ISSN 0869-251.3
ВСЕСОЮЗНАЯ ассоциация учителей математики
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ
ЖУРНАЛ
КН'НIР
ДОРОФЕЕВ Г. В.
1991
КВАДРАТНЫЙ
ТРЕХЧЛЕН
В ЗАДАЧАХ
Г. В. ДОРОФЕЕВ
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
В ЗАДАЧАХ
ЛЬВОВ
ЖУРНАЛ «КВАНТОР»
1991
Главный редактор
Ю. М. Леви
© Журнал «Квантор», 1991
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................. .4
§ 1.	Азбука квадратного трехчлена ...	. .	7
§ 2.	Квадратный трехчлен в неявном виде.................. 14
§ 3.	Коэффициенты, корни и значения квадратного трехчлена 34
§ 4.	«Запрещенные» корни квадратного трехчлена ....	43
§ 5.	Отбор корней квадратного трехчлена на луче ....	53
§ 6.	Отбор корней квадратного трехчлена на конечном проме-
жутке .................... ... 74
Ответы, указания и решения .	... 98
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать
основной из функций, изучаемых в школьном курсе ма-
тематики. Если не считать самой простой функции — ли-
нейной, то это единственная функция, для которой в
школьном курсе могут быть достаточно строго доказаны
основные свойства, составляющие содержание теории и
необходимые для решения задач.
Такое особое положение квадратного трехчлена отра-
жается и на содержании вступительных экзаменов в
вузы — и на письменных, и на устных экзаменах предла-
гается большое число разнообразных задач различной
сложности, решаемых с помощью свойств квадратного
трехчлена. Поэтому безукоризненное знание свойств
квадратного трехчлена, умение применять эти свойства
для решения задач фактически требуется от каждого
поступающего.
В то же время в школьном курсе рассматриваются
лишь самые простые, непосредственные применения
свойств квадратного трехчлена в стандартных ситуаци-
ях — таких, как решение квадратных уравнений и нера-
венств, нахождение условий существования решений,
определение знаков корней, отыскание наибольшего и
наименьшего значения квадратного трехчлена и т. п. Эти
задачи решаются, как правило, в один шаг и поэтому не
дают учащимся возможности эффективно применять свои
знания для решения задач несколько более сложных,
а иногда и совсем простых, но сформулированных непри-
вычным образом.
Для активного использования свойств квадратного
трехчлена, помимо обычных школьных навыков — таких,
как решение квадратных уравнений и неравенств, выделе-
ние полного квадрата, построение графиков, применение
теоремы Виета и ее обратной для устного решения урав-
нений, нахождения суммы и произведения корней, состав-
ления уравнения по его корням — следует научиться:
1.	Видеть квадратный трехчлен во всех его разнооб-
разных формах и уметь использовать его свойства для
решения задач, внешне не связанных с квадратным
трехчленом;
4
2.	Владеть геометрической интерпретацией задач, свя-
занных с квадратным трехчленом,— в частности, уметь
строить не только график конкретного трехчлена, но^ и
трехчлена «общего вида», обладающего определенными
заданными свойствами;
3.	Уметь исследовать квадратный трехчлен не только
на всей числовой прямой, но и на конкретном числовом
множестве — как правило, конечном или бесконечном
промежутке, и в частности, уметь связывать вопросы
о расположении корней трехчлена со знаками его зна-
чений.
Мы рассматриваем в этой книге ряд свойств квадрат-
ного трехчлена, не изучающихся в школьном курсе, но
непосредственно к ним примыкающих и которые, в основ-
ном, легко доказываются на основе стандартных школь-
ных знаний. Среди этих свойств самые главные — это
многочисленные необходимые и достаточные условия для
того или иного расположения корней трехчлена, для со-
хранения знака трехчлена на некотором промежутке, для
определенной связи между двумя заданными квадратны-
ми трехчленами и т. п.
В то же время совокупность этих свойств не следует
рассматривать как некоторую «расширенную теорию»
квадратного трехчлена, которую надо запомнить и в каж-
дой задаче извлекать из памяти нужную теорему. Напро-
тив, мы показываем, что именно при стремлении получить
возможно более простое решение конкретной задачи, в
частности, чтобы избежать вычислительных трудностей,
естественно ставить более общие вопросы и получать при
этом новые свойства квадратного трехчлена — для приме-
нения на практике, а не для обогащения теории.
Другими словами, мы не строим теорию, а показываем
некоторый общий подход, с помощью которого учащийся,
владеющий «азбукой» квадратного трехчлена, сам может
при необходимости получить и доказать соответствующую
теорему. Поэтому в ряде решений рассматриваемых ниже
задач значительное место занимают поиски идеи решения,
эвристические соображения.
Эвристика — искусство поиска решения, в котором
можно пользоваться какими угодно соображениями, не-
строгими рассуждениями, в частности, геометрической
интерпретацией, и вообще, всем, что придет в голову,
и главное — не надо никому объяснять, почему именно
применяются те или иные соображения, лишь бы они
привели к успеху, к нахождению решения; а уж само
решение, найденное эвристически, проводится строгим
логическим рассуждением.
2 1—920	5
В изложении решений мы систематически пользуемся
(исключительно ради краткости изложения) некоторыми
элементами логической и теоретико — множественной
символики. Фактически это лишь символы равносильно-
сти и следствия (о и =>), знак принадлежности е
и традиционные обозначения числовых промежутков.
Отметим еще, что все рассматриваемые ниже свойства
квадратных трехчленов мы записываем с использованием
понятия производной квадратного трехчлена. Для уча-
щихся, еще не знакомых с общим понятием производной,
она определяется формально, и для квадратного трехчле-
на такое определение дает те же возможности исследова-
ния, что общее определение производной для произволь-
ной функции. При этом способе получения свойств квад-
ратного трехчлена, связанных с расположением его кор-
ней, скажем, относительно некоторого числа р, не теряет
своей геометричности — условие р)—^-, характеризую-
щее расположение вершины параболы, равносильно (при
а)0) неравенству f'(p))O, т. е. расположению числа р
в промежутке возрастания трехчлена.
Наконец, при решении задач, связанных с квадратным
трехчленом, естественно возникает ряд вопросов, имею-
щих более общий характер и важных как для общего
развития учащихся, так и для расширения их возможно-
стей в решениях задач.
Укажем в заключение, что значительная часть рас-
сматриваемых ниже задач либо заимствованы (чаще с
некоторыми изменениями) из материалов вступительных
экзаменов в вузы, либо непосредственно примыкают к ним
и по идейному содержанию, и по уровню трудности.
В то же время некоторые задачи представляются не-
сколько более сложными, и хотя они решаются предлагае-
мыми ниже* приемами, их использование на экзаменах
вряд ли целесообразно — применение стандартных мето-
дов в них слишком громоздко. С другой стороны, содер-
жание вступительных экзаменов, уровень трудности пред-
лагаемых задач достаточно неопределенны, и поэтому
решение этих более сложных задач, безусловно, целесооб-
разно — и для создания «запаса прочности» на будущее,
и для повышения общего уровня математического разви-
тия. Несмотря на внешнюю ограниченность темы лишь
квадратным трехчленом, математическое содержание за-
дач, общий уровень проводимых рассуждений имеют,
очевидно, более широкое значение.
6
§ 1.	АЗБУКА КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА.
Для активного применения свойств квадратного трех-
члена необходимо, естественно, свободно владеть его «аз-
бучными» свойствами, которые мы сейчас и перечислим —
без доказательств, но обращая внимание на некоторые
наиболее важные моменты, ускользающие зачастую из
поля зрения учащихся.
Заметим, прежде всего, что вся теория квадратного
трехчлена фактически «вытекает» из единственной фор-
мулы
ах2 + Ьх + с = а(х+^)2+-^~ (ПК)
Такое преобразование квадратного трехчлена называется,
как известно, выделением полного квадрата. Эту основ-
ную формулу можно запомнить, но более полезно понять,
как именно она получается, и в каждом конкретном
случае выделять полный квадрат этим способом. В фор-
муле (ПК) и появляется выражение Ь2~4ас, которое
называется дискриминантом квадратного трехчлена и
имеет определяющее значение для всех его свойств.
Укажем также, что коэффициентам а, 6, с квадратного
трехчлена ах2-\-Ьх-\-с часто удобно давать индивидуаль-
ные названия —«старший коэффициент», «первый коэф-
фициент» и «свободный член». В дальнейшем мы будем
пользоваться именно этими терминами.
1.	Корни квадратного трехчлена. Решение квадратных
уравнений.
Из основной формулы (ПК) немедленно вытекает ус-
ловие существования корней: при D{0 квадратный трех-
член корней не имеет, при 0)0 он имеет два различных
корня
— b—^b2 — 4ac	—b+->jb2—4ac
2а *	2а '
а при 0 = 0 ситуация, как ни странно, с терминологиче-
ской точки зрения, является чуть более сложной. Именно,
b
часто говорят, что трехчлен имеет один корень —^-,
и столь же часто говорят, что он имеет два равных
2*	7
(совпадающих) корня —Причины такого расхожде-
ния в терминологии связаны с некоторыми математиче-
скими традициями, с особенностями теории многочленов.
В дальнейшем мы будем пользоваться, как правило,
вторым способом выражения, т. е. считать, что квадрат-
ный трехчлен с нулевым дискриминантом имеет два рав-
ных корня или — еще более аккуратно — один двойной
корень. При этом будем говорить также, что соответству-
ющее квадратное уравнение ах2 + Ьх-\-с = 0 при 0 = 0
имеет один корень.
Полученные выражения для корней трехчлена с неот-
рицательным дискриминантом принято записывать в виде
— b±^Jb2 — 4ac
Х'2 =-----2а-----’
или, короче,
имея в виду при этом, что корень xj получается при
выборе знака плюс, а корень хг — при выборе знака
минус. Отметим, что при а)0, а именно этот случай
является «главным» при решении задач, выполняется
неравенство xi>X2, а при а<0 имеет место обратное нера-
венство Х1<Х2.
Обратим еще внимание на то, что если первый коэф-
фициент трехчлена (т. е. коэффициент при х) явно запи-
сан в виде 2s, то формула корней принимает более
простой вид
Полученная формула (формула с «четным» коэффициен-
том) облегчает вычисления, и в соответствующих случаях
ею рекомендуется пользоваться.
Укажем, наконец, что общая формула корней услож-
няет решение в случаях, когда коэффициенты ’трехчлена
зависят от параметра, точнее — в том случае, когда диск-
риминант является «полным квадратом». Как поступать
в этом случае, мы показываем ниже на конкретном приме-
ре — в решении задачи.
2.	Теорема Виета и следствие о знаках корней. Разло-
жение квадратного трехчлена на линейные множители.
Из общей формулы корней квадратного трехчлена
непосредственно вытекают два равенства
8
,	b	с
Xl+*2=------, Х|Л'2=--.
a	a
Эти равенства и называют теоремой Виета. Полезно знать
и полную, более аккуратную формулировку этой теоремы:
«Если Х| и х2— корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх+с,
•	Ь	с
ТО Х1+%2= —,Х1Х2=— »•
Эта формулировка, вполне понятная и привычная для
учащихся, содержит, однако, некоторую тонкость. Имен-
но, как понимать ее для трехчлена с дискриминантом,
равным нулю? Если считать, что у трехчлена в этом
случае один корень, то формулировка становится бес-
смысленной, и тогда надо с самого начала оговорить, что
Xi и Х2— различные корни трехчлена.
Но если, как мы уже договорились выше, считать, что
трехчлен с нулевым дискриминантом имеет два равных
корня, то приведенная формулировка вполне правильна:
при х\=х2= —оба равенства теоремы Виета правиль-
ны. Таким образом, наша договоренность о числе корней
приводит к более удобной, без оговорок, формулировке
теоремы Виета.
Из теоремы Виета легко вытекает следствие о знаках
корней трехчлена; оно хорошо известно учащимся, и мы
на нем останавливаться не будем. Отметим лишь, что
делать вывод о знаках корней нельзя до того, как уста-
новлено существование корней трехчлена: так, нельзя
утверждать, например, что трехчлен
2391х2—1872x4-714
имеет положительные корни, не убедившись предвари-
тельно, что его дискриминант неотрицателен. Исключение
здесь лишь одно — если старший коэффициент и свобод-
ный член имеют разные знаки, то трехчлен Имеет корни
разных знаков — в этом случае дискриминант, очевидно,
положителен.
С помощью теоремы Виета легко доказывается важ-
ная формула разложения квадратного трехчлена (с неот-
рицательным дискриминантом) на множители: если
х\,хг—корни трехчлена (быть может, равные), то спра-
ведливо тождество
ах2 4- Ьх 4- с=а(х—xiX*—х2)	(РМ)
Таким образом, трехчлен с неотрицательным дискри-
минантом, т. е. имеющий корни, раскладывается на два
линейных множителя. Ясно, с другой стороны, что трех-
9
член с отрицательным дискриминантом, т. е. не имеющий
корней, не может быть разложен на линейные множите-
ли — в противном случае корни этих линейных множите-
лей были бы корнями трехчлена.
Остановимся еще на одном тонком вопросе, связанном
с теоремой Виета. Дело в том, что учащиеся часто реша-
ют квадратные уравнения, обычно со старшим коэффици-
ентом 1, устно (и это похвально), ссылаясь для обоснова-
ния на теорему Виета. Правомерна ли эта ссылка?
Чтобы разобраться в этом вопросе детально, проведем
необходимые рассуждения. Пусть мы подобрали каким-то
образом числа и и v такие, что u-}-v = p, uv — q (p,q — за-
данные числа); тогда и и v являются корнями уравнения
х2—px + q = 0: в самом деле,
и2 — ри + q = и2 — (и + v)u + uv = О,
v2 — pv + q =>v2 — (и + v)v + uv = 0.
Другими словами, нужное нам утверждение получает-
ся простой выкладкой, непосредственной подстановкой,
т. е. на основании определения корня уравнения, а теоре-
ма Виета оказывается ни при чем!
Единственное, чего с точки зрения логической полноты
не хватает в этом рассуждении — это ссылки на то, что,
помимо корней и и и квадратное уравнение х2— px-j-q = 0
корней не имеет. Ссылка такого рода абсолютно необхо7
дима во всех случаях так называемого «решения подбо-
ром», но в данном случае она оказывается совсем «мик-
роскопической» деталью: квадратное уравнение не может
иметь более двух корней, и если два корня найдены, то
других быть не может.
Это рассуждение является фактически доказатель-
ством теоремы, обратной теореме Виета. Если исходить из
приведенной выше аккуратной формулировки теоремы
Виета, то обратная теорема формулируется следующим
образом: если числа Xi и х2 удовлетворяют равенствам
.	Ь	с
Xl+X2=-----Х1Х2=—,
то они являются корнями квадратного уравнения. Дока-
зательство этой теоремы в точности следует проведенному
рассуждению, и поэтому при решении квадратного урав-
нения подбором можно ссылаться именно на теорему,
обратную теореме Виета.
В связи е устным решением квадратных уравнений —
точнее, с нахождением целых корней квадратных уравне-
10
ний с целыми коэффициентами,— к которому учащиеся
нередко прибегают, подбирая корни приведенного уравне-
ния, укажем один прием, позволяющий практически с
той же степенью легкости находить и дробные корни
произвольных квадратных уравнений с целыми коэффици-
ентами (если, конечно, они существуют).
Именно, если домножить квадратное уравнение
ax2-j-bx-j-c = 0 на а и положить у = ах, то получится
приведенное квадратное уравнение у2-{-Ьу-{-ас = (), для
которого и следует подбирать целые корни. На практике
это преобразование можно и не делать, если заметить, что
второе уравнение — относительно у — получается из пер-
вого «перебрасыванием» старшего коэффициента в сво-
бодный член.
Так, для нахождения корней уравнения 21х2 —х —2 =
= 0 следует найти разложение числа 42 на два множите-
ля таким образом, чтобы их разность равнялась 1—это,
очевидно, 7 и 6, и поэтому корнями заданного уравнения
являются числа—6/21 и 7/21, т. е.—2/7 и 1/3.
3.	Знаки значений квадратного трехчлена. Решение
квадратных неравенств.
Заметим прежде всего, что если дискриминант квад-
ратного трехчлена отрицателен, то из формулы (ПК)
немедленно следует, что при любом значении х трехчлен
принимает положительное значение, если а)0 и отрица-
тельное значение, если а{0. Короче говорят, что знак
квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом
совпадает со знаком его старшего коэффициента.
Если дискриминант трехчлена положителен, т. е.
трехчлен имеет два различных корня, то формула (РМ)
разложения на множители дает возможность определить
знак значения трехчлена при любом значении х в зависи-
мости от расположения числа х относительно корней х\
и Х2. Именно, при а)0 трехчлен положителен при x)xi
и при х<Х2 (напомним, что Х|)хг) и отрицателен при
X2<x(xi. Используя удобный на практике знак равносиль-
ности о, можно записать:
ах2 + 6х + с)0 о x)xi или х(хг,
ax2 + Z?x + c<0 о х2<х<Х1.
Знак о читается «равносильно» и означает в точности
то же самое, что словесные обороты типа «тогда и только
тогда», «в том и только в том случае», «необходимо
и достаточно» и т. п.
И
Ясно также, что при 0)0 и а)0 справедливы и следую-
щие утверждения
ax^bx-^c^O&x^Xi илих^хг,
ax2 + bx + c^.0o
Аналогичные утверждения имеют место и при а<0, но
мы их не будем даже приводить, поскольку в действитель-
ности нет необходимости перегружать память их запоми-
нанием — при решении задач в подавляющем большин-
стве случаев можно обойтись знанием свойств квадратно-
го трехчлена с положительным старшим коэффициентом.
Применяя теоретико-множественные обозначения, эти
утверждения можно записать в виде
ах2 + 6% + с)0 о хе(- оо, x2)U(*i,+ 00),
ах2 + 6х-|-с(0 о xe(xi,x2),
ах24-йх4-с^0охе(- оо, X2]U[xi,+ оо),
ах2 + /?х + с^0оха[х1,х2].
Для сокращения записи мы иногда такими обозначе-
ниями будем пользоваться.
Обратим внимание на то, что все четыре приведенных
утверждения остаются в силе и при £> = 0, т. е. при
xi=x2, однако в этом случае целесообразно формулиро-
вать их несколько иначе. Именно, в первом из них условие
x)xi или x(xi проще записывать в виде x=/=xi; во втором
утверждении условие х\{х{х\ невыполнимо, так что сле-
дует просто говорить, что неравенство в левой части не
имеет решений; в третьем утверждении условие x^xi или
x^xi означает просто, что х — любое действительное
число; т. е. неравенство в левой части выполняется при
любом хе/?; наконец, условие xi^x^xi в четвертом
утверждении означает, что х = хь
4. Свойства квадратного трехчлена как функции.
На все вопросы, связанные с возрастанием и убывани-
ем квадратного трехчлена, с его наибольшим и наимень-
шим значениями на всем множестве действительных чисел
или какой-либо его части дает возможность ответить
основная формула (ПК).
Именно, при а)0 из этой формулы вытекает, что
наименьшее значение трехчлена у = ах2-\-Ьх-\-с равно
4ac — b2	b
Ут1п=—— и принимается при значении хо =—^-.
Отметим сразу ,же полезное и в теории, и при решении
задач утверждение, что если трехчлен имеет корни Xi и х2,
12
то хо= так что при Xi=/=X2 хо является серединой
отрезка [хг, xj.
Кроме того, из формулы (ПК) (и из свойств функции
у = х*) следует, что при а)0 трехчлен у = ах2-[-Ьх-\-с
b ,	Г Ь , х
возрастает при	—— (т. е. на луче I—— , + 00)
и убывает при х< —(т. е. на луче (—оо, —] ).
Если трехчлен имеет различные корни xi и хг, то
х<—^-<xi, так что Х2 лежит в промежутке убывания,
а х\ в промежутке возрастания трехчлена.
Знание промежутков монотонности квадратного трех-
члена позволяет находить наибольшее и наименьшее зна-
чение трехчлена на каком-либо промежутке. Именно, если
значение хо = —лежит на заданном отрезке [р, q}, то
наименьшее значение трехчлена на этом отрезке (при
а)0) достигается при х = х0, а наибольшее значение до-
стигается в одном из концов отрезка. Если же хо не
принадлежит отрезку [р,	, то этот отрезок целиком
содержится в одном из промежутков монотонности, так
что трехчлен на этом отрезке либо убывает, либо возра-
стает и принимает наибольшее и наименьшее значение
в его концах.
На перечислении соответствующих свойств квадратно-
го трехчлена с отрицательным старшим коэффициентом
мы останавливаться, как и выше, не будем — они совер-
шенно аналогичны.
Промежутки монотонности квадратного трехчлена
у = ах2-\-Ьх-\-с удобно описывать с помощью понятия
производной. Общее понятие производной функции вво-
дится в курсе «Алгебра и начала анализа», где доказыва-
ется, что производной квадратного трехчлена
y = ax2-\-bx-\-c является функция у' = 2ах-{-Ь.
Для учащихся, еще не знакомых с началами анализа
формулу у' = 2ах-\-Ь примем в качестве определения про-
изводной квадратного трехчлена у = ах2-\-Ьх-\-с. Таким
образом, если у = f(x)= ах2+ bx-^с, то производной этого
трехчлена называется функция f'(x) = 2ax +Ь. Тогда (при
а)0) имеем:
х) —£ о 2 ах + Ь)0 о f'(x))0,
х(-±-о 2ах + 1>(0 о f'(x)<0
13
и поэтому выполнение условия f'(x))O на некотором про-
межутке равносильно возрастанию квадратного трехчле-
на /(х) на этом промежутке, а выполнение неравенства
f'(x)(O равносильно убыванию трехчлена.
Наконец, формула (ПК) позволяет построить гра-
фик трехчлена у = ах2-\-Ьх-{-с, исходя из графика функ-
ции у = ах2 именно, график данного трехчлена получа-
ется из графика у = ах2 параллельным переносом
/ Ь 4ас — Ь2 \
I ———— L или, другими словами, сдвигом вдоль
b	4ас — Ь2
оси абсцисс на —и вдоль оси ординат на —.
Фактическое направление этих сдвигов — вправо или вле-
во, вверх или вниз — зависит, разумеется, от знаков
Ь	4ас—Ь2
чисел —— и —-л-------.
2а 4а
Из этого способа построения графика трехчлена выте-
кает важное теоретическое утверждение: график квадрат-
ного трехчлена является параболой.
§ 2. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН В НЕЯВНОМ ВИДЕ.
Ясно, что, не увидев в том или ином конкретном
выражении квадратного трехчлена, нельзя воспользовать-
ся его свойствами. В то же время научиться видеть квад-
ратный трехчлен в любой, сколь угодно замаскированной
форме совсем не сложно — для этого надо только стре-
миться его увидеть.
Однако учащиеся слишком привыкают обычно к стан-
дартному виду квадратного трехчлена, и если каждый
скажет, например, что выражения
2х2 — Зх — 8, 2ax — x2 + at х(3 — х)
являются квадратными трехчленами, однако уже далеко
не все узнают его в выражении
х2 — 2ху + Зу2, ах + 2 — а2х
или в еще более сложном выражении
х2 + 2у2 — 3z2 — 2ху — 3yz
Разумеется, умение увидеть квадратный трехчлен еще
не достаточно для решения задачи — надо еще суметь
воспользоваться его свойствами, однако в ряде задач
именно истолкование заданного выражения как квадрат-
ного трехчлена представляет главную трудность.
Рассмотрим некоторые задачи.
14
1.	Изобразить на координатной плоскости множество
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
8х2 — 6ху+у2 = 0.
Решение. Рассмотрим левую часть уравнения как
квадратный трехчлен относительно х, считая у парамет-
ром; тогда, как легко подсчитать, оно имеет корни
х\=-£- и х2=—- (Подробности такого рода, как выписы-
вание формулы корней квадратного уравнения, можно
опустить даже на экзамене — соответствующие вычисле-
ния проводятся на черновике и не обязательно переносят-
ся на чистовик.) Следовательно, данное уравнение можно
представить в виде (х—2~)(х—^-^=0, т‘ е’ оно вы"
полняется при х=^ и при х=~4~ так чт0 искомое мно-
жество является объединением двух прямых с уравнения-
ми у = 2х и у = 4х.
Сделаем одно замечание относительно техники реше-
ния. Приведенное решение не самое короткое с вычисли-
тельной точки зрения, но именно оно типично для учащих-
ся — привычно считать именно х «основным» неизвест-
ным. Однако, если поступить наоборот и переписать дан-
ное уравнение в виде у2 — 6х// + 8х2 = 0 (или проделать эту
операцию мысленно), то решение квадратного уравнения
не потребовало бы использования дробей, а для построе-
ния графиков уже не пришлось бы выражать у через х.
Более того, если с самого начала осознать путь реше-
ния задачи в целом, то естественно именно у считать
основным неизвестным — ведь для построения графика
мы всегда выражаем у через х. Конечно, такое усовер-
шенствование решения представляется совсем незначи-
тельным, однако умение находить даже такие возможно-
сти упрощения свитедельствуют о наблюдательности, об
определенной математической культуре учащегося.
Укажем еще один часто используемый вариант реше-
ния этой задачи, основанный на важном математическом
понятии однородности. Именно, если считать переменные
х и у как, собственно, и имеется в виду в условии,
равноправными, то левая часть уравнения однородна
в том смысле, что все ее слагаемые имеют по переменным
хну суммарную степень 2, в отличие, например, от
выражения х2— Зху-\-2у.
Это обстоятельство можно использовать следующим
образом: разделив обе части уравнения на у2, получим
15
квадратный трехчлен стандартного вида относительно
/=-^- с числовыми коэффициентами, после чего решение
уже не представляет труда. Однако по понятным причи-
нам, предварительно следует рассмотреть случай
у = 0— в этом случае мы получаем х = 0, т. е. точку
искомого множества с координатами (0; 0) — начало ко-
ординат.
2.	Имеет ли решения неравенство
9Х+1 + 7-4 2<8-6х
Решение. В этой задаче еще в меньшей степени, чем
в предыдущей, виден квадратный трехчлен, но если заме-
тить, что числа 9, 4 и 6 «состоят» из множителей 2 и 3, то
после очевидных преобразований
9х^1=9-32х,4 2 = 2 • 22х,6х = 2х • 3х
мы придем к неравенству
9‘32х—8‘2Х«3Х+14‘22х<0.
И если теперь мысленно обозначить 3х через у, а 2х через
z, то мы придем к выражению того же вида, что и
в предыдущей задаче — однородному относительно у и г.
Но в данном случае, поскольку мы имеем дело с
неравенством, надо еще знать знак выражения, на кото-
рое мы собираемся делить, а поскольку z2=4x всегда
положительно, то после деления, обозначив через /, мы
получим неравенство 9/2—8Z-J- 14<0. Легко подсчитать,
что дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в
левой части, отрицателен, и так как его старший коэффи-
циент (т. е. коэффициент при /2) положителен, то трехч-
лен положителен при любом значении t. Следовательно,
последнее неравенство, а вместе с ним и исходное нера-
венство решений не имеют.
3.	Доказать неравенство
а2 + Ь2 + с2	ab + Ьс-\- са.
Решение. Переписав данное неравенство в виде
а2 — a(b + c)+b2 + c2 — Ьс^О,
заметим, что левая часть представляет собой квадратный
трехчлен относительно а (с параметрами b и с), и поэтому
следует убедиться, что его дискриминант неположителен.
Поскольку
16
D = (Z? + c)2 — 4(fe2 + c2 — be)=
= - 3b2 + 6bc - 3c2 = - 3(Z> - c)2,
то исходное неравенство справедливо.
Эта задача может быть решена и несложной груп-
пировкой:
а2 + Ь2 + с2 — ab — Ьс — са=
=4^°—^)2+4^ “с^2 +4^а—
однако следует иметь в виду, что группировка — это
практически всегда искусственный прием, и если не иметь
в виду определенную идею, то успех группировки — это
либо дело случая, либо результат настойчивых усилий
в попытке добиться нужного результата.
Напротив, внимательный анализ выражения часто по-
могает найти идею преобразований, заменяя искусство
группировки наукой группировки.
4.	Решить систему уравнений
(4х2 — 4ху — Зу2 — 2х + 7у — 2 = 0,
13х2 + %у + 2у2- 13х+ 11у + 10 = 0.
Решение. Для решения систем уравнений с двумя
неизвестными существуют разнообразные искусственные
приемы, и простейший из них состоит в том, чтобы
с помощью алгебраического сложения уравнений с каки-
ми-либо подобранными коэффициентами исключить одно
из неизвестных. В данном случае, однако, совсем не
очевидно, как этого добиться, если вообще возможно.
С другой стороны, можно попытаться, рассматривая
левые части уравнения как квадратные трехчлены, выра-
зить одно неизвестное через другое — эта попытка будет
успешной, если дискриминант хотя бы одного из этих
двух трехчленов окажется полным квадратом.
В данном случае такая попытка приводит к успеху:
действительно, если первое уравнение записать в виде
4х2 - (4t/4-2)х - Зу2 4-7у - 2 = 0,
то дискриминант трехчлена, стоящего в левой части урав-
нения, равен
D = 4[ (2у + 1 )2 4- W - 7у + 2) ]=
= 4( 1 бу2 - 24у 4- 9)=4(4i/ - З)2,
Зп— 1	— w4-2
и следовательно, его корни х\=^-^—, х%=—у—.
17
Но тогда первое уравнение можно переписать в виде
после чего система легко решается. Полезно самостоя-
тельно довести решение до конца.
Отметим любопытный факт: учащиеся часто не могут
даже подступиться к уравнению
4х2 — 4ху — Зу2 — 2х + 7у — 2 = 0,
но без всякого труда решают уравнение
4х2 — 4 ах — За2 — 2х + 7а — 2 = 0,
получающееся заменой буквы у на букву а, «переменной»
на «параметр».
В приведенном решении нам, можно сказать, в опреде-
ленной степени повезло: мы начали, естественно, с перво-
го уравнения, которое и оказалось возможным разложить
на множители. Можно убедиться, что наша попытка не
привела бы к успеху, если бы это «хорошее» уравнение
стояло бы в системе вторым и мы начали бы решение
с другого уравнения — в этом уравнении дискриминант не
является полным квадратом. Однако, убедившись в том,
мы могли бы, конечно, повторить свою попытку для «хо-
рошего» уравнения и решение все же было бы получено.
Особенно явно преимущество такого подхода к груп-
пировке видно на следующем примере.
5.	Доказать, что
5х2 + 5у2 + 5z2 + бху — 8xz — 8yz ) 0,
если x2 + y2 + z2)0.
Решение. С первого взгляда представляется очень
естественным объединить первые три слагаемых, однако
тут же обнаруживается, что дальнейшие преобразования
неясны, и достаточно очевидно, что случайные, безыдей-
ные попытки группировки не принесут успеха, и многие
поступающие убедились в этом на практике.
Между тем левая часть данного неравенства представ-
ляет собой квадратный трехчлен относительно х2 (с пара-
метрами у и 2), а тогда в нем стандартным образом
можно выделить полный квадрат, и более того — можно
сразу предвидеть, что получившийся в результате «сво-
бодный член» («свободный» от х) сам будет квадратным
трехчленом относительно у с коэффициентами, зависящи-
ми от z, так что с ним можно будет поступить аналогично.
Остается только провести выкладки, предварительно
разделив, для большего удобства вычислений, на 5:
18
X2+У2+z2 +-|-ху-|-XZ —^yz=
=х2+2(-|-У—rz)*+(y2—f-yz+z2)=
4'+(4Wz)H4WM*24^2)=
/ I 3	4 \2 , 16 2	16 I 9 2
~\X+ 5^	5Z)^~25y	25yZ+ 252 —
4*+4*-4«)!+>--0!-^!+^=
=('+4«-т*)г+>-1)2+^
Основные трудности в задаче тем самым преодолены,
поскольку уже ясно, что левая часть исходного неравенст-
ва больше или равна нулю, и остается лишь доказать, что
она не может быть равна 0 при выполнении данного
в условии неравенства x2+y2 + z2)0.
Для этого удобнее всего рассуждать от противного:
если полученная сумма квадратов равна 0, то все три
слагаемых равны 0, т. е.
x+±y-±z = 0, y-~-=Qt z=0
откуда сразу же получаем, что x=y = z=0, что противо-
речит неравенству x2-\-y2 + z2> 0. Задача полностью ре-
шена.
В данном решении, в отличие от предыдущей задачи,
мы воспользовались именно группировкой — выделением
полного квадрата, а не критерием (необходимым и доста-
точным условием) положительности квадратного трехчле-
на, чтобы привлечь внимание к этому способу группиров-
ки, которым при работе с квадратным трехчленом необхо-
димо хорошо владеть.
В то же время и в только что решенной задаче можно
воспользоваться условием положительности квадратного
трехчлена. В самом деле, дискриминант полученного дан-
ного квадратного трехчлена легко вычисляется:
D=4( —3&2+^yz~iz2} =— -^(16y2-\6yz+$z2),
а тогда неравенство D^O можно доказать или прямой
группировкой — выделением в квадратном трехчлене
D^=D(y) полного квадрата, либо использованием крите-
рия положительности.
Мы видим, что с вычислительной точки зрения исполь-
19
зование критерия положительности несколько проще, од-
нако выделение полного квадрата все равно остается
эффективным средством поиска группировки, поскольку
имеет более общий характер, применяется для решения
более разнообразных задач.
В связи с этой задачей еще раз отметим, что учащиеся
часто справляются с ней, если в условии заменить буквы
у и г на а и Ь — в этом случае они сразу видят квадрат-
ный трехчлен, и решение отыскивается достаточно легко.
Таким образом, именно умение увидеть квадратный трехч-
лен представляет собой здесь ключ к решению.
Рассмотрим теперь задачу, в которой идея «равнопра-
вия» переменной и параметра применяется весьма изы-
сканно: если в предыдущих задачах мы мысленно рас-
сматривали все переменные, кроме х, параметрами, то
здесь для решения следует изменить роли: переменную
х считать параметром, а параметр — переменной.
6.	Решить уравнение
Решение. Нетрудно заметить, что стандартный способ
решения иррациональных уравнений — уединение ради-
калов и возведение в квадрат — приведет здесь к уравне-
нию четвертой степени. И хотя этот путь кажется тупико-
вым, указанная выше идея даст возможность решить это
уравнение.
Поскольку аккуратное решение иррационального
уравнения требует определенных усилий для устранения
посторонних корней, мы применим достаточно распро-
страненный, но редко используемый учащимися прием,
который не меняет математического существа дела, но
несколько облегчает техническую часть решения.
Обозначим -yja+^x через у; тогда
х=(у2 — а)2=у* — 2ау2 + а2,
и мы приходим к уравнению
у4 — 2ау2+у + а2 — а = 0,
для которого нужно найти только неотрицательные корни,
поскольку
И теперь самое главное: левую часть этого уравнения
рассмотрим как квадратный трехчлен относительно а и
перепишем уравнение в виде
20
a2 — a(2y2 + 1)+(/+у)=0.
Дискриминант этого трехчлена равен
D = (2у2 + 1 )2 — 4(у4+у) = 4у2 — 4у+1=(2у — 1)2,
а тогда уравнение имеет корни
at=y2+y, a2=y2—y+l,
и следовательно, по формуле (РМ), может быть записано
в виде
(a—y2—y)(a—y2 + y— 1) = 0.
Снова изменяя роли неизвестного и параметра, пере-
пишем уравнение в «нормальном» виде
(у2+у —	у—а+1)=0.
Остается решить два квадратных уравнения, точнее —
найти их неотрицательные корни, и перейти к исходному
неизвестному х. Это представляет определенные трудно-
сти, не имеющие отношения к обсуждаемой идее, и мы на
этом решение закончим. Но ниже, рассматривая другие
примеры использования квадратного трехчлена, мы вер-
немся к аналогичным задачам.
Еще более сложным является уравнение, являющее-
ся... частным случаем рассмотренного, например, при
а=4: в самом деле, указанный способ решения приводит
к уравнению
У4-8у2+//+ 12 = 0,
и здесь уже нужно обладать уникальным воображением,
чтобы увидеть в левой части «квадратный трехчлен у4—
—2у2«4 + 42—4 относительно 4». Тем не менее и в этом
уравнении можно осуществить необходимую группировку,
но не с помощью безыдейных попыток или чистой интуи-
ции, а основываясь на математической теории.
7.	Разложить на множители выражение
(х + у + z\xy + yz + zx) — xyz.
Решение. Данное выражение, как легко видеть, явля-
ется квадратным трехчленом относительно х и поэтому,
найдя его корни xi и Хг, мы сможем разложить его на
множители.
Рекомендуя осуществить эту идею решения самостоя-
тельно для тренировки в технике тождественных преобра-
зований, мы укажем более простой подход, основанный на
догадках, на эвристических соображениях.
В данное выражение переменные х, у, г входят равно-
3 1—920
21
правным, симметричным образом, и поэтому естественно
предполагать, что и разложение на множители должно
быть в какой-то мере симметричным. Кроме того, данное
выражение однородно степени 3 по переменным а, 6, с
и естественно ожидать, что искомые множители линейны
по этим переменным, т. е. являются алгебраической сум-
мой переменных.
Поэтому мы сделаем попытку найти корни трехчлена
f(x) подбором: если в разложении, пока нам неизвестном,
есть множитель х — у, то у является корнем f(x), если есть
множитель %+у, то — у является корнем, если есть
* + // + z, то —у — z — корень и т. д.
Начиная проверку с самых простых случаев, получаем,
что
f(x)=(2у 4- z) (у2 + 2yz)—у 2z ф О,
а К—У) = °- Из равноправия переменных у и z очевидно,
что f(—z)=0, и поэтому трехчлен f(x) равен произведению
своего старшего коэффициента y-f-z на (x-f-y/x-i-z), и
окончательно получаем, что данное выражение равно
(y + z)(x+y)(x + z).
Естественно, что проводя такие рассуждения на экза-
мене, ни в коем случае не следует все предыдущее писать
в решении. Весь поиск разложения на множители, эври-
стика остается на черновике, а в чистовом варианте это
решение можно изложить следующим образом.
Обозначим данное выражение через f(x); тогда при
у + z=^0 оно является квадратным трехчленом со стар-
шим коэффициентом у + г. Поскольку, как легко убе-
диться,
К-!/)=Я-г)=0
(выкладки можно опустить), то по формуле разложения
квадратного трехчлена получаем
(X 4- у + z) (ху+yz+zx)—xyz=(х+у) (у+z) (z+х).
Если же у 4-z=0, то правая часть равна 0, а левая
равна х(—у2)4-ху2=0, так что указанное разложение
справедливо и при y4-z=0, т. е. при всех значения х,
У, z.
Обратим внимание на то, что в «чистовом» решении
появилось рассуждение о старшем коэффициенте y + z—
без ограничения y4~z=0 выражение f(x) не является
квадратным трехчленом, и чтобы рассуждение было кор-
ректным, мы вынуждены специально рассмотреть два
22
случая, т. е. восстановить логическую деталь, которой
пренебрегли при поиске решения, в процессе эвристики.
Однако более внимательный анализ показывает логи-
ческий пробел и в этом решении. В самом деле, мы нашли
корни — у и — z рассматриваемого трехчлена, но почему
мы уверены, что это два различных корня? Но если у = 2,
то трехчлен Дх) может иметь и еще один корень! Поэтому
фактически мы прошли мимо случая у = zy который следу-
ет разобрать отдельно. Именно, мы установили, что полу-
ченное тождество выполняется при всех х, у, z, кроме,
быть может, случая y = zy и остается проверить его выпол-
нение в этом случае. Сделать это не слишком трудно, но
связано с дополнительными вычислениями.
Поэтому более простым является совершенно другой
выход из положения. Действительно, в процессе эвристи-
ки мы, пусть даже с логическими пробелами, получили
некоторое разложение и уверены в его правильности, т. е.
фактически решили главную задачу поиска. А доказать
полученное тождество проще всего без всяких рассужде-
ний, просто раскрыв скобки в обеих частях равенства.
В этом и будет состоять наиболее краткое и простое
«чистовое» решение задачи.
Отметим, что сложности в обосновании приведенного
выше решения связаны фактически с тем, что переменные
у и z мы рассматриваем как параметры, но при другом
подходе, принятом в математической теории — алгебре
многочленов с несколькими переменными — наши рас-
суждения правильны и без специального рассмотрения
случаев, когда y + z и у — z обращаются в 0.
8.	Разложить на линейные множители выражение
х4+у4 + z4 — 2х2у2 — 2y2z2 — 2z2x2.
Решение. Данное выражение не является квадратным
трехчленом относительно х, но представляет собой квад-
ратный трехчлен
/(0=/2-2(у2 + г2У+(/ + /-2у2г2)
относительно t = x2, и поэтому можно попытаться предста-
вить его в виде (/ — Л)(/ — /2)=(х2— Л) (х2— /2)» где ti
и t2— неизвестные нам пока корни /(/) (старший коэфици-
ент равен 1).
При этом, поскольку в задаче требуется разложить
выражение именно на линейные множители, т. е. сущест-
вование таких множителей неявным образом подразуме-
вается, то /1 и 6 сами, по-видимому, являются полными
3*
23
квадратами линейных двучленов, зависящих от у и z, но
не зависящих от х.
Эти соображения приводят к идее испытать в качестве
корней fix') выражения (y + z)2 и (y — z)2, и эта попытка
оказывается успешной:
fay + ^ = (y + ^-2(y2 + ^(y + z)2 + (y2--z2}2 =
= (у + z)2 [ (у + Z)2 — 2(у2 + z2)4- (у — z)2]=0.
Аналогично можно убедиться, что /((у — z)2)=0, но в
фактической проверке нет необходимости: это равенство
следует из предыдущего, поскольку данное выражение не
меняется при замене z на — z.
Поэтому
f(/)=[x2-(y + z)2][x2-(y-z)2]=
==(Х4_У4"2) (х —у —z) (x-f-y —z) (х—y4-z).
А вот «чистовое» решение: «Докажем, что данное выра-
жение равно .
(x4-y4-z)(x—у —z)(x4-y —z)(x—y4-z).
Действительно,
(к + У + z) (х — у — z) (х + у — z) (х — у + z) =
= [ (*+у) + z] [ (x+y)-z] [ (x-y)+z] [ (x-y)-z] =
=[(x+y)2-z2H(x-y)2-z2]=
=(*+У)\х - y)2 — [ (x+y)2+(x—y)2]z2+z4 =
=(x2—у2)2—(2x2 + 2y2)z2 + z4 =
= x4+y4 + z4 — 2x2y2 — 2y2z2 — 2z2x2,
что и требовалось доказать».
Разумеется, выкладки могут быть и не столь под-
робными.
Наконец, корни трехчлена f(t) могут быть найдены
и подбором: достаточно убедиться, что
(у+z)2(y — z)2=(у2 — z2)2=у4 — 2y2z2 + z4,
(У + z)2 4- (У—z)2 = 2(у2 4- z2).
Отметим, что если в предыдущей задаче решение
может быть получено и непосредственным путем-— рас-
крыть в данном выражении скобки, после чего нужную
группировку отыскать не так сложно, то в данной задаче
«безыдейная» группировка совершенно не очевидна, хотя,
конечно, после некоторых попыток и может быть найдена.
24
9.	Разложить на множители выражение
(х+у)Л +(у + г)3+(г+х)3 - 2(х3 + И + z3)+бхуг.
Решение. На первый взгляд, в этом выражении нет
квадратного трехчлена, однако более внимательный ана-
лиз показывает, что после выполнения необходимых пре-
образований (которые, разумеется, можно не выполнять
явно) слагаемые, содержащие х3, взаимно уничтожаются,
и мы получим в результате квадратный трехчлен f(x) со
старшим коэффициентом 3y + 3z (если y-j-z=#O).
Легко проверить, что
f(-y)=K-z)=o,
и следовательно,
f(x)=3(x-|-l/) (x + z) (y-|-z).
Те же самые идеи, связанные с «комбинаторным»
отысканием корней квадратного трехчлена, могут быть
применены и для решения других задач, в частности, для
доказательства тождеств.
10.	Доказать тождество
(х—у) (xz+ 1) (yz+ 1)4-(у—z) (ух + 1) (zx-h 1)+
+(z—x) (zy+1) (xy+ 1)+ (x—y) (y—z) (z—x)=0.
Решение. Разумеется, раскрыв без всяких хитростей
скобки и получив при этом «всего» 32 слагаемых (и не
запутавшись в вычислениях, что тоже надо уметь!), мы
придем к требуемому результату. Однако, если мы перене-
сем произведение (х — у)(у — z \z — х) в левую часть
и обозначим трехчлен, оставшийся в левой части, через
f(x), то будем иметь
f (У)=(У—z) (у2 +1) (Уz +1)+(z - у) (zy +1) (у2 +1)=0,
и, аналогично, f(z)=O, так что остается подсчитать стар-
ший коэффициент трехчлена f(x).
Он равен
— z(yz+ \)+yz(y—z)—y(zy+ l)=y — z,
и таким образом,
ZW=(y-z)(x-y)(x-z),
т. e.
f(x)+(x—у) (y—z) (z—x)=0,
что и требовалось доказать.
В связи с доказательством тождеств отметим важное
и для теории, и для решения задач утверждение: тождест-
25
венное равенство двух квадратных трехчленов равносиль-
но совпадению их значений хотя бы в трех различных
точках. Это утверждение можно доказать, например, сле-
дующим образом.
Пусть квадратные трехчлены f(x) и g(x) совпадают
в трех различных точках, т. е. при х = а, при х = Ь и при
х = с. Тогда их разность h(x) = px2 + qx-[-r имеет три
различных корня — a, 6, с; однако при р#=0 мы получаем,
что квадратное уравнение Л(х) = 0 имеет три корня, а при
р = 0, q=/=0 линейное уравнение qx-{-r = 0 имеет три кор-
ня. Поэтому р = ^ = 0, а тогда r — h(d) = f( а)—g{a) = 0.
т. е. f(x) — g(x) = 0, так что f(x) = g(x) при любом x^R.
Применяя в только что решенной задаче это утвержде-
ние и обозначив произведение —(х — ц) (у — z ) (z — х)
через g(x), получаем, что
/(у)=£(у)=0. f(z)=g(z)=O,
f(0)= — y(yz+ l)+y — z+z(yz+ l)=yz(z—y),
g(Q)=yz(z-y),
откуда и получаем требуемое тождество f(x)=g(x).
11.	Изобразить на координатной плоскости множество
точек, координаты которых удовлетворяют равенству
Лу - 2)+у3(2 - х) 4- 8(х - у)=0.
Решение. Ясно, что для решения задачи полезно раз-
ложить данное выражение на множители; оно является
многочленом f(x) степени 3 относительно х, и как легко
проверить, f(y)=O, так что следует ожидать, что один из
множителей будет равен х — у. Поэтому мы должны
попытаться выделить этот множитель группировкой, и эта
цель уже достаточно ясно определяет нужную группи-
ровку:
f (х)=х3у—ху3 — 2(х3 — у3)+8(х—у)=
=(* —У)[(х+ У}ХУ~ 2(х2+ху+ у2) + «]=
=(х — у)\\у —2)хМ-(у 2—2</>+(8—2у2 ) ]=
=U — у) (у —2) (х2 + ух —2у —4)=
=(^-У)(у-2)[(х+2)(х-2)+у(х-2)]=
=(х-у)(У-2) (х-2)(х+у + 2) .
Поэтому искомое множество является объединением
четырех прямых
у=х, у=2, х = 2, у=—х — 2.
И еще один пример применения идей, развитых в связи
с квадратным трехчленом.
26
12.	Доказать, что число
1213 + 3743 + 263-78< 121 -374
составное.
Решение. Естественно, что для .доказательства этого
утверждения мы должны попытаться разложить данное
выражение на множители; обозначив через а, 6, с соот-
ветственно числа 121, 374, 26, получим кубический много-
член f(a) относительно а, и если его можно разложить на
множители, то один из этих множителей должен быть
линейным (по каждому из переменных а, Ь, с), и более
того, можно ожидать, что он будет симметричным относи-
тельно a, Z?, с, поскольку данное выражение симметрично.
Эти «малонаучные» эвристические соображения при-
водят к попытке проверить множитель а + Ь + с. Тогда
многочлен f(a) должен обращаться в 0 при а = — Ь — су
и действительно,
f(_^ —с)= — (Z?4-c)34-fo34-c34-3(&H-c)6c=0.
И теперь надо доказать, что сумма р = а + & + ^ дейст-
вительно выделяется множителем из f(a); это определяет
идею группировки, которую мы проведем в определенной
степени «механическим» образом, ясным из выкладок —
каждый раз мы выделяем эту сумму и вводим дополни-
тельные слагаемые:
f(a) = а3 + Ь3 + с3 — ЗаЬс =
= а2(а + b + с) — а2Ь — а2с 4- Ь3 4- с3 — ЗаЬс =
= а2р — ab(a + Ь 4- с) +
+ ab2+abc — ас(а+Ь + с)+abc 4- ас2 + Ь3 4- с3 — ЪаЬс =
=(a2 — ab — ас)р + ab2 4- ас2 + Ь3 4- с3 — abc =
=(а2 — ab — ас)р + Ь\а + Ь-{-с) —
— Ь3 — b2c + с2(а + Ь + с) — Ьс2 — с3+Ь3 + с3 — abc =
=(а2 — ab — ас + Ь2 + с2)р — Ьср =
=(а+Ь + с) (а2 + Ь2 + с2 — ab — ас — Ьс).
Поэтому данное число делится на 121 4-3744-26 = 521,
причем второй сомножитель, очевидно, отличен от 1—это
можно показать и простыми оценками, но можно также
вспомнить, что выражение а2 + Ь2-\-с2— ab — ас — Ьс мы
уже преобразовывали в решении задачи 3: оно равно
-|{ (а - Ь)2 + (6 - с)2+(с - а)2]=±( J 532 + 3482 + 952)
и ОТЛИЧНО от 1.
27
Заметим, что использованный нами способ целена-
правленной группировки является универсальным: этим
способом можно выделить линейный множитель вида х —
— р из многочлена любой степени—лишь бы число р было
корнем этого многочлена.
Заканчивая рассмотрение задач, в которых ключом
к решению является именно умение увидеть квадратный
трехчлен, покажем, как эта идея применяется к доказа-
тельству одного классического неравенства — так назы-
ваемого неравенства Коши — Буняковского.
13.	Доказать, что для любых действительных чисел xi,
Х2,..., хП9 у\, У2<> •••> Уп. выполняется неравенство
(Х1У1+Х2//2+ ... +хпГ/п)2^(Х12 + х22+ ...
... +%n2) (У12 + //22+ ... +f/n2).
Решение. Прием использования квадратного трехчле-
на, рассмотренный в предыдущих задачах, приводит к
естественной идее: после очевидных преобразований мож-
но получить квадратный трехчлен относительно, напри-
мер, Xi, и рассматривая остальные переменные как пара-
метры, доказать, что дискриминант этого трехчлена отри-
цателен, и следовательно, трехчлен сохраняет постоянный
знак.
Эта идея, однако, наталкивается на значительные тех-
нические трудности, и кроме того, дискриминант сам
будет зависеть от переменных Х2,...» хл, (/2,... , Уп— и луч-
шее, на что можно надеяться,— это на возможность про-
вести доказательство с помощью математической индук-
ции. В действительности, так и будет, и тот, кто знаком
с этим методом, может самостоятельно провести это дока-
зательство: полезно потренироваться в проведении техни-
чески сложных тождественных преобразований — ведь
далеко не всегда удается найти в задаче идею, которая
быстро приводит к решению.
В данной задаче такая идея есть, но совсем не видна
с первого взгляда: именно, если записать доказываемое
неравенство в виде
62 — ас^.0,
где через Ь, а, с обозначены соответственно выражения
Х\У\ +Х2У2+ ... +*пУп> Х12 + *22 4- ...
... +Хл2, f/l2 + f/22+ ... +Ул2,
то его левую часть можно интерпретировать как дискри-
минант квадратного трехчлена f(z) = az2 -\-2bz-\-c. А то-
28
гда данное неравенство означает в точности, что трехчлен
f(z) неотрицателен при любом значении z.
Итак, мы должны доказать, что f(z)^O при любом
z^R, не используя при этом дискриминанта; для этого,
естественно, следует преобразовать f(z), раскрыв скобки
и догадаться, что в данном случае оказывается совсем
несложным, по-иному сгруппировать слагаемые:
/(г) = (Х12 + х22+ - 4-Хл2)з2 + 2(Х11/1+Х2У2+ -
... + ХпУ^г+{у |2+у22 + ... +Ул2)=
= (xl Z2 + 2X1У1 Z + yl) + (xiz2 + 2x2y2z+ у 2) + • • •
... +(xn2z2+2xnynz+yn2)=
= (X1Z + i/i)24-(X2Z + i/2)24- ... +(x„z + t/„)2.
Теперь ясно, что- трехчлен f(x) неотрицателен при лю-
бом z, так что его дискриминант меньше или равен нулю,
что и требовалось доказать.
Отметим, что в этом рассуждении мы используем
критерий неотрицательности трехчлена в направлении,
«обратном» по сравнении с тем, как он обычно использу-
ется в стандартных задачах в школе: в этих задачах, как
правило, мы имеем неположительный дискриминант и
делаем вывод, что трехчлен неотрицателен, а в данном
случае из неотрицательности трехчлена мы делаем вывод,
что его дискриминант неположителен.
Из проведенного доказательства следует также, что
равенство f(z) = O достигается при одновременном выпол-
нении равенств
x}z+yi=x2z + y2= ... = xnz + yn = Qy
или
xi _ х2 __	— Хп
У\ У2 “* Уп
т. е. переменные x2t ...txn и уъ уъ...,уп—пропорцио-
нальны (естественно считать, что все у\, у2,уп отличны
от нуля).
А как вообще можно доказать, что некоторое выраже-
ние положительно?
Разумеется, таких способов доказательства много —
в частности, доказать неравенство f(x)^O для любой
(дифференцируемой) функции f(x) можно, в принципе,
с помощью производных — найти наименьшее значение
этой функции и убедиться, что оно неотрицательно.
Ясно, что использование такого мощного метода для
квадратного трехчлена — это «стрельба из пушки по во-
29
робьям», но самое печальное состоит в том, что в приме-
нении к квадратному трехчлену этот метод приводит ...
именно к доказательству неположительности дискрими-
нанта:	наименьшее значение трехчлена
ах2 + 6х+£=Д(*+-т^)2+ ^7"' как Раз и Равн0-~^7^
(мы считаем, что а>0), поэтому в нашем случае этот
подход ничего не даст, и доказать неравенство f(x)^0 для
квадратного трехчлена f(x) следует именно группировкой.
А идея группировки подсказывается целью преобразова-
ния: надо представить Дх) в виде суммы неотрицательных
слагаемых, которые в данном случае могут быть только
квадратами двучленов — это и есть идея данной груп-
пировки.
Итак, мы доказали неравенство Коши — Буняковского
для любого натурального числа п. При и = 2 и и = 3 это
неравенство имеет красивый геометрический смысл: рас-
смотрим, взяв и = 3, векторы
а=(Х1,Х2,хД b=(уI,у2,Уз).
Тогда их скалярное произведение
аЬ = х\у{ +х2у2+хзу3,
I а\2 = Х12+х22 + хз2, \Ь\ =У12+у22+уз\
и неравенство принимает вид
(а-6)2< |а|2 |^t2,
или
\а-Ь\^\а[ |£|
Но тогда совершенно очевидно, что для и = 3 нера-
венство Коши — Буняковского справедливо:
\а-£| = |а| \1>\ |со$(р|^|а| |6|,
(ф — Угол между векторами а и К). При этом равенство
достигается при fcoscpl = 1, т. е. когда векторы колли-
неарны.
Частные случаи неравенства Коши — Буняковского
предлагались и на вступительных экзаменах в вузы —
так, на физическом факультете МГУ требовалось дока-
зать неравенство
а2х + ЬЗУ 4- К ~\1а2 + Ьг+1 ^4х+&+\.
Разумеется, при этом вовсе не предполагалось, что абиту-
риенты воспользуются общим неравенством, и имелось
в виду, что доказательство проводится с помощью тож-
зо
дественных преобразований. Но идею преобразований
могли, естественно, найти те поступающие, которые знали
и умели «чуть больше», чем предусмотрено программой
для поступающих — остальные могли решить задачу, рас-
считывая только на удачу в группировке.
В то же время геометрическая интерпретация делает
предложенное неравенство очевидным: это неравенство
означает, что скалярное произведение векторов
c=(a,fe,l), z = (2x,3M)
не превосходит произведения их модулей, и следователь-
но, вытекает из того, что косинус любого угла не превос-
ходит единицы.
Добавим, что рассмотренное в задаче 3 неравенство
также легко доказывается с помощью геометрической
интерпретации: действительно, положив
х=(аДс), у=(6,с,а),
будем иметь х>у^ |х| • \у |, т. е.
ab + bc + ca^-yja2 + b2 + c2 Vb2 + с2 + а2 = а2 + 62 + с2.
14.	Найти наибольшее и наименьшее значение функ-
ции
f(x) =а sin х + Z? cos х (a,b=/= 0).
Решение. Рассмотрим векторы с = (а, b), y=(sinx,
cosx);
тогда
I/(х)| = | с-ук |с| • lyl = -\/а2+ft2 ^sin‘2x + cosix,
так что I f(x)| ^Vfl2 + ^2/» т- е-
— д/а2 + &2 < /(х) < ~\Ja2-]-b2,
И здесь важно не сделать весьма распространенную
ошибку — из полученного двойного неравенства не следу-
ет, что числа ya2 + Z?2 и — ~\]а2-{-Ь2 являются соответ-
ственно наибольшим и наименьшим значениями функции
f(x). Это неравенство означает лишь, что f(x) не может
принимать значений, больших ycf-^-b2 и значений, мень-
ших — Ча2 + е, но почему она должна принимать эти
крайние значения? Сравните: разве из неравенства
—5^ sinx<^2, справедливого при всех х, следует, что
наименьшее значение синуса равно —5, а наибольшее зна-
чение равно 2?
31
Поэтому нам надо еще убедиться, что функция f(x)
действительно принимает оба «крайних» значения. Мы
знаем, что модуль скалярного произведения векторов
равен произведению их длин, если векторы коллинеарны,
а векторы сиу коллинеарны при выполнении условия
sinx________________________cosx
а b ’
т. е. при tgx=-y. Поэтому, например, при a = arctg-y
выполняется.равенство \f(a) \ =2\J а2+ Ь\ так что /(а) рав-
но либо ~уа2-{-Ь2, либо — \d2-\-b2; но /(а+л)=— /(а),
и следовательно, при х—а и при	функция f(x)
принимает значения д/о2-}-/?2 и —'\1а2Н-62.
Таким образом, наибольшее значение функции f(x)
равно,. л/а2-|-/>2. а ее наименьшее значение равно
—У?4-62.
Рассмотренным приемом может быть решена и следу-
ющая задача:
15.	Найти наибольшее значение выражения
f(a.,f})=sinacosfi—3cosasin(5 (a,0e/?).
Решение. Рассмотрим векторы
a=(sina,cosa), w=(cosp,—Ssinfi).
Тогда
I a( = 1, | w| ='^/cos2P4-9sZr?p^
и
f(a,P)=aK I a( | t)\ = cos2p-j-9szn2p ==’\ST-j-8s/n2p 3.
Равенство f(a, P)=3 достигается, как мы видим из
последних выкладок, при
а-й=|а( |£| и szn2p=l.
и взяв, например р=—, а=л (тогда 6=—За), мы полу-,
чим, что
f(a, Р)=3.
32
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Изобразить на координатной плоскости множество точек, координа
ты которых X и у удовлетворяют уравнению
a)	2x2-j-5xy — Зу2 — 2* + i/ = 0;	г) 5x2-j-2xy-j-2y2 — 2x — 2y-j-2 = 0;
б)	4х2 — 4xy-j-y2-j-2x—у — 2 = 0; д) бх2 + 10t/2 — 2ху — 8у — 2% + 2 = 0.
в)	x2-j-y2-f-4x—бу — 3=0;
2.	Решить в целых числах уравнение
a)	2\p2+pq — 2q2 = 19;	д) 27р2 — 15р?2 + 2?4+
б)	p2 + pq + q2 = 7\	+6?2— 18р = 2;
в)	5р2 — \2pq-{-2q2 — 2р — 2q — 3=0; е) 4р2 + <72— 12р-}-2<7 + 5=0;
г)	9p2-\2pq + 4q*—9p-{-6q2 = 4;	ж) p2-{-pq — 2q2— р — 4q — 3=0
3.	Решить систему уравнений
(Зх2 —ху —у2—4х-{-у — 7 = 0,	(Зх2 —ху—у2 — 4х-\-у — 7 = 0,
\2х2—бху—Зу2+ 7у—2=б\ В 1бх2-—бху—4у2 —4х-|-8р—9=0.
(5х2 — 2xy-f- Юу2 — бх— 10р + 5=0,
1х2 — 4ху+у2 — 2х—Зу—7=0;
4.	Разложить на множители многочлен
а)	ab(a-b)—ac(a-{-c)-{-bc(2a—b-{-c)\ г) a3{b — с)-\-Ь\с—а)-\-с\а—Ь)\
б)	а2(Ь — с)+Ь2(с—а)+с2(а—Ь);	д) (а—b)3+(b — с)3+(с—а)3;
в)	ab(a2—b2)-\-bc(b2—с2)-{-са(с2 — а2); е) а\Ь — с)+Ь\с—а)+с\а—Ь).
5.	Изобразить на координатной плоскости множество точек, координа-
ты которых удовлетворяют условию
а)	х(у2—4)+у(4—x2)=2(i/2—х2);
б)	(х+у)3+(</+ 1)3+(*+ 1)3=2(x3+j/3—Зху+1);
в)	(х—у) {x+yf=(x-1) (х+ 1)3-(у-1)(у+1)3.
6.	Доказать, что
а)	если х24"У2 + = ХУ~1~ yz-j-zx, то x=y=z;
б)	если ,*7~у + ,у~2 4- ,г~х =0, то хотя бы два из чисел х,
'	14-ху 1+yz 1 1+zx
у, z совпадают.
7.	Доказать неравенство
а)	х2+у2+1 >*У+х+у;
б)	x24-i/2+z2+/2+«2>x(i/+z+t+«);
в)	^Ц±1>3-^(х,</.2>0);
О
Г) Хг/+1)+гХг+1)+г(х4-1)>6^г (х,у, z>0).
8.	Доказать неравенство
а)	(х+</+г) (±+±+-1)>9	(x,</,z> 0),
33
6)	x2y2+y2z2+z2x2^(x+y+z)xyz (x.y.z^O);
. xy , yz zx	.
B) -f-+-7-+—>*+</+* (x,{/,z>0).
9.	Решить систему уравнений
4x2+25t/24-9z2= 1.
7
x — 5y + z=—
10.	Решить уравнение
x-\/2x+9 — 2-VT—2x=д/Ю(^М) •
И. Найти наибольшее значение суммы x-{-z, если
х2-|-^2=4, z24-/2=9, x/+//z>6.
12.	Разложить, если возможно, на множители с целыми коэффициента-
ми многочлен
а)
б)
13.	Решить
14.	Решить
f lx—1/| —/о^22(|х( 4-t/+l)4-6=0,
I (•*—у)2 —6(х—y)log2(\x\ +t/+ l)+5/ogl()x| +у+ 1)=0
15.	Найти все тройки чисел х, у, z, удовлетворяющие условию
V1бх2+2 г/2 ^2?^Э75х2^' + 10z—4 + ^x^^TSxcosn^cosnz +1 = 0.
2х —Зх —-4х2+8х—3;
о 4 । л з о .	в) х +2х3-Зх2 + 8х-4
3x4+4xJ —2х— 1;
уравнение
х3—(а-|- 1)х2 — 2а2х—2а(а — 1)=0.
§ 3.	КОЭФФИЦИЕНТЫ, КОРНИ И ЗНАЧЕНИЯ КВАД-
РАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА
Мы убедились, что умение увидеть в некотором выра-
жении квадратный трехчлен, может оказаться очень важ-
ным, а иногда практически единственным средством для
поиска решения, в особенности краткого^ рационального
решения. Но не менее важно уметь воспользоваться свой-
ствами квадратного трехчлена.
Укажем полезные для практики решения задач оче-
видные утверждения: если f(x) = ax2 + bx+c, то
/(0) = с, f(l)=a + b + c, f{—\^=a — b + c.
Последние два равенства часто используются для устного
решения квадратных уравнений.
1.	Решить уравнение
132.9Х + 84ЬЗХ+ 1340 = 0.
34
Решение. Это уравнение вполне стандартно: корни
трехчлена 132t/24-841«/4- 1340=0 можно найти по извест-
ной формуле, и если они существуют, дело сводится
к решению двух простейших показательных уравнений.
Однако этот путь, как легко видеть, связан с большими
вычислениями, а в действительности уравнение решается
устно, простым рассуждением: если даже рассматривае-
мый квадратный трехчлен имеет корни у\ и у%, то по
теореме Виета, они оба отрицательны, а тогда уравнения
3x = i/i и 3х=i/2 не имеют решений. Поэтому и исходное
уравнение не имеет решений.
На самом деле приведенное решение — тоже неразум-
но длинное: легко видеть, что левая часть данного уравне-
ния — сумма положительных выражений, и следователь-
но, не может быть равна нулю. Другими словами, исполь-
зование квадратного трехчлена даже усложнило решение,
но сколько раз приходилось видеть, как учащиеся в
аналогичных примерах долго и тщательно подсчитывают
дискриминант! Отсюда следует лишь один вывод: каждый
подход в каждой задаче надо применять «с умом», внима-
тельно анализировать конкретные особенности задачи —
только при этом условии можно получать экономные,
краткие решения.
2.	Имеют ли корни уравнения
132х2+861х—411=0,
356х2 4-711x4-243 = 0?
356х2 —711x4-243=0,
Если обозначить через f(x) левую часть первого урав-
нения, то f(o)<0, так что трехчлен f(x) принимает отрица-
тельные значения, и поскольку его старший коэффициент
положителен, то он имеет два корня.
Приведенное решение, впрочем, вряд ли проще, чем
более непосредственное, поскольку дискриминант
8612-|-4> 132*411 в данном случае, очевидно, положите-
лен. Однако для второго уравнения аналогичное рассуж-
дение уже значительно упрощает решение.
В самом деле, достаточно заметить, что сумма коэффи-
циентов трехчлена f(x) в левой части уравнения отрица-
тельна, т. е. Д1)<0. Но тогда, поскольку его старший
коэффициент положителен, то и дискриминант также по-
ложителен — при D^0 при всех х выполняется неравен-
ство /(х)^0. А поскольку дискриминант трехчлена поло-
жителен, то уравнение имеет два различных корня.
Аналогично, в третьем уравнении имеем f(—1)<0, так
что и это уравнение имеет два различных корня.
35
Обратим внимание на использование теоремы Виета
для вычисления второго корня трехчлена f(x).K сожале-
нию, не так редко случается, что учащиеся, твердо зная
«в теории» эту теорему, применяя ее для устного решения
уравнений, не догадываются использовать ее в более
простом случае, когда один корень уже известен. Приве-
дем задачу, где такое ее использование существенно
упрощает один важный момент решения.
3.	Решить уравнение
3х87+2-=6
Решение. Эта задача предлагалась на вступительных
экзаменах в МГУ на химическом факультете, и многие
поступающие пытались решать ее, представляя уравнение
в виде
Зх
3*2 х+2 = 3121,
тогда очевидно, что х=1 является его корнем. После
этого они считали, что уравнение решено, хотя, разумеет-
ся, это вовсе не так: наличие одного корня, найденного
каким-либо способом, вовсе не исключает существования
других корней.
Поэтому для полного решения придется прибегнуть к
стандартному способу — логарифмированию обеих ча-
стей. Тогда уравнение легко сводится к квадратному
x2/g3+x(3/g2 + 2/gB - /g6) - 2/g6 = 0.
Решая это уравнение по стандартной формуле, мы
получаем для корней весьма громоздкие выражения
_ ~(3lg2+2lg3-lg6)±y^2^^3^g6f+8lg^
Х1’2-------------------2ZJ3----------------
Однако преобразования совершенно не понадобятся,
если, сразу вспомнив, что полученное квадратное уравне-
ние имеет корень 1, наити его второй корень
непосредственно по второму равенству из теоремы Виета!
Рассмотрим теперь задачи, в которых используются
связи между знаками значений квадратного трехчлена,
его дискриминантом и существованием корней. Из азбуч-
ных свойств учащиеся всегда догадываются применить
необходимое и достаточное условие (в математике часто
говорят короче — критерий) существования корней: диск-
риминант трехчлена должен быть неотрицательным.
Точно так же они часто используют неравенство £><0
36
как критерий того, что трехчлен сохраняет знак своего
старшего коэффициента. Однако уже такой простой и
хорошо известный факт, что квадратный трехчлен с поло-
жительным старшим коэффициентом принимает хотя бы
одно отрицательное значение тогда и только тогда, когда
он имеет два различных корня, уже используется ими
крайне редко. Частично мы уже использовали это условие
в задаче 2: если трехчлен с положительным старшим
коэффициентом принимает отрицательное значение, то он
имеет два различных корня. Для доказательства обратно-
го утверждения достаточно заметить, что если трехчлен
с положительным старшим коэффициентом имеет два
различных корня, то его дискриминант положителен, а его
4 ас— 1г
наименьшее значение ——— отрицательно:
4ас — 62<0, а> 0.
Приведем еще примеры использования упомянутых
критериев в задачах, по форме несколько непривычных
для учащихся.
4.	Можно ли определить знак числа с, если известно,
что квадратное уравнение ах2-\-Ьх-[-с=0 не имеет кор-
ней, а а-\-Ь-]-с<0
Решение. По условию, квадратный трехчлен
f(x)=ax2-\-bx-{- су не имеет корней, так что его дискрими-
нант отрицателен, и f(x) сохраняет постоянный знак, но
a+Z? + c = /(l)<0, и следовательно, f(x) отрицателен при
всех x<=R. В частности, c = f(0)<0.
Обратим внимание на одну тонкость в формулировке
задачи: явно оговорено, что данное уравнение квадрат-
ное. Без этого ограничения наше решение было бы невер-
но, поскольку уравнение 0х2-|-0х+с = 0 при с=/=0 не
имеет рещений, но знак с, очевидно, однозначно не оп-
ределяется.
5.	Доказать, что если число а принадлежит, а число
b не принадлежит интервалу (с; d) то при любом ае/?
уравнение
а(х — а) (х — Z?) + (x — с) (x — d) = Q
имеет действительные корни.
Решение. Прием, связанный с вычислением значений
многочлена и изучением их знаков, быстро приводит
к решению. В самом деле, чтобы «нейтрализовать» неиз-
вестное значение параметра а, вычислим значения трехч-
лена в точках а и Ь:
f(a)=(а—с) (а—d), f(b)=(b — c)(b — d).
4 1—920
37
Но по условию задачи а — с> О, a —d<0, так что
f(a)<0; кроме того, числа b — с и b — d либо оба отрица-
тельны, либо оба положительны, т. е. f(b)> 0. Таким
образом, f(x) принимает значения разных знаков, и следо-
вательно, имеет корни — независимо от знака старшего
коэффициента.
Однако в приведенном решении есть логический про-
бел. Дело в том, что мы слишком поспешно назвали левую
часть данного уравнения квадратным трехчленом, не про-
верив, что коэффициент при х2 отличен от 0. Между тем
этот коэффициент а 4-1 при а = — 1 обращается в 0,
и следовательно, наше решение правильно лишь при
а — 1.
Обойти эту трудность можно различными способами.
Например, заметим, что при а = — 1 выражение f(x) явля-
ется линейным, причем коэффициент при х отличен от
0— в противном случае оно было бы постоянным и не
могло бы принимать значений разных знаков (напомним,
что при любом a f(a)<0,	0). Но линейная функция
y = px-\-q при р=#0 всегда обращается в 0 (при
х= —Этим решение задачи полностью заканчива-
ется.
Отметим еще, что из неравенств f(a)<0, /(ft)> 0 выте-
кает— для произвольной непрерывной функции y = f(x),
что /(х) обращается в нуль в некоторой точке с (лежащей
между а и Ь). Это утверждение рассматривается в курсе
«Алгебра и начала анализа».
6.	Доказать, что если числа а, Ь, с не все равны между
собой, то квадратный трехчлен
f(x) = (х — а) (х — ft) + (х — ft) (х — с) 4- (х — с) (х — а}
имеет два различных корня.
Решение Стандартный способ решения этой задачи
связан с вычислением дискриминанта трехчлена Дх); не-
трудно подсчитать, что он равен
4(а2 + ft24- с2 + ab 4- bc-\- са).
Теперь нам нужно доказать, что при любых а, Ь,
с дискриминант положителен. Это было бы не такой
простой задачей, если не заметить, что дискриминант
D сам является квадратным трехчленом и справедли-
вость неравенства D> 0 можно установить, во-первых,
так же, как в решении задачи 3 из § 2, и, во-вторых,
с помощью геометрической интерпретации, рассмотренной
выше: если положить
38
x = (a,b,c) и у={ — Ь,— с,— а),
то неравенство D> 0 можно записать в виде х• у< |х\ |у\
{заметим только, что при геометрическом способе реше-
ния мы легко докажем лишь нестрогое неравенство Z)^0,
а выяснение случая равенства потребует дополнительных,
хотя и несложных рассуждений).
Мы видим, таким образом, что прямой путь решения
данной задачи требует преодоления определенных труд-
ностей. Между тем задача имеет простое и короткое
решение, основанное на рассматриваемом критерии су-
ществования корней, связанного со знаками значений
трехчлена Дх).
Именно, вычислим значения Дх) при значениях х,
равных ау Ь, с:
Ко)=(а — ЬЦа — с\ f(J>)= (b—c)(b — a).
f(c)=(c-a) {c — b).
Если среди чисел a, bt с есть равные, например, с = а,
то
Дх)=2(х —а) (х —&) + (х —а)2 = (х —а) (Зх — a — 2Z?)
Q -J- 2/?
и его корни а и —— различны — в противном случае
а = Ь = с\ если же все числа а, Ь, с различны, то одно из
них лежит между двумя другими. Если, например,
а<Ь<с, то ДЬ)<0, и аналогично рассматриваются ос-
тальные случаи.
Необходимость перебирать отдельные случаи располо-
жения чисел а, 6, с несколько усложняет решение, и его
можно сократить замечанием, что в условии задачи числа
а, Ь, с равноправны — в самом деле, меняя местами эти
буквы в трехчлене, мы его не изменим. Это позволяет
рассмотреть всего один случай.
Но еще проще закончить решение задачи совсем по-
другому. Именно, перемножив написанные выше три зна-
чения трехчлена, получим, что
Да) f(c)= —(a — b)2 (Ь-с)2 (с-а)2<0.
Следовательно, все три значения не могут быть положи-
тельными, т. е. хотя бы одно из них отрицательно, что
и требовалось доказать. Отметим, что еще большие труд-
ности возникли бы на стандартном пути, если бы перед
произведениями в левой части данного уравнения стояли
положительные коэффициенты; наше решение при этом не
усложнилось бы ни в какой мере.
7 Доказать, что уравнение
4*
39
a(x — b) (x—r)+Z?(x — c) (x — a)4-c(x — a) (x — b)=O
при любых a, b, с имеет действительные корни.
Решение. Стандартное решение этой задачи связано
с большими трудностями — особенно при доказательстве
неотрицательности дискриминанта, и мы применим уже
использованный прием. Обозначив через f(x) квадратный
трехчлен, стоящий в левой части, вычислим его значения
в точках а, Ь, с:
f(a) = а(а — b) (а — с), f(b)=b(b — с) (b — а),
f(c) = r(c — а) (с — b).
Но теперь ситуация осложнилась по сравнению с
предыдущей задачей наличием коэффициентов при произ-
ведениях разностей, а перебирать все возможности рас-
пределения их знаков — задача весьма кропотливая. Вы-
ход из положения находится с помощью простого, хотя
и «взятого с потолка» наблюдения: f(0)=3aZ?c.
Поэтому
ЗДа)Дд)Дс)= -ДО) (а-6)2 (6-с)2 (с-а)2,
откуда
ЗД0)Да)Д6)Дс)= — ДО)2 (а-6)2 (6-с)2 (с-а)2<0,
и следовательно, по крайней мере один из сомножителей
отрицателен. (Мы считаем, что а, Ь, с попарно различ-
ны — иначе, как легко проверить, одно из этих чисел
является корнем уравнения).
И как ни хотелось бы здесь, по аналогии с задачей 6,
сказать, «что и требовалось доказать», такое заключение
было бы поспешным и содержало бы сразу две ошибки.
Грубая ошибка состоит в том, что в данном случае,
в отличие от задачи 6, старший коэффициент трехчлена
Дх) не обязательно положителен: как легко видеть, он
равен а-\-Ь-\-с.
Однако более внимательный анализ последнего полу-
ченного выше неравенства (b^ffc) <0 показывает,
что все сомножители в левой части не могут быть отрица-
тельными, так что среди них фактически есть хотя бы
один и отрицательный и хотя бы один положительный.
Следовательно, трехчлен f(x) принимает значения разных
знаков и поэтому независимо от знака своего старшего
коэффициента имеет действительные корни.
Укажем и более тонкую ошибку: в самом начале
решения мы опять не проверили предварительно, что
после раскрытия скобок коэффициент при х2 будет отлич-
40
ним от нуля; более того, на самом деле это и неверно —
ничто не мешает сумме а-\-Ь-\-с обратиться в нуль.
Другими словами, все приведенное решение справедливо
лишь при условии a-|-Z? + c#=O- Поэтому, как и в
предыдущей задаче, в принципе, здесь следует рассмот-
реть случай а + + с =
Но самое замечательное состоит, однако, в том, что
в обеих задачах мы вовсе не пользовались тем, что
f(x)— именно квадратный трехчлен, а лишь ссылались на
одно свойство функции f(x) вида рх2 + ?^+л где р не
обязательно отлично от 0— если f(x) принимает значения
разных знаков, то в некоторой точке она принимает
значение, равное 0. Об этом мы уже говорили в конце
решения задачи 5, но в данном случае оно верно и при
р=#0 как известное свойство квадратного трехчлена, и
при р = 0 как свойство линейной функции.
В то же время при решении такого рода задачи,
например, на экзамене,представляется более удобным, не
вдаваясь в тонкости рассуждений, связанные с непрерыв-
ностью, с самого начала рассмотреть два случая:
a-f-Z?4-cy=0 и а + Ь-{-с = 0. В первом из этих случаев f(x)
является квадратным трехчленом, а во втором f(x)— ли-
нейная функция, для которой также справедливо утверж-
дение о существовании нулевого значения, если два ее
значения имеют разные знаки.
С аналогичной тонкостью мы встречаемся и при реше-
нии следующей задачи.
8. Упростить выражение
(х-а)(х-Ь) . (х — Ь)(х — с)	(х—с)(х —а)
(с — а) (с— Ь)	(а — Ь)(а—с) ‘ (Ь — с)(Ь — а) *
Решение. Утомительные вычисления в конце концов
приведут, конечно, к решению этой задачи, но на самом
деле возможно гораздо более простое решение. Данное
выражение, как легко видеть, после преобразований при-
мет вид рх2 + ?х + г, где р, qy г — некоторые выражения,
зависящие от а, Ьу су и мы будем называть его «квадрат-
ным трехчленом», употребляя кавычки, поскольку мы не
знаем, отличен ли коэффициент р от нуля. Обозначив этот
«квадратный трехчлен» через f(x), заметим, что
f(a) = f(6)=f(C)=l,
и следовательно, «квадратный трехчлен» f(x)—1 обраща-
ется в 0 в трех различных точках — числа ау Ьу с разуме-
ется, различны, так как в противном случае данное выра-
41
жение не имеет смысла (с этого замечания следовало бы
начать решение задачи).
Но если f(x)—\=px2-\-qx-\-r—\ является «настоя-
щим» квадратным трехчленом, т. е. то он не может
иметь трех корней, а при p = G и выражение f(x)— 1
обращается в 0 лишь в одной точке. Поэтому р=^=0,
и из равенства f(a)=O получаем г —1=0, и, таким обра-
зом, исходное выражение тождественно разно 1 (напом-
ним, при различных а, Ь, с).
Решение этой задачи, точнее, обнаруженная в этом
решении структура исходного выражения, приводит к
способу определения коэффициентов квадратного трех-
члена по известным его значениям в трех точках. Именно,
легко проверить, что если
f(a)=p, f(b)=q, f(c) = r,
где a, b, с — попарно различны, то
ч_п(х—Ь)(х—с) .	(х—с)(х—а) 	(х+а}(х—Ь)
(а—Ь) (а—с) ’	(Ь—с)ф—а) '	(с—а)(с— Ь) ’
Правда, остается открытым вопрос о единственности
такого многочлена, но в действительности она имеет мес-
то. Эта формула является частным случаем общей форму-
лы— так называемой интерполяционной формулы Лаг-
ранжа^ позволяющей построить многочлен любой степени
п по известной системе из его и-|-1 значения.
Впрочем, для решения конкретной задачи построения
квадратного трехчлена по трем его значениям нет необхо-
димости помнить эту формулу, довольно изящную, но
сложную, и достаточно уметь решать системы трех линей-
ных уравнений с тремя неизвестными. Если, например,
требуется найти квадратный трехчлен, принимающий в
точках 2,— 1 и 3 значения соответственно 1, 2 и —1, то,
обозначив искомый многочлен через Дх)=ах2 + £х4-£,
можно решить несложную систему
{4а + 2^ + с=1,
а-Ь-\-с = 2,
Ga-\-3b-\-c=—
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Имеют ли решение неравенства
а)	52х2 — 361 х4-238СО; в) 245х2—142л-{-322с0;
б)	31х2-Ь 143а-4- 105С0; г) 132х2 + 156т-|-23<0?
42
2.	Имеют ли корни уравнения
а) 816х2 —4х—23=0; в) 613х2 + 812х+135=0;
б) 311х=—821x4-431 =0; г) 114х2—497x^489=0?
3.	Решить систему
й) ( 31х2—38х—48>0,
I 41х2-|*11х-186<0;
б)	- |jt+3| =4, в) j|3x-lj + |2х+Н <10.
’ 356х2—831х+475<0, I 161х2+542х —1728<0
4.	Решить уравнение
3—г i — Jc
а) 2-" -5 ' = 10;	*+t
ЛМ.	г) 2 3" -(<5)д'6
б) Зх-4 3 =144;
5.	Доказать, что если уравнений
оба не имеют корней, То уравнение
-|“(3р -4-2г)х-г	-2s;=0
также не имеет корней*
6* Доказать, что если a-j-2b + c^> 0 и а<'0, то Ь2> ас
$ 4. ИСКЛЮЧЕНИЕ «ЛИШНИХ» КОРНЕЙ КВАДРАТ-
НОГО ТРЕХЧЛЕНА,
Задачи, которые мы будем рассматривать здесь и
в последующих Параграфах, чаще всего будут уравнения-
ми И неравенствами с параметром.
Мы Остановимся Сначала на одном общем вопросе,
связанном с параметром. Он возникает при решений
квадратных уравнений й неравенств в самом «хорошем»
случае,— когда дискриминант уравнения, т. е. соответ-
ствующего квадратного трехчлена явлйется полным
квадратом.
Пусть, например, требуетсй решить уравнение
?—(3Q+1)х—За2-ф7а—2=0
Дискриминант этого уравнения, как нетрудно подсчитать,
равен (4а—З)2 и поэтому, строго следуя формуле Вычисле-
ния корней квадратного уравнения, получаем
t _ (2а+1)4;7(4?^зу _ (2й+	|4d—31
*!.2=-----^2------------------2-----
или, более подробно,
49
Г За— 1 при	р —а при
Х1 = 1	3	*2=1	3
(2—- а при а<—	^За— 1 при cl<Z—
Мы видим, что корнями данного уравнения являются
числа За—1 и 2 — а, но при а^З/4 и при а<<3/4
они по-разному занумерованы. Однако нумерация корней
для уравнения не играет, разумеется, никакой роли, и
поэтому вполне можно записать корни уравнения в виде
%i=3a—1; х2 = 2 — а
Обе указанные формы записи корней, таким образом,
правильны, но первая из них — формальное следствие
общей формулы корней —неудобна, как мы увидим ниже
для решения задач, а вторая формула удобна, но не
согласуется с общей формулой.
Практический выход из этого «противоречия» нетруд-
но найти. Именно, при решении квадратного уравнения
с параметром можно, вычислив дискриминант и убедив-
шись, что он является полным квадратом, выписать зна-
чения корней во второй, более простой, форме — без
знака модуля; при этом общую формулу лучше не выпи-
сывать—иначе возникнет логическое противоречие.
Заметим, однако, что при втором способе нумерации
корней даже при а> 0 нельзя утверждать, что корень xi
всегда больше х2.
В этом и двух последующих параграфах мы рассмот-
рим один из наиболее распространенных видов задач,
которые тем или иным образом сводятся к исследованию
принадлежности корней квадратного трехчлена ограни-
ченной области. Типичные ограничения в этих задачах
состоят в том, что
1)	корни трехчлена не должны принимать определен-
ные («запрещенные») значения (их обычно конечное,
и притом небольшое число);
2)	корни трехчлена должны лежать на некотором луче
(открытом или замкнутом, т. е. с концами включенными
или исключенными);
3)	корни трехчлена должны лежать на некотором
конечном промежутке.
Особо подчеркнем, что при решении задач с парамет-
рами на самом деле идет речь, как правило, не о проверке,
удовлетворяет или не удовлетворяет полученный корень
заданным ограничениям, но об отборе значений парамет-
ра, при которых он им удовлетворяет. Поэтому «непо-
44
средственная проверка» часто вообще не делается, но сам
способ решения «отбирает» нужные значения параметра
и соответствующие им решения задачи — уравнения или
неравенства.
Прежде, чем перейти к решению конкретных задач,
договоримся называть для краткости «хорошими» иско-
мые значения параметра. Остальные значения параметра
будем, естественно, называть «плохими». Правда, в рабо-
тах «официальных», предназначенных для проверки, эти
«термины» лучше не употреблять.
1. Решить уравнение
а2— 1 _х
ах— 1 а *
Решение. При решении уравнений с параметрами це-
лесообразно с самого начала указывать значения пара-
метра, при которых уравнение имеет смысл, т. е. область
допустимых значений (ОДЗ) параметра,— знание этих
значений, как правило, помогает в дальнейшем при иссле-
довании корней.
В данном случае ОДЗ параметра определяется усло-
вием а#=0, и мы считаем далее, что а#=0.
Данное уравнение очевидным образом сводится к
квадратному (в силу а=#0) уравнению
ах2—х-^-а—а3=0,
для которого надо найти корни, отличные от 1/а.
Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в ле-
вой части полученного уравнения, равен
D(a)= 1 —4a2-Ha4=(2a2- I)2,
и поэтому корни уравнения
1 — а2
xi = a, хг=----.
а
Обратим внимание на обозначение D (а) вместо стандарт-
ного для дискриминанта обозначения D, Дело в том, что
в процессе решения уравнения с параметром всегда при-
ходится рассматривать различные значения а, т. е. а
становится переменной, а дискриминант функцией а, так
что функциональное обозначение D(a)tвполне естественно,
напрашивается само собой.
Для выяснения вопроса, отличны ли полученные корни
Х[ и Х2 от «запрещенного» значения 1/а, точнее — для
нахождения значений а, при которых Х| и х2 отличны от
1/а, следует решить «не — равенства»
45
Однако с «не — равенствами» обращаться неудобно, и
поэтому лучше искать «плохие» значения параметра.
В первом случае плохими будут значения а, при которых
а=~-, т. е. значения а — ± 1, во втором — значения, при
которых =~> т. е- «==0. Но а^О, так что во
втором случае все значения параметра а—хорошие, а
в первом хорошими являются все значения а, кроме 1
и —-1. Другими словами, ли является корнем исходного
уравнения при	а *2— при любом а, и, таким
образом, исходное уравнение имеет следующие решения:
при	Xi = a,	;
при а={ и при а =—1 :х = 0;
при остальных значениях параметра решений нет.
В связи с этим ответом отметим два обстоятельства.
Во-первых, указанные в первой строчке значения и х2
могут оказаться совпадающими (при D (а)=0, т. е. при
а2=-~), и, во-вторых, в последней строчке мы не стали
специально выделять случай а —0, когда уравнение не
просто не имеет решения, а вообще не имеет смысла.
Вопрос о правильности такой формы записи ответа
в уравнениях с параметрами связан с некоторыми логи-
ческими соображениями, на которых мы не будем оста-
навливаться. Отметим только, что считается более прием-
лемым (а в некоторых вузах даже и обязательным) не
допускать совпадения корней, и в данном случае ответ
лучше записать в такой форме:
при a—Х|=а, х2=—~ ;
у 2	а
при а= 1 и при а= 1 : х=0;
при
при
при остальных значениях а решений нет.
Преимущество этой формы записи, хотя и более длин-
ной, состоит, например, в том, что в ней, в отличие от
первой, сразу же очевидно число корней уравнения.
И поскольку вопрос о числе корней уравнения часто
имеет специальный интерес и фигурирует непосредственно
46
в условии задачи» то на возможное совпадение корней
полезно всегда обращать внимание.
В заключение решения данного уравнения заметим,
что если бы мы воспользовались первой формой записи
корней уравнения с параметром, то получили бы
v	1 + |2а2-1|	v L—|2а2—1|
Xi~-----Та---' Х2~-------Та-’
и тогда для исследования их совпадения со значением 1/а
пришлось бы решать уравнения
1 + I2<z2 —li	1	1 х|2а2—11 = 1
2а	а ’ 2а	а
— задача не слишком сложная, но, как видно из приве-
денного решения, совершенно излишняя.
2.	Решить уравнение
^-°+-+За-^=1.
1— х	х — 2
Решение. После необходимых преобразований — под-
робности мы снова опускаем — мы придем к следующей
задаче: найти корни уравнения
х2—(2а 4" Вх—За2 + 7а—2=0,
отличные от 1 и 2. Дискриминант трехчлена f(x), стоящего
в левой части уравнения,, равен
D(a)=(2a+ I)2-— 4(— За^ + ^а—2)=^
-= 1ба2-24а + 9 = (4а —З)2
и поэтому корни уравнения
х\=3а— 1, хо = 2 — а
{эти корни совпадают при /Ж)-=0, т. е. при а = 3-/4).
Не составляет труда непосредственно-, как и в
предыдущем уравнении, найти значения а, при которых
эти корни отличны от 1 и 2, но мы используем один
специальный прием. Именно, вычислим значения трехчле-
на f(x) в «запрещенных» точках:
f(l)=-3zi2+5a—2, Д2)=-За2+За.
Тогда
Д1) = 0оа= 1 или а=-^-
/(2)=0<^>а = 0 или а=1
поэтому при любом значении а, отличном от 0, 1 и 2/3,
числа 1 и 2 не являются корнями, так что оба корня х\
47
и %2 отличны от «запрещенных» значений 1 и 2. Следова-
тельно, остается рассмотреть только три «особых» значе-
ния а.
При этих значениях имеем:
при a = 0:xi = — 1, х2 = 2;
при а= 1 : Х[ = 2, х2 = 1;
Таким образом, решение данного уравнения может
быть записано в виде:
2 3
при а =4= 0,1	: х\ = 3а — 1, х2 = 2 — а;
о 4
при а = 0 : х= — 1;
2	4
при а=—: х=—\
о	<5
3	5
при а=-г: х=—\
г	4	4
при а=1 решений нет.
Как мы уже указали, в данном случае не менее
и даже, быть может, более просто проводится непосредст-
венное исследование корней х\ и х2) однако предложенный
прием решения оказывается эффективным именно в более
сложных случаях, когда, как это чаще всего бывает,
дискриминант трехчлена не является полным квадратом
и корень из него «не извлекается». На наш прием этот
факт совершенно не влияет, тогда как непосредственное
исследование корней приводит в этих случаях к необходи-
мости решать иррациональные уравнения. Разумеется,
иррациональные уравнения тоже надо уметь решать, но
рассмотренный прием ведет к цели более коротким и
технически более простым путем.
3. Решить уравнение
2.4^3
*+1 ' х— 1	х — а *
Решение. После необходимых преобразований мы при-
дем к следующей задаче: найти корни квадратного урав-
нения
Зх2 —2(3а — 1)х—2а 4-3 = 0,
отличные от 1, —1 и а. Дискриминант квадратного трехч-
лена f(x), стоящего в левой части уравнения, равен
D(a)=4[ (За- 1)2-3(-2а-|-3)]=4(9а2-8),
48
так что
£)(а)>0оа<^ —или
Далее мы будем рассматривать, естественно, только
такие значения параметра а, при которых /)(а)^0—при
остальных значениях а квадратное уравнение решений не
имеет, и тем более не имеет решений исходное уравнение.
При этих значениях параметра квадратное уравнение
имеет два корня
„	(За-1)+лЛГ<?—8
Х|,2	3
совпадающие при D(a} — 0, т. е. при
2-V2	2-V2
а=-~- и при а=-----
Вычислим значения трехчлена f(x) в «запрещенных» точ-
ках:
f(l)=-8a+8, f(-l)=4a+4, f(a)= -3a2-f-3.
Тогда
f(l)=0oa= 1, f(—1)=0 о a= — 1.
f(o)=Ooa=l или a= —1,
и поэтому при значениях а, отличных от 1 и —1 (и
удовлетворяющих, конечно, условию D(a)Z>0) оба корня
Х\ и Х2 отличны от «запрещенных» значений.
Рис. 1.
Остается рассмотреть особые значения а — 1 и а = — 1.
При а= 1 имеем xt = 1, х2 = 1/3, а при a~ —1 х\= — 1,
х2 =—5/3. Для записи ответа удобно воспользоваться
координатной прямой (рис. 1):
при	2 =
3
49
i	5
при а= — 1 : х= —g-;
при — 1 < а <-х_: Х1.2 =  -;
2л/2	2т/2+1.
при а=---f-:x=----V-
2^2 . v 2<2+Г
при а=— Х=——
2-^2	(За—	8 
при —g—<а<1 :xi.2=---- з -----•
, 1 .
при а= 1 : х—-^\
при а> 1 : хм---------у2------.
при остальных значениях а решений нет.
(Значения корней при а=±Д^-, т. е. при D(a)=Q,
□
получены из равенств xi.2=-^j-^-=a—при соответст-
вующих значениях а).
Впрочем, в такой подробной записи решения ответа
нет логической необходимости, и он будет менее громозд-
ким, если объединить первую, третью, шестую и восьмую
строчки и написать:
при а< — 1, —1<а<—а~> 1:
<5 я?

Для лучшего представления об эффективности рас-
сматриваемого приема решения отметим, что при решении
задачи прямым путем для исследования отличия корней
Xi и Х2 от «запрещенных» значений нам пришлось бы
решать шесть иррациональных уравнений
(За— 1)±л/9а2-8=3,
(За — 1) ± д/оа2 -8 = - 3,
(За— 1)±д/9а2 — 8 = За.
50
4. Сколько корней, в зависимости от числа а, имеет
уравнение
2х— 1  х-\-а— 1
х—а х—2а+&
Решение. Данная задача легко сводится к следующей:
сколько различных корней, отличных от а и 2а—3, имеет
квадратный трехчлен
f(x)=х2 — 2(2а—3)х+о2+а —3
Дискриминант f(x) равен
£>(а)=4[ (2а—З)2—а2—а+3) J=4(3a2- 13а+12),
а значения f(x) в «запрещенных» точках равны.
f(a)= -2а2 + 7а—3, Д2я—3)=—За2+ 13а-12.
Так как
D!fl)>0oa С-4- или а^З,
О
f(a)=0oa —3 или а=-~-„
f(2a—3)=0 о- а=3- или а=3,
то при 4/3<а<3 квадратное уравнение, а тем более
исходное уравнение не имеет решений, а при остальных
значениях а, отличных от 3, 4/3, 1/2 исходное уравнение
имеет два (различных!) корня. При этом начинаем «за-
полнять» рисунок (рис. 2).
Остается рассмотреть «особые» значения а. При а=3 и
при а = 4/3 дискриминант Z9(a) = 0, и оба корня принима-
ют «запрещенное» значение 2а — 3. Значение а= 1/2 мень-
ше 4/3, так что в этом случае корни /(л) различны и ровно
один из них принимает «запрещенное» значение а.
В результате получаем, что при а<1/2, при 1/2<а<
<4/3 и при а> 3 исходное уравнение имеет два корня,
5Г
при a=l/2 — один корень, при остальных значениях а
оно корней не имеет.
Обратим внимание на некоторую «экономию» в реше-
нии: мы даже не выписывали значения корней и не
выясняли, какой именно из них отличен от «запрещенно-
го» значения а при а=1/2. Такая экономия, конечно, не
обязательна (и не всегда оправданна!), но ведь в данной
задаче требовалось только ответить на вопрос о числе
корней, а сами корни были не нужны.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решить уравнение
а) х(ах— 1)=а(а2 — 1);
. х а . ах—1 а
В) a'2—i ~ ах—1 ’ Л а2—1 ~~~х
2. Решить уравнение
а) х — 2а = (3x4-2) (ах 4- I);
б> 3x4-2 =^+1; ' в) Х~]а. =3x4-2; ; ’ ах 4-1	' 3.	Решить уравнение . ах+а—2	.	. , а) 3x4-5 ~х+а+1> ах + а—2 о . _ б) х+а+1 =3*+5-- 4.	Решить уравнение . х—а _ х—2а+3 . 3 2х— 1 х+а— 1 ’ . х—а _ 2х— 1 ' х—2а+3 ~ х+а— 1 ’ 5.	Решить уравнение . х—2а—2 пх—4а+Ю а) 	i—=2	г-!	; ' х—1	х+а х—2а—2 _ х— 1 х—4а+10	~х+а’	1 _ . ’ 3x4-2	х—2а* 1	_ 3x4-2 ах+1	х — 2а ' 7 3x4-5 ах4-а—2 ’ \	1	— 5x4-5 Г' х4-а4-1 ах+а—2 * \ *+л—1 _ х—2а4~3 . В 2х—1	х—а х+а— 1 _ 2х— 1 Г' х—2а+3 ~ х — а . х4-а ?х—4л4-10. ' х-1	“ х-2в—2 ’ г) - Х+° - =2 -Х.~!_. ' х—4а4-Ю	х—2а—2
52
6. Решить уравнение
х а . 2а—1	а+1
а)	Т+~^Г=7+Г:
27+9а-О2	а2+3а
б)	—зтзз—+-^з"=3;
За+З-а2 3а2+3а _ 1 .
В) х-1	3-х ~2’
v 6х—10	1	_ 4х— а — 3
Г х2-4х-]~3 ’ х — 1 — (х — а)(х — 1)’
§ 5. ОТБОР КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА
НА ЛУЧЕ.
Перейдем теперь к задачам, в которых возникают
ограничения второго типа — требующие, чтобы корни
квадратного трехчлена лежали на некотором луче, откры-
том или замкнутом (т. е. с исключенными или включенны-
ми концами). В этих задачах требуется, как правило,
выяснить либо число корней трехчлена, либо их существо-
вание на этом луче, или отобрать корни трехчлена, при-
надлежащие данному лучу.
Для решения таких задач мы рассмотрим специальные
приемы, основанные на известных теоретических свойст-
вах квадратного трехчлена и приводящие, в большинстве
случаев, особенно в сложных задачах, к более короткому
решению, чем непосредственные, «лобовые» способы рас-
суждений.
Среди азбучных свойств квадратного трехчлена, пере-
численных нами в § 1, имеется хорошо известное учащим-
ся необходимое и достаточное условие (критерий) того,
что квадратный трехчлен имеет два положительных кор-
ня: для трехчлена f (x)=ax2-{-bx-[-c это условие имеет
вид
—<0, —>0.
На практике более удобно, избегая дробей, записывать
это условие в виде
£)^0, а6<0, ас> 0.
Мы поставим следующую задачу: найти’ необходимое
и достаточное условие для того, чтобы корни Х[ и Хг
квадратного трехчлена f(x) = ax2 + ^+c были больше
данного числа р (т. е. принадлежали открытому лучу
(р;4-оо)). Решим эту задачу классическим математичес-
ким приемом —«сведением к предыдущему».
53
В самом деле, функция g(x) = f(x+p), как легко видеть,
также является квадратным трехчленом, а его корнями
являются числа х\—р и Х2 — р'- действительно,
g(x, —p)=f( (Х| -p)+p)=f(x1)=O.
Поэтому корни трехчлена f(x) больше р тогда и только
тогда, когда корни g(x) положительны. Но условие поло-
жительности корней квадратного трехчлена нам уже из-
вестно, и поскольку
g{x)=а(х+р)2 + Ь(х+р)+с =
— ах2+(2ар+&)х4- ар2 + b р + с,
то это условие имеет вид
Di^O, а(2ар+6)<0, ар2 + &р + 0 0,
где Di— дискриминант трехчлена g(x).
Это и есть искомое необходимое и достаточное условие
того, чтобы оба корня трехчлена /(х) были больше р.
Выглядит оно довольно громоздко и требует, главное,
вычисления дискриминанта трехчлена g(x), что требует
длинных выкладок. Оказывается, однако, что без этого
можно обойтись: действительно, трехчлены g(x) = f(x+p)
и /(х) либо оба имеют, либо оба не имеют корней, и
поэтому неравенство, Di^O равносильно неравенству
D^O, которое выписывается уже непосредственно по
данному трехчлену f(x).
Более того, второе и третье неравенства в подученном
условии могут быть легко истолкованы, исходя из самого
трехчлена f(x): именно, третье условие означает, что
а/(р)> 0, а второе — что af'(P)<0- (Напомним, что произ-
водная /'(х) трехчлена f(x) = ax2 -}-bx-\-c равна 2ах-{-Ь.
Таким образом, мы получили следующее утверждение:
Квадратный трехчлен [(х) = ах2-}-Ьх-^-с имеет два (не
обязательно различных) корня, больших данного числа р,
тогда и только тогда, когда одновременно выполняются
неравенства:
D^O, af(p)> 0, af\p)<0.
Совершенно аналогично может быть получено необхо-
димое и достаточное условие для того, чтобы корни
квадратного трехчлена были меньше р:
Квадратный трехчлен f(x) = ax2-\-bx-\-c имеет два (не
обязательно различных) корня, меньших данного числа
р тогда и только тогда, когда одновременно выполняются
неравенства
54
D^O, af(p)> 0, af'(p)> 0.
Мы приведем еще одно доказательство последнего
критерия, также основанное на «сведении к предыдуще-
му». В самом деле, если трехчлен f(x) = ax2Ьх-\~с имеет
корни xt, Х2, меньшие р, то трехчлен g( —х)=/( —х) =
= ах2 — Ьх + с имеет корни — х\ и — хг, большие —р,
г. е. находится в условиях предыдущего критерия. Поэто-
му трехчлен /(х) имеет корни, меньшие р, тогда и только
тогда, когда
£>>0, а&( —р)>0, ag'( —р)<0.
Но g'(x) = 2ax — b, так что g'(—p)=—2ap—b=—f'(p)
и мы получаем требуемый критерий:
П^О, af(p)> 0, af'(p)>0.
Естественным дополнением к полученным необходи-
мым и достаточным условиям является следующее ут-
верждение — критерий того, что корни квадратного
трехчлена лежат по разные стороны от данного числа р:
Квадратный трехчлен f(x)=ax2 + &x + c имеет корни,
один из которых больше, а другой меньше данного числа
р, тогда и только тогда, когда
af(p)<0.
Доказательство этого критерия становится очевидным
после простой переформулировки. Рассматриваемое свой-
ство трехчлена означает, что число р лежит между его
корнями, а критерий для этого хорошо известен: знак
значения трехчлена в точке р должен быть противополо-
жен знаку старшего коэффициента — это относится к
азбучным свойствам квадратного трехчлена.
Мы привели чисто формальные доказательства рас-
смотренных критериев — весьма простые и, на наш
взгляд, полезные иллюстрации использования приема
«сведения к предыдущему», широко распространенного
в математике. Кстати, по существу, именно «сведением
к предыдущему» является рассуждение, используемое при
доказательстве методом математической индукции.
В то же время наши критерии могут быть получены
геометрическим путем на основе сравнительного анализа
графиков «хороших» и «плохих» квадратных трехчленов,
т. е. обладающих или не обладающих требуемым свой-
ством.
Для иллюстрации мы рассмотрим первый критерий.
Какими свойствами обладает «хороший» трехчлен
f(x)=ax2-[-bx + c (рис. 3), в отличие от остальных —«пло-
55
хих» — трехчленов, изображенных на этом рисунке? (Для
начала мы рассматриваем случай а>0).
Прежде всего, трехчлен f(x) имеет корни, что отличает
его от g(x); далее, значение f(p) положительно, так что
«отпадает» трехчлен Л(х). Для «отделения» f(x) от k(x)
требуется чуть большая наблюдательность и можно исхо-
дить из двух различных соображений.
Читатели, знакомые с общим понятием производной,
могут заметить, что точка графика f(x) с абсциссой р
лежит на «убывающей» его ветви, т. е. f'(p)<0; в то же
время точка графика &(х) с абсциссой р лежит на «возрас-
тающей» ветви, т. е. k'(p)> 0 .
Остальные читатели могут заметить, что абсцисса
вершины графика f(x) лежит правее точки р, тогда как для
графика k(x) это неверно, т. е. «хороший» трехчлен f(x)
отличается от «плохого» трехчлена k(x) выполнением не-
равенства —р, или, что то же самое, 2ар4-6<0,
т. е. Г(р)<о.
56
В результате мы приходим (в случае а> 0 ) к искомо-
му критерию
Аналогичные рассмотрения при а<0 приводят к не-
равенствам
f(p)<0, f'(p)>0,
и, объединяя полученные результаты, можно получить
требуемый критерий:
D > 0, af(p)> 0, af'(р) < 0.
Однако можно ли считать, что теорема уже доказана?
Строго говоря, нет, и это объясняется двумя важными
обстоятельствами. Во-первых, мы опирались в своем рас-
суждении на графики, т. е. на геометрическую интерпре-
тацию свойств квадратного трехчлена. Между тем, гео-
метрические соображения, являясь мощным средством
поиска решения алгебраических задач, не всегда счи-
таются убедительными с точки зрения обоснования
решения.
Во-вторых, в приведенных рассуждениях может пока-
заться сомнительной полнота решения: в самом деле,
мы же не могли изобразить графики всех «хороших»
и всех «плохих» трехчленов и фактически рассматривали
лишь их «типичных представителей». Но где гарантия, что
какого-либо случая мы не упустили? Более того, мы не
начертили ни одного графика, который бы проходил через
точку оси ОХ с абсциссой р, ни одного графика трехчлена
с совпадающими корнями, а вдруг это существенно?
И на практике часто оказывается, что учащиеся, про-
водя подобные рассуждения, забывают либо о трехчле-
нах, не имеющих корней, либо об условии, связанном
с «убывающей» или «возрастающей» ветвью графика (в
других терминах — с расположением точки р относитель-
но абсциссы вершины графика). Поэтому, получив гео-
метрически некоторое утверждение, следует, как правило,
еще доказать его строгим логическим рассуждением.
В данном случае доказательство, следующее идеям гео-
метрических рассуждений, проводится на основе азбуч-
ных свойств квадратного трехчлена и не представляет
большого труда, хотя и требует определенных усилий.
Пусть трехчлен f(x) = cvr-\-bx-{-c с положительным
старшим коэффициентом имеет корни х\ и х2, большие
числа р. Тогда его дискриминант неотрицателен (посколь-
ку корни существуют), f(p)> 0; так как число р меньше
57
меньшего корня, то р<2 и по теореме Виета
Р< —т. е. f'(p)=2ap+b<0.
Этим наше утверждение «в одну сторону» полностью
доказано (для а> 0 ).
Обратно, пусть выполняются условия
f(p)>0, Л(р)<0.
Тогда трехчлен f(x) имеет корни Х| и х2, и если эти корни
различны, то из второго неравенства следует, что число
р либо больше большего, либо меньше меньшего корня;
но в первом случае мы имели бы, что
т. е.
f'(p)=2ap + b> О,
что противоречит третьему из данных неравенств. Следо-
вательно, р меньше обоих корней. Если же кор-ни совпа-
ь
дают, т. е. xi=x2 =——, то третье неравенство
2ap-\-b<z0 как раз и означает, что «оба» корня больше
Отметим, что это доказательство можно провести,
опираясь на общее понятие и свойства производной:
в первой части доказательства из неравенства р<х2
(х2— меньший корень) следует, что точка р лежит в
промежутке убывания f(x), так что ^(р)<0; во второй
части, наоборот, из неравенства /'(р)<0 следует, что
р лежит в промежутке убывания /(х), так что р<х2.
Тем самым наше утверждение полностью-доказано для
трехчленов с положительным старшим коэффициентом,
и совершенно аналогично проводится доказательство для
отрицательного старшего коэффициента.
Заметим, что доказанные нами первые два утвержде-
ния являются фактически обобщениями следствия теоре-
мы Виета о знаках корней трехчлена — это следствие
получается из них при р = 0. Поэтому в задачах, где речь
идет именно о знаках корней, лучше использовать это
стандартное следствие, а не вспоминать общие утверж-
дения.
Прежде, чем перейти к решению конкретных задач,
отметим, что наряду с условием принадлежности корней
квадратного трехчлена открытому лучу вида (р;
58
4- оо) или ( — оо; р) часто возникает та же задача для
замкнутого луча вида [р; +<») или (—оо; р].
Кроме того, особенно в вопросах, связанных с числом
корней, часто требуется различать случаи различных и
совпадающих корней трехчлена, лежащих в том или ином
конкретном промежутке. Для каждого из этих случаев
также можно доказать и сформулировать соответствую-
щие критерии, однако мы будем поступать по-другому.
Дело в том, что заготовить теоретические критерии «на
все случаи жизни» практически невозможно, и кроме того,
их получилось бы так много, что запомнить их было бы
нелегко. Поэтому мы будем использовать только уже
полученные критерии, а при необходимости отдельно рас-
сматривать случаи обращения в 0 дискриминанта, самого
трехчлена и, если нужно, его производной. В задачах
с параметрами ссоответствующие значения параметра
будем называть «особыми». Такой способ рассуждений
в большей степени гарантирует от случайных ошибок,
возникающих в этих «крайних» случаях.
В дальнейшем мы будем использовать стандартные
обозначения: f(x)—рассматриваемый квадратный трехч-
лен, D —его дискриминант; выражения D, f(p) и f'(p) (при
заданном числе р будем называть опорными.
1.	Найти все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение logz(4x — а)=х имеет два решения.
Решение. Положив у = 2’ и освобождаясь от логариф-
ма, мы получим, что данное уравнение равносильно урав-
нению у1 — а = у. Поскольку у принимает все положитель-
ные значения, то мы имеем задачу: при каких а квадрат-
ный трехчлен, f(y)=^y2 — y — a имеет два различных поло-
жительных корня?
Это вполне стандартная задача. Трехчлен f(y) имеет
различные корни при Ь=14-4а>»0> т. е. при —1/4.
Сумма этих корней, по теореме Виета, равна I, так что
они оба будут положительны при —	0 , т. е. при а<0.
Следовательно, трехчлен f\y) имеет два различных
положительных корня при значениях — 1/4<а<0, и
исходное уравнение имеет два корня именно при этих
значениях а.
2.	При каких значениях а уравнение
а-2х + 2'х = 5
имеет единственное решение?
Решение. Сделав замену у — 2~х и, заметив, что у
принимает все положительные значения (точнее говоря,
59
Е(у)=(О; +<»)), мы придем к следующей задаче: при
каких значениях а квадратный трехчлен
Ку)=У2 — 5у+а
имеет единственный положительный корень? И снова бу-
дем внимательны: здесь нас «устраивает» и случай, когда
трехчлен имеет два совпадающих положительных корня.
Таким образом, значение параметра а удовлетворяет
условию задачи, если трехчлен f(y) имеет либо корни
разных знаков, либо положительный и нулевой корень,
либо два равных положительных корня.
Первый случай имеет место, по следствию из теоремы
Виета, при а«<0, второй при а=0 (больший корень х\ при
этом равен 5), а третий случай — при £>(а)=25—4а, т. е.
при а = 25/4. В результате получаем, что условию задачи
удовлетворяют значения параметра а<0 и а=25/4.
В связи с приведенным решением,естественно,возника-
ет вопрос, почему мы обозначили через у именно 2 а не
2х, что представляется более естественным. Ясно, что
здесь нет никаких принципиальных соображений, но во
втором варианте при а=0 мы не получили бы квадратно-
го трехчлена, и это значение пришлось бы рассматривать
отдельно.
3.	Найти множество значений функции
у=(х+ 1) (х+2) (х+4) (х+5).
Решение. Ясно, что число а принадлежит множеству
значений Е(у) тогда и только тогда, когда уравнение
(%+1) (х-\-2) (%+4) (х4-5)=а
имеет хотя бы один корень. Пользуясь некоторой симмет-
ричностью выражения, задающего данную функцию
(1-{-5 = 2+4), перемножим первый и четвертый, а также
второй и третий сомножители. После этого, обозначив
выражение х2 + 6х через /, мы получим уравнение
(/+$) (/+8)=а. Заметив, что область значений квадрат-
ного трехчлена t есть [—9; +<*>), мы придем к следую-
щей задаче: при каких значениях а уравнение
/2 + 13/Н-40 — а = 0
имеет хотя бы один корень, удовлетворяющий неравенст-
ву —9?
Для решения этой задачи удобно искать «плохие»
значения параметра а\ число а не удовлетворяет условию
задачи, если трехчлен /'(/) или вообще не имеет корней,
или имеет два (быть может, совпадающих) корня, мень-
60
ших —9. Первый случай имеет место при
/)(а) = 94-4а<;0, т. е. при а< — 9/4. Для второго случая,
согласно выше полученному критерию, необходимо и до-
статочно одновременного выполнения неравенств
£>(а)>0, Г(-9)>°,	9)>°.
Однако f(—9)=—5, так что эта система неравенств
решений не имеет, и поэтому «плохими» являются только
значения параметра, найденные в первом случае, т. е.
a<Z—В результате получаем, что условию задачи
удовлетворяют значения —9/4, и таким образом,
область значений заданной функции у есть замкнутый луч
[—9/4; +оо).
Заметим, что, как можно убедиться, функция у прини-
мает наименьшее значение —9/4 при значении х= —3—
«центре тяжести» чисел 1, 2, 4, 5—их среднем ариф-
метическом.
Разумеется, вычисление «плохих» значений параметра
вместо «хороших» совершенно не обязательно, и вполне
можно было рассуждать и иначе*, рассмотреть особое
значение а, при котором —9 является корнем трехчлена
f(x) и применить второй из выше полученных критериев.
Но это решение было бы несколько длиннее.
Отметим, что при некоторой наблюдательности, при
стремлении всегда использовать конкретные особенности
задачи, можно привести и совсем простое решение, для
которого наш критерий не нужен. Именно, при D(a)<C0
квадратный трехчлен [(f) не имеет корней, а при £)(а)^>0
сумма его корней равна —13, так что больший корень
больше —13/2 т. е. больше —9. (В случае х\=Хэ =
= — 13/2 оба корня больше —9).
4.	Сколько корней имеет уравнение
J 3423х2—6963х+3541 = 1—х?
Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, мы
приходим к следующей задаче*, сколько различных кор-
ней, удовлетворяющих неравенству х^[, имеет квадрат-
ный трехчлен
f (х)=3422х2 -6961% + 3540?
Напомним, что мы не останавливаемся на деталях рас-
суждений, показывающих равносильность новой и исход-
ной задач.
Ясно, что стандартный путь решения связан здесь
с серьезными вычислительными трудностями, и мы приме-
61
ним доказанные выше теоремы. Поскольку |'(х)=6844к—
6961, то
f(i)-i>o, Г(1)<о,
и при D^O оба корня трехчлена больше 1, т. е. не
являются корнями исходного уравнения. Если же дискри-
минант f(x) отрицателен, то трехчлен вообще не имеет
корней.
Таким образом, и исходное уравнение не имеет корней.
5.	Решить уравнение
-/2х+1 =х—а.
Решение. Применяя стандартный прием решения ирра-
циональных уравнений, мы придем к следующей задаче:
найти корни квадратного трехчлена
f(x)=x2 —2(а-|- 1)х4-а2— 1,
удовлетворяющие условию х^а.
Опорные выражения равны
Р(ц)=4[ (о2+2а-|-1)—а2+1 ]=±= 8(а-|-1),
f(a)=-2a-l, Г(а)=-2.
(Напомним, что f'(x) — 2x — 2(а-(- 1)1
Далее будем считать, что D(a)^0, т. е. а^ —I и
рассмотрим особые значения а—корни уравнений
D(a)^Q и f(a)=*O, ъ е. а== — 1 и а— 1/2. При о= —1
и его единственный (или два равных корня—-
здесь мы не подсчитываем числа корней!) корень равен О,
т. е. больше а; при <1= —1/2 один корень /(х) равен
—1/2, а другой, по теореме Виета, равен 3/2 и больше
соответствующего значения а.
Теперь пусть а отлично от —1 и —1/2, Поскольку
f(a)>0oa< — -у-
и /'(а)<С0 при любом а, то корни /(х) будут оба больше
а при —1/2. При cf> — 1/2 будем иметь /(а)<Д,
и, значит, корни f(x) лежат по разные стороны от числа а,
так что лишь больший корень Х| больше а.
В результате получаем следующее решение исходного
уравнения:
при а= — 1 : х=0;
при а= — 1/2: х1=3/2, х2= —1/2;
63
при —1< —1/2: Х|,г=(сЕ-|-1)±^2«Н-2;
при а> —1/2: x=(tt-[-1)+^/2<2+2;
при остальных значения а решений нет.
Заметим, что вторая строчка появилась исключитель-
но в силу особенностей наших рассуждении и может быть
объединена с третьей, «вход» в которую будет тогда
-1<а<-1/2.
Чрезвычайно полезно для самоконтроля рассмотреть
геометрическую интерпретацию^даиного уравнения. По-
строив график функции у=^2х-[- Г (рис. 4), мы видим,
что прямые у=х—а при возрастании а от — оо до + оа
«движутся» сверху вниз и при значениях а<. — 1 не
пересекают «полупараболу» — график функции
у=^2х+Л, при значении а =— 1 прямая касается этого
графика, при —1<а< —1/2 прямая пересекает «полу-
параболу» в двух точках, а при а> —1/2 —в одной
точке.
Отметим, что мы не случайно назвали график функции
У=л/2хгЬЗ_ «полупараболой». Дело в том, что равенство
у—у2х-\-1 равносильно выполнению условий
63
у2 = 2х+1, у>0,
а график полученного уравнения симметричен относитель-
но прямой у = х графику уравнения х2 = 2у+1, являюще-
~~~ 1
гося, очевидно, стандартной параболой у=—-—, и следо-
вательно, сам является параболой. А в силу неравенства
у^О график функции у = д/2х+П является верхней
ветвью этой параболы.
Наконец, еще более простое решение данного урав-
нения получается, если вместо стандартного приема —
возведения обеих частей уравнения в квадрат — приме-
нить замену переменной. Именно, если положить
у = д/ 2%+ 1, то х= У~Х и у^О, так что решение урав-
нения сводится к нахождению неотрицательных корней
квадратного трехчлена
/(У)=У2 —2у —2а—1
(и подстановке его корней в выражение для х). После
этого решение легко получается на основе следствия из
теоремы Виета.
6.	Решить уравнение
х|х+ 11 -|-а = 0.
Решение. Заметив, что число х= — 1 является корнем
данного уравнения при а = 0, а второй корень при этом
равен 0, рассмотрим два случая: а) х< — 1; б) х> — 1.
В случае а) мы получаем следующую задачу: найти
корни квадратного трехчлена
f(x) = x24-x —а = 0,
удовлетворяющие неравенству х< —1.
Вычислим опорные значения:
D(a)=l+4a, f(_ 1)= —a, f'(-1)= -1.
Поскольку D(d)^0 при а — 1/4, то далее рассматри-
ваем только такие значения а. Особыми значениями явля-
ются а = — 1/4 и а = 0; второе значение уже нами рас-
смотрено, а при а = — 1/4
f(x)=x2 + x+-i-
и имеет равные корни xi=X2= — 1/2, не удовлетворяю-
щие условию случая а).
Считая теперь, что а>—1/4, и, заметив, что
/'( — 1)<0 при любом а, получаем, что оба корня трехчле-
64
на f(x) не могут быть меньше —1, а меньший корень Х2
меньше —1 при условии f(—1)<0, т. е. при а> 0 .
Таким образом, в случае а) исходное уравнение имеет
следующие решения:
при а> 0 : x =
при 0 решений нет.-
В случае б) мы приходим к следующей задаче: найти
корни квадратного трехчлена
f(x)=x24-x4-a,
удовлетворяющие неравенству х> — 1.
Опорные выражения равны:
£>(а)=1—4о,	/'(—1)= —1.
Поскольку D(a)^O при 1/4, то далее рассматрива-
ем только такие значения а. Особые значения а=1/4
и а=0; второе значение нами уже рассмотрено, а при
0=1/4
f(x)=x24-x4-j-
и имеет равные корни xi=%2= —1/2, удовлетворяющие
неравенству х> —1.
Считая теперь, что а<1/4, и заметив, что /'(—1)<0
при всех значениях а, получаем, что оба корня f(x) больше
— 1 при f(a)> 0, т. е. при а> 0, и только один из корней —
больший корень Xi—больше —1 при f(a)<0, т. е. при
а<0.
Таким образом, в случае б) исходное уравнение имеет
следующие решения:
при <2=1/4 : jc= — 1/2;
при 0<а< 1/4 : xi,2=
при а<0: х= ~
при а> 1/4 решений нет.
Остается теперь объединить полученные результаты,
не забыв про рассмотренный случай а = 0 и нумеруя
корни в каждом отдельном случае, не обращая внимания
на номера, присвоенные им раньше: исходное уравнение
имеет следующие решения:
65
при а<0: х=——
£.
при а=0 : *1=0, х2= —1;
при 0<а<1/4: xt.g—х3 =
1+-Д+4а .
2
при а=1/4: xi =—1/2, х2=
1-Н/2.
2 ’
при а> 1/4 : х=
1+УГ+4а
2
Решение данного уравнения можно было бы провести
иначе, заметив, что знак корня (отличного от —1 и 0)
противоположен знаку а, и рассмотрев отдельно случаи
а> О и а<0 (и отдельно «особый» случай а—0), в
каждом из этих случаев искать корни соответствующего
знака с помощью следствия из теоремы Виета. Полезно
довести это решение до конца самостоятельно.
Для контроля проведенного решения воспользуемся
геометрической интерпретацией уравнения: переписав его
в виде х|х+11 = — а и построив график функции
у=х|х4-1| (рис. 5), мы видим, что прямая у——а при
возрастании а от —оо до + со движется сверху вниз
и при значениях а<0 пересекает график в одной точке,
при а=0 в двух точках, при 0<а<1/4 в трех
точках, при а= 1/4 в двух точках, и, наконец, при а> 1/4
66
снова в одной точке. Именно эти результаты и получены
нами в формальном алгебраическом решении.
Важно и еще одно обстоятельство. Наглядность гео-
метрического изображения может не только дать нам
информацию о числе корней, но и позволяет легко вычис-
лить сами корни. Действительно, при а> 1/4, как это
видно из графика, мы должны решить уравнение
у—х2 — х=— а и взять его меньший корень (больший
корень—это абсцисса пересечения прямой со второй—•
пунктирной — ветвью параболы у = — х2 — х), аналогич-
но, при 0<а< 1/4 мы должны взять оба корня уравнения
х2+х= — а и т. д.
В результате без особого труда мы получим полное
решение исходного уравнения (единственная «труд-
ностью— построение графика функции у = х\х-\-1| и на-
хождение наименьшего значения —1/4 функции
У=х24-х).
Это решение совершенно убедительно, особенно как
решение «для себя». Однако, например, на вступительных
экзаменах в вуз лучше провести алгебраическое решение,
поскольку графическое решение задачи часто считают
недостаточно строгим (если, конечно, в условии задачи не
оговорено специально, что уравнение можно решить гра-
фически). Но если сопроводить формальное решение гра-
фической иллюстрацией, то лучшего и не надо.
Подчеркнем еще раз, что графический подход к реше-
нию уравнений и неравенств часто позволяет «выловить»
как случайные (например, вычислительные) ошибки, так
и более существенные ошибки логического характера.
Поэтому привычку к графическому контролю рассужде-
ний следует специально вырабатывать, и прибегать к
такому контролю полезно во всех случаях, когда это,
конечно, не слишком сложно. Для этого, в частности,
следует уметь достаточно свободно строить графики не-
сложных функций.
7.	Найти все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение
х2+4х — 2|х—а\ +2 — а=0
имеет ровно два различных решения.
Решение. Как и в предыдущей задаче, прежде всего,
рассмотрим случай, когда х = а является корнем уравне-
ния: это имеет место при а2 + За + 2 = 0, т. е. при а= —2
и при а= — 1.
При а= — 2 данное уравнение принимает вид:
67
х2+4х+4-2|х + 2| =0,
ИЛИ
|х+2|2-2|х+2| =0
и выполняется, если |% + 2| равен 0 или 2.
Следовательно, корнями уравнения в данном случае
являются числа —2, 0 и —4, так что значение а= —2 не
удовлетворяет условию задачи.
При а= — 1 уравнение принимает вид
х2+4х + 3 — 2|х4-1|=0,
и рассматривая случай х< — 1 и х^ —1, мы получаем,
что оно имеет корни — 1 и — 5, так что значение а = — 1
удовлетворяет условию.
Далее рассматриваем два случая: а) х<а; б) х> а.
В первом случае мы должны найти число корней трехч-
лена
f(x) = х2 + 6х + 2 — 3 а,
удовлетворяющих неравенству x<Za.
Опорные выражения равны
D(a) = 4(3a+7), f(a) = a2 + 3a + 2, f'(a) = 2a + 6.
Поскольку
D(a)>0^a>—J-
<5
f(d)—Ooa= — 1 или a—— 2,
а, равные — 7/3, —1 и —2
(отмечаем их на рис. 6),
но два последних значения
нами уже рассмотрены, а
при а ——7/3 два совпа-
дающих корня трехчлена
f(x) равны —3, т. е. мень-
ше — 7/3, и удовлетворя-
ют, следовательно, нера-
венству х<а.
Заметим, что для вы-
то особыми будут значения
числения этих корней нет необходимости подставлять
а=—7/3 в f(x)—ведь при этом значении дискриминант
трехчлена равен 0, так что корни можно найти по теореме
Виета — их сумма равна —6, т. е. каждый из них равен
—3. Таким образом, при а— —7/3 исходное уравнение (в
случае а)) имеет один корень.
Далее, f(a)>0-oa<—2 или а> —1,
68
1	3	2
f'(a)<Oo a> —3,
и поэтому на луче х> а трехчлен f(x) (рис. 8) имеет два
корня при а> — 1 и при — 7/3<Ja< —2 (на этих проме-
жутках f>_0, f'<0, D> 0 ), один корень — при
—2<a< — 1 (здесь 0, f'<0 ) и не имеет корней при
а<.—1/2 (на этом луче D<0 ).
Перейдем к случаю б). Теперь мы должны найти число
корней трехчлена
f'(x)=х2 + 2х + 2 + а,
удовлетворяющих неравенству х> а.
Тогда
D(a)=4(—1 — a), f(a)=a2 + 3a+2, f(o)=2a+2,
и особыми являются лишь значения а, равные —1 и —2,
которые мы уже рассмотрели. Поэтому далее считаем, что
а< — 1 (т. е. D(a)>0 ).
Рис. 8.
Поскольку
f(a)> Оо а< — 2 или a>—1
№)>0oa> -I,
то на луче х> а (сделайте самостоятельно рисунок, ана-
логичный рис. 6) трехчлен имеет два корня при
69
a<Z—2, один корень
при — 2<а< —1, и
не имеет ни одного
корня при а> — 1
(рис. 8).
Для объединения
результатов, получен-
ных в обоих случаях
(с учетом значений
а= — 1 и а= — 2)
удобно сделать рисунок, «объединяющий» рисунки 7 и
8 (рис. 9), по которому данное уравнение имеет ровно два
различных решения при а<—7/3 и при а>—2.
Для геометрической интерпретации данной задачи
представим уравнение в виде
х24-4х + 2 = а + 2|х—а|.
Рис. 10.
Тогда при всяком значении а график функции
i/=a+2|x — а\ представляет собой «галку» с острием
в точке с координатами (а; а) и «крыльями» с угловыми
коэффициентами ±2 (рис. 10); при изменении а от -]-оо
до — оо эта «галка» опускается вниз по биссектрисе
70
у=х. При этом очевидно (графики надо выполнять
предельно аккуратно), что при больших положительных
значениях а левое крыло «галки» пересекает параболу —
график функции у = х2 + 4x4-2 в двух точках, а при
больших по абсолютной величине отрицательных значени-
ях а также в двух точках пересекает параболу правое
крыло «галки». Далее при возрастании а от — оо появля-
ются точки пересечения левого крыла и параболы — сна-
чала это будет точка касания, а затем — две точки пере-
сечения левого крыла и левой ветви параболы.
Однако, в какой именно точке произойдет касание
(т. е. изменение числа корней), графически определить,
конечно, нельзя (из формального решения мы знаем, что
это будет при а = —7/3, а такое значение нельзя найти
даже на самом тщательно выполненном чертеже). Кроме
того, неясно, как пересекаются правое «крыло» и правая
ветвь при подходе к вершине параболы.
В действительности, провести здесь детальное исследо-
вание возможно с помощью производной (не в формаль-
ном, а в точном математическом смысле, где производная
связывается с понятием касательной), но делать это уже
неразумно: геометрическая интерпретация такой слож-
ности не выполняет своего главного назначения — на-
глядности. В то же время определенную пользу она нам
принесла: по графикам очевидно, что «хорошими» явля-
ются значения параметра, большие некоторого числа,
и значения, меньшие некоторого числа, что согласуется
с нашим формальным решением.
Отметим еще, что в действительности правое «крыло»
касается параболы при а = — 1— это вытекает из нашего
решения.
8.	Найти все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение
х|х—2а| — 1—а=0
имеет единственное решение.
Решение. Число х = 2а является корнем данного урав-
нения при а= —1, и в этом случае вторым корнем,
отличным от 2а, является х = 0. Поэтому значение а= — 1
не удовлетворяет условию задачи, и далее мы будем
считать, что а=/= — 1.
При х> 2а мы должны найти число корней квадратно-
го трехчлена
f(x)=x2 — 2ах — а— 1,
удовлетворяющих условию х> 2а.
71
Опорные выражения равны
D(a) = 4(a2 + a+l), f(2a)=-a-l, f'(2d) = 2a
Ясно, что D(a)> 0 при любых а, и поскольку а=/= — 1, то
^(2а)=/=0, так что особых значений а нет. Трехчлен f(x)
имеет единственный корень на луче х> 2а при выполне-
нии неравенства f(2a)<0, т. е. при а> —1, и не имеет
корней на этом луче при одновременном выполнении
неравенств f(2a)> О,
2	f'(2a)> 0, а это невоз-
,	можно. Поэтому при
z	1	а< — 1 трехчлен /(х)
имеет на луче х> 2а
_ два корня, так что эти
-/	q значения не удовлет-
воряют решению за-
дачи (см. рис. 11).
Рис. 11.	Остается из значений
а> — 1 выбрать та-
кие, при которых заданное уравнение не имеет корней
в случае х<2а.
При х<2а мы должны, таким образом, найти значе-
ния а> — 1, при которых квадратный трехчлен
Дх)=х2 —2ах-|-а-|- 1
не имеет корней, удовлетворяющих неравенству х<2а.
Опорные выражения равны
D(a)=4(a2 — а— 1), f(2a) = a+L f'(2a)=2a,
а особыми значениями являются только корни дискрими-
нанта а\,2=  (напомним, что а=/= —1). При этих
значениях а трехчлен f(x) имеет двойной корень xi.2 = a, не
удовлетворяющий неравенству х<2а при а<0, т. е. при
а=—. Поэтому среди особых значений а только
а= удовлетворяет условию задачи (отметим, что
это значение больше —1).
Поскольку f(2a)> 0 и
Z)(a)> 0 -о а< или а>
0 о а> О,
72
то на луче х<2а трехчлен f(x) не имеет корней (рис. 12)
при — 1 <а<
Объединяя полученные результаты, получаем, что за-
данное уравнение имеет единственное решение при
Графическая интерпре-
<t»O f^n Ф>0 тация уравнения с по-
________________F5 мощью графика функции
~_______________ >	у=х\х — 2а| — а— 1 в
~данном случае несколько
затруднительна, поскольку
-***т<0	изобразить его поведение
при изменении значений а
р ]2	не так просто.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Сколько корней имеет уравнение
а) (18х* 1 2 3-119х+115)л/319х+24Г=0;
6) (184х24-322x4-139)^/52x^175=0;
в) (41х24-532х4-482) -^612^417=0;
г) (Их24-98x4-153)л/2х+4=0;
д) (17х24-57х-|-45)72хф4=0;
е) (13х2-32х-23)727н=0;
ж) (4х2-48х 4-129)7351x^264=0;
з) (5х2—27х+26)7351x^4264=0;
и) (5х2-Их-19)7351x^1264 =0?
2. Сколько корней имеет уравнение
а) (х2—2(2а+1)х+3а2—4) д[х^а=0;
б) (2х2+(а — 1 )х—а)^2x^4 =0?
3. Решить уравнение
а) \§х^7==3х—2;
б) 2—3x=n/8x+7;
в) V7x-H6=-3x-7;
г) д/7хТ16=Зх+7;
д) ^<^=VH?^36x^i2;
ж) 117х2— 19х— 13| =|7х+ 18|;
з) 117х2 — 19х— 131 =7х+18;
и) 17х2-19х-13= |7х-Н8|.
4. Доказать, что если f — квадратный трехчлен со ставшим коэффици-
ентом, большим 1, и f (1)с0, то уравнение -\[f(xj=x—l имеет
единственный корень.
73
§ 6. ОТБОР КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА
НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ.
Рассмотрим теперь задачи, связанные с расположена
ем корней квадратного трехчлена относительно некоторо-
го конечного промежутка. Задачи такого рода возникают,
как правило, при рассмотрении уравнений и неравенств,
квадратных относительно некоторой функции, область
значений которой представляет собой конечный промежу-
ток, например
y = sinx, y = 2“cos2x, у = 31“|х+21, у=~х*
Отметим сразу же, что эта задача в общем виде также
может быть теоретически решена способом «сведения
к предыдущему» — к стандартному следствию теоремы
Виета о знаках корней, однако получающийся при этом
критерий (необходимое и достаточное условие) геометри-
чески уже не очевиден, так что его использование, ска-
жем, на вступительных экзаменах обязательно требует
доказательства и поэтому практически врядли целесо-
образно.
Здесь мы получим сейчас иные критерии, геометричес-
ки совершенно ясные и основанные на критериях, полу-
ченных нами ранее при изучении расположения корней
относительно луча.
Пусть р и q — фиксированные числа, p<q, и пусть
f(x)=ax2 -\-bx-\-c— квадратный трехчлен, имеющий два
различных корня, отличных от р и q.
Как и ранее, в качестве «особых» мы будем рассматри-
вать значения параметра, при которых числа р и q (одно
или оба) являются корнями f(x) и при которых дискрими-
нант обращается в 0 (случай, когда дискриминант отри-
цателен, ясен без всяких критериев).
Иногда это может привести к некоторому удлинению
в решении и введению «лишнего» случая в ответе, однако,
отдельное рассмотрение особых значений, как мы уже
говорили выше, в большей степени гарантирует от случай-
ных ошибок — попытка включить эти особые случаи в
общий требует большей внимательности, и «экономия» на
них поэтому, на наш взгляд, неоправданна.
При сделанных предположениях возникают шесть слу-
чаев расположения корней х\ и Х2 трехчлена f(x) относи-
тельно открытого промежутка — интервала (р; д), ука-
занные в таблице. Эта таблица содержит в каждой строч-
74
ке необходимое и достаточное условие соответствующего
расположения корней. Знаки + и — означают положи-
тельность и отрицательность соответствующих выраже-
ний, а звездочка показывает, что данное выражение несу-
щественно, и его не следует рассматривать.
Доказательства всех этих критериев вполне очевидны,
и мы опишем их кратко, обратив внимание, прежде всего,
на то, что в таблице фигурируют значения трехчлена af(x)
и его производных, а этот трехчлен имеет те же корни xi
и Х2, но обязательно положительный старший коэффици-
ент а2.
Первый случай фактически уже рассмотрен нами ра-
нее: неравенства af(p)> 0, af'(p\> 0 означают, что оба
корня меньше р, а неравенства в шестом случае — что
оба корня больше q.
Во втором случае неравенство af(p)<0 равносильно,
в силу азбучного свойства трехчлена, условию, что число
р лежит между корнями трехчлена, а неравенство
af(p)> 0 означает, что число q находится вне интервала
между корнями и, разумеется, больше большего корня —
q> р> х\. Аналогично рассматривается пятый случай.
В третьем случае неравенства а/(р)<0 и af(q)> О
означают, что оба числа р и q находятся в интервале
между корнями. Наконец, в четвертом случае неравенства
af(p)> 0 и af(q)> 0 показывают, что оба числа р и q
находятся вне интервала между корнями х\ и *2, а
неравенства af'(p)<0 и af'(q)> 0 означают соответствен-
но, что р меньше меньшего корня, a q больше большего
корня, т. е. р<Хг; X\<2q.
Отметим, что первый и шестой критерий в этой табли-
це — это фактически ранее полученные критерии располо-
жения корней на луче, так что эти критерии таблицей
«покрываются». Обратим еще внимание на одну тонкость.
Нетрудно сообразить, что некоторые «звездочки» в
приведенной таблице в действительности можно «рас-
шифровать»: например, в первом случае будут выполнены
неравенства af(q)> 0 и af\q)> 0— это следует из того,
что если оба корня трехчлена f(x) меньше р, что гаранти-
руется двумя другими неравенствами, то они и подавно
меньше q.
Но именно поэтому мы и поставили «звездочки»: если
эти два неравенства следуют из двух других, то их
незачем включать в критерий. И мы не случайно написа-
ли выше, что значения соответствующих выражений
75
можно не рассматривать, но не утверждали,
что они могут быть произвольными. Аналогично можно
«расшифровать» и некоторые другие «звездочки», но мы
на этом останавливаться не будем.
.Из приведенных в таблице необходимых и достаточ-
ных условий выведем полезные для практики решения
задач критерии, определяющие число корней на интервале
(р; <?)•
Пусть трехчлен f(x)=ax2-}-bx-{-c имеет два различных
корня.
1)	Оба корня f(x) лежат на интервале (р; q) тогда
и только тогда, когда одновременно выполняются не-
равенства
af(p)>0, af(q)>0,
af'(p)<0, af'(q)>0.
Заметим, что если корни трехчлена f(x) совпадают, то
при выполнении этих неравенств они все равно лежат на
интервале (р; р), так что полученный критерий справедлив
и в случае дискриминанта, равного 0. Тем не менее
в задачах с параметрами корни дискриминанта мы будем
рассматривать отдельно, поскольку, как мы уже говорили,
случай равных корней в ответе к таким задачам лучше
выделять особо — особенно для подсчета числа корней.
2)	Ровно один из корней f(x) лежит на интервале (р; р)
тогда и только тогда, когда
ЯрШ<0;
при этом больший корень принадлежит этому интервалу
при
a/(p)<0. «/(<?)> О,
а меньший корень принадлежит этому интервалу при
af(p)>0, af(q)<0.
Важно заметить, что этот критерий применяется в
действительности без предварительной проверки ограни-
чения о существовании и различии корней трехчлена f(x),
т. е. без рассмотрения дискриминанта — из неравенства
f(p)-f(q )<0 следует, что /(%) принимает значения разных
знаков, и, следовательно, обязательно имеет два различ-
ных корня. Этим замечанием мы будем всегда пользо-
ваться.
3)	Ни один корень /(х) не лежит на интервале (р; q)
76
тогда и только тогда, когда выполняется одна из систем
неравенств:
(af(p)> 0 (af(?)> О Гaf(р) < О
laf'(p)>0, laf'(p)<0, \af(q)<0.
Последний, наиболее громоздкий критерий, на практи-
ке применяется редко, поскольку для выяснения условий
отсутствия корней на интервале (р; q) обычно проще
воспользоваться двумя первыми критериями и взять «ос-
тальные» значения а.
Таким образом, опорными выражениями в рассматри-
ваемых ниже задачах с параметрами будут дискриминант
квадратного трехчлена и значения трехчлена и его произ-
водных в точках р и q, а особые значения параметра —
корни уравнений
D(a)=0, Др)=0, f(<7)=0.
Для иллюстрации техники применения полученных
критериев мы рассмотрим сначала одну несколько гро-
моздкую задачу, решение которой показывает основные
преимущества применения критериев перед стандартным
решением с помощью иррациональных неравенств.
1.	Сколько корней, в зависимости от параметра а,
имеет на промежутке [ — 1; 3] уравнение
(4 —а)х2 —6ах + 3 = 0
Решение. Заметим прежде всего, что данное уравнение
является квадратным только при а=/=4, а при а=4 оно
имеет на рассматриваемом промежутке (полуотрезке или
полуинтервале) один корень х=1/8.
Вычислим опорные выражения:
D(a)=4(9a24-3a-12),
/(- 1)=5а+7,	Д3)=-27а+39,
/'(—!)= — 4а —8,	Г(3)= — 12а + 24.
Поскольку
D(a)> 0оа< —или а> 1,
О
/(-1)=0оа=-4-, Д3)=0оа=4,
то особыми значениями параметра будут 1, —4/3, —7/5
и 13/9.
При а=1 и при а= — 4/3 корни трехчлена проще
всего находятся по первому равенству теоремы Виета: они
77
равны т. е. в первом случае xi,2=le[—1; 3], во
втором случае xi,2 =—3/4е[—1; 3). Следовательно, при
каждом из этих значений параметра на данном промежут-
ке уравнение имеет один корень.
Аналогично, но по второму равенству теоремы Виета,
находим вторые корни трехчлена для значений а= — 7/5
и а=13/9: они равны т. е. в первом случае второй
корень равен 5/9, а во втором случае—27/23. Следова-
тельно, при а=—7/Ь уравнение имеет на промежутке
[—1; 3) два корня (—1 и 5/9), а при а=13/9—один
корень.
Далее рассматриваем неособые значения параметра,
удовлетворяющие неравенству D(a)> 0. На интервале
(—1; 3) трехчлен f(x) имеет два различных корня при
выполнении системы неравенств
(4 —а)/(—1)> 0, (4-а)/(3)>0,
(4 — а)/'( — 1) < 0, (4 — а)/'(3)> 0,
или
(а—4) (5а 4-7) < 0, (а-4) (9а-13)> 0,
(а-4)(а-|-2)<0,	(а-4)(а-2)>0
Решая эту систему неравенств вместе с условием
£>(а)> 0, получаем, что
— 7/5<а<4/3 или 1<а<13/9
и, следовательно, с учетом особых значений, данное квад-
ратное уравнение имеет на промежутке [—1; 3) два реше-
ния при —7/5^а<—4/3 и при 1<а<13/9.
Ровно один из корней f(x) принадлежит интервалу
(—1; 3) при выполнении неравенства
/(-1)./(3)<0,
или (5а4-7) (9а—13)> 0, откуда с учетом особых значе-
ний а получаем, что данное уравнение имеет на промежут-
ке [—1; 3) один корень при ас— 7/5, при а^ 13/9, при
а=1 и при а=—4/3.
Ясно, что при остальных значениях а уравнение кор-
ней не имеет, и мы получаем ответ: на промежутке [— 1; 3)
данное уравнение имеет два решения при
— 7/5^а< —4/3 и при 1<а<13/9, одно решение при
ас—7/5, а—— 4/3, а=1 и при а^ 13/9, и не имеет
корней при остальных значениях а.
Заметим, что стандартное решение этой задачи привО-
78
дит к необходимости решения четырех иррациональных
неравенств
4 — а	’
__। < За—д/ 9а2-{-За— 12
4 —а	’
после чего следует еще правильно «распределить» полу-
ченные решения по трем случаям — два, одно или ни
одного решения.
Решение этих иррациональных неравенств, в принци-
пе, не так уж сложно, и проводится вполне алгоритмичес-
ки, но требует и большей аккуратности, и знания и
понимания необходимости алгоритма. Нельзя не отметить,
что в данном случае решение этих неравенств существен-
но усложняется необходимостью в той или иной форме
рассматривать отдельно случаи а> 4 и а<4.
2.	При каких значениях а уравнение
sin6x + cos6x+asinxcosx = О
имеет хотя бы одно решение?
Решение. Пользуясь формулой
sin6 х +cos6 x=(sin2 x + cos2 х)3 —
—* 3 s i n2xcos2x (s i n2x -j- cos2x)=
= 1—3sin2 xcos2x
и обозначив sin x cos x через у, мы получим уравнение
Зу2 — ay— 1 =0
и поскольку область значений функции
y=sinxcosx=-i-sin 2х
представляет собой отрезок [—1/2; 1/2], то следует выяс-
нить, при каких значениях а квадратный трехчлен
f(y)=3y2-ay-\
имеет корни на этом отрезке.
Вычислим опорные выражения:
£>(а)=а2+12,
К —-)=—-----К—} = —------------,
Л	2	4	2	4’
/'(—!_)= _а-з, Гф=-а+3
79
Заметим сразу же, что D(a)> 0 при всех значениях а.
Более того, при особых значениях а=1/2 и а= —1/2
имеет корни 1/2 и — 1/2, принадлежащие отрезку
[— 1 /2; 1/2], так что рассматриваемое уравнение при этих
значениях а уже имеет решение.
Далее, трехчлен f(y) имеет единственный корень на
интеовале ( — 1/2; 1/2) при выполнении неравенства
/(—1/2).(/(1/2)<0, или
(o_4)(a+i)>0,
т. е. при о < — 1/2 и при а> 1/2. Два корня трехчлена
f лежат на этом интервале, если
2а—1>0, 2а+1<0,
G-!-32> 0,	а—3<0.
Но эта система неравенств не имеет решения, так что
данное уравнение имеет хотя бы одно решение при
—1/2 и при а^1/2.
Обратим внимание на то, что существенным моментом
в решении задачи было нахождение области значений
функции j/=sinx* cosx. Вообще, при применении рассмат-
риваемых методов рассуждений нахождение области зна-
чений конкретных функций имеет большое значение. Од-
нако это не всегда так же просто, как в решенной задаче,
где мы воспользовались знанием области значений синуса
из теории. Между тем, при нахождении области определе-
ния функции иногда возникают определенные трудности,
как эвристического, так и логического характера.
3.	При каких значениях параметра уравнение
(-ТТ-) 2+2а-^-+1 =0
\ 14-х '	1	14-х 1
имеет решение?
Решение. Обозначив через у, мы получим задачу:
при каких значениях а квадратный трехчлен
f(y)=y2+^ay+i
имеет корни (точнее, хотя бы один корень) в области
значений функции у=-^—
Найдем эту область значений Е(у). Ясно, с одной
стороны, что, поскольку в области определения функции
80
у х^О, то у^О; с другой стороны, функцию у можно
представить в виде
и поскольку сумма положительных взаимно обратных
величин больше или равна 2, то у ^1/2, и мы должны
теперь найти значения параметра, при которых трехчлен
f(y) имеет хотя бы один корень на этом отрезке.
Прежде, чем применять какие-либо общие теоремы,
изучим конкретные особенности рассматриваемого трехч-
лена. Сразу же легко заметить, что по теореме Виета
произведение его корней, если они существуют, равно 1,
так что корни имеют одинаковые знаки; но сумма корней
равна —2а, так что при а> 0 оба корня отрицательны
и не лежат на отрезке [0; 1/2]. Поэтому значения а> 0 не
удовлетворяют условию задачи, а при а^О оба корня
положительны (еще раз подчеркнем условие «если они
существуют»). Но из равенства Х1Хг=1 следует, что один
из корней больше или равен 1, а другой меньше или равен
1, так что на отрезке [0; 1/2] может лежать только один
корень рассматриваемого трехчлена.
Другими словами, условию задачи удовлетворяют
лишь такие значения параметра а^О, при которых трех-
член f(x) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1/2].
Поскольку
f(o)=i, K‘/2)=a+f,
то 1/2 является корнем f(x) при (особом) значении
а= — 5/4, а условием того, что на интервале (0; 1/2)
лежит ровно один корень f'(x) является выполнение нера-
венства а + 5/4<0, т. е. а<— 5/4.
Таким образом, данное уравнение имеет решение при
а^ —5/4.
Обратим внимание на то, что предварительное изуче-
ние конкретных особенностей трехчлена f(x) позволило
нам обойтись «почти» без большой теории, из которой нам
понадобился только самый простой с практической точки
зрения критерий.
Более того, если бы мы с самого начала заметили, что
f(0)=l, то решение можно было бы провести еще проще.
Именно, из равенства Х1Х2=1 следует, что оба корня
трехчлена не могут лежать на отрезке [0; 1/2], и поэтому
условию задачи удовлетворяют только те значения пара-
81
метра, при которых трехчлен имеет ровно один корень 1/2
на этом отрезке. Но это выполняется при f(l/2)^0 (ко-
рень либо равен 1/2, либо лежит на интервале (0; 1/2)),
т. е. при — 5/4.
Вообще, начиная исследование квадратного трехчлена
с точки зрения расположения его корней, полезно внима-
тельно изучить его конкретные особенности, в частности,
«прикинуть» его значения в 0, 1 и —1. Это не требует
большого труда, но часто может оказаться полезным.
И, наконец, вернемся к началу решения, чтобы вы-
явить один логический пробел в рассуждении. В самом
деле, на каком основании мы утверждаем, что область
значений функции у есть отрезок [0; 1/2]? Единственное
основание для этого у нас — это двойное неравенство
1/2, однако достаточно ли этого? В общем случае
такое рассуждение просто неверно — иначе из неравен-
ства — 5^sinx^8, очевидно, справедливого, мы мог-
ли бы сделать вывод, что область значений синуса есть
отрезок [—5; 8]. Другими словами, в приведенном рассуж-
дении есть весьма грубая логическая ошибка, и в действи-
тельности мы доказали лишь, что Е(у) является подмно-
жеством (частью) отрезка [0; 1/2].
Поэтому надо еще установить, что любое значение
уе[0; 1/2] действительно входит в область значений у.
Доказательство проводится естественным образом: фак-
тически нам надо убедиться, что при любом А е[0; 1/2]
существует значение х, при котором функция у=
принимает значения Л, т. е. уравнение
имеет решение.
Обозначив д/х через z и заметив, что z принимает
произвольные неотрицательные значения, мы легко приве-
дем полученное выше уравнение к виду
Az2 — z-\-A =0,
и для этого уравнения должны установить, что оно имеет
хотя бы один неотрицательный корень при любом
Ае[0; 1/2].
Ясно, что при А=0 это уравнение имеет корень z=0,
а при Ау=0 квадратный трехчлен f(z), по следствию из
теоремы Виета, имеет положительные корни при выполне-
нии условий
О=1-4Л2>0, 4->0, 1>0
’ д
Ь2
т. е. при 0<А^1/2, что и требовалось доказать.
Заметим, что в этом рассуждении мы сразу доказали
равенство Е(у)=[0; 1/2] и избежали, таким образом,
искусственного представления у в виде  —:— приве-
Vх
денном в начале решения, а также применения неравен-
ства для суммы двух взаимно обратных величин.
С другой стороны, исходя из более «высоких» теорети-
ческих соображений, связанных со свойствами непрерыв-
ных функций, можно, наоборот, более продуктивно ис-
пользовать именно приведенный искусственный прием.
В самом деле, из полученного в начале решения нера-
венства	1/2 легко следует, что наименьшее значе-
ние функции у равно 0 (принимается при х = 0), а ее
наибольшее значение равно 1/2 (при х=1). Однако
непрерывная функция принимает все значения между
своим наименьшим и наибольшим значениями, и следова-
тельно, область значений у есть отрезок [0; 1/2].
Мы убедились, таким образом, что сведение уравнения
к квадратному с помощью подстановки вида y = f(x) и
дальнейшее использование свойств квадратного трехчле-
на связано с определенными трудностями — логически
безупречным вычислением области значений функции f(x).
Тем не менее этот прием является практически весьма
полезным из следующих соображений.
Во-первых, довольно часто область значений функции
определяется из известной теории — так это было в зада-
че 2. Во-вторых, нахождение области значений чаще всего
не слишком сложно — в этой задаче оно, как мы видели,
свелось, после соответствующей стандартной переформу-
лировки, к определению знаков корней квадратного трех-
члена. В-третьих, в задачах такого типа обычно без труда
находятся наибольшее и наименьшее значение функции
даже без всякого применения производных, а тогда есть
возможность сослаться на утверждения, содержащиеся в
школьном учебнике. В-четвертых, наконец, фактически
те же самые трудности возникают и при стандартном
решении, только на другом его этапе — при нахождении х
по найденным значениям корней yi и уг трехчлена f(y).
Рассмотрим теперь задачи, в которых речь идет не
только о числе корней квадратного трехчлена, но и об их
явном вычислении.
4.	Решить уравнение
41_1ж_1|_2(а_1)2_|х_Ц+3а_5 = 0
83
Решение. Обозначив 21 |х 11 через у, мы получим
уравнение
у2—(а— 1)у —За —5 = 0.
Область значений функции у = 2‘2_|х~11 есть промежуток
(0; 2] — это следует из того, что выражение — |х—1|
принимает все неположительные значения, а множество
значений, которые принимает показательная функция 2г
на множестве неположительных чисел Z, представляет
собой промежуток (0; 1].
Таким образом, мы должны найти корни квадратного
трехчлена
Ку)=У2 - (fl -1 )у + За - 5,
лежащие на промежутке (0; 2].
Вычисляем опорные значения:
£>(а) = а2-14а+21,
Д0)=За-5,	f(2)=a-f-l,
/'(0)=1—а, /'(2) = 5 —а.
Особыми значениями параметра являются значения
7±2-\/7 (корни дискриминанта), 5/3 и —1. При первых
двух особых значениях корнями f(x), по теореме Виета,
являются числа (7±2'V7)~I = 3±^/7, из которых на про-
межутке (0; 2] лежит только 3—При а= — 1 и
а= 5/3, вычислив вторые корни трехчлена /(х), получаем,
что на промежутке (0; 2] он имеет корни соответственно
2 и 2/3.
Далее мы будем рассматривать корни f(x) на интерва-
ле (0; 2). На этом интервале /(х) имеет два различных
корня при выполнении системы неравенств
D(a)>0, ДО» 0, Д2)>0, f(0)<0, Г(2)>0;
эта система, однако, не имеет решений, поскольку послед-
ние два неравенства выполняются при 1<а<5, а при
этих значениях а дискриминант D(a) отрицателен — в
этом можно убедиться обычным образом, решив неравен-
ство D(a)<0, но проще заметить, что D(l)<0, Z>(5)<0,
так что точки 1 и 5 лежат между корнями D(a), так что на
отрезке [1; 5] дискриминант отрицателен.
Следовательно, на интервале (0; 2) может лежать
84
только один корень трехчлена f(x) — больший — при вы-
полнении системы
f(0)<0, f(2)> О,
а меньший — при выполнении системы
f(0)>0, f(2)<0.
Первая из этих систем выполняется при —1 <а<5/3,
а вторая не имеет решений; следовательно, на интервале
(0; 2) лежит больший корень трехчлена.
Таким образом, трехчлен имеет только один корень на
интервале (0; 2)
а-1+->/а2-14а+21
У о----------х--------
при — 1<а<5/3 и не имеет корней на этом интервале
при других значениях а.
Остается решить уравнение
21-<*-|1=у0.
При полученных значениях а правая часть этого урав-
нения лежит в интервале (0; 2) — области значений
функции у = 21-|х-11, и поэтому дальнейшее решение про-
водится автоматически, без исследования, обычного для
уравнений с параметром.
В самом деле, поскольку уо> 0, то полученное уравне-
ние равносильно уравнению
1 — |х —2| = log2yo,
или
|х— 1| = 1 — log2yo,
X — 1 = ±(1 — log2t/o) ,
Xl=2—log2l/0, x2 = log2t/0,
или
xi = 3 — log2(a — 1 +л/ a2— 14а+21),
Х2 = log2(a — 1 + "V а2— 14а + 21) — 1 .
Учитывая результаты исследования особых значений,
получаем ответ:
при — l<a<-|-: xi=3 — log2(a— 1 +Vа2— 14а+21),
хг= log2(a— 1 H-'V а2— 14а+21)— 1;
85
при а= — 1 : х= 1;
при а=-|-: Xi = 14-log23, %2=1 —log23;
О
при остальных а решений нет.
Этот ответ с математической точки зрения вполне
правилен, однако его, быть может, можно «усовершенст-
вовать» — включить особые значения в общий случай.
Как мы уже говорили выше, отдельное рассмотрение
особых значений делается нами для лучшей гарантии от
ошибок, а в действительности некоторые из этих значений
вполне могут «укладываться» в один из общих случаев.
Поэтому проверим, чему равны корни xi и Х2, получен-
ные при — 1 <а<5/3 в граничных точках — особых зна-
чениях а= — 1 и а=5/3. При а= — 1 получим xi =х2= 1,
так что случай а= — 1 «укладывается» в общий, если мы
не требуем различия корней, однако лучше оставить его
в ответе отдельно. При а = 5/3
х, = 3-|0g/+^6r-U'S-3+2b9.= 3- logA
О	О
X2=10g2-|--1 = 1—log23
и, следовательно, строчка а=5/3 в приведенном ответе —
лишняя: ее можно исключить, записав в первой строчке
-1<а^5/3.
При стандартном решении исходного уравнения мы
сразу же пришли бы к двум уравнениям с параметром
Qi-lx-H  (а—\)±-у/с^—\4а+2\
2
решив предварительно неравенство D(a)>0. Затем, пре-
жде чем логарифмировать обе части, следовало бы найти,
при каких значениях параметра правые части положи-
тельны, а после этого — для решения уравнения с моду-
лем — искать значения а, при которых правые части
положительны.
5.	Решить уравнение
sin 4х = а« tg х.
Решение. Поскольку
sin 4x = 4sin x-cos x-cos 2x, tgx=-^^-
® COSX
86
то уравнение, данное в области cosx=/=0, равносильно
следующему:
sin x(4cos2x-cos 2х —а) = 0.
Заменив теперь в нем cos 2х на 2cos2x— 1, получим урав-
нение
sin x(8cos4x — 4coS2x — а) = 0.
Тогда его корнями являются корни уравнения sinx=0
(ясно, что при этом cosx=/=0) и корни уравнения
8cos4x — 4cos2x — а = 0.
Положив y = cos2x и заметив, что в рассматриваемой
области у=/=0, а случай у=1 уже нами рассмотрен (по-
скольку cos2x= 1 о sin х = 0), мы приходим к следующей
задаче:
найти корни квадратного трехчлена
f(y)=8y2 — 4y — a
принадлежащие интервалу (0; 1).
Опорные выражения равны:
£>(а) = 4(4 + 8а)
f(0)=-a, f(l)=4 —а,
f'(0)=—4, f'(l)=12.
При особом значении а= —1/2 корни трехчлена f(y)
равны xi,2= 1/4 и принадлежат интервалу (0; 1); второй
корень /(у) при а = 0 равен 1/2, т. е. принадлежит интер-
валу (0; 1), а при а = 4 равен — 1=/=2, и следовательно, не
принадлежит этому интервалу.
Только больший корень f(y) лежит на интервале (0; 1)
при одновременном выполнении неравенств
— а<0, 4 — а> 0,
т. е. при 0<а<4, а только меньший корень — при вы-
полнении неравенств
— а> 0, 4 — а<0,
т. е. ни при каких значениях а.
Считая далее, что D(a)> 0, т. е. а> —1/2, получаем,
что оба корня f(x) лежат на (0; 1), если
-а>0, 4 — а>0, —4<0, 12> 0,
т. е. при — 1/2<а<0.
87
Таким образом, при —1/2<а<0 трехчлен f(y) имеет
корни
„ _ i±V25+T.
У^ =----4----,
при 0<а<4
У 4
при а=0 у= 1/2 и при а— — 1/2, у= 1/4. Третий случай,
как нетрудно заметить, получается из выражений для
корня, полученного при 0<а<4 и его можно включить
в общий.
Решая уравнения
со5**= |±^+Т ( —Ь<0<о),
- cos2* = '+^°+Ъо а < 4),
COS2X = -
4
и учитывая корни уравнения sinx=0, получаем следу-
ющие серии решений исходного уравнения:
при а=—i-: Х1 = Лл, Х2.з = Лл±-^-(^^2),
Л	о
при —xi = kn,
х2 з, 4,5 = ± arccos—-^2а+1 +2fen(fe eZ);
при 0<а<4: Х1 = Лл, х2, з= +arccos+^о+£_|_
Ц-2/гл (Ае2);
при а<—i- и при а^4 : x = kn (£eZ).
6. Найти все целые k, при каждом из которых урав-
нение
2sin2x+6cos2-^-=5 — 2k
имеет решения. Найти все эти решения.
Решение. Эта подробная формулировка означает в
точности то же самое, что решить уравнение с парамет-
88
ром; только требуется дополнительнее в ответе специально
указать значения /г, при которых уравнение имеет реше-
ния. Ясно, что эти значения получатся при решении «сами
собой».
Пользуясь формулами
sin2x = 1 — cos2x, 2 cos2-^-= 1-f-cosx,
и обозначив cosx через у, мы получим следующую задачу:
найти корни квадратного трехчлена
f(y)=2y2 — 3y—2k,
лежащие на отрезке [—1; 1].
Вычисляем опорные значения:
О(а)=9+16Л,
f(- 1)=5-2k, f(l)=—2k—l,
Г(-1)=-7, Г(1)=1.
Так как число k, по условию, целое, то особых значений
нет и искать корни можно сразу на интервале (—1; 1).
Дискриминант D(a) положителен при k^O (k — це-
лое), но при таких значениях k выражение f(l) отрица-
тельно, так что трехчлен f(y) не может иметь двух корней
на интервале (0; 1).
Так как f(— 1)> f(l) при любом k, то больший корень
f(x) не может лежать на рассматриваемом интервале,
а меньший корень принадлежит этому интервалу при
5-26>0, 2k+ 1> 0,
т. е. при значениях 6, равных 0, 1 или 2.
Таким образом, исходное уравнение имеет решение
только при значениях 6=0, 1, 2 и для их получения надо
решить уравнение
cosx=3-^4
4
Отсюда получаем шесть серий решений:
х= + arccos 3~^^-+2nn(ngZ; k=0, 1, 2),
или, более детально,
при k=0: X!,2= ±-y+2nn(neZ);
при fe=l: х3 4= ±-^-4-2nn(neZ);
’	о
89
при k = 2: х56= zfcarccos- ^--\-2nn(n^Z').
7. Решить уравнение
log4_x<ax-|-2)= log , (x-1).
4 —x2
Решение. Область определения данного уравнения оп-
ределяется неравенствами
1<х<2, х#=л/3, ах + 2>0.
Отметим, что на этом этапе решения нет необходимо-
сти решать неравенство ах-{-2> 0. Кроме того, это нера-
венство, хотя и необходимо для описания области опреде-
ления уравнения, но для решения уравнения несущест-
венно.
Пользуясь формулой log 1 b= — logaZ?, не изменяющей
а
области определения, мы получим уравнение
log4_Xax + 2)= — log4_Xx— 1),
равносильное (в области определения исходного уравне-
ния) уравнению
ах 4-2=—Ц-,
1 х— 1
или
ах2 — (а — 2)х—3=0.
При а=0 это уравнение имеет корень х = 3/2, входя-
щий в область определения, а при а=/=0 мы получаем
следующую задачу: найти корни квадратного трехчлена
f(x) = ах2—(а — 2)х—3,
принадлежащие интервалу (1; 2) и отличные от —-/З.
Вычислим опорные значения:
7>(а)=а2-|-8а-|-4,
/(!)=-!,	/(2)=2а+1,
Г(1)=а+2,	Г(2)=За4-2.
При особом значении а= —1/2 произведение корней
трехчлена /(х) равно — 3/а = 6, так что второй корень
трехчлена равен 3 и не принадлежит интервалу (1; 2).
Следовательно, при этом значении а на рассматриваемом
интервале /(х) корней не имеет.
90
Особые значения, являющиеся корнями дискриминан-
та,— иррациональные числа, и поскольку корнями f(x) при
D(a) = 0 являются дробные выражения g~-, то исследо-
вание вопроса об их принадлежности интервалу (0; 2)
вызовет определенные вычислительные трудности (в част-
ности, из-за того, что знак числа а нам неизвестен).
Поэтому мы сначала включим особые значения параметра
в общий случай, когда трехчлен f(x) имеет два корня.
На интервале (1; 2) трехчлен f(x) (напомним, что знак
его старшего коэффициента неизвестен) имеет два (не
обязательно различных) корня при одновременном вы-
полнении неравенств
а2 + 8а+4>0, а<0, а(2а+1)>0,
а(а + 2)<0, а(За + 2)>0.
Избегая неравенств с радикалами, не будем начинать
с решения первого неравенства, а первое из оставшихся
неравенств позволяет переписать остальные в виде
2а+1<0, а + 2>0, За + 2<0,
и следовательно, последние четыре неравенства систе-
мы выполняются при —2<а<—2/3.
Теперь, естественно, мы можем решить неравенство
£)(а)^0 и отобрать его решения, лежащие на полученном
интервале — 2<а<—2/3.
Однако и на этот раз можно избежать вычислений
с радикалами: именно, легко видеть, что
D(—2)<0, £>(-4)<0,
и следовательно, числа —2 и —2/3 лежат, в силу азбучно-
го свойства квадратного трехчлена, между корнями £>(а).
Но это означает, что и на всем интервале —2<а<—2/3
выполняется неравенство D(a)<0.
Таким образом, исходная система из пяти неравенств
не имеет решений, и трехчлен f(x) не может иметь двух
различных корней на интервале (1; 2).
Далее, только больший корень /(х) лежит на интервале
(1; 2) при выполнении системы неравенств
а> 0, а(2а+ 1)> 0,
т. е. при а> 0, и этот корень равен
__ g-2+->/flrt+8a+4
2а
91
Только меньший корень Дх) лежит на интервале (1; 2)
при выполнении системы неравенств
а<0, а(2а-|-1)<0,
т. е. при — 1/2<а<0, но на этот раз (внимание!),
поскольку а<0, то этот меньший корень получается из
общей формулы корней при выборе знака + , и мы
получаем выражение для корня то же, что и в предыду-
щем случае
a-2+-V^T§S+4
2а
Следует проверить еще, при_каких значениях а полу-
ченный корень отличен от -\/3. Прямое решение здесь
связано со значительными вычислительными трудностя-
ми: иррациональное уравнение
приведет к решению квадратного уравнения с иррацио-
нальными коэффициентами, корни которого, скорее всего,
будут содержать «двойные» радикалы, и поэтому будет
нелегко определить, какие из корней «посторонние».
Мы поступим иначе: именно,
f(V3)=(3-V3)a,
так что корень f(x) является «запрещенным» значением
только если	т. е- ПРИ
<^-2)(л13+1)	н д0.
з—уз	-уз—1	2	2
1_1
казать, что >----------и следовательно, найденный
выше корень трехчлена не равен уЗ при а=/=—.
Теперь мы можем завершить решение задачи: при
а = 0 данное уравнение имеет корень 3/2, при
— l/2<a<	, при <а<0 и при а>0 —
корень
__ a—2-J--V a2-|-8a4-4 .
Х~	2a	’
при остальных значениях а оно корней не имеет.
8. При каких а уравнение
a - sin 2x = sin 4x + sin 6х
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравен-
ствам л<х<—?
92
решение, при решении этого уравнения нам понадо-
бятся формулы косинуса и синуса тройного угла
cos 3x = 4cos3x — 3cos х, sin 3x = 3sin x —4sin3x;
эти формулы без труда выводятся с помощью формул
косинуса и синуса суммы углов х и 2х.
После очевидных преобразований уравнение приво-
дится к виду
2а • sin х • cos х = 2sin 5х • cos х,
________________________________________________Зл
и поскольку в рассматриваемом интервале л<х<—
косинус не обращается в 0, то данное уравнение равно-
сильно уравнению
sin 5x = a-sin х.
Но
sin 5x = sin(3x4-2x) = sin 2x«cos 2x-|-cos Зх-sin 2x =
= sin x(3 —4sin2x)cos 2x + 2cos Зх-sin x-cos 2x=
= sin x[(4cos2x— 1)(2cos2x — 1)+2(4cos3x —3cos x)cos x],
и поскольку при рассматриваемых значениях х синус
также не обращается в 0, то, обозначая cos2x через у, мы
приходим к следующей задаче: при каких значениях
а квадратный трехчлен
f(y)= 16у2— 12у —«+ 1
имеет хотя бы один корень на'интервале (0; 1)?
Вычисляем опорные выражения:
£>(а)=4(16а+20)= 16(4а + 5),
f(0)=- a+l,	/(1)=-а + 5,
f'(0)=-12,	Г(1)=20.
Так как	f' (1)> 0, то два (не обязательно
различных), корня на интервале (0; 1) трехчлен f(x) имеет
при выполнении системы неравенств
4а+5>0, а— 1 <0, а — 5<0,
т. е. при —5/4^а<1.
При двух различных корнях лишь один из них лежит
на интервале (0; 1) при выполнении неравенства
(а—1)(а—5)<0,
т. е. при 1 <а<5.
93
При особом значении а=1 второй корень f(x) равен
3/4, а при а = 5 он отрицателен и не принадлежит этому
интервалу.
Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы
одно решение при —5/4<а<5.
9. Решить уравнение
д/а —sinT=-д/cos 2х +За
Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, мы
получим уравнение
a —sin x = cos 2х + 3а,
для которого, учитывая область определения исходного
уравнения, должны найти корни, удовлетворяющие нера-
венству sinx^a — в этом случае и правая часть получен-
ного уравнения неотрицательна, так что такие корни
автоматически входят в область определения исходного
уравнения.
Заменяя теперь cos 2х на 1 — 2sin2x и обозначая sin х
через у, мы придем к следующей задаче: найти корни
квадратного трехчлена
f(y) = 2y2-y-2a-l,
принадлежащие отрезку [ — /; 1] и удовлетворяющие
неравенству у^а.
Далее, очевидно, следует знать расположение числа
а относительно точек —1 и 1, однако, прежде, чем
прибегать к детальному рассмотрению различных воз-
можных случаев, целесообразно вычислить дискриминант
f(x)—неравенство D(a)^0 дает определенную информа-
цию о числе а, которая может оказаться существенной
для взаимного расположения точек с, 1 и -1.
Дискриминант £>(а)=16а + 5, так что
D(a)>0oo>-^,
бткуда, в частности, следует, что а> — 1, и остается
рассмотреть два случая: а) —и б) а> 1.
В случае а) мы должны найти корни трехчлена /(«/),
лежащие на отрезке [— 1; а]. Вычислим оставшиеся опор-
ные выражения:
f(-V)=-2a+2, f(a)=^2a2 —За—1,
/'(—!)=—5,	/'(a)=4a—1.
При особом значении a= 1 второй корень f(y) равен
94
3/2 и не принадлежит отрезку [—1, а]. Особое значение
а= 3~*7? —больший корень уравнения f(a)=O—боль-
ше 1 и не удовлетворяет условию случая а), а при
3_-JJ7
а=—— второй корень равен, по теореме Виета,
1 1	3-V17 _ - 1+717^ 3—V17
2 а 2	4	4	4	’
и следовательно, также не принадлежит отрезку [ — 1; а].
Далее рассматриваем корни на интервале (—1; а).
Два (не обязательно различных) корня на этом интервале
трехчлен f(y) имеет при выполнении неравенств
а-—1<0, 2а2 —За—1>0, — 5<0, 4а— 1>0,
но первое из этих неравенств несовместимо с условием
случая а).
Только больший из корней f(x) лежит на рассматривае-
мом интервале (—1; а) при выполнении системы нера-
венств
а— 1> 0, 2а2 —За—1>0,
которая также не имеет решений, удовлетворяющих усло-
вию случая а).
Наконец, только меньший корень f(x) лежит на интер-
вале (—1; а) при выполнении системы неравенств
а—1<0, 2а2 —За—1<0,
3__-JT7
т. е. при ——<а<1.
Таким образом, в случае а), с учетом особых значений,
получаем:
при а= 1 : у— — 1;
Оба выделенных особых случая, как оказывается,
можно включить в общий случай: при а=1 это очевидно,
а при а= 3~У*7 полученный в общем случае корень
равен
1 -л/21 -4-/Г7 = 1 -У(2-УГ7)г _ 1 — (V17—2) = 3—/Т7
4	4	4	4	‘
95
Этот факт не случаен, и его можно вывести из опреде-
ленных теоретических соображений, которые, однако, нет
необходимости приводить по такому маловажному пово-
ду. Главное, что достаточно заподозрить такую возмож-
ность и провести соответствующие выкладки. Правда,
группировка под радикалом д/21 — 4д/Т7 является, конеч-
но, искусственной, однако если иметь в виду цель — дока-
зать, что из этого двойного радикала корень «извлекает-
ся», то рассуждения можно провести следующим обра-
зом:
= 1-V17 о 717 _ 2=-д/21—4^17;
но последнее равенство верно, так как
7Г7-2>0 и (717-2)2 = 21-4д/Т7-
В результате получаем, что на отрезке [ — 1; а] трехчлен
f(y) имеет единственный корень
1—УГба^Ьб
У 4
__з_VTz
при ---но подчеркнем лишний раз, что
запись ответа с выделенными особыми случаями не может
считаться ошибочной, хотя, конечно, она менее обозрима.
Рассмотрим случай б) : а> 1. В этом случае мы дол-
жны найти корни трехчлена f(y) на отрезке [—1: 1].
Опорные выражения для трехчлена f(y) и его производной
равны
к- 1)= -2а + 2,	/(1)= — 2а,
/'(-!)= ~5,	Г(1)=3.
Однако при рассматриваемых значениях а> 1 выпол-
няются неравенства f(— 1)<0, f(l)<0, и следовательно,
на интервале (—1; 1) трехчлен f(y) не имеет корней.
Окончательно получаем теперь, что при —1
исходное уравнение равносильно уравнению
sinx^1-^,
4
q._JT7
и следовательно, при ——^а^1 оно имеет решения
х=(— Ifarcsin	4-пл (/ieZ),
а при остальных значениях а решений не имеет.
96
УПРАЖНЕНИЯ
1. Сколько корней имеет уравнение
(а+1>2-2(а+ 1>+а2+2а-9=0
на промежутке [1; 3)?
2. Решить уравнение
a)	cos2x=a—sin х;
б)	X4 —2ах2(14-х4)—о(1+^)2=0;
в)	4sinxcosx-(a+5)4-sinxcosx=a+1;
З'+З-*-2	. , ^Зх-1 , .
Г) 3’+3~х+2 (а+4)з*+1 +а’
д) 2х4+3ах3—4ах24-Зах+2=0.
3. Решить уравнение
a)	log3(l— x2)=log3(x2 —х+а)\
б)	1 — 2sin х=->/acos2x—J;
в)	|a—4X| = 1 —2x+1.
97
ОТВЕТЫ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
§ 2
I. а) Объединение прямых у=2х и у= — (x-j-l)/3. б) Объедине-
ние прямых у = 2х — 2 и z/ = 2x-|-l; проще всего заметить, что
4х2 — 4ху+у2=(2х —у)2. в) Окружность радиуса 4 с центром в точке
( — 2; 3). г) Таких точек нет, поскольку дискриминант трехчлена отно-
сительно х отрицателен при любом у. д) Точка с координатами (2/7;
3/7). 2. а) (3; 10), (—3; —10); разложить левую часть на линейные
множители и заметить, что они должны быть целыми делителями числа
19. б) (2; 1), ( —3; 1), (-2; -1), (3; -1), (1; 2), (-3; 2), (-1;
— 2), (3; —2), ( — 1; 3), (—2; 3), (1; —3), (2; — 3); чтобы избежать
появления дробей при выделении полного квадрата, умножить обе
части уравнения на 4 и привести уравнение к виду (2р + ^)2-|-3^2 = 28,
откуда а2 равно 1,4 или 9. в) (1; 0), (1; 2); дискриминант трехчлена
f(p) = 5p—2(q -{-l)p + 2q2 — 2q — 3 равен — 9</2+12q+16, и поэтому
неотрицателен на отрезке (2(1—д/5)/3; 2(1+д/5)/3), т. е. при 0<^<2;
остается найти корни f(p} при этих значениях q. г) (6s2±2s-f-2; 3s ± 1),
seZ; положив л = 3р, k — 2q2t получим л2—2nk-\-k2 — Зл-|-3£ = 4 или
(n — k)(n — k — 3)=4, откуда п — k равно либо 4, либо —1; если
п — k= — 1, то 3p — 2q2— 1, что невозможно, так как при делении на
3 число 2q2 дает остаток либо 0, либо 2; из равенства Зр = 2^2-{-4
получаем, что при делении на 3 число q2 дает остаток*!, т. е. ^ = 3s±l.
д) (1; 1), (1; —1); умножив обе части уравнения на 2 и положив
л = 3р,	k = 2q2, получим в левой части многочлен
6л2-5иЛ + ^24-6Л- 12 л=(Л-2п)(/г-3 л + 6). е) (2; 1), (1; /), (2;
—3), (7; —3); записать уравнение в виде (2р — 3)24-(^-F 1) —5 и при
дальнейшем переборе использовать нечетность числа 2р — 3. ж) (1; 1),
(—1; 1); дискриминант трехчлена f(p) равен 9^2—18^4-13, и требуется
выяснить, при каких целых q это выражение будет точным квадратом:
9^2-18^+13 = ^2o9(^-1)2+4 = A?2o(/5-3s) (Zj-f-3s)=4,
где s = q—\; числа k + 3s и k — 3s имеют одинаковую четность, и
поэтому оба равны либо 2, либо —2, так что s = 0, т. е. q=\.
3. а) Второе уравнение раскладывается на линейные множители,
б) Левая часть первого уравнения является суммой квадратов, в) Вы-
чтя из второго уравнения первое, получим в левой части выражение,
раскладывающееся на множители. 4. а) (а—b)(b — с)(с — а)\ данное
выражение представляет собой квадратный трехчлен относительно каж-
дой из переменных, и поэтому при разложении на множители должны
появиться соответствующие старшие коэффициенты; для доказательст-
ва тождства остается убедиться, что заданное выражение обращается
в 0 при а=Ь и при а=с. б) — (а—b)(b — с)(с — а). в) —(a—b)(b —
с) (с — а) (а+&+с); заданный многочлен обращается в 0 при Ь = а, так
что в нем выделяется множитель a — bt и поскольку многочлен не
меняется при циклической замене а->6->с->а, то выделяются множите-
ли Ь — с и с—а; множитель а-\-Ь-\-с может быть найден по схеме
Горнера (или как единственный, с точностью до коэффициента линей-
ный относительно а, Ь, с многочлен, не меняющийся при циклической
замене), г) Многочлен тот же, что в задаче в), д) 3(а—b)(b — с)
(с—а). е) —(a — b)(b — c)(c—a)(a2 + b2+c2+ab-{-bc-}-ca); многочлен
98
относительно а имеет степень 4, старший коэффициент b — с, кор-
ни Ь и су и после двукратного применения схемы Горнера, получаем
последний множитель, который далее неразложим, поскольку его диск-
риминант отрицателен. 5. а) Объединение прямых t/4-х, у=2 и х=2.
б) Объединение прямых у=—ху у= — 1 и х= — 1. в) Объединение
прямых у=Ху у= —х— 1, у= 1 и х= 1.6. б) После приведения к обще-
му знаменателю в числителе получится квадратный трехчлен f(x) со
старшим коэффициентом z—y, так что, в силу симметрии,
f=(z—у)(х—у)(х—z). 7. а) Частный случай неравенства из задачи
3 из § 2. б) Перенести все члены в левую часть и заметить, что
дискриминант полученного трехчлена меньше или равен нулю в силу
неравенства Коши — Буняковского. в) Заменив х3, у3 у z3 на н, v, wt
получим неравенство и34-и3-I-w3—3uvw^0t вытекающее из задач 12
и 3 из §2. г) В силу в), x+j/4-z>3Vxyz,
8. а) Положить а=Ь/х,^[у^, Ь=(1/^ \h[y, и применить не-
равенство Коши — Буняковского: (5-5)2< |а|2-1£|2- б) Положить
а=(хуу yZy zx)y 5=(yz, zxy xy). в) Сводится к б) после освобождения
от дробей. Я. (3/14, —6/35, 2/21); если а=(2х, Ъуу 3z\ £(1/2, — 1,
1/3),jro |а| = 1, |£|=7/6, а-Н=| а\ • |£|, т. е. коэффициенты векторов
а и b пропорциональны: 4х= — 5y=9z. 10. а) —2; если а=(х, —2),
b=(-y/2x^9y V1 —2х), то a-b=\d\-by откуда х/д/2х+9=
2/^1—2х или 2х3 —х2+8х-}-36=0; корнем этого уравне-
ния является х=—2. 11. Пусть а=(х,//), £=(/, z); тогда а-Ь^6>
|al*lt) I так что векторы а и Ь пропорциональны. х=£/, y=kzt
k2t2+k2z2=4y откуда £±2/3; при £=±=2/Зх+?=х+^ и jio
неравенству Коши — Буняковского x-f-z^(x, у) (1, 3/2) 5^2- ^/13/2,
так что x+z^-^ХЗу причем равенство достигается при x:l=i/:3/2,
х=2у/3у после чего вычисляются соответствующие значения, х, yt z, t.
Возможно также решение с помощью тригонометрии: x=2cosa,
t/=2sin a, z=3cos0, f=3sin 0, после чего неравенство в системе
принимает вид sin(a-f-0)>l. 12. а) (х— 1)(2х3—х2 — 5х-{-3); второй
множитель неразложим: он не имеет рациональных корней, в чем
можно убедиться непосредственной проверкой; для упрощения вычисле-
ний можно умножить его на 4 и, сделав замену р=4х, убедиться, что
многочлен f(y)=y3—y 2 — 5t/+12 не имеет целых корней; перебор дели-
телей числа 12 можно сократить, используя следующее соображение:
если f(£)=0 (£g=Z), то по теореме Безу f(x) = (x—1)? (x)+f(l), так что
(£—/)</(£)= — f(l\ т, е. £—1—делитель	б) Многочлен нераз-
ложим; пусть 3x4-f-4x3 — 2х — l=(3x2-f-ax+6)(x2+px + ^) — такого
вида сомножителей всегда можно добиться: изменением знака у обоих
можно добиться положительности старших коэффициентов, а переста-
новкой и получить, что трем равен коэффициент именно первого сомно-
жителя; тогда bq= — ly и здесь уже надо рассматривать два случая;
при Зх44-4х3-*-2х— 1 =(3х 2+ax+1)(х2+рх—1 ), приравнивая коэф-
фициенты при х3, х2 и Ху получаем систему
Зр + а=4, — 3 + ар+1=0, —-а±р=—2,
не имеющую (целых) решений; при Зх4 +4х3 — 2х — 1 =(3x2-f-ax— 1)
(х2+рх-|-1) аналогично имеем систему Зр + а = 4, 3 + ар —1=0, а—р=
= —2, также не имеющую целых решений, в) (х2 — х-}-2) (х2 + 3х — 2).
13. Уравнение можно рассмотреть как квадратное относительно а; его
старший коэффициент равен x-f-l, так что случай х=-^1 следует
рассмотреть отдельно; дискриминант уравнения равен (Зх2—2)2.
14. При z-х—уу / = log2(|x| 4-z/+1) второе уравнение принимает
99
вид zz —6z/-}-5/2=0, откуда z=t или z=5/, и первое уравнение после
подставновки становится квадратным относительно |/|. 15. Оба под-
коренных выражения равны 0; второе из них как квадратный трехчлен
относительно х имеет дискриминант D=20cos 2пу cos2 nz—20^0,
и D=0 при cos2ne/=cos2jxz= 1, т. е. при sin ш/—sin лг=0, так что
у и z — целые числа; а х=±1Д/3 при cos пу cos pz= ± 1; далее
имеем:
2i/J-2z2-2t/+ 10z-4+3=F3=0,
4^—4i/=4z2-20z + 8-6±6,
(2у— l)2 = (2z-5)2-22±6,
(2z—5f—(2i/ — 1/=22=Рб;
но разность квадратов двух нечетных чисел всегда делится на 8:
в самом деле, (2£-Н)2—(2л-|-1)2=2 (& + л+1)-2(£ — л), и если k—п
четно, то	нечетно, и наоборот; поэтому остается решить урав-
нение (2z—5)2—(2у— I)2 =16, или (z+y—3)(z—у —2)=4; множители
в левой части имеют разную четность, так что они равны или 1 и 4, или
— 1 и —4. или 4 и 1. или —4 и —1; так что Zi=5, у{ = — 1, z2=0,
У2=— 2, 2з = 5, 1/3 = 2, z4 = 0, г/4=-1.
§ 3
1.	Во всех задачах этого номера f(x)—левая часть неравенства, а)
Да; f(l)<0. б) Да; f(-l)<0. в) Нет; 0/4 = 712-245*322<О. г) Да;
D/4 = 782—132-23 = 4(392 — 33*23 )> 0. 2. Во всех задачах этого номе-
ра f(x)—левая часть уравнения, а) Да; /(0)<0. б) Да; f(l)<0. в) Да;
/( — 1)<0. г) Да; f(2)<0. 3. а) —93/41 <х< — 24/34; число 2 являет-
ся корнем обоих трехчленов в левых частях неравенств, б)
1<х<475/356. Решение уравнения х^1, и 1—корень трехчлена в
левой части неравнества. в) Трехчлен в левой части неравенства имеет
корень 2. 4. Задачи этого номера могут быть решены также, как задача
4 из § 3, однако с вычислительной точки зрения более просто восполь-
зоваться группировкой, учитывающей корень, найденный подбором,
а) 1—корень уравнения, и после логарифмирования по основанию 10,
будем иметь
-|=plg2+-^lg5=lg2+lg5,
(ттг-1)'624-^-')'65-6-
4^^+^s-o. (,-.)(Jg.+J£)_o.
б)	2 —корень уравнения; прологарифмировать по основанию 10.
6. Если f(x)=ax2+2bx+ с, то f имеет отрицательный старший коэффи-
циент и /(!)> 0, т. е. f имеет два корня, и следовательно, его дискрими-
нант положителен.
§ 4
I.	Во всех задачах этого номера f(x)=ax2 —х— а—а3, его корни
xi = a, х2=(1— а 2)/а (при а=/=0) а) При а=/=0 xi, х2; при а=0 х=0.
б) При а=0 уравнение не имеет смысла; при а=/=0,±1 xi,x2; при
а=±1 х=0; запрещенное значение х=1/а, f(,/fl)=a—а3, в) При
а=±1 уравнение не имеет смысла; при а=0 х=0; при а=/=0,±1 xi
100
и Х2. г) При а=0 уравнение не имеет смысла; при а=/=0,±1 Х| ихг; при
а= 1 х=1; при а= —1 х= — 1. д) При а=±1 уравнение не имеет
смысла; при а=0 нет решений; при а#=0,±1 Х|,Хг. 2. Во всех задачах
этого номера получается уравнение 3ax2-j-2(a-i- 1)х4-2( а4-1)=0, кото-
рое при а=0 имеет решение х= — 1, а при а=/=0 заменой t=3ax
сводится к уравнению f(x)=J2-j-2(a 4- 1)/4-6а(а4-1)=0, корни которого
Л,2= — (а-|- 1)±л^(а-М) (1 — 5а) при — l^a^1/* (а#=0). 6) Запрещен-
ное значение х= — 2/з, /=—2а, f( — 2а)=6а2-}-2а, и особое значение
а= — */з. в) Запрещенное значение х= — */а, /=—3, /(—3) = 6а24-3,
и особых значений а нет. г) Запрещенные значения х= — 2/з и х—2а,
t=—2a и /=6а2, [(6а2)=6а(3а 4" /)(2а2 4-1), и особое значение
а= —1 /з. д) Особое значение а = — */з- 3. Во всех задачах этого номе-
ра получается уравнение 3x24-2(a4-4)x-|-4a4-7 = 0, или, при /=3х,
Дх) = /2	2(а	_4-4)/_4-3(4а 4-7) = О, корни которого
/1,2= — (а4-4)±^а2 —4а—5 (а< —1 или aj>5). a) Д—5)=2а4-6, и
особое значение а= —3. б) /( — За — 3)=3а24-6, и особых значений
а нет. в) Случай а = 0 рассмотреть отдельно; при а=/=0
/(~—~)=6(а4-3)(а2+1)/а2
§ 5
1.	Во всех задачах этого номера f(x) —квадратный трехчлен в левой
части уравнения, D — его дискриминант, х0 —корень выражения под
радикалом, а) 3; D= 1192 —72* 115>» О, и оба корня f(x) положительны,
т. е. входят в область определения уравнения, б) 1; если Дх) имеет
корни, то они отрицательны и не входят в область определения, в) 3;
£) = 5322—168-482> 0, и оба корня f(x) отрицательны, г) 1;
£)/4=492— 11 • 153> 2401 — 12* 160> 0, f( —2)> 0, f'( — 2)> 0, т. е. оба
корня меньше —2; д) 2; f( — 2)<0, т. е. только больший корень f(x)
входит в область определения, е) 3; Z» 0 /( —2)>0, /'( — 2) <0, т. е.
оба корня /(х) больше —2. Ж) 3; /)> 0, 3<хо<4, f(4)<0, f'(4)<, т. е.
оба корня f(x) больше 4 и, следовательно, больше хо. з) 2; f(3)<0,
f(4)<0, т. е. на (3; 4) /(х)<0; в частности, f(xo)<O, и только больший
корень /(х) входит в область определения, и) 2; f(3)<0, хо<3, 6,
f(3, 6)<0, так что f(xo)<O. 2. а) При а< — 2 один корень, при а> —2
два корня, б) При а^ —6 два корня, при а> 6 один корень.
3.	а) (104- д/Т27)/9; уравнение равносильно системе f(x)=
= 9х2 —20х—3=0, х^2/3; /(2/3)<0, так что неравенству удовлет-
воряет больший корень хь б) (10—->/127)/9. в) ( —35±л/37)/9; урав-
нение равносильно системе /(х)=9х2+35x4-33 = 0, х> — 7/3;
/( —7/3)> 0, /'( — 7/3)> 0. г) Нет решений, д) (194-3^/50/14; уравне-
ние равносильно системе f(x)= 14х2 —38х —7=0, х>5/2; /(5/2)<0,
так что неравенству удовлетворяет только больший корень, е)
(194-3V51)/14. ж) (13±2VT74)/17; при возведении обеих частей
уравнения в квадрат получается равносильное уравнение, з) (13±2
>/174)/ 17; после возведения обеих частей уравнения в квадрат надо
найти корни уравнения f(x) = 17х2 — 26х —31=0, удовлетворяющие не-
равенству х> — 18/7,	f(— 18/7)> 0,	f'(—18/7)<0. и) (13±2
VT74/17 надо решить уравнение f(x)= 17х2 —26х—31 =0 и взять
его корни /, для которых 17/* —19/— 13J>0; так как f(/)=0 то
—17/2—19/—13= 26/4-31 — 19/ -13 = 7/-|-18, т. е. корни / должны
удовлетворять неравенству /^ —18/7. 4. Уравнение равносильно систе-
ме /(х)=(х — I)2, х>1, и если g(x) = f(x)—(х— I)2, то старший коэффи-
циент g(x) положителен, ^1) = /(1)<0, и поэтому трехчлен имеет един-
ственный корень, больший 1.
101
§ 6
1.	Положив 6==а+1 заметим, что можно считать 6> 0, и рассмот-
рим квадратный трехчлен f(x) = bx2 — 2bx-\- Ь2 — 10; опорные значения
D=-^+6-10 ), f(l)=Z>2-6-10, f(31=b2+3b-10, f'(l)=0,
f'(3)=4b, число 1—корень f при 6i,2=(l ±^/41)/2
D> (te>b2+b- 10<0о0<6<(1 ±-yW2>
f(l)> 0o6> (1 ±V4T)/2,	f(3)> 0o6> 2;
поэтому ври Z?>(1 +д/41)/2 f не имеет корней; при 0<6<2 f(B<0,
f(3)<0, т. е. f не имеет корней на (1; 3); при 2<6<(1-|--у41)/2
f(l)<0, f(3)> 0, т. е. f имеет на (1; 3) один корень; при Ь = 2
f(x)=2(x2 — 2х —3) не имеет корней на (1; 3); при Ь—(\-\-^[4\)/2
число 1—«двойной» корень f; таким образом, на промежутке [1; 3] при
0<ЬС2 и при 6> (1 +-\/41)/2 f не имеет корней, при
2<6<(1+лЯ1)/2 f имеет один корень, при Ь<0 получаем «симмет-
ричные варианты»: при —2<Ь<0 и при Ь<.—(l-f--\/41)/2 f не имеет
корней на [1; 3), при — (1 +V4i)/2<x< — 2 f имеет один корень; при
Ь=0 корней нет. 2. а) заменив cos 2х на 1—2sinax и положив
</=sinx, b=a— 1, получим уравнение f(y)=2y2—y-f- b=0; опорные
значения
D/4=l—8b, f(-l)=b+3,
/(!)=&+1, /'(—!)=—5,
f(l)=3,
при D> 0 f имеет корни z/i,2=(l ±-/Г—8b)/4, и далее получаем, что
_3 Г К-1><0>
of не имеет корней на (—1; 1)
К-1)> 0,
Ю)<о
1;1).
i/2e(—U);
К-1)>0.
{Ю)>о,
Н-1)<0
Г(1)> 0
b> l/8^>f не имеет корней; значения b= — 1, —3, 1/8 рассматривают-
ся отдельно; напомним, что переход к неизвестному х не требует
дополнительных исследований значений параметра Ь. б) Разделив обе
части уравнения на (1 +%4)2 и положив у=х2/(\ +х4), получим уравне-
ние f(y)=y2 — 2ay — a, причем Е{у)=[0; 1/2]; опорные значения
D/4 = a2+at f(O)=-a,
f(l/2)=-2a+l/4,
Г(0)=-2а,
Г(1/2)=1-2а;
далее получаем: при а< —1 f(0)> 0 и f'(0)> 0, т. е. оба корня f
отрицательны, т. е. не принадлежат Е(у), при — 1<а<0 f не имеет
102
корней, при 0<а<1/8 f(O)<zO, /(1/2)>0, т. е. на (0; 1/2) лежит
больший корень у\ = а-\-^сх2-\-а трехчлена f при а> 1/8 f(Q)<0,
/(1/2)<0, т. е. на (0; 1/2) f не имеет корней, в) Если
^_=4sinxcosx = 2sin2x^ то £'(^)==[_ 1/2; 2]. г) Если у=(Зх — 1)/(Зх + 1), то
уравнение принимает вид y2=(a-[-4)y-}-a-t при этом уравнение
(3х — 1)/(Зх-{- 1)=а, или Зх(1—а)=а+1 имеет решение при
(а+1)/(а—1)<0, т. е. при — 1<а<1, так что Е(у)=(— 1; 1). д) Дан-
ное уравнение возвратное. 3. а) Уравнение равносильно системе
х2—х-|-а= 1 — х2, 1— х2> 0, так что требуется найти корни трехчлена
f(x)=2x2—х+ где b=a— 1, лежащие на (—1; 1) (см. задачу 2а).
б) Положив i/=sin х, получим уравнение 1—2y=^Ja — \ —2ау*, равно-
сильное системе (2а-\-4)у2—4у-\-2— а=0, у^1/2. в) Положив у=2\
получим уравнение \у2 — а\ = \— 2у, равносильное системе
Г. В. Дорофеев
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
В ЗАДАЧАХ
Сдано в набор 1.03.91. Подписано к печати 30.05.91. Формат
84X108/32. Бумага тип. №2. Гарнитура литературная. Печать высо-
кая. Усл. печ. л. 5,46. Усл. кр.-отт. 5,88. Тираж 100 000 экз. Зак. 1—920.
Цена 2 р. 80 к. (для подписчиков).
Журнал «Квантор», 292310, г. Нестеров, ул. Горького, 8.
Головное предприятие республиканского производственного объеди-
нения «Полиграфкнига» 252057 Киев, ул. Довженко, 3.