/
Author: Шерватов В.Г.
Tags: математика тригонометрия элементарные функции серия популярные лекции по математике
Year: 1954
Text
Популярные лекции ПО МАТЕМАТИКЕ В.Г. ШЕРВАТОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ * ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО TEXHS1KO ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТСРЛТ>РЫ МОСКВА • t «>14
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 16 В. Г. ШЕРВАТОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 19 5 4
1ЬЗ-1 В. Г. Шерватов, Гиперболические функции Редактор А. Ф, Лапко Техн, редактор С. С. Гаврилов Корректор Л. О. Сечейко, Сдано в набор 23/VI 1954 г. Подписано к печати 25/VIII 1954 г. Бумага 84X108V3t Физ. печ. л. 1,43. Условн. печ. л. 2,88. Уч.-изд. л. 2,65. Тираж 25 000 экз. Т-05443 Цена книги 80 к. Заказ № 1528. Государственное издательство технико-теоретической литературы Москва, Б. Калужская, 15 Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 4-я тип. им. Евг. Соколовой. Ленинград, Измайловский пр., 29.
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая брошюра содержит элементарное изложение теории так называемых «гиперболических функций», во мно- гом аналогичных обыкновенным тригонометрическим функциям. Гиперболические функции часто встречаются в разнообразных физических и технических исследованиях; весьма важную роль играют они также в неевклидовой геометрии Лобачев- ского, участвуя во всех тригонометрических зависимостях этой геометрии (см., например, книгу А. П. Нордена «Эле- ментарное введение в геометрию Лобачевского», М., Гостех- издат, 1953; по содержанию глава IX этой книги близка к настоящей брошюре). Но и независимо от этих приложений теория гиперболических функций может представлять значи- тельный интерес для школьника и учителя средней школы, так как аналогия между гиперболическими и тригонометри- ческими функциями по-новому освещает многие вопросы три- гонометрии. Брошюра состоит из трех глав. Первая глава посвящена гиперболическому повороту и его применению к изучению свойств гиперболы; она может представлять и известный самостоятельный интерес. Основное место занимает глава II, в которой излагаются элементы теории гиперболических фун- кций. Глава III тесно связана с брошюрой А. И. Маркушевича «Площади и логарифмы», составляющей вып. 9 «Популярных лекций по математике»; она устанавливает связь теории гипер- болических функций с теорией логарифмов. Иное построение теории гиперболических функций, не использующее гиперфлического поворота, содержится в статье Д. И. Перепелкина «Геометрическая теория гиперболических функций», напечатанной в вып. 2 сборника «Математическое просвещение», ОНТИ, М.—Л., 1934; к сожалению, в настоящее время этот сборник представляет собой библиографическую 1* 3
редкость. Читателю брошюры Можно порекомендовать также книгу Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова «Аналитическая геометрия»,: ч. 1, Гостехиздат, М. — Л., 1948, где содержит- ся обширный материал, примыкающий к изложенному в пер- вой главе. Брошюра рассчитана на участников и руководителей школьных математических кружков; она может быть также использована и в работе вузовских кружков по математике. Мелким шрифтом в главе III напечатан более трудный материал, не рассчитанный на школьника. Впрочем, нигде у читателя не предполагается никаких знаний, выходящих за пределы курса средней школы. Автор выражает искреннюю признательность И. М. Яглому, помощь и указания которого сыграли значительную роль при написании брошюры. В. Г. Шерватов.
ГЛАВА I ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПОВОРОТ § 1. Сжатие к прямой Часто при решении геометрических задач на построение применяется преобразование сжатия к точке (это преоб- разование называется также гомотетией или централ ь- 'но-подобным преобразованием). Сжатие к точке О я' д Гш,г —11 С ' I О' а) о д д' 1 1 • ' О II о б) Черт. 1. О (называемой центром сжатия) с коэффициентом сжатия k состоит в том, что каждая точка А плоскости переходит в точку А', которая лежит на луче ОА, при- ОА' чем ~^ = k, т. е. OA’ = k-OA (черт. 1, a, б). Если ко- эффициент сжатия k больше 1, то О А' > ОЛ(черт. 1,5);в этом случае преобразование следовало бы называть «расширением от О». Сама точка О при сжатии к О остается на месте. Всякая фигура F переходит при сжатии к точке О в фигуру F', подобную первоначальной с центром подобия О и коэффициентом подобия k (черт. 2). Если k < 1, то фигура при этом уменьшается, а если k > 1, фигура увеличивается. 5
Всякая прямая при сжатии к точке переходит в прямую (черт. За); параллельные прямые переходят в параллельные (черт. 36). Всякая окружность при сжатии к точке перево- дит в окружность, (черт. Зв). Все отрезки плоскости при сжатии к точке уменьшаются (или увеличиваются), в постоянном отношении k. Площади всех фигур тоже уменьшаются (или увеличиваются) в постоян- ном отношении, равном k-— квадрату коэффициента сжатия. Действительно, пусть F есть плоская фигура. Рассмотрим еще какую-то сеть мелких квадратов плоскости (черт. 4). Площадь F приближенно равна числу квадратов, попавших внутрь F, умно- женному на площадь квадрата; ошибка будет тем меньше, чем мельче квадраты сетки. Выбирая квадраты достаточно малыми, можно сделать ошибку меньше любого (сколь угодно малого!) числа с. При сжатии к точке сеть квадратов переходит в но- 6
вую сеть квадратов, а фигура F—в фигуру F', внутри которой будет заключаться столько же квадратов новой сети (более мелких, если й< 1, и. более крупных, если k > 1), сколько квадратов первоначальной сети помещалось внутри F. Площадь F' приближенно равна числу заключенных внутри нее квадратов, умноженных на площадь квадрата. Но пло- щадь каждого нового квадрата равна площади первоначаДь- Черт. 4. ного квадрата, умноженной на (так как длина стороны квадрата умножается на k). Поэтому площадь F' будет равна площади F, умноженной на /г2. А О' О В качестве примера применения сжатия к точке разберем реше- ние следующей задачи на построение: вписать в данный прямо- угольный треугольник АВС прямоуголь- ник BDEF с данным отношением сторон (черт. 5). Построим сначала произвольный прямо- угольник BD'E'F' с данным отношением сторон так, чтобы вершины D' и F' лежали соответственно на сторонах АВ и ВС. Обо- значим через Е точку пересечения луча BE' и стороны АС треугольника. Легко ви- деть, что сжатие с центром В и коэффи- циентом сжатия k = переводит прямо- угольник BD'E'F' в искомый прямоуголь- ник BDEF. Пользуясь этим, легко по- строить этот прямоугольник1). Иногда в геометрии оказывается Черт. 5. удобным применить другое преобразо- вание — сжатие к прямой. Сжатие к .прямой о (назы- ваемой осью сжатия) с коэффициентом сжатия k !) Авалогично можно решать задачу и в том случае, когда дан- ный треугольник АВС — не прямоугольный. Мы на этом не оста- навливаемся. 7
состоит в том, что каждая точка А плоскости переходит в точку А', которая лежит на луче РА, перпендикулярном к о, РА? причем -57 = k или РА' — k • РА (черт. 6 а, б). Если коэф- г* лп фициент сжатия k больше 1, то РА' > РА (черт. 6,6}; в этом случае преобразование следовало бы называть «расширением от о». Все точки прямой о при сжатии к о остаются на месте. При сжатии к прямой фигура F переходит в новую фи- гуру F', уже не подобную F (черт. 7). Сжатие к прямой обладает рядом свойств, аналогичных свойствам сжатия к точке. А именно: а) При сжатии к прямой всякая прямая переходит в прямую. Если прямая I параллельна о и отстоит от нее на расстоя- нии d, то она переходит в прямую Г, тоже параллельную о и отстоящую от нее на рас- стоянии kd (черт. 8а). Черт. 8а. Пусть I не параллельна о; точку пересечения I и о обо- значим через О (черт. 86). При сжатии к прямой о точка О остается на месте. Пусть А — произвольная точка прямой I 8
(отличная от О), А' — точка, в которую переходит А при сжатии к о; РА' — k • РА. Возьмем на прямой I другую точку В; если В' есть точка пересечения перпендикуляра BQ, опущенного из В на прямую о, с прямой О А', то ~ (следует из подобия треугольников OQB и ОРА, OQB' и ОРА') или QB - ~ k • QB. Отсюда видно, что при сжатии к о точка В переходит в точку В'. Так как В — произволь- ная точка прямой I, то эта прямая при сжатии к о переходит в прямую ОА’ (которую естественно обозначать через Г). б) При сжатии к прямой параллельные прямые пере- ходят в параллельные. Пусть прямые I и т параллельны; тогда они не имеют общей точки. Но в таком случае и прямые Г и т', в кото- рые переходят первоначальные прямые, тоже не имеют общей точки (которая могла бы получиться только из общей точки прямых I и т)\ значит, эти прямые тоже параллельны (черт. 9)1). в) При сжатии к прямой сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой. !), Если у и у' — углы, образованные исходной прямой / и пре- образованной прямой I' с осью сжатия о, то из черт. 86 легко сле- дует: , , РА' k-PA АРА .. Отсюда также следует, что параллельные прямые, пересекающие о под одинаковым углом у, переходят в параллельные прямые (пере- секающие о под одинаковым углом у'). 9
AB Ar В1 Действительно, -dtv —dt/v по свойству параллельных пря- хЗ С* мых, пересекающих лучи пучка (черт. 10). г) При сжатии к прямой площади всех фигур изме- няются в постоянном отношении сжатия k). Рассмотрим фигуру F й сетку из мелких квадратов; тогда площадь F приближенно равна числу квадратов, заключенных внутри:/7, умноженному на площадь квадрата (черт. 11). Черт. 11. Будем считать, что одно из направлений линий сетки парал- лельно оси сжатия. При сжатии сетка квадратов перейдет в сетку равных прямоугольников, площадь каждого из которых равна площади квадрата, умноженной на k (одна сторона квад- рата остается неизменной, а длина второй умножается на k). Далее рас- суждение не отличается от доказа- тельства того, что при сжатии к точке с коэффициентом k все пло- щади изменяются в k2 раз (см. вы- ше, стр. 6—7). В качестве примера использо- вания сжатия к прямой разберем решение следующей задачи на построение!); вписать в данный прямоугольный треугольник АВС прямоугольник BDEF 1) Сравните с задачей на стр. 7. ДО
с данным произведением сторон BD • BF = d'2 (т. е. прямо- угольник данной площади) (черт. 12). Для решения сожмем треугольник АВС к стороне ВС с коэффициентом сжатия 30 k — ; тогда этот треугольник перейдет в 'равнобедренный прямоугольный треугольник А'ВС, в котором BA' = k • ВА= ВС 1 ==—• ВА = ВС и площадь которого равна kS (где S —пло- щадь треугольника АВС). Прямоугольник BDEF перейдет при этом сжатии в прямоугольник BD’E'F площади kd* (в силу свойства, г)). Теперь нам нужно в равнобедренный 'прямоугольный треугольник А'ВС вписать прямоугольник BD’E'F известной площади kd*. Это сделать нетрудно, ибо SbFE'D’ *= S&BCTA' -(S/\FCE' + S&A’D’E') и, следовательно, S&FCE' ЗдД'В'Д/ = Зд ВСА' -----SbfE'D' = kS — kd2, Но, с другой стороны, . : + = | FE'2 + у D'E'2 = ; . в у (FE'2 + D’E'2) = | ВЕ'2 (здесь используется то, что треугольник АГВС, а следова- тельно, и подобные ему треугольники A’D Е' и E'FC—равно- бедренные). Таким образом, мы получим: ^BE'2 = kS — kd*. Теперь, зная длину отрезка BE', мы без труда найдем точку Е', после чего сразу строится прямоугольник BD’E'F, вписанный в треугольник А’ВС, и прямоугольник BDEF, вписанный в треугольник АВС. :В зависимости от величины d задача может иметь два, одно или ни одного решения. Геометрическое решение этой задачи, не использующее сжатия к прямой, неизвестно1). !) Аналогично можно решить задачу, и в том случае, когда дан -• ный треугольник АВС не прямоугольный. Мы на этом ije остана - вливаемся. 11
В противоположность сжатию к точке сжатие к прямой н е переводит окружность в окружность. Окружность переходит при сжатии к прямой в иную кривую, называемую эллипсом (черт. 13). Используя свойства а) — г) преобразования сжатия к прямой, можно вывести ряд геометрических свойств эллипса; однако это выхо- дит за рамки настоящей брошюры. § 2. Гиперболический поворот В дальнейшем изложении боль- шую роль будет играть график обратной пропорциональной зави- симости, т. е. кривая, уравнение которой имеет вид: а у = — или ху = а. Эта кривая называется гиперболой. Она изображена на черт. 14. Очевидно, что чем больше по абсолютной величине х, тем меньше у, и наоборот: если х—>оо, то у—>0, если у -> оо, то х -> 0. Геометрически это означает, что гипер- 12
бола неограниченно Приближается к Координатным осям, никогда с ними не пересекаясь (из уравнения ху = а следует, что ни х, ни у не могут равняться нулю). Прямая, к которой некоторая кривая неограниченно при- ближается, не достигая ее, называется асимптотой этой кривой. Таким образом, оси координат являются асимпто- тами гиперболы. Гипербола состоит из двух ветвей, которые при а>0 расположены в I квадранте системы координат (х и у поло- жительны) и в III квадранте (х и у отрицательны). Уравнение ху = а имеет простой геометрический смысл: площадь прямоугольника MQOP, ограниченного осями коор- динат и прямыми, проведенными через какую-либо точку М гиперболы параллельно осям координат (черт. 14), равна а, т. е. не зависит от выбора точки М. Действительно, очевидно, ОР = х, РМ = у и •Smqop — OP • РМ = х • у — а. Если назвать прямоугольник MQOP координатным прямоугольником точки М, то можно сказать, что гипербола есть геометрическое место точек, лежащих si и в III квадрантах системы координат, координат- ные прямоугольники которых имеют постоянную площадь. Гипербола имеет центр симметрии: обе ветви гипер- болы симметричны друг другу относительно начала коорди- нат О. Доказательство этого утверждения следует из того, что симметричные относительно О координатные прямоуголь- ники MQOP и M'Q'OP' (черт. 15) имеют равные площади. Гипербола имеет также две оси симметрии, которыми служат биссектрисы координатных углов аа и bb (черт. 16). Действительно, симметричные относительно аа координатные прямоугольники MQOP и M^Q^OPy имеют равные площади; также и симметричные относительно bb координатные прямо- угольники MQOP и M2Q2O/’2 имеют равные площади. Центр симметрии О и оси симметрии аа и bb часто называют просто центром и осями гиперболы; точки А и В, в которых гипербола пересекается с осью аа, называют вершинами гиперболы. Пусть мы имеем гиперболу ху = а. Произведем сжа- тие плоскости к оси х с коэффициентом сжатия k. При этом гипербола ху = а перейдет в гиперболу xy=ak, ибо абсцисса х каждой точки останется без изменения, а 13
Черт. 15. 14
ордината, у заменится на у • k (черт. 17). Затем произведем еще одно сжатие к. оси у с коэффициентом -i. При этом гипербола ху = ak перейдет в гиперболу ху = = а: ордината у любой точки при новом сжатии к оси не Меняется, а абсцисса х переходит в Таким образом, мы видим, что последовательное сжатие плоскости к оси х с коэффициентом k и к оси у с коэффициентом переводит гиперболу ху = а в себя. Последовательность этих двух сжатий плоскости к прямой образует преобра- зование, называемое гипер- болическим поворотом. Название «гиперболический поворот» связано с тем, что Черт: 17. при таком преобразовании все точки гиперболы «скользят по кривой»; так, на черт. 17 точ- ка 7И сначала переходит в точку М±, а. затем точка переходит в точку М', т. е. окончательно гиперболический поворот переводит точку М гиперболы в точку М' той же гиперболы. Это положение аналогично вращению окружности — гипербола как бы «поворачивается». Отметим следующие свойства гиперболического поворота: . а) при гиперболическом повороте всякая прямая пере- ходит в прямую (следствие свойства а) § 1); . б) при гиперболическом повороте оси координат {асимп- тоты гиперболы) переходят сами в себя (ибо они перехо- дят в себя при каждом из двух, сжатий, которые образуют гиперболический поворот); в) при гиперболическом повороте параллельные прямые переходят в параллельные (следствие, свойства б) § 1); г) при гиперболическом повороте сохраняется отно- шение отрезков, лежащих на одной прямой (следствие свойства в) § 1); д) при гиперболическом повороте сохраняются площади фигур (ибо при первом сжатии к прямой площади всех фи- гур умножаются на k, а при втором — делятся на k; см. свойство г) § 1). 15
Очень важно заметить, что ifipu помощи гиперболического поворота можно перевести каждую точку гиперболы в любую другую. Действительно, первое сжатие переводит точку (х, у) гиперболы ху=а в точку (х, yk) гиперболы второе сжатие переводит точку (х, yk) гипер- болы xy — ak в точку , yk} первоначальной гиперболы (см. черт. 17). Таким образом, в результате гиперболического поворота точка (х, у) переходит в точку , yk'j . Отсюда и вытекает, что при помощи подходящего гиперболического поворота можно точку (х, у) гиперболы перевести в любую Другую точку (хх, _ух) той же гиперболы: для этого доста- точно выбрать k так, чтобы было х, = -^- или k = —. 1 k х± § 3. Несколько свойств гиперболы Используя гиперболический поворот, можно доказать ряд интересных геометрических свойств гиперболы. Однако пред- варительно мы определим, что называется хордой и касатель- ной гиперболы. Прямая, пересекающая гиперболу в двух точках, назы- вается секущей гиперболы; отрезок секущей, концами которой служат точки гиперболы, называется хордой ги- перболы. Секущие гиперболы (так же как и хорды) бывают двух родов; секущие первого рода пересекают лишь одну ветвь гиперболы, а секущие второго рода — обе ветви (черт. 18а). Рассмотрим какую-нибудь секущую первого рода. Среди прямых, параллельных этой секущей, будут такие, которые пересекают гиперболу в двух точках; будут прямые, совсем не пересекающие гиперболу; наконец, две из этих прямых, называемые касательными к гиперболе, будут иметь с гиперболой одну общую точку (черт. 186)1). При гипер- болическом повороте хорда UV гиперболы переходит в новую хорду U'V', причем если U и V — точки одной ветви (раз- ных ветвей) гиперболы, то U' и V тоже принадлежат одной ветви (разным ветвям). Действительно, точки U и V гиперболы ]) Касательную к гиперболе можно также определить как пря- мую, имеющую с гиперболой одну общую точку, не параллельную асимптоте (всякая прямая, параллельная асимптоте, пересекает ги- перболу в единственной точке, но не является касательной). 16
2 Зак. 1528. В,. Г- Шерватов 17
переходят в точки U' и V', где, например, U' принадлежит той же ветви, что и U (черт. 19). Касательная гиперболы в какой-либо точке /Л при гипер- болическом повороте, переводящем М. в М', переходит в ка- сательную в точке М' (для доказательства рассмотрим хорду UV, параллельную первой касательной; она перейдет в хорду U'V, а прямая, параллельная UV и имеющая с ги- перболой единственную общую точку М, перейдет в прямую, параллельную IJ'V и имеющую с гиперболой единственную общую точку М'; черт. 19). Перейдем теперь к доказа- тельству свойств гиперболы. 1. Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между асимптотами кривой, делится в точке касания пополам. Так как биссектриса аа ко- ординатного угла служит осью Черт. 20. симметрии гиперболы (черт. 20), то отрезок K0L0 касательной в вершине А, заключенный между осями координат, делится в точке А пополам: отрезки АК(. и AL0 переходят друг в друга при симметрии относительно оси аа. Пусть теперь KL есть отрезок касательной к гиперболе в какой-либо другой ее точке М, Произведем гиперболический поворот, перево- 18
ДящиЙ точку М в точку А. При'этом касательная в точке М перейдет в касательную в точке А. Далее отрезок KL пе- рейдет в отрезок (см. свойства а) и б) § 2). А так как при гиперболическом повороте середина отрезка переходит в середину отрезка (см. свойство г) § 2), то М есть сере- дина отрезка KL, что и требовалось доказать.. 2. Площадь треугольника, отсекаемого касательной к гиперболе ху = а от координатного угла, одна и та же для всех касательных. Для доказательства рассмотрим треугольник KOL, отсе- каемый от координатного угла касательной к гиперболе ху =а в какой-либо ее точке М (черт. 20). Гиперболиче- ский поворот, переводящий точку М в точку А, переводит треугольник KOL в треугольник КуОЦ,, где,7Со/.о— касатель- ная к гиперболе в точке А. Отсюда в силу свойства д) § 2 имеем Здкоь == ^дкоь,., т- е- площадь треугольника KOL не зависит от выбора точки М, что- и требовалось до- казать. Из свойств 1 и 2 вытекает, что одну ветвь гиперболы можно определить как геометрическое место середин от- резков, отсекающих равные площади от данного прямого угла (черт. 21). 3. Середины всех параллельных между собой хорд ги- перболы лежат на одной прямой, проходящей через центр гиперболы. 2* 19
Пусть UV— какая-то хорда гиперболы, 5— ее середина, Т—точка пересечения прямой OS с гиперболой (черт. 22а1)). Произведем гиперболический поворот, переводящий точку 7 в вершину А гиперболы. При этом прямая ОТ перейдет в ось аа гиперболы, хорда UV перейдет в хорду 77ОКО, ко- торая делится осью симметрии аа пополам. Но это возможно 1) Мы здесь ограничиваемся тем случаем, когда хорда UV— первого рода (см. выше, стр. 16), т. е. точки U и V принадлежат одной ветви (только этот случай нам понадобится в дальнейшем). Предоставляем читателю самому разобрать тот случай, когда хорда UV такова, что точки U и V принадлежат разным ветвям гиперболы. 20
только в том случае, если U0V0_\_aa. Действительно, пусть U0V0 не перпендикулярна к аа. Проведем хорды UqZ и VoUZ, перпендикулярные к аа. Так как аа — ось симметрии гипер- болы, то UqZVqWq— равнобочная трапеция, имеющая осью симметрии аа. Но ось симметрии равнобочной трапеции не может делить пополам ее диагональ (так, на черт. 226 V050 = S0R < S()U()), что и приводит к противоречию. Все хорды, параллельные UV, переходят в хорды, параллель- ные U0V0, т. е. перпендикулярные к оси симметрии аа геперболы; середины всех этих хорд лежат на прямой аа. Отсюда следует, что середины всех хорд, параллельных UV, лежат на прямой ОТ, что и требовалось доказать. Всякая прямая, проходящая через центр гиперболы, на- зывается диаметром гиперболы (аналогично тому, как диаметры окружности — это прямые, проходящие через ее центр)1). Диаметр гиперболы, делящий пополам все хорды данного направления, называют сопряженным этим хор- дам; обратно, хорды называют сопряженными диаметру, де- лящему их пополам. Впоследствии мы также будем говорить о радиусах гиперболы, понимая под этим отрезок диа- метра, идущий от центра гиперболы до точки пересечения диаметра с гиперболой (т. е. радиусы гиперболы определяются аналогично радиусам окруж- _____ ности). .zTl ГТ>к Отметим, что окружность / \ также обладает свойством, / \ аналогичным свойству 3 ги- / \ перболы: середины всех па- |---------------------1__ раллельных между собой I / хорд окружности лежат \ / на одной прямой, проходя- \ / щей через центр окруж- Jz' ности (а именно, на диамет- 1—1__ы- ре окружности, перпендику- Черт. 23. лярном к хордам, черт. 23). 4. Прямые, проведенные через концы произвольной хорды гиперболы параллельно асимптотам, пересекаются на диа- метре, сопряженном этой хорде. Пусть UV—произвольная хорда гиперболы; 5—ее се- редина, Т—точка пересечения прямой OS с гиперболой 1) Выданной брошюре под диаметром понимается вся прямая, а не Отрезок ее. ?1
(черт. 24). Произведем гиперболический поворот, переводя- щий точку Т в вершину А гиперболы. При этом хорда t/V перейдет в хорду U0V0, перпендикулярную к оси аа (см. доказательство свойства 3). Прямые UR и VR, параллельные асимптотам, переходят в прямые UnRn и Ио/?о, параллельные асимптотам (см. свойства б) и в) § 2). Так как аа есть ось симметрии гиперболы и биссектриса угла между асимптотами, то точка Rq пересечения прямых U0R0 и V0RQ лежит на аа. Отсюда следует, что точка R пересечения прямых и UR и VR лежит на диаметре ОТ, что и требовалось доказать. 5. Касательные к гиперболе в концах произвольной хорды пере секаются на диаметре, сопряженном этой хорде (черт. 25а). 22 '
Доказательство свойства 5- гиперболы, совершенно аналогичное Доказательству свойства 4, предоставляем читателю. Отметим, что и окружность обладает аналогичным свойством: касательные к окружности в концах произвольной хорды пере- секаются на диаметре окружности, перпендикулярном к этой хорде (черт. 256).
ГЛАВА II ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 1. Уравнение гиперболы, отнесенной к осям Пусть попрежнему координаты точки М гиперболы в си- стеме координат, оси которой совпадают с асимптотами, будут х и у, так что уравнение гиперболы будет иметь вид ху=а (черт. 26). Примем оси аа и bb гиперболы за но- вые оси координат; координаты точки М относительно новой системы координат обозначим через X и Y. Выразим старые координаты х и у через новые X и Y. Обозначим проекцию точки М на ось аа через ^ про- екции точек М и W на оси Ох, Оу обозначим соответ- ственно через Р, Q и К, L (черт. 26). Тогда ОР = ОК—РК= ON cos 45° — NM cos 45°, OQ = OL + LQ = ON cos 45° + NM cos 45° 24
(ибо проекция отрезка на прямую, составляющую с напра- влением отрезка угол 45°, равна длине отрезка, умноженной на cos 45°). Но ОР = х, OQ=y, ON=X, NM = Y, и мы получимх): х = (Х-У)-^, у = (Х+У)^-. (*) Подставим в формулу ху = а полученные значения х и у. Мы будем иметь: (X* 2 — Ya)± — a или X2 — Г2=2а. Это и есть уравнение гиперболы, отнесенной к осям. Гипербола X2 — У2= 1 называется единичной гиперболой; ее уравнение ана- логично уравнению единичной окружности2) (окружность ра- диуса единица) Х2-^- У2= 1. Уравнение единичной гиперболы в системе координат, оси которой совпадают с асимптотами, имеет вид 1 ХУ=2 (в этом случае 2а = 1 и, следовательно, а = !) Для точки (черт. 26) имеем: xr ~ OI\ == OKt 4- XiPi = ONi cos 45° + cos 45° = _ = X115. + (_y1)^-, J't = OQr =OLl — QlLi = ONi cos 45° — NtMi cos 45° = t. e. те же самые формулы (-Х-). Предоставляем читателю самому проверить, что те же формулы сохраняют силу и для точек второй ветви гиперболы, расположенной в III квадранте старой системы координат (впрочем, это обстоятельство нам нигде не понадобится). 2) Пусть М— произвольная точка окружности радиуса 1 с цент- ром в начале координат (черт. 27а), (X, У) —ее координаты. По теореме Пифагора имеем: ОР2 + РМ2 = ОМ2, но ОР=Х, PM = У, ОМ = 1, следовательно, для произвольной точки окружности имеет место равенство X2 + У2 = 1. 25
§ 2. Определение иосновные свойства гиперболических функций Приступим теперь непосредственно к построению теории гиперболических функций (или также — гипер- болических тригонометрических функций), во многом аналогичной теории обычных (круговых) тригономе- трических функций. Для того чтобы подчеркнуть аналогию между круговыми и гиперболическими функциями, мы почти все время будем вести изложение' двумя столбцами: слева- мы будем перечислять известные положения из теории кру- говых тригонометрических функций, а справа излагать тео- рию гиперболических функций. Рассмотрим единичную окруж- ность (черт. 27а) ^+У2= 1. • Углом а (в радианной мере) между радиусами ОА и ОМ окружности называется число, равное длине дуги . AM или равное удвоенной площади 26. Рассмотрим единичную гипер-. болу (черт. 27 б) №--У2=. 1. Гиперболическим углом t между двумя радиусами О А и ОМ гиперболы называется число, равное удвоенной пло- щади сектора, ограниченного
сектора. ОАМ,. ограниченного этими радиусами и дугой ок- ружности. Опустим .из точки М ок- ружности перпендикуляр МР на диаметр О А; в точке Л про- ведем касательную к окруж- ности до пересечения с диа- метром ОМ в точке N. От- резок РМ перпендикуляра есть линия сйнуса, от- резок ОР диаметра — линия, кос.и нус а и отрезок. AN касательной — линия тан- генса. Длины отрезков РМ, ОР и. AN. соответственно равны синусу, ко с и нус у и тан- ген с у угла а: РМ — sin а, OP = cos а, AN =tg а. этими радиусами и дугой ги- перболы !), Опустим из точки Л4 ги- перболы перпендикуляр МР на диаметр О А — ось сим- метрии гиперболы, пересекаю- щую гиперболу в вершине А; в точке А проведем касатель- ную к гиперболе до пересе- чения с диаметром ОМ в точке N. Отрезок РМ перпендику- ляра называется л и ни е й ги- перболического синуса,, отрезок ОР диаметра — ли- нией гиперболического косинуса и отрезок AN ка- сательной—линией гипер- болического тангенса. Длины отрезков РМ, ОР и AN называются соответ- ственно гиперболическим синусом, гиперболиче- ским косинусом и ги- перболическим танге.п- с о м гиперболического угла t и обозначаются * 2) PM=-shA OP - ch/, ЛМ=1111. Известно, что тригонометрические функции угла изменяются периодически с периодом 2тт. В противоположность этому гиперболические функций н е п е р и о д и ч н ы. Д Основное свойство угла а состоит в том, что а не меняется при повороте сектора АОМ вокруг О. Аналогично этому гипербо- лический угол t не меняется при гиперболическом пово- роте фигуры АОМ. (см.- свойство д) § 2, гл.,1). 2) Отношения и иногда называют гиперболи- ческим косекансом, гиперболическим секансом и гиперболическим котангенсом гиперболического угла f, 27
Гиперболический угол t может изменяться от 0 до оо. Для того чтобы это доказать (т. е. доказать, что площадь гиперболического сектора АОМ может быть сколь угодно велика), рассмотрим какой-либо гиперболический угол AOMV величину которого мы обозначим через tv Произведем гипер- болический поворот, переводящий точку А в точку /И1; пусть при этом точка Mt переходит в Л12, М2— в Ма, Мй — в М4 и т. д. (черт. 28). В силу свойства д) § 2 гл. I площади Черт. 28. гиперболических секторов АОМ1, М4ОМ2, ‘ М2ОМ.Л, М,.ОМ4, ... равны между собой, следовательно, гиперболи- ческе углы AOMt, АОМ2, АОМа, АОМ4, ... соответственно равны t4, 2t., 3/р 4/р . .. Отсюда и вытекает, что гипербо- лический угол может быть сколь угодно велик. Из определения гиперболических функций (черт. 276) легко видеть, что при изменении гиперболического угла t от 0 до со sh t изменяется от 0 до оо, ch t изменяется от 1 до оо и th/ изменяется от 0 до 1. Если в полной аналогии с круговыми функциями считать угол АСШ, (черт. 276) отрицательным, равным —tv где tA есть удвоенная площадь сектора ДОЛ41, и положить sh (— /Д = — 7И1Р1 = — sh tt, ch (— /t) = OP4 = ch tv th (— /t) = — NXA — — th 28
то графики гиперболических функций будут иметь такой вид, как изображено на черт. 29. Заметим еще, что sh 0 — = th 0 == 0, a ch 0 — 1 (аналогично тому, как sin 0 = tg 0 = = 0, cos 0 = 1). Выведем теперь основные зависимости между тригоно- метрическими (круговыми и гиперболическими) функциями. Из подобия треугольников ОМР и ON А (черт. 27 а) следует: AN _РМ О А ОР' AN Но = tg а (ибо СМ=1), а РМ sin а OP cos а' Таким образом, получаем: , sin а /т. tg а =-----. (I) ° cos a v Далее, координаты точ- ки М окружности равны ОР = = Х, PM = Y, Из подобия треугольников ОМР и ONA (черт. 276) следует: AN—РМ ОА~~ ОР' Но = th t (ибо О А = 1; ОА 4 для точки А координата Y — О, а следовательно, О А2 = Х2 = = 1 _f_ Г2= 1), а РМ _ sh t OP ~ ch t' Таким образом, получаем: ch f thlf=^. (I) ch t v ' Далее, координаты точ- M гиперболы равны ОР = X, РМ = Y. 29
Уравнение, единичной ок- ружности имеет вид X2 4- -|-У2=1. Следовательно; ОР2-±-РМ2 = 1 или cos2 a -J- sin2 а = 1. (II) Разделив обе части тож- дества (II) сначала на cos2 а, а затем на sin2 а, мы полу- чим еще две формулы 1 Д- tg2 а = -V, (Ш) ctg2a4- 1 =-Д-. (IV) £ 1 Sltl- a v ' Уравнение единичной ги- перболы имеет вид X2 — Y2 = = 1. Следовательно, ОР2 — РМ2 = 1 или ch2/ — sh2/= 1. (II) Разделив обе части тож- дества (II) сначала на ch2/, а затем на sh2/, мы получим еще две формулы: 1-№/ = г4, (Ш) <IV> § 3. Формулы сложения Выведем теперь формулы сложения для круговых и гипер- болических функций. Пусть поворот вокруг точ- ки О переводит радиусы ОА и ОМ окружности (угол АОМ = а) в радиусы О А' и ОМ' (черт. 30а). Пусть далее линии РМ и ОР синуса и косинуса угла МОР перейдут при этом в отрезки Р'М' и ОР'\ очевидно, М’Р’ пер- пендикулярно к диаметру Пусть гиперболический по- ворот переводит радиусы О А. и ОМ гиперболы (Л — вер- шина гиперболы; гиперболи-
ОА'. Так как Р'М' = РЛ4 и ОР' = ОР (при повороте дли- на отрезка не меняется), то равенства sin а = РЛ4; cos а== = ОР дают также sin а = Р’М'\ cos а = ОР’. Ческий угол AOM = t) в ра- диусы О А' и ОМ' (черт. 306; см. сноску!) на стр. 27). Пусть . далее линии РМ и ОР(гипер- болического) синуса и коси-' нуса угла t перейдут при этом в отрезки Р'ЛГ и ОР'. Если М и М'— вторые точки пере- сечения МР и М'Р’ с гипер- болой, то MP — РМ (так как О А — ось симметрии гипер- болы) и М'Р' == Р'М' (выте- кает из равенства МР= РМ в силу свойства г) § 2 гл. I). Другими словами, хорды ММ и М'М’ сопряжены соот- ветственно диаметрам ОР и ОР' (см. выше, стр. 21). Равенства sh/ = P; chZ = — ОР можно также записать РМ ОР в виде sh/ = g?, ch/ = ^ (ибо ОА-I; см. выше, стр.. 29). Докажем, что также • . < Р'М' , , ОР' sht~ ОА' ' chZ-- ОА'' Проведем через точки М и М, М' и М’ прямые, параллельные асимптотам: 7ИР||M'R'flOy, MRflM'R'|| Ох (черт. 306). В силу свойства 4 § 3, гл. I точки R и R' при- надлежат соответственно диа- метрам О А и О А'. Так как = £уОх = 90°, то треугольники :MRM и M'R'M' — прямоугольные. 31
Точки Р и Р'— середины гипотенуз этих треугольников; они одновременно являются центрами описанных около треугольников окружностей. Следовательно, PM = MP = RP, Р'М' = М'Р1 = R'P'. Теперь мы можем записать , . RP ,, ОР sht~OA’ cht~OA' Но по свойству г) § 2 гл. I RP R'P'. ОР ОР' О А ~ О А' ’ О А О А'" Следовательно, . , R'P' Р'М' . , ОР' Sh ОА'~ ОА' ’ Cht~~ О А' ’ что и требовалось доказать. Пусть теперь/ДОЛ4 = а, Пусть теперь гиперболи- / МОМ' = Р (черт. 31а). ческие углы АОМ и МОМ' Черт. 31а. Черт. 316. Опустим из точек М и М' перпендикуляры МР и M'Q на ОА; далее, из точки М' равны соответственно t и и (черт. 316). Опустим из то- чек М и М' перпендикуляры 32
(УйустиМ перйендиКуляр М'Р' на ОМ и из точки Р' пер- пендикуляры P'D на M'Q и Р'К на О А. В таком слу- чае имеем: sin а = РМ, cos а = ОР; sin р = Р'М', cos р = ОР'; sin (а р) = QM', cos (« + Р) — OQ. M'Q на О А; далее, из М' проведем хорду сопряженную ОМ (см. стр. 21), М'М' пере- ОМ в точке Р'; из Треугольники ОМР и ОР'К подобны: оба они прямоуголь- ные и имеют общий угол. Треугольники ОМР и M’P’D тоже подобны: оба эти треугольника прямоуголь- ные и /_МОР — / P'M'D как углы со взаимно перпен- дикулярными сторонами. Очевидно (черт. 31а), sin (а р) = QM' = = КР’ 4- DM', cos (а Р) = OQ = = OK— DP'. МР и точки М'М', выше, секает точки Р' опустим перпенди- куляры P D на M'Q и Р'К на О А. В таком случае имеем: shZ=PM, cht=OP; , Р'М' , ОР' sh и = , сп и = -тт-гг; ОМ ОМ ’ sh (t-\-u) = QM', ch (Z-|- и) == OQ. Треугольники ОМР и ОР'К подобны: оба они прямоуголь- ные и имеют общий угол. Треугольники ОМР и M'P'D тоже подобны. Оба они прямоугольные и /_МОР = = /_Р' M'D. Действительно, прямая M'R, параллельная асимптоте Оу гиперболы,пере- секает диаметр ОМ в точке R и ось ОА в точке S. Тогда Z QM'S= / QSM' = 45°. Да- лее ^P'M'R= £M'RP', так как Р'М' = RP' (см. выше, стр. 32). Но = Z M'SQ — Z SRO = = Z M’SQ — z M'RP', z P'M'D = Z SM'Q — — Z RM'P', следовательно, ZMOP= £ P'M'D. Очевидно (черт. 316), £МОР = sh (£-|- u) = QM' = = KP' + DM', ch (t-{-iP) = OQ=OK+P'D. 3 Зак. 1528. В. Г. Шерватов 33
Из подобия треугольников Из подобия треугольников ОМР и ОР'К следует: ОМР и ОР'К следует: = Kpr==QPLPM. ОР’ ОМ ОМ ’ = 99L f(P\ — 9Р'. Рм ОР' ОМ ’ ОМ ’ ор^ор nf.op^p ОР' ОМ’ ом OK = QP ОК=°^ОР ОР' ОМ’ Л ом . Из подобия треугольников Из подобия треугольников ОМР и M'P'D следует: ОМР и M'P’D следует: DM'_OP DMf_P'M'Q Р'М' ОМ’ JVi ОМ DM'=^-OP- Р'М' ОМ ’ т ОМ ' DP' = P^pM Р’М’ ом ом P,D==PWPM Р’М’ ом и ом ' Учитывая теперь, что Учитывая теперь, что РМ • = sin a, ОР~ cos а; P44 = sh/, OP=ch /; Р'М' . о ОР’ а Р’М’ , ОР' ом sin ом cos -7777- = sh И, 7777 = ch М, ОМ ом окончательно имеем: sin (а р) — sin а cos |3 -J- 4- cos а sin р, (V) cos (а-]~ Р) — cos а cos [3 — — sin a sin р. (VI) окончательно имеем: sh (/-}- и) — Sh /ch и -{-ch/shzz, (V) ch(/-)-M)=ch/ch«-{- -ф-sh/shzz. (VI) Из формулы (V), (VI) и формул (I), (II) предыдущего параграфа вытекают уже все остальные формулы тригоно- метрии. Так, например, имеем.: , , . D. sin (а 4- 8) tgf (а -4- В) = —i——4- = ь ' cos (а 4- Р) sin а • COS ft 4- COS а • sill Р COS а • COS р — sin а sin Р ’ Из формул (V), (VI) и фор- мул (I), (II) предыдущего пара- графа можно , получить все остальные формулы гипербо- лической тригонометрии. Так, например, имеем: th (/Ц- и) sh (t 4- и) ch (t 4- и) __sh t ch и 4- ch t sh и ch t ch и 4- sh t sh и ’ Разделив числитель и зна- менатель дроби, стоящей спра- ва, на cos a cosр, получим: Разделив числитель и зна- менатель дроби, стоящей спра- ва, на ch / chzz, получим: ,^a+f» = Si^b-(vn) 1Н<'+“> = ПЧГГП- (VI1> 34
Если Р = а, то формулы (V), (VI) и (VII) примут вид sin 2а = 2 sin а • cos а, (VIII)' cos2a = cos2a— sin2 а, (IX) Из формул (V), (VI) на- ходим: sin а = sin (а Р) cos р — — cos (а 4~ Р) sin р, cos а = cos (а 4~ Р) cos р Ц- sin (а Р) sin Р- . Последние формулы, если в них заменить а -ф- р на а и а на а —р, примут вид sin (а — р) = sin а • cos р.— — cos а • sin р, (XI) cos (а — р) = cos а • cos р Ц- 4- sin а - sin р. (XII) Разделив почленно фор- мулу (XI) на (XII), получим: tg (а—р) = . (XIII) s 4 i7 l + tga-tg.₽ 7 Выразим еще sin a, cos a и tg а через тангенс половин- ного угла. Из формул (VIII)— (X) и (III) следует: .а . а .sin а = 2 sin у • cos -у = . а . 2 . cos 2" ' 1 2t§j- sec2 у ' 1 + tg2 у (XIV) Если u=t, то : формулы (V), (VI) и (VII) примут вид: sh2Z==2sh/ch/, (VIII). ch 2/=ch2/4-sh2/,. (IX) Из формул (V), (VI) на- ходим: sh t= sh (/4- «) ch и— * — ch(^4-«)sh«, ch t = ch (t 4- «) ch и — — sh (/4- u) sh u. Последние формулы, если в них заменить t-\-u на t и t на t—и, примут вид sh (t— и) = sh t ch и — — ch/shzz, (XI) ch (t —; u) == ch t ch и — — sh £ sh и. (XII) Разделив почленно фор- мулу (XI) на (XII), получим: th (/— (XIII) v 7 1 — th t thu 7 Выразим еще sh t, ch t и th t через (гиперболический) тангенс половинного угла. Из формул (VIII) —(X) и. (III) .следует: sh t— 2 sh у ch. у = . t S1 9 t t = 2 ch2 у = 2 th -|-X ch.2 1 2th'y X—Ly =-----------A. (XIV) l/ch2y 1 —th2y 3* 35
fj Ct . fj Ct cos a = cos2 у — sin2 у = ch t = ch2 -f- sh2 = 1 + th3 -s- --------f- (XV) 1 — tha-^- th Z=-------. (XVI) Отметим, что при выводе формул сложения для гиперболиче- ских функций нам не было необходимости откладывать первый угол t от оси симметрии ОА гиперболы. Почти в точности, как выше, можем вывести формулы V и VI, и в слу- чае произвольного ’положе- ния диаметра ОА (черт. 32), где (гиперболические) углы АОМ и МОМ' равны соот- ветственно t и и, МР и M'Q сопряжены ОА, М'Р' сопря- жена ОМ и, следовательно, sh t — РМ . О А ’ ch t — OP. О А ’ sh и Р'М' ОМ , ОР'. с11М“ ОМ’ sh (Z-|- и) _ QM' ~ ОА ’ chtf + «) = ^, откуда и вытекают формулы V и VI, как и выше. $
ГЛАВА Ш СВЯЗЬ С ЛОГАРИФМАМИ § 1. Геометрическая теория логарифмов Рассмотрим гиперболу ху =1 (черт. 33). Возьмем на этой гиперболе две произвольные точки тИ-и N и опустим из них перпендикуляры МР и NQ на ось х. Рассмотрим криволинейную трапецию PQNM *). Площадь Spqnm этой трапеции зависит от абсцисс ОР = х± и OQ = х.2 точек М и N (x2>xt). Выясним, каю именно зависит Spqxic от х, и т. е. как вычислить эту площадь, зная хг и х2. Докажем прежде всего, что площадь Spqnm зависит только от отношения . Другими словами, покажем, что если две криволинейные трапеции PQNM (OP = xv OQ = х2) 1) Криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограничен- ную двумя ординатами (абсциссами), отрезком оси абсцисс (орди- нат), заключенным между указанными ординатами (абсциссами) и дугой кривой линии. 37
И P'Q'N'M' (OP' = x', OQ' = x'J таковы, что X2 -Г2 A- x. то площади, этих трапеций равны (черт. 33). Произведем гиперболический поворот, переводящий МР в М'Р'. В силу свойств г) § 2 гл. I точка Q перейдет в такую точку Q, что = — , т. е. в точку Q I ибо —I . Это значит, что NQ перейдет в N'Q' и криволинейная трапеция PQNM — в криво- линейную трапецию P'Q'N'М'. А следовательно, согласно свойству д) § 2 гл. I SpQNM — Sp’Q’N'iir • Итак, мы видим, что площадь Spqnm зависит лишь, от отношения — = z, т. е. является функцией от z. Обо- Xi значим эту функцию через 5 (г): SpQA’.’II = S = S (Z). \Л1/ Очевидно, S(z) есть площадь трапеции, ограниченной гипер- брлой, осью абсцисс и прямыми х = 1 и х = z ^ибо ~ = z). Функция S(z) определена для всякого Z, большего !. Из геометрического смысла ее следует, что это есть' функ- ция, возрастающая (если zY >z2, то S (zt) > S (z2)) и н епрерывная (близким .значениям z отвечают близкие по величине значения S(z)). Естественно считать, что S (1)= О (трапеция вырождается в отрезок). Для достаточно больших z выражение S(z) может быть сделано сколь угодно большим (доказательство этого в точности аналогично доказательству того, что гиперболический угол может быть сколь угодно велик; см. выше, стр. 28). Отсюда вытекает, что существует такое число z>l, что S(z)=l. Это число в дальнейшем будет играть значительную роль; мы обозначим его через е. Итак S(e)—1 (черт. 34). Найдем теперь формулу для функции 5(z). Докажем прежде всего, что для любых двух чисел zt и z2, больших единицы, S(^) + S(z2)==S(^z2) 38
(если, например, 2^=1, то это соотношение становится оче- видным, так как S(l) = 0). Действительно, S(zt) есть площадь криволинейной тра- пеции где ОК=\, OP1 = zi (черт, 35); S(z2) — площадь криволинейной трапеции 7<Р2Л42Д, где ОР2 = z2, или равная ей площадь криволинейной трапеции PjQ/V/Ир где OQ = zrz2 ^ибо Отсюда непосредственно следует: 5 (^1) + *5 (2.2) = SkP.M.A + Sp&NM, = Skqna — S (z^), что нам и надо было доказать. Воспользовавшись полученным соотношением, можно пока- зать, что для всякого положительного числа а . ... S(z*)'=aS(z). Рассмотрим отдельно ряд случаев. 39
Если а = n — целое число, то последовательно полу- чаем: S (г”) = S (г • z»-1) = S (z) + S) = S (г) + S (г • z»~?) = = 25(г)4-5(г”-2) = 25(г)4-5(г • г»-»)= =3S(z)4-S(z»-3)=...==(« — 2)5(г)4-5(г2) = = (п — 2) S (г) 4~ S (г • z) = tiS (z). Если a — , где т -— целое, то по доказанному имеем: _L _L — i S (г) = S \(z)"*] = mS (z т), откуда S(zm) = — S(z). „ т Если а ==— рационально, то по доказанному имеем: S (z ) = S [(z"‘ )nj = nS (z >")=п-~ S (z) = S (г). Наконец, если a — иррационально, то г* опреде- л я е т с я как предел чисел z т‘, z т*, ..., г1Н* , . .., где ра- циональные дроби —L, —,—— .... стремятся к числу а.. nt п2 А так как по доказанному S(zin‘) — ^~ S(z), S(znt>) == пк — 5(г), ..., S(г“ь) = ~ S(г), ..., то в пределе полу- чаем, что и в этом случае т) 5(га) = aS (г). Пусть теперь z — произвольное число, большее единицы. Очевидно, z = е'°ееs, где loge z — логарифм числа z при осно- вании е. Так как е>1 (см. стр. 38) и loge z > 0 (ибог>1), то имеем: S (г) = S (е1,,йег) = lOge z S (е) = loge z, (S(e)=l по определению числа е). Итак, окончательно имеем: S(z) = loge z. J) Здесь используется непрерывность функции S (?), 40
Это и есть та формула, которую мы хотели получить. Из нее следует, что площадь криволинейной трапеции PQNM, ограниченной гиперболой у — , осью абсцисс и прямыми х — хг, х = х2 (х2 > xj равна loge— Таким образом, из геометрических рассмотрений, связан- ных с площадями, мы неожиданно пришли к логарифмам. При этом основание системы логарифмов равно некоторому определенному числу е, а не произвольно, как это имеет место при обычном введении логарифмов. Это обстоятельство проливает свет на то, почему создатели теории логарифмов Непер и Бюрги независимо друг от друга пришли к лога- рифмам по одному и тому же основанию е (а не по основа- ванию 10, что было бы, казалось, проще всего). Это же «геометрическое» определение логарифмов связано с тем, что логарифмы по основанию е часто появляются в вопросах математики и физики, на первый взгляд не имеющих никакого отношения к логарифмической функции т). Оценим число е. Площадь 5(2) криволинейной трапе- ции КРМА (ОК= 1, ОР = 2) меньше площади прямоуголь- ника КРМА, равного КА-КР=У • 1 = 1 (см. черт. 34); таким образом, 5(2)< 1. С другой сто- роны, площадь 5(3) криволиней- У ной трапеции KQNA (OQ = 3) больше площади трапеции KQNA (AN— касательная к ги- перболе в точке /И), равной РМ • KQ = -g- • 2 = 1; таким образом, 5(3) >1. Из нера- венств 5(2)<1<5(3) еле- дует 2), что о о Черт. 36. Можно оцепить число е еще точнее. Рассмотрим криво- линейную трапецию КРМА, гдеОК= 1,О7’=14~(черт. 36). 1) Истории логарифмов посвящена популярная книга И. Б. Абель- сон, Рождение логарифмов, Гостехиздат, М. — Л., 1948. См. также брошюру А. И. Маркушевич, Площади и логарифмы, Гостех- издат, М.—Л., 1952. (Популярные лекции по математике, вып. 9). 3) Здесь использовано, что функция S (г) — возрастающая. 41
Площадь этой трапеции, равная по доказанному выше loge (1 заключается между площадями прямоугольни- ков КРМА и КРМА, изображенных па черт. 36, т. е. между КА • КР = 1 • — = — и КР • РМ = ------------г =1:^+1 = п п п . 1 п п "Т” п = -—г-г. Итак, «4-1 1 , /, , 1 \ . 1 п ье\ 1 nJ п-\А Отсюда получаем: / 1 \ / 1 \п • 1 > « l«ge (1 4~ —) = >oge (1 + тг) 1 <(«+ O]oge(l Iog„(1 4--^-) • Из неравенств loge (1 4~—) < 1 < loge ( 1 -J---j следует, что Эти последние неравенства позволяют оценить е с любой степенью точности: надо лишь положить в них п достаточно большим. Так, например, положив «=100, получаем: 1 \100 / 1 \101 ТОО-) < е < 0 + ТОО ) < 2,732, откуда е^2,7. Из неравенств е при « -> со отношение мится к 1, следует: 1 -И и того, что п J 1 , 1 — = 1 —— стре- п) ' п г Эту формулу часто принимают за определение числа е. 42
Отметим еще, что формула (-Х-) может быть обобщена следую- щим. образом: Доказательство формулы (-К-*) почти не отличается от вывода формулы ). Предположим, что па черт. 36 OP = 1 Д- , а — по- ложительно. В таком случае имеем = loge ^1 Д- , и ~-= Kp ' рм = -- • —= -й = --г- • п I а п п~\-а п~\-а ' п откуда а , / а \ а — >1°8Ц1 Д- — Далее в точности, как выше, получаем: fi>nloge(l+“) = loge(>+-^-) . I а\ ' / а \п+ й < (« + «) loge + —J = >Oge т. е. / а \п / а \п -а 1оЦ1+~) <«<1оЦ1+-а) или Из последних неравенств и из того, что при п->оо отношение / d\n^a / а \п / а \о (1 J :11Д~— j стремится к 1, вытекает фор- мула (**). Совершенно аналогично можно доказать, что формула (**) справедлива и для отрицательных а. Пусть на черт. 36 OQ = 1 — ОК 1 где а > 0. В таком случае = loge = loge ---------— = 1 п == — loge (1--заключается между ~ = -^и SQK^'= 43
— й 1 — п 1____д_ п что . Отсюда в точности, как выше, выводится, Выясним в заключение, чему равна площадь трапе- ции PQNM, ограниченная произвольной гиперболой ху = а, осью абсцисс и прямыми х = xv х — х.2 (черт. 37) Произ- ведем сжатие к началу координат (гомотетию) с коэффи- циентом k = (см. выше, стр. 5). При этом гипербола у а ху = а перейдет в гиперболу ху = 1 (точка с координа- тами (х, у) перейдет в точку с координатами (—7= х, й, \ у а У а / а кривая ху = а— в кривую ху=1); криволинейная трапе- ция PQNM перейдет в криволинейную трапецию P'Q'N'M'. Но, как мы уже знаем, $ P'Q'N'M' ~ ("ОР7) ’ с другой стороны, в силу свойств сжатия к точке (см. стр. 5—7), С /.9 0 1 О 0Qr 0Q °P'Q'N'M' — К °PQNM — a °PQNM > Qp' ~ OP ~ Х{‘ Отсюда получаем: SPQNM~a}°&> (^)- В частности, если а = 1g е 0,43 — десятичный логарифм числа е, то мы получаем: $PQNM = е • l°ge = 44
(из равенства г = ^г= (lO^T^ - lo’^^ и г=1О'^ сле- дует, что lg z — Ig е • loge z- Таким образом, десятичный лога- рифм числа z можно определить как площадь криволинейной тра- пеции КРМА, ограниченной гиперболой ху — 1g еas 0,43, осью абсцисс и прямыми х = 1, х = z («геометрическое определение деся- тичных логарифмов»). § 2. Аналитические выражения для гиперболических функций Рассмотрим снова единичную гиперболу № — У3 = 1. Пусть М есть произвольная точка этой гиперболы; угол (гиперболический) АОМ равен/(черт. 38). Координаты точек М и А в системе координат, оси которой совпадают с осями гиперболы, очевидно, равны соответственно OP = ch t; РМ = sh t и О А = 1; 0. Коор- динаты этих же точек в системе координат, оси которой совпа- дают с асимптотами гиперболы, определяются по формулам (^) § 1 гл. II (стр. 25) и равны соответственно OQ = (ch t— sh /) Хр-, OR — (ch t-\- sh t) o/c=(i-o)^ = ^, OL = (1+O)^l= <1. Далее нетрудно видеть, что Черт. 38. площади криволинейных тра- пеций QKAM и RLAM равны между собой и равны пло- щади гиперболического сектора О AM. Действительно, по- определению гиперболы (см. выше, стр. 13) площади коорди- натных прямоугольников точек М и А равны SQq3IB— Sokal. Следовательно, Sqkam~Sqkam ^okal^^oqmr ~ Srlam- С другой стороны, (ибо S^M0Q =SogMIt, с ______Л У 'l °/\А0К— 2 0KAL1- 45
Отсюда имеем: SqKAM = $(}КАМ $&А0К~^$1!\М.0(}~ $ОАЯГ Но так как по определению гиперболического угла ^одлг= 2” т0 с _______________________ е ______/ °QKA3I aRLA3I 2 ' Так как единичная гипербола в системе координат, оси которой совпадают с асимптотами, имеет уравнение ху ~ (стр. 25), то (см. конец предыдущего параграфа) Т<2 с 1 . (ОК\ 1 1 2 SQKAH — 2 °ge (QQ ) — 2 logs у 2 (chi1 —shi1) — = —4 1(^e(ch^—по- следовательно, — -i- !ogc (ch i1 — sh t), — ^=loge(ch^— shf). (*)• Аналогично имеем: ~ _c — ±-n (0R\ — ^OAhl ^RLAhl ~~ 2 °ge \ OL ) /"2 (ch t + sh t) -T— = | ’oge----------------= -J loge (ch ^4- sh t), T" откуда t = loge (ch t + sh t). (**) Формулами (*) и (**) устанавливается связь между гиперболическими функциями и логарифмами при основании е. Из этих формул получаем: ch^—sh^.= e_f, ch t-\- sh t == ег; следовательно, ciu=-^i, ' (1) sh;= (2) 46
sh i Так как th^=—т—r, то имеем: ch t ’ it, 4 et —e~f th/ = ——--r (3) Это и есть аналитические выражения для гиперболических функций; ими обыкновенно и определяют гиперболические функции в курсе высшей школы. Из этих трех формул легко вывести все формулы гиперболической тригонометрии. Так, например, ch* 2t~ Sh21 = - (-gt~e±)2 = = + 2 + — 24- e-2* j ф I + shS t = (i+5i)2 + = -‘ + 2 + ^» = „с|,гл (IX) =-‘'Y+‘^ = „ha, (VIII) 2 -e 2th4 1 — th» y 2 1 — £ _£ .2 1_ „ 2, £ __t_ 0 g2 — g 2 *2+e 2 £ _£ 2 e — e _£ t e 2 4- e 2 £ _£ 2(e2 — e 2 t _____£ t t t ~t ~ (e2 + e”"2) [(e 2 4- e~2^ __ (Л _ ~T)2] t_ ____t 2 — 2(g 2 — g 2)(g2 +g a) _ et — e-t _ . '4 — sn г. (XIV) 2 Аналогично можно вывести и другие формулы. 47
Для того чтобы получить из формул (1) — (2) дальнейшие след- ствия, преобразуем формулу (**) предыдущего параграфа (стр. 43): Согласно формуле бинома Ньютона имеем: а \п .. па , п(п — 1) а? п (п — 1) (п — 2) я3 “ п ) ~ 1 + Т 7Г 2! й3 : 3! я3 + , п (п—— (п—, а , (, 1 \ я3 • • • п п\ Отбросим теперь в сумме 1ai + А + • • 4-а?» все члены и/с+1, «к+£, ип после некоторого члена «j.. Сделанная при этом ошибка будет равна а7г + 1 + а7с+2 + а7: г-3 + •••+“«• Но из определения величин ип следует: . . а |й . , Л k \ Iа I 1 , а I 1 п)/г + 1 1 а/£ . , / k-\-1\ | а | . , , | а | , . | а |3 , . Iafc+2l-^ - п ) £+2 |aft+i'^ А+1 |afc+ll< (А-Н)2 «7£ ’ 1а7г + з1-^ п ) А + з 1а7. + аК £+1 lafc + 2l<(£+1)3lad> (вертикальные черточки 11 — знак абсолютной величины числа). Поэтому сумма «й+, -4- «ьа.» 4- ... -4- «и по абсолютной величине не превосходит выражения । । Iй I । । । Iй!2 I, । Iа Is । , , > Iа I’1-* laTtlA+l ! 1Кл1(А+1)2 ' 1 (А-)- 1)з+ ••• +1“A:i(£+1)n-7t- |я| \а п-к+1 Л+1 48
Предположим теперь, что k + 1 > | а | (мы считаем, что п доста- точно велико, чтобы можно было выбрать k таким образом). В таком случае последнее выражение меньше, чем \а\ । I 4" 1 । I |ц*1 ----= 1 k+1 I а\ I la I k + 1 — | а | k\ A: + 1 — \a\ ( I a I* 'l vi6° / a \n Таким образом, заменив (1-f-—j суммой 1 -f- zzt -f- zz2 + -. .4-«s, мы сделаем ошибку по абсолютной величине, не превосходящую I a |fe+1 ;--г- , Т. 6. Прй Л Ю б О М П, боЛЬШвМ k Al (А: 4~ 1 — I a |) ’ (п \П ] I п |fc+1 ! + -) - (1 + «1+ «2 + • + “ft) | <й (А. + J _ | a-j Перейдем теперь в последнем выражении к пределу и-»аз. Так как / Z7 lira (1+-) =е« п оо V Я / {формула (*-&), стр. 43) и а .. «2 дз ак ill = т . lim “2 = Щ > Ilin «з = Т7,, 11Ш ик = -VT 1 П->СО Z* П->СО О! п СО Ш (см. формулу, определяющую величину ик), то получим: I /. , а . а2 , а3 Г V + T++ д» \1 | д|А'+1 k\ /| < k\ (k 1 — | a |)‘ Перейдем теперь в этом выражении к пределу при &->со. Докажем, что I a l^4"1 1‘т г., / г. Г~1-i-= О- fc->co k\ (# -J- 1 — | Л I) Обозначим __________________=1zfc k\ (k 1 — | a I) K В таком случае = |a|fc+z+1 = |a|fc+1 y л+г (& + /)!(& + /+1—И) k\(k+l — |a|) 1 — |a] .___________\a\l_________ у . | д|г Л — |a |’(A:-f-1) (A:2) ... (fi + Г) k\k+l)1 4 Зак. 1528. В. Г. Шерватов 49
множитель lap меньший единицы, мы просто отбро- I а\1 СИЛИ, а в множителе г--- (k+l)(k + 2) ... (k + i) тели знаменателя на &+1). Но мы уже предполагали, что k -f- 1 > > | а |; таким образом, отношение J = « меньше 1. Из того. заменили все множи- что Vh+i<V^1, а <' 1 следует, что И^+г->0 при /->сс, или lim Vb = 0. А* -> оо Окончательно формула Итак, еа равно сумме бесконечного ряда ,, а , а2 , а3 , sa ~ 1 + — 4- ... (***> Это и есть та формула, которую мы хотели получить. Подставив в формулу (* * *) a~t и а = — t, имеем: t t2 t3 ef=14-T4-25 + 35 + 47+ •••> 1^2! 3! 4! Учитывая теперь формулы (1) и (2), получим: 72 Н 76 ch'=1 + 2T + 4l + 6l+--’ <4> t t3 t-> > sh7 = T4-gr4--4-... (5) Формулы (4) и (5) позволяют вычислить значения sh t и ch t la следовательно, и для каждого фиксированного t с любой степенью точности; для этого следует взять достаточно много членов соответствующих бесконечных рядов. В частности, с помощью этих формул составляются таблицы гиперболических функций. 50
§ 3. Формулы Эйлера В школьном курсе алгебры определяется вещественная степень числа; выражения типа 2‘ или е2-4'; пока для нас никак не опреде- лены и поэтому должны считаться бессмысленными. Определим теперь любую комплексную степень а числа е формулой (%*),. стр. 43: (а \п 1 4—) . (**) И / Для того чтобы вычислить этот предел, воспользуемся формулой Муавра (cos <[> + z sin <p)n - cos ny -f- i sin ns. Если a — p Д- la, p, a — действительны, то *—==''» (cos <?„ 4- I sin v„), где n (черт. ’39). Отсюда получаем: = (cos пуп 4- i sin П?я), и, следовательно, = lim == R (cos Ф;4- z sin Ф), a 2Ь a2 + р2 п Г+ - / .‘g ?п = п п Черт. 39. где R = 11111 ('Ч)", Ф = Нт (п?га). Определим теперь R и Ф. Имеем: R= lim (]/" 14-5 п -> оо \ r «2 / ’ Сравним это выражение с (1+йУ- •4* 5$
(см. формулу (**)). Имеем: Но при р 0 и достаточно больших п имеем: и нам остается только оценить выражения 4а2\” ’ 9па / 1 11m П ->со К1-* ] Воспользуемся теперь тем, что при больших п в силу формулы (**) 52
As так как1) 1 4а" 1 hm (e“’)2n = 1 и Ига (е 9 )2и = 1, п -> со п -> со то оба интересующих нас предела должны быть равны 1. В случае 8<0 и достаточно больших п и в формуле, аналогичной формуле (а), знаки неравенств надо за- менить на противоположные. Дальнейшее доказательство остается прежним. Таким образом, при любом 0 и, значит, Перейдем теперь к определению Ф. Имеем: Ф= lim («<?„)= lira lira ----- n a Ho fn->0 при п->оо(ибо при этом tgfn =——Поэтому \ 1 + 1 / п lim = lim -^- = lim ——. cos <р = 1, п -> оо 1g Tn <р -> о tg Т ® -> о sin Т ибо ф lim —— = 1 и lim cos <? = 1. _> о sin ® <р -> о t) Это вытекает, например, из того, что для каждого числа а lim [ log а2п 1 = lim а -> 0; П->оо п->оо 2п следовательно, 1 lim din = 1. п ->со 53
А так как, кроме того, Игл -------Т- = а, П->СО | I Р "Г” п Итак, R — е$, Ф = а и, следовательно, + « (с03 а / sin а). Теперь мы можем убедиться, что наше определение комплексной степени е° числа е является удачным. Действительно, это опреде- ление удовлетворяет двум основным требованиям, которые можно было бы заранее предъявить ему: 1°, При а действительном это определение совпадает с обычным (ибо для действительных а формула (* *) была доказана нами выше). 2°. Так определенные комплексные степени удовлетворяют основному правилу действий над степенями числа ^.еа‘ = еа^а\ В самом деле, если «i = + Z“i, + /“г, то имеем: еа' . е°« = (Соз 01 /sinlccjJ • е?г (cos sin а2)= = . (cos at 4- I sin 04) (cos a2 i sin a2) = = [cos (at 4- a2) + /sin (01 4- a2)] = e . Подставим в полученное выражение для еа значения а = 1а и а = — Za. Мы будем иметь: = cos a 4- l sin a, = cos а — l sin a. Из этих двух формул немедленно вытекает cos а =------L--------> (Ру и следовательно, так как tg а = &, л/а — о — *g “ = Z(^»4-e-««) ’ Это и есть ф'ормулы Эйлера1), устанавливающие связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. 1) Леонард Эйлер (1707—1783)—крупнейший математик XVIII века, член Российской Академии наук, жил и работал в Петербурге. 54
Из формул (1) и (2) можно получить дальнейшие следствия. Действительно, подставим в формулу (Х--Х--Х-) (стр. 50) значения а = ia и а = — lav). Мы будем иметь: , ia а2 /а3 а* . /а5 а3 ' = 1 + т — 2Г— зГ+зт+бГ-бГ“ ••• ’ . , ia а2 , ia3 а4 /а5 а3 , е-и= + _ + _____ + ... Учитывая формулы (1') и (2'’), получим отсюда: , а2 , а4 а3 , .... соза = 1-§г (4Л) а а3 а5 ,с,. 31Па = Т-зГ + 5! (5> Формулы (4') — (5') позволяют вычислять значения sin а и cos а / . sina\ S а следовательно, и tga=----— I для каждого фиксированного а с любой степенью точности: для этого надо взять достаточно много членов соответствующих бесконечных рядов. В частности, с помощью этих формул составляются таблицы тригонометрических функций. 1) Вывод формулы (* * *) из формулы (**) (см. выше, стр. 49—50) полностью сохраняет силу и для комплексных значе- ний а (только здесь следует считать, что вертикальные черточки означают абсолютную величину или модуль комплексного числа, т. е. корень квадратный из суммы квадратов действительной части числа и коэффициента при мнимой части).
I СОДЕРЖАНИЕ Стр. Предисловие............................................ 3 Глава I. Гиперболический поворот....................... 5 § 1. Сжатие к прямой . . ......................... 5 § 2. Гиперболический поворот.................... 12 § 3. Несколько свойств гиперболы................. 16 Глава II. Гиперболические функции . .................. 24 § 1. Уравнение гиперболы, отнесенной к осям...... 24 § 2. Определение и основные свойства гиперболических функций.......................................... 26 § 3. Формулы сложения............................ 30 Г лав а III. Связь с логарифмами..................... 37 § 1. Геометрическая теория логарифмов............ 37 § 2. Аналитические выражения для гиперболических функций...................................... 45 $ 3. Формулы Эйлера.............................. 51
Цена 80 к. = = ' ) ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ Bnil !. А. И. Маркушевнч. Возвратные последователь- ности. В ни. 2. И. П. Натансон. Простейшие задачи на максимум н минимум. 1Вып. 3. И. С. Сомнисний. Метод математической индукции. Вып. 4. А. И. Маркушевнч. Замечательные кривые. Вып. 5. П. П. Коровкин Неравенства. Вил. б. Н. Н. В робьев. Числа Фибоначчи. Вып. 7. А. Г. Курош. Алгебраические уравнения npois вольных степеней. Вып. 8. А. О. Гельфонд. Решение уравнений и целых числах. Bun. 9. А. И. Маркушевнч. Плошадн и логарифмы. , Вып, 10. А. С. Смогоржевский. Метод координат. Вып. 11. Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказа- тсльствэх. Вып. 12. И. П. Натансон. Суммирование бесконечно малых величин. Вып. 13. А. И. Маркушевнч. Комплексные числа и к нформ ные отображение. Вып. 14. А. И. Фетисов. О доказательствах в геометрии. Вып. 15. И. Р. Шафаревич. О решении уравнений высших степеней. Вып. 16. В. Г. Шерватов. Гн ерболнч скис функции.