотношения B2), если в нем положить п = 1, т = 0.
14. Следуя [22], рассмотрим следующее обобщение формулы B3):
где функция L(n) = L(ku k2, ...) линейна по всем ки
Положим L{n) sss Ьт(л) = ki ... к,и. Тогда
Положим
Показать
X
—— J
— X
, что
s L
• < • 1
при
и
(Л) :
.г
, 1
^7, т-1 N _ х' *
1-х"
ЗАДАЧИ
1П5
л следовательно,
р (.г) l (х, ,V) = ix (I -f x^) (i - х*)-1
Получить отсюда следующий результат Файна:
П(") Я((|)
Обозначим общее значение этих двух сумм через Sn(m). Проверить сле-
следующую табличку:
т ^^^
0
1
2
3
4
1
1
1
2 3
2 3
2 4
1
4
5
7
2
5
7
12
5
С
11
19
Я
1
7
15
30
17
2
8
22
45
28
5
9
30
67
47
10
10
42
97
ТА
19
1
Заметим, что
l)mSn(m)= gn0—проверочная формула Сильвестра
тп0
{био —символ Кронекера). Кроме того, Sn(i) =5',l_1(l) +5„_!@), откуда по-
получаем, что 5„A) =Po + Pi + ¦¦¦ +Pn-i и 5„B) =5„_2B)+5„_2A). Отме-
Отметим, наконец, что "?(— l)m~1mSп(т) = тп, где т„ —число делителей числа «.
13*

ГЛАВА 6
ОПЕРАТОРЫ
6.1. Введение
В предыдущих главах в ряде случаев мы уже встречались с
различными операторами. Так, во второй главе первая форма орто-
ортогонального соотпошеппя, соответствующего первой паре взаимно
обратных соотношений чебышевского типа, была получена с по-
помощью разностного оператора Д. Обычные и частные производные
(операторы дифференцирования) постоянно использовались при ра-
работе с производящими функциями. Однако использование этих ме-
методов было случайным и не отличалось целенаправленностью.
В этой главе наше внимание будет направлено на тождества,
получающиеся естественным образом непосредственно из определе-
определений соответствующих операторов или из некоторых соотношений
между ними. При этом мы будем рассматривать операторы, наибо-
наиболее часто используемые в комбинаторной математике: разностные
операторы, операторы центральных разностей, дифференциальные
операторы и различные нх разновидности. Необходимо подчеркнуть,
что центральное место в этой главе занимают все-таки тождества,
а не сами операторы, и читатели пе должны рассчитывать на пол-
полное исследование свойств операторов, даже тех, с помощью которых
были получены тождества.
Содержание этой главы таково. Следующий за введением рая-
дел посвящен разностному оператору А. В этом разделе изучаются
основные соотношения для этого оператора, различные ого при-
приложения, связь с оператором дифференцирования D, действие опе-
оператора Д на произведение функций, а также указывается то зна-
значение, которое он имеет при исследовании чисел Стирлинга.
В следующем 8а ним разделе изучаются взаимосвязанные онера-
торы хА и Ах. Здесь вновь появляются числа Стирлинга, которые
входят как в основные соотношения для изучаемых операторов, так
it в вытекающие из этих соотношений тождества. Далее идет раз-
раздел, в котором изучается оператор V = ?~'А, где Е — оператор сдви-
сдвига, а также связанные с ним операторы xV и ?х. Соотношение
jV(#)n — п(х)п {(х)п — убывающий факториал) в какой-то мере
близко к соотношению xDx11 = их", где D = d/dx — оператор диф-
дифференцирования. Ввиду этого оператор #V занимает особое место
в семействе разностных операторов. Далее, в разделе 6.5 исследу-
исследуется оператор центральной разности б. Этот оператор интересен
сам по себе, а также ввиду его связи с так называемыми цент-
центральными факториальпыми числами первого и второго рода, кото-
6.2. РАЗНОСТНЫЙ ОПЕРАТОР А
«97
рые связаны с этим оператором так же естественно, как числа
Стирлинга первого и второго рода связаны с разностным операто-
оператором Д. И, наконец, последний раздел этой главы носвящен изуче-
лкю дифференциальных операторов xD, D.r и xDx и их связи с
многочленами для чисел Стирлинга и многочленами Лагерра.
6.2. Разностный оператор Д
Действие разностного оператора А на функцию /Ы определяет-
определяетобычно следующим образом:
р
ся обычно следующим образом:
Д/Gr) = f(x + а)
f(x) = (Е*
где Е — оператор сдвига: Ejix) = f(x + 1). Параметр а является ска-
скалярным множителем, который обычно можно опускать. Если же
ость необходимость указать этот параметр в явном виде, то вместо
оператора Д пишут Аа и тогда
Aaj(ax) - f(a(x + 1)) - j{ax) - A>g(x), g(x) - f(ax).
Удобно ограничиться рассмотрением разностного оператора с
я = 1, полагая Д, -= А. Однако при этом следует помнить что от-
отброшенный параметр а может давать такие обобщения и резуль-
результаты, которые обычно остаются незамеченными при его отсутствии-
разумеется, в случае надобности эти результаты легко восстановить'
Итак, пусть Д, -=> А - Е- 1 и Е = А + 1. Тогда справедливы со-
соотношения
* . /АЛ
A)
B)
которые при этом являются взаимно обратными соотношениями
Вторая из приведенных формул, будучи записана в виде
/(.г) = ?7@)=
Bа)
называется формулой Ньютона. Эта формула уже использовалась
jipu решении задачи 5 (с) гл. 5. Кроме того, сравнение с формулой
Тейлора (без остаточного члена), записанной в виде
где D—d/dx — оператор дифференцирования, а }(х + у)
дает соотношения
D
Е-е°, Д = е»-1
log Е = log A -Ь Д) « 2 (-
C)
D)

[98
ГЛ, 6. ОПЕРАТОРЫ
которые с очевидностью справедливы, если fix) — многочлен или
fix)— целая рациональная функция (см. [49], III, задача 221).
Далее, если разностный оператор иримешггь к произведению
функций, то мы получаем соотношения
1Щ,Ы
E
(Нижние индексы у операторов соответствуют индексам тех функ-
функций, к которым эти операторы применяются.) Обобщение формулы
E) па случай многих переменных приводит к формуле
.. . /„(ж). F)
Д[/,Ы/2Ы.. .}п(
= (Д,
В то же время другое обобщение формулы E) имеет вид
[/i (¦*•') U {х)\ — (-Ь\Аг -f- AiL fx (х) /2 (х) =
к
2
G)
Обобщенная степень (ж)„ = ж(ж—• 1)... (ж —га+1) занимает
центральное место в исчислении конечных разностей ввиду того,
что имеет место соотношение Д(ж)„ =¦ nix)n-i- Отсюда и из соот-
соотношений
(х)п -
k=0
5 (re, A-)
C)
проясняется особая роль чисел Стирлипга первого и второго рода.
(Здесь и далее используются обозначения книги [51]: через sin, к)
обозначены числа Стирлинга первого рода, а через Sin, к) — числа
Стерлинга второго рода.) Из приведенных определений и равенств
следует, что
& (х)п =» 2*(». А")
Таким образом,
и, fr) (к)} (х)кЧ.
Здесь Df@)n — сокращенная запись для величины D'(x)n\x^; ана-
аналогично, Д'О" =5 AVIx-o. Заметим, что второй из приведенных выше
результатов следует из формулы Bа), если положить в ней jix) =
— хп и ъоснользоваться второй из формул (8).
6.2. РАЗНОСТНЫЙ ОПЕРАТОР Д
199
Учитывая полученные результаты, соотношение A) можно пере-
переписать в следующем виде:
и-0
V
III
у
!Л(п, А)
V
Предпоследняя строчка в Aа) п равенство Д =» eD — 1 дают хо-
хорошо известные соотношения
, к),
, A),
ил и
(е» - DVA! - exp yS( , к), S"i , к) а 5(и, А).
Проиллюстрируем полученные результаты следующим примером.
Пример 1. Следуя Эйлеру, рассмотрим функцию Арх" или,
в обозначениях [48J, J&np(x). Тогда из Aа) следует, что
!5 (/, р) --= р\ \х + S{ , р)]",
Отметим следующие частные случаи: Д''О" = р\ Sin, p), Д"х" ==
---п\ Sin, n), A"-lz" = in — 1)! iSin, n — 1) + nxSin — 1, n — 1)) =
^ /г! /ж + -^ (га — 1I так как S (п, /г — 1) = (п\
Далее,
ДV = Д'
/;- о .
+ к)\ S («, /> ^ А).

200 ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
Из этих выражений можно получить два тождества. Во-первых,
р\ [x+S ( , р)\п = р\ 2 (") S (и- /, р) х} =
j-0
и, таким образом,
[Р ~'к '") S (га, р + к) = 2L (") S (га — /, р) S (/, к)
(на самом дело суммирование ведется по / = к{1)п — р). Во-вторых,
если s(k, j) — числа Стерлинга первого рода, то
п А
^"Чг11 s ("- р +к) 2s (А% 1] -г' "=
и тогда
?
") S (га - /, р) = 5
tk
S(n,P + к) s (к, /).
Разумеется, в первом из полученпых- то;кдеств п Э> р + к, а во
втором п > р н } — 0A)« — />. При р"П—2 отметим следующие
важные частные случаи полученных тождеств. Из первого тожде-
тождества находим, что
(п - 1) S (и, и - 1) = nS (п - 1, и - 2) + (l) S (п -2,п- 2),
а из второго тождества следуют
«5 {п - 1, п - 2) - (и - 1) 5 (и, и - 1) s A, 1) f (J 5 (и, и) * B, 1),
Математический смысл приведенных тождеств фактически один и
гит же.
6:3. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ а-А И \х
20)
Рассмотрим теперь формулу для р-й разности произведения двух
функций:
или
(а; + p)st,,-s, p(x)
Полученное рекуррентное соотношение имеет следующие гранич-
граничные условия: .9?noU) = x"; sti,P(x) = 6р0 — символ Кронекера. Про-
Простейшая экспоненциальная производящая функция для этих вели-
величин имеет вид
(У, х, р) =
2 '*"*!,? У
, р)} =
Г1акнм образом,
{У, г; а:)= 2 2 J*„„
* (j/, z;
n-0 j)-=-0
t7 7~t = exp
e" — г).,
6.3. Разностные операторы Ах и Аж
Формула для оператора (хА)" получается следующим образом.
Сначала проверяется, что
(а:) + Af(x)i =•
Далее,
(.г + 1JД7Ы1 =
- х\ (х + DA7U).+ Mix) + (х + 2JД7Ы + 2(х
3(х + 1),
Так как в полученные формулы входят числа Стпрлиига второго
]>ода, то по пндукцин легко доказать следующую общую формулу:
(xA)k /(i)=2S (к, /) (x+j- 1); Д'/ (.г). (9)
Обратпым cooTiioiuenneM является соотношение
h
Здесь последнее равенство следует рассматривать как определение.

202
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
Переходя к оператору Ах, аналогичным же образом можно по-
показать, что
Ах fix) = fix) + ix + 1) Д/U),
= Aixfix) + ix+ 1JД/Ы] ~
-/(*) + ix + DAfix) + 2U + DAfix) + ix+ 2JД2/Ы -
- fix) + 3U + DAfix) + ix + 2)%Аг fix).
Нетрудно выписать общую формулу
(Ax)hf(x)~ %S(k + i, i+l)(z + i);A}f(x), A1)
которая также доказывается по индукции или выводится из соот-
соотношений
(Ax)h f (х) = [1 + (х + 1) Af f (.r) ~
) К* + 1) А]' / (а1) = 2 (*)
i
= 2
3-0
+ j)j ^1 (*) 2 (f) 5 (i, /) = 2 S (k + 1,/ + 1) (ж + /); A!/ W
(сумму в предпоследнем выражении можно оценить с помощью ре-
результатов задачи 14 (Ь) гл. 2-книги [51]).
Соотношением, обратным к A1), является
(т + k)hAhf (*) = 2
A2)
Полученные ^результаты иллюстрируются следующим примером.
Пример 2. Рассмотрим функцию (xA)kzn. Сначала из тожде-
тождества (9) получаем
к
i Ж-?\ ) ( ОС)л aaK ^^j О (Л** 1) \^С "Ч~ / t ] \ ffi xl:~:
- 2 s (/<¦, y) (n); 2 (" 7j) (¦•»)"-! (/),¦ -
- 0"
3=0
2 (n
* (n - 0
0*]
С.З. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ хД II Д.х
203
Отсюда
(.гД)'! хп = (.тА)А 2 5(H,
= 2 (x)i(ini (*)i га
2,
где величины ani(fc) определяются из последней строки приведен-
приведенного соотношения. Нри этом
йщ. (/>•) ='Л
en.n-i (Л) = 5 (га, 7i - 1) (/г — 1)* 4- (мJ5 (и, и) Д (га - 1)Л ==
= (н),"-" - [(«)» - *' («, " - 1I (» - 1)" =
= (п).^1 — 5 (/г, /г — 1) (п — if,
а„ „_,(/,-)--=5 (га, га-2) (re-2)* +
-|- (га - 1 J 5 (га, га - 1) А (га - 2)* + 2 Q (" ~ *) Дг (га - 2)" -
= 2 (J) (я ^ *) »* - 2 (" 7 *) К»), - 5 (и, га - 1)] (га - 1)" +
-I- [2 (D (" ~ 1) - (га - 1),5 (га. га - 1) + 5 (п, га - 2)] (га - if =
= 2
") (И7
+ 5(n,n-2)(n-2)h.
Полученные соотношения дают возможность предположить, что
2
i -о
Если приведенная формула справедлива, то разложение вели-
чпны Д"""'^ дает тождество
(ra-i)!5(ra,n-i) = 2 (-<M ("ijl

204 ГЛ. в. ОПЕРАТОРЫ
которое доказывается в задаче 2 этой главы. Перепишем его в виде
и дадим другое доказательство его справедливости. Заметим снача-
сначала, что основное рекуррептное соотношение для чисел Стирлнша
второго рода эквивалентно равенству Д;0" = /(Aj~"i0"-' + Д;0"~Ч.
Тогда
д'ип = 2 (- i)n->i {'. IJ) (д'-'о»-1 -;- д'о"-1) -
i 2 (- 1)""; Г(• ~ 1) + f ¦ ~ JVI Д';0п-х - i
- - L 11 — 'I / I — ^ / J
Аналогичным образом находим, что
-г)* (^)n = S (У f! [А' (« + ^ - 0*] (^)п-(,
)V
= S (.г),- ? 5 («, 7) (ij2 (/ - 0!^ (i +
X (п + 1 - /)*.
Два последних выражения согласуются с помощью тождества
п ...
д"о- + Д-о^2(-1)-(;)^о-,
которое уже появлялось в приведенном доказательстве. Это же
тождество в другой форме принимает вид
(« - t)]S (и + 1, п + 1 - 0 = 2 (- О' (," _ !) (и - /)!5 (и, и - /).
i=0
6.4. Разностные операторы ху и уж
Оператор у=- I — Е~1 = ?~'Д — один иг» числа операторов, ко-
которые почти перестали использоваться (см. f48J). Тем не менее
оператор xV обладает тем замечательным свойстволг, что xV (x)n =-»
в.4. РАГ.ПОСТНЫВ ОПЕРАТОРЫ xv И узе
205
= п{х)л. Отсюда (яу)*(#)„ =¦ nk(x)n. Формула для UV)* принимает
и ид
к
Обратной для нее является формула
л
у J. )fi\ I \*L) '— ^J о \п , ]) \X\ ) j \л )• V*/
Для оператора (v*')s соответствующая формула имеет вид
к
и обратной для нее является
(х - l)AVft/(x) = %s(k + 1, / + 1) (Va')V(x). A0,
Как и следовало ожидать, формула A3) имеет заметное сход-
сходство с формулой (9), а формула A5) —с формулой (И), и доказы-
доказываются они аналогичными способами.
Для соотношения A3) существует и другая форма записи, ко-
которая может быть получена следующим образом. Учитывая равен-
равенство Л11"'!)* = 0, i=l, 2, ..., перепишем наше соотношение в лмдо
= 2
= 2 (*) AJ
Последнее выражение можно сокращенно записать в виде
(l+AiVa)*. гДв оператор А| действует на 0* (разумеется, Д'О* ян-
ляется сокращенной записью выражения AV|X_O), а оператор \'8
действует на fix). Однако
1 + A,V2 = Е, + Е^х - Е,Е^ - Ех - Е~г\ = Е^1 + EJ>V
{Ех - Е?\У = 2 (*) (- D^r'Ai^,
(/?, - ЯГ1*,)' К f(x)] = 2 (;) (- II (VV) f{x - 1),
in ''
{F l : /¦ V Vх -- У I*]/?'1 F~X+'V'
? о \'/
- 2 (f)/
j-0 ''
= 2
j—0

200
Следовательно,
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
(;)(- 1)'(VV) /(.r - /) = V
i=~-o\> I i=o
). A3a)
Заметим, что при к = 0 последнее выражение в A3а) можно
представить в виде Е* = (I + А)х, в то время как при /г = 1 оно
равняется
2 (f) /Д'7@) - х 2 (*~ ') А;+1/@) = а-Д^-i/ (О) -_¦= aV/ (,¦).
Аналогичным образом, A5) можно представить в виде
•»Л / / тЛ ^ / 1 7 I [ ^ I /<• i\ 1 ( i J__ 1 \ С / 7- 4 1 1 \ I V7 ' i / т,Л
з=о \ 1 ) ¦}¦---о \ i J
где оператор Д, действует па Iй. Отсюда и следует другая форма
записи для соотношения (J5):
2
j«=o
j—о
Для операторов (а-Д)* и (Аж)Л можно получить аналогичные фор-
формы записи. Этому посвящена задача 4 этой главы.
Использование некоторых из полученных соотношении иллюст-
иллюстрируется нижеследующим примером.
Пример 3. Как уже отмечалось выше, (х^)к(х)п = nhix)n. Из
формулы A3) получаем
2
^
= 2 S (к, )) (п)} (.г), (з: - /)„_,• = (х)п
J--0
ТЗ силу того, что равенство п s= 2^ (Л*, /) (и); является основным
определяющим соотношением для чисел Стирлтшга второго рода,
полученный результат можно рассматривать как проверку форму-
6.5. ОПЕРАТОР ЦЕНТРАЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ
207
лы A3). Первый вариант формулы A3) (т. е. второе соотношение
из A3а)) дает
)« = 2 ('){-
?=о V /
2 [х7
= (х)» 2
Второй вариант той же формулы (т. е. третье соотношение на
A3а)) л данном случае принимает вид
3=0
где, разумеется, Д;'@)„ = &'{х)п\х^в. Тогда (и)Д0)„_1= (n)finl, где
onj — символ Кронекера. Таким образом, в итоге мы снова получа-
получаем nh(x)n.
Полагая /Ы = хп, из A3а) получаем
(.rV)V = 2 р) д'0"у;х" = Е Й (- Dj {х - ;Уv'V1 = 2 [*) iW-
Эти очевидные тождества выглядят более интересно, если их
записать в следующем виде:
() х - У)" -
3--0
2 (x)jS (к, i) Aj {х - /Г = 2 (;) (- D' {х - if Aj
6.5. Оператор центральных разностей
Оператор центральных разностей б определяется формулой
Ы (х) = / (х + 1) - / (* - -1) = (^'1Л2 - ^1/2) / (-)•
Заметим также, что 6 = /?^A. Тогда
6А/ (.г) = (?t/2 - /Г'Т/ (а-) = 2 (¦) (- DV (*-/ + T*)'
5 [А (.0 /2 (.т)| = (Е\пЕГ - ЕТ1/2Е7^-) U (х) /2 (х) =
* {Е)'% -г 6^Г1/8) /i (х) /2 (ж) = /, (* + 4) 6/, (х) +
Vfft
+4к - т 'I «fc'J/«(*-

208
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
Введем понятие центрального факториала, который определяет-
определяется с помощью соотношений 6/„(.г) = п/„_,(х) н равенства /0(х) = 1.
В силу того, что б/х (х) ^ Д/Д.С—j)= 1, функция /,Ы=;г; Поло-
Положим /2Ы = /21 а; + /22(хJ. Тогда
б/2 (х) =-: Д/, (х - ±) = /п + 2/и (х - ±) = 2х = 1 + 2 (х - ±),
так что 1-п — }п и 11(х)=хг. Аналогично, полагая /3(ж) «= /31а; 4-
+ /32(^J + /33(а:),, получаем
/« + 2/32 (.г - 1) + З/
)
/, (л) = - ж + 3 (х).2 + (хK = - 1 х + х3 = х (х + 1) (х - 1).
Полученные результаты дают возможность вывести общую фор-
формулу
доказательство которой может быть проведено следующим образом:
1
+(*+*- 4),,-, -
f
«,11
*+т) <-'>+*-
\х + у - т
Если воспользоваться для /.Дх) общепринятым обозначением
1, то
Можно получить следующий аналог формулы Ньютона:
B0)
B1
Тогда, если /(х) разлагается по центральным факториалам, а пмен-
ло, если /(х) — S/n*1, то
«7 (¦') - 2 /n (»)j*In-jl, б'/@) - 2 и (n)t%) •
6.5. ОПЕРАТОР ЦЕНТРАЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ
20ST
Числа, аналогичные числам Стнрлинга, определяются следую-
следующим образом:
х™ = 2 * (». л) **, tn - 2 г (»./f) ^tft] B2) *)
Разумеется, Кгг, 0) = ТЫ, 0) = б„0. Полученные соотношения
являются взаимно обратными соотношениями, и из них вытекают
следующие тождества (ортогональные соотношения):
бн„. = 2 * (». к) Т (к, щ) = 2 Т (и, А-) t (к, т). B3)
Кроме того, пз них же следуют соотношения
D[n] = А-!((?г, к), 6*0" = А:!Г(п, Л)
(ср. с аналогичными соотношениями для чисел Стирлинга), где
D=*d/dz, а ОТ*1 — сокращенная запись для D*xln!L=o. Второе из
иолученпых соотношений дает точную формулу
.7=0
Простейшими ре];уррептиыми соотношениями для введенных
чисел являются
t (п, к) = t(n — 2, к —2) — ~(п — 2J1 (n — 2, А),
\
Т (н, А-) = Г (И _ 2, Л - 2) + -i ^2?' (» - 2, АО-
B5)
Первое из них следует из формул B2) и B0), а второе — из ра-
равенств хп = xV1-2 = 2 Т (и - 2, АО х2х№1 = 2 Г (« - 2, к) (xtft+2] +
-f-т- A-2x"''j. Из равенств B5), очевидно, следует, что tin, re)—
= 2Чн, н) = 1.
Двойная производящая функция для чисел Г(/г, /с) может быть
получена пз B4) следующим образом (ср. с [16]):
7 = ТГ
^ ТГ 2* ~
Л=-0 71=0
у (к .\п
у)
к: о ; о
V ^^ (яехрТу)
; о
*) Предлагаемые обозначения используются ввиду отсутствия чего-лнб»
лучшего, так как полученные числа еще ие привлекли к себе достаточного вни-
внимания и для них нет стандартных обозначений. Для удобства ссылок t(n, к)
и T(?i, к) будем называть центральными факториалъпыми числами.
14 дж. р норда и

210
ГЛ. 0. ОПЕРАТОРЫ
= ехр
W-e-™») = exp[2.rsli(i-y)]. B0)
П
Положим Тп (x) = ^ Г (и, /,) Л Тогда B6) можно сокращенно за-
j—О
писать в виде
ехр [УТ (х)] = ехр [г* sli (-j у)], Тп (х) s Гп (а-), B0а)
В силу того, что многочлены Тп{х) и ?„ (.г) = 2 * (и, /••) xh = ,г["'
связаны друг с другом аналогично соответствующим многочленам
для чисел Стирлннга, мо;кпо ожидать, что
ехр [yt (х)] = ехр [2жsir1 (^-у)]- B7)
В самом деле, формула
(см. раздел 4.6), после подстановки а = х, $ = 1/2, ж = ег принимает
вид
ехр
Г = ехр [it (х) sh (±
B8)
( )
Используя соотношение аЪ'Чу) = log (j/ + I'l + г/2), формулу B7)
можно переписать в виде
откуда, полагая у =2 sh (-^- г],получим B7).
(а-)] = [-L у + -L
Приведем один пример использования тождества B7а). Ил тож-
тождества [4" [у + Vy2 + 4jj" = 1 + у 14" (у + Vy2 + 7')] следует, что
ехр lyf(a;)J - ехр iytix - ljj = г/ ехр 1т//(л; - 1/2I. Отсюда получаем
«() U 1) { M) '
<nU - 1) =nt^l{x- Ml). B9)
Это тождество проверяется с помощью следующей цепочки ра-
равенств:
Jn> -(х- 1)Г"] =
±п - i)- (х- 1)(х + -jn- п)](х + -|- п - 2)п_о =
0.5. ОПИРАТОР ЦЕНТРАЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ
21Г
Запишем B9) в виде tjx + 1/2) — tn(x - 1/2) = Ып-^х). Отсюда
получаем тождество для коэффициентов:
(* + 2! +
S (
i~ о
Таким обралом,
2/
nt (n -
C0)
где tin, к) = tnh.
Возвращаясь к формуле B6) и используя разложение по сте-
степеням х, находим, что
ехр уТ ( , к) = щ = схр \ Т у) 0Хр У ( ' ^'
t>
Тп( , к) = Г (и, А-), 5"( ,А-)=«5(и.Л),
и, следовательно,
Кроме того, если D
Отсюда
или
j—О
i/, то
Г( , А-) = Т (п, к).
Т in + 1, А-) = 2 (У 2~2;> (и - 2/, А- - 1).
C3>
Из C3), в частности, получаем то;кдсства
Т(п+ \, п+1) = Г(л, га), Т{п+ i, п) = Пп, п~ 1),
Т (п + 1, «-1Н71 (и, /г - 2) + (I) 2~2Г (п - 2, и - 2).
Используя первые два тождества, получаем Т(п, п) — \т
ТЫ, п— 1) = ГA, 0) = 0; из третьего тождества вытекает равен-
равенство Т (и, п — 2) = 2~2 [д]. Здесь же можно отметить, что
ТЫ, п-\- 1к) = Шг, п - 1 - 2/с) = 0.
Дальнейшие свойства центральных факторпальных чисел и со-
соответствующих им многочленов даются в виде задач в конце этой
главы. В конце приведем таблицы для чисел tin, к) (табл. 6.1) и
ТЫ, к) (табл. 6.2). В обоих случаях п принимает значения п =
= 0AI1.
14*

212
ГЛ. в. ОПЕРАТОРЫ
6.6. Дифференциальные операторы xD и Dx
Далее везде через D будет обозначаться оператор d/dx, через
а — оператор xD, через {} — оператор Dx, а через 0 — оператор
хA + xD). Отметим сначала, что
ап= 2 S(n,k)xkDh. Ci)
А^О
Обратной формулой для C4) является
(«)«= 2 «(и,*)»*^"^. (ЗГ.)
Доказательство формулы C4) следует из равенств а" =• 1, а =» а/?
и соотношений
а"+1 «= 2 ^ (и, А-) « (///) = 25 (и, *) (/.•/// + xh+1Dh+1) =
= 2 № (и, /.•) + 5 (н, Л - 1I Л/ = 2 S (и + 1, /г) //)".
В силу того, что равенство C4) может быть также записано к
виде ос" — an(xD), где ал(х) — многочлен для чисел Стпрлппга вто-
второго рода, получаем
exp (to.) •= expta(xD) = exp (e' - DxD. Cfi)
После подстановки ? = ]og(l + z«) формула C6) принимает вид
exp la logd + a)J = exp(uxi)) или
exp (uxD) = A + и)"
= exp м (a), (a)n ^ («)„, C7)
где (а)„ — убыватощн)! факториал. Таким образом, как и в (ЗГ>),
(сс)„ =« xnDn. С другой стороны, подстановка i = Jog (I — w)" в фор-
формулу C6) приводит к соотношению exp talog (I — r/)~'J =
«= exp [u(l — u)~'xDL Однако
exp [a log A - и)] =- A - иГа = V r^l = exp и (a)#,
где (a): = a(n) = a (a + 1) . .. (a + « - 1) - (- 1)" (- а)„. Сле-
Следовательно,
елр / (a) = exp f« A t)~l
= exp f« A - t)~l xD},
C8)
Записывая, как и в разделе 2.2, обобщенные многочлены Лагер-
ра в виде
(p)
У
It -О
6.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ л-D И D.v
213
получаем, что соответствующая им производящая функция имеет
ВИД
V fl tv) (x) _ у tn у (п -!- р\ (- -г)"
или
—-Ц— ^
n=0
- 0]. C9)
h— ft
Таким образом, тождество C8) эквивалентно тождеству t
a (a + 1) ... (a + и — 1) = ?i! Ь{~1} (- а-0). D0)
Из D0), в частности, следуют равенства
а(сс+ 1):
а(я'+ 1)(а+2) -
а(а + 1)(а + 2)(а + 3) - VtxD + ЗблгЯ2 + 12а:*/)' + ж4/L.
Кроме того, в силу равенств exp?(wi)#=(l — ?)""*» (ж +J/)('=
= 2(/*)^(П~")г/<'0 из формулы C8) следует
exp t (а + tn)* = ехр г (a)* exp t (m)* =
= A - l)~m exp [(A - t)~l xD] D1)
или
(a + m) {a + m + 1) ... (a + m + n - 1) = n! L(™~1) (- xZ)) Dla)
(то'/кдества, встречающиеся в работе. [31]).
Вновь возвращаясь к формуле C6) и замечая, что а* = а + х =•
1), получаем соотношения
-1- 11 = »\-п /fry 4- nix)]
D2)
D2a)
тел и
- 1) = ехр Лое + с
а"(х) *s a,,(x),
)" = (а+а-)п=2(?.)яп-л(.г)**.
Заметим, что а и а: не коммутируют: ах = а: + .ха. Выпишем не-
несколько частных случаев соотношения (^а):
(а + жJ = а2 + 2жа + а; + хг,
(ос + жK - а3 + Ззга2 + 3U + хг)а + х + Зхг + а;'.

214
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
Заметим, что пз равенства а — х = x(D — 1) следует
ехр*(а-я) = ехр(е'- i)x(D- 1) = ехр На + а(-х)] D3)
или
(«-*)"== s ft) *„-*
/(=0 '
D3а)
Простым обобщением формул D2) и D3) являются тождества
ехр ?(а + т + х) =*= ехр Imt + (е' — i)x(D + 1)],
expect + m — х) — ехр imt + (е' — i)x(D — 1)].
Аналогами растущих факториалов *) являются выражения
ехр t (a + m + х)Л = A - *)""" ехр [t A - t)^x(D + 1)],
ехр t (a + m — х)„ = A — О""' ехр [f A — t)'^ (D — 1)]
или
(а + пг + x)Al) = Ы/Л* (— х - я/?),
(а + m - afn) = /i!/:';"' (x - xD).
Однако
D5)
D5a)
= V
Таким образом, соотношения D5а) можно представить н в дру-
другой форме:
(a-j-Hi-i- л-)(I) = /?!
j=0
Второе пз приведенных соотношений в других обозначениях встре-
встречалось в [11]. Заметим, что если j(x) = 1, то D'jix) — 6ja и тоща
(а + m - х)(п) 1 == п\ Ь(Г~Х) (х). DE)
*) Растущий факториал: (а)»=а(а+1)—(а-|-и—1).
!.в. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ xD И П.с
215
Это выражение является операторным представлением для много-
многочленов Лагерра, полученным в работе [2].
Перейдем теперь к оператору (J — Dx. Отметим сначала, что
$[xf{x)\ =~f(x) + xDj(x) — (l + xD)j{z), так что ^ = 1 + xD =- 1 +'«.
Следовательно, из формулы C6) получаем
exp(^)-explf+(e'-l)a;D] D7)
пли
Р" == (Я + 1)" =
= (..с#ГЧ,+1 (ж/?) = 2 5 (и + 1, /.¦ -!- 1) x'D", a" s ah (xD). D7a)
fe0
Подстановка f = log A + и) в D7) показывает, что
(?)„ == (а)„ + 7?(а),,-1 = а:"/)" + пх»-1О»-1. D8)
Аналогичная подстановка ? = log A — и) приводит к соотношению
exPt(P)* = (l-*r1«p[f(l-O^], (P):^P("\ D9)
откуда следует соотношение
которое мо/кно такиее получить из тождества
D) П
(а + 1)<и> и
р у р
формулы D1а). Получение прочих тождеств для оператора C со-
вершешю аналогично получению соответствующих тождеств для
оператора а, если при этом пользоваться подстановкой а == (} — 1.
Прежде чем перейти к изучепшо оператора 6 = х$, удобно оп-
определить, как действуют операторы а и (} на произведение функ-
функций. Отметим сначала, что aifi(x)i2(x)] == xD[ft{x)f2(x)] — (xD, +
+ хВ,)]г(х)}»{х), где Д действует па jAx), i = 1, 2. Отсюда получа-
получаем формулу
lAW/^J (a, + a,)"/i(«)/i(«), E0)
являющуюся сжатой формой правила Лейбница для дифференци-
дифференциальных операторов. Далее,
xl2
a,
где, как и раньше, нижние индексы обозначают соответствие между
операторами и функциями, на которые опи воздействуют. В итоге
получаем равенство
Р" 1*А (*) /e (^)J = х (рх + p2Oi (i) /, (ж) =
E1)

216
ГЛ. 6. ОПКРЛТОРЫ
(модификация правила Лейбница). Кроме того, %lxlt{x)f,{x)] =
-= x(&t + 9,)/1(а:)/2(х). Отсюда
7«
Объединяя все эти результаты, получаем
E2)
E3)
7
Рассмотрим теперь соотпошешш E1) при п = 1. Нз этих соот-
соотношений получаем формулу
где /,(ж) = $f(x), jiix) = 1. Таким образом, в силу того, что jil =
•= /)ж = 1, имеем
02/Ы = *2(р2 + р)/(ж) -. х^B)/(х).
В предположении, что Q"f(x) — xh$(k)f(x), к =1A)», можно по-
получить следующие равенства:
р ^7U) хр
Следовательно, если использовать формулы A9) и (Ади),
соответственно получаем
exp tQ — exp xt (P)% =
то
)J = P(n)
= P(n), E
Заметим, что k обратным соотношением для равенства 6" = хп$
является соотношение
{п)
л=о
(и, А-) xh (- бO1"*
E5)
в то время как обратным для E4а) является
xnDn = п\ 2 (") (- l)n-ftaTfte\ E0)
Пример 4. Из формул, определяющих действие операторов
па произведения функций, получаем
а\хп](х)} «=а:'!(а +
nx]f(x).
6.0. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ KD И D.v
217
Иовторпое применение полученных соотношений дает
akix"j(x)] =xn(a + n
Gklxnf(x)] - x4Q + nx)kj{x).
Если Fix) — функция, разлагающаяся в ряд Тейлора, то мы
получаем
F(a)ixn/(x)] ~xn
F($)[xnf(x)] = xnF{$ + n)fix),
F{B)lxnf(x)] - xnF(Q + nx)f(x)
(так называемое «правило сдвига»).
Заметим, что
@ + nx)h
j=o
так как G и х не коммутируют. В самом деле, используя равенство
<дкхп «= (и -Ь 1)^хп+к п правило действия операторов иа произведе-
произведения функций, получаем
&Чх ¦ xn-'f(x)] -
В первом выражении для Bhlxnj(x)] выражение @ + пх)к исполь-
используется как сокращенная запись того, что оператор 0 + пх, приме-
применяется к раз, а не в обычном смысле (как разложение степени
бинома), как это использовалось в последнем выражении. Таким
образом,
F + пхJ = @ + пх№ + пх) = в2 + Qnx + nxQ + п*хг =
= 62 + 2пхв+ Ы+п-)хг
в силу того, что 0U/U)) =жF/Ы + /0гШ) = (.xQ + x^fix). Нз по-
последнего вырал;еиия следует, что
6" [xnf(x)\ = 2-" [х (и), + хф)*]Ч(х) = хп+к (Р + n)wf(x), (n)'i = п("\
или 0"[.х"/(.г)] =; xn+ltk\L%l)(—scD)f(x),ecnn использовать D1а) и
равенство (ос + 1 + п){к) *=([} + п)*к\ Таким образом,
it
G" {хпе~х) = o,-"+7v! ]
— операторное выражепие для многочлена Лагерра, полученное п
]>аботе [2J. Разумеется, это выражение эквивалентно тождеству
(P-f и) 'е =-- е k\Lh (л).

ГЛ. в. ОПЕРАТОРЫ
ЗАДАЧИ
219
В качестве второго примера рассмотрим оператор (а + 1 4- т —
—хУп) или, что то же самое, (j} + т — х){п). Тогда в силу Ci6) по-
получаем (р + т—x)(n)i = п\ ЬпП> (х). По «правилу сдвига» имеем
(Р + т - 4п) {хр) = хрф + т + р- *)<пI = «! *р?<„т+р>
пользовавшись вторым тождеством из D5Ь), получаем
но, вое-
т
= и!
— 7;' г"
— П 1
n_j (X).
Таким образом, получено тождество
r(m+p)/ \_ yi (p) r(mfj)
которое легко проверяется с помощью определения L\™^ (#) и фор-
формулы свертки Вандермонда.
Аналогично полученным выше результатам, «правила сдвига>>
для функции eg{x>f{x) принимают вид
где штрих обозначает производную. Полагая gix) = —x, F(x) =¦ г",
из последнего равенства получаем 0й1е"(а:Л = е~*(в — xz)kj{x),
откуда б4 (в-яж")= e~" (9 - ж4)**" - е~^пН ftA! Ljn) (ж) или @ -
— х'2)'*хп = хп~ /с! Z/^n) (а). С другой стороны,
(О — х2K = 82 — 9х2 — а:29 + ж4 -
= G2 — 2х20 + xi — 2х3 = в2 + 2^/,(Г" (х) в + 2! х2/,^" (ж).
С помощью математической индукции можно доказать и общую
формулу
@ - ^)А - 2 (*) Ь„-} (х) 6', ft, (ж) = Л a-T/f1' (.г).
Таким образом, из E4) и C9) следует, что
охр КЭ — х2) = (ехр <в) ехр гЬЫ =¦
= A -x«-'expl^(l-^)-'a;(Z>-l)], b"(x) = bn(x).
Сравнивая последний результат с D5), получаем
@ _ xtf » / (а + 1 - а.-)(/<) = /Л-! LT {х - xD) =
где два последних преобразования проводятся с помощью соотно-
соотношений D5а) и D5Ь). Полученное при этом тождество
4Г'(*)-2 (?)*(*)
i=o yi
является частным случаем тождества (*), если в последнем по-
положить р = 0.
Задачи
1. (а) Рассмотрим основное рекуррентное соотношение для чисел Стлр-
jnmra второго рода: S(u, л-)=5(ге — 1, к — 1) + kS(n — 1, А). Применяя это
рекуррентное соотношение только ко второму слагаемому в правой части,
получить соотношение
S (п, к) = 2] kiS (п — 1 — I, к — 1)
В частности, нолучить тождество
(n — 1 — /, к).
п-к
или
5 (ге, Аг) == 2] кХ S (п — 1 — I, к — 1)
S (п -!- к, к) = 2 ^*5 (п +
1).
Проверить, что величины S (А: + 1, к) =» ^ 2 ]• «S (^ + 2, к) =¦ (^ „
/fc -Ь 2\
+31 / j удовлетворяют следующим частным случаям последнего тождества:
S(k + 1, к) = 6*(*. /> — 1) + fc, S(k + 2, /f) «= S(k + 1, fe - 1) + kS(k, к - 1) +
+ *».
Воспользовавшись равенством
получить тождество
2 (- w
Доказать, что последнее тонадество эквивалентно тождеству
л*-1 = 2 (- Di+1 (Jf) (* -
(b) Применяя то же рекуррентное соотношение, но только к первому
слагаемому в иравой частп, получить тождество
j
S (п, к) = 2 (к — О S {п — 1 — г, к — I) -;- 5 (л — 1 — у, к — ,— 1).

220
ГЛ. в. ОПБРАТОРЫ
Отсюда следует равенство S (» ,к) = 2 (к — i) S (л — 1 —;, к — г) -j- 6llh или
i—о
ft
5 (я + 1, /.•) = 2 W (« — '; + *> 0 "г бп+1 л. Таким образом,
(в + 1, л) = V г5 (г, 0
i=0
Заметим, что использование формулы суммирования для S(n, к), иолу-
ченной в пункте (а), приводит к тождеству
3 (- !K (j) /! (* -
'2
$¦=0
или эквивалентному ему тождеству
г
*' - 2 (~ *>j О,- (* + ' ~ /) Ь*ч~1 '
-2(-
+ (-
которое доказывается очевидным образом.
(с) Применяя рекуррентное соотношение одновременно к обоим слагае-
слагаемым в правой части, получить соотношение
S(n, к) =S(n — 2,k — 2) + Bк — 1M(п — 2, /г — 1) +
+ feS5(« — 2, /с) «= 5(ге — 3, к — 3) + (ЗА; — 3M(ге — 3, к — 2) +
+ (ЗА;2 — 3ft + 1M(» — 3, к — 1) + А;35(и — 3, /,¦)
и доказать общую формулу
S (п, !0^^~Г (Af (к - 1)Ц S(n~j,k- t)> 1 - 0 A) n.
Проверить, что эта формула является частным случаем тождества Д*.гп а
»= Д* (х>хп~1), если к последнему применить формулу для оператора произ-
произведения двух функций и положить tmO.
Полагая a-t (к) =• -L Дг (А; — I)?, показать, что.
Заметим, что
1)"'А-'' = 2 ('") (- 1)' i! «•;
Разумеется, я.^(/.-) »= 1, a;, ,
0, / = 1, 2, ,,,
ЗАДАЧИ
22 f
В частности, из последнего тождества следует, что (А: + 1)' •= 2 '! ац ('')>
|-2)J = 2(' + l)l«ii(*)-
2. Полагая V = 1 — E~i = ?~'Д, показать, что
x» = 2 С) (-!)-; (г - «" = 2 ("
¦ " г0
- 1)" *! [х - S ( , А-)]»,
откуда
V*0" = (—1)п + Ч-!5(и, АО = (—1)"+*Д*0\
С другой стороны, показать, что
v V = (я-1)-*
V**"
х) <- 1)i vft+Jon =
2
-S <-п' к + />•
Применяя тождество
- А)" = 2 (Ж ~
~ ') •= 2 (~ 1)' (""/^ L"-!!
Р- с Ф°Р"
мулой Ed) гл. 1) ко второму из приведенных выше равенств, получить тож-
тождество
(_ 1)"+'' (А- + О! S (л, к + I) = 2 (- l)j [к _ 1 ' J (* + 1У- s ("• fe "г /)
или
(п - А)! 5 (п, п - /,) •= 2 (- !Г \„ _ д. _ J (ге ~ /)! •? (».» - /)•
3=0
Отметим некоторые частные случаи полученного тождества!
(„ _ 1)! S (и, п — 1) = (п — 1) к! 5 (и, и) — (п — 1)! 5 (/г, га — 1),
(п — 1\
(n — 2)\S(n,n~2)=[ 2 J«!5(».n) —
— (п - 2) (« - 1)! S (п, п - 1) + (л - 2)! S (л, л - 2).
к
8. Воспользовавшись формулой (а:Д)''а:" «= 2 S (к, j) (х-}-} — 1). A^xnf
из которой, в частности, следует равенство
h
hxn = 2
-- /) 2
j—о <—о
показат!
\) п
>, что
V X
Zj x
(х\ ,.
' 1
4=0
- 2 (*),(/¦!- * — Dj*('i -г-1,/-:-

222
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
Аналогичным образом показать, что
+ 2 (« + 1
»—2
Н- 2(/ + s - 1) s (n, j
+ «)! 5 (и, / + •) -
^ [5 (и, / + » - 2) +
-ь *¦ - 1) -;- (/ -;- SJ 5 (», / ч- >)] -
-г * - 2); [S (п -;- 2, / + s) - ? (« -f i, / -f s)].
Пользуясь равенством (.rjifi ¦= (х — 0(J)(> доказать но индукции, что
(*);aV1 = 2 <*)» (/ ~s - '); 2 * С- *05 (" +1'> 1 -г s).
где *(i, p) —числа Стнрлинга первого рода. Получить отсюда равенство
(xb)k хп - V
где
a:)j ^ 5 (к, п 2 (у) (/ - i)j_i и + * - ih 1 («, /, «,»),
р—о
j—0 i—1
(i, p) "S1 (п -г />, /' -f- *).
Сравнив полученные результаты с тождествами из примера 2, доказать,
V /I* s (к, /) 5 (и + 1, / + 1)
j—о
)} (» - Я' 5 (»• » - /) (» ~ /)"•
j-o
S (к, 1) [(/ - 1) S (п + 2, / + 2) -,'- (/ + 3) S (п + 1, / + 2)] -
1-2
2 (— 1); (п — / - 1) (л - ])\ S (п, п — ;) (п — f)h.
2
i=0
•4. (а) Запишем формулу (9) в виде
(»Д)* /И = 2
_
где оператор Ai дейстпует на 0*. а Д2 — па f(x). Воспользовавшись тождеством
i — At Sz = Ei + E-i — EiEi = E, — А'гД! = E2 — ?]Да, получить другие выраже-
выражед (Д)'7()
ния для
S (* + /-!); V/@).
Здесь, как и раньше, V = Е~'&,
ЗАДАЧИ
22?
(Ь) Записав формулу A1) в виде (Д-г)* / (х) = 2 (* ~'~') (Д'1'') А'/ (г).
получить для (Дх)*/(а~) следующие выражения:
(Ах)" /(*)= 2 (х ")Г;) I- D"+j (Д
(х "''
5. (а) Аналогично равенству A0) рассмотрим равенство
ft
(*Д)й = (хД) (*Д - 1) ... (хА - А- -|- 1) = 2 s (*'
v
где s{k, i) —числа Стерлинга первого рода. Проверить, что
Предполагая (хД)j/
отношения
= (х + / — 1),Д'/(х), / «= 0A)А: — 1, получить со-
сок -
— (ft — 1)(л + fc —
(b) Воспользовавшись соотношением
(х + i)k = (x)h + к(х)к-и показать, что
(Дх)л/(х) = [1+ (
6. Показать, что
и тождеством'
i=o
откуда получить соотношение [Am (x) п + ч,хк] .v«o= 0, n = 1, 2,...; к = 0, 1, 2,..
Вывести тождество
fc+n
2 * ("* -;- n, m -\- n — /) S (k + m -\- n — /, m) = 0,
где s(i, j) и S(i, j) — числа Стпрлннга первого и второго рода соответственно.
Проверить, в частности, что величины
(in + i\
S (-in -г 1, т) — ~ » (т -|- 1, т) = ^ 2 J,
-|- 2\ . „ Cm + 2
4
га + 2\
+ 2

224
ГЛ. в. ОПЕРАТОРЫ
удовлетворяют соотношениям
S(m + 1, то) + .v(m + 1, то) = О,
S(m + 2, m) + s(m + 1, m)S(m + 1, то) + s(™ + 1, m — 1) =0,
S(m + 2, m) + s(m + 2, то + l)S{m + 1, m) + a(m + 2, m) = 0.
7.. Теорема Гершеля. (а) Пусть / («') = 2 ^n*"'* Воснользовав-.
11-0
шись разложением по степеням t, нолучигь соотиошешш
¦\л tm v^
«. ^
где, разумеется, }(Е)От является сокращенной записью величины /(?)/"' |(_a.
(b) Положив f(t) =e\px(t—{) и воспользовавшись обозначениями и.<
задачи 5 гл. 5, получить тождество
, V («хЛ0") tn ¦
ехр х (е1 — 1) = 2* ^ = ехр ta Wi n (-^) — % (*)•
n=o
(c) Используя соотношение Е = eD (D — дифференциальный оператор) л
результат пункта (а), получить тождество
/С)
71=0
(<1) Положим /(<"')= ехрО(с' — 1) + <;] = ехр <(г +
п„(х); ап(х) —многочлен из пункта (Ь). Показать, что
где
т- а (х)]} = 1 -;- 2л -Т7ГехР 1Д Iх ''г (г)]> °" :
и—1
4г
/(=0
Сравнивая коэффициенты в разложении (г;), получить из аредыдущего
тождества следующее равенство:
2 (") «п-* (*) s {к, п = 2 (k) s («, '¦) **Ч
Наконец, записав последнее равенство в виде
 (",)s (»- *"• /J 6' ^-') *
?oV ' J
ЗАДАЧИ
225
получить тождество
(и,
(п - *, /) 5
n-i-j
Последняя форма записи показывает, что это тождество легко выводится
из экспоненциальной производящей фупкции
ехр tS
2tn U
0
\)к
п=0
8. Обозначая через t(n, к) центральные факториальные числа, введенные
в разделе 6.5, и используя следующее определяющее соотношение для этих
чисел:
х&п] = V * Bп, 2к) хгк, п = 1,2,...
доказать, что
(*2 - I2) ... [ж2 -
откуда получить тождества
= 2 * B«-
в =1,2
(- I)" A + I2) ... A + (п - IJ] = 2 * Bл, Щ (- I,*.
Аналогичным образом, из соотношения
п
П = 2 г №п "г" ^
получить тождества
4-
4-п D^2 - I2) D*2 - З2) • • • [4^2 - Bд - IJ] = 2 ' Bге + 1. 2*
4~» (_ 1)" A -3 ... Bп - I)]2 = «Bя + 1, 1),
4-п (_ i)n (i + d8) A + з2) ... [1 + B„ - 1JJ =
9. Обозпачая через Т(п, к) центральные факториальные числа (см. раз-
раздел 6.5), определяемые соотношением хп = ^Т (п, к) х^, показать, что
xin-2 = 2] Г B«, 2к) (х2 - I2) ... [хг ~(к~ 1JJ, п = 1, 2 и получить
15 дж. Риордан

226
ГЛ. в. ОПЕРАТОРЫ
отсюда тождества
О = ^ Т Bв, 2ft) (- I)* (ft - I)!2, п = 2, 3
(_ 1)"-1 в 2 г B«- 2fe) (- I)" A + I2) • • • [1 + (* - IJ], и = 1, 2, 3, ...
Аналогичным образом, для нечетных п (учитывая, что ГA,1) =1) по-
получить тождество
4~ft Dж2 - l2) (*** - З2) ... [Ах2 - Bft - 1)я],
х™ - 2 г Bи + 1. 2* + i) 4~ft Dж2 - l2) (**
из которого в свою очередь следуют тождества
О - 2 Г B" + *• 2к + !) 4~Й (— V~k I1 -3
(_ 1)™ = 2 Т Bга + !' 2/? + D 4"~* (~ *)* A +
1, 2, ...,
BА
10. Используя основное рекуррентное соотношение для чисел t(n, к):
t{n, fe)=- t(n — 2, Л — 2)— 2"(« — 2J*(п — 2, ft) и граничное условие t(n, n) = i,
получить разностное уравнение
t (п, п — 2) — t (п — 2, п — 4) =
Взяв iB, 0) — 0 в качестве начального условия, получить решение этого урав-
уравнения в виде t (п, п — 2) = — — ( J.
Аналогичным образом показать, что решением уравнения
t (п, п - 4) - t (п - 2, п - 6) = А- (п - 2) (" ~ 2) =
9
1В-
|21
n — 2
3
10
и — 2\
5 J
\ , In — 2\1
является 16t (n, n — 4) = 9 (^) + 10 (^).
И, наконец, используя соотношения
получить следующие равенства:
— 64« (в, в — 6) = 225 (") + 504 (") + 280 (п),
256* (в, п - 8) - 11025 (п) + 37206 (" ) + 41580 (М + 15400 (").
\9/ МО/ Ml/ \12/
8АДАЧИ
227
11. (а) Используя основное рекуррентное соотношение для чисел Т(п, к):
Т {п, к) *= Т (п — 2, к — 2) + -L к2Г (п — 2, к) и граничное условие Т(п, п) =.
«-= 1, получить уравнение
Т (п, п — 2) — Т (п — 2, п — 4) = J- (в - 2)*.
4
Показать, что решение этого уравнения можно представить в виде
()
Пользуясь соотношением B4), получить тождество
2П п (п + 2)! = 6 ^ (- 1)" (") (« - 2fe)"+2.
Далее вывести соотношения
2 (и ~ 2)
16 [Т (п, п - 4) - Т (п - 2, а - 6)] = (а - 4J (и ~ 2)
Доказать, что решение можно представить в виде16Г (п, п —4) = (п| + Ю|"J.
Тождество, следующее из соотношения B4), можно записать в виде
-я« [(-+v ю С Г)]
Показать дополнительно, что
256 Г {п, п - 8) - (JJ) + 246 («J + 4620 (jJ + 15400 («,,).
(b) Результаты пункта (а) согласуются с формулой
где ало — 8*0 — символ Кронекера. Используя тождество C3) в форме
4* [Т (в, в — 2ft) - Г (л — 1, в — 1 — 2ft)] =
ft
= 2 (ге~IJ4ft^ Т (п - 1 - 2/, в - 1 - 2ft),
показать, что
efci = aoo = l1 %•=" 2 aU-i о;, _ о, )• *-=1.2, ...

228
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
Получить отсюда равенства
= 4й - 2к - 2 = 4aA_j 2 + 6* - 2,
2 ¦„
*-—-Л
L)
~3 C2ft+2
C2ft+2 -
2+ 3) -Bк+3) 4*=
= 2~3 Cft+1 - 1) Cft+1 + l) - Bfc + 3) (aft2 + ft + 1)
Заметим, что равенство Юоь.ь-г = (к — l)ahh, которое согласуется с чис-
численными значениями ац, приводимыми в таблицах, легко проверяется с по-
помощью формул для о*», и для соотношения
/
3ft-2
2
—2
В дополнение к результатам, полученным в пункте (а), показать, что
1024Г (и, п - 10. = (^) + 1012 (п^) + 53196 ("J +
+ 560560 (»4)+ 140140 («J,
4096Г (И, » - 12) = (J3) + 4082 (jj
+ 536536 (" ] + 13293280 (n6) + 95295200 (" j + 190590400 f'1 ).
12. Используя соотношение B9): г„ (г) — г„ (х — 1) = n<n_,(a; — 1/2), по-
скаяать сначала, что если р — нечетное простое, то t1,(x)=*x>'—x(modp).
Далее, и» тождества tp+i(x) — ip+i(x — 1) ^ tv(x — 1/2) = хр — х (mod p)
получить тождество
tp + i(x) ss ti(x)tv(x) (mod/;).
Используя соотношение B9), с помощью математической индукции дока-
доказать тождество
tP+h(z) ss tp(x)tk(x) (modp).
Сравнить полученное тождество с формулой sp+k(x) == sp(x)sh(x) (modp),
где sn (x) — 2 * (п, к) хк — многочлен для чисел Стирлипга первого рода (см.,
например, задачу 3 гл. 4 книги [51]).
Заметим, что из формулы Лаграпжа для убывающих факториалов сле-
следует тождество
«= (—i)*(-x)p(x)pSS (х"-х)г (moip).
Показать, кроме того, что
'йН ft ='р <*)'ft <*)
ЗАДАЧИ
229
13. Следуя [16], показать, что
1 ехр уТ (х) = У ТР+п \Х) уП =
= Dp ехр
ехр
где Z) = dldy, gh = Dft [2z sh (i-
Используя результат [4]: Ур (?,, gp) s= gp -f ?f (mod p) и тождества
frp ^ gj, gP == гр (modp) (p — нечетное простое число), получить тождество
Гп + Р(г) == Tn+](x)+z"Tn(x) (modp).
и сравнить его с тождеством ап + р(х) ^ an + i(x) -}- х]уап(х) (modp), полу-
полученным в [65] (ап (х) = ^ 6" (n, fe) xh — многочлен для чисел Стерлинга вто-
второго рода).
14. Используя соотношения (р + m — г)(п) 1 = «! L™ (x), (p+m—ж)(п)жр=
= re! a;pLjJ"+p) (г) из примера 4, показать, что
(х) =
(р + m - х )
(р + m + n
n!
ft=0
_ V f" +
= (Р + m + п - г)(
-"
ft=0
откуда следует тождество
+
р
Последняя формула является слегка видоизмененным результатом [2].
Заметим, что правую часть полученного тождества можно также записать
в виде L<nm> (xi), где kh- Xk = L^+n+» (x). ,
Далее показать, что из полученного тождества следует тождество
(п + р\(т + п + р\_ у 1к\1т + п\1т + п + р + П
\ р У In + p —АУ~ ^04J\n-j )\ p + j-к )>
а также эквивалентное ему тождество
/т Н- и + М /то + и + р\ у /л\ / р Wm + и + р + А
I A: )\n + p—k)-}g0\j)\k-i)\ п + р )•
Используя формулу свертки Вандермонда
1т + п + р + А у /от + га + р\ (]\
вроверить последнее тождество.

230
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
15. Если с(х) —производящая функция для чисел Каталана, то, как это
было показано в гл. 3, 2хс(х) = 1 — }1 — \х. Показать, что
{i + xD)c(x) =рс(х) = (i-4z)- = d(x).
Вывести отсюда соотношения
Р"с (х) = р-Ч (х) = 2 S (ft, ] + 1) x
3=0
где а,= B;)!//!.
Полагая $hc(x) = pk-l(x)dih-l(x), показать, что
(х) = 2 S (ft,
j—в
Ph
i=o
г=0 V — » '
где р&,- — коэффициент при х> в рй (х).
С другой стороны, из равенства Р"+'с(х) =
/> = d/dz, получить тождество
рк(х) =
полагая
откуда следует рекуррентное соотношение
Phi — U + l)Pk-i, i + Dft — 4/ — 2)pA_i,,_,.
Используя начальные значения ро(ж) = 1, pi(a;)=l—2т, показать, что
из полученного рекуррентного соотношения и указанных начальных значений
следует
Рко = 1, Phi = 2"+' — 2 — 4ft = 2S(k + 1, 2) — 4ft,
в то время как
Ркк = (—2)рА_1, й-1 = (—2)*, ph, k-i = 2pA_,, ft_2 + ftps-i, й-i.
Показать, что Pft^.j = [у (* + 1)J (— 2)ft-1 является решением последнего
соотношения. (Здесь [х] обозначает целую часть от х.)
Отметим еще и следующие тождества:
1).
(- 2)" =2i (~ 4> l-yP 5 (A + 1, / + 1),
7=0
ft-1
(ft
7=0
16. Продолжим тематику предыдущей задачи. Воспользуемся формулами
e<Vf(x) = е*}(хе'), fihd(x) — $* + 1с(х) = pk{x)d2k+l(x), чтобы показать, что
еЫ(хе')
р"(х)
Рк(х),
ила
ехр
где а(х, t)—производящая функция, соответствующая многочленам для чи«
сел Эйлера (ср. с задачей 2 гл. 2 книги [51]). Положим и = t({ — 4я). С пц-.
ЗАДАЧИ
231
мощью дифференцирования показать, что
A — 4ж) A — 2хеи) ехр [?р(-с)] = A — Ахеи)р(х) ехр
где, разумеется, рк(х) ва pft(x). Получить отсюда рекуррентные соотношения
или
Полагая р*п (х) = [р (х) — 1 + 4^", показать, что
Доказать следующие тождества:
А=0
где /, = 1/2, /я = (—1)"-121-2Г1Bп — 2)!/(« — 1)!, и = 2, 3, ... Проверить, в
частности, что
р* (х) = 1, р* (ж) = 2х + 4х2,
р* (х) = 2*. р* (лг) = 2х + 20ж2 + 8*3.
И, наконец, доказать соотношение
A — 4х) A — ixeu) ехр «р'(г) =
1 = [2(е« - 1) + 4*A - 4х) Bхе« _ 1)] ехр tp(x),
Где ц = гA — 4ж), а штрих обозначает производную. Получить отсюда следую-
следующее рекуррентное соотношение:
17. (а) Обозначим через f(x) производящую функцию для чисел Фибонач-
Фибоначчи; тогда f(x) = A —х — ж2). Полагая D = d/dx, показать, что
Dnf(x) = Yn[-k{i + 2х), -2Х, 0, ..., 0],
где Уп — многочлены Белла. Получить отсюда тождества
DnJ (х) = а\ Ц (" 7 *) A + 2*)»"
[ехр (yD)] 1 (х) = ехр yY [—1A + 2х), — 2Х, ...] =
Ц - *
+ 2х) у - ^2
Ха = (- 1)" д!

232
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
которые, кроме того, можно вывести и из соотношения е° = Е, где Ef(x) ==!
= /(* + 1). Замечая, что 4A — х — хг) = 5— A + 2х)\ доказать еще одно
тождество:
Положив в полученном тождестве п = 0, показать, что
Из соотношения A — ж — х2 — A + 2*){/ — у7) [ехр (г/В)]/(х) = 1 полу-
получить рекуррентное соотношение
dn (х)
/ (х) rfn
dn-z (x).
(b) Показать, что
[ехр (yD)]f(z) = /(ж) [1 - A + 2x)yf(x) - y2f(x)]-i =
= f(z) A - ^i)1 - УЛ)-1 = /(^) [У. A - yyt)~
где 2У1 = A + 2х + i5)f(x), 2у2 = A+ 2х - У5)/(*), откуда
- у»{\ - УУ2)~1],
«I
V5
= 2 (
^*) 5ft [5-4Г1 (*)]""* =
fe=o
Применяя рекуррентное соотношение из пункта (а) к dn(x), показать, что
dn (х) = /(ж) [A + 2ж)»/(х) + l]dn_2(x) + A + 2г)Л(x)dn_3(x) ==
- /(*) [A + 2х)Щх) + 2]dn-*(*) -/»(*)й«-4(«) =¦
Используя это же рекуррентное соотношение и формулу
d2n (*) = 2 <- iLi5"~i/ftl+1~i (г).
показать, что
< - a + 2< a
(верхние индексы «е» папоминают о четности индекса 2п). Отсюда следует со-
соотношение
Пользуясь последним рекуррентным соотношением и начальными зпаче-
ниямя do(x) =/(ж), ds(x) = 5f3{x) — 3/2(ж), которые соответствуют равенст-
равенствам а* (ж) = 1, а* (г) = 1 + Зх, показать, что.
"Лх, у) = 1 + ху+[A + 2х)у-х*},*]ае{х, у) =
ЗАДАЧИ
Обозначая через и„ (х) многочлены из задачи 7 гл. 2:
и полагая « (ж, {/) = 2 "п (*) Уп = ^ ~ У ~ ХУ^ 1^ показать, что
1
"
о (ж'
откуда
с у в (х\ w2n+1 = j/[(l
11=0
У-Ь\ (*, V») = [A
1 = 2 П+1 (*) »".
233
/2« + 1-/\ /2« — /Л 2п + 1 Bд + 1 - А
V; ~ V / У + I / - 1 J = 2п + 1 - /1 / У-
Сравнивая различные выражения для din(x), получить тождество
Из соотношения A + 2х) / (л:) d2n+y (х) = rf2n+2 (г) — / (х) d.2n (x) =
= V (— 1)^ о° .5п+1~:'72п+3""-' (х) (верхний индекс «о» напоминает о не-
четиости индексов) получить соотношение
тождество
^ j э с+; -/f)=*-
B,гА-
\ i ¦
Проверить, что °°nix) = а,еп+1(х)-\-ха"п(х) = utn+l(x)-\-2хи„п+1(х) +
-\- х2и2п_г (х) = A + 4г) и.,п+, (г). (Два последних выражения согласуются
друг с другом в силу рекуррептпого соотношения и„(х) = A + 2х)ип-1(х) —
— ж2и„_4(г).)
Полагая, как и в задаче 20 гл. 2, /А (ж) = 2 /m>2;m> получить тождества
2л
„е е.п-Ыгп+1-})
/т + 2и + 1\ . , 2 fm + 2,
18. (а) Из тождества
*^ = 2"~2; С"

234
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
(см. задачу 18 (с) гл. 2) и формулы E) гл. 1 получить соотношения
!) ( г
(-"' (; i D B" г'
Сравнивая полученные результаты с задачей 17 (Ь), доказать, что
ае = 12п + 1 - /) + Bп - Л = у, (_ 1)f ("л - Л /2п - A 22i-2i
"J \ / / V / — 1 / g, \f — i)\ i I
7
/
Полагая, как и в задаче 17 (b), dn(x) =Dnf(x)/n\, проверить, что пер-
первое из полученных выше соотношений можно также вывести из соотно-
соотношения
^п (*) = 2 BП ~ l) f5 - 4Г1 (*)]»-i/*»+i-< (х) =
2 (~ l)'5B-''/»B+1-' (*) 2 (- II (" ~ Л [2п ~ l) 22b2i
и аналогичной формулы, определяющей а^.. Проверить второе тождество
с помощью аналогичного разложения величины A + 2x)d2n+x(x).
Заметим, что первое тождество, полученное в этом пункте, влечет так^
же тождество
у In \ Гк\ = „_!_« _i_ (п - Л = 2n_.j Грг - /\ + fn - 1 - Л]
(Ь) Из формул для бисекции рядов:
2ft
2
получить при / < п:
J =
i I \ i 1 W
рокуррентпого соотношения
^?i (• • )• ^
2) + B/c - 2) получить соотношения
где Л0(.г) =1, 4](ж) ™2, 42(т) =>» 4 + ж, Проверить, что если м„
ВАДАЧИ
многочлен, определенный в задаче 17, то
ц получить отсюда тождества
235
Используя эти тождества и последние тождества пункта (а), показать,
S (i) BЛ -»"-' S С 7') [Г 717')+ (" 7^ 7- 7 ')]•
и для j < п получить тождества
Пользуясь взаимно обратными соотношениями 5 и 6 из табл. 2.3, показать,
что обратными соотношениями для полученных выше являются соотношения
(-/-')-s<-»'С t") (,_.)•
19. (а) Используя соотношения [exp yD]а(х) = а(х + у) (см. вадачу 17
(а)), где а {х) = 2 аи:сП — любая функция, для которой существует разложе-
разложение в ряд Тейлора, показать, что
п=0
а (х) Ь„ = ^ -^]Г
а (х + гД) 60 = [ехр
где Е — оператор сдвига. Полученное соотношение приписывается Эйлеру
(см. [7]).
(Ь) Обозначая через /„ числа Фибоначчи с начальными значениями /0 =
t=/, г= 1, вывести следующее рекуррентное соотпошенне:
Д«/о =» Д-1(/1 - /о) = A"-2(A/i) - А"-'/о = Д"-2/о - Д"о.
Пользуясь этим рекуррентным соотношением и начальными условиями Д% =
= /о, Д/о = 0, показать, что Дп/9 = (—1)"/п-2, где /_[ — 0, /_2 = /0 == 1, и по-
получить, таким образом, тождество

236
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
Используя результаты пункта (а) при ап = 1, Ьп = /„, показать, что
/ (*) = s дпvn A - *гп-х = 2 *" 2 (- Dn~ft B) /»-*_. =
= A - x)-' + x*(l - z)-'/(-s(l - *)-') = A - ж)-1 + z*(l - х)-Ч
Отметим тождество
п=Д (- Dn-fc 0 fn-h-, =
Д
которое является обратным соотношением к jn-i = A — /)п.
Используя два последних тождества, показать, что
A-/)".
Показать, что
1>п = 2 (;) (- «*/,.
Повторное применение полученного соотношения дает тождество
откуда в свою очередь можно вывести соотношение /_п = (/—1)п = Ап/о.
Это соотношение является естественным продолжением последовательности чи-
чисел Фибоначчи на область отрицательных значений ее индексов, так как полу-
полученное рекуррентное соотношение для Л"/о может быть также записано в виде
/-П+2 — /—п + 1 "Т f-n-
20. Для многочленов qn(x) из задачи 13 гл. 2 существует несколько форм
записи:
- •>--* = s
;) (f)
[n 7к) Bп
-к
Эти формулы могут быть использованы при получении тождеств с числа-
числами Фибоначчи и связанными с ними величинами, а также с числами Лукача
(которые будут определены ниже).
(а) Пусть {fn} — обобщенная последовательность чисел Фибоначчи, гдо
и = 0, ±1, ±2, ... и /_„ = (—1)п/„_2 (как и в задаче 19). Используя,пункт
(Ь) задачи 19, показать, что /•*(/— 1)" = (/—1) """¦>==/,_„. Затем, полагая
/(п> /) = /'(/ + 1)" — 2 (?) ^к+з> получить рекуррентные соотношения
/К/) =/К 7-1)+/К /-2),
/(и, 0) =2/(«-1, 0)+/(п-1,-1),
/(«, -1) =/(п-1, -1) +/("-1, 0),
откуда /(га, 0) =3/(п —1, 0) =/(п —2, 0).
Используя граничные условия /@, 0) = 1, /@, —1) = /_i = 0, показать,
что /(«, 0) = /2„, /(«, —1) =/2n-i, откуда получить /(«, /) =/2n+1, / = 0.
±1, ±2, ...
ЗАДАЧИ
237
Доказать, кроме того, что
(п ~2к) г и - v2h =
2 (п ~2к)
= 2 (Л ^2А) 'ь
Получить тождества
2fc
=2
U2n
(b) Полагая fn = /n-i, получить следующие результаты, соответствую»
тдие аналогичным результатам из пункта (а):
FJ(F_l)"=F,_n, fi(f+ l)«=F2n+i, (f-l)«(F + l)—» = F2n_elk.
Таким образом, указанные тождества из пункта (а) остаются справедли-
справедливыми при замене /„ на Fn.
(c) Числа Лукача Ln определяются следующим образом: /,0 = 2, L{ = 1,
Х„ = Ln_i + Ln-2, n = 2, 3, ... Последовательность чисел Лукача может быть
продолжена и на отрицательную область значений индексов с помощью
формулы L-n = (—i)nLn. Показать, что
Заметим снова, что указанные тождества из пункта (а) останутся справедли-
справедливыми и при замене /„ на Ь„.
21. В силу того, что многочлены Qn (*) из задач 11 и 12 гл. 2 связаны с
многочленами дп(х) равенством Qn(x) = A + х)пд„ (х{1 + х)-1), соотношения
ft=o
X A
s
s
+ ч" и + 2»"-» - г-» 2 <-«»(" 7 *) B; Z f) с +
очень близки к аналогичным соотношениям задачи 20.
(а) Показать, что
A + 2/)« = 2 (Д /" A + /)"-* = 2 (Д /.„_* =/n(i + /)" =
И _L f\k H I О 1\п~ 2« V I П L \ /«+) 11 _L f\n— ft— J
= у In - 2k\ у in - 2k\
откуда при /* ^ /* получаем

238
Заметим, что
ГЛ. 6. ОПЕРАТОРЫ
А=0
и что все тождества согласуются с этим соотношением и соотношениями за
чи 20, кроме тождества
(П
и
\n-hf
которое соответствует тождеству
Последнее можно проверить с помощью равенств Qx (/) = /0 + 2/i ¦= —/0 + 2/2
<?2 (/) = /о + в/, + 6/2 = /о - 6/2 + 6/4, <?3 (/) = /о + 12/, + 30/2 + 20/, = -/„ +
+ 12/2 - 30/4 + 20/,.
Более того, можно доказать рекуррентное соотношение (« + l)<?n + i(/) =
«= Bп + 1) A + 2/)(?„ (/) - «<?„_, (/), где
fe=0
(ср. с задачей 11 (с) гл. 2). В самом деле,
+ 2/) Qn
2/
Заметим, что соотношение д„(/) = /~п(?п(/), /* ^ /*, дает следующее до-
дополнительное тождество к полученным в аадаче 20:
« - 2 (¦
(Ь) Проверить справедливость соотношений
<?п(Л -=f"?n(f), F"**Fn, Qn(L) = ?"<?„(?), Ь"ВЬП,
Отметим следующие тождества, являющиеся дополнениями к уже полу-
полученным в задаче 20:
*.<п- 2 СI1)(?)'«-2 ("i*)(?)(- '••-*-'-^.
2*
ТАБЛИЦЫ
Биномиальные коэффициенты ( m
Таблица 1.1
\. m
\.
/7 ^\
'—0
. 4
—3
_2
—1
0
1
2
3
4
5
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
—5
—4
^3
—2
— 1
1
2
3
4
5
2
15
10
6
3
1
1
3
6
10
3
—35
-20
-10
/t
—1
1
4
10
4
70
35
15
5
1
1
5
5
-126
-56
-21
—6
—1
1
Граничные условия'.
(-m)=0«
у; р,
Тождества Л беля
Таблица 1.2
„(*. р; р, ч)
-пх(п+2) (х

240
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. 1.2
—2
, \
0
-1
1
2
Ап(х, у, р, ч)
x-*(x+i)-1[(x+i)(x+y-\-n)n-nx(x-\-y-\-n)n-1\
х-\х+у-\-п)п
(х+у+п+а)п
n+a+fHx; 2) ]п+ 1х+у-)-п+аB)-\-у(х) ]п
+п+$(у; 2)]п+[х+у+п+а-\-у(у)]п}
[х+у-\-п+а+р(х)+?,(у)]п
[x)+f,(y; 2)]n+[x-\-y+n+aB)+y(y)]n
¦; 2)]n+\x+y+n+aB)+y(x)+fl(y1 2)]n+
>; 2)+Y0/)]"+U-|-y-l-«-f
Условные обозначения:
afesaft = Л-!,
[a (/)]A
; aft (/) = (a+ ... +af ^[ к J k]>
(x) s pft (x) = k\ (x -I- k),
IP (*;
Vй (x) s y){ (x) - fr-fr! (xf/c).
Таблица 2.1
Некоторые простейшие пары взаимно обратных соотношений
1 „n =
^o\k
3 йя =
5 а„ =
ТАБЛИЦЫ
24f
Таблица 2.2
Классы взаимно обратных соотношений Гоулда
n, ft
+ </* — Л\
п_к
/Р + ЯП — к\ (p + qn — k — 1\
[ п~к )-4( „-к-1 )
lp+(jn^k\
[ п^к j
(p + qn — n\
[ к-п J
р -\- qk — n\ (p + qk — n~i
J9(
р + qn — п\ (р -|- qn — п
-f- ?i" — П
к — п
Примечание. Класс 3 является «перевернутым» для класса 1, а класс 4—для
класса 2. Для классов 1 и 2 &=0A)л; для классов 3 и 4 к=п, и+1, ...
gn— 'Л tp + qn — к — \
— к [р -\- qn — к
п — к
p-\-qn — к \ n — к j'
n — k )•
Таблица 2.3
Простейшие взаимно обратные соотношения чебышевского типа
»„ «2<-
g а ~ ^ (n + 2k\b
3 a"-al * )
n+2h-
ft=n\
5 «„ =
n — k\
ft=o
f/" + * — 1
l ) ¦-*
16 Дш. Риордая

242
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. 2.S
€ a =
Примечание. Во всех соотношениях и можно заменить на п-\-р. Знакочередую-
Знакочередующейся множитель (—1)а можно переносить из одного соотношения пары в другое:
(п — к\ /л —А- —1\ п (п — к\
(п\ I л \ л+ 1 — к [п\
[к ) - [к - \) - п + 1 _ 2к [к )'
n + 2АЛ In + 2АД _ п -1- 1 In + 2к
(баллотировочные числа).
"n-l, ft
Таблица 2.4
Классы взаимно обратных соотношений чебышевского типа
2 cfe' Ьп = 2 (- 1)" Bn,
ап = 2 Ап,
Vft
3n, ft
1
2
3
4
-f-
п + сА:+А:-1\
*~1 J
/re + c/c
A-
я - 1 +
+с/
к
Примечание, с — целое число, положительное или отрицательное, но не нуль;
в коэффициентах любой пары параметр га может быть заменен на га+р, р=0,1, ...
Знакочередующийся множитель (—1)й может быть перенесен в Ап h:
A; J — (с + 1) ^ ^ _ i J = ra + сй +А-^ A; J'
л + 1 + сА- / л
га — 1 + к\ (n — 1-J-k
к
к
rfijn — i +к
к
п -1- ск
к
ТАБЛИЦЫ
243
Таблица 2.5
Простейшие взаимно обратные соотношения лежандровского типа
2 •--
Таблица 2.&
Классы взаимно обратных соотношений типа Лежандра — Чебышева
, h
Dn, Л
1
2
3
4
5 |
' 1
(сп + р\
/ел + р\
[к-п)
(ск + р\
\n-pj
(ск + р\
[к-п)
fen -f- р\ / сп -г
[к п ) *^~ ^С *^" ^МЛ — и-
t ?i — hi \ тъ — л ¦
-i)
Л» + Р -
/ск -)- А:
/ел + га
/ел — га
1
-1
в-
+
+
-|_
А-
+ сА:-
-fc
р — л
— л
Р-*.
-Л
Р -'- А; •
- п
(п -
(ск
Г
- *м
— 1\
— 1\
-1)
¦|- р -
+ А-
А:
+ л
л
/
1 + с^
н
|-е(
i-n(
-j- ск
+ Р
— ге
¦ + Р
— к
га + р —
л —
¦ск + к:
сп-\- га-
сп — га-
/t.\
~)
-1
-1+сА-
-А--1
-л-1
fp-A-
fp-1-fc
- га— 1
— АД
/
^)
— 1\
— 1\
(сп — га + р + АД
Примечание, с — целое число, положительное пли отрицательное, но не нуль.

244
ТАБЛИЦЫ
Таблица 3.1
Взаимно обратные соотношения абелева типа
1 х (х + п — k)n~h~x
2 (х + ге — к)п~к
Л (х + Л)""*
•5а (х -\- п)(х -\- /с)"-*
4 (х + 2и) (г + /г + ft)™-*-1
4а (г + 2к)(х + п + k)n-h~l
5 (re + A:)""'1
г (г - п + k)n~h~l
(х2-п + к)(х-п + fc)n-"-
(z+ *)(*+и)""*
(z + и)»"»
(ж + 2») (г + п + /c)"-ft-l
(ж + 2Л) (г + и + /с)"-*1-1
[и + /с Dл — 1)] (n + fe)n-fe-
Примечание. Коэффициент I , 1 может быть заменен на I . , I. Все соотноше-
соотношения могут быть «перевернуты» указанным в тексте способом.
Таблица 3.2
Взаимно обратные соотношения, полученные
из обычных производящих функций
2 а^ = Zj ,. \Ь„
* *„=2Г*
ft=O \
я = >. (/с
71
6 в„ = У, I
7 ""=
й=о
./2ft\
¦ I 6 ri
Н- к\,2р\-\
1B)а
\ к I "П~к'
ап "~ Zj с [ к I an-h-
р+А:
к — 2d (г* +1) (i -
4t
ТАБЛИЦЫ
245
Продолжение табл. 3.2
9 an =
+ 2
8fe~3 /4fe—
^
2\
bn =
o
Примечание. Здесь /j(p>, /;t~t'>— свертки чисел Фибоначчи. В соотношениях
3 — 6 Ьп_к можно заменить на bn_qj!, a an_ft — на an_qh. Все соотношения могут
быть «перевернутыми».
Таблица 3.3
Взаимно обратпые соотношения, полученные
из экспоненциальных производящих функций
k=0
h,
2 «I,= 2(B + *)(* + ir1*
/{=^0 \ ™ /
3 «n=2f">n-sft.
fcn = 2 (" +k) B*e
bn= 2 (,"
\2«
-.= 2
ft=0
ki /» -I- 2/f
Ik
fc — У (n + 2
ft=o \ 2k
2ft-
X f
(n+i)bn= 2 (";
7 ¦.=
"п-2Л>
2 / п + 2 \ bn_aft> In + 2\ ftn = 2 (" Ч" 2) е2Лап-
it=o \ 2A' -f- 2 / \ 2 / ft==o \ 2ft /
9 --
>„ = 2 Г +
ft=o\ 2ft
Примечание. Здесь Bn — числа Бернулли, Еп — числа Эйлера, dn, en, fn
определены в тексте. Соотношения 2 и 4 являются «перевернутыми» формами со-
соотношений 1 и 3 соответственно; для остальных соотношений соответствующие
им «перевернутые» формы не приводятся. Все соотпошепия можно обобщать анало-
аналогично соотношениям A0) и A6а) гл. 3.

246
ТАБЛИЦЫ
Таблица 4.1
Формулы обращения рядов. Многочлены Bn(Av ..., Лп)
y=x(l-Alx-Aj*-...-AnJ1-...), х=у A+В1У
в, = .
2А\
5 5
в
la + 54?
AA + 3BA1Aa + Al) + 2iAlAt-rmi
Аь + 7 (Ai\ + АЛ) + 28 (^8 + Vl) + ^A\\ + Ш\
A, +4 BЛ А +2 ЛА + Al) +12 MAt + 4 V. + 4)
+ 30
*7 + 9 (A,Ae + АгАъ + 4844) + 45 (A\A& + 24X4244 + 4^ + 4^g) +
+ 165D^ + 34^43 + ^) +
+ 99 E4*43 + 10434|) + 1287A\A% + 4294\
Bs = \-
9 9
+ 22 C.
+ 143|
+ 1001 (A\Ab
+ 1001.
+ 1144 I
55
55 (Б +
143 EA*At + 2OA\AtA3 + iOA\A*)
1001 BА\А3
+ А*)
> +
А1 + 2А*А
4862Л»
Таблица 5.1
Многочлены Белла У„(/гг, •¦¦. fgn)
= /Л
ТАБЛИЦЫ
247
Продолжение табл. 5.1
= М
ю
+ /3
+ и
+ /5
+ 28?eg2 +
/s B8 Vi
/4 (?
/5
и
/4
2520^
354)
+ 2520г5г3г2 + 157
+ /4 A20г^3 + 121
+ 1575g4?12 + 1260C
+ /8 B10*^ + 25.
+ 1260Q*S*2*J + 12
+ /eB52g5^ + 3l!
+ /7 B10g4g« + 25
+ /8 A20*,*; + 63
5?X + 2100g4g2) +
30*,*,*» + 2520gBg3g]
|МЛ*1+3150*4««-
ЙОО*^»*^ 945*5)-+
5О*Л**+21ОО*«*}Ч
20^*^ + 3150glgl)
°^) + /«D5Vi)-
! + 378Q*B*5
f 2800g3gi -
i yqD"s4s2
- «вое*,*;*
+
:*i +
f 8300*1*5]
?2 +
*! +
1 + 4725g*
> +

248
Многочлены Zn(z ..., 2 )
ТАБЛИЦЫ
Таблица 5.2
10Vl
A5V
Bl24,
B8*6'
: +
!1 +
',+
152»
¦ 10Z2)
35z322
¦ 5C242S
+
)-
105222^
V B10*.
-352^)
! + Ю5г*
/\ + 280z»;
+ C78242j•
!j) + 1261
4- 1260г32
2Zl~
4- 945г!
h 28П*»)
103952*
г2 + 2520г4222. + 157522Zl
5232j + 138600^2») +
г* + 135135г[
+ 210г8г3
°V? + 4620z5Z2Zi +
(l3860aBz» + 8316OWJ + 51975ф* + 138600*,ф,) +
A35135г44 + 90090023222» + 600600ф*) -)-
(945945z32* 4- 31531502^2*) + 4729725z2zJ 4- 2(J7025г«
Таблица 5.3
Тождества для цикловых индексов симметрических групп
в форме производящих функций
2 *ПМ'Х. •••.<„)=/(*;«,,...)
/(*)
4- tn + l2
A - г»)
ihn
A-х)-1 A -xty
a - x)-i и - xir1... A
a - x)-1 (i - xtr1... a-
ТАБЛИЦЫ
249
Продолжение табл. 5.3
-3an
1 + 2 2 (- D* l^<3"-1)/2 4-
2 (- i)" Bft 4-1)
0A)
у x
(k+i)k/i
1 4- 2x + 2x4 4- •.. 4-
1 4- **
1 - 2x 4-
4- ..
4- ... 4- 2 (- 1)V'2
Примечание. р{х) — производящая функция для произвольных разбиений
(без ограничений); an— сумма делителей числа ге, включая 1 и п; ап(о) — сумма
нечетных делителей числа п; оп(е)— сумма четных делителей числа п; о(х) — про-
производящая функция для числа разбиений, у которых все слагаемые нечетны; е(х)—
производящая функция для числа разбиений, у которых все слагаемые четны.
0
1
2
3
4
5
Таблица 6.1
Центральные факториальные числа t(n, к)
0
1
3
1
^
t{2n,
1
—5
4
2n—2k)
1
—14
49
-36
1
—30
273
—820
576
1
-55
1023
-7645
21076
l, 2п-Н—2Л)
1 1
—1
1
—10
9
1
—35
259
-225
1
—84
1974
-12916
11025
1
—165
8778
—172810
1057221
—893025

250
ТАБЛИЦЫ
Таблица 6.2
Центральные факториальные числа Т(п, к)
0
1
3
0
1
2
3.
4
5
1 1 1
1
TBn,
1
5
1
2?t—2A)
1
14
21
1
1
30
147
85
1
1
55
627
1408
341
1
4*ГBя+1,
0
1
2
3
4
5
1 1
1
1
10
1
1
35
91
1
1
84
966
820
1
1
165
5082
24970
7381
1
ЛИТЕРАТУРА
1 А Ь е 1 N Н., 1839. Oeuvres Completes.— Christiania, С. Groendahl.
2 А1 - S a 1 a m W. А., 1964. Operational expressions for the Laguerre and other
' polynomials-Duke Math. J. 31, p. 127-142. QQ
3 В e 11 E. Т., 1927. Partition polynomials.— Ann. Math. 29, p 38—46.
4 Bell E. Т., 1934. Exponential polynomials.— Ann. Math. 35, p. гж—ЛП.
5 В i z 1 e у М. Т. L., 1960. A note on some elementary derangement and allied
' problems.— J. Inst, Actuar. Students Soc. 6, p. 147—161.
6 Broggi U., 1933.— Rendiconti dell'Istituto Lombardi di Scienze e Letture,
2nd ser., 66, p. 196—202. ,,*•¦. о
7. Bromwich T. J. Га, 1947. An Introduction to the Theory of Infinite Se-
Series.—L.: Macmillan. ,
8. Car lit z L., 1953. Note on a formula of Grosswald.—Amer. Math. Monta-
9 cfariftz L., 1955a. On a problem in the history of Chinese mathematics.—
' Mat. Lapok, 6, p. 219-220. .,...,
10. Car lit z L., 1955b. The coefficients of the reciprocal of ]a{x).— Arch. Math.
11 CaPrlitz l!,' 1960. A note on the Laguerre polynomials.—Michigan Math.
J. 7, p. 219—223. , . , T r ,
12 Carlitz L., 1961. On the product of two Laguerre polynomials.—J. London
' Math. Soc. 36, p. 399-402.
13 Carlitz L., 1963. Some inversion formulas.— Rend. Circ. Mat. Palermo (Л)
' 12, p. 183—199.
14. Carlitz L., 1964. A binomial identity arising from a sorting problem.—
15 Carlitz L.] 1965. Some multiple sums and binomial identities.— J. Soc. In-
' dust. Appl. Math. 13, p. 469—485.
16 Carlitz L. Rio r dan J., 1963. The divided central differences of zero.—
' Canadian J. Math. 15, p. 94-100.
17 Clarke L. E., 1958. On Cayleys formula for counting trees.—J. London
' Math. Soc. 33, p. 471—475.
18 Coxeter H. S. M., 1963. Regular Polytopes.-N. Y.: Macmillan.
19' D i x о n A. C, 1890. On the sum of the cubes of the coefficients in a certain
' expansion by the binomial theorem.— Messenger Math. 20, p. 79—80.
20 Dobinski G., 1877.—Grunert's Archiv. 61, p. 333—336.
21 Feller W., 1950. An Introduction to probability theory and its applicatl-
ons. V. 1.— N. Y. Wiley, 1958. (Русский перевод: Ф е л л е р В. Введение в
теорию вероятностей и ее приложения.— М.: Мир, 1967. Т. 1.)
22. Fine N. J., 1959. Sums over partitions.— Report of the Institute In the
' Theory of Numbers, Boulder, p. 86—94.
23 Foata D., 1965. Etude algebrique de certames problemes d Analyse Com-
' binatoire et du Calcul des Probabilites.— Publications de L'Institute de Sta-
tistique de L'Universite de Paris, V. XIV, Fascicule II, P., p. 81—241. _
24 F г i n k О., К r a 11 H. L., 1948. A new class of orthogonal polynomials.—
' Trans. Amer. Math. Soc, 65, p. 100—115. _ .
25 Frucht R., 1966. Permutations with limited repetitions.—J. Combinatorial
' Theory 1, p. 195—201.

252
ЛИТЕРАТУРА
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
Gould H. W., 1954. A note on a paper of Grosswald.— Amer. Math,
Monthly 61, p. 251—253.
Gould H. W., 1956. Some generalizations of Vandermonde's convolution.—
Amer. Math. Monthly 63, p. 84—91.
Gould H. W., 1957. Final analysis of Vandermonde's convolution.— Amer.
Math. Monthly 64, p. 409—415.
Gould H. W., 1961. A series transformation for finding convolution identi-
identities.— Duke Math. J. 28, p. 193—202.
Gould H. W., 1962. A new convolution formula and some new orthogonal
relations for inversion of series.— Duke Math. J. 29, p. 393—404.
Gould H. W., Hopper А. Т., 1962. Operational formulas connected with
two generalizations of Hermite polynomials.
Graham R. L., Riordan J., 1966. The solution of a certain recurrence.—
Amer. Math. Monthly 73, p. 604—608.
Grosswald E., 1953. On sums involving binomial coefficients.— Amer.
Math. Monthly 60, p. 178—181.
H a g e n J. G., 1891. Synopsis der Hoheren Mathematik, V. 1.— Berlin.
Hardy G. H., 1924. Pure Mathematics.— Cambridge University Press,
England.
Hsu L. C, 1954. Note on a pair of combinatorial reciprocal formulas.—
Math. Student 22, p. 175—178.
H u г w i t z A., 1890. Uber einige Verallgemeinerungen der Leibniz'schen
Differentiationsformel und des polynomischen Lehrsatzes.— Z. Math. Pby-
sik 35, p. 56—58.
II u г w i t z A., 1902. Ubor Abel's Verallgemeinerung der binomischen For-
mel.— Acta Math. 26, p. 199—203.
H u s z a r G., 1955. On a problem in the history of Chinese mathematics.—
Mat. Lapok 6, p. 36—38.
Kaplansky I., 1963. Solution of the «Probleme des menages».— Bull.
Amer. Math. Soc. 49, p. 784—785.
Kaucky J., 1963. A problem in the history of Chinese mathematics.—
Mat — Fyz Caspois Sloven. Akad. Vied 13, p. 32—40.
К1 e e V., 1964 A combinatorial analogue of Poincare's duality theorem.—
Canadian J. Math. 16, p. 517—531.
L a h I., 1955. Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigonschaften und Amven-
dung in der mathematischen Slalistik.—Mitteilungsbl. Math. Statist. 7,
p. 203—216.
Le Inner D. H., 1935. Lacunary recurrence formulas for the numbers of
Bernoulli and Euler.— Ann. Math. 36, p. 637—649.
M а с M a h о n P. A., 1915, 1916. Combinatory Analysis.— Cambridge Unive-
rity Press, V. i, 1915; V. 2, 1916.
Morrison J. A., 1964. A certain functional-difference equation.— Duke
Math. J. 21, p. 445—448.
141 - - 4 -— J : - '- rn ° 1958. Remark on a note of P. Turan.— Amer. Math.
S..
Traite Elementaire des nombres de Bernoulli.-
50.
51.
52.
53.
Nanjundiah T.
Monthly 65, p. 354.
Nielsen N., 1923.
Paris.
Poly a G., Szego G., 1925. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis,
J. Springer, Berlin: Dover, New York, 1945. (Русский перевод: Полна Г.,
Cere Г. Задачи и теоремы из анализа.— М.: Наука, 1978).
Riordan J., 1945. Permutations without 3-sequences.—Bull. Amer. Math,
Soc. 51, p. 745—748.
Riordan J., 1958. An Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley, New
York. (Русский перевод: Риордан Дж. Введение в комбинаторный ана-
анализ.— М.: ИЛ, 1963.)
Riordan J., 1962. Enumeration of linear graphs for mappings of finite:
sets.— Ann. Math. Statist. 33, p. 178—185.
Riordan .Т., 1964. Inverse relations and combinatorial identities.—Amer.
Math. Monthly 71. p. 485—498.
ЛИТЕРАТУРА
253
54. R о t a G. C, 1964. The number of partitions of a set.— Amer. Math. Monthly
71, p. 498—504.
55. R у s e r H. J., 1963. Combinatorial mathematics.— New York. (Русский пе-
перевод: Pa из ер Г. Дж. Комбинаторная математика.— М.: Мир, 1966.)
56. S а 1 i е Н., 1951. Uber Abel's Verallgemeinerung der binomischen Formel.—
Ber. Verb. Sach. Akad. Wiss. Leipzig. Math.—Nat. Kl. 98, № 4, p. 19—22.
57. S с h w a 11 I. J., 1924. An introduction to the operations with series,— Uni-
University of Pennsylvania Press; 2nd ed., N. Y.— Chelsea, 1962.
58. S I a n t о n R. G., S p г о 11 D. A., 1962. Some finite inversion formulae.—
Math. Gazette 46, p. 197—202.
59. Stern 1878.— J. Crelle 84, p. 216—218.
60. S u r a n у i J., 1955. Remarks on a problem in the history of Chinese mathe-
mathematics.— Mat. Lapok 6, p. 30—35.
61. T a k а с s L.. 1955. Remark to a paper of P. Turan entitled «On a problem
in the history of Chinese mathematics».— Mat. Lapok 6, p. 27—29.
62. T a u b e r S., 1963. On multinomial coefficients.— Amer. Math. Monthly 70,
p. 1058—1063.
63. To u chard J., 1924a. Sur certaines equations fonctionnelles. Proc. Int.
Cong. Math., Toronto 1924— Toronto, 1928, p. 465—472.
64. T о u с h a r d J., 1924b. Sur la theorie des differences.— ibid., p. 623—629.
65. T о u с h a r d J., 1933. Proprietes de certains nombres recurrents.— Ann. Soc.
Sci. Bruxelles A53, p. 24—31.
66. Turan P., 1954. On a problem in the history of Chinese mathematics,—
Mat. Lapok 5, p. 1—6.
67. W h i 11 a k e г Е. Т., Watson G. N., 1920. Modern Analysis.— Cambridge.
(Русский перевод: Уиттекер Э. Т., Ватсоп Дж. II. Курс современного
анализа.— М.: Физматшз, 1963. Т. 1, 2.)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева формула 27
Баллотировочные числа 6, 131
Белла многочлен 173—175, 246
— числа 188
Бернулли числа НО, 114, 116, 137
, производящая функция 124
Бесселя многочлен 82
Биномиальный коэффициент 11
— момент 39, 40
Бисекция ряда 109, 132
Блиссара символическое исчисление
9, НО
Вандермонда формула свертки 17,86
• обобщенная 148
— — — полиномиальная 46
Взаимно обратные соотношения 14,
51
Гоулда 57—62, 241
— — — лежандровского типа 72—
74, 243
— — — типа Лежандра — Чебыше-
ва 74, 243
— — — чебышевского типа 62—72,
241, 242
Выборка с «успехами» 20—22
Гаусса тождества 193
Гершеля теорема 224
Гурвица тождество 33, 34
Деревья корневые 48
— — с помеченными вершинами
119
— с помеченными вершинами 119
Диксона формула 49
Добинского формула 189
Задача Банаха о спичечных короб-
коробках 39, 40
Каталана числа 105, 131, 1R8
— — , производящая функция 86,
230
Коши формула 30
Кэли формула (для числа деревьев)
Лагерра многочлен 190
— — обобщенный 54
Лагранжа формула 101, 147
Ладейный многочлен 127
присоединенный 127
Лаха числа 56, 57
, производящая функция 57
Ле Жен Шу тождества 26
Лежандра многочлен 72
присоединенный 90
Лукача числа 134, 237
Марфи формула 72, 83
Мёбиуса формула обращения 80
— функция 80
Многочлены разбиений 173
Мультисекция ряда 132, 133
Ньютона формула 197
интерполяционная 189
Обобщенная степень 11
Обобщенное преобразование Эйлера
156
Оператор V 204
— разностный Д 58, 197
— сдвига Е 58, 197
— центральных разностей б 207
Операторы дифференциальные 131
212
Перестановки с ограниченными по-
повторениями 185
Произведение Коши 130
Рекуррентные соотношения для чи-
чисел Стирлинга 219
лакунарные для чисел Бернул-
Бернулли 137—141
Фибоначчи 134
Ряд Лагранжа 147
Свертка коэффициентов 130
— чисел Фибоначчи 93
Сильвестра формула 195
Символ Кронекера 12
Соотношение Вандермонда 17, 88
— ортогональное 14, 19, 52
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
255
Стирлинга числа второго рода 94
первого рода 94
присоединенные 180
Субфакториал 190
Тейлора формула 197
Трисекция ряда 113, 136
Факториал растущий 214
— убывающий 11
— центральный 208
Фибоначчи числа 105, 133
обобщенные 236
— — , производящая функция 90,
105, 135
Формула обращения рядов 150, 151,
246
Центральные факториальные числа
209, 249, 250
Цикловой индикатор (симметриче-
(симметрической группы) 181, 183, 248, 249
Циклы биномиальных коэффициен-
коэффициентов 141
Чебышева многочлен присоединен-
присоединенный 163
Ьп{х) 62, 162
Тп(х) 62,67
?/„ (х) 66, 67
ип(х) 80
Число беспорядков 119, 190
Эйлера числа 111, 116
— — , производящая функция 111.
125
Энумератор 6
•— леса корневых деревьев с поме-
помеченными вершинами 101
— числа корневых деревьев с поме-
помеченными вершинами 101
8рмита полином 76
Якоби тождество 182, 193