19.93 г. январь — февраль	т. 47, вып. 1 (283)
УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
УДК 519.248
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ
В. П. Б е л а в к и н
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. Некоммутативная алгебра Ито..................................... 47
Глава 1. Положительные безгранично-делимые функции на ★-полугруппах
и их представления. Введение.......................................... 52
1.1.	Представления условно-положительных функционалов на ★-полугруп-
пах............................................................... 53
1.2.	Псевдофоковское представление безгранично-делимых состояний ...	60
1.3.	Структура псевдопуассоповских хаотических состояний на ★-алгебрах	68
Глава 2. Некоммутативный стохастический анализ и квантовая пемарков-
ская эволюция. Введение............................................... 76
2.1.	Неадаптивные стохастические интегралы и дифференциалы в шкалах	77
2.2.	Неадаптивиая формула Ито квантового стохастического исчисления	86
2.3.	Неадаптивная квантовая эволюция и хронологические произведения	96
Список литературы....................................................... 104
Введение. Некоммутативная алгебра Ито
Некоммутативный стохастический анализ и исчисление возникли в 80-е
годы как результат математического обоснования понятий квантового бе-
лого шума и соответствующих «уравнений Ланжевена», обсуждавшихся
физиками, начиная с 60—х годов, в связи со стохастическими моделями кван-
товой оптики и радиофизики [1—31. Первые строгие результаты по кванто-
вому стохастическому исчислению принадлежат Хадсону и Партасарати 114],
открывшим в 1983 году квантовую форму Ито для операторно-значных ин-
тегралов по некоммутирующим каноническим мартингалам Mi (f), £ =
1,2,	3. Последние определяются процессами рождения Л+ (f), уничтоже-
ния Л_(0 и числа квантов N (t) как линейные комбинации
(1)	i.Mt = Л_ - А+, М2 = А_ + А+, М2 = N
в симметричном фоковском пространстве Г (X) над УС = L2 (R+) относи-
тельно естественной фильтрации Г( = Г (L2 [0, fl), tE R+, и вероятност-
ного вектора 10 е= Г) Г( вакуумного состояния Е1X1 = (10 | Xl0), X СЕ Л,
t>0
Здесь тройка (Г, .А, Е) есть «квантовое вероятностное пространство» 15],
состоящее в общем случае из гильбертова пространства Г, представления
некоторой операторной алгебры .Л с инволюцией — эрмитовым сопряже-
48
В. П. БЕЛАВКИН
наем X >-> X* -Л и функционалом математического ожидания Е: Л —> С.
определяемым скалярным произведением нормированного вектора 1 Е Г
и вектора Хх» Всякому (классическому) вероятностному пространству
(Q, F, Р) 16] отвечает «квантовое», состоящее из комплексного пространства
Г = L2 (Q) со скалярным произведением
(/ | h) = $/ (<у)*/г (<о)Р (d<o),
коммутативной алгебры операторов умножения (Х/)(<о) = х (<о)/ (со) на комп-
лексные $ -измеримые случайные величины х: Q -> С и функционала
(2)	Е IX] = $ a (w)P (d<o) = (1 | X 1),
определяемого вероятностным вектором 1 (ю) = 1, УйЕЙ. Обратное
справедливо лишь в случае коммутативной В*-алгебры .Л 17], что указывает
на значительно большую общность некоммутативной теории вероятностей,
охватывающей также чисто квантовый случай, соответствующей простой
алгебре ,Л — "В (Г) всех ограниченных операторов в гильбертовом про-
странстве Г.
Используя описанную аналогию, Хадсон и Партасарати ввели понятие
адаптивного (согласованного) квантового процесса как семейства {Х( | t ЕЕ
ЕЕ R+) операторов в Г (L2 (IR+)), каждый из которых присоединен к под-
алгебре Л*, порождаемой каноническими операторами {М\ (э)| з i —
— 1, 2, 3}. При этом инкременты (f) = Mi (t + Д£) —	(/) оказы-
ваются коммутирующими с согласованными операторами D], что позволяет
i
ввести квантовые стохастические интегралы Xf = § D}dMi (з) как пределы
о
интегральных сумм Ито У, О{Д7И< (/), где т = {ii <С • • • <С ^v}» bin ~~
ter
= £л+1 — tn ->• 0 при 2V ->• оо (здесь и далее используется Эйнштейновское
правило суммирования DiMi — У D’AfJ. Основываясь на этом подходе,
в 114] была построена квантовая эволюция как решение линейного стохас-
тического дифференциального уравнения dUt — Ut У L dj\>, Uo — I с по-
стоянными ограниченными операторными коэффициентами и некоммутирую-
щими инкрементами dXj — dMj, j = 1, 2, 3 и dA0 = di.
Для изучения условий унитарности (7* = Щ1 была использована фор-
мула Ито
d (X*Xt) ---= dX*Xt X*dXt + dX*dX(,
(3)
dX* dXt - dt 4- dMj = S	dA„
i, i.
где произведение квантово-стохастических дифференциалов dX( = S DldXj,
dXt = S DfdXj определяется таблицей умножения Хадсона — Партаса-
рати
dNdN = d^, d^dA+ = dA+. dAdN = dA_, dA_dA+ = dt
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
49
(другие комбинации равны нулю): с/0	= о =•	для всех t	, /, к = 0, 1. 2, 3,
а матрицы с7 = [c/J, i, к = 1, 2, 3,	имеют	вид	
1 — 1 01	ГО	0 Г		’0 0 —г
:= '	10, С1 = J 0	0 i	2	1 , с2 = -у-	0 0	1 .
0	0 Oj	2 [1	— i 0_	2	j 1 oj
0	0 О’		
0	0 0	•	
[о	о 1.		
Непосредственно проверяется, что трехмерное комплексное пространство 91
векторов а = (а1, а2, а3) является ассоциативной и инволютивной алгеброй
относительно комплексного сопряжения а* = (а1*, а2*, а3*) и композиции
а*а = (а‘*с)как, а’^с^а?,	= (а*а)*,
причем (а | 0у) — (0*а | у) относительно (полу)скаляриого произведения
(а | а) —	= | ia1 4- а2 |2. Благодаря этим свойствам можно ввести
четырехмерную алгебру .'Й = 31 © С с элементами b — (а, 0), a GE 91, 0 е С,
инволюцией Ь* = (а*, 0*), умножением
(4)	.*	b*b = (а*а, а*-а), а*-а: = (а | а)
и линейной формой I (Ь) = 0, определяющей полускалярное произведение
на S3: (b | b) = I (b*b) = а*-а. В результате мы получаем квантовую ал-
гебру Ито .4?, которая является некоммутативной ассоциативной алгеброй
с эрмитовой I (b*) = I (Ь)* положительной, I (б*б) > 0, формой I: S3 ->• С,
имеющей тривиальный нулевой двусторонний идеал
,7 — {Ь Е= S3 \ I (b) ~ I (ab) I (be) = I (abc) = 0, Va, с ЕЕ S3}.
Примем это свойство ,7 = {0} за определение (абстрактной) алгебры Ито
(Зв, I), в качестве которой можно рассматривать любую ассоциативную инво-
лютивную алгебру, факторизованную по нулевому идеалу .У положитель-
ной эрмитовой формы I. Выбирая самосопряженный базис {е} — е* | j =
= 0, 1, . . .} в S3 таким образом, что I ( У 07ej — 0°, общую конечномер-
но
ную алгебру Ито можно также описывать эрмитовыми структурными коэф-
фициентами
(5)	= 4*,	3 Cnjdm = S CJ,.4Cjm,
J^o	i--n
определяющими таблицу умножения dA.dAk = У с/ijdA,- базисных диф-
i^n
ференциалов и являющимися вещественными лишь в случае коммутирован-
ной S3. При этом с° = [с®*-];, к>0 есть неотрицательно-определенная матрица
комплексного (полу)скалярного произведения I (b*b) = У 0‘*с"к0|с. Ha-
г. к^о
пример, стандартное пуассоновское исчисление dndn = dn ассоциировано
с простейшей алгеброй Ито
S3 = С, ь = 0 Ь* = 0*, b*b = | 0 j2, I (b) = 0,
содержащей единицу 1 ЕЕ S3. Стандартное винеровское исчисление dwdw —
~ di, du’dt = didi = dtdiv -- 0 ассоциировано с двумерной нильпотентной
алгеброй Ито ® = СФС (без единицы): b — (а, 0) Ь* = (а*, 0*);
= (0, | а|2), I (Ь) =-- 0.
50
В. П. БЕЛАВКИН
Хорошо известно 181, что как пуассоновское исчисление, так и винеров-
ское можно реализовать как подисчисления квантового стохастического
исчисления в пространстве Фока относительно вакуумного состояния 1 = 13,
полагая, например,
w (4) = А. (4) + А+ (4), п (4) = tl + Л. (4) + А+ (4) + N (t).
Естественно возникает вопрос, может ли быть реализовано таким же обра
зом произвольное (некоммутативное) исчисление, соответствующее (абстракт-
ной) алгебре Ито (Ж, 4)? Уточним, что речь идет об некоммутативном исчис-
лении стохастических интегралов по операторным представлениям Л (4, ft) =
= У р Л,- (4) процессов с заданными ожиданиями Е 1Л (4, ft)] = И (Ь) =
= |RE |Л0 (4)1 и независимыми приращениями с4Л (4, Ь) = Л (4 4~ dt, b) —
— Л (4, b), b g= реализующими таблицу умножения с4Л,<4Лк = У c^dA,:
(5)	dA (4, b)* dA (4, b) = У	dA} (4) - dA (4. b*b).
i,}, k^n
Мы дадим положительный ответ на этот вопрос, сведя его к построению ка-
нонических представлений безгранично-делимых производящих функций
(7)	ф' (Ь) = Е [л( (ft)] = ехр {44 (ft)},
определяемых математическими ожиданиями «экспоненциальных» операто-
ров л( (b), b ЕЕ di,— решений стохастических дифференциальных уравне-
ний
(8)	dn( (b) = л‘ (b)dA (4, b), лп (b) --= I.
В главе 1 такие функции определяются решением уравнения (ft) —
= ф' (b)l (b)dl, <р° (b) = 1, полученного усреднением Е уравнения (8) с уче-
том независимости приращений dA (t, b) от л' (ft).
Применение формулы Ито
d (лг (4>)*л' (b)) = с/л' (b)*dit' (b) 4- did (4>)*л' (b) 4- n' (b)*dn‘ (b) —
= л' (b)*id (b)dA (4, ft* + b*b + b)
дает правило умножения
id (b)*id (b) = л' (ft* + ft*ft + ft) - л' (ft < ft),
где ft ft — ft*-ft определяется новой ассоциативной операцией а-с = а 4-
+ ас 4- с, превращающей ^-алгебру .44 в ^-моноид — инволютивную полу-
группу, в которой единицей и ЕЕ di служит нуль 0 : 0 • ft - 0 + ft = ft. Отсюда
следует положительная определенность У ф’ (а # с) /*АС > 0 и нормировка
Ф* (и) ~ 1 функции ([/ для каждого 4 относительно этой новой полугруппо-
вой операции, инволюции и единицы и =- 0 в di как результат по-
ложительности Е [Х*Х1 и нормировки Е [/]	1 математического ожи-
дания (2) для X — Улйлг (ft), I л' (0). Всякая такая функция ф!, ко-
торая включается в непрерывную однопараметрическую полугруппу {фг | г ее
ЕЕ RJ. фг (ft) ф* (ft) = фГ(Г5 (ft), ф° (ft) = 1 производящих функций на di, на-
зывается безгранично-делимым законом 19).
В главе 2 мы выполним программу Ито для квантового стохастического
исчисления в свободной от размерности форме, доказав непрерывность кван-
товых стохастических интегралов в фоковских шкалах и построив неком-
мутативную теорию многократных стохастических интегралов, определяю-
щих решения линейных квантовых дифференциальных уравнений в кано
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
51
нической форме. При этом будет использован подход, основанный на явном
определении этих интегралов в фоковском представлении, позволяющем
распространить их и на яеадаптивные операторные функции. Получена
также функциональная квантовая формула Ито, которая записывается
в псевдопуассоновской форме И01
(9)	df (Xt) = S [/ (Xt + D() - / (X,)Г dA, (0,
/>о
где ЦХ+ D)m -	= Z)'„ для f (X) = Xm, D}0 = 0, V/ > 0, DJm+l =
= XZ)?n + Z)’Xm + У D'c^JD11. При этом X есть канонический образ (X, 0)
I, О о
в формальных суммах X + D = (X, D), D = (0, D), снабженных инволю-
цией (X + D)* = (X*, D*) и произведением
(10)	(X + D)* (X + D) = (Х*Х, Х*7) + D*X + D*D),
где X*Z> = {X*Dj | ] > 0}, Z>*X - {/У*Х 17> 0}, D*D { 3 D^D* | />0},
i,
/(X) =(/(X),0) и /(X + D) вычисляется как степенной ряд относительно
этого произведения.
Эта формула, имеющая смысл для любой аналитической функции /,
является новой даже в случае классического операторнозначного процесса
Х(, определяемого стохастическим дифференциалом dXt = У DfdXj (t) с со-
1	ZssO
гласованными Dt — {Df | /	0}. Заметим, что в такой разностной форме
можно записать также и нестохастический дифференциал df (Xf) для диф-
ференцируемой операторной функции Х(, некоммутирующей с dXt = Dtdt.
Соответствующая алгебра 91 является нульмерной, а алгебра Ито Jfci —
= фС — одномерной с вырожденным произведением Ь*Ь = 0, VbEE С»
реализуемым исчислением d--dt •- 0 нестохастических бесконечно малых dt.
В частности, для / (X) = Хт получим из с°0 = 0
dxr = [(Xt + D()m —X™]°dA0 = 3 ХГ^ХГ1^,
71—1
как частный случай формулы (9) при / гн 0, dAo = dl для D = D:
df (Х() = [/ (Хг + D,) - f (Xt)]odt, X + D = (X, D),
[(X + D)m - XmP = Dw, Do - 0, Dm+1 = XDm + DXm.
Здесь X = (X, 0), D = (0, D) и учтено, что X"1 = (Xm, 0),
(X + D)m = Xm + 3 Xm”nDX"'1 = (Xm, 3 Х'П~Л7)ХП’1),
z.=l	Z.-1
поскольку DXnD = (0, DXnCo(lD) - 0 для dAodAo — c®0dA0 = 0.
Автор выражает благодарность профессору Р. Хадсону, профессору
Я. Г. Синаю и профессору А. С. Холево за обсуждение статьи и полезные
замечания.
52
В. П. БЕЛАВКИН
ГЛАВА 1
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ БЕЗГРАНИЧНО-ДЕЛИМЫЕ ФУНКЦИИ НА ^-ПОЛУГРУППАХ
И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Введение
В этой главе изучаются два типа представлений, ассоциированных с по-
ложительным безгранично-делимым состоянием на произвольной •^-полу-
группе [111. Первый «дифференциальный» тип связан с индефинитным
представлением условно-положительных функций	в псевдоевкли-
довом пространстве Минковского, построенном в [12]. Для случая группы
оно может быть получено простым обобщением [131 конструкции Гель-
фанда — Наймарка — Сигала (ГНС) с положительно определенных на ус-
ловно-положительно определенные функции. При этом гильбертово про-
странство ГНС представления заменяется на псевдогильбертово, разлагаю-
щееся в прямую сумму гильбертова и одномерного комплексного пространст-
ва в соответствии с единичной коразмерностью Хх() = 0 условной положи-
тельности (1.4). В первом разделе показывается, что такое представление
может быть реализовано треугольно-блочными матрицами вида
	1,	Ь~,	₽ -		1,	Ь*, ₽• -
(0.1)	в -	о,	в.		. Bb =	0,	в», ь~*
	.0,	0,	1 J		-0,	о, 1 _
с псевдоэрмитовым сопряжением (В^Л" | к) ~ (А'’| В/с) относительно инде-
финитного скалярного произведения
(0.2)	{к' | к) = к*к+ + (/>•(, | к0) + к*к'_,
где £+ЕСЭ к_, к0	—- вектор гильбертова пространства При
этом алгебра матриц А = В — I реализует таблицу умножения
/а	а_\	/а*а, а*А\	/а	/а*	а* \
(О-3)	= Г- =
\а+	А / \я+ А/	\А*а+ А*А/	\а+	А/ \а~*	А* /
в терминах а~ = Ь", а+ = Ь+, А — В — I, а == р для стохастических диф-
ференциалов Ито квантового исчисления Хадсона — Партасарати [14, 15]
с инволюцией = В^ — I, определяемой в (0.1) эрмитовым сопряжением
А* — В* — I, в Ж — &*, где I — единичный оператор в Ж.
Это наблюдение, положенное в основу новой формулировки [16, 17]
квантового стохастического исчисления, позволяет распространить его на
произвольные алгебры с безгранично-делимым состоянием ср. Отметим две
частные алгебры классических стохастических дифференциалов в случае
одномерного = С=
1) винеровский случай: А = 0, а~ = а+, а	С,
2) пуассоновский случай: А =?= 0, а~ — а* = 0 — а.
Рассматривая А как коэффициент AJ при стандартном пуассоновском
дифференциале dn — dA%, а~ = а* как коэффициент .40 = А®* при вине-
ровском стандартном дифференциале div dA® -f- dA^, а а как коэффи-
циент А+ при dl = d\\, получим в обоих случаях реализацию классической
формулы Ито для стохастического дифференциала dx = AiJdA^ =
В. V
== <А, dA> в виде
d (х*х) = x*dx + dx*x + dx*dx — <л?*А + А^х + AKA, dA>
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
53
разностного умножения Y^Y — л*х! = х* А	+ А^А треугольных мат-
риц Y — xl + A, Y^ — a;*I + Ab, где I — единичная 3x3 матрица,
a AbA определяется таблицей умножения (0.3).
Во втором разделе строится второй «интегральной» тип представления
безгранично-делимого хаотического состояния на fa с помощью экспонен-
циального индефинитного ассоциированного представления и устанавли-
вается его связь с исчислением ядер Маассена — Меера 118—20], определяю-
щих хаотические разложения квантовых случайных величин и процессов.
Алгебра этих ядер оказывается изоморфной групповой алгебре экспо-
ненциального представления fa в псевдофоковском пространстве, причем
ее фоковская проекция определяет ассоциированное безгранично-делимое
представление fa, порождающее соответствующее квантовое стохастическое
исчисление в подходящей гильбертовой шкале [21]. Отметим, что такой
подход естественно приводит к конструкции представления Араки — Вудса
(221, ассоциированного с безгранично-делимым состоянием в случае груп-
пы fa..
Наконец, в третьем разделе изучается структура и рассматриваются при-
меры псевдопуассоповских хаотических состояний, характеризуемых ли-
нейностью условно-положительной функции I ~ In / на ^-алгебре fa. К та-
кому типу относятся состояния коммутационных соотношений Гейзенберга
и квантовые пуассоновские состояния на некоммутативных С*-алгебрах fa,
изученные в [29]. Унитарные представления, связанные с безграничной
делимостью состояний, а также их приложения в квантовой теории вероят-
ностей исследовались на группах в (23—27] и па биалгебрах в [28].
1.1. Представления условно-положительных функционалов
на ^-полугруппах
Пусть (X,	, ц) — измеримое пространство X с положительной сг-ко-
нечной неатомной мерой ц: А Л >-» щ,	=	(^), fa — полу-
группа с инволюцией Ь 5*, (а-с)* = с*-а* и нейтральным элементом
и = а*, и-b = b — b-и для любого b fa и Л — множество простых
интегрируемых отображений g: X —► fa, т. е. 5; -значных функций х >-*- g (л.)
с конечными образами g (X) — {g (х) | xfafa X) d fa и интегрируемыми эле-
ментарными прообразами А (5) = {х GE X | g (х) =	< <х> для
всех b GE fa, кроме b — и. Определим на Л индуктивную структуру
полугруппы с единицей е (л) = u, Vx GE X и поточечно-определяемыми
операциями g* (х) = g (л)*, (j-h)(x) — /(x)-/i (fa), рассматривая Л как объ-
единение (J подполугрупп	< оо простых измеримых функций
g: X —> fa с интегрируемыми носителями А = supp g — {z €= X | g (х)	u).
Удобно описывать ^-полугруппу fa с помощью одной эрмитовой опера-
ции а * с = а* • с, удовлетворяющей соотношениям и h b— Ь, (Ь и) * и = Ь,
УЬ GE fa, (fa (b It с)) и - с ((b Jr и) Jr а), V«, Ь. f G fa, эквива-
лентным инволютивности Ъ** — b операции Ь*, эрмитовости (а * с)* =
= с* а и ассоциативности полугрупповой операции а-с, и и-b — Ь. Это
дает возможность рассматривать Л как ^-моноид с левой единицей е £ Л
относительно эрмитовой бинарной операции / ★ Л = g, g (х) = / (а?) *
h (х), определяющей инволюцию g* (х) и ассоциативную операцию (/-Л)(х),
У.т G? X по формулам g* = g ★ е, /•& = (/# е) ★ Л. V/,
Следуя 111], назовем производящим функционалом состояния над моно-
идом Л, или просто состоянием, отображение <р: Л >->• С, удовлетворяющее
54
В. П. БЕЛАВКИН
условию ф (е) — 1 и положительной определенности
(1.1) 2J х*ф(/*Л)хл>0, VxgGC, |suppx|<oo,
где | • | означает мощность множества supp х = {gE Л |xj^ 0}.
Введем на Л частичную операцию / | | h, — f-h для любых функций
f, h ЕЕ Л, имеющих дизъюнктные носители supp / (~) supp h = 0, относи-
тельно которой моноид .М- превращается в ^-полукольцо в смысле [И] с ну-
лем 0 = е и 2gn = (J gn (LJ ёп U) = gm W, Ул G supp gm, в противном
случае |_J g„ (x) = и). Будем называть состояние ф над Л хаотическим,
если
Ф (II &•) = П Ф (?п),
h=l 7
оо	N
где Ц ф(#„) — lim Ц ф(?п) для любых функций gnEE*M с дизъюнктными
г.= 1	JV-»oo
носителями: supp gn П supp gm = 0, Уп y= m.
Это условие выполняется для ф (g) = e<s> в случае
(1-2)	<?> = J I (х, g)dx, I (х, g) = lx (g (х)),
соответствующем абсолютной непрерывности УАееЛ: цд = 0 => Хд (Ь) = 0
меры Хд (Ь) = для каждого b ЕЕ где 5Д (х) — Ь, Ух €Е А, Ьд (х) —
— и при х QE А есть «элементарная» функция, называемая 5-индикатором
подмножества А С X при b =/= и. При этом функция фД: ® -*•€. равная
(1-3)	фд (5) = exp {J lx (b) dz} = ф (5д),
А
определяет безгранично-делимое состояние над моноидом 33 в смысле ра-
венства фд (Ь) — Пфд. (5) также и в пределе любого интегрального разбие-
ния А = ЕДЬ рдг | 0, при котором фд. (Ь)	1 для любого /)Е Й и по-
ложительной определенности функций фд (Ь) = etK&(b\ образующих непре-
рывную полугруппу
{фд I / GE R+), ф"д (5) = 1, Фгд (5)• Ф1 (5) = фГ (5).
Необходимые и достаточные условия для функционала (1.2), соответст-
вующего безгранично-делимому состоянию (1.3), даются следующей теоре-
мой, в которой предполагается, что X допускает сеть разбиений системы
Витали, в которой цд | 0, х €= А, при А | {я).
Теорема 1. В принятых обозначениях следующие условия являются
эквивалентными:
(i) для любого множества X ЕЕ ,А, конечной меры цд °° функция фд:
S3 -*• G является производящей для безгранично-делимого состояния над 33,
причем для любого Ь ЕЕ S3 существует предел lx (b) = lim —— (фд (5) — 1)
А I |х! Ид
почти всюду в смысле Лебега — Витали [30]; при этом |лд = 0 => фд (5) =
= 1, VA ЕЕ А, b ЕЕ -13.
(’О Ф (?) = ехР {<£>}, где (bfS) = Хд (5) есть абсолютно-непрерывная
комплексная мера на JL для каждого b ЕЕ 33, определяющего Ь-индикатор
A G Л; для любого интегрируемого A CZ X функция b н* Хд (5) является
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
55
условно положите.'ьно-определенной
(1.4) У, хаХд (а if с) хс > 0, Vx : ] supp х | ос, У хь = О,
1ел
причем Хд (и) — 0 и Хд (5*) = Хд (5)* для любого b ЕЕ 33.
(iii)	существуют: 1) интегральный if-функционал <g> = f I (х, g)dx с
комплексной плотностью I: М -*• L1 (.¥), I (g)* = I (g*) со значениями
I (х, g) = 0, Vg (х) = и, I (х, Ьд) = 1Х (Ь), не зависящими от А ЕЭ х\
(?)
2)	непрерывное отображение k: g gy ~\к (х, g)dx в подпространство Ж С
CZ Жх dx квадратично-интегрируемых функций к: х >-+ к (х) ЕЕ Жх, к (х, g) =
= 0, Ух: g (х) = и со значениями к (х, Ьд) = кх (Ь), Ух ЕЕ А в предгиль-
бертовых пространствах Аг*7сх = {кх | кх), к*к = j* || к (х) ||хс7х ос,
|| к ||х = к*кх, не зависящими от А при х (= А, которое удовлетворяет вместе
с сопряженным отображением к*: g (g ~ к (g*)* в функционалы к* (g) =
— <g (x)dx ЕЕ Ж* условию
(1.5)	к (j)*k (к) ~ <j if hy — </*> - <л> = ст, V/, к е л.
3)	невырожденное if-представление j: g G — J (х, g)dx, j (x, f if k) =
= j (x, /)*/ (x, к), j (x, g) = Ix, Ух: g (x) = и if-полукольца Л в *-алгебре
©
разложимых операторов G: к ЕЕ Ж (х, g) к (х) dx, j (х, b^) = jx (b),
Ух Е= А, удовлетворяющих условию коциклов
(I-6)	} (£*)>*> = g ★ hy — g*>, </*/ (g) = </ if g —
— <£, V/, g, k G Л
и наделяющих Ж структурой полигилъбертова пространства относительно
сходимости по всем полунормам
(1.7)	||Л]Г = ($ || / (х, f)*k (х)||® dx?'*, /ЕЕЛ.
(iv) Почти для каждого х GE X существует псевдоевклидово пространство
(х), невырожденное if-представление р (х, b if b) ~ р (х, b)b р (х, Ь) в ал-
гебре операторов № (?) = {В: ? —► ? |	? CZ ?}, где b: В »-+• В^ — эрми-
тово сопряжение (В^а, с) = (а, Вс), У а, с G ? (х) и вектор е (х) S ? (х)
такие, что функция
(1.8)	1Х (5) = (е (х), р (х, Ь)е (х))
является интегрируемой для каждого b ЕЕ 33 на А С X: рд < ос и lx (b)dx —
= In срд (b). Точнее, каждое ? (х) может быть выбрано в виде (х) =
— С ф й’о (х) @ С пространства троек с = (с_, с0, с+) = с , CzpGE Cs
с0 ЕЕ (х) с псевдоскалярным произведением
(1.9)	(с., с ) = с_с* + сос* + с+с* = с^, О1 = с*ц,
определяемым скалярным произведением СаС* = (с^, с0) в предгильбертовом
56
В. П. БЕЛАВКИН
пространстве 0 (х), представление р	(z) - л	треугольным
1 Po(^b)	p+U- b)'	
р (х, Ь) — о р° (х, Ь)	pjx,6) =р-.(х,Ь),	
_0	0	1	J
	p;(ft)*'	
Р(Ь*)= 0 Pjft)*	Po‘(*)*	^p;(b)b,
-0	0	1 .	
р (Ь)(с_, с0, с+) = (с_, с_ро (Ь) + соРо (b), с_ р+ (b) + Copl (ь) + е+) С.Р. (ь)’
а вектор е (х) — в виде е = (1, еа, <?+), где е0 (х) G (х), || е0 (лг)||“ =
= 2 Re е+ (х). Здесь sty = Вч_* — сопряжение В* =	— относительно ин-
дефинитной формы (1.9) треугольных операторов В = |Яу| в Вх = О,
р V, определяемое инверсией — ( —, О, +) = ( + , О, —) упорядоченного мно-
жества {—< О < + } индексов р, v = —, О, +.
Доказательство. Сначала установим простые следствия (iv)=^-
=> (iii) => (ii) => (i), а затем докажем импликацию (i) => (iv), построив ана-
логично конструкции ГНС конкретное псевдоевклидово представление лога-
рифмической производной производящего функционала фд безгранично
делимого состояния над 33 по Хд.
(iv) =» (iii). Обозначим ЗСХ = g* (я) пополнение предгильбертова про-
странства «столбцов» к = к* $о (х), определяемых для к,} ее 8п (х) как
функционалы к: b0 ЕЕ So (х) >-► Ьок = (Ьо, к0), последовательностями Коши
{/с*}, кпЕ=$0(х), относительно полинормы || к ||х = || р0 (х, а) к* ||, а ЕС; 33,
©
СК СС. j Жх dx — пространство — пополнение линейной оболочки {е —
— Р? (g)eV I g G ЗИ} по всем полунормам || А: Ц* = (jj || р0 (х, f (х))к (х) ||®с£г)1/2,
©
/ 6= 311. Для любого g €= 311 обозначим G = j (х, g)dx линейный разложи-
мый оператор в СК, определяемый поточечно как / (х, g) = р0 (х, g (а:)*):
(Gk)(x) = ро (х, g (z*)) к (х) - G (х)к (х), к (х) ЕЕ <о* (х).
Такое определение корректно, поскольку для почти всех zee X и всех j,hEz
е ЗМ Ро (/ ★ к) = р^ (h)p'a (/*) = ро (/г)ро (/*), где р" (f)(x) = р“ (х, f (х)), и
любая фундаментальная относительно всех полунорм || • ||' последователь-
ность функций {/с*}, кп (х) ЕЕ $о (х) отображается оператором р0 (g*) в та-
кую же последовательность {к* (g)}, кп (х, g) = кп (z)p0 (х, g (х)) GE (х):
и с (g) - к* (g) nh=и Р; (h) P; (g*) (k*m - k^ и=и k*m - c ir*h o.
©
Это дает разложимое невырожденное представление Gk = J G (x)k (x)dx
^-полукольца M в полигильбертовом пространстве CK-.
e - I = P; (C), / ★ h F*H, F = p; (/*), Я = P; (/i*).
Это представление является замкнутым в смысле полноты СК относительно
одновременной сходимости по всем полунормам || к Ц* = || F* к ||,
эквивалентной сходимости по гильбертовой норме || к || лишь в случае сущест-
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
57
венной ограниченности операторной функции G (х) = j (х, g) для каждого
g ЕЕ Л. Обозначим g) для g ЕЕ Л, вектор-функцию g > = (pt (g*)—l)e°-f~
+ Р* (£*)е+ = — е + Рн (g*)	& = с-ц со значениями к (х, g) G (х),
сопряженными строке <g* (х) =	(г) р£ (х. g (х)) е S (х). Эта функция
является квадратично-интегрируемой, поскольку
</*Л> (М»о (/) ~ ео) (х) (Pv (hit) ev — е°) (х) dx =
- $ {|| е° (х) ||х2 + сц (х)(р'к (/) pt (Л*) - р‘- (/) р; (hit) - р? (/) Р: (Л*)) (х) ev (х) -
~ Сц (х) (pMv (/) е" - р* (/) е- - р'+1 (/) е+) (х) - (cpP’vl (А*) - e..p~v (Л*) -
— c+pt- (А*)) (х) е'' (х)} dx J [ец (х) р“ (х, hitf)ev (х) — (х) p!J (х, hit) ev (х) —
— Ср (х) Pv (х, f) е\(х)] dx
для любых /, h е .//, где (х) p't {х, g)ev (х) = I (х, g*), I (х, g*) dx < 00,
и использовано условие efl (х) е>1 (х) = 0. Построенное отображение g GE М >->
g) обладает свойством дифференцирования g-h") = j (g)h~) + g> 1 (g)’
g-h) = Pp (g • h)* e* — e° = pt (g*) p£ (A*) ev — e° =
= Po (g*) pt (A*) ev + p°+ (g*) e+ — e° = j (g) A> + g>
относительно представления j (g)h) = p°o (g*)h~) моноида в Ж и тривиаль-
ного представления 1 (g) = \М в С-
(iii) => (ii): очевидно, что абсолютно непрерывная мера Ад (А) =
= /. (х, b)dx, определяемая функционалом <g> = (е, р (g*)e)dx, удовлет-
Д	з •	•
воряет условиям Ад (А*) = Ад (А)* и Ад (и) — 0, поскольку этим же условиям
удовлетворяет функционал / (х, А) почти всюду на X. Условная положитель-
ность (1.4) вытекает из положительной определенности (<g?git)J 0, обес-
печивающей условную положительность формы <g):
t S и хГ </ it hy xZ1 = , 2^ X* (</*A> + </*> + <А» хЛ =
= 3 X* <j*h) x,t 4- 22 x* s X/, <A> + S хГ </*> 3 xZl = s X* </*A> xZl > 0
A /•	1 h	f	h !, h
для любой функции x = {x^} с конечным носителем, удовлетворяющей усло-
вию >tg = 0.
«ЕЛ
(ii) => (i): если функция Ад (А) является (комплексной) абсолютно непре-
рывной мерой, то грд (А) = ехр {Ад (А)} обладает свойством <риД; (А) =
~ I I (fsi (А) безграничной делимости, причем существует предел (1.5), совпа-
дающий в силу фд (А) -► 1 при Д J, {а:} с производной Радона — Никодима
(А) = d In ф (b)!dx как предела отношения Ад (А)/рд jio сети подмножеств
Д Э х системы разбиений Витали измеримого пространства X. Функция
А •-* Фд (А) для любого интегрируемого Д является положительной в смысле
(1.1). В самом деле, для любой комплексной функции А >-> х6 с конечным
носителем
3 х* (Ад (a it с) — Ад (а*) — Ад (с)) хс == х^*Ад (a it с) хс > 0,
где хд = хь, А =/= и и xt = xu — 2 х&, так что 2 хь° = 0, и учтено Ад (и) = 0.
Ьей	Ьезг
58
В. П. БЕЛАВКИН
Благодаря этому
У х* ехр {Хд (а * <?)} хс = 2 «л* ехр {<а*с>} Хд > О,
а, сеёТ?	а, сеёТ?
где хд = хь ехр {Хд (й)}, и учтено (1.5) и Хд (й*) = Хд (Ь)*.
(i) => (iv): Поскольку фд — безгранично-делимое состояние на 33 и
фд (6)^1, Уй при рд -*• 0, предел 1Х (Ь) определяется как логарифмическая
производная In ф^ (й) в смысле Радона — Никодима от меры Хд (Ь) =
= In фд (ft). Следовательно, функция х 1Х (Ь) является интегрируемой
и почти всюду удовлетворяет условиям 1Х (а * с)* = /х (с ★ a), I* (и) = О,
У, x*Zx (а * с) х,. '> 0, Yx: ) snpp х | < оо, У, хь = 0, в чем нетрудно
а, се®	1е®
убедиться непосредственно для разностной производной /д (й) = (фд (ft) — 1 )/рд
и затем перейти к пределу Л | {л:}. При этом lx (b)dx = In фд (ft) в силу
д
абсолютной непрерывности.
Рассмотрим множество 31 комплексных функций a = {afc} на S3 с ко-
нечными носителями {ft ЕЕ S3 | аь 0} как ^-алгебру распределений отно-
сительно эрмитовой свертки
(а ★ х)ь =	«Х> би ★ а а, а 6»	а*.
о*с=Ь
Здесь 6а = {би,й} — символ Кронекера, определяющий ^-представление
а >-> 6а моноида .'УЗ в Ж:
6u#fb-=6b, fb*6u = 6b*>
относительно инволюции а* = {а** I ft ЕЕ 33} и единицы 6е. Подпростран-
ство 31° распределений а, у которых сумма а+ = У аь — а* равна нулю,
является ^-идеалом:
3 (а ★ х)ь =2 S «X = S «* 2 *< = О,
Ье®	be® а*с=ь	аея с&в
ели а_ = О или х+ = 0. Снабдим алгебру 31 эрмитовой формой (а | х) (х) =
— У I (х, Ь) (а * х)ь, имеющей для каждого х ЕЗ X вид
be®
(а | х) = У а*/ (а ★ с) хс — У а* <а*с> хс + а_х* а+х_,
а, ее®	о, се®
где <а*с> (х) = 1Х (а * с) — 1Х (а*) — 1Х (с), а* (х) = lx (й) аь = а~ (х),
Ьегв
являющейся неотрицательной (а | а) 0 на а Е= 31°. Факторизуем 31 по
подпространству
SU (х) = {а е 31 | (а | х) (х) = 0, Vx G 31),
полагая а 0, если а Е= 31-1 (х). Условие а^О означает, в частности,
а+ (х) = (а ) 6И) = 0 и
(а|а)(х)— У а* <а*с) аг = (а° | а°) = О,
а, се®
где аь — аь, b =/= и, аи =- аи — У аь. Отсюда следует (а | х) = а_ = О
для любого х, удовлетворяющего условию х+ (х) — 1, поскольку при этом
(а | х) = (а° | х‘) + а_х* 4- а+п* равно а_ в силу at = 0 и (а’ | х°) = О
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
59
нз-за неравенства Шварца | (а° | х°) |2	(а° | а°) (х° | х°). Это позволяет
представить факторизованное пространство 91/91-1 (х) классов эквивалент-
ности <х | (.г) = {а* ЕЕ 91 | а — х ЕЕ 911 (х)} в псевдоевклидовом прост-
ранстве 8 (х) троек с = (е_, с0, с+), ЕЕ С, с0 ЕЕ $о(х) = 9T/91-L (х) с инде-
финитным произведением (1.8) с помощью псевдоизометрии <х | (х) >-+ с (х),
с(х) — (х._, <х° | (х), х+(а:)), х_ = S X*, х+= 3 Z(fe*)xJ,
ь&®	ье®
(<« k <* I) (я) =	(-г) + («° I х°) (х) + а+ (*) х* = (а | х) (х).
Заметив, что представление 6 : b ЕЕ ® •->- 6ь является эрмитовым:
(^★а|х)= 3 48)(«#8t,x)t == («I 8te*)»
ь&л
где а-х - (а 'Д- 6И) -Д’ х, получим, что 6ь-а ~ 0, если а 0:
(а | х) = 0, Ух G 91 =Ф (6ь-а | х) = (а | 6Ь -Д’ х) = 0, Ух £= 91.
Это позволяет определить для каждого b €Е 93 оператор р (Ь) <х | = <6ь-х |
и р (b*) = р (fe)* с покомпонентным действием
(6Ь Д- х)_ = х_, (6Ь Д- х)° = 6Ь * х° 4- х* (6Ь - 6и)*,
(8Ь ★ х)+ = XJ (8) + (Х° | 8Ь — 8и) + Х+,
задаваемым умножением р (fe*)c = сВ, р (Ь)с — сВ^ треугольной блок-
матрицы		
	1	р0 (ь*)
В	0	Ро (**)
	0	0 0
		с	
р+(ь*)	, вь	с°	-
1		_с+_	
с~ + ро (Ь)с° -|-р+(Ь) с+
о +Ро(*)с° + р’(&) С+
0 +	0	э+4-
на строку с = (с_. с0, с+). Здесь р+ (х, fe*) = 1Х (Ь), <х° | (х) ро (х, Ь*) =
= <8ь ★ х° I И). Р+ (х, Ь^г) = | бь — 6U> (z) = р0 (х, Ь)*, Ь: с с = с*7,
Сц — с-ц =	~ В1* есть псевдоевклидово сопряжение строки с =
= cbb и треугольной матрицы В = (5у] псевдометрическим тензором g^v =--
pt* ь°* ь;*
0 С ь~0*
-0 о ь~*
Обозначая/ (b) ~ р0 (fe*), к (Ь) = р°.
получим таблицу умножения
(Ь*), /с* (fo) = Ро- (fo*), l (fe) = р; (6*),
"1	к* (а)	I (а)"1Ь	Г1	к* (с)	I (с)"1
0	/(«)	Мя)	|0	7(c)	к (с)	=
.0	0	1 J Lo 0	1 J
'1 к* (с) Ц- к (a)* j (с), Z(c) -|-Z:(a)*/c(c)i(a*)"l
“ 0	7(а)*/(с)>	(с) 4- к (д*) I ’
-0	0	1 J
определяющую матричное b-представление р (Ь) = (pv (Ь)] моноида S3 в псев-
доевклидовом пространстве <> (х). Это реализует условно-положительную
функцию I (Ь) |$ак значение векторной формы (1.10) на строке е = (1,0,0)=
60
В. П. БЕЛАВКИН
= е нулевой псевдонормы (е, е) —	= 0 для каждого х: (е, р (Ь) е) =
= емр" (fe*) ev = р” (fe*) = I (b). Доказательство закончено.
Замечание!. Всякое представление I (b) = et,pv (6*) ev относитель-
но индефинитного произведения (1.9) и вектора е = (1, е0, е+) приводится
к виду I (Ь) ~ р“ (б*), соответствующему вектору е — (1, 0, 0), треуголь-
ным псевдоунитарным оператором
(1.10) S -.=	1, 0, .0,	e0U, — и, 0,	е* 1	, S’1 Sb, Sb =	1, 0, 0,	«о — V*, U*e* 0,	1	1
реобразующим	матрицы		р (б) и столбец е ~ е\		’ к	каноническому виду	
	’1	к (Ь)*	1 (6)* "			"°1	
p(Z>) =	0	ЦЬ*)	к(Ь*) ,= 8Ьр:(г>)8, еЬ			0 .=Sb/,	
	_0	0		1		J	
где U* = и~г — произвольный унитарный оператор <оа,	=
= е*ц. В частности, если представление (& , р , е) минимально в смысле
цикличности 80 (х) = \/ еро (х, Ь) вектора е относительно действия линей-
ной оболочки операторов р0 (х, &,), оно эквивалентно минимальному кано-
ническом у представлению (£, р, е).
В самом деле, eS = S e0S + e+S*, где S — (1, et)U, e*), S® =
— (0, —U, e*), S+ = (0, 0, 1) равно (1, 0, 0), поскольку е()с* == (e0 | e0) =
= c+ + e* в соответствии с условием (е, е) = 0, вытекающим из I (и) — 0.
Если пространство минимальное, содержащее {ер0 (b) | b ЕЕ di) (или
минимальное замкнутое относительно полунорм || kft || (Ь) -- || /соро (i>)|(, b t=
G: fa), то, определив оператор U изометрическим условием
е.Р. (6) So =• (*Ъ — еро (б)) U к (Ь)*,
(е0 — ер0 (а), е0 — ер0 (с)) к (а)*к (с),
получим псевдоунитарную эквивалентность (замкнутого) представления
(8\, Р., е.) и (замкнутого) канонического представления (#, р, е), постро-
енного в доказательстве (i) => (iv) теоремы 1.
1.2. Псевдофоковское представление безгранично-делимых состояний
Теперь мы опишем экспоненциальное индефинитное представление *-
моноида Л, ассоциированное с условно положительно-определенным функ-
ционалом	lx (g (х)) dx, и его связь с обобщенной конструкцией Ара-
ки — Вудса [22], соответствующей хаотическому безгранично-делимому со-
стоянию (р (g) = е<*>. В отличие от фоковского представления конструкции
Араки — Вудса, экспоненциальное представление в псевдофоковском прост-
ранстве обладает свойством разложимости по конечным тензорным представ-
лениям, что может быть использовано [21] для построения явных решений
квантовых стохастических уравнений даже в случае неадаптивных локаль-
но-интегрируемых генераторов.
Напомним, что фоковское пространство & над предгильбертовым прост-
©
ранством .% — \ Mxdx — это пополнение линейной оболочки Г (X) = {h
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
61
=	I С, 7с; е Ж} экспоненциальных векторов к® — ф к®п — пря-
мых сумм конечных тензорных степеней 7с®° =• 1, /с®1 = к, . .	к~<п+1> —
= к (х) к®п вектор-функций к ЕЕ Ж со скалярным произведением (/г | Л') —
! - 3^* (kf' I к®) У.,, продолжающим положительно-определенную экспонен-
циальную эрмитову форму (к® | к®) = ехр {(7с | к)}, (к | к) =•	|| к (х) ||х<7х.
Благодаря безатомности меры dx векторы h ЕЕ Г (Л ) можно отождествлять
с тензорными функциями h: о> Е (ш) Е S; Жх, полагая к® (со) =
о
(х) к (х) на пространстве Q всех конечных подмножеств (о Q X с мерой dw —
со
= П dx, определяемой изометрией J || h (со) ||2<7ю = у1 7Г $ • • • $ II h to’ • • •
хеы	п—О
. . хп) Ipctaj . . . dxn = (h I h), где || к® (ы) ||2 =--= П II к (х) |f£. Определим
разложимые операторы j (g)® = ф j (g)®n на Г (Ж) по ♦-представле-
т =0
нию /: Л —► S3 (Ж) на Ж, ассоциированному с формой <g) путем ли-
нейного продолжения / (g)®/i	(g)®^® операторов j (g)®k® = (/ (g) к)®.
Соответствие j: Л —► Sd (Ж), получаемое продолжением по непрерывности
операторов /® (ы, g) = ф j (х, g) на пополнение 3 предгильбертова прост-
XG'ji
ранства Г (Ж) фундаментальными последовательностями, сходящимися отно-
сительно всех полунорм
II h ||' = ($ || /® (со, /)* h (со) ||М со)1'2,	/ е Л,
обладает, как и /, свойствами ^-представления
7® (g) == /®, 7® (/ ★ h) /® (/)* /® (7г), УЛ 7г ЕЕ Л.
К сожалению, это представление может быть связанным с безгранично-
делимым состоянием <р в смысле существования h ЕЕ 3 такого, что ф (g)
= (7г | /® (g) 7г) для всех g ЕЕ Л лишь при специальном «векторном» выборе
<g> = (к | (/ (g) — I) к) логарифмической формы <g> = In ф (g). Если су-
ществует такой вектор к ЕЕ Ж, то, очевидно,
(7г |/® (g) 7г) = ехр {— (7с | к)} (к® | у® (g) к®) = ехр {(7с | (/ (g) — /)7с)}.
Эксплуатируя аналогичную конструкцию в псевдоевклидовом расшире-
нии JC ZD Ж комплексного евклидова пространства Ж, мы сейчас получим
соответствующее фоковское представление и для общего вида условно-по-
ложительной формы <g>.
В самом деле, рассмотрим функциональное пространство JC = L1 (X) ф
® Ж @ Lx (X) троек к = к" ф к0 ф к+, где к~ ge L1 (X) — интегрируемые
комплексные функции || /с~ ||j — | к~ (х) \dx <2 ос, к0 ЕЕ Ж — квадратично-
интегрируемые вектор-функции /с° (z) Е: Жх из полигильбертова простран-
ства Ж = {|| к01|' < ос | / Е: Л}, к+ ЕЕ. (X) — существенно ограничен-
ные комплексные функции || к* — ess sup | 7с+ (х) | < оо. Снабдим это
комплексное пблибанахово пространство псевдоевклидовым скалярным про-
изведением
(2.1)	(к | к) = (к~ | F) + (к° | к ) + (F | к~)
62
В. П. БЕЛАВКИН
где (х) = к'1 (я),	к^ (х) № (х) dx = (к , к) — прямой интеграл
индефинитных произведений (1.9) для строк к (х) = [с_, с0, с+], с* = к+ (х),
с* = к° (х), с* = к~ (х), сопряженных относительно (2.1) к столбцам к" (х) =
= к (х): к’ = кЬ.
Определим в X замкнутое разложимое b-представление (j (g) к} (х) =
= j (х, g) к (х) 5Э-значных функций g(x) треугольно-операторными функ-
циями j (т, g) — [pt1 (х, g (х)*)1 канонического вида
(2.2)
	1	к (z, g)*, I (z, g)*	
j (x, g*) =	0,	/(z,A*), *(z, g*)	== j(£, g)b,
	0,	0,	1	
где функции I (g) ЕЕ Ll (А7), к (g) ЕЕ -Ж", у (g): •Ж'	.Ж' описаны в теореме 1.
Операторы j (g), определенные как непрерывные на всем -Ж1 вместе со
своими сопряженными j (g)t’ относительно эрмитовой формы (2.1) в силу
неравенств
II 0 (g) к)~ Ц, < || к- И, + || к (g) ||-|| к || + || I (g) И, || к+ |k < ~,
II (j (g) AHI" < II Ar IK*" + \\k (g)lMl k¥ |k, ||(j (g) k)+ |k - || k+ |k,
удовлетворяют условиям (1.5), (1.6) в виде
j (/ ★ h) = j (/)h j (h), j (e) = I, V/, g EE SI,
где I = [6’vJ — единичный оператор в X 
Рассмотрим пространство Г (Л"), порождаемое «экспоненциальными»
оо
к® = © к®п с невырожденным псевдоевклидовым скалярным произведени-
ем, продолжающим па Г (X) эрмитову форму
(2.3)	(hr | h) = exp /с(1 (х) к'1 (х) dx} = exp {(к' | к)}
для h — к®. Благодаря алгебраическому соответствию
Г (Л1 (X) © СК © L°° (X)) - Г (Л1 (X)) © Г (ЛГ) © Г (Л« (X))
и псевдоизометрии h «-► /г* (<о~, (о°, со+), со»1 ее Q,
(ы ’ ы°’ м ) к* (ы", со0, ё>+) da~dw’d())+ = (h’ | /г),
продолжающей экспоненциальное соответствие к® >->- к® (со", (о°, w+)*,
к® (w+,‘<n0, <п+) = к_® (со.) кУ (ы0) к® (ы+), к® (со) = © к (х),
хеш
гцек^((и) — И k^f. (х), можно отождествлять векторы /t g Г (X) с тензор-
Х£(0
функциями h: ы ii3 h (со) е © от тройки о»’ = ((о", и', (о+) ко-
де о0
нечных подмножеств со*1 CZ X, полагая h (w’) = /г* (со", ы°, ы+). Банахово
пространство & таких функций относительно нормы
II к (ы ) II = $ d<xT (j) da>° ess sup || h (co", co0, co+) ||2)’z*	,
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
63
снабженное индефинитным произведением (2.3), будем называть псевдофо-
ковским пространством. Нетрудно проверить, что это пространство содер-
жит «экспоненту» h = е® от канонического вектора е (х) = [6*], 6“ = О,
р = —, 0; б+ - 1, ассоциированную с безгранично-делимым состоянием
ср (g) в смысле
<р (g) = (с® I j® (g) с®) = exp {(е | j (g) е) = e<s>.
При этом экспоненциальные операторы j® (g): к® >-► (j (g) fc)® определяют
b-представление b^F полукольца M на инвариантном подпространстве, порож-
даемом действием j® (g) е® = j+ {g)® на е®, поскольку /+ (g) = I (g) ЕЕ Ll (X),
1+ (g) = к (g) ЕЕ i+ (g) — 1 GE (X). Более того, как показывает сле-
дующая теорема, представление j®, спроектированное на фоковское
подпространство CZ & с помощью псевдоусловного ожидания
е Ij® (g)l = Е j® (g) Е*> = л (g),
остается ♦-представлением, ассоциированным относительно вакуум-состоя-
ния h (со) -- 1; (со) с ср (g) = exp <g>. Здесь 10 (со) = 1 при со = 0, 10 (со) =
0 при СО =/= 0,
(2.4)	{E^h) (со-, со0, 0)+) = 1е (со-) h (со°), h ЕЕ &.
— псевдоизометрия 3	: {Eh | Eh) = {h | h), V/г £ 3. Для того чтобы
получить этот результат, заметим, что любой разложимый оператор К =
— 1 @ G @ G®2 0 ... в Г {Ж), полученный экспонированием G® треуголь-
ного оператора G = j (g), может быть представлен в виде
р =- о, +
(2.5)	[Х7г](со-, со’, со+) — У, К (со) Л (coZ, coo |_]соо, со+ | | со+<_!соД,
П
где со — | |cov означает разбиение со — прямое объединение непересекающих-
ся cov. Здесь К (со) — есть функция от таблицы со = (сОу,)у=о,’ + . из четырех
подмножеств соу ЕЕ Q со значениями в линейных непрерывных операторах
X I о W°o : Ж® (coo) 0 Ж® («0°) Ж® (со«) 0 Ж® (соД, Ж® (со) = 0 Жх,
уСОд (00/	x£(i)
(2.6)	К (со) --= Z® (со“, g) к® (со°, g) у® (coo, g) к*® {ы~0, g), к* (g) =
= к (g*)*,
где Z " (co) == П I (х), к® (со) - 0 к {х), к*® (со) 0 к* {х), j® (со) = 0 j {х).
Х£(О	Х£(О	Xf=(i)
<30
Теорема 2. Пусть К = @ К(п) — разложимый оператор (2.5), оп-
ределяемый в псевдофоковском пространстве & линейной комбинацией ядер
вида (2.6). Тогда оператор е (К) = ЕКЕ^, определяемый псевдопроекцией Е:
(2.7)	{Eh) (со) ~ § h (со-, со, 0) dco-, h GE
сопряженной к (2.4) может быть продолжен до непрерывного оператора
(2.8)	[е (К) Л] (со) = 2 \к Ь1о)Л («LJ^o)
64
В. П. БЕЛАВКИН
где К (со®, V, со0) = j К J du, на пополнение Ж предгильбертова про-
странства Г (•%') относительно семейства полунорм || h ||^ — || л (f)*h ||,
/ g= Л. Отображение е: К е (К) определяет фоковское ^-представление
е (XKb + ;.*К) - Ze (К)* + Z*e (К),
е (К^К) = е (К)*е (К), е (I®) = I®
разложимой Ь-алгебры операторов К относительно инволюции (со) =
= К (со')*, г^е (®v)' = и ассоциативного произведения
(2.9)	[А'Ь.А](о)-=
H<v °+Ut+-
в -- -
УуСыу о+ГИ+
у+
<>	° I -I I °
“oUM W-J”+’
“о \vo
%u V
индуцирующих инволюцию К+ (со°, V, со0) = К (соо, V, (ос)* и произведение
[А'+- А] (со°, и,о>0) =--
= 2 S	VL_I«°> roLJw) к (WUV°>uLJvo’°>o\ro)
vcCZ (o°
на ядрах К (co°, v, co0), определяющих фактор-алгебру b-алгебры операторов
К относительно нулевого b-идеала {К: е (К^К) = 0}. Сужение л = e,^j® b-
представления е на операторы К вида (2.С), определяемое действием (2.8):
(2.10)	(л (g) k®] (со) = ехр {j (I (х, g) + к* (х, g) к (х, g)) dx} (к (g) +
+ / (g) к)® (со),
ядер К ((о°, о, (о0) -- ехр {<g>} к® (со°, g) j® (со, g) к*® (соо, g) на к® (со) =
= ® к (z), дает ^-представление л: .М -> № (Ж), л (/ * h) — л (/)*л (h),
xGi)
л (е) = 1®, У/f, hEJU, ассоциированное с безгранично-делимым состоянием
(р: JI -► С а смысле (р (g) — (lj | л (g) iz), где 1 z = к® для к ~ 0.
Доказательство. Оператор (2.4) является псевдоизометрией:
(E^h | ЕЩ = [ (ЕЩ* (со+, (о°, со') (Ebh) (со', (о°, со+) d(o-dco°d(o+ =
= j 10 (со+) h* (со°) 10 (со“) h (со°) d(erd(o°d(n+ — j h* (co°)/i (co°) dco° = (h j h),
следовательно, эрмитово сопряженный оператор (2.7), определяемый из ус-
ловия (Eh | К) = (h j E^h), Vh (E SF, hEE ,
(Eh | h) =- j (Eh)* (to) h (to) d(o = j h* (to+, co°, co") i.z (to~) h (co0) •
• d(ol’dco°d(o~,
является псевдопроекцией: EJh = h, V/i e где (Jh.) (co_, coo, co+) =
—	(ы.) к (coo) i2 (co4) есть каноническое вложение f CZ Покажем
теперь, что действие в линейной комбинации операторов G® с треуголь-
ными G = IG^JvZZ; J; J, Gy = 0, Vp < v, имеющими единичные матричные
элементы G_ = 1 = Gt, записывается в виде (2.5).
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
65
В самом деле,
(G®k®) (w’) - (Gk)® (со‘) =- П	=~'
- П 2 П (Gey® (<o!j) П (^)® (©!;),
ц v
где суммы формально берутся по всем разбиениям соо --	| | (оЦ | j <0, а на
самом деле по <о>‘ == [J (Оу в силу того, что Gy = 0 при v < р. Если со’ —
v>(i
= (со-, со' , со+) не пересекаются, то <ov — (со_, со0, (о+) также не пересекают-
ся, поскольку Wv С-- (о*1, и, следовательно, ДЛ((оц) — Л сои) для Л (ю) —
В ’	И ’
U (/cv)® ((Оу), что дает
V
(Gak-) ((o’)	П (G*)® Ю (П k'f ((J otf),
. Ji, v	v	Я
<»v=w
где !_JMv ~ I I 0)v» поскольку (G!J)® ((о) = 0 Gy (z) равно нулю при (о —
я	psiv	хеа
•- Шу 0 для р 0» V. Таким образом, мы получим формулу (2.5) на экспо-
ненциальных векторах h —• к® с ядром К (со) — f[ (Gy)®((0y) вида (2.6).
В силу линейности этой формулы относительно ядра К, опа справедлива так-
же и для линейных комбинаций К — SZ;G® по крайней мере на Г (К). Оп-
ределим теперь оператор ЕКЕ^ в воспользовавшись формулой
$ 2 A'(w_,to0,o)+)do) = ^^Л((о_,(оо,о>+) do>_do)0d(i)+.
Учитывая вид (2.4), (2.7) операторов Е^, Е, получим для h Г {УС)
{ЕКЕЬк®] ((о) -	(КЕЬ/г) («Г, со, 0) du =
= И S 2 К 10 (w=)h (°>о LJ “о) doE dw„ dej; =
«>oL <o0»
2	(0)°+’ wo> <0) h ((o0~□ (»o) d(»o,
о о
(l‘qL_
что может быть записано в виде (2.8) в обозначениях v = (0 и со’ =
— (О \ V — (О П V.
Докажем теперь, что псевдоусловное ожидание К -► ЕКЕ^ является
«-представлением на Г (Я). Для этого достаточно показать, что это отобра-
жение является гомоморфизмом относительно бинарной операции (2.9), инво-
люции К >-* К^’ и единицы К — I® на порождающих элементах G®, для
66
В. П. БЕЛАВКИН
которых (2.8) дает (2.10) на h = к®-.
(EG®£bfc®] (со) - 2	$ $ П (G’1)® (*£) к® (<оо- [ J ш0) d<oo- do>Z =
M<v
=	2 <Gokf (wj (G°+f (o>J $ (Go*)® (<Оо-) d(0o $ (GJ® (co“) d(o; =
= (Gok + G+)® (co) exp (Go к 4- G~) (x) dx] .
Используя эту формулу, получим, что [Al® Е^к®] (<о) = к® (ю), т. е. Е\®Е^ —
= /®,
[EGb® El'ks] (со) (G°ok + G;*)® (со) exp {J (G°*k + G+*) (x) dx] ,
t. e. EKl’A’I? =- (EKE')* для К =-•	К1’ =	и
[A(EG)® Eb/r](w) = (F°Go'/c + F"G'+)®(w)exp{$(^;Go/c+ F;GJ (x) dx) =
-= (FoGgk 4- F0G+ 4- F+)® (<b) exp (Gok 4- F0GJc 4~ G+ 4- F0G+ 4- F+) (x) dxj =
= (F°ok + F°+)® (co) exp {$ (F~ok 4- F~) (x) dx} (Gok + G> (co) X
X exp {§ (Goк 4- GJ (x) dx] ,
где использовано правило умножения
(fg);1 = 2 № = ж == ж
Х>Ц	X
треугольных матриц F = [7ч1, G = [Gj, p, v ЕЕ , 0, 4-}, F4 — 0 = Gy,
v, с элементами F_ = 1 = F*, G = 1 = G+. Таким образом, мы дока-
зали, что е (F®G®) = е (F®) e(G®), где е (G®) h -- EG®E^h для любого h —
= S?. fc® ЕЕ Г (Ж). Пополним Г (ЛС) последовательностями hn ЕЕ Г (^), яв-
ляющимися фундаментальными относительно любой из полунорм || h [f =
= ||е (j® (f)^)h\\, j (= М (в том числе и относительно || h If = || h\\). Посколь-
ку я (S) ~ е lj® (£)1 является ♦-представлением М на Г (^'):
л (g ★ /) = в {Ij U)bj (/)J®} = е lj® C?)bJ e lj® (/)! = л (g)*n (J),
всякая фундаментальная последовательность остается фундаментальной и
после умножения на л (g): || л (g) h ||? = || h |р*1. Это дает возможность про-
должить операторы е [j® (g)| = Ej® (g) E^ до непрерывных операторов л (g)
на пополнении относительно описанной сходимости в Г ( Ж ). В силу непре-
рывности алгебраические соотношения, определяющие свойства ♦-представ-
ления л = е о j® на Г (^), остаются справедливыми и на пополнении Ж.
Очевидно, что линейная оболочка 2Х л (g,) определяет ♦-подалгебру опера-
торов е (К) е .Й (Ж), являющуюся гомоморфным образом b-алгебры СЖ® ли-
нейных комбинаций К 2Х j® (g) разложимых операторов G'^ = 1 ©
ф G: © G®2 ф . . ., где Gj -- j (g;). Напомним, что линейные операции
в С^8®, где S6 j GZ (А ), определяются над коэффициентами покомпонент-
но, а умножение К К определяется, как и во всякой полугрупповой алгебре,
★-операцией в К^К = У X*?-i-j® (g, ★ gr)- Отсюда нетрудно найти, что
Kb описываются по формуле (2.5) ядрами К (ю')*, гДе таблица ®' из четырех
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
67
подмножеств отличается оты = (ы'у), Ыу £= Й, перестановкой ш0 и ю+, по-
скольку это имеет место для порождающих ядер (2.6), и К^-К определяется
ядром (2.9), поскольку из j® (/)• j® (g) — j® (f'h) это имеет место для порож-
дающих ядер (2.6):
l®((o;,f-g)k®(^+,f-g)j« (<4,f-g)k*®(ti>o,f-g) [j(f)j (g)]® («о) ®
® [/ (/) * (g) + * (/)] ® ы [/ (/) + ** (/) Л (g) +1 (g)]® («;) [** (g) +
+ к* (/) j (g)]® (Wo) = s I (/)® (0)1 (g)® (T) [/€* (/) к (g)]® (щ) j (t)® X
'<j+—
X Ы / (g)® ((M ® 5 3 [J (/) * (g)]® («4) ® k® (/) (o+) ®
y+L. o+=i>+
® S ** (g)® (T~) ® [** (/) J (g)]® (Uo) ==
o0L t-==<.>0
;	2	3 l®(ofj)k® (o>+\ i’+,/)/®(cooLJ ”+> f)k*® (vo LJ ”+-/)X
ll. Ц ,	-	-
T —W-r\’’J +
X I® (t, g) k® (t; □ 14, g) j® («4 [ I g) k*® (<0* \ Vo, g).
Интегрируя (2.9) no оц 6? Й, получим формулу умножения ядер К (to, м0>
too) X (ю) doi+:
J [КЬК] (<о)^ш; =
M<v
2 кЬ
„в
°’ V°L'’+lArl Т’	w°Xr°
.\-4 “о L м VXL	%L-VO
2	2 $ Л + (о4\ V+,(OoLNn. Vo и V<)K (U+Lj г1+, % I I v0,ft>0 \ !>o) dv~+ ,
VflCHo u+^“+
где (to°_, too, o>o) = j K.^ (o) do)o = К (шд, а>°„, о/)*. Это определяет
t-алгебраическую структуру для трехаргументных ядер, связанных с ядрами
Маассена — Мейера М (ю°, X, ®о) И8, 19] взаимнооднозначным преобразова-
нием
К (ю°, v, Юд) = 2 М (®°, х, to0) (X) I® (v \ x).
Рассмотрим, наконец, b-инвариантное подпространство b-алгебры ядер
J (ю), определяемое условием J (м) йш+ == 0. Это есть нулевой идеал гомо
морфизма {К (ю)} н+ [К (ю°+, tog, «о)}, преобразующего сопряжение b в (.
Следовательно, это есть двухсторонний идеал (Ь-идеал):
$ (KJ) (<й) d<o; =-- о - J (Ж) («) d«;, vk,
содержащийся в нулевом идеале представления е: е (J) = 0, если J (о/, ‘*4,
to0) -- 0. Можно показать, что благодаря безатомности меры dx на X этим и
исчерпывается нулевой идеал представления е. Это вытекает из единствен-
ности стохастического представления (2.8), доказанной в терминах ядер Ма-
ассена — Мейера в [18, 19]. Следовательно, интеграл К (tod., ю0, и0) —
68
В. П. БЕЛАВКИН
~ К (ti>)dto+ является гомоморфизмом факторизации b-алгебры ядер К (со)
и по нулевому идеалу представления е. Доказательство закончено.
	Замечание 2.	Введем четыре типа G^,	v^_, pz-1"	элементарных
треугольных разложимых операторов в JT, описываемых матрицами вида				
	•1	0	0-1	'1	o-	
	Go (х) = 0	Цх) КЛХ) ,	G_(x) =	0 /(z) 0	»
	.0	0	1 J	.0	0	1.	
	1	0	rl 0	0-	
	Gt(x) о	/ (I)	0	,	Go (x) ==	0 G(z) 0	»
	Lo	0	1 .	0	0	1.	
и	обозначим GN — е	[(Go)®l = G®, e<8> = e	[(GJ®J, c<M- = E ((GJ®J,	
= ® g; (х).
еЛ°?> = е [(Go)®1, где е есть отображение (2.8) для К (to)
Тогда представление g ЕЕ л (g), ассоциированное с безгранично-де-
лимым состоянием <р (g) — относительно вакуумного вектора 1 j ЕЕ М,
может быть представлено как «нормально-упорядоченное» произведение
я (#) — e<z>eA°s'>G7Ve<gA-, Vg ЕЕ -Л1, определяемое функциями G (г) = j (х, g),
g+ (х) I (x, g), g0 (x) = /с* (x, g), g+ (x) = к (x, g).
Действительно, произвольный треугольный оператор G в -~К с компонен-
тами G 1 =.- G\ разлагается на «нормально-унорядочепное» произведение
элементарных матриц:
1 4
о	G g°+
О 0	1
'I 0 g;"	1 0 o’	1 0 o’	₽o O’
0/0	0 l g\	0 G 0	0 / 0
_oo 1	0 0 1	0 0 1	_0 0 0
Благодаря мультипликативности отображений G G®
К = G® отсюда получим
и К >->- е (К) для
Е [G®1 - Е 1(G>] е L(Go)®l е [(G^ le 1(G°_)®1,
что дает при G = j (g) соответствующее представление для л (g) = е [j® (g)J.
1.3.	Структура псевдопуассоновских хаотических состояний
на •^••алгебрах
В этом разделе предполагается, что на ^-моноиде М определена также
структура аддитивной группы с поточечными операциями
(—g) (х) - —g (х), (/ + Л) (х) == / (х) 4- h (х), 0 (х) = и = е (х),
относительно которых форма (1.2) является гомоморфизмом Л —>- С:
<-£> - -<?>. </ + Л> - </> + <Л>, <0> - 0.
Условие (1.4) безграничной делимости состояния <рд (Ь) — еХл(6) для любого
интегрируемого A CZ X при этом записывается в виде положительной опре-
деленности
(3.1)	3 х*Хд (а*е) хс > 0, ¥хье С’. ] supp х | оо
С •	*9
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6»
функции (Ь) = <6д>, 6д (х) = Ь, хЕ л, ь& (.г) = 0, х А, относительно
нового произведения ас = а с — а — с, определяемого в терминах бинарной
^-операции как разность
д*с ----- a it с — a it и — и if с, Va, сЕ®.
Это следует из аддитивности формы (g>, в силу которой
S х/ </ ★ hy хЛ 2i х* (</*6> + </*> + <Л» хЛ ----- £ х? </*7i> хЛ
1, Кем	1,кем	М.ел
для любых х? ЕЕ С: I supp х | < оо таких, что 5jXff = 0. где в правой части
можно произвольным образом изменить значение хи, поскольку е*Ь — —е —
= 6*е и <0*g> ~ 0 — <g*0>- Состояние <p (g)	е<е>, соответствующее адди-
тивной и положительной в указанном смысле форме <g>, является хаоти-
ческим:
Ф (/ U е</+Л> = ф (/) ср (Л), V/, h Е= Л: /Л = 0,
поскольку f-h -- / 4 fh 4 h и fh — 0 для любых дизъюнктных / и h. Такое
состояние будем называть псевдо-пуассоновским, если произведение (/*6) (х) =
= / (x)*h (х) обладает свойствами гомоморфизма по каждому из аргументов:
/* (g — Л) =•-- /*g — /*6, (/ — g)*6 = /*/г — g*/i.
Иначе говоря, псевдопуассоновское состояние описывается экспоненциаль-
ным функционалом <р (/ 4 Л) - <р (/) <р (Л), V/. h ЕЕ М, являющимся поло-
жительно-определенным в смысле (1.1) относительно операции / h —
- /* 4 h 4 f*h, и е -- 0, поточечно определяемой с помощью операций
а -4 с, ас на кольце (или алгебре) .Й с инволюцией 6* и нулем и — 0.
Заметим, что ассоциативность педистрибутивной полугрупповой опера-
ции а-с вытекает из дистрибутивности (и ассоциативности) умножения ас,
что становится особенно очевидным в случае наличия единицы 1: 16 =-- Ь =
— 61 у кольца .В в силу соотношения
1 4 а-с = (1 4 а) (1 + с), Уд, с ЕЕ ©.
В силу этой дистрибутивности канонические отображения fc: g ЕЕ g> £=
ЕЕ -Я4 k*: g ЕЕ ►-> <g GE -Ж1*» определяющие минимальную декомпозицию
(1.5) аддитивной (линейной) положительной формы (g>, являются аддитив-
ными (линейными), причем ♦-отображение г: g ЕЕ Л >->• J (g) — I, удовлет-
воряющее в соответствии с (1.6) условиям
i (g*) hy gig hy — g*y - hy = g*hy, Vg, h<E Л,
<f*i	<g~ <f* -= <J*g, Vg, / e Л,
также является аддитивным (линейным):
i U 4 h) =- i (f) 4 i (h). i (0) == 0, (i (Xg) = Xi (g)).
Более того, отображения ix (b) = jx (b) — Ix являются ♦ представле-
ниями кольца (алгебры) .4! в операторных ♦-алгебрах .4(	== {В-. Жх —►
-> СН'Х | В*УЕХ CZ Жх} полигильбертовых пространств Жх ----- {к: || jx (а)*к || <
< оо, Уд G -к‘}:
ix (а*с) ix (a if с) — ix (д)* — ix (с) = ix (a it с) — 1 — ix (а*) —
— ix (с) =- (ix (а) 4 1)* (ix (с) 4 1) — 1 — ix (д)* — ix (с) = ix (a)*ix (с).
Комбинируя эти соотношения и учитывая, что в силу аддитивности (линей-
ности) функций 1Х (Ь) в интеграле (1.2)
lx (а*с) = lx(ait с) - 1Х (д)* — 1Х (с) = кх (а)*кх (с)
70
В. П. БЕЛАВКИН
почти всюду на X, мы получим чстырехкомпопентное разложимое *-пред-
ставление i (х, g) — ix (g (х))
(3-2)
*»(&) =
Zx(6>
М6)
кх
<x (*>*) =
(&)V
!x<6)/
M6)
M6)
^-кольца 33 с обычным матричным эрмитовым сопряжением ix (6)+ и необыч-
ным умножением, определяемым таблицей Хадсона — Партасарати (14]
(3.3)
ix («М -
/кх(а)* fcx(c),
\ 'х (“*) кх (с)’
kx(a)*ix(c) \
Va,c^33.
Оно имеет естественную реализацию i (х, g) —- j (х, g) — 1Х, определяемую в
псевдоевклидовом полибанаховом пространстве Ж = /7 (X) ф Ж ф L™ (X)
каноническим треугольным представлением j (z, g} — jx {g (x)) ^-моноида
Л с обычным матричным умножением и необычным — псевдоэрмитовым со-
пряжением (2.2):
г0
(3.3)
i (*, g*) =
g)*
i (г. £*)
0
Z(z,g)* -
к (г. g*>
0
»(*» gf-
0
0
Сказанное означает, что фактор-кольцо Л-!.У по нулевому ^-идеалу ,7 =
— {g Л j i (g) = 0} простых функций со значениями g (х) ЕЕ .7Ж =
= гж’ (0), где ixl (0) =•- {Ь ее 33 | ix (Ь) = 0}, можно описывать как I (Л)
четырехкомпонентными функциями д = G?v)v=o, +’ например вида д (х) —
= ix (g И), go ==- i (g), g°+=k (g), go = k* (g), g~+ = I (g), образующими
b-кольцо относительно эрмитова сопряжения gb (х)“ — g~^ (х)* и таблицы
покомпонентного умножения (3.3). Это позволяет представить аддитивные
интегральные эрмитовы формы
(3-4)	р (g) = 5 т (х, g) dx, т (х, g) = тх (g (х))
па b-кольце Л четырехкомпоиентными функциями
/ч ( и	н (*’ g) И (•*) g< (*)• ml(x,g) = mo{x)g°+{x),
т (х)	„ о (я), о	_	о о
m0J m_(x,g)=r-g0(x)m^(x),m0(x,g)= <,g0(x),m0(x)y,
т°о(х, gh) т°0 (х, g)*, ml (.г, g*) = mJ (х, g)*, p (x, g*) p (a?, g)*
в виде
(3.5) m (x, g) == <i (x, g), m0 (z)> + m* (x) к (x, g) +
+ k* (r, g) m (x) + p (x) I (x, g).
Здесь p (x) (E. R (для почти каждого z), m_ (x): 3'x —>- C — векторная линей-
ная форма m_ = m на предгильбертовом пространстве ёх =	(b) | ь е
ЕЕ 33}, сопряженная к форме т0 (х): к ^Жх т* (х) к g= С, ni0 (х): В S
ЕЕ 33х >-> (В, т0 (х)> ЕЕ С — операторная линейная форма на ♦-подалгебре
33х = {ix (Ь) | b е Ф} операторов В, В*: Жх Жх. Как показывает сле-
дующая теорема, этим, по существу, и исчерпываются линейные положи-
тельные логарифмические формы р: Л —► С безгранично-делимых состоя-
ний 'F (g) =-£!'(*.’) па ^-алгебрах Л, абсолютнонепрерывных относительно
псевдопуассоповского состояния <p (g) = в смысле .7 С Ju. Здесь ,7Ц —
*-идеал ступенчатых функций g: х Ez X *->- g (ж) ЕЕ .7Х со значениями в
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
71
двусторонних идеалах
(3.G)	= {b е 93 I тпх (6) = 0, тх (ab) = 0, тх (Ьс) = 0, тх (abe) =
= 0, У а, се 9В}.
Теорема 3. Пусти 93 есть ^r-алгебра над полем С и линейная поло-
жительная форма (1.2) на -алгебре Л удовлетворяет условию
(3.7) Vg ЕЕ ЛЗс < оо: <h*g*ghy < с <Л*Л>, УЛ е Л,
ограниченности || i (g) || с ассоциированного операторного представления
i (g) = « (g) — /. Снабдим Л индуктивной сходимостью, полагая gn —> О,
если || gn ||* -> 0 для всех р = t, 2, оо и некоторого интегрируемого Де Л,
где gn е Л^, Уп, || g ||* = || I. (g) || при {л е X |g (х) у= 0} С Д и
II g Иг = ($ II * (-г. g) II2 dx^'2, || g И* 5 (I {x, g) (dx.
Л	Л
Тогда следующие условия эквивалентны,'.
(i) Непрерывный в индуктивной сходимости на Л функционал (g) =
— e^(s) является псевдопуассоновским состоянием, описываемым, абсолютно не-
прерывной функцией рд (Л) = р (6д) в смысле рд (Ь) = 0 для всех Ь е 9В, если
Д е и рд = j) dx = 0.
д
(ii) функционал р: Л —>- С имеет интегральный вид (3.4), где тх: 93 —►
-*• С — линейная функция (3.5), определяемая почти всюду на X положи-
тельной числовой (функцией р (as) > 0, ess sup р (х) ~ <^, УД е -А, рд =
же л
= § dx оо; вектор-функцией т на X со значениями т (х) е Жх, опреде-
д
ляемыми значениями
т*{х)^Жх,	|| m (х) ||2 <7г< ос, УД е -А', рд —• § dx << ос,
д	д
непрерывных {почти для каждого х е X) форм т* (х) к — {т {х) | к) на гиль-
бертовых пространствах М‘х = М*; и функцией т0 на X со значениями
т0{х)^93х< sup <7?, т0 (z)> dx ос, УД е А\ рд = dx < 00,
д о^в^1х	л
в положительных формах на С*-алгебрах 9?х, удовлетворяющих почти всюду
неравенству
(3.8) р (z) <В*5, т0 (z)> > || Вт {х) ||2, У В е 9ВХ.
(iii) существует треугольное представление
g !ЕЛ~ g (х) = |g" (z)l, g" - о - gt; Ур, V е {-, 0, +},
^-алгебры Л в банаховом, пространстве К = L' (X) @ X @ Ь°° (X) с инде-
финитной метрикой (2.1), определяемой скалярным произведением {к° | к°) =
=	|| к {х) \\xdx гильбертова пространства Ж = j" 3Xxdx, локально псевдо-
унитарно эквивалентное каноническому представлению (3.3) в смысле g (х) =
—	(х) i (a, g) S (л) для разложимых операторов S (х) в С ф Жх ф С вида
(1.10) такое, что
(3.9)	p(g)=J(p(x)g;(z) + <g“(x),^(z)»dx, Vge^.
72
В. П. БЕЛАВКИН
где р. 0 — локально-ограниченная измеримая функция и М О — ло-
калъноиктегрируемая функция с положительными значениями М (х) ЕЕ 74*.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если разложимые
оператор-фупкции i.x (b) локально-ограничены, то пространство Ж кано-
нического представления j (g) -- I + i (g) ^-моноида Л простых функций
g; X —> полное относительно семейства полунорм (1.7), является гиль-
бертовым. Это вытекает из неравенства
II /с II' --- I! j II < II k II 4- || Ь (/)*к II < (1 4- II j II) II к II,
где || j || = max || bt ||д((-> согласно (3.6) для любой простой интегрируе-
мой функции / (х) — х ЕЕ Д <*), определяемой конечным разбиением Д =
== 2A (i) ее носителя Д — {iE X |/ (z) у= 0).
Вначале докажем простые импликации (iii) -=> (ii) => (i), а затем постро-
им представление (3.9) в (iii) по условиям, сформулированным в (i).
(iii) =4 (ii). Пусть S (z) — треугольное преобразование вида (1.10),
описываемое существенно-измеримой функцией U (х) СЕ Я (Жх) с. унитар-
ными значениями, функцией е0: z Е X >-+ е0 (х) £ Жх, определяемой значе-
ниями е% (х) СЕ Жх векторной функции е*, j) || е* (х) ||х dx ос, УД: Ра =
А
= \dx ос, и скалярной локально-интегрируемой функцией е+:	(х) 4~
4- e*(z) = —1| е* (х) ||Х- Тогда g°0 (х) = U* (х) i (х, g} U (х),
g+ (z) = е0 (z) U (z) к (z, g) + еи(х) U (z) i (z, g) 17* (z) e* (z) 4-
4 A* (z, g) 17* (z)e? (z),
и форма (3.9) принимает вид (3.4), (3.5), где т* (z) = сц (z) U (z)^
т (z) -= 17* (z) е* (х) — локально квадратичпо-интегрируемая функция:
§ ||т (z)||l dx ос, и
А
<В, т0 (z)> -= <17* (z) BU (z), M (z)> 4- p (z) m* (z) Вт (z)
— положительная локально-иптегрируемая функция:^ <5X, m0 (x))dx < oov
A
удовлетворяющая неравенству (3.8) в силу положительности (В*В, М (z)> Ее
Е> 0, р (z) > 0 для всех z СЕ X.
(ii) =4 (i). Если р есть интеграл (3.4) линейной формы (3.5) и выполняет-
ся условие (3.8), то р (g*g) > 0, Vg ЕЕ Л, поскольку
tn(x, g*g) = <i (z, g*g), m„(z)> + m* (z)A(z, g*g) +
4- k* (z, g*g) m (z) 4- p (z) I (z, g*g) <i (z, g)* i (z, g), m0 (z)> 4-
+ m* (z) i (z, g)* к (z, g) 4 к (z, g)* i (z, g) m (z) + p (z) к (z, g)* к (z, g) -
= <i (z, g)* i (z, g), m°0 (z)>-|| i (z, g) m (z) Ц2 4- p (z) || к (z, g) +
4 - i (z, g) m (z)'p (z) ||2 > 0.
Благодаря линейности p это эквивалентно положительной определенности
S КоРд (а*с) «с = На ( 2 х*а*схй) =-- рд (b*b) > 0
а, t	а , с
формы рд (6) = р (6Л). Отсюда вытекает, что фц (g) — e^(s> есть псевдо-пуас-
соновское состояние, описываемое абсолютпонепрерывиой комплексной ме-
хаотические состояния и стохастическое ИНТЕГРИРОВАНИЕ
73
рой рд (Ь) ---• \тх (Ь) ах с плотностью тх (b) — т (z, 6д). Оно является не-
л
прерывным относительно индуктивной сходимости по полунормам ,
р =• 1, 2, ос, в силу локальной ограниченности функции р, локальной L”-
иптегрируемости вектор-функции т и локальной //-интегрируемости т0.
(i) --=$• (iii). Если функция рд (b) = In фд (Ь) для псевдопуассоновского
состояния фд (6) —• ф (Ьд) на 33 является абсолютно непрерывной по AG .4
для каждого Ь СЕ 73, то опа имеет вид (3.4), где плотность тх: 33 —> С являет-
ся почти всюду линейным положительным функционалом. Поскольку ядро-
{g (= Я | !| g |1р •= 0, р — 1, 2, ос} индуктивной сходимости в Я, = (J Л/д
совпадает с ядром .7 канонического представления i (g) — j (g) = I в
равным согласно его конструкции простым функциям g: х *-+ g (х) GE ,7Х, где
= {6е 53 | 1Х (Ь) = 0, lx (ab) 0, lx (Ьс) = 0, lx (abc) = О,
V а, Ь, се 43},
то ^-идеал ,7>‘ функций g GE Я со значениями g (z) в (3.6), соответствую-
щий непрерывной в смысле gn -> 0 => р (gn) -*• 0 форме (3.4), обязательно
содержит .7. Это означает, что линейный функционал тх (Ь), равный почти для
каждого х нулю на ,7Х, в силу этой непрерывности можно представить в виде
(3.5) линейного эрмитового функционала тх (Ь) — т (х, Ьд), z G А, на фак-
тор-алгебре ;fe'/.'/x, изоморфной * подалгебре гх (fe) четверок (3.2) с табли-
цей умножения (3.3). При этом в силу теоремы Хана — Банаха и двойствен-
1 1
ности пространств /4 (Л) и Lfl (Л) при—-+ —= 1 можно считать, что
р есть локально-ограниченная, т — локально .//-интегрируемая и т0 —
локально L'-интегрируемая функции на X.
Определим для каждого х X треугольное псевдоунитарное преобра-
зование
S (.г) в Жх -= С © Жх ф С вида (1.10),
где U — 1Х, е* (х) = т (х) и е* (х) = —1| т (х) ||ж/2. Обозначая gv (х) —
- (SN (□:, g) S (□:))“, где i (х) есть треугольно-матричное представление (3.3)
четверки (3.2) для b — g (х), получим
т g) = <g°0 (*), т°о С0> — т* (-0 go (-0 ™ (х)/р (z) + р (х) g+ (х),
где учтено, что go (х) ~-= ix (g (х)), и
И (-0 g~± (-0 = Н (-0 lx (g (х)) 4 к* (g (х)) т (х) +
4- т* (л-) кх (g (z)) 4- т* (х) ix (g (х)) т (х)!р (.г).
Условие положительности т (х, g*g) > 0 в этом представлении принимает
вид
<go (x)*g°o (х), М (z)> 4- р (х) g° (x)*g°+ (х) >0, Vg е Я,
где <5, М (т)> = <В, т°0 (.г)> — т* {х) Вт (х)/р (х), В GE .Яж и g+ (х) =
=-- кх (g (х)) 4- ix (g (z)) т (х). Полученное неравенство доказывает поло-
жительность М (х) при g+ (z) и р (z)	0 при g0 (х) = 0. Это доказывает
существование локально-ограниченных измеримых функций р> 0 и поло-
жительных локально-интегрируемых функций М со значениями М (х) €Е
ЕЕ 73*, определяющих функцию р (g) в виде (3.9). Доказательство закончено.
74
В. П. БЕЛАВКИН
Замечание 3. Рассмотрим аддитивную подгруппу 58 С С X
X Н X S) (К) троек Ь = (0, т], В) с инволюцией 6* = (0*. if;, В*),
Где 0	0* ЕЕ С — комплексное сопряжение, л ц# ЕЕ Н — инволюция
•ц** = 1] в С — линейном подпространстве HQK. снабженном эрмитовой
формой (£ | ь) = !*£ = (110* из псевдоевклидова пространства К,
и В - В1" .4? (К) — эрмитово сопряжение (5fl | 0 = (I I В t,), у|, С €=
<= К в 4-подалгебре X CI .4? (/£) операторов В : ц >-> Bq (= К, оставляю-
щих инвариантным II : ВН CZ И, VB €= X.
Определим в .43 структуру ^-алгебры, полагая
).Ь - (Z0, Хц, 1В), а*с - (£*•£,	+ лЧ, Л^С)
для любых lEC,bE Xi, а = (a,	А), с = (у, О С), где обозначено ~
= (0g)*. Нетрудно проверить, что эта дистрибутивная алгебра является
ассоциативной: (ab) с -— а (be), только в случае
(Лц).	(л0, (Лц) С Л (цС), ул, С е х, В, ц, : ее н,
что возможно лишь при условии (Лц)-£ = 0 = 5' 010’ приводящем к
(Лц) С ~ А (т)0. если £•£ = (|* | £) есть невырожденная билинейная фор-
ма на Н в смысле {g-л = 0 = тр £ | V|, С С= Н} => т, = 0. Простой анализ
пол ожп тел ьн ос ти
I (6*6) = X (ц | ц) + (ВО I л) + (Л I + (В*В, Л> > 0 линейной *-
формы I (b) = Х0 + О_-ц +	+ (5, А>, гДе = ^*> О+ - О о*.
Л = Л*, приводит к условиям (В^В, Л) 0, VВ ЕЕ X при X = 0 и
Х(л1л)>о, (0/лл>>~(/?0й0’ Уцен, веех
при X #= 0. Последнее возможно лишь при условии дефицитности формы
(Л I Л) = Л1’ ’Л : X > 0, при (ц | л) > 0. Vi] - // и X < 0 при (ц | т|) < 0.
Ул е н, что является необходимым условием существования псевдопуас-
соновского состояния на .48 = С X Н X X.
Считая без ограничения общности, что ц#л > 0, V л (в противном слу-
чае следует переобозначить 6 н* ( — 0, л, В) и ц*г] >-► — л*л), рассмотрим сле-
дующие два случая, в которых Н является гильбертовым пространством
1
относительно нормы || т| || == <ц*, л1/2>, где <В, £> =	4- ъ’1)-
Пример 1. Гауссовскоз состояние. Пусть X ~ {0} и X = 1, т. е.
b (0’ л) 11 1 (Ь) <Л> в/ + ‘Де <Л> 9> 2 Re (ц I 9), Ул = Л*- Алгеб-
ра /Й = С X Н при этом нильпотентна: ас = (£, £, 0), abc = (0, 0), Уа,
6, с ЕЕ -В и является коммутативной: [а, с] ~ ас — са = 0, если инволю-
ция 40 изометрична на Н в К э Н:
(S* I « =	I?)’ У1- ?ёЕ Н
Безгранично-делимый функционал ф4 (6) = ехр {(0 + <Л’ 9>) р4}, отве-
чающий условно-положительной ^-форме Хд (6) — (0 4~ <Л- 9» Да отно-
сительно эрмитовой операции
(а, |) * (у, £) = (а* + (Ш) 4 V, I* + С), (0, 0) - и,
определяет производящий функционал (0, ц) ^1 факториальных мо-
ментов гауссовского хаотического состояния над II с математическим ожи-
данием <6д> — <ц, 9) у.д для 6 — (0, ц) и конечной ковариацией <6*6д> =
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
75
-- (ц | ц) Цд ЕЕ R+ для каждого ЛеЛ: Цд = \dx<Z ос. Эта ковариация
л
является симметрической лишь в коммутативном (классическом) случае,
в противном (квантовом) случае она удовлетворяет соотношению неопреде-
ленности
<«л> <сд> > s (|, £)2р.д, Vа = (а, |), с = (у, £), |, Re Н для ком-
мутационного соотношения Гейзенберга |дд, Сд] — (is (£, |) рд, 0), соот-
ветствующему симплектической форме s (|, £) = 2 Im (| | £) на Re Н =
= {ц ЕЕ II | ц* = ц}. Каноническое представление (3.3), определяющее
индефинитное представление j (g) — I + i (g) ^-моноида Л простых функ-
ций g : X С X Н и соответствующее представление л (g) = е [j® (£)]
в пространстве Фока Ж, описывается функциями ix (b) = 0, кх (Ь*) ~
кх (*>)* = ц+, 1Х (Ь) = р + <Ц, 6>.
Пример 2. Пуассоновское состояние. Пусть Н = {0} и .74 = .Ж
есть -{--алгебра операторов в К, ограниченных единицей I ЕЕ .74 в смысле
VC = Зс е R+: <А+СА, Л><с(А+А, Л>, VAE®,
где Л — линейная положительная форма, определяющая I (Ь) = (5, Л>.
Имея в виду конструкцию ГНС, эту форму без ограничения общности можно
считать векторной: <5, А> = (е | Be), представленной в гильбертовом про-
странстве К элементом е ЕЕ К, || е ||2 = </, Л). В коммутативном случае
•73 можно отождествить с подалгеброй существенно ограниченных функций
b : со b (со) ЕЕ С на измеримом пространстве Q с конечной положитель-
ной мерой dZ массы }. = (/, Л), полагая (Вк) (со) = Ь (со) к (ta) на К =
= (Q), и е (со) = 1, Vco ЕЕ Q, так что I (Ь) = § b (со) dZ. Безгранично-
делимый функционал фЛ (Ь) = e<B’A>^At отвечающий условно-положитель-
ной ^-форме ZA (b) — (В, Л) у,д относительно эрмитовой операции А
С = Л* 4-	+ С с нейтральным элементом U = 0, определяет про-
изводящий функционал факториальных моментов пуассоновского хаотиче-
ского состояния над Ж с математическим ожиданием (6д) = <5, А) цд
и конечной ковариацией <6*йд> = Л> р,д для каждого АЕ 4:
рд = § dz < ос. Эта ковариация является симметрической не только в ком-
л
мутативном (классическом) случае (А, С] = АС — С А = 0, но и в случае
центрального Л е= Ж*. Центральная форма <5, А>, описываемая условием
<1А, С], Л> = 0, VА, С ЕЕ , определяет a-конечный след на ф-алгебре
Л, простых функций С : гЕ X G (г) Е Ж с интегральной формой <#> =
— J) <G (z), Л) dx, или (#> =-- ЭД g (х, со) dx dk в случае .74 = L™ (Q). В про-
тивном случае форма (В, Л) приводит также к соотношению неопределен-
ности
<4> <СД> > </• [Л, С], Л>2 ц2д, VA = А+, С = С+.
Каноническое представление (3.3), определяющее индефинитное представ-
ление j (g) = I 4 i (g) ^-моноида Л и соответствующее представление
л (g) = е [j® (#)] в пространстве Фока Ж, описывается функциями
ix (к) == В, кх (Ь*) = В^е, к* (Ь) — е^В, 1Х (Ъ) = е^Ве,
где е*Ве -- (е | Be) = <5, Л).
76
В. П. БЕЛЛВКИН
Г Л А В А 2
НЕКОММУТАТИВНЫЙ стохастический анализ
И КВАНТОВАЯ НЕМАРКОВСКАЯ ЭВОЛЮЦИЯ
Введение
Некоммутативное обобщение стохастического исчисления Ито. развитое
в 131—36), дало адекватный математический инструмент изучения поведе-
ния открытых квантовых динамических систем, сингулярно взаимодейст-
вующих с бозонным квантово стохастическим полем. Квантовое стохасти-
ческое исчисление позволило также решить старую проблему описания та
ких систем с непрерывным наблюдением и построить квантовую теорию
фильтрации, объясняющую непрерывный спонтанный коллапс под действи-
ем такого наблюдения 137 — 391. Это дало примеры стохастических неупп-
гарных, нестационарных и даже неадаптнвных эволюционных уравнений
в гильбертовом пространстве, решение которых требует определить надле-
жащим образом хронологически упорядоченные квантово-стохастические
полугруппы и экспоненты операторов путем распространения понятия мно-
гократного стохастического интеграла на некоммутирующие объекты.
Здесь мы наметим решение этой важной проблемы путем развития ново-
го квантово-стохастического исчисления в естественной шкале фоковских
пространств, основанного на введенном нами явном определении [40] неа-
даптивного квантово-стохастического интеграла как некоммутативного
обобщения интеграла Скорохода |411, представленного в пространстве Фока.
Используя индефинитную b-алгебранческую структуру ядерпого исчисле-
ния, найденную в первой главе как общее свойство естественного псевдоев-
клндова представления, ассоциированного с безгранично-делимыми состоя-
ниями, мы установим фундаментальную формулу для стохастического диф-
ференциала функции нескольких некоммутирующих квантовых процессов,
дающую некоммутативное и неадаптивное обобщение формулы Ито как ос-
новной формулы классического стохастического исчисления. В адаптивном
случае эта формула совпадает с известной формулой Хадсона и Партасарати
[141 для произведения пары некоммутирующих квантовых процессов.
В коммутативном случае она дает неадаптивное обобщение формулы Ито
для классических случайных процессов, полученное недавно в слабой фор-
ме классическими стохастическими методами Иуалартом [421 для случая
виперовских интегралов. Отметим также, что классическое стохастическое
исчисление и исчисление операторов в фоковских шкалах разрабатывались
группой Хида, Куо, Страйт и Потхоф [43, 44|, а также Березанским и Кон-
дратьевым [45|.
Используя формулируемое понятие нормального многократного кван-
тово-стохастического интеграла, мы строим явные решения квантово-стоха-
стических эволюционных уравнений как в адаптивном, так и в неадаптивиом
случае операторно-значных коэффициентов и даем простое алгебраическое
доказательство унитарности этой эволюции при условии псевдоунитарности
генераторов этих уравнений. В адаптивном стационарном случае квантово-
стохастическая эволюция была построена Хадсоном и Партасарати путем
аппроксимации итовскими суммами квантово-стохастических генераторов,
однако доказать унитарность этим методом даже в этом простом случае
оказалось трудной проблемой. В рамках этого же подхода Холево [46]
построил решение адаптивного квантово-стохастического дифференциаль-
ного уравнения и для нестационарных генераторов путем определения хро-
нологической экспоненты как квантово-стохастического мультипликатив-
ного интеграла.
хаотические состояния и стохастическое интегрирование
77
Заметим, что наш подход является близким по духу к ядерному исчис-
лению Маассена — Линдсея — Мейера {32, 341, однако он отличается от
него тем, что все основные объекты строятся нс в терминах ядер, а в терминах
операторов, представленных в фоковском пространстве. Кроме того, мы ис-
пользуем значительно более общее понятие многократного стохастического,
вообще говоря, неадаптивпого интеграла, который сводится к понятию
ядерного представления оператора лишь в случае скалярной (неслучайной)
подынтегральной операторной функции. Возможность определения неадап-
тивного однократного интеграла в терминах ядерного исчисления была ука-
зана Линдсеем [47J, однако понятие многократного квантово-стохастическо-
го интеграла не обсуждалось в литературе даже в адаптивном случае.
2.1. Неадаптивные стохастические интегралы и дифференциалы
в шкалах
Пусть (X. ,Л, р) — существенно упорядоченное пространство, т. е.
измеримое множество X с о-коиечной мерой |i : А Е J .> 0 и отно-
шением порядка х х', обладающим свойством, что всякая л-ка х — (zj, . , .
. . ., хп) является с точностью до перестановки цепью % — {zt <•..< z„)
п
по модулю произведения И dz; мер dx : = pdx. Иначе говоря, мы предпо-
z=i
лагаем, что измеримый порядок является почти линейным, т. е. для любого
п мера-произведение подмножества л-ок х СЕ Хп с не полностью упорядочен-
ными по возрастанию компонентами равна нулю, откуда, в частности, сле-
дует безатомпость меры р на X. Можно считать, что существенный порядок
на X индуцирован измеримым отображением t : X -> R+. относительно
которого мера р является абсолютно-непрерывной в смысле ее дезынтегри-
руемости:
ос
5 / V (*)) dx — \ j (0 рд (Z) dt,
А	О
для любого интегрируемого подмножества А С X и существенно-ограничен-
ной функции / : R+ -> С, где рд (Z) есть положительная мера на X для каж-
дого t е R+ и Т| < ... < хп означает, что / (zj < ... < t (хп). Во всяком
случае, мы будем считать всегда заданным такое отображение t, что выполня-
ется указанное выше условие и t (х) 0 / (х') при х <7 х', интерпретируя
t (z) как время в точке х X. Например, t (х) -- I для х -- (х, t), если
X — Rd X R+ есть (d + 1)-мерпое пространство-время с причинным поряд-
ком {48| и dx — dxdt, где dx есть стандартный объем на d-мерном простран-
стве =Э х. Мы будем отождествлять конечные цепи х с индексированными
по возрастанию л-ками х = (zlt . . ., z„), z( •< ... < хп, обозначая «27 —
•— У Г« множество всех конечных цепей как объединение множеств Гп —
п "-О
— {х Хп I Zj < ... < z„) с одноэлементным Го = {0}, содержащим пус-
тую цепь как подмножество 0 Q X, и dx — П dx — «элемент» меры на «27,
хех
ОР
индуцированной прямой суммой У Цд , Д„ с= ,А®п, мер-произведений
.-.--о п
п
dx = П dxi на Хп с единичной массой dx = 1 в точке х = 0-
78
В. П. БЕЛАВКИН
Пусть {Л’х | х ЕЕ X} — семейство гильбертовых пространств
— аддитивная полугруппа положительных существенно-измеримых ло-
кально-ограниченных функций р : X -> R+ с нулем 0 ЕЕ и .9^ = {1 +
+ Ро I Ро £= 3‘0}. Например, в случае X = Rd X R в качестве можно
т
иметь в виду множество полиномов р (z) = 1 4- У ск | х |к относительно
к=о
модуля | х | = (Sz2),/2 вектора х f= Rd с положительными коэффициентами
ск 0. Обозначим .ЯЕ (р) гильбертово пространство существенно-измеримых
вектор-функций к : х i-+ к {х) ЕЕ Кх, квадратично-интегрируемых с весом
р ЕЕ
II fc|| (р) - (J (1Н*)1£р(*)^)1/2<<>=.
Поскольку р?>1, каждое пространство СК (р) вкладывается в гиль-
бертово пространство УС = СК (1), причем их пересечение П СК (р) CZ СК
отождествляется с проективным пределом СК+ — lim СК (р). Это следует
I —оо
из возрастания р q => || к || (р)	|| к || (q), в силу которого СК (q) С ,К (р),
а также направленности множества в смысле существования для любых
р-1+ги?-1+«, г, sE .3% функции в 53], мажорирующей р и q,
в качестве которой можно взять р + q — 1 = 1 -Д г -f- s ЕЕ В случае
полиномов р ЕЕ 3\ на X — Rd X R+ убывающее семейство {К (р)} иден-
тично при СКХ — С целочисленной шкале Соболева векторных полей h : Rd -►
1л. (R+) со значениями h (х) (i) = к (х, t) в гильбертовых пространствах
1л- (R+) квадратично-интегрируемых функций на R+; заменив при этом
R3 на Zd, можнополучитьпространство Шварца в виде векторных полей h ЕЕ
ЕЕ СК*, если ограничиться лишь положительной частью целочисленной ре-
шетки zd.
Двойственное к ,% + пространство СК_ непрерывных функционалов
(/ i М = ( (/ СО | к (х)) dx, к ЕЕ •%'+,
определяется как индуктивный предел СК_ = lim СК (р) в шкале {СК (р) | р ЕЕ
1 -»о
ЕЕ 3>}_, где 3>_ — множество функций р : X —>- (0, 11, для которых 1/р ЕЕ
GE З5!- Пространство СК__ таких обобщенных вектор-функций к : х ЕЕ X i-+
*-*• к (х) ЕЕ СКХ можно рассматривать как объединение [J СК {р) индуктив-
него семейства гильбертовых пространств .%’ (р), р ЕЕ 3!>_, с нормами
II ^11 (р), содержащего в качестве минимального пространство СК = СК (1).
В расширенной шкале {СК (р) [ р ЕЕ З5}. где СР — |J JJj, получим гель-
фандовскую цепочку СК* С. СК (р+) С.УС.У (р) С СК_, где р+ Е= 5°!,
Р„ (ЕЕ 5Э_, СК+ = СК*_ совпадает с пространством непрерывных относительно
индуктивной сходимости функционалов на СК_. Аналогично определяется
гельфандовская тройка (F+. 3- , 3. ) для гильбертовой шкалы {3 (р) I Р ЕЕ
G 5s} фоковских пространств (р) над К (р), т. е. пространств квадратич-
но-интегрируемых с весом р (%) ----- р (т) функций / : X >-► / (%) G: -К^> (х)
ie?
со значениями в гильбертовых произведениях СК® = 0 СКХ.
11/11 (Р) - ($ II / (X) II2 Р (X) dx)V2<~-
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
79
Здесь интеграл по всем цепям х	ЗС. определяющий спаривание
(/ I &) = $ (/' (X) I h (х)) dx. h е ^+,
на & подробней можно записывать в виде
$Н/(Х)П2Р(Х)<*Х = 2 $ ••• $ II / X • ••-*,,) II2 П Pt^dz:,
1>-0 0<1>< <tn<CK>	1.-4
где n-кратные интегралы берутся по симплексным областям Г„ = {х G
Хп | t (ад) С. . .< t (хп)}. Аналогично тому, как это делается в случае
X = R+, t (х) = z, нетрудно установить изоморфизм пространства & (р)
с симметричным или антисимметричным фоковскпми пространствами над
<№ (р). определяемый изометрией
ii/ikp) (У4-С-.(н/^1..........хн2Пp^dx.f2,
где функции f (яд, . .	х„) соответствующим образом продолжены на все
Хп.
Пусть Z> — (£>v)t-o.’+ — четверка функций Z)y (х) па X со значениями
в непрерывных операторах
(1.1)	D~ (х) : f D°o (х) : .f+ ® JPX ->	® Жх.
D+ (х) :	® .Кх, D'o (x) : ,p ® X F
так что существует p ЕЕ .9й! такое, что эти операторы ограничены из $ (р) Э
3 в J (р)* £ &где F (р)* -•= F (Пр). Предположим также, что
D+ (х) локалыю-интегрируема в смысле
а₽е:||£»;ц°,\	п/>;(£)црdz<ос, Vi<oc,
х‘
где X’ = {х е X | t (х) < t} || D 1|р = sup {|| Dh || (р-1)/1| h || (р)} — норма
непрерывного оператора D ;	(р) -► У (р)*, определяющего ограниченную
эрмитову форму (/ | £>/?.) на (р); D°o (х) локально-ограиичена относитель-
но некоторой строгоположителыюй функции х: 1,'х GE Зап в смысле
Эр G 3\: || Do |f~| (s) = ess sup {s (x) || D°o (,r) ||p) < oc, Vi < oo,
xei1
где || D ||p — норма оператора f (p) ® Л‘х -?	(p)* 0 Xx и D\ (z), Do (x) —
локально квадратично-интегрируемы co строго положительным весом
г (х) : Mr ЕЕ в смысле
ape^rii/Xii^arXoc, ||/л||(2’((г)<^, viо,
где 11 D Ц(р2\ (г) = ( 5 ||D(x)||J,r(x)dz)1/2, ]| D ]|р — нормы соответственно опе-
л<
D+ (т): Г (р) -> F (р)* ® X- (^ : F (Р) ®	-> F,(р)*.
80
В. П. БЕЛАВКИН
Тогда для каждого Z ЕЕ R+ можно определить обобщенный квантовостоха-
стический интеграл 1211
(1.2)	tJ(D)J A(D,dz), A(D,A)=2^(DU)
xf	м-v
как сумму четырех непрерывных операторов A^i А) :	-> при
А — Х\ являющихся оператор-мерами на Л =э А со значениями
(1.3а)	[А-(/?+. А)Л](х) " j* |/J” (x)Zi] (х)dx (сохранение),
д
(1.36)	[Ao (Z>+, А) Л] (х) == У Р+ (х) /г] (х\г) (рождение),
хе?АПх
(1.3с) [Л_ (Do, A)A-J(x) — j [Do (х)Л (z)] (x)dx (уничтожение),
д
(1.3д) (Ao(Do, А)Л](х) - S [Do(z)4(z)](x\z) (обмен).
xgAQx
Здесь h ЕЕ ,^+, X \ x = {x' £= X I x' #= x} означает цепь x GEE «2Л в которой
уничтожена точка г ЕЕ Х> h (х) Е= Жх 0 есть точечная производная,
определяемая для h ЕЕ .F+ почти всюду (при х о ЕЕ 33) па й? как функция
h (х, и) = h (x|_Jv)~ [а (х) Л|(н), где операция X |_1 v означает объединение
w = X U ъ непересекающихся цепей X П v = 0 с попарно сравнимыми
элементами. Оператор а (х) Л (to) = h (х, м \ х)> уничтожающий точки
X ~ {^i- • • •, хп} Q to в цепи w ЕЕ <2", определяет почти всюду (х П 15 = 0)
на 3D «-точечную производную h (х, v) — h (х | | v) как фоковское представ-
ление производной Малливена (491 л-го порядка в этих точках. Свойства
непрерывности этого оператора, определяющего изометрическое отображе-
ние а : &	+ р) —> ("7") ® & (р)> описывает следующая
Лемма 1. Операторы [а (х) Л| (v) = h (х | | v) х GEE определяют
проективно-непрерывное отображение а шкалы & (р), р S SP, в $ (-1-) 0
0 ^(Р). г-1 ЕЕ : || ah || (-у-, р) = || А || (-7-+ р), формально сопряженное
к оператору рождения
[а*/] (<«>) = ^/(х.“\х). /G.F(r)0£(-^],
xs<e
являющемуся сжимающим отображением в	пРи	—Ь Р*
Доказательство. Прежде всего установим основную формулу
многократного интегрирования
(1Л)	$ 2 /(x-®\x)d®	V/eA2(^-2),
XS<e
позволяющую определить сопряженный оператор а*. Пусть / (х, и) =
— S (х) (о) — произведение интегрируемых па Зу комплексных функций
вида g (х) = П g (х)^ h (е) ~ Ц h (х) для любых х> v €=	• Учитывая
«ех	хе»
биноминальную формулу
S g (X) Л (®\х) ••= 2 II £ (*) П Л (х) = П (g (х) + h (z)),
ХЕ“	X LJ »=--<» хех хее хев
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
81
а также j*/ (х) d% = exp { ^ / (х) dx} для /(х) •= П /(*). получим
$ 2 g(X)h(*i>\x.)da = exp {jj(g(x) + h(x))dx] - §g(y)h(v)dy (dv),
XSW
что доказывает (1.4) на плотном в L1 (ЗЕ X ЗЕ) множестве функций-произве-
дений /.
Применяя эту формулу для скалярного произведения (/ (х, о) | h (х,
v) GE L1 (ЗЕ X ЗЕ), получим
$ 2 /(Х»е>\Х) | h(ia)do> = ^(f(x,v)\ h(y[_jv)dydv,
т. e. (a*/ | h) = (/ I ah), где (ah] (x, v) = h (x I I t) a= h (x i I u). Выбирая
произвольно j EE F (r) (x) F (—) , получим, что оператор уничтожения
а (X) h = [ah] (х, •) определяет изометрию F ("7“ + pj—>F ("7~) ®
как сопряженный оператор к а* : F (г) ® F	—» F	» Ч = ~~—Н Р<
относительно стандартного спаривания сопряженных пространств F (р)
$$ II h (х, и)||2 г-1 (х) р (v) dx dv = § 2 IIh (w) II2 r 1 (X) P (w\x) d(o =
= $I|A(W)II2 2 r~4x)P(v)d<A = ||/i(w)||2(№ +p)(w) dw.
% i 1 U“0>
Отсюда следует проективная непрерывность а из F+ в Fo X F+> где Fo —
= П F (р), и, в частности, одноточечной производной / (х, о) = Их I I
7еА 1 • 1
I ] о) из F+ в -ХЕ X F+ как сжимающего отображения F	+ р) —> F	j ®
®F(p).	рЕ=ЗР. Лемма доказана.
Теперь мы готовы доказать индуктивную непрерывность интеграла
(1.2) по D — (D*) с помощью неравенства
II *о (Р) h) (I (-1-) < || О И’, t (г) \\h || (q), Vq > r-i + p + s’1,
где || D [[’„ f (r) = || D~ ||(l?e + II D°+1|<?,\ (r) + || D~o ||(?,>t (r) + || Do ||(^ (s), которое мы
установим сразу для многократного обобщенного интеграла [50]
(1.5)	[^(ад(Х)=	2 И l^(X>^(Xo’LJXo)](xl)dx;dXo’-
°	° t .„t .„t
X0UX + EX
Здесь x' = X П = {x e SE | X CZ -X7}, сумма берется по разбиениям
X = Х°-1 I Хо I I Х°+, Для которых Хо GE Ж4, х° G ЗЕ1, В х() - оператор-
функция от четверки X = (Xv)v=o7-r Цепей Xv Е~ Я', определяемая почти всю-
ду значениями
в (Х:’ F+ ® -^® (Хо) ® (Хо)F_ ® X® (у^) ® ж® (Х;),
\Х+> Хо /
82
В. П, БЕЛАВКИН
ограниченными из S- (р) в & для некоторого р 3\, так что суще
ствуют строго положительные функции г 0, r~l G 3>0 и s 0, s’1 Е2 3^
для которых
(1.6)	v*o.
В
где ]| В; (xJ) Ilk t (г) - ( esssup(s(xo)||B(x)||p}2r(xlLJXo)^xl^Xo)1/2, и
s(x) — П s(z), r(x) = Ц г (x). Отметим, что однократный интеграл (1.2)
xez	хех
соответствует случаю
В(^)-.О^(г), В (х) - О, VX: S Ix’vl^i-
в - v
где Ху обозначает одну из элементарных таблиц
определяемых точкой х ЕЕ X. Как это вытекает из следующей теоремы,
функция В (х) может быть определена в интеграле (1.5) с точностью до эк-
вивалентности с ядром В 0 4=> || В ||к ( (Н = 0 для всех <сй+ и (неко
торых) р, г, s. В частности, можно ее почти всюду определить только для
таблиц х (Xv), Дающих разбиения х = I I Xv цепей х ЕЕ Ж, т. е. продета
вимых в виде j = |___| х, где ас — одна из элементарных таблиц (1.7) с ин-
хех
дексами p, v для х ЕЕ Xv-
Теорема 1. Пусть В (у) — локально интегрируемая функция
в смысле (1.6) для некоторых р, г, s 0. Тогда ее интеграл (1.5) является
непрерывным оператором Tt = к (В) из в 3 имеющим оценку
(1..8)	sup 1||7’Л||(4)/ПЛ1|Н<115|1к/(г)
heT(q) I \ <7 И	J
для любого q Г1 -| р -| s-1. Формально сопряженный в # оператор Т\
является также непрерывным из в &_ интегралом
(1.9)	'о (В)* = t'(Bb), Bbf\+’ *“Кв
\Х+. Х0/
имеющим оценку ||	Ц^'( (г) = ЦВЦ^’* (г). При этом операторно-значная
функция t ь* Tt имеет квантово-стохастический дифференциал dTt — di^ (О)
в смысле
(1.10)	i'(B)^-. В(0)-|- i'(B), 0^(х)^^(6(х^),
определяемый квантово-стохастическими производными D = (Оу) с ограни-
/ f -
ченными почти всюду значениями (1.1) из (q) в	’
II	IlVA < II В Ilk ((г), IIО ||<2>( (г) СII В Hk t (Г), II Do (s) < II В Ilk ((г)
для D = O0 и D = D+, q r~l T p -|- s-1, в виде многократных интегралов
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
83
(1.5) по х от точечных производных В {х, х) = В (х j I х), где х — одна из
четырех элементарных таблиц (1,7) в фиксированной точке х X.
Доказательство. Используя свойство (1.4) в виде
$ 2 /(X-’7o-xI)dX = ®/(Х°-7о-Х+) IldXv,
°	* '	V
LJ Ху=Х
нетрудно получить из определения (1.5) для /, /г GE .F+
$(/(х)| [ЛМ(Х)Мх -
= $	$ dx°+\ d'/o $ ^Xo(/(XoLJxI)|^(z)A(ZoLJXo)) =
'rt -х‘ я*
= $ dy~ J dx+ $ d'/й $ dXo (B(x)*/(ZolJx+) I ^(XoLJXo)) -=
Я:‘	Я‘(	O'1
-S(p7/](x)|fc(x))dx,
t. e. T* действует как ц (B^) в (1.5) с B^ (x) = В (x')*, где (Xv)' = (x=m>
относительно инверсии — : (—, 0, +)•-»(+, 0, —). Более того, это дает
II 1о (В) ||, = || to (5b) ||,. так как || Т ||, = || Т* ||, в силу определения (1.8)
9-нормы
sup {I (/ I Th) |/ II / II (9) II h II (9)} = sup { I (Г* / I h) ГН / II (9) II h II (9)).
Оценим интеграл (/ | Tth), используя неравенство Шварца
$ II / (X) II (р) II h (х) II (Р) s"1 (X) dx < II / II (s’1, Р) II h || («Л р)
и свойство (1.4) многократного интеграла, согласно которому
II / II О’1, Р) = II / II (Р + <!), || fl II (s-1, р) = h (8-1 + Р): I (/ I Tth) I <
d/о $ ll/(ZoLIX+)ll(p)( ЦЙ(Х) Hpdx;)||A(XoLJXo)ll(P)dXo d/+<
я* я*
< S MS H/(xLJxl)ll2(P)i’’1(X°+)dxl)1/2|l до(х)Пр,< (г) X
я1 а*
X ( II h (х | | /о) II2 (Р) г-1 (Хо) d/o)’/2 <
< S dXll/(x)ll(r-1 + p)ll^(x)ll , I (г) II h (X) II (г-1 + р) <
< ess sup {s (х) || В°о (х) II..., t (г)} || /1| (г~1 4- р + ^ ') || h || (Г1 + р + 8’1),
7.e‘z’'
ГД° П^о(Хо)П.-4 (г) -==•• ( $ S J SJI^(z)IIp^X;)2 г (/о LJX+) d/о dy+)1/2. Таким об-
разом, НЛП, <||2?||,)>((r,s), где г-i + р 4- 8-1,
II В ||р, t (г, з) ess sup {8 (X) || В°о (х) ||р, t (г)} < || В ||’, t (г).
Используя определение (1.5) и свойство
S /(x)dx =--/(0) + $ dx $ /(z,x)dx,
я.‘	х‘
84
В. II. ВЕЛАВКИН
где / (х, х) " / (т I I X), нетрудно получить
((Ге - То) А] (X) - [(ij (В) - В (0)) h] (X) -
t(XyXHx)
;:^d.r(	2 S dD $ ^хИй(ж-м xM(XoLJXo)+
+ В (аг0\ х) h (j- □ Хо LJ Хо)] (Х-) +
ЦХуХДх)
+ 2 ( S $ d0+ dx<H#(X, xMtoLIXo)+
хел‘ XoLJzlsx *'(ж)	-'//ад
+ В (Хо, х) h {х [ J ь и Хо)] (X-)
----- § dx [Z>; (х) h + D„ (х) h (х) | (х) + 2 Р+ <*)h + Do (х) h (т)] (х\^)>
X*	хех*
Следовательно. Tt — 7\ -= У]А^ (D*. Х‘), где AlJ (D, А) определяются
в (1.3) как операторно-значные меры на X от онератор-функций
Р+(*)/] (X) =	2	$ dX+ $ dXo [^(^<X)J(Xo LJXo)](X-)-
^<x>
[£>oMm<X) - 2 S d0 $ ад^-хШХо’ШхЖ)-
°. 0'=4~x‘(x> «riw
Aq i—J A4-i= Д,
действующих на / GE .f+ и A G 0	. Это может быть записано в терми-
нах (1.5) как Dy (х) io {В (Жу)). Благодаря неравенству || FJI, <,
< II В И',t (г), Уд 0 Г1 + р + s”1 получим || D+ ||£\ < || В ||’,t(r) как
следствие оценки || Dv (х) ||, < || В (z+) ||’1>((Ж) (г):
5 II ^7 (*) llg <.	||.Й(;т;)||’,,цх)(г)£/л: .=
х‘	X1
= $ dx $ II в; (X □ х) Ilk «х) (Г) dx - $ II В- (х) Ilk t (г) dx ~ II В~ {0} Ilk f (г)
xf ЛГ'(Х)	0
- ii я iik. (и-ii д; ilk t о-),
где /у;(х,х) - ^(xUx7)Mx7). х7 Mk 0Р ^(X) = {J’
Аналогичным образом можно получить
IK4ll^.’i (г) <-1 (|| В (z°) Ilk цх) (г))2 г (.г) dr)' 2 <
< $ dx~ ( $ (II Д+ (Х-. х°) Ilk t (г))4 г (X') dx jl/2 < II В Ilk t (Г).
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
85
где
Я+(Х“»Х°,Х) = #(xUXo)<b(x;LJx+). Хо	( * ’ ?).
<1 Ц? С/ (г) < ( $ (II («о) II’, Их) (Г))2 Г (х) dx]'" <
X1
< $ dz+ ( $ (II В~ (Х+, Хо) II’, t (г))2 г (Хо) dXo)V2 < II В II’-' (г).
я* я:1
где В“(х+.7о-Х) = 5(xUx‘)6c!(XiLIX^). Х° (.0,’ J)'
Наконец, из || Do (х) ||7 < И Ё (х0)	((х) (г) тем же путем получим
II D°o Ндл («) < ess sup {s (х) || Ё (х°0) ||’, ((х) (г)) < || В ||®, ((г),
XE.V1
если q г~х 4 р 4- а-1, что и завершает доказательство.
Замечание 1. Квантово-стохастический интеграл (1.5), постро-
енный в 150). как и его однократный вариант (1.2), введенный в [401, опре-
делены в явном виде, свободном от требования адаптивности подынтеграль-
ных функций В и D. В силу доказанной непрерывности они могут быть ап-
проксимированы в индуктивной сходимости последовательностью интеграль-
ных сумм ц (В,(), io (Dn), соответствующих простым (ступенчатым) изме-
римым операторным функциям Вп и Z>n, если последние индуктивно сходят-
ся к В и D по по.чипорме (1.6).
В самом деле, если существуют функции г, s : г1, s"1 ЕЕ и Р 5 3s i
такие, что || Вп — В Ц’,, ( (г)-► 0, то существует и функция q ЕЕ такая,
что || to (#п — S) 11g -* 0, а именно q г~х 4- Р + «~1 в силу неравенства
(1.8), что означает индуктивную сходимость ip (2?„) —► t„ {В) вследствие ли-
нейности tp. В случае адаптивной функции D (х) в смысле Dx (х) (g((I> 0
® A[t(x)) = /'(х) 0 h[t{x) или
l£»v (*) h] (Х) - ID’V‘ (x) h (X[((x)l (x((x)), Vz e X,
где h (хщ x') = h (x* I I Xnh x‘ I I Xit — разбиение цепи /Е 4 на х' =
= {лЕ X | 1 (х) <" 1} и г {л; ЕЕ х I (-г) 0 указанная аппроксимация
в классе адаптивных простых функций приводит к определению квантово-
стохастического интеграла ip (D) в смысле Ито, данному Хадсоном и Пар-
тасарати для случая X — R+, t (х) — х как слабого предела интегральных
сумм
t	п
«о (D„) =. J Л (Dn, dx) 2 De (z;) Л* (Д;)-
О	г--1
Здесь 1)„ (х) = D (л J на j; Е [хг, #г+1) — адаптивная аппроксимация для
7)
разбиения R+ — У, Д{ на интервалы Д4 -- [х;, .c/+i), задаваемого цепью
i=i
Я» " 6 0 0	••• <С -Bn-I <С хп 00• И D'v W Лц (Д) есть сумма операто
ров (1.3) с постоянными на Д функциями D\, (х), которые поэтому можно вы-
нести за знак интегралов Л^. В частности, при D+ ~ 0 ~ Do и Do --
= 1 ® g -- D+, где 1 — единичный оператор в З' и g (э) — скалярная ло-
кально квадратично-интегрируемая функция, соответствующая случаю
86
В. П. БЕЛАВКИН
= С, получим определение Ито для винеровского интеграла
t	t
Зо (?) -= S g <x) w {dx), $ g (x) w (dx) = to (D)
b	0
по стохастической мере w (A), Ag Jua R+, представленной в $ оператора-
ми w (A) = Ao (A) + А” (А). Отметим также, что многократный интеграл
(1.5) в скалярном случае В (%) = 1 0 Ь (х) определяет фоковское представ-
ление обобщенных ядер Маассена — Мейера [32, 331 и в случае
I1-	X--0»
b М = / (/о U Х+) б0 (Х+)	(Хо)> 60 (х) -= j 0>
приводит к многократным стохастическим интегралам tj (В) = 1‘0 (/),
ею
4(/) = S S ••• $ f(xv...,xn)w(dxl)...w(dx„)
n OOCti< <(n<1
от обобщенных функций /ЕЕ [J (F ('), т. e. к распределениям Хида [43,
r-'ЕЛ
44]	от винеровской меры w (А), представленной как w (А). Таким образом,
построен общий некоммутативный аналог распределений Хида, свойства
которого описывает следующее
Следствие 1. Пусть оператор-функция В (х) = 1 0 А/ (х) on-
ределяется ядром М : || М ||’ (г) ос,
(Х + » 7q \	—	О	о о
М « о :^®toLJXo)^°(XoLJX+).
\Хр 70/
где
-	Р	/ Р с Р	о	О	\ 1/2
II м lit (г) = \ d/,+ [\ dx+ ) dyo ess sup {s (Хо) II Af (х) ||}2 г (х+[_J Хо))
<я?'	я.' a* z°sa-(
для всех tE R+ и некоторых г (у) П ' (л), s (у) = Ц 3 (л); г-1, s1 ЕЕ 3%.
Тогда интеграл (1.5) определяет адаптивное семейство Тt GE R+, q-ог-
раниченных операторов Tt = tp (f (g> M), || Tt ||g <' || M ||t (г) для q
t'1 + 1 + s1, имеющее адаптивные р-ограниченные квантово-стохасти-
ческие производные D" (л) = t*0(х) (1 ® Ifl (ж'у)).
2.2.	Неадаптивная формула ИТО квантового
стохастического исчисления
Пусть — некоторое гильбертово пространство 'S (р) — Ж 0	(р),
р ЕЕ 3й — гильбертова шкала полных тензорных произведений с простран-
ствами Фока над ЗС (р) и ЗА = Я $ (р),	= 'S (1),	= U $ О3) ~
соответствующая тройка Гельфанда ЗА CZ СТ . Мы рассмотрим не обя-
зательно ограниченные операторы 7’ - г. (К) в гильбертовом пространстве
= Ж 0 как «-представления е операторно-значных ядер
(2.1)	X t ° ):^ 037® (WoLJteo)-*^® ЛС® (^ [_]й4),
\“+
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
87
удовлетворяющих условию || К ||р (г) ос для некоторых г 1 СЕ .! 0 и р Е
дь1, где
IIК Пр (г) -= $ ess sup (II К (ю) ||/р (е0)2 г (ь>+1 | »о) du>°+ da>)’/2.
“о
Это представление е определяется на h (ЕЕ Ж 0 F формулой
(2.2)	[е (К) Л] (х) = У \А °	> р (f'o LJ ('о) ^’о ^с)+
J \ (О <0 /
О О	\ +	0 /
«о LJ io+ - Z
как неадаптивный операторно-значный многократный интеграл (1.5) для
t = X от функции в (х) = 8- 0 К (х), где [д /] (х) == / (0) 6.« (х) — ва-
куумный проектор на & : Ц9 (х) h (xd I 1 Хо)) (xJ = 0 ПРИ X- =#= 0- Опе-
ратор е (К) можно представить так же, как (адаптивный) интеграл (1.5)
при 1 = ос от функции В (х) = 1 0 М (х)> гДе 1 — единичный оператор на
0 , а М (х) — операторно-значное ядро Маассена — Меера, так что
[Д (х) h (Хо LJ Хо)] (Х°_) = М (х) h (хо ! I Хо I I Х°_) и
ХЕ®о
(0Л \
0 1	О
р0\х),
X /
связанное с К взаимно-однозначным соответствием
где I® (в) = 0 1Х — единичный оператор в Л® (т>).
)
Согласно следствию 1 || Т ||д 0 II М ||® (г) для q 0 г’* -j- 1 + s’*, од-
нако, используя эквивалентное представление (2.2) в виде неадаптивнэго
интеграла (1.5) от В (х) = б0 0 К (х), и учитывая, что || 8/: ||р = 1 при
сколь угодно малом р 0 0, получим при р —► 0 более точную оценку |) Т ]|ч 0
0 || К ||,-i (г) для q 0 r~l + s’* = lim (r~l 4- p0 + s’1). Из нее вытекает
предыдущая, поскольку
II s м 0 /® (W;\x) II < s IIЖ (X) II < (1 + S’1) ЫIIЖ It,
о	о
ХЕЬ’о	ХЕО'о
где || М |t =- ess sup {s (;•) || M (у) || }, з {] « U), (1 + s’*) (wo) =
хе'Ж’	хех
= 2 s’* (X) = II (1 + s’1 (0) и, следовательно, || К ||р (г) < || М ||» (/)
XS‘"o	*GO'0
для р 0 1 0 1/s.. Отсюда, в частности, следует существование сопряженного
оператора Т*, ограниченного по норме || Т* ||ч 0 ||	||р (/) = || К ||р (г)
как представление
b-сопряженного ядра (<й) = К (<о')*.
88
В. П. ВЕЛАВКИН
В следующей теореме мы докажем, что b-отображение е: А’ е (А),
является операторным представлением b-алгебры ядер А' (ш), удовлетворя-
ющих условию ограниченности
(2.4)
И К ||а - CSS Slip (|| К (О») || ] П «V (<0у)| < оо
аг—(оф*)
относительно произведения четверки а -- (a'v)v~o, + положительных суще-
ственно-измеримых функций-произведений (w) -- П (х), юЕЕг?.
ХЕ=(О
Последние определяются интегрируемой функцией а” : А' -->• R+, квад-
ратично-интегрируемыми с некоторым весом г О,	функциями
а+, а0: X —► R+ и существенно ограниченной единицей относительно неко-
торого р ЕЕ ,'Р функции а0 : X -*• (R+:
|1<11(0<	||а+11(2> (г) < оо, ||а0-Ц(г>(г)<оо, ||а;ц(1“’><1,
<2-5)	С
|| а ||(i) = | а (х) | dx, ||а ||<2> (г)	\ а (х)г г (x)dxj ,
II 1|(°°)	|а(х)|
а , -- ess sup -!—)—4-.
х р(х)
Условная ограниченность (2.4) обеспечивает проективную ограниченность
|| К ||р (z) в силу неравенства
IIк Нр (г) < $	($$ ess su р {|| А ||а П «V («v)/p («'о)}2 г (ш+ [J w0) du+ d^'",
°'о
i* -	/( °	Г -	\1/2	an(W)
(2.6)	аД<о) а+ (<о)2 г (о) dta а0 (to)2 г (a>)d<oj ess sup I! A’ Ila
< || A ||a exp К (a; (,r) 4- r (x) (a* (z)2 + a0 (z)2)/2) dx.
где учтено, что a (id) da> — exp a(z) dx при a(«)= Ц а(х), и
n
ess sup {a0 (ы)/р («)} sup ess sup П {“o (Xi)/P U.)} =1 при «о С P-
“	n xexn i-i
Прежде чем сформулировать теорему, установим, что справедлива
Лемма 2. Пусть многократный квантово-стохастический интеграл
Tt =	(В) определен в (1.5) ядерной оператор-фуакцией В (х) =- е (М (х))
со значениями в операторах вида (2.2), где
М (х, V): 0 Ж® (н0- □ Хо) ®	(^о Lb) - > Ж ® .V® («ъ LJ Хо) ®	(«I U Х+)
— относительно-ограниченное по vlj ЕЕ ЗС ядро в смысле
и м (х) lb < * П pv (xv).	(х) - П р" (х)
H.V	ХЕЕХ
для пары четверок р = (Р^), p'vl 0 и у = (у"), у« 0, удовлетворяющих
условию (2.5). Тогда Tt е (А(), Kt (<о) == Vq (<о, М), т. е. ig ° е — е о v£t
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(2.7)	v'0(<o,.V) S	<•>'	(Х;П<о‘‘)Го’.'0,
(сумма берется по всевозможным Xv С А’! р ыр. »-□,’+), причем || vj (М) ||а
с, если а“ (я) [р (л) г Tv (л) при t (л) <р /, иа^ (л) _> у" (л), Уц, v
при t (л) S. В частности, обобщенный однократный интеграл ц (/>) от
Dy (.*) е (C‘v (л)) с ограниченной относительно у четверкой С (л) --
— (Су (л)) ядер С? (л, г), о •- (v'v) в смысле
с -1! с; + II с; ||<?\ (г) 4 II с~0 ||<2\ (г) + II Со ||£> (1/р) < оо,
II с; ||<”, - $ || С~ (л) ||v dx, IIС ||£\ =-- ( II С (л) ||2 г (л) dx),/2,
х‘	х‘
... Ч||П J llCo(J)lly )
l|tollv./( р ) - SUP ( р{х} j.
Xtz Л
является представлением ц о е “- е преобразования
щ, («, С) ~ У, С (х, to\r), С («v, и) ~ Су (л, и),
хеыс
где сумма берется по всевозможным х ЕЕ о>у П X1, ц = —, 0, v =-• 0, + , х -
--л'у(х) — одна из элементарным таблиц (1.7) с индексами ц (л) -= ц, v (л) -=>
- v, определенными почти всюду условием ji, v : л CZ toy, причем
II «о (С) ||р (г) < с ехр (у; (-с) + 4 (У+ (я)2 + Уо (я)2) г (л)) dx) .
Доказательство. Если М (х, ») — операторно-значное бияд-
ро, ограниченное || М ||р. Y <; с относительно пары (0, у), то определен отно-
сительно ограниченный оператор Tt =- е (Kt) для Kt = v'o (М), поскольку
НхД</ <(Х+)</ ЦЦ)<1 <(Х0)<«
и(о>)и <с 2	2	2	2 пм(х.«>\х)||<
X+S<1>+ x+S<0+ 70S<i>0 7q£<Vq
р, о 'UvK1	ц-—, о
<С П 2 №)У«М)^ II aVH).
v“°’ + x'v1s<	V^0,+
где alj (w) JJ [p (л) + у (л)] J] у (л) для 0IJ (х) = П и
2Г&5(1>	Х6=Ю
Tv (v) = п yv (л). Применяя представление (2.2) к Kt (w) - v‘o (to, M),
xev
не трудно получить представление оператора е (Kt) в виде обобщенного мно-
гократного интеграла (1.5) от В (~f) - е (М (х))’
(7' (Л ] (X) --	2 Ц 2 м (X - w\ X) (“о LJ ">о) dwo dbC
i"0 L.; (i>+“X Xs,«Z
=	2	\ dyo $ d^ 2	(X> r)^(XoLjXo> VoLJ^dtydv;,
°	° t .ri * Zi ° >o
Xo U X+£X ,l	«0 L-1 «+==-*-
90
В. П. БЕЛАВКИН
где х°_ = X \ (Хо и х+)- (х, ”) = h (х i I v). Следовательно, Tt = (Л), где
Р (xM(XoUXo)l(x) =-	2 S$^(X’«)^(XoUXo.roUvo)dvod<,
т. е. мы доказали, что е с Vq = 1о о е. В частности, если М (х, ») = 0 при
У | х" | =# 1. то. очевидно,
vi(®,3/) = ^(«,c), г0(В) = <*0(В),
где (?? (х, u) = М (,r'v, и), и В (х) = 0 при S I Xv I =# 1, И = В (ас“).
Это дает представление е ° п‘о ~ <□ о е для однократного обобщенного неадап-
тивного интеграла (1.2) в виде суммы
S AV(e(Ci;>, А) = е( 3, (2V^(CV, А)), А^(ш,С,А) = S С(х,®\^)
представлений четырех ядерных мер Л',, (ю, CY, А) при А = X*, определяю-
щих ядерные представления е ° N (А) = Л (А) о е канонических мер (1.3)
при Dy (х) = е (Cv (х)).
Теорема 2. Если ядро К (<в) является относительно ограниченным, то
.	,	т;\
таковым же является и ядро К? (<в): || КУ ||Y — || К ||Y-, где „	„	=
W+’ 1о /
f ?;• ?! \	,
— I „ , и оператор Т* = е (АТ), так же как и оператор Т = е (К),явля-
ло ’ 1'о /
ется q-ограниченным при q р + Иг оценкой (2.6). Для любых таких ядер
К (х) и Kb (х), ограниченных относительно четверок а — (aY) и у = (?“)
функций aY (х), y'Y (х), удовлетворяющих условию (2.5), определен оператор
е(К^) е (К) = е	е(I®)= /
как ^-представление ядерного произведения (1.2.9) с оценкой ||	• К ||ц
< II К ||„ || Kb ||v, если pY > (?-a)v, где (?-а)" (х) =	(*)	(х) опреде-
ляется произведением треугольных матриц
!- То«о + ао' ®; + Toa°+ + YZ"
о о	о о о
°’	W	Тоа+ + Y+
.0,	0,	1
Пусть Tt ~ е (Kt), где Kt = Vg (М) определяет представление (2.6)
для многократного интеграла (1.5) Tt = ц (В) от В (х) = е (М (х)) и Т (х) =
— [T’v(x)], G (х) = [Gv (х)1, где G“, если р = + или v = —, Т_ (х) —
~ Tt(X) = Т+ (х), и Ту, Gy при р +, v =# — описываются представлениями
(2.8) TU (х) - е (Х1(х) (а^)), G(J (х) = е (Я,(л)1 (х*))
точечных производных (х, u) - Kt (х | | и) соответственно при t = t (х)
и t > t (х), t < t (о((х)) = t+ (х), где vt(x) = {х' е I I t’v I t (х') > t (х)},
так что К1} («в) =	(ю), Vs>E(<, ( (с»()1. Тогда оператор-функции Dy (х) =
-= G^, (х) — Ту (х) являются квантово-стохастическими производными от
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
91
функции t Tt, определяющими дифференциал dTt = di^ (D) в разностном
виде, так что Tt — То = i‘o (G — Т). При этом Т* — Т* = i. (G^ — Т^),
и имеет место неадаптивная формула Ито
(2.9) T*Tt — Т*Т0 = (TbD + I)bT + DbD) = (GhG — TbT),
где D ->!)'’ — псевдоевклидово сопряжение Ш',1 (z)]!’ = |Z)_^ (z)l* треугольных
операторов
	1 + с 1 о с О		Д’ G- g;
D =	0 о; /С	, G =	о с; с;
	-° ° °		О 0 Т
со стандартным блочно-матричным умножением (TG)“ — У T;'.Gv.
Доказательство. Сопряженные операторы е (К), е опре-
деляющие *-представление (2.2) относительно ограниченных в смысле (2.4),
(2.5) ядер К, являются «/-ограниченными при q р -f- 1/гвсилу оценки
|| е (К) ||9	|| К ||р (г) и неравенства (2.6), приводящего к экспоненциальной
оценке
|| е (К) И. < || К ||в ехр ||| а; ||О + ± (|| а+1|‘2> (г)2 + II а» ||<2> (г)2)} .
Формула ядерного произведения • К, соответствующего операторному
произведению е (К^) е (К), уже была нами найдена для скалярного Ж — С
в случае линейных комбинаций экспоненциальных ядер
f® (х) = а (%;) a ы ® /о (хо) ® а (хо),
где (х) = ® ! (х)	(/+ (х) = П А (-г)) •
XGX
Проверим теперь эту формулу на операторно-значных ядрах К (<и) и (<и),
заметив, что их произведение является Р-ограничепным для р — у-а, т. к.
II/fb./qi((o)< у
U г+ \	/ "AV
а, . а Я®	о
%Ы«+/	\v+L_jv+,
II ^’НтНА-Па £Т®
= IIЛ'ьНуII/с Па (?-а)® (ю); (?-a)V - v"ai.


где использована формула умножения у®-а® = (у-a)® для скалярных экспо-
ненциальных ядер
Р® (<о) =--П Pv (<»v); PV(w)= П Pv(^):(T-a)|; (z) = 2 тН*) av (*)•
Х&(0
Используя основную формулу скалярного интегрирования (1.4), представим
скалярный квадрат действия (2.2) в виде
|| 6(^/21|2	J1,	£(to)&(«oU<Oo)dw+<fco0|2<fy ==
<0°Uw^X
92
В. П. БЕЛАВКИН
(К (a) h (о0‘ LJ <*о) |к (т) h (т0; I т°)) cfy =
<r0LJo+=x t0LJt+=x
( °"
К t
^(toUv+LJo+) K
(v0 LI L U T0) j do dt dv	J J (h (vn LJ L LI <4) к
т+
v; u«'
t+’
0 I—J co ’
b(°'<
, _ o, , _ i л(v0LIъ0 LJT<*) dodtdv =
|j«t. t0Ur0/	J
--•= § (Mx) |	V, (л’1’ • К) («>) h (<o“ □ «о) <to; d^} d%,
<’>0 LJ<O+=X
где v0 ~ Co П To, r+ П t°+> v0 = Ъ Q o°+. г+ = <т° П т+. В силу произ-
вольности h Ez df ® $ (q) это доказывает формулу ядерного произведения
для и К, которая распространяется на произвольные относительно-огра-
ниченные ядра М и К благодаря формуле поляризации эрмитовой функции
К^-К.
Рассмотрим теперь стохастический дифференциал dT( многократного ин-
теграла Tt ~ to (В) от оператор-функции В (^) = е (М (^)), определяемый
квантово-стохастическими производными
О'; (х) = i'(I) (В (х»)) = е (CV (х)),
представляющими разности ядер
Cv (х, о) = v;(” (о, М (X?)) •-= Btw} (х£, О) — Bt(x) (х*, о).
Здесь vj, (и, Л/ (х)) —. У М (у | |х,и\ Х)> х — одна из элементарных таблиц
(1.7) и	xev‘
Bt(x} (х, u) = 2 М(х-(»иж)\х) = ^/(x)(«Lx),
Кцх}} (х, и) =	3 М (X. (» U х> \ X)
=- Кцх> (и LJ «) + S м (xLk- »\х) =	+ vj>(x> (и, л/(х)).
Заметим, что Кц (ю) = У М (х, <° \ X) (0)), гДе (,)/1 = Iх £=
Х^ш'1
G= <о | < D L t}, t+ min {t (.г) L t | x G w}. так что Лцх)] (x, v) =
= Bt (x, u), t G (t (z), t+ (x)L Таким образом, производные Dy (x), x GE
определяющие инкремент Tt — To (D), представляются в виде раз-
Dy (х) = е [Х’цх)) («V)] — е |X(z) (xV)J
операторов (2.8) Рассматривая (к) как один из четырех элементов (х(|) =
= Kt (х) треугольно-операторного ядра Kt (z), у которого Kt (х)_ = Кцх) =
— Kt (х)+, определим треугольно-операторные функции
Т (х) — е (К<(х) (х)), G (х) = е (Kt(x)1 (х)).
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
93
Это позволяет получить квантовую неадаптивпую формулу Ито в виде
T*Tt — Т*Т0 i' (TbD + DbT + DbD),
где D (х) = G (x) — T (x). Она является следствием b-гомоморфности ото-
бражения (2.2) T^Tt - е (Kb • К) и формулы (1.2.9) для произведения опе-
раторных ядер Kt и АЬ, которую можно записать в виде
(At • А() (<о □ z<)	£ [А((х)[;  Kt (x)t ] (ш)	[Kb (х) • К( (x)ft (<о),
где правая часть вычисляется как элемент произведения треугольных мат-
риц К (х) — [A'v (•*)! определяемого умножения их элементов как оператор-
но-значных ядер А( (л, <й)_ == А( (ы) =- А( (х, <о)*, К (х, ы) К (ы j_______| ас).
В самом деле, из (1.2.9) получим
[ АЬ • КJ (ю LJ ^о) = I («о) • * (2Го)] («>).
[АЬ • А] (<в [J Z) = [А1’ • К (z0-) + А1’ (х0‘) К («;)] (с>),
[ АЬ • А] (о □ хо) [А1’ (хо) К (xl) + КЬ (х!) • А] (<й).
[Аь - А] (ю IJ «;) = [А1’ - А («;) + Аь («о)• A (xj + Ab (ас;) • А] (<в).
V
Это позволяет записать е [(Azb-A() («у)] = Vi е (Ab (х)"A, (х)£) в виде тре-
угольного оператора
Е (Ab (X) Kt (х)) - Е (A, (х))*Е (At (X))
- произведения треугольных матриц Tz (х) и Т( (х) с операторными произве-
дениями их элементов. Полагая в этой формуле t ~ t (х) и t == t+ (х), полу-
чим
е [(К^), • K((I)1) (х) - (Кk,. К/(х)) (X)]	Gb (х) G (X) - Tb (X) Т (х).
что позволяет записать стохастическую производную квантового неадаптив-
ного процесса T*Tt в виде
d(T*Tt) - di'(Gl’G —Т!’Т),
соответствующем (2.9). Теорема 2 доказана.
Замечание 2. Используя неадаптивпую таблицу
стохастического
умножен ия
G
Ь
G —Т
Ьгр
	0.	r*D0-,	T*D” -]- d;*
DhT + TbD Ч DbD -	0.	o,	D«*
		0,	
0, D*Dl,	d°+'		'o,	
+ 0, D0'Dn, Dn* D°.	+	0. ^o*	Do,
J),	0,	0 _		-0,	0,
Т
Т +
о
о • О	О	_ О
ТЛ 4- Т * D.
г 4 ‘ т	т
о
94
В. П ВЕЛАВКИН
формулу (2.9) можно записать в слабом виде
(2.10) || Tth |р -1| Toh |р - ’j 2 Re (Tt(x}h | D~ (x) h + D~o (x) h (x)) dx 4
+	[||Z>+(x)/z + Do (x)4(x)||2 4 2he(a(x)Tt(x)h\D+(x)h 4- D0(x) h(x))]dx,
x‘
где a (x) Ttwh ~ T+ (x) h -p To (x) h (x). Эта формула справедлива для лю-
бых неадаптивных однократных интегралов Т, 7'0 4 id (D) с квадратич-
но-интегрируемыми значениями Tth, Vh€=&+, если в качестве а (х) пони-
мать оператор уничтожения [д (х) T^h} (х) = [7\(Ж)Л] (х j |Х) в точке
х ЕЕ X.
В самом деле, учитывая, что
(/1 4 (#) h) =	[(/1 D~ (х) h 4- Doh (х) +- (/ (х) | D°+ (х) h 4 Do° (х) h (х))] dx,
х*
немедленно получим слабую форму неадаптивной формулы Ито. если под-
ставим сюда Dl’T 4 D^D 4 I^D вместо D. Эту формулу можно получить и
непосредственно, вычисляя
|| )d (D) h IP + 2 Re (jd (D) h | T„h) || Tth |P - || Toh |P
без предположения о том, что семейство /\ определяется ядрами (2.7), пред-
ставляющими его в виде многократного стохастического интеграла (1.5) от
В — е (Л7). Действительно, вычисляя квадрат нормы полного однократного
интеграла
(>d (О) h\ (Х) =- $ [Д; (х) h 4 Do (х) h (х)] (Х) dx 4.
х‘
4 2 pd(x)/z4.Dd(x)A(x)](x\x),
получим II id (О) h IP || [|2 4 2 Re (2 (+ ||2 f - r«e
IS Г S S h+D° w1D+ л + dx dz
a' x(
==§ 2Re( (D+ (z)h 4 Dn (z) h (z)) dz j D±{x)h 4 D^ (x) /i(x)] dx;
x‘ x‘^
2 Re (2 j $) - 2Re $ ( 2 I (2) h 4 »d (z) h (z)] (x \ z) | $ [D; (x) h 4
ZGX*	A'f
4 Dv (x) h (x)] (X) dx) dx - $ 2 Re $ ( 2 P°+ (z) h 4- D°o (z) h (z)] (X) | D~ (x) h 4
4- Do (x) h (x)) dX dx + $2Re(a(x) J [D^(z)h 4 D0(z)h(z)}dz\D\(x)h 4
Xt	А<(х)
+ D°o (x) h (x)) dx;
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
95
12 Г - $ 2 II И h + Dtt (х) h (z)] (X \ X) ||2 dt .
«z(
-S 2 {[D+(z)h + D0(z)h(z)](x\z)\lD°+(x)h + D°o (*)h(x)}(t\x))dx =
*, ze/
= § 2 Re $ (a (z) 2 P+ (2)h + Do (z) (z)] (x \ z) | D+ (x) h +
X*	jej'W
4- ЯММ4] (x)) dx dx.
Здесь использована формула (1.4) в виде
$ 2 (/ (х> X) Ih (х> X \ *)) dx = J $(/ (х, х □ х) [ h (х, х)) dx dx,
хе/	х‘
дающая итовский член формулы Хадсона — Партасарати для адаптивных
интегралов в виде
$ 2 П (*) h + D°« (*) (*)] (X \ х) II2 dX = $ II (х) h + Do (z) h (x) ||2 dx,
хе/	x?
и la (x) / (z)| (x) —- f (x, x I I x) — оператор уничтожения в точке х ЕЕ X.
Суммируя все три интеграла, получим
|| it (D) h И2 -	2 Re (it(x) (D) h\D~+(x)h + Dg (x) h (x)) dx +
x*
+	[|| D+ (x) h (x) + Do (x) h (x) ||2 + 2 Re (д (x) i‘0(x) (D) h | D°+ (z) h (x) 4-
x'
4- Do (x)h(x))\dx,
что и приводит к слабой форме (2.10) неадаптивного обобщения квантовой
формулы Ито для Tt = 7’0 +	(D). Если при этом Tt = е (Kt) — пред-
ставление (2.2) ядра (2.6), то очевидно, что
|е (Kt) Л1 (х LJ х) = [е (#t (^t)) h + е(Х (^)) h (х)1 (х),
и поэтому а (х) Tt(X)h ~ Т+ (х) h 4- Т°о (х) h (х). В частности, для скаляр-
ного случая — С при Z>+ = 0 —- De, Do (х) = D (х) = D+ (х) и Тд (х) =
= Tt(x), То (х) == Т (х) = Т°о (х), получим
|| Tth ||2 -1| Tgh ||2 = $ 2Re(7’((x)/l|d7’((x)/j) +
xf
4- $ [\\D(x)h\\2 + 2he(T(x)h\D(x)h)]dx,
x'
где T (x) h - a (x) Tt{x}h — 7’((X)A (x) [a (x), Tt(xy] h. Это дает формулу
Ито для нормальноупорядоченного неадаптивного интеграла 7'( — То —
- 2 Ио (dx) D(x)+D (х) Л°_ (dx)) - 2 dTt(xy по винеровской стохасти-
X1	л1
ческой мере iv (A), Ag .Л, представленной в коммутативными операто-
рами w (А) — Ад (А) + А_ (А). В частном случае, когда операторы Та,
D (х) и, следовательно, Tt представляют антисипативные функционалы
То (щ), D (х, w) и Tt (и>) от w: То — Ти (iv), D (х) ----- D (х, й) и Tt =- Tt (w),
96
В. П. БЕЛАВКИН
операторы Т (л) = [а (х).	••= е (Х((1) (х)) определяются производной
Малливена Т (х, ш) =--- д (х) Тцх} (w) как винеровского представления то-
чечной производной АцХ)(х. х) = Kt(x) ULJX.) операторно-значных ядер
у стохастического многократного интеграла Tt (w) - § Kt (х) w (dx) 7 (^ч)-
В этом частном случае формула (2,10) была недавно получена Нулартом в
[321. Заметим, что в адаптивном случае всегда То (х)	7't(x} ® I (х) и
(х)	0 при р =# v, кроме, быть может, Т+ (х) - е. (К+ (х)). Отсюда не-
медленно получим
Следствие 2. Квантовый случайный процесс 7\^е. (Kt) является
адаптивным, если и только если его ядерный процесс Kt является адаптивным
в смысле
Kt (о, с, т) г.-- Kt d<»	60 (о[() 7® (о(()	(т[() (х) Kt (o', г', т'),
60 (х) == 1. X 0’	(х)	0. X =# 0. I® (X) = 0 ^ (*), X' = X П А0
Х(/	{-г X I W 0 0- Квантово-стохастическая формула Ито (2.9) для
таких процессов записывается в сильном виде как
T*Tt - TtT0 \ (Т1*!) dT (х) + dT* (х) Tt(x) + dT* (х) dT (x)) •-=
x(
- ii(GhG —r*r®l),
где
dT (x) Д (D, dx). dT* (x) - A (I)b, dx).
dT* (x) dT (x) ----- A (DhD, dx), 1 (x)
1	0	0
0 Z(z) 0
0	0	1
и в слабом виде как (2.10), где а (х) Т((х) h = [ Т(М 0 I (z)l h (х).
2.3. Неадаптивная квантовая эволюция и хронологические произведения
Доказанное свойство непрерывности «-представления е индуктивной
Ь-алгебры 55 относительно-ограниченных операторно-значных ядер К (о))
в операторной «-алгебре 55 (&+) индуктивного предела ,<$+ = П # (р) по-
зволяет построить квантово-стохастическое функциональное исчисление.
Именно, если К ----- / ((?,, . . .. Qm) есть аналитическая функция ядер Q, GE 55,
полученная как предел полиномов Кп с фиксированным упорядочением не
коммутирующих Qi, . . ., Qm в смысле || Кп — К ||а -► 0 для (р, ^-допусти-
мой четверки а = (ау) положительных функций ах (х) > 0, то 7’ — е, (К)
есть упорядоченная функция / (Хп . . ., Хт) операторов Х{ -= с ((?,) как
предел (I 71,, —- Т ||ч —► 0 при q р + 1/г соответствующих полиномов Тп ~
— е (Кп). Функция Т* — f* (Х{, . . ., Х*Л с транспонированным порядком
действия операторов X* - е ((>{’) также определена как (/-ограниченный
оператор Т* = е (Х^) для /j'b	) в шкале (р)}.
Дифференциальная форма этого исчисления дается некоммутативным и
неадаптивным обобщением функциональной формулы Ито
(3.1)	dXt = dil (А) => df (Х() = ей' (/ (X + А) - / (X)),
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ	97
определенным для любой аналитической функции Tt — f (Xt) от X = е (Qt)
как обобщенный дифференциал от е (Kt) для Kt ~ f (Qt)- При этом
П(х)=/(Х)е(х), с^)=/(х+.ш
где / (Z) (z) = / (Z (z)) есть треугольная матрица, которая является анали-
тической функцией от треугольной матрицы Z (z), представляющей Q((x) (z)
и Q«x)j (z) соответственно как
X (z) = е (Qi(x) (z)) и X (z) + A (z),	A? (z) --= e (<?i(x) (xfy — Qt(x) (xty).
Для упорядоченной функции Tt-j (X1;, . . Xmt) это может быть за-
писано в терминах Xit с дифференциалом dXit = dig (А{) и Z; = Х; 4~ А,
как
dTt = dil0 (Ц7^ . . ., Zm)-/(X1, . .., Xm)).
В частности, если все треугольные оператор-матрицы {Х;, ZJ коммутируют,
то можно получить экспоненциальную функцию Tt — ехр {Х4} для Xt —
111
— У Xit как решение следующего квантово-стохастического неадаптивного
i—i
диффереп циал ьного уравнен ия:
(3.2)	dTt = dil0 IT (S - 1)], Tu = 7,
где S (z) =• exp j У A,(z)L Теперь мы займемся изучением проблемы реше-
4=1	'
ния общего линейного квантово-стохастического уравнения типа (3.2), ко-
торое соответствует интегральному уравнению
(3.3)	Tt = Г' + i' (ТА')
для Тд = 1 и А‘ (z) = S (z) — 1 (z), не зависящих от t. Здесь в общем слу-
чае Тд — заданная функция от t Ez R+ со значениями в непрерывных опера-
торах	—► ($_, A' (z) = [A1 (z)vl — треугольная матричная функция от
zE X, Л' (z)v = 0 при р = или v = — и ненулевыми значениями в не-
прерывных операторах
a; (z) : э+-> X(z); .V ® Хх ->	® ЗСХ,
A;(z):S+^^_®^x,	Ao(z):^+ ®ЛГх->^_,
например, Тд = TnUg, Af (z) = A (z) (t7J(x) ® I (z)). где {U\ |< > s е R+} —
заданное двухпараметрическое семейство эволюционных операторов на 3+.
Прежде всего докажем следующую лемму.
Лемма 3. Пусть оператор-функции
Т1д	е (А‘), А‘ (Z)^ =-. Е (U	'2
являются представлениями (2.2) ядерных функций Кд (ю). L (х^, v), где ы ==
— (w(‘). <Ov tE tZ‘. в = (eV), с? dC, «v — элементарные таблицы (1,7).
Тогда интегральное уравнение (3.3) является операторным представлением
Tt = е (К,) треугольной системы рекурсивных уравнений
(3.4)	Kt (<а) = К(о (<а) 4-	[A((X)-LX] (и),
98
В. П. БЕЛАВКИН
где оператор-ядра L*x (ю) определяются почти всюду {при попарно-непересе-
кающихся wV £= «2*) как Lx (<л) = L* {хх, ю \ «у), если х ЕЕ Юу, и Lx (со) = О,
если х |___| (Ov, и Кцху1}х — ядерное произведение. Решение уравнения (3.4)
однозначно определено почти всюду {при t {х) t (z'), Vx х' е (j ®v)
как сумма
АД®)- 3 /Л(Х.®\Х) = Vo(w,A/f)
ZS<0
хронологических ядерных произведений
(3.5)	Mt (Х, в) = [ А?”>• I™ ...	• *4 J (X U «)
по разбиениям х = Л I I . . . I ] хт таблиц х = (Xv) на элементарные табли-
цы Xi вида (1.7). соответствующие xt ЕЕ Xv <=? Ж; = z"v. Оно описывает един-
ственное решение уравнения (3.3) в виде обобщенного многократного интеграла
Tt = 4 (В,), Bt (х) = е (М, (х)),
если представление Bt (х) произведений (3.5) удовлетворяет условию
|| Bt ||р {и) < ос для некоторых допустимых функций р ЕЕ	s-1 ЕЕ ИР0.
Доказательство. Подставим в (3.3) Т10 = е (Ар), А* (х) —
= е {1} (z)) и Tt = е (А() и учтем, что Т (z) A' (z) = е (А<(ж) (z)-U (z)),
где К, (z) = [Kt (z)v) — треугольная матрица А( (z)y =.0, Vjx v с нену-
левыми элементами-ядрами Kt {х, «)_ = Kt (о) = К {х, ъ)+, Kt (z, о)у =
= &t № 1 1 «), Ц =# +, v , и L’ (z) — IL’ (z)v), L' (z)£ = 0, Vp > v,
а элементы 1} (z, «)_ = 0 = L* (z, «)*, z | ] 1$, U (z)£ = Llx (»v) опреде-
ляются точно так же ядрами Lx (ю) = L* {х, w \ х), Lx (<о) = 0 при z
(Ov, Vp +, v , как и элементы Кх (z, в)у по ядрам Kt (<о). В ре-
зультате получим, что уравнение (3.3) удовлетворяется, если
Kt (<о) = А‘ (<о) + S . [*»<х) (х)  V (z)]“$ (<е \ х) =
хе©
-	(®) +	Ц 2<l Ицх) • Ах] И U ”> \ ^).
В<-|-хе(йи
что соответствует уравнению (3.4). Решение этого уравнения для любой таб*
лицы со — ((Оу)у=074° с хронологически упорядоченными элементами пред-
ставляется как сумма (2.6) от хронологических произведений (3.5) оператор-
но-значных ядер Mt (0, <о) = Ар (со) и Lx (о>), поскольку
xsJ
At(w)= ^^((х. w\x)-/l/t(0-<rt)+ 23 ЛЛ(х,«>\х) ==
= ^(0.<»)+	SI Aft(xU^.“\(xU®)) =
= А'(ю)+ 3 3 [Л/цЯ)-АИ(®)-=^о(®)+ 2 [А<(ж>.74](<о),
x&S	хеш*
где использовано представление (3.5) в рекуррентном виде
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
99
Это определяет представление решения Tt ~ в (Kt) в виде неадаптивного
квантово-стохастического интеграла (1.5) от Bt = в (Mt), поскольку согласно
лемме 2 в о Vq = i( ° в, если выполняется условие интегрируемости (1.6).
Теорема 3. Пусть U, = е (7‘) — представления на эволюционно-
го семейства {V*, | i s GE R+}. относительно ограниченных операторно-
значных ядер
V*,	: Ж ® X® (соД ® Ж® (а^) -> Ж® Ж® (ы0) ® Я'® (ыJ,
\®+’ “о/
удовлетворяющий условию V‘  V, = V*, V г <; s <; t относительно ядерного
произведения (1.2.9) с единицей Vt («о) — 1 ® I® («о) и
К\3 (о>) = [Л;. 7'1 («), L' («) - [L’-K'l («), Vi > s
— ядерные произведения, определяющие представление (3.4) уравнения (3.3).
Тогда ядерное хронологическое произведение
(3.6)	Kt («о) = [А#”’ • F™ • • • FTni ’ ^(>n)J (®)
для F'x (w) = Ь*х (o>) I 7/(x) (ы), ®	1 I ... i I есть единственное
решение системы (3.4) для почти всех ia = ((Оу) (при t (х) t (х'), Vх
г'Е[___| (Оу). Это дает представление решения уравнения (3.3) в виде Tt —
= в (Kt), определенном на & как относительно ограниченный оператор для
каждого t, если произведение (3.6) удовлетворяет условию || Kt ||я < ос отно-
сительно нормы (2.4) для допустимой в смысле (2.5) четверки (а^) функций
а’7 (х), равных нулю при t (х) 7> t. Операторы Tt при этом являются изомет-
рическими Т*Т, = 7 (унитарными Т* = 771), если и только если изометри-
ческими (унитарными) являются операторы Тв и Uls, t s О, и, следова-
тельно, То = ToUo, Vt, а треугольные оператор-матрицы S (х) =	(я)],
определяющие генераторы уравнения (3.3) в виде А* (х) = (S (х) — 1) (t7'(x) 0
® 1 (х)), являются псевдоизометрическими (x)S (х) = I (х) 1 (х) (псевдо-
унитарными: Sb (х) = S (х)~1):
(з7)	S°o(x)* So(x) I ® I (х), S-(xy + S\(xyS\(x) + Si(x)=Q,
50 (х)*	(х)*	(х) — О, 5+ (х)* So (х) -}- <$0 (х) = О
(и So (х) являются унитарными: So (х)* = So (^)-1) для почти всех х X*.
Доказательство. Пусть о ~ «0 I I ui I I • • • I I есть разбие-
ние таблицы о = (с*) -- о» \ х на подтаблицы о, =	[_]... | | опре-
деляемые точками Xt Е: Xе элементарных таблиц хронологического раз-
биения X — Х1 I I • • • I I так, что t (Xi) < t (х}) < . . . < t (z"‘) <
< t (xi+l), t (x0) == 0. Тогда
~K° -L‘. =L‘,
к, (»)-	=
XS<i>
= [^(г< (VW + L^)... (V^ + Z.‘n)] ((O),
100
В. П. ВЕЛАВКИН
где точки z1T . . ., zn GE Xf, t (zt) <...<£ (zn) определяют разбиение о» =
— | I на элементарные таблицы (1.7). Таким образом, хронологическое
произведение (3.6) ядер Fz = Lz + 7{(г) определяет единственное решение
системы (3.4), которое является псевдоизометрическим (псевдоунитарным)
ядром, если и только если таким является каждый из сомножителей KgZ'\
. . ., F* . Если при этом ядро Kt (ю) оказывается локально ограни-
ченным при каждом t относительно четверки а — (а(') положительных ло-
кально-интегрируемых функций «у (х) в смысле
а+ (х) dx ос, \ (а+ (х)2 4- «о (х)2) г (х) dx ос, ess sup-ос,
х(	х‘	Р 1
то согласно теореме 2 представление (2.2) определяет h-гомоморфизм е: Kt -►
Tt в *-алгебру (q р -|- 1 /г) — ограниченных операторов на $+, обла-
дающих экспоненциальной оценкой (2.6). При этом Tt есть изометрия
(унитарный оператор), если ядро Kt является псевдоизометрическим К•
Ь —1
Kt = 1 0 1® (псевдоунитарным: А( — Kt ) относительно ядерного произ-
ведения (1.2.9) и псевдоинволюции Kt »->	. Последнее в силу представления
(3.6) в виде конечного произведения ядер KQ — KQ, и F, ~ Flzz\
Иц), z G= oj, t t (z), для каждого хронологически упорядоченного набора
<о = (соу) обеспечивается соответствующими свойствами ядер Кп, V1,, s t,
и Fz (для почти всех z ЕЕ так что ядерные матрицы F (х) = [Еу (z)] с
элементами F* (х) = 0, ц v, F_ (х) = I = F\ (х), F'z (х) = F (ж!}), р у= +,
v — являются псевдоизометрическими (псевдоунитарными). Это приво-
дит к изометричности (унитарности) операторов То = е (Кп), U‘a = е (Р^)
и псевдоизометричности (псевдоупитарности) треугольной оператор-матрицы
S (х) = [е (F4 (х))], где (х) = 0, р > v, S~ (х) = I = 5* (z),	(z) =
= е (F («у)), р +, v =# —, определяющей генератор А (х) = Л,(ж> (х)
как S (х) — I 0 1 (z).
В силу единственности представлений Т0 = е U\ — е, (У») и S (х) =
= е (F (z)) с точностью до h-идеала, описанного в секции 2 главы I, получен-
ные условия являются необходимыми и достаточными для изометричности
(унитарности) решений 7\ — е (А’,) неадаптивного квантово-стохастическо-
го уравнения (3.3), однозначно (с точностью до этого идеала) определяемого
псевдоизометрическими (псевдоунитарными) ядрами (3.6). Записывая условие
S^S = / 0 1 в терминах матричных элементов 5у (z),	= 51*, мы полу-
чаем систему (3.7):
1,
[SbS](z) .. о,
О,
0,
ЯЦх')* [1.
5- (х)*	0,
1 J [о.
So(T')'	5+(z)
SoU). •?+(*)
0	1
о,
0,	0-
1 (Z), 0
о,	1

rt
= 70 о.
Теорема 3, таким образом, доказана.
Замена ниеЗ. Пусть эволюционное семейство {£7*} является решени-
ем нестохастического неадаптивного уравнения
(3-8)
T/' lG J D7x)5;(z)dz, s<1,
i<£t (х)<Г
хаотические состояния и стохастическое интегрирование
101
определенным в случае диссипативности S+ (z) -j S~ (х)* <2 О как согласо-
ванное семейство сжимающих операторов U,: $ -► $, || U*s ||«С 1. Тогда ре-
шение дифференциального уравнения (3.2) можно представить , виде чисто
стохастического квантового многократного интеграла Tt = ц, {Вt), удовлет-
воряющего уравнению (3.3) с Tl0 — Uq и генераторами (х) = А (х) (Ццх) ®
0 1 (z)), где
А~ (х) = 0, А°+ (х) = 5° (х), Ап (х) = So (х), А°о (х) = 50 (х) — 7 ® I (х).
В случае локально абсолютно-интегрируемой операторной функции S+ (z}
в смысле \ || 5+ (z) [| dx < оо, У(, когда
х‘
оо	П
и1,-2	^(zj.-.s^z^IIdz^ J s;(x)dx,
7i—0 s<l(x,)<...<f(xn)d	г=1
где Х\ = {Х ЕЕ X | X <	()}, fo, • • •» хп) —	(^i) . . . S+ (z„), эпм>
представление получается непосредственно интегрированием по со+ ЕЕ X яд-
ра К( (ю) = [/% • • • Fzn\ (w), определяемого для о>' —	а,г как
хронологическое произведение ядер Fx (w) = Fy (z, «в \ Xy), V«J = (со*‘) при
x ЕЕ Ыу и Fx (to) = 10 1® (w) при x I I (Оу, соответствующих представ-
лению Sy (z) = e (Fy (z)).
Действительно, запишем решение уравнения Tt = I + (T (S — 1)>
в виде Tt = e (Kt), где Kt —ядро (3.6) при Klo = I®, Flx = Fx, не зависящих
от t. Обозначив {zn . . ., z,,} подцепь цепи {zlt . . ., xm} разложения о/ =
~ ж11_! • • • U соответствующую элементам z4 w+, и представляя ин-
теграл от Kt (<в) по co+ €= X в виде кратного интеграла по €= Хщ^ •>
i = 0, 1, . . ., п, где t (z0) = 0, t (zn+i) =	X, i = 1, n, получим
в соответствии с формулой (1.2.9) ядерное хронологическое произведение
Kt (со0, с, <оо) = [F'(2,)-7V Ий ... FZn- HuJ (о>°, V, о>о).
Здесь в скобках произведение интегральных ядер Fx (w’, о, w0) =
— \ Fx\ о йы и
J X\to° в /
И («°, v, (£>о) = 2	$	$	[f;(zj). .. (zn)j (сос, в, ю0)П
т1=о «^f(x1)<,..<e(xn)<t	i=i
где [F+ (z)] (to°, v, о,,) = F+	х^ X. С другой стороны, этот же ре-
зультат получится, если проинтегрировать по <о+ G X ядерное произве-
дение
А, (<о) = [П<г,)-Л.-ИЙ • • • ^^е'(гп>] (®).
где ядра У3+ (ю) =	• • -FxJ (ю) при Х{ Q <о~ ==	□ . . . □ жп опреде-
ляют представление Ul = е (И) решения уравнения (3.8) при 5+ (z) =
= е (F+ (z)). Полагая Fx (ю) = I 0 1® (ю) при х е <о+ Q X* и учитывая
согласованность Vsr'V‘s = И, получим решение уравнения (3.21. поепстав-
<02
В. П. БЕЛАВКИН
ленное как решение уравнения (3.3) с генераторами А‘ (z)“ = е (// (я^)), где
ZJ (Х-. и) = [(F, -1®) • <1(х)] (и □ х») = 0 при (р, v) = (-, 4-).
Это решение можно записать в виде квантово-стохастического многократно-
го неадаптивного интеграла (1.5) от Bt (х) ~ е (Mt (х)), где Mt (х, г) опре-
деляется в (3.5) ядрами К*о — V'n и Ьгх = (Fx — 1®)-У|(х). Оператор-функ-
ция Bt (х) при этом равна нулю, если /+ =# 0, поскольку произведение
{3.5) обращается в нуль при z, Х+- Отсюда немедленно получим
Следствие 3. Пусть (z) = Fx (z) 0 1, где F+ (z) — замкнутые
диссипативные операторы, для которых существует согласованное семейство
{С,} сжимающих операторов в Ж, представляющих решение уравнения (3.8)
в виде U*, = Vs © 1 (достаточно, например, потребовать локальную абсолют-
ную интегрируемость \ || F+ (z) || dx < оо, Vt).
х‘
Пусть также оператор-функции
Р+(х)-.Ж->Ж ®жх, К0(х)-.Ж ОЖХ-^Ж
локально квадратично-интегрируемы в смысле
11ПИг)=45 II^WII2r(z)dz)1/2<0e
X*
и II Ро Нм- = ess supxi_A/ {II F°o (z) П/р (z)} < 1 для некоторых v~l S ©о
и р Тогда решение Tt ~ (В), В (х) = М (х) ® 1 квантово-стохас-
тического уравнения (3.2) однозначно определено для каждого t© 0 как отно-
сительно-ограниченный оператор Tt ~ е (Kt), представляющий по формуле
(2.8) адаптивные хронологические произведения
(3.9) Kt (ю°, щ ю0) = V"x'} О F (^) О Ий О ... О Р М О V^ny
Здесь {zlt . . ., zn) = (со° | | « | | ю0) Г] Х‘ — хронологически упорядочен-
ная цепь 0 < ! (Zj) < . . . < t (zn) < t, ж as+, если x co°, ж = x0, если
z €= щ x ~ x0, если x ёЕ ю0, — элементарные таблицы (1.7) F (х%) —
— Fx (х) — одна из трех функций F+, Fo, Fo, и Q означает полутензорное
произведение, определяемое рекуррентно по формуле
к (») OF (х) -= (К (и) О I® (Хо U Х+)) (Р (X) О I® (v; и IV)
для оо = (оо, v0 = и, от = со°, х = Я'о, Я'о, х+ и Р (х+) ~ ^t(x)-
При этом семейство Tt является адаптированным, может быть пред-
ставлено как число квантово-стохастический интеграл (1.5) от ядер Маас-
сена — Мейера
Mt « о, (оо) = У'(х‘> 0 L (zj ©	0 ... О A (zn) 0
где со01_| о | | соо — {zj. . . ., zn}, L (z’v() — F (z^) — I ®	(z) и
справедлива оценка
(3.10) II Tt ||p (r) < exp [4- ( (IIЦ (Z) IP + II L+ (z) ||2) r (z) dz} .
x‘
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
103-
В самом деле, поскольку || V‘s ||	1, ядра (3.9) являются ограниченными:
|| Kt (о>°, г, ш0) ||	|| F+ (to') ||( || Fo (v) || И?; (a>0)||t,
относительно || F (w) ||t = II || F (х) ||. Используя неравенство (2.6), где
следует положить а+ (х) = || L+ (х) ||, а0 (х) = || Lo (х) || при х ЕЕ X*, а0 (х) ~-
= 0 = а0 (х) при х ЕЕ Х‘, а+ (х) = 0 = а0 (х) при t (х)	t, а0 (х) —
= || Fo (х)|| при х ЕЕ X*, а0 (х) = 1 при i (х) t, а+ (х) = 0 при всех хеХ,
получим оценку (3.10), соответствующую || Tt ||а —- 1.
Пример. Построим решение уравнения (3.2), соответствующее псев-
доунитарным генераторам S (х) = F (х) 0 1 с треугольными операторами
F (х) = где (х) = Н (х) — псевдосамосопряжениые операторы с-
компонентами Ну (х) = 0 при jx = + или v = —, Но (х)* = Ht (x)f
Но (х)* —	(х)- Предполагая выполненным условие локальной абсолют-
ной интегрируемости || F+ И»0 = \ ||F+ (х) || dx <Z ос, приводящее в силу
х‘
псевдоунитарности F к
|| F+1|!2) = ( $ || F+ (х) |р dx)1'2 < ос, || К |гё2> = ($ || F-o (х) |р dx)1/2 < ос
х*	х‘
И |1 Fo ||t°c) = ess sup || Fo (x) || = 1, определим операторы Tt = e (Kt) как
ie.v+
представления хронологически упорядоченных произведений Kt (<в) —
~ F (х^ О • • -0 F (хп) для | | Х{ = <в', где F (Ху) = F$ (х) — матричные
элементы экспоненты exp {гН (г)}. Вычислим эти элементы, находя по ин-
дукции степени Н° = I, Н1 = Н,
'0,	н;н°+1	Го,	н;н^н°+-
н2 0,	ях , Н"+2 = 0,	н°г*, я;-1 я;
.0,	0,	0 J	[о,	0,	0
<30
В результате получим F = У (г‘Н)"/п! как треугольную матрицу
п=о
- 0, ц > v, Г = / = F*.
о	о
о i I-Т	। Н	®	о „ о о „ о
Fo е\ F~ .= И' {(ео-1о - /Л0)/Л0Яв] Я+ -f- Ш;,
о	•
о	> W	о _ о о •	i FT	оо
F+ = [(с‘Но - /0)/Л01 Н+, F- - Яо“ [(е о - /0)/Я0].
Подставляя сопряженные операторы Но, Н+ в виде
Н; = F*H°0 - iE*, Н°+ = H°0F + iE,
где операторы Е (х), х е X, однозначно определены условиями Но (х) Е (х) —
= 0, можно получить следующую каноническую декомпозицию для опера-
торов Lv (х) =	(х) — I 0 6v I (х) унитарной квантово-стохастической
104
В. П. ВЕЛАВКИН
эволюции Tt:
ЛА	F £<Л fЕ*Е, , /‘И, О
U '•Г’1 <Г Г-г. о) + 1»' °
где Н — Н, — F*H0F, Lo = exp {iH0} — 10. Каждая из этих трех таблиц
Li, i = 1, 2, 3, соответствует псевдоупитарной треугольной матрице F,- =
я	3
= I + Lf, причем эти матрицы коммутируют и Р"| F4 = I + У L; = F в си-
г=1	г=1
лу ортогональности L;. Первая может быть диагонализирована с помощью
псевдоунитарного преобразования Fo FjFq, так что
Fo^iF,,
'0,	О,	0“
О,	L°o,	0
.0,	о,	о
где К = F*FI2. Это определяет декомпозицию квантовой стохастической
эволюции на три типа:
1)	пуассоновская квантовая унитарная эволюция, которая дается диа
тональной матрицей F, соответствующей Ну = 0, кроме ц, v = 0:
Ft = е (Kt) (), о = : exp [i Ho (x) Ao (dx)} :
x‘
где h] (x) Fg (xj) Q . . . Q Fo (xn) h (у) для цепи у' = (хъ . . хп),
I (хл) < . . . < t (хп)\
2)	броуновская квантовая унитарная эволюция, соответствующая
Но = 0 = Н~ и Ш * Е Ш~о, и
3)	лебеговская квантовая унитарная эволюция, соответствующая Ну =
= 0 для всех (ц, v) 7^ ( —, +):
Тt — е (Kt) — (i)l’tl Ц Н+ (х) dx — exp |i § Н~+ (х) dzj 0 1,
jrxf х='.	х*
где П Н+ (F) --= Н+ (-rj ... Я; (хп) для у = {.^ < ... < zn}.
хех
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1J Lax М. Quantum noise. Theory of noise sourses // Phys. Rev.— 1966.— V. 145.--
P. 110-129.
[2j H a ke n H. Laser Theory.— Springer, Berlin — Heidelberg — New York, 1984.
[3J Gardiner C. W., Collett M. J. Input and output in damped quantum sys-
tems: quantum statistical differential equations and the mater equation II Phys.
Rev.- 1990,- V. 42,- P. 78-89.
[4] Квантовые случайные процессы и открытые системы.— М.: Мир, 1988.— 222 с,
(Математика. Новое в зарубежной науке; Вып. 42.)
[ 5J А с с а г d i L., Е г i g е г i о A., Lewis J. I.// Quantum stochastic processes.—
1982,- V. 18.- P. 97-133.
[6] Колмогоров А. С. Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука,
1974,— 120 с.
|7| Днксьмье Дж. С’-алгебры и их представления.— М.: Наука, 1974.— 400 С.
[8J X о л е в о А. С. Квантовая вероятность и квантовая статистика // Итоги науки
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
105-
и техники. Фундаментальные направления.— М.: ВИНИТИ,— 1991.— Т. 83.—
С. 5-132.
(9]	Белавкин В. П. Псевдоевклидово представление условноположительных
отображений // Матем. заметки.— 1991.— Т. 49, вып. 6.— С. 135—137.
(10]	Bela v kin V. Р. A unified Ito formula has the psendo—Poisson structure df (x) =
— (/ (x 4- c) — / П Math. Phys.
(И] Белавкин В. II. Упорядоченные ★-полукольца и производящие функционалы
квантовой статистики. ДАН СССР.— 1987.— Т. 293.— С. 18—21.
(12]	В е 1 a v k i n V. Р. Kernel Bepresentations of ★-semigroups associated with infi-
nitely devisible states.— Universitat Heidelberg, Preprint Nr. 604, 1990.
(13]	Zoltan S. Conditionally Positive Definite Functions and Unitary Group Bepre-
sentation in nj-spaces // Math. Nachr.— 1990,— № 146 — P. 69—75.
f 14] Hudson B. L., Parthasarathy K.B. Quantum Ito’s formula and sto-
chastic evolutions//' Comm. Math. Phys.— 1984,— № 93,— P. 301—323.
(15]	Холено А. С. Квантовое стохастическое исчисление И Итоги науки и техники.
Современные проблемы математики.— 1989,— Т. 36.— С. 3—28.
(16]	В е 1 a v k i n V. Р. A new form and a ★-algebraic structure of quantum stochastic-
integrals in Fock space // Bendicontidel Seminario Matematico e Fisico di Milano.—
V. LV III - P. 177-193.
(17]	Белавкин В. П. Стохастическое исчисление квантовых входных-выходных
процессов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.— М.::
ВИНИТИ, 1989.- Т. 39.— С. 29-67.
118]	Maassen М. Quantum Markov processes in Fock space described by integral
kernels// Quantum Probability and Applications II //ed. L. Accardi and W. vo»
Walgenfels; Lecture notes in Mathematics.— Berlin: Springer, 1985.
(19]	Meyer P. A. Elements de Probabilites Quantiques, Exposes la IV.— Strasbourg:
Institute de Mathematique; Universite Louis Pasteur, 1985.
(20]	Lindsay M., Maassen H. An integral kernel approach to noise, in.Quantum
Probability and Applications III/Eds. L. Accardi and W. von Waldenfells.— Berlin:
Springer, 1988.— P. 192—208.
(21]	Belavkin V. P. A nonadapted stochastic calculus and non Markovian quantum
evolution.— Centro matematico V. Volterra; Universita deglistudi di Вота II.—
1990. -№ 31.
(22]	A r a k i H. Fuctorizable representations of current algebra//Bes. Inst. Math. Sci.—
1970,— № 5.
(23]	Parthasarathy К. B., Schmidt K. Positive Definite Kernels, Conti-
nuons tensor products, and central Limit Theorems of Probability. Theory. Lecture
Notes in Mathematics.— Springer Verlag, 1972.— V. 272.
(24]	Streater B. L. Current commutation relations, continuous tensor products
and infinitely devisible group representations // Local Quantum Theory.— Acade-
mic Press, 1969.— P. 247—263.
(25]	G u i ch ar d et A. Symmetric Hilbert spaces and related topics // Lecture Notos
in Math.— Berlin: Springer, 1972.— V. 261.
(26]	X о л e в о А. С. Безгранично-делимые измерения в квантовой теории вероятно-
стей // Теория вероятностей и ее применение.— 1986.— Т. 31, № 3.— С. 560—564.
(27]	X о л е в о А. С. Представления типа Леви — Хинчинз в квантовой теории вероят-
ностей И Теория вероятностей и ее применение.— 1987.— С. 142—146.
(28]	SchiirmannM. A class of representations of inviolutive bialgebras it Math. Proc.
Camb. Phil. Soc.— 1990.— V. 37.— P. 149—175.
i 29] В e 1 a v k i n V. P. Multiquantum systems and point processes I. Generated functio-
nals and nonlinear semigroups//В eport on Math. Phys. 1989.— V.28,№1.— P. 57—90-
(30]	Shilov G. E., Gurevich B. L. Integral and derivative: a unified approach.—
Prentice — Hall, 1966.
106
В. П. БЕЛАВКИН
[31]	Parthasarathy К. R., S i n h а К. В. Stochastic integral representation of
bounded quantum martingales in Fock space // J. Funct. An.— 1986.— T. 67, № 1,-
P. 126-151.
[32]	M e у e r P. A. Elements de Probabilites Quantiques VI a VIII // Sem. Prob. XXI,
Lecture Notes in Mathematics, V. 1247.— 1987.— P. 34 —80.
433]	EvansM., HudsonR. L. Multidimentional quantum diffusions // Proc, of third
Quantum Probability Conference, Oberwolfach, 1987.— Berlin: Springer Verlag, 1988.
{34] Li ndsay J.M., Maassen H. The stochastic calculus of Bose noise.— Preprint,
1988.
{35] Accardi L., QuaegebeurJ. The Ito Albebra of Quantum Gaussian Fields // J.
Funct. An.— 1989. V. 85, № 2. — P. 213—263.
{36] А с с a r d i L., F a g n о 1 a F. Quantum Probability and Applications III, chapter
«Stochastic integration», pages 6—19. Lecture notes in Mathematics, Springer, Berlin
Heidelberg New York, 1988.
{37] В e 1 a v к i n V. P. Non-demolition measurements, nonlinear filtering and dynamic
programming of quantum stochastic processes // Proc of Bellmann Continuum Work-
shop Modelling and Control of Systems', Sophia — Antipolis 1988 / Ed. A. Blaguire —
Berlin: Springer Verlag, 1988.— P. 245—265.— (Lecture notes in Control and In-
form Sciences; V. 121.)
/38] В e 1 a v к i n V. P. Non-demolition stochastic calculus in Fock space and nonlinear
filtering and control in quantum systems // Proc of Fourteenth Winter School in Theor
Phys, Karpacz 1988. Stochastic Methods in Mathematics and Physics. — Singapore,
World Scientific, 1989.— P. 310—324.
(39]	В e 1 a v к i n V. P. Quantum stochastic calculus and quantum nonlinear filtering //
Technical Report 6, Centro Matimatico V Volterra, Universita'degli studi di Roma II,
March 1989.
(40]	В e 1 a v к i n V. P. A quantum stochastic calculus in Fock space of input and output
non-demolition processes/7 Proc Fifth Quantum Ptobability Conference, Ed. L. Accardi
and W. von Waldenfels, editors — Berlin.— Springer Verlag, 1990.— (Lecture Notes
in Mathematics; V. 1442.)
(41J СкороходА. В. Об обобщении стохастического интеграла // Теория вер. и ее
прим. 1975.- Т. 20,- Р. 219-233.
(42]	NualartD., Pardoux Е. Stochastic calculus with anticipating integrals H
Probab. Th. Rel. Fields.- 1988,- V. 78. - P. 335-381.
(43]	H i d a T. Brownian motion — Berlin: Springer-Verlag, 1980.
[44]	Potthoff J„ Str e it L. A characterization of Hida distributions. BiBoS, Pre-
print 406, 1989.
(45]	Б e p e а а и с к и й Ю. М., К о и д р а т ь е в Ю. Г. Спектральные методы в беско-
нечномерном анализе.— Виев; Наукова Думка, 1988.
(46]	Н о 1 е v о A. S. Time-ordered exponentials in quantum stochastic calculus.— Preprint
517, Uni versitiit Heidelberg, J une 1989.
(47]	L i n d s a у J. M. On set convolutions and integral-sum kernel operators // Proc, of
Fifth Juternational Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics.—
Vilnus, 1990.
[48]	Б e л а в к и н В. П. Теорема реконструкции для квантового случайного процесса //
Теор. Мат. Физ,- 1985,- Т. 62, № 3,- Р. 275-289.
[49]	М а 1 1 i a v i n Р. Stochastics calculus at variations and hypoelliptic operators.// Proc,
of [nt. Symp. Stoch. D. Egs. Kyoto 1976 / Ed. K. Ito.— Tokyo: Kinokuniya — Willey,
1978,- P. 195-263.
[50]	BelavkinV. P. A quantum nonadapted Ito formula and generalized stochastic in-
tegration in Fock space // J. Funst. An., 1991.
Московский институт	Поступила в редакцию
алектппниого машиностпоения	27 мая 1991 т
УДК 512
Хаотические состояния и стохастический анализ в квантовых
системах. Белавкин В. П. «Успехи математических на-
ук».- 1992.— Т. 47, вып. 1(283).- С. 47-106.
Дана каноническая конструкция индефинитных представ-
лений условно-положительных функционалов на инволютивных
полугруппах ЗВ, обобщающая конструкцию ГНС. Построено
экспоненциальное представление ЗВ в соответствующем псевдо-
фоковском пространстве Jr, проекция которого нафоковское под’
пространство JK с: .'У определяет квантово-стохастическое пред-
ставление, ассоциированное с безгранично-делимым состоянием
па ЗВ. Изучена структура псевдоиуассоновских безграничпо-де
лимых функционалов, частными случаями которых являются га-
уссовские и пуассоновские хаотические состояния в класси-
ческой и квантовой теории вероятностей.
Библиогр. 50 назв.