Text
                    И.В.Савелъев
Курс общей физики, том II. Электричество
Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами
физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысла физических законов и на сознательное
применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга содержит изложение всех
вопросов учения об электричестве, знание которых необходимо для изучения теоретической физики и
других физических дисциплин. Изложение ведется в Международной системе единиц (СИ), однако,
так как до последнего времени в теоретической физике применяется гауссова система единиц,
читатель знакомится и с этой системой.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к четвертому изданию	7
Из предисловия к первому изданию	8
Глава I. Электрическое поле в вакууме	11
§1.	Введение	И
§ 2.	Взаимодействие зарядов. Закон Кулона	13
§ 3.	Системы единиц	14
§ 4.	Рационализованная запись формул	16
§ 5.	Электрическое поле. Напряженность поля	17
§ 6.	Суперпозиция полей. Поле диполя	20
§ 7.	Линии напряженности. Поток вектора напряженности	23
§ 8.	Теорема Гаусса	26
§ 9.	Работа сил электростатического поля	36
§10.	Потенциал	38
§11.	Связь между, напряженностью электрического поля и потенциалом	42
§12.	Эквипотенциальные поверхности	46
Глава II. Электрическое поле в диэлектриках	48
§13.	Полярные и неполярные молекулы	48
§14.	Диполь в однородном и неоднородном электрических полях	50
§ 15.	Поляризация диэлектриков	52
§16.	Описание поля в диэлектриках	60
§17.	Преломление линий электрического смещения	69
§18.	Силы, действующие на заряд в диэлектрике	72
§19.	Сегнетоэлектрики	77
§ 20.	Прямой и обратный пьезоэлектрический эффект	78
Глава III. Проводники в электрическом поле	81
§21.	Равновесие зарядов на проводнике	81
§ 22.	Проводник во внешнем электрическом поле	84
§ 23.	Генератор Ван-де-Граафа	86
§ 24.	Электроемкость	87
§ 25.	Конденсаторы	89
§ 26.	Соединение конденсаторов	93
Глава IV. Энергия электрического поля	96
§ 27.	Энергия системы зарядов	96
§ 28.	Энергия заряженного проводника	98
§ 29.	Энергия заряженного конденсатора	99
§30.	Энергия электрического поля	101
Глава V. Постоянный электрический ток	106
§31.	Электрический ток	106
§ 32.	Электродвижущая сила	108
§33.	Закон Ома. Сопротивление проводников	111
§ 34.	Закон Джоуля — Ленца	114
§35.	Закон Ома для неоднородного участка цепи	115
§ 36.	Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа	117
§ 37.	Коэффициент полезного действия источника тока	121
Глава VI. Магнитное поле в вакууме	124

§38. Взаимодействие токов 124 §39. Магнитное поле 126 § 40. Закон Био — Савара. Поле движущегося заряда 128 §41. Поля прямого и кругового токов 131 § 42. Циркуляция вектора В. Поле соленоида и тороида 135 Глава VII. Магнитное поле в веществе 142 § 43. Магнитное поле в веществе 142 § 44. Описание поля в магнетиках 143 § 45. Преломление линий магнитной индукции 151 Глава VIII. Действие магнитного поля на токи и заряды 156 § 46. Сила, действующая на ток в магнитном поле. Закон Ампера 156 § 47. Сила Лоренца 158 § 48. Контур с током в магнитном поле 161 § 49. Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном поле 165 Глава IX. Магнетики 169 §50. Классификация магнетиков 169 §51. Магнитомеханические явления. Магнитные моменты атомов и молекул 170 § 52. Диамагнетизм 176 § 53. Парамагнетизм 180 § 54. Ферромагнетизм 183 Глава X. Электромагнитная индукция 190 §55. Явление электромагнитной индукции 190 §56. Электродвижущая сила индукции 192 §57. Методы измерения магнитной индукции 197 §58. Токи Фуко 200 §59. Явление самоиндукции 201 § 60. Ток при замыкании и размыкании цепи 204 §61. Энергия магнитного поля 207 § 62. Взаимная индукция 210 § 63. Работа перемагничения ферромагнетика 216 Глава XI. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях 219 § 64. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле 219 § 65. Отклонение движущихся заряженных частиц электрическим и магнитным полями 221 § 66. Определение заряда и массы электрона 225 § 67. Определение удельного заряда положительных ионов. Масс-спектрографы 230 § 68. Циклотрон 235 Глава XII. Электрический ток в металлах и полупроводниках 238 § 69. Природа носителей тока в металлах 238 § 70. Элементарная классическая теория металлов 240 §71. Основы квантовой теории металлов 246 § 72. Полупроводники 254 § 73. Эффект Холла 261 § 74. Работа выхода 265 §75. Термоэлектронная эмиссия. Электронные лампы 268 § 76. Контактная разность потенциалов 274 § 77. Термоэлектрические явления 277 § 78. Полупроводниковые диоды и триоды 284 Глава XIII. Ток в электролитах 292 §79. Диссоциация молекул в растворах 292 § 80. Электролиз 296 §81. Законы Фарадея 298 § 82. Электролитическая проводимость 300 § 83. Технические применения электролиза 303 Глава XIV. Электрический ток в газах 305 § 84. Виды газового разряда 305 §85. Несамостоятельный газовый разряд 306
§ 86. Ионизационные камеры и счетчики 310 § 87. Процессы, приводящие к появлению носителей тока при самостоятельном разряде 317 §88. Газоразрядная плазма 322 § 89. Тлеющий разряд 325 § 90. Дуговой разряд 330 §91. Искровой и коронный разряды 334 Глава XV. Переменный ток 338 § 92. Квазистационарные токи 338 § 93. Переменный ток, текущий через индуктивность 339 § 94. Переменный ток, текущий через емкость 341 § 95. Цепь переменного тока, содержащая емкость, индуктивность и сопротивление 343 § 96. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока 346 § 97. Символический метод 348 § 98. Резонанс токов 353 Глава XVI. Электрические колебания 357 § 99. Свободные колебания в контуре без активного сопротивления 357 § 100. Свободные затухающие колебания 360 § 101. Вынужденные электрические колебания 364 §102. Получение незатухающих колебаний 369 Глава XVII. Электромагнитное поле 372 § 103. Вихревое электрическое поле 372 § 104. Бетатрон 374 § 105. Ток смешения 377 § 106. Электромагнитное поле 380 § 107. Описание свойств векторных полей 381 § 108. Уравнения Максвелла 393 Глава XVIII. Электромагнитные волны 397 § 109. Волновое уравнение 397 §110. Плоская электромагнитная волна 400 §111. Экспериментальное исследование электромагнитных волн 404 § 112. Энергия электромагнитного поля 407 §113. Импульс электромагнитного поля 410 §114. Излучение диполя 412 Приложение I. Единицы измерения электрических и магнитных величии в СИ и в гауссовой 417 системе Приложение II. Основные формулы электромагнетизма в СИ и в гауссовой системе 419 Предметный указатель 426 Авогадро число 300 Автоколебательная система 369 Акцептор 260 Ампер 15, 108. 124 — на метр 146 Ампера гипотеза 142, 170 — закон 124, 156 Ампер-виток 139 Ампер-секунда 125 Анион 296 Анод 269 Антиферромагнетизм 188, 189 Астона масс-спектрограф 232 Астоново темное пространство 326 База транзистора 290 Баллистический метод измерения магнитной индукции 184, 198 Барнетта опыт 173 Бейнбриджа масс-спектрограф 233 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Бетатрон 374, 415 Био — Савара — Лапласа закон 129 Богуславского — Ленгмюра закон 270 Больцмана функция распределения 252, 254 Бора магнетон 174 — теория 170 Буша опыт 226 Вавилова — Черенкова излучение 416 Валентность 299 Ван-де-Граафа генератор 86 Вебер 194 Вектор намагничения 143 — плотности тока 107 — поляризации 53, 148 Векторная диаграмма 339, 354 Весы крутильные 13 Вибратор полуволновой 405 Видемана — Франца закон 244 Вихрь 388 Внешняя область короны 336 Волновая зона диполя 413 Волновое уравнение 399 Вольт 41 — на метр 19 Вольт-амперная характеристика 269, 288, 330 Вольтметр искровой 335 Восприимчивость диэлектрическая 53 — магнитная 147, 179, 180, 182, 185 -----атомная 169 -----килоатомная 169 -----молярная 169
---киломолярная 169 ---удельная 169 Вторичные химические реакции 296 Выпрямитель германиевый 289 — кремниевый 289 — на газотроне 333 — полупроводниковый 289 — ртутный 332 — селеновый 289 Выпрямление тока 271, 289 ---двухполупериодное 272 ---однополупериодное 271 Вырождение 247 Газотрон 332 Гальваномагнитное явление 262 Гальванометр баллистический 199 Гальванопластика 303 Гальваностегия 303 Гамильтона оператор 391 Гамма-лучи 377 Гаусс 130, 133, 147 Гаусса теорема для вектора В 143 ----------В 62, .63 ----------В 28, 61 Генератор ламповый 369 — электростатический 86 Генри 202 — на метр 203 Герца вибратор 404, 412 — опыты 404 Гидратация ионов 296 Гиромагнитное отношение 171, 173 Гиромагнитные явления 171 Гистерезис 77 — магнитный 184, 188 Гистерезиса петля 77, 185, 217 ---максимальная 185 Градиент 42, 391 — потенциала 42, 43 Грамм-эквивалент 299 Давление световое 412 — электромагнитной волны 410 Двойное преломление электромагнитных волн 407 Двойной электрический слой 265, 286 Дейтерий 304 Джоуля— Ленца закон 114, 243 -------в дифференциальной форме 115 Диаграмма направленности диполя 414 Диамагнетизм 176 Диамагнетики 170 Дивергенция 57, 382, 384, 391 — вектора В 395, ---В 395 Диод вакуумный 269, 271 ---двойной 272 — кристаллический 284 — плоскостной 285 — полупроводниковый 284 Диполь 20 — жесткий 50 — полуволновой 405 — упругий 50 — элементарный 412 Диполя излучение 412 — электрический момент 21 Диссоциация электролитическая 292 Диффузионная разность потенциалов 279 Диэлектрик 12 Домены сегнетоэлектрика 78 — ферромагнетика 187 Донор 259 Дроссель 405 Друде теория металлов 240 Ду анты 235 Дуга вольтова 330 — с холодным катодом 331 — термоэлектронная 331 — электрическая 330 Дырка 255, 257, 260 Единица заряда абсолютная электростатическая 14 -----в СИ 16, 108, 125 — напряженности магнитного поля 146, 147 -----электрического поля 19 — электрического смещения 63 Единицы емкости 89 — индуктивности 202 — магнитного момента 174 -----потока 194 — магнитной индукции 129, 130 — потенциала 41 — силы тока 108, 124 — сопротивления 111 Емкость 88, 339, 341 — конденсатора 90 — плоского конденсатора 91 — сферического конденсатора 92 — цилиндрического конденсатора 93 — шара 89 Закон преломления линий магнитной индукции 153 -------электрического смещения 72 — сохранения заряда 12 — трех вторых 270 — электромагнитной индукции 193,393 Заряд индуцированный 84 — пробный 18 — свободный 60 — связанный 60 — точечный 13 — удельный 219, 227, 230 -----электрона 227 — электрический 11 — элементарный 11, 15, 16, 230, 300 Защита магнитная 154 — электростатическая 85 Зеебека явление 277 Зона валентная 249, 255 — запрещенная 248, 256 — проводимости 250, 255 — разрешенная 248 — энергетических уровней 246, 247 Излучение атома 413 Изолятор 12, 250 Изотоп 232 Импульс электромагнитного поля 410 — электромагнитной волны 411 Индуктивность 202.204, 339 — взаимная 211, 215 — соленоида 203 Индукция взаимная 211 — магнитная 128, 146 ---остаточная 184 — электрическая 61, 63 — электромагнитная 190 Интенсивность излучения 414 Ионизационная камера 310, 313 ---импульсная 313 ---интегрирующая 315 Ионизация 306 — термическая 305, 323, 330 — ударом 310, 323, 327 Ионосфера 323 Ионы 84, 86, 292, 305 — Ланжевена 308 Истечение с острия 84 Источники 381 Катион 296 Катод 269 — оксидный 271 Катодная светящаяся пленка 326 Катодное падение потенциала 327 — пятно 331 Катодолюминесценция 329 Квадрулоль 23 Квант действия 174 — света 317 Квантование момента импульса 175 — энергии 246 Кварц 79 Кенотрон 271 Килограмм-эквивалент 299 Кирхгофа правила 117, 338, 353 Клаузиуса — Мосотти формула 76 Колебательный контур 357, 404 ---, добротность 363, 367, 369 ---, собственная частота 360 Коллектор 290 Конденсатор 89 — плоский 32, 91 — , соединение параллельное 93 — ,— последовательное 94 — сферический 35, 93 — цилиндрический 34, 92 Конденсатор электролитический 304 Контактная разность потенциалов 274 -------внешняя 275 -------внутренняя 276, 278 Контуры связанные 211, 215 Концентрация носителей тока 263 — эквивалентная 302 Корона 336 — дву полярная 337
Коронирование 87 Коэффициент взаимной индукции 211 — вторичной эмиссии 320 — газового усиления 312, 315 — диссоциации 294 — мощности 348 — Пельтье 282, 284 — полезного действия источника тока 122 — самоиндукции 202 — теплопроводности 244 — термо-э. д. с. 280, 282, 284 — Томсона 284 — электропроводности 112, 244 Кратер анода 330 Кратность вырождения 247 Кривая намагничения нулевая 184 ---основная 184 Круксово темное пространство 326, 329 Крутизна характеристика 273, 370 Кулон 16, 108, 125 — на квадратный метр 63 Кулона закон 13, 14, 16, 73 Кюри закон 180. 183 — постоянная 180, 183 Кюри — Вейсса закон 188 Лампа двухэлекгродная 269 — пятиэлектродная 274 — трехэлектродная 272 — четырехэлектродная 274 Лампы дневного света 332 — люминесцентные 332 — неоновые 329 — ртутные дуговые 331 — сверхвысокого давления 331 — электронные 268 Ланжевена теория парамагнетизма 180 Ларморова прецессия 177, 179 — частота 177 Лебедева опыты 406, 412 Ленца правило 191, 200 Ленц-джоулево тепло 114, 243, 409 Линии напряженности 23 Логарифмический декремент затухания 362 Лоренца сила 158, 193, 195, 219 — теория металлов 240 Лучи каналовые 330 — катодные 329 — положительные 330 Люминофор 332 Магнетики 142, 169 Магнит постоянный 185 Магнитное поле 126 ---движущегося заряда 131 ---кругового тока 133, 134 ---прямого тока 132 ---соленоида 139 ---тороида 141 Магнитный момент атома 174 ---индуцированный 177 --- контура 127, 128 ---молекулы 174 ---электрона орбитальный 171 -------собственный 173 Магнитомеханические явления 171, 187 Магнитострикция 186 Майкельсона опыт 380 Максвелл 194 Максвелла теория 374, 377, 379, 393 Максвелла уравнения в дифференциальной форме 395 -------интегральной форме 393, 394 Мандельштама и Папалекси опыт 239 Масс-спектрограмма 233 Масс-спектрограф 233 Масс-спектрометр 234 Масса, зависимость от скорости 228 — покоя 228 — электромагнитного поля 411 Металл 249 Метастабильное состояние 317, 318 Метатитанат бария 78, 79 Метод магнитной фокусировки 226 Механический момент электрона орбитальный 171 -------собственный 173 Микромикрофарада 89 Микрофарада 89 Милликена опыт 228 Мировой эфир 378 Молекулы неполярные 49 — полярные 49, 292 Молекулярные токи 142, 149 Молизация ионов 293 Молния 334 Мощность излучения 414 — источника 381 ---удельная 382 — переменного тока 348 — полезная 122 — постоянного тока 122 — тока удельная 115 Намагничение 142, 143 — остаточное 185 — спонтанное 187 Направление запорное 289 — обратное 289 — пропускное 288 — проходное 288 — прямое 288 Напряжение 111 — действующее 348 — обратное 288 — прямое 287, 288 Напряженность поля диполя 22 ---магнитного 145, 146 ---сторонних сил 110 -------электрического 18, 146 Неупругие столкновения второго рода 318 ---первого рода 318 Носители заряда 12, 106, 107, 238, 292, 305 — тока 106, 107, 238, 292, 305 Области спонтанного намагничения 187 Области спонтанной поляризации 78 Область Гейгера 312 — непрерывного разряда 313 — пропорциональности 312 — частичной пропорциональности 312 Обратная связь 371 Огни святого Эльма 337 Октуполь 23 Ом 111 Ома закон 111,242, 338. 351 -----в дифференциальной форме 112 -----для газов 308 -------замкнутой цепи 116 -------неоднородной цепи 116 ------------в дифференциальной форме 117 -------электролитов 301 Омо-метр 112 Оператор Гамильтона 391 — Лапласа 392 — набла 42, 391 Остроградского — Гаусса теорема 385 Осциллограф 224 Падение напряжения 111 Парамагнетизм 180 Парамагнетики 170 Паули принцип 247 Пашена закон 334 Пельтье тепло 282 — явление 282, 283 Пентод 274 Печь индукционная 200 Пикофарада 89 Плазма 322, 328 — высокотемпературная 323, 330 — газоразрядная 323. 328, 332 — изотермическая 323, 325 Планка постоянная 174, 321 Плотность заряда линейная 29 -----объемная 29 -----поверхностная 29 — импульса электромагнитной волны 411 — потока энергии 407, 408, 414 — связанных зарядов объемная 57 -------поверхностная 58, 59 — силы 158, 410 — тока 107 -----насыщения 270, 309 -----полная 379 -----проводимости 378, 379, 394 -----смещения 379 — энергии магнитного поля 209, 210,218 -----электрического поля 102 -----электромагнитного поля 407 />-и-переход 285, 289, 290 Поверхностный эффект 201 Поверхность эквипотенциальная 46 Подвижность ионов в газах 308
-------электролитах 301 — носителей тока 264, 301 — электронов в металлах 301 Пойнтинга вектор 408 Поле вектора 23 ---В393 ---скорости 23, 381 Поле вихревое 138, 372 — истинное 60, 142 Поле магнитное 126, 142 — макроскопическое 60, 142 — микроскопическое 60, 142 — однородное 32 — потенциальное 36, 137. 373 — размагничивающее 151 — соленоидальное 138 — электрическое 17 — электромагнитное 380 Полный магнитный поток 197 Положительная нормаль 127, 387 Положительный столб 326—328 Полупроводники 12, 250, 254 ---//-типа 258, 264 — примесные 258 — р-типа 260, 264 — собственные 255 — электронные 250 Поляризация диэлектрика 52 — остаточная 77 — спонтанная 77 Поляризуемость молекулы 50 Попова опыты 407 Порог области Гейгера 312 — пропорциональной области 312 Постоянная времени цепи 206, 314 — магнитная 17, 125, 417 — электрическая 16, 17, 417 — электродинамическая 16, 17, 126, 417 Потенциал 39, 40, 138 — векторный 393 — выхода 267 — системы зарядов 40 — точечного заряда 39 Поток вектора 25, 381 ---Пойнтийга 409 ---поляризации 58 ---скорости 25, 381 — магнитной индукции 143, 190 ---смещения 62 Поток энергии 408 Потокосцепление 197 Правило левой руки 156 Прецессия электронной орбиты 177, 179 Примесь акцепторная 260 — донорная 259 Принцип относительности Галилея 380 ---Эйнштейна 380 — суперпозиции полей 20 Пробой газового промежутка 335 Проводник 12 — второго рода 292 — первого рода 292 Проницаемость диэлектрическая 62, 63, 68, 77 ----абсолютная 62 ----относительная 62, 64, 68, 77 — магнитная 148, 185 ----абсолютная 148 ----относительная 148, 150, 185 Пьезоэлектрики 79 Пьезоэлектрический эффект обратный 80 ----поперечный 79 ----продольный 79 ----прямой 78, 79 Работа выхода 267, 270 ----полная 267 Работа выхода эффективная 267 — перемагничения 217 — перемещения проводника с током в магнитном поле 166 Размагничивающий фактор 151 Разряд апериодический 364 — газовый 305 ----дуговой 330, 332 ----искровой 334 ----кистевой 336 ----коронный 87, 336 ----несамостоятельный 305. 306 ----самостоятельный 305, 325 ----тлеющий 326 Расхождение 382 Рафинирование металлов 303 Резерфорда опыты 170 Резонанс напряжений 345 — токов 353 Резонансная частота 345, 353, 355, 367 Резонансные кривые 366, 367 Рекомбинация ионов 293, 306, 328 — электронов и дырок 257, 286 Рентгеновские лучи 377 Рикке опыт 238 Ричардсона формула 271 Ротор 388, 390. 391 Самоиндукция 201 Сантиметр, единица емкости 89 — , — индуктивности 202 Сверхпроводимость 113 — , критическая температура 113 — , критическое поле 113 Сегнетова соль 77, 79 Сегнетоэлектрики 77, 185 Селектор скоростей 233 Сетка 272, 333 Сеточная характеристика 273 Сила взаимодействия токов 124, 156 — коэрцитивная 78, 185 — лоренце ва 158 — сторонняя 109 — тсрмоэлсктродвижу щая 278 — тока 106 ----действующая 347 ----эффективная 347 Символический метод 348 Синхротрон 236 — протонный 236 Синхрофазотрон 236 Синхроциклотрон 236 Система единиц абсолютная электромагнитная 15 -----электростатическая 15 -----гауссова 15, 126, 130 Система единиц международная 15, 16 -----рационализованная 16 Скин - эффект 201 Скорость света 126, 399 — электромагнитных волн 126, 399 Соленоид 138 Сольват 296 Сольватация ионов 296 Соотношение между массой в энергией 412 Сопротивление активное 339 — емкостное 342 — индуктивное 341 — комплексное 351 Сопротивление критическое 364 — металлов, зависимость от температуры 113, 245, 254 — остаточное 113 —полное 344 — реактивное 345 — удельное 112 — электрическое 111, 243 Спин 173 Стоки 381 Стокса теорема 390 Столетова опыты 184, 198 Страты 327 Стример 334, 335 Суперпозиция полей магнитных 128 -----электрических 20 Счетчик газоразрядный 310 — Г ейгера — Мюллера 316 — несамогасящийся 316 — пропорциональный 310, 315 — само гасящийся 316 Температура критическая сверхпроводника 113 — электронов 325 Теория металлов квантовая 246 -----классическая 240 Теплоемкость металлов 246, 254 Термометр сопротивления 114 Термопара 281 Термоэлектрические явления 277 Термоэлектродвижущая сила 278 -----удельная 281 Тесла 129, 133 Тетрод 274 Тиратрон 333 Тлеющее свечение 326, 329 Ток анодный 269 — вихревой 200 — индукционный 190 — квазистационарный 338 — насыщения 270, 309 — обратный 288 — переменный 338 — постоянный 108 — проводимости 377, 394 — сеточный 272
— смещения 377 — 380,393.394 — электрический 106 Толмена и Стюарта опыт 239 Томсона метод парабол 230 — опыт 225 — формула 360 — явление 284 Тороид 140 Точка Кюри антиферромагнитная 189 ----сегнетоэлектрика 78 ----ферромагнетика 188 — Нееля 189 Транзистор 284, 290 Триод вакуумный 272 — кристаллический 284 — полупроводниковый 284, 290 Туннельный эффект 321 Тяжелая вода 304 Узел цепи 117 Уровень энергетический 246 ----акцепторный 260 ----донорный 259 ----локальный 259, 260 Успокоитель электромагнитный 200 Фазотрон 236 Фарада 89 Фарадеево темное пространство 328 Фарадея закон электромагнитной индукции 193 — законы электролиза 298 — число 299 Ферми уровень 252, 255, 260, 261, 268, 275, 278, 286, 287 — функция распределения 252, 255 Ферриты 183, 201 Ферромагнетизм 183 Ферромагнетики 170, 183 — жесткие 186 — мягкие 186 Ферроэлектрики 78 Фильтр скоростей 233 Фотоионизация 321, 335, 336 — ступенчатая 321 Фотон 317, 321 Фотоэффект 322 Фуко токи 200 Химический эквивалент 299 Холла постоянная 262, 263, 264 — эффект 262, 264 Циклическая перестановка координат 389 Циклотрон 235 Циркуляция 38. 381, 385, 386 Циркуляция вектора В 136, 137 ----F38, 373 ----Я 146, 379 ----J145 Частицы элементарные 11 Частный цикл 185 Частота ларморовой прецессии 177 Шоттки эффект 266, 271 Штерна и Герлаха опыт 175 Эйнштейна и де-Хааса опыт 171 Электрические колебания 357 ----вынужденные 364 ----затухающие 360 ----свободные 357 Электрический ветер 84 Электрическое смещение 61, 146 Электродвижущая сила 109 ----взаимной индукции 211, 371 ----индукции 192, 197 ----самоиндукции 203 Электроемкость 88 Электроискровая обработка металлов 336 Электролиз 297 Электролит 292 Электромагнит 154 Электромагнитные волны 126, 393, 397 ----плоские 400 Электрометаллургия 303 Электрон 11, 238 — вторичный 320. 327 —, заряд 228, 230 —, магнитный момент орбитальный 171 —,------собственный 173, 187 —, масса 230 —, механический момент орбитальный 171 —,------собственный 173 —, спин 173, 247 —, удельный заряд 225, 226. 227 Электронвольт 41 Электроннолучевая трубка 224 Электронный газ 240 — умножитель 320 Электроны проводимости 240 — свободные 240 -----, концентрация 240 Электрополировка 303 Электросварка 331 Электрострикция 72, 80 Электрофильтр 337 Электрохимический эквивалент 298 Эмиссия автоэлектронная 321, 331 -----вторичная электронная 320, 327 Эмиссия термоэлектронная 268, 322, 330, 332 — фотоэлектронная 322 — холодная 321 Эмиттер 290 Энергия диполя в электрическом поле 51 Энергия заряженного конденсатора 99 -----проводника 98 — магнитного момента в магнитном поле 163 — поля связанных контуров 215 -----тока 208 — системы зарядов 97 Эрстед 147
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Как и первый том этого курса, второй том предна- значается прежде всего для студентов инженерно-фи- зических специальностей втузов. Несмотря на неболь- шой объем, предлагаемое вниманию читателей пособие содержит изложение всех вопросов, значение которых необходимо для изучения теоретической физики и дру- гих физических дисциплин. Сокращение объема книги достигнуто (как и в первом томе) главным образом за счет отказа от описания лек- ционных демонстраций, устаревших приборов и экспе- риментальной техники прошлых столетий. Исторический материал дан также в крайне малом объеме. Сказанное вовсе не означает, что изложение ведется без опоры на эксперимент. Все фундаментальные опыты, послужившие основой современного учения об электромагнетизме, Описаны достаточно подробно. Для примера укажем на совокупность опытов, предпринятых для выяснения природы носителей тока в металлах (Рикке, Мандель- штама и Папалекси, Толмена и Стюарта), группу опы- тов, посвященных установлению природы магнетизма (Эйнштейна и де Хааса, Барнетта, Штерна и Герлаха), опыты по определению заряда и удельного заряда элек- трона и положительных ионов (Милликена, Томсона, Астона), опыты Герца с электромагнитными волнами и т. п. Описан также ряд экспериментальных методик и 8
установок: ускорители заряженных частиц, ионизацион- ные камеры и счетчики, масс-спектрографы и т. д. Более подробно, чем это обычно делается в вузов- ских учебниках, изложены диа- и парамагнетизм, зонная теория металлов и полупроводников, газовый разряд и электромагнитные волны. При этом автор отка- зался от некоторых встречающихся в учебниках упроще- ний, искажающих сущность явлений и ставящих в тупик думающего читателя. Например, определение уровня Ферми как максимальной энергии электронов при абсо- лютном нуле оставляет совершенно непонятным возник- новение контактной термо-э. д. с. (ибо при таком опре- делении уровень Ферми из функции от температуры превращается в характерную для данного металла кон- станту). Такое определение неприменимо также к полу- проводникам, у которых уровень Ферми попадает в за- прещенную зону. В качестве второго примера можно указать объяснение излучения электромагнитных волн диполем с помощью так называемого отшнуровывания силовых линий. Во-первых, это «отшнуровывание» соз- дает лишь видимость объяснения — по-настоящему его понять нельзя. Вместе с тем оно является в принципе неверным, поскольку никак не учитывает лежащих в ос- нове возникновения и распространения волн единства и взаимосвязи электрического и магнитного полей. В рассуждениях об отшнуровывании возникновение электрического и возникновение магнитного полей волны рассматриваются совершенно независимо друг от друга, что противоречит истинной физической сути явлений. Изложение ведется в Международной системе еди- ниц (СИ). До последнего времени в советской физиче-. ской литературе (в частности, во всех учебниках теоре- тической физики) применялась гауссова система еди- ниц. Поэтому мы сочли необходимым познакомить читателя и с этой системой. Весь текст, относящийся 9
к гауссовой системе, дан петитом и может быть полно- стью опущен читателем, если эта система не предста- вляет для него интереса. В приложениях в конце книги даны единицы измерения электрических и магнитных величин в СИ и в гауссовой системе, а также сопоста- влен вид основных формул электромагнетизма в обеих системах. Приношу большую благодарность заведующему ка- федрой физики Московского энергетического института профессору В. А. Фабриканту и преподавателям этой кафедры И. П. Федоровой и Ю. Б. Горбатову за ряд весьма полезных советов и замечаний. Считаю также •долгом выразить признательность редактору книги Е. Б. Кузнецовой, много сделавшей для исправления и улучшения текста. И. Савельев
ГЛАВА I ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ § I. Введение Из школьного курса физики известно, что при опре- деленных условиях тела приобретают электрический за- ряд (электризуются). Наличие электрического заряда проявляется в том, что заряженное тело взаимодей- ствует с другими заряженными телами. Имеется два вида электрических зарядов, условно называемых положительным и отрицательным. Заряды одного знака отталкиваются, разных знаков — притяги- вают друг друга. Электрический заряд является неотъемлемым свой- ством некоторых так называемых элементарных частиц. Заряд всех элементарных частиц (если Он не равен нулю) одинаков по абсолютной величине. Его можно назвать элементарным зарядом. Обозначать его мы будем буквой е. К числу элементарных частиц принадлежат, напри- мер, электрон (несущий отрицательный заряд), протон (несущий положительный заряд) и нейтрон (заряд ко- торого равен нулю). Поскольку из этих частиц построены атомы вещества, электрические заряды оказываются ор- ганически входящими в состав всех тел. Обычно части- цы, несущие заряды разных знаков, присутствуют в рав- ных количествах и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае алгебраическая сумма заря- дов в любом элементарном объеме тела равна нулю, и каждый такой объем (и тело в целом) будет нейт- ральным. Если каким-либо образом (например, нати- ранием.) создать в теле избыток частиц однрго знака 11
(соответственно недостаток частиц другого знака), тело окажется заряженным. Можно также, не изменяя обще- го количества положительных и отрицательных частиц, вызвать их перераспределение в теле таким образом, что в одной части тела возникнет избыток зарядов одного знака, в другой — другого. Это можно осуществить, при- близив к металлическому телу другое заряженное тело. Поскольку всякий заряд q образуется совокупностью элементарных зарядов, он является целым кратным е: q = ± Ne. Однако элементарный заряд настолько мал (см. § 3), что возможную величину макроскопических зарядов можно считать изменяющейся непрерывно. Электрические заряды могут исчезать и возникать вновь. Однако всегда возникают или исчезают одно- временно два элементарных заряда противоположных знаков. Поэтому суммарный заряд электрически изоли- рованной системы1) не может изменяться. Это утвержде- ние носит название закона сохранения элек- трического заряда. Если заряженные частицы, например электроны, могут более или менее свободно перемещаться в преде- лах тела, то соответствующее вещество способно прово- дить электрический ток. Носителями заряда, движение которых создает ток, могут быть не только электроны, но и ионы, т. е. атомы или молекулы, потерявшие либо присоединившие к себе один или несколько элект- ронов. В соответствии со способностью проводить электри- ческий ток все вещества подразделяются на диэлектрики (или изоляторы), проводники и полупроводники. Иде- альных изоляторов в природе не существует. Все веще- ства хотя бы в ничтожной степени проводят электриче- ский ток. Однако вещества, называемые диэлектриками, проводят ток в 1015—1020 раз хуже, чем вещества, назы- ваемые проводниками. Полупроводниками называется обширная группа веществ, которые по способности про- *) Система называется электрически изолированной, если через ограничивающую ее поверхность не может течь электрический ток. 12
водить ток заполняют промежуточную область между проводниками и диэлектриками. Помимо величины про- водимости полупроводники отличаются от проводников рядом других особенностей. § 2. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона Как уже отмечалось, наличие у тела электрического заряда проявляется в том, что такое тело взаимодей- ствует с другими заряженными телами. Тела, несущие заряды одинакового знака (или, как говорят, заряжен- ные одноименно), отталкивают друг дру- га. Тела, заряженные разноименно, при- тягиваются друг к другу. Закон, кото- рому подчиняется сила взаимодействия так называемых точечных зарядов, 'был установлен в 1785 г. Кулоном. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с рас- стояниями от этого тела до других тел, несущих электрический заряд. С помощью крутильных весов (рис. 1), подобных тем, которые были ис- пользованы Кавендишем для определе- ния гравитационной постоянной (см. т. I, § 46). Кулон измерял силу вза- имодействия двух заряженных шариков в зависимости от величины зарядов на них и от расстояния между ними. При этом Кулон ис- ходил из того, что при касании к заряженному метал- лическому шарику точно такого же незаряженного шарика заряд распределяется между обоими шариками поровну. В результате своих опытов Кулон пришел к выводу, что сила взаимодействия двух точечных зарядов пропор- циональна величине каждого из зарядов и обратно про- порциональна квадрату расстояния между ними. Направ- ление силы совпадает с проходящей через заряды пря- мой. Закон Кулона может быть выражен следующей фор- мулой: / = (2.1) 13
где fe — коэффициент пропорциональности, qi и qz — вели* чины взаимодействующих зарядов, г — расстояние меж- ду ними. В случае одноименных зарядов сила, вычисленная по формуле (2.1), оказывается положительной (что соот- ветствует отталкиванию между зарядами). В случае разноименных зарядов сила отрицательна (что соответ- ствует притяжению зарядов друг к другу) ’). Закон Кулона можно записать в векторном виде: f = (2.2) В этом выражении под г следует подразумевать век- тор, проведенный от одного заряда к другому и имею- щий направление к тому из q г д2 зарядов, к которому прило- о--------------*~°" жена сила f (рис. 2). Зная закон, взаимодей- Рис- 2. ствия между точечными за- рядами, можно вычислить силу взаимодействия между зарядами, сосредоточенными иа телах конечных размеров. Для этого нужно разбить каждый из зарядов на столь малые заряды dq, чтобы их можно было считать точечными, вычислить по фор- муле (2.2) силу взаимодействия между зарядами dq, взятыми попарно, и затем произвести векторное сложе- ние этих сил. Математически эта операция полностью совпадает с вычислением силы гравитационного притя- жения между телами конечных размеров (см. т. I, § 46). § 3. Системы единиц Надлежащим выбором единицы измерения заряда (единицы для Ди г были установлены в механике) мож- но добиться того, чтобы коэффициент пропорционально- сти в формуле (2.1) стал равен единице. Соответствую- щая единица заряда (fur предполагаются измеренными в единицах СГС-системы) называется абсолютной элек- тростатической единицей заряда (сокращенно: СГСЭ- единицей заряда). Она представляет собой такой заряд, *) Сопоставьте это со знаком и характером силы взаимодей- ствия между молекулами (см. т 1, § 117). 14
который взаимодействует в вакууме с равным ему и на- ходящимся на расстоянии 1 см зарядом с силой в 1 дин. Посредством тщательных измерений (см. § 66) было найдено, что элементарный заряд равен е = 4,80- 1О~10 СГСЭ-ед. заряда. Приняв единицы длины, массы, времени и заряда за основные, можно построить систему единиц измерения электрических и магнитных величин. Система, в основе которой лежат сантиметр, грамм-масса, секунда и СГСЭ-единица заряда, называется абсолютной электро- статической системой единиц (СГСЭ-системой). В ос- нове этой системы лежит закон Кулона, т. е. закон взаимодействия мржду заряженными телами. Впослед- ствии мы познакомимся с абсолютной электромагнитной системой единиц (СГСМ-системой), в основе которой лежит закон взаимодействия между проводниками, по которым течет электрический ток. Абсолютной является также гауссова система, в которой единицы измерения электрических величин совпадают с единицами СГСЭ- системы, а магнитных величин — с единицами СГСМ- системы. В системе СГСЭ формула, выражающая закон Ку- лона, принимает следующий вид: f = (ЗЛ) Эта формула справедлива в том случае, если заряды находятся в пустоте. Для зарядов, помещающихся в не- которой среде, она должна быть уточнена (см. § 18). С 1 января 1963 г. в СССР введен в действие Госу- дарственный стандарт ГОСТ 9867—61, которым предпи- сывается предпочтительное применение Международной системы единиц, обозначаемой символом СИ. Основны- ми единицами этой системы являются метр, килограмм, секунда, ампер, градус Кельвина и свеча. Единицей си- лы в СИ служит ньютон (н), равный 105 дин. При установлении единиц измерения электрических и магнитных величин СИ, как и СГСМ-система, исходит из закона взаимодействия не зарядов, а проводников с током. Поэтому коэффициент пропорциональности в формуле закона Кулона оказывается отличной от еди- ницы размерной величиной.
Единицей заряда в СИ является кулон (к). Опыт- ным путем установлено, что 1 к = 2,998-109 (приближенно 3 • 109) СГСЭ-ед. заряда. (3.2) Чтобы составить представление о величине заряда в 1 к, вычислим силу, с которой взаимодействовали бы два точечных заряда величиной 1 к каждый, находя- щихся на расстоянии 1 м друг от друга. В соответствии с (3.1) f = —-^ооГ1-0- СГСЭ = 9 • 10- дин = 9 • 109 н ~ 109 кГ. Элементарный заряд, выраженный в кулонах, равен е= 1,60- 10~19 к. § 4. Рационализованная запись формул Во многие формулы электродинамики, если записы- вать их в СГС (в частности, в гауссовой) системах, вхо- дят множителями 4л и так называемая электродинами- ческая постоянная с, равная скорости света в пустоте. Для того что бы избавиться от них в практически наи- более важных формулах, коэффициент пропорциональ- ности в законе Кулона полагают равным . Тогда выражение закона для зарядов, помещающихся в пу- стоте, принимает вид f = _(4.1) 1 4ле0 г2 ' 7 Соответственно изменяются и другие формулы. Ви- доизмененная подобным образом запись формул назы- вается рационализованной. Системы единиц, построенные с использованием рационализованных фор- мул, также называются рационализованными. К их числу принадлежит и СИ. Величину ео называют электрической по- стоянной. Она имеет размерность электрической ем- кости, деленной на длину. Соответственно ее выражают в единицах,называемых фарада на метр (см.§ 25). 16
Чтобы найти численное значение е0, подставим в формулу (4.1) значения величин, соответствующие слу- чаю двух зарядов по 1 к, расположенных на расстоянии друг от друга, равном 1 м. В предыдущем параграфе мы нашли, что сила взаимодействия в этом случае равна 9-109 н. Подставив это значение силы, а также q\ = = ?2= 1 к и г = 1 м в формулу (4.1), получим откуда 8° = 4л-9-10° = °’885 • 10"“ Ф/м- И-2) Электрическая постоянная е0 совместно с магнитной постоянной цо (см. § 38) заменяют фигурирующую в га- уссовой системе электродинамическую постоянную с. В изданной за прошлые годы в СССР литературе по физике используется преимущественно гауссова система единиц. Поэтому мы считаем необходимым познакомить учащихся как с системой единиц СИ, так и с гауссовой системой. Изложение будет вестись в СИ. Попутно бу- дет указываться, как полученные формулы выглядят в гауссовой системе. В приложении 11 в конце книги сопо- ставлена'запись основных формул электродинамики в СИ и в гауссовой системе. § 5. Электрическое поле. Напряженность поля Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд изменяет свой- ства окружающего его пространства — создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический за- ряд оказывается под действием силы. Следовательно, для того чтобы выяснить, имеется ли в данном месте электрическое поле, нужно поместить туда заряженное тело (в дальнейшем для краткости мы будем говорить просто заряд) и установить, испытывает оно действие электрической силы или нет. По величине силы, дей- ствующей на данный заряд, можно, очевидно, судить об «интенсивности» поля. Итак, для обнаружения и исследования электриче- ского поля нужно воспользоваться некоторым «пробным» 2 И- В. Савельев, т. 11 17
зарядом. Для того чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала поле «в данной точке», пробный заряд должен быть точечным. В противном случае сила, действующая на заряд, будет характеризо- вать свойства поля, усредненные по объему, занимае- мому телом,, которое несет на себе пробный заряд. Исследуем с помощью точечного пробного заряда дПр поле, создаваемое точечным зарядом q. Поместив проб- ный заряд в точку, положение кото- рой относительно заряда q опреде- ляется радиусом-вектором г (рис. 3), мы обнаружим, что на пробный за- у ряд действует сила S <61> q Из формулы (5.1) следует, что Рис- 3- сила, действующая на пробный за- ряд, зависит не только от величин, определяющих поле (от q и г), но и от величины пробного заряда qap. Если брать разные по величине пробные за- ряды q"p и т. д., то и силы f', f", ..., которые они испытывают в данной точке поля, будут различны. Лег- ко, однако, видеть из (5.1), что отношение f/qnp для всех пробных зарядов будет одно и то же и зависит лишь от величин q и г, определяющих поле в данной точке. По- этому естественно принять это отношение в качестве величины, характеризующей электрическое поле: Е = — <7пр Векторную величину (5.2) называют напряжен- ностью электрического поля в данной точке (т. е. в той точке, в которой пробный заряд q^ испыты- вает действие силы f). В соответствии с формулой (5.2) напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Направление вектора Е совпадает с напра- влением силы, действующей на положительный заряд. К понятию о напряженности электрического поля мы пришли, исследуя поле точечного заряда. Однако опре- деление (5.2) распространяется и на случай поля, созда- (5.2) 18
ваемого любой совокупностью зарядов. В этом случае, впрочем, необходимо следующее уточнение. Может слу- читься, что взаимное расположение зарядов, обусловли- вающих исследуемое поле, изменяется под воздействием, пробного заряда. Это произойдет, например, когда за- ряды, создающие поле, расположены на проводнике и могут свободно перемещаться в его пределах. Поэтому, чтобы не внести изменений в исследуемое поле, величи- ну пробного заряда нужно брать достаточно малой. Как следует из формул (5.2) и (5.1), напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заря- да q и обратно пропорциональна квадрату расстояния г от заряда до данной точки поля: Направлен вектор Е вдоль радиальной прямой, про- ходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. Согласно формуле (3.1) в гауссовой системе формула для на- пряженности поля точечного заряда в пустоте имеет вид (5.4) За единицу напряженности электрического поля при- нимается напряженность в такой точке, в которой на за- ряд, равный единице (I кв СИ, 1 СГСЭ-единице заряда в гауссовой системе) действует сила, величина которой также единица (1 я в СИ, 1 дин в гауссовой системе). В гауссовой системе эта единица специального названия не имеет. В СИ единица напряженности электрического поля имеет название вольт на метр и обозначает- ся в/м [см. формулу (11.8)]. Согласно (5.3) заряд в 1 к создает в пустоте на расстоянии 1 м напряженность Е =------!_-------1_=9.109 е/л. 4л 4л • 9 • 1 СР Та же напряженность в гауссовой системе равна Е = =3-105 СГСЭ-едиииц. г* 100-“ Сопоставляя оба результата, находим, что 1 СГСЭ-единица напряженности поля = 3-10’ е/м. 2* 19
Согласно (5.2) сила, действующая на пробный заряд, равна f = <7п₽ • Е. Очевидно, что на всякий точечный заряд q ’) в точ- ке поля с напряженностью Е будет действовать срла f = g.E. (5.5) Если заряд q положителен, направление силы совпа- дает с направлением вектора Е. В случае отрицатель- ного q направления векторов f и Е противоположны. § 6. Суперпозиция полей. Поле диполя Опыт показывает, что сила, с которой система заря- дов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдель- ности. Отсюда вытекает, что напряженность поля си- стемы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности: E = Et + E2+ ... =ЕЕр (6.1) Последнее утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей. Принцип суперпозиции позволяет вычислить напря- женность поля любой системы зарядов. Разбивая про- тяженные заряды на достаточно малые доли dq, любую систему зарядов можно свести к совокупности точечных зарядов. Вклад каждого из таких зарядов в результи- рующее поле вычисляется по формуле (5.3). Воспользуемся принципом суперпозиции для нахож- дения напряженности поля электрического диполя. Электрическим диполем называется систе- ма двух одинаковых по величине разноименных точеч- ных зарядов: + q и —q, расстояние между которыми / *) В формуле (5.3) q означает заряд, обусловливающий поле. В формуле (5.5) через q обозначен заряд, испытывающий в точке с напряженностью Е действие силы f. 20
значительно меньше, чем расстояние до тех точек, в ко- торых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Найдем на- пряженность поля на оси диполя, а также на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярной к его оси (рис. 4). Положение точек на этих прямых бу- дем характеризовать их расстоянием г от центра ди- поля. Напомним, что в соответствии с определением диполя должно выполняться условие: г »(. Поле в каждой точке будет представлять собой су- перпозицию полей Е+ и Е_, создаваемых точечными за- рядами + q и —q. На оси диполя векторы Е+ и Е._ имеют противоположные направления. Поэтому резуль- тирующая напряженность Е) будет равна по модулю разности модулей векторов Е+ и Е_: Пренебрегая в знаменателе 112 по сравнению с г, получаем £„ = —= (6.2) “ 4ле0 г3 4ле0 г3 ' где через р обозначено произведение ql, называемое электрическим моментом диполя. 21
Для точек на прямой, перпендикулярной к оси, Е+ и Е_ имеют одинаковые модули, равные £+=£-=Д—(б.з) Т +\ 2/ Из подобия равнобедренных треугольников, опираю- щихся на отрезок / и на вектор Ej. (рис. 4), следует, что Е±_____I ^"/'447 “г' Заменив в этом соотношении Е+ его значением (6.3), получим £1=—I—4 = _1—(6.4) 4ле0 г8 4ле0 г8 ' ' Можно показать, что напряженность поля диполя в произвольной точке определяется формулой Е = Vl+3cos2a, (6.5) где а — угол между осью диполя и направлением на данную точку (рис. 5). Подстановка в (6.5) а = 0 (или л) и приводит к формулам (6.2) и (6.4). В гауссовой системе в формулах (6.2), (6.4) и (6.5) отсут- ствует множитель —--. 4ле0 Характерным для напряженности поля диполя яв- ляется то, что она определяется не величиной образую- щих диполь зарядов, а моментом диполя р = ql. С рас- 22
стоянием or диполя напряженность убывает как 1/г3, т. е. быстрее, чем напряженность поля точечного заряда (убывающая как 1/г2). Напряженность показанной на рис. 6,а системы зарядов, называемой квадруполем, убывает с расстоянием еще быстрее — как 1/г4. Напря- женность октуполя (рис. 6,6) убывает как 1/г5, Об- щим для диполя, квадруполя и октупо- ля является то, что алгебраическая сум- -д _ ма образующих их зарядов равна нулю. Отметим, что помимо q и I для пол- ного определения диполя необходимо Рве. 7. задать еще и ориентацию оси диполя в пространстве. В соответствии с этим момент диполя следует рассматривать как вектор р. Этому вектору при- писывается направление от отрицательного заряда к по- ложительному (рис. 7). Если ввести радиус-вектор I, проведенный от —q к +q, то момент диполя можно представить в виде р = (6.6) § 7. Линия напряженности. Поток вектора напряженности Электрическое поле можно задать, указав для каж- дой точки величину и направление вектора Е. Совокуп- ность этих векторов образует поле вектора напряжен- ности электрического поля (ср. с полем вектора скоро- сти, т. I, § 54). Поле вектора скорости можно, как мы знаем, представить очень наглядно с помощью линий тока. Аналогично электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности, которые мы будем на- зывать сокращенно линиями Е. Линии напряженности проводятся таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е. Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности перпендикулярной к линиям площадки, было равно численному значению вектора Е. Тогда по картине линий напряженности мож- но судить о направлении и величине вектора Е в раз- ных точках пространства (рис. 8). Линии Е точечного заряда, очевидно, представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных 23
от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рис. 9). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. В самом деле, полное число N линий, пересекающих сферическую по- верхность произвольного радиуса Е I. г, будет равно произведению гу- / стоты линий на поверхность сфе- __— ры 4лг2. Густота линий по усло- AS1 Ч _ вию численно равна Е — —.- ____Следовательно, N численно равно Рис. 8. (7-0 4ле0 гг е0 ' т. е. число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же. Отсюда и вытекает, что линии нигде, кро- ме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, на- чавшись на заряде, уходят в бесконечность (заряд по- ложителен), либо, приходя из бесконечности, заканчи- ваются на заряде (заряд отрицателен). Это свойство линий Е является общим для всех электростатических полей, т. е. полей, создаваемых любой системой непод- вижных зарядов: линии напряженности могут начинать- ся или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность. Ниже, на рис. 26, показана картина ли- ний Е поля диполя. 24
Поскольку густота линий Е выбирается равной чис- ленному значению Е, количество линий, пронизывающих площадку dS, перпендикулярную) к вектору Е, будет численно равно Е dS. Если площадка dS ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором Е угол а, то количество линий, пронизывающих площадку, будет чис- ленно равно [ср. с формулой (82.12), т. I]: EdScosa = EndS, (7.2) где Еп — составляющая вектора Е по направлению нор- мали к площадке. Отсюда для количества линий Е, про- низывающих произвольную поверхность, получается сле- дующее выражение: N численно равно J EndS. (7.3) s Если имеется поле некоторого вектора А, то выраже- ние Ф=р„</$, (7.4) s где Ап — составляющая вектора А по направлению нор- мали к dS, называется потоком вектора А через поверхность S. В зависимости от природы вектора А выражение (7.4) имеет различный физический смысл. Так, напри- мер, поток вектора плотности потока энергии равен, как известно, потоку энергии через соответствующую поверх- ность (см. т. I, § 82). Предоставляем читателю самому убедиться в том, что поток вектора скорости Ф= J vndS S дает объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S. Из формулы (7.3) следует, что поток вектора Е O=jE„dS (7.5) 8 численно равен количеству линий Е, пронизывающих по- верхность S. 25
Как мы увидим в дальнейшем, понятие потока век- тора напряженности поля играет большую роль в уче- нии об электричестве и магнетизме. Заметим, что поток (7.5) есть алгебраическая вели- чина, причем знак его зависит от выбора направления Е нормали к элементарным площад- // кам, на которые разбивается по- ” У fir верхность S при вычислении Ф. Из- менение направления нормали на Tits Л противоположное изменяет знак у J / I Еп, а следовательно и знак у пото- ) J I ка Ф. / / \ В случае замкнутых поверхно- । / ) стей принято вычислять поток, вы- I Е U ] ходящий из охватываемой поверх- \ ностыо области наружу. Соответст- венно под нормалью к dS в даль- ft нейшем будет всегда подразуме- и *' ваться обращенная наружу, т. е. Рис. 10. внешняя, нормаль. Поэтому в тех местах, где вектор Е направлен на- ружу (т. е. линия Е выходит из объема, охватываемого поверхностью), Еп и соответственно ЛФ будут положи- тельны; в тех же местах, где вектор Е направлен внутрь (т. е. линия Е входит в объем, охватываемый поверх- ностью), Еп и с/Ф будут отрицательны (рис. 10). § 8. Теорема Гаусса В предыдущем параграфе было показано [см. фор- мулу (7.1)], что окружающую точечный заряд q сфери- ческую поверхность любого радиуса г пересекает <7/е0 линий Е1). Отсюда вытекает, что из-точечного заряда выходит (либо к нему сходится) <?/ео линий (в гауссовой системе это число равно 4га?-). В соответствии с формулой (7.3) поток вектора Е через некоторую поверхность численно равен количе- ству линий Е, пересекающих эту поверхность. Следова- тельно, поток вектора Е через охватывающую заряд ’) Разумеется, количество линий Е лишь численно равно д/ео. Количество линий — безразмерная величина, выражение же q!e$ имеег размерность. Однако мы для краткости будем условно гово- рить, что число линий равно с/?0. 26
сферическую поверхность равен ц/е01). Знак потока совпадает со знаком заряда. Покажем, что и для по- верхности любой другой формы, если она замкнута и заключает внутри себя точечный заряд q, поток вектора Е также будет равен q/zo- Для поверхности, не имею- щей «морщин» (рис. 11, а), это утверждение является очевидным. Действительно, такая поверхность, как и по- верхность сферы, пересекается каждой линией Е только Рис. 11. один раз. Поэтому число пересечений равно количеству линий, выходящих из заряда, т. е, q/zo. При вычислении потока через поверхность с «мор- щинами» (см. рис. 11,6, на котором показана только одна из q/zo линий Е) нужно учесть, что число пересе- чений данной линии Е с поверхностью может быть в рассматриваемом случае только нечетным, причем* эти пересечения будут вносить в общий поток попеременно то положительный, то отрицательный вклад. В итоге, сколько бы раз данная линия не пересекала поверх- ность, результирующий вклад в поток будет равен либо плюс единице (для линии, выходящей в конечном счете ') В данном случае идет речь не только о численном равен- стве. Размерность потока вектора Е равна размерности q/e0. 27
наружу), либо минус единице (для линии, входящей внутрь). Таким образом, какова бы ни была форма замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд q, поток век- тора Е сквозь эту поверхность оказывается равным <?/ео. Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности за- ключено несколько точечных зарядов произвольных зна- ков: qi, q2 и т. д. Поток вектора Е по определению ра- вен <D=(j)EndS (8.1) s (кружок у знака интеграла указывает на то, что инте- грирование производится по замкнутой поверхности). В силу принципа суперпозиции полей Е„-Еп1 + Еп2 + ... —S^ni- (8-2) Подставив (8.2) в выражение для потока, получим f Еп dS = (£ (2 Eni]dS = 2 <j> EmdS, s s s где Eni — нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого i-м зарядом в отдельности. Но, как было показано выше, EnidS = -^~. ь0 Следовательно, с-0 (8.3) Доказанное нами утверждение носит название тео- ремы Гаусса. Эта теорема может быть сформули- рована следующим образом: поток вектора напряженно- сти электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на е0- В частности, если внутри поверхности заряды отсут- ствуют, поток равен нулю. В этом случае каждая линия 28
напряженности поля (создаваемого зарядами, располо- женными вне поверхности) пересекает поверхность чет- ное число раз, выходя наружу столько же раз, сколько и входя внутрь (рис. 12). В итоге вклад, вносимый в по- ток каждой из линий, будет . равен нулю. У . Если заряд распределен У^т\У внутри замкнутой поверхности ^УУ уУ У непрерывно с объемной плот- уг У У \У ностью р1), теорема Гаусса Z>У / -У) должна быть записана еле- ЛУ У-% дующим образом: Рис. 12. где интеграл справа берется по объему. V, охватывае- мому поверхностью S. В гауссовой системе в формулах (8.3) и (8.4) вместо 1/в0 стоит множитель 4л. Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти на- пряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5.3) для напряженно- сти поля точечного заряда и принципа суперпозиции по- лей. Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на нескольких полезных для дальнейшего примерах. *) Объемная плотность заряда определяется по аналогии с обычной плотностью следующим образом: где \q— заряд, заключенный внутри малого объема ДУ. Кроме объемной плотности заряда нам понадобятся в даль- нейшем Д<7 поверхностная плотность cr = lim -ттг> as->o Дд где \q — заряд, находящийся на элементе поверхности AS, линейная плотность Х= lim д/->о Д' где Д<? — заряд, находящийся на отрезке цилиндрического тела, имеющем длину Д/. 29
1._______Поле бесконечной однородно заряженной плоско- сти. Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной плоско- стью, заряженной с постоянной поверхностной плотно- стью о; для определенности будем считать заряд поло- жительным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости. В самом деле, посколь- ку плоскость бесконечна и заря- жена однородно (т. е. с постоян- ной плотностью), нет никаких оснований к тому, чтобы сила, действующая на пробный заряд, отклонялась в какую-либо сто- _________1-----рону от нормали к плоскости. Далее Очевидно, что в сим- Е метричных относительно плоско- сти точках напряженность поля будет одинакова по величине и противоположна по направлению. Представим себе * мысленно цилиндрическую поверхность с Рис- ,3- образующими, перпендикуляр- ными ,к плоскости,' и основания- ми величины AS, расположенными относительно пло- скости симметрично (рис. 13). Применим к этой поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Еп в каждой ее точке равна нулю. Для оснований Еп совпа- дает с Ё. Следовательно, суммарный поток через по- верхность будет равен 2Е AS. Внутри поверхности за- ключен заряд cr-AS. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие 2£AS = -^-, Е0 откуда £ = (8.5) Полученный нами результат не зависит от длины ци- линдра. Таким образом, на любых расстояниях от пло- скости напряженность поля одинакова по величине. Картина линий напряженности выглядит так, как пока- зано на рис. 14. Для отрицательно заряженной плоско- 30
сти результат будет таким же, лишь направление век- тора Е и линий напряженности изменится на обратное. Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную тонкую пластинку1), то полученный выше результат будет справедливым лишь для точек, расстоя- ние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки (на рис. 15 область этих точек обведена пунктирной кривой). По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет Рис. 14. все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости. Характер поля на больших расстояниях лег- ко представить, если учесть, что на расстояниях, значив тельно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного за- ряда. 2. Поле двух разноименно заряженных плоскостей. Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заря- женных разноименно с одинаковой по величине постоян- ной поверхностной плотностью о, можно найти как су- перпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Легко видеть (рис. 16), что в области ') В случае пластинки под о в формуле (8.5) следует пони- мать заряд, сосредоточенный на I м2 пластинки по всей ее тол- щине. У металлических тел заряд распределяется по внешней по- верхности. Следовательно, плотности о в формуле (8.5)" соответ- ствует удвоенная величина плотности заряда на ограничивающих металлическую пластинку поверхностях. 31
между плоскостями складываемые поля имеют одинако- вое направление, так что результирующая напряжен- ность равна £ = -?-. (8.6) В гауссовой системе эта формула имеет вид Е = 4жг. (8.7) Вне объема, ограниченного плоскостями, складывае- мые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряжен- ность равна нулю. Таким, образом, поле ока- зывается сосредоточенным между плоскостями. Напря- женность поля во всех точках Рис. 17. Рис. 16. этой области одинакова по величине и по направ- лению. Поле, обладающее такими свойствами, назы- вается однородным. Линии напряженности однородного поля представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых. Полученный нами результат приближенно справед- лив и в случае плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями значительно меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). В этом слу- чае заметные отклонения поля от однородности и вели- чины напряженности от о/ео наблюдаются только вбли- зи краев пластин (рис. 17), 32
3. Поле бесконечного заряженного цилиндра. Рас- смотрим поле, создаваемое бесконечной цилиндриче- ской поверхностью радиуса /?, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о. Из соображений симмет- рии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а величина напря- женности может зависеть лишь от расстояния г от оси цилиндра. Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса г и высоты h (рис. 18). Для осно- ваний этого цилиндра Еп ~ 0, для боковой поверхности Еп = Е(г) (заряд считаем положительным). Следова- тельно, поток линий Е через эту замкнутую поверхность будет равен Е (г) • 2nrh. Если г > R, внутрь поверхности попадает заряд q = Хй, где Л — линейная плотность за- ряда. Применяя теорему Гаусса, получаем откуда Е (г) • 2лгй = —, ' 8о ’ £(г) = 1 Л 2ле0 г (r>R). (8.8) Если г < R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего Е (г) =» 0. Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует. На- пряженность поля вне поверхности определяется лишь 33 3 И. В. Савельев, т. IJ
линейной плотностью заряда X1) и расстоянием г от оси цилиндра. Поле отрицательно заряженного цилин- дра отличается от поля цилиндра, заряженного положи- тельно, только направлением вектора Е. Из формулы (8.8) следует, что, уменьшая радиус цилиндра R (при неизменной линейной плотности за- ряда X), вблизи поверхности цилиндра можно получить очень сильное поле, т. е. по- ле с очень большой напря- женностью Е. Учтя, что X = 2л/?о, для напряженности в непосред- ственной близости от по- верхности (г = R) в соот- ветствии с (8.8) получаем Е(Я) = ^-. (8.9) е0 С помощью принципа суперпозиции легко найти поле двух коаксиальных ци- линдрических поверхностей, . заряженных с одинаковой по величине, но отличающейся знаком линейной плотностью X. (рис. 19). Внутри мень- шего и вне большего цилиндров поле отсутствует. В за1 зоре между цилиндрами величина напряженности поля определяется формулой (8.8). Это справедливо и для цилиндрических поверхностей конечной длины, если за- зор между поверхностями значительно меньше их дли- ны (цилиндрический конденсатор). Заметные отступле- ния от поля поверхностей бесконечной длины будут на- блюдаться только вблизи краев цилиндров. 4. Поле заряженной сферической поверхности. Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R, за- ряженной с постоянной поверхностной плотностью о, будет, очевидно, отличаться центральной симметрией. Это означает, что направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженно- сти является функцией расстояния г от центра сферы. Вообразим сферическую поверхность радиуса г. Для *) Предполагается, что заряд распределен равномерно не толь- ко вдоль оси цилиндра, но и по его поверхности (о = const). 34
всех точек этой поверхности Еп — Е(г). Если г>/?, внутрь поверхности попадает весь заряд q, создающий рассматриваемое поле. Следовательнр, Е(г) • 4лг2 = ®0 откуда £(г) = »_____<7 4зте0 г2 (8.10) (г>Я). В гауссовой системе в этой формуле нет множителя . Сферическая поверхность радиуса г, меньшего, чем R, не будет содержать зарядов, вследствие чего для г <R получается Е(г) = 0. Таким образом, внутри сферической- поверхности, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о, поле отсутствует. Вне этбй поверхности поле имеет та- кой же вид, как поле точечного заряда той же величины, помещенного в центре сферы. Заменив в (8.10) q через 4л7?2о и положив r= R, по- лучим для напряженности поля вблизи заряженной сфе- рической поверхности Е(/?) = Т~ (8.11) ь0 [ср. с формулой (8.9)]. Используя принцип суперпозиции, легко показать, что поле двух концентрических сферических поверхно- стей (сферический конденсатор), несущих одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды +q и —q, етсредоточено в зазоре между поверхностями, причем величина напряженности поля в этом зазоре определяется формулой (8.10). 5. Поле объемно заряженной сферы. Рассмотрим сферу радиуса /?, заряженную с постоянной объемной плотностью р. Поле такой сферы, очевидно, обладает центральной симметрией. Легко видеть, что для поля вне сферы получается тот же результат [в том числе и формула (8.10)], чт0 и в случае поверхностно заря- женной сферы. Однако для точек Внутри сферы резуль- тат будет иным. В самом деле, сферическая поверхность радиуса г (г <R) заключает в себе заряд, равный р--^№. Следовательно, теорема Гаусса для такой
поверхности запишется следующим образом: Е (г) • 4лг2 = — р 4 яг3, ' ’ е0 г 3 а откуда, заменяя р через , получаем 4 л/?3 0 (8.12) Таким образом, внутри сферы напряженность поля растет линейно с расстоянием г от центра сферы. Вне сферы напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечного Заряда. § 9. Работа сил электростатического поля Легко сообразить, что сила, действующая на точеч- ный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Центральное поле сил, как известно из механики (см. т. I, § 26), по- тенциально. Убедимся в потенциальности сил электроста-1 тического поля (т. е. поля, со- здаваемого неподвижными за- рядами) непосредственно. Для этого вычислим работу, кото- рая совершается силами поля неподвижного точечного заря- да q над перемещающимся в этом поле точечным зарядом q'. Работа на элементарном пути dl равна (рис. 20) dA = f dl cos a = ~ —^~dl cosa = 4ле0 г2 4ле0 n (мы учли, что dlcosa = dr). Отсюда для работы на пути 1—2 получается выражение г, Л W' f dr_____________1 ( qtf . qq' \ /an J г2 “ 4ле0 \ г, rt }- г В гауссовой системе в этой формуле нет множителя 86
Полученный нами результат свидетельствует о том, что работа действительно не зависит от пути, по кото- рому перемещался в электрическом поле заряд q', а за- висит лишь от начального и конечного положений этого заряда (от и г2). Следовательно, силы, действующие на заряд q' в поле неподвижного заряда q, являются потенциальными. Этот вывод легко распространяется па поле любой системы неподвижных зарядов. В самом деле, сила f, действующая на точечный заряд q' в. та- ком поле, может по принципу суперпозиции быть пред- ставлена в виде где ft — сила, обусловленная i-м зарядом создающей поле системы. Работа в этом случае равна, как изве- стно, алгебраической сумме работ, совершаемых отдель- ными силами: Каждое из слагаемых в правой части этого выражения не зависит от пути. Следовательно, не зависит от пути н работа А. Из механики известно, что работа потенциальных сил на замкнутом пути равна нулю. Работа, совершае- мая силами поля над зарядом q' при обходе его по замкнутому контуру, может быть представлена как (£ q'Et dl, где Ei — проекция вектора Е на направление элементар- ного перемещения dl (кружок у знака интеграла указы- вает на то, что интегрирование производится по замк- нутому контуру). Приравняв выражающий работу интеграл нулю и сократив на постоянную величину q', придем к следующему соотношению: §Etdl = Q, (9.2) которое должно выполняться для любого замкнутого контура. Следует иметь в виду, что формула (9.2) спра- ведлива только для электростатического поля. Впослед- ствии будет показано, что поле движущихся зарядов (т. е. поле, изменяющееся со временем) не является 37
потенциальным; следовательно, условие (9.2) для него не выполняется. Выражение вида (j) At dl называется циркуляцией вектора А по Данному контуру. Таким образом, харак- терным для электростатического поля является то, что циркуляция вектора напряженности по любому замкну- тому контуру равна нулю. §10. Потенциал Мы знаем из механики, что тело, находящееся в по- тенциальном поле сил, обладает потенциальной энер- гией, за счет которой совершается работа силами поля. Следовательно, работа (9.1) может быть представлена как разность значений потенциальной энергии, которы- ми обладал заряд q’ в точках 1 и 2 поля заряда q: д — 1 _____!_ М — И7 — 117 Л>2“ 4ле0 г, 4лео г2 “ Отсюда для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q получаем W =—— ——I- cofist Wp 4ле„ г +consi- Значение const в выражении для потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (г = оо) потенциаль- ная энергия обращалась в нуль. При этом условии по- лучается, что ^-^4- <>»•') Воспользуемся зарядом q' в качестве пробного за- ряда для исследования поля. Согласно (10.1) потен- циальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит не только от его величины q', но и от величин q и г, определяющих поле. Следовательно, эта энергия может быть использована для описания поля, подобно тому, как была использована для этой цели сила, дей- ствующая на пробный заряд. Разные пробные заряды r/'p, q'p и т. д. будут обла- дать в одной и той же точке поля различной энергией 38
Wp, W" и т. д. Однако, как видно из (10.1), отношение Wp/fap будет для всех зарядов одно и то же. Величина называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля Е, для описания электрических полей. Как следует из (10.2), потенциал численно равен по- тенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Подставляя в (10.2) значение потенциальной энер- гии (10.1), получаем для потенциала поля точечного за- ряда следующее выражение: — * JL 4ле0 г (10.3) В гауссовой системе потенциал поля точечного заряда в пустоте определяется формулой Рассмотрим поле, создаваемое системой точечных зарядов qb q2, ... Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим гь г2, • • • Работа, совер- шаемая силами этого поля над зарядом q', будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каж- дым из зарядов в отдельности: Д]2 ~ 2 ^1- Но согласно (9.1) каждая из работ 4, равна 4пе0 /М' MX \ ril rl2 I где Гц — расстояние от заряда q{ до начального поло- жения заряда q', ri2 — расстояние от q( до конечного положения заряда q'. Следовательно, л ____1 V 12 4ле0 лЛ гц 4л80 ^4 ri2 Сопоставляя это выражение с соотношением Д12 = Wpl — 1Кр2, 39
получаем для потенциальной энергии заряда q' в поле системы зарядов выражение WP 4ле0 АЛ п » откуда Таким образом, потенциал поля, создаваемого си- стемой зарядов, равен алгебраической сумме потенциа- лов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. В то время как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциа- лов оказывается обычно гораздо проще, чем вычисле- ние напряженностей электрического поля. Из соотношения (10.2) вытекает, что заряд q, нахо- дящийся в точке поля с потенциалом ф, обладает потен- циальной энергией Гр = <?.ф. (10.5) Следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов: Д12 = — Wp2 = q (<Pi — Фг). (10.6) Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Если заряд q из точки с потенциалом ф удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна = W- (Ю.7) Отсюда следует, что потенциал численнЪ равен работе, которую совершают силы поля над единичным положи- тельным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу необхо- димо совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный за- ряд из бесконечности в данную точку поля. Соотношение (10.7) можно использовать для уста- новления единиц измерения потенциала. За единицу 40
потенциала следует, очевидно, принять потенциал в та- кой точке поля, для перемещения в которую из беско- нечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ-единицу потенциала, называемую вольтом (сокращенное обозна- чение— в), принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, рав- ного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль: 1 дж =1 к • 1 в, отсюда 1 е==_гг- (ю.8) За абсолютную электростатическую единицу потенциала (СГСЭ-ед. потенциала) принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного +1 еди- нице СГСЭ, необходимо совершить работу в 1 эрг. Выражая в соотношении (10.8) 1 дж и 1 к через единицы СГСЭ, найдем соотношение между вольтом и СГСЭ-ед. потенциала: , 1 дж 107 эрг 1 1 в = —; ~ „ „я /гга СГСЭ-ед. потенциала. 1 к 3 • 109 СГ СЭ 300 Таким образом, одна СГСЭ-единица потенциала равна 300 в. В физике часто пользуются единицей работы и энер- гии, называемой электронвольтом (эв). Под электрон- вольтом подразумевается работа, совершаемая силами поля над зарядом, равным заряду электрона (т. е. над элементарным зарядом е) при прохождении им раз* ности потенциалов в 1 в: 1 эв = 1,60- 10-19 к • I в= 1,60- 10-19 дж= 1,60 • 10~12 эрг. Используются также кратные электронвольту еди- ницы: 1 кэв (килоэлектронвольт) = 103 эв, 1 Мэв (мегаэлектронвольт) = 106 эв, 1 Гэв (гигаэлектронвольт) = 109 эв. Отметим, что величина kT, характеризующая сред- нюю энергию теплового движения молекул, равна при комнатной температуре 1,38 • 10-23 • 300 ок 1Л-2 1 kT — —-------------io— «2,5-10 эв — — эв. 1,6-10~19 40 41
§ 11. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом В предыдущих параграфах было выяснено, что элек- трическое поле можно описать либо с помощью вектор- ной величины Е, либо с помощью скалярной величины ф. Очевидно, что между этими величинами должна су- ществовать определенная связь. Если учесть, что Е про- порционально силе, действующей на заряд, а ф—потен- циальной энергии заряда, легко сообразить, что эта связь должна быть аналогична, связи между потен- циальной энергией и силой. Действительно, работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl может быть представлена, с одной стороны, как qEidl, с другой же стороны — как убыль потенциальной энергии заряда, т. е. как — d (qq>) = — q ^~dl. Приравнивая эти выраже- ния, получим qEtdl= — q~dl, откуда находим, что (НЯ) где через I обозначено произвольно выбранное направ- ление в пространстве. В частности, F — _ р = р — _.&L /1191 х~ дх ’ у ду ’ dz ’ откуда Е = iE\ + j£„ + кЕг = + х 1 У г \ дх 1 J ду 1 dz ) Выражение, стоящее в скобках, называется гради- ентом скаляра ф (обозначается ёгабф)2), Исполь- зуя обозначение градиента, можно написать: Е = —ёгабф. (11.3) *) Умножив обе части этого равенства на q, мы приходим к со- отношению dWP f^—дГ (см. формулу (28.5), т. I]. 2) Для обозначения градиента применяется также символ V (набла): Vq> =s grad <p. 42
Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным зна- ком. Градиент некоторой скалярной функции cp(x,y,z) есть векторная величина, обладающая следующими свойствами. Направление градиента совпадает с на- правлением п, в котором при смещении из данной точки функция ф, возрастая по величине, изменяется с наи- большей скоростью. Величина производной —- по этому направлению дает модуль градиента. Частные произ- водные — , ~|^> представляют собой проекции гра- диента на координатные оси х, у, z. Аналогично произ- дф . водная взятая по произвольному направлению I, будет проекцией градиента на это направление. Проек- ция градиента на перпендикулярное к нему направле- дф п ние т, очевидно, равна нулю: = и. Поясним соотношение между на- '"у? пряженностью поля и потенциалом на X примере поля точечного заряда. По тенциал этого поля выражается функ цией [см. (10.3)] Рассмотрим точку поля /, положе- ние. 21. ние которой определяется радиусом- вектором г (рис. 21 выполнен в предположении, что q положителен). Очевидно, что при смещении из этой точ- ки в разных направлениях на одинаковый по ве- личине малый отрезок dl наибольшее положитель- ное приращение ф получается для направления от точки 1 к заряду q, если заряд положителен, и для направления от заряда q к точке /, если заряд отри- цателен. Следовательно, направление градиента п мо- жет быть представлено в виде (Н.4) где знак «—» соответствует случаю положительного за- ряда, знак « + »— отрицательного. Проекция grac^ на 43
направление г равна (ц.5) Знак «—» в этом выражении указывает на то, что gradtp в случае положительного заряда имеет направление, противоположное г, а в случае отрицательного заряда — совпадающее с г. Модуль grad ср, очевидно, равен мо- дулю выражения (11.5). Поэтому, принимая во внима- ние (11.4), можно написать &rad<P = ~i77 <1Е6) {легко убедиться в том, что условие (11.4) учитывается такой записью автоматически]. Использовав соотноше- ние (11.3), получаем из (11.6) для напряженности поля точечного заряда уже известную нам формулу (5.3). Формула (И.З) позволяет по известным значениям <р найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т. е. по заданным значе- ниям Е в каждой точке найти разность потенциалов ме- жду двумя произвольными точками поля. Для этого учтем, что работа, совершаемая силами поля над заря- дом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, мо- жет быть вычислена как 2 Д12= J qEidl. 1 Вместе с тем в соответствии с (10.6) та же работа мо- жет быть представлена в виде Аг = <7 (<Р1 - ЧРг)- Приравнивая друг другу эти два выражения и сокра- щая на q, получаем 2 Ф] — qp2 = J £г d/. (11.7) 1 Интеграл в правой части можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, ибо работа сил поля не зави- сит от пути. Для обхода по замкнутому контуру ф! = фг 44
и формула (11.7) переходит в уже знакомое нам соот- ношение (9.2). Используем формулу (11.7) для вычисления разно- сти потенциалов между двумя бесконечными разно- именно заряженными плоско- стями. Напряженность поля между плоскостями, как мы установили в § 8, всюду равна о/е0 и направлена перпендику- лярно к плоскостям. Соединим точки 1 и 2, взятые произвольным образом на разных плоскостях, линией 1 — 1' — 2, как показано на рис. 22. Согласно формуле (11.7) . 2 1' 2 ср, — ф2 == J Ei dl = J Et dl + J Ei dl. i t i' На участке / — 1' Ei — 0; поэтому первое слагаемое в правой части равно нулю (отсюда следует, что потен- циал точек / и Г один и тот же). На участке /'— 2 Et — Е == const, следовательно, 2 2 J Etdl = E У dl — Ed, г г где d — расстояние между плоскостями. Таким образом, Ф!-Ф2 = Е«/. (11.8) Очевидно, что этот результат справедлив для раз- ности потенциалов между двумя точками, взятыми в од- нородном поле напряженности Е, причем под d следует понимать в этом случае проекцию расстояния между точками / и 2 на направление вектора Е (рис. 23). 45
§12. Эквипотенциальные поверхности Для наглядного изображения поля можно вместо ли- ний напряженности воспользоваться поверхностями рав- ного потенциала или эквипотенциальными поверхностя- ми. Как следует из ее названия, эквипотенциаль- ная поверхность — это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если no- касательную т к тенциал задан как функция х, у- и z, уравнение эквипотенциальной по- верхности имеет вид ф(х, у, z) = const. Направление нормали к эквипо- тенциальной поверхности будет сов- падать с направлением вектора Е в той же точке. Чтобы убедиться в этом, проведем в некоторой точке поверхности (рис. 24). При сме- щении вдоль т на бесконечно малую величину dr потенциал <р не изменится, так что равно нулю. Но с точностью до знака равно проекции вектора Е на направление г. Следовательно, тангенциальная состав- ляющая Е равна нулю, откуда вытекает, что вектор Е направлен по нормали к поверхности. Учтя, что вектор Е вместе с тем направлен по касательной к линии Е, легко сообразить, что линии напряженности в каждой точке ортогональны эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальную поверхность можно провести че- рез любую точку поля. Следоцательно, таких поверхно- стей мцжет быть построено бесконечное множество. Уславливаются, однако, проводить поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов <р{+1—для двух соседних поверхностей была, всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей мож- но судить о величине напряженности поля. Действи- тельно, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при пе- ремещении вдоль нормали к поверхности. Следователь- но, тем больше в данном месте gradcp, а значит и Е. 46
На рис. 25 показаны эквипотенциальные поверхности (точнее, их пересечения с плоскостью чертежа) для по- ля точечного заряда. В соответствии с характером из- менения Е эквипотенциальные поверхности при прибли- жении к заряду становятся гуще. Для однородного поля эквипотенциальные поверхно- сти, очевидно, представляют собой систему равноотстоя- щих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к на- правлению поля. На рис. 26 изображены эквипотенциальные поверхно- сти и линии напряженности для поля диполя. Из рис. 25 и 26 видно, что при одновременном использовании и эквипотенциальных поверхностей, и линий напряжен- ности картина поля получается особенно наглядной.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ § 13. Полярные и неполярные молекулы Если диэлектрик внести в электрическое поле, то это поле и сам диэлектрик претерпевают существенные из- менения. Чтобы понять, почему это происходит, нужно учесть, что в составе атомов и молекул имеются поло- жительно заряженные ядра и отрицательно заряжен- ные электроны. Электроны движутся в пределах атома или молекулы с огромной скоростью, непрерывно изме- няя свое положение относительно ядер. Поэтому дей- ствие каждого электрона на внешние заряды будет при- мерно таким, как если бы он находился в покое в не- которой точке, полученной усреднением положения электрона по времени. Для расстояний, больших по сравнению с разме- рами молекулы, действие электронов эквивалентно дей- ствию их суммарного заряда, .помещенного в некоторую точку внутри молекулы. Назовем эту точку центром тя- жести отрицательных зарядов. Аналогично действие ядер эквивалентно действию их суммарного заряда, по- мещенного в центр тяжести положительных зарядов. Очевидно, что положение центра тяжести зарядов опре- деляется так же, как и положение обычного центра тя- жести, но с заменой масс частиц их зарядами. Следова- тельно, радиус-вектор центра тяжести положительных зарядов вычисляется по формуле
где rt —радиус-вектор точки, в которой помещается Ай положительный заряд, q— суммарный положитель- ный заряд молекулы. Аналогично для радиуса-вектора центра тяжести отрицательных зарядов имеем S?/ г7 2?/~ 29/" “9 (13.2) где гу — радиус-вектор усредненного по времени поло- жения /-го отрицательного заряда. Мы учли, что, по- скольку молекула в целом нейтральна, суммарный отрицательный заряд ра- I вен положительному заряду, взятому /~~~’f с обратным знаком. 7 / В отсутствие внешнего электриче- г /* ского поля центры тяжести положи- ' / тельных и отрицательных зарядов мо- гут либо совпадать, либо быть сдвину- Рис. 27. тыми друг относительно друга. В по- следнем случае молекула эквивалентна электрическому диполю и называется полярной. Полярная молекула обладает собственным электрическим моментом р, для которого с учетом формул (13.1) и (13.2) получается следующее выражение (рис. 27): Р = = q (г+ - г’) = 2 + 2 9/-Г-. Применяя единую нумерацию для положительных и отрицательных зарядов, этому выражению можно при- дать вид Р = 2 ЯЛ, (13.3) где qk — алгебраическая величина; суммирование произ- водится по всем как положительным, так и отрицатель- ным зарядам молекулы. Заметим, что для нейтральной в целом системы зарядов выражение (13.3) не зависит от выбора точки, относительно которой берутся радиусы- векторы Г/(. Молекула, у которой центры тяжести зарядов раз- ных знаков в отсутствие поля совмещены, собственным электрическим моментом не обладает и называется не- полярной. Под действием внешнего электрического 4 И. В. Савельев, т. II 49
поля заряды в неполярной молекуле смещаются друг относительно друга: положительные по направлению поля, отрицательные против поля. В результате моле- кула приобретает электрический момент, величина которого, как показывает опыт, пропорциональна на- пряженности поля. В рационализованной системе коэф- фициент пропорциональности записывают в виде ыф. где ео — электрическая постоянная, а р — величина, на- зываемая поляризуемостью молекулы. Учиты- вая, что направления р и Е совпадают, можно написать р = ₽?оЕ. (13.4) Дипольный момент имеет размерность, равную [</]/,. Согласно формуле (5.3) размерность ВоЕ равна М£“2. Следовательно, поляризуемость молекулы р обладает размерностью IA Процесс поляризации неполярной молекулы проте- кает так, как если бы положительные и отрицательные заряды молекулы были связайы друг с другом упругими силами. Поэтому говорят, что неполярная молекула ве- дет себя во внешнем поле как упругий диполь. Действие внешнего поля на полярную молекулу сво- дится в основном к стремлению повернуть молекулу так, чтобы ее электрический момент установился по на- правлению поля. На величину электрического момента внешнее поле практически не влияет. Следовательно, полярная молекула ведет себя во внешнем поле как жесткий диполь. Поскольку молекулы по электрическим свойствам эквивалентны диполям, для понимания явлений в ди- электриках нужно знать, как ведет себя диполь во внеш- нем электрическом поле. § 14. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях Если диполь поместить в однородное электрическое поле, образующие диполь заряды + q и —q окажутся под действием равных по величине, но противоположных по направлению сил fi и f2 (рис.. 28). Эти силы обра- зуют пару, плечо которой равно I sin а, т. е. зависит от ориентации диполя относительно поля. Модуль каждой 60
из сил равен qE. Умножив его на плечо, получим вели- чину момента пары сил, действующих на диполь: М = qElsina — pEsina, (14.1) где р — электрический момент диполя. Формула (14.1), очевидно, может быть написана в векторном виде М = [рЕ]. (14.2) Момент (14.2) стремится повернуть диполь так, что- бы его момент р установился по направлению поля. Чтобы увеличить угол между векторами р и Е на da, нужно совершить против сил, действующих на диполь в электрическом поле, работу dA — М da — рЕ sin a da. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии W, которой обладает диполь в электрическом поле dW — pEsinada. (14.3) Интегрирование выражения (14.3) дает для энергии диполя в электрическом поле выражение W = — рЕ cos a + const. Наконец, полагая const равной нулю, получаем W= — pEcosa= — рЕ. (14.4'i Выбрав таким образом значение const, мы полагаем энергию диполя равной нулю в том случае, когда ди- поль устанавливается перпендикулярно к полю. Наи- меньшее значение энергии, равное—рЕ, получается при ориентации диполя по направлению поля, наибольшее,
но считать коллинеарными помещаются равное рЕ, — при р, направленном в сторону, противо- положную Е. В неоднородном поле силы, действующие на заряды диполя, вообще говоря, не одинаковы по величине. При малых размерах диполя силы fi и f2 можно приближен- (рис. 29). Предположим, что поле изменяется быстрее всего в направлении х, сов- падающем с направлением Е в том месте, где располо- жен диполь. Положительный заряд диполя смещен отно- сительно отрицательного в направлении х на величину Дх = I cos а. Поэтому напря- женность поля в точках, где . г. дЕ , [ичается на ДЕ = Дх = дх дЕ —-^-Zcosa. Следовательно, результирующая fi + 12сил, действующих на диполь, будет отлична от нуля. Проек- ция этой результирующей на ось х, очевидно, равна f = ^ДЕ = Q-|^Zcosa = p-||-cosa. (14.5) Таким образом, в неоднородном поле на диполь кроме вращательного момента (14.2) действует сила (14.5). Под действием этой силы диполь будет либо втя- гиваться в область более сильного поля (угол а ост- рый), либо выталкиваться из нее (угол а тупой). Отметим, что выражение для силы f можно получить из формулы (14.4) для энергии диполя, использовав из- вестное из механики соотношение между потенциальной энергией и силой. Действительно, продифференцировав (14.4) по х в предположении, что а (т. е. ориентация диполя) остается постоянной, и изменив у результата знак на обратный, мы придем к формуле (14.5). § 15. Поляризация диэлектриков В отсутствие внешнего электрического поля диполь- ные моменты молекул диэлектрика или равны нулю (не- полярные молекулы), или распределены по направле- ниям в пространстве хаотическим образом (полярные 52
молекулы). В обоих случаях суммарный электрический момент диэлектрика равен нулю. Под действием внешнего поля диэлектрик поляри- зуется. Это означает, что результирующий электриче- ский момент диэлектрика становится отличным от нуля. В качестве величины, характеризующей степень поля- ризации диэлектрика, естественно взять электрический момент единицы объема. Если поле или диэлектрик (или оба они) неоднородны, степень поляризации в раз- ных точках диэлектрика будет различна. Чтобы охарак- теризовать поляризацию в данной точке, нужно выде- лить заключающий в себе эту точку физически беско- нечно малый объем1) ЛК найти сумму 2рг моментов, дк заключенных в этом объеме молекул, и взять отноше- ние Р=-АКу-« (15.1) Величина Р, определяемая формулой (15.1), назы- вается вектором поляризации ди электр и- к а. Дипольный момент р, имеет размерность [q]L. Сле- довательно, размерность Р равна ML-2, т. е. совпадает с размерностью е0Е [см. формулу (5.3)]. У диэлектриков любого типа (кроме сегнетоэлектри- ков, о которых будет речь в § 19) вектор поляризации связан с напряженностью поля в той же точке простым соотношением Р = хеоЕ, (15.2) где х — не зависящая от Е величина, называемая ди- электрической восприимчивостью диэлек- трика2). Размерность Р и е0Е, как мы видели, одина- кова. Следовательно, х— безразмерная величина. ) Физически бесконечно малым называют такой объем, кото- рый содержит достаточное для усреднения количество молекул и вместе с тем настолько мал, что макроскопические величины — плотность, температура, напряженность поля Е и т. д. — можно считать в его пределах постоянными [см. также текст, следующий за формулой (39.2), т. I, § 39]. 2) В анизотропных диэлектриках направления Р и Е, вообще говоря, не совпадают. Мы ограничимся рассмотрением лишь изо- тропных диэлектриков. 53
Для диэлектриков, построенных из неполярных мо- лекул, формула (1S.2) вытекает из следующих простых соображений. В пределы объема ДУ попадает количе- ство молекул, равное пДУ, где п — число молекул'в еди- нице объема Каждый из моментов р, определяется в этом случае формулой (13.4). Таким образом, 5 Р/ = п ДУре0Е. дг Разделив это выражение на ДУ, получим вектор по- ляризации Р = п₽е0Е. Наконец, введя обозначение х = ир’), (15.3) приходим к формуле (15.2). В случае диэлектриков, построенных из полярных молекул, ориентирующему действию внешнего поля про- тивится тепловое движение молекул, стремящееся раз- бросать их дипольные моменты по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущест- венная ориентация дипольных моментов молекул в на- правлении поля. Соответствующий статистический рас- чет показывает в согласии с опытом, что при неизмен- ной температуре вектор поляризации пропорционален напряженности поля, т. е. приводит к формуле (15.2). При постоянной напряженности поля вектор поляриза- ции диэлектриков, построенных из полярных молекул, уменьшается с повышением температуры. Диэлектриче- ская восприимчивость таких диэлектриков обратно про- порциональна абсолютной температуре, В ионных кристаллах, как известно, отдельные мо- лекулы утрачивают свою обособленность. Весь кристалл представляет собой как бы одну гигантскую молекулу. Решетку ионного кристалла можно рассматривать как две вставленные друг в друга решетки, одна из которых образована положительными, а другая отрицательными ионами. При действии на ионы кристалла внешнего поля *) Соотношение (15.3) является приближенным. Более точное выражение, связывающее величины п и ₽, будет дано в конце § 18. 54
обе решетки сдвигаются друг относительно друга, что приводит к поляризации диэлектрика. Вектор поляриза- ции и в этом случае связан с напряженностью поля соотношением (15.2). Рассмотрим в однородном изотропном диэлектрике с неполярными молекулами воображаемую площадку S, перпендикулярную к направлению поля Е, а следо- вательно и к направлению вектора поляризации Р (рис. 30). Пусть в единице объема диэлектрика имеет- ся п одинаковых частиц с зарядом '4-е и п одинаковых частиц с заря- дом —е. Если поле в пределах ди- электрика однородно, то при вклю- чении Е все положительные заряды сместятся в направлении Е (совпа- дающем с направлением Р, см. рис. 30) на одинаковое расстояние /1, а все отрицательные заряды сме- стятся в противоположном направ- лении на одинаковое расстояние fe. При этом через площадку S прой- дет некоторое количество положи- тельных зарядов в направлении слева Направо и некоторое количе- Рис. 30. ство отрицательных зарядов в на- правлении справа налево. Раз положительные носители смещаются на расстояние /ь то площадку S пересекут все заряды 4-е, которые до включения поля отстояли ог нее не более чем на /ь т. е. все 4-е, заключенные в ци- линдрическом объеме с основанием S и высотой 1} (на рис. 30 этот объем заштрихован горизонтальной штри- ховкой). Число этих зарядов равно nSllt а переноси» мый ими в направлении Р заряд равен +еп8Ц. Анало- гично в направлении, противоположном Р, пересекут площадку все отрицательные заряды, заключенные в объеме Sl2 (на рис. 30 этот объем заштрихован наклон- ной ’штриховкой). В результате через площадку пройдет справа налево отрицательный заряд, равный —enSl2- Перенос отрицательного заряда в одном направлении эквивалентен переносу такого же по величине положи- тельного заряда в противоположном направлении. Поэтому можно считать, что при включении поля через 55
площадку S переносится в направлении вектора Р поло- жительный заряд q' = enSli + enSl2 = e(l{ + /2) nS. Ho h + /2 есть расстояние /, на которое смещаются друг относительно друга положительные и отрицатель- ные заряды в диэлектрике. В результате такого смеще- ния каждая пара зарядов +е и —е приобретает диполь- ный момент р = el = е(А + 12). Таких пар в единице Рис. 31. объема п. Следовательно, произве- дение e(li + l2)n = eln ~ рп дает модуль вектора поляризации Р. Таким образом, заряд, проходящий при включении поля через пло- щадку S в направлении вектора Р, равен q' = PS. (15.4) Рассмотрим внутри диэлектрика две одинаковые по величине вооб- ражаемые площадки Si и S2. Пло- щадки предполагаем перпендику- лярными к Е и отстоящими друг от друга на Дх (рис. 31). До включения поля сум- марный заряд, заключенный в цилиндрическом объеме с основанием S и высотой Дх, равен нулю (диэлектрик всюду нейтрален). При включении поля через площадку Si входит внутрь цилиндра положительный заряд q = PiS [см. (15.4), Р\ — модуль вектора Р в сечении SJ. Одновременно через S2 выходит из цилиндра поло- жительный заряд q'2=P^ (Р2— модуль вектора Р в се- чении S2). В результате в рассматриваемом объеме ока- зывается избыточный связанный положительный заряд <зб = Q\-Q2^{pi~p^s- (15.5) Если диэлектрик поляризован однородно (Р = const), то Pi = Р2 и выражение (15.5) обращается в нуль. Следовательно, в однородно поляризованном диэлек- трике избыточные объемные связанные заряды не воз- никают. Однако, если диэлектрик по какой-либо причине поляризуется' неоднородно, равенство Pt и Р2 уже не вы- полняется. Причинами неоднородной поляризации могут 66
быть как неоднородности самого диэлектрика, так и не- однородности поля Е (правда, не всякие, а лишь такие, какие вызваны присутствием свободных зарядов в месте неоднородности). Предположим, что степень поляризации диэлектрика изменяется только в направлении оси х, совпадающей с направлением Е (рис. 31). Тогда Р?_— Pi представляет собой приращение ДР, которое получает модуль век- тора Р при смещении вдоль оси х на Дх. Поскольку ДР #= 0, в цилиндрическом объеме величиной ЗДх воз- никает избыточный заряд, равный согласно (15.5) Разделив этот заряд на объем цилиндра ЗДх, получим объемную плотность связанных зарядов в сечении с ко- ординатой х (Дх полагаем малым): , _ ДР • S Р “ ХДх • Сократив на S и устремив Дх к нулю, придем к фор- муле р'=-4г‘)- (15-6> Полученное нами соотношение оказывается справед- ливом и для диэлектриков с полярными молекулами. Из выражения (15.5) для избыточного связанного за- ряда, заключенного в рассматриваемом объеме, вытекает еще одно важное соотношение. Найдем поток вектора Р через поверхность цилиндра, изображенного на рис. 31. Поток через боковую поверхность равен нулю, так как вектор Р касателен к этой поверхности. Нор- мальная составляющая Р для площадки S2 равна мо- дулю вектора Р в сечении 2, т. е. Р?. Поэтому для *) В общем случае, когда Р не совпадает по направлению с осью х и зависит не только от х, но и от координат у и z, для р' получается формула SPX дРу дРг\ дх ду dz / div Р (15.7) (смысл символа div Р разъясняется в § 107). В случае, для которого мы получили формулу (15.6), Рх = Р, Pv~Pr~ 0, так что (15.6) есть не что иное, как (15.7), написан- ная для рассмотренного нами частного случая. 57
потока через S2 получается значение P2S (напомним, что площадь площадок Si и S2 одинакова и равна S). Нор- мальная составляющая Р для площадки Si равна —Pt (направления внешней нормали к S] и вектора Р про- тивоположны), так что соответствующий поток равен —PiS. Таким образом, полный поток вектора Р через поверхность цилиндра равен Op = P2S^P1S = (P2-Pi)S. Сопоставив полученное нами выражение с правой частью формулы (15.5), приходим к соотношению между избыточным связанным зарядом, заключенным внутри цилиндра, и потоком вектора Р через поверхность ци- линдра: (15.8) Избыточный заряд, заключенный в некотором объеме, равен алгебраической сумме находящихся в этом объеме связанных зарядов: <у'зб = 2 q'- Поэтому (15.8) можно записать в виде <DP=$PndS=-(15.9) s Можно доказать, что формула (15-9) остается спра- ведливой и в самом общем случае, т. е. для поверхности любой формы, при произвольной зависимости вектора Р от координат х, у, г, а также для диэлектриков как с неполярными, так и с полярными молекулами. Теперь выясним, что происходит на поверхности по- ляризованного диэлектрика. Предположим вначале, что внешняя плоская грань диэлектрика перпендикулярна к вектору Р (рис. 32, а). При включении поля все отри- цательные заряды сместятся относительно положитель- ных зарядов влево (против Р) на одинаковую величину I (соответствующую h + /2 на Рис- 30). В результате в поверхностном слое толщины I останутся только по- ложительные заряды, дающие в сумме <7и3б= enSl (на противоположной грани образуется такой же по вели- чине отрицательный заряд). Разделив <7'з0 на S, полу- чим поверхностную плотность связанного заряда: o' = eln. Но е/n, как мы установили выше, есть модуль 58
вектора поляризации Р, поэтому можно написать, что </ = Р. (15.10) Перейдем к случаю, когда нормаль п к внешней пло- ской грани диэлектрика образует с вектором Р произ- вольный угол а (рис. 32,6). В этом случае свободен от отрицательных зарядов объем косого цилиндра, равный S/cosa. Содержащийся в нем избыточный заряд равен <7'зб= еп^cos a- Разделив этот заряд на S и учтя, что eln = Р, получим о' = Р cos a = Рп, (15.11) где Рп — проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика. При a = 0 проекция Рп равна Р, и мы приводим к формуле (15.10). Формула (15.11) дает не только величину, но и знак поверхностного связанного заряда. В тех точках поверх- ности, где угол между внешней нормалью п и вектором Р острый, Рп > 0 и и' положительна.. В тех точках, где п и Р образуют тупой угол, Рп < 0 и о' отрицательна. Выразив согласно (15.2) Р через и и Е, приходим к формуле о' — ке,йЕп, (15.12) где Еп— нормальная составляющая напряженности поля внутри диэлектрика. В соответствии с (15.12) в тех местах, где линии напряженности выходят из диэлектрика (Еп > О), на поверхности выступают 59
положительные связанные заряды, там же, где линии на- пряженности входят в диэлектрик (Еп<0), появляются отрицательные поверхностные заряды. Формулы (15.Н) и (15.12) справедливы и в самом об- щем случае, когда неоднородный диэлектрик произволь- ной формы находится в неоднородном электрическом поле. Под Рп и Еп в этом случае нужно понимать нормальную составляющую соответствующего вектора, взятую в непосредственной близости к тому элементу по- верхности, для которого определяется о'. Формула (15.11) имеет такой же вид и в гауссовой системе. Формула же (15.2) имеет в этой системе вид Р = хЕ. (15.13) Соответственно фррмула (15.12) записывается следующим образом: c' = v,En. (15.14) § 16. Описание поля в диэлектриках Под напряженностью поля в диэлектрике понимают значение Е, получающееся усреднением истинного поля по физически бесконечно малому объему. Истинное (ми- кроскопическое) поле в диэлектрике сильно меняется в пределах меж молекулярных расстояний. Однако при рассмотрении действия поля на макроскопические тела эти изменения сказываться не будут и действие поля на тело определяется усредненным (макроскопическим) значением Е. Макроскопическое поле Е получается в результате на- ложения двух полей: поля Ео, создаваемого свободными зарядами, т. е. такими зарядами, которые могут переда- ваться от одного тела к другому при их касании, и поля Е' связанных зарядов. В силу принципа суперпозиции полей Е = Е0 + Е'. (16.1) Поляризация диэлектрика обусловлена действием суммарного поля (16.1). Следовательно, именно это Е нужно подставлять в формулы (15.2) и (15.12). Связанные заряды отличаются от свободных лишь тем, что не могут покинуть пределы молекулы (или атома), в состав которой они входят. В остальном же их свойства таковы, как и у всех прояих зарядов. В ча- ео
стности, на связанных зарядах начинаются либо закан- чиваются <?'/ео линий вектора Е'. Поэтому теорему Гаусса для определяемого выражением (16.1) вектора Е нужно записывать следующим образом: = + (16.2) s т. е. при вычислении потока вектора Е через замкну- тую поверхность учитывать алгебраическую сумму не только свободных, но также и связанных зарядов, за- ключенных внутри поверхности. Поэтому формула (16.2) оказывается малопригодной для нахождения век- тора Е в диэлектрике — она выражает свойства неиз- вестной величины Е через связанные заряды q', которые в свою очередь определяются неизвестной Е [см. фор- мулу (15.12)]. К счастью, затруднение, обусловленное тем, что Е зависит также и от связанных зарядов, можно обойти, введя в рассмотрение вспомогательную величину, свя- занную простым соотношением с вектором Е и опреде- ляемую лишь распределением в пространстве свободных зарядов. Чтобы установить вид этой вспомогательной величины, сопоставим формулу (16.2) с выражением (15.9). С точностью до знака и множителя 1/ео правая часть выражения (15.9) совпадает со второй из сумм в формуле (16.2). Это дает возможность исключить из соотношений заряды q', заменив их потоком вектора Р. Легко проверить, что, объединив вместе (15.9) и (16.2), можно получить следующую формулу: е0Ф£ + ФР = (j) (е0Е + Р)„ dS — q. (16.3) s Выражение, стоящее в скобках под знаком инте- грала, и есть та вспомогательная величина, о которой шла речь выше. Ее обозначают буквой D и называют электрическим смещением (или электрической индук- цией) . Итак, электрическим смещением (элек- трической индукцией) называется физическая величина, определяемая соотношением D = e0E + P. (16.4) 61
С использованием этой величины формула (16.3) может быть записана в виде = = (16-5) s Если свободные заряды распределены внутри замк- нутой поверхности непрерывно с объемной плотностью р, формула (16.5) видоизменяется следующим образом: <DD=(j)D„dS= jpdV. (16.6) 3 V Формулы (16.5) и (16.6) выражают теорему Г а у с с а для вектора электрического смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую по- верхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов. В вакууме Р = 0, так что определяемая выражением '(16.4) величина D превращается в е0Е и формулы (16.5) и (16.6) переходят в формулы (8.3) и (8.4). Единицей потока вектора электрического смещения является кулон (к). Согласно (16.5) заряд в 1 к создает через охватывающую его поверхность поток смещения в 1 к. Подставив в формулу (16.4) выражение (15.2) для Р, получим D = е0Е+ хе0Е = е0 (1+х)Е. (16.7) Безразмерную величину е—1+х (16.8) называют относительной диэлектрической проницаемостью или . просто диэлектриче- ской проницаемостью среды1). Следовательно, соотношение (16.7) можно записать в виде D = eoeE2). (16.9) ) Иногда для упрощения формул вводят так называемую аб- солютную диэлектрическую проницаемость еа = еов. Однако эта ве- личина физического смысла не имеет, и мы ею пользоваться не будем. 2) В анизотропных диэлектриках направления D и Е, вообще говоря, не совпадают (см. сноску на стр. 53), 62
Это и есть то простое соотношение между векторами Е и D, о котором речь была выше. Согласно формулам (5.3) и (16.9) электрическое сме- щение поля точечного заряда в вакууме равно o-srkv- («*><» Единицей электрического смещения служит кулои на квадратный метр (к/м2). Электрическую индукцию ') в гауссовой системе определяют соотношением D = E + 4nP. (1С.11) Подстановка в него значения (15.13) для Р дает D= (1 + 4лн) Е. (16.12) Величину е=1+4лх (16.13) называют диэлектрической проницаемостью. Введя эту величину в формулу (16.12), получим D = eE. (16.14) В гауссовой системе электрическая индукция в вакууме совпа- дает с напряженностью поля Е. Следовательно, электрическая ин- дукция поля точечного заряда в вакууме определяется форму- лой (5.4). Согласно формуле (16.10) электрическое смещение, создаваемое зарядом^ в 1 к на расстоянии 1 м, составляет _ 1 а 1 1,<, D — -.—V = i—г5- = -т- к м • 4л г2 4л-12 4л В гауссовой системе электрическая индукция в этом случае равна „ ч. HP Я = 7Г = = 3 • 10s СГСЭ-единиц. Таким образом, 1 к/л2 соответствует 4Л-3-105 СГСЭ-ед. элек- трической индукции. В гауссовой системе выражение теоремы Гаусса имеет вид Dn dS = 4л (16.15) или Dn dS = 4л pdV. (16.16) *) Термин «электрическое смещение» применительно к вели- чине (16.11) ие употребляется. 63
В гауссовой системе заряд в один кулон создает поток вектора электрической индукции, равный 4л</= 4л • 3 • 10’ С ГСЭ-едпниц. Та- ким образом, между единицами потока вектора D существует соот- ношение 1 к = 4л-3-109 СГСЭ-единиц потока. Чтобы выяснить физический смысл величин D и е, рассмотрим несколько примеров полей в диэлектриках. 1. Поле внутри плоской пластины. Рассмотрим поле, создаваемое в вакууме двумя бесконечными разно- именно заряженными плоскостями. Обозначим напря- женность поля Ео, а электрическое смещение Do = е,оЕо. Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика и расположим ее так, как пока- зано на рис. 33. Под действием поля диэлектрик поляризуется и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности о'. Эти заряды создадут внутри пла- стины однородное поле, напря- женность которого согласно фор- муле (8.6) равна Е' = о'/ео. Вне диэлектрика в данном случае Е' = 0. Напряженность поля Ео равна о/е0. Оба поля направле- ны навстречу друг другу, следо- вательно^ внутри диэлектрика Е = Е0-Е' = Е0- — = — (о-о'). и ° е0 е0 ' ' (16.17) Рнс. 33. Вне диэлектрика Е = Ео. Поляризация диэлектрика обусловлена полем (16.17). Поскольку оно перпендикулярно к поверхности пластины, Еп = Е и в соответствии с (15.12) о' = ие,оЕ. Подставляя это значение в формулу (16.17), получаем откуда Е = Ео — хЕ, Р _ Ер _______ Eq 1 + х — е (16.18) Итак, в рассматриваемом случае относительная ди- электрическая проницаемость е показывает, во сколько раз ослабляется поле за счет диэлектрика. 64
Умножив (16.18) на ЕОе, получим электрическое сме- щение внутри пластины D = е^Е = е0Е0. (16.19) Таким образом, внутри пластины электрическое сме- щение равно напряженности поля свободных зарядов, умноженной на ео, т. е. совпадает с электрическим смещением внешнего поля Do. Вне пластины е = 1 и D также, равно еоЕо- Чтобы найти о', выразим в (16.18) Е и Ео через плотности зарядов 1 , ,ч а — (о — о ) ₽----. е0 ' ' еое Отсюда о'=~-о. (16.20) Рис. 33 выполнен в предположении, что е = 3. В со- ответствии с этим густота линий Е в диэлектрике в три раза меньше, ,чем вне пластины. Линии проведены на одинаковых расстояниях друг от. друга, поскольку поле однородно. В данном случае о' можно найти, не прибе- гая к формуле (16.20). Действительно, раз напряжен- ность поля внутри пластины в три раза меньше, чем вне ее, то из трех линий напряженности, начинающихся (или заканчивающихся) на свободных зарядах, две должны заканчиваться (соответственно, начинаться) на связанных зарядах. Отсюда вытекает, что плотность свя- занных зарядов должна быть равной 2/3 плотности сво- бодных зарядов. В гауссовой системе напряженность £', создаваемая связан- ными зарядами а', в соответствии с формулой (8.7) равна 4ла'. Поэтому соотношение (16.17) имеет вид Е = Ео ~ Е' — Ео — 4ло'. Заменив а' через Еп = Е по формуле (15.14), получим Е = Ев — 4ли£, откуда Е Ео £0 1 + 4ли в Таким образом, диэлектрическая проницаемость в, так же как и в в СИ, показывает, во сколько раз ослабляется поле за счет ди- электрика. Следовательно, относительная диэлектрическая проницае- мость в совпадает сев гауссовой системе. Отсюда, принимая во 5 И. В. Савельев, т. II 65
внимание (16.8) и (16.13), заключаем, что диэлектрическая вое* приимчивость в гауссовой системе (хгс) и в СИ (хси) отличаются друг от друга множителем 4л: Ken ~ 4nXj.Q, (16.21) 2. Поле внутри шарового слоя. Окружим заряжен- ную сферу концентрическим шаровым слоем из одно- родного диэлектрика (рис. 34). На внутренней поверх- ности слоя появится связанный заряд q'lt распределен- ный с плотностью о' (д[ = на наружной — за- ряд q2, распределенный с плотностью о2 (fl2 — 4л/?|о'). Рис. 34. Знак заряда д' совпадает со знаком заряда g сферы, знак q\ ему противоположен. Заряды q\ и q2 создают на расстояниях г, превышающих соответственно и 7?г, поле, совпадающее с полем точечного заряда такой же величины [см. формулу (8.10)]. Внутри поверхностей, по которым они распределены, заряды д' и q2 поля не создают. Следовательно, напряженность поля Е' внутри диэлектрика равна 1 g'l 1 4я/?|о[ 1 Ду ;=-------- =----- ...—— =--------- 4ле0 г2 4ле0 г2 Во г2 66
и противоположна по направлению напряженности поля Ео. Результирующее поле в диэлектрике 1 а 1 £(г)=.£0-£' = ^4---^1, (16.22) как легко видеть, убывает по закону 1/г2. Поэтому можно утверждать, что ^- = 4, т. е. £(£1) = £(г)4> где £(£i) —напряженность поля в диэлектрике в непо- средственной близости к внутренней поверхности слоя. Именно эта напряженность определяет величину о[: о[ = хе0£ (У?,) = хе0£ (г) ~ (16.23) (в каждой точке поверхности £„ = £). Подставляя выражение (16.23) в формулу (16.22), получим 1 а 1 /??хеп£ (г) г2 £ W = — 4----------^Г— = Ео (г) - *Е (И, 4ле0 г е0 г Rt f Ео откуда находим, что внутри диэлектрика £ = -у- и, следовательно, D = ео£0 [ср. с формулами (16.18) и (16.19)]. Заметим, что, поскольку поле внутри диэлектрика из- меняется по закону 1/г2, выполняется соотношение о': а'2 = £2 : £2. Отсюда вытекает, что q{ = q'2. Следовав тельно, поля, создаваемые этими зарядами, на расстоя- ниях, превышающих R2, взаимно уничтожают друг, друга, так что вне шарового слоя £' = 0 и £ = £0. Положив £i равным R, а £2 = мы придем к слу« чаю заряженной сферы, погруженной в безграничный однородный диэлектрик. Напряженность поля вне такой сферы равна £=4-Л-« (16.24) 4ле0 ег2 ' Такова же будет напряженность поля, создаваемого в однородном безграничном диэлектрике точечным за- рядом. 5* 67
Оба рассмотренных примера характерны тем, что ди- электрик был однородным и ограничивающие его по- верхности совпадали с эквипотенциальными поверх- ностями. Полученный нами в этих случаях результат яв- ляется общим. Если однородный диэлектрик полностью заполняет объем, ограничен- ный эквипотенциальными по- верхностями, то вектор элект- рического смещения совпадает с вектором напряженности по- ля свободных з&рядов, умно- женным на Е0, и, следователь- но, напряженность поля внут- ри диэлектрика в е раз мень- ше, чем напряженность поля свободных зарядов. Если упомянутые усло- вия не соблюдаются, векторы D и е0Е0 не совпадают. На рис. 35 показано поле в пла- стине диэлектрика, перекошенной относительно плоско- стей, несущих свободные заряды. Вектор Е' перпендику- лярен к граням пластины, поэтому Е и Ео неколлине- арны. Вектор D направлен так же, как Е, следовательно, Е' Рис. 36. D и еоЕо ие совпадают по направлению. Можно пока- зать, что они не совпадают и по величине. Во всех рассмотренных выше примерах из-за спе- циально выбранной формы диэлектрика поле Е' было отлично от нуля только внутри диэлектрика. В общем случае Е' может быть отлично от нуля и за пределами диэлектрика. Поместим в первоначально однородное поле стержень из диэлектрика (рис. 36). Вследствие по- 68
ляризации на концах стержня образуются связанные за- ряды противоположных знаков. Их поле вне стержня эк- вивалентно полю диполя (линии Е' показаны на ри- сунке пунктиром). Легко видеть, что результирующее поле Е вблизи концов стержня больше Ео. § 17. Преломление линий электрического смещения Поле вектора D можно изобразить с помощью ли- ний электрического смещения (мы будем для краткости называть их линиями смещения), направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е (см. § 7). Поместим в однородное поле Ео две сложенные вместе плоскопараллельные однородные пластины из раз- ных диэлектриков (рис. 37). При разных ei и е2 плот- ности зарядов и о' такж£ будут различными. Сле- довательно, на поверхности, по которой соприкасаются пластины, возникнет избыточный связанный заряд </'эб. Однако, как мы знаем, линии вектора D могут начи- наться и заканчиваться только на свободных' зарядах. Поэтому линии смещения пройдут через поверхность раздела двух диэлектриков, не прерываясь. Они лишь, как мы покажем ниже, претерпевают на этой поверх- ности излом. Найдем соотношения между нормальными, а также между тангенциальными (по отношению к поверхности раздела) составляющими векторов D и Е в первом и во втором диэлектриках. 69
Рассмотрим воображаемый цилиндр высоты h, осно- вания которого Si и $2 расположены по разные стороны поверхности раздела (рис. 37,а). Применим к этому цилиндру теорему Гаусса (16.5). Внутри цилиндра имеются лишь связанные заряды, свободных зарядов по предположению там нет. Поэтому правая часть в фор- муле (16.5) обращается в нуль. Потоком D через бо- ковую поверхность цилиндра можно пренебречь, так как h мы будем стремить к нулю. Поток через верхнее ос- нование цилиндра равен Z)lnSj, где Dln — нормальная составляющая, вектора D в первом диэлектрике в не- посредственной близости к поверхности раздела. Ана- логично поток через нижнее основание есть D2nS2, где D2n—нормальная составляющая вектора D во втором диэлектрике также в непосредственной близости к по- верхности раздела диэлектриков. Сложив эти два по- тока, мы получим полный поток, который по условию должен быть равен нулю: Фо = DinSx + D2nS2 — (А„ + T)2n) 5 = 0. Отсюда следует, что Dln = — D2n. Знаки составляющих оказались различными вследствие того, что нормали щ и п2 к основаниям цилиндра имеют противоположные направления. Если проектировать D, и D2 на одну и ту же нормаль, то получится, что Dln = D2n. (17.1) Заменив согласно (16.9) составляющие D соответ- ствующими составляющими вектора Е, умноженными на вое, получим соотношение euei^in ~ еое2^: из которого следует, что Ецг __ 62 Енг (17.2) Теперь обратимся к тангенциальным составляющим векторов Е и D. Согласно формуле (16.1) Е = Ео + Е'. Вектор Ео в обоих диэлектриках по предположению оди- наков. Векторы Е', как видно из рис. 37, б, направлены по нормали к поверхности раздела, вследствие чего ока- зывают влияние только на нормальные составляющие вектора Е. Отсюда заключаем, что тангенциальные со- 70
ставляюгцие вектора Е в обоих диэлектриках должны быть одинаковыми: Eix = E2x. (17.3) Заменив согласно (16.9) составляющие Е соответ- ствующими составляющими вектора D, деленными на еое, получим соотношение Р\х __ Dir ®<j®l ®0®2 * из которого следует, что Pix __ _£i_ Р2Х е2 (17.4) Резюмируя, можно сказать, что при переходе через границу раздела двух диэлектриков нормальная состав- ляющая вектора D и тан- генциальная составляю- щая вектора Е изменяют- ся непрерывно. Тангенци- альная же составляющая вектора D и нормальная составляющая вектора Е при переходе через гра- ницу раздела претерпе- вают разрыв. Соотношения (17.1) — (17.4) справедливы и для границы диэлектрика с вакуумом. В этом случае одну из диэлек- трических проницаемо- стей нужно положить равной единице. На рис. 38 показаны линии смещения для тех же пластин, что и на рис. 37. Вне пластин D = еоЕо. На гра- ницах диэлектриков линии терпят излом (преломи ляются), вследствие чего угол а между нормалью к по- верхности раздела и линией D изменяется. Из рисунка следует, что tga,:tga2 = ^ Р?х Ргп 71
откуда с учетом формул (17.1) и (17.4) получается за- кон преломления линий электрического смещения -^ = -51-. (17.5) tg а2 е2 v ' При переходе в диэлектрик с меньшей е угол, об- разуемый линиями смещения с нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже; при переходе в диэлектрик с большей е линии смещения, напротив, сгущаются. § 18. Силы, действующие на заряд в диэлектрике Если в электрическое поле в вакууме внести заря- женное тело таких размеров, что внешнее поле в пре- делах тела можно считать однородным (в этом случае тело можно рассматривать как точечный заряд), то на тело будет действовать сила f = 9E. (18.1) Чтобы заряженное тело поместить в поле, созданное в диэлектрике, в последнем нужно сделать полость. В жидком или газообразном диэлектрике такую полость образует само тело, вытесняя диэлектрик из занимае- мого им объема. На поверхности полости возникают связанные заряды, поэтому поле внутри полости будет отлично от поля Е в сплошном диэлектрике. Таким об- разом, силу, действующую на помещенное в полость за- ряженное тело, нельзя вычислять как произведение за- ряда q на напряженность поля Ё. Вычисляя силу, действующую на заряженное тело в жидком или газообразном диэлектрике, нужно учи- тывать еще одйо обстоятельство. При поляризации диэлектрики слегка деформируются. Это явление назы- вается электрострикцией. Из-за электрострик- ции на границе с телом в диэлектрике возникают меха- нические натяжения, что приводит к появлению допол- нительной механической силы, действующей на тело. В случае полости в твердом диэлектрике подобная сила, естественно, не возникает. Таким образов, сила, действующая на заряженное тело в диэлектрике, вообще говоря, не может быть опре- делена по формуле (18.1), где Е— напряженность поля 72
в сплошном диэлектрике, и задача ее вычисления обычно бывает весьма сложной. Можно, однако, показать, что в том случае, когда заряженное тело погружено в одно- родный диэлектрик, заполняющий все пространство, где поле отлично от нуля, результирующая действующих на тело электрических и механических сил равна силе (18.1). Напряженность поля, создаваемого в однородном безграничном диэлектрике- точечным зарядом, опреде- ляется формулой (16.24). Следовательно, для силы взаимодействия двух точечных зарядов, погруженных в однородный безграничный1) диэлектрик, можно написать . » Е (18.2) 1 4зхе0 ег2 ' Формула (18.2) выражает закон Кулона для зарядов, находящихся в диэлектрике. Она применила только для жидких и газо- образных диэлектриков. Теперь найдем силу, действующую на точечный заряд, помещенный в полость внутри твердого диэлектрика. Рассмотрим несколько случаев. 1. Узкая поперечная щель.Сделаем в од-. Рис. 39. породно поляризованном диэлектрике по- лость в виде узкой щели, перпендикулярной к векторам Е и Р (рис. 39). На поверхностях ди- электрика, ограничивающих щель, возникнут свя- занные заряды, плотность которых o' = Р. В се- редине щели они создадут дополнительное поле на- ст' Р пряженности — = —, направленное так же, как и е0 е0 поле Е в сплошном диэлектрике. Следовательно, напря- р женность поля в середине щели равна Е+ Согласно (16.4) эта величина совпадает с D/eo в диэлектрике. Та- ким образом, сила, действующая на заряд, помещенный в середине узкой поперечной щели, равна а — = оеЕ. Со *) Практически достаточно, чтобы границы диэлектрика от- стояли от зарядов на расстояние, значительно превышающее рас- стояние между ними. 73
2. Узкая продольная полость. Если полость в диэлек- трике имеет вид узкого длинного цилиндра с образую- щими, параллельными векторам Е и Р (рис. 40), напря- женность поля в ее середине будет такой же, как в сплошном диэлектрике. Это объясняется тем, что свя- занные заряды, возникающие на торцах полости, малы по величине (мала площадь тор- ца) и далеко отстоят от сере- дины полости; поэтому созда- рис 40 ваемое ими дополнительное поле пренебрежимо мало. Си- ла, действующая на заряд, помещенный в середине уз- кой продольной полости, равна <?Е. 3. Полость сферической формы. Вычислим напряжен- ность дополнительного пс лости радиуса R (рис. 41). Нормальная состав- ляющая вектора поляри- зации для разных точек поверхности полости из- меняется в пределах от Р до нуля. Соответственно изменяется и плотность связанных зарядов о'. Будем характеризовать точки поверхности поляр- ным углом О, отсчитывае- мым от направления, про- тивоположного Е, и ази- мутальным углом а. Лег- ко видеть, что о' = Рп = = Р cos &. Из соображе- ний симметрии ясно, что создаваемое связанными заря- дами поле имеет такое же направление, как и поле в диэлектрике Е. Поэтому для его вычисления нужно от каждого вектора напряженности г/Едоп, создавае- мого связанным зарядом элемента поверхности dS, взять составляющую t/Ец в направлении Е и затем сложить эти составляющие для всех элементов поверх- ности. Выразим элемент поверхности в сферической системе координат: dS = R2 sin йЛ) da. На нем помещается за- 74 в центре сферической по- Рис. 41.
ряд dq = o' dS, который создает в центре сферы ноле напряженности „ 1 a' dS 11011 ~ 4ле0 R2 “ ___ 1 Р cos AT?2 sin fl' dfl da 4ле0 Т?2 — P cos sin ft dft da. 4ле0 Составляющая rfE30n по направлению E равна dEa = dE„on cos & = — P cos2 & sin & dft da. 11 AVU 43TEo Проинтегрировав это выражение по а от 0 до 2л и по •& от 0 до л, получим напряженность дополнительного поля Л 2Л Едоп — -т— Р I cos2 О sin & dti I da = 4- . доп 4ле0 J J 3 e0 о о Следовательно, напряженность поля в центре сфери- ческой полости равна е+4т-- (*8-3) О Ьо В гауссовой системе эта формула имеет вид: 4 Е + — лР. О (18.4) Каждая отдельно взятая молекула диэлектрика по- мещается как бы в центре сферической полости. По- этому действующее на нее поле должно быть ближе к значению (18.3), чем к Е. Строгий расчет показывает, что поле, действующее на отдельно взятую молекулу, точно совпадает с (18.3) только в случае кристалличе-. ского диэлектрика кубической системы. Для жидких и газообразных диэлектриков напряженность поля, дей- ствующего на отдельную молекулу, определяется значе- нием (18.3) лишь приближенно. В § 13 при рассмотрении поляриза; молекул мы по существу предполагали, что поле, деформирующее упругую молекулу, т. е. поле, фигурирующее в формуле (13.4), есть среднее макроскопическое поле Е. Теперь мы можем утверждать, что это не так. Среднее макроско- пическое поле создается всеми молекулами диэлектрика, 75
включая и рассматриваемую молекулу. В формулу же (13.4) нужно подставлять среднее поле, создаваемое всеми молекулами кроме той, дипольный момент которой мы хотим определить. Последнее поле, как мы устано- вили, ближе к значению (18.3), чем к Е. Учтя это об- стоятельство, выражение для индуцированного диполь- ного момента неполярной молекулы нужно писать в виде р=МЕ+Н-)- где Р — вектор поляризации диэлектрика. Умножив этог момент на число молекул в единице объема п, получим дипольный момент единицы объема, т. е. вектор поля- ризации Р: Р = пр = и₽е0Е + у и0Р. Отсюда Р = ——у е0Е. 1-4 «₽ О Сопоставив эту формулу с выражением Р = хеоЕ [см. (15.2)], приходим к соотношению —------= х. (18.5) При и0 -С 1 (что выполняется для газов при не очень высоких давлениях) выражение (18.5) переходит в фор- мулу (13.4). Разрешив (18.5) относительно п0, получим, что 1 „ и 3 з+ТГ’ Наконец, заменив в Соответствии с (16.8) х через е—1, придем к формуле которая носит название формулы Клаузиуса — М о с о т т и. Эта формула дает хорошее согласие с опы- том для неполярных диэлектриков- в газообразном и жидком состояниях, а также для кристаллов кубической системы. 76
§ 19. Сегнетоэлектрики Существует группа веществ, которые могут обладать спонтанной (самопроизвольной) поляризацией в отсут- ствие внешнего поля.. Это явление было открыто перво- начально для сегнетовои соли *), в связи с чем все подобные вещества получили название сегнетоэлек- триков. Первое детальное исследование электриче- ских свойств сегнетовой соли было осуществлено совет- Рис. 42. скими физиками И. В. Курчатовым и П. П. Кобеко. Сегнетоэлектрики отличаются от остальных диэлектриков рядом ха- рактерных особенностей: 1. В то время как у обычвдлх ди- электриков е составляет несколько единиц, достигая в виде исключе- ния нескольких десятков (у воды, например, е = 81), диэлектриче- ская проницаемость сегнетоэлект- риков бывает порядка нескольких тысяч. 2. Зависимость D от Е не является линейной, следова- тельно, диэлектрическая проницаемость оказывается зави- сящей от напряженности поля (ветвь 1 на кривой рис. 42). 3. При изменениях поля значения вектора поляриза- ции Р (а следовательно,' и D) отстают от напряженно- сти поля Е, в результате чего Р и D определяются не только величиной Е в данный момент, ио и предше- ствующими значениями Е, т. е. зависят от предыстории диэлектрика. Это явление называется гистерезисом (от греческого «гистерезис» — запаздывание). При цик- лических изменениях поля зависимость Р от Е следует изображенной на рис. 42 кривой, называемой петлей гистерезиса. При первоначальном включении поля поляризация растет с Е - в соответствии с ветвью кри- вой 1. Уменьшение Р происходит по ветви 2. При обра- щении Е в нуль вещество сохраняет значение поляриза- ции Рг, называемое остаточной поляризацией. Только под действием противоположно направленного поля напряженности-Ес поляризация становится равной *) Так называют двойную калиево-натриевую соль винной кис- лоты KNaC4H4O6 • 4Н2О, 77
нулю. Это значение напряженности поля называется коэрцитивной силой. При дальнейшем измене- нии Е получается ветвь 3 петли гистерезиса и т. д. Поведение поляризации сегнетоэлектриков аналогич- но поведению намагничения ферромагнетиков (см. §54). По этой причине сегнетоэлектрики иногда называют ферроэлектриками. Сегнетоэлектриками могут быть только кристаллические вещества, причем такие, у которых отсутствует центр симметрии. Так, например, кристаллы сегнетовой соли принадлежат к ромбической системе (см. т. I, § 138). Взаимодействие частиц в кри- сталле сегнетоэлектрика приводит к тому, что их ди- польные моменты спонтанно устанавливаются парал- лельно друг другу. В исключительных случаях одинако- вая ориентация дипольных моментов распространяется на весь кристалл. Обычно же кристалл распадается на области, в пределах каждой из которых дипольные мо- менты параллельны друг другу, однако направления поляризации разных областей бывают различны, так что результирующий момент цсего кристалла может быть равен нулю. Области спонтанной (самопроизвольной) поляризации называются также доменами. Под дей- ствием внешнего поля моменты доменов поворачиваются как целое, устанавливаясь по направлению поля. Для каждого сегнетоэлектрика имеется температура, выше которой вещество утрачивает необычные свойства и становится нормальным диэлектриком. Эта темпера- тура называется точкой Кюри. Сегнетова соль имеет две точки Кюри: при —15° С и 4-22,5° С, причем она ведет себя как сегнетоэлектрик лишь в температурном интервале, ограниченном указанными значениями. При температуре ниже —15° С и выше +22,5° С электриче- ские свойства сегнетовой соли обычны. Очень важное практическое значение имеет откры- тый советским физиком Б. М. Булем и его сотрудни- ками сегнетоэлектрик—метатитанат бария (ВаТЮг), точка Кюри которого равна 125° С. § 20. Прямой и обратный пьезоэлектрический эффект Некоторые кристаллы, не имеющие центра симметрии (в том числе все сегнетоэлектрики), при деформации поляризуются. Это явление называется прямым пье- зоэлектрическим эффект о. м или просто пье-
зоэлектрическим эффектом. Величина поляризации про* порциональна деформации, а следовательно, в пределах упругости и механическому напряжению. При изменении знака деформации знак поляризации меняется также на обратный. Важнейшими пьезоэлектриками (т. е. пьезоэлектри- ческими кристаллами) являются кварц, сегнетова соль, метатитанат бария и др. Кристаллы кварца принадлежат к гексагональной си- стеме. Если вырезать из кристалла кварца пластинку, перпендикулярную к кри- сталлографической оси а (см. т. I, § 138), и под- вергнуть ее сжатию вдоль этой оси, то на гранях пластинки появляются, q связанные заряды (на рис. 43 пластинка распо- ложена так, что кристал- лографическая ось с на- правлена на нас). То же самое происходит, если Рис. 43. пластинку подвергнуть растяжению вдоль оси 00, перпендикулярной к кристал- лографическим направлениям а и с. В последнем случае эффект называют поперечным, в первом случае — про- дольным. При изменении знака деформации (т. е. при рас- тяжении вдоль а или сжатии вдоль 00) на гранях пла- стинки появляются связанные заряды другого знака. Для практического использования пьезоэлектрического эф- фекта на грани пластинки накладывают металлические обкладки. Если эти обкладки включить в замкнутую цепь, то при изменениях деформации кристалла в цепи будут возникать импульсы тока. Такие процессы протекают, например, в пьезоэлектрическом микрофоне — знакопё- ременная деформация пластинки под действием звуко- вой волны преобразуется в переменный ток той же частоты. Пьезоэлектрический эффект имеет следующее объяс- нение. Решетку всякого кристалла можно представить в виде нескольких образованных разными атомами или группами атомов более простых решеток, вставленных друг в друга. Если кристалл не имеет центра симметрии, 79
то при деформации происходит сдвиг простых решеток друг относительно друга, который может вызвать появ- ление у кристалла электрического момента. Наряду с описанным выше прямым эффектом, у пье- зоэлектрических кристаллов наблюдается обратный эффект, заключающийся в том, что поляризация под действием электрического поля сопровождается механи- ческими деформациями кристалла: Таким образом, если на металлические обкладки изображенной на рис. 43 пластинки подать переменное электрическое напряже- ние, то пластинка будет попеременно, растягиваться и сжиматься вдоль оси а (одновременно происходят сжа- тие и растяжение вдоль оси 00), т. е. в ней возбудятся механические колебания. Эти колебания станут особен- но интенсивными, если частота переменного напряжения совпадает с собственной (резонансной) частотой пла- стинки. Такие настроенные в резонанс пьезоэлектрические пластинки используются для возбуждения ультразвуко- вых волн (см; т. 1, § 90), для стабилизации частоты ге- нераторов электрических колебаний в радиотехнике и т. п. Обратный пьезоэлектрический эффект следует отли- чать от электрострикции. Последняя имеет место во всех диэлектриках — твердых, жидких и газообразных. Пьезоэлектрический эффект возникает только в некото- рых кристаллах. Далее, деформация при электрострик- ции зависит от поля квадратично и при изменении на- правления поля знака не меняет. Пьезоэлектрический эффект зависит от поля линейно и при изменении на- правления поля меняет знак.
ГЛАВА 1П ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ § 21. Равновесие зарядов на проводнике Носители заряда в проводнике способны переме;- щаться под действием сколь угодно малой силы. По- этому равновесие зарядов на проводнике может наблю- даться лишь при выполнении следующих условий: 1. Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю £ = 0. (21.1) В соответствии с (11.3) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным (<p=const). 2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности £ = £„. (21.2) Следовательно, в случае равновесия зарядов поверх- ность проводника будет эквипотенциальной. Если проводящему телу сообщить некоторый за- ряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Представим себе мысленно произ- вольную замкнутую поверхность, полностью заключен- ную в пределах тела. Поскольку при равновесии зарядов поле в каждой точке внутри проводника отсутствует, поток вектора электрического смещения через поверх- ность равен нулю. Согласно теореме Гаусса алгебраиче- ская сумма зарядов внутри поверхности также будет 6 И. В. Савельев, т. II 81
равна нулю. Это справедливо для поверхности любых размеров, проведенной внутри проводника произвольным образом. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов — все они расположатся по поверхности про- водника с некоторой плотностью о. Так как в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из неко- торого объема, взятого внутри проводника, никак ие отразится на равновесном расположении зарядов. Та- ким образом, избыточный заряд распределяется на по- лом проводнике так же, как и на сплошном, т. е. по его наружной поверхности. На по- i L\ верхности полости в состоянии Е v \ VA равновесия избыточные заряды \\f^r^nrfn7 располагаться не могут. Этот вы- вод вытекает также из того, что од- Е=/7 поименные элементарные заряды, aS образующие данный заряд q, вза- имно отталкиваются и, следова- тельно, стремятся расположиться Рис. 44. на наибольшем расстоянии друг от Друга. Рассмотрим небольшую цилиндрическую поверх- ность, образованную нормалями к поверхности провод- ника и основаниями величины dS, одно из которых рас- положено внутри, а другое вне проводника (рис. 44). Поток вектора электрического смещения через эту поверхность равен DdS, где D — величина смещения в непосредственной близости к поверхности проводника. Действительно, поток через внутреннюю часть цилинд- рической поверхности равен нулю, так как внутри про- водника Е, а значит и D, равно нулю. Вне проводника в непосредственной близости к нему напряженность поля Е направлена по нормали к поверхности провод- ника. Следовательно, для выступающей наружу боковой поверхности цилиндра Dn — 0, а для внешнего основа- ния Dn = D (внешнее основание предполагается распо- ложенным очень близко к поверхности проводника). Внутрь цилиндра попадает свободный заряд odS (о — плотность заряда в данной точке поверхности провод- ника). Применяя к цилиндрической поверхности тео- рему Гаусса, получим DdS = odS, т. е. D = о. Отсюда £2
для напряженности поля вблизи поверхности проводни- ка получаем £ = —, еее (21.3) где е — относительная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник [ср. этот результат с формулами (8.9) и (8.11) для вдлиндра и сферы, на- ходящихся в вакууме]. В гауссовой системе эта формула имеет вид _ 4тот £ ------ е (214) Рассмотрим поле, создаваемое изображенным на рис. 45 заряженным проводником. На больших расстоя- ниях от проводника эквипотенциальные поверхности имеют характерную для точечного заряда форму сферы (на рисунке для экономии места сферическая поверх- ность изображена на небольшом расстоянии от про- водника; пунктиром показаны линии напряженности поля). По мере приближения к проводнику эквипотен- циальные поверхности становятся все более сходными с поверхностью проводника, которая, как мы знаем, 6* 83
является эквипотенциальной. Вблизи выступов экви- потенциальные поверхности располагаются гуще, значит и напряженность поля здесь больше. Отсюда согласно (21.3) получается, что плотность зарядов на выступах особенно велика.- К тому же выводу можно прийти, учи- тывая, что из-за взаимного отталкивания заряды стре- мятся расположиться как можно дальше друг от друга. Вблизи углублений в проводнике (рис. 46) эквипо- тенциальные поверхности расположены реже. Соответ- ственно напряженность поля и плотность зарядов в этих местах будет меньше. Во- обще, плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности — она растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличе- нием отрицательной кривизны (вогнуто- сти). Особенно велика бывает плотность зарядов на остриях. Поэтому напряжен- ность поля вблизи остриев может быть настолько большой, что происходит ионизация молекул газа, окружающего проводник. Ионы иного знака, чем q, к проводнику и нейтрализуют его за- ряд. Ионы того же знака, что и q, начинают .двигаться от проводника, увлекая с собой нейтральные молекулы газа. В результате возникает ощутимое движение газа, называемое электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия и уносится ветром. Поэтому такое явление называют истечением заряда с острия. Рис. 46. притягиваются § 22. Проводник во внешнем электрическом поле При внесении незаряженного проводника в электри- ческое поле носители заряда приходят в движение: по- ложительные в направлении вектора Е, отрицатель- ные — в противоположную сторону. В результате у кон- цов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами (рис. 47; пунктиром показаны линии напряженности внешйего поля). Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Таким образом, накапливание зарядов 84
у концов проводника приводит к ослаблению в нем поля. Перераспределение носителей заряда происходит до тех пор, пока не будут выполнены условия (21.1) и (21.2), т. е. пока напряженность поля внутри провод- ника ие станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника перпендикулярными к его поверхности (рис. 47). Следовательно, нейтральный проводник, вне- сенный в электрическое поле, разрывает часть линий напряженное™ — они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на по- ложительных. Индуцированные заряды распределяются по внеш- ней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее также обра- щается в нуль. На этом основывается электростатиче- ская защита. Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают прово- дящим футляром (экраном). Внешнее поле компенси- руется внутри экрана возникающими на его поверхно- сти индуцированными зарядами. Подобный экран дей- ствует хорошо и в том случае, если его сделать не сплошным, а в виде густой сетки. Наличие острия у проводящего тела может приво- дить не только к стеканию зарядов с него, но и к «на- теканию» на проводник зарядов с других тел. Под 85
действием поля, создаваемого заряженным телом 1 (рис. 48), на теле 2 возникают индуцированные за- ряды. Сильное поле, создаваемое вблизи острия находя- щимся на нем индуцирован- ным зарядом, ионизует мо- лекулы газа. Ионы разных знаков движутся в проти- воположные стороны и осе- дают на соответствующих телах. В результате заряд q тела 1 уменьшается, а на проводнике с острием на- капливается заряд, одно- именный с q. Заряд как бы переходит от заряженного тела 1 к первоначально незаряженному телу 2. § 23. Генератор Ван-де-Граафа В 1929 г. Ван-де-Грааф предложил конструкцию электростатического генератора, том, что избыточные заряды рас- полагаются по внешней поверх- ности проводника. Схема такого генератора показана на рис. 49. Полый металлический шар, на- зываемый кондуктором, устанав- ливается на изолирующей ко- лонне. Внутрь шара введена на- детая на валики бесконечная движущаяся лента из шелка или прорезиненной ткани. У ос- нования колонны вблизи ленты установлена гребенка из остриев, с которых стекает на ленту за- ряд, возбуждаемый генератором напряжения (ГН) на несколь- ко десятков киловольт. Внутри кондуктора установлена вторая гребенка, на острия которой переходит заряд с ленты. Эта основывающегося на Рис. 49. гребенка соединена с кондуктором, так что снятый с ленты заряд сразу же переходит на его внешнюю поверхность. По мере на- капливания на кондукторе зарядов потенциал его рас- 86
тет, пока утечка заряда не станет равна подводимому заряду. Утечка происходит в основном за счет иониза- ции газа вблизи поверхности кондуктора (возникаю- щее вследствие этого прохождение тока через газ на- зывается коронным разрядом или просто коронирова- нием; см. § 91). Чтобы уменьшить коронирование, по- верхность кондуктора тщательно шлифуют (вспомним, что напряженность поля вблизи выступов бывает больше). Напряженность поля, при которой возникает разряд в воздухе при атмосферном давлении, составляет при- мерно 30 кв/см. Такая напряженность достигается вбли- зи поверхности шара тем быстрее, чем меньше его ра- диус [см. формулу (16.24)]. Поэтому для получения больших разностей потенциалов приходится делать кон- дуктор больших размеров (до 10 м в диаметре). Элек- трическая прочность газа (т. е. напряженность поля, при которой начинается разряд) возрастает с повыше- нием давления. Поэтому удается заметно уменьшить размеры генератора, помещая его в атмосферу сжа- того газа. Генератор целиком монтируют в баке, кото- рый заполняют газом (азотом или имеющим повышен- ную электрическую прочность фреоном1)) под давле- нием порядка 10 ат. Предельная разность потенциалов, которую можно практически получить с помощью ге- нератора Ван-де-Граафа, составляет около 107 в. Генератор Ван-де-Граафа используется для ускоре- ния заряженных частиц в опытах по исследованию атомного ядра. Ускорение частиц осуществляется в раз- рядной трубке (РТ), к электродам которой приклады- вается разность потенциалов, получаемая на генера- торе. Иногда генератор Ван-де-Граафа строят в виде двух одинаковых расположенных рядом колонн, кон- дукторы которых заряжаются разноименно. В этом слу- чае разрядная трубка включается между кондукторами. § 24. Электроемкость Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряженность поля вну- три проводника была равна нулю. Если проводнику, уже несущему заряд q, сообщить еще заряд той же *) Фреоном называется дихлорднфторметан CC12F2. 87
величины, то второй заряд должен распределиться по проводнику точно таким же образом, как и первый, в противном случае он создаст в проводнике поле, не рав- ное нулю. Следует оговорить, что это справедливо лишь в том случае, если увеличение заряда на проводнике не вы- зовет изменений в распределении зарядов на окру- жающих телах. Таким образом, различные по величине заряды распределяются на удаленном от других тел (уединенном) проводнике подобным образом, т. е. от- ношение плстностей заряда в двух произвольных точках поверхности проводника при любой величине заряда будет одно и то же. Отсюда вытекает, что по- тенциал уединенного проводника пропорционален нахо- дящемуся на нем заряду. Действительно, увеличение в некоторое число раз заряда приводит к увеличению в то же число раз напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства. Следовательно, в такое же число раз возрастет работа переноса по любому пути единичного заряда из бесконечности на по- верхность проводника, т. е. потенциал проводника. Та- ким образом, для уединенного проводника <7 = Сф. (24.1) Коэффициент пропорциональности С между потен- циалом и зарядом называется электроемкостью (сокращенно просто емкостью) проводника. Из (24.1) следует, что C = (24.2) Емкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. Вычислим потенциал заряженного шара радиуса R. Между разностью потенциалов и напряженностью поля существует соотношение (11.7). Поэтому - потенциал шара можно найти, проинтегрировав выражение (16.24) по г от R до оо (потенциал на бесконечности полагаем равным нулю): сю Ф = —L_ f dr = . (24.3) v 4ле0 J ег2 4ле0 еЦ ' ' R ' И
Сопоставляя (24.3) с (24.2), находим, что емкость уединенного шара радиуса R, погруженного в однород- ный безграничный диэлектрик с относительной прони- цаемостью е, равна С = 4ле0е/?. (24.4) За единицу емкости принимают емкость такого про- водника, потенциал которого изменяется на 1 в при сообщении ему заряда в 1 к. Эта единица емкости на- зывается фарадой (ф). В гауссовой системе формула для емкости уединенного шара имеет вид С = eR. Поскольку е'— безразмерная величина, емкость имеет размерность длины. За единицу емкости принимается ем- кость уединенного шара радиуса 1 см, находящегося в вакууме. Эту единицу емкости называют, с а п т им е т р о м. Согласно (24.2) г?-тетсгсэ-9-'°"“- Емкостью в одну фараду обладал бы уединенный шар радиуса 9-Ю9 м-, т. е. радиусом, примерно в 1500 раз большим радиуса Земли. Таким образом, фа- рада — очень большая величина. Поэтому на практике пользуются единицами, равными долям фарады — мик- рофарадой (мкф) и микромикрофарадой (мкмкф) или пикофарадой (пф), которые определяются следующим образом: 1 мкф = 10’ 6 ф, 1 пф= 10~12 <£ = 0,9 см. § 25. Конденсаторы Уединенные проводники обладают малой емкостью. Даже шар таких размеров, как Земля, имеет емкость всего лишь 700 мкф. Вместе с тем на практике бывает потребность в устройствах, которые при небольшом от- носительно окружающих тел потенциале накапливали бы на себе («конденсировали») заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых кон- денсаторами, положен тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других 8»
тел. Действительно, под действием поля, создаваемого заряженным проводником, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные (на проводнике) или свя- занные (на диэлектрике) заряды. Заряды, противополож- ные по знаку заряду проводника q, располагаются ближе к проводнику, чем одноименные с q, и, следова- тельно, оказывают большее влияние на его потенциал. Поэтому при поднесении к заряженному проводнику ка- кого-либо тела потенциал проводника уменьшается по абсолютной величине. Согласно формуле (24.2) это означает увеличение емкости проводника. Конденсаторы делают в виде двух проводников, рас- положенных близко друг к другу. Образующие .конден- сатор проводники называют его обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали воздействия на емкость кон- денсатора, обкладкам придают такую форму и так рас- полагают их друг относительно друга, чтобы поле, соз- даваемое накапливаемыми на них зарядами, было полностью сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют (см. § 8) две пластинки, рас- положенные близко друг к другу, два коаксиальных ци- линдра и две. концентрические сферы. Соответственно бывают плоские, цилиндрические и сферические конден- саторы. Поскольку поле заключено внутри конденсатора, ли- нии электрического смещения начинаются на одной об- кладке и заканчиваются на другой. Следовательно, сво- бодные заряды, возникающие на разных обкладках, имеют одинаковую величину q и различны по знаку. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, пропорциональная заряду q и обратно пропор- циональная разности потенциалов между обкладками: Емкость конденсатора измеряется в тех же едини- цах, что и емкость уединенного проводника. Величина емкости определяется геометрией конден- сатора (формой и размерами обкладок и величиной зазора между ними), а также диэлектрическими свой- ствами среды, заполняющей пространство между об- кладками. Найдем формулу для емкости плоского кон- 90
денсатора. Если площадь обкладки S, а заряд на ней q, то напряженность поля между обкладками равна EqE £qE<S (мы воспользовались формулой (8.6) и учли возмож- ность наличия диэлектрика в зазоре между пластин- ками). Согласно соотношению (П.8), разность потенциалов между обкладками равна откуда для емкости плоского конденсатора получается следующая формула: eoeS d (25.2) где S — площадь обкладки, d—величина зазора между обкладками, е— относительная диэлектрическая прони- цаемость вещества, заполняющего зазор. Из формулы (25.2) следует, что размерность элек- трической постоянной во равна размерности емкости, деленной на размерность длины (напомним, что е — безразмерная величина). В соответствии с этим еди- ницы, в которых измеряется ео, носят название «фарада на метр» (ф)м) [см. (4.2)]. В гауссовой системе формула для емкости плоского конденса- тора имеет вид п eS (25.3) Вычислим емкость цилиндрического и сферического конденсаторов. Заменив в формуле (8.8) Л через qfl (/ — длина обкладок) и учтя возможность наличия ди- электрика, для напряженности поля между обкладками цилиндрического конденсатора получим следующее вы- ражение: Е 2ле0е 1г ' 91
Разность потенциалов между обкладками находим путем интегрирования: Ф1 ~ <₽2 = f £ (г) = о q I f — = 0 q , In ф- ' 2леое/ J г 2ле0е/ R\ Д. Я, (/?i и /?2 — радиусы внутренней и внешней обкладок). Разделив q на найденное значение <pi — <рг, получим емкость цилиндрического конденсатора С = . (25.4) Если зазор между обкладками относительно мал, т. е. выполняется условие d — Rz— Hi <С Ri, знамена- тель формулы (25.4) можно преобразовать следующим образом: Выражение 2nRil дает площадь обкладки S. Таким образом, в случае малого зазора емкость цилиндриче- ского конденсатора можно вычислять приближенно по формуле (25.2). Согласно (8.10) напряженность поля между обклад- ками сферического конденсатора равна £(/) = —!--- ' ' 4ле0е г2 (как и в предыдущих случаях, учтена возможность на- личия диэлектрика в зазоре между обкладками). Найдем разность потенциалов Я, Да <р1 — ф2 = [ И (Г) dr = л q [ = ---(“Б---= J ' ' 4ле0е J г2 4ле0е \ 7?i R2 / к, Я, д Rz~Ri 4пе0е RiR2 (Ri и Rz — радиусы внутренней и внешней обкладок). *) Мы воспользовались известной формулой: In (1 + х) ~ х, справедливой для х <^1. 92
Отсюда для емкости получается выражение С = 4ле0е-/^. (25.5) В случае, когда d = /?2— <С Ri, емкость сфериче- ского конденсатора также можно вычислять по фор- муле для емкости плоского конденсатора. В самом деле, выражение в этом случае примерно рав- но площади S любой из обкладок. Поэтому фор- мула (25.5) может быть приближенно записана в ви- де (25.2). Из выражений (25.2), (25.4) и (25.5) ясно, почему введение между обкладками прослойки из сегнетоэлек- трика (например, метатитаната бария) позволяет полу- чить при небольших размерах конденсатора большую емкость. Помимо емкости, каждый конденсатор характери- зуется предельным напряжением *) t/щах, которое мож- но прикладывать к обкладкам конденсатора, ие опа- саясь его пробоя. При превышении этого напряжения между обкладками проскакивает искра, в • результате чего разрушается диэлектрик и конденсатор выходит из строя. § 26. Соединение конденсаторов Располагая некоторым набором конденсаторов, мож- но значительна расширить число возможных значений емкости и рабочего напряжения, если применить соеди- нение конденсаторов в батареи. При параллельном соединении (рис. 50) одна из об- кладок каждого конденсатора имеет потенциал <рь а другая ф2- Следовательно, на каждой из двух систем об- кладок накапливается суммарный заряд q = 2 <7fc = 2 Ck (qpi - фг) = (Ф1 - <р2) S Ck. Емкость батареи получим, разделив суммарный за- ряд на приложенное к ней напряжение. В результате *) Электрическим напряжением U в данном случае называется разность потенциалов между обкладками [см. формулу (32.5)[. На- пряжение не следует смешивать с напряженностью поля. 93
получим c = 2cft. (26.1) Таким образом, при параллельном соединении кон- денсаторов емкости складываются. Предельное напря- жение батареи, очевидно, равно наименьшему из зна- чений 17тах для конденсаторов, включенных в батарею. 9>i\ л-с Я>г\ Рис. 50. На рис. 51 показано последовательное соединение конденсаторов. Вторая обкладка первого конденсатора образует с первой обкладкой второго единый проводник, на котором при подаче напряжения на батарею возни- кают индуцированные заряды такой же ве- F; личины, как заряд на первой обкладке пер- +q вого и второй обкладке Л^-го конденсатора ГГП'г’’';"'’(вспомним, что линий смещения начинаются на одной обкладке данного конденсатора и +q заканчиваются на другой). То же самое справедливо для второй обкладки второго I ~Я конденсатора и первой обкладки третьего ; и т. д. Следовательно, для всех конденсато- I ров, включенных последовательно, харак- I +q терна одинаковая-величина заряда q на :ф;j обкладках. Поэтому напряжение на каж- ~Я дом из конденсаторов Рис. SI. <26'2) Сумма этих напряжений равна разности потенци- алов, приложенной' к батарее: Ф1 Фг — Uк — ск <7 S Ch ' п4
откуда получается, что ± = V-L с & ck • (26.3) При последовательном соединении конденсаторов скла- дываются величины, обратные их емкостям. Согласно (26.2) доля общего напряжения, приходящаяся на дан- ный конденсатор, обратна его емкости. Необходимо, чтобы ни для одного из конденсаторов Uk не превышало указанное для него значение Umax- Если все конденсаторы одинаковы и имеют емкость Ci и предельное напряжение Umax, то при последова- тельном соединении C = -^rCi, a (U тах)бат = NUmax-
ГЛАВА IV ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ § 27. Энергия системы зарядов Силы, с которыми взаимодействуют заряженные тела, консервативны (их работа не зависит от пути). Следовательно, система заряженных тел обладает по- тенциальной энергией. Найдем выражение для потен- циальной энергии системы точечных зарядов. Начнем с системы из двух зарядов q\ и q2, находящихся на рас- стоянии Г12- Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю. Сблизим заряды на заданное расстояние ri2. При этом мы должны будем совершить работу против электрических сил, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая qi к q2 либо <?2 к q^ В обоих случаях совершается одина- ковая работа. Работа переноса заряда <71 из бесконечно- сти в точку, удаленную от q2 на ri2, согласно (10.7) равна <2М) где epi — потенциал, создаваемый зарядом q2 в той точ- ке, в которую перемещается заряд q\. Аналогично работа переноса заряда q2 из бесконеч- ности в точку, удаленную от q\ на ri2, равна (27-2) где <р2— потенциал, создаваемый зарядом qi в той точ- ке, в которую перемещается заряд q2. 96
Значения работ (27.1) и (27.2) одинаковы, и каждое из них выражает энергию системы № = <7i<Pi = <72<P2. Для того чтобы в выражение энергии системы оба заряда входили симметрично, напишем его следующим образом: = у («71Ф1 + Wi)- (27-3) Формула (27.3) дает энергию системы двух зарядов. Перенесем из бесконечности еще один заряд q2 и поме- стим его в точку, находящуюся на расстоянии из от q\ и /23 от q2. При этом мы совершим работу Аз - <7зФз “ 4^- +-£-). где ф3 — потенциал, создаваемый зарядами qi и q2 в той точке, в которую мы поместили заряд q3. В сумме с Ai или Л2 работа А3 будет равна энергии трех зарядов: ТУ7 — 1 4l42 I . 1 4ле0 г|2 1 чз 4ЛВ() ( 41 I 4з \ \ Из г23 / Последнее выражение можно привести к виду IF =--—— 2 4ле0 = ~2 (<71<Р1+<72ф2 + <7зФз). где ф1 — потенциал, создаваемый зарядами q2 и q$ в той точке, где расположен заряд qit и т. д. Добавляя к системе зарядов последовательно qit q^ и т. д., можно убедиться в том, что в случае N зарядой потенциальная энергия системы равна (27.4) где ф» — потенциал, создаваемый в той точке, где на- ходится qit всеми зарядами, кроме i-ro. 7 И. В. Савельев, т. II 97
§ 28. Энергия заряженного проводника Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов Дс/. Согласно сказанному в предыдущем параграфе, та- кая система обладает энергией, равной работе, которую нужно совершить, чтобы перенести все заряды Д<? из бесконечности и расположить на поверхности провод- ника. Перенос из бесконечности на поверхность проводника первой порции заряда Lq не сопровождается соверше- нием работы, так как потенциал проводника первона- чально равен нулю. В результате сообщения проводнику заряда Д<? его потенциал становится отличным от нуля, вследствие чего перенос второй порции Д<? уже требует совершения некоторой работы. Так как по мере уве- личения заряда на проводнике потенциал его растет, при перемещении каждой последующей порции заряда Д<7 должна совершаться все большая по величине ра- бота ДЛ = ФД(? = -£-Д<7, (28.1) где <р — потенциал проводника, обусловленный уже имеющимся на нем зарядом q, С — емкость проводника. Работа (28.1) идет на увеличение энергии провод- ника. Поэтому, переходя к дифференциалам, имеем dW = 4- qdq, откуда получается выражение для энергии: п2 W = + const. Естественно считать энергию незаряженного провод- ника равной нулю. Тогда const также обращается в нуль. Учтя соотношение (24.2) между емкостью, за- рядом и потенциалом проводника, можно написать Г = -& = ^ = ПГ- (28.2) Формулу (28.2) можно получить также на основании следующих соображений. Поверхность проводника яв- ляется эквипотенциальной, поэтому потенциалы тех то- чек, в которых находятся точечные заряды Деу, одина-
ковы и равны потенциалу <р проводника. Применяя к ей* стеме зарядов Aq формулу (27.4), получим W = 4 S Ф Д<7 = 1"Ф Д<?= 4 что совпадает с (^8.2). § 29. Энергия заряженного конденсатора Процесс возникновения на обкладках конденсатора зарядов + q и —q можно представить так, что от од- ной обкладки последовательно отнимаются очень ма- лые порции заряда Aq и перемещаются на другую об- кладку. Работа переноса очередной порции равна ДЛ — Aq (ф! — ф2) = \qU, где U — напряжение на конденсаторе. Заменяя U в со- ответствии с (25.1) и переходя к дифференциалам, по- лучим dW = dA = U dq = dq. Наконец, интегрируя последнее выражение, приходим к формуле для энергии -заряженного конденсатора Формулы (29.1) отличаются от формул (28.?) только заменой ф на U. Тот же результат для энергии конденсатора можно получить с помощью формулы (27.4). Каждый из эле- ментарных зарядов, на которые можно мысленно разде- лить заряд +q, находится в точке с потенциалом фЬ а каждый из зарядов, на которые можно разделить ~-q, — в точках с потенциалом фг. Следовательно, энер- гия такой системы зарядов равна W7 = 4’K+ <7)ф1 + (~ ?)Ф21 = 4^(Ф1“Ф^==4^^’ что совпадает с (29.1). С помощью выражения для энергии можно найти силу, с которой пластины плоского конденсатора притя- гивают друг друга. Для этого предположим, что 7* 99
расстояние между пластинами может меняться. Под- ставим в формулу (29.1) выражение (25.2) для ем- кости плоского конденсатора, обозначив переменный зазор между обкладками через х (вместо d) Теперь воспользуемся соотношением, связывающим потенциальную энергию и силу, причем будем считать заряд на обкладках постоянным (конденсатор отключен от источника напряжения): (знак «—» указывает на,то, что сила стре- мится уменьшить х, т. е. является силой при- тяжения) . Попытаемся вычислить силу притяжения между обкладками плоского конденсатора как произведение напряженности поля, создавае- мого одной из обкладок, на заряд, сосредо- точенный на другой. По формуле (8.5) напря- женность поля, создаваемого одной обкладкой, равна Рис. 52. Е =— создается зарядами обеих обкладок). Диэлектрик ослабляет поле в зазоре в 8 раз, но это имеет место только внутри диэлектрика [см. формулу (16:17) и связанный с нею текст]. Заряды на обкладках располагаются вне /диэлектрика и поэтому находятся под действием поля напряженности (29.3). Умножив за- ряд обкладки q на эту напряженность, получим 2e0S q 2e0S (29.4) (знак «—» обусловлен тем, что заряд, создающий поле, и заряд, на который это поле действует, имеют разные знаки). Формулы (29.2) и (29.4) не совпадают. Опыт согла- суется со значением силы (29.2), получающимся из выражения для энергии. Это объясняется тем, что 100
кроме «электрической» силы (29.4) на обкладки деист* вуют со стороны диэлектрика механические силы, стре- мяшиеся их раздвинуть (см. § 18). У края обкладок имеется рассеянное поле, убывающее по величине при удалении от краев. Молекулы диэлектрика, обладая ди- польным моментом, испытывают действие силы (рис. 52), втягивающей их в область более сильного поля [см. фор- мулу (14.5)]. В результате давление между обкладками повышается и появляется сила, ослабляющая действие силы (29.4) в 8 раз. § 30. Энергия электрического поля Энергию конденсатора (29.1) можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в за- зоре между обкладками. Сделаем это для плоского кон- денсатора. Подставим в (29.1) выражение (25.2) для емкости, тогда CU2 wSU* _ еое / U \2 * ~ 2 2d 2 \d ) Согласно (Н.8) -^- — Е; произведение Sd представ- ляет собой объем V, занимаемый полем. Таким обра- зом, можно написать (30.1) Формула (29.1) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (30.1) — с напря- женностью поля. Логично поставить вопрос: где же ло- кализована (т. е. сосредоточена) энергия, что является носителем энергии — заряды или поле? В пределах электростатики, которая изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их за- ряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существо- вать независимо от возбудивших их зарядов и распро- страняться в пространстве в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. В частности, энергия, за счет кото- рой существует жизнь на Земле, доставляется от Солнца электромагнитными (световыми) волнами, энергия, 101
заставляющая звучать радиоприемник, приносится от передающей станции электромагнитными волнами и т. д. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле. Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе), заключенная в нем энергия распреде- ляется в пространстве с постоянной плотностью w, рав- ной энергии поля, деленной на заполняемый полем объем. Следовательно, согласно (30.1) плотность энер- гии поля плоского конденсатора W = (30.2) Формула (30.2) справедлива и для нерднородного поля. Учтя соотношение (16.9), ее можно записать в виде = — , (30.3) или В изотропном диэлектрике направления векторов Е и D совпадают. Поэтому формуле (30.3) можно придать вид Заменив в этой формуле D его значением (16.4), полу- чим для. w следующее выражение: Е(е0Е + Р) е0Е2 . ЕР а’ =-----2-----= —+ — (30.5) Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме. Второе слагае- мое, как мы сейчас докажем, представляет собой энер- гию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Поляризация диэлектрика состоит в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих поло- жений под действием электрического поля Е. В рас- чете на единицу объема диэлектрика работа, затрачи- ваемая на смещение зарядов qh на величины drk, равна dA = S drk = Ed ( 3 q^k} v—\ \v=i / (для простоты мы считаем, что поле Е однородно). 102
Согласно формуле (13.3) Jb <7Л равна дипольному моменту единицы объема, который по определению есть вектор поляризации диэлектрика Р. Следовательно, dA = Е dP. (30.6) В соответствии с формулой (15.2) Р = хеоЕ, откуда dP = хео dE. Подставив это значение dP в (30.6), полу- чим для dA выражение dA = хе0Е dE = d = d . Наконец, произведя интегрирование, найдем для ра- боты, затрачиваемой на поляризацию единицы объема диэлектрика, выражение которое совпадает со вторым слагаемым в формуле (30.5). Таким образом, выражения (30.2), (30.3) и (30.4) для плотности энергии включают в себя, кроме й е0£2 ЕР собственно энергии поля —2 , еще и энергию , затрачиваемую при создании поля на поляризацию диэлектрика. В гауссовой системе выражения для плотности энергии элек- трического поля имеют следующий вид: е£2 ED D2 W —з . ---- =------# 8л 8л 8ле Вычислим энергию поля заряженного шара радиуса R, помещенного в однородный безграничный диэлек- трик. Напряженность поля в этом случае является функцией только от г: F = * 4 4ле0 егг Разобьем окружающее шар пространство на кон- центрические шаровые слои толщиной dr. Объем слоя равен dV = 4№ dr. В нем заключена энергия dW=wdV / 1 4 \2 \ 4ле0 ег2 / 4лг2 dr — 1 42 dr — 2 4леое г2 * _ еое 2 103
Энергия поля со r= Г dW = --^- f ^ = 1-^— = £- J 2 4яеое Jr2 2 4леое/? 2С R [согласно (24.4) 4леое/? равно емкости шара]. Полученное нами выражение совпадает с найден- ным ранее выражением (28.2) для энергии заряжен- ного проводника. Сообщим обкладкам плоского конденсатора с воз- душным зазором заряды + q и —q. Относительная диэлектрическая проницаемость воз- + ’ духа практически равна единице. По- этому емкость конденсатора можно с S считать равной Со = -^~, а энергию о2 1Г0 = -Лг-. Теперь погрузим обкладки >---ч_____ ^0 частично в жидкий диэлектрик (рис. лД 53). В этом случае конденсатор мож- но рассматривать как два параллель- но включенных конденсатора, один из Рис. 53. которых имеет площадь обкладки, равную xS (х— относительная часть зазора, заполненная жидкостью), и заполнен диэлек- триком с е > 1, второй с воздушным зазором имеет пло- щадь обкладки, равную (1—x)S. Вычисляя емкость по формуле (26.1), получаем CqS (1 х) । CqcSx « । во (с I) S . и — С , -t- С2 — —J I -j — Ь0-1 - —л X Со. (г Энергия же W = будет меньше, чем Wo. Следо- вательно, заполнение зазора диэлектриком оказывается энергетически выгодным. Поэтому диэлектрик втяги- вается в конденсатор и уровень его в зазоре поднимает- ся. Это в свою очередь приводит к возрастанию потен- циальной энергии диэлектрика в поле сил тяжести. В ко- нечном итоге уровень диэлектрика в зазоре установится на некоторой высоте, соответствующей минимуму суммар- ной энергии (электрического поля и обусловленной си- лами тяжести). Это явление сходно с капиллярным поднятием жидкости в узком зазоре между пластин- ками (см. т. I, § 146). 104
Втягивание диэлектрика в зазор между обкладками можно объяснить также и с микроскопической точки зрения. У краев пластин конденсатора имеется неодно* родное поле. Молекулы диэлектрика обладают собствен- ным дипольным моментом либо приобретают его под действием поля; поэтому на них действуют силы, стре- мящиеся переместить их в область сильного поля, т. е. внутрь конденсатора. Под действием этих сил жид-, кость втягивается в зазор до тех пор, пока электриче- ские силы, действующие на жидкость у края пластин, не будут уравновешены весом столба жидкости.
ГЛАВА V ПОСТОЯННЫЙ электрический ток § 31. Электрический ток Если в проводнике создать электрическое поле, то носители заряда придут в упорядоченное движение: по- ложительные в направлении поля, отрицательные в противоположную сторону. Упорядоченное движение зарядов называется электрическим током. Его принято характеризовать силой тока — скалярной величиной, равной заряду, переносимому носителями через рассматриваемую поверхность (например, через поперечное сечение проводника) в единицу времени. Если за время dt переносится заряд dq, то сила тока i по определению равна dq l~~dT' (31.1) Электрический ток мцжет быть обусловлен движе- нием как положительных, так и отрицательных носи- телей. Перенос отрицательного заряда в одном направ- лении эквивалентен переносу такого же по величине по- ложительного заряда в противоположном направлении. Если в проводнике движутся носители обоих знаков, причем за время dt через данную поверхность положи- тельные носители переносят заряд dq+ в одном направ- лении, а отрицательные dq~ в противоположном, то dq+ । dq~ ~dt dt (dq~ — абсолютная величина отрицательного заряда). .106
За направление тока принимается направление, в котором перемешаются положительные носители. Носители заряда принимают участие в молекуляр- ном тепловом движении и, следовательно, движутся с некоторой скоростью v и в. отсутствие поля. Но в этом случае через произвольную площадку, проведенную мысленно в проводнике, проходит в обе стороны в сред- нем одинаковое количество носителей любого знака, так что сила тока (31.1) равна нулю. При включении поля на хаотическое движение носителей со скоростью v на- лагается упорядоченное движение со скоростью и1). Таким образом, скорость носителей будет v + и. Так как среднее значение v (но не и) равно нулю, то средняя скорость носителей равна и: v + u = v + u = u. Электрический ток может быть распределен по по* верхности, через которую он течет, неравномерно. Более детально электрический ток можно охарактеризовать с помощью вектора плотности тока j. Этот век- тор численно равен силе тока di через расположенную в данной точке перпендикулярную к направлению дви- жения носителей площадку dS±, отнесенной к величине этой площадки: / = ^-. (31.2) За направление j принимается направление вектора скорости и+ упорядоченного движения положительных носителей. Поле вектора плотности тока можно изобразить с по- мощью линий тока, которые строятся так же, как и ли- нии тока в текущей жидкости, линии вектора Бит. д. Зная вектор плотности тока в каждой точке провод- ника, можно найти силу тока i через' любую поверх- ность S: г = J jndS (31.3) з [ср. (7.5) и т. I, формула (82.14)]. ') Подобно этому в потоке газа на хаотическое тепловое дви- жение молекул накладывается упорядоченное движение. 107
Пусть в единице объема содержится п+ положи- тельных носителей и tr отрицательных. Абсолютная ве- личина зарядов носителей равна соответственно е+ и е~. Если под действием поля носители приобретают ско- рости и и~, то за единицу времени через единичную площадку пройдет п+ и+ положительных носителей *), которые перенесут заряд е+п+и+. Аналогично отрица- тельные носители перенесут заряд е~п~и~. Таким обра- зом, для плотности тока получается следующее выра- жение: / = е+п+и+ + е~гги~. (31.4) Ток, не изменяющийся со временем, называется по- стоянным. Мы будем обозначать его силу буквой /, сохранив для непостоянного тока обозначение i. Оче- видно, что '-f. (31.5) где q — заряд, переносимый через рассматриваемую по- верхность за конечное время t. В СИ единица силы тока ампер (а) является ос- новной. Ее определение будет дано позже (см. § 38). Единица заряда кулон определяется как заряд, пе- реносимый за 1 сек через поперечное сечение проводника при силе тока в 1 а. За единицу тока в СГСЭ-системе принимается такой ток, при котором через данную поверхность переносится за 1 сек одна СГСЭ-ед. заряда. Учтя соотношение (3.2), получаем 1 а = 3- 10э- СГСЭ-ед. силы тока. (31.6) § 32. Электродвижущая сила Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер для его поддержания, то, как мы устано- вили d § 22, перемещение носителей заряда приведет очень быстро к тому, что поле внутри проводника ис- *) Выражение для числа молекул, пролетающих через единич- ную площадку в единицу времени, содержит, кроме того, множи- тель 1/4, обусловленный тем, что молекулы движутся хаотически [см. т. I, формулу (100.6)}. В данном случае этого множителя иет, так как все носители данного знака движутся упорядоченно в одну и ту же сторону. 108
Рис. 54. чезнет и, следовательно, ток прекратится. Для того чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом (носители заряда предполагаются положительными) не- прерывно отводить приносимые сюда током заряды, а к концу с большим потенциалом непрерывно их подво- дить (рис. 54). Иными словами, необходимо осуществить круговорот зарядов, при котором они двигались бы по замкнутому пути. Циркуляция вектбра электростатического поля равна нулю [см. формулу (9.2)]. Поэтому в замкну- той цепи наряду с уча- стками, на которых по- ложительные заряды дви- жутся в сторону убывания должны иметься участки, на которых перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания <р, т. е. против сил электро- статического поля (см. изображенную пунктиром часть цепи на рис. 54). Перемещение носителей на этих уча- стках возможно лишь с помощью сил неэлектростатиче- ского происхождения, называемых сторонним и- силами. Таким образом, для поддержания тока необ- ходимы сторонние силы, действующие либо на всем протяжении цепи, либо на отдельных ее участках. Они могут быть обусловлены < химическими процессами, диффузией носителей заряда в неоднородной среде или через границу двух разнородных веществ, электрически- ми (но не электростатическими) полями, порождаемыми меняющимися во времени магнитными полями (см. § 103), и т. д. Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися по цепи зарядами. Величина, равная работе сторонних сил, от- несенной к единице положительного заряда, называется электродвижущей силой (э. д. с.) S, действую- щей в цепи или на ее участке. Следовательно, если ра- бота сторонних сил над.зарядом q равна Л, то по оп- ределению = (32.1) 109
Из сопоставления формул (32.1) и (10.7) вытекает, что размерность э. д. с. совпадает с размерностью по- тенциала. Поэтому измеряется в тех же единицах, что и <р. Стороннюю силу fCI, действующую на заряд q, можно представить в виде fCT Е q. Векторную величину Е* называют напряжен- ностью поля сторонних сил. Работу сторонних сил над зарядом q на всем протяжении замкнутой цепи можно выразить следующим образом: Д = Ф fetid! = q ф Ei dl. Разделив эту работу на q, получим э. д. с., действующую в цепи: % = Eidl. (32.2) Таким образом, э. д. с., действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил. Электродвижущая сила, действующая на участке 1—2, очевидно, равна #12= J E*idl. (32.3) Кроме сторонних сил на заряд действуют силы элек- тростатического поля = qE. Следовательно, резуль- тирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд q, равна f = fCT + fE = q (E* + E). Работа, совершаемая этой силой над зарядом q на уча- стке цепи 1—2, дается выражением Л12 = q J Е* dl + q j Etdl = qS'l2 + q (<Pi - <p2). (32.4) Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, так что А = q<£. НО
Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при пере- мещении единичного положительного заряда, назы- вается падением напряжения или просто на- пряжением U на данном участке цепи. В соответ- ствии с формулой (32.4) ^12 = Ф1 - Ч>2 + & 12- (32.5) При отсутствии сторонних сил напряжение U совпа- дает с разностью потенциалов q»i — <р2- § 33. Закон Ома. Сопротивление проводников Ом экспериментально установил закон, согласно ко- торому сила тока, текущего по однородному металли- ческому проводнику, пропорциональна падению напря- жения U на проводнике: I = ±-U. (33.1) Однородным называется проводник, в котором не дейст- вуют сторонние силы. В этом случае, как мы видели, на- пряжение U совпадает с разностью потенциалов <pi — <р2, поддерживаемой на концах проводника. Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит ом, рав- ный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении в 1 в течет ток силой в 1 а. За единицу сопротивления в гауссовой системе принимается сопротивление такого проводника, в котором при разности потен- циалов в 1 СГСЭ-ед. потенциала течет ток силой в 1 СГСЭ-ед. силы тока. Найдем соотношение между этой единицей и омом: 1 ом = 4-^- = СГСЭ = й х.-. СГСЭ-ед. сопротивления. 1а о • У • 10“ Таким образом, 1 СГСЭ-ед. сопротивления = 9 • 10п ом. (33.2) Величина сопротивления зависит от формы и разме- ров проводника, а также от свойств материала, из ко- торого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника Я = р4> (33-3) 111
где I — длина проводника, S — площадь его поперечного сечения, р — зависящий от свойств материала коэффи- циент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества. Если 1=1 и S = 1, то И численно равно р. В СИ р измеряется в омо-мет- рах (ол-л). На практике' часто характеризуют мате- риал сопротивлением при I = 1 м и S = 1 мм2, т. е. вы- ражают р в — ' . Закон Ома можно записать в дифференциальной форме. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки внутри проводника эле- Н- dl —Н ментарный цилиндрический dS I________1 объем (рис. 55) с образующи- —..j ми, параллельными вектору V w g плотности тока j в данной точке. Через поперечное сече- Рис. 55. ние цилиндра течет ток силой jdS. Напряжение, приложен- ное к цилиндру, равно Edl где Е — напряженность поля в данном месте. Наконец-, сопротивление цилиндра, согласно формуле (33.3), равно р-|^-. Подставим эти значения в формулу (33.1), тогда jdS = -^7- Edl. 1 р al Носители заряда в каждой точке движутся в направ- лении вектора Е. Поэтому направления j и Е совпа- дают1)- Таким образом, можно написать j = lE = oE, (33.4) где о =— —величина, называемая коэффициентом р электропроводности или просто проводи- мостью материала. Формула (33.4) выражает закон Ома в дифферен- циальной форме. Способность вещества проводить ток характери- зуется его удельным сопротивлением р либо проводи- мостью с. Их величина определяется химической при- *) В анизотропных телах направления векторов j и Е могут ле совпадать. 112
родои вещества и условиями, в частности температурой, при которых оно находится. Для большинства металлов удельное сопротивление растет с температурой прибли- зительно по линейному закону: Р = Ро(1 +а/°), где ро — удельное сопротивление при 0° С, t° — темпера- тура по шкале Цельсия, а — коэффициент, численно равный примерно 1/273. Переходя к абсолютной темпе- ратуре, получаем р = РоаТ. (33.5) При низких температурах наблюдаются отступления, от этой закономерности (рис. 56). В большинстве слу- чаев зависимость р от Т следует кривой 1. Величина остаточного сопротивле- ния рост в сильной сте- Р пени зависит от чистоты У материала и наличия остаточных механических напряжений в образце. Поэтому после отжига _—— РоСТ заметно умень- J Г шается. У абсолютно чи- аст [_____|_______________ стого металла с идеально £ т правильной кристалличе- ской решеткой при абсо- Рис- 56. лютном нуле р = 0. У большой группы металлов и сплавов при темпе- ратуре порядка нескольких градусов Кельвина сопро- тивление скачком обращается в нуль (кривая 2 на рис. 56). Впервые это явление, названное сверхпро- водимостью, было обнаружено в 1911 г. Камерлинг- Оннесом для ртути. В дальнейшем сверхпроводимость была обнаружена, у свинца, олова, цинка, алюминия и других металлов, а также у ряда сплавов. Для каж- дого сверхпроводника имеется своя критическая темпе- ратура Тк, при которой он переходит в сверхпроводя- щее состояние. При действии на сверхпроводник магнит- ного поля сверхпроводящее состояние нарушается. Величина критического поля Нк, разрушающего сверх- проводимость, равна нулю при Т = Тк и- растет с пони- жением температуры. 8 И. В. Савельев, т. II 113
Полное теоретическое объяснение сверхпроводимости было дано в 1958 г. советским физиком Н. Н. Боголюбо- вым и его сотрудниками. Зависимость электрического сопротивления от темпе- ратуры положена в основу термометров сопротивления. Такой термометр представляет собой металлическую (обычно платиновую) проволочку')» намотанную на фарфоровый или слюдяной каркас. Проградуированный по постоянным температурным точкам термометр сопро- тивления позволяет измерять с точностью порядка не- скольких сотых градуса как низкие, так и высокие тем- пературы. § 34. Закон Джоуля —Ленца При прохождении по проводнику тока проводник на- гревается. Джоуль и независимо от него Ленц обнару- жили экспериментально, что количество выделяющегося в проводнике тепла пропорционально его сопротивлению, квадрату силы тока и времени: Q = RI2t. (34.1) Если сила тока изменяется со временем, то t Q=]R?dt. (34.2) о Соотношения (34.1) и (34.2) выражают закон Джоуля — Ленца. Подставляя R в омах, i в ампе- рах, a t в секундах, Q получим в джоулях. Закон (34.2) имеет следующее объяснение. Рассмот- рим однородный проводник, к -которому приложено на- пряжение U. За время dt через каждое сечение провод- ника проходит заряд dq = i dt. Это равносильно тому, что заряд dq — idt переносится за время dt из одного конца проводника в другой. При этом силы поля совер- шают работу dA = U dq — Ui dt. Заменяя U в соответ- ствии с законом Ома через Ri и интегрируя, получим для работы электрических сил выражение, совпадающее с выражением (34.2) для Q. Таким образом, нагревание проводника происходит за счет работы, совершаемой си- лами поля над носителями заряда. *) В последнее время все большее применение находят термо- метры сопротивления из полупроводников. U4
От формулы (34.1), определяющей тепло, выделяе- мое во всем проводнике, можно перейти к выражению, характеризующему выделение тепла в различных местах проводника. Выделим в проводнике таким же образом, как это было сделано при выводе формулы (33.4), эле- ментарный объем в виде цилиндра. Согласно закону Джоуля — Ленца за время dt в этом объеме выделится тепло dQ = Ri2 dt = (j dS)2 dt = pj2 dV dt, (34.3) Go где dV — dS dl — величина элементарного объема. Количество тепла dQ, отнесенное к единице времени и единице объема, назовем удельной мощностью тока w. Из (34.3) подучаем w = pj2. (34.4) Воспользовавшись соотношением (33.4) между j, Е, р и о, формуле (34.4) можно придать следующий вид: w — jE = аЕ2. (34.5) Формулы (34.4) и (34.5) выражают закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме. Чтобы, исходя из них, получить количество тепла, выделяющееся во всем проводнике за время t, нужно проинтегрировать w по объему проводника в некоторый момент времени t, а за- тем полученное выражение проинтегрировать по вре- мени t: t Q = J dt J pj2dV. 0 V § 35. Закон Ома для неоднородного участка цепи Закон Ома в виде (33.1) справедлив для однородного участка цепи, т. е. такого участка, в котором не дейст- вует электродвижущая сила. Чтобы получить выражение закона Ома для неоднородного участка цепи, будем ис- ходить из закона сохранения энергий. Пусть на концах участка поддерживается разность потенциалов q»i — <р2 (рис. 57). Э. д. с., действующую на участке, обозначим ^12. Задавшись определенным направлением (например, обозначенным на рис. 57 стрелкой), ток / и э. д. с. <£\ъ 8* 115
нужно рассматривать как алгебраические величины. Ток будем считать положительным, если он течет в направ- лении, указанном стрелкой, и отрицательным при про- тивоположном направлении. Аналогично э. д. с. будем считать положительной, если она действует в направле- нии стрелки (это значит, что над положительным заря- дом, перемещающимся в этом направлении, сторонние силы совершают положительную работу), и отрицатель- ной, если она действует в противоположную сторону. а>о) V, Рис. 57. Если проводники, образующие участок цепи, непод- вижны, единственным результатом прохождения тока будет нагревание проводников. Поэтому работа всех сил (электростатических и сторонних), совершенная над но- сителями заряда, должна быть равна выделившемуся теплу. За время dt по проводнику переносится заряд dq = I dt. Согласно (32.4) работа, совершаемая над этим зарядом, равна dA = SKdq + (ф1 ~ Фг) dq. За время dt выделяется тепло dQ = I2R dt = IR (I dt) = IR dq. Приравнивая эти два выражения и сокращая на dq, получаем /7? = (<Р1 — <р2) + S’i2> (35.1) откуда 7 = (35.2) Формулы (35.1) и (35.2) выражают закон Ома для неоднородного участка цепи. При <^12 = 0 формула (35.2) переходит в выражение (33.1) закона Ома для однородного участка цепи. Положив в (35.1) q>i = <рг> по- лучим выражение закона Ома для замкнутой цепи / = (35.3) 116
где & — э. д. с., действующая в цепи, 7? — суммарное со- противление всей цепи. В дифференциальной форме закон Ома при наличии сторонних сил запишется следующим образом: j = o(E + E*). (35.4) Рассмотрим пример на применение формулы (35.2), Пусть на концах участка цепи поддерживаются потен- циалы ф1 = 20 в и ф2 = 15 в (рис. 58). Участок содержит =-10в (R=1omi 7 О—— <Рг20б г —О Рис. 58. э. д. с. ^’12 = —Ю в (знак минус указывает на то, что э. д. с. действует в направлении 2->/). Сопротивление источника э‘. д. с. 1 ом, остальных звеньев участка 4 ом. Следовательно, полное сопротивление участка Р = 5 ом. Подставим заданные значения в формулу (35.2): 20-15-10 5 — 1а. Для тока получилось отрицательное значение. Это означает, что ток течет в направлении 2 § 36. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа Расчет разветвленных цепей значительно упрощается, если пользоваться правилами, сформулированными Кирхгофом. Этих правил два. Первое из них относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой схо- дится более чем два проводника (рис. 59). Ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак (плюс или минус), текущий от узла — имеющим другой знак (минус или плюс). Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: 2/ft = 0. (36.1) 117
Справедливость этого утверждения вытекает из сле- дующих соображений. Если бы алгебраическая сумма токов была отлична от нуля, в узле происходило бы на- капливание или уменьшение заряда, что в свою очередь приводило бы к изменению потенциа- ла узла и изменению текущих в цепи h токов. Таким образом, чтобы токи в цепи были постоянными, должно вы- 1 полниться условие (36.1). I I Уравнение (36.1) можно написать Jr для каждого из У узлов цепи. Однако независимыми являются только /V—1 Рис. 5j уравнение, У-е будет следствием из них. Выделим мысленно в разветвленной цепи произволь- ный замкнутый контур (см. контур 1—2—3—4—1 на рис. 60). Зададимся направлением обхода (например, Рис. 60. по часовой стрелке, как указано на рисунке) и приме- ним к каждому нз неразветвленных участков контура закон Ома: /1₽1=Ф1-ф2 + ^1, ^2^2 = Ф2 ~ Фз + $2> Лз^З = Фз ~ Ф4 Т ^3, /4^4=Ф4-Ф1 +^4- При сложении этих выражений потенциалы сокра- щаются и получается уравнение 2 4^ = 2^. (36.2)
которое выражает второе правило Кирх- гофа. Уравнение (36.2) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить мыслен- но в данной разветвленной цепи. Но независимыми бу- дут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга. Рис. 61. Так, например, для цепи, изображенной на рис. 61, можно составить три уравнения: 1) для контура 1—2—3—6—1, 2) для контура 3—4—5—6—3, 3) для контура 1—2—3—4—5—6—1. Последний контур получается наложением первых двух. Следовательно, указанные уравнения не будут не- зависимыми. В качестве независимых можно взять лю- бые два уравнения из трех. При составлении уравнений второго правила Кирх- гофа токам и э. д. с. нужно приписывать знаки в соот- ветствии с выбранным направлением обхода. Например, ток /1 на рис. 61 нужно считать отрицательным, так как он течет навстречу выбранному направлению обхода. Э. д. с. ё\ также нужно приписать знак «—», так как она действует в направлении, противоположном направ- лению обхода, и т. д. Направления обхода в каждом из контуров можно выбирать совершенно произвольно и независимо от на
выбора направлений в других контурах. При этом мо- жет случиться, что один и тот же ток либо одна и та же э. д. с. войдет в разные уравнения с различными зна- ками (так получается с током /2 на рис. 61 при указан- ных направлениях обхода в контурах). Это, однако, ие имеет никакого значения, потому что изменение направ- ления обхода вызывает лишь изменение всех знаков в уравнении (36.2) на обратные. Составляя уравнения, следует помнить, что через любое сечение неразветвленного участка цепи течет один и тот же ток. Например, на участке 6 — <$2 течет такой же ток /2, как на участке &2— 3. Число независимых уравнений, составленных в со- ответствии с первым и вторым правилами Кирхгофа, оказывается равным числу различных токов, текущих в разветвленной цепи. Поэтому, если заданы э. д. с. и сопротивления для всех неразветвленных участков, то могут быть вычислены все токи. Можно решить и за- дачи иного рода, например найти э. д. с., которые нужно включить в каждый из участков цепи, чтобы получить при заданных сопротивлениях нужные токи. В заключение разберем пример на расчет развет- вленной цепи, изображенной на рис. 61. Даны /?(, R2, R3, и Нужно иайти &2, при которой ]2 = 1 а, и получающиеся при этом токи /( и /3. Цепь имеет два узла (точки 3 и 6). При указанных стрелками направлениях токов уравнения (36.1) для этих узлов имеют вид — /, + /2 — /3 = О для узла 3, /, —12 +13 = 0 для узла 6. Эти уравнения не независимы — любое из них мож- но получить из другого заменой знаков на обратные. Используем в дальнейшем первое из них. Теперь составим уравнения (36.2) для контуров /—2—3—6—1 И 3—4—5—6—3, приняв в обоих случаях направление обхода по часовой стрелке: -7Л-/2^2=-^1-^2. ) /3/?3 + /2^2 = ^з + ^2'). ’) Рекомендуем читателю составить уравнение для контура /—2—3—4—5—6—1 и убедиться в том, что оно является следствием уравнений (36.4). (36.3) 120
Подставим в уравнения (36.3) и (36.4) заданные ве- личины и перепишем их следующим образом: -1-7,- 1 • /3 + 0.^2= - 1, -г-л-о./з + i .^2= — 4, О • 7,+ 3 • Z3—1 • ^2= 1. Мы пришли к системе из трех уравнений с неизвест- ными Л, /3 и ^2. Решая систему, получа'ем 5? —. 1 1 О ND — 1 со о - 1 1 — — 1 оо 1 1 Л 5 О 2 -1 -1 0 -2 0 1 0 3-1 - 5 Таким же способом можно найти, что lt = 1,2 а, /з = —0,2 а. Для ^2 мы получили отрицательное, значение. Это означает, что направление ^Г2 должно быть взято про- тивоположным изображенному иа рис. 61, которое при- нималось при расчете. Ток /3 также течет не в направ- лении 3—4, как указано на рисунке, а в противоположи ном направлении. § 37. Коэффициент полезного действия источника тока Электрическая цепь состоит, как правило, из источ- ника тока, подводящих проводов и потребителя тока или нагрузки. Каждый из этих элементов цепи обладает со- противлением. Сопротивление подводящих проводов обычно бывает очень мало, поэтому мы будем, им пре- небрегать. Согласно формуле (35.3) ток в цепи где 7?о — сопротивление источника, R — сопротивление нагрузки. Напряжение на нагрузке (совпадающее с напряже- нием на зажимах э. д. с.) 121
меньше &. При R = со (т. е. когда цепь разомкнута) U делается равным <S. Таким образом, напряжение па зажимах разомкнутого источника тока равно его э. д. с. Применив формулу (32.4) к замкнутой цепи, полу- чим, что работа, совершаемая над переносимым вдоль цепи зарядом dq, равна dA = $dq. Разделив работу dA на время dt, за которое она со- вершается, получим мощность, развиваемую источни- ком э. д. с., >э dA dq O>J Таким образом, мощность, развиваемая источником тока, равна Р = 81. (37.2) Подставив в эту формулу значение тока (37.1), по- лучим полную мощность Р, выделяемую во всей цепи, <37-3> В нагрузке выделяется только часть этой мощности: Р = Р/2 — R — Р (37 4) 11 (Ро + Р)2 Ro + R Ro + R’ которую мы назовем полезной мощностью. Остальная мощность расходуется в источнике тока (и подводящих проводах) и оказывается бесполезной. Отношение полезной мощности ко всей мощности, развиваемой э. д. с. в цепи, определяет коэффициент полезного действия (к. п. д.) источника тока: <37-5) Из этой формулы следует, что к. п. д. будет тем больше, чем больше сопротивление нагрузки R по срав- нению с сопротивлением источника Ro. Поэтому сопро- тивление источника стремятся делать как можно мень- шим. Мощность, развиваемая данным источником тока, зависит от сопротивления нагрузки R. Она максималь- 122
на при коротком замыкании (/? = 0), но в этом случае вся мощность выделяется в самом источнике и оказы- вается совершенно бесполезной. С ростом R полная мощность убывает, стре- мясь к нулю при R--><x. Найдем соотношение между R и Ro, при кото- ром полезная мощность, отбираемая от данного источника тока, будет наибольшей. Для этого продифференцируем фор- мулу (37.4) для Рн по R и приравняем производ- ную нулю:- dPg _ V2 Ro R ____ Л dR 0 (Ro + RP Отсюда находим, что Рп имеет максимум при R=Ro (другое решение, R=oo, соответствует ми- нимуму Рн). Следователь- но, чтобы отобрать от данной э. д. с. наибольшую взять сопротивление нагрузки, равное сопротивлению источника тока. Согласно формуле (37.5) к. п.д. в этом случае составляет 0,5. На рис. 62 приведены кривые зависимости Р, Ра и т] от отношения RJR0- Рис. 62. полезную мощность, нужно
ГЛАВА VI МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ § 38. Взаимодействие токов Электрические токи взаимодействуют между собой. Например, два тонких прямолинейных параллельных проводника, по которым текут токи (мы будем назы- вать их прямыми токами), притягивают Друг друга, если токи в них имеют одинаковое, направление, и Опыт показн- вает, что сила взаимодействия, приходящаяся на еди- ницу длины каждого из параллельных проводников, про- порциональна величинам токов в них ц и 1'2 и обратно пропорциональна расстоянию Ь между ними: А = (38.1) По соображениям, которые станут ясными в дальней- шем, коэффициент пропорциональности мы обозначили через 26. Закон взаимодействия токов был установлен в 1820 г. Ампером. С общим выражением этого закона, пригодным для проводников любой формы, мы познако- мимся в § 46. На основании закона (38.1) устанавливается единица силы тока в СИ и в абсолютной электромагнитной си- стеме единиц (СГСМ-системе). Единица силы тока в СИ—ампер—определяется как сила неизменяюще- гося тока, который, проходя по двум параллельным пря- молинейным проводникам бесконечной длины и ничтож- но малого кругового сечения, расположенным на рас- стоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2- 101 н на каждый метр длины. 124
Кулон определяют как заряд, проходящий за 1 сек через поперечное Сечение проводника, по которому те- чет постоянный ток силой в 1 fl. В соответствии с этим кулон называют также ампер-секундой (а-сек). В рационализованном виде формула (38.1) записы- вается следующим образом: <38-2> где go — так называемая магнитная постоянная [ср. с формулой (4.1)]. Чтобы найти численное значение цо» воспользуемся тем, что согласно определению ампера при it = i2 = 1 а й b = 1 м fi получается равной 2-10 7 н/м. Подставим эти значения в формулу (38.2): 2- 10“7 = -^4^- 4л 1 Отсюда Но = 4д • 10-7 гн/м ’)• (38.3) Коэффициент k в формуле (38.1) можно сделать равным 1 за счет выбора единицы измерения силы тока. Так устанавливается абсолютная электромагнитная единица силы тока (СГСМ-ед. силы тока), которая определяется как сила такого тока, который, проте- кая по_тонкому прямолинейному бесконечно длинному проводу, дей- ствует на равный и параллельный ему прямой ток, отстоящий на 1 см, с силой в 2 дин на каждый сантиметр длины. В СГСЭ-системе k оказывается размерной величиной, не рав- ной единице. Согласно формуле (38.1) размерность k определяется следующим выражением: ГЫ IMIt] [fl И841 [/г1= (38Л) Мы учли, что размерность fi есть размерность силы, деленная на размерность длины, поэтому размерность произведения ftb равна размерности силы. Согласно формулам (3.1) и (31.5) [fl = -^; Р1 = -у-. Подставляя эти значения в выражение (38.4), находим, что Т2 [*]=р. Таким образом, в СГСЭ-системе k можно представить в виде *) Генри на метр (см. § 59). 125
где с—имеющая размерность скорости величина, называемая элек- тродинамической постоянной. Чтобы найти ее числен- ное значение, воспользуемся соотношением (3.2) между кулоном и СГСЭ-единицей заряда, которое было установлено опытным путем. Сила в 2 • 10-7 н/м эквивалентна 2 • 10 4 дин/см. Согласно формуле (38.1) с такой силой взаимодействуют токи до 3-109 СГСЭ-единиц (т. е. 1 с) каждый при b = 100 см. Следовательно, 9 1п-4 1 2-3-109-3-109 с2 100 откуда с = 3- 10'° см/сек. (38.6) Значение электродинамической постоянной совпадает со значе- нием скорости света в пустоте. Из теории Максвелла вытекает су- ществование электромагнитных волн, скорость которых в пустоте равна электродинамической постоянной с. Совпадение с со ско- ростью света в пустоте дало основание Максвеллу предположить, что свет есть электромагнитная волна. Значение k в формуле (38.1) ' равно 1 в СГСМ-системе и 1 1 —псГлТо---v в СГСЭ-системе. Отсюда следует, что ток силой с2 (3 • 10,с)2 см2 в 1 СГСМ-едишщу эквивалентен току силой в 3-Ю10 СГСЭ-единиц: 1 СГСМ-ед. силы тока = 3 • 1010 СГСЭ-ед. силы тока — Юс. (38.7) Таким образом, icrCM = у г’сгсэ. Соответственно, <7СГСМ== = у ?сг’сэ • Поэтому в гауссовой системе во все формулы, содер- жащие наряду с магнитными величинами силу тока или заряд, входит по одному множителю 1/с на каждую стоящую в формуле величину i или q. Этот множитель превращает значение соответ- ствующей величины (i или q), выраженное в единицах СГСЭ, в зна- чение. выраженное в единицах СГСМ (система единиц СГСМ по- строена так, что коэффициенты пропорциональности во всех фор- мулах равны 1). § 39. Магнитное поле Взаимодействие токов осуществляется через поле, которое называется магнитным. Это название про- исходит от того, что, как обнаружил в 1820 г. Эрстед, поле, создаваемое током, оказывает ориентирующее дей- ствие на магнитную стрелку. Итак, движущиеся заряды (токи) изменяют свой- ства окружающего их пространства — создают в нем магнитное поле. Это поле проявляется в том, что на движущиеся в нем заряды (токи) действуют силы. 126
Подобно тому, как для исследования электрического поля мы использовали пробный точечный заряд, при- меним для исследования магнитного поля пробный ток, циркулирующий в плоском замкнутом контуре очень малых размеров. Ориентацию контура в пространстве будем характеризовать направлением нормали к кон- туру, связанной с направлением тока правилом правого винта (рис. 63). Такую нормаль мы бу- дем называть положительной. . Внеся пробный контур в магнитное поле, мы обнаружим, что поле оказывает Г на контур ориентирующее действие, \ \ устанавливая его положительной нор- I ) малью в определенном направлении. Примем это направление за направление Рис 63 поля в данной точке. Если контур повер- нуть так, -чтобы направления нормали и поля не сов- падали, возникает вращательный момент, стремящийся вернуть контур в равновесное положение. Величина мо- мента зависит от угла а между нормалью и направле- нием поля, достигая наибольшего значения Мтах прн <z = -g- (при а = 0 момент равен нулю). Вращательный момент зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств контура. Внося в одну и ту же точку разные пробные контуры, мы обнаружим, что величина Мтах пропорциональна силе тока / в кон- туре и площади контура S и совершенно не зависит от формы контура Таким образом, действие магнитного поля на плоский контур с током определяется вели- чиной pm = ZS, (39.1) которую называют магнитным моментом кон- тура (аналогично вращательный момент, действую- щий в электрическом поле на диполь, пропорционален электрическому моменту диполя р = ql). В гауссовой системе магнитный момент должен измеряться в СГСМ-единицах, а сила .тока — в СГСЭ-единицах. Поэтому в вы- ражение для рт в гауссовой системе вводится множитель 1/с: Рт~ — 1S. (39.2) 127
Кроме силы тока 1 и площади S, контур характери- зуется также ориентацией в пространстве. Поэтому маг- нитный момент следует рассматривать как вектор, на- правление которого совпадает с направлением положи- тельной нормали: Pm = Рп№ (п — единичный вектор). На пробные контуры, отличающиеся значением рт, действуют в данной точке поля разные по величине вра-. щательные моменты Мгаах. Однако отношение Mnax/Pm будет для всех контуров одно и то же и может быть принято для количественной характеристики поля. Фи- зическую величину В, пропорциональную этому отно- шению, называют магнитной индукцией: (39.3) Магнитная индукция — вектор, направление которого определяется равновесным направлением положитель- ной нормали к пробному контуру (мы назвали его на- правлением поля). Формула (39.3) определяет модуль вектора В. Поле вектора В можно представить наглядно с по- мощью линий магнитной индукции, которые строятся по тем же правилам, что и Линии вектора Е (см. § 7). Из сказанного вытекает, что В характеризует сило- вое действие магнитного поля на ток и, следовательно, является аналогом напряженности электрического по- ля Е, которая характеризует силовое действие электри- ческого поля на заряд. § 40. Закон Био — Савара. Поле движущегося заряда Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнит- ных полей токов различной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна силе тока, создающего магнитное поле, и более или ме- нее сложным образом зависит от расстояния до той точ- ки, в которой определялась В. Лаплас -проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, 128
создаваемых отдельными элементарными участками тока. Для магнитной индукции поля, создаваемого эле- ментом тока длины dl, Лаплас получил формулу dB = k' '), (40.1) где k' — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения, I сила тока, dl — вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направ- ленный в ту сторону, в какую течет ток (рис. 64), г — век- тор, проведенный от элемента тока в ту точку, в которой он- ределяется dB, г — модуль это- го вектора. Соотношение (40.1) носит название закона Био — С авара — Лапласа или более кратко закона Био — С а в а р а. Направлен вектор dB пер- пендикулярно к плоскости, про- ходящей через dl и точку, в ко- торой вычисляется поле, при- чем так, что вращение вокруг dl в направлении dB связано с dl правилом правого винта (рис. dB можно написать следующее выражение: ,,, ,, i dl sin а dB = k ——5—-, 64). Для модуля (40.2) где а — угол между векторами dl и г. В рационализованной форме закон Био — ('авара за- писывается следующим образом: dfi <dfsin« (40.3) 4л г2 х ' т. е. полагается k' = ~. Единица магнитной индукции в СИ называется тесла (тл). В системах СГСЭ и СГСМ единицы измерения В выбираются так, чтобы коэффициент k’ в выражении закона Био — Савара был 1) Напоминаем, что в этой главе рассматриваются только маг- нитные поля в вакууме. 9 И. В, Савельев, т. 11 129
Гравен 1. Следовательно, между единицами В в этих системах имеется то же соотношение, что и между единицами силы тока: 1 СГСМ-ед. В = 3 • 1010 СГСЭ-ед. В. (40.4) СГСМ-единица магнитной индукции имеет специальное название — гаусс (гс). Гаусс предложил абсолютную систему единиц, в которой все электрические величины (заряд, сила тока и т. п.) измеряются в единицах СГСЭ-системы, а магнитные (магнитный момент, магнит- ная индукция и т. п.) — в единицах СГСМ-системы. В гауссовой системе закон Био — Савара имеет вид (405) с г2 ' (по поводу множителя 1/с см. стр. 126). Электрический ток есть, как мы знаем, упорядочен- ное движение зарядов. Таким образом, магнитное поле возбуждается движущимися зарядами. Поле (40.1) со- здается всеми движущимися зарядами, заключенными в элементе тока dl. Чтобы найти магнитную индукцию поля, создаваемого одним движущимся зарядом, преоб- разуем выражение (40.1), заменив в нем силу тока i произведением плотности тока / на площадь поперечного сечения проводника 5. Вектор плотности тока j и век- тор dl имеют одинаковое направление. Поэтому можно написать, что idl = Sjdl. (40.6) Если все носители заряда в проводнике одинаковы и имеют заряд е' (е7— алгебраическая величина), век- тор плотности тока можно представить в виде [см. (31.4)] j = e'nu, (40.7) где п — число носителей в единице объема, и — средняя скорость их упорядоченного движения. Заметим, что когда носители тока положительны, j и и имеют одина- ковое направление. В случае отрицательных носителей j и и направлены в противоположные стороны. Подставим в формулу (40.1) выражение (40.6) для idl, заменив в нем j согласно (40.7) (k' полагаем равным ро/4л). В результате получим, что (40.8) 130
Произведение S din дает число носителей заряда, заклю- ченных в элементе провода длины dl. Разделив выраже- ние (40.8) на это число, получим магнитную индукцию поля, создаваемого одним зарядом, движущимся со ско- ростью и. Если заряд е' движется со скоростью v, то индукция создаваемого этим зарядом магнитного поля в точке, положение которой относительно заряда определяется радиусом-вектором г, равна В = ±2-Х1У!1. (40.9) 4л г3 В гауссовой системе эта формула имеет вид (40.1'0 с г3 Следует иметь в виду, что электромагнитные возму- щения распространяются в пространстве с конечной ско- ростью, равной скорости света с. Поэтому поле в дан- ной точке пространства будет соответствовать тому со- стоянию (т. е. положению и скорости) заряда, которое существовало на х = г<с секунд раньше (г—расстояние от точки, где был на т секунд раньше заряд, до точки, в которой определяется В). Таким образом, имеет место запаздывание значений поля, тем большее, чем дальше отстоит данная точка поля от вызвавшего это поле за- ряда. Формулы (40.9) и (40.10) дают правильный ре- зультат лишь в том случае, если перемещением заряда за время т (которое равно от) можно пренебречь по сравнению с растоянием г до данной точки поля, т. е. при соблюдении условия: от г. Разделив неравенство на т и приняв во внимание, что r/т равно с, получим условие v -С с, (40.11) при котором справедливы формулы (40.9) и (40.10). § 41. Поля прямого и кругового токов Применим формулу (40.3) для вычисления полей про- стейших токов. Рассмотрим поле, создаваемое током, те- кущим по бесконечному прямому проводу (рис. 65). Все dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае за чертеж). Поэтому сложение векто- ров dB можно заменить сложением их модулей. Точка, 9* 131
для которой мы вычисляем магнитную индукцию, нахо- дится на расстоянии b от провода. Из рис. 65 видно, что Ь г da b da г — ——, al = —— = —г-?—. sin a sin a sin2 а Подставим эти значения в формулу (40.3): . D u0 tb da sin a sin2 a u0 i j dB = V---------------------------= -у2- -r- sin a da. 4.n b2 sin^ а 4л b Угол а для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до л. Следовательно, Я В = I dB = ~~ f sinada = ц0-йЦ-. J 4л b J ‘ и 2лЬ о Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой В = (41-1) В гауссовой системе эта формула имеет вид 1 2/ В = —4-. (41.2) с b Линии магнитной индукции поля прямого тока пред- ставляют собой систему охватывающих провод кон- центрических окружностей (рис. 66). Из формулы (41.1) следует, , 1 что на расстоянии Ь = — м от Рис. 66. прямого провода, по которому течет ток силой 1 а, магнитная ин- дукция численно равна магнитной постоянной цо- Приняв во вни- мание значение (38.3) для Но, найдем, что в рассматриваемом слу- чае В — 4л • 10 7 тл. Чтобы получить для того же случая значение В 132
в гауссах, подставим в (41.2) с = 3-1010 см]сек, i = 3-109 СГСЭ [см. (31.6)], b = (100/2л) см: „ 1 21 1 2-3-10е л ,„_3 В с b 3 • 1010 (100/2л) 4л‘ ° гС‘ Таким образом, 4л-10-7тл эквивалентны 4л • 10~3 гс, откуда 1 тл = 104 гс. (41.3) Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиу- са R (круговой ток). Определим магнитную индукцию в центре кругового тока (рис. 67). Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль поло- жительной нормали к контуру. Поэтому векторное сло- жение dB сводится к сложению их модулей. По форму- ле (40.3) 4л 7?2 (а = л/2). Проинтегрируем это выражение по всему контуру: В = j* dB = J ^/ = 2лЯ = Ро 2^• Итак, магнитная индукция в центре кругового тока равна В = 110^-. (41.4) Теперь найдем В на оси кругового тока, на расстоя- нии х от плоскости, в которой лежит контур (рис. 68). Векторы dB перпендикулярны к плоскостям, проходящим 133
через соответствующие dl и г. Следовательно, они образуют симметричный конический веер (рис. 68,6). Из соображений симметрии можно заключить, что ре- зультирующий вектор В направлен вдоль оси тока. Каж- дый из составляющих векторов dB вносит в результи- рующий вектор вклад dB|, равный по модулю dB sin |3= п — dB— .Угол а между dl и г прямой, поэтому j/> ./n R Но idl Но iRdl dBi = dBT = -^-7r-=-^-7-. Проинтегрировав по всему контуру и заменив г на У AJ2 + х2, получим В = ^11 = 7^4 4л г3 d/ = ^ — 2nR = 4л г3 Но 2ttR2i 4л (Я2 + х2)’/г’ (41.5) При х = 0 эта формула переходит, как и должно быть, в формулу (41.4) для магнитной индукции в центре кру- гового тока. Стоящее в числителе соотношения (41.5) выражение nR2i равно рт — магнитному моменту контура. На боль- ших расстояниях от контура в знаменателе можно пре- небречь R2 по сравнению с х2. Тогда формула (41.5) принимает вид о__ Но %Рт 4л X3 ’ аналогичный выражению (6.2) для напряженности элек- трического поля на оси диполя. Учитывая, что В на оси кругового тока и рт направлены вдоль положительной нормали к контуру, можно написать в = 1!о 2р^ (41.6) 4л х3 ' ' На рис. 69 изображены линии магнитной индукции поля кругового тока. Даны лишь линии, лежащие в од- ной из плоскостей, проходящих через ось тока. Подоб- ная же картина имеет место в любой из этих плоско- стей. 134
Из рис. 70 видно, что два одинаковых соосных кру- говых тока создают в плоскости, относительно которой Рис. 69. они симметричны, магнитную индукцию, направленную в каждой точке перпендикулярно к этой плоскости. § 42. Циркуляция вектора В. Поле соленоида и тороида Возьмем контур, охватывающий прямой ток, и вы- числим для него циркуляцию вектора В: (£ Bt dl. Вначале рассмотрим случай, когда контур лежит в пло- скости, перпендикулярной к току (рис. 71; ток перпен- дикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по каса- тельной к окружности, проходящей через эту точку. Вос- пользовавшись известным свойством скалярного произ- ведения векторов, B-idl можно заменить через BdlB, где dlB — проекция перемещения dl на направление В. Но dlB можно представить в виде Rda, где R— расстояние от прямого тока до dl, da — угол, на который поворачи- вается радиальная прямая при перемещении вдоль 135
контура на отрезок dl. Поэтому, учтя выражение (41.1) для В, можно написать Таким образом, выражение для циркуляции имеет вид = (42.1) При обходе по контуру, охватывающему ток, ради- альная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому ф da = 2л. Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 72). В этом случае при обходе по контуру ра- диальная прямая поворачи- вается сначала в одном на- правлении (участок 1—2), а затем в противоположном (участок 2—/), вследствие чего ф da будет равен нулю. Рис. 73. Учитывая этот результат, можно написать § Btdl = poi, (42.2) где под i следует подразу- мевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю. Случаи контура произвольной формы (рис. 73) отли- чается от рассмотренного нами случая лишь тем, что при перемещении вдоль контура радиальная прямая не 136
только поворачивается вокруг тока, ио и перемещается вдоль него. Все предыдущие выкладки остаются спра- ведливыми, если под da подразумевать угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на перпен- дикулярную к току плоскость. Суммарный угол поворота этой проекции равен 2л, если контур охватывает ток, и нулю в противном случае. Следовательно, мы снова при- ходим к формуле (42.2). Эта формула получена нами для случая прямого тока. Можно показать, что она спра- ведлива и для тока, текущего по проводнику произволь- ной формы. Если контур охватывает несколько токов, циркуля- ция В равна их алгебраической сумме: dl = ц0 У} i. (42.3) Вычисляя сумму токов, положительным нужно считать такой ток, направление которого связано с направле- нием обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным. Выражение (42.3) справедливо только для поля в вакууме. Для поля в веществе в формуле (42.3), кроме токов, текущих по проводам (макротоков), необходимо учитывать также молекулярные токи (см. § 44). Воспользовавшись соотношением (31.3), можно напи- сать = jtldS, (42.4) s где S — произвольная поверхность, опирающаяся па дан- ный контур. В гауссовой системе формула (42.3) имеет вид = V,; (12.5) Величины Е и В являются основными силовыми ха- рактеристиками соответствующих полей. Сопоставление выражений (9.2) и (42.3) для циркуляций Е и В позво- ляет заключить, что между этими полями имеется прин- ципиальное различие. Циркуляция напряженности элек- тростатического поля всегда равна нулю, следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть оха- рактеризовано потенциалом гр. Циркуляция магнитной 137
индукции отлична от пуля, если контур, по которому берется циркуляция, охватывает ток. Поля, обладающие таким свойством, называются вихревыми (или со- леноидальными). Магнитному полю нельзя припи- сать потенциал, который был бы связан с магнитной индукцией соотношением, аналогичным формуле (П-7). Этот потенциал не был бы однозначным — после каждого обхода по контуру, охваты- вающему ток, и возвращения ОСуЭООООуСЮС) в первоначальную точку он / Z получал бы приращение, рав- ___ ное ро/. Далее, линии напряженно- ; ; сти электростатического поля |__________j начинаются и заканчиваются на зарядах. Как показывает Рис. 74. опыт, линии магнитной индук- ции, напротив, всегда замкну- ты (см. рис. 66, 69 и 75). Это указывает на то, что магнитных зарядов в природе не существует. Применим формулу (42.3) для вычисления магнит- ной индукции поля бесконечно длинного соленоида. Со- леноид (рис. 74) представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический кар- кас. В отношении создаваемого им поля соленоид экви- валентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоско- сти. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция ко- торого перпендикулярна к плоскости (см. рис. 70). Сле- довательно, в любой точке внутри и вне соленоида век- тор В может иметь лишь направление, параллельное оси. Возьмем прямоугольный контур 1—2—3—4 (рис. 74). Циркуляцию В по этому контуру можно представить следующим образом: 2 = J B(dl + 3 J" В i dl + 4 i j B[dl + J Btdt. 3 4 Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор В перпендику- лярен к участкам контура, по которым они берутся. 138
Взяв участок 3—4 на большом расстоянии от соленоида (где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно ут- верждать, что §Btdl = jBtdl = Bl; здесь В — магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1—2, I— длина этого отрезка. Если отрезок /—2 проходит внутри соленоида на лю- бом расстоянии от его оси, контур охватывает суммар- ный ток nli, где п — число витков соленоида, приходя- щееся на единицу его длины, i — сила тока в соленоиде. Поэтому согласно (42.3) Bt dl = Bl — ixonli, откуда В = цопг. (42.6) В гауссовой системе эта формула имеет вид В = — ni. (42.7) с Отметим, что полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленои- да) располагается отрезок 1—2. Если этот отрезок рас- полагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего (jj Bi dl = Bl = О, откуда В = 0. Таким образом, вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри— всюду одинакова и имеет величину, определяемую фор- мулой (42.6). По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве. В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соле- ноида (магнитное). Произведение ni называется числом ампер-витков на метр. При п = 1000 витков на метр и силе тока в 1 а магнитная индукция внутри соленоида будет 4л • 10-4 тл — = 4л гс [см. (41.3)]. 139
Подобно тому, как оба круговых тока на рис. 70 вно- сят одинаковый вклад в результирующее поле, обе по- ловины бесконечно длинного соленоида принимают рав- ное участие в создании поля (42.6). Поэтому, если по- ловину соленоида убрать, то у конца оставшегося «полубесконечного» соленоида магнитная индукция бу- дет равна половине значения, получаемого из (42.6): В = уроп/. (42.8) Практически, если длина соленоида значительно больше, чем его диаметр, формула (42.6) будет справедлива для точек в средней части соле- ноида, а формула (42.8) для точек вблизи его концов. Рис. 75. Рис. 76. На рис. 75 показана примерная картина линий маг- нитной индукции для соленоида конечной длины. Тороид представляет собой тонкий провод, плотно на- витый на каркас, имеющий форму тора (рис. 76). Он эквивалентен системе одинаковых круговых токов, цент- ры которых расположены по окружности. Возьмем кон- тур в виде окружности радиуса г, центр которой совпа- дает с центром тороида. В силу симметрии вектор В в каждой точке должен быть направлен по касательной к контуру. Следовательно, (j) Bi dl — В • 2лг, где В — магнитная индукция в тех точках, где проходит контур, 140
Если контур проходит внутри тороида, он охватывает ток 2nRni (R— радиус тороида, п — число битков на единицу его длины). В этом случае В • 2лг = n02nRni, откуда о • R В = \1йт — . (42.9) Контур, проходящий вне тороида, токов не охваты- вает, поэтому для него B-2nz = 9. Таким образом, вне тороида магнитная индукция равна нулю. Для тороида, радиус которого R значительно превос- ходит радиус витка, отношение R/r для всех точек внутри тороида мало отличается от единицы и вместо (42.9) получается такая же формула, как для бесконечно длинного соленоида: В = рош‘. (42.10) В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечении тороида. В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому говорить об од- нородности поля в пределах всего тороида можно только условно, имея в виду модуль вектора В.
ГЛАВА Vll МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ § 43. Магнитное поле в веществе В предыдущей главе предполагалось, что проводники, по которым текут токи, создающие магнитное поле, на- ходятся в вакууме. Если несущие ток проводники нахо- дятся в какой-либо среде, магнитное поле существенным образом изменяется. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный мо- мент (намагничиваться). Намагниченное вещество соз- дает магнитное поле В', которое накладывается на об- условленное токами поле Во. Оба поля в сумме дают ре- зультирующее поле: В = В0+В'. (43.1) Истинное (микроскопическое) поле в магнетике силь- но изменяется в пределах межмолекулярных расстояний. Под В подразумевается усредненное (макроскопическое) поле (см. § 16). Для объяснения намагничения тел Ампер предполо- жил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориен- тированы беспорядочным образом, вследствие чего об- условленное ими результирующее поле равно нулю. В силу хаотической ориентации магнитных моментов от- дельных молекул суммарный магнитный момент тела также равен нулю. Под действием поля магнитные мо- менты молекул приобретают преимущественную ориен- 142
тацию в одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается — его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. Магнитные поля отдель- ных молекулярных токов в этом случае уже не ком- пенсируют друг друга и возникает поле В'. Намагничение магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют вектором намагничивания и обозна- чают J. Если магнетик намагничен неоднородно, вектор намагничения в данной точке определяется следующим выражением: У Р^п J = (43.2) где ДЕ—физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, рт — магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование производит- ся по всем молекулам, заключенным в объеме ДЕ [ср. с формулой (15.1)]. § 44. Описание поля в магнетиках Найдем поток вектора В = Во + В7 через произволь-. ную замкнутую поверхность: Фв = ($ Вп dS = (£ (Во + В')„ dS = BOndS + &В'п dS. s s S s В § 42 было установлено, что линии вектора Во (ха< рактеризующего поле, создаваемое макроскопическими токами) всегда замкнуты. То же самое справедливо и для линий вектора В'. Поэтому оба интеграла, стоящие справа, равны нулю (каждая из линий Во или В' пере- секает замкнутую поверхность четное число раз, причем она входит внутрь поверхности столько же раз, сколько выходит наружу). Следовательно, <D£=jB„dS = O. (44.1) s Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через лю- бую замкнутую поверхность равен нулю. ИЗ
Теперь обратимся к циркуляции вектора В, которая по определению равна (j) Bi dl ~.(р (Bp + W)tdl — (j; Вoi dl Вi dl. В § 42 было установлено, что циркуляция вектора Во, выражаемая первым из интегралов, стоящих в пра- вой части, пропорциональна алгебраической сумме мак- роскопических токов t, охватываемых контуром, по ко- торому берется циркуляция. Аналогично циркуляция вектора В' (второе слагаемое) должна быть пропорцио- нальна сумме всех, охватываемых контуром молекуляр- ных токов /м. Следовательно, циркуляция вектора В ре- зультирующего поля пропорциональна сумме всех охва- тываемых контуром токов (как макроскопических i, так и молекулярных /м): Bidl = po V / + ц0 У /ы. (44.2) Возникает ситуация, аналогичная той, с которой мы столкнулись при рассмотрении электрического поля в диэлектриках [см. формулу (16.2)]: для того чтобы опре- делить В, нужно знать не толь- Рнс. 77. ко токи, текущие по проводам, но и молекулярные токи. Путь, позволяющий обойти эт ) за- труднение, также аналогичен тому пути, которым мы вос- пользовались в § 16. Сказы- вается, можно найти такую вспомогательную величину, ко- торая связана простым соотно- шением с вектором В п опреде- ляется лишь макроскопически- ми токами. Чтобы установить вид этой вспомогательной величи- ны, попробуем выразить фигурирующую в (44.2) сумму молекулярных токов через вектор намагничения магне- тика J!)- В эту сумму должны войти только те молеку- лярные токи, которые оказываются «нанизанными» на контур, для которого вычисляется циркуляция. Как вид- но из рис. 77, элемент контура dl, образующий с направ- ’) В § 16 мы выразили сумму связанных зарядов через вектор поляризации диэлектрика Р. 144
лением намагничения угол а, пересекает те молекуляр- ные токи, центры которых попадают внутрь косого ци- линдра с объемом SM cos ndl (SM — площадь, охваты- ваемая отдельным молекулярным током). Если п —число молекул в единице объема, то суммарный ток, охваты- ваемый элементом dl, равен IMnSM cos a dl. Произведе- ние /MSM равно магнитному моменту рт отдельного мо- лекулярного тока. Следовательно, выражение lMSKn представляет собой магнитный момент единицы объема, т. е. дает модуль вектора J, a /MSMncosa— проекцию Л вектора J на направление элемента dl. Таким образом, суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом dl, равен Jidl, а сумма молекулярных токов, охватывае- мых всем контуром: ^I^jhdl. (44.3) Исключив из формул (44.2) и (44.3) сумму молеку- лярных токов, легко получить следующее соотношение: <44-4> Выражение, стоящее в скобках под знаком интегра- ла, и есть искомая вспомогательная величина. Ее обо- значают буквой Н и называют напряженностью магнит- ного поля. Итак, напряженностью магнитного поля называется физическая величина, определяемая соотно- шением (44.5) Во С использованием этой величины формула (44.4) может быть записана в виде f И‘ dl = 2 1’ (44.6) Если макроскопические токи распределены в про- странстве с плотностью j, формула (44.6) видоизме- няется следующим образом: £ Hi dl = (jj /„ dS (44.7) s (S — произвольная поверхность, ограниченная конту- ром, по которому берется циркуляция). Ю И. В. Савельев, т. II 145
Формулы (44.6) и (44.7) выражают теорему о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора на- пряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром. Из сказанного выше вытекает, что напряженность магнитного поля Н является аналогом электрического смещения (электрической индукции) D. Первоначально предполагалось, что в природе имеются подобные элек- трическим зарядам магнитные массы, и учение о магне- тизме развивалось по аналогии с учением об электриче- стве. В те времена и были введены названия: «магнит- ная индукция» для В и «напряженность поля» для Н. Впоследствии выяснилось, что магнитных масс в при- роде не существует и что величина, названная магнит- ной индукцией, в действительности является аналогом Не электрического смещения D, а напряженности элек- трического поля Е (соответственно Н —- аналогом не Е, a D). Однако изменять уже установившуюся термино- логию не стали, тем более, что вследствие различной природы электрического и магнитного полей (электро- статическое поле потенциально, магнитное — соленои- дально) величины В и D обнаруживают много сходства в своем поведении (например, линии В, как и линии D, не претерпевают разрыва на границе двух сред). В вакууме J = 0, поэтому Н превращается в В/ц0 и формулы (44.6) и (44.7) переходят в формулы (42.3) и (42.4). Из формулы (41.1) следует, что напряженность поля прямого тока в вакууме определяется выражением из которого видно, что напряженность магнитного поля имеет размерность, равную размерности силы тока, де- ленной на размерность длины. В соответствии с этим единица напряженности магнитного поля в СИ носит название ампер на метр (а/м). Согласно (44.8) на рас- стоянии b = м от прямого провода, по которому течет ток силой 1 а, напряженность магнитного поля равна 1 а/м. Напомним, что магнитная индукция в этом случае равна 4л-10~7 тл [см. § 41]. 146
В гауссовой системе напряженность магнитного поля опреде- ляют следующим образом: Н = В - 4лЛ, (44.9) а выражение для циркуляции имеет вид (44.10) Как вытекает из (44.9) в вакууме Н = В. В соответствии с этим единица измерения Н в гауссовой системе, называемая эрстедом, имеет ту же величину и размерность, что и единица магнитной ин- дукции — гаусс. По существу эрстед и гаусс суть разные названия одной и той же единицы. Если этой единицей измеряют Н, ее назы- вают эрстедом (э), если измеряют В, то — гауссом. Таким образом, Н прямого тока в вакууме определяется той же формулой (41.2), которой определяется В, причем И в эрстедах численно равна В в гауссах. Согласно расчету, предшествовавшему соотношению (41.3), Н на расстоянии м от прямого тока силой 1 а равна 4л • 10~3 э. В СИ та же напряженность равна 1 а/м. Сле- довательно, или 1 а/м = 4л • 10 3 э 1 э = 79,6 а!м («80 а/м). (44.11) Вектор намагничения J принято связывать не с маг- нитной индукцией, а с напряженностью поля. Как пока- зывает опыт, вектор J связан с вектором Н в той же точке магнетика соотношением J /H, (44.12) где % — характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью1). Согласно (44.5) размерность Н совпадает с размер- ностью J. Следовательно, %—безразмерная величина. Подставив в формулу (44.5) выражение (44.12) для J, получим откуда Н=-^-хН, ,, . в Во (1 + X) * (44.13) *) В анизотропных средах направления векторов J и Н могут не совладать. 10’ 147
Безразмерная величина р=1+Х (44.14) называется относительной магнитной про- ницаемостью или просто магнитной про- ницаемостью’) вещества. В отличие от диэлектрической восприимчивости х, ко- торая принимает лишь положительные значения (вектор поляризации Р в изотропном диэлектрике всегда направ- лен по полю Е), магнитная восприимчивость % бывает гак положительной, так и отрицательной. Поэтому маг- нитная проницаемость р может быть как больше, так и меньше единицы. Подставив (44.14) в формулу (44.13), придем к со- отношению Н=—, (44.15) Р-оМ которое и является тем простым соотношением между векторами В и Н, о котором упоминалось выше. Таким образом, напряженность магнитного поля Н есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор В, но в цоц раз меньший по модулю (в анизотропных сре- дах векторы Н и В могут не совпадать по направлению). Соотношение (44.12), связывающее векторы J и Н, имеет точно такой вид и в гауссовой системе. Подставив это выражение в фор- мулу (44.9), получим Н = В — 4л/Н, откуда Безразмерная величина ц=1 + 4л% (44.17) называется магнитной проницаемостью вещества. Введя эту величину в формулу (44.16), получим Н = —. (44.18) И Легко видеть, что р в гауссовой системе совпадает с р в СИ. Сопоставление формул (44.14) и (44.17) показывает, что значение ’) Иногда для упрощения формул вводят так называемую аб- солютную магнитную проницаемость ро = pop. Однако эта вели- чина физического смысла не имеет и мы ею пользоваться не будем. 148
магнитной восприимчивости в рационализованной системе превос- ходит в 4л раз значение х в гауссовой системе: Хси = 4лХгс- (44-19> Перейдем к выяснению физического смысла величин Нир. Рассмотрим однородное магнитное поле в ваку- уме, которое можно задать с помощью либо вектора Во, либо вектора Но = В0/р0. Вектор Но мы назовем напря- женностью внешнего поля. Внесем в это поле бесконечно длинный круглый стержень из однородного магнетика и расположим его вдоль Во (рис. 78). Под действием поля молекулярные токн установятся так, что их маг- нитные моменты располо- жатся вдоль оси стержня, вследствие чего их плоско- сти станут перпендикуляр- ными к этой оси. Рассмот- рим молекулярные токи, ле- жащие в произвольно вы- бранном поперечном сече- нии стержня. В каждой точке внутри стержня смежные молекулярные токи текут в противоположные стороны, так что их совместное действие равно нулю. Некомпен- сированными будут лишь участки токов, примыкающие к поверхности стрежня. Таким образом, суммарное дей- ствие молекулярных токов будет таким, какое вызвал бы макроскопический ток, текущий по поверхности стержня. Обозначим силу этого тока, приходящуюся на единицу длины стержня (линейную плотность тока), через /[. Очевидно, что цилиндр, обтекаемый током, эк- вивалентен соленоиду с числом ампер-витков ш, равным линейной плотности тока Л. Следовательно, все моле- кулярные токи возбуждают совместно такое поле, какое создал бы в вакууме соленоид с числом ампер-витков, равным Согласно формуле (42.6) магнитная индук- ция этого поля равна В' —• 1. (44.20) Легко видеть, что направление В' совпадает с направ- лением Во. Вне стержня В' равна нулю. 149
Выделим мысленно в стержне перпендикулярный к оси слой толщины dl. Молекулярные токи, заключен- ные в объеме этого слоя, эквивалентны круговому току силы hdl. Согласно формуле (39.1) магнитный момент этого тока равен dpm — /tS dl, где 5 — площадь поперечного сечения стержня. Разде- лив dpm на объем слоя dV = Sdl, получим для намагни* чения стержня следующее выражение: / = /,. (44.21) Таким образом, намагничение стержня совпадает с линейной плотностью тока. С учетом (44.21) формула (44.20) принимает вид B' = p0J (44.22) (мы воспользовались тем, что векторы В' и J имеют оди- наковое направление). Складывая векторы В' и Во, находим вектор магнит- ной индукции результирующего поля В = Во + В' = Во + p0J. Наконец, подставив это значение В в формулу (44.5), получаем Н=-^=Н0. (44.23) Но Итак, в рассмотренном нами случае напряженность поля в магнетике совпадает с вектором магнитной ин- дукции внешнего поля, деленным на ро, т. е. оказывается равной напряженности внешнего поля. Согласно формуле (44.15), умножив Н на pop, мы получим индукцию В: В = рорН = РоР-^ = рВо. (44.24) Во Отсюда следует, что относительная магнитная прони- цаемость р показывает, во сколько раз усиливается поле в магнетике [ср. с (16.18)]. Заметим, что поскольку поле В' отлично от нуля только внутри стержня, магнитное поле вне стержня оста- ется без изменений. 150
Полученный нами результат бывает справедлив в тех случаях, когда однородный магнетик заполняет объем, ограниченный поверхностями, которые образованы ли- ниями напряженности внешнего поля1)- В противном случае напряженность поля, определяемая формулой (44.5), не совпадает с Но = Во/цо- Условно полагают, что напряженность поля в магне- тике равна Н = Но-Нс, где Но—внешнее поле, а Но — так называемое размаг- ничивающее поле, которое предполагается пропорцио- нальным намагничению: Но = NJ. (44.25) Коэффициент пропорциональности N называется размагничивающим фактором. Он зависит от формы магнетика. Для тела, поверхность которого не пересекается линиями напряженности внешнего поля, как мы видели, Н = Но, т. е. размагничивающий фактор равен нулю. Для тонкого диска, перпендикулярного к внешнему полю, N — 1, для шара N — ’/з- Соответствующий расчет дает, что в случае, когда однородный магнетик, имеющий форму эллипсоида, по- мещается в однородное внешнее поле, магнитное поле в нем хотя и отлично от внешнего, но также однородно. То же справедливо для шара, представляющего собой частный случай эллипсоида, а также для длинного стер- жня и тонкого диска, которые можно считать предель- ными случаями эллипсоида. § 45. Преломление линий магнитной индукции Выясним, что происходит на границе двух однород- ных изотропных магнетиков с разными щ Рассмотрим воображаемый цилиндр высоты h, основания которого Si и S2 расположены по разные стороны поверхности раздела (рис. 79). Применим к этому цилиндру теорему ) Напомним, что в случае электрического поля D — Do при условии, что однородный диэлектрик заполняет объем, ограничен- ный эквипотенциальными поверхностями, т. е. поверхностями, орто- гональными линиям напряженности внешнего поля. 151
Гаусса (44.1). Потоком В через боковую поверхность ци- линдра можно пренебречь, так как h мы будем стре- мить к нулю. Поток через верхнее основание цилиндра равен BinSi, где В1п — нормальная составляющая век- тора В в первом магнетике в непосредственной близости к поверхности раздела. Аналогично поток через нижнее основание есть B2nS2, где В2п — нормальная составляю- щая вектора В во втором магнетике также в непосред- ственной близости к поверх- ности раздела магнетиков. . Н— Ь Н/г «3 НЛ Рис. 80. Сложив эти два потока, мы получим полный поток, ко- торый согласно теореме Гаусса должен быть равен нулю: Фд = + S2„S2 = (BIn -Г В2„) S = 0. Отсюда следует, что В\п — —В2п. Если проектировать Bi и В2 на одну и ту же нормаль, то получится, что В1п — В2П‘ (45.1) Заменив согласно (44.15) составляющие В соответ- ствующими составляющими вектора Н, умноженными на pop, получим соотношение из которого следует, что Н т _ Иг Нт Pi (45.2) Теперь возьмем на границе магнетиков прямоуголь- ный контур (рис. 80) и вычислим для него циркуляцию Н. Ширину контура а возьмем столь малой, чтобы вкла- дом, вносимым в циркуляцию сторонами, перпендику- лярными к поверхности раздела, можно было пренеб- речь. Тогда для циркуляции получается выражение Ь(Н1Х— Н2х). Поскольку контур не охватывает макро- 152
скопических токов, циркуляция должна быть равна нулю [см. (44.6)], откуда вытекает, что Wlt = //2t. (45.3) Заменив согласно (44.15) ствующими составляющими pop, получим соотношение составляющие Н соответ- вектора В, деленными на ^it __ В2Х MoMl ’ из которого следует, что Д1г _ М1 В2Х Ц2 * (45.4) Резюмируя, можно сказать, что при переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная состав- ляющая вектора В и танген- циальная составляющая век- тора Н изменяются непрерыв- но. Тангенциальная же состав- ляющая вектора В и нормаль- ная составляющая вектора Н при переходе через границу раздела претерпевают разрыв. Таким образом, при переходе через границу раздела двух сред вектор В ведет себя ана- логично вектору D, а вектор Н — аналогично вектору Е [ср. формулы (45.1) — (45.4) с формулами (17.1) — (17.4)]. На рис. 81 показано поведение линий В при пересече- нии границы двух магнетиков. Обозначим углы между линиями В и нормалью к поверхности раздела соответ- ственно си и а2. Отношение тангенсов этих углов равно tg ai _ В1Х/В1П tg а2 В2х)В2п ’ откуда с учетом (45.1) и (45.4) получается аналогичный (17.5) закон преломления линий магнитной индукции: tg«i _ Mi tg «2 М2 ' (45.5) 153
При переходе в магнетик с большей р линии магнит- ной индукции отклоняются от нормали к поверхности. Легко видеть, что это приводит к сгущению линий. Сгу- щение линий В в веществе с большой магнитной прони- цаемостью дает возможность формировать магнитные пучки, т. е. придавать им необходимую форму и направ- ление. В частности, для того чтобы осуществить магнит- ную защиту некоторого объема, его окружают железным Рис. 83. экраном. Как видно из рис. 82, сгущение линий магнит- ной индукции в толще экрана приводит к ослаблению поля внутри. На рис. 83 дана схема лабораторного электромагни- та. Он состоит из железного ярма, на которое насажены питаемые током катушки. Линии магнитной индукции оказываются сосредоточенными в основном внутри ярма. Лишь в узком воздушном зазоре они проходят в среде с малой р. Вектор В пересекает границы между воздуш- ным зазором и ярмом по нормали к поверхности раз- дела. Отсюда согласно (45.1) следует, что магнитная индукция в зазоре и в ярме одинакова по величине. При- меним теорему о циркуляции Н к контуру, проходящему по оси ярма. Напряженность поля с большой точностью можно считать всюду в железе одинаковой и равной /Акел = ^/роЦжел- В воздухе /Увозд = ^/цоЦвозд. Обозна- чим длину участка контура в железе через 1тел, а в за- зоре — через /возд- Тогда циркуляцию можно представить в виде ЯжслАкел + /Люзд/возд. Согласно (44.6) эта цирку- ляция должна быть равна Ni, где N — суммарное число витков катушек электромагнита, i — сила тока. Таким 154
образом, имеем откуда "7777 ^жел + к н ^возд — NI, НоНжел РоНвозд 4возд *жел , , *жел - —————— ^возд ~— Рвозд Ржел Рже л (рвозд отличается от единицы лишь в пятом знаке после запятой). Обычно /ВОЗд бывает порядка 10 сл/ = 0,1 м, 1>кап — порядка 1 м, ржел достигает значений порядка несколь- ких тысяч (см. таблицу на стр. 186). Поэтому вторым слагаемым в знаменателе можно пренебречь и написать, что B = Pof- * (45.6) *возд Следовательно, магнитная индукция в зазоре элек- тромагнита имеет такую величину, какую она имела бы внутри тороида без сердечника, на единицу длины кото- рого было бы намотано число витков, равное Л7/Возд [см. (42.10)]. Увеличивая общее число витков и уменьшая размеры воздушного зазора, можно получать поля с большим значением В. Практически с помощью элек- тромагнитов с железным сердечником удается получать поля с В до ~ 1 7л (10 000 гс).
ГЛАВА VIII ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОКИ И ЗАРЯДЫ § 46. Сила, действующая на ток в магнитном поле. Закон Ампера Согласно закону, установленному Ампером, на эле- мент тока dl действует в магнитном поле сила dt = ki [dlB], (46.1) (k — коэффициент пропорциональности, i — сила тока, В — магнитная индукция в том месте, где помещается элемент dl). Величина силы (46.1) вычисляется по формуле df = kiB dl sin a, (46-2) где a — угол между векторами dl и В (рис. 84,о). На- правлена сила перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы dl и В. Направление силы, действующей на ток, удобно оп- ределять с помощью так называемого правила ле- вой руки. Если расположить левую руку так, чтобы вектор В «вонзался» в ладонь, а четыре сложенные вме- сте пальца были направлены вдоль тока, то отставлен- ный в сторону большой палец укажет направление силы (рис. 84,6). Применим закон Ампера для вычисления силы взаи- модействия двух находящихся в вакууме параллельных бесконечно длинных прямых токов. Если расстояние между токами b (рис. 85), то каждый элемент тока i2 будет находиться в магнитном поле, индукция которого 156
^,= Мт” 1СМ- формулу (41.1)]. Угол а между элементами тока i2 и вектором В] прямой. Следовательно, согласно (46.2) на единицу длины тока i2 действует сила t^kl.2Bx~k^g-. (46.3) Для силы f 12, действующей на единицу длины тока р, получается аналогичное выражение С помощью правила левой руки легко установить, что при одинаковом на- Рис. 84. правлении токов они притя- гивают друг друга, а при различном — отталкивают. Выражение (46.3) совпадает с формулой (38.2), если положить k = 1. Следовательно, в СИ закон Ампера имеет вид df = Z[rflB]. (46.4) Соответственно df = IB dl sin a, (46.5) В гауссовой системе формула (46.1) имеет вид df = yi[dlB] (46.6) (см. замечание на стр. 126). В гауссовой системе магнитная индукция в вакууме совпадает с Н, вследствие чего в этом случае закон Ампера можно записать следующим образом: df = y/[dlH]. (46.7) 157
§ 47. Сила Лоренца Проводник, по которому течет ток, отличается от про- водника без тока лишь тем, что в нем происходит упо- рядоченное движение носителей заряда. Отсюда напра- шивается вывод, что сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, обусловлена действием сил на отдельные движущиеся заряды, а уже от этих зарядов действие передается проводнику, по которому они пере- мещаются. Этот вывод подтверждается целым рядом опытных фактов и, в частности, тем, что пучок свободно летящих заряженных частиц, например электронный пу- чок, отклоняется магнитным полем. Согласно (46.4) на элемент тока dl действует в маг- нитном поле сила df=Z[dlBJ. (47.1) Заменив idl через Sj dl [см. формулу (40.6)], выраже- нию закона Ампера можно придать вид rff=Sd/[jB] = [jB]dV, где dV — объем проводника, к которому приложена си- ла dt. Разделив dt на dV, получим «плотность силы», т. е. силу, действующую на единицу объема проводника: fes.06=[jB]. (47.2) Подставив в эту формулу выражение (40.7) лля j, найдем, что fM. об = tie' [нВ]. Эта сила равна сумме сил, приложенных к носителям, заключенным в единице объема. Таких носителей п, сле- довательно, на один носитель действует сила, равная Ъэд- об/» = е'[иВ]. Таким образом, можно утверждать, что на заряд е', движущийся со скоростью v в магнитном поле В, действует сила f = e'[vB], (47.3) Силу (47.3) называют силой Лоренца или ло- ренцевой силой1). ) Часто лоренцевой силой называют сумму электрической и магнитной сил, действующих на заряд: f = е'Е + е’ [vB]. 158
В гауссовой системе ее выражение имеет вид f=y[vB], (47.4) причем для вакуума В можно заменить на Н. Модуль лоренцевой силы равен f = e'vB sin а, (47.6) где а — угол между векторами v и В. Следовательно, за- ряд, движущийся вдоль линий магнитного поля, не испы- тывает действия силы. Направлена сила Лоренца перпендикулярно к плос- кости, в которой лежат векторы v и В. Если заряд е' по- ложителен, направление силы совпадает с на- правлением вектора [vB], f В случае отрицательного I е' направления векторов f и [vB] противоположны хУ * *""° (рис. 86). * Поскольку сила Ло- в | В ренца всегда направлена ¥ перпендикулярно к ско- рости заряженной ча- стицы, она работы над Рис< 86- частицей не совершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу по- стоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя. При получении выражения. (47.3) для силы Лоренца из формулы (47.1) мы считали, что носители заряда в проводнике движутся со скоростью упорядоченного дви- жения и. Однако даже в отсутствие тока носители за- ряда находятся в хаотическом тепловом движении. Сред- нее (по носителям) значение вектора скорости этого движения Vo равно нулю: Vo=4Xvo = O. Поэтому и результирующая сил (47.3), действующих на носители, заключенные в элементе проводника Д/, при отсутствии тока также равна нулю: M = ^e'[voBl = e'[(2vo)B] = O. (47.6) 159
При возникновении тока скорость носителя стано- ится равной v = v0 + и. В этом случае At = 2 е7 [(v0 + и) В] = 5 е' [v0B] + 2 е' [и В]. Первая сумма в этом выражении в соответствии с (47.6) равна пулю. Вторая сумма по существу совпадает с (47.2). Таким образом, действующая на ток амперова сила слагается из лоренцевых сил, обусловленных упо- рядоченным движением носителей заряда. Сила, действующая на ток в магнитном поле, имеет значение (47.1), независимо от того, покоится провод- ик с током или перемещается относительно магнитного -.оля. В этом легко убедиться, воспользовавшись выра- жением (47.3) для силы Лоренца. Пусть провод, по ко- торому течет ток, движется со скоростью v, а электрон, являющийся носителем заряда, имеет относительно про- вода скорость и. Тогда электрон движется относительно поля со скоростью v + и и на него будет действовать сила f_ = — е [(v + и), В] = — е [vB] — е (иВ], а на участок провода — сила df_ = — е [vВ] dN — е [иВ] dN, где dN — число электронов в элементе тока dl, а и—- средняя скорость их движения относительно проводника. Провод в целом нейтрален — он образован непод- вижными ') положительными ионами и свободно движу- щимися электронами (см. т. 1, § 139, металлические кри- сталлы). Положительные ионы движутся вместе с про- водом со скоростью v, так что на каждый из них действует сила f+ = e[vB]. Число ионов в элементе тока dl такое же, как число электронов. Следовательно, на ионы, содержащиеся в элементе dl, действует сила df+ = е [vB] dN. ') В действительности ноны не неподвижны, а колеблются около узлов кристаллической решетки. Однако это не существенно, так как их средняя скорость относительно решетки равна нулю. 160
Элемент провода длины dl испытывает действие си- лы, равной сумме сил df_ и df+, которая, как легко ви- деть, имеет значение di = di- + df+ = — е [uB] dN. Полученное нами выражение эквивалентно формуле (47.1). В него не входит скорость проводника v. Таким образом, закон Ампера имеет одинаковый вид и для покоящегося и для движущегося проводника. § 48. Контур с током в магнитном поле Пусть прямоугольный плоский контур с током по- мещается в однородном магнитном поле. Если контур ориентирован так, что вектор В параллелен его плоско- сти (рис. 87), то стороны, имеющие длину Ь, не будут Рис. 87. испытывать действия сил, так как для них в формуле (46.5) sina = 0. На левый участок будет согласно за- кону Ампера действовать сила f — iBa, направленная за чертеж, на правый участок—'Такая же по величине, но противоположно направленная сила f'. Эти силы обра- зуют пару, момент которой равен М = fb = IBab. Учитывая, что ab равно площади контура S, a IS дает величину магнитного момента рт, можно написать М = РтВ. (48.1) Эта формула совпадает по существу с формулой (39.3). Момент М стремится повернуть контур так, чтобы его магнитный момент рт установился по направлению поля В. Такая ориентация контура показана на рис. 88. Н И. В. Савельев, т. П 161
В этом случае ft = fs iBa, f2 = ft = IBb. Направления всех сил лежат в плоскости контура. Легко видеть, что вращательный момент в этом случае не возникает. По- скольку поле однородно, равнодействующая сил равна нулю; силы лишь растягивают контур, но сместить его не могут. Заметим, что если повернуть контур на 180° (или изменить направление поля на обратное), то на- правления всех сил изме- нятся на противополож- ные, и они будут не рас- тягивать, а сжимать кон- тур. Покажем, что фор- мула (48.1) справедлива и для плоского контура произвольной формы. Ра- зобьем площадь кон- тура на узкие параллель- ные направлению вектора В полоски шириной dh (рис. 89, а). На элемент контура dl{ действует си- ла df\ — IB dlt sin ai, на- правленная за чертеж. На элемент dl2 действует сила df2 = iB dl2 sin a2, имеющая противоположное направле- ние. Как видно из рис. 89, б, dl\ sin си = dl2 sin a2 — dh — ширине полоски. Следовательно, силы dft и df2 одина- ковы по величине и образуют пару, момент которой ра- вен dM = IB dh b, где b — длина полоски. Произведение b dh дает площадь полоски dS. Таким образом, dM = IB dS. Беря попарно силы, приложенные к противолежащим элементам контура, и суммируя их моменты, получим ре-, зультирующий момент, действующий на контур; М = J dM = IB J dS = iSB = ртв. Итак, мы снова пришли к формуле (48.1). 162
При произвольной ориентации контура (рис. 90) магнитную индукцию В можно разложить на составляю- щие: Bj. — перпендикулярную и В] — параллельную пло- скости контура, и рассматривать действие каждой со- ставляющей отдельно. Составляющая В± будет обуслов- ливать силы, растягивающие или сжимающие контур. Составляющая Вц , величина которой равна В sin а (а — угол между pm и В), приведет к возникновению враща- тельного момента, который можно вы- числить по формуле (48.1): Л4 = ртВ\\ = ртВ sin а. (48.2) Принимая во внимание взаимную ориентацию векторов М, рт и В, фор- мулу (48.2) можно зависать в виде М = [Р„В]. (48.3) Рис. 90. Для вакуума в гауссовой системе эта фор- мула имеет вид М=[ртН]. (48.4) Для того чтобы угол а между векторами рт и В уве- личить на da, нужно совершить против сил, действую- щих на контур в поле, работу dА = М da = ртВsin a da. (48.5) Поворачиваясь в первоначальное положение, контур может возвратить затраченную на его поворот работу, совершив ее над какими-либо телами. Следовательно, работа (48.5) идет на увеличение энергии №, которой обладает контур с током в магнитном поле, dW = ртВ sin a-da. Интегрируя, находим, что F = — ртВ coset 4- const. Если положить const = 0, формула приобретает вид IF = — ртВ cos а = - РиВ. (48.6) Для вакуума в гауссовой системе можно написать W » -Рл!Н. 11* (48.7) 163
Отметим, что формула (48.6) аналогична выраже- нию (14.4) для энергии, которой обладает диполь в элек- трическом поле. Теперь рассмотрим плоский контур с током в неод- нородном магнитном поле. Для простоты будем вначале считать контур круговым. Предположим, что поле изме- няется быстрее всего в направлении х, совпадающем с направлением В в том месте, где расположен центр контура, и что магнитный момент контура ориентирован вдоль поля (рис 91,а). Рис. 91. Сила dt, действующая на элемент контура, перпен- дикулярна к В, т. е. к линии магнитной индукции в месте пересечения ее с dl. Поэтому силы, приложенные к раз- личным элементам контура, образуют симметричный ко- нический «веер» (рис. 91,6). Их результирующая f на- правлена в сторону возрастания В и, следовательно, втя- гивает контур в область более сильного поля. Очевидно, что чем сильнее изменяется поле (чем больше градиент дВ \ поля -^-1, тем меньше угол раствора «веера» и тем больше, при прочих равных условиях, результирующая сила f. Если изменить направление тока в контуре на обратное (при этом рт станет противоположным В), на- правления всех сил dt и их результирующей f изменят- ся на обратные (рис. 91,в). Следовательно, при такой взаимной ориентации векторов рт и В контур будет вы- талкиваться из поля. С помощью выражения (48.6) для энергии контура в магнитном поле легко найти количественное выраже- ние для f. Если ориентация магнитного момента по отно- 164
шению к полю остается неизменной (а = const), то № будет зависеть только от х (через В). Дифференцируя W по х и изменяя у результата знак, получим проекцию силы на ось х f dW дВ fx~ дх Рт дх cosa. По предположению в других направлениях поле из- меняется слабо, поэтому проекциями силы на другие оси можно пренебречь и считать, что f = fx- Итак, f = pm-^-cosa. (48.8) Согласно полученной нами формуле сила, действую- щая на контур с током в неоднородном магнитном поле, зависит от ориентации магнитного момента контура от- носительно направления поля. Если векторы р„ и В сов- падают по направлению (а = 0), сила положительна,т. е. направлена в сторону возрастания В 1-^- предпола- гается положительным; в противном случае знак и на- правление силы изменятся на противоположные, но сила по-прежнему будет втягивать контур в область сильного поля). Если рт и В антипараллельны (а = л), сила от- рицательна, т. е. направлена в сторону убывания В. Этот результат мы уже получили качественно с по- мощью рис. 91. Разумеется, что кроме силы (48.8) на контур с током в неоднородном магнитном поле будет действовать так- же вращательный момент (48.3). § 49. Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном поле Допустим, что провод с током может свободно пере- мещаться во внешнем магнитном поле. Это можно осу- ществить с помощью скользящих контактов между кон- цами провода и остальными участками замкнутой цепи (рис. 92). Внешнее поле будем предполагать однород- ным и перпендикулярным к плоскости контура. При ука- занных на рисунке направлениях тока и поля сила будет направлена вправо и равна f = iBl, 165
где I — длина перемещающегося участка тока. На пути ds эта сила совершит над проводником работу dA = f ds = IBl ds. Произведение Ids равно заштрихованной площади (рис. 92), a Blds — потоку магнитной индукции йФ че- рез эту площадку. Поэтому можно написать, что dA — id<&, (49.1) про- слу- про- сло- g-L. ds Рис. 92. где г/Ф — поток магнитной индукции, пересекаемый водником при его движении. Полученный нами результат легко обобщить на чай неоднородного поля. Для этого нужно разбить водник на участки dl и жить элементарные работы, со- вершаемые над каждым участ- ком (в пределах каждой ма- лой площадки dlds магнитную индукцию можно считать по- стоянной) . Если вектор В образует с нормалью к контуру угол а, отличный от нуля, направле- ние силы составит с направлением перемещения также угол a (f перпендикулярна к В) и dA — f cos a ds = iBnl ds, где Bn = В cos а — составляющая вектора В по направ- лению нормали к площадке I ds. Произведение Bnl ds есть d$— поток, пересекаемый проводником. Таким об- разом и в этом случае мы приходим к формуле (49.1). Заметим, что работа (49.1) совершается не за счет магнитного поля (как было указано в § 47, сила Лорен- ца работы над зарядами не совершает), а за счет источ- ника, поддерживающего ток в контуре1)- *) В § 56 будет показано, что при изменениях потока магнит- ной индукции, пронизывающего контур, в этом контуре возникает d<S> ~ э. д. с. индукции ti —-Следовательно, в этом случае источ- ник тока, кроме работы, затрачиваемой иа выделение ленц- джоулева тепла, должен совершать дополнительную работу против э. д. с. индукции, определяемую выражением dA=-tddt~~idt~ld<b, которое совпадает с (49.1). 166
Фн Рис. 93. Найдем работу, совершаемую над замкнутым конту- ром с током при его перемещении в магнитном поле. Вна- чале предположим, что контур, перемещаясь, остается все время в одной плоскости (рис. 93; вектор В направ- лен за чертеж). Силы, приложенные к участку контура 1—2, образуют с направлением перемещения острые уг-. лы. Следовательно, совершаемая ими работа At положи-, тельна. Согласно формуле (49.1) эта работа пропорцио- нальна силе тока в кон- туре i * и пересеченному участком 1—2 потоку магнитной индукции. Уча- сток 1—2 пересекает при своем движении поток Фо через заштрихованную поверхность и поток Фк, пронизывающий контур в его конечном положении. Таким образом, Ai = i (Фо + Фк). Силы, действующие на участок контура 2—1, образуют с направление Поэтому совершаемая и» Абсолютная величина ее пропорциональна потоку, пере- секаемому участком 2—1, который слагается из Фо и Фн—потока, пронизывающего контур в начальном по- ложении. Следовательно, перемещения тупые угльц работа А2 отрицательна. А2 — — i (Фо -Т Фн). Работа, совершаемая над всем контуром, равна А = А । + А2 = i (Фо + Фк) -1 (Фо + Фн) = I (Фк - Фн). Разность магнитного потока через контур в конце пе- ремещения Фк и потока в начале Фн дает приращение потока через контур АФ. Таким образом, А = 1’АФ. (49.2) В гауссовой системе формула для работы имеет вид А = —;дф. (49.3) 167
При выводе формулы (49.2) мы сделали определен- ные предположения о характере движения контура. Можно показать, что эта формула остается справедли- вой при любом движении контура в произвольном маг- нитном поле. В частности, при повороте контура в одно- родном поле из положения, в котором векторы рт и В направлены в противоположные стороны, в положение, при котором эти векторы совпадают по направлению, силы поля совершают над контуром работу A=21SB (фн = —BS, вектор В и положительная нормаль имеют противоположные направления, вследствие чего Фн от- рицателен; ФК = В5). Учитывая, что iS = рт — магнит- ному моменту контура, получаем Л = 2ртВ. Тот же результат получается с помощью выражения (48.6) для энергии контура в магнитном поле: Л » WK — ртВ ( РтВ) = 2ртВ.
ГЛАВА IX МАГНЕТИКИ § 50. Классификация магнетиков Прежде чем изложить классификацию магнетиков, рассмотрим величины, с помощью которых принято ха- рактеризовать магнитные свойства разных веществ. В § 44 была введена для этой цели восприимчивость х» определяющая величину намагничения единицы объема вещества [см. формулу (44.12)]. Часто вместо восприимчивости единицы объема х пользуются отнесенной к одному киломолю вещества киломолярной (для химически простых веществ — килоатомной) восприимчивостью х«м (Хкат) или от- несенной к единице массы удельной восприимчи- востью Худ- Между значениями этих восприимчивостей имеются соотношения: Хкм = xVkm> где Укм — объем ки- ломоля вещества (в Л43/кл«оль), Худ = у X, где 6 — плот- ность вещества (в кг!м?). В то время как х — безраз- мерная величина, Хкм (или Хкат) имеет размерность мл1кмоль (или м3/кат), а Худ — м^кг. Восприимчивость, отнесенная к молю (грамм-молекуле) веще- ства, называется молярной (для химически простых веществ — атомной). Очевидно, что Хм = Х^м, где Гм —объем моля веще- ства (в см3/моль). Между значениями х«м (в СИ) н Хм (в гауссо- вой системе) имеется соотношение Хкм = 4л • 10-3хм. (50.1) В зависимости от знака и величины магнитной вос- приимчивости все магнетики подразделяются на три группы: 169
I) диамагнетики, у которых % отрицательна и мала по абсолютной величине (хкм~ Ю~8-ь 10~7м31кмоль)\ 2) парамагнетики, у которых % тоже невелика, но положительна (Хкм~10-7 Ю-8 м3/кжоль); 3) ферромагнетики, у которых % положительна и достигает очень больших значений (хкм~ м^кмоль). Кроме того, в отличие от диа- и парамагнетиков, для ко- торых х постоянна, магнитная восприимчивость ферро- магнетиков является функцией напряженности магнит- ного поля. Таким образом, вектор намагничения J может как совпадать по направлению с Н (у пара- и ферромагне- тиков), так и быть направленным в противоположную сторону (у диамагнетиков). Напомним, что у диэлектри- ков вектор поляризации всегда направлен в ту же сто- рону, что и Е. § 51. Магнитомеханические явления. Магнитные моменты атомов и молекул В главе VII мы видели, что гипотеза Ампера о моле- кулярных токах позволяет объяснить многие явления в магнетиках. Природа молекулярных токов стала по- нятной после того, как опытами Ре- зерфорда было установлено, что атомы всех веществ состоят из по- ложительно заряженного ядра и движущихся вокруг него отрица- тельно заряженных электронов. Согласно теории, развитой в 1913 г. Нильсом Бором, электроны в атомах движутся по круговым ор- битам. Через площадку, располо- женную в любом месте на пути элек- трона (рис. 94), переносится в еди- ницу времени заряд ev, где е — за- ряд электрона, a v — число оборотов в секунду. Следо- вательно, движущийся по орбите электрон образует круговой ток силы ’ i = ev. Поскольку заряд электрона отрицателен, направление движения электрона и на- правление тока противоположны. Магнитный момент создаваемого электроном тока равен рт — iS = evnr2, 170
где г — радиус орбиты. Произведение 2nrv дает скорость движения электрона v, поэтому можно написать, что evr /К1 Рт = — • (51.1) Момент (51.1), обусловлен движением электрона по орбите, вследствие чего называется орбитальным магн’итным моментом электрона. Направле- ние вектора рт образует с направлением тока правовин- товую, а с направлением движения электрона левовин- товую систему (рис. 94). Движущийся по орбите электрон обладает моментом импульса L — mvr (51.2) (т— масса электрона). Вектор L называют орби- тальным механическим моментом элек- трона. Он образует с направлением движения элек- трона правовинтовую систему. Следовательно, направ- ления векторов рт и L противоположны. Отношение магнитного момента элементарной части- цы к ее механическому моменту называется гиромаг- нитным отношением. Для электрона оно равно (знак «—» указывает на то, что направления моментов противоположны). В гауссовой системе гиромагнитное отношение равно Рт ___ _ е L 2тс Вследствие вращения вокруг ядра электрон оказы- вается подобным волчку. Это обстоятельство лежит в основе так называемых гиромагнитных или маг- нитомеханических явлений, заключающихся в том, что намагничение магнетика приводит к его враще- нию и, наоборот, вращение магнетика вызывает его на- магничение. Существование первого явления было дока- зано экспериментально Эйнштейном и де Хаасом, вто- рого — Барнеттом. В основе опыта Эйнштейна и де Хааса лежат сле- дующие соображения. Если намагнитить стержень из 171
Рис. 95. помещался магнетика, то орбитальные магнитные моменты электро- нов установятся по направлению поля, а механические моменты — против поля. В результате суммарный меха- нический момент электронов станет отличным от нуля (первоначально вследствие хаотической ориента- ции отдельных моментов он был равен нулю). Момент импульса системы стержень + электроны должен остать- ся без изменений. Поэтому стержень приобретает момент импульса, равный — S т. е. придет во вращение. Из- менение направления намагничения при- ведет к изменению направления враще- ния стержня. Механическую модель этого опыта можно осуществить, поставив человека на вращающийся стул и дав ему в руки вращающееся велосипедное колесо. По- ворачивая велосипедное колесо вверх, человек приходит во вращение в сторону, противоположную направлению враще- ния колеса. Поворачивая колесо вниз, человек приходит во вращение в проти- воположную сторону. Опыт Эйнштейна и де Хааса осуще- ствлялся следующим образом (рис. 95). Тонкий железный стержень подвешивал- ся на упругой закручивающейся нити и /трь соленоида. Закручивание нити при намагничении стержня постоянным магнитным полем получалось весьма малым. Для усиления эффекта был применен метод резонанса — соленоид питался перемен- ным током, частота которого подбиралась равной соб- ственной частоте механических колебаний системы. Прн этих условиях амплитуда колебаний достигала значений, которые можно было измерить, наблюдая смещения све- тового зайчика, отраженного от зеркальца, укрепленного на нити. Из данных опыта было вычислено гиромагнит- ное отношение, которое получилось равным ~ в гауссовой системе). Таким образом, знак заряда но- сителей, создающих молекулярные токи, совпал со зна- ком заряда электрона. Однако полученный результат превысил ожидаемое значение гиромагнитного отноше- ния (51.3) в два раза. 172
Чтобы понять опыт Барнетта, вспомним, что при по- пытках вовлечь гироскоп во вращение вокруг некоторого направления ось гироскопа поворачивается так, чтобы направления собственного и принудительного вращений гироскопа совпали (см. т. I, § 44). Если установить ги- роскоп, закрепленный в карданном подвесе, на диск центробежной машины и привести ее во вращение, то ось гироскопа установится по вертикали, причем так, что направление вращения гироскопа совпадет с направле- нием вращения диска. При изменении направления вра- щения центробежной машины ось гироскопа поворачи- вается на 180°, т. е. так, чтобы направления обоих вра- щений снова совпали. Барнетт приводил железный стержень в очень быст- рое вращение вокруг его оси и измерял возникающее при этом намагничение. Из результатов этого опыта Бар- нетт также получил для гиромагнитного отношения ве- личину, в два раза превышающую значение (51.3). В дальнейшем выяснилось, что кроме орбитальных моментов (51.1) и (51.2) электрон обладает собственным механическим Ls и магнитным pms моментами, для кото- рых гиромагнитное отношение равно , (51.4) Ls т т. е. совпадает со значением, полученным в опытах Эйн- штейна и де. Хааса и Барнетта. Отсюда следует, что магнитные свойства железа обусловлены не орбиталь- ным, а собственным магнитным моментом электронов. Существование собственных моментов электрона пер- воначально пытались объяснить, рассматривая электрон как заряженный шарик, вращающийся вокруг своей оси. В соответствии с этим собственный механический момент электрона получил название спин (от английского to spin — вращаться). Однако вскоре обнаружилось, что такое представление приводит к ряду противоречий, и от гипотезы о «вращающемся» электроне пришлось от-, казаться. В настоящее время принимается, что собствен- ный механический момент (спин) и связанный с ним собственный (спиновый) магнитный момент являются такими же неотъемлемыми свойствами электрона, как его масса и заряд. 173
Спином обладают не только электроны, но и другие элементарные частицы. Спин элементарных частиц оказывается целым или полуцелым кратным величины fi, которая равна постоян- ной Планка А1), деленной на 2л: й = ” = 1,05 • 10”34 дж • сек — 1,05 • 10”27 эрг • сек. (51.5) В частности, для электрона — в связи с чем го- ворят, что спин электрона равен Vi. Таким образом, й представляет собой как бы естественную единицу мо- мента импульса, подобно тому как элементарный заряд е является естественной единицей заряда. В соответствии с (51.4) собственный магнитный мо- мент электрона равен в , е fi ей .г', Pms = — ~ —-------В" = ~ о—• (51.0) rms т з m2 2т ' Величину рв = — 0,927 • 10-23 джоуль/тесла = = 0,927 • Ю~20 эрг/гаусс 2) (51.7) называют магнетоном Бора. Следовательно, соб- ственный магнитный момент электрона равен одному магнетону Бора. Магнитный момент атома слагается из орбитальных и собственных моментов входящих в его состав электро- нов, а также из магнитного момента ядра (который об- условлен магнитными моментами входящих в состав ядра элементарных частиц—протонов и нейтронов). Магнитный момент ядра значительно меньше моментов электронов, поэтому при рассмотрении многих вопросов им можно пренебречь и считать, что магнитный момент атома равен векторной сумме магнитных моментов элек- тронов. Магнитный момент молекулы также можно счи- тать равным сумме магнитных моментов входящих в ее состав электронов. ) Постоянную Планка называют также квантом действия. 2) Согласно формуле W = —ртВ размерность магнитного мо- мента равна размерности энергии (эрг или джоуль), деленной на размерность магнитной индукции (гаусс или тесла).
Экспериментальное определение магнитных моментов атомов и молекул было осуществлено Штерном и Герла- хом. В их опытах молекулярный пучок пропускался че- рез магнитное поле с большим градиентом. Неоднород- ность доля достигалась за счет специальной формы пен люсных наконечников элек- тромагнита (рис. 96). Со- гласно формуле (48.8) на атомы или молекулы пучка должна действовать сила t дВ величина и знак которой за- висят от угла а, образуемого вектором рт с направлением поля. При хаотическом рас- пределении моментов молекул по направлениям в пучке имеются частицы, для которых значения а изменяются в пределах от 0 до л. В соответствии с этим предполагалось, что уз- кий молекулярный пучок после прохождения меж- ду полюсами оставит на экране сплошной рас- тянутый след, края кото- рого соответствуют мо- лекулам, с ориентациями под углами а — 0 и л (рис. 97). Опыт дал не- ожиданные результаты. Вместо сплошного растя- нутого следа получались отдельные линии, расположенные симметрично относи- тельно следа пучка, полученного в отсутствии поля. Опыт Штерна и Герлаха показал, что углы, под ко- торыми магнитные моменты атомов и молекул ориенти- руются по отношению к магнитному полю, могут иметь лишь дискретные значения, т. е. что проекции магнитного момента на направление поля квантуются. Число возможных значений проекции магнитного мо- мента на направление магнитного поля для разных ато- мов различно. Для атомов серебра, алюминия, меди И Без поля Сполем , Ожидаемый •результат Hg.Mg Ag, Na, К V Мп I Fe Рис. 97. 173
щелочных металлов оно равно двум, для ванадия, азота и галогенов — четырем, для кислорода — пяти, для мар- ганца — шести, железа — девяти, кобальта — десяти и т. д. Для магнитных моментов атомов измерения дали значения порядка нескольких магнетонов Бора. Некото- рые атомы не обнаружили отклонения (см., например, след атомов ртути и магния на рис. 97), что указывает на отсутствие у них магнитного момента. § 52. Диамагнетизм Электрон, движущийся по орбите, подобен волчку. Поэтому ему должны быть свойственны'все особенности поведения гироскопов под действием внешних сил, в ча- стности при соответствующих условиях должна возни- кать прецессия электронной орбиты. Условия, необхо- димые для прецессии, осуществляются, если атом нахо- дится во внешнем магнитном поле В (рис. 98). В этом случае на орбиту действует вращательный момент М = = [РтВ], стремящийся установить орбитальный магнит- ный момент электрона рт по направлению поля (при этом механический момент L установится против поля). Под действием момента М векторы L и р,п совершают прецессию вокруг направления вектора магнитной ин- дукции В, скорость которой легко найти (см. т. I, §44). За время dt вектор L получает приращение dL, равное dt = М dt. Вектор dt, как и вектор М, перпендикулярен к пло- скости, проходящей через векторы В и L, и по модулю равен | dL | = ртВ sin a dt, где а — угол между рт и В. За время dt плоскость, в которой лежит вектор L, повернется вокруг направления В на угол d'Q = ldLl _ sin a dt _ Pm в L sin a £ sin a L 176
Разделив этот угол на время dt, найдем угловую скорость прецессии _ Рт d dt ~ L Подставив в это выражение значение (51.3) отноше- ния магнитного и механического орбитальных моментов электрона, получим еВ L 2т Рис. 98. (52.1) п . еН В- гауссовой системе . Частоту (52.1) называют ча- стотой ларморовой пре- цессии или просто ларморо- вой частотой. Она не зави- сит ни от угла наклона орбиты по отношению к направлению магнитного поля, ни от радиуса орбиты или скорости электрона и, следовательно, для всех элек- тронов, входящих в состав атома, одинакова. Прецессия орбиты обуслов- ливает дополнительное движение электрона вокруг направления поля. Если бы расстояние г' электрона от параллельной В оси, проходящей через центр ор- биты, не изменялось, дополни* тельное движение электрона про- исходило по окружности радиуса г' (см. незаштрихованную окруж- ность в нижней части рис. 98). Ему и. круговой ток (см. заштрихованную окружность) 7 магнитный момент которого г it™ &L /2 e&L /2 Pm = is =e^itr' =-^r' S=nr‘ соответствовал бы (52.2) направлен, как видно из рис. 98, в сторону, противопо- ложную В. Этот момент называется индуцированным (наведенным) магнитным моментом. 12 И. В. Савельев, т. 11 \77
В действительности, вследствие движения электрона по орбите расстояние г7 все время меняется. Поэтому в формуле (52.2) нужно брать вместо г'2 его среднее по времени значение г'2. Это среднее зависит от угла а, характеризующего ориентацию плоскости орбиты по от- ношению к В. В частности, для орбиты, перпендикуляр- ной к вектору В, г' постоянно и равно радиусу орбиты г. Для ор- биты, плоскость которой прохо- дит через направление В, г' из- меняется по закону г' — г sin at, где © — угловая скорость обра- щения электрона по орбите (рис. 99; вектор В и орбита ле- жат в плоскости рисунка). Сле- довательно, г' — г2 sin2 at и, по- скольку среднее значение квад- рата синуса есть 72. г ~~%г • Если произвести усреднение по всем возможным зна- чениям а, считая их равновероятными, то получается ,2 Г 2 2 = -зг' (52.3) В атомах со многими электронами орбиты ориенти- рованы всевозможными способами, поэтому каждому электрону можно приписать в среднем значение (52.3) ’). Подставив в (52.2) значение (52.1) для ©ь и (52.3) для г'2 получим для среднего значения индуцирован- ного магнитного момента одного электрона следующее выражение: _ <52-4) (знак «—» отражает то, что векторы р'т и В направ- лены в противоположные стороны). Мы предполагали орбиту круговой. В противном слу- чае (например, для эллиптической орбиты) вместо г2 нужно взять г2, т. е. средний квадрат расстояния элек- трона от ядра. *) Это строго справедливо лишь для сферически симметричной электронной оболочки атома (см. учебник по атомной физике). 178
Просуммировав выражение (52.4) по всем электро- нам, найдем индуцированный магнитный момент атома в целом: z рад fe=I (число электронов в атоме равно, как известно, атом- ному номеру Z). Итак, под действием внешнего магнитного поля про- исходит прецессия электронных орбит с одинаковой для всех электронов угловой скоростью (52.1). Обусловлен- ное прецессией дополнительное движение электронов приводит к возникновению индуцированного магнитного момента атома (52.5), направленного против поля. Лар- морова прецессия возникает у всех без исключения ве- ществ. Однако в тех случаях, когда атомы обладают сами по себе магнитным моментом, магнитное поле не только индуцирует момент (52.5), но и оказывает на магнитные моменты атомов ориентирующее действие, устанавливая их по направлению поля. Возникающий при этом положительный (т. е. направленный вдоль поля) магнитный момент бывает 'значительно больше, чем отрицательный индуцированный момент. Поэтому результирующий момент оказывается положительным и вещество ведет себя как парамагнетик. Диамагнетизм обнаруживают лишь те вещества, у которых атомы не обладают магнитным моментом (век- торная сумма'орбитальных и спиновых магнитных мо- ментов электронов атома равна нулю). Если для.такого вещества умножить равенство (52.5) на число Авогадро Na, получится магнитный момент килограмм-атома ве- щества. Разделив его на напряженность поля Н, найдем килограмм-атомную магнитную восприимчивость ^кат- Относительная магнитная проницаемость диамагнетиков практически равна 1. Поэтому можно положить •^=14- Таким образом, Ф (52-6) k=l fe=I Радиусы электронных орбит имеют величину поряд- ка 10~10 ж. 12* 179
Следовательно, согласно формуле (52.6) килограмм- атомная диамагнитная восприимчивость получается по- рядка 10*8—10'7, что хорошо согласуется с эксперимен- тальными данными. § 53. Парамагнетизм Если магнитный момент рт атомов отличен от нуля, вещество оказывается парамагнитным. Внешнее магнит- ное поле стремится установить магнитные моменты ато- мов вдоль В, тепловое движение стремится разбросать их равномерно по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая равновесная преимуществен- ная ориентация моментов вдоль поля тем большая, чем больше В, и тем меньшая, чем выше температура. Кюри экспериментально установил закон, согласно которому парамагнитная килограмм-атомная восприим- чивость вещества равна Хиат-у. (53.1) где С — постоянная Кюри, зависящая от рода ве- щества, Т — абсолютная температура. Классическая теория парамагнетизма была развита Ланжевеном в 1905 г. Мы ограничимся изложением этой теории для случая не слишком сильных полей и не очень низких температур. Согласно формуле (48.6) атом обладает в магнитном поле потенциальной энергией W = —ртВ cos Ф, которая зависит от угла' •& между векторами рт и В. Поэтому равновесное распределение моментов по направлениям должно подчиняться закону Больцмана [см. т. I, фор- мулу (109.3)]. Согласно этому закону вероятность того, что магнитный момент атома будет образовывать с на- правлением вектора В угол, заключенный в пределах от 6- до Ф + d(>, пропорциональна W ртВ cos О g-feT = е kf . Введя обозначение а = (53.2) выражение, определяющее вероятность, можно записать в виде е0008®. 180
равным атомов, sin if В Рис. 100. Будем изображать направления магнитных моментов атомов с помощью точек на сфере единичного радиуса. Если бы поле не оказывало на магнитные моменты ори- ентирующего действия, они были бы распределены по направлениям хаотически. В этом случае плотность то- чек на сфере постоянна и равна , где п — количество рассматриваемых атомов, которое мы возьмем числу атомов в единице объема. Поэтому число моменты которых образуют с направлением В углы, за- ключенные в пределах от О до О’ 4- dO, было бы равно (рис. 100) , , 2эт sin О dO 1 . Л „ atif, = и--1----= -х- и sin О аО 4л 2 (53.3) [ср. с формулой (100.4) I тома]. В действительности, маг- нитное поле оказывает на мо- менты ориентирующее действие, в результате чего на- правления с меньшими О становятся преобладающими. Вероятность различных ориентаций, как мы видели, про- порциональна eacos« Следовательно, чтобы получить распределение моментов по направлениям при наличии магнитного поля, нужно выражение (53.3) умножить на этот множитель: dn$ = Аеа cos ° ~ п sin О dft (53.4) (Л — неизвестный пока коэффициент пропорциональ- ности). Магнитный момент атома имеет величину поряд- ка одного магнетона Бора, т. е. ~ 10~23 дж/тл [см. (51.7)]. При достигаемых обычно полях магнитная индукция бывает порядка 1 тл (104 гс). Следовательно, ртВ имеет порядок 10~23 дж. Величина kT при комнатной темпера- туре равна примерно 4-10~21 дж. Таким образом, a = 1 и«аСо!й можно заменить приближенно че- рез 1 4- a cos О. В этом приближении выражение (53.4) принимает вид: dn$= Л(1 4-о cos Ф) у и sin •& 181
Константу А можно найти, воспользовавшись тем, что полное число молекул, имеющих все врзможные ори- ентации, характеризуемые значениями fl от 0 до л, дол- жно быть равно п: п п = J dn$ — ^-пА о Л J (1 4- a cos fl) sin#dfl = nA. о Отсюда А = 1, так что rifle = — п (1 + a cos fl) sin fl dfl. Магнитные моменты атомов распределяются симмет- рично относительно направления поля. Поэтому резуль- тирующий магнитный момент совпадает по направлению с В. Следовательно, каждый атом вносит в результи- рующий момент вклад, равный pmcosfl. Таким образом, для магнитного момента единицы объема (т. е. для век- тора намагничения) можно написать следующее выра- жение: Л л J — J рт cos fl dne = ~npm У (1 4-acosfl)cosflsinfldfl = о о _ 1 2а прта , 2 ПРт 3 3 Подставляя сюда вместо а его значение (53.2), полу- чаем пр2тВ J 3kT ’ Наконец, разделив / на У/, найдем восприимчивость РрпРт Х 3kT (53.5) I для парамагнетиков также можно положить -^-= р01. Взяв вместо п число Авогадро Na, получим выраже- ние для килограмм-атомной восприимчивости Хкат Skp (53.6) 182
Легко вадеть, что мы пришли к закону Кюри. Сопо- ставление формул (53.1) и (53.6) дает для постоянной Кюри следующее выражение: С = ^Г'- (53.7) Напомним, что формула (53.6) получена в предполо- жении, что ртВ kT. В очень сильных полях и при низких температурах наблюдаются отступления от про- порциональности между намагничением парамагнетика / и напряженностью поля Н, в частности, может насту- пить состояние магнитного насыщения, при котором все рт выстраиваются по полю, и дальнейшее увеличение Н не приводит к возрастанию /. Значения хкат, рассчитанные по формуле (53.6), в ряде случаев хорошо согласуются со значениями, полу- чаемыми из опыта. Квантовая теория парамагнетизма учитывает то Об- стоятельство, что возможны лишь дискретные ориента- ции магнитного момента атома относительно поля. Она приводит к выражению для /Кат, аналогичному (53.6). § 54. Ферромагнетизм Особый класс магнетиков образуют вещества, спо- собные обладать намагничением даже в отсутствие внешнего магнитного поля. По своему наиболее распро- страненному представителю — железу — они получили название ферром.агнетиков. К их числу принад- лежат железо, никель, кобальт, гадолиний, их сплавы и соединения, а также некоторые сплавы и соединения марганца и хрома с неферромагнитными элементами (например, MnAICu, СгТе и т. д.). В последнее время большую роль стали играть ферромагнитные полупро- водники (см. § 72), называемые ферритами. Ферро- магнетизм присущ всем этим веществам только в кри- сталлическом состоянии. Ферромагнетики являются сильномагнитными веще- ствами— их намагничение в огромное (до Ю10) число раз превосходит намагничение диа- и парамагнетиков, принадлежащих к категории слабомагнитных веществ. Намагничение слабомагнитных веществ изменяется с напряженностью поля линейно. Намагничение 183
ферромагнетиков зависит от Н сложным образом. На рис. 101 дана кривая намагничения ферромагнетика, маг- нитный момент которого первоначально был равен нулю (она называется основной или нулевой кривой на- магничения). Уже в полях порядка нескольких эрстед (~ 100 а/м) намагничение / достигает насыще- ния. Основная кривая намагничения на диаграмме В — Н приведена на рис. 102 (кривая 0—1). Напомним, Рис. 101. Рис. 102. что В = go (Н + 7). Поэтому по достижении насыщения В продолжает расти с Н по линейному закону: В — = цоН 4- const, где const = ро7иас. Кривая намагничения железа была впервые полу- чена и подробно исследована русским ученым А. Г. Сто- летовым. Разработанный им баллистический метод из- мерения магнитной индукции находит широкое примене- ние до настоящего времени (см. § 57). Кроме нелинейной зависимости между И и 7 (или Н и В) для ферромагнетиков характерно также наличие гистерезиса. Если довести намагничение до насы- щения (точка 1 на рис. 102) и затем уменьшать напря- женность магнитного поля, то намагничение следует не первоначальной кривой 0—1, а изменяется в соответ- ствии с кривой 1—2. В результате, когда напряженность внешнего поля станет равной нулю (точка 2), намагни- чение не исчезает и характеризуется величиной Вг, ко- торая называется остаточной индукцией. На- 184
магничение имеет при этом значение JT, называемое остаточным намагничением. Намагничение обращается в нуль (точка 3) лишь под действием поля Нс, имеющего направление, проти- воположное полю, вызвавшему намагничение. Напря- женность Нс называется коэрцитивной силой. Существование остаточного намагничения делает воз- можным изготовление постоянных магнитов, т. е. тел, которые без затраты энергии на поддержание макроско- пических токов обладают магнитным моментом и со- здают в окружающем их пространстве магнитное поле. Очевидно, что постоянный магнит тем лучше сохраняет свои свойства, чем больше коэрцитивная сила мате* риала, из которого он изготовлен. При действии на ферромагнетик переменного маг- нитного поля индукция изменяется в соответствии с кри- вой 1—2—3—4—5—1 (рис. 102), которая называется Петлей гистерезиса (аналогичная петля полу- чается и на диаграмме J — Н). Если максимальные зна- чения Н таковы, что намагничение достигает насыщения, получается так называемая максимальная петля гистерезиса (сплошная петля на рис. 102). Её'ли при амплитудных значениях Н насыщение не дости- гается, получается петля, называемая частным цик- лом (пунктирная петля на рисунке). Частных циклов может существовать бесконечное множество, все они ле- жат внутри максимальной петли гистерезиса. Гистерезис приводит к тому, что намагничение фер- ромагнетика не является однозначной функцией Н\ оно в сильной мере зависит также от предшествующей исто- рии образца — от того, в каких полях он побывал прежде. Так, например, в поле напряженности Нх (рис. 102) ин- дукция может иметь любое значение в пределах ог В\ до В". Из всего сказанного о ферромагнетиках видно, что они очень похожи по своим свойствам на сегнетоэлек- трики (см. § 19). В связи с неоднозначностью зависимости В от Н по- нятие магнитной проницаемости применяется лишь к основной кривой намагничения. Относительная магнит- ная проницаемость ферромагнетиков р, (а следователь- но и магнитная восприимчивость х) является функцией напряженности поля. На рис. 103, а изображена 185
основная кривая намагничения. Проведем из начала координат прямую линию, проходящую через произволь- ную точку кривой. Тангенс угла наклона этой прямой пропорционален отношению BfH, т. е. относительной маг- нитной проницаемости ц для соответствующего значения напряженности поля. При увеличении Н от нуля угол наклона (а значит и ц) сначала растет. В точке 2 он до- стигает максимума (прямая 0—2 является касательной к кривой), а затем убывает. На рис. 103,6 дан график зависимости р от Н. Из рисунка видно, что максималь- ное значение проницаемости достигается несколько раньше, чем насыщение. При неограниченном возраста- нии Н проницаемость асимптотически приближается к единице. Это следует из того, что / в выражении р = 1 + J/Н не может превысить значение JHac. ВеЛИЧИНЫ Вт (ИЛИ Л), Нс И Щпах являются основ- ными характеристиками ферромагнетика. Если коэрци- тивная сила Нс велика, ферромагнетик называется же- стким. Для него характерна широкая петля гистере- зиса. Ферромагнетик с малой Нс (и соответственно узкой петлей гистерезиса) называется мягким. В зави- симости от назначения берутся ферромагнетики с той или иной характеристикой. Так, для постоянных магни- тов употребляются жесткие ферромагнетики, а для сер- дечников трансформаторов — мягкие. В таблице приве- дены характеристики некоторых типичных ферромагне- тиков. Вещество Состав Bmax Br в тл в а/м Железо Супермал- лой Алннко Магаико Колумакс 99 9 % F*e 79% Ni, 5% Mo, 16% Fe. 10% Al, 19% Ni, 18% Co, 53 56 Fc 14% Ni, 24% Co, 8% Al, 3% Cu,51%Fe 13% Ni, 24% Co, 8% Al, 3% Cu, 0,7% Ti, остальное Fe 5000 800 000 0,9 1,25 1.3 80 0,3 52 000 46 000 59 000 Ферромагнетики при намагничении деформируются. Это явление называется магнитострикцией. От- 186
носительное изменение линейных размеров образца при магнитострикции невелико —в полях порядка 105 а/м (~ 103 э) оно составляет 10-5—10-6. Знак эффекта за- висит от природы ферромагне- тика, ориентации кристалло- графических осей по отноше- нию к направлению магнит- ного поля и от напряженности поля. У некоторых ферромаг- нетиков при переходе от сла- бых полей к сильным знак магнитострикции изменяется на обратный. Теория ферромагнетизма была создана Я- И. Френкелем и В. Гейзенбергом в 1928 г. Из опытов по изучению маг- нитомеханических явлений (см. § 51) следует, что ответ- ственными за магнитные свой- ства ферромагнетиков являют- Рис. ЮЗ. ся собственные (спиновые) магнитные моменты электро- нов. При определенных условиях в кристаллах могут возникать силы1), которые заставляют магнитные моменты электронов выстраиваться ла- н \ раллельно друг другу. В результате воз- никают области спонтанного (саг мопроизвольного) намагничения, которые называются также доменами, В пределах каждого домена ферромаг- нетик спонтанно намагничен до насыще- ния и обладает определенным магнит- ным моментом. Направления этих мо- ментов для разных доменов различны (рис. 104),так что в отсутствие внешнего поля суммарный момент всего тела ра- вен нулю. Домены имеют размеры по- рядка 10-4—10~3 см. Действие поля на домены на разных стадиях процес- са намагничения оказывается различным. Вначале, при ’) Эти силы называются обменными. Их объяснение дается только квантовой механикой. 187
слабых полях, наблюдается смещение границ доменов, в результате чего происходит увеличение тех доменов, моменты которых составляют с Н меньший угол, за счет доменов, у которых угол О между векторами рт и Н больше. Например, домены 1 и 3 (рис. 104) увеличи- ваются за счет доменов 2 и 4. С увеличением напряжен- ности поля этот процесс идет все дальше и дальше, пока домены с меньшими О’ (которые обладают в магнитном поле меньшей энергией) не поглотят целиком энерге- тически менее выгодные домены. На следующей Стадии имеет место поворот магнитных моментов домеиов в на- правлении поля. При этом моменты электронов в преде- лах домена поворачиваются одновременно, без нару- шения их строгой параллельности друг другу. Эти про- цессы (исключая небольшие смещения границ между доменами в очень слабых полях) являются необрати- мыми, что и служит причиной гистерезиса. Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура Тс, при которой области спонтанного на- магничения распадаются и вещество утрачивает ферро- магнитные свойства. Эта температура называется точ- кой Кюри. Для железа она равна 768° С, для никеля 365° С. При температуре выше точки Кюри ферромагне- тик становится обычным парамагнетиков, магнитная восприимчивость которого подчиняется закону Klop и — Вейсса Хкат = угт7 (54-О [ср. с формулой (53.1)]. При охлаждении ферромагнетика ниже точки Кюри в нем снова возникают домены. В точке Кюри присходит фазовый переход второго рода (см. т. I, § 147). При температуре, равной Тс, на- блюдается аномалия в поведении ряда физических свойств, в частности теплоемкости, ферромагнетика. В некоторых случаях обменные силы приводят к воз- никновению так называемых антиферромагнети- ков (хром, марганец и др.). Существование антифер- ромагнетиков было предсказано Л. Д. Ландау в 1933 г. В антиферромагнетиках собственные магнитные момен- ты электронов самопроизвольно ориентированы антипа- раллельно друг другу. Такая ориентация охватывает по- 188
парно соседние атомы. В результате антиферромагне- тики обладают крайне малой магнитной восприимчи- востью и ведут себя как очень слабые парамагнетики. Для антиферромагнетиков также существует темпера- тура Tn, при которой антипараллельная ориентация спи- нов исчезает. Эта температура называется антифер- ромагнитной точкой Кюри или точкой Нееля. У некоторых антиферромагнетиков (например, у эрбия, диспрозия, сплавов марганца и меди) таких температур две (верхняя и нижняя точки Нееля), при- чем антиферромагнитные свойства наблюдаются только при промежуточных температурах. Выше верхней точки вещество ведет себя как парамагнетик, а при темпера- турах, меньших нижней точки Нееля, становится ферро- магнетиком.
ГЛАВА X ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ § 55. Явление электромагнитной индукции В 1831 г. Фарадей открыл, что во всяком замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим конту- ром, возникает электрический ток. Это явление назы- вают электромагнитной индукцией, а воз- никающий ток индукционным. Рис. 105. Величина индукционного тока не зависит от способа, которым вызывается изменение потока магнитной ин- дукции Ф, н определяется лишь скоростью изменения Ф, т. е. значением d<$ldt. При изменении знака dtb/dt ме- няется также направление тока. Поясним сказанное еле* дующим примером. На рис. 105 изображен контур 1, 190
силу тока в котором Ц можно менять с помощью рео- стата. Ток i'i создает магнитное поле, пронизывающее контур 2. Если увеличивать ток й, поток магнитной ин- дукции Ф через контур 2 будет расти. Это приведет к появлению в контуре 2 индукционного тока й, регистри- руемого гальванометром. Уменьшение тока й обусловит убывание потока магнитной индукции через второй кон- тур, что приведет к появлению в нем индукционного тока иного направления, чем в первом случае. Индук- ционный ток i2 можно вызвать также, приближая кон- тур 2 к первому контуру, или удаляя второй контур от первого. В обоих случаях направления возникающего тока будут противоположными. Наконец, электромаг- нитную индукцию можно вызвать, не перемещая контур 2 поступательно, а поворачивая его так, чтобы менялся угол между нормалью к контуру и направлением поля. Заполнение всего пространства, в котором поле от- лично от нуля, однородным магнетиком приводит, при прочих равных условиях, к увеличению индукционного тока в раз. Этим подтверждается то, что индукцион- ный ток обусловлен изменением не потока вектора Н, а потока магнитной индукции. Ленц установил правило, с помощью которого можно найти направление индукционного тока. Правило ЛеНца гласит, что индукционный ток всегда направ- лен так, чтобы противодействовать причине, его вызы- вающей.' Если, например, изменение Ф вызвано переме- щением контура, то возникает индукционный ток такого направления, что сила, действующая на него во внеш- нем поле, противится движению контура. При прибли- жении контура 2 к первому контуру возникает ток 14, (рис. 105), магнитный момент которого направлен про- тив внешнего поля (угол а между векторами р^ и В равен л). Следовательно, согласно формуле (48.8) на контур 2 будет действовать сила, отталкивающая его от первого контура. При удалении контура 2 от первого контура возникает ток ii, момент которого Р« совпа- дает по направлению с В (сс = О), так что сила, дей- ствующая на контур 2, имеет направление к первому коиТуру. Пусть контур 2 неподвижен, и ток индуцируется в нем путем изменения тока й в первом контуре. В этом 191
случае индуцируется ток i2 такого направления, что со- здаваемый им собственный магнитный поток стремится ослабить изменения внешнего потока, приведшие к по- явлению индукционного тока. При увеличении й, т. е. возрастании внешнего магнитного потока, направлен- ного вправо, возникнет ток й, создающий поток, направ- ленный влево. При уменьшении ц возникает ток I. собственный магнитный поток которого направлен так же, как и внешний поток, и, следовательно, стремится поддержать внешний поток неизменным. § 56. Электродвижущая сила индукции Для создания тока в цепи необходимо наличие э. д. с. Поэтому явление электромагнитной индукции свиде- тельствует о том, что при изменениях магнитного по- тока Ф в контуре возникает электродвижущая сила индукции Рис, 106. 6) Чтобы выяснить связь между &i и скоростью изме- нения Ф, рассмотрим следующий пример. Возьмем кон- тур, участок которого 1—2 длины I может перемещаться без нарушения контакта с остальной частью контура (рис. 106,а). Поместим его в однородное магнитное иоле, перпендикулярное к плоскости контура (это поле изображено на рисунке кружками с крестиками — век- юр В направлен от нас за чертеж). Приведем подвиж- 192
ную часть контура в движение со скоростью v. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и но- сители заряда в проводнике — электроны (рис. 106,6). В результате на каждый электрон начнет действовать сила Лоренца f|p равная по модулю [см. (47.5)] fu = evB (56.1) (индекс «||» указывает на то, что сила направлена вдоль провода). Действие этой силы эквивалентно действию электри- ческой силы, обусловленной полем напряженности Е = vB, имеющим направление, указанное на рис. 106, б. Это поле неэлектростатического происхождения. Его цир- куляция по контуру дает величину э. д. с., индуцируемой в контуре: = § Е^1 = El^vBl^ В~~==В (56.2) где dS = lv dt — приращение площади контура за вре- мя dt (это приращение равно заштрихованной площади на рис. 106, а). При вычислении циркуляции мы учли, что Ei отлична от нуля лишь на участке длины /, причем на этом участке всюду Ei — Е. Произведение В dS дает d<D — приращение потока магнитной индукции через контур. Следовательно, мы пришли к выводу, что э. д. с. индукции &i, возникающая, в замкнутом контуре, равна скорости изменения во вре- мени потока магнитной индукции Ф, пронизывающего контур. Это равенство принято записывать в виде (56.3) Знак «—» в формуле (56.3) означает, что направле- ние Si и направление dO1) связаны правилом левого винта. Положительному приращению потока, имеющего направление за чертеж (рис. 106), соответствует изобра- женное на рисунке направление S{, которое связано с ') Поток Ф и его приращение d<I> — скалярные величины. По- этому об их направлении можно говорить лишь в том смысле, ка- кой вкладывается, например, в понятие направления тока [см. за- мечания к формуле (7.5)]. 13 И. В, Савельев, т. II 193
направлением за чертеж правилом левого винта. Если бы проводник 1—2 перемещался не вправо, а влево, по- ток через контур уменьшался бы и Si имела бы направ- ление, противоположное изображенному на рисунке. На рис. 107 показано направление Si для различных направлений вектора В и разной зависимости В от времени. (уменьшается) (растет) Рис. 107. Единицей потока магнитной индукции в СИ служит вебер (еб), который представляет собой поток через поверхность в 1 м2, пересекаемую нормальными к ней линиями магнитного поля с В, равной 1 тесла. При ско- рости изменения потока, равной 1 вб]сек, в контуре ин- дуцируется э. д. с., равная 1 в В гауссовой системе формула (56.3) имеет вид Единицей Ф в этой системе является максвелл (мкс), равный потоку через поверхность в 1 сл2 при В — 1 гс. Между единицами потока в СИ и Гауссовой системе имеется следующее соотношение: 1 вб= 1 тл-1 л2= 104 ec-104 сл2= 10е л/кс. (56.5) По формуле (56.4) <3^ получается в СГСЭ-единицах потенциала. Чтобы получить ё f в вольтах, нужно умножить полученный ре- зультат на 300. Поскольку 300/с = 10 8, ё. (в) = - 10-8-^ 4^-. (56.6) ‘ dt (сек) В расссмотренном нами выше примере роль сторон- них сил, поддерживающих ток в контуре, играют силы 191
Лоренца. Работа этих сил над единичным положительным зарядом, равная по определению э. д. с. (см. § 32), ока- зывается отличной от нуля. Это обстоятельство нахо- дится в кажущемся противоречии с высказанным в §47 утверждением о том, что сила Лоренца работы над за- рядом совершать не может. Дело в том, что сила (56.1) представляет собой не всю лоренцеву силу, действую- щую на электрон, а лишь параллельную проводу состав- ляющую силы, обусловленную ско- ростью v (рис. 108). Под действием этой составляющей электрон прихо- дит в движение вдоль провода со скоростью ц, в результате чего воз- никает перпендикулярная к проводу составляющая лоренцевой силы f±*)» модуль которой равен В ® 'вн Н. Рис. 108. = еиВ (56.7) (см. рис. 108). Таким, образом, полная лоренцева сила, действую- щая на электрон, равна Гл = Г» + f±> а работа этой силы над электроном за время dt dA = fnu dt — f±v dt (направления векторов f(| и u одинаковы, а векторов и v противоположны; см. рис. 108). Учтя, что f|( = evB, = еиВ, легко видеть, что работа полной силы Лоренца действительно, как и полагается, равна нулю. Сила Г± направлена противоположно скорости про- вода V. Поэтому для того, чтобы участок провода /—2 перемещался, как показано на рис. 108, с постоян- ной скоростью V, к нему нужно приложить внешнюю си- лу fBH, уравновешивающую сумму сил f±, приложенных ко всем электронам, содержащимся в проводе 1—2. За счет работы этой силы и будет возникать энергия, ’) Эта составляющая не вносит вклада в циркуляцию, так как ее проекция на направление провода равна нулю. 13* 195
выделяемая в контуре индуцированным током. Дейст- вительно, модуль силы fBH можно представить в виде fBH = f±nV = euBriV = euBnlS^ где n — число свободных электронов в единице объема, V — lSnp — объем провода на участке 1—2, Snp — пло- щадь поперечного сечения провода. Работа силы fBH за время dt равна tMBli — IbhV dt — euBnlSapv dt. (56.8) Энергия, выделяемая током в контуре за время dt, определяется следующим выражением [см. формулу (37.2)]: dQ = &il dt = ^ijS^ dt, где j — плотность тока. В соответствии с формулой ,(31.4) плотность тока равна j = епи, согласно (56.2) э. д. с. индукции можно представить в виде = vBl. Подставив эти значения j и в выражение для dQ, придем к формуле dQ — vBlenuSnp dt, совпадающей с формулой (56.8) для tMBH. Таким обра- зом, мы показали, что dQ = с?Лвн. Рассмотренное нами объяснение возникновения э. д. с. индукции относится к случаю, когда магнитное поле постоянно, а изменяется геометрия контура. Но маг- нитный поток через контур может изменяться также за счет изменения В. В этом случае объяснение возникно- вения э. д. с. оказывается в принципе другим. Изменяю- щееся со временем магнитное поле В порождает вихре- вое электрическое поле Е (подробнее об этом говорится в § 103). Под действием поля Е приходят в движение носители тока в проводнике — возникает индуцирован- ный ток. Связь между э. д. с. индукции и изменениями магнитного потока и в этом случае описывается фор- мулой (56.3). Пусть контур, в котором, индуцируется э. д. с., со- стоит не из одного витка, а из N одинаковых витков, т. е. представляет собой соленоид (или тороид). По- скольку витки соленоида соединяются последовательно, 196
будет равна сумме э. д. с., индуцируемых в каждом из витков в отдельности, *.—24-4(24 Величину ^ = 5ф (56.9) называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Ее измеряют в тех же еди- ницах, что и Ф. Если поток, пронизывающий каждый из витков, одинаков, Ф = .МФ. (56.10) Воспользовавшись потокосцеплением, выражение для э. д. с., индуцируемой в соленоиде, можно записать в виде = (56.11) Пример. Катушка, имеющая /V витков, вращается в однородном магнитном поле с постоянной скоростью ы (рис. 109). Найдем ин- дуцируемую в ней э. д. с. Поток через один виток Ф = B„S — = BScosa, где S — площадь витка, a — угол между нормалью к плоскости витка и направлением В. Полный поток ЧР = МФ = NBS cos a. Угол а меняется со временем по за- кону a = cot Следовательно, ЧР — NB^os <ot = Ч'т cos at. где через ’Ifm обозначено амплитуд- ное значение полного потока. По формуле (56.11) dT &. =----— = ЧРт(0 sin (ot = ё’щ sin <в/. * at (56.12) Рис. 109. Таким образом, в катушке индуцируется переменная э. д. с., из- меняющаяся со временем по гармоническому закону. § 57. Методы измерения магнитной индукции Пусть полный йоток, сцепленный с некоторым зам- кнутым контуром, изменяется от значения 4S до Тг. Найдем заряд q, который протекает при этом через каждое сечение контура. Мгновенное значение силы тока 197
в контуре будет равно .^i = 1 d'V 1 R R dt ’ откуда dq = i dt = — -i- -77- dt = — л at к (знак «—» означает, что направление, в котором пере- носится dq, и направление d'V связаны правилом левого винта). Проинтегрировав это выражение., найдем полный за- ряд 2 <7~ Й = = ~ ^)- (57-1) I Соотношение (57.1) лежит в основе разработанного первоначально А. Г. Столетовым баллистического спо- соба измерения магнитной индукции, который заклю- чается в следующем. Поместим в интересующую нас точку поля небольшую катушку, имеющую N витков. Если катушку расположить так, чтобы вектор В ока- зался перпендикулярным к плоскости витков (рис. 110, а), то полный магнитный поток будет равен где S — площадь одного витка, которая должна быть настолько малой, чтобы В в ее пределах можно было считать одной и той же. 198
Если повернуть катушку на 90° (рис. 110,6), поток через нее обратится в нуль (п перпендикулярна к В), т. е. изменяется на NBS. При повороте на 180° (рис. 110, е) изменение полного потока через катушку составит 2NBS, так как значение потока станет равным Тг = —NBS (п и В направлены в противоположные стороны). Если поворот катушки осуществить достаточ- но быстро, в контуре будет иметь место кратковремен- ный импульс тока, при котором протекает заряд, равный согласно (57.1) q = ~2NBS (57.2) А Рис. 111. (при повороте катушки на 90° формула будет такой же, но без двойки). Заряд, протекающий по контуру при кратковремен- ном импульсе тока, можно измерить с помощью так называемого баллистического гальванометра, который пред- ставляет собой гальванометр с большим периодом собствен- ных колебаний. Измерив q и зная R, N и S, можно по фор- муле (57.2) найти В. Под R в1 этом случае подразумевается полное сопротивление цепи, включающее сопротивление катушки, подводящих проводов и гальванометра. Если q в формуле (57.2) выразить в кулонах, R— в омах, aS — в кв. метрах, то В получится в тесла. Вместо того чтобы поворачивать катушку, можно включать (либо выключать) исследуемое магнитное поле, или изменять его направление на обратное. Так, в частности, поступал А. Г. Столетов при исследовании кривой намагничения железа. Для измерения В используют также то обстоятель- ство, что электрическое сопротивление висмута под дей- ствием магнитного поля сильно возрастает — при- мерцо на 5% на каждую десятую долю тесла (на каж- дую. 1000 гс) *). Поэтому, помещая предварительно >) У других металлов электрическое сопротивление в магнит- ном поле также возрастает, но в гораздо меньшей степени. У меди, например, увеличение сопротивления примерно в 104 раз меньше, чем у висмута. 199
проградуированную висмутовую спираль (рис. 111) в магнитное поле и измеряя относительное изменение ее сопротивления, можно определить магнитную индукцию поля. § 58. Токи Фуко Индукционные токи могут возбуждаться и в сплош- ных массивных проводниках. В этом случае они назы- ваются токами Фуко или вихревыми токами. Поскольку электрическое сопротивление массивного про- водника мало, вихревые токи мо- гут достигать очень большой силы. Токи Фуко подчиняются пра- вилу Ленца — они выбирают внутри проводника такие пути и направления, чтобы своим дей- ствием возможно сильнее проти- виться причине, которой они вы- званы. Поэтому движущиеся в сильном магнитном поле хоро- шие проводники испытывают сильное торможение, обусловлен- ное взаимодействием токов Фуко с магнитным полем. Этим поль- зуются для успокоения (демпфирования) подвижных частей гальванометров, сейсмографов и других прибо- ров. На подвижной части прибора укрепляется прово- дящая (например, алюминиевая) пластинка в виде сек- тора (рис. 112), которая вводится в зазор между полю- сами сильного постоянного магнита. При движении пластинки в ней возникают вихревые токи, вызываю- щие торможение системы. Преимущество такого уст- ройства состоит в том, что торможение возникает лишь при движении пластинки и отсутствует, когда пла- стинка неподвижна. Поэтому электромагнитный успо- коитель совершенно не препятствует точному приходу системы в положение равновесия. Тепловое действие токов Фуко используется в инду- кционных печах. Такая печь представляет собой ка- тушку, питаемую высокочастотным током большой силы. Если поместить внутрь катушки проводящее тело, в нем возникнут интенсивные вихревые токи, которые могут разогреть тело до плавления. Таким способом осуще- 200
ствляют плавление металлов в вакууме, что позволяет получать материалы исключительно высокой чистоты. С помощью токов Фуко осуществляется также про- грев внутренних металлических частей вакуумных уста- новок для их обезгаживания. В многих случаях токи Фуко бывают нежелатель- ными и приходится принимать для борьбы с ними спе- циальные меры. Так, например, чтобы предотвратить потери энергии на нагревание вихревыми токами сердеч- ников трансформаторов, эти сердечники набираются из тонких пластин, разделенных изолирующими прослой- ками. Пластинки располагаются так, чтобы возможные направления токов Фуко были к ним перпендикуляр- ными. Появление ферритов (магнитных материалов с большим электрическим сопротивлением) сделало воз- можным изготовление сердечников сплошными. Вихревые токи, возникающие в проводах, по кото- рым текут переменные токи, направлены так, что ослаб- ляют ток внутри провода и усиливают вблизи поверхно- сти. В результате быстропеременный ток оказывается распределенным по сечению провода неравномерно — он как бы вытесняется на поверхность проводника. Это яв- ление называется скин-эффектом (от английского skin — кожа) или поверхностным эффектом. Из-за скин-эффекта внутренняя часть проводников в вы- сокочастотных цепях оказывается бесполезной. Поэтому в высокочастотных цепях применяют проводники в виде трубок. § 59. Явление самоиндукции Электрический ток i, текущий в любом контуре, со- здает пронизывающий этот контур магнитный поток Чт. При изменениях i будет изменяться также и, следо- вательно, в контуре будет индуцироваться э.д. с. Это явление называется самоиндукцией. В соответствии с законом Био—-Савара магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в контуре i и соз- даваемый им полный магнитный поток через контур Т друг другу пропорциональны: (59.1) 201
Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индук- тивностью контура1). Линейная зависимость от i имеет место лишь в том случае, если относительная магнитная проницае- мость ц среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля Н, т. е. в отсутствие ферромаг- нетиков. В противном случае р является сложной функ- цией (см. рис. 103) от i (через Н), и, поскольку В — = зависимость УР от i также будет довольно слож- ной. Однако соотношение (59.1) распространяют и на этот случай, считая индуктивность L функцией от t. При неизменной силе тока i полный поток может изме- няться за счет изменений формы и размеров контура. Из сказанного следует, что индуктивность L зависит от геометрии контура (т. е. его формы и размеров) и от магнитных свойств (от ц) окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферро- магнетиков, индуктивность L будет постоянной вели- чиной. За единицу индуктивности в СИ принимается индук- тивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 а возникает полный поток УР, равный 1 вб. Эту единицу называют генри (гн). Выражение, определяющее индуктивность L, имеет в гауссовой системе единиц вид W W 1 = 7^- = с—. (59.2) (z/c) I Чуобы найти размерность величины (59.2), воспользуемся тем, что в гауссовой системе В имеет размерность, равную согласно (40.5) размерности силы тока i, деленной иа размерность с и на размерность длины (последнюю мы будем обозначать символом И). Следовательно, [11=ит=[с1м=мШ=и. 14 14 14 Таким образом, в гауссовой системе индуктивность имеет раз- мерность длины. В соответствии с этим единицу индуктивности в этой системе называют сантиметром. Индуктивностью в 1 см обла- дает такой контур, с которым при силе тока в 1 СГСМ-единицу (т. е. 10 а) сцеплен поток, равный 1 мкс (10-8 вб). ') Устаревшее название этой величины — коэффициент само- индукции. 202
Между единицами L в СИ и в гауссовой системе имеется сле- дующее соотношение: , 1 вб 108 мкс ’ гк = ТТ= оГсгсм =1° см- (59.3) Вычислим индуктивность соленоида. Возьмем соле- ноид такой длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным. При протекании по нему тока i внутри соленоида возбуждается однородное поле, маг- нитная индукция которого согласно формулам (42.6) и (44.24) равна В = popni. Поток через каждый из вит- ков будет Ф = BS, а полный магнитный поток, сцеплен- ный с соленоидом, равен Y = ДГф = nlBS = p0pn2/St, (59.4) где I — длина соленоида (которая предполагается очень большой), S — площадь поперечного сечения, п — число витков на единицу длины (произведение nl дает полное, число витков N). Сопоставляя (59.4) с (59.1), подучаем для индуктив- ности очень длинного соленоида следующее выражение: L == p0pn2/S = p0pn2V, (59.5) где V — IS — объем соленоида. Заменив в (59.5) п че- рез N/1, получим L = роц -у- S, (59.6) В гауссовой системе формула для индуктивности соленоида имеет следующий вид: L = 4njin2lS. (59.7) В соответствии с (59.6) размерность ц0 равна раз- мерности индуктивности, деленной на размерность дли- ны (напомним, что относительная магнитная проницае- мость ц—безразмерная величина). Следовательно, в СИ ро измеряется в генри на метр [см. (38.3)]. При изменениях силы тока в Контуре возникает э. д. с. самоиндукции <^s, равная [см. формулу (56.11)] + (59.8) Если L при изменениях силы тока остается постоян- ной (что, как уже отмечалось, возможно лишь при 203
отсутствии ферромагнетиков), выражение для имеет вид di Ss = —L dt ‘ (59.9) В гауссовой системе sp I r di (59.10) Соотношение (59.9) дает возможность определить индуктивность L как коаффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и воз- никающей вследствие Этого а. д. с. самоиндукции. Од- нако такое определение правильно лишь в случае, когда L — const. В присутствии ферромагнетиков L недефор- мируемого контура будет функцией от i (через Н); сле- dL dL di довательно, можно записать как Произведя такую подстановку в формуле (59.8), получим ^s=- di (59.11) откуда видно, что при наличии ферромагнетиков коэф- . di а, фициент пропорциональности между и es отнюдь не равен L. В случае, когда L — const, изменение силы тока со скоростью 1 а!сек в проводнике с L = 1 гн приводит со- гласно (59.9) к возникновению <$& — 1 в. § 60. Ток при замыкании и размыкании цепи По правилу Ленца дополнительные токи, возникаю- щие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что уста- новление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а по- степенно. Найдем сначала характер изменения тока при раз- мыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от i индук- тивностью L и сопротивлением R включен источник 204
тока, имеющий э. д. с. <S (рис. 113). Под действием этой э. д. с. в цепи будет течь постоянный ток = | (60.1) (сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени t = 0 от'ключим источник тока замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи станет убывать, воз- никнет э. д. с. самоиндукции. Следова- тельно, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи будет в соответ- ствия с законом Ома удовлетворять уравнению Перепишем это выражение так: f+T'-o- I60-2’ Уравнение (60.2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его легко проинтегрировать, разделив переменные, т. е. записав в виде откуда D In i = — ~1 + In const (имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоян- ную интегрирования написали в виде In const). Потенцирование этого соотношения дает t i = const • е L . (60.3) Выражение (60.3) является общим решением урав- нения (60.2). Значение const найдем из начальных усло- вий. При f = 0 сила тока имела значение (60.1). Следо- вательно, const = /о- Подставив это значение в (60.3), получим -А, / = /0^ L • (60.4) 205
Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (60.4). График убывания i дан на рис. 114 (кривая /). Скорость убывания опреде- ляется имеющей размерность Рис. 114. времени величиной т = -|, (60.5) которую называют постоян- ной времени цепи. Использо- вав обозначение (60.5), формуле (60.4) можно придать вид __£ i = Ioe х (60.6) В соответствии с этой формулой т есть время, в тече- ние которого сила тока уменьшается в е раз. Из соот- ношения (60.5) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R, тем больше по- стоянная времени т и тем медленнее спадает ток в цепи. Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения к источнику тока, до тех пор, пока сила тока не примет установившегося значения (60.1), в цепи кроме э. д. с. <S будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома можно написать, что IR = 8 + %S = 8-L^. Преобразуем это уравнение к следующему виду: 4+т^т- (60-7> Мы пришли к линейному неоднородному уравнению, которое отличается от уравнения (60.2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная вели- чина &IL. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его част- ное решение к общему решению соответствующего од- нородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид (60.3). Легко убедиться в том, что i = /о = &/R представляет собой частное решение урав- 206
нения (60.7). Следовательно, общее решение уравнения (60.7) можно написать следующим образом: R f i = /0 + const • е L . В начальный момент сила тока i равна нулю. От- сюда для const получается значение const ~ —/о- Та- ким образом, ( Л i=/0\l-e L ). (60.8) Функция (60.8) описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с. График этой функции дан на рис. 114 (кривая 2). Мы предполагали индуктивность L постоянной. Если цепь содержит катушку с железным сердечником, <% s будет определяться формулой (59.8). В этом случае за . dL счет слагаемого i э. д. с. самоиндукции может до- стигать очень больших значений. При этом сила тока может значительно превзойти Iq. § 61. Энергия магнитного поля Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 115. Сна- чала замкнем соленоид L на батарею в нем устано- вится ток г, который обусловит магнитное поле, сцеплен- ное с витками соленоида. Если, отключив соленоид от бата- реи, замкнуть его через сопро- тивление R, то в образовавшейся цепи будет некоторое время течь постепенно убывающий ток. Ра- бота, совершаемая этим током за время dt, равна dA = &si dt = = --^-idt= - idW. (61.1) Если индуктивность соленоида не зависит от i (L = const), то dxV — L di и выражение (61.1) прини- мает следующий вид: dA = — Li di. (61.2) 207
Проинтегрировав это выражение по i в пределах от первоначального значения i до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля: о . ( г • j - L? А = — Ltdi = . (61.3) Работа (61.3) идет на приращение внутренней энер- гии проводников, т. е. на их нагревание. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружаю- щем соленоид пространстве.' Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит,, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совер- шается работа (61.3). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по кото- рому течет ток i, обладает энергией Li2 (61.4) которая локализована в возбуждаемом током магнит- ном поле [ср. эту формулу с выражением (29.1) для энергии заряженного конденсатора]. В гауссовой системе выражение для энергии контура с током имеет вид <61-5) Заметим, что выражение (61.3) можно трактовать как ту работу, которую необходимо совершить против э. д. с. самоиндукции в процессе нарастания тока от О до I, и которая идет на создание магнитного поля, обла- дающего энергией (61.4). В самом деле; работа, совер- шаемая против э. д. с. самоиндукции, i А'= J (- О 208
Произведя преобразования, подобные тем, которые привели иас к выражению (61.2), получим I Г Li2 Л'=] Lidi = ~, о (61.6) что совпадает с (61.3). Работа (61.6) совершается при установлении тока за счет источника э. д. с. и идет це- ликом на создание сцепленного с контуром магнитного поля. Выражение (61.6) не учитывает той работы, ко- торую источник э. д. с. затрачивает в процессе установ- ления тока на нагревание проводников* 1). Выразим энергию магнитного поля (61.4) через ве- личины, характеризующие само поле. В случае беско- нечного (практически очень длинного) соленоида L = Holin2 V, Н = ni, откуда Подставляя эти значения L и i в (61.4) и производя преобразования, получим (61.7) Как было показано в § 42, магнитное поле бесконеч- но длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (61.7) заключена в пределах соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно по- лучить, разделив W на V. Произведя это деление, по- лучим (61.8) ’) Она равна i А" = | Ri2 dt. О 14 И. В. Савельев, т. II 209
(61.9) Воспользовавшись соотношением (44.15), формулу для плотности энергии магнитного поля можно записать следующим образом: вн в2 W = —— = —---, 2 2ц0ц Полученное нами выражение для плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный выражению (30.2) для плотности энергии электрического поля, с тем лишь отличием, что электрические величины в нем заменены соответствующими магнитными. В гауссовой системе формулы для плотности энергии магнит- ного поля выглядят следующим образом: = цН2 = ВН В2 8л 8л 8л ‘ (61.10) Если магнитное поле неоднородно, плотность энергии больше там, где больше Н и р. Чтобы найти энергию магнитного поля, заключенную в некотором объеме V, нужно вычислить интеграл wdV = f-^—^-dV. (61.11) V V § 62. Взаимная индукция Возьмем два контура 1 и 2, расположенные друг от- носительно друга не очень далеко (рис. 116). Если в первом контуре течет ток силы ii, 'он создает через дру- гой контур пропорциональный ц полный поток (62.1) 210
(поле, создающее этот поток, изображено на рисунке сплошными линиями). При изменениях тока q во втором контуре индуци- руется э. д. с. (62.2) Аналогично, при протекании во втором контуре тока силы i2 возникает связанный с первым контуром поток = L12i2 (62.3) (поле, создающее этот поток, изображено пунктирными линиями). При изменениях тока 4 в контуре 1 индуцируется э. д. с. (62.4) Контуры I и 2 называются связанными, а явление возникновения э. д. с. в одном из контуров при измене- ниях силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности Ln и L2i назы- ваются взаимной индуктивностью (или коэф- фициентом взаимной индукции) контуров. Позже мы покажем, что эти коэффициенты всегда рав- ны друг другу: Ln = ^-21* (62.5) Взаимная индуктивность Ll2 зависит от формы, раз- меров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости, окружающей контуры среды. Измеряется Li2 в тех же единицах, что и индуктив- ность L. Вычислим энергию магнитного поля, создаваемого обоими контурами. Если ток течет только в одном из контуров, например в первом, энергия магнитного поля согласно (61.4) равна т fl (62.6) а плотность энергии — 2~» где Hi — напряженность поля, создаваемого током ii. 14* 211
Аналогично, если ток течет только во втором конту- ре, энергия поля равна №2 = -^-, (62.7) а ее плотность где Н2— напряженность поля, создаваемого током i2. В случае, когда ток в обоих контурах одновременно отличен от нуля, напряженность поля в любой точке будет согласно принципу суперпозиции равна н = н, + н2, так что, вообще говоря, Отсюда следует, что w^wt + w2, и полная совместная энергия контуров W не равна сум- ме энергий (62.6) и (62.7). Чтобы найти энергию W, вычислим работу, которую должны совершить источники тока, включенные в оба контура, для того, чтобы в контурах возникли токи силы ii и t2 и было создано соответствующее суммарное поле. Пусть вначале сила тока в обоих контурах равна нулю. Для того чтобы создать в первом контуре ток силы i\, источник тока, включенный' в контур, должен совер- шить против э. д. с. самоиндукции <Fsi работу, величина которой согласно (61.6) равна где L\ — индуктивность первого контура. Теперь, поддерживая силу тока it неизменной, ста- нем увеличивать силу тока во втором контуре от 0 до i2. При этом источник тока, включенный во второй кон- тур, должен совершить работу где L2 — индуктивность второго контура. 212
Однако дело не исчерпывается только этим. При изменениях тока i2 в первом контуре будет индуциро- ваться э. д. с. (62.4). Для того чтобы появление этой э. д. с. не вызвало изменения силы тока в контуре, источ- ник тока, включенный в первый контур, должен совер- шить против э. д. с. индукции работу Х2= dt. Подставляя сюда выражение (62.4) для и учи- тывая, что сила тока ij постоянна, получим A a = h | j it • J ЯГ = L^di^— Л|21\/2. Таким образом, полная работа, которая совершается источниками тока, действующими в обоих контурах, при установлении значений силы тока it и i2 равна L Г L г А' = Д' + А' + д;2 = _11+41 + Ll2t,i2. (62.8) Проведя такие же рассуждения для случая, когда вначале устанавливается во втором контуре ток силы i2, а затем в первом контуре ток силы t'i, получим для работы следующее выражение: (62.9) (в этом случае, чтобы поддерживать неизменной силу тока t2, нужно совершать работу против э. д. с. индукции (62.2), которая пропорциональна L21). Поскольку работа не может зависеть от того, в ка- кой последовательности создаются токи — сначала ц, а затем i2, или наоборот, — выражения (62.8) и (62.9) должны быть равны друг другу. Отсюда следует спра- ведливость соотношения (62.5). Вычисленная нами работа идет на создание энергии W магнитного поля. Поэтому можно написать, что 2 1 2 (62.10) 213
Первое слагаемое в этой формуле дает энергию тока it, второе — энергию тока i2, слагаемое £121’11'2 на- зывается взаимной энергией токов й и i2. Найдем энергию W в предположении, что токи й и 1'2 одновременно увеличиваются от нуля до заданных зна- чений. В этом случае в первом контуре индуцируется э.д. с., равная + где &sl= — Lt — э.д. с. самоиндукции, а — э.д.с., определяемая формулой (62.4). Во втором контуре действует ё&2 + Si2. Работа, совершаемая против'этих э.д.с., идет на создание энер- гии токов. Поэтому можно написать, что t t W = J [ - (#sl + #fI)J it dt + J [ - (^s2 + &i2)] i2 dt = 0 0 t t - J (<• >+ -»M + J (Ф L« тг) о о Использовав соотношение (62.5), это выражение можно преобразовать к виду t t , t W = f Ццdt + f L2i2 dt+TLl2(h + i2)dt. Lit- HI *} \ UL HI i 0 0 0 Первые два интеграла дают соответственно -g— и Z.nfn . —2~. Третий интеграл можно записать следующим об- разом: t J ^12 dt — L^ifa. о Итак, мы снова приходим к выражению (62.10). Формуле для энергии токов можно придать симмет- ричный вид XV7 — ^1^ । ^2f2 , ^I2*lf2 1 *-21*2*1 W ~ 2 ‘ 2 2 ' 2 214
Для энергии N связанных друг с другом контуров получается аналогичное выражение N 2 (62. id I, Л=1 где Lik — LM — взаимная индуктивность i-ro и k-ro кон- туров, a Lu = Lt — индуктивность i-ro контура. В заключение найдем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный желез- ный сердечник (рис. 117) Поскольку линии магнитной индукции сосредоточиваются внутри сердечника [см. текст, следующий за формулой (45.5)], можно считать, что возбуждаемое любой из обмоток магнитное поле будет иметь всюду в сердечнике одина- ковую напряженность (напомним, что густота линий магнитной ин- дукции пропорциональна В). Если первая обмотка имеет iVi витков и по ней течет ток силы й, то со- гласно теореме о циркуляции [см. (44.6)] можно написать, что = (62.12) где I — длина сердечника. Поток магнитной индукции че- рез поперечное сечение сердечника ф = BS = рорД5, где S — площадь поперечного сечения сердечника. Подставив сюда значение Н из (62.12) и умножив получившееся выражение на Л^, получим пол- ный поток, сцепленный со второй обмоткой Сопоставляя это выражение с (62.1), находим, что = (62.13) Проведя вычисление потока Ti, связанного с первой обмоткой, в предположении, что по второй обмотке те- чет ток силы /а, можно прийти для L12 к такому же точ- но выражению. 215
§ 63. Работа перемагничения ферромагнетика При изменениях тока в цепи против э. д. с. самоин- дукции совершается работа dA' &s)idt=~idt = id'¥. (63.1) Если индуктивность цепи L остается постоянной (что возможно только при отсутствии ферромагнетиков), эта работа полностью идет на создание энергии магнитного поля: dA'~dWl). Иначе, как мы сейчас выясним, об- стоит дело при наличии ферромагнетиков. Выразим (63.1) через величины, характеризующие магнитное поле. С этой целью рассмотрим очень длин- ный соленоид. В этом случае Н = ni, = nlBS. Следо- вательно, можно написать i = —, d^ = nlSdB. п Подставив эти выражения в (63.1), получим dA' = HdB-V, (63.2) где V — IS — объем соленоида, т. е. объем поля. Выясним, можно ли выражение (63.2). отождествить с приращением энергии магнитного поля. Напомним, что энергия — функция состояния. Поэтому сумма ее при- ращений не зависит от пути, по которому совершается переход из одного состояния в другое, и, в частности, сумма приращений энергии для кругового процесса рав- на нулю: (j)dlT = O (иначе говоря, dW является полным дифференциалом). Если заполнить соленоид ферромагнетиком, то связь между В и Н будет иметь вид, изображенный на рис. 118. При обходе по петле гистерезиса (т. е. при од- ном цикле перемагничения) интеграл HdB *) В этом случае (63.1) переходит в dA' = Lidi [см. (61.6)[. 216
будет равен площади Sn, охватываемой петлей. Таким образом, интеграл от выражения (63.2), т. е. (j* dA', (63.3) отличен от нуля. Отсюда мы заключаем, что при нали- чии ферромагнетиков работа (63.2) не может быть при- равнена приращению энергии магнитного поля. В расчете на единицу объема ферромагнетика ра- бота (63.3) равна $HdB = Sn. (63.4) По завершении цикла пере- магничения Н и В, а значит и магнитная энергия будут иметь первоначальную вели- чину. Следовательно, работа (63.4) идет не на создание энергии магнитного поля. Как показывает опыт, она идет на увеличение внутренней энергии ферромагнетика, т. е. на его нагревание. Итак, при совершении одного цикла перемагничения ферромагнетика затрачивается в расчете на единицу объема работа (63.4), численно равная площади петли гистерезиса. Эта работа идет на нагревание ферромаг- нетика. В гауссовой системе работа перемагничения ферромагнетика в расчете на единицу объема определяется выражением 1 4л HdB = ~sn. (63.5) т. е. численно равна площади петли гистерезиса, деленной на 4л. В отсутствие ферромагнетиков В является однознач- ной функцией Н (В = р.оцЯ, где ц = const). Поэтому (63.2) представляет собой полный дифференциал dA'^i^H dH -V. 217
Интегрирование от 0 до Н дает я UZ=| d4' = VpoH J HdH = ^~- V, что в расчете на единицу объема совпадает с (61.8). Та- ким образом, в отсутствие ферромагнетиков работа (63.2), как уже отмечалось, идет на создание энергии магнитного поля, т. е. dw = HdB (63.6) представляет собой приращение плотности энергии маг- нитного поля. В гауссовой системе dw — Н dB. 4л (63.7)
ГЛАВА XI ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ § 64. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле Представим себе заряд е', влетающий в однородное магнитное поле со скоростью v, перпендикулярной к В. Под действием силы Лоренца заряд приобретает по- стоянное по величине нормальное ускорение wn = ~ = — vB (64.1) п т т ' (угол между v и В прямой). Если скорость изменяется только по направлению, движение с постоянным по величине- нормальным уско- рением представляет собой равномерное движение по окружности (см. т. I, § 20), радиус которой определяет- ся условием wn = v2/R. Подставляя сюда значение (64.1) для wn и решая получившееся уравнение относи- тельно R, получаем R = ~^- (64.2) Итак, в случае, когда вектор v перпендикулярен к В, заряженная частица движется по окружности, радиус которой зависит от скорости частицы, магнитной индук- ции поля и отношения заряда частицы е' к ее массе т. Отношение е'/т называется удельным зарядом. Найдем время Т, которое затрачивает частица на один оборот. Для этого разделим длину окружности 2nR на скорость частицы V. В результате получим Т = 2л~-^-. (64.3) е 219
Период обращения частицы по окружности оказы- вается не зависящим от ее скорости, он определяется только удельным зарядом частицы и магнитной индук- цией поля. На рис. 119 показаны траектории движения в однородном магнитном поле двух частиц с одинако- вым удельным зарядом, но различными скоростями vj и v2. Если частицы выходят одновременно из точки О, Рис. 119. то, совершив за одинаковое время полный оборот, они снова встретятся в точке О. Выясним характер дви- жения заряженной частицы в случае, когда ее скорость образует с направлением од- нородного магнитного поля угол а, отличный от л/2. Разложим вектор v на две составляющие: v± — перпен- дикулярную к В и v)(—параллельную В (рис. 120). Легко видеть, что f± = osina, Иц = и cos а. Сила Лоренца равна f = e'vB since = e'v±B и лежит в плоскости, перпендикулярной к В. Создавае- мое этой силой ускорение является для v± нормальным. Составляющая силы Лоренца в направлении В равна нулю; поэтому повлиять на величину vB эта сила не может. Таким образом,, движение частицы можно пред- ставить как наложение двух движений: 1) перемеще- ния вдоль направления В с постоянной скоростью 220
v = v cos а и 2) равномерного вращения в плоскости, перпендикулярной к вектору В. Радиус окружности, по которой происходит вращение, определяется формулой (64.2) с заменой v на osina. Траектория движе- ния представляет собой спираль, ось которой совпадает с направлением В (рис. 121). Шаг спирали I можно найти, g умножив 1>ц на определяемый Г\ I формулой (64.3) период обра- ГХ I VATl щения Т-. | YV'T yr— I — V\\T = 2л -g- v cos a. (64.4) Направление, в котором за- кручивается спираль, зависит Рис. 121. от знака заряда частицы. Если заряд положителен, спираль закручивается против часо- вой стрелки. Спираль, по которой движется отрица- тельно заряженная частица, закручивается по часовой стрелке (предполагается, что мы смотрим на спираль вдоль направления В; частица при этом летит от нас, если a < л/2, и на нас, если a > л/2). § 65. Отклонение движущихся заряженных частиц электрическим и магнитным полями Рассмотрим узкий пучок одинаковых заряженных частиц (например, электронов), попадающий в точке О на перпендикулярный к нему экран (рис. 122). Опреде- лим смещение следа пучка, вызываемое перпендикуляр- ным к пучку однородным электрическим полем, дей- ствующим на пути длиной Д. Пусть первоначально 221
скорость частиц равна v0. Войдя в область поля, каждая частица будет двигаться с постоянным по величине и направлению, перпендикулярным к v0 ускорением w± = ^~ Е(е'/щ—удельный заряд частицы). Движение под действием поля продолжается время t = /i/o0. За это время частицы сместятся на расстояние 1 е' -----Е—2 2 т Vq (65.1) и приобретут перпендикулярную к v0 составляющую скорости , в г- v. =w.t = — Е — . J- -L т »0 В дальнейшем частицы летят прямолинейно в на- правлении, которое образует с вектором v0 угол а, опре- деляемый условием а = -^ = -в4- (65.2) »о т В. результате в дополнение к смещению (65.1) пучок приобретет смещение r/2 = /2tga = — Е-^~, т ий где 1г — расстояние от границы поля до экрана. Таким образом, смещение следа пучка относительно точки О равно у = у1 + у2 = -£4(|/1+/г)- (65-3) т Vq \2 / Последнее выражение можно с учетом (65.2) запи- сать в виде у = tg a (y/j + Z2), откуда вытекает, что частицы, покинув поле, летят так, как если бы они вылетели из центра конденсатора, со- здающего поле, под углом а, который определяется фор- мулой (65.2), 222
Теперь предположим, что на имеющем протяжен- ность Zi пути частиц включается перпендикулярное к их скорости v0 однородное магнитное поле (рис. 123; поле перпендикулярно к плоскости рисунка, область поля об- ведена пунктирной окружностью). Под действием поля каждая частица получит постоянное по величине уско- рение w±—~v0B. Ограничиваясь случаем, когда от- клонение пучка полем невелико, можно считать, что ус- корение также постоянно по направлению и перпен- дикулярно к vo. Тогда для расчета смещения можно ис- пользовать полученные нами формулы, заменив в них ускорение w± — ^E значением v0B. В резуль- тате для смещения, которое мы теперь обозначим бук- вой х, получим х = ‘ Zj + zX tn v0 \ 2 1 ‘J (65.4) Угол, на который отклонится пучок магнитным по- лем, определится выражением tgP = —B—. *=r tn v0 (65.5) С учетом (65.5) формулу (65.4) можно записать сле- дующим образом: 223
Следовательно, при малых отклонениях частицы, поки- нув магнитное поле, летят так, как если бы они выле- тели из центра поля под углом р, величина которого оп- ределяется выражением (65.5). Отметим, что как отклонение (65.3) электрическим полем, так и отклонение (65.4) магнитным полем про- порционально удельному заряду частиц и напряженно- сти (или индукции) соответствующего поля. Оба откло- нения зависят также от г»0. Частицы с одинаковыми e'ftn и v0 получают в каждом из полей одинаковое от- клонение и, следователь- но, попадают в одну и ту же точку экрана. Отклонение пучка электронов электриче- ским или магнитным по- Рис 124 u лем используется в элек- троннолучевых трубках. Внутри трубки с электрическим отклонением (рис. 124) кроме- так называемого электронного прожектора, создающего узкий пучок быстрых электронов (элек- тронный луч), помещаются две пары взаимно пер- пендикулярных пластин. Подавая напряжение на любую пару пластин, можно вызвать пропорциональное ему смещение электронного луча в направлении, перпенди- кулярном к данным пластинам. Экран трубки покры- вают флуоресцирующим составом. Поэтому в месте по- падания на экран электронного луча возникает ярко светящееся пятно. Электроннолучевые трубки применяются в осцилло- графах-приборах, позволяющих наблюдать и фотогра- фировать быстропротекающие процессы. На одну пару отклоняющих пластин подают напряжение, изменяющее- ся линейно со временем, на другую пару — исследуемое напряжение. Вследствие ничтожной инерционности элек- тронного пучка его отклонение будет без запаздывания следовать за изменениями напряжений на отклоняющих пластинах, причем луч вычертит на экране осциллографа график зависимости исследуемого напряжения от вре- мени. Многие неэлектрические величины могут быть с помощью соответствующих устройств (датчиков) пре- образованы в электрические напряжения (или токи). 224
Поэтому с помощью осциллографов исследуют самые различные по природе процессы. Электроннолучевая трубка является неотъемлемой частью телевизионных устройств. В телевидении чаше применяются трубки с магнитным управлением электрон- ным лучом. У таких трубок вместо отклоняющих пла- стин имеются две расположенные снаружи взаимно пер- пендикулярные системы катушек, каждая из которых создает перпендикулярное к лучу магнитное поле. Из- меняя ток в катушках, вызывают перемещение светового пятна, создаваемого лучом на экране. § 66. Определение заряда и массы электрона Измерение удельного заряда электрона, т. е. отноше- ния е/m, было впервые осуществлено Томсоном в 1897 г. с помощью разрядной трубки, изображенной на рис. 125. Выходящий из отверстия в аноде А электронный пучок (катодные лучи; см. § 89) проходил между пластинами плоского конденсатора и попадал на флуоресци- , в рующий экран, создавая -----| на нем светящееся пятно. ——В—у- -------------------1/7 Подавая напряжение на —1—S — J пластины конденсатора, +• J можно было воздейство- вать на пучок однород- Рис. 125. ным электрическим полем. Трубка помещалась между полюсами электромагнита, с помощью которого можно было создавать на том же участке пути электронов перпендикулярное к электриче- скому однородное магнитное поле (область этого поля обведена на рис. 125 пунктирным кружком). При вык-, люченных полях пучок попадал на экран в точке О.! Каждое из полей в отдельности вызывало смещение пучка в вертикальном направлении. Величины смещений определяются полученными в предыдущем параграфе выражениями (65.3) и (65.4). Включив магнитное поле и измерив вызванное им смещение следа пучка (66.1) 15 И. В. Савельев, т. II 225
Томсон включал также электрическое поле и подбирал его величину и направление так, чтобы пучок снова по- падал в точку О. В этом случае электрическое и магнит- ное поля действовали на электроны пучка одновременно с одинаковыми по величине, но противоположно направ- ленными силами, т. е. выполнялось условие еЕ = ev0B. (66.2) Решая совместно уравнения (66.1) и (66.2), Томсон вычислял е/т и Оо1)- Буш применил для определения удельного заряда электронов метод магнитной фокусировки. Суть этого метода заключается в следующем. Предположим, что в однородном магнитном поле вылетает из некоторой точки слегка расходящийся симметричный относительно направления поля пучок электронов, имеющих одинако- вую по величине скорость v. Направления, по которым вылетают электроны, образуют с направлением В не- большие углы а. Как было,выяснено в § 64, электроны движутся в этом случае по спиральным траекториям, совершая за одинаковое время [см. формулу (64.3)] полный оборот и смещаясь вдоль направления поля на расстояние I, равное I ~ v cos аТ. (66.3) Вследствие малости углов а расстояния (66.3) для разных электронов будут практически одинаковыми и равными vT (для малых углов cos а ~ 1). Следователь- но, расходящийся пучок сфокусируется в точке, отстоя- щей от точки вылета электронов на расстоянии / = оТ = 2л —4-. (66.4) е о В опыте Буша электроны, испущенные раскаленным катодом /< (рис. 126), ускоряются, проходя разность по- тенциалов U, приложенную между катодом и анодом А. ’) С равным успехом можно было измерять отклонение пучка электрическим полем и затем компенсировать действие электриче- ского поля магнитным. 226
В результате они приобретают скорость о, величина ко- торой может быть найдена из условия = (66.5) Вылетев затем из отверстия в аноде, электроны обра- зуют узкий пучок, направленный вдоль оси эвакуиро- ванной трубки, вставленной внутрь соленоида. На входе в соленоид помещается конденсатор, на который подает* ся переменное напряжение. Поле, создаваемое конденса- тором, отклоняет электроны пучка от оси прибора на Рис. 126. небольшие изменяющиеся со временем углы а. В резуль- тате происходит «завихрение» пучка — электроны начи- нают двигаться по различным спиральным траекториям. На выходе из соленоида ставится флуоресцирующий экран. Если подобрать магнитную индукцию В так, что- бы расстояние Г от конденсатора до экрана удовлетво- ряло условию lf — nl (66.6) (где I — шаг спирали, а п—целое число), то точка пере- сечения траекторий электронов попадет на экран—* электронный пучок окажется сфокусированным в этой точке и возбудит на экране резкое светящееся пятно. Если условие (66.6) не соблюдается, светящееся пятно на экране будет размытым. Решая совместно уравнения (66.4), (66.5) и (66.6), можно найти е/т и v. Наиболее точное значение удельного заряда элек- трона, установленное с учетом результатов, полученных разными методами, равно — = 1,76 • 10п к/кг = 5,27 • 1017 СГСЭ/г. (66.7) 15* 227
Величина (66.7) дает отношение заряда электрона к его массе покоя т0. Как вытекает из теории относи- тельности, масса любого тела зависит от его скорости по закону т = (66.8) В этой формуле т — масса тела, движущегося со ско- ростью v, с — скорость света в пустоте, а т0 — масса тела в том случае, когда оно покоится, называемая мас- сой покоя. В опытах Томсона скорость электронов составляла примерно 0,1 с, что приводило к отклонению т от т0 на _________________________ 0,5%. В последующих опы- Zz —~ —V_________________тах скорость электронов до- Пумееризатор стигала очень больших зна- чений. Во всех случаях было 1 wwmn ______________________ обнаружено уменьшение из- меряемых значений е/m с _ (.zzzzzzzzzzzzzzzzzz,zzd n_/ ростом о, происходившее в уГ— точном соответствии с фор- Минроыол мулой (66.8). Рис. 127. Заряд электрона был оп- ределен с большой точ- ностью Милликеном в 1909 г. В закрытое пространство между горизонтально расположенными пластинами кон- денсатора (рис. 127) Милликен вводил мельчайшие ка- пельки масла. При разбрызгивании капельки электризо- вались и их можно было устанавливать неподвижно, подбирая величину и знак напряжения на конденсаторе. Равновесие наступало при условии Р' = е'Е; (66.9) здесь Р' — результирующая силы тяжести и архимедо- 4 вой силы, равная -^-№(р — p0)g, где р— плотность капельки, г—ее радиус, р0 — плотность воздуха. Зная г и Е, можно было найти е’. Для определения радиуса измерялась скорость равномерного падения капельки в отсутствие поля. Как известно из механики 228
[см. т. I, формулу (60.2)], эта скорость равна „ _ 2(Р-Ро)^2 “ 9rj * Измерив о0 и зная р, р0 и вязкость воздуха т], можно по формуле (66.10) вычислить г. Движение капельки на- блюдалось с помощью микроскопа. Для измерения о0 определялось время, за которое капелька проходила рас- стояние между двумя нитями, видимыми в поле зрения микроскопа. Точно зафиксировать равновесие капельки очень трудно. Поэтому вместо поля, отвечающего условию (66.9), включалось такое поле, под действием которого капелька начинала двигаться с небольшой скоростью вверх. Установившаяся скорость подъема vE опреде- ляется из условия, что сила Р' и сила трения 6лт]го в сумме уравновешивают силу е'Е- Р’ + 6m]ryf = е'Е. (66.10) Выразив Р’ через р, ро и г, подставив значение г из (66.10) и решив уравнение относительно е', получим ' о v° + Ve е = 9л 1/ .— у о0 —е. r (P-Po)g г 0 Е Следовательно, измерив скорость свободного паде- ния капельки v0 и скорость ее подъема vE в известном электрическом поле Е, можно было найти заряд ка- пельки е'. Измерив скорость vE, Милликен вызывал ионизацию воздуха, облучая пространство между пластинами рент- геновскими лучами. Отдельные ионы, прилипая к ка- пелькё, изменяли ее заряд, в результате чего- скорость vE изменялась. Как показали измерения Милликена, изменения за- ряда капельки Де' и сам заряд е' каждый раз получа- лись целыми кратными одной и той же величине е. Тем самым была экспериментально доказана дискретность электрического заряда, т. е. тот факт, что всякий заряд слагается из элементарных зарядов одинаковой ) В эту формулу Милликен вносил поправку, учитывающую, что размеры капелек были сравнимы с длиной свободного пробега молекул воздуха. 221
величины. Значение элементарного заряда, установлен- ное с учетом измерений Милликена и данных, получен- ных другими методами, равно е = 1,60 - 10~19 к =? 4,80 • 1О-10 СГСЭ. (66.11) Такую же величину имеет заряд электрона. Для массы покоя электрона с учетом (66.7) и (66.11) полу- чается значение т0 = 0,91 • 1О “30 кг = 0,91 • 10-27 г. (66.12) Таким образом, масса электрона приблизительно в 1840 раз меньше массы самого легкого из атомов—э атома водорода (см. т. I, § 92). § 67. Определение удельного заряда положительных ионов. Масс-спектрографы Описанные в предыдущем параграфе методы опреде- ления ё'/т пригодны в том случае, если все частицы в пучке имеют одинаковую скорость. Все образующие пучок электроны разгоняются одинаковой разностью потенциалов, приложенной между катодом, из которого они вылетают, и анодом; поэтому разброс значений ско- ростей электронов в пучке очень мал. Если бы это было не так, электронный пучок давал бы на экране сильно размытое пятно, и измерения были бы невозможны. Положительные ионы образуются за счет ионизации молекул газа, например, при газовом разряде (см. § 84). Возникая в разных местах, ионы проходят неодинако- вую разность потенциалов, вследствие чего их скорости бывают различными. Таким образом, методы, которыми был определен удельный заряд электронов, к ионам не- применимы. В 1907 г. Томсоном был разработан «метод парабол», который позволил обойти отмеченное затруд- нение. В опыте Томсона тонкий пучок положительных ионов проходил через область, в которой на него одновременно воздействовали параллельные друг другу электриче- ское и магнитное поля (рис. 128). Оба поля были одно- родными и образбвывали с первоначальным направле- нием пучка прямой угол. Они вызывали отклонения ио- нов: магнитное — в направлении оси X, электрическое — 230
вдоль оси у. Согласно формулам (65.4) и (65.3) эти от- клонения были равны (67.1) где v — скорость данного иона с удельным зарядом е'/т, li — протяженность области, в которой поля действуют на пучок, 12 — расстояние фотопластинки, регистри- ровавшей попадавшие на нее ионы. Величины (67.1) пред- ставляют собой коор- динаты точки, в которой попадает на пластинку ион, имеющий данное значение е'/т и величину скорости v. Ионы с оди- наковым удельным за- рядом, но различными скоростями попадали в разные точки пластинки. Исключив из формул (67.1) скорость v, полу- от границы этой области до чим уравнение кривой, вдоль которой располагались следы ионов с одним и тем же значением е'/т. Воз- ведя первое из уравнений (67.1) в квадрат и разделив затем его на второе, после преобразований получим Г Е 1 т L КВ2 (0,5/! + /2) J е' х2. (67.2) Таким образом, ионы с одинаковыми е'/т и различ- ными v оставляли на пластинке след в виде параболы. Ионы с различными е'/т располагались вдоль разных парабол. Зная параметры прибора (т. е. Е, В, Ц и /2) и измеряя смещения у и х, можно было по формуле (67.2), находить удельный заряд ионов, соответствующих каж- дой параболе. При изменении направления одного из полей соответствующая координата изменяла знак на обратный, так что получались параболы, симметрич- ные прежним. Деля пополам расстояние между 231
соответствующими точками симметричных парабол, можно было находить х и ij. След, оставляемый на пла- стинке пучком при выключенных полях, давал начало координат. На рис. 129 показаны первые параболы, полученные Томсоном. Произведя опыт с химически чистым нео- ном, Томсон обнару- жил, что этот газ давал две параболы, со- ответствовавшие атом- ным весам 20 и 22. Попытки объяснить этот результат привели к предположению о том, что существуют Рис. 129. две химически нераз- личимые разновид- ности атомов неона (по современной терминологии — два изотопа неона). Доказательство этого предполо- жения было дано Астоном, усовершенствовавшим метод определения удельного заряда ионов. Прибор Астона, названный им масс-спектро- графом, имел следующее устройство (рис. 130). Пучок Рис. 130. ионов, выделенный системой щелей, пропускался после- довательно через электрическое и магнитное поля, на- правленные так, что они вызывали отклонения ионов в противоположных направлениях. При прохождении электрического поля ионы с данным е'/т отклонялись 232
тем сильнее, чем меньше была их скорость. Поэтому из электрического поля ионы выходили в виде расходя- щегося пучка. В магнитном поле траектории ионов так- же искривлялись тем сильнее, чем меньше была их скорость. В результате после выхода из магнитного поля ионы образовывали пучок, сходившийся* в одной точке. Ионы с другими значениями удельного заряда фо- кусировались в других точках (на рис. 130 показаны Рис. 131. траектории ионов лишь для одного значения e'lm). Со- ответствующий расчет дает, что точки, в которых схо- дятся пучки, образованные ионами с различными e'lm, лежат приблизительно на одной прямой. Располагая вдоль этой прямой фотопластинку, Астон, получал на ней ряд штрихов, каждый из которых соответствовал определенному значению e'lm. Сходство получавшегося на пластинке изображения с фотографией оптического линейчатого спектра послужило причиной того, что Астон назвал его масс-спектрограммой, а свой при- бор— масс-спектрографом. На ,рис. 131 приведе- ны полученные Астоном масс-спектрограммы (против штрихов указаны массовые числа ионов). Бейнбридж создал прибор другого типа. В масс- спектрографе Бейнбриджа ^рисл 132) пучок ионов про- ходит сначала через так называемый селектор (или фильтр) скоростей, который выделяет из пучка ионы 233
с определенным значением скорости. В селекторе ионы подвергаются одновременному действию взаимно пер- пендикулярных электрического и магнитного полей, каждое из которых отклоняет ионы в противоположные стороны. Через выходную щель селектора проходят только те ионы, для которых действия электрического и магнитного полей компенсируют друг друга. Это проис- ходит при условии, что е'Е = e'vB. Следовательно, ско- рости вышедших из селектора ионов, независимо от их массы и заряда, имеют одинаковую величину, равную v.= Е/В. Выйдя из селектора, ионы попадают в область пер- пендикулярного к их скорости однородного магнитного поля с индукцией В'. В этом случае ионы движутся по окружностям, радиусы которых согласно (64.2) за- висят от е'/т' Описав половину окружности, ионы попадают на фотопластинку на расстояниях от щели, равных 2/?. Сле- довательно, ионы каждого сорта (определяемого зна- чением e'lm) оставляют на пластинке след в виде узкой полоски. Зная параметры прибора, можно вычислить удельные заряды ионов. Поскольку заряды ионов яв- ляются целыми кратными элементарного заряда е, по найденным значениям е'/т можно определить массы ионов. 234
В настоящее время имеется много типов усовершен- ствованных масс-спектрографов. Созданы также прибо- ры, в которых ионы регистрируются не фотопластинкой, а с помощью электрического устройства. Они получили название масс-спектрометров. § 68. Циклотрон Независимость периода обращения заряженной ча- стицы в однородном магнитном поле от ее скорости [см. формулу (64.3)] положена в основу ускорителя заряжен- ных частиц, называемого циклотроном. Этот прибор состоит из двух электродов в виде половинок круглой не- высокой коробки (рис. 133), получивших название дуан- тов. Дуанты заключены в откачиваемый корпус, который помещается между полюсами большого электромагнита. Поле, создаваемое электромагнитом, однородно и пер- пендикулярно к плоскости дуантов. На дуанты подается переменное- напряжение, снимаемое с полюсов гене- ратора высокой частоты. Введем в зазор между дуантами в тот момент, когда напряжение достигнет наибольшей величины, по- ложительно заряженную ча- стицу. Частица будет подхва- чена электрическим полем и втянута внутрь отрицатель- ~ ного электрода. Простран- ство внутри дуанта являет- ся эквипотенциальным, сле- довательно, частица в нем будет находиться- под воздействием только магнитного поля. Как было выяснено в § 64, в этом случае проис- ходит движение заряженной частицы по окружности, радиус которой пропорционален скорости частицы [см. формулу (64.2)]. Подберем частоту изменения напряже- ния между дуантами так, чтобы к моменту, когда ча- стица, пройдя половину окружности, подойдет к зазору между дуантами, разность потенциалов между ними из- менила знак и достигла амплитудного значения. Тогда частица будет снова ускорена и влетит во второй дуант Рис. 133. 235
с энергией в два раза большей, чем та, с которой она двигалась в первом дуанте. Обладая большей ско- ростью, частица будет двигаться во втором дуанте по окружности большего радиуса (JR ~ v), но время, за ко- торое она пройдет половину окружности, останется прежним (оно не зависит от о). Поэтому к моменту, когда частица влетит в зазор между дуантами, напряже- ние между ними снова изменит знак и станет макси- мальным по величине. Таким образом, если частоту изменения напряже- ния сделать равной периоду обращения частицы, определяемому формулой (64.3), то частица будет дви- гаться по кривой, близкой к спирали, получая при каж- дом прохождении через зазор между дуантами дополни- тельную порцию энергии, равную e'U (е'— заряд части- цы, U — напряжение, вырабатываемое генератором). Рас- полагая источником переменного напряжения сравни- тельно небольшой величины ( ~ 105 в), можно с помощью циклотрона ускорить протоны до энергий порядка 25 Мэв. При более высоких энергиях начинает сказываться за- висимость массы протонов от скорости — период обра- щения увеличивается [согласно (64.3) он пропорциона- лен т] и синхронизм между движением частиц и изме- нениями ускоряющего’ поля оказывается нарушенным. Чтобы избежать нарушения синхронизма и получить частицы больших энергий, делают изменяющейся либо частоту напряжения, питающего дуанты, либо индукцию магнитного поля. Прибор, в котором в процессе ускоре- ния каждой порции частиц соответствующим образом уменьшается частота ускоряющего напряжения, назы- вается фазотроном (либо синхроциклотроном). Ус- коритель, в котором частота не меняется, а индукция магнитного поля изменяется так, чтобы отношение т/В оставалось постоянным, называют синхротроном (ускорители этого типа применяются' исключительно для. ускорения электронов). В ускорителе, названном синхрофазотроном1), изменяются и частота ускоряющего напряжения, и маг- нитное поле. Ускоряемые частицы движутся в синхро- фазотроне не по спирали, а по круговой траектории по- стоянного радиуса. По мере увеличения скорости и массы *) Синхрофазотрон называют также протонным синхротроном. 236
частиц индукция магнитного поля растет так, что оп- ределяемый формулой (64.2) радиус остается все время постоянным. При этом период обращения меняется как из-за возрастания массы частиц, так и вследствие уве- личения В. Для того, чтобы ускоряющее напряжение было синхронно с движением частиц, частота этого на- пряжения делается изменяющейся по соответствующему закону. Дуантов в синхрофазотроне нет, ускорение ча- стиц происходит на отдельных участках траектории с по- мощью электрического поля, создаваемого генераторами напряжения меняющейся частоты. Самый мощный в настоящее время (в 1969 г.) уско- ритель элементарных частиц — протонный синхротрон — запущен в 1967 г. в СССР в Институте физики высоких энергий (г. Серпухов под Москвой). Он ускоряет про- тоны до энергии в 76 Гэв (76- 109 эв). Скорость протонов, обладающих такой энергией, отличается от скорости света в пустоте менее чем на 0,01% (в = 0,99992 с).
ГЛАВА XII ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ. И ПОЛУПРОВОДНИКАХ § 69. Природа носителей тока в металлах Для выяснения природы носителей тока в металлах был поставлен ряд опытов. Прежде всего отметим опыт Рикке, осуществленный в 1901 г. Рикке взял три ци- линдра — два медных и один алюминиевый — с тщатель- но отшлифованными торцами. Цилиндры были взвешены и затем сложены вместе в последовательности: медь— алюминий — медь. Через такой составной проводник про- пускался непрерывно ток одного й того же направления в ((Течение года. За все время через цилиндры прошел заряд, равный 3,5 • 106 к. Взвешивание показало, что пропускание тока не оказало на вес цилиндров ника- кого влияния. При исследовании соприкасавшихся тор- цов под микроскопом также не было обнаружено про-, никновения одного металла в другой. Результаты опыта Рикке свидетельствовали о том, что перенос заряда в ме- таллах осуществляется не атомами, а какими-то части- цами, входящими в состав всех металлов. Такими части- цами могли быть открытые в 1897 г. Томсоном элек- троны. Чтобы отождествить носители тока в металлах с элек- тронами, нужно было определить знак и величину удель- ного заряда носителей. Опыты, поставленные с этой целью, основывались на следующих рассуждениях. Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти частицы должны некоторое время продолжать дви- гаться по инерции, в результате чего в проводнике воз- 238
w ————"о е'о—*--w — I .....- -4 Рис. 134. никнет импульс тока и будет перенесен некоторый заряд. Пусть проводник движется вначале со скоростью Vo (рис. 134). Начнем тормозить его с ускорением w. Про- должая двигаться по инерции, носители заряда приобре- тут относительно проводника ускорение —w. Такое же ускорение можно сообщить носителям в неподвижном проводнике, если создать в нем электрическое поле Ha- г. tnw пряженности Е =-------—, т. е. приложить к концам проводника разность потен- ,, 7 Г? mwl циалов U = IE =------- (/ — длина проводника, т — масса, а е' — заряд носи- теля). В этом случае по проводнику потечет ток силы U п t = -^ , где R. — сопротивление проводника. Следователь- тельно, за время dt через каждое сечение проводника пройдет заряд , . ,. mwl j. ml , aq = idt=----dt =-------ттг dv. v e R e R За все время торможения пройдет заряд t о «-J''""- О Vo Величины q, I, v0 и R поддаются измерению. Таким образом, затормозив проводник и измерив проходящий при этом в цепи заряд, можно найти удельный заряд но- сителей. Направление импульса тока даст знак носи- телей. Первый опыт с ускоренно движущимися проводни- ками был поставлен в 1913 г. Мандельштамом и Папа- лекси. Они приводили катушку с проводом в быстрые крутильные колебания вокруг ее оси. К концам катушки подключался телефон, в котором был слышен звук, об- условленный импульсами тока. /Количественный результат был получен Толменом и Стюартом в 1916 г. Катушка из провода длиной 500 м приводилась во вращение, при котором линейная ско- рость витков составляла 300 м!сек. Затем катушка резко 239
тормозилась и с помощью баллистического гальвано- метра измерялся заряд, протекавший в цепи за время торможения. Вычисленное по формуле (69.1) значение удельного заряда носителей получалось очень близким к elm для электронов. Таким образом, было эксперимен- тально доказано, что носителями тока в металлах яв- ляются электроны. Ток в металлах можно вызвать весьма малой раз- ностью потенциалов. Это дает основание считать, что носители тока электроны перемещаются по металлу Практически свободно. К тому же выводу приводят и ре- зультаты опыта Толмена и Стюарта. Существование свободных электронов можно объяс- нить тем, что при образовании кристаллической решет- ки от атомов металла отщепляются слабее всего связан- ные (валентные) электроны, которые становятся «кол- лективной собственностью» всего куска металла. Если от каждого атома отщепится по одному электрону, то концентрация свободных электронов (т. е. их число п в единице объема) будет равна количеству атомов в еди- нице объема. Произведем оценку п. Число атомов в еди- нице объема равно — ДГЛ, где 6 — плотность металла, р — масса килограмм-атома, NA — число Авогадро. Для металлов значения б/ц. заключены в пределах от 20 кмоль!мг (для калия) до 200 кмоль!м3 (для берил- лия). Следовательно, для концентрации свободных элек- тронов (или, как их еще называют, электронов проводи- мости) получаются значения порядка п = 1028 4- 1029 лГ3(1022 4- 1023 слГ3). (69.2) § 70. Элементарная классическая теория металлов Исходя из представлений о свободных электронах, Друде разработал классическую теорию металлов, ко- торая затем была усовершенствована Лоренцем. Друде предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа. В про- межутках между соударениями они движутся совер- шенно свободно, пробегая в среднем некоторый путь Л. Правда, в отличие от молекул газа, пробег которых оп- ределяется соударениями молекул друг с другом, элек- 240
троны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами, образующими кристаллическую решетку ме- талла. Эти столкновения приводят к установлению теп- лового равновесия между электронным газом и кристал- лической решеткой. Полагая, что на электронный газ могут быть распространены результаты кинетической теории газов, оценку средней скорости теплового дви- жения электронов можно произвести по формуле [см. т. I, формулу (106.12)] 8feT Ml v = >] (70.1) Для комнатной температуры (~300°К) вычисление по этой формуле приводит к следующему значению: /8-1,38- 10~23- 300 3,14-0,91 • 1О-30 I05 м!сек. При включении поля на хаотическое тепловое дви- жение, происходящее со скоростью (70.1), наклады- вается упорядоченное движение электронов с некоторой средней скоростью й. Величину этой скорости легко оце- нить, исходя из формулы, связывающей плотность тока j с числом п носителей в единице объема, их зарядом е и средней скоростью й: j = пей. (70.2) Предельная допустимая техническими нормами плотность тока для медных проводов составляет около 10 а/мм2 = 107 о/лА Взяв для п значение 1023 см~3 = = 1029 лг3, получим / 107 1Л~3 и = — ~ ---------io--55 ~ 10 м/сек. еп 1,6- 10~19- 1029 Таким образом, даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения заря- дов (й) в 108 раз меньше средней скорости теплового движения (б). Поэтому при вычислениях модуль резуль- тирующей скорости | v + и | всегда можно заменить мо- дулем скорости теплового движения | v |. 1 1S ИВ Савельев. т. II 241
Найдем вызванное полем изменение среднего значе- ния кинетической энергии электронов. Средний квадрат результирующей скорости равен (v + u)2 = v2 + 2vu + и2 = v2 + 2vu + и2 ’)• Но среднее значение v равно Нулю (см. § 31). Поэтому (v + и)2 = V2 + и2. Следовательно, упорядоченное движение увеличивает кинетическую энергию электронов е& в среднем на (70.3) Закон Ома. Друде считал, что сразу после очеред- ного соударения электрона с ионом кристаллической ре- шетки . скорость упорядоченного движения электрона равна нулю. Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение, равное eEltn, и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет в среднем значения (70.4) где т — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределения электронов по ско- ростям и приписывал всем электронам одинаковое зна- чение скорости V. В этом приближении Л т = — V где Л — среднее значение длины свободного пробега, v — скорость теплового движения электронов (мы вос- пользовались тем, что |v + u| практически равен |v|). Подставим это значение т в формулу (70.4): йтах=~. (70.5) ) Если две случайные величины а и Ь независимы друг от друга (что справедливо для скоростей v и и), то среднее значение их произведения равно произведению средних значений ab = а • Ь. 242
Скорость и изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно поло- вине максимального: 1 - _ еЕК и~ 2 Wmax “ 2mv ' Подставив это выражение в формулу (70.2), получим пе2Л „ '= 2^Г£- Плотность тока оказалась пропорциональной напря- женности поля. Следовательно, мы получили закон Ома. Согласно (33.4) коэффициент пропорциональности между / и Е представляет собой проводимость _ пе2к ° ~~ 2mv (70.6) Если бы электроны не сталкивались с ионами ре- шетки, длина свободного пробега, а следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким обра- зом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами, поме- щающимися в узлах кристаллической решетки металла. Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного про- бега электрон приобретает дополнительную кинетиче- скую энергию, средняя величина которой согласно фор- мулам (70.3) и (70.5) равна „2,2 Т murnax е г-2 /'7П Aefe=-g—= -^£2. (70.7) Столкнувшись с ионом, электрон по предположению полностью теряет приобретенную им за время пробега скорость, т. е. передает энергию (70.7) кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании. Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем 1 /т = v/K соударений, сообщая всякий раз решетке энер- гию (70.7). Следовательно, в единице объема за еди- ницу времени, должно выделяться тепло 1 т— пе2К г-.п w = п—&ек = о— Е, Т B 2mv ’ 16* 243
где п — число электронов проводимости в единице объема. Величина w есть не что иное, как удельная мощность тока (см. § 34). Множитель при Е2 совпадает со значе- нием (70.6) для о. Таким образом, мы пришли к вы- ражению (34.5) закона Джоуля — Ленца. Закон Видемана — Франца. Из опыта известно, что наряду с высокой электропроводностью металлы отли- чаются также большой теплопроводностью. Видеман и Франц установили в 1853 г. эмпирический закон, со- гласно которому отношение коэффициента теплопровод- ности я к коэффициенту электропроводности о для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется про- порционально абсолютной температуре. Так, например, при комнатной температуре это отношение равно для алюминия 5,8-10^, для меди 6,4-10“® и для свинца Q дж oti 9 сек • град Способностью проводить тепло обладают и неметал- лические кристаллы. Однако теплопроводность метал- лов значительно превосходит теплопроводность диэлек- триков. Из этого можно заключить, что теплопередача в металлах осуществляется в. основном не кристалличе- ской решеткой, а электронами. Рассматривая элек- троны как одноатомный газ, для коэффициента тепло- проводности можно заимствовать Выражение кинетиче- ской теории газов [см. т. I, формулу (113.6)] и = nmv7.Cy (через пт обозначена плотность газа, вместо v взято v). Удельная теплоемкость одноатомного газа равна з R з k „ Су = — — = Подставляя это значение в выраже- ние для х, получим и = у nkvK. Разделим и на выражение (70.6) для о х kmv2 244
Произведя замену -уу = у kT, приходим к соотно- шению которое выражает закон Видемана —: Франца. Подставив k = 1,38 - 10-23 дж/град и е = 1,60 • КГ19 к, получим — = 2,23* 10“87\ G При Т = 300° К для отношения х/а получается значе- „ . п-6 дж ом ние 6,7 • 10 сек' гра0 > очень хорошо согласующееся с экспериментальными дранными (см. приведенные выше значения для А1, Си и РЬ). Однако, как выяснилось впо- следствии, столь хорошее совпадение оказалось случай- ным, ибо когда Лоренц уточнил расчеты, учтя распреде- ление электронов по скоростям, для отношения х/а полу- (Л \2 — I Т, которое хуже согласуется с данными опыта ’). Итак, классическая теория, смогла объяснить законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объ- яснение'закона Видемана — Франца. Вместе с тем эта теория встретилась с весьма существенными затрудне- ниями. Из них основными являются два. Из формулы (70.6) вытекает, что сопротивление металлов (т. е. вели- чина, обратная о) должно возрастать как корень квад- ратный из Т. В самом деле, для предположений о зави- симости от температуры величин пи). нет. никаких оснований. Скорость же тейлового движения пропор- циональна корню из Т. Этот вывод теории противоречит опытным данным, согласно которым электрическое со- противление металлов растет пропорционально первой степени Т (см. § 33), т. е. быстрее, чем. Ут. Второе затруднение классической теории заключается в том, что электронный газ должен обладать молярной ) Согласно квантовой теории х о з U/ Т = 2,45 • 10 &Т. 245
з теплоемкостью, равной R. Добавляя эту величину к теплоемкости решетки, составляющей 3R (см. т. I, § 141), мы получим для килограмм-атомной теплоемкости ме- 9 талла значение R- Таким образом, согласно классиче- ской электронной теории килограмм-атомная теплоем- кость металлов должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков. В действительности же теплоемкость ме- таллов не отличается заметно от теплоемкости неметал- лических кристаллов. Объяснение такого несоответствия смогла дать лишь квантовая теория металлов. Несмотря на неспособность классической теории дать объяснение ряда явлений, она сохранила значение и до настоящего времени, потому что в случае малых концен- траций свободных электронов (что имеет место в полу- проводниках) она дает вполне удовлетворительные ре- зультаты'. Вместе с тем по сравнению с квантовой тео- рией классическая обладает значительной простотой и наглядностью. § 71. Основы квантовой теории металлов В классической теории металлов считалось само со- бой разумеющимся, что электроны проводимости могут обладать любыми значениями энергии. Согласно кванто- вой теории энергия электронов в любом кристаллическом теле (в частности, в металле) так же, как и энергия электронов в атоме, квантуется. Это означает, что она может принимать лишь дискретные (т. е. разделенные крнечными промежутками) значения, называемые уров- нями энергии. Дозволенные уровни энергии в кристалле группируются в зоны. ( Чтобы понять происхождение зон, рассмотрим вооб- ражаемый процесс объединения атомов в кристалл. Пусть первоначально имеется N изолированных атомов какого-либо вещества. Каждый электрон любого атома обладает одним из разрешенных значений Энергии, т. е. зфшмает один из дозволенных энергетических уровней. В>основном, невозбужденном состоянии атома суммар- ная энергия электронов имеет минимальное возможное значение. Поэтому, казалось бы, все электроны должны находиться на самом низком уровне. Однако электроны 246
подчиняются принципу запрета Паули, который гласит, что в любой квантовой системе (атоме, молекуле, кристалле и т. д.) на каждом энергетическом уровне ’) может находиться не более двух электронов, причем соб- ственные моменты (спины) электронов, занимающих од- новременно один и тот же уровень,, должны иметь проти- воположные направления* 2). Следовательно, на самом низком уровне атома может разместиться только два электрона, остальные заполняют попарно бо- лее высокие уровни. На рис. 135 показано раз- мещение электронов по уровням в основном состоянии атома, имеющего 5 электронов. Схема уровней изображена условно, без со- блюдения масштаба. Электроны обозначены кружками со стрелкой. Разные направления стрелок соответствуют противоположным на- правлениям спинов. Пока атомы изолированы друг от друга, они имеют полностью совпадающие схемы энергетических уровней. Заполнение уровней электронами осуществляется в каждом атоме независимо от заполнения аналогичных уров- ней в других атомах. По мере сближения атомов между ними возникает все усиливающееся взаимодействие, ко- торое приводит к изменению положения уровней. Вме- сто одного одинакового для всех N атомов уровня воз- никают N очень близких, но не Совпадающих уровней. Таким образом, каждый уровень-изолированного атома расщепляется в кристалле на N густо расположенный уровней, образующих полосу или зону. Величина расщепления для разных уровней не оди- накова. Уровни, заполненные в атоме более близкими к ядру (внутренними) электронами, возмущаются мень- ше, чем уровни, заполненные внешними электронами. Рис. 135. *) Может случиться, что одно и то же значение энергии будет соответствовать нескольким квантовым состояниям. Это явление называется вырождением, а число различных состояний с оди- наковой энергией — кратностью вырождения g. В этсЯк случае на каждом энергетическом уровне .может находиться не бо- лее 2g электронов. 2) Принципу Паули подчиняются не только электроны, но -,и все другие частицы с полуцелым спином [см. § 51, текст, следую- щий за формулой (51.4)]. 247
На рис. 136 показано расщепление различных уровней как функция расстояния г- между атомами. Отмеченные на рисунке значения г, и г2 соответствуют расстояниям между атомами в двух различных кристаллах. Из схемы видно, что возникающее в кристалле расщепление уров- ней, занятых внутренними электронами, очень мало. За- метно расщепляются лишь уровни, занимаемые валент- ными электронами. Такому же расщеплению под- вергаются и более высокие уровни, не занятые электро- нами в основном состоя- W Рис. 136. нии атома. При достаточно малых расстояниях между атома- — ми может произойти пере- — крывание зон, соответст- вующих двум соседним — уровням атома' (см. пунк- — тирную прямую, отвечаю- щую расстоянию г2 между атомами). Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме количеств уровней, на которые расщепляются оба уровня атома. Взаимодействующие атомы представляют собой еди- ную квантовую систему, в пределах которой действует принцип запрета Паули. Следовательно, 2N электронов, которые заполняли какой-то уровень в изолированных атомах, разместятся в кристалле попарно (с противопо- ложными спинами) на N уровнях соответствующей по- лосы. Нижние, образованные слабо расщепленными уров- нями зоны заполняются электронами, каждый из кото- рых не утрачивает и в кристалле прочной связи со своим атомом. Эти зоны и заполняющие их электроны в даль- нейшем интересовать нас не будут. Дозволенные значения энергии валентных электронов в кристалле объединяются в зоны, разделенные проме- жутками, в которых разрешенных значений энергии нет. Эти промежутки называются запрещенными зона- м и. Ширина разрешенных и запрещенных зон не зави- сит от размеров кристалла. Таким образом, чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются 248
уровни в зоне. Ширина разрешенных зон имеет величину порядка нескольких электронвольт. Следовательно, если кристалл содержит 1023 атомов, расстояние между со- седними уровнями в зоне составляет ~ 10-23 эв. При абсолютном нуле энергия кристалла должна быть минимальной. Поэтому валентные электроны за- полнят попарно нижние уровни разрешенной зоны, воз- никшей из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома (мы будем назы- вать ее валентной з о н очй). Более высокие разрешен- ные зоны будут от электронов свободны. В зависимости а) jne/паЛ! ff) mm/npeBeSnui е) иеилятар Рис. 137. от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины запрещенной зоны возможны три случая, изо- браженные на рис. 137. В случае а) электроны запол- няют валентную зону не полностью. Поэтому достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях, совсем небольшую энергию (~10-23 -г- К)~22 эв) для того, чтобы перевести их на более высокие уровни. Энергия теплового движения (kT) составляет при 1°К величину порядка 10~4 эв (при комнатной температуре ~'/io эв). Следовательно, при температурах, отличных от 0°К, часть электронов переводится на более высокие уровни. Дополнительная энергия, вызванная действием на элек- трон электрического поля, также оказывается достаточ- ной для перевода электрона на более высокие уровни. Поэтому электроны могут ускоряться электрическим по- лем и приобретать дополнительную скорость в направле- нии, противоположном направлению поля. Таким обра- зом, кристалл с подобной схемой энергетических уров- ней будет представлять собою металл. 249
Частичное заполнение валентной зоны (в случае ме- талла ее называют также зоной проводимости) может произойти, если на последнем занятом уровне в атоме находится только один электрон; или имёет место перекрывание зон (см. рис. 136, расстояние г?). В первом случае N электронов проводимости заполняют попарно только половину уровней валентной зоны. Во втором слу- чае число уровней в зоне проводимости будет больше N, так что, даже если количество электронов проводимости равно 2N, они не смогут занять все уровни зоны. В случаях б) и в) уровни валентной зоны полностью заняты электронами — зона заполнена. Для того чтобы увеличить энергию электрона, необходимо сообщить ему количество энергии, не меньшее, чем ширина запрещен- ной зоны A1F. Электрическое поле (во всяком случае, такой напряженности, при которой не происходит элек- трический пробой кристалла) сообщить электрону такую энергию не в состоянии. При этих условиях электриче- ские свойства кристалла определяются шириной запре- щенной зоны A1F. Если A1F невелико (порядка несколь- ких десятых электронвольта), энергия теплового движе- ния оказывается достаточной для того, чтобы перевести часть электронов в верхнюю свободную зону. Эти элек- троны будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся валентные электроны в металле. Свободная зона окажется для них зоной проводимости. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на ее освободившиеся верхние уровни. Такое вещество называется электронным полу- п р о:в о д н и к о м. .Если ширина запрещенной зоны A1F велика (порядка нескольких’ электронвольт), тепловое движение не смо- жет забросить в свободную зону заметное число элек- тронов. В этом случае кристалл оказывается изолятором. Таким образом, квантовая теория объясняет с единой точки зрения существование хороших проводников (ме- таллов), полупроводников и изоляторов. Рассмотрим распределение электронов по уровням зоны Проводимости в металле. При абсолютном нуле на каждом из N/2 нижних уровней будет находиться по два электрона, остальные уровни будут свободны. Такое рас- пределение показано на рис. 138 сплошной линией. По оси ординат отложено число электронов на данном уров- 250
не [смысл обозначения 2f(W) станет ясен в дальнейшем]. В качестве индекса для обозначения уровня использо- вана его энергия W. Собственно, в соответствии с тем, что уровни энергии дискретны, распределение изобра- жается слева от lFmax совокупностью точек с ординатой 2, а справа от IFmax — точками с ординатой 0. Но так как расстояния между уровнями очень малы, эти точки рас- полагаются весьма густо и образуют сплошную линию. Рис. 138. Для верхнего заполненного при абсолютном нуле уровня квантовая теория дает значение №™х = ^(3л2п)2'3, где ti = 1,05 • 10-34 дж • сек, т — масса электрона, п—• число свободных электронов в единице объема. Прини- мая п = 1029 м~3, получим U7max = 1,052'1Q Z (З-З.иМО29)273^ 1,25-10~18 эв. 2-0,91-Ю-30 Если бы уровни зоны распределялись по оси энергии с постоянной плотностью (т. е. число уровней dz, прихо- дящееся на интервал энергий dW, не зависело от IF), среднее значение энергии электронов было бы равно по- ловине максимального. В действительности, плотность уровней пропорциональна , т. е. dz^]/rIF dW. Вычи- сления дают для средней энергии электронов при абсо- — 3 лютном нуле значение W = — IFmax. Следовательно, даже О при 0°К электроны проводимости в металле обладают огромной кинетической энергией, равной в среднем при- мерно 5 эв. Чтобы сообщить классическому электронному 251
газу такую энергию, его нужно нагреть до темпе- ратуры порядка четырехсот тысяч градусов Кельвина. Столь же быстро движутся и валентные электроны в изо- ляторах. Однако они находятся в таких условиях, что электрическое поле не может изменить их состояние и вызвать преобладание движения в одном направлении. Выясним, какова вероятность нахождения электронов на различных уровнях при температурах, отличных от 0°К. В классической физике распределение частиц по состояниям с различной энергией характеризуется функ- цией -Больцмана: __w fB(W) = Ae (71.1) где А — коэффициент пропорциональности [ср. т. I, фор- мула (J09.6)]. Эта функция определяет вероятность того, что частица будет находиться в состоянии с энергией W. Распределение (71.1) было получено в предположе- нии, что в каждом состоянии с данной энергией может находиться неограниченное количество частиц1)- Функ- ция распределения, учитывающая принцип запрета Пау- ли, была найдена Ферми. Она имеет вид f (Ю = ^W-WF)/kT t 1"%) Здесь W — энергия данного уровня, WF — параметр си- стемы, называемый уровнем Ферми. Функция (71.2) дает вероятность зайолнения элек- тронами данного уровня. Легко убедиться в том, что сплошная кривая на рис. 138 с точностью до множителя 2 совпадает с графиком функции (71.2) для Т = 0. В са- мом деле, в этом случае [(117)= 1, если W <117/? и [(Г) = 0, если W>WF. Таким образом, при 0°К уровень Ферми совпадает с верхним заполненным электронами уровнем 117тах. Для W = WF функция (71.2) при любой температуре имеет значение, равное '/г- Следовательно, уровень Фер- *) При 7 = 0 функция (71.1) обращается в нуль при всех зна- чениях энергии, кроме W = 0. Это означает, что все частицы долж- ны находиться на нулевом уровне. 252
ми совпадает с тем энергетическим уровнем, вероят- ность заполнения которого равна половине .(на таком уровне в среднем находится один электрон). Значение Wf можно найти из условия £2f(№fc) = JV, (71.3) k где N — полное число валентных электронов в кристал- ле. Каждое слагаемое представляет собой среднее чис- ло электронов на k-м уровне. Суммирование произво- дится по всем уровням валентной зоны и остальных ле- жащих над ней зон. Уровни в пределах разрешенных зон лежат очень густо. Поэтому сумму (71.3) можно заменить интегра- лом. Всем уровням, лежащим в пределах небольшого интервала энергий dW, можно приписать одинаковую занятость 2f(IK). Если плотность уровней равна g(W), число их в интервале dW составит g’(I¥7)t7Wz. На долю этих уровней придется в среднем dNw = 2f(W)g(W)dW электронов. А полное число электронов на всех уровнях должно быть равно то сю то $dNw= $2f(W)g(W)dW = j {7L4) 0 0 0 е +1 Зная вид g(W), можно вычислить интеграл (71.4) (для интервалов энергий, соответствующих запрещен- ным зонам, g(W) следует положить равной нулю). По- лучившееся выражение будет содержать WF и Т. Сле- довательно, для данного N можно найти WF как функ- цию Т. Выражение (71.4) представляет собой по существу условие нормировки функции f(W) [см. т. I, § 106, текст, предшествующий формуле (106.7)]. Вычисления, проведенные для металлов, показывают, что слабо зависит от температуры, так чю значения уровня Ферми при не слишком высоких температурах (если kT<g. 1Кк0) мало отличаются от значения WF0 при абсолютном нуле. При температурах, отличных от 0°К, распределе- ние, описываемое функцией (71.2), имеет вид, показан- ный на рис. 138 пунктирной кривой. Ордината кривой характеризует среднюю по времени занятость уровня; поэтому, например, ордината, равная 0,25, означает, что 253
’Л времени уровень занят одним электроном (или Vs — двумя), а остальное-время пустует. В области больших энергий (т. е. при W — WF kT, что выполняется в области «хвоста» кривой распреде- ления) единицей в знаменателе' можно пренебречь. Тогда функция (71.2) принимает вид W-Wp w = const • e"*?, (71.5) т. е. переходит, в функцию (71.1) распределения Больц- мана. Распределение электронов по уровням можно сде- лать очень Рис. 139. наглядным, изобразив, как это сделано на рис. 139, кривую распреде- ления Ферми совместно со схемой энергетических зон. Чем выше температура, тем более полого идет ни* спадающий- участок кривой. Однако заметное отличие распределения при темпера- туре Т от распределения при 0° К наблюдается лишь в области порядка kT. Сле- довательно, тепловое дви- жение влияет на кинетиче- скую энергию лишь неболь- шой части всех электронов, электронов слабо зависит от Поэтому средняя энергия температуры. Этим объясняется тот факт, что электро- ны проводимости не вносят заметного вклада в тепло- емкость металла. Таким образом, квантовая теория устраняет одно из основных затруднений, которого не могла преодолеть Классическая теория. Для зависимости электропроводности металла от температуры квантовая теория также дает хорошо со- гласующиеся с опытом результаты. § 72. Полупроводники Полупроводники обязаны своим названием -тому обстоятельству, что по величине электропроводности они занимают промежуточное положение между метал- лами и изоляторами. Однако характерным для нихяв- 254
ляется не величина проводимости, а то, что их прово- димость растет с повышением температуры (напомним, что у металлов она уменьшается).- Полупроводниками являются вещества, у которых валентная зона полно- стью заполнена электронами (см. рис. 137,6), а шири* на запрещенной зоны невелика (у собственных полу- проводников не более 1 эв). Различают собственную и примесную проводимости полупроводников. Рис. 140. Собственная проводимость. Собственная проводи- мость возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число носителей тока — электронов, занимающих уров- ни вблизи дна зоны; одновременно в валентной зоне освобождается такое же число мест на верхних уров- нях. Такие свободные от электронов места на уровнях заполненной при абсолютном нуле валентной зоны на- зывают дырками. Распределение электронов по уровням валентной зоны ц зоны проводимости определяется функцией Ферми (71.2). Вычисления по формуле (71.4) показы- вают, что уровень Ферми лежит точно посредине запре- щенной зоны (рис. 140). Следовательно, для электронов, перешедших в зону проводимости, величина W — Wp мало отличается от половины ширины запрещенной зо- ны. Уровни зоны проводимости лежат на хвосте кри- вой распределения. Поэтому вероятность их заполнения 255
электронами можно находить по формуле (71.5). По- лагая в этой формуле W — WF — ДИ7/2, получим дг f(№)~e 2«\ (72.1) Количество электронов, перешедших в зону прово- димости, будет пропорционально вероятности (72.1). Эти электроны, а также, как мы увидим ниже, образо- вавшиеся в таком же числе дырки, являются носителя- ми тока. Поскольку проводи- мость пропорциональна числу но- сителей, она также должна быть пропорциональна выражению (72.1). Следовательно, электро- проводность полупроводников бы- стро растет с температурой, изме- няясь по закону дг о = о0<? 2/'г , (72.2) где ДИ7 — ширина запрещенной зоны. Если на графике откладывать зависимость In о от 1/Г, то для полупроводников получается прямая линия, изображенная на рис. 141. По наклону этой прямой можно определить ширину запрещенной зоны Д1Е. Типичными полупроводниками являются элементы IV группы периодической системы Менделеева — гер- маний и кремний. Они образуют решетку, в которой каждый атом связан ковалентными (парно-электрон- ными) связями (см. т. I, § 139) с четырьмя равноотстоя- щими от него соседними атомами. Условно такое взаим- ное расположение атомов можно представить в виде плоской структуры, изображенной на рис. 142. Кружки со знаком « + » обозначают положительно заря- женные атомные остатки (т. е. ту часть атома, ко- торая остается после удаления валентных электронов), кружки со знаком «—» — валентные электроны, двойные линии — ковалентные связи. При достаточно высокой температуре тепловое дви- жение может разорвать отдельные пары, освободив один электрон (такой случай показан на рис. 142). 256
Покинутое электроном место перестает быть нейтраль- ным, в его окрестности возникает избыточный положи- тельный заряд + е — образуется дырка. На это место может перескочить элек- трон одной из соседних пар. В результате дырка начинает также странство- вать по кристаллу, как и освободившийся электрон. Если свободный элек- трон встретится с дыр- кой, они рекомбини- руют (соединяются). Это означает, что элек- трон нейтрализует избы- точный положительный заряд, имеющийся в ок- рестности дырки, и теря- ет свободу передвиже- ния до тех пор, пока сно- Рпс. 142. ва не получит от кристал- лической решетки энергию, достаточную для своего вы- свобождения. Рекомбинация приводит к одновременному исчезновению свободного электрона и дырки. На схеме уровней (рис. 140) процессу рекомбинации соответствует переход электрона из зоны проводимости на один из сво- бодных уровней валентной зоны. Итак, в полупроводнике идут одновременно два процесса: рождение попарно свободных электронов и дырок и рекомбинация, приводящая к попарному ис- чезновению электронов и дырок. Вероятность первого процесса быстро растет с температурой. Вероятность рекомбинации пропорциональна как числу свободных электронов, так и числу дырок. Следовательно, каж- дой температуре соответствует определенная равновес- ная концентрация электронов и дырок, величина кото- рой изменяется.с температурой по такому же закону, как и а [см. формулу (72.2)]. В отсутствие внешнего электрического поля элект- роны проводимости и дырки движутся хаотически. При включении поля на хаотическое движение наклады- вается упорядоченное движение: электронов против поля и дырок — в направлении поля. Оба движения — 17 И. В. Савельев, т. П 257
и дырок, и электронов — приводят к переносу заряда вдоль кристалла. Следовательно, собственная электро- проводность обусловливается как бы носителями заря- да двух знаков — отрицательными электронами и по- ложительными дырками. Собственная проводимость наблюдается во всех без исключения полупроводниках при достаточно высокой температуре. Примесная проводимость. Этот вид проводимости возникает, если некоторые атомы данного полупровод- Рис. 143. ника заменить в узлах кри- сталлической решетки атома- ми, валентность которых отли- чается на единицу от валент- ности основных атомов. На рис. 143 условно изображена решетка германия с приме- сью 5-валентных атомов фос- фора. Для образования кова- лентных связей с соседями атому фосфора достаточно че- тырех электронов. Следова- тельно, пятый валентный элек- трон оказывается как бы лишним и легко отщепляется от атома за счет энергии теплового движения, об- разуя странствующий свободный электрон. В отличие от рассмотренного раньше случая образование свобод* ного электрона не сопровождается нарушением кова- лентных связей, т. е. образованием дырки. Хотя в окре- стности атома примеси возникает избыточный положи- тельный заряд, но он связан с этим атомом и переме- щаться по решетке не может. Благодаря этому заряду атом примеси может захватить приблизившийся к нему электрон, но связь захваченного электрона с атомом бу- дет непрочной и легко нарушается вновь за счет тепло- вых колебаний решетки. Таким образом, в полупроводнике с 5-валентной примесью имеется только один вид носителей тока — электроны. Соответственно говорят, что такой полупро- водник обладает электронной проводимостью или яв- ляется полупроводником n-типа (от слова negativ — отрицательный). Атомы примеси, поставляющие элек- троны проводимости, называются донорами. 258
Примеси искажают поле решетки, что приводит к возникновению на энергетической схеме так называе- мых локальных уровней, расположенных в запрещен- ной зоне кристалла (рис. 144). Любой уровень валент- ной зоны или зоны проводимости может быть занят электроном, находящимся в любом месте кристалла. Рис. 144. Энергию, соответствующую локальному уровню, элек- трон может иметь, лишь находясь вблизи атома при- меси, вызвавшего появление этого уровня. Следова- тельно, электрон, занимающий примесный уровень, ло- кализован вблизи атома примеси. Если донорные уровни расположены недалеко от потолка валентной зоны1), они не могут существенно повлиять на электрические свойства кристалла. Иначе обстоит дело, когда расстояние таких уровней от дна зоны проводимости гораздо меньше, чем ширина за- прещенной зоны. В этом случае энергия теплового дви- жения даже при обычных температурах оказывается достаточной для того, чтобы перевести электрон с до- норного уровня в зону проводимости. На рис. 143 этому процессу соответствует отщепление пятого валент- ного электрона от атома примеси. Захвату свободного электрона атомом примеси соответствует на рис. 144 ’) Это значит, что пятый валентный электрон прочно связан со своим атомом. 17* 259
переход электрона из зоны проводимости на один ия до- норных уровней. Уровень Ферми в полупроводнике fi-типа лежит между донорными уровнями и дном зоны проводи- мости, при невысоких температурах — приблизительно посредине между ними (рис. 144). На рис. 145 условно изображена решетка кремния с примесью 3-валентных атомов бора. Трех валентных электронов атома бора недостаточно для образования связей со всеми 'четырьмя соседями. Поэтому одна из связей окажется не укомплектованной и будет представ- лять собой место, способное захватить электрон. При переходе на это место электрона одной из соседних пар возникнет дырка, которая будет кочевать по кристаллу. Вблизи атома примеси возникнет избыточный отрица- тельный заряд, но он будет связан с данным атомом и не может стать носителем тока. Таким образом, в полупро- воднике с 3-валентной примесью возникают носители тока только одного вида — дырки. Проводимость в этом случае называется дырочной, а о полупроводнике гово- рят, что он принадлежит к p-типу (от слова positiv — по- ложительный). Примеси, вызывающие возникновение дырок, называются акцепторными. На схеме уровней (рис. 146) акцептору соответствует расположенный в запретной зоне недалеко от ее дна ло- кальный уровень. Образованию дырки отвечает переход электрона из валентной зоны на акцепторный уровень. Обратный переход соответствует разрыву одной из четы- рех ковалентных связей атома примеси с его соседями и 260
рекомбинации образовавшегося при этом электрона и дырки. Уровень Ферми в полупроводнике p-типа лежит меж- ду потолком валентной зоны и акцепторными уровнями, при невысоких температурах — приблизительно посреди- не между ними. С повышением температуры концентрация примесных носителей тока быстро достигает насыщения. Это озна- чает, что практически освобождаются все донорные или Рис. 146. заполняются электронами все акцепторные уровни. Вме- сте с тем по мере роста температуры все в большей сте- пени начинает сказываться собственная проводимость полупроводника, обусловленная переходом электронов непосредственно из валентной зоны в зону проводимости. Таким образом, при высоких температурах проводимость полупроводника будет складываться из примесной и собственной проводимости. При низких температурах преобладает примесная, а при высоких — собственная проводимость. § 73. Эффект Холла Холл обнаружил в 1880 г. следующее явление: если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоян- ный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между параллельными току и полю гранями (рис. 147) возникает разность потенциалов 261
Uii — qi — фг- Величина ее определяется выражением U„ = RbjB, (73.1) где Ь — ширина пластинки, / — плотность тока, В — маг- нитная индукция поля, R— разный для различных ме- таллов коэффициент пропорциональности, получивший Рис. 147. название постоянной Холла. Само явление назы- вают эффектом Холла или гальваномагнит- ным явлением. Эффект Холла очень просто объясняется электронной теорией. В отсутствие магнитного поля ток в пластинке Рис. 148. обусловливается электрическим полем Ео (рис. 148). Эк- випотенциальные поверхности этого поля образуют си- стему перпендикулярных к вектору Ео плоскостей, изо- браженных на рисунке сплошными прямыми линиями. Потенциал во всех точках каждой поверхности, а следо- вательно, и в точках 1 и 2 одинаков. Носители тока — электроны — имеют отрицательный заряд, поэтому ско- рость их упорядоченного движения и направлена проти- воположно вектору плотности тока j. 262
При включении магнитного поля каждый носитель оказывается под действием силы Лоренца, направленной вдоль стороны Ь пластинки (рис, 147) и равной по мо- дулю f = еиВ. (73.2) В результате у электронов появляется составляющая движения в направлении к верхней (на рисунке) грани пластинки. У этой грани образуется избыток отрицатель- ных, соответственно у нижней грани — избыток положи- тельных зарядов. Следовательно, возникает дополни- тельное поперечное электрическое поле Ев. Когда на- пряженность этого поля достигает такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу (73.2), установится стационарное раснределение зарядов в поперечном направлении. Соответствующее значение Ев определяется из условия: еЕв = еиВ, откуда Ев = иВ. (73.3) Поле Ев складывается с полем Ео в результирующее поле Е. Эквипотенциальные поверхности перпендикуляр- ны в каждой точке к вектору напряженности поля. Сле- довательно, они повернутся и займут положения, изобра- женные на рис. 148 пунктиром. Точки / и 2, которые прежде лежали на одной и той же эквипотенциальной поверхности, теперь будут иметь разные потенциалы. Чтобы найти напряжение, возникающее между этими точками, нужно умножить Ев на расстояние между ни- ми Ь. Выражая, кроме того, в (73.3) и через /, п и е в со- ответствии с формулой / = пей [см. (70.2)], получим иИ=ЬЕв = ^Ь}В. (73.4) Последнее выражение совпадает с (73.1), если поло- жить (73.5) Таким образом, измерив постоянную Холла, можно найти концентрацию носителей тока (т. е. их число в еди- нице объема). Важной характеристикой вещества является подвиж- ность в нем носителей тока, под которой подразумевается 263
средняя скорость, приобретаемая носителем в поле, напряженность которого равна единице. Если в поле напряженности Е носители приобретают скорость и, то подвижность их «о равна и ио~~Ё (73.6) В СИ скорость измеряется в метрах в секунду, напря- женность электрического поля в вольтах на метр. Следо- вательно, единицей подвижности будет 1 м2 • в'1 • сект1. Рис. 149. Подвижность можно связать с проводимостью о и концентрацией носителей п. Для этого разделим соотно- шение / — пей на напряженность поля Е. Учтя, что отно- шение j к Е дает о, а и, деленное на Е, есть подвиж- ность, получим о = пеи0. (73.7) Определив постоянную Холла R и проводимость о, можно по формулам (73.5) и (73.7) найти концентрацию и подвижность носителей тока в соответствующем об- разце. Явление Холла наблюдается не только в металлах, ио и в полупроводниках, причем по знаку эффекта можно судить о принадлежности полупроводника к п- или р-ти- пу. На рис. 149 сопоставлен эффект Холла для образцов с положительными и отрицательными носителями. На- правление силы Лоренца изменяется на противополож- ное как при изменении направления движения заряда, так и при изменении его знака. Следовательно, при оди- наковом направлении тока сила Лоренца, действующая на положительные и отрицательные носители, имеет оди- наковое направление. Поэтому в случае положительных 264
носителей потенциал верхней (на рисунке) грани выше, чем нижней, а в случае отрицательных носителей — ни- же. Таким образом, определив знак холловской разности потенциалов, можно установить знак носителей тока. Любопытно, что у некоторых металлов знак соот- ветствует положительным носителям тока. Это объяс- няется особым перекрыванием зон, при котором часть электронов переходит с верхних уровней валентной зоны на нижние уровни другой зоны. В результате возникают в равном количестве как свободные электроны, так и дырки. Проводимость такого металла имеет смешанный (электронно-дырочный) характер. Аномальный (для ме- таллов) знак эффекта Холла обусловлен тем, что дырки обладают большей подвижностью, чем электроны. § 74. Работа выхода Металлы не приобретают сами по себе положитель- ного заряда. Значит, электроны проводимости не могут самопроизвольно покидать металл в заметном количе- стве. Это объясняется тем, что металл представляет для электронов потенциальную яму. Покинуть металл удается только тем электронам, энергия которых оказы- вается достаточной для преодоления потенциального барьера, имеющегося на поверхности. Силы, обусловли- вающие этот барьер, имеют следующее происхождение. Случайное удаление электрона от наружного слоя поло- жительных ионов решетки приводит к возникновению в том месте, которое покинул электрон, избыточного поло- жительного заряда. Кулоновское взаимодействие с этим зарядом заставляет электрон, скорость которого не очень велика, вернуться обратно. Такцм образом, отдельные электроны все время покидают поверхность металла, уда- ляются от нее на несколько межатомных расстояний и затем поворачивают обратно. В результате металл ока- зывается окруженным тонким облаком электронов. Это облако образует совместно с наружным слоем ионов двойной электрический слой (рис. 150; кружки — ионы, черные точки — электроны). Силы, действующие на элек- трон в таком слое, направлены внутрь металла. Работа, совершаемая против этих сил при переводе электрона из металла наружу, идет на увеличение потенциальной энергии электрона Wp. 265
Таким образом, потенциальная энергия валентных электронов ’) внутри металла меньше, чем вне металла, на величину, равную глубине потенциальной ямы №р0 (рис. 151). Скачок потенциальной энергии происходит на длине порядка нескольких межатомных расстояний ('''10-8 м), поэтому стенки ямы можно считать верти- кальными. Потенциальная энергия электрона связана с потен- циалом точки, в которой на- ходится электрон, соотноше- Рис. 150. Рис. 151, нием Wp = —е<р [см. формулу (10.5)]. Поскольку заряд электрона отрицателен, потенциал точки и потенциаль- ная энергия электрона имеют разные знаки. Отсюда сле- дует, что потенциал внутри металла больше, чем потен- циал в непосредственной близости к его поверхности (мы будем для краткости говорить просто «на поверхности»), на величину Wp0/e. Сообщение металлу избыточного положительного за- ряда увеличивает потенциал как на поверхности, так и внутри металла. Потенциальная энергия электрона соот- ветственно уменьшается (рис. 152,а). На рис. 152,6 даны кривые Wp и <р для случая, когда металл заряжен отрицательно * 2). *). Потенциальная яма для электронов, заполняющих уровни нижних зон (т. е. прочно связанных со своими атомами), имеет большую глубину. Все рассуждения этого параграфа относятся к валентным электронам. 2) В последнем случае высота потенциального барьера немного понижается (соответственно уменьшается работа выхода). Это яв- ление называется эффектом Шоттки. 266
Полная энергия электронов в металле слагается из потенциальной и кинетической энергий. Как было выяс- нено в § 71, значения кинетической энергии электронов проводимости заключены при абсолютном нуле в преде- лах от 0 до совпадающей с уровнем Ферми W'max- На рис. 153 энергетические уровни зоны проводимости впи- саны в потенциальную яму (пунктиром изображены не- занятые при 0°К уровни). Для удаления за пределы металла разным электронам нужно сообщить неодинако- вую энергию. Так, электрону, находящемуся на самом ниж- нем уровне зоны проводи- мости, необходимо сообщить энергию для электрона, находящегося на уровне Фер- ми, достаточна энергий Wp0~ — l^max — Wpo — WF Наименьшая энергия, кото- рую необходимо сообщить электрону для того, чтобы Рис. 153. удалить его из твердого или жидкого тела в вакуум, назы- вается работой выхода. Работу выхода принято обо- значать через е<р, где <р — величина, имеющая размерность потенциала и называемая потенциалом выхода. В соответствии со сказанным выше работа выхода электрона из металла определяется выражением ') ______________________ е<Р = №РО ~ (74.1) ') Величину (74.1) иногда называют эффективной работой вы- хода, а Ц7р0 —полной работой выхода. 267
Мы пришли к этому выражению в предположении, что температура металла равна 0° К. При других темпе- ратурах работу выхода также определяют как разность глубины потенциальной ямы и уровня Ферми, т. е. рас- пространяют определение (74.1) на любые температуры. Это же определение применяется и для полупровод- ников. Работа выхода электрона из металла немного зави- сит от температуры. Это вызвано тем, что, как отмеча- лось в § 71, изменяется с температурой уровень Ферми WF. Кроме того, из-за обусловленного тепловым расши- рением изменения средних расстояний между атомами слегка изменяется глубина потенциальной ямы Величина работы выхода очень чувствительна к со- стоянию поверхности металла, в частности к ее чистоте. Подобрав надлежащим образом покрытие поверхности, можно сильно снизить работу выхода. Так, например, нанесение, на поверхность вольфрама слоя окисла ще- лочноземельного металла (Са, Sr, Ва) снижает работу выхода с 4,5 эв (для чистого W) до 1,5—2 эв. § 75. Термоэлектронная эмиссия. Электронные лампы Термоэлектронной эмиссией называется испускание электронов нагретыми твердыми или жидкими телами. Рис. 154. Нас в этом параграфе будут интересовать только метал- лы. Явление термоэлектрон- ной эмиссии объясняется тем, что вследствие распре- деления по энергиям име- ется некоторое количество электронов, энергия кото- рых достаточна для того, чтобы преодолеть потен- циальный барьер, имеющий- ся на границе металла. При повышении температуры количество таких электронов резко возрастает и делается вполне заметным. Исследование термоэлектронной эмиссии удобно про- изводить с помощью схемы, изображенной на рис. 154. 268
Основным элементом схемы является двухэлектрод- ная лампа, называемая также вакуумным дио- дом. Она представляет собой хорошо откачанный метал- лический или стеклянный баллон, внутри которого име- ются два электрода — катод К и анод А. Конструктивно электроды могут быть выполнены разными способами. В простейшем случае катод имеет форму тонкой прямой нити, анод — коаксиального с ней цилиндра (рис. 155). Катод нагревается током, создаваемым батареей на- кала Ба. Температуру накала можно менять, регулируя с помощью реостата Rt силу тока накала. На электроды подается напряжение от анодной батареи Ба. Величину анодного напряжения Ua можно изменять с помощью по- тенциометра /?2 и измерять вольтметром V (Ua считается положительным, если потенциал анода выше потенциала катода). Гальванометр G предназначен для измерения силы анодного тока ia. Если установить постоянный накал катода и снять зависимость силы анодного тока ia от анодного напряже- ния Ua, то получается кривая, изображенная на рис. 156 (различные кривые соответствуют разным температурам катода). Эта кривая называется вольт-амперной характеристикой. При Ua = 0 вылетевшие из катода электроны обра- зуют вокруг него отрицательный пространственный за- ряд— электронное облако. Это облако отталкивает вы- летающие из катода электроны и большую часть их воз- вращает обратно. Все же небольшому числу электронов удается долететь до анода, в результате чего в анодной 269
цепи будет течь слабый ток. Чтобы полностью прекра- тить попадание на анод электронов, т. е. сделать ia рав- ным нулю, необходимо приложить между катодом и анодом некоторое отрицательное напряжение. Следова- тельно, вольт-амперная характеристика диода начи- нается не в нуле, а немного левее начала координат. При малых положительных значениях 1Уа сила анод- ного тока изменяется пропорционально Uа. Теоретически эта зависимость была получена Ленгмюром и Богуслав- ским и называется законом трех вторых. По мере роста Ua все большее число электронов от- сасывается электрическим полем к аноду и, наконец, при определенном значении Ua электронное облако полно- стью рассасывается и все вылетевшие из катода элек- троны получают возможность достигнуть анода. Даль- нейший рост Ua не может увеличить силу анодного то- ка— ток достигает насыщения. Очевидно, что именно ток насыщения характеризует термоэлектронную эмиссию. Если в единицу времени с единицы поверхности катода вылетает N электронов, то плотность тока насы- щения (сила тока насыщения, отне- сенная к единице поверхности катода) будет равна jHac = Ne. Таким образом, измеряя плотность тока насыщения при различной силе тока накала, можно найти количество электронов, вылетающих с единицы поверхности при разных температурах. На рис. 156 изображены вольт-ам- перные характеристики для несколь- ких температур. При малых Ua они совпадают. Зависимость плотности тока насыщения от температуры показана на рис. 157. Квантовая теория приводит к следующей формуле: ед> ^АТ2е >*, (75.1) где вф — работа выхода, А — не зависящая от рода ме- талла константа, теоретическое значение которой равно 1,20 • 106 а!м2-град2 (120 а!см2 • град2). Эксперименталь- ные значения А получаются примерно в два раза мень- 270
шими, чем теоретическое. Ход jHac с температурой фор- мула передает вполне удовлетворительно. Формула (75.1) называется формулой Ричардсона—' Дэшмана или просто формулой Ричардсона •) Как следует из (75.1), уменьшение е<р резко повы- шает эмиссию (легко убедиться в том, что при 1160° К, т. е. при kT = 0,10 эв, уменьшение е<р от 3 до 1 эв приво- дит к возрастанию jHac почти в 5 -108 раз). Поэтому при изготовлении электронных ламп применяются специаль- ные покрытия и способы обработки катодов, приводящие к снижению работы выхода. Современные так называе- мые оксидные катоды, изготовляемые из никеля, покры- того окисью бария или стронция, имеют работу выхода порядка 1,0—1,2 эв. В предыдущем параграфе отмечалось, что внешнее поле уменьшает высоту потенциального барьера и тем самым снижает работу выхода (эффект Шоттки). Это приводит к тому, что и после достижения насыщения сила тока в диоде немного Следовательно, соответст- вующий участок вольт-ам- перной характеристики не горизонтален (как изобра- жено на рис. 156), а идет под небольшим углом к оси Ua. Диод пропускает ток только в том случае, когда потенциал анода выше, чем катода. При отрицательном напряжении ток в анодной цепи отсутствует. Это свой- растет с увеличением Ua. Рис. 158. ство диода позволяет использовать его для выпрямления переменного тока. Диод, предназначенный для этой цели, называют также кенотроном. На рис. 158 пока- зан график тока, текущего через кенотрон, если на него подается переменное напряжение, изменяющееся со вре- менем по гармоническому закону. В этом случае ток в цепи течет лишь в течение половины периода, в связи с чем такой способ выпрямления тока называется однопо- лупериодным. Используя одновременно два кенотрона ’) Ричардсон вывел классическую формулу для термоэлектрон- ной эмиссии, которая отличается от (75.1) лишь тем, что вместо Г2 в нее входит У Т. Формула (75.1) была получена Дэшменом. 271
или двойной диод, собранный в одном баллоне, можно осуществить двухполупериодное выпрямление. Соответ- ствующая схема изображена на рис. 159. Первичная об- мотка трансформатора пи- тается переменным током. Вторичных обмоток две. Меньшая служит для на- кала катода. Большая об- мотка имеет средний вы- вод, который через на- грузку /? соединен с ка- тодом. Концы обмотки идут к анодам. Одну по- ловину периода под бо- лее высоким потенциа- лом, чем катод, нахо- дится один анод, вторую половину — другой. В ре- зультате через нагрузку течет ток, изображенный графи- чески на рис. 160. Такой пульсирующий ток можно сгла- дить. Если между катодом и анодом поместить третий элек- трод в виде сетки, получится трехэлектродная лампа — триод (рис. 161; цепь накала на схеме опущена). Сетка мо- ------- жет быть выполнена, напри- 1а>. & мер, в виде спирали, обвиваю- Т а Рис. 161. Рис. 160. щейся вокруг катода. Если сообщить сетке небольшой положительный потенциал по отношению к катоду (в этом случае напряжение Uc между сеткой и катодом мы будем считать положительным), электроны будут быстрее отсасываться от катода. Некоторые из них по- падут на сетку (в результате чего возникнет небольшой сеточный ток ic), но основная часть пролетит сквозь сет- 272
ку и достигнет анода. Из-за близости сетки к катоду не- большие изменения напряжения между сеткой и,катодом оказывают большое влияние на силу анодного тока. Отрицательное сеточное напряжение Uc уменьшает анодный ток и при достаточно большом отрицательном напряжении Uc ток прекращается полностью — лампа оказывается запертой. Если построить зависимость анодного тока za от сеточного напряжения Uc при посто- янном анодном напряжении Ua, получается кривая, изображенная на рис. 162. Совокупность таких кривых, построенных для разных значений 1)а, образует семейство сеточных характеристик триода. Величина «-Д (75-2> называется крутизной характеристики. Значительная часть характеристики прямолинейна. Подавая на сетку небольшое синусоидальное напряже- ние Vc, можно получить большие синусоидальные изме- нения анодного тока. При этом с сопротивления R может быть снято переменное напряжение с гораздо большей амплитудой, чем амплитуда Uc. На этом основано дейст- вие триода как усилителя. Кроме того, триод может быть использован для преобразования (изменения формы) и генерирования (возбуждения) переменных токов и на- пряжений. И. В, Савельев, т, II 273
Для улучшения характеристик электронной лампы в нее вводятся дополнительные электроды — сетки. Четы* рехэлектродная лампа называется тетродом, пятиэлек- тродная — пентодом и т. д. Широкое применение полу- чили также лампы, в которых в одном баллоне совме- щены две системы электродов. Каждая такая лампа выполняет функции двух ламп. § 76. Контактная разность потенциалов Если привести два разных металла в соприкоснове- ние, между ними возникнет разность потенциалов, кото- рая называется контактной. При этом в окружаю- щем металлы пространстве появляется электрическое поле. На рис. 163 изображены эквипотенциальные по- верхности (сплошные ли- нии) и линии напря- женности (пунктирные) этого поля; поверхность каждого из металлов яв- ляется эквипотенциаль- ной. Рис. 163. Контактная разность потенциалов вызывается- тем, что при соприкосно- вении металлов часть электронов из одного ме- талла переходит в дру- гой. В верхней части рис. 164 изображены два ме- талла — слева до приве- дения их в соприкосновение, справа — после. В нижней части рисунка дан график потенциальной энергии элек- трона. Уровень Ферми в первом металле лежит по пред- положению выше, чем во втором. Естественно, что при возникновении контакта между металлами электроны с самых высоких уровней в первом металле станут пере- ходить на более низкие свободные уровни второго ме- талла. В результате потенциал первого металла возра- стет, а второго — уменьшится. Соответственно потенци- альная энергия электрона в первом металле уменьшится, а во втором увеличится (напомним, что потенциал ме- талла и потенциальная энергия электрона в нем имеют разные знаки; см. рис. 152). 274
В статистической физике доказывается, что условием равновесия между соприкасающимися металлами (а так- же между полупроводниками тми металлом и полупро- водником) является равенство полных энергий, соответ- ствующих уровням Ферми (рис. 164; в этом случае уров- ни Ферми располагаются на одинаковой высоте). При Рис. 164. соблюдении такого условия потенциальная энергия элек- трона в непосредственной близости к поверхности пер- вого металла будет на (eq>2— eq>i) меньше, чем вблизи второго металла. Следовательно, потенциал на поверх- ности первого металла будет на С/12 = ^5^- = Ф2-ф1 (76.D выше, чем на поверхности второго. Величина Ui2 и есть контактная разность потенциалов между первым и вто- рым металлами. Как видно из формулы (76.1), контактная разность потенциалов между первым и вторым металлами равна разности работ выхода для второго и первого металлов, деленной на элементарный заряд, или просто разности потенциалов выхода для второго и первого металлов. Разность потенциалов (76.1) устанавливается между точками, лежащими вне металлов в непосредственной близости к их поверхности. Поэтому ее называют внеш- ней контактной разностью потенциалов. Чаще же говорят просто о контактной разности потенци- алов, подразумевая под ней внешнюю. Между внут- ренними точками металлов также имеется разность 18* 275
потенциалов, которая называется внутренней. Как видно из рис. 164, потенциальная энергия электрона в первом металле меньше, чем во втором, на W pi — WР2. Соответственно потенциал внутри первого металла вы- ше, чем внутри второго на величину , П7 — U7 U'l2 = У'уП, (76.2) Выражение (76.2) дает внутреннюю контактную раз- ность потенциалов. На такую величину убывает потен- циал при переходе из первого металла во в горой. На рис. 165 изображены два соприкасающихся ме- талла 1 и 2 и рядом — изменение потенциала вдоль кон- тура, обозначенного штрихпунктирной линией. В зазоре В — С возникает электрическое поле, линии напряжен- ности которого показаны пуктиром. На рис. 166 дан ход потенциальной энергии электрона вдоль трех раз- личных соприкасающихся друг с другом металлов 1, 2, 3. Из рисунка вид- но, что устанавливаю- щаяся между металлами 1 и 3 разность потенциа- Рис. 166. лов оказывается в этом случае точно такой, как и при их непосредственном соприкосновении1) - То же самое спра- ведливо при любом числе промежуточных звеньев: раз- *) Сами потенциалы при этом могут измениться. В частности, может случиться, что оба крайние металла будут иметь потенциал одного знака. 276
полупроводником, а также В ность потенциалов между концами цепи определяется разностью работ выхода для металлов, образующих крайние звенья цепи. Внешняя контактная разность потенциалов колеб- лется для различных пар металлов от нескольких деся- тых вольта до нескольких вольт. Контактная разность потенциалов возникает и на границе между металлом и на границе между двумя по- лупроводниками. В заключение отметим, что в замкнутой цепи, со- ставленной из любого числа разнородных металлов или полупроводников (рис. 167), сумма скачков потенциала равна нулю. Следовательно, если все спаи поддерживать при одинаковой температу- ре, э. д. с. в цепи возник- нуть не может. Возникнове- ние тока в такой цепи про- тиворечило бы второму на- чалу термодинамики. Дейст- вительно, так как протекание тока в металлах и полупро- водниках не сопровождается химическими изменениями, ток совершал бы работу за счет тепла, получаемого от окружающей цепь среды. Никаких побочных процессов (например, передачи части полученного тепла другим телам) при этом не происходило бы. Таким образом был бы осуществлен перпетуум мобиле второго рода. Рис. 167. § 77. Термоэлектрические явления Между тепловыми и электрическими процессами в ме- таллах (а также и в полупроводниках) существует опре- деленная взаимосвязь, которая обусловливает ряд явле- ний, называемых термоэлектрическими: явление Зеебека, явление Пельтье и явление Томсона. Явление Зеебека. Зеебек обнаружил в 1821 г., что если спаи 1 и 2 двух разнородных металлов, образую- щих замкнутую цепь (рис. 168), поддерживать при раз- личных температурах, то в цепи течет ток. Изменение £77
знака у разности температур спаев сопровождается из- менением направления тока. Термоэлектродвижущая сила (сокращенно термо- э. д. с.) обусловлена двумя причинами. Как отмечалось / в § 71, уровень Ферми зависит от ©температуры’). Поэтому скачок потенциала при переходе из одного металла в другой [внутренняя кон- тактная разность потенциалов, см. формулу (76.2)] для спаев, находя- щихся при разных температурах, неодинаков и сумма скачков потен- циала для всей цепи отлична от 2 нуля. Одного этого было бы доста- Рис 168 точно для возникновения действую- щей в указанном на рис. 168 стрел- кой направлении э. д. с., равной ^конТ=^(7'1)+^дГ2) = =4 {[ (Т|) - WPB (Г,)] + [WPB (Г2) - Ггд(Г2)]} = = у {[И?™ (Г2) - WPB(Г,)] - [WPА(Т2)- WPA (Г,)]}. Последнее выражение можно представить следую- щим образом: f(77..) Т, Tt Чтобы понять, вторую причину возникновения термо- э. д. с., рассмотрим однородный металлический провод- ник, вдоль которого имеется градиент температуры (рис. 169). В этом случае концентрация электронов с более высокой энергией (с W > WP) у нагретого йонца будет больше, чем у холодного; концентрация электро- нов с более низкой энергией (с W < №F) будет, наобо- ') Для металлов при невысоких температурах (когда kT<£W эта зависимость имеет вид где уровень Ферми при 0°К. 278
рот, у нагретого конца меньше. Вдоль проводника воз- никает градиент концентрации электронов с данным значением энергии, что повлечет за собой диффузию бо- лее быстрых электронов к холодному концу, а более медленных — к теплому. Диффузионный поток быстрых электронов будет больше, чем поток медленных электронов. Поэтому вблизи холодного конца об- разуется избыток электро- 4_______ нов, а вблизи горячего — их | —» | недостаток. В результате внутри проводника возник- нет электрическое поле, на- правленное навстречу гради- енту температуры. Оно бу-< дет уменьшать поток быст- рых и увеличивать поток медленных электронов. Кцг- да оба потока выравняются Рис. 169. в каждом сечении, наступит равновесное состояние. При этом на каждом участке про- водника длиной dx будет происходить изменение потен- циала dtp, соответствующее изменению температуры dT на том же участке. Введем обозначение о d<P (77.2) В общем случае потенциал вдоль проводника может изменяться по разным причинам. Под dq> в-(77.2) подра- зумевается только та часть изменения потенциала, кото- рая вызвана градиентом температуры. Между концами проводника, находящимися при тем- пературах Т\ и Т2, появляется разность потенциалов т, Лфдиффу3= J fidT. (77.3) т, Величина р невелика — порядка 10~* в! град. Поэтому обнаружить разность потенциалов (77.3) бывает трудно. Описанный процесс возникновения разности потенци- алов на концах неравномерно нагретого проводника имеет место и в полупроводниках. Если носителями тока являются электроны, потенциал нагретого конца, как мы 279
видели, оказывается выше, чем потенциал холодного. Зна- чит, у полупроводников n-типа dtp и dT имеют одинако- вые знаки и, следовательно, ₽ > 0. В случае дырочной проводимости дырки, диффундируя в большем числе к холодному концу, создают вблизи него избыточный по- ложительный заряд. Таким образом, у полупроводника p-типа потенциал холодного конца будет выше, чем по- тенциал нагретого, и р<Об- вернемся снова к рис. 168. За счет неодинаковости р для участков А и В возникнет в направлении, указан- ном стрелкой, э. д. с., равная т, г, тг т2 ^диффуз = f Рд dT + J dT = j рл dT - J dT (77.4) Г, Тг Ti г, (при определении пределов интегрирования надо иметь в виду, что э. д. с. действует в направлении убывания потенциала). Термоэлектродвижущая сила й’термо слагается из суммы скачков потенциала (77.1) в контактах (спаях) и суммы изменений потенциала (77.4), вызванных диф- фузией носителей тока. Таким образом, ^термо = ^конт + ^диффуз- Подставив сюда выражения (77.1) и (77.4) и произ- ведя несложные преобразования, находим т т _Г/ 1 dWPA\ Г/ I dWFB ®термо J (Рд е dT J Vs е dT J1**' т, т Величина является характеристикой металла или полупроводника и называется коэффициентом термо-э. д. с. ’) Такой же знак 0 имеют металлы, у которых знак холлов- ской разности потенциалов соответствует положительным носите- лям (см. последний абзац § 73). 280
Воспользовавшись обозначением (77.5) выражение для термо-э. д. с. можно представить в виде Л тг ^термо = J «л dT - | ав dT. Tt г, (77.6) Если а л и ав в пределах интервала 1\ ч- Т2 мало из- меняются с температурой, можно написать 4> термо = О АВ (7\ — Т2), (77.7) где через аАВ обозначена разность аА— ав. Величину аАВ называют удельной т е р м о - э. д. с. данной пары металлов или полупроводников. Для большинства пар металлов аАВ имеет порядок 10~5 ч- 1СН в1град\ для по- лупроводников она может оказаться гораздо больше (до 1,5 • 10~3 в/град). Это объясняется тем, что у полупро- водников с разным типом проводимости а имеет разные знаки1), вследствие чего |адв| = |ад| + |ав|. В отдельных случаях удельная термо-э. д. с. слабо зависит от температуры. Однако, как правило, с увели- чением разности температур спаев й’термо изменяется не по линейному закону, а довольно сложным образом, вплоть до того, что может менять знак. Так, например, если один спай пары железо — медь поддерживать при 0°С, то при температуре второго спая, равной примерно 540° С, термо-э. д. с. обращается в нуль; при более низ- кой температуре спая <ктерМо имеет один знак, при бо- лее высокой — другой. Явление Зеебека используется для измерения темпе- ратур. Соответствующее устройство называется термо- парой. Один спай термопары поддерживают при по- стоянной температуре (например, при 0°С), другой помещают в тот объем, температуру которого хотят из- мерить. О величине температуры можно судить по силе возникающего термо-тока, измеряемой гальванометром. Более точный результат получается, если измерять возникающую термо-э. д. с. по методу компенсации. ’) При повышении температуры уровни Ферми примесных полу- проводников смещаются по направлению к середине запрещенной зоны, т. е. для полупроводников разных типов в противоположные стороны. Величина (77.2) для полупроводников с разным типом проводимости также имеет разные знаки. 281
С помощью термопар можно измерять с точностью по- рядка сотых долей градуса как низкие, так и высокие температуры. В качестве источников тока термопары из металлов и их сплавов не используются вследствие весьма низкого к. п. д. (не более 0,5%). Термопары из полупроводнико- вых материалов обладают гораздо большим к. п. д. (до 7%). Они уже нашли применение в качестве небольших генераторов тока для бытовых целей. Энергии такого ге- нератора, надеваемого в виде абажура на стекло керо- синовой лампы, хватает для питания радиоприемника. Явление Пельтье. Это явление, открытое Пельтье в 1834 г., заключается в том, что при протекании тока че- рез цепь, составленную из разнородных металлов или полупроводников, в одних спаях происходит выделение, а в других — поглощение тепла. Таким образом, явление Пельтье оказывается обратным явлению Зеебека. Ко- личество ' выделившегося тепла определяется выраже- нием Qab = Пав ' Q ~ Пав^ > (77.8) где q— заряд, прошедший через спай, ПАВ— коэффи- циент пропорциональности,называемый коэффициен- том Пельтье (ток течет от звена А к звену В). В отличие от тепла Джоуля-Ленца тепло Пельтье пропорционально не квадрату, а первой степени силы тока. При перемене направления тока Q изменяет знак, т. е. вместо выделения тепла наблюдается поглощение такого же количества тепла (при том же q). Следова- тельно, Пав = ~ Пвл- Между коэффициентом Пельтье и коэффициентом термо-э. д. с. имеется вытекающее из законов термоди- намики соотношение Пав^авТ. (77.9) Явление Пельтье имеет следующее объяснение. Но- сители тока (электроны или дырки) по разные стороны от спая имеют различную среднюю энергию (имеется в виду полная энергия — кинетическая плюс потенци- альная). Если носители, пройдя через спай, попадают в область с меньшей энергией, они отдают избыток энер- 282
гии кристаллической решетке, в результате чего спай нагревается. На другом спае носители переходят в об- ласть с большей энергией; недостающую энергию они заимствуют у решетки, что приводит к охлаждению спая. Иначе обстоит дело в контакте двух полупроводни- ков с различными типами проводимости. В этом случае на одном спае электроны и дырки движутся навстречу друг другу. Встретившись, они рекомбинируют: элек- трон, находившийся в зоне проводимости «-полупровод- ника, попав в р-полупроводник, занимает в валентной зоне место дырки. При этом высвобождается энергия, которая требуется для образования свободного элек- трона в «-полупроводнике и дырки в р-полупроводнике, а также кинетическая энергия электрона и дырки. Эта энергия сообщается кристаллической решетке и идет на нагревание спая. На другом спае протекающий ток от- сасывает электроны и дырйи- от границы между полу- проводниками. Убыль носителей тока в пограничной об- ласти восполняется за счет попарного рождения элек- тронов и дырок (при этом электрон из валентной зоны р-полупроводника переходит в зону проводимости «-по- лупроводника). На образование пары затрачивается энергия, которая заимствуется у решетки — спай охла- ждается. А. Ф. Иоффе выдвинул идею использования явления Пельтье для создания холодильных установок. Созданы опытные образцы небольших бытовых холодильников, рабочим элементом которых является батарея из чере- дующихся полупроводников «- и p-типа. Спаи одного вида (соответствующие, например, переходу от « к р) введены в охлаждаемую область, другого вида (соот- ветствующие переходу от р к и) выведены наружу. При надлежащем направлении тока внутренние спаи погло- щают тепло, понижая температуру окружающего их про- странства, наружные спаи отдают тепло внешней среде. Заманчиво также применить явление Пельтье для электрического обогрева помещений. В этом случае спай, поглощающий тепло, следует вывести наружу, а спай, выделяющий тепло, поместить внутри обогреваемого по- мещения, Пропуская ток н соответствующем направле- нии, можно, как показывают расчеты, получить выделе- ние на внутреннем спае количества тепла, почти в два раза превышающего затраты энергии на создание тока 283
(остальная энергия черпается из внешней среды). Такая система обогрева имеет еще и то преимущество, что в случае необходимости (например, в жаркую погоду) ее можно без переделок использовать для понижения- тем- пературы помещения — для этого нужно лишь изменить направление тока на обратное. Явление Томсона. На основании термодинамических соображений Томсон предсказал в 1856 г., что тепло, аналогичное теплу Пельтье, должно выделяться (или поглощаться) при прохождении тока по однородному проводнику, вдоль которого имеется градиент темпера- туры. Этот эффект был впоследствии обнаружен экспе- риментально и получил название явления Томсона. Удельная мощность, выделяющаяся в проводнике вследствие явления Томсона, равна <77Л°) dT . где — градиент температуры в данном месте, / — плотность тока, т — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Томсона. Этот ко- эффициент связан с коэффициентом термо-э. д. с. и ко- эффициентом Пельтье определенными соотношениями, вытекающими из термодинамики. Явление Томсона' объясняется по аналогии с явле- нием Пельтье. Пусть ток течет в направлении возраста- ния температуры. Если носители тока — электроны, они при своем движении будут переходить из мест с более высокой температурой (и, следовательно, большей сред- ней энергией электронов) в места с более низкой тем- пературой (и меньшей средней энергией). Избыток своей энергии электроны отдадут решетке, что приведет к вы- делению тепла. Если носителями тока служат дырки, эффект, как легко видеть, будет иметь обратный знак. § 78. Полупроводниковые диоды и триоды Выпрямление токов и усиление напряжений можно осуществить с помощью полупроводниковых устройств, называемых полупроводниковыми (или кристаллически- ми) диодами и триодами. Полупроводниковые триоды называют также транзисторами. 284
Полупроводниковые устройства можно подразделить не две группы: устройства с точечными контактами и устройства с плоскостными контактами. Мы ограничим- ся рассмотрением плоскостных диодов и транзисторов. Основным элементом плоскостных устройств являет- ся так называемый р—n-переход. Он представляет собой тонкий слой на границе между двумя областями одного и того же кристалла, отличающимися типом примесной проводимости. Для изготовления такого перехода берут, например, монокристалл из очень чистого германия с электронным механизмом проводимости (обусловлен- ным ничтожными остатками примесей). В вырезанную из кристалла тонкую пластинку вплавляют с одной стороны кусочек индия. Во время этой операции, которая осуществля- ется в вакууме или в атмос- фере инертного газа, атомы индия диффундируют в герма- ний на некоторую глубину. В той области, в которую про- Рис. 170. никают атомы индия, проводимость германия становится дырочной. На границе этой области возникает р— п-пе- реход. На рис. 170 показан ход концентрации примесей в направлении, перпендикулярном к граничному слою. В p-области основными носителями тока являются дыр- ки, образовавшиеся в результате захвата электронов атомами примеси (акцепторы при этом становятся от- рицательными ионами); кроме того, в этой области имеется небольшое число неосновных носителей — элек- тронов, возникающих вследствие перевода тепловым движением электронов из валентной зоны непосредст- венно в зону проводимости (этот процесс немного уве- личивает и число дырок). В n-области основные но- сители тока — электроны, отданные донорами в зону проводимости (доноры при этом превращаются в поло- жительные ионы); происходящий за счет теплового дви- жения переход электронов из валентной зоны в зону проводимости приводит к образованию небольшого числа дырок — неосновных носителей для этой об- ласти. 285
Диффундируя во встречных направлениях через по- граничный слой, дырки и электроны рекомбинируют друг с другом. Поэтому р — «-переход оказывается силь- но обедненным носителями то сопротивление. Одновременно ©<,©©©©!©©©.©.© &©.©© ©!©©©©’© Q°©GQ©!©©©G© Q°© © © ©!© ©.© ©*© ©©©©©!©©©©© <^©©©©!©©©©’Э ©°© ©©©!©©© @i© । р-п-перыоё Рис. 171. так, что противодействует <а и приобретает большое на границе между обла- стями возникает двойной электрический слой, об- разованный отрицатель- ными ионами акцептор- ной примеси, заряд кото- рых теперь не компенси- руется дырками, и поло- жительными ионами до- норной примеси, заряд ко- торых теперь не компен- сируется электронами (рис. 171; кружки — ионы, черные точки — электро- ны, белые точки — дыр- ки) . Электрическое поле в этом слое направлено дальнейшему переходу через слой основных носителей. Равновесие достигается при такой высоте потенциального барьера, при которой Рис. 172. уровни Ферми обеих областей располагаются на одина- ковой высоте (рис. 172). Изгибание энергетических зон в области перехода вызвано тем, что потенциал р-обла- сти в состоянии равновесия ниже, чем потенциал «-об- ласти; соответственно потенциальная энергия электрона в p-области больше, чем в «-области, Нижняя граница 286
валентной зоны дает ход потенциальной энергии элек- трона IV'pg в направлении, перпендикулярном к переходу (см. сплошную кривую на рис. 173,а). Поскольку заряд дырок противоположен заряду электронов,. их потенци- альная энергия больше там, где меньше W'pa, и на- оборот (см. пунктирную кривую на рис. 173, а). Равновесие между р- н n-областями является под- вижным. Некоторому количеству основных носителей удается преодолеть потенциальный барьер, вследствие чего через переход течет небольшой ток i0CH (рис. 173,а). Рис. 173. Этот ток компенсируется обусловленным неосновными носителями встречным током г’неосн- Неосновных носите- лей очень мало, но они легко проникают через границу областей, «скатываясь» с потенциального барьера. Ве- личина 1цеосн определяется числом рождающихся еже- секундно неосновных носителей и от высоты потенциаль- ного барьера почти не зависит. Величина i0CH> напротив, сильно зависит от высоты барьера. Равновесие устанав- ливается как раз при такой высоте потенциального барьера, при которой оба тока i0CB и 1неосн компенсируют друг друга. Подадим на кристалл внешнее напряжение такого направления, чтобы «+» был подключен к р-области, а «—» был подключен к «-области *) (такое напряжение *) Включение внешнего напряжения нарушает равновесие, так что уровни Ферми обеих областей смещаются друг относительно друга. При прямом напряжении W р в p-области располагается ниже, чем в п-области. 287
называется прямым). Это приведет к возрастанию по- тенциала (т. е. увеличению и уменьшению №рэ) ^-области и понижению потенциала (т. е. уменьшению №рд и увеличению Й7рэ) «-области (рис. 173,6). В ре- зультате высота потенциального барьера уменьшится и ток i'och возрастет. Ток же i'hcoch останется практически без изменений (он, как отмечалось, от высоты барьера почти не зависит). Следовательно, результирующий ток станет отличен от нуля. Понижение потенциального барьера пропорционально приложенному напряжению (оно равно eU). При уменьшении высоты барьера ток основных носителей, а следовательно и результирующий ток, быстро нарастает. Таким образом, в направлении от p-области к «-области р — «-переход пропускает ток, сила которого быстро нарастает при увеличении прило- женного напряжения. Это направление называется пря- мым (или пропускным, или проходным). Возникающее в кристалле при прямом напряжении электрическое поле «поджимает» основные носители к границе между областями, вследствие чего ширина пе- . реходного слоя, обедненного носите- / дями, сокращается *)• Соответствен- I но уменьшается и сопротивление пе- / рехода, причем тем сильнее, чем / больше напряжение. Таким образом, / вольт-амперная характеристика в ---------------—у ----------*- пропускной области не является f.............и прямой (рис. 174). Теперь приложим к кристаллу Рис. 174. напряжение такого направления чтобы « + » был подключен к «-обла- сти, а «—» был подключен к p-области (такое напряже- ние называется обратным).Обратное напряжение приво- дит к повышению потенциального барьера и соответствен- ному уменьшению тока основных носителей 10Сц (рис. 173, в). Возникающий при этом результирующий ток (называемый обратным) довольно быстро достигает насыщения (т. е. перестает зависеть от U, рис. 174) и становится равным «неосп- Таким образом, в направлении •) Уменьшение ширины переходного слоя можно объяснить тем, что при заданном dqldx меньшее изменение потенциала Д<р осуществляется на меньшей длине Дх. 288
приводит к возрастанию Рис. 175. от «-области к p-области (которое называется обратным или запорным) р — «-переход пропускает слабый ток, целиком обусловленный неосновными носителями. Лишь при очень большом обратном напряжении сила тока на- чинает резко возрастать, что обусловлено электрическим пробоем перехода. Каждый р— «-переход характери- зуется своим предельным значением обратного напряже- ния, которое он способен выдержать без разрушения. Поле, возникающее в кристалле при наложении об- ратного напряжения, «оттягивает» основные носители от границы между областями, что ширины переходного слоя, обе- дненного носителями. Соответ- ственно увеличивается и со- противление перехода. Следо- вательно, р — «-переход обла- дает в обратном направлении гораздо большим сопротивле- нием, чем в прямом. Из сказанного вытекает, что р — n-переход может быть использован для выпрямления переменного тока. На рис. 175 показан график тока, те- кущего через переход, в том случае, если приложенное напряжение изменяется по гармоническому закону. В этом случае ширина слоя, обедненного носителями, и сопротивление перехода пульсируют, изменяясь в такт с изменениями напряжения. Германиевые выпрямители могут выдерживать об- ратное напряжение до 1000 в. При напряжении в 1 в плот- ность тока в прямом направлении достигает 100 а!см2, в обратном — не больше нескольких микроампер. Еще более высокое обратное напряжение допускают крем- ниевые выпрямители. Они также выдерживают более высокую рабочую температуру . (до 180° С вместо при- мерно 100°С для германия). Гораздо худшими парамет-. рами обладают широко распространенные селеновые вы-1 прямители. Допустимое обратное напряжение составляет для них не более 50 в, .наибольшая плотность прямого тока до 50 ма/см2. Соединяя последовательно N выпря- мительных элементов (селеновых шайб^ можно полу- чить выпрямитель, выдерживающий УУ-кратное обратное напряжение. 19 И. В. Савельев, т. II 289
Полупроводниковый триод, или транзистор, представ- ляет собой кристалл с двумя р — n-переходами. В зави- симости от порядка, в котором чередуются области с Рис. 176. разными типами проводимости, различают р — п — р- и п — р — п-транзисторы ')• Средняя часть транзистора (обладающая в зависимости от типа транзистора п- или р-прово- димостью) называется его б а- з oii. Прилегающие- к базе с обе- их сторон области с иным, чем у нее, типом проводимости обра- зуют эмиттер и коллектор. Рассмотрим кратко прин- цип работы транзистора типа р — п — р (рис. 176). Для его из- готовления берут пластинку из очень чистого германия с электронной проводимостью и с обеих сторон вплав- ляют в нее индий. Концентрация носителей в эмиттере и коллекторе, т. е. в дырочной области, должна быть больше, чем концентра- ция носителей в пределах базы, т. е. в электронной области. На рис. 177, а даны кривые потенциаль- ной энергии — электронов’ (сплошная линия) и ды- рок (пунктирная линия). На переход эмиттер — база подается напряже- ние в проходном направ- лении (рис. 176), а на пе- реход база — коллектор подается большее напря- жение в запорном направлении. Это приводит к по- нижению потенциального барьера на первом переходе и повышению барьера на втором (рис, 177,6). Протека- ние тока в цепи эмиттера сопровождается проникнове- нием дырок в область базы (встречный поток электронов мал вследствие того, что их концентрация невелика). Проникнув в базу, дырки диффундируют по направле- *) бывают и более сложные транзисторы, например типа р—п—р—п и др. 290
нию к коллектору. Если толщина базы небольшая, почти все дырки, не успев рекомбинировать, будут достигать коллектора. В нем они подхватываются полем и увели- чивают ток, текущий в запорном направлении в цепи коллектора. Всякое изменение тока в цепи эмиттера приводит к изменению количества дырок, проникающих в коллек- тор, и, следовательно, к почти такому же изменению тока в цепи коллектора. Очевидно, что изменение тока в цепи коллектора не превосходит изменения тока в цепи эмиттера1), так что, казалось бы, описанное уст* ройство бесполезно. Однако надо учесть, что переход имеёт в запорном направлении гораздо большее сопро- тивление, чем в проходном. Поэтому при одинаковых изменениях токов изменения напряжения в цепи коллек- тора будут во много раз больше, чем в цепи эмиттера. Следовательно, транзистор усиливает напряжения и мощности. Снимаемая с прибора повышенная мощность появляется за счет источника тока, включенного в цепь коллектора. Германиевые транзисторы дают усиление (по напря- жению и по мощности), достигающее 10000. ’) В транзисторе типа р—п—р—п удается получить и усиление по току.
ГЛАВА XIII ТОК В ЭЛЕКТРОЛИТАХ § 79. Диссоциация молекул в растворах Прохождение тока через металлы и электронные по- лупроводники не сопровождается какими-либо химиче- скими превращениями. Такие вещества называются про- водниками первого рода. Вещества, в которых при прохождении тока происходят химические превращения, называются проводниками второго рода или электро литами. К их числу принадлежат растворы солей, ще- лочей или кислот в воде и некоторых других жидкостях, а также расплавы солей, являющихся в твердом со- стоянии ионными кристаллами. Носителями тока в электролитах служат ноны, на которые диссоциируют (расщепляются) в растворе мо- лекулы растворенного вещества. Чтобы выяснить, каким образом происходит диссоциация, рассмотрим полярную молекулу, например NaCl. При объединении атомов Na и Cl в молекулу происходит перераспределение элек- тронов— валентный электрон Na оказывается как бы включенным в оболочку атома С1, для полной застройки которой не хватает как раз одного электрона. В резуль- тате атом Na превращается в положительный ион, атом С1 — в отрицательный. Оба иона удерживаются в молекуле силами электростатического (кулоновского) взаимодействия. Аналогично любая другая полярная молекула состоит из двух или большего числа ионов. В растворе каждая молекула растворенного веще- ства находится в окружении молекул растворителя. Если молекулы растворителя являются также полярными, они будут испытывать вблизи молекулы растворенного ве- 292
щества ориентирующее действие создаваемого ею элек- трического поля. Поэтому молекулы растворителя по- вернутся к положительно заряженной части молекулы растворенного вещества своими отрицательными «кон- цами», а к отрицательно заряженной части — положи- тельными «концами» (рис. 178; сплошным контуром об- ведена молекула растворен- ного вещества, пунктирными контурами — молекулы рас- творителя). При таком рас- положении молекул раство- рителя создаваемое ими поле ослабляет связь между разноименными ионами мо- лекулы растворенного веще- ства, вследствие чего эта связь может оказаться разо- Рис. 178. рванной за счет энергии теп- лового движения. В этом случае молекула разделяется на два или большее количество ионов разных знаков (диссоциирует). Напряженность поля, создаваемого диполем, пропор- циональна величине его электрического момента [см. формулу (6.5)]. Поэтому связь между ионами в моле- куле растворенного вещества ослабляется тем сильнее, чем больше дипольный момент окружающих ее молекул, т. е. чем больше диэлектрическая проницаемость жидко- сти, взятой в качестве растворителя. Из всех жидкостей самой большой диэлектрической проницаемостью обла- дает вода (е = 81). В соответствии с этим диссоциация молекул в водных растворах бывает особенно велика. Образовавшиеся ионы начинают странствовать по раствору. Если ионы разных ’знаков сблизятся на до- статочно малое расстояние, они могут объединиться сно- ва в молекулу. Этот процесс, противоположный процес- су диссоциации, называется рекомбинацией (или молизацией) ионов. В растворе идут одновременно оба процесса — диссоциация все новых и новых молекул и рекомбинация ионов в молекулы. Когда количество молекул, диссоциирующих в единицу времени, станет равным количеству молекул, возникающих за то же вре- мя вследствие рекомбинации,, установится равновесное состояние. Этому состоянию соответствует определенная 293
степень диссоциации, которую принято характеризовать коэффициентом диссоциации а, показываю- щим, какая часть молекул растворенного вещества на- ходится в диссоциированном состоянии. Если количе- ство молекул растворенного вещества, содержащихся в единице объема раствора, равно п, то п' = ап молекул будут находиться в растворе в виде ионов и п" = = (1—ос)п — в виде недиссоциированных молекул. Для каждой молекулы растворенного вещества, еще не распавшейся на ионы, существует определенная ве- роятность того, что она диссоциирует в течение одной секунды. Следовательно, количество диссоциирующих за единицу времени в единице объема молекул Д/г' должно быть пропорционально п" — числу еще не распавшихся на ионы молекул: Д/г' = k'n" = k'(\ — а)п. (79.1) Коэффициент пропорциональности k' зависит от при- роды растворителя и растворенного вещества. Для рас- творителей с большим значением е коэффициент k' боль- ше. Кроме того, он возрастает при повышении темпера- туры. Вероятность встречи двух ионов разных знаков про- порциональна как числу положительных, тай и числу отрицательных ионов. И то, и другое число равно коли- честву диссоциировавших молекул п'. Поэтому количе- ство молекул, возникающих в единице объема за еди- ницу времени вследствие рекомбинации, пропорцио- нально /г'2: &п" = k"n'2 = k"a2n2. (79.2) Для состояния равновесия Д/г' = Ди", поэтому [см. вы- ражения (79,1) и (79,2)] £'(1 — а)п = k"a2n2, откуда Из двух решений этого уравнения = _ fe' ч- 1 /” k'2 I а 2k”n ~ V 4k"2n2 + k"n 294
решение со знаком «—» перед корнем нужно отбросить, так как а не может быть отрицательным. Другое реше- ние легко привести к виду <79-3> Эта формула является приближенной. Коэффициен- ты k' и k" можно считать постоянными лишь в том слу- чае, если каждая молекула растворенного вещества имеет своими соседями только молекулы растворителя, что выполняется при небольших относительных кон- центрациях раствора. При больших концентрациях ок- ружение каждой молекулы состоит как из молекул рас- творителя, так и из молекул растворенного вещества, вследствие чего изменяется вероятность диссоциации. Из- меняется также вероятность рекомбинации при встрече ионов различных знаков. При малых п когда -Ц,я -С 1 j функцию (79.3) можно приближенно представить следующим образом: <79Л> Следовательно, в сильно разбавленных растворах практически все молекулы растворенного вещества ока- зываются диссоциированными. Это объясняется тем, что при малых п ионы почти не сталкиваются друг с дру- гом; поэтому рекомбинация не происходит и с течением времени все молекулы распадаются на ионы. При больших п (когда единицей можно пренебречь fe, -, а тем более по сравнению с Wn \ - р—I выражение (79.3) принимает вид В этом случае коэффициент диссоциации а очень мал (Wn , k' , \ но условию -у- 1, а следовательно <С 11 и х 1 убывает с ростом концентрации пропорционально -7=-. 295
При невысоких температурах ионы бывают окружены облепившими их молекулами растворителя (рис. 179; аналогичная картина наблюдается для отрицательного Рис. 179. иона). Это явление называется сольватацией (в случае вод- ных растворов — гидратаци- е й) ионов, а само образование из иона и удерживаемой его сило- вым полем оболочки из молекул растворителя называют сольва- том. Более интенсивное тепловое движение нарушает связь между ионом и молекулами, образую- щими оболочку сольвата. По- этому при повышении темпера- туры размеры сольвата делаются все меньше и в конце концов при достаточно большой температуре сольватная оболочка полностью исчезает. § 80. Электролиз Если в электролит ввести твердые проводящие пла- стинки (электроды) и подать на них напряжение, ионы приходят в движение и возникает электрический ток (рис. 180). Положительно заряженные ионы движутся к отрицательному электроду (катоду), вследствие чего их называют к а- +п г" т и о н а м и. Отрицательные ионы движутся к положительному элек- троду (аноду) и носят название анионов. Достигнув соответствующего эле- ктрода, ионы отдают ему избыточ- ные или получают недостающие эле- Рис lg0 ктроны и превращаются в нейтраль- ные атомы или молекулы. В зави- симости от химической природы электролита и элек- тродов нейтрализовавшиеся ионы либо выделяются на электродах, либо вступают в реакцию с электродами или растворителем. Химические реакции, в которые вступают нейтрализовавшиеся ионы, называют вторичными. Продукты вторичных реакций выделяются на электродах или переходят в раствор. 296
Таким образом, прохождение тока через электролит сопровождается выделением на электродах составных частей электролита. Это явление получило название электролиза. Рассмотрим несколько примеров. 1. Возьмем в качестве электролита водный раствор соляной кислоты. Молекула НС1 диссоциирует в рас- творе на положительно заряженный ион водорода Н+ и отрицательно заряженный ион хлора СГ: НС1 Н+ + СГ. Подойдя к аноду, ионы хлора отдают ему избыточные электроны и превращаются в нейтральные атомы хлора, которые сразу же объединяются попарно в молекулы: 2СП - 2е" —* С12. Атомы водорода, нейтрализовавшись на катоде, объеди- няются попарно в молекулы Н2: 2Н+ + 2е~ —* Н2. Следовательно, в процессе электролиза расходуется растворенное вещество, а на электродах выделяются газообразные хлор и водород. Вторичных реакций в этом случае не происходит. 2. Электролит — раствор серной кислоты в воде. Мо- лекула H2SO4 диссоциирует в растворе на два положи- тельных однозарядных иона водорода и двухзарядный отрицательный ион SO”: H2SO4 2Н+ + SO4". На электродах протекают следующие процессы: 2Н++2е" —* Н2, SO4" - 2е~ —* SO4. Водород выделяется в виде пузырьков на катоде. Ней- тральная же группировка атомов SO4 химически очень активна и вступает во вторичную реакцию. Если элек- троды изготовлены, например, из платины или никеля, SO4 реагирует с водой: so4 + н2о —> h2so4+4 о2. 297
Молекула серной кислоты поступает в раствор, кислород выделяется в виде пузырьков па аноде. В итоге происхо- дит разложение воды с выделением ее составных частей. Вторичная реакция в этом случае протекает с раствори- телем. 3. Медные электроды погружены в водный раствор медного купороса. Диссоциация протекает по схеме CuSO4 Cu++ + SO". Нейтрализовавшиеся атомы меди отлагаются в виде твердого осадка на катоде. Нейтральная группировка SQ4 предпочтительнее вступает в реакцию с медью, чем с водой. Поэтому вторичная реакция идет с материалом анода: SO4 + Си —> CuSO4. Образовавшаяся молекула поступает в раствор. Та- ким образом, в ходе электролиза происходит растворение анода и отложение меди на катоде, электролит же в ко- нечном счете не изменяется. § 81. Законы Фарадея Законы электролиза были установлены эксперимен- тально Фарадеем в 1836 г. Эти законы очень просты. Первый из иих утверждает, что количество выделивше- гося на электроде вещества пропорционально заряду, прошедшему через электролит: t m — Kq = K^idt\ (81.1) о здесь ш — масса выделившегося вещества, К — коэффи- циент, зависящий от природы вещества и называемый его электрохимическим э к в и в а л е н т о м. При q = 1 масса ш численно равна К. Следовательно, элек- трохимический эквивалент представляет собой массу ве- щества, выделяющегося на электроде при прохождении через электролит заряда, равного единице. Второй закон Фарадея связывает электрохимический эквивалент К вещества с его химическим Эквивалентом Л/z (Л — атомный вес, z — валентность данного веще- 298
ства)1). Этот закон гласит, что электрохимические экви- валенты всех веществ пропорциональны их химическим эквивалентам. Коэффициент пропорциональности пишут в виде 1/F. Величину F называют числом Фарадея. Выражение второго закона Фарадея теперь выглядит следующим образом: к=44- <8Е2> Подставив выражение (81.2) в форт у (81.1), мы объединим оба закона. В результате пол тся m = <8L3> При q, численно равном F, масса m численно совпа- дает с A/z. Таким образом, для выделения на электроде килограмм-эквивалента или грамм-эквивалента любого вещества требуется пропустить через электролит одно и то же количество электричества, численно равное F. Опытным путем установлено, что F = 96,497 • 106-----И---------- ’ килограмм-эквивалент (приближенно 96,5- 106 j (81.4) или F = 96497-----. грамм-эквивалент ’) Химическим эквивалентом элемента называется безразмерная величина, численно равная массе данного элемента, выраженной в граммах (или в килограммах), которая замещает в'химических соединениях 1,0078 г (соответственно кг) водорода. Валентностью z элемента называется число атомов водороду, которое замещается в химических соединениях одним атомом дай- ного элемента. Для одновалентного элемента химический эквивалент равен его атомному весу. Для z-валентного элемента химический эквива« лент равен A/z. Количество элемента, масса которого, выраженная в граммах, численно равна химическому эквиваленту, называется грамм- эквивалентом. Количество вещества, масса которого равна A/z килограммов, называется кнлограмм-эквивалеитом. Понятие химического эквивалента, а также грамм-эквивалента и килограмм-эквивалента может быть распространено также на те группировки атомов, которые выделяются при электролизе на элек- тродах. 299
Законы Фарадея сыграли большую роль в установ- лении атомной (т. е. дискретной) природы электричества. Килограмм-эквивалент любого вещества содержит N' = NA/z атомов (Мд — число Авогадро). Следователь- но, N A/z ионов переносят заряд, равный F. На долю каж- дого иона приходится заряд / F F е ~ N' ~ Na Z- Таким образом, заряд иона оказывается целым крат- ным заряда * = (81.5) Л который, очевидно, представляет собой элементарный заряд. Предоставляем читателю убедиться в том, что под- становка в (81.5) значения (81.4) для F и NA = 6,02 X X Ю26 киломоль-1 приводит к величине элементарного заряда (66.11). Соотношение (81.5) было использовано для опреде- ления числа Авогадро. При этом было взято значение К, найденное из опытов по электролизу, и значение е, полу- ченное Милликеном (см. § 66). § 82. Электролитическая проводимость При включении электрического поля на хаотическое тепловое движение ионов накладывается упорядоченное движение — положительных ионов в направлении поля, отрицательных — против направления поля. Размеры ионов (а тем более сольватов) гораздо больше размеров электрона, поэтому окружающие ион молекулы оказы- вают на пего непрерывно воздействие (напомним, что движение электронов в металлах в промежутках между соударениями с ионами решетки можно было считать свободным). Это воздействие прйводит к тому, что ион, подобно шарику в вязкой среде, испытывает при своем движении сопротивление, пропорциональное скорости. Следовательно, каждому значению напряженности по- ля Е соответствует свое значение скорости установивше- гося равномерного движения ионов и, определяемое усло- вием е'Е — ku, 300
где е' — заряд иона, k — коэффициент пропорциональ- ности между скоростью иона и силой сопротивления среды движению иона. Таким образом, под действием поля напряженности £ ион будет двигаться (в направлении поля или против поля) с постоянной скоростью « = (82.1) Сопоставляя это выражение с формулой (73.6), мы видим, что отношение e'fk есть не что иное, как подвиж- ность иона н0- Ионы разных знаков могут иметь разный по величине заряд е', кроме того, и коэффициент k для них будет различен. Поэтому ионы разных знаков обла- дают различной подвижностью Не- подвижность иона зависит от его природы и свойств растворителя. С повышением температуры подвижность растет. Это происходит за счет того, что уменьшается вязкость среды, в которой движется ион, но в еще боль« шей степени это бывает вызвано тем, что при повышении температуры уменьшаются размеры сольватной оболоч- ки, окружающей ион. Подвижность ионов в электролитах очень мала. При комнатной температуре для водных растворов она со- ставляет примерно 10~8 — 10"7 Л(10~4 — 10~3 - ) • Подвижность электронов в металлах приблизительно на четыре порядка больше ( ~ 10-4 ) • Движение ионов создает электрический ток, плотность которого равна / = (п+е+и+ + п~е~и~) Е, где п+— число положительных ионов в единице объема, е+ — заряд, ап* — подвижность положительных ионов, п~, е~ и ы0_—аналогичные величины для отрицательны? ионов [ср. с формулой (31.4)]. Величина, стоящая в скобках, не зависит от £. Сле- довательно, плотность тока в электролитах пропорцио- нальна напряженности поля. Это означает, что для элек- тролитов справедлив закон Ома. Если молекулы диссоциируют на два иона, то е+ = — е~ = е' и п+ = п~ = п' = ап (числу диссоциировавших 301
молекул). В этом случае j = апе' (и+ + и~) Е. (82.2) Выражение (82.2) справедливо лишь на некотором удалении от электродов. В непосредственной близости от электродов ток создается ионами только одного знака: анионами вблизи анода и катионами вблизи катода. Согласно формуле (82.2) проводимость электролита определяется следующим выражением: а = апе' + п~). N . Умножим и разделим это выражение на N =—— — число молекул в килограмм-эквиваленте растворенного вещества: a = a-^(e/AQ(u+ + u-). Произведение e'N' равно числу Фарадея F. Отноше- ние n/N' дает количество килограмм-эквивалентов рас- творенного вещества в единице объема раствора; его на- зывают эквивалентной кон- центрацией растворенного ве- щества. Обозначим эту концентра- цию буквой тр тогда выражению для проводимости электролита можно придать следующий вид: a = ot]F (и+ + ы~). (82.3) При повышении температуры коэффициент диссоциации а и под- вижность ионов увеличиваются. Поэтому проводимость электролитов о возрастает с температурой. Зависимость проводимости от концентрации оказывается довольно сложной. Это вызвано тем, что а зависит от г] и непо- средственно, и через а. При малых концентрациях, ко- гда a «= 1 [см. формулу (79.4)], о растет пропорциональ-. но тр В дальнейшем с увеличением ту начинает убывать коэффициент диссоциации а; поэтому рост проводимо- сти замедляется, а затем она даже начинает убывать. На рис. 181 показана зависимость проводимости о вод- ного раствора серной кислоты от относительной концен- трации с' раствора. 302
§ 83. Технические применения электролиза Электролиз находит самые разнообразные технические применения. Охарактеризуем вкратце некоторые из них. 1. Гальванопластика. В 1837 г. Б. С. Якоби применил электролиз для изготовления металлических слепков с рельефных моделей. Модель из воска или какого-либо другого пластического материала покрывается для со- здания проводящего слоя графитовым порошком и за- тем включается в качестве катода при электролизе. Элек- тролитом служит раствор соли, содержащей металл, из которого хотят получить слепок. Металл отлагает.ся на катоде в виде слоя, точно отражающего рельеф модели. Полученный слепок легко отделяется от катода. Таким способом иногда изготовляются типографские клише. 2. Гальваностегия. С помощью электролиза наносят на поверхность металлических изделий тонкий слой дру- гого металла. Это делается с декоративными целями (зо- лочение, серебрение, платинирование), а также для со- здания антикоррозионных покрытий (никелирование, хро- мирование, кадмирование и т. п.). 3. Электрометаллургия. Путем электролиза расплав- ленных руд получают алюминий, натрий, магний, берил- лий и некоторые другие металлы. Например, сырьем для получения алюминия служат обычно бокситы — мине- ралы, содержащие глинозем (А120з). В качестве элек- тродов применяются угольные пластины. Руда поддер: живается в расплавленном состоянии за счет тепла, вы- деляемого при прохождении тока. Электролиз применяют также для рафинирования (т. е. очистки) металлов. Для этого пластина из очищае- мого металла включается в качестве анода соответствую- щей электролитической ванны. Электролитом служит раствор соли очищаемого металла. При надлежащем вы- боре напряжения выделяться на катоде будет только данный металл, а примеси выпадут в виде осадка. Таким путем получают, например, очень чистую медь, которая называется электролитической. 4. Электролитическая ^полировка. Количество веще- ства, осаждающегося на электроде или переходящего с электрода в раствор, пропорционально плотности тока. У выступов, как мы знаем, напряженность поля Е боль- ше, следовательно, в этих местах больше и плотность 303
тока; во впадинах плотность тока, напротив, бывает меньше. Поэтому, если изделие с шероховатой поверх- ностью сделать анодом соответствующим образом вы- бранной электролитической ванны, то с выступов будет переходить в раствор больше металла, чем из впадин, и шероховатости будут сглаживаться. На этом принципе основывается электрополировка металлов. 5. Получение тяжелой воды. Тяжелой водой (D2O) называется вода, в которой атомы водорода замещены атомами дейтерия (D) — изотопа водорода с атомным весом 2. Тяжелая вода присутствует в небольшом коли- честве в обычной воде. Ионы D+ обладают меньшей под- вижностью, чем ионы Н+. Поэтому в выделяющемся при электролизе газе тяжелый водород присутствует в отно- сительно меньшем количестве, чем в исходной воде; в электролите же концентрация тяжелой воды повышается. Если производить электролиз достаточно долго, можно получить воду с высоким содержанием молекул D2O. 6. Электролитические конденсаторы. Если в раствор борной щелочи (смеси борной кислоты и аммиака) по- грузить алюминиевые электроды и приложить к ним на- пряжение, то анод быстро покрывается очень тонким не- проводящим слоем окислов алюминия, и ток прекра- щается. Изолирующий слой поддерживается за счет электролиза и при изменении полярности исчезает. Та- ким образом, анод и электролит оказываются разделен- ными тончайшим слоем изолятора и образуют конденса- тор весьма большой емкости (емкость конденсатора об- ратно пропорциональна расстоянию между обкладками). В «сухих» электролитических конденсаторах электро- лит изготовляют в виде густой пасты и пропитывают им бумажную прокладку, помещаемую между обкладками. Подобные конденсаторы при небольших размерах обла- дают емкостью порядка сотен микрофарад. При их вклю- чении необходимо строго соблюдать обозначенную по- лярность. Если электрод с образовавшимся на нем слоем окисла подключить к минусу цепи (т. е. в обратном на- правлении), то изолирующий слой исчезнет и сила тока резко возрастет, что приведет к разрушению конденса- тора. Каждый такой конденсатор бывает рассчитан на определенное предельное напряжение, при превышении которого изолирующий слой пробивается и конденсатор выходит из строя.
ГЛАВА XIV ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГАЗАХ § 84. Виды газового разряда Прохождение электрического тока через газы назы- вается газовым разрядом. В металлах, полупровод- никах и электролитах носители тока существуют всегда, независимо от процессов, связанных с прохождением тока; электрическое поле лишь обусловливает упорядо- ченное движение имеющихся зарядов. Газы в нормаль- ном состоянии являются изоляторами, носители тока в них отсутствуют. Лишь при соблюдении специальных условий в газах могут появиться носители зарядов (ионы, электроны) и возникает электрический разряд. Носители тока в газах могут возникать в результате внешних воздействий, не связанных с наличием электри- ческого поля. В этом случае говорят о несамостоя- тельной проводимости газа. Несамостоятельный разряд может быть вызван нагреванием газа до вы- сокой температуры (термическая ионизация), воз- действием ультрафиолетовых или рентгеновских лучей, а также воздействием излучения радиоактивных веществ. Если носители тока возникают в результате тех про- цессов в газе, которые обусловлены приложенным к газу электрическим полем, проводимость называется само- стоятельной. Характер газового разряда зависит от множества факторов: от химической природы газа и электродов, от температуры и давления газа, от формы, размеров и взаимного расположения электродов, от напряжения, 20 И. В. Савельев, т. И 305
плотности и мощности тока и т. п. Поэтому газовый разряд может принимать весьма разнообразные формы. В частности, он может сопровождаться Свечением и зву- ковыми эффектами — шипением, шорохами и треском. § 85. Несамостоятельный газовый разряд Пусть газ, находящийся между плоскими параллель- ными электродами (рис. 182), подвергается непрерыв- ному постоянному по интенсивности воздействию какого- либо ионизирующего агента (например, рентгеновских лучей). Действие ионизатора приводит к тому, что от некоторых молекул газа ’) отщепляет- ся один или несколько электронов, в результате чего эти молекулы пре- вращаются в положительно заряжен- ные ионы. При не очень низких дав- лениях отщепившиеся электроны обычно захватываются нейтральными молекулами, которые таким образом становятся отрицательно заряжен- ными ионами. Число пар ионов, воз- никающих под действием ионизатора за секунду в единице объема, обозна- чим через Ап». Наряду с процессом ионизации в газе будет происходить рекомбинация ионов (т. е. нейтрализация разно- именных ионов при встрече или воссоединение положи- тельного иона и электрона в нейтральную молекулу). Количество рекомбинирующих за секунду в единице объема пар ионов Апг, как и в случае электролитов [см. формулу (79.2)], пропорционально квадрату числа имею- щихся в единице объема пар ионов п: kn.r = rtf (85.1) (г — коэффициент пропорциональности). В состоянии равновесия Ап< должно быть равно АПг, т. е. Anz = rn2; (85.2) ) Атомы мы также будем считать молекулами (одноатом- ными). 306
Отсюда для равновесной концентрации ионов (числа пар ионов в единице объема) получается следующее выражение: п = (85.3) Под действием космического излучения и следов ра- диоактивных веществ, имеющихся в земной коре, в ат- мосферном воздухе возникает ежесекундно в среднем несколько пар ионов в ,1 см3. Для воздуха коэффициент г = 1,6 • 10-6 см3 • сект1. Равновесная концентрация ионов составляет примерно 103 см~3. Эта концентрация недо- статочна для того, чтобы обусловить заметную проводи- мость. Чистый сухой воздух, как известно, является очень хорошим изолятором. Если подать напряжение на электроды, то убыль ио- нов будет происходить не только вследствие рекомби- нации, но и за счет отсасывания ионов полем к электро- дам. Пусть из единицы объема отсасывается ежесекундно Ап, пар ионов. Если заряд каждого иона е', то нейтрали- зация на. электродах одной пары ионов сопровождается переносом по цепи заряда, равного е7. Каждую секунду электродов достигают AnjSl пар ионоа(5 — площадь элек- тродов, I — расстояние между ними; SI равно объему межэлектродного пространства). Следовательно, сила тока в цепи равна: I = e' btijSl; отсюда ^l-Tis-TF’ <8S'4> где /— плотность тока. При наличии тока условие равновесия должно быть записано следующим образом: Ап* = Апг + Ап/. Подставив сюда выражения (85.1) и (85.4) для Дпг и Ап,, получим соотношение Ant = rn2 + -^-. (85.5) Вместе с тем для плотности тока может быть напи- сано выражение, аналогичное выражению (82.2) для электролитов: j = е'п (и+ + и~) Е, (85.6) 20* 307
где ы+ и Uq — подвижности положительных и отрица- тельных ионов. В этом выражении п является, как это следует из соотношения (85.5), функцией /, т. е. в ко- нечном счете функцией Е. Исключив п из выражений (85.5) и (85.6) и решив получающееся квадратное уравнение, можно найти для / следующую формулу: е'(un + иГ)2 „ / / 4Лп,г/2 \ j = £2 1/ । + --_ ! 857 2rZ (u++u0-)2£2 ; (второе решение отрицательно и должно быть отбро- шено как не имеющее физического смысла). Рассмотрим случаи слабых и сильных полей. 1. В случае слабых полей плотность тока будет очень мала и слагаемым j/e'l в соотношении (85.5) можно пре- небречь по сравнению с гп2 (это означает, что убыль ионов из межэлектродного пространства происходит в всновном за счет рекомбинации1)). Тогда (85.5) перехо- дит в (85.2) и для равновесной концентрации ионов по- лучается выражение (85.3). Подставляя это значение п в (85.6), получаем /=е'|Л^£ (и+ + п-)£ (85.8) (эта формула получается из (85.7), если пренебречь еди- „ 4А/г/г/2 \ ницеи по сравнению с -г-г---г, „-) («о + «о) Е J Множитель при Е в формуле (85.8) не зависит от напряженности поля. Следовательно, в случае слабых полей несамостоятельный газовый разряд подчиняется закону Ома. Подвижность ионов в газах гораздо больше, чем в , л—4 м!сек электролитах — она имеет величину порядка 10 —— (, см1сек \ т, 1 J. Некоторые ионы, называемые ионами Ланжевена, обладают в 100—1000 раз меньшей под- вижностью. Они представляют собой обычный ион, со- единившийся с пылинкой, капелькой воды и т. п. ') Такое же соотношение между количеством рекомбинирую- щих и количеством отсасываемых полем ионов имеет место у элек- тролитов. 308
При равновесной концентрации п = 109 л*3 = 103 слг8 и напряженности поля Е = 1 е/л плотность тока соглас- но формуле (85.6) составит /= 1,6- 10~19. 109(10~4+ КГ4). 1~10“%Ли2 = 10~№а1см* (ионы мы считали однозарядными). 2. В случае сильных полей слагаемым т2 в формуле (85.5) можно пренебречь по сравнению с j/e'l. Это озна- чает, что практически все возникающие ионы достигают электродов, не успев рекомбинировать. При этом усло- вии соотношение (85.5) принимает вид откуда Дп, = ~77 , 1 el ’ / = е' I (85.9) (это выражение можно получить из (85.7), преобразо- вав корень по формуле 1^1 + х l + y х, справедли- вой при малых х). Плотность тока (85.9) создается всеми ионами, по- рождаемыми ионизатором в заключенном между элек- тродами столбе газа с единичным поперечным сечением. Следовательно, эта плотность тока является наибольшей при данной интенсивности ионизатора и величине меж- электродного промежутка I. Ее называют плотностью тока насыщения /1ШС. Вычислим /„ас при следующих условиях: A«i =«* = 107 лг3 = 10 см~3 (напомним, что в атмосферном воз- духе при обычных условиях возникает ежесекундно и каждом кубическом сантиметре несколько пар ионов), 1 = 0,1 м (10 см). По формуле (85.9) /нас = 1,6 • КГ19 • 107 • 10-1~ КГ13 а1м2= 10“'7 а/см\ Этот расчет показывает, что проводимость воздуха в обычных условиях ничтожно мала. График функции (85.7) изображен на рис. 183(сплош- ная кривая). При достаточно больших значениях на- пряженности поля ток начинает резко возрастать (см. пунктирный участок кривой). Это объясняется тем, что 309
Рис. 183. порождаемые внешним ионизатором электроны *) за вре- мя свободного пробега успевают приобрести энергию, достаточную для того, чтобы, столкнувшись с молеку- лой, вызвать ее ионизацию (ионизация ударом). Воз- никшие при этом свободные электроны, разогнавшись, в свою очередь вызывают ионизацию. Таким образом, происходит лавинообразное размножение первичных ио- нов, созданных внешним иони- затором, и .усиление разряд- ного тока. Однако процесс не утрачивает характера несамо- стоятельного разряда, так как после прекращения действия внешнего ионизатора разряд продолжается только до тех пор, пока все электроны (пер- вичные и вторичные) не достиг- нут анода (задняя граница пространства, в котором име- ются ионизирующие частицы — электроны, перемещается к аноду). Для того чтобы разряд стал самостоятельным, необходимо наличие двух встречных лавин ионов, что возможно только в том случае, когда ионизацию уда- ром способны вызвать носители обоих знаков. Весьма важно, что несамостоятельные разрядные токи, усиленные за счет размножения носителей, про- порциональны числу первичных ионов, создаваемых внешним ионизатором. Это свойство разряда исполь- зуется в пропорциональных счетчиках (см. следующий параграф). § 86. Ионизационные камеры и счетчики Действие ионизационных камер и счетчиков — при- боров, применяемых для обнаружения и счета ядерных частиц, а также для измерения интенсивности рентге- новского и гамма-излучения, основано на использовании несамостоятельного газового разряда. Принципиальная схема ионизационной камеры и счет- чика одинакова (рис. 184). Отличаются они лишь режи- *) Вследствие большой длины свободного пробега электроны раньше приобретают способность вызывать ионизацию, чем газовые ионы. 310
мом работы и конструктивными особенностями. Счетчик (рис. 184, б) состоит из цилиндрического корпуса, по оси которого укреплен на изоляторах электрод в виде тонкой нити (анод). Вторым электродом (катодом) слу- жит корпус счетчика. Иногда счетчик заключают в обо- лочку из стекла. Для впуска ионизирующих частиц в тор- це счетчика делается окошко из алюминиевой фольги или из слюды. Некоторые частицы, а также рентгенов- ское и гамма-йзлучение проникают в счетчик или иони- зационную камеру непосредственно через их стенки. Рис. 184. Ионизационная камера (рис. 184, а) может иметь элек- троды разной формы. В -частности, они могут быть та- кими же, как у счетчика, либо иметь форму плоских параллельных пластин и т. п. Предположим, что в пространство между электро- дами влетает быстрая заряженная частица (например, а- или р-частица), которая создает No пар первичных ионов (электронов и положительных ионов). Возникшие ионы увлекаются полем к электродам, вследствие чего через сопротивление R проходит некоторый заряд q, ко- торый мы будем называть импульсом тока. На рис. 185 приведена зависимость импульса тока q от напряже- ния U между электродами для двух различных коли- честв первичных ионов No, отличающихся по величине в три раза (Мг = ЗМи). На графике можно выделить шесть обозначенных римскими цифрами различных об- ластей. Области I и II были подробно рассмотрены в предыдущем параграфе. В частности, область II есть область тока насыщения — все созданные ионизатором ионы достигают электродов, не успев рекомбинировать. 311
Естественно, что при этом условии импульс тока не за- висит от напряжения. Начиная со значения напряжения Up поле достигает такой величины, что электроны получают возможность ионизировать молекулы ударом. Поэтому количество электронов и положительных ионов лавинообразно на- растает. В результате на каждый из электродов попа- дает AN0 ионов. Величина А называется коэффициен- том газового усиления. В области III этот ко- эффициент не зависит от количества первичных ионов No (но зависит от напряжения). Поэтому, если поддержи- вать напряжение постоянным, импульс тока будет про- порционален количеству первичных ионов, образованных ионизатором. Область III называется областью про- порциональности, а напряжение Up— порогом пропорциональной области. Коэффициент га- зового усиления изменяется в этой области от 1 в на- чале до 103 4-, 104 в конце (рис. 185 выполнен без соблю- дения масштаба по оси <?; выдержано лишь соотноше- ние 1:3 между ординатами кривых в областях II и ///). В области IV, называемой областью частичной пропорциональности, коэффициент газового усиления А все сильнее зависит от No, в связи с чем раз- личие в импульсах тока, порожденных различным ко- личеством первичных ионов, все больше сглаживается. При напряжениях, соответствующих области V (ее называют областью Гейгера, а напряжение Ug — порогом этой области), процесс приобретает характер 312
самостоятельного разряда. Первичные ионы лишь со- здают первоначальный толчок для его возникновения. Величина импульса тока в этой области совершенно не зависит от количества первичных ионов. В области VI напряжение столь велико, что разряд, возникнув, больше не прекращается. Поэтому ее назы- вают областью непрерывного разряда. Ионизационная камера. Ионизационной камерой на- зывается прибор, работающий без газового усиления, т. е. при напряжениях, соответствующих области II. Су- ществуют два типа ионизационных камер. Камеры од- ного типа применяются для регистрации импульсов, со- здаваемых отдельными частицами (импульсные камеры). Влетевшая в камеру частица создает в ней некоторое число ионов, в результате чего через сопротивление R начинает течь ток i. Это приводит к тому, что потенциал точки 1 (см. рис. 184, п) повышается и становится рав- ным IR (первоначально потенциал этой точки был такой же, как и зазем- ленной точки 2). Этот потенциал по- ступает на усилитель и после усиления приводит в действие счетное устрой- ство. После того, как все попавшие на внутренний электрод заряды пройдут через сопротивление R, ток прекра- тится и потенциал точки 1 снова ста- нет равным нулю. Характер работы камеры зависит от длительности импу- льса тока, вызванного одной частицей. Чтобы выяснить, от чего зависит продолжительность импульса, рассмотрим цепь, состоящую из конденсато- ра С и сопротивления R (рис. 186). Если сообщить об- кладкам конденсатора разноименные заряды величины <7о, через сопротивление R потечет ток, вследствие чего величина зарядов q на обкладках конденсатора будет убывать. Мгновенное значение напряжения, приложен- ного к сопротивлению, равно V = q!C. Следовательно, сила тока R Рис. 186. R RC (86.1) Убыль заряда на обкладках —dq равна idt. Таким образом, i в уравнении (86.1) можно заменить через 313
— В результате получается следующее дифферен- циальное уравнение: Ад = д dt RC ’ Разделяя переменные, имеем = _ _L dt д RC ai- Согласно (86.1) ~ = у-. Поэтому можно написать At 1 jj — ~~~~RCdt' Интегрирование этого уравнения дает In i = —jXr t + In i0, (86.2) Ab где через In i0 обозначена постоянная интегрирования. Наконец, пропотенцировав (86.2), получим __f_ i = i& ‘<с. (86.3) При / = 0 получается i=i0. Таким образом, io пред- ставляет собой начальное значение силы тока. Из выражения (86.3) следует, что за время i — RC (86.4) сила тока уменьшается в е раз. В соответствии с этим величина (86.4) носит название постоянной вре- мени цепи. Чем больше эта величина, тем медленнее спадает ток в цепи. Схема ионизационной камеры, (рис. 1-84, а) сходна со схемой, изображенной на рис. 186. Роль С играет меж- электродная емкость, показанная на рисунке пункти- ром. Чем больше сопротиЬление R, тем сильнее будет повышаться напряжение точки 1 при данной силе тока и тем, следовательно, легче обнаружить импульс. По- этому сопротивление R стремятся сделать как можно больше. Вместе с тем для того, чтобы камера могла раздельно регистрировать импульсы тока, порождаемые быстро следующими друг за другом частицами, постоян- 314
идя времени должна быть невелика. Поэтому при вы- боре величины для импульсных камер приходится идти на компромисс. Обычно берут R порядка 108 ом. Тогда при С = 10"” ф постоянная времени составит 10~3 сек. Другим типом ионизационных камер являются' так называемые интегрирующие камеры. В них берут R по- рядка 1015 ом. При С — 10~” ф постоянная времени бу- дет равна 104 сек. В этом случае импульсы тока, по- рождаемые отдельными ионизирующими частицами, сливаются и по сопротивлению течет постоянный ток, величина которого характеризует суммарный заряд ио- нов, возникающих в камере в единицу времени. Таким образом, ионизационные камеры обоих типов различаются лишь величиной постоянной времени RC. Пропорциональные счетчики.. Импульсы, вызываемые отдельными частицами, могут быть значительно усилены (до 1034-104 раз), если напряжение между электро- дами попадает в область III (рис. 185). Прибор, рабо- тающий в таком режиме, называется пропорцио- нальным счетчиком. Внутренний электрод счет- чика делается в виде нити диаметром в несколько сотых миллиметра. Этот электрод служит анодом. Напряжен- 1 ность поля между электродами изменяется по закону у [см. формулу (8.8)]; поэтому вблизи нити она достигает особенно больших значений. При достаточно большом напряжении между электродами электроны, возникаю- щие вблизи нити, приобретают под действием поля энер- гию, достаточную для того, чтобы вызвать ионизацию молекул ударом. В результате происходит «размноже- ние» ионов. Размеры объема, в пределах которого про- исходит размножение, увеличиваются с ростом напря- жения. В соответствии с этим растет и коэффициент га- зового усиления. Количество первичных ионов зависит от природы и энергии частицы, вызвавшей импульс. Поэтому по вели- чине импульсов на выходе пропорционального счетчика можно различить частицы разной природы, а также про- извести сортировку частиц одной и той же природы по их энергиям. Пропорциональные счетчики могут применяться и для счета нейтронов. В этом случае счетчик наполняют 315
газообразным трехфтористым бором (BF3). Нейтроны вступают в ядерную реакцию с изотопом бора с массо- вым числом 10 (В10), причем возникают а-частицы, ко- торые и вызывают первичную ионизацию. Счетчики Гейгера — Мюллера. Еще большего усиле- ния импульса (до 108) можно достигнуть, заставив ра- ботать счетчик в области Гейгера (область Уна рис. 185). Счетчик, работающий в этом режиме, называется счет- чиком Гейгера — Мюллера (сокращенно счет- чиком Гейгера). Как уже отмечалось, разряд в этой области переходит в самостоятельный, первичные ионы, создаваемые ионизирующей частицей, лишь «за- пускают» разряд. Поэтому величина импульса не зави- сит от первоначальной ионизации. Для того, чтобы по- лучать от отдельных частиц раздельные импульсы, не- обходимо возникший разряд быстро прервать (погасить). Это достигается либо с помощью внешнего сопро- тивления (в несамогасящихся счетчиках), либо за счет процессов, возникающих в самом счетчике. В последнем случае счетчик называется самогася- щимся. Гашение разряда с помощью внешнего сопротивле- ния объясняется тем, что при протекании по сопротивле- нию разрядного тока на нем возникает большое падение напряжения. В результате на межэлектродный проме- жуток приходится только часть приложенного напря- жения, которая оказывается недостаточной для поддер- жания разряда. Прекращение разряда в самогасящихся счетчиках обусловлено следующими причинами. Электроны обла- дают гораздо большей (примерно в 1000 раз) подвиж- ностью, чем положительные ионы. Поэтому за то время, за которое электроны достигают нити, положительные ионы почти не сдвигаются со своих мест. Эти ионы со- здают положительный пространственный заряд, ослаб- ляющий поле вблизи нити, и разряд прекращается. Га- шению разряда в этом случае препятствуют дополни- тельные процессы, которых мы не будем рассматривать. Для их подавления к газу, заполняющему счетчик (обыч- но аргону), добавляется примесь многоатомного органи- ческого газа (например, паров спирта). Такой счетчик разделяет импульсы от частиц, следующих друг за дру- гом с интервалами порядка 10~4 сек.
§ 87. Процессы, приводящие к появлению носителей тока при самостоятельном разряде Носители тока — электроны и ионы — могут возни- кать при самостоятельном разряде за счет различных процессов, некоторые из которых мы рассмотрим прежде, чем перейти к описанию отдельных видов разряда. Столкновения электронов с молекулами. Столкнове- ния электронов (а также ионов) с молекулами могут иметь упругий и неупругий характер. Молекула, как и атом, может находиться в дискретных энергетических состояниях. Состояние с наименьшей энергией называется основным. Для того чтобы перевести молекулу из основ- ного в различные возбужденные состояния, требуются определенные значения энергии W2 и т. д. Сообщив молекуле достаточно большую энергию можно вы- звать ее ионизацию. Перейдя в возбужденное состояние, молекула обычно пребывает в нем всего лишь 10~8 сек, после чего перехо- дит снова в основное состояние, излучая избыток энер- гии в виде кванта света — фотона. В некоторых так на- зываемых вдетастабильных состояниях молекула может находиться значительно дольше — примерно 10-3 сек. При соударении частиц должны выполняться законы сохранения энергии и импульса. Поэтому на передачу энергии при ударе накладываются определенные огра- ничения— не вся энергия, которой обладает ударяющая частица, может быть передана другой частице. Если при столкновении молекуле не может быть сооб- щена энергия, достаточная для ее возбуждения, суммар- ная кинетическая энергия частиц остается без изменений и удар будет упругим. Пусть частица массы ти имею- щая скорость Ию, ударяется о неподвижную (t>2o — 0) ча- стицу массы m2- При центральном ударе должны выпол- няться условия 2 2 2 mivio mi°t т&ъ "4~IU _ *11 । 2 - 2 2 m{vl0 = m^i + m2v2i где v{ и v2 — скорости частиц после удара, 317
Решая эту систему уравнений относительно неизвест- ных i>i и и2 (см. т. I, § 30), получим = 2t>iOm, 2 itii +т2 Таким образом, для энергии, которая передается при упругом ударе второй частице, получается выражение aw'ynp 2 2 '(m,+т2)2’ Если mi т^, это выражение можно приближенно записать следующим образом: , 4m, _ 4m, Al^ynp = —2 — = №ю —, (87.1) где №io — энергия ударяющейся частицы перед ударом. Из формулы (87.1) следует, что легкая частица (элек- трон), ударяясь упруго о тяжелую частицу (молекулу), сообщает ей лишь малую долю своего запаса энергии (-^-<С1). Легкая частица «отскакивает» от тяжелой, \ / подобно мячу от стенки, с практически не изменяющейся по величине скоростью. Как доказывает соответствую- щий расчет, при нецентральном ударе доля переданной энергии оказывается еще меньше. При достаточно большой энергии ударяющей частицы (электрона или иона) молекула может быть возбуждена или йонизирована. В этом случае суммарная кинетиче- ская энергия частиц не сохраняется — часть энергии затрачивается на возбуждение или ионизацию, т. е. на увеличение внутренней энергии соударяющихся частиц. Такие соударения называются неупругими столк- новениями первого рода. Молекула, находящаяся в возбужденном состоянии, при столкновении с другой частицей (электроном, ионом или нёйтральной молекулой) может перейти в основное состояние, не излучая избыток энергии, а передав его электрону. В этом случае суммарная кинетическая энер- гия частиц после удара будет больше, чем до удара. Та- кие соударения называются неупругими столкно- вениями второго рода. Переход молекул из мета- стабильного состояния в основное возможен только за счет столкновений второго рода. 318
При неупругом столкновении первого рода уравнения сохранения энергии и импульса имеют вид mlvlo mlV1 [ m2v2 I д тег — 2~' = ntiVi + tn2v2, (87.2) где AW'bh — увеличение внутренней энергии молекулы, соответствующее ее переходу в возбужденное состояние. Исключив V] из уравнений (87.2), можно получить т, + т9 тм% AIFBH = т2»10»2--—-----2~ • (87.3) При одной и той же скорости ударяющейся частицы (що) приращение внутренней энергии молекулы AW'bh зависит от скорости v2, с которой молекула движется после удара. Чтобы найти наибольшее возможное значе- ние AFBH, продифференцируем функцию (87.3) по v2 и приравняем получившееся выражение нулю: —dv2 • m2Vw-------"22 “ °- Отсюда v2— m - о10. Подставляя найденное значе- ние v2 в формулу (87.3), находим, что 2 AFBHmax = -^--------(87.4) /Tig " Если ударяющая частица значительно легче ударяе- О (mt \ miv\o ~ -С 1J, множитель при —— в выражении (87.4) близок к единице. Таким образом, при ударе легкой ча- стицы (электрона) о тяжелую (молекулу) почти вся энергия ударяющей частицы может быть затрачена на возбуждение или ионизацию *) молекулы. Однако даже если энергия ударяющей частицы — электрона — достаточно велика, соударение не обя- зательно приводит к возбуждению или ионизации *) В случае ионизации уравнения (87.2) усложняются, так как после соударения будет не две частицы, а три. Однако заключение о возможности затраты почти всей энергии электрона на ионизацию остается справедливым. 316
Возбуждение Ионизация Энергия злеитрона Рис. 187. . Вторичной эмиссией на- молекулы. Имеется определенная вероятность обоих этих процессов, которая зависит от скорости, т. е. энергии электрона. На рис. 187 показан примерный ход этих ве- роятностей. Чем быстрее летит электрон, тем меньший промежуток времени взаимодействует он с молекулой, пролетая вблизи нее. Поэтому обе вероятности быстро достигают максимума, а затем с увеличением энергии электрона убывают. Как видно из рисунка, электрон, имеющий, например, энергию W', с большей вероятностью будет вызы- вать ионизацию молеку- лы, чем ее возбуждение. Вторичная электрон- ная эмиссия электронной зывается испускание элек- тронов поверхностью твер- дого или жидкого тела при бомбардировке ее электронами или ионами. Отношение числа вторич- ных электронов N2 к числу N\ частиц, вызвавших эмис- сию, называется коэффициентом вторичной эмиссии 1-Ь. (87.5) Коэффициент вторичной эмиссии зависит от природы поверхности и бомбардирующих ее частиц, а также от энергии этих частиц. Скорость вторичных электронов не- велика и от энергии первичных частиц не зависит. В случае бомбардировки поверхности металлов элек- тронами коэффициент вторичной эмиссии достигает мак- симума при энергии первичных электронов порядка не- скольких сотен электронвольт (от 200 до 800 эв для раз- личных металлов). Наибольшие значения коэффициента Стах заключены в пределах от 0,5 (для бериллия) до 1,8 (для платины). Для полупроводников бтах может дости- гать гораздо больших значений (порядка 10). Таким об- разом, вторичную эмиссию от соответствующим образом подобранной поверхности можно использовать для «умно- жения» количества электронов в лучке. В электронных умножителях, предложенных впервые Л. А. Кубец- '20
без поля Уровни энергии элентронов в металле Рис. 188. Силоиое поле имеется отличная от ким, вторичные электроны, испущенные каждым из по- следовательно расположенных электродов, ускоряются электрическим полем и бомбардируют следующий элек- трод. С помощью таких приборов достигается усиление электронных пучков в сотни раз. Автоэлектронная эмиссия. Если вблизи поверхности металла создать электрическое поле очень большой на* пряженности (~ 106 в/см), наблюдается испускание элек- тронов, называемое автоэлектронной (или хо* лодной) эмиссией. Это явление иногда называют также вырыванием элек- тронов электрическим по- лем. Автоэлектронная эмис- сия была объяснена кванто- вой теорией. При наличии сильного поля препятствую- щий выходу электронов по- тенциальный барьер на по- верхности металла выглядит так, как показано на рис. 188. Согласно квантовой механике вероятность того, что элементарная частица пройдет че- рез потенциальный барьер даже в том случае, когда ее энергия меньше, чем высота барьера. Частица Как бы проходит через туннель в барьере, в связи с чем это яв- ление называют туннельным эффектом. Вероят- ность туннельного эффекта растет с уменьшением ши- рины барьера. Поэтому автоэлектронная эмиссия наблю- дается лишь в очень сильных полях. Фотоионизация. Электромагнитное излучение («свет») состоит из элементарных частиц — фотонов. Энергия фотона равна hv, где h постоянная Планка, v — часто- та излучения. Фотон может быть поглощен молекулой (см. сноску на стр. 306), причем его энергия идет на воз- буждение или ионизацию. В этом случае ионизация мо- лекулы называется фотоионизацией. Непосред- ственную (прямую) фотоионизацию способно вызвать ультрафиолетовое излучение. Видимое излучение (обла- дающее меньшей частотой) может обусловить так назы- ваемую ступенчатую фотоионизацию. Энергия фотона видимого света недостаточна для отщепления электрона от молекулы. Однако ее хватает для того, чтобы 21 И. В. Савельев, т. II 321
перевести молекулу в одно из возбужденных состояний. Для ионизации молекулы, находящейся в возбужденном состоянии, требуется меньше энергии, чем для иониза- ции молекулы в нормальном состоянии. Поэтому иони- зация молекулы, возбужденной фотоном, может быть до- стигнута за счет ее соударения с другой молекулой. В газовом разряде возможно возникновение коротко- волнового излучения, способного вызвать прямую фото- ионизацию. Достаточно быстрый электрон может при ударе не только ионизировать молекулу, но и перевести образовавшийся ион в возбужденное состояние. Переход иона в основное состояние сопровождается испусканием излучения меньшей длины волны (т. е. большей часто- ты), чем у излучения нейтральной молекулы. Энергия фотонов такого излучения достаточна для непосредствен- ной фотоионизации. Кроме перечисленных процессов, в некоторых видах самостоятельного газового разряда играет большую роль явление термоэлектронной эмиссии, рассмотренное в § 75. Имеет место также фотоэлектронная эмис- сия (или внешний фотоэффект), заключающаяся в испускании электронов поверхностью металла или по- лупроводника при освещении ее светом с достаточно ма- лой длиной волны. Однако роли фотоэлектронной эмис- сии в различных видах самостоятельного разряда мы ка- саться не будем. § 88. Газоразрядная плазма При некоторых видах самостоятельного разряда сте- пень ионизации газа бывает очень большой. Газ в сильно ионизированном состоянии при условии, что суммарный заряд электронов и ионов в каждом элементарном объ- еме равен (или почти равен) нулю, называется плаз- мой1). Плазма представляет собой особое состояние веще- ства. В таком состоянии находится вещество в недрах Солнца и других звезд, обладающих температурой в де- сятки миллионов градусов. Плазма, возникшая вслед- *) Плазму определяют как сильно ионизированную квазиней- тральную (т. е. почти нейтральную) среду, в которой хаотическое движение частиц преобладает над их направленным перемещением под действием внешнего электрического поля, 322
ствие высокой температуры вещества, называется высо- котемпературной (или изотермической). Плазма, возникающая при газовом разряде, называется газоразрядной. Для того чтобы плазма находилась в стационарном состоянии, необходимо наличие процессов, восполняю- щих убыль ионов в результате рекомбинации. В высоко- температурной плазме это осуществляется за счет тер- мической ионизации, в газоразрядной плазме — за счет ударной ионизации электронами, ускоренными электри- ческим полем. Особую разновидность плазмы представ- ляет собой ионосфера (один из слоев атмосферы). Высо- кая степень ионизации молекул (~1%) поддерживается в этом случае за счет фотоионизации, обусловленной ко- ротковолновым излучением Солнца. Электроны в газоразрядной плазме принимают уча-: стие в двух движениях — в хаотическом движении с не- которой средней скоростью вив упорядоченном движе- нии в направлении, противопо- ложном Е, со средней скоро- стью й (гораздо меньшей, чем v). Условия в плазме таковы, что электрическое поле не толь- ко обусловливает упорядочен- ное движение электронов, но и увеличивает скорость v их хао- тического движения. Пусть в момент включения поля в газе имеется неко- торое число электронов, средняя скорость которых соот< „ / tnv2 3 \ о ветствует температуре газа Тг I—у = -^-ягг1. время между двумя последовательными соударениями с моле- кулами газа электрон проходит в среднем путь Л) (рис. 189; траектория электрона слегка искривлена под действием силы — еЕ). При этом поле совершает над ним работу А = eElh (88.1) где I/ — проекция перемещения электрона на направле- ние силы. Вследствие соударений с молекулами направление движения электрона все время изменяется случайным 21* 323
образом. Поэтому работа (88.1) для отдельных участков траектории имеет разную величину и разный знак. На одних участках поле увеличивает энергию электрона, на других — уменьшает. Если бы упорядоченное движение электронов отсутствовало, среднее значение //, а следо- вательно и работы (88.1) было равно нулю. Однако на- личие упорядоченного движения приводит к тому, что средрее значение работы А отлично от нуля и притом положительно. Оно равно А = еЕйх = еЕй у, (88.2) где т — средняя продолжительность свободного пробега электрона (u<g.v). Следовательно, поле в среднем увеличивает энергию электрона. Правда, электрон, столкнувшись с молекулой, йередает ей часть своей энергии. Но, как мы-выяснили в предыдущем параграфе, доля б переданной при упругом ударе энергии очень мала — она в среднем равна б = 2т/М, где т — масса электрона, а М — масса моле- кулы *). Б разреженном газе (X обратно пропорциональна давлению) и при достаточно большой напряженности поля Е работа (88.2) может превосходить энергию Ъ~~, передаваемую в среднем молекуле при каждом столкно- вении. Поэтому энергия хаотического движения элек- трона будет расти. В конце концов она достигнет значе- чения, достаточного для того, чтобы возбудить или иони- зировать молекулу. Начиная с этого момента часть соударений перестает быть упругой и сопровождается большой потерей энергии. Поэтому средняя доля пере- даваемой энергии б увеличивается. Таким образом, энергию, необходимую для иониза- ции, электроны приобретают не за один свободный про- бег, а постепенно накапливают ее на протяжении ряда пробегов. Ионизация приводит к возникновению боль- шого количества электронов и положительных ионов — появляется плазма. *) Согласно формуле (87.1) при центральном ударе б = 4т/М. В случае, когда электрон и молекула лишь слегка «задевают» друг друга, б « 0. 324
Энергия электронов плазмы определяется условием, что средняя величина работы, совершаемой полем над электроном за один свободный пробег, равна средней ве- личине энергии, отдаваемой электроном при соударении с молекулой: г, - X 5 mv2 еЕи— — б —г>— v 2 (в этом соотношении б есть сложная функция скоро- сти г). Опыт показывает, что для электронов в газоразрядной плазме имеет место максвелловское распределение по скоростям. Вследствие слабого взаимодействия электро- нов с молекулами (б при упругом ударе очень мало, а относительное количество неупругих соударений незна- чительно) средняя скорость хаотического движения элек- тронов оказывается во много раз больше скорости, соот- ветствующей температуре газа Тт. Если ввести темпера- туру электронов Та, определив ее из соотношения mv2 _ 3,™ 2 ~ 2 э’ то для Та получается значение порядка нескольких де- сятков тысяч градусов. Отличие Тт и Та свидетельствует о том, что между электронами и молекулами в газораз- рядной плазме нет термодинамического равновесия '). Концентрация носителей тока в плазме очень велика. Поэтому плазма обладает хорошей электропроводностью. Подвижность электронов, как уже отмечалось, примерно на три порядка больше, чем у ионов, вследствие чего ток в плазме создается в основном электронами. § 89. Тлеющий разряд Самостоятельный разряд принимает разнообразные формы в зависимости от давления газа, конфигурации электродов и параметров внешней цепи. Физические яв- ления, которыми сопровождается разряд, очень сложны. Мы ограничимся кратким рассмотрением основных видов самостоятельного разряда, опуская ряд деталей. *) В высокотемпературной плазме средняя энергия молекул, электронов и нонов одинакова. Этим объясняется ее другое назва- ние — изотермическая. 325
Тлеющий разряд возникает при низких давлениях. Его можно наблюдать в стеклянной трубке длиной око- ло 0,5 м, с впаянными у концов плоскими металлическими электродами (рис. 190). На электроды подается напря- жение порядка 1000 в. При атмосферном давлении ток через трубку не течет. Если понижать давление в трубке, то примерно при 40 мм рт. ст. возникает разряд в виде светящегося извилистого тонкого шнура, соединяющего Рис. 190. анод с катодом. По мере понижения давления шнур утол- щается и приблизительно при 5 мм рт. ст. заполняет все сечение трубки — устанавливается тлеющий разряд. Его основные части показаны на рис. 190. Вблизи катода располагается тонкий светящийся слой, называемый к а- тодной светящейся пленкой 3, Между катодом и светящейся пленкой находится астоново темное пространство 4. По другую сторону светящейся пленки помещается слабо светящийся слой, по контрасту кажущийся темным и называемый круксовым тем- ным пространством 5. Этот слой переходит в све- тящуюся область, которую называют тлеющим све- чением 2. Все перечисленные выше слои образуют катодную часть тлеющего разряда. С тлеющим свечением граничит темный промежу- ток — фарадеево темное пространство 6. Гра- ница между ними размыта. Вся остальная часть трубки заполнена светящимся газом: ее называют положи- 326
тельным столбом 1. При понижении давления ка- тодная часть разряда и фарадеево темное пространство расширяются, а положительный столб укорачивается. При давлении порядка 1 мм рт. ст. положительный столб распадается на ряд чередующихся темных и светлых изогнутых слоев — страт. Измерения, проведенные с помощью зондов (тонень- ких проволочек, впаянных в разных точках вдоль труб* ки), а также другими методами, показали, что потенциал изменяется вдоль трубки неравномерно (см. график на рис. 190). Почти все падение потенциала приходился НЙ первые три участка разряда по круксовр темное йро* странство включительно (катодное падение по« тенциала). В области тлеющего свечения потенциал не изменяется — здесь напряженность поля равна нулю. Наконец, в фарадеевом темном пространстве и положи-, тельном столбе потенциал медленно растет. Такое рас- пределение потенциала вызвано образованием в обла- сти круксова темного пространства положительного пространственного заряда, обусловленного повышенной концентрацией положительных ионов. Основные процессы, необходимые для поддержания тлеющего разряда, происходят в его катодной части. Остальные части разряда не существенны, они могут даже отсутствовать (при малом расстоянии между элек* тродами или при низком давлении). Основных процессов два. Это — вторичная электронная эмиссия из катода, обусловленная бомбардировкой его положительными ионами, и ударная ионизация электронами молекул газа. Положительные ионы, ускоренные катодным падением потенциала, бомбардируют катод и выбивают из него электроны. Вторичные электроны вылетают1 из катода с небольшой скоростью. В астоновом темном пространстве они ускоряются электрическим полем. Приобретя доста- точную энергию, электроны начинают возбуждать моле- кулы газа, в результате чего возникает катодная светя* щаяся пленка. Электроны, пролетевшие без столкнове* ний в область круксова темного пространства, имеют большую энергию, вследствие чего они чаще ионизируют молекулы, чем возбуждают (см. рис. 187). Таким обра- зом, интенсивность свечения газа уменьшается, но зато в круксовом темном пространстве образуется много
электронов и положительных ионов. Образовавшиеся ионы вначале имеют очень малую скорость. Поэтому в круксовом темном пространстве создается положитель- ный пространственный заряд, что приводит к перерас- пределению потенциала вдоль трубки и к возникновению катодного падения потенциала. Электроны, возникшие при ионизации в круксовом темном пространстве, вместе с первоначальными элек- тронами проникают в область тлеющего свечения, кото- рая характеризуется высокой концентрацией электронов и положительных ионов и суммарным пространственным зарядом, близким к нулю (плазма). Поэтому напряжен- ность поля здесь очень мала — поле не ускоряет элек- троны и ионы. Благодаря высокой концентрации элек- тронов и ионов в области тлеющего свечения идет ин- тенсивный процесс рекомбинации, сопровождающийся излучением выделяющейся при этом энергии. Таким об- разом, тлеющее свечение есть в основном свечение ре- комбинации. Из области тлеющего свечения в фарадеево темное пространство электроны и положительные ионы прони- кают за счет диффузии (на границе между этими обла- стями поле отсутствует, но зато имеется большой гра- диент концентрации электронов и ионов). Вследствие меньшей концентрации заряженных частиц вероятность рекомбинации в фарадеевом темном пространстве силь- но падает. Поэтому фарадеево пространство и является темным. В фарадеевом темном пространстве уже имеется поле. Увлекаемые этим полем электроны постепенно накапли- вают энергию, так что в конце концов возникают усло- вия, необходимые для существования плазмы. Положи- тельный столб представляет собой газоразрядную плаз- му. Он выполняет роль проводника, соединяющего анод с катодными частями разряда. Свечение положительного столба вызвано переходом возбужденных молекул в ос- новное состояние. Молекулы разных газов испускают при этом излучение разной длины волны. Поэтому све- чение положительного столба имеет характерный для каждого газа цвет. Это обстоятельство используется в газосветных трубках для изготовления светящихся над- писей и реклам. Эти надписи представляют собой не что иное, как положительный столб тлеющего разряда. Нео- 328
новые газоразрядные трубки дают красное свечение, аргоновые — синевато-зеленое и т. д. Если постепенно уменьшать расстояние между элек- тродами, катодная часть разряда остается без измене- ний, длина же положительного столба уменьшается, пока этот столб не исчезает совсем. В дальнейшем исчезает фарадеево темное пространство и начинает сокращаться длина тлеющего свечения, причем положение границы этого свечения с круксовым темным пространством остается неизменным. Когда расстояние анода до этой границы делается очень малым, раз- ряд прекращается. В сигнальных неоновых лампах (рис. 191) электроды сближены так, что положительный столб в них отсутствует и излучение света обусловлено тлеющим свече- нием. Путем специальной обработки поверхностей электродов напряже- ние зажигания разряда можно сни- зить примерно.до 50 в. Эти лампы применяются для сигнализации о наличии напряжения в данной сети. При понижении давления катод- Рис. 191. ная часть разряда занимает все большую долю межэлектродного пространства. При до- статочно низком давлении круксово темное простран- ство распространяется- почти на весь сосуд. Свечение газа в этом случае перестает быть заметным, зато стен-, ки трубки начинают светиться зеленоватым свечением^ Большинство электронов, выбитых из катода и ускорен- ных катодным падением потенциала, долетает без столк- новений с молекулами газа до стенок трубки и, ударяясь о них, вызывает свечение. По историческим причинам поток электронов, испускаемый катодом газоразрядной трубки при очень низких давлениях, получил название катодных лучей. Свечение, вызываемое бомбарди- ровкой быстрыми электронами, называется катодо- люминесценцией. Если в катоде газоразрядной трубки сделать узкий канал, часть положительных ионов проникает в простран- ство за катодом и образует резко ограниченный пучок 329
ионов, называемый каналовыми (или положи» тельными) лучами. Такой способ получения пучка по* ложительных ионов не утратил практического значения до наших дней. § 90. Дуговой разряд В 1802 г, В. В. Петров обнаружил, что при разведе- нии первоначально соприкасавшихся угольных электро- дов, подключенных к большой гальванической батарее, между электродами вспыхивает ослепительное свечение. При горизонтальном расположении электродов нагретый светящийся газ изгибается в виде дуги, в связи с чем открытое В. В. Петровым явление было названо воль- товой (или электрической) дугой. Сила тока в дуге может достигать огромных значений (тысячи и десятки тысяч ампер) при напряжении в не- сколько десятков вольт. Дуговой разряд может протекать как при низком (по- рядка нескольких миллиметров ртутного столба), так и при высоком (до 1000 ат) давлении. Основными процес- сами являются термоэлектронная эмиссия с раскаленной поверхности катода и термическая * \ ионизация молекул, обусловленная вы- \ сокой температурой газа. Почти все X. межэлектродное пространство запол- нено высокотемпературной плазмой. Она служит проводником, по кото- ----------г рому электроны, испущенные катодом, достигают анода. Рис. 192. Температура плазмы составляет около 6000° К. В дуге сверхвысокого давления (до 1000 ат) температура плазмы может до- стигать 10 000° К (напомним, что температура поверх- ности Солнца равна 5800° К). Вследствие бомбардировки положительными ионами катод раскаляется примерно до 3500° К. Анод, бомбардируемый мощным потоком элек- тронов, разогревается еще больше. Это приводит к тому, что анод интенсивно испаряется и на его поверхности образуется углубление — кратер. Кратер является самым ярким местом дуги. Дуговой разряд обладает падающей вольт-амперной характеристикой (рис. 192). Это объясняется тем, что при увеличении силы тока возрастают термоэлектронная 330
эмиссия с катода и степень ионизации газоразрядного промежутка. Кроме описанной выше термоэлектронной дуги (т. е. разряда, обусловленного термоэлектронной эмиссией с раскаленной поверхности катода) бывает дуга с холодным катодом. В качестве катода в этом случае служит обычно жидкая ртуть, налитая в баллон, из которого удален воздух. Разряд происходит в парах ртути. Электроны вылетают из катода за Счет ав- тоэлектронной эмиссии. Необходимое для „ этого сильное поле у поверхности катода со- ра- здается положительным пространственным П| зарядом, образованным ионами. Электроны I испускаются не всей поверхностью катода, И а а небольшим ярко светящимся и непре- И П рывно перемещающимся катодным пят- п I ном. Температура газа в этом случае не- велика. Ионизация молекул в плазме про- исходит, как и при тлеющем разряде, за К - )) счет электронных ударов. лиг Дуговой разряд находит разнообразные | применения. В 1882 г. русский инженер А Н. Н. Бенардос предложил использовать и электрическую дугу для сварки металлов. w В 1888 г. Н. Г. Славянов усовершенствовал д, электросварку, заменив угольные электроды металлическими. g Электрическая дуга применяется в каче- стве мощного источника света. В дуговых Рис. 193. лампах сверхвысокого давле- ния (лампах СВД) разряд происходит между вольфра- мовыми электродами в атмосфере паров ртути при дав- лении до 100 ат или в инертном газе (неоне, аргоне, криптоне или ксеноне) при давлении до 20 ат. Лампа такого типа изображена на рис. 193. Боковой элек- трод служит для зажигания лампы от источника вы- сокого напряжения. В связи с тем, что лампа СВД силь- но разогревается, ее баллон изготовляется из кварца (размягчающегося при более высокой температуре, чем стекло). Ртутная лампа в холодном состоянии содержи! аргон при небольшом давлении (порядка нескольких миллиметров ртутного столба) и капельку ртути. Перво- начально дуговой разряд возникает в аргоне. Когда 331
лампа нагревается, ртуть испаряется и в дальнейшем разряд идет в парах ртути. Дуга, горящая в парах ртути, испускает мощный по- ток ультрафиолетового излучения. Ртутные лампы с бал- лоном из кварца (кварц пропускает ультрафиолетовые лучи; обычное стекло их поглощает) применяются в ка- честве источников ультрафиолетовых лучей в медицине и в научных исследованиях. В лампах дневного Рис. 194. света стенки разрядной трубки по- крываются специально подобранны- ми веществами (люминофорами), которые под действием ультрафио- летового излучения паров ртути на- чинают светиться в свою очередь, но уже излучением, близким по спек- тральному составу к дневному свету. Такие источники света в несколько раз экономичнее, чем лампы накали- вания. Дуговой разряд в парах ртути при низком давлении с ртутным ка- тодом используется в ртутных вы- прямителях. На рис. 194 дана схема двухполупериодного ртутного выпрямителя. Ток течет к катоду К от того из анодов или А2, кото- рый в данный момент находится под положительным потенциалом по отношению к като- ду. В результате через нагрузку R течет ток одного на- правления. Ртутный электрод в боковом отростке служит для зажигания разряда. Чтобы включить выпрямитель, колбу наклоняют до тех пор, пока ртуть катода и отрост- ка не соединится. При возвращении колбы в вертикаль- ное положение в месте, разрыва ртути возникает дуга, после чего разряд переходит на один из анодов. На’дуговом разряде основано действие приборов, на- зываемых газотроном и тиратроном. Газотрон пред- ставляет собой диод с калящимся катодом, заполненный парами ртути или аргоном при невысоком давлении. Электроны, испущенные катодом вследствие термоэлек- тронной эмиссии, ионизируют молекулы газа, что приво- дит к образованию газоразрядной плазмы (эти процессы типичны для дугового разряда). Хорошая проводимость 832
плазмы препятствует образованию вблизи катода элек- тронного облака (как это имеет место в вакуумном дио- де). Поэтому при небольшом напряжении между элек- тродами (15—20 в) газотрон пропускает сильные токи (порядка 10 а). Так как ток течет через газотрон лишь при положительном (по отношению к катоду) напряже- нии на аноде, его используют для выпрямления тока. На рис. 195 приведена схема') однополупериодного выпря- мителя на газотроне (на схеме R — нагрузка, в которой используется выпрямленный ток). Собрав схему, изобра- женную на рис. 195, на двух газотронах можно осущест- вить двухполупериодное выпрямление. Тиратрон отличается от газотрона наличием третьего электрода — сетки. Этот прибор используется в качестве быстродействующего включателя тока. Соот- ветствующая схема изображена на рис. 196. В нормаль- ном состоянии сетка имеет по отношению к катоду от- рицательный потенциал. Поэтому электроны, вылетев- шие из катода, возвращаются полем обратно, и ток через тиратрон не течет. При подаче на сетку хотя бы кратко- временного положительного импульса в тиратроне воз- никает дуговой разряд и начинает течь сильный ток. Образовавшаяся плазма, обладая высокой проводи- мостью, экранирует сетку2), вследствие чего изменения потенциала на сетке не могут в дальнейшем воздейст- вовать на разряд. Включение тока с помощью тира- трона осуществляется весьма быстро (за время порядка *) На схемах газонаполненные лампы отличают от аналогичных вакуумных ламп точкой. *) Экранировка достигается тем, что вблизи сетки накапли- ваются ионы. 333
10 7 сек). Таким образом, тиратрон является безынер- ционным включателем тока и поэтому широко приме- няется в автоматике и телемеханике. Для прекращения тока нужно на короткое время (~ 10~5 сек) снять анод- рое напряжение. За это время плазма исчезает в ре- зультате рекомбинации, и снова устанавливается состоя- ние, которое было до зажигания. § 91. Искровой и коронный разряды Искровой разряд возникает, когда напряженность электрического поля достигает пробивного для данного газа Значения £пр- Величина Ещ, зависит от давления раза; для воздуха рри атмосферном давлении она со- ставляет около 30 000 ejсм. С увеличением давления ЕПр возрастает. Согласно экспериментальному закону Па- шен а отношение пробивной напряженности поля к давлению приблизительно постоянно: —"—const. (91-1) Искровой разряд сопровождается возникновением ярко светящегося извилистого, разветвленного канала, по которому проходит кратковременный импульс тока большой силы. Примером может служить молния; дли- на ее бывает до 10 км, диаметр канала — до 40 см, си- ла тока может достигать 100000 и более ампер, про- должительность импульса составляет около 10~4 сек. Каждая молния состоит из нескольких (до 50) импуль- сов, следующих по одному и тому же каналу; их общая длительность может достигать нескольких секунд. Температура газа в искровом канале бывает очень высокой — до 10 000° К. Быстрый сильный нагрев газа приводит к резкому повышению давления и возникно- вению ударных и звуковых волн. Поэтому искровой разряд сопровождается звуковыми явлениями — от сла- бого треска при искре малой мощности до раскатов грома, раздающихся вслед за молнией. Возникновению искры предшествует образование в газе сильно ионизированного канала, называемого стримером. Этот канал получается путем перекры- тия отдельных электронных лавин, возникающих на пу- ти искры. Родоначальником каждой лавины служит 334
электрон, образующийся путем фотоионизации. Схема развития стримера показана на рис. 197. Напряжен- ность поля такова, что электрон, вылетевший за счет какого-либо процесса из катода, приобретает на длине свободного пробега энергию, достаточную для иониза- ции. Поэтому происходит размножение электронов —- возникает лавина (образующиеся при этом положи-- тельные ионы не играют существенной роли вследствие гораздо меньшей подвижности; они лишь обусловли- вают пространственный заряд, вызывающий перерас- пределение потенциала). Излучение, испускаемое ато- мом, у которого при ионизации был вырван один из Рис. 197. внутренних электронов (это излучение показано на схе- ме волнистыми линиями), вызывает фотоионизацию молекул, причем образовавшиеся электроны порож- дают все новые лавины. После перекрывания лавин образуется хорошо проводящий канал — стример, по которому устремляется от катода к аноду мощный по- ток электронов — происходит пробой. Есть взять электроды такой формы, при которой поле в межэлектродном пространстве приблизительно однородно (например, в виде шаров достаточно боль- шого диаметра), то искра будет возникать при вполне определенном напряжении С/щ» величина которого за- висит от расстояния между шарами I (Еар = Uap/l). На этом основан искровой вольтметр, с помо- щью которого обычно измеряется высокое напряжение (порядка Ю3—105 в). При измерениях определяется наибольшее расстояние Zmax, при котором возникает искра. Умножив затем Епр на Zmax, получают значение измеряемого напряжения. Высокая температура и давление газа в искре обус- ловливают сильное механическое воздействие на элек- троды. Это явление лежит в основе разработанного 335
Б. Р. и Н. И. Лазаренко метода электроискровой обра- ботки металлов. Если один из электродов (или оба) имеет очень большую кривизну (например, электродом служит тон- кая проволока или острие), вначале возникает так на- зываемый коронный разряд. При дальнейшем уве- личении напряжения этот разряд переходит в искровой или дуговой. При коронном разряде ионизация и воз- буждение молекул происходят не во всем межэлектрод- ном пространстве, а лишь вблизи электрода с малым радиусом кривизны, где напряженность поля достигает значений, равных или превышающих Еар. В этой части разряда газ светится. Свечение имеет вид короны, окру- жающей электрод, чем и вызвано название этого вида разряда. Коронный разряд с острия имеет вид светящейся кисти, в связи с чем его.иногда называют кистевым разрядом. В зависимости от знака коронирующего электрода говорят о положительной или отрицатель- ной короне. Между коронирующим слоем и некорони- рующим электродом лежит внешняя область ко- роны. Режим пробоя (Е Е„г) существует только в пределах коронирующего слоя. Поэтому можно сказать, что коронный разряд представляет собой неполный пробой газового промежутка. В случае отрицательной короны явления на катоде сходны с явлениями на катоде тлеющего разряда. Ускоренные сильным полем положительные ионы вы- бивают из катода электроны, которые вызывают иони- зацию и возбуждение молекул в коронирующем слое. Во внешней области короны поле недостаточно для то- го, чтобы сообщить электронам энергию, необходимую для ионизации. Поэтому проникшие в эту область элек- троны дрейфуют под действием поля к аноду. Часть электронов захватывается молекулами, вследствие чего Образуются отрицательные ионы. Таким образом, ток во внешней области обусловливается только отрицательными носителями — электронами и отрицательными ионами. В этой области разряд имеет несамостоятельный ха- рактер. В положительной короне электронные лавины за- рождаются у внешней границы короны и устремляются к коронирующему электроду — аноду. Образование электронов, порождающих лавины, обусловлено фото- 336
ионизацией, вызванной излучением коронирующего слоя. Носителями тока во внешней области короны служат положительные ионы, которые дрейфуют под действием поля к катоду. Если оба электрода имеют большую кривизну (два коронирующих электрода), вблизи каждого из них про* текают процессы, присущие коронирующему электроду данного знака. Оба коронирующие слоя разделяются внешней областью, в которой движутся встречные пото- ки положительных и отрицательных носи- телей тока. Такая корона называется дву- полярной. Упоминавшийся в § 86 при рассмотре- нии счетчиков самостоятельный газовый раз- ряд представляет собой коронный разряд. Толщина коронирующего слоя и сила разрядного тока растут с увеличением на- пряжения. При небольшом напряжении раз- меры короны малы и ее свечение незаметно. --1 Такая микроскопическая корона возникает •--------- вблизи острия, с которого стекает электри- Рис 198 ческий ветер (см. § 21). Корона, появляющаяся под действием атмосферного электричества на верхушках корабельных мачт, деревь- ев и т. п., получила в старину название огней свя- того Эльма. В высоковольтных устройствах, в частности в ли- ниях высоковольтных передач, коронный разряд приво- дит к вредным утечкам тока. Поэтому приходится при- нимать меры для его устранения. С этой целью провода высоковольтных линий берут достаточно большого диа- метра, тем большего, чем выше напряжение линии. Полезное применение в технике коронный разряд на- шел в электрофильтрах. Очищаемый газ дви- жется в трубе, по оси которой расположен отрицатель- ный коронирующий электрод (рис. 198). Отрицательные ионы, имеющиеся в большом количестве во внешней области короны, оседают на загрязняющих газ части- цах или капельках и увлекаются вместе с ними к внеш- нему некоронирующему электроду. Достигнув этого электрода, частицы нейтрализуются и оседают на нем. Впоследствии при ударах по трубе осадок, образован- ный уловленными частицами, осыпается в сборник. 22 И. В. Савельев, т. II 337
ГЛАВА XV ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК § 92. Квазистационарные токи Закон Ома (35.2) и вытекающие из него правила Кирхгофа (36.1) и (36.2) были установлены для по- стоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся тока и на- пряжения, если только их изменения происходят не слишком быстро. Электромагнитные возмущения рас- пространяются по цепи с огромной скоростью, равной скорости света с. Если за время т = l/с, необходимое для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то мгновен- ные значения силы тока во всех сечениях цепи будут практически одинаковыми. Токи, удовлетворяющие та- кому условию, называются кв а з и ст а циона р н ы- м и. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности запишется следующим образом: х = Т, где Т — период изменений. При размерах цепи порядка 3 м т = 10~8 сек. Таким образом, вплоть до Т порядка 10-6 сек (что соответ- ствует частоте 106 гц) токи в такой цепи можно считать квазистационарными. Ток промышленной , частоты (v — 50 гц) квазистационарен для цепей длиной до ~ 100 км. Мгновенные значения квазистационарных токов под- чиняются закону Ома. Следовательно, для них спра- ведливы и правила Кирхгофа. 338
Пусть к зажимам сопротивления R (рис. 199, а), не обладающего индуктивностью и емкостью ') (такое со- противление называется активным), приложено на- пряжение, изменяющееся по закону U = Um cos (of (92.1) (17m — амплитудное значение напряжения). При выпол- нении условия квазистационарности ток через сопро- тивление определяется законом Ома i — cos = Im cos at. (92.2) A А Таким образом, между амплитудными значениями си- лы тока и напряжения имеется соотношение 4 = -^. (92.3) Соотношения между переменными токами и напря- жениями делаются особенно наг жать их (как и гармониче- ские колебания) с помощью векторов (см. т. I, § 68). а) Выберем произвольное на- правление, которое назовем осью токов (рис. 199,6). g. Отложим вдоль этого на- ' правления вектор тока дли- ной 1т. Поскольку напряже- ние и ток в рассматриваемом случае изменяются синфазно, вег будет направлен вдоль оси токов; длина его равна RIm. Совокупность векторов напряжений или токов образует векторную диаграмму данной цепи. если 1т Um U Im Осьтмов Рис. 199. напряжения также R § 93. Переменный ток, текущий через индуктивность Подадим переменное напряжение (92.1) на концы индуктивности L (например, катушки) с пренебрежимо малыми сопротивлением и емкостью (рис. 220, а). В ин- дуктивности начнет течь переменный ток, вследствие ]) Всякий проводник (например, прямолинейный отрезок про- вода) обладает некоторой емкостью и индуктивностью. Поэтому «чистые» активное сопротивление /?, индуктивность L и емкость С являются абстракциями. 22* 339
чего возникнет э. д. с. самоиндукции [см. формулу (59.9)] (полагаем, что L не зависит от i). Уравнение (35.1) за- кона Ома запишется следующим образом (/? = 0, раз- ность потенциалов равна U, #|2 = <?S): Рис. 200. Utn COS <£>t — L ~ = 0, откуда L-^- = L/m cos cot (93.1) В рассматриваемом случае все внешнее напряжение приложено к индуктивности L. Следовательно, величина Ul~L-^ (93.2) есть не что иное, как падение напряжения на индуктив- ности. Перепишем уравнение (93.1) в виде dt = cos (at dt. Интегрирование дает I — —г- sin&t + const. Постоянной составляющей тока, очевидно, нет; по- этому const = 0. Таким образом, t = -^-sinco/= /mcos^<jot — i), (93.3) где Л.=-5Г- (93.4) Сопоставляя соотношения (92.3) и (93.4), мы ви- дим, что роль сопротивления в данном случае играет величина — cot, (93.5) 340
которую называют реактивным индуктивным сопротивлением или просто индуктивным сопротивлением. Если L взять в генри, а © — в сект1, то Хь будет выражено в омах. Как видно из (93.5), величина индуктивного сопро- тивления растет с частотой со. Постоянному току (со = 0) индуктивность не оказывает сопротивления. Заменив в (93.1) Um через ыЬ1т, получим для падения напряжения на индуктивности следующее выражение: V £ = (nLIm cos cot (93.6) Из сравнения выражений что падение напряжения на по фазе ток, текущий через индуктивность, на л/2. Если направить, как и на рис. 199, ось токов горизонтально, получается векторная диа- грамма, изображенная на рис. 200, б. Сдвиг по фазе между то- ком и напряжением на ин- дуктивности легко понять, если учесть, что производная косинуса имеет наибольшее (93.3) и (93.6) вытекает, индуктивности опережает значение в тот момент, когда косинус равен нулю, причем максимум производной достигается на ’А периода раньше, чем максимум самого косинуса (рис. 201). § 94. Переменный ток, текущий через емкость Пусть напряжение (92.1) подано на емкость С (рис. 202,а). Индуктивностью цепи и сопротивлением подводящих проводов будем пренебрегать. Емкость не- прерывно перезаряжается, вследствие чего в цепи течет переменный ток. Поскольку сопротивление подводящих проводов пренебрежимо мало, напряжение на конденса- гг я торе Uc=~^ можно считать равным внешнему напря- жению U: Uc = Umcosd>t. (94.1) 341
Производная от q по t даст силу тока в цепи I. Ум- ножим выражение (94.1) на С и продифференцируем по /, заменив q через I: i= — соСUm sin о/ — Im cos (at + у), (94.2) где Im = aCUm=-^- (94.3) Величина (94.4) называется реактивным емкостным сопро- тивлением или просто емкостным сопротив- лением. Если С взять в фа- радах, а со в сек-1, то Хс будет выражено в омах. Для постоянного тока (со = 0) Хс = оо — постоянный б) 4 Ось токов " ис соС1гп Максимум тока Рис. 203. Рис. 202. ток через конденсатор течь не может. Переменный ток (<о ¥= 0) может течь через конденсатор, причем оказы- ваемое току сопротивление будет тем меньше, чем боль- ше частота тока со и емкость конденсатора С. Заменив в выражении (94.1) Um через 1т, для падения напряжения на емкости получим ис = -^с fm^osat. (94.5) Сравнив (94.2) и (94.5), находим, что падение на- пряжения1 на емкости отстает по фазе от текущего че- рез емкость тока на л/2 (см. векторную диаграмму на 342
рис, 202,6), Причина отставания заключена в том, что до тех пор, пока ток течет в одном и том же направле- нии, заряд на обкладках конденсатора растет. Сила то- ка проходит через максимум и начинает убывать (рис. 203), а заряд (а следовательно, и Uc) все еще продолжает расти, достигая максимума в тот момент, когда I обращается в нуль. Вслед затем ток изменяет направление и начинается убывание зарядов на об* кладках. § 95. Цепь переменного тока, содержащая емкость, индуктивность и сопротивление Рассмотрим цепь, составленную из активного сопро* тивления R, индуктивности L и емкости С (рис. 204, в}, Подадим на концы этой цепи напряжение (92.1) часто- ты со. В цепи возникнет переменный ток той же часто* ты, амплитуда 1т и фаза которого, очевидно, опреде- ляются параметрами цепи R, L и С. Этот ток вызовет на активном сопротивлении падение напряжения амплитуда которого равна RIm, а фаза совпадает с фа-» зой тока (см. рис. 199, б). Поэтому на векторной диа- грамме (рис. 204, б) вектор, изображающий UR, нужно отложить по оси токов. Падение напряжения на индук- тивности UL (с амплитудой ыЫт) опережает ток по 343
фазе на л/2 (см. рис. 200, б); поэтому вектор, изобра- жающий UL, должен быть повернут относительно оси токов на угол л/2 против часовой стрелки. Наконец, падение напряжения на емкости Uc ^имеющее ампли- туду отстает от тока по фазе на л/2 (см. рис. 202,6); следовательно, вектор, изображающий Uc, должен быть повернут относительно оси токов на угол л/2 по часовой стрелке. Падения напряжений UR, UL и Uc в сумме должны быть равны приложенному к цепи напряжению U. По- этому, сложив векторы, изображающие UR, UL и Uc, мы получим вектор, изображающий U (его длина рав- на Um). Этот вектор образует с осью токов угол <р, тан- генс которого, как видно из рис. 204, б, равен r 1 <о£--- tg<p =---(95.1) Угол <р дает разность фаз между напряжением U и силой тока i. Из прямоугольного треугольника, гипоте- нуза которого Um, следует, что (#4)2 + [(®Ь - ImJ = U2m, откуда I. _ у- - . <95.2) Итак, если напряжение на зажимах цепи изме- няется по закону U — Um COS (i>t, то в цепи течет ток i = Im cos (<о/ — <р), (95.3) где <р и 1т определяются формулами (95.1) и (95.2). Величина ______________ -|/я2 + (<о£ - -^)2 = VR2 + (Х£ - ХСУ (95.4) называется полным сопротивлением цепи. Ве- личина X = XL — Хс = <i)L--U (95.5) 344
называется реактивным сопротивлением. Та- ким образом, Z=/R2 + X2. (95.6) Ток отстает от напряжения (<р > 0) или опережает его (<р < 0) в зависимости от соотношения между и Хс- При ®£>^г ток отстает от напряжения, при ©L<^ ток опережает напряжение. Если ©I = , изменения тока и напряжения происходят синфаз- но (<р = 0). При удовлетворяющей этому условию частоте ыЫ,п (95.7) Um___Ось Мт тонов шСт Рис. 205. 1 “рез~ VLC полное сопротивление цепи Z имеет наи- меньшее, возможное при данных R, L и С, значение, равное R. Соответственно сила тока достигает наибольшего (воз- можного при данном Um) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряже- нию, приложенному к цепи. Падения на- пряжения на емкости 77 с и индуктивности 77 ь одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений, а частота (95.7) — резонансной частотой. Векторная диа- грамма для случая резонанса напряжений показана на рис. 205. Подставив в выражения для амплитуды напряжения на индуктивности (UL — asLIm) и емкости {ис = значение резонансной частоты (95.7), получим U Грез U Срез — I С т Если у >R, напряжение на индуктивности и на емкости превышает напряжение, приложенное к цепи. Явление резонанса напряжений характерно тем, что полное сопротивление цепи оказывается чисто актив- ным (ток и напряжение изменяются синфазно) и имеет 345
наименьшую возможную при данных параметрах цепй величину. Если емкость в цепи отсутствует, приложенное на- пряжение равно сумме падений напряжения на сопро- тивлении и индуктивности: U = UR + UL. Соответст- вующая векторная диаграмма изображена на рис. 206. В этом случае, как видно из рисунка, ta<px=-S^t j =Ч™ Формулы (95.1) и (95.2) совпадают с полученными Вами выражениями, если положить в них —V = 0, т. е. СВ С/ С — оо. Таким образом, от- сутствие емкости в цепи оз- начает С = оо, а не С = 0, как казалось бы на первый взгляд. Это можно пояснить следующим образом. Посте- пенный переход от цепи, со- держащей емкость, к цепи без емкости можно осуще- ствить, сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения. При этом зазор между обкладками d стремится к нулю, а величина емкости стремится к бес- конечности [см. формулу (25.2)]. § 96. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока [ср. с формулой (37.2)]: Р (0 = U (0 i (t) = Um cos <i>t Im cos (<i>t — tp). Воспользовавшись формулой cos a cos p = у cos (a — p) + у cos (a + p), выражению для мгновенной мощности можно придать вид Р (0 = 1 UmIm cos <р+1 UmIm cos (2®/ - <р). (96.1) 346
мы обозначим просто Р. Рис. 207. Практический интерес представляет среднее по вре- мени значение Р(/), кото] Так как среднее значе- ние cos(2<o/ — ф) равно нулю, Р = -^2-созф. (96.2) Таким образом, мгно- венная мощность (96.1) колеблется около средне- го значения (96.2) с ча- стотой 2(о, в два раза пре- вышающей частоту тока [(рис. 207). Если ток в цепи не совершает механической работы, средняя мощность (96.2) выделяется в активном сопротивлении в виде тепла. В соответствии с форму- лой (95.1) с05ф..- « ... (96.3) У +(*°ь —Ес-). Подставив это значение cos ф в формулу (96.2) и уч< тя, что = 1т [см. формулу (95.2)], получим p=V- (96-4) Такую же мощность развивает постоянный ток, си- ла которого равна / = (96.5) /2 Величина (96.5) называется действующим (или эффективным) значением силы тока. Аналогич- но величина = (96.6) 347
называется действующим значением напря- жен и я. С использованием действующих значений формуле (96.2) для средней мощности можно придать вид Р =UI cos <р. (96.7) В выражение для мощности входит множитель cos <р, который называют коэффициентом мощности. Если реактивное сопротивление X = ©L — равно нулю (это будет, в частности, при Хь = Хс = 0), то со- гласно (96.3) cos <р = 1 и Р = UI. При чисто реактив- ном сопротивлении цепи (R = 0) cos <р = 0, поэтому и средняя мощность, выделяемая в цепи, равна нулю. В этом случае одну четверть периода тока энергия по- ступает из внешней сети в цепь, а следующую четверть периода возвращается обратно (мгновенная мощность изменяется с частотой 2<о). Таким образом, при cos ф = 0 ни при какой силе тока невозможно получить в цепи среднюю мощность, отличную от нуля. В техни- ке стремятся сделать соэф как можно больше. При ма- лом соэф для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большей силы. При этом возра- стают потери в подводящих проводах и приходится увеличивать их сечение. § 97. Символический метод Расчеты цепей переменного тока значительно упро- щаются, если применять так называемый с и м в о л и- yi ческийметод. Этот метод осно- д вывается на том, что, как известно из курса математики, каждому век- тору А, расположенному в коорди- натной плоскости (рис. 208), мо- жно сопоставить комплексное * число Рис. 208. А — а + bj = Ае1а, (97.1) где а и b — проекции вектора на координатные оси (на- чало вектора предполагается совмещенным с началом координат), А — модуль комплексного числа (совпа- дающий с модулем вектора), а — аргумент комплекс- 348
ного числа (совпадающий с углом между вектором и осью х), j — мнимая единица1). Между величинами а, Ь, А и а имеются следующие соотношения: А = Va2 + b2, , b tga = — ° а (97.2) При сложении комплексных чисел складываются от- дельно их вещественные и мнимые части: А = 2 Ak = S ak + /2 Легко видеть, что А соответствует сумме векторов, изображаемых комплексными числами Ah (рис. 209). Из правила перемножения двух комплексных чисел Aela - Be# = АВе1{а+® вытекает, что умножение комплексной величины А = Aeia, изображающей вектор А (рис. 210), на *) В отличие от принятого в математике обозначения i, в элек- тротехнике —1 обозначают буквой /. Использование этого обо- значения, а также обрзначеиие углов и фаз буквой <р не сможет вызвать недоразумений, так как в главах XV и XVI мы не бу- дем прибегать к понятиям Плотности тока и потенциала. В электротехнике для обозначения комплексных величин вместо «крышечки» (например, V) применяется точка (I/). Мы ие можем воспользоваться таким обозначением, поскольку точка над симво- лом величины в физике всегда означает производную по времени. 349
комплексное число е& равнозначно повороту вектора А на угол <р против часовой стрелки. Если <р=-^-, то el<f =cos-^- + jsiny = /. Таким образом, умножение на / равнозначно повороту вектора на угол л/2 против ча-< Совой стрелки. Аналогично умножение на 1// = —j рав- нозначно повороту вектора на угол л/2 по часовой стрелке. Чтобы продемонстрировать преимущества символи- ческого метода, произведем с его помощью вычисление Падений напряжения на индуктивности и емкости. Фор- мула (93.2) запишется в символическом виде следую- щим образом: t/£ = £-^-. L dt Если через индуктивность течет ток i = (97.3) ТО Ol = L ia>LImeiai = /©££ (97.4) Таким образом, для того чтобы получить вектор на- пряжения UL, нужно вектор силы тока умножить на ю£ и повернуть против часовой стрелки на угол л/2. Это согласуется с рис. 200, б. Согласно (94.1) Uc = q/C. Заряд на конденсаторе можно записать в виде q = J i dt. Подставив это выражение в формулу для Uc и пе- рейдя к символической записи, получим 0с = J i dt. Если в цепи течет ток (97.3), = (ЭТ.5) (постоянная составляющая напряжения предполагается отсутствующей; поэтому постоянная интегрирования при* 350
нята равной нулю). Полученный результат согласуется с рис. 202, б. Падение напряжения на активном сопротивлении, очевидно, равно UR~Ri. (97.6) В случае цепи, изображенной на рис. 204, а, сумма величин (97.4), (97.5) и (97.6) даст внешнее напряже- ние U: Ri + jaLi - / i= U. Вынеся i за скобки, получим 7[я + /(©£ - ^)] = и. (97.7) Величина Z = R + j[(S>L—^c) = R + jX (97.8) называется комплексным сопротивлением. В соответствии с формулами (97.2) его модуль равен полному сопротивлению (95.4), а аргумент опреде- ляется формулой (95.1), т. е. равен <р — сдвигу фаз меж- ду напряжением и током. Следовательно, Z = Ze14. (97.9) С введением комплексного сопротивления формула (97.7) принимает вид 7z = t7, (97.10) совпадающий с выражением закона Ома для постоян- ного тока. Из соотношения U = 7z = fZe/'p вытекает, что вектор напряжения U можно получить, умножив вектор силы тока i на Z и повернув против ча- совой стрелки на угол <р. Это согласуется с рис. 204, б. Представим себе последовательную цепь, отдельные участки которой характеризуются комплексными сопро- 351
тивлениями Zh (рис. 211). Согласно (97.10) падение на» пряжения на каждом из участков равно Сумма всех Uh должна быть равна напряжению V, приложенному к цепи: Таким образом, комплексное сопротивление Z после- довательной цепи равно сумме комплексных сопротив- лений отдельных ее участков: Z=S4. (97.11) При параллельном соединении элементов цепи, каж. дый из которых характеризуется комплексным сопро тивлением Zh (рис. 212), полный ток равен i = U Z ’ где (7— приложенное напряжение, Z— комплексное со- противление цепи. Вместе с тем ток i должен быть Рис. 211. Рис. 212. равен сумме токов ik, текущих по отдельным элементам цепи и определяемых выражением ih = U/Zh, Zu Приравняв оба выражения для i, получим формулу для вычисления лельной цепи комплексного сопротивления парал- Z Zft (97.12) 352
(97.13) Правила Кирхгофа в комплексной форме записы- ваются следующим образом: 24 = о, 244=2^, где + “*)есть k-я э. д. с., действующая в данном контуре. Все полученные в настоящем параграфе формулы остаются справедливыми, если вместо амплитудных взять действующие значения токов, напряжений и э. д. с. § 98. Резонанс токов Рис. 213. ', что токи 4 и 4 нахо- Рассмотрим цепь, образованную включенными па- раллельно индуктивностью и емкостью (рис. 213). Предположим, что активное сопротивление обеих вет- вей настолько мало, что им можно пренебречь. В этом слу- чае согласно формулам (97.4) и (97.5) ij = ja>C U; | 72 = -Л = -/-т-1 <98Л) 2 joL 1 aL J Фс = и). Из выражений (98.1) следу дятся в противофазе (ток в индуктивности отстает от U на л/2, ток в емкости опережает U на^л/2). Ток в подво- дящих проводах i равен сумме токов 4 и 4: i= ii + i2 = i(^C При условии, что = ° (98.2) ток i в подводящих проводах будет отсутствовать, хотя токи 4 и 4 в отдельных цепях могут быть очень велики. Это явление называется резонансом токов. Для резонансной частоты из условия (98.2) получается такое же значение, как и при резонансе напряжений [см. формулу (95.7)]. 23 И. В. Савельев, т. JJ 353
При резонансе токи й и й одинаковы по амплитуде и, как уже отмечалось, противоположны по фазе. Сле- довательно, в контуре, образованном индуктивностью и емкостью, циркулирует ток, непрерывно перезаряжая обкладки конденсатора. Соотношение между токами й и i2 можно изобра- зить наглядно с помощью векторной диаграммы^ На диаграмме напряжений (см. рис. 204, б) векторы U от- кладывались относительно оси токов. При построении диаграммы токов векторы i нужно откладывать отно- сительно оси напряжений. Выберем в качестве этой оси Рис. 215. Рис. 214. ось х (рис. 214). Ток в индуктивности отстает от напря- жения на л/2 и потому изображается вектором, повер- нутым относительно оси напряжений по часовой стрел- ке на угол л/2. Ток в емкости опережает напряжение на л/2, соответственно он повернут относительно оси на- пряжений против часовой стрелки на угол л/2. При ре- зонансе длины векторов обоих токов одинаковы, резуль- тирующий ток равен нулю. Практически индуктивность (например, катушка) всегда обладает некоторым активным сопротивлением R ‘) (на рис. 215 это сопротивление и сама индуктив- ность изображены раздельно). Следовательно, отстава- ние тока от напряжения будет меньше л/2 — оно опре- деляется формулой ') Это относится также и к конденсатору; однако активное со- противление в цепи конденсатора может быть сделано значительно меньше, чем в цепи индуктивности. 354
В этом случае векторы q и i2 не коллинеарны и сум- ма их не может быть равной нулю (рис. 216,а). Комп- лексные сопротивления обеих ветвей равны (см. рис. 215) = ~]^с ’ ^2 = R + Сопротивление всей цепи будем вычислять по форму- ле (97.12) 1 . „ . 1 (1 - &LC) + jaCR -г=г- = 1(оС Ч------- 3-------'--1----, z R + jaL R + jtoL откуда г _ R + joL L~ (l-<o2LC)+jwC/? • Умножив числитель и знаменатель на величину, комплексно сопряженную знаменателю, получим 7 _ /? + j[oL(l-o2LC)-<oC^] . (1 - и2£С)2 + (оСЛ)2 ' 1 ' Z даст полное сопротивление параллельной цепи, а отношение реактивной и активной составляю- щих Z — тангенс угла <р, определяющего сдвиг фаз меж- ду напряжением и током. Рис. 216. Можно показать, что максимум полного сопротив- ления Z (т. е. резонанс токов) достигается при условии, что реактивная составляющая Z обращается в нуль и, 23* 355
еледрвательно, полное сопротивление становится чисто активным (рис. 216,6). Резонансную частоту можно найти, приравняв нулю мнимую часть выражения (98.3) со£(1 — ®2£С) —соС/?2 = О. Отсюда _________ ®рез = ~£С ~ ' (98-4) При R = 0 эта формула переходит в (95.7). Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается чисто активным и имеет наибольшую, возможную при данных парамет- рах цепи величину (р случае резонанса напряжений Z рмеет наименьшую величину). При этом токи £ и i2 значительно превышают текущий через источник ток i. Развиваемая источником мощность выделяется в ак- тивном сопротивлении цепи R. Для тока частоты (98.4) контур с малым R имеет очень большое сопротивление, тем большее, чем меньше R (при /?->0 сопротивление контура Z стремится к бесконечности).
ГЛАВА XVI ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ § 99. Свободные колебания в контуре без активного сопротивления Электрические колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность и емкость. Такая цепь на- зывается колебательным контуром. На рис. 217, а изображены последовательные стадии коле- бательного процесса в идеализированном контуре с ак- тивным сопротивлением, равным нулю. Рис. 217. Для того чтобы вызвать колебания, можно присое- динить отключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока, вследствие чего на обкладках возник- нут разноименные заряды величины qm (стадия 1). Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна [см. формулу (29.1)]. 357
Если затем отключить источник тока и замкнуть конден- сатор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре потечет ток. В результате энергия электри- ческого поля будет уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленно- го током, текущим через индуктивность. Эта энергия равна yAi2 [см. формулу (61.4)]. Так как активное сопротивление цепи равно нулю, полная энергия, слагающаяся из энергии электриче- 1 1 2 1 Г -2 ского поля -Q-<г и энергии магнитного поля у Lr, не расходуется на нагревание и будет оставаться постоян- ной. Поэтому в момент, когда напряжение на конден- саторе, а следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а зна- чит, и ток достигают наибольшего значения (стадия 2; начиная с этого момента ток течет за счет э. д. с. само- индукции). В дальнейшем ток уменьшается и, когда за- ряды на обкладках достигнут первоначальной величи- ны qm, сила тока становится равной нулю (стадия 5). Затем те же процессы протекают в обратном порядке (стадии 4 и 5), после чего система приходит в первона- чальное состояние (стадия 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе описанного процесса периодиче- ски изменяются (т. е. колеблются) заряд q на обклад- ках, напряжение U на конденсаторе и сила тока i, теку- щего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей. На рис. 217, б колебаниям в контуре сопоставлены колебания пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсатора соответствует выведение ма- ятника внешней силой из положения равновесия и сооб- щение ему первоначального отклонения хт. При этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пружины, равная [см. т. I, формулу (62.3)]. Ста- дии 2 соответствует прохождение маятника через по- ложение равновесия. В этот момент квазиупругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инер- ции. К этому времени энергия маятника полностью пе- реходит в кинетическую и определяется выражением 358
— тх2. Сопоставление дальнейших стадий предостав- ляем читателю. Из сопоставления электрических и механических ко- лебаний следует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии упругой де- формации, а энергия магнитного поля -jrLi2 анало- гична кинетической энергии. Индуктивность L играет роль массы т, величина, обратная емкости (1/С),— роль коэффициента жесткости k. Наконец, заряду q со- ответствует смещение маятника из положения равнове- сия х, а силе тока i = q — скорость х. Как мы увидим ниже, аналогия между электрическими и механиче- скими колебаниями распространяется и на описываю- щие их математические уравнения. Во время колебаний внешнее напряжение к контуру не приложено. Поэтому падения напряжения на емко- сти Uc—-£r и на индуктивности U L = Lв сумме должны дать нуль гi _4_ = л dt'C и- Разделив это выражение на L и заменив через q{i=q), придем к следующему уравнению: Если ввести обозначение “»=7йГ <"-2> уравнение (99.1) принимает вид q + <t>2q = 0, (99.3) хорошо знакомый нам из учения о механических коле- баниях [см. т. I, уравнение (62.6)]. Решением этого урав- нения, как известно, является функция q — qm cos (®0/ 4- а). (99.4) Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, 359
определяемой выражением (99.2). Эта частота называет- ся собственной частотой контура (она соответ- ствует собственной частоте гармонического осциллятора). Для периода колебаний получается так называемая формула Томсона: Т = 2п УТС. (99.5) Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С: U = cos (®о* + а) = Um cos (®о* + “)• (99.6) Продифференцировав функцию (99.4) по времени, получим выражение для силы тока i = — ®o?m sin (®</ + “) = Лп cos + а + у j. (99.7) Сопоставляя формулы (99.4) и (99.7), заключаем, что в момент, когда ток достигает максимального зна- чения, заряд (а также напряжение) обращается в нуль, и наоборот. Это соотношение.между зарядом и током мы уже установили ранее, основываясь на энергетиче- ских соображениях. Из формул (99.6) и (99.7) вытекает, что Um = ^Q~ , fm = а(Пт- Заменяя <оо по формуле (99.2), получим ("-8> Эту формулу можно получить также, исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля [yCC/m; см. (29.1)j должно быть равно наибольшему значению энергии магнитного поля § 100. Свободные затухающие колебания Всякий реальный контур обладает активным сопро- тивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают, Урав- 360
некие колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на емкости, индуктивности и активном сопротивлении должна быть равна нулю; L^t+Ri + 7г <7 = 0. til Разделив это выражение на L и заменив i через q, а ~ через получим ^ + Т^ + 7Г? = 0- <1001> Учтя, что -jjq равно квадрату собственной частоты контура ©о {см, формулу (99.2)], и введя обозначение Р = -^, (Ю0.2) уравнению (100.1) можно придать вид q + 2₽g + = 0. (100.3) Последнее уравнение совпадает с дифференциаль- ным уравнением затухающих механических колебаний ]см. т. I, формулу (73.2)]. При условии, что Р2<®^, т. е. D2 J ~4L2<~LC~> решение уравнения (100.3) имеет вид q = qmOe~^ cos (<о/ + a), (100.4) где <i> = — р2. Подставляя значение (99.2) для м0 и (100.2) для р, находим, что (100.5) Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты ©о. При R = 0 выражение (100.5) переходит в (99.2). Разделив (100.4) на емкость С, получим напряже- ние на конденсаторе: (7 = е~$* cos (а/ + a) = cos (а/ + a). (100.6) Чтобы найти силу тока, продифференцируем (100.4) по времени: i — q = 1 — Р cos (ю/ 4- a) — о sin (to/ + a)]. 361
Умножим и разделим это выражение на]/®2 + Р2=3 = /®о =®0: i = F - v'A oa" cos И + “) “ irr, о2 sin (<о/+а)1. L г « + ₽ У <о2 + р2 J Введя угол ф, определяемый условиями cos 4 =---, sin 4 = —— = —') К<о2 + р2 <оо т /<о2 + р2 соо ’ можно написать i = <o09m0e-₽f cos (at + a + 4). (100.7) Поскольку cos 4 < 0, a sin4>0, -|-<ф<л. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротив- л. ления ток опережает по фазе . _ напряжение на конденсаторе _____________ более чем на л/2 (при \ / \ А А /? = 0 опережение составля- -\ / \ / \ / \ / ; ет л/2). \ \l \J_ 6 График функции (100.4) изображен на рис. 218. Гра- фики для напряжения и си- Рис 218 лы тока имеют аналогичный вид. Затухание колебаний принято характеризовать ло- гарифмическим декрементом затухания [см. т. I, фор- мулу (73.12)] где a(t)—амплитуда соответствующей величины (q, U или I). Легко проверить, что логарифмический декре- мент затухания обратен по величине числу колебаний Ne, совершаемых за время, в течение которого амплиту- да уменьшается в е раз: *) Этим условиям можно также придать вид tg4> = -f, cos ф < 0. 362
Если затухание 1 ЖИТЬ (£> ~ (£>G = —7— Колебательный контур часто характеризуют его до- бротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декре- менту затухания Q=^- = nNe. (100.8) Л* Из (100.8) следует, что добротность контура тем вы- ше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз. Взяв вме- сто X его значение рГ, получим л 1 ( 2л \ о "рГ- 2р 2р-* невелико (02 <С соо), можно поло- . Тогда “о _ 1 £ _ 1 -| f L ~ 2Р ~ VLC R ~ R V С [согласно (100.2) 2р = R/L], Таким образом, в случае не- сильного затухания _ Q = (100-9) Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону ег&. Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональ- на квадрату амплитуды силы тока (или квадрату амп- литуды напряжения на конденсаторе); следовательно, W убывает по закону е~2№. Относительное уменьшение энергии за период равно ДГ W(t)-W(t + T) 1-е-2₽г . W ~ \V(t) 1 1 е . При незначительном затухании (т. е. при условии, что Х<^1) е-2Л можно приближенно заменить через 1 — 2k ^-=1-(1-2Л) = 2Л. Заменив в этом выражении Л через добротность контура Q в соответствии с формулой (100.8) и решив полученное уравнение относительно Q, получим Q = 2«-^. (100.10) 363
Итак, при слабом затухании добротность контура оказывается пропорциональной отношению энергии, за- пасенной в контуре, к убыли этой энергий за один пе- риод колебания. В заключение отметим, что при т. е. вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при кото- ром колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критическо- го сопротивления RK определяется условием —2- ------ 4L2 LC откуда __ 7?к = 2|/~. (100.11) § 101. Вынужденные электрические колебания Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно ока- зывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную э. д. с. или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты перемен- ное напряжение U. Последний случай рассмотрен под- робно в предыдущей главе1) (см. рис. 204, а). Однако для того, чтобы провести до конца аналогию между электрическими и механическими колебаниями, мы рас- смотрим вынужденные электрические колебания еще раз, придав уравнениям несколько иной вид. Приравняем сумму падений напряжения на элемен- тах контура приложенному напряжению L^- + Ri + 4^q = Uт cos at. Ul O' Перейдя от тока i к заряду q и использовав обозна- чения (99.2) и (100.2), получим уравнение q + 2р</ + a^q = cos at, *) В случае э. д. с. уравнения остаются такими же, нужно лишь функцию U = ит cos at заменить функцией & = <S т cos at. 364
которое совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний [см. т. I, форму- лу (75.2)]. Частное решение этого уравнения имеет вид где q = Ят cos (®/ - ф), tg 2Р<0 (О2 — (О2 (101.1) [см. т. I, формулы (75.7) и (75.8)]. Подстановка в эти выражения значений (100.2) для <оо и р дает (99.2) и (101.2) (101.3) ит tg4 = —j----• мС Общее решение получится, если к частному решению (101.1) прибавить общее решени'е соответствующего однородного уравнения. Это решение было получено в предыдущем параграфе [см. формулу (100.4)], оно со- держит экспоненциальный множитель поэтому по прошествии с начала колебаний достаточного времени становится очень малым и им можно пренебречь. Сле- довательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (101.1). Заметим, что в преды- дущей главе рассматривались лишь установившиеся токи и напряжения. Разделив заряд q на емкость С, получим напряже- ние на конденсаторе Uc = ^ cos (firf - ф) = UСт cos (со/ - ф), С/ где _ Ят____________т __________ Ст с ~ Г 7 ‘ (101.4) 355
Продифференцировав функцию (101.1) по t, найдем установившийся ток в контуре i = — <ы/т sin (<of — ф) = Im cos (co£ — ф + -у). (101.5) Амплитуда тока имеет значение , _________Um_________ •т /----;—rs- (101.6) совпадающее с выражением (95.2). Введя в (101.5) обозначение <р = ф — л/2, мы при- дем к выражению для i, совпадающему с формулой (95.3). В соответствии с (101.3) , 1 aL~-^c R Таким образом, мы снова при- шли к формуле (95.1). Резонансная частота для заряда q и напряжения на конденсаторе Vc равна [см. т. I, формулу (75.11)] ^ = ^ = /^2^ = /I А?2 Г "Ес"- 2/7 (Ю1-7) Резонансные кривые для Uc изображены на рис. 219 (резонансные кривые для q имеют точно такой вид). Они сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний (см. т. I, рис. 189). При <о-*О резонансные кривые стремятся к UCm= Um — напряжению, возникающему на конденсаторе при под- ключении его к источнику постоянного напряжения ве- личины Um. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше 0 = /?/2А, т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность кон- тура. Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 220. Они соответствуют резонансным кривым для 366
скорости при механических колебаниях. Амплитуда си- лы тока (101.6) имеет максимальное значение при coL—1/соС = 0. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой конту- ра <оо- Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси /т, равен нулю — при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. Рис. 220. Рис. 221. При малом затухании (Р2 < со2) резонансную частоту (101.7) для напряжения можно положить равной ©о'- ^-<оо = у=. Согласно формуле (101.4) отношение амплитуды на- пряжения на конденсаторе при резонансе иСтрез к амп- литуде внешнего напряжения Um будет в этом случае равно отрез * * 1/ р t/от “ £ ' с VLC где Q — добротность контура [см. формулу (100.9)]. Добротность контура характеризует также остроту резонансных кривых. Чтобы убедиться в этом, вычис- лим так называемую ширину резонансной кривой для силы тока по половине мощности. Под этой величиной 367
подразумевают разность частот А®, для которых 1т со- ставляет 0,5 от резонансного значения (1т ~ 0,7 jmpe3; рис. 221). Согласно формуле (101.6) квадрат амплитуды силы тока равен U2 При резонансе/т равно ;^рез —Квадрат ампли- туды 1т составит 0,5 /трезпри частотах, удовлетворяю- щих условию (иС Раскрыв скобки, придем после несложных преобра- зований к следующему уравнению: <о4 о а2 г,, С а2 / 1 \2 1-1 = 0. 1 ' LC , С 1 В соответствии с формулой (100.9) ^2у = уг> = (0g. Поэтому можно написать т+1=0. ’о а4 4* а0 Решим это уравнение относительно ®2/®о! При больших добротностях величинами, содержа- щими Q2 в знаменателе, можно пренебречь по срав- нению с 1. Тогда получится ~ = 1± — (1±— ag Q \ 2Q / откуда а , , 1 аГ = ld: 2Q * 968
Таким образом, искомые значения частоты равны и ®2 = со0(1 + 2^). Взяв разность юг — ®ь найдем ширину кривой А ы. Относительная ширина кривой оказывается обрат- ной добротности контура Q: Напомним, что эта формула верна лишь при боль- ших Q, т. е. в случае, когда затухание свободных коле- баний в контуре мало. Мы рассмотрели вынужденные колебания, возни- кающие при включении внешнего напряжения последо- вательно с элементами колебательного контура (см. рис. 204, а). Очевидно, что вынужденные колебания можно, также осуществить, подключив источник на- пряжения параллельно колебательному контуру (см. рис. 215). Резонансная частота в этом случае опреде- ляется формулой (98.4). Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно С/ = U ml COS (©j/ + eq) + и m2 cos (®2^ + «2) + • • • Настроив контур на одну из частот ®2 и т. д. (т. е. подобрав соответствующим образом его парамет- ры С и £), можно получить на конденсаторе напряже- ние, в Q раз превышающее величину данной состав- ляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при на- стройке радиоприемника на нужную длину волны. § 102. Получение незатухающих колебаний Для возбуждения незатухающих электрических ко- лебаний применяются автоколебательные системы с электронными лампами, называемые ламповыми генера- торами. Одна из простейших схем такого генератора приведена на рис. 222. Колебательный контур, в котором возбуждаются колебания, включен между катодом и 24 И. В. Савельев, т. II 369
сеткой триода. В анодную цепь включена катушка La, индуктивно связанная с катушкой L контура. Батарея Бс служит для того, чтобы сместить рабочую точку лампы на середину прямолинейного участка характери- стики (рис. 223). При возникновении колебаний в коп- Рис. 222. Рис. 223. туре напряжение на батареи Бс, равного U с = q/C сетке Uc слагается из напряжения Uo, и напряжения на конденсаторе UC=UO + -^. (102.1) О На рис. 224 график этого напряжения сопоставлен с графиками для заряда q и силы тока i — q в контуре. Если колебания невелики, напряжение Uc будет оста- ваться в пределах прямолинейного участка характери- стики. В этом случае между анодным током 1а и сеточ- ным напряжением Uc имеет место линейная зависимость: 1а ™ ^0 4" X U с, где X — крутизна характеристики на прямолинейном уча- стке, т. е. величина постоянная [см. формулу (75.2)]. Подставив сюда выражение (102.1) для Йс. получим 1а = 1о + SiA) + Х-^г = 1ПОст + "с" <?• (102.2) Таким образом, при синусоидальных изменениях за- ряда q в катушке La кроме постоянной составляющей 370
тока /пост будет течь переменная составляющая inep =-gq, изменения которой совершаются в такт с изменениями q (рис. 224,г). Эта составляющая будет наводить в ка- тушке L переменную э. д. с. взаимной индукции = - Ll2^=-^-q, (102.3) где £12 — взаимная индуктивность катушек L и La. Если переключить концы катушки La (что равно- сильно повороту ее на 180°), направление Si изменится на противоположное. На рис. 224, дне показаны графики Si для обоих спо- собов включения La. Как видно из рисунка, в случае д) Si совпадает по фазе с током в контуре и, следова- тельно, при достаточно сильной связи между ка- тушками может поддержи- вать колебания незату- хающими. Убыль энергии в контуре пополняется за счет источника тока Ба. При включении катушки La, со- ответствующем рис. 224, е, Si находится в противофа- зе с i, вследствие чего пре- пятствует колебаниям в контуре. Существо протекающих в генераторе процессов за- ключается в том, что коле- бательный контур воздействует на анодную цепь лампы, которая в свою очередь оказывает действие на контур., Такой способ получения колебаний называется обрат- ной связью. Соответственно катушку La называют катушкой обратной связи. Строгая теория лампового генератора iyi вообще лю- бой автоколебательной системы, в том числе и механи- ческой) очень сложна, так как приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям. Нелинейность является характерным свойством всех автоколебательных систем. 24*
ГЛАВА XVII ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ § 103. Вихревое электрическое поле Рассмотрим случай электромагнитной индукции, ко- гда контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, а изменения потока магнитной индукции обусловлены из- менениями магнитного поля. Возникновение индукцион- ного тока свидетельствует о том, что изменения магнит- ного поля вызывают появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока. Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в контуре; они также не могут быть силами Лоренца, так как силы Лоренца работы над зарядом не совер- шают. Остается заключить, что индукционный ток обус- ловлен возникающим в контуре электрическим полем. Обозначим напряженность этого поля Ед1). Согласно формуле (32.2) э. д. с. индукции равна циркуляции век- тора Ев по контуру: &i=§EBldl. (103.1) В соответствии с формулой (56.3) = (103.2) s где интеграл берется по произвольной поверхности, опи- рающейся на контур. Поскольку контур неподвижен, опе- *) Это обозначение, равно как и применяемое в дальнейшем обозначение Е?, является вспомогательным. Впоследствии индек- сы В н q мы опустим. 372
рации дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами: <1оз-з> S S Вектор В зависит как от времени, так и от коорди- нат. В правой части уравнения (103.3) имеется в виду производная по времени от В в соответствующей неиз- менной точке поверхности. Поэтому в подынтегральном выражении применен символ частной производной по времени. Произведя замену (103.3) в формуле (103.2) и при- равняв затем выражения (103.1) и (103.2) для по- лучим §EBtdl= — (103.4) . Максвелл предположил, что изменяющееся со вре- менем магнитное поле обусловливает появление, в про- странстве поля Ев, независимо от присутствия в этом пространстве проводящего контура. Наличие контура лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем ин- дукционного тока существование в соответствующих точ- ках пространства электрического поля. Итак, согласно идее Максвелла изменяющееся со вре- менем магнитное поле порождает электрическое поле. Это поле Ев существенно отличается от порождаемого неподвйжными зарядами электростатического поля Е,. Электростатическое поле потенциально, его линии на- пряженности начинаются и заканчиваются на зарядах. Циркуляция вектора Ед по любому контуру равна нулю [см. формулу (9.2)] §E4ldl = 0. (103.5) Согласно формуле (103.4) циркуляция вектора Ев отлична от нуля. Следовательно, поле Ев, как и магнит- ное поле, оказывается вихревым. Линии напряженности поля Ев замкнуты. Таким образом, электрическое поле может быть как потенциальным (Ед), так и вихревым (Ев). В общем случае электрическое поле может слагаться из поля Е4, 373
создаваемого зарядами, и поля. Ев, обусловленного из- меняющимся со временем магнитным полем. Сложив вместе выражения (103.5) и (103.4), получим для на- пряженности суммарного поля Е = Е, + Ев следующее соотношение: §Etdl = - (103.6) s Интеграл в левой части берется по произвольному замкнутому контуру, в правой части — по произвольной поверхности, опирающейся на этот контур. Выражение (103.6) является одним из основных урав- нении электромагнитной теории Максвелла. § 104. Бетатрон Рис. 225. Вихревое электрическое поле используется в индук- ционном ускорителе электронов, называемом бетатро- ном. Этот прибор состоит из тороидальной эвакуиро- ванной камеры, помещающейся между полюсами элек- тромагнита специальной формы (рис. 225). Обмотка электромагнита питается переменным током с частотой порядка 100 гц. Возникаю- щее при этом переменное магнитное поле выполняет две функции: во-первых, В создает вихревое электри- ческое поле, ускоряющее электроны, и, во-вторых, удерживает электроны на орбите, совпадающей с осью камеры. Чтобы удержать элек- трон на орбите постоянного радиуса, необходимо по ме- ре возрастания его скорости увеличивать магнитную ин- дукцию поля [согласно формуле (64.2) радиус орбиты пропорционален u/jB], Поэтому для ускорения могут быть использованы лишь 2-я и 4-я четверти периода то- ка, в начале которых ток в обмотке магнита равен нулю. Таким образом, бетатрон работает в импульсном режи- ме. В начале импульса в камеру подается из электрон- ной пушки пучок электронов, который подхватывается вихревым электрическим полем и начинает со все воз- 374
растающей скоростью двигаться по круговой орбите. За время нарастания магнитного поля (~10-3 сек) элек- троны успевают сделать до миллиона оборотов и при- обретают энергию, которая может достигать нескольких сотен Мэв. При такой энергии масса электрона в сотни раз превышает массу покоя, а скорость почти равна скорости света в пустоте с. Для того чтобы ускоряемый электрон двигался по орбите постоянного радиуса г0, между магнитной индук- цией поля на орбите и внутри нее должно выполняться простое соотношение, которое мы сейчас найдем. Вих- ревое поле направлено по касательной к орбите, по ко- торой движется электрон. Следовательно, циркуляцию вектора Е по этой орбите можно представить в виде 2лг0Е. Вместе с тем согласно формулам (103.1) и (103.2) циркуляция вектора Е равна —Знак «—» указы- вает направление Е. Нас будет интересовать лишь ве-' личина напряженности поля, поэтому знак «—» мы в дальнейшем опустим. Приравняв оба выражения для циркуляции, найдем, что с- 1 d® 2nrB dt Уравнения движения электрона запишутся следую- щим образом: dt 2лг0 dt ’ ' ' -^ = еиВорб (104.2) Го н (последнее уравнение получается, если произведение массы электрона на его центростремительное ускорение приравнять лоренцевой силе; ВОрб — магнитная индук- ция поля на орбите). Начав отсчет времени с момента, когда v и Ф равны нулю, и проинтегрировав уравнение (.104.1) от 0 до /, получим 6 ти = -2^Ф- Магнитное поле перпендикулярно к плоскости орбиты., Поэтому можно положить Ф = лгоВ, где В — среднее 375
по площади орбиты значение магнитной индукции. Тогда имеем mv = -~В. Сопоставляя последнее соотношение с (104.2), нахо- дим искомое условие Рис. 226. расстоянием г от центра Таким образом, для того чтобы электрон все время двигался по орбите радиуса г0, магнитная индукция на орбите должна составлять половину среднего значения магнитной индукции внутри орбиты. Это достигается за счет изготовления полюсных наконечников в виде усечен- ных конусов (см. рис. 225). Для устойчивости электро- на на орбите необходимо, что- бы при случайных радиаль- ных отклонениях электрона возникали силы, возвращаю- щие его снова на орбиту ра- диуса rG. Для этого магнит- ная индукция должна в окре- стности орбиты убывать с медленнее, чем 1/г (рис. 226). Центростремительное ускорение убывает по закону 1/г. Следовательно, при переходе электрона на орбиту ради- уса п < г0 лоренцева сила окажется недостаточной для сообщения электрону необходимого центростремитель- ного ускорения, вследствие чего он удалится от центра и вернется на орбиту радиуса г0. При переходе электро- на на орбиту радиуса г2 > г0 сила Лоренца окажется больше, чем необходимо для сообщения ускорения иЧг2, вследствие чего она вернет электрон на устойчи- вую орбиту радиуса /о- Осевая устойчивость электрона обеспечивается «боч- кообразностью» магнитного поля (см. рис. 225). Сила Лоренца перпендикулярна к линиям индукции В. 'Сле- довательно, при отклонении электрона от плоскости ор- биты (т. е. в осевом направлении) появляется состав- ляющая силы, которая, как легко видеть из рис. 227, возвращает орбиту электрона в прежнюю плоскость. 376
В конце цикла ускорения включается дополнитель- ное магнитное поле, которое отклоняет ускоренные элек- троны от стационарной орбиты и направляет их на спе- циальную мишень, расположен- ную внутри камеры. Попадая на мищень, электроны испускают жесткое электромагнитное излу- чение (у-лучи, рентгеновские лу- чи). Применяются бетатроны глав- ным образом в ядерных исследо- ваниях. Небольшие ускорители на энергию до 50 Мэв нашли применение в промышленности как источники очень жесткого рентгеновского излучения, используемого для целей де- фектоскопии массивных изделий. § 105. Ток смещения Как было выяснено в § 103, из явления электромаг- нитной индукции вытекает, что наличие в пространстве изменяющегося магнитного поля приводит к возникно- вению вихревого электрического поля. Основная идея Максвелла заключается в том, что между электриче- ским и магнитным полями имеется и обратное соотно- шение, т. е. что изменяющееся со временем электриче- ское поле должно приводить к появлению магнитного поля. Эта идея оказалась исключительно плодотворной. Разработанная Максвеллом на ее основе электромаг- нитная теория получила блестящее экспериментальное подтверждение. Для установления количественных соотношений ме- жду изменяющимся электрическим и возникающим маг- нитным полями Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения. Рассмотрим цепь квази- стационарного переменного тока, содержащую конденса- тор (рис. 228). Движение свободных носителей заряда, т. е. ток проводимости, имеет место"во всей цепи, кроме зазора между обкладками конденсатора. Следовательно, линии тока проводимости терпят на границах обкладок разрыв. Зато в пространстве между обкладками имеется переменное электрическое поле, которое можно 377
охарактеризовать смещением D. Максвелл предполо- жил, что линии тока проводимости непрерывно перехо- дят на границе обкладок в линии тока, названного им током смещения1). Мгновенное значение силы тока равно i = q. Плот- ность тока проводимости в непосредственной близости от поверхности обкладок определяется выражением где S— площадь обкладки, q — распределенный на ней заряд, о — поверхностная плотность заряда. Рис. 228. Рис. 229. Чтобы линии тока смещения имели такую же гу- стоту, как и линии тока проводимости, плотность тока смещения /см также должна быть равна а. Выразим /см через параметры электрического поля, имеющегося в зазоре. Согласно формулам (16.19) и (8.6) электриче- ское смещение в зазоре между обкладками равно D = = е0Ео = о, откуда о = D. Таким образом, нужно положить /см = Л (Ю5.1) Рис. 229 поясняет, что направление вектора jnp, а следовательно и вектора jCM, совпадает с направлением *) Во времена Максвелла считалось, что электрические поля вызваны механическими натяжениями в гипотетической упругой среде, называемой мировым эфиром. Предполагалось,, что эти натя- жения приводят к смещению частиц эфира из положения равно- весия. 378
вектора D. При указанных на рис. 229, а знаках зарядов и направлении тока I вектор jnp направлен слева на- право. Вектор D также направлен слева направо и рас- тет по величине. Следовательно, приращение вектора D, а значит и вектор D, имеет то же направление, что и jnp. При направлении тока, указанном на рис. 229, б, вектор D убывает по величине. Следовательно, вектор D на- правлен справа налево, т. е. опять так же, как и вектор 5пР. На этом основании выражение (105.1) можно на- писать в векторном виде Jcm = b. (105.2) Формулу (105.2), определяющую плотность тока сме- щения, Максвелл распространил на электрические поля любого вида1), в том числе и на вихревые поля. Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Мак- свелл приписал току смещения лишь одно — способ- ность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Согласно Максвеллу при расчетах магнитных по- лей в формулы нужно подставлять полную плотность тока, слагающуюся из плотности тока проводимости и плотности тока смещения: ]полн = jnp 4" Jcm ~ Jnp 4” (105.3) В .частности, циркуляция вектора Н по любому кон- туру [см. формулу (44.7)] должна быть равна f Ht dl = J (]полн)„dS = J (jnp + D)„ dS. (105.4) s s Уравнение (105.4) представляет собой второе основ- ное уравнение теории Максвелла. Согласно формуле (105.2) ток смещения имеется везде, где есть изменяющееся электрическое поле. Сле- довательно, он существует и внутри проводника, по ко- торому течет переменный электрический ток. Однако внутри проводов /см обычно бывает пренебрежимо мал по сравнению с /пр. *) Под Ь в этом случае следует понимать поскольку D может зависеть не только от времени, но и от координат. 379
В гауссовой системе выражение, определяющее ток смещения, имеет вид jcM = ib. (1Э5.5) § 106. Электромагнитное поле Согласно идеям Максвелла переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, в свою очередь переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным. Таким образом, электрическое и магнитное поля оказываются неразрывно связанными друг с другом —они образуют единое электромагнитное поле. Анализ результатов фундаментального опыта Май- кельсона *) и других опытных фактов привел Эйнштей- на к заключению, что принцип относительности, установ- ленный Галилеем для механических явлений (см. т. I, § 17), должен быть распространен и на все другие фи- зические явления. Согласно принципу относитель- ности, сформулированному Эйнштейном, законы всех физических явлений, в том числе и электромагнитных, имеют одинаковый вид (т. е. описываются одинаковыми уравнениями) во всех инерциальных системах отсчета. Из принципа относительности вытекает, что раздель- ное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, элек- тростатическое поле создается системой неподвижных зарядов. Однако, если заряды неподвижны относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то относитель- но других инерциальных систем эти заряды движутся и, следовательно, будут порождать не только электри- ческое, но и магнитное поле (движущийся заряд экви- валентей току). Неподвижный провод с постоянным то- ком создает в каждой точке пространства постоянное магнитное поле. Однако относительно других инерциаль- ных систем этот провод находится в движении. Поэтому создаваемое им магнитное поле в любой точке с дан- ными координатами х, у, г будет меняться и, следова- тельно, порождать вихревое электрическое поле. Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы ’) Этот опыт будет изложен в Оптике. 380
отсчета оказывается «чисто» электрическим или «чисто» Магнитным, относительно других систем отсчета будет представлять собой совокупность электрического и маг- нитного полей. ^u Рис. 230. § 107. Описание свойств векторных полей Поток вектора через некоторую поверхность и цир- куляция вектора по заданному контуру позволяют су- дить о характере векторного поля. Однако эти величины Дают среднюю характеристику поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через которую определяет- ся поток, или в окрестности контура, по которому бе- рется циркуляция. Уменьшая размеры поверхности или контура (стягивая их в точку), мож- но прийти к величинам, которые бу- дут характеризовать векторное поле в данной точке. Для того чтобы вве- сти эти величины, нам придется бо- лее глубоко вникнуть в смысл поня- тий потока и циркуляции. Пусть нам дано поле вектора ско- рости несжимаемой неразрывной жидкости. Поток вектора скорости через некоторую поверхность дает, как мы знаем, объем жидкости, про- текающей через эту поверхность в единицу времени. Возь- мем в окрестности точки Р воображаемую замкнутую по- верхность S (рис. 230). Если в объеме V, ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет, очевидно, равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источ- ники или стоки жидкости, т. е. точки, в которых жид- кость поступает в объем (источники), либо удаляется из объема (стоки). Величина потока определяет суммар- ную алгебраическую мощность источников и стоков1). При преобладании источников над стоками величина потока будет положительной, при преобладании сто- ков — отрицательной. *) Под мощностью источника (стока) понимается объем сти, выделяемый (поглощаемый) в единицу времени. Сток рассматривать как источник с отрицательной мощностью. жидко- можио 381
Частное от деления потока Фжидк на величину об-ь ема, из которого поток вытекает, т. е. Фжидк V (107.1) назовем средней удельной мощностью источников, за- ключенных в объеме V. Чем меньше объем V, включаю- щий в себя точку Р, тем ближе это среднее к истинной удельной мощности в этой точке. В пределе при стрем- лении V к нулю, т. е. при стягивании объема V к точке Р, выражение (107.1) даст истинную удельную мощ- ность источников в точке Р, которую называют дивер- генцией (или расхождением) вектора v (обо- значается div v). Итак, по определению ,. ,. Фжидк divv= lim —г;—. V-ь P " Аналогично определяется дивергенция любого вектора А: Ф. if. divA= lim -т4- = lim -n- (b AndS. (107.2) v-*p v v->p v g Интеграл берется по произвольной замкнутой поверх- ности S, ограничивающей объем V. Поскольку совер- шается переход V -> Р, при котором S стремится к нулю, от формы поверхности выражение (107.2) зависеть не может. Легко сообразить, что дивергенция определяется по- ведением векторной функции А(Р) в окрестности дан- ной точки, т. е. тем, каков характер изменения вектора А (или его компонент Ax,Ay,Az) при переходе от одной точки пространства к другой. Из определения (107.2) следует, что дивергенция есть скалярная функция координат, определяющих по- ложения точек в пространстве (кратко — функция точ- ки). Определение (107.2) является самым общим, не зависящим от выбора координатной системы. Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки Р (х, у, z) малый объем в виде параллелепипеда с реб- рами, параллельными координатным осям (рис. 231) [напомним, что форма поверхности, по которой берется интеграл в выражении (107.2), может быть произволь- 382
ной]. Ввиду малости объема [согласно (107.2) мы будем его стремить к нулю] значения Ах, Ау, Ах в пределах каж- дой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности. Найдем поток через пару граней, перпендикулярных к оси х (на рис. 231 эти грани заштрихованы косой штриховкой и помечены цифрами 1 и 2). Внеш- 2 няя нормаль п2 к грани 2 совпадает с направле- нием оси х. Следователь- но, Ап2 = Лж2 и поток через грань 2 равен Ax2AyAz (индекс 2 ука- зывает на то, что значе- ние Ах берется в том ме- О сте, где расположена / грань 2). Нормаль щ к У грани 1 имеет направле- 31 л ние, противоположное Рис. 231. оси х. Поэтому проекции вектора на ось х и на щ имеют противоположные знаки. Таким образом, Ani = —Axi, а поток через грань 1 ра- вен —AxiAyAz (индекс 1 указывает на то, что значение Ах берется в том месте, где расположена грань /). Сум- марный поток через грани 1 и 2 определяется выраже- нием (Дл.2-Лж1)Дг/Дг. (107.3) Разность Лж2— ЛЖ1 представляет собой приращение Ах при смещении вдоль оси х на Дх. Ввиду малости Дх Mr * т это приращение можно представить в виде Ах. Тог- да (107.3) переходит в •^Д^-Дх Ау Дг = -^-ДР. дх дх Путем аналогичных рассуждений можно получить для потоков через пары граней, перпендикулярных к осям у и z, выражения йА, дАг —-AV и -У-AV ду oz 383
Следовательно, полный поток через всю замкнутую поверхность определяется выражением Разделив это выражение на ДР, найдем дивергенцию вектора А в точке Р(х, у, z): дАх (107.4) (предельный переход Р —*Р мы предвосхитили, полагая Ах, Ау и Аг в пределах каждой из граней постоянными величинами). Зная дивергенцию вектора А в каждой точке про- странства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность Конечных размеров. Для этого разо- бьем объем, ограниченный поверхностью S, на большое (в пределе бесконечно большое) чис- ло малых (в пределе бесконечно ма- . лых) объемчиков (рис. 232). Согласно \ формуле (107.2) поток вектора А, вы- 4 текающий из любого из этих объем- чиков, может быть записан в виде поток — div А ДР. Рис. 232. Если просуммировать это выраже- ние по всем объемчикам, справа по- лучится Г divAtfP, взятый по всему объему, ограниченному поверхностью S, а слева, как легко убедиться, получится поток вектора А через по- верхность S. В самом деле, при суммировании каждый из потоков, текущих через грани, разделяющие два со- седних объемчика, войдет дважды с противоположными знаками (значения Ап для соседних объемчиков одина- ковы по абсолютной величине, но отличаются знаком). Поэтому потоки через внутренние перегородки взаимно уничтожаются, некомпенсированными останутся только потоки через внешние грани объемчиков, которые в сум- ме дадут поток через S. 384
Таким образом, мы пришли к соотношению $ A„dS = J divAdV, S V (107.5) которое носит название теоремы Остроградско- го - Г аусса. Обратимся снова к течению идеальной несжимаемой жидкости. Представим себе замкнутую линию — контур Г. Предположим, что каким-то способом мы заморозим мгновенно жидкость во всем объеме, за исключением очень тонкого замкнутого кана- „ ла постоянного сечения, вклто- чающего в себя контур Г н-л (рис. 233). В зависимости от ха- // рактера течения (от характера поля вектора скорости) жид- ^77 // кость в образовавшемся канале —гг----'ууС. окажется либо неподвижной, ли- "* бо будет двигаться вдоль конту- ра (циркулировать) в одном из Рис. 233. двух возможных направлений. В качестве меры этого движения возьмем величину, рав- ную произведению скорости жидкости в канале, умно- женной на длину контура I. Эту величину назвали циркуляцией вектора v по контуру Г1). Итак, циркуляция v по Г = vl (поскольку канал по предположению имеет постоянное сечение, модуль скорости г = const). В момент затвердевания стенок у каждой из частиц жидкости в канале будет погашена составляющая ско- рости, перпендикулярная к стенке, и останется лишь составляющая скорости vh касательная к контуру. С этой составляющей связан импульс dpi, модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала дли- ны dl, имеет величину povidl (р — плотность жидкости, о — площадь поперечного сечения канала). Поскольку жидкость идеальна, действие стенок может изменить лишь направление dpi, но не его величину. Взаимодействие *) Идея такого объяснения смысла циркуляции заимствована у Фейнмана (см. Фейнмановские лекции по физике, вып. 5, стр. 17, «Мир», 1966). 25 И. В. Савельев, т, II 385
между частицами жидкости вызовет такое перераспре- деление импульса между ними, которое выровняет ско- рости всех частиц. При этом алгебраическая сумма им- пульсов не может измениться: импульс, приобретав-, мый одной из взаимодействующих частиц, равен им- пульсу, теряемому второй частицей. Это означает, что povl = povi dl, г где v — скорость циркуляции, Vi — касательная состав- ляющая скорости жидкости в объеме cdl в момент вре- мени, предшествовавший затвердеванию стенок капала. Сократив на рсг, получим, что циркуляция v по Г — vl — (j) vt dl. г Аналогично определяется циркуляция любого векто- ра А по произвольному контуру Г: циркуляция А по Г — Atl = At dl, (107.6) г где At — среднее по контуру значение касательной со- ставляющей вектора А. Можно подумать, что для отличия циркуляции от нуля векторные линии должны быть замкнутыми или хотя бы как-то изогнутыми в направлении обхода по контуру. Легко убедиться в ошибочности такого пред- положения. Рассмотрим ламинарное течение жидкости в реке. Скорость жидкости непосредственно у дна рав- на нулю и возрастает при приближении к поверхности воды (рис. 234). Линии тока (линии вектора v) прямо- линейны. Несмотря на это, циркуляция вектора v по изображенному пунктиром контуру, очевидно, отлична от нуля. Циркуляция характеризует свойства поля, усреднен- ные по области с размерами порядка поперечника кон- тура Г. Чтобы получить характеристику свойств поля в точке Р, нужно уменьшать размеры контура Г, стяги- вая его в точку Р. Однако сама циркуляция при этом обратится в нуль. Действительно, среднее значение Ai — конечная величина, а длина контура I в пределе равна 38§
нулю. Следовательно, и произведение обращается в нуль. Поэтому целесообразно в качестве характеристики поля вектора А в точке Р взять предел отношения цир- куляции вектора А по плоскому контуру Г, стягивающе- муся к точке Р, к величине площади контура S *): lim ЯДя^я-А5°£. (Ю7.7) s->p й Однако при нахождении предела (107.7) обнаружи- вается следующее осложнение: величина этого предела ГА У А Рис. 234. зависит не только от свойств поля в точке Р, но также и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали п к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура при интегри- ровании правилом правого винта). Определяя предел (107.7) в одной и той же точке Р для разных направле- ний п, мы будем получать различные значения, причем для противоположных направлений эти значения отли- чаются только знаком (изменение направления п на противоположное эквивалентно изменению направления обхода по контуру во время интегрирования, что вызовет лишь изменение знака у циркуляции). Для какого-то на- правления нормали величина (107.7) в данной точке окажется максимальной. >) В случае дивергенции берется отношение интеграла по по- верхности к объему, охватываемому этой поверхностью. В данном случае берется отношение интеграла по контуру к поверхности, охватываемой этим контуром. 25* 387
Таким образом, величина (107.7) ведет себя как про- екция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение величины (107.7) определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали п, при котором достигается максимум, дает на- правление вектора. Этот вектор называется ротором (или вихрем) вектора А. Обозначается он символом rot А. Используя это обозначение, можно записать вы- ражение (107.7) в виде 8->Р циркуляция А по Г (107.8) Под (rot А) п подразумевается проекция вектора rot А на положительную нормаль к площадке S, охватывае- мой контуром Г. Выражение (107.8) может служить определением век- тора rot А. Из него следует, что ротор есть векторная функция точки Р. Определение (107.8) является самым общим, не за- висящим от выбора системы координат. Для того чтобы найти выражения для про- екций вектора rot А на оси декартовой системы коор- динат, нужно определить значения величины (107.8) для таких ориентаций пло- щадки S, при которых нор- маль п к площадке совпа- дает с одной из осей х, у, г. Если, например, направить п по оси к, то (107.8) пре- вратится в (го1А)ж. Контур Г расположен в этом слу- чае в плоскости, параллель- Рис. 235. ной координатной плоскости yz. Возьмем этот контур в виде прямоугольника со сторонами Ау и Дг (рис. 235; ось х имеет на этом рисунке направление на нас; ука- занное на рисунке направление обхода связано с на- правлением оси х правилом правого винта). Имея в ви- ду предельный переход S -> Р, можно считать значения Ау й Аг на каждой из четырех сторон контура неизмен- ными. Участок 1 контура противоположен по направле- 388
нию оси z. Поэтому Ai на этом участке совпадает с —Az\ (индекс 1 указывает на то, что Аг берется в том месте; где расположен участок /). Рассуждая аналогично, найдем, что А/ на участках 2, 3 и 4 равна соответствен- но Av2, AzS и— Ли. В итоге получим для циркуляции значение (Аг3 - Аг1) Az - (Avi - AvZ) Ay. (107.9) Разность Лг3 — АгХ представляет собой приращение Л2 при смещении вдоль оси у на Ау. Ввиду малости Ау это приращение можно представить в виде ^^-Ау. Ана- логично разность Ayi — Ау2 можно представить в виде Az. Подставив эти выражения в (107.9) и вынося об- dz щий множитель за скобки, получим / дАг дАу \ . ду _ / ЭАг дАу \ циркуляция А = ----AyAz-(—------------—] AS, где AS — площадь контура. Разделив циркуляцию на AS, найдем выражение для проекции rot А на ось х: (rotA)x=^-^ (107.10) (предельный переход S-+P мы предвосхитили, предпо- ложив, что на каждом из участков контура Ау и Az не- изменны). Путем аналогичных рассуждений можно най- ти, что (107.11) (rotA), = ^-^’ (Ю7.12) Легко убедиться в том, что любое из выражений (107.10) —(107.12) может быть получено из предыду- щего [для (107.10) предыдущим следует считать(107.12)] путем так называемой циклической перестановки коор- динат, т. е. замены координат, осуществляемой по схеме: 389
Итак, ротор вектора А определяется в декартовой системе координат следующим выражением: rot А «= 1 дл2 дг ~~ дх дАг дАу ду дг 1дАу дАх\ + k I—------ r к V дх ду Г (107.13) Ниже мы укажем более изящный способ записи этого выражения. Зная ротор вектора А в каждой точке некоторой по- верхности S, можно вычислить циркуляцию этого век- тора по контуру, ограничивающему S. Для этого разо- бьем поверхность на очень малые элементы AS. Соглас- но (107.8) циркуляция вектора А по контуру, ограничи- вающему AS, может быть представ- лена в виде циркуляция А = (rot A)n AS, AS N Рис. 236. где п — положительная нормаль к элементу поверхности AS. Просум- мировав эти выражения по всей по- верхности S, справа получим J (rot A)n dS, слева — циркуляцию А S Действительно, при суммировании отвечающие отрезкам, разделяющим по контуру Г. слагаемые AZA1, смежные элементы поверхности, взаимно уничтожатся. Например, для AS, лежащей слева от MN (рис. 236), этот участок при определении циркуляции проходится в направлении N-+M, а для AS, лежащей справа от MN, тот же участок проходится в направлении M-+N. Следовательно, отвечающие MN слагаемые А;Д1 отли- чаются для смежных площадок лишь знаком и при сло- жении дают нуль. Некомпенсированными останутся только слагаемые AzAZ для внешних (по отношению ко всей поверхности S) участков отдельных контуров, ко- торые в сумме дадут (j) At dl. г Таким образом, мы пришли к соотношению АЛЛ = J(rotA)ndS, (107.14) Г S которое носит название теоремы Стокса. 390
Написание формул векторного анализа значительно упрощается и облегчается, если ввести в рассмотрение векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом V (набла) и носящий название оператора набла. или оператора Гамильтона. Под этим оператором подразумевается вектор с составляющими д д д ~дх ’ ~ду ~дх ' Следовательно, V = + (107.15) дх 3 ду дх ' ' Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приоб- ретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор V на скаляр <р, то получится вектор V<p = i-^ + i-^ + k (107.16) v дх ' 3 ду дх ’ ' ‘ который, как мы знаем (см. §11), называется градиен- том функции ф. Если вектор V умножить скалярно на вектор А, по- лучится скаляр дАх дАи дАг + + + + (Ю7.17) который есть не что иное, как дивергенция вектора А [см. (107.4)]. Наконец, если умножить V на А векторно, полу- чится вектор с составляющими: tVA]Jt. = VI/Ai— dAz дАу — ------и т. д., которые совпадают с составляю- щими rot А [см. (107.10) — (107.12)]. Следовательно, вос- пользовавшись записью векторного произведения с по- мощью определителя, можно написать: i J k rot А = [VA] = д д д дх ду дх (107.18) Ах Ау Аг Пользуясь вектором V, ляется дифференциальным нужно помнить, что он яв- оператором, действующим на 391
все функции, стоящие справа от него. Поэтому при пре- образовании выражений, в которые входит V, нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и пра- вила дифференциального исчисления. Так, например, производная произведения функций ф и ф равна (фф)' = ф'ф + Фф'. В соответствии с этим grad (фф) = V (фф) = ф\7<р + ф\7ф = ф grad ф + ф grad ф. Градиент некоторой функции ф представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть при- менены операции и дивергенции, и ротора: div grad ф = V (?ф) = (VV) Ф = (^ + V* + ф|) Ф = + <107.19) (Д —оператор Лапласа), rot grad ф = [V, \7ф] = [W] ф = 0, (107.20) так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю. Электростатическое поле Е может быть представлено как градиент потенциала ф (см. формулу (11.3)]. Соглас- но (9.2) циркуляция этого поля для любого контура равна нулю, что согласуется с (107.20). Ротор вектора А является векторной функцией точ- ки. Следовательно, к нему могут быть применены опе- рации дивергенции и ротора: div rot А = V [VA] = О (107.21) (из векторной алгебры известно, что смешанное произ- ведение векторов равно объему параллелепипеда, по- строенного на перемножаемых векторах; если два из этих векторов совпадают, то объем параллелепипеда равен нулю), rot rot А = [V, [VА] ] = V (VA) - (W) А = = gr a d di v А — ДА (107.22) [мы воспользовались формулой [А, (ВСД=В(АС)— -С(АВ)]. 392
Из формулы (107.21) вытекает, что поле ротора не имеет источников, линии такого поля замкнуты, либо уходят в бесконечность. Подобным свойством обладают линии магнитного поля. Это позволяет представить поле вектора магнитной индукции В как поле ротора неко- торой векторной функции А1), которую называют век- торным потенциалом В = rot А. (107.23) Входить в дальнейшие подробности по поводу вектор- ного потенциала мы не имеем возможности. § 108. Уравнения Максвелла Открытие тока смещения позволило Максвеллу соз- дать единую теорию электрических и магнитных явле- ний. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых яв- лений, существование которых подтвердилось впослед- ствии. Основным следствием теории Максвелла был вы- вод о существовании электромагнитных волн, распро- страняющихся со скоростью света. Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света. Основу теории образуют уравнения Максвелла. В уче- нии об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике. Первую пару уравнений Максвелла образуют урав- нения (103.6) и (44.1). Для удобства изложения напишем их еще раз J dS, (108.1) з " B„dS = 0. (108.2) Первое из этих уравнений связывает значения Е с временными изменениями вектора В и является по су- ществу выражением закона электромагнитной индукции. *) Во всех предыдущих формулах символом А мы обозначали произвольный вектор. Векторный потенциал магнитного поля при- нято обозначать этим же символом А. 393
Второе уравнение отражает то свойство вектора В, что его линии замкнуты (или уходят в бесконечность). Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравне- ния (105.4) и (16.6): s s (j) Dn dS = J p dV s v (108.3) (108.4) (под j здесь и в дальнейшем понимается плотность тока проводимости). Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнит- ным полем. Второе показывает, что линии вектора D мо- гут начинаться и оканчиваться на зарядах. Уравнения (108.1) — (108.4) представляют собой урав- нения Максвелла в интегральной форме. Они связывают значения Е или Н вдоль некоторого контура со значения- ми В (соответственно Ь) в точках опирающейся на кон- тур поверхности. От уравнений в интегральной форме можно с помощью теорем векторного анализа перейти к уравнениям в дифференциальной форме, которые связы- вают значения Е или Н в некоторой точке с В (соответ- ственно D) в той же самой точке пространства. Применим теорему Стокса [см. (107.14)]клевой части формулы (108.1), взяв в качестве поверхности, по кото- рой производится интегрирование функции (rot Е) п, ту же поверхность, по которой берется интеграл в правой части. Тогда уравнение (108.1) примет вид J(rotEMS=-J(^)/S. 3 3 Оба интеграла берутся по одной и той же поверх- ности. Поэтому полученное равенство можно написать следующим образом: 8 Это равенство должно выполняться для произвольно выбранной поверхности интегрирования S, что, очевидно, 394
возможно лишь в том случае, если подынтегральное вы- ражение в любой точке пространства для произвольно ориентированной площадки dS будет равно нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что в каждой точке пространства выполняется равенство Применив теорему Стокса к формуле (108.3) и повто- рив те же самые рассуждения, найдем, что rotH=j + ^. Теперь применим теорему Остроградского — Гаусса [см. (107.5)] к левой части формулы (108.4). В резуль- тате получим уравнение J divDdV = J pdV. V V При произвольном выборе объема, по которому про- изводится интегрирование, полученное соотношение мо- жет выполняться лишь при условии, что подынтеграль- ные выражения в обеих частях имеют в каждой точке пространства одинаковые значения, т. е. div D = р. Применение теоремы Остроградского — Гаусса к фор- муле (108.2) дает div В =0. Итак, в дифференциальной форме уравнения Макс- велла выглядят следующим образом: , - ЗВ rot Е dt , div В = 0 (108.5) (108.6) (первая пара уравнений), rotH=j + -^-, div D = р, (108.7) (108.8) (вторая пара уравнений). 395
При решении этих уравнений используется то обстоя- тельство, что между имеются соотношения входящими в них величинами D = eoeE, (108.9) В=ЦорН, (108.10) J = oE. (108.11) уравнений (108.5) — (108.11) об- Совокупность семи разует основу электродинамики покоящихся сред. Спроектировав уравнения (108.5) и (108.7) на коор- динатные оси, получим вместо каждого из векторных уравнений три скалярных. Приняв во внимание формулы (107.10) — (107.12), получим дЕх дЕу дВх ду дг dt ’ дЕх дЕг дВу дг дх ” dt • дЕи дЕх дВг dx дНг ду дНу dt ’ dDx — i 4- ду дг /х I dt . дНх дН; dDy Й— ;J * dz дх h ' dt ’ дНу дНх dD? — ; j дх ду 1 dt ' (108.6) и (108.8) можно (108.12) (108.13) написать в ска- (107.4) (108.14) Уравнения лярном виде, использовав соотношение дВх дВи дБ, дх т ду дг и» dDx ( dDy ( dDz дх * ду + дг ~ Р" (108.15) В гауссовой системе уравнения Максвел ла имеют вид rot Е = - 1 <ЭВ с dt ‘ (108.16) div В = 0, .4л , rot Н = —- i с 1 3D с dt (108.17) div D = 4лр,
ГЛАВА XVIII ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ § 109. Волновое уравнение В предыдущей главе мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, во- обще говоря, тоже оказывается переменным1). Это пе- ременное магнитное поле порождает электрическое поле и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью заря- дов переменное электрическое или магнитное поле, в окружающем пространстве возникнет последователь- ность взаимных превращений электрического и магнит- ного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в простран- стве и, следовательно, представляет собой волну. Вывод о возможности существования электромагнитных волн вытекает, как мы сейчас покажем, из уравнений Макс- велла. Напишем уравнения Максвелла для однородной ней- тральной (р = 0) непроводящей (J = 0) среды с постоян- ными проницаемостями е и ц. В этом случае 5В _ dH dD _ dE dt -WX° dt ’ dt ~Be° dt • div В = ppo div H и div D = ee0 div E. ) Для того чтобы возникшее магнитное поле было постоян- ным, необходимо соблюдение весьма специального условия: Ь => const. 397
Следовательно, уравнения (108.5) —(108.8) имеют вид rotE = ан (109.1) дНх дНу , дНг п (109.2) dlvH“ дх 1 ду 1 дг и’ rotH = дБ еео dt ’ (109.3) дЕх дх Н 1 ду 1 dz (109.4) Применим к уравнению (109.1) операцию rot rot (rot Е) = — рр,0 rot • (109.5) Символ rot означает дифференцирование по коорди- натам. Меняя порядок дифференцирования по координа- там и времени, можно написать rot (rot Н). Произведя в уравнении (109.5) эту замену и подставив в получившееся выражение значение (109.3) для rot Н, получим rot(rot Е) =» — ееоцро-^-. (109.6) Применив операцию rot к уравнению (109.3) и произ- ведя аналогичные преобразования, придем к уравнению rot (rot Н) = — ee0|4i0 4^-. (109.7) В соответствии с (107.22) rot rot Е = grad div Е —ДЕ. При условии, выражаемом уравнением (109.4), первый член этого равенства обращается в нуль. Следовательно, левая часть формулы (109.6) может быть записана в виде —ДЕ. Опустив в получающейся формуле знак ми- нус слева и справа, придем к уравнению ДЕ = 86о|1Ц.о или, расписав ДЕ, <Э2Е . <?2Е . <?2Е _ <Э2Е „лпо\ дх2 ду2 + dz2 dt2 * (109.8) 398
Сходным образом уравнение (109.7) можно преобра- зовать к виду а2н , <э2н , <э2н _ а2н дх2 *“ ду2 + дг2 =ееоЩ1о др • (109.9) Заметим, что уравнения (109.8) и (109.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравне- ний (109.1) и (109.3), каждое из которых содержит и Е и Н. Уравнение вида д2} d2f _ 1 d2f дх2 ду2 дг2 v2 dt2 представляет собой волновое уравнение [см. т. I, § 80)]. Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный d2f из величины, обратной коэффициенту при дает фа- зовую скорость этой волны. Таким образом, уравнения (109.8) и (109.9) указывают на то, что электромагнит- ные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна /еоцо /eg (109.10) Для вакуума по этой формуле получается v = —т= = —• . — V eogo -j / 4л. ю-7 г 4л-9 -10» 3 • 108 м!сек — с [см. значения (4.2) и (38.3) для ео и ц0]- Таким образом, в вакууме фазовая скорость электро- магнитных волн совпадает со скоростью света. В гауссовой системе с /ер~* (109.11) .399
§110. Плоская электромагнитная волна Исследуем плоскую электромагнитную волну, распро- страняющуюся в однородной непроводящей среде (р = 0, j « 0, D = еебЕ, В = рцоН, е и р, — постоянные). Напра- вим ось х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и Н, а значит, и их составляющие не будут за- висеть от координат у и г. Поэтому уравнения (108.12)— (108.15) упрощаются следующим образом: Л=0 dt и’ dEz дНу ~дх~~^~дГ ’ dEy дНг ~дх~ = — dt ’ = 0 dt dHz dEy дх ~ ee° ~дГ > dHB dEz ~дх ee°~dt~' ^ = o, дх 9 -^ = 0. дх (110.1) (110.2) (110.3) (110.4) Первое из уравнений (110.2) и уравнение (110.4) по- казывают, что Ех не может зависеть ни от t, ни от х. Пер- вое из уравнений (110.1) и уравнение (110.3) дают тот же результат для Нх. Таким образом, отличные от нуля Ех и Нх могут быть обусловлены лишь постоянными од- нородными полями, накладывающимися на электромаг- нитное поле волны. Само поле волны не имеет состав- ляющих вдоль оси х, т. е. векторы Е и Н перпендику* лярны к направлению распространения волны — элек- тромагнитные волны поперечны. В дальнейшем мы бу- дем предполагать постоянные поля отсутствующими и полагать Ех = Нх = 0. Два последних уравнения (110.1) и два последних уравнения (110.2) можно объединить в две независимые 400
группы: дЕи SHZ дх = ~^°~дГ • dHz дЕу дх и dt ’ dEz дНу —ч— = Ц|Хл —з;— , дх dt ’ дНу dEz дх -ее° dt ' (110.5) (110.6) Первая группа уравнений связывает составляющие Еу и Hz, вторая — Ez и Ну. Предположим, что первоначально было создано переменное электрическое поле Еу, на- правленное вдоль оси у. Согласно второму из уравнений (110.5) это поле создаст магнитное поле Hz, направлен- ное вдоль оси z. В соответствии с первым уравнением (110.5) поле Hz создаст электрическое поле Еу и т. д. Ни поле Ez, ни поле Ну при этом не возникают. Анало- гично, если первоначально было создано поле Ez, то со- гласно уравнениям (109.6) появится поле Ну, которое возбудит поле Ег и т. д. В этом случае не возникают по- ля Еу и Hz. Таким образом, для описания плоской элек- тромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (110.5) и (110.6), положив составляющие, фигурирующие в другой системе, равными нулю. Возьмем для описания волны уравнения (110.5), по- ложив Ez = Ну = 0. Продифференцируем первое уравне- с dHz д дНг п ние по х и произведем замену: dHz ставив затем из второго уравнения, получим волно- вое уравнение для Еу. д2Еу д*Е" П1П71 -^- = ееощхо-^-. (110.7) Продифференцировав по х второе уравнение (110.5), найдем после аналогичных преобразований волновое уравнение для Hz: срНг „ д2Нг /1 I л al ‘^"2" = еео1Фо Qfi • (НОЛ) 26 И. В. Савельев, т. II «11
Напомним, что остальные составляющие Е и Н равны нулю, так что Е = Еу и Н =» Hz. Мы сохранили в уравне- ниях (110.7) и (110.8) индексы у и z при Е и И для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что векторы Е и Н направлены по взаимно перпендикулярным осям у и z. Уравнения (110.7) и (110.8) представляют собой част- ный случай уравнений (109.8) и (109.9). Простейшим решением уравнения (110.7) будет функция . Еу = Ет cos (со/ — kx + dj. (110.9) Решение уравнения (110.8) имеет аналогичный вид = Нт cos (со/ — kx + а2). (110.10) В этих формулах со — частота волны, k — волновое число, равное со/о, cci и а2— начальные фазы колебаний в точках с координатой х — 0. Подставим функции (110.9) и (110.10) в уравнения (110.5): kEm sin (со/ — kx + а,) — цц0со/7от sin (со/ — kx + a2), kHm sin (co/ — kx + a2) = ee0coEOT sin (co/ — kx + ал). Для того чтобы уравнения удовлетворялись, необхо- димо равенство начальных фаз си и аг. Кроме того, дол- жны соблюдаться соотношения: kEm = \i\i^Hm, ~ kHm. Перемножив эти два равенства, находим, что е80^ = НИ0^т- Таким образом, колебания электрического и магнит- ного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой (ai =a2), а амплитуды этих векторов связаны соотношением Ет Vree0 =/AnVSw (110.11) Из формулы (110.11) вытекает, что между значения- ми Ет и Нщ для волны, распространяющейся в пустоте, имеется соотношение = -1/ Но. = у4л. Ю~7 • 4л • 9 • 109 = пт Г Во ,________ = V (4л)2 900 = 120л ~ 377. (110.12) 402
В гауссовой системе формула (110.11) имеет вид ЕтУг=Нт ]/"ц. Следовательно, в пустоте Ет = Нт (Ет намеряется в СГСЭ- единицах, Нт — в СГСМ-единицах). Умножив уравнение (110.9) на орт оси у(Еу\ = Е), а уравнение (110.10) на орт оси z (Hzk= Н), получим уравнения плоской электромагнитной волны в векторном виде: Е = Ет cos (at — kx), Н = Hm cos (at — kx) (110.13) (мы ПОЛОЖИЛИ си = 0C2 = 0). На рис. 237 показана «моментальная фотография» плоской электромагнитной волны. Как видно из рисунка, векторы Е и Н образуют с направлением распро- yfi л странения волны право- винтовую систему. В У фиксированной точке пространства векторы Е g -ттгт^/muTIjz и Н изменяются со вре- менем по гармоническо- му закону. Они юдновре- менно увеличиваются от Н нуля, затем через */д пе- г риода достигают наи- Рис 237 большего значения (при- чем, если Е направлен вверх, то Н направлен вправо; смотрим вдоль направле- ния, по которому распространяется волна). Еще через lh периода оба вектора одновременно обращаются в нуль. Затем опять достигают наибольшего значения (но на этот раз Е направлен вниз, а Н — влево). И, нако- нец, по завершении периода колебания векторы снова обращаются в нуль. Такие изменения векторов Е и Н происходят во всех точках пространства, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точками, от- считанным вдоль оси х. 26* 403
§ 111. Экспериментальное исследование электромагнитных волн Экспериментальная проверка вывода теории Макс- велла о существовании электромагнитных волн была осу- ществлена Герцем в 1888 г. Для получения волн Герц применил изо- бретенный им вибра- тор, состоящий из двух стержней, разделенных искровым промежутком (рис. 238). В колебательном кон- туре, образованном кон- денсатором С и катуш- кой L (рис. 239, а), элек- трическое поле сосредо- точено в зазоре между обкладками, а магнит- ное — внутри катушки. В окружающем конден- сатор и катушку прост- ранстве поля практичес- ки равны нулю, поэтому заметного излучения волн Рис. 238. Рис. 239. не происходит. Чтобы излучение играло заметную роль, нужно сделать области, в которых возникают по- ля, менее обособленными от окружающего простран- ства. Этого можно достигнуть, увеличивая расстояние между обкладками конденсатора и между витками ка- 404
тушки (рис. 239,6 и в). В пределе мы придем к вибра- тору Герца (рис. 239,г). В процессе видоизменений, изображенных на рис. 239, а — г, сильно уменьшается емкость и индуктивность контура, что также выгодно, так как приводит к увеличению частоты колебаний (см. формулу (99.2)], а следовательно к уменьшению длины волны. С волнами же меньшей длины легче экспе- риментировать. Герц достиг частот порядка 108 гц и по- лучал волны, длина которых составляла от 10 до 0,6 м. Для возбуждения колебаний вибратор подключался к индуктору (рис. 238). Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробивного значения, возникала искра, которая закорачивала обе половинки вибратора (в соответствии с этим на рис. 239, г разрыв посредине вибратора не показан). В результате возникали свобод- ные затухающие колебания, которые продолжались до тех пор, пока искра не гасла. Для того чтобы возникаю- щий при колебаниях высокочастотный ток не ответв- лялся в обмотку индуктора, между вибратором и индук- тором включались дроссели Др,т.е. катушки с большой индуктивностью (сопротивление индуктивности пере- менному току равно ©L). После по- гасания искры вибратор снова заря- жался от индуктора и весь процесс повторялся вновь. Таким образом, вибратор Герца возбуждал ряд цу- гов слабо затухающих волн. В вибраторе во время колебаний устанавливалась стоячая волна то- ка и напряжения. Сила тока i (рис. 240, а) была максимальна в (пучность тока) и обращалась в / 1-и а.) Рис. Я 240. 4 середине вибратора нуль на его концах (узлы тока). Напряжение U (рис. 240, 6) в середине вибратора имело узел, на концах — пучности. Таким об- разом, вибратор аналогичен струне, колеблющейся с основной (т. е. наименьшей) частотой. Длина X излучае- мых вибратором волн приблизительно в два раза превы- шала длину вибратора. По этой причине подобный виб- ратор называют полуволновым. Заметим, что если каким-либо образом возбудить в вибраторе вынужден- ные колебания в два раза большей частоты, то рас- пределение токов и напряжений будет иметь вид, 405
изображенный на рис. 241. В этом случае вибратор анало- гичен струне, колеблющейся с частотой первого обертона. Исследование излучаемой волны Герц осуществлял также при помощи полуволнового вибратора с неболь- шим искровым промежутком посредине. При размещении такого вибратора параллельно вектору напряженности электрического поля волны в нем возбуждались колеба- ния тока и напряжения. Так как длина вибратора была равна 1/2, колебания в нем вследст- \ / вие резонанса достигали такой X У интенсивности, что вызывали про- / X скакивание в искровом промежутке { । и небольших искр ’). *ч г С помощью больших металличе- , х ских зеркал и асфальтовой призмы 1 ' (размером более 1 м и весом 1,2 т) 1 Герц осуществил отражение и пре- 241. ломление электромагнитных волн и показал, что оба эти явления подчи- няются законам, установленным в оптике для световых волн. Поместив излучающий вибратор в фокусе вогнуто- го зеркала, Герц получил направленную плоскую волну. На ее пути он расположил плоское зеркало и получил таким образом стоячую волну. Измерив расстояние между узлами и пучностями волны, Герц нашел длину волны 1. Произведение 1 на частоту колебаний вибра- тора v дало скорость электромагнитных волн, которая оказалась близкой к с. Располагая на пути волн решет- ку из параллельных друг другу медных проволок, Герц обнаружил, что при вращении решетки вокруг луча ин- тенсивность волн, прошедших сквозь решетку, сильно изменяется. Когда проволоки, образующие решетку, бы- ли перпендикулярны к вектору Е, волна проходила сквозь решетку без помех. При расположении проволок параллельно Е волна сквозь решетку не проходила. Та- ким образом была доказана поперечность электромаг- нитных волн. Опыты Герца были продолжены П. Н. Лебедевым, который в 1894 г. получил электромагнитные волны дли- •) В современных демонстрациях в искровой промежуток вклю- чают небольшую лампочку. Яркость ее свечения указывает интен- сивность волны. 406
ной 6 мм и исследовал прохождение их в кристаллах. При этом было обнаружено двойное преломление волн (см. Оптику). В 1896 г. А. С. Попов впервые осуществил с помощью электромагнитных волн передачу сообщения на расстоя- ние около 250 м (были переданы слова «Генрих Герц»). Тем самым было положено основание радиотехнике. § 112. Энергия электромагнитного поля Возможность обнаружения электромагнитных волн (по проскакиванию искры, свечению лампочки и т. п.) указывает на то, что эти волны переносят энергию. Для переноса энергии волной была введена (см. т. I, § 82) векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Она численно равна количеству энергии, пере- носимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению, в котором течет энер- гия. Направление' вектора плотности потока энергии со- впадает с направлением переноса энергии. Там же было показано, что плотность потока энергии можно получить, умножив плотность энергии на скорость волны [см. т. I, формулу (82.8)]. Плотность энергии электромагнитного поля w сла- гается из плотности энергии электрического поля [опре- деляемой формулой (30.2)] и плотности энергии магнит- ного поля [определяемой формулой (61.8)]: г ее0£* । w = wE + wH = —| В данной точке пространства векторы Е и Н изме- няются в одинаковой фазе’). Поэтому соотношение (110.11) между амплитудными значениями Е и Н спра- ведливо и для их мгновенных значений. Отсюда следует, что плотность энергии электрического и магнитного по- лей каждый момент времени одинакова: wE = По- этому йожно написать, что ау = 2®в = евоЕ2. •) Это справедливо только для непроводящей среды. В прово- дящей среде фазы Е и Н не совпадают. 407
Воспользовавшись тем, что Е ]/~её0= Н УцНо» выраже- нию для плотности энергии электромагнитной волны можно придать вид _____________ w — У ее0р(10 ЕН. (112.1) В соответствии с формулой (109.10) скорость элек- тромагнитной волны равна v — Умножив плот- V ееоцЦо ность энергии w на скорость v, получим плотность по- тока энергии S — wv = EH. (112.2) Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление вектора (ЕН] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН (sin а = 1). Следовательно, вектор плотности потока энергии можно представить как векторное произ- ведение Е и Н S = [EHJ. (112.3) Вектор S называется вектором Пойнтинга. В гауссовой системе выражение для S имеет вид S = -~ [ЕН]. (112.4) Поток энергии Ф^,, т. е. количество энергии, переноси- мое волной в единицу времени через некоторую поверх- ность S, равен [см. т. I, формулу (82.14)] (112.5) s (здесь — нормальная составляющая вектора S; dS — элемент поверхности S). В качестве примера на применение формулы (112.5) рассмотрим участок однородного цилиндрического про- водника, по которому течет стационарный (т. е. не изме- няющийся со временем) ток (рис. 242). Вначале будем считать, что на этом участке сторонние силы отсутствуют. Тогда согласно формуле (33.4) в каждой точке провод- ника выполняется соотношение j = оЕ = — Е. л Р 408
Стационарный (постоянный) ток распределяется по сечению провода с постоянной плотностью j. Следова- тельно, Е в пределах изображенного на рис. 242 участка проводника будет однородным. Выделим мысленно вну- три проводника цилиндрический объем радиуса г и дли- ны I. В каждой точке боковой поверхности этого цилин- дра вектор Н перпендикулярен к вектору Е и направлен по касательной к поверхности (см. рис. 242). Величина Н равна ~ jr [согласно теореме (44.7) 2лгН = /№]. Таким образом, вектор (112.3) в каждой точке поверхности направлен к оси провода и имеет ве- личину S — EH = —Ejr. Умножив S на боковую поверхность цилиндра, равную 2лг/, найдем, что внутрь рас- сматриваемого нами объема втекает поток электромагнитной энергии (по- ток вектора S) Ф$ = 2лг/ • S = 2лг1 • — Ejr = = £/• лг2/ = £/• V, (112.6) где V — объем цилиндра. Согласно (34.5) Ej есть количество тепла, выделяю- щееся в единицу времени в единице объема проводника. Следовательно, равенство (112.6) указывает на то, что энергия, выделяющаяся в виде ленц-джоулева тепла, поступает в проводник через его боковую поверхность в виде энергии электромагнитного поля. Отметим, что поток энергии Фа по мере проникнове- ния в глубь проводника постепенно ослабляется [умень- шается и S (он пропорционален расстоянию от оси про- вода г), и поверхность, через которую течет поток] за счет поглощения энергии и превращения ее в тепло. Теперь допустим, что в пределах рассматриваемого нами' участка проводника действует сторонние силы, поле которых однородно (Е* = const). В этом случае со- гласно формуле (35.4) в каждой точке проводника имеет место соотношение j==a(E + E*) = у(Е+Е’)> 409
из которого вытекает, что E=pj —Е*. (112.7) Будем считать, что сторонние силы на рассматривав’ мом участке цепи не противятся, а способствуют про- хождению тока. Это означает, что направление Е* совпа-* дает с направлением j. Допустим, что выполняется соот- ношение р/ = Е*. Тогда окажется, что напряженность электростатического поля Е в каждой точке равна йулю, и поток электромагнитной энергии через боковую поверх- ность отсутствует, В этом случае тепло -выделяется за счет работы сторонних сил. Если же имеет место соотношение Е* > р/, то, как следует из (112.7), вектор Е будет направлен противопо- ложно вектору j. В этом случае векторы Е и S имеют направления, противоположные указанным на рис. 242. Следовательно, электромагнитная энергия не втекает, а наоборот вытекает через боковую поверхность провод- ника в окружающее его пространство. Резюмируя, можно сказать, что в замкнутой цепи стационарного тока энергия от участков, где действуют сторонние силы, передается к другим участкам цепи не вдоль проводников, а через окружающее проводники пространство в виде потока электромагнитной энергии, характеризуемого вектором S. § 113. Импульс электромагнитного поля Падая на какое-либо тело, электромагнитная волна должна оказывать на него .давление. Происхождение этого давления легко пояснить на примере проводящего гела (о Ф 0)'. Пусть плоская волна падает по нормали па плоскую поверхность тела (рис. 243). Электрический вектор волны возбуждает в теле ток плотности j = оЕ. Магнитное поле волны будет действовать на ток с силой, величину которой в расчете на единицу объема тела можно найти по формуле (47.2): *ед.об = ВВ] = 11роПН1- Направление этой силы, как видно из рис. 243, совпа- дает с направлением распространения волны. 410
Согласно вычислению Максвелла в случае, когда тело полностью поглощает падающую на него энергию, дав- ление равно среднему (по времени) значению плотности энергии в падающей волне: р = w = ^.+. (H3.1) Если тело отражает волну, посылая в обратном на- правлении волну интенсивности S = kS0 (S& — интенсив- ность, т. е. плотность потока энергии падающей волны, k — коэффициент отражения), то давление равно p = (l+k)w, (113.2) где w — среднее значение плот- - ности энергии падающей волны. Для идеально отражающего те- ла k = 1 и р = 2w. Из того факта, что электро- магнитная волна оказывает дав- ление, вытекает, что поле элек- тромагнитной волны обладает импульсом. Вычисления дают для объема (плотности импульса) поля Рис. 243. импульса единицы в пустоте значение Кед.об=-^8=-^[ЕН]. (113.3) Наличие импульса заставляет приписать электромаг- нитному полю массу, связанную с импульсом соотноше- нием К — тс (поле в вакууме распространяется со ско- ростью с). Разделив модуль выражения (113.3) на с, получим массу единицы объема поля ЕН т.ел, об — сз • ЕН Выражение -у дает плотность энергии поля w. Сле- довательно, можно написать, что ________ W тец. об • Полученное нами соотношение является частным случаем вытекающего из теории относительности 411
соотношения между массой и энергией: U7 = mc2, (113.4) согласно которому всякое изменение энергии системы (под которой понимается совокупность тел и полей) свя- зано с изменением ее массы и, наоборот, изменение мас- сы системы влечет за собой изменение ее энергии. Если свет представляет собой, как предположил Максвелл, электромагнитную волну, он должен оказывать на тела давление. Правда, величина этого давления, вы- численная по формуле (И3.1), оказывается очень малой. Так, например, на расстоянии 1 м от источника света си- лой в миллион свечей давление составляет всего лишь около 10~7 н/м2 (10-4 дин!см2). Обнаружить и измерить световое давление удалось П. Н. Лебедеву. Осуществив опыты, потребовавшие большой изобретательности и ма- стерства, Лебедев измерил в 1900 г. давление света на твердые тела и в 1910 г. — на газы. Результаты измере- ний оказались в полном согласии с теорией Максвелла. § 114. Излучение диполя Во время совершающихся в вибраторе Герца колеба- ний происходит периодическое изменение его дипольного электрического момента. Поэтому излучатели подобного вида называются также диполями. Вибратор Герца представляет собой полуволновой диполь (его длина I равна 7J2). Рассмотрим излучение диполя, длина кото- рого мала по^сравнению с длиной волны Такой диполь называется элементарным. Простейший элементарный диполь образуют два то- чечных заряда +q и — q, колеблющиеся в противофазе около некоторой точки О (рис. 244, о). Дипольный элек- трический момент такой системы изменяется со време- нем по закону р = ql cos cof • n = pm cos at, (П4.1) где I—удвоенная амплитуда колебаний каждого из за- рядов, п — единичный вектор, направленный вдоль оси диполя, р,п — qln. Такой же электрический момент имеет система, обра- зованная неподвижным положительным зарядом +? и 412
колеблющимся около него с амплитудой I отрицательным зарядом — q (рис. 244,6). Рассмотрение такой излучаю- щей системы особенно важно потому, что к ней может быть сведено излучение электромагнитных волн электро* ном атома. Согласно классическим представлениям элек- трон движется в атоме вокруг ядра по эллиптической ор- бите. Движение по эллипсу можно разложить на два взаимно перпендикулярных колебания (см. т. I, § 71).Та- ким образом, излучение атома можно свести к излучению элементарного диполя [длина вблны видимого света (— 10~7 м) на много порядков больше диаметра орбиты (~10-‘° м)]. В непосредственной близо- сти от диполя картина элек- тромагнитного поля носит очень сложный характер. Она сильно упрощается в так на- зываемой волновой зоне диполя, которая начинается на расстояниях г, значительно превышающих длину вол- ны (r ^>Z). Если волна распространяется в однородной изотропной среде, то волновой фронт в волновой зоне будет'сферическим (рис. 245). Векторы Е и Н в каждой точке взаимно перпендикулярны и перпендикулярны к лучу, т. е. ра- диусу-вектору проведенному в дан- ную точку из диполя (по сравнению с расстоянием до точек волновой зоны размерами диполя можно пре- небречь). Назовем сечения волнового фронта плоскостями, проходящими через ось диполя, меридианами, а плоскостями, перпендикулярными, к оси диполя, — параллелями. Тогда можно сказать, что вектор Е в каждой точке волновой зоны направлен по касательной к меридиану, а век- тор Н—по касательной к параллели. Если смотреть вдоль, луча г, то мгновенная картина волны будет такой 413
же, как на рис. 237, с тем отличием, что амплитуда при перемещении по лучу постепенно убывает. В каждой точке векторы Е и Н колеблются по закону cos(<o/— kr). Амплитуды колебания Ет и Нт зависят от расстояния г до излучателя и от угла й между направле- нием радиуса-вектора г и осью диполя (рис. 245). Эта зависимость для вакуума имеет следующий вид: Ет~ Нт~ у-sin О. Среднее значение плотности потока энергии £ про- порционально произведению ЕтНт, т. е. S — sin2 th (114.2) Из этой формулы вытекает, что интенсивность волны изменяется вдоль луча (при О = const) обратно пропор- ционально квадрату расстояния от излучателя. Кроме того, она зависит от угла Ф. Сильнее всего излучает ди- поль в направлениях, перпендикулярных к его оси = В направлениях, совпадающих с осью (0 = 0 ил), электрический ди- г? поль не излучает. Зави- f симость интенсивности ( X волны от угла О очень । ) наглядно изображается с X. / у \ / помощью так называе- мой диаграммы на- ' правленности ди- Рис. 246. поля (рис. 246). Эта диаграмма строится та- ким образом, чтобы длина отрезка, отсекаемого ею на луче, проведенном из центра диполя, давала в известном масштабе интенсивность излучения под углом О. Энергия, излуч.аемая по всем направлениям в еди- ницу времени, называется интенсивностью (или мощностью) излучения. Соответствующий расчет дает для интенсивности излучения элементарного диполя следующее выражение: '-/Ьёт* <|14-3> 414
Согласно формуле (114.1) р2 = g2/2©4 cos2 of. Подста- вив это значение в формулу (114.3), получим (114.4) Поскольку cos2 at сРеДняя по времени интенсив- ность излучения равна /Но РщЮ4 е0 12пс2 Таким образом, средняя интенсивность излучения ди- поля пропорциональна квадрату амплитуды электри- ческого момента диполя и четвертой степени частоты. По- этому при малой частоте излучение электрических систем (например, линий передачи переменного тока промыш- ленной частоты) бывает незначительным. Если диполь образован системой из неподвижного и колеблющегося зарядов, I в формуле (114.4) означает амплитуду колебания, а величина /2<о4 cos2 at равна квад- рату ускорения w колеблющегося заряда. В этом случае формулу для интенсивности излучения можно записать следующим образом: (114.5) Эта формула сохраняет свое значение и при произ- вольном движении заряда. Всякий заряд, движущийся с ускорением, возбуждает электромагнитные волны, при- чем мощность излучения дается формулой (114.5). Элек- троны, ускоряемые в бетатроне (см. § 104), также те- ряют энергию за счет излучения, обусловленного центро- о2- г- ж стремительным ускорением wn = —. Согласно формуле (114.5) количество теряемой на излучение энергии силь- но растет с увеличением скорости электронов в бетатроне (пропорционально о4). Поэтому возможное ускорение электронов в бетатроне ограничено пределом в 500 Мэв (при скорости, соответствующей этому значению, потери на излучение становятся равными энергии, сообщаемой электронам вихревым электрическим полем). 415
В отличие от случая, когда ускорение изменяется по гармоническому закону, при произвольном w излучение представляет собой не монохроматическую волну, а со- стоит из набора волн различных частот. Согласно формуле (114.5) интенсивность обращается в нуль при w = 0. Следовательно, электрон, движущийся с постоянной скоростью, не излучает электромагнитных волн. Это, однако, справедливо лишь в том случае, если скорость электрона vsn не превышает скорости света vQB = —y= в той среде, в которой движется электрон. У ен В случае иэл > Осв') наблюдается излучение, открытое в 1934 г. С. И. Вавиловым и П. А. Черенковым. Более под- робно об этом излучении будет идти речь в Оптике. ) Этот случаи не может осуществиться при движении элек- трона в вакууме, так как согласно теории относительности скорость любых частиц не может превысить с.
ПРИЛОЖЕНИЕ I ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН В СИ И В ГАУССОВОЙ СИСТЕМЕ В системе единиц СИ: электрическая постоянная 1 ~ 1 ,, е° 4л (2,99776)2 • 109 ф,М ~ 4л • 9 • 109 Ф‘М’ магнитная постоянная цо = 4л • 10~7 гн!м. В гауссовой системе единиц электродинамическая постоянная с = 2,99776- 1010 см]сек & 3- Ю10 см/сек. Соотношения между единицами даны приближенно. Чтобы получить точные значения, нужно в величинах, приведенных в последнем столбце, заменить 3 на 2,99776 и 9 на (2,99776)2. Величина и ее обозначение Единица измерения и ее обозначение Соотношение между единицами си гауссова система Сила f Работа А и энергия ЧГ Заряд q Напряженность электрического по- ля Е Потенциал <р, раз- ность потенциалов или напряжение U и э. д. с. g ньютон (н) джоуль (дж) кулон (к) вольт па метр (в/м) вольт (в) дина (дин) эрг (эрг) СГСЭ-ед. СГСЭ-ед. СГСЭ-ед. 1 н = 105 дин 1 дж = 107 эрг 1 к = = 3-109 СГСЭ-ед. 1 СГСЭ-ед. = = 3 • 104 в/М 1 СГСЭ-ед. = = 300 в 417
Продолжение Величина и ее Единица измерения и ее обозначение обозначение си гауссова система между единицами Электрический ди- польный момент р к • м СГСЭ-ед. 1 к-л = 3- 10" СГСЭ-ед. Вектор поляризации Р к/мг СГСЭ-ед. 1 к/л2 = 3- 105 СГСЭ-ед. Диэлектрическая восприимчивость к СИ-ед. СГСЭ-ед. 1 СГСЭ-ед. = 4л СИ-ед. Электрическое сме- щение (электриче- ская индукция) D кулои иа квадратный метр (k/jw2) СГСЭ-ед. 1 к/л<2 = 4л • 3 • 105 СГСЭ-ед. Поток электрическо- го смещения (по- ток электрической индукции) Ф кулон (к) СГСЭ-ед. 1 к — 4л 3 • 109 СГСЭ-ед. Электрическая ем- кость С фарада (ф) сантиметр (см) 1 ф = 9- 10" см Сила тока 1 ампер (а) СГСЭ-ед. 1а = 3- 10' СГСЭ-ед. Плотность тока j ампер на кв. метр (а/м2) СГСЭ-ед. 1 а/мг = 3- 105 СГСЭ-ед. Электрическое со- противление В ом (ом) СГСЭ-ед. 1 СГСЭ-ед. = = 9•10" ом Удельное сопротив- ление р ом • м СГСЭ-ед. 1 СГСЭ-ед. = = 9 • 10э ом - м Магнитная индукция В тесла (гл) гаусс (гс) 1 гл = 104 гс Поток магнитной ин- дукции Ф и пото- косцепление 'Г вебер (вб) максвелл (мкс) 1 вб = 108 мкс Магнитный момент Рт а- м? СГСМ-ед. 1 а • л2 = 103 СГСМ-ед. Вектор намагниче- ния J ампер иа ' метр (а/м) СГСМ-ед. (гаусс) 1 СГСМ-ед. = = 103 а/м 418
Продолжение Величина и ее обозначение Единица измерения и ее обозначение Соотношение между единицами си гауссова система Напряженность ма- гнитного поля Н Магнитная воспри- имчивость % Индуктивность L и взаимная индук- тивность LI2 ампер на метр (а/м) СИ-ед. генри (гн) эрстед (э) СГСМ-ед. сантиметр (ел) 1а/м=4л,'- 10~3 а 1э — 79,6 а/м 1 СГСМ-ед. = = 4л СИ-ед. 1 гн — 1СР см ПРИЛОЖЕНИЕ П ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА В СИ И В ГАУССОВОЙ СИСТЕМЕ Наименование СИ Гауссова система Закон Кулона Напряженность электри- ческого поля (определе- ние) Напряженность поля то- чечного заряда Напряженность поля меж- ду заряженными плоско- стями и вблизи поверх- ности заряженного про- водника Потенциал (определение) . 1 Ч1Я2 ' 4ле0 г2 Е = 4ле0 ег2 ф ЖЭ f Т=" г2 2. ’ ч ег2 е Ур ч 27* 419
Продолжение Наименование си Гауссова система Потенциал точечного за- 1 Ч ф 9 ряда т 4пе0 ег ф er Работа сил поля над за- рядом А = q (q>i - <jp2) Связь между Е и <р Е == — grad <p 2 Связь между <р и Е — <р2 = J Eidl 1 Связь между ф и Е в од- нородном поле <Pi — <Ps = Ed Циркуляция вектора Е для электростатического по- ля £ EzdZ=O Электрический момент ди- поля P = ql Механический момент, дей- ствующий на диполь в электрическом поле M = [pE] Энергия диполя в электри- ческом поле r = -pE Дипольный момент «упру- гой» молекулы P = ₽e0E P = ₽E Вектор поляризации (опре- деление) ЛИ ₽= ДК Связь между Р и Е P = xe0E P = xE Связь между Р и поверх- ностной плотностью свя- занных зарядов о' = Pn — тйЕп o' = = x£„ Электрическое смещение (электрическая индук- ция) (определение) D = e0E + P D= Е + 4лР 420
П родолжение Наименование СИ Гауссова система Связь между относитель- ной диэлектрической проницаемостью е и ди- электрической восприим- чивостью X е= 1 +х е = 1 -р 4лх Связь между значениями х в СИ (хси) и в гаус- совой системе (хгс) *СИ = Связь между D и Е D = ее0Е D=eE Связь между D и Е в ва- кууме D = е0Е D=E D поля точечного заряда D ’ 9 г2 4л г2 Теорема Гаусса для D DndS — <7 (j* DndS = 4л Напряжение (определение) <р2 + <?12 Емкость конденсатора (определение) с= q и Емкость плоского конден- сатора „ е0е5 С d г eS 4л</ Энергия системы зарядов Энергия заряженного кон- денсатора Г = си2 2 Плотность энергии элек- трического поля еоеЕ2 w~ 2 ' еЕ». W 8л Сила тока (определение) 1 «= dq dt Плотность тока (опреде- ление) di i' — dS± 421
Продолжение Наименование си Гауссова система Закон Ома i = iv Закон Ома в дифференци- альной форме j = — Е Р t Закон Джоуля — Ленца c-j RPdt t) Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной фор- ме w = -Р!2 Сила взаимодействия двух параллельны? . токов в вакууме (в расчете на единицу длины) Ho 2iti2 ' 4it b f — ^64 1 b Магнитный момент конту- ра с током Pm ~ Pm ~ 1$ Магнитная индукция (оп- ределение) B = Pm Вектор намагничения (оп- ределение) 2jpm _ ди J AV Напряженность магнитного поля (определение) H = — B—J Bo H = В — 4nJ Связь между J н Н J = XH Связь между относитель- ной магнитной проница- емостью р и магнитной восприимчивостью % В = 1 + X И = 1 + 4лх Соотношение между зна- чениями х в СИ (Хси) н в гауссовой системе (хгс) Хси = 4лхгс Связь между В и Н В = цр0Н I B = pH 422
Продолжение Наименование си Гауссова система Связь между В и Н в ва- кууме Закон Био —Савара в = ц0Н dH = -±- г3 в = н С г3 Напряженность магнитного поля прямого тока J—L 2л b с b Напряженность магнитного поля в центре кругового тока Напряженность поля соле- ноида И = гй с г it . Н = ш с Циркуляция вектора Н § Htdl - 1 С 4 л V J^/dZ °— Теорема Гаусса для В BndS = 0 Закон Ампера dt - i(dlB] df°~i [dl,B] Сила Лоренца f = e' [vB] Sa ь—1 I w 0 U- Механический момент, дей- ствующий иа магнитный момент в магнитном поле M = PmB] Энергия магнитного момен- та в магнитном поле r = ~ PmB Поток магнитной индукции (определение) O-J s BfidS Работа, совершаемая над контуром с током при перемещении его в маг- нитном поле A <= /ДФ A^—iAQf c 423
П родолжение Наименование СИ Гауссова система Потокосцепление или пол- ный магнитный поток (определение) Э. д. с. индукции Индуктивность (определение) Индуктивность соленоида Э. д. с. самоиндукции (в от- сутствие ферромагнети- ков) Энергия магнитного поля тока Плотность энергии маг- нитного поля Энергия связанных кон- туров Плотность тока смещения (определение) Уравнения Максвелла в ин- тегральной форме „ ж £l dt t L — n2/S '^~L4t 2 w = -g-У] l ihitik Jcm ~ D s j) BndS = 0 jnds+ s + f (4?)ds J \dt Jn s (^DndS = | pdV s V t f 0 r, M "Z? T ? *" & кч- « II 1 » 0 И ""ТТ? о 1 й* 1 * и И n a n 1 1 st &|g* ais 11 ii - & £ g- 424
П родолжение Наименование СИ Гауссова система Уравнения Максвелла в дифференциальной форме Скорость электромагнит- ных волн Соотношение между амп- литудами векторов Е и Н в электромагнитной волне Вектор Пойнтинга Плотность импульса элек- тромагнитного поля Интенсивность излучения диполя rotE=--dT div В = 0 rolH=j + ^- div D = р 1 V = V еоцоец РоР S= [ЕН] К = -^[ЕН] 4л V е0 Зс2 р rotE=-±^. с dt div В = 0 . 4л 1 3D rot Н = —j+— —- с с dt div D = 4лр с V — , V ер £тГё = Ят/р Х-Т^|ЬН| 7 = -Ар2
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Авогадро число 300 Автоколебательная система 369 Акцептор 260 Ампер 15, 108, 124 — на метр 146 Ампера гипотеза 142, 170 — закон 124, 156 Ампер-виток 139 Ампер-секунда 125 Анион 296 Анод 269 Антиферромагнетизм 188, 189 Астона масс-спектрограф 232 Астоиово темное пространство 326 База транзистора 290 Баллистический метод измерения ма- гнитной индукции 184, 198 Барнетта опыт 173 Бейнбриджа масс-спектрограф 233 Бетатрон 374, 415 Био — Савара — Лапласа закон 129 Богуславского — Ленгмюра закон 270 Больцмана функция распределения 252, 254 Бора магнетон 174 — теория 170 Буша опыт 226 Вавилова — Черенкова излучение 416 Валентность 299 Ван-де-Граафа генератор 86 Вебер 194 Вектор намагничения 143 — плотности тока 107 — поляризации 53, 148 Векторная диаграмма 339, 354 Весы крутильные 13 Вибратор полуволновой 405 Видемаиа — Франца закон 244 Вихрь 388 Внешняя область короны 336 Волновая вона диполя 413 Волновое уравнение 399 Вольт 41 — на метр 19 Вольт-ампериая характеристика 269, 288, 330 Вольтметр искровой 335 426 Восприимчивость диэлектрическая 63 «=» магнитная 147, 179, 180, 182, 185 ---- атомная 169 •---килоатомная 169 ----молярная 169 ----килсмолярная 169 ---- УДельиая 169 Вторичные химические реакции 296 Выпрямитель германиевый 289 — кремниевый 289 — на газотроне 333 — полупроврдниковый 269 — ртутный 332 — селеновый 289 Выпрямление тока 271, 289 ---двухпрлупериодное 272 ----однополупериодное 271 Вырождение 247 Газотрон 332 Гальваномагнитное явление 262 Гальванометр баллистический 199 Гальванопластика 303 Гальваностегия 303 Гамильтона оператор 391 Гамма-лучи 377 Гаусс 130, 133, 147 Гаусса теорема для вектора В 143 ---------D 62. 63 — — ---Е 28, 61 Генератор ламповый 369 — электростатический 86 Генри 202 — на метр 203 Герца вибратор 404, 412 — опыты 404 Гидратация ионов 296 Гиромагнитное отношение 171, 173 Гиромагнитные ивления 171 Гистерезис 77 — магнитный 184, 188 Гистерезиса петля 77, 186, 217 ~ — максимальная 185 Градиент 42. 391 — потенциала 42, 43 Грамм-эквивалеит 299 Давление световое 412 электромагнитной волны 410
Двойное преломление электромагнит- ных воли 407 Двойной электрический слой 265, 286 Дейтерий 304 Джоуля—Ленца закон 114, 243 ------в дифференциальной форме 115 Диаграмма направленности диполя 414 Диамагнетизм 176 Диамагнетики 170 Дивергенция 57, 382, 384, 391 — вектора В 395, ---D 395 Диод вакуумный 269, 271 ---двойной 272 — кристаллический 284 — плоскостной 285 — полупроводниковый 284 Диполь 20 — жесткий 50 — полуволновой 405 — упругйй 50 — элементарный 412 Диполя излучение 412 — электрический момент 21 Диссоциация электролитическая 292 Диффузионная разность потенциалов 279 Диэлектрик 12 Домены сегнетоэлектрика 78 — ферромагнетика 187 Донор 259 Дроссель 405 Друде теория металлов 240 Дуайты 235 Дуга вольтова 330 — с холодным катодом 331 — термоэлектронная 331 — электрическая 330 Дырка 255, 257, 260 Единица заряда абсолютная электро- статическая 14 ---в СИ 16, 108, 125 — напряженности магнитного поля 146, 147 --- электрического поля 19 — электрического смещения 63 Единицы емкости 89 — индуктивности 202 — магнитного момента 174 --- потока 194 — магнитной индукции 129. 130 — потенциала 41 — силы тока 108, 124 — сопротивления 111 Емкость 88, 339, 341 — конденсатора 60 — плоского конденсатора 91 — сферического конденсатора 92 — цилиндрического конденсатора 93 — шара 89 Закон преломления линий магнитной индукции 153 -------электрического смещения 72 — сохранения заряда 12 — трех вторых 270 — электромагнитной индукции 193, 393 Заряд индуцированный 84 — пробный 18 — свободный 60 — связанный 60 точечный 13 — удельный 2Ю» 227, 230 --- электрона 227 — электрический 11 — элементарный II. 16, 16, 230. 300 Защита магнитная 154 — электростатическая 85 Зеебека явление 277 Зона валентная 249, 255 — запрещенная 248, 255 — проводимости 250, 255 — разрешенная 248 — энергетических уровней 246, 247 Излучение атома 413 Изолятор 12, 250 Изотоп 232 Импульс электромагнитного поля 410 — электромагнитной волны 411 Индуктивность 202, 204, 339 — взаимная 211, 215 — соленоида 203 Индукция взаимная 211 — магнитная 128, 146 --- остаточная 184 — электрическая 61, 63 — электромагнитная 190 Интенсивность излучения 414 Ионизационная камера 310, 313 ---импульсная 313 ---интегрирующая 315 Ионизация 306 — термическая 305, 323, 330 — ударом 310, 323, 327 Ионосфера 323 Ионы 84, 86, 292, 305 — Ланжевена 308 Истечение-с острия 84 Источники 381 Катион 296 Катод 269 — оксидный 271 Катодная светящаяся пленка 326 Катодное падение потенциала 327 — пятно 331 Катодолюминесценция 329 Квадруполь 23 Квант действия 174 — света 317 Квантование момента импульса 175 — энергии 246 Кварц 79 Кенотрон 271 Килограмм-эквивалент 299 Кирхгофа правила 117, 338, 353 Клаузиуса — Мосотти формула 76 Колебательный контур 357, 404 ---, добротность 363, 367, 369 ---, собственная частота 360 Коллектор 290 Конденсатор 89 — плоский 32, 91 — . соединение параллельное 93 — , — последовательное 94 — сферический 35, 93 — цилиндрический 34, 92
Конденсатор электролитический 304 Контактная разность потенциалов 274 ------ внешняя 275 ---внутренняя 276, 278 Контуры связанные 211, 215 Концентрация носителей тока 263 — эквивалентная 302 Корона 336 — двуполярная 337 Короннрованне 87 Коэффициент взаимной индукции 211 — вторичной эмиссии 320 — газового усиления 312, 315 — * диссоциации 294 — * мощности 348 — Пельтье 282, 284 — полезного действия источника то« ка 122 —« самоиндукции 202 — теплопроводности 244 — термо-э, д. с. 280, 282, 284 — Томсона 284 — электропроводности 112, 244 Кратер анода 330 Кратность вырождения 247 Кривая намагничения нулевая 184 — основная 184 Круксово темное пространство 326, 329 Крутизна характеристика 273, 370 Кулон 16, 108, 125 — на квадратный метр 63 Кулона закон 13, 14, 16, 73 Кюри закон 180, 183 — постоянная 180, 183 Кюри — Вейсса закон 188 Лампа двухэлектродная 269 — « пятиэлектродиая 274 — трехэлектродная 272 — четырехэлектродная 274 Лампы дневного света 332 — люминесцентные 332 — неоновые 329 — > ртутные дуговые 331 * -» сверхвысокого давления 331 электронные 268 Лаижевена теория парамагнетизма 180 Ларморова прецессия 177, 179 — частота 177 Лебедева опыты 406, 412 Ленца правило 191. 200 Ленц-джоулево тепло 114, 243, 409 Линии напряженности 23 Логарифмический декремент затуха* иия 362 Лоренца сила 158, 193, 195, 219 — - теория металлов 240 Лучи каналовые 330 — катодные 329 — положительные 330 Люминофор 332 Магнетики 142, 169 Магнит постоянный 185 Магнитное поле 1£б ---движущегося заряда 131 — • кругового тока 133, 134 — ’ — прямого тока 132 — соленоида 139 ---тороида 141 Магиитиый момент атома 174 — -а индуцированный 177 контура 127, 128 ------ молекулы 174 ---электрона орбитальный 171 ------собственный 173 Магнитомеханические явления 171, 187 Магнитострикция 186 Майкельсона опыт 380 Максвелл 194 Максвелла теория 374, 377, 379, 393 в» уравнения в дифференциальной форме 395 •—----интегральной форме 393, 394 Мандельштама и Папалекс» опыт 239 Масс-спектрограмма 233 Масс-спектрограф 233 Масс-спектрометр 234 Масса, зависимость от скорости 228 покоя 228 — электромагнитного поля 411 Металл 249 Метастабильное состояние 317. 318 Метатиган ат бария 78, 79 Метод магнитной фокусировки 226 Механический момент электрона ор- битальный 171 ------ — собственный 173 Микромикрофарада 89 Микрофарада 89 Милликена опыт 228 Мировой эфир 378 Молекулы неполярные 49 — полярные 49. 292 Молекулярные токи 142, 149 Молизация ионов 293 Молния 334 Мощность излучения 414 — источника 381 ------ удельная 382 переменного тока 348 — полезная 122 м постоянного тока 122 « тока удельная 115 Намагничение 142, 143 е— остаточное 185 — спонтанное 187 Направление запорное 289 обратное 289 пропускное 288 — проходное 288 — прямое 288 Напряжение 111 — действующее 348 — обратное 288 • =» прямое 287, 288 Напряженность поля диполя 22 — магнитного 145, 146 — сторонних сил 110 ---электрического 18» 146 Неупругие столкновения второго ро- да 318 — »-4 первого рода 318 Носители заряда 12, 106, 107, 238, 292, 305 « тока 106. 107, 238, 292, 305 Области спонтанного намагничения 187 428
Области спонтанной поляризации 78 Область Гейгера 312 непрерывного разряда 313 — пропорциональности 312 — частичной пропорциональности 312 Обратная связь 371 Огни святого Эльма 337 Октуполь 23 Ом 111 Ома закон 111, 242, 338, 351 — — в дифференциальной форме 112 ----для газов 308 — ₽- »— замкнутей цепи 116 » — — неоднородной цепи 116 *------ в дифференциальной форме 117 --------- электролитов 301 Омо-метр 112 Оператор Гамильтона 391 — Лапласа 392 *» набла 42, 391 Остроградского Гаусса теорема 385 Осциллограф 224 Падение напряжения 111 Парамагнетизм 180 Парамагнетики 170 Паули принцип 247 Пашена закон 334 Пельтье тепло 282 — явление 282, 283 Пентод 274 Печь индукционная 200 Пикофарада 89 Плазма 322, 328 высокотемпературная 323, 330 газоразрядная 323, 328, 332 — изотермическая 323, 325 Планка постоянная 174, 321 Плотность заряда линейная 29 — •— объемная 29 — ₽« поверхностная 29 импульса электромагнитной волны 411 в» потока энергии 407, 408, 414 — связанных зарядов объемная 57 ----поверхностная 58, 59 — силы 158, 410 тока 107 ---• насыщения 270, 309 — — полная 379 t— « проводимости 378, 379, 394 смещения 379 е* энергии магнитного поля 209. 210, 218 — электрического поля 102 --- электромагнитного поля 407 р — п-переход 285, 289, 290 Поверхностный эффект 201 Поверхность эквипотенциальная 46 Подвижность нонов в газах 308 — *= электролитах 301 — носителей тока 264, 301 электронов в металлах 301 Пойнтинга вектор 408 Поле вектора 2S ---В 393 *--скорости 23, 381 — вихревое 138, 372 » истинное 60, 142 Поле магнитное 126, 142 •— макроскопическое 60, 142 — микроскопическое 60, 142 однородное 32 — потенциальное 36, 137, 373 — размагничивающее 151 — соленоидальное 138 — электрическое 17 — электромагнитное 380 Полный магнитный поток 197 Положительная нормаль 127, 387 Положительный столб 326—328 Полупроводники 12, 250, 254 — п-типа 258, 264 примесные 258 м р-типа 260, 264 ► ч собственные 255 — электронные 250 Поляризация диэлектрика 52 остаточная 77 — спонтанная 77 Поляризуемость молекулы 50 Попова опыты 407 Порог области Гейгера 312 — пропорциональной области 312 Постоянная времени цепи 206, 314 — магнитная 17, 125, 417 электрическая 16, 17, 417 ее электродинамическая 16, 17, 126, 417 Потенциал 39. 40, 138 — векторный 393 «=* выхода 267 — системы зарядов 40 точечного заряда 39 Поток вектора 25, 381 ---Пойнтинга 409 — » поляризации 58 скорости 25, 381 — магнитной индукции 143. 190 ₽• смещения 62 — энергии 408 Потокосцепление 197 Правило левой руки 156 Прецессия электронной орбиты 177, 179 Примесь акцепторная 260 доиорная 259 Принцип относительности Галилея 380 =--Эйнштейна 380 суперпозиции полей 20 Пробой газового промежутка 335 Проводник 12 — второго рода 292 «=» первого рода 292 Проницаемость диэлектрическая 62, 63, 68, 77 6--абсолютная 62 — относительная 62, 64, 68, 77 магнитная 148, 185 ---абсолютная 148 — — относительная 148, 150, 185 Пьезоэлектрики 79 Пьезоэлектрический эффект обрат- ный 80 — поперечный 79 ---продольный 79 *— — прямой 78. 79 Работа выхода 267, 270 «--полная 267 420
Работа выхода эффективная 267 — перемагничения 217 — перемещения проводника с током в магнитном поле 166 Размагничивающий фактор 151 Разряд апериодический 364 — газовый 305 — дуговой 330, 332 < =« — искровой 334 ~а кистевой 336 — — коронный 87, 336 — несамостоятельный 305, 306 ₽< — самостоятельный 305, 325 — »=> тлеющий 326 Расхождение 382 Рафинирование металлов 303 Резерфорда опыты 170 Резонанс напряжений 345 — токов 353 Резонансная частота 345, 353, 355, 367 Резонансные кривые 366, 367 Рекомбинация ионов 293, 306, 328 — электронов и дырок 257, 286 Рентгеновские лучи 377 Рикке опыт 238 Ричардсона формула 271 Ротор 388, 390, 391 Самоиндукция 201 Сантиметр, единица емкости 89 —, — индуктивности 202 Сверхпроводимость 113 —..критическая температура 113 критическое поле 113 Сегнетова соль 77. 79 Сегнетоэлектрики 77, 185 Селектор скоростей 233 Сетка 272, 333 Сеточная характеристика 273 Сила взаимодействия токов 124, 156 — коэрцитивная 78. 185 « лореицева 158 •— сторонняя 109 — термоэлектродвижущая 278 — тока 106 »-> — действующая 347 ----эффективная 347 Символический метод 348 Синхротрон 236 »— протонный 236 Синхрофазотрон 236 Синхроциклотрон 236 Система единиц абсолютная элек- тромагнитная 15 — электростатическая 15 ----гауссова 15, 126, 130 — международная 15, 16 — — рационализованная 16 Скин эффект 201 Скорость света 126, 399 * -< электромагнитных воли 126, Э99 Соленоид 138 Сольват 296 Сольватация ионов 296 Соотношение между массой В энер- гией 412 Сопротивление активное 339 емкостное 342 * — индуктивное 341 комплексное 351 Сопротивление критическое 364 металлов, зависимость от гемпе« ратуры 113, 245г 254 — остаточное 113 — полное 344 — реактивное 345 « удельное 112 электрическое 111, 243 Спин 173 Стоки 381 Стокса теорема 390 Столетова опыты 184, 198 Страты 327 Стример 334, 335 Суперпозиция полей магнитных 128 е=а — электрических 20 Счетчик газоразрядный 310 • — Гейгера — Мюллера 316 несамогасящийся 316 — пропорциональный 310, 315 — самогасящнйся 316 Температура критическая сверхпро* водника 113 — электронов 325 Теория металлов квантовая 246 •-» классическая 240 Теплоемкость металлов 246, 254 Термометр сопротивления 114 Термопара 281 Термоэлектрические явления 277 Термоэдектродвижущая сила 278 s— удельная 281 Тесла 129, 133 Тетрод 274 Тиратрон 333 Тлеющее свечевИе 326, 329 Ток анодный 269 — вихревой 200 »— индукционный 190 квазистационарный 338 — насыщения 270, 309 > — обратный 288 — переменный 338 я постоянный 108 — проводимости 377, 394 6— сеточный 272 5— смещения 377—380, 393, 394 — электрический 106 Толмеиа и Стюарта опыт 239 Томсона метод парабол 230 — опыт 225 — формула 360 явление 284 Тороид 140 Точка Кюри антиферромагнитная 189 се — сегнетоэлектрика 78 »----ферромагнетика 188 « Нееля 189 Транзистор 284, 290 Триод вакуумный 272 s— кристаллический 284 — полупроводниковый 284, 290 Туннельный эффект 321 Тяжелая вода 304 Узел цепи 117 Уровень энергетический 246 •— — акцепторный 260 •в донорный 259 « — локальный 259» 260 Успокоитель электромагнитный 200 430
Фазотрон 236 Фарада S9 Фарадеево темное пространство 326 Фарадея закон электромагнитной ин- дукции 193 ваконы электролиза 298 число 299 Ферми уровень 252, 255, 260. 261. 268, 275, 278, 286, 287 »— функция распределения 252, 255 Ферриты 183, 201 Ферромагнетизм 183 Ферромагнетики 170, 183 — жесткие 186 — мягкие 186 Ферроэлектрики 78 Фильтр скоростей 233 Фотоионизация 321, 335, 336 — ступенчатая 321 Фотои 317, 321 Фотоэффект 322 Фуко токи 200 Химический эквивалент 299 Холла постоянная 262, 263, 264 м эффект 262, 264 Циклическая перестановка координат 389 Циклотрон 235 Циркуляция 38, 381, 385, 386 Циркуляция вектора В 136, 137 — - Е 38, 373 — Н 146. 379 •---J 145 Частицы элементарные 11 Частный цикл 185 Частота ларморовой прецессии 177 Шоттки эффект 266, 271 Штерна и Герлаха опыт 175 Эйнштейна и де-Хааса опыт 171 Электрические колебания 357 ----вынужденные 364 — ев затухающие 360 — > — свободные 357 Электрический ветер 84 Электрическое смещение 61. 146 Электродвижущая сила 109 — взаимной индукции 211, 371 ---индукции 192, 197 — самоиндукции 203 Электроемкость 88 Электроискровая обработка металлов 336 Электролиз 297 Электролит 292 Электромагнит 154 Электромагнитные волны 126. 393. 397 --- плоские 400 Электрометаллургия 303 Электрон 11, 238 вторичный 320. 327 —, заряд 228, 230 —, магнитный момент орбитальный 171 — , — «S собственный 173, 187 — , масса 230 — , механический момент орбитальный 171 -------собственный 173 , спии 173, 24.7 —, удельный заряд 225, 226, 227 Электронвольт 41 Электроннолучевая трубка 224 Электронный газ 240 — умножитель 320 Электроны проводимости 240 — свободные 240 *--, концентрация 240 Электрополировка 303 Электросварка 331 Электрострикция 72. 80 Электрофильтр 337 Электрохимический эквивалент 298 Эмиссия автоэлектронная 321, 331 •— вторичная электронная 320, 327 — термоэлектронная 268, 322, 330, 332 * * фотоэлектронная 322 — холодная 321 Эмиттер 290 Энергия диполя в электрическом поле 51 — заряженного конденсатора 99 --- проводника 98 а— магнитного момента в магнитном поле 163 — поля связанных контуров 215 -------тока 208 — системы зарядов 97 Эрстед 147
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ При подготовке к настоящему изданию книга была существенно переработана. Коренным образом изме- нены главы II и VII, посвященные электрическому и магнитному полям в вещестЬе, а также § 56, в котором рассматривается электродвижущая сила индукции. При рассмотрении полей в вакууме используются Только ве- личины Е и В..Добавлен новый параграф (§ 107), со- держащий элементарные сведения из векторного ана- лиза. Существенные добавления сделаны в параграфах 18, 30, 40, 47 и 112. Небольшие добавления и измене- ния сделаны в некоторых других параграфах. Автор выражает благодарность Н. И. Гольдфарбу за полезные советы и замечания, которые были учтены при переработке второго тома. Апрель 1970 г. И. Савельев