ЕС
Л
ЛЕКЦИИ И ЗАДАЧИ
I
МОСКВА-1965

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОМ
. \ V
Сборники "Математическая школа" содержат материалы препо-
преподавания математики в специализированных математических клас-
классах средней школы, материалы Вечерней математической школы
при механико-математическом факультете Московского универси-
университета, а также другую информацию, представляющую интерес для
учеников и преподавателей математических школ. Предлагаемый
сборник - первый. Дальнейшие выпуски должны выходить каждые
две недели.
Сборники подготовляются группой математиков Московского
университета, работающих в математических классах школы № 2
Октябрьского района г.Москвы и в Вечерней математической
школе.

В школе имеется два лекционных потока по математике: по-
поток 9-х классов (9а, 96 и 9в) и поток 10-х классов (Юа, 106
и Юв). В каждой потоке лекции читаются два часа в недело.
Семинарские занятия проводятся пять часов в неделю. На семи-
семинарских занятиях каждый класс разбивается на две группы. За-
Занятия с группой, состоящей из 15-18 учеников ведут руководи-
руководитель группы и его. помощники.
Кроме того математики из университета и других институтов
ведут занятия в трех восьмых и двух седьмых классах. Разде-
Разделение каждого класса на две группы проводится также в вось-
восьмых классах. Восьмиклассники занимаются в семинарах четыре
часа в недело.Семиклассники занимаются с университетскими
преподавателями два час'а в неделю. Семиклассники ¦ занимаются
с .уЯиверойшвтошши пропе-.... ..;; • ¦ •:-.-¦•
Во всех классах имеются и обычные уроки математики: в де-
десятых и девятых по пять часов в неделю, в восьмых - шесть ча-
часов и в седьмых - восемь часов.
На стр. ^% приводится список преподавателей, ведущих заня-
занятия в классах и группах.
Из задач, предлагаемых всеми преподавателями, отбираются
контрольные задачи. Для того, чтобы сдать зачет, ученик обя-
обязан уметь решать каждую задачу из контрольного списка. Спис-
Списки контрольных задач будут помешаться в наших сборниках (см.
стр.22, и 3S ). Кроме обязательных задач школьникам предла-
предлагаются более трудные необязательные задачи. Часть их выносят-
выносятся на конкурс. По окончании каждой темы жюри присуждает по-
победителям премии. (См. конкурсные задачи на стр. 26 а 36 ).

Вечерняя математическая школа при механико-математическом
факультете МГУ работает третий год. Школа рассчитана на ре-
ребят, проявляющих склонности к серьезным занятиям математикой.
Задача школы не в том, чтобы сообщить ученикам определенный
запас сведений, а в том, чтобы способствовать их общему ма-
математическому развитию и дать им почувствовать, что такое ма-
математика как наука.
Школа возникла как дальнейшее развитие системы математи-
математических кружков, которые работают при Московском университе-
университете уже свыше тридцати лет. По существу она представляет со-
собой упорядоченный математический кружок.
Для учеников 8-ых и 9-П классов раз в неделю читаются
гекции профессорами и преподавателями МГУ и других институ-
институтов. Это бывают иногда отдельные лекции, иногда небольшие цик-
циклы. После каждого цикла ученики могут сдавать зачеты.
Важнейшее место в работе школы занимают групповые занятия.
Этими занятиями руководят аспиранты и студенты МГУ. В руко-
руководстве группами 7-х и 8-х классов принимают участие также
наиболее сильные старшеклассники специализированных матема-
математических школ.
На групповых занятиях решаются разнообразные задачи. Часть
этих задач связана с материалом лекций, другая часть имеет
общий характер. Иногда задачи подбираются специально в свя-
связи с определенной темой занятия.
Проводится постоянный конкурс по решению задач. Задачи,
предлагаемые на конкурс, будут печататься в каждом сборнике
"Математическая школа" (первая серия задач помещена на
стр. 6 )•
Школьники, приходящие в Вечернюю математическую школу, яв-
являются вначале ее гостями. Фамилии тех, кто хорошо решает за-
задачи, вносятся затем в списки учеников, и им выдаются зачет-
зачетные книжки. В зачетных книжках отмечаются сданные учениками
зачеты и успехи в конкурсах по решению задач.
Занятия для 7-х классов происходят по субботам, с 16-ти
до 19-ти час, начиная с 25 сентябри 1У65 г. в помещении шко-
S
2-1474

лы № 2 (Ленинский проспект, д.58 а. Проезд автобусами
№ III, 108, 119,144,57 до остановки "Ленинский проспект",
троллейбусами Ч и 33 до остановки "Универмаг Москва").
Лекции для 8-х классов происходят по вторникам с 16 до
18 часов в аудитории 0.2 главного здания МГУ на Ленинских го-
горах (проезд: метро "Университет", автобусы III, 57,47,119,
133 до остановки "Дом культуры МГУ"). Групповые занятия для
8-х классов происходят в зданиях МГУ на Ленинских горах по
вторникам с 18 до 20 час.
Лекции для 9-II классов читаются в ауд. 0.2 в главном зда-
здании МГУ на Ленинских горах по пятницам (начиная с 15 октяб-
октября 1965 г.) с 1б-ти до 18-ти час. О расписании групповых за-
занятий можно узнать во врегя лекций, а также на специальном
стенде ВМШ возде ауд. О.с МГУ.
0 Я
J ^^Ш

В конкурсе могут участвовать все школьники 7-II классов.
Задачи даются отдельно для учеников 7-8-х' и 9-II классов.
Эти задачи сообщаются на групповых занятиях Вечерней матема-
математической школы, вывешиваются на специальных стендах ВМШ в
главном здании МГУ (около ауд. 0.2) и в школе № 2 и публику-
публикуются в сборниках "Математическая школа". Решения должны
представляться в письменном виде в пределах объявленного для
каждой серии задач срока. Их можно отдавать руководителям
групп BM1JJ, а также присылать по адресу: Москва В-234, Мос-
Московский университет, механико-математический факультет, ка-
Ъедра теории вероятностей, Вечерняя мат.школа, А.Маслову.
"шмерно, один раз в два месяца жюри подводит итоги конкур-
и присуждает премии победителям.
Помимо основных серий задач мы оудем публиковать иногда
более трудные задачи, не указывая срока представления реше-
решений. Иногда это будут задачи, решение которых вообще никому
неизвестно. Представленные а письменном виде хотя бы частич-
частичные решения таких задач будут, конечно, приниматься во вни-
внимание при присуждении премий.
После того, как срок представления решений истечет, мы
будем печатать краткие решения наиболее интересных задач.
Иногда будут публиковаться решения, представленные школьни-
школьниками.
Итак, за работу, друзья!

S кмио.
1.	Дано 20 целых, положительных, не равных между собой чи-
чисел, меньших 70. Доказать, что среди их разностей найдут-
найдутся h одинаковых.
2.	Бактерии имеют такой закон развития: каждая живет I час
и каждые полчаса порождает одну новую (всего 2 за свою
жизнь). Сколько бактерий будет через Т часов?
3.	Имеется К ящиков. В некоторых из них лежат еще К ящиков.
В некоторых из последних лежат еще ящики (снова К штук)
и т.д. Сколько всего ящиков, если заполненных М?
h. На плоскости дано Р прямых, пересекающихся в X точках.
Каково должно быть X, чтобы вопрос: "каково Р?" мог иметь
только один ответ?
5.	Дана последовательность: 1,1,2",3,7,22... Каждый член ра-
равен произведению предыдущих двух плюс I. Доказать, что ни
один член последовательности не делится на k.
6.	Из лампочек 4 цветов составляются гирлянды длиной в 4 лам-
лампочек каждая. В каждую гирлянду входят лампочки всех цве-
цветов, и ни в одной из них не стоят рядом лампочки одного
цвета. Сколько можно составить таких гирлянд?
?. В выпуклом многоугольнике проведены некоторые диагонали
так, что они попарно не пересекаются и разбивают много-
многоугольник на треугольники. Доказать, что ре»»в из двух вер-
вершин не исходит ни одна из проведенных диагоналей.
8. Плоскость разбита на три произвольные области А, В и С.
Доказать, что хотя бы в одной из них найдется пара точек,
расстояние между которыми равно I.
X КО

"	" ОКТЯБРЬ
a
1.	Доказать, что в любой группе из 6 школьников всегда лие-
ется либо трое школьников, которые все знакомы друг с дру-
другом, либо трое школьников, никакие два из которых не зна-
знакомы.
2.	На плоскости даны 4-000 точек, никакие три из которых че
лежат на одной прямой. Доказать, что можно найти I 000 не-
непересекающихся четырехугольников с вершинами в этих точ-
точках.
3.	Имеется 10 мешков монет. Б девяти мешках монеты настоящие
(весят 10 г), а в одном мешке все монеты фальшивые »(весят
II г). Одним взвешиванием с помощью рычатиих BecoBvfo—9щ>ъ
определить в каком мешке фальшивые монеты.
4-. Пусть К -число делителей числа ft.
Доказать, что /<*"<?/?.
5.	На продолжении наибольшей стороны в треугольнике АС{ААЬСу
отложен отрезок СА1=БС.
Доказать, что 1АЫ\ тупой.
6.	Дана дробь +° . При каких целых х эта дробь сократима?
5х+7
7.	Дано 20 целых чисел (положительных) не равных между собой,
меньших 70. Доказать, что среди их разностей найдутся 4-
одинаковых.
9-10
киаши
I.В клетки квадратной таблицыпхп. записаны числа, причем
известно, что суша2п-1 чисел, составляющих произволь-
произвольный крест (т.е. заполняющих некоторую строку и некоторый
столбец) равна 0. Доказать, что все числа в таблице рав-
равны 0.
?.Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четыре
треугольника, площади которых выражаются целыми числами.
Доказать,что произведение этих четырех чисел не может
оканчиваться цифрами ...1965.
СО

З.На круглом столе радиуса К расположено без наложений
п круглых монет радиуса 1, так что больше нельзя поло-
положить ни одной уонеты. Доказать, что ?(?"*) <Vn<-f
^.Доказать, что среди первых десяти миллионов'разложения
\Гг ни одна цифра не повторится 5OOlT^e . f*
5-Имеется шахматная доска 3x3, в верхних двух ее углах
стоят два черных коня, в нижних - два белых. (Кони ходят
как обычно). Доказать, что нужно сделать не менее 16 хо-
ходов, чтобы белых коней поставить.на место черных, а чер-
черных на меото белых.
t
t

ТРИ ЗАДАЧИ
U.M. Ялиам-
А. Дан прямоугольник R. Можно ли покрыть его двумя мень-
меньшими прямоугольниками, подобными К ?
Б. Дан выпуклый многоугольникМ. Можно ли покрыть его
тремя меньшими прямоугольниками, гомотетичными М ?
Б. Дан прямоугольный параллелепипед Р. Требуется покрыть
его подобными, но меньшими прямоугольными параллелепипедами
(т.е. такими, для которых отношения длина:ширина:высота име-
имеют те же значения, что и для параллелепипедаР ); при этом
грани меньших параллелепипедов должны быть параллельны соот-
соответствующим граням Р). Какое наименьшее число параллелепипе-
параллелепипедов при зтом придется использовать?
Решение задач А-В должно содержать полный ответ типа (для
задачи А): во всех случаях, кроме таких-то и таких-то прямо-
прямоугольник R. можно покрыть двумя ему подобными; в таких-то
случаях для покрытия необходимо использовать три подобных
прямоугольника (а быть монет для некоторых прямоугольников
наименьшее возможное число прямоугольников покрытия будет
равно четырем или еще большему числу!). Различие между за-
задачами А и Б заключается в том, что в первой из них много-
многоугольники покрытия лишь подобны исходному, в то время, как
во второй они ему гомотетичны, т.е. "подобны и подобно рас-
расположены" (другими словами стороны меньших многоугольников
должны быть параллельны соответствующим сторонам многоуголь-
многоугольника М). Таким образом задача А допускает гораздо больше ва-
вариантов расположения многоугольников покрытия; зато выбор по-
покрываемой фигуры здесь значительно более бедный: в то время
как многоугольник М задачи Б может быть любым , в задаче А
нас интересует лишь вопрос о покрытии прямоугольников. Заме-
Заменив в задаче А прямоугольник произвольным (выпуклым) много-
многоугольником М мы придем к вопросу о наименьшем возможном чис-
числе подобных М многоугольников, которыми можно покрыть М - од-
однако ответ на этот вопрос пока не известен и можно предпола-
9

гать, что найти его вовсе не легко (во всяком случае это
заведомо сложнее, чем решить задачу Б, являющуюся самой труд-
трудной из трех предложенных; заметим, что решение этой задачи
впервые было получено лишь в I960 г. известными советскими
математиками И.П.Гохбергом и А.С.Маркусом).
Б задаче В речь идет о покрытии параллелепипеда Р много-
многогранниками, подобными Р и "подобно расположенными" (т.е.
такими, что грани их параллельны соответствующим граням Р) -
в этом смысле поставленный здесь вопрос можно считать род-
родственным тому, который составляет содержание задачи Б. Од-
Однако в этой задаче речь идет не о произвольном (выпуклом)
многограннике G, а лишь о прямоугольном параллелепипеде Р-
и в этом отношении задача В скорее сходна с задачей А. При-
Причиной зтого является то, что на вопрос о наименьшем числе
подобных л "подобно расположенных" меньших многогранников,
достаточном для того, чтобы этими "меньшими" многогранника-
многогранниками можно было полность'" покрыть заданный выпуклый многогран-
многогранник G , для произвольна многогранников пока еще не получе-
получено ответа - и зто несмотря на то, что сформулированный во-
вопрос, тесно связанный с некоторыми глубокими и давно стоя-
стоящими геометрическими проблемами5^, привлекал внимание ряда
известных математиков.
х^
' В первую очередь здесь имеется в виду так называемая про-
проблема Борсука (К.Борсук - известный польский математик) со-
состоящая в следующем: каково наименьшее число частей, на ко-
которые надо разбить данную фигуру F , если требовать, чтобы
диаметр каждой части был меньше диаметра всей фигуры? (Под
диаметром здесь понимается наибольшее расстояние между точ-
точками фигуры). Эта проблема оказалась сравнительно несложной
в случае плоскости; она была лишь недавно и после лченв боль-
больших усилий решена для обычного (трехмерного-)пространства;
что же касается случая, скажем, четырехмерного пространства,
то здесь проблема Борсука пока успешно сопротивляется всем
попыткам математиков справиться с ней.
10

Е.Б.ДЫНКИИ
if феаятжх /смисаос ис/опм^ а/2
7
Тема первая. Метрика Евклида б n-мерном векторном пространст-
§ I. Постановка задач.
В геометрическом трехмерном пространстве определены рас-
расстояние между двумя точками и угол между двумя лучами, выхо-
выходящими из одной точки. На основе этих понятий определяются
более сложные понятия: расстояния между точкой и прямой, меж-
между точкой и плоскостью, между двумя прямыми, между прямой и
плоскостью и т.п.; углы между двумя прямыми, между прямой и
плоскостью, между двумя плоскостями. Все это - метрические
понятия.
Преобразования пространства, сохраняющие расстояния и уг-
углы, называются движениями. Два множества называются конгру-
ентными, если существует движение, переводящее первое из
этих множеств во второе.
Когда конгруентны два отрезка; две пары лучей, выходящих
из одной точки; две пары прямых; две пары "плоскость-прямая";
две пары плоскостей? Теория, которой мы будем заниматься,
позволит решать аналогичные вопросы и в ji -мерном, пространстве
х) Эта тема тесно примыкает к^начитилвяой теме "Размерность
векторных пространств", рассмотренной в курсе 9 класса. Уче-
Ученики уже знакомы с аксиоматическим определением векторного
пространства, с основными примерами векторных пространств
(геометрическая плоскость и геометрическое пространство;
-мерное арифметическое пространство, пространство многочле-
многочленов, пространство непрерывных функций), а также с понятиями
подпространства, базиса и координат, линейной зависимости и
независимости, линейной оболочки. Кроме того,изучались общие
линейные многообразия в векторных пространствах(множества,
которые получаются из подпространств с помощью параллельных
переносов) и было рассказано о двух способах заданий таких
многообразий: с помощью системы линейных уравнений и с по-
помощью параметрического представления. (См. Е.Б. Дынкин "Лек-
"Лекционный курс математического анализа и линейной алгебры в
девятых классах математической школы № 2. Изд. МГУ, 1965).
II
4-1474

Удобно начинать с понятия скалярного произведения, и че-
через него определять расстояния и углы.
§ 2. Определение скалярного произведения. Примеры
скалярного произведения.
Говорят, что в векторном пространстве V задано скалярное
произведение, если каждым двум векторам -f,Q. сопоставлено
число (обозначаемое через (/?), причем:
2) если С любое число, то
если
§ 3. Длина вектора. Угол между векторами.
Длина вектора f определяется формулой lfl~\/(-p]-P)
Угол между ненулевыми векторами f и а определяется формулой
Корректность последнего определения вытекает из неравен-
неравенства Шварца-Коши-Буняковского jA а)\ $ Ц \ \а\,
Когда угол между векторами равен 0 или 180°? Как может из-
измениться угол от умножения векторов на числа?
Векторы f и Q. называются ортогональными, если (-fy Ф)=?О
Ортогональным дополнением к множеству векторов Е называется
совокупность всех вектором f , ортогональных к каждому ъек-
торуяе?. Ортогональное дополнение всегда является подпро-
подпространством.
§ 4-. Матрица Грама. Конгруентные базисы.
Матрицей Грама системы векторов •fi)f^,--)fK называется
квадратная таблица /па о
( $11 Ъ% •¦¦ 7\
где 0-=(f-,?). Скалярное произведение выражается через коор-
координаты векторов по базису ? 7ел и матрицу Грама этого ба-
базиса формулой Un)^9 q,..а. в.
12	^=<

Взаимно однозначное отображение А векторного пространст-
пространства V на себя называется ортогональным преобразованием, ес-
если:
а)	A(f +в) = Щ hAty) для любых fyeVi
б)	A(Cf )= С A(f)	для любого /еУи любого числа-? ;
в> (AWMiMlH Д^ любых f,fe V .
Два множества в пространстве V называются конгруентны-
ыи, если они переводятся одно в другое некоторым ортогональ-
ортогональным преобразованием пространства \/ .
Теорема. Если два базисаeif?l_y..,en и ?/,?Л'/ -,е^ имеют
одинаковые матрицы Грама, то они конгруентны (т.е. сущест-
существует ортогональное преобразование Д , такое, что А(е^)= (?!).
Отображение А определяется формулой
§ 5. Ортонормированные системы векторов.
Определение ортогональной и ортонормированной систем. Вид
соответствующих матриц Грама. Лемаа о линейной независимос-
независимости ортонормированной системы.
Система векторов называется полной, если не существует
отличного от нуля вектора, ортогонального ко всем векторам
системы.
Теорема. Всякая полная ортонормированная система Ci?..., ^
является базисом. Для любого вектора f
Следствия. I. Всякую ортонормированную систему можно до-
дополнить до ортонорыированного базиса,
2. Во всяком евклидовом пространстве существует ортонор-
мированный базис.
§ 6. Изоморфизм всех тт.-мерных евклидовых пространств.
§ 7. Приложима ли общая теория евклидовых пространств в
элементарной геометрий?
Да, приложима, поскольку геометрическое скалярное про-
произведение удовлетворяет общим аксиомам § 2. Однако, раньше,
чем применять обцую теорию к геометрическому случаю, надо
проверить аксиомы, не опираясь на эту теорию! „

§ 8. Применение элементарной геометрии к общей теории
евклидовых пространств.
Если векторы f^ , fK B произвольном евклидовом простран-
пространстве лежат в некотором двумерном (трехмерном) подпростран-
подпространстве, то при изучении этих векторов можно пользоваться эле-
элементарной планиметрией (стереометрией).
Примеры.
1)	Новое доказательство неравенства Коши-Буняковского.
2)	Если frfcfcO, то <?,&> + <?,&?¦<&,/,> =2*
§ 9. Проектирование на подпространство.
Говорят, что вектор f ортогонален .к подпространству V и
пишут f]_ V , если (-?#)= О для_ всех ^€\J. Если вектор^орто-
гонален к некоторому базису V , то он ортогонален к V .
Говорят, что вектор f- проекция^вектора -Р на подпрост-
подпространство V , если: a.) fe V ; 6)f--fiy.
Теорема. Для каждого вектора-^существует и притом единст-
венная^проекция f на V . Еслп^€1}...^ €к - ортонормированный ба-
базис в V , то проекцией f на V является вектор
§ 10. Ортогонализация базиса.
По базису j^j]j—i ^строится ортонормированный базис е„...,е
с использованием двух приемов: нормирования и проектирования
Нормирование j Проектирование
Т
И Т.Д.
Замечания: а) -^к линейно выражается через в1} .--,?,<_'
б) ecna&j..., -Р. - ортонормированная система, ioe^f'.,¦¦,€i=fi\
§ II. Расстояние между точками и между множествами.
Векторы и соответствующие им точки обозначаются одинаковы-
одинаковыми буквами. Расстояние между точками X и Цл о(\,и)~ V(x-u, х-ч)
14

или через координаты векторов Ли у по некоторому базису и
матрицу Грама этого базиса
В частности, для ортогонального базиса
Расстояние от точки х до множества г\
Расстояние между множествами Ал
§ 12. Расстояние от точки до линейного многообразия.
Пусть/-/?+г( Я -подпространство, с- фиксированный вектор;.
Гсзорят, что вектор / ортогонален/^, если f ортогонален ?.
Это равносильно требованию: для мх X и у гз Z D;Х~ч)—О
Тпчка СС называется проекцие] точк X на линейное многооб-
многообразие Z, , если: а) хеЛ , °) ь^стор oc~Sc ортогоьален I, .
Доказать самостоятельно, что есл>- /,= Я+с, то проекция х на/,
где й- npoeiu x-c R. .
равна а+с
Теорема. Пусть ив~
f . где f ~К
( /J
неос
Доказательство. Имс
Очевидно (-^>С . Поэтому \эсо-^1 f/+ /|?l> I
Следствие. Для того, чтобы у1 (хо; /J =j>(xOjg) (yzA
ходимо и достаточно, чтобы xo-V было ортогональной
§ Id. Расстояние между двумя линейными многообра-
многообразиями
Теорема. Пусть^иИ- два линейных многообразия. Для то-
того, чтобы y?(Z;Al)-jp(xO;yo), где хое J, j, ye e/^\ , необходимо и
достаточно, чтобы вектор f = XB-jfB был ортогоналел к/и/Ч.
Необходимость сразу вытекает из следствия, выведенного
конце § 12. Доказательство достаточности. Если хе/, уеу*/,то
f^ ^У^*7 По ^ууЙ
J5
5-1474

&к и /L -,
¦,?) =(д-,^
Поэтому |yH/l*=/*o-yja+'9lu^ iXc-p*-
Замечание. Мз последней форнулы видно, что равенство
p('X-,4)~P('xOjyc)-p(?Jtyi№Qbi место тогда и только тогда, когда
а-о , т.е. K~!/e~X-Jt' На более наглядном языке: любые два
общих перпендикуляра к Z и Л определяют равные векторы.
Доказанная теорема оставляет открытым вопрос о существо-
существовании точек Хо€/,^ усе/Ч , для которыху>^и)=о(^*\) . В
действительности, такие точки всегда существуют (см. конкурс-
конкурсную задачу № 3).
§ 14. Конгруентные системы векторов.
Теорема. Если две системы векторов ^,..._, /L /
имеют одинаковые матрицы Грама (т.е. если (.?
i i = 4j2r..,k.), т0 эти системы конгруентны.
Доказательство разбивается на следующие шаги.
1°. ЕслцС<е(+---+С({ек=О , то c,ft + -^ск^к-о.
2°. Если система €. ...j вк линейно зависима (линейно не-
независима), то система /,..., / также линейно зависима (ли-
(линейно независима).
3°. Системы 6ii.:,CK и /^}. ,; ^ можно расширить до си-
систем ^;...Д,--,^ af»>fK>-\>~ff так» чтобы расширенные систе-
системы имели одинаковые матрицы Грама и хотя бы одна из них по-
порождала все векторное пространство.
4°. Если система е1} ¦¦¦,€. порождает все пространство,то
из этой системы можно вычеркнуть часть векторов так, чтобы
оставшиеся векторы е- ?к | .}€i образовывали базис. В силу
2° векторы fi yfi ,.. h 2также образуют базис. По теореме § 4-
эти базисы конгруентны. Если А - ортогональное преобразо-
преобразование , переводящее €• в j: , то в силу 1° F(c)= 4. для всех
§ 15. Характеристика множества векторов.
Характеристикой (или полной системой инвариантов) мно-
множества векторов Е ыы нвзываем всякий набор чисел, определяю-
определяющий множество ?. с точностью до конгруентности. Согласно
§ 14 матрица Грама системы векторов/^. .,fH является харак-
характеристикой этой системы. Другой характеристикой является на-
набор длинЦ^. ,\{К1 и углов <Uyfj> ( 4*<¦ *} ^к)-

Размерность подпространства является характеристикой под-
подпространства (ибо любые две ортонормированные системы, со-
состоящие из одинакового числа векторов, конгруентны).
§ 16. Угол между вектором и подпространством.
Угол между ненулевым вектором г и ненулевым подпростран-
подпространством Р определяется формулой <\^?Р}= '¦"-fK.fj^?
по всем ненулевым векторам #^Р
Всегда 0^</;Р>^Щ, причем <-?, Р,>-0тогда и только тогда,
когда fe'P и <?,Р> = Щ\ тогда и только тогда, когда f
ортогонален Р. ^
Теорема. Пусть f - проекция^ на ?>. Для того, чтобы
Ч-fjf^f^fjO , где а 6 Р , необходимо и достаточно,
чтобы f^ka, где к&о.	^
Доказательство, Утверждение очевидно, если f — С . Предпо-
Предположим, что|||-Оои пусть Q - произвольный ненулевой век-
вектор из Р . Положим С'= $-С .Очевидно, /#'-//-/f ~fl*~-
и по теореме §12 эта разность^неотрицательна и обращается в
нуль только тогда, когда Q= j и, следовательно,/-— Q ,
Следствие I. j>(-fiP)=*\fl*i".<f,P>. '$*
Следствие 2. Если/#ои |/и-/И, то </пР>-*</,*Р> .
§ 17. Минимальный угол между двумя подпространствами
Минимальный угол <Р/2>между подпространствами Р и Q. оп-
определяется формулой <P^Q>-ti|<f >^> по всем ненулевым
векторам j t: P 9 t Q.
Заметим, что < f,Q>- ^|<f;4> по всем единичным векторам
ffcP^ ^ e Q , а также <P;Q>-i«/</;Q > по всем еди-
единичным векторам f € ^ .
Теорема. Найдутся единичные векторы f € г,Qf^ Q , такие,
4To<P;Q>,</1N> = <^> = </f)^
Проекция f на Q пропорциональна О , а проекция fl на г
пропорциональна f4 .
Доказательство. Множество всех единичных ;сторов подпро-
подпространства Р замкнуто и ограничено (доказать это самим!).
Функция<^й?непрерывна на этом множестве (следствие 2 § 16).
Поэтому она достигает своего наименьшего значения в некото-
17

рой точке -f . Имеем <^^=<^)§Л Выберем единичный век-
вектор 9,?& . так» чтобы f^ka. ( -f - проекция / на 6^ ,
Jbc?). По теореме § 16 <^}&>=<1иа\ Значит, <PIQ>=<^
Поскольку<^0>4<Р,^>*<|1^то<^<> = </||^> . По теоре
ме § 16 проекция Q на F пропорциональна j .
§ 18. База и характеристика пары подпространств.
Пусть Р и Q - два подпространства. ПустьUiinP~kj
cOrnQ^ldfaiq). Согласно § 17 найдутся единичные векторы ^е F,
о. fQ , такие, что <P>Q> =</f ,^Х Пусть ^ - ортогональ-
ортогональное дополнение f 1 в Р и 622~ ортогональное дополнение О в&.
Согласно § 17 найдутся единичные векторы 4е ^г • ?г6^г '
такие, что < f^^ <2z> = <T-f2)^27. При этом ^ортогонален к -f t
следовательно, ортогонален к проекции вектора <jA на Р , сле-
следовательно, ортогонален к ^ (задача №2.0). Аналогично, Яг
ортогонален к Q и f.. Рассмотрим ортогональное дополнение Р
вектора 4 в Р и ортогональное дополнение (х, вектора ^»в С?
и выберем единичные векторы ^6 R и Я,€@з так, чтобы<PjQ
=<^;^з>и т.д. Продолжая этот процесс, построим ортонормиро-
ванные системы векторов fiji)- } {к в Р и %п9п- ¦¦> У*. в^«
Дополним векторы*^ о ^о. до ортонормированного базиса
Л пространства Q . Систему векторов
назовем базой пары подпространств Р, О. . Длины всех этих ве-
векторов равны I, а все попарные углы - прямые за исключением
углов f,-<f,,?,>, V<fc,A>i" >Чк=<**,1к±
Из построения базы видно, что О ? if1 $ у>г < i-<fKs-^ . В силу
§ 14 набор чисел f^..., fK и г=Л«С-<4яРявляется характерис-
характеристикой системы векторов (¦) и, следовательно, является харак-
характеристикой пары подпространств Р) & . Число f. мы будем назы-
называть ?-ым углом между Р и Q и будем обозначать <P;Q?.. В
частности,lf1=<P;O.>< = <P;Q> - минимальный угол, fK=<P,Q>K
- максимальный угол.
Заметим, что если f~aJA+ -+^к и й^в44*'"*^п%рТ0
Вектор |"=a1"^f1^-+—•¦'^к^^к^к является проекцией
вектора f-a^^—*"йк^ на подпространство Q . Поэтому
18	» fit+ +qk

и максимальный угол<Р,СС>К равен максимуму углов <fjQ.> по
всем ненулевым векторам¦$¦ из Р . Интересен случай, когда
V^-Y^-• • = fK = f . В этом случае любой вектор //виз Р
образует с Q угол f . В частности, при V= ^h пространст-
пространства г и G ортогональны, а при f = о p.cQ.
§ 19. Движения. Характеристики точечных множеств.
Движениями мы называем преобразования, представимые в ви-
виде произведения ортогонального преобразования на параллель-
параллельный перенос. Общий вид движений Р(*) = А(х)+С , где А -
ортогональное преобразование, С - произвольный вектор.
Два точечных множества называются конгруентными, если од-
одно из них переводится в другое движением. Набор чисел, зада-
задающий точечное множество с точностью до движений, называется
характеристикой этого множества.
Теорема. Две системы точек tX1l...,ix.lc и у4} -. ; Ч.к конгру-
евтт, ест fDc?i%.,)=f(yt-,yj) для любых ^}-^^-,к.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что конгру-
ентны системы векторов
по условию |f-| = /^-l и l?-/j/=fj,--ftl B)
Отсюда t/,',-/j)=(g-i;^j) и конгруентность систем (I) и B)
вытекает из § 14.
§ 20. База и характеристика пары линейных многообразий
Пусть L и П - два линейных многообразия и пустьеб*/-
ditnft^k+i 1ч.ъо) . Выберем точки *„е /i и у.^Н так, чтобы
вектор Х,~ЧО был ортогонален к L и 1Л . Положим Л-
и рассмотрим углы Y^? V^s ¦-¦ <¦ *fK между подпространствами
Р= L-X. «6?~Л1-?/. . Будет доказано, что набор чисел
у Vz...-,«ffc, J. и 2- является характеристикой пары /j/^Ч
''Рассмотрим базу ^^„ЪЪ,-, {*.,$«,$fa
пары подпространств PQ и положим
*+,,-,
Набор точек «.^яг^ ^^ ..-,*А,/,<,^, ,.--,/*,». назовем
базой пары линейных многообразий//*1. Ясно, 4toZ- аффинная
19

оболочка точек К,, lxf .-,ZK , а Л - аффинная оболочка то-
точек Чв) Ч 1}. - , Чк+^ • Поэтому достаточно показать, что все
попарные расстояния между точками базы определяются числа-
20

тюьттсшлЯ
а
1.	Для каждого подпространства Цлинейного пространства L
найдется такое подпространство LIt что L=L4+L2
2.	Проверить, что четные и нечетные функции образуют под-
подпространства в пространстве С всех непрерывных функций, за-
заданных на [-1,0 . Доказать, что С есть сумма этих под-
подпространств.
3.	Вершины треугольника заданы своими радиусами-вектора-
радиусами-векторами 2l,Z»fZ3 . Доказать, что все три медианы треугольника
проходят через точку z« + ^i+*3
4.	В линейном пространстве V заданы две прямые своими
параметрическими уравнениями:
Кроме того дана точка Со. Доказать, что для существова-
существования прямой, проходящей через Со и пересекающей прямые х(?)и
(t) б б ftC С ? S
u(t) , необходимо, чтобы векторы
были линейно зависимы.
р р
о ,
5.	Доказать, что пересечение всех линейных подпространств,
содержащих заданные подпространства Р< и Рг есть линейное
подпространство Pi+ Rt
6.	Доказать, что система двух линейных уравнений
{
0
определяет в It-мерном арифметическом пространстве подпро-
подпространство размерности П-2. тогда и только тогда, когда по
крайней мере один определитель вида |a;°j| (o«i</'*h)
отличен от нуля.	&• °j'
21

Контрольные задачи по темь -ллидова метрика"
I. Доказать следующие свойства скалярного произведения
в) tf'H	, •
г) если вектор fy ортогонален векторам t*,fj.,- •-,'ffc , то
он ортогонален любой их линейной комбинации.
2. Доказать, что в любом евклидовом пространстве верны
следующие утверждения:
а) Для любой пары векторов выполняется тождество
Дать геометрическое истолкование этого тождества.
б)	Трехмерный аналог теоремы Пифагора: в прямоугольном
параллелепипеде квадрат длины главной диагонали равен сум-
сумме квадратов длин его ребер.
в)	В равностороннем треугольнике все углы равны 60е.
г)	Если у двух треугольников равны стороны, то равны к
соответствующие углы.
3.	Пусть в линейном пространстве V определены два ска-
скалярных произведения (x.i/), и (Х,^J . Известно, что
(Х^^ХЛ^для любого xev . Доказать, что для любых Кии
4.	В пространстве непрерывных функций, заданных на [O,2ir]
со скалярным произведением (|,Q)= )f(X)9Cx)cfx найти дли-
длины следующих векторов |o=J,^t=c^X° {г=41пхг ,.f ^^ =СО4ИХ?
-fla=4thKX и попарные углы между ними.
5.	Доказать, что формула
задает скалярное произведение в пространстве многочленов
степени не выше чем ft , определенных на [0,lJ .
6. Каким условиян должны удовлетворять числа й,^/с,с(
чтобы нашлись два вектора \ и О , таких, что
(Metf>()d J
7. Пусть векторы ¦f*i^ll...lK в и-мерном пространст-
пространстве имеют длину I и образуют попарно равные углы J- . Рассмот-
Рассмотрим систему векторов J1"^*""/4' 9l==f3~"f*'"' "ISIC~I= /*~
22

Доказать:
б)	векторы Qt.,Q*f-, Якч	независимы.
в)	сумма 5=«ft+f».+•-•+^к. ортогональна к каждому из
векторов <j*'9*i•••»#*-*
г)	Kih+i и при K=n+i ?-*{i +•••+•/* = О
д)	Иайти значение «С при к=К+1
8.	Пусть V - угол между векторами f и О . Доказать,
что ^-0 , тогда и только тогда,когда •j-=Kc , К>ОиЧ'=И
тогда и только тогда, когда ^.= ко; К<0.
9.	Доказать, что определитель I ($,$¦]
равен квадрату площади параллелограмма, построенного на век-
векторах •? и 0.
10.	Пусть п,о,С - векторы эвклидова пространства и
О • Доказать, что
11.	Если к линейно независимой системе векторов присо-1
единить ненулевой вектор, ортогональный ко всем векторам си-
системы, то полученная система будет линейно независимой.
12.	Доказать, что проекции вершин П.-мерного куба на его
главную диагональ делят ее на П равных частей.
13.	В пространстве многочленов дтепени Не выше третьей
со скаларным произведением (Р, Q)= J P(X)G(XjrfX
найти многочлен, ортогональный подпространству многочленов
степени не выше второй.
14.	В 4-мерном евклидовом пространстве найти ортонормиро-
ванный базис, содержащий векторы ^«(^ , \i\i\) ,
15.	Ортогональным дополнением подпространства L простран-
пространства V называется совокупность L всех векторов из V , орто-
ортогональных ко всем векторам из L . Доказать, что
а)	L - линейное подпространство пространства V .
б)	linL-0	23

в)	каждый вектор ^fcV однозначно представляется в виде
{=Х+3 , где xeL, ycli
г)	если L4 и Ц два подпространства V , то
(xiii
16. Пусть V - пространство непрерывных функций, задан-
заданных на [-1, + I] , со скалярным произведением
Найти в нем ортогональное дополнение к подпространству чет-
четных функций.
17. Две системы векторов ?*,*¦*,••-,?* и f4,...;fn. евкли-
евклидова пространства называются взаимными, если
Доказать, что если -С|,«»;.--, Сл - базис, то взаимный
базис существует и определен однозначно.
18. Матрица Грама системы векторов €*,?»,€* имеет вид
i i
Найти проекцию С3 на линейную оболочку векторов fii,^
19.	Построить в каком-нибудь евклидовом пространстве си-
систему векторов |i,|l;--.,ffc , для которых (fK;/e)= a'k~c','Ial<i
(к,?=<,г..л) . Доказать, что проекция -fn на линейную оболоч-
оболочку векторов ^^...,1^ пропорциональна f*-i и найти
коэффициент пропорциональности.
х)
20.	Доказать "теорему о трех перпендикулярах": каждый
вектор X из подпространства L ортогонален к вектору Ц ,
тогда и только тогда, когда он ортогонален к проекции векто-
вектора у на подпространство L .
21.	Даны четыре вектора в Л-мерном евклидовом простран-
пространстве. Известно, что первый со вторым, второй с третьим, тре-
третий с четвертым и четвертый с первым образуют углы по 120°.
Все остальные пары ортогональны. Доказать, что эти четыре
вектора линейно зависимы.
х) Задачи 20-22 составляют содержание контрольной работы.
24

22.	Построить в трехмерном арифметическом пространстве
ортонормированный базис, включающий вектор-==- A,1,1). (Ска
лярное произведение определено формулой: (х,Ч) = Х|^+Хг«г+Хз(
если X^Xi.Xj), fl = (ji,«h<f.J
23.	В евклидовом пространстве расстояние от множества М
до множества N определяется формулой
Доказать:
а) Р(*№) - непрерывная функция аргумента X ;
2k. Пусть J)(H,N)=O .Верно ли, что М и N име-
имеют общую точку? Если М и N замкнуты? Если, кроме того 14
ограничено?
25.	Найти в правильном n-мерном симплексе хох<...х„
расстояние между гранями «^...х* и хк+, •••<«
26.	Пусть L - линейное многообразие и ?-ненулевой вектор.
Какой вид может иметь функция $(i)~P(&ttL) ?
21. Найти угол между главной диагональю п-мерного куба
и его К-мерыой гранью.
28.	Найти углы между парами двумерных граней правильного
четырехмерного симплекса.
29.	Пусть iif-ifR - ортонормированный базис подпростран-
подпространства Р , Ч*,.--,^*..»* - ортонормированный базис подпространства
GL. Доказать, что если <f*,<^>« <|*,ga>* - i <$*.,Q*> и|
<fi,^>=f при i*j , то i -ый угол между Р и Q равен
<{«.*>¦
30.	Доказать, что если i-ый угол между подпространствами
РиЦравен нулю, то d?#*(P/l п)ъ-1.
31.	Сформулировать в терминах характеристики пары линей-
линейных многообразий L,М условия того, что: a) L параллельно М
(т.е.Ь=М+С при некотором С ); 0) L ортогонально М ;
в)Ьпересекается с М и dir*(LflM)=fn ; г) L не пересекается
с М i но существуют Уп-мерные многообразия LS.L и МбМ,
такие: что L параллельноН .	05

32.	Пусть L и М - линейные многообразия в п -мерном
пространстве V .
Отрезок эсв у* называется общим перпендикуляром к
линейным многообразиям L,M , если x^eL , ^«^М и век-
вектор зСв-^« ортогонален к L и М . Доказать, что если <L,M>>0
то общий перпендикуляр kLhM определяется однозначно. Ес-
Если <L,M>^0 , но ^1,М>4>0 , то концы общих перпендикуля-
перпендикуляров образуют пару параллельных hi-мерных линейных многооб-
многообразий T.SL и MsM .
33.	Пусть Р ий- два подпространства. Обозначим че-
через i* вектор, который получается, если спроектировать у
на Р , а затем полученную проекцию спроектировать на Q. . Ка-
Какой должна быть характеристика пары Р, Q , чтобы для любого
|еР векторы^*и ^ были пропорциональны? Для каких век-
векторов |fe P выполняется равенство ^*=к| i если все углы
между Р и G попарно различны? Какие значения может иметь
коэффициент ?
ЗАДАЧИ НА КОНКУРС
1.	Если все попарные углы между векторами тупые, то от-
отбрасывая любой из зтих векторов, полуним линейно зависимую
систему.
Е.Б.Дынкин
2.	Описать в п. -мерном евклидовом пространстве все
(с точностью по конгруентности) системы единичных векторов,
обладающие следующими двумя свойствами: I) любые два векто-
вектора системы образуют угол 90° или 120°; 2) система не распа-
распадается на две подсистемы, ортогональные друг другу.
Е.Б.Дынкин
3.	Доказать, что для любых двух линейных многообразий L
и М в П--мерном евклидовом пространстве найдутся точки
X0?.L,^oeM , такие, 4Toyj(L,M)=/>(*o,<fd)
k. Даны М4иМ2 - два подпространства и-мерного евкли-
евклидова пространства, такие, что MtHMj-O . Пусть S{ совокуп-
совокупность векторов единичной длины подпространства М i и пусть
С=/эE1E2) . Доказать, что если z=X+W , где
f	fl
w;ljf.«fl,4
26

5. Пусть каждому подпространствуР n-мерного простран-
пространства V соответствует другое подпространство Р* причем если
PtcP2 , тоР*сР, (включения строгие). Доказать, что
5.8 Григорьев.
6.	Дана характеристика пары подпространств п -мерного
пространства. Вычислить характеристику их ортогональных до-
дополнений.
ФА Богомолов.
7.	Шаром радиуса 1 с центром в точке ^называется мно-
множество точек Х- , таких, что /эс-эсв|^4. Доказать, что для
любого ?^О найдется такое N , что в единичный шар N/-мер-
N/-мерного евклидова пространства можно поместить три шара радиу-
радиуса I -?
2
А. к. Толпыго.
27

Э. Б. ВИНБЕРГ
аил-
Ниже приводится краткое изложение лекций, а также конт-
контрольные задачи для подготовки к зачету и задачи на конкурс.
Кроме лекционного материала, для сдачи зачета нужно знать
элементарную теорию цепных дробей, которая рассказывалась
на семинарских занятиях, и уметь решать задачи типа приве-
приведенных ниже контрольных задач.
Решения конкурсных задач подаются в письменном виде руко-
руководителям семинарских занятий не позднее 14 октября. При рас-
рассмотрении конкурсных работ будет учитываться стиль изложе-
изложения.
Литература для дополнительного чтения:
1.	Энциклопедия элементарной математики, книга первая
(Арифметика), Гостехиздат, 1951 (статьи А.Я.Хинчина и И.В.
Проскурякова).
2.	Е.Б.Дынкин и В.А. Успенский. Математические беседы.
Гостехиздат, 1952 (раздел второй).
3.	В.Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых
числах. Физматгиз, 1963.
4.	Э.Трост. Простые числа. Физматгиз, 1959.
5.	И.М.Виноградов. Основы теории чисел. Гостехиздат,
1953.
6.	Сборник задач Московских математических олимпиад.
"Просвещение", 1965.
7.	А.П.Киселев. "Арифметика" для 5-6 классов.
28

Лекции по теории чисел
§ I.
Рассмотрим уравнение	пгх-*и^=л	(I)
где n>,a,-k	- целые числа, т,к»О	Будем искать ре-
решения этого уравнения в целых числах. Пусть m»n>0
Перепишем (I) в виде (m-n) х + к.(к+^) =к
и введем обозначения
Уравнение (I) сведется тогда к более простому уравнению того
же типа:
™i*«+M«"*	С2)
Снова сравнивая, какое из этих чисел больше, этот прием
можно повторять до тех пор, пока один из коэффициентов не об-
обратится в 0 . Допустим, что обратится в 0 второй коэффи-
коэффициент. Тогда уравнение примет вид
d = t C)
где d - некоторое число, зависящее от Иг и п. , а
\ь, ys - неизвестные, определенным образом связанные о
Для того, чтобы уравнение C). а. значит, и уравнение (I).
имело решение в целых числах, необходимо и достаточно, чтобы
к. делилось на А .
Что же это за число d ? Если взять в качестве К.
число m , то получится уравнение m х + ft и = Юг f имеющее
решение в целых числах: например, Х=4 , и=О . Значит,
m делится на d . Также доказывается, что П. делится на
d . Таким образом, d - общий делитель тип. Теперь
рассмотрим уравнение m.*.+ tty = d.	. Оно должно иметь
решение в целых числах, так как cL делится на d. . Значит,
d. можно представить в виде ти + nv t где U и V -
целые числа. Из этого представления видно, что <L делится
на любой общий делитель т п п . Следовательно, d есть ни
что иное, как н.о.д. ш и п. . Будем обозначать зто так:

Попутно мы нашли способ для вычисления & , не использую-
ций разложения на простые множители. Этот способ называется
алгоритмом Евклида и состоит в многократном повторении од-
одного и того же приема: вычитания из большего числа мень-
меньшего. Практически несколько последовательных вычитаний одно-
одного и того же числа заменяют делением с остатком).
ТЕОРЕМА I. (Уке доказана). Для того, чтобы уравнениеA)
имело решение в целых числах, необходимо и достаточно, что-
чтобы "fc делилось на наибольший общий делитель Шип.
ТЕОРЕМА 2. (Доказывается с помощью теоремы I). Если про-
произведение а% делится на простое число р , то а. или 6
делится на р
ТЕОРЕМА 3. (Легко выводится из теоремы 2). Каждое нату-
натуральное число единственным образом разлагается на простые
множители.
§ 2.
В математике большую роль играют различные "операции",
вроде арифметических операций, но производимые не обязатель-
обязательно над числами. Эти операции могут называться "сложением"
или "умножением", ели они обладают некоторьши свойствами
обычного сложения или умножения чисел.
Определение. Множество М с операциями сложения
а,6—»• а+4	и умножения а,? —»¦ а(з называется
кольцом. если для любых элементов О.,ь,с этого множест-
множества выполняются следующие условия:
[Cl]	g g
[С2]	()
[C3J уравнение а+Х=ь	имеет единственное реше-
решение (обозначаемое ь-о. );
1з этих свойств операций в кольце могут оыть выведены и
другие, например: а(&-с) — a?-ac
30

Во всяком кольце существует такой элемент О ("нуль"),
что
а+О = а. для всех а	E)
Определение. Кольцо М называется полем, если
уравнение ах= б	имеет единственное решение (обозначае-
(обозначаемое ¦& ) при любом 6 и любом а*О . 0*31
Во всяком поле существует такой элемент 1 ("единица"),
что
а-1 =а	ДЛя всех а .	(б)
При обычных операциях сложения и умножения натуральные
числа не образуют кольца, так как не выполняется (СЗ); целые
числа образуют кольцо, но не поле; рациональные числа, а тэт'-
же все действительные числе, образуют поле.
Примером кольца, состоящего не из чисел, является кольцо
вычетов по модулю П. .
Вычетом по модулю п называется класс целых чисел, даю-
дающих при делении на п. один и тот же остаток. Вычет по моду-
модулю п. , содержащий О. , обозначается a moot м . Например,
{
{,,/v
Очевидно, что О. mod к = a 'mod n	тогда и только
тогда, когда а-а' делится на п .
Имеется всего П- вычетов по модулю и (столько, сколь-
сколько возможно различных остатков при делении на п. ).
Сложение и умножение вычетов определяется по формулам
CLmoAlX4 &t*od П = (a+?)moc( П,
(umod n)((>mod n] = (a&)mod П .
При этом нужно обязательно доказать, что вычеты, стоящие в
правых частях этих равенств, не изменятся, если а и ^ за-
заменить на о.' и fe1 , дающие те же остатки при делении на п .
§ 3.
Некоторые привычные свойства сложения и умножения чисел
не выполняются в произвольных кольцах и полях. Например,нену-
Например,ненулевой элемент, сложенный сам с собой, мокет дать нуль A+1=0
в поле вычетов по модулю 2); произведение двух ненулевых эле-
элементов может равняться нулю ( Br*ocf 6jCmo46) -0 )
в кольце вычетов по модулю б).	31

Поэтому заслуживают внимания такие теоремы: в любом коль-
кольце
а-0-Одля всех а ;	G)
в любом поле
из а6 = О следует, что я=О или &-С	(8)
ТЕОРЕМА 4. Кольцо, обладающее свойством (8) и состоящее
из конечного числа элементов, является полем.
Следствие. (Вытекает из теоремы 4 и теоремы 2).
Кольцо вычетов по модулю простого числа является полем.
ТЕОРЕМА 5. В поле, состоящем из п элементов,
«"^=1	для любого а* О	(9)
Следствие. (Малая теорема Ферма). Если р - простое
число и Л - целое число, не делящееся на р , то ttp-i
делится на р .
Пусть F - поле, состоящее из П элементов. Возьмем
в этом поле какой-нибудь отличный от нуля элемент О. и рас-
рассмотрим его степени
Наименьшее к , для которого ак=4 , называется порядком
элемента а . Так как а.т** = атак- а , то последова-
последовательность A0) периодическая с периодом к . Если аи>=1 ,
то т делится на к
Лемма I. (Вытекает из теоремы 5). Порядок любого элемен-
элемента поля F является делителем и-1
Лемма 2. Если порядок Q равен K-S	, то порядок
а* равен К
Лемма 3. Пусть порядок а равен к , порядок б равен
? , причем (K,t) = i . Тогда порядок а$ равен к1 .
ТЕОРЕМА б. В поле F , состоящем из и. элементов, су-
существует хотя бы один элемент, порядок которого равен п-1
(Такой элемент называется первообразным корнем).
Доказательство. Разложим п-1 на простые множители:
32	<Pi---P%

Если существует элемент, порядок которого делится на pf1 ,
то по лемме 2 существует элемент порядка pf1 . Если су-
цествуют элементы порядков р,* р*1 .,, t psK$	, то по лем-
лемме 3 существует элемент порядка р,*1 р**... р"*	, т.е.
п-1 . Остается предположить, что для некоторого i не
существует элемента, порядок которого делится на р-*' . Тог-
Тогда порядки всех элементов являются делителями числа m = —^
и, следовательно, <хт~ i для всех а*С	. Покажем,
что это невозможно.
Рассмотрим многочлен
Возьмем какой-нибудь элемент й*О из нашего поля и раз-
разделим |(?О с остатком на к-а :
(Здесь <?(*/ - многочлен с коэффициентом из поля F , a
t- элемент поля F ). ?сли подставить в (II) х=а , то
получится, что г = О . Таким образом,
Пусть 4-*ОгЛ т тоГДа из A2) находим, что
Рассуждая так же, как и раньше, получим, что Q&) делится
без остатка на и-^ :
Продолжая деление дальше, получим в конце концов
где a,l;...,?	- все элементы поля F , кроме нуля.
Однако такое равенство невозможно, так как слева стоит много-
многочлен степени m<n~i , а справа - многочлен степени ?n-i .
Тем самым теорема доказана.
Пример. В поле вычетов по модулю 79 первообразным корнем
является, например, вычет ЗтосПв. Обозначим его через а.
Каждый вычет с^О может быть представлен в виде	f
где 0«к.$77 (a'8 = a°=l )	Число к назы-
называется индексом вычета С . Пользуясь таблицами индексов,
б	(	I00
вается индексом вычета С . Пользуясь таблицми и
можно, без труда вычислить, например, C6 mod Ч-9I00
33

Находим, что индекс вычета Збпо<119 равен 10, т.е.
Следовательно,
C6™*
Пользуясь теми же таблицами, находим по индексу 64 вычет
45"|"о{G9 . 5то и будет ответ. Таблицы индексов (не толь-
только для 79, но и для других простых чисел) имеются, например,
в книге И.М.Бииоградова "Основы теории чисел").
Рассмотрим вопрос об извлечении квадратных кориеи в поле
вычетов по модулю р , где р - простое число, не рав-
равное 2. Пусть о. - первообразный корень, ^сли С-о. , то
Са=а2|<- . Отсюда ясна, что извлечение корня возмонно из
тех и только тех вычетов, индекс которых четен. Таким обра-
образом, имеется J2rl
вычетов (не считая
из которых возможно извлечение квадратного корня, и столько
же вычетов	,. р_,
>sapl
для которых это невозможно. Первые называются квадратичными
вычетами по модулю р .
Лемыа I. Вычет С по модулю р тогда и только тогда
является квадратичным, когда С^ = 4
Доказательство. А:ли С - квадратичный вычет, то
? = tt2k и с ^ ^aK(F""=i •	Если С не является квадра-
квадратичным вычетом, то с=л*"+	и

ТЕОРЕМА 7. (Вытекает из леммы I). Для того, чтобы вычет
(~f) Mod P был квадратичным, необходимо и достаточно,
чтобы р имело вид ^n-t-i
ТЕОРЕМА 8. (Теорема ферма). Нечетное простое число можно
представить в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и
только тогда, когда f> имеет вид */к-»-4 .
Доказательство. Пусть p=ai+^a . Тогда
v^mo^p) ~(~'1) ЫЫ*Р и по теореме 7 должно иметь вид
Пусть теперь р=^к.+ 1 .По теореме 7 существует такое
Целое ЧИСЛО U, ЧТО ( U.moc(f))z=(~0h'>cdp	ДЛЯ ЛЮбЫХ
целых чисел х,^ '•
х$ выражении * + иу будем придавать X и ^ всевозмож-
всевозможные целые неотрицательные значения, меньше, чем \[р .
Мы получим больше, чем р чисел. Поэтому среди этих чисел
найдутся два, дающие один и тот же остаток при делении на р
Пусть для определенности К7*^, ^i>Jfi	. Положим
а^Х|-*гу^-^«~йг	Тогда а+и.%	делится на
р . vl3 A3) следует, что 0? + &г также делится на р .
Но а <\Гр ; &<-\Гр	, так что а*+?*<2р . Остается
единственная возможность: а.г±?,г=р	Аналогично раз-
разбирается случай, когда Х,>Х2/ $<%г	Теорема дока-
доказана.
§ 5.
На клетчатой бумаге нарисуем окружность радиуса X «
центром в одном из узлов сетки. Площадь, ограниченная этой
окружностью, равна приближенно числу находящихся внутри нее'
узлов сетки. Обозначим зто число через 1[г) . Тогда
причем точность этой формулы тем выше, чем больше -t .
Число 4(г) может быть найдено так: для каждого п <- Iх
найдем число способов представления н в виде суммы квад-
35

ратов двух целых чисел (это будет число узлов сетки на кон-
концентрической окружности радиуса \Гп и все эти числа оложиы.
О чиоле представлений п. в виде суммы двух квадратов ом.
конкурсную зедачу № I; остальное сы. в книге Д.Гильберта и
С.Кон-Фоссена "Наглядная геометрия", гл. П, § 6.
Таким путем получается следующая формула для тт :
(так называемый ряд Лейбница).
Содержание § 5 для сдачи зачета знать не требуется.
Контрольные задачи.
1.	Доказать, что B-!, 2"-4)= 1^'к)-1
2.	Найти все решения в целых числах уравнения
3.	Найти все решения в целых неотрицательных числах уравне-
ния
4.	Найти все целые числа, которые при делении на 3 дают
в остатке I, на 7-6 и на II-6.
5.	(Китайская теорема об остатках).
Пусть даны натуральные числа пл,п11... ,п,	и пусть
Для того, чтобы существовало число, дающее при делении на п1
остаток ?< , при делении на Пл остаток 'г* и т.д., необ-
необходимо и достаточно, чтобы 1,-tj делилось на (и;,И:)
при всех i,j
6.	Доказать, что если а& делится на С и (&,*¦) = i ,
то л делится на С
7.	Доказать, что если о. делится на * и с порознь
и D>,с)= I , то ft делится на #с .
8.	Доказать, что наименьшее общее кратное чисел а и ё
равно jSj, .
9.	Найти число всех делителей числа 2 •3 ¦ 5 - 7
10.	Числа а и I взаимно просты. Что можно сказать о
(<x+g,a-6) ?
11.	Доказать, что лри любом п между п. и п I найдется
простое число.
36

12.	Доказать, что простых чисел вида Цк+3 бесконечно много.
13.	Пусть П - некоторое натуральное число. Доказать, что на-
наименьшее из натуральных чисел, взаимно простых с каждым
из чисел 1,2 ..., П - простое.
14.	Обозначим через (^„знаменатель п-ой подходящей дроби цеп-
цепной дроби О.о •+ q^^. d
Доказать, что _,	_
_?__	_ЯРл-
J
15.	Доказать, что Ц/п^^-	(через f^
обозначается целая часть §) .
16.	Разложить 1620 в цепную дробь и вычислить последователь-
711
ные подходящие дроби.
17.	Выразить через радикалы число
18.	Найти с точностью до 0,01 решение уравнения 2Х=3.
19.	Доказать, что П5~5"п3-+ Ч П при всяком целом
П >^ делится на 120.
20.	Доказать, что число
при делится на 19.
21.	Доказать, что для любого простого числа р отличного
от 2 и 5 найдется число, записываемое одними единицами,
которое делится на Р .
22.	Сколько решений имеет уравнениебх=2в кольце вычетов
по модулю 80?
23.	Найти 71000 mod37.
2к. Доказать, что если Q - первообразный корень в поле выче-
вычетов по модулю Р , то Ок будет первообразным корнем тог-
тогда и только тогда, когда (к:, Р~1) =4-.
25. Сколько элементов Q имеется в поле вычетов по модулю
97, для которых уравнение Х3=С1 имеет решение? То же
для поля вычетов по модулю 101.
37

Конкурсные задачи
I. На клетчатой бумаге нарисуем окружность радиуса \fh. с
центром в одном из узлов сетки. Число узлов сетки, кото-
которые попадут на эту окружность, обозначим через Ск . До-
Доказать, что Сц равно учетверенной разности ыеаду
К
вида
+ 3.
числом всех делителей
делителей п. вида
Доказать, что равенство а*-*-?'
ни при каких натуральных a,i, с.
Сколько решений имеет уравнение
тов по модулю П. ?
+ I
х2 =
и числом всех
невозможно
в кольце выче-
20к + I =
, где а к i -
4.	Найти И' mad li .
5.	Доказать, что всякое простое число вида
можно представить в виде ал-*-5^
целые числа.
6.	а) Построить поле из Ч- элементов;
б) Доказать, что не существует поля из 6 элементов.
К задаче I
а) си=о тогда и только тогда, когда хотя бы один из
простых множителей вида 4к + 3 входит в И- в нечетной
степени;
б) если все простые множители вида Чк + 3 входят в четных
степенях, а простые множители вида 4к + I входят в степенях.
^. 1с	vi, .то Cn = iific.+i)fk.,+i
И. 0 НОВИКОВ.
38
I. Сколько существует всевозможных "слов" состоящих из 5
букв (сочетания вагон, ыыйач, ааааа, ыьыьы считаются сло-
словами)'?

2.	Каким будет ответ в первой задаче, если учеоть, что слова
не могут начинаться с ь и й?
3.	Сколько существует "олов" (всюду мы имеем в виду буквы
русского алфавита) состоящих из пяти букв и оодеркащих
хотя бы I раз букву иап?
4.	Сколько можно составить слов из трех букв так, что ни
одна буква не повторяется (например: лес, ьый - можно,
а оно, ьыь - нельзя)?
5.	Сколько слов можно составить из букв слова "рыбак", рас-
располагая их в различном порядке?
6.	Какова вероятность того, что при бросании игральной ко-
кости, на гранях которой нарисованы числа I, 2, 3, 4, 5,
6 выпадает число п:
а/й«3 ] в/ п>3; с/п>К	(«.всегда > 0)?
7.	Какова вероятность того, что при двух бросаниях играль-
игральной кости выпадает число п: а)п^ 6, в)п > 6,
с) п. > II?
8.	Какова вероятность того, что в "слове" из 5 букв все
буквы разные (в алфавите 33 буквы, разрешены любые сло-
слова)?
9.	Какова вероятность того, что в группе из пяти человек
дни рождения хотя бы у двоих совпадают (в году 365 дней)?
10.	Какова вероятность того, что рассаживая наугад 5 мальчи-
мальчиков и 5 девочек за круглым столоы, ыы посадили их через
одного?
Обозначения: Си - число сочетаний из И по к
А* - число размещений из и по к
Ри - число перестановок из п. элементов.
11.	Используя определение С?, •&* , Рп доказать
следующие соотношения:
I) Рк*|
2)	А*к =
3)	Сп =
5) А^
39

12. Используя соотношения I, 2, 3 задачи № II доказать фор-
формулы	К и'
а) pn-<-2-n=n! , ^Ck=j§^t >'
13.	Сколькими способами можно разрезать бусы, состоящие из
п. попарно различных звеньев на к частей (резать
можно только между звеньев)?
14.	Какова вероятность того, что при случайном распределении
50 различных предметов по 10 занумерованным ящикам в
1-м ящике окажется ровно 10 предметов?
15.	Какова вероятность того, что расставленные на шахматной
доске 8 коней не бьют друг друга?п
16.	Доказать равенство 1"=& +Ch+-• -+с" .
17.	Сколькими путяыи можно пройти из левого нижнего угла шах-
шахматной доски 8x8 клеток, в верхний правый угол, если
можно двигаться по клеткам только вправо и вверх?
18.	Сколькими способами ыояно разбить натуральное число " "
на сумму К неотрицательных слагаемых, B разбиения,
отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными)?
19.	Доказать, что в "трехугольнике Паскаля", в котором каждое
число равно сумме 2-х чисел,стоящих над ним, сумма чисел
стоящих в П -ой строке равна 2*
строки
О	i-
111
5- ^xV
•
20.	Доказать, что число,стоящее на "К" - том месте в
строке "треугольника Паскаля" равняется Сл .
(нумерация строк и чисел в строке начинается с нуля).
21.	Доказать, что число стоящее в/7-ой строке "треугольника
Паскаля" на К-ом месте равно коэффициенту при Хк в разло-
разложении A + Х)к по возрастающим степеням X.
22.	Доказать, что коэффициент при Х^Че в разложении
{|+Х + #)п Равен Сп Сп-к.	^)
40

23.	Найти сумыу коэффициентов ыногочленаB2Г?-.2я:*-/-?с-/)
24.	Доказать, что Ср ~Gf + С? ~Cb + '^ * ("'ГСрМ)
25.	Найти сумыу Сп Cm + Сп*Ст* > С% Cm** - + Gi?OS
26.	Найти сушу (с? )Х+ ^Сп Г +-•??)*-.
27.	Доказать, чтс в разложении ff+x) при П = 2. -4. все
коэффициенты нечетные.
28.	Чтс больше 9950 + ЮО5 или I0I50 ?
29.	Сколько членов в разложении (±+х+^) ? •
30.	Доказать, что если в разложении (Х+о) по степеням X
коэффициент при Xе не больше коэффициента приХ?+1,
то коэффициент при Х1~*~	строго меньше коэффициента
при Хь «И аналогично, если коэффициент при X' не
меньше чем при )С1+х , то коэффициент при X 6+i
строго меньше коэффициента при X* /
•ии v-"- + )"
^ .iT ла

Поаок 7 классов
7а: Олег Вячеславович Локуциевский (кандидат фгы.наук, ст.
научный сотрудник математического института АН СССР)
7в: Лидия Ивановна Головина (кандидат фгм. наук, доцент МГУ).
Поток 8 классов
8а, группа I. Евгений Львович Нольде (асп. МГУ).
Рубчинский Александр Анатольевич (МГУ, 3 курс),
группа 2. Бусяцкая Ирина Константиновна (МГУ, 2курс).
Бухенская Светлана Михайловна (МГУ, 2 курс).
86, группа I. Илья Давидович Новиков (МГУ, 6 курс).
Каток Светлана Борисовна (МГУ, 2 курс),
группа 2. Татьяна Владимировна Соколовская (МГУ, 6 курс).
Михаил Хайыович Розовский (МГУ, 2 курс).
8в; Виктор Иосифович Левин (доктор фгм. наук, проф. МГПИ иы.
Б.И.Ленина).
Поток 9 классов
Лекторы: Эрнест Борисович Бинберг (кандидат $гм.наук, до-
доцент МГУ).
Юрий Иванович Манин (доктор ф-м. наук, проф. МГУ).
9а: I группа: Леонид Моисеевич Иоффе (МГУ. 5 курс).
Евгений Иосифович Анно (МГУ, 2 курс).
2 группа: Виктор Львович Мазо (МГУ, 4 курс).
Михаил Давидович Шкловер (МГУ, k курс).
96: I группа: Василий Алексеевич Псковских (асп. МГУ).
Татьяна Яковлевна Додзина (МГУ, 2 курс).
Владимир Леонидович Попов (МГУ, 2 курс).
2 группа: Сергей Владимирович Овчинников (МГУ, 5 курс).
Алексей Андреевич Коробов (МГУ, 2 курс).
9в: I группа: Юрий Андреевич Лысенко (МГУ, 3 курс).
Поспелов Алексей Сергеевич (МГУ, 3 курс).
Давид Иосифович ЭЁделькинд (МГУ, 3 курс).
2 группа: Евгений Михайлович Андреев (МГУ, i\ курс).
Виктор Александрович Жеребцов (МГУ, 2 курс).

Подписано к печати 5/Х—65г. Л—40619.
Формат 6Ох8О 1/16. Физ.п.л. 2,75. Зак. 1474. Тир. ЮОО
Отпечатано на ротапринтах в тип. Иэд-ва МГУ.
Москва. Леигоры.

Поток 10 классов.
Лектор - Евгений Борисович Дынкин (доктор $-ы наук, проф.МГУ).
Юа. I группа: Станислав Алексеевич Молчанов (асп. МГУ).
Григорий Александрович Маргулис (МГУ, 4 курс).
Владимир Михайлович Фишман (МГУ, 3 курс).
2 группа: Александр Дмитриевич Вентцель (канд. ф-м наук,
асп. МГУ),
Алексей Кириллович Толпыго (МГУ, 3 курс).
Леонид Маркович Найиарк (МГУ, 6 курс).
106. I группа: Анатолий Борисович Каток (МГУ, б курс).
Людмила Юрьевна Шехтман $МГУ, 5 курс).
Федор Алексеевич Богомолов (МГУ, 2 курс).
2 группа: Борис Викторович Григорьев (МГУ, 6 курс).
Михаил Борисович Малютов (асп. МГУ).
Юв. I группа: Виктор Григорьевич Кац (МГУ, 6 курс).
Исаак Михайлович Сонин (МГУ, 6 курс).
Владимир Иванович Данилов (МГУ, 5 курс).
2 группа: Михаил Александрович Шубин (МГУ, 5 курс).
Григорий Лазаревич Литвинов (МГУ, 5 курс).
Пьер Давидович Мильыан (МГУ, 4 курс).
Уроки математики ведут следующие преподаватели:
Волов Леонид Михайлович (9а,9б,9в,10а, 106,Юв).
Эдко Александра Аркадьевна Gа).
Огамов Артем Артемович G6).
Сергиенко Неля Абрамовна (8а,86).
Поыиио перечисленных математических классов в школе име-
имеется еще один одиннадцатый и три девятых1 класса с расширен-
расширенной программой по математике; преподавание математики в этих
классах ведется без участия работников высшей школы.