Text
                    Джереми Стэнгрум
Занимательные головоломки Эйнштейна. Заставь
работать маленькие серые клеточки
Библиотека вундеркинда –


2 «Занимательные головоломки Эйнштейна. Заставь работать маленькие серые клеточки»: АСТ; Москва; 2020 ISBN 978-5-17-108638-1 Аннотация Еще в детстве Эйнштейн придумал загадку. Он считал, что разгадать ее могут лишь два процента населения планеты. А вы сможете? Загадка Эйнштейна на первый взгляд кажется простой, но на самом деле требует логики и нестандартного подхода. Однако решить ее – лишь первое из множества испытаний… В этой книге вы найдете целую коллекцию увлекательных задач. Поразмышляйте над «Дилеммой библиотекаря», напрягите извилины над «Задачей Спящей Красавицы», поломайте голову над «Заблуждением болельщицы» – в любом случае эта книга заставит поработать ваши серые клеточки и не даст расслабиться с первой до последней страницы. Джереми Стэнгрум Занимательные головоломки Эйнштейна. Заставь работать маленькие серые клеточки © Elwin Street Productions Limited 2009 © Бродоцкая А., перевод на русский язык, 2018 © ООО «Издательство АСТ», 2020 ⁂ Думаете, головоломки – это просто? Вы даже не представляете, как легко ошибиться, когда решаешь даже самую незатейливую задачку. Возьмем классический пример. Некто показывает на портрет и говорит: «Братьев и сестер у меня нет, Но отец этого человека – сын моего отца». На чей портрет он смотрит? Весьма вероятно, вы ответили, что человек смотрит на собственный портрет. Если да, радуйтесь, что таких, как вы, большинство. Однако этот ответ, к сожалению, неверен. На самом деле человек смотрит на портрет собственного сына. (Не верите – подставьте «я» вместо «сын моего отца» и перечитайте загадку.) Те из нас, кто постоянно наступает на подобные грабли, могут, пожалуй, утешаться мыслью, что загадки, парадоксы и головоломки ставили наших собратьев в тупик еще во времена древних греков. Зенон Элейский рассудил, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, поскольку за то время, когда он достигнет точки, где только что была черепаха, черепаха успеет продвинуться вперед, пусть даже самую малость. Так называемый «Парадокс Зенона» не дает нам покоя и сейчас, более двух тысяч лет спустя. Он относится к разряду парадоксов, которые нельзя считать простыми задачками на сообразительность. Подобные парадоксы затрагивают самые глубинные вопросы логики, восприятия времени, законов движения, структуры языка. Так что вам придется нелегко, зато и награда вас ждет достойная: если вы сумеете найти красивое решение любой из этих задач, то покажете результат лучше, чем у многих великих умов, которые размышляли над ними вот уже две тысячи лет.
3 Пробираясь по страницам этой книги, вы наверняка сочтете одни задачи совсем простыми, другие относительно сложными, третьи – сложными до скрежета зубовного. Предстоит вам и беситься – в тех случаях, когда «верный» ответ вас совершенно не убедит. А иногда придется и глубоко задуматься: иные парадоксы остаются парадоксами до самого дна. Но я надеюсь, что мои задачки, парадоксы и головоломки, развлекавшие и занимавшие величайшие умы в истории, станут прекрасной и не слишком простой разминкой и для вас. 1. Логикаs и вероятность Логика – искусство размышлять и излагать мысли в неукоснительном соответствии с людской ограниченностью и неспособностью к пониманию (Амброз Бирс, «Словарь сатаны». Пер. С. Барсова). Начнем с самого легкого и безобидного. В загадках из этого раздела нет никакого двойного дна, никаких подтасовок. Это бесхитростные задачи на логику и вероятность. К счастью, у них у всех есть решения, в отличие от некоторых головоломок из дальнейших разделов, а значит, стоит лишь как следует над ними подумать и вы сумеете получить верный ответ. Однако «легкое и безобидное» здесь понятие относительное. Большинство из нас не слишком сильны в логике, поэтому многим подобные головоломки не даются. Например, задача Монти Холла – на первый взгляд простенький тест на способность рассчитывать вероятность, однако она поставила в тупик выдающиеся математические умы в мире коммерции. А загадку Эйнштейна причисляют к самым трудным логическим задачам в истории человечества. А значит, если вы сумеете получить верный ответ более чем на одну-две из этих задач, вас можно поздравить. Но не расслабляйтесь: задачи и головоломки из этого раздела – только начало.
4 Загадка Эйнштейна Хватит ли у вас сообразительности решить самую сложную задачку на свете? По легенде, ее придумал Альберт Эйнштейн еще в детстве. Считается, что решить ее способны лишь два процента населения. Здесь нет никаких хитростей. Ответ только один. Нужно лишь строго следовать холодной логике. И набраться терпения. Есть пять домов пяти различных цветов. В каждом доме по одному жильцу, все жильцы разных национальностей. Каждый из жильцов пьет определенный напиток, занимается определенным видом спорта и держит определенное животное. Животные, напитки и виды спорта у каждого свои и не повторяются. Кто хозяин рыбки? Факты 1. Англичанин живет в красном доме. 2. Швед держит собак. 3. Датчанин пьет чай. 4. Зеленый дом – соседний слева от белого. 5. Владелец зеленого дома пьет кофе. 6. Тот, кто играет в футбол, разводит птиц. 7. Владелец желтого дома играет в бейсбол. 8. Тот, кто живет в доме посередине, пьет молоко. 9. Норвежец живет в первом доме. 10. Тот, кто играет в волейбол, живет рядом с тем, кто держит кошек. 11. Владелец лошади живет рядом с тем, кто играет в бейсбол. 12. Тот, кто играет в теннис, пьет пиво. 13. Немец играет в хоккей. 14. Норвежец живет рядом с синим домом. 15. Сосед того, кто играет в волейбол, пьет воду. Чтобы решить эту задачу, лучше нарисовать таблицу. Каждая колонка – дом, а пять строк – национальность, цвет дома, напиток, вид спорта и домашнее животное. С чего начать Согласно факту № 8, жилец дома посередине пьет молоко, а факт № 9 гласит, что обитатель первого дома – норвежец; можем внести это в таблицу.
5 А дальше нужно просто применить логику и заполнить таблицу на основании подсказок. Удачи! Загадка-блиц 1 У вас две емкости, в одну входит три литра воды, в другую – пять литров воды. Вам нужно ровно четыре литра воды. Как при помощи этих двух емкостей отмерить четыре литра? Загадка-блиц 2 Поезда из Лондона в Саутгемптон ходят весь день по одной и той же колее, без остановок и с одинаковой скоростью. У двухчасового поезда путь занимает восемьдесят минут, а у четырехчасового – час двадцать. Почему? «Феррари» или козел? Задача Монти Холла Уильям Капра был на седьмом небе от счастья, когда его выбрали гостем передачи «„Феррари“ или козел?» – самой популярной интеллектуальной телеигры, по правилам которой участники либо уезжают на новеньком сверкающем автомобиле, либо уходят
6 пешком с побитым видом, таща за собой на поводке упрямое четвероногое. Уильям обожает козликов как никто на свете, но все же предпочел бы при прочих равных условиях выиграть «феррари». К сожалению, сейчас это маловероятно, поскольку Уильяма поставила в тупик головоломка, которую придумал ведущий телеигры Монти Холл. В стене три двери. За одной из них стоит автомобиль, а за остальными двумя – козлы. В этом нет никакой закономерности, положение автомобиля и козлов выбирается случайно. Уильям должен выбрать дверь, а Монти Холл, которому известно, что за какой дверью, откроет одну из оставшихся дверей, за которой будет козел. Тогда Уильям должен решить, как поступить дальше: придерживаться первоначального решения или выбрать оставшуюся дверь. Монти Холл предупреждает Уильяма, что большинство людей решает эту задачу неправильно. Он сообщает, что, когда Мэрилин вос Савант написала о ней в своей колонке в журнале «Парад», на нее посыпались письма недовольных читателей – их было десять тысяч, в том числе сотни математиков: они ошибочно, зато с большим апломбом утверждали, что предложенное Мэрилин решение неверно. Как же Уильяму ответить, чтобы не стать очередной жертвой головоломки? Как ему быть, если он хочет предельно повысить свои шансы на «феррари»: придерживаться первоначального выбора или предпочесть оставшуюся дверь? И на чем должно быть основано его решение? Ящик Бертрана Перед знаменитым искателем приключений Айовой Джонсом стоит сложный выбор. Он всю жизнь искал Жемчужины-близняшки из Де-Мойна и наконец напал на след. Но есть одна сложность. Айова Джонс знает, что они находятся в одной из трех шкатулок, в каждой из которых по два ящичка, но не знает, в какой именно. Более того, открыв один из ящичков, он обнаруживает там, по всей видимости, одну из Жемчужин-близняшек, а также записку, от которой у него в жилах холодеет кровь. Дорогой искатель приключений! Перед тобой три шкатулки. В одной шкатулке находятся «Жемчужины-близняшки из Де-Мойна» – по одной в каждом ящичке. В другой шкатулке – жемчужина в одном ящичке и кусок угля в другом. Наконец, в третьей шкатулке в обоих ящичках лежат куски угля. К сожалению, три жемчужины неотличимы друг от друга: подлинные Близняшки можно узнать только по тому, что они лежат в одной шкатулке. И последнее: тебе можно открыть лишь еще один ящичек. Если ты ошибешься, все три шкатулки самоуничтожатся.
7 Айова Джонс мечется вокруг шкатулок, взвешивая варианты, после чего с размаху сбивает молотком замок со второго ящика шкатулки, которую уже открывал. Какова вероятность, что Айова Джонс найдет в той же шкатулке вторую жемчужину и обретет наконец долгожданное сокровище? Задача «Мальчик или девочка» Мартин Монета столкнулся со сложной задачей. Он полгода покорял Анды и за это время, кажется, забыл, какого пола его дети. Он знает, что детей у него двое и один точно мальчик. Но не помнит, кто второй – мальчик или девочка. Большая удача, что ему пока что удавалось скрывать от окружающих этот досадный провал в памяти. Беда в том, что сейчас Мартин в аэропорту, ждет рейса домой, а значит, просто обязан купить детям подарки. В том-то и сложность: мальчик едва ли обрадуется кукле Барби, а девочка гневно отвергнет коллекционную фигурку Человека на шесть миллионов долларов (ничего, что этот супергерой был популярен почти сорок лет назад: у Мартина есть и другая проблема – он убежден, что на дворе до сих пор семидесятые). Мартин решает, что палочкой-выручалочкой для него станет теория вероятностей. Ему нужно определить, что вероятнее: что его второй ребенок мальчик или что это девочка. Тогда можно будет попытать удачи и правильно подобрать подарок. Некоторое время Мартин размышляет и решает, что, если по крайней мере один из его детей мальчик, вероятнее, что второй – не мальчик, а девочка. Так ли это? И если да, то почему? Загадка-блиц 3 Старый король решает дать двум своим сыновьям задание, чтобы определить, кто из них унаследует трон. Он говорит, что следующим королем станет тот из сыновей, чей конь придет к церкви на холме последним. Младший сын тут же вскакивает на коня и галопом мчится к церкви. Король держит слово и делает его наследником. Почему? Загадка-блиц 4 Рэйчел проезжает 113 миль из Питтсбурга в Кливленд со средней скоростью 30 миль в час. С какой скоростью она должна ехать обратно, чтобы в целом у нее получилась средняя скорость 60 миль в час?
8 Сколько им лет? Алекс Гиббон, социолог и философ-радикал, столкнулся со сложностями во время работы над последним исследованием, тема которого – развитие революционной мысли в сельских районах Девона. Утро он провел прекрасно – ходил по домам и разговаривал с их обитателями о неизбежном крахе капитализма, которого социологи всего мира с нетерпением ждут примерно с 1867 года, – однако последний разговор у него отчего-то не задался. Все начиналось как обычно. Гиббон постучал в дверь, а затем, представившись, спросил открывшую ему даму, сколько человек живет в доме. Трое, был ответ. Чтобы проверить свою теорию, согласно которой революционные идеи увлекают людей всех возрастов, а не только романтиков-подростков, Гиббон спросил, сколько им лет. Тут все пошло несколько странно. Ему сообщили, что произведение возрастов всех трех жильцов дома (то есть если их перемножить) составляет 225, а сумма возрастов (то есть если их сложить) равна номеру дома. Гиббон огорошен. Он смотрит на табличку с номером, записывает число, но даже представить себе не может, с чего начать, чтобы определить возраст всех жильцов на основании полученных данных. Только он собирался сдаться, как от калитки раздался громовой голос: «Спросите ее, сильно ли она старше своих брата с сестрой!» Гиббон резко оборачивается и обнаруживает, что его буравит взглядом полицейский. Испугавшись административных взысканий, Гиббон подчиняется и задает вопрос. И получает ответ: «Да». Гиббон не понимает, чем ему это поможет, однако полицейский, некто инспектор Хорс, объясняет ему, что теперь можно вычислить, сколько лет каждому из жильцов. Что Хорс объясняет Гиббону? Сколько лет жильцам? 2. Когда логика заводит в тупик Говорят, человек – животное рациональное. Я искал доказательства этого утверждения всю жизнь, но так и не нашел (Бертран Рассел, «Непопулярные эссе»).
9 У Бертрана Рассела были веские основания с пессимизмом относиться к способности человека мыслить рационально. Ведь нас так легко ввести в заблуждение и сбить с толку. Возьмем, к примеру, такие тезисы. Все люди – солнечные лучики. Все люди – это создания из света и тьмы. Следовательно, все создания из света и тьмы – солнечные лучики. Как вы думаете, это верное заключение? Следует ли из таких предпосылок однозначный вывод, что любое создание из света и тьмы – это солнечный лучик? Если вы думаете, что заключение верно, вы совершили логическую ошибку. Вот аналогичный силлогизм, построенный на других данных. Все лошади – млекопитающие. Все лошади – четвероногие живые существа. Следовательно, все четвероногие живые существа – млекопитающие. Если вы думаете, что так и есть, не приставайте со своей зоологией к черепахам!
10 Разумеется, возможно, вы все поняли правильно и теперь чувствуете себя вполне уверенно. В таком случае будем надеяться, что ваша уверенность не чрезмерна, поскольку подавляющему большинству головоломки и загадки из этого раздела не даются. Элементарно, милый Ватсон! Офицеру полиции Джеку Доу надоело разруливать пробки на перекрестке и искать пропавших попугаев, так что он несказанно обрадовался, когда обнаружил в «Полицейской газете» объявление: полицейскому участку Большого Чадли требуется сыщик. Он подает заявление, его приглашают на собеседование, но говорят, что сначала он должен пройти тест на профпригодность, чтобы определить, соответствуют ли его навыки логического мышления должности высококлассного детектива. Офицер Доу привык считать себя смышленым малым и уверен, что легко пройдет тест и получит вожделенное место. И не сомневается в успехе, когда узнает, что от него потребуется. Перед ним кладут четыре карточки и сообщают, что они изготовлены в соответствии с очень строгим правилом. Если на карточке с одной стороны нарисован круг, обратная сторона у нее желтая. Ему сообщают, что у каждой карточки с одной стороны нарисована какая-то фигура, а другая сторона закрашена каким-то цветом. Чтобы пройти тест, Джек Доу должен всего-навсего определить, какие из четырех карточек необходимо и достаточно перевернуть, чтобы определить, соблюдалось ли при их изготовлении вышеуказанное правило. Карточки выглядят следующим образом. Офицер Доу не верит своему счастью. Для его блестящего ума разгадать эту простенькую загадку – пара пустяков. Однако, когда он уже готов ответить, тот, кто проводит тест, замечает, что верный ответ дают лишь около 20 процентов претендентов. Очевидно, подобная логика дается нам с трудом. Офицер Доу ненадолго задумывается – а затем делает выбор… Какую карточку (карточки) считает нужным перевернуть офицер Доу, чтобы определить, соблюдалось ли при их изготовлении указанное правило, и, следовательно, пройти тест? Чем занимается Мэри? Мэри Дэвис 32 года, она не замужем, бойкая и очень умная. По образованию она социолог. В университете Мэри активно участвовала в студенческих политических делах, особенно ее
11 заботили вопросы расизма и нищеты. Кроме того, она участвовала в митингах и демонстрациях за права животных, за право женщины на аборт, против глобализации и за ядерное разоружение. Сейчас она сосредоточилась на вопросах охраны окружающей среды – возобновляемой электроэнергии и борьбе с глобальным потеплением. Ниже приведены четыре утверждения относительно Мэри. Ваша задача – на основании всех приведенных данных оценить, насколько правдоподобно каждое высказывание, по следующей шкале. 1 – весьма вероятно, 2 – вероятно, 3 – возможно, 4 – едва ли возможно, 5 – крайне маловероятно. Какое утверждение о Мэри наиболее вероятно? Наверное, вы думаете, что однозначного ответа здесь нет. Ведь, казалось бы, очевидно, что мы не можем точно узнать, какой жизненный путь избрала Мэри, на основании такого краткого описания. Разумеется, это так, – однако очевидно и другое: очень многие делают неправильный вывод относительно нынешних занятий Мэри.
12 Так что, возможно, вы не только оцените правдоподобие каждого утверждения, но и подумаете, почему, собственно, многие ошибаются, когда пытаются определить, чем занимается Мэри. Заблуждение болельщицы Карен Джонс – страстная футбольная болельщица. Она смотрит все британские матчи по телевизору и болеет за «Манчестер Юнайтед». Однажды утром она получает электронное письмо, где лаконично сказано… 12 октября – победа сборной Дербишира. Карен не придает этому особого значения, однако отмечает про себя, что в указанный день сборная Дербишира и правда одерживает победу. Через неделю Карен получает похожее письмо с предсказанием, что победит Мидлсбро, и точно – эта команда побеждает. Еще через неделю Карен получает очередное предсказание – снова верное, как и предсказание на четвертую неделю. Тут уж любопытство одолевает Карен не на шутку. Мало того, что ее, похоже, удостоил вниманием единственный в мире настоящий ясновидящий, – но ведь на этих предсказаниях можно и заработать, если сделать ставки. Карен женщина осторожная и не вполне убеждена, что результат любого матча предопределен заранее, поэтому некоторое время сдерживается и не делает ставок. Однако все идет по-прежнему. Каждую неделю она получает письмо с предсказанием итога того или иного матча. Каждую неделю оказывается, что предсказание верно. Затем, на десятую неделю, текст письма меняется. На сей раз там говорится… Чтобы получить последнее предсказание, заплатите компании «Футбольные прогнозы» 250 долларов через «Пай-Мейт». Карен клянет себя за то, что до сих пор не делала ставок, но думает примерно так: 250 долларов – не такие уж большие деньги, а если она выиграет 2000 долларов, то окупит их с лихвой. Она подсчитывает, что шансы правильно предсказать исход девяти игр подряд равны примерно 1 на 7000 (если результаты случайны), а значит, компания «Футбольные прогнозы» наверняка обладает какой-то инсайдерской информацией. И Карен платит деньги, получает предсказание и делает ставку. Но потом она вспоминает кое-что еще, что говорили ей в колледже на факультативе по теории вероятностей, и понимает, что сделала отменную глупость и попала в вероятностную ловушку. Компания «Футбольные прогнозы» понятия не имеет, кто выиграет следующий матч. Карен стала жертвой мошенников. Что именно поняла Карен?
13 Клоун-воришка Студенты-клоуны из Колледжа Бозо в полном смятении. Кто-то обворовал колледж и унес 873 желтых воздушных шарика и сломанный насос для их надувания. К счастью, есть очевидец, утверждающий, что на воре была клоунская форма колледжа и красный клоунский нос. Между тем исследования показали, что в 80 процентах случаев очевидцы правильно запоминают цвет носа клоуна – соучастника преступления. Кроме того, известно, что 85 процентов клоунов в Колледже Бозо носят синие носы, а 15 процентов – красные. Какова вероятность, что у вора красный нос (если считать, что свидетель говорит правду о том, что, по его мнению, видел)? С чего начать Чтобы ответить на этот вопрос, главное – понимать, что опираться исключительно на точность свидетельских показаний не стоит (так что, если вы думаете, что вероятность, скорее всего, 80 процентов, то заблуждаетесь). Скорее нужно учесть общее распределение клоунов с синими и красными носами в Колледже Бозо. Загадка-блиц 5 Смотритель зоопарка утратил способность отличать слонов от страусов. Но считать глаза и ноги может по-прежнему. Он насчитал 58 глаз и 84 ноги. Сколько у него слонов и сколько страусов? Загадка-блиц 6 Бактерии в чашке Петри делятся каждую минуту на две равные части того же размера, что и бактерия-родительница, через минуту те тоже делятся надвое и так далее. Чашка Петри, в которой все это происходит, наполняется ровно в полдень. Когда чашка Петри была заполнена наполовину? Исчезающий доллар Три коммивояжера заселяются в гостиницу. Они хотят сэкономить, и решают поселиться в одном номере. Платят портье 30 долларов и направляются в номер, чтобы опустошить
14 мини-бар. Портье обнаруживает, что трехместный номер в будни стоит всего 25 долларов, и дает 5 долларов посыльному, чтобы тот вернул их постояльцам. По дороге посыльный ломает голову, как бы разделить 5 долларов на троих поровну, у него ничего не получается, поэтому он кладет 2 доллара к себе в карман, а оставшиеся 3 доллара раздает коммивояжерам. Но тут возникают осложнения. Куда-то подевался один доллар. Ведь три коммивояжера заплатили за номер 30 долларов, то есть каждый по 10. Затем портье отдал 5 из этих 30 долларов посыльному, тот оставил 2 себе и оставшиеся 3 раздал коммивояжерам – по доллару каждому. Изначально каждый из коммивояжеров заплатил 10 долларов (3 × 10 = 30), получил 1 доллар сдачи, то есть в результате заплатил за номер 9 долларов. Получаем, что коммивояжеры заплатили за номер 27 долларов (3 × 9) и 2 доллара прикарманил мальчишка-посыльный. Всего получается 29. Но ведь коммивояжеры заплатили 30 долларов! Куда подевался еще один доллар? Загадка-блиц 7 Два лебедя перед лебедем, два лебедя за лебедем да один лебедь посередине. Сколько всего лебедей? Загадка-блиц 8 Две девочки родились у одной матери в один день, в одно время, в один год – но они не двойняшки. Как такое может быть? 3. Добро пожаловать в реальный мир Логика – это одно, а здравый смысл – совсем другое (Элберт Хаббард. Из записных книжек).
15 Вероятно, вы считаете, что загадки и головоломки из этой книги слишком уж далеки от обыденной жизни. Неплохое развлечение, думаете вы, и хорошая разминка для извилин, но на жизненном пути в такие передряги обычно не попадаешь. Возникает искушение предположить, как выразился Элберт Хаббард, что логика – одно, а здравый смысл – совсем другое. Однако не спешите с выводами. Да, скорее всего, вам и в самом деле никогда не придется вычислять, кто хозяин рыбки, на основании истории о домах и их обитателях, но нельзя забывать, что способность рассчитывать вероятность, сравнивать разные варианты принятия решений и замечать логические ошибки играет важную роль в реальном мире. И в самом деле, если вы играете в азартные игры или заседаете в коллегии присяжных, такая способность будет совсем не лишней. Поэтому, если вам не удастся решить задачи из этого раздела, где приводятся ситуации, вполне возможные в реальном мире, вероятно, не стоит утешаться, что логика и рациональное мышление – это никому не нужная роскошь; лучше приучиться к осторожности. Вероятно, логика и здравый смысл и в самом деле разные вещи, но предпочитать здравый смысл логике, пожалуй, не всегда разумно. Дилемма узника Артур Ахиллес и Гектор Хаус арестованы за драку у трактира «Троянский герб». Оказалось, подрались они из-за того, что им не удалось ограбить яхт-клуб, поскольку море внезапно приобрело необъяснимый винноцветный оттенок. Однако у полиции недостает улик, чтобы обвинить Артура и Гектора в ограблении яхт-клуба, поэтому она придумывает хитроумный план. Артура и Гектора рассаживают по разным камерам и предлагают каждому сделку со следствием.
16 Если кто-нибудь один из подозреваемых даст показания, что его напарник – соучастник ограбления яхт-клуба, а второй будет молчать, предателя отпустят, а его неразговорчивого соучастника посадят на десять лет. Если молчать будут оба, обоим светит всего по полгода за решеткой за драку. Но если Артур и Гектор предадут друг друга, каждый отсидит пять лет. Теперь Гектор и Артур должны решить, предать друг друга или молчать. Общаться друг с другом или еще как-то узнать, что намерен делать напарник, они не могут. Так что перед каждым стоит дилемма. Должны ли они молчать и надеяться, что соучастник поступит так же? Или лучше затараторить быстрее кролика, убеждающего лиса податься в веганы? С чего начать Варианты развития событий выглядят так. Долларовый аукцион Рональд Пламп придумал отличный план, как заработать денег. Он устроит аукцион, где будет продавать долларовые банкноты. На первый взгляд затея так себе. Но Пламп придумал для своего аукциона особые правила: доллар выиграет тот, кто предложит самую высокую цену, однако тот, кто окажется следующим, тоже должен будет выплатить заявленную сумму, а главное – ничего за это не получит. Если вам непонятно, таким образом эта схема принесет прибыль, представьте себе, как будет проходить аукцион. Предположим, первая заявка – 1 цент, и участник аукциона надеется получить прибыль 99 центов. Остальные участники, несомненно, тут же повысят цену, считая, что и ради меньшей прибыли стоит постараться. Заявок будет много.
17 Однако, когда заявка достигает 99 центов, возникает сложность. Тот, кто сделал предыдущую заявку, скорее всего, 98 центов, вынужден заявить, что хочет купить доллар за доллар, иначе потеряет деньги. Очевидно, с его точки зрения лучше остаться при своих, чем не сделать заявки и потерять 98 центов. Но тогда тот, кто заявил 99 центов, оказывается точно в таком же положении. Ему лучше заявить 1 доллар 1 цент и тем самым потерять 1 цент, чем не заявить ничего и потерять 99 центов. Суть в том, что это может продолжаться бесконечно, а прибыль достанется только самому аукционисту. Действительно ли план Рональда Плампа – идеальная схема наживы? Или у участников аукциона есть возможность избежать его силков? Загадка-блиц 9 Перед вами две двери; за одной – разъяренный лев, за другой – горшочек с золотом. Двери стерегут два стража. Вам можно задать всего один вопрос. Один страж всегда говорит правду, другой всегда лжет. Какой вопрос нужно задать, чтобы определить, за какой дверью таится клад? Загадка-блиц 10 У вас восемь книг. Сколько существует способов поставить их на полку в ряд слева направо? Ошибка игрока Бобби де Фаро придумал идеальный план, как обчистить новое «Суперказино». План прост, как все гениальное. В сущности, все, что нужно, – стол, рулетка, немного денег и много смекалки. План состоит из двух частей. Сначала де Фаро понаблюдает за рулетками в казино и заметит такую, где произойдет несколько выигрышей подряд на красном или на черном. Тогда он начнет ставить на другой цвет, исходя из следующих умозаключений. Вероятность, что шарик упадет на красное или на черное число, примерно 50 × 50 для каждого числа (примерно, а не точно, потому, что есть еще зеро или двойное зеро – число заведения). Это означает, что в среднем, если раскрутить рулетку 20 раз, следует ожидать, что 10 раз выпадет красное, а 10 раз черное. Следовательно, если либо красное, либо черное выпало несколько раз подряд, разумно поставить на другой цвет, поскольку со временем все должно выровняться. Де Фаро считает, что таким образом сумеет выиграть достаточно, чтобы перейти ко второй части плана. Вторая часть предполагает, что нужно ставить на черное, а если проиграешь, удваивать ставку: таким образом, когда де Фаро наконец выиграет, то вернет себе весь проигрыш плюс получит прибыль, равную первоначальной ставке. По мнению де Фаро, успех его плана гарантирован законами вероятности. Выигрыши и проигрыши в серии победных ставок (если считать, что шансы на красное и черное равны)
18 Череда побед черного или красного не может длиться вечно, поэтому есть смысл ставить на другой цвет. А в игре, где шансы выиграть 50 на 50, череда проигрышей скоро кончится и можно быстро отыграться, а затем и вовсе остаться в выигрыше. Удалось ли де Фаро придумать идеальную схему выигрыша? Или сокровищница познаний в теории вероятности у него пуста, словно желудок у белки с аллергией на орехи? Ложь, наглая ложь и статистика Джим и Жюль, жители Чадли-у-Пруда – непримиримые соперники. Они постоянно состязаются в том, кто энергичнее прозвонит в деревенский колокол, стремятся обойти друг друга в ежегодных чемпионатах по игре «приделай хвостик ослику» и всегда-всегда ухаживают за одними и теми же деревенскими красавицами. Но отчаяннее всего они соревнуются за кубок мэра этого городка Катрин Моро, которым награждается член команды Чадли-у-Пруда, набравший больше всего очков в серии игр с деревнями-соперницами Чадли-у-Озера и Чадли-у-Океана. В этом году соревнования оказались особенно напряженными, и когда мэр Чадли-у-Пруда выходит на трибуну перед битком набитым залом Деревенского совета, чтобы огласить результаты, молодые люди буквально места себе не находят от волнения. Результаты показывают, что в среднем Джим выступил против обеих команд-соперниц лучше, чем Жюль, и Джима объявляют победителем и вручают ему кубок. Однако его излишне бурную победную джигу прерывает громовой глас из задних рядов зала Совета. Деревенский полицейский инспектор Хорс, на досуге увлекающийся философией, требует, чтобы ему дали возможность переговорить с мэром. После долгой беседы с инспектором
19 Хорсом и не менее продолжительного чесания в мэрской макушке мэр все же меняет решение и объявляет, что на самом деле результаты говорят о победе Жюля. Джим крайне раздосадован таким поворотом событий, и даже Жюль позволяет себе лишь очень скромную победную джигу, поскольку не в силах поверить своему счастью. Что такого сказал инспектор Хорс мэру о результатах? Почему мэр Катрин Моро изменила решение и объявила победителем Жюля? Парадокс устрашения Стэнли Лав очень гордится своими тыквами, которые вырастил для Ежегодного взвешивания в Мэддибемпс. Поэтому для него стало страшным ударом, когда однажды утром оказалось, что одну из его тыкв пометила как свою местная банда «Дружбаны Мэдди». Проблема присвоения тыкв при помощи нелегальных пометок становится в городе все актуальнее, поэтому Стэнли решает прибегнуть к устрашению и обезопасить себя от дальнейших набегов. С этой целью он окружает свою собственность большими табличками, которые гласят, что к тыквам подведен ток от электрического генератора и что он, Стэнли Лав, включит генератор, если заметит, что кто-то пытается проделать с тыквами что-то недозволенное. Однако банда «Дружбаны Мэдди» не из тех, кого можно испугать жалкими несколькими тысячами вольт, поэтому той же ночью они снова проникают в тыквенное святилище Лава и оставляют свою метку на его призовых «Исполинах Атлантики». Стэнли Лав прячется за генератором и все это видит – и уже готов поквитаться с захватчиками и дернуть рубильник, но тут ему приходит в голову, что он вовсе не хочет этого делать. Устрашение не помогло, банда уже изуродовала его тыквы, поэтому заставлять негодяев страдать вроде бы уже и незачем.
20 Затем Стэнли задумывается о природе устрашения как таковой. Ему приходит в голову, что в самой идее, что можно кого-то устрашить, заключен парадокс. Если устрашить злоумышленников можно только пригрозив им мерами, которые на самом деле не хочешь принимать, значит, у тебя нет и намерения принимать эти меры (ведь ты знаешь, что на самом деле не собираешься ничего делать). То есть для успешного устрашения нужно, чтобы все участники понимали: у устрашающего есть нешуточное намерение воплотить в жизнь свои конкретные угрозы. Действительно ли это парадокс? Подрывает ли он всю идею успешного устрашения? Или все же у нас есть способ применять устрашение на практике? Парадокс правосудия К судье Юдифи Соломон, лучшему юридическому мозгу городка Большой Бови, обратились за советом по сложному вопросу. Много-много лет назад священный попугай городка Малый Бови по имени Икар был тяжело ранен во время осенней охоты на фазанов в Чадли-у-Пруда. Раненого срочно доставили обратно в Малый Бови, где светила медицины приняли все возможные меры, но, к сожалению, к весне попугай скончался от полученных ран. В то время было неясно, кто именно подстрелил Икара. Однако недавно детектив Джек Доу, который, только что получив должность в полицейском участке Большого Чадли, хотел произвести впечатление на начальство, выяснил, что подозреваемым в убийстве был местный землевладелец Билли Блэклоу, который – можно сказать, по иронии судьбы – умер от желтой лихорадки всего через два месяца после трагедии на фазаньей охоте. Поначалу детектив Доу был вне себя от радости, что раскрыл дело. Однако чем больше он об этом думал, тем меньше в нем оставалось уверенности, что он точно знает, кто именно убил Икара, более того – когда его убили и где это произошло. Сложность заключалась вот в чем: нельзя сказать, что Икара убили осенью, поскольку осенью он был еще жив. Но нельзя и сказать, что Икара убили весной, поскольку к тому времени Билли Блэклоу был уже мертв, а мертвецы не убивают. Но если ни весной, ни осенью Икара не убили, когда же он был убит? Более того, если Икара не убили осенью, значит, его не могли убить в Чадли-у-Пруда, поскольку ни до, ни после он в Чадли не бывал. Однако с тем же основанием можно утверждать, что и в Малом Бови его не могли убить, поскольку Билли Блэклоу, ранивший попугая, никогда не бывал в этой деревне и вообще к моменту смерти Икара был давно в могиле. Поэтому детектив Джек Доу задает судье Соломон три простых вопроса.
21 Кто убил Икара? Когда он был убит? И где он был убит? 4. Движение, бесконечность и неопределенность Ничего не могу поделать: бесконечность терзает меня помимо моей воли (Альфред де Мюссе, «Надежда на бога»). На первый взгляд может показаться, будто включать в эту книгу подборку загадок и головоломок о движении, бесконечности и неопределенности – это некоторая натяжка.
22 Однако на самом деле весьма вероятно, что трудности, связанные с этими понятиями, знакомы вам не понаслышке. Возьмем, к примеру, идею бесконечности. Представьте себе такой сценарий: время бесконечно. Оно бесконечно далеко уходит в прошлое и бесконечно далеко продолжается в будущее. Однако количество вещества во вселенной, напротив, конечно: оно строго определено, и его невозможно изменить. По всей видимости, из этих двух предпосылок следует вывод (или вроде бы следует), что любая комбинация вещества в какой-то момент времени существовала, причем не единожды, а бесконечное множество раз. Более того, раз время уходит в прошлое бесконечно, значит, любая возможная комбинация уже встречалась, причем бесконечное множество раз. А из этого очевидно следует, что вы читаете эту книгу не впервые. Если вам знакомы подобные мысленные эксперименты, значит, вы уже представляете себе, какого рода головоломки встретите в этом разделе. Но скорее всего – и к счастью – дело не в том, что вы уже читали эту книгу бесконечно много раз… Логика лысеющего Самсон гордится своей пышной шевелюрой. Поэтому его несколько тревожит, когда его подруга Далила засматривается на его голову и бормочет что-то про лысину. Самсон изучал философию в Ханаанском университете и убежден, что сможет доказать, что его нельзя будет назвать лысым, сколько бы волос у него ни выпало. САМСОН. Если у человека 10 000 волосков на голове, можно ли сказать, что он лысый? ДАЛИЛА. Как видно, нет: Господь наградил его роскошными густыми волосами. САМСОН. Если вырвать у него один волосок, будет ли это означать, что он перешел грань между не-лысым и лысым? ДАЛИЛА. Воистину для такого человека один волосок – сущая безделица. САМСОН. Итак, человек, у которого 9999 волос, не лыс? ДАЛИЛА. Нет, не лыс. САМСОН. А если у него 9998 волос? ДАЛИЛА. Не лыс. САМСОН. А 9997? ДАЛИЛА. Постой, Самсон, сейчас ты досчитаешь до нуля и заявишь, что, если у человека совсем нет волос, он все равно не лысый. Глупости! САМСОН. Вовсе не глупости, Далила. Ты же сама говоришь: если вырвать у человека один волос, он не перейдет от этого грань между не-лысым и лысым. Моя логика безупречна. Я никогда не облысею. ДАЛИЛА. (Уходит искать большие ножницы.) Где у Самсона хромает логика? Ведь не может такого быть, что он никогда не облысеет. Или может?
23 Котик Долли и корабль Тезея Долли Эйрс души не чает в своем котике Монморанси. Именно поэтому она так много думает о том, что котик, скорее всего, покинет этот бренный мир прежде, чем скончается сама Долли. И именно поэтому она составила план, который позволит продлить их совместное будущее. План состоит в том, чтобы клонировать различные органы Монморанси, а затем пересаживать их ему на место отказавших. Долли несколько опасается, что от этого Монморанси может стать другим, поэтому решает, что лучше всего применить экспериментальный подход. Для начала она пересаживает котику хвостик. Новый хвостик несколько пышнее старого, но в остальном перед ней прежний Монморанси. Затем Долли пересаживает лапки. Все проходит как по маслу, и Монморанси даже не замечает разницы. Когда же характер котика не меняется даже после пересадки головы, Долли последовательно осуществляет свой план и в конце концов заменяет все части тела Монморанси до единой. Долли очень рада, что таким образом сумела значительно продлить жизнь Монморанси. Однако не проходит и месяца, как ее радость после посещения лекции по греческой философии сменяется леденящим ужасом. Ведь, оказывается, очень может быть, что Монморанси больше не Монморанси, а просто пушистый самозванец, который тоже любит сардинки из баночки.
24 На какую мысль натолкнула Долли лекция по философии? Почему она так огорчилась? И не напрасно ли? Загадка-блиц 11 В теннисном турнире по системе плей-офф (одно поражение – и игрок вылетает из турнира) всего тридцать одна партия. Сколько в турнире участников? Загадка-блиц 12 Некто живет на тринадцатом этаже высотки на окраине. Каждый день по дороге на работу он едет на лифте вниз на первый этаж. Однако, возвращаясь, он доезжает на лифте только до восьмого этажа, а потом поднимается по лестнице к себе на тринадцатый. В дождь он поступает точно так же, однако доезжает до десятого этажа и лишь затем поднимается пешком. Он отнюдь не любитель ходить пешком. Почему он так делает? Гостиница «Бесконечность» Бэзил Синклер – гордый владелец весьма необычной гостиницы. Она называется «Бесконечность», и в ней бесконечное число номеров. Синклер не сомневается, что его рекламный слоган – «Для вас у нас всегда найдется свободный номер» – чистая правда. Однако сегодня он несколько нервничает. Дело в том, что инспектор Хорс, философ-любитель и энциклопедист районного масштаба, арендовал гостиничный конференц-зал для торжественной лекции, а послушать лекцию в гостиницу неожиданно прибыло бесконечное множество гостей. То есть все номера в гостинице «Бесконечность» заняты. Синклер встревоженно поглядывает в окно гостиничного лобби и, к своему ужасу, обнаруживает новую проблему: к парадному входу в гостиницу подъезжает кавалькада автобусов. По лицу Бэзила пробегает какая-то тень: из автобусов выгружается новая толпа из бесконечного множества человек и шагает к вертящимся дверям в гостиницу. Через некоторое время – довольно продолжительное – все они, сгрудившись вокруг стойки портье, требуют расселить их по номерам, а когда Синклер объясняет им, что все номера уже заняты бесконечным множеством слушателей, прибывших на лекцию, сердито ссылаются на его же рекламу. К счастью, за происходящим наблюдает сам инспектор Хорс. Когда эмоции накаляются, он вмешивается и заявляет, что в гостинице вполне могут разместиться все желающие, более того, никому не грозит обнаружить в своей постели незнакомца. Чтобы решить проблему перенаселения, подчеркивает Хорс, главное – понять, что если все номера в гостинице «Бесконечность» заняты, из этого не следует, что там не найдется номеров для вновь прибывших гостей. Почему инспектор Хорс думает, что в гостинице «Бесконечность» можно разместить бесконечное число новых постояльцев?
25 Зенон и бег на трех ногах Как правило, ежегодные соревнования по бегу на трех ногах на Филиппидском карнавале проходят как по маслу. Однако в этом году праздник был омрачен крайне неуместным спором, который привел в негодование участников состязаний. Скандал начался с того, что затесавшийся в толпу философ заявил, будто пятиногому участнику нельзя давать фору на старте. Он утверждал – на первый взгляд безосновательно – что неизвестно, сумеют ли остальные участники состязаний догнать своего пятиногого соперника. И добавлял, что этот вопрос детально изучили греческие ученые в ходе серии опытов с черепахами. Представьте себе, что Ахиллес, быстроногий и бессовестный, предлагает черепахе посоревноваться в беге, причем дает ей фору. Хотя Ахиллес бегает гораздо быстрее черепахи, он, вероятно, не сумеет догнать свою неповоротливую соперницу. Такой вывод следует из того, что к тому времени, когда Ахиллес достигнет точки, где только что была черепаха, та успеет продвинуться немного вперед, пусть и совсем чуть-чуть. Это показано на следующей схеме. В начале гонки (t 1) у черепахи большая фора. Ахиллес очень быстро оказывается в той точке, откуда стартовала черепаха, однако черепаха уже продвинулась вперед (t 2). К моменту t 3 Ахиллес достиг точки, где была черепаха в t 2, но вздорная рептилия уже отползла немного дальше. Складывается впечатление, что это может продолжаться бесконечно: Ахиллес будет все ближе к черепахе, но так и не догонит ее. Все это досужий философ объясняет участникам соревнований по бегу на трех ногах. Они озадачены, но не вполне верят ему. Однако, когда он требует, чтобы они нашли ошибку в его рассуждениях, это им не удается. Как спортсмены должны ответить философу? Где ошиблись греки? Ведь очевидно, что черепаха выиграет далеко не любой забег, даже если дать ей фору.
26 5. Философские головоломки Нельзя придумать ничего столь странного и невероятного, что не было бы уже высказано кем-либо из философов (Рене Декарт, «Рассуждения о методе». Пер. Г. Г. Слюсарева и А. П. Юшкевича). Для философов загадки и головоломки – отнюдь не пустые развлечения, а источник озарений и открытий, углубляющих наши представления о мире. Например, парадокс Рассела привел в начале прошлого века к перевороту в представлениях философов и математиков о
27 множествах. Подобным же образом парадокс Зенона, разобранный в предыдущей главе, однако, бесспорно, также относящийся к философским, отчасти стал основой представлений математиков о бесконечности, сформированных в XIX веке. Не на все загадки и головоломки из этого раздела, как, впрочем, и из предыдущего, и из последующего, можно дать однозначный ответ. Поэтому не отчаивайтесь, если задачи покажутся вам неразрешимыми и это вас огорчит и раздосадует. Парадокс лжеца, классическую философскую головоломку, сформулировали почти две с половиной тысячи лет назад, однако мыслители до сих пор спорят, как правильно ее решать. Так что, если окажетесь в тупике, утешайтесь мыслью, что величайшие умы в истории человечества тоже пытались решить эти головоломки и тоже потерпели неудачу. Дилемма библиотекаря Александрина Пергамски только что получила должность ведущего каталогизатора во всемирно известной библиотеке Малого Бови. Прежде всего она поставила перед собой задачу создать генеральный каталог всех имеющихся в библиотеке каталогов. Однако когда Александрина видит каталоги, где перечислены книги из разнообразных собраний и отделов библиотеки, то отмечает, что одни каталоги включают самих себя как часть описываемого собрания, а другие – нет. Это удар по любви к порядку, которой славится Александрина, поэтому она решает, что ей на самом деле нужно создать два генеральных каталога: первый – каталог всех каталогов в библиотеке, где содержится ссылка на самих себя, второй – каталог каталогов, где такой ссылки нет. Приняв решение, Александрина принимается за работу. Закончив первый каталог, она решает, что, поскольку генеральный каталог – это тоже каталог, его следует включить в содержащийся в нем перечень каталогов, и она добавляет в него ссылку на самого себя. Затем она приступает к работе над вторым генеральным каталогом. Проходит несколько часов, работа закончена, остается лишь добавить в составленный список каталогов ссылку на сам каталог. Однако Александрине сразу же приходит в голову, что все отнюдь не так просто. Насколько она может судить, она не может ни добавить во второй генеральный каталог ссылку на самого себя, ни опустить ее. В сущности, Александрина в тупике. Почему Александрине нельзя добавить второй генеральный каталог в перечень каталогов, содержащийся в нем? Загадка-блиц 13 Часы в вашей комнате сломались. Они за каждый час уходят вперед на тридцать шесть минут. Однако ровно час назад они остановились, и сейчас на них восемь двадцать четыре утра. Вам известно, что ровно в два часа ночи часы показывали точное время. Который час? Загадка-блиц 14 Рота из пятидесяти солдат понесла в бою следующие потери: тридцать шесть солдат потеряли глаз, тридцать пять – ухо, сорок – ногу и сорок два – руку. Каково минимальное число солдат, потерявших и ногу, и руку, и ухо, и глаз? Парадокс лжеца
28 Барон Мюнхгаузен хвастается, что всегда знает, истинно или ложно высказывание. В частности, он утверждает, будто первым сообразил, что Ганнибал несколько кривит душой, когда говорит, что приобретает слонов, поскольку подумывает о цирковой карьере. Поэтому Мюнхгаузена несколько обеспокоил телефонный звонок от незнакомца, назвавшегося Евбулидом, который сказал, что существуют утверждения, относительно которых Мюнхгаузен не просто не сможет сказать, истинные они или ложные, но даже не будет знать, как приступить к рассуждениям по этому вопросу. Мюнхгаузен не из тех, кто упустит случай поставить на место давно усопшего философа, поэтому требует, чтобы Евбулид обосновал свое заявление. Для начала – в качестве, так сказать, гамбита, – Евбулид предлагает следующее утверждение. Это утверждение ложно. Мюнхгаузен мгновенно распознает подвох. Если это утверждение истинно, следовательно, истинно то, что в нем утверждается, а значит, оно ложно. Но если оно ложно, то, что в нем утверждается, ложно, а следовательно, оно истинно. Да, и вправду парадокс. Мюнхгаузен делает глубокий вдох и, подавив рыдания, предлагает следующий аргумент: данное конкретное утверждение ни истинно, ни ложно, ведь не всякое утверждение обязательно должно быть либо истинным, либо ложным. Только Мюнхгаузен успевает похвалить себя за находчивость, как, увы и ах, выясняется, что Евбулид еще не закончил разговор. Он предлагает еще одно утверждение. Это утверждение истинно. Мюнхгаузен ненадолго задумывается, а затем понимает, что крепко влип. Ведь тут уже не скажешь, что это утверждение ни истинно, ни ложно, поэтому непонятно, как барону разрешить парадокс. Прав ли Мюнхгаузен, полагая, что про это утверждение нельзя сказать, что оно ни истинно, ни ложно? Если да, то почему? Санкт-Петербургский парадокс Джордж Макклеллан, артист кабаре из легендарной гостиницы «Бесконечность», с удивлением замечает, что в тамошнем казино рекламируют новую азартную игру, которая, как утверждается, позволит кому-то сказочно разбогатеть. У Макклеллана выдалось несколько свободных часов до сольной программы «Ах, был бы я диктатором», и он решает, чтобы скоротать время, попробовать поиграть. Оказывается, что правила игры таковы. Игроки бросают монетку, пока не выпадет решка. Если это происходит при первом же броске, игрок получает 2 доллара и игра заканчивается; на втором броске выигрыш составляет 4 доллара, на чем игра кончается; на третьем – 8 долларов и игра заканчивается и так далее. То есть игрок выигрывает 2 доллара в степени n, где n – количество бросков, которое потребовалось, чтобы наконец выпала решка. Но есть один подвох. Перед каждой партией казино проводит аукцион, где игроки делают ставки, чтобы сыграть в эту игру. Играть позволено лишь тому, кто заплатит больше всех. Джордж Макклеллан – человек весьма состоятельный, однако рисковать не любит, поэтому он подсчитывает кое-какие вероятности, чтобы понять, какую ставку стоит делать на аукционе.
29 Макклеллан некоторое время смотрит на цифры, после чего вспоминает, что он мим, а не статистик, поэтому звонит другу, вездесущему инспектору Хорсу, и просит совета. С чего начать Какую сумму Хорс рекомендует Макклеллану поставить, чтобы поучаствовать в игре? Почему? Судебный парадокс Старшеклассник Бейли Уайнпол, собирающийся учиться на юриста, решил воплотить в жизнь идеальную, по его мнению, схему уклонения от платы за обучение в юридической школе. Он сумел уговорить администрацию Локхейвенской юридической школы заключить договор, который обязывал его, Бейли, выплатить деньги за обучение в двойном размере, но лишь после того, как он одержит первую победу в суде. А до этого от него не будут требовать никакой платы. Но администрация юридической школы и не подозревала, что юный Бейли намерен браться только за те дела, выиграть которые в принципе не мог. Однако именно так и развивалась его карьера в течение пяти лет после вступления в коллегию адвокатов. Уайнпол открыл преуспевающую контору, строго следуя в работе своему правилу: браться только за те дела, где правонарушители совершали преступления в прямом эфире на государственных каналах, а потом подписывали признание на глазах у миллионов свидетелей. К несчастью для Уайнпола, недавно бразды правления Локхейвенской юридической школы принял новый человек – некто профессор Протагор, который не намерен более терпеть подобные махинации. Профессор разработал план ничуть не менее хитроумный, чем у Бейли, с целью вынудить того все-таки раскошелиться. Он решает потребовать у Уайнпола эти деньги через суд. Протагор вовсе не рассчитывает, что юридическая школа выиграет дело, однако считает, что в любом случае получит свои деньги. Рассуждает он так: если Уайнпол выиграет, это будет его первая победа в суде, значит, он будет обязан выплатить долг по договору. Если
30 проиграет, значит, суд постановит, что он обязан погасить долг. Так или иначе, Локхейвенская юридическая школа получит плату. Нечего и говорить, что Уайнполу все видится несколько иначе. Он уверен, что если выиграет, то не должен будет ничего платить, ведь так постановит суд. А если проиграет, получится, что он еще не одержал первую победу, а значит, не обязан платить. Так что в любом случае юридической школе ничего не достанется. Кто из них правильно оценивает положение дел? Почему? Буриданов осел Гектора Хауса судят в Королевском суде Малого Бови. Гектор пытался украсть породистую черепаху из яхт-клуба, однако потерпел неудачу, поскольку непокорная рептилия вырвалась и удрала. В результате Хаус подрался со своим соучастником Артуром Ахиллесом, который потом еще и сдал его полиции – пошел на сделку со следствием. Хаус волей-неволей вынужден признаться в попытке ограбления, однако, чтобы избежать тюрьмы, подает присяжным прошение. Досточтимые присяжные! Да, я действительно пытался незаконными средствами приобрести породистую черепаху. Однако меня нельзя наказывать за преступление. Люди – всего лишь сложные машины, и наше поведение, как и у любой машины, однозначно определяется механическими процессами. Мои преступления были неизбежным результатом цепи предыдущих событий в моей биографии, а те в свою очередь – результатом цепи более ранних событий и так далее, вплоть до момента моего рождения. Я всю жизнь шел к попытке кражи черепахи, поскольку все человеческие поступки предопределены и не могут быть иными. Следовательно, я не отвечаю за случившееся, и меня следует признать невиновным. Увы, сторона обвинения с целью опровергнуть эти доводы привлекла в качестве свидетеля-эксперта инспектора Хорса. Инспектор предлагает присяжным рассмотреть следующий сценарий.
31 Голодный осел стоит точно посередине между двумя совершенно одинаковыми охапками сена. Ни в самой этой ситуации, ни в биографии осла нет ничего, что заставило бы его предпочесть одну охапку и пренебречь другой. Тогда, согласно причинному детерминизму (как утверждает Хаус), осел не сможет выбрать одну из двух охапок. И так и будет стоять в нерешительности, пока не умрет от голода. Трудно представить себе, чтобы такое произошло даже с ослом. И совершенно очевидно, что человек в подобной ситуации сделал бы тот или иной выбор, лишь бы не голодать. Следовательно, причинный детерминизм на людей не действует. У нас есть свобода воли. Таким образом, доводы Хауса несостоятельны, и его следует признать виновным. Прав ли инспектор Хорс? Если человек в описанной ситуации сделает тот или иной выбор, следует ли из этого, что мы обладаем свободой воли? 6. Парадоксы от и до Как чудесно, что мы столкнулись с парадоксом! Есть надежда сделать открытие (приписывается Нильсу Бору). Настоящий парадокс устроен так: выдвигается некое утверждение (предпосылка), иногда не одно, а несколько, которое большинство здравомыслящих людей считает истинным. Из этих утверждений посредством аргумента делается вывод, явно соответствующий всем нормальным законам логики. Главное – чтобы этот вывод не лез ни в какие ворота. Прекрасным примером такой логической выкладки служит парадокс «Логика лысеющего», он же «Парадокс кучи», приведенный в разделе 4. ПРЕДПОСЫЛКА. Человек, у которого 10 000 волос, не лыс. АРГУМЕНТ. Если вырывать у человека по одному волоску, то, сколько бы ни было у него волос первоначально, невозможно перейти грань между не лысым и лысым.
32 ВЫВОД. Человек, у которого совсем нет волос, не лыс (?!). Как правило, чтобы разрешить парадокс, надо либо показать, что неверна предпосылка, либо найти недочеты в аргументе. Однако, как вы уже, несомненно, поняли или вот-вот поймете в процессе решения задач из этой книги, это не всегда так уж просто. Более того, зачастую это до того сложно, что приходится признать, что мы столкнулись с парадоксом от и до. Таков единственный логичный вывод. Парадокс Ньюкомба Фрости Ридинг обратился в компанию «Рокхемптонские ясновидящие» – солидную фирму, которая признана мировым лидером по точности предсказаний, – поскольку рассчитывает узнать о неминуемой, как он надеется, кончине своего ближайшего соседа, чей дом он страстно желает заполучить. Прибыв на консультацию, Фрости с некоторой досадой обнаруживает, что прием отменили из-за предвиденного стечения обстоятельств. В качестве компенсации ему предлагают сыграть в игру, которая теоретически принесет ему крупную сумму денег. Правила игры, как говорят Фрости, таковы. Ему дадут две непрозрачные коробки: в коробке А будет 10 000 долларов, а в коробке В – либо 1 000 000 долларов, либо ничего. Потом ему предложат на выбор забрать домой либо обе коробки, либо только коробку В. Фрости говорят, что сумму в коробке В отгадает самая авторитетная гадалка в Рокхемптоне, которая всегда дает стопроцентно верные прогнозы. Исходить она будет из следующих соображений. Если она предскажет, что Фрости заберет домой обе коробки, в коробку В не положат ничего. Если же гадалка предскажет, что он возьмет домой только коробку В, то в коробку В положат 1 000 000 долларов. К моменту начала игры предсказание уже сделано, и содержимое коробки В уже определено. Философ Роберт Нозик замечает, что все, кто узнает об этой игре, уверены, как следует поступить; беда в том, что половина считает так, а другая половина иначе, и обе половины считают, что те, кто думают не так, как они, попросту выжили из ума. Как быть Фрости – забрать домой обе коробки или только коробку В? С чего начать
33 Вечеринка-сюрприз Клэр Броган с юных лет склонна к мизантропии. Едва научившись ходить, она взбиралась на ящик в местном Гайд-парке и обращалась к прохожим с обличительной речью в адрес всего человечества. Неудивительно, что ее отнюдь не обрадовало, когда в день ее восемнадцатилетия родители – люди во всех отношениях надежные – объявили, что организовали для нее вечеринку-сюрприз, на которой ко всему прочему выступит клоун-виртуоз. Сначала Клэр приходит в ужас, но потом задумывается над тем, что, в сущности, сказали ей родители, и понимает, что беспокоиться не о чем. Никакой вечеринки не будет. Рассуждает она так. Поскольку родители сказали, что устроят вечеринку в какой-то будний день на следующей неделе и это будет сюрприз, значит, в пятницу вечеринки точно не будет, поскольку в полночь в четверг станет ясно, что праздник состоится в пятницу, а значит, не получится никакого сюрприза. Но тогда вечеринка не может состояться и в четверг, поскольку к полуночи в среду станет ясно, что она назначена на четверг (мы уже поняли, что не на пятницу), а значит, сюрприза опять же не будет. При помощи той же логики можно исключить все остальные дни недели в обратном порядке вплоть до понедельника. Таким образом, Клэр приходит к выводу, что праздник не состоится. Правильный ли вывод сделала Клэр? Действительно ли вечеринки не будет? Загадка-блиц 15 На скамейке в парке сидят мальчик и девочка. – Я девочка, – говорит ребенок со светлыми волосами. – Я мальчик, – говорит ребенок с темными волосами. По крайней мере один из них лжет. Кто из них мальчик и кто девочка? Загадка-блиц 16
34 Крестьянину нужно переплыть реку на лодке. У него есть курица, лисица и мешок с зерном. В лодку с собой он может взять только что-то одно. Курицу и зерно оставлять нельзя – курица склюет зерно. Курицу и лисицу тоже нельзя оставлять вместе – лисица съест курицу. Как ему благополучно переправить все свое имущество на другой берег? Парадокс лотереи Алекс Гиббон, социолог из Технологического института в Северном Бови, всем и каждому рассказывает, что терпеть не может «Лотто» – государственную лотерею, которую проводят в его графстве. Стоит Алексу очутиться в компании, как он считает своим моральным долгом прочесть импровизированную лекцию о так называемом «лотерейном налоге» и разъясняет, что лотереи с крупным призом – это новый опиум для народа, поскольку обещания баснословных богатств лишь гасят в массах революционный пыл. Однако у профессора Гиббона есть постыдная тайна. Он еженедельно покупает лотерейный билет. Гиббон утешается мыслью, что делает это из солидарности с рабочим классом. И не купил бы билета, если бы считал, что может выиграть. К счастью, шансы на то, что выиграет тот или иной билет, смехотворно малы, примерно 1 шанс из 14 миллионов, так что профессор может четверть миллиона лет покупать лотерейные билеты каждую неделю, прежде чем у него появится надежда выиграть. Да, признается профессор, он смотрит розыгрыши «Лотто» по телевизору, но лишь для того, чтобы вполне оценить идеологическое воздействие этих махинаций. Все это продолжается много счастливых лет, но в конце концов Гиббон по глупости выдает свою лотерейную тайну – пробалтывается коллеге по философскому факультету ТИСБ. Коллега-философ говорит, что Гиббон напрасно тешится мыслью, что его лотерейный билет будто бы так и будет оказываться проигрышным каждую неделю. И объясняет почему. Вероятность, что каждый конкретный билет выиграет в лотерею, крайне мала. Следовательно, если кто-то, к примеру, приобретает билет номер 234 456, логично предположить, что этот номер не выиграет. А из этого, в свою очередь, следует, что логично предположить, что и каждый конкретный билет в отдельности тоже не окажется выигрышным. Однако это означает, что логично предположить, что в лотерее не выиграет ни один билет; тем не менее мы знаем, что (как правило) какой-то билет все-таки выигрывает. Итак, перед нами противоречие: мы одновременно считаем, что каждый конкретный билет не окажется выигрышным, и полагаем, что какой-то билет все же выиграет. Верно ли рассуждает философ? Должен ли Гиббон признаться самому себе, что рано или поздно станет баснословно богат? Задача спящей красавицы Спящая Красавица столкнулась на жизненном пути с небольшими трудностями. Ее возлюбленный, Прекрасный Принц, несколько ленив. Как выяснилось, у него взыскательный вкус во всем, что касается драгоценностей и круассанов, а следовательно, все, что зарабатывает Красавица исследованиями по нарколепсии, не покрывает их семейных
35 расходов. Спящая Красавица, встревожившись, решает, что нужно найти приработок: тогда у нее будет больше денег на мелкие расходы, и она сможет и дальше баловать любимого. Поэтому Красавица вызывается участвовать в исследовании, правила которого таковы. В субботу Спящей Красавице дадут снотворное, и она погрузится в сон. Затем бросят монетку. Если выпадет орел, в понедельник Красавицу разбудят, она заполнит анкету, и на этом исследование завершится. Если выпадет решка, в понедельник Красавицу разбудят, она заполнит анкету, после чего получит еще одну дозу снотворного. На следующий день, во вторник, Красавицу разбудят, и эксперимент закончится. Хотя Спящей Красавице подробно рассказывают о ходе эксперимента, ни до, ни во время анкетирования она не будет знать, какой сейчас день недели. Кроме того, из-за побочных эффектов снотворного у Красавицы будет легкая амнезия, поэтому ее предупреждают, что она не запомнит, будили ли ее до этого в ходе эксперимента. В анкете, помимо прочего, есть такой вопрос. Как испытуемая оценивает вероятность, что при броске монетки выпал орел? Иначе говоря, насколько она уверена, что при броске монетки выпал орел? При ответе на этот вопрос нужно принять во внимания два обстоятельства. Во-первых, сам ход эксперимента – сколько раз, один или два, будили Спящую Красавицу, – определяется одним броском монеты. Во-вторых, следует помнить, что, если выпал орел, Спящую Красавицу будят один раз, если решка – два раза. Как должна Спящая Красавица ответить на этот вопрос? Загадка-блиц 17 На семейный праздник собрались: • один дедушка, • одна бабушка, • два отца, • две матери, • четверо детей, • трое внуков, • две сестры,
36 • один брат, • две дочери, • два сына, • один свекор, • одна свекровь • и одна невестка. Каково минимальное количество собравшихся на семейном празднике? Кто они? Загадка-блиц 18 Можно ли бельгийцам жениться на сестре своей вдовы? Загадка-блиц 19 У вас десять наборов из десяти гирь. Вам известно, сколько должны весить гири. Кроме того, вам известно, что в одном наборе все гири отличаются от нормальных на килограмм, то есть суммарный вес бракованного набора отличается от нормы на десять килограммов. Кроме того, вы знаете, что бракованный набор только один. У вас есть очень точные весы, но воспользоваться ими можно лишь один раз. Как найти бракованный набор? Решения и ответы Загадка Эйнштейна • Факт № 14 в сочетании с Фактом № 9 означает, что дом № 2 синий. • Факт № 4 в сочетании с Фактом № 5 означает, что дом № 4 зеленый, в доме № 4 пьют кофе, а дом № 5 – белый. • Факт № 1 означает, что англичанин живет в доме № 3; этот дом красный. Отсюда следует, что дом № 1 желтый (поскольку все остальные цвета, кроме желтого, уже заняты). Кроме того, нам известно, что обитатель желтого дома играет в бейсбол (Факт № 7), а лошадь держат в доме № 2, по соседству с бейсболистом (Факт № 11). • Согласно Факту № 12, домовладелец, который играет в теннис, пьет пиво. Какой же он национальности? Не норвежец (норвежец играет в бейсбол), не англичанин (пьет молоко), не немец (Факт № 13) и не датчанин (Факт № 3). Значит, он швед. Что мы знаем о шведе? Факт № 2 – он держит собак. Итак, нам известно, что швед играет в теннис, пьет пиво и держит собак. Всему этому соответствует только дом № 5. • Далее, согласно Факту № 3, датчанин живет в доме № 2, а тот, кто пьет чай, тоже живет в доме № 2. Таким образом, воду пьют в доме № 1, а немец живет в доме № 4. • Факт № 15 означает, что тот, кто играет в волейбол, живет в доме № 2, а Факт № 13 означает, что тот, кто играет в хоккей, живет в доме № 4. Это, в свою очередь, означает, что футболист живет в доме № 3 – а о нем нам известно, что он разводит птиц (Факт № 6). • Согласно Факту № 10, в доме № 1 держат кошек. Вот и ответ. Хозяин рыбки – немец, который живет в доме № 4, пьет кофе и играет в хоккей!
37 «Феррари» или козел? Задача Монти Холла Уильям Капра столкнулся с так называемой задачей Монти Холла. Почти все, кто слышит о ней, с ходу отвечают, что можно выбрать другую дверь, а можно остаться при прежнем мнении – это ничего не меняет. Должно быть, логика здесь в том, что машина может оказаться за одной из дверей с равной вероятностью, поэтому выбор другой двери не повлияет на результат. Это не так. Уильям должен выбрать другую дверь, не ту, на которую указал первоначально. Если выбираешь другую дверь, то не выиграть машину можно только в том случае, если в первый раз выбрал дверь с машиной. После того как игрок делает первоначальный выбор, ведущий должен открыть дверь, за которой стоит козел (иначе игрок увидит, где машина). А значит, если сначала выбрать дверь с козлом, ведущий будет вынужден показать тебе последнего оставшегося козла – и тем самым сообщить, за какой дверью машина (за той, которую ведущий не открыл). Вероятность, что ты первоначально выбрал дверь с козлом, равна 2/3. Следовательно, если теперь выбрать другую дверь, у тебя 2 шанса из 3 выиграть машину, а это лучше, чем первоначальный шанс 1 из 3. Если здесь не все понятно, поможет следующая схема.
38 Из схемы очевидно, что если сначала выбрать дверь с машиной, то, выбрав другую дверь на втором этапе, проиграешь; но если сначала выбрать кого-то из козлов, а на втором этапе изменить выбор, выиграешь. Вероятность, что на первом этапе ты выберешь козла, равна 2/3 (сценарии 2 и 3). Поэтому надо изменить выбор, поскольку тогда шансы выиграть у тебя будут 2 из 3. Когда Мэрилин вос Савант описала эту задачу в журнале «Парад», то получила от профессора Чарльза Рида из Университета штата Флорида следующее послание.
39 Позвольте дать вам совет: прежде чем в следующий раз пытаться решить подобную задачу, купите и проштудируйте стандартный учебник по теории вероятностей. В ответ Мэрилин вос Савант еще раз обосновала свое решение и предложила читателям поэкспериментировать дома. Так они и поступили – и тысячи опытов подтвердили выводы Мэрилин: если менять первоначальный выбор, выигрываешь в два раза чаще. Ящик Бертрана Это вариант головоломки, которую придумал в XIX веке французский математик Жозеф Бертран. Чтобы решить ее, нужно представить себе, что первоначально придется выбирать один из шести ящичков (а не одну из трех шкатулок). Таким образом… В трех ящичках лежит жемчужина, и шансы выбрать один из них одинаковы (вероятность 1/3). Один из этих ящичков – в шкатулке 2, поэтому вероятность, что Айова Джонс выберет ящичек из шкатулки 2, равна 1/3. Два из ящичков с жемчужинами – в шкатулке 1, а значит, вероятность, что Джонс выберет ящичек из шкатулки 1, а затем найдет вторую жемчужину, когда откроет второй ящичек из той же шкатулки, равна 2/3. Просто поразительно, как часто эту задачу решают неверно. Это понятно и естественно, если думать не про ящички, а про шкатулки. В таком случае можно рассудить, что поскольку шкатулка, которую открыл Айова Джонс, совершенно точно не № 3, значит, он открыл либо шкатулку № 1, либо шкатулку № 2, а тогда вероятность, что во втором, еще не открытом, ящичке лежит жемчужина, равна ½: жемчуг, если он открыл шкатулку № 1, и уголь, если он открыл шкатулку № 2. Но на самом деле доктор Джонс выбирал не шкатулку, а ящичек, а тогда у него три варианта: 1. Он выбрал жемчужину из пары жемчужина – уголь, и во втором ящичке уголь (1/3). 2. Он выбрал жемчужину № 1 из пары жемчужина – жемчужина, и во втором ящичке жемчужина (1/3). 3. Он выбрал жемчужину № 2 из пары жемчужина – жемчужина, и во втором ящичке жемчужина (1/3). Отсюда следует, что для Айовы Джонса вероятность обнаружить во втором ящичке той же шкатулки жемчужину, а не кусок угля, равна 2/3.
40 Мальчик или девочка Возможно, вы думаете, что Мартин все перепутал. Не исключено, что вы считаете, что, поскольку каждый конкретный ребенок может оказаться мальчиком или девочкой с вероятностью 50 на 50, второй ребенок Мартина может быть мальчиком или девочкой с одинаковой вероятностью. Если так, вы заблуждаетесь. На самом деле вероятность, что второй ребенок Мартина – девочка, составляет две трети. Дело в том, что если в семье двое детей, существует четыре возможные комбинации. ДЕВОЧКА – ДЕВОЧКА ДЕВОЧКА – МАЛЬЧИК МАЛЬЧИК – ДЕВОЧКА МАЛЬЧИК – МАЛЬЧИК В случае Мартина нам известно, что по крайней мере один из двух его детей мальчик. Это исключает возможность, что оба его ребенка девочки. Тогда у нас остаются три возможные комбинации детей. Отсюда видно, что в двух из трех вероятных комбинаций присутствует девочка. А тогда вероятность, что у Мартина, кроме сына, есть еще и дочь, составляет 2/3 (а вероятность, что у него два сына, то есть что второй ребенок тоже мальчик, составляет 1/3). Возможно, вы думаете, что здесь вкралась ошибка, поскольку комбинация «мальчик – мальчик» упомянута только один раз. Однако при детальном рассмотрении оказывается, что на самом деле «мальчик – мальчик» может быть только в одном случае. МАЛЬЧИК – МАЛЬЧИК1 – у младшего мальчика есть старший брат. Это в точности то же самое, что и
41 МАЛЬЧИК – МАЛЬЧИК2 – у старшего мальчика есть младший брат. Напротив, комбинации «мальчик – девочка» и «девочка – мальчик» – это два разных случая. МАЛЬЧИК – ДЕВОЧКА – у младшей девочки есть старший брат, ДЕВОЧКА – МАЛЬЧИК – у старшей девочки есть младший брат. Таким образом, с вероятностью 2/3 в семье есть девочка, а вероятность, что в семье два мальчика, составляет всего 1/3. Сколько им лет? Это вариант головоломки, опубликованной в журнале «Попьюлар Сайенс» в апреле 1960 года. Перед нами простая логическая задача, безо всяких уловок и хитростей, и для ее решения надо всего лишь правильно рассуждать. Начнем с того, что нам известно: если перемножить возраст трех обитателей дома, получится число 225. Чтобы понять, при каких комбинациях возрастов это возможно, нужно разложить 225 на множители (то есть на целые числа, которые при перемножении дают 225). 1 × 225 = 225 3 × 75 = 225 5 × 45 = 225 9 × 25 = 225 15 × 15 = 225 Таким образом, множители 225 – это 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75 и 225. Из этих множителей можно составить восемь комбинаций, которые при перемножении дают 225. Кроме того, отсюда выводятся варианты номера дома (суммы возрастов его обитателей). Итак, у нас достаточно информации, чтобы вычислить возраст жильцов. Учтем мы и совет инспектора Хорса: он велел Гиббону спросить у открывшей ему дамы, как ее возраст соотносится с возрастом остальных жильцов. Хорс, как и Гиббон, знает номер дома, поэтому это уточнение нужно по одной причине: для какого-то номера дома существует больше одной комбинации возрастов. Тогда возможен только один номер дома: 31.
42 Для дома номер 31 существует две комбинации возрастов, соответствующие условиям: 25, 3, 3 и 15, 15, 1. Ответ на вопрос Гиббона – «Сильно ли вы старше своих брата и сестры?» – позволяет найти правильное соотношение возрастов. Открывшая дверь молодая дама ответила «Да», тем самым исключив комбинацию 15, 15, 1. Теперь понятно, что возраст жильцов дома – 25, 3 и 3. Элементарно, милый Ватсон! Тест, который предложили пройти офицеру Доу, придумал лет сорок назад психолог Питер Ватсон, и это не просто головоломка из развлекательного раздела какого-нибудь журнальчика. Она многое говорит о том, как устроена наша способность логически рассуждать, в частности – хорошо ли мы замечаем, когда нарушаются причинно-следственные связи (то есть законы типа «если х, то у»). Правильный ответ состоит в том, что нужно перевернуть две карточки, чтобы проверить, соблюдается ли правило, гласящее, что если у карточки на одной стороне круг, то обратная сторона у нее желтая. Это, во‐первых, карточка с кругом, во‐вторых, карточка красного цвета. Логика здесь такова. • Квадрат переворачивать не нужно, поскольку неважно, какого цвета обратная сторона карточки (в правиле ничего не говорится о том, что квадрат должен быть связан с каким-то определенным цветом). • Круг надо перевернуть, поскольку обратная сторона может оказаться не желтой, а это нарушает правило. • Желтую карточку переворачивать не нужно, поскольку неважно, какая на обратной стороне фигура: в правиле не говорится, что желтый цвет однозначно связан с кругом, там лишь сказано, что если на одной стороне карточки круг, то другая должна быть желтой. • Красную карточку нужно перевернуть, поскольку на обратной стороне может быть круг, а это нарушение правила.
43 Как мы уже отмечали, подобные тесты мы проходим из рук вон плохо, поэтому и вы, вероятно, ошиблись. Если да, не стоит слишком сильно огорчаться, хотя, вероятно, это повод задуматься. Принято считать, что представления о мире должны быть логически непротиворечивыми, по крайней мере в каком-то смысле основаны на рациональных рассуждениях. Но если автоматические логические рассуждения даются нам с таким трудом, если мы постоянно ошибаемся в них, стоит задаться вопросом, действительно ли мир логичен. Чем занимается Мэри? Когда человека просят определить, чем занимается Мэри, почти все считают, что более вероятно, что она банковская служащая и активно участвует в феминистском движении (утверждение 4), а не просто банковская служащая (утверждение 2). Однако здесь таится логическая ошибка, поэтому так говорить неправильно. Если Мэри банковская служащая и феминистка, то она все равно банковская служащая. Иначе говоря, Мэри не могла бы быть банковской служащей и феминисткой, если бы не была банковской служащей. Поэтому утверждение 4 не может быть более вероятным, чем утверждение 2. Фундаментальную логическую ошибку, которую мы так часто допускаем в подобных случаях, можно описать следующим образом: вероятность, что кто-то или что-то обладает объединением двух качеств (одновременно и банковская служащая, и феминистка), не может быть больше вероятности, что кто-то или что-то обладает лишь одним из этих качеств (в данном случае – банковская служащая). Мы так часто ошибаемся в подобных случаях, что становится не по себе. Ведь, казалось бы, ошибка прямо бросается в глаза. Как же это объяснить? Скорее всего, причина в том, как мы привыкли разговаривать. Проще говоря, если нам нужно выбрать между несколькими вариантами, куда входят и «Мэри – банковская служащая», и «Мэри – банковская служащая и активно участвует в феминистском движении», мы предполагаем, что отсутствие упоминания о феминизме в первом варианте равносильно высказыванию «Мэри – банковская служащая и не участвует в феминистском движении». Если дело в этом, привычка определенным образом строить фразы подталкивает нас к логически неверному ответу. Даже если наша склонность ошибаться в выкладках подобного рода именно так и объясняется, то, что мы в повседневной жизни склонны совершать подобные промахи, весьма поучительно. Похоже, напрасно мы тешим себя мыслью, что люди – существа рациональные. Заблуждение болельщицы
44 Карен поняла, что попалась на удочку мошенников, которые опираются на законы вероятности, простую арифметику и причуды человеческой психологии и добиваются поразительного эффекта. Вот как все устроено. Компания «Футбольные прогнозы» покупает список рассылки из миллиона электронных адресов. Затем она рассылает первое письмо. Половина людей из списка получает письмо, где говорится, что победит сборная Дербишира, другая половина – что победит команда-противник (для простоты предположим, что ничьих не бывает и любой матч кончается победой). Это означает, что при любом исходе игры 500 000 человек получат точное предсказание. Они и только они получат второе электронное письмо с предсказанием исхода следующего матча. Половине сообщат, что победит одна команда, второй половине – что другая. По завершении этого процесса останется какое-то количество адресатов, которые получили только точные предсказания. У этих людей складывается впечатление, что компания «Футбольные прогнозы» точно предсказывает результаты всех игр. Однако на самом деле компания предсказывала все возможные варианты, просто люди вроде Карен случайно получили полный набор исключительно верных предсказаний. Так что вывод, который сделала Карен, состоял в том, что не она одна получила эти послания и что количество людей, получивших ошибочные прогнозы, скорее всего, несравнимо больше, чем число тех, кому достались только правильные предсказания. Клоун-воришка Представьте себе, что Колледж Бозо – настоящий рай для воришек и в недавнем прошлом там произошла добрая сотня краж, причем во всех виноваты студенты-клоуны. Каждый конкретный клоун может оказаться вором с равной вероятностью. Следовательно, можно сказать, что 85 из 100 краж совершены клоунами с синими носами, а 15 – клоунами с красными носами. Рассмотрим теперь показания очевидцев. Вариантов у нас четыре. 1. Виновен клоун с синим носом, свидетельские показания, где упоминается синий нос, правдивы (вероятность 80 %) 2. Виновен клоун с синим носом, свидетельские показания, где упоминается красный нос, ошибочны (вероятность 20 %) 3. Виновен клоун с красным носом, свидетельские показания, где упоминается красный нос, правдивы (вероятность 80 %) 4. Виновен клоун с красным носом, свидетельские показания, где упоминается синий нос, ошибочны (вероятность 20 %)
45 Теперь задача стала гораздо проще. Чтобы определить вероятность того, что у вора красный нос, нужно знать, насколько часто свидетели говорят, что виновен красноносый клоун, и в каком проценте этих случаев виновен действительно клоун с красным носом. Разобраться в этом поможет несложная таблица. Отсюда очевидно, что в 29 отдельных случаях свидетель скажет, что у вора красный нос (17 + 12). Однако лишь в 12 из этих случаев у вора действительно будет красный нос (а в остальных 17 случаях свидетель ошибочно скажет, что у клоуна был красный нос, а на самом деле нос был синий). Поэтому ответ таков: вероятность, что у вора из Колледжа Бозо был красный нос, равна 41 % (12/29). Для многих этот ответ окажется неожиданным. Ведь на первый взгляд представляется, что поскольку свидетели говорят правду в 80 % случаев, вероятность, что у вора красный нос, составляет 80 %. Однако такое предположение не учитывает, как часто случается, что свидетели ошибаются и принимают синий нос за красный. Исчезающий доллар В сущности, решить эту головоломку просто. Чтобы понять, что же пошло не так, нужно найти ошибку в описании случившегося. Головоломка на то и головоломка, чтобы, как хороший цирковой фокус, убедить читателя в том, чего на самом деле нет. Да, каждый коммивояжер внес за номер по 9 долларов, иначе говоря, они вместе заплатили 27 долларов. Однако в эти 27 долларов входят и те 2 доллара, которые прикарманил посыльный, так что не нужно ничего прибавлять к 27, чтобы получилось 29. А 30 долларов здесь упоминаются только чтобы запутать читателя: с того момента, как коммивояжерам вернули 3 доллара, о первоначальной сумме в 30 долларов нужно забыть. Чтобы разобраться во всем этом, рассмотрим следующую таблицу:
46 Отсюда очевидно, что из 27 долларов, которые заплатили коммивояжеры, 25 долларов получила гостиница, а 2 доллара оказались у посыльного, так что нет никаких логических оснований прибавлять 2 доллара из кармана посыльного к 27 долларам, которые заплатили коммивояжеры (ведь 2 доллара посыльного уже входят в эту сумму). Прелесть этой головоломки в том и состоит, что первоначальное описание ситуации нарочно составлено с целью сбить читателя с толку. Читатели думают примерно так: «Вот у нас есть 27 долларов, которые заплатили коммивояжеры (3 × 9), и 2 доллара, которые прикарманил посыльный». Но ведь это не так. У нас есть 27 долларов, которые заплатили коммивояжеры, и в эту сумму входят 2 доллара, которые прикарманил посыльный. Дилемма узника На задачу о дилемме узника правильного ответа как такового нет. Однако если узник в этой ситуации захочет выгадать как можно больше, то есть получить наименьший срок, ему придется предать соучастника. К примеру, Артур рассуждает следующим образом.
47 Возможно, Гектор будет молчать, но если так, а я его предам, меня отпустят (а Гектора посадят на десять лет). Другой вариант – он заговорит, но если так, а я его не предам, то я сяду на десять лет, а он выйдет на свободу. Значит, в любом случае мне лучше предать его. Разумеется, загвоздка в том, что Гектор рассуждает точно так же, вот почему задача называется «дилемма». И Артур, и Гектор, предавая друг друга, действуют в собственных интересах, а в результате выгадывают меньше, чем могли бы, если бы просто молчали, то есть не так рьяно пытались получить наибольшую выгоду. Вероятно, вы думаете, что в таком случае самой рациональной стратегией будет солидарное молчание. Ведь неразумно было бы предположить, что стратегия, которая ведет к худшему результату (предательство), рациональнее той, которая приведет к лучшему результату (молчание). Однако здесь следует подчеркнуть, что при таком положении дел солидарность – не лучшая стратегия для каждого узника в отдельности. Вот, например, что думает о солидарности Артур. Гектор довольно умен и сообразит, что если мы оба будем действовать в своих интересах, то окажемся в тюрьме. Поэтому он выберет стратегию солидарности и будет молчать. Значит, и мне следует молчать, верно? Но если Гектор и в самом деле будет молчать, я ничего не потеряю, если разговорюсь, а если я предам его, то получу свободу. Поэтому мне нет никакого смысла молчать. Тут есть одна оговорка. Если человек действительно попадет в такую ситуацию и окажется перед таким выбором, то, по накопившейся статистике, относительное меньшинство все же избирает стратегию солидарности, хотя она и не такая рациональная. Однако, возможно, это свидетельствует не о широте нашей души, а просто о неумении рассуждать логически. Долларовый аукцион Сценарий долларового аукциона придумал экономист Мартин Шубик. Цель его – показать, как в результате череды рациональных на первый взгляд шагов человек совершает вопиюще иррациональные поступки. Дело в том, что после того, как были сделаны две ставки, тот, чья ставка меньше, почти всегда считает нужным повысить ставку и выйти на первое место. Однако в результате положение того, чья ставка на втором месте, постоянно усугубляется.
48 Шубик пишет, что, если проводить такой эксперимент в реальной жизни, нередки ставки по три доллара и даже больше. Есть ли способ перехитрить аукциониста? Конечно, может быть и так, что аукционист проиграет, например, если будет сделана заявка в один цент и никто не попытается ее перебить. Однако у участников аукциона нет никакого способа выиграть (если, конечно, они не контролируют других игроков). Чтобы положить конец аукциону, лучше всего заявить на 99 центов больше предыдущего участника, что означает, что следующий участник, сделав заявку, ничего не выиграет (например, если игрок А заявит 50 центов, а игрок В заявит после этого 1 доллар 49 центов, то игрок А потеряет 50 центов, если не сделает дальнейшей ставки, и те же 50 центов, если сделает ставку и выиграет аукцион: заплатит 1 доллар 50 центов, а приобретет выигранный 1 доллар. Иначе говоря, если он продолжит повышать ставки, то ничего не выиграет). Выигравший игрок по-прежнему не сможет получить прибыль, зато сумеет положить конец аукциону, пока его проигрыш не начал нарастать как снежный ком. Трудность в том, что, хотя игроки, занимающие второе место по величине ставок, не получают никакой финансовой прибыли, из этого не следует, что они воздержатся от ставок. Подобный аукцион отчасти стал возможен именно потому, что люди, увлеченные подобной эскалацией напряжения, как правило, легче поддаются иррациональным порывам. Так что Рональд Пламп вполне может по капельке, по доллару скопить целое состояние. Ошибка игрока План Бобби де Фаро разорить местное «Суперказино» обречен на провал. Первый пункт плана – классический пример так называемой ошибки игрока. Это ошибочное убеждение, будто шансы, что произойдет какое-то событие с неизменной вероятностью, растут или понижаются в зависимости от того, происходило ли это событие в недавнем прошлом. А классическая иллюстрация подобного заблуждения – это пример с чередой бросков монетки. Вероятность, что монетка шесть раз подряд упадет орлом вверх, равна 1 к 64. Следовательно, думает игрок, если орел выпал пять раз подряд, вероятность, что и в шестой раз выпадет орел, равна 1 к 64. Это не так. По определению, вероятность того, что при броске монетки выпадет орел, 50 на 50. Монетка не помнит, что происходило с ней раньше, ее прошлое – то, что она только что пять раз подряд упала орлом вверх, – попросту никак не влияет на вероятность в будущем. То же самое справедливо и для рулетки (если она честная). Де Фаро ошибается, если считает, будто, если тот или иной цвет выпал несколько раз подряд, из этого можно делать какие-то выводы о том, что будет дальше. Второй пункт его плана никуда не годится по похожим соображениям. Стратегия де Фаро – удваивать ставку при проигрыше, чтобы первый же выигрыш покрыл все предыдущие убытки и к тому же принес прибыль, – известна под названием «мартингал». В принципе, это разумно. Однако беда в том, что экспоненциальный рост суммы проигрышей и ставок,
49 необходимых, чтобы их покрыть, практически неизбежно разорит игрока, который придерживается этой системы. Де Фаро придется на горьком опыте убедиться, что, если красный выпал четыре раза подряд, это не уменьшает шансов, что и в следующий раз тоже выпадет красный. Ложь, наглая ложь и статистика Мэр Катрин Моро решила отдать пальму первенства Жюлю, а не Джиму, поскольку инспектор Хорс заметил, что было бы интересно свести воедино результаты игр против двух деревень-соперниц. Мэр никак не ожидала, что подсчет общего среднего покажет, что хотя в среднем Джим набрал больше очков, чем Жюль, на самом деле Жюль опережает Джима. Инспектор Хорс поясняет, что это произошло из-за так называемого парадокса Симпсона, возникающего в тех случаях, когда при составлении большого набора данных из более мелких наборов получается результат, противоположный тому, который следовал из мелких наборов (поэтому парадокс Симпсона иногда называют парадоксом обращения или парадоксом объединения). Чтобы понять, как такое могло произойти в случае Джима и Жюля, нужно всего лишь понять, что Жюль сыграл гораздо больше игр с большим количеством очков. Именно поэтому его средний показатель превысил показатель Джима (невзирая даже на то, что в тех немногочисленных играх, когда Джим играл против Чадли-у-Океана, он получил больше очков, чем Жюль). Если вам по-прежнему непонятно, что случилось, попробуйте подсчитать совокупные очки на основании этих цифр (которые все равно показывают, что Джим выступил лучше Жюля в играх против обеих деревень-соперниц).
50 При объединении очков видно, что средний показатель Жюля гораздо выше, чем у Джима, просто потому, что за плечами у него гораздо больше относительно легких игр. Парадокс Симпсона играет важную роль в реальном мире. В 1973 году на Калифорнийский университет в Беркли подали в суд за то, что женщины, подававшие документы в аспирантуру, имели меньше шансов на поступление, чем мужчины. Однако при ближайшем рассмотрении оказалось, что никакой дискриминации на уровне отдельных факультетов нет. А средний показатель по университету объяснялся лишь тем, что женщины гораздо чаще мужчин подавали заявления на престижные направления, где выше конкурс и, следовательно, большинство заявлений отклоняется. Парадокс Симпсона учит нас, что нужно очень осторожно относиться к большим массивам данных, составленным из множества маленьких массивов. Парадокс устрашения Когда речь идет об устрашении, неизбежна некоторая напряженность. Однако в случае с тыквами Стенли Лава разрешить парадокс вполне возможно. Рассуждает он так: если проступок, который он пытается предотвратить устрашением, уже совершен, насилие в отношении «Дружбанов Мэдди» ничем не оправдано. Однако можно как минимум возразить, что зато вполне оправдано возмездие «Дружбанам» в той степени, в какой оно отвадит их от дальнейших посягательств на тыквы. Иначе говоря, устрашение возымеет воздействие в будущем, если Стэнли поведет себя в соответствии со знаками, развешанными вокруг его территории. (Разумеется, это не оправдывает избранный Стэнли способ устрашения и не означает, что этот образ действий разрешен законом!) Однако мысль о том, что при некоторых обстоятельствах сама идея устрашения парадоксальна, не лишена оснований. Например, представьте себе, что вы – глава государства, столкнувшегося с военной угрозой, причем армия вашего противника гораздо больше и несопоставимо лучше вооружена (обычным оружием). Тогда вы ради своей
51 безопасности можете запугать противника ядерным оружием. Однако, если вы точно знаете, что устрашение не сработает (то есть враг все равно нападет на вас), нет никакого смысла осуществлять свои угрозы, на которых основано устрашение (то есть применять ядерные ракеты). Так войну не выиграешь, более того, это приведет к многомиллионным жертвам. Но, если заранее знаешь, что в случае атаки не будешь осуществлять угрозу или что ее нельзя осуществлять, у тебя не возникнет искреннего намерения наказать виновных, без которого, собственно, устрашение перестанет быть устрашением, а в таком случае возникает угроза твоей безопасности. Подобные рассуждения заставляют многих заигрывать с идеей создать «машину Судного дня», которая необратимо запрограммирована так, что сработает в случае полномасштабной атаки, не дожидаясь команды человека: ведь он в последний момент может испугаться. Однако, как выяснил доктор Стрейнджлав, от машины Судного дня добра не жди. Парадокс правосудия Вероятно, судья Юдифь Соломон придет к выводу, что конкретных ответов на вопросы «Кто убил Икара? Когда он был убит? И где он был убит?» дать нельзя. Дело не в том, что мы не знаем, что именно произошло с попугаем, а в том, что заданные вопросы не имеют к этому отношения. Они не призваны уточнить обстоятельства гибели Икара и выяснить что-то, чего мы не знаем. Суть дела предельно ясна: Билли Блэклоу выстрелил в него и ранил во время фазаньей охоты в октябре, после чего следующей весной попугай скончался от ран в Малом Бови. Однако эта головоломка не лишена интересных черт. В частности, подобное случается и в реальном мире, и тогда приходится так или иначе решать эту задачу, затрагивая все содержащиеся в ней противоречия. Например, философ Майкл Кларк писал о судебном разбирательстве, произошедшем в 1952 году, когда было признано, что ответчик, оскорбивший истца в клеветнической радиопередаче, совершил преступление не там, откуда передача транслировалась, а там, где ее услышали. Уместно также вспомнить, что в разных штатах США убийство карается по-разному: где-то сохранилась смертная казнь, где-то нет. Легко представить себе ситуацию, аналогичную убийству попугая Икара, в которой суду придется решать, под юрисдикцию какого штата подпадает убийца – и от этого решения буквально будут зависеть жизнь и смерть обвиняемого. Однако, как указывает Майкл Кларк, даже в такой ситуации задача суда – не определить в точности, когда и где произошло убийство, а просто принять решение о виновности. Суду не
52 следует расширять познания о сути дела, а нужно лишь истолковать все то, что ему уже известно об этом случае, в рамках конкретного свода законов. Логика лысеющего Самсон утверждает, что никогда не облысеет, на основании так называемого «Парадокса кучи». Загвоздка в том, что и в самом деле, сколько бы ни было у человека волос, потеря одного волоска не сделает его из «не-лысого» «лысым». «Лысый» – понятие расплывчатое, лишенное четких критериев. Однако из этой предпосылки следует очевидно ложный вывод: если вырывать у человека по волоску, рано или поздно он станет лысым. В том-то и сложность: перед нами противоречие между тем, что мы знаем об окружающем мире (если отстричь Самсону шевелюру по одной пряди, рано или поздно он облысеет), и выводом из предпосылки (он никогда не облысеет). Парадокс как он есть. Общепризнанного решения «Парадокса кучи» так и не найдено. Однако есть много разных приемов обращения с ним. Один из подходов – отрицать саму предпосылку, что человек никогда не станет лысым, если вырывать у него по одному волоску. В сущности, это все равно, что утверждать, что на самом деле существует такое количество волос, что если уменьшить его на один, мы перейдем грань между не-лысой и лысой головой. Но это противоречит здравому смыслу. По выражению одного философа, для этого нужно «лингвистическое чудо». Ведь слово «лысый» – не термин, у него нет строгого определения. Самое интересное в этом парадоксе то, что с ним мы сталкиваемся в повседневной жизни. Вспомним хотя бы, как определяется возраст, в котором человек считается достаточно зрелым эмоционально, чтобы вступать в сексуальные отношения. Легко представить себе спор с пятнадцатилетней девочкой о том, достаточно ли она взрослая, чтобы заниматься любовью со своим бойфрендом: «То есть ты говоришь, что в день, когда мне исполнится шестнадцать, я стану взрослой и мне уже можно будет заниматься любовью, а накануне – еще нельзя?» Или вспомним о более частом случае – когда в супермаркете человек подходит к экспресс-кассе, где разрешено оплачивать не более восьми товаров, с девятью покупками, полагая, что где восемь, там и девять и лишний товар ничего не меняет. Но если можно прийти на экспресс-кассу с девятью товарами, значит, и десять оплатить можно, а отсюда следует, что и одиннадцать – и так далее. Если вы чувствуете, что от подобных рассуждений у вас голова идет кругом, не отчаивайтесь, вы не одиноки: «Парадокс кучи» не дает философам покоя уже больше двух тысяч лет.
53 Котик Долли и корабль Тезея Опасения Долли по поводу личности Монморанси восходят к парадоксу, традиционно называемому «Корабль Тезея». Первым его сформулировал Плутарх. Корабль, на котором возвращались Тезей и афинские юноши и девушки, был оснащен тридцатью веслами, и афиняне сохранили его как памятник… они сняли старые доски, поскольку те прогнили, заменили их новым, более прочным деревом, причем до такой степени, что этот корабль стал для философов наглядной задачей и поводом для логических диспутов, которые разгорались все жарче и жарче: одна сторона полагала, что это все тот же корабль, а другая возражала, что он уже не тот. Проще говоря, парадокс состоит в том, что можно замещать отдельные детали предмета и в конце концов заменить все, так что от оригинала ничего не останется, и тем не менее это будет все тот же предмет. То есть в случае Монморанси большинство, не задумываясь, решит, что новый Монморанси – тот же кот, что и старый Монморанси, хотя теперь он полностью состоит из нового материала. Казалось бы, это разумно, а значит, Долли напрасно волнуется. Предположительно такое мнение основано на мысли, что личность Монморанси не определяется конкретными элементами, которые составляют его организм, а следовательно, их не обязательно сохранять вечно. (Подобным же образом вы, вероятно, не считаете, будто сохранность вашей личности требует, чтобы составляющие ваше тело клетки были бессмертными.) Однако обойти этот парадокс не так-то просто. Более того, неясно, есть ли у него решение. Предположим, например, что Долли не уничтожила старые части тела Монморанси, а подвергла их глубокой заморозке. Время идет, и Долли решает, что хочет себе двух пушистых друзей, и заново собирает старого Монморанси. Кто из котов в таком случае настоящий Монморанси? Возникает искушение заключить, что оба кота Монморанси, но тогда нам придется согласиться с точкой зрения, что два кота – это один и тот же кот, а это, мягко говоря, неправдоподобно.
54 Гостиница «Бесконечность» Задачу о гостинице «Бесконечность» и вопрос о том, сколько же постояльцев туда поместится, первым сформулировал математик Давид Гильберт. Решение приведенной здесь версии на самом деле лежит на поверхности, хотя в некотором смысле противоречит здравому смыслу. Чтобы разместить бесконечное множество новых гостей, не подселяя их в уже занятые номера, хозяину гостиницы Бэзилу Синклеру достаточно попросить уже живущих в гостинице постояльцев перебраться в другие номера по следующей формуле: • из номера 1 – в номер 2, • из номера 2 – в номер 4, • из номера 3 – в номер 6, • из номера 4 – в номер 8, и так далее. Тогда для новых гостей освободится бесконечное множество нечетных номеров. Когда их заселят, все номера в гостинице снова окажутся заняты, но главное, как подчеркнул инспектор Хорс, из этого не следует, что не останется места для новых постояльцев. Чтобы разместить вновь прибывших, Бэзилу достаточно просто повторять этот процесс или какой-то его вариант. Настоящего парадокса здесь нет, но есть некоторые странности. Представим себе, к примеру, что половина постояльцев решает покинуть гостиницу (например, все, кто живет в четных номерах), – тогда гостиница наполовину опустеет, однако постояльцев в ней по-прежнему будет бесконечное множество. Вероятно, вам кажется, будто у этой задачи слишком простое решение? Если да, представьте себе такой сценарий: к гостинице подъезжает бесконечная вереница автобусов, в каждом из которых бесконечное множество пассажиров. Как разместить всех этих постояльцев, не подселяя их в уже занятые номера?
55 Зенон и бег на трех ногах «Ахиллес и черепаха» – классический парадокс движения, который придумал Зенон Элейский. Казалось бы, этот парадокс показывает, что если пространство (и/или время) бесконечно делимо, то движение в принципе невозможно. Вспомним, к примеру, что если хочешь пересечь комнату, то, прежде чем достигнуть цели, надо преодолеть половину дистанции. Однако невозможно преодолеть половину дистанции, не преодолев половину половины дистанции, а половину половины – не пройдя половину этого расстояния, и так далее до бесконечности. Похоже, тут и начать-то не удастся. Разумеется, мы знаем, что люди переходят комнаты и спринтер в состоянии поймать черепаху, а значит, в рассуждения Зенона вкралась ошибка. Однако найти ее не так-то просто. Самый, вероятно, популярный подход таков: современная математика доказывает, что бесконечный ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… имеет конечную сумму, то есть на преодоление всей цепочки половин уйдет конечное время (какое именно – зависит от скорости и расстояния). Однако подобный ответ несколько разочаровывает. Как подчеркнул философ Фрэнсис Муркрафт, здесь упущена самая суть парадоксов Зенона. Мы уже знаем, что они не соответствуют реальной картине мира. Поэтому самый интересный вопрос – в чем именно Зенон ошибается. Нам хочется понять, как надо достойно ответить философу на соревнованиях по бегу на трех ногах, когда он спросит нас, где именно хромает его логика, однако это волнует мыслителей вот уже более двух тысяч лет – а определенного ответа так и нет.
56 Дилемма библиотекаря Александрина Пергамски, ведущий каталогизатор из Библиотеки Малого Бови, столкнулась с воплощением в реальной жизни парадокса, о котором первым заговорил философ Бертран Рассел. Ее дилемма состоит в следующем: должен ли генеральный каталог, где перечислены все каталоги, не содержащие ссылку на самих себя, содержать ссылку на самого себя. Сложность в том, что если каталог не содержит ссылку на самого себя, то представляет собой каталог, не содержащий ссылку на самого себя, поэтому должен содержать в себе ссылку на самого себя (поскольку в нем перечислены те каталоги, которые не ссылаются сами на себя). Но если он будет содержать в себе ссылку на самого себя, то перестанет быть каталогом, в котором есть ссылка на самого себя, а в таком случае он не должен содержать ссылку на самого себя. Вот почему Александрина в тупике: ведь налицо самый настоящий парадокс. Этот парадокс можно сформулировать более строго. Должно ли множество всех множеств, которые не включают самих себя в качестве элементов, включать само себя в качестве элемента? Если нет, то должно, если да, то не должно. Парадокс Рассела очевиден (более или менее), а его последствия огромны. Рассел в начале ХХ века показал, что сам подход к логике и математике, оказывается, ущербен. Здесь следует сделать интересное отступление. Парадокс стал известен в 1903 году, когда Бертран Рассел описал его в письме философу Готлобу Фреге, который тридцать лет посвятил разработке теории основ математики. Едва ли будет преувеличением сказать, что это письмо не оставило от всего проекта Фреге камня на камне.
57 Парадокс лжеца Мюнхгаузен столкнулся с двумя вариантами так называемого «Парадокса лжеца», который первым сформулировал Евбулид Милетский, живший в IV веке до н. э. Высказывание, выбившее у Мюнхгаузена почву из-под ног, называется «Усиленный парадокс лжеца». Парадокс состоит в том, что если это утверждение ложно, оно истинно (поскольку в нем утверждается как истина, что оно ложно), но если оно истинно, то ложно (поскольку в нем утверждается как истина, что оно именно что ложно). Более того, Мюнхгаузен справедливо заключает, что не может сказать ни что высказывание истинно, ни что оно ложно, поскольку если оно ни истинно, ни ложно, значит, оно не истинно, а ведь именно это и утверждается, а значит, оно истинно – и тут круг замыкается, и мы возвращаемся к тому же парадоксу. Возможно, Мюнхгаузен вправе утешаться тем, что общепризнанного решения этого парадокса так и не найдено. Самый, наверное, распространенный подход – утверждать, что подобные утверждения, относящиеся к самим себе, не имеют смысла. Если так, то парадокса просто нет, поскольку в таких утверждениях не содержится пропозиционного содержания, то есть в них не говорится ничего такого, что может быть либо истинным, либо ложным. Однако неясно, так ли это. Фрэнсис Муркрафт предлагает отличную наглядную иллюстрацию. Представьте себе, что вы нашли на мостовой карточку, на одной стороне которой значится… Утверждение на обратной стороне этой карточки истинно. А на обороте написано…
58 Утверждение на обратной стороне этой карточки ложно. Сложность вот в чем: если первое утверждение ничего не значит, зачем переворачивать карточку и читать то, что написано на обороте? Санкт-петербургский парадокс Ответ на вопрос о том, сколько денег должен поставить Джордж Маккеллан, абсолютно неочевиден. Поэтому путь к нему следует разобрать шаг за шагом. Первым делом следует определить, какова ожидаемая цена игры, то есть сколько игрок рассчитывает в среднем выиграть, если решит играть. Рассмотрим следующий упрощенный пример, где речь идет об игре с двумя равновероятными вариантами исхода. Отсюда видно, что цена игры равна 1100 долларов, что интуитивно понятно, поскольку это средняя величина двух равновероятных вариантов исхода. Игрок, заплативший за участие в игре, скажем, 1000 долларов, почти неизбежно выиграет после относительно небольшого числа розыгрышей (если не верите, попробуйте дома поэкспериментировать со сторонами монетки: орел – один исход игры, решка – другой). А теперь проведем те же подсчеты, что и для игры в гостиницу «Бесконечность».
59 Отсюда видно, что, если ожидаемая цена игры есть сумма ожидаемых выплат при всех возможных результатах (как видно из упрощенной версии), ожидаемая выплата составит бесконечное множество долларов! Исходя из этого, логически мыслящий игрок должен быть готов заплатить за право начать игру любую конечную сумму. Загвоздка в том, что никакой логически мыслящий игрок не будет на такое готов, вот почему этот вывод представляется столь парадоксальным. Инспектор Хорс рассказывает Джорджу Маккеллану, что этот парадокс называется санкт-петербургским и волнует умы математиков и философов вот уже почти триста лет. Инспектор Хорс упоминает, что парадокс, вероятно, объясняется психологией уклонения от риска: мы не готовы ставить значительные деньги на ничтожный шанс выиграть баснословную сумму. Однако инспектор полагает, что раз в гостинице «Бесконечность» бесконечно много гостей, это, вероятно, означает, что они вправе рассчитывать, что некоторые из постояльцев и в самом деле могут стать сказочно богатыми. Судебный парадокс Это версия так называемого «Судебного парадокса», который принято приписывать греческому софисту Протагору. Однако обычно считается, что это не настоящий парадокс и по сравнению с другими древнегреческими парадоксами решать его не так уж утомительно. Суд не должен выносить решение в пользу Локхейвенской юридической школы. Уайнпол заключил с учебным заведением договор, где сказано, что он обязан расплатиться за обучение только после того, как выиграет первое дело. Он еще не выиграл ни одного дела, поэтому не должен платить. Однако профессор Протагор справедливо полагает, что результатом победы Уайнпола в суде станет необходимость выплатить долг. Таким образом,
60 если школа затем подаст против Уайнпола второй иск – в случае, если тот откажется расплачиваться с ней после первой победы в суде – то наверняка выиграет. Но хотя профессор Протагор придумал ловкий ход, чтобы заставить Уайнпола раскошелиться, в реальном мире подобный прием не обязательно приведет к победе школы. Не в последнюю очередь потому, что после победы в суде Уайнполу, вероятно, присудят возмещение судебных издержек, а в таком случае юридическая школа будет должна ему больше, чем он ей: ведь часть издержек Уайнпола и есть сумма, которую он обязан выплатить за обучение. Буриданов осел Инспектор Хорс напрасно утверждает, что нарисованный им сценарий – так называемый парадокс буриданова осла – доказывает, что у людей есть свобода воли и причинный детерминизм не работает. Однако нет никаких сомнений, что этот сюжет дискредитирует точку зрения, согласно которой все наши поступки определяются причинами в прошлом. Беда в том, что если причинный детерминизм и вправду справедлив, то человек, стоящий в точности посередине между двумя тождественными источниками пищи в отсутствие факторов, которые заставили бы его предпочесть какой-то один из них, не сможет решить, откуда брать пищу, и это факт. Однако точно так же справедливо, что если бы кто-то и в самом деле оказался в подобном положении, то сумел бы сделать выбор. Следовательно, чтобы разрешить парадокс, нам нужно доказать, что причинного детерминизма не существует. Однако этот довод не окончателен, хотя и убедителен. Представьте себе, к примеру, такой аргумент: если человек и в самом деле окажется в таком положении, он не сможет выбрать источник пищи, и все тут. Иначе говоря, придется признать поражение и согласиться с выводом, противоречащим и здравому смыслу, и жизненному опыту: выходит, человек и вправду может умереть от голода, но не сделать выбор. Разумеется, не будет никакого противоречия в том, чтобы одновременно утверждать, что подобных ситуаций в жизни не бывает. Вполне вероятно, что в нашей причинно-следственной истории или в самой ситуации всегда найдется какой-нибудь фактор, который даст основу для решения. Например, человек правша, а не левша, или на источники пищи как-то по-особому падает свет. Следовательно, хотя инспектор Хорс категорически отрицает причинный детерминизм, ему не удалось доказать, что он не действует. Более того, есть некоторые научные данные, которые показывают, что свобода воли, возможно, иллюзорна и какой-то вариант причинного детерминизма все же существует. В частности, работы Бенджамина Либета показывают, что акты волеизъявления зарождаются в мозге бессознательно до того, как мы успеваем осознать, что хотим действовать. Вероятно, Гектор Хаус прав и его нельзя винить в попытке кражи породистой черепахи.
61 Парадокс Ньюкомба Игра, в которую предложили сыграть Фрости Ридингу, основана на мысленном эксперименте, который придумал физик Уильям Ньюкомб в 1960 году. Общепринятого решения у этого парадокса нет, и вокруг него и по сей день ведутся довольно жаркие споры. Тем не менее возможно предложить две основные линии аргументации в поддержку обеих противоборствующих точек зрения. Согласно первой линии аргументации, Ридинг обязан взять только коробку В, а любой другой вариант будет с его стороны исключительной глупостью. Он же знает, что ясновидящая делает абсолютно точные предсказания. Следовательно, Ридингу практически гарантирован выигрыш в миллион долларов, если он заберет только коробку В. А если он прихватит еще и коробку А, окажется, что коробка В пуста, и он потеряет миллион, который оказался бы в ней, если бы он забрал обе коробки. Казалось бы, весьма правдоподобно. Загвоздка в том, что аргументы в пользу противоположной точки зрения не менее убедительны. Эта точка зрения состоит в том, что Ридингу, очевидно, следует забрать обе коробки. Ведь к тому времени, как он примет решение, ясновидящая уже сделает предсказание, а значит, сумма в коробках уже определена и не изменится. Следовательно, сколько он возьмет коробок, одну или две, на результате не скажется. А значит, если Ридинг заберет обе коробки, у него всегда будут дополнительные 10 000 долларов – и в случае, если коробка В пуста, и в случае, если в ней миллион. Ведь если коробка В пуста, она так и останется пустой, даже если Ридинг заберет ее. Разумеется, аргументы и контраргументы этим не исчерпываются: за и против можно сказать еще очень многое. Однако определенного решения задачи так и не найдено. Вероятно, среди философов чуть больше сторонников второй точки зрения, основанной на принципе доминирования. Но и у первой линии аргументации, основанной на так называемой теории ожидаемой полезности (сложного способа оценивать предпочтения «рационального игрока»), нет недостатка в ярых сторонниках.
62 Вечеринка-сюрприз Клэр построила логическую цепочку под названием «обратная индукция», которая часто применяется в разного рода сюжетах о неожиданном экзамене или грозящей смертной казни. Прежде всего, стоит отметить, что Клэр напрасно уверяет себя, будто вечеринка не состоится. Если она убеждена, что праздника не будет, ее родители смогут организовать его в любой момент на протяжении недели и для Клэр это станет сюрпризом. Однако, пожалуй, интереснее будет разобраться, верна ли логика Клэр. С одной стороны, очевидно, что вечеринка de facto может состояться: ведь едва ли мы всерьез полагаем, что для кого-то заданный промежуток в пять дней, на протяжении которых произойдет вечеринка, исключает возможность сюрприза. С другой стороны, очень трудно понять, где логика Клэр дает сбой (более того, многие полагают, что это самый сложный из философских парадоксов). Вероятно, можно сказать, что, хотя рассуждения по обратной индукции начались, далеко они не ушли. Например, Майкл Кларк утверждает, что вечером в среду возникает нестабильность логики, благодаря которой вечеринка в четверг может стать для Клэр сюрпризом. Дело в том, что в среду Клэр должно прийти в голову, что, хотя вечеринка-сюрприз, вероятно, уже не состоится, однако остается возможность, что праздник устроят либо в четверг, либо в пятницу. В такой ситуации нельзя утверждать с уверенностью, что праздник состоится в четверг (поскольку он может состояться и в пятницу, хотя уже не будет сюрпризом), а значит, если вечеринку все же устроят в четверг, получится сюрприз. Если с этим согласиться, получится, что все предыдущие дни тоже подходят для вечеринки-сюрприза. Парадокс лотереи У этого парадокса есть очевидное решение: мы не считаем, что каждый конкретный билет не может выиграть в лотерею. Просто мы считаем, что вероятность выигрыша необычайно мала. Это не только уничтожает самую суть парадокса, но и подтверждается тем, что когда мы смотрим розыгрыш лотереи, то узнаем, в частности, какие именно билеты не выиграли. Если это так, Алекс Гиббон лицемерит, когда утверждает, будто не верит, что его билет выиграет. На самом деле он просто думает, что это крайне маловероятно. Однако здесь есть некоторая сложность. Рассмотрим следующий сценарий. Вы включаете телевизор и обнаруживаете, что на экране нет изображения. Переключаете каналы – но изображения все нет и нет. Вы переключаете каналы, проверяете все главные государственные телестудии, но экран по-прежнему пуст. Вы делаете вывод, что либо телевизор, либо кабель неисправны. Вы не считаете – и это логично, не правда ли? – будто все телеканалы одновременно прекратили вещание. Однако теоретически такое возможно. Более того, это даже вероятнее, чем шанс 1 к 14 миллионам купить выигрышный лотерейный билет.
63 Тут, разумеется, главное – вера в рациональность убеждения, что все каналы одновременно не могли прекратить вещание. Предположив, что что-то произошло с вашей сетью, вы отмахиваетесь от крошечной вероятности, что каналы больше не вещают. Однако, если это так, то, пожалуй, это все равно что верить, что каждый конкретный билет не выиграет в лотерею. Фанфары! Парадокс снова с нами! Задача спящей красавицы Задача Спящей Красавицы, как принято называть этот мысленный эксперимент, – достаточно сложная головоломка по теории вероятностей. Прежде всего, пожалуй, приходит в голову, что вероятность получить орла при броске монеты – 50 на 50. Ход мыслей таков: проснувшись, Спящая Красавица располагает лишь сведениями о том, что монетка была брошена и выпал либо орел, либо решка. Окружение не дает ей никаких подсказок, не говорит ничего нового, а следовательно, Спящая Красавица должна заключить, что вероятность, что при броске выпал орел, равна 1/2. Однако здесь возникает сложность: иногда при решении этой задачи дают ответ, что Спящая Красавица должна заключить, что вероятность орла равна 1/3. Представьте себе, что эксперимент провели 1000 раз. Если монета идеальна, то получится 500 орлов и 500 решек. Однако здесь главное, что по условиям эксперимента Спящая Красавица просыпается при решке вдвое чаще, чем при орле. Отсюда очевидно, что, если провести эксперимент 1000 раз, Спящая Красавица проснется после выпавшего орла в 500 случаев, а после решки – в 1000 случаев. Следовательно, она должна заключить, что вероятность, что выпал орел, равна 1/3. Общепринятого верного ответа на эту задачу нет, хотя в целом равновесие склоняется в пользу «третистов». Если вам хочется еще немного поразмыслить над этой головоломкой, задумайтесь о таком сценарии. Спящую Красавицу будят не два дня подряд, а 499 дней подряд, если выпадает решка. Как в таком случае Спящая Красавица, проснувшись, оценит вероятность, что выпал орел?
64 Решения загадок-блиц Глава 1 1. Наполните пятилитровую емкость, затем перелейте воду из нее в трехлитровую емкость – тогда у вас в пятилитровой емкости останется два литра воды. Опорожните трехлитровую емкость, налейте в нее отмеренные два литра воды из пятилитровой. Теперь наполните пятилитровую емкость, а затем долейте из нее воды в трехлитровую емкость (в которой уже есть два литра воды). Тогда в пятилитровой емкости останется ровно четыре литра воды. 2. Восемьдесят минут – это и есть час двадцать минут. 3. Он вскочил на коня брата. 4. Рэйчел не может достичь средней скорости в 60 миль за все путешествие в целом. Она может удвоить среднюю скорость лишь в том случае, если проделает обратный путь мгновенно. (Она уже потратила столько времени, что любое дополнительное понизит среднюю скорость до величины меньше 60 миль в час.) Глава 2 5. Тут не обойтись без маленькой дозы алгебры. Пятьдесят восемь глаз означает, что всего животных двадцать девять. Пусть х – это число слонов, а 29 – х – число страусов (число всех животных минус слоны). Тогда:
65 Итак, в зоопарке 13 слонов, а следовательно, 16 страусов (13 + 16 = 29 животных). 6. Чашка Петри была заполнена наполовину за минуту до полудня. 7. Три лебедя. 8. Две девочки – это две из трех тройняшек. Глава 3 9. Надо спросить у любого из стражей, что скажет вам второй страж, если вы спросите его, какая дверь ведет к горшочку с золотом. Что бы страж ни ответил, горшочек за другой дверью. (Если вы спросите стража, который всегда говорит правду, он правдиво ответит, что сказал бы вам лжец, так что это точно не та дверь. Если вы спросите стража, который всегда лжет, он солжет о том, что сказал бы вам правдивый страж, так что вы будете точно знать, что это не та дверь.) 10. Существует 40 320 способов расставить книги. Восемь вариантов, какая книга будет стоять на первом месте, семь – на втором, шесть – на третьем и так далее до последней книги. 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40 320
66 Глава 4 11. В турнире принимают участие 32 игрока. 12. Этот человек очень маленького роста и не может дотянуться до кнопки лифта выше восьмого этажа. А в дождь это ему удается, поскольку он нажимает кнопку десятого этажа зонтиком. Глава 5 13. Семь утра. Вы знаете, что часы показывали точное время в два часа ночи и остановились, когда показывали восемь двадцать четыре утра. Таким образом, часы шли всего шесть часов и двадцать четыре минуты, то есть 384 минуты, а затем остановились. Каждые 96 из этих минут – на самом деле час (часы каждый час уходят вперед на 36 минут). Поделим 386 на 96 в столбик и получим, что часы шли четыре часа. Значит, часы остановились в шесть утра, и это было час назад. Поэтому сейчас семь утра. 14. Все части тела пострадали у троих солдат. Общее число увечий – 153. Если у всех пятидесяти солдат по три раны, некуда пристроить еще три увечья. Поэтому все четыре увечья получили трое солдат из пятидесяти.
67 Глава 6 15. Лгут оба ребенка, поскольку если бы лгал только один, они были бы одного пола, однако мы знаем, что на скамейке сидят мальчик и девочка. Если лгут оба, это значит, что светловолосый ребенок – мальчик, а темноволосый – девочка. 16. Сначала крестьянин должен перевезти курицу, затем вернуться и забрать лису. Переправив на тот берег лису, он обязательно должен забрать оттуда курицу и переплыть с ней обратно. Затем он перевозит зерно, оставив курицу, и возвращается в последний раз, чтобы забрать ее. Тогда курица никогда не остается наедине с зерном, а лиса с курицей (большая удача и для курицы, и для зерна). 17. На празднике встретились семь человек: две девочки и мальчик, их родители и родители их отца. 18. Нет: покойники не женятся. 19. Надо поместить на весы следующие гири: одну из первого набора, две из второго, три из третьего и так далее. Тогда, если суммарный вес будет отличаться от ожидаемого на килограмм, станет понятно, что бракованный набор – первый, на два – второй и так далее.