Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 4
В. В. Прасолов
Точки Брокара И ИЗОГОНАЛЬНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
Издательство Московского центра НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Москва • 2000
УДК 514.112
П70
ББК 22.151.0
Аннотация
Изогональное сопряжение относительно треугольника AiА2А3 сопоставляет точке X такую точку Y, что прямая YAi симметрична прямой ХА/ относительно биссектрисы угла А/ (г = 1, 2, 3). Это преобразование обладает многими интересными свойствами. В частности, оно переводит друг в друга две замечательные точки треугольника — точки Брокара.
Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной автором 6 ноября 1999 года на Малом мехмате для школьников 9-11 классов.
ISBN 5-900916-49-9
Прасолов Виктор Васильевич
Точки Брокара и изогональное сопряжение (Серия «Библиотека „Математическое просвещение"») М.: МЦНМО, 2000. — 24 с.: ил.
Главный редактор серии В. М. Тихомиров.
Редакторы Р. М. Кузней, Е. Н. Осьмова. Техн, редактор М. Ю. Панов.
Лицензия ЛР №071150 от 11/IV 1995 г. Подписано к печати 21/П 2000 г.
Формат бумаги 60 X 88 Vie- Физ. печ. л. 1,5. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,38.
Тираж 1000 экз.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 121002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11.
Предисловие
С каждым треугольником связано преобразование плоскости, называемое изогональным сопряжением. Точки, переходящие друг в друга при изогональном сопряжении (изогонально сопряжённые точки), часто обладают интересными свойствами. Например, точка, для которой минимальна сумма квадратов расстояний до вершин треугольника (т. е. точка пересечения медиан треугольника), изогонально сопряжена точке, для которой минимальна сумма квадратов расстояний до сторон; точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120°, изогонально сопряжена точке, для которой основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника, образуют треугольник с углами по 60°, т. е. равносторонний; точка пересечения высот изогонально сопряжена центру описанной окружности. Об этих и других свойствах изогонального сопряжения идёт речь в первой части лекции. Вторая часть лекции посвящена паре замечательных точек треугольника — точкам Брокара; эти точки также изогонально сопряжены.
L Изогональное сопряжение
Определение изогонального сопряжения
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку Р внутри его. Отразим прямые АР, ВР и СР относительно биссектрис углов А, В и С соответственно (рис. 1). Докажем, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.
3
Воспользуемся вспомогательным построением. Пусть Р±, Р2 и
р3 — точки, симметричные точке Р относительно прямых АС, АВ и ВС соответственно (рис. 2), Q — центр описанной окружности
треугольника Р1Р2Рз- Покажем, что через точку Q проходят пря-
мые, симметричные прямым АР, ВР, СР относительно биссектрис углов А, В, С соответственно.
Будем считать, что треугольник АВС остроугольный. Обозначим ABAC = а, АРАС = ф. Тогда
АРгАС = АРАС = ф, АР2АВ = АРАБ = а - ф.
А поскольку АР± = АР = АР2, треугольник Pi АР2 является равнобедрен-
ным, и его угол при вершине А равен 2а. Проведём биссектрису угла F1AF2- Она является серединным перпендикуляром к отрезку
Р1Р2, а значит, проходит через точку Q. Но
AQAB = AP2AQ — АР2АВ = а — (а — ф) = ф,
т. е. AQAB = АРАС.
Аналогично доказываются равенства
AQBA = АРВС и AQCA = АРСВ.
Следовательно, прямые AQ, BQ и CQ симметричны прямым АР, ВР и СР относительно биссектрис углов А, В и С соответственно.
Доказательство для случая, когда треугольник АВС не является остроугольным, аналогично и предоставляется читателю в качестве лёгкого упражнения.
Точку Q называют изогонально сопряжённой точке Р относительно треугольника АВС. Ясно, что если точка Q изогонально сопряжена точке Р, то точка Р изогонально сопряжена точке Q. Действительно, если прямая AQ симметрична прямой АР относительно биссектрисы угла А треугольника АВС, то и прямая АР симметрична прямой AQ.
4
Аналогичным образом можно определить изогонально сопряжённую точку не только для внутренних точек треугольника, но и для остальных точек плоскости, отличных от А, В и С. При этом может оказаться, что прямые, симметричные прямым АР, ВР, СР относительно биссектрис треугольника АВС, параллельны. В таком случае мы считаем, что этой точке изогонально сопряжена «бесконечно удалённая» точка.
Отображение, которое переводит каждую точку плоскости (кроме А, В и С) в точку, которая ей изогонально сопряжена, называется изогональным сопряжением относительно треугольника АВС.
Простейшие свойства изогонального сопряжения
1°. Изогональное сопряжение не является взаимно однозначным отображением.
Рассмотрим, например, точку на прямой ВС, отличную от В и С. Прямая, симметричная прямой ВС относительно биссектрисы угла В, есть, очевидно, прямая АВ, а прямая, симметричная ВС относительно биссектрисы угла С, есть прямая АС. Поэтому исходная точка перейдёт в точку А. Значит, вся прямая ВС (за исключением точек В и С, для которых отображение не определено) перейдёт в точку А. Поэтому изогональное сопряжение не взаимно однозначно.
Впрочем, если рассматривать плоскость без прямых, содержащих стороны треугольника, то изогональное сопряжение является взаимно однозначным отображением.
Приведённое утверждение требует некоторых пояснений для точек, изогонально сопряжённых точкам описанной
окружности треугольника АВС (отличным от вершин А, В, С). Дело в том что для каждой такой точки Р прямые, симметричные прямым АР, ВР и СР относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, параллельны (рис. 3).
Докажем, например, что прямые а и b параллельны (см. рис. 3). Сумма внутренних односторонних углов Z.A + ф и Z.B + ср, образо
5
ванных при пересечении прямых а и b секущей АВ, равна /.А + ф + + ZB + ср = /_А + ZB + Z.C = 180°. Следовательно, а || Ь.
Это означает, что каждой точке описанной окружности, кроме вершин треугольника, соответствует некоторая несобственная точка, лежащая на несобственной прямой плоскости. Верно и обратное: если данной несобственной точке, определяемой «пучком» параллельных прямых, поставить в соответствие три параллельные прямые «пучка», проходящие через вершины треугольника, то прямые, симметричные им относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, определяют точку, изогонально сопряжённую этой несобственной точке.
2°. Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (т. е. существуют ровно четыре точки, которые изогонально сопряжены самим себе): центр вписанной и центры вневписанных окружностей треугольника АВС (рис. 4).
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Понятно, что эта точка самосопряжена. Центр вневписанной окружности — это точка пересечения двух биссектрис внешних углов треугольника. Поскольку биссектриса внешнего угла перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла, то преобразование симметрии относительно биссектрисы этого внутреннего угла оставляет прямую, содержащую биссектрису внешнего угла, на месте. Значит, при изогональном сопряже
6
нии точка пересечения двух биссектрис внешних углов также остаётся на месте.
Понятно, что других неподвижных точек изогональное сопряжение не имеет.
3°. Ортоцентр {точка пересечения высот) треугольника АВС изогонально сопряжён центру описанной окружности этого
треугольника.
Доказательство проведём для остроугольного треугольника
(случай неостроуголного треугольника разбирается аналогично).
Пусть О — центр описанной окружности, Н — точка, изогонально сопряжённая точке О. Обозначим /АСВ = = у (рис. 5). По теореме о вписанном угле, /АО В = 2у. Треугольник АО В равнобедренный, поэтому /АВО = = 90° — у как угол при основании. Пусть точка D на прямой АС такова, что /CBD = /АВО. Тогда, по определению, точка Н лежит на прямой BD. Но /BCD = у, /CBD = 90° - у, поэтому BD — высота треугольника АВС. Аналогично рассуждая,
приходим к выводу, что
точка Н лежит на всех трёх высотах треугольника АВС.
Трилинейные координаты
Рассмотрим треугольник АВС и точку Р внутри его. Пусть
х, у, z — расстояния от точки Р до прямых ВС, СА и АВ со-
ответственно (рис. 6). Тогда набор чисел (х, у, z) называется трилинейными координатами точки Р относительно треугольника АВС.
Установим связь между трилинейными и барицентрическими координатами. Напомним, что барицентрические координаты точки Р (относительно треугольника АВС) — это такая тройка чисел (х, у, z), что точка Р является
В
Рис. 6
7
центром масс системы точек {(А,х), (В, у), ((7,2)} (точке А «приписана» масса х, точке В — масса у, а точке С — масса 2). Как видно из определения, числа х, у, z определены с точностью до пропорциональности (т. е. точки с координатами (х, y,z) и (Ха:, \у, Х2) при X О совпадают).
Например, точка с трилинейными координатами (г, г, г) — это точка пересечения биссектрис (г — радиус вписанной окружности треугольника), а точка с барицентрическими координатами (г, г, г) = (1,1,1) — это точка пересечения медиан.
Можно показать, что если положить х равным площади Л.РВС, у — площади ДР(7А, a z — площади А.РАВ, то мы получим барицентрические координаты точки Р. Отсюда следует, что трилинейные координаты точки связаны с барицентрическими следующим образом:
х = ВС  х, у = АС - у, z = АВ  z.	(1)
Разница, казалось бы, невелика. Но оказывается, что барицентрические координаты хорошо приспособлены к аффинным свойствам, а трилинейные — к метрическим. (Свойство называют аффинным, если оно сохраняется при ортогональной проекции одной плоскости на другую. Например, свойство быть точкой пересечения медиан треугольника — аффинное. Если же свойство существенно зависит от расстояний и углов, то такое свойство называют метрическим. Например, свойство быть точкой пересечения биссектрис треугольника — метрическое.)
Определение трилинейных координат ДЛЯ ВСЕХ ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ
Пусть Р — произвольная точка плоскости. Тогда её первая трилинейная координата х — это ориентированное расстояние от точки Р до прямой ВС (т. е. расстояние, взятое со знаком «+», если точки Р и А расположены по одну сторону от прямой ВС, и со знаком «—», если по разные стороны). Соответственно, у и z — это ориентированные расстояния до прямых С А и АВ (рис. 7).
Итак, каждой точке плоскости мы сопоставили три числа. Но для того, чтобы задать точку на плоскости, вполне достаточно двух чисел (например, в декартовой системе координат). Конечно, барицентрические координаты точки — это тоже три числа, но зато они
8
определены с точностью до пропорциональности. Соотношения (1) приводят нас к выводу, что и трилинейные координаты также можно определить с точностью до пропорциональности.
Докажем теперь, что трилинейные координаты определены с точностью до пропорциональности, без ссылки на
свойства барицентрических координат.	Рис. 7
Пусть х, у и z — ориентированные расстояния от некоторой точки Р до прямых ВС, С А и АВ соответственно. Покажем, что на плоскости не существует точки Р', для которой эти расстояния были бы равны Хт, Ху и Хг соответственно (X 1). Тогда можно считать, что тройки (ж, у, z) и (Хж,Ху,Хг) при X 0 (точки с координатами (0,0,0) не существует) определяют одну и ту же точку.
Поскольку отношение первой и второй координат (т. е. отношение расстояний до прямых ВС и С А) для точек Р и Р' одно и то
же, то из формулы
х _ sin /LB СР у sni/LPCA
(углы тоже ориентированы, рис. 8) следует, что точка Р' лежит на прямой СР (при X > 0 — на луче СР, а при X < 0 — на дополнении этого луча). Если у = 0, х 0, то точка
Р' лежит на прямой АС, которая совпа-	5
дает в таком случае с прямой СР. Если	/ \
х = у = 0, то Р = С = Р'.	/ \
Аналогично, точка Р' лежит и на	/	\
прямой АР, и на прямой ВР, т. е. сов-
падает с точкой Р, откуда X = 1.	/	\
Итак, трилинейные координаты оп- / У L
ределены с точностью до пропорцио- д
нальности, и если нам даны не сами	рис g
расстояния от точки Р до прямых АВ,
ВС и С А, а только отношения этих расстояний, то точка Р всё равно восстанавливается однозначно.
Пусть теперь фиксированы первые две координаты точки (точнее их отношение), причём хотя бы одна из этих двух координат
9
отлична от нуля, а третья координата меняется. Как мы уже знаем, точка (a, b, z), а2 + Ь2 0, принадлежит некоторой прямой, т. е. можно рассматривать переменную z как координату вдоль этой прямой. Но это не обычная, а проективная координата. Например, в вершине С треугольника она принимает значение оо (бесконечность), а в несобственной точке прямой (т. е. при бесконечном удалении от точки С) — обычное конечное значение.
Рис. 9
Проиллюстрируем последнее утверждение: допустим, что точка (а, Ь, z) расположена настолько далеко от треугольника, что он «кажется точкой» (рис. 9). Поскольку заданы числа а и Ь, то и z — вполне определённое действительное число.
Изогональное сопряжение В ТРИЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Пусть точки Р и Q изогонально сопряжены относительно треугольника АВС и отличны от его вершин, (р1,Р2,Рз) — трилинейные координаты точки Р. Точки прямой АР (в том числе и несобственная точка) имеют координаты вида (х,р2,рз), где х — любое число (включая оо). Прямая AQ симметрична АР относительно биссектрисы угла А, поэтому её точки имеют координаты вида (х1 ,Рз,Рг) (рис. 10): х1 — переменная, а последние две координаты поменялись местами. Поскольку трилинейные координаты определены с точностью до постоянного множителя, можно также утверждать, что
точки прямой AQ имеют координаты (х", —,—
V Р2 Рз
10
Проводя аналогичные рассуждения для вершин В и С, мы получим, что при изогональном сопряжении точка (р1,Р2,Рз) переходит / 1 1 1 \ в точку I —, —, — ).
Vpi Р2 РЗ'
Трилинейные координаты удобны при решении некоторых задач, связанных с треугольником.
Задача. Точка, для которой минимальна сумма квадратов расстояний до вершин треугольника АВС (т. е. точка пересечения его медиан), изогонально сопряжена точке, для которой минимальна сумма квадратов расстояний до сторон треугольника.
Решение. Прежде всего проверим, что точка, для которой минимальна сумма квадратов расстояний до вершин треугольника АВС, — это точка М пересечения его медиан. Действительно, поскольку МА + МВ + МС = 0 , то для любой точки X М
ХА2 + ХВ2 + ХС2 = |Х1|2 + \Х1312 + |	2 =
= \Х1Й + 7Й1|2 + | ХЙ + МЪ |2 + |ХЛ?+ 7Й^|2 =
= (ХМ+7Й1, ХМ+7Й1) +	+
+ {ХМ+М^,ХМ+М^} =
= ЗХМ2 + 2(Х^,М1 + М^ +	+
+ МА2 + М В2 + МС2 =
= SXM2 + МА2 + МВ2 + МС2 > МА2 + МВ2 + МС2,
11
где через (г, s) обозначено скалярное произведение векторов г и s .
Из соотношений (1) следует, что точка пересечения медиан имеет трилинейные координаты (-, 7, -Y где а = ВС, b = АС, с = \а Ъ с/
= АВ — длины сторон треугольника. Поэтому точка, изогонально сопряжённая точке пересечения медиан, имеет трилинейные координаты (а, Ь, с).
Рассмотрим произвольную собственную точку с трилинейными координатами (x,y,z). Расстояния от этой точки до сторон треугольника равны кх, ку, kz, где число к определяется соотношением к{ах + by + cz) = 2S (S — площадь треугольника АВС). Таким образом, сумма квадратов расстояний от рассматриваемой точки до сторон треугольника равна
4g2 Ж2 + У2 + Z2 {ах + by + cz)2 '
Требуется доказать, что эта сумма минимальна в том случае, когда х = а, у = b, z = с, т. е.
2 I 2 I 2	2 I 12 I 2
Ж + У + Z	а + О + С
{ах + by + cz)2 ' {а2 + Ъ2 + с2)2 ’
причём равенство достигается только при х = Ха, у = ХЬ, z = Хс, где X 0. Это неравенство эквивалентно неравенству Коши—Буняков-ского
{ах + by + cz)2 (а2 + Ъ2 + с2){х2 +у2 + z2), которое доказывается совсем не сложно.
Окружности Аполлония и точки Торричелли
Пусть АиВ — произвольные точки. Докажем, что геометриче-„	АХ	.
ское место точек А, таких что отношение _ „ постоянно и равно к вх
{к > 0, к ф 1), есть окружность.
Введём декартову систему координат следующим образом: пусть ось Ох совпадает с прямой АВ, точка А является началом
12
координат, В = (1,0) (рис. 11). Если точка X = (х,у) такова, что 4 Y
—— = к, то АХ2 = к2ВХ2 и х2+у2 = к2((х — 1)2 + у2). Преобразуем
это выражение:
х2 + у2 = к2х2 — 2к2х + к2 + к2у2, (1 — к2)х2 + 2к2х + (1 — к2)у2 = к2,
(х +
fc2 \
1 -к2)
2
+ у2 =
к V
1-к2) 
/ fc2 \
Это уравнение описывает окружность с центром ( — -—, 2, 0 ) ра-\	1 — К*1	/
к
ДИУСа |1 - |
Построенная окружность называется окружностью
Аполлония.
В случае, когда к = 1, окружность Аполлония вырождается в прямую — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
С каждым треугольником можно связать три окружности Аполлония (рис. 12), которые задаются следующими условиями:
АХ _ АС	ВХ _ В А	СХ _ СВ
ВХ ~ ВС’ СХ ~ СА’ АХ — АВ’
Если треугольник равносторонний или равнобедренный, то некоторые из окружностей Аполлония могут оказаться прямыми.
13
Рис. 12
14
Утверждение 1. Три окружности Аполлония, связанные с неравносторонним треугольником, пересекаются в двух точках, т. е. существуют две точки, через каждую из которых проходят все три окружности.
Доказательство. Пусть Р — точка пересечения двух окружностей Аполлония, проходящих через вершины А и В треугольника. „ ВР	ВА СР
1огда = -VT и —— 14 СР	СА АР
ВР
СВ
= -др, а из этих равенств следует, что
ВР СР _ В А СВ _ ВС АР ~ СР ' АР ~ СА ' АВ ~ АС’
т. е. точка Р лежит и на третьей окружности Аполлония (проходящей через вершину С). Итак, третья окружность проходит через точки пересечения первых двух окружностей.
В случае равностороннего треугольника все три окружности Аполлония вырождаются в прямые и эти прямые имеют только одну общую точку.
Утверждение 2. Пусть Р — одна из точек пересечения окружностей Аполлония, Ар, Вр и Ср — её проекции на прямые ВС, С А и АВ соответственно (рис. 13). Тогда треугольник АрВрСр равносторонний.
в
Bp
Рис. 13
Доказательство. Поскольку /.АВрР = /.АСрР = 90°, точки A, Bp, Р и Ср лежат на одной окружности. Отрезок АР — диаметр этой окружности, и, по теореме синусов,
ВрСр = АР sin а.
Аналогично,
Ср Ар = BPsinp, ApBp = C'Fsiny
15
(как обычно, а, р и у — углы треугольника АВС). Далее, если R — радиус описанной окружности треугольника АВС, то
ВС = 2R sin а, АС = 2R sin (3, АВ = 2R sin у.
Поэтому
ВрСр _ АР sin а _ AC sin а _ 2/? sin [3-sin а _
СрАр BPsinp BCsinp 2/?sina-sinp
Аналогично доказывается, что
СрАр _ АрВр
Следовательно, треугольник АрВрСр является равносторонним.
Построим на сторонах треугольника АВС вовне три равносторонних треугольника АВС\, АВ^С и А^ВС (рис. 14). Тогда прямые AAi, BBi и CC'i пересекаются в одной точке, которую называют точкой Торричелли. В этой же точке пересекаются описанные окружности построенных правильных треугольников и стороны треугольника АВС видны из неё под углом либо 60°, либо 120° (если только точка Торричелли не совпадает с вершиной треугольника).
Рис. 14
16
Для неравносторонних треугольников есть ещё и вторая точка Торричелли, которая получается, если равносторонние треугольники построены вовнутрь.
Можно доказать, что первая точка Торричелли имеет трилинейные координаты
/ 1 1 1 \ \sin(60° + а) ’ sin(60° + 0) ’ sin(60° + у) / ’
а вторая точка Торричелли — трилинейные координаты
/ 1 1 1 \
I sin(60° - а) ’ sin(60° - 0) ’ sin(60° - у)) '
Если один из углов треугольника равен 120°, то первая точка Торричелли попадает в вершину. То же самое происходит со второй точкой Торричелли, если ровно один из углов треугольника равен 60°, а если все углы равны по 60°, то вторая точка Торричелли не определена.
Точки, в которых пересекаются окружности Аполлония, имеют трилинейные координаты
(sin(60° + a),sin(60° + 0),sin(6O° + у)) и (sin(60° — a),sin(60° — 0),sin(6O° — у)).
Поэтому точки Торричелли изогонально сопряжены точкам пересечения окружностей Аполлония. (Исключение составляют треугольники, у которых один из углов равен 60° или 120°.)
Окружность Эйлера И ПРЯМАЯ СИМСОНА
Пусть точка Р2 изогонально сопряжена точке Pi относительно треугольника АВС. Опустим из них перпендикуляры F1A1, Р1В1, Р1С1; Р2А2, Р2В2, Р2С2 на стороны ВС, СА, АВ соответственно. Тогда точки Ai, А2, В\, В2, Ci, С2 лежат на одной окружности.
Докажем это. Предположим, что точки В±, В2, Ci и С'2 располагаются на сторонах АС и АВ в таком порядке, как показано на рис. 15. Докажем, что
ZC'1B1B2 +	= 180°.
17
Это означает, что точки В±, В2, Ci и С2 лежат на одной окружности, причём центром этой окружности, как мы увидим, является середина отрезка Р\Р2. Действительно, точки А, В2. Р2, С2 лежат на одной окружности, и точки А, В±, Р^, Ci тоже лежат на одной окружности (рис. 15). Следовательно,
ZP1B1C1 = ZFiACi = ZF2AB2 = АР2С2В2.
А так как АР^В^А = АР2С2В = 90°,
ZC'iB1B2 + АСГС2В2 =
= АРХВХА - APiBiCi + АР2С2В + АР2С2В2 = 180°.
Центр этой окружности является серединой отрезка Pi Р2, поскольку он лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам B±B2 и С\С2. Если же точки В±, В2, Ci и С2 располагаются по-другому, приведённое доказательство надо незначительно изменить.
Нетрудно показать, что точки А± и А2 также лежат на этой окружности.
Доказанное утверждение можно использовать для доказательства некоторых известных теорем планиметрии. Например, когда
18
р2 — точка пересечения высот треугольника, а Pi — центр описанной окружности, получаем, что основания высот треугольника и середины его сторон лежат на одной окружности (она называется окружностью Эйлера).
Более интересное утверждение получается в том случае, когда точка Pi лежит на описанной окружности треугольника и отлична от его вершин. В этом случае прямые, симметричные прямым APi, ВР^, СPi относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, параллельны. Значит, Р% — несобственная (бесконечно удалённая) точка. Поэтому основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника из произвольной точки описанной окружности, лежат на окружности бесконечного радиуса, т. е. они лежат на одной прямой (эту прямую часто называют прямой Симеона).
Эллипс И ИЗОГОНАЛЬНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
Напомним, что эллипсом называется множество точек М, для которых сумма расстояний MFi + MF2 до двух заданных точек Fi и Fz (фокусов эллипса) постоянна.
Касательная к эллипсу в точке М — прямая, имеющая ровно одну общую точку с эллипсом, содержит биссектрисы внешних углов треугольника Fi МF^ при вершине М (рис. 16). Доказательство этого факта основывается на двух леммах.	Д
Лемма 1. Если I — касательная к элли- (	—	• I
псу в точке М, то XFi +XF2 > MFi + MF2 \. ^	)
для любой точки X М прямой I.
Лемма 2. Если для точки М прямой I	Р 16
сумма расстояний MFi + MF2 до двух за-
данных точек Fi и F2, лежащих по одну сторону от прямой I, ъш-нимальна, то I содержит биссектрисы внешних углов треугольника F1MF2 при вершине М.
Доказательство этих лемм предоставляется читателю в качестве несложного упражнения.
Докажем, что фокусы любого эллипса, вписанного в треугольник, изогонально сопряжены относительно этого треугольника.
Доказательство. Рассмотрим угол А треугольника АВС. Пусть эллипс, вписанный в треугольник, касается сторон АВ и АС
19
прямой F\L. При этом F[F2 = Значит, треугольники F^AFi и
в точках К и L соответственно, a Fi и F2 — фокусы эллипса. Поскольку касательная к эллипсу образует равные углы с отрезками, соединяющими точку касания с фокусами, точка F[, симметричная р относительно КА, лежит на прямой F2K (рис. 17). Точно так же, точка Р%, симметричная К относительно LA, лежит на К + F2K = PL + F2L = FrF^. F2AF[ равны по трём сторонам.
Следовательно, АКАр = ^AF[AFr = |zF2AF^ = ALAF2. Это означает, что прямые Ар и AF2 симметричны относительно биссектрисы угла А. Аналогичные рассуждения для углов В и С треугольника показывают, что Fi и F2 изогонально сопряжены относительно треугольника АВС.
II. Точки Брокара
Точка Р, лежащая внутри треугольника АВС, называется первой точкой Брокара, если АРАС = АРСВ = АР В А (рис. 18, а). Для второй точки Брокара должны выполняться равенства AQAB = AQCA = AQBC (рис. 18, б).
20
Докажем, что для любого треугольника существует ровно одна первая точка Брокара (для второй точки Брокара рассуждения аналогичны) .
Построим на сторонах треугольника АВС подобные ему треугольники AiBC, АВ\С и ABCi, как показано на рис. 19 (а, 0 и у — углы треугольника АВС). Поскольку ААСР = ААСВ — АРСВ, равенство АРАС = АРСВ эквивалентно равенству ААРС = 180° — у. Но ААВ^С = у, поэтому точка Брокара Р лежит на описанной окружности треугольника ABi С.
Аналогичные рассуждения для остальных углов показывают, что Р является точкой Брокара тогда и только тогда, когда она принадлежит описанным окружностям всех трёх треугольников А^ВС, АВ]С и ABCi.
Поскольку описанные окружности треугольников А±ВС и АВ±С пересекаются в двух точках и одна из них — точка С, мы тем самым доказали, что существует не более одной первой точки Брокара. Для доказательства существования точки Брокара достаточно показать, что эти три окружности действительно имеют общую точку.
Пусть Р — точка пересечения описанных окружностей треугольников А^ВС и АВ]С, отличная от точки С. Нетрудно доказать, что точка Р лежит внутри треугольника АВС. Имеем:
ААРС = 180° - у, АВРС = 180° - 0,
ААРВ = 360° - ААРС - АВРС = 0 + у = 180° - а, следовательно точка Р лежит и на описанной окружности треугольника АВ Ci, т. е. Р — точка Брокара.
Отметим, что отрезки AAi, BBi и CCi пересекаются в точке Р. Действительно, по теореме о вписанном угле,
A Al PC = AAi ВС = у,	A Л РВ = A Л СВ = а,
ACiPB = ACiAB = 0.
Но а + 0 + у = 180°, поэтому отрезок CCi проходит через точку Р. Аналогично доказывается, что и отрезки AAi и BBi проходят через эту точку. Тем самым, мы получили более простой способ построения первой точки Брокара.
21
22
Угол Брокара
Пусть Р и Q — первая и вторая точки Брокара треугольника АВС соответственно,
epi = АРАС = АРСВ = АРВА,
ср2 = AQAB = AQCA = AQBC.
Докажем, что cpi = срг- Так же, как в предыдущем пункте, построим точку Ai (рис. 19). Как мы установили, точка Р лежит на отрезке AAi. Поскольку ААВА± = [3 + у = 180° — а, то прямые АС и ВА± параллельны. Пусть точки К и L — основания перпендикуляров, опущенных на прямую АС из точек В и А± соответственно (рис. 20). Пусть также точка К лежит на отрезке АС, а не на его продолжении (остальные случаи разбираются аналогично). Тогда из равенства ВК = A\L получаем:
,	AL	АК CL СК ,	, , „ , ,
“S* = ЛИ = ВК + ЛЦ. + ВК = «S» + <*S₽ + «SY-
Поскольку, по определению, угол cpi меньше любого из углов треугольника АВС, а значит, меньше 90°, то по величине ctgcpi однозначно определяется угол cpi. Для угла, связанного со второй точкой Брокара, мы получим точно такое же выражение, поэтому ф1 = ф2-
Из равенства этих углов следует, что первая и вторая точки Брокара изогонально сопряжены.
Угол ср = cpi = ср2 называют углом Брокара треугольника АВС.
Для угла Брокара ср можно также получить следующее неявное выражение:
sin3 ср = sin (а — ср) sin(£3 — ср) sin (у — ср).
Действительно, по теореме синусов, применённой к треугольникам АВР, ВСР и САР,
АР _ sin ср	ВР _ sin ср	СР _ sin ср
ВР sin(a — ср) ’ СР sin(P — ср) ’ АР sin(y — ср) Перемножив эти равенства, получим требуемое.
Оглавление
Предисловие	3
I. Изогональное сопряжение	3
Определение изогонального сопряжения.............. 3
Простейшие свойства изогонального сопряжения.....	5
Трилинейные координаты............................ 7
Определение трилинейных кординат для всех точек плоскости ........................................ 8
Изогональное сопряжение в трилинейных координатах...................................... 10
Окружности Аполлония и точки Торричелли.......... 12
Окружность Эйлера и прямая Симеона............... 17
Эллипс и изогональное сопряжение................. 19
П. Точки Брокара	20
Угол Брокара..................................... 23