Text
                    А.М.Башарое
ФОТОНИКА. САМОПУЛЬСАЦИИ И ХАОС В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Учебное пособие. —М.: МИФИ, 1987. - 60 с.
Режимы работы пассивных оптических устройств, таких, как нелинейные резонаторы, электро- и акустооптические системы, проанализированы в рамках понятий теории одномерных отображений, естественно возникающей при пренебрежении инерционностью устройств. Рассмотрены оптическая бистабильность, периодические и стохастические пульсации и некоторые их приложения. Описаны пути возникновения хаотического режима через последовательность удвоения периода пульсаций (сценарий Фейгенбаума), перемежаемость периодического и стохастического режимов (сценарий Помо— Манневиля) и через разрушение квазипериодического движения (сценарий Рюэля-Таккенса). Дано представление об используемом здесь ренормгрупповом подходе.
Пособие предназначено для студентов факультетов ЭТФ и СФФ, специализирующихся в области физики твердого тела и квантовой электроники.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	3
Оптические бистабильность, самопульсации и хаос	3
Особенности теоретического анализа оптических устройств с задержкой в 7 линии обратной связи
Библиография	14
Глава I. Описание режимов работы оптических устройств	16
1.	Основные уравнения для кольцевого резонатора	16
2.	Абсорбционная бистабильность	23
3.	Самопульсации в нерезонансном кольцевом резонаторе с	27
абсорбционной нелинейностью
4.	Оптическая мультистабиаьность и самопульсации в гибридных	30
устройствах и резонаторах с дисперсионной нелинейностью
5.	Режим синхронизации частот	34
Библиография	35
Глава II. Сценарии перехода к хаосу	36
6.	Некоторые характеристики хаоса	36
7.	Сценарий Фейгенбаума	40
8.	Сценарий Помо - Манневиля	49
9.	Сценарий Рюэля-Таккенса	51
Библиография	52
Глава III. Экспериментальные исследования	52
10.	Гибридные устройства	52
11.	Полностью оптические системы	55
Список использованной литературы	56


ВВЕДЕНИЕ Потребности развития вычислительной техники, средств обработки и передачи информации стимулировали в последнее десятилетие многочисленные работы в области создания полностью оптических аналогов электронных схем, различных гибридных устройств, а также всевозможных оптических процессоров и других систем. Одними из основных конструкционных элементов разрабатываемых систем являются пассивные оптические резонаторы, заполненные нелинейными средами, ряд гибридных (электро— и акустооптических) резонаторных и безрезонаторных устройств с задержкой в линии обратной связи. Взятые сами по себе,они могут служить ячейками памяти, переключателями и ограничителями мощности оптического излучения, оптическими транзисторами и мультивибраторами, генераторами шумов, выполнять логические операции "и", "или", "не и","не или". Все эти возможности уже продемонстрированы экспериментально, а ряд устройств сделан в интегрально—оптическом исполнении. Ввиду постоянного притока энергии и его рассеяния рассматриваемые оптические устройства относятся к так называемым открытым диссипативным системам, которые интенсивно исследуются в настоящее время. Причем в отличие от электронных оптические устройства являются системами с распределенными параметрами — размеры оптического устройства обычно значительно превышают длину волны света. Экспериментальное и теоретическое изучение различных режимов работы указанных устройств представляет не только практический, но и общефизический интерес, поскольку они дают нетривиальные примеры динамики диссипативных систем, такие, как потеря устойчивости стационарного режима и возникновение периодических пульсаций, последовательность удвоения периода пульсаций, переход к хаотическому режиму и другие. В пособии излагаются элементы теории таких явлений, описываются некоторые эксперименты и устройства. Остановимся на основных режимах работы оптических устройств и особенностях их теоретического анализа. Оптические бистабильность, самопульсации и хаос Отличительной чертой рассматриваемых оптических устройств является наличие нелинейной среды и явного механизма обратной связи, которая может быть как оптической (в нелинейном резонаторе), так и электрической (в гибридных схе-3
мах). При определенных условиях одна и та же монохроматическая волна может проходить через такое оптическое устройство в двух различных стапионарных режимах, различающихся друг от друга значением 1Т интенсивности* и другими характеристиками прошедшей волны, о чем говорят как об оптической бистабильности. Чтобы понять причины возникновения оптической бистабильности рассмотрим резонатор Фабри — Перо (рис.1,а) заполненный керровской средой, показатель преломления п которой зависит от интенсивности 1С поля внутри резонатора линейным образом: п = п0 + П-г_1с . Пусть слабое падающее излучение интенсивности нерезонансно резонатору, т.е. частота излучения не совпадает с частотой какой-либо собственной моды резонатора. С ростом I увеличивается 1С и поэтому изменяются h и собственные моды резонатора. В результате в определенной области параметров резонатора при некотором значении II - I f может возникнуть положительная обратная связь, приводящая к резкому увеличению поля внутри резонатора, — частота одной из мод резонатора становится настолько близкой к частоте падающего излучения, что малые флуктуации падающего излучения, повышающие его интенсивность, увеличивают также поле внутри резонатора, что еще более сближает Рис. 1. Резонатор Фабри — Перо (а) и его пропускание в случае оптической бистабильности (б) и режима дифференциального усиления (в) & Всюду говоря об интенсивности электромагнитной волны с несущей частотой си , имеем ввиду величину, усредненную за период быстры?: колебаний z.
частоты и приводит к дальнейшему росту Г вследствие интерференции волн внутри резонатора. Эта положительная обратная связь до тех пор стимулирует увеличение поля 1С , пока резонатор снова не станет нерезонансным падаюшему излучению, причем здесь флуктуации поля уже не изменят его состояния. Поэтому при уменьшении интенсивности 1^. обратный процесс резкого уменьшения поля внутри резонатора произойдет при другом значении 2^ = £ интенсивности падающего излучения, так что будет иметь место явление гистерезиса, а в области Ц < < < I f — два устойчивых режима прохождения оптического устройства (рис. 1,6). Описанную бистабильность называют дисперсионной, так как нелинейность здесь связана только с зависимостью показателя преломления от интенсивности волны. Существует также и другая крайняя возможность — абсорбционная бистабильность — определяемая лишь нелинейным поглощением (ее мы обсудим в дальнейшем). Оптические устройства, в которых встречается тот или иной тип бистабильности, называют бистабильными оптическими устройствами. Именно они и представляют наибольший интерес для практического использования. В ряде применений достаточным оказывается режим дифференциального усиления (рис. 1,в), который предшествует бистабильности, если должным образом изменить параметры бистабильного оптического устройства. Функциональные возможности оптических устройств с гистерезисным поведением и с режимом дифференциального усиления показаны на рис. 2. Другим следствием нелинейности и обратной связи является развитие в некоторых случаях разного рода неустойчивостей, приводящих к возникновению периодических пульсаций интенсивности прошедшей волны. Чтобы подчеркнуть, что такой режим не связан с какой-либо модуляцией падающей волны (которая может быть строго монохроматичной) или другими внешними воздействиями, говорят о самопульсациях излучения. Поясним образование самопульсаций на примере оптического резонатора с керровской средой. Известно, что достаточно интенсивные световые поля вызывают в нелинейных средах многофотонные явления - генерацию гармоник, комбинационное рассеяние и другие четырехвол— новые процессы. В частности, монохроматическая волна частоты в керровской среде способна породить две волны с частотами сс^аз-Д и , расположенными на час- тотной шкале симметрично по обе стороны от о) (в силу
Рис. 2. Некоторые функциональные возможности оптических устройств с гистерезисным поведением и режимом дифференциального усиления: а — оптическая память; б — оптический транзистор; в, г — фотонная логика свойств симметрии тензора нелинейной восприимчивости третьего порядка). Для того, чтобы генерируемые волны не исчезли вследствие интерференции в резонаторе, они должны совпадать (или быть близкими) с собственными модами резонатора, например соседними, тогда Д=Л / Z0 , где Гр- время движе- ния сигнала по замкнутому пути внутри резонатора. В результате сложения генерируемых волн с проходящей интенсивностью излучения на выходе из резонатора оказывается промодулирован— ной с периодом 2 Гр . Таким образом, при определенных параметрах стационарный режим прохождения излучения через нелинейный резонатор становится неустойчивым - возбуждаются собственные моды и возникают самопульсации. Оптическое устройство, работающее в режиме само пульсаций, может служить в качестве мультивибратора в оптических аналогах электронных схем. 6
При возбуждении большого числа мод резонатора картина самопульсаций весьма сложна, и даже в отсутствие каких-либо внешних шумов и внутренних флуктуаций возможна ситуация, когда прошедшее излучение будет представлять собой полностью шумовой сигнал. Об этом говорят, как о развитии оптической турбулентности или хаотическом (стохастическом) режиме работы оптического устройства. Еще совсем недавно экспериментатор, обнаружив сложные, нерегулярные пульсации излучения, отказывался от их исследования, ссылаясь на неконтроли— руемость параметров, внешние шумы и случайные воздействия и т.п. Сейчас уже многим ясно, что эти сложные пульсации могут быть связаны с самим существом дела (например, с возбуждением различных собственных мод резонатора) и их изучение важно не только для понимания режимов работы оптического устройства, но и представляет самостоятельный интерес. Особенности теоретического анализа оптических устройств с задержкой в линии обратной связи Наличие задержки в линии обратной связи рассматриваемых устройств определяет своеобразие их теоретического описания. В качестве простого примера рассмотрим гибридное безрезо-наторное электрооптическое устройство (рис. 3). Прошедший Рис. 3. Пример электрооптического устройства с задержкой в линии обратной связи через поляризатор (П), линейно поляризованный свет интенсивности Л подается на электрооптический кристалл - модулятор (М), который поворачивает плоскость поляризации на угол, пропорциональный приложенному к кристаллу электрическому напряжению. После анализатора (А) часть прошедшего излучения с интенсивностью л подается на фотодетектор (Ф),преобразующий свет в электрическое напряжение, пропорциональное JC . Это напряжение, повышенное с помощью усилителя (У),прикла-
дывается к кристаллу (М). С учетом времени Тозапаздывания света на пути от М до Ф, но в пренебрежении времени Х/р установления в цепи обратной связи , обусловленного релаксационными процессами, имеем очевидное соотношение (1) где Ыд — угол поворота плоскости поляризации, вызванный постоянным напряжением смещения на модуляторе и взаимным расположением плоскостей поляризации поляризатора П и анализатора А, а Л и <х — безразмерные интенсивности и Iт . Если учесть время 1/ установления обратной связи, то вместо (1) получим Аналогичные дифференциально-разностные уравнения, которые запишем в виде xfr)=<fy (ы(т)), = <p(x(z-<C0)), (2) описывают прохождение плоской электромагнитной волны и через другие оптические устройства с задержкой в линии обратной связи. Здесь функции и зависят от системы, типа нелинейности и интенсивности Л падающего излучения. Их композиция о Ч> определяет некоторую нелинейную функцию, которую обозначим через (х}^. <Рд (<f> (х-)). Уравнения типа (2) очень сложны и не поддаются пока исследованию в общем виде. Однако если скорость у установления обратной связи достаточно велика , так что за время обратной связи все релаксационные процессы в системе затухнут, т.е. система станет безынерционной, а все другие изменения во времени будут совершаться в масштабе Хд, то производной в (2) можно пренебречь. Тогда уравнения (2 ) сводятся к своему сингулярному пределу, получаемому занулением коэффициента ( f~1) при старшей (в нашем случае-единственной) производной, причем для величин х,п = х (п. Ту), 72 = = 0, 1, 2, ... возникает следующее рекуррентное соотношение Xtu-1 (з) Математики называют (3) одномерным отображением; отображает некоторый отрезок действительной оси в себя. Используется также термин "итерация": все величины х^ , п>1 , являются итерациями начального значения ; отображение 8
ХД+7~Л где // представляет двукратную итерацию исходного отображения (3) и т.п. Различные режимы работы оптических устройств оказываются тесно связанными с устойчивыми неподвижными точками и циклами отображения (3). Прежде чем обсуждать этот вопрос, дадим необходимые определения. Неподвижные точки (или 1-циклы) х являются решением уравнения (4) и наглядно представляются как точки пересечения прямой хм=лп и графика хЛ+?(рис. 4). На этом же графике удобно изображать итерации произвольной начальной точки: для получения каждой последующей итерации необходимо из точки (Jcn') провести горизонтальную прямую до пересечения с прямой а затем вертикальную линию до графика функции . Неподвижная точка называется устойчивой или аттрактором периода 1, если у нее существует область притяжения — множество точек, итерации которых к ней сходятся (рис. 4,а), у неустойчивой неподвижной точки X - как бы близко к х ни была расположена на- чальная точка, — итерации уходят от <Х (рис. 4,6). Можно весьма просто определить будет ли устойчивой неподвижная точка а, отображения (3). Пусть х.п=Л-- <- Дэсп , где - малое отклонение от неподвижной точки. Если точка то с ростом п п ~ устойчивая, величина 1Д&п] должна уменьшаться до нуля. Рис. 4. Устойчивая (а) и неустойчивая (б) неподвижные точки отображения Имеем откуда Д . Для того, чтобы /Д.лп1^0 , должно выполняться неравенство g
//У<х)/<7. (5) Неподвижная точка (4) является также неподвижной точ- кой двукратной (и любой другой) итерации отображения . Но возможна ситуация, когда двукратная итерация отображения Рис. 5. 2-цикл , х,э) отображения имеет и другие неподвижные точки ^=//’^7) • ^2=//^) .которые возникают парами, поскольку = = Они образуют 2-цикл отображения : отображение переводит точку х} в х2 и обратно (рис. 5). Устойчивость 2- цикла У определяется устойчивостью неподвижных точек двукратной ции f , условием которой л итера— служит неравенство <6> Устойчивый 2-цикл называется также аттрактором периода 2. Определения TL —цикла и аттрактора периода Ть очевидны. Циклы любого непрерывного отображения (3) появляются во вполне определенной последовательности. Чтобы ее выписать введем отношение порядка между целыми числами m и П . Будем говорить, что между m та П, существует отношение порядка tn , если из существования Д7—цикла следует, что у того же отображения (при том же значении параметра JI ) есть и П. —пикл. Указанное отношение упорядочивает циклы следующим образом (теорема Шарковского) 3 5 ) 7 f ,,, (3-2 ) 5-2 }- 7-2 } ... }• 3-22 /• 5’22 } 7«22 } ... } 23^ 22 }- 2 } 1 . В теореме Шарковского ничего не говорится об устойчивости циклов. В разных областях параметра Л число циклов и их устойчивость различны. Изменение числа или устойчивости решений уравнений принято называть бифуркацией, а значения параметра при которых они происходят - точками бифуркации. Оказывается, что для широкого класса функций, обладающих максимумом, существует бесконечная последовательность Aj < А^ < < А^ < ... < Aj < .. < А оо < °° значений параметра у? , при которых происходят бифуркации удвоения периода: при J-Aj теряет устойчивость 2.1 ’ —цикл и рождается устойчивый 2J — цикл, причем при больших J >у 7 значения А- сходятся к предельному значению геометрическим образом: Л ; ~ ff'j, (7а) 10 J
иначе -Aj ~ ^-J-l____rf Л, ’ J+1 J (76) Это означает, что если, например, для Л;< J <. Л , отображение (3) при М характеризуется набором , состоя- щим из повторяющейся последовательности 2^ значений, то при = Л в наборе £ не существует ни одной конечной повторяющейся последовательности, а сама последовательность зависит от п немонотонным образом. Более того, вся последовательность чисел { л-ft J выглядит как случайная и образует на действительной оси весьма нетривиальное множество типа странного аттрактора. Таким образом, в полностью детерминированной системе, какой является отображение (3), появляется случайное или хаотическое поведение, причем как результат все более и более упорядоченного движения, каким является повторяющийся набор 2J чисел. Строгие определения хаотического поведения детерминированной системы и его математического образа — странного аттрактора — будет дано в дальнейшем, а пока отметим удивительный результат — все системы, переходящие к хаотическому поведению через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, описываются единым законом (7) с одной и той же универсальной константой = 4,6692016... (8) Такой универсальный путь хаотизации поведения динамической системы получил название сценария Фейгенбаума. Довольно большое по сравнению с единицей значение if обеспечивает выполнение (7) уже после нескольких первых бифуркаций. Теперь вернемся к обсуждению режимов работы оптических устройств, определяемых свойствами отображения (3). Нетрудно видеть, что устойчивая неподвижная точка отображения (3) отвечает стационарному режиму прохождения монохроматической волны через оптическое устройство. В самом деле, стационарный режим означает, что асимптотически при г-*о<э интенсивность поля на выходе из оптического устройства становится величиной постоянной х(Г) -» «х -const. Поскольку тогда одновременно щ х и ’ х при п —’ <>=> , то стационарная интенсивность х. удовлетворяет уравнению (4). т.е. является неподвижной точкой отображения (3), причем устойчивой. Ясно, что устойчивость необходима для того, чтобы сколь угодно малые флуктуации не разрушили данный режим. Одному и тому же значению J? интенсивности падающего излучения
может отвечать несколько устойчивых неподвижных точек отображения (3). Они описывают мультистабильный (или бистабильный в случае двух устойчивых неподвижных точек) {-«жим работы оптического устройства. Устойчивый И -цикл отображения (3) характеризует ре- жим пульсаций - значения интенсивности, измеренные в моменты времени пТп,(ги-1)Тп , ,(п+т-Г)г, повторяются с периодом ттд (рис. 6). сываемые в пренебрежении инерционностью 2-циклом (а) и 4—циклом (б) соответствующего отображения; влияние инерционности оптического устройства на режим пульсаций, отвечающий 2-циклу (в) Реализация в определенной области параметров какого-лпи-бо сценария хаотизации исходного отображения (3) обусловливает стохастический режим работы оптического устройства. Здесь уместно спросить: как проявляется инерционность 2— системы, которой мы пренебрегли при переходе от диф-№ q ференциальноразностных уравнений (2) к отображению (3)? Оказывается, роль инерционности возрастает по мере усложнения режимов работы оптического устройства. В стационарном режиме величина интенсивности прошедшего излучения не зависит от ft , однако скорость установления обратной связи в системе влияет на область устойчивости стационарного режима, которая с ростом ( 7 , как правило, уменьшается. В ре- жиме пульсаций инерционность системы сглаживает фронты, увеличивает период пульсаций (рис. 6) и может уменьшить область устойчивости режима с данным периодом. Наиболее принципиальные последствия конечности инерционности возникают в стохастическом режиме. Здесь переход от (2) к (3) является некорректным при любых значениях , в том числе и для 12
сколь угодно малой инерционности ( ^2^ ) , Это ска- зывается и на путях перехода к хаосу. Так, численные исследования (2) при ( 1 не обнаружил< бесконечной по- следовательности бифуркаций удвоения периода - хаотическое поведение решений (2 ) наступало после нескольких бифуркаций. Однако говорить здесь о новом сценарии перехода к хаосу во многих случаях нецелесообразно, поскольку значения параметра у? , при которых происходят бифуркации удвоения периода, приближенно подчиняются закону (7). Конечность последовательности бифуркаций удвоения периода можно было бы рассматривать как неустойчивость сценария Фейгенбаума по отношению к инерционности системы, но этот вопрос до сих пор еще не исследован. Сходное влияние на последовательность удвоения периода оказывает шумовая добавка § д : у отображения= = ^('‘х/г)+^п последовательность удвоения периода перед наступлением хаотического режима также конечна в силу неустойчивости сценария Фейгенбаума по отношению к внешнему шуму. Как в физическом эксперименте, так и численном принято обсуждать, как при переходе к хаосу проявляются те или иные сценарии, в том числе и установленные для соответствующего отображения (3). Весьма нетривиальной задачей анализа возникновения стохастического режима у оптического устройства является отделение эффектов, связанных с инерционностью системы, от влияния внешнего шума, который всегда присутствует в реальном эксперименте. Замечание. На первый взгляд может показаться, что изложенный подход к исследованию режимов работы оптических устройств обладает очень узкой областью применения, поскольку отображения (3) возникли исключительно благодаря наличию обратной связи с задержкой во времени. Однако это не совсем так. Рассмотрим динамическую задачу, описываемую системой дифференциальных уравнений -<9’ В /V-мерном фазовом пространстве системы (9) ее решение описывается некоторой траекторией. Выберем поверхность, которую решения (9) пересекают под ненулевым углом (т.е. трансверсально) и поставим в соответствие каждой точке У^ пересечения выделенной поверхности траекторией следующую точку пересечения У^? .В результате получим отображение Пуан-
каре УЛу.^ - F(Уявляющееся мощным инструментом качественной теории дифференциальных уравнений (рис. 7). Периодическому движению в этом отображении отвечает неподвижная точка, а движению по незамыкающейся обмотке тора - либо окружность, либо тор на единицу меньшей размерности. Отображение Пуанкаре эффективно уменьшает размерность системы на единицу. Другое отображение получится при дискретизации уравнений (9). Рис. 7. Примеры отображения Пуанкаре (а) и бифуркации удвоения периода в фазовом пространстве (б) Использование отображений особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем, поскольку наряду с понижением размерности системы из рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложшющие описание. Кроме того, для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы - методы символической динамики. Библиография Рассмотренные в пособии пассивные оптические устройства характеризуются продольной (по отношению к направлению распространения излучения) распределенностью параметров и наличием зеркал. Между тем явления бистабильности, самопульсации и хаоса свойственны и другим нелинейным оптическим системам. В обзоре [_ в] обсуждена роль продольной и поперечной распределенности. Многочисленные бистабильные оптические устройства (в том числе и беззеркальные) и их приложения опи-14
саны в обзоре £ 13J. Дополнить картину обсуждаемых оптических явлений поможет обзор [14J. Подчеркнем, что наряду с развиваемым в пособии подходом, широкий класс бистабильных, периодических и стохастических режимов работы оптических устройств (в основном активных, например, лазеров) может быть с успехом описан [ 9 j при помощи так называемых уравнений Лоренца, подробному анализу которых посвящена книга £зэ]. Существуют и другие общие подходы. Следует отметить, что оптические эффекты не самые простые процессы для иллюстрации достижений современной теории стохастических явлений. Поучительные примеры периодических и стохастических режимов можно найти в гидро динам ике[7]. Введением в общую теорию автоколебательных процессов может служить книга £11]. Из математической литературы по теории отображений очень полезна книга [19]. Нелишне будет знакомство с £ 4 ] . Про методы символической динамики можно прочитать в £ 1, 3].
Глава 1. ОПИСАНИЕ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ОПТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ ПРИ ПОМОШИ ОТОБРАЖЕНИЙ 1. Основные уравнения для кольцевого резонатора Рассмотрим кольцевой резонатор (рис. 8,а), плечо которого между полупрозрачными зеркалами 1 и 2, расположенными в точках Z = О и z = L оси Z , заполнено двухуровневыми атомами. Квантовый переход между атомными уровнями является оптически разрешенным с частотой . Коэффициенты отражения зеркал 1 и 2 одинаковы и равны /? , а зеркала 3 и 4 полностью отражают оптическое излучение. Рис. 8. Простейшие резонаторные оптические устройства Пусть на зеркало 1 в направлении оси Z падает плоская электромагнитная волна с напряженностью электрического поля Ej. - £ exp[i(kz -&Л)] +Н.С-,
где g^. - медленно меняющаяся по сравнению с ел/у [ i (Jz. oJ')] амплитуда электрического поля; <ю=^с - несущая частота. Будем считать, что /aj-aj^/«co , тогда взаимодействие элек-тромагаитной волны с двухуровневыми атомами носит резонансный характер и описывается при помощи уравнений Максвелла - Блоха. Наличие зеркал проявляется в характерном для кольцевого резонатора краевом условии: E(O,l)^/TEia)^RE(L,i>- ET(t>fTE(L,L). Здесь Е-& еоср + п ,с,- электрическое поле элект- ромагнитной волны внутри резонансной среды 0 4 Z. 4 t, ; Е = == Ет&^р [i(hz. -а>1)]+ h .с. - электрическое поле волны, прошедшей через кольцевой резонатор (z L ") ; T=1-R — коэффициент прохождения зеркал 1 и 2; - длина замкнутого пути луча внутри резонатора. Запишем уравнения Максвелла — Блоха и граничные условия в следующем обезразмеренном ввде: = <10а> Gr <10б) (ji - 2 i(е*р - ес*) + f (10в) Л)е1Х/сО , (ца) eT(t)^Te(l, т), (11б) в котором входящие величины связаны с размерными при помощи соотношений = Efajz Г~—1о ' е = &rdi2 t t r k Z) £~Z./ct0 , ^ = fiOt0) I = L/ct т = L Jet t= fa-- —T£-A7/2 0 ’ e Qi и ’ о ( 2.-.Ж£о/У d J- ) ’ 0 1Z '
где — дипольный момент перехода с нижнего на верхний энергетический уровень; - равновесная разность заселенностей нижнего и верхнего уровня, причем > О •> поскольку среда пассивная (нет инверсной заселенности); г и /г обезраэ-меренные поляризация среды и разность заселенностей энергетических уровней; ffg и у — скорости поперечной и продольной релаксации (точнее произведение соответствующих размерных констант на tg ). Для простоты мы пренебрегли неоднородным уширением спектральной линии. Преобразуем исходные уравнения в частных производных к дифференциально—разностным. Для этого запишем уравнение (106) Б интегральном виде г r=f ten. еэср [(1Д- fy') ( Г-?')] dr' и возьмем интеграл по частям _ -/ у. f д(еп) В условиях быстрой поперечной релаксации Тд» Т или больших отстроек от резонанса Л >> J интегральным слагаемым можно пренебречь — поляризация среды ten i/d - адиабатически следует за электрическим полем. Подставим полученное выражение в (10а), после чего представим амплитуду электрического поля в виде е = еоср ( i (р') и перейдем к новым независимым переменным с,' - £ и г'= г Б которых уравнения для л = <х (& , Т ') и jp = р ( g ' г') -2~,ос = -осп —ш2----- / л2 X2 +Д2 °0 О легко интегрируются: , ос ($', t') , ^осро.т') ~ ~ Wfc , ?), О
<?($', t'), 0 где wa',r,),J'n($",i:<)(i£1'. (12) 0 В результате найдем следующую связь между амплитудами электрического поля в разных точках среды двухуровневых атомов е(ё' г') = e(O,r')e^p [ ~ ^<LLiA_ f') 1 (13) L ] Недостающее уравнение для W(^', <t‘) следует из выражения (10в) , если его проинтегрировать по &.•£ ' и учесть формулы (12) и (13): + г )V/( с' к 2. Искомые дифференциально-разностные уравнения получаются после подстановки (13) в граничное условие (11а) и возвращению к исходным независимым переменным $ и Т : (146) Мы ввели обозначения £(?:)=. т—- л е(О,Ъ) , V 1ц ^/1 / am4iR^je^’ /= L^H .. , 2
б которых амплитуда &т( г) прошедшей через резонатор волны имеет вид е7f И = 7О )е(?) е^р[(U Ц) к(Z)] . Решение дифференциально—разностных уравнений (14) полностью определяются заданием начального значения Ы(0) и граничным условием для £Ct) в области - t Т < 0 . Здесь уместно напомнить физический смысл входящих в (141 величин. Разность Рл I дает нам представление об отстройке падающей волны от собственных мод пустого (без двухуровневых атомов) резонатора, занумерованных целым числом I. Когда 5 = 2szl электромагнитная волна совпадает с одной из собственных мод пустого резонатора,и говорят, что резонатор находится в резонансе с падающим излучением. Коэффициент пропускания /ет (?)]етакого резонатора, как это легко увидеть из (11), максимален. Если з = 2л1 , то частота падающей волны расположена на частотной шкале строго посередине между некоторыми соседними модами пустого резонатора. Этому случаю соответствует минимальный коэффициент пропускания. Параметры Р и /? характеризуют потери энергии резонатором. Величина р описывает линейное поглощение волны в среде двухуровневых атомов, причем р«. 1 отвечает оптически тонкой среде. Коэффициент отражения /? определяет диссипацию энергии собственно резонатором: чем меньше /? , тем больше пропускание зеркал, тем выше диссипация (ниже добротность) резонатора. Формула (14а) может быть несколько упрощена в случае сильной диссипации 7? ех,р (-р/S') « 7 и вещественности Q (?) l£-(T)l2=a2ft)+2Pa(t:)a(T-V0}co5[s + ff)]e^p ъз(г-?0) , (15) а (146) допускает дальнейшее преобразование в пределе р «) оптически тонкой среды: = _ ^а)(1/1Ба)12)-р/2_ (16) Во введении уже обсуждались роль и смысл сингулярного предела дифференциально-разностных уравнений, поэтому для случаев, которые будут предметом дальнейшего изучения, сразу выпишем возникающие здесь отображения. 20
Кольцевой резонатор с дисперсионной нелинейностью » 1 оптически тонкой среды двухуровневых атомов при сильной диссипации энергии описывается отображением вида г Q //2 ЛПП ’ 1 7 > (17> где / £( пТ 0) I2Ih= агап+1')т0) , t'^-pq/R. Чисто абсорбционной нелинейности Q-Q (без ограничений на энергетические потери) отвечает отображение £^7 Л(^п!г)егз, (18) где £Л = е.СП'Гд') , О.р= а((11+1')Тд') , а функция X(л) является решением трансцендентного уравнения in X(.«') + f-[Хг(»)-( ] = -р/г (is) и обладает следующими свойствами: а) О< X.(M)<1, 1 ах(*) (1л б) >(20). г) X (л) Р/2[ 1+Р)] при х -* о, д) Х(л)^1--р^- при /<<). Если на кольцевой резонатор подается монохроматическая волна, то в (15) - (18) а (Т) п= a = con$tI ^az=const. Когда падающую волну можно представить как монохроматическую с малой добавкой (MX)= CL+ > вместо (17) и (18) имеем -L{ (2D
&nt^a + R£flX(/£fii2)eTS^h, (22) где ^ = 2aV rln^((n+^zo')- Задача 1. Доказать, что кольцевой резонатор (см. рис. 8,а) и резонатор Фабри-Перо (рис. 1,а), заполненные керровской средой, в случае сильной диссипации /? << 7 и в пренебрежении инерционностью нелинейности описываются отображением 3Cn+i = L{ 1+2Rcos (S (23) где I - интенсивность падающей монохроматической волны;.*? -интенсивность поля внутри резонатора, измеренная в моменты времени лт ; - время движения сигнала по замкнутому пути внутри резонатора. Все величины безразмерные. Указание; использовать (15) и (16). Задача 2. Рассмотрите прохождение плоской монохроматической волны через двойной кольцевой резонатор (рис. 8,6) и резонатор Фабри-Перо с зазорами между зеркалами и нелинейной средой (рис. 8,в) и покажите, что в случае керровской среды и сильной диссипации энергии резонатором исходные уравнения сводятся к дифференциально—разностным: для двойного кольцевого резонатора х(г)= l[l+2R^^(s'^(T-r'0y)t2R'jT0co^w(r-tg ))}; (24) для резонатора Фабри-Перо {1 +2RCO5(3 tio(T))} , , /Г) (25) Г ------= -ги^)>хСг-гр/ха-г"). Здесь J- — интенсивность падающего излучения; х(т:) - интенсивность поля внутри резонатора; у1 - скорость установления нелинейности. В случае двойного кольцевого резонатора $>', и з" , характеризуют соответственно резонаторы, составленные зеркалами 1, 2, 5, 6 и 1, 3, 4, 6, /?<< 1- коэффициент отражения зеркал 1-3, Rg = 1 - - зеркала 5. В резонаторе Фабри-Перо - время движения сигнала по зам- кнутому пути внутри резонатора, Тд - время прохождения расстояния 21-, . Все величины безразмерные. (Решение см.в{32/) 22
Задача 3. На рис. 9 изображен простейший вариант гибридного акустооптического устройства. При помощи пьезодатчи— ка (П) генератор возбуждает в акустооптической ячейке (АОЯ) стоячую или бегущую акустическую волну постоянной частоты, но с амплитудой, пропорциональной электрическому напряжению U на пьезодатчике. Луч света, пройдя через АОЯ, испытывает Рис. 9. Акустооптическое устройство дифракцию. В первом дифракционном максимуме расположен фотодетектор (Ф), преобразующий оптическое излучение в электрическое, пропорциональное интенсивности света. После сложения с напряжением смещения, усиления и задержки электрический сигнал подается в генератор. Покажите, что Т'1 = -и(Г)гАе (26) где 1 - интенсивность падающего излучения, а константы и IJq определяются напряжением смещения и характеристиками использованных устройств. Все величины безразмерные. (Решение см. в [18], [39].) 2. Абсорбционная бистабильность Посмотрим, как формализм отображений позволяет проанализировать установившиеся режимы прохождения плоской монохроматической волны через оптические устройства. Для определенности будем обсуждать кольцевой резонатор с оптически тонкой нелинейной средой, причем начнем с простейшего случая строгого резонанса падающего излучения как с частотой перехода в двухуровневых атомах (^=0) > так и с одной из собственных мод пустого резонатора 5 = 2. Л I . Такая ситуация описывается одномерным отображением
где b = а]( 1'R) м. — действительные величины, и мы использовали так называемый параметр кооперативности Бони-фадио и Лужиато С = . характеризующий эффективное поглощение электромагнитной волны, многократно проходящей (при /?-» / ) замкнутый путь внутри резонатора. Неподвижные точки 6 отображения (27) удовлетворяют уравнению а их устойчивость определяется производной (28) поскольку 4L (~^7 ) _ = 7Y?-/P)^ • (29) Выражение (28) представляет собой алгебраическое уравнение третьей степени относительно & с действительными коэффициентами. Его корни Zj , Z^ и Z^ , среди которых, как минимум, один действительный, связаны между собой соотношением Zj +z^+z3= b. Важно подчеркнуть, что только действительные корни уравнения (28) являются неподвижными точками отображения (27) *. Анализ (2 8) показывает, что важнейшим параметром, характеризующим функциональные возможности оптического резонатора, является параметр кооперативности С • Если с <</ , то 0<~£^ < / + 2.0 и только один корень (2b) является действительным, причем устойчивым во всей области значений b (кривая 1, рис. 10,а). Это означает, что монохроматическая волна проходит через такой резонатор в стационарном режиме, однозначно определяемом амплитудой волны на входе в резонатор. Основным, но здесь не принципиальным, отличием данного режима от соответствующего для пустого резонатора будет зависимость коэффициента пропускания резонатора от интенсивности падающего излучения, проявляющаяся при С ~ 1 в виде дифференциального усиления сигнала. * 24 It Отображение (27) с действительным параметром Ь можно рассматривать как отображение комплексной плоскости £ в себя. Неподвижными точками такого отображения являются все корни (28), однако при этом комплексные корни оказываются неустойчивыми. 24
Рис. 10. Зависимость неподвижных точек и точек 2-цикла от амплитуды волны, падающей на резонансный (а) и нерезонан— сный (б) кольцевой резонаторы. Пунктиром отмечены неустойчивые точки Другая картина возникает для резонатора с С (кривая 2, рис. 10,а). В этом случае существует область значений 67<д<6г параметра действительны. Обозначим ветствии с их величинами литься в том, что Ь , в которой все три корня их через £ , и в 4 £ . Можно легко db ! de / £ =6 Li >0 d. b I de n <0, (28) соот— убе- а для одного и того же значения Ь db I 1ё =£ U (30а) Всюду, за исключением узкой ( параметров b вблизи b при области , выполняется также неравенство - db / _ db I de I''del * ' П (306) . /
Поскольку С у ч (и вообще С 7 ) для резонатора с оп- тически тонкой средой возможно только при условии 7 , то из (29) сразу следует устойчивость £L и £н и неустойчивость неподвижной точки £ . Вне рассматриваемой области параметров единственная неподвижная точка отображения (27) устойчива. Таким образом, взаимодействие монохроматической волны с кольцевым резонатором при С>Ц в пренебрежении инерционностью нелинейности всегда стационарно, однако в определенном диапазоне амплитуд падающего излучения имеет место явление бистабильности - прохождение волны возможно в двух различных стационарных режимах с высокой £^ и низкой £ прозрачностью резонатора, реализация которых в каждом конкретном случае определяется предысторией процесса. При адиабатическом увеличении амплитуды падающего излучения до значений О.УЬг последующем ее уменьшении до 7*7?) в системе наблюдается гистерезис. Вблизи точек и Ь2 бифуркации соответствующего режима область притяжения этого режима становится очень малой, и всегда присутствующие флуктуации выбрасывают систему из этой области еще до того, как область притяжения полностью исчезнет. При этом переключение с одного стационарного режима на другой происходит скачком. Иначе говорят, что в точках бифуркации и происходит жесткая потеря устойчивости. Рассмотренную бистабильность принято называть абсорбционной, т.е. связанной с поглощением. Ее возникновение можно пояснить следующим образом. Пусть кольцевой резонатор с насыщающим поглотителем, какими являются двухуровневые атомы, находится в строгом резонансе с падающей волной. При малых интенсивностях Iг падающего излучения интенсивность Lc поля внутри резонатора также мала << I j , где —интенсивность, необходимая для насыщения поглощения. В этом случае происходит поглощение излучения внутри резонатора, которое разрушает специфическую интерференцию волн и полупрозрачные зеркала становятся независимыми - каждое из них пропускает лишь долю Т падающего на зеркало излучения. Поэтому интенсивность Zт прошедшего излучения I? I I. С ростом Iz поглощение в резонаторе насыщается, так что при 7^ >> 7^ отсутствует вовсе. Вследствие интерференции волн внутри резонатора все падающее излучение проходит через резонатор lr- Lу . Поскольку интенсивность поля внутри резонатора связана с прошедшим излучением соотношением , то приближенно имеем: 26 т с
Если коэффициент T прохождения зеркал мал Т « 1 , то при I "Т5 монохРоматическая волна может проходить через резонатор в двух режимах: с насыщением поглощения (32) и без него (31). Из-за наличия положительной обратной связи переключение с одного режима на другой осуществляется скачком -если вблизи критической точки, например режима поглощения, флуктуации увеличили амплитуду поля, то уменьшилось поглощение, а это в свою очередь приводит к дальнейшему увеличению амплитуды. 3. Самопульсации в нерезонансном кольцевом резонаторе с абсорбционной нелинейностью Обсудим, как изменится описанный выше режим стационарного прохождения монохроматической волны через кольцевой резонатор при несовпадении волны с собственной модой пустого резонатора (sp 2-Я I ). Пусть несущая частота падающей волны лежит строго посередине между частотами двух соседних мод пустого резонатора ,3 ~ л +2.^1 , но по-прежнему совпадает с частотой перехода в двухуровневых атомах (q =0) , образую- щих оптически тонкую среду. Такому резонатору отвечает следующее отображение вещественной оси в себя: £ (33) отличающееся от (27) знаком перед £.п и имеющее единственную неподвижную точку £ . Естественно ожидать качественных отличий от случая пустого резонатора лишь при С \ 1 , т.е. при условии Это условие мы будем предполагать выполненным. Тогда неподвижная точка отображения (33) линейно зависит от <2 : £ = = 0/2 и является неустойчивой, если выполняется неравенство ёг- 1 <34> Читатель, проделавший вычисления, предложенные в предыдущем параграфе, сразу же обнаружит, что неравенство (34) удовлетворяется только при С >ч и для таких значений £ ,
которые отвечают неустойчивым неподвижным точкам в области бистабильности резонансного резонатора с тем же самым параметром С . Этот любопытный факт проиллюстрирован на рис. 10,6. Неустойчивость единственной неподвижной точки отображения (3 3) означает, что в этой области Q. ? 4 4 <2^ амплитуд падающего монохроматического излучения стационарного режима быть не может. Выясним, чему это соответствует. Рассмотрим неподвижные точки двукратной итерации отображения (33): (35) 67 = Z2-£2[7-(7-/?)/'^ TTTjjJ • Складывая и вычитая левые и правые части (35), получим (с учетом /? —> 7 ) = ^7+^г) . (36) Нетрудно догадаться, что решение этих уравнений совпадает с неподвижными точками отображения (27) в области бистабильности при одном и том же значении С , но с вообще говоря другим параметром Ь , определяемым из условия (36). Таким образом, двукратная итерация отображения (33 ) обладает нетривиальными неподвижными точками, несовпадающими с неподвижной точкой (3 3) и образующими 2-цикл исходно- го отображения. Возможны следующие варианты 2-циклов: (£ , £Л/ ( £l • ) 11 ( £м > <S // ). Чтобы определить об- ласти параметра Q. , где существует тот или иной 2-цикл, заметим, что если, например, ™п(£^&м)^е^ 4 то в силу непрерывной и монотонной зависимости £ , &м и & г £ от 6 каждому параметру а из интервала •£min (£Lt £м) а 4 2") отвечает одна и только одна пара , такая, что £L+ и поэтому являющаяся искомым 2-циклом (£г,£^) • Границы областей существования различных 2—циклов устанавливаются при помощи неравенств (30). В результате получаем следую—
щую картину (см. рис. 10,6). При а.,4 4 Д 7 = --g сущест- вует только один 2-иикл отображения (33), образованный парой (Ct, £м) , такой, что =&. В точке = указанный 2-цикл непрерывно переходит в 2-цикл, составленный из точек (£. , £ц ): £ *£ - CL , который определен в интервале a'j аг = max (CL Х£н ) <v . Одновременно при существует 2-цикл из точек (£^, £). Подчеркнем, что значения точки Сн в каждой паре (е , £ н ) и ( £^ , £^ ) различны, так как им отвечают разные параметры Ь . Обратим также внимание на область а7 4 ^4 существования 2-цикла исходного отображения (33) — она заметно превосходит область С2?44 О.неустойчивости неподвижной точки (1-цикла) того же отображения. Для извлечения физических выводов из полученных результатов не хватает знания устойчивости 2-циклов. Условие устойчивости (6) в нашем случае приобретает вид Принимая во внимание неравенства (30) и R 7 , находим,что 2-циклы, составленные из ( £/_ , £м ) и ( £д , <?rt), являются устойчивыми, а 2-цикл ( £м , £н ) - неустойчивым. Таким образом, в отсутствие стационарного режима <274 ^4/2 единственным установившимся режимом прохождения монохроматической волны нерезонансного резонатора будет режим са— мопульсаций амплитуды прошедшего излучения между значениями и £^ , период которых равен . При адиабатическом увеличении интенсивности падающего излучения в точке 3= ^^7 стационарный режим теряет устойчивость, однако возникающий режим самопульсаций при малом отличии 2 от 2.О.] (или, как говорят, малой закритичности) слабо отличается от стационарного режима, поскольку амплитуда -б^)/2 самопульсаций, пропорциональная корню квадратному из закритичности V2- 2 а7', также мала. Такой вид потери устойчивости стационарного режима называется мягкой потерей устойчивости (иногда - бифуркацией Хопфа), а упомянутая зависимость амплитуды само— пульсаций не только непосредственно следует из (35), но и является весьма общим фактом. При дальнейшем росте интенсивности падающего излучения амплитуда самопульсаций непрерывно увеличивается до тех пор, пока в точке (1 ~ 2. а' произойдет 29
жесткая потеря устойчивости режима самопульсации, в результате которой вновь установится стационарный режим прохождения монохроматической волной резонатора. Если теперь адиабатически уменьшать интенсивность падающей волны, то при прохождении точки О. = 20^ стационарный режим сохранится, и лишь в точке Q. -2о^он. потеряет устойчивость (причем жестким образом) и возникнут установившиеся самопульсации, т.е. в области 0-^ ^-^О.'2имеет место своеобразный гистерезис. Физическая причина описанных выше режимов работы состоит в возбуждении соседних мод резонатора, между частотами которых расположена частота падающего излучения. Тогда в результате интерференции этих мод резонатора с проходящей волной возникают установившиеся биения с частотой Д<х)/2,где Да) — частотное расстояние между соседними модами. Поскольку частотный интервал Дуэ связан с временем Тд движения сигнала по замкнутому пути внутри резонатора соотношением ДшТд- 2г*,то легко получаем, что период биений равен 2Тр. Другие отмеченные особенности режимов прохождения связаны, как и в случае бистабильности, с насыщением поглощения резонансными атомами. 4. Оптическая мультистабильность и самопульсации в гибридных устройствах и резонаторах с дисперсионной нелинейностью • С математической точки зрения главным отличием гибридных устройств и оптических резонаторов с дисперсионной нелинейностью от рассмотренных выше случаев абсорбционной нелинейности является наличие особых точек (максимумов, минимумов) у соответствующего отображения (см. (1), (17), (23), (26)). Какие при этом возникают особенности обсудим на примере электрооптического устройства, изображенного на рис. 9 и описываемого отображением (1): . (37) Неподвижным точкам (3 7) графически отвечают точки пересечения синусоиды с прямой. Число их возрастает с ростом интенсивности Л падающего излучения (рис. 11), так что зависимость выходной интенсивности л от входной имеет S — образный (бистабильность при небольших Я ) или многопетлевой (мультистабильность при высоких у? ) характер, который можно получить, наблюдая, как от Л зависят точки пересе-30
Рис. 11. Появление мультиста— бильности и бистабильности в системах, характеризуемых отображениями в случаях дисперсионной (а) и абсорбционной (б) нелинейности чения синусоиды с прямой и учитывая области неустойчивости согласно неравенству Рис. 12. Неподвижные точки отображения от J? в режиме мультистабильности. Неустойчивые точки отмечены пунктиром (5). Ветви с отрицательным наклоном CL5L <0 не реализуются, так как отвечают неустойчивым неподвижным точкам. Неустойчивыми оказываются и участки ветвей с положительным наклоном (рис. 12). Тогда при постоянной интенсивности падающего излучения интенсивность на выходе нестационарна. Оказывается, что нестационарные режимы могут быть периодическими с периодами, кратными tg или стохастическими. Результат разделения плоскости параметров на зоны, отвечающие различным аттракторам отображения (37), дан на рис. 13. При низких интенсивностях имеются только неподвижные точки (37), отвечающие стационарным режимам (зоны! заштрихованы). С увеличением интенсив- ности при фиксированном &А , неподвиж— 31
Рис. 13. Разделение плоскости параметров оптического устройства на зоны, отвечающие установившимся стационарным, периодическим и стохастическим режимам ные точки становятся неустойчивыми и сменяются .аттракторами периода 2 (зоны II, помеченные треугольниками), периода 4 и т.д. Последовательное удвоение периода сопровождается сужением (согласно (7)) ширины области устойчивости соответствующего режима, ввиду чего ширина области существования периодических режимов любой кратности ограничена. Узкие области вокруг штриховых линий соответствуют трехкратным периодическим режимам (периода 3 ). Вне этих областей ус- танавливаются стохастические режимы . Подчеркнем, что стохастический режим сначала появляется вслед за бесконечной последовательностью бифуркаций удвоения периода 2 Тд . Далее по шкале J в окрестностях некоторых значений J? вновь возникают периодические режимы, о чем говорят как об "окнах" периодичности в хаосе. В этих "окнах" также может иметь место бесконечная последовательность 32
бифуркаций увеличения периода в целое число раз. Кроме того, в области хаотического режима проявляются своеобразные бифуркации, получившие название обратных бифуркаций Лоренца. Их суть такова, что стохастические движения при определенных значениях параметра имеют место только внутри некоторых областей, переходы между которыми строго детерминированы. Если рассматривать только регулярные переходы, то они при увеличении параметра J претерпевают изменения, аналогичные последовательности удвоения периода установившихся пульсаций, только в обратном по отношению к ней порядке. Сложный вид (37), связанный с наличием многих экстремальных точек, обусловливает в некоторых областях у? гистерезис в смене различных режимов при изменении . Указанные режимы читатель легко может промоделировать на персональном компьютере. Задача 4, Провести линейный анализ устойчивости стационарного режима прохождения оптического излучения через кольцевой резонатор с керровской средой с учетом инерционности системы, т.о. в рамках дифференциально разностных уравнений С(г)=а С [s + к>(ъ-т д)]] , f’ = + 1&сг')1£. 1л. Показать, что скорость Г усиления малых отклонений = гг^е b -t-h.C. от стационарного режима гЗ удовлетворяет следующему характеристическому уравнению _ Г 2 1 /- 2R [~C0S(IEl8+S )+1ёГз1п(/ё1г+$)(#+ !)]е^р(-/гдУРе^р(-2/^)=0. (39) (Решение см. f31J. ) Задача 5. Пусть электрические поля = t texp [i(k,z - cjji)] + h.C:, Ег^ .С. двух соседних мод кольцевого резонатора возбуждаются при прохождении волны е.аср [i(hz - t. ,частота которой расположена строго посередине между частотами си /-сс -Д ш
и = co + Д рассматриваемых мод. Механизмом возбуждения служит четырехволновое взаимодействие в нелинейной среде. Считая амплитуды возбуждаемых мод малыми, показать, что условием стационарного четырехволнового взаимодействия служит уравнение (3 9). (Решение см. в £.15^ .) 5. Режим синхронизации частот Не все режимы оптических устройств с задержкой в линии обратной связи в пренебрежении инерционностью описываются одномерными отображениями (3) и идентичны рассмотренным выше. Среди неохваченных случаев к наиболее важным относится прохождение оптического излучения через устройство с двумя характерными временными параметрами пульсаций, например два времени задержки и Tq1 в двойном кольцевом резонаторе (см. рис. 8,6 и (14)). Другим примером служит гармоническая модуляция параметров либо излучения, либо оптического устройства. Для определенности обсудим некоторые особенности возникающих здесь режимов в случае модуляции интенсивности излучения, падающего на электрооптическое устройство 1 + psin^^-') S.inZ(x('C^Toywg ), (40) М Здесь р - глубина модуляции с периодом . Если период Тм модуляции кратен времени задержки обратной связи, то (40) сводится к одномерному отображению (37). Когда величины и соизмеримы, т.е. их отношение равняется рациональному числу, (40) представляется некоторым конечномерным отображением. Для несоизмеримых временных интервалов Тд и Iм -иррациональному числу), уравнение (40) бесконечно мерно. Принципиальными вопросами здесь являются проявления соизмеримости и несоизмеримости величин и наличие каких-либо периодических режимов при несоизмеримости Тд и . Пусть при р = 0 параметр отвечает режиму пульсаций с периодом 2 Тд . При р £ О тот же режим сохраниться, еслиБолее того, оказывается, что при некоторых взбпизи этой точки существует область значений периода модуляции, в которой также существует режим периодических пульсаций, однако их период, вообще говоря, не равен ни 2 гд , ни ' Л( . а линейно зависит от "С(рис. 14,а). Вне указанной области за-34
висимость периода пульсаций от может носить чрезвычайно запутанный характер (пунктирный участок кривой), что связано с перескоками соизмеримости и несоизмеримости для величин б? и . Причем зависимость периода пульсаций от глубины модуляции имеет вид, представленный на рис. 14,6. Видно, что до определенного критического значения период пульсаций сложно зависит от р , но при больших р у р глубинах модуляции период пульсаций перестает зависеть от уэ . Описанные закономерности составляют существо так называемого режима синхронизации частот. При этом необходимо сделать следующее замечание. Если в отсутствие модуляции в системе возможна последовательность бифуркаций удвоения периода (например, при увеличении интенсивности падающего излучения), то в режиме синхронизации частот такая последовательность появляется и при увеличении глубины модуляции jO . Например, послер >р$имеет место удвоение периода и хаос. В фазовом пространстве траектория системы с двумя частотами (периодами) располагается на поверхности тора, а режиму синхронизации частот отвечает наличие на поверхности инвариантной относительно сдвигов во времени замкнутой тра- ектории. Рис. 14. Зависимость периода самопульсаций прошедшего излучения в режиме синхронизации частот от периода гр0-} и глубины р модуляции падающего излучения (б) Библиография Подробное исследование бистабильного режима оптических резонаторов проведено в £13, 33 J . Изложенный подход основан на [17]. Учет инерционности рассмотренных оптических
систем выполнен в работах £16, 24, 25, 31, 35J в основном с привлечением численных методов. Синхронизация частот, эффекты соизмеримости и несоизмеримости и связанные с ними вопросы обсуждаются в Гз2, Зб7. Необходимые сведения по нелинейно-оптическим явлениям при распространении излучения в прозрачных средах содержатся в £2 J. Глава II. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ § 6. Некоторые характеристики хаоса Что означает хаотическое поведение полностью детерминированной системы, какой является отображение если для любого начального значения по заданному алгоритму (41) однозначно определяется "траектория" системы П > 7 , и ее будущее во все моменты "времени" h , в том числе и при л -» о=> ? Чтобы ответить на эти вопросы, обратимся к физическому существу дела. Известно, что за конечный промежуток времени состояние системы можно измерять со сколь угодно высокой, но конечной точностью cf , и поэтому оно характеризуется не числом, а некоторым (пусть очень узким) вероятностным распределением. Задача динамики такой системы состоит в предсказании распределения в произвольный момент времени на основе известного начального распределения. Если со временем начальное распределение не "расплывается", т.е. не увеличивается его ширина, то поведение системы является полностью детерминированным -в любой момент времени состояние системы можно предсказать с той же точностью, с которой задано начальное состояние. В противном случае, когда со временем ширина распределения увеличивается все больше и больше, поведение системы оказывается очень чувствительным к начальным данным. Если при этом фазовый объем системы ограничен, то траектории системы "перепутываются", а состояния системы при больших временах становятся полностью непредсказуемыми. "Н ера оплывание" распределения связано с понятием устойчивости траекторий по Ляпунову. Поясним его на примере ото—
бражения (41). "Траектория" J называется устойчивой по Ляпунову, если для произвольного £ > 0 существует (f > О , такое, что все "траектории" [j с начальными значениями Хд из области Iх-д I < & удовлетворяют неравенству Мл--л^/<£ для любого Л . Чувствительность поведения системы к начальным данным определяется показателями Ляпунова. Для отображения (41) показатель Ляпунова А суть предел ту-ь ыI(42) который не зависит от х Из формул и от обратимой замены переменных. видно, что показатель Ляпунова характеризует взаимное расположение близких траекторий. Если )> 0 , то соответст- вующие близкие (в начальный момент) траектории экспоненциально разбегаются (их называют неустойчивыми траекториями), а поведение системы очень чувствительно к начальным данным. Теперь можно сформулировать математический критерий хаотического поведения детерминированной системы как существование в фазовом пространстве системы* ограниченного замкнутого множества, состоящего из неустойчивых траекторий, которое устойчиво в том смысле, что, раз попав в это множество, траектория уже никогда не покинет его. Эти множества получили название странных аттракторов. Таким образом, аналогично тому, как стационарный режим и режим периодических пуль— Фазовое пространство одномерного отображения (41) -действительная прямая или часть ее, определяемая конкретным видом Г >Л
саций имеют математическими образами устойчивые неподвижные точки и циклы (иначе аттракторы периода П , П- = 1,2,.,. ... ), стохастический режим представляется странным аттрактором. Странный аттрактор представляет собой поразительно интересный и сложный объект. Чтобы его охарактеризовать, как правило, необходимо привлекать целую иерархию разного рода размерностей. Здесь упомянем лишь фрактальную размерность , которая для произвольного множества <5 в N -мерном пространстве определяется как предел dr - к™ looMte) 7/6 (43) где -минимальное число /V-мерных кубов со стороной £ , необходимых для покрытия 5 . При малых £ М(&) ~ Фрактальная размерность странного аттрактора почти всегда оказывается дробной, в то время как для точки, линии, области на двумерной поверхности и т.п. фрактальная размерность равна целому числу О, 1, 2 и т.п. Типичными множествами с дробной размерностью являются множества, определяемые масштабной инвариантностью - при соответствующем изменении масштаба любое (сколь угодно малое) подмножество выглядит так же, как исходное множество, т.е. целое подобно сколь угодно малой своей части. Два примера таких множеств показаны на рис. 15. Рис. 15. Примеры множеств дробной размерности: CL ~ 1т 2 /lOQdlOY dF^lo^ I щд5 iff) Фрактальная размерность странного аттрактора тесно связана с показателями Ляпунова, однако обсуждение этого вопроса выходит за рамки пособия.
Ввиду чрезвычайной запутанности траекторий на странном аттракторе можно ввести понятие ансамбля разнообразных от- Рис. 16. Построение инвариантного распределения резкое траекторий, число которых в определенной области фазового пространства можно количественно определять при помощи плотности распределения. Типичная плотность распределения оказывается ненулевой в конечных областях фазового пространства. Особую роль при этом играют инвариантные распределения. Для отображения (41) с одним максимумом эти понятия означают следующее. Число траекторий (в данном случае точек) Р^ при п+1 -кратной итера- ции в интервале Gtx вблизи точки х равно сумме траекторий '+ Рп (х ") dx " при п -кратной итерации в соответствующих интервалах dx' и dx" вблизи прообразов» и х точки х (рис. 16). Поэтому 777^) • Инвариантное распределение Р(«) не меняется под действием отображения Р(х)= Р (х) = р Тогда где (х') = Это уравнение представляет собой функциональное уравнение, аналитическое решение которого удается найти в очень редких случаях (например, в задаче б). Когда справедлива эргодическая гипотеза - предел доли времени, проводимого бесконечно длинным отрезком траектории в любой ячейке рассматриваемой области фазового пространства существует и не зависит от траектории — временное усреднение величин на странном аттракторе можно заменить усреднением по ансамблю с инвариантной плотностью распределения. Например, для показателя Ляпунова наравне с (42) будет справедлива фор мула
О степени стохастичности движения часто судят по скоро-сти спадания автокорреляционной функции, которая для (41) определяется как 7 N-1 ' п^О Присутствие в И (/) периодической составляющей означает, что в исследуемом движении есть периодические режимы. Развитая стохастичность приводит к быстрому спаданию Н (] } до нуля с ростом j , что свидетельствует о независимости и ' Фурье-образ h(j) называют спектральной плотностью (или спектром мощности) : „ у. , . т 1 ШУ -icon. где X(aj)= Um -rf- & Именно спектральную плотность чаще всего и определяют экспериментально. Задача 6. Показать, что показатель Ляпунова 71 и инвариантное распределение Р(эс) для отображения =4 (7-х^) равны соответственно Л = 1/12. , Р Указание: сделать замену переменных х^ = з1п2&/1 . 7. Сценарий Фейгенбаума Характерная черта сценария Фейгенбаума - универсальные свойства (7) бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода - особенно ярко проявляются в рамках подхода, эквивалентного на формальном уровне современной теории фазовых переходов. Прежде чем излагать существо этого подхода, проанализируем на примере квадратичного отображения (41) рождение из неподвижной точки 2-цикла и удвоение его периода при увеличении параметра Общий вид квадратичного отображения задается функцией аии С.СА)хг. Для определенности рассмотрим только квадратичные отображения с максимумом. Линейным преобразованием их можно свести к следующим равнозначным формам:
( (х.) = 1 - .flя2, (44а) J J1 П(х) = -2Лх-«2, (446) f,(x)= 4Як( 7-х). (44в) J ji В зависимости от обсуждаемого вопроса предпочтение будет отдаваться более удобной форме, а соответствующие значения параметра Л для других форм — находятся из уравнений Л(а^2Л(Ь)(2^Ь)-1)=Я(а')(^<Г) + 1) , Л(<Г)^2Л(Ь)-1. (45) Где это необходимо, индексом CL , О' или Ь указывается принадлежность параметра Л той или иной форме. Используя форму (44а), нетрудно установить следующее. Если 04 т? 2 , то (44а) переводит точки отрезка [-1, 1J в точки отрезка [ /-/?, 1J с 1, 1 ] , поэтому говорят, что отображает отрезок в себя. Точка х^ = 0 этого резка является особой точкой (44а), В ней достигает симума и /^(хв) - 0 • При 04 Я < отображение имеет одну устойчивую неподвижную точку Л от— мак— (44а) (46) Для 2 эта неподвижная точка неустойчива, а при у? = 2 появляется вторая неустойчивая неподвижная точка х = - 7 . Понять, что происходит при прохождении параметра у? через критическое значение Д7= 3/4 помогает рис. 17. Видно, что в момент когда/д (х)=-7 у двукратной итерации _/7,(х) и при Л >Л у появляются две неподвижные точки х? и х2 : Рис. 17. Возникновение 2-цикла из неподвижной точки X для квадратичного отображения (44а) 41
причем устойчивые, так как < 7 • При даль- нейшем увеличении 7? производные^)1 ( £ уменьшаются до -1 для JI = /\ 2 , 2-цикл ( х7 , х2) становится неустойчивым, и аналогично тому, как из неподвижной точки х У появился 2-цикл, из каждой неподвижной точки р и х2 отображения рождается 2-цикл, т.е. 4-цикл исходного отображения . С ростом у? этот процесс продолжается до бесконечности, в результате которого появляется последовательность . .< значений параметра J? , отвечающих точкам бифуркации удвоения периода: при J = /] j становится неустойчивый 21 цикл и появляется аттрактор периода 2^ • Предельное значение Д оказывается меньшим 2. Чтобы убедиться в этом, обозначим через Д (48) J • I J взаимосвязь последовательных точек бифуркации, а через /7(Др~ период соответствующего аттрактора. Предельное значение Д^ является неподвижной точкой отображения (48). Для последовательности удвоения периода (49) вблизи предельной точки Д период п (Д р должен расходиться как* fJ^-Др , (5Qj чтобы не нарушилось условие (49). Раскладывая (48) в ряд = R(A~>) + получаем --- а переписывая (50) в виде Р (51) 7/г находим, что 0-2 или rj-fM I V а~(Ж1л„} ’ <52> х ‘Г Более общий вид: П (Ду ) ~ (А Д ) ^(InCA^ ~Aj )) , где - произвольная ,гладкая функция.
Для вычисления .зависимости (48) необходимо привлечь дополнительные соображения. Используем подмеченную закономерность появления аттракторов, состоящую в том, что где Р.Л?)- производная 2J -кратной итерации р^л^-рм , j fJ ' отобра- жения [ в точках 2/ -цикла. Предположим, что J /I Для больших У это уравнение будет давать искомую связь (48) тем точнее, чем выше 4 . Для А = 1 имеет с учетом (4-6) и (47) 1-= 4 (1-Л } + 1). Откуда при помощи (48) и (52) определяем /I 5,12; Л(^ 0,781, Л(2 х 0,891. (53) Данный результат неплохо для первого приближения согласуется с точным Л1,4015...; 0,7849...; /1^= 0,8924..., (54) if = 4,669201... (55) который можно получить, проводя вычисления на микрокалькуляторе. Изложенная процедура представляет собой один из простейших ренормализационных методов, широко используемых в современной теории критических явлений, восходящий к идеям Каданова о поведении корреляционной длины (аналогом которой является n(Aj)) вблизи точки фазового перехода. Ввиду важности обсуждаемых вопросов для понимания точной формулировки универсальности перехода к стохастическому режиму через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода продемонстрируем еще одну приближенную ренормализацион— ную схему определения зависимости (48). Рассмотрим отклонения от неподвижных точек 2-цикла квадратичного отображения в форме (44б). Пусть х п = -л. ? т- Д Для четных п ,
х>п=х.г +- А*п для нечетных П (иля наоборот). Тогда 2) -J = - (2.$+2 S. j) Д хп~ (Д^ц) ? (2^+2^Д^п + 1 - (Д^п + 1)г. Исключая /Ах и удерживая только линейные и квадратичные слагаемые, получаем Д^+г = 4(^£г№ + ^Д^гг[^Л1 )-2^г>](Д^ 5 6) Масштабным преобразованием Дхй = 5' , (57) Л л где 0C~-6b +4bZ , ь =-Jrj(2.jl-1')(3+2.H) > (56) сводится к выражению х п+2. ~ > (58) по виду совпадающему с исходным (446), но с другим параметром Л ‘^2Аг+ 2Л-2 . В силу построения 2 7 ^-цикл отображения (58) отвечает 27 -циклу отображения (446), поэтому точки бифуркации удвоения периода оказываются связанными соотношением /V 7- = = г л . отсюда для предельной величины /1^ и ско- рости сходимости к ней & получаем те же (что любопытно) значения (53). Кроме них, в данном подходе появился параметр подобия с2. Для выяснения его смысла обратимся к рис. 18, на котором изображены сверхустойчивые 2- и 4-циклы отображения (44б). Свое название они получили из-за принадлежности к ним особой точки Хд отображения , в сиду чего производная соответственно двух— и четырехкратной итерации отображения /у , определяющая устойчивость цикла, в точках сверхустойчивого цикла равна нулю. Области внутри квадратов, показывающих чередование элементов сверхустойчивых циклов, оказываются подобными друг другу. Количественной характеристикой этого подобия и служит параметр ос , причем 44
где через Л обозначено значение параметра J , при котором 2л-цикл является сверхустойчивым. Очевидно Л £< Я £<...</[ Вблизи предельной точки ест -2.2 У . Знак минус здесь отражает переход при каждой бифуркации удвоения периода бли жайшего к элемента аттрактора с одной стороны от Ху на другую. Поскольку изменение масштаба определяется только свойствами композиции (а не самой функцией), то величина изменения масштаба вблизи особой точки при каждой последующей бифуркации должна стремиться к универсальной величине. Численный расчет дает для X следующее значение X = -2,5029. (60) Итак, асимптотически расстояние, разделяющее соседние элементы аттрактора вблизи особой точки, уменьшается между двумя последовательными бифуркациями удвоения периода в /л/ раз. Поведение других элементов аттрактора демонстрирует рис. 19.
Рис. 19. Элементы аттрактора отображения (44в) и соответствие масштабному преобразованию (57) Теперь остановимся на некоторых аспектах формальной теории. Пусть на отрезке f-1, 1] задано семейство непрерывнодифференцируемых функций f , отображающих fl, 1] в себя и имеющих внутри этого отрезка только одну особую точку латочку максимума f . Для простоты дополнительно предположим, что , (81 ) Ouub, a=a(f)=--f(1),b=b(f)=f(a-). Тогда f отображает точки одного интервала[-Q. а] в точки не пересекающег^я с ним другого интервала [ Ь, 1] и обратно (рис. 20): [~a,f(6)] с[-а,а]. Если изменить ориентацию и рас. тянуть интервал, то двукратная итерация f of на ,Ct] превратится в отображение рассматриваемого семейства функций на Рис. 20. Отображение отрезка JQ=[-a,a] J7= [b,l] и обратно под действием f в форме (44а), а - -f ( 1) , b -f (а).
£—1, 1] со свойствами (61). Обозначим его через Уу~ (х); = (62) При этом ZT нужно рассматривать как оператор, действующий в пространстве функций / . Он называется оператором удвоения периода и обладает следующими свойствами: 1) У дважды дифференцируемо в открытой области D рассматриваемого функционального пространстваJ 2) 2Г имеет неподвижную точку J 3) только одно собственное значение дифференциала У , обозначаемое через d , больше единицы. Заметим, что именно при помощи оператора удвоения периода получено (58) из (446). Оператор У делит пополам период циклов четного периода аналогично преобразованию Виль— сона-Каданова в теории критических явлений, изменяющего корреляционную длину в S раз. Неподвижная точка У — универсальная функция / - определяется уравнением (63) л =/(/) . (64) Если искать решение (63) в пространстве функций, которые вблизи максимума имеют вид/x-x^/z$>(х),где гладкая функция с неособой точкой , то <x.= <x.(z) , . Для функций с квадратичным максимумом Z = 2. для №. (2) и di. 2.} получим значения (60) и (55). В этом и состоит универсальность параметров Л и d . Наглядно положение неподвижной точки / в функциональном пространстве можно представить (рис. 21) как пересечение двух множеств - неустойчивого VV , размерности 1, и Дифференциал dj^J оператора J в точке функционального пространства определяется линейной относительно функции е(х) частью выражения 7g(x} . Уравнение на собственные значения d дифференциала Ид^Г имеет обычный вид (х)= de^jz). ° 1/2
Рис. 21. Структура функционального пространства вблизи неподвижной точки J отображения (62) устойчивого U/j , коразмерности 1 . Вблизи устойчивого множества располагается семейство "поверхностей". (напомним, что/(7?) = 7 ), причем если , то / име- ет сверхустойчивый цикл периода 2 . Поверхности Xj сгущаются к «/в : "расстояние" между ними уменьшается при j—• °° пропорционально сГ . Однопараметрическому семейству отображений отвечает кривая, пересекающая > j J > i ... и Ws под "ненулевым углом" в точках Aj и Л причем 3~п J - Универсальные свойства последовательности удвоения периода, вытекающие из (62), позволяют проанализировать все важнейшие характеристики сценария перехода к хаосу. Ввиду ограниченного объема пособия перечислим часть из них. Для спектральной плотности вблизи предельной точки /!„ выполняется универсальный закон подобия бТ) ’ где для функций с квадратичным максимумом Т - 4,578... Этот закон означает, что для того, чтобы получить амплитуду новой гармоники, появившейся в результате /2 +1 —бифуркации, Неподвижная точка, принадлежащая пересечению устойчивого и неустойчивого множеств, называется гиперболической. Понятие гиперболичности тесно связано с хаотическим движением. Сумма размерности и коразмерности некоторого подмножества равна размерности исходного множества.
нужно взять уменьшенное в Т раз значение амплитуды гармоники, обязанной п. -й бифуркации. Добавление внешнего гауссового шума к отображению (41): (66) приводит к следующему универсальному соотношению для показателей Ляпунова Л(Л~-Лп (67) где для отображения с квадратичным максимумом И- = 0,37..., Ь = 0,45 ..., а Ф — некоторая гладкая функция. В спект- ральной плотности шум проявляется как фоновая составляющая, которая "поглощает" гармоники, отвечающие высшим порядкам бифуркации. 8. Сценарий Помо - Манневиля Другой путь к хаотическому режиму состоит в постепенном (при изменении параметра J ) исчезновении периодических пульсаций за счет прерывания их стохастическими всплесками (рис. 22), т.е. перемежаемости периодического и стохастического режимов. Как установили Помо и Манневиль, главную роль здесь играет тангенциальная бифуркация. Поясним суть дела на примере квадратичного отображения (44в). Рассмотрим трехкратную ) итерацию (44в). Оказывается, что существует критическое значение параметра j?, которое обозначим через Л с , когда график касается биссектрисы (в точках •£ = 0,160; 0,514; 0,956 для (44в), рис. 23). При Л > jiс график проходит через бис- сектрису и возникает 6 неподвижных точек, из которых только 3 устойчивы. Через такую тангенциальную бифуркацию в системе появляются циклы нечетного периода. Если теперь Л < , а Л с - Л достаточно мало, то вблизи точки, например ш =0,514, возникает узкий канал, после попадания в который необходимы ~ (Л - Л) ' итераций, чтобы выйти из него (рис. 24). Эту область называют иногда областью ламинариости, по аналогии с гидродинамикой, где впервые такой режим наблюдался. В области ламинариости для системы будет характерен длительный
Рис. 22. Установление периодических пульсаций периода 3 (а) и перемежаемость периодических и стохастических пульсаций (б) на примере отображения (44в) переходной процесс, соответствующий прохождейию траекториями точек вблизи только что исчезнувшего периодического движения. После выхода из области ламинарности система движется случайно, до тех пор пока блуждания вновь не окажутся в окрестности той же (0,514) либо другой (0,160 или 0,956) точек.
Рис. 24. Область ламина р-ности вблизи точки касания трехкратной итерации (44в) биссектрисы при Л < Л„ и Р ИС. 23.Трехкратная итерация отображения (44в) при Л-Лс Строгая теория перехода к хаосу через перемежаемость также базируется на ренорм—групповом подходе и может быть целиком построена при помощи математического аппарата, развитого при изложении сценария Фейгенбаума. Здесь мы ограничимся констатацией некоторых результатов. При переходе к хаосу спектральная плотность h (ш) изменяется непрерывно от (f -функции к гауссовому пику с шириной (Лс ")^2. При наличии внешнего гауссового шума (66) для отображений с квадратичным максимумом размер I области ламинарности (периодических пульсаций) описывается универсальной функцией 1= ис-Я)'1/г (68) где <р - гладкая функция. 9. Сценарий Рюэля - Таккенса Данный сценарий характеризует переход к хаосу через разрушение квазипериодических режимов, которые характеризуются несколькими несоизмеримыми частотами. В случае двух частот траектория такой системы расположена на двумерном торе в фазовом пространстве. Соответствующим образом выбрав его секущую плоскость, можно получить отображение Пуанкаре в виде отображения окружности в себя. Одной из простейших нелинейных форм такого отображения является такая
+ (69) При ft < 1 это отображение не имеет максимума и не может привести к какой-либо стохастичности. Однако бесконечно близко к каждому значению Q , приводящему к несоизмеримому движению для ft < 7 , существует область значений <2 , при которых движение стохастично, если ft чуть больше единицы, т.е. несоизмеримое движение неустойчиво по отношению к хаосу при ft =7 . Спектральная плотность в этой области со- стоит из бесконечного числа дискретных линий, которые скапливаются вблизи точки GJ = O. Библиография Общими руководствами по стохастической динамике являются книги [5, б]. Последовательный ренорм-групповой анализ одномерных отображений отрезка в себя изложен в статьях [ 12, 22, 30], окружности в себя - в работах Гзб, 37] , причем в [22] установлена связь с ренорм-групповым подходом в координатном пространстве к одномерной модели Изинга, а в [37] реализована идеология, аналогичная ренорм-группе в импульсном пространстве. Анализ устойчивости сценариев перехода к хаосу дан в [20] . Иерархия размерностей странных аттракторов, их связь с показателями Ляпунова и вычисления для некоторых отображений описаны в работе [26 ] . Глава Ш. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 10. Гибридные устройства Гибридные устройства способны работать в нелинейном режиме при низких интенсивностях ( ^1 МВт/см^) падающего излучения, допускают интегрально-оптическое исполнение и удобны в эксперименте. В различных областях спектра предпочтение может отдаваться тем или иным их видам. Так, в инфракрасном диапазоне, где хорошие электрооптические материалы отсутствуют, перспективны акустооптические устройства. В других диапазонах бывает более целесообразным использование электрооптических устройств. Гибридные устройства позволяют выполнять детальные экспериментальные исследования возникновения бистабильности, периодических и хаотических самопульса-ций, проводить сравнение с теорией. Чтобы проверить теорети-52
ческие положения изложенного в пособии подхода, гибридные устройства должны быть по возможности более безынерционны. Для этого требуются большие времена задержки поскольку обычное время 7/у установления обратной связи в электрических цепях порядка микросекунды. Необходимая задержка легко создается при помощи ЭВМ и аналого-цифровых преобразователей, которые и были с успехом использованы уже в первом эксперименте/28]. В работе f 18] на установке, аналогичной изображенной на рис. 9 и описываемой уравнениями (26), изучались зависимость периода самопульсаций от величины времени задержки г^, удвоение периода пульсаций и возникновение хаотического режима. Для периода 2 самопульсаций получено значение, очень близкое к 2.(т01- 7/j-). Выходной сигнал, низко и высоко частотные спектры для различных значений 1 представлены на рис. 25. Последовательность бифуркаций удвоения периода оказалась конечной - после периода 8 наступал хаотический режим. В области хаоса обнаружена симметричная последовательности удвоения периода последовательность обратных бифуркаций Лоренца. Вычисление констант по (7) для измеренных значений точек бифуркации привело к следующим результатам: d'9hcn ~ 4,4 + 0,4 для последовательности Фейгенбаума; J'}hCn -5+2 для последовательности обратных бифуркаций Лоренца; что неплохо согласуется с теоретическим расчетом, дающим соответственно 4,45 и 4,62. Полученный результат указывает на проявление здесь сценария Фейгенбаума перехода к хаосу. Но шум ли, инерционность ли устройства повлияли отмеченным образом на конечность последовательности бифуркаций удвоения периода в Г18, 28J осталось не выясненным. В работе [21] экспериментально продемонстрирована принципиальная возможность исследования хаотического режима по анализу разбегания от средних значений, первоначально близких интенсивностей, измеренных с задержкой во времени несколько (~10) раз. Последовательное применение этой методики позволило бы, не прибегая к трудно осуществимой в малых временах измерениям интенсивности в реальном масштабе времени, отличать проявления хаоса от эффектов, связанных с шумом, но полученных на сегодняшний день результатов пока недостаточно для обстоятельного обсуждения этого вопроса.
I = 0,63 I ~ 0,71 I = 0,73 I = 0,77 I = 0,60 z= a, go <i) f) 6) г) /2 I—I .1 I I 1 .1 I_I-1 1 1 L Ll.Ll.l I I I I I 0 2 4 6 0 1/41/204 0 T/TD WTO 2UJTO Рис. 25. Самопульсации и спектральная плотность в акустооп-тическом бистабильном устройстве: а, б, в - самопульсации с периодом 2, 4 и 8; г, д, е — стохастические режимы в области последовательности обратных бифуркаций. Лоренца для хаоса периода 8, 4 и 2 L18J
Следует отметить существующее в настоящее время принципиальное расхождение между теорией £16 J и экспериментом [29] в вопросе определения размерности странного аттрактора, отвечающего стохастическому режиму. По экспериментальным данным размерность аттрактора не превышает 2 независимо от инерционности lift 0 оптической системы, в то время как расчет [16 ] указывает на пропорциональность размерности аттрактора величине 3'2'^ при » 7 . По—видимому, в [16] и [29] речь идет о разных размерностях, однако пока этот вопрос до конца не выяснен. 11. Полностью оптические системы Для наблюдения самопупьсаций и хаоса в полностью оптических системах необходим нелинейный набег фазы волны (при ее однократном прохождении системы) порядка Л . Этого можно достичь подбирая среды, либо с ярко выраженными нелинейными свойствами, либо достаточно протяженные. Чтобы нелинейность взаимодействия излучения со средой не приводила к дополнительным физическим эффектам, таким, как самофокусировка, самодифракция и др., усложняющими еще более режимы прохождения электромагнитной волны че-рез устройства, в работе [34] было * ' ' * ' ’ J предложено использовать в качестве нелинейной среды одномодовое волокно (см. рис. 26). При этом удается не только достичь значительных мощностей излучения в среде, но и в определенной области избежать ряд нежелательных побочных эффектов. Однако для подавления вынужденного рассеяния Брюлюэна в работе [34] вместо непрерывного излучения пришлось использовать цуг 0,14 нс импульсов с интервалами ме жду ними 7,6 нс и общей длительностью 140 нс. Интервал между импульсами строго соответствовал времени движения сигнала по замкнутому пути внутри резонатора. Огибающая такого цуга в центральной ее части на выходе из оптического устройства для значений 50, 160 и 300 Вт/см^ интенсивности падающего излучения показана на рис. 27,а. На рис. 27,6 видны состояния, отвечающие самопульсациям с периодом 2г^ однако для наблюдения сложной структуры (рис. 27,в) хаотичес— 26. Схема полно-оптического уст— Рис. стью ройства со световолок. ном
кого режима оказалось недостаточной разрешающей способности регистрирующей аппаратуры. Рис. 27. Центральная часть огибающей цуга импульсов в отсутствие самопульсаций (а), в случае самопульсаций периода 2 (б) и в хаотической области (в) [34]. Цена деления 20 нс В работе [ 23 J изучены периодические и стохастические самопульсации в резонаторах Фабри-Перо и кольцевом с нелинейной средой из газа аммиака. Длина резонатора Фабри-Перо варьировалась от 20 до 150 см, а давление газа от 5 до 40 Тор. Резонатор возбуждался излучением СО 2 лазера с длиной волны Ю.З мкм, диаметром пучка 3 мм и интенсивностью ~10 МВт/см . Длительность импульса составляла несколько десятков наносекунд. Как и в случае гибридных устройств, в пассивных оптических резонаторах экспериментально пока не изучены ни "окна" в хаосе, ни проявления сценариев Помо — Манневиля, Рюэля -Таккенса. Здесь все исследования еще впереди. Список использованной литературы I. Алексеев В.М. Символическая динамика.-В кн.: XI летняя математическая школа.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976. 2. Башаров А.М., Маймистов А.И., Маныкин Э.А. Фотоника. Нелинейные когерентные процессы.-М.: МИФИ, 1986, 84 с. 3. Боуэн Р. Методы символической динамики.-М.: Мир, 1979.
4. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теории нелинейных колебаний.41.: Наука, 1976, 384 с. Ь. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем.-М.: Наука, 1984, 271 с. 6. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика, -М.: Мир, 1984, 628 с. 7. Монин А.С. Гидродинамическая неустойчивость.-УФН, 1986, т.150, М, с.61-105. 8. Мурина Т.А., Розанов Н.Н. Режимы гибридных устройств оптической бистабильности.-Квант.Электр.,1981, т.8,М6, с.1186-92. 9. Ораевский А.Н. Динамическая стохастичность и лазеры.-Труды «ИАН СССР, 1986, т.171, с.3-29. 10. Розанов Н.Н. Гистерезисные и стохастические явления в нелинейных оптических системах.- Изв.АН СССР, сер.физ.1982, т.46, Мб, с.1886-97. II. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.-М.: Наука, 1984, 432с. 12. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении динамических систем. - УФН, 1983, т.141, М2, с.343-374. 15. Abraham ъ. , ami th S.D. Optical bistability and related devices.-Кар.Prog.Phys. 19a2, v.45,n.a, p.815-65- 4*. acherbalt J.R., Milonni P.W. , ahih U.—L> Chaos in quantum optics.-Phys.Kep.1985, V.12H, n.4/5, p.205-300. -|>. Bar-Joseph I., ailberberg Y. The mechanism of instabilities in an optical cavity.-Opt.Comm.1905,v.48,n.1,p.5>-6. 16. be Berre Ы. , Kessayre л., Tallet к., Gibbs H.M. High-dimension chaotic attractors of a nonlinear ring cavity.-Phys.Bev.Lett. 19b6, v.56, n.4, p.274-?. 17. Carmichael H.J. Optical bistability and multimode instability. -Phys.Rev.Lett. 1984,v.>2,n.15,p.1292-5.
16. Chrostowski J., Vallee H., Delisle 0. Self-pulsing and obaos in aooustooptio bistability.-Can.J.Phys.1965»v.61,n.8,p.1143-8. 19. Collet P., Bckmann J.-P. Iterated maps on the interval as dynamical systems.- Boston» Birkhauser 1960, VII+248 pp. 20. Coullet P. Stability of the soenarious towards chaos.- in Chaos and statistical methods/kd. Kuramoto Y. Springer 1984, p.62-71. 21. Derstine M.W., Gibbs H.M., Hopf P.A. Sanders D.D. Distinguishing ohaoa from noise in an optically bistable system.- IKES J.Quantum Electr.1985, v.QE-21, n.9, P.1419-22. 22. Peigenbaum M.J., Hasalacher B. Irrational decimations and path integrals for external noise.- Phys.Bev.Lett. 1962, v.49, n.9, p.605-9» 23» firth W.J., Harrison B.G., Al-Saidi I.A. Instabilities and routes to chaos in passive all-optical resonators containing a molecular gas.- Phys.Bev.A, 1966, v.33,n.4, p.2449-60. 24. Gao J.Y., Narducci L.k. The effect of modulation in a bistable system with delay.- Opt.Comm.1966, v.58, n.5, p.360-4. 25- Gao J.Y., Narducci L.M., Sadiky H., Squicoiarini Yuan J.M. Higher-order bifurcations in a bistable system with delay.- Phys.Bev. a, 1964, v.30, n.2, p.901-5- 26. Hentschel H.G.E., Prooaccia I. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors.- Physica D, 19o3, v.6, n. , p.435-44. 27. Hlrsoh J.B. , Huberman B.A., Scalapino D.J. Theory of intermittency.- Phys.Rev. A, 1982, v.25, n.1, p.519-32. 28. Hopf P.A., Kaplan D-L., Gibbs H.M., Shoemaker R.L. Bifurcations to obaos in optical bistability.-Phys.Rev.A,19B2,v.25»n-4,p.2172-82. 29. Hopf J?. A., Kaplan D.L. , Rose M.H., Sanders L.D. , Derstine U.W. Characterization of chaos in a hybrid optically bistable device.-Phys.Rev.Lett., 1966, v.57, n.12, p.1394-7. 58
50- Hu В., Rudnlok J. kxaot eolations to the feigenbaum renormallza-tlon-group equations for intermittency. -Phys. Rev .Lett. 1962,48, p.l6W-8. >1. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring oavity system.-Opt.Comm.1979.30,n.2. p.257-61।Ikeda K., Daido H., Aklmoto 0. Optical turbulenceiChatle behavior of transmitted light from a ring oavity.-Phys.Rev.Lett.1980, v.45, n.9, p.709-12. 32. Ikeda K., Mizuno M. frustrated instabilities in nonlinear opti-oal resonators.-Phys.Rev.Lett.1984, v.53, n.14, p.1340-3. 33. Luglato L.A. Theory of optical bistability.- Progress in optios, 1984, v.21, p.70-216. 34. Nakatsuka И., Asaka S., Itoh H., Ikeda K., Matsuoka M. Observation of bifurcation to ohaoa in an oall-optioal bistable system.-Phys.Rev.Lett., 1983, v.5O, n.2, p.109-12. 35-Nardone P. ,Mandel P.,Kapral R. Analysis of a delay-differential equation in optical bistability.-Phys.Rev.A,1986,v.33,n.4,p.2465-71. 36.0stlund S., Rand D., Sethna J., Siggia b. Universal properties of the transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems.-Physica D, 1983, v.8, n. , p.303-42. 37. S8ralman B.I. Transition from quasi-periodicity to chaosiA perturbative renormalization-group approach.-Phys.Rev.A,1984,v.29,p.3464—6. 38.Sparrow 0. The Lorenz equations: Bifurcations, chaos and strange attractors.-Springer-Verlag, N.Y.1982, IX+269 pp. 39. Vallee R., Delisle C. Route to chaos in an acousto-optic bistable device.-Phys.Rev.A, 1985> v.31, n.4, p.2390-6.
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Оптические бистабильность, самопульсаций и хаос... 3 Особенности теоретического анализа оптических устройств с задержкой в линии обратной связи... 7 Библиография........................................ 14 Глава I. Описание режимов работы оптических устройств при помощи отображений................................ 1® 1. Основные уравнения для кольцевого резонатора... 16 2. Абсорбционная бистабильность..................... 23 3. Самопульсаций в нерезонансном кольцевом резонаторе с абсорбционной нелинейностью............... 27 4. Оптическая мультистабипьность и самопульсаций в гибридных устройствах и резонаторах с дисперсионной нелинейностью........................... 30 5. Режим синхронизации частот....................... 34 Библиография..................................... 35 Глава II. Сценарии перехода к хаосу................... 36 6. Некоторые характеристики хаоса................... 36 7. Сценарий Фейгенбаума............................. 40 8. Сценарий Помо - Манневиля........................ 49 9. Сценарий Рюэля - Таккенса........................ 51 Библиография..................................... 52 Глава Ш. Экспериментальные исследования............... 52 10. Гибридные устройства........................... 52 11. Полностью оптические системы................... 55 Список использованной литературы....................... 56
УДК 531+535 Башаров А.М. Фотоника. Самопульсаций и хаос в оптических системах: Учебное пособие. - М.: М®И, 1987 . - 6(7 с. Режимы работы пассивных оптических устройств, таких, как нелинейные резонаторы, электро- и акустооптические системы, проанализированы в рамках понятий теории одномерных отображений, естественно возникающей при пренебрежении инерционностью устройств. Рассмотрены оптическая бистабильность, периодические и стохастические пульсации и некоторые их приложения. Описаны пути возникновения хаотического режима через последовательность удвоения периода пульсаций (сценарий Фейгенбаума), перемежаемость периодического и стохастического режимов (сценарий Помо—Манневиля) и через разруше- ние квазипериодического движения (сценарий Рюэля-Таккенса). Дано представление об используемом здесь ренорм—групповом подходе. Пособие предназначено для студентов факультетов ЭТФ и СФФ, специализирующихся в области физики твердого тела и квантовой электроники. Рецензенты: Б.И. Манцыэов, Н.М. Спорник, А.Ю. Иванов С) Московский инженерно-физический институт, 1987 г.