Ф.ФРАНКЛИН
ШЩАШЕСКИЙ
АНАЛИЗ
н

и*л
Издательство
иностранной
литературы

Φ. ФРАНКЛИН
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Перевод с английского
И. Д. АЙЗЕНШТАТ и С. А. ГАЛЫШРН
под редакцией
С. А. ГАЛЫШРН
Часть II
1950
ИЗДАТЕЛЬ СТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва

A TREATISE ON
ADVANCED CALCULUS
Including those parts of the theory of
functions of real and complex variables
which $orm the logical basis of the
infinitesimal analysis and its
applications to geometry
and physics
By
PHILIP FRANKLIN, Ph. D..
Professor of Mathematics, Massachusetts
Institute of Technology
1 94 7

Глава IX
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Вопрос о сходимости бесконечного ряда можно
рассматривать как частный случай вопроса о стремлении к пределу
переменной величины, принимающей дискретную бесконечную
последовательность значений. Поэтому многие теоремы
относительно бесконечных рядов являются непосредственными. след-,
ствиями теорем о пределах, изложенных во второй главе.
Изучение бесконечных рядов не было предпринято нами ранее
только потому, что изложение некоторых положений о
сходимости рядов упрощается, если пользоваться понятием интеграла.
После изложения признаков сходимости бесконечных рядов
с действительными или комплексными членами мы в этой, главе
определим понятие бесконечного произведения и докажем
некоторые, относящиеся к этому понятию теоремы,
185. Бесконечные ряды. Сходимость. Пусть
некоторая последовательность действительных или комплексных
чисел. Тогда выражение
оо
Щ + и2 + и8+ ... или 2 ип> (1)
иногда записываемое сокращенно в виде ]►] ип> называется
бесконечным рядом. Общий член этого ряда ип является функцией
аргумента и, принимающего целые положительные значения.
Сумма η членов, или /г-я частичная сумма, определяется равенством
η
sn= Σ в* = и, + и2 + . ·' + стп. (2)
Заметим, что в этой конечной сумме к является немым
индексом, согласно определению из § 127.
Ряд называется сходящимся, если при п, стремящемся
к бесконечности, sn стремится к конечному пределу s, т. е.
s^limsn. (3)
л-» со
В этом случае мы называем число s суммой ряда или
говорим, что ряд сходится к s, и пишем
оо
71 = 1

6 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Рядом с действительными членами называется ряд, все члены
которого являются действительными числами. Рядом с
комплексными членами называется ряд, все члены которого являются
комплексными числами:
un = aR + ibn. (5)
Такой ряд имеет частичные суммы вида
η η
sn= Σ ak + i Σ h- (6)
Поэтому, вследствие результатов § 99, ряд этот будет
сходиться тогда и только тогда, когда сходятся два ряда с
действительными членами ап и Ьп. Более того, если ряд
сходится, то
ос оо
β== Ца„ + г Σ Ьп- (7)
Таким образом, вопрос о сходимости ряда с комплексными
членами сводится к вопросу о сходимости двух рядов с
действительными членами, составляющих его действительную
и мнимую части. Сумма ряда с комплексными членами является
простой комбинацией сумм этих двух рядов с действительными
членами.
186· Расходящиеся ряды. Расходящимся рядом называется
ряд, который не сходится. Для таких рядов sn не стремится
к конечному пределу. Если для ряда с действительными
членами limsn= -f оо, го мы говорим, что ряд расходится к
бесконечности, если limsn=—оо, то ряд расходится к «минус
бесконечности». Во всех остальных случаях, когда sn
—действительные числа и ряд расходится, верхний и нижний пределы
sn (см. определение в § 23) будут различными. Если оба эти
предела бесконечны, limsft= +оо и limsn=—оо, то мы
говорим, что ряд имеет бесконечное колебание. Если один из этих
пределов sn конечен, а другой бесконечен, то мы говорим, что
ряд имеет полубесконечное колебание. Если оба предела конечны
и не равны между собой, то ряд имеет конечное колебание.
Поведение расходящегося ряда с комплексными членами
лучше всего исследовать, применяя только что введенные
определения отдельно к рядам, составляющим его действительную
и мнимую части. Каждый из этих рядов является рядом с
действительными членами. Заметим, что если ряд с комплексными
членами расходится, то может оказаться, что один из
составляющих его рядов с действительными членами является
сходящимся.

187. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
7
187. Элементарные преобразования»
I. Если изменить, конечное число членов ряда, то новый ряд
^и'п сходится или расходится одновременно с первоначальным
рядом ^ип.
Для доказательства обозначим через к наибольший индекс
измененных членов. Тогда для всех η > к имеем
Sn — sk = sn — s'k. (8)
Отсюда следует, что $'п стремится к пределу тогда и только
тогда, когда $п стремится к пределу. Таким образом, если
один, а следовательно, и оба ряда сходятся, то мы имеем
s' = s + s'k — sk. (9)
II. Отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление
конечного числа членов не влияет на сходимость или
расходимость ряда.
Доказательство: пусть число отбрасываемых членов будет р;
к — наибольший индекс этих/? отбрасываемых членов, а сумма
всех отбрасываемых членов равна Т. Тогда, обозначив через
s'n п~ю частичную сумму нового ряда, получим для всех га > к:
s'n = sn+p-T. (10)
Так как п + р—> оо, когда п—>оо, то s'n стремится к пределу
тогда и только тогда, когда sn стремится к пределу. Если оба
ряда сходятся, то
i' = s —Г. (11)
Этим доказано предложение в случае отбрасывания членов.
Операция добавления конечного числа членов является просто
обратной операцией по отношению к операции их отбрасывания.
III. Если С — не равная нулю постоянная и ип — Сип, то ряд
^\ип сходится или расходится одновременно с рядом ^ип.
Действительно, в этом случае
s'n=Csn, (12)
так что sfn стремится к пределу тогда и только тогда, когда sn
стремится к пределу. Если обе суммы стремятся к пределу, то
s' = Cs. (13)
Заметим, что введение скобок в выражение для бесконечного
ряда приводит к тому, что некоторые значения sn пропускаются*.
*) То есть, вводя скобки, мы вместо всей последовательности %
рассматриваем некоторую ее подпоследовательность. {Прим. ред.)

8 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Например, ряд
(щ + и2) + (щ + щ) + ... (14)
может быть рассмотрен как бесконечный ряд с членами
и'п — Щп-! + Щп- Таким образом, Sn=s2n и нечетные частные
суммы не входят в рассмотрение. Однако введение скобок
преобразует сходящийся ряд также в сходящийся ряд с той же
самой суммой. Эта же операция преобразует ряд с
действительными членами, расходящийся к + оо (или, соответственно,
к — со), в ряд с действительными членами, расходящийся также
к + со (соответственно, к —оо). Однако эта операция может
преобразовать расходящийся, имеющий конечное колебание ряд
в сходящийся ряд. Например:
1 — 1 + 1 — 1+ ... имеет конечное колебание; (15)
(1 -1) + (1 — 1) + (1 — 1) + . . . сходится к 0; (16)
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + . . . сходится к 1. (17)
Этот пример показывает, что опускание скобок может
превратить сходящийся ряд в расходящийся ряд.
188. Общее условие. Применим критерий сходимости Коши,
изложенный в § 99, к переменной sn. Отметим, что
Sk+p— Sk = Uk+i + Uk+2 + . . . +Uh+p. (18)
Если ρ произвольное положительное целое число, а к — целое
число, превосходящее Ν, то к и & + /? — два различных целых
числа, превосходящих N. Поэтому из условия стремления sn
к конечному пределу следует, что:
Необходимым и достаточным условием сходимости
бесконечного ряда ^ип является то, чтобы для любой положительной
величины ε нашлось бы некоторое положительное целое число iVe,
такое, что для каждого целого числа k > Ne и любого положи-,
тельного целого ρ имело бы место
| Ujc+l + Hfc + 2 + · · · + Uk+p | < 8. (19)
Общность этого условия делает его мало пригодным для
практического применения, однако мы можем получить из него
простое достаточное условие расходимости ряда» Для этого
предположим, что ^\ип сходится. I Тогда соотношение (19) имеет
место для всех положительных ρ и, в частности, для /? = 1.
Таким образом,
I и*-и | < s, если к > ΝΒ. (20)
Следовательно, при к—>оо, lim^ = 0 и общий член ип
сходящегося ряда должен сггЬремитъся κ нулю при п~>со. Это

189. РЯДЫ И ПРЕДЕЛЫ
9
условие не будет достаточным для сходимости, как это видно
из примера ряда
ί+τ + ί + τ+τ+τ + τ+ί+···> <21>
образованного из групп по 2п членов, каждый из которых равен
2« . Этот ряд расходится, так как сумма 2к—1 членов равна к.
Однако из полученного условия следует, что если, при п—> ос,
ип не стремится к нулю, то ряд ^}ип расходится*
189. Ряды и пределы. Всякому сходящемуся ряду
соответствует переменная sn, стремящаяся к конечному пределу s.
Обратно, каждой переменной ап, принимающей дискретную
последовательность значений, стремящихся к конечному пределу
А при п—> оо, может быть поставлен в соответствие сходящийся
ряд; действительно, положив
Щ = а1г ик = ак—ак_1, &>1, (22)
будем иметь
sn=±a1 + {a2-a1)+ ... + (ап—ап_г) = ап. (23)
Отсюда видно, что ряд 2 ип имеет частичные суммы sn — ап и,
следовательно, сходится к сумме А.
Аналогичные соотношения имеют место между расходящимся
рядом и последовательностью чисел ап, не сходящейся к
конечному пределу при η —> оо.
Таким образом, с некоторой точки зрения, терминология
бесконечных рядов просто дает второе описание поведения
дискретных последовательностей; и результаты относительно рядов
являются теоремами о счетных последовательностях,
выраженными через последовательные разности их элементов.
190. Ряды с положительными членами. Назовем ряд 2 ип
рядом с положительными членами, если все его члены ип будут
действительными положительными или равными нулю числами.
Члены такого ряда мы будем обозначать через рп вместо ип.
Мы изучим эти ряды ввиду их простоты отдельно. Кроме того,
сходимость других рядов часто может быть установлена из
сходимости одного или нескольких рядов с положительными
членами, связанных с данным рядом.
Для ряда с положительными членамц 2 Рп имеем
sn+1-sn^Pn+i > 0, так что sn+1 > sn\ (24)
таким образом, последовательность sn будет монотонно
возрастающей, и из теоремы § 27 следует* что

Ю ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Необходимым и достаточным условием сходимости ряда с
положительными членами является то, чтобы для всех η нашлось
бы такое число М, не зависящее от п, что
sn < Μ. (25)
191. Признаки сравнения. Пусть 53 Рп и Έι Рп~~Ква ряда
с положительными членами. Тогда из сходимости ряда 5] Рп
следует сходимость ряда 53/^ ПРИ выполнении одного 'из
следующих условий:
I. Если рп < рп.
II. Если рп = апрп, гДе ап < А-
р'
III. Если lim — = L, где L—конечное число.
Р' D *)
IV. Если -^ < Ьт '.
Эти признаки сходимости можно доказать следующим
образом. В слу iae I 5^< sn\ цоэтому s'n < Μ, если sn < Ж.
Аналогично, в случае II р^ <,Арп и sn < AM, если sn < Ж. В слу-
р'
чае III заметим, что если η >Ν&, то — <L + s. Таким обра-
Р,г
оо
зом, если /у + з = Л, то \р'п < ^4рп, и по условию II ряд 53 Ρ η
71-=Ν
оо ooV оо
сходится вместе с 53 Рп- Но ряд 53 Рп получается из 5] /V,
η=Ν π=1 η = Ν
оо
прибавлением конечного числа членов, а ряд 53, Рп получается
η=Ν
оо
из ряда 53 Рп отбрасыванием конечного числа членов, а эти
71 = 1
действия не влияют на сходимость рядов, как это было
доказано в § 187. Следовательно, в случае III, ряд 53 Рп сходится
одновременно с 53 /V
Для доказательства случая IV мы используем тождество
Рч ___ Рп ^ Ρη-ι # Ρζ /θβ\
Pi Pn-i * Ρη-ζ ' ' Pi ^ '
и соответствующее тождество для р'к. Отсюда и из условия IV
следует, что
§<-· (27)
pi Pi
Таким образом, здесь можно применить условие II, по-
л Pi
.ложив А = — .
Рг
*) Здесь предполагается, что ра > 0 и Рп> ®- (Прим. ред.)

192. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК
11
Так как сходимость ряда ]►] Рп влечет за собой сходимость
ряда 2 Рп> т0 расходимость ряда 2 Рп влечет за собой
расходимость ряда 23 Рп во всех четырех случаях. В этой
формулировке мы исходим из заданной расходимости ряда ]►] Рп* Для еДи~
нообразия переформулируем полученные признаки сравнения,
исходя из расходимости ряда 2 рп. Если ряд 2 рп расходится,
то ряд 2 Рп будет расходиться при выполнении одного из
следующих условий:
Г. Если р'п > Рп.
ΙΓ. Если рп = Ьпрп и Ьп > 2?>0.
ПГ. Если lim — = L > 0 (или = + оо).
п-*оо Р-ъ
IV. Если ^fA>^-\
Рп Р«
Из результатов § 187 следует, что в случаях I, II, и IV
или Г, IV и IV можно сделать заключение о сходимости
(соответственно расходимости) рядов, если эти условия выполняются
для всех членов ряда, начиная с некоторого значения η — Ν.
192. Интегральный признак. Если f (x) есть положительная
монотонно убывающая функция от χ при всех х, больших или
равных некоторому фиксированному натуральному числу К,
оо
и если несобственный интеграл \ / {х) dx сходится, то ряд, в
κοκ
тором рп — f (η), также сходится', обратно, указанный
интеграл сходится, если сходится соответствующий ряд.
Для доказательства заметим, что
/(*)</(*) </(*-!) Для UT< ft-l< x < ft, (28)
вследствие монотонности ; функции f(x). Также в силу
монотонности эта функция будет интегрируема на любом конечном
интервале, определяемом неравенством (28), и мы имеем
к
/(*)< \ f(x)dx<f(k-l). (29)
Полагая к = К+1, К+ 2, ..., η и суммируя, находим:
71 П П — i
2 /(*)< $/(*)<**< 2 /(*)■ (з°)
k=K+l К k=--K
Так как функция / (х) положительна, то интеграл в этом
соотношении монотонно возрастает вместе с п, так что если

12 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
этот интеграл сходится при п-т-^оо, то он ограничен. Тогда из
ή
первого неравенства (30) следует* что 23 / (к) ограничена и ряд
сходится. Обратно, если ряд сходится, то конечная сумма в
правой части неравенства ограничена и из второго неравенства (30)
следует ограниченность интеграла, а следовательно, и его
сходимость, ибо он монотонно возрастает вместе со своим верхним
пределом.
Так как ряд и интеграл сходятся одновременно, то
расходятся они также одновременно.
Если они оба сходятся, то мы имеем,
оо оо оо
2 /(*)< [f(x)'dx< 2 /(*)· (31>
Этот признак дает нам возможность исследовать сходимость
некоторых рядов, общий член которых получается из интегралов,
рассмотренных в § 170. Заметим, в частности, что вследствие
условия (79) § 170
2^ — сходится тогда и только тогда, когда α > 1. (32)
1 + г^г«+.Л+1* = Ц-^ (33)
193. Геометрическая прогрессия. Так как
1 —г
И
lim rn+i==0, если 0 < г < 1, (34)
П-»оо
то эта геометрическая прогрессия с положительными членами
рп = гп сходится. Это приводит к следующим признакам
сходимости для положительных рядов:
I. Если ^-1 < г < 1 для всех η или для всех η > Ν> то ряд
Рп ,
23 рп сходится. Этот признак является следствием случая IV
р'
из § 191, если положить ргп = гп, так что -^=г.
?п
ρ
II. Если -^i > 1 для всех η или для всех η > Ν, то ряд 23 Рп
Рп , .
расходится. Это является следствием случая IV' из § 191, если
р'
положить о'_ = 1, так что ~^ — 1.
Ό
III. Если lim P^± = L, то ряд сходится, когда L меньше 1,
η_>όο Рп
и расходится, когда L больше 1.

193. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
13
В первом случае L.<1. Поэтому, ,если
~,е>0, то L + e^±k<i. (35)
Взяв это ε, подберем N так, -чтобы
< з, η > N. (36)
\Pl+l
\ Ра
Отсюда следует, что
£ι±ι<£, + β<1, η>Ν. (37)
Рп
Теперь мы можем взять L + з в качестве г и применить
признак I настоящего параграфа для доказательства сходимости
ряда У]рп.
Во втором случае L > 1. Поэтому, если
з = £ — 1, то е>0 и L—е = 1. (38)
Взяв это з, подберем N так, чтобы
< ε, если п> N. (39)
Отсюда следует, что
^^> L —г > 1, если ή>Ν. (40)
Ра
Расходимость ряда ]►] J°n следует из этого неравенства и
признака II настоящего параграфа.
Признаки I, II, III, которые зависят от отношения ^-^, на-
Ра
зываются «правилами отношения».
Следующий признак сходимости зависит только от общего
члена ряда:
IV. Ряд 2 Рп сходится, если "\f рп < τ < 1 для всех η (или
для всех η > Ν), и расходится, если \i pn > 1 для
бесконечного множества значений п.
В первом случае,
если η > Ν, то n\f ~рп < г и рп < гп, где г < 1. (41)
Поэтому сходимость ряда 2 Рп является следствием признака I
из § 191, где положено р'п = гп.
Во втором случае, так как рп > 1 для бесконечного числа
значений п, то мы не можем, иметь lim./?^ = 0, и ряд расходится
по условию, доказанному в конце § 188.
Из правила IV и определения верхнего предела получаем
признак

U ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
V. Если limy рп< I, то ряд сходится; если lim у рп> 1,
то ряд расходится.
194. Гармонические ряды. Условие (32) показывает, что
гармонический ряд
ι
2j—a сходится, если а> 1, и расходится, если а < 1. (42)
Для этого ряда мы в силу разложения (196) из § 83 имеем:
Ρ η (п + 1)а V η J η ' \nj v '
Рассмотрим теперь произвольный ряд с положительными
членами, для которого
Ь s\~
!--+<-). (44)
Рп
Этот ряд сходится, если Ъ > 1. Для доказательства этого
выберем сначала значение а такое, , что 6>а>1. Это значение а
определяет при помощи соотношения (43) сходящийся ряд. Но
мы имеем
^-^ = δ— + ofiy (45)
Рп Рп п \nj v '
Так как b > α, то —И- положительно. Второе слагаемое в
правой части равенства (45) — более высокого порядка малости, чем
Ι/η, так что для всех достаточно больших значений /г,
например для
η > Ν, будет: ^i-1- ^ψ > О или £%ι < £ϋ±ι. (46)
Рп Рп Рп Рп
Теперь, применяя правило IV из § 191, заключаем* что ряд
2 рп сходится.
Если соотношение (44) имеет место при Ь<1, то ряд 2 Рп
расходится; это можно доказать при помощи рассуждений,
аналогичных только что приведенным, и ссылки на правило IV
1
из § 191, сравнивая при этом наш ряд с рядом JJj — и
положив в равенстве (45)*а = 1.
Для положительных рядов, для которых
^i = l- — + о (—?—}, (47)
Рп п \nlognJ' v '

194. ГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЫ
15«
мы можем получить теорему, включающую в себя случай,
когда 6=1. Для этого поступаем следующим образом. Для
положительной убывающей функции —^ имеем
χ
\ ¥^ = 1°g· (log*)-log(log2). (48).
2
Если # —> + оо, то log χ и log (logо;)—>+ оо, так что интеграл
(48) расходится при х—>+оо., Таким образом, в силу резуль-
татов § 192, ряд, в котором /?τι =—, > ft>2, будет
расходиться. Для этого ряда имеем
Рп ^ (п + 1) log (η + 1) 4Qv
/>,ι*ι η log n " V
С помощью разложения Тейлора (см. упражнения к гл. IV,
задача 33) получим
log (!+-!) = А + 0(±), (50)
так что
logQU-i)
log η + log (^1 + -^-J
log η log η
= 1+__1_ + οΓ—Λ—V (51)
' τι log η \ η log η у χ '
Таким образом,
-£2L=Yl + * ^ log(» + ti =
Р>г+1 V п/ log n
= 1 + ± + _* +0(_* У (52)
1 η ' τι log η ' \ η log тг у х '
С помощью процедуры, описанной в § 83, получим для
обратного отношения:
L_ + 0( *_у (53)
>gn \nlognJ
ра η η log тг
Рассмотрим теперь ряд, члены которого удовлетворяют
условию (47), где 6<1. Из, равенств (47) и (5.3) имеем
ρ™~ρ*±ι=\ς±+ '/ +о(\1 У (54)
К Pi л η log n V^log"/
Так как первый член в правой части положителен или равен
нулю, второй член положителен, а порядок третьего члена
ныше порядка первого или второго членов, то разность,
стоящая в левой части, положительна для всех достаточно больших

16 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
значений п. Поэтому, в силу признака IV из § 191, "ряд ]►] Рп
будет расходиться.
Так как члены вида о ( —= j являются также членами
V η log η J
вида of — J, то из результата, полученного для рядов, члены
которых удовлетворяют соотношению (44), вытекает, что ряд,
члены которого удовлетворяют условию (47), будет сходящимся,
если 6>1. Таким образом, окончательно:
Если отношение последующего члена ряда к предыдущему
.представило в виде соотношения (47), то ряд сходится, при
Ь>1, и расходится, при ό<1.
Заметим, что если q > О, то члены 0(-тт?) и Даже 0(—Л
будут членами о (—γ J , в силу соотношения (293) § 92.
В частности, ряд, для которого
If^-I-K^)' q>0' (55)
сходится, если 6>1, и расходится, если 6<1.
195, Практический прием* Если рп задается, как явная
функция п, то отношение ^^ можно также выразить в виде
Рп
функции от п. Предположим, что функция / (х) непрерывна
при х = 0и такая, что для некоторого фиксированного
значения с и достаточно большого η
^г=>Ш· (56)
Всегда можно выбрать эту функцию так, чтобы с = 0, но может
«случиться, что при другом выборе с функция f(x) принимает
более простой вид. Если /(0) < 1, то ря/j; сходится, если /(0) > 1,
то ряд расходится по признаку III из § 193.
Если / (0) =5= 1 и функция f(x) имеет конечную вторую
производную при я = 0, то, в силу соотношений (188) и (189) § 82,
существует разложение
/(Й) = 1 + Й/'(О) + 0(Й*). (57)
Заменяя h на —— и замечая, что
dh^+^G?)' и члены °(^w) будутчленами<5(^)»
Г 58)

195. ПРАКТИЧЕСКИЙ ПРИЕМ
17
получаем
Ьа.П.Ш+о^). (59)
Так как это соотношение обращается в соотношение (55), если
положить в последнем q = i и 6=— /' (0), то мы заключаем
отсюда, что рассматриваемый ряд сходится, если — /'(0)>1,
и-расходится, если —/'(0)<1. Иначе говоря, ряд будет
сходиться, если значение производной /' (0) отрицательно и по
абсолютной величине больше единицы (/' (0) < — 1). Ряд будет
расходиться, если значение производной /' (0) положительно или
если /' (0) по абсолютной величине меньше или равно единице
(/'(0)>-1).
Проиллюстрируем этот прием на примере биномиального
ряда, в котором
_ m (т - 1) (т - 2). . . (т - η + 1) „ ,~m
Un " 1 · 2 . 3 .. . η Х ' (0Ό)
где х = —1 и т не является ни нулем, ни целым
положительным числом. Для этих значений χ и т все члены ряда имеют
один и тот же знак при п> т. Поэтому если отбросим все
члены, для которых п^т (если таковые имеются), то получим
или ряд с положительными членами, или ряд, полученный из
ряда с положительными членами умножением каждого члена
на —1, что не влияет ни на сходимость ряда, ни на отношение
двух последовательных членов. Это отношение будет
- --!_« + * (61)
иа п + 1 η +1
jaK что
если с = 1, то f(x) = l — (т+ ί)χ,
/(0)-1, /'(0)=-(го + 1). (62)
Гаким образом, биномиальный ряд с общим членом, заданным
в виде (60), где положено х=—1, сходится при
положительном т и расходится при отрицательном т. Хотя мы исключили
ич рассмотрения случай, когда т равно нулю или натуральному
числу, однако легко заметить, что в этом случае все члены,
начиная с некоторого, обращаются в нуль, и ряд сходится.
Таким образом, этот ряд сходится для всех значений га>0
и расходится для всех т < 0 при х= — 1.
Метод, рассмотренный в настоящем параграфе, применим
почти ко всем рядам с положительными членами. Практически
:>гот метод является наиболее простым, особенно, когда ρη+ι
и ρ η имеют общий множитель. Однако, в случае, когда рп
.пишется п-й степенью некоторого простого выражения,
признаки IV и V из § 193 более удобны для вычислений.

IS ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
196. Абсолютная сходимость. Если мы имеем некоторый
бесконечный ряд J3 ип с действительными или комплексными
членами, то ряд с общим членом | ип I будет рядом с
положительными членами. Если этот ряд с положительными членами
сходится, то исходный ряд 2 ип также сходится. Действительно,
мы имеем
I ик+1 + И/с+2 + · · · + Uk+p I <
< I и*+11 + | юА+21 + . .. + | ик+р |, (63)
так что сумма в левой части будет по абсолютной величине
меньше е, если сумма в правой части меньше е. Но, в силу
условия из § 188, если ряд с положительными членами 2 I un \
сходится, то сумма в правой части соотношения (63) будет меньше
любой положительной величины г, для всякого положительного
ρ и для всех к > JVe. Поэтому сумма в левой части этого
соотношения по абсолютной величине меньше чем з для всех таких
ρ и к и в силу того, что условие сходимости из § 188 является
достаточным, ряд 2 ип сходится.
Этим доказано, что:
Если ряд 2 | ип | сходится, то сходится и ряд ]►] ип.
Если 21 ип | сходится, то ряд 2 ип называется абсолютно
сходящимся, рядом. Таким образом, абсолютная сходимость влечет
за собой обычную сходимость.
Всякое достаточное условие сходимости ряда с
положительными членами, примененное к 2ΙΜ"|> может быть использовано
для доказательства абсолютной сходимости ряда 2 ип-
В частности, заметим, что если
u^ = F(--±-} , (64)
для всех достаточно больших целых значений η и / (х) =
= F(х)\ непрерывна при .г = 0, то ряд будет абсолютно
сходиться, если /(0)<1. Далее, если f (х) имеет конечную вторую
производную при х = 0 и /(0) = 1, /' (0) <—1, то этот ряд
также сходится абсолютно в силу условий из § 195.
Заметим, что признаки расходимости для рядов с
положительными членами, например признаки из § 195, примененные
к 21м/г1> могут показать, что 2 uv не сходится абсолютно, но
не являются показателями того, что ряд 2 ип расходится.
Если 2 ип сходится, но ряд 2 I un \ расходится, то мы
говорим, что ряд 2 ип сходится условно.
197. Тождество Абеля. Основной метод при проверке
сходимости рядов, не являющихся абсолютно сходящимися, основан
jj а тождестве, которое мы сейчас докажем.

197. ТОЖДЕСТВО АБЕЛЯ
19
Пусть дана конечная последовательность положительных
убывающих величин
Pi>P2>Ps> ··· >Рп>°> (65)
и η действительных или комплексных величин
иъ и2, ..., ип. (66)
Образуем частные суммы:
S! = иъ s2 = иг + и2, . . ., sn = их + и2 + . .. + ип, (67)
и пусть Μ будет верхней границей их абсолютных величин
\sk\<M, A = l, 2, ..., л. (68)
Докажем, что
\^ркик\<Р1М. (69)
Л=1
Имеем
2 Р*и* = Ρι^ι + Р2^2 — ^)+ ...+ рп (sn — sn_i) = (70)
fr = l
= *i (Pi — Λ> + *2 (p2 - Ps) + . . . + V-i (jVi - pn) + ^Ar (71>
Это тождество называется тождеством Абеля.
Разности, стоящие в скобках в правой части выражения (71),
все или положительны, или равны нулю, так что
П 71 — 1
S P*B*|<2 \sk\(Pk — Pk*i) + \sn\p„< (72)
< Μ [(Pl - рг) + (p2-ps)+...+ (pn^ - рп) + рп] < (73)
<MPl. (74)
Это и есть то неравенство, которое мы хотели доказать.
Предположим теперь, что все ик, а следовательно, и все sk —
действительные числа. Пусть М' и М" являются границами sk>
так что
M'<sk<M\ (75)
И этом случае мы можем получить . верхнюю границу для
правой части равенства (71), заменив каждое sk через М"у
η
и получить оценку 2 №<^"ίι, подобно тому как мы это
«•делали при выводе неравенства (74). Аналогично можно полу-

20 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
чить нижнюю границу М' рх для того же выражения, так что
М'рг< Σ Рк»к<М'рх. (76)
к = 1
198. Теорема Боннэ о средней значении. В качестве
приложения неравенств (76) мы сейчас докажем вторую теорему
о среднем значении для интегралов в форме, данной Боннэ.
Теорема эта утверждает, что:
Если функция f(x) ограничена и интегрируема на сегменте
а<#<6 и р(х) положительна и монотонно убывает на этом
сегменте, то
ъ ξ
^f(x)p (χ) dx^p(a)^f (x) dx (77)
a a
для некоторого подходящим образом выбранного значения ξ,
лежащего на сегменте а, Ь.
Функция р(х) интегрируема на сегменте ауЬ вследствие
результатов § 158. Поэтому функция f(x)p(x) интегрируема,
вследствие последнего заключения § 156, так что интеграл
в левой части равенства (77) существует. Кроме того, функция
|/(аг)| также интегрируема.
Построим сумму, апроксимярующую интеграл от f(x)p(x).
Выберем сначала произвольное положительное число г и
определим положительное число η так, чтобы
ъ
rl^\f(x)\dx<S. (78)
а
Разделим затем интервал ρ (ό), ρ (а) на η равных частей,
взяв η столь большим, чтобы каждая часть была меньше η.
Получим
я>р(«)-р(Ь) t 8 = М*)-МЬ) <η. (79)
Обозначим точки деления через рк так, что
Ρι = Ρ («)» Pn+i = Ρ (Ь), Рк = Ρι — (*- 1) ^ (80)
Поставим в соответствие этим η + 1 значениям рк 'значения хк
следующим образом: положим Xi~a, xn+i~b. Для каждого
промежуточного рк определим хк как верхнюю грань точек χ
таких, что
р(х)>рк.
(81)

198. ТЕОРЕМА БОННЭ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
21
Отсюда в обозначениях § 158 получим для пределов слева
и справа
Ρ {Xkr)>Pk>Pixk*)- (82)
Так как функция р(х) монотонно убывает и Pk>Pk+i> то
отсюда следует, что хк*Схк+±. Равенство допускается для
некоторых значений к. Если имеет место строгое неравенство
хк<х<хк+19 то рк>р(х)>рк+1. (83)
Определим
Ρ (х) = Р;ь если хк < х < Xk+i- (84)
Функция Р(х) определена всюду на а, Ъ за исключением точек хк,
которых только конечное число. Для всех других значений χ
имеем
0<Р{х)-р{х)<рк-рк±х<Ъ<Ч· (85)
Поэтому имеем
ъ ъ ъ
| J f(x)p(x)dx— JJ f(x)P(x)dx\ = \ ^ f(x)[p(x)-P(x)]dx\*C
и а а
Ъ b
< ξ |/(*)| \ρ(χ)~Ρ(χ)\άχ<η^\ί(χ)\άχ<3. (86)
a a
Но мы можем написать
\ f{x)P(x)dx = e2 Pk [ f(x)dx= 2 ж, (87)
где
хк*г
uk = ^ f(x)dx, (88)
xk
1ак что ^ = 0, если xk = xk+1. Из соотношений (86) и (87)
имеем
ъ
η /» /г
Σ Pi^k-2<\f(x)pk(x)dx< Σ №+8· (89)
α
Таким образом, мы апроксимировали интеграл суммами,
и которым применимо тождество Абеля.
Пусть теперь М' и if"— наибольшее и наименьшее
значении интеграла от f(t) в пределах от а до х, рассматриваемого

22 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
как функция верхнего предела х. Тогда
χ
M'<\f(t)dt<M', а<ж<6, (90)
а
Так как интеграл является непрерывной функцией своего
верхнего предела х, то значения М' и М" достигаются при
некоторых значениях верхнего предела х' и х".
Образуя суммы sk по формулам (67) и взяв величины ик,
определяемые равенством (88), получим
xk+i xk+i
sk= ^ f(x)dx=* \ f(t)dt. (91)
х\ а
отсюда и из неравенства (90) получим
M'<sk<M". (92)
Так как эти неравенства являются неравенствами вида (75),
то можно применить к ним неравенства (7&) и
М'рг< Σ Ркик<М»ръ (93)
Отсюда и из неравенств (89) следует, что
ъ
М,р1 — г^ J f(x)p(x)dx4£M"p1 + 3. (94)
а
Но, вследствие произвольности з,. эти соотношения останутся
в силе, если мы отбросим ε и —е. Заменяя М' и М" их
выражениями через интегралы, можно написать
х' Ь χ"
Pi ^ / (*)dt < \ f («) Ρ (ж) dx < рг ^ f (t) dt. (95)
a a a
Из последнего неравенства видно, что
ъ
\ f{x)p{x)dx является промежуточным
а
χ
значением рг \f(t)dt, (96)
а
гели последнее рассматривать как функцию от х. Так как эта
функция непрерывна, то это промежуточное значение прян и-

199. ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ
23
мается в некоторой точке ς и
ъ ξ ζ
\f(x)p(χ)dx = px\f(t)dt, или = p(a)if(x)dt. (97)
a a a
Это равенство и является утверждением теоремы (77),
199. Признаки Абеля. Пусть 2 ип — бесконечный ряд и
Pi>P2>Ps> -*.>Рп> · · · >0 (98)
— монотонно убывающая бесконечная последовательность
положительных чисел. Рассмотрим ряд 2 PnUn- Вледствие общего
условия сходимости рядов (см. § 188), сходимость этого ряда
зависит от величины сумм
ρ
Σ Рк+тик*т- (99)
m = l
Если для всех положительных ρ имеем
| 2 uk.m\<Sk, (100)
m = l
то в силу соотношения (74), несколько изменив обозначения,
получим
ρ
Ι Σ Рк+тик+т\^Рк+1$к· (101)
m = i
Если ряд 2 ^п сходится, то соотношение (100) удовлетворяется
при таких Sk, что Sk—>0, когда А—>оо. Тогда, так как /?„
монотонно убывают, правая, а следовательно, и левая часть
неравенства (101) стремится к нулю, когда к —>оо.
Следовательно, по условию § 188, ряд 2 рпип будет сходиться. Таким
образом,
Если ряд 2 ип сходится и рп образуют монотонно убывающую
последовательность положительных чисел, то ряд ]►] ρ n.Uji CXO-
оится.
Аналогично
Если ряд 2 Un обладает тем свойством, что для некоторого
к
(фиксированного S и всех значений к имеет место | 2 ил|<5,
и если рп образуют монотонно убывающую последовательность
положительных чисел, стремящуюся κ нулю, то ряд 2 РпЦ>п
сходится.
Действительно, в этом случае имеем
ρ к-ь-т к
Ι Σ «wl = l Σ «η- Σ «η| <2J (102)
m-1 n = l ii=l

24 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
и, следовательно,
ρ
| Σ Pk+mUk+m\<2Pk*lS> (103)
m = l
а ото выражение стремится к нулю, когда к—>оо.
В обоих этих случаях, если S является границей для всех
частичных сумм sn, сумма ряда 2 PnUn по абсолютной величине
не превосходит pxS, так как из неравенства (74) следует, что
Ι Σ Piflk\<PiS. (104)
* 71 = 1
Можно теперь сформулировать еще одно утверждение:
Если ряд 2 ип сходится и рп образуют ограниченную,
монотонно возрастающую последовательность положительных
чисел, то 2 Pn.un сходится.
Действительно, если Р — верхняя граница чисел рп, тоу
применяя неравенство (74) к этой сумме и рассматривая
суммирование в обратном порядке, получим
ρ
Ι Σ Рк+тик+т\<Рк+тЯк<РЯк> (105)
а это выражение стремится к нулю, когда к—>оо, вследствие
сходимости ряда Σ ип·
200. Знакочередующиеся ряды. Ряд 1 —1 + 1 — 1+..·
имеет частичные суммы, равные попеременно 1 и 0, Таким
образом, все его частные суммы ограничены. Следовательно, если
мы умножим члены этого ряда на члены монотонно убывающей
и стремящейся к нулю последовательности положительных
чисел рп, то получим сходящийся ряд
Pi — P2 + P3 — />«+··· (106)
Кроме того, так как частичные суммы первого ряда имеют
верхнюю границу, равную единице, то
| Σ (-1)к*тРъ*т\<Ры<Ркч- (107)
Отсюда следует, что остаток ряда после ft-ro его члена
со со
Σ (-i)ic>>fc+m=(-iripfc+i+ Σ (-irm/w (108)
m = l m=2
или будет равняться нулю, или будет иметь тот же знакг
что и его первый член, и не будет превосходить его по
абсолютной величине.

201. УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
25
Если рп строго убывают, так что рк+2 < Рк+и т0 остаточный
член ряда имеет тот же знак, что и первый член, и меньше
его по абсолютной величине.
Примером сходящегося знакочередующегося ряда может
служить ряд
1-т+|-т+·- <109>
Здесь рп строго убывают.
Ряд
i-i+4-T + i-j+- (110>
сходится к нулю. Здесь остаточные члены попеременно' равны
или своему первому «ялену или нулю.
201· Условно сходящиеся ряды. В задачах 10 и 11
(упражнения к гл. IX) показано, что сумма ряда (109) равна log 2,
но если мы переставим его члены, прибавляя по ρ
положительных членов к каждым q отрицательным членам, то сумма
будет равна log (2 —г J * Это указывает на то, что сумма
условно сходящегося ряда может измениться при перестановке
членов ряда. Рассмотрим произвольный условно сходящийся
ряд, состоящий из действительных чисел. Пусть Ζ^ —сумма
положительных членов п-ж частичной суммы ряда, — Qn — сумма
отрицательных членов той же частичной суммы. Так как ряд
сходится, то сумма ряда будет lim(Pn — Qn)=zs. Но так как ряд
не сходится абсолютно, то lira (Рп -f Qn) = + °° > так что
п-»оо
lim/)7l=-f оо и Нт(?п=+оо. Поэтому, даже после удаления
п-мх> тг->оо
любого конечного числа членов, мы все же можем взять как
из Р, так и из Q достаточное число членов, так, чтобы их
сумма была сколь угодно велика; здесь через Ρ обозначены
положительные члены ряда, расположенные по порядку, а через
Q—отрицательные члены с измененным знаком и также
расположенные по порядку. На этом факте основан метод, позволяющий
при помощи перестановки членов ряда сделать его сумму равной
.нобому заданному числу L. Возьмем сначала по порядку
наименьшее число положительных членов из Р, имеющих
сумму, большую чем L. Затем прибавим к ним наименьшее
число членов из — Q, для которого образованная сумма будет
меньше L. Прибавим далее члены из Ρ так, чтобы сумма
превосходила L, а затем прибавим члены из — Q так, чтобы сумма
пнять стала меньше L. Продолжая таким образом дальше.

26 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
получим, что этот ряд будет иметь сумму, равную L, ибо
разность между его частичной суммой и L будет меньше чем
последний взятый нами член из Ρ или из(), а члены первоначального
ряда стремятся к нулю, ибо ряд сходится.
Аналогично, взяв возрастающую последовательность чисел η
вместо L для каждого этапа этого процесса, можно заставить
этот новый ряд расходиться так, чтобы его частные суммы
стремились к + °°> илй> взяв последовательность — п, можно
заставить новый ряд расходиться так, чтобы его частичные суммы
стремились к — оо.
Что касается ряда с комплексными членами, то может
случиться, что его действительная или мнимая части сходятся
абсолютно, но по крайней мере один из этих рядов будет
сходиться условно, если первоначальный ряд сходится условно.
Следовательно, существуют такие перестановки членов в
первоначальном ряду с комплексными членами, которые изменяют
сумму ряда.
202. Перестановка членов в абсолютно сходящихся рядах.
Если ряд сходится абсолютно, то его сумма не зависит от
порядка, в котором суммируются его члены. Действительно,
пусть 2 ггп — абсолютно сходящийся ряд и ^и'п — тот же ряд,
в котором члены взяты в другом порядке. Выберем число Л1
такое, что для каждого натурального числа ρ
Е|ип+т|<з, если n>N. (Ill)
Тогда для любых пг > N и п2> /гх + ρ ι, таких, что все члены
Πι Π2
суммы J] ип войдут в £J и'п, получим
η = 1 η = 1
П2 П\ pi Pi
Ι Σ «Α- Σ »η|<| Σ «ζ*Κ Σ К·*!. (112)
п=1 п=\ k=i k=i
где Ujk — член ряда с индексом, превосходящим %. Если
наибольший из этих индексов будет n1Jrp2, то будем иметь
Σ |Ь/*|< Σ \Un1+m\<*. (ИЗ)
Так как п2 стремится к бесконечности вместе с пх, то отсюда
следует, что
со оо
Σ«Α-Σ«η· (И4)

202. ПЕРЕСТАНОВКА ЧЛЕНОВ В АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДАХ 27
Этот результат может быть применен к 2 I ип I и · Σ I un I»
откуда следует, что последний ряд сходится, и тем самым ряд
с переставленными членами 2 и'п сходится абсолютно.
Переставляя члены в абсолютно сходящемся ряде, мы можем
сгруппировать их в конечное число q бесконечных частей
и каждую часть взять в качестве нового бесконечного ряда.
Можно затем просуммировать каждый из этих q рядов и
сложить q сумм. Пусть эти ряды будут ][] и\п, Σ ^2п> . · · , Σ и<т-
Если
оо
Σ("η| = 5, (115)
ТО
л = 1
Ρ Pi
Σ Κηί< Σ \un[<s, (Иб)
так что каждый из этих рядов сходится абсолютно. Теперь
выберем число YV так, чтобы выполнялось соотношение (111),
и возьмем некоторое пг > N и п2 столь большое, чтобы все
первые пх членов исходного ряда вотили^в частичные суммы по п2
члена каждого из q рядов. Тогда получим
(/ П2 Πι
ΙΣ Σ4-Σ «η|<ΣΙ»/*Ι» (117)
r=in-=.l n — i к
где иjк — член ряда с индексом, большим чем /г2. Если
наибольший индекс этих членов будет п1 + р29 то получим
Р2
Σ Κ* Κ Σ iBna+m!· (118)
к m = l
Так как п2 стремится к бесконечности, когда ηλ—>οο, то
q оо оо
Σ Σ »™ = Σ«η· (119)
Вместо конечного числа q частей ряда можно брать счетное
число частей. Каждая часть может быть бесконечным рядом,
π суммы этих рядов могут быть приняты в качестве членов
нового ряда. Как и в предыдущем случае, можно показать,
что каждый из этих рядов сходится абсолютно. Как и в
предыдущем случае, выбираем N и % > N, а затем берем
достаточно большое число п2 и достаточно большое число частей q
так, чтобы все первые п1 членов первоначального ряда вошли
и частичные суммы по п2 членов первых q рядов. Тогда опять
получим соотношения (117) и (118). Таким образом, левая часть
соотношения (117) не превосходит г для всех достаточно боль-

28 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
тих Πχ и для достаточно большого q
q со сю
ΙΣ Σ «in- Σ «*1<ε· (120)
Этим доказано, что бесконечный ряд, члены которого
являются суммами отдельных рядов, рходится к той же сумме,
что и первоначальный ряд.
Обратно, составной ряд или ряд, члены которого являются
сами рядами, может быть преобразован в единый ряд, имею-,
щий ту же сумму, если только этот последний сходится
абсолютно .
203. Действия над рядами. Два сходящихся ряда могут
быть сложены почленно, ибо, если wn~un + vn, то
|>л = Σ »η+ Σ νη, (121)
η=1 /1 = 1 п=1
так что
оо оо оо
Σ^«= Σ и«+ Σ «η. (122)
71 = 1 71=1 71=1
Это будет верно для любого конечного числа рядов.
Для произведения двух сходящихся рядов имеем
со со η л
[ Σ ®л] [ Σ "л] = Нт [ Σ «т] [ Σ "т] = (123)
71 = 1 71 = 1 7l-»Oo771 = l Ш=1
ОО 72 П П~ 1 72-1
= Σ Ι Σ ·»« Σ »т- Σ «η, Σ "J- (124)
η = 1 τπ = 1 m = l τη=1 τη=1
При η=1 суммы от га = 1 до т—п — 1 должны быть заменены
нулем. Предположим, что оба ряда абсолютно сходятся. Тогда
если
сю сю
2 \un\=S, и Σ \οη\=Τ, (125)
71 = 1 71=1
то
q
U
m \
771 = 1 П*=1
Σ \vn\<ST. (126)
Таким образом, при любом расположении членов двойного
ряда с общим членом | umOn | в обычный ряд, этот последний будет
иметь ограниченную сумму и, следовательно, будет сходиться.
Поэтому соответствующий ряд 2 Σ umVn (без знаков абсолютной
величины) будет сходиться, абсолютно и будет сходиться к одной

204, ПРИЗНАКИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ НА ПРАКТИКЕ
29
и той же сумме при любом расположений его членов. Так как при
одном расположении членов ряда последовательность частных сумм
η η
равна [ 2 ит][ 2 OmJ> то из соотношения (123) следует, что
ОО ОО CQ СО
[ Σ «»Π Σ »«] = Σ Σ umvn, (127)
η = 1 η = 1 τη = ί η = 1
если только оба исходных ряда сходятся абсолютно. Члены
двойного ряда, стоящего в правой части равенства (127), могут
быть расположены любым образом, и при этом сумма ряда не
изменится. Наиболее часто применяемым расположением является
расположение
ЩЩ + (Hl^l + Η2^ΐ) + (^1^3 + ^2ϋ2 + ^3"l) + . - · » (128)
при котором сумма индексов членов, стоящих в /г-й скобке,
равна /г + 1.
204. Признаки, применяемые на практике. Для
исследования расходимости ряда могут быть применены признаки
расходимости для рядов с положительными членами, основанные
на том, что их общий член не стремится к нулю. Так, если
limlifeul > ι, или ίϊϊη ]/μη|> 1, (129)
то ряд 2 ип расходится.
Обычно абсолютная сходимость ряда доказывается или
применением приема § 195 к ряду 2|ип|, или сравнением с
некоторым известным сходящимся рядом с положительными
членами. В этом случае мы выводим абсолютную сходимость ряда 2 ип
из сходимости известного ряда ^ рп и из выполнения
неравенства \ип\^рп>
205. Бесконечные произведения. Бесконечным
произведением называется выражение вида
(l + Ul)(l + u2),..(l-j-un)... (130)
Под бесконечным произведением с действительными членами
мы понимаем такое произведение, в котором все ип —
действительные числа. Мы будем рассматривать только такие
произведения, которые не содержат множителей, равных нулю, так что
икФ—1. (131)
Подобно тому как мы образовывали частичные суммы ряда,
мы можем образовать частичные произведения
Рп = Π (1 + и*) = (1 + щ) (1 + щ) · . · (1 + и„). (132)
А=1

30 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Если
\imPn = P (133)
и Ρ конечно и отлично от нуля, то бесконечное произведение
называется сходящимся к значению Р. В этом случае мы пишем
оо
Π(1+«η) = Λ или Ц(1+ип) = Р. (134)
Иногда будем писать сокращенно Т1(1 + ип) вместо выражения
(130), если из текста будет ясным значение первого множителя.
Если Рп либо не стремится к предел}^, либо стремится к нулю,
то бесконечное произведение называется расходящимся.
Расходящиеся бесконечные произведения с действительными членами
могут либо расходиться к нулю, либо расходиться к
бесконечности, либо колебаться. Здесь можно провести сравнение
с замечаниями в § 186 о поведении рядов с действительными
членами.
Если допустить, что некоторое число величин ик1
предшествующих множителю номера N, может равняться —1, то
понятие сходимости и расходимости бесконечного произведения
может быть обобщено, и мы можем считать, что
первоначальное бесконечное произведение сходится или расходится, если
оо
сходится или расходится в старом смысле произведение Π О- + ип).
Это обобщение дает нам возможность умножать, делить или
изменять конечное число первых множителей, которые могут
быть равными нулю или нет, не оказывая при этом влияния
на сходимость или расходимость нашего произведения.
206. Общие условия. Необходимым и достаточным условием
оо
сходимости бесконечного произведения Π (1+#п), ип =£ — 1,яв-
л = 1
ляется то, чтобы для любого положительного числа ε
существовало такое число Ne, что для любого п> Ne и для всех
положительных целых чисел ρ выполнялось бы неравенство
| Π (1 + и„чЛ)-1|<г. (135)
k= 1
' Для доказательства необходимости условия предположим,
что бесконечное произведение сходится. Так как в этом
случае P = limPn не равно нулю,, то мы можем выбрать
положительное число η такое, что
0 < Ч < — ·
(136)

206. ОБЩИЕ УСЛОВИЯ
31
Затем выберем число 7V такое, что для п> N
\Рп~Р\<т( или -Ρη = /> + θη, где |в|<1. (137)
Тогда будем иметь
I П(1 + Щп)\ = \Рп\>\Р\-\Рп-Р\> Цг-. (138>
Кроме того, если η>Ν, то η + ρ>Ν и
Ρη+ρ-Ρ=6% |θ'|<1. (139)
Тогда
Π (1 + Вп+*)-1 =
Λ = 1
Π (1 + И!и) ρ
Π (l + i*m)
Следовательно, для абсолютной величины получим
IP! ^|P
й«1 + "-»)-Ч<1Й<1?Г· (Ш,
Так как единственным условием, наложенным на η, было
условие (136), то можно выбрать η так, чтобы последнее
выражение было меньше любого заданного з. Действительно,
^<г, если η<^13. (142)
Этим доказана необходимость нашего условия.
Перейдем к доказательству достаточности. Предположим, что
условие выполнено. Тогда для любого заданного положитель-
ного s будем иметь
Ι Π (1+Ип+*)~1|<*, (143)
ИЛИ
Π (1+ »„+*) = 1 + вг, |θ|<1, длд η>ΝΕ. (144)
Пусть N означает Ne для ε = — ; будем рассматривать только
значения з<— и брать ΝΒ > N. Тогда
'nP(l+«m)- Π (1 + 0= Π (1 + ΟΓΠ (1 + йп+*)-1]. (145)

32 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Но из соотношения (144), положив в нем s = —, получим
^= δ(1 + ΒΝ+ρ) = 1 + -|-· (146)
Следовательно,
Т<1^1<2 и 1-Ψ-<\Ρν+ρ\<2\Ρν\. (147)
Положим
ЛГ = |**|. (148)
Так как каждое η>Ν может быть взято вместо Ν + ρ, то
М <\Рп\<2М, если η > N. (149)
2
Так как для всякого η > iVe имеем также га > iV6 > iV, то оба
соотношения (143) и (149) удовлетворяются. Из них и из
тождества (145) мы можем вывести, что
\Рп*р-Рп\<2М*> если n>NB. (150)
Так как Μ фиксировано, а г произвольно, то из последнего
соотношения следует, что Рп стремится к пределу, когда п—~> оо
(в силу критерия сходимости Коши).
Кроме того, так как ни один из множителей произведения
не равен нулю, то Μ тоже отлично от нуля и из соотношения
(149) следует, что этот предел по абсолютной величине не меньше
чем Μβ и, следовательно, отличен от нуля.
Таким образом, мы доказали, что если условие выполнено,
то бесконечное произведение сходится.
Отметим как частный случай необходимости этого условия,
что при ρ = 1
1(1 + ип+1)-1|<з, или |вп+1|<з для n>N&. (151)
Этим доказано, что необходимым условием сходимости
бесконечного произведения является lim ип=0. Это условие оправдывает
п->оо
обозначение множителей произведения в виде 1+ип.
207. Абсолютная сходимость. Если в выражении
П (!+«„♦*)-!, (152)
Ρ
π
фигурирующем в условии сходимости, произвести умножение
и приведение подобных членов, то получим многочлен от ип+к

207. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ
33
с положительными коэффициентами. Следовательно,
lfi(i + »„+ft)-i|<fi(i + l«n+*l)~i· (153)
А = 1 А = 1
Отсюда и из условия, доказанного в предыдущем параграфе,
следует, что если 11(1 + |ип|) сходится, то сходится и Π (1 + О·
При этих условиях последнее произведение называется абсолютно
сходящимся. Абсолютная сходимость бесконечного произведения
зависит от сходимости произведения с положительными членами,
т. е. от такого произведения, все множители которого могут
быть написаны в виде 1 + рп, где рп положительно или равно
нулю. Мы сейчас рассмотрим такие произведения с
положительными членами.
Применяя теорему о среднем значении к функции ех, £>0,
получим
^Ζ^=ββ*>1> или ex>i + x, х>0. (154)
Отсюда следует, что
η
КП(1+Ы<^ . (155)
k=i
Произведение первых η множителей произведения с
положительными членами является монотонно возрастающей функцией
от η и, следовательно, стремится к пределу, если оно ограничено.
10ели 2 Pk~s> T0 gS является верхней границей всех частичных
71 = 1
произведений, и эти произведения стремятся к пределу при
/г—>оо. Так как все эти произведения не меньше единицы, то
и предел не меньше единицы и, таким образом, отличен от нуля.
Следовательно, бесконечное произведение сходится.
Обратно, если бесконечное произведение сходится, то сходится
и ряд 2 Рк> ибо мы имеем
ί + Σ Рк<П (i+pkh (156)
Λ = 1 /t = l
так как правая часть в развернутом виде содержит все члены
\\:\ левой части и еще другие члены, которые иль положительны,
или равны нулю. Отсюда следует, что если произведение
сходится, то разность между его пределом и единицей больше или
раина любой частичной сумме ряда ]►] Ρ к* Таким образом, эти
частичные суммы ограничены, и так как этот ряд является рядом
<· положительными членами, то он сходится.

34 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Таким образом, мы доказали, что
Необходимым и достаточным условием сходимости
бесконечного произведения Π (1 + Рп) является сходимость бесконечного
ряда 2 рп с положительными членами.
Заменяя рп через ип, получим отсюда, что
Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости
бесконечного произведения П(1 + ^п) является абсолютная
сходимость бесконечного ряда 2 ип.
208. Перестановка множителей. Если бесконечное
произведение сходится абсолютно и мы переставляем его множители
произвольным образом, но не отбрасываем и не прибавляем
новых множителей, то новое произведение будет также абсолютно
сходящимся в силу свойств рядов и только что доказанной
теоремы. Пусть Рп есть частичное произведение η множителей
исходного произведения с множителями (1 + ип) и пусть Ρ его
предел. Обозначим через Р'т частичное произведение т
множителей преобразованного при помощи перестановки произведения
и пусть его множителями будут (1 + гг^); обозначим через Р'
его предел. Применяя общее условие из § 206 к произведению
с положительными 'множителями (1 + | ип |), получим, что
существует такое Ν, что
Ι Π (l + |*wl)-ll<s для η>Νε. (157)
Теперь возьмем η > Ne, образуем Рп и выберем т столь большим,
чтобы все множители из Рп вошли бы в Р'т. Тогда получим
Р'
Г т л
Рп
= |П(1 + и/*)-1|. (158)
к
где все ujk имеют индекс, превосходящий п.
Из соотношения (153) следует, что
| П(1 + Щк)~ 1)<П(1 + | и,к |)-1. (159)
к к
Так как каждый множитель 1 +1 uJk | не меньше единицы, то,
увеличивая число множителей в произведении, стоящем в
правой части, мы увеличим это произведение или, во всяком случае,
не уменьшим его. Поэтому, для выбранного подходящим образом
целого положительного числа р, будем иметь
1П(1 + в/*)-1|<П(1 + |в»+*|)-1 (160)
к Ь=1
и
i£-il<s. (161)

209. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОСТОЯННОГО ЗНАКА
35
Так как т—^ос, когда п—> оо и Ρ Φ О, то отсюда вследствие
произвольности з можно заключить, что
|^_l|<8, или -51 — 1=0. (162)
Таким образом, Ρ' = Ρ и мы доказали, что
Если множители бесконечного абсолютно сходящегося
произведения переставлены, то новое произведение также сходится
абсолютно и имеет то же значение, что и исходное произведение.
209. Произведения постоянного знака. Если все ип —
действительные и отрицательные числа, то мы можем записать
общий член произведения в виде (1 — рп). Если все рп меньше
единицы, то мы имеем
(1-А.)(1 + А.) = 1-Л<1 (163)
И
(l-pJ<rhrr (164)
Таким образом,
η
JI (ι _,,)<__! . (165)
α=ι Π (! + />*)
Ксли ряд 2 рк расходится, то из соотношения (156) следует,
что произведение П(1 + л) расходится к + со, и из
соотношения (165) получаем, что в этом случае П(1 — Рк) расходится
к нулю. С другой стороны, если ряд ^ Рк сходится, то
произведение П(1 — Рк) сходится абсолютно. Так как бесконечное
произведение П(1-Ьггл), так же как и ряд ][] ип, может сходиться
юлько, если Итип = 0, то если произведение сходится, условие,
П-УОО
что рп меньше единицы, будет всегда выполнено для всех
множителей, начиная с некоторого. Соединяя этот результат с
результатами, полученными нами для произведений с
положительными членами, мы придем к теореме:
Если для всех достаточно больших η все ип — действительны
и постоянного знака, то бесконечное произведение Π (1 + ип)
сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечный
ряд 2>п.
То, что условие постоянства знака ип является
существенным, видно из следующего примера:
(166)

36 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Бесконечное произведение Y[(i4-un) сходится.. Действительно,
все множители стремятся к единице и, группируя их попарно,
получим множитель
(1 + и2п-з)(1 + И2п-2)= 1 -4/2 > (167)
который является множителем абсолютно сходящегося
бесконечного произведения. Однако ряд 2 ип расходится, так как его
2п-я частная сумма равна ^ у ·
к=2
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IX
1. Доказать, что если 2j Рп ~ некоторый сходящийся ряд с
положительными членами, то можно найти такой же ряд 2 Рты чтобы при этом
lim— =оо. Указание. Можно положить r0 = s, rn = s—sn и рп=- Υ гп_г — \гга.
Рп _ _
Тогда Sn=Ys — Yrnt так что ряд 2 Рп сходится к j/"s. Но
ξ?= /-—"'%=V^i + Y7n->o.
Ρ η γ rn-x - γ rn
2. Показать, что если 2 Рп ~ некоторый расходящийся ряд с
положительными членами, то можно найти ряд 2 Рп> обладающий этими же
свойствами и такой, что lim--=0. Указание. Можно положить
Рп
Рп -г ' "г ' ^/"
'n = VZ-V^, P'^VFi- Тогда s'n = Y^-^co и g= ^ I Г**"1
Рп sn — sn-i
1 о.
Ysn + У sn_1
3. Доказать, что если члены сходящегося ряда с положительными
членами монотонно убывают при возрастании п, то />п = о ( — ] . Указа-
о Г п 1 п
ние. Сумма членов с индексами от -~- до η превосходит число — рп,
так что если | s — sn | < s, когда п> Ν, то прп < 2ε, когда η > 2Ν.
4. Условие из задачи 3 не может быть улучшено, так как если
/ (т) — некоторая положительная функция, такая что /(т)—>0, когда
т —> оо, то мы можем найти сходящийся ряд, члены которого
положительны и монотонно убывают, причем рт = '-±-- для бесконечного числа
значений т. Указание. Выбрать ряд значений т, тк, для которых
/ Ктю < WZ » взять —-—- в качестве тк-то члена и в качестве всех членов
после (w^^-ro члена, предшествующих m^-му. Тогда* ряд сходится, ибо
к
сумма пгк членов меньше, чем 2 / (тк) < 1·
/=1

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IX
37
5. Признак Еуммера. Пусть ап — произвольная последовательность
положительных чисел, а рп — положительные члены ряда. Образуем
выражение ап-^ аь+1 = Кп. Ряд 2 Рп сходится, если 1\тКп> О, так что
Pn+i
для достаточно больших га величина Кп превосходит некоторое
положительное фиксированное число. Указание. Изменив, если это понадобится,
запись, можно считать Кп > А для всех га. Тогда апрп — ап+1ра+1> Арп
и, просуммировав неравенства, получаем ахрг ~ αη+1ρη+1 > A 2j pn, так
что 2 Рп ограничена.
6. Если положительные числа ап из задачи 5 таковы, что ряд ]У —
расходится и 1\тКп<0 или даже Кп^0 для достаточно больших га,
то ряд 2 Рп расходится. Указание. Применить признак IV' из § 191, ·
сравнивая ряд с рядом ^ — .
7. Доказать, что ряд ^рп с положительными членами сходится,
если log η ( -Ό*- — 1 λ — 1 имеет lim > 1, и расходится, если lim < 1.
Указание. Положить an = nlog n и использовать задачи 5, 6 и
соотношение (52) в тексте.
8. Вывести правило § 194 (соотношение (55)) из результатов
предыдущей задачи.
11 1
9. Доказать, что выражение F (га) = 1 + — + — + ... Η log n всегда
Ζ ο га
положительно и убывает при возрастании га, так что оно стремится к
пределу, когда η —> со. Этот предел называется постоянной Эйлера и
обозначается γ, так что lim F (га) = γ. В § 323 мы покажем, как подсчитать ее
п->со
1
значение, равное 0,5772157... Указание. Полагая f{x) = —, получим
11 1
из неравенства (30): log га ^ 1 + — + -5- +. . . + -* » так что F (га) поло-
1
жительно. Из неравенства (29) имеем —^ log га — log (га — 1), так что
F (га) — F (га — 1) <: 0, F (га) убывает при возрастании га.
1 1
10. Доказать, что 1 — — + -^ — ... = log 2. Указание. Если sn — сумма
2 о
Σ/Ι
—, то 5П = γ-J- log га + о (1); что следует из задачи 9. Для
нашего ряда сумма 2п членов равна sin — 2 ί у } = γ + log (2га) —
— (γ + log га) + о (1). Суммы с нечетным индексом также стремятся к log 2,
ибо отдельные члены стремятся к нулю.
11. Доказать, что если мы переставим члены в ряде из задачи 10,
беря попеременно по порядку группы по ρ положительных и по q отри-
/2»1/2\
дательных членов, то сумма ряда будет log ( ). Указание. Как
я в предыдущей задаче, сумма первых m(p + q) членов может быть
записана в виде s2mp—ίψ. — ?т = ^^\0^тр — γ(γ +log m/>)—— ft + logmg) +
-Μ (1) = log 2 + 1 log £- + o(l).
Δ q

38 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Другие суммы стремятся к тому же пределу, ибо все суммы любой
группы 2(р + д) или меньшего числа членов из ^ —» начиная ciV-й, не
превосходят величины ' —J , которая стремится к нулю, когда N —> оо.
12. Доказать, применив интегральный признак из § 192, что ряд
с положительными членами 2 гп сходится тогда и только тогда, когда
г<1.
1
13. Все члены ип= - . ψ ряда, начиная с гг = 2, положительны. Этот
ряд сходится, если а> 1, и расходится, если а<11. Доказать, что
подобный результат имеет место, если знаменатель общего члена равен
η (log η) · (log2 n) . . . (logr n)a, где log2 n означает log log я и так далее.
Нужно начать с достаточно большого значения, так чтобы все числа,
от которых берутся логарифмы, были больше единицы, причем условием
расходимости будет опять а^1. Указание. Применить интегральный
признак и при этом заметить, что
dxK s J x {log χ) {log2χ). . . (log'*"1*) *
14. Ряд 2 —] расходится, как это видно из задачи 13 или
из § 194. Показать, что для этого ряда рп = о ( — } . Этим доказывается,
что условие из задачи 3 является только необходимым, но не достаточным
для сходимости ряда.
2хп
~л сходится абсолютно для всех значений χ
R (η) χη
и что этот же результат имеет место для —^-~—, где R (тг) — любая
рациональная функция от п.
16. Показать, что 2 — t— » ГДе R (п) ~ произвольная рациональная
функция, сходится абсолютно для всех значений х. Примером такого ряда
X2 ХП
служит ряд 1 + ж + -ту -И. . . Ч г + . . . » который сходится к ех для
действительных значений х, как это следует из задачи 26 к гл. IV.
17. Показать, что ряд 2 ппхп расходится при всех значениях х, кроме
х = 0, и что 2 R (тг) ппхп также расходится при всех х, за исключением
ж = 0; здесь i?(n) —некоторая рациональная функция от тг, не равная
тождественно нулю.
18. Показать, что ^R(n)nl xn, где R(n) — рациональная функция
от тг, не равная тождественно нулю, расходится для всех значений х,
за исключением х = 0. Указание. Применить задачу 19 к гл. III.
19. Пусть R (п) — некоторая рациональная функция от тг; показать,
что ряд 2jR{n)xn сходится абсолютно, если | χ \ < 1. Показать далее,
что он сходится при |гс| = 1, если степень знаменателя по крайней мере
на две единицы больше, чем степень числителя, и расходится при
\х | > 1, если R{n) не равна тождественно нулю.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IX
39
1
20. Ряд с членами и1Ь = — расходится, тогда как ряд, члены кото-
1
рого и'п = ( — 1)п —= , сходится. Здесь | ип [< | ип |. Этот пример показы-
Уп
вает, что признаки сравнения не имеют места для рядов, члены которых
могут быть отрицательны.
21. Ряд, в котором и1=11 и2 = -^х и
= <*(<* +1)(<* + 2)··· (а + и-1)Ь(Ь+1) ... (6+ /г-1) w
Мд c(c + l)(c + 2)...(c + 7i-l)d(d+l) ... (d + τι-Ι) ^ '
называется гипергеометрическим рядом. Доказать, что если ни один
из множителей (α + д), (Ъ + п), (с + п) или (d + rc) не равен нулю, то этот
ряд сходится абсолютно при | χ | < 1 и расходится при | χ | > 1.
22. Пусть отношение последующего члена к предыдущему в ряде
с комплексными чл
и A. f 1 \
ленами а*1 =1-\ \~0( -г ): показать, что этот ряд
ип η V"V
сходится абсолютно, если В, (Л) < — 1. Применить это к доказательству
того, что гипергеометрический ряд из задачи 21 сходится абсолютно при
ж=1, если U(a + b-c — d+ 1) < 0.
23. Пусть />д —последовательность положительных величин,
стремящаяся к нулю. Показать, что ряд 2 j^sinrce сходится и, если θ =£ 0, то
и ряд 21 Рп cos п θ сходится. Указание. Эти ряды являются действительной
л мнимой частями ряда 2 Pnein^ a суммы геометрической прогрессии
^ I 1_е1'(п + Ъч 2
2j (^)п удовлетворяют неравенству | s L | = —■ ^-—< JZ^oTq »
Ι ι в ι
т. е. ограничены.
24. Бесконечное произведение Π 1 ^ν ~~2 ) расходится к
нулю, если Ъ > 0, и расходится к + ох если Ъ < 0. Кроме того, при
достаточно большом и. произведение η множителей будет монотонной
функцией от п. Вывести отсюда, что если -^- = ML \-θ( — ) <?ι° ?
то ряд 21 w^ расходится при δ < 0 и сходится при δ>0 и Ьф 0.
Указание. Применить результаты § 209 и предыдущую задачу.
25. Биномиальным рядом называется ряд
т(гп — 1) . , m (m — 1) (т — 2).. .(m — n + 1) Λ
1 + mx Η ^—'- χ2 + ... + —Ь '— f — χα + .. .
Из задачи 29 к гл. IV следует, что этот ряд дает разложение (1 + х)т
при действительных тихи1<х<1. Доказать, что при дсйствителъ-
ио.м /и, но комплексном х, этот ряд сходится абсолютно при | χ \ < 1
и расходится при |ж[>1. Далее, при \х\ = 1 этот ряд расходится для
т ^— 1 и сходится для т ^ 0. Для — 1 < m < 0 он сходится при | jc | =. 1,
если χ Φ —1, и расходится, если х~— 1. Указание. Применить
предыдущую задачу и результат § 195.
26. Пусть m (#) — монотонная функция от χ и/(х) — ограничена и
интегрируема при а^х^Ъ; доказать, что имеется такое значение ξ, что
ъ ξ ъ
\ / (х) т (х) dx = m{a) \ / {х) dx -f /τ? (fe) \ / (χ) dx.

40 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Указание. Если т (х) возрастает, то поменять а и Ъ местами. Если т (х)
убывает, то положить р(х) = т(х)—т{Ъ) и применить теорему Бонна
о среднем значении.
27. Полагая go = 0. gk = sk, /o = 0, fk = Pu, ?>gk = sk-sk_1 = uk,
o/ft = Pk—Pk-i> мы можем записать тождество Абеля (71) в виде
τι / η
*-l k=l
подобном соотношению (44) § 165 и указывающем на связь между
тождеством Абеля и формулой интегрирования по частям.
28. Завершить в подробностях следующее доказательство теоремы
Боннэ о среднем значении для случая непрерывной f(x) и />(#)> имеющей
непрерывную производную р' (х). Мы можем здесь предположить, что
p(b)^zQ, ρ'(χ)^0, что означает, что р{х) предположена положительной
χ
и монотонно убывающей. Если F(x)= \ f(u)duy то
а
ъ
\ / 0*0 ρ (s) dx =
а
Ъ Ъ
= { F' (χ) ρ {χ) dx = F (b) p (b)- [ F {χ) ρ' (χ) dx =
a a
= F(b)p(b)-F(c'){p(b)-p(a)l
вследствие соотношения (52) § 125. Если положить последнее выражение
равным Fp(a)y то вследствие задачи 1 к гл. V F делит расстояние между
точками с координатами F (Ь) и F (ξ') в отношении р(а)—р{Ь) к ρ {а),
причем это отношение положительно. Следовательно, F лежит между F (Ь)
и F {ξ') и, следовательно, равно значению F {х) в некоторой точке ξ.
Поэтому
ъ ζ
{ ; (х)р (х) dx = F ρ {а) = р(а) F {ξ) = ρ(α) \ / (χ) dx.
α α
29. Доказать, что если ρ (χ)—положительно и монотонно убывает
для χ ^ а и р(х) ~>0 при χ-+ +оо, тогда как для некоторого
фиксированного числа Μ и для всех значений χ > а имеет место
X
I { f (и) du I < ikf,
ι J I
a
CO
то интеграл \ ρ (χ) f (χ) dx сходится. Примером является интеграл

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IX
41
sin χ
dx. Указание. Вывести, что
= \ / (х) dx — \ f (x) dx
α <ι
если m, 7ft' > а, так что
πι'
\ Ρ (χ) f 0*0 dx
ν j (x) dx
f (x) dx
+
\ / (x) dx
<2zli,
| Ρ (m) \ / (x)
dx
2Mp (m).
Затем применить критерий сходимости Коши.
30. Пусть а есть произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Показать, что бесконечное произведение Π(ΐ + — ) сходится, если
| χ | < | а |, и расходится | χ | > | а \.
31. Показать, что для всякого действительного χ каждое из
бесконечных произведений
(._,)(. + ,) (Vf-) (, + £) (i-|) (i+f).·..
1(ΐ-*)β*][(ΐ + *)β-] [(ι_|.)β2 ][(ι + γ)β *]··· *
οο
nO-S)
сходится к одной и той же функции от ж, первое условно, а два
последних абсолютно, если рассматривать Г 1 Τ — J e n как единый множитель
по втором произведении. В § 285 мы покажем, что общим пределом этих
sin π χ тг _
произведении является . Указание. Для второго произведения из
соотношения еи= 1 + и + О {и2) вывести, что для всякого фиксированного
действит ельного χ обший член будет 1 + О ( — ] .
32. Показать, что если переставить множители в первом произведении
из задачи 31 следующим образом: (1 + х) (l + — 1(1 — χ) ( 1 + -~ )
( ^ "*" Τ )( 1_"γ)···»το новое произведение будет сходиться и его предел
будет равен пределу первоначального произведения, увеличенному в 2х раз.
Указание. Пусть L (х) — предел первого произведения из задачи 31, аг

42 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
следовательно, также и предел второго произведения той же задачи,
в котором множители расположены в любом порядке. Тогда для нашего
.произведения для Зп множителей можно написать
/(■♦i-W-b-i"^,*
где
£„(*)-[(1+ *)*-»] [(i + f) e'J ][(l-*)e*J..·
При обозначениях задачи 10 сумма, являющаяся коэффициентом при χ
в показателе степени, равна szn — sn и, следовательно, ее пределом
является log 2 (см. задачу 10). Следовательно, если множители
сгруппированы по три, то пределом будет е х log 2 L (х) = 2х L (х). Произведение
всегда сходится к этому пределу, ибо произведение трех или меньшего
числа последовательных множителей стремится к единице с увеличением п.
33. Доказать, что бесконечное произведение Π I 1 — ( 1 ) χΎι ^
ij > 0 сходится абсолютно, если | χ \ < eq, и расходится, если J χ ] > eq.

Глава X
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Применение процесса дифференцирования к функциям от одной
переменной, которые получаются из функций многих переменных,
если мы зафиксируем все переменные, кроме одной, приводит
к понятию частной производной. После определения частных
пр< изводных и изучения их основных свойств, мы
устанавливаем некоторые результаты, относящиеся к неявным функциям
и к понятию функциональной зависимости, изучение которых
связано с некоторым выражением, известным под названием
якобиана.
210 Частные производные. Если /(#, г/) —функция двух
действительных переменных χ я у, то для каждого частного
значения переменной у эта функция определяет некоторую функцию
от одной переменной х, к которой мы можем применить процесс
дифференцирования:
lim /-(^±A'-2/) ~ f (*» У). (1)
Если этот предел существует для некоторого частного значения х,
то он определяет производную от f(x, у) по χ при данных
частных значениях χ и у. Чтобы отметить, что функция зависит
не только от одной переменной х, мы называем этот предел
частной производной функции / (х, у) по'х и обозначаем его так:
д1 или fx(x, у). (2)
211. Полный дифференциал. Если переменную у положим
постоянной, а переменней χ дадим приращение Δ#, то
соответствующий дифференциал называется частным дифференциалом
drf = %*x. .(3)
Аналогично, если переменной у дадим приращение Аг/, то получим
частный дифференциал
d,jf = dJy*y- (4)

44
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Сумма этих двух частных дифференциалов
df = dJ + dgf==lUx + £yAy (5)
называется полным дифференциалом функции /.
Мы можем написать.
*f = df+«[\Ax\ + \&y\], (б)
причем величина α определяется из этого равенства. Если α
стремится к нулю, когда Ах и Ау стремятся к нулю, то функция
/ (х, у) называется дифференцируемой в точке (х, у).
Мы сейчас докажем, что
Если обе частные производные от / (х, у), т. е. ~- и j-
непрерывны по обеим переменным χ и у в точке (х, у), то функция
f(x> у) дифференцируема при этих значениях переменных.
При достаточно малых h и к имеет место равенство
Af = f(x + h, y+k)-f{x,y) =
= /(ж + А, y+k)-f(x,y + k) + f(x,y + k)-f(x,y) = (7)
= hf Λ* + θ А У + Щ + kfy (χ, у + Ь2к), (8)
потому что теорема о конечных приращениях для функции
от одной переменной здесь применима, так как непрерывность
частных производных в точке влечет за собой существование
этих производных в некоторой двумерной области, для которой
эта точка является внутренней.
Более того, если напишем, что
fx(x + *ih, y+k) = fx(x, у) + ег (9)
и
fv (х, У + 62*) = fy (х, У) + *2, (Ю)
то из предположения непрерывности следует, что sj-^O и з2—>0>
когда Λ —>0 и /г—>0. Но из соотношения (5) и из последних
трех соотношений получим, положив h=Ax, k = Ay,
Δ/ = Δ* [fx (χ, у) + шг] + Ay [fa (χ, у) + з2] = (И)
^df + s^x+s^y. (12)
Сравнивая это соотношение с соотношением (6), получим, что
, , 1 вг/г + гЛ 1 \гг\\к\ | ε211 к \ , , . ,,_
ΙαΙ- \h\ + \h\ <\h\ + ]k\ + \hl + \k}<\^+\^ tld>
Это последнее неравенство показывает, что а—>0, когда h и к
или Ах и Ау стремятся к нулю, что и доказывает теорему.

212. СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
45
Мы можем установить равенство
f(x,y + k)-f(x,y) = kfy (ху у)+а2, (14)
где s2—>0, когда А—>0, предполагая только существование
частной производной ~ (или fy (x, у)) в точке. Так как с
помощью одного этого равенсава можно преобразовать последние
два члена соотношения (7) в выражение, содержащее Ау, в
равенстве (И), то вовсе нет необходимости предполагать
непрерывность fv (x, у) в доказательстве последней теоремы. Отсюда
следует, что для дифференцируемости функции / (х, у) достаточно
существование обеих частных производных в точке и
непрерывность в ней только одной из них.
Заметим также, что если функция f(x, у) дифференцируема
и, тем самым, соотношение (6) имеет место и а—->0, то \гг\
и | е21 в соотношении (12) можно считать равными | α |, т. е. | зь\ =
= | е21 = α |. Так как эти значения ε2 и ε2 стремятся к нулю
вместе с а, то каждое из них стремится к нулю вместе с Ах
и Ау. Таким образом, соотношение (12), в котором з2 и s2
стремятся к нулю вместе с Δ# и 4г/, является следствием условия
дифференцируемости функции / (х, у). Соотношение (12), в
котором е1—>о и s2—^0, является условием, эквивалентным условию
дифференцируемости, так как дифференцируемость следует из
условия (12) в силу неравенства (13).
212. Сложные функции. Если χ ж у являются функциями
от третьей переменной t, то мы имеем
5-3ί + β1Δί+β2ΔΤ' W
как следствие соотношения (12). Если каждая из функций χ(ΐ)
и y(t) имеет конечную производную по t, то
£=lim£, gUlimg, (16)
dt At^QAt dt Δί_0Δί V /
и если At —>0, то Ах и Ау также стремятся к нулю. Следовательно,
в соотношении (12) или (15) гг и е2 будут также стремиться
к нулю. Отсюда следует, что
i/elim^ = ^ + ^ (17)
dt ι Λί dxdt^ dydt ' κ±'>
Далее, для дифференциала, согласно определению из § 70, получим

46
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Это соотношение показывает, что если χ ж у являются
дифференцируемыми функциями от t и / (х, у) — дифференцируемая
функция от χ и у, то дифференциал от / в случае независимой
переменной t имеет тот же вид, что и полный дифференциал
в случае двух переменных.
Если χ и у являются каждая функциями от двух
действительных переменных s и t и мы зафиксируем s, то рассуждая
аналогично, получим
dl = ^L^_}^l^y //iq\
dt дх dt ~i~ dydt ' * '
В этом соотношении s считается постоянным при вычислении
производных по t\ у—постоянным при вычислении производной
по х9 и х — постоянным при вычислении производной по у. Если
это может привести к неясности, то мы будем указывать при
помощи индекса, какую из переменных мы считаем постоянной,
и будем писать последнее соотношение в виде
213. Производные высших порядков. Мы можем находить
частные производные от частных производных следующим образом:
fxx(x> У)^Ш*=дх-\д~х) ' (21)
или
fxu(*> У) = ^ = ^(й)· (22>
Докажем теперь, что
Если частные производные первого порядка существуют в
некоторой двумерной области, содержащей точку (х0, у0), и
производная fxy(x, у) непрерывна в точке (х0, у0), то производная
fyx(x, у) существует в этой точке и f4x(x0, !/ο)=:ίχυ(χο> Уо)·
Обозначим для краткости вторую смешанную разность через Δ,
так что
д = /(я + й, y+k)~-f(x + k, y)-f(x, y+k) + f(x, у). (23)
Тогда, если положить
F(z) = f(z, y+k)-f(x, у), (24)
то
b = F(x + h)-F(x). (25)
По теореме о конечном приращении имеем
H=F(x+h) — F(x) = hF'Xx + M) =
= Л[^(а? + вЛ, y+h)-fx(x + 9h, y] =
= hkfxlJ{x+bK у±Ъ'к). (26)

214. ФУНКЦИИ ОТ и ПЕРЕМЕННЫХ
47
Следова тельно,
Δ_ _f(x + h, y + k)-f(x + h,y) / (X,y + k)-f (χ, у) __
к к к " " ""
= hfxy(x+Vh, у + Ь'к). (27)
Примем здесь χ и у за #0 и г/0, фигурирующие в формулировке
теоремы, и возьмем предел этого выражения при к —>0. Тогда,
так как для достаточно малых h частные производные первого
порядка С}/ществуют, получим
U (x+h, у)- U (*> y) = h lim fxlJ(x+0h, у + Ь'к). (28)
7с->0
Теперь разделим это соотношение на h и перейдем к пределу
при /г—>0. Так как fxy{x,y) непрерывна в рассматриваемой
точке, то получим
lim lim fxg(h + 9h, y + b'k)=*fxW(x,y). (29)
Это показывает, что предел отношения левой части равенства (28)
и h существует и равен
/,. (х, у) = lim /><« + ».»)-/,(«. у) = /в (я, у)> (30)
h-лО п
что и является утверждением теоремы.
Из этой теоремы следует, что для любой производной
высшего порядка, например порядка п, мы можем не обращать
внимание на порядок, в котором дифференцируются переменные,
если все производные порядка меньшего или равного η
существуют и непрерывны. Таким образом, предполагая
непрерывность производных, имеем
d*f _ d*f d*f ,31)
дхду2 дудхду ду*дх9 К }
так как
ГГ>=^(Т) (32)
дх ду\ду J дудх \ду J
ду \дх ду) ду\ ду дх) ' v '
214. Функции от η переменных. Если /(я15 х2> · · ·> #п)
df
является функцией от η переменных, то частная производная -^
определяется как производная по переменной χί7 если все
остальные переменные считать постоянными. Полный дифференциал

48
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
будет определяться равенством
*/=Σ|£Δ*ι = Σ|^.. (34)
i=l z = l
и как в случае двух переменных, находим, что
η
A/ = d/ + 2«i^i. (35)
Z=i
ИЛИ
η
δ/=<*/+«2ιδ*<ι. (36)
ί = 1
где sf и α стремятся к нулю вместе со всеми Axt> если все
частные производные непрерывны в рассматриваемой точке.
Из соотношения (35) мы можем заключить, что если все хг
являются дифференцируемыми функциями от т переменных у0 то
PL _у ^_Р_ч
i = l
Таким образом, соотношение
|/ = 2|>|ϊί. (37)
ν-Σδζ** (38)
ζ=1
имеет место независимо от того, являются ли переменные xt
независимыми или зависят от новых переменных у£.
Действительно, если xi являются функциями от yt> то полный
дифференциал выражается равенством
η η т
#=Σ|^*. = Σ|£2|^/· (39)
ί=1 i = l / = 1
так как
m
^=Σ§^·· (4°)
/ = 1
Сравнивая соотношение (39) с соотношением (37), получим что
- m
/=1

215. ТЕОРЕМА. О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
49
Это соотношение имеет тот же вид, что и (38), и, следовательно,
остается справедливым, если у\ будут независимыми
переменными *).
215, Теорема о среднем значении. Обозначая для краткости
функцию /(#!, #2* · · ·» хт) от т переменных через j(χχ) и положив
xi = ai + thif (42)
получим
/ (**) = /(«1+ Mf) = /? (/), (43)
где F (ΐ) — функция одной переменной t. Тогда
f(ai) = F(0) и f(ai + hx) = F(\). (44)
По теореме о конечных приращениях для функций от одной
переменной имеем
F(i)-F(0)=F' (θ), 0 < θ < 1. (45)
Из соотношения (37) имеем
т
?-Σ#*/· («>
7=1
Следовательно, мы можем заключить, что
m
/(β£+Λ£)-/(βί) = 2 щ\'Ь; (47)
7=1
где вертикальная черта после частных производных означает,
что эти производные берутся.в точке
xi^ai + bhi. (48)
Если положить
x'i = ai9 х'1 = а, + ки (49)
то это соотношение можно записать в виде
m
/=ι
*) Следует помнить, что все эти результаты справедливы, если
предположить непрерывность всех участвующих в рассмотрении частных
производных или по меньшей мере предположить, что все рассматриваемые
функции дифференцируемы. {Прим, ред.)

50
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
где производные берутся в точке
*1 = я', + в(а*--а;), (51>
т. е. в некоторой точке, лежащей на прямолинейном отрезке,,
соединяющем х'. и х'[. Это соотношение справедливо, если все*
частные производные существуют и непрерывны для всех
значений xt на этом отрезке.
Из теоремы о среднем значении мы можем вывести, что?
функция f(Xi) от нескольких переменных будет постоянна в
связной области, если все ее частные производные в этой области:
df л
равны нулю, т. е .■—· =υ.
Действительно, если точки могут быть соединены
прямолинейным отрезком, лежащим целиком в данной области, то
соотношение (50) и условия, наложенные на частные производные,
показывают, что
/(*?)-/(*,') = 0, /(*») = /(*;.). (52>
Но, по определению связной области, любые две точки,
принадлежащие этой области, могут быть соединены ломаной линией,,
лежащей целиком в этой области. Отсюда следует, что функция
<имеет одинаковое значение в любых двух точках области
и, следовательно, постоянна.
§ 216. Теорема Тейлора. Сохраним обозначения
предыдущего параграфа и выведем теорему Тейлора для функции /(#г)
от т переменных из соответствующей аеоремы для функции F (t)
от одной переменной. Для F (t) имеем
^■(O — ^iP^ + ^'W-i + ^'Wg + ... +//^п> (0)^7 +Λ(ί), (53)
где R(t) — остаточный член в какой-либо форме, полученной для
Л(А) в § 91.
Из равенства (37), так же как и в случае равенства (46),
находим
т
dt
7=1
- Σ Щ Λ/ (54)
и, применяя повторно равенство (37), цолучим
m
ЧΣ */£)*/· (55)
dtk
/=1
где возведение в степень производится щ> правилу возведения
в степень многочлена, а затем цолучающиеся вырэд^ения заци-

217. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
51
сываются при помощи соотношения следующего типа:
С*» iJ (*· iJ (Аз -ίϊf -***& 4S · (56)
Комбинируя равенства (43), (53) и (55), полупим ч формулу
Тейлора для η переменных, В результате имеем'
т.
/(^+^)=/ю+(2^4)/+
7 = 1
т т
+ir(S*/4)'/+-+infS*/4/)"/+il<1)· (57)
/=1 /=1
Взяв остаточный член в форме Лагранжа, получим
т
Д(1)в(1гЬ)!(2А/4Г1/· (58)
/ = 1
где производные берутся в точке
ж| = а£ + вА£, 0<θ<1, (59)
где Θ —некоторое число между нулем и единицей.
217. Неявные функции. В § 38 была сформулирована
теорема о неявной функции, определяемой уравнением
/ (у, Χι, х2, .. ., хк) = /(y,xt) = 0. (60)
Эта теорема утверждает, что если f{y, Xi) непрерывна по к+1
переменной в некоторой (A-j-1)-мерной области, содержащей
точку (у0,х01), /(#о> #<н) = 0, и функция f(y, ^ — возрастающая
(или убывающая) функция от у при фиксированных xt для (у, £{),
принадлежащих указанной области, то уравнение (60)
единственным образом определяет непрерывную функцию
y=F(xl9z2, ...,xk)=-F(xt). (61)
Условие возрастания (или убывания) f(y, xt) как функции от у
может быть заменено требованием, чтобы частная производная
df л „
j- существовала и была непрерывной и отличной от нуля в точке
(Уо> χοΰ- Действительно, если производная положительна в точке,
то в силу непрерывности она будет положительна в некоторой
(к + 1)-мерной области, содержащей эту точку, и в этой области
f(y9 хд будет возрастающей функцией от у при
фиксированных хг. Подобным же образом, если производная отрицательна в
точке, то имеется некоторая (A-f 1)-мерная область, в которой
НУ9 xi) б$^т^убываю:щей функцией от у при фиксированных xt.

52
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Если все частные производные от f(y, xt) существуют и
непрерывны в точке (у0, xoi), то можно применить теорему о среднем
значении (соотношение (47)) к /(г/, x{)\ тогда получим
/ (уЧ- Ay,xi + AXi) - f {у, xt) = £ I Ay + 2 g. J Д*/, (62>
7 = 1
7c
5/ !
Где вертикальная черта после производной означает, что
значение производной берется в точке
(у + ЪАу, о^ + бАж,), (63)
где Θ —некоторое число между нулем и единицей.
Если у выражено через хх при помощи равенства (61),
то функция /(г/, xt) тождественно равна нулю; тогда правая
часть соотношения (62) тоже равна нулю. Полагая, при i Φ Ι
„величины Аа^=0 и деля на Ахъ найдем, что
df
ду
Ay df
Λ Ay дхл
= 0, или д-;=—j±
(64)
ду
Так как функция F (х{) непрерывна и все Axt за
исключением Ахг равны нулю, то Ау —>0, когда 4^χ—>0. Следовательно,
точка (63), в которой берутся значения производных, стремится
к точке (у, Xt). Поэтому, если ί не равна нулю в этой точке
df df
и частные произйодные —- и -ф- непрерывны в этой точке, то из
соотйошения (64) можно вывести, что
αχι Δ^ι->0 axi ZL
ду
Аналогично, если /(г/, xt) имеет в некоторой точке непрерывные
частные производные первого порядка и ~ Φ 0 в этой точке,
то уравнение f(y, xt) = 0 определяет неявную функцию
y = F(xt), (66)
и эта неявная функция также имеет в этой точке
непрерывные частные производные первого порядка, определяемые
формулой
£—f· ««>

218. СИСТЕМЫ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
S3
В $амом деле, в наших рассуждениях мы можем, взять любое i
вместо 1.
Если все частные производные функции f(y, xt) до п-то
порядка непрерывны, то все частные производные функции F(xt)
до п-то порядка будут также непрерывны, и они могут быть
вычислены повторным частным дифференцированием равен-
ства (67)»
Однако практически проще применять повторцое частное
дифференцирование уравнения /(г/, ^) = 0, предполагая, что у
является функцией от .xi7 имеющей непрерывные частные
производные, и проделать затем некоторые преобразования·
218. Системы неявных функций. Рассмотрим систему η
функций, каждая из которых зависит от n-j-k переменных:
fP(yi>xj)> гДе fti = U η; / = 1, 2 Л. (68)
При некоторых условиях, система η уравнений
/Р(Уо*/) = 0 (69)
неявно определяет η функций
yt = Pt(z,). (70)
Чтобы придти к одной из возможных систем достаточных
для этого условий, предположим, что каждая из функций
/р(Уг, Xj) обладает частными производными первого порядка
по каждой из η + к переменных и что каждая из этих
производных непрерывна по всем η 4- к переменным в некоторой точке
(Ун xj) = (Уог> xoj)- Это значит, что сами функции непрерывны
и дифференцируемы в этой точке. Предположим также, что
/PG/oi,*o/) = 0. (71)
Далее, предположим на время, что система уравнений (69) имеет
решениями систему η функций Fi(xj), таких, что yoi = Ft(x0j),
и что эти функции имеют частные производные первого порядка
по каждой из к переменных Xj, и эти частные производные
непрерывны по совокупности к переменных в точке (#0/)·
Тогда в рассматриваемой точке в силу равенства (37) имеем
^^Jpjry dl*dJL· . (72)
J J q=l '
где
/p(*/) = /p[^(*/)> */]· (Ή)
Так как неявные функции Ft (Xj) являются решениями
уравнений (69), то функции Jp(xj) будут тождественно равны нулю,

54
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ^-^ИЗВОДНЫЕ
так 4ΊΌ левая," а следовательно, и правая части -равенства (72)
равны нулю. Поэтому
<*—I ду dxf дх} '
(74)
9 = 1
д З/i
*/п
дУ1
дУг
дУ%
dfn
дуг
дА
дУп
дУп
Нг,
дуп
Для любого фиксированного /ир = 1, 2, ..., η эта система η
дуа
линейных относительно η частных производных ^ уравнении
может, быть решена, если определитель.
(75)
системы не равен нулю.
Этот определитель называется якобианом от η функций /;>
относительно η переменных yq. Сокращенно его обозначают через
J — ifcfrr&· <76>
если мы хотим указать, что является функциями и что
переменными.
Если якобиан не равен нулю, то решение системы
уравнений (74) относительно частной производной ~£ может быть
написано в виде
^а== ___ d(yv уг, .♦., xi% ..., Уп)
ЭХ;
d{Vi, Уъ ···> Уп)
(77)
Эти вычисления подсказывают формулировку следующей
теоремы:
Пусть каждая из n функций fp(yi> xj) обладает частными
производными первого порядка по η переменным ytu к
переменным Xj и каждая иг этих производных непрерывна по всем
η+k переменным при частном значении (y0i, ж0/·), таком, что
/p(2ftf,a*,) = 0. (78)
Тогда, если якобиан не равен нулю,
Я 0/ι> У» - · · . Уп)
Φ 0 в точке
Шг #0/),
(79)

218. СИСТЕМЫ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
55
то η уравнений
могут одновременно удовлетворяться η функциями
У1 = РЛ*1)> (81)
такими, что
ya = Ft{xv). (82)
Эти функции определены единственным образом и
непрерывны в некоторой k-мерной области, содержащей (xqj) в
качестве своей внутренней точки, и в этой области они имеют
частные производные первого порядка по Xf> непрерывные по
этим к переменным и определенные соотношениями (74) и (77);
Мы докажем эту теорему, применяя метод математической
индукции. В § 217 мы доказали уже, что теорема верна для
η = 1 и для всех значений к. Поэтому нам остается только
доказать, что теорема верна для η и для всех значений к> если
она верна для всех меньших значений п, а именно для
4, 2, ...,,rt~l и для fccex значений к.
Обозначим через Ст алгебраическое дополнение элемента
dfp ,
д— , стоящего в p-ifc строке и в q-м столбце определителя (75).
Тогда, разлагая определитель по элементам последнего столбца,
получим
Так как / не равен нулю в рассматриваемой точке, то не все
Срп могут равняться нулю. Поэтому, меняя, если это деонадот
бится, обозначения, мы можем достичь того, что Спп Φ 0.
Предположим, что это имеет место, и заметим, что
с = с» (А,/,,-..,/„-,) (84)
является якобианом от первых /г — 1 функций относительно
первых η — 1 переменных.
Ссылаясь на теорему о том, что определитель с двумя
равными столбцами тождественно равен нулю, получим, что
ς:
Срп = 0, r = i, 2, ... , η-1. (85)
dfp
По предположению теорема справедлива для η — 1
зависимой переменной от Л+1 независимой переменной. Поэтому,
если мы будем рассматривать только первые η — 1 уравнений
Ши^) = 0; s=l,2, ...,п-1 (86)

56
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
и будем рассматривать г/г(г = 1, 2, .. . , п — 1) как зависимые
переменные, а уп, Xj как k+i независимых переменных, то мы
можем заключить, что существуют η—ί функций Fr(xj9yn)
таких, что
Уог^Рг^Ц'УопУ, (87)
и, более того, если
yr = Fr(Xj,yn), (88)
то
fs iVv xj) или fs \Рг (xj, Уп), Уп, Xj] = 0. (89)
Из последнего уравнения, следует, что
0 = |^+V^#-r. (90)
дУп ** дУг дУп V F
Теперь при помощи уравнения (88) исключим уг из последней
функции fniytj Xj) и обозначим получившуюся при этом
функцию через
In (Уп> Xj) = ίη [Fr (XJ> Уп), Уп, Xj]- .(91)
Тогда имеем
л-1
_ „,. у
дУп дУп ^ дУг дУп '
dfn _ dfn , V dfn dFr /Q9\
r =1
Теперь умножим каждое из /г—1 уравнений (90) на CSTl9 где s*
соответствует номеру уравнения. Умножим также уравнение (92)
на Спп и сложим полученные таким образом η уравнений.
В силу (83) и (85) получим
C»-£W. (93)
Так как J Ф0, то отсюда следует, что -^ ф0. Следовательно^
либо вследствие предположения, сделанного при применении
метода математической индукции для случая одной зависимой
переменной, либо по теореме § 217 уравнение
Jn(yn,Xj) = 0 (94)
единственным образом определяет функцию
yn = Fn{Xj), (95)
такую, что
У on = Fn (xvj) и Τη IF n (Xj), Xj] = 0. (96)

218, СИСТЕМЫ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
57
Кроме того, функция Fn (Xj) имеет непрерывные частные
производные первого порядка.
Наконец, рассмотрим η уравнений
ι^ = ΡΓ(χ^) = ^Γ[χί^η(χί)} и yn = Fn{Xj). (97>
Из равенств (87) и (96) имеем
Уъ = рч(*и)\ д=1, 2, ... , л (98У
и из уравнений (89) и (96) имеем
1Р (Уд, %j) = 0, если уч = 7^ (я;); /> = 1, 2, . .. , п. (99>
Кррме того, функции Fr{Xj,yn) и ^n(Xj) обладают
непрерывными частными производными первого порядка, так что
функции Fq (Xj) также обладают непрерывными частными
производными первого порядка. И так как Fn(Xj) и Fr(xj, уп) были
определены единственным образом, то функции Fq(xj) также
определены единственным образом. Наконец, так как условия,
при которых нами были выведены равенства (72) и (77),
соблюдаются, то эти равенства имеют место* Этим завершается
доказательство теоремы.
Как и в случае одной независимой переменной, функции
Fq(xj) будут обладать непрерывными частными производными
до п-го порядка, если такими производными обладают функции
fp(xi> У]')> так как в ЭТ0М случае равенство (77) может быть
продифференцировано т раз (т<тг) относительно каждой
комбинации т переменных Xj. Производные высших порядков можно
также получить, если продифференцировать уравнение (99) и,
получив при этом ряд уравнений, первым из которых будет
уравнение (.74), проделать затем некоторые преобразования.
В каждом случае определитель системы уравнений относительно
производных высших порядков сводится к якобиану, отличному
от нуля по предположению.
Например, если
fiilfif У27 Уву яь ж2, *3) = 0; * = 1, 2, 3, (100)
то для фиксированного $, равного 1, 2 или 3, и для £==1, 2, 3
система уравнений
dJ±+ у dJ± dlz^o мои
dxs "*" ΖΔ дур дх8 \ '
p=l
dyp
определяет первые производные -~—. Далее, для фиксирован-

58
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ного t, равного 1, 2 или 3, система уравнений
о о о
d2fi = у у &fj дУр дУя у dfi д2Ур
^дх8 dxt Zj ΖΔ дур dyq dxs dxt ZA dyp dxs dxt '
^ dyp dxs dxf ^J dyp dxt dxu v '
p=l P = l
определяет вторые производные -^—-~— через уже известные
частные производные.
219. Якобианы и функциональная зависимость. В
предыдущем параграфе мы определили якобиан от η функций /р
относительно η переменных yq при помощи выражения (75). При
этом определении, сокращенно записанном в виде (76),
функции /р могут быть или функциями только от yq, или от yq ш
еще от других переменных, как, например, функции fp(yq, #/),
е которыми мы встречались' в теореме о неявных функциях.
Одним · из условий этой теоремы было то, что якобиан не
обращается в нуль для некоторого частного значения. Сейчас
мы рассмотрим некоторые вопросы, связанные с тождественным
обращением в нуль якобиана для всех значений переменных.
Заметим, прежде всего, что если одна из функций,
например /х, постоянна, то все ее производные ^ равды нулю. Тог-
- у я.
да каждый элемент первой строки якооиана равен нулю и,
следовательно, сам якобиан равен нулю. Если значение этой
постоянной равно к, то имеет место соотношение
/ι-4 = 0; (103)
так что функции /f удовлетворяют некоторому «функциональному
соотношению» [в данном случае соотношению (103)] или, как
говорят, функционально зависимы.
Этот пример является простейшим частным случаем более
общей теоремы:
Если η функций /р (yt) от η переменных удовлетворяют
функциональному соотношению
φ (Λ,/., ···,/«) = о, (104)
и все функции fp(yt), так же как и φ(/ρ), имеют непрерывные
частные производные первого порядка, то якобиан от функций
/р относительно переменных yt тождественно обращается в нуль.
Подразумевается, что функциональное соотношение (104)
тождественно выполняется по ^, и что функция φ(/ρ) не равна

219. ЯКОБИАНЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 59
^тождественно нулю относительно /р, так что она в
действительности содержит по крайней мере одну из функций /р при всех
рассматриваемых значениях аргументов уг.
Из уравнения (104) и из условий дифференцируемое™
вытекают уравнения
i&fc-*. <ic5>
Если бы якобиан был отличен от нуля для некоторого
множества значений рассматриваемых переменных, то эта система
линейных относительно -^т- уравнении имела бы отличный от
• Р
нуля определитель иу следовательно, допускала бы только одну
систему решений для этих величин, а именно -дт- = 0.
°Ур
Так как якобиан является непрерывной функцией, то если
Ьы он был отличен от нуля в некоторой точке, он был
бы отличен от нуля в некоторой ^-мерной области, содержащей
эту точку в качестве внутренней. Тогда в этой области мы.
имели бы -aj- = 0, так что вследствие результата, изложенного
'Р
в конце § 215, функция φ была бы постоянной в этой области.
Это противоречит предположению, что функция φ (/ρ)
действительно содержит по крайней мере одну из функций /р для всех
рассматриваемых значений уг
Так как якобиан нигде не может отличаться от нуля, то он
должен тождественно равняться нулю для всех рассматриваемых
значений yt. Таким образом, теорема доказана.
Обратная теорема будет доказана нами в следующей
формулировке:
Если η функций fp(yi) от η переменных имеют каждая
непрерывные частные производные, и якобиан от этих функций
относительно переменных yt тождественно равен нулю, то во
всякой области, в которой некоторый его минор {п — \)-го
порядка отличен от нуля, функции /р находятся в
функциональной зависимости, задаваемой соотношением вида (104).
Для доказательства воспользуемся обозначениями последнего
параграфа, введенными в связи с выводом соотношения (83).
Если это понадобится, то мы изменим обозначения индексов так,
чтобы Спп — минор (п — 1)-го порядка —был отличен от нуля.
Тогда по теореме из § 218, так как Спп =^= 0 является якобианом
/г—1 функций /s (s = l, 2, ..., л—1) относительно η —I пере^
менной yr (r=l, 2,,;j. ., η —l), уравнения -
/.(ifr.yn)-rf = 0 (106)

60
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
могут быть разрешены относительно уг, которое будет выражено
через у η и xs:
yr = Fr{xSyyn). (107)
Мы можем воспользоваться этими уравнениями для того,
чтобы исключить у г из fn (yi) и таким образом получить
соотношение
]п(Уп> ^r) = /n[^r(^, г/л), Уп], (108)
аналогичное соотношению (91). Мы имеем также соотношение*
аналогичное соотношению (93),
С««|£ = /. (109)
Тлк как «/=0, а Сппф0, то отсюда следует, что
-1^ = 0. (НО)
^2/п V '
Возьмем теперь некоторую совокупность значений yv скажем
yoi, и вычислим соответствующие значения x0i переменных xt
из. уравнений
fp(yci)-xoP^0\ /?=1, 2, .... га. (Ill)
Отсюда и из уравнений (107) и (108) следует, что
XQn = 7(yQn, XQr)- (112)
Это соотношение не содержит явным образом г/ог, и вследствие
тождества (110) его правая часть не меняется при изменении уп.
Следовательно, Х(]р, т. е. значения /р(г/;), удовлетворяют
соотношению
fn-fn{ycn, Λ) = 0, (ИЗ)
выражающему фу нкциона льную зависимость, существование
которой и утверждается теоремой. Левая часть этого
соотношения не может быть тождестенно равна нулю относительно всех:
/р, так как ее производная по fn равна единице.
Можно получить аналогичный результат, если число пере-
менных больше, чем число функций. Пусть имеется η функций
ίρ (Уь) от п +" Ρ переменных yt. Предположим, что в некоторой
области, каждый из якобианов от η функций относительно
η переменных yiy у2,, - -., г/η-ι и ук, являющегося одним из
Уп, Уп+\, · · · > Уп+р, тождественно равен нулю. Предположим
также, что якобиан Спп первых η — 1 функций /s относительно
первых п— 1 переменных ут отличен от нуля. Тогда, поступая
так же, как и выше, получим соотношение
1п(Ук, Xr) = fn[Fr{Xs, Ук), Ук], (И4>

220. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 51
аналогичное соотношению (108), и соотношения
|^ = 0; k = n + i, п + 2,...,п + р, (115)
аналогичные соотношениям (110).
Мы можем затем взятъ совокупность частных значений yot
и заключить, что если
ЯоР = /Р(Ы> (116)
то
Хоп<=7п(Уок, хг)· (117)
Тогда из того, что в последние уравнения явно входят только
величины г/ofc, и из того, что частные производные от правой
части этих уравнений по всем ук, как это видно из соотношений
(115), равны нулю, следует, что правые части наших уравнений
вследствие результатов § 215 не будут изменяться при
изменении у&. Следовательно, значения #0р функций fp удовлетворяют
соотношению
/п-7п(Уоь /г) = 0. (118)
Изложение этого результата для п + р переменных, так же
как и первоначальной теоремы для η переменных, будет
неполным без некоторых условий, обеспечивающих выполнение
неравенства Спп Φ 0. Тем не менее в любом случае, когда
якобиан тождественно равен нулю, мы можем найти ограниченные
области, в которых, η функций от η переменных находятся
в функциональной зависимости. Действительно, если якобиан
тождественно равен нулю и не все функции постоянны, то
некоторый его минор не будет тождественно равен нулю. Если N — \ —
наивысший порядок минора, не равного тождественно нулю, то
можно найти некоторую область, в которой этот минор нигде
не обращается в нуль. Мы можем тогда взять N — 1 функций,
входящих в этот минор, и любую другую функцию из
совокупности всех рассматриваемых функций за совокупность функций,
к которой может быть применена вторая теорема. Однако
функциональное соотношение может не быть одним и тем же для
всех различных областей и некоторые точки могут не входить
в каждую область, в которой имеется функциональное
соотношение.
220. Интегралы, зависящие от параметра. Если функция
f(x, и) непрерывна по χ и и для и = и0 и а<#<6, то
ъ
F(u)=\f(xt u)dx (119)
и

62
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
будет непрерывной функцией от и для и = и0. Действительно У/
для всякого значения х0 из сегмента a, b найдется δ6θ такое*
что
\f(x, и) — f{x0, и0)\ < ε, если |в — ^0|<δε0, | х— х0\ < Ьг0. (120)
На концах сегмента делаем обычные изменения в этом условии.
Таким образом, каждая рассматриваемая точка является
центром квадрата со сторонами 2δε0, который определяет на оси χ
плоскости хи - интервал длины, 2δε0. По теореме Гейне-Бореля
существует конечное множество таких интервалов,
покрывающих сегмент а, 6. Если δ — наименьшее из конечного
множества чисел δε0, то
\f(x,-u)—f(x, и0)|<8, если |и —и0|<8 и а<я<6. (121)
Отсюда следует, что
ъ ъ
\/(#| u)dx—\f(x, u0)dx < ε (6 — а) (122)
α α
и, следовательно,
\F(u)-~F(u0)\<*(b—a), если |к — и0\<$. (123)
Этим доказана непрерывность функции F (и) в точке и0.
Предположим далее, что функция f(z, и) имеет частную
производную по и
/„(*, »)=-£, (124)
и что эта производная непрерывна по χ и и для и — и^
и β<:^<6. Тогда, повторяя относительно fu(x, и) те же
рассуждения, которые мы только что провели относительно
функции f(x, и), придем к соотношению, аналогичному
соотношению (121), причем и и и0 заменим через u + h и и:
\fu(x, u + h) — fu(xf и)|<е, если | Λ |< δ и а<х<Ь. (125)
Теперь образуем разность
ъ
F(u + h) — F(u)=\ [/(x, u + h) — f(x, u)]dx. (126)
a
По теореме о среднем значении имеем
f(x, u + h) — f(x, u) = hfu(x, и + Щ, 0< θ<1. (127)
Следовательно,
** + к1~Ги\ = I U (*. и + Щdx, (128)

220. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
63·
где θ является функцией от х, и и h. Это наводит на мысль,
что предел последнего отношения при /г, стремящемся к нулю,,
может быть представлен в виде
ъ
^ fu(x, u)dx. (129)
а
Чтобы проверить это, вычтем выражение (129) из интеграла,,
стоящего в правой части соотношения (128), и найдем, что
ъ ъ
\\ 1и (х> и + θ/г) dx — \ /ы (х, и) dx\ =
а а
Ь
= | \ if и (я,и + щ—/«(^и)]dx <
а
Ъ
< ^ | /а (х, и + Щ - /и (χ, tt) | dx. (130)
α
Несмотря на то, что, для рассматриваемого значения и, θ
является функцией от χ и /г, она удовлетворяет неравенству
0<θ<1, так что |6/г|<3, если |/г|<В. Следовательно, мы
можем применить соотношение (125) и получить, что выражение
(130) меньше г (Ь — а), если |/г|<5. Таким образом, из
соотношения (128) получаем
ъ
| У(ц + Л)-Г(и) _^ ^(g, tt)rfs|<8(fc-fl), если | /г | < 3. (131)
α
Отсюда следует, что разность, стоящая в левой части, стремится
к нулю, когда /г—->0, так что ./''(и) имеет производную и
ъ
g= $/„(*, «)<**· (132)
α
Эта теорема известна под названием теоремы Лейбница.
Наконец, если а и b являются дифференцируемыми
функциями от и, то вследствие результатов § 214 для η = 3, получим
du ди I α, Ъ "да du db du
dF
db
dW
Вследствие результатов § 129 — =/(6, и). И так как
и
F (и) =»-Щ f (х> п) и*, то -gj- = - / (α, κ). (134)

^64
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
К первому члену соотношения (133) можно применить
соотношение (132). Таким образом,
ъ
~= ^ fu(x, u)dx+f(b9 u)^-f(a, u)~ . (135)
а
Это правило дифференцирования функции F(u), определяемой
соотношением (119), является обобщением теоремы Лейбница
для случая, когда пределы интеграции α и 6 зависят от
параметра и.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. X
1. Показать, что если w является функцией от х, у, ζ и ί, а, х, у и ζ
<сами являются функциями от ί, то
dw dw dw dx dw dy dw dz
dt dt dx dt dy dt "*" dz dt '
2. Показать, что если w = f(x, у) и y = g(x, z), то
(Ё^Л =f^L\ ί Ё^Л ί ду Л
\дх Jz V. dx Jy^\ ду Jx\dx Jz'
3. Пусть F (χ, у) —0 — уравнение ллоской кривой, эквивалентное
уравнению y = f(x) для значений х, близких к х0. Доказать, что
уравнение
Fx Оо> У о) (* — х0) + Ρ у {*о, У о) {У — У о) = °
будет уравнением касательной к этой кривой в точке (х0, у0), согласно
определению, данному в задаче 11 к гл. IV.
4. В тг-мерном пространстве уравнения χ\~ί\ (t), i = 1, 2, . . ., η являются
параметрическими уравнениями кривой. Положим #го = /г(*о) и
предположим, что не все }\ (г0) равны нулю. Показать, что если касательная
линия определяется как предельное положение секущей, то ее
уравнения могут быть записаны в виде χι = χίη + w/J (ί0), где и — параметр.
5. Уравнение F (χν χλ, . . ., χ ,) = 0, или F(^) = 0, является
уравнением (п—1)-мерной гиперповерхности в ?г-мерном пространстве. Эта
поверхность будет содержать кривую из задачи 4, если равенство
F [fi(t)]=0 выполняется тождественно по г. В частности, F{xiO) = 0
и точка xio лежит на этой гиперповерхности. Касательная линия,
определенная в задаче 4, называется касательной к гиперповерхности в
точке #j0. Показать, что все такие касательные линии лежат в
гиперплоскости, ураЁнением которой будет
2 (-£г)о(Ж|_аЧо)=0·
Эта плоскость называется касательной гиперплоскостью к
гиперповерхности в точке xiq.
6. В трехмерном пространстве, уравнение F (х, у, ζ) —Ο является
уравнением поверхности, и отсюда, в силу результатов задачи 5, следует,
что касательная плоскость к поверхности в точке (х0, у0> ze), т. е. пло~

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. Χ
65
«скость, содержащая все касательные линии, проведенные в этой точке,
будет иметь уравнение
(х — х0) Fx {х0, у0, z0) + (у —- у0) Fy (ж0, у0, z0) + (z — z0) Fz (x0, yQ, z0) = 0.
Показать, что если уравнение поверхности имеет вид z = f(x,y), то
уравнение касательной плоскости может быть написано следующим
образом:
'•■(2-),(х-^+(?),<»-*»·
7. В /г-мерном пространстве числа αχ определяют направление отрезка
от начала координат О до точки А с координатами αχ. Направления щ
и 6|, т, е. отрезки ОА и ОВ, называются перпендикулярными тогда
η
j[ только тогда, когда ^ ^^ = 0. Показать, что если длины отрезков опрс-
п ' η η
делены равенствами [ ОА |2 = J] <ή, I OB |2 = 2 W, М# 12 = Σ (&i — «i)2>
ί=ι ί=ι ί=ι
то только что данное определение согласуется с теоремой Пифагора:
АВ* = ОА* + ОВ*.
8. Применяя определения, введенные в задачах 5 и 7, показать, что
{ dF
г /О
направление ( -х— ) перпендикулярно к направлению х^ — xi0 или
Ч "Χι /о
к uf\ (ί0), т. е, перпендикулярно ко всякой касательной линии, прове.
денной к гиперповерхности в точке х^. Так как это направление
перпендикулярно к каждому отрезку, лежащему в касательной гиперплоскости,
то оно будет перпендикулярно к гиперплоскости, т. е. к гиперповерхности
в точке χι0. Поэтому направление ( -^— j называется направлением
нормали к поверхности F (χι) = 0 в точке xio.
9. Если сц и bi — некоторые два направления в /г-мерном пространстве
(см. задачу 7), то единственное определение угла между ними,
совместимое с теоремой косинусов \ АВ 2 = | ОА 12-Н ОВ |2 — 2 | ОА | j OB | cos θ,
дает соотношение cos θ = , , где индекс суммирования
пробегает значения от 1 до η во всех суммах. Если | О А \ Ф0 и j OB | φ 0,
ίο это соотношение определяет действительный угол θ, 0<;θ<!π, если
j cos θ Ι < 1. Доказать, что последнее соотношение имеет место, если
*ι·% и Ъ{ — действительные числа. Указание. Так как сумма 2 (аг ~~ ХЬ{)2,
рассматриваемая как функция от х, не может менять зпака, то
квадратное уравнение а\ = 0 не может иметь
различных действительных корней. Поэтому (2 2 αφι)2 — 4 (2 b\) (2 я!) = 0.
10. Пусть w = f(x, у) является функцией от χ и у, рассматриваемой
нблизи точки ж0, у0. Пусть уравнения x = g(t), y = h(t) определяют
гладкую кривую, проходящую через точку х0, у0, так что x0 = g(t0),^y0 = h (t0).
Тогда, если s есть длина дуги кривой, измеренная вдоль кривой от неко-
трой фиксированной точки в направлении возрастания £, то w явдяется
♦функцией от 5. Производная от wb точке (х0, у0) по направлению кривой
определяется как —у— при t = tQ. Доказать, что эта производная по
направлению будет одной и той же для всех кривых, имеющих одну и ту же
касательную. Показать также, что она принимает наибольшее -значения,

66
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
dx dy f df \
если компоненты этого направления -j— и ~- пропорциональны ί -^— )
и ( ΊΓ ) и К0ЭФФиЧиент пропорциональности положителен; наименьшее
значение достигается в противоположном направлении, и производная по
направлению обращается в нуль для перпендикулярного направления.
Указание. Если постоянные R и а определяются из соотношений
ί д1 \ π · ί д1 \ dx dy
i?cosa = ( -τ— ) и i?sina = ( -7Г- и -j- =-- costp, —- = sin φ, то-
\dxj0 \дуУо ds ds
dw n , ч
__ = # COS (φ — a).
as
11. Пусть w — f (х{) — функция от п переменных, рассматриваемых
для значений, близких к χίύ. Если числа щ определяют направление
и длину \ОА\, как это указано в задаче 7, то производная от w по на-
п
dw yjr\ αι ί df \ __
правлению aL определяется как -~г-= У, ι ηΆ \! ^~ ! · Применяя данное
i=l
в задаче 9 определение угла С между направлениями ( -^- ) и aL и пола-
η
Σ Г df V dw
ί г— ) , показать, что -r- = .KcosC. Пользуясь этим, пока-
i=l
зать, что наибольшее значение этой производной по направлению Rr
и наименьшее — R достигаются для производных, взятых в
противоположных направлениях вдоль нормали к гиперповерхности f(xL) = f (#t0)
в точке icio. Показать также, что производная равна нулю для всякого
направления, лежащего в касательной гиперплоскости к данной
гиперповерхности в точке χι0.
12. Функция f{xL) от η переменных х\ называется однородной
относительно xL с показателем однородности к, если f {tx{)—tkf {xL). Доказать
теорему Эйлера, что для всякой такой функции
η
i = l
Указание. Продифференцировать исходное соотношение по ί, а затем
положить ί= 1.
13. Пользуясь обозначениями задачи 12, показать, что
η
( Σ у* έ)™7 {щ) \»£=х£=k (k ~1} * · ·{k ~ m+a) f {Xi)'
4i=l
Указание. Продифференцировать соотношение однородности т раз по ί„
а затем положить ί*= 1. Заметим, что мы можем положитьtyi = Xi только
после дифференцирования, и неправильно писать в левой части оператор
η
ν Σ35* J~ ) » как эт0 ИН0ГДа делается. Действительно,
η
i«=l
£ силу мщитократного применения результата задачи 12.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. X ·
'67
14. В силу результатов · § 78 имеем, что если частная производная
существует в открытом интервале и стремится к пределу, когда мы
приближаемся к одному из концов интервала, то односторонняя частная
производная в этой точке существует и равна предельному значению.
Применить это к доказательству того, 4TQ
/я (я» y) = lixifx(x + h, у)
Л->0
fyx (я, y) = llm fyx {χ + k, у) = И л fxy (χ + h, у),
если все пределы, стоящие в правых частях этих соотношений,
существуют и если смешанная" производная fXi/{x + fi, у) непрерывна в
открытом интервале. Аналогичные результаты имеют место для функций от
большего числа переменных и для различных частных производных.
я» /*»2 лj2
15. Если f{x, y) = (x2t+y2) arctg-2-., то fxy~ fyx = -g—f-2, если х и у
не равны нулю одновременно. Отсюда, пользуясь задачей 14, показать,
что fyx(Q, 0)=1, /Ху(0, 0) 1.
х2-у2
х2 + у2
χ2 у2
менно, то frx = fxv~~2——2 + -^(ж» 2/)' гДе А ~* °» когда χ τι у последо-
" * х -ЬУ ,
вательно приближаются к нулю в произвольном порядке. Применить
задачу 14 и этот результат, чтобы показать, что Д х (0, 0) = 1, fxy (0, 0) = — 1.
дт дт
17. Пусть # = rcos6} y = r sin θ; найти частные производные —, — ,
—, и — , рассматривая эти уравнения как уравнения, неявно
определяющие гиб как функции от ж и у. Проверить результат, разрешив
сначала уравнения, а затем найдя производные.
18. Пусть даны уравнения /(ж, у, ζ) = 0 и φ (я, у) = 0, причем обе
до
16. Если /(#, у)~ху ——^ и если χ и у не равны нулю одновре-
функции / и φ дифференцируемые. Если ^ =£ 0, то второе уравнение
определяет у как функцию от х, и если, кроме того, -J- Φ 0, то первое уравнение
υΖ
определяет я как функцию от х. Найти при этих условиях -j- - Указание.
Применить соотношения fx dx + fydy +fzdz = 0 и γχ dx + φ y dy = 0 и
исключить из дих cfa/. Получим
dz _ Уж/ц — Vyfx
.19. Доказать, что f^-^S ί^Γ^Γ^ = J^T^T^ ' Ужювиил ПРиме'
нить правило умножения определителей \а^\ \ bij | = | ^j aip^pi Ι·
аналогичный результат имеет место для тг переменных.
20. Показать, что если f (х, у, z) = 0, то
(г) (Л (Л —«'
\dxjy \dyjz \dzjx

^68
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
21. Доказать* что если /(%)=0, где / — функция От h переменных,
Эх дх дх дх
то произведение η частных производных -^ *-^-^-2 · · · Λη~Ι~<— 1)", где
ОЛ·^ ОХ^ (УХл иХц
дхь щ
■^ — частная производная, при вычислений которой все η — 2
переменных χ с номерами, отличными от А: и г*, предполагаются фиксированными
(обобщение задачи 20 на случай η переменных).
22. Показать, что если F {х, у; и, υ) = 0 и G(x, у; и, υ) = 0—уравнения,
определяющие и ж ν как функции от χ и у, то
(
ди\ _
dxjy~
d{F,G)
д (χ, ν)
d(F, G) '
д{и, υ)
U3. Показать, что если F {x, y,z) = 0n G (xt у, з) = 0, то
dx __ dy dz
djF~G)~~d{F, G)~~d(F, G)'
д {у, ζ) d{z, χ) д{х, у)
24. Показать, что если x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, ν), то
д(*> У)
(
dz\ _ д{и, у)
дх)у~~д(х, у)
д (и, ν)
25. Доказать, что необходимым условием того, что дифференцируемая
функция от η переменных имеет максимум (или минимум) в точке #i0,
является обращение в нуль в этой точке всех ее частных производных
( ~- J =0. Указание. Функция должна иметь максимум при изменении
одной переменной χ-ь и фиксированных остальных переменных. Достаточные
условия могут быть выражены через члены высшего порядка в разложении
Тейлора. На практике эти условия часто бесполезны и обычно бывает
проще исследовать непосредственно знак разности / (#i0) — / 0*ч)·
26. Показать, что функция ζ = {у — х2) (у ~ 2х2) не имеет ни
максимума, ни минимума для х = у = 0> хотя она и имеет минимум при £ = 0
вдоль каждой прямой линии^ χ— at, y = bt. Указание. Функция ζ
отрицательна для малых значений я, у, для которых х2 < у < 2х2 (Пэано).
27. Множители Лагранжа. Пусть х^ будут η = ρ -f q переменными
в q соотношениях Ffc(a?t) = 0, k=l, 2, . . ., q. Пусть для рассматриваемых
значений якобиан от функций F^ (xL) относительно некоторой сцстемы
из q переменных χι, Которые мы возьмем за первые q переменных,
будет отличен от нули. Тогда необходимым условием того, что
функция от оставшихся ρ переменных / (xL) имеет максимум (или минимум) в
точке Xj0, будет то, что для некоторой системы постоянных А/с соотно-
q
шения ( ■—- J + 2 Я/с ( -^ J =0 удовлетворяются при i = l, 2, ..., п.
&=1

УПРАЩНЕНИЯ К ТЛ. X
69
имеем
Уцазаниъ. Для любых дифференциалов^, удовлетворяющих q уравнениям
π * η
У ~^ = 0, мы должны иметь Jr,*^ dxi = Ot где все частные про-
i=i г i«i . *
изводныв взяты в точке χι0. При любом произвольном выборе последних: ρ
дифференциалов dxb, первые q уравнений могут быть разрешены
относительно первых q дифференциалов dx^. Вследствие результатов § 218
найденные таким (образом дифференциалы Фи «оодрет^вуют зздачециям, xt,
Удовлетворяющим уравнениям F/c(^)==0. Затем мы можем найти постоян-
ч
ныеД/с длд,/с^1, 2, ..., q, такие, что уравнения jr--3*· 2 А,^~д^~^ име:ют
место для ί=1, 2, . . ., q. Для определенных таким образом dx-x и Ак
η ρ
2 в- ^~ Σ ^ "л-^ dxi = °* **° в СИЛУ нашего выбора значе-
ний Л^ коэффициенты при ах^ для i=l, 2, .. ., # равны нулю. А так
как р-последних дифференциалов dxx· произвольны, то мы можем их все,1
за исключением одного, положить равными нулю. Поэтому последние ρ
коэффициентов должны также равняться нулю^ Это приводит к
необходимым условиям, которые, вообще говоря, дают только конечное число
решений, ибо имеется только q данных уравнений F\l{xi) = 0 и η условий
для определения η значений хь и q значений Кк. · ■ <
28. Обратные преобразования. Пусть щ (хг, xz, x3); i=l, 2, 3 —три
функции от #· (/=1, 2, 3), для которых якобиан -а^1' ^' ' \ (который
о \Χχ, #2» хг)
иногда записывается так: Ьр-гП не равен нулю в некоторой, о&^асди
изменения переменных χ;·; тогда, в некоторой области изменения,
переменных щ, переменные Xj определяются как функции от щ: х^щ, и2, и3).
I дх · "
Показать, что якобиан обратного преобразования ^-7 является обратной
величиной относительно якобиана прямого преобразования. Указание.
Применить задачу 19.
29. Криволинейные коордцщьты. Если в задаче ?8 х\ являются
декартовыми координатами, то элемент длины дуги определяется равенством
8 ' ' '
ds2 = ]£] dx2.. Показать, что для криволинейных координат ui элемент
Jf-l
длины дуги определяется равенством
30. Ортогональные координаты. В обозначениях задачи 29 уравн&дия;
щ (х.) = щ0 представляют собой уравнения трех поверхностей,
проходящих через точку иг0 или Xj0. Показать, что нормали к поверхностям
для i=l и г = 2 перпендикулярны, если У] (^—х ) ( -^ ) =0 (опреде-
> = ! \PXjJo \0xjSQ
з
ление направления нармали дано в задаче 8). Если ^ -^ ^—g =0в лют
*f* CrX i "Χ ι ι
У-1

70
ГЛАВА X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
бой рассматриваемой точке и при любом выборе ρ й цфр, то
координаты называются ортогональными.
з
31. Пусть для ортогональных координат (см. задачу 30) У ( -^ J =
7=1 J
л δ
= ςχ . Вывести в этом случае соотношения h\ ^-& — тг-^и ds2 = У hldut.
h*p j ρ дХк ди^ ^j ρ ρ
p = l
Указание. ΣέΓ^δ"2™^ равно или 0, если j ф-к%- или 1, если/ = ft.
Умножая это равенство на -г-£ и суммируя по /, получим (применив
ΛΛν 1 дхи дип , ^
соотношения из задачи 30) тт ^-^ = ~—^ (ибо члены, стоящие в левой части,
hpdiip , дх^
обращаются в нуль при'ςφρΐ а члены, стоящие в правой части, обра-
3 8
щаются в нуль при j + k). Отсюда 2 ί^ й| β Σ AW ^Й^0'
7 = 1 7 = 1
если q Φ ρ, и = Λ^,, если q = p. Затем применить результат задачи 29^
. з
32» Оператор Лапласа♦ Выражение ^ 5~~ί называется оператором
Лапласа от функции /(#у). Он часто встречается в вопросах геометрии
и математической физики. Доказать, что в случае ортогональных
координат, (рассмотренных в задачах 30 и 31) с элементом длины дуги ds2 =
з
= У hpdu2p оператор Лапласа будет иметь вид
Р«1
hjizh* \дих \ ht диг) ди2 \ h2 диг) duz \ hb диъ) \'
Указание. Непосредственным дифференцированием получаем
дх: Ζλ дир dxj dxj ^dupdx2j Zj dupduq дх,- дхг '
Ρ ρ Р>4
Отсюда
dxj ~~ 2δ дир Ζδ дх*; j Zj ц дир '
Для того чтобы преобразовать коэффициент при -^— , перепишем соотно-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. X
71
шение из задачи 31
в виде
и получим отсюда
дх-л h% дир К
h2 dUs = dxL
l) dxj дир
h2 д^в +дИз> <? м д ^g/V:y d**J
nP dx*j dx} dxj K β) ~dxj \dup J А дирди
fag
>дид dxz
В силу соотношения (А) второй член левой части последнего
соотношения равен -- д-£ х— (h2p) или ^ -— (Д*·), если суммировать по /. В силу
tl [% OUn ОХ г tl . OILn
того же соотношения (А) правая часть будет равна У. я—д Га д или
2 L£rp (£)2 · пр°сУмш,ровав по '· получим Σ щ 4» (Λ?>·Таким
образом, имеем
2,2 д2цр_ х^ dloghq dloghp__ д ^/г^Д,
пр дх*. ~~ Zj дип дип ~~duD og λ«„ *
33. Цилиндрические координаты определяются соотношениями
х = г cos θ, у = г sin θ, ζ = ζ. Показать, что ds2 = dr2 + r2d§2-\- dz2 и оператор
„ d2f d2f d2f л 1 д Г д/\ 1 д2/ , d2f
Лапласа ^ + ^ + ^2 преобразуется в - ^. ^J +_ _ + _ .
Указание. Применить задачу 32.
34. Сферические (.полярные) координаты определяются соотношениями
χ = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin б, z = rcos<p. Показать, что ds2~dr2-\-
1 д f df\ 1 d2f
r2 sin2 φ db2 + r2dv2 и оператор Лапласа равен — ^— ( г2 ~ W Q . 0— ~ч
г г г г2 5г V dry г2 sin2 φ <90г
1 д Г . д/\
-.— ^- ί sin φ ~- J Указание. Применить задачу 32.
rr2si

Глава XI
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Понятие кратного интеграла возникает при распространении
операции интегрирования на функции, зависящие от нескольких
действительных переменных, по областям более чем одного
измерения. Мы дадим подробное изложение теории интегрирования
функций двух переменных по двумерным областям. Затем кратко
укажем, какие изменения надо произвести, чтобы обобщить этв
результаты на функции, зависящие от большего числа
переменных, м на области большего числа измерений. После этого мы
рассмотрим некоторые геометрические величины, как, например.,
площадь поверхности и объем, которые выражаются через
кратные интегралы. Мы также дадим некоторые теоремы о
преобразований кратных интегралов, которые часто применяются в
приложениях к физике.
221. Определение двойного интеграла. Пусть f(x,
^—функция от двух действительных переменных χ ж у, непрерывная
в замкнутом прямоугольнике R
а<я<6, c<#<d. (1)
Для того чтобы дать определение двойного интеграла от f(x,y)
по области R, мы разделим сегмент а, Ь на η интервалов
промежуточными точками
а = х0 <^!<^2< ·* · <%п = Ь. (2)
Подобным же образом разделим сегмент с, d на т интервалов,
введя промежуточные точки
с = у9<Уг<У2< · - · <Ут = <1· (3)
Затем разделим прямоугольник R на N=тп прямоугольников^,
проводя линии x = xi и y = yi7 параллельные осям координат
(см. фиг. 17). Пусть bxt и Ьу^■ — длины сторон ij-ro
прямоугольника, так что
bxi=xi — xi_1 и oyj = yj — yj-i. (4)
Обозначим через ЬАр площадь р-го или ij-ro прямоугольника,,
так что
hA^bxjbyj. (5)

221. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
73
Затем в каждом замкнутом р-м прямоугольнике выберем точку
ίρ = -ηρ и образуем сумму
N
^=2 /(бР>Чр)Ч,. (6)
Р = 1
Докажем, что для любой последовательности сумм, для которых
НтЗм = 0, где 8M = max{8ii, oyf}, (7)
сумма S стремится к пределу, и эхот предел будет одним и тем
же для всех таких последовательностей.
Так как / (х, у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике i?,
то она равномерно непрерывна в нем, так что для каждой
положительной величины г найдется такое
δ?, что
|/(яа. &)-/(*ι, yi)|<3, (8)
:згп
если
%2 — Ζΐ|<δβ> I г/2 — г/Л I <?е
Рассмотрим теперь две суммы: S,
заданную соотношением (6), и S',
заданную соотношением
У о с
»&Г;Ч
t
-Sy.-
Ν'
*'=Σ f(K>ObM',
β=1
(9)
I xi4 */> xi
Фиг. 17.
b
где
*м < δε/2 и δΜ, < δε/2> Sm' = max (^;,, fy/}·
(10)
Если проведем все параллельные осям координат прямые,
соответствующие первой сумме, и все ненанесенные при этом
прямые, соответствующие второй сумме, то образуем новое
разбиение R на прямоугольники. Если обозначим через ЬАк площадь
элементарного прямоугольника этого нового разбиения, то будем
иметь
%ЬАк = (Ь-а)(а-с). (И>
Разность сумм S и S' может быть написана в виде
s-s' = Σ [/(5*. %)]-/ &'» ^)ПА>
(12>
где (ξΑ, ηΛ)—точка прямоугольника из разбиения для суммы S,
a (i'k , fi'k) — точка прямоугольника из разбиения для суммы S'r
причем ат# прямоугольники имеют общие точки.
Таким образом, имеем
| S;c - ik I < 2ом < 8, и | η, - η/J < 2δΜ < г..
(13)

74'
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Из соотношения (8) следует, что члены, заключенные в скобки
в равенстве (12), не могут превосходить s по абсолютной
величине, так что из соотношений (11) и (12) найдем
\S'-S\<s%bAk<e(b-a)(d-c). (14)
Так как это соотношение имеет место для любых двух сумм,
удовлетворяющих условию (10), то в силу критерия сходимости
Коши получим, что любая последовательность сумм,
удовлетворяющая условию (7), стремится к пределу. В том, что предел
будет один и тот же для всех последовательностей, можно
убедиться непосредственно из соотношения (14), ибо взяв S из
одной последовательности сумм, сходящейся к пределу /, a S'
из другой последовательности, сходящейся к пределу /', получим
\1-Г\ <e(b—a)(d — c). (15)
Отсюда в силу произвольности s следует, что
/_-/' = 0 или /' = /. (16)
Мы называем / двойным интегралом от f(x, у), взятым по
прямоугольнику R, и пишем
I=\f(x,y)dA. (17)
Л
222. Случай разрывных функций. Многие предложения,
приведенные в гл. VII, могут быть распространены на случай
двойных интегралов. Мы не будем подробно излагать их,
а вместо этого укажем на некоторые случаи разрывных
функций, для которых остаются справедливыми результаты
предыдущего параграфа.
Под площадью прямоугольника мы понимаем произведение
его длины на ширину. Под общей площадью конечного
множества прямоугольников мы понимаем сумму площадей всех
отдельных прямоугольников. Теперь определим внешнюю меру по
Жордану двумерного "точечного множества Ρ как нижнюю грань
площадей всех конечных множеств прямоугольников, содержащих
точечное множество Р.
Мы предполагаем, что функция f(x,y) ограничена, и
определяем ее колебание на некотором прямоугольнике или в
некоторой двумерной области как разность между ее верхней
ή нижней гранями в этой области. Колебанием функции
в точке будет нижняя грань значении колебания во всех
двумерных областях, имеющих эту точку своей внутренней точкой.
Ввиду того эчто мы можем также определить колебание в точке

222. СЛУЧАЙ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
75
через
/К, Уо); Пт /(х, у) и lim f(x, у), (18)
х>У-*Хо,Уо х,У-*х0> уо
подобно тому, как мы определили колебание для функций
одного переменного в § 150, колебание в точке может быть
получено при помощи использования только прямоугольников^
или даже таких прямоугольников, направления сторон которых
заданы, например параллельны осям χ и у. В точках* в
которых функция непрерывна, колебание равно нулю»
Рассмотрим теперь функцию f(x,y), которая, может быть,
не определена в некоторых точках U прямоугольника R, но
Ж),всех точках, в которых она определена, она ограничена
снизу и сверху, | f(x, у) |<i£. Мы можем образовать сумму S,
произвольно придавая в точках U этой функции некоторые
значения, не превосходящие К по абсолютной величине. Пусть
Ре — множество точек прямоугольника R, в которых функция
или не определена, или имеет колебание, превосходящее
некоторую положительную величину г, и пусть внешняя жорданова
мера всякого множества Ре равна нулю; тогда всякая
последовательность сумм S, заданных равенством (6) и
удовлетворяющих условию (7), стремится к пределу, и этот предел будет
один и тот же для всех таких последовательностей.
Для доказательства выберем некоторое положительное s < 1.
Так как внешняя жорданова мера множества Р& равна нулю, то это
множество может быть заключено в конечное число
прямоугольников F с общей площадью, меньшей чем з. Обозначим через L
сумму периметров прямоугольников F, увеличенную на 4iVs,
где N — число прямоугольников F. Тогда для любого
подразделения прямоугольника R, для которого δΜ < max is, γ-j,
общая площадь тех прямоугольников, которые содержат точки
множества Рв, не будет превосходить общей площади всех
прямоугольников, содержащих точки из Ff. и поэтому не будет
превосходить
e + L(-i) = 28. (19)
Рассмотрим теперь любые два разбиения прямоугольника R
с соответствующими суммами S и S', для которых
δΜ, δ^ <min(4, .,£). (20)
Тогда для разбиения, полученного от соединения обоих этих
первоначальных разбиений, получим сумму, которую можно
рассматривать как сумму, составленную из двух частей: одну

7$
ГЛАВА £1. КРАТНЫЕ ВДТРГРАЛЫ
по прямоугольникам Rl9 содержащим точки Рг, а другую до
остальным прямоуголыщкам Д2.
Для прямоугольциков i?x будем иметь
Ι/(^,η,)-/(^,ηΰί<2Χ, (21)
и в то же время общая площадь прямоугольников Rx не будет
превосходить 2ε.
С суммой, распространенной по остальным прямоугольникам
j?2, можно поступить так, как мы поступали с правой частью
соотношения (42). Таким образом, в этом случае получим
\S~S'\<a(b-a)(d-c) + itK. (22)
Теперь мы можем применить те же рассуждения, которые мы
применяли к соотношению (14). Этим наше утверждение доказано.
223. Повторное интегрирование. Пусть функция / (х, у)
ограничена в прямоугольнике R и такова, что множество Рг
точек этого прямоугольника, в которых эта функция не
определена или имеет колебание, большее или равное некоторой
положительной величине г, имеет внешнюю жорданову меру,
равную нулю. Так же, как и в одномерном случае, мы можем, на
основании рассуждений § 149, говорить «жорданова мера нуль»
вместо «внешняя жорданова мера нуль». Мы избежим
необходимости рассматривать точки, в которых функция не определена„
приписывая ей в этих точках такие произвольные значения',
чтобы она оставалась ограниченной. Таким образом, мы можем
считать, что функция рдвна значению своей верхней границы
или равна нулю в этих точках. Однако в различных
приложениях бывает удобным менять выбор значений функции в этих
точках.
В частности, условия, наложенные на f(x,y), будут
выполнены, если функция непрерывна в замкнутом прямоугольнике R.
Для любого значения у из сегмента с, d функция f(x,y)
будет ограниченной функцией от χ и поэтому, вследствие
результатов § 147, она будет обладать верхним интегралом по от
Р(У)= \\f{x,y)dx. (23)
Так как функция / (х, у) ограничена
\f{x,y)\<K, (24)
то для каждого, а следовательно, и для всех рассматриваемых
значений у
F(y)\<K(b-a). (25;

223. ПОВТОРНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
77
Таким образом, функция F(у) ограничена и, следовательно,
имеет верхний интеграл
lxy=\dF{y)dy=±\Udy\b f{x,y)dx. (Щ
J с J с ·> а
Рассмотрим теперь некоторое разбиение прямоугольника R
на N = mn элементарных прямоугольников, заданное, как это
сделано в § 221, при помощи точек: деления, определенных
соотношениями (2) и (3). Мы можем определить интеграл по
каждому р-му или ij-му прямоугольнику подобно тому, как это
быяо сделано в соотношении (26):
Iif= \yjdy Yt{*,y)dx. (27)
y/-l xi-l
В силу аддитивности обыкновенных верхних интегралов получим
4, = gA·· (28)
Кроме того, если т^жМ^ — нижняя и верхняя грани
функции /(#>$/) в ij-м прямоугольнике, то для каждого у из этого
прямоугольника получим
rua<f(x,y)<Mu (29)
и
mijox^ \ f(x,y)dx<Mijbxi) (30)
так что
mijbx&yjKii^Mijlxfiyj. (31)
Затем образуем сумму S, заданную соотношением (6) и
удовлетворяющую условию (20). Разделим эту сумму на две
части, как мы это делали в конце предыдущего параграфа.
Для суммы, распространенной на прямоугольники Rl9
содержащие точки множества Рг, разности между членами этой суммы
и соответствующими членами 1и- по абсолютной величине не
будут превосходить 2КЬхгЬу}. Так как сумма площадей всех
прямоугольников Яг меньше чем 2ε, то вся разность между
этой частью суммы S и интегралом не будет превосходить
4АГз по абсолютной величине.
Для членов, соответствующих прямоугольникам /?2, будем
иметь
Mu-mif<ef 1ю*/</(5,^<ЛГ4/, (32)

78
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
?ак как колебацие функции f(x, у) меньше чем ε. Таким образом,,
для каждого ij-ro прямоугольника R2 разности между членами
еуммьт S и соответствующими членами /ζ/· не будут по
абсолютной величине превосходить гЪх^у;. Для всех этих членов,
полная разность по абсолютной величине не будет превосходить
ε (6 —a) (d — с).
Таким образом, окончательно имеем
.\S-7xy\<s(b-a)(d—c) + iKe. (33)
Так как любая последовательность сумм S, для которой Вм—>0„
имеет пределом двойной интеграл /, то из только что
написанного неравенства получим
\I-Lu \<s(b-a)(d-c) + iKs. (34)
Ввиду произвольности с, получим соотношение
Lj = I- (35 >
Рассуждения эти, основанные на неравенстве (29), остаются
в силе, если в соотношениях (26) и (27) заменить верхние ин~
тегральгчерез нижние интегралы. Этим доказывается, что функция.
F(y) интегрируема. Это также показывает, что повторный
интеграл равен двойному интегралу /, если заменить верхний
интеграл из соотношения (23) нижним интегралом или любым
промежуточным значением между верхним и нижним
интегралами.
Мы можем применить те же рассуждения, поменяв χ и у
местами, и получим тогда, что
/** = /· (36)
Все эти результаты можно сформулировать в виде теоремы:
Если функция f (x, у) ограничена в замкнутом
прямоугольнике R и такова, что множество Рг точек прямоугольника Rr
в котором / (х, у) не определена или ее колебание больше или
равно ε,, имеет внешнюю жорданову меру, равную нулю, то,
придавая произвольные ограниченные по совокупности значения
функции f{x, у) в этих точках,"получим
ь ~~d d ~~ъ
^ f(x, y)dA= \dx\^ f(x, y)dy= \dy\^ f(x, y)dx. (37)
ft α с
В этих соотношениях верхние интегралы могут быть заменены
нижними интегралами или любыми промежуточными значениями
между верхним ά нижним интегралами.

223. ПОВТОРНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
73
JB частности, если f(x,y) непрерывна в замкнутом
прямоугольнике R, то будем иметь
ь d а ъ
^f(x,y)dA = ^dx ^ / (xt y)dy=^dy ^ / (χ, у) dx. (38)
R ас с а
Если функция / (χ, у) интегрируема по χ для всех значений
у, то будем иметь
Ъ й
ξ / (х, у) dA = ^ 'dx ^ / (χ, у) dy. (39 >
R ас
Мы можем также применять это соотношение, если функция
f(x,y) интегрируема по у для всех значений х, за исключением
некоторого множества значений одномерной жордановой меры
нуль, считая, что при повторном интегрировании по χ функция не
определена на этом множестве. Однако из условий, накладываемых
на функцию f(x, у), не вытекает, что f(x, у) интегрируема по у для
всех х, за исключением множества значений χ меры нуль. Приведем
пример: пусть /(#, г/)^0 для всех иррациональных значений χ
и для х = 0 и χ = ί\ для рациональных значений х, 0<л<1,
х=--¥- (эта дробь несократима), пусть /( — , уЛ равна нулю для
иррациональных значений у и для тех значений у, для
которых — < у < 1; пусть, далее, /С — , у) равна — для рациональ-
ных значений у таких, что 0 < у < —.
Рассмотрим эту функцию в прямоугольнике Я, 0 < х < 1,
О < у < 1. Единственные точки R, в которых f(x,'y) больше
или равна — , расположены на прямых χ = - , q < п. Для
каждого значения q, ввиду того что 0 < ρ < q, имеются q — 1
прямых, и рассматриваемые точки на каждой из этих прямых лежат
на сегменте длины -8-. Таким образом, при данном η общая
длина этих сегментов будет
Π со
Σ(?-1)^<Σ^=Ζ" (40>
<? = 2 q*rl
ибо этот ряд сходится, вследствие результатов из § 192. Таким
образом, все эти сегменты могут быть заключены в конечное
число прямоугольников с общей произвольно малой площадью,
ε'
если каждый сегмент заключить в прямоугольник щириныу-ц^,

<80
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
и длины настолько близкой к длине сегмента, чтобы, сумма
длин всех прямоугольников не превосходила L + 1.
Так как функция f(x,y) находится между Ой- всюду в Rf
за исключением множества нулевой меры, то отсюда следует,
что каждое множество Рг имеет меру нуль. Следовательно,
двойной интеграл от этой функции имеет смысл, и
соотношение (37) справедливо. Однако / (х, у) не интегрируема ни для
какого рационального значения х, т. е. для множества, внешняя
яюрданова мера которого равна единице.
224. Произвольные области. Пусть теперь D — некоторая
двумерная область на плоскости такая, что все ее точки
принадлежат некоторому прямоугольнику R конечных разменов,
и такая, что всякая прямая линия, проходящая через
внутреннюю точку области, пересекает границу этой области в двух
и только в двух точках. Пусть граница области имеет двумерную
жорданову меру, равную нулю. Рассмотрим функцию / (х, у)>
определенную во всех точках области β и на ее границе,
непрерывную в каждой внутренней точке этой области и
ограниченную в замкнутой области D.
Заметим, что если граница состоит из непрерывной кривой,
имеющей конечную длину, то она будет множеством двумерной
жордановой меры нуль. Действительно, если граница имеет
конечную длину, то можно написать x = f(t), y = g(t), где /(i)
и g{t) — непрерывные функции с ограничейной вариацией.
Разделим интервал t точками tt на интервалы ti-\ < t < tu Пусть
£t· и с · означают колебания функций / (t) и g (t) на i-м
интервале; тогда все точки i-й дуги могут быть заключены в
прямоугольник со сторонами, параллельными осям, и с площадью,
меньшей, чем 4e,-eJ. Поэтому сумма площадей всех таких
прямоугольников не будет превосходить
Σ^*ι<^μΣ<> (41)
где εΜ —максимум всех εί# Так как функция f(t) непрерывна,
то для любой положительной величины ε, г^ будет меньше,
чем г, если наибольший интервал нашего разбиения t меньше,
чем надлежащим образом: выбранное 8е« Далее, в силу того что
g (t) — непрерывная функция ограниченной вариации, вследствие
результатов § 73, сумма ]►] εί стремится к вариации функции g(t),
равной Vff. Следовательно, двумерная жорданова мера границы
меньше, чем 4з7^, т. е. равна нулю в силу произвольности е.
Если функция / (х, у) непрерывна во всякой внутренней
точке области D и ограничена в замкнутой области D, то можно
определить:

224. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ
81
g (χ, у) = f {χ, у), когда (χ, у) —внутренняя точка области D (42)
и
g(x, y) = 0, когда (х, у) — точка области R, не
являющаяся внутренней точкой области D. (43)
В силу результатов § 222 двойной интеграл от функции g (χ, у)
по области R существует. Мы определяем двойной интеграл от
функции / (х, у) по области D как интеграл, равный интегралу
от g(oc, у) по области R:
\i{x,y)dA=\g{x,y)dA. (44)
Ъ R
Предположим, что для значений у, лежащих между ух и у2,
прямая, параллельная оси х, пересекает границу в точках Xi(y)
и х%(у). Тогда, так как g(x,y) равна / (х, у) в интервале Х\{у),
х2(у) и равна нулю вне этого интервала, будем иметь
Ъ Х2 (У)
^g(x,y)dx= ^ f(x,y)dx. (45)
а хх (у)
Предположим далее, что ордината всякой внутренней точки
области D удовлетворяет неравенствам уг < у < г/2. Тогда из
соотношения (38) можем заключить, что
У%1 Х2 (У)
\f(x,y)dA= \dy [ f(x,y)dx. (46)
Л ух xi\y)
Подобным же образом, если для значений х, находящихся между
хг и х2, прямая, параллельная оси у, пересекает границу
в точках ух (х) и г/2 (х)> тогда как абсцисса χ любой внутренней
точки области D лежит между хх и х2, то
Х2 У2 (X)
\f(x,y)dA=\dx \ f{x,y)dy. (47)
Ъ χχ ух (х)
Как и в предыдущем параграфе, мы допускаем, что
функция f{x,y) может быть разрывна в некоторых точках области D,
если только множество Рг точек, в которых колебание функции
больше или равно некоторой положительной величине ε, имеет
жорданову меру нуль. В этом случае, для представления
двойного интеграла через два последовательных интеграла, мы
можем заменить первый интеграл через верхний или нижний
интеграл, или через некоторое промежуточное значение между
ними, как это имело место для соотношения (38).

81
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Мы можем также обобщить наше определение на любую
область D', которая может быть разложена на множество точек
с двумерной жордановой мерой нуль, и на конечное число
областей Di рассмотренного выше типа, полагая
\t(x,y)dA=*yz\f{**y)M- (48>
Ώ' Di
Иногда, если интегралы по областям Д- написаны в виде
повторных интегралов, некоторые из них могут быть объединены
в один.
Наконец, мы можем рассматривать области D"', полученные
удалением из области типа D' точек, образующих подобласти
того же типа D'. Интеграл по области D" определяется
соотношением, подобным соотношению (48), но в сумме, стоящей
справа, интегралы по удаленным областям входят со знаком минус.
Некоторые области D" могут быть получены из областей
Di без прибавления к ним областей с двумерной жордановой
мерой нуль. Обозначим эти области, полученные как сумма
и разность конечного числа областей типа D, через D*.
225. Площадь. Если область D является прямоугольником R
со сторонами, параллельными осям координат, то интеграл от
функции f(x,y)=zl no D или R представляет собой площадь
этой области. Всякая область £, граница которой состоит из
конечного числа сегментов, параллельных осям, может быть
разложена на конечное число прямоугольников R, и поэтому
Площадь G=CcL4. (49)
G
Для всякой области типа, описанного в начале предыдущего
параграфа, мы можем найти две области типа G : G' и G" такие,
что все точки G' лежат внутри области Z), а все точки D лежат
внутри области G"', и
J dA—\ dA<e, (50)
G* G'
где г —любое наперед заданное положительное число.
Так как
\ dA<\ dA<^ dA, (51)
G' D G"
то мы можем определить
Площадь D= \ άΑ>α (52)
D

226. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ S3
Площадь, определенная таким образом, не зависит от выбора
осей координат; это следует из того, что это определение дает
точное значение площади треугольника или же прямоугольника
со сторонами, не параллельными осям. Можно также придти
к этому заключению, вспомнив, что площадь является внешней
жордановой мерой множества D, определенной в § 222 так,
что она не зависит от выбора осей координат.
226. Теорема о среднем значении. Предположим, что
функция f{x,y) непрерывна в замкнутой области D. Пусть D
—связная область, т. е. обладает тем свойством, что всякие две
точки D могут быть соединены кривой, целиком лежащей в D.
Тогда, так как функция f(x,y) непрерывна в замкнутой
области, то ее значения ограничены, и она достигает своего
наибольшего и наименьшего значений, т. е.
f{x',y') = m, f{x",y") = M, (53)
Μ
m<f(x, y)<M. (54)
Так как двойной интеграл является пределом суммы
произведений значений функции на положительные множители, то при
увеличении подинтегральной функции сумма, а следовательно,
и интеграл или останутся неизменными, или возрастут. Поэтому
из соотношения (54) следует, что
[ mdA <\f(x, y)dA < \ MdA. (55)
Ь D
Если через А обозначить площадь области D
А=\ dA9
η
то
тА < { / {х, у) dA < ΜΑ,
' D
Отсюда следует, что среднее значение функции / (х, у) по
области D, т. е. выражение
±\f(x,y)dA (58)
D
находится между т и М, т. е. между значениями функции
л точках Pf=r(x'>yf) и Р" = (х", у"). Так как область D связная,
ю мы можем соединить ι эти точки кривой, зависящей от
параметра t, изменяющегося от V до t". Так как f(x, у), рассматри-
(56)
(57)

84
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ваемая как функция от t вдоль этой кривой, непрерывна, то она
принимает все промежуточные значения между т и М· В
частности, имеется точка (ξ, η) в замкнутой области D такая, что
/ (ξ, η) равно выражению (5S). Поэтому
\t{x,y)dA = Af<t,n). (59)
D
Это и есть теорема о среднем значении для двойных интегралов,
имеющая место для непрерывной подинтегральной функции
в замкнутой связной области.
Если подинтегральная функция f(x, у), не будучи обязательно
непрерывной, имеет верхнюю и нижнюю границы т и М,
то неравенства (54) имеют место и из них можно вывести
соотношения (55) и (57), Поэтому для любой ограниченной функции,
имеющей двойной интеграл по области D площади А, будем иметь
mA<\f {χ, у) dA < MA, (60)
D
где т и М — границы функции в области D.
227. Другие подразделения областей. Вместо того чтобы
применять разбиение прямоугольника R на прямоугольники
со сторонами, параллельными осям координат, мы можем
применять для образования суммы S любое разбиение R на малые
области типа Ζ>* (см. § 224). Мы сейчас покажем, что для любой
функции, удовлетворяющей условию из § 222, при с?м-т>0
предел любой последовательности сумм такого типа равен интегралу
(ам — Диаметр наибольшего элемента разбиения).
Заметим прежде всего, что из того условия, что граница
области D пересекается с прямой, содержащей хотя бы одну
внутреннюю точку D в двух и только в двух точках, вытекает,
что если мы заменим разбиение на области типа D* разбиением
на прямоугольники типа R, то оба разбиения разделят
основной прямоугольник R только на конечное число областей типа D*.
Как и в § 222, эти области могут быть разделены на две
группы областей таких, что для областей первой группы
колебание функции /(#, у) меньше чем г в каждой точке, а общая
площадь областей второй группы не более чем 2s, если только
основная область разбита на достаточно малые прямоугольники.
Если теперь взять dM столь малым, чтобы ни одна из областей
типа Z>* не содержала более четырех смежных прямоугольников,
то мы сможем вывести соотношение для разности этих двух
сумм, аналогичное соотношению (22). Отсюда следует, что
каждая последовательность сумм, для которой йм—^О» будет
иметь своим пределом интеграл.

228. п-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
85
228. зд-кратиые интегралы. Мы можем теперь провести
исследование понятия интеграла от функции f{%k), гДе
к=\, 2, ..., га, подобно тому, как мы это сделали для га = 2.
Определим объем га-мерного параллелепипеда как
произведение длин его га ребер. Этим будет определена жорданова
внешняя мера множества точек в пространстве хк.
Для всякого га-мерного параллелепипеда можно построить
разбиение по каждой из осей и образовать сумму
<?= Σ /(%ЖР, (61)
где
Wp=TLixkp (62)
есть га-мерный объем параллелепипеда, ребра которого равны Ъхкр.
Значит, Ьхкр является тем интервалом разбиения по оси хк,
который является ребром р-то га-мерного параллелепипеда.
Если каждая последовательность значений S, соответствующих
разбиениям, для которых максимум δ^ρ или dM—>Q> стремится
к одному и тому же пределу для всех таких
последовательностей, то мы назовем этот предел га-мерным интегралом от / (хк).
Мы обозначим его
lf(xk)dVn, (63)
It n
где индекс га при R и V, указывающий на число измерений,
может быть отброшен, если из текста ясно, что дело идет
об га-мерных областях.
Если функция f{xk) такова, что для каждой положительной
величины з множество Рв точек, в которых колебание функции
больше или равно г, или в которых функция не определена,
имеет га-мерную жорданову внешнюю меру, равную нулю,
то га-мерный интеграл от этой функции существует. Более того,
в этом случае он может быть вычислен путем
последовательного интегрирования, причем если некоторые из промежуточных
интегралов не существуют, то мы вместо них берем верхние
интегралы, т. е. верхние пределы соответствующих сумм.
Можно заменить прямоугольную область интегрирования
другими областями, если эти последние могут быть разложены
на конечное число областей типа D. Область га измерений
называется областью типа D, если ее граница пересекается каждой
прямой линией, проходящей через внутреннюю точку в двух
и только в двух точках, и если эта граница имеет га-мерную

86
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
жорданову внешнюю меру, равную нулю. Объем области типа D
будет равен \ dVn и является внешней жордановой мерой множе-
b
ства D.
Если функция f(xk) непрерывна в связной замкнутой
области, то име^т место теорема о среднем значении, аналогичная (59),
а именно,
\i{xk)dVn = Vn1{lk), (64)
где ^ — некоторая точка области Dn.
Если интеграл существует, и если т и Μ являются нижней
и верхней границами подинтегральной функции, то
mVn < ^ / (хк) dVn < MVn. (65)
Наконец, вместо га-мерных параллелепипедов со сторонами,
параллельными осям координат, можно для образования сумм
брать разбиение области на области типа Z)*. Мы говорим, что
га-мерная область есть область типа /)*, если она может быть
представлена в виде суммы или разности конечного числа обла -
стей типа Dn.
229. Замена переменных интегрирования. Рассмотрим систему
η уравнений
Ч = fk Ш, к, i = 1, 2, ..., л (66)
для значений у, находящихся в некотором гг-мерном
параллелепипеде Rn. Предположим, что в Rn функции /*'(#$) имеют
непрерывные частные производные первого порядка по всем η
переменным, и что якобиан положителен, т. е.
^f^-^Jn) \p.\>0t (67)
d(2/i, 2/2, · · · . У η) I дУд \ V
Тогда, так как уравнения (66) могут быть записаны в виде
/*(&)-**= 0, (68)
и члены хк не влияют на значения частных производных по ух,
то якобиан этой системы, рассматривавшийся в § 218, будет
равен якобиану (67) и, вследствие теоремы из § 218, эти
уравнения могут быть разрешены, и решения записаны в виде
У1=91(*к)> (69)
по крайней мере в некоторой области, содержащей каждую
точку хк, полученную из соотношений (66)'* 'для точки yt из Rn.
Однако если наши условия выполняются в замкнутой области Rn,

229. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 87
то по теореме Гейне —- Бореля можно выбрать конечное число
областей, содержащих точки уь покрывающих Rn и
соответствующих областям, покрывающим точки хк. Все эти отдельные
функции могут в совокупности давать решения типа (69),
определенные для некоторого множества значений хк, которые
соответствуют значениям у{ из Rn. Полученное соотношение
может быть выбрано так, чтобы оно было непрерывным для
всех рассматриваемых значений аргумента и однозначным в
подходящим образом выбранной области, содержащей данную
точку, в то же время это соотношение не будет обязательно
однозначным для всех рассматриваемых значений аргумента,
ибо исходные соотношения (66) могут давать для одних и тех же
значений хк две различные совокупности значений ук из Rn.
Мы будем рассматривать только значения у{ из области Dn
типа D, лежащей в Rn; в частности, эта область может быть
и сама параллелепипедом Rn. Далее мы предположим, что при
помощи соотношений (66) область D'n преобразуется в Dn — область
типа D в пространстве хк, а также, что область D'n
преобразуется в область типа D в пространстве некоторых других
переменных, которые будут введены нами.
Если g (xk) — непрерывная в Dn функция от хк, то она в силу
соотношений (66) определит функцию G(yt), непрерывную в D'n.
При сделанных предположениях мы покажем, что
\g{xk)dVn=\ \*g*\G(yi)dVn, (70)
D* Ъп q
где dVn, как и в соотношении (63), означает элемент объема,
заданный соотношением (62) для пространства хк9 a dV'n —
соответствующий элемент объема в пространстве yt.
Заметим прежде всего, что если это правило имеет место
для преобразования переменных хк в переменные yt, а также
для преобразования переменных yi в новые переменные ζ;·, то
оно также справедливо для преобразования переменных хк в ζμ
причем
д(х1% х2, ..., хп) д{уи у2, . . ., уп) __ d(xv х2, . .., хл) .„..
d\Vv 2/s, .... 2/п) д (ζν ζ,, ..., ζη) д (zlt ζ,, ..., ζη) ' Ι '
Но из § 214 следует, что
η
дщ_ __ чп дхк dyj
dzj Zl'dyt δζ;
и вследствие этого, применяя правило умножения
детерминантов, мы можем доказать соотношение (71) подобно тому, как
ото сделано в задаче 19 упражнений к гл. X.
(72)

88
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Следовательно, достаточно доказать справедливость
соотношения (70), если мы будем менять последовательно каждый раз
только одно переменное, например, сначала переходя от
переменных
х1У #2> χζ* ··· к переменным у1у х2, ж3,...,
затем к у19 у2> х3, ... и т. д. (73)
Якобиан каждого из этих последовательных преобразований
должен быть отличен от нуля, так как произведение всех этих
якобианов является якобианом исходного преобразования. Меняя,
если это понадобится, порядок переменных в последовательных
преобразованиях, можно сделать все эти якобианы
положительными.
Заметим, что для п=1 равенство (70) имеет место, так как
оно сводится к соотношению (92) из § 133.
Для первого преобразования (73) имеем
Х1 = г (У±, Х2> %з> · · · > %п)} Х% = Х2> · · · > Хп~ %п> («■*/
так что якобиан этого преобразования будет
д (F, х2, х3, ж4> .. ., хп) __ dF ,ηχχ
d(yv x2, xs, х„ ..., хп)~ дух' ' °'
Запишем теперь >г-мерный интеграл в виде повторного
интеграла, применяя символ Dn-i для обозначения области в
пространстве хк, к = 2, 3, ..., п. Имеем тогда
ъ
\ gЫdVn= $ dVn-> I §Ыdx» (76)
где а и b — функции от x2, x3, . . ., xn.
Вследствие равенства (92) § 133 можно вместо внутреннего
интеграла написать
Ъ'
}8(Р> х2, %з> · ·> xn)^g-dy19 (77)
а'
где а' и Ь' — функции от х2, х3, · · · > %п такие, что
a=F(a\ х2, ..., хп), b = F(b', x2, . .., хп). (78)
Из этих равенств видно, что тг-мерная область Dn, определенная
значениями а и b по оси хх и областью -Dn-i в пространстве
переменных х2, х3, .. ., хп, соответствует области D'n,
определенной значениями а' и Ь' по оси ух и той же областью Ζ>η-ι в
пространстве х2, х3, ..., хп. Поэтому интеграл от выражения (77)

230. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
8$
по области Аг-ι равен интегралу
^ g(F, x2, х3, ..., xn)~^dVn. (79)
Ώ"
η
Так как это выражение равно интегралу, стоящему в левой
части равенства (76), и множитель ^— в выражении (79),
вследствие равенства (75), является якобианом преобразования, то
равенство (70) справедливо, если происходит замена только
одного переменного хх. Аналогичным образом соотношение (70)
оказывается выполненным и в случае остальных
преобразований (73), и поэтому оно имеет место и в общем случае.
Это доказательство справедливо только для областей, в
которых преобразование однозначно, и якобиан сохраняет постоянный
знак. Однако формула преобразования может быть применена
к любой области, являющейся суммой конечного числа областей,
в каждой из которых преобразование однозначно и якобиан
сохраняет знак, и некоторой границы, в предположении, что
эти граничные точки образуют множество жордановой меры-
нуль во всех рассматриваемых пространствах. Этот результат
можно получить, применяя формулу преобразования к каждой
области в отдельности и суммируя результаты.
Если рассматривать первоначальное преобразование как замену
координат, то объем области Dn будет
Ьп D'
Μ \dV'n. (80)
Если хк — декартовы координаты, то dVn является одновременно
элементом объема и элементом интеграции. Для криволинейных
[ дх„
координат г/у, dV'n является элементом интеграции, а
элементом объема.
fyq
dV'n-
230. Площадь поверхности. Рассмотрим часть поверхности,
заданной уравнением
z = f(x,y), (81)
где функция f{x,y) однозначна и имеет непрерывные частные
производные в области D плоскости (х, у).
Разделим область D на элементарные области и обозначим
через ЬА такую элементарную область или ее площадь. Пусть
oS является той частью поверхности, которая проектируется
на плоскость х, у в область ЬА. Для каждой точки Р0 = (х0, у0, ζ0)
поверхности oS касательная плоскость к поверхности (см. задачу 6

90
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
из упражнений к гл. X) будет задана уравнением
ζ — ζ0 = fXo (χ — аг0) + fyo {у — г/о),
где
(82)
(83)
Вспоминая определения, введенные в задачах 8 и 9
упражнений к гл. X, обозначим через γ угол между осью ζ и
направлением нормали к поверхности. Здесь
ζ мы выбираем направление
нормали к поверхности или к
касательной плоскости в направлении
возрастания ζ. Тогда мы получим
у/у
COSy:
ΎΙ
4-/4-1
(84)
Следовательно,
Фиг. 18
secT=V До+4 + 1 (85)
и sec γ оказывается непрерывной
функцией от ж и у в области D.
Если ЬТ есть часть
касательной плоскости в точке Р0,
проектирующаяся в ЪА, то
bA=cos^> cT mZT = secy . ЪА. (86)
Сумма всех ЪТ будет
2 5r=SsecY·8^·
(87)
Если наибольший диаметр dM множеств ЬА стремится к нулю,
то для любой последовательности разбиений соответствующие
суммы будут стремиться к. пределу — двойному интегралу
S=^3ectdA=^Vrfl + fi + ldA.
(88)
Мы называем этот предел площадью поверхности. Из вида этого
интеграла следует, что он не зависит от выбора координат
на плоскости х9 у. Чтобы показать, что он не зависит также
от выбора направления оси ζ, рассмотрим новые координатные
оси χ', г/', ζ' с тем же самым началом координат. Оси ζ' и ζ
могут иметь произвольные направления. Мы рассматриваем такие
системы координат, для которых оси у и ц{, совпадают с линией
пересечения плоскостей, перпендикулярных к осям ζ и ζ'. Тогда,

231. ВНУТРЕННЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ 91
обозначая через θ угол между осями zr и ζ, лежащий в
плоскости ζ'χ' (см. фиг. 18), получим
х' = χ cos Ь + ζ sin θ, / ч
!Г'=У. (89)
так что
"тл^т = а а = cos 0 + /д. stn 0. (90)
я о*, 2/) ι ο , ι ι J v ;
Согласно определению, данному в задачах 7 и 9 из упражнений
к гл. X, угловые коэффициенты нормали в точке Р0 будут
-/* , -fy, 1 , (91)
и угловые коэффициенты оси ζ' относительно первоначальных
осей будут
-sine, 0, cose. (92)
Поэтому если γ' есть угол между осью ζ' и нормалью, то
cos γ' = ^ine + cgsj» = д£^ cog
вследствие соотношений (84) и (90). Отсюда и из правила
преобразования кратного интеграла, выведенного в предыдущем
параграфе, получим
^ sec γ' dA' = [ secy' Щ^аА=^ зесуЛ4. (94)
D' D ' D
Это доказывает, что определенная соотношением (88) площадь
поверхности не зависит от выбора координат.
231. Внутреннее определение площади поверхности. Мы
дадим сейчас такое определение площади поверхности, которое
по своему смыслу не зависит от выбора осей координат. Сперва
определим приближенную площадь элемента поверхности как
площадь его проекции на касательную плоскость, проведенную
через одну из точек этого элемента. Затем рассмотрим произвольное
разбиение поверхности на элементы и определим приближенную
площадь поверхности для этого разбиения как сумму
приближенных площадей каждого из ее элементов. Наконец, рассмотрим
последовательность разбиений, для которых dM—>0, где dM —
максимальный из диаметров всех элементов некоторого
разбиения. Мы покажем, что для любой такой последовательности
определенная нами приближенная площадь стремится к одному
и тому же пределу. Этот предел называется площадью
поверхности.

92
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Чтобы доказать существование этого предела и
эквивалентность этого определения площади определению, данному в
предыдущем параграфе, рассмотрим некоторое разбиение поверхности
на элементы. Пусть bS есть площадь элемента разбиения,
определяемая равенством (88), а Тг — касательная плоскость,
которую мы вводим при определении приближенной площади.
Обозначим проекцию oS на плоскость 7\ через ЬТ1у возьмем плоскость Тг
за плоскость х, у и применим равенство (88). Тогда, по
теореме о среднем значении,
bS = { sec γ dA = sec γ . оГь (95)
δΤι
где sec γ является значением подинтегральной функции в точке Ρ
области bS, так что secy является значением секанса,
соответствующим углу γ между осью ζ и нормалью в точке Р.
Так как fx и fg непрерывны в замкнутой области D, то они
равномерно непрерывны в этой области. Если мы разделим
угловые коэффициенты нормали, определенные равенством (91),
на квадратный корень из суммы их квадратов, то получим
направляющие косинусы
1= г ~ίχ , m = - ~h , η=- - (96)
Они также будут равномерно непрерывны в D. Следовательно,
если максимальный диаметр dM элементов δ^ меньше, чем
некоторое 86, то колебание этих направляющих косинусов не будет
превосходить.произвольно выбранного числа ε, которое мы
выберем меньшим 1. Пусть /, га, η — направляющие косинусы
нормали к касательной плоскости, проведенной в точке Р. Тогда,
если
1 = 1-{-а, m~m-\- b, п=п-\-с (97)
(где I, т, η — направляющие косинусы нормали к плоскости 7Ί),
то а, Ь, с по абсолютной величине не бз^дут превосходить г.
Но так как
из Z2 + m2 +>г2= 1 следует, что |Z|, \m\, |/г|<1, (98)
то
cos4 = l(l + a) + m(m + b) + n(n + c) = l + 30a, где |θ|<1, (99)
Но из равенства (95) имеем oTj^cosy · bS, так что
8^ —85 = (cos γ--1)85== Звз . bS. (100)

232. ВНУТРЕННИЕ КООРДИНАТЫ ПОВЕРХНОСТИ
93
Таким образом, для обеих сумм, приближающих площадь, в силу
наших двух определений
287Ί—285 = 3β/β285, где 16' |<1. (101)
Но для достаточно мелкого' разбиения с?м<о', если S является
интегралом, определенным равенством (88), приближенная сумма
2^5 удовлетворяет неравенству
15-Σ**? К*. (102)
так что
|2£Г1-5|<з + Зз(5 + 1)<г(35 + 4). (103)
Так как это справедливо для произвольно малых ε при
достаточно малых ам, то отсюда следует, что когда ам—>0, сумма
Тг стремится к S как к своему пределу. Следовательно,
определение площади поверхности, данное в этом параграфе,
приводит к единственному результату и эквивалентно определению
площади поверхности, введенному в предыдущем параграфе.
232* Внутренние координаты поверхности. Предположим,
что в некоторой (и, и)-области уравнения
x = F (и, v), y = G(u, ν), ζ = Η (и, ν) (104)
таковы, что все три функции имеют непрерывные частные
производные первого порядка по в и у и что
Тогда, по теореме из § 218, по крайней мере в некоторой части
области, можно разрешить первые два уравнения относительно
и и и, т. е. выразить мии через χ ж у. Подставляя эти значения
и ж ν в третье уравнение, получим уравнение вида (81). Таким
образом, в некоторой, надлежащим образом выбранной области
изменения переменных и, υ уравнения (104) представляют кусок
поверхности. Площадь этой поверхности дана равенством (88).
Так же, как и в § 218, найдем
*—%·*—%· <ιο6>
где
т _ д (у, ζ) т _θ{ζ, χ) т _ д (ж, у) МП7.
Jy*-~d(u,v)' zx~d{u,v)> -тУ ~д(и, v)' {lVJ)
Таким образом, из равенства (85) имеем
\/~ Τ2 4- Τ"2 4- fz
secY=K J»* + J'* + J*u . (108)
J XIJ
Здесь Jxy положительно вследствие соотношения (105).

94
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Применяя правило преобразования (70) к выражению для
площади поверхности, данному равенством (88), найдем
S == \ sec γ dAXy = \ sec yjxy dAuv, (109)
где индексы при dA указывают на плоскость, в которой
берутся элементы интеграции. Из уравнений (108) и (109) получим
Это и есть выражение площади поверхности, заданной в пар^
метрической форме через параметры и и у.
Рассмотрим теперь некоторую кривую на поверхности.
Уравнения
u = u(t), υ = Ό(ή (111)
вместе с уравнением (104) определяют х9 у и ζ как функции от t\
если наложить соответствующие ограничения (например,
требование дифференцируемости) на функции u(t) и v(t)9 то эти
уравнения определят гладкую кривую в пространстве, которая
будет лежать на нашей поверхности. Из § 184 известно, что
длина дуги такой кривой будет
Чтобы выразить длину дуги через и и у, воспользуемся
уравнением
£ ==ζχη^- + χυ^ι или dx = xn du + xv dv, (113)
а также уравнениями
dy = yudu -\-yvdo, dz = zudu+ ζυάν. (114)
Здесь значки внизу у переменных означают соответствующие
частные производные. Отсюда найдем, что
dx2 + dy2 + dz2 = E du2 + 2F du dv + G do2, (115)
где
E = xi + yl+zi, F = xuxv + yuyv + zuzv, G = x2„ + yl + zl. (116)
Теперь мы можем заменить соотношение (112) соотношением
•=S VKT) +2F (S0G-D +G («У *· <"'>
Для сокращения обозначим
ds = γ Ε du* + IF du do + G'dc». (118)

233. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ II ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 95
Раскрывая детерминанты и применяя соотношения (116),
найдем, что
Jlz + Jlx + Jly = EG-F*. (119)
Таким образом, вместо соотношения (110) мы можем написать
S= J γEG-F*dA^. (120)
Для сокращения обозначим
dS = γ EG-F* du dv. (121)
Сравнивая это соотношение с (118), мы видим, что элемент
площади поверхности полностью определяется через элемент
дуги, заданный в параметрическом виде через параметры и и υ.
Этот факт может быть также применен для доказательства
независимости площади поверхности от выбора координатных
осей, вместо того чтобы проводить непосредственное
исследование, как это было сделано в § 230.
233. Положительные и отрицательные элементы. До сих
пор мы считали, что элементы дуги или объема в пространстве
двух или большего числа измерений всегда положительны. Это
влекло за собой некоторые ограничения. Например, в § 229 мы
считали якобиан преобразования положительным. Такой выбор
исключает из рассмотрения некоторые преобразования, как,
например,
*'=У, У'=*. (122)
Для этого преобразования, при котором χ и у меняются местами,
д{х\ у')
д (ж, у)
-1. (123)
Мы сейчас постараемся расширить нашу точку зрения.
Для интегралов, распространенных на интервал, мы сначала
считали элементы положительными, а затем, если а < 6,
рассматривали интеграл от Ъ до а, как интеграл от а до 6,
взятый с обратным знаком. Мы можем поступить подобным же
образом в случае криволинейных интегралов, определенных
в § 180.
Таким образом, знак обыкновенного или криволинейного
интеграла зависит от пределов интегрирования.
Теперь рассмотрим двумерную область, ограниченную
гладкой замкнутой кривой. Каждая точка Ρ нашей кривой
разделяет все точки, близкие к Ρ и лежащие на нормали,
проведенной в точке Р, на внутренний и внешний отрезки. Если мы
произвольно выберем положительное направление вдоль кривой,

-96
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
то в каждой точке угол между касательной к кривой,
направленной в положительном направлении, и внутренней
нормалью к кривой будет равен 90° или —90° и будет сохранять
свой знак вдоль всей кривой. Так как знак этого угла
зависит от ориентации осей, то для данной ориентации осей мы
можем определить положительное направление кривой, как
такое направление, для которого этот угол будет равен 90°, т. е.
как такое направление, при котором относительное
расположение положительного направления кривой и направления
внутренней нормали будет таким же, как и относительное
расположение положительного направления оси χ к положительному
направлению оси у. Мы условимся считать, что при этом
направлении площадь, ограниченная кривой, будет положительна.
Аналогично, мы будем считать, что если кривая проходится
в обратном направлении, то площадь, ею ограниченная, будет
отрицательной.
Подобным же образом можно определить в каждой точке
замкнутой поверхности трех измерений, ограничивающей
замкнутый объем, направление внутренней и внешней нормали. В
каждой достаточно малой части такой поверхности можно определить
криволинейные координаты и mv так, что каждая кривая и будет
пересекать каждую кривую υ под углом, не равным нулю.
Определим положительные направления на кривых и и υ, выбирая,
например, за положительное направление вдоль всех кривых
и = const то, в котором ν возрастает. Тогда, если ориентация
касательных к кривым и, ν и внутренней нормали такая же,
как ориентация осей х, у, ζ, то часть поверхности считается
положительной относительно координат и и υ. Объем,
ограниченный поверхностью, в этом случае также считается
положительным.
Если мы имеем дело с двух- или трехмерным пространством,
мы выбираем некоторую систему координат за систему
положительной ориентации. Тогда любая система осей координат
€ той же ориентацией рассматривается как положительная, а
любая система осей, полученная из положительной системы
изменением направления одной ее оси на противоположное,
рассматривается как отрицательная. При вычислении кратного
интеграла мы полагаем dVn положительным или отрицательным
в зависимости от того, образуют ли оси координат, в которых
вычислен элемент, положительную или отрицательную систему.
При этих соглашениях мы можем распространить соотношения
(70) и (80), так же как и формулу для элемента объема,
данную в связи с соотношением (80), на те преобразования, для
которых якобиан будет всюду отрицательным.
Если мы одновременно имеем дело с интегралами различное
кратности, то мы прежде всего определяем положительную ориен-

234. ТЕОРЕМА ГРИНА НА ПЛОСКОСТИ
97
тацию для пространства наибольшего числа измерений,
входящего в рассмотрение. Затем, воспользовавшись этой
ориентацией, устанавливаем положительную ориентацию фигуры на
единицу меньшего числа измерений, которая ограничивает
поверхность или объем. Таким образом, для заданной
положительной системы координат в трехмерном пространстве мы всегда
сможем определить, когда система криволинейных координат на
поверхности, ограничивающей некоторый объем, будет
положительной. Отсюда мы сможем определить, когда кривая на
поверхности, ограничивающая некоторую площадь, должна быть
положительной.
Наши выводы остаются в силе, если кривые или
поверхности, ограничивающие наши фигуры, составлены из конечного
числа гладких кусков. Такие кривые или поверхности
называются кусочно-гладкими.
234. Теорема Грина на плоскости. Эта теорема утверждает,
что если Ρ и Q — некоторые функции от ос и г/, для которых
частные производные -~- и ~ непрерывны в области А,
имеющей площадь А и удовлетворяющей некоторым условиямj то
\Pdz + Qdy=\(*-d£)dA*„
(124)
*2(у)
1де слева стоит криволинейный интеграл, определение которого
дано в § 180. Мы предполагаем, что кривая С, ограничивающая
площадь А, —
кусочно-гладкая. Далее предполагается,
что А является областью
типа /)* (см. определение в
конце § 224). Область А и
кривая С берутся положительной
ориентации в соответствии с
определениями предыдущего
параграфа.
Заметим, что если χ и у,
Ρ и Q поменять местами, то
перед интегралом появится
знак минус. Это происходит
потому, что мы должны
изменить направление вдоль
кривой на обратное или
изменить знак элемента площади для того, чтобы оба они были
положительными относительно осей координат, взятых в
измененном порядке.
Фиг. 19

98
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Чтобы установить Ьоотношение (124), мы сначала рассмотрим
тот случай, когда всякая прямая линия, проходящая через
внутреннюю точку нашей площади и параллельная одной из осей
координат, пересекает границу в двух и только в двух точках.
Тогда, если прямая, параллельная оси х, пересекает границу
в точках Х\{у) и х2(у) (см. фиг» 19), то
\ ^dx = Q(x2,y)-Q(x1,y). (125)
χιίυ)
Так как интервал хъ х2 состоит только из внутренних точек
нашей площади, то в силу принятого нами соглашения
направление возрастания у будет положительным в точке х2 и
отрицательным в точке хг. Таким образом, если г/' и у" —
наименьшее и наибольшее значения г/, то
У" У"
\ Q (*», y)dy-\Q (xlt y)dy=^Q (z9 y) dy. (126)
у' У' С
Если граница нашей области содержит целый,сегмент на
прямой y = t/' или на прямой у = у", то это никак не отразится на
величине криволинейного интеграла, стоящего в правой части.
Подобным же образом если прямая линия, параллельная
оси у, пересекает границу в точках уг(х) и у2(х), то
yjx)
J %*у = Р(х9у2)-Р(х,уг). (127)
υι(χ)
Но в силу нашего соглашения теперь положительным
направлением на кривой будет направление возрастания χ в точке
у1-и направление убывания χ в точке г/2. Поэтому
х" х"
$ Ρ {χ, у2) dx-^P {x, yi)dx=-^P (x, у) dx. (128)
xf x1 С
Из последних четырех соотношений заключаем, что
\ Pdx + Qdy= \dy\%tdx-\dx\ ~dy. (129)
С у' xi(y) χ' 'yi(x)
Но повторные интегралы могут быть здесь заменены двойными
интегралами по площади А\ таким образом, формула (124)
доказана.
Этот результат остается в сшнз, если площадь А состоит из
конечного числа площадей рассмотренного нами типа, и если

235. ТОЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
99
интеграл в правой части берется по всей площади, а интеграл
в левой части — по всей ее границе, которая может состоять из
одной или большего числа замкнутых кривых. В самом деле,
если некоторые из кривых, ограничивающие части площади А,
имеют общие дуги, то эти дуги будут противоположной
ориентации, так как внутренняя нормаль одной из дуг будет являться
внешней нормалью для другой дуги; следовательно, такими
дугами можно пренебречь, так как интегралы по ним взаимно
уничтожаются.
235. Точные дифференциалы. Если Ρ и Q имеют непрерыв-
дР dQ
ные частные производные ^- и ^ и эти производные равны
друг другу в области D, то для каждой области А, состоящей
только из точек области Z)? интеграл в правой части
соотношения (124) будет равен нулю. Тогда криволинейный интеграл
\ Pdx + Qdy (130)
будет равен нулю по каждой замкнутой линии С, лежащей
в D и являющейся границей некоторой площади А в D. Если
Μ и TV —любые две точки из области D, соединенные двумя
дугами Lj и L2, ограничивающими в совокупности простую
площадь А в D, то
\ Pdx + Qdy- \ Pdx+Qdy = 0f (131)
так как эта разность является интегралом по замкнутой кривой,
идущей от точки Μ к точке N вдоль первой дуги и от Ν κ Μ
вдоль второй дуги. Таким образом, интеграл вдоль Lx равен
интегралу вдоль L2. Если L1 и L2 не ограничивают площадь
простого типа, например, если они пересекаются бесконечное
множество раз, то можно найти третью дугу L3 в D, которая
как с кривой Lj, так и с кривой L2 ограничивает площади
простого типа. В этом случае предыдущие, рассуждения
показывают, что интеграл вдоль L3 равен интегралу вдоль Ll9 а также
равен интегралу вдоль L2, и, следовательно, интеграл вдоль Lx
равен интегралу вдоль L2.
При выполнении указанного выше условия, мы говорим, что
иыражение Pdx + Qdy является «точным дифференциалом» в Ζλ
К ели xQy ^ — фиксированная точка»» а х, у-— переменная точка
и области Х>, то мы можем написать ^
ж» У
[ P%dx + Qdy = F(x,y), (132)

100
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
по крайней мере в некоторой части D, удовлетворяющей
нужным ограничениям. Эти ограничения таковы, что в упомянутой
части области можно соединить точки х0, у0 и х, у кривыми
Ζ,χ и L2, подобными упомянутым выше; тогда для вычисления
интеграла, стоящего в левой части равенства (132), можно
воспользоваться любой из кривых этого типа.
Пусть точки х, у и χ + Ах, у лежат в некоторой части
области £), удовлетворяющей упомянутым выше требованиям.
Соединим точку х0, г/0 с этими точками линиями, отличающимися
друг от друга только сегментом, параллельным оси х. Если
х, у — внутренняя точка нашей части области, то, при
достаточно малом Ах, этот сегмент будет целиком лежать в нашей
части области. Тогда
х+Ах, у
F(x+Ax,y)-F(x,y) = ξ Pdx. (133)
х, у
Так как у фиксировано, то этот интеграл является
обыкновенным интегралом, и по теореме о среднем значении он равен
*хР(х',у), (134)
где х' — некоторое значение, лежащее между χ и х+ Ах. Таким
образом,
F(x + Ax'yAl-F(x'y)=P{x',y). (135)
Так как х' лежит между χ и χ + Δχ, и функция Ρ (χ, у)
непрерывна, то
Подобным же образом можно доказать, что
OF
Таким образом,
dF^^dx + ^dy^Pdx+Qdy, (138)
так что если Ρ dx + Q dy является точным дифференциалом
в смысле определения этого понятия в настоящем параграфе,
то найдется функция* F(х, у) такая, что Pdx + Qdy будет ее
полным дифференциалом в смысле определения из § 211.
Заметим, что если G(х, у)— другая функция, для которой
Pdx + Qdy является полным дифференциалом, то
d(*-G) = 0, *ί*=^> = ί*^> = 0. (139)

236. ТЕОРЕМА СТОКСА
101
Тогда, вследствие результатов из § 215, функция F — G постоянна
в некоторой части области D. Таким образом^
F-G = k или F(x,y) = G(x,y) + k, (140)
так что
F(x, y) = F(x, y)-F(x0, y0) = G(x, y)-G(x0,y0) (141)
й, вследствие соотношения (132),
я» У
^Pdx + Qdy = G{x,y)-G (аг„, у0). (142)
£<Ь У о
Предположим теперь, что нам дана функция F (х, у) и мы
образуем ее полный дифференциал, который полагаем равным
Ρ dx + Qdy, при помощи равенства (138). Тогда, если частные
производные от Ρ и Q существуют и непрерывны, то в силу
результата § 213
EL=*L = i£L=*L· (143)
ду ду дх дх ду дх ^ '
Из наших рассуждений видно, что если обе производные g-
OQ
н ~ существуют и непрерывны по χ и г/, то условие
^ = ^ (144)
ду дх К1^>
является необходимым и достаточным для существования
функции F (х, у), имеющей Ρ dx + Qdy своим полным дифференциалом.
Если это условие выполняется, то Ρ dx + Qdy называется точным
дифференциалом, и интеграл в выражении (132) не зависит
от пути интегрирования, если х, у принадлежат некоторой
надлежащим образом выбранной области.
236. Теорема Стокса. Если часть гладкой поверхности в
трехмерном пространстве ограничена кусочно-гладкой замкнутой
кривой С, то можно вывести соотношение, аналогичное
равенству (124), а именно,
{ Pdx + Qdy + Rdz =
А
В этом равенстве в левой части стоит криволинейный интеграл,
взятый вдоль кривой С, а в правой части —интеграл по поверх-

102
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ности Л, ограниченной кривой С. Каждый из этих интегралов
берется с положительной ориентацией в соответствии с
соглашениями, принятыми в § 233. Числа I, т, п, являются
направляющими косинусами нормали или, более точно, того
направления нормали, которым мы пользуемся как аналогом оси ζ
при определении ориентации. Как и в равенствах (96), эти числа
могут быть получены, если разделить соответствующие угловые
коэффициенты на абсолютную величину квадратного корня из
суммы их квадратов.
Например, если гладкой поверхностью является плоскость
х, у, то нормалью будет положительная ось^г, так что
направляющими косинусами нормали будут Z = m = 0, n = l, и
соотношение (145) обращается в соотношение (124).
Правую часть соотношения (145) легко запомнить, если
символически записать ее при помощи определителя
1
д
дх
Р
т
д
ц
Q
п
д
dz
R
здесь определитель должен быть развернут в сумму
произведений элементов, в каждом из которых множители расположены
в порядке строк; таким образом, операторы, стоящие во второй
строке, должны относиться т< >ко к элементам третьей строки.
Чтобы доказать равенство (145), достаточно доказать, что
\pd*=l(fzm-fyn)dS, (147)
С А
так как равенство относительно Q и R получится при помощи
круговой перестановки букв.
Если и, ν — параметры на поверхности (см. § 232),
выбранные так, чтобы получалась положительно ориентированная
система, то можно выразить интеграл, стоящий в левой части
равенства (147), через параметры и и ν
^ Pdx= ξ pd£du + P^~do. (148)
с с
Если А' — площадь фигуры в плоскости и, υ, ограниченная в этой
плоскости кривой, соответствующей кривой С на поверхности,
то мы можем применить теорему Грина [равенство (124)] в
плоскости и, ν и таким образом привести последнее выражение
к виду
№(**)-№£)]"- <149>
А'

236, ТЕОРЕМА СТОКСА
103
Подинтегральной функцией будет
дР дх дР_дх (\Ч\\
так как члены, содержащие смешанные производные, взаимно
д2х д2х
уничтожатся, если поверхность такова, что g—^- и ^^
существуют и непрерывны, что мы и будем предполагать.
Применяя соотношения
№_dJ>fa№dydPchs
ди дх ди ду диdz ди ' ,* г л \
^_№dx№dydPdz
dv дх dv ду dv dz dv '
можно привести подинтегральную функцию (150) к виду
"""" ду ^χν"^~ ~dz ^zx' (152)
?де мы употребляем обозначения (107).
Отсюда видно, что
^ Ρ dx = ^ g- Jzx dAuv — ^ -щ Jxy dAuv. (153)
С A' A'
Воспользовавшись равенством (70) для замены переменных
в кратных интегралах, можно написать правую часть
соотношения (153) в виде
yi-dAzx-Y£dAxv, (154)
где интегралы распространены по площадям в плоскостях zx
и ху, соответствующим площади А\ Но в силу соглашения
относительно ориентации
dS = sec p dAzx = - dAzx (155)
dS = sec γ dAxy = — dAxyt (156)
Здесь равенство (155) получается из равенства (156) круговой
перестановкой букв, а равенство (156) получается из (88) и (96).
Мы берем положительный знак перед корнем в равенстве (88),
так как положительная площадь находится в соответствии с
обычной ориентацией осей χ к у.

104
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(159)
В силу равенств (153), (154), (155) и (156) получим
С А
что нам и надо было доказать.
Воспользовавшись равенствами (155) и (156) и третьим
равенством, полученным из них при помощи круговой перестановки
букв, можно вместо правой части соотношения (145) написать
\ (М -S>a.+] (f -S>a,+J (|-f>л, (..«)
Символическая запись, аналогичная соотношению (146), будет
иметь вид
ti,A.yz CtA.zx cLA.xy
fL a d
дх ду dz
Ρ Q R
В выражении (158) элементы интеграции должны иметь знаки,
определяемые соотношениями
dAyz = ldS> dAzx--=mdS, dAxy = ndS, (160)
так что для непосредственных вычислений формула (145) более
удобна.
237. Теорема. Грина в трехмерном пространстве. Если Р,
О и i? —три функции от х, г/, ζ, непрерывные вместе с част-
дР dQ dR
ными производными -д- , ·— , -7г- по всем трем переменным в
некоторой области D, то
\^+fy+de)dV=-Ypl+Qm+Rn)dS< v'161)
У S
где тройной интеграл в левой части берется по объему V, а
двойной интеграл в правой части—по замкнутой поверхности S,
ограничивающей объем V. Мы предполагаем, что S и V лежат
в области D и ориентация выбрана таким образом, что оси
х, у ж ζ имеют ту же ориентацию, что и направления,
выбранные для параметрических линий и и ν на поверхности S в
соответствии с направлением Ζ, ту η внутренней нормали к
поверхности. Предположим также, что V является областью типа D*,
определенного в конце § 228, и что ее границей S является
кусочно-гладкая поверхность.
Мы будем поступать так, как и в § 234, предполагая сначала,
что каждая прямая линия, проходящая через внутреннюю точку V

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XI
105
и параллельная одной из координатных осей, пересекает S ровно
в двух точках. Тогда, если для фиксированных χ и у точки,
лежащие в V, образуют сегмент zl9 ζ2, получим
[ ^dz^R(x, у, z2) — R(x, г/, ζΊ). (162)
Вследствие того, что двойной интеграл равен повторному
интегралу, взятому в любом порядке, если только подинтеграль-
ная функция непрерывна, получим
\—dV=\ [R{x, г/, z2) — R(x, у, zx)}dxdy=^
= ^ R (ж, у, z2) | dAxy I — ^ R {χ, у, ζλ) dAxy. (163)
В силу нашего соглашения внутренняя нормаль в zx берется
в направлении возрастания ζ, тогда как внутренняя нормаль
в ζ2 идет в направлении убывания ζ. Кроме того, проекции
на плоскость ху тех частей поверхности S, в которых нормали
параллельны плоскости ху, имеют площадь, равную нулю.
Поэтому вследствие равенства (156) имеем
^ |JdF= - ^ RdAxy= - J RndS. (164)
У S
Подобным образом можно доказать такие же соотношения
для Ρ и Q.
Применяя понятие направленного элемента, заданного
равенством (160), можно вместо соотношения (161) написать
\(^+^+di)dv==z-[SPdA^ + \Q4A^+SRdAxy]·(16δ)
У
Отрицательные знаки в соотношениях (161) и (165) пропадут,
если мы заменим наши направляющие косинусы направляющими
косинусами внешней нормали и изменим знаки элементов в
соответствии с соотношениями (160).
Этот' результат может быть применен к любому объему V,
являющемуся суммой конечного числа объемов только что
рассмотренного типа, что можно доказать при помощи
рассуждений, аналогичных рассуждениям, проведенным в конце § 234.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XI
1. Доказать, что если / (#, у) непрерывна и а < &, то
ъ ъ ъ χ
\dy\f (x> y)dx=\ dx \ / (χ, у) dy.

106
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XI
2. Показать, что если / (х, у) непрерывна и для всех х0, у0 некоторой
двумерной области
яо г/о
y^dx ^ f{x, y)dy = F{x0, y0), то ~^щ = 1^х^ У)·
а Ъ
Показать также, чт?о если имеет место второе соотношение, то
*о Уо
\dx^ f(x, y)dy = F(x0, y0)-F(a, yQ)-F (я0, b) + F(a, b).
a b
3. Показать, что площадь фигуры, ограниченной линиями χ = af
ъ ь
л = Ъ, у = 0 и y = f(x), где /(#)>0, равна \f(x)dx или \ у dx, если
а а
а <Ь.
4. Показать, что площадь области типа D, определенного в § 224,
равна криволинейному интегралу—\ у dx, взятому в положительном на-
с
правлении вдоль линии С, являющейся границей области D. Указание.
Провести ось χ так, чтобы точки кривой С находились над этой осью,
и применить результат задачи 3. Проверить при помощи теоремы Грина.
5. Вывести, что \ χ dy и — \ {х dy — у dx) являются другими возмож-
с с
ными выражениями площади области из задачи 4.
6. Применяя метод, подобный методу, изложенному в § 225, для
сравнения областей G' и G", составленных из секторов, и замечая, что, в силу
определения площади, площадь G" больше или равна площади G, если
ъ
G" содержит все точки G, показать, что площадь сектора равна — \ тЫЪ,
а
где г = /(6) —уравнение в полярных координатах кривой, ограничивающей
сектор вместе с прямыми 0=а и 8 = δ.
7. Доказать, что интеграл — \ xdy — ydx, взятый вдоль кривой,
ограничивающей сектор, равен интегралу из задачи 6. Указание. Разложить
сектор на треугольники и площади того типа, который рассмотрен в
задаче 3, или воспользоваться тем, что из # = rcos6, y = r sin θ следует, что
dy dx n db
χ ——у -у— = г2 -^—
dt * dt dt
8. Применяя результат задачи б, показать, что в полярных
координатах повторный интеграл V dQ \ г dr представляет собой площадь.
Отсюда следует, что это же остается справедливым и для двойного
интеграла или для повторного интеграла с измененным порядком
интегрирования. Для двойного интеграла проверить это непосредственно, применяя
формулу замены переменных из § 229 к интегралу \ dA = \ dxdy.
9. Показать, что при преобразовании к ортогональным криволиней-
Г д (х Хо χ ) "1 2
ным координатам (см. задачу 32 к гл. X) ~-^— —Ч" =Ь\к\1г%. От-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XI
107
сюда вывести, что \ dxx dxz dxd = \ hx hx hz dux du2 duz, где интегралы
взяты по соответствующим объемам со знаками, определяемыми hx, h2, hz-
Указание. Применить правило умножения де!ерминантов, изложенное
в задаче 19 к гл. X, и соотношения из задачи 31 к гл. X.
10. Показать, что для сферических координат, введенных в задаче 34
к гл. X, интеграл, выражающий объем, равен \ г3 sin φ dr dy dQ. Указание.
Применить задачу 9.
И. Пусть z = f(x, у) является уравнением части поверхности и пусть
известны проекции на плоскость х, у тех кривых, для которых γ постоянно.
Обозначим через Η (γ) площадь, ограниченную одной такой кривой или же
такой кривой совместно с какой-либо фиксированной кривой. Показать,
что площадь поверхности может быть выражена в виде \ Я' (γ) sec γ ίΖγ.
Указание. Если Δ# означает площадь, лежащую между кривыми,
соответствующими значениям γ и γ -f- Δγ, то площадь поверхности будет
АН sec γ, где γ —промежуточное значение между γ и γ + Δγ.
12. Если г2 = χ2 -Τ- у2, то z = f (r)—уравнение поверхности вращения.
Показать, что площадь поверхности, заключенной между двумя
значениями г, может быть написана в виде 2π V rds, где s—длина дуги.
Указание. Применить задачу 11.
13. Если одна полость конической поверхности с вершиной в начале
координат вырезает из единичной сферы с центром в начале координат
поверхность площади Q, то Q называется телесным углом относительно
вершины. Показать, что если коническая поверхность вырезает на
произвольной поверхности простую замкнутую кривую, ограничивающую
« ' „ Г cos (г, N) JO
часть поверхности с площадью о, то телесный угол β = \ ^ - αύ =
s
= V £__ dS. Здесь r2=rx2 + y2 + z2, (r, N)— угол между радиусом,
проведенным из вершины, и нормалью N к поверхности. Направляющими
косинусами нормали являются /, т, п.
14. Доказать теорему Гаусса, состоящую в том, что интеграл
Г cos (г JSi)
\ -—^—-dS, взятый по простой замкнутой поверхности, равен 4π, если
S содержит начало координат внутри себя, равен 2те, если начало
координат является граничной точкой поверхности S, в которой S имеет
касательную плоскость, и равен нулю, если начало координат лежит вне
поверхности S. Указание. Применить понятия, введенные нами в задаче 13.
15. Доказать, что если функции Р, Q, R, зависящие от ж, у, ζ, таковы,
что интеграл \ Ρ dx-\~Qdy-{-Rdz = f (х. у, z) — f(x0, y0, z0) не зависит от
С
пути, соединяющего А0 (ж0, у0, ζ0) с А{х,у, ζ), то Р = ·^ . Q^^J ' R==J~Z ·
, Доказать также обратную теорему.
16. Показать, что если г=У х2 + у2 +ζ2, то \ g (г) (х dx + у dy + ζ dz)
но зависит от пути интегрирования. В частности, вычислить значение
01-ого интеграла, когда g (r) = rn.

108
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XI
дР dQ dR
дх ду dz
ным условием того, что интеграл \ (Ρί + Qm -^Rn) dS, взятый по любой
замкнутой поверхности, будет равен нулю. Пример: P = f {у, z), Q — g(z, x)>
R = h(x, у),
.о ™ η W дВ - дА ЭС _ дБ дА
18. ЕслиР = — -%- , Q=5 — , # = — -_, то
ду dz dz дх дх ду
дх ду dz
Обратно, вели имеет место последнее соотношение, то существуют такие
функции А, В и С, для которых выполняются первые три соотношения.
Указание. Если А—произвольная функция, а В определена с точностью
до аддитивной функции от у и ζ при помощи третьего равенства, то С
определяется с точностью до аддитивной функции от ζ из выражения
точного дифференциала по χ и у: dC = (-z Q)dx + (p + -^-j dy.
19. Условие -^—f ~- + «-- = 0 является необходимым и достаточным
ах оу oz
для того, чтобы интеграл \ (Pl + Qm + Rn) dS, взятый по части
поверхности, ограниченной простым замкнутым контуром L, зависел толькоv
от границы L. Указание. При доказательстве необходимости надо заметить,"
что две поверхности, ограниченные вместе контуром С, образуют
замкнутую поверхность, и применить результаты § 237 или задачи 17. При
доказательстве достаточности применить результаты § 238 и задачи 18»
позволяющие свести интеграл к криволинейному интегралу
{ (Adx + Bdy + Cdz).
L
20. Показать, что если V — объем, ограниченный замкнутой
поверхностью S, a N—внешняя нормаль, то, применяя те же обозначения, что
и в задаче 13, будем иметь
F= j { rcos{r,N)dS=~ С (lx-t-my + nz)dS.
s s
21. Если Ρ, Q и R — однородные многочлены второй степени
относительно х, у и 2, a S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем,
центр тяжести которого лежит в начале координат, то показать> что
[ (Pl + Qrn + Rn)dS = 0.
22. Показать, что
[ А9 ,, С (ди dv , ди dv\ , . С dv .
) и^аА*ъ + ) {dxdx + aydy) dA*v= ] U~dNdS>
А А С
π л a* °2V , o2v dv
где С —замкнутая кривая, ограничивающая Α, Δ*ν == д-^ + -κ-ξ , и τγ —
производная от г? по направлению внешней нормали к кривой С. Указание.
dv dv
Применить теорему Грина, положив в ней Р = —и -^— , Q = u-^- .

упражнения к гл. χι
109
23. Применяя обозначения задачи 22, показать, что
А С
Это соотношение часто называют теоремой Грина.
24. Применяя обозначения задачи 22, показать, что
[*"*Аху=\зЯ ds-
А С
25. Показать, что
V V S
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем Г,
л * d2v , d2v Ύ d2v dv
Δ^2=—+ —2-f — и ~-ηγ— производная от υ по направлению
внешней нормали к поверхности S. Указание. Применить теорему Гркна для
случая трех измерений, положив
D dv - dv dv
26. Применяя обозначения задачи 25, показать, что
V S
27. Применяя обозначения задачи 25, показать, что
V S
28. Можно образовать кратные суммы Дюамеля, заменяя каждое у
в выражении F(t/·) через /.-,{хг, х2, ..., хп) или действуя так же, как
в § 164. Показать, что если все функции непрерывны и мы применяем
последовательность разбиений, для которой наибольший диаметр д# -+ 0,
то суммы Дюамеля стремятся к кратному интегралу \ F [/; (хр)\ dVn, где
dVn = dxx dx2 ... dxn.

Глава XII
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Подобно тому, как мы рассматривали последовательность
чисел, сходящуюся к пределу, мы можем рассматривать
последовательность функций, сходящуюся к предельной функции.
Если функции последовательности непрерывны, то условие
непрерывности предельной функции сводится к тому условию, что
двойной переход к пределу дает один и тот же результат
независимо от того, в каком порядке этот переход осуществляется.
Достаточное условие для этого основано на определении
равномерной сходимости последовательности функций. Мы введем
&то определение и применим его к другим вопросам, связанным
с понятием двойного предельного перехода. В связи с
интегралом от предельной функции рассмотрим последовательности
функций, которые сходятся в среднем.
Мы также изучим вопрос, при каких условиях из
бесконечного множества функций можно выбрать бесконечную
последовательность функций, сходящуюся к предельной функции. Эти
условия приводят нас к определению нового понятия,
называемого равностепенной непрерывностью. Мы изучим это понятие
и выведем некоторые простые условия, при которых
последовательность будет равностепенно-непрерывной.
238. Предельная функция. Рассмотрим семейство функций
ft (x), определенное на некотором множестве значений
действительного переменного χ для бесконечной последовательности
значений t. Как и в § 17, эта последовательность может быть
дискретной или непрерывной. Примером дискретной
последовательности функций может служить сумма η первых членов
бесконечного ряда функций
η
или произведение η множителей бесконечного произведения
Рп (ж) =-П [1+ «*(«)]· (2)
Непрерывная последовательность функций переменного χ может
быть получена из любой функции g(x, у) двух переменных,

239. РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К ПРЕДЕЛУ ц*|
определенной для
, α<#<6, c<#<d, (3)
следующим образом. Выберем некоторое фиксированное
значение г/, скажем г/0, в открытом интервале с, d я для любой
непрерывной последовательности значений t в интервале с, df
для которой t-~>y0', определим
/«(*) = £(*> 0> (4)
так что каждая функция этой последовательности определена
для
Вернемся к рассмотрению последовательности функций /*(#)*
Предположим, что имеется функция F (х) такая, что для
частного значения ху скажем х0, будем иметь
limft(x0) = F(x0). (5)
Тогда для х0 и некоторого положительного г найдется в
последовательности значений t такое ^(г, х0), что
\ft(x0) — F{x0)\<3 для t, следующих за Г (г, х0). (6)
Если соотношение (5) имеет место для всех значений х0,
принадлежащих некоторому заданному множеству^ например
замкнутому интервалу а, 6, то мы будем писать
limft{x) = F(x), я<я<6 (7)
и говорить, что последовательность ft(x) сходится на данном
множестве к предельной функции F(x).
239. Равномерное приближение к пределу· Как было
указано в определении величины Τ (г, #0), значения Т, для
которых условие (6) выполняется, будут, вообще говоря, зависеть
не только от s, но и и от х0. Действительно, не всегда можно
будет найти такое Г, которое было бы пригодно при заданном г
для всех значений х. Например, если
/*<*) = 5ТГ. (8)
где t монотонно возрастает, пробегая все положительные
значения от 0 до +оо, а множество значений χ будет 0<#<1,
то
F(x) = ii если хфО; и F(Q) = 0. (9)
Для х0 > 0 условие (6) примет вид
l^<*)-M*o)l = ii-Vt<·. ·. (Μ)

H12
ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Для ε < 1 это будет выполняться тогда и только тогда, когда
1-1
х0
Таким образом, величину можно принять за Τ (з, х0).
4-1
Всякое значение, большее чем , может служить
величине
ной Τ (ε, xQ), но ни одно меньшее значение для этого уже не
пригодно.
Так как
<F(0)-/f(0) = 0 для всех*, (12)
то можно взять Τ (г, 0) = 1 для всех значений г.
Однако для значений х0, близких к 0, значения
1-1
minT(«, *o) = V- (13)
не ограничены, ибо для фиксированного s и х0—>0 выражение,
стоящее в правой части, стремится к бесконечности.
Таким образом, в этом примере для любого г,
удовлетворяющего неравенству 0 < з < 1, не существует значения, которое
можно было бы принять в качестве Τ (ε, χ0), пригодного для
всех х0, 0<ж0^1·
Однако для некоторых последовательностей ft{x) при любом
положительном г существует значение, которое можно принять
в качестве У (г, х0), пригодного для всех х0 из
рассматриваемого множества. Так, например, если мы рассмотрим
последовательность функций, определенную соотношением (8) для всех
значений χ из сегмента -<г<#<1, то из соотношения (11) еле-
2
дует, что — будет пригодно в качестве Τ (е, х0) для всех х0,
принадлежащих сегменту — < х0 < 1.
Введем следующее определение:
Последовательность функций ft (x) сходится к предельной
функции F (х) равномерно по χ для некоторого множества
значений х, если для любой данной сколь угодно малой
положительной величины s найдется значение 1г> не зависящее от х,
такое, что
| F(x)-— ft (χ) Ι < г для всех t, превосходящих te, (14)

240. КРИТЕРИЙ КОШИ
113
для всех χ из рассматриваемого множества значений. Мы бу<-
дем употреблять выражение «равномерная сходимость» во всех
случаях равномерного приближения д предельной функции и
выражение «неравномерная сходимость» в случае, когда эта
равномерность места не имеет. В частности, мы говорим, что
бесконечный ряд или произведение, члены которых являются
функциями от х, сходится равномерно для некоторого множества
значений х, если частичные суммы sn (x) или частичные
произведения рп (х) сходятся к своим пределам равномерно на этом
множестве значений х.
Как показывает пример (8), мы можем иметь неравномерную
сходимость к пределу для одного множества значений χ и
равномерную сходимость для некоторого его подмножества.
240. Критерий Коши. Если последовательность функций
равномерно сходится на некотором множестве значений х, то для
данной положительной величины η мы можем взять ε = -|-
и найти t\ равное te, для которого соотношение (14)
будет справедливо. Если теперь и и ν—два какие-либо значения,
следующие за V в последовательности значений t, мы можем
положить t—u, з = -| или t = v, г=9 в соотношении (14),
Отсюда, так же как и в § 26, мы мюжем заключить, что
\fu(x) — fv(x)\<yl Для м> υ> следующих за V,< (15)
и всех χ из рассматриваемого множества значений.
Следовательно, если сходимость равномерная, то критерий Коши
выполняется равномерно для всех рассматриваемых значений χ в том
смысле, что найдется такое t\ зависящее от ε и не зависящее
от х, для которого выполняется соотношение (15).
Обратно, если условие Коши может быть удовлетворено для
последовательности функций ft (x) для всякого положительного
значения з равномерно на некотором множестве значений х, то
последовательность функций ft (x) сходится равномерно к
предельной функции F (х) на этом множестве значений.
Действительно, в силу § 26 в этом случае для всякого х0
из рассматриваемого множества значений χ последовательность
ft(x0) сходится к пределу. Мы определяем функцию F (х) в
точке х0 как значение этого предела.
Для любой положительной величины η выберем η' такое,
что 0 < η' < η. Тогда найдется V, не зависящее от х, такое,
что условие (15) выполняется для η'. Таким образом, для
всякого х0 из нашего множества значений
\fu(xo)—fv(xo)\ <V Для и, υ, следующих за t\ (16)

114
ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Так как соотношение это верно для всех ν, следующих за £',
то мы можем заставить ν пробегать последовательность
значений t, следующих за t'. Так как в наших условиях fv(x0)—>
—>F(x0), то из соотношения (16) мы можем получить, что
I /и (#о) — Ρ (хо) I <V Для и, следующих за t'. (17)
Так как η' < η и значение V не зависит от х0, то отсюда
следует, что
\ft (χ) — F (х) | < η Для t, следующих за V, (18)
что и является условием равномерной сходимости к пределу.
Наш результат может быть сформулирован в виде теоремы:
Необходимым и достаточным условием того, что
последовательность функций ft (x) сходится равномерно к предельной
функции F (х), является выполнение критерия Коши (15) для
всякого положительного г, равномерно по χ из рассматриваемого
множества, т. е. для значений V, не зависящих от х.
241. Перестановка порядка перехода к пределу.
Рассмотрим значения Ρ (х) вблизи # = а, где F (х) — предельная
функция последовательности ft (x). Если эти значения стремятся
к пределу, то
Urn F (χ) = lim [lim ft (χ)]. (19)
x-+a x-*a t
Далее, еоти пределы существуют, мы можем перейти к
пределам по χ и по t в обратном порядке и рассмотреть
lim [lim/, (ж)]. (20)
t x->a
Даже если все эти пределы существуют, результаты (19) и (20)
могут быть различны. Так, например, для последовательности,
определенной равенством (8), и для а = 0 имеем
MlinWi] = 1' (21>
х->0
тогда как
lim Гнт^]=0. (22)
Однако для некоторых последовательностей ft(x) пределы (19)
и (20) имеют одно и то же значение. Достаточные условия
для этого даются теоремой:
Если lim ft (x) = F (x) существует и стремление к пределу
t
равномерно для некоторого интервала на оси х, содержащего
точку х = а и lim ft(x) = G(t) для всех t, следующих за некото-

241. ПЕРЕСТАНОВКА ПОРЯДКА ПЕРЕХОДА К ПРЕДЕЛУ Ц5
рым t" в последовательности значений t, то пределы
lim[]imft(x)] и lim [lim ft (χ)] (23)
x-*a t t x-*a
оба существуют и равны друг другу.
В силу предположения равномерной сходимости для всякой
положительной величины s найдется t& такое, что для всех
значений χ из нашего интервала будет
| /^ (х) — jP (χ) Ι < з для t, следующих за te. (24)
Возьмем te, следующее за t". Тогда для всяких и и ν,
следующих за te, получим
|/„(*)-Ш1<2*. (25)
Так как это справедливо для всех χ из нашего интервала,
то, переходя к пределу при х—>а, получим
| G{u) — 6(ϋ)|<2ε для и, ν, следующих за tt. (26)
Но это — критерий сходимости Коши, и так как он выполняется
для всех значений г при подходящем выборе te, то отсюда
легко заключить, что если t пробегает последовательность
своих значений, то G(t) стремится к пределу. Обозначим этот
предел через А. Тогда
А = lim G (t) = lim [lim ft (χ)]. (27)
t t x->a
Выберем теперь некоторое значение t, следующее за ί6, для
которого G(t) отличается не больше чем наг от своего предела А.
Обозначим его через w. Тогда
[A~-G{w)\<*. (28)
Но в силу соотношения (24), справедливого для t = w, имеем
\fw{x)-F(x)\<*. (29)
Далее» так как fw(x) стремится к G(w), когда х—>а,
то найдется δ такое, что
\G{w)-fw{x)\<s при |ж-а|<«. (30)
Из последних трех соотношений можно заключить, что
если |ж — а\ < δ, то | A — F (х) | < За. (31)
Этим доказано, что
\imF(x) = A, (32)

416 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
ИЛИ
А == lim [lim/, (ж)]. (33)
х-+а t
Соотношения (27) и (33) показывают, что каждый из
повторных пределов существует, и что они равны друг другу. Это
и доказывает утверждение теоремы.
242. Двойные пределы. Теорема предыдущего параграфа
остается справедливой, если вместо х—>а будем рассматривать
х—>а+. В этом случае эта теорема будет верна, если интервал
на оси х, на котором сходимость равномерна, содержит точку а
в качестве своего левого конца. Аналогично можно
рассматривать х—ъаг, д; —>-|- оо и х~> — оо. Можно считать, что
переменные χ и t играют роль координат. Поэтому мы можем
писать g(x,t) вместо ft(x). Если заменить t через у и для
определенности рассматривать случай, когда χ —> а и у —> Ь,
то из теоремы предыдущего параграфа следует, что если для
всех χ из некоторого интервала, содержащего а, существует
limg(x,y), для всех у из некоторого интервала, содержащего 6,
у-*ъ
существует lim g (я, г/), и если один из этих пределов ДОСТИ-
гается равномерно в рассматриваемом интервале изменения
другого, фиксированного, переменного, то оба повторных предела
существуют и равны между собой:
lim [lim g (ж, у)] = lim [limg(z, у)]. (34)
х-нх у->Ъ у-*Ъ х-нг
Вопросом, связанным, но не совпадающим с этим, является
вопрос о существовании двойного, или двумерного, предела
lim g(x,y) = A. (35)
х} у-+а, Ъ
При определении этого понятия мы поступаем подобно тому,
как поступали в § 35 при определении непрерывности функции
двух переменных. А именно, соотношение (35) имеет место,
если для любого положительного β найдется такое δ, что
если |я —α|<δ, \у — Ъ\<Ь, то \А — g(x, y)\< г. (36)
Как и в § 35, мы можем показать, что это эквивалентно
требованию выполнения равенства lim g(xn,yn)=A для любой
дискретной последовательности точек (хп, уп), для которой
%п —> а, уп —> 6.
Мы можем доказать, что если один из повторных пределов
существует и если внутренний, т, е. первый, предел дости-

242. ДВОЙНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
117
гается равномерно относительно второго переменного для
множества его значений, рассматриваемого при втором переходе
к пределу, то и двойной предел существует.
Действительно, если при y-~>b, g(x,y) стремится к F (х)
равномерно по χ при \x — a\<h, то для некоторого δ' имеем
\F(x)—g(z,y)\<a для |У_6|<8', |з —α|<λ, (37)
и если повторный предел существует, то
4 = lim [limg (x, y)] = lim F(х). (38)
Таким образом, найдется о" < h такое, что
\А — F(x)\<z для \х~а\<Ьг\ (39)
Из соотношений (37) и (39) заключаем, что
. \A-g(x,y)\<2z, если |ж-а|<8, \у-Ь\<Ъ, (40)
где 8 = min(8',8'/). Это и дает соотношение (36), которое
определяет двойной предел, так что двойной предел существует
и равен повторному.
Так как условия теоремы § 241 содержат требование
равномерного стремления к пределу, откуда вытекает существование
повторного предела, то если условия этой теоремы имеют
место, двойной предел существует и равен общей величине
обоих повторных пределов.
Однако только что доказанная теорема может быть применима
и в том случае, когда только один из повторных пределов
существует. Например,
если g(x,y) = ysin~ , хфО, g(0, у) ■■=(), (41)
и если мы возьмем 0, 0 за значения а, Ь, то получим
lim [lim g (χ, у)] = 0, (42)
и стремление к пределу по у будет равномерным относительно #,
так что двойной предел существует и равен нулю. Однако, если
у Φ 0, а х—>0, то g (x, у) не стремится к пределу, так что
повторный предел, взятый в обратном порядке, не существует.
Отметим также, что двойной предел может существовать
и тогда, когда ни один из повторных пределов не Существует.
Соответствующий пример можно получить, если положить
g(0,y) = g(x,0) = 0, и g{х, у) = (χ2 + у2)sin ~sin - , (43)
если χ Φ 0, у φ 0.

ИЗ ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
243. Непрерывные предельные функции. Соотношения (8)
и (9) показывают, что предельная функция может быть
разрывной на некотором множестве значений, даже если все функции
сходящейся к ней последовательности непрерывны на этом
множестве. Однако, если все функции ff (x) непрерывны в точке а,
и если последовательность этих функций сходится к F(х)
равномерно по χ на некотором множестве, для которого точка
а является внутренней, то F (х) непрерывна в точке а.
Действительно, по теореме § 241 имеем
lim [lim ft (χ)] = lim [lim ft (χ)]. (44)
x^a t t x-±a
Но так как каждая функция ft (x) непрерывна в а, то
lim/,(*) = /, (а). (45)
х-+а
Поэтому из равенства
limft(x)=F(x)
и из соотношения (44) следует, что
lim F (χ) = lim ft (a) « F (a), (47)
x-+a t
что и является условием непрерывности функции F (х) в точке а.
Это имеет место для любого множества, и, следовательно,
Предельная функция F (х) последовательности функций ft (x)
непрерывна на всяком множестве значений, на котором все
функции последовательности ft (x) непрерывны и сходимость
последовательности к F (х) равномерна.
Так как элементарные операции не влияют на
непрерывность, то если члены бесконечного ряда непрерывны на
некотором множестве и этот ряд сходится равномерно на этом
множестве, то сумма ряда будет непрерывна на этом множестве.
Далее, если каждый из множителей бесконечного произведения
является непрерывной функцией на некотором множестве
и произведение сходится равномерно на этом множестве,
то функция, определяемая этим бесконечным произведением,
будет непрерывной на этом множестве.
Во всех этих результатах под множеством можно понимать
замкнутый интервал, т. е. сегмент, причем в силу нашего
соглашения по поводу понятия непрерывности на концах сегмента
и того факта, что наша основная теорема верна при х—>а*
η z—>b~~, результаты будут иметь место и для концов сегмента.
(46)

244. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
119
244. Несобственные интегралы. Пусть
со
F{x)=\g{u,x)du (48)
U
является сходящимся несобственным интегралом для всех
значений параметра х, рассматриваемого на некотором множестве.
Тогда для всякого значения χ из этого множества будем иметь
t
F (χ) = lim \ g (и, χ) du. (49)
f-»oo J
a
Таким образом, мы имеем последовательность функций
t
/f И= \ g{u,x)du, (50)
а
сходящуюся к предельной функции. В силу критерия Коши
§ 240 эта последовательность будет сходиться равномерно, если
для всякого положительного s найдется t% такое, что
г
! ft· (х) - ft" (х) | = | ^ g (и, х) du | < s для Г, t" > t%. (51)
ν
Если g(u, χ) ~ непрерывная функция от и и χ для всех
значений й>а и значений χ из некоторого интервала, то
интеграл из равенства (50) в силу § 220 будет непрерывной
функцией от х. Поэтому, если в этом случае последовательность
ft (χ) равномерно сходится относительно χ на рассматриваемом
интервале, то, по теореме § 243, предельная функция, т. е.
интеграл (48), будет непрерывной функцией от х.
Мы можем применить этот результат к несобственным
интегралам второго рода, лишь слегка видоизменив эти рассуждения.
Можно определить несобственные повторные интегралы как
пределы собственных повторных интегралов. Если повторные
лределы
χ у
lim lim \ du V f(u, υ) do (52)
X-+co L y~*oo J «' J
" a b
χ у
lim lim \ du \ / (u, v) dv (53)
u /У А

120
ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
оба существуют, то из того, что
χ у ух
\ du \ / (и, v) dv = \ dv \ f (и, υ) du (54)
a b b a
следует, что несобственные интегралы
оо оо оо оо
\ du \ / (и, ό) do и \ dv \ / {и, υ) du (55)
а Ъ b a
существуют и имеют одно и то же значение.
Если один из интегралов (55) существует, когда мы
заменяем в нем f (и, υ) через g(u,v), причем | / (и, г?)|<§ (и, υ), то
оба интеграла (55) существуют и равны друг другу, что видно
из рассмотрения двойного ряда с положительными членами
л-И πι+ί
22аггш' где amri= \ du \ g(u,v)dv, (56)
η т
245. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса*
Важный и полезный признак равномерной сходимости ряда
дается следующей теоремой:
Если ^Мк— сходящийся ряд с положительными членами,
а ^ик(х) — ряд функций и если для всех к и для всех значений
χ из некоторого множества имеет место неравенство
\щ(х)\<Мк, (57)
то ряд Σ ик (х) сходится равномерно относительно всех χ из
этого множества.
Так как ряд с общим членом Мк сходится, то, по теореме
§ 188, для любой положительной величины г найдется такое
натуральное число iVe, что для всякого целого числа к > 7V6
и всех натуральных чисел ρ имеет место неравенство
| Mk+i + Мк+г + ... + Мк+Р | < ε. (58)
Но из условия (57) следует, что
Ι Σ ик+г (χ)\< Σ \ик+г(х)\ < |] Мк+Г. (59)
Так как все Мк положительны, то последняя сумма равна
сумме, стоящей в левой части неравенства (58), и
ι Σ ик+г (х) I < s> если к > N* и Ρ > °· (Щ
Таким образом, частичные суммы ряда Σ ик (х) удовлетворяют
критерию сходимости Коши равномерно относительно рассмат-

245. ПРИЗНАК РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ВЕЙЕРШТРАССА 12ft
риваемого множества значений х> и поэтому в силу § 240 ряд.
сходится равномерно по χ на рассматриваемом множестве. Это
доказывает теорему.
Условие теоремы является достаточным, но не необходимым
признаком равномерной сходимости.
Действительно, для некоторых равномерно сходящихся рядов-
может не существовать сходящегося ряда с постоянными
членами Мк, для которого выполняется условие (57).
Пусть, например, множество значений χ будет 0<#<1
и пусть
ик(т) = 0, если x=bj, и и*(4) = 1· (61>
Остаток после N первых членов этого ряда может быть сделан.
ι
меньше ©, если взять N > — , так что этот ряд сходится рав~
номерно. Однако для всякого ряда ^ Мк> удовлетворяющего
условию (57) на всем интервале 0 < χ < 1, будем иметь
Mk>-j , так что ряд ^]Мк будет расходящимся.
Вместо того чтобы пользоваться сходящимся числовым рядом
с положительными членами, можно воспользоваться
функциональным рядом, равномерно сходящимся на данном множестве-
значении х, все члены которого тк (х) являются положительными
функциями от χ и такими, что
\ик(х)\<тк(х). (62}
В этом случае из результатов § 240 следует, что для
некоторого NB будет иметь место неравенство
| 53 ™>к (х) | < г> если к > iVe и р>0. (63}
/•=1
Мы можем воспользоваться этим неравенством вместо
неравенства (58) и повторить все следующие за ним рассуждения
в доказательстве теоремы.
В случае, когда имеет место неравенство (62), мы говорим,
что функция тк(х) мажорирует функцию ик(х). Если это имеет
место для всех к, мы говорим, что ряд ^]тк(х) мажорирует
ряд ^ик(х). Только что доказанное утверждение может быть
сформулировано в виде следующей теоремы.
Бесконечный функциональный ряд сходится равномерно
относительно некоторого множества значений х, если его можно
мажорировать бесконечным функциональным рядом с
положительными членами, равномерно сходящимся относительно этого же
множества значений х.

122
Г ЛАБА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Так как рассуждения при доказательстве двух последних
теорем остаются в силе для рядов Σ Iй* 0*01» то отсюда следует,
что эти ряды сходятся абсолютно для всех значений χ из
данного множества.
Мы можем распространить наши рассуждения на
несобственные интегралы и доказать, что
Несобственный интеграл
оо t
\ g (и, х) du = lim \ g (и, χ) du (64)
a a
сходится равномерно на некотором множестве значений х, если
для всех и^а и для всех χ из этого множества значений имеет
.место неравенство
\g{u,x)\<M(u), (65)
где Μ {и) — неотрицательная функция, для которой
\ Μ (и) du (66)
а
сходится.
Доказательство этой теоремы основано на том факте, что из
неравенства (65) следует, что
ν ν t*
\ g (и, χ) du\ < \ ] g (u, x) | du < \ Μ (и) du. (67)
ν ν ν
Эти неравенства позволяют, воспользовавшись критерием Коши
,для последовательности интегралов, сходящейся к интегралу (66),
установить выполнение критерия Коши для последовательности
интегралов, сходящейся к интегралу (64), и записать это в виде
неравенства (51). Так как неравенство (51) выполняется
равномерно по х, то отсюда следует равномерная сходимость
интеграла. Подобный же результат имеет место и для несобственных
интегралов второго рода.
Мы установили этот результат при помощи сравнения с
функцией Μ (и), не зависящей от х, ибо это является наиболее
важным и часто встречающимся на практике случаем. Более общим
результатом будет:
Несобственный интеграл от функций g (и, х) по и сходится
равномерно по χ на некотором множестве X, если для всех
значений и из множества U, где U — область интегрирования,
и всех χ из множества X функция g(u, x) мажорируется
неотрицательной функцией т(и, х) для которой интеграл по и,
распространенный на область U, сходится равномерно относи-

246. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ
123
тьелыьо ху принадлежащих X. Для любого х, принадлежащего
X, несобственный интеграл от g (и, х) сходится абсолютно.
Этот результат доказывается так же, как и предыдущий,
если воспользоваться неравенством
| g(u,.х)\ <т(гг, х), и принадлежит U, χ принадлежит X (68),
т доказать, что
V Г V
\ g (и, х) du < \ | g (и, х) | du < \ т (и, х) du. (69)
/' ν ν
Область интегрирования U может быть бесконечным
интервалом {а, со), как в соотношении (64), или интервалом {а, с)
т случае несобственного интеграла второго рода.
Признак равномерной сходимости Вейерпгтрасса основан на
^признаке сравнения. Всякий другой признак сходимости
бесконечного ряда несобственного интеграла или бесконечного
произведения может быть применен для доказательства
равномерной сходимости по х, если этот признак устанавливает место
\в последовательности, не зависящее от xt начиная с которого
разность между приближением и пределом будет мала.
'246. Интегрирование рядов. Если дана последовательность
функций, то предел последовательности интегралов от этих
функаадй ш интеграл от предельной функции последовательности
могут существовать, но не быть равными друг другу. В
качестве примера рассмотрим
ft (χ) = β~ίχ2 2tx. (70)
Здесь имеем
ч
е-4х 2ΐχ άχ =
[ = ί -е'', (71)
так что
ι
lim[e-tx22txdx = i. (72)
lim е-**2%х = 0, (73)
1
\ lim {e-i*22tx)dx = 0. (74)
Однако можно доказать теорему, аналогичную теореме § 241,
,а именно:
Но
так что

d24 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Если каждая функция ft (χ) непрерывна по χ для каждогФ
α<χ-<ό и если ft(x) стремится к предельной функции F(х}\
равномерно по χ для а<#<.6, то
ъ ъ
lim \ ft (χ) dx и \ lim ft (x) dx (75),
α α
оба существуют и равны между собой.
В силу теоремы § 243 предельная функция F (х) будет
непрерывной, а следовательно, интегрируемой. Поэтому интеграл:-
ъ ъ
[ lim ft (x) dx = С F (x) dx (16)
а а
существует*
В силу предполагаемой равномерной сходимости для всякого'
положительного з найдется такое /ε, что
| F{x)— ft (x)\ < s для t, следующих за ΐ6, α<^<6. (77)*
Отсюда следует, что
ъ ъ ъ
\^F(x)dx-\ ft{x)dz\ = \\[F(z)-ft(z)]dz\
а а а
Ъ
<\\F{x)--U(x)\dx<\b-a\*» (78>
а
Последнее неравенство показывает, что
ь ъ
lim \ ft(x)dx=\F(x)dx. (79>
a a
Таким образом, предел, стоящий слева, существует. Из сравнения
соотношений (76) и (79) следует, что оба предела равны, что
и утверждается теоремой.
Рассмотрим ряд 23 ик(х) из интегрируемых функций и образуем.
χ
ряд 2 \ ик (х) dx, который будем называть проинтегрированным
а
рядом или рядом, полученным почленным интегрированием*
Для суммы конечного числа членов имеем
η χ χ η
2 \ ик (х) dx = \ 2 uk (х) dx- (80>
k~i а а /с =1

246. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ
125
'Если вое ик (х) —- непрерывные функции, то п-я частичная сумма
;ряда
η
*.(*)= 2 «*(*) (81)
будет также непрерывной функцией. Если ряд сходится к s(x)
равномерно для я<#<6, то можно применить к sn(x) только
^то доказанную теорему и заключить, что для всех х, а<#<6,
>будет иметь место равенство
χ χ
lim \ sn (χ) dx = \ s (x) dx. (82)
π -> οο J J
a a
Так как интеграл, стоящий в левой части, является рядом,
полученным почленным интегрированием, то отсюда следует,
*ш> при выполнении указанных выше условий этот ряд будет
-сходиться к интегралу от суммы первоначального ряда функций.
Далее, пусть
<z<6<.B и, следовательно, (6 — а)з<(5 — а) е. (83)
Тогда, если в неравенстве (78) правая часть равна {В—-а) г,· то
оно выполняется для всех 6, удовлетворяющих соотношению (83).
Этим доказано, что сходимость первого интеграла (75) равномерна
зю о.
Эти разультаты могут быть сформулированы в виде
следующей теоремы:
Бесконечный ряд непрерывных функций, сходящийся
равномерно по χ для а<Сх*СВ к функции s(x), можно почленно
интегрировать на интервале а, х, и полученный новый ряд сходится
к интегралу от s(x), взятому от а до х. Проинтегрированный
ряд сходится равномерно по х, для «<#<£.
Мы можем также применить первую теорему этого параграфа
к несобственным интегралам. Если несобственный интеграл
со t
\g(u, x) du= lim \g(u, x)du (84)
сходится равномерно по х для α<#<6, то имеем
Ъ оо Ь t
V dx \ g (и, χ) du = lim \ dx \ g {u, x) du. (85)
a r a r
Но для обычного интеграла от непрерывной функции двух
переленных имеем
Ъ t t b
\ dx \ g (и, χ) du = \ du \ g {u, x) dx, (86)

126
ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
так что при наших предположениях
Ъ оо оо Ъ
\ dx \ g{u, χ) du = \ du \ #(и, #) d#* (87))
а г га
Аналогичный результат
Ъ с с Ъ
\ dx\ g(u, x)du=\du\g{и, χ)dx (88$*
a r га
имеет место, если подинтегральная функция g (и> х) непрерывна
с
по обеим переменным а<ж<5и /·< и < с и интеграл \ g (и? х) dm
г
является несобственным интегралом второго рода,, равномерно
сходящимся относительно χ для а<#<6.
247. Мажорируемые последовательности. Если для всех ir
начиная с некоторого, имеет место неравенство
\ft(x)\<g(x), (89>
то говорят, что неотрицательная функция g(x) мажорирует
последовательность ft(x)-
Мы можем доказать первую теорему предыдущего параграфа,
заключающуюся в равенстве (75), в предположении, что условия
теоремы могут нарушаться в конечном числе точекг но для
каждой из этих точек существует интервал, содержащий эту
точку, на котором последовательность мажорируется
интегрируемой на этом интервале функцией g(x). Для доказательства
достаточно будет рассмотреть одну такую точку, приняв ее за.
правый конец интервала, и тогда теорема сформулируется
следующим образом:
Если каждая из функций ft(x) непрерывна для а<Сх<с,
последовательность ft (χ) сходится к предельней функции F (х)>
для этих значений х, эта сходимость равномерна по χ на всяком
сегменте а<#<6, где Ь —любое число, удовлетворяющее
неравенству а < b < с, и если наша последовательность мажорируется
на некотором открытом интервале с,' с интегрируемой на этом:
интервале функцией g(x), то
с с
lim ^ ft (χ) ώ и ί lim ft (x)dx (90>
существуют и равны между собой.

247. МАЖОРИРУЕМЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
127
Для доказательства выберем малую положительную величину г.
и число с" такое, что с' < с" < с и
с
\g(x)dx<s. (91)»
С"
Это можно сделать вследствие интегрируемости функций g(x\
на интервале (с\ с). И так как g(#)>0, то можно взять с" > а.
Так как каждая из функций ft(x) непрерывна для а^х<с
и мажорируется на интервале с/с интегрируемой функцией g(x),,
с
то существует интеграл \ft(x)dx. Следовательно,
а
с c-h
^ft(x)dx= J ft(x)dz + B*, (92)>
где
|θ|<1, если с" <c — h<c. (93)
Кроме того, из первой теоремы § 246 можно заключить, что
следующие выражения существуют и равны между собой:
c-h c-h
lim \ ft(x)dx— \ limft(x)dx. (94) *
α α
Но так как подинтегральная функция в правой части
мажорируется функцией g(x) в интервале с[с, то отсюда следует, что
интеграл с верхним пределом с существует и что
с c-h
\ lim ft(x)dx = ^ lim/f(z)dz + 6'3, (95)
где | θ' |< 1.
Если выберем V так, что для всех t, следующих за V,
интеграл, стоящий в левой части равенства (94), отличался бы от
своего предела на величину, не превосходящую г, и если примем
во внимание соотношения (92) и (95), то найдем, что
с с
\ lim ft (x) dx— \ ft(x)dx <3s для t, следующих за V. (96)
α α
Так как ε произвольно, то отсюда следует, что
с с
lim { ft (x) dx=[ lim ft (x) dx, (97>
a a
что и доказывает теорему.

128
ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
В частности, эта теорема имеет место, если функции ft (x)
равномерно ограничены, так как в этом случае в качестве
функции g(x) можно выбрать постоянную.
Эта теорема может быть применена к рядам так, как это
сделано в предыдущем параграфе, если их частные суммы или
равномерно ограничены, или мажорируются интегрируемой
функцией.
Мы можем также применить эту теорему к несобственным
интегралам. В некоторых случаях это дает нам возможность
изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, когда
оба интеграла являются несобственными, а внутренний интеграл
равномерно сходится относительно урезанного множества
значений, определяемого пределами переменного внешнего
интегрирования, и, кроме того, мажорируется интегрируемой функцией.
Например, если, кроме условий, наложенных нами для
выполнения соотношения (87), мы наложим еще условие
t
[g(u,x)du<cG(x), с' < χ, (98)
г
где функция G{x) интегрируема на интервале от с' до оо, то
можно заключить, что
оо оо оо оо
\ dx \ g(u, x)du = \ du \ g(u, x)dx. (99)
а г га
248. Дифференцирование рядов. Предположим, что
последовательность функций ft{x) такова, что
limft(a) = F(a) (100)
t
и последовательность непрерывных функций
8Л*)=Ул*) (ιοί)
сходится к функции G(x) равномерно для х, принадлежащих
сегменту ·α<χ< 6. Тогда существует функция F (х), к которой
сходится первоначальная последовательность ft(x), и
F'(x)^G(x). (102)
Действительно, применяя теорему § 246 к последовательности
£t(x), найдем
X X
lim\gt(x)dx = {G(x)dx. (103)

24S. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ
129
Кроме того, имеем
X X
\ gt (χ) dx=\yt (χ) dx = ft (*) - ft («), (104)
α α
так что
χ
/<(*) =7t («)+$£* Μ ^ (105)
α
Отсюда и из соотношений (100) и (103) имеем
χ
Mm ft (x) = F (a) + \ G (x) dx. (106)
a
Таким образом, предел в левой части этого соотношения
существует и равен F (а) при х = а. Обозначим этот предел F (х)л
Тогда
X
F{x)=:F(a)+\)G(x)dx. (107)
а
Отсюда следует, что функция F (х) имеет производную и что
Ff (x) — G(x); таким образом, при наших предположениях
производная от предела существует и равна пределу производной.
Заметим, что условие (100) является необходимым, как
показывает пример
Л(я) = Н-у, где ί-^οο. (108)
Здесь
так что на любом ограниченном интервале значений х, например
0<.#<1, функция g't (x) непрерывна и равномерно сходится
к пределу G{x)—0. Однако не существует предельной функции
F (х), для которой G (х) является производной, так как для
любого значения χ последовательность ft{x) расходится при
t —> оо.
Для каждого функционального ряда ^ик(х), каждый член
которого является дифференцируемой функцией, можно составить
ряд 2-9~M/c(r) или 2иа(ж)> который получается почленным
дифференцированием из первоначального ряда. Мы можем теперь
применить предыдущие рассуждения к бесконечному ряду и
получить теорему:

130 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Бесконечный ряд функций, каждая из которых имеет
непрерывную производную, можно дифференцировать почленно;
полученный при этом новый ряд сходится к производной от суммы
первоначального ряда, если первоначальный ряд сходится в
некоторой точке сегмента #<#<;& и если ряд, полученный почленным
дифференцированием, равномерно сходится относительно χ на
этом сегменте.
Последние условия обеспечивают сходимость исходного ряда9
т. е. существование функции, являющейся суммой этого ряда,
и существование производной от этой суммы.
Можно применить подобные рассуждения к несобственным
интегралам обоих родов. Для интегралов первого рода имеет
место теорема:
Если несобственный интеграл
оо
\ g(u, x)du (НО)
г
сходится в некоторой точке сегмента α<#<6 и производная
~g(u, χ) непрерывна по обеим переменным для α<#<6 и и > г
и такова, что несобственный интеграл
оо
[ух8(и> x)du (HI)
Г
сходится равномерно по χ для α<#<6, то интеграл (110)
сходится для всех значений χ из этого сегмента и имеет в этом
сегменте производную по х, выраженную интегралом (111).
Перестановка операции дифференцирования и некоторого
предельного перехода может быть иногда оправдана установлением
соответствующего результата для интегрирования при помощи
теорем из § 247 или теорем, которые мы получим в § 251 и 253,
249. Сходимость в среднем. Последовательность функций ft (x)
называется сходящейся в среднем к функции F (х) на интервале
а, Ъ, если интеграл от квадрата ошибки
ъ
Et=^\F(x)-ft{x)\*dx (112)
а
стремится к . нулю, когда t—>oo. Так как подинтегральная
функция всегда положительна или равна нулю, то если
\F (χ) — ft (χ) Ι > Μ на одном или нескольких частичных
интервалах общей длины L или на множестве жордановой меры L,

249. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ
431
ТО
Et>M*L. (ИЗ)
Поэтому Et не может быть меньше г, если | F(x) — ft (χ)\ > к
на множестве жордановой меры, превосходящей ~л Отсюда
видно, что ограничение, накладываемое на JEt, влечет за собой
ограничение величины | F(x)— ft(х)\ в среднем.
Если | F(x) — ft (x)\ < з во всем интервале, то
£ί<32|6_α|, (114)
и отсюда следует, что если последовательность функции ft(x)
сходится к F (х) равномерно, то она также сходится и в
среднем на любом конечном интервале а, Ь. Однако
последовательность может сходиться в среднем, не сходясь ни в одной точке.
Для построения примера расположим замкнутые интервалы
[«•4l· [in]; [С I]; [4,^];
[-bil· [ί·'][<>■ il·- <"5>
по порядку и обозначим п-ж интервал через 1п. Затем
определим дискретную последовательность функций fn(x) следующим
образом:
/п(#) = 1, если χ принадлежит /п, и
fri(x) = 0, если х не принадлежит/^ (116)
Для этой послед стельности функций имеем
1
$ I ° — /* И I2 dx = длине Гп- (117)
о
Так как длина 1п стремится к нулю, когда п—>оо, то эта
последовательность сходится в среднем к ί(2;) = 0 в интервале
ОД. Однако последовательность не сходится ни для одного
значения χ из этого интервала, так как для любого заданного х,
скажем х0, найдутся функции fn(x) со сколь угодно большим
номером п, для которых /п (х0) = 0, а также найдутся другие
сколь угодно большие значения п, для которых fn(x0)=l.
Важность понятия сходимости в среднем заключается в том,
что, применяя некоторые процессы интегрирования к
последовательностям, сходящимся в среднем, мы придем к
последовательностям, сходящимся в 'обычном смысле. Чтобы это показать,
вам понадобится одно неравенство, которое мы сейчас выведем.

432 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
250. Неравенство Шварца. Пусть f (х) и g (χ) —
действительные функции, произведения и квадраты которых интегрируемы
на интервале а, Ь. Образуем повторный интеграл
Μ'^Ιίω ш\** (118>
а а
возведем в квадрат подинтегральное выражение и сведем
повторный интеграл к произведению обыкновенных интегралов,
изменив при этом немое переменное у на х\ тогда получим
ъ ъ ъ
1 = 2 ^[f(x)]2dx \ [gXx)]2dx-2[^f(x)g(x)dxY. (119)
а а а
Так как подинтегральная функция в (118) является полным
квадратом, то значение / положительно или равно нулю.
Поэтому в силу (119) имеем
ь ъ ь
[ \ f (χ) g (χ) dx ]2 < ξ [/ (χ)]* dx ^ [g (x)\* dx. (120)
a a a
Это и есть неравенство Шварца. Оно утверждает, что квадрат
интеграла от произведения двух функций не превосходит
произведения интегралов от квадратов этих функций.
251. Интегрирование и сходимость в среднем. Мы
применим неравенство Шварца к доказательству^ того, что если
последовательность ft(x) сходится в среднем к F (х), а
последовательность Gt(x) сходится в среднем к G(x) на интервале а9 Ь
и если некоторые входящие в рассмотрение интегралы
существуют, то
ь ъ
lim \ ft (χ) gt (χ) dx = \ F (χ) G (χ) dx. (121)
α α
Начнем с применения неравенства Шварца (120) к функциям
[F(x)~ ft (x)] и G(x). Получим
ь
[\[F(x)-ft(x)]G(x)dx]2<
a
b b
< ^ [F(x)-ft (x)]*dx ^ [G(x)]*dx, (122)
a a
если эти интегралы существуют. Существование первого
интеграла в правой части вытекает из сходимости в среднем ft (x)
к F (х)> Второй интеграл в правой части будет существовать,

251. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ 138
если предположить, что функции F (х) и G(x) являются
функциями с интегрируемым квадратом. Если мы предположим, что
интеграл в левой части делается собственным интегралом после
удаления из области интегрирования конечного числа
интервалов сколь угодно малой длины, то этот интеграл будет
сходящимся несобственным интегралом в силу неравенства (122),
примененного к измененному интервалу интегрирования.
Заметим теперь, что в правой части неравенства (122)
второй сомножитель не меняется с изменением t, тогда как первый
сомножитель стремится к нулю, когда t пробегает
последовательность своих значений. Следовательно, это верно и для левой
части, так как она или положительна, или равна нулю. Отсюда
видно, что если интеграл в правой части существует, то
ъ ъ
lim \ ft (x) G{x)dx=\F (x) G (χ) dx. (123)
α α
Это равенство является важным частным случаем равенства
(121), в котором все gt(x) тождественно равны G(x). Поменяв
F (х) и G(x) местами, получим аналогичным образом
ъ ъ
lim ^ gt(x)F{x)dx=\F(x)G(χ)dx. (124)
α α
Теперь применим неравенство (120) к функциям [F (x) — ft(x)]
и [G(x) — gt(x)]. Получим
ъ ъ
1\ < J [F (χ) - U (ζ)]* dx ^ [G (χ) - gt (χ)γ dx, (125)
α α
где
ъ
It=\[F (*) - ft (x)] [G (x) - gt (x)] dx =
a
b b
=Д F(z)G(x)dz—\F(z)gt(z)dz —
a a
b b
-]G(x)ft(x)dz+\ff{x)gt(x)dx. (126)
a a
Вследствие предполагаемой сходимости в среднем, видим, что
правая часть соотношения (125) стремится к нулю, когда t
пробегает последовательность своих значений. Следовательно,
левая часть будет также стемиться к нулю, так как Ц>0.

134 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Но второй и третий члены правой части соотношения (126)
стремятся к своим пределам, заданным соотношениями (123)
и (124), тогда как первый член не зависит от t. Поэтому
ъ
и интеграл \ /, (х) gt (χ) dx должен стремиться к пределу, и этот
а
предел равен
ъ ь
lim \ ft(x)gt(x)dx=^F(x)G(x)dx, (127)
a a
что и надо было доказать. Мы уже отметили частный случай
нашего равенства, выраженный равенством (123). Дальнейшее
упрощение получим, положив gt (x) — G(x) = 1, что даст
ъ ь
lim \ ft (x) dx = S^F (x) dx. (128)
a a
Это показывает, что если последовательность функций
сходится в среднем к предельной функции, то последовательность
интегралов сходится к интегралу от предельной функции,
Так как подинтегральная функция в соотношении (112)
положительна, то, если последовательность функций сходится
в среднем к F (х) на а, Ь, она сходится в среднем на любом
интервале, содержащемся в а, Ь. Поэтому мы можем заменить
пределы интегрирования а и b в таких соотношениях, как (123),
(127) и (128), любыми двумя значениями, лежащими в
замкнутом интервале а, 6. В частности, можно взять интегралы от а
до х, где χ — некоторая точка интервала, и сходимость будет
равномерной. Многие из результатов остаются в силе и для
случая беконечных пределов интегрирования, таких, как а, оо
или —оо, -foo. Однако для таких областей интегрирования
равномерная сходимость уже не влечет за собой сходимость
в среднем, и мы не сможем вывести соотношение (128), так как
положительная постоянная не интегрируема на бесконечном
интервале.
252. Приближение в среднем. Если
ъ
Ei},g)=\\g(x)-f{x)\*dx (129)
а
не превосходит г, то мы говорим, что функция / (х) приближает
в среднем функцию g (х) на интервале a, b с точностью до г.
Если мы имеем три функции и f(x) приближает g{x), a g(x)

253. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ 135
приближает h (χ), то между мерами их приближений существует
следующее соотношение:
[E(f, h)Y < [Ε {f, g)]* + [E(g, A)]'2, (130)
где все квадратные корни взяты с положительными знаками.
Для доказательства положим
A{x) = \h{x)-g(x)\, B(x) = \g(x)-f(x)\. (131)
Тогда
\h(x)-f(x)\<A{x)+B (x). (132)
Теперь неравенство (130) будет доказано, если покажем, что
6 ι
{^[А(х) + В(х))*ах}*<£
а
b | Ь 1
<{^ [A(r)]*dxy+{\[B(r)fdxY (133)
а а
для любых двух функций А (х) и В(х). Так как обе части этого
неравенства положительны, то это неравенство будет следствием
неравенства, полученного при возведении обеих частей в квадрат.
Проделав это и взаимно уничтожая соответствующие члены,
придем к неравенству
ъ ъ ι ь ι
2^ A.{x)B(x)dx<2 i[ [A(x)]*dx\*l\ [5(x)]«rf!»}2. (134)
α α α
Но это неравенство следует непосредственно из неравенства
Шварца, и тем самым неравенство (130) доказано.
Отсюда следует, что если g (х) приближает в среднем h (x)
с точностью до ε, а / (х) приближает в среднем g (х) с точностью
до е, то / (х) приближает в среднем h (x) с точностью до 4з.
253. Бесконечные ряды и сходимость в среднем. Мы будем
говорить, что бесконечный ряд сходится в среднем к функции,
являющейся суммой этого ряда, если последовательность era
частичных сумм sn(x) сходится в среднем к функции s(x). №
соотношения (128) следует, что если ряд сходится в среднем к функ·
ции$(#), то ряд, полученный почленным интегрированием, сходит·
ся к интегралу от s (x), если выполнены предположения об
интегрируемости. Далее, из соотношения (123) видно, что ряд,
полученный умножением каждого члена на функцию G (х) с
интегрируемым квадратом и затем почленно проинтегрированный.,
сходится к интегралу от s(x)G(x).

336 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
254. Равностепенная непрерывность. Рассмотрим
последовательность функций ft(x). Каждая из этих функций непрерывна
в точке х0, если для каждого положительного г найдется такое δ,
что
\ft(x) — ft(xo)\<e> если |я —аг0|<8. (135)
Возможные значения δ зависят, вообще говоря, от значений з, х0
и от частного значения t, определяющего данную функцию. Мы
уже показали, что функция, непрерывная во всех точках зам-,
кнутого интервала, скажем а<#<6, равномерно непрерывна на
этом интервале. Поэтому если предположим, что каждая из
функций непрерывна на замкнутом интервале а, 6, то для
всякого ε и t можно найти δ, не зависящее от х.
Если для всякого положительного з можно найти δ, одно
и то же для всех t, т. е. для всех функций последовательности,
то последовательность функций называется равностепенно
непрерывной. Свойство равностепенной непрерывности состоит в том,
что непрерывность не только равномерна по переменному х, но
также равномерна относительно всех рассматриваемых функций.
Для одной или для конечного числа функций, определенных на
замкнутом интервале а, Ъ, равностепенная непрерывность
автоматически выполняется. Однако для бесконечного числа
непрерывных функций это свойство накладывает некоторые
ограничения. Мы можем применить его к бесконечному множеству
функций, не обязательно упорядоченных в последовательность, и
определить, что
Множество функций называется равностепенно непрерывным
на замкнутом интервале а, Ь, если для каждого положительного
з найдется такое значение 8е, что для всякой функции f (x) из
нашего множества будеть иметь место неравенство
\f(x) — f (х0) | < з, если \х — х0\<о, (136)
где χ и х0 означают любые две точки замкнутого интервала.
Важное следствие равностепенной непрерывности дается в вида
следующей теоремы, принадлежащей Асколи:
Из любого бесконечного множества равностепенно
непрерывных и ограниченных в совокупности функций можно выбрать
подпоследовательность функций, сходящуюся к предельной функции
равномерно на всяком сегменте, на котором первоначальное
множество функций равностепенно непрерывно.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим счетное
множество точек, всюду плотное на сегменте я<#<6, т. е. такое
множество точек, которое может быть перенумеровано: гг, г2, г3, ...,
и такое, что каждая точка сегмента α<#<6 является
предельной точкой этого множества. Одно из таких множеств образуют
точки сегмента, имеющие рациональные координаты.

254. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Ш
Рассмотрим теперь совокупность значений функций нашего
множества в точке гг. Если в этой совокупности имеется только
конечное число различных значений, то мы можем* выбрать
бесконечное подмножество функций
fn(x), /12 (*)> fis(x), ·■·> (137)
которые в точке гг имеют одно и то же значение F (гг). В
случае, когда имеется бесчисленное множество различных значений
в данной точке, существует верхний предел, потому что все*
функции ограничены в совокупности. В этом случае можн9
выбрать бесконечное подмножество функций (137), значения
которых в гг стремятся к пределу F (гι).
В обоих случаях имеем подмножество функций flk {x), таких>
что
lim, flk{ri) = F{r1). (138)
к ->со
Теперь рассмотрим совокупность значений функций flk (#)
в точке г2. Рассуждая аналогичным образом, мы можем выбрать
подмножество этих функций, которое обозначим
/21 (*) > /22 И» /2з(*)> ·-·, (139).
таких, что
lim f2k(r2) = F(r2). (140).
А-»оо
Продолжая таким же образом, получим счетное число
последовательностей fnk(x)> таких, что
lim fnk(rn) = F(rn), (141)
Л—>со
и каждая последовательность fvk (χ) является
подпоследовательностью предыдущей последовательности fn_lfk(x)- Наконец,
рассмотрим диагональную последовательность
/ιι(*), /22 О*), /зз(*)> ··· (142)
Для всякого значения η все члены этой последовательности,,
начиная с тг-го, образуют подмножество функций fnk. Поэтому
из соотношения (141) следует, что
lim fkk(rn) = F(гп). (143)·
7с->со
Так как это верно для всех п, то последовательность
функций (142) стремится к пределу во всех точках всюду плотного-
множества чисел гп. Для простоты в дальнейшем будем писать
fk(x) вместо fkk(x), опуская один из индексов.
Теперь выберем положительное число β и число 8е, для
которых выполняется условие (136) для всех значений из сегмента а, 6..

M38 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Это можно сделать вследствие равностепенной непрерывности
множества функций. Разделим сегмент а, Ь на сегменты длины,
меньшей чем γ. Так как точки гп расположены всюду плотно
на интервале а, 6, то в каждом из этих сегментов можно
выбрать одну из этих точек. Тогда конечное множество точек грУ
где ρ < Ρ таково, что каждый интервал длины δε,
расположенный на а, Ь, будет содержать по крайней мере одну из точек гр.
Так как последовательность fkk(x), или просто fk{x), такова,
^что
lim fk (rp) = F (rp); ρ = 1, 2, ..., Ρ, (144)
k-*oo
то можно выбрать N таким, чтобы
l/.W-^WK· Для n>N,p<P. (145)
Действительно, можно проделать это для каждой
последовательности и надо только взять наибольшее из полученных таким
образом значений N.
Рассмотрим теперь некоторое значение χ на сегменте а, 6.
Юно может принадлежать множеству гп9 а может ему и не
принадлежать. Для некоторого значения ρ, ρ < Ρ, имеем
\гр-х\<К. (146)
Тогда вследствие условия равностепенной непрерывности
«будем иметь:
\fk(rp) — fk(x)\ <e Для всех к. (147)
В частности, для любых двух значений йип', больших чем N,
* будем иметь из последнего соотношения
I/„('„)-/„(*)!<«. (148)
l/n'W-/»-(*)|<· (149)
Но из соотношения (145) имеем:
|/»е-р)-Ы^|<28. (150)
'Из последних трех соотношений заключаем, что
\fn(x)-fn>(x)\<b* Для n,n'>N. (151)
Это показывает, что для любого χ из интервала a, b
последовательность функций fk(x) стремится к пределу, когда к —>оо.
Обозначим этот предел F (х). Таким образом,
lim fk(x) = F(z). (152)
к -*оо

255. ПРИЗНАК РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ 139
Кроме того, так как число N, фигурирующее в соотношениях
(151) или (145), не зависит от х, то эта сходимость будет
равномерной. Наконец, так как все функции последовательности
непрерывны, то предельная функция F (х) также непрерывна
в силу теоремы § 243. Таким образом, теорема доказана.
Вместо требования ограниченности множества функций на
всем интервале достаточно потребовать ограниченности значе-
лий всех функций в одной точке. Действительно, выбирая δ
соответствующим числу г по условию равностепенной
непрерывности, мы можем затем взять натуральное число η столь
большим, чтобы \Ь— α | < τζδ, и разделить сегмент а, Ъ на тг равных
сегментов точками х{.
Тогда, так как
\f(x)-~ f(xi^.1)\ < з, если хг_г < χ < х{, (153)
то
\f(x)-f(x0)\<m; (154)
здесь # —произвольная точка интервала а, 6, a x0 — точка, в
которой значения всех функций ограничены, так что
\f(x0)\<M. (155)
Из последних двух неравенств имеем
\f(x)\<M+m9 (156)
так что все функции ограничены во всех точках интервала.
Более того, мы можем потребовать только, чтобы множество
значений всех функций в одной точке содержало сходящуюся
последовательность, так как это ведет к бесконечному
подмножеству функций, значения которых ограничены в точке.
То, что условия такого рода необходимы в добавление к
условию равностепенной непрерывности, видно из примера
дискретной последовательности функций fn (χ) = п. Это множество
равностепенно непрерывно, так как любое положительное число может
быть взято в качестве δ для всех положительных значений з
из условия равностепенной непрерывности. Однако из этого
множества нельзя выбрать ни одного сходящегося подмножества.
255. Признак равностепенной непрерывности. В § 128 мы
показали, что если функция имеет равномерно ограниченную
производную /' (х) в каждой точке сегмента, так что
\Г(х)\<М, (157)
то для любых двух точек этого сегмента имеет место
неравенство
\f(xi)-f{xi)\<M\x2-x1\ (158)

140 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Мы называем последнее неравенство условием Липшица. Это
условие влечет за собой непрерывность функции, и мы можем;
взять
-^ в качестве значения для οε (159)
в определении непрерывности.
Отсюда следует, что если все функция множества
удовлетворяют условию Липшица с одной и той же постоянной для всех
функций, то это множество функций будет равностепенно
непрерывно.
Таким образом, если каждая из функций множества имеет
производную и все эти производные ограничены одним и тем же^
числом, то это множество функций будет равностепенно
непрерывным.
При некоторых условиях семейство функции
ь
f{x)=\jK(x,y) g(y)dy (160)
а
образует семейство равностепенно непрерывных функций.
Действительно, если К(х, у)—фиксированная непрерывная
функция двух переменных χ и у при α < г/ < 6 и χ из
рассматриваемого сегмента, и если множество функций g(y) равномерно
ограничено или удовлетворяет условию
ъ
\\g{y)\*dy<M, (161>
а
где М—одно и то же для всех функций g{y), то равенство (160)
определяет множество равностепенно непрерывных функций.
Для того чтобы это показать, напишем
ъ
/(*)-/ (х0) = \ [К (х, у) - К0 (х, у)] g (у) dy. (162)
а
Применяя неравенство Шварца, получим
ь ъ
U (х)- (*о)]2< \ [К(х, у)-К (х0, у)]· dy jj [g (г/)Р dy. (163)
α α
Из предполагаемой непрерывности К (х, у) следует, что
\К{х,у) — К (х0, у)|<г, если | χ — χ0 |< Ъв, а < у < 6. (164>

256. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
141
Таким образом, отсюда и из соотношения (161) заключаем,
*ιτο
[/ (я) - / (х0)]2 < I Ъ - а |2 Жг2, если \х-х0\<Ъв. (165)
•Это неравенство доказывает, в силу произвольности в, что
■функции f (χ) образуют множество равностепенно непрерывных
«функций.
256. Случай нескольких переменных и случай комплексных
переменных. Определение равномерной сходимости может быть
распространено на случай нескольких переменных. Так,
функция нескольких действительных переменных стремится
равномерно к пределу по этим переменным, если для всех значений t>
^следующих за значением te, не зависящим от значения
переменных, разность между пределом и его приближением по
абсолютной величине меньше, чем з. Последовательность непрерывных
^функций нескольких переменных, равномерно сходящаяся по этим
переменным, имеет своим пределом непрерывную по этим
переменным функцию.
Эти утверждения остаются справедливыми также для
функций одного или нескольких комплексных переменных.
Подобным же образом определение равностепенной
непрерывности и сходимости в среднем может быть распространено на
функции нескольких переменных и на функции комплексного
переменного. При обобщении понятия сходимости в среднем
на случай функций комплексного переменного мы должны вместо
квадратов разности значений функции рассматривать квадраты
абсолютных величин разности, чтобы обеспечить
положительность подинтегральной функции.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XII
1. Пусть ff (χ) = и F(«) = lim ff{x). Показать, что сходимость
1 -г tx ί-^οο
-этой последовательности неравномерна во всяком интервале, содержащем
начало координат, и что F {х) является функцией, разрывной в начале
^координат.
2. Пусть ?1-й член бесконечного ряда задан в виде
ип (ж) =
{1 + пх){1+[п + 1]х) *
η
Показать, что сумма этого ряда s(x)= lim sn(x), где 5η0*0=Σ ик (ж)>
п->оо к = 1
разрывна при ж = 0. Вывести отсюда, что сходимость этого ряда
неравномерна, и проверить это непосредственно, рассматривая значения
1 1
s(x) — sn(x). Указание. Показать сперва, что 5/г(ж)=— —-—, ^
W7lw r /г v 7 i + ж 1 + (?г + 1) ж

142 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
3. Сделать заключения, подобные заключениям задачи 2, если?
ип(х)= п. Указание. Здесь sa(x)~l-
(1 + х)п " "w {1 + х)а'
хт
4. Пусть ип {х) = rzrim ' гДе т = 2П' показать, что сумма ряда будет.
х2 1
равна , если | χ | < 1, и , если | χ | > 1, и показать непосред-
1 # 1 — Ж
ственно, что сходимость ряда вблизи точки х—1 неравномерна.
tx Г
5. Пусть ft{x)^ F(aO = lim/f (ж) = 0 и \ F (ж) ож = 0. Пока-:
1 "Г ί Χ ί_>οο J
L<
1
зать, что lim \ ft(x)dx~ — , и доказать непосредственно НераВНОМер-
ί-ίΟΟ J ^
О
ную сходимость этой последовательности вблизи нуля.
1 1
6. Пусть ft {χ) — τΛ sin iztx, 0 << χ <ζ — и ff(x) — 0 для 0 < ί, — < л: ·< 1^
ί
l·'
Показать, что \ F (x) dx = 0, где F (х) = lim /^ (#), но lim \ ft {x) dx = 2.
J ί~>Ο0 f->00 J
0 ι
7. Пусть un (#) = 1 для тех я, для которых η = - -- —наибольшее
1
му целому числу, заключенному в -—-, и иа(х) = 0 для остальных зна~
Iх I
чений х. Показать, что ряд 2 ип (х) сходится к 1, если 0 < | χ | ^ 1, и к &
для остальных значений х. Показать также, что сходимость неравномерна
вблизи нуля.
8. Показать, что при t -» + оо, последовательность /^ (ж) = | ж | *
сходится неравномерно вблизи нуля.
оо
_,2 2 Г
9. Пусть /^ (ж) = t2xe x nF (x) = lim /^ (ж); показать, что \ F (x) dx=0%
ί->οο J
U
оо
но lim \ ff (x) dx = — . Показать также, что значения интегралов оста-
t-voo J *
о
1
нутся равными 0 и — , если мы верхний предел интегрирования в них
заменим любым положительным числом р.
10. Показать^ что при t -> оо последовательность ff (χ)= ■ схо-
дится к нулю равномерно на сегменте 0 <Ι χ ^ 1, а последовательность
1 *
gf{x) — —■— сходится к нулю, но неравномерно вблизи нуля. Отсюда
1 *-р ZX
видно, что при умножении на неограниченный множитель, в данном слу-
1
чае — , равномерная сходимость может нарушиться.
И. Показать, что функция gt {χ) из задачи 10 сходится в среднем4
к своему пределу; непосредственно проверить, что на интервале 0,1 ин-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XII 14^;
теграл от предела равен пределу от интеграла. Показать это также,
воспользовавшись результатами § 247 и приняв 0 за исключительную·
точку, вблизи которой gt (χ) ограничена.
12. Показать, что при положительных χ и t функция ft (x) = tx (1—χ)*
1 <, / 1 \-ί-1
имеет единственный максимум при х = —-— . равный ( 1-f— ) , так
1
что при ί ->■ оо максимум стремится к —. Доказать, что сходимость
последовательности неравномерна вблизи нуля, но функции ограничены.
Применить результаты § 247 к доказательству того, что интеграл от
предела функций ft (x) равен пределу от интеграла на интервале 0, /?, где-
ρ -любое положительное число, не превосходящее единицы. Показать -
это также непосредственным вычислением.
13. Поведение функции gt(x) = t2x(l—x)f может быть изучено при
помощи задачи 12, так как gt(%)= tft(x)· Показать, что для этой функции;
ι ι
\ lim gf (x) dx = О, но lim \ gt (x) dx—\.
J ί-»οο f->oo J
0 (J
14. Пусть gn(x)~дискретная последовательность, сходящаяся к G (x)r,
когда п пробегает последовательность целых чисел, и пусть ga (x) равно-
η
мерно ограничены, т. е. | gn (χ) | < К. Тогда, если fn (χ) = ^j ~l %v (Ρ]· x)?
p=l
то существует ^(ж) = Пт/д(ж). Показать, что сходимость равномерна,.
71->00
если gn (χ) -* G (χ) равномерно для всех значений х.
15. Пусть hn (x)—последовательность непрерывных функций 0<hn(x)<K,.
сходящаяся к Η (χ) для — 1<χΐ. Пусть Й(0) = 1 и #(#) = 0 для?!
О < | χ I <; 1. Показать, что если положить g ,, (x)~ha (sin πχ), то
последовательность fa (x), определенная в задаче 14, будет сходиться
неравномерно вблизи каждого рационального значения, а следовательно,
в каждом интервале. Простым примером является hn (x) = (i—х2)п>
η
р=1
(-ΐ)α
16. Ряд, общий член которого равен ип(х)=- —, сходится
равномерно, так как его члены не зависят от х. Показать, что этот ряд нельзя-
мажорировать при помощи сходящегося ряда с положительными членами*
и что, следовательно, нельзя применить признак равномерной
сходимости Вейерштрасса.
17. Сделать заключения, аналогичные заключениям задачи 16,
относительно равномерной сходимости ряда с общим членом иа{х)=— , если·
111
.<— <; — и ип(х) = 0 для других значении х.
η -f 1 гс η
18. Пусть иа (х)—общий член ряда, равномерная сходимость которого
установлена при помощи признака Вейерштрасса, Показать, что если νη (χ)*
образуют семейство равномерно ограниченных функций, | νη (χ) Ι < К, то
ряд υα О) иа (х) сходится равномерно и абсолютно. Примером может
служить иа (х) = -2-^i > vn (*)=sin nx.

444 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
19. Показать, что можно заменить условия, наложенные на функции
• ν ь (х) в задаче 18, условием, что υη(χ) стремится к конечному пределу
равномерно по х, когда η пробегает целочисленные значения. Примером
1 х2П
•является ип (х) = , να (χ) = ^ для χ > 1 + ρ или для | χ \ < 1- р,
ΤΙ -ρ Χ 1 —Χ
где />—некоторое положительное число, меньшее единицы.
20. Показать, что если для всякого фиксированного χ
последовательность υη(χ) убывает и стремится к нулю равномерно по х, тогда как для
η
всех рассматриваемых значений η и χ сумма 2 ик (х) п0 абсолютной ве-
fc = l
личине меньше фиксированного числа К, то ряд с общим членом vn (х)ип (х)
1
«сходится равномерно. Примером является υα (χ) = - , ulX (χ) = sin nx.
Указание. Применить результаты § 199.
21. Показать, что ряд с общим членом ип(х) = к — ^ сходится
равномерно во всяком замкнутом интервале, не содержащем 1 или — 1.
Указание. Применить результат задачи 20.
22. В задаче 29 к гл. IV было получено разложение в степенной ряд
оо
У, С%хп функции (l-f#)w для 1 χ | < 1. В § 195 было показано, что этот
(ряд сходится при х = —1, если т > 0, и что, начиная с некоторого, все
члены этого ряда имеют один и тот же знак. Показать, что этот ряд
сходится равномерно для Ι χ I <! 1 и, следовательно, представляет
непрерывную функцию в этом замкнутом интервале, которая должна быть
равна (1 + х)т для гс=1 и х = — 1.
•со
23. Показать, что ряд | ж | = ^ CJ а1'271 (х2-а2)п для -α < χ < а
л=о "
сходится равномерно в этом интервале. Указание. Положить \х\ =
1_
= а\ 1 —(l 2 J J и применить задачу 22.
24. Непрерывная функция, график которой представляет конечное
число прямолинейных отрезков, т. е. имеет вид ломаной, может быть
представлена как сумма линейной функции и некоторого числа функций
вида АI χ — х01 по одной на каждую вершину ломаной. Показать, что на
конечном замкнутом интервале всякая непрерывная функция может быть
равномерно апроксимирована ломаной. Отсюда и из задачи 23 вывести,
что непрерывная функция может быть с любой степенью точности
равномерно апроксимирована многочленом. Теорема эта принадлежит Вейер-
штрассу, а указанный метод доказательства принадлежит Лебегу.
25. Пусть последовательность ft (x) равномерно сходится к G (х) на
-замкнутом интервале и сходится в среднем к F (х) на этом же интервале.
Доказать, что если F (х) и G (х) непрерывны, то F(x) = G(x).
26. Пусть последовательность функций ft (x) сходится в среднем на
сегменте к функции F (х), непрерывной на этом сегменте. Доказать, что
если функции ff (х) образуют равностепенно непрерывную
последовательность, то любая сходящаяся в каждой точке этого интервала подпосле-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XII
145
.довательность сходится к пределу, равному F (х). Указание. Применить
-задачу 25.
27. Пусть G (х, у) непрерывна в открытом прямоугольнике а <х <Ъ,
d2F
<с <у <d ж G (х, у)~-х—7г- - Показать, что
* ох ду
d Ъ
\dy \F (χ, у) dx^ lim [lim Η (xlt yl9 x.2, y2)]y
c a У2^с1 x2~^b
где H(xu yv z2, y2)^F (x2, y») — F 0*a. yi)-F(xv y2)+F (xv уг), если
двойной предел существует. Это дает нам возможность строить
несобственные повторные интегралы, значения которых зависят от порядка, в ко-
тором происходит интегрирование. Примерами служат F (х, у) = — ,
X -\г у
С(*'у)в!м5?" ИЛИ F(*>2>) = arctgf->G {Х'У)= {£+£)* ' ГДе Ь " d
положительны, а а и с либо оба равны нулю, либо оба равны ос.
28. Если для всякого фиксированного χ функция ρ (и, х) убывает,
когда и возрастает до со и стремится к нулю равномерно по χ для
Q
I Г I
■а <жО, тогда как \ / (и, х) du < Μ для всех положительных
значено
со
янй (/, то несобственный интеграл \ ρ (и, х) / (и, х) du сходится равномер-
о
но по χ для а^х^Ь. Указание. Применить задачу 29 к гл. IX.
29. Пусть а > О, Ъ > 0 и g' (χ) непрерывна и интегрируема от 0 до оо,
так что
о
\ g' (x) dx = g (-f 00) — g (0) существует; показать, что
yj^UZiSSU.*г-[,( + со)-,(0)] log А ·
0
СО
Указание. Показать, что \ g' (их) dx сходится равномерно для а^и^Ь,
о
Ъ со
и изменить порядок интегрирования в \ du \ g' (их) dx. Примерами слу-
а о
со со
Г arc tg bx—arc tg ax _ π , b С e"bx—e~aor _ _ a
\— χ ^-^«jlog-. \ — rf* = IogT.
жат:
ο Ό

146 ГЛАВА XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
30. Пусть а > 0, Ь > 0; показать, что можно изменить порядок инте-
оо оо
грирования в у dx \e~~nX*ibx du и вывести отсюда, что
Г (l-<Ta*)cos Ъх , 1, а2 +
) χ άχ = -21°Ζ-ΊΪ
С (l-e-ax)smbx , π Ъ
V ^ ^ dx = —« —arc tg — .
0
оо
31. Показать, что \ dx = —, если δ > 0, равен нулю, еслж
о
Ь = 0, и равен—— , если Ь<0. Указание. В первом случае взять предел
при а -> оо второго интеграла из задачи 30, заметив, что интеграл,.
оо
содержащий 6?~rt;r, мажорируется интегралом \ e~axdx ——. В последнем
случае
32.
ПОЛОЖИТЕ
Доказать,
ж= -
что
•гг.
-к/2
0
оо
5·-
0
"rdr —
оо
0
0
оо
dx \ е"
0
-Я2
ау, и вывести
о оо
w г —
отсюда, что \ e~x~dx= —^— . Указание. Если обозначить через 7д первый
0
интеграл, в котором верхний предел вместо оо равен R, то
непосредственное вычисление показывает, что 1ц возрастает вместе с Ли стремится к
— . Если обозначить через Ja второй двойной интеграл, где оба
бесконечные верхние пределы заменены на а, то в силу положительности подин-
тегральной функции получим, что Jа возрастает вместе с а и Ia < Ja < 12а>
так что второй двойной интеграл сходится и к тому же значению, что
и первый интеграл.
33. Показать, что \ е х dx — e 2α—~—, Указание. Или показать,
о
оо а.2
что /' (а) — —21 {а), где I (a)= \ e dx, или разбить интеграл на два
О
интеграла с пределами от 0 до Υ а и от γα до оо. Затем положить
х=— в одном из интегралов и взять χ за новое переменное. В обоих
случаях надо применить результат задачи 32.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XII
147
34. Показать, что \ —-—dx = \a\ — . Указание. Или интегрировать
J хг '2
О
по частям, или дифференцировать интеграл по α и применить задачу 31.
оо
35. Если а > О, Ъ > О, V ^и' ¥- сходится и / (и) непрерывна при
ι
и > 0 и имеет производную при и = 0, то
$'<">-'<*> *-/(0)iogA.
О
Указание. Вывести, что \ аи = \ —— — «ж и, следо-
.) и J ж
О О
q bq bq
г f (bx)—f (αχ) , С f (и) . . /ΛΝ Γ tfu
вательно, что \ ——^—^—' dx = \ /-^- dw—/ (0) \ — .
0 ад ag
36. Применить задачу 35 к функциям / (и) = е~1, sin w, cos г* и сравнить
полученные результаты с результатами задач 29, 31, 30.
37. Предполагая, что g (u)~g (оо) = / (и) удовлетворяет условиям,
наложенным на / (и) в задаче 35, вывести * соотношение задачи 29.
Показать, что arc tg и удовлетворяет этим условиям.
38. Вывести неравенство Шварца, пользуясь тем, что выражение
ь
\ U (x)~ug (χ)]2 dx, зависящее от и, не может менять знака. Сравнить
а
доказательство неравенства для сумм в указании к задаче 9 гл. X.

Глава XIII
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
До сих пор мы применяли дифференцирование и
интегрирование только к функциям комплексного переменного,
составленным из элементарных функций. Теперь рассмотрим наиболее
общие функции комплексного переменного, допускающие
применение этих операций. Эти функции связаны с
преобразованиями плоскости, сохраняющими углы, и совпадают с классом
функций, разлагающихся в степенные ряды. Мы назовем эти
функции аналитическими и укажем некоторые их характеристические
•свойства. Затем мы проиллюстрируем применение аналитических
функций к вычислению некоторых действительных определенных
^интегралов.
Мы опишем некоторые операции над аналитическими
функциями, которые приводят к новым аналитическим функциям.
Наконец, вкратце отметим, какие из теорем могут быть
распространены на аналитические функции нескольких комплексных
переменных.
257. Функции. Мы уже (в § 101) применили понятие
функциональной зависимости к случаю, когда независимая
переменная принимает комплексные значения. Рассмотрим теперь снова
две комплексные переменные z = x + iy и w = u + iu, и пусть w
является функцией ζ. Мы, как обычно, полагаем, что ζ
изменяется в некоторой двумерной плоской области, например в круге
или в прямоугольнике и что в этой области наша функция
однозначна.
Таким образом, каждое значение ζ или каждая пара чисел
(х, у) из области R определяет единственное значение w, т. е.
пару чисел (ю, ν):
w = f(z)=u(x, y) + iu{xy у). (1)
Каждая такая функция приводит к двум действительным
однозначным функциям и(х, у) и ν (х, у) от двух действительных
переменных. Обратно, всякая такая пара действительных функций,
рассматриваемых в определенном порядке, может служить для
определения однозначной функции комплексного переменного.
Функция f(z) является непрерывной для значения z0, если
limf(z) = f(zo), (2)

258. ПРОИЗВОДНЫЕ
149
где, так же как в § 102, предел должен существовать как
двумерный предел в смысле, разъясненном в § 242. Таким образом,
в частности, предел должен равняться / (z0) по всякой
дискретной или непрерывной последовательности значений zt—>z0. Как
было отмечено в § 102, вышеприведенное условие непрерывности
в точке z0 может быть заменено эквивалентным условием,
состоящим в том, что для каждого положительного s можно найти
такое δε, что
ί/(2)-/(*ο)Κε> если |z-*0|<at. (3)
Таким образом, функция / (ζ) непрерывна в точке 30 = #0-f-^0
тогда и только тогда, когда каждая из двух вещественных
функций и{х, у) и ό (χ, у) непрерывпа в точке (х0> у0).
258. Производные. Напомним определение производной
функции f(z), данное в § 110, а именно,
где предел существует как двумерный предел.
Теперь исследуем, какие условия накладывает требование
существования производной на функции и и υ. Имеем
Δφ Аи f i Αν . кч
Δζ Δχ + iAy * '
Если предел существует как двумерный предел, то он должен
существовать для любой последовательности значений Δζ—>0.
В частности, мы можем положить Аг/ = 0 и Ах—>0, тогда из (4)
и (5) заключим, что
dw да , dv ,n\
Ш~~дх"^1~дх° W
причем существование пределов в правой части равенства следует
из существования предела в левой части в силу § 99.
Аналогично, если положить Δ# = 0 и Аг/ —>0, то получим, что
dw .ди άυ ,«ч
dz—~~ldi+du· (''
Так как и и ν и их частные производные действительны, то
из последних двух равенств следует, что
ди dv ди dv jq\
дх ду ду Эх ^
Равенства (8) называются уравнениями Коша—Римана. Из нащих
рассуждений следует, что:
Необходимым условием того, что функция w~u + iv = f (x)
обладает производной в точке z0 = x0 + iy0, является существо-

a50 глава хш. функции комплексного переменного
вание первых частных производных у функций и{х,у) и v(x,y)
в точке (х0, у0), удовлетворяющих уравнениям Коши—Римйна (8).
В этой теореме мы никаких добавочных условий на значения
частных производных в точке от функций uh у не накладываем.
Докажем теперь, что
Если функции и {х, у) и v{x,y) обладают частными
производными, непрерывными в точке (х0, у0) и удовлетворяющими,
уравнениям Коши-Римана (8) в точке (х0, у0), то функция
f (ζ) =и (χ, у) 4- ίυ (χ, у) обладает в точке ζ0 = х0 + iy0
производной f (ζ).
Условия, наложенные на и и ν, как следует из § 211,
показывают, что эти функции дифференцируемы по χ ж у в точке
(х0, г/0), так что
Δ» = §? Ax + pyAy + SlAx + e2Ay -(9)
^ = д£Ах + ^уАу + г3Ах + чАуу (Ю)
где все з стремятся к нулю вместе с Αν и Ау или вместе с Αζ.
Из равенств (8), (9) и (10) следует, что
Au + iAv = (^x+i^)(Ax + iAy) + sfAx + ^Ayy (И)
где
*' = *i + i*8> 3" = ea + ia4. (12)
Следовательно,
Aw ди .dv ^^rAx Ay
Так как | йя|<|Дг| и |Δ^|<|Δζ|, то
\ Ах \ ^ . ! Ау \ Л ..г ν
-д- <1 и _JU<1. (14)
Ι Δζ Ι Ι αζ I ч '
В силу этих неравенств и выражений (12) для г' и з",
последние два члена в равенстве (13) стремятся к нулю вместе с Δζ;
таким образом, имеем
чем показано, что функция w~f(z) обладает производной
в точке z0.
Дополнительные требования непрерывности или какие-либо
другие требования, обеспечивающие дифференцируемость
функций и и ν, в формулировке последней теоремы необходимы.

259. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
151
Это показывает следующий пример:
и(Х,у)=:\х\2 \у\2 , Ό(χ,1/) = 0.
(16)
Для (х, у) = (0, 0) каждая из этих функций имеет обр частные
производные, равные нулю, так что уравнения (8)
удовлетворены. Однако первая из этих функций не дифференцируема.
Покажем, что функция f(z) = u-\-iv не имеет производной
в начале координат. В самом дело, если Δζ= Δχ-\- im2Ax, то
hm -at- = , , -....« ; (17)
Δζ->0
Δζ 1 -f im2 '
этот предел изменяется с изменением т, и, следовательно,
предел по двум переменным (двумерный) не существует.
259. Конформные отображения. Если мы изобразим
значения ζ точками на плоскости с координатными осями χ ж у,
а соответствующие значения w — точками в другой плоскости
.с координатными осями и и ν, то мы можем представить
соотношение w = / (ζ) как отображение точек некоторой области R
в первой плоскости в некоторые точки плоскости w.
Предположим теперь, что функции и (х, у) я υ (χ, у) обладают частными
производными, непрерывными в некоторой определенной точке
(хо> Уо)- Предположим также, что в указанной точке якобиан
\ди ди\
д (и, ν) \дх ду\
д (х, у) \dv dv I
I дх
Ф0.
(18)
Тогда, если (гг0, и0)— точка, в которую отображается^ точка
(х0, г/0), то существует, в силу результатов § 218, двумерная
окрестность точки (и0> ν0), в которой уравнения
и = и(х,у), v = v(x,y) (19)
имеют решения вида
χ = χ (и, ?;), y=zy(u, ν). (20)
Эти функции обладают частными производными, непрерывными
в точке (и0, ν0), и, как следует из задачи 19 к гл. X,
удовлетворяют соотношению
0 С*. У) ___ 1
д{и, υ) д{и, ν)
д (ж, у)
Ф0.
(21)
Всякая кривая в плоскости х, уг проходящая через точку
(хо> У о) и имеющая в этой точке касательную с компонентами

152 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
направления
, dx , dy /om
χ=Ίη и У = Ж' <22>
будет вся, или по крайней мере некоторая ее дуга, содержащая
точку (х0, у0), отображаться в кривую плоскости и, ν,
проходящую через точку (и0, ν0) и имеющую касательную в этой точке
с компонентами направления
, du , . , \
, t .+ А (23>
ν = ~dT = vxx +vyy . j
Обратно, всякая кривая во второй плоскости, обладающая
касательной в точке (и0, υ0) с направлением, определяемым
равенствами (23), будет обладать некоторой дугой (частью кривой),,
отображающейся с помощью обратного преобразования (20)
в некоторую дугу, проходящую через точку (х0, у0) с
направлением касательной,, определяемым равенством (22).
Так же как в § 175, для длины дуги в плоскости иг υ имеем
S'2 = и>2 + ^2 _ (и. + υ%) χ>2+2 (Uxlly + VxVy) x'y' + (и« + 0у) ^2# (24)
Равенства (23) индуцируют преобразование
U = ихХ + uyY, V = υχΧ -f- vyY (25)
плоскости X, Υ в плоскость U, V, причем коэффициенты этого
преобразования будут постоянными, равными значениям
частных производных от функций (19) в точке (х0, у0). Если
Х = х— х0 и Y = y — y0, (26)
то в силу дифференцируемости наших функций
и-Ио=£Г + в1Х + 8аУ, O-o0 = V + e9X + *jr> (27)
где, так же как в равенствах (9) и (10), все г стремятся к нулю
вместе с X и Y. Поэтому для точек вблизи точки (х0, у0)
отображение, определяемое равенствами (19), можно апроксими-
вать, полагая
u — Uq — U, Ό — Ό0 = ν (28)
и комбинируя равенства (25), (26) и (28) для получения
соотношения между х, у и и, v. Последние два равенства изменяют
только начало координат, перенося его в рассматриваемую точкуг
поэтому характер апроксимирующего отображения будет даваться
равенствами (25). Это последнее отображение является аффинным,,
т. е. переводит параллельные прямые в параллельные прямые..
Равноудаленные точки на прямой в одной плоскости перейдут'

259. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
153
в равноудаленные точки на некоторой прямой в другой
плоскости. Однако, в то время как коэффициент изменения масштаба
остается одним и тем же для двух параллельных прямых, он,
вообще говоря, будет различным для различных направлений.
В самом деле, круг на одной плоскости перейдет в эллипс
на другой, и отображение может быть образовано с помощью
комбинирования вращения и изменений масштабов, вообще-
говоря, различных, вдоль двух взаимно перпендикулярных осей,
которые отобразятся в главные оси эллипса.
Если оба изменения масштабов одинаковы, то отображение
сведется к отображению подобия, которое может быть образована
вращением вокруг начала координат и подобным растяжением^
с центром в начале координат и с одинаковым изменением
масштаба по всем направлениям. В этом случае все длины будут
изменяться в одном и том же отношении, а все углы будут
сохранять свою величину. При выполнении одного из этих двух
свойств, аффинное преобразование сведется к преобразованию
подобия. В самом деле, если мы потребуем только, чтобы всякая
пара взаимно перпендикулярных прямых переходила в пару
взаимно перпендикулярных прямых, то эллипс, являющийся
образом некоторой окружности, должен будет иметь всякую
пару сопряженных диаметров взаимно перпендикулярными и,
следовательно, будет являться окружностью, а поэтому наше
преобразование сведется к преобразованию подобия.
Когда приближенное отображение, даваемое равенствами (25)г
является отображением подобия, тогда отображение, даваемое
равенствами (19), будет конформным в рассматриваемой точке,
т. е. сохраняющим углы. В самом деле, равенства для
определения направлений, полученные из равенств (25),- идентичны
с равенствами (23), откуда следует, что в рассматриваемом
случае две кривые на плоскости и, υ, пересекающиеся в точке-
(Щ> Vo), образуют тот же угол, что и кривые на плоскости х, у,
образами которых они являются.
Для того чтобы найти условия, при которых отображение
является конформным, заметим, что окружность
U* + V2 = i (29)
отображается при помощи равенств (25) в линию
К + Й) X2 + 2 (ихиу + vxvy) XY + (4 + »·) У* = 1, (30)
а эта последняя будет являться окружностью тогда и только
тогда, когда
ЩЩ + VxVy^O (31)
и
и2х+*'2х = и1 + 0?у
(32>

154 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Так как мы предположили, что якобиан (18) не равен нулю,
то υχ и Vg не могут одновременно обращаться в нуль.
Предположим, что vg Φ О и пусть
Ux=kvg. (33)
Тогда из равенства (31) найдем, что
vx=—kuy. (34)
Из последних двух равенств следует, что
и% + v% = к (иу + Oy). (35)
Сравнение этого равенства с равенством (32) показывает, что
А2=1. Таким образом, либо
Ux=Vy, Ug= —Όχ, (36)
либо
и*= — Щ> η„=υχ. (37)
Каждая пара последних равенств влечет за собой равенства
(31) и (32).
Если отображение удовлетворяет равенствам (36), то якобиан
отображения
UxVy~ UgOx = Ux + Uy>0, (38)
если же отображение удовлетворяет равенствам (37), то якобиан
uxVg—uyOx= —ux — u2y<0. (39)
Рассуждения § 233 показывают, что в первом случае
отображение сохраняет ориентацию, в то время как во втором —меняет
ее на обратную. В самом деле, если мы заменим и я ν друг
другом с обратным знаком, то равенства (37) перейдут в
равенства (36).
Так как равенства (36) являются уравнениями Коши — Рима-
на (8), мы можем наши результаты суммировать следующим
образом:
Отображение, даваемое двумя функциями и~и(х,у)
ΗΌ = ν(χ, у), обладающими непрерывными частными производными
в данной точке7 с якобианом, отличным от нуля в этой точке,
сохраняет в рассматриваемой точке углы как по величине, так
и по направлению их отсчета тогда и только тогда, когда
удовлетворены дифференциальные уравнения Коши — Римана (36).
В предыдущем параграфе было показано, что функция
w — u+iv при выполнении этих условий будет обладать
производной, определяемой равенством (15), т. е.
-j-.=ux + wx. (40)

260. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
155
Отсюда в силу равенств (36) имеем
dw № 2ι2 д(и, ν) ,,„ч
_-| =U% + O% = UxOu — OJUy = -s±^). (41)
Это равенство показывает, что производная не равна нулю.
Из соотношений (24), (36) и (41) найдем, что
U 2 + Ό 2= -г-
dz
'(х'* + у'2)> (42)
откуда следует, что абсолютная величина производной является
коэффициентом, на который умножается дифференциал длины
при нашем отображении. Это можно было также усмотреть
из равенства (41), которое показывает, что квадрат модуля
производной равен якобиану, т. е. коэффициенту, на который
умножается дифференциал площади при отображении, и из того
факта, что для дифференциалов наше отображение носит характер
подобного преобразования.
Некоторые из указанных предложений можно получить иначе;
а именно, отметив, что если производная существует, то
lim
Δ*-0 ίΔ*Ι
dw
dz
(43)
В случае, если производная не равна нулю, то, как следует
из § 96, ее аргумент определен с точностью до кратного 2π,
и для соответствующих ветвей аргумента имеем
hmarg^^arg—. (44)
Из равенства (43) следует, что все дифференциалы длин
умножаются на один и тот же коэффициент, а равенство (44)
показывает, что угол между любым направлением и направлением
его образа остается неизменным; тем самым углы при
отображении остаются неизменными как по величине, так и по
направлению отсчета. Поэтому
Во всякой точке, в которой функция w {ζ) обладает произ-
о ^ dw „ е
воонои -τ- , отличной от нуля, соответствующее этой функции
преобразование сохраняет углы как по величине, так и по
направлению отсчета и обладает положительным якобианом.
260. Степенные ряды. В § 112 мы видели, что в некотором,
надлежащим образом ограниченной области комплексного
переменного ζ всякая элементарная функция обладает производной.
Теперь мы покажем, что класс функций комплексного
переменного, обладающих производной, является классом функций, пред-
ставимых при помощи степенных рядов. Для этой цеди мы рас-

J56 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
смотрим некоторые вопросы, связанные с разложением в
степенные ряды.
Степенным рядом по ζ называется бесконечный ряд, каждый
член которого является произведением целой неотрицательной
степени ζ на комплексную постоянную
оо
• Σ <*п*п. (45)
71 = 0
Мы можем также рассматривать степенной ряд по ζ — с,
имеющий вид
Σ «η (2 "С)». (46>
п = 0
Последний ряд может быть сведен к первому, если положить
Z = z-c; (47)
большинство свойств рядов вида (46) следует из рассмотрения
рядов вида (45), а поэтому мы ограничимся главным образом
рассмотрением рядов, имеющих вид (45).
Степенной ряд является естественным обобщением многочлена у
т. е. конечной суммы, состоящей из членов такого же типа.
Степенной ряд может сходиться для всех значений ζ, как,
например,
или может расходиться для всех значений ζ, кроме ζ = 0, какг
например,
2 п\ ζη. (49)
Степенной ряд может также сходиться для одних значений
и расходиться для других значений, как, например,
2 *"· (50)
Эти свойства наших примеров следуют из правила сходимости,,
основанного на рассмотрении отношения последующего члена
ряда к предыдущему. Эти отношения для наших примеров
соответственно равны -, ηζ, ζ. Таким образом, будем иметь
сходимость, если модуль отношения стремится к пределу, меньшему
единицы, следовательно, для всех ζ в первом примере и для
| ζ\ < 1 в третьем*).
*) Из приведенных рассуждений следует только, что для указанных
во втором и третьем примерах значений будут расходиться ряды,
составленные из модулей членов. Расходимость же самих рядов следует и&
теоремы, помещенной в следующем параграфе, или из того, что при
соответствующих значениях ζ общий член ряда не стремится к нулю.
{Прим. ред.)

261. КРУГ СХОДИМОСТИ
157
261. Круг сходимости. Ряды, сходящиеся только при z = 0y
не представляют интереса, и мы их вообще не будем
рассматривать. Для остальных степенных рядов важные сведения о точках
их сходимости дает следующая теорема:
Если степенной ряд по ζ сходится при некотором значении ζ>
скажем при значении ζχ Φ О, то он сходится абсолютно для
всех значений ζ, для которых \z\<Z,\z1\y и, кроме того,
сходится равномерно в любой замкнутой области \ ζ | < /·, где
О < г < | ζχ |.
Так как по условию ряд сходится в точке zl7 то модуль
общего члена \αηζ™\—>0 и поэтому делается, начиная с
некоторого значения η = Ν, меньше единицы. Пусть Μ наибольшее из
чисел 1, \αρζ\ \ для ρ = 0, 1, 2, ..., Ν, тогда для всех η получим
\αηζϊ\ < Μ. (51)
Для любого | ζ | < \zt I можно найти положительное число г,
такое, что
\z\<r<\z1\. (52)
Если мы теперь положим
то для указанных выше значений ζ получим
\anzn\ = \anz?\\^ <Мсп. (54)
Но число с меньше единицы, поэтому Мсп является п-м членом
сходящейся геометрической прогрессии. Таким образом, в силу
признака Вейергатрасса из § 245 и в силу результатов § 256
следует равномерная сходимость ряда 2 ап%п в замкнутой
области |z|<7\ Абсолютная сходимость ряда для указанных
значений ζ также следует из вышеприведенного доказательства.
Замкнутая область | ζ | <; г является кругом вместе . с его
границей с центром в начале координат. Назовем такой круг
кругом равномерной сходимости. Предыдущая теорема
показывает, что если ряд сходится для кокого-либо одного, отличного
от нуля значения, то он обладает кругом равномерной сходимости.
Вспоминая содержание § 243 и 256 и учитывая, что степени
являются непрерывными функциями, мы видим, что сумма
степенного ряда / (ζ) является непрерывной функцией от ζ во
всяком круге равномерной сходимости.
Предположим, что степенной ряд сходится в точке ζχ с
модулем, равным rl9 т. е. \z1\ = rlt и расходится в точке z%
с модулем, равным г2, т. е. |z2|=r2. Тогда в силу только что

158 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
доказанной теоремы степенной ряд сходится для всех ζ, для
которых | ζ\ < /ν Для всех ζ, для которых J z\ > г2, ряд расходится,
так как сходимость для такого значения ζ повлекла бы
сходимость в точке ζ2, что противоречит нашим предположениям. Тем
самым, мы приходим к разбиению всех значений г на два класса:
один, содержащий все значения г ι такие, что наш степенной
ряд сходится для всех ζ, модуль которых равен гг\ другой,
содержащий вое значения г2 такие, что наш ряд расходится по
крайней мере для одного значения ζ по модулю, равному г2;
все условия из § 6 (ч. I) выполнены, и мы этим сечением
определим такое число R, что ряд будет сходиться для всех z>
для которых | ζ < R, и расходиться для всех ζ, для
которых \z\> R. Для тех ζ, для которых \z\ = R, ряд может как
сходиться, так и расходиться. Круг | ζ | < R называется
кругом сходимости, число R называется радиусом сходимости
степенного ряда.
Следовательно, за исключением случая, когда ряд сходится
только при ζ = 0 (тогда мы условимся считать R = 0), и случая,
когда ряд сходится для всех значений ζ (тогда мы условимся
считать Д=оо), степенной ряд будет иметь конечный радиус
сходимости» В силу пункта V § 193 и § 204 имеем
й _ 1 .1
-^ = lim|^n|n, τ, е. R = lim\an\ n. (55)
Для каждого из рядов
оо оо оо
Σ*-· SS- Σ? (56>
тг = 1 п = 1 п = 1
имеем Д = 1. Первый из них расходится во всех точках
окружности круга сходимости. Второй сходится во всех точках
окружности круга сходимости. Третий расходится в точке ζ = 1
и сходится во всех остальных точках окружности круга
сходимости, как это следует в силу правила Абеля из § 199.
262. Дифференцирование степенных рядов. Докажем теперь,
что:
Для всех значений ζ, лежащих внутри круга сходимости
степенного рядау функция, представляемая этим рядом,
обладает производной, значения которой даются рядом, полученным
почленным дифференцированием первоначального ряда.
Для доказательства рассмотрим точку ζ, лежащую внутри
круга сходимости, так что |z| = r, где г < R. Выберем такое
положительное число р, что г + ρ < гг< R. Тогда круг радиуса гг
будет кругом равномерной сходимости. Поэтому, в частности,

262. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 159'
ряды
Σ Ы**1 и Σ \ап\(г + р)п (57).
п=0 п-0
будут сходиться и ряд, полученный почленным вычитанием этих
рядов, также будет сходиться. Общий член полученного таким
образом ряда, деленный на р, равен
Лг + р)п-гп
I an\ (-nr»~i +^^}гп-2р+ ттт)т (58)
Выражение в скобках в правой части последнего равенства
убывает вместе с убыванием числа р.
Пусть теперь h — комплексное число такое, что | h | < р.
Образуем ряд для отношения приращений
k · (5»)
Общий член последнего ряда имеет вид
(z-\~h)n—zn f _ , . η (η — 1) _ 97 , ч /пг.\
an1 £ ^αη^ηζ"-^ ι21 ' ζη~4+ ... ). (60)
Модуль этого члена меньше выражения в правой части
равенства (58), а это последнее является членом сходящегося ряда
с положительными членами, не зависящими от h. В силу
признака Вейерштрасса, ряд с общим членом (60) равномерно
сходится по отношению к комплексному переменному /г, для | h | < /?.
Члены ряда являются для указанных значений h
непрерывными функциями от /г, поэтому сумма ряда является
непрерывной функцией и
Ит/(^/г)-/(г)== » пап7п-^ (61)
/ι-»0 П п = 1
так как справа стоит значение ряда при /г=0.
Таким образом, функция f (z) имеет производную и
/'(ζ) = Σ ηαηζη-ι, (62)
/ι = 1
т. е. производная равняется сумме ряда, получающегося
почленным дифференцированием данного ряда.
В силу равенства (55) радиус сходимости RD ряда для
производной определяется формулой
! L
^— = hm \nan\n . (63)

U60 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
_1
Но limw/l=l, следовательно, верхний предел не изменится,
71->-00
-если мы опустим этот множитель, поэтому RD = R. Таким
образом, ряд для производной имеет тот же самый радиус
сходимости, что и первоначальный ряд.
Повторяя процесс дифференцирования несколько раз,
получим
оо
/(*) (ζ) = 2 я (я -1) - · · (я - * + 1) 0п*п-*. (64)
263. Интегралы. Если мы хотим определить интеграл от
.^непрерывной функции комплексного переменного / (ζ) от точки
ζ' до точки ζ"у то прежде всего
мы должны выбрать путь или,
| yS^^n иначе, кривую С в плоскости ζ,
I уг соединяющую точки ζ' и ζ".
\ /-Zk Этот путь выбирается так, чтобы
I /г 2ff он принадлежал области опреде-
I / к~' ления функции / (ζ); мы обычно
I / будем считать, что он задан дву-
/ мя уравнениями:
z° x = z(t), у = у(*)> (65)
L— . где каждая из этих функций
°\ непрерывна и обладает
ограниченной вариацией. Таким образом,
Фиг. 20. наша кривая будет иметь
конечную длину дуги.
Возьмем последовательность точек на нашем пути,
соответствующую разбиению сегмента переменного t
*' = *о<*1<*2< ··· <tn = t"; (66)
а именно,
zk = x(tk) + iy(tk), z'z=zti, z" = Zn (67)
(см. фиг. 20). Выберем теперь в каждом сегменте значение 1к
tk-i<~tk<tk (68)
ϋ ПОЛОЖИМ
7k = x(tk)+iy(tk). (69)
Наконец, образуем сумму
Σ/(ζα)Δζ*μ где uzk = zk— zk-i. (70)

264. ИНТЕГРАЛ ОТ ПРОИЗВОДНОЙ
161
Мы можем представить эту сумму в виде комбинации сумм
с действительными слагаемыми, полагая
z = x + iy, Az= Δχ + iAy, f{z)~u + iv, (71)
так что
f(z) Az — (tt + iu) (Ax + iAy) = (uAx — vay) + i (uAy + oAx). (72)
Таким образом, сумма (70) может быть сведена к следующему
выражению:
η __ _ __
Σ Iй (#а> У к) Ахк — о(хк, ук) Аук] +
λ· = 1
η _ __ _ __
-t- i Ц [и (г/:, г/*) - ук + ό {хк, ук) Ахк]. (73)
/с=1
Каждая из полученных сумм является типичной интегральной
суммой для криволинейного интеграла, как это было
определено в § 180. Следовательно, если
δΜ = max I Azk | = max |/ Axk + Ayk —» 0, (74)
то каждая из наших сумм стремится к криволинейному
интегралу вдоль пути С, и мы имеем
lim 2 / (zk) &zk = \ ис?£ — ьчз?г/ + г■ \ и dy + о dx. (75)
8л*-° h-1 с с]
Назовем этот предел интегралом от / (ζ) вдоль пути С и
запишем
V f(z)dz= \udx — vdy + i\udy + о dx. (76)
ее с
Выражение в правой части последнего равенства может быть
формально получено отделением действительной и мнимой
частей выражения
/ (z) dz = (u + iv) (dx + idy). (77)
264. Интеграл от производной. Пусть F (ζ) — функция,
которая в некоторой области, содержащей кривую С, обладает
непрерывной производной F'(ζ), равной / (ζ); тогда в силу
равенств (6) и (7) § 258, если
F(z) = U(z, y) + iV(x, у), (78)
то
F'(z)=*Ux + iVx = VB-iUe. (79)
Так как
F'(z)=f(z) = u + iO,

Λ62 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ТО
u=Ux = VB, v = Vx=-U„._ (80)
Поэтому
udx — vdy = Uxdx + U,t dy = dU (81)
Μ
udy + vdx = Vx dx + Vydy = dV\ (82)
таким образом, для обоих криволинейных интегралов из
равенства (76) подинтегральные выражения являются полными
дифференциалами. Поэтому, как следует из § 235, мы можем
выразить эти интегралы через значения первообразных в
конечных точках пути интегрирования:
ζ"
\f{z)dz=\dU+i\dV = [U{x, y) + iV{x,y))^,=
z' С С
= F(z*) — F(z'). (83)
Последнее показывает, что правило для вычисления интеграла
от непрерывной функции, являющейся производной от другой
функции, в случае комплексной переменной имеет то же самое
выражение, как и в случае действительной.
Так как выражения для производных от элементарных
функций в случае комплексных значений остаются теми же самыми,
как и в случае действительных переменных, по крайней мере в
некоторой области, то методы интегрирования функций,
указанные в § 137, 138 и 139, могут быть применены и в случае
комплексной переменной; при этом предполагается, что путь
интегрирования лежит в области, в которой элементарная
функция, являющаяся интегралом, непрерывна и однозначна.
Равенство (83) показывает также, что если F (ζ) —
однозначная функция в области R, и F' (ζ) = / (ζ) в этой области, то
интеграл от f(z), взятый от точки ζ' до ζ", имеет одно и то же
значение для любых двух путей, лежащих в области R и
соединяющих точки ζ' и ζ".
265. Неравенство для интегралов. Мы можем оценить сверху
модуль интеграла, взятого вдоль некоторого пути от
непрерывной функции комплексной переменной, через верхнюю грань
модуля этой функции и длину пути интегрирования. Имеем:
\ f{z)dz = \im f] f(zk)Azk. (84)
Пусть Ζ, —длина пути С. Тогда в силу § 174 длина дуги
каждой части пути больше или равна длине соответствующей хор-

265. НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ
463
ды, так что
£ = ΣΔ**>ΣΙΔ**Ι· ,(85)
В силу нашего предположения непрерывности, | / (ζ) | имеет
верхнюю грань на пути С; пусть
\f(z)\<M на С. (86).
Следовательно,
ΙΣ/(2*)Δζ*1<ΣΙ/(2*)]|Δ«*Κ^ΣΙ-2*1<ΐίί'. (87)
Отсюда и из равенства (84) следует, что
\\f(*)dz
С
<ML, (88)
а это и есть искомое неравенство.
Это важное неравенство позволяет применять результаты § 246
также и в случае функций комплексного переменного.
Пусть ft (2) —последовательность функций, сходящаяся к
/ (ζ) равномерно по ζ вдоль пути С. Тогда имеем
[с , с с с (89)
ибо, как это следует из равенства (84) и из § 98, модуль
интеграла не может превзойти интеграл от модуля. .Правая часть
неравенства (89) не превосходит eL, если
I/(*)-/,(*) К β вдоль С. (90)
Но в силу равномерной сходимости для всякого положительного з
это неравенство имеет место для всех t, начиная с некоторого
f. Так кок L фиксировано, то, следовательно,
limC ft(z)dz=\ f{z)dz. (91)
' с с
В частности, степенной ряд можно почленно интегрировать
вдоль любого пути, лежащего целиком внутри круга сходимости,
так как такой путь лежит также внутри некоторого круга
равномерной сходимости. Этот результат также * следует из
теоремы о дифференцировании степенных рядов и из равенства (83)'.
Случаи, для которых наш результат применим, когда одна из
конечных точек пути интегрирования лежит на круге
сходимости, указаны в задаче' 16 к гл. XIII, а также в задачах 17,
18, 19 к той же главе.

164 ГЛАВА ХШ. фЪОДЩЩИ КОМПЛЕКСНОГО} ПЛЕМЕННОГО
266. Теорема Коши—Гурса для треугольника. Мы выдели,
что функция, представимая в некоторой области, а именно в
круге равномерной сходимости, степенным рядом, имеет
производную. Далее мы покажем обратно, что функция, которая имеет
производную в каждой точке некоторой двумерной области, доо-
жет быть представлена степенным рядом во всяком круге,
целиком лежащем в этой области. В качестве первого шага в этом
направлении мы покажем, что интеграл по всякому
треугольнику, все внутренние и граничные точки которого принадлежат
области, в которой функций имеет
производную, равен нулю.
Рассмотрим функцию f(z),
обладающую производной во всех
внутренних и -граничных точках
некоторого треугольника и, следовательно г
непрерывную в этих трчках.
Разобьем треугольник на четыре равных
треугольника прямыми,
соединяющими середины сторон, при этом
периметр каждого из них будет
равен половине периметра
первоначального. Тогда, если Τ обозначает
периметр первоначального треугольника с приписанным (в смысле,
указанном в § 233) положительным направлением, а Гу, / = 1,
2, 3, 4, обозначают периметры четырех треугольников,
полученных после разбиения, так^е пробегаемые в положительном
направлении, то
Фиг. 21.
4
192)
/-1 Т4
потому что в каждом треугольнике Tf, /==1, 2, 3, две стороны
принадлежат Т, а третья сторона является стороной Г4,
обегаемой в отрицательном направлении (см. фиг. 21).
Из равенства (92) следует
ч
\ί(ζ)4ζ\<Σ\^ί(*)4*\-
/-1 Г,
(93)
Обозначив через С1 тот из треугольнике^ Гу, ддя KQToporo
выполняется неравенство
15/w
Ci
dz
>\) f{z)dz
т.
(94)

Ш. TfeoteMA йОйШ-ГУРСА ДЛИ ТРЕУГОЛЬНИКА 165
Если таких треугольников несколько, то через С{ обозначим
треугольник Tj с наименьшим индексом, для которого вьтпШь
няется неравенство (94). Тогда
| ^ /(z)dz|<4| ^ /(z)dz|.· (95)
Т Ci
Поступим с треугольником С3 так же, как и с первоначальным*
и получим треугольник С2, для которого
| ^ /(4^|<4|5 /(z)dz|. (96)
Продолжая этот процесс, найдем последовательность треуголь-
ников Сп, такую, что периметр Сл-и равен γ периметра Сп и
| ^ /(s)dz|<4| ^ /(ζ)ώζ|. (97)
Поэтому периметр Сп равен периметру У, умноженному на—г,и
I ^ /(z)dz|<4"| \ f(z)dz\. (98)
Τ СП
При /г —»оо треугольники Сп стягиваются к одной, общей
всёк треугольникам точке ζ0. В самом дЫгё, выберем
произвольно по точке в каждом треугольнике; тогда получим
последовательность точек ζη, стремящуюся, в силу критерия Коши,
к некоторой точке zQ. Так как всякий треугольник содержит
все следующие, то всякий треугольник Сп содержит все точки zn
с достаточно большими индексами и, тем самым, их предельную
точку z0. Но так как диаметр (наибольший линейный размер)
треугольников Сп стремится к нулю, то имеется одна и только
одна предельная точка z0.
Так как точка z0 является либо внутренней, либо граничной
тючкой треугольника Т, то f{z) обладает прЬизводной в точке z0 и
Нш Я*)-/(*о) = у, (%о) (9&)
Следовательно, для любого положительного г существует такое δ,
что, как только \ζ — ζ0 | < δ,
l^-f^l^f (z0)^63, гдв |"θ|<1. (100)
ζ — ζ0
При достаточно большом η все точки треугольника с
периметром Сп буд^т находиться на расстояний, меньшем δ, от тючйй г0.
Таким образом, при вычислении интеграла от функции f(z) по

166 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ,ПЕРЕМЕННОГО
треугольнику Сп можно воспользоваться равенством (100) и
получить
\ / (z) dz = \ U (ζ0) + (ζ - z0) f (z0) + (z- z0) θβ] dz. (101)
Cn Qn
Интегралы от первых двух слагаемых равны нулю, потому что
эти слагаемые являются производной от функции
F{z) = f (ζϋ) ζ + ^ψ^- f (z0), (102)
однозначной для всех значений ζ, а так как путь
интегрирования есть замкнутая линия, то, применяя формулу (83), мы
должны, положить конечные точки равными, т. е. ζ' = ζ". Дли
третьего слагаемого имеем оценку
| ξ (ζ — ζ0) θ (ζ) s dz I < s (длина Сп)2. (103)
Cn
Следовательно,
I $ / (ζ) dz I < . (длина Cn)* < 3 (ЛЛИ2?Г)2 . (104)
Cn
Из последнего соотношения и из неравенства (98) найдем
К f(z)dz\<* (длина Г)2. (105)
Так как длина Τ постоянна, а з произвольно, то
ν / (z) dz =0 и, следовательно, \ / (z) dz =0, (106)
τ τ
что и нужно было доказать.
267. Интегральная теорема Коши—Гурса. Связная плоская
область называется односвязной, если все точки, лежащие внутри
простого замкнутого полигона, принадлежащего области, также
цринадлежат области. Докажем теперь, что:
Если функция f (z) обладает производной в каждой
внутренней точке односвязной области R, то интеграл от f(z), взятыц
по простой замкнутой кривой, целиком лежащей внутри
области R, равен нулю.
Прежде всего заметим, что простой замкнутый полигон может
(быть разбит на треугольники с помощью отрезков, принадлежащих
замкнутой области, состоящей из точек полигона и точек, лежащие
внутри него,. Интеграл от функции / (ζ), взятый по полигону, равен
сумме интегралов, взятых по составляющим его треугодьникам:

267. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ-ГУРСА „16.7
Поэтому, если полигон состоит из внутренних точек области R,
этот интеграл равен нулю. Полученный результат остается
справедливым и в случае полигона с самопересечениями, так
как интеграл может быть разбит на конечное число интегралов,
взятых по простым полигонам.
Рассмотрим теперь некоторый замкнутый путь
интегрирования С, являющийся непрерывной кривой, обладающей конечной
длиной дуги, и состоящий только из внутренних точек области R.
Тогда каждая точка кривой С будет центром некоторого круга,
лежащего в Л, и так как точки кривой С образуют замкнутое
множество, то мы можем выбрать конечное число таких кругов,
которые будут содержать все точки С. Эти круги К образуют
замкнутое множество, принадлежащее R и содержащее С. Так
как функция / (ζ) непрерывна на этом замкнутом множестве, то
она будет на нем равномерно непрерывна, и мы для всякого
данного положительного з можем выбрать такое δ, что для
л:юбых двух точек этого множества, расстояние между которыми
меньше чем δ, разность значений функции f (z) в этих точках
ло модулю меньше г.
Впишем теперь полигон Ρ в кривую С так, чтобы каждая
хорда была меньше δ и чтобы
\\f(z)dz-2fM^k\<·, (107)
С
где величины Azh соответствуют звеньям полигона. Для этого
мы можем, кроме прочих точек, использовать точки пересечения
окружностей К с кривой С. При таком выборе точек мы
уверены, что весь полигон Ρ будет лежать в замкнутом множестве,
состоящем из кругов К, и, следовательно, внутри области R.
Для полигона Ρ можно образовать интегральную сумму,
приближающую с точностью до з интеграл от функции f(z),
взятый по полигону; при этом мы пользуемся разбиением ζ/,
в которое входят все вершины полигона. Тогда
|^ f(z)dz-2if(zi)Azi\<*. (108)
ρ
Но в силу выбора δ, если z}k является точкой, принадлежащей
стороне полигона Azkf то
\f(zk)-f(z'jk)\<S. (109)
Так как величина Azk равна сумме соответствующих величин
Az'j, то имеем
| 2 / (zk) Δζ, - Σ / (ζ;) Αζ} I < Ι Σ 3Δζ} |< »Σ I A** I < *L> (ll<>)
где L —длина дуги кривой С.

'Ш ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Из неравенств (107), (108) и (110) заключаем, что
I jj f(z)dz-^ f{z)dz\<e(L + 2). (ίίί)
Ρ С
Так как L фиксировано, а з произвольно, то
С f(z)dz= \ f{z)dz = 0. (112)
С Ρ
268. Многосвязные области. Связная область, не являющаяся
односвязной, называется многосвязной. Примером такой области
может служить область, состоящая из точек, лежащих внутри
большой окружности и вне некоторого числа маленьких кругов,
не имеющих общих точек и лежащих
внутри большой окружности.
Интеграл, взятый по замкнутой
кривой, лежащей в многосвязной
области М, от функции, обладающей
во всякой внутренней точке области
Μ производной, может не равняться
пулю. Однако, если все точки,
лежащие внутри нашей замкнутой кри-
Фиг. 22 вой, принадлежат области М, то тем
самым наша кривая будет лежать
в некоторой односвязной области, к которой теорема
предыдущего параграфа применима, и интеграл будет равен нулю.
Более общий результат будет следующим:
Если некоторое число замкнутых кривых С) образуют границ}
С многосвязной области М', причем С и М' лежат внутри
области М, то сумма интегралов от функции / (ζ) по всем
кривым, составляющим С", взятых в согласованных направлениях,
будет равна нулю.
Согласованные направления для гладких кривых
определяются здесь так же, как в § 233, а именно, положительное
направление касательной и внутренняя нормаль находятся в том же;
расположении, как положительные направления оси Ох и оси Оу.
В случае, когда С не имеет касательной в некоторых точках,
мы можем для определения направлений воспользоваться
кривыми, обладающими касательной, лежащими в области Мг
и апроксимирующими кривые С".
Во всяком случае, миогосвязную область М' мы можем
разбить с помощью линий, или разрезов, принадлежащих Μ', на
конечное число односвязных областей (см. фиг. 22)*). Интеграл от
функции f(z), взятый в положительном направлении по границе
*) Точнее, мы рассматриваем только такие многосвязные области..
(Прим. ред.).

269. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
16$
каждой из односвязных областей, равен нулю. При сложении
всех таких интегралов интегрирование вдоль каждого разреза
будет производиться два раза, причем в противоположных
направлениях, поэтому интегралы по разрезам взаимно уничтожатся;
оставшиеся части границы односвязных областей образуют
кривые С", ориентированные надлежащим образом. Таким образом,
более общий результат доказан.
269. Интегральная формула Конш. Предположим, что / (ζ)
имеет производную в каждой точке односвязной области R.
Тогда, если а является какой-либо точкой области Д, функция
ί~- обладает производной во всех точках области Rf за
исключением точки а. Таким образом мы можем применить теорему
предыдущего параграфа к |Многосвязной
области, ограниченной кривой С,
лежащей в R и содержащей точку а как
внутреннюю точку, и малой
окружностью γ с центром в точке а и цели
ком лежащей внутри С (см. фиг. 23).
Положительное направление на
кривой С будет положительным по
отношению к внутренней области,
ограниченной С. Так как для получения
направления, внутреннего для нашей мжь
грсвязной области на окружности γ,
следует взять направление,
указываемое продолжением радиуса
окружности, то интеграл по γ должен быть взят в отрицательном
направлении по отношению к области, лежащей внутри γ. Однако
мы можем взять интеграл по γ в положительном направлении
по отношению к области, лежащей внутри γ, поставив перед
интегралом знак минус, при этом сумма интегралов по С и γ
останется равной нулю. Таким образом, имеем
Фиг. 23
С f (z) dz Г f(z)dz __α
j ζ—a j ζ —a
<ll3>
С γ
Но так как f (z) непрерывна в точке а, то на окружности γ
с достаточно малым радиусом ρ имеем
f(z) = f(a) + U, где |λ|<1. (114)
Отсюда следует, что
С f{z)dz = Г f(a)dz С ελ(ζ)άζ
j ζ — a j ζ—a j z —a
(115)

170 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО НЕРЕМЕННОГО
Полагая в первом интеграле правой части
я —а = ре«, άζ^μβ™ db, (116)
получим
\ ~^~ = $/(<*) М = 2«/ («) ■ (117)
γ L>
Здесь величина θ играет роль параметра t из § 263.
Для второго интеграла в правой части равенства (115) имеем
15!^|<72-р<2"· ' <118>
γ
Теперь из равенства (115) следует
|$/ё£--2та'/(«)|<2'»· (119>
с
Так как з — произвольная положительиая величина, то величина
в левой части равенства (119) равна нулю, и мы имеем
/м-и5^· <120>
С
Полученная формула называется интегральной формулой Ноши.
Эта формула выражает значение функции f(z) во внутренней
точке а области R, в которой
функция обладает производной, через
интеграл, взятый по замкнутой кривой С,
лежащей в области R и
ограничивающей односвязную область, содержащую
точку а. Рассуждения § 268
показывают, что формула Коши остается
справедливой, если мы возьмем
интеграл по кривым., составляющим пол-
пую границу многосвязной области,
лежащей в й и содержащей точку а.
Фиг. 24
270. Ряд Тейлора. Пусть
функция / (ζ) обладает производной в
области R. Возьмем точку а в R и проведем круг с центром в
точке а, целиком лежащий внутри Д. Пусть точка t лежит
на окружности нашего круга, а точка ζ — внутри круга
(фиг. 24). Воспользуемся интегральной формулой Коши,
приняв нашу окружность за кривую С, ζ — за фиксированную
точку и £ —за переменную интегрирования; тогда получим »
с

270. РЯД ТЕЙЛОРА
171
Но
--!_== ! = JL Γι + ^ + (-^-2+ +
*_2 ί—α—(ζ-α) t-a [ ~ ί-α (ί-α)2 ' ' ~
+ (»-α)"-η. («-«)" (122)
Если г—радиус круга С, то
• L?ZfLi<i, (123)
£ — α
г
ж для фиксированного ζ и произвольного £ на окружности С
бесконечный ряд
—+ 7^ч-£&+.--+*£^-+"· а24)
будет сходиться к —— . Более того, сходимость будет
равномерной, потому что остаточный член номера η удовлетворяет
неравенству
(ζ-α)η
(t-a)n(t-z)
<['^]"Т7^Т. <>25>
где tx — точка окружности С, ближайшая к точке ζ.
Так как функция / (ζ) непрерывна на С, то она будет
ограниченной на С, и почленное умножение ряда (124) на -^
не нарушит равномерной сходимости. Таким образом, мы можем
почленно проинтегрировать вновь полученный ряд; тогда в силу
равенства (121) найдем, что
ί(ζ) = Α0 + Α1(ζ~-α) + Α2(ζ-.αΥ+...+Αη(ζ-α)η+..., (126)
где
С
Так как ряд (126) является степенным рядом, сходящимся для
всех ζ, для которых |z — a\<r, то его радиус сходимости не
меньше г; такой ряд можно почленно дифференцировать сколько
угодно раз. Тогда
со
/W(z) = 2 л(л1-1) (л-2) ... (n-k + l)An(z-a)n~k. (128
В частности, полагая z = a, получим
fw(a) = klAk, то есть Ак^^- . (129)

472 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Таким образом, при сформулированных выше условиях, функ^
ция f(z) будет обладать в точке а производными всех порядков
и коэффициенты ее разложения в степенной ряд вокруг точки а
будут теми ?ке самыми, что и коэффициенты тейлоровского
разложения (см. § 89).
271. Теорема Морера. Обратной теоремой к теореме Кошй—
Гурса § 267 служит следующая теорема Морера.
Если интеграл от однозначной непрерывной функции f(z),
взятый по любой замкнутой кривой, целиком лежащей внутри
области R, равен нулю, то функция будет иметь производную
в каждой внутренней точке области R.
Для доказательства выберем какую-либо точку z0 из области R
и рассмотрим интеграл от функций f(z), взятый вдоль некотором
кривой, целиком принадлежащей R, от точки z0 до какой-либо
другой точки ζ области R. Если С1 и С2— две такие кривые, то
кривая Сг й кривая С2, взятая с обратным направлением,
образуют замкнутую кривую. Тогда, в силу нашего предположения
разность интеграла по Сг и интеграла по С2 будет равна нулю.
Следовательно, интеграл от ζ0 до ζ имеет одно и то же значение,
какова бы ни была кривая интегрирования, соединяющая точки
ζ0 и ζ и лежащая в Й, и мы можем определить однозначную
в R функцию с помощью формулы
ζ
F (ζ) = \ / (t) dt, где интеграл взят по какой-либо кривой из R.
(130)
Образуем для F (ζ) отношение приращений
Ζ
Так как f (ζ) непрерывна в точке ζ, то для каждого β > 0
существует такое S, что
| / (t) - / (ζ) Ι < з, как только \t — ζ |< δ. (132)
Таким образом, если возьмем | h \ < δ и воспользуемся
прямолинейным отрезком, соединяющим точки ζ ш z+h (который для
достаточно малых h принадлежит R), как путем интегрирования,
то подинтегральную функцию в формуле (131) мы можем записать
так:
f(t) = f(z) + b*9 где |θ|<1. (133)

272. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУЦКЦИЩ
173
Тогда
ζ+Λ z + h z+h
^ f(t)dt= ^ [f(z) + 6s}dt = hf(z)+ ^ bsdt. (134)
Ζ Ζ Ζ
Но для последнего ицтеграла имеем
z + h
| ^ βθ(ί)<*'|<3|Α|. d35)
ζ
Из последних' двух неравенств и равенства (131) заключаем, что
|^-/(2)|<з (136)
при достаточно малых | h | = | Az |. Из последнего неравенства
следует, что
lim4J =/(*)· (137)
Таким образом, F (ζ) обладает производной в любой точке ζ,
принадлежащей R. Тогда, в силу заключений предыдущего
параграфа, F (ζ) будет обладать всеми производными и, в
частности, второй производной
F"(z)=-f {z), так как F'(z) = f{z). (138)
Таким образом, функция / {ζ) обладает производной во всякой
внутренней точке области R, что и требовалось доказать.
272. Аналитические функции. Мы скажем, что однозначная
функция i(z) является аналитической в точке ζ, если она имеет
производную как в точке ζ, так и во всех точках некоторой
открытой двумерной области, содержащей точку ζ.
Мы скажем, что функция является аналитической в области/?,
если она аналитична во всех точках области R. В этом
параграфа R всюду означает открытую двумерную область.
Как следует из предыдущего параграфа, функция f(z) будет
аналитической в R, если она однозначна, непрерывна и
обладает неопределенным интегралом в R в том смысле, что интеграл
по любой замкнутой кривой равен нулю, т. е. интеграл между
двумя точками не зависит от П}гти интегрирования.
Обратно, всякая аналитическая в односвязной области R
функция обладает в силу теоремы Коши—Гурса этим свойством.
Функция, представимая с помощью степенного ряда, как
следует из § 262, является аналитической во всех внутренние
точках круга сходимости. Обратно, в силу § 270, всякая анали-

§74 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
тическая в некоторой точке функция может быть представлена
при помощи ее разложения в степенной ряд около этой точки.
Последнее обстоятельство показывает, что всякая аналити-
ческая функция обладает производными всех порядков и,
следовательно,все ее производные непрерывны. Поэтому, в силу § 258,
если функция / (ζ) — и + ίυ аналитична, то и и υ обладают
непрерывными частными производными первого порядка,
удовлетворяющими уравнениям Коши — Римана.
Таким образом, мы имеем ряд необходимых и достаточных
условий аналитичности или, если угодно, ряд определений
аналитичности, выраженных через понятия производной, интеграла,
степенного ряда или с помощью уравнений Коши—Римана.
Каждое из этих определений является в том или ином случае
удобным для установления аналитичности функции.
Функция, являющаяся аналитической в силу одного из
указанных определений, будет обладать всеми указанными выше
свойствами. В частности, такая функция будет обладать
производными всех порядков, каждая из которых, как и сама
функция, будет непрерывной и аналитической функцией. Также из
§ 271 следует, что интеграл от аналитической функции будет
аналитической функцией своего верхнего предела.
273. Равномерно сходящиеся последовательности
аналитических функций. В § 265 мы доказали, что если
^(^—упорядоченная последовательность непрерывных функций, равномерно
сходящаяся по ζ на дуге С, то
lim \ ft {ζ) dz =. \ f (z) dz. (139)
f с с
Теперь мы из этого результата можем заключить, что если
последовательность функций ft (ζ) равномерно сходится к
функции / (ζ) в открытой двумерной области R и все функции ft (z)
аналитичны в R, то / (ζ) аналитична в R.
В самом деле, в силу наших условий, интеграл от каждой
функции ft(z), взятый по произвольному замкнутому пути С,
лежащему в R, равен нулю. Поэтому, в силу равенства (139),
интеграл от функции f(z), взятый по произвольному замкнутому
пути С, лежащему в R, также равен нулю, и тем самым / (ζ)
будет аналитической функцией в R.
В частности, сумма равномерно сходящегося в двумерной
открытой области R ряда, члены которого—аналитические
функции в R, будет аналитической функцией в R.
Если ft(z) равномерно сходится в R к функции f(z), το
функции
1 ft {и) 1 f(u) /л/г\\
i— т^-п» СХОДЯТСЯ К s-τ/ V ' (140)

273. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЙСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1?5
равномерно относительно и на любой окружности С с центром
в точке ζ, лежащим в R. Поэтому интеграл по окружности С
от первого выражения стремится к интегралу от второго
выражения по той же окружности С. Если каждая функция ft (ζ)
аналитична в R, то, в силу только что доказанной теоремы,
функция / (ζ) аналитична в R, и, воспользовавшись равенствами (127) и
(129), мы можем заключить, что
ft (ζ) стремится к /' (ζ). (141)
В частности, ряд, составленный из аналитических функций,
можно почленно дифференцировать в точке ζ, если ряд
равномерно сходится в некоторой двумерной области, для которой
точка ζ является внутренней точкой. Аналогичные рассуждения
применимы также к производным высшего порядка, и поэтому
ряд можно дифференцировать почленно любое число раз.
Мы воспользуемся вышесказанным для доказательства
следующей теоремы:
Пусть
«М*)= Σ c*nzn (142)
71 = 1
и
2αΛ(2) = »(ζ), (143)
причем эти ряды равномерно сходятся в некоторой двумерной
области R, содержащей начало координат, в качестве
внутренней точки; тогда в любом круге с центром в начале координат,
лежащем в области R, имеем
со со
«Φ) = Σ (Σ akekn)z\ (144)
ш ряд, стоящий справа, будет являться рядом Тейлора для w (z).
В силу наших предположений, каждая функция wk{z)
аналитична в /?, поэтому, вследствие равномерной сходимости ряда (143),
функция w (ζ) также аналитична в R. Следовательно, w(z),
являясь аналитической функцией в точке ζ ~ 0, разлагается
в степенной ряд около этой точки, т. е. обладает тейлоровским
разложением. Коэффициенты разложения даются равенством (129),
и мы имеем
оо
w (ζ) = 2 iff w{n) (°) z"· (145)
71=1
Но так как степенные ряды (142) можно в силу
равномерной сходимости почленно дифференцировать, то имеем
.^(п)(0) = п\скп. (146)

176 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Подобным образом, почледное дифференцирование ряда (143)
дает
cv(">(0)=i ak«4n)(0). (147)
Последние два равенства дают
оо
Таким образом, доказано, что разложение (144) совпадает
с тейлоровским разложением (145).
Так как w (ζ) является аналитической функцией в области R,
ряд будет сходиться к w (ζ) внутри любого круга с центром
в начале координат, лежащего в Д.
274. Операции со степенными рядами. Всякая операция
над одной или несколькими аналитическими функциями,
приводящая к аналитической функции, соответствует некоторому
методу получения нового степенного ряда из одного или
нескольких данных степенных рядов. Мы будем иллюстрировать только
что сделанное замечание на степенных рядах, дающих
разложение в круге с центром в начале координат, так как в случае
центра, находящегося в другой точке, надо только заменить ζ
на ζ — α.
Пусть
Тогда
/ (ζ) = Σ <*ηζη для | ζ Ι < Я, (149)
л = 0
g(z)^% bnzn для |z|<fl2. (150)
n = 0
f(z)+g (ζ) = Σ Κ + δ/ι) *n ДДЯ | ζ |< min (Rl9 R2)y (151)
n=0
так как для ζ, удовлетворяющих последнему неравенству,
каждый из рядов сходится абсолютно.
Аналогично, в силу § 203, перемножая ряды, получим
оо оо
/(z)g(z) = 5J (Σαηίη-πι)ζη для | ζ |< min (Яь R2). (152)
n=0 m = 0
Применяя повторно последний процесс, можно найти
последовательные степени данного ряда. Например, в случае ряда со

275. ФУНКЦИИ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
377
свободным членом, равным нулю,
h {z) = cxz + c2z2 + c3z3 + . . . (153)
найдем для его степеней
[k(z)]* = clzz + 2c1c2z*+...,
[Λ(ζ)]8 = φ3+..., (154)
Каждый из полученных рядов сходится в круге сходимости
первоначального ряда (153).
Поэтому, так же как в § 83, можно найти степенной ряд для
функций от функции нашего типа. Таким образом, из разложения
/ (h) = Σ <*nhn (155)
можно формально найти разложение
а0 + a&z + {ахс2 + а2с\) z2 + {axcz + 2а2сгс2 -\- a3cj) zs + ... (156)
То, что полученное разложение является тейлоровским
разложением для функции / [k (z)] и поэтому сходящимся во всяком
круге, лежащем внутри области аналитичности этой функции,
следует из результатов, полученных в конце предыдущего
параграфа, и из предположения, что ряд
ΣΜΑ(ζ)]* (157V
равномерно сходится по ζ в некоторой области, содержащей
начало координат в качестве внутренней точки. Функция k (z)
непрерывна в точке ζ = 0 и равна нулю в этой точке,
следовательно, в некоторой области R в плоскости ζ, содержащей
начало координат в качестве внутренней точки
\h(z)\<r, (158)
где г — радиус круга, в котором ряд (155) сходится равномерно.
Тогда для ζ, лежащих в области R, имеем
\an[h(z)]«\<\an\i". (159)
Но ряд с общим членом | ап \ гп сходится, так как ряд с общим
членом акгп сходится абсолютно. Тем самым в силу признака
равномерной сходимости Вейерштрасса равномерная сходимость
ряда (157) в области R установлена.
275. Функции, зависящие от параметра. Пусть f {z, w) —
непрерывная функция двух комплексных переменных ζ и ιν, τ. е.
четырех действительных переменных, представляющих
действительную и мнимую части переменных ζ и w. Тогда, если для

а;8 глава хш. функции комплексного переменного
каждого фиксированного значения w функция / {z, w) аналитична
в некоторой двумерной односвязной области R плоскости ζ, то
функция
F(z)=^ f{z,w)dw (160)
Сг
аналитична в R. В самом деле, для всякого замкнутого пути С
в R имеем
[dz ^ f(z, w)dw= \dw^ f(z, w)dz = 0, (161)
С Ci Сг С
так как двойной интеграл сводится к некоторому числу
действительных двойных интегралов от непрерывных функций, для
каждого из которых допустима перестановка порядка
интегрирования, а интеграл в правой части последнего равенства равен
нулю по пути С в силу теоремы Коши—Гурса. Но интеграл
в левой части соотношения (161) является интегралом от F (ζ}
по произвольной замкнутой кривой С в Л, поэтому в силу
теоремы Морера функция F (ζ) аналитична в R. Если мы заменим
путь Сг линией, простирающейся в бесконечность или
оканчивающейся в точке, в которой / (z, w) не является непрерывной*
интеграл (160) все же будет определять аналитическую функцию
от ζ, если только несобственный интеграл равномерно сходится
относительно ζ, лежащих в области Д. В самом деле, в этом
случае интеграл является пределом равномерно стремящихся
к нему собственных интегралов, каждый из которых представляет
в силу предыдущего результата аналитическую функцию. Те же
рассуждения показывают, что результат имеет место, если на
линии С функция f(z, w), не являясь обязательно непрерывной
функцией всех четырех действительных переменных, обладает
тем свойством, что интеграл от нее по линии С является
пределом равномерно к нему стремящихся интегралов, каждый иа
которых будет непрерывной функцией двух комплексных
переменных Ζ И (V.
Если / (z, w) обладает производной ~, причем эта
производная является непрерывной функцией двух комплексных
переменных ζ и w, и если
F(z)^^f(z,w)dw, (162}
с
то
F'(z)= \%dw. (163)

276. РЯД ЛОРАНА
179
Для доказательства этого предложения отметим, что pas'
f(z,w) обладает производной по ζ, то она1 будет аналитической
функцией от ζ. Поэтому в силу предыдущего результата функция
F (ζ) тоже будет аналитической функцией от ζ. Таким образом,
как следует из § 270, имеем
*·<«>-« да· т1
с
где б"—малая окружность с центром в точке ζ, так что
F'M--h\dtljr$*». (165)
с с
Так как функция f(z> w) непрерывна по обеим комплексным
переменным и t — ζ Φ 0 для ΐ, лежащего на окружности С", то мы
можем переставить порядок интегрирования, потому что это
эквивалентно перестановке порядка интегрирования в некотором
числе действительных двойных интегралов, каждый из которых
взят от непрерывной функции. Кроме того, в силу § 270 имеем
1 Г f(t,*>)dt _df ββ
с
Таким образом, получаем нужное соотношение
'М-War $-£?#*-$2*-· (ОД
С С
276. Ряд Лорана. Если /(^ — однозначная аналитическая
функция комплексного переменного ζ для всех точек области R,
содержащей внутри себя точку и, то тейлоровское разложение
по степеням ζ — а будет представлять нашу функцию внутри
любого круга С радиуса г с центром в точке а, целиком
лежащего внутри области R.
Предположим теперь, что функция не обязательно аналитична
в точке а, но аналитична во всех остальных точках i?. Тогдач
возможно представить функцию во всех отличных от точки а
точках круга, ограниченного окружностью С, при помощи ряда,
содержащего как положительные, так и отрицательные степени'
(ζ—а), и называемого рядом Лорана нашей функции в
окрестности точки а.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим кольцевую
область, ограниченную двумя окружностями Сг — радиуса гх
и С2 — радиуса г2, гг<г2, с общим центром в точке а и
лежащую вместе с границей целиком в R (см. ф*п\ 25). Тогда можно
применить интегральную формулу Коши для любой точки'"ζ,

180 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
лежащей в нашей кольцевой области, и получить
С С2
f(t)dt
f (t) dt
2πί
(168)
Ci
Здесь Сх и С2 обходятся в положительном направлении; знак
минус перед последним интегралом указывает на то
обстоятельство, что меньшая окружность С3, рассматриваемая как часть
границы С кольца, должна обходиться в отрицательном
направлении.
В силу того что f(t) аналитична в области R, содержащей
окружности Сг и С2, и ζ не лежит ни на одной из них, под-
интегральная функция в интеграле
по окружности С2 будет
непрерывной функцией по t и ζ и
аналитической по ζ при t, лежащем на С2,
и ζ — внутри С2. Поэтому
рассматриваемый интеграл представляет
аналитическую функцию в круге,
ограниченном окружностью С2; эта
функция может быть разложена в ряд
Тейлора по степеням ζ — а внутри
окружности С2 и, следовательно,
будет представлять интеграл в
кольце.
Подинтегральная функция в
интеграле по Сг непрерывна по ζ и t
и аналитична по ζ для t, лежащих на Съ и ζ, лежащих
вне С1# Следовательно, эта функция аналитична для \ζ — а | > гг
и, если положить
Фиг. 25
Ζ-Τ=Τα> Τ=-ζ = Ζ«~α)-ί' (169)
то наша функция убудет аналитической для Ζ < — . Таким
образом, интеграл по Сг в равенстве (168) является аналитической
функцией от Ζ для указанных значений Ζ и может быть
разложен в ряд по степеням Ζ. Так как последняя дробь в
равенстве (169) обращается в нуль при Ζ = 0, той интеграл npnZ = 0
также обратится в нуль,.и разложение не будет содержать
постоянного члена. Это разложение будет содержать положительные
степени Ζ или, иными словами, отрицательные степени z — a
л
и будет представлять интеграл по Сг для \Ζ\ < — , т. е. для
|я — а\>гг. Таким образом, это разложение справедливо вне
окружности С\ и подавно имеет место в кольце.

276. РЯД ЛОРАНА
181
Объединяя оба разложения, получим ряд
оо
f(z)= 2 An{z-a)». (170)%
п — —со
Если С3 — некоторая окружность с центром в точке а и
радиусом г, для которого
гг<г<г2, (171)
то ряд (170) будет равномерно сходиться для ζ, лежащих на
окружности С3. На равномерную сходимость не повлияет
умножение ряда на величину (ζ — а)~к~1, равную на окружности С3
по модулю г"*"1. После умножения на этот множитель мы по-,
членно проинтегрируем ряд. Интегралы от всех членов, за
исключением интеграла от Ak(z — α)-1, будут равны нулю, и мы
получим
Сг
Это равенство определяет коэффициенты разложения. Из интех
тральной теоремы Коши следует, что величина интеграла (172'
останется неизменной, если мы заменим окружность С3 какой-
либо замкнутой кривой, лежащей в R и ограничивающей область,
содержащую точку а в качестве внутренней. Поэтому
коэффициенты разложения не будут зависеть от выбора Сг и С2.
Выбирая радиус гг достаточно малым, мы всегда можем построить,
кольцо, содержащее любую наперед заданную точку, отличную
от α и лежащую внутри окружности С2. Таким образом, имеем:
Если функция f (z) однозначна и апалитична в некоторой
области R, за исключением, быть может, точки а, и если
С — окружность, которая ограничивает круг с центром в
точке а, целиком лежащий в области R, то разложение Лорана
оо
/(*)= 2 Αη(ζ-α)" (173)
п= —со
имеет место для всех точек, отличных от а и лежащих внутри
окружности С. Коэффициенты разложения даются формулой
С
где С — какая-либо замкнутая кривая в R, ограничивающая
область, принадлежащую R и содержащую точку а в качестве
внутренней.

182 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
277. Особые точки, Если функция / (ζ) не является
аналитической в точке а, но однозначна и аналитична во всех
остальных точках некоторой двумерной области, для которой точка а
йвляется внутренней точкой, то точка а называется
изолированной особой точкой. Как следует из предыдущего параграфа,
около изолированной особой точки функция обладает
разложением Лорана, имеющим вид (173). Если это разложение не
содержит отрицательных степеней, то оно будет определять
аналитическую функцию в точке а, и если мы заново определим нашу
функцию в точке а, положив ее равной А0— значению суммы
ряда, —то функция окажется аналитической в точке а. В этом
случае точка а называется устранимой особенностью. В случае
устранимой особенности функция только потому не аналитична
в точке а, что она либо не определена в этой точке, либо
определена так, что принимает в ней значение, отличное от А0.
Полагая значение / (а) равным А0, получаем непрерывную в
точке а функцию, откуда следует, что если функция / (ζ)
непрерывна в точке а и может иметь в этой точке лишь устранимую
особенность, то / (ζ) будет аналитической в точке а.
Если разложение (173) содержит лишь конечное число
отрицательных степеней, так что
со
f(z)= 2 Αη{ζ-α)η, (175)
п=—т
то мы скажем, что функция имеет полюс в точке а порядка mt
где т — наивысшая степень величины (ζ —а)'1 в разложении (175).
Отметим, что в этом случае / (ζ) (ζ — а)т будет степенным рядом
и, таким образом, будет' функцией от ζ, аналитической в точке а.
Число т является^ также наименьшим целым числом, для
которого произведение f(z)(z~- a)m будет аналитической функциец
в точке а. Так как
lim {ζ - а)т f (ζ) ^Α^ΦΟ, (176)
ζ-их
то для полюса
lim|/(z)| = oo. (177)
Так как функция (ζ — а)т f (z) в точке а аналитична и
отлична от нуля, то обратная ей по величине функция
*('>-/(,) («-.г (178)
также аналитична и отлична, от нуля в точке а.
Если функция аналитична и первым необращающимся в нуль

277. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
183
коэффициентом ее тейлоровского разложения будет Д^, то
со
g(z)= 2 An(z-a)n, АтфО, т>0, (179)
п=т
и мы скажем, что функция имеет в точке а нуль порядка га.
Сопоставляя это определение с предыдущим, видим, что если
/ (ζ) имеет полюс порядка га, то ,( имеет нуль порядка га, и
ι
•обратно, если функция / (ζ) имеет нуль порядка га, то ( .
будет иметь полюс порядка га.
Изолированная особая точка, не являющаяся ни полюсом,
ни устранимой особенностью, называется существенно особой
точкой.
Если значения / (ζ) по модулю имеют верхнюю грань в
области R, так что
|/(*)|<Л/, (180)
то из формулы для коэффициентов при отрицательных степенях
лорановского разложения, в которой интеграл взят по
окружности С радиуса г с центром в точке а, следует, что
\А^ИМ<ё^\<Мгт- (181)
С
Так как коэффициенты не зависят от г и не могут стремиться
к нулю вместе с г, то все коэффициенты при отрицательных
степенях разложения равны нулю и функция или аналитична,
или имеет устранимую особенность в точке а (теорема Римана).
Если значения / (ζ) по модулю не имеют верхней грани ни
в какой области, содержащей точку а, то должна существовать
последовательность значений ζη такая, что
lim zn = a, lim |/ (zn) )== оо. (182)
Так как в случае полюса
lim|/(s)| = oo, (183)
то по любой последовательности, стремящейся к а, такое
предельное соотношение будет иметь место. Обратно, если по любой
последовательности, стремящейся к а, значения функции
стремятся к бесконечности, то функция имеет в точке а полюс.
В самом деле, в этом случае
lim-^ = 0, (184)

184 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
следовательно, модули значений функции yj- в некоторой области,
содержащей точку а, имеют верхнюю границу, которую
обозначим буквой М. Таким образом, эта функция либо аналитична„
либо имеет устранимую особенность в точке а (но в этом
последнем случае она будет также аналитичной, если положить ее*
равной нулю в точке а). Если этот нуль будет иметь порядок тт
то сама функция / (ζ) будет иметь полюс порядка т.
Тем самым показано, что если функция имеет существенную
особенность в точке а, то функция не может стремиться к оо
по любой последовательности ζη—>α и также не может
стремиться к одному и тому же конечному значению по любой
последовательности ζη—>α. Покажем теперь, что всегда можно
выбрать последовательность ζη —> а так, чтобы значения функции
по этой последовательности стремились к любому наперед
выбранному числу или к бесконечности. В самом деле, должна
существовать последовательность, удовлетворяющая условию (182),
так как в противном случае наша функция была бы ограничена.
Кроме того, если функция / (ζ) обладает существенной
особенностью в точке а, то функция , , должна также иметь точку α
существенно особой, потому что если функция ,. , ,·
стремилась бы к конечному пределу или к бесконечности по любой
последовательности ζη —> я, то и поведение функции / (ζ) было бы
соответственным, чего быть не может. Следовательно, для функ-
1
ции , , , существует последовательность ζη такая, что
lim zn — a, lim
п-»со η->оо
/(«.«)-*
(185)
Но последнее равенство показывает, что
lim/(zn) = 6, (186)
71-»00
и так как Ь—произвольное комплексное число, то наше
предложение доказано. Этот результат известен как теорема Вейер-
штрасса.
278. Вычеты. Вычетом функции / (ζ) относительно точки а
называется коэффициент при (ζ — а)"1 в разложении Лорана
в окрестности этой точки, т. е.
R{a) = A_l^^.\f{z)dz, (187)
С
где С'—произвольно взятая кривая, ограничивающая область,
содержащую точку я, и лежащая вместе с областью, которую.

,278. ВЫЧЕТЫ
185
она ограничивает, внутри области R, где функция f{z)
аналитична, за исключением, быть может, точки а.
Для произвольной кривой указанного типа имеем
\f(z)dz = 2mR(a). (188)
с
В силу теоремы Коши—Гурса этот интеграл равен нулю, если
/ (ζ) аналитична в точке а. Это следует также из того
обстоятельства, что лорановское разложение в этом случае сведется
к разложению Тейлора, которое не содержит отрицательных
степеней, и, таким образом, вычет относительно точки а будет
равен нулю.
Рассмотрим теперь функцию, аналитическую в области R, за
исключением конечного числа изолированных особых точек ак.
Пусть С — кривая или система кривых, образующая полную
границу некоторой части области i?, вдоль которых наша
функция аналитична. Тогда, если эта часть R содержит η точек ак,
то можно окружить каждую из этих точек малой замкнутой
кривой Ск так, что кривые Ск, рассматриваемые в
отрицательном направлении, вместе с кривой С, рассматриваемой в
положительном направлении, будут ограничивать область, в которой
f(z) аналитична. Поэтому в силу теоремы Коши—Гурса интеграл,
взятый по всем этим линиям в надлежащих направлениях, будет
равен нулю, и интеграл по С будет равен сумме интегралов,
взятых по Ск в положительном направлении. Но каждый из
последних интегралов равен 2mR(ak), следовательно,
η
^ f(z)dz = 2*i^ R(ak). (189)
С к=1
Этот результат называется теоремой Коши о вычетах.
Иногда эта теорема может быть применена к вычислению
определенных интегралов от функций действительного
переменного, как это будет показано в § 280 и 281.
Отметим, что в случае простого полюса
f(z) = A_1(z-a)-* + A0 + A1(z-a) + A2(z-a)* + ... (190)
и, следовательно,
^«Нпф —а)/(з). (191)
В случае полюса порядка выше первого произведение
(z — a) f (z) стремится к бесконечности при ζ—>α, однако вычет
будет конечным. Тем не менее стоит исследовать предел, стоящий
в правой части равенства (191). Если этот предел конечен и не равен
нулю, то мы имеем полюс первого порядка, и предел равен Еычету*

486 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Если это произведение стремится к бесконечности, то мы имеем
полюс высшего порядка. В остальных случаях произведение по
разным последовательностям значений аргумента, стремящимся
к а, будет стремиться к различным пределам*), и мы имеем
существенную особенность.
Для нахождения вычета в случае полюса порядка т > 1
можно воспользоваться задачей 30 к гл. XIII. Коэффициент А_2
можно также получить при помощи деления двух рядов Тейлора
или деления ряда Тейлора на (z — a)m. Деление рядов Тейлора
сводится в этом случае к делению рядов Тейлора со свободными
членами, не равными нулю, и к последующему умножению
частного на (z — aym. Все это может быть произведено при помощи
приемов, указанных в § 83, справедливость которых оправдана
для случая комплексной переменной теоремами § 274.
При вычислении вычета относительно полюса первого порядка
всякий аналитический множитель, отличный от нуля в точке а,
может быть заменен его предельным значением. Для кратного
полюса или для существенной особенности этот прием
неприменим, так как равенство (191) не имеет места. Например,
функция (ζ — 1)~2*имеет вычет, равный нулю в точке ζ = ί, а
функция (ζ — 2)ί имеет конечный предел в точке ζ—1, но
(ζ«2)-ΐ(ζ-1)-» = (ζ-1)-«(-1)ΪΖ^1)-
= -(2—1)-«[1+(ζ-1) + (ζ-1)»+...] =
= — (ζ — Ι)"2 — (^ — 1)-ι _ 1 — .,. ,. (192)
ш произведение (ζ — 2)"*1 (ζ —Ι)"2 имеет вычет, равный —1 в
точке а = 1.
Приведенными приемами удобно пользоваться для
нахождения вычета рациональной функции или произведения
рациональной функции на элементарную или на аналитическую функцию,
тейлоровское разложение которой известно. Часто бывает удобным
начать вычисления с разложения рациональной функции на
элементарные дроби по правилам § 115.
279· Замена переменных в интеграле. Если мы сделаем
замену переменной ζ на переменную Ζ, связанную с ζ
при-помощи аналитической функции ζ{Ζ), которая отображает гладкую
кривую С плоскости Ζ в кривую С плоскости ζ, то интеграл
\ f{z)dz (193)
с
*) В этом случае предел нашего выражения не существует. (Прим,
ред.)

279. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ИНТЕГРАЛЕ 187
лреобразуется в интеграл
\f[z{Z)]z'{Z)dZ. (194)
С
Для доказательства введем вдоль кривой действительный
параметр t и сведем каждый из предыдущих интегралов к
действительным криволинейным интегралам. Имеем
{и + iv) (dx + i dy) = (u + iv) (J? -f i jjjQ dt (195)
m
<■+*»(&+'&)(¥+<£)*· <«*>
dz
Второй множитель в выражении (196) равен -jj в силу
равенства (6).
Но в силу условий Коши—Римана
дх ду дх ду
~дХ~~~~И' dY~~ ~дХ '
(197)
(д
Используя последние равенства, находим
дЛ л. '?М.Л C*La- -*L\ - fdxdXdx dY\
Jax^1 dYj \dt~^1 dt ) ^\dx~dt^dYdt )^~
,-fdy dX dy dY\ QR.
Наконец, в силу правила нахождения полной производной все
выраженде (198) равно
Это преобразование показывает, что выражение (196) равно
выражению (195). Поэтому оба интеграла (193) и (194) при
введении параметра t приводятся к одному и тому же виду.
Следовательно, эти интегралы равны, что мы и утверждали *).
*) Это доказательство справедливо только, если считать, что «кривая»
С является «путем», который описывает точка плоскости ζ,
соответствующая точке Ζ, описывающей при изменении параметра г кривую С.
При этом может случиться, что «кривая» С будет вся или в некоторых;
частях пробегаться по несколько раз.
Например, пусть С—окружность радиуса 1 с центром в начале
координат и пусть ζ = Ζη; тогда С также окружность радиуса 1 с центром
ш начале координат и \ — ^=2πί. После замены имеем \ -~- = η2πί. Но
С с
окружность С обегается η раз, в то время как окружность С* обходится
один раз, поэтому за «путь» С надо принять η раз обегаемую единичную
Окружность и тогда интегралы будут равны. {Прим. ред.)

188 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
280. Действительные интегралы. Рассмотрим рациональную
функцию от sin t и cos t, которая не обращается в бесконечность
ни для каких действительных значений t. Интеграл от такой
функции в пределах от 0 до 2тг может быть вычислен при
помощи замены
2 = е"
тогда sin t =
22— 1
2iz
со8'=^>^=Й· (20°)
При этом наш интеграл сведется к интегралу от рациональной
функции переменного ζ по окружности радиуса 1 с центром
в начале координат, причем подинтегральная функция не будет
иметь полюсов на этой окружности; а такой интеграл может
быть вычислен при помощи вычетов.
Пусть \F{x)dx сходится, тогда он является пределом
—со
Μ
V F (χ) dx при Μ —> оо . Предположим далее, что вдоль конту-
-м
ров ίΜ, часто принимаемых за полуокружности, соединяющие
точки Μ т —М в верхней
полуплоскости (см. фиг. 26),
lim \ F (z)dz = 0. (201)
JVjF-юо J
Тогда, если контур SM
вместе с отрезком действительной
оси от — Μ до Μ окружает η
особых точек а& функции F (ζ)
и F (ζ) аналитична всюду в верхней полуплоскости за
исключением этих точек а^, то
+М η
^ F(z)dz + \p (z) dz = 2т 2 R (ak). (202)
-м
-Μ
&=1
При Μ, стремящемся к бесконечности, η будет возрастать и либа
будет в пределе равно конечному числу р, либо будет стремиться
к бесконечности; второй интеграл в левой части (202) по
предположению стремится к нулю; таким образом, получим
оо ρ или оо
^ F (x) dx =, Ы 2 R (**)· (203)
—оо & = 1
Пусть () (ζ) — рациональная функция, знаменатель которой
имеет степень n + s, где s > 2, а числитель имеет степень п.

281. НЕКОТОРЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 189
Пусть Q(z) не имеет полюсов на действительной оси. Тогда
предыдущая формула применима, если положить F (x) = Q(x).
В самом деле, имеем
lim\zsQ{z)\ = k' < к. (204)
Таким образом, для достаточно большого Μ на полуокружности
£м радиуса Μ
\Q(z)\<kM~2 (205)
и
\[Q(z) dz I < ъМкМ~*. (206)
Следовательно, последний интеграл стремится к нулю, когда
М—>оо .
Таким образом доказано, что если степень знаменателя
рациональной функции Q{z) по меньшей мере на две единицы больше
■степени числителя и знаменатель этой функции не имеет корней
на действительной оси, и если al9 az, ..., ар — корни знаменателя,
лежащие в верхней полуплоскости, то
со ρ
\ Q (х) dx = 2πί 2 R Μ. (207)
-'οο k=i
281. Некоторые тригонометрические интегралы. Если
функция G (ζ) по модулю меньше К на полуокружности Sm радиуса Μ
с центром в начале координат, лежащей в верхней полуплоскости,
то на этой полуокружности
ζ = Me™ = Μ cos θ + iMsin θ, dz = гМ&ЧЬ (208)
и
| eimzG {ζ) Ι < Ке~тМ sin °. (209)
Но (см. задачу 46 к гл. IV)
^>ξ. для 0<θ<|, (210)
•следовательно, предполагая, что т > 0, имеем
π π/2
С е-тм sin 0^9 ^ 2 С е~шМ sin θ6?θ <
π(2 2 m MQ 2mMQ
<2 ^ β "« d6<=^e *
2 ^ π
. (211)
о

190 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Отсюда следует, что
ι ξ eim*G {ζ) dz\<^ \eim*G {ζ) iMe™ | dQ < ^ . (212)
Если lim G (z) = 0, то можно выбрать последовательность зна-
z-rx>
чений К —> 0 и соответствующую последовательность
полуокружностей Sm- Для этих контуров
lim [ ei™G{z)dz=0, (213)
откуда в силу результатов предыдущего параграфа следует, что
если G (ζ) аналитична на действительной оси и, за исключением
точек aki на верхней полуплоскости, то
м ρ
lim [ eijn*G (z) dz = 2πι Ϋ R Ы, (214)
—Μ Λ=1
рде вычеты R (ak) являются вычетами функции eimzG (z).
В частности, если Q (ζ) — рациональная функция, у которой
степень знаменателя по меньшей мере на единицу больше
степени числителя, и эта функция не имеет полюсов на
действительной оси, то все условия для справедливости формулы (214)
будут выполнены, если положить G {z) — Q{z).' Тогда получим
МММ
\ eim*Q (z) dz=\ eimzQ {z) dz+\ e-imzQ (— ζ) dz, (215)
-Μ 0 О
причем во втором интеграле справа мы \ заменили ζ (на — ζ.
Если Q(z) будет четной функцией, Q(z) = Q(—ζ), то
М оо
lim ^ eimzQ(z)dz = 2 { Q (z) cos mzdz. (216)
-м о
Если Q(z) будет нечетной функцией, Q( — z)= —Q(z), то
М оо
lim \ ei^Q(z)dz = 2i{ Q(z) sin mzdz. (217)
-Af 0
Таким образом, в случае четной Q (ζ), удовлетворяющей всем
вышеуказанным условиям,
оо
\ Q (x) cos τηχάχ = πί %R (ak), (218)

282. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
191
а в случае нечетной
оо
Q (х) sin mxdx = 7:^R (ak). (219)
о
В обоих равенствах вычеты являются вычетами функции eimzQ(z).
В последнем случае интеграл, стоящий в левой части
равенства, будет сходящимся, если функция Q(z), удовлетворяющая
всем указанным условиям, будет иметь еще полюс первого порядка4
в начале координат, так как в начале координат функция sin mz
имеет нуль. Рассмотрим контур, состоящий из двух
полуокружностей в верхней полуплоскости с радиусами Μ и М' и центром
в начале координат и отрезков действительной оси между ними.
Мы можем, как и ранее, стремить Μ к оо, а М' устремить
к нулю. Тогда на малой окружности имеем
e*™*Q(z)=-^ + A(z), (220>
где R0 — вычет функции Q(z) в начале координат, а Л (ζ)
—аналитическая в начале координат функция. Так как Α (ζ) остается
ограниченной, в то время как длина окружности
стремится к нулю, то интеграл по малой окружности от Α (ζ)·
τ>
будет стремиться к нулю, когда М' —>0. Но интеграл от —
по малой окружности, взятой в отрицательном направлении,
стремится к — πίϋ0 при М' —>0, и это слагаемое должно быть
прибавлено к левой части равенства. Таким образом, в
рассматриваемом случае, в равенстве (219) мы должны к^й (flu) приба-
вить —°,
Пусть, например, Q (х) = —, тогда вычет в начале координат
7? 1
равен 1 Иу=-; других полюсов функция Q(х) не имеет,,
поэтому
оо
yj±5dx = l. (221)
о
282. Аналитическое продолжение. Предположим, что
функция / (ζ) однозначна и аналитична в некоторой двумерной одно
связной области R. Тогда значение функции в любой внутренней
точке области R определяется при помощи ее разложения в ряд
Тейлора около какой-либо внутренней точки zQ области R. В
самом деле, пусть ζ— какая-либо точка Д; тогда мы можем
соединить точки zQ ж ζ кривой, целиком лежащей в R. Так как

192 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
эта кривая состоит из внутренних точек области и вместе со
своими конечными точками образует замкнутое множество, то
существует такое d, что всякий круг радиуса d с центром в какой-
либо точке кривой будет целиком лежать в R. Выберем ряд
точек z0, zl9 z2, ·. ·, ζη — ζ на кривой так, чтобы расстояние
между двумя следующими друг за другом точками не
превосходило d. Тогда тейлоровское разложение с центром в точке z0
будет сходиться в точке zL. Следовательно, мы сможем
определить все производные и тем самым тейлоровское разложение
для / (ζ) в точке ζ%. Подобным образом разложение в точке zt
определяет разложение в точке Zf+i и в конце концов значение
функции в точке ζ.
Из наших рассуждений следует, что какие-либо условия или
данные, определяющие значения функции и всех ее производных
в точке ζ0, например значения функции на какой-либо дуге,
проходящей через ζ0, будут определять значения функции во всей
области R. В частности, если функция равна нулю вдоль
некоторой дуги и аналитична в й, то она равна нулю всюду в R
Этот факт позволяет получить «теорему единственности», которая
заключается в том, что если / (z) = g (z) вдоль некоторой дуги
лежащей в односвязной области R , в которой обе функции ана-
литичны, то это равенство имеет место всюду в Д. В самом
деле, по условию теоремы f(z) — g(z) — 0 на дуге и,
следовательно, f (z) — g(z) = 0 всюду в R .
Эта теорема объясняет, почему все известные свойства
аналитических во всей плоскости функций ez и sin z, устанавливаемые
сначала для действительных значений ζ, остаются справедливыми
для всех значений ζ.
283. Точки ветвления. Если мы, отправляясь от разложения
Тейлора в данной точке, рассмотрим некоторую кривую,
проходящую через эту точку, то может оказаться, что при помощи
изложенного в предыдущем параграфе процесса аналитического
продолжения мы получим ряд тейлоровских разложений,
которые в совокупности определят однозначную аналитическую
функцию во всех точках кривой. Тейлоровское разложение в данной
точке будем называть элементом функции в этой точке.
Рассмотрим теперь область R, состоящую из точек некоторого круга
с центром в точке А, не принадлежащих некоторому радиусу АВ.
Пусть ζ = α в точке А. Предположим, что, отправляясь от
элемента в некоторой точке области R, процесс аналитического
продолжения определяет некоторую однозначную функцию в R, но при
продолжении через произвольную внутреннюю точку радиуса АВ
будем получать различные элементы в этой точке радиуса в
зависимости от того, с какой стороны радиуса мы будем
подходить к рассматриваемой точке. В этом случае элемент из R

283. ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ
193
определяет ветвь многозначной функции и точка а называется
точкой ветвления этой ветви.
Например, любое значение \f z, где яг —целое положительное
число, log z, или zc, где с —нецелое число, и любая линия,
проходящая через начало координат, определяют единственную
ветвь каждой из этих функций, причем все эти ветви имеют
точку ветвления в начале координат. С другой стороны,
рассмотрим функцию log (1 — ]/l — ζ) в области R, состоящей из круга
1
с центром в начале координат и радиуса γ , из которого один
радиус удален. Для любого значения этой функции,
соответствующего значению |/1 — ζ = 1 в начале координат, получим ветвь,
для которой начало координат будет точкой ветвления. Для
значения же, соответствующего значению } 1 —- ζ = — 1 в начале
координат, получим такую Еетвь, которая может быть
продолжена до однозначной аналитической функции во всех
точках круга и, в частности, в начале координат. Этот пример
показывает, что для многозначной функции некоторая точка может
быть точкой ветвления для одних ветвей и не быть ею для
других ветвей.
Вместо радиуса АВ для определения ветви функции· можно
воспользоваться любой другой кривой, соединяющей точку А
с точкой В, лежащей на окружности. Такая кривая называется
разрезом для данной ветви функции.
Если ветвь функции / (ζ) определена в области R', состоящей
ш всех точек, лежащих вне круга с центром в начале
координат, за исключением точек некоторой линии, идущей от точки
окружности в бесконечность, тс, полагая ζ= -γ , преобразуем
область R' в область R плоскости Ζ. Если при этом ветвь
функции / (тг) будет иметь в R начало координат точкой ветвления,
то мы скажем, что функция f(z) имеет бесконечность точкой
ветвления. Таким образом, zc с нецелым с и log z имеют
бесконечность точкой ветвления для каждой ветви.
Если в некоторой области, · конечной или простирающейся
в бесконечность, отметим все точки ветвления и проведем кривые,
соединяющие каждую из них с бесконечностью, то в области,
полученной удалением точек этих кривых из первоначальной,
наша функция будет обладать однозначной ветвью.
В случае двух точек ветвления можно заменить линии,
соединяющие точки ветвления с бесконечностью, линией,
соединяющей эти две точки, если только бесконечность не является точкой
ветвления.

194 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Например, каждая из функций
У (z —a) {z — b), log {ζ — а) — log {z —- b)
обладает однозначной ветвью в области, полученной удалением'
из плоскости сегмента, соединяющего точки а и Ь.
Если же бесконечность является точкой ветвления, то мы
должны сохранить по крайней мере одну из линий, соединяю-'
щую одну из точек с бесконечностью.
Таким образом, для log (ζ — α) + log {ζ — b) можно взять линию,
соединяющую точки а и 6, вместе с линией, соединяющей точку а
с бесконечностью. Для log {ζ — а) + log (z — b) + log {ζ — с) можно
взять линию, соединяющую точки а и b вместе с линией,
соединяющей точку с с бесконечностью.
Во всякой области, в которой многозначная функция имеет
однозначную ветвь, мы можем применять к этой ветви все
теоремы, полученные для однозначных аналитических функций, как,
например, интегральную теорему, теорему о вычетах и другие.
284. Разложение по рациональным дробям. Пусть f (z) ана-
литична во всех конечных точках плоскости, за исключением
точек аъ а2, а3, . . .,
0<|αι|<|α2|<|α3|<···> (222)
которые являются простыми полюсами с вычетами, равными
соответственно Ьг, Ь2, Ь3, .. . Рассмотрим контур Сп, не проходящий
через полюсы и ограничивающий область, в которой лежат
первые Рп полюсов. Тогда для значения ζ, отличного от всех акг
в силу теоремы о вычетах имеем
Ρ η
С η к -= 1
(223)
Если можно найти последовательность контуров таких, что при
п-->со> предел интеграла, стоящего в левой части последнего
равенства, стремится к нулю, а рп—> °° » то получим
Рп
/(*) = /(0)+ Нт 2 Ъа r5J-+a' 1 · (224)
рп-+ао й Lz —«» я» J
n = i
В частности, если контуры Сп являются подобными, то их
длины, максимальные и минимальные расстояния до начала
координат—все будут пропорциональны некоторому их размеру Мп.
Если
| / (w)\ < Кп | w | на контуре СП9
(225 >

284.. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО РАЦИОНАЛЬНЫМ ДРОБИМ
195
то имеем»
|с/иг_±__.±-ш=к ipi^\<Knlzlq, (22б):
|J/V/|_W_2 w \ I \ Л W {W — Ъ)\ " Г ι ? > \ /
где q — постоянная, зависящая от формы контуров, причем
предположено, что минимум расстояния от начала координат превос-.
ходит 2 | ζ |, откуда | w — ζ | > у на контуре. Таким образом,
интеграл будет стремиться к нулю, если мы сможем выбрать числа Кп,
стремящиеся к нулю, при п—> оо .
Отметим, в частности, что сходимость будет равномерной
в области, состоящей из точек произвольного круга с удаленными
из него небольшими кружками, окружающими попавшие в
выбранный круг полюсы а*.
Следовательно, при выполнении всех указанных выше
предположений в такой области стремление к пределу в правой части
равенства (224) будет равномерным.
В частности, если / (w) равномерно ограничена на всех кон-
турах, то мы можем положить Кп = ^- . Но при этом jfiTn —> О,
когда η и, следовательно, Мп стремятся к бесконечности.
В качестве примера рассмотрим функцию
/ {ζ) = cosec ζ — -J для ζ Φ О и / (0) =* 0. (227)
Для этой функции /(0) является пределом / (ζ) при z-^Ои тем
самым начало координат является устранимой особенностью.
Положив z = x + iy, имеем
lcosecZ|^|e,.,_g_2e_l.x+g|<i^-^|<;-^T, если |у)>1. (228)
Если мы примем за контуры квадраты с центром в начале
координат и сторонами, параллельными осям координат и такими,
что точки (^+-τ)π лежат на квадратах, то последнее
неравенство дает верхнюю границу модуля функции на той части
контура, для которой (г/|>1. На части контура, для которой | у | < 1,
в силу того, что | cosec ζ | имеет период π, нам достаточно взять
верхнюю границу функции cosec (у + iy) Для | у | < 1. £Этой
верхней границей будет единица, так как для обратной величины
sin С "f "*"iy ) = cos гУ = с^ 2/ > 1 · (229)

196 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ΠΕΡΕΜΕΗΗΟΓΘ
Таким образом, разложение (224) будет иметь место для функции,
задаваемой равенствами (227). Так ка.к эта функция имеет полюсы
только в точках η π и
lim (ζ — Λπ) cosec ζ = ( — ί)η Нт-Дт = ( —l)n, (230)
z-мгтс /ι-+0 slQ/i
то в силу равенства (191) вычет в точке ηπ будет равен (—1)п.
Так как каждый контур охватывает по сравнению с предыдущим
еще по два полюса, то
ρ
z-I=lim Σ'(-1)ηΓ—— + — 1 . (231)
cosec
p-*co
η=-ρ
Штрих сверху у знака суммы означает, что в число слагаемых
суммы не включается член, соответствующий значению и=0.
Для общего члена суммы при | ηπ \ > 21 ζ | имеем
<Ш- (232)
ηπ (ζ—ηπ)
Следовательно, во всякой конечной области, не содержащей ни
внутри, ни на границе полюсов, соответствующий бесконечный
ряд сходится абсолютно, так что
cosec
,=ι+ 2'(-ΐ)-[^+4]- (233>
71 = -— ОО
СО
-=4+ 2 (-1)"^· (234>
п = 1
Ряд (234) подучается непосредственно как следствие равенства (231)
Ряд (233) равняется ряду (234), так как он сходится абсолютно,
и после некоторой группировки его члены будут равны членам
ряда (234).
Из аналогичных соображений находим, что
ОО
-T+i'[ii=+=]· <**»
П= —ОО
Во всякой ограниченной области, не содержащей внутри или
на границе полюсов, ряд (236) сходится равномерно, и каждый
его член является аналитической функцией. Поэтому его можно

285. БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДЛЯ СИНУСА 197
дифференцировать почленно, тогда
со
cosec2z = у. 7—Цу. (237)
П = — СО
285. Бесконечное произведение для синуса. Функция
ctgz—- имеет устранимую особенность в начале координат,
и если мы в равенстве (236) перенесем член — влево, то начало
координат может быть включено в область равномерной
сходимости. Поэтому можно ряд проинтегрировать почленно вдоль
любого пути от точки 0 до точки ζ, тогда
п =—оо О
или
4^Σ><ι-4>4]· <239)
П= —СО
где значение каждого логарифма определяется с помощью
продолжения вдоль пути интегрирования, исходя от значения О
в точке ζ = 0 для каждого логарифмического члена. Например,
определенное значение будет установлено, если мы потребуем,
чтобы путь интегрирования не пересекал действительную ось
и для действительных значений ζ значение логарифмического члена
лежало бы в верхней полуплоскости. Потенцируя, найдем
sm
п =—со
=-Π0-ά]· <241>
71 = 1
286. Аналитические функции нескольких комплексных
переменных. Назовем функцию от к комплексных переменных
аналитической, если она имеет частные производные по каждой
из к переменных и если она непрерывна *> в некоторой области к
комплексных или 2к действительных переменных. Рассмотрим
*) Доказательство того, что предположение непрерывности является
излишним, см. в книге: Б. А. Фукс, Теория аналитических функций
многих комплексных переменных, гл. II, § 9, ГТТИ, 1948. (Прим. ред.)

198 ГЛАВА XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
некоторые предложения этой теории для случая двух комплексных
переменных. Если f (zlf z2) —аналитическая функция двух
комплексных переменных, то она аналитична по каждому из них
в отдельности.
Если Сх и С2 —- круги, содержащие в совтветствующих
плоскостях точки Zj и z2, и функция аналитична в области,
содержащей ту, которая получается, если точки независимо заполняют
круги Сг и С2, то в силу интегральной формулы для функций
одного переменного имеем
П*»^ = Ыт^**
С!
И
Комбинируя эти )две формулы, найдем
/Х*„ *2) = (ώρ \ Λ, \-^Ш^^ (242)
Ci C2
Так как подинтегральный множитель разлагается в двойной
степенной ряд, который сходится равномерно, то мы сможем
показать, что' аналитическая функция двух переменных всегда
разлагается в степенной ряд. Кроме того, наша функция обладает
непрерывными производными всех порядков, и коэффициенты
степенного ряда будут выражаться через производные так же, как
в случае тейлоровского разложения функции двух действительных
переменных.
Если запишем функцию двух "комплексных переменных в виде
/(ζι> я2) —u + iv, где и и υ являются функциями четырех
действительных переменных хг, ул, Ьс2,' у2, то найдем, что
ди dv ди __ ду # (2АЧ\
такие же ^формулы имеют (место для индекса 2. Эти формулы
соответствуют тому факту, что функция /(ζ,, ζ2) аналитична по
ζχ = хг + iyx и по z2 = cc2 + iy2 и, следовательно, для нее выполнены
условия Коши — Римана,
Покажем, что если tx и\t2 —аналитические функции
переменных ζΎ и za, а ^ — аналитическая функция переменных tx и ΐ2,
то w — аналитическая функция переменных ζ, и ζ2.
Мы должны доказать, что в силу сделанных предположений w
хтмеет производную по zlf даваемую формулой
(244)
dw
dzx
dw dtx . dw dt2
dtx dzx dt2 dzx '

286. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 199
ди дгх
~дг.
Полагая t1=r1 + is± и t2 -= г2 + is2, имеем
dw dtx f ди , . dv\/dr± . . dsA /o/r\
Воспользовавшись условиями Коши—Римана, правую часть
последнего равенства можно записать так:
ι дт\ ди dsx . /" dv дгх , dv ds{\ (OAfVi
x дхх "·" dsx da^ V^ d/^ dxx dsx dxxJ ' ^ '
Мы можем аналогично преобразовать и второе слагаемое в правой
части равенства (244). Так как производные непрерывны, а
функции и и ν дифференцируемы, то, отыскивая полную производную
функции четырех действительных переменных, найдем, что
ди ди дгх ди dsx ди дг2 , ди ds2 ,rw 7ч
дхг дгг дхх dsx дхх дг1 дхх ds2 дхх * * '
Для -т— можно написать аналогичное равенство. Из этих
последних выражений после преобразования правой части равенства
(244), даваемого для первого слагаемого выражением (246),
найдем, что
д*> dtx , dw dt2 _ ди . dv /9/Q\
дгг &zx dt2 dzx дхг дх1 ' * '
Но в силу условий Коши — Римана выражение (246) равно
dv dsx ( dv drx . / ди ds^ ди дг{\ /9/Q\
~dsx dyx "^ дгх дух ~~~ \ dsx дух "*" дгх dyj ' I '
Воспользовавшись этим, как выражением для первого члена из
правой части равенства (244) и тем &е выражением для второго
члена, в котором гг и sx заменены на г2 и s2, а также равенствами,
получаемыми из (247) при замене' χ на у и и, χ на ν, у, найдем,
что
dw dtx dw дц dv . ди (^^(W
dtx dzx dt2 dzx dyx dyx' ^ '
Сравнение равенств (249) и (250) показывает, что
ди _ dv ди_ Θυ_ (<)^\\
дх[ ~' dyl ' дух ~ дхх ' ^ '
Так как частные производные непрерывны, а последние равейства
являются условиями Коши —Римана, то w будет аналитической
функцией от 2υ а -^- будет равняться правой части равенства
(248) и тем самым будет иметь место равенство (244).
Подобные же выводы имеют место для переменной ζ3, и так
как функция w непрерывна относительно ζχ и ζ2 как непрерыв-

200
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
ная функция от непрерывных функций, то функция w, зависящая
от ъх и z2 через функции tx n t2, будет аналитической функцией
переменных ^ и г2.
Эти предложения могут быть распространены на аналитические
функции к комплексных переменных. Эти функции обладают
производными всех порядков, а также тейлоровским разложением.
Аналитическая функция от аналитических функций является
аналитической, и ее производные могут быть вычислены по тем
же правилам, что и полные производные сложных функций
действительных переменных.
Существенная разница между функциями одного и функциями
нескольких комплексных переменных заключается в том, что
область сходимости степенного ряда по многим переменным может
быть значительно более сложна, чем для одного переменного.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
1. Показать, что если и -f iv—аналитическая функция переменной
ζ — χ + iy, то и и ν будут решениями уравнения Лапласа
дх2 ду2
2. Пусть в некоторой односвязной области R функция и однозначна
и удовлетворяет уравнению из задачи 1. Показать, что криволинейный
интеграл, взятый по контуру, лежащему в R, от точки (а, о) до
переменной точки (х. у)
χ, у
Г ди ди .
V=\~d-ydx + dxdy
atb
является однозначной функцией от (ж, у), не зависящей от пути
интегрирования. Показать также, что u+iv является в области R
аналитической функцией от χ + iy- Предполагается, что иуу непрерывна.
3. Проиллюстрировать утверждения задачи 2 на примере функции
и = log (аЛ+ у2) и области R, являющейся кругом с центром в начале
координат, из которого удален один радиус. Этот пример показывает,
что условие односвязности области в задаче 2 необходимо, потому что и
удовлетворяет всем остальным условиям задачи 2 в круге с удаленным
центром.
4. Дать формулировку и доказать теорему об аналитичности функции
и -f iv, аналогичную теореме из задачи 2, если υ является решением
уравнений Лапласа, а
я, У_
dx — . dy.
дх
Г dv
и=\ёу
5. Показать, что если z = reli и / (ζ) обладает производной, то

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
201
Доказательство можно провести, полагая сначала ΔΟ = 0, а затем Дг = 0,
Из полученного равенства вытекает, что
ди 1 dv dv
dr~~ r дЪ Ж дг~~~
1 ди
г дЪ
6. Пусть q1 и q2—ортогональные криволинейные координаты (ср. с
задачей 31 к гл. X) в плоскости 2, причем эти координаты занумерованы
d (g-it ν*) „
так, что определитель —^- положителен. Показать, что если
ds2 = h\ dq\ -f h$ dq\ и и + iv— аналитическая функция переменной z = x + iy,
1 ди 1 dv \ ди 1 dv ^
то г~ о—= г~ъ— и г~ о— — — г- ^— · Указание. Для новых осей χ ж у,
«ι dqt h2 dq2 h2 dq^ ht dqt ^
касающихся в данной точке кривых qx и g2 в направлении возрастания
этих величин, имеем -—=0, -^ = --, -_^±=-_ ^li^o. Затем преобра-
<9# <9у Д2 ## hx ду г г
зуем уравнения Коши — Римана к новым осям координат.
7. Получить последние равенства в задаче 5 из результатов задачи 6.
8. Доказать, что если степенной ряд ^anzn такой, что для всех ап
имеет место неравенство \ап\ <Сп> а для бесконечного множества значе-
ний аа—неравенство |αη|> —, то радиус сходимости ряда равен 1.
9. Получить следующий ряд Тейлора:
где т может быть как действительным, так и комплексным, причем для
|з|<1 ряд представляет однозначную ветвь функции (1 -f z)m> которая
равна 1 для z = 0.
10. Показать, что функции Бесселя целого порядка, т. е. функции
Jn(z)~2j 2n+*«k\
— Л\к zn+2
2п+2-/с!(тг+/с)!
А"=0
где η равно нулю или целому положительному числу, удовлетворяют
дифференциальному уравнению
d*w , 1 dw , /л п2\
ех зн
ПОЛЕ
т
ш аналитичны для всех значении ζ.
11. Показать, что полиномы Лежандра порядка η
р Ы - V г- 1^ (2п-2/с)! zn-2k
где 0! = 1 и 2k <^ η, являются решениями дифференциального уравнения
12. Показать, что гипергеометрическа'я функция
τ?, ъ ч i-l. аЪ , а{а+\)Ъ{Ъ+\) ^ ,

202
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
является решением дифференциального уравнения
2 (ι -z) 45-+[с - {ал~ъ+υ 2] £ - α^=°·
Ряд сходится в силу результата задачи 21 к гл. IX при | ζ \ < 1. В силу
§ 282 аналитическое продолжение ряда будет также являться решением
дифференциального уравнения.
13. Пусть | с2 — сг | < rv где т^—радиус сходимости ряда для
функции f (z) по степеням z — c1 = Z1. Если Z2 = z — c2, то Z1 = Z2 -\- с2 — сх.
Воспользовавшись этим для выражения степеней Zx в виде полиномов
по Z2 и собирая члены в ряде, мы формально получим ряд по степеням Z2,
т. е. по степеням ζ — с2. Показать, что бесконечные ряды, выражающие
коэффициенты разложения, будут сходиться; новый ряд будет иметь радиус
сходимости, не меньший чем гА — | с2 — <?11, и будет представлять
функцию / (ζ) внутри круга сходимости.
14. Показать, что коэффициент при Ζ™ в ряде из задачи 13 равен
~^-, и этот ряд, если он сходится вне круга сходимости
первоначального ряда, дает аналитическое продолжение функции / (ζ).
15. Доказать теорему Абеля: если степенной ряд сходится в
некоторой точке окружности круга сходимости, то он сходится равномерно
относительно всех точек радиуса, проходящего через упомянутую точку
окружности, и. следовательно, представляет функцию, непрерывную на
указанном радиусе. Указание. Полагая = г, сведем задачу к
исследованию ряда 2 ипгП Для 0<>< 1, при этом ряд 2 ип будет сходящимся.
Затем можно степени гп принять за числа рп из § 199; тогда
неравенство (101) из этого параграфа показывает, что остаток ряда 2j unfn не
превосходит по абсолютной величине остатка ряда 2 ип- Таким образом,
сходимость нашего ряда будет равномерной, откуда следует
непрерывность его суммы.
16. Показать, что степенной ряд может быть почленно
проинтегрирован вдоль радиуса до точки zv лежащей на окружности круга
сходимости, если только первоначальный ряд сходится в точке zx. Указание.
Воспользоваться теоремой Абеля из задачи 15 и результатами § 168.
ζ"
17. Равенство \ / (z) dz = F (ζ") — F (zr) имеет место, если функция
F (ζ) непрерывна на С и / (z) — F' (z), за исключением, может быть,
точки ζ". При этом предполагается, что / (ζ) мажорируема функцией,
интегрируемой на дуге С, включающей точку ζ"'. Такой же результат
имеет место и для дуги, уходящей в бесконечность, если мы заменим
F (ζ") через предел F (ζ) при ζ, стремящемся к ζ" по дуге. Указание.
Провести такие же рассуждения, как в § 247.
18. (Харди.) Показать, что если ряд 2 anzU сходится для всех
конечных значений ζ, то ряд 2 е"рхапхп можно для любого ρ > 0
интегрировать от 0 до оо почленно. В% результате получится ряд 2 аап\ р'71"1,
если только этот последний ряд сходится. Указание. В силу равномерной
сходимости можно почленно интегрировать ряд в пределах от 0 до Μ
л интересующий нас несобственный интеграл будет сходиться к сумме

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
203
указанного числового ряда, если
оо Μ оо оо
2 Г апп\ /Г72"1 - [ апе-Р*хп dx 1 -> 0 или ^ \ ^пе~ргхп ах -> 0.
С помощью повторного применения интегрирования по частям получим
t6n, где vn = annlp-n-i
Μ
Мр (Ир)* (МрГ\ -рМ
Так как Sn возрастает и стремится к единице вместе с п, то получим
т+к
2 υΛ
/г=7П
^ В-т^т+к < -R»
где JRm—верхняя граница абсолютной величины остатка 2 υ«>
начинающегося с члена номера т+1. Последнее неравенство можно получить,
если записать входящую в него сумму в обратном порядке и применить
неравенство Абеля из § 197. Но величина Rm может быть сделана при
достаточно большом т сколь угодно малой, так как ряд 2 vn сходится;
фиксируя т и выбирая Μ достаточно большим, сделаем первые т членов
вида vnSn сколь угодно малыми; это возможно, так как, при
фиксированном и и Μ -► оо, величина Sn стремится к нулю. Отсюда следует
результат.
19. Воспользоваться задачей 16 и показать, что
ι
^ -i-Ul-
i + z 2 3
Ср. с задачей 10 к гл. IX.
20. Если / (ζ) — аналитическая функция внутри и на окружности С
с центром в точке а и радиусом R и если | / (ζ) (<; Μ на окружности С,
то |/(/с) (а) |</с! -у. Указание. Воспользоваться результатами из § 265
Rk'
и 270.
21. Если с (£) - непрерывная функция на кривой С, то интеграл
\ -~г~dt определяет функцию переменной ζ, аналитическую в любой
С
односвязной области, не содержащей точек кривой С. Отметим, что
кривая С не обязана быть замкнутой, функция с (t) не обязана быть
аналитической и значения интеграла не обязаны стремиться к пределу, если
устремить точку ζ к точке на кривой С. Если кривая С отделяет две
области одну от другой, то наш интеграл определяет две различные
функции, как это имеет место в задаче 22.
22. Пусть функция / (ζ) аналитична в области, ограниченной
замкнутой кривой С, и на этой кривой. Показать, что интеграл \ —- dt равен

204
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
2-tiif (ζ), если ζ лежит внутри кривой С, и что он равен нулю, если ζ
лежит вне кривой С.
23. Пусть f (ζ) аналитична внутри и на замкнутой кривой С19 а
функция g (z) аналитична внутри и на замкнутой кривой С2, ограничивающей
область, лежащую вне Сг. Показать, что выражение
2т L ) t—ζ .1 t — ζ j
Ci C2
равняется j (ζ) внутри Сх и g (ζ) внутри С2.
24. Пусть каждая из функций f (ζ) и g ( —λ аналитична при j z !<i
и пусть С—окружность | ζ \ = 1. Тогда выражение —: \ -—- + ν—^ I dt
С
равняется /(ζ) при |ζ|<1 и g (z) при | ζ | > 1. Эта задача, а также
задачи 22 и 23 показывают, что одно простое «выражение» может
определять в разных областях разные аналитические функции, т. е.
функции, не получающиеся одна из другой аналитическим продолжением.
пг тт 1 + Ζΐ + Ζ + Ζ21 + Ζ + Ζ2 + Ζ3,
25. Показать, что ряд JT~2+ 1 2 3 + ЗТ~4 ' ' ' 0ПРеде"
ляет аналитическую функцию при | ζ | < 1.
26. Показать, что сумма ряда из задачи 25 равняется 1 — log(l — z)
1 11
при |zj<l. Указание. Воспользоваться тождеством =■— -— т-—~t
Ζ2 Ζ3
и преобразовать ряд к виду l + z+ — -f — + ...
А С)
27. Если функция / (ζ) однозначна и аналитична при гх <; | ζ — а\ <ζ ?ζ
и С —окружность |ζ — а\ = г1 (или |z — a\ = r2) из равенства (174), то
разложение (173) представляет / (ζ) при гх <! | 2 — а | -< г2.
1
28. Если / (ζ) = γ , то разложение из задачи 27 имеет вид
1 ζ — α (ζ — α)2 (ζ — а)3 , . , _
— - '- - ... при |ζ-α|<|&-α|,
Ъ - a (b — a)2 (b — a)3 (b - а)
1 Ь - а (Ъ - а)2 (Ъ - а)3
29. При помощи почленного дифференцирования первого степенного
1
разложения из задачи 28 получить разложение для . Этим можно
(ζ - Ъ)к
воспользоваться для нахождения разложения рациональной функции
в кольце гх < | ζ — а | < г2, не содержащем полюсов этой функции.
30. Если функция / (ζ) имеет полюс порядка m в точке а, то вычет
в точке а равняется значению в точке а выражения
Ср. с результатами из § 116.
31. Ряд z+ lz2 + ±z3+... и ряд - log2-t-.i±i+ .(^+1)2 ,
2 ' 3 ^ * * ' * м 6 ч 2 ' 2 . 22 ^
(з + I)3
-f—^—«а +··· представляют в общей части их областей сходимости

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
205
/2 — 2)2 (ζ 2)3
одну и ту же функцию, а ряд ni — (ζ — 2)~{ Ь . . . не
имеет общей части области сходимости с первым рядом, но может быть
из него получен аналитическим продолжением вдоль надлежащей кривой.
32. Если w = f (ζ) — однозначная функция ив то же время ζ = f-l (w) —
многозначная функция, то ее точки ветвления должны находиться среди
точек, в которых либо /' (ζ) не остается конечной, либо обращается
dz 1
в нуль. Указание. Из § 259 следует, что если /' (ζ)φ0, то - =
и обратная функция окажется аналитичной.
33. Воспользуемся задачей 32 для нахождения точек ветвления
функций arctg z и arc sin z; для этого найти точки, в которых производная
перестает быть конечной или отличной от нуля, и среди них искать
точки ветвления. Ответ: arctg ζ в точках г и — i; arc sin ζ в точках 1,
— 1 и сю.
34. В точке а функция w = 2z-\~(z — α)4^3 имеет точку ветвления и в
то же время производная стремится к значению 2. Здесь обратная
функция не является однозначной, так что правила из задач 32 — 33
неприменимы.
35. Если функция / (ζ) имеет нуль или полюс в точке а, то
/' (2)
,; ; имеет простои полюс в этой точке с вычетом, равным порядку нуля
или порядку полюса со знаком минус. Указание. Продифференцировать
log f(z) = mlog (ζ — а) +F (ζ), где функция F (ζ) аналитична в точке а.
36. Если, за исключением полюсов, лежащих внутри кривой С, функ-
1 С /' (ζ)
ция / (ζ) аполитична внутри и на кривой С, то интеграл — \ - ; dz
2*ъ1 j / (2)
С
всегда является целым числом и равен разности между числом нулей
и числом полюсов функции /(ζ), лежащих внутри С, причем каждый
нуль или каждый полюс порядка т считается т раз. Указание.
Воспользоваться задачей 35.
37. Пусть С — окружность с центром в начале координат и радиусом Μ
и пусть Ρ (ζ) — многочлен степени п. Показать, что
Г-к» Η Ρ (ζ) 3 J
С
В силу результата задачи 36 следует, что для достаточно большого Μ
многочлен Ρ (ζ) имеет η корней внутри С, что дает новое доказательство
основной теоремы алгебры. Указание. Рассуждать так же, как и в § 280,
и отметить, что подинтегральное выражение является рациональным
со знаменателем, имеющим степень по крайней мере на две единицы
большую, чем числитель.
38. Показать, что
о
39.
оо оо
С cos тх , пе~ат С χ sin mx . пе ат
\ -5 ; dx = — ; \ —ζ——г— dx = —-— , т > 0, а > Θ.
о о

206
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
Указание. Воспользоваться результатом задачи 38 и продифференцировать,
его по параметру т. Это показывает, что часто бывает полезным комби^
нирование методов теории вычетов и методов, примененных в задачах
29 — 37 к гл. XIL
40. Доказать, что
оо
dx = - , 0 <р<1.
J 1 Η- χ sin πρ
о
Указание. Интегрировать функцию вдоль контура, состоящего из.
1 + ζ
части положительной действительной оси от точки h до М> окружности
большого радиуса Μ с центром в начале координат, из отрезка
действительной оси от точки Μ до точки h (проходится во второй раз) и окружности
малого радиуса h с центром в начале координат. Если М—>оо, то
М~р —> 0; если h —> 0, то /г1-^ —> 0, так что интегралы по обеим окружностям
стремятся к нулю. Интеграл от нашей функции в пределах от h до Μ
обозначим через / и будем пользоваться ветвью функций ж*\ которая дает^
ее величине на этом сегменте действительные и положительные значения.
Тогда интеграл от Μ до Λ будет равен —е~2шр1, потому что после
обхода по окружности величина log z изменится на 2πί, а следовательно,
величина ζ? умножится на е2™ и, кроме того, изменится направление-
интегрирования. В полученном разрезанном кольце лежит один полюс
нашей функции в точке —1с вычетом, равным (- iy = е~рпг. Поэтому
в пределе получим (1— β~2ρπι) 10 = 2Ше~р'Я1 и
τ — 2πί — π
* ° ~~ eP™i _ е-ръг ~~ sin πρ '
где /0 является пределом /, когда Μ —» оо и h —> 0, т. е. данным в
задаче интегралом.
41. Показать, что для целых тип
С х2т _ π
J l+*2n ~ /2т+\ γ
0 <!m <n.
Для целых 7n и п эта задача является примером к § 280, но этот же
результат можно получить быстрее и притом для всех действительных
тип, для которых 0 < 1т + 1 < 2тг, если преобразовать интеграл из
задачи 40 с помощью замены х = и2п.
42. Показать, что
оо
ifo = - , 0<g< 1.
j 1 + ех sin ^π
—со
Указание. Либо положить я = егй в интеграле из задачи 40, либо
интегрировать по прямоугольному у = 0, у = 2ъ, x = — R> x = R и затем
устремить R к оо. Этот прямоугольник является образом контура из задачи 40г
получаемым при помощи преобразования w = logz.
43. Показать, что
С яГр — х~У
\—— dx = n[ctg qiz — ctg рк]\ 0 </?<!, 0 < д < 1.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
207'
Указание. Интегрировать функцию — по контуру, указанному в
задаче 40, в котором отрезки от 1 — h до 1 + /г и от 1-Ь/гдо 1 — Λ
заменены соответственно верхней и нижней половинами окружности радиуса h
с центром в точке z=l. Тогда получим
l-h M
h l + h
где через Τ обозначены члены, стремящиеся к нулю, когда h —> 0
и М—>оо. Затем, разделив полученное равенство на (1 — <?-2ρπζ) и вычтя
такое же равенство, в котором ρ заменено через <?, после перехода к
пределу при h —> 0 и М—>оо получим требуемый результат.
оо
г erx esx
44. \ — — dx = n (ctg rn — ctg δπ), 0 < г < 1, 0 < s < 1.
«.» ι ^
— οο
Указание. Положить # = е" в интеграле из задачи 43.
45. Показать, что
π
Г ( 0, если — 1<ρ<;ΐ,
\ log (1 — 2ρ cos χ + ρ2) dx = \ έ , ^
J ( 2π log | /? |, если ρ < — 1 или /> > 1.
0
ι
Указание. Этот интеграл равен -- того же интеграла, взятого в пределах
от 0 до 2π, и в силу равенства (200) § 280 равен
_!_ С log (ρ - г) + log (pz - 1) - log г
1С
21 1 з *'
С
где С—единичная окружность с центром в точке z = 0. Для случая
0 < ρ < 1 исключим из круга отрезок прямой, соединяющий точки 0 и /?,
и возьмем такие значения логарифмов, чтобы arg (ρ — ζ) лежал между—2π
и 0, a arg (pz — 1) и arg г—между 0 и 2π. Тогда числителе
последнего интеграла будет действительным на окружности С и однозначным
в разрезанном по выбранному отрезку круге. Поэтому интеграл равен
интегралу по линии С, состоящей из отрезка от точки h до точки р — /г,
рассматриваемого примыкающим- к точкам из нижней полуплоскости,
из малой окружности Ср радиуса h с центром в точке ру отрезка прямой
от точки р — h до точки /г, примыкающего к точкам верхней
полуплоскости, и из малой окружности С0 радиуса h с центром в начале координат.
Интеграл по окружности Ср стремится к нулю вместе с h log h при h —>· 0,
а значение log (ρ — ζ) изменится на 2πϊ. Остальные слагаемые, кроме
log (ρ — ζ), при интегрировании от h до р—h и от р—h до h взаимно
уничтожатся, а изменение log (ρ—ζ) даст
h
2ί J -γ dz = tz[log h-log (p-h)].
p — h
Интегрирование вдоль окружности С0 дает при помощи вычисления
вычетов π log ρ от члена, содержащего log(p — ζ), и πΗ от члена,
содержащего log (pz — 1). Для вычисления — \ — dz воспользуемся неопре-
Со

208
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
деленным интегралом —(log z)2, при этом log z будет изменяться от log Λ
до logh-\-2m. Таким образом, этот член будет равен —nlogk—KH. Сумма
всех членов стремится к нулю, когда h-^Q. В случае ρ > 1 положим
1
ρ = — , тогда
Ч
log (1 — 2/) cos χ + ρ2) = 2 log ρ-\~ log (1 — 2q cos # + g2),
и мы можем воспользоваться предыдущим результатом. Для
отрицательного ρ полагаем p——q. В случае /? = 1 получим непрерывность
интеграла из того факта, что первоначальный интеграл можно вблизи # —О
мажорировать интегрируемой функцией, и интеграл будет равномерно
сходиться на любом сегменте от /г до π.
оо
46. Из равенства \ е~*2 dx = —- (см. задачу 32 к гл. XII) получить
\
о
е"*2 cos 2Ъх dx = ί—- е~ь2. Указание. Интегрировать е"*2 вдоль по прямо-
0
угольнику, ограниченному линиями у~0, у = Ъ, х~М, #=—М, а затем
перейти к пределу при Μ —>оо.
47. Пусть 0<!Л<;-г и пусть вещественный параметр t изменяется
от 0 до оо; тогда интеграл от е~*2 dt, где z = teiA, не зависит от велн-
чины Л. Из того, что интеграл для А = 0 равен ~- , получить значение
двух действительльных интегралов и, в частности,
оо оо _
\ cos (χ2) dx = \ sin (χ)2 dx = ^-^-
Указание. Интегрировать вдоль сектора, ограниченного двумя отрезками,
соответствующими двум значениям Ау и дугой окружности с центром
в начале координат и радиусом М, затем перейти к пределу при Μ —>со.
На дуге окружности воспользоваться неравенствами (210) и (211). Эта
задача и задача 46 показывают, что иногда, выбрав удачно контур
интегрирования, можно получить один определенный интеграл из другого.
48. Доказать, что
coS2=n[l-(-2^j^]·
л = 1
Указание. Выполнить группировку членов в произведении , для
sitil
8in(z + y)·
Ζ 7 Ζ 4 ΐ Π ?
49. Доказать, что cos — cos — cos -ρ . ..=: . Указание.
Воспользоваться задачей 48 и тем, что
ζ ζ 2η . ζ
sm ζ = 2 sin — cos — , —sin-xr—>1.
2 2 ζ 2n

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIII
209
5°· ~2 ί%Τ + ^ί%Τ2 + Τ3ί8ψ+-'·==Τ~~°ίΕΖ' Указание-
Воспользоваться задачей 49 и взять логарифмическую производную.
1 1
51. Пусть 0<|s|<* и Яак==1 + 22А + з2Л+·... Показать, что
ζ ζ2 1 ζ4 Ι ζ6
ctgz_ -=-2Я. _ _2#4-j -2ff6_
В § 320 мы покажем, что 97^-~—Т^Ш— ^2Ъ где #2&—бернуллиевы
числа. .Ср. с задачами 3 и 8 к гл. XVI.
52. Если u + iv — аналитическая функция переменной z==x-\~iy в точке
z0 = ic04-i2/0, то и и ν будут аналитическими функциями двух
переменных χ и у в точке # = #0 и у = у0· Указание. Положить z — zQ = x —xQ-\-
+ Ну~Уо) в разложении функции по степеням (z — z0) и доказать
сходимость степенного ряда по степеням (х—х0) и (у—у0).
53. Если для действительных /, χ и г/*> функция / (#, у) является
решением уравнения Лапласа из задачи 1 в некоторой двумерной области,
для которой (х0, у0) является внутренней точкой, то /(х, у) будет
аналитической функцией переменных χ и у в точке (х0, у0). Следовательно,
эта функция имеет частные производные всех порядков и представима
степенным рядом в окрестности данной точки. Указание. Воспользоваться
задачами 2 и 52.
54. Пусть и (х, у) ш ν (х, у) действительны при действительных
значениях χ и у и аналитичны по χ и у в точке х = х0 и у~у0. Если w = u + iv9
то с помощью равенств z = z-\-iy и z — x—iy или х = —-— и у~
2 * 2<
получим ю> как функцию ζ и ζ. Показать, что эта функция является
аналитической функцией переменных ζ и ζ. Эта функция будет функцией
только одного ζ, если —=- = 0. Показать, что для действительных значе-
dz
ний хну это условие эквивалентно условиям Коши—Римана.
*> Предполагается, что первые и вторые производные непрерывны.
(Прим, ред.)

Глава XIV
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Рассматривая аналитическую функцию в любом круге,
концентрическом к кругу сходимости и лежащем внутри него, можно
представить ее действительную и мнимую части в виде рядов,
каждый из которых будет являться действительной периодической
функцией угловой координаты. Представление аналитической
функции в виде степенного ряда в таком круге приводит к
разложению в ряд каждой из этих периодических функций по синусам
и косинусам кратных углов. Это дает возможность разложения
других периодических функций в ряды по синусам и косинусам
кратных углов или в ряды Фурье. Мы изучим этот вопрос и
определим некоторые простейшие достаточные условия возможности
такого разложения для функции.
Можно говорить о разложении периодической функции,
определенной для всех значений переменного, в ряд Фурье или же
о разложении функции в любом интервале, равном по длине
периоду, причем эта функция может быть задана только на одном
интервале по длине, равном периоду. Существует аналогичное
представление функции, заданной на бесконечном интервале,
которое вводится при помощи интеграла; этот интеграл называется
интегралом Фурье. Мы определим достаточное условие такого
представления для функций, определенным образом стремящихся к нулю
при стремлении аргумента к бесконечности.
287. Ряд Фурье для периодической функции. Если
степенной ряд 2 ап %п сходится при всех z, |z| = r и суммой его
является F {ζ), то мы имеем
F{re^)= § ап{ге™)п. (1)
71=0
Отделяя в этом равенстве действительную и мнимую части и
обозначая
F(re^)^P(6)+iQ(B)9 an = pn + iqn, (2)
получим
оо
Р{Ь)= Σ {РпГп cos пЬ — qnrn sin nb) (3)
/ι = 0
и
оо
Q (Θ) = Σ (9пГп cos пЬ + рпгп sin пЬ). (4)
/1 = 0

287. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 211
Функции Ρ (θ) и Q (θ) являются действительными функциями
от θ и имеют период 2π; из соотношений (3) и (4) видно, что
некоторые периодические функции допускают разложения в ряды по
синусам и косинусам кратных углов. Аналогичные разложения вряд
могут быть получены, если исходить из ряда Лорана, содержащего
члены с отрицательными показателями степени. Это проделано
в задаче 13 к гл. XIV. Естественно возникает вопрос о
возможности разложения более общих периодических функций в такие
ряды.
Если рассматривать функции, имеющие период Г. то мы должны
образовать ряды с членами cos η ^ χ и sin η ψ χ, потому что
каждый такой член имеет период Т. Действительно, тогда
каждая конечная сумма или весь сходящийся ряд
оо
л ι XI ί л 2πηχ , π . 2ттх\
А+А (^iiCOs-_. + .Bnsm__j (5)
п = 1
представляет собой функцию периода Т.
Рассмотрим теперь функцию, имеющую период Г, и
предположим, что она может быть представлена в виде ряда (5). Если
возможно почленное интегрирование этого ряда, то получим
τ τ
^f(x)dx = ATm A = ±\f(x)dz, (6)
о о
так как для любого натурального η имеет место
г τ
С 2ппх , а С · 2ппх Ί
^ cos -jr- dx = 0, ^ sin —dx = 0. (7)
о о
Далее, умножим все члены ряда (5) на cos^p. Если
возможно произвести почленное интегрирование полученного ряда,
то будем иметь
τ
л ^ £ ,, ν 2πηχ Ί
An = f-}f{x) cos — dx9
о
(8)
так как для натуральных пят имеет место
τ
С . 2-ктх 2πηχ Ί ^ /лч
^ sin —ψ- cos -ψ- dx = О, (9)
о
τ
Г 2птх 2ттх Л Λ .Ar..
\ cos—уг~cos -ψ- dx = 0, η φ πι (10)
ο

212 ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
И
Τ
^ cos2—dx= γ. (11)
о
Аналогично, если ряд, полученный из (5) умножением на
2πηχ
sin —ψ—, допускает почленное интегрирование, то придем к
г
£n = f$ f{x)sm~dx, (12)
о
вследствие равенства (9) и равенств
τ
\ sin -^- sin -ψ- dx = 0, πι Φ η, (13)
ο
\^-ψάχ = \, (14)
6
где /?г и гг—натуральные числа.
Мы называем постоянные А, Ап и ВП7 определяемые
равенствами (6), (8) и (12), коэффициентами'Фурье функции / (х) периода Т,
предполагая при этом, что соответствующие интегралы
существуют. Пишем
оо
f(x)^A+% (^Αηοο8^ + Βη8ΐη2-ψ^ (15)
и называем правую часть этого соотношения рядом Фурье .для
/ (х) независимо от того, сходится этот ряд или нет. Если
известно, что ряд сходится к f(x), то можно заменить знак
эквивалентности ~ знаком равенства.
Конечные суммы
Sn = A+2 (Ак οοΒψ + Β,Βίηψ) (16)
будем называть частичными суммами ряда Фурье для /(#).
Заметим, что при вычислении интегралов, входящих в формулы
коэффициентов Фурье для функции периода Τ, можно употреблять
любой интервал-длины Г, например а, а Л-Т вместо О, Т. Таким
образом, эти коэффициенты могут быть определены следующими

288. ФУНКЦИИ С ПЕРИОДОМ 2π
213
соотношениями:
А = среднему значению f(x), Л
α ι ι \ 2плх I
Ап = удвоенному среднему значению / (х) cos —ψ- , κ ιγη\
Bn = удвоенному среднему значению / (χ) sin -=- , j
причем средние значения берутся по любому интервалу длины Г.
288. Функции с периодом 2ти. Если период Τ равен 2π, то
множитель — обращается в единицу и может быть опущен. Более
того, не уменьшая общности, можно ограничиться рассмотрением
только этого случая, ибо если имеется некоторая функция / (х)
периода Т, то написав .
*=(?)*· /(*) = /(^г)~*Ч*), (18)
получим, что функция F (X) имеет период 2π. Коэффициенты
Фурье функции F(X), имеющей период 2π, будут теми же, что
й коэффициенты Фурье для функции /(#), имеющей период Г,
так как средние значения не меняются при изменении масштаба.
Следовательно, соотношение
оо
F (X) ~ А + S (Лп cos nX + #n sin nX) (19)
эквивалентно соотношению (15), и ряд (15) будет сходиться к / (х),
если ряд (19) сходится к F (X).
В дальнейшем, для упрощения записи, будем рассматривать
Τ = 2π, но сохраним обозначение # для переменной и / (ж) для
функции.
289. Частичные суммы. Частичными суммами являются
суммы вида
71—1
*У„ = А + S (-4a cos кх + Вк sin кх). (20)
fc —1
Воспользовавшись свойством (17), можно определить
коэффициенты соотношениями
■re + as
As=i \ f(()dt' (21)
—π+χ
π + χ
Лг = ^- \ f {t) cos ntdt, (22)
—π+χ
π+χ
Bn = ^- ^ f(t) sin ntdt. (23)

214
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
В этих соотношениях мы считаем χ частным значением
переменной и для избежания недоразумения обозначаем переменную
интегрирования через t.
Находим, что
Ак cos кх + Вк sin kx =
•я+х
= "π" \ f^ ^C°S ^ C0S ^X ~^~ S^n ^ S^n ^X) ^ =
-тс+ж
π + χ
«1 \ f (t) сов k(t — x)dt. (24)
—тс+ж
Следовательно,
ТС + Я 71 — 1
^"=4 S [τ+Σ ™sk(t-x)]f(t)dt. (25)
—тс+# & = 1
Сделаем замену переменных, полагая t = z + u; это приведет к
тс
£п = — \ «л (и) / (х + и) dH, (26)
—тс
где
71-1 sin(?i —-Ли
Мв) =4+2 сов*и = —^ §^-. (27)
fc-i 2sinY
Соотношение (27) получается при помощи метода математической
индукции и тождества
sin ( к + γ J и — sin С к —- ) и = 2 sin γ cos ku. (28)
Так как sn (и) есть четная функция, то разбивая промежуток
интегрирования от — π до + π на промежутки от — π до О
и от 0 до +π, найдем
тс'
Sn = ^sn(u)[f(x + u) + f(x-u)]du. (29)
о
Из выражения (27) для суммы sn (и) получим
то
± ^ sn (и) du = γ . (30)
о
290. Переход к пределу. Будем обозначать правые и левые
пределы функции, рассмотренные нами в § 30, следующим образом:
f(z1 + ) = limf{x), f(x1^)^limf(x)9 (31)

291. ТЕОРЕМА РИМАНА
215
и ограничим наше внимание лишь такими точками, для которых
оба этих предела существуют. В таких точках будем искать
условие сходимости ряда Фурье от данной функции к значению
г(*) = £[/(* + ) + /(з-)]· (32)
В частности, в точке, где / (х) непрерывна, имеем
/(*+) = /(*-) = /(*), g(x) = f(x), (33)
так что условие останется тем же для сходимости ряда к /(#),
если χ является точкой непрерывности функции.
Из определения частной суммы следует, что ряд будет
сходиться Kg(x), если
g (x) = lim Sn = lim —\sn(u)[f(x + u) + f(x---u)]du. (34)
л-»оо n-)oo π ·'
В силу условия (30) имеем
π
g (χ) = lim — \ sn (и) 2g (x)du. (35)
/ι->οο π J
Таким образом, ряд будет сходиться к g (x) тогда и только
тогда, когда будет выполнено равенство
lim [ sn (и) [f {χ + и) + / {χ - и) — 2g (x)] du = 0. (36)
291. Теорема Римана. Для доказательства того, что для
некоторых функций интеграл (36) стремится к нулю, можно
использовать наличие множителя &т(п — —)и в sn(u). Этот
множитель позволяет упростить нашу задачу, так как имеет
место следующая теорема:
Если F (х) — функция у обладающая конечным собственным или
абсолютно сходящимся несобственным интегралом в смысле
Римана, то для действительного (но не обязательно целого) числа т
имеет место
ь
lim \ F (x) sin mx dx = 0. (37)
т-*оо J
α
В этом параграфе мы докажем эту теорему, первоначально
доказанную Риманом и обобщенную Лебегом на случай
несобственного интеграла.

216 ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Заметим прежде всего, что соотношение (37) справедливо, если
F (ос) постоянна, ибо
b
\ К sin mx dx
а
Рассмотрим далее ступенчатую функцию S (х) в интервале
а, 6, т. е. функцию постоянную в каждом из конечного числа
интервалов, на которые разбит весь интервал а, Ь. Подобные
разбиения интервала на подинтервалы уже встречались нам при
определении интеграла Римана. Функция S (х) постоянна в
открытых интервалах. Ее значение на концах интервалов не влияет на
значение интеграла, так как таких точек только конечное число.
Если функция S (%) такова, что Μ является верхней границей
для |£(#)|, и она состоит из к ступеней, то, применяя
соотношение (38) к каждому из к интервалов, в которых функция
постоянна, получим
ъ
\ S (x) sin mx dx < —— . (39)
α
Это выражение стремится к нулю, когда т —>оо, так что
теорема доказана для ступенчатой функции.
Наконец, заметим, что из самого определения собственного
риманова интеграла \ F(x)dx следует, что существует
ступенчатая функция S (х) такая, что
ъ
\ \F(x) — S{x)\dx<a. (40)
а
Действительно, воспользуемся ступенчатой функцией,
применяемой в нижней интегральной сумме, тогда интеграл (40) выражает
разность между римановым интегралом и нижней суммой.
Тот же результат имеет место и для абсолютно сходящихся
несобственных интегралов Римана, так как интервал
интегрирования в этом случае можно разбить на такие интервалы, на
которых интеграл является собственным, и интервалы, на которых
функция F (х) неограничена. Но последние интервалы таковы,
что интеграл от \ F (х)\ по ним будет произвольно мал, например
меньше г. Таким образом, мы можем определить функцию S (х),
так же как и в соотношении (40), для интервалов, на которых
интеграл является собственным, и положить S (х) — 0 на
остальных интервалах. Тогда
ъ
\\F(x) — S(3)\dx<2z. (41)
\К
cos та ■
-cos mb 1^2
К\
(38)

292. УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ
217
Если заменить вначале β через — , то полученное неравенство-
обратится в неравенство (40). Рассмотрим теперь
ъ ъ
\ F (х) sin тх dx — \ S (x) sin mx dx
а
Ъ
= ; \ [F (х) — S (х)] sin тх dx «ζ \ \F (χ) — *У (s) || sin ma: | dz <
I ·' I J
α α
Ь
<^ Ι ^ (Я5) — *У (Я5) | dJB < з. ' (42>
α
Вследствие неравенства (39) для достаточно больших т имеем
ь
\\S{x) sin тх dx < г, яг > т0. (43)
α
Поэтому из последних двух соотношений имеем
ъ
\ F (x) sin тх dx < 2з для m > m0. (44)
α
Следовательно, прит-->оо интеграл \ F (x) sin mxdx стремится
а
к нулю, что и требовалось доказать.
При тех же условиях, наложенных на функцию F (х) и число ту
повторяя наши рассуждения, получим
ъ
lim \ F (x) cos mx dx = 0. (45)
m->co ·>
α
292. Условия сходимости. В соотношении (36) множитель
sn(u) выражается равенством
sn (и) = sin ( η — — j и ■ . (46)
2sinT
Если δ — положительное число, меньшее чем π, то функция
непрерывна и ограничена в интервале δ, π. Поэтому функция
и
em y
F (и) =[f(x+u) + f(x-u)-2g (χ)] —±— (47>
2sin-

J218
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
будет иметь собственный или абсолютно сходящийся
несобственный интеграл по и на интервале δ, π, если (как мы и будем
предполагать) / (и) имеет интеграл того же типа на любом конечном
интервале.
Поэтому мы можем применить теорему Римана, доказанную
в предыдущем параграфе, и получить
π
lim \ sn {и) [f{x + u)+f(x—u)— 2g (χ)] du =
П->00 ·/
О
= lim \ F (в) sin (η — ^) и du = 0. (48)
О
Это дает нам возможность свести исследование интеграла из
соотношения (36) к исследованию этого же интеграла,
распространенного на интервал 0, δ.
Далее, имеем
sin { η - — j и
— = sin пи ctg -|— cos пи. (49)
sin I
В интервале 0, δ мы можем применить соотношение (45), в
котором полагаем
2F (в) = / (я -Ьи) + / (х -и)- 2g (χ), (50)
так что часть интеграла, содержащая cos пи, имеет пределом
нуль, и остается исследовать выражение
δ
lim - \ sin пи ctg — [/ (χ + и) + f {χ — и) — 2g (x)] du. (51)
Для 0 < и < 2 π множитель ctg — является аналитической
^функцией и может быть разложен в ряд Лорана (см. § 276)
и л и2
cos — 1 — — · · ·
8ШТ Ι—ω"·
Поэтому функция
ctg ~—■ ^0, когда и~>0, (53)
и, полагая ее равной нулю при и = 0, получим функцию,
непрерывную при 0<гг < 2к. Поэтому для интервала 0<&<δ функция
F(u)=[ctg±-±][f(z + u) + f(x-u)-2g{x)] (54)

293. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
219
имеет собственный или абсолютно сходящийся несобственный
интеграл и, вследствие соотношения (37),
δ
lim \ sin пи F (и) du = 0. (55)
Так как значение подинтегральной функции в одной точке не
влияет на величину интеграла, то можно вычесть этот интеграл
из интеграла, входящего в выражение (51), и написать
результат в виде
δ
lim [ ^^- [f(x + u) + f (χ -u)-2g (χ)] du, (56)
/ι-хю «J u
Равенство (36) будет выполнено, если этот предел будет равен
нулю. Если функция / (х) имезт период 2π и для нее существует
собственный или абсолютно сходящийся несобственный интеграл
на интервале 0,2π, то интеграл того же типа будет существовать
и на любом конечном интервале. Также будут существовать и
интегралы, определяющие коэффициенты Фурье, Наше рассуждение
показывает, что для такой функции необходимым и достаточным
условием сходимости ряда Фурье к значению g (x) является
существование и равенство нулю предела (56) для некоторого поло-
жителъного числа δ. Равенство нулю предела (56) для какого-
либо δ влечет за собой сходимость, тогда как сходимость влечет
за собой равенство нулю предела для любого положительного δ.
293. Достаточные условия. Найдем теперь достаточное
условие равенства нулю предела (56), где функция g (х) задана
соотношением (32). Если мы потребуем, чтобы
δ
lim [ ^^[f(x + u)-f(x+)]du = 0 (57)
п->ео I и
И
δ
lim С £^[/(я_и)-/(а~)]йгг==0, (58)
п_»оо J u
то, складывая эти соотношения, получим, что выражение (56)
стремится к нулю. В частности, если
\f{x + u) — f(z + )\<Kup, где р>0, 0 < и <и0, (59)
то для h < uQ получим
h h
\\^[f(x + u)-f(x + )]du\<^^^\f(x + u)~f(x + )\du<
о о
h
< ^Ки^Ыи^ — hp. (60)
о

220
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
В интервале /г, о интеграл из соотношения (57) стремится к нулю
вследствие теоремы Римана. Поэтому имеем
lim
71-» ОО
\^[f(x + u)-f(x + )]du\<f HP. (61)
Так как Кир фиксированы и ρ положительно, то это
выражение может быть сделано сколь угодно малым, если взять h
достаточно малым. Поэтому верхний предел, который может быть
либо положительным, либо нулем, оказывается равным нулю;
следовательно, и предел (57) равен нулю, что нам и надо было
доказать.
Соотношение (59) называется условием Липшица справа
порядка р. Аналогично определяется условие Липшица слева
порядка р:
\f{x-u) — f{x-)\l<KuP, где /?>0, 0<и<и0. (62)
Если выполнено это-условие, то подобные же рассуждения
показывают, что имеет место равенство (58). Если функция непрерывна
и выполнены оба условия (59) и (62), то имеем
'\f{x + u)-f(x)l^K\u\p, где/?>0, — и0<и<щ\ (63)
в этом случае мы говорим, что функция удовлетворяет условию
Липшица порядка ρ в точке х.
Наиболее важным случаем является случай, когда в
неравенстве (63) ρ=ί. Функции, удовлетворяющие такому условию, мы
встречали в § 128 и 255, причем там это уеловие выполнялось
в каждой точке интервала. Из определения производной следует,
что условие (63) выполняется при ρ = 1, если функция / (х)
имеет конечную производную в точке х. Это приводит нас
к первому достаточному условию для сходимости ряда Фурье:
Ряд Фурье сходится к функции / (х) в каждой точке, в
которой / (х) имеет конечную производную.
Ь более общем случае ряд сходится к — , если
/ (х) имеет конечные правую и левую производные или
удовлетворяет справа и слева условию Липшица некоторого
положительного порядка р.
Выведем другое условие сходимости. Для этого предположим,
что / (х) монотонно убывает в интервале χ, χ + и0. Тогда функция
?(в)=-/(я+в) + /(я + ) (64)
стремится к нулю, когда и—->0, и монотонно возрастает в
интервале 0, h{h < uQ) и, следовательно, положительна в этом
интервале. Поэтому к ней можно применить теорему о среднем зна-

293. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ 221
чении Боннэ (см. § 198) и получить
h h
С ι ч sin пи 7 /7ч f sin пи 7 ,пгх
ο ξ
где ξ —некоторое число из интервала 0, h.
Из свойств sin пи и того, что — убывает, следует, что ряд
^ii^du+ ξϋϊ^ + ... (6б)
0 jrc_
/г
будет знакочередующимся рядом, члены которого монотонно
убывают по абсолютной величине. Таким образом, сумма любого
числа членов этого ряда не превосходит по абсолютной величине
первый член ряда. Так как каждое подинтегральное выражение
сохраняет знак в соответствующем интервале интегрирования, то
для любых двух положительных чисел ξ и /г будем иметь
тс
h η η
I С sin пи , I ^ f sin пи , Ρ sin ν , /ηηκ
\ du < \ du= \ dv. (67)
ξ О О
Таким образом, интеграл, стоящий в правой чайти соотношения
(65), ограничен, и его верхняя граница не зависит ни от η ни от h.
Так как этот интеграл умножается на φ (/г), а φ (А) стремится
к нулю, когда h стремится к нулю, то все произведение может
быть сделано сколь угодно малым при достаточно малом h.
Следовательно, и интеграл, стоящий в левой части соотношения
(65), может быть сделан по абсолютной величине сколь угодно
малым при достаточно малых /г. Применяя этот результат и
теорему Римана и пользуясь понятием верхнего предела, так же
как мы делали с соотношением (61), мы сможем доказать, что
в наших предположениях предельное соотношение (57) выполняется·
Для монотонно возрастающей функции f (х) можно применить
те же рассуждения, только надо заменить / (х) через — / (х)
в соотношении, определяющем φ (и). Эти же рассуждения
применимы и к соотношению (58), если функция монотонна в
интервале х — и0, х. Таким образом, ряд Фурье сходится в каждой
точке, отделяющей два открытых интервала, в каждом из которых
/ (х) монотонна и ограничена. Ряд Фурье сходится для суммы
двух функций, если он сходится для каждой функции. В § 159
было доказано, что всякая функция ограниченной вариации
на интервале может быть представлена в виде суммы двух
монотонных функций, поэтому мы получаем:

222
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Ряд Фурье для функции f (χ) сходится к
γ[/(* + ) + /(*-)]
для каждого значения χ в некотором интервале, в котором
функция f (x) является функцией ограниченной вариации.
(Жордан).
294. Равномерная сходимость. Каждый член ряда Фурье
является непрерывной функцией, поэтому если ряд сходится
равномерно для всех значений или если ряд сходится равномерно
для всех значений, лежащих в некотором интервале, то сумма
ряда f(x) будет непрерывной функцией для всех значений, или
же будет непрерывной функцией для всех значений,
принадлежащих некоторому интервалу.
Если функция / (х) будет функцией ограниченной вариации
на некотором интервале и непрерывной на этом интервале, то ее
ряд Фурье будет сходиться к ней равномерно в любом интервале*
лежащем внутри данного интервала. Также если функция / (х)
имеет конечную, равномерно ограниченную во всех точках
некоторого интервала производную, то ряд Фурье для функции / (х}
будет сходиться к / (х) равномерно в каждом интервале, лежащем
внутри данного. Тот же результат имеет место, если условие
Липшица положительного порядка ρ выполнено во всех точках
интервала с одними и теми же постоянными К и и0. Это следует
из того, что число членов, необходимое для достижения
заданной степени приближения, зависит от быстроты стремления к
пределу в теореме Римана и от величины /г, входящей в такие
формулы, как (61) и (65), которую нужно взять для того, чтобы
соответствующие выражения были достаточно малы. Если
функция непрерывна на сегменте, лежащем внутри данного интервала,,
а это имеет место в силу каждого из рассматриваемых условий,
то из равномерной непрерывности этой функции следует, что, для
того чтобы соответствующие выражения были достаточно малыми,
величину h можно выбрать одной и той же для всех точек
сегмента. Затем, после выбора /г, мы будем рассматривать
применение теоремы Римана к интервалу /г, b и к функции F (х),
/(х + и)
имеющей вид — или являющейся суммой членов такого жф
вида. Функция f (х) может быть апроксимирована ступенчатой
функцией S (х) так, чтобы соотношение (40) выполнялось на
интервале 0,2π или вследствие периодичности на любом интер-
вале длины, не большей чем 2π. Кроме того, функция —
непрерывна в интервале /г, b и может быть равномерно
апроксимирована ступенчатой функцией Τ (и). Если S (х) имеет s ступеней
на интервале 0<#<2π, а функция Τ (и) имеет t ступеней, та

295. ТЕОРЕМА ФЕЙЕРА
223
функция S (х+ и) Τ (и) имеет не более чем st ступеней для
/г<ц<,6. Поэтому множитель к в неравенстве (39),
выражающий число ступеней, не превосходит st и, следовательно,
не будет нарушать равномерности стремления к пределу. Ана-
. и 2
логично, множитель ctg- равномерно непрерывен для
0<Μ<π и, следовательно, для /г<гг<6, так что его
присутствие в соотношении (54) не нарушает равномерности стремления
к пределу.
295. Теорема Фейера. Так как непрерывность функции сама
по себе не является достаточным условием для сходимости ряда
Фурье, то следует рассмотреть обобщенный процесс
суммирования, при помощи которого мы сможем получить значение
непрерывной функции, зная частичные суммы ее ряда Фурье.
Рассмотрим вместо частичных сумм ряда суммы Чезаро первого
порядка, т, е. следующие выражения:
η
C1 = AS'], С2 = 2 2 , Сп — ~2jSki (68)
/с = 1
и будем говорить, что ряд суммируем к значению / (х) в смысле
Чезаро или суммируем (Сг), если
/(a;) = limCn. (69)
Заметим, что если ряд сходится в обычном смысле, то он
суммируем и в смысле Чезаро. Действительно, если обозначим
через L сумму ряда, то для всякого положительного з найдется
такое N, что при к> N все суммы Sk будут находиться между
L—г и L+s. Поэтому для n = N + m будем иметь
NCN + mL — ms<C(N + m)Cn < NCN + mL + те. (70)
Разделив'все члены на т и переходя к пределу при т—>оо,
получим отсюда, что
L — 3<IimCn<L + s; (71)
такое же соотношение имеет место и для нижнего предела►
Отсюда, вследствие произвольности г имеем
UmCn = L. (72)
Это доказывает, что сходящийся ряд суммируем в смысле Чезаро
κ сумме, κ которой он сходится.
Однако ряд может быть суммируем в смысле Чезаро, не
будучи сходящимся в обычном смысле. Например, для ряда
1-1 + 1-1+... (73)

224
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
частичные суммы будут
St = i, О, 1, 0, ... , 1,0,... (74)
и
^ι — 1, 2, з' 2' 5''"' 2л-1' 2,···, 1'°'
так что ряд суммируется в смысле Чезаро к — .
Применим процесс суммирования Чезаро к ряду Фурье,
в котором (тг+1)-й член имеет вид (An cos nx + Bn sin nx), так
что сумма η членов, равная Sn, определяется соотношением (20)
или (29):
т.
Sn=~\ sn(и) [/ (χ + u) + /(х- и)] du, (76)
о
где
sin ( τι— -)u п~1
sn (u) = ^ 1^— -| + 2 cos fe· (77)
2 sin у a=i
Бычислим
η
Cn = |2^· (78)
/c=l
Начнем с вычисления следующей суммы:
, л ν , sin -гг
2. / 7 1 ^ ! — cos ^и 2 /new
fc-l 2sinY sm"2
Мы придем к этой формуле, применяя метод математической
индукции и тождество
— cos (к + 1) u +'cos ки — 2 sin Г & + -^ j и sin -|- . (80)
Тогда выражение для Сп будет иметь вид
sin2
C-£S—j- [" + ■»+"-<>]»■ (81)
0 sin2 —
Отметим также, что из соотношений (77) и (79) следует, что
ιϋ n-l
2-= j+ %(n-k) cos ku, (82)
sm2T
2 sin2- fc=1

295. ТЕОРЕМА ФЕЙЕРА 225
так что
пи
rnz J
* sin2 -
— йи = 1. (83)
0 Sin2 —
Рассмотрим теперь функцию / (χ) периода 2π, непрерывную
для всех значений х. Тогда, для каждого положительного числа г,
найдется такое положительное число δ, что
| / (х + и) — / (х) | < s, если | и | < δ. (84)
Из соотношений (81) и (83) имеем
пи
sm
о sin2
С*-П*)=±\—-i-[f(x + u)t/(x-u)~f(x)]du. (85)
Разделим интервал интегрирования 0, π на два интервала: 0, δ
и δ. π. Для первого интервала абсолютная величина выражения
f (χ JL ц\ -L· f (χ л)
— —ζ— - — /(я) не превосходит s вследствие условия (84),
так что абсолютная величина интеграла (85), распространенного
на интервал 0, о, не превосходит
и
ηπ J
пи
Τ
• о U
о sin2y
du. (86)
Так как подинтегральное выражение здесь положительно, то
интеграл может только увеличиться, если заменить верхний
предел через π. Тогда вследствие равенства (83) получим
/ι<«. (87)
В интервале δ, π функция sin2-^- не превосходит единицы и
2
2 - М' 2
Sin2^>sin2|_e (88)
Тогда если Μ таково, что
\f{x)\<M для всех х, (89)
то интеграл (85), взятый по интервалу о, π, по абсолютной
величине не превосходит
/,
1 Г 2М , ^ К /ПАЧ
==^)Z^du<^' (90)
О sin2 2
где Я" —постоянная, не зависящая от
п.

226
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Следовательно,
|Сп-/(*)|<8 + £. (91)
Для η > — правая часть этого неравенства становится меньше
2з и, следовательно,
limC„ = /(*). (92)
Так как функция, непрерывная на замкнутом интервале 0, 2π,
равномерно непрерывна на нем, то величину 6 можно выбрать
не зависящей от х. Поэтому константы К, а следовательно, и —
могут быть взяты не зависящими от х. Это показывает, что
сходимость последовательности Сп будет равномерной. -
Мы доказали теорему Фейера:
Суммы Чезаро первого порядка для ряда Фурье от
непрерывной периодической функции сходятся равномерно к этой функции.
296. Теорема Вейерштрасса об апроксимации. Эта теорема
утверждает, что всякая функция, непрерывная в некотором
замкнутом интервале, может быть на этом интервале равномерно
апроксимирована многочленом. Мы сможем легко доказать это
утверждение, пользуясь только что доказанной теоремой.
Действительно, изменяя масштаб, всегда можно сделать заданный
интервал по величине меньшим чем 2ти. Дополняя заданную
функцию линейной функцией, проходящей через точки 6, f (b)
и а-\- 2тс, / (а)у найдем функцию с (ж), непрерывную и имеющую
период 2тс, которая будет равна f (х) на интервале α<#<6.
Тогда по теореме Фейера найдется сумма Чезаро Сп такая, что
\c(x)-Cn(x)\<s (93)
для всех х.
Но сумма Сп (χ) получается из сумм Sn (x), каждая из которых
является комбинацией постоянных и членов вида sin kx и cos kxy
где к не превосходит w —1. Поэтому сумма Сп(х) имеет вид
п-1
Сп (χ) = An + 2 (^п, k cos kx + B'n>k sin kx). (94)
Эта сумма содержит 2п — 2 < 2n тригонометрических члена.
Пусть G —верхняя граница абсолютных величин коэффициентов;
каждую тригонометрическую функцию можно апроксимировать
многочленом с точностью до ^- . Действительно, ряды Тейлора
для sin kx и cos kx сходятся для всех значений х, причем эта
сходимость равномерна в любом конечном интервале α<^<6.
Поэтому можно отбросить все члены ряда, начиная с некоторого,
так, что оставшаяся частная сумма ряда Тейлора будет давать

297. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ
227
аппроксимацию с требуемой точностью. Проделав это с каждым
членом, придем к полиному Ρ (χ), такому, что
| Сп (х) — i> (x) I < 2з, а<х<Ь. (95)
Вследствие соотношений (93) и (95) имеем
\с(х)—Р(х)\ <2з, я<я<о. (96)
Этим доказано существование многочлена Р(х), равномерно, апро-
ксимирующего с(х) с точностью до произвольной положительной
величины 2з.
297. Сходимость в среднем. Пусть / (г) —действительная
периодическая функция, для которой существуют коэффициенты
Фурье, и пусть функция [f(x)]2 интегрируема на интервале 0, 2л:.
Рассмотрим некоторую тригонометрическую сумму порядка п— 1:
л-1
Тп (х) = а + 2 (ак cos kx + Ьк sin Ая). (97)
/c = l
Будем считать Гп (х) некоторым приближением функции / (х)
и воспользуемся интегралом от квадратического отклонения, т. е.
величиной
2-я
E=\\f(x)-Tn(x)\*dx (98)
о
как мерой точности апроксимации (см. § 249). Подставляя вместо
Тп (и) ее разложение, производя возведение в степень и вспоминая
определение коэффициентов Фурье и значения интегралов от
тригонометрических функций, от их квадратов и произведений
(см. § 287), найдем
2·κ л—1
E=s\\t (χ)¥dx -ίπαΑ -2π Σ («^*+b"B«) +
η-ί
+ 2πα2 + π 2 (α% + Ь\) = (99)
<π η—1
= 1[ί(χ)]2άχ-2πΑ*-τΣ(ΑΙ + ΒΙ) + 2κ(Α--α)* +
/< = 1
71—1
+ ^2 1Иа-«а)2 г (5*-6ft)2]. (100)
Так как квадраты величин положительны или равны нулю, то
жз выражения (100) видно, что величина Ε достигает наименьшего

228
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
значения в том случае, когда коэффициенты разложения функции
Тп (х) являются коэффициентами Фурье, т. е. величина Ε
принимает наименьшее значение, когда Tn — Sn. Таким образом,
доказана теорема:
Из всех тригонометрических сумм данного порядка
соответствующая частичная сумма ряда Фурье дает наименьшее значение
для интеграла от квадрата отклонения.
Для частичной суммы ряда Фурье имеем
2π
~\[f(x)-sn(x)rdx =
ϋ
2π τι-1
= i\[f <*)]2 dx - A* - i 2 (A% + B%). (101)
ί * = 1
Так как левая часть этого равенства больше или равна нулю,
то это имеет место и для правой части и мы получаем
2π τι-1
^ J [/(*)]«dx>A* + ±%(A% + B\). (102)
ϋ k = l
Это неравенство известно под названием неравенства Бесселя.
Бесконечный ряд, частичные суммы которого стоят в правой части
этого неравенства, сходится, так как этот ряд является рядом
с положительными членами, имеющим ограниченные частичные
суммы. Мы покажем, что он сходится к интегралу, стоящему
в левой части неравенства (102). Если интеграл от [/(я)]2
существует (как собственный или несобственный), то при помощи
рассуждений, приведенных в § 291, можно найти ступенчатую
функцию S (х) такую, что
2π
^\f(x)~S(x)\2dx<a. (103)
о
Заменяя ступенчатую функцию на достаточно малых интервалах,
содержащих ее точки разрыва, линейными функциями, мы сможем
найти непрерывную периодическую функцию с (х) такую, что
2π
^\S(x) — c(x)\*dx<2. (104)
о
В силу § 295 суммы Чезаро первого порядка для ряда Фурье
функции с (х) сходятся к этой функции равномерно. Поэтому
найдется некоторая сумма, например Сп(х), такая, что
с(я)-С„(ж)|<в (105)

298. РЯДЫ ФУРЬК В ПРОИЗВОЛЬНОМ КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ 229
и, следовательно,
\\с(х) — Сп (х) |2 dx < з2 2π. (106)
о
Наконец, применяя дважды неравенство (130) из § 252 и
соотношения (103), (104) и (106), найдем
\\f(x) — Cn (х) |2 dx < [β1/* 4- г1!* + (2π)χ/2 8]2. (Ю7)
(ι
Отсюда (так как з произвольно) следует, что существует такая
тригонометрическая сумма Сп(х), для которой интеграл, стоящий
в левой части неравенства (107), произвольно мал. Но если мы
возьмем частичную сумму ряда Фурье Sn (x) того же порядка, что
и Сп(х), то интеграл в левой части (107) не увеличится. Он
также не увеличится, если вместо Сп (х) брать любую частичную
сумму более высокого порядка. Это доказывает, что
lim \ [/ (х) - Sn (x)]2 dx = 0 (108)
71->СО «J
и если интеграл от [/ (х)]2 и интегралы, определяющие
коэффициенты Фурье, существуют, то ряд Фурье для f (х) сходится
в среднем к f(x). Переходя к пределу при п—>оо в
равенстве (101), в силу (108) получим равенство, называемое
равенством Парсеваля.
Так как ряд, сходящийся в среднем, можно почленно
интегрировать (см. § 253), то имеем теорему:
Ряд, полученный почленным интегрированием ряда Фурье для
f(x), сходится к интегралу от этой функции.
298. Ряды Фурье в произвольном конечном интервале.
До сих пор мы рассматривали функции с периодом 2π,
определенные для всех значений х, и соответствующие им ряды Фурье,
причем ряды Фурье сходились к рассматриваемой функции
в каждой точке х, в которой были выполнены указанные нами
достаточные условия. Мы можем, однако, ограничить наше
внимание некоторым интервалом длины 2π, например интервалом
0, 2π или —π, π. В этом случае коэффициенты Фурье,
вычисленные для этого основного интервала, дадут ряд, сходящийся или
сходящийся в среднем к исходной функции, если для значений х,
принадлежащих этому рассматриваемому интервалу, удовлетворены
соответствующие условия.
Если за основной интервал примем интервал—π, π и рассмотрим
функцию, определенную на этом интервале и нечетную, т. е. такую,

<230 ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
что / (— х) = — f (x), то свободный член и коэффициенты при
косинусах будут равны нулю, и мы получим ряд, состоящий только
из синусов. Аналогично, если мы рассмотрим функцию,
определенную на том же интервале и четную, т. е, такую, что f( — x) —
— /(#), то все коэффициенты при синусах обратятся в нуль,
и ряд будет содержать только свободный член и косинусы. Так
как функция может быть произвольным образом задана на
интервале 0, π и затем четно или * нечетно продолжена на интервал
-π, 0, то всякая функция / (х) в интервале 0, π, для которой
/ (х) и | / (х) | интегрируемы, будет иметь разложение в ряд Фурье
по одним косинусам и разложение в ряд Фурье по одним синусам.
Если к тому же функция / (х) является функцией с интегрируемым
квадратом, то каждое из этих разложений сходится в среднем
к f{x).
Если в точках χ \л —х выполнено одно из условий,
сформулированных в § 293, то это же условие будет выполнено для
каждой из функций
/(*) + /(-*) ^ / (.г) - / ( - х) ^
Первая из этих функций —четная, а вторая —нечетная, тогда как
f(x) равна сумме этих функций. Поэтому свободный член и члены,
содержащие косинусы, в разложении для f(x) будут теми же,
что и в разложении для первой функции, а члены, содержащие
синусы, будут теми же, что и у второй функции. Следовательно,
при упомянутых условиях, ряд из синусов и ряд, содержащий
свободный член и косинусы, будут каждый сходиться в
отдельности.
Сделав изменение масштаба, обратное тому, которое было при-
„ г»оо · 2тсд# 2-кпх
менено в § Z88, получим разложения по sin —=- и cos -ψ- для
цроиз вольной, функции, заданной в любом интервале длины Т.
Аналогично мы можем получить разложения, содержащие только
одни синусы или только одни косинусы и свободный член для
Τ
функции, заданной на интервале длины - .
299. Интегральная теорема Фурье. Если функция / (х)
определена в интервале —Р>Р, и интегралы, определяющие
коэффициенты Фурье, существуют, то частичная сумма ряда Фурье может
быть написана в виде, аналогичном соотношению (25),
-j-Ut+s™*-^—]/(*>*· (110)
-Р А=1

299. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ФУРЬЕ
231
Выражая косинус через показательную функцию
придем к более симметричному выражению
Полагая здесь
-Р к=-п
-j^ = uk, 4иА = -£- , (ИЗ)
можно это выражение записать следующим образом:
~ Σ Ьик\ eia^-^{t)dt. (114)
к=-п -Р
ПК
Пусть А — -р- и Р—^оо (Агг*с—>0). Тогда можно думать, что
выражение (114) стремится к интегралу
JL ^ d» С е*"(*-«)/(i)di. (115)
тгтс
Действительно, если бы /г и ί возрастали, так что А = —
оставалось бы постоянным, то выражение (114) стремилось бы к
двойному интегралу (115).
С другой стороны, известно, что, при некоторых условиях,
предел выражения (110) при п—^ со и фиксированном Ρ равен
/ (х) в интервале —Р, Р. Так как при этом ——>оо, то надо
искать предел выражения (115) при А—>оо.
До сих пор рассуждения настоящего параграфа имели только
эвристический характер и помогли нам найти ожидаемое
выражение результата.
Теперь докажем, что при некоторых условиях предел
выражения (115) при Аг~> оо будет равен /(х).
Предположим, что / (х) интегрируема на любом конечном
интервале и что существует
оо N
\ \f(x)\dx=lim \ \f(x)\dx. (116)
-оо N_+m -М

232 ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Тогда, так как
|*iu(*-0j = l, (117)
то интеграл
со
^ еш(*-0/ (i) dt (118)
—оо
сходится равномерно по и. Поэтому мы можем его
проинтегрировать от — А до А и изменить порядок интегрирования
А со со Л
/= \ du [ e'«<*-f>/(i)di = ^ dt \ e***-Vf(t)du. (119)
Но
так что
l·'-·'-"*-^;^^^. ««о
2sin^(*_i)/(i)^. (121)
.) X — t
*-со
Чтобы изучить поведение этого интеграла при А—> оо, разобьем
интервал интегрирования на следующие интервалы:
— со, —5; —5, х — о; я — δ,ζ+δ; я + 3,5; В, оо. (122)
Выберем 5 столь большим, чтобы
— В со
J |/(ί)|Λ<«, $|/(ί)|Λ<*, Б>ж + 2, -2?<s_2. (123)
Добиться выполнения этих неравенств можно в силу
предположения о сходимости интеграла (116). Для /, лежащего в интервале
— оо, — В или Bf оо, последние два неравенства дают \х— t | > 2.
Так как sinA(x— t) не превосходит 1, то в этих интервалах
подинтегральное выражение в / по абсолютной величине не
превосходит |/(0Ι· Поэтому в силу первых двух неравенств (123)
части интеграла /, распространенные на эти два интервала, дадут
2&Ч |6'|<1. (124)
Предположим теперь, что для значений переменной
интегрирования, близких к х, функция удовлетворяет одному из
достаточных условий, данных в § 293, т. е. такова, что соотноше-

299. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ФУРЬЕ
233
ние (56) выполняется для некоторого положительного δ. Такиад
образом,
ь
lim \?™^[f(z + u) + f(z--u)-2g(z)](tu = x)
θ
Применяя соотношения (35) и (53) и рассуждая подиино тому,
как это делалось в § 292, можно показать, что
ь
g(z) = ]im^\^g(x)du. (126)
Полагая u = t — χ в f (х + и) и и = -- t + x в / (х—и), получим
Csmnu[f{x+u)+nx_u)]du== Г sinn^t)^^ .127)
0 χ-δ
Из последних трех соотношений можно заключить, что
х+Ь
Um С 281пи^~°/(0^ = ^(3!). (128)
л-»со J χ fr
а:—δ
Выбирая в качестве δ, определяющего средний интервал (122),
то самое δ, для которого выполняется соотношение (125), а
следовательно, и соотношение (128 , получим, что, при достаточно
большом А, скажем при A>A't интеграл
T2sin/-(r°/(^
ас—8
может быть записан в виде
2ng(x)+e»e, |θ"|<1. (129)
Наконец, для обоих интервалов —В, х— Ь и χ + δ, В мы можем
применить теорему Римана и, рассуждая подобно тому, как это
было сделано в § 292, показать, что оба интеграла
ΤЩ^^fwdt и J 28!пд(а·,"0>wdt
-В х + Ь
стремятся к нулю, когда А стремится к бесконечности. Поэтому
для А > А" они могут быть записаны в виде
2Ь'"в, |в'"|<1. (130)

234
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Из (124), (129) и (130) следует, что
|/ —2*£(з)|<5з для А>А' и А>чА". (131)
Отсюда видно, что предел интеграла / при А, стремящемся к
бесконечности, будет равен 2ng (χ) и
А оо
lim-ί- [du [ eiu(*~Of(t)dt = g(x) (132)
—A —oo
в каждой точке, в которой выполняется условие (125). Таким
образом, предел этот равен — 2—- > если выполняется
любое из условий § 293, и, в частности,
Если f (х) и | / (х) | обе интегрируемы от — оо до -f ос,
то дляухаждого значения х, для которого f (x) непрерывна
и выполняется одно из достаточных условий § 293, будем
иметь
А оо
lim-^ \du \ eiu(*-i>f(t)dt = f(x). (133)
—А — оо
Это выражение известно под названием интеграла Фурье и
является одной из форм записи интегральной теоремы Фурье.
300. Другие интегралы Фурье. Если условия предыдущего
параграфа выполнены, и интеграл (133) сходится для всех
значений х, то мы можем определить функцию
оо
F(u) = k \ eil"f{t)dt, (134)
— оо
где λ — положительная постоянная· Тогда из соотношения (133)
получим
А
f{x) = \imp \ eiuxF{u)du, если λα = -^-. (135)
^L-*co J Zn
—А
Функция F (и) называется трансформацией Фурье функции / (х).
1
Формула становится симметричной, если положить λ = μ.= γ-=
но часто бывает более удобным взять λ = 1 или μ = 1.
Соотношения (133), (134) и (135) выполняются и в том
случае, когда / (х) — комплексная функция действительного
переменного при условии, что ее действительная и мнимая компоненты

300. ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 235
удовлетворяют условиям, наложенным ранее на действительную
функцию / (х).
Если / (от) — действительная функция, то интеграл Фурье
можно написать в виде
А оо
lim — [du { cosu{x — t)f(t)dt = f(x), (136)
Л-+со * J J
0 —оо
так как мнимая часть выражения (133) обращается в нуль, и мы
можем заменить интеграл, распространенный на интервал —А, А,
через удвоенный интеграл по интервалу 0, А, вследствие четности
подинтегральной функции относительно переменного и.
Если / (t) — действительная и четная функция, то при
вычислении внутреннего интеграла можно выбрать интервал — Μ, Μ,
симметричный относительно нуля, и таким образом получить
А оо
lim — \ du \ cos их cos ut f (t) dt = f (χ). (137)
л-°°п о о
-Это приводит к следующим формулам для трансформации Фурье
четной функции:
оо
F (и) = 2λ \ cos ut f (t) dt (138)
Μ
/ (χ) = 2μ \ cos их F (и) du, λρ. = ^- . (139)
о
Аналогичным образом, если / (t) — действительная нечетная
функция, то
А оо
lim — \ du К sin их sin ut f (t) dt = f (χ) (140)
^°°π i о
ш для ее трансформации
" ОО
F(u)= — 2\i ^ sin ut f (t) dt (141)
μ
/ (χ) = 2рг* \ sin их F (и) du, Xku = — . (142)

236
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
301. Свертывание функций. Функция
со
h{x)=\fi{y)ft(x-y)dy (143)
— со
называется сверткой двух функций /х (х) и /2 (х). Она
определена для любого значения х, для которого существует интеграл,
стоящий в правой части равенства (143).
Меняя местами Д (х) и /2 (х) и совершая замену переменных
y = x — z, z = x-y, (144)
найдем
со - со
\ Uiy)h(*-y)dy= \ f%{x-z)h{z)dz = h{x), (145)
_со —со
так как переменную интегрирования ζ можно заменить через у.
Это показывает, что свертка функций fx (χ) и /2 (х) симметрична
относительно этих функций.
В силу соотношения (134) трансформации Фурье для функций
fi(x), /2 (s) и h(x) имеют вид
со со
Λ(Β) = λ ξ e-MU(t)dt, F%{u) = \ ^ β-'»1/, (<) ett, (146)
— CO —CO
ΟΟ
#(ΐϊ) = λ ϊβ-ίΒ<Λ(ί)Λ. (147)
—CO
Если функции /i (я), /2 (#) и h (χ) абсолютно интегрируемы от — ее
до+оо, то интегралы, определяющие их трансформации Фурье,
существуют. Кроме того, вследствие предположения о сходимости
интеграла, определяющего свертку h {x), получим
Ν' Ν
#(»)«=lim Ιίπιλ [ dt С еш Д(у) f2(t — y)dy. (148)
М'~>со М->со <■) J
tf'->co iV->co -Μ' -Λί
Здесь подинтегральное выражение по абсолютной величине равно
I е-™ h (у) U (*-у) Ι = |/ι (У) U (t-y) |. (149)
Полагая ζ = £ — г/, г = ζ + г/, получим
Ν Ν' Ν N'-y
-M -M' — Μ -M'-y
CO CO
< ξ |/i(y)|rfjr "J l/t(2)|d2. (150)
— CO

302. ФУНКЦИИ С ИНТЕГРИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ
237
В силу замечания, сделанного в § 244, предел правой части
равенства (148) не изменится, если переставим порядок
интегрирования и заставим сперва М' и N' стремиться к
бесконечности, а затем уже устремим к бесконечности Μ ш N.
Далее, полагая z = t— у, t = z + y, получим
оо оо
\ e~iut f2{t — y)dt= { e-iuze-iuV f2(z)dz, (151)
—оо —оо
так что в силу соотношений (146) будем иметь
N оо
Η (и) = lim λ [ dy Д (у) e~iuy \ e~iuz f2 (z) dz =
2V-»oo -Μ -οο
оо , ос
= λ \ fi{y)e-iaydy jj f2{z)e-^dz =
— ОО —ΟΟ
= ~Л(и)^(и). (152)
Заметим, что если h (χ) интегрируема щ любом конечном
интервале, то h (χ) должна быть интегрируема и от — оо до + оо
в силу соотношения (150) и неравенства
Ν' Ν' оо
$ |A(i)|di< \ dt \\h{y)h{t-y)\dy. (153)
-Μ' -Μ' -οο
Таким образом, доказана следующая теорема:
Если ι Д (х) | и | /2 (х) | интегрируемы от — сю до + оо
а fi(x)y /2 (х) и их свертка h(x) интегрируемы на любом
конечном интервале, то произведение трансформаций Фурье
функций Д (х) и /2 (х) с константой λ равно трансформации Фурье
их свертки, умноженной на λ:
Fl{u)F2(u) = \H{u). (154)
302. Функции с интегрируемым квадратом. Установим
некоторые условия, налагаемые на функции Д(#) и f2{x), для того
чтобы обеспечить нужное поведение их свертки.
Предположим прежде всего, что функции сх (х) и с2 (х)
непрерывны для всех значений χ и равны нулю для \х\>М.
Тогда свертку этих функций можно написать в виде
оо Μ
h(z)= \ cx(y)c2{x-y)dy= \ c1{y)c2(x — y)dy, (155)
—00 —Μ

238
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
так как подынтегральная функция равна нулю вне интервала
— Μ, Μ. Так как подынтегральная функция является
непрерывной функцией двух переменных χ и у для всех значений этих
переменных, то собственный интеграл (155) будет непрерывной
функцией от я.
Предположим далее, что каждая из функций /х (х) и /2 (х)
интегрируема на любом конечном интервале и имеет абсолютно
интегрируемый квадрат на бесконечном интервале. Последнее
предположение означает существование интегралов
оо оо
[ \f1(x)\*dx и \ \f2(x)fdx. (156)
—"оо — оо
Тогда можно выбрать Μ столь большим, что интеграл от \fi{x) r
по области | χ | > Μ будет меньше з. Применяя построение,
подобное проведенному в § 297, можно найти непрерывную на
интервале — М *Сх<СМ функцию сг{%), равную нулю для х=—М
и х = М и такую, что
$ \f1{x)-c1(x)\*dx<*. (157)
-Μ
Полагая сг (х) = 0 для | χ | > Л/, получим функцию
рассмотренного выше типа. Поступая аналогично, найдем непрерывную для
всех значений χ функцию с2 (х), равную нулю для | χ | > Μ и такую,
что
\ \f2(x)-c2(x)\*dx<s. (158)
-м
Выберем теперь последовательность значений зп, сходящуюся
к нулю. Для каждого значения гп можно найти
соответствующие функции С1,тг(я) и С2уП(х). Тогда получим две
последовательности функций, сходящиеся в среднем к fi(x) и /2{х) при
/г—>оо. Свертка hn(x) функций citn(x) и с2уП {%) будет
непрерывной функцией для всех значений х. Из сходимости в'|
среднем с 1}П (х) к f1(x) и с2,п(х — у) к /2(#—г/) при фиксированном
χ следует (см. § 251), что hn (х) сходится к свертке h(x)
функций /2 (х) и /2(г). Более того, так как
со
\ \h(x-~y)—C2,n{x — y)\2dy<Sn, (159)
—ОО
то из рассуждений, проведенных в § 251, следует, что функции
hn (χ) сходятся к h (x) равномерно по х, так что предельная
функция непрерывна.

303. ОБОБЩЕННЫЕ ТРАНСФОРМАЦИИ
239
Таким образом, доказана следующая теорема:
Если f1 (χ) и /2 (х) интегрируемы на любом конечном
интервале, а | fi (χ) |2 и Ι /2 (χ) |2 интегрируемы на интервале — оо, + оо,
то свертка h (x) функций /λ(χ) и f2{%) будет непрерывной
функцией для всех значений х.
Если, кроме того, |/ι(#)| и |/2(#)| интегрируемы на
интервале — оо, + оо, то трансформации функций f1(x), /2 (х) и h(x)
существуют и удовлетворяют соотношению
F1{u)F2(u)^\H{u). (160)
Последнее [утверждение вытекает из результатов, изложенных
в предыдущем параграфе.
Заметим, что на интервале —оо, + °° функция |/(#)|2
может быть интегрируемой, а ]/(#)) — не интегрируемой. Примером
служит
/(я) = 0, ,х\<1, /(а) = 4"> К|я|. (161)
303. Обобщенные трансформации. Ограничение, наложенное
на наши функции и состоящее в том, что они должны быть
абсолютно интегрируемы или иметь абсолютно интегрируемые
квадраты, может быть иногда удовлетворено, если рассматривать
вместо данных функций результат их умножения на некоторый
множитель. Например, если f(x)e~kx2 имеет трансформацию Фурье
Fk(x) и если при к —>0 функция Fk(x) стремится к некоторой
предельной функции, то мы будем называть эту предельную
функцию обобщенной трансформацией функции /(#).
Во многих случаях, встречающихся в приложениях, функции
равны нулю до некоторой точки и либо ограничены, либо по
крайней мере не превосходят некоторой степени χ для больших
положительных значений х.
В этих случаях можно применить е~кх как множитель, дающий
требуемую сходимость. Пусть, например,
/(я) = 0, х<0 и \f(x)\<eax для х>х19 а > 0. (162}
Пусть f (х) интегрируема на любом конечном интервале. Тогда
функция
/ (х) е~кх для к > а (163)
будет интегрируема и ее квадрат будет функцией абсолютно
интегрируемой от —оо до +оо. Следовательно, она имеет трансфор-

ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
мацию Фурье, равную
оо
Fk (в) = λ \ е-""'/ (t) e~kt dt = (164)
— ОО
оо
= λ \^e-iutf{t)e-kt dt. (165)
о
Заметим также, что в силу равенства (160), если Fkf ι (и) и Fk, 2 (и)
будут трансформациями функций f1(x)e~kx и f2(x)e-kx, то
Wk(u)=Fkfi(u)FktZ(u), (166
где #/< (и) —трансформация свертки
оо
hk(x) = \ /ι(у) er*efz{x-y) e-*l*-'>dy =
— ОО
X
= \h (У) U (* - У) <?-** dy = e~kxh (χ), (167)
о
так как подинтегральная функция равна нулю вне интервала
0<г/<#. Отсюда следует, что hk(x) и h (x) обе равны нулю для
χ < 0. При выполнении условий из § 300 имеем
А
fk(x)e-kx = lim μ \ е~ШхРк(и) du. (168)
—А
Докажем, что если z = k + iu, то Fk(u) будет аналитической
функцией от ζ для к > а. Рассмотрим сначала трансформацию
специального типа Ск(и), полученную из функции с(х),
непрерывной для всех значений χ и равной нулю для χ < 0 и χ > Μ:
оо Μ
С* (и) = ^ e-iufc (ί) β-*' di = ^ с (ί) e-zi Λ. (169)
b δ
Эта функция будет аналитической для всех значений ζ (см. § 275),
так как подинтегральная функция будет аналитической по ζ
и непрерывной по ζ и t.
Затем рассмотрим некоторую функцию / (χ), удовлетворяющую
условиям (162), и некоторое число 6 > а. Тогда мы можем апрок-
симировать функцию f{x)e~hx в среднем функцией с(х)9
непрерывной для всех значений χ и равной нулю для х<0 и ж> Μ',
применив для этого построение, подобное приведенному в § 302.
Далее, можно взять последовательность значений зп, сходящуюся

304. ТРАНСФОРМАЦИЯ ЛАПЛАСА
241
к нулю, и для каждого εη определить функцию сп (х)
рассмотренного типа такую, что
оо
\\f(z)e-**-cn(z)\*dz<an. (170)
5
Тогда функции сп (t) сходятся в среднем к / (t) e~bt. Так как
idt={e-2ltdt <^, если r>s>0,
то e~iut~Tt имеет абсолютно интегрируемый от 0 до + оо квадрат.
Следовательно,
оо оо
[ e-iutcn (t) erTi dt сходится к { e~iutf{t) e~bte-rt dt (171)
о о
равномерно по г для r>s в силу рассуждений, приведенных
в § 251. Но каждый интеграл последовательности имеет тот же
вид, что и интеграл (169), и, следовательно, является
аналитической функцией от г + ш. Следовательно, в силу § 273
предельный интеграл будет также аналитической функцией от г + iu
в двумерной открытой области г > s. Но если k = b + r, то этот
предельный интеграл является интегралом, определяющим
функцию Fk (и) в соотношении (165). Но аналитическая функция от
г + iu будет также аналитической функцией от b + (г + iu) или
z=k + iu. Более того, для всякого числа к > а можно написать
* = Ц^, b = a + s, r = 2s, (172)
так что Fk{u) будет аналитической функцией от z = k + iu для
А> а, что нам и надо было доказать,
304. Трансформация Лапласа. Если / (х) интегрируема
на любом конечном интервале и удовлетворяет условиям
f(x) = 0, x<0 и \f{x)\<eax для х>хи α>0, (173)
то функцию
оо
L{p)^^e-^f{t)dt (174)
о
назовем трансформацией Лапласа функции / (х). Эта функция
будет аналитической для всех комплексных значений р, для
которых В,/? > а, т. е. для
р~к+ iu, где к > а, (175)
что было доказано в конце предыдущего параграфа.

242
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Заметим, что функция L(p) может быть определена через
Fk{u), задаваемую равенством (165), если положить λ = 1 и
заменить k + iu через р. Для свертки h (χ) функций f1{x) и /2(#)>
равных нулю для #<0, имеем
χ
h{x)=\h{y)h{*-y)dy. (176)
О
Для трансформации Лапласа функции h (x) в силу соотношений
(167) и (166) имеем
со со
[ e-^h {ή dt^^ e-kt~iuth {ή dt =
о 6
со
= [e-™hk(t)dt = Hk(u) = L1(p)L2(p), λ = 1· (177)
о
Следовательно, для двух функций такого типа трансформация
Лапласа их свертки равна произведению их трансформаций
Лапласа.
Заметим также, что если / (х) имеет производную /' (х),
удовлетворяющую условиям, наложенным на f(x), то трансформация
Лапласа функции /' (х) будет
со
^е-Р*Г(*)М. (178)
о
Так как для всех χ > 0 функция / (х) имеет производную, то / (х)
непрерывна для этих значений ос, и мы можем применить
интегрирование по частям и получить
м м
$е-Р*/'(0Л = е-Р*/(0|^+ jj pe-ptftfdt. (179)
о о
В силу условия (173) для значений р, для которых к > а,
предел проинтегрированной части равен нулю при М—>оо.
Следовательно, имеем
со со
\ е-Р* f'(t)dt=—f(0 + )+p^ e-ptf (t) dt. (180)
о о
Если производная непрерывна при х=-~0, то, так как она равна
нулю при χ < 0, имеем /(0 + ) = 0, и трансформация Лапласа
производной равна трансформации Лапласа функции, умноженной
на р. В пробивном случае добавляется еще член —/(0 + ).

305. ОПЕРАТОРНОЕ РЕШЕНИЕ
243
Эта связь дифференцирования с умножением на значение
переменной в трансформации является основой для применения
трансформации Лапласа при решении дифференциальных
уравнений.
Прежде чем перейти к некоторым деталям, выясним, в каком
смысле функция определяется своей трансформацией. Для
функции, имеющей конечную производную всюду, за исключением
конечного числа изолированных точек, можно применить
соотношения (135) и (168) всюду, кроме этих изолированных точек.
Для этих значений χ имеет место равенство (168), в котором
μ=1_ так какХ=-1 и λμ,= --. Следовательно,
А А
f (χ) = lim 0- [ e(iux+kx>Fk (и) d^-lim ^ ^\ eP*L {ρ) du. (181)
— A —A
Так как p = k-\-iu, то dp = idu и последнее равенство можно
переписать в виде
k + iA
f(x) = lim± \ eP*L(p)dp. (182)
а^21Ла
Следовательно, функция определяется ее трансформацией Лапласа
всюду, за исключением изолированных точек.
В приложениях функция обычно бывает гладкой всюду, кроме,
может быть, значения х~0, так что всюду, кроме этого
единственного значения х, функция определяется своей
трансформацией.
305. Операторное решение дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами, которое запишем в виде
η
2 α* gj = *(*). (183)
/с=0
Здесь а/с — постояннные коэфициенты. а Ъ (х)—некоторая функция
от х. Относительно начальных данных предположим, что
значения решения у и всех производных от решения до (п — 1)-го
порядка равны нулю при χ = 0. Предположим также, что это
уравнение имеет решение, удовлетворяющее вместе со своими
производными до п-то порядка условиям, наложенным в
предыдущем параграфе на функцию f{x). Пусть b (x) также
удовлетворяет этим условиям. При этих условиях мы можем взять

244
ГЛАВА XIV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
трансформации обеих частей уравнения (183). При нашем выборе
начальных условий первое слагаемое в правой части
равенства (180) и подобные члены для высших производных
обращаются в нуль и трансформация каждой производной равна
произведению трансформации самой функции на соответствующую
степень р. Таким образом,
%akp*Y = B или P(p)Y = B, (184)
где Υ — трансформация Лапласа функции г/, а В— трансформация
Лапласа функции b (χ). Из (184) имеем
г = :4) В-Ъ^ткв; (185)
/с = 1
здесь мы применили разложение рациональной функции ^-т—
на элементарные дроби и для простоты ограничились случаем,
когда все корни простые. Относительно случая кратных корней
см. задачи 50 и 51 к гл. XIV.
Так как
оо
e-rte-Pt dt = _J_^ В/? > Rr (186)
0
то дробь, входящая в сумму в правой части равенства (185),
является трансформацией Лапласа функции Ake к , и по теореме
о свертке произведение этой дроби на В будет трансформацией
Лапласа свертки функций АКег^х и b (x), или
X X
\ Ъ (у) Aker^-v) dy = AkeTk* ^ b (у) e~V dy. (187)
о о
Решение нашего дифференциального уравнения будет представлять
собой сумму членов подобного вида.
Трансформация Лапласа может быть также применена к
некоторым дифференциальным уравнениям в частных производных
€ постоянными коэффициентами; при этом задача, первоначально
содержащая частные производные от двух переменных, сводится
к алгебраической задаче, содержащей одну из этих
переменных, и, следовательно, может быть рассматриваема как
обыкновенное дифференциальное уравнение относительно другой
переменной.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
245
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
1. Показать, что «величина определенных интегралов от синусов,
косинусов и их произведений, вычисленных в § 287, может быть получейа
2те 2%
из соотношения \ eimxeinxdx = 0 при тф—т* и \ eimxeinx dx = 2π при
О О
т= — п, где m и η — целые числа. Эти последние соотношения
эквивалентны соотношениям: \ zm+n~1 dz = 0 при m Ф - тг и \ 2,w+r2r_1 dz = 2πί
с с
при m=—n, где С—круг с центром в начале координат.
2. Если ряд вида (5) § 287 сходится к / (х) равномерно или в среднем,
то этот ряд будет рядом Фурье для функции / (х). В случае равномерной
сходимости / (х) будет непрерывной функцией, в случае сходимости в
среднем предполагается, что / (х) и | / (х) |2, а следовательно, и | / (χ) |
интегрируемы на основном интервале.
3. Показать, что если / (х) и | / (χ) | интегрируемы на основном
интервале, то коэффициенты Фурье существуют и Ап и Вп стремятся к нулю,
когда /г—>оо. Указание. Применить теорему Римана.
4. Если для всех значений χ периодическая функция / (х) имеет
k-ю производную и /*) (χ) и | f(k) (x) I интегрируемы на основном интервале,
то пкАп и пкВп стремятся к нулю при η —> оо. Указание. Интегрируя
по частям к раз интегралы, выражающие коэффициенты Фурье, заметим,
что внеинтегральный член обращается в нуль в силу периодичности
функции; после этого применить результат задачи 3 к функции /^ (ж)_
5. Показать, что если предел (56) § 292 равен нулю для некоторого
частного значения χ при некотором положительном δ, то он будет равняться
нулю при любом положительном δ.
6. Показать что
г sin Q
Γ-2=Σ rnsinn*
1 - 2r cos 6 +
n = l
1
Указание. Применить результаты § 287, положив F (ζ) =
1 - ζ'
7. Показать, что
оо
2
log (1 - 2г cos θ + г2) = - 2 — cos n®
n = l
оо
г sin θ χπ гп .
arctg л ь= >, —sinrcG,
6 1 —г cos θ ^-J η
для I г \ < й. и arctg определен в интервале — — , -=- для всех действи-
тельных значений гиб. Указание. Применить результаты § 287, положив
F (я) = log (1-е).

246
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
8. Пусть / (х) имеет ряд Фурье, равномерно сходящийся для всех
значений χ в силу одного из условий § 294. Если заменить в ряде
переменную χ через комплексную переменную ζ, то равномерная сходимость уже
не будет иметь места ни в одной двумерной области, содержащей внутри
ребя отрезок действительной оси, по длине равный периоду, если только
периодическая функция / (х) не была аналитической для всех значений х.
9. Показать, что для каждого фиксированного действительного или
комплексного значения г, для которого | г | < 1, и для комплексного β
разложения из задач 6 и 7 имеют место и сходятся равномерно по 6
в некоторой двумерной полосе комплексной плоскости, содержащей внутри
себя действительную ось. Здесь надо выбрать подходящую ветвь
арктангенса.
10. Показать, что
оо
т arcts Т375-=Σ 2ΓΓ1sin (2n - u>θ
при I г I < 1 и для действительных гиб арктангенс заключен между
тс тс
х- и — . Указание. Применить результат § 287, положив
F(z) = log(l-z)-log(l + z).
11. Показать, что ряд по синусам периода 2/>, представляющий
функцию ах + Ь в интервале 0 < χ < />, будет — У] Ρ η sm » гДе
те π=ι Ρ
п 4δ + 2αρ _ 2αρ тг
*η= для нечетного η и Рп= Для четного тг. Указание.
η η
Сперва проверить для частных случаев, что при 0 < χ < π имеет место
4/1 1 Λ
1 = — ( sin χ + — sin 3# + — sin 5# + . . . )
π \ ό о J
и
x = 2 f sin # — — sin 2# + — sin 3x + . . . J .
12. Ряд по косинусам периода 2p, представляющий функцию аж -f- Ъ
в интервале О^ж^/?, будет
оо (2гг — 1) тс#
00 cos -
h л. aJ*- - л°£ V Ρ
0 + 2 тс2 ZJ (2n - Ι)2
л = 1
13. Если / (ζ) — однозначная и аналитическая функция в кольце
г3 < | ζ | < г2 и /-! < г < г2, то ряд Фурье для / (re1 J), являющейся
периодической функцией от Θ, может быть получен из ряда Лорана для
функции /(г), рассмотренной в задаче 27 к гл. XIII.
14. Если F (w) имеет период 2р и является аналитической функцией
для всех w = u + iO, для которых | υ | < /г, /г > 0, то ряд Фурье для F (и)
можно получить, положив в задаче 13
">-'(*30
r=l.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
247
15. Проиллюстрировать задачу 14 на примере функции
Здесь ρ = π, гг^=\Ъ\, г2 = гг~т- Следовательно, из задачи 28 к гл. XIII
получим
_ А.
z ъ
оо
и ряд Фурье для F (и) будет 1+2 %bn cos пи. Этот результат подтвер-
/ι=1
ждает результаты из задач 6 и 9. Однако если разложение может быть
найдено, исходя из ряда Тейлора, как в задачах 6, 7, 10, то этот путь
будет более простым, чем путь, указанный в задаче 14.
16. Пусть / (х) имеет период 2р и функции / (х) и | / (χ) | интегрируемы
на некотором интервале длины 2р. Показать, что формальное почленное
интегрирование ряда Фурье для / (х) приводит к ряду, сходящемуся
к интегралу от / (х) на каждом конечном интервале. Указание. Изменяя
а;
масштаб, можно взять ρ = π. Изменение V / (t) dt на любом интервале а, Ъ
а
ъ
не превосходит \ I / (i) I dt. Следовательно, первый интеграл возрастает
а
χ
на 2π^40, когда χ получает приращение 2π. Следовательно, g(x)= \ f (t) dt—Ax
а
является периодической непрерывной функцией с ограниченной вариацией,
так что ее ряд Фурье сходится к ней для всех значений χ и, в
частности, для х = а. Вычитая эти два ряда один из другого, получим
х оо 2π
\ / (£) dt — А (х — а) = — 2 \ [cos n(t — х) — cos n (t — a)] g (t) dt.
a n=i Ό
Но так как ряды Фурье для функций / (t) и h(t) = f(t) — А отличаются
только постоянным членом, то
Ап cos пх + Вп sin пх= — \ cos η (t — χ) h (t) dt.
0
Интегрируя это выражение от а до χ и изменяя порядок интегрирования,
получим
2π
\ [sin n (t — χ) — sin η (t — a)] h (t) dt.

248
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
Интегрирование по частям (см. задачу 27 к гл. VITI) дает
1 |2π
[sin n (t — χ) — sin n (t — a)] g(l)\ +
ηπ v ' v |θ
•f — \ [cos η (t — x) — cos n(t — a)] g (t) dt.
0
Внеинтегралъный член равен нулю вследствие его периодичности, а второй
член является одним из членов ряда, сходящегося к разности интеграла
от функции / (х) и интеграла от постоянного члена.
17. Показать, что для 0 < χ < π
π . t sin Sx sin bx sin Ix
_=81ПЖ+__+__+__+...,
π# , π2 cos 3# cos 5# ,
-T + -8-=C0SX + -W- +~5i- + ·· ·'
π#2 , π2# . , sin Sx sin 5ic .
--Г + -Г = 81П* + -3,-+-^5- + ...
Указание. Применить результаты задачи 11 для доказательства первого
разложения; для доказательства двух последних разложений применить
интегрирование (которое законно в силу § 297 или задачи 16).
Постоянные определяются, если приравнять нулю интеграл от левой части в
пределах от 0 до тс для второго разложения; использовать справедливость
третьего разложения при х = 0.
18. Показать, что для 0 < χ < π имеет место
χ π _ sin 2x sin kx sin 6x
~ Y + T~ ~ΊΓ~ + ~~ΊΓ~~ + б- + ' *''
x2 _ πχ π2 _cos2# cos4# cos6#
~4 4~ + ~24T~ ~^2~ +~~42~ + ~62~ + ' ' ' '
ж3 πχ2 π2χ __ sin 2# sin 4ж sin 6#
~Ϊ2~~ ~8~ + ~24~ ¥~ +~43~~+"ΊΡΓ" + * ' '
См. указание к задаче 17.
19. Пусть / (х)-~периодическая и непрерывная функция, такая, что
χ
f {χ)— \ φ (χ) dx, где I φ (χ) Ι интегрируема по любому конечному интервалу.
а
Доказать, что ряд Фурье функции φ (χ) может быть получен почленным
дифференцированием из ряда Фурье функции f(x). В каждой точке х,
в которой φ (χ) удовлетворяет одному из условий § 293, полученный ряд
будет сходиться к φ (ж). Указание. Использовать задачу 16. Задачи 17
и 18 дают примеры, иллюстрирующие эту теорему.
20. Показать, что ряд, полученный почленным дифференцированием
первого ряда задачи 17 или 18, не сходится ни для какого
действительного значения х. Указание. Показать, что члены ряда не будут стремить-
ся к нулю; это можно сделать, рассуждая подобно тому, как это было
сделано в задаче 23 к гл. III. Во всяком случае, для х, не кратного π,
производная /' (х) существует и постоянна. Однако в интервале,
содержащем точку разрыва периодической функции /(#), функция / (х) уже* не
будет интегралом от /' (х), и рассуждения, проведенные в задаче 19, не будут
лриложимы.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
24 9>
21. Показать, при помощи метода, примененного в задаче 17, что
оо
если — π < χ < π и ей:г = А + ^j Wn cos w:c + ^л sin nx], то
η = 1
елж __ -^ __ j , VI Αη sin nx—Bn cos n#
η = 1
ο ,, с* л ί - sin 2# sin Ъх Ч
Заменяя .Ля через выражение ΊΑ ί sin ж 1 ... J, найденное-
в задаче 11, и сравнивая коэффициенты в полученных разложениях,
определить Ап и Вп через А. Величину А можно вычислить и
непосредственно, так что для — π < χ < π имеем
е*хг 2sh*TC
71 = 1
22. Показать, что
ηαπ fl.^i/ ,vnfl cos nx—n sin n# Ί
, __ 2sh απ Γ sin χ 2 sin 2x 3 sin ж "j
sna*- — j^__- 22 + ^2 + ___... j
и
, __ 2<j 8h απ Γ 1 cos χ cos 2x cos Зя Ί
для — π < a, < π. Указание. Применить результаты задачи 21.
23. Показать, что
2 sin απ
sin α# =
[sin χ 2 sin 2# 3 sin Зж 1
12-α2 ~ 22-α2 + 32-α2~ ~ * *' j
и
2й sin απ Γ 1 cos x cos 2# cos 3# Ί
для -τ-π<#<π. Указание. Для фиксированного действительного ж
и комплексного а, принадлежащего замкнутой области, не содержащей
полюсов членов ряда, ряды из задачи 22 сходятся равномерно, и,
следовательно, их суммы являются аналитическими функциями от а. Это же
остается справедливым и для а~Ы, где о—действительное число.
24. Получить разложение на элементарные дроби для cosec z и ctg ζ
(см. § 284) из разложений задачи 23. Указание. Положить х = 0 и χ = π
ζ
во втором разложении и а = — .
25. Примерами функций интегрируемых, но неограниченных, служат
функции
I . χ Ι , Λ cos x cos 2ic cos Sx
log|sinY|=-log?--1 2 3 ···
И
cos χ cos 2# cos 3#
Ι χ 1 ft , cos # cos 2# t
log|coSy|=-log2+— — +

250
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
где χ имеет любое значение, для которого левая часть конечна.
Указание.
π
1С и
Из соотношений (27), (30) и (49) находим — \ sin пи ctg — du = 1. Отсюда,
"о
π
интегрируя по частям, найдем — \ log sin —- cos пи du = . Поэтому
log
# Ι χι cos nx
3ΐηι> Η-Σ-ΪΓ-·
71=1
Заменяя х через π—χ, получим log
cos^\=A+ ^l(-i)n
cos nx
71 = 1
Для того чтобы определить А, надо подставить 2х вместо χ в первый
ряд, и так как log | sin x | =log 2-f log sin—- -f log
или А =
-log 2.
cos— ,T0^4 = log2 + 2^,
26. Пользуясь задачей 25, вывести, что когда log tg — конечен, то
log
ι ж Ι Λ /cos # , cos Sx cos 5# ,
...).
Отсюда с помощью метода, которым пользовались при решении задачи
17, показать, что для всех χ
χ
Г , I, и ! , n f sinx , sin 3# , sin Ъх , Π
V°8|t8^|*»=-2[4i-H—p-+-^-+...J
\^ dv ^ log tg |-Um- — \ d"> ^ dv ^ log^tg-j \du =
0 0 0 0 0
Γ cos x cos За: cos Ъх Ί
L "ϊ^- "з7"- 5з + '' · J ·
З3 53
27. Показать, что если f (х) и | / (ж) | интегрируемы на основном
f ίχ _j_) _}_ у (# )
интервале, то ряд Фурье функции / (х) суммируем к — —4>— -
в смысле Чезаро в каждой точке, в которой оба предела существуют.
Указание. Применить те же рассуждения, что и в § 295, заменив
множитель \f (х + и) + / (х — и) — 2/ (х)] через сумму выражений [/ (х + u)—f (# + )]
и [/(*4-14)-/(ж-)].
28. Из результатов задачи 11 мы получили, что рядом синусов
■■с суммой, равной 1 в интервале 0 < χ < π, является ряд
4 /sin χ sin Зх , sin 5# . \

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
251
Его сумма равна —1 в интервале — π < χ < 0 и равна 0 при # = 0, χ—— π
т χ = π. Пусть т = 2п — 1 и Sm (x) сумма т членов ряда. Показать, что
в окрестности нуля апроксимирующие кривые Sm (x) стремятся к трем
прямолинейным отрезкам: у~— 1, χ < 0; г/ = 1, # > 0; —К^у^К, х — 0,
π
2 Г sin ί
где К = — \ —— dt приблизительно равно 1,18. Так как К превосходит
"о
единицу, то третий отрезок простирается за пределы двух других.
Указание. Производная Sf\ (x) удовлетворяет равенству
π α, / ν , « . , /ft M sin 2пх
— ύ^ (х) = cos # -f cos Sx + ... + cos (2тг - 1) χ = —— .
4 ν у 2 sm #
тс
•Следовательно, для 0 < χ < — функция £т (ж) имеет максимум при 2ηχ — π
χ
2 С sin 2тгж
•или 2тг#=тс (2k + 1). Кроме того, 5т (х) =— \ —: dx. Так как sin x
тс j sm x
о
возрастает, то, рассуждая подобно тому, как это было сделано при
выводе соотношения (67) § 293, найдем, что наибольший максимум будет при
ж= — . Теперь можно рассматривать сумму Sm ( — J как сумму Римана,
тс
-j 2 Г sin г ,
дающую приближенное значение интегралу — \ αί, с разностью
о
Δζ =— ; таким образом, пределом этой суммы при т -> оо, а
следовательно, и при η -> оо будет этот интеграл. Числовое значение можно
найти, применяя правило Симпсона (см. § 145) или разлагая sin ί в
степенной ряд.
29. Явление Джиббса. Пусть / (х)— функция с ограниченной вариацией
в некотором интервале x0 — h, x0-\~h, a x0— точка разрыва функции / (х),
так что / (х0 —) Φ f (х0 +), но в интервалах х0 —h < χ < х0 и х0 < χ < х0 + h
•функция / (л) непрерывна. Далее предположим, что f (х) и | / (χ) |
интегрируемы на основном интервале. Тогда апроксимирующие кривые,
изображающие частные суммы Фурье Sn (x), вблизи точки х0 стремятся к кривой,
составленной из двух непрерывных кривых, изображающих / (х) в
открытых интервалах х0 —К < χ < х0 и х0 < χ < х0 + /г, и из сегмента,
полученного продолжением сегмента, соединяющего точки x0,f(x0—)
ш х0, f(x<) + ), на равные расстояния в обе стороны, и по длине
превосходящего в К раз первоначальный сегмент. Здесь, как и в предыдущей
тс
задаче, К = — \ d£^l,18. Тот факт, что приближения стремятся
ТС .) t
0
к такому увеличенному в К раз сегменту, называется явлением Джиббса.
Указание. Если φ (χ) — функция из задачи 28, то функция
f (x) 2
будет непрерывна в х0, и для hx<h и х0— hx < χ < х0 + h1 ее ряд Фурье
сходится равномерно.

252
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
30. Поведение сумм Фейера для функции из задачи 28 для
фиксированного χ определяется результатом задачи 27. Показать, что графики сумм
Фейера Сп (х) для этой функции вблизи нуля стремятся к трем сегментам
у= — 1, # < 0, 2/ = 1, х > 0; —1<2/^1, х = 0. Указание. Так как Сп(х}
является взвешенным средним значений функции с положительным весом,
то ее значение должно лежать между — 1 и 1. Тогда искомый результат
следует из задачи 27 при фиксированном х, близком к х0, и из того,
что Сп (х) непрерывна для всех х.
31. Суммы Фейера для функции / (х) из задачи 30 не дают явления
Джиббса, т. е. вертикальный сегмент будет сегментом, соединяющим
точки х0, /(#! — ) и х0, f(x0+). Указание. Рассуждать также, как в
задаче 29, применяя свойство φ (χ), доказанное в задаче 30.
32. Вывести результат задачи 45 к гл. ХШ из результатов задач 7
и 25. Указание. Свободный член в задаче 7 дает значение интеграла
для | ρ | < 1; свободный член в задаче 25 дает интеграл для ρ = 1 или
1
р= — 1; для | ρ | > 1 положить р~ , как это сделано в задаче 45 к гл. XIII.
33. Если / О) и | / (х) | интегрируемы в интервале О, 2π, а А, Ап и
Ва—коэффициенты Фурье для f (х) и , г\ < 1, то
со 2π
n = l 0
Указание. Ряд из задачи 15 сходится равномерно для действительного и
и любого | Ь\ < 1. Положить Ъ = г, гг = Ь — ί, умножить на / (£) и
интегрировать почленно.
34. Если функция / (х) имеет период 2π и непрерывна для всех
значений х, а г — действительное число, меньшее чем 1, то
2π
,1™_1\ 1-2гсов7й-0+^/(^ = /(9)·
о
Указание. Рассуждать так, как это делалось в § 295, замечая, что дробь,,
на которую умножается /(ί), положительна и интеграл от нее в пределах
от 0 до 2π равен 2π (это можно получить, положив f(t)=l, A= 1,
Ап = Вп = 0 в задаче 33). Далее, | / (t) — / (θ) | < ε, когда cos (θ - t) > 1-д.
35. Показать, что для всякого частного значения Θ, для которого
ряд Фурье функции / (Θ) сходится к #(θ), предел, определенный в
задаче 34, равен g (8). Указание. Применить задачу 33 и теорему Абеля,
данную в задаче 15 к гл. XIII. Пример такого рода найдем, сравнивая
задачи 7 и 25.
36. Если функции / (х) и [ / (х) | интегрируемы в интервале 0, 2π, то·
f (χ .1.) JL 4 (χ — \
предел, определенный в задаче 34, равен — 9 в каждой
точке, в которой оба предела существуют. Указание. Провести те же
рассуждения, что и в задачах 34 и 27.
37. Интеграл из задач 33, 34, 35 и 36 называется интегралом Пуассона.
Он дает нам возможность найти функцию, удовлетворяющую уравнению
Лапласа (задача 1 к гл. XIII) внутри единичного круга, принимающую
заданные значения / (Θ) на границе круга всякий раз, когда имеет место
соотношение из задачи 34. Указание. Если z = x + iy = rei]> то
(Ап cos ηθ 4- Вп sin πθ) rn= R (Anzn - iBnzn),

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
253
-так что в силу результата задачи 33 интеграл будет действительной
частью от аналитической функции внутри круга.
38. Если Sп = их + и2 + ... 4- ип — частичная сумма η членов
бесконечного ряда, суммируемого в смысле Чезаро, и tL = u1+2uz-\r... -\-пип, то
t
необходимым и достаточным условием сходимости ряда будет >0.
Указание. tn = (η + 1) Sn — пСл\ -^-^limXSn — Cil) = L — L, если^] ип
сходится. Sn —>lim Cn, если — —>0.
39. Необходимым и достаточным условием суммируемости ряда 2j ип
в смысле Чезаро является сходимость ряда jjj / " ^ I здесь ΐη = их +
+ 2w2 -К.. + пип. Указание. tn = (n-t-i) Sn — nCn; Sn = nCn— (п — 1) Сп^, так
что
η
η(η+ί) η + \ η и"1' ZJ/c(/c + l) тг + 1
/с = 1
40. Если ряд 2 иа суммируем в смысле Чезаро и ип — О ( — J, то 23 и и
•сходится (Харди). Указание. Если 2 ил расходится, то в силу результата
задачи 38 — или больше а, или меньше —а для бесконечного числа значе-
п
ний η (скажем для п = т) и для некоторого а > 0. Во втором случае
/ т. е. для ~ < — а ) надо заменить в рассуждениях ип на — ип. Далее,
^n+i = ίΛ + (л + 1) ип+1 > tn — К для некоторого положительного К и гг > п'
в силу определения ип = о( — J в § 81. Следовательно, для всякого
т>п\ *m+fc > ^ f если 0 < к < /с', где -~. — 1 < /с' < ^ . Следовательно,
у tn 2 1 2К J^
Так как это выражение стремится к положительному пределу, когда
m -^ оо , то в силу критерия Коши ряд 2 ^_ не может сходиться.
В силу результата задачи 39 это противоречит предположению, что ряд
2 ип суммируем в смысле Чезаро.
41. Если· f(x) и \f{x)\ интегрируемы в интервале 0, 2π и Аг = о(^),
Ва^° СО* Т° РЯД °УРЬе сходится к /(Ж + )^/(а;~) в каждой точке,
в которой оба предела /(ж + ) и f (х—) существуют. Указание. Применить
результаты задач 27 и 40. Некоторые условия, изложенные в § 293, могут

254
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
быть доказаны, исходя из этих соображений, если они выполняются на
всем интервале.
42. Показать, что примером непрерывной периодической функции, ряд>
Фурье которой не сходится при х = 0, служит функция
/(*>= Σίτ(ρ*> <?*■ *>»
η = 1
где рп = пП2, Qn = 2 (Р1 + Р2 + ... + Р„__1) и для натуральных Ρ и Q
τ(Ί> η ^ cos(Q+l)x , cos(Q + 2)* , cos (Q + P)*
1 (Ρ, Ц, x)- 2ρ_α + 2р_з +·.·+ α
cos (О + Ρ + 1) # cos (О + Ρ 4- 2) ж cos (О + 2Р) ж /л „ ,
^ * ^-^ ^ ... 2р_1 (Феиер).
Указание. Группируя члены с одинаковыми знаменателями, получим
Ρ sin(2*-l)|
Τ (Ρ, Q, *) = 2sin^Q + P+-)a ^ 2*=1 *
Функция Γ (Ρ, Q, #) ограничена в силу результатов задачи 28..
Следовательно, ряд, определяющий /(#), сходится равномерно, и / (#>
непрерывна для всех х. Коэффициенты Фурье функции / (х) можно
получить, почленно интегрируя ряд для / (х); Рп и Qn выбраны так, что.*·
член cosmrc появляется только в одном Τ (Рп, Qn, χ), и его коэффициент,
поделенный на п2, будет равен Ап. Коэффициент А и все Вп будут равны,
нз'лю. Поэтому если разложить Т, то этот ряд будет рядом Фурье
функции fix). Но в нуле частичная сумма Qn + Рп членов будет равна
п212Рп~1 + 2Р11 — 3 + "'+3+]> 2 '
так как
2[1 + | + ^+.., + _J_J>1 + | + I+... + l>^>iogP,
1
и log Pn = n2log п. Таким образом, ряд Фурье расходится в нуле, так как
для одной последовательности целых чисел m = (Рп + Qn) —> оо при η —> οα<
суммы £т стремятся к бесконечности, ^аметим, что, для тп —Vn»
lim Sm, = f (0) = 0, так что перестановка скобок делает сходящийся ряд
расходящимся, как это было замечено в § 187.
43. Пользуясь определениями Pn, Qn и Т(Р, Q, х) из задачи 42, пока-
оо
зать, что F (х)= 2 i^i^n» Qn» и! 2π#) будет периодической функ-
η = 1
цией с периодом 1, непрерывной для всех ж, и что она имеет ряд Фурье„
расходящийся при всех рациональных значениях х.
44. Проверить, что если f (х) = с при а <х <Ъ и f (х) = 0 при χ < ω
\cie~iua-e~iub)
или х>Ъ, то трансформация Фурье будет равна F(u)=— : ..

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
255-
Кроме того,
Л со
Km Л e-**FMdu=±\ rsi*u(z-a)_sinu(x-b)ldusstc_
А-+со J π J L и и J 2 '
-Л О
если х = а или х = Ь, в остальных случаях этот предел равен / (х).
Указание. См. задачу 31 к гл. XII.
45. Если Д (х) и /2 (ж) — функции того же типа, что и функции,
определенные в задаче 44, то вводя постоянные а, Ь, с и а', Ь\ с' такие»
что а < а' <Ь' < δ, вычислить свертку h (x) и убедиться, что ее графиком
является ломаная линия с вершинами в точках х = а + а\ a + b\ a' +b,
Ъ + Ь'. Для χ < а + а' и ж > Ь + &' свертка /г (ж) равна нулю.
46. Показать, что если F {и) — трансформация функции / (х) и а > О,
то — F ( — } будет трансформацией функции / (ах).
47. Показать, что трансформацией функции / (χ) = β~χ2 является.
F (и) = \}/ π е 4 , а трансформацией функции / (х) = е 2 будет F (гг) =
= λ|/"2π* 2. Указание. См. задачу 46 к гл. XIII.
48. Пусть / (х) является разностью двух монотонных функций при;
χ <С а и χ >- δ, причем каждая из этих монотонных функций
интегрируема на полубесконечных интервалах —оо, а и Ь, оо, на которых она
определена. Пусть / (х) будет функцией с ограниченной вариацией для
/ (χ -L.) -L f (χ )
«-<#-<&. Определим g(x) = ~ » так что S(x)=f(x) во всех.
точках непрерывности и имеет трансформацию G (u) = F (и). Тогда
оо оо
7с«=—сх> п=—оо
2 f(^)=«x 2 *(«*). «>о.
п=—оо
Эти формулы и, в частности, их специальный случай, разобранный
в задаче 49, носят название формул Пуассона. Указание. Монотонная
функция, интегрируемая от Ъ до оо, или положительна и убывает до нуля,
или отрицательна и возрастает до нуля. Меняя знак функции, можно
привести один из этих случаев к другому, а изменяя знак ж, свести
интервал —оо, а к интервалу —а, оо. Следовательно (см. § 192), ряд
со
2 g (я + 2π&) = φ (χ) сходится для всех х. Из вида этого ряда следует,
к=—оо
что он имеет период 2π. На любом конечном интервале этот ряд сходится
равномерно, и φ (χ) является функцией с ограниченной вариацией, так
как сумма бесконечного ряда с монотонными членами является
монотонной функцией, а конечная сумма функций с ограниченной
вариацией является функцией с ограниченной вариацией. Кроме того,
(ft (χ _J_ "\ 1 , (Λ (χ "\
ΙΑ -=Ч(Х)> так как g (x) обладает этим свойством. Поэтому
(см. § 293) ряд Фурье функции φ (χ) сходится к φ (χ) для всех х.

256
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XIV
В частности, при х = 0 имеем
N
2 *(2π*)β*(°)β^4$ [1+ 22coswi] *(o*.
к=—со —π п=1
Далее, для натурального η
π
— со £=_οο—re —тс
Здесь интервал —оо, +оо разложен на интервалы 2ж(к — 1), 2π(& + 1),
«сделана замена переменного гх— ί + 2π&Η принято во внимание, что
е~ш^к"> = 1 для натуральных пик. Интегрирование функции y(t)e~int
путем почленного интегрирования ряда возможно в силу равномерной
сходимости. Наконец,
Ν Ν π π Ν
л= —JV n=—N —π —τ; n=l
Переходя к пределу при iV->oo и замечая,' что предел этот равен φ (0),
придем к первому соотношению. Второе соотношение следует из первого
и из результата задачи 46.
49. Доказать, что для действительного положительного χ и
положительного значения квадратного корня имеет место
Σ .-л*,, ι Σ;
-712 —
а:
/
X
Y+2je =7fU + 2j< J·
71=1 П = 1
Указание. Применить формулу Пуассона из задачи 48 и результат
задачи 47. Если функции —четные, то двойные суммы могут быть заменены
простыми суммами, как это сделано во второй формуле.
хк
50. Показать, что трансформацией Лапласа функции — етх при
к.
1
Rp > Rr будет 7 _ \fc*i · Указание. Продифференцировать уравнение (186)
§ 305 к раз по г.
51. Проверить соотношение (182) для трансформации Лапласа из
задачи 50. Указание. Замкнуть контур полуокружностью достаточно
большого радиуса А слева от линии, соединяющей k — iA и кЛг\А, и
вычислить вычет в точке г. Это является часто наиболее простым методом
нахождения функции по данной трансформации L (р), даже если L(p) —
рациональная функция. Относительно построенного полукруга рассуждаем
так же, как в § 281.
52. Показать, что трансформация Лапласа функции J0 (Ьх) будет равна
со
С е~** J0 (Ы) dt = - 1 для Пр > Ъ > 0.
J Vp2 + v
о
(J0 (foe)—функция Бесселя, определенная в задаче 10 к гл. XIII.) Указание.
Применить задачу 18 к гл. XIII для действительного р.

Глава XV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В настоящей главе доказывается несколько теорем
существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений и
теорема существования решения для некоторого класса уравнений
в частных производных.
Мы также разбираем здесь теоремы об огибающих, имеющие
отношение к упомянутым теоремам существования.
306. Дифференциальное уравнение первого порядка с
аналитической правой частью. Начнем с доказательства
следующей теоремы:
Существует единственная функция у(х), аналитическая для
всех комплексных значений переменной х, достаточно близких
л xQ, т. е. для \х — ж0|</г, такая, что у(хо) = Уо^
удовлетворяющая дифференциальному уравнению первого порядка
2 =-/(*> »>' (1)
причем предполагается, что функция f {x, у) является
аналитической функцией двух комплексных переменных χ и у в точке
^о' У о ·
Так как / (х, у) — аналитическая функция, то, как следует из
§ 286, она может быть разложена в ряд
со к
/ (*> Ϊ/) = 2 Σ αϊ> *-/ (χ - χοΫ (У ~ Уо)кЧ, (2)
сходящийся для всех значений χ ж у, удовлетворяющих
неравенствам | х— х01 < Н\ | у —-г/о | < К. Для упрощения записи,
выберем Н' так, чтобы 0 < &' < min (7/, К), и сделаем замену
переменных:
χ==^ρ, γ=^ττ· (3)
Эта замена сведет теорему к случаю, когда начальные
значения будут 0, 0 и степенной ряд будет сходиться для всех
значений переменных, не превосходящих по модулю единицы.
Сохраняя первоначальные обозначения, в этом случае мы
должны решить уравнение
£=f(x> У) ПРИ условии у (0) = 0, (4)

258
ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где
/(х, у) = «оо + а10х + а01у + а20х2 + апху + а02у2 + ... (of
Если задача имеет аналитическое решение, то мы должны иметь
у = сгх + с2х2 + с,х3 + .. . ; (6).
этот ряд не содержит свободного члена, так как г/ (0) = 0.
Внутри круга, в котором этот ряд сходится равномерно, можно его
почленно дифференцировать, тогда
'^^Cl + 2c2x + 3c3x2 + .... (7)
В силу результатов § 274 и 286 функция переменной х,
определяемая равенствами (5) и (6), для достаточно малых значений ж
будет аналитической и будет иметь разложение
/ (х, у) = а00 + а10х + а01 (сгх + с2х2 + .. .) + а20х2 +
+ апх (сгх + с2х2 + . . .) + «02 {°ϊχ2 + 2сгс2х3 +···) +
+ «оз (Φ3 +···)+ ··· (8>
, Сравнивая коэффициенты в разложениях (7) и (8), в
соответствии с уравнением (4) найдем
Лс2 = o>xq + #οι£ι>
Зс3 = а01с2 + а20 + а11с1 + а02с\, (9>
4с4 = «oi^3 + «iic2 + 2a02dc2 + aso + а21сг + а12с\ + aQzc\.
Эти уравнения позволяют найти все коэффициенты разложения
(6). так как индекс у каждого cz· в правой части уравнения
меньше индекса с*, стоящего в левой части. Таким образом,
найденные Ci определят с помощью разложения (6) функцию,
которая в области сходимости ряда будет удовлетворять всем
поставленным условиям.
Для доказательства того, что полученный ряд имеет
положительный радиус сходимости, поступим следующим образом.
В силу способа выбора Н' ряд (5) сходится абсолютно wpnx = \T
у = 1, поэтому ряд
I «оо I +1 «ю I +1 «οι I +1 «го I +1 «и I +1 «ой I + ... (10)
сходится. Следовательно, общий член ряда (10) будет стремиться
к нулю, поэтому все члены ряда (10), начиная с некоторого,
будут, меньше единицы. Пусть Μ—число, большее единицы и
большее всех членов ряда (10), предшествующих члену, начиная
с которого они меньше единицы. Тогда ряд
М(1+х + у + х2 + ху + у2 + ...) (11>

306. УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
259
мажорирует ряд (5) в смысле абсолютных величин членов, так
как | atj x*yf | < | Μ χ1 у1 |, но этот ряд равен
М(1 + х + х*+ ...)(1 + у + у«+ ...) = __^__. (12)
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение
(13)
которое в силу теоремы из § 134 можно записать так:
(1-*)** = ". (14)
Это уравнение будет удовлетворено, если
• y-* = -Mlog{i-z) + K. (15)
Для того чтобы имело место равенство у (0) = 0, нужно
положить К = 0 и выбрать то из решений квадратного уравнения?
которое обращает радикал в выражении
y^l-\f \ + 2Mlog(i—z) (16)
в 1 при # = 0. Так как ветвь функции (16), определяемая
указанными выше условиями, аналитична в точке х = 0, то ее можно
разложить в степенной ряд
у=*Сгх + С2х2 + С3х3 + .. . , (17)
причем | у | < 1 для достаточно малых по модулю значений х,
скажем для
\х |< /г'. (18)
Но разложение (17) дает разложение аналитической функции,
являющейся решением дифференциального уравнения (13) при
условии у(0) = 0\ коэффициенты этого разложения будут
решениями уравнений (9), в которых мы заменим а^ через М, а а
через Ct. Так как все знаки в равенствах (9) являются знаками
«плюс», то все d положительны. Кроме того, так как Μ
превосходит все | dij |, то первое и тем самым все следующие Ct
превосходят \ct\. Таким образом, ряд (6) с коэффициентами,
найденными из уравнений (9), будет мажорироваться рядом (17) и
поэтому будет сходиться для \х\ </г'.
Этим доказано существование решения нашего
дифференциального уравнения, что мы и утверждали. Так как коэффициенты
разложения определяются однозначно, то не существует
другого аналитического решения, удовлетворяющего заданному
начальному условию. В силу § 282 всякое разложение,
полученное из найденного при помощи аналитического продолже-

ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ния, будет решением дифференциального уравнения, если только
предположить, что функция / (х, у) остается аналитической вдоль
пути, по которому происходит продолжение.
307. Системы уравнений. Одно дифференциальное уравнение
порядка выше первого, скажем порядка п,
y^ = f{x,y,y',y",..., у^) (19)
эквивалентно системе уравнений первого порядка, которую мы
получим, положив
У = »ι, У' = «2» · · · > У{п~х) = юп. (20)
Тогда придем к системе уравнений
du1 du? dun^x
И
-£* =f(x, ul9 u2, .. . , Ил-ι). (21)
Подобным образом можно поступить и для сведения системы ρ
дифференциальных уравнений различных порядков, содержащей
ρ искомых функций, к системе уравнений первого порядка, если
только выполнены некоторые алгебраические условия,
позволяющие разрешить данную систему относительно старших
производных каждой из искомых функций.
В случае дифференциальных уравнений высшего порядка
в качестве начальных условий мы берем значения каждой
искомой функции и ее производных до порядка, на единицу
меньшего, чем наивысший встречающийся порядок производной
этой функции. Для системы уравнений первого порядка эти
начальные условия сведутся к заданию начального значения
каждой из искомых функций.
Теорема, аналогичная доказанной в предыдущем параграфе,
может быть доказана для системы
■^-^*(«- У1, У2,...,Уп); * = 1,2,3,...,ιι. (22)
Если каждая из η функций Fk (х, у{) является аналитической
функцией от η +1 переменной, то система уравнений имеет
единственное аналитическое решение при | χ — xQ | < h такое, что
yi{%o) = yi>o- Эта теорема доказывается аналогично теореме
из предыдущего параграфа. Прежде всего сделаем замену пере*
менных типа (3), а именно,
γ х ~~ хо γ Vi ~~ Vi, Q /00\
Η' ' Я7 ' \Δό>

308. ПАРАМЕТРЫ
261
которая сведет задачу к такой же задаче, но с начальными
значениями, равными нулю, и с функциями Fk(x, yt), обладающими
абсолютно сходящимися разложениями в точке χ = г/j = 1.
Найдем затем формальные разложения в ряд, которые будут
представлять решение в том случае, если они сходятся. Эти
ряды будут мажорироваться рядами для решения системы
dyk _. М_ /24\
dx η ' У г
(1 - х) Π (1 - У{)
г = 1
Но эта последняя система может быть решена для заданных
начальных значений, если мы положим
yt = у, где у (0) = 0
и
dx ~~ (1 - χ) (1 - у)п * У 0)
Решение полученного уравнения находится из соотношения
1 - (1 - у)*+* = - (я + 1) Μ log (1 - χ), (26)
и мы имеем
(27)
у = 1-[1 + (п + 1)М^{1-х)]п+{ .
Это решение будет ветвью аналитической функции,
соответствующей значениям х = 0, г/ = 0; таким образом, формальное
разложение будет иметь положительный радиус сходимости.
308. Параметры. Если функции, стоящие в правой части
одного уравнения или системы уравнений, являются
аналитическими функциями не только η+ί переменных х, уи но и
аналитическими функциями ra-fA + l переменных x,yiypj, где pj
являются к параметрами, то решения будут аналитическими
относительно fc+l переменных х, pj. В самом деле, если ρ —
параметр, то мы можем добавить новое переменное с помощью
условий
-^- = 0, и(х0) = р. (28)
При этих условиях и(х) = ρ для всех значений х, и поэтому
мы можем заменить ρ всюду, где оно встречается, переменным
и и рассматривать и как одну из искомых функций.
Решение также будет аналитичным, если рассматривать
начальные значения как переменные. В самом деле, при замене
переменных, указанной соотношениями (3) или (23),
начальные условия станут фиксированными, а функции, входящие в

£&2 ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
дифференциальные уравнения, будут аналитическими функциями
переменных х, у и #о> */*,о> и неременные Жо, У о или yt 0 войдут
теперь в качестве параметров.
309. Случай непрерывных правых частей. Если мы будем
рассматривать в качестве функций, стоящих в правых частях
дифференциальных уравнений (1) или (9), только действительные
функции действительных переменных и потребуем от них лишь
непрерывности, то можно показать, что ранее рассмотренная
задача для таких уравнений имеет непрерывное решение.
Будем исходить из системы
"5? = /*(*' У» У*> ···' Уп)\ *=1, 2, 3, ..., гг. (29)
Так же как и ранее, мы можем считать задачу сведенной к
случаю, когда начальные значения заданы соотношениями
Начнем с некоторого приближенного решения, определяемого
соотношениями
yk,h(%)=0, —/г<я<0
и
χ
У к, л (я) = $ fk ([*, у и h (t - К)] dt, x>0. (30)
о
Предположим, что функции //:(#, г/ί) непрерывны по всем
η +1 переменным в некоторой замкнутой η + 1-мерной области,
содержащей начало координат. Из определения функций у у, h
следует, что эти функции будут определены и непрерывны для
тех значений, для которых под интегральная функция в
равенстве (30) остается в области непрерывности переменных, и,
значит, будут определены и непрерывны для достаточно малых
значений х, скажем для | χ | < Н.
Для этих значений, функции, стоящие в правых частях
дифференциальных уравнений, будут ограниченными, скажем,
\fk{z,yt)\<M. (31)
Поэтому для любых двух значений хх и х2> удовлетворяющих
неравенствам
0 <*!<#, 0<х2<Н, (32)
будем иметь
Х2
\Ук,ь(х2) — Ук,п(х1)\ = \ \ fk{t, yi,h(t — h))dt\ <M|z2— хг\. (33)
χι

310. ЕДИНСТВЕННОСТЬ
263
Возьмем счетную последовательность значений /г, стремящуюся
к нулю, тогда для каждого к получим счетную
последовательность функции. Эта последовательность функций ykt н (х) в силу
соотношения (33) будет равностепенно непрерывной. Поэтому
в силу теоремы Асколи, доказанной в § 254, мы можем выбрать
подпоследовательность из этих функций, сходящуюся к некоторой
предельной функции. Сделав этот выбор для k=i и пользуясь
только выбранными при этом значениями к, выберем из
подпоследовательности г/2, л (я) сходящуюся подпоследовательность и так
далее; в результате найдем счетное множество значений hm
такое, что
limykthm{x) = y,z{x), (34)
m-»oo
причем стремление к пределу будет равномерным относительно χ
для любого к. Таким образом, предельные функции будут
непрерывными. В силу равномерной сходимости последовательности
и того, что /гы—>0, из равенства (30) получим
χ
y*{x)=[lklt,yt(t)]dt. (35)
0
Так как подинтегральная функция в последнем равенстве
является непрерывной функцией переменного t, то получим
*£ =**[*> Vd*)]> (36)
а из равенства (35) видно, что ук(0)=0. Таким образом,
доказано существование непрерывных функций, являющихся решением
нашей задачи. Так же доказывается теорема и для — //<#<().
310. Единственность. Одно требование непрерывности
функций, являющихся правыми частями дифференциальных уравнений,
оказывается недостаточным для единственности непрерывного
решения. В самом деле, рассмотим, например, уравнение
-j|-=3£2/3 с начальным условием у(0)=0. (37)
Решением, которое можно получить при помощи процесса,
указанного в предыдущем параграфе, будет
*/ = 0. (38)
Однако функция
у = а», (39)

264
ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
или любая из функций
у = (х+Ь)*9 х<-Ъ<0; у = 0, -Ь<х<а;
у = {х-а)\ 0<а<х, ^и>
где а и 6 — любая пара положительных чисел, будут также
непрерывными решениями поставленной задачи.
Если мы потребуем, чтобы функции /*(я, г/*), рассматриваемые
как функции переменных у и удовлетворяли условию Липшица
первого порядка или обладали ограниченными частными
производными по г/*, то, как мы сейчас покажем, решение будет
обязательно единственным.
Для функции η переменных условие Липшица имеет вид
л
I h (з, Уд — fk {х, Уд|<К 2 I Ух — Ух (> Для |yi—уг | < h. (41)
г = 1
Если это условие выполнено для всех А, то для \x]<L имеем
χ
J \ [fk(x, !/i)—fk(x, yd]dx\ <ЬКптах\г/1 — у1\. (42)
Ό
Рассмотрим теперь два решения ук и ук, каждое из которых
удовлетворяет уравнениям (36) и начальным условиям ук (0) = 0.
Тогда каждое из них удовлетворяет уравнениям (35), и в силу
соотношения (42)
IУ к (х) — У к (х) | < LKn max | y{ — #* |. (43)
Теперь положим ^i^-^ГЖ' и йусть (? —наибольшее значение
\Ух — Ух\ Для значений χ из сегмента | #!</,! и для i = i, 2, ..., п.
Тогда из неравенства (43) имеем
| ук (х) — Ук{х)\<~2 и поэтому 0 < Q < -|- . (44)
Последнее неравенство показывает, что Q = 0, и два решения
будут тождественны в некотором конечном интервале,
содержащем начальную точку. Поэтому для | χ | < Lx решение будет
единственным.
311. Продолжение решения. Если функции fk{x, уд
непрерывны в замкнутой ограниченной области R и минимум
расстояния от начальной точки до границы превосходит D, то, до тех
пор пока χ и все г/г· будут отличаться от своих начальных
значений не больше, чем на г , точка будет лежать в области/?.
Vn + l

312. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
26S
Таким образом, если величина Μ в соотношениях (31) и (33)
превосходит 1, то для \х — х0\< г построение из § 309
будет давать решение. Если для хг = х0 + значения
Муп+1
У к (χι) таковы, что соответствующая точка находится снова на
расстоянии, не меньшем чем D, от границы, то процесс может
быть повторен. Так как область R ограничена, то для
некоторого N любая точка, для которой \х — x0\>ND, будет лежать
вне R.
Таким образом, решение не может быть продолжено в R для
неограниченно возрастающего х, и существует наибольшее х' такое,
что для х0 < χ < х' решение может быть продолжено так, что
точка х, ук(%) будет оставаться в R. Если мы возьмем новую
область Д', содержащую внутри себя область R, и определим
функции fk{x, yd вне R так, чтобы они были непрерывны в R',
то решение может быть продолжено в области R' для х,
лежащих за х'. Это показывает, что когда х—>х', точка х, у к
стремится к предельной точке, лежащей на границе области Д.
Если функции fk(%, Уг) непрерывны в открытой области Д0,
то либо решение может быть продолжено для х0 < χ < со, либо
существует наибольшее х' такое, что решение может быть
продолжено для х0<х<х', причем в обоих случаях продолженные
решения непрерывны и лежат в области R0. Когда χ—>χ', точка
х, ук не обязана стремиться к предельной точке, но если все же
точка х, у к стремится к предельной точке, то эта точка не может
лежать в R0 и должна быть граничной точкой.
Продолженное решение будет единственным, если условие
Липшица выполнено для всех точек некоторой открытой области,
содержащей все точки х, ук решения.
В случае, если функции /& (х, yt) — аналитичные относительно
своих аргументов в замкнутой ограниченной области R, то они
обладают ограниченными в R частными производными. Поэтому
эти функции удовлетворяют условию Липшица и непрерывное
решение системы дифференциальных уравнений будет
единственным. Следовательно, в каждой точке это решение должно
совпадать с аналитическим, которое, как показано в § 307,
существует. В этом случае все продолжение непрерывного решения
в R будет аналитичным.
312. Дифференцируемость. Рассуждения, проведенные в § 308,
показывают, что если функции fk(%,yi) непрерывны, решение
будет непрерывной функцией начальных значений х0, г/г-,о- Также
показывается, что если функции fk(x, У\, я) содержат некоторый
параметр а и являются непрерывными функциями по совокупности

-266 ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
п + 2 переменных х, а и yt, то система дифференциальных
уравнений будет обладать решением, непрерывным по параметру.
Таким образом, если условие Липшица удовлетворяется по всем
переменным, то это решение будет единственным и будет
непрерывно зависеть от параметра.
Мы применим этот факт для доказательства того, что если
-функции fk (χ, у ι) обладают непрерывными частными
производными по всем переменным, то решение будет дифференцируемой
функцией от х0 и г/;,о. Так как решение состоит из непрерывных
функций от х0 и yiiti, то, для достаточно малого интервала
Ь, | Ах0 | < D, | Ау0 | < D и \х — xQ | < D, решение х, у к с
начальными значениями х0, ук,0 и решение χ + Αχ, ук -f Аук с
начальными значениями х0 + Ах0, ykt0+ &ykt0 будут лежать внутри
области R, в которой функции /*(;£, yt) дифференцируемы. Отсюда
в силу теоремы о среднем § 215
Μ к = fk (х + 'Ах, yt + Ayt) —fk(x, iji) =
где символ |е означает, что для частных производных взяты
.значения в точке x = x + QAx, у,. = г/г- + бАг/г., 0< β < 1.
Теперь мы временно ограничимся доказательством
существования частных производных по х0. Обозначим
Ζο = Δ70· Ζ*=Δ*7 (46)
и образуем уравнения
dx Δχ0 ° дх
+ Σ*&1· («)
дУг
г = 1
Для любого значения AxQ Φ О можем рассмотреть уравнения (47)
вместе с уравнениями
%k = h(x,yt) (48)
как одну систему уравнений и найти решение с начальными
условиями
х = х0, Ук = Ук,0, ZQF-1, zk==^· (49)
Если для Δχ0=0 заменить систему уравнений (47) системой
f^of + Σ^, (*»
Z=l

312. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
267
где частные производные взяты в точке х, ук, то можно таким
образом доопределенную систему дифференциальных уравнений
рассматривать как систему, содержащую параметр Ах0, причем
правые части будут непрерывными функциями всех переменных
и параметра. Таким образом, существует решение такое, что
limzk — Zky когда Ах0—>0. (51)
Но для Αχ0 ψ 0 решение системы единственно, так как fk{x, у,)
обладают непрерывными частными производными, и так как для
фиксированного Ах0 функции ~± удовлетворяют условию
Липшица. Когда же Δχ0 = О, решение системы также единственно,
так как система уравнений (48) имеет единственное решение, и
так как частные производные функции fk (х, у^ ограничены и,
тем самым, правые части уравнений (50) удовлетворяют условию
Липшица относительно переменных Zk.
Наконец, отметим, что в силу самого построения
расширенной системы, если z, yk будут решениями первоначальной системы
(48), удовлетворяющими начальным условиям х = х0, yk = ykiQ, то
решения расширенной системы для Δχ0 Φ 0 будут даваться
равенствами (46). Это доказывает, что
lim -г-^ = lim z0 = Z0 и lim -~t = lim zk = Zk. (52)
Таким образом, частные производные ^~ и -—^ существуют
11 удовлетворяют так называемой системе уравнений в вариациях:
чд*оУ _. дх д1к , у дУг $fk /53)
dx дх0 дх £l дх0 ду\ ' * '
ί=1
Эту систему формально можно получить, продифференцировав
первоначальную систему частным образом по х0.
Аналогично доказывается, что частные производные по yktQ
существуют и удовлетворяют подобной же системе уравнений.
Кроме того, с помощью приема, использованного в § 308,
можно показать, что решение можно дифференцировать по
параметру, если правые части имеют непрерывные частные
производные по всем η + 2 переменным*).
*) Доказательство, приведенное в этом параграфе, не вполне корректно.
τ-» dfi; I dfk I
Во-первых, автор считает, что величины 4^4 и ^-М —непрерывные
функции переменных χ и ук, что вовсе не очевидно, так как величина θ
с изменением переменных может меняться вовсе не непрерывно, кроме
того, величина θ не обязана быть однозначно определенной. Однако сам

268
ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
313. Огибающая. Пусть уравнение семейства кривых на
плоскости, содержащее параметр, будет
F(z,y9a) = 0 (54)
и пусть функция, стоящая в левой части этого уравнения,
обладает непрерывными частными производными по х, у и а первых
двух порядков. Производная, т. е. угловой коэффициент
касательной любой кривой семейства, удовлетворяет уравнению
Fx + Fu%=0. (55)
Если для частных значений х, у и а, удовлетворяющих
уравнению (54),
Fa Φ О, (56)
то в силу теоремы о неявных функциях (см. § 217) можно
разрешить уравнение (54) относительно а:
a = g(x,y)', (57}
при этом равенство (57) будет иметь место для значений χ и у,
достаточно близких к взятым их частным значениям. Тогда
можно подставить функцию (57) вместо а в выражения частных
производных, входящих в уравнение (55). Предположим, что
для наших частных значений х, у и а
F4 (χ, у, а), т. е. Fv (ζ, у, g {χ, у)) φ 0. (58)
Тогда получим
dx Fy (χ, у, g О, у))' * '
Наши предположения относительно вторых частных
производных функции F обеспечивают дифференцируемость правой части
уравнения (59) вблизи рассматриваемых значений х, у. Поэтому
дифференциальное уравнение (59) имеет единственное решение,
но уравнение (59) является условием того, что решение касается
в каждой своей точке единственной, проходящей через рассматри-
факт непрерывности этих выражений верен и устанавливается
соответствующим предложением —«леммой Адамара».
Во-вторых, автор считает независимую переменную χ функцией χ&
и не объясняет, каким образом устанавливается эта зависимость; при
этом получается система, состоящая из уравнений (47) и (48), содержащая
на одну искомую функцию больше, чем число уравнений в системе.
Либо нужно считать χ не зависящим от х09 либо надо добавить еще одно
dz
уравнение, например —- = 0. Доказательство дифференцируемости
решения по начальным условиям см. В. В. Степанов, Курс дифференциаль*
ных уравнений, гл. VII, §3, или И. Г. Петровский, Лекции по теории
дифференциальных уравнений, § 20, 21, 22, 30. (Прим. ред.)

313. ОГИБАЮЩАЯ
269
ваемую точку, кривой семейства. Таким образом, в этом случае,
единственное решение должно совпадать с самой кривой
семейства. Следовательно, если указанные здесь условия имеют место;
то семейство не имеет огибающей.
Если F (х, у, а) = 0, но Fx(x, у, а) Ф 0, то, поменяв ролями
переменные хну, мы можем также показать, что семейство
не будет иметь огибающей.
Предположим теперь, что семейство кривых обладает
огибающей, т. е. имеется кривая, которая в каждой своей точке
касается кривой семейства, проходящей через соответствующую
точку, при этом кривой семейства соответствует значение
параметра а, которое гладко меняется, если двигаться вдоль
огибающей. Тогда можно выбрать а за параметр огибающей и записать
ее параметрические уравнения в виде
х=*х(а), у = у(а)9 (60)
причем каждая из этих функций будет дифференцируемой.
Тогда, так как точка х, у лежит на кривой семейства,
соответствующей значению параметра а, то
F(x,y,a)=0. (61)
Так как последнее равенство удовлетворяется тождественно, если
в него подставить выражения (60), то, дифференцируя по а,
найдем
*.£ + *.£ + *. = <>. (62)
Это равенство показывает, что мы не можем одновременно иметь
ΡαΦθ, и Fx = 0, Fy = 0. (63)
Отсюда следует, что
Необходимым условием того, что семейство кривых,
определяемое уравнением
F(x,y,a) = 0 (64)
(где F (х, у, а) —дважды дифференцируемая функция), обладает
огибающей, является условие
Fa(x,y,a) = 0, (65)
которому, так же как и уравнению (64), должны удовлетворять
все точки огибающей.
Если для значений х, у и а якобиан функций, стоящих в
левых частях уравнений (64) и (65), по переменным χ ίι у
отличен от нуля, то эти уравнения могут быть разрешены
относительно χ и у, и мы имеем
х = х(а), у^у{а). (66)

270
ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Кроме того, так как функция F (х, у, а) дважды дифференцируема,
то функция Fa (χ, у, а) дифференцируема, и каждая из функций (66)
обладает первой производной. Эти производные удовлетворяют
уравнениям
Fxz'(a) + Fyy'(a) + Fa = 0,
Если Faa φ 0, то из второго уравнения следует, что х' (а) и у' (а)
не обращаются одновременно в нуль и кривая, определяемая
уравнениями (66), обладает касательной, угловые коэффициенты
которой определяются отношением чисел х' (а) и у* (а). В силу
уравнения (65) и первого уравнения (67) имеем
Fxz'(a) + Fgy'(a) = 0. (68)
В силу нашего предположения относительно якобиана, функции
Fx и Fy не могут одновременно обращаться в нуль для
рассматриваемых значений х, у и а. Поэтому уравнение
Fxdx + Fydy = 0 (69)
определяет угловой коэффициент касательной к кривой семейства,
проходящей через рассматриваемую точку. Уравнение этой кривой
дается равенством (64), в котором а положено постоянным.
Сравнивая уравнения (68) и (69), видим, что угловой коэффициент
кривой семейства будет тем же, что и угловой коэффициент
кривой (66).
Таким образом, мы показали, что
Достаточным условием того, что семейство кривых,
определяемых уравнением
F(x,y,a) = 0 (70>
(где F (х, у, а)—дважды дифференцируемая функция), обладает*
огибающей вблизи некоторого значения трех величин х, у и а,
является выполнение соотношений
F(z,y,a) = 0, Fa(x,y,a) = 0 (71)
d(F,Fn) __
д (х, У)
FF £'.1*0, Faa*0. (72>
Вследствие непрерывности производных, условия (72) имеют
место в некотором интервале, содержащем данное значение а, а
первое из этих условий обеспечивает, что в некотором подинтер-
вале уравнения (71) имеют решение, которое и дает уравнение
огибающей.
Отметим, что семейство может иметь огибающую, если эти
достаточные условия не выполнены. Например, если
(а;_а)« + у»-1 = 0, (73)

314. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
271
то необходимое условие дает
Fa= — 4 {χ — α)3 = 0, т.е. х = а, (74>
и огибающая, если она имеется, должна быть
либо у = +1; либо у = — 1. (75)*
Эти параллельные прямые в самом деле являются огибающими.
Тем не менее условие Faa Φ О не выполнено. Мы пользовались этим
условием только для того, чтобы показать, что %' (а) и у' (а)
одновременно не обращаются в нуль, здесь же это можно показать,
непосредственно.
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
(х-а)2-у2 = 0. (76)
Здесь
Fa=-2(x-a) = 0', х^а и г/ = 0, (77> ·
т. е. огибающей может быть только прямая х = а, которая в
действительности не является огибающей. В этом случае якобиан
равен 4г/ и обращается в нуль, когда имеет место последнее из
уравнений (77).
314. Уравнения в частных производных первого порядка.
Докажем теорему существования решения для уравнения в
частных Производных первого порядка. Рассмотрим случай одной
искомой функции и двух независимых переменных. Сохраним
место индексов для других целей и воспользуемся следующими
сокращенными обозначениями:
_dz '_<9z _d*z __ d2z f__d^z /704
р-~дх> q~dy' r~~dx^ S~~d^f dyf (Jb)'
Тогда дифференциальное уравнение, которое мы хотим решить,,
запишется в виде
F(x,y,z,p,q) = 0 (79)
Предположим, что функция F (х, у, ζ, ρ, q) дважды
дифференцируема.
Будем искать решение, содержащее заданную кривую
х = х0(и), у = у0(и), z = z0(u). (80)
Предположим, что мы задали значения ρ и q в некоторой точке
этой кривой, определенной значением параметра и = и
Хо> */о> *о» Ро» 9о> причем F (x0, y0, z0, p0, q0) = 0. (81)
Обычно, задав одну из величин ρ или q, можно определить
другую из последнего уравнения. Во всяком случае имеем пару
значений ρ и q, удовлетворяющую последнему уравнению.

272
ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Ро
dxQ
du
Qo 1
dy0
du
Так как для каждой точки поверхности £ = /(х, у)
и наше решение должно содержать кривую (80), то
Если будем рассматривать поверхность, представляющую
искомое решение, заданной в параметрическом виде с
параметрами и и ϋ, то для ν — Ο
Р(Хо>Уо, Ζο> Ρο> ?о) = 0. (84)
Уравнения (83) и (84) могут быть разрешены относительно
р0 и (70, и эти величины выражены через и для значений р0, q0,
близких к р0, q0, если якобиан
¥=0, (85)
где Ρ и () —частные производные функции F соответственно по
ρ и д. Если условие (85) имеет место, то уравнения (83) и (84)
определяют функции
Ро = Ро{и) и q0 = q0(u), (86)
которые принимают значения р0 и q0 при и— и.
Определим теперь более точно параметр ν, для чего
воспользуемся кривыми, определяемыми уравнением
dx dy /Q7X
ρ- = "ρ-> (87)
как проекциями на плоскость х, у кривых и = const и определим υ
с помощью равенств
«fo-T-TT (88)
Из соотношения
dz = pdx + qdy (89)
находим
dz = (pP + qQ)dv и rf«, = -?^_. (90)
*) Надо считать, что р0 и q0 удовлетворяют при и = и также и
уравнению (83), тем самым предполагается, что существуют такие р0 и q0,
что при и —и уравнения (79) и (83) будут удовлетворены. (Прим. ред.)

314. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 27&
Дифференцируя функцию F частным образом по χ и по у
и обозначая большими буквами ее частные производные по
переменным, записанным соответствующими малыми буквами,
и принимая во внимание введенные ранее сокращенные
обозначения (78), находим
X + pZ + rP + sQ^O, (91)
Y + qZ+sP + tQ = 0. (92)
Но так как
dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdy, (93)
то
dp = (rP + sQ) dv = - (X + pZ) dv, или _{χ + ρΖ) = dv, (94)
и
dq = (sP + tQ) dv=~-(Y + qZ) dv, или ^ = <£y. (95)
Сопоставляя уравнения (88), (90), (94) и (95), найдем
J„^dx — dy — dz _ <*Р — __^i_ /Qftt
αυ~Ρ ~Q -^ρ + 5ρ-_(χ + ρζ)--(Γ + 5Ζ)' lTO'
Эти уравнения можно рассматривать как систему пяти
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с
независимой переменной vf а именно:
£=*> £-<?· %-рр+*?. £—*-/*. ?.- -*-** (97)
'Теперь постараемся найти решение уравнения (79), которому
удовлетворяли бы значения, определяемые уравнениями (80) и
(86). Для этого поступим следующим образом. Для любого
фиксированного значения и уравнения (80) и (86) определяют
значения пяти переменных; эти значения примем за начальные
значения для системы (97), соответствующие значению у—0.
Так как функция F дважды дифференцируема, правые части
уравнений (97) дифференцируемы, так что наша система будет
иметь в некоторой области единственное решение, определяемое
этими начальными условиями. Мы здесь рассматриваем
переменные х, у, z, p, q как пять искомых функций, связанных только
уравнениями (97).
Мы определили, таким образом, для каждого
фиксированного и пять функций от ν, т. е. пять функций от и и ϋ. Если
якобиан первых двух функций относительно и и ν отличен'от
нуля для некоторой пары значений и и ν
д (х, у) __\ vu υυ | , q
дх
ди
ду
1 ди
дх
dv
ду
dv
d(u,v) \ду ду\^ ' (98)

274 ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
то первые два уравнения
х=^х(и, υ), у = у(и, ν)
(99)
dx0
du
ЪУо
du
Po
QQ
Po
dxQ
du
Qo
dy*
du
могут быть разрешены относительно гг, ν в некоторой окрестности
точки х} у, соответствующей заданной паре значений гг, v.
При ϋ«=0 якобиан (98) в силу уравнений (80) и первых двух
уравнений (97) сводится к
(100)
Но последний детерминант, если имеет место соотношение (85),
отличен от нуля. Следовательно, для рассматриваемых значений
и и для значений υ, достаточно близких к нулю, уравнения (99)
ххмёют решения вида
и = и{х,у), v-=v{x,y). (101)
Воспользовавшись этими последними уравнениями и уравнениями,
выражающими zs ρ и q через гг и <;, можно выразить ζ, ρ и q
через хну. Покажем, что первое из этих уравнений, т. е.
уравнение, выражающее ζ через χ я у, дает решение уравнения (79).
Начнем с того, что покажем, что ρ и q, определяемые из
уравнений (97), будут в самом деле равны частцым
производные ζ по χ и у. Для частных производных имеем
dz ду
dz dz дх . dz dy
dv дх dv ду dv
dz dz дх ,
И — — L —
ди дх ди ду dv
(102)
Уравнения (102), рассматриваемые как линейные алгебраические
dz dz r
уравнения относительно частных производных — и ^- , будут
единственным образом определять эти частные производные, потому
что детерминант из их коэффициентов, являясь детерминантом
Якоби (98), не равен нулю. Таким образом, если показать, что ρ
и q удовлетворяют тем же уравнениям (102), то тем самым будет
dz
установлено, что ρ и q совпадают с частными производными ^~
дъ
и х-.
ду
Так как при решении системы (97) переменное и считается
постоянным, то производные, входящие в эти уравнения, можно
рассматривать как частные производные по ν, ив силу первых
трех уравнений (97) получим
dv'
dx . dy
Pdv+ЧдЪ-
(103>

314. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
275
Это последнее уравнение тождественно с первым уравнением (102).
Мы получим второе необходимое нам уравнение, если покажем,
что функция
U(z,y,z) = p% + q%-£ (104)
тождественно равна нулю. В силу уравнения (83) U=0 при v=0. Для
того чтобы доказать, что U обращается в нуль при других
значениях υ, продифференцируем U по и, употребляя в этой части
рассуждения индексы для указания на переменную, по которой
производится дифференцирование. Тогда
U = pxu + qyu — zu, (105)
Uv = pXUv + ЯУии + ΑΛι + ЯиУи - Zuv* (106)
Так как уравнение (84) имеет место при у = 0, то можно ещ
продифференцировать частным образом по и и получить
Fu=,Xxa + Yyu + Zzu + Ppu + Qqu = 0*). (107)
Можно также продифференцировать по и уравнение (103) и
получить
*ш, = РХир + дУии + Р*Ср I ЯиУи- (108)
Исключая zuv из уравнений (106) и (108), найдем
Uv = Pv*u + ЯиУи - Puxv - ЯиУи- (109)
Исключая xv, yv, ρυ и qv с помощью уравнений
*„ = *> */» = <?> Po=-(X+pZ), qv^-(Y + qZ) (110)
системы (97), получим
-U9 = (X+ pZ) xu + (Y + qZ) yn + риР + qnQ.· (Ill)
При помощи уравнений (107) и (105) отсюда получим
-Uv = pZxu + qZyu-Zzu = ZU. (112)
Следовательно, при постоянном и величина U, рассматриваемая
как функция одного только υ, будет удовлетворять
дифференциальному уравнению
*) Автор пользуется равенством (107) и при г?, отличном от нуля.
Справедливость равенства (107) при υ, отличном от* нуля, следует из
приводимого ниже автором доказательства того, что F = 0 при всех
рассматриваемых значениях и и υ, причем доказательство этого факта
остается справедливым, если мы не будет считать доказанным, что
Р=Й' 1 = Ру- (Прим. ред.)

276
ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Это уравнение имеет единственное решение, обращающееся
в нуль при v = 0, а именно, С/ = 0. Так как мы знаем, что U=0
при о = 0 для всех рассматриваемых значений и, то,
следовательно, для всех рассматриваемых значений и и о
U{z,y,z)=0 и U=p% + q%. (114)
Уравнения (103) и (114) вместе с уравнениями (102) показывают,
что
dz dz /л л г\
Р^дх и 9 = Щ· <115)
Нам остается показать, что х, у, ζ, ρ и q удовлетворяют
соотношению F = 0, т. е. уравнению (79). В силу равенства (84)
мы уже знаем, что это соотношение удовлетворено при v = 0,
Дифференцируя F по у, найдем
Fv = Χχυ -f Yyv f Ζζυ + PPv-tQqv. (116)
В силу уравнений системы (97)
χν=Ρ> yv = Q> Zv^pP+vQ, pv=-x-pz, qO=-Y-qz> (H7)
имеем
Fv=:XP + YQ+Z(pP + qQ)-P(X + pZ)-Q(Y+qZ) = 0. (118)
Следовательно, так как F = 0 при ϋ = 0, το F равно нулю для
всех рассматриваемых значений и и v. Таким образом доказано
существование решения нашего уравнения в частных
производных.
Сформулируем этот результат в виде теоремы:
Пусть кривая задана своими уравнениями
х = х0(и), y = yQ(u), z = z0(u) (119)
и вдоль нее заданы две функции
р = р0(и) и q = q0(u), (120)
такие у что
ύΤ
причем
ё = Л>£ + *о^ (121)
Р(*о, Уо> «о» Ро> ?о) = 0- (122)
Φ 0; (123)
\р°
dx0
1 du
Qo
dy0
du

315. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 277
где F (х, у, z, p,q) есть функция пяти переменных, обладающая
непрерывными частными производными второго порядка, а
большие буквы обозначают частные производные этой функции по
переменным, обозначенным соответствующими малыми буквами,
в предположении, что все пять переменных независимы.
Тогда уравнение в частных производных
4я'**'S· Ю = 0 <124)
имеет единственное решение
z = f(x,y), (125)
для которого
*о = /(*о»Уо)· (126)
Это решение может быть представлено в параметрической
форме через параметры и и о при достаточно малых
значениях ν, для чего надо решить систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
dx__dy_ dz __ dp __ dg _, ,. ™
P"Q pP + qQ~~ (x + pZ)- {Y + qZ)~aO' I1*''
Отметим, что значения р0 (и) и' q0 (и) вдоль кривой в силу
условий (121) и (122) и соотношения (123) определяются их
значением в одной точке.
315. Другие уравнения в частных производных первого
порядка. Теорема, аналогичная теореме для уравнений с
частными производными первого порядка с двумя независимыми
переменными, может быть доказана и для уравнения в частных
производных первого порядка с большим числом независимых
переменных. Пусть эти переменные будут
Χι, *·2> ..., хп и пусть g^ = p£. (128)
Тогда наше уравнение запишется в виде
F(z, xu Pi)=0. (129)
В этом случае вспомогательной системой обыкновенных
уравнений будет система
dy = ^=_^_=_^_; ,=1)27...;П) (130)
YbPkPk
k = i
которая должна быть решена при начальных значениях,
заданных при υ = О,
*о(»Л **о(и/)> Pioiui)> Z^1' 2> ···» (и-1)· (131)

278 ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эти начальные значения должны быть таковы, что
fe-i^ofe. / = 1,2,...,(»-!)
(132)
i=l
F(z0, ocio, pi0) = 0.
(133)
Условием, обеспечивающим существование решения, является не
обращение в нуль детерминанта
Pi
дх10
дщ
dx%Q
дих
■ Рп
дщ
дхж
дхго
OXVQ
ди„
ди ,
ФО.
(134)
Это условие используется так же, как и в случае двух
независимых переменных, для того чтобы показать, что pt, найденные
из системы уравнений (130), будут совпадать с частными
производными ^- щ Так же как и ранее мы сможем показать, что
OXf
уравнение (129) будет удовлетворено.
В силу уравнений (132) и (133) и условия (134) величины
Pio (ui) определяются их частным значением для некоторой
системы значений величин м7-, скажем, и19 и2, ..., ип-1· Если
функция F содержит частные производные pt только в виде
членов первой степени (линейно), то уравнение F = 0 может быть
записано в виде
η
. ^Mz,xh)^C{ztx^, (135)
z = l
где At и С будут функциями от ζ и η переменных хк Так как
F-Σ ΛίΡί-€,το Pt = At и § ptPt = C + F. (136)
Так как решения системы (130) мы ищем, полагая F=09 то они
будут удовлетворять уравнениям
£ = 1,2, ...,п. (137)
7 dx-, dz
Но величины р{ не входят в эти последние уравнения, поэтому
оставшаяся часть уравнений (130) может бкть опущена и мы
можем пользоваться, в случае уравнения (135), упрощенной
системой (137) вместо (130).

316. ОГИБАЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
27Л
316. Огибающая поверхностей. Пусть мы имеем уравнение
семейства поверхностей в пространстве, зависящее от одного
параметра,
f(z,y, ζ,α) = 0. (138)
Предположим, что функция f(x,y,z,a) обладает частными
производными первых трех порядков относительно всех четырех
переменных. Тогда частные производные, определенные из нашего
уравнения, будут удовлетворять соотношению
hP + hq + f^^O, ί,φΟ. ■ (139)
Предположим, что для частных значений переменных х, г/, ζ
и а уравнение (138) удовлетворено, и производная по а не равна
нулю:
/а (*, У, ζ, α) Φ 0, (140)
Тогда мы можем разрешить уравнение (138) относительно а для
значений х, у и ζ, близких к выбранным частным значениям,
и, подставив найденное выражение для а в уравнение (139),
получим уравнение
А {х, y,z) р + В (х, у, z) q— С (χ, г/, ζ) = 0. (141)
Теперь рассмотрим кривую
x = x0{u), y = yQ(u), z = z0(u), (142)
лежащую на поверхности семейства, соответствующей а — а0:
f(x,y, ζ, α0)=0. (143)
Это уравнение будет определять величины ρ и q, т. е. р0 (и)
и q0{u) для каждой точки рассматриваемой кривой. Эти
функции будут удовлетворять уравнениям
~t = Po^+<lolt и Ар. + Вм-Ъ-О, (144)
где А0 = А(х0, yQ, z0), a B0 и С0 имеют аналогичный смысл.
Если, далее,
Л Во
dx0 dy0
dx0
Φ 0, т. е. du_
du du ι /;
χ
, dy0
du

Φ-ίο 'ν Ιο
(145)
то уравнение в частных производных (141) будет иметь
единственное решение, определяемое начальными значениями х0, г/0,
ζο> Ро» Яо- Следовательно, это решение должно быть
поверхностью, определяемой уравнением (143), потому что эта
поверхность является решением, удовлетворяющим всем требуемым

280 ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
условиям. Таким образом, поверхность, являющаяся решением,
проходящим через кривую, удовлетворяющую поставленным выше
требованиям, не может быть огибающей нашего семейства. Так
как задача об огибающей является геометрической задачей, то
все оси координат равноправны и кривая (142) может лежать на
огибающей только, если
dx dy dz
du du du /л /лч
— =7- = -r. (146)
/x /y /s
Но так как наша кривая лежит на поверхности, заданной
уравнением (143), мы можем продифференцировать это соотношение
по и и получить
Из последних двух соотношений следует, что
fl + f2v + K = 0· (148)
Для действительных функций отсюда вытекает, что
, /« = /„ = /, = 0, (149)
так что поверхность (143) не может иметь однозначно
определенную касательную плоскость. Если исключить этот случай, то,
как мы видели* не существует огибающей, если условие (140)
имеет место·
Таким образом, доказано, что необходимым условием того,
что семейство поверхностей
f(x, у, ζ, а) = 0 (150)
имеет огибающую, является условие
fa(z,y, ζ, α)=0, (151)
причем предполагается, что функция / (х, у, ζ, а) обладает
непрерывными частными производными первых трех порядков
и поверхности, определяемые уравнением (150), имеют в каждой
точке единственную касательную плоскость.
Теперь докажем следующий результат:
Если, для частного значения четырех переменных х, у, z, a,
удовлетворяющих уравнениям (150) и (151), имеем
ίααΦΟ (152)
и если один из якобианов
d(f,ta) d(f,fa) d(f,fa) ,,,οχ
d(y,z) ' d(z,x) ' д(х,у) ^°">

316. ОГИБАЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
281
отличен, от нуля, то вблизи указанных частных значений
переменных существует огибающая нашего семейства.
Предположим, например, что
-тЩ-ф0· (154)
Тогда, в окрестности указанных частных значений переменных,
можно разрешить уравнения (150) и (151) относительно
переменных у и ζ, выразив их через χ и а,
у=у{х,а) и z~z(x, a). (155)
Эти уравнения определяют поверхность. Направление, лежащее
в касательной плоскости к этой поверхности, будет
удовлетворять уравнениям, полученным частным дифференцированием по
хна уравнений (150) и (151), а именно;
fx + КУх + fax = 0, fax + tayVx + fazZx = 0 (156)
и
fa + tuVa + fzZa = 0, faa + fayVa + faz*a = 0· (157)
В силу условия (154) эти уравнения определяют единственным
образом величины ух, zx\ ya, za. Эти последние величины
определяют два направления, лежащие в касательной плоскости,
dx dy dz dx dy dz .. г#\
Компоненты первого направления не все равны нулю, так как
одна из них равна единице, а компоненты второго —не все равны
нулю в силу условия faa Φ 0 и второго уравнения, (157). Эти
два направления будут различными потому, что первая
компонента одного равна 0, а другого равна 1; следовательно, эти
направления единственным образом определяют касательную
плоскость к поверхности,,заданной уравнениями (155). С другой
стороны, в силу условия (154) величины fy и fz не могут
одновременно равняться нулю; таким образом, поверхность, заданная
при фиксированном а уравнением (150), имеет касательную
плоскость с направлением нормали, определяемым величинами
/«, /у. /,· (159)
Первое из направлений (158) в силу первого уравнения (156)
лежит в касательной плоскости к рассматриваемой
поверхности (150). В силу уравнения (151) первое из уравнений (157)
может быть записано в виде
/«0 + /»У« + /Л = 0. (160)
Этим показано, что второе направление (158) также лежит в
касательной плоскости к поверхности (150). Следовательно, для

282 ГЛАВА XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
данных а и х, определяющих с помощью уравнений (155)
величины у и ζ, поверхности (155) и (150) имеют одну и ту же
касательную шюсюсть в точке х, у, ζ. Для данного значения а
обе поверхности имеют только одну общую линию, так что эти
поверхности различны.
Этим доказано, что если выполнены все указанные условия,
то существует огибающая, которую можно получить из
уравнений (150) и (151).
317. Полный интеграл» Пусть
F(x* у> ζ, р, д)=0 (161)
— дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка и пусть f(x, у, z, a, b) —функция, содержащая два
независимых параметра а и 6. Тогда если для каждой пары
значений а и Ъ из некоторой ограниченной области уравнение
f(x, у, z,a,b) = 0 (162)
определяет частвое решение уравнения в частных
производных (161), то соотношение (162) называется полным интегралом
уравнения.
Если мы будем рассматривать Ъ как функцию от а
b = g(a), (163)
и если все условия, указанные в предыдущем параграфе, имеют
место для семейства
/(я, у, ζ, α, ό)= 0, (164)
то это семейство поверхностей будет обладать огибающей,
задаваемой уравнением (164) совместно с уравнением
/a + /bS'(«) = 0. (165)
Так как эта огибающая в каждой своей точке имеет те же
значения х, у9 ζ, р, q, что и одна из поверхностей семейства (162),
то эти значения будут удовлетворять уравнению (161) и тем
самым огибающая окажется решением нашего дифференциального
уравнения.
В некоторой ограниченной области переменных х, у, ζ можно
считать, что дифференциальное уравнение (161) определяет в
каждой точке этой области пространства множество значений ряд,
зависящее от одного параметра, т. е. определяет семейство
касательных плоскостей, огибающих некоторую коническую
поверхность. В процессе построения решения, изложенном в § 314, мы
исходили из некоторой кривой, к каждой точке которой была
отнесена касательная плоскость, касающаяся конической доверх-

317. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ
283
ности, соответствующей данной точке. Мы выбирали нашу кривую
так, что
Р Q
дх ду
ди ди
дх ду
Φ Ο, ύ. е. ;*£, ~]>й_ (166)
Ρ ^ Q *
Затем мы воспользовались этой кривой как начальной кривой,
каждая точка которой служила начальным значением для
кривых, удовлетворяющих уравнениям
дх ду dz
dv dv_ dv ■ ,л β«ν
Τ" Q ~pP + qQ* { '
Эти последние кривые называются характеристиками нашего диф^
ференциального уравнения в частных производных. Условие (166)
для начальной кривой является существенным и заключается
в том, чтобы эта начальная кривая нигде не касалась
характеристик. Характеристика вместе с касательными плоскостями,
определяемыми уравнениями (97), называется характеристической
полоской. Два решения, которые соприкасаются вдоль некоторой
кривой, не являющейся характеристикой, должны совпадать
всюду, потому что такая кривая может быть принята за
начальную кривую. Однако, изменяя начальную кривую, но оставляя
одну ее точку и касательную плоскость в этой точке
неизменными, получим несколько решений нашего дифференциального
уравнения, соприкасающихся вдоль общей характеристики,
другими словами, обладающих общей характеристической полоской.
Таким образом, характеристики можно рассматривать как
кривые, вдоль которых различные решения могут соприкасаться.
Поверхность, задаваемая уравнением (164) при
фиксированном а, и огибающая являются двумя решениями нашего
дифференциального уравнения, соприкасающимися вдоль кривой, вдоль
которой оба уравнения (164) и (165) будут удовлетворены.
Следовательно, эта кривая является характеристикой. Таким
образом, поверхности, заданные уравнением (162), были использованы
для построения характеристической полоски, а процесс
образования огибающей приводит к новой поверхности, содержащей
эту характеристическую полоску.
Рассмотрим для примера уравнение в частных производных
^ + 4-* = 0. (168)
В этом случае уравнения (97) или (127) примут вид
d0 = *? = *» «*=*£=**. (169)
Ρ q p2 + q2 p я '

284
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XV
Решение, выраженное через начальные значения, имеет вид
p = p0ev, q = q0ev, х — х0 = pQ{e°— 1), г/ — г/0 = ?о(^— 1), (170)
Так как начальные значения должны удовлетворять соотношению
*о=4^о + ^)> (171>
то параметрические уравнения характеристик будут
х—х0 + Ро = р0е*, у — Уо + Яо = Яое2и> z = z0e2». (172)
Эти кривые являются параболами, лежащими в вертикальных
плоскостях. Семейство
2% = {х- а)* + {у- б)2
является полным интегралом этого уравнения.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XV
1. Если / {х, у) является аналитической функцией двух переменных,
f(xQ, Уо) = 0 и -j-φθ в точке xQ) у0, то неявная функция y = g (я)г
определенная уравнением / (#, у) = 0, для которой y0 = g(x0)> будет
аналитической. Указание. Неявная функция удовлетворяет дифференциальному
dy fx
уравнению -~f-= —Ч^ > У которого правая часть аналитична.
ах fy
2. Если функции, определяющие в §217 и 218 неявные функции,
аналитичны, то и сами неявные функции, существование которых
доказано в этих параграфах, аналитичны. Указание. В самом деле, функция*
определяемая уравнением /(у, xL) = 0, будет аналитической по каждому
переменному х-ь в отдельности в силу утверждения задачи 1 и будет
непрерывной по всем переменным в силу результатов § 237. В случае
системы повторить индуктивное рассуждение § 218, учитывая
добавленное условие аналитичности.
3. Уравнение с разделяющимися переменными ~- = А (х) В (у) имеет
χ ν
решение, определяемое равенством V A(x)dx=\ » которое при
а ъ
х = а обращается в у = Ь. Это решение единственно, если обе функции
А (х) и В (у) непрерывны, постоянного знака и никогда не обращаются
в нуль. Ср. с § 134.
4. Если в задаче 3 В(Ь)^=0, а остальные указанные там условия
соблюдены, то приведенное в задаче 3 выражение дает решение, если
1 ^
интеграл от -^ , существует. Однако у = о дает второе решение,
удовлетворяющее тем же начальным условиям. Показать, что В (у) не
удовлетворяет условию Липшица. Указание. Воспользоваться результатами

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XV
285
§310 или, более непосредственно, заметить, что если | В (у) — В (b) | <
< К | у - Ъ | , то в силу
*(Ь) = 0 имеем -^^ > —L^ ;
1
так как В (у) сохраняет знак, то ρ не может быть, интегрируемой.
5. Если / (ж, у) — однородная функция относительно χ и у с показа-
dy , ,
телем однородности нуль, то уравнение -, = / (#» у) при помощи замены
у на ν, где г)=-^-, сведется к уравнению с разделяющимися перемен-
dtt dv
ными (задача 3). Указание, /(#, vx) = x°f (1, г)) = /(1, г)) и Т~ = х д +ν·
d Г ν"'2 Ί
6. Показать, что -г- —^— =0 является дифференциальным
уравнением всех окружностей на плоскости. Соответствующие
дифференциальные уравнения всех парабол или кривых второго порядка даны
в задачах 13 и 14 упражнений к гл. IV. Указание. Последовательно
получить
__3 _
2/"(l-f2/'2) 2 = r-K y'(i + y'2)&?L=±.
1_
у' = (х — а) Iг2 — (х — а)2] 2 , (х — а)2 + (у — δ)2 = г2.
7. Доказать, что эволюта кривой (см. задачу 12 к гл. VIII) является
огибающей ее нормалей.
8. Всякая плоская кривая является огибающей ее окружностей
кривизны. В то же время она не является геометрическим местом
предельного положения точек пересечения, так как вдоль дуги, где радиус
кривизны возрастает, никакие две окружности кривизны не пересекаются.
Указание. В силу утверждений задачи 12 к гл. VIII разность двух
радиусов кривизны равна дуге эволюты между центрами кривизны и поэтому
превосходит величину хорды, соединяющей центры кривизны.
9. Если семейство кривых, полученных в качестве решения
дифференциального уравнения первого порядка для различных начальных
условий, обладает огибающей, то эта огибающая будет решением
дифференциального уравнения. Это решение называется особым решением.
10. Пусть G (с, х, у) = 0 определяет семейство решений
дифференциального уравнения F (/?, х, у) = 0, где /?= -. Предположим, что функции
G (с, #, у) и F (р, ж, у) дважды дифференцируемы по всем трем переменным.
Если имеется особое решение (см. задачу 9), то оно удовлетворяет
уравнениям G(c, χ, у)~0 и Gc (с, х, у) = 0 или уравнению С (х, у) = 0,
полученному исключением с из этих уравнений. Особое решение удовлетворяет
также уравнению Ρ {χ, у) = 0. полученному исключением ρ из уравнений
F (/?, х, 2/) = 0 и Fv (ρ, ж, 2/) = 0. Это дает практический прием для
нахождения уравнения возможного особого решения, для чего надо испытать
те множители с-дискриминанта С (ж, у) или />-дискриминанта Р(х,у),
которые, будучи приравнены нулю, дают решения дифференциального
уравнения, оказание. Воспользоваться содержанием § 313 и задачей 9 для
^ dF
с-дискриминанта. Второй результат следует из того, что если -=— φ 0,
up

286
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XV
то существует единственная дифференцируемая функция р = f (х, у) такая7
что p0 = f(x0i у0) и F (/, х, у) = 0. Тогда решение дифференциального
уравнения будет единственным, и не будет существовать особого решения.
И. В качестве примера к задаче 10 приведем G (с, х, у) = у^п~^ —
[п — \ 1п
(х—с) и F (р, х, у)^рп—у, полагая η целым и > 2. Особым
решением будет у = 0. Отметим, что если мы запишем дифференциальное
1_ /ι—JL
уравнение в виде р—у11 =0 и его решение в виде -у п +(#—а) = 0?
то это уравнение может служить иллюстрацией к задаче 4, но
результаты из задачи 10 здесь не могут быть применены, так как функции из
левых частей уравнений не дифференцируемы при у = 0. В задаче 4 оба
χ у
выражения р—А(х) В (у) и \ A(x)dx— V - · не дифференцируемы при
а ъ
у = Ь, так как В (Ь) = 0 и В (у) не удовлетворяет при у = Ъ условию Липшица.
12. Уравнение Клеро y = px + f(p) может быть решено следующим
образом. Дифференцируя уравнение, получаем -~- — рЛ-[Г (р) + #] —/- t
и так как £. = Р, то [ж + f (/>)] д| =
:0.
Если -^- = 0, то р = с и в силу
заданного уравнения получаем y = cx + f (с)—семейство прямых линий.
Если χ -г f (р) = 0, то x=—f(p) и, воспользовавшись заданным
уравнением, получим y = f(p)—pf'(p). Исключая случай, когда /'(/?) является
постоянной, а все прямые проходят через одну точку, последние два
уравнения определяют огибающую семейства прямых и дают особое'
решение. В этом случае с-дискриминант и /^-дискриминант из задачи 10
совпадают. Наиболее простые примеры огибающих в элементарных
учебниках анализа и дифференциальных уравнений получаются или в силу
задачи 4, или из уравнений Клеро, иногда при этом пользуются заменой
переменных. В случае уравнения Клеро уравнение семейства в новых
переменных имеет вид ν (χ, y) = v(x, у) с + / (с).
13. Линейное однородное дифференциальное уравнение порядка η
имеет вид
L (у) = <w<n> J- αη-ι2/(η~1} +...+<*! у9 + aQy = 0,
где сц являются функциями переменной χ и апф0. Если ult u2, ..., u№
будут η функциями переменной χ такими-, что L (щ) = 0, и детерминант
Вронского
W (uv uv ..., ип) =
w2
ui
„(л-1) (п-1)
,.(η-Ι)
"η
φ 0, при x = xQ,
то можхжо найти такие постоянные Cf, что 2/=2ciwi будет решением
i=l
уравнения L(y) = 0j которое при х = х0 обратится в у0, а у^ = Уо >
& = 1, 2, ..., (п — 1) при ic = α;0.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XV
287
14. Совокупность из η функций ui (x) называется линейно зависимой,
если имеется такая совокупность постоянных &$, что не все они равны
η
нулю и 2] /сг1^ = 0 тождественно относительно х. Если таких ki не суще-
i=i
ствует, то функции называются линейно независимыми. Показать, что
если функции щ (х) линейно зависимы, то W (иг, иг, ..., wt) = 0
тождественно, где W (щ)—детерминант Вронского, определенный в задаче 13.
Указание. Величины ki являются решениями системы η линейных урав-
п
нений, получаемых из тождества 2j^iwz = 0 ПРИ помощи дифференциро-
i=l
вания (п — 1) раз.
15. Решения щ (i = l, 2, ...,7г), рассмотренные в задаче 13, будут
линейно независимыми (определение см. в задаче 14). Указание. В силу
результата задачи 46 к гл. VI W Φ О для любого значения χ и поэтому
в силу результата задачи 14 функции будут линейно независимы в
любом интервале.
16. Если величины щ из задачи 13 постоянны, то частные решения
могут быть найдены в виде е 1 , где πΐι—корни уравнения аптп -f
+ап_)тп~1 -f ... +аг т + а0 = 0, среди которых по предположению нет
кратных (см. задачу 31 к гл. V). Показать, что при # = 0 детерминант
Вронского сводится к Π (mz·—m7·) —произведению разностей различных корней,
и поэтому не" равен 0. Следовательно, в силу утверждения задачи 15 эти
решения линейно независимы. В случае кратных корней появляются
решения вида xke l и для х = 0 детерминант Вронского будет
аналогичным произведением, содержащим более высокие степени разностей (тг·—т}),
если mi или rrij будут кратными корнями. Для получения
действительной формы решения дифференциального уравнения в случае комплексных
корней см. задачу 32 к гл. V.
17. Если известны к линейно независимых решений w;- уравнения
L(y) — 0 из задачи 13, то уравнение L(y) = f(x) может быть сведено
к
к уравнению того же типа порядка (п—к). Для этого положим у== J] vjuj
Σάυ; dru;
—i--—= 0; г = 1, 2, ..., (к—2). Эти условия
αν,-
уничтожают члены, содержащие -^—, в выражениях для производных
dy d2y а^1у ν ν
Τ ' ~й\ ' · · *' λ—^ ' к0Т0Рые получаются последовательным
дифференцированием выражения для у. Таким образом, наивысшая производная
dnv
функций Vj, входящая в j-^ , имеет порядок га—к + 1. Для нахождения
дальнейших условий для υ,· надо подставить полученные выражения
в уравнение L (y) = f (х). Коэффициенты при самих Vj будут равны L(u-f)
и поэтому будут равны нулю. Следовательно, если мы примем z=~
за новую переменную, то мы сможем разрешить к — 1 приведенное выше
dvj dv> dvc
линейное относительно -=— соотношение, выразив ~ , ..., -т— через ζ;

288
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XV
затем мы можем· выразить линейно производные от этих Vj до порядка
п— /с + 1 через ζ и ее производные до порядка п — к. Таким образом,
уравнение L(y)=f(x) перейдет в Μ (ζ) = / (χ), где Μ— линейный
дифференциальный оператор порядка (п—к).
18. Вариация произвольных постоянных. Если известны η линейно
независимых решений уравнения L(y) = Oi то решение уравнения L(y) = /(x)
может быть найдено при помощи квадратур (интегрирований). Указание.
dv,·
Метод, примененный в задаче 17, дает возможность найти все -~
алгебраическим путем.
19. J. инейные уравнения первого порядка. Решение уравнения ·— +
— С Pdx С
+ уР (x) = Q(x) дается формулой y = uv, где и==е ** , ai)=\ Qu~xdx.
Указание. Уравнение ^—Ь Ри = 0 можно решить, пользуясь указаниями
задачи 3, а тогда применимы методы задач 18 и 17.
20. Если известны п — 1 линейно независимое решение
дифференциального уравнения L(y) — 0, то уравнение L(y) = f(x) может быть решено
путем сведения к линейному дифференциальному уравнению первого
порядка (см. задачу 17), а это последнее можно решить, пользуясь
указанием задачи 19.
d2v
21. Если известно одно решение уравнения L (у) = 0, где L (у) = -~ +
+ А (х) -р- + В (х) у является дифференциальным линейным выражением
второго порядка, то уравнение L(y) = f(x) может быть решено способом,
указанным в задаче 20. Это дает метод нахождения решения уравнения
L(y) = 0, если одно решение дано в виде ряда, как в задачах 10, 11 и 12
dv
к гл. XIII. При помощи подстановки у = uv, где L(w) = 0 и -f- — z>
приходим к линейному уравнению относительно ζ
»£+(*£+*.>-/<*).
22. Применяя метод вариации произвольных постоянных (см. задачу 18),
г dv;
мы можем положить Vj= \ -τ—dx, т. е. определить постоянные, входящие
хо
η , . ,
в каждое из υ,- так, что Vj(x0) = Q; тогда решение 2/=!ΣΜ/υ/ УРавнения
L(y) — f(x) будет таким, которое вместе со своими производными до
(п — 1)-го порядка будет обращаться в нуль при х — х0.
23. Решение линейного уравнения L (y) = f (x) с постоянными
коэффициентами, получаемое методом вариации произвольных постоянных
(задача 18), при пользовании решениями uL = e l (случаи действительных
и различных корней, см. задачу 16) приводит к сумме решений,
найденных в задаче 33 к гл. V. Если мы воспользуемся некоторым х0,
так же как в задаче 22, и положим х0 = 0, то каждое из решений,
найденных в задаче 33, делается равным одному из решений,
приведенных в § 305.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XV
280
24. Гешеиие системы т уравнений с т искомыми функциями г/i, при-
dkyi
чем каждое уравнение линейно относительно yi и производных , fc- ,
где А: <Ж может быть сведено к решению ряда уравнений, каждое из
которых будет линейным и будет содержать одно переменное. Указание.
Если мы будем рассматривать ylt --1 , ..., -Д как алгебраические
неизвестные и продифференцируем каждое из уравнений системы, то мы
увеличим число неизвестных на 1, а число уравнений на т. После
достаточного числа дифференцирований у± и все его производные могут быть
исключены. Так же можно поступить с остальными переменными, пока
не останется только одно.
25. Система из т линейных уравнений с т искомыми функциями
и с постоянными коэффициентами с помощью приема задачи 24
.приводится к ряду уравнений с постоянными коэффициентами, каждое из
которых содержит одно переменное. Эти последние могут быть решены с
помощью указаний задачи 23 или при помощи метода из § 305, который
.может быть непосредственно применен к системе.
26. Уравнение (ax + by + c) dx + (а'х + b'y + c') dy = 0 или более обшая
: — Cq + —- V - + PRu = 0. Уравнение Риккати можно решить в квадра^
dx dx dx χ. ι «
система -^= γ-* = ... = у—^, где Lz = У, aijxj + си можно решить в явной
dx'
форме. Указание. Положить каждую дробь равной dt, тогда -т-* = Li образуют
линейную систему с постоянными коэффициентами, которую можно
решить, как указано в задаче 25.
27. Уравнение Риккати -? = Ρ (χ) + Q (χ) у 4- R (χ) у2 сводится при ло-
\ du „
.мощи подстановки у = — — j- к линейному уравнению второго порядка
d2u f„.R'\ du'
турах, если известно одно его решение. Решение является дробно линейной
функцией величины с—постоянной интегрирования. Указание. Заданное
решение ух приводит к решению их, а второе решение находится согласно
с2 и[-\-и'с
указаниям задачи 21. Если и = с1и1-\-с2и1 и с = — , то у = —„ -и cR—*
28. Общее линейное однородное уравнение второго порядка
Szdx
сводится при помощи подстановки у = е к уравнению первого порядка
dz
типа Риккати -=- + В + Αζ + ζ2 = 0.
dx
29. Если мы можем найти семейство решений дифференциального
уравнения второго порядка, имеющее огибающую, и если вторая^
производная в каждой точке огибающей совпадает со значением второй
производной в этой точке соответствующей кривой семейства, то огибающая
является особым решением дифференциального уравнения. Если
<1 (х, у, а, Ъ) = 0 является решением и уравнение огибающей находится
при помощи замены а и Ъ функциями параметра, то уравнение для опре-

290
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XV
деления у' остается неизменным как для кривой, так и для огибающей,,
если Gaa' + Gbb' = 0. Это уравнение будет G' = 0, где С = GX + Gyy'.
Аналогично уравнение для определения у" остается неизменным, если
G'%a' -f G'bb' = 0. Таким образом, при Gy Φ 0 необходимым условием для
особого решения будет GaG'6 — GbG'n = 0. В качестве примера рассмотрим
решение у = аех + Ье~х -f ab уравнения y"2-\~ky"— у'2 — 4^ = 0, которое
можно получить, исключая постоянные а и Ъ. Тогда G = аех + Ье~х + аЪ — у
и G'^ае% — Ье"х — у* и Ga G'b — GbG'a =— аех — Ье'х— 2. Полагая
каждое из этих выражений равным нулю и исключая α τι b, получим
3/'2 +%-f 4 = 0. Общее решение уравнения у'2 -{- 42/ + 4 = 0 будет (х + к)2~
— —(!-{-у). Это решение будет особым для уравнения второго порядка.
Уравнение первого порядка также имеет особое решение у = —1, которое
не удовлетворяет уравнению второго порядка.
30. Для линейного дифференциального уравнения в частных
производных
Л(х, у, ζ)-£ + В(х, 2/>2)^ *=С(х,у, 2),
dx dii dz
уравнения характеристик (см. § 315) будут dv = —г- = -~- = —г . В рас-
суждениях § 317, применимых в этом случае, конические поверхности„
с которыми соприкасаются касательные плоскости, вырождаются в
прямые линии, являющиеся касательными к характеристикам. Следовательно,,
всякая поверхность, проходящая через характеристику, определяет вдоль
нее характеристическую полоску. Если / (х, у, z) — cx и g (χ, у, z) = c2—
dx du dz
два независимых интеграла системы ~j~==~& — ~?г и Ρ —
дифференцируемая функция двух переменных, то F (/, g) = 0 определяет поверхность,
состоящую из характеристик и поэтому являющуюся решением
дифференциального уравнения в частных производных.
31. Полный интеграл уравнения Клеро в частных производных
z=px-\-qy + f (p, q) определяется равенством z — ax + by + f(a, Ъ).
32. В динамике Якоби использовал уравнение в частных производных
dV i dV \
-д- +Н ί q$, τ—, t J = 0. Здесь V— функция переменного t и η перемен-
dV
ных q£. При Pi = -~— уравнения (130) § 315 запишутся так:
ОЧ.ъ
dun+l'
dt dqi dV
1 ψ- w" ев
*(Ю dPs
дН дН
dt dqi
Таким образом, вдоль характеристики удовлетворяются уравнения
Гамильтона
dqi _ дН dpi _ дН
dt dp,- dt dqt
33. Если щ и и2 — два линейно независимых решения линейного
уравнения второго порядка L(y) = 0 из задачи 21, то нули функции их разде-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XV
291
ляют нули функции w2, т. е. если и1(а) — и1(Ь) = 0, то иг не обращается
в нуль в точках α и в δ, но обращается в нуль в некотором с между an Ъ.
Указание. Воспользоваться задачами 14 и 15 и задачей 9 к гл. IV.
34. Дана функция пяти переменных /(#, у, z, a, b)\ обозначим через /
якобиан функций fa и /5 относительно χ и у, считая ζ функцией χ ж у,
тогда
J β \fax + Pfaz fbx + Pfbz I
Чау + qfaz hy + qfbz\'
Показать, что если /Зф0 и J Φ 0t то существует дифференциальное
уравнение F (х, у, ζ, р, q) = 0 в частных производных, для которого
f(x, у, 2, α, δ) = 0 является полным интегралом. Указание, Так как /2 ^= О,
то уравнение f (х, у, ζ, а, Ь) = 0 может быть разрешено относительно 2.
При этом ρ η q однозначно определяются из равенств fx + pfa = 0
и /у + д/2 = 0. Так как J φ 0, то эти уравнения могут быть разрешены
относительно а и Ъ, которые выран аются через х, у, ζ, ps q, и их
подстановка в / дает функцию F. Функция / (х, у, ζ, α, 6) содержит две
независимые постоянные а и Ь, ибо если бы эта функция имела вид
f (x, yt zy с), где с = с(а, Ъ)у то мы имели бы ja = fcca и /j = /ccfti а эта
повлекло бы равенство J — 0.

Г лава XVI
ГАММА-ФУНКЦИЯ И ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Часто бывает удобным пользоваться асимптотическим
разложением функции; такое разложение облегчает вычисление
значений функции для больших значений аргумента. Мы рассмотрим
в этой главе общую теорему, относящуюся к таким разложениям,
а именно, формулу суммирования Эйлера—Маклорена.
Предварительно рассмотрим числа и полиномы Бернулли, которые связаны
с рассматриваемыми в этой главе вопросами.
Затем мы применим формулу суммирования для вычисления
эйлеровой постоянной и получения формулы Стирлинга для
факториала, а также и для гамма-функции Τ (ζ). Гамма-функция
сначала определяется для действительных положительных
значений аргумента с помощью некоторого определенного интеграла,
содержащего ее аргумент в качестве параметра. Эта функция
^является обобщением факториала, так как для целых
положительных значений η имеет место соотношение Г (п + 1) = п\. Мы получим
несколько выражений для гамма-функции. В частности, найдем
разложение функции, обратной к гамма-функции, в бесконечное
произведение. Это разложение покажет, что Г (ζ) имеет простые
полюсы, когда ζ равно нулю или целому отрицательному числу,
и аналитична для всех остальных значений ζ.
Бета-функция определяется с помощью определенного
интеграла с постоянными пределами, содержащего два параметра. Эта
функция выражается через гамма-функцию.
В конце мы вкратце исследуем и дадим асимптотические
разложения нескольких наиболее известных неэлементарных
интегралов ,
318. Периодические функции Бернулли. В качестве первого
шага перед изучением чисел и полиномов Бернулли, которые
имеют большое значение в некоторых теоремах разложения,
рассмотрим периодические функции Бернулли Ρ^(χ).
Начнем с разложения в ряд Фурье с периодом 1 функции
Л
χ—γ. Этот ряд будет представлять нашу функцию в интервале
0<#<1. Периодическая функция, определенная этим рядом,
будет нечетной, так что ряд Фурье будет рядом синусов для
1 1
#— —- в интервале 0 < χ < γ ; этот ряд можно получить из

318. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕРНУЛЛИ 293
разложений в задаче 11 к гл. XIV:
со
п = 1
Определим функцию Р± (х) для всех значений χ при помощи
равенства
оо
л = 1
Тогда Р\{х) будет периодической функцией с периодом 1,
непрерывной для всех х, отличных от нуля и целого числа. Мы имеем
/Μ1-) = γ, Λ(1 + ) = Λ(0 + )=—|-и/>1(1) = 0. (3)
Таким образом, функция Рг (х) имеет разрывы в нуле и во всех
целочисленных точках.
Затем определим Р2 (х) как функцию, равную
тригонометрическому ряду, полученному формальным почленным
интегрированием ряда (2), опуская при этом постоянные интегрирования.
Получим
со
71=1
Повторяя этот процесс, определим функцию Pk+i (%) с помощью
ряда, полученного почленным интегрированием ряда для Рк{х)9
опуская постоянные интегрирования. Таким образом,
cos 2ηπχ
2
η = 1
/>2Λ(.) = (-1)^2^£^ (5)
л = 1
Так как все ряды, за исключением ряда для Ρχ(χ), мажорируются
рядом 2 τ Для всех значений х, то они равномерно сходятся,
и поэтому их суммы будут непрерывными функциями. Таким
образом, для &>2 все функции Ри\х) будут непрерывными для
всех значений х. Мы можем получить их коэффициенты Фурье,
умножая ряды соответственно на 1, cos 2ηπχ #ди sin 2m% и задам
интегрируя их почленно. Действительно, множители I,sin2/Mt£,
cos2nicx не превосходят по абсолютной величине единицы

294
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
и поэтому не нарушают равномерной сходимости рядов. Тем
самым показано, что коэффициенты разложений (5) и (6) будут
коэффициентами Фурье, а сами ряды — рядами Фурье
периодических функций Бернулли.
Так как эти функции, включая Ρι(χ), будут интегрируемыми
вместе со своими квадратами, то, как следует из § 297, их ряды
Фурье будут сходиться в среднем к этим функциям, а ряды,
получениы.е почленным интегрированием их рядов по любому
конечному интервалу, будут сходиться к интегралам от этих
функций.
Таким образом, в силу самого метода получения Рь+\ {%) из
Рк(х) имеем
X
^Pk{x)dx = Pk+i{x)-Pk+l{a). (7)
а
Последнее равенство показывает, что во всех точках
непрерывности функции Рк (х) имеем
Pk(xf=^PIC+l{x)=Pk+i(x). (8)
Таким образом, равенство (8) имеет место для всех значений χ
при к > 1 и для всех fee целых значений х, если А = 1.
Полагая в равенстве (7) а = 0 и ж = 1и помня, что Ρκ+ι(χ)
является периодической функцией с периодом, равным единице,
найдем
ι
^ Pk{x)dx = 0. (9)
о
Равенства (8) и (9) можно использовать для нахождения формул,
выражающих значения Рк{х) в интервале 0, 1. Заметим сначала,
что для 0 < χ < 1
P'Ax) = x-j> Р2(х)=%~-1 + с (Ю)
й так как
1
\p2{x)dx = 0, то с=42. (11)
о
Это показывает, что
ρ,ω-~ϊ+έ'. ο <-».<"ι.' <12>

319. ПОЛИНОМЫ БЕРНУЛЛИ
295
Таким же образом найдем, что
*М*) = -£·—£ + -£, 0<*<1. (13)
Продолжая этот процесс, мы найдем последовательность
многочленов таких, что А-й многочлен будет степени к и будет равен
Рк{х) в открытом интервале 0, 1. В случае к > 1 мы можем
пользоваться замкнутым интервалом 0, 1, потому что и Рк(х) и
многочлен к-й степени будут непрерывными на концах интервала.
Эти многочлены называются полиномами Бернулли.
319. Полиномы Бернулли. Обозначим полином Бернулли
степени к через Вк{х), так что
B1(x) = x-j, B2(x)=^--~+l и т. д. (14)
Практические методы нахождения Вк (х) для больших значений к
будут даны в § 321, Дополним последовательность полиномов
Бернулли, положив
B0(z) = B[(x) = i. (15)
В силу равенств (8) и (15) имеем
В'к+1 (х) =* Вк (х) для к = О, 1, 2, ... (16)
В силу равенства (9)
ι
^Bk(x)dx = 0 для & = 1, 2, ... (17)
о
Это последнее равенство не имеет места при А —0. Разложение (5)
показывает, что имеет место равенство P2k{i — %) = Ры(х)- Если
11 1
положить и = х —- — , то х = и + -^ и 1—χ =— и + — .
Следовательно, функция P2k(u+Yj является четной функцией от и.
Поэтому функция В2к {х) будет четной функцией величины
1 1
и = х — — для | гг | < γ и, следовательно, для всех значений и>
Таким образом, в выражение многочлена В2к (х) через степени
(х—г-J будут входить только четные степени. Аналогично,
в выражение многочлена В2к+1(х) через степени (я—-γ) входят
только нечетные степени.
Для полинома Бернулли с индексом, не меньшим 2, равенство
Вк (х) — Рк (х) справедливо на замкнутом интервале 0, 1. Поэтому

296
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ.
из равенства (6) имеем
£«*♦! (0)= £»♦! (у) = 52fctl (1) = 0; к = 1, 2, ..., (18)
а из равенства (5) имеем
5»(0) = 5«(1) = 4=1!ΪΣ4*; * = 1, 2,... (19)
ζ π /1 = 1 л
Равенство (18) показывает, что полином Бернулли с нечетным
индексом, не меньшим трех, имеет три нуля 0, γ и 1. Кроме·
этих нулей, такой многочлен не может иметь других нулей, так
как если бы некоторый многочлен В2к+г {х) имел еще один нуль„
то его производная В2к (х) имела бы по нулю между каждой парой
Фиг. 27
нулей £?2*+ι (#)· Тогда многочлен В2к(х) имел бы, по меньшей мере*
3 нуля в открытом интервале 0,1; и в силу аналогичных
рассуждений многочлен В2к-! (х) имел бы, по меньшей мере, 2 нуля в
указанном открытом интервале и, следовательно, вместе с 0 и 1 имел бы„
но крайней мере, 4 нуля. Продолжая эти рассуждения, мы
приходим к противоречию, так как В3 (х), являясь многочленом третьей
степени, может иметь только три корня. Наши рассуждения
показывают также, что многочлен В2к (х) не может иметь больше двух
нулей в интервале 0, 1. Применяя теорему Ролля к многочлену
В2к+1(х), мы видим, что многочлен В2к(х) имеет в точности два
нуля, один из которых лежит в открытом интервале U, -,адру-
гой —в открытом интервале — , 1. Из того, что многочлен В2к (х)
является четной функцией от и = х — —, следует, что эти нули
будут расположены симметрично относительно точки — . Таким
образом, доказано, что в сегменте 0,1 каждая функция Бернулли

320. ЧИСЛА БЕРНУ Л ЛИ
297
с нечетным индексом, не меньшим трех, имеет три нуля 0, γ
и 1, и всякая функция с четным индексом, не меньшим двух*
имеет два нуля, разделяющих предыдущие (см. фиг. 27). Поэтому
все нули будут простыми, так как ни одна функция Бернулли
не имеет общих нулей со своей производной в интервале 0, 1.
320. Числа Бернулли. Числа Бернулли определяются при
помощи полиномов Бернулли следующим образом:
Вп = п1Вп(0). (20)
Полагаем 0! = 1, так что #0=1. Метод вычислений полиномов
Бернулли показывает, что их коэффициенты и, следовательно,
Вп (0) и Вп будут рациональными числами.
Для нечетных индексов имеем
#!=--«■, B2k+i = 0; A=l, 2, 3, ... (21)
Пять первых Вп с четными индексами будут
Последовательность В^к — знакопеременна, как следует из
равенства (19).
Так как ряд с общим членом -^ для к > 1 мажорируется
рядом 2 ~Т' т0 Ряд 2 ~~2к СХ°ДИТСЯ равномерно по к.
Поэтому
со со
;ЦтЕп4с=2(^^)=1· (23)i
7с-»со . п v. fc->oo я /
п = 1 п=1
Тогда из равенства (19) получаем
НтВ2*(0) = 0, (24)
/с-* со
однако
lim \В2к | = lim JBcu = °° - (25>
потому что для А > /? + q, где /? фиксировано и больше 2π,
имеет место неравенство
(2/с)! (2р) ! ?2« /oR4
22Λ-1π2* ^ 22ρ-1π2ρ * > 1*°'
и правая часть этого неравенства стремится к бесконечности
при q, стремящемся к бесконечности.

298
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
321. Рекуррентные формулы. Докажем, что полиномы Бер-
нулли можно символически выразить через числа Бернулли при
помощи формулы
Вп(х) = -~(х + В)п, (27)
где в выражения справа после разложения каждую степень В9
т. е. Вк, надо заменить к-м числом Бернулли Вк, Из
равенства (27) следует, что определяемые этим равенством многочлены
удовлетворяют соотношению
B'n+i (χ) = ±г(х + В)" = Вп (х); (28)
правило дифференцирования остается справедливым, если считать Вк
степенями постоянной, потому что при этом не делаются никакие
приведения величин Вк с различными степенями. Так как
равенство (27) дает верные выражения для первых двух полиномов
Бернулли
В0(х) = 1, В1(х) = х-±9 (29)
то все остальные многочлены, которые определяются в
соответствии с равенством (28) с помощью последовательных
интегрирований, будут совпадать с точностью, быть может, до
постоянной интегрирования с полиномами Бернулли. Но так как в силу
равенства (27)
Яп(0) = |р, (30)
а это последнее является определением чисел Бернулли, то
совпадение будет полным. Тем самым доказано, что многочлены Вп (х),
определенные равенством (27), являются полиномами Бернулли.
Для п9 не меньшего 2, из равенств (18) и (19) следует, что
Д„(1)-Дп(0) = 0.
Отсюда в силу равенства (27) имеем
(Β + ί)η — Βη = 0; л = 2, 3,... (31)
Полагая η = 2&+1> производя разложение и используя
равенство (21) и соотношение £0=1, найдем
(2к + 1) В2к + С2к+{В2к-2 + C2/c+l-S2/c-4 + · · ·
...+Cl£;i2?2 + (2u+l)(-j) + l = 0; A=l, 2, ... (32)
Это последнее соотношение может быть использовано для
вычисления чисел Бернулли с четными индексами* Оно выражает

321. РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ
299
каждое В%к ПРЙ помощи линейной комбинации всех предыдущих
чисел Бернулли с меньшими четными индексами. Значения чисел
Бернулли, указанные в равенствах (22), могут быть проверены
этим способом.
После того как найдены числа Бернулли, полиномы Бернулли
лмогут быть получены из равенства (27).
Мы воспользуемся символическими соотношениями (27) и (31)
для получения производящей функции для чисел и полиномов
Бернулли. Будем исходить из равенства
e{B+\)t^eBtett (33)
Это соотношение имеет место, если В является числом, поэтому
коэффициенты при Вп в разложении обеих частей будут одними
ж теми же функциями t. Таким образом, это разложение остается
справедливым как формальное тождество, если в нем заменить Вп
через Вп. Но для нашей интерпретации Вп вследствие
равенства (31) имеем
e(B+i)i_eBi = ij (34)
где член, стоящий справа, получается вследствие соотношения
(Β + ί)1-Β1^Β1 + ί-Β1 = ί, (35)
которое нам заменяет соотношение (31) при и = 1.
Из символических равенств (33) и (34) имеем равенство
е**(е' —l) = f, (36)
которое надо рассматривать как формальное тождество, если Вп
заменены в нем через Вп. Поэтому
Таким образом, функция, стоящая слева в последнем равенстве,
является производящей функцией для чисел —ρ , поскольку эти
числа являются ее коэффициентами разложения. Аналогично
равенству (33) имеем равенство
e(B+x)t = eBtextt (38)
которое вместе с равенством (37) можно использовать для
получения соотношения
оо оо
J^L=zexteBt = e(B+x)t== 2(#+z)"-J= 2 Bn{x)t*. (39)

300
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Последнее из равенств (39) получается с помощью
соотношения (27). Таким образом, функция, стоящая слева в
равенствах (39), является производящей функцией для полиномов Бер-
нулли. Равенство (37) дает возможность для некоторых функций
выразить коэффициенты разложения в степенной ряд через числа
Бернулли. В частности, функции tctht, thi, icsch/, так же как
tctgt, tg t, icoseci, будут такими функциями. Подобным
образом коэффициенты разложения функций sch t и sec t могут быть
выражены с помощью равенства (39) через полиномы Бернулли.
Подробности даны в задачах 8—11 к гл. XVI.
322. Формула Эйлера—Маклорена. Мы теперь выведем
формулу, связывающую интеграл от некоторой функции с конечной
суммой. Предположим, что функция f (х) для всех
действительных значений χ обладает непрерывными производными или всех
порядков или, по крайней мере, на один порядок больше, чем
встречающиеся в дальнейшем в наших соотношениях. Тогда
вследствие равенств (1) и (2) и формулы интегрирования по частям
для целого значения к имеем
к+1 ' k+i
jj f(x)dx = j f{x)P[(x)dx =
к к
к + 1
= / (χ) Λ (χ) Ι *+'"- j Λ (χ) Г (*) dx. (40)
В силу равенства (З) и того, что Рг (х) обладает периодом,
равным 1, мы можем записать
к+1 к+1
\f{x)dx = \[f(k + i) + f (к)] - \ рг (χ) γ (х) dx. (41)
к к
В силу равенства (8) можно заменить Рг (х) через Р'2{х). Опять
воспользовавшись интегрированием по частям, получим
Ar-f-l к+1
[ />2 (х) Г (х) dx = Г (х) Р2 (х) 1*+1 - ^ Р2 (х) /" (х) dx =
к+1
. = ^ [/' <* + 1) - /' (*)] - ξ Р* (х) /" (х) dx, (42)
так как
В2
^2(*+1)-/>2(*) = -Р2(0) = В.(0) = ^. ' (43)

322. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА—МАКЛОРЕНА
301
При продолжении этого процесса проинтегрированные члены,
содержащие многочлены с нечетными индексами, в силу
равенства (18) обратятся в нуль. Таким образом, найдем
к + 1
^ f(X)dz = ±[f(k+i) + f(k)]-
к
η k + i
-Σΐ§Γ)Τ[/ί2Γ~1)(Α + 1)~/(2Γ"1)(^+ SP2n(x)Pn)(x)dx. (44)
r=l ' к
Полагая & = 0, 1, 2,..., m — ί и суммируя левые и правые части
полученных равенств, найдем
\ f(z)dx = ±[f(0) + f{m)]+ 2 /(*)-
"о /<=ι
η
~Σ 7§fr [Рг-{Чт)-Р*-1Ч0)] + Яп. (45)
Остаточный член после всех явно записанных членов будет равен
Rn = ]P2n(x)Pn4*)dx. (46)
о
Введем в остаточный член последний член суммы
m
-^j- [/(2"-i) <m) - /(2π-ι) (θ)] = Р2п (0) ξ /(2«> (ж) «г». (47)
о
Тогда получим
m
Лл-ι = 5 [^2» («) - Pzn (0)] /<2") (ж) dx. (48)
о
Из равенства (5) мы видим, что ?2к(0) является максимумом
^функции Р2к{х), если А.~ нечетно, и минимумом, если к — четно.
Поэтому во всех случаях множитель [Ргп{х) — Ргп (0)] не меняет
знака, и в силу теоремы из § 125 остаточный член равен
ш
Дп_! = /(2«> (6m) \ [Р2п (х) -Р2п (0)] dx, (49)
о
где число θ подходящим образом выбрано между 0 и 1. В силу
равенства (7) выражение для остаточного члена может быть
упрощено и
Яп__, =* -/(2п){щтр2п(0). (50)

302ί
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Таким образом, мы имеем, наконец, формулу суммирования
Эйлера — Маклорена:
т т—\
$/(*)<**=-! [/(0)+/и]+2 /W-
О k=l
- Σ -ф^и^-'Ч^-Р^ЦЩ-Р-ЦЩт^.. (51>
Члены, содержащие производные, выражают ошибку,
получающуюся при вычислении определенного интеграла с помощью
формулы трапеций, когда все интервалы разбиения равны единице.
Случай равных интервалов, но не равных единице, может быть
получен изменением масштаба и = /гх.
Как уже указывалось, равенство (51) выражает интеграл
через сумму и остаточный член. Мы можем также выразить
сумму через интеграл, некоторое число дополнительных
слагаемых и остаточный член, а именно,
т— 1 т
2 /(*)= ξ Ж<Ь + | [/(0)-/(т)] +
%=о о
+ Σ Щ\ Г/(2г-1} И - Рг-Х) (0)1 + /2П Рм)>*щг· (52)
Мы можем воспользоваться этой формулой для
суммирования степеней целых чисел, положив для этого / (х) = хр, где
показатель р — целое положительное число. Для этого случая наше
равенство запишется так:
ш-1 г'
2 ^р=тт!1_^тР+2(^!;'()0~1),*,(/?""2''+2)тР~2г+1'(53)
где
г' = ~—· при ρ нечетном и г' = у при ρ четном. (54)
Члены, стоящие в правой части соотношения (53), после
приведения будут равны следующему выражению:
Г'
^ (jitP+i + С'р-и mPBt + 2 Си тР+*-»В21), (55)
где Cp+i обозначают биномиальные коэффициенты. Так как вели»
чины В к с нечетными индексами, большими 1, равны нулю, то

322. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА—МАКЛОРЕНА
303
последнее выражение является разложением выражения
_lI[(Bt + 5)p+i-5p+»], (56}
в котором Вк должны быть заменены через В к. Тогда,
воспользовавшись равенством (27), найдем
Σ k» = pl [Bp+l (m)+-Bp+i (0)J. (57)
Полезные заключения можно сделать относительно отношения
остаточного члена к величине последнего члена формулы
суммирования (51) в предположении, что все производные четного
порядка от / (#),; которыми мы будем пользоваться, положительны
на интервале 0, т. Обозначим через tn член в равенстве (45),
содержащий В%п, тогда
Rn-i =tn + Rn. (58)
Сделанное нами предположение вместе с равенством (56)
показывает, что Rn и Rn-i оба отличны от нуля. Так как знаки
величин Р2п(0) чередуются, то · Rn и Rn-i имеют
противоположные знаки. Таким образом,
ил1 = |Яп| + |Дл-1| (59)
и каждая из величин Rn и Rn-i будет по абсолютному значению
меньше, чем \tn\. Из равенства (58) следует, что Rn-\ имеет
тот же знак, что и tn.
Подобные заключения имеют место и в случае, если все
производные четного порядка от функции / (х) отрицательны. Если
функция / (х) и все ее производные, встречающиеся в · формуле
суммирования, стремятся к 0, когда х—>оо, а производные
четного порядка отличны от нуля и все имеют один и тот же знак, то
формула суммирования имеет место при m — оо, если только
входящие в нее сумма и интеграл сходятся. Во всех этих случаях
остаточный член по абсолютной величине меньше, чем первый
отброшенный член ряда, и имеет тот же знак, что и этот член.
Для пределов интегрирования от т до оо, формула
суммирования примет вид
со оо п— 1
Σ f(k)=]f(z)dx + ± f{m)~ ЗЙ^^И-Д»-!. (6°)
Эта формула применима, если упомянутые выше условия имею?
место для #>иг. Например, мы можем положить f(x) = x~P, где
ρ > 1, и принять »г>1, для того чтобы исключить разрьщ

304
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
в точке 0. Тогда найдем
. ir^^ + ^ + ^l^-^Mi + D-tH^-^
-Rn-i- (61)
Бесконечный ряд, который получается в правой части равенства (61),
когда мы устремим η к бесконечности, будет расходиться. В
самом деле, тем же способом, как было доказано равенство (25),
мы можем показать, что члены этого ряда, начиная с некоторого,
возрастают по абсолютной величине. Однако для
конечного значения η сумма дает приближение с точностью до
первого отброшенного члена. Этим мы можем воспользоваться для
оо сю
вычисления 2 к~р; пользуясь равенством (61), вычислим 2 к~р
м прибавим затем оставшиеся первые т — 1 члена. Если т
достаточно велико, скажем больше 10, то пять членов дают
относительно хорошее приближение. Разложение, которое может быть
сходящимся или расходящимся, называется асимптотическим
разложением, если для конечного числа членов остаточный член
стремится к нулю, когда некоторый дараметр стремится к
бесконечности. В случае равенства (61) Rn-i—>0, когда т—>оо,
так что это разложение является асимптотическим. Формула
суммирования (60) часто приводит к асимптотическим
разложениям.
323. Эйлерова постоянная. Сумма и интеграл, входящие
в равенство (60), будут расходиться, если / (х) = —, ж>1.
Однако предельный переход, с помощью которого было получено
равенство (60), показывает, что
Μ Μ п-1
fc=m m г = 1
При иг = 1 предел в левой части равенства (62) называется
эйлеровой постоянной и обозначается буквой γ, так что
T = ii(i + T + --- + i-keif)· <63>
То, что предел в равенстве (63) и, следовательно, предел в
равенстве (62) существуют, вытекает из критерия сходимости Кошн
и из формулы суммирования, при помощи которой было получено
равенство (62). Элементарное доказательство этого факта см.

324. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА ДЛЯ ml
305
в задаче 9 к гл. IX. Комбинируя равенство
т — 1 т т
ΣΜτ-Στ-"*~-5· <β4>
/с=1 1 /ί=1
с равенством (62), найдем, что
т п-1
τ=Σ 4 -log^-i+ 2 !*»-»-Дп-1. (65)
При фиксированном го и при га—>оо ряд расходится, но ffn_i
будет по абсолютной величине меньше, чем первый отброшенный
член, и так как этот член стремится к нулю, когда го-—>оо,
то полученный ряд является асимптотическим разложением для γ.
Можно воспользоваться этим разложением для вычисления γ,
полагая, например, го = 10, как в задаче 14 к гл. XVI. При
этом получим
γ = 0,5772157... (66)
324. Формула Стирлинга для ml Для целых положительных
значений го имеем
т
го! = 1-2.3... го и log (го!) =2 1о§ *■ (67)
/с=1
Таким образом, можно использовать рассмотренные выше методы
для получения асимптотического разложения для log (го!).
Полагая в формуле суммирования (52) f(x)~\ogx и нижний предел
суммирования равным 1, найдем
m-l
2 log k=r-m log го — го — — log го +1 +
k = i
/U Вшг(т~™-1) д ,„
+ 2л 2г(2г-1) Л""1· (Ь8)
В силу равенства (46) остаточный член, следующий за первым
членом, будет равен
т т
- Rt = - \Р2 (х) /" (х) dx = \ Ь& dx. (69)
1 1
Так как периодическая функция Бернулли Р2 (х)
ограничена для всех значений х, то последний интеграл можно
мажорировать интегралом от константы, умноженной на аг2, и,

306
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
следовательно, он будет сходить'ся при т—>оо. Это показывает,
что существует предел
Km Г log (Μ!)-f Μ + ^)\ο%Μ + ΜΛ =Κ. (70)
Кроме того, применяя формулу суммирования от га до Μ и
устремляя Μ к бесконечности, мы получим соотношение,
аналогичное соотношению (65):
л-1
К =-- log (m!) - (т + γ) log т + т - ^ ξ^τΤχ) + R-' · <71>
Это равенство можно использовать как асимптотическое
разложение величины К, Однако мы докажем, что К = log ]/*2π,
и тогда сможем воспользоваться этим разложением для
вычисления log(m!) для больших значений т.
Для вычисления величины К вспомним разложение в
произведение для sin z, приведенное в § 285,
оо
sin* = *П Ο-,ά) (72)
71 = 1
Для ζ= ■— это разложение дает
оо
1=τΠ[ι-(^]· <73>
л = 1
Но для произведения из иг членов имеем
т
П(2п-1) (2л+1) 1-3-3-5---(2т-1)(2иг + 1)
(2л) (2л) ** 2.2-4.4.· · (2m) (2m) ~~
л = 1
_ (2т)! (2т+ 1)? /г/ч
— (mf)4 24"· * \'*>
Воспользовавшись равенством (70) и положив сначала Μ— 2т,
а затем М = т, найдем, что при т —> оо предел выражения
1ogpm = 2lQg(2m)!+log(2m + l)-41og(m!)-4mlog2 (75)
равен пределу выражения
2 (2т + ±Л l0g2m-2 (2m) + 2ϋΓ + log (2m + 1)-
— 4 f m + γ J log m + 4m — 4if — 4m log 2, (76)

325. ГАММА-ФУНКЦИЯ
307
следовательно,
lim (log ρ J = lim [ log ^±_г + log 2 - 2K ] = 2 log 2 - 2K. (77)
Комбинируя последнее равенство с равенством (73), получим
0 = log | + lim (log рт) = log 2π - 2Κ,
так что
1
К = — log 2π = log ]/2π,
(78)
(79)
что мы и хотели доказать.
Из равенств (70) и (79)
можно вывести, что
= 1. (80)
lim
7П-+00
у1ь
m+F
Знаменатель последнего
выражения известен под названием
формулы Стирлинга для
факториала га!. При вычислении
предела, содержащего в
качестве множителя га!, можно за-
j_
менять га! через ]/2π га 2 е~т.
Равенство (80) наводит на мысль,
что формула Стирлинга дает
приближение факториала га! для
больших га с небольшой относительной погрешностью; в
действительности относительная погрешность будет мала даже при
сравнительно небольших значениях га. Ср. с задачей 15 к гл. XVI.
325. Гамма-функция для действительных положительных
значений аргумента. Из § 92 следует, что
1 1
и
-2
fl
1/
Г
Г(х)
1 *!1
2-
-2-
!\\
\у
v.—*
-4
I
/
—%
Фиг. 28
lim xp+i е~* = 0,
(81)
для всех значений р. Отсюда следует, что для достаточно
большого значения М, которое зависит от р, будем иметь
\Xp-i е-х\ < Х'2у χ> Μ.
Тогда, в силу § 166 несобственный интеграл
оо
Сжр-1 e~xdx
ι
(82),
(83)

308
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
будет сходиться для всех значений р.
Так как для положительных значений χ
д.р-1 е-х < χΡ-ί 9 (84)
то интеграл
ι
{ хР-1е-хах, (85)
о
который будет несобственным при ρ < 1, будет сходиться для
всех положительных р.
Следовательно, если положить
\ ОО ОО
Υ(ρ)=\χρ-ΐ(τ·*άχ=\ν>-ι(Γ*άί, ρ>0, (86)
о о
то функция V (р) будет определена для всех положительных
значений р. Эта функция называется гамма-функцией, что уже
отмечено в ее обозначении Г (р).
Для положительных а и 6, проинтегрировав собственный
интеграл по частям, получим
ъ ъ
{ хр е~х dx = — хр е~х \а + Ρ { xp~l e~x dx. (87)
а а
Если ρ > 1 и мы перейдем к пределу при а—>0, Ь—->оо, т°
последнее равенство сведется к следующему:
Г(р + 1)«рГ(р), р>0. (88)
Повторно применяя это соотношение, найдем, что
Г(р + 1)=р(р-1)...(р-к)Г(р-к), р>к. (89)
В частности, если ρ является целым числом п, то
Γ(λ + 1) = λ(λ —1) ... 2- 1 . Г(1)=л!, (ЗЬ)
тдк как непосредственное интегрирование показывает, что Г (1) = 1.
На всяком множестве значений р, лежащем между двумя
положительными значениями 0 < /?ι<ρ</?2> несобственный
интеграл, определяющий гамма-функцию, будет равномерно
сходящимся. Таким образом, гамма-функция будет аналитической
функцией, так как подинтегральная функция аналитична
относительно р, и поэтому всякий собственный интеграл будет
аналитической функцией от р.
Равенство (90) показывает, что гамма-функция является
обобщением понятия факториала. Функция Τ(η + ί) определена для
всех действительных значений п, больших —1. При этом для

326. ГАММЛ-ФУНКЦИЯ
309
целых положительных значений η (а только для таких
значений п\ определен) Г (п + 1) = nl.
326. Гамма-функция для комплексных значений аргумента.
Рассуждения, подобные приведенным в предыдущем параграфе,
показывают, что соотношение
оо
Г {ζ) = \ Г-1 e-z dz, R (ζ) > 0 (91)
с
определяет функцию Г (ζ) для всех комплексных значений ζ
с действительной частью, большей нуля. Величину t мы считаем
действительной и определяем степени с помощью равенства
г* = е*1°в', (92)
причем log t имеет действительное значение, так что если
z = p+is, то \t*-ie-t\=tP-ie~t. (93)
Поэтому, если ρ > 0, абсолютная сходимость интеграла,
представляющего Г (ζ) в равенстве (91), следует из сходимости
интеграла, представляющего Г (р) в равенстве (86). Сходимость будет
равномерной при 0<Pi<jo</?2 И> тем самым, Γ (ζ) будет
аналитической функцией для. ρ > 0.
Так же, как и ранее, получаем
Отсюда
или
V(z + l) = zV(z). (94)
Y(z + l) = z{z-l) ... (ζ —4)Γ(ζ —*), (95)
г ω - г(2 + 1) T(z + k) m)
1 W- Ϊ--(з + Л-1)(* + А-2)...*· tyDj
Последнее уравнение может быть использовано для
определения Г (ζ) для значений ζ с отрицательной действительной частью;
для этого надо брать к таким, чтобы (ζ+ к) имело положительную
действительную часть. Результат не зависит от выбора к, так как
уравнения (94) и (95) имеют место, если действительная часть ζ
положительна. Этот метод определяет функцию Г (ζ), аналитическую
для всех конечных значений ζ} за исключением нуля, и
отрицательных целых значений. При этих исключительных значениях
.функция обращается в бесконечность (см. фиг. 28) и имеет их
полюсами первого порядка, потому что один из множителей
в знаменателе выражения (96) обращается в нуль.
Равенство
г! = Г (2 + 1), (97)

'310
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
дмеющее место для целых положительных значений ζ, иногда
рассматривается как определение ζ\ для случая не целого
положительного ζ. В частности, это определение дает 0! = 1, что
является общеупотребительным соглашением.
327. Бета-функция. Для положительных значений ρ и q
интеграл
ι
{хр-1(1—х)*-Ых (98)
о
сходится. Для каждого из пределов интегрирования один из
множителей подинтегрального выражения остается конечным,
а другой, в самом худшем случае, является отрицательной
степенью, меньшей единицы, ' выражения, имеющего простой нуль.
Таким образом, равенство
ι
B(p,q)=^fiP-i(i-x)*-idx, p>0, g>0, (99)
о
определяет функцию двух положительных действительных
переменных ρ и д. Эта функция называется бета-функцией.
Можно выразить бета-функцию через гамма-функцию при
помощи следующего преобразования. Полагая t = y2, получим
оо оо
Г (р) = \ tP-i е-* dt = 2\ ytp-1 е-У2 dy. (100)
о о
Теперь умножим Г (р) на Г (q) и заменим немую переменную
у в T(q) через х. Тогда
оо оо
Г (р) Г (q) = 2 \ г/2р-1 6-у2 dy · 2 \ а*«-* е~х* dx. (101)
о о
Мы можем рассматривать это произведение как повторный
интеграл, равный абсолютно сходящемуся двойному несобственному
интегралу. Поэтому, проводя рассуждения, подобные
приведенным в § 244 (см. задачу 32 к гл. XII), покажем, что наш
двойной интеграл равен повторному в полярных координатах
Г (р) Г (q) = 4 { dO { sin^-ie cos2*-1 θ/·2"4"2*-1 6-r2 dr% (Ю2)

328. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 311
В силу равенства (100), в котором у заменено через г, имеем
оо
2 С г2Р+2<г-1 e-i2 dr = Г (ρ + ?). (103)
о
Полагая
sin2 θ = и, 2smbcosbdb=^du, cos2 θ = 1 — и, (104)
получим
Υ ι
2 С sin^-1 θ cos2*-1 θ ώθ = \ ир-1 (1 - гг)^1 <fe = 5 (/?, g). (105)
о о
Из равенств (102), (103) и (105) следует, что
Г(р)Т(Я)=Т(р + Я)В(р,д), (106)
или
Последнее равенство показывает, что функция В(р, д) симметрична
относительно ρ к д.
ι
Если мы положим в равенстве (102) р = д= —, то, вычисляя
правую часть, получим
[<!)]· = « и Г (})=/*. (108)
Отсюда и из соотношения (100), в котором полагаем /? = —,
получим
оо
\е-уЫу=Ц-. (109)
С'
Для определения бета-функции при отрицательных или
комплексных значениях переменных мы можем воспользоваться
равенством (107). Тогда для всех значений комплексных
аргументов ζ и w имеем
В случае комплексных значений с положительной
действительной частью, можно с небольшими изменениями повторить
приведенные в настоящем параграфе рассуждения и определить бета-
функцию с помощью интеграла вида (99).
328. Представление в виде бесконечного произведения.
Имеются два представления гамма-функции в виде бесконечного

312
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
1-
1 +
t
η
t
η
<e
t
<en
произведения. Одно из них можно получить из следующего
соотношения, в котором п— целое положительное число:
η
Г (z) = lim [ (1 - -Υ t*~i dt, Β {ζ) > 0. (Ill)
Это соотношение мы сейчас докажем. На мысль о справедливости
нашего соотношения наводит равенство
iim„(i-iT=i,™[(i+,,)|]"'='!-'· <ш>
но для доказательства нужного результата требуются более точные
оценки. Для 0<£<ra имеем
t
(ИЗ).
(114)
'-?<«-£>"· <115>
Все эти соотношения следуют из того, что они обращаются в
равенства при t-=0, а при остальных значениях t^n производные
от левых частей меньше, чем производные от правых. Форма
выражений, стоящих в, неравенствах слева, подсказана
тейлоровским разложением функций, стоящих в неравенствах справа.
Для R(2)>0 в силу равенства (91) имеем
ОО 71
Τ {z)=\ e~* t*-t dt = lim \ er* t*~* dt, (116)
так как интеграл сходится. Таким образом, равенство (111) будет
установлено, если мы докажем, что выражение
η η η
\ е-{ t*-* dt-\(l- ~Ύ t*~i dt=\ [ 1 - e' (l - J-Y ] e-' t*~l dt
о и о
(117)
стремится к нулю, когда η стремится к бесконечности.
Из соотношения (ИЗ) следует, что
(l_lJ<e-<, T.e. е'^1-^п<1, (118)
а из соотношений (114) и (115) выводим, что
Ό-Ο'Κ'+ΟΌ-ΐ^-τ· <119>

328. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 313
Комбинируя соотношения (118) и (119), получаем
Так же, как в равенстве (93), когда
z = p + is, имеем | tz~l e~z l^t?-1 e~l, (121)
и для подинтегрального выражения в равенстве (117) получаем
| Γΐ-_βίΛ_1.Υ1 e-'^-i|<ile-^P-i, т. е. ^е~ЧР+К (122)
Следовательно, абсолютная величина интеграла в правой части
равенства (117) не может превзойти
η оо
-1^е-ЧР+*аг<±\е-ЧР+1сЬ, т.е. 1г(р + 2). (123)
о о
Но последняя величина стремится к нулю, когда η стремится
к бескрнечности, и, тем самым, соотношение (111) доказано.
Полагая в интеграле из равенства (111) t = nu, получим
η п ι
$(!-■£-) tz~X dt = n*\ и*-* {l-u)ndu. (124)
о о
Интегрирование по частям дает
' 1 1
\ и*~1 (1-B)nd» = у (1 — и)п Г + ~ \ u^i-uf^du. (125)
о о
При η > О выражение в правой части, не содержащее знака
интеграла, обращается в нуль, так как R (ζ) > 0. Будем
повторять этот процесс до тех пор, пока не придем к равенству
ι
$„*+»-! dB = -L-; (126)
о
тогда
1
[ в*-1 (1 - и)п du^ , xf"^·2^ L ч. (127)
J v ' z(z + l) ... (z + n—1)(г + п) v '
0
Это выражение согласуется с равенствами (НО) и (95), так как
в силу замечания в конце § 327 наш интеграл равен
β(ζ,„ + ι) = Ε1^>±ΐ) — п\
ν ' ' ' Г (ζ + η + 1) (2 -t η) (ζ + η — 1) . . . (ζ ■+■ 1) ζ ν '

314
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Из равенств (111), (124) и (127) находим
Г (z) = lim , , 'iln' f ^ ,. (129)
n-*oo ζ (z + 1) . . . (3 + л) v >
Это выражение было известно Эйлеру и было использовано
Гауссом в качестве основного определения гамма-функции.
Обратная величина дроби из равенства (129) будет равна
<1+τ)(1+Ι)···(1+ΐ)6-ζ1°8η-
= * (ι+т) e~zС1 + т)е~* · · · С1 + -£) г^9"2- (130>
где
gn = l+±+...+±-logn. (131)
В силу равенства (63)
1ίπΐ£π = γ и lim е^г = βγζ. (132)
п-*оо
Произведение членов, на которые умножается последний
множитель в произведении (130), можно рассматривать как частичное
произведение бесконечного произведения, и поэтому
rfe=e^ ПО+£)«'"· (1зз)
/ι = 1
Эта форма принадлежит Вейерштрассу, который пользовался этим
равенством как отправным пунктом в теории гамма-функции.
Рассмотрим логарифм общего члена этого произведения
чо+т)-1=кгЬ-й^· (134)
о
Так как
ι ι
i ζ + η η \ Ι η (ζ -f η)
<
-| , если η > 2ζ, (135)
то ряд из членов, стоящих под знаком интеграла в (134),
сходится равномерно во всякой конечной области, не содержащей
целых отрицательных чисел. Таким образом, выбрав ветвь
логарифмической функции так же, как в § 285, мы видим, что
проинтегрированный ряд равномерно сходится в любой такой
области. Можно включить несколько отрицательных целых чисел
в область, не нарушая равномерной сходимости, если при этом
опустить соответствующие множители в бесконечном произведении.

329. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
315
Таким образом, функция, определяемая равенством (133), будет
аналитической для всех конечных значении ζ. Эта функция будет
отличной от нуля, если ζ не равно нулю или целому
отрицательному числу. Поэтому гамма-функция, которую можно определить
с помощью равенства (133), будет аналитической для всех
значений, кроме нуля и целых отрицательных чисел. Вывод формулы
(133) непосредственно доказывает, что определение Г (ζ) с
помощью формулы (133), которая эквивалентна равенству (129),
согласуется с ранее данным определением для случая К (ζ) > О
при помощи равенства (91).
Однако обе функции,—одна, определяемая комбинацией
равенств (91) и (96), и вторая, определенная равенством (133),—будут
аналитическими для всех конечных значений ζ, за исключением
нуля и целых отрицательных чисел. Поэтому их разность будет
всюду аналитической функцией, за исключением, быть может,
нуля и целых отрицательных чисел. Но так как эта разность
равна нулю для всех ζ, для которых R(z)>0, то она должно
быть равной нулю во всей области аналитичности; тем самым
-оба определения совпадают для всех значений ζ.
Если мы заменим в равенстве (133) величину ζ на —ζ, то
найдем
оо ζ оо
rodrrw--*2 Π'0+ΐ>"Η=-*2Πθ-ϊ)· (^
Но в силу § 285 имеем
3ΐηπΖ = πΖ Π С1""йО^-^ПС1-?.)· (137)
71= — ОО 71=1
Сравнение последних двух выражений показывает, что
sin πζ Ι 1
Т(*)(-*)Г(-*) . Г(*)Г(1—*)'
(138)
Последнее из равенств (138) следует из равенства (94), которое
имеет место для всех значений ζ, и, следовательно, также и тогда,
когда ζ заменено через — ζ. Таким образом, мы окончательно
имеем
Г (ζ) Γ (1-2)=^—. (139)
4 ' ν ' Sill πζ ν '
329. Формула Стирлинга для комплексных значений.
Формула суммирования Эйлера—Маклорена (см.' равенства (45) и (46))
имеет место и в случае, если функция f(x) является комплексной

316 ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
функцией действительного переменного; такие функции
рассматривались в § 119. В силу равенства (129) log Г (ζ) является
пределом выражения
т т
L(z,m) = zlogm + 2 log к- Σ log (* + &). (140)
Если мы положим в равенстве (68) η = 2, заменим остаточный
член его значением из равенства (69) и подставим — вместо В2
в соответствии с равенством (22), то получим
т т
2togft=mlogm-m + ilogm+l + i(i-l)+\^d*. (141)
Для функции / (х) = log (ζ + χ) аналогичное соотношение будет
иметь вид
m
2 log (ζ + А) =■ (ζ + т) log (ζ + m) — ζ log ζ — τη +
+ "J log (ζ + m) + ~2 1ο§ Ζ +
τη
ο
Из последних трех равенств следует, что
L(z,m),= ^(z + w + 4)log(l+^) +
т
. +(s-.±)logZ + iim-l(2-^-l)-5(|^|^> (143)
о
где Кт дается равенством .
m
ι
и в силу уравнений (141), (70) и (79)
lim Кт = К = log j/*2i. (144)
m-»oo
Мы можем устремить m к бесконечности, считая ζ
фиксированным и не равным действительному отрицательному целому

329. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
317
числу или нулю. При этом интеграл в равенстве (143) будет
сходиться, так как функция Р2 (х) ограничена, а подинтеграль-
ная функция может быть мажорирована величиной —2, где А —
некоторая надлежащим образом выбранная постоянная. Тогда
получим
оо
logV(z)^-z + (z-iy0gz + K + ^z-^^2dx. (145)
О
Если разложение в равенстве (142) было бы продолжено
и содержало бы большое число членов, то мы получили бы
π
log Г (ζ) = - ζ + (ζ- 1) log ζ + К + 2) 2r (f;r_ 4) ~ + Rn, (146)
где по аналогии с равенством (46)
Яп=-\^Щ^аХ. (147)
О
Во всем этом параграфе мы пользуемся такой ветвью
логарифма, для которой отрицательная часть действительной оси
является разрезом и логарифм принимает действительные
значения на действительной части положительной оси. Разложение
(146) имеет место при любом фиксированном η и
фиксированном ζ, не лежащем на разрезе. Это разложение является
асимптотическим, если ζ стремится к бесконечности, правда, не вполне
произвольным образом, а, например, так, что ζ остается вне
сектора, заключающего в себе отрицательную часть действительной
оси. Это утверждение будет установлено, если мы докажем, что
если
z = ren = rcosS + *>sinG, — π + 8<θ<π —8, (148)
то остаточный член по абсолютной величине будет меньше, чем
произведение
оставшегося члена.
Мы начнем с того, что покажем, что
cosec271 ( -~ λ , на абсолютную величину последнего
, что покажем, что
z + x\>sin~(\z} + x). (149)
Так как
(г— я)2>0, то (г+я)2>4гя.

318
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Но из | θ | < π — о следует неравенство sin — < cos — | , так что
о
— irx sin2 -j > — (г + χ)2 cos2 у . (150)
Следовательно,
Г2 + Х2 + 2rxcos θ = (г + χ)2 — irxsin21 > (r + z)2sin2 γ. (151)
Но это неравенство можно записать так:
\z + x\2>{\ zl + ^)2sin2-| , (152)
откуда после извлечения корня получается неравенство (149).
Из того, что остаточный член по гбсолютной величине меньше,
чем последний член разложения в случае действительного и поло
жительного ζ, следует, что
оо
ΠΡ,η(*)|(2η-1)! , \B2i\ i__
J ( Ι ζ I + xYn UX ^ 2n (2n - 1) | ζ l2^ ' ^10^
0
Но в4 силу равенства (147) и соотношения (149) имеем
l^KV^fl'^^^^^cyp-ff'^-1^^. (154)
о о
Сравнение последних двух неравенств показывает, что
остаточный член по абсолютной величине меньше последнего члена
разложения, откуда следует асимптотический характер
разложения (146).
330. Интегральное представление эйлеровой постоянной.
Некоторые важные определенные интегралы просто выражаются
через эйлерову постоянную, которая была определена при помощи
равенства
γ=Ηιη(ΐ+Ι + 1+....+ 1_1οίη). (155)
Будем исходить из тождества
1 +1^ 12 + .. . + ί«-' - i=£ . (156)
Интегрируя это тождество от 0 до 1, получим
1 + τ+τ+··· + ΜτΞτΛ· <157>

330. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЙЛЕРОВОЙ ПОСТОЯННОЙ 319
Заменим переменную интегрирования t через новую переменную
г/, связанную с t равенством
ί = 1 ^-. (158)
η
Тогда
Так как
^«-Η'-Ο-ϊ-)"]?· <)59>
-log»=-tj-^, (160)
+ 1
то из равенств (157) и (159) следует, что γ является пределом
о
1 и 1
Соотношение ;(112) наводит на мысль, что предел последнего
выражения будет тем же самым, что и предел выражения
\{i-e-v)df~\e-vf. (162)
0 1
Для доказательства этого положения отметим, что для 0<г/<<7г
имеют место неравенства
0<е-У-(^1-^у<е-у £, (163)
являющиеся непосредственным следствием неравенств (120).
Следовательно, правая часть равенства (161) превосходит выражение
(162) на положительную величину, которая не больше, чем
\ е~У — — <—\ ye-v dy, т. е. не больше чем —^-'-= — .
ο ο
(164)
Так как эта последняя величина стремится к нулю, когда п—>оо,
то число γ является пределом выражения (162), и мы имеем
1 со
τ^-^ΙΜ^ΊΓ · (165)

-320
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Последнее равенство выражает эйлерову постоянную через
несобственный интеграл.
Первый из интегралов в равенстве (165) может быть
вычислен почленным интегрированием быстро сходящегося ряда,
который получается при замене функции е~у ее степенным рядом.
Тогда второй интеграл может быть выражен через значение
первого и эйлерову постоянную γ (см. равенство (66)), которую мы
вычислили с помощью методов § 323.
В результате получим
1
Г (i_e-y)^ =0,79660...
и
со
{ е-в^М. =0,21938... (166)
1
Мы можем получить другое выражение для γ через интегралы,
содержащие тригонометрические функции, пользуясь при этом
1 c~z
теорией вычетов, изложенной в § 278. Функция —;— имеет
устранимую особенность в начале координат и аналитична для
всех остальных конечных значений переменной. Поэтому,
интегрируя по границе сектора, составляющего четверть круга радиуса
-единицы с центром в начале координат и лежащего в первом
квадранте, получим
1 1
• \ (1 -е-*) *£-+ \ (1-е-*) -£.- $ (1 -*-*) ^0, (167)
с Οι О
где <?1 — дуга сектора. Подобным образом, воспользовавшись
сектором, лежащим в четвертом квадранте, с дугой Q2, найдем
1 ' 1
J(l_^)^-+5(l-e-«)^--5(l-e-*)^=0. (168)
о 02 о
На оси у мы положили z= — iy.
С другой стороны, функция аналитична для всех
конечных значений ζ, за исключением нуля, так что интеграл по
границе четверти кольца, ограниченного дугой Qx и дугой Q[
четверти окружности большего радиуса, лежащей в первом
квадранте, и отрезками оси χ и оси у, будет равен нулю.
Рассуждение, проведенное в § 281, показывает, что интеграл
по дуге Q[ стремится к нулю, когда радиус стремится к беско-

331. НЕКОТОРЫЕ НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 321
вечности. Поэтому
со со
Se--?-Se-*f-Sv'*=0· (169>
1 1 Qi
Воспользовшись такой же четвертью кольца, лежащей в
четвертом квадранте, получим
^T-I^-S^T·»0'· <170>
здесь мы положили z = — iy на оси г/.
Складывая равенства (167) и (170) и вычитая равенства (168)
и (169), получим
1 со 1
2 С (1_е-*)^_2 $ е-* ^+ J (_2 + е'» + е-*) -^ +
1 О
ι Qx <?2
Но, полагая z = e^, найдем, что
Этим показано, что последние два члена в левой части равенства
(171) взаимно уничтожаются, и это равенство может быть
написано в виде
\(l-e-*)^-]e-*^={(l-coSy)df-]coSyf,
1) 10 1 '
(173)
откуда, пользуясь равенством (165), получаем
1 со
T=-$(l-cosy)iM-$cosy^-. (174)
0 1
Это равенство дает искомое выражение постоянной γ через
интегралы, содержащие тригонометрические функции.
331. Некоторые неэлементарные интегралы. Рассмотрим
интегральную показательную функцию
°° -t
EJ(x)=\ ϊγ-dw х>0. (175)

322
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Последовательно интегрируя по частям, получим
.JB/H = e-x[l-l + J-... + (-l)«^1]+JRn+1) (176)
где
со
Дп+1 = (-1)"+» (п + 1)! J β-*ί-"-2 dt. (177)
Χ
Так как х положительно, последний интеграл увеличится, если
мы заменим степень t той же степенью х, так что
IRn+i |<(л + 1)! е-*ж-л-2. (178)
Таким образом, остаточный член по абсолютной величине
меньше, чем член, следующий за последним' членом, встречающимся
в разложении (176). Для достаточно больших значений χ члены
разложения быстро убывают, и разложение может быть
использовано для вычисления интеграла. Это разложение является
асимптотическим, однако, несмотря на то, что при
фиксированном η и увеличивающемся χ остаточный член стремится к нулю,
ряд при фиксированном χ и возрастающем η будет расходиться.
Это обстоятельство следует из того, что отношение последующего
члена к предыдущему по абсолютной величине равно —, а эта
величина стремится к бесконечности вместе с п.
Разложенио Ε J'(x), сходящееся для всех значений х, можно
получить,. воспользовавшись равенством (165). Мы имеем
00 1 оо
χ χ 1
1 1
= ^-<*+^(l_e-i)*_T=s= (179)
χ О
χ
= J (1 — *"') Ц - log χ - γ. (180)
О
Если первый из этих интегралов разложить в степенной ряд, то
получим
EJ(x)^—i-hgx+x-T^r + 1^T-... (181)
Интегральный логарифм
χ
Их=[^,0<х<1 (182)
δ

331. НЕКОТОРЫЕ НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 323
может быть преобразован в интегральную показательную
функцию подстановкой t = e~u\ в самом деле,
оо
1ΐζ=- \ e-a^=—EJ(-logx). (183)
-log χ
Мы можем изучить интегральный косинус
CJ
\х)=\ cosi^ (184)
тем же способом, который мы применили; для изучения
интегральной показательной функции. Для больших значений χ
имеем следующую асимптотическую формулу:
г, т, s sin# cosrc 0,sin# O,cos# /лсжч
<?/(я)=--—+ —^-+2!-^-3ί -^- ... (185)
Пользуясь равенством (174), найдем, что
χ
CJ{x)= \ (1 —cosO—logs —γ= (186)
о
= -Y-loga; + -^r-^r + ... (187)
Этим выражением можно пользоваться для вычисления значений
интеграла при всех значениях х.
Для получения асимптотического разложения интегрального
синуса
оо
SJ(x)= \ siniy (188)
X
воспользуемся интегрированием по частям и получим
с τ / \ cos х ι sinx r,,cosic 0 .sin x . /лос\\
SJ {x) = — + -^г - 2! "ϊγ- - 3! -^τ- + · · · Ι189)
Для получения разложения, сходящегося для всех значений х,
вспомним равенство (221) § 281, а именно,
оо
•$sini£=£. (190)
Из этого равенства следует, что
lS/(x)-5ein/it-5ein/?=f_as + 8-^I-A+ ·.. (191)

:<2'*
ГЛАВА XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Тот же метод в применении к интегралу вероятностей дает
χ
о
в применении к френелевскому интегралу от синуса —
χ
sinaMx^-^ + if^... (193)
О
и в применении к френелевскому интегралу от косинуса —
χ
^cosx2dx = x — Йг + 9Т^Г ""■■■ ^194^
о
Все эти степенные ряды сходятся для всех значений х.
Интегралы от тех же функций, что и интегралы (192), (193)
и (194), но взятые от χ до оо, могут быть найдены, если
воспользоваться равенством
J e-x*dz = JL5- , (195)
о
установленным ранее (см. (109)), и двумя равенствами,
полученными из равенства (109) в задаче 47 к гл. XIII:
оо оо
\ sinx2dx = *—- , \ cos χ2 dx = ^—^ · (196)
о о
Для интегралов, взятых от а; до оо, асимптотические формулы
будут иметь вид
оо
\er*dx = e-*Qi-¥£r+£F-i±+...), (197)
X
оо
Г . 9 , cos ж2 , sin ж2 3cos#2 3-5sin#2 , /ac\q\
) 8ωϊ,ώ=-δ-+ ^-» яг- + · · ·' (198)
X
оо
f 9 7 sin#2 cosrc2 , 3sin#2 3-5 cos x2 /лс\с\\
\cosx*dx= _ + -— + _ _ ... (199)
X
Эти формулы могут быть найдены при помощи
интегрирования по частям, выбирая каждый раз за множитель, который
интегрируется соответственно хе~х , χ sin χ2 или χ cos x2.
Последними формулами можно пользоваться при достаточно больших

N III· ХЖНМШИ К Г. 1. XV!
значениях х дли вычисления интегралов, взятых от χ до оо,
и тогда значения соответствующих интегралов, взятых от 0 до х,
для этих больших значений χ можно будет найти,
воспользовавшись равенствами (195) и (196).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. ΧΥΙ
1. Показать, что
со q V(^±l\
V X™e-P*9dx= ^mg+1 , если m> —1, ρ > 0, q > 0.
b gp~
Указание. Сделать замену переменных t = pxq.
2. Показать, что
Л »» (log x)«dx~ ( ^ffij"1}- ■ et™
m > — 1, тг> —1.
Указание. Сделать замену переменных t = — (л 4-1) log ж.
3. Пусть
оо оо оо
я - V 1 - V 1 , _ ν С—1)*""1
Ρ 2л № ' SP~ 2j (2Λ + 1)Ρ И ρ~ 2λ k*
A=l Jfc=0 Λ=1
где /> > 1 и не обязательно целое. Показать, что 5 = (1 — 2~р) Η
и г =(1 — 2~ρ+1) Η . Когда /> не является четным числом, / может
быть вычислено приближенно с помощью равенства (61); когда же ρ
является четным, то значение Нр точно определяется из равенства (5)
2η (2η)Ι·
откуда, в частности, имеем
π2
4. Показать, что
ι
#2--, *2-у, ««-■12«
^ ( \jf dx = T(P+l)^ -L, если ρ > 0.
0 A = l
Для вычисления суммы, стоящей справа, см. задачу 3. Указание. Разло-
1
жить в степенной ряд и затем почленно интегрировать. Этот прием
η
оправдан в силу § 247. Так как для 0 < χ < 1 частичная сумма V с» =
i=0
1—я"-1"1 2
= — < , то эта частичная сумма оказывается меньшей чем
удвоенное значение первоначального интеграла.

326
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI
5. Показать, что
ι
5<=ШС*-Г<» + 1>21:*£-. вел- »>-!.
О А=1
Для вычисления суммы, стоящей справа, см. задачу 3. Указание.
Поступить так же, как в задаче 4.
6. Показать, что
$■*"-"*-№.'·--?
о
Указание. Интегрировать по частям или положить χ = 1 — и и
воспользоваться результатом задачи 4.
7. Показать, что
1 -l0«grf,aa!-,l
12
δ δ
Указание. Интегрировать по частям и воспользоваться результатом задачи 5.
8. Проверить, что
W<1+«»t-№*>-;
——Ά-Σ'·Τ·
л= О
откуда получить
cth3 = 4 + S^(W!z2'C_1
и, следовательно,
оо
1 χι (— 1^22'<
А = 1
В силу результата задачи 3 последнее равенство согласуется с
соответствующим равенством из задачи 51 к гл. XIII.
9. Доказать тождество th ζ = 2 cth 2z — cth ζ и затем вывести, что
оо
Подобным же образом получить
воспользовавшись для этого либо тождеством tgz =— 2 ctg 2z 4- ctg z,
либо аналогичным тождеством для thz. Указание. Воспользоваться
результатом задачи 8.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI
327
10. Доказать тождество csch ζ = — cth ζ + cth — и из результата зада-
оо
чи 8 получить csch ζ = j- V оь\\ ^ьк*2'^1; затем или из
получение
ного тождества, или из тождества cosecs = —ctgz + ctg—- вывести, чтх>
со
«~-ί+Σ t-^,->> *·*"-'■
4J „ , 4te3i 4fe#
11. Проверить тождество 2ί sen t = —б— 4f ■ .
Правая часть этого равенства в силу соотношения (39) равняется
со
Σ [в* (т) - в* (т) ](4г)п или в силу § 319
со
2 -2Btf+1(i)(4l)«**i.
fe=D
со
fc=Q
Поэтому
SCI
sec ζ = ^ (- l)Atl#2A+i ( τ) 4a'«+1za*.
7c =0
12. Операторные обозначения. Пусть Z> обозначает операцию
дифференцирования, а Δ —операцию нахождения приращения функции щт
изменении аргумента от χ до χ + α, как это было указано в § 93. Тогда
l-fA=<?aD является сокращенной записью ряда Тейлора, так как,
разложив eaD в степенной ряд и применив операции, указанные в обеих
частях равенства, к функции F, получим
(1 + Δ) F = F (х) + F (х + а) — F (х) = F (x -f- a)
н
Сокращенное выражение формулы суммирования Эйлера—Маклорена может
быть найдено с помощью формального преобразования выражения 1 + Δ = eaD
в выражение aD = ——- . Если теперь разложим правую часть послед-
е и— 1
со
него равенства при помощи (37) в ряд jjjj Δ&η ^—~ и применим олера-
71 = 0

328
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ, XVI
ции каждой части нашего формального выражения к функции
X
F=z V f(t)dt, то найдем
θ
оо α+α
■β/(χ) = αΟ/?=2 Afin5°nF= J f(.t)dt-~[f{x + a)-f(x)] +
n=0
fi,ra2r
+ 2%-i/(2r-1)<*+«)-/i2r-1)(*)i.
Полагая α = 1 и # = /с и заменяя бесконечный ряд конечной суммой и оста·
точным членом, получим равенство (44), а из этого равенства мы иолу*
чали формулу суммирования Эйлера—Маклорена.
13. Несмотря на то, что операторный прием из задачи 12 ничего
не доказывает, все же он дает разложение, сходимость \ которого или его
асимптотический характер затем надо доказывать другими способами.
Например, формальное преобразование eo.D == ι -j- Д в — = j—- .
подсказывает вид разложения, полезного при численном интегрировании. Отсюда
i S Δ Δ2 Δ3 Λ
Χ
Показать, что если все разности, начиная с четвертой, равны нулю,
то результат применения формулы от χ до χ + а и от х + а до χ -h 2а будет
совпадать с результатом применения формулы Симпсона к интервалу от χ
до χ + 2а. Указание. Для интервала от χ + а до χ + 2а применяется
операция 14- Δ и результат, полученный от применения указанной здесь фор-
/ Δ Δ2 Δ3\
мулы, будет α(2 + Δ)(1 + γ~Ϊ2 + 24)/· Результат, полученный при
помощи формулы Симпсона, таков: -у [1 + 4 (1 + Δ) + (1 + Δ)2] /· Эти
результаты совпадают, так как Δ4/ —0.
14. Показать, что численное значение величины γ в равенстве (66)
может быть найдено из равенства (65). Для этого мы полагаем m = l6
ж сохраняем только члены, содержащие В2 и В4, так как В6, а
следовательно, и остаточный член не превосходят 5 · 10"9.
15. Относительная ошибка, происходящая от замены ml с помощью
приближения Стирлинга через у 2 π т *е~т, не превосходит 0,1% при ι»,
большем 100, не превосходит 1% при т, большем 10, и не
превосходит 10% при т, большем 1.
Ъ
Ж Показать, что { (х — а)т (Ь — x)ndx = (b — a)«*+w+i В (m + 1, л-f 1),
а
если &>сг и m > — 1, ?г> — 1. Указание. Заменить χ через *£t, полагая
χ — а = (Ь — а) г.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI 329
17. Показать, что
Ρ
at*(p* — x*)ndx=£ Β Ι η+1, U
О
если />>0, g > О, m > — 1 и л > ~- 1. Указание. Заменить χ через £,
полагая xq = pgt.
18. Показать, что
\ sinw ic cosn # ax = — 5 ί , —— ),
b
еслиm > — 1ий>- 1. Указание. Заменить переменную, полагая t — sm2x»
19. В качестве частного случая задач 17 или 18 имеем
it π
ipi=s-f """*-!""*-к=^· 4)· »>--
0 Г О О
Член, стоящий справа, равен — — -^-—- , поэтому для четного т,
1 . 3 · 5 ... (2п — 1) π
например 2/г, он равен —-—-—-—ν , а для нечетного т, напри-
мер 2η -j-1, равен
2.4-6... (2л)
3 · 5 · 7 ... (2л +1)
20. Произведение Валиса для числа π. Показать, что интеграл в
задаче 19 убывает, если т возрастает, принимая целые значения, так что
2 « 4 - б ... (2л) 1 - 3 · 5 ... (2л — 1) π 2 » 4 ■ 6 ... (2л — 2)
3 - 5 - 7 ... (2л -f-1) ^ 2.4-6... (2л) 2 ^ 3 . 5 - 7 ... (2п — 1)'
Отсюда вывести, что
π_2.2.4-4.6·6
Τ~~ι .3.3.5.5.7",
прячем частичные произведения поочередно будут давать -~- с избытком
и с недостатком. Это разложение совпадает с разложением (73). Этот вывод
можно провести «элементарно», так как интегралы из задачи (19) могут
быть вычислены без пользования теорией гамма-функции, например при
помощи интегрирования по частям.
оо
21. Показать, что \--pdz~ ^ в (_-f * _J,

330
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI
эименим
если р> 0, q > 0, m > — 1 и /с > . Указание. Заменить
переменную χ через ΐ, где (\ Л-pxq)~x = \ — t.
22. В задаче 40 к гл. XIII при помощи интегрирования по контуру
оо
было доказано, что \ ——dx= —-— , если 0 < ρ < 1. Получить эту фор-
.' 1 + χ sin πρ
о
мулу при помощи гамма-функции. Указание. Из результата задачи 21
следует, что наш интеграл равен В (1 — р, р) = Г (1 — р) Г (р)=* ^;
последнее следует из равенства (139).
23. Пусть объем Vn в 7г-мерном пространстве определяется
соотношениями: *4>0, 2 χί<α· Тогда интеграл { х^гхр ... x™ndVn = I (η, я),
ι = ι "in
где mi > — 1, равен
Sm +/1 ПГ(т^ + 1)
причем i при суммировании и в произведении меняется от 1 до П. Упаза-
а .
ние. Для » = !,/(!, «)=^*и«^^^> = ^. Пр.
о
а
теперь метод математической индукции, / (д, а) = \ х™п dxn Ι (η —Ι, α—ж^) =
о
α
= /(тг-1, 1) ^ ^(a-a;n)Jda;n = amr*+J+1 В(/яп + 1, / + 1)/(л —1, 1) =
δ
π-1
gflmw+J+i Г Гт + 1) Г (J - 1) /(n __ ^ ^ рде всюду ; V +Β_!,
1 (?^п + ^ + 2) . ,
7 = 1
Таким образом, mn + /+l= 2 mi + n и подсчет показывает, что
результат будет верен для значения /г, если он верен для значения η — 1.
η
24. Если объем Гп определен соотношениями xi^®> £)(~/ ^ *
f = l
hj»j> — 1, то
i = l
Этот интеграл'называется интегралом Дирихле. В трехмерном
пространстве этот интеграл может быть использован для вычисления объема, пер-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI
331
вого и второго моментов и поэтому центра тяжести и момента инерции
/жу /ум лу л
октанта тела, ограниченного поверхностью ί—J +(4-) +( — ) =1»
в частности октанта эллипсоида. Аналогично, в двумерном случае
интеграл дает величину площади и моменты площади, лежащей в квадранте
и ограниченной кривой ί — J + (-?-) = 1, в частности квадранта эллипса.
Указание. Свести данный интеграл при помощи замены переменных
—Μ — иь к интегралу задачи 23.
25. Если F (и) — непрерывная функция,, a Vn — объем, определенный
в задаче 23, ж ть> — 1, то
Указание. Апроксимировать кратный интеграл однократной суммой,
воспользовавшись элементом объема между 2jXi = u и 2j %i = u + Дм,
^ d/ (гс, и)
Этот элемент равен промежуточному значению —^ , умноженному
на Аи, где I (п, и) — интеграл из задачи 23, в котором а заменено через и.
26. Если F (и) — непрерывная функция, a Vn — объем из задачи 24
и mi > — 1, то
Из (:-;)"]«"
dVn =
. 1J- L />t V /> /J \ F (u) u"mi+n
-1
du.
лж^->]
Указание. Воспользоваться результатом задачи 24, где заменить ах через
а\и, и затем поступить так же, как в задаче 25.
27. Пусть ?7 обозначает объем «шара» в «-мерном пространстве,
состоящего из точек, для которых 2 А ^ -Я2· Показать, что
п+1
„ 2
.^д"-1.
Указание. Интеграл равен произведению 2П на интеграл,
распространенный на часть объема, каждая точка которого имеет положительные
координаты. В силу задачи 26 этот последний сводится к интегралу,
вычисленному в задаче 17.
η
28. «Объем» n-мерного «шара» радиуса R равен ——-;— =·, а «по-
г[Ш+11

332
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI
ηπ2τηη—1
верхность» этого «шара» равна . Для η = 2, 3, 4 «объем» равен
оо
4 1
kR2; -z-nR* и —π2!?4, а «поверхность» равна 2nR, 4π#2 и 2π21?3. Указание,
о 2
Воспользоваться задачей 24 и указанием к задаче 27 для вычисления
«объема». «Поверхность» является производной по R от соответствующего
«объема».
29. Показать, что \ ч2-у-? dx = B (1 — р, 1 — g), если 0 < ρ < 1,
о
1 оо
5#_ί> <2# Г u~q du 1
(l+g)i-P-g= J (Ц-ц)»-?-? ' ГДе * = ^ * ТеперЬ В°С"
О 1
оо
пользоваться задачей 21 для вычисления \ — чп „ ndu.
J (l + u)2~P-q
30. Функция \ xqe~xz dx при q >—1 и комплексном ζ является анали-
о
тической функцией от ζ для всех ζ с положительной действительной
частью; это следует на основании выводов § 303. Получить, что
\ хЧ-** dz = —^-~- . Если z = a+bi = rev\ причем а > 0; —у < 9 < у >
0
то мы имеем
е-ах сод ^ . д.д ^ = iii+ii C0S (д + 1) θ И
е-ах sin Ья . я? dx= ^Ц~- sin (? + 1) 9.
31. Если R (ρ) > R (г)» д > —1 и трансформация Лапласа некоторой
1 #?б?га?
функции равна , то сама функция равна . Для
целого q этот результат согласуется с результатом задачи 50 к гл. XIV.
Указание. Положить z = p—г в интеграле из задачи 30,
32. Меняя порядок интегрирования в интеграле
оо оо
\ dx \ cos Ъх ψ-4~χν dy,

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI
333ί
показать, что если Ь>0и0</><1, то
s
cos Ъх _ Ь^""%
ал =-
К *" Г (р) 2 cos ^
Указание. При первоначальном порядке интегрирования воспользоваться*
со
равенством \ yV-\e-*\i dy — —\EL ? которое получается заменой ху = и. При?
о
измененном порядке интегрирования в силу § 135 имеем
р-1
со со со —-—
J δ2 + 2/2 i Ь* + 2/2 у 2 J и+1
0 0 0
последнее равенство получено заменой Ъ2и = у. В силу результата задачи 22.
δ?-* π
последний интеграл равен —— ^— .
sin (-Ц^) *
СО
ОО ТТ f Sill # _ Ь^""% 7^ Λ А ^ ^-Л·
33. Доказать, что \ ^— dx = , если Ъ > 0 и 0</><1.
t ν (ρ) 2 sin-f
Указание. Поступить так же, как в задаче 32. Здесь
со
^ sin bxe-^dy^-^^.
0
34. Показать, что
Y^dx=bP-1T{i_p)sin
С sin Ьх _ ,«_1T1 f. ч />π
\ -^— Же = ЬР^Т (1 — />) cos γ ,
о
если Ь>0 и 0 < /? < 1. Указание. Воспользоваться равенством (139) и ре-
тс
зультатами задач 32 и 33 или заменить д, а, г и Θ через — р, 0, Ъ и —
в задаче 30. То, что такой прием оправдан, следует из того факта, что*
разность интегралов в задаче 30, взятых для какого-либо а и дли а = 0г.
мажорируется интегралом из задачи 30 к гл. XII.

334
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI
35. Показать, что
оо γ Г ±_\ оо ρ ( —- )
\ cos(b:r'<) dx =——^—cos(£l) и \ sm(bx^)dx = —■ 1 ^ sin (κι)>
0 kbJi ° kbk
оо оо
С С V π
тде Ь > 0, /с > 1. В частном случае \ cos хъ dx = \ sin x2 dx=^ —-^г , что
0 0 r
«согласуется с равенством (196). Указание. Положить u = xk и
воспользоваться задачей 34.
36. Получить формулу удвоения для Г (ζ):
r(2z)=w22S"lr(z)r(z+^)·
-(Лежандр). Указание.
π π
2 π 2
\ sinn χ cosn α? d# = 2~1_n \ sinnu du — 2"n \ sinn и du;
b 0 0
здесь произведена замена переменной и = 2х.
Вычислить первый и последний интегралы с помощью формулы из
задачи 18, положив n = 2z— 1, и получить
В доказательстве последнего равенства предполагается, что ζ — величина
действительная, однако при помощи аналитического продолжения
устанавливается справедливость результата для других значений ζ,
37. Показать, что если ζ не есть целое отрицательное число, то
Г (ζ) ' 2 ^ ZJ V η z+nj-
Γ (ζ)
= -, —-г
η=1
Поэтому, в частности, если ζ равняется целому положительному числу к, то
*'«o.^+i+m+...+ i
Г (к) » ' ' 2 ' 3 ' ' ' ' ' к — 1 *
Уравнение, Воспользоваться равенством (133), которое прологарифмировать
ж затем продифференцировать.
38. Если R (ζ) > 0, то /с-я производная от Г (ζ) дается формулой
<**Г (z}
dz*
ό
= { tz^e~f (log t)bdt.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI
335
Указание. Воспользоваться равномерной сходимостью интеграла при
Л(г)>0 и провести рассуждения так же, как в § 273.
39· Доказать, что
\В2Л\ = (-1)п-1В2п = Ьп \-l- -dt =
О
- оэ
.) (e2nt
dt--
f2n e2nt
dt.
I)2
^Указание. Воспользоваться результатом задачи 4, причем для первого
шнтеграла положить — log χ — 2π£, р = 2п — 1, а для второго — провести
интегрирование по частям.
40. Показать, «ϊτο \ -r^— dx = π2π2?2/ι (—^)" · Указание. Воспользо-
6
доаться последним интегралом в задаче 39, где положить nt = x.
41. Иоказать, что \ —гг- dx = . Указание.
J shx 2n
О
1 2 2
•Заменять —т-— через -^ -^—τ и затем вычислить выражение, пола-
*гая для этого ЪжЬ — х и nt = x в первом интеграле задачи 39.
42. Показать, что Г f-ΙΛ Г (— V . . Г f ——^) = ^ 2 , где т—
\ т J \т J \ m J ym
«целое иоложительное число. Указание.
mi—\ m—i 2kni
2---=Ξτ-Π (—""") ·
; = 1 и ν
2&πί\ fcid
положить в этом равенстве z = l и \^1 — е т )~ — 2ie m sin— . Тогда
Таким образом.
т—1 Λπ/ (τη— 1)πί
Ц ет =е 2 «*«-!.
/с=1
тп—1 2k%i m—1
/c = l /c = l
iY_?.Y..r(!!t=i'W· Tor*> р>0·
Кроме того,

336
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. XVI
в силу равенства (139)
т—ι т—1
"- П 'Ш <==*)- П ттг
Таким образом,
1с —\ k = i sm
ш-1
ρ2==!2πΓ-· и р (2π) 2
V m
43. Показать, что
ш—ι
rwr(.+ i)...r(.+=^)-ew_<!fi-.·^.
m2
(Гаусс). Указание. В силу равенства (129) - равняется пределу вира-
G (ζ)
жения
mz (mz + 1) ... (wz -j- mn -\-m — 1)
n^ 2 (nl)»mm<n+1>
(mn)ms (mn) I
так как Γ(/ηζ) равняется пределу выражения -— -
mz (mz + 1) · · · (wz 4-тл)
Таким образом, m_ws - г . является пределом выражения
ь (ζ)
(mn) \(mz-\~mn +1) (mz + mn + 2) ... (mz + mn + m — 1)
m—1 *
n~2~~(n!)™mn4n+1>
т. е. пределом выражения
т±1
{тП — 1) j п 2 ^ ms + l\/\ mz + 2]\ / [mz + m —1Λ
Когда /ι-^οο, множители, содержащие ζ, стремятся к 1 и
G (z) = Qm-msT(mz).
где
Q-lim - W"»™
η-κ» m+* *
(mn — 1) ! тг 2
Для вычисления Q положим z = — и воспользуемся задачей 42. Таккш
образом, P=G{-^J = Qm-i и Q = mP. В случае m = 2 соотношение,
полученное в настоящей задаче, сводится к формуле удвоения из задачи 3&
п*г> 11оказать, что выражение бета-функции через гамма-фуквциж*,
даваемое равенством (107), может быть получено с помощью перестав»

УИРЛЖПКШШ 1С 1-1 \ \ I
шорядка интегрирования в интервале
оо оо
С е-УуР+я-i dy { e-*W-i dx.
о Ό
Указание. Если и = ху, то
О О
-так что при данном порядке интегрирования интеграл равен Г (ρ) Γ (д).
со
Аналогично имеем (1 + х)Р+я \ e^il*X)uyp*q'"1dy = V (/? + <?). Тогда в силу
О
ос
^результата задачи 21 V х?-1 (1-\~ x)-p~v dx = В (/>, д). Таким образом, инте-
Θ
«граш; взятый в другом порядке, равен Г (р'+д) В (/?, д). Перестановка
порядка интегрирования оправдана в силу § 244, так как интегралы
«сходятся абсолютно.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
к книге Франклина «Математический анализ», ч. I и II
(римские цифры указывают на часть, арабские—на страницу)
Абеля, признаки сходимости II, 23
Абеля, теорема о степенных рядах
II, 202
Абеля, тождество II, 19, 40
Абсолютная величина I, И, 168, 291
Абсолютная сходимость II, 18, 33
Аналитическое продолжение II, 191
Аргумент I, 168
Асимптотическое разложение II, 304
Асколи, теорема о равностепенной
непрерывности II, 136
Ассоциативный закон I, 10
Бернулли, полиномы II, 295
Бесконечное произведение II, 29
Бесселя, неравенство II, 228
Бином Η ьютона 1,30,163
Больцано—Вейерштрасса, теорема
I, 19, 27.
Боннэ, теорема о среднем значении
II, 20
Валиса, произведение II, 329
Вариация I, 284, 315
Вейерштрасса, признак равномерной
сходимости II, 120
Вейерштрасса, теорема об апрок-
симации II, 144, 226
Внешняя жорданова мера I, 267
Вронскиан I, 161
Вычеты II, 184
Гаусса, теорема об интегралах II,
107
Гейне—Бореля, теорема I, 22, 24, 28
Геометрическая прогрессия I, 12
Границы, верхняя и нижняя I, 20
Грина, теорема II, 97, 104, 109
Гудерманиан I, 209
Дарбу, теорема I, 267
Двойное отношение I, 208
Дедекинда, теорема I, 17
Джиббса, явление II, 251
Дистрибутивный закон I, 10
Дифференциал I, 120
—полный II, 44, 47
— точный II, 99
Дифференциальное уравнение 11,257^
в частных производных ΙΚ,
271, 277, 282
Гамильтона—Якобм II, 290
Клеро II, 286, 290
Лапласа II, 200
линейное II, 286, 287, 288»
289, 290
Риккати II, 289
с разделяющимися
переменными I, 231; II, 284
Жордана, теорема об
интегрируемости I, 271
Жордана, теорема о рядах Фурье»
I, 271
Замена переменных II, 86
Замкнутое множество I, 23, 278у 291
Замкнутый интервал I,, 18, 29
Замыкание I, 279
Интегралы I, 214, 266; II, 85, 160»
— вероятностей I, 240; II, 324
— верхние и нижние 1„ 264, 26®v
— двойные II, 74
— Дирихле II, 330
— кратные II, 85
— криволинейные I, 323
— неопределенные I, 222
— несобственные I, 301, 305
— неэлементарные I, 240; IIР 32ί;
— определенные I, 214
— повторные II, 76
— полные И, 282
— Пуассона II, 252
— Стильтьеса I, 293, 32$
— Френеля II, 218, 324
— Фурье И, 234
— эллиптические I, 241, 250
Интервалы I, 18, 26, 29
Кантора, теорема о трансцендсв№~
ных числах I, 68
Канторово множество I, 290
К асательная 11,64
— гиперплоскость II, 64
— плоскость II, 64, 89

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
зя9-
Колебание функции I, 51, 271
Коммутативный закон I, 10
Комплексные функции
действительного переменного I, 204, 232
Конечные разности I, 158
Конформные отображения II, 153
Коши—Гурса, теорема II, 166
Коши, интегральная формула II, 170
Коши, критерий сходимости I, 45,
50, 172; II, 8, ИЗ
Коши—Римана, уравнения II, 149
Коши, теорема о вычетах II, 185
Криволинейные координаты II, 69
Круг равномерной сходимости 11,157
Круг сходимости II, 158
Куммера, признак II, 37
Лагранжа, множители II, 68
Лапласа, оператор II, 70
Лапласа, трансформация II, 241
Лежандра, полиномы II, 201
Липшица, условия I, 226; II, 140,
220, 264'
Лопиталя, правило 1/1-35, 144, 146,
148
Математическая индукция I, 7
Морера, теорема II, 172
Муавра теорема I, 207
Немые индексы и переменные I, 223
Непрерывность I, 49, 158
Область I, 30
— замкнутая I, 59
— многосвязная II, 168
— односвязная II, 166
— открытая I, 30
— связная II, 50
Объем II, 85, 96, 107
Огибающая II, 268, 279
Определенный интеграл I, 214
Дирихле II, 330
Основная теорема алгебры I, 191;
II, 205
Особые решения II, 285
Особые точки II, 182
Парсеваля, равенство II, 229
Площадь II, 82
— поверхности II, 90, 107
Полюс II, 182
Полярные координаты I, 103; II, 71
Последовательности I, 33; II, 110
Правило трапеций I, 253
Прздельная точка I, 19
Преобразования I, 207; II, 87
Преобразования аффинные II, 152
— билинейные I, 208
— конформные II, 153
— обратные il, 69
— подобия II, 153
Признаки сравнения II, 10
Производные I, 77, 109; II, 43
— высших порядков 1,121,205; 11,46
— по направлению II, 65
— частные II, 43, 47
Равномерная непрерывность I, 52
Равномерная сходимость II, 112
Равностепенная непрерывность II,.
136
Радиус сходимости II, 158
Римана, суммы I, 298
Римана, теорема об аналитических
функциях II, 183
Римана, теорема о
тригонометрических интегралах II, 215
Ролля, теорема I, 124
Ряды II, 5
— гармонические II, 14
— гипергеометрические II, 39
— знакочередующиеся II, 24
— Лорана II, 179
— степенные II, 155
— Тейлора II, 170
— Фурье II, 212
Свертка II, 236
Сегмент I, 18
Сечение I, И, 16
Симпсона, формула I, 255; II, 328
Сопряженные комплексные числа I,.
169
Среднее значение I, 219
Стирлинга, формула II, 307, 315
Стокса, теорема II, 101
Существенно особая точка II, 183
Сходимость I, 303; II, 5, 30
Сходимость в среднем II, 130, 227
Тейлора, разложение I, 139
Тейлора, теорема I, 139, 151
Точки ветвления II, 192
Угол в ?1-мерном пространстве II,
65
Уникурсальная кривая I, 259
Уравнение в конечных разностях I,.
211
Условная сходимость II, 25
Фейера, теорема II, 226
Формула суммирования Эйлера—
Маклорена II, 302, 327

340
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
^Формула удвоения для Г-функции
II, 334
-Формулы Пуассона II, 255
Функции I, 33, 57,' 173
— алгебраические I, 158
— аналитические II, 173, 197
— Бернулли, периодические II, 292
— Бесселя II, 201
— бета II, 310
— Вейерштрасса I, 250
— гамма II, 308, 309
— гиперболические I, 116, 183
— дифференцируемые I, 121; II, 44
— интегрируемые I, 214
— комплексного переменного I, 173;
И, 148
— монотонные I, 46
— нечетные I, 256
— неявные I, 62; II, 53
— обратные 1,61
гиперболические I, 118, 188
тригонометрические I, 102,
190
— ограниченные I, 51
— однородные II, 66
— периодические I, 257
— показательные I, 69, 71, 73, 85,
174
— рациональные I, 196
— сложные I, 60, 112; II, 45
— с ограниченной вариацией I, 284
— степенные I, 77, 186
Функции тригонометрические L 87,
97, 178, 181
— характеристические I, 267
— четные I, 256
— элементарные I, 69, 118, 191
Фурье, коэффициенты И, 212
Фурье, трансформация II, 234, 239
Характеристики II, 283, 290
Целая часть I, 66
Чезаро, суммы II, 223
Числа I, 7, 166
— алгебраические I, 67
— Бернулли II, 297
— действительные I, 13
— иррациональные I, 11
— комплексные I, 166
— натуральные I, 7
— рациональные I, 8
— трансцендентные I, 68, 291
Шварца, неравенство II, 132
Эволюта I, 329; II, 285
Эйлера, постоянная II, 37
Эйлера, теорема об однородных
функциях II, 66
Якобиан II, 54

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ 5
185. Бесконечные ряды. Сходимость—5. 186. Расходящиеся
ряды—6. 187. Элементарные преобразования—7. 188. Общее
условие—«8. 189. Ряды и пределы—9. 190. Ряды с
положительными членами—9. 191. Признаки сравнения—10. 192.
Интегральный признак—11. 193. Геометрическая прогрессия—12.
194. Гармонические ряды—14. 195. Практический прием—16.
196. Абсолютная, сходимость—18. 197. Тождество Абеля—18.
198. Теорема Боннэ о среднем значении—20. 199. Признаки
Абеля—23. 200. Знакочередующиеся ряды—24. 201. Условно
сходящиеся ряды—25. 202. Перестановка членов в абсолютно
сходящихся рядах—26. 203. Действия над рядами—28. 204.
Признаки, применяемые на практике—29. 205. Бесконечные
произведения—29. 206. Общие условия—30. 207. Абсолютная
сходимость—32. 208. Перестановка множителей—34. 209.
Произведения постоянного знака—35.
Упражнения к гл. IX 36
Глава X. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 43
210. Частные производные—43. 211. Полный дифференциал—43.
212. Сложные функции—45. 213. Производные высших
порядков—46. 214. Функции от η переменных—47. 215. Теорема
о среднем значении—49. 216. Теорема Тейлора—50. 217.
Неявные функции—51. 218. Системы неявных функций—53. 219.
Якобианы и функциональная зависимость—58. 220. Интегралы,
зависящие от параметра—61.
Упражнения к гл. X 64
Глава XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 72
221. Определение двойного интеграла—72. 222. Случай
разрывных функций—74. 223. Повторное интегрирование—76.
224. Произвольные области—80. 225. Площадь—82, 226.
Теорема о среднем значении—83. 227. Другие подразделения
областей—84. 228. л-кратные интегралы—85. 229. Замена переменных
интеграции—86. 230. Площадь поверхности—89. 231. Внутреннее
определение площади поверхности—91. 232. Внутренние
координаты поверхности—93. 233. Положительные и отрицательные

342
ОГЛАВЛЕНИЕ
элементы—95. 234. Теорема Грина на плоскости—97. 235. Точные
дифференциалы—99. 236. Теорема Стокса—101. 237. Теорема
Грина в трехмерном пространстве—104.
Упражнения к гл. XI 105
Глава XII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ ПО
238. Предельная функция—ПО. 239. Равномерное приближение
к пределу—111. 240. Критерий Коши—113. 241. Перестановка
порядка перехода к пределу—114. 242. Двойные пределы—116.
243. Непрерывные предельные функции—118. 244. Несобственные
интегралы—119. 245. Признак равномерной сходимости Вейершт-
расса—120. 246. Инте1рирование рядов —123. 247. Мажорируемые
последовательности—126. 248. Дифференцирование рядов—128.
249. Сходимость в среднем—130. 250. Неравенство Шварца—132.
251. Интегрирование и сходимость в среднем—132. 252.
Приближение в среднем—134. 253. Бесконечные ряды и сходимость
в, среднем — 135. 254. Равностепенная непрерывность — 136.
255. Признак равностепенной непрерывности—139. 256. Случай
нескольких переменных и случай комплексных переменных—141.
Упражнения к гл. XII 141
Глава XIII. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО . . 148
257. Функции—148. 258. Производные—149. 259. Конформные
отображения—151. 260. Степенные ряды—155. 261. Круг
сходимости—157. 262. Дифференцирование степенных рядов—158.
263. Интегралы—160. 264. Интеграл от производной—161. 265
Неравенство для интегралов—162. 266. Теорема Коши—Гурса для
треугольника—164. 267. Интегральная теорема Коши—Гурса—166.
268. Многосвязные области—168. 269. Интегральная формула
Коши—169. 270. Ряд Тейлора—170. 271. Теорема Морера—172. '
272. Аналитические функции—173. 273. Равномерно сходящиеся
последовательности аналитических функций—174. 274. Операции
со степенными рядами—176. 275. Функции, зависящие от
параметра—177. 276. Ряд Лорана—179. 277. Особые точки—182. 278.
Вычеты—184. 279. Замена переменных в интеграле—186. 280.
Действительные интегралы—188. 281. Некоторые тригонометрические
интегралы—189. 282. Аналитическое продолжение—191. 283.
Точки ветвления—192. 284. Разложение по рациональным дробям—194.
285. Бесконечное произведение для синуса—197. 286.
Аналитические функции нескольких комплексных переменных—197.
Упражнения к гл. XIII 200
Глава XIV. РЯДЫ II ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 210
287. Ряд Фурье для периодической функции—210. 288. Функции
с периодом 2π—213. 289. Частичные суммы—213. 290. Переход к
пределу—214. 291. Теорема Римана—215. 292. Условия сходи-

ОГЛАВЛЕНИЕ
:мз
мости—217. 293. Достаточные условия—219. 294. Равномерная
. сходимость—222. 295. Теорема Фейера—223. 296. Теорема Вейер-
штрасса об апроксимации—226. 297. Сходимость в среднем—227.
298. Ряды Фурье в произвольном конечном интервале — 229.
299. Интегральная теорема Фурье—230. 300. Другие интегралы
Фурье—234. 301. Свертывание функций—236. 302. Функции
с интегрируемым квадратом—237. 303. Обобщенные
трансформации—239. 304. Трансформация Лапласа—241. 305. Операторное
решение дифференциальных уравнений—243.
Упражнения к гл. XIV 245
Глава XV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 257
306. Дифференциальное уравнение первого порядка с
аналитической правой частью—257. 307. Системы уравнений—260. 308.
Параметры—261. 309. Случай непрерывных правых частей—269.
310. Единственность—263. 311. Продолжение решения—264.
312. Дифференцируемость—265. 313. Огибающая—268. 314.
Уравнения в частных производных первого порядка—271. 315.
Другие уравнения в частных производных первого порядка—277.
316. Огибающая поверхностей—279. 317. Полный интеграл—282.
Упражнения к гл. XV 284
Глава XVI. ГАММА-ФУНКЦИЯ И ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ 292
318. Периодические функции Бериулли—292. 319. Полиномы
Бернулли—295. 320. Числа Бернулли—397. 321. Рекуррентные
формулы—298. 322. Формула Эйлера—Маклорена—300. 323
Эйлерова постоянная—304. 324. Формула Стирлинга для ml—305.
325'. Гамма-функция для действительных положительных
значений аргумента—307. 326. Гамма-функция для комплексных
значений аргумента—309. 327. Бета-функция—310. 328.
Представление в виде бесконечного произведения—311. 329. Формула
Стирлинга для комплексных значений—315. 330. Интегральное
представление эйлеровой постоянной—318. 331. Некоторые
неэлементарные интегралы—321.
Упражнения к гл. XVI ^ 325
Предметный указатель 338

Редактор Л. А. Петров,
Техн. редактор Е. С. Герасимова.
Корректор Б. А, Ерусалимский.
Сдано в производство 14/VI 1950 г.
Подписано к печати 21/VIII 1950 гч
А-06645. Бумага 60χ92ΐ/ιβ=10,8
бум. л. 21,5 печ. л. Уч.-издат.
л. 23,4. Изд. № 1/276.1
Цена 20 р. 25 к. Зак. 441.
16-я типография Союзполиграф-
прома Главполиграфиздата при
Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9.