Детская энциклопедия. T.2. Мир небесных тел. Числа и фигуры - Маркушевич А.И., Воронцов-Вельяминов Б.А.

Как измеряют расстояние до небесных светил
Как произошли Земля и другие небесные тела
Карл Шварцшильд и Артур Стэнли Эддингтон
Астрономические наблюдения любителя астрономии
Краткая хронологическая таблица по истории астрономии и космонавтики
Что такое координаты и для чего они служат
Разложение на множители и решение уравнений
Математика учит предсказывать и управлять
О математических методах теории надежности
Author: Маркушевич А.И. Воронцов-Вельяминов Б.А.
Tags: вселенная математика астрология детская энциклопедия издательство просвещение для среднего м старшего возраста
Year: 1964
Similar
Рассуждения о методе с приложениями диоптрика, метеоры, геометрия
Декарт
Фрактальная геометрия природы
Text
                    Коииунистои
стать
иожно
а1
1
ишь тогда, когда обогатишь
свою память ананием всех тех
богатств, которые вы1)а6отао1
1
0
чео1
1
овечество.
В.И•.JIEHHH

то�
�
·-=·
2
Второе ••�аиие
!
�
Н3ДАТЕ.1
1
ЬСТВО
..-1
«ПРОСВЕЩЕНИЕ>�
�_}
�';.�":"
i=
11
11

ат68�аа Д.JIЯ С РЕДНЕ Г О
��--
И СТАРШЕГО ВОЗРАСТА
ВЦИВ@IОП@�ИВ
21
=+
1
2+2+ •••

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
Е. И . Афапасенко, Д. Д. Благой, Б. А. Воронцов-Вельями
нов, П. А . Генкель,
Ф. В . Герасин,
Н. К. Гончаров,
Б. А. Дехтерев, Г. Н. Джибладзе, А. В . Ефимов, К. А. Ива
нович, И. А. Каиров, Л. А. Кассиль, М. П. Ким, Н. П. Кузин,
А. Н. Леонтьев, А. Р. Лурия, А. А . Маркосян, А. И. Мар-
кушевич (главный редактор), 1с. Л. Маршак !, В. А. Мезен
цев, В. Ф . Натали, М. В. Нечкина, С. В . Образцов, Б. П . Оμ-·
лов, .И . В. Петрянов, 10. Н . Писаржевс кийf, С. Д . Ска:эк11н,
Ф. Д. Сказкин, А. А. Смирнов, А. И. Соловьев, И. М. Те
рехов, Л. · И. · Тимофеев, С. Л. Тихвинский, Т. С. Хачату
ров, Ю. В. Ходаков, Е. М . Чехарин, К. И . Чуковский,
В. Н. 'Шацкая, Д. И . Щербаков, д . .
. А. Эпштейн.
Научные редакторы 2-ro тома
А. И. Маркушевич, Б. А. Вор онцов-Вельяминов
Заместители главного редактора
Б. Л. Баμаш, И. В. Латышев

•
(�ОJ.ЕРЖАНИЕ
JillP НЕБЕСНЫХ TEJI
Астрономия - наука о Вселенноii - Б . А. В о-
ронцов-Вельяминов. . . .
.
.
.
15
Как раави ва.-.ась 11аука о Все"'lенноl\
Астрономия в древности 11 в средние ве:ка -
Ю. Г. П ерель.
19
Астрономия в древности.
Астрономия в средние века.
24
ОтКопериикадоНьютона-Ю.Г.Перель 27
Закон всемирного тяготения - Г . А. А р и-
сто в .....•
.•.. ... ... ..
38
Приливыиотливы-Ю.А.Рябов . • ..
41
Как измеряют расстояние до небесных светил-
Б.А.Воронцов-Вельяминов
44
Как работают астрономы - Б. А. В о р о н-
цов-Вельям11нов.
46
Наблюдения в телескоп .
Фотографирование звезд
49
Спектральный анализ
Определение химического состава небес-
ных тел .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
.
.
.
.
•
.
50
Определение точного времени il координат
светил.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
Радиоастрономия .
.
.
.
.
.
.
•
52
Где работают астрономы . . . . .
54
По отечественным обсерватория м - Б . А . В о-
ронцов-Вельями11ов.
.
.
...
Что 11ы анаеи о Все.1енноl\
Звездноенебо-Ф.Ю.Зигель . .. .
.
60
Вращение звездного неба
.
.
.
.
.
63
Вид звездного неба в разных местах Земли 65
Изменение вида звездного неба в течение
года
.
.
•
.
.
.
.
•
.
67
Луна-Н.Н.Сытпнская
Наш естественныii спутник
Происхождею1е лунного света
68
Лунные фазы и лунные месяцы
Лунные «моря»
Лунные горы
Видимая и иевидимая стороны Луны .
Мир Луны
..
..
.
Солнце-Э.В.Конuнович
Спокойное Солнце . . . . .
.
Солнечная активность
Солнечные и лунные затмения - Г. А . П о н о-
марева . .
•
.
•
•
.
.
.
..
.
•..
.
.
Планеты солнечной системы - Н .Н. С ы т и н-
с к а я .......•....
Далекие «земли»
.
•
••
,•
•
Меркурий - мир жары и холода
«Вечерняя звезда» - Венера
Земля
..
.
... ,
.
«Красная звезда» - Марс
Планета-гигант - Юпитер
Планета с кольцом-Сатурн
Планеты Уран, Нептун и Плутон
П.11анеты-крошки
.
.
.
.
•
.
Кометы - Б. Ю . Левин
Метеоры и метеориты-Е. Л. Кринов
Метеоры .-
dтмосферное явление
Метеорные потоки . •
•
•
Наблюдения метеоров
Огненные шары - болиды
Метеориты - вестники космоса
Общий вид и размеры метеоритов
Как падают метеориты
Железный дождь
Тунгусскиii метеорит-комета
Из чего состоят метеориты
Происхождение метеоритов
Помощь населения в сборе метеоритов
Звезды и глубины Вселенной - Б. А. 13 о р о н
цов-Вельяминов
Сколько звезд на небе?
Звездные карты, атласы и каталоги
Видимое и действительное. Светимости
звезд
*
69
70
7'!.
74
75
7!1
82
88
89
92
93
95
96
97
100
101
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117

0
«Градусники» для звездных температур
Гиганты и карлики в мире звезд
118
Пары и тройки в звездном мире
120
«Дьявольские» звезды .
•
.
.
.
122
Маяки Вселенной - цефеиды . .
123
Вспыхивающие и другие загадоч ны е звезды
Вспышки новых и сверхновых звезд -
мировые катастрофы .
.
.
.
. ... . ..124
Звездные скопления и космическая пыль 125
Газовые туманности и межзвездный газ 127
Млечный Путь и Галактика, в которой мы
живем ........ •. .. . .. . ..129
Д
·
руп1е галактики - островные вселенные 130
Бе сь:онечная Вселенная и наш адрес в ней 132
Как произошли Земля и другие небесные тела
Б.А.Воронцов-Вель.ям·инов
О первых «днях)> Земли .
.
.
.
.
.
.
.
136
Откуда взялось газово-пылевое облако во-
ь:руг Солнца? . .
•
.
.
.
•
.
.
.
137
Развитие Солнца, звезд и газово-пылевых
облаь:ов . . .
..
.
•
.
.
.
.
.
.
.-
Нан астроиоиии поиогает че"1овеи}
Астрономия в народном хозяйстве нашей стра-
ны-К.А.Куликов.
.
.
.
139
Время и ь:алендарь - Я. И. Шур.
145
Трудная задача .
.
.
.
.
.
•
.
Предь:и календаря . .
.
.
.
.
.
146
Восьмилетка и девятнадцатилетка
147
Самыii простой и удобный .
148
Юлианский календарь .
.
.
150
Новыii стиль . .
.
.
.
.
.
151
Хорош ли наш календарь? .
152
Календарь на 200 лет .
.
155
Который час? .
.
.
.
.
.
.
156
Человек вышел в космос -И. А. Мина с я н 159
Первые искусственные небесные тела.
.
Законы движения искусственных небесных
тел ....•....•..
:Изучение околосолнечного
За пределами тропосферы .
Межпланетный газ .
.
.
•.....167
пространства 173
175
Магнитное поле Земли и пояса радиации
Метеорное вещество ....• .. .. .•17 7
•
Мы видели Землю из космоса - Ю . А. Гага
рии, Г.С.тИ.
тов!.П . .Р . Попович,
А.Г. Николаев, В. Ф. Быко
'
вск11й,
В.В. Николаева-Терешкова,
В. М. Но маров,
К. П. Феок тистов,
Б. Б. Егоров .
.. ....... .
...
178
Астрономия и другие науки -Ю . Г .Перель 183
Исс.�1едовате.Jiи Все.'lеииоl
Ю. Г. Пе рель
Михаил Васильевич Ломоносов .
187
рильям Гершель .
.
.
189
Пьер Симон Ла11лас . . .
.
.
192
Джемс Бр адлей.
.
.
.
.
.
.
193
Фридрих Вильгельм Бе ссель .
194
Василий Яковлевич Струве .
.
195
Мариан Альбертович Ковальскиii .
198
Федор Александрович Бредихин .
199
Аристарх Аполлонович Бе лопольск11ii .
201
Эдуард Чарлз Пикеринг .
.
.
.
.
.
.
.
203
Генрих Норрис Рессел .
.
.
.
.
.
.
.
204
Карл Шварцшильд и Артур Стзнш1 Эддингтон 205
Эдвин Хаббл .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
206
Григорий Абрамович Шайн .
.
.
.
.
.
.
208
Ученый-револ юционер Павел Карлов1Р1
Штернберг.....
•
.
.
.
•
.
210
Юные астроиоиы
Люби теля м астрономии-Ю . Г . Пере ль
213
Телескоп астронома-любителя - В. А . Б р о н-
ш т з н.. ...... ..•.......214
Астрономические наблюдения любителя астро
номии-В.А.Бронштзн иН.К.Се-
мак11н....
.
.
..........
222
Наблюдения Солнца и солнечных затмений 223
Наблюдения искусственных спутников Зем-
ли 11 метеоров .
.
.
.
.
.
•
.
.
.
225
Наблюдения серебристых облаков .
227
Наблюдения Луны и планет .
.
229
Наблюдения комет .
.
.
.
.
.
.
230
Наблюдения переменных звезд .
Что можно увидеть в планетар1111 - fl. И. Ш у р 232
Как устроен аппарат «планетар11й»
234
(ft•
•

Справочный отде.СJ
Основные данные о небесных телах - И . Е. Р а-
х лин ... ......•... ..••
.
236
Нраткая хронологическая табшща по истории
астрономии и космонавтюш - Б. А . В о -
ронцов-Вельяминов . . . . . . 241
Что читать по астрономии - Ю . Г. П ерель 242
Словарь-указатель - И. Е.Р а х ли н .•.•245
•
Из ;�анимательной астрономии-Ю. Г. Пере ль
34, 41, 44, 69, 79, 98, 101, 118, 119, 121, 197
ЧИС.JIА 11 ФИГУРLI
Несколько слов о математике -А. И . Мар-
кушевич .
"
.•.
ЧисоJiа
Нак люди считали в старину и как писали ци
фры-И.Г.Башмакова. .
.
.
Счет двойками, троiiками 11 дюжинами
Задача на взвешивание .
.
•
.
Наш устный счет .
Счет у первобытных народов
Первые нумерации
Алфавитные нумерации «Псаммит)>
Позиционные системы .
.
.
.
.
.
Простейшие неопределенные уравнения -
В. И . Нечаев
Пифагоровы треугольники . . .
.
.
.
Взвешивание груза на чашечных весах
Раскройфанеры. . . . •
.
.
.
.
.
.
Неопределенные уравнения ...• . .
Рациональные и целые решения неопределен-
261
265
266
267
269
270
272
273
275
278
279
280
ных уравнений первой степени. Метод
рассеивания . . .
.
.
.
•
.
•
.
.
•
•
.
•
281
Решение задачи о взвешивании .. ...
.
282
Неопределенные системы уравнениii первой
степени .
.
.
.
.
.
.
.
•
.
.
.
.
.
.
.
.
283
Решение задачи о раскрое фанеры ...
..28 4
Целые решения неопределенных уравне-
ний степени выше первой . .
.
•
.
.
.
.
.
285
Фиrуры и тeoJia
Геометрия вокруг нас - М. В . Пото цкц i'r 287
Нак возникла геометрия - И. Г. Б а ш м а-
кова..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
.
293
Возникновение геометрии как науки .
•
.
2!J4
Построение дедуктивной системы .
.
•
.
.
295
Постулат о параллельных и неевnлидовы гео-
метрии
..•..
•..
•
•••. •2 97
Геометрические преобразования - И . М . Я г-
ЛОМ , •• •••••
Что такое геометрия .
.
.
Движения .......
.
Преобразования по добия .
Линейные преобразования .
Эллипс ....
•
. ....
Проективные преобразования
Преобразования как основа классификации
теорем.
О различных геометриях - Н. И. П о л ь-
ски й .....•..
С чего начинается изучение геометрии
Как применяется rеометричесная теория
Аксиома о параллельных .. .. . . . .
Равна ли сумма углов треугольника 180°
Нужны ли другие геометрии ... .•
Чем -отлИчаются различные геометрии .•
Уравнения и ф�;ниции
Как люди учи.�шсь решать уравнения
И. Я. Депм ан
.....
.
Метод двух ложных положений . .
•
Введение понятий неизвестного числа
Квадратные уравнения . .
.
.
.
.
.
Уравнения степеней выше второii
Что такое координаты и для чего они служат -
В. А. Ефремович. ..
Декартовы координаты точки .
Простейшие задачи .... .
Задание фигуры, состоящеii из бесчислен
ного множества точек . .
.
Прямая ..••.... . .
Основные задачи на прямую .
29!)
300
303
304
307
301!
309
311
313
315
316
318
320
322
323
324
326
327
328
330
331
333
334

Окружность .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Аналитическое решение геометрических
задач .... .. .. ......
.
Неразрешпмые задачи на построение .
Полярные координаты .
.
.
.
.
.
•
Координаты на сфере . . .
Криволинеiiные координаты. Общая идея
координат...........
.
..
Функциивприродеитехнике-Н.Я.Вилен-
кин ......
Жесткость балки . .
.
.
.
.
336
337
338
340
341
342
Прогиб балки. . . . .
.
.
343
Сосредоточенная нагрузка .
344
ЧисJiо е. Натуральные логарифмы
Один человек может удержать корабль.
Радиоактивный распад вещества . .
.
.
345
Включение и выключение постоянного тока
Остывание чайника . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
Почему парашютист падает равномерно 346
Как измеряют высоту при помощи барометра
Сколько топлива должна взять ракета 347
Гармонические колебания .
Колебания маятника .
.
.
.
348
Разряд конденсатора ...•
Как соединить две трубы .
Изгиб колонны . .
.
.
.
Затухающие колебания . .
Вынужденные колебания .
Сложение· колебаний .
Би ения .......•
Прпливы и отливы .. .
Спектральный анализ .
Как машина открыла теорему .
Почему не работал трансатлантический
набель ... ... . .. .
.
Радиоприемник и камертон .
.
Заключение . .
.
.
.
.
.
.
.
Интеграл и производная - В . Г . Бо лтя н
скиii иН.Я.Виленкин
Задача Кеш1ера .
.
.
.
.
.
.
Математика за чаiiным столом .
349
350
351
352
354
Объем тела .
Промер реки .
355
В автомобиле .
356
Интеграл
Геометрическое
вычисление интегралов 357
Интегриронанпе многочленов .
;�58
Применение интеr ралов .
359
Чудесная формула .
31Н
Как измерить скорость полета пули
Скорость радпоактивного распада
3Н2
Умеете ли вы проводить касательную?
363
Производная .
•
31i4
П ропзводные многочленов .
•
365
Пчелы-математики
Как сделать самую большую коробку
:ю6
Ба лка наибольшей прочности .
3Н7
Формула Ньютона -Лей бница .
Произ1юдные синуса и косинуса
368
Производная показательной функции
369
Радиоактивныii распад .
370
Показательная функция в природе и тех-
нике .
•
371
Леверье и Адамс открывают новую планету
Уравнение гармонических колебаниii
372
Моделирование .
•
•
•
373
l\lноmества и операции
Понятие множества - П. С.Алексан
д ров
Множества конечные и бесконечные .
Взаимно-однозначное соответствие между
двумя множествами .
Счетные множества .
•
Множество всех рациональных чисел
счетно .
Множество всех деiiствительных чисел не-
счетно .
•
•
•
Мощность множества .
Алгебра множеств 11 алгебра логию1
и. м. яглом.
•
•
•
374
37;)
377
378
379
380
383

Е mc2
Алгебра чисел .
.
.
Алгебра м ножеств.
.
384
«Нуль» и «единица» .
387
Удивительная алгебра .
387
Дополнение множества. Аналогия между
сложением и умножением множеств . . . 390
Два способа задания множества. Множества
и высказывания .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
391
Алгебра множеств и алгебра высказываний 392
Отрицание. Отношение следствия
394
Законы мысли .
.
.
.
.
.
.
.
•
.
Правила вывода ...•. .. ..
Алгебра векторов - А. М. Л опш и ц
Арифметика направленных отрезков
Направленные отрезки-векторы .
Правила сложения векторов, приложен
ныхвточкеР.
.
.
.
.
.
.
Равнодействующая сила . . .
396
397
399
Особый вектор - вектор нуль
Свойства операции сложения
Сумма многих векторов . ..
векторов 400
401
Векторная алгебра помогает геометрии
Зачем изучают векторную алгебру
Важная для геометрии алгебраическая
формула ................ .
402
Задача о двух параллелограммах ..403
Экономное обозначение для радиус-век-
торQв .........•
...•...404
Три задачи о треу гольнике .
.
.
.
.
.
.
Задача о двух центральных шестиуголь- •
пиках .
.
.
.
•
.
.
.
•
•
.
.
•
.
405
Задача о двух серединах .
.
.
.
.
.
.
.
406
Решите сами следующие задачи .
.
.
.
Чем занимается алгебра - В. Г. Бо лтя н-
ский иН.Я.Виленкин
408
Числа и действия .....
Необычная конференция .
Фундамент алгебры .
Сила букв
410
411
412
Кольца
Поля ..
2
2
2
ж+у==z
•
Разложение на множители и решение урав-
нений .
.
.
.
•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
413
Разложение чисел на множители
413
Удивительное разложение .
.
.
.
414
Разложение многочленов на множите:ш
Разложение многочленов на множители
11 решение уравнений • •
•
•
.
.
.
.
.
.
415
Основная теорема алгебры многочленов 416
Решение уравнений в радика11ах .
.
Циркуль и линейка . . . .
417
Группы .
.
.
.
.
.
.
.
.
419
Умножение геометрических преобра3о-
ваний ..... •... .. .•.. . .
Что такое равные фигуры .
.
.
.
.
.
.
42U
Группы геометрических преобразований 421
Разные геометрии . .
•
•
422
Группы симметрии .
.
.
.
Задача о раскраске куба .
423
Симметрия в природе .
Группы алгебраических преобра3ованиii 424
Абстрактная теория групп .
425
Заключение .
.
.
.
426
11атеиати ка �·чи т пр едскааывать
и управ"1ять
Электронные
вычислительные
машины -
Ю.И.Соколовскиii..
427
428
429
430
431
432
434
435
436
437
Создать электронный арифмометр!
Двоичная нумерация . .
Считают лампы . . •
.
.
.
•
Обязанности вычислителя .
.
•
Возможен ли такой автомат?
Главные части машины .
.
Инструкция для машины .
Исполнение программы . . .
Программа с преобразованиями .
Универсальность машины •
Автоматический перевод
438
ГЛуШКОD441
Что такое кибернетика? - В. М.
Управляющие системы .

Информация и кодирование
Алгоритмы и автоматы
Теория автоматов и «умные» машины
Машина самосовершенствуется
Разумная машина - верный помощник
человека
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
·
Наукаослучайном -Б.В.Гнеденко.
Обыденные представления .
•
.
•
.
•
.
Примеры случайных событий . .
.
.
.
Зачем нужно изучать случайные явления
Зарождение науки о случае . . .
Теоремы сложения и умножения вероят-
442
442
443
446
447
452
453
454
455
ностеii
•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•.
Дополнительные исторические
Закон больших чисел . . . . .
457
сведения 458
...•.459
Некоторые современные направления раз
вития теории вероятностей . .
.
.
.
.
.
.
460
() математических методах теори11 надежности-
[;.В.Гнеденко ...
•
•
.
.
461
Зачем нужна теория надежности
:О.fатсматика помогает конструктору
462
Резервирование и надежность . . .
463
Резервирование должно быть экономным 465
Теория игр -Е.С.Вент цель . . . .
.
466
Чем занимается теория игр
...•..
Парная игра с нулевой суммой. Цена игры
Игра в нормальной форме. Матрица игры 467
Примеры конечных игр. Принцип мини-
макса .... .
•.
..•
.... .•
..468
Седловая точка. Чистая цена игры
470
Решение игры в смешанных стратегиях. Ос-
новная теорема теории игр
Вьцающиеся мате�1атики
Архимед - И . Г. Башмако в а.
Омар Хайям - А. П. Юш кевич.
Франсуа Виет - М. В. Чирико в.
Рене Декарт -М.В.Чириков
Пьер Ферма - И. Г. Башмако в а
Исаак Ньютон- И. Г. Башмакова
о
х
471
472
474
476
478
481
483
Готфрид Вильгельм Лейбниц - М . В . Ч и-
риков
...
.
......
Леонард Эйлер - А. П . Юш кевич .
Карл Фридрих Гаусс - И. Г. Баш м а-
кова
..
.
.
.
.
.
...
.
Николай Иванович Лобачевский - И . Г. Баш-
макова
..
......
...
..
э·варист Галуа-И. Г. Бамшакова ..
Пафнутий Львович Чебышев - И . Г. Баш-
макова
.. .. .....
...
Софья Васильевна Ковалевская - М . В . Ч и-
риков
Справочн ыА OTfJ;e.J
J
Летопись знаменательных дат развития мате-
матики - И. Г. Башмакова и
485
488
490
492
494
496
498
А.П. Юшкевич
.
.
.
.
.
·
.
501
Зарождение математики . .. . . . . .
.
Возникновение математики как науки. По
строение первых математических теориii
(математика древней Греции). . ....
Математика стран Дальнего, Ср еднего и
Бл ижнего Востока
Математика европейского
и эпохи Возрождения
средневековья
Период математики переменных
(XVII-XVIII вв.)
....•
.
величин
Период современной математики (XIX -
ХХ вв.).
.
.
.
.
. ...
...
.
Математические олимпиады-И . С .Петр а к о в
Чточитатьпоматематике -В.И.Битюц-
502
503
504
505
ков...........•
.
.
.
.
507
Словарь-указатель-В.И.Битюцков. . . 510
•
Занимательные задачи и вопросы-Б . А. К о р
демский.............290,
291, 294, 303, 307, 309, 310, 312, 321, 325, 326,
328, 329, 336, 353, 372, 373, 380, 382, 38е,
395, 439,451, 452, 461, 465, 466, 471, 500

И.JI.ЛЮСТРАЦИ И ПА ОТДЕ.11ЬВЫХ "1 ИСТАХ
Газовая туманность в созве здии Ориона
(цветнаяфотография)•........
•
16-17
На обороте: Газоваятуманность Ры-
бачья сеть в созвездии Ле бе дя (цветная
фотография).
Николай Коперник (художник Я. Матейка)
На об.ороте: Тихо Браге (худож
ник Р. Ж . Авотин).
Анте нны радиотелескопа (фотография) ••
На обороте:Крупнейший в Европе
телескоп-ре фле ктор (фотография).
1\арта звездного неба (картограф Е. Я . Мару-
сов) ...•• •
.••...••.•
Полная Луна (фотография) •
•
.
.
•
На обороте: Горныйхребетна Луне
(фотография).
Условная схема, изображающая влияние
на Землю солне чных явлений;, сопровож-
дающих вспышку (художник Р. Ж . Аво-
тин) ....... ••. ... ... •..
На обороте: СхемастроенияСолнца
(художник Р. Ж. Авотин).
·
Вид Солнца в лучах ионизированного каль
ция(фотография)••.•••
•
.
.
.
•
.
Наобороте:Вид солнечнойкоровыв
зпохи минимума и максимума солнечных
пяте н (фотография).
Полное
солнечное . затмение (художник
Р. Ж. Авотμн) •••.. •
·
•
•
•...
На обороте:Границадilяиночи(цвет-
ная фотография).
·
Планеты Марс и Сатурн (художник А. С. Де-
нисов)...
•
•
•
•
•
•
.
•
•••
·
·
На обороте:Комета Донати (художник
Н. М. Ко.1
1
ьчиЦкий).
Комета Брукса (фотография) ••••• . •
На обороте: И:амевение вида кометы
Аре нда - Ролана при ее приближении к
Солнцу (фотография).
Полное солнечное затмение.
· (сфотографи
рова11.о с само.1
1
ета) •. .
.
•.
.
.
.
.
•
•
•
На о б о р о т е: Фотография пролета яркого
мете о рита.
Паде ние Сихотз-Аливского метеорита (ху
дожник Р. Ж. Авотин) •• ••.. ••• .
На обороте:ЗвездныйдождьвЛенин
граде (художник Р. Ж. Авотин) .
32-33
48-49
64-65
72-73
76-77
80-81
88-89
96-97
104-105
108-109
112-113
Большое Маге лланово Об лако (фотография) 116-117
На обороте: ТуманностьКонская го-
лова (фотография).
Участок Млечного Пути (фотография) .
124-125
На о б о р о т е: Крабовидная туманность
(фотография).
Спиральная галактика М 51 (фотография) 128-129
Н а о б'о роте: Спиральная галактика в
созвездии Андроме ды (фотография).
Разрез :о�емной ат мосфе ры и высоты, достиг-
нутые различными летате льными аппара-
таш1 (художник Р. Ж . Авотин) . .
•
.
.
.
164-165
На об о р о т·е: Первый космонавт Ю. А. Га-
гарин в кабине космического корабля
(цветная фотография).
Взлет ра кеты (фотография) •
.
•
•
•
•
•
.
168-169
На обороте: Ю. А. Гагарин перед
подъемом в кабину космиче ского корабля
«Восток� (фотография).
Та к можно представить себе орбитальную
космическую станцию (художник Р. Ж. Аво-
тин) •
.
•
•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
.
.
176-177
На обо ро те: Удивите льное зре лище уви-
дят космонавты на спутнике Марса· (ху-
дожник Р. Ж. Авотин).
ЗданиеМосковского планетария (фотография) 232-233
На обороте:Аппарат«планетарий»(фо-
тография).
Юный матем!Ы'ик (фотография) . . .
.
•
•
260-261
На о б о р о т е: «Пое динок» (фотография).
Задача о ра скрое фанеры (художник Ф. С. Бо-
рисов). .
.
•
.
.
•
•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
•
280-281
На об о рот е: Фигуры, заполняющие
всю плоскость (художник В. А . Брюн.) .
Ге ометрия вокруг нас (художник Д. А. Ли-
сичкин)•....
.
.
.
.
.
.
.
.
•
.
.
•
288-289
Нао
.
бороте: Геометрические формыв
строительных конструкциях (художник
Д. А . Лисичкин).
Разнообразные формы геометрических фигур
(художнuк Д.. А. Лисичкин) . . . •
•
.
.
292-293
На об о р о т е: Полуправ�льные много-
гранники (художник Д. А. Лисичкин).
Симметрия - один из видов ге ометриче-
ского от ображения (художник Р. Ж . Авотин) 304-305
На об о рот е: Конические се че ния и
циклоиды (художни� М. Д. Кисе.�ев11•1).
Схе ма математического и физического мо-
делирования (художник Jl. С. Вендров) .
352-353
На обороте: Функции в природе и
•технике (художник Л. С. Вендров).
Сложение 11 умноже ние множе ст в (худож-
ник Б. А. Попов).
.
.
.
.
.
.
•
•
•
•
•
396-397
На обороте: Орнаменты (художник
Д. А. Лисичкин).
Симметрия (художник Д. А. Лисичкин). 424-425
На обо роте: Многообразие форм сим-
метрци кристаллов (художник Д. А. Ли-
сичкин).
Принцип действия эле ктронной вычислитель·
ной машины (художник Ю. А. Макаренко) 432-433
На обо роте: Приме нение ;шектронных
вычислите льных
машин
(художник
В. А . Брюн).
Кибе рнетика (художник Ю. А . Ма к а р енко) 468-469
На обороте: Игра «Осада и оборона го-
рода» (художник А. А. Попов).

АСТРОНОМИЯ - BAJ'"RA О ВС&1ЕВИОЙ
Из всех картин природы, развертывающихся перед нашими глаза
ми, самая величественная - картина звездного неба.
Мы часто лю5уемся ею в ясные, безлунные ночи, и она будит наше
воображение. А недавно советский · человек полу чил возможность увидеть
ка ртину Вселенной с борта косм ического кораб ля.
«Вглядываюсь в черную темноту, что царит за стеклом иллюминатора.
Невольно залюбовался ослепительным мерцающим блеском далеких звезд -
так пишет летчик-космонавт Г. С. Титов. - Далекие, загадочные миры.
Может быть, миллиарды лет назад вас населяли мыслящие существа . А мо
жет быть, там сейчас, в наш век, существует цивилизация? Кто разгадает
вековые та йны твои, Вселенная? Кто? Трудно ответить на этот вопрос. Не
сомненно одно: разгадка близка».
Мы можем облететь или объехать весь земной шар, наш мир, в кото
ром мы живем. Звездное же небо - это необозримое, бесконечное про
странство, заполненное другими мирами. Каждая звездочка, даже еле
заметно мерцающая в темном небе, представляет собой огромное светило,
часто более величественное, более горячее и более яркое, чем Солнце. Но
все звезды находятся от нас несравненно дальше Солнца и потому кажутся
слабо светящимися точками.
Что это за миры, как далеки они от нас и как измеряются расстояния
до них? Как произошли он и, как устроены, что было с ними в прешлом
и что произойдет в будущем?
Все эти вопросы изучает астрономия - наука о Вселенной.
"Ученые смогли определить расстояния до звезд, узнать массу Солнца
и его химический состав, предсказать будущие затмения Луны и Солнца,
время появления хвостатых светил - комет. Но прошли многие века,
прежде чем это удалось сделать.
Когда же и как зародилась наука о Вселенной?
"Уже в глубокой древности лт.оди следили за появлением Солнца над
горизонтом, за движением его по небу, чтобы уЗнать, скоро ли оно опять
опустится к горизонту и наступит ночь. По положению Солнца и звезд
человек научился определять время 6уток.
Давно человек подметил на небе группы звезд, ориентируясь по
которым можно найти верное направление на суше и на море. Эти
знания были нужны людям при всяком передвижении их по Земле. По
мере развития человеческого общества ориентировка на суше и на море
по небесным .светилам приобретала все большее значение.
Древнейшие народы считали Землю плоской, а небо полушарием,
опрокинутым над Землей. Самое Землю они считали неподвижной и дума
ли, что все небесные светила каждые сутки обходят Землю вокруг. Не
умея объяснить различные явления природы, люди стали обожествлять
силы природы. Весь мир казался им полным чудес, творимых сверхъ
естественными существами - богами.
Появились служители богов - жрецы, которые все небесные явления
толковали как проявление воли богов. В те далекие времена еще не мог
ло быть и речи о научном объяснении явлений природы. Но, наблюдая

АСТРОНОМИЯ - НАУКА О ВСЕЛЕННОИ
18
небесные явления, люди постепенно накапливали все больше знаний о мире
небесных светил. Они заметили на·небе несколько особенно ярких светил;
которые то передвигаются среди созвездий вперед и назад, то непо
движно стоят на месте. Эти блуждающие светила назвали планетами, в
отличие от обычных звезд. Не понимая сложной картины явлений на небе,
не зная истинных причин движения планет, люди пришли к ошибочным
заключениям. Каждому из этих светил, в зависимости от его вида, цвета
и особенностей движения, приписывались различные свойства. Планеты
принимались за вестников богов, будто бы влияющих на земные события
и на судьбы людей. Жрецы и прорицатели старались предсказывать раз
ные события по расположению планет на небе. А господствующие классы
общества вместе со жрецами пользовались суевериями в своих интересах,
чтобы держать в страхе и покорности трудовой народ.
Шли века. Все точнее становились наблюдения над небесными явле
ниями, в том числе и над движением планет. Ученые, наблюдавшие звезд
ное небо, подмечали закономерности в изменении расположения небесных
светил. Они старались понять и объяснить причины видимого движения
звезд, Луны, Солнца, планет. Становилось ясно, что объяснить эти явле
ния невозмоЖно, если считать Землю неподвижной. Но за такие мысли,
противоречившие религиозным взглядам, ученых жестоко преследовали.
Как тяжким сном было сковано сознание человека, пока он не узнал
истинного места Земли во Вселенной и не опроверг ошибочного представ
.11ения о мире, центром которого якобы является Земля.
В XVI в. польский астроном Николай Коперник доказал, что зем
ной шар - лишь одна из планет, обращающихся вокруг Солнца. Землю
освещает Солнце, а она отражает солнечный свет в пространство. Все
другие планеты также не имеют собственного света и тоже отражают лучи
Сол:u:ца. Луна - ближайшее к нам небесное тело; она обращается вокруг
Земли и является ее спутником. Таиие же спутнини позже были открыты
и у многих других планет. Все планеты и Солнце представляют собой еди
ную солнечную систему, в центре которой находится гигантское, само
светящееся Солнце. Бесчисленные звезды не укреплены на поверхности
небесного купола, как думали в древности. Звезды находятся на различ
ных расстояниях от Земли, далеко за пределами солнечной системы.
Каждая звезда - это такое же солнце, как и наше.
Русский ученый В. Я . Струве около 130 лет назад впервые измерил
расстояние до одной из ближайших звезд. Оно оказалось громадным. Об
этом расстоянии можно составить представление, если взять самую боль
шую в природе скорость - скорость света. Луч света проходит за секунду
300 тыс. км. От Солнца к нам он доходит за 8,5 минуты, а от ближайшей
звезды - более чем за четыре года. Во Вселенной есть звезды, свет от
которых идет к Земле миллионы, сотни миллионов и миллиарды лет!
1
Фотоrраф11я rааовой туманности в созвездии Ориона; 11ноrда ее можно заметить нево
оруженным rлааом. Это rиrантское облако, состоящее из разреженноrо rаза и косми- _ ..
._
ческой пыли. Астрономы предJiолаrают, что в таких облаках образуются звезды.
.,.
..
.
На о б о р о т е: Фотоrраф11я rааовой т)·манноет11 Рыбачья сеть в созвездии Лебедя.

АСТРОНОМИЯ - НАУКА О ВСЕЛЕННОИ
Изучая небо, :каждый может убедиться , что на нем происходят
различные изменения. Вот вспыхнула новая звезда и на несколько дней
затмила своим светом другие звезды . Какая мировая катастрофа породи
ла вспышку ее блеска?
Вот появилось в пределах солнечной системы новое небесное тело -
:комета с большим, как бы огненным хвостом , охватившим полнеба. Про
летая быстро сквозь строй планет , комета плавно огибает Солнце и уда
ляется в неизвестность. А иная комета , кружась вокруг Солнца подобно
планетам , рассыпается на рой мельчайших невидимых камешков. Камеш
ки эти несутся с огромной с1\оростью и, влетая в атмосферу Земли , раска
ляются и светятся. Тогда в темном небе сверкают «падающие звезды» -
метеоры. По большей части они превращаются в пар , но некоторые , покруп
нее , долетают до Земли .
Камень с неба! Это вестник далеких миров. Его можно увидеть в му
зейной витрине . Астрономы и Jiюбители астрономии заботливо собирают
оекошш упавпiих с неба иамней. Маленьиий иусочек , упавший с неба,
состоит из тех же веществ , что и наш земной шар. А это значит , что и вооб
ще небесные тела по своему составу в принципе не отличаются от Земли.
Но , конечно , те же вещества на других небесных телах могут находиться
совсем в ином состоянии , чем на Земле.
Иногда на небе в зимн
.
юю ночь , l\aI\ лучи цветных проженторов , хо
дят, пере1\рещиваясь , лучи полярных сияний . В это же время сильно ко
леблется магнитная стрелна , а радиоприемнин начинает громко трещать.
Какова причина этих явлений?
Ученые очень много сделали для выяснения всех этих и многих дру
гих грандиозных и сложных явлени й, происходящих во Вселенной.
Постепенно челове1\ все глубже познает Вселенную. После великого
открытия Коперника непрерывно расширяются доступные для наблюдений
пределы 1>осмического пространства . Передовые ученЫе разны� стран де
лали и теперь делают выдающиеся открытия в науке о Вселенной.
Для развития астрономии много сделано и делается в нашей стране.
В самом конце XVII в. царь Петр 1 от�рыл в Москве в Сухаревой баш
не школу , где обучали астрономии. Позже в Петербурге открылась об
серватория при Академии наук . Благодаря трудам М. В . Ломоносова и
других выдающихся ученых , его современников и продолжателей , астро
номия в нашей стране давно уже достигла высокого уровня развития.
Составление :карт страны требовало точного определения положе
ния городов на Земле , а это можно сделать только по звездам . Для изуче
ния расположения звезд на небе и исследований строения звездного мира
в 1839 г. под Петербургом на Пул:ковсних холмах была построена :круп
нейшая обсерватори я, :которую называли астрономич
.
ес:кой столицей мира.
Сюда приезжали учиться точным наблюдениям астрономы из Западной
Европы и Америки. Кроме Пулковс:кой , у нас теперь есть много других
обсерваторий . На них ведется изучение неба.
Советская астрономия занимает виднейшее место в мировой науие.
4 оl\тября 1957 г. в СССР был произведен впервые в мире успешный за-
•2 д.э.т.�·
:1.7

АСТРОНОМИЯ - НАУКА О ВСЕЛЕННОИ
1.8
пуск искусственного спутника Земли . За первым спутником последова ли
многие другие , пролагая путь к межпланетным путешествиям, к осущест
влению давнишней мечты человечества - проникнуть в глубины Вселен
ной. Советские космонавты Ю. А . Гагарин и Г. С . Титов первыми пронин
ли в космос на носмичесних кораблях. За ними полетели другие совет
сние носмонавты: А. Г. Николаев, П. Р. Попович, В. Ф. Бьшовский,
В. В. Терешкова , В. М . Номаров , l\. 11. Феоктистов , Б. Б. Егоров.
Теория запуска ранет и носмичес1шх нораблей опирается в значи
тельной степени на данные астрономии. Советские, астрономы разрабаты
вают науку о Вселенной в сотрудничестве с передовыми учеными других
стран. В капиталистических странах правящие круги стремятся исполь
зовать достижения науки , и в частности астрономии , в своих интересах.
Некоторые буржуазные ученые , находясь в плену религиозных представ
лений , делают ошибочные выводы из своих исследований , неправильно
толкуют научные открытия .
В августе 1958 г. в Москве состоялся Международный съезд астро
номов , в котором приняли участие ученые почти 40 государст в. На этом
съезде особенно ярко подтвердилось значение достижений советской астро
номии , ее передовая роль в мироnой науке. На международных совещаниях
и конференциях, ежегодно происходящих в разных странах , советские
астрономы всегда выступают в качестве активных участников.
В октябре 1961 г. XXII еъезд l\оммунистической партии Советского
Союза принял грандиозную , невиданную в истории программу построе
ния коммунистического общества в нашей стране. В осуществлении этой
программы большая роль принадлежит науке . Перед советскими астро но
мами стоят волнующие задачи в развитии знаний о Вселенной и освое
нии космоса в пределах солнечной системьi.
Астрономия не только раскрывает тайны глубин Вселенной , но и по
могает людям в их практической деятельности: в составлении точных карт
поверхности Земли , правильном определении курса кораблей и самолетов,
Службо точного времени и во многом другом .
Юные читатели «Детской энциклопедию>! Если вы захотите стать
астрономами , то перед вами откроется безбрежное поле для творческой
деятельности.
•

RAit РAflBИBA.JIACЬ
нл;vкл
О· BCE.JIEHHOЙ
АСТРОНОМИЯ В ДРЕВНОСТИ
11 В СРЕДНИЕ ВЕКА
Астроuомпи в древности
Астрономия - древнейшая наука. Она воз
юшла, I\al\ указывал один из великих осново
положюшов научного коммунизма - Фридрих
Энгельс, в связи с практичес1шми потребно
стями людей.
Основным занятием древнейших народов
было с1штоводство и земледелие. Поэтому им
нужно было иметь представление о явлениях
природы, об их связи с временами года. Люди
знали, что смена дня и ночи обусловлена вос
ходом и заходом Солнца. В древнейших госу
дарствах: Египте, Вавилонии, Индии и других
земледслие и скотоводство регулировались та
кими сезонными (т. е. повторяющимися в одни
и те же времена года) явлениями природы,
нак разливы больших рек, наступление периода
дождей, смена теплой и холодной погоды
ит.д.
Давние наблюдения неба привели к от�<рытию
связи между сменой времен года и такими не
бесными явлениями, нак изменение поJiуден
ной высоты Солнца в течение года, появление
на небе с настуllлением вечерней темноты яр 
них звезд.
19

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕНIЮЙ
Таким образом , еще в глубокой древности
были заложены основы календаря , в котором
основной мерой л.ля счета времени стали сутки
(смена дня 11 ночи) , меся ц (промежуток между
двумя новолуниями) и год (время видимого пол
ного оборота Солнца по небу среди звезд).
Календарь был необходим в первую очередь
для того , чтобы с известной точностью рас
считывать время начала полевых работ. Еще в
седой древности была установлена приблизи
тельная продолжительность года - 365 1i4 су
то1<. На сам()М деле продолжительность года
(т. е. периода обращения Земли вокруг Солнца)
составляет 365 дней 5 часов 48 минут 46 секунд
на 11 минут 14 секунд меньше , чем 365 1/4 су
ток. Эта «приблизительностм давала себя знать
тем , что с течением времени календарь расхо
ди.пся с природой ; ожидаемые сезонные янле
ния наступали несколько раньше, чем они долж
ны былll наступить по календарю. С каждым
годом это расхождение увеличивалось, и нужны
были наблюдения неба и земных явлений , чтобы
постоя нно уточнять каJ1енДарь, «сближатм его
с природой. Такие наблюдения и велись в неко
торых странах Древнеrо Востока.
С течением времени было ·обнаружено, что ,
кроме Солнца и Луны , есть еще пять светил ,
которые постоя нно перемещаются по небу ере-
28
ди звезд. Эти «блуждающие» светила - плане
ты - впоследствии были названы Меркури
ем , Венерой , Марсом, Юпитером и Сатурном.
Наблюдения позволили также подметить на небе
очертания наиболее характерных созвездий и
установить периодичность наступления та1шх
явлений , как солнечные и лунные затмения.
Наблюдая небесные явления на протяжении
тысячелетий, люди еще не знали вызывающих
их причин. Звезды и планеты они видели как
светящиеся точки на небе , но об их действите.'lь
ной природе , так же как и о природе Солнца и
Луны , им ничего не было известнQ. Не поюшая
природы небесных светил , не зная законов раз
вития человеческого общества и истинной при
чины войн и болезней , люди обожествляли све
тила , приписывали им влияние на судьбы лю
дей и народов. Так возникла лженаука астро
логия , пытавшаяся предсказывать судьбы лю
дей по движен
.
иям небесных светил. Подлинная
наука давно опровергла выдумки астролопш.
Наука и религия глубоко враждебны друг
другу. Наука открывает законы природы 11
помогает людям на основе этих законов исподь
зовать природу в своих интересах. Религия,
наоборот , всегда внушала людям чувство бес
помощности и страха перед природой. Она
всегда опиралась не на знания , а на суеверия
Старинная иидийская
обсерватория.

и предрассудки и мешала развитию науки .
В древности , когда люди не знали законов при
роды , влияние религии и ее служителей - жре
цов - на народ было особенно сильным . Так как
жрецы играли большую роль в хозяйст·венной
11 политической жизни древневосточных госу
дарств , они были заинтересованы в астрономи
ческих наблюдениях и широко испо.11ьзовали
их; эти наблюдения им были нужны и для уста
новления дат религиозных праздн иков .
Однако хозяйственный уклад древних го
сударств с их примитивным земледелием, ско
товодством и ремеслом , основанным на ручном
труде рабов , не требовал еще сколько-нибудь
высо:кого развития науки и техники . Поэтому
астрономические наблюден ия , проводившиеся в
государствах Древнего Востока - Египте, Вави
лонпu , Индии - на протяжении многовековой
истории, не могли привести к созданию астроно-
1111ш как науки, способной объяснить устройст
во Вселенной .
Одна1ю уже тогда астрономы стран Древнего
Вос тока достигли больших успехов в своих наблю
денпях неба , научились предсказывать насту
пление затмений и настойчиво следили за дви
Ji\енпем планет.
Задолго до нашей эры астрономы состав
ля:ш так называемые звездные каталоги -
сппсю1 наиболее ярких звезд с указанием
пх положения на небе .
Астрономические знания , накопленные в
Египте и Вавилоне особен но в VI-V вв .
до н. э . , заимствовали древние греки . В древ
ней Греции имелись более благоприя тные
ус.11овия для развития науни .
Первые греческие ученые в это время пыта
ш1сь доказать , что Вселенная существует без
участия божественных сил . Греческий фило
соф Фалес в VI в. до н. э. учил, что все сущест
вующее в природе - и Земля и небо - iюзник
;:ю из одного «первоначального» элемента -
воды . Другие ученые считали таким «первона
ча.1ьным)> элементом огонь :цли воздух . В VI ·в .
до н. э . греческий философ Гераклит высказал
гениальную мысль , что Вселенная никогда ни
кем не была создан а, она всегда была , есть и
будет , что в ней нет ничего неизменного - все
движется, изменяется , развивается. Эта замеча
тельная мысль Гераклита впоследствии легла
в основу подлинной науки, изучающей законы
развития природы и человеческого общества.
Многие греческие ученые , однако , наивно
полагали , что Земля - самое крупное тело во
Вселенной и находится в ее центре. При этом
они вначале
.
считали Землю неподвижным пло-
АСТРОНОМИЯ В ДРЕВflОСТИ И В СРЕДНИЕ ВЕКА
Аристотель - величайший ученый древней Г реции.
ским телом , вокруг К(\торого обращаются Солн
це , Луна и планетьr. Позднее , систематичесl\и
наб-71юдая природу , ученые пришли к выводу,
что Вселенная и Земля , на которой мы живем ,
устроены гораздо сложнее, чем это представ- .
ляется неискушР.нному наблюдателю. В конце
VI в. до н. э. Пифагор впервые, а за ним в
V в. Парменид высказали предположение , что
Зем.1я - тело не плос:кое , а шарообразное.
Крупным достижением науки было учение
греческих философов Левюшпа и Демокрита.
Они утверждали , что все существующее со
стоит из мельчайших частиц материи - атомов
и что все явления природы совершаются без
ка�юго-либо участия богов и других сверхъесте
ствен ных сил .
Позднее, в IV в. до н. э. , с изложением
своих взглядов на устройство Вселенной вы
ступил Аристотель - величайший из ученых
и философов Греции . Аристотель занимался
всеми науками , которые были извеетны в ту
21

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОИ
:шоху ,- физикой , минералогией , зоологией и др .
Он много занимался также вопросами формы
Земли и ее положения во Вселен ной . При
помощи остроумных соображений Аристотель
доказал шарообразность Земли. Он утверждал ,
что лунные затмения происходя т, когда Луна
попадает в тень, отбрасываемую Землей . На ди
ске Луны мы видим край земной тени всегда
круглым. И сама Луна имеет выпуклую , скорее
nсего шарообразную форму .
Таким путем Аристотель пришел к выводу ,
что Земля , безусловно, шарообразна: и что
шарообразны , по-видимому , все небесные тела.
В то же время Аристотель считал Землю
центром Вселенной , крупнейшим ее телом , во
круг которого обращаются все небесные тела .
Вселенная , по мнению Аристотеля , имеет конеч
ные разм еры - ее как бы замыкает сфера звезд .
Своим авторитетом , который и в древности, И в
средние века считался непреренаемы м, Аристо
тель занрепил на много венов ложное мнение ,
что Земля - неподвижный центр Вселенной .
Это мнение разделяли и позднейшие греческие
ученые. В дальнейшем его приняла как непре
ложную истину христианская церковь .
Впоследствии , уже в XVlll в. , великий рус
ский ученый М. В. Ломоносов , всю жизнь стра
стно боровшийся за торжество науки над суе
верием, оглядываясь на прошлые века , писал,
что в течение многих веков «идолопоклонниче
ское суеверие держало астрономическую Землю
.н своих челюстя х, не давая ей двигаться ».
Однако и в Греции после Аристотеля неко
торые передовые ученые высназывали смелые
и правильные догадки об устройстве Вселенной.
Живший в 111 в. до н. э. Аристарх Самос
ский считал , что Земля обращается вокруг
Солнца . Расстояние от Земли до Солнца он оп
ределил в 600 диаметров Земли . На самом деле
это расстояние в 20 раз меньше действитель
ного , но по тому времени и оно казалось нево
образимо огромным. Однако это расстояние Ари
старх считал ничтожным по сравнению с рас
стоянием от Земли до звезд . Эти гениальные
мысли Аристарха , через много веков подтверж
ден ные открытием Коперника , не были поняты
современниками . Аристарха обвинили в безбо
жии и осудили на изгнание , а его правильные
догадки были забыты .
В конце IV в. до н. э. после походов и за
воеваний Александра Македонского греческая
культура проникла во все страны Ближнего
Востока . Везникший в Египте город Александ
рия стал крупнейшим культурным центром.
В Александрийской академии, объедин яв-
22
шей ученых того времени, в течение нескольких
веков велись астрономические наблюдения уже
при помощи угломерных инструментов. Алек
сандрийские астрономы достигли большой точ
ности в своих наблюдениях и внесли много но
вого в астрономию .
В 111 в. до н. э. александрийский ученый
Эратосфен впервые определил размеры земного
шара (см . том 1 ДЭ).
Во 11 в. до н. э. великий александрийский
астроном Гиппарх , используя уже накоплен
ные наблюдения , составил каталог более чем
1000 звезд с довольно точным определением
их положения на небе . Гиппарх разделил зве
зды на группы и к каждой из них отнес звезды
примерно одинакового блеска . Звезды с наи
большим блеском он назвал звездами первой
величины , звезды с несколько 11
1
еньши11
1
бле
ском - звездами второй величины и т. д . Гип
парх ошибочно считал , что все звезды находят
ся от нас на одинаковом расстоянии и что раз
ница в их блеске зависит от их размеров .
В действительности дело обстоит иначе:
звезды находятся на различных расстояниях
от нас . Поэтому звезда огромных размеров ,
но находящаяся на очень большом расстоянии
от нас, будет по своему блеску казаться звездой
далеко не первой величины. Наоборот , звезда
первой величины может быть по своим разме
рам весь11
1
а скромной , но находиться сравнитель
но близко от нас . Однако гиппарховы «величи
ны» как обозначение видимого блеска звезд
сохранились до нашего времени .
Гиппарх правильно определил размеры Луны
и ее расстояние от нас. Сопоставляя результаты
личных наблюдений и наблюдений своих пред
шественников , он вывел продолжительность
солнечного года с очень 11
1
алой ошибкой (только
на 6 минут) .
Позднее , в 1 в. до н. э . , александрийские
астрономы участвовали в реформе календаря ,
предпринятой римским ДИI\татором Юлием Це
зарем . Этой реформой был введен календарь ,
действовавший в Западной Европе до XVI -
XVlll вв. , а в нашей стране - до Великой Ок
тя брьской социалистической. революции.
Гиппарх и другие астрономы его времени
уделяли много внимания наблюдениям за дви
жением планет . Эти движения представлялись
им крайне запутан ными. В самом деле , направле
ние движения планет по небу как будто перио
дически меняется - планеты как бы описывают
по небу петли . Эта кажущаяся сложность в дви
жении планет вызы вается движением Земли во
:круг Солнца- ведь мы наблюдаем планеты с

Земли, которая сама движется . И когда Земля
«догоняет» другую планету , то кажется , что
планета как бы останавливается , а потом дви
жется назад . Но древние астрономы , считавшие
Землю неподвижной , думали , что планеты дей
ствительно совершают та�ше сложные движения
ВОl\руг Земли .
Во 11 в. н . э . александрийский астроном Пто
лемей выдвинул свою «систему мира» . Он пы
тался объяснить устройство Вселенной с учетом
видимой сложности движения планет.
Считая Землю шарообразной , а размеры ее
ничтожными по сравнению с расстоя нием до
планет и тем более до зве3д , Птолемей , однако,
вслед за Аристотелем утверждал , что Земля -
неподвижный центр Вселен ной . Так как Пто
лемей считал Землю центром Вселенной , его
системамирабыланазванагеоцентри-
ческой1•
Вокруг Земли , по Птолемею , движутся (в по
рядие удаленности от Земли) Луна , Меркурий ,
Венера, Солнце, Марс, Юпитер , Сатурн , звез
ды. Но если движение Луны , Солнца, звезд
правильное круговое , то движение планет
гораздо сложнее. Каждая из планет , по
мнению Птолемея , движется не вокруг Зем
ли , а вокруг некоторой точки . Точка эта в
свою очередь движется по кругу , в центре ко
торого находится Земля . Круг , описываемый
планетой вокруг движущейся точки , Птолемей
назвалэпициклом,акруг,покоторому
движется точка около Земли ,- деф ерентом.
Трудно представить себе , чтобы в природе
могли совершаться такие запутанные движения ,
да еще вокруг воображаемых точек. Такое
искусственное построение потребовалось Пто
лемею для того , чтобы , основываясь на ложном
представлении о неподвижности Земли , распо
ложенной в центре Вселен ной , объяснить ви
димую сложность движения планет .
Птолемей был блестящим для своего време
ни математиком . Но он разделял взгляд Ари
стотеля , который считал , что Земля неподвиж
на и только она может быть центром Вселенной.
Система мира Аристотеля - Птолемея ка
залась современникам правдоподобной . Она да
вала возможность заранее вычислять движение
планет на будущее время - это было необхо
димо для ориентировки в пути во время путеше
ствий и для календаря . Эту ложную систему
признавали почти полторы тысячи лет.
Геоцентрическая система мира Птолемея
появилась в то время , когда и Египет и Греция
i Ге - по -гречески «земля*·
АСТРОНОМИЯ В Д РЕВНОСТИ И В СРЕДНИЕ ВЕКА
Система мира по Птоле мею.
"
"
"
+
+
..
.
..
.
..
.
+
уже были завоеваны Римом . Потом пришла в
упадок Римсная империя , I\ которому ее при
вели изживший себя рабовладельческий строй ,
войны и нашествия других народов. Наряду с
разрушением огромных городов истреблялись
памятники греческой науки .
На смену рабовладельческому строю при
шел феодальный строй . Христиансная религия ,
распространившаяся к этому времени в стра
нах Европы , признала геоцентрическую систе
му мира согласной со своим учением.
В основу своего миропонимания христиан
ство положило библейскую легенду о сотворе
нии мира богом за шесть дней . По этой легенде
Земля является «средоточием» Вселен ной , а не
бесJlые светила созданы для того , чтобы осве
щать Землю и украшать небесный свод . Всююе
отступление от этих взглядов христианство
беспощадно преслед9вало . Система мира Ари
стотеля- Птолемея , ставившая Землю в центр
мироздания , I\al\ нельзя лучш
·
е отвечала хри
стианскому вероучению , хотя многие «отцы церк
ви» отназывались признавать именно те положе
ния этой системы мира , которые были верными,
например положение о шарообразности Земли.
В христиансних странах получило признание
и широко распространилось «учение» монаха
Козьмы Индикоплова, считавшего Землю пло
ской , а небо как бы «крышкой» над ней . Это
учение было возвращением к самым примитив
ным представлениям древнейших народов об
устройстве Вселенной.
•
23

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОИ
Астроноиив в сре.1
1,
11ие века.
В средние века восточные страны, значитель
но обогнали Европу в развитии науки . Tai,, в
Индии и в основан ном в VII-VIII вв . Араб
ском халифате астрономия сделала большие
успехи и превзошла в отношении точности
наблюдений уровень, достигнутый в свое вре
мя греческой астрономией. Арабские астрономы ,
среди которых самыми выдающимися были Аль
Баттани (858-929) , Абу.:.ль-Вефа (940-998) ,
Ибн -Юнус (вторая половина Х в. ) и др. , неустан
но вели астрономические наблюдения. Они
обнаруживали в движениях Солнца , Луны и
планет такие особенности , которые не согласовы
вались с системой мира Птолемея. Однако араб
ские астрономы не могли преодолеть ложного
мнения о центральном положении Земли во
Вселенной. Сталкиваясь с противоречиями в
учении Птодемея , они не отвергали его , а
'
вно
сили в него дополнения , делали его еще более
сложным. Но в наблюдениях за положением
небесных тел арабски� ученые достигли боль
шого совершенства. Они занимались также оп
ределением размеров земного шара теми
же способами , что и Эратосфен , и тем самым
оказали большую услугу географической
науке.
Наибольшего развития в средние века аст
ронош1я достигла в странах Средней Азии и в
Азербайджане. Среднеазиатские ученые Би
руни, Омар Хайям и другие, а также азербайд
жанский астроном Насирэддин Туси были
самыми крупными астрономами средневеRовья.
Народы Средней Азии , входящие ныне н
Союз Советских Социалистических Республик ,
еще в глубокой древности создали высокую
культуру . Среднеазиатские ученые развивали
и двигаJIИ науку вперед в то время , когда в За
падной Европе она находилась в упадl\е. Ни
колай Коперник и другие ученые Европы ,
создавшие в XVl-XVII вв. новое учение об
устройстве Вселен ной , имели достойных пред
шественников в лице среднеазиатских ученых
IX-XV вв .
Среднеазиатские народы вынуждены были
постоя нно в ожесточен ной борьбе отстаивать
свою независимость. Обширные области Сред
ней Азии в первой ·половине IV в. до н. э .
были завоеваны греками под предводительством
Александра Македонского , а спустя тысячу
лет - арабами . В нача)Iе XIII в. Среднюю Азию
захватили монголы во главе с Чингисханом.
Отсюда они распространили свои заво евания
на Кавказ и Восточную Европу. Однако ни вой-
24
ны , ни временное господство чужеземных завое
вателей не мог.1111 остановить развитие культу
ры среднеазиатских народов.
На протяжении многих веков в низовьях
реки Аму-Дарьи процветала культура Хорезм
ского государства. Советским археологам уда
лось восстановить величественную культуру
древнего Хорезма с ее замечательными памят
никами архите1<туры и искусства. Крупными
культурными центрами Средней Азии были Бу
хара , а также Мерв и Самарканд (центр науки
и просвещения, развивавшийся в условннх гне
та монгольских завое
.
вателей).
Среднеазиатские ученые, работавшие в древ
нем Хорезме , Бухаре , Мерве , Самарканде ,
далеко опередили: ученых других народов и
предвосхитили Последующее развитие европей
ской науки. В особенности это относится к
астрономии.
В первой половине IX в. в Хорезме жил u
работал замечательный ученый Мухаммед , про
званный ал-Хорезми (из Хорезма) , крупней
ший математик своей эпохи, один из.создателей
аш'0бры. Ал- Хорезми был также крупным
астрономом. Он значительно улучшил таблицы
движений планет , составлен ные Птолемеем, и
усовершенствовал астро)Iябию - прибор , изо
бретенный Птолемеем и много веков применяв
шийся для определения широты 11 долготы
мест ·на поверхности Земли .
В конце Х и в первой половине Х 1 в. про
текала деятельность самого выдающегося хо
рез мского ученого- Бируни: (973- 1048) . Жи
вя в условиях господства мусульманской рели
гии (которая относилась Ii науке столь же враж
дебно, как и христианская ), Бируни смело и
страстно выступал против религиозного миро
понимания. Он считал , что в природе все суще
ствует и изменяется по ·законам самой природы,
а не по божественному ведению. По мнению
Бируни, вера в таинственные силы, будто бы
существующие в природе и влияющие на судь
бы людей , возниl\ла из-за незнания закон ов
природы . Постигнуть же эти законы люди мо
гут тольl\о е помощью науки.
Бируни работал в различных областях нау
ки: он был самым выдающимся астрон омом
своего времени и внес много нового в историю,
географию и минералогию. Бируни · реши
тельно утверждал , что Земля имеет
'
шарообраз
ную форму . Он говорил, что если бы Земля не
была шарообразным телом, то 1\fногие явления
природы представлялись бы нам совсем иными ,
например продолжительность дней и ночей не
менялась бы в различные времена года.

Б11ру1111.
Исходя нз прави.r�ьного пре;1ставления о
форме Зе мли, Бируни опредешш раз ме ры (дли
ну 0 1<ружности) Зешш более точно, чем зто
сделаш1 Эратосфен lf арабские астрономы. Из
наблюдений над пош1жением динии горизонта,
рассматриваемой с возвышенного места, он вы
считал, что д.тrина (Шружности Зем.r�и составляет
(в переводе на наши меры) 41 550 к��. Действи
тельная д.1ина окружности Земли, установ.r�еп
ная современной нay1<oii путем более точных
измерений и расчетов, очень мало отличается
от вычисленной Бируни.
Б11рун11 много занимался астрономическI1ми
н аблюдения м и и стара.тrся научно объяснить
многи е яв.r�епия, 1,оторые были загадкой: для
современных el\fy астрономов. Оп считал, что
в астрономии, 1.ак и во всякой науке, никакие
АСТРОНОМ�Я В. ДРЕВНОСТИ И В СРЕДНИЕ ВЕКА
соображения не заслуживают доверия, если
они не подтверждены наблюдением ll опытоl\f.
Бируни критически относи.r:1ся к учению Пто
лемея и допусl\ад возможность движения Земли
во1\руг Соднца. Таким образом, за пятьсот .1ет
до Копершша Б ируни правилыю представлял
себе устройство co.riнeчнoii системы. Как на
стоящий: ученый, БI1руни всегда боролся про
тив вмешатеm,ства ре.11игии в дела науни. За
свои пере;1овые взгляды он постоянно подвер
гался прсследоваюц1м со стороны мусульман
с1шх фанапшов и три раза вынужден был по
Кllдать родину и жить в изгнании.
В XI и в начале XII в. протекала жпзнь
и деятельность Омара Хайяма (около 1040-
1123 гг. ) - ве.1ююго тадашкс�>ого поэта, уче
ного и философа. Омар Хайям был подлинныl\f
революционером в пауке. Он считал , что Земля,
1\а!\ и друrие небесные тела, движется 8 бес
конечном пространстве Все.тrенной, вращаясь
вонруг своей оси. Омар Хайям утверждал, что
Вселенная никогда не была еоздана - она су
ществует вечно. Как и Бирунп , Омар Хай:ям
уч�ш, что толы\о наука может оп>рьшать за�нJ
ны природы и заставлять природу служить че
.1овеку.
В Азербайджане в XIII в. прославился сво
ими тпудам1t астроном: Мухаммед Насирзд;щн
Туси (1201-1274), построившиii вешшолепную
обсерваторию в Мараге. Вместе с другими аст
рономами он составил таблицы положения п.1а�
нет и звезд, более точные, чем таблицы Гип
парха и Птолемея. Он озна1>0111ил восточных уче
ных со всеми достижениями древнегречесной
астрономии.
Велиние ученые Средней Азии были не толь-
1ю выдающимися мыслителями, высназывав
Шими правильные, позднее подтвержденные
наукой взг,1яды на устройство мира, но и замеча
тельными наблюдателями. Особенно прослави
лись свпими наблюдениями самарнандс1ше аст
рономы XV в. Джемшид ал-Каши (он был
танже и замечательным математином), Казы-заде
Ар-Руми, Али Кушчи. Их трудам вснчес1ш со
действовал и принимал в них личное участие
правитель Самарнанда Улугбен (1394-1449).
Улугбе�> был вну1\ом IIзвестного завоевателя
Тимура, который во второй п о лов ине XIV 11.
покориJI среднеазиатские народы и после успеш
ных походо в оказался во главе огромной им
перии, простиравшейся от Инда до Волги, от
границ Китая до Малой Азии. Столицей госу
дарства Тимура был Самарканд. В этот город
Тимур привлекал ученых, художников, строи
телей 1\ан из других городов Средней Азип,
25

КА К РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОИ
Улугбек.
так и из завоеванных стран. Благодаря их тру
дам Самарканд у1<расился замечательными по
стройками , стал одним из красивейших горо
дов мира .
После смерти Тимура его огромная империя
распалась. Улугбек в молодые годы был на
местником в Самарканде , а впоследствии объ
единил под своей властью значительную часть
Средней Азии. Он был крупным ученым-астро
номом , просвещенным государственным деятелем ,
неустанно заботившимся о развитии науки в
своей стране . Привлекая в Самарканд ученых ,
Улугбе1< создавал наилучшие условия для их
работы. Он выстроил для них в Самарканде
грандиозную обсерваторию . Таких крупных
и хорошо оборудованных обсерваторий не бы
ло нигде ни до Улугбека , ни много времени
после него.
Огромное здание этой обсерватории , воз
двигнутой на одном из холмов в Самарканде ,
поражало современников своими размерами и
великолепием. Но еще более замечательным
было ее оборудование. Она была оснащена луч
шими по тому времени инструментами. Теле
с1<0пов тогда еще не существовало. Астрономы
вели свои наблюдения при помощи угломер-
28
ных инструментов , служивших для определения
положения светил на небе и расстояний между
ними , выраженных в градусах и минутах дуги .
Инструменты обсерватории Улугбека были
самыми крупными и совершенными , какие толь
.ко можно было тогда изготовить. Пользуясь
ими , Джемшид , Али l\ушчи, Улугбек и другие
выдающиеся самаркандские астрономы достигли
такой точности в своих наблюдения х, которая
еще полтора века спустя оставалась непревзой
денной.
Самым замечательным из трудов самар.канд
ских астрономов были «Звездные таблицы» -
каталог , содержавший точные положения на
небе 10 18 звезд. Он долго оставался самым пол
ным и самым точным; европейсние астрономы
переиздавали его еще спустя два вена . Не мень
шей точностью отличались и самарнандские
таблицы движений планет. Наблюдения астро
номов Улугбек как правитель широко исполь
зовал для практичесной цели - определения
географических координат различных мест в
Средней Азии .
Улугбек очень враждебно относился к ре
лигии и много заботился о распространении
просвещения в народе. В Самарнанде и других
городах он отнрывал учебные заведения , в но
торых преподавались светсние науки. Понятно,
что мусульмансние фанатики ненавидели Улуг
бека - вольнодумца и вероотступника. В конце
концов Улугбе1< бы л убит.
Так преждевременно закончилась жизнь
Улугбека , а затем и деятельность объединив
шихся вонруг него ученых. После гибели Улуг
бека в стране началось гонение на науку и уче
ных , которые были вынуждены оставить страну.
Вскоре мусульманские фанатики разрушили
ненавистную им обсерваторию , и развалины ее
с течением времени сровнялись с землей. Само
местонахождение обсерватории было потом за
быто. Только в недавнее время нашим ученым
удалось обнаружить в земле ее остат1<и и соста
вить представление об этом веJ1иколепном для
своего времени сооружении.
Труды самаркандских астрономов были ши
роко известны во всем мире и оказали большое
влияние на развитие астрономии .
Наступление реанции во многих странах
Средней Азии и усилившийся гнет мусульман
ской религии надолго задержали развитие нау
.ки и культуры народов Средней Азии. Они вновь
расцвели лишь при Советской власти. Но гор
достью этих народов и поныне остаются имена
выдающихся ученых Мухаммеда из Хорезма ,
Бируни , Омара Хайяма, Джемшида, Али l\ушчи,

Улугбена и др . Трудами этих ученых астроно
мия была поднята на таную высоту , 1<а1<ой она
нигде не достигала до Копернина .
В своих научных ис.каниях ученые Средней
Азии использовали достижения науни древней
Греции , а та.кже Индии, где различные нау..ки ,
особенно математи.ка , физи.ка и астрономия , в
IV-VIII вв . достигли высо.кого развития . Ин
дийс.кие астрономы Ариабхата (начало V в.)
и Варахамихара считали , что Земля - шар и
вращается вонруг своей оси . К сожалению , не
сохранилось ни:.ка..ких сведений о том , ..ка..ки:е
доводы они приводили: для обоснования своего
Предполага емый вид обсерватории Улугбека.
мнения. Замечательный индийс.кий мыслитель
VII в. Брамагупта вые.казал предположение,
что Земля притягивает .к себе все другие тела.
Таним образом , он приближался .к :мысли: о
существовании всемирного тяготения , хотя и
не мог обосновать ее та..к , ..ка.к спустя тысячу
лет это сделал Ньютон. Развитию астрономии в
Индии способствовали: успехи: инди:йс.кой ма
темати..ки: , которая потом о.казала большое влия
ние на европейс1<ую математину . В Индии
была создана и распространилась на весь мир
десятичная систеJ11а счисления.
•
ОТ КОПЕРНИl�А ДО НЬЮТОНА
24 мая (ст. ст .) 1543 г. тяжелая , гнетущая
весть разнеслась среди жителей Фромбор1<а -
рыбачьего городна в устье Вислы , на севере
Польши. Эта весть быстро распространи-
ОТ КОПЕРНИКА ДО НЬЮТОНА
лась по 01<рестным деревням и всей области
и вызвала снорбь простых людей - ..крестьян,
рыба..ков , ремесленнинов: посде долгой болезни
с1<ончался Ни..колай: Коперни..к .
Простые люди Вармии (та1< называлась са
мостоятельная церновная область в Поль
ше , центром ..которой был Фромборн) знали ,
что до..ктор Коперни..к , самый образованный
челове.к во всем государстве , всегда был их
другом и защитни.1<0111 . За11
1
ечательный врач , он
безвоз111ездно лечил беднянов и днем и ночью
готов был спешить на помощь больному . Все
знали , что , участвуя в управлении областью ,
Ноперни..к защищал права простых людей . Мно
гие помнили страшное время , ..когда наглые
захватчини - тевтонсю1е псы-рыцари - напа 
ли на страну . И тогда миролюбивый ученый ,
до..ктор Ноперни1< , страстный патриот ,· возгла
вил оборону одного из городов.
Rопернина знали не толь1<0 его земляни и
соотечественнини , но и передовые ученые мно
гих стран . Известие о его смерти было и для
них тяжелым ударом . И толь..ко другая весть ,
пришедшая вслед за первой , смягчила тяжесть
утраты: стало известно , что Коперни..к успел
за..кончить и напечатать свою бессмертную ..кни
гу «0 вращении небесных сфер». В этой ..кни
ге он доназал , что Вселенная устроена совсем
не та..к , 1<а1< много венов утверждала религия.
Во всех странах почти: полтора тысячеле
тия владело умами людей ложное учение
Птолемея , ..который утверждал , что Земля не
подвижно поноится в центре Вселенной . По
следователи Птолемея !1 угоду цер..кви приду
мывали: все новые «разъяснения» и: «доназатель
ства>> движения планет вонруг Земли: , чтобы
охранить ((ИСТИННОСТЬ)) и «СВЯТОСТЬ>) его ложного
учоои:я . Но от этого система Птолемея станови:
Jiась еще более наду111анной и ис..кусственной .
Задолго до Птолемея гречесний ученый Ари
старх утверждал , что Земля движется во1<руг
Солнца. Позже , в средние вена , передовые уче
ные разделяли точ1<у зрения Аристарха о строе
нии мира и отвергали ложное учение Птолемея .
Незадолго до Коперни1<а велиние итальянсние
ученые Нинолай Кузансний и Леонардо да
Винчи утверждали , что Земля движется , что
она вовсе не находится в центре Вселенной и не
занимает в ней иснлючительного положения .
Почему же, несмотря на это, система Птоле
мея продолжала господствовать? Потому, что
она опиралась на всесильную цер1<овную власть ,
..которая подавляла свободную мысль , мешала
развитию нау1<и . Кроме того , ученые , отвергав
шие учение Птолемея и выс1<азывавшие правиль-

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
ные взгляды на устройство Вселенной , не могш1
еще их убедительно обосновать.
Это удалось сделать только Николаю Копер
ню<у. После тридцати лет упорнейшего труда,
долгих размышлений и сложных математи
ческих расчетов он показал , что Земля - толь
ко одна из планет , а все планеты обращаются
вокруг Солнца.
"
..
.
"
•
"
"
•
"
Система мира по Копернику.
(Рисунок из со'tuненuй Коперника.)
.'
"
"
•
•
Своей книгой он бросил вызов церковным
авторитетам, разоблачая их полное невежество
в вопросах устройства Вселенной.
Коперник не дожил до того времени, когда
его книга распространил
.
ась по всему свету,
открывая людям правду о Вселенной. Он был
при смерти , когда· друзья принесли и вложили
в его холодеющие руки первый экземпляр кни
ги , отпечатанной в Нюрнберге , далеком городе
на чужбине (тогда книгопечатание только вхо
дило в обиход и лишь в немногих городах За
падной Европы были типографии).
Коперник родился в 1473 г. в польском го
роде Торуни. Он жил в трудное время , когда
Польша и ее сосед - Русское государство -
продолжали вековую борьбу с захватчиками -
тевтонскими рыцарями и татаро-монголами ,
стремившимися поработить славянские народы.
Коперник рано лишился родителей. Его вос
питал дядя по матери Лукаш Ватцельроде -
выдающийся общественно-политический деятель
того времени.
28
�
Жажда знаний владела Коперником с дет
ства. Сначала он учился у себя на родине.
Потом продолжал образование в итальянских
университетах. Конечно , астрономия там из
лагалась по Птолемею , но Коперник тщательно
изучал и все сохранившиеся труды великих ма
тематиков и астрономов,древности. У него уже
тогда возни1ши мысли о правоте догадок Ари
старха, о ложности системы Пто.11емея. Но не
одной астрономией занимался КопернИI<. Он
изучал философию , право , медицину и вернулся
на родину всесторонне образованным для свое-
го времени человеком.
·
По возвращении нз Италии Коперник посе
лился в Вармии - снача.11а в г. Лидцбарне,
потом в Фромборке. Деятельность его была
необычайно ра:шообразна. Он прппимал самое
активное участие в управлении областью: ве
дал ее фl:iнансовы111и , хозя йственными и другими
делами� В то же время Коперник неустанно
размыiпля.1
1
над истинным . . Устройством солнеч
ной системы и постепенно. Пришел к своему вели
кому открытию.
Что же· заключает в себе книга Коперни1<а
«0 вращении небесных сфер» и почему она
нанесла такой сокрушительный удар по систе-
111е Птолемея , котора$1 со всеми своими изъяна
ми и «заплатами» держалась четырнадцать веков
под покровительством всесильной в ту эпоху
церковной в.11аст11? В этой книге Николай Копер
ник утверждал , что Земля 11 другие планеты -
спутнюш Солнца. Он показал , что именно дви
жением Зем.11и вокруг Сощща и ее суточным вра
щением вокруг своей оси объясняется видимое
движение Солнца , странная запутанность в дви
жении планет и видимое вращение небесного
свода.
Гениально просто Коперник объясня л, что
мы воспринимаем движение дале1шх небесных
тел так же , как и перемещение различных
предметов на Земле , когда сами находимся в
движении.
Мы скользим в лодке по спокойно текущей
реке, и нам кажется , что лодка и мы в ней не
подвижны , а берега «плывут» в обратном на
правлении. На поезде мы обогнали идущего
пешехода , а нам кажется , что пешеход движет
ся в обратном направлении. Точно так же нам
только кажется , что Солнце движется вокруг
Земли. А на самом деле Земля со всем, Что на
ней находится , движется вокруг Солнца и в те
чение года совершает полный оборот по своей
орбите.
И точно так же , когда Земля в своем движе
нии вокруг Солнца обгоняет другую планету,

Старинное изображение
системы мира по Копернику.
нам кажется, что планета движется назад,
описы вая петлю на небе. В действительности
планеты движутся вокруг Солнца по орбитам
правильной , хотя и не идеально круговой фор
мы , не делая никаких петель . Коперник , как
и древпеуреческие ученые , ошибочно полагал ,
что орбиты , по которым движутся планеты,
могут быть только круговыми.
Спустя три четверти века немецкий астро
ном Иоганн Кеплер, продолжатель дела Ко
перника, доказал , что орбиты всех планет
представляют собой вытянутые окружности -
эллипсы .
Звезды Коперник считал неподвижными . Сто
ронники Птолемея, настаивая на неподвижно
сти Земли , утверждали, что если бы Земля
двигалась в пространстве , то при наблюдении
неба в разное время нам должно было бы казать
ся , что звезды смещаются , меняют свое положе
ние на небе . Но таких смещений звезд за много
веков не заметил ни один астроном . Именно в этом
сторонники учения Птолемея хотели видеть
доказательство неподвижности Земли .
Однако Коперник утверждал , что звезды
находятся от нас на невообразимо огромных
ОТ КОПЕРНИКА ДО НЬЮТОНА
расстояния х.
·
поэтому ничтожные смещения их
не могли быть замечены . Действительно , рас
стояния от нас даже до ближайших звезд ока
зались настолько большими , что еще спустя
три века. после Коперника они не поддавались
точному определению . Только в 1837 г. рус
ский астроном Василий Яковлевич Струве по
л оЖил начало точному определению расстояний
до звезд .
Понятно , какое потрясающее впечатление
должна была произвести книга , в которой Копер
ник объяснял мир , не считаясь с религией и
даже отвергая всякий авторитет церкви в де
лах науки . Деятели церкви не сразу поняли ,
какой удар по религии наносит научный труд
Коперника , в котором он низвел Землю на по
ложение одной из планет. Некоторое время
книга свободно распространялась среди ученых.
Прошло немного лет, и революционное значение
великой книги проявилось в полной мере . Вы
двинулись другие крупные ученые - продолжа
тели дела Коперника . Они развили и распро
странили идею бесконечности Вселенной, в
которой Земля - как бы песчинка , а миров -
бесчисленное множество. С этого времени цер-
29

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
.ковь начала ожесточенное преследование сто
ронников учения Коперника .
Новое учение о солнечной системе (гелиоцент
рическое , как его называют) утверждалось в
жесточайшей борьбе со злейшим врагом науки
религией . Учение Коперню\а подрывало самые
основы религиозного мировоззрения и откры
вало широ1шй: путь к материалистическому ,
подлинно научному познанию явлений природы.
Во второй половине XVI в. учение Копер
ника нашло своих сторонников среди передовых
ученых разных стран. Выдвинулись и такие уче
ные , которые не толыю пропагандировали уче
ние Коперюша , но углубляли и расширяли его .
Коперник полагал, что Вселенная ограни
чена сферой неподвижных звезд , которые рас
положены на невообразимо огромных , но все
таки конечных расстояниях от нас и от Солнц_а.
В учении Коперника утверждалась огромность
Вселенной, но еще не утверждалась бесконе<J
ность ее.
В 70-х годах XVI в. английский: ученый
Т. Диrгес высказал мнение , что Вселенная
бесконечна , а звезды не располагаются на од
ной сфере , т. е . на одинаковых расстояниях от
Солнца , а рассеяны повсюду в бесконечноii
Вселенной .
Особенно смело развил и углубил ::�ту
80
идею в последней четверти XVI в. великий
италь янский мыслитель Джордано Бруно (1548-
1600) .
Вся жизнь Бруно - это жизнь борца за
научную истину , против религии и церкви,
против всякого суеверия и мра�юбесия .
Бруно родился на юге Италии в религиоз
ной семье . В юности его отдали в монастырь,
где ему предстояло стать верным слугой церкви .
Но свободолюбивый. юноша не мог мириться
с монастырскими порядками . Им владели
жажда знаний и желание передавать знания
людя м.
Упорно овладевая знания ми , Бруно позна-
1юмился и с учением Коперника . Он стал рев
ностным сторонником этого учения , чем воз
будил против себя ненависть монастырского
начальства .
Бруно оставил монастырь и уехал из Ита
лии . К этому времени он был уже сложившимся
мыслителем и в своих взглядах на строение
Вселенной шел дальше Коперника .
Долгие годы Бруно провел в разных стра
нах Западной Европы. Преследования церкви
заставляли его переезжать из Швейцарии во
Францию , потом в Англию и Германию . Везде
он развивал кипучую деятельность: читал лек
ции , издавал свои книги , выступал на публич-
Джордано Бруно выступает
в защиту учения Коперника
в Оксфордском университе
те. (Барельеф на памятнике
в Риме.)

пых диспутах против сторонников системы ми
ра Птолемея. Бруно учил , что Вселенная бес
:конечна , что у нее не может быть никаного
«центра» . Огромное Сол нце - всего тол ько од
на из звезд. Каждая звезда - такое же Солнце.
Этих солнц бесчисл енное множество, они окру
жены планетами , на которых может быть жизнь.
Бруно утвержда л, что и Солнце , и звезды вра
щаются вокруг своих осей , а в солнечной
системе , кроме известных уже планет , сущест
вуют и другие , по1\ а еще не открытые.
Свои гениальные догадки Бруно не мог
подтвердить резул ьтата ми наблюдений. В его
время не было телескопов. Однако предвиде
ния Бруно потом подтвердидись науно й.
Со временем бы ли открыты Уран , Нептун , Пл у
тон - дальние планеты солнечной системы. Было
доказано, что Солнце - рядовая звезда в гигант
ской звездной системе Млечного Пути , а эта
система - одна из бесчисленных во Всел енно й.
Что Солнце вращается вокруг своей оси , был о
установлено вскоре после смерти Бруно , а до
казательство вращения звезд - одно из недав
них завоеван ий науки.
В 1592 г. с.'lужител ям римской церкви уда
лось при помощи об мана и предат ел ьства сх ва
тить Бруно. Более семи лет они продержал и его
в тюремных застенках. Слишком велика был а
его слава, и церкви хотел ос ь во что бы то ни
стал о заста вить его отречься от своих взгл ядов.
Бруно не сщ 1лся. Когда его приговори ли к
сожжению на костре, он произнес слова,
оставшиеся в веках: «Сжечь не значит опроверг
нуты.
17 февраля (ст. ст. ) 1GOO г. Джордано Бруно
был сожжен на одной из площадей Рима. Уче
ный трагически погиб , но никакой костер не
мог опровергнуть его бессмертные идеи. Высна
зывая их, Бруно опережал свою эпоху на целые
столетия , хотя наблюдения без телескопов
и не мо гли подт вердить его правоту. Но
прошло толы\о десятилетие после гибели Бру
но, и человечество получило в свое распоряже
ние новое средство наблюдения , при помощи ко
торого были сдел аны открытия, подтвердив
шие и учение Коперню\а, 11 предположения
Бруно. Таким средством наблюдения был теле
скоп. Первые телеснопы появились в самом на
чал е XVII в. Неизвестно , кто был их изобрета
телем. Трудно сказать , кто первый начал и
систематические наблюдения неба в телескоп.
Но первые, притом выдающиеся астрономические
от1\рытия при помощи телескопа сделал сооте
чественник Бруно , итальянский ученый Гали
лей (1564- 1 642).
ОТ КОПЕРНИКА: ДО НЬЮТОНА
Джор;11шо Бр)·110.
Имя Га.'lилея был о хорошо известно ученым
еще при жизни Бруно: Галилей сделал важ
нейшие открытия в области физики и механи1ш
и на шел новые пути . для развития этих нау1- .
В отличие от учены х - последователей Ари
стотеля , Галилей считал , что основой изучения
природы являются наблюдение и опыт. Астро
номия также должна развиваться на основе на
блюдений , только необходимо совершенствовать
их. Галилей сам строил зрител ьные трубы
и использовал их для наблюдений неба.
Какими крохотными были эти трубы по срав
нению с мощными современными тел ес1\ опами,
увеличивающими изображения в тысячи раз !
Первая труба , с которой Гал ил ей начал свои
наблюдения , увеличивал а в три раза. Поздней
шая , самая совершенная труба Галилея уве
личивала только в тридцать раз. И те м не менее
при помощи этих самодельных инструментов
Галилей сделал открытия , которые буква.'lьно
потрясли его современников. Наблюдая Луну ,
Галилей обнаружил , что на ней есть горы , доли
ны и глубокие впадины, т. е. поверхность Луны
по своему рельефу похожа на поверхность Зем
ли. Галил ей открыл четыре спутника Юпитера,
8:1

·
КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОR
Галилео Галилей.
(Репроду"ция партины художника Тинторетто.)
обращающиеся вонруг планеты , а ;это означало,
что не тольно Земля и не только Солнце могут
быть центрами обращения небесных тел . Вместе
с тем оназывалось , что в солнечной системе ,
нроме уже известных небесных тел , существуют
11 многие другие , видные тольно в телес
ноп . Наблюдая солнечные пятна , Галилей
установил , что они перемещаются по по
верхности Солнца всегда в одном направлении ,
и сделал правильный вывод: Солнце вращается
во1< руг своей оси . Очевидно , что вращение
присуще не только Земле , нак установлено
Коперником , но и вообще всем небесным телам.
Особенно поразительно было то , что ·при
наблюдениях в телескоп обнаруживалось
огромное количество звезд , не видимых простым
глазом . Сплошное сияние Млечного Пути ока
аалось - нак это предполагал в древности Де
мокрит - гигантским скоплением звезд .
.
Все эти отнрытия Галилея , опублинованные
им в нниге «Звездный вестни к» , получившей
широкое распространение , подтверждали учение
Коперника и догадни Бруно . Поэтому они вы
звали особенно бешеную злобу со стороны цер
J{ ВИ . Теперь уже не умозрения , а прямое на
блюдение неба опровергало учение церкви о
Земле нак о центре Вселенной .
В 1616 г. римсная церковь официально при
знала учение Коперника безбожным , ИI:' �uвмf:
:
-
стимым с «истинной верой» и запретила всякую
его пропаганду . Однако Галилей не прекратил
борьбы за распространение учения Коперника
и за популяризацию своих открытий . Много
лет он работал над большой 1ш игой «Диалог
о Двух главнейших систе!.1ах мира, Птолемеевой
и Копернюю вой» , где убедительно доказывал
правильность учения Коперника и полную не
состоятельность учения Птолемея . Эту книгу
Галилей с большим трудо�-1 издал в 1632 г.
Римс1,ая церковь привлекла Гадп лея за
книгу к суду инf\ виз1щии . Суд над Галил еем -
одна из позорнейших страниц в многов еновой
борьбе религии против науки . Галил ея силой
заставили отречься от учения о дв и жении и
вращении Земли . Вплоть до самой смерти он
жил под надзором инквизиции , но открытия
его были уже известны всему ми ру; по мере
своих сил Галилей продолжал заниматься нау
кой, главным образо111 механикой . В Италии
его книги даже не мог.'111 печататься , но их из
давали в других странах, где влия ние церкви
уже не бы ло таким сильным.
Однов·ре менно с Галилеем выдающиеся от
крытия в обла�ти строения солнечной системы
и движения тел в ней сделал австрийский уче
ный Иоганн Кеплер (157 1- 1630). Учение Ко
перника требовало математического уточнения .
Вскоре после смерти Коперника астрономы
составили на. основе его системы мира новые таб
лицы движения планет. И хотя эти таблицы
лучше согласовывались с наблюден11я111и, чем
прежние таблицы , составлявшиеся еще по Пто
лемею , в них потом обнаружил ись расхожде
ния с данными наблюдени й. Необходимо было
глубже исследовать 11 уточнить законы движе
ния планет . Именно эту задачу и решил Кеплер .
Кеплер жил в неспонойное время, когда
значи тельнан часть Центральной Европы бы
ла раздроблена на множество мелких государств,
а религиозные войны между католиками и про
тестантами препятствовали развитию науки и
просвещения . Поступив в Тюбингенскийунивер
ситет , Кеплер с увлечением занимался мате
матикой и астрономией . Преподававший эти
науки проф . Местлин (1550- 1631) , вынужден
.н ый в аудитории излагать астрономию по Пто 
лемею, был последователем учения Коперника
и дома знакомил с этим учением свонх слушате
лей . Кеплер вскоре стал последователем Копер
ника , но , в отличие от Местлина , он не скры
вал своих взглядов , а открыто пропагандиро
вал их.
Судьба Кеплера сложилась трагически. Пре
следуем ый за свои взгляды fiогословами, как

Huonal Rопервив. РепродукЦl
lЯ
о карТИl
lЬI
художвика Я. Маmгйн11
На обороте: тихо Браrе.

католическими, так и протестантскими, он вы
нужден был после окончания университета
L:�итаться по разным городам и заниматься слу
чай1:ыми работами. Но и тогда ученый неустан
но ра�мышлял над увлекшим его вопросом:
какая гь�метрическая форма планетных орбит
лучше объ:�сняет особенности движения пла
нет. Философы древней Греции были убежде
ны, что кру: - это идеальная геометрическая
форма и тоJLько по кругу могут двигаться не
бесные тела. Даже в системе мира Коперника
еще сохрани.1ось это представление. Кеплер
пришел к ВЫВt'ду, что оно ошибочно. Планет
ные орбиты имt.ют не правильно круговую, а
иную геометриче1,
,
чую форму. Но какую?
В первые годы своей дьятельности Кеплер еще не
смог 11ешить эту задачу. Но уже тогда он при
обрел известность как замечательный математик
вычислитель. Это обстоятельство оыграло боль
шую роль в дальнейшей судьбе ученого.
В 1600 г. в Прагу перееха.11 датский астроном
Тихо Браге. Он оставил свою родину - Да
нию после того, I\ак ее король лишил его средств
на содержание построенной им замечательной
по тому времени обсерватории. Тихо Браге был
выдающимся наблюдателем неба, но в вопросе
о строении Вселенной придерживался отсталых
взглядов и учения Коперника не признавал.
В Праге Тихо Браге решил продолжить свои на
блюдения, а в качестве помощника для вычис
лений пригласил Кеплера. Совместная работа
двух ученых, из которых один отвергал учение
Коперника, а другой был его ревностным
сторонником, продолжалась недолго. Вскоре
Тихо Браге умер (1601), и богатейшие материа
лы его наблюдений перешл
.
и в распоряжение
Кеплера. Среди них особенное значение имели
материалы долголетних наблюдений Марса. Изу
чая эти материалы, Кеплер сделал замечатель
ное открытие: он установил, что Марс движется
вокруг Солнца не по правильному кругу, а по
вытянутому кругу -эллипсу. Потом оказалось,
что так движется вокруг Солнца не только Марс,
но и все планеты солнечной системы; по эллип·
су движется и Луна вокруг Земли. Продолжая
свои исследования, Кеплер установил три за
кона движения тел в солнечной системе.
Первый закон Кеплера: планеты движутся по
эллипсам. Солнце расположено не в центре эллип
са, а в точ1<е, находящейся на некотором рассто
янии от центра и называемой фокусом. Но из
этого следует, что расстояние планеты от Солн
ца не всегда одинаковое, а по этому и скорость
движения планеты вокруг Солнца также не
всегда одинакова: чем ближе от Солнца находит-
•3д.э.т.2
ОТ КОПЕРНИКА ДО НЬЮТОНА
ся планета, тем быстрее она движется, и, наобо
рот, чем дальше она от Солнца, тем ее движение
медленнее. Эта особенность в движении планет
составляет второй закон Кеплера. В третьем
законе Кеплера устанавливается уже точная
связь между расстояниями планет от Солнца и
временами их обращения: оказывается, что
квадраты времен обращений планет относятся
между собой как кубы их средних расстояний
от Солнца.
Это можно легко показать на примере любых
двух план ет. Например, сред нее расстояние Юпи
тера от Солнца в 5, 2 раза превышает расстоян ие
Земли от Солнца, а время обращения Юпитера -
11,86 земного года. Простое вычисление покажет,
что куб первого числа равен квадрату второго.
При вычислении получается небольшое отклон е
ние от точного равенства; оно объясняется тем,
что расстояние и время обра щения Юпитера здесь
взяты приближенно; для полной точности вычис
ления в эти значения нужно вн ести еще несколь
ко десятичных знаков, а это затруднило бы для
читателя вычисления.
Гаmпео Га11в11ей.
88

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
Иоганн К еплер.
Эти три заl\она с тех пор та!\ и называются
заl\онами Кеплера, а самого Кеплера последую
щие поl\оления астрономов прозвали «Заl\оно
дателем неба» . Он вошел в историю J\al\ один
из велиl\их продолжателей дела Коперниl\а. Но
жизнь Кеплера и после таl\ого важного отl\рытия
протеl\ала в исl\лючительно тяжелых условиях
его продолжали преследовать за пропаганду
учения Коперниl\а, 1\оторой он посвятил целый
ряд 1\НИг. Эти 1\ниги неодноl\ратно запрещались
и сжигались на 1\острах, а жизни Кеплера не
раз угрожала опасность со стороны церl\ви и ее
приспешниl\ов.
Итаl\, в начале XVll в. развитию астрономии
на основе учения Коперниl\а мешало упорное
сопротивление церl\ви. Однаl\о на протяжении
XVII в. условия для развития астрономии, J\al\
Два 1�урьеза
и для развития нау-1\и вообще, во мнсrгих стра
нах резl\О изменились . Астрономия становилась
науl\ОЙ все более необходимой для географии и
мореплавания, для определения точного време
ни и других нужд . В ряде государств Европы
влияние церl\ви ослабело, и учение Коперниl\а
получило всеобщее признание . В разных стра
нах появились выдающиеся астрономы, а успе
хи оптиl\и давали возможность изrотовлять
телесl\опы гораздо более 1\рупные и совершен
ные, чем те, 1\оторые были в распоряжении
Галилея.
Важные отl\рытия сделал замечательный
польсl\иЙ астроном Ян Гевелий (16 11-1687).
Свой талант ученого Гевелий совмещал с не
обычайными способностями и умением в области
оптиl\и, механиl\и, рисования. Он сам изготов
лял себе телесl\опы и угломерные инструменты.
В 1641 г. Гевелий построил в своем родном го
роде Гданьсl\е велиl\олепную обсерваторию.
Особенное внимание Гевелий уделял пзуче
нию Луны . Он тщательно наблюдал и зарисо
вывал все детали обращенной 1\ Земле сто
·
роны
Луны и на основе этих наблюдений создал пер
вый атлас Луны . Гевелий дал названия горам,
1\ратерам и долинам на Луне, многие из этих
названий сохраняются и теперь . Этот лунный
атлас он опублиl\овал в 1\ниге «Селенография»
( 1647). Гевелий составил обзор всех !\о.мет,
появлявшихся на историчесl\ой памяти челове
чества, ему же принадлежит и обширный звезд
ный каталог, более точный, чем все предшест
вующие .
Выдающимся наблюдателем неба был Джо
ванни Домениl\о Кассини (1625- 1712) - италь
ЯНСJ\ИЙ астроном, потом переехавший во Фран
цию . Здесь он стал первым диреl\тором Париж
СJ\ОЙ обсерватории . Кассини выяснил, что Марс
и Юпитер вращаются воl\руг своих осей подоб
но Земле и Солнцу, и открыл четыре спутни-
1\а Сатурна.
В замечательном произведении
д. Свифта «Путешествия Гулливера»
(третья часть) рассказывается о стра
не Лапуте (летающем острове). Ас
трономам этой страны были извест
ны два спутника Марса.
оказались у настоящих спутн111юв
Марса.
щеиий спутников Марса в книге Свиф
та - любопытный курьез.
34
Книга «Путешествия Гулливе
ра» вышла в свет в 1726 г.- за
полтора века до открытия а мерикан
ским астрономом А. Холлом спутю1-
ков Марса Фобоса и Деймоса, Ука
занные Gвифтом расстояния от пла
неты и время обращения ее спутни
ков почти совпали с теми, какие
Как мог Свифт предугадать ко.1и 
чество спутников, расстояния до них
и периоды и х обращения?
Еще Кеплер полагал, что если у
Земли один спутник - Луна, а у Юпи
тера -четыре (те, которые к тому
времени откры.1 Галилеli). то у Марса,
обращающегося между 3ем.1ей и Юпи
тером, до.:�жно быть два спутника,
а у Сатурна - восемь. Свифт, конечно,
был знаком с трудами Кеплера. А сов
падение расстояний и времен обра-
С эт1111 курьезом связан 11 другой.
С 1877 г. (год открытия настоящих
спутников Марса) бы
·
ло известно,
что у Земли-один спутник, у Марса -
два, у Юпитера - четыре, у Сатур
на - восемь спутников. В точности
по Кеплеру. Но ата «Гармония»
продержалась только 15 лет. В 1892 г.
был открыт пяты
·
й спутник Юпитера,
а потом и новые спутники у плаветt
гигантов.
«Гармония» рассыпа11асьl

В свое время Коперник довольно точно оп
ределил расстояния от Солнца до планет в еди
ницах расстояния Земли от Солнца. Но расстоя
ние от Земли до Солнца в абсолютных числовых
величинах оставалось неизвестным, хотя по
пытки вычислить его делались неоднократно.
Только в 1672 г. Кассини и другой француз
ский астроном - Ш. Рише провели наблюдения
одновременно в Париже и Южной Америке и
определили, что Земля отстоит от Солнца на
140 млн. км (на самом деле от Земли до Солнца
149, 5 млн. км) . Таким образом, стали известны,
хотя и не совсем точно, размеры солнечной си
стемы, в которой самой далекой планетой
оставался Сатурн.
Наблюдения привели астрономов во второй
половине XVII в. к выводу, что не существует
никакой сферы звезд, что звезды находятся на
самых рааличных расстояниях от Земли,
а пространство, заполненное звездами, безмерно
огромно и, скорее всего, бесконечно. При этом
предполагалось, что самые яркие звезды явля
ются и самыми близкими. Однако попытки опре
делить хотя бы приближенно расстояния даже
до с амых ярких звезд оставались безуспешны
ми. Ясно было только, что даже ближайшие
звезды находятся от Земли во много тысяч раз
дальше, чем Солнце.
Много сделал для астрономии и выдающийся
голландский физик Христиан Гюйгенс (1629-
169 5). Еще Галилей, наблюдая планеты, обна
ружил какие-то странные «придаткю> у диска
Сатурна, но подробнее рассмотреть их в свой
телескоп он не смог. Гюйгенс установил, что
Сатурн окружен необычным образованием в ви
де кольца, которого нет у других планет. Гюй
генс открыл также Титан - самый крупный
из спутников Сатурна.
В конце своей жизни Гюйгенс написал сочи
нение, озаглавленное <<'Космотеорос» («Qбозре
ние Вселенной»). В этом сочинении, изданном
уже после его смерти, Гюйгенс изложил для
широкого круга читателей достижения астроно
мии того времени. Он высказал свое убеждение,
что Вселенная бесконечна, а планеты, обра
щающиеся вокруг бесчисленных звезд, оби
таемы. Книга Гюйгенса вскоре была переведена
на русский язык и в эпоху Петра 1 сыграла вы
дающуюся роль в распространении астрономи
ческих знаний в нашей стране. В этой же книге
Гюйгенс изложил свою попытку определить рас
стояние до Сириуса, самой яркой звезды неба,
которая из-за яркости считалась самой близкой.
Гюйгенс пришел к заключению, что Сириус
отстоит от Земли в 28 ООО раз дальше, чем Солн-
з•
ОТ КОПЕРНИКА ДО НЬЮТОНА
це. Тогда это расстояние казалось чудовищно
огромным. В действительности от Сириуса до
Земли почти в двадцать раз дальше. Правда,
Сириус не самая близкая звезда. Но и самая
близкая звезда альфа Центавра, как теперь
известно, всего только вдвое ближе к Земле,
чем Сириус.
В своем великом труде Коперник объяснил,
что Земля - одна из планет, обращающихся
вокруг Солнца. Кеплер установил законы, по
которым планеты совершают свое движение
вокруг Солнца. Оставалось, однако, неизвест
ным, какая сила заставляет планеты совершать
такие обращения, не падая на Солнце и не уле
тая от него. Понятно, что это относилось и к
движению Луны: почему Луна обращается во
круг Земли, не улетая от нее и не падая на нее?
Отве
.
тить на этот вопрос пытались некоторые
ученые второй половины XVII в. Но их попытки
обнаружить силу, управляющую движением
небесных тел, не увенчались успехом. Сделал
это английский ученый Исаак Ньютон спустя
почти полтора столетия после выхода в свет
Ян Гевелий.
труда Коперника и через три четверти вена
после открытий Кеплера и Галилея. Многое
изменилось за это время. Развивавшийся уже в
ряде стран, в особенности в Голландии и Англии,
капитализм предъявлял все большие требования
к точным наукам и к технике. И церковь в этих
странах, при всей своей враждебности к пере
довой науке, уже не могла препятствовать ее
развитию. Ньютону и ученым его поколения
не угрожала судьба Бруно, Галилея и Кеплера.
Ньютон родился в 1643 г. В детстве он не
проявлял склонности к науке и даже не пока
зывал особых успехов в учении. Но в юности

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
у него обнаружились необычайные математи
чес:кие способностн. В 1661 -1665 гг. Ньютон
учился в Кембриджском университете - одном
из старейших и лучших университетов Англии.
С 1669 по 1696 г. он был Профессором математи
ки в этом университете. Именно в этот период
Ньютон и сделал свои выдающиеся научные
открытия. В 1696 г. он переехал в Лондон
и здесь занимал :крупные общественные и го
сударственные должности. С:кончался Нью
тон в 1727 г., на 85-м году жизни, всемирно из
вестным ученым.
Ньютон обогатил своими открытиями и ма
тематику, и физику, и астрономию. И прежде
астрономия не могла развиваться без помощи
математики. Теперь же развитие астрономии,
наряду с развитием физики и техники, предъяв
ляло особенные требования к математи:ке.
Ньютон почти одновременно с немецким уче
ным Лейбницем и незавиенмо от него создал
важнейшие разделы математики - дифферен
циальное и интегральное исчисления. Во времена
Коперника и Кеплера вершиной математических
знаний являлась тригонометрия. Теперь была
заложена математическая основа для изучения
таких сложных особенностей движений небесных
38
Бо11ьmой телескоп
Геве11ия в Гданьске.
тел, которые были недоступны для элементар
ной математики.
Ньютон внес важнейший вклад в физику.
Он открыл сложный состав белого цвета. Путем
наблюдения и опыта Ньютон выяснил, что бе
лый солнечный луч - это :как бы «смеем мно
гих цветов. О:казалось, что белый цвет можно
разложить на составляющие его цвета, а потом
вновь собрать их в единый белый цвет. Это от
крытие легло впоследствии в основу спектраль
ного анализа, :который оказал и продолжает
оказывать неоценимые услуги астрономии. Изу
чая спектры далеких небесных тел, т.е . цвето
вой состав их лучей, можно узнать химический
состав и физическую природу этих тел.
Ньютон построил отражательный телескоп,
или рефлектор. В нем, в отличие от трубы Га
лилея, лучи света от наблюдаемого небесного
тела собираются при помощи зеркала, а не
линзы. И в нашу эпо ху телескопы-рефлекторы
(теперь они имеют гигантс:кие размеры) являют
ся лучшими инструментами для проникновения
в глубины Вселенной. Вообще Ньютон очень
много сделал для развития оптики - важней
шего отдела физики, занимающегося изучением
световых явлений.

Однако самым замечательным из всех от
крытий Ньютона было открытие закона всемир
ного тяготения, управляющего движением не
бесных тел.
Ньютон много лет размышлял над вопросом:
почему Луна все время обращается по своей ор
бите вокруг Земли, не падая на нее и не улетая
куда-то в сторону? Почему планеты, в том т;�:исле
Земля, обращаются вокруг Солнца и также ни
куда не улетают? ·
Ньютон пришел :к выводу, что и в том и в
другом случае действует одна и та же сила -
взаимное притяжение тел, или тяготение. Древ
ние и средневековые ученые ошибочно полагали,
что все тела стремятся к Земле как :к самому
тяжелому телу во Вселенной. Они не понимали,
что сама Земля также притягивается другими
телами; они не знали, что Земля - не самое тя
желое тело, а только одна из планет, что масса
ее ничтожна по сравнению не только с массой
Солнца, но и с массой Юпитера и Сатурна. Те-
Исаак Ньютон.
перь, в свете выводов Ньютона, оказывалось,
·что
все тела притягивают друг друга. Мало то
го, сила притяжения тел подчиняется определен
ным количественным закономерностям, а имен
но: сила притяжения (тяготения) прямо пропор
циональна массам притягивающих тел и об
ратно пропорциональна квадрату расстояния
между ними.
Ньютону не сразу удалось вывести количест
венные закономерности силы притяжения. Это
потребовало от него многих лет упорных размыш-
·
�Т. КОПЕРНИКА ДО НЬЮТОНА
лений и вычислений. Но :когда все эти вычис
ления бЫли произведены, стало понятно, что
Луна удерживается на своей орбите силой зем
ного притяжения, а планеты, в том числе и
Землю, держит на их орбитах могучая сила сол
нечного притяжения. И всегда тяготение дей
ствует так, как показал Ньютон, - в зависи 
мости от массы тел и от расстояния между ними.
Во всяком случае, Ньютон установил закон тя
готения для солнечной системы. Тогда еще не
было возможности выяснить, действует ли этот
закон в глубинах мирового пространства, дале
ко за пределами солнечной системы. Это стало
возможно позднее, когда были открыты двой
ные звезды� системы из двух (а ино
.
гда из трех,
четырех и более) звезд, из .которых одна, более
массивная, является «главной», а другая (или
другие) - ее спутником. Изучение движения
«главных» звезд и их спутников позволило уста
новить, что и в звездном мире действует закон
тяготения. Таким образом, он вполне заслужил
присвоенное ему наименование закона всемир
ного тяготения.
Младшим современником Ньютона был его
соотечественник Эдмунд Галлей (1656- 1742).
Он обогатил астрономию рЯдом выдающихся
открытий. Еще совсем молодым ученым Галлей
отправился на остров Св. Елены для наблюде
ния звезд. Это были первые систематические
наблюдения звездного неба в южном полушарии
Земли.
Позднее, изучая по летописям и другим исто
рическим документам появления комет в прош
лые века, Галлей обнаружил, что кометы, по
являвшиеся в 1456, 153'1, 1607 и 1682 гг. , приб
лижались к Солнцу и потом удалялись от него
по Оl{ним и тем же путнм. Галлей сделал вывод,
что во все х этих случаях появлялась одна и та же
комета и что она обращается во:Круг Солнца,
совершая полный оборот за 75-76 лет.
До этого считалось, что !\ометы приходят
из далеких глубин мирового пространства и
потом исчезают в нем. В свете открытия Галлея
впервые стало выясняться, что кометы - такие
же члены солнечной системы, спутники Солнца,
как и планеты. В отношении кометы Галлея
(так стала называться комета, движение кото
рой он изучал) открытие было подтверждено
очереl{ным появлением ее в 17 59 г., согласно
предсказанию Галлея. Для многих других
комет открытие Галлея подтв ердилось позднее .
В 1718 r. Галлей сделал важнейшее из своих
открытий. Изучая звездные каталоги Гиппарха
и Тихо Браге и сравнивая указанные в них
положения на небе отдельных звезд с данными
87

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОИ
современных ему наблюдений, Галлей обнару
жил, что положения этих звезд изменились,
причем эти изменения нельзя было объяснить
ошибками прежних наблюдений. Галлей при
шел к единственно правильному выводу, что
звезды не I!окоятся неподвижно в пространстве,
а движутся в нем. Правда, Галлею удалось уста
новить это движение только для трех звезд-
Эдмунд Галлей .
Сириуса, Арктура и Альдебарана. Но потом
оно было установлено и для других звезд, в
том числе и для Солнца.
Таким образом, в XVI I и в начале XVIII в.
уже были достигнуты выдающиеся успехи в
астрономии. Было раскрыто строение солнечной
системы и открыты законы движения входящих
в нее небесных тел. Стало несомненным, что Солн
це - только одна из звезд в бесконечной звезд
ной Вселенной. Но изучение звездного мира еще
только начиналось.
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО
ТЯГОТЕНИЯ
•
В начале XVII в. немецкий ученый Иоганн
Кеплер дал общую картину движения планет
и установил форму их орбит. Но для него оста
валось загадкой, какая сила определяет такое
движение планет.
88
Кеплер сравнивал Солнце с гигантским маг
нитом и склонялся к мысли, что планеты дви
жутся по своим орбитам под влиянием магнит
ного действия Солнца. По этому поводу различ
ные предположения высказывали и другие
ученые. Выяснение силы, управляющей движе
нием планет, принадлежит Ньютону. Он это
сделал, использовав закон инерции и законы
Кеплера (см. стр. 33).
По закону инерции всякое тело сохраняет
состояние покоя или равномерного прямолиней
ного движения, пока какая-то сила не выведет
его из этого состояния.После продолжительных
исследований Ньютон пришел к выводу, что дви
жением планет управляет сила тяготения, дей
ствующая обратно пропорционально квадрату
расстояния. Это значит, что если бы, например,
расстояние между Землей и Луной увеличилось
в два раза, то сила тяготения между ними умень
шилась бы в два в квадрате раза (22 = 2 х 2),
т. е . в четыре раза; с увеличением расстояния
в три раза сила тяготения уменьшилась бы в
три в квадрате раза (32=3х3), т. е. в девять
раз,ит.д.
Это положение Ньютон обосновал не только
путем теоретических расчетов, но и посредством
сравнений с результатами опытов. Известно,
что свободно падающее тело (на.пример, тело,
падающее в длинной стеклянной трубке, из ко
торой вьшачан воздух) у самой земной поверх
ности за первую секунду проходит 4,9 м. Луна,
как было уже известно Ньютону, находится
от центра земного шара на расстоянии 60 зем
ных радиусов, т. е. в 60 раз дальше, чем тело,
находящееся на земной поверхности. Поэтому,
свободно падая по направлению к Земле, Луна
должна проходить в первую секунду не 4,9 м, а
в шестьдесят в квадрате раз (602= 3600 ) мень
шее расстояние, т. е . 1,36 мм . Следовательно,
Луна, по теории Ньютона, должна была бы
падать по направлению к Земле, проходя n
первую секунду путь, равный приблизительно
1,36 мм.
Таким образом, Ньютон нашел, что сила
земного притяжения действительно смещает
Луну с ее прямолинейного пути (пути движения
по инерции) за каждую секунду на 1,36 мм . Он
нашел, что эти два движения (одно - под дей
ствием силы тяготения к Земле, другое - по
инерции) складываются и в результате дают кри
волинейное движение Луны вокруг Земли. Лу
на, пишет Ньютон, тяготеет к Земле и силой тя
готения постоянно отклоняется от прямоли
нейного движения, удерживаясь на своей орби
те. Оказалось, что закон тяготения определяет

\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
Если бы Земля не притягивала Луну, то последняя улетела бы
в мировое. пространство в направлении точки А.. Но вмед
ствие притяжения Земли Луна отклоняется от прямолинейного
пути и движется по некоторой дуге в направлении точки Б.
не только движение Луны, но и движение всех
небесных тел в солнечной системе.
Это исследование протекало у Ньютона не
совсем гладко. Так как планеты представляют
собой гигантские шарообразные тела, то очень
трудно было определить, как они притягиваются
между собой. В конце концов Ньютону удалось
доказать, что шарообразные тела взаимно при
тягиваются так, как если бы вся их масса была
сосредоточена в их центрах.
Но для того чтобы найти соотношение рас
стояний от центра земного шара до тел, находя
щихся на земной поверхности, и до Луны, тре
бовалось точно знать длину радиуса Земли.
Размеры же Земли тогда еще не были точно
определены, и для своих вычислений Ньют<?н
воспользовался неточной, как потом выясни
лось, величиной радиуса земного шара, данной
голландским ученым Снеллиусом. Получив не
верный результат, Ньютон с горечью отложил
эту работу.
Спустя много лет ученый опять возвра
тился к своим вычислениям. Поводом к этому
послужило сообщение в Лондонском Королев
ском обществе 1 известного французского аст
ронома Пикара о более точном определении им
величины земного радиуса. Использовав данные
i Лондонское Королевское общество - Английская
Академия наук.
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИ·Я
Пикара, Ньютон проделал всю работу заново
и доказал правильность своего предположения.
Но и после этого Ньютон долго не опубли
ковывал своего выдающегося открыт1rя. Он
старался всесторонне его проверить, применяя
выведенный им закон к движению планет вокруг
Солнца и к движению спутников Юпитера и
Сатурна. И всюду данные этих наблюдений сов
падали с теорией.
Ньютон применил этот закон к движению
комет и доказал, что теоретически возможны
параболические движения. Он высказал пред
положение, что кометы движутся или по очень
вытянутым эллипсам, или по разомкнутым кри
вым - параболам.
Основываясь на законе тяготения, Ньютон
сравнил массы Солнца, Земли и планет и до
полнил этот закон новым положением : сила
тяготения двух тел зависит не только от рас
стояния между ними, но и от их масс. Он до
казал, что сила тяготения двух тел прямо
пропорциональна их мае.сам, т. е . она тем
больше, чем больше массы взаимно притяги
вающихся тел.
Земные тела также взаимно притягивают
друг друга. Это обнаруживается при очень точ
ных опытах.
Притяг
-
иваются между собой и люди. Из
вестно, что два человека, отстоящие друг от
друга на один метр, взаимно притягиваются
с силой, равной приблизительно одной сороко
вой доле миллиграмма. Человек, находящийся
Кометы движутся по орбитам, имеющим форму аллипсов,
парабол и гипербол.
на поверхности Земли, притягивает ее с силой,
равной его весу.
Открытие Ньютона привело к созданию но
вой картины мира, а именно: в солнечной систе
ме с громадными скоростями движутся планеты,
они находятся друг от друга на колоссальных
39

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
расстояниях, но вместе с тем, благодаря силе
взаимного притяжения, связаны в одну систему.
Открытый Ньютоном закон получил название
вакона всемирного тяготения. Это великий и
н
п
Солнuе
Схема движения
п.1
1
аиеты под дей
ствием притяl!\е•
иия Сопнца.
вечный закон природы. В окончательном виде
его можно сформулировать так: всЯJюе тело
притягивает другое тело с силой, прямо про
порциональной массам этих тел и обратно про
порциональной квадрату расстояния между ними.
Математически закон тяготения выражается
такой формулой:
где f - постоянная тяготения, m1 и т2 - массы
двух тел, r - расстояние между ними.
Солнце удерживает планеты на их орбитах
своим притяжен.ием. Если бы этого не было,
то планета П (см . ри с.), двигающаяся, например,
в направлении ПК, двигалась бы прямолиней
но и равномерно (по закону инерции). В первую
секунду она переместилась бы из точки П в
точку К и наконец покинула бы нашу .солнеч
ную систему . Наоборот, если бы планета не
имела собственной скорости и испытывала только
притяжение к Солнцу, то она в первую се
кунду переместилась бы из точки П в точку Л.
Но так как планета одновременно и притяги
вается к Солнцу, и движется, то она будет
перемещаться по направлению ПА. Следователь
но, планета в конце первой секунды не бу
дет ни в точке К, ни в точке Л, а переместится
по диагонали в точку А .
Рассуждая подобным образом, мы придем
к выводу, что планета во вторую секунду пе
реместится в точку Б, в третью - в точку
вит..о;.
Вот, оказывается; какая сила удерживает
планеты, в том числе Землю, на своих орбитах
и заставляет их . двигаться вокруг Солнца.
Многим, вероятно, приходилось держать в
руке один конец шнурка, к другому концу кото
рого привязан камешек, и заставлять камешек
вращаться. При вращении шнурок все время
наход ится в состоянии натяжения, но если он
вдруг вырвется из рук, то сейчас же вместе
с камешком улетит прочь. Нечто подобное про
изошло бы и с планетами, в том числе и с Зем
лей, если бы Солнце вдруг перестало их притя
гивать. Но этого не может случиться, так как
притяжение - неотъемлемое свойство всех тел .
Поэтому притяжение Солнца не может быть
приостановлено. Оно действует непрерывно,
постоянно, и, следовательно, планетам не могут
угрожать подобные катастрофы . Солнце своей
силой притяжения все время удерживает пла
неты в среднем на одном и том же расстоянии,
EcJJН вращать шнур с rруаом на конце, то шнур натянется и бу
дет держать груа. Но стоит отпустить шнур, как груа упетит
прочь. То же самое проиаошпо бы и с Земпей, еми бы сипа
тя1•отеиия Сопица переста.1
1
а действовать.
подобно тому как натяжение шнурка удерживает
камешеlt .
Открытием закона всемирного тяготения бы
ло заложено начало небесной мехаt�ики, изу-
чающей движение планет.
·
Свои основные выводы Ньютон изложил в
большом труде, ltоторый был опубликован в
1687 г. под названием «Математические начала
натуральной философии». Этот выдающийся

труд Ньютона был издан у нас в 1915 г. в пере
воде акад . А. Н . Крылова . Развитие астрономии
показало, что закон всем ирного тяготения
Ньютона регулирует движение не только пла
нет, комет и других тел солнечной системы,
но и звезд, рассеянных в далеких глубинах
Млечного Пути .
Когда в конце XVIII в. обнаружились не
правильности в движении незадолго перед тем
открытой планеты Уран, было высказано пред
положение, что они вызываются притяжением
неизвестной, еще более далекой от Солнца пла
неты . Встала задача: найти эту планету при по
мощи математических расчетов, исходя из зако
нз всемирного тяготения .
За решение этой задачи взялись французский
астроном Урбен Леверье (1811-1877) и англий
ский ученый, тогдJ. только что окончивший
университет, Джон Адамс (1819- 1892) . В ре
зультате сложных вычислений оба они указали,
где на небе в данное время искать неизвестную
планету .
Адамс передал сделанные им вычисления
своему профессору, но тот не придал им должно
го значения и оставил их без внимания . Леверье
же сразу сообщил свои вычисления немецко
му астроному Галле . В сентябре 1846 г. Галле
получил письмо от Леверье и в тот же вечер
при помощи телескопа открыл новую планету
Нептун, почти в том месте, на которое указы
вали вычисления Леверье .
Открытие Нептуна служит ярким примером
обоснованности научных предвидений . И здесь
уместно вспомнить слова В. И . Ленина: «Чудес
ное пророчество есть сказка . Но научное проро
чество есть факт».
•
Почему Jlyнa 11е отрывается от 3еие1
1
и
и ве падает на Сое1
1
пце
Луна в "'О раз ближе к Земле, чем к СоJJнцу.
ECJJИ бы масса Солнца равнялась массе Земли, то
Земля притягивала бы Луну в �00', или в 160 тыс.
раа сильнее Солнца. Но масса Солнца в 333 тыс:
раа больше массы ЗемJJи. Следовательно, СоJJнце
притягивает Луну в два с лишним раза сивьиее,
чем притягивает ее Земля.
Почему же в таком cJJyчae Луна не падает на
Солнце, не отрывается от Земли, а обращается ВО·
круг нее? Да потому, что Солнце притягивает не
только Луну, но и Землю, и Jlyнa, таким обра
вом, движется вокруг Солнца вместе с Землей, под
чиняясь одновременно и вемному и солнечному прв·
ТJIЖению.
ПРИЛИВЫ И ОТЛИВЫ
DPИ.JillBЫ U OT"1JUBЫ
Жители многих населенных пунктов на
побережьях морей и океанов ежедневно наблю
дают очень интересное явление природы -
периодические повышения .и понижения воды у
берегов .
Такие периодические колебания воды в оке
анах и морях наз
.
ываются приливами
и отли вами.
Заметнее всего прилины и отлины у берегов
океанов или открытых морей . Здесь обычно на
блюдается такая картина . В течение суток, точ
нее 24 часов 50 минут, уровень воды у берегов
дважды повышается и дважды понижается .
Повышение от наименьшего уровня воды до
наибольшего происходит постепенно и сначала
медленно, а затем все быстрее и быстрее . Оно
длится в среднем около 6 часов 12,5 минуты.
После этого начинается понижение уровня воды .
Понижение продолжается в среднем так же
6 часов 12,5 минуты .
Один из двух приливов в течение суток в
данной местности наступает вскоре после того,
как Луна достигнет самого высохого положения
на небе (верхней кульминации ). Основываясь
на этом и на совпадении удвоенного периода
приливов (24 часа 50 минут) с периодом видимо
го обращения Луны вокруг Зем.'Iи, еще в древ
ние времена люди связывали приливы и отливы
с Луной .
И действительно, основная причина прили
вов, как впервые указал Исаак Ньютон,
это притяжение ЗемлИ' Луной, точнее говоря,
разность между притяжением Луной всей Земли
в целом, с одной стороны, и водной оболочки
ее,- с другой.
В общих чертах теория Ньютона объясняет
приливы и отливы так .
Притяжение Земли Луной складывается
из притяжения Луной отдельных частиц Земли .
Частицы, которые находятся в данный момент
ближе к Луне, притягиваются ею сильнее, а
более далекие - слабее . Если бы Земля была
абсолютно твердой, то это различие в сиJ1е при
тяжения ее частиц не играло бы никакой роли.
Но Земля не абсолютно твердое небесное тело.
Кроме того, 0на покрыта океанами и морями,
которые занимают 71 % ее поверхности . По
этому разное притяжение частиц, находящихся
вблизи поверхности Земли и вблизи ее центра
(эту разность называют приливообразующей
силой), смещает эти частицы друг относитель
но друга, и Земля, прежде всего ее водная обо
лочка, изменяет свою форму, деформируется.
�1

RAK РАЗВЦВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
&
8.•
А
�
-
------ --.,
n,"
Рис. 1 . Схема nриJJива.
Рассмотрим рисунок 1. Частицы воды, наибо
лее близкие к Луне в данный момент (на рисуние
вблизи точки А), притягиваются Луной сильнее,
а частицы, наиболее далекие от нее (вблизи
точки В),- слабее, чем частицы, находящиеся
в центре Земли . Поэтому частицы воды вблизи
точии А смещаются по направлению к Луне
больше, а частицы вблизи точки В - меньше,
чем частицы в центре Земли, и: водная оболоч
иа Земли деформируется - она вытягиваете.Я
в направлении Луны.
Деформируется и вытягивается к Луне во
обще все твердое тело Зем.чи, но гораздо меньше,
так как оно состоит из вещества, гораздо более
вязкого, чем вода .
Та:rшм образом, на стороне Земли, обращен
ной к Луне, и на противоположной ее стороне
{вблизи точек А и В) вода поднимается, обра
зуются так называемые приливные выступы и
на:rюпляется излише
·
к воды . Вблизи же точек
В и Г уровень воды снижается, оттуда вода
стекает, и здесь наступает отлив .
Приливные выступы вблизи А и В стремят
ся сохранить по отношению к Луне одно и то
же положение. И если бы Земля не вращалась,
а Луна была неподвижной по отношению к Зем
ле, то Земля вместе со своей водной оболочкой
всегда сохраняла бы одну и ту же форму, вы
тянутую по направлению к Луне, и никаких
приливов и отливов не было бы . Однако Земля
вращается, а Луна для земного наблюдателя
движется по небу с запада на восток и за сутки
делает как бы полный оборот вокруг Земли . По
этому приливные выступы как бы следуют за
Луной и перемещаются по поверхности океанов
и морей. Образуется так называемая приливная
волна (точнее, две волны в противоположных
точках земного шара). Она движется в океанах
и морях с запада на восток навстречу направ
лению вращения Земли со скоростью около
1800 км/час. Над каждым пунктом в океане
приливная волна, поднимающая уровень воды,
проходит дважды в сутки.
В открытом океане уровень воды при про
хождении приливной волны поднимается не
значительно, в среднем на несколько десятков
42
сантиметров, и естественно, что это остается
незаметным, например, для плывущ11х на ко
рабле людей . Но у берегов даже такой подъем
уровня воды уже заметен. Кроме того, у бере
гов, особенно в узких заливах или бухтах,
уровень воды поднимается гораздо выше, чем
в открытом океане, так как берег материка
препятствует движению приливной волны и во
да здесь накапливается в течение всего времени
между отливом и приливом. Поэтому около
берегов приливы (точнее говоря, ра:,ность меж
ду уровнями воды при приливе и отливе) дости
гают в среднем 4-5 м. Самый большой при
лив - около 18 м - наблюдается в одной из
бухт побережья Канады .
В СССР наибольшие приливы - около
13 м - наблюдаются в Гижигинской и Пенжин
ской губах на Охотском море .
Во внутренних морях, например в Балтий
ском и Черном, приливы и отливы очень малы
и почти незаметны. Это происходит потому, что
через узкие проливы, соединяющие такие моря
с океанами, за время от отлива до прилива не
успевают проникнуть в моря сколько-нибудь
значительные массы воды, перемещающиеся
вместе с онеанской приливной волной. Правда,
в каждом закрытом море или даже озере воз
никают самостоятельные приливные волны и
перемещения масс воды внутри этих морей и
озер . Но чем меньше море или озеро, тем меньше
воды перемещается в нем от одного берега к
другому и тем меньше приливы и отливы. На
пример, в Средиземном море приливы дости
гают1-2м,авЧерномморе-10см.
Такова в общих чертах картина приливов
и отливов и причина их возникновения.
При более детальном изучении приливов
и отJшвов наблюдаются такие очень интересные
и очень сложные явления.
Момент полной воды в данной местности
не совпадает с кульминацией Луны, а всегда
запаздывает. Это происходит потому, что тре
ние воды о дно океанов и внутреннее трение
воды несколько задерживают движение прилив
ной волны и она не поспевает, так сказать, за
Луной. Приливная волна достигает данного
пункта в океане лишь через некоторый проме
жуток времени после кульминации Луны, так
что прямая линия, проведенная через прилив
ные выступы на противоположных сторонах
земного шара, проходит восточнее направления
из центра Земли на Луну {рис . 2) .
Величина запаздывания приливов в данной
местности по еравнению с моментом кульмина
ции Луны называется «прикладным часоМ».

- ----
Рис. 2. Для наблюдателя в М' Луна кульминирует. Гребни
приливной волны находятся в это время на .пинии N;Y.
В разных местностях «Прикладной час» раз
ный, так как он зависит от особенностей рельефа
дна и берегов . Например, в Остенде (Бель гия)
«прикладной час» равен в среднем 25 минутам,
в Гибралтаре - 1 часу 47 минутам, в Бресте
(Франция) - 3 часам 46 минутам, в некоторых
заливах Белого моря - 5 часам и т. д.
В одной и той же местности высота при
ливов изо дня в день меняется . Это связано преж
де всего с тем, что расстояние от Луны до Зем
ли и высота Луны над горизонтом в данной
местности в момент кульминации все время
изменяются . Изменяется в связи с этим и вели
чина действующей приливообразующей силы .
Существует такая формула для приливообразую
щей силы, действующей на единицу массы на по
верхности Земли в момент кульминации Луны:
F =2/ ��V1-f cos2h ',
где f - постоянная тяготения, М - масса Лу
ны, R - радиус Земли, r- расстояние от Луны
до Земли, h - высота Луны над горизонтом
в момент кульминации .
В течение месяца расстояние от Луны до Зем
ли изменяется приблизительно от r =365 тыс . км
до r =405 тыс . км, а приливообразую
щая сила изменяется примерно в 1,4 раза .
Высота Луны над горизонтсм в момент кульми
нации изменяется в течение месяца в среднем
на 47°, причем эта амплитуда изменений ко
леблется с периодом около 19 лет от 37 до 57°;
это приводит как к месячным колебаниям высо
ты приливов и отливов, так и к колебаниям с
периодом около 19 лет .
Заметное приливное действие оказывает на
Землю и Солнце, и по той же причине, что и
Луна . Хотя Солнце находится от Земли значи
тельно дальше, чем Луна (в среднем в 389 раз),
но его масса намного больше массы Луны (в
27 млн . раз), поэтому и влияние его также велико.
ПРИЛИВЫ И ОТЛИВЫ
В моменты сизигий (т . е. когда Земля, Луна
и Солнце располагаются на прямой линии) сол
нечная и лунная приливные волны складывают
ся друг с другом, а в моменты квадратур (когда
направления с Земли на Луну и Солнце отли
чаются друг от друга на 90°) солнечная прилив
ная волна несколько повышает уровень отлива
и несколько понижает уровень прилива . По
этому высота приливов во время сизигий бывает
примерно в 2,7 раза больше, чем во время
квадратур .
Кроме указанных основных причин колеба
ния высоты приливов и отливов, существуют и
более мелкие . Они связаны главным образом
с особенностями движения Луны вокруг Земли
и Земли вокруг Солнца .
Теоретичес1ш приливное действие оказыва
ют также и планеты, но оно слишком мало,
чтобы его можно было обнаружить .
Под действием приливообразующих сил де
формируется не только водная оболочка, но и
все твердое тело Земли . Таким образом, при
ливные волны возникают и на твердой поверх
ности Земли . Их бы не было совсем, если бы
Земля была абсолютно твердой . И наоборот,
они были бы наибольшими, если бы Земля
была жидкой . Наблюдения приливных волн
на твердой поверхности Земли позволяют су
дить об упругости вещества Земли . Эти наблю
дения показывают, что Земля по своей упругости
обладает свойствами стального шара .
Приливообразующие силы вызывают также
деформации воздушной оболочки Земли . Они
выражаются прежде всего в периодических ко
лебаниях атмосферного давления . Обнаружива
ются также периодические изменения свойств
различных слоев атмосферы .
Приливы и отливы перемещают большие
массы воды, и люди давно стали задумываться
над тем, как бы заставить эти массы воды вра
щать колеса турбин, вырабатывающих электро
энергию . В последние �·оды вопрос этот уже
практически решен, и в ближайшем будущем
человек широко будет использовать энергию
приливов и отливов .
Принцип работы приливной гидроэлектро
станции простой . В заливе, где наблюдаются
более или менее значительные приливы и отли
вы, строится плотина, отделяющая часть зали
ва от океана . Во время прилива или отлива
образуется разность уровней воды между океа
ном и отделенной частью залива. Вода по спе
циальному каналу устремляется сквозь плотину
сверху вниз и приводит в �вижение установлен
ные там турбины.
43

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
На приливной электростанции удобны так
называемые реверсивные турбины. Они враща
ются то в одну (во время прилива), то в другую
(во время отлива) сторону.
Приливные гидроэлектростанции проекти
руются во Франции, США, Англии и во многих
других странах. В СССР начато строительство
опытной приливной гидроэлектростанции в Кис
ло й губе на побережье Кольского полуострова.
•
КАК ИЗМЕРЯЮТ РАССТОЯНИЕ
ДО НЕБЕСНЫХ С ВЕТИЛ
Расстояние до небесных светил астрономы
определяют подобно тому, как артиллеристы
определяют расстояние до цели. Конечно, рас
стояние до цели, как и ·лю
·
бые расстояния на
Земле, ничтожно по сравнению с удаленностью
небесных светил, и астрономы пользуются
иными приборами, чем артиллеристы, но суть
дела одна и та же.
Предмет, расстояние до которого надо
определить, рассматривают одновременно с
двух мест, откуда он виден по разным направ-
.
лениям. Если два человека, стоящие на рас
стоянии 10 м друг от друга, будут целиться
из ружей в один и тот же предмет, удаленный
от них на 100 м, то их ружья не будут парал
лельны друг другу, как параллельны друг
другу рельсы железных дорог. Ружья обоих
стрелков образуют между собой угол, кото
рый будет тем меньше, чем дальше от стреJшов
находится цель.
Зная расстояние между наблюдателями и
угол между направлениями, под которым они
Расстояния , потря сающие воображение
Перед 11ами сравнительно тонкая
ста.яьная прово.яока площадью сече
ния 1 мм'. Километр такой проволоки
весит 8 нГ. Чтобы протянуть такую
проволоку от Москвы до Ленннrрада,
ее потребуется 5,2 т.
Такая же проволока, протянутая
от Земли до Луны, будет весить (ко
. ие ч но, на аемвЫх весах) 3000 т, от
Земли до Солнца - 1200 тыс. т,
а до ближайшей авеады - 336 м.ярд. т.
видят цель, легко можно высчитать расстояние
до нее, Это делается при помощи тригонометрии.
Ученые тоже «целятся» на звезды, но не из
ружей, а при помощи телескопов. Угол между
направлениями двух телескопов на звезду
определяют по специальным приборам с точно
стью до 1/100 доли секунды дуги. При отсчетах
Можно вычислить расстояние до мишени, если иавестны рас
стояние между стрелками и уrо.я, под. которым они видят ми
шень. Подобным же способом астрономы опредеnяют расстоя-
ния до бnизких небесных свети.я.
таких мельчайших частей дуги астрономы поль
зуются микроскопами.
Небесные светила находятся очень далеко
от Земли. Чтобы заметить различие в направле
ниях, по которым видно светило, ученые долж
ны находиться на расстоянии многих тысяч
километров друг от друга, иначе угол между
направлениями будет так мал, что его невоз
можно измерить. Например, делают так: один
астроном наблюдает светило на севере Евро-
В самое последнее время радио
астрономические наблюдения позво -
11или уловить очень далекий источник
радиоиалучення. Расстояние до неrо
определяют в 13 млрд. световых лет,
т. е . он находится в 3 млрд. раз даль
ше ближайшей звезды. Если до этоrо
источника света протянуть нашу про
волоку, то она будет весить приблиа11-
тельио одни секст11.яьон тони (секстиnь
ои - это единица с 21 нулем, т. е.
11то миллиард триллионов).

КАК ИЗМЕРЯЮТ РАССТОЯНИЕ ДО НЕБЕСНЫХ СВЕТИЛ
пы, а другой в то же время наблюдает его в
Южной Африке.
Производя наблюдения с двух отдален
ных
.
точек земного шара, астрономы определи
ли расстояние до наиболее близких к нам небес
ных светил: Луны, Солнца и планет.
Расстояние до наиболее близких к нам небесных саети.1
1
( Солн
ца, Jiy11ы, планет) определяется наблюдением их с двух от
даленных друг от друга точек аемного шара.
Но даже при самых тщательных попытках
таким способом нельзя определить расстояние
до звезд, так как диаметр земного шара слиш
ком мал по сравнению с расстояниями до бли
жайших звезд, и, наблюдая с противоположных
концов его, нельзя заметить различие в направ
лениях на звезды. Следовательно, надо было на
блюдать зве
:
щу с концов такой прямой линии; ко
торая по длине превышает диаметр земного шара
в 28 600 тыс. раз.
Где же астрономы могли взять такую прямую
линию, которая на земном шаре никак не умес
тится? Оказывается, такая линия в природе есть -
это диаметр земной орбиты. Чтобы проехать
вдоль диаметра земной орбиты, который рав
няется 300 млн. км , на курьерском поезде,
идущем со скоростью 100 км/час, пришлось бы
затратить более 340 лет!
Но этого не нужно делать. За полгода сам
земной шар переносит нас на другую сторону
от Солнца, на противоположную точку диа
метра земной орбиты. Лишь наблюдая таким
путем, можно заметить ничтожно малое раз
личие в направлениях, по которым видны бли
жайшие звезды. Правда, наблюдения при этом
приходится производить не одновременно,
а в моменты, отделенные друг от друга проме
жутком в полгода. За это время изучаемая
звезда переместится в пространстве на огром
ное расстояние вследствие своего движения.
Но это расстояние ничтожно мало в сравнении
с расстоянием от нас до звезды, и его можно не
принимать во внимание. Точно так же для арти.1-
лериста, вычисляющего многокилометровое
расстояние до позиции неприятеля, не имеет
значения передвижение кого-нибудь во вра
жеском стане на шаг вперед или назад. Его
вычисления будут достаточно точны без учета
длины этого шага.
Однако даже и наблюдения с противополож
ных сторон диаметра земной орбиты долгое вре
мя не давали необходимых результатов. Слиш
ком малы углы между направлениями, и для их
измерения требовалась огромная точность. И в
XVIII и в начале XIX в. астрономы еще не
могли достигнуть такой точности. Астрономам
было ясно, что расстояния до звезд огром ны, а
точно определить их никому не удавалось.
Только в 30-х годах XIX в. русс1шй ученый
В. Я. Струве определил расстояние до звезды Ве
га (самая яркая звезда из созвездия Лиры) и тем
са мым положил начало· точному определению
звездных расстояний. Вскоре были определены
расстояния до целого ряда звезд.
Оказалось, что даже ближайшие к Земле
звезды в тысячи раз дальше самой далекой
планеты - Плутона. Такие расстояния выра
жать в километрах трудно� Поэтому их вы
ражают в единицах времени, которое нуж
но свету, чтобы пройти это расстояние. Свет
движется очень быстро и за 1 секунду распро
страняется на 300 тыс. км. Когда сверкает мол
нля, то свет ее доходит до нас за ничтожно
малую долю секунды. От Луны до Земли свет
идет fl/4 секунды, от Солнца - 8 минут, от
самой далекой планеты - Плутона - около
5 часов, а от ближайшей звезды - более 4 лет!
Курьерский поезд, идя без остановки со скоро
стью 100 км/час, добрался бы до ближайшей
звезды, называемой альфой Центавра, только
через 46 млн. лет; за 3-4 млн. лет до нее доле
тел бы современный самолет. А ведь альфа Цен
тавра - самая близкая к нам звезда! Расстоя
ние от Земли до нее ничтожно мало по сравне
нию с расстоянием до дальних звезд Млечно
го Пути.
Опищ1.нный способ определения расстоя
ний до звезд применим только для сравни
тельно близких к солнечной системе звезд.
Для звезд, более далеких, он не годится - слиш
ком мал диаметр земной орбиты по сравнению
с расстояниями в тысячи и более световых лет.
Астрономы имеют теперь в своем распоряжении
другие методы определения расстояний до очень
далеких звезд и туманностей.
Некоторых людей пугает громадность звезд-

КАК РА3ВИВАJIАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
пых расстояний, но надо помнить о том, как
велико могущество человеческого разума, если
он смог измерить такие расстояния. Для чело
веческого разума нет пределов. Он может не
ограниченно познавать мир, законы природы
и использовать эти знания себе на пользу.
Измерения расстояний до звезд оконча
тельно доказали, что все звезды находятся от нас
на разных расстояниях и вовсе не расположены
на поверхности круглого купола, каким нам
кажется звездное ночное небо. Оно нам кажется
куполом, опрокинутым над Землей, или шаром,
окружающим со всех сторон нашу планету,
только потому, что невооруженный глаз не
воспринимает различия в расстояниях до звезд.
Расстояние до более далеких небесных светил (авеад) опреде
J1яется ва6людевия11
1
и с претивопоJ1ожных точек аемной
48
ор611ты .
·
Если бы какая-нибудь планета, даже на
много большая, чем Юпитер, находилась от
Земли на расстоянии ближайшей звезды, то
для нас она была бы совершенно невидима.
На таком огромном расстоянии Солнце осае
щало бы ее слишком слабо, да и на обратном
пути к нам отраженный ею свет ослабевал
бы слишком си;1ьно. Звезд ы же светят своим
собственным, чрезвычайно ярним светом, т. е.
являются самосветя щимися солнцами. Таким
образом мы можем разделить Все ленную на
со лнечную систему (ближайшие к нам окрест
ности) и беснонечный мир, лежащий за ее
пределами. Этот мир состоит из бесчисленного
количества звезд, подобных нашему Солнцу.
•
КАК РАБОТАЮТ АСТРОНОМЫ
НабеJiюденuя в тееJiескоп
Темная ночь. Высоко в небе сияют звезды,
и при их слабом свете едва видны очертания
круглого купола башни астрономической обсер
ватории. Время от времени купол медленно пово
рачивается и :мы видим на нем темную прорезь,
или люк, в котором на мгновение может сверк
нуть стеклянный глаз телескопа.
Поднимемся в темноте по узеньной лест
нице башни и войдем под купол. Там на сере
дине круглой площадки мы видим чугунную
колонну, на которой укреплена легко повора
чивающаяся во все стороны длинная труба теле
скопа. На переднем ее конце, обращенном
к небу, укреплено большое двояковыпуклое
стекло - линза, или объектив. Объентивом свет
собирается в фокальной плоскости, где и полу
чается изображение рассматриваемого светила.
Это изображение, получаемое у нижнего конца
телескопа, рассматривается в окуляр. Онуляр -
это особое увеличительное стекло; оно представ
ляет собой систему линз. В него непосредственно
и смотрит наблюдатель.
Чтобы наблюдениям не мешали городской
свет, дым и пыль, заполняющие нижние слои
атмосферы, обсерватории обычно строят за
городом и даже на горах. Ведь чем выше над
землей, тем разреженнее, спокойнее, чище и
прозрачнее воздух, тем лучше наблюдать небес
ные светила. Но даже над горами воздух часто
бывает недостаточно спокойным, и лучи света

Схема те.лескопа-реф.лектора. С.лева -
вогнутое аерка.ло ; оно собирает .лучи,
а ма.лое п.лоское зерка.ло дает отраже
ние их вбок , где находится г.лаа на-
6.tю;щте.л я.
Реф.лектор с зерка.лом диаметром 5 м.
от небесных тел, проходя снвозь воздушные
струйни, постоянно отнлоняются ими . Вот поче
му звездочна, видимая в телесноп, иногда дро
жит и нолеблется, а маленwие изображения
далених планет, на ноторых таи хочется что
либо рассмотреть, превращаются нан бы в размы
тые световые пятна . Воздушные струйни -
враги астронома . Они резно ограничивают уве
личение, даваемое телеснопо11
1
.
Чем сильнее
увеличивает телесноп, тем более заметны волне
ния воздуха . Поэтому планеты рассматривают
с увеличением не больше чем в 500 -600 раз ,
хотя современные нрупные телеснопы могли
бы увеличивать в десяти н тысяч раз .
Приложите глаз и онуляру - астро·нlilм
поназывает вам Луну . Но почему же виден
тольно маленьний участон ее, а не вся она?
Потому что чем сильнее увеличение, тем мень
ший «уголою> неба виден в телесноп .
Что это? Почему-то Луна быс тро уходит
из Поля зрения - из того уголна неба, ното-
КАК РАБОТАЮТ АСТРОНОМЫ
рый виден в телес ноп . Происходит это потому ,
что за время нашего наблюдения земной шар,
вращаясь вонруг своей оси, успел немного
повернуться, а вам нажется, что вертится небо
и Луна уходит со своего места . В телеснопе
благодаря увеличению этот поворот Земли
кажется еще более бы стрым .
Но вот Луна перестала уходить из поля зре
ния - это астроном внлючил ча совой меха
низм, ноторый стал поворачивать телесноп с
той же сноростью, с наной вращается земной
шар, тольно в направлении, противополож
ном вращению Земли . Таням образом астроном
нан бы погасил вращение Земли .
С наждым час ом Луна все ближе и гори
зонту, все выше поднимается нижний J{онец
направленного на нее телес нопа . Вот уже не
дотянуться до онуляра и на цыпочнах . При
ходится пользоваться специальной лес тницей.
В больших обсерваториях пол сделан та�> , что
он при помощи механичесних устройств может
плавно подниматься или опуснат ься . Для этого
наблюдателю достаточно нажать ннопну . Дела 
ются танже подвижные механизированные
платформы для наблюдателя : они поднимают
или опуснают его . При помощи механизмов
передвигается 11 нупол башни . В маленьних
башнях нупол поворачивают руной .
Не сразу, не в один л:ень придуманы все эти
приспособления, облегчающие работу астроно
мов . Технина современной обсерватории создана
трудом многих поколений астрономов, инжене
ров, архитекторов .
В истории астрономии нар яду с именами
выдающихся астрономов сохраняются и произ
носятся с уважением имена замечательных
ма стеров, создававших астрономичесние инс тру
менты и строивших обсерватории .
' Обсерватории строились уже в глуб оной древ
ности . Правда, тогда не было еще телес нопов,
но уже имелись большие довольно разнообраз
ные инструменты для определения положения
звезд на небе .
На террит ории нашей страны, оноло Самар
нанда, сохранились остатни замечательной об
серватории XV в., построенно й выдающимся
узбенсним астрономом и математином первой
половины XV в. Улугбеном . По ним можно
представить , нание задачи ставили самарнанд
сние исследователи неба, нан развивались
методы исследования небесных светил .
Потом, уже после изобретения телеснопа,
люди затратили много труда на то, чтобы на
учиться отливать большие и прозрачные стенла
нужного сорта и придавать им ту точную форму,
47

RAK РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОИ
Телес�;оп -рефрактор с фотока мерой.
Схема телескопа-рефра�;тора. Справа - линзы объектива,
собирающ11е Л)"JЩ слева - система линз- ок уляр.
которая требуется для получения отчетливых
изображений небесных светил.
Те.'lескоп был юобретен в начале XVII в. ,
но и сейчас еще не научились изготовлять теле
скоп с передним стеклом - объективом - боль
ше одного метра в поперечнике. В такой теле
скоп с объективом - рефрактор - из -за особого
с войства ст1,шла светила видны окруженными
слабой цветно й каймой, которая очень мешает
набл юдениям . Чтобы избе жать этого, создали
другой вид телескопа - рефлектор, в котором
свет собирается не выпуклым стеклом, а вогну
тым зеркалом. Рефлектор изобрел английский -
ученый Исаак Ньютон (см. стр. 36). В рефлек-
48
торе зеркало помещают в нижнем конце теле
скопа, оно отражает лучи и собирает их у верх
него конца трубы, где и помещается наблюда
тель. Обычно при помощи дополнительного
маленыюго зеркала эти сходящиеся лучи отря.
жают вбок или даже назад . В последнем слу
чае
.
лучи выходят из трубы сквозь отверстие в
большом зеркале . При таком устро йстве наблю
датель находится ближе к полу и не загоражи
вает своей головой свет, идущий в телес.1юп .
Рефлектор имеет недостаток : в него отчет
ливо виден лишь небольшой участок неба. Наи
больший телескоп такого рода, установленный
в Калифорнии, имеет зеркало 5 м в попереч
нике. При помощи его можно фотографировать
звезды до 23-й звездной величины.
В Советском Союзе построен и работает на
Крымской астрофизиче ской обсерватории тре
тий в мире по величине рефлектор с зерка
лом диаметром 2,6 м.
В годы Великой Отечественной войны совет
ский конструктор телесн:опов Д. Д. Максутов
разрешил задачу, над которой долго думали
изобретатели многих стран: он сконструировал
телескоп, который соединяет в себе достоинства
рефрактора и рефлектора и в то же время не
имеет их недостатков. Ма1\ сутов на верхнем
конце трубы перед вогнутым зеркалом поставил
выпукло-вогнутое тонкое стекло, называемое
мениском (часто стекла для очков делаются
в форме подобных менисков).
Каждый телескоп, в котором недостаток реф
лектора устранен, требует зеркала и стекла
особой формы. Для менискового телескопа из
готовление и тех и других легче, так как по
верхности их сферические.
По системе Максутова на советских заводах
изготовлены также школьные телескопы. Они
небольшого размера, но дают такое же увели
чение, как рефрактор длиной почти в метр,
и увеличивают наблюдаемый предмет до 70 раз,
тогда как бинокли обычно имеют увеличение
лишьот2до8раз.
Много различных новых астрономических
приборов придумано и из1·отовлено как у на с,
Фотография антенн одного радиотелескопа, уста
новленного на высоте 1700 ..
.
в районе Бюра
канской астрофизической обсерватории Акаде мии
наук Армянской ССР. Радиотелескоп предназначен
для исследования источников радиоизлучеинй не
бесных тел и звездных систем. Площадь зеркала
телескопа '500 ..
.
..
_..,.
Н а об о р о т е: Крупнейший в Европе телескоп
рефлектор. Диаметр зеркала телескопа - 2,6 ..
.
, вес
зеркала - .r. Т, длина трубы - 10 ..
.
.
Установле н
на Крымской астрофизической обсерватории Акаде
мии наук СССР.

так и за рубежом. Изготовляют, например, осо
бые плоские зеркала для отражения солнеч
ных лучей. Они автоматически поворачиваются
вслед за Солнцем и всегда направляют его лучи
в неподвижный телескоп. Изготовляют большие
телескопы разных систем и много других вспо
могательны х приборов для наблюдений за не
бесными телами.
Фотографирование авеад
Если вам удастся побывать на астрономиче
ской обсерватории, то вы, вероятно, удивитесь,
узнав, что в большинство телескопов смотреть
не нужно. Глаз наблюдателя там давно заменила
фотографическая пластинка. На ней получают
«портреты» небесных светил и целых участков не
ба. На одном снимке можно сразу увидеть де
сятки тысяч звезд. Вместо того чтобы тратить
много часов на изучение каждой из этих звезд
по очереди , сндя, например, зимой на· морозе
в башне, астрономы изучают снимки в теплой
комнате и сравнивают фотографии, снятые в раз
ное время. Так астрономы узнают об изменениях,
происходящих в расположении звезд, их ярко
сти, движении в пространстве. С помощью фото
графических снимков определяют расстояние
до звезд и выясняют причины изменения блеска
некот орых из них.
Ддя удобства сравнения снимков их рассмат
ривают попарно в приборе, похожем на стерео
с1юп, или в других приборах, где снимки вид
ны поочередно, быстро, один за другим. На об
серваториях целые шкафы заполнены сним
ками звезд, полученными за многие годы.
Чтобы установить движение какой-либо
далекой звезды , несущейся со скоростью в не
сколько десятков километров в секунду, надо
сравнить ее снимки, сделанные с промежутком
времени в несколько десятилетий. На двух та
ких снимках положение звезды, изучаемое под
микроскопом, будет различаться на несколько
сотых или даже тысячных долей миллиметра.
Вот какие крохотные величины измеряют
астрономы, чтобы определить огромные ско
рости движения далеких небесных тел.
Но результаты таких измерений нужно еще
подсчитать. Для этого служат специальные ма
шины - арифмометры; они сами умножают и
Делят большие числа, если нажать на этих
машинах нужные кнопки. Несравненно быстрее
вычисления выполняются на счетно-аналитиче
ских и электронных машинах.
•4д.э.т.2
КАК РАБОТАЮТ АСТРОНОМЫ
Большой телескоп системы Шмита. Установлен на ас
трофизической обсерватории Академии наук Армянской ССР.
Есть на обсерваториях приборы, которыми
точно измеряют силу света звезд и даже полу
чаемое от них тепло. Какая это сложная и тре
бующая огромной точности работа, можно себе
представить по такому примеру. От гигантской
звезды Бетельгейзе в созвездии Ориона до
Земли доходит так мало тепла, что если соби
рать его в течение года при помощи вогнутого
зеркал
·
а диаметрам в 2, 5 м, то им можно нагреть
наперсток воды всего лишь на 1°. И все же при
боры улавливают и такое незначительное тепло.
Спек'l'ра.J
J
ьвый ава.J
J
ва
Когда солнечный луч проходит через стек
лянную трехгранную призму, он разбивается
на составные части-лучи всех цветов радуги.
4:9

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
Свет, разложенный на его составные части,
называется спектром, а прибор для получе
ния и рассматривания спектров - спектро
скапом.
Радуга, сверкающая после дождя на небе,
это и есть спектр Солнца, образованный ка
пельками воды, находящимися в воздухе. Но
спектроскоп дает спектр Солнца чище. Кроме
того, в нем на фоне радужной полоски видны
пересекающие ее в разных местах многочислен
ные темные линии. Они говорят о многом. Их
значение вы сейчас поймете.
Раскаленная нить электрической лампочки,
пламя свечи и расплавленный металл тоже дают
спектр в виде радужной полоски, но в таких
полосках спектра темных линий не видно. Спек
тры разреженных газов,
например светя
щихся в трубках, которыми теперь стали укра
шать вывески и витрины магазинов, имеют вид
1,ветных линий на темном фоне.
Менисковый те.яескоп системы д. д . Максутова. Находится
в а Пу.яковской обсерватории.
·
60
Ученые установили, что каждое вещес
·
тво,
находящееся в состоянии светящихся паров
или газов, дает в спектре свои собственные,
всегда одни и те же цветные линии.
Например, пары металла натрия всегда
дают в спектре одну и ту же яркую желтую
линию, т. е . свет натрия состоит из одних лишь
желтых· лучей. Натрий входит в состав пова
ренной соли. Внесите на кончике перочинного
ножика крупинки соли в пламя свечи, и оно
окрасится в желтый цвет. Спектры других
веществ состоят из большого числа иных линий
разного цвета. По положению таких линий в
спектре сложного вещества можно узнать его
состав. Если составные части этого вещества,
превратившись в пар, засветятся, то каждое
из них заявит о себе в спектре определенными
цветными линnями. Так по спектру выясняют
химический состав газов.
ОпредеоJiеиве хвивческого состава
небесных тeoJI
С помощью спектрального анализа ученые
точно узнали химический состав звезд, комет
и туманностей - все они состоят из известных
на Земле химических элементов.
Это открытие ученых было торжеством мате
риалистической науки. Оно доказало ошибоч
ность утверждений некоторых философов
прошлого века, что человеческое познание огра
ниченно и люди никогда не смогут узнать хими
ческий состав небесных светил.
Однако вернемся к спектру Солнца, пере
резанному темными линиями, и к похожим
на него в этом отношении спектрам звезд. Тайна
этих темных линий выяснилась, когда между
спектроскопом и пламенем свечи, дающей
спектр в виде радужной полоски без линий,
поместили газ, более холодный, чем пламя.
В радужной полоске спектра появились темные
линии, причем в тех самых частях спектра,
где этот газ сам по себе давал бы в спе1<тре цвет
ные линии. Оказалось, что газ поглощает из
состава спектра более горячего источника све
та (в данном опыте - свечи) те самые лучи,
которые он сам излучает в раскаленном состоя
нии. Отсюда ученые сделали вывод, что раска
ленные поверхности Солнца и звезд дают спект
ры в виде радужных полосок, но эти поверх
ности окружены разреженными и менее раска
ленными газами, которые и вызывают появле
ние в спектре темных линий. Эти газы образуют

вокруг Солнца и звезд атмосферы, химический
состав которых можно узнать по темным лини
ям спектра. Заметим, что поверхности Солнца
и звезд хотя и дают такой же спектр, как жидкие
и твердые раскаленные тела, но состоят из рас
каленных наэлектризованных газов, более
ш1отных, чем окружающие их атмосферы.
Спектры светил говорят нам не только о
химическом составе светил. В них можно «про
читать» еще многое, если изучить «спектральную
грамоту». Например, у сравнительно холод
ного тела самой яркой оказывается красная
часть спектра. Чем горячее тело, тем менее
ярки красные лучи в его спектре по сравнению
с остальными и тем белее цвет тела. Так уче
ные определяют температуру звезд по их цвету
или спектру.
Уже давно ученые высказали предположение,
что, когда источник света движется относитель
но наблюдателя, линии в его спектре должны
немного смещаться: при приближении источ
ника света в сторону фиолетового конца спект
ра, и тем больше, чем больше скороеть дви
жения источника света, при удалении- к крас
ному концу спектра.
Русский ученый, акад. А . А. Белопольский
(см. стр. 201) при помощи сложных и точ-
Зеркально-лииаовыil телескоп системы г. г . Саюсарева дпя
фотографирования ввеад и туманно с тей. Уставоваев ва Пуп
ковскоil о
.
бсерв аторвв.
КАК РАБОТАЮТ АСТРОНОМЫ
Мервдванвы й круг - инструме нт дпя определения точны х
положений ввевд.
пых опытов подтвердил, что линии спектра дей
ствительно смещаются именно таким образом.
После .этого стало возможным уверенно опре
делять по спектру с
.
корости и направления дви 
жения небесных тел, а в связи с этим было сде
лано много и других интересных открытий.
О них рассказывается во многих статьях этого
тома.
Хотя на фотографиях спектры не получают
ся цветными, ученые теперь достаточно хорошо
знают, какому именно цвету соответствует то
или другое место на черно-белой фотографии
спектра.
Прежде чем астроном из своих наблюдений
сделает тот или иной вывод, ему обычно при
ходится производить много разных измерений
Jt вычислений.
Опредео1евне точного вреиевв
п координат светио1
На обсерваториях есть инструменты, при
помощи которых определяют точнейшим образом
время - проверяют часы. Без такого точного уче
та времени астрономические наблюдения теряют
свою ценность. Бремя устанавливают по поло
жению, которое занимают светила над горизон
том. Часы обсерватории помещают в глубоние
подвалы, для того чтобы они шли как можно
точнее и равномернее в промежутке между вече
рами, когда их проверяют по положению звезд.
В таких подвалах круглый год сох ран яется по-

КАК РАЗВИВАЛАСЬ ЦАУКА О ВСЕЛЕВВОИ
стоянная температура. Это очень важно, так как
изменения температуры влияют на ход часов.
За последние годы для хранения времени
вместо часов с маятником стали все чаще при
менять гораздо более точные кварцевые часы.
:Кварцевые часы - это кристалл к�арца, в ко
тором электромагнитные колебания , когда они
в нем возбуждены, поддерживают сво:Ю частоту
С гораздо бОЛЬШИМ ПОСТОЯНСТВОМ7 чем RОдеба
НИЯ маятника в самых лучших часах при с·амых
лучших условиях.
Для передачи сигналов точного времени
по радио на обсерватории имеется спе�\иаль
ная сложная часовая, электрическая и' радио
аппаратура. Передаваемые из Мос:квы сигналы
точного времени- одни из самых тоЧных в мире.
Определение точного времени по звездам, 'Х'р{l.
нение времени при помощи точных часов и пер�
дача его по радио составля ют Службу времени.
На обсерватория х при помощи специальных
телескопов определя ют тцк же положение светил
на небе - их координаты. Эта работа выполняет
ся с огромной точностью.
Ра�иоастровоиия
До недавнего времени астрономы изучали
свет, излучаемый небесными светилами, при
помощи телескопов. Свет - это электромагнит
ная энергия , распространя ющая ся волнами та
кой длины, при которой лучи света восприни
маются глазом. При помощи особых приборов
и фотограф�и можно воспринимать и изучать
недоступные глазу ультрафиолетовые и инфра
красные лучи.
'Ультрафиолетовые лучи имеют длину волны
меньшую, чем видимые лучи. Еще меньше она
у рентгеновских лучей, но такие коротковолно
вые лучи от светил через земную атмосферу
не проходят. Однако подъем некоторых прибо
ров в верхние слои атмосферы и за ее пределы
на геофизических ракетах и на искусственных
.спутниках Земли позволяет улавливать и
изучать коротковолновое излучение небесных
светил.
'У инфракрасных лучей, наоборот, длина
волны больше, чем у видимых лучей. За ними
в направлении увеличения длины волны
идут тепловые лучи. Они также воспринимаются
специальными приборами. Еще дальше начи
нается область радиоволн. Многие радиоволны,
идущие, как выя снилось, от небесных светил,
задерживаются земной атмосферой. Но атмо-
52
сфера свободно пропускает волны от нескодь
ких миллиметров и сантиметров до нескольких
метров. Это выяснилось в сороковых годах 20 в. ,
когда впервые было уловлено радиоизлучение,
идущее из глубин космического пространства.
Тогда и стали изготовля ть радиотелескопы.
Они собирают радиоизлучение небесных светил.
Радиотелескопы бывают двух видов. Это
либо вогнутое металлическое, иногда решетча
тое зеркало, либо рама, на которой параллельно
друг другу установлены металлические стерж
ни; в них и возникают электромагнитные коле
бания . Законы отражения лучей таковы: че�t
больше длина волны, тем менее точно может быть
изготовлена форма отражающей поверхности.
Поэтому требования к точности при изготов
лении зеркал для радиотелескопов гораздо
меньшие, чем при изготовлении собирающих свет
оптических телескопов-рефлекторов. Это дает
возможность строить радиотелескопы с зерка
лами гораздо большего размера, чем у опти
ческих телескопов. Их диаметры достигают
десятков, а у некоторых радиотелескопов и сотен
метров. Это позволя ет улавливать очень слабое
радиоизлучение· от очень далеких космических
источников.
Радиоизлучение, приходящее к нам от небес
ных тел, бывает двух видов - тепловое и нетепло
вое. Раскаленное тело всегда посылает электро
магнитное излучение всех видов, в частности
и радиоволны. Это тепловое радиоизлучение.
Его интенсивность зависит от температуры те
ла и его свойств. Нетепловое радиоизлучение,
иногда и очень мощное, может возникать при
различных физических процессах, в частно
сти при торможении магнитным полем элект
ронов, летящих со скоростью, близкой к ско
рости света.
'Установлено, что различные оболочки Солн
ца посылают радиоизлучение. Мощность его
колеблется в колоссальных пределах, отражая
происходящие на Солнце сложнейшиl:' физиче
ские процессы. Радиоволны излучаются также
в атмосферах планет Венеры и Юпитера. Их
интенсивно излучают газовые туманности - мас
сы разреженного и наэлектризованного, а также
нейтрального газа. Наконец, многие гигантские
звездные системы также явля ются источниками
радиоизлучения и некоторые из них испускают
радиоволны с колоссальной силой.
Изучение радиоизлучения небесных тел 11
причин, его вызывающих, чрезвычайно расши
ря ет наши представления о небесных телах,
их системах, о строении и поведении их веще
ства и об электромагнитном излучении вообще.

Часть мощного радн о
те.1ескопа, установлен
ного на ращ1оастроно
м11ческой обсерватории
Института радиофиаики
и электроники Академии
наук Украинской ССР.
Ра�иотелескоп
может
принимать радноизлуче
шrе очень далеких от нас
небес ных тел.
Ра�иотелескоп, установ
ленный на Пулковской
обсерватории.
Радиоастрономия - новая
увлекательная
наука. Кроме радиотелескопа, она располагает
еще другим интересным инструментом -радио
локатором. Радиолокатор посылает с Зем.1
1
и
короткие радиоволны узким направленным пуч
ком, так что их энергия почти не рассеивается.
Радиоволны, посланные радиолокатором, отра
жаются многими предметами и наэлектризовав-
КАК РАБОТАЮТ АСТРОНОМЫ
выми газами. По времени прохождения импуль
са радиоволн от радиолокатора и обратно, после
их отражения от предмета, можно определить
расстояние до предмета и скорость его движения,
так как скорость распространения радиоволн
известна.
Радиолокация, применявшаяся сначала в
военном деле, стала новым очень точным мето-
о3

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
дом определения расстояния от Земли до Луны
и до многих планет. При ее помощи с доста
точной точностью определяют высоту следов,
оставляемых «падающими звездами» - метео
рами, и скорость частиц вещества, которые
их производят, когда влетают из межпланетно
го пространства в земную атмосферу.
Радиолокация открывает широкие. перспек
тивы, в частности она со временем даст возмож
ность «прощупыватм рельеф поверхности планет,
·окутанных густыми облаками, сквозь которые
в обычный телескоп мы эту поверхность не
видим.
Где раОотают астроноиы
Научную работу астрономы ведут на обсерва
ториях и в астрономических институтах. В ин
ститутах занимаются преимущественно теорети
ческими исследованиями.
В дореволюционной России были основаны
крупнейшая тогда в мире Пулковская обсервато
рия (1839) и ряд других обсерваторий, главным
образом при универсиrетах.
Башня больmоrо солнечноrо те лескопа Крымской астрофваи-
.
че ской об серватор ии Академии наук СССР.
В советскую эпоху в нашей стране созданы
Институт теоретической астрономии в Ле
нинграде, большие астрофизические обсервато
рии в Крыму, Армении, Грузии, новая астро
номическая обсерватория близ Киева и ряд дру
гих обсерв аторий .
Скромная ранее
Московская обс ерватория
преобразована ·в Астрономический институт
им. П . К. Штернберга при Московском государст
венном университете.
На всех обсерваториях ведется научная ра
бота по согласованному плану.
Много астрономических обсерваторий им еет
ся и в других странах. Из них наи более
известны старейшие из существующих - Па
рижская и Гринвичская, от меридиана которой
ведется счет географических долгот на земном
шаре. Недавно Гринвичская обсерватория пере
несена на новое место, дальше от Лондона, где
много помех для ночных наблюдений неба. Са
мые крупные в мире телескопы установлены
в Калифорнии (Соединенные Штаты Америки)
на обсерваториях Маунт-Паломар, Маунт-Виль
сон и Ликской и на Крымской астрофизическоii
обсерватории Академ ии наук ССС Р. Ликская об
серватория построена в конце XIX в. , а осталь
ные-ужевХХв.
Гот.:.вят астрономов в СССР в университетах
на механико-математических или физико-мате
матических факультетах.
ПО ОТЕЧЕСТВЕННЫМ
ОБСЕРВАТОРИЯМ
•
В конце XIX и начале ХХ в. астрономцче
ские обсерватории в России были при восьми
.Университетах (а всего их было де сять). На
них работали по 2-3 ученых, редко больше.
Свою исследовательскую, в частности и ноч
ную, наблюдательскую работу они вели наряду
с учебными занятиями. Только одна Пулковская
обсерватория (см. стр. 197), сооруженная под
Петербургом, имела в своем штате 10- 15 астро
номов, которые были заняты исключительно
научной работой.
С установлением Советской власти в нашей
стране началось бурное развитие науки, в част
ности и астрономии. Старые обсерватории стали
расширяться и улучшаться, возник ряд новых
астрономических учреждений.
Вероломное нападение фашистов на нашу
Родину нанесло тяжелые раны и отечественной

ПО ОТЕЧЕСТВЕННЫМ ОБСЕРВАТОРИЯМ
Пупковская об серватория.
астрономии. Фашистские варвары разрушили
дотJiа знаменитую Пулковскую обсерваторию
и ее отделение в Симеизе (Крым). Однако
в короткий срок благодаря заботе партии
и правительства о развитии науки и самоотвер
женному труду ученых разрушенные обсерва
тории были восстановлены и стали еще прекрас
нее и обширнее. Созданная мощная оптиче
ская промышленность обеспечила их перво
классными телескопами и другими астрономи
ческими инструментами и приборами. Если
рань ше телескопы и всякие приспособления
к ним приходилось заказывать за рубежом, то
теперь мы изготовляем все это не только для
себя, но и для многих других стран.
Параллельно с ростом наших технических
возможностей развивалась и конструктор
ская мысль. Наиболее значительным было
изобретение в Советском Союзе Д. Д. Максу
товым менисковых телескопов. Менисковые те
лескопы значительных размеров установле
ны на ряде отечественных и зарубежных об
серваторий.
Большое значение не только для отечествен
ной, но и для мировой науки имеет то обстоя
тельство, что многие новые обсерватории по
строены на юге Советского Союза, где воздух
прозрачнее, чаще бывает безоблачное небо,
а летом нет «белых ночей». Наши новые обсер
ватории, открытые в различных местах страны,
позволяют теперь астрономам непрерывно сле
дить за разными небесными явлениями.
Известная во вс ем мире Пулковская обсер
ватория продолжает свои славные традиции
по точнейшему определению положения звезд
на небе и их движений. Для более полного
охвата наблюдениями всего неба экспеди
ция обсерватории уже несколько лет ведет
определение положений звезд в Чили (Южная
Америка). Видное место в работах Пулковской
обсерватории занимает также и изучение физи
ческой природы небесных тел - астрофизика, 13
особенности изучение Солнца. В Пулков еработают
выдающиеся астрономы А. А . Михай лов, М. С. Зве
рев и другие. Здесь разрабатываются все отделы
астрономии, в частности радиоастрономия.
В Пулкове находится один из самых круп
ных радиотелескопов. При его помощи изу
чено радиоизлучение ядра нашей звездной си
стемы.
Вместе с тем уже давно стали развиваться
обсерватории с более узкими задачами. Так,
например, для изучения движения полюсов
по поверхности Земли в Рос
с
ии в конце XIX
и в начале ХХ в. на одинаковой широте, но нl\
разных географических долготах были уста·
новлены небольшие, так называемые широтные
станции. В СССР сейчас созданы дополнитель
нд новые станции. Колебания широт, т. е . дви
жения полюса, изучаются у нас во многих ме
стах, например в Полтаве, Москве, Пулкове,
Горьком, Иркутске.
Самая крупная астрофизическая обсервато
рия Советского Союза - Крымская. Кроме
огромного телескопа с зеркалом диаметром 2,6 м,
там имеется рефлектор с зеркалом 1,25 м . . Для
непрерывного изучения Солнца установлены
специальные башенные и другие телескопы.
В них следят за разными явлениями на Солнце,
фотографируют Солнце и его спектр, снимают
кинофильмы.
Особенно успешно астрономы А. Б. Север
ный и Э. Р. Мустель изучали здесь вспышкя
горячих газов на Солнце. Эти вспышки и другие
явления на Солнце они объяснили существо·
ванием в солнечной атмосфере переменного

RAK РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОЙ
ные скопления, переменные
звезды и звездные системы -
галактики.
Изучением
переменных
Симеиэская обсерватория (отделен 11е Крымской астроф11эической обсероатории
Академии наук СССР).
звезд Московская обсервато
рия,
ныне Институт име
ни П. К . Штернберга, про
славилась уже давно, поэтому
не удивительно, что в этом ин
ституте по поручению между
народного Астрономического
союза еще много лет назад под
руководством П. П . Паренаго
и Б. В. Кукаркина ведется ка
талогизация переменных звезд.
Их известны уже тысячи, сведе
ния о них ежегодно пополняются,
и все это надо держать на учете.
Для этого в институте заведены
тысячи карточек, куда внося тся
все данные о перем енных звез
дах. Здесь изучают также дви -
магнитного поля. На Крымской обсерватории
Н. А. Козырев наблюдал выделение вулкани
ческих газов на Луне. Видное место в работе
обсерватории занимает изучение блеска и цвета
множества звезд и исследование на этой
основе поглощения света и распределения
звезд в пространстве. Многие работы ведутся
при помощи точнейших электрофотометриче
ских методов, разработанных В. Б . Никоновым.
Особенно интенсивно изучаются здесь спектры
звезд. По ним определяется количественный
химический состав звезд и строение их ат
мосфер.
Крымскую обсерваторию создал покойный
академик Г. А. Шай н (см. стр. 208). Со своими
сотрудниками он открыл новым способом много
газовых туманностей и изучил их формы и физи
ческую природу. Телескоп обсерватории с диа
метром зеркала 2, 6 м носит имя Г. А . Шайна.
По соседству с Крымской обсерваторией
недавно разместилось ново е более скромное
научное учреждение - Крымская станция Го
сударственного астрономического института
им. П. К . Штернберга. Так как этот институт
находится в Москве на Ленинских горах и мно
гие астрономические наблюдения в условиях
большого города проводить невозможно, астро
номы института приезжают вести наблюде
ния в Крым или на горную станцию вблизи
Алма-Аты.
На Крымской станции изучают инфракрас
ные спектры планет и звезд, и особенно звезд-
06
жения звезд и структуру звезд
ных скоплений и галактик, выпускают много раз
ных каталогов.
На кафедре астрофизики института особенно
больших успехов добился И. С . Шкловский в об
ласти анализа наблюдений, получаемых радиоте
лескопами. Например, им была предсказана
возможность обнаружения радиоизлучения ней 
трального водорода, объяснена причина аномаль
ного радио излучения некоторых небесных тел.
В отделе планет института по фотографиям
обратной стороны Луны, полученным совет
ской межпланетной автоматической станцией,
создан первый глобус Луны. На кафедре небес
ной механики изучается, в частности, теория
движения искусственных небесных тел; здесь
есть счетная станция с электронными машинами.
Более мощная современная вычислительная
станция имеется в Ленинграде в Институте
теоретической астрономии, где также изучают
траектории искусственных спутников Зем,ли,
а также ведут важнейшую работу по составле
нию астрономических ежегодников (календа
рей), по вычислению орбит небесных тел и раз
рабатывают методы небесной механики. Воз
главляет институт М. Ф. Субботин.
На лесистом горном хребте, над курортом
Абастумани, расположилась большая обсер
ватория· Грузинской Академии наук. Здесь
благодаря заботам ее основателя Е. К . Харадзе
установлены самый крупный- диаметром 70 см
менисковый телескоп,
рефрактор диаметром:
40 см и другие приборы. Эта обсерватория астро-

ПО ОТЕЧЕСТВЕННЫМ ОБСЕРВАТОРИЯМ
Башни теле скопов Института астрофизики Академии наук Казахской ССР.
физичесl\ая. На ней изучают Солнце, иссле
дуют поглощение
света в пространстве,
и ведут массовую 1\лассифиl\ацию звездных
спеl\тров. Гостеприимные двери обсерватории
часто отl\рываются для советсl\ИХ и иностран
ных астрономов, мечтающих вести наблюдения
под южным небом Грузии.
Армянсl\ая Аl\адемия науl\ после войны по
строила мощную звездно-астрономичесl\ую об
серваторию на с1шоне горы Алагез (Арагац)
вблизи Еревана. Ее основатель и диреl\тор -
один из 1\рупнейших астрофизиl\ов мира, аl\аде
мик В. А. Амбарцумян - создал в СССР первую
школу теоретичесl\ой астрофизики. Амбарцумян
впервые выяснил многие законы свечения газо-
вых туманностей, создал теорию свечения Млеч
ного Пути, теорию прохождения света в мут
ных средах и др. За последни е годы особое
внимание ученых привлекли его исследования
происхождения и развития звезд и звездных
систем.
В. А. Амбарцумян обнаружил рассеянные
группы звезд, имеющих сходную физическую
природу. Он назвал их ассоциациями и при
вел доводы в пользу того, что это молодые,
сравнительно недавно возниl\шие звезды. Та-
1\ИМ образом Оl\азалось, что звезды непрерывно
образуются и в наше время.
В. А. Амбарцумян считает, что звезды nоз 
ниl\ают из еще неизвестного нам . сверхплот-
главный корпус в башни телескопов астрофизической обсерватории Академии на ук Армянской ССР.

КАК РАЗВИВАЛАСЬ НАУКА О ВСЕЛЕННОИ
войны обсерватория Нвзахской
Академии наук. Она основана
академиком В. Г. Фесевковым.
На ней установлен первый боль
шой менисковый телескоп. При
его помощи составлен прекрас
ный атлас газовых и пылевых
туманностей в полосе Млечного
Пути. В. Г . Фесенков широко
известен работами во многих
областя х астрономии: он изу
чал зодиакальный свет, падение
Сихотэ-Алинского
метеорита,
отражение света Лупой, дви
жения и цвет звезд, цепочки
звезд в Млечном Пути. Первым
в нашей стране он разрабатывал
вопросы происхождения солнеч
Башни телескопов Крымской
·
астрофизической •обсерватории.
ной системы, физической при
роды звезд, рассеяния света в зем
ной атмосфере и многие другие.
Студенты Московского rосударственноrо университета им. М . в . Ломоносова
11а практических аан11тн11х в Государственном а строномическом институте
нм. П . К. Штернберrа .
На небольшой обсерватории
в самой Алма-Ате Г. А. Тихов
положил начало астробиологии.
После войны этот виднейший
пулковский астрофизик, один
из первых исследователей точ
ного цвета звезд и солнечной
коровы, остался в Алма-Ате,
:куда эва:куировался во время
войны. Здесь он впервые стал
изучать спе:ктр света, отражен
ного растениями, и, сравнивая
его со светом, отраженным от
Марса, пытался выяснить, есть
ли растения на этой планете.
Не все его предположения в этой
области разделяются учеными.
Но работы Г. А . Тихова вы
звали у астрономов большой ин
терес :к вопросу о возможности
ного, дозвездного вещества путем его дробле
ния. И в этом заключается особенность его
взглядов. Идя дальше по этому пути, он защи
щает гипотезу, что и гигантские звездные
системы - галактики - также возникают пу
тем дробления сверхплотного вещества. При
этом возникают группы галактик, разлетаю
щихся во все стороны с большой скоростью.
Обсуждение этих воззрений и их проверка
являются одной из актуальнейших проблем
современной астрономии.
В предгорьях Тянь-Шаня, спускающихся
к Алма-Ате, раскинулась постро енная после
58
жизни на других планетах.
Две обсерватории есть в Киеве: старая -
университетс:кая и новая - У:Краинс:кой А:каде
мии наук. Первая невелика; на ней работает
видный астроном С. l\. Всехсвятский. Он дока
зал быстрое истощение :комет с коротким перио
дом обращения и изучил изменения блеска
многих из них. С . l\. Всехсвятский полагает,
что . кометы возникают путем вулканических
извержений с поверхности планет-гигантов или
их спутников. Взгляд этот, впрочем, имеет
мало сторонников. С. l\ . Всехсвятский - уче
ник известного астронома С. В . Орлова, преем
ника знаменитого Ф. А. Бредихина в области

изучения комет. Трудами С. В . Орлова завер
шилась разработка теории, объясняющей фор
мы комет законами механики. Теперь эта тео
рия развивается дальше уже на физической
основе.
Молодая обсерватория Академии наук Укра
инской ССР оснащена довольно хорошо. Она
ведет работы по опреде:1ению положений, блеска
и цвета светил при помощи фотографии. Ее
основал А. Я. Орлов, известный своими ис
следованиями колебаний земной оси, при
ливов в твердом тэле Земли и изучением силы
тяжести.
В последние годы благодаря заботам
В. П. Цесевича широко развернула работу
Одесская университетская обсерватория. В ней
ведутся исключительно обширные работы по
исследованию пере:ненных звезд и метеоров.
Такой же профиль работы имеет и обсервато
рия в Душанбе (Таджикская ССР).
Переменными звездами в прошлом довольно
много занималась и университетская обсер
ватория им. В. П. Энгельгардта под Казанью.
ПО ОТЕЧЕСТВЕННЫМ ОБСЕРВАТОРИЯМ
Д. Я . Мартынов изучил на ней ряд особенно инте
ресных звезд, периодически затмевающих друг
друга. Там же систематически следят за всеми
новооткрытыми кометами и изучают покачи
вание Луны вокруг ее оси (либрацию).
Ташкентская обсерватория сравнительно
старая. Она известна больше всего изучением
движений звезд в скоплениях, исследованиями
Солнца и переменных звезд.
Менее крупные, но в настоящее время быстро
растущие обсерватории имеются в Тарту, Риге,
Вильнюсе, Ростове, Харькове, в районе Ново
сибирска, в Свердловске, Николаеве, под
Кисловодском и в других местах.
Строится новая большая обсерватория на
горе Пиркули в районе Шемахи (Азербайджан
ская ССР).
В кратком обзоре невозможно дать полное
представление о большой и интересной работе
советских обсерваторий и ученых. Но и из
изложенного видно, как велика сеть наших
отечественных обсерваторий и какую разно
образную работу они ведут.
•

что
мы анАЕМ
О BCE.JIEHHOЙ
ЗВЕЗДНОЕ НЕБО
Не будет ошибкой сказать, что если бы звезд
ное небо было видно только с какого-нибудь
одного места Земли, то к этому месту непре
рывно шли бы толпы людей , чтобы полюбо
ваться великолепным зреJIИщем.
Для нас, людей ХХ в" звездное небо
представля ется особенно величественным · по
тому, что мы знаем природу звезд; ведь каждая
из них - это солнце, т. е . гигантский раска
ленный газовый шар.
60
**
*
Звезд на небе в темную ночь видно так
много, что, кажется, и сосчитать их нельзя .
Но астрономы задолго до изобретения телескопа
сосчитали все звезды, которые видны на небе
простым, или, как говорят, невооруженным,
глазом. Оказалось, что на небе (включая и небо
южного полушария ) в ясную безлунную ночь
можно увидеть при нормальном зрении около
6000 звезд.
Если внимательно поглядеть на звездное
небо, то нетрудно заметить, что звезды на нем
различны по своей яркости, или, как говорят

астрономы, по своему видимому блеску. Наи
более яр.кие звезды условились называть звез
дами 1-й звездной величины (название «звезд
ная величина» хара.ктери;:1ует не размеры звезд,
а толь.ко их видимый блеск). Звезды, .которые
по своему блеску в 2, 5 раза (точнее, в 2, 512 раза)
слабее звезд 1-й величины, получили наимено
вание звезд 2-й звездной величины. К звездам
3-й звездной величины отнесли звезды, которые
слабее звезд 2-й величины также в 2, 5 раза
. (опять-таки если говорить точно, то в 2, 512
раза) и т. д. Самые слабые по блеску звезды,
доступные невооруженному глазу, были при
чис.т�ены к звездам 6-й звездной величины -
они слабее звезд 1-й звездной величины
в 100 раз.
Всего на небе наблюдается 20 наиболее
ярких звезд, о .которых обычно говорят, что
это звезды 1-й величины. Но это не значит,
что они имеют одинаковый блеск. На самом
деле одни из них нес.коль.ко ярче 1-й величины,
другие нес.ко;�ь.ко слабее и только одна звезда
почти в точности 1-й величины. Такое же поло
жение и со звездами 2-й , 3-й и последующих
величин. Поэтому для точного обозначения
блеска той или иной звезды приходится при
бегать к дробям. Та.к, например, те звезды,
которые по своему блеску находятся посреди
не между звездами 1-й и 2-й звездной величи
ны, считают звездами 1, 5 звездной величины.
Есть звезды, имеющие звездные величины 1, 6;
2,3; 3,4; 5,6 и 1'. д.
Из 20 звезд, причисляемых к звездам
1-й величины, выделяется нес.коль.ко особенно
ярких звезд. Они гораздо ярче других звезд,
причисленных к 1-й величине. Для точного
обозначения их видимого блеска ввели нулевую
и отрицательные звездные величины. Та.к, на
пример, самая яркая звезда северного полу
шария неба - Вега - имеет блеск О, 1 звезд
ной величины, а самая яркая звезда всего
неба - Сириус - имеет блеск минус 1, 6 звезд
ной величины. (Это звезда южного неба, но она
видна и в большей части северного полушария
Земли. ) У всех звезд, .которые мы видим нево
оруженным глазом, и у очень многих более
слабых, .которые видны только в телескоп,
точно измерена их звездная величина.
Если на какой-либо участок звездного неба
посмотреть в бинокль, то уже можно увидеть
много слабосветящихся звездочек, не видимых
невооруженным глазом. В обычный театраль
ный бинокль видны звезды до 7-й звездной
величины, а в призменный полевой бинокль -
звезды до 8 - 9-й звездной величины. В теле-
ЗВЕЗДНОЕ НЕБО
скопы же видно множество еще более слабо
светящихся звезд. Так, например, в сравни
тельно небольшой телескоп (с поперечником
объектива 80 мм) видны звезды до 12-й звезд
ной величины. В более мощные современные
телескопы можно наблюдать звезды До 18-й
звездной величины. На. фотографиях, снятых
при помощи .крупнейших телес.копов, можно
увидеть звезды до 23"й звездной величины.
По блеску они в 6 млн. раз слабее самых слабо
светящихся звезд, .которые мы видим невоору
женным глазом.
Невооруженному глазу, как уже было ска
зано, на небе доступно о.коло 6000 звезд, а в
самые мощные современные телес.копы можно
наблюдать миллиарды звезд.
На звездном небе можно заметить яркие
и близко расположенные друг к другу звезды.
Если они напоминают собой ка.кую-либо фигуру,
их лег.ко запомнить. Такие группы звезд еще
в древности назвали созвездиями и .каждому
из них дали свое название (см. карту звездного
неба, стр. 64 - 65).
Созвездия на небе были выделены по при
знаку видимой близости звезд. Но эта близость
явление чисто перспективное. В действитель
ности же звезды одного и того же созвездия
могут быть удалены от нас на весьма различные
расстояния.
Звезды не стоят на небе неподвижно. Они
движутся в мировом пространстве. Но они
очень далеки от нас, и их перемещения в про
странстве (та.к называемые собственные движе
. ння звезд) незаметны Для глаза. Поэтому люди
из поколения в поколение видят те же созвез
дия, в .которых взаимное расположение звезд
ос'l'ается неизменным.
Очень интересно созвездие Большой Мед
ведицы. По расположению своих семи наиболее
ярких звезд оно напоминает ковш или .кастрю
лю. Большую Медведицу лег.ко отыскать на небе
во вся.кое время ночи, только в разное время
ночи и в разное время года это созвездие бывает
видно то низко (в начале вечера осенью}, то
высоко (летом}, то в восточной стороне небо
свода (весной}, то в западной (в конце лета).
По этому созвездию можно отыскать Полярную
звезду. Для этого надо через две крайние звезды
в передней стенке ковша провести прямую ли
нию. Эта линия и укажет Полярную звезду.
Под По.1
1
ярной звездой на горизонте всегда на
ходится точка севера. Если смотреть
на Полярную звезду, . то лицо обращено будет
.
к северу, за спиной будет юг, направо - восток,
налево - запад.
6:1

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
Соавеадие Цефе я.
Созвездие Большой Медведицы не ограни
чивается только семью звездами. Ковш и ручка
ковша - это только часть туловища и хвост
воображаемой фигуры Большой Медведицы,
которую прежде рисовали на звездных картах.
Передняя часть туловища и голова медведицы
находятся справа от ковша, когда ручка ков
ша обращена влево. Они, как и лапы Большой
Медведицы, образованы множеством слабых
звезд 3-й, 4-й и 5-й звездной величины.
Созвездие Большой Медведицы нужно знать
не только для отыскания на горизонте точки
севера, но и для начала поисков всех других
созвездий. Ориентируясь на уже знакомые очер
тания Большой Медведицы, легче разобраться
в окружающих звездных «узорах».
В кажд�м созвездии яркие звезды обозна
чаются буквами греческого алфавита: а(альфа},
� (бета), r (гамма}, о (дельта}, е (эпсилон),
� (дзета}, 11 (эта), & (тета), t (йоrа), х (каппа),
Л (ламбда}, f.L (ми}, v (ни), � (кси), о (омикрон),
7t (пи}, р (ро}, а (сигма), 't (тау), u (ипсилон},
<fi (фи), х (хи), ф (пси}, w (омега).
Если звезд в созвездии много и букв ал
фавита недостаточно, то прибегают к числовым
обозначениям, например: звезда 61 в созвездии
Лебедя. Наиболее ярким звездам с древних вре
мен присвоены собственные имена: Сириус,
Вега и др.
62
Звезды ковша Большой Медведицы также
имеют буквенные обозначения, они указаны
на карте звездного неба. Все эти звезды, кроме
о (дельты), 2-й звездной вел
-
ичины; о (дельта) -
3-й величины. Из них особенно интересна
средняя звезда в ручке ковша. Кроме буквен
ного обозначения, она носит и особое имя -
Мицар. Рядом с ней невооруженным глазоr.1
можно заметить слабенькую звездочку 5-й
величины - Алькор. Мицар и Алькор - наибо
лее легко наблюдаемая двойная звезда. Она
была известна еще средневековым арабсним
астрономам, которые и присвоили звездам эти
имена. В переводе с арабсного язына эти имена
означают «новь» (Мицар) и «всаднию> (Альнор).
Откуда же взялись тание странные назва
ния созвездий, например Большая Медведица?
Когда люди в древности наблюдали звезд
ное небо, они обратили внимание на отдельные
группы ярних звезд. Фантазия помогла в рас
положении звезд увидеть очертания сназочных
героев или животных. Поэтому почти с наждым
созвездием связаны наная-нибудь древняя
легенда или миф. Таи, например, у древних
гренов существовала легенда, что всемогущий
бог Зевс решил взять себе в жены прекрасней
шую нимфу Каллисто, одну из служанон боги
ни Афродиты, вопрени желанию последней.
Чтобы избавить Каллисто от преследований
богини, Зевс обратил Каллисто в медведицу
и взял н себе на небо. О Малой Медведице
древние грени рассказывали, что это янобы
любимая собана Каллисто, обращенная в мед
ведицу вместе со своей хозяй ной. Позднее,
Соавеадие Пеrаса.

Соввевдие Авдро11едw.
уже независимо от этой легенды, именем Кал
листо астрономы назвали одного из спутников
планеты Юпитер.
О созвездиях Кассиопеи, Цефея, Андромеды,
Пегаса и Персея сложилась другая легенда.
Когда-то, в незапамятные времена, у мифиче
ского царя эфиопов Цефея была красавица
жена - царица Кассиопея. Однажды Кассио
пея имела неосторожность похвастать своей
красотой в присутствии нереид - мифических
жительниц моря. Обидевшись, завистливые
нереиды пожаловались богу моря Посейдону,
и он напустил на берега Эфиопии страшное
чудовище - кита. Чтобы откупиться от кита,
опустошавшего страну, Цефей, по совету ора
кула, вынужден был отдать на съедение чудо
вищу свою любимую дочь Андромеду. Он при
ковал ее к прибрежной скале, и каждую минуту
Андромеда ожидала, что из морской пучины
вынырнет кит и проглотит ее.
В это время мифический герой древней
Греции Персей совершал один из своих подви
гов: он проник на уединенный остров на краю
света, где обитали три страшные женщины -
горгоны с клубками змей на голове вместо
волос. Взгляд горгоны превращал в камень
все живое. Воспользовавшись сном горгон,
Персей отсек голову одной из них по имени
Медуза, и из разрубленного тела ее выпорхнул
крылатый конь Пегас. Две другие горгоны,
проснувшись, хотели броситься на Персея,
но он вс�очил на крылатого Пегаса и, держа
ЗВЕЗДНОЕ НЕБО
в руках драгоценную добычу - голову Медузu.
полетел домой. Пролетая над Эфиопией, Персей
заметил прикованную к скале Андромеду.
К ней уже направлялся кит, вынырнувший из
морских пучин. Персей вступил в смертельный
бой с чудовищем. Ему удалось одолеть кита
лишь после того, как он направил на него леде
нящий взгляд мертвой головы Медузы. Кит
окаменел и превратился в небольшой остров,
а Персей, расковав Андромеду, привел ее
к Цефею и женился на ней. Главных героев
этого мифа фантазия древних греков поместила
на небо. Тан появились сохраня ющиеся и те
перь названия созвездий Цефея, Кассиопеи�
Андромеды, Пегаса, Персея.
Вращение авеадпого пе«Jа
Днеи по небосводу движется Солнце. Оно
восходит, поднимается все выше и выше, по
том начинает опускаться и заходит. Нетрудно
убедиться, что и звезды тоже перемещаются
по небосводу.
Выберите для наблюдения такое место,
откуда небо хорошо видно, и заметьте с него,
Соввевдве Персея.
83

ЧТО МЫ· ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
Соввезnпв Кассяопев;
над какими предметами, видимыми на горизон
те (домами или деревьями), Солнце видно утром,
в полдень и вечером. Придите на это место после
�ахода Солнца, заметьте наиболее яркие звезды
в тех же сторонах неба и отметьте время наблю
дения по часам. Если вы придете на то же
место через час или два, то убедитесь, что все
замеченные вами звезды переместились слева
направо. Так, звезда, которая находилась
в стороне утреннего Солнца, поднялась на небо
своде, а звезда, :которая была в стороне вечер
него Солнца, опустилась.
Все ли звезды движутся по небосводу?
Оказывается, все, и притом одновременно.
Можно с:казать, что все небо с находящимися
на нем звездами :ка:к бы вращается :каждые
сутки во:круг нас.
Ту сторону неба, где Солнце вищю в пол
день, называют южной, противоположную -
северной. Понаблюдайте в северной стороне
неба еначала над звездами, близ:кими к горизон
ту, а потом над более высокими. Вы увидите,
что чем выше от горизонта звезды, тем менее
заметно их передвижение. На небе можно
64
найти и такую звезду, передвиженИ:е :которой
в течение всей ночи почти незаметно, и чем бли
же :к этой звезде другие звезды, тем менее за
метно их движение. Эту звезду назвали По
лярной,
мы уже знаем, :ка:к найти ее
по звездам Большой Медведицы.
Когда мы смотрим на Полярную звезду,
точнее, на неподвижную точку рядом с ней -
насеверный полюс мира,направле
ние нашего взгляда совпадает с направлением
оси звездного неба. Сама оеь вращония звезд
ногонебаназываетеяосью мира.
Вращение неба во:круг Земли - явление
кажущееся. Причина его за:ключается во вра
щении Земли. Подобно тому :ка:к челове:ку,
:кружащемуся по :комнате, представляется,
будто вся :комната :кружится во:круг него, та:к
и нам, находящимся на вращающейся Земле,
кажется, что вращается небо. В древности,
наблюдая еуточное вращение неба, люди сде
лали глубоко ошибочный вывод, что звезды,
Солнце и планеты ежесуточно обращаются
во:круг Земли. На самом же деле, :ка:к это уста
новил в XVI в. Коперник, видимое вращение
звездного неба - только отражение суточного
вращения Земли во:круг своей оси. Одна:ко
звезды все же движутся. Не так давно астрономы
установили, что все звезд ы нашей Галактики дви
жутся с разной скоростью вокруг ее центра (о Га
лактике рассказа но в статье «Звезды и глубины
Вселенной »).
Воображаемая ось, вокруг :которой вращает
ся земной шар, пересе:кает поверхность Земли
вдвух точках. Эти точки - Северный и Юшный
географические полюсы. Если продолжить на
правление земной оси, она пройдет вблизи
Полярной звезды. Вот почему Полярная звезда
:кажется нам почти неподвижной.
На южном звездном небе, которое в нашем
северном полушарии из-за шарообразной фор
мы Земли видно лишь частично, находится
вторая неподвижная точка неба - южный
полюс мира.Во:кругэтойточ:кивращают
ся звезды южного полушария.
Познакомимся более подробно с кажущим
ся суточным движением 3везд. Повернитесь
лицом :к южной стороне горизонта и наблюдай
те за движением звезд. Для того чтобы наблю
дения было удобнее проводить, представьте
себе полуо:кружность, :которая проходит через
зенит(точкапрямонадголовой)иполюс
м и р а. Эта полуокружность (небесный мери
диан) пересечется с горизонтом в точке севера
(под Полярной звездой) и в противоположной
ей точке юга. Она делит небосво,1;1; на восточную

и западную половины. Наблюдая за движением
звезд в южной части неба, мы заметим, что
звезды, расположенные слева от небесного
меридиана (т. е. в восточной части неба), под
нимаются над горизонтом. Пройдя через небес
ный меридиан и попав в западную часть 1;1еба,
они начинают опускаться к горизонту. зн
·
ачит,
когда звезды проходят через небесный мери
диан, они достигают своей наибольшей высоты
nо••
зЕм••
i
Схема видимого
движения авеад
отиосите11ьио rо
риаоита д11я иа
б11юдате11я в сред-
них широтах.
·i . схема видимоrо
движения авеад
отиосите11ьио rо
риаоита д11я 11а
б11юдате11я
на
11011юсе
Зем11и.
2. Схема видимоrо
движения авеад
отиосите11ьио rо
риаонта д11я на
б11юцвте11я на ак-
1111торе Зем11и.
над горизонтом. Астрономы называют прохож
дениезвездычерез наивысшее положение
надгоризонтомверхней кулЪмина
ц и е й данной звезды.
Если вы повернетесь лицом к северу и. ста
не re наблюдать за движениями звезд в северной
части неба, то заметите, что звезды, проходя
щие через небесный меридиан ниже Полярной
звезды, в этот момент занимают наиболее
низкое положение над горизонтом. Двигаясь
•5д.э.т.'2
ЗВЕЗДНОЕ НЕБО
слева направо, они, пройдя небесный меридиан,
начинают подниматься. Когда звезда прохо
дит через наинизшее из возможных положений
над горизонтом, астрономы говорят, что звезда
находится в нижней к уль мина ц и и.
Среди созвездий, видим�1х в нашей стране,
есть такие; которые, ДвигаЯ:сь вокруг полюса
мира, никогда ·не заходят за горизонт. Это
нетрудно проверить наблюдениями: в зимние
месяцы созвездие Большой Медведиць� в момент
наинизшего положения в течение суток видно над
г
.
оризонтом.
По не тольl)о Большая Медведица оказы-
-
ul
1Jается незаходящим созвездием для жителеи
СССР. ЗвездЬl Малой Медведицы, Кассиопеи,·
Дракона, Цефея, близко расположенные к
северному полюсу мира, также никогда не
заходят, например, за московс•шй горизонт.
Это незаходящие звезды.
Наряду с· ·llезаходящимк звездами есть и
такие, ко-rорые ·ни:когда не восхuдят над нашей
страной. Н · ним относятся многи�. звезды юж-
ного полушария неба.
·
Небо, пор;обно· земному шару, мысленно де
лится на два полушария воображаемой окруж
ностью, все точки которой отстоят от полюсов
мира ·на одинаковом расстоянии. Эта окруж
ность называется небесным эквато
ром. ·
Она пересекает линию горизонта в точ
ках востока и· запада.
Все звезды ц течецие суток описывают пути,
параллельные небесному экватору. То полуша
рие неба, в котором находится Полярная звез
да, называется северным, а другое ·полуша
рие - южным.
Вид авеадвою не'а в разных
иестах Зеио1
1
в
В разных местах земного шара небо выгля
дит различно. Оказывается, вид звездн.ого неба
за:висит от того, 1щ какой параллели находится
наблюдатель, иначе гово
.
ря,. какова· географи
ческая широта места наблюдения. УглQвое
возвышенuе полiоса мира (или, приближенно,
Полярной звездЬl:) над горизонтом в с е г Д а
р а в но геоrрафической широте места.'
Если из МоСRвы вы отправи'тесь в путеше
ствие на Северный полюс, то по мере продвиже
ния заметите, что Полярная ·звезда (или полюс'
мира) становится все выше· и выше над гори-·
зонтом. Поэтому все большее и большее ноли
чество звезд оказывается незаходящими.

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
Соавеадия, видимы е в средних широтах в южной поповине неба петом.
IO.r
ЗАПАД
Соавеадия, видимые в средних широтах в южной поповине неба осенью.
Соsвеадия, видимые в средних широтах в южно й поповине неба зимой.
80
Вот, наконец, вы· прибы
ли на Северный полюс. Здесь
расположение звезд совсем не
такое, как на московском небе.
Географическая широта Се
верного полюса земного шара
равна 90°. Значит, полюс мира
(и Полярная звезда) будет на
ходиться прямо над головой -
в зените. Нетрудно сообразить,
что небесный экватор будет
здесь.• на Северном полюсе, сов
падать с линией горизонта. Бла
годаря этому на Северном полю
се вы увидите необычную кар
тину движения звезд: переме
щаясь всегда по путям, парал
лельным небесному экватору,
звезды движутся параллельно
горизонту. Здесь все Звезды се
верного полушария неба будут
незаходящими,аюжно
го-невосходящими.
Если теперь вы мысленно
перенесетесь с Северного по
люса на земной экватор, _то
увидите совершенно иную кар
тину.
По мере вашего продви
жения на юг широта места и,
следовательно, высота полюса
мира (и Полярной звезды) нач
нут уменьшаться, т. е. Поляр
ная звезда будет приближать
ся к горизонту.
Когда вы окажетесь на зем
ном экваторе, географическая
широта любой точки которого
равна нулю, увидите такую кар
тину: северный полюс мира
очутится в точке севера, а не
бесный экватор станет перпен
дикулярным к горизонту. В точ
ке юга будет находиться южный
полюс мира, расположенный в
созвездии Октанта.
Все звезды на земном эква
торе в течение суток описыва
ют пути, перпендикулярные го
ризонту. Если бы не было Солн
ца, из-за которого нельзя видеть
звезды днем, то в течение су
ток на земном экваторе можно
было бы наблюдать все звезды
обоих полушарий неба.

Иаиенеиие вида
авеадиоrо неба
в течение года
В разные времена года по
вечерам можно наблюдать раз
ные созвездия. Отчего это про
исходит?
ЛУНА
Чтобы уяснить это, прове
дите некоторые наблюдения.
Вскоре после захода Солнца за
метьте в западной части неба
низко над горизонтом какую
нибудь звезду и запомните ее
положение по отношению к го
ризонту. Если приблизительно
через неделю в тот же час суток
вы попробуете отыскать эту
Соавеадия, видимые в
.
средних широта х в южной половине неба весной .
звезду, то заметите, что она теперь стала ближе к
горизонту и почти скрывается в лучах вечерней
зари. Это произошло потому, что Солнце при
близилось к данной звезде. А через несколько
недель звезда совершенно скроется в солнечных
лучах и ее нельзя будет наблюдать по вечерам.
Когда пройдет еще 2-3 недели, то та же самая
звезда станет видна по утрам, незадолго до
восхода Солнца, в восточной части неба. Те
перь уже Солнце, продолжая свое движение
с запада на восток, окажется восточнее этой
звезды.
Такие наблюдения показывают, что Солнце
не только движется вместе со всеми звездами,
в течение суток восходя на востоке и заходя
на западе, но еще и медленно перемещается
среди звезд в обратном направлении (т. е .
с запада на восток), переходя из созвездия
в созвездие.
Разумеется, то созвездие, в котором в дан
ный момент находится Солнце, вы наблюдать
не сможете, так как оно восходит вместе с Солн
цем и движется по небу днем, т. е. тогда, когда
звезды не видны. Солнце своими лучами га
сит звезды не только того созвездия, где оно
находится, но и все другие. Поэтому наблю
дать их нельзя.
Путь, по которому Солнце перемещается
среди звезд в течение года, называется экл 11 п
т и к о й. Он проходит по двенадцати так
называемымзодиакальным созвез
д и я м, в каждом из которых Солнце ежегодно
бывает приблизительно по одному месяцу.
Называются зодиакальные созвездия так: Рыбы
(март), Овен (апрель), Телец (май), Близнецы
(июнь), Рак (июль), Лев (август), Дева (сен
тябрь), Весы (октябрь), Скорпион (ноябрь),
5•
Стрелец (декабрь), Козерог (январь), Водолей
(февраль). В скобках указаны месяцы, когда
в этих созвездиях находится Солнце.
Годичное движение Солнца среди звезд
кажущееся. На самом деле движется сам наблю
датель вместе с Землей вокруг Солнца. Если
в течение года по вечерам мы будем наблюдать
звезды, то обнаружим постепенное изменение
звездного неба в познакомимся со всеми соз
вездиями, которые видны в различное время
года.
•
Ha'm естественныll спутник
Луна - природный спутник Земли. Люди
видели ее на небе с незапамятных времен, и еще
древние ученые совершенно правильно полага
ли, что она обращается вокруг Земли и делает
полный оборот вокруг нее приблизительно за
один месяц. Но ученые древности не объясняли,
почему Луна, непрерывно вращаясь вокруг
Земли, не падает на нее и не улетает прочь
в мировое пространство.
Только много веков спустя ответ на этот
вопрос дал английский ученый Ньютон. Он
установил, ч•о движением всех небесных тел
управляет сила притяжения (см. стр. 38).
Например, Земля движется по своей орбит�
под влиянием притяжения Солнца, а Луна -
под действием притяжения Земли.
61

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
Теперь движение Луны изучено достаточно
хорошо, и можно очень точно вычислять на
много лет вперед положение ее на небе в любой
час любого дня. Точно определены также рас
стояние Луны от Земли, размеры Луны, ее
масса.
Луна интересна для нас прежде всего тем,
что она самое близкое к нам небесное тело
(искусственные спутники, как тела недолго
вечные, здесь, коне'J.Но,в счет не идут). Расстоя
ние до нее в среднем составляет 384 400 км.
По сравнению с теми расстояниями, к которым
мы привыкли на Земле, это, конечно, много,
нопоср
.
авнщшю с удаленностью других косми
ческих тел -'-
-
Солнца и планет (не говоря уже
о звездах) - почти рядом. Скорый поезд
проехал бы расстояние от Земли до Луны при
мерно за пять месяцев, до Солнца - за 165 л.ет,
а наши космические ракеты-«Луна-11>,«Луна-2»,
t{<Луна731>- долетели до Луны за двое суток.
Часто. спрашивают: почему многие искус
,f;твенные спутники после нескольких месяцев
движения вокруг Земли обязательно падают
· и сгорают, а Луна кружится вокруг Земли уже
.не один миллиард лет и будет продолжать свое
· движение еще <>чень долго?
.Ответ прост: все дело в расстоянии от Земли.
Зем;ной шар окружен атмосферой, и чем даль
ше от земной поверхности, тем меньше плотность
:в"Qздуха. На тех высотах, где движутся искус
ственные спутники, плотность воздуха очень
мала, но все же сколько-то воздуха там есть.
Воздух тормозит движение спутника
'
, от этого
энергия, сообщеннаЯ спу;rнику зарядом ра
кеты, теряется, и в конце концов он падает
на Землю.
Другое дело Луна. Ее орбита расположена
на таком расстояни'и от Земл:и, ·где никакого
воздуха уже нет. Поэтому движение Луны
ничто не тормозит и ее обращение· вокруг Зем
' ли благодаря инерции будет продолжаться
очень и очень долго.
Луна видна на небе в виде кружка, диска.
· Если не считать изредка появляющихся боль
ших комет, то только два светила - Солнце
·и Луна-для невооруженного глаза имеют вид
·дисков. Все остальные представляются нашему
взору как светлые точки.
Если измерить видимый поперечник лун
ного д:Иска (он приблизительно составляет поло
вину градуса) и знать расстояние до Луны, то
моЖно вычислить истинный поперечник' Луны.
О!\азывается, он почти в 4 раза меньше попереч
ника :Земли И равен 3473 км. Это значит, что
площадь поверхности Луны составляет всего
'о&
7,5 % от площади земной поверхности (она
несколько меньше площади Азии и почти равна
общей площади Северной и Южной Америки),
а объем лунного шара в 50 раз меньше объема
земного шара. Из нашей Земли можно было бы
«изготовиты>
50 шаров, каждый размером
с Луну. Масса Луны в 82 раза меньше массы
Земли-значит, плотность Луны значительно
меньше плотности Земли. Если бы из вещества
Земли были сделаны 82 одинаковых шара, то
каждый из них имел бы вес одной Луны, но
был бы меньше ее по объему
Масса определяет ту силу, с которой данное
небесное тел
.
о притягивает все предметы. Рас
чет показывает, что сила тяжести на поверх 
ности Луны в 6 раз слабее, чем на поверхности
Земли. Это значит, что любой предмет, пере
несенный с Земли на Луну, будет там в 6 раз
легче, чем на Земле. Однаnо так будет на пру
жинных весах; если же взвешивать на Луне
грузы на обычных весах с гирями, то они пока
жут тот же вес, что_ и на Земле, потому что
и грузы, и гири станут легче в одинаковое
число раз.
Хотя Луна и невелика, но ее приtяжение
заметно и на Земле. Это особенно сказывается
в явлении приливов на земных океа1:1ах и морях
(см. стр. 41).
Провсхоmдеиве еJ
J
уииого света
В отличие от Солнца, Луна бывает круглой
(или полной) примерно один раз в месяц.
В остальное время мы ее видим «с ущербом>),
причем с каждым днем ее видимая часть ме
няется, либо возрастая, либо убывая. Эти всем
знакомые перемены видимого облика ЛунЫ
называют сменой лунных фаз. Отчего они
происходят?
Когда-то на этот вопрос люди отвечали сказ
ками, легендами. Например, говорили, что
Луна - это живое существо, которое каждый
месяц нарождается и постепенно растет. А ког
да она возрастет до полного круга, то ее начи
нает преследовать злой дух и каждый день отре
зает от нее по ломтику. Или что «от старой»
Луны каждый день отламывают по кусочку,
который по'Гом крошат на звезды. Но уже древ
ние ученые знали, в чем действительная
причина перемен вида Луны. Дело в том, что
Луна своего собственного света не излучает;
Она сияет на небе, так сказать, за чужой счет,
отражая к нам лучи Солнца.

Луна появляется не только ночью, но Зача
стую и днем. Тогда она представляется бело
ватым пятнышком на голубом фоне неба, и
сразу становится понятно, что она не светлее
обычных предметов, например земных камней
или скал. Ночью Луна кажется очень яркой
только потому, что вокруг темно, а ее поверх
ность залита сильным солнечным светом.
Но Солнце освещает только одну половину
лунного шара - ту, которая к нему обращена.
На этом полушарии Луны день. На другую поло
вину лунного шара солнечные лучи не попадают,
там ночь, темно, и потому эту неосвещенную
часть диска нам не видно.
Таким образом, изменение формы Луны -
явление кажущееся. На самом деле Луна,
конечно, всегда шар, всегда круглая. Меняет
ся только расположение света и темноты
на обращенном к нам полушарии Луны. Это
видно, когда Луна имеет вид узкого серпа.
В таких условиях удается рассмотреть и осталь
ную, темную часть диска. Она слабо светится
на фоне неба за счет так называемого пепель
ного света. Откуда этот свет там берется?
От Земли. Ведь наша планета, получая солнеч
ный свет и отражая его от себя, при известных.
условиях довольно сильно освещает ночную
сторону лунного шара.
Из всего сказанного следует, что у серпа
((МО.Jiодой» Луны одна его сторона - выпук
лая - действительный край л'унного полуша
рия, а другая сторона - вогнутая - вовсе не
граница полушария, а только граница его осве
щенной и неосвещенной частей. Этой границе,
или линии, разделяющей освещенную и неосве
щенную часть Луны, дали название те рми
н ат о р. Для тех мест на Луне, по которым
На .Jlyne не всё иевьше аеипого
Луна гораздо меньше Земли- ее диаметр
3473 "." , а площадь обоих полушарий несколько
меньше площади Азии и примерно равна площади
всей Америки. Самые большие лунные «Моря»
меньше земных морей средней величины. Но ато
не значит, что на Луне нет ничего грандиозного в
нашем, земном масштабе. Например, некоторые
«цирки» на Луне имею т диаметр 150-200 пм.
Этого нет 11а Земле. Самые высокие горы на Луне
достигают 8 пм. Они почти такие же высокие, как
высочайшие горы на Земле. А зто значит, что лун
ные горы по сравнению с размерами самой Луны
гораздо выше земных гор, еми их сравнивать с
размерами Земли. Чтобы при таком сравнении
высочайшие земные горы соответствовали самым
высоким лунным, они должны подниматься на
32-33 "..
.
.
ЛУНА
проходит терминатор, Солнце либо во
.
сходит,
либо заходит, и, значит,день там или начинает
ся, или заканчивается. Терминатор постепенно
перемещается по диску Луны. В этом и состоит
явление смены лунных фаз.
Луна светит отраженным солнечным светом,
и если бы Солнце вдруг перестало светить, то
погасла бы и Луна. Однако Солнце светит
всегда, а Луна иногда гаснет, что бывает во
время лунных затмений (см. с .тр. 87).
.Jlуиные фазы и е1
1
увные иесяцы
Остановимся на фазах Луны более подроб
но. Для этого посмотрим на рисунок, на кото
ром изображены Земля, лунная орбита и раз
личные положения Луны на орбите; предпола
гается, что Солнце светит сверху.
В положении 1 Луна располагается прибли
зитещ.но между Землей и Солнцем. Она повер
нута к нам своим темным полушарием, и на
небе ее совсем не видно. Эту фазу называют
новолунием - кажется, что взамен прежней
Луны нарождается новая.
Двигаясь по орбите в направлении, показан
ном стрелкой, Луна отходит or Солнца влево.
и нам становится видна небольшая часть днев
ной, т. е. светлой, стороны ее шара. Она выгля
дит очень узким серпом, который мы называем
«молодая луна». Он бывает виден с вечера, сра 
зу после заката Солнца.
С каждым днем Луна отодвигается от Солн
ца все дальше влево . и ширина серпа постепен
но увеличивается. В ·положении 11 направления
Земля-Луна и Земля-Солнце образуют пря
мой угол. Такое положение называют «первая
четверть». В это время освещена ровно половина
видимого с Земли полушария, а терминатор
делит диск пополам.
Между 11 и 111 положениями освещено уже
больше половины диска Луны, и она выглядит
как бы одутловатой. Ппложение 111 называется
полнолунием. Луна в этом полож�И'ии распоJiа
гается в стороне неба, противоположной Солн
·цу, диск ее освещен весь и потому дает наи
более сильный свет. Полная Луна восходит
во время заката Солнца и заходит с его восхо
дом, так что она светит всю ночь.
После полнолуния Луна проходит часть
своего пути между точ:ками 111 и IV. С вечера
ее не видно, она. восходит ближе к полуночи
и опять освещена не полностью, причем с каж
дым днем ее светлая часть убывает. В положе-
69

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
нии IV, которое называется «последняя чет
вертм, светлой остается только половина диска.
Приближаясь к Солнцу на участке IV-1,
Луна снова обращается в серп. Только теперь
он повернут горбиком не вправо (как это было
при «молодой» Луне), а влево, и появляется
такой серп не с вечера, а под утро, на рассвете.
Через 291/2 суток Луна снова приходит
в положение 1 и наступает очередное новолу
ние. Таким образом, новолуния (а также и пол
нолуния) повторяются через определенное
время, которое, если его написать более точно,
составляет в среднем 29 суток 12 часов 44 ми
нуты 2,8 секунды и называется лунным или
синодическим месяцем.
Луна к нам так близка, что даже невоору
женным глазом на вей моЖно различить неко
торые подробности. Rаждый видел на ее свет
.1ом лике узор из сероватых пятен. Гл�дя на эти
пятна, люди задумывались, что же это такое.
По этому поводу придумано немало сказок,
Фа:�ы Луны. Вид Луны иэ11еияется потому, что во время дви
жения Луиы вокруr Земли меняются условия освещения
Луны.
70
мифов, но уже давно были высказаны и различ
ные научные предположения. Одно из них
сводилось к тому, что на Луне, как и на Земле,
есть моря и океаны. Они будто бы и составляют
темный рисунок на лунном диске.
Такое предположение казалось правдопо
добным, и составители первых лунных карт наз
вали темные местности на Луне «морями». Для
каждого из этих пятен придумали собственные
имена. Так на лунных картах появились: Море
Ясности, Море Дождей, Море Изобилия. Ответвле
ния морей называли «заливами», обособленные
небольшие темные пятна - «озерами», а самое
обширное пятно, расположенное в левой поло
вине лунного диска, получило наименование
Океана Бурь. Светлому фону, на котором рас
полагаются все эти «моря», дали общее наиме
нование «материки».
Все это как будто означало, что Луна по
своей природе очень похожа на Землю, поверх
ность которой тоже состоит из океанов и суши.
Но только у нас суши меньше, чем воды, а на
Луне, наоборот, площадь светлых «материков»
оказывалась больше площади темных «морей» •
Но правда ли, что эти лунные «моря» настоя
щие водоемы?
Ответ на этот вопрос впервые дал Галилей.
Наблюдая Луну в построенный им телескоп,
Галилей убедился, что поверхность «морей»
и <<Океанов» на Луне совсем не такая ровная,
какой должна быть водная гладь океана. На
«морях» легко можно заметить различные неров
ности, отдельные холмы или пологие возвышен
ности вроде невысоких валов и гряд. Из этого
Галилей сделал вывод, что темные местности на
Луне - совсем не вода, а тоже суша. Это как
бы равнины или низменности, расположенные
среди гористых светлых областей - «матери
ков».
Но есть ли на Луне настоящие моря или хо
тя бы озера, речки? Нет, на Луне воды не имеет
ся. Вся лунная поверхность - сплошная суша •
.Jlуииые горы
Светлые области на Луне, условно называе
мые «материками», гористы. Лунные горы хоро
шо видны даже в маленький телескоп, напри
мер в телескоп школьного типа. Только смот
реть их надо не во время полнолуния, а когда
Луна освещена примерно наполовину, потому
что горы и прочие неровности отчетливо вы
ступают только у границы дневной и ночной

сторон лунного шара, у терминатора. Солнеч
ные лучи там скользят· вдоль поверхности,
и потому всякая неровность дает длинную чер
ную тень. Эти тени и позволяют хорошо рас
смотреть весь рельеф поверхности, они сразу
показывают, где высокая гора, а где глубокая
долина. По мере того как Луна движется по
своей орбите, линия терминатора перемещается
по лунной поверхности и потому все новые
местности попадают в зону косого освещения.
Завтра терминатор будет проходить не там,
где он был сегодня, и потому на нем окажутся
уже другие горы и иные равнины. Наблюдая
Луну каждую ночь, можно шаг за шагом за две
недели изучить все ее горные местности.
Наблюдения такого рода очень увлекатель
ны. Вот терминатор пересекает равнину лунного
«морю>, крупных неровностей на нем нет. По
смотришь снова через час или два и вдруг
видишь, что на темной части диска зажглась
яркая светлая точка, как бы звездочка. Что это?
А это вершина высокой горы, которую осве
тило Солнце, хотя окружающая местность
пока тонет во мраке. Еще немного - и по
явятся новые светлые точки, которые вместе
с первой образуют целую цепочку. Это ряд
вершин, венчающих горный хребет. Через
некоторое время точки сливаются в светлую
линию - гребень хребта, пока еще отделенную
от терминатора темной долиной. Завтра терми
натор дойдеr до хребта и перейдет за него.
Склон хребта сольется с залитой солнечными
лучами долиной, и в сторону передвинувшегося
терминатора ляжет зубчатая тень.
Ученые давно изучают форму и строение
лунных гор и по длине тени определяют их
высоту. Оказалось, что на Луне есть горы того
же типа, который мы видим и на Земле, как,
например, отдельные остроконечные вершины
или вытянутые горные хребты и цепи. Самые
высокие горы на Луне возвышаются на восемь
километров - почти как и высочайшие вер
шины на Земле. Но, кроме известных нам
горных образований, на Луне есть и такие,
каких у нас нет. Это - круглые горы, вернее,
горы, имеющие форму кольца. Такие горы назы
вают цирками и кратерами.
Цирк - это горный хребет, который обра
зует правильное кольцо, составляющее вал.
Этоr вал окружает совершенно ровную и глад
кую круглую площадку, которую называют
дном цирка.
Кратер отличается от цирка тем, что в его
центре возвышается огромная коническая
гора.
ЛУНА
Фотография Луны в первой четверти . Темные пятна - «МО·
ря» , светлые - матер ики. На. фотографии хорошо видны
горы и кратеры.
Цирков и кратеров на Луне очень много,
све"Iлая поверхность материков местами сплошь
усеяна ими, так что кольцевые валы громоз
дятся друг на друга.
Астрономы условились называть лунные
кратеры и цирки именами великих ученых. Так,
один из самых крупных и красивых кратеров
называется Коперник, другой - Кеплер, тре
тий-Ньютон и т. д.
Как образовались на Луне кольцевые горы,
еще неизвестно. Некоторые ученые считают,
что кратеры - это особого рода вулканы, кото
рые с огромной силой действовали и на Луне,
и на Земле вскоре после их возникновения.
На Земле они потом были разрушены дейст
вием воды и воздуха, а на Луне сохранились
до наших дней. Другие ученые предполагают,
что цирки и кратеры возникли в результате
падения на Луну огромных метеоритов. Такой
небесный камень падал на лунную поверхность
71.

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
Схема видимого с Земли полушария Луны.
Наиболее заметные кратеры: 1-Тихо, 2- Гримальди, 3- .Кеп
лер, 4- Аристарх, б- .Коперник, 6--: Архимед, 7-Платои, 8-
Манилий, 9 - Посидоиий, 10 - Лангрен, 11 - Петавий, 12 -
Фурнерий.
Невидимая с Земли сторона Луны. Сфотографирована сов ет
окой автоматической межпланетной станцией 41 октября t9Б9 г.
с огромной сRоростью, составляющей десятRи
Rилометров в сеRунду. При падении получался
удар очень большой силы, сопровождавшийся
мощным взрывом.
Крупные метеориты иногда падают и на Зем
лю. В этом случае на месте их падения полу
чаются огромные воронRи,по форме напоминаю
щие лунные Rратеры. Но на Земле они посте
пенно разрушаются действием воды и воздуха,
в то время каR на Луне всяRий след от метео
ритного удара сохраняется. За несRолько мил
лиардов лет, на протяжении Rоторых сущест
вует Луна, их могло наRопиться много.
Будущ}lе исследователи поRажут, RaRaя из
этих двух гипотез правильно объясняет про
исхождение лунных гор.
Ви,z1;ииав и веви,z1;ииав стороны .Jlувы
-Узор, Rоторый серые пятна «морей» образу
ют на лунном дисRе, легRо запоминается, тем
более что он придает полной Луне неRоторое
сходство с улыбающейся . физиономией. Но вот
что удивительно: Rогда бы мы ни посмотрели
на Луну - ночью или днем, зимой или летом,
в полнолуние или при другой фазе, - мы всегда
увидим на ней все те же столь хорошо извест
ные нам очертания темных пятен. Было бы есте
ственно, чтобы Луна, вращаясь вокруг своей
оси, была обращена R нам то одной, то другой
стороной. Но этого нет. Почему? Из-за особен
ностей движения Луны.
Луна движется по своей орбите воRруг
Земли и вместе с тем вращается вокруг своей
оси. Но воRруг оси она вращается таR, что
всегда остается повернутой R нам одной и той
же стороной. Поэтому одна половина лунного
шара с Земли всегда видна, а другая никогда
не видна.
Легче всего представить движение Луны
воRруг своей оси, если вспомнить хоровод.
В нем учас:гниRи, взявшись за руки, кружатся
вокруг того, кто стоит в центре Rруга, и при
этом все время обращены R нему лицом. А по
отношению R оRружающим предметам, напри
мер к окну или двери, Rаждый поворачивается
то спиной, то лицом.
Выражаясь более строго, можно сRазать:
эта замечательная особенность движения Луны
состоит в том, что время, за которое Луна обхо-
1
Фотография полной Луны.
Н
.
а об о р о те: Горный хребет на· Луне.
-
�

Jlуивые кратеры.
дит вонруг земного шара, в точности равно тому
времени, за ноторое Jlyнa делает полный обо
рот вонруг своей оси.
Конечно, таное точное равенство не может
быть случайным. Предпола гают, что когда-то
очень давно, быть может, миллиарды лет назад
Луна вращалась вокруг своей оси быстрее. Но
действие земного притяжения тормозило это
вращение до тех пор, пока его период не стал
равным периоду оборота Луны вокруг Земли.
Для изучения природы Луны такое поло
жение вещей порождает большие затруднения.
Ученые точно измеряют широту и долготу
разных деталей на Луне, находят высоту
лунных гор и глубину впадин, определяют
яркость и цвет отдельных пятен, издают подроб
ные карты и атласы лунной поверхности. Но
все это относится только к одной, видимой
с Земли стороне лунного шара.
Другое, невидимое с Земли полушарие Луны
до последнего времени оставалось сплошной
загадкой.
·
·
Для того чтобы изучить это невидимое,
или обратное, полушарие, надо посмотреть
на Луну, таи сказать, сзади. А для этого нужно
совершить космический рейс вокруг Луны.
Долгое время такой облет Луны был толь
�о фантастической мечтой. Но эта мечта стала
явью в октябре 1959 г.,когда в СССР была запу-
.
'
ЛУНА
щепа в сторону Луны третья космическая раке
та. От этой ракеты отделилась автоматическая
межпланетная станция, снабженная специаль
ной аппаратурой.
Двигаясь по сложной орбите, эта станция
обогнула Луну.
В тот момент, когда станция находилась
над обратной сторонО'Й Луны, с помощью·
специальных устройств расположенные на стан
ции фотоаппараты бы ли наведены на Луну
и начали съемку. Заснятая пленка тут же, на
станции, была автоматически проявлена, от-·
фиксирована и высушена. А когда станция
стала двигаться обратно к Земле, были вклю
чены расположенные на ней приборы, которые
передали земным станциям подученные в кос
мосе снимки теми же способами, что и на теле
видении. Но земные телевизионные станции
передают изображения на сотни километров.
А тут снимки были переданы с расстояний
в сотни тысяч километров. Обычная станция
телецентра - это огромное сооружение, а вся
аппаратура автоматической межпланетной стан
ции была очень маленькой и легкой. Можно
себе представить, сколько изобретательности,
труда и знаний понадобилось, чтобы создать
такие приборы.
Что же дали эти первые снимки обратной
стороны Луны?
73

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
Они показали, что на невидимом полушарии
Луны тоже есть усеянные кратерами «матери
ки» и темные равнины «морей». Только «морей»
там не так много, как на видимой стороне, по
размерам они гораздо меньше.
На основе этих снимков советские ученые
создали атлас обратной стороны Луны и лун
ный глобус.
«Морям» и кратерам, открытым па обрат
ной стороне Луны, дали названия. Так, не
большое «море» в середине обратного полуша
рия назвали Морем Москвы. Новые кратеры
назвали именами Ломоносова, Циолковского,
Жолио Кюри и других великих ученых.
Мир е11уны
Луна сейчас интересует пе только астроно
мов. Есть все основания полагать, что, стремясь
к завоеванию космоса, ЛЮ/lИ прежде всего побы
вают на Луне. Возможно, что с Луны будут
совершаться полеты на планеты.
На Лупе
сила тяжести меньше, и с нее легче взять старт
в дальний космический рейс.
Но прежде чем приступить к осуществлению
этого и многих других грандиозных проектов,
надо узнать, что делается на Луне, что найдет
там человек и чего там нет.
О том, что на Луне есть горы, долины, скалы,
камни и нет воды, мы уже знаем. Там везде рас
стилается безводная пустыня, никогда не бы
вает ни дождей, ни росы, ни тумана.
Мы знаем, что нет на Луне и атмосферы.
Уже давно отмечено, что на Луне в телескоп
никогда не видно облаков. Тени гор там совер
шенно черные, а этого не могло бы быть, если
бы там был воздух, который при солнечном
освещении как бы светится, создавая всем
знакомую голубую воздушную дымку.
Из всего этого уже давно сделан вывод, что
сколько-нибудь высокой и плотной атмосферы
на Луне нет. Но, может быть, немного газа
там все же имеется? Этот вопрос был оконча
тельно решен лишь в последнее время благо
даря применению новых способов исследова
ния. Они показали, что плотность газа у лун
ной поверхности по крайней мере в миллион
миллионов раз (это будет число с 12 пулями)
меньше, чем у земной поверхности. Практиче
ски это означает, что вокруг Луны безвоздуш
ное пространство.
Вывод этот был блестяще подтвержден во
время полета на Луну космической ракеты
Верхний снимок - т ипичный лунный кратер, нижний -
кратер вулкана Везувия, каким он был в 1851 r.
«Луна-2», которая доставила на лунную по
верхность вымпел с изображением герба Совет
ского Союза.
Из-за отсутствия атмосферы на Луне нет
ветра и вообще никаких явлений, которые со
ставляют нашу земную погоду. Нет и звука
в том смысле, в каком мы его знаем на Земле,
так как звук передается к нашим ушам чаще
всего через воздух.
Небо па Луне черное не только ночью, по
. и днем. Яркий голубой небесный свод, кото
рый мы видим над своей головой днем, � это
толща воздуха, пронизанная солнечными лу
чами. Поскольку атмосферы на Луне нет,
звезды там можно видеть и днем, одновремен
но с Солнцем.
Не защищенная атмосферой и не обдувае
мая ветрами поверхность Луны за день сильно
накаляется Солнцем. А дни на Луне длиппые,

там сутки длятся 291/2 ваших земных суток
и день продолжается больше двух недель. За
это время поверхность на Луне в некоторых
местах успевает накалиться до 100-130°. Зато
за столь же долгую ночь она охлаждается до
-150°. В таких условиях жизнь на Луне не
возможна.
А что представляет собой поверхность Луны,
на которую придется садиться косм ическим ко
раблям и по которой будут ходить прибывшие
на Луну космонав ты?
Химический состав вещества, образующего
поверхность Луны, нам пока неизвестен. Узнать
его мы не можем потому, что Луна светит не
своим, а отраженным светом и к ней нельзя
применить основной метод изучения состава
небесных светил - спектроскопию.
Известно только, что устилающее Луну веще
ство очень темное и что это не камень, так как
камень хорошо проводит тепло, а покров лун
ной поверхности, напротив, тепло не пропу
скает, подобно шубе.
Что же это может быть?
Наиболее правдоподобно, что поверхность
лунных гор и равнин везде покрыта сильно по
ристым и ноздреватым материалом, напоминаю
щим губку, но только не ту, которой мы моемся,
а каменную. Вещество такого типа образуется
на поверхности потоков лавы, вытекающей из
земных вулканов. Это как бы застывшая камен
ная пена, которую называют вулканическим
шлаком.
Некоторые ученые считают, что на Луне
и сейчас происходят вулканические извержения,
выливается лава, образуются шлаки и вулка
нический пепел.
Но более правдоподобно другое. На Луну,
как мы уже говорили, непрерывно падают
метеориты и не только такие большие, какие,
может быть, порождают цирки и кратеры (подоб
ные метеориты большая редкость, хотя за мил
.11 иарды лет существования Луны их могло упасть
очень много), а в основном мелкие и мельчайшие.
Но даже самая маленькая метеорная частичка
камешек, крупинка, песчинка,- ударяясь о по
верхность Луны, дает небольшой взрывчик. По
лучается очень сильный жар, вещество поверх
ности вокруг места удара плавится, вскипа
ет и превращается в темный шлак. Только
это будет не вулканический шлю<, а мете
орный.
Так ли это на самом деле, нам расскажут
участники первой экспедиции на Луну.
•
СОЛНЦЕ
CO.JIHЦE
Спокойное Соdнце
Возможна ли жизнь на Земле без Солнца?
Чтобы ответить на этот вопрос, представим себе
то, чего на самом деле быть не может. Вообра
зим, что Солнце вдруг исчезло или что какая
то огромная заслонка преградила путь его лучам
к нашей планете. Тогда Земля внезапно погру
зится во мрак. Луна и планеты, отражающие
солнечные лучи, также перестанут светить.
Лишь тусклый свет далеких звезд будет осве
щать Землю. Зеленые растения погибнут, так
.как они могут усваивать углерод из воздуха
только под воздействием солнечных лучей.
Животным нечем будет питаться, и они начнут
вымирать от голода. Помимо этого, все живое
станет .замерзать от страшного холода, который
быстро распространится по Земле. Воздух,
океаны и суша очень скоро отдадут мировому
пространству ту энергию, .которую они постоян
но получают от Солнца. Перестанут дуть ветры,
и замерзнут все водоемы. Начнет сжижаться
воздух, и на Землю польется дождь из жидкого
.кислорода и азота. В результ
.
ате наша планета
покроется слоем льда из твердого воздуха.
Сможет ли в таких условиях существовать
жизнь? Конечно, нет.
R счастью, ничего этого быть не может и .
к
аж
дый день Солнце посылает на Землю свои жи
вотворные лучи, нагревая сушу, воды и воздух,
Вод а испаряется под дей ст
ви�м солнечных лучей. Под
н има ясь вверх, пары кон
ден сируют ся в облака.
заставляя испаряться водоемы, приводя к обра
зованию облаков и ветров, способствуя выпаде
нию осадков, давая тепло и свет животным и ра
стениям.
Энергия Солнца огромна. Даже та ничтож
ная ее доля, .которая попадает на Землю, ока
зывается очень большой. Энергия солнечных

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
лучей, падающих на квадратный метр земной
поверхности, может заставить работать двигатель
мощностью около двух лошадиных сил, а вся
Земля в целом получает от Солнца в десятки
тысяч раз больше энергии, чем могли бы вырабо
тать все электростанции мира, если бы они рабо
тали на полную мощность.
С Земли Солнце кажется нам сравнительно
небольшим. Его легко заслонить горошиной на
расстоянии вытянутой руки. Если подобный
опыт выполнить с большой точностью, то можно
рассчнтать, что расстояние до Солнца в 107
раз превышает его диаметр. А поперечник
у Солнца очень велик, он в 109 раз больше
диаметра Земли, который, как известно, состав
ляет около 13 тыс. км . Теперь легко высчитать
размеры Солнца и величину расстояния до него
в километрах.
Зная расстояние до Солнца и количество
энергии, которое доходит от него к нам, можно
определить количество энергии, излучаемое его
поверхностью. Чем ближе мы подходим к источ
нику света, тем более концентрированным ока
зывается его излучение. Если бы Земля была к
Солнцу вдвое ближе, то она получала бы от него
в 4 раза больше энергии, чем сейчас.
Таким же путем, если подойти вплотную к
поверхности Солнца, можно найти, что мощ
ность излучения возрастет в 46 тыс. раз.
Представьте себе, что каждая площадочка на
Солнце величиной с клеточку в школьной тет
ради подогревается двумя обычными электро
плитками, и вы получите примерное представ
ление о мощности излучения поверхности Солн
ца. Из физики известно, что такую мощность
излучения имеет тело, нагретое до темпера
туры около 6000°. Следовательно, такова тем
пература поверхности Солнца. Поэтому 1 см2
поверхности Солнца излучает больше 6 квт
энергии.
По массе Солнце в 333 тыс. ра3 больше Земли,
а по объему оно больше в 1 млн. 301 тыс. раз.
Поэтому плотность Солнца меньше плотности
Земли. В среднем Солнце раза в полтора плот
нее воды. Но это только в среднем. Внутри
Солнца вещество сильно сжато давлением выше
лежащих слоев и раз в десять плотнее свинца.
Зато наружные слои Солнца в сотни раз раз
реженнее воздуха у поверхности Земли.
Давление - это вес всех слоев, расположен
ных над площадкой в один квадратный .санти
метр. Если из Солнца вырезать вдощ. диаметра
столбик вещества сечением в 1 см2 и взвесить
его с помощью воображаемых весов, как это
показано на рисунке, то потребуется гиря с
массой в двести тысяч тонн! В недрах Солнца,
где сила тяжести во много раз больше, чем
на Земле, такая гиря будет в тысячи раз тя
желее. Поэтому давление в недрах Солнца,
превышает 100 млрд. атмосфер.
При таком огромном давлении температура
возрастает до значения, превышающего 10 млн ..
градусов! Оказывается, что в этих условиях
вещество находится в газообразном состоянии.
Однако по своим свойствам этот газ сильно.
отличается от обычных знакомых нам газов,
например воздуха. Дело в том, что в нем почти
-
\
#�/,)�йil!l
,
llJo!"!!"!l!i!I-�
все атомы полностью теряют свои электроны
и превращаются в голые атомные ядра. Свобод
ные электроны, оторвавшиеся от атомов, ста
новятся составной частью газа, называемого
в этих условиях плазмой.
УсJJовная схема, изображающая вJ111яние на 3емJJю
соJJнечных явJJений, сопровождающих вспышку.
Вспышка - беJJый выступ на СоJJнце, 11аображе1шом
в JJевом верхнем yrJJy (размер вспышки сиJJьно пре
увеJJичен). СтреJJки, идущие от вспышки к ЗемJJе,
соответствуют разJJи•1ным иаJJучениям вспышки:
жеJJтая - видимое изJJучение вспышю1, roJJyбaя -
рентгеновское и уJJьтрафиоJJетовое изJJу•1ение (оно_..
._
усиJJивает ионизацию в ионосфере, что отмечено
Jl
l"'"
увеJJичением густоты красных точек). Это ус11J1ение
ионизации приводит к погJJощению радиовоJJн. Бе·
пые точки, идущие от вспышки, - поток частиц
(корпускуп), приводя щих к возникновению подяр·
ного сияния. Бедые пунктирные пинии - сиJJовые
пинии магнитного попя; между ними - радиацион·
ный пояс. Искривпение сиJJовых· диний магнитного
подя, вызываемое потоком частиц, - причина
магнитной бури. Тонкая красная стрепка - радио·
ИЗJ1учение вспышки.

Частицы плазмы, нагретой до 10 млн. гра
дусов, движутся с огромными скоростями в сот
ни и тысячи километров в секунду! При этом
вследствие чрезмерного давления частицы сильно
сближаются, а отдельные ядра атомов иногда
даже проникают друг в друга. В моменты такого
проникновения происходят ядерные реа:кции,
Атом гелия имеет
чуть ·м�ньшую мас
су, чем четыре ато
ма водорода, кото
рые пошли на его об
разование� :')тот де
фект массы 11 выде
ляется
в недрах
(;()лица в виде энер-
rии.
являющиеся источником неиссякаемой энергии
Солнца.
На этой странице схематиче�ки изображе
но, как происходит одна из таких реакций.
Она приводит· к превращению водорода в ге
лий, причем на промежуточных этапах этой
реакции образуются ядра тяжелого водо
рода - дейтерия,' обоз11аченные латинской бук
вой D, а также изотопа атома гелия, отличаю
щегося от обычного гелия тем, что его масса
не в четыре, а только в три раза превышает мас
су атома водорода.
В основном Солнце состоит из тех же самых
химических элементов, что и Земля. Однако
водорода на Солнце несравненно больше, чем
на Земле. Можно сказать, что Солнце почти
цешшом состоит из водорода, в то время как
всех остальных элементов значительно меньше.
Поэтому водород является основным источником
энергии, излучаемой Солнцем за счет ядерных
реакций.
За все время своего существования, кото
рое, по-видимому; состанляет не менее 6 млрд.
лет, Солнце не израсходовало еще и поло-
СОЛНЦЕ
вины своих запасов водородного ядерного
топлива. В течение почти всего этого времени
излучение Солнца примерно такое же, как и те
перь. Так оно будет светить еще много миллиар
дов лет - до тех пор, пока в недрах Солнца
весь водород не превратится в гелий.
Как же выделяется ядерная энергия внутри
Солнца?
Когда ядра одного элемента (например,
водорода), соединяясь, образуют ядра другого
(например, гелия), возникают особые гамма"
лучи, обладающие огромной энергией. Вся
кие лучи испускают
·
ся атомами в виде отдель
ных порций, называемых квантами. Энер
гия квантов гамма-лучей очещ велика. Атомы
вещества в недрах Солнца обладают свойством
жадно поглощать всякое излуче�ие.. При этом,
как правило, поглощая квант с .очень боль
шой энергией, атом излучает д!3а. цли не
сколько квантов с меньшей . энерги�й
·
.
Пока
порожденные ядерными реакциями гамма -Лучи
дойдут до поверхности Солнца, произойдет
очень много таких дроблений квантов перво
начальных гамма-лучей. В результате с поверх
ности Солнца уже будут испускаться преиму
щественно лучи со значительно меньшей энер�
гией: ультрафиолетовые, видимые и инфра.
красные.
Схематический цветной рисунок (стр. 76� 71,)
дает представление о том, · как «устроено•
Солнце. Для того чтобы «уnиде-rм вuутренние
слои Солнца, художник «вырезал� из него шаро
вой сектор. Самая внутреннюt часть, закрашен
ная в темно-кра�ный цвет (ядро), соответствует
области, где происходят ядерные реакции и
выделяется энергия. Диаметр ядра составляет
примерно 1/3 диаметра. самого Солнца. В яд
ре сосредоточена наибольшая часть солнечного
вещества.
К ядру примыкает сам:ый протяжеuный слой
Солнца, на схеме закрашен
,
ный в яркий жел
тый цвет. Здесь в результате погдощения кван
тов, их дробления и переизлучения. энергия
изнутри переносится наружу. Выiпе находится
слой протяженностью около 1/10 солнечного
радиуса, называемый конвективной зоной. Эта
зона уже заметно холоднее. Она переходит
в самые внешние слои Солнца - его атмосферу.
Вследствие своей более низкой температуры
конвективная зона не может обеспечить пере
нос всей энергии, поступающей снизу, только
путем поглощения и переизлучения. Поэтому
в конвективной зоне в переносе излучения при
нимает участие само вещество: из глубины под
нимаются вверх от.Цельные потоки более горя-
77

ЧТО МЫ 3НАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
чих газов, передающих свою энергию непосред
ственно внешним слоям. На цветном рисунке эти
потоки (или отдельные сгустки газа) изображены
желтыми кружочками, заriолняющими область
нонвективной аоны.
Солнечная атмосфера также состоит из не
скольких весьма различных слоев. Самый глу
бокий и тонкий из них называется фотосферой,
что по-русски означает «сфера света». Здесь
возникает подавляющее количество световых
и тепловых лучей, посылаемых Солнцем в миро
вое пространство.
телескоп собирает лучи
Солнца так, что, пересека
ясь, оии образуют ва экране
ero llЗО(lражеиие.
Фотосфера - это та самая поверхность Солн
ца, которую можно наблюдать.в телескоп, пред
варительно снабженный специальным темным
светофильтром. Если этого пе сделать, то
наблюдатель неминуемо ослепнет. Очень удобно
спроектировать изображение Солнца на экран,
как это показано на рисунке.
Толщина фотосферы всего лишь 200-300 км,
так что на нашей цветной схеме ее пришлось
условно изобразить тонкой линией. Более глу
боких слоев Солнца мы уже совсем не видим.
Это происходит потому, что вещество фотосферы
непрозрачно, подобно густому туману.
Стрелки изображают пучи,
идущие к иабпюдатепю от
раапичиых споев атмосфе
ры. Солнца.
Чем глубже слои фотосферы, тем они горя
чее. Rогда мы смотрим на центр солнечного
диска, то видим наиболее глубокие слои фото
сферы. Это происходит по той же причине,
по какой земная атмосфера в зените всегда замет
но прозрачнее, чем у горизонта. Rогда мы смот
рим на край Солнца, мы видим не такие глубо
ние слои, как в центре. Поскольку эти слои
78
холоднее и дают меньше света, на краю диск
Солнца кажется темнее, а сам край его очень
резким.
С помощью большого телескопа можно изу
чить характерную структуру фотосферы, хоро
шо заметную на фотографии, помещенной на
вклейке.
Чередование маленьких (на самом деле
размером около 1000 км) светлых пятны
шек, окруженных темными промежутками,
создает впечатление, что на поверхности Солн
ца рассыпаны рисовые зерна. Эти пятныш
ки называются гранулами. Они представляют
собой отдельные элементы конвекции, подняв
шиеся из конвективной зоны. Они горячее,
а следовательно, и ярче окружающей фото
сферы. Темные промежутки между ними -
потоки опускающихся более холодных газов.
От движения гранул в солнечной атмосфере
возникают волны, очень похожие на те, которые
появляются в земной атмосфере при полете
реактивного самолета. Распространяясь вверх
в солнечной атмосфере, эти волны поглощаются,
а их энергия переходит в теплоту о Поэтому
в солнечной атмосфере над фотосферой темпе
ратура начинает повышаться, и чем дальше
от фотосферы, тем больше. В сравнительно
тонком слое, называемом хромосферой, она
поднимается до нескольких десятков тысяч гра
дусов. А в наиболее разреженной, самой внеш
ней оболочке Солнца, в короне, температура
достигает миллиона градусов!
Хромосферу и корону можно видеть в ред
кие моменты полных солнечных затмений. Та
кое явление изображено на цветной вклейке.
Rогда Луна целиком закрывает ослепительно
яркую фотосферу, вокруг ее диска, кото
рый кажется черным, внезапно вспыхивает
серебристо-жемчужное сияние в виде венца,
часто имеющего длинные лучи. Это и есть
солнечная корона - чрезвычайно разрежен
ная газовая оболочка. Она простирается от
Солнца на расстояние многих его радиусов.
Форма короны сильно меняется со временем,
о чем можно судить, сравнивая различные ее
фотографии. Непосредственно вокруг черного
диска Луны во время затмения видна блестя
щая тонкая розовая кайма. Это и есть хромо
сфера Солнца, слой раскаленных газов толщи
ной 10-15 тыс. км.
Хромосфера значительно прозрачнее фото
сферы. Она имеет линейчатый спектр, испускае
мый раскаленными парами водорода, гелия,
кальция и других элементов. Поэтому хромо
сферу можно наблюдать, если с помощью сое-

циальных приборов выделить излучаемые эти
ми элементами лучи. На цветной вклейке по
казано Солнце в лучах, испускаемых иони
зованным кальцием. На ней видно, как выг.Ля
дит солнечная хромосфера.
В фотосфере много нейтральных атомов.
В хромосфере вследствие высокой температуры
атомы водорода и гелия начинают переходить
в ионизованное состояние. Это значит, что они
теряют свои электроны и становятся электри
чески заряженными, а их электроны начинают
двигаться как свободньiе частицы. В короне,
где температура несравненно больше, иониза
ция вещества настолько сильна, что все лег
кие химические элементы полностью лишают
ся своих электронов, а у тяжелых атомов их
недостает более десятка. Это происходит потому,
что при температуре в миллион градусов отдель
ные частицы движутся так быстро и с такой
силой сталкиваются, что, образно говоря, от
них ((Щепки летят». Таким образом, атмосфера
Солнца, как и его недра, состоит из плазмы.
В короне плазма очень сильно разрежена.
В каждом ее кубическом сантиметре содержит
ся не более 100 млн. «ободранных» атомов и
оторванных от них свободных электронов.
Это в 100 млрд. раз меньше, чем молекул в воз
духе. Если бы всю корону, простирающуюся на
много солнечных радиусов, сжать до плотно
сти воздуха на Земле, то получился бы ничтож
ный слой толщиной в несколько са нтиметров,
окружающий Солнце.
Вследствие столь большой разреженности
корона еще прозрачнее для видимого света,
чем хромосфера. По той же причине и коли
чество излучаемого ею света ничтожно: яркость
короны в миллион раз меньше яркости фото
сферы. Именно поэтому в обычное время она
незаметна на ярком фоне дневного неба и
видна только во время полных солнечных зат
мений. Таким образом, хотя самые внешние
слои солнечной атмосферы имеют температуру
миллион градусов, их излучение составляет
ничтожную долю от общей энергии, испускае-
СОЛНЦЕ
мой Солнцем. Почти всю эту энергию излучает
фотосфера, имеющая температуру около 6000°.
Поэтому такую температуру приписывr.ют Солн
цу в целом. Значение температуры миллион
градусов, установленное в короне, говорит
только о том, что ее частицы движутся с огром
ными скоростями, доходящими до сотен и ты
сяч киломеtров в секунду.
Однако как же узнали, что температура сол
нечной короны так велика, если она излучает
так мало? Дело в том, что наряду с другими
лучами Солнце испускает относительно много
радиоволн, во всяком случае гораздо больше,
чем должно давать тело, нагретое до 6000°.
Солнечная корона очень сильно поглощает
радиоволны. Поэтому доходящее до нас радио
излучение Солнца в основном возникает не в
фотосфере, а в короне. Измерения при помощи
специальных радиотелескопов мощности: этого
радиоизлучения позволили определить темпера
туру короны.
Со.Jiиечвая активность
Время от времени в солнечной атмосфере
появляются так называемые активные области,
количество которых регулярно повторяется
с периодом в среднем около 11 лет.
Наиболее существенным проявлением актив
ной области являются наблюдаемые в фото
сфере солне:чные пятна. Они возникают в виде
маленьких черных ·тоЧек (пор). За несколько
дней поры развиваются в крупные темные обра
зования. Обычно пятно окружено менее тем
ной полутенью, состоящей из радиально
вытянутых прожилок. Оно кажется как бы
«дыркой» на поверхности Солнца, такой боль
шой, что в нее свободно можно закинуть «мячик»
размером с Землю.
Если наблюдать Солнце изо дня в день, то
по перемещению пятен можно убедиться, что
оно вращается вокруг своей оси и примерно
Наиноrо о1
1
и боо1
1
ьmе света дает Зеио1
1
е Со.Jiвце по сравнению с .Jlуной и Сириусо11?
Количество света, приходящее к
нам от небесных светил, измеряется
в звездных величинах. Самые слабые
звезды, видимые простым rлазом,
имеют звездную величину около +6.
Чем больше света дает светило, тем
меньшей считается ero звездная ве
личина. У Солнца она отрицательная:
- :16,8. у ПОЛНОЙ Луны -12,6. Уве-
личенне звездной велuчины на еди
ницу соответствует уменьшению ко
личества света примерно в 2,5 раза.
Зная это, леrко рассчитать, что
Солнце излучает на Землю в 450 тыс.
раз больше света, чем Луна в полно
луние, и в 10 млрд. раз больше, чем
Сириус - самая яркая звезда всеrо
неба.
79

:ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
через 27 дней то или иное пятно снова проходит
через центральный меридиан. Интересно, что
на разных широтах скорость вращения Солнца
различна: вблизи экватора вращение быстрее,
а у полюсов оно медленнее.
За некоторое время до вознюшовения пятен
на небольшом участке фотосферы появляется
яркая область. По форме она напоминает силь
но размазанную лужу причудливых очертаний
с бесчисленными прожилками и яркими точ
ками. Эти яркие области называются факелами.
Они на несколько сотен градусов горячее фото
сферы. Атмосфера над факелами также горячее
и несколько плотнее. Факелы всегда окру
жают пятна.
По мере разрастания факела в активной
области постепенно усиливается магнитное поле,
особенно на некотором малом участке, где, в
дальнейшем может образоваться пятно. Такие
пятна обладают сильным магнитным полем,
останавливающим всякие движения и тече
ния ионизованного. гаеа, · от · чего в 'области
пятна под фотосферой останавливаются конвек
тивные движения и тем самым прекращается
дополнительный перенос энергии из более глу:.
.
боких слоев наружу. Поэтому температура
пятна оказЬl:вается примерно нli 1000° ниже,
чем в окружающей фотосфере, на фоне которой
оно кажется темным. Появление факела также
объясняется магнитным полем. I\огда оно еще
слабое и неспособно остановить· конвекцию,
тормозится только беспорядочный характер
движений поднимающихся струй газа в кон
вективной зоне. Поэтому в факеле горячим
газам легче поднt1ться из глубины, вследствие
чего он кажется ярче окружающей его фотосферы.
В хромосфере и короне над активной обла
стью наблюдается много интереснейших· явле
ний. I\ ним относятся хромосферnые вспышки
и протуберанцы.
Вспышки - один из самых быстрых процес
сов на Солнце. На фотографии, помещенной
справа, видно,. как менялось такое явление в
течение 25 минут. Обычно вспышка начинается
с того, что за несколько минут яркость неко
торой точ�и активной области сильно воз
растает� Бывали даже такИе сильные вспышки,
которые по яркости превышали ослепительную
фотосферу. После возгорания несколько десят
ков минут длится постепенное ослабление све
чения, вплоть до исходного состояния. Вспыш
ки возникают вследствие особых :Изменений
магнитных полей, приводящих к внезапному
сжатию вещества хромосферы.·
ПроисходIJТ
нечто подобное взрыву, в результате которого
80
образуется направленный поток очень быстрых
заряженных частиц и космических лучей. Этот
поток, проходя через корону, увлекает с собой
частицы плазмы. I\ак струны скрипки, колебле
мые гигантским смычком, эти частицы приходят
в колебание и испускают при этом радиоволны.
Небольшая область, занятая вспышкой (всего
лишь несколько сотен тысяч квадратных 1шло
метров), создает очень мощное излучение. Оно
состоит из рентгеновских, ультрафиолетовых
и видимых лучей,радиоволн, быстро движущих 
ся частиц (корпускул) и космических лучей.
Все виды этого излучения оказывают сильное
воздействие на явления, происходящие в· зем
ной атмосфере.
Ультрафиолетовые и рентгеновские лучи
быстрее всего достигают Земли, прежде всего ее
ионосферы - верхних, ионизированных слоев
атмосферы. От состояния земной ионосферы
зависит распространение радиоволн и слыши
мость радиопередач. Под воздействием солнеч
ных ультрафиолетовых и рентгеновских лучей
увеличивается ионизация ионосферы. Вслед
ствие этого в нижних ее слоях начинают сильно
поглощаться короткие радиоволны. Из-за этого
· Ионосферные слои о'l'ража
ют короткие радиоволны и
Частично поrлощают их.
происходит замирание слышимости радиопере·
дач на коротких волнах. Одновременно ионо
сфера приобретает способность лучше отражать
длинные радиоволны. Поэтому во время вспыш
ки на Солнце можно обнаружить внезапное
усиление. слышимост
.
и далекой . радиостанции,
работающей на длинной воnне. ·
·
Поток частиц (корпуснул) достигает Земли
примерно только через сутки после того,
как на Солнце произошла вспышка. «Проди
раясы, через солнечную корону, корпус1<уляр
ный ЦОток вытягивает ее вещество в длинные,
характерные для ее стру1<туры лучи.
Вблизи Земли поток корпускул встреча�тr,я
· �. магнитным полем Земли, которое не про,.

Вверху-вя.цСолнцавЛ)'"18ХИОВ1
131
1
роваввоrо кальция (хромосфера).
Ввиау-триОТВДl
lВ
раавВ'l'Ия хро11
1
осфервой вспышки аа 25 llВВ)''I' •

Вц оопвеuоа аороВ1
1
в период Mll
ll
lDl
)'118 . еолn•·
вu:к пrrев (ввер:к)')•11uo-y11aоолвечвuх пяwв
(• ... )').
Справа-n�кв
в
офв11r.ма, повааuва11
1
щ11А движев.е
вещес'l'ва еоuечвоrо протуберанца.

пускает заряженных частиц. Однако трудно
остановить частицы, мчащиеся со скоростью,
всего лишь в несколько сот раз меньшей
скорости света. Они прорывают преграду и как
бы вдавливают магнитные силовые линии,
окружающие земной шар. От этого на Зем
ле происходит так называемая магнитная
буря, заключающаяся в быстрых и непра
вильных изменениях магнитн()го поля. Во вре
мя магнитных бурь стрелка компаса совершает
беспорядочные колебания и пользоваться этим
прибором становится совер шенно невозможно.
Подходя к Земле, поток солнечных частиц
врывается в окружающие Землю слои очень
быстрых заряженных частиц, образующих так
называемые радиационные пояса. Пройдя эти
пояса, некоторые частицы прорываются глубже
в верхние слои атмосферы и вызывают очень
красивые свечения воздуха, наблюдаемые боль
шей частью в полярных широтах Земли. Эти
переливающиеся различными цветами радуги
свечения, то принимающие вид лучей, то как
бы висящие подобно занавесям, называются
полярными сияниями. Таким образом, вспыш
ки на Солнце приводят к важным последствиям
и тесно связаны с различными явлениями, про
исходящими на Земле. На цветном рисунке
(стр. 76- 77) схематически изображено воздей
ствие на Землю солнечных явлений, сопровож
,1
1;
ающих вспышку.
В короне над активной областью также про
исходят грандиозные явления. Порой вещество
короны начинает ярко светиться и можно ви
деть, как его потоки устремляются в хромосферу.
Эти гигантские облака раскаленных газов,
в десятки
·
раз· превышающие земной шар, назы
ваются протуберанцами. Протуберанцы пора
жают бесконечным разнообразием своих форм,
богатой структурой, · сложными движениями
отдельных узлов и внезапными изменениями,
которые сменяются длительными периодами
спокойного существования. На вклейке при
ведены фотографии последовательных стадий
развития одного из больших протуберанцев.
Протуберанцы холоднее и плотнее окружаю
щей их короны и обладают примерно такой же
температурой, как и хромосфера.
На движение и возникновение протуберан
цев, как и на другие активные образования
в солнечной атмосфере, сильное влияние оказы
вают магнитные поля. По-видимому, эти подя
являются основной причиной всех активных
явлений, происходящих в солнечной атмосфере.
С магнитными полями связана также перио
,1;ичность солнечной активности - пожалуй,
86д.э.т:2
СОЛНЦЕ
наиболее интересная из всех особенностей сол
нечных явлений. Эту периодичность можно
проследить по всем явлениям, но особенно
легко ее заметить, если день за днем под
считывать количество имеющихся на Солнце
пятен. Период, когда пятен совсем нет, назы
вается минимумом. Вскоре после минимума
пятна начинают появляться на большом рас
стоянии от солнечного экватора. Потом посте
пенно их число увеличивается и они возникают
все ближе и ближе к экватору. Через 3-4 года
наступает максимум солнечных пятен, отличаю
щийся наибольшим количеством активных
образований на Солнце. Затем солнечная актив
ность постепенно спадает, и примерно через
11 лет снова наступает минимум.
Возможно, «секрет»
солнечной активно
сти связан с удиви
тельным характером
вращения Солнца: на
экваторе
в ращение
быстрее, чем у по
ЛJОС8В, Через 1 обо
рот Солнца (около
27 дней) детали, рас
полагавшиеся на од
ном меридиане, сно
ва пройду т череэ не
го неодновременио.
Периодичность солнечной активности пока
еще остается увлекательной загадкой Солнца.
Только в последние годы удалось приблизиться
к ее решению. По-видимому, причина солнеч
ной активности связана со сложным взаимодей
ствием между ионизованным веществом Солнца
и его общим магнитным полем. Результат этого
взаимодействия - перио.цическое усиление маг
нитных П(!ЛеЙ.
•
8:1.

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
СОЛНЕЧНЫЕ
И ЛУННЫЕ ЗАТМЕНИЯ
Затмения Солнца относятся :к таким явле
ниям природы, о дне наступления :которых за
ранее известно. Астрономы всегда тщательно
готовятся :к наблюдениям затмений, а в места,
где они видны, снаряжаются специальные
экспедиции.
... Наступает день затмения.
Природа живет своей обычной жизнью. В си
нем небе ярко сияет Солнце. Ничто не пред
вещает грядущего события. Но вот на правом
:краю Солнца появляется ущерб. Он медленно
увеличивается, и солнечный диск принимает
форму серпа, обращенного вьшу:клостью влево.
Солнечный свет постепенно ослабевает. с�а
новится прохладнее. Серп делается совсем то
неньким, и вдруг эта узенькая дуга распадается
на две, и наконец за черным диском исчезают
последние яр:кие точ:ки: На всю окружающую
местность ложится полумрак. Небо принимает
ночной вид, на нем вспыхивают яркие звезды.
Вдоль горИзонта появляется кольцо оранжевого
оттенка.
Это наступило полное солнечное затмение.
На месте погасшего светила виден черный диск,
окруженный серебристо-жемчужным сиянием.
Напуганные внезапно наступившей темнотой
звери и птицы замол:кают и спешат у:крыться
на ночной покой, многие растения свертывают
листья; 2, З, иногда 5 минут длится необычная
темнота, и вновь вспыхивают яркие солнечные
лучи. В тот же миг исчезает серебристо-жемчуж
ное сияние, гаснут звезды. Словно на заре, поют
петухи, возвещая о наступлении дня. Вся
природа опять оживает.
Солнце снова принимает вид серпа, но теперь
уже повернутого выпу:клостью в другую сто
рону, :как серп «молодой» Луны. Серп увеличи
вается, и уже через час в небе все как обычно.
Солнеч.ное затмение - очень величествен
ное и красивое явление природы. Никакого
вреда растениям, животным и человеку оно,
:конечно, причинить не может.
Но не так думали люди в дале:ком прошлом.
Солнечное затмение знакомо челове:ку с глу
бочайшей древности. Но люди не знали, отчего
оно происходит. Паничес:кий страх вызывало
у людей неожиданное, таинственное исчезно
вение лучезарного светила. В угасании Солнца
среди бела дня они видели проявление неведо
мых, сверхъестественных сил. У восточных
народов существовало поверье, что во время
82
затмения не:кое злое чудовище пожирает
Солнце.
Отголоски этих древних представлений
человека встречались и в сравнительно недав�
нее время. Так, в Турции во время затмения
18 77 г. перепуганные жители стреляли из ружей
в Солнце, желая прогнать шайтана (злого духа),
пожиравшего, по их мнению, Солнце.
В русских летописях мы находим многочис
ленные упоминания о затмениях. В Ипать
евской летописи, например, говорится о затме
нии, упоминаемом в «Слове о полку Игореве».
Это затмение Солнца произошло в 1185 г.
оно было полным в Новгороде и Ярославле.
:Князь Игорь со своей дружиной был в это вре
мя на р. Донце, где затмение было неполным
(была закрыта лишь часть солнечного диска).
Летописец высказывает убеждение, что это зат
мение оказалось причиной поражения Игоря
в битве с половцами.
·
И даже тогда, :когда действительная при
чина солнечных затмений была уже известна
ученым, затмение все-та:ки часто вызывало
у населения страх. Люди считали, что затмение
послано богом и предвещает конец мира, голод,
несчастье. Эти суеверные представления сеяли
среди народа служители религиозных :культов,
чтобы держать народные массы в повиновении.
Передовые люди разных времен старались
развеять у народа страх, вызываемый затме
ниями. Например, Петр 1 обращался :к уче
ным и должностным дицам с просьбой принять
участие в распространении правильного объяс
нения ожидавшегося 1 мая 1706 г. солнечного
затмения. Известно его письмо :к адмиралу
Головину, в котором он писал: «Господин ад
мирал. Будущего месяца в первый день будет
великое солнечное затмение. Того ради изволь
сие поразгласить в наших людях, что :когда оное
будет, дабы за чудо не поставили. Понеже, :когда
люди про то ведают преже, то не есть уже чудо».
В нашей Советской стране правильное науч
ное объяснение разл ичных явлений природы
дошло до самых отдаленных уголков. И теперь
у нас едва ли найдется такой человек, у :которого
солнечное и лунное затмения вызывали бы страх.
Что же такое солнечное затмение?
Нам часто приходится наб людать, как в яс 
ный, солнечный день тень от об лака, подгоняе
мого ветром, пробегает по земле и достигает
того места, где мы находимся. Облако скрывает
от нас Солнце. Между тем другие места, нахо
дящиеся вне этой тени, остаются освещенными
Солнцем.
Во время солнечного затмения между нами

Затмение
Солнца по
представлению некото
рых народов в древно
сти. Дракон пожирает
Солнце (со старинного
рисунка).
и Солнцем проходит Луна и скрывает его от
нас. Рассмотрим подробнее условия, при кото
рых мож ет наступить затмение Сол нца.
Наша планета Земля, вращаясь в течение
суток вокруг своей оси, одновременно движет
ся вокруг Солнца и за год делает полный оборот.
У Земли есть спутник - Луна. Луна движет
ся вокруг Земли и полный оборот совершает
за 291/2 суток.
Взаимное расположение зтих трех небесных
тел все время меняется. При своем движении
вокруг Земли Луна в определенные периоды
времени оказывается между Землей и Солнцем.
Но Луна - темный, непрозрачный твердый
шар. Оказавшись между Землей и Солнцем, она,
словно громадная заслонка, закрьщает собой
Солнце. В это время та сторона Луны, которая
обращена к Земле, оказывается темной, неосве
щенной. Следовательно, солнечное затмение мо
жет произойти только во время новолуния.
В полнолуние Луна проходит от Земли в стороне,
противоположной Солнцу, и может попасть в
тень, отбрасываемую земным шаром. Тогда мы
будем наблюдать лунное затмение.
Среднее расстояние от Земли до Солнца со
ставляет 149 ,5 млн. км, а среднее расстояние
от Земл\f до Луны - 384 тыс. км.
6•
СОЛНЕЧНЫЕ И ЛУННЫЕ ЗАТМЕНИЯ
Чем ближе предмет, тем большим он нам
кажется. Луна по сравнению с Солнцем ближе
к нам почти в400 раз, и в то же время ее диа
метр меньше диаметра Солнца также приблизи
тельно в 400 раз. .
П6этому видимые размеры
Луны и Солнца почти одинаковы. Луна, таким
образом, может закрыть от нас Солнце.
'
Однако расстояния Солнца и Луны от Земли
не остаются постоянными, а слегка изменяются.
Происходит это потому, что путь Земли вокруг
Солнца и путь Луны вокруг Земли - не окруж
По.сти, а. эллипсы.. С Изменением _расстояний
�ежду этими телами изменяются и их видимые
размеры·�
'
.
Если в момент солнечного затмения Луна
находитсц в наименьшем _удалении от Земли,
то лунны й. диск будет несколько больше сол
нечного, Луна целик9м закроет собой Солн
це, и затмение будет полным. Если же во
время затмения Луна находится в наиболь
шем удалении от. Земли, то она будет иметь
несколько меньшие видимые размеры и за
.крыть Солнце цеЛиком не сможет. Останется
незакрытым светлый ободок Солнца, который
во время затмения будет виден как яркое то
ненькое кольцо вокруг черного диска Луны.
Такое затмение называют кольцеобразным.
'83

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
Казалось бы, солнечные затмения должны
случаться ежемесячно, :каждое новолуние.
Одна:ко :этого не происходит. Если бы Земля
и Луна двигались в одной плос:кости, то в :каж
дое новолуние Луна действительно о:казыва
лась бы точно на прямой линии, соедицяющей
Землю и Солнце, и происходило бы затмение.
На самом деле Земля движется во:круг Солнца
в одной плос:кости, . а Луна во:круг Земли -
в другой. Эти плос:кости не совпадают. Поэтому
часто во время новолуний Луна проходит либо
выше Солнца, либо ниЖе.
Видимый путь Луны на небе не со}\падает
с· тем путем, по которому движется Солнце.
Эти пути пересе:каются в двух противополож
ных точ:ках, :которые называются у з л а м и
лунной
о р биты. Вблизи :этих точе:к
пути Солнца и Луны близ:ко подходят друг
:к другу. И толь:ко в том случае, :когда новолуние
происходит вблизи узла, оно сопровождается
затмением.
Затмение будет полным или :кол
·
ьцеобраз
ным, если в новолуние Солнце и Луна будут
находиться почти в узле. Если же Солнце в мо
мент новолуния о:кажется на не:котором расстоя
нии от узла, то центры лунного и солнечного
дис:ков не совпадут и Луна за:кроет Солнце
Фааы частного солнечного аатмею1я; наблюдавшегося
в Москве 9 июля 19(.5 r.
84
Вза имное распо��ожение Со.анца, Земли 11
Луны во время солнечного затмения. Лу
на находится между Солнцем н Землей.
В том месте, где тень Луны падает на
Землю, Солнце затме вается Луной.
лишь частично. Та:кое затмение называется
частным.
Луна перемещается среди звезд с запада
на восто:к. Поэтому за:крытие Солнца Луной
начинается с его западного, т. е. правого, :края.
Степень за:крытия называется у астрономов
фазой затмения.
Ежегодно бывает не менее двух солнечных
затмений. Та:к было, например, в 19 52 г.:
25 февраля - полное (наблюдалось в Афри:ке,
Иране, СССР) и 20 августа - :кольцеобразное
(наблюдалось в Южной Амери:ке). А вот в1935 г.
было пять солнечных затмений. Это наибольшее
число затмений, :которое может быть в течение
ОДНОГО года.
Трудно представить себе, что солнечные
затмения происходят та:к часто: ведь :каждому
из нас наблюдать затмения приходится чрезвы
чайно ред:ко. Объясняется :это тем, что во время ·
солнечного затмения тень от Луны падает не
на всю Землю. Упавшая тень имеет форму почти
:кругл
·
ого пятна, поперечни:к :которого может
достигать самое больш:е 270 км. Это пя тно
по:кроет лишь ничтожно ма.iI·ую долю земной
поверхности. В данный момент толь:ко на этой
части Земли и будет видно полное солнечное
затмение.
Луна движется по своей орбите со скоростью
о:коло 1 к,м/сек, т. е . быстрее ружейной пули.
Следовательно, ее тень с большой с:коростью
дnижется по земной поверхности и не может
надолго за:крыть :ка:кое-то одно место на земном
шаре. Поэтому полное солнечное затмение ни
:когда не может продолжаться более 8 минут.
В нынешнем столетии наибольшая про
должительность затмений была в19 55 г. и будет
в1973 г. (не более 7 минут).
Та:ким образом, лунная тень, двигаясь по
Земле, описывает узкую, но длинную полосу,
на :которой последовательно наблюдается пол
ное солнечное затмение. Протяженность полосы
полного солнечного затмения достигает не
с:коль:ких тысяч :километров. И все же пло
щадь, по:крываемая тенью, о:казывается незна-

чительной по сравнению со всей поверхностью
Земли. Кроме того, в полосе полного затмения
часто 01<азываются 01<еаны, пустыни и мало
населенные районы Земли.
Во1<руг пятна лунной тени ·располагается
область полутени, здесь затмение бывает част
ным. ПоперечниR области полутени составляет
около 6-7 тыс. км . Для наблюдателя, 1<оторый
будет находиться вблизи 1<рая этой области,
лишь незначительная доля солнечного дис1<а
по1<роется Луной. Та1<ое затмение может вооб
ще пройти незамеченным.
Можно ли точно предс1<азать наступление
затмения? Ученые еще в древности установи
ли, что через 6585 дней 8 часов, что состав-
Движение конца лу11ной те
ни по Земле ио время сол
иечноrо аатиеиия.
ляет 18 лет 11 дней 8 часов, затмения повто
ряются. Происходит это потому, что именно
через та1юй промежутоR времени расположение
в пространстве Луны, Земли и Солнца повто
ряется. Этот промежуто1< был назван с а р о
с о м, что значит повторение.
В течение одного сароса в среднем бывает
43 солнечных затмения, из них 15 частных, 15
1<ольцеобразных и 13 полных. Прибавляя R
R датам затмений, наблюдавшихся в течение
одного сароса,18 лет11 дней и8 часов, мы смо
жем предс1<азать наступление затмений и в буду
щем. Например, 25 февраля1952 г. произошло
СОЛНЕЧНЫЕ И ЛУННЫЕ ЗАТМЕНИЯ
сщrнечное затмение. Оно повторится 7 марта
19
7
0 г., затем18 марта1988 г. и т. д.
Одна1<0 в саросе содержится не целое число
дней, а6585 дней и8 часов. За эти 8 часов Зем
ля повернется на треть оборота и будет обра
щена R Солнцу уже другой частью своей по
верхности. Поэтому следующее затмение будет
наблюдаться в другом районе Земли. Та1<, поло
са затмения1952 г. прошла через Центральную
Афри1<у, Аравию, Иран, СССР. Затмение же
1970 г. будет наблюдаться 1<а1< полное толь1<0
жителями Ме1<си1<и и Флориды.
В одном и том же месте Земли полное сол
нечное затмение наблюдается оДин раз в 250-
300 лет..
·
Ка1< видите, предс1<азать день затмения очень
лег1<0. Предс1<азание же точного времени ero
наступления и условий его видимости - труд
ная задача; ·чтобы решить ее, астрономы в те
чение нес1<оль1<их столетий изучали движение
Земли и Луны. В настоящее время затмени11
предс1<азывают очень точно. Ошиб1<а в предс1<а
зании момента наступления затмения не пре
восходит 2-4 се1<унд.
Крупнейший в мире специалист по теории
затмений - дире1<тор Пул1<овс1<ой обсерватории,
а1<ад. А. А . Михайлов.
Точным вычислением можно восстановить
время и условия видимости · 1<а1<ого-нибудь
затмения, наблюдавшегося в той или другой мест
ности в древние времена. Если затмение это
сопоставлено в летописи с ка1<им-нибудь истори
чес1<им событием, то мы можем точно определить
дату этого события. " Древнегречес1<ий историR
Геродот у1<азывал, что во время битвы между
лидийцами и мидянами произошло (неполное)
солнечное затмение. Оно таR поразило сражав
шихся, что положило 1<онец войне. Истори1<и
1<олебались относительно времени этого собы
тия, они относили его 1<0 времени между 626
и583 гг. до н. э .; астрономичес1<ое же вычисле
ние точно по1<азывает, что затмение, а следова
тельно, и битва происходили 28 мая 585 г.
до н. э, Установление точной даты этой битвы
пролило свет и на хронологию не1<оторых дру
гих историчес1<их событий. Та1< астрономы
01<азали большую помощь истори1<ам.
Астрономы вычислили условия видимости
солнечных затмений на много лет вперед.
Последнее затмение, доступное для наблю
дений в европейс1<ой части СССР, было 15 фе
враля 1961 г. СmДующее затмение будет
наблюдаться здесь толь1<0 в 21 26 г. До этого,
правда, будет4 полных солнечных затмения, но
полоса видимости их пройдет в пределах СССР
86

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
Карта видимости некоторых солнечных затмений.
лишь через труднодоступные районы Сибири
и Арктики.
Без Солнца невозможна жизнь на вашей
планете, поэтому детальное изучение его строе
ния представл
·
яет очень важную задачу. Во
время полного солнечного затмения ведутся
наблюдения внешних слоев солнечной атмосфе
ры - хромосферы и короны. Солнечная коро
на - это чудесное серебристо-жемчужное лучи
стое сияние, которое видно, когда черный диск
Луны закрывает собой ослепительно яркую
поверхность Солнца. В обычное премя яркий
солнечный свет мешает наблюдать слабое сия
ние короны. Внутренняя часть короны - более
яркая, внешняя - менее яркая, отдельные ее
лучи прослеживаются на расстоянии 3 млн. км
и более от Солнца.
Затмение - лучший момент для определе
ния плотности вещества в короне и изучения
Происходящих в ней атомных процессов. По
скольку вещество короны, как установили совет
ские астрономы во время наблюдения затмения
194 7 г" способно излучать радиоволны деци
метрового и :метрового диапазонов, в полосе
видимости полного затмения устанавливают
в числе других приборов радиотелескопы и с их
помощью слушают «радиоголос» Солнца. Во
время затмения следят за изменениями в радио
излучении Солнца. Радиотелескопы - очень
чувствительные приборы, именно они позво
лили во время полной фазы затмения устано-
88
вить, что солнечная корона простир;tется на
миллионы километров. Задача определения точ
ных границ короны, очевидно, будет решена при
наблюдении очередных затмений Солнца.
Солнечная корона излучает также электри
чески заряженные частицы. Влетая в нашу атмо
сферу, они изменяют ее физическое состояние
и вызывают помехи в радиосвязи. Поэто
му во время затмений ведутся наблюдения за
верхними слоями нашей атмосферы- за ионо 
сферой.
Во время полного и частного затмения
очень важно точно отмечать начало и конец
его. Эти данные позволят сравнить предва
рительно вычисленные начало и конец затмения
с действительным и помогут уточнить теорию
движения Луны. В местах, близких к границе
тени и по.'lутени, отметки· начала и конца затме
ния помогут также проверить и уточнить тео
рию предвычислений затмений.
Для наблюдений затмений Солнца астроно
мам подчас приходится отправляться в далекие
экспедиции. Так, например, в 194 7 г. экспеди
ция советских астрономов и физиков ездила
в Бразилию. А в полосу видимости кольцеобраз
ного затмения 31 июля 1962 г. группе совет
ских астрономов пришлось пробираться на
вездеходах сквозь африканские джунгли в
далекой Республике Мали.
Затмение продолжается всего несколько
минут. Чтобы лучше исriользовать их, астро
номы широко используют фотографию. Во вре
мя затмения1936 г. был применен способ «удли
нению> времени полной фазы затмения. В наб
людении этогр затмения участвовали28 экспеди
ций. Полосц полной фазы затмения пролегала
от берегов Черного моря до Дальнего Востока.
Лунная тень прошла это расстояние за2 часа. Эк
спедиции были размещены вдоль полосы затме
ния. Это позволило сфотографировать все измене
ния, которые произошли за это время в 1юроне
Солнца. Чтобы удобнее было сравнивать фото
снимки, полученные в разное время, исполь
зовались совершенно однотипные приборы, стан
дартные коронографы - фотографические ка
меры, с помощью которых получают снимки
Солнца и короны в большом масштабе.
Этот способ «удлинения» време-ни по.Jiной
фазы оказался удачным и в дальнейшем при
менялся в наблюдениях всех затмений, полоса
видимости которых проходила по территории
СССР.
Но теперь есть и другой путь увеличения
проделжительности полной фазы затмения:
использован ие реактивной авиации. На самоле-

те ТУ-104 была оборудована «летающая об
серваторию>, и в день затмения 15 февраля
1961 г. самолет поднялся выше обла:ков и по
мчался вслед за тенью Луны. Та:к было про
длено время наблюдения полной фазы на
75 се:кунд.
Любоваться :картиной затмения самим участ- ·
ни:кам э:кспедиций не удается. Они всецело по
гл
.
ощены работой у своих инструментов: про
изводят все операции с фотоаппаратами, сме
няют светофильтры, записывают по:казания при
боров и часто не имеют возможности даже взгля
нуть на небо.
А между тем во:круг рас:крывается необыкно
венная по своей :красоте :картина. Она остав
ляет неизгладимое впечатление. Солнечное зат
мение сопровождается рядом очень любопытных
явлений в о:кружающей природе. По мере умень
шения светящегося серпа Солнца тени от раз
ных предметов делаются более рез:кими. Rог-
Подгото11ка к наблюдению солнечного затмения.
СОЛНЕЧНЫЕ И ЛУННЫЕ ЗАТМЕНИЯ
да Солнце будет иметь вид узкого серпа, у
предметов, расположенных параллельно это
му серпу, тени станут особенно рез:ки, а
полутеней почти не будет. При других поло
жениях предметов относительно серпа Солнца
тени будут несимметричными (это лег:ко заме
тить по тени от растопыренных пальцев ру:ки).
За нес:коль:ко десят:ков се:кунд до момента
полного затмения, а та:кже после его онончания
по поверхности Земли проносятся волнообраз
ные, та:к ·называемые «бегущие» тени. Они напо
минают рябь на воде. Это струй:ки воздуха,
освещенные тонним, но яр:ким пуч:ком солнеч
ных лучей.
В самый момент затмения :кругом по гори
зонту наблюдается
:
красновато-оранжевое сия
ние - заревое :кольцо.
Во время затмения очень интересно наблю
дать за животными: они ведут себя необыч
но - проявляют беспо:койство. Например, во
время затмения 1936 г. полевые мыши, вместо
того чтобы с:крываться от приближающегося
челове:ка, в смятении направлялись :к нему
:ка:к бы в поис:ках защиты.
Солнечное затмение может дать богатый мате
риал для наблюдений юным любителям при
роды. Учащимся совсем нетрудно организовать
очень интересные наблюдения за атмосферными
явлениями, сопровождающими затмение. В част
ности, можно вести наблюдения за изменениями
температуры воздуха, влажности, атмосферного
давления, о:крас:ки обла:ков. Фотолюбители смо
гут получить сним:ки частных фаз, полной фазы
и о:кружающего ландшафта. С программой
возможных наблюденkй подробно можно озна
:комиться в «Постоянной части» Астрономиче
с:кого :календаря ВАГО (Физматгиз, 196 2).
Если вам :когда-нибудь представится слу
чай наблюдать полное солнечное затмение, не
пропустите его. Толь:ко помните: смотреть на
Солнце во время частной фазы простым глазом
или в бино:кль нельзя, можно испортить зре
ние. Смотреть надо через за:копченное сте:кло
юш проявленную на полном свету фотографи
чес:кую пластин:ку. На солнечную же :корону
можно смотреть без вся:ких сте:кол, но ее лучше
видно в бино:кль.
R числу «необынновенных)> небесных явле
ний относятся та:кже лунные затмения. Происхо
дят они та:к. Полный светлый :круг Луны начи
нает темнеть у своего левого :края, на лунном
диене появляется :круглая бурая тень, она про
двигается все дальше и дальше и примерно
через час по:крывает всю Луну. Луна меркнет
и становится красно-бурого цвета.
87

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
"'
11)<1>
:s,
:i:..
.
11>"
"
""
"'21
а:i:
��
з:.;о
()
Лунные затмения, каR мы уже говорили,
ПрОИСХОДЯТ ПОТОМУ, ЧТО ВО время ПОЛНОЛУНИЯ
между Луной и Солнцем находится Земля, кото
рая перехватывает солнечные лучи, и на Луну
они не попадают.
Диаметр Земли больше диаметра Луны
почти в4 раза, а тень от Земли даще на расстоя
нии Луны от Земли более чем в 2 Yz раза пре
восходит размеры Луны. Поэтому Луна может
целиком погрузиться в ·земную тень. Полное
лунное затмение гораздо продолжительнее сол
нечного: оно может длиться 1 час 40 минут.
По той же причине, по которой солнечные
затмения бывают не каждое новолуние, лунные
затмения происходят не каждое полнолуние.
Наибольшее число лунных затмений в году-
3, но бывают годы совсем без затмений; таким
был, например, 1951 год.
Лунные затмения повторяются через тот же
промежуток времени, что и солнечные. В тече
ние этого промежутка, в 18 лет11 дней8 часов
(сарос}, бывает 28 лунных затмений, из них
15 частных и 13 полных. Как видите, число
лунных затмений в саросе значительно мень
ше солнечных, и все же лунные затмения
можно наблюдать чаще солнечных. Это объ
ясняется тем, что Луна, погружаясь в тень
Земли, перестает быть видимой на всей
не освещ енной Солнцем
половине Земли.
Значит, каждое лунное затмение видно на зна
чительно большей территории, чем любое
солнечное.
Затмившаяся Луна не исчезает совершенно,
KaI\ Солнце во время солнечного затмения, а
.бывает слабо видимой. Происходит это потому,
.что часть солнечных лучей проходит сквозь зем
ную атмосферу, преломляется в ней, входит
внутрь земной тени и попадает на Луну. Так
как красные лучи спектра менее всего рассеива
ются и ослабляются в атмосфере, Луна во время
затмения приобретает медно-красный или бу
рый оттенок.
88
Взаимное расположение Солнца,
Земли и Луны во время лунного
затмения. Земля находится между
Солнцем и Луной, и Луна скры
вается в тени Земли.
ПЛАНЕТЫ СОЛНЕЧНОЙ
СИС'l'ЕМЫ
Да"11еиие (<аеs1е1
1
и»
С древнейших времен люди знали на небе
светила, которые назвали планетами. По внеш
нему виду они похожи на звезды, но отлича
ются от них тем, что непрерывно движутся по
небу, перемещаясь из одного созвездия в дру
гое. Пути их сложны. Если нарисовать на
звездной карте путь каRой-нибудь планеты,
то получится линия с какими-то неправиль
ными петлями и изгибами. Планета движется
сначала справа налево все вперед и вперед.
Потом останавливается и, помедлив, повора
чивает назад. Пройдя немного в обратную
сторону, она снова направляется вперед и дви
жется все быстрее и быстрее до новой остановки.
Древние ученые настойчиво стремились разга
дать такое странное движение планет, но не
смогли этого сделать, так как ошибочно счита
ли, что планеты движутся вокруг Земли. Дви
жение планет на небе кажется причудливым по
тому, что, смотря на них, мы в то же время са
ми движемся вместе с Землей.
Солнце вместе с планетами и многочислен
ными спутниками планет составляет солнечную,
или планетную, систему. Путь каждой плане
ты - приблизительно окружность, по которой
эта планета обходит Солнце. У каждой планеты
есть свой путь, или своя орбита.
Чем ближе планета к Солнцу, тем меньше
ее орбита, тем короче тот путь, который ей
приходится пробегать; кроме того, более близ-
1
Картина полного солнечного затмения.
На обороте: Планета Земля.
Граница дня и ночи. Снимок сделан с борта косми·
..
..
._
ческого корабля «Восток·2» космонавтом Г. с. Т11· - ,.
..
..
!"оным.

кая к Солнцу планета движется по своему пути
быстрее , чем более далекая; поэтому и время
оборота планеты вокруг Солнца тем короче ,
чем ближе она к Солнцу.
Заметив планеты очень давно , люди дали
им названия , которые сохранились до наших
дней. Не понимая действительной причины дви
жений планет , люди объяснили их движения
желаниями и капризами богов , которым са
ми в то время поклонялись , и дали планетам
имена богов и богинь. Так попали на страницы
сов ременных научных книг по астрономии такие
имена древнеримских богов , как Меркурий -
бог торговли ,
Венера - богиня красоты ,
Марс - бог войны и др.
Меркуриll - иир жары и xo.J10,1
1;
a
Рассказ о планетах мы начнем с той из них ,
которая находится ближе всего к Солнцу. Ее
называют Меркурий. Свою короткую орбиту
Меркурий обегает за 88 земных суток. Значит ,
год на нем короче наших трех месяцев.
Меркурий - яркое светило , но увидеть его
не так просто. Дело в том , что , находясь на небе
вблизи Солнца , Меркурий всегда виден нам
недалеко от солнечного диска; о� отходит от
него то влево (к востоку) , т
.
о вправо (к западу)
лишь на небольшое расстояние , которое не пре
восходит 28°. Поэтому его можно увидеть только
в те дни года , когда он отходит от Солнца на са
мое большое расстояние.
--
----
,..
.
..
.
_
----
----
--
-,
""
----
Земля
Фазы Меркурия.
..
.
'
.
.
.
/'.
Пусть , например , Меркурий отодвинулся
>т Солнца влево. Солнце и все светила в своем
:уточном движении плывут по небу слева
1аправо. Поэтому сначала заходит Солнце , а че-
ПЛАНЕТЫ СОЛНЕЧНОИ СИСТЕМЫ
рез час с небольшим заходит и Меркурий. Вот
в течение этого часа , который проходит между
закатом Солнца и заходом Меркурия , и надо
искать эту планету низко над .западным гори
зонтом. Плохо то , что небо в это время на запа
де светлое - на нем заря. Поэтому на севере
СССР, например в Ленинграде , где за ря пылает
часа. два , найти Меркурий удается очень редко.
Другое дело на юге: там сумерки короткие,
заря гаснет быстро , и Меркурий часто удается
увидеть на потемневшем небе.
·
Если рассматривать Меркурий в телескоп,
то он будет выглядеть , как маленькая Луна ,
с очертаниями· либо узкого серпика , либо не
полного круга. Меркурий - темный шар , соб
ственного света он не дает и сияет на небе за
счет отражения солнечных лучей. На той полови
не Меркурия , которая повернута к Солнцу ,
день , на другой - ночь. Мы видим только
освещенную часть планеты. Диаметр Меркурия
в 21/2 раза меньше диаметра Земли и в fl/2
раза больше диаметра Луны.
В сильный телескоп на Меркурии можно
заметить темные пятна. Они имеют примерно
такой же вид , как «моря» на Луне для нево�
оруженного глаза. Наблюдая за этими пятнами ,
ученые установили одну важную особенность.
Двигаясь по своему пути вокруг Солнца , Мер
курий вращается вокруг своей оси так , что к
Солнцу обращена всегда одна и та же его поло
вина. Это значит , что на одной стороне Мерку
рия всегда день , а на другой - всегда ночь.
Измерения яркости света показывают , что
поверхность Меркурия пок рыта какими-то тем
ными , очень неровными каменными породами
коричневатого оттенка.
МеRкурий гораздо ближе к Солнцу , чем Зем
ля , поэтому Солнце на нем светит и греет
в 7 раз сильнее, чем у нас.
Измерения показывают , что температура на
дневной стороне Меркурия поднимается до
400° выше нуля. Зато на ночной стороне должен
быть всегда сильный мороз , который , вероятно ,
доходит до 200° и даже до 250° ниже нуля.
На такой планете не может быть ни океанов,
ни атмосферы , ни органической жизни. Мерку
рий - это царство пустынь.
(�Вечерняя авеа,1
1;
а>� - Венера
Вторая по удаленности от Солнца планета
Венера. В противоположность Меркурию най
ти ее на небе очень легко. Каждому случалось
89

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
светила: одно появляется по ве
черам, другое-по утрам. Потом
догадались, что это одно и то
же светило, нрасавица неба,
«вечерняя и утренняя звезда»
Венера. «Вечерняя звезда» не
раз была воспета поэтами и ком
позиторами, описана в произ
ведениях великих писателей,
изображена на картинах зна
менитых худож.пиков.
По силе блеска Венера -
третье светило неба, если пер
вым считать Солнце, а вторым
Луну. Не удивительно, что ее
иногда можно увидеть и днем
в виде белой точки на небе.
Орбита Венеры лежит внут
ри земной орбиты, и планета
совершает свой бег вокруг Солн
ца за 225 суток, или за 7 Yz земных
месяцев. Подобно Меркурию,
Венера может отойти от Солнца
только на определенное рас
стояние: оно не превышает 50°.
Поэтому она заходит не позднее,
чем через 3-4 часа после зака
та Солнца, и восходит не рань
ше, чем за 3-4 часа до его
восхода.
Предполагаемый вид на поверхности Меркурня.
Даже в самый слабый теле
скоп видно, что Венера не то:�:
ка,а шар,одна сторона которого
освещается Солнцем, в то вре
мя как другая погружена во
мрак. Следя за Венерой изо дня
в день, можно заметить, что она,
подобно Луне и Меркурию, про
ходит всю смену фаз.
видеть, как иной раз вечером на совсем еще
светлом небе загорается «вечерняя звездю>.
По мере того как гаснет заря, Венера становится
все ярче и ярче, а когда совсем стемнеет и по
явятся другие звезды, она резко выделяется сре
ди них своим сильным светом. Но светит
Венера недолго. Проходит час-другой, и она
заходит. В середине ночи она не появляется
никогда, но зато бывает время, когда ее можно
видеть по утрам,перед рассветом,в ро.Ли «утрен
ней звезды». 'Уже совсем рассветет, исчезнут
все звездш, а Венера все еще светит и светит
на ярком фоне утренней зари.
Люди знали Венеру с незапямятных времен.
С ней было связано множество легенд и пове
рий. В древности думали, что это два разных
90
Фазы Венеры можно иногда разглядеть в
полевой бинокль. Встречаются люди с таким ост
рым зрением, что видят серпик Венеры даже
невооруженным глазом. Это самое близкое к нам
небесное тело после Луны. Бывают такие мо
менты, когда Венера под ходит к Земле на рассто
яние 40 млн. км ., но рассмотреть повер хность
ее в телескоп все же не удается.
В сю1ьный телескоп Венера кажется очень
большой, гораздо больше, чем Луна для нево
оруженного глаза. Казалось бы, на ней долж
ны быть видны, например, горы, долины, моря,
р
·
еки. Но сколько ни разглядывали астрономы
Венеру, их всегда постигало разочарование:
видимая поверхность этой планеты всегда бе
лая, однообразная и на ней ничего не видно,

Венера на вечернем не бе
кроме неопределенных тусклых пятен. В чем
причина этого?
Венера ближе к Солнцу , чем Земля. Поэто
му иногда она проходит между Землей и Солн
це)'d , и тогда ее можно увидеть на фоне ослепи
тельного солнечного диска в виде черной точки.
Правда , это бывает очень редко. В последний
раз Венера проходила между Землей и Солн
цем в 1882 г. , а в следующий раз это будет
в 2004 г.
Прохождение Венеры перед Солнцем в 1761 г.
наблюдал в числе многих других ученых
М. В. Ломоносов. Внимательно следя в теле
скоп за тем , как темный кружок Венеры появ
ляется на огненном фоне солнечной поверх
ности , он заметил новое , до того никому не из
вестное явление. Когда Венера вступила на диск
Солнца больше чем на половину своего попереч
ника , вокруг остальной ее части , находив
шейся еще на темном фоне неба , вдруг по
явился огненный ободок , тонкий , как волос.
То же самое было видно и тогда , когда Венера
сходила с солнечного диска. Ломоносов при
шел к выводу , что все дело в атмосфере - слое
газа , который окружает Венеру. В этом газе
солнечные лучи преломляются , огибают не
прозрачный шар планеты и появляются для
наблюдателя в виде огненного ободка. Подводя
итоги своим наблюдениям , Ломоносов писал:
«Планета Венера окружена знатною воздушною
атмосферою . ..»
Это было очень важное научное открытие.
Коперник доказал , что планеты подобны Земле
по своему движению. Галилей первыми наблю
дениями в телескоп установил , что планеты -
ПЛАНЕТЫ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
это темные , холодные шары , на которых бывает
день и ночь. Ломоносов доказал , что на плане
тах , как и на Земле , может быть воздушный
океан - атмосфера.
Воздушный океан Венеры во многом отли
чается от нашей , земной атмосферы. В нем ,
во всяком случае в верхних его слоях , почти
нет таких важных составных частей , как кисло
род и водяной пар , но зато много углекислого
газа. У нас бывают пасмурные дни , когда
в воздухе плавает сплошной непрозрачный по
кров туч , но бывает и ясная погода , когда
сквозь прозрачный воздух днем светит Солнце ,
а ночью видны тысячи звезд. На Венере же
всегда пасмурно. Ее
·
атмосфера все время
затянута белым облачным покровом. Его мы
и видим , когда рассматриваем Венеру в теле
скап. Поверхность же планеты оказывается
недоступной для наблюдений: она скрывается
за плотной облачной атмосферой. Облачный
покров не дает возможности подметить какие
либо детали на поверхности Венеры и по
быстроте их перемещения установить продол
жительность вращения этой планеты вокруг
своей оси.
Но так обстоит дело , если вести наблюдения
Венеры оптическим путем , например глазом
или при помощи фотографии. Теперь в распо
ряжении ученых есть новый способ изучения
небесных светил - рад иоастрономический.
Оказывается , Венера сама испускает радио
волны , которые изучают и измеряют при по
мощи современных больших радиотелескопов.
Если эти волны идут к нам от твердой поверх
ности Венеры , то это означает , что поверхность
D:I.

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
планеты очень горячая, что температура на ней
все время - н днем и ночью - держится на
уровне около 300°. Если это так, то на всей
Венере под слоем туч и облаков расстилается
жаркая пустыня, примерно такая же, как и на
обращенной к Солнцу стороне Меркурия. Но
возможно и другое. Радиоволны могут зарож
даться в верхних слоях атмосферы Венеры ,
и тогда судить по ним о температуре поверхно
сти планеты нельзя.
Есть еще один способ использовать радио
для изучения светил. Это - радиолокация.
Наблюдения Венеры при помощи радиоло
кации были проведены весной 1961 г. Академи
ей наук СССР. Они показали, что поверхность
Венеры отражает радиоволны в одних местах
сильнее, а в других - слабее. Это значит, что
природа поверхности Венеры не везде одинаков'а.
При помощи рад иоастрономических наблюдений
удалось установить, что продолжительность
оборота Венеры вокруг оси· составляет не менее
200 суток.
Исследование планет при помощи радиоволн
дело еще новое. Несомненно, что со временем
оно позволит подробно изучить мир Венеры.
Пока же мы не знаем, какие физические усло
вия существуют на Венере, может ли там
существовать жизнь, не знаем и еще многого
об этой интересной планете.
Зеи..�JЯ.
После Венеры по степени отдаленности от
Солнца идет Земля. На этой планете живем мы
с вами, и для ее изучения не нужно прибегать
к телескопам. Поэтому природа Земли изучает
ся и описывается не астрономами, а географами.
Тем не менее Земля - тоже цебесное светило.
Какой же она выглядела бы для наблюдателя,
находящегося на другом небесном теле?
Если смотреть с Луны, Земля будет казаться
большим диском, который по поперечнику будет
почти в 4 раза больше лунного диска, рассмат
риваемого с Земли. Ведь действительный, или
линейный, диаметр Земли почти в 4 раза больше
диаметра Луны.
Земля для лунного наблюдателя проходит
такую же смену фаз, какую мы знаем для Луны.
Иначе и быть не может, поскольку ночная сто
рона земногQ шара темная, а дневная- свет
лая. По времени «земные фазы» точно проти
воположны лунным. Когда мы любуемся пол
ной Луной , к Луне бывает обращена темная
92
половина Земли , т. е. наступает момент «ново
земелия». Когда у нас новолуние , на Луне на
ступает «полноземелие» , и Земля с Луны видна
как полностью освещенный диск. Когда осве
щенная Солнцем часть Луны видна нам как
узкий серп, остальная часть лунного диска
также слегка светится. Это называется пепель
ным светом. Свет полной Земли на Луне при-
.
близительно в 100 раз сильнее, чем лунный свет
у нас. В том, что это так, можно убедиться,
измеряя яркость пепельного света на Луне,
который как раз и получается за счет освеще
ния Землей темной стороны лунного шара.
Такая сила земного освещения обусловлена
двумя причинами: во-первых, Земля крупнее
и потому ее диск по площади в 14 раз больше
лунного; во-вторых, Земля лучше отражает
солнечные лучи , так как имеет более светлую
окраску. Это в свою очередь происходит
оттого, что на Земле есть воздух, и притом
с белыми облаками, а на Луне нет никакой
атмосферы.
.
Если смотреть на Землю с Луны, то она бу
дет совсем не похожа на те глобусы, к которым
мы привыкли в школе. Вместо очертаний мате
риков и океанов, которые так пестро раскра
шены на глобусах, больше половины диска Зем
ли будет занято причудливым и изменчивым
узором каких-то белых пятен. Эти пятна не
что иное , как облака и тучи , закрывающие от
постороннего взора расположенную под ними ·
поверхность. В промежутках между ними мож
но разглядеть очертания берегов океанов,
контуры пустынь , лесов и особенно снегов,
однако все это будет видно не очень ясно
из-за голубой воздушной дымки. Эта дымка
хорошо известна всем, кто с возвышенности
любовался далями, кому случалось летать на
больших высотах. Вот это воздушно-облачное
одеяние и является причиной того, что Земля
отражает в пространство 40-50 % падающих
на нее солнечных лучей, в то время как Луна
отражает их менее 7 % .
На Луне пока никто еще не побывал и на
Землю с нее не смотрел. Поэтому и вид земного
шара с Луны ученые определяют на основании
разных косвенных данных. Однако эти данные
оказываются совершенно правильными: когда
первый космонавт - Юрий Гагарин, совершая
свой первый в истории космический рейс, по
смотрел на Землю с космического корабля ,
то он увидел ее именно такой, как предполага
ли ученые. А второй космонавт - Герман
Титов привез из своего космического путеше
ствия замечательные цветные снимки. По ним

можно представитh себе , как выглядит наша
планета из космического пространства.
Если смотреть на Землю с Венеры или Марса ,
то она будет казаться очень яркой звездой чуть
чуть голубоватого оттенка. Недалеко от нее не
вооруженным глазом можно будет разглядеть
(в виде слабой звездочки) Луну.
�(Красная авеада>> - Марс
Ближайший сосед Земли со стороны , проти
воположной Солнцу , замечателен своим крас
ным цветом , напоминающим огонь. Вероятно ,
за этот цвет древние римляне и дали планете
имя бога войны Марса.
Марс удален от Солнца на 227 ,7 млн. км.
Весь свой путь вокруг Солнца Марс проходит
за 687 суток, или за 1 земной год и 101;2 мес�цев.
Поскольку· Марс и Земля движутся в .одну и ту
же сторону , Земля через каждые 2 года и 50
дней обгоняет Марс; в это время Марс и Земля
находятся по одну сторону от Солнца , прибли
зительно на одной прямой линии. Такое поло
жение Mapc:i по отношению- к Земле астрономы
называют противостоянием.
Планеты движутся вокруг Солнца не по
окружностнм , а по эллипсам. Поэтому рас
стояние между путями Марса и Земли не везде
одинаково. Если противостеяние случается там ,
где эти пути сходятся всего ближе , то от Земли
до Марса в это время всего 55 млн. 1<:м. Такое
п'ротивостояние называется великим: оно по
вторяется каждые 15-17 лет. Во время противо
стояния Марс сияет на небе всю ночь в виде
очень яркой звезды огненного цвета. Тогда он
наиболее удобен для наблюдений.
По удаленности от Земли Марс занимает
третье место после Луны и Венеры.
Когда Марс бывает от Земли сравнительно
недалеко, его хорошо можно рассмотреть в теле
скоп. Правда , диаметр Марса невелик, почти
вдвое меньше диаметра Земли , но в телескоп
он выглядит довольно крупным диском. Боль
шая часть поверхности Марса покрыта пятна
ми желтого или красноватого цвета. Такие пятна
на Марсе называют материками. На фоне мате
риков легко можно заметить узор из каких-то
темных пятен , которые когда-то называли мо
рями. Правда , потом выяснилось, что на самом
деле это совсем не моря: воды в них нет. Но наз
вания «моря» и «заливы» на картах Марса
остались , только их теперь понимают rак же
условно , как и «моря» на Луне.
ПЛАНЕТЫ СОЛНЕЧНОИ СИСТЕМЫ
1961 r
,'О..,
,.
.
-·-�/:>
�i..
..
..
.
��
/
"
•/
'"..
.
ЗЕ"1
81 9581.
t96Зr1.
�у
..
..
..
.
��
\
,
'•
.
'
//tfи/\\
\�\��.
,
�)
.t965r 8\
,
"''1' ,
819560
'
"
/
'\."..
..
__..
..
.
,
/
19� ---8�r.
Схема распоJtожен ня ЗемJtн и Марса при раэJtичн ых
противостоян иях.
Если следить за Марсом всю ночь , то будет
видно , как темные пятна «морей» на одной сто
роне появляютсн из-за края диска , а на другой
скрываются за его краем. Это значит , что Мар с
вращается вокруг своей оси , совсем как наш
земной шар. Значит , на нем , как и у нас , бывает
смена дня и ночи. Даже продолжительность
суток на Марсе почти такая же , как и па Земле:
24 часа 37 минут.
Наклон оси Марса такой же , как и у зем
ной оси. Из-за наклона земной оси у нас бывает
смена времен года. Значит , на Марсе тоже бы
вают весна , лето , осень , зима.
Можем ли мы увицеть на Марсе что-ни 
будь такое , что подтверждало бы эту смену
тепла и холода?
Да , можем.
'
На Марсе , как и на Земле , два полюса: се
верный и южный. Когда на одном полюсе лето ,
то на другом зима. Если смотреть даже в не
большой телескоп на тот полюс Марса , на кото
ром зима. , то будет видно , что вся местность
там занята каким-то белым покровом.
Но вот наступает весна. И тут на наших гла
зах белый покров начинает разрушаться, как
бы таять. Края его быстро подвигаются к по
люсу , освобождая скрытую под ним темную по
верхность. Это разрушение белого покрова
продолжается все лето , и к осени его остается
совсем немного , у самого полюса. А с осени
белый покров опять разрастается и надвигает
ся на окружающие местности.
Что же это за светлое вещество , которое
появляется с осенними холодами и ун ичтожает
ся весенним теплом? Очень может быть, что
93

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ:
это снег. Ведь и на Земле белый снеговой покров
каждую осень распространяется все дальше
к экватору , а весной тает и уменьшается. Прав
да , на Марсе холоднее , чем на Земле: Марс от
Солнца дальше , и потому солнечные лучи там
светят и греют в 21/2 раза слабее , чем у нас.
Поэтому даже на экваторе , в самой жаркой зоне
Марса , в полдень почва нагревается только ДО
10-20° тепла , а по ночам всегда бывают очень
сильные морозы.
Зимой на Марсе температура доходит до
60-70° ниже нуля. Но там , где Солнце летом
совсем не заходит и царит непрерывный лет
ний день , подолгу бывает тепло , температура
колеблется от О до 10° тепла.
Если верно , что на Марсе появляется и про
падает снег , то из этого следует , что на нем есть
вода и атмосфера. В последней водяные пары
переносятся в разные стороны и осаждаются
в виде снега и инея. Однако несомненно, что
воды на Марсе очень немного , не больше, чем в
Ладожском озере. И атмосфера на Марсе совсем
не такая , как у нас. Над каждым участком его
поверхности воздуха во много раз меньше , чем
на Земле , и потому воздух там очень разрежен
ный , примерно такой , как в нашей атмосфере
на больших высотах.
Кроме того , в атмосфере Марса , несмотря на
самые тщательные поиски , не удалось обнару
жить никаких признаков присутствия водяного
пара и кислорода во сколько-нибудь значитель
ных количествах. "Установлено , что если эти
газы и имеются на Марсе , то их там долж
но быть по крайней мере в 1000 раз меньше ,
чем в земной атмосфере. Поэтому многие уче
ные считают , что полярные шапки - вовсе не
снег , а покровы из тумана и облаков , завола
кивающие полярные области на Марсе во время
холодной зимы.
Зато в атмосфере Марса обнаружен углекис
лый газ. Вероятно , атмосфера Марса в основ
ном состоит из смеси углекислог
,
огазаи
азота.
На Земле почти повсюду есть жизнь. С тех
пор как Коперник доказал , что планеты -
это далекие «земли» , ученых не переставал
волновать вопрос: есть ли на них какая-нибудь
жизнь? Ведь законы природы везде одни и те
же. Поэтому раз на Земле возникли живые
существа , то и на других планетах они тоже мог
ли возникнуть , если только там имеются для
этого подходящие условия: атмосфера, содержа
щая кислород , вода , подходящая температура ,
т. е. должно быть не слишком жарко и не
слишком холодно.
94
На Луне жить нельзя , потому что. там нет
ни воздуха , ни воды. По той же причине не
может быть жизни и на Меркурии. О природе
Венеры мы еще слишком мало знаем.
Другое дело - Марс. Мы видим многое
из того , что на нем делается , и нам известно ,
что на нем есть и вода , и воздух и временами
бывает достаточно тепло. Правда , ни люди ,
ни наши звери не могли бы там жить: они
задохнулись бы в разреженной , лишенной кис
лорода , атмосфере. Вряд ли могли бы там расти
и наши земные растения. Но это не значит , что
на Марсе совсем не может быть жизни. Ведь
живые существа приспособляются к существую
щим условиям. На Земле они приспособле
ны к плотной , теплой и влажной атмосфере.
На Марсе , возможно , существуют какие-то свои
виды растений , которые столь же хорошо при
способлены к разреженной , прохладной и су
хой атмосфере.
Все эти соображения , конечно , правильны.
Но можно ли их подтвердить практически
наблюдениями Марса?
Вид и цвет тех темных пространств на Марсе,
которые когда-то по ошибке называли «моря ми»,
значительно меняются с врем енами года. Весной
они темнеют и из рыжеватых становятся темно
коричневыми или серыми , а осенью опять свет 
леют. Эти изменения окраск и многие ученые
объясняют появлением и исчезновением какой-то
растительности , например мхов или лишайников ,
способных переносить особенности сурового кли
мата Марса.
-
и это все?- разочарованно спросит чита
тель. - Трава , мох , лишайники - мы ждали
не этого. Мы слышали про каналы, города и
про разумных обитателей на Марсе. Где же это?
Да , действительно , на Марсе видны какие
то узкие длинные полосы, они очень ровные
и правильные. Поэтому прежде, когда еще
не были известны ни климат Марса, ни состав
его атмосферы , некоторые ученые высказывали
предположение , что это какие-то искусствен
ные сооружения , нечто вроде грандиозных оро
сительных каналов , построенных разумными
жителями Марса. Полагали также , что это
широкие полосы растительности , которые тя
нутся по берегам невидимого нам узкого
канала.
Однако в настоящее время ученые считают,
что никаких разумных существ на Марсе нет,
а каналы , если они существуют , вовсе не искус
ственные сооружения.
Существует мнение, что никаких каналов
на Марее вообще нет, а есть лишь цепочки

из темных пятен , которые при наблюдении сли
ваются и производят впечатление прямолиней
ных каналов. Пока еще природа Марса и воп
рос о возможности жизни на нем изучены не
достаточно.
Мы знаем , что у Земли есть спутник -
Луна. У Меркурия и Венеры спутников нет.
Зато у Марса целых две «луны»- два крошеч
ных спутника. Их назвали Фобос и Деймос ,
что по-гречески значит «страх» и «ужас». Один
из них имеет поперечник 16 км, другой -
лишь 8 км. От Фобоса до Марса всего только
9500 км, а от Деймоса - 23 500 км. Время
оборота Фобоса вонруг Марса - 7 часов 39 ми
нут. Этот спутнин , наперенор всем другим све
тилам , восходит на западе и движется по небо
своду I< востону , подобно иснусственным спут
никам Земли. Это объясняется тем , что он обра
щается
·
вокруг Марса быстрее , чем сам Марс
совершает оборот вокруг своей оси. Деймос
обращается вокруг Марса за 16 часов. Нееколь
ко лет назад было высказано мнение , что спут
ники Марса - искусственные небесные тела ,
запущенные несколько сот миллионов лет
назад , когда природа Марса была иной и
там жили высокоразумные существа. Ученые
не согласились с этим мнением , так как никаки
ми научными соображениями оно не подтвер
ждается.
П.�
�
аиета-гигант - Юпитер
Юпитер - самая крупная из всех планет
солнечной системы. Он находится от Солнца
на расстоянии 777 ,6 млн. км, или более чем
в 5 раз дальше , чем Земля.
Свой путь вокруг Солнца Юпитер проходит
почти за 12 земных лет.
Диаметр Юпитера в 11 раз больше диаметра
Земли , а по объему из Юпитера можно было бы
сделать 1312 таких шаров , как Земля. Но , обла
дая такими огромными размерами, Юпитер
по массе только в 317 раз больше Земли. Это
Юпитер со своими
крупными спутниквми.
ПЛАНЕТЫ СОЛНЕЧНОИ СИСТЕМЫ
значит , что Юпитер состоит совсем не из такого
вещества , как Земля. Наш земной шар сложен
из тяжелых каменных пород. а в его центре
некоторые ученые предполагают ядро из еще
боJ1ее тяжелых веществ - металлов. Юпитер
имеет другое строение: в среднем его вещество
немногим тяжелее воды.
В те месяцы, когда Юпитер бывает виден,
его легко найти на небе , потому что он светит
ярче всех других звезд и планет , кроме Венеры.
По блеску Юrтитер занимает на небе четвертое
место - после Солнца , Луны и Венеры. Толыю
Марс способен давать такой же сильный свет,
но лишь в редкие дни наибольших сближений
его с Землей.
Если посмотреть на Юпитер в небольшую
зрительную трубу , то можно увидеть замеча
тельную картину: возле яркого шара планеты
видны четыре звездочки. Это самые большие
спутники Юпитера. Они каждый день бывают
расположены по-разному: то два справа , два
слева; то три с одной стороны , а один - с дру
гой; то все четыре расположатся цепочкой
по одну сторону от Юпитера. А бывает 11 так,
что какой-нибудь из спутников спрячется за
шар Юпитера , или станет перед ним и исчезнет
на его фоне , либо попадет в тень от Юпи
тера - произойдет затмение данного спутника
Юпитера. Во всех этих случаях спутник ста
новится невидимым.
Эги четыре спутника Юпитера очень круп
ные , их диаметры составляют от :юоо до 50 70 км,
два из них размером больше , чем Меркурий,
но несколько меньше его по массе. Кроме того,
у Юпитера есть еще 8 'мелких спутников , кото
рые можно увидеть только в сильные теле
скопы. Таким образом ,
всего у Юпитера
1i спутников и все это обширное семейство
движется вместе с самим Юпитером вокруг
Солнца.
Но что же представляет собой сам Юпитер?
Если рассматривать его в телескоп , то сразу
бросается в глаза некруглая форма этой пла
неты. Другие небесные
тела - Меркурий,
Венера , Земля , Луна - имеют малое сжатие

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
у полюсов. У Юпитера сжатие, или сплюсну
тость, у полюсов значительно больше.
Легко разглядеть еще, что Юпитер поло
сатый; на его округлом. но заметно растяну
том диске виден ряд чередующихся светлых
и темных полос, которые каждый год распола
гаются по-разному. Значит, это не горы ,
не океаны и не суша , а всего-навсего длинные
ряды облаков и туч разной окраски. В этом
отношении Юпитер похож на Венеру: все , что
мы видим на нем, - это сплошной воздушно
облачный покров, который скрывает от наше
го взора то , что находится под ним. Разница
в том , что на Венере этот покров гладкий ,
ровный, однородный , а на Юпитере он пятни
стый, разноцветный.
Движение облаков позволяет легко и просто
установить , как и с какой скоростью вращает
ся Юпитер. Каждое пятно, каждое облачко Jta
·его диске постепенно передвигается от одного
края к другому. Это значит, что Юпитер
вращается вокруг своей. оеи. Вращение его
очень быстрое. Установлено, что сутки на нем
длятся всего 9 часов 50 минут. Таким быст
рым вращением объясняется большое поляр
ное сжатие Юпитера.
Ученых давно занимал вопрос о химическом
составе клубящейся тучами и облаками мощ
ной атмосферы Юпитера. Оказалось , что в ней
нет ни кислорода , ни водяных паров , ни угле
кислоты - словом, ничего того , что входит
в состав нашей земной атмосферы. Зато там
Изменен ия облаков на Юпитере.
96
оказалось большое количество газа, • называ
емого метаном. Это тот газ, который весело
горит. синими огоньками в наших газовых пли
тах. Кроме того , там есть аммиак, многим
знакомый по резкому запаху нашатырного
спирта. Из-за огромного расстояния Юпитера
от Солнца температура его атмосферы около
140° ниже нуля.
Юпитер по всем своим свойствам так не по
хож на нашу Землю, что очень трудно разо
браться в его своеобразной природе. Есть пред
положение , что ядро его состоит из сильно
сжатых газов.
По1
1
анета с коо1
1
ьцои - Сатурн
Сатурн с его кольцом - самая удивитель
ная планета в солнечной системе. Подобно
тому как поля окружают шляпу, экватор
этой планеты окружает широкое , совершенно
плоское кольцо. Оно расположено наклонно
к тому круrу, по которому Сатурн обходит
Солнце за 291/2 земных лет. Поэтому в за
висимости от положения Сатурна на его пу
ти кольцо поворачивается к нам то одной
стороной , то другой. Каждые 15 лет оно рас
полагается к нам ребром , и тогда его нельзя
разглядеть даже в самые сильные телескопы ,
а это значит , что кольцо очень тонкое: его
толщина не более 10-15 км .
Знаменитый астроном Га-
·
лилей в 1610 г. обнаружил,
что Сатурн чем-то окружен. Но
его телескоп был слишком слаб,
и потому Галилей не смог ра
зобрать , что именно он видит
около Сатурна. Только полвека
спустя голландскому ученому
Гюйгенсу удалось выяснить ,что
это плоское кольцо , которое
окружает планету и нигде с
ней не соприкасается.
·
Изучение Сатурна при помо
щи более совершенных телеско
пов показало , что кольцо раз
деляется на три части , состав
.ляющие как бы три независи
мых кольца , вложенных одно
в другое. Внешнее кольцо отде
ляется от среднего темным про
межутком-узкой черной щелью.
1 Ппанеты Марс и Сатурн.
На оборот е: Комета Донати. -·

Иамененне вида кольца Сатурна.
Среднее кольцо ярче внешнего. Изнутри к нему
примыкает полупрозрачное, как бы туманное,
третье кольцо.
Что же представляют собой эти замечатель
ные кольца?
Может быть, это действительно твердые
и гладкие площадки? Нет, это не так. Ученые
доказали, что сплошное и твердое кольцо
такого размера существовать не может: оно
было бы мгновенно разрушено под влияни
ем неодинаковой силы притяжения Сатур
ном разных его частей. Выдающийся русский
астрофизик А. А . Белопольский тщательными
наблюдениями Сатурна подтвердил, что кольцо
действительно не сплошное. Скорость движения
в разных частях кольца оказалась различной.
Это значит, что кольца Сатурна состоят из мел
ких обломков, каждый из которых обращается
•7д.э.т.2
ПЛАНЕТЫ СОЛНЕЧНОИ СИСТЕМЫ
вокруг планеты с такой скоростью, какую имел
бы спутник планеты, находящийся на таком
же расстоянии. Каждый такой обломок .:_ как
бы независимый спутник, сам по себе обра
щающийся вокруг Сатурна.
Что же представляют собой эти облом1ш?
Это, вероятно, камни разного размера: от не
скольких сантиметров до метра в поперечнике,
но, возможно, в кольцах есть и пыль. Кроме
колец, вокруг Сатурна движутся девять спут
ников. Из них один - Титан - по размерам
почти равен Меркурию и немного уступает
ему по массе. Другие спутники имеют разные
размеры. Но все они значительно меньше
Титана.
Сатурн во многом напоминает своего соб
рата - Юпитера. Многие странные, на наш
взгляд, особенности Юпитера выражены у Са
турна еще более резко. Например, он сжат
у полюсов еще сильнее и состоит из вещества,
в среднем менее плотного, чем вода.
Сатурн, как и Юпитер, окружен сплошным
облачным покровом, но только эта туманная
пелена на нем менее пестрая. Полосы и пятна
на Сатурне хотя и есть, но они выделяются
не так резко, как на диске Юпитера.
Атмосфера Сатурна имеет тот же состав, что
и Юпитера: в ней содержатся метан и аммиак.
От Солнца Сатурн удален на 1425,6 млн. км,
и солнечные лучи на нем греют в 90 раз слабее,
чем на Земле, и в 31/2 раза слабее, чем на Юпи
тере. Понятно, что и мороз там очень сильный
он доходит до 150°. Сутки на Сатурне длятся
10 часов 14 минут.
0.J
J
�веты Уран, Нептун и П.J
J
утон
Даже в XVIII в. планетная система была из
вестна только до Сатурна. Но уже тогда пред
полагали, что список планет Сатурном не окан
чивается и существуют еще более далекие пла
неты, которые невооруженным глазом увидеть
нельзя.
Это мнение блестяще подтвердилось, ког
да в 1781 г. английский астроном Гершель,
наблюдая звезды в телескоп, заметил новое
светило, которому, судя по звездной карте,
быть тут не полагалось. Понаблюдав за этим
светилом несколько дней, Гершель увидел, что
оно перемещается среди звезд и, значит, пред
ставляет собой планету.
Оказалось, что эта пданета обращается во
круг Солнца на расстоянии 2868 млн. км
97

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
и совершает полный оборот за 84 года. Новой
планете дали имя Уран. Со временем у нее
нашли пять спутников.
Наблюдая Уран, ученые обнаружили в его
движении некоторые неправильности. Они мог
ли происхо;�ить только от существования какой
то еще более удаленной планеты. Эта неведомая
планета своим притяжением немного сдвигает
Уран с того пути, по которому он обращался
бы под действием притяжения Солнца и изве
стных уже планет.
В то время большого совершенства уже
достиг раздел астрономии, называемый небес
ной механикой.
Способы расчета, которыми пользуются уче
ные в небесной механике, позволяют точно
определять возмущения, т. е . отклонения в
движении какой-нибудь планеты, возникаю�ие
под влиянием притяжения ее соседними пла
нетами.
Обычно в небесной механике приходится
вычислять возмущения· по уже известному рас
положению других планет. При изучении дви
жения Урана нужно было решить обратную
задачу: зная возмущения, найти место вызы
вающей их неизвестной планеты. Эту трудную
задачу решили в 1845-1846 гг. французский
астроном Леверье и английсю1й ученый Адамс.
Только одними расчетами, совсем не глядя
на небо, они указали место на небе, где должна
находиться неизвестная планета. И действи
тельно. -когда на это место немецкий астроном
Галле в 1846 г. направил телескоп, то обнару
жил новую планету. Так была открыта восьмая
планета солнечной системы - Нептун. У нее
оказалось два спутника. Один из них - Три
. тон - по размерам и массе близок к большим
спутникам Юпитера и к Титану, крупнейшему
спутнику Сатурна.
Открытие Нептуна было великим торже
ством науки: оно ясно показывало, что верны
те за1юны движения и притяжения, которые
отRрыл великий Ньютон и на которых осно
ваны все расчеты, выполняемые в небесной
механике. Со временем оказалось, что не все
неправильности в движении Урана могут быть
объяснены влиянием притяжения Нептуна.' Воз
никло предположение о существовании в сол
нечной системе планеты, еще более удаленной,
чем Нептун.
В 1930 г. удалось отыскать еще одну пла
нету; она находится от Солнца почти в 40 раз
дальше, чем Земля, и делает оборот вокруг
Солнца почти за 250 лет. Это девятая планета
солнечной системы - Плутон.
Что же представляют собой эти столь уда
ленные от Солнца планеты?
Уран и Нептун очень похожи друг на друга.
Оба они меньше Сатурна, но гораздо больше
Земли. Оба заметно сжаты, хотя и не так
сильно, как Сатурн. Их облачные атмосферы
содержат метан. Что касается аммиака, то он
там незаметен. Это объясняется тем, что при
таком страшном холоде (минус 200° и ниже),
который царит на этих планетах, аммиак уже
не может оставаться газом: он замерзает и осаж
дается вниз в виде белого вещества, похожего
на снег.
Плутон резко отличается от четырех гигант
ских планет. Он гораздо меньше их: его масса
примерно такая же, как масса Земли. От нас
он так далек, что даже в самые сильные теле
скопы выглядит звездой и рассмотреть ero
поверхность пока невозможно.
·
Однако открытие Плутона не объясняет пол-
.
ностью все отклонения в движении Урана, а
также и Нептуна. Есть основание полагать,
что далеко за орбитой Плутона обращается
вокруг Солнца еще планета с гораздо большей
массой, чем Плутон. Хотя эта планета учеными
еще и не открыта, ее условно назвали Транс
плутоном.
Мир вечного хоо1
1
ода, во вепо�воn теивоты
98
В популярных книгах пла
нету Плутон иногда называют
«царством ночи» .
. (В греческой
мифологии Плутон - бог подаем
иого царстаа, где всегда царит
беспросветная тьма.)
Од11ако ата самая далекая на
известных планет солнечной си
стемы, пожаяуй, не заслуживает
того, чтобы ее считали царством
ночи.
В самом деле, Плутон обра
щается вокруг Солнца на расстоя
нии, превышающем расстояние
Земли от Солнца в 40 раа. Значит,
Солнце освещает Плутон в 40',
нли в 1800, раа слабее, чем Землю.
Может быть, это и не так слабо?
Солнце светит на Земле почти
в 450 тыс. раа ярче, чем по лная
Луна . Следовательно, Плутон по
лучает от Солнца света а 281 (650
тыс.: 1800) раа больше, чем Земля
от полной Луны.
Плутон, бесспорно, мир веч
ного холода, но неполной тем
ноты.

ПЛАНЕТЫ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
ДАННЫЕ О ПР
.
ИРОДЕ ПЛАНЕТ
Диаметр
Плот-
Объем
Масса в иость по
Освещен-
в едини-
в едии11- единицах отиоше- иость Соли-
ЧИСJIО
Планета•
цах диа-
В IШЛО- цах объ-
массы
нию к
цем (по
Атмосфера
спутнн-
метра
метрах ема Земли Земл11
плотио-
сравиеи11ю
ков
Земл11
сти воды
с Землей)
Меркурий
0,39
5000
0,06
0,04
3,8
7
Отсутствует
Нет
Венера
0,97 12 400
0,92
0,81
4,9
2
CпJJomь обJJачная
Нет
ЗемJJя
1,0
12 742
1,00
1,00
5,5
•
НапоJJовину обJJач-
1
ная
Марс
0,53
6770
О, 15
0,11
4,0
1/2
Разреженная, про-
2
зрачная
Юпитер
tt,O 139 560 1312
316,9
1,3
1/27
CпJJomь обJJачная
12
Сатурн
9,0
115 100 734
94,9
0,7
1/90
CпJJomь обJJачная
9
Уран
4,0
51 ООО
64
14,7
1,3
1/400
CпJJomь обJJачная
5
Нептун
3,9
50 000
60
17,2
1,6
1/900
CпJJomь обJJачная
2
ПJJутон
?
?
?
0,8?
?
1/1600
?
Нет
i Пять пJJанет: Меркурий, Венера, Марс, Юш1тер, Сатурн - известны с глубокой древности. Уран
открыт в 1781 г. В. ГepmeJJeм, Нептун - в 1846 г. И . ГaJJJJe на основании вычисJJен11й У. Леверье, ПJJy·
тон - в 1930 г. американской обсерваторией имени ЛoвeJJJJa.
ДАННЫЕ О ДВИЖЕНИИ И ВРАЩЕНИИ ПЛАНЕТ
Средиее расстояи11е от Солица
Продолжитель-
ность обраще-
Скорость дв11-
и11я вокруr
жеи11я по ор-
Планета
в ед11111щах
со"11ца в аем-
бите (к11ло-
расстояи11я
в МИЛЛllОИаХ
НЫХ l'ОДаХ И
метрGв в се-
от Земл11
1шлометров
сутках
кунду)
до Солнца
Меркурий
0,387
57,9
88 суток
47,8
Венера
0,723
108,1
225 ))
35,О
3eMJJЯ
1,0
149,5
1,0 года
29,8
Марс
1,52
227,7
1,9
"
24,1
Юпитер
5,2
777,6
tt,9 ))
13,О
Сатурн
9,5
1425,6
29,5 ))
9,6
Уран
19,2
2868,1
84,О 1)
6,8
Нептун
30,О
4494,1
164,8 ))
5,4
ПJJ)'TOH
39,5
5905,О
247,7 ))
4,7
Пер11од враще1111я вокруr
оси в земиых С)'Тках
н часах
88 суток
свыше 200 суток?
1 сутки
24 часа 37 мин.
9 час. 50 мин.
10 час. 14 мин.
10 час. 42 мин.
15 час. 48 MllH.
6 суток 9 час.

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
Пdанеты-ироmин
Мы рассказали про планеты солнечной
системы. Но 9 планет и 31 спутник, о которых
шла речь, - это не все. В планетной системе
есть еще великое множество очень небольших,
но самостоятельных тел. Их называют малыми
планетами или астероидами.
1 января 1801 г. итальянский астроном
Пиацци нашел на небе маленькую звездочку,
которая, как он установил, медленно пере
двигалась среди звезд. Ясно, что это была неиз
вестная до того планета. Когда определили
ее путь, то оказалось, что он лежит между
путями Марса и Юпитера,· т . е . в зоне сол
нечной системы, казалось бы, давно изученной
и хорошо знакомой. Удивительное это было
открытие! Удивительно было и то, что новая
планета, которую назвали Церерой, была так
мало заметна: ведь она ближе Юпитера и не
многим дальше Марса! Лриходилось сделать
вывод, что это какое-то небольшое небесное
тело.
Ученым снова пришлось удивиться, когда
через год, в 1802 г., нашли еще одну планету -
Палладу, путь которой тоже проходил между
орбитами Марса и Юпитера. В 1804 г. там же
обнаружили третью планету -Юнону, в 1807 г.
четвертую - Весту. Итак, оказалось, что меж
ду путями Марса и Юпитера движется несколь
ко маленьких небесных тел.
Позднее, начиная с конца первой половины
XIX в., малые планеты стали открывать все
в большем числе. Находки: стали особенно
частыми, nосле того как для поисков применили
фотографию. Очень много планет открыто уже
в ХХ в. на Симеизской обсерватории (в Кры
му). Работавшие здесь астрономы С. И . Беляв
с1шй и Г. Н. Неуймин нашли около сотни но
вых малых планет. Теперь таких планет изве
стно более 1600.
Немало надо потрудиться, чтобы изучить
такое множество небесных тел. Ведь для каж
дой планеты нужно определить ее путь, рас
стояние от Солнца, время оборота вокруг Солн
ца. Нужно на каждый год вычислить поло
жение малой планеты на небе, чтобы астрономы
могли снова найти ее и сфотографировать. Этим
важным делом в Советском Союзе занимается
Институт ·теоретической астрономии Академии
наук СССР в Ленинграде. БОльшую часть ра
боты там выполняют сложные электронные вы
числительные машины.
У каждой малой планеты, для которой опре
делена орбита, есть свой номер и название.
100
Орбиты некоторых астероидов.
Вначале, пока астероидов знали немного, их,
как и большие планеты, называли именами
богов или богинь из древнеримских мифов.
Потом таких имен не хватило, и теперь асте
роиды называют обычными женскими именами,
а также именами городов, стран 11 ученых.
Так, среди планет есть Анна и Вера, Москва
и Казань, Армения и Италия, Коперник и
Ньютон. Есть rrланета, названная Влади
леной в честь В. И . Ленина.
Не все малые планеты движутся все время
между Марсом и Юпитером. Некоторые пере
секают орбиту Марса и даже орбиты более
близких к Солнцу планет. Малая планета
Сравните.чьные размеры самых крупных астероидов, если их
поместить н а территории СССР.

.No 1566 - Икар - подходит иногда к Солн
цу даже ближе, чем Меркурий.
Самая крупная из малых планет - Цере
ра - имеет поперечник 770 км, самые мелкие
неправилъные глыбы диаметром около 1 км.
Наша
·
планетная система - не единствен
ная. В бесконечной Вселенной есть много дру
гих звезд, окруженных планетами, которые
при помощи современных телескопов мы еще
не можем непосредственно наблюдать. Но неда
леко то время, когда человечество овладеет
такими мощными средствами наблюдения, что
его взору откроются многие другие планетные
миры.
•
КОМЕТЫ
Кометы принадлежат к числу наиболее кра
сивых небесных тел. Появление на небе яркой
кометы сразу привл�кает к себе всеобщее вни
мание. Светлые туманные оболочки, окружа
ющие небольшое ядро, длинный хвост, тяну
щийся иногда на полнеба, быстрое движение
среди звезд - все это делает комету непохожей
на остальные небесные свети.;1а. Необычный
вид комет и неожиданность их появления на
небе служили в течение многих веков источ
ником всевозможных суеверий.
Астрономы и поныне, как правило, не могут
предсказывать появление на небе ярких комет.
Это объясняется особенностями движения
и строения комет. Подавляющее большинство
комет движется вокруг Солнца по огромным,
сильно вытянутым путям, уходящим в сотни
и тысячи раз дальше орбит наиболее далеких
от Солнца планет. Один оборот по такой орбите
длится многие тысячи и даже миллионы лет.
Кометы холодные, не самосветящиеся тела;
они начинают светиться и становятся види
мыми только тогда, когда подходят близко
к Солнцу. От одного их приближения к Солнцу
до следующего проходят тысячелетия. Следо-
КОМЕТЫ
вательно, кометы, которые будут наблюдаться
в ближайшие годы, предстанут перед глазами
астрономов впервые - раньше они появлялись
так давно, что даже в древнейших летописях
нельзя найти о них никаких сведений. Поэтому
нет ничего удивительного в том, что астрономы
не могут предсказать их появление.
Исключение составляют сравнительно не
многочисленные короткопериодические кометы.
Они возвращаются к Солнцу через несколько
лет или несколько десятков лет. Астрономами
уже открыто пколо 100 таких комет. Для поло
вины из них хорошо изучены орбиты, и по
явление их предсказывается с большой точ
ностью. К сожалению, почти все такие ко
меты слабые, и их не видно невооруженным
глазом.
Приближающаяся к Солнцу комета, если
ее удается заметить еще на большом расстоя
нии от него, имеет вид слабого туманного округ
лого пятнышка. Середина его ярче краев, и за
частую там бывает видно звездообразное ядро.
Ядро и окружающие его оболочки составляют
голову кометы. Постепенно яркость rюметы
возрастает, и наконец появляется небольшой
туманный хвост; он всегда направлен прочь
от Солнца.
По мере приближения кометы к Солнцу
яркость и длина ее хвоста увеличиваются,
а .когда комета бывает ближе всего к Солн
цу, хвост достигает наибольших размеров.
При удалении кометы от Солнца хвост по 
степенно сокращается, комета снова превра
щается в слабое туманное пятныш.ко и на.конец
делается совсем невиДимой.
Яркость хвоста кометы всегда меньше яр.ко
сти ее головы, и потому у слабых комет хвост
иногда совсем не удается заметить.
Вследствие малой яркости и туманного вида
кометы лучше фотографировать, чем наблю
дать в телескопы, даже в большие. Большин
ство комет открывается в настоящее время
по фотографиям. Тем не менее и поныне бывают
случаи, когда кометы открывают даже при
наблюдении неба невооруженным глазом.
Астронои, видевший два появеJiения коиеты ГaeJieJieя
Когда в 18�6 г. Jlеверье закончн.1
1
свои вычисления д.1
1
я отыскания но
вой планеты Нептун, о своих ре
ау.1
1
ьтатах он сообщи.1
1
Берлинской
обсерватории, располагавшей .1
1
уч
mими картами соответствующей обла
сти неба.
В первый же вечер поме по.1
1
у-
чення данных Jlеверье
астроном
Иоганн Га.1
1
.1
1
е обнаружи.1
1
Нептуна
там, где он и должен бы.1
1
быть по
вычислениям Jlеверье.
Иоганн Га.1
1
.1
1
е..
..,
самый до.1
1
го.1
1
ет
ннй астроном-профессиона.1
1
(1812-
1910). Он прожи.1
1
98.1
1
етибы.1
1
единст
венным астрономом, видевшим коме-
ту Га.1
1
.1
1
ея при двух ее появ.1
1
ениях �
в 1835 и 1910 гг.
Самым до.1
1
го.1
1
етним русским аст
рономом бы.1
1
Дмитрий Матвеевич Пе
ревощиков (1788-1880)- профессор
Московского университета, основа
те.1
1
ь Московской обсерватории, поад
нее академик.
.10.1

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
Орбиты некоторых периодических комет.
В 1939 г. два любителя астрономии из Мордов-,
ской АССР - Ахмаров и Юрлов независимо
друг от друга заметили невооруженным глазом
новую комету, которая теперь лосит их имя.
Знаменитым открывателем комет в наше время
является чешский
астроном · и
геофизик
А. Мркос - он открыл 15 комет.
Как только открывается новая комета, об
этом через Международное бюро астрономиче
ских телеграмм извещаются все обсерватории
земного шара. Это делается для того, чтобы
не упустить комету в случае наступления пло
хой погоды и как можно скорей сделать
несколько измерений ее положения среди
авезд. Измерения эти необходимы для вычисле
ния орбиты и предвычисления дальнейшего
движения кометы по небу. Все обсерватории
оповещаются и тогда, когда появляется ранее
уже известная периодическая комета, завер
шившая очередной оборот по своей орбите
и вновь приближающаяся к Солнцу.
В прошлом, когда поиски новых комет про
изводились путем наблюдений глазом в неболь
шие телескопы с большим полем зрения, в так
называемые кометоискатели, ожегодно ваблю-
i02
далось в среднем 3-5 комет. В наше время
благодаря широкому применению фотографии,
позволившей наблюдать и слабые кометы, их
обнаруж:Ивается в среднем приблизительно до
10 в год.
При открытии кометы прежде всего вы
числяют ее приближенную орбиту. Дальней
шие измерения положения кометы среди звезд
позволяют уточнить орбиту. Когда же комета
скроется из виду, удаляясь от Солнца, какой
либо астроном собирает со всех обсервато
рий все точные наблюдения положения кометы
и вычисляет
«окончательную»,
.
наиболее
точную орбиту. Однако если комету удалось
наблюдать лишь недолго и за это время она
прошла малый отрезок своего пути, то даже
и такая окончательная орбита может оказаться
недостаточно точной. Неточное определение
орбиты периодической кометы приводит к тому,
что ее бывает трудно или даже невозможно
найти при следующем появлении.
Предвычисляя будущие появления перио
дических комет, астрономы тщательно учиты
вают отклонения в их движении,
которые
вызываются притяжением планет, Р первую
очередь массивного Юпитера.
Комету называют по фамилии человека,
ее открывшего, либо, в редких случаях, по фа
милии астронома, много ее изучавшего. Встре
чаются и двойные и даже тройные названия
у комет, которые были почти одновременно
открыты несколькими наблюдателями, а также
у некоторых утерянных и потом вновь откры
тых периодических комет. Так, одна из комет
1957 г. носит название: комета Латышева -
Вильда- Б эрнхема.
Новейший сводный каталог кометных орбит,
доведенный до конца 1960 г., содержит орбиты
566 различных комет. Самый короткий период -
2, 3 года - имеет комета Вильсона - Харринг
тона. Она наблюдалась в 1949 г., а затем была
утеряна. Комета Энке - Баклунда (названа так
по фамилиям двух крупных ученых, изучавших
ее сложное движение) с периодом в 3, 3 года
наблюдается с 1786 г. и поныне. За это время
она 55 раз возвращалась к Солнцу. У кометы
Галлея, имеющей период около 76 лет, просле
жены с помощью древних летописей все ее появ
ления начиная с глубокой древности.
Кометные орбиты, являющиеся огромными
сильно вытянутыми эллипсами, наклонены
к плоскости эклиптики1 под всевозможными
i ПJюскость- эклиптики - плоскость земной· орби
ты, вблизи которой расположены и орбиты других
планет.

углами и вообще совершенно беспорядочно
ориентированы в пространстве. Кометы, обла
дающие такими орбитами, движутся среди пла
нет по всевозможным направлениям. У перио
дических комет, имеющих меньшие орбиты,
движение более упорядоченное - у них начи
нают преобладать движения в ту же сторону,
в котору10 движутся планеты. Особенно упоря
доченное движение у короткопериодических
комет с периодами менее 10 лет. Они обра
зуют так называемое кометное семейство Юпи
тера. Все эти кометы имеют умеренно вытяну
тые, малонаклоненные к эклиптике орбиты,
и все они движутся вокруг Солнца в прямом
направлении - как и планеты. Афелии (самые
далекие от Солнца точки) их орбит лежат неда
леко от орбиты Юпитера, и потому его притя
жение оказывает особенно сильное влияние
на их движение.
Время от времени та или иная комета сбли
жается с какой-либо массивной планетой и это
приводит к резкому изменению ее орбиты. Если
при этом перигелийное расстояние (расстоя
ние, когда комета ближе всего к Солнцу) суще
ственно увеличится, то комета может стать не
доступной для наблюдения. С другой стороны,
как показали расчеты, многие периодические
кометы двигались раньше по своим орбитам с
оольшим перигелийным расстоянием и были от
крыты вскоре после того, как сближение с Юпи
тером переве.ilо их на орбиты, приводящие их
в окрестности Солнца.
Поперечник головы кометы обычно состав
ляет десятки и сотни тысяч километров, но,
например, у кометы 1680 г. и у первой кометы.
1811 г. он превышал миллион километров,
т. е .. был почти как поперечник Солнца. Яр
кость хвоста кометы уменьшается постепен
но, и потому длина видимой части хвоста -
до того места, где он сливается с фоном неба,
сильно зависит от черноты неба, применяемого·
телескопа и других причин. Обычно длина
хвоста составляет миллионы и десятки миллио
нов километров. Но у яркой кометы 1680 г"
имевшей гигантскую голову, хвост был виден на
протяжении 300 млн. км, т. е . его длина была
вдвое больше расстояния от Земли до Солнца.
Наблюдения ярких комет уже давно поз
волили накопить данные о хвостах. Они послу
жили основой для изучения их природы. Еще
Кеплер высказал правильную мысль, что обра
зование кометных хвостов, направленных в сто
рону от Солнца, обусловлено отталкиватель
�ым действием Солнца на вещество, из которого
СОСТОЯТ ЭТJ! ХВОСТЫ.
26 XI
.
1909
13 11910
--+-
--
--+-
--�
2 111
13 1 1910
КОМЕТЫ
Распопоженне орбиты кометы гаппея по отношению к орбите
Земпн (указаны попоження кометы и ЗемJ1н на их орбитах в
1909-1910 rr.) .
Изучая наблюдения хвостов различных ко
мет, Ф. А . Бредихин в 70-х годах прошлого
века обнаружил, что все кометы по величине
отталкивательной силы Солнца, действующей
в их хвостах, разделяются на три группы.
Некоторые кометы, например яркие кометы
1811, 1843, 1874 гг" имели прямые хвосты,
направленные почти прямо от Солнца (они
лишь слегка отклонялись .в сторону, обратную
движению кометы). в
·
редихин нашел, что на ча
стицы, образующие эти хвосты, названные им
хвостами 1 типа, действует отталкивательная
сила Солнца, в десятки раз Превосходящая
притяжение.
Другие кометы, например комета Донати
1858 г" имели широкие хвосты, изогнутые
в виде рога. В этих хвостах, названных хво
стами 11 типа, отталкивательная сила прибли
зите.пьно равна притяжению или раза в два
больше.
Наконец,
встречаются хвосты 111 типа,
обычно короткие и очень сильно отклоненные
назад от прямой, соединяющей комету с Солн
nем. На частицы этих хвостов действуют лишь
·
Три типа 11011етиы1: :.;востов по Ф. А. BpeдвDUI)'.
:108

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
небольшие отталкивательные силы - от нич
тожно малых до 1/4 - 1/3 силы притяжения.
У ярких комет, которые в основном исследо
вались Ф. А. Бредихиным , хвосты разных типов
встречаются примерно одинаково часто. Больше
того, многие из них имели одновременно по не
скольку хвостов. У слабых комет, исследован
ных советским астрономом С. В . Орловым
(1880-1958), хвосты 1 типа встречаются чаще
всего, а хвосты 11 и 111 типов - очень редко.
Как показали спектроскопические наблю
дения, свечение оболочек головы кометы и хвос
та создается газовыми молекулами и пылью.
Голова и хвост кометы совершенно прозрачны.
Когда комета оказывается между Землей и ка
кой-либо звездой, свет этой звезды доходит
до нас без малейшего ослабления. Значит,
газы и пыль в кометах чрезвычайно разреже
ны. С этим хорошо согласуется и тот факт, что
массы комет, несмотря на их огромные раз
меры, во много раз превышающие размеры пла-
Фотоrрафия кометы Юрлова - Ахмарова - Хасселя (1939) .
Комета имела струйчатый хвост 1 типа .
104
нет, в миллиарды раз меньше планетных масс.
Даже при тесных сближениях комет с неболь
шимИ: планетами земной группы ни разу не уда
лось заметить изменения движения планеты
под действием притяжения кометьi.
При измерении размеров яркого звездопо
добного ядра, наблюдающегося у многих комет,
оказалось, что его поперечник убывает по мере
приближения кометы к Земле. Следовательно,
это не настоящее ядро кометы, а просто цент
ральный, более яркий сгусток газа и пыли. Тем
не менее не подлежит сомнению, что в голове
кометы должно иметься какое-то твердое веще
ство - источник тех газов и пыли, которые
определяют внешний вид и свечение комет.
В 60-х годах прошлого столетия было обна
ружено, что некоторые кометы и потоки мете
орных частиц движутся по одним и тем же
путям. После этого большинство астрономов,
следуя идее итальянс1<ого астронома Джован
ни Вирджинио С1<иапарелли (1835-1910), ста
ли считать, что ядром �<ометы является до
вольно плотный рой метеорных частиц, а рас
пад ядра ведет 1< обра:юванию метеорного
пото1<а. Связь метеорных пото1<ов с распадом
�<омет наглядно подтверждалась обильнейши
ми метеорными дождями, :Которые наблюдались
в 1872 и 1885 гг" в дни, когда Земля пересе-
1<ала орбиту �<ометы Биэла. За нес1<оль1<0 десят
I<ОR лет до этого �<омета Биэла разделилась
на глазах у астрономов на две �<ометы, а затем
и вовсе исчезла. О1<оло 1950 г. удалось устано
вить, что ядра �<омет в основном являются срав
нительно небольшими ледяными телами, состоя
щими из замерзших газов. В них присутствуют
всевозможные льды - и обычный водяной лед,
и сухой лед из твердой угле1<ислоты, подобный
тому, 1<оторым пользуются_ продавцы мороже
ного, и многие другие льды. Поперечники 1<0-
метных ядер бывают обычно от нескольких
сотен метров до несколь1<их 1<илометров, и по
тому ядра остаются невидимыми.
Тела и частицы, 1<ружащиеся вокруг Солн
ца во внутреннем районе планетной системы
и непрерывно прогреваемые его лучами, состо
ят из 1<аме:Нистых нелетучих веществ. Пред
ставители та1<их тел - падающие на Землю
метеориты. Но во внешних, холодных районах
планетной системы, от1<уда 1<ак раз и приходят
кометы, небольшие тела имеют ледяной состав.
1
Комета Брукса.
На обороте: Иамеиеиие вида кометы Ареида
Ро.паив при ее приближении к Солнцу (1957). Снимок
сделан на народной обсерватории в r. Петержин
(Чехос.поввкия) .

Когда ледяное кометное ядро приближается
к Солнцу и начинает прогреваться его лучами,
газы испаряются и прямо переходят из твер
дого состояния в газообразное (подобно тому
как испаряется, например, нафталин). Пока
комета находится далеко от Солнца, газы испа
ряются слабо, мы видим их лишь в окрест
ностях ядра, где они плотнее, т. е. нам видна
лишь голова кометы с ее туманными оболоч
ками. Когда Же комета подходит ближе к Солн
цу и испарение усиливается, то обычно ста
новится виден разреженный поток газов, отго
няемый прочь отталкивательным действием
Солнца, или даже несколько таких потоков,
т. е . одип или несколько хвостов кометы.
Кроме замороженных газов, в кометном
ядре имеются также нелетучие каменистые
вещества. От них происходят пылиюш, а также
более крупные частицы, которые покидают
ядро, увлекаемые потоком испаряющихся га
зов. Кометные ядра столь малы, что сила тяже
сти на их поверхности в десятки тысяч раз
меньше, чем на Земле. Поэтому даже слабый
поток газов способен сдуть плотные частички
размером до нескольких миллиметров и рых
лые частички размером до нескольких санти
метров. Сдутые частички имеют очень малые
скорости по отношению к ядру и потому дви
жутся по орбитам, очень близким к орбитам
самой кометы. Одни из них опережают комету
и уходят все дальше вперед, другие все боль
ше и больше отстают. Через несколько оборотов
получается поток частиц, распределенных
вдоль всей орбиты кометы-родоначальницы.
Это и есть процесс образования метеорного
потока в результате распада кометного ядра.
В то время как мелкие частицы сдуваются
прочь, крупные остаются на поверхности ядра.
Таким путем у периодических комет после
нескольких приближений к Солнцу на поверх
ности образуется корка, предохраняющая внут
ренние части от нагревания и заме;тяющая
испарение льдов. Без такой предохранитель
ной корки комета Энке не могла бы выдержать
более 50 возвращений к Солнцу, при каждом
из которых она подходит к нему на расстояние
в 3 раза меньшее, чем расстояние от Земли
до Солнца. Тем не менее каждое приближение
кометы к Солнцу сопровождается невосполняе
мой потерей газов, и раньше или позже комета,
приближающаяся к Солнцу, должна исчерпать
свой запас газов и ра�пасться. Чем короче
период обращения кометы, тем чаще она воз
вращается к Солнцу, тем быстре
е
протекает
процес
с
ее
.
разрушения.
КОМЕТЫ
Фотография яркой кометы 19'8 r., имевшей хвост 11 типа.
Комета быпа открыта вбnи3и Солнца во время попиоrо соп
иечиоrо затмения.
Если бы комета просто отражала солнеч
ные лучи, то при изменении ее расстояния
от ,Солнца суммарный блеск ее изменялся бы
обратно пропорционально квадрату расстоя
ния. На самом деле свечение определяется
газами, находящимися в голове, и зависит
от их количества. В сво19 очередь количество
газов зависит от скорости их выделения из
ядра, а эта скорость - от температуры ядра,
определяемой расстоянием кометы от Солнца.
Поэтому получается, что суммарный блеск ко
меты возрастает при ее приближении к Солнцу
гораздо быстрее, чем по закону обратных квад
ратов расстояний. Суммарный блеск возрастает
в 15-20 раз при приближении к Солнцу
в 2 раза. И наоборот, при увеличении расстоя
ния блеск столь жо быстро убывает.
Свечение газов в кометах � это переизлу
чение солнечного света. Причем переизлуча
ются лишь лучи определенных длин волн,
характерных для данной молекулы.
:105

что мы ЗНАЕМ о в.с�ЛЕННОИ
Как показывает излучение спектров;· почти
у всех комет излучения головы порождаются
нейтральными молекулами, состоящими из двух
или трех атомов. Главное свечение дают моле
нулы С
2
•
Их излучения лежат в видимой обла
сти спектра, в том числе и в зеленой ·части,
к которой глаз особенно чувствителен.
Применение фотографии к изучению комет
ных спектров позволило обнаружить в кометах
многочисленные молекулы ядовитого газа циа
на (CN). Излученit:е их лежит в невидимой
ультрафиолетовой части спектра. Когда уда
лось глубже изучить ультрафиолетовые лучи,
были открыты излучения молекул ОН (гидро
ксил) и NH. С появлением фотопластинок,
чувствительных к красным лучам, были обна
ружены излучения молекулы NH
2
•
Наблю
даются также слабые излучения трехатомной
молекулы углерода (С3) и углеводородной моле-
1·:улы (СП).
·
В головах комет, подходящих близко к
Солнцу, нроме излучений перечисленных
Фотография кометы Мркоса (1957). виден струйчатый хвост
1 т1ша (вда11и от rо11овы он приобретает можную структуру)
и раамытый хвост 11 типа.
100
выше 7 моленул, появляются также излучения
атомов некоторых мета.'lлов. На расстояниях,
меньших О,7-0 ,8 астрономической . ·единицы,
в спектре головы появляется желтая линия
натрия. У номет же, приближавшихся к Солн
цу на расстояние меньше 0,01 астрономической
единицы (например, вторая комета 1882 г.),
наблюдались линии.железа, нинеля и, по-види-
мому, хрома.
.
Хвосты 1 типа образованы ионизованными
газами. Главное свечение их происходит от
молекул окиси углерода (СО) и азота (N2),
у которых оторвано по одному электрону.
Кроме того, наблюдается слабое излучение
ионизованных мьлекул углекислого газа (СО2)
и углеводорода (СП).
Хвосты 11 типа состоят из нейтральных
молекул - тех же самых, которые наблюда
ются в голове. Наконец, хвосты 111 типа
состоят из пылинок различных размеров. Неко
торые астрономы не согласны с газовой при
родой хвостов 11 типа и считают, что они тоже
состоят из пылинок, но только особенно мелких.
Списон молекул, присутствующих в номе
тах, заведомо неполон. Нам известны лишь
те из них, ноторые дают достаточно яркие
излучения, и притом лежащие в той области
спектра, ноторая ныне доступна наблюдениям.
Все моленулы, наблюдаемые в кометах, явля
ются химически неустойчивыми радикалами
они обладают свободными, ненасыщенными ва
лентностями и потому стремятся объединиться
в более сложные молекулы. Но головы и хвосты
номет так разрежены, что столкновения моле
кул (при ноторых они только и могут объеди
ниться) происходят крайне редко и благодаря
этому химически неустойчивые радикалы могут
сохраняться долгое время.
Ф. А. Бредихин, изучая хвосты комет, пред
полагал, что отталкивательное действие Солн
ца, приводящее к появлению кометных хво
стов, имеет электрическую природу. Этот
взгляд был впервые высказан еще М. В . Ломо
носовым, который писал о кометах: «... блед
ного сияния и хвостов причина недовольно
еще изведана, которую я без сомнения в элект
рической силе полагаю».
На рубеже XIX и ХХ столетий выдающийся
русский физик П. Н. Лебедев (1866-1912)
доказал, что на ме.1шие пылинки давит свет.
В то же время теоретические соображения ука
зывали, что свет должен давить и на газовые
молекулы.
В настоящее время не подлежит сомнению,
что электрические силы и силы световогu

давления играют в :кометах важную роль.
Оттал:кивательные силы, действующие на ней
тральные моле:кулы и на. пылин:ки, цели:ком
определяются световым . давлением Солнца.
Газы непрерывно выделяются из ядра :кометы,
по:ка оно движется через внутренние районы
планетной системы и достаточно прогревается
Солнцем. Когда нейтральных моле:кул много,
они видны не толь:ко в пределах головы :кометы.
Виден та:кже пото:к моле:кул, навсегда уно
симых прочь световым давлением, т. е . хвост
11 типа. Твердые частицы, все время riо:ки
дающие ядро вместе с газами, слиш:ком немно
гочисленны, чтобы образовать заметный пыле
вой хвост. Но иногда случается,. что из ядра
вырывается целое обла:ко пылевых частиц раз
ных размеров. Крупные пылин:ки слабо оттал
:киваются Солнцем и остаются вблизи ядра,
а более мел:кие, оттал:киваемые сильнее, отхо
дят дальше. Та:ким образом, обла:ко пылино:к
растягивается в полос:ку - хвост 111 типа.
Через нес:коль:ко днiЭй пылин:ки рассеиваются,
и хвост 111 типа исчезает.
Иначе обстоит дело в хвостах 1 типа. Боль
шие оттал:кивательные силы, действующие
в этих хвостах, их струйчатое строение и другие
особенности не могут быть объяснены свето
вым давлением. Они связаны с тем, что эти
хвосты состоят из ионизованных, т. е . элеRтри
чесю1 заряженных, моле:кул. По современным
представлениям, по:ка еще не до :конца разра
ботанным, хвосты 1 типа образуются в резуль
тате взаимодействия ионизованных :кометных
моле:кул с пото:ками заряженных :корпус:кул,
испус:каемых Солнцем.
Путем тщательного изучения самых боль
ших, наиболее вытянутых :кометных орбит гол
ландский астроном Оорт в 1950 г. по:казал,
что солнечная система о:кружена сейчас огром
ным обла:ком :комет (вернее, :кометных ядер).
Обла:ко это простирается до расстояний в 100-
200 тыс. астрономичес:ких единиц (15-30 трил
лионов км ) от Солнца и содержит о:коло 1011
(т. е. о:коло ста миллиардов) :комет. Почти все
они движутся по орбитам, перигелии :которых
лежат дале:ко за пределами планетных орбит.
Они не приближаются близ:ко :к Солнцу и не
растрачивают своих .запасов газов. В райо
не афелиев своих орбит эти кометные ядра
испытывают заметные притяжения со стороны
ближайших :к Солнцу звезд, :которы.е изменяют
их движение, а следовательно, и их орбиты.
Случается, что притяжение другой звезды отры
вает :комету от Солнца, та:к что запас :комет
в обла:ке постепенно уменьшается. Время
МЕТЕОРЫ. И МЕТЕОРИТЫ
от времени измененная орбита о:казывается
та:кой, что приводит :кометное ядро в о:крест
ности Солнца, из него начинают выделяться
газы, и мы можем наблюдать :комету, движу
щуюся по крайне вытянутой, почти парабо
личес:кой орбите.
Пролетая среди планет, :кометы подверга
ются действию их притяжения и снова нес:коль
:ко изменяют свои орбиты. В тех случаях,
:когда планетные притяжения уменьшают с:ко
рость :кометы, размеры орбиты со:кращаются,
:комета начинает чаще возвращаться к Солнцу,
вновь и вновь меняя свою орбиту под действием
планетных притяжений и теряя газы под дей
ствием солнечного тепла.
Образование обла:ка :комет, о:кружающего
солнечную систему, проте:кало в эпоху обра
зования планет - несколько миллиардов лет на
зад - и, по-видимому, из вещества, остав
шегося при формировании планет-гигантов.
Среди множества разнообразнейших :комет
ных орбит есть и та:кие, :которые пересекают
орбиты планет, в том числе и орбиту Земли.
Поэтому изред:ка должны происходить стол:к
новения планет с :кометными ядрами. Судя
по всем данным, взрыв Тунгусс:кого метеорита
был на самом деле стол:кновением Земли не
с обычным :крупным метеоритом, а с ядром
небольшой :кометы поперечником менее 100 м.
•
.МЕ Т ЕОРЫ И МЕТЕОРИТЫ
Метеоры-атиосфериое вво1
1
еиие
Едва ли можно встретить та:кого челове:ка,
:который в звездную ночь не видел бы, :ка:к
пролетит по небу, словно сорвавшись со своего
места, звезда и мгновенно погаснет. Та:кая
«падающая звезда» называется гречес:ким сло
вом м е т е о р, что по-русс:ки означает «про"
исходящее в воздухе».
Метеоры появляются потому, что в земную
атмосферу с огромной с:коростью влетают мель
чайшие твердые :крупин:ки, весящие доли грам
ма. Эти· крупин:ки в бесчисленном :количестве
движутся в межпланетном пространстве, и Зем
ля непрерывно встречается с ними. Они дви
жутся с огромной с:коростью, доходящей до
73 км/сек, т. е . во много раз больпiей, чем
с:корость пули или снаряда. С:корость метеор-
:107

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
пых частиц даже больше скорости искусст
венных спутников Земли и космических ко
раблей.
Влетая в атмосферу с такой скоростью,
метеорная частица встречает чрезвычайно силь 
ное сопротивление воздуха. Поэтому она быстро
нагревается до очень высокой температуры,
вскипает и испаряется, превращаясь в рас
каленный газ, который быстро рассеивается
в воздухе. Вот этот раскаленный и светящийся
газ мы и замечаем в виде быстро пролетающего
по небу метеора. Таким образом, метеорные
частицы не достигают земной поверхности.
После ярких метеоров на небе в течение
нескольких секунд виден след - слабо све
тящаяся тонкая ниточка. Это - свечение от
дельных молекул в воздухе.
Чаще всего метеоры наблюдаются в <(ЛОе
атмосферы на высоте от 80 до 120 км.
Метеор11ые потоки
Ежегодно бывают ночи, когда видно особенно
много метеоров. В это время метеоры появля
ются на небе один за другим через короткие
промежутки времени (5-10 минут). Они выле
тают как бы из одного места и кажутся разле
тающимися из него.
То место на небе, откуда вылетают метеоры,
называется латинским словом р а д и а н т
Фотоrрафия метеора.
(по-русски «излучающий))). Земля в это время
встречает не одиночные метеорные частицы,
а целый рой, или облако, таких частиц, назы
ваемый метеорным пото к ом. Все
частицы потока движутся параллельно друг
другу, а происходящие от них метеоры кажутся
нам разлетающимися лишь в перспективе.
Вспомните, что рельсы железной дороги, если
смотреть вдаль, тоже кажутся нам расходящи
мися из одной находящейся вдали точки.
Между тем .в действительности они располо
жены параллельно друг другу.
Метеорные потоки названы по созвездиям.
в которых находятся их радианты. Вот список
наиболее крупных метеорных потоков с указа
нием созвездий, к которым они относятся:
Время встречи Земли
1 Название
1 Название
с потоком
метеорного
созвезд11й
потока
Со2по4января
Квадрантиды Дра!iОН
С 18 по 24 апреля
Лириды
Лира
С 28 апреля по 5 мая Аквариды
Водолей
С 5 по 18 августа
Персеиды
Персей
10 октября
Дракониды
Дракон
С 20 по 24 октября
Ориониды
Орион
С 15 по 17 ноября
Леониды
Лев
С 10 по 18 декабря
Геминиды
Близнецы
Ученые, в том числе итальянский астроном
Скиапарелли и русский астроном Ф. А. Бреди
хин, давно уже доказали, что метеорные пото
ки возникают в процессе распада комет, а
метеорные частицы в виде потока рассеи
ваются вдоль орбиты кометы. Пересекая эту
орбиту, Земля встречает рассеянные метеорные
частицы, которые во множестве влетают в ее ат
мосферу. Бывает, что метеорный поток оказывает
ся особенно обильным, тогда наблюдается насто
ящий «звездный дожды>. В это время каждуl()
минуту на небе появляются сотни и тысячи
метеоров. Такой «звездный дождь)) наблюдался,
например, в нашей стране и во всей Европе
в ночь с 9 на 10 октября 1933 г. В Ленинграде
его наблюдали около 11 часов вечера в продол
жение полутора часов. Целые толпы людей
останавливались на улицах, любуясь этим заме
чательным явлением, своеобразным «небесным
фейерверком)).
1 Полное солнечное аатмевие. Снимок сделан 15 фев ·
раля 1961 r. на окна самолета TY·101i над. Ростовом·_
на·Дону ва высоте 10 тыс. м.

Фотоrрафи11 пролета яркоrо метеорита череа полярную область веба. Получена
неподвижным фотоаппаратом (см. также фотоrрафню движения авезд на цветной
карте авеэдвоrо неба (стр. 61-65).
В н из у с п р а в а: аатвердевmне капельки-шарики, сдутые встречными потоками
воадуха с поверхиоотн метюрита и обрааующне пып евоА след болида.
CIUrыl арупвый целый метюрll"I' весом 1Н5 аГ на Gвхотэ-А11ввскоrо JКелеаиоrо
метеорвтноrо доаr,ця. Для сравнения рядом о метеоритом лежит фотоаппарат ФЭД.

Наf5.JIЮДеввя метеоров
Раньше астрономы наблюдали метеоры толь
RО невооруженным глазом. Следя за каким
либо участком неба, они наносили· каждый
замеченнь�й метеор на звездную карту в виде
стрелки. Стрелка соответствовала положению
пути метеора среди звезд. Наблюдая невоору
женным глазом в течение ряда ночей какой
либо метеорный поток, астрономы каждую ночь
составляли новую карту. Потом по этим картам
определялись радианты и их смещения на небе
от ночи к ночи. Полученные данные позволяли
вычислить орбиты потоков. Во время наблrо
дения метеоров отмечались все их особенности:
цвет, яркость, характер оставляемых ими сле
дов, определялась продолжительность свечения
метеора и др. Несколько десятилетий назад ме
теоры стали фотографировать. Наблюдения с по
мощью фотографии оказались значительно точ
нее, но фотографировать можно только очень
яркие метеоры, а они появляются много реже.
Поэтому визуальный метод наблюдений не
потерял своего значения и теперь.
Лет 15-20 назад начали наблюдать мете
оры при помощи радиолокации. Наблюда
тель метеоров, находящийся на специальной
станции, посылает при помощи радиолокатора
радиоволны длиной в несколько метров. В мо
мент пролета метеора радиоволны отражаются
от оставленного метеором следа и регистриру
ются тем же радиолокатором. В результате
на специальной светочувствительной пленке
получается изображение метеора в виде свое
образной вспышки. Наблюдения при помощи
радиолокации еще более точны. Особенно важно
то, что такие наблюдения можно производить
в любую погоду, даже при сплошной облач
ности (для радиоволн облана - не помеха),
и притпм не только ночью, но и днем.
Изучение метеоров имеет очень большое
научное значение. Особенно важным оно стало
теперь, ногда человек начинает проникать в
космос. Недалено время, когда люди отпра-
1Jятся в путешествие к другим небесным телам:
Луне, Марсу, Венере. Поэтому очень важно
знать, как распространены метеорные частицы
в пространстве, и изучить орбиты м�теорных
потоков, чтобы научиться избегать опасности
()Т встреч с метеорными частицами при косми
чесних полетах. Ведь среди метеорных частиц
встречаются и более крупные, весом в граммы
и больше. При огромной скорости такого
наметка удар его о стенку космического ко
рабля может вызвать катастрофу.
МЕТЕОРЫ И МЕТЕОРИТЫ
Фотография CJ
J
eдa ·болида, наблюдавшегося на Чукотке
19 октября t9H г.
Фотография того же следа спустя несколько минут. Под влия
нием сильного ветра, дующего в стратосфере на разных вы
сотах в раз11ых направлениях, след искривился и принял зигза-
гообразную форму.
Оrнениые шары - бо.Jiиды
Иногда на небе неожиданно появляется
стремительно несущийся огненный шар. За ним
тянется огненный хвост, рассыпаются иснры
и затем остается слабо светящийся туманный
след. Этот огненный шар называется греческим
словом б о л и д, что по-русски означает «мета·
тельное орудие». Болид пролетает в течение
веснольких секунд, а след, оставшийся после
:1.09

ЧТО·МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
его исчезновения, бывает виден много минут,
а иногда больше часа. Под дей
.
ствием сильного
ветра, дующего. в верхних слоях стратосферы
в разные стороны, след непрерывно изменяет
свою форму. Постепенно изгибаясь во все сто
роны, он разрывается как бы на клочья и затем
исчезает. Во время полета болида ночью мест
ность на сотни километров вокруг освещается
ярким светом. Особенно крупные и яркие боли
ды видны днем, даже при ярком солнечном
свете. След болида, наблюдаемый днем, имеет
вид светло-серой полосы, простирающейся по
небу.
Обычно через несколько минут после исчез
новения яркого болида раздаются удары, подоб
ные взрывам, а затем доносится грохот и посте
пенно затихающий гул. Нередко в тех местах,
над которыми пролетает болид, ощущается сла
бое сотрясение почвы и строений.
Болиды - это те же метеоры, но во много
ра3 более яркие. Они появляются в результате
попадания в атмосферу крупных камней или
кусков железа. Наиl>олее крупные из них
за время движения в атмосфере не успевают
полностью разрушиться, и их остатки падают
на поверхность Зем
.
ли. Такие упавшие на Зем
лю глыбы или осколки называют м е т е о
ритами.
Метеориты - вестники иосиоса
Метеориты имеют невзрачный вид: они пред
ставляют собой серые, черные или черно-бурые
куски камней или железа. Но это единствен
ные неземные тела, которые мы изучаем непо
средственно.
Мы можеr.,i держать метеориты в руках,
исследовать в лабораториях их химический и
минеральный состав, изучать сrруктуру и раз
личные физические свойства.
О падении метеоритов люди знали еще
в глубокой древности. У некоторых народов
метеориты в течение многих веков почитались
как «посланцы бога» и им поклонялись. В Мек
ке (Саудовская Аравия) и теперь сохраняется
каменный метеорит, называемый «черным кам
нем». Он вделан в стену храма Каабы, и к нему
ежегодно приходят на поклонение верующие
мусульмане.
В старинных летописях разных народов
есть очень много записей о «камнях с неба».
Самая ранняя запись о метеоритах в русских
летописях рассказывает о падении метеорита
в 1091 г.
110
Однако ученые в течение долгоrо времен:и
не признавали метеориты за внеземные тела
и считали их земными камнями. Даже в конце
XVIII в. академики Парижской академии,
самого авторитетного в то время научного уч
реждения в мире, утверждали, что камни
не могут падать с неба. Но в это время путе
шествовавший по Сибири русский академик
Паллас увидел удивительную железную глыбу
весом больше полутонны. Эту глыбу нашел
еще в 1749 г. кузнец Медведев. Паллас распо
рядился доставить находку Медведева в Петер
бург для изучения. Куски этой глыбы тща
тельно изучил выдающийся физик Э. Ф. Хла
дни, чех по происхождению. Он пришел к выво
ду, что найденная Медведевым железная глыба,
как и многие другие подобные находки, сде
ланные в разных странах, не могла образо
ваться на Земле и является гостем из миро
вого пространства. Об этом Хладни написал
специальную книгу, которая была напечатана
вРигев1794г.
Позднее ученые согласились с выводами
Хладни, и космическое происхождение метео
ритов было признано.
Таким образом, наша страна явилась роди
нойнаукиометеоритах-метеоритики.
Особенно большое развитие эта новая об
ласть науки получила в нашей стране после
Великой Октябрьской социалистической рево
люции.
В Академии наук СССР существует спе
циальный Комитет по метеоритам, который
ведает сборо111, изучением и хранением метео
ритов в СССР. При Комитете имеется большая
коллекция метеоритов. Небольшие метеорит
ные коллекции имеются в музеях многих горо
дов Советского Союза. Все эти коллекции
доступны для осмотра.
ОбщиА вид в рааиеры иетеоритов
Главный
признак
метеоритов-кора
пла в лени я. Она имеет толщину не более
1 мм и со всех сторон, наподобие скорлупы
ореха, покрывает каждый целый метеорит.
Друrой признак метеоритов - характерные
ямки на их поверхностях. Они называются
регмаглиптами,чтовпереводесгреческого
означает «вырезыватм, «долбитм. Эти рег
маглипты образуются в результате сверлящего
действия воздуха во время движения в нем
метеорита.

Обычно метеориты имеют форму обло!I
I

нов, что является результатом их действи
тельного раскола в атмосфере во время дви
жения. И только очень редко падают метео
риты, имеющие замечательную конусообраз
ную форму, напоминающую форму головки
снаряда. Такая форма образуется в результате
«обтачивания» метеорита воздухом.
Самый крупный цельный метеорит был най
ден в Южной Африке в 1920 г. Метеорит этот
железный и весит около 60 Т. Как будет видно
из дальнейшего, на Землю падали и еще боль
шие метеориты, но от них сохранились только
отдельные осколки. В подавляющем же боль
шинстве метеориты невелики. Чаще всего они
весят сотни граммов или немногие килограммы.
Метеориты весом в десятки, а тем более в сотни
килограммов составляют уже редкость. Самые
маленькие весят доли грамма.
Совсем недавно - 24 ноября 1959 г.- упал
метеорит в Азербайджане. Это Ярдымлинский
железный метеорит. Найдено 6 куснов, из них
наиболее крупный весит127 кГ, а самый малень
кий- около 300 г.
Наиболее часто падают каменные метео
риты. В среднем из 16 упавших метеоритов
только один оказывается железным. Еще реже
падают железокаменные метеориты.
Как падают иетеориты
Метеориты падают внезапно, они могут
упасть в любое время и в любом месте земного
шара.
Влетев в земную атмосферу со скоростью
15-20 и более километров в секунду, метеор
ное тело уже на высоте 100-120 км встречает
очень сильное сопротивление воздуха. Хотя
на этой высоте атмосфера и сильно разрежена,
из-за огромной скорости метеорного тела нахо
дящиеся перед ним частицы воздуха быстро
сжимаются. В результате перед движущимся
метеорным телом образуется своеобразная по
душка из сильно нагретого сжатого воздуха.
Нагревается до нескольких тысяч градусов
и поверхность самого метеорного тела. В этот
момент оно и видно с Земли как болид.
Пока метеорное тело несется в атмосфере
с космической скоростью, вещество, из · кото
рого оно состоит, расплавляется, вскипает
и превращается в пар, а частично разбрызги
вается мельчайшими капельками.·
Поэтому
метеорное тело как бы тает, непрерывно умень-
МЕТЕОРЫ И М�ТЕОРИТЫ
шается. От разбрызгиваемых капелек, кото
рые, затвердевая, превращаются в шарики,
образуется след, остающийся на пути движе
ния болида.
Приближаясь :к земной поверхности, мете
орное тело попадает в более плотные слои
атмосферы. Поэтому сопротивление воздуха
нарастает еще сильнее, и метеорное тело начи
нает быстро тормозиться. Наконец на высоте
около 10-20 км оно пqлностью затормажи
вается, перестает нагреваться и светиться и
болид Исчезает. Остаток метеорного тела -
метеорит, уже значительно охлажденный под
влиянием силы тяжести,- падает на землю как
обыкновенный брош
.
енный камень.
Только что упавший метеорит бывает теп
лым или горячим, но не раскаленным. Поэтому
метеориты при падении не могут вызвать пожа
ра. Однако метеорит огромных размеров, веся
щий сотни тысяч тонн или больше, не может
затормозиться в возДухе. Он со скоростью
многих километров в секунду ударится о землю.
При у.Даре такой метеорит мгновенно нагреется
до очень высокой температуры и значитель
ная часть его вещества превратится в пар.
Устремляясь с огромной силой во все стороны,
этот пар произведет взрыв. На месте удара
Схема даuжевия в атмосфере метеоров и метеоритов.
:11.1

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
Арнаонскнй метеоритный кратер.
метеорита образуется воронка - так назы
ваемый метеоритный кратер, а уцелевшие
or метеорита отдельные осколки разлетятся
во все стороны вокруг кратера.
В разных местах земного шара найдено
много ·метеоритных кратеров. Огромный мете
оритный кратер, называемый Аризонским или
Vщельем Дьявола, находится .в США. Его
поперечник равен 1200 м, а глубина - 170 м.
ВоRруг этого кратера было собрано много
тысяч мешшх осRолков железного метеорита
общим весом свыше 20 Т. Весь жэ метеорит,
несомненно, весил много тысяч тонн. В нашей
стране группа метеоритных кратеров имеется
на острове Саарема в Эстонской ССР.
Жее1
1
еаныll дождь
В тихое и морозное утро 12 февраля 1947 г.
ослепительно яркий болид стремительно про
несся по небу над советским Приморьем. Оглу
шительный грохот раздался после его исчез
новения. Распахнулись двери в домах, со зво-
:1.12
ном полетели осколRи оконных стекол, посы
палась с потолков штукатурRа, из топившихся
печей было выброшено пламя с золой и голо
вешками. Животные метались в паническом
страхе. На небе вслед за пролетеяшим огнен
ным шаром остался след в виде широкой серой
полосы, похожей на дым. Вскоре след стал
изгибаться и, словно сказочный исполинсRий
змей, распростерся по небу. Постепенно слабея
и разрываясь на клочья, след исчез только
к вечеру.
Все эти явления были вызваны падением
огромного железного метеорита, получившего
название Сихотэ-Алинского (он упал в отрогах
хребта Сихотэ-Алинь). Четыре года Комитет
по метеоритам на месте занимался изучением
обстановки падения этого метеорита и сбором
его осколков. Метеорит еще в воздухе раско
лолся на тысячи частей разного размера и веса
и выпал на землю удивительным железным дож
дем. Наиболее крупные части метеорита -
1 Падение С11хот э-А11ннского метеорита.
И а о б о р о те: Заеадный дождь в Jlенннграде.

«капли» - весили по нескольку тонн. При паде
нии эти крупные куски, раздробив скальные
породы, образовали в них воронки и сами рас
кололись на многие тысячи осколков. Было
обнаружено свыше 200 метеоритных воронок
диаметром от 10 см до 26 м.
За все время работ экспедициями было
собрано и вывезено из тайги более 7000 оскол
ков общим весом около 23 Т. Самые крупные
из них весят 1745, 1000, 700, 500, 450 и 350 кГ.
Тувгуссквlt иетеорит-коиета
Утром 30 июня 1903 г. в глухой сибирской
тайге наблюдалось явление, похожее на паде
ние гигантского метеорита. Тогда это явление
было названо падением Тунгусского метеорита,
так как место падения оказалось расположен
ным недалеко от реки Подкаменной Тунгуски.
Ослепительно яркий болид был виден по всей
Центральной Сибири, на территории радиусом
около 600 км. Через нескодько минут после
того, как болид скрылся за горизонтом, раз
дались удары огромной силы. Затем послы
шался сильный грохот и гул. Во многих сеЛе
ниях в окнах раскололись стекла, с полок
попадала посуда. От воздушной волны люди
Повааенный аес в районе
падения Тунrусскоrо метео
рита-ко мет ы.
•8д.э.т.2
МЕТЕОРЫ И МЕТЕОРИТЫ
валились с ног. Удары были слышны в радиусе,
превышающем 1000 км.
:К сожалению, изучением этого замечатель
ного явлеuия ученые занялись много времени
спустя, уже после Октябрьской революции.
Впервые ученый посетил место предполагавше
гося падения метеорита в 1927 г. Это был
Л. А. :Кулик, он возглавлял специальную экс
педицию Академии наук СССР. По разлив
шимся весной таежным речкам :Кулик в сопро
вождении местных жителей-эвенков пробрался
на плотах в «страну мертвого леса». Здесь,
на площади радиусом в 25-ЗО км, он обна
ружил поваленный лес. Деревья лежали с выво
роченными корнями, образуя гигантский веер
вокруг центрального участка области вывала
леса. Потом еще несколько экспедиций, про
веденных :Куликом, занимались изучением об
становки падения метеорита. Центральная
область поваленного леса была сфотографиро
вана с самолета.
Несколько ям, которые :Кулик вначале
принял за метеоритные воронки, были раско
паны. Однако осколков метеорцта в них не
удалось найти. Это и не удивительно, так
как ямы оказались обыкновенными болотами,
а не метеоритными воронками.
Наступившая Великая Отечественная война
прервала исслед;ования :Кулика, а сам он доб-
118

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
ровольцем ушел защищать Родину и погиб
в 1942 г.
После войны Комитет по метеоритам возоб
новил изучение обстоятельств падения Тунгус
ского метеорита. Было вновь проведено несколь
ко экспедиций во главе с К. П . Флоренским.
Экспедиции установили, что метеорит взор
вался в воздухе. Возможно, что он был ядром
кометы, которое полностью разрушилось,
не достигнув земной поверхности. Поэтому
в районе падения нет ни метеоритных крате
ров, ни осколков метеорита. Однако в почве
здесь удалось обнаружить мельчайшие частицы
(шарики), представляющие собой выпавший
на Землю продукт разрушения Тунгусского
метеорита-кометы. Комитет по метеоритам
и Институт геохимии и аналитической химии
Академии наук СССР продолжают изучать ,это
распыленное вещество метеорита.
На чеrо состоят иетеориты
Ученые уже давно установили, что метео
риты состоят из тех же химических элементов,
которые имеются и на Земле. Никаких иных
элементов в них не найдено.
Преимущественно в метеоритах присутст
вуют следующие восемь элементов: железо,
никель, сера, магний, кремний, алюминий,
кальций и кислород. Все остальные химиче
ские элементы встречаются в метеоритах в нич
тожных количествах. Соединяясь химически
Каменный метеорит «Kapaк oJJ», упавший в Семипа JJатннской
обJJастн 9 мая 19,U г. Метеорит -весит 2, 788 "r и имеет эаме
чате.1
1
ьную конусообразную ф ор му.
:114
между собой, элементы образуют в метеоритах
различные минералы. Большинство этих мине
ралов широко распространено и в земных гор
ных породах. Но встречаются в метеоритах,
правда в очень незначительных количествах,
и такие минералы, которые не были обнаруже
ны на Земле. По-видимому, они не могут суще
ствовать в условиях земной атмосферы. По сво
ему химическому составу метеориты подраз
деляются на железные, железокаменные и ка
менные.
Железные метеориты почти целиком состоят
из железа в соединении с никелем и с малым
количеством кобальта. Каменные метеориты
состоят главным образом из минералов, кото
рые называются силикатами. Силикаты пред
ставляют собой соединения кремния с кисло
родом, с примесью различных других элемен
тов, например магния, алюминия, кальция
и др. Но и в каменных метеоритах имеется
никелистое железо в виде мелких включений
зернышек, рассеянных во всей массе метеорита.
Железокаменные метеориты состоят приблизи
тельно из равных количеств никелистого желе
за и каменистого вещества. Они представляют
собой как бы железную губку, пустоты в ко
торой заполнены желтовато-зеленоватым мине
ралом оливином.
Особенно интересна структура метеоритов.
Так, если отполировать поверхность железного
метеорита и протравить ее слабым раствором
кислоты, то на поверхности появится интерес
ный рисунок. Он состоит из переплетающихся
между собой полосок, которые называются вид
)Iанштеттеновыми фигурами, по имени открыв
шего их австрийского ученого Видманштеттена.
На некоторых железных метеоритах при трав
лении появляются тонкие параллельные линии.
По имени открывшего их немецкого ученого
Неймана они навываются неймановыми.
Эти особенности железных метеоритов яв
ляются результатом их кристашщческого строе
ния.
Если посмотреть на излом какого-либо
каменного метеорита, то почти всегда даже
невооруженным глазом можно заметить окtэуг
лые частицы; иногда они имеют вид совершенно
правильных шариков, диаметром в среднем
около 1 мм. Эти шарики называются хондрами,
что означает «зерно».
В метеоритных коллекциях можно встретить
стеклянные куски небольшого размера и весом
в десятки граммов. Они были найдены в раз
ных местах земного шара и получили общее
название тектиты. До сих пор окончательно

Ви;tмаиштеттеиов ы фигуры на протравленной поверхности
железного метеорита «Чебаикол».
не установлено, как образовались тектиты.
Некоторые ученые считают их особым, стек
лянным
-
, типом метеоритов.
Происхождение иетеоритов
Теперь уже окончательно установлено, что
метеориты представляют собой осколки малых
планет - астероидов. Помимо тех крупных
астероидов, которые видны в телескопы, в кос
мосе существует множество мелких; их попереч
ники не превышают километра, а бывают и зна
чительно меньше. Это уже не планеты, а скалы
или просто камни, носящиеся в межпланетном
пространстве. Сталкиваясь между собой, они
и теперь продолжают дробиться на все боль-
Поверхность налома каменного метеорита «Саратов», на к ото.
ром qетко видны хондры.
в•
МЕТЕОРЫ И МЕТЕОРИТЫ
шее число еще более мелких осколков. Вот
эти-то осколки, встречаясь с Землей, и падают
на ее поверхность в виде метеоритов,
Изучая метеориты, мы узнаём, из чего состо
ят они, и таким путем определяем состав небес
ных тел, частью которых являются метеори
ты. Таким образом, метеориты помогают решать
важную проблему - происхождение планет
ной системы и отдельных планет, в том числе
и нашей Земли, помогают изучать состав и
строение внутренних частей Земли. Недавно
советский ученый акад. А . П. Виноградов про
извел важное исследование. На основании изу
чения метеоритов он установил, что кора Земли
образовалась в результате переплавления метео
ритного вещества, из которого в еще более
раннее время образовались внутренние слои
Земли.
Помощь насе.Jiеиив в сборе иетеоритов
Болиды появляются неожиданно, и нельзя
заранее предсказать, когда и где упадет метео
рит. Следовательно, нельзя заблаговременно
подготовиться к наблюдениям падения метео
ритов. Поэтому ученым в их работе могут
оказать большую помощь очевидцы полета
болида, если они сообщат подробно о всех тех
явлениях, которые наблюдали. В случае наход
ки метеорита нельзя его дробить. Нужно при
нять меры к его охране и вместе с описанием
наблюдавшихся явлений сообщить в Комитет
по метеоритам Академий наук СССР 1•
При описании болида нужно по возмож
ности ответить на следующие вопросы: 1) дата
и J1ремя наблюдения; 2) место наблюдения;
3) направление движения болида; 4) продол
жительность полета болида в секундах; 5) раз
меры болида по сравнению с видимыми разме
рами Луны или Солнц а; 6) цвет болида;
7) была ли освещена местность во время полета
болида; 8) наблюдалось ли дробление болида;
9) остался ли после болида след, каковы его
форма и последующие изменения, а также про
должительность видимости; 10) какие звуки
были слышны во время полета болида и после
его исчезновения.
В описании нужно также указать фамилию,
имя, отчество и почтовый адрес наблюдателя.
1 Адрес Комитета по метеоритам Академии наук
СССР: Москва, В-313, ул. Марии Ульяновой, 3
,
кор
пус 1, подъезд 2.
•

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О BCEJJ;EHHOй
ЗВЕЗДЫ
И Г.JIJ'"БИНЫ BCE.JIEHHOЙ
Скоо1
1
ько авеад на небе?
Rогда в ясную ночь с открытого места
за городом вы смотрите на небо, вам кажется,
что оно усыпано бесчисленными звездами. l\ак
будто по темному бархату кто-то разбросал
_ великое множество бриллиантов- так искрятся
и переливаются разноцветными огоньками
звезды.
Наш велюшй ученый и поэт М. В . Ломо
носов в одной из своих од так писал о небе:
Оrкрылась бездна, звезд полна,
Звездам числа нет, бездне - дна.
Впечатление о бесчисленности звезд, види
мых невооруженным глазом, ошибочно. Оно
исчезнет, если вы запомните главные звезды соз
вездий.
В таком впечатлении нет ничего удивительно
го. Когда вы впервые входите в незнакомый
класс, вам кажется, что учеников в нем очень
много. Но когда вы узнаете хотя бы некоторых
из них и признаете в них старых знакомых,
вам покажется, что учеников в этом классе
не так уж много.
Даже в самую ясную безлунную ночь
за городом, где не мешает городской свет,
на небе невооруженному глазу видно всего
лишь около 3000 звезд.
Число звезд кажется преувеличенным, пока
мы еще не разбираемся в узоре созвездий.
Впечатление бесчисленности звезд усиливается
их мерцанием -одниитежезвездочки
кажутся то ярче, то слабее из-за того, что
между ними и нами протекают струйки воз
духа различной плотности.
Самые яркие звезды условились называть
звездами 1-й величины, а самые слабые из види
мых невооруженным глазом - звездами 6-й ве
личины. Звезды 1-й величины ярче звезд
6-й величины в 100 раз. В бинокль видны
звезды до 8-й-9 -й величины, а в телескоп-еще
более слабые.
Звезд 1-й величины, особенно ярких, на всем
небе около 20, звезд 2-й величины, таких, как
главные звезды созвездия Большой Медведицы,
около 70, а всех звезд ярче 6-й величины
около 6000; но над горизонтом видна только
пщювива всего неба.
116
ав еадные карты, ато1
1
асы и ката.�
�
оги
Астрономы при помощи сильных телескопов
сосчитали много звезд. Более того, для мно
жества звезд они определили очень точно их
положение на небе и установили их видимую
звездную величину. Еще более двух тысяч лет
назад греческие ученые составили первые спи
ски звезд, в которых указали точное положе
ние сотен звезд на небе. Такие большие списки
с обозначением положений звезд получили назва
ние звездныхкаталогов.
Положение звезд на небе определяют при
помощи различных специальных инструментов.
В наше время для этого служат небольшие
телескопы, снабженные металлическими кру
гами, разделенными на градусы и их доли.
По этим кругам можно точно отсчитать в угло
вой мере направление телескопа, когда в него
видна данная звезда.
Положение на небе более ярких зве
.
зд опре
делено с большей точностью, чем положение
многочисленных слабых звезд. В общей слож
ности усилиями ученых разных стран и в раз
ное время· занесеnы · в каталоги ·положения
почти миллиона звезд. Это примерно в полто
раста раз больше чиtла · звезд, которые
мы видим невооруженным глазом в обоих
полушариях Земли, и раз в пять больше
числа волос на голове у человека с густой ше
велюрой.
Итак, около миллиона звезд находится
на строгом учете, а не просто сосчитано.
Менее яркие звезды, слабее 11-й звездной
величины, подсчитываются пока лишь прибли
зительно - примерно так же, как деревья раз
ных пород в большом лесу. Подсчитано, что
звезд ярче 21-й звездной величины около двух
миллиардов. Самыми большими из современных
телескопов можно было бы сфотографировать
в несколько раз больше звезд.
По установленным
положениям звезд
на небе можно составить карты звездного неба.
Одна такая звездная карта, содержащая звез
ды, которые видны невооруженным глазом
в северном полушарии, дана в этой книге
на стр. 64-65.
Недавно одним из самых больших теле
скопов было заснято 3/4 всего неба и с этих
фотографий сделаны отпечатки. Такой фото-
1
Фотоrрафия большоrо Маrеллаиова Облака. Эта
далекая авеадиая система видна невооруженным
rлааом в южном полушарии Земли.
На об о р о те: Фотоrрафия темной пылевой ту
манности .Конская rолова.
·

графический атлас неба показывает все звезды
до 21-й величины; Он состоит почти из 900 ли
стов, каждый из которых представляет квадрат
размером 36 Х 36 см.
Ви,1
1,
ииоеи,1
1,
еАствитеоJ
J
ьвое.
Светииости авеа,1
1,
В астрономии всегда нужно ясно отличать
видимое от действительного. Мы говорим:
«Солнце коснулось горизонта>>,- и мы это ви
дим. Но ведь на самом-то деле Солнце гори
зонта не касается и горизонт - это только
видимая линия, кажущийся край Земли.
Самое грубое указание видимого места звез
ды на небе - это указание созвездия, в кото
ром звезда находится. Но это указание говорит
лишь о приблизительном направлении к звезде.
Соседние на вид звез ды одного созвездия могут
быть на совершенно различных расстояниях
от нас, а в пространстве очень далекими друг
от друга. Следовательно, указание «в та1юм-то
созвездию> есть лишь указание направления
к звезде, а не положения ее в пространстве.
Расстояния до многих ближайших звезд,
а следовательно, их положения не только види
мые, но и в пространстве удалось определить
с большим трудом. Расстояния же до подавля
ющего большинства звезд пока не поддаются
точному определению.
Звезда, кажущаяся яркой, может выглядеть
такой или оттого, что она близка к нам, или
оттого, что ХQТЯ она и далека, но ее истинная
сила света очень велика. Из 20 ближайших
к нам звезд только три видны невооруженным
глазом, а из 20 звезд, кажущихся самыми ярки
ми, только три входят в число ближайших.
Другие самые яркие звезды находятся очень
далеко от нас, но они излучают много света.
Сила света звезды по сравнению с Солнцем
называетсяеесветимостью.Еслигово
рят, что светимость звезды равна 5, то это зна-.
чит, что она в действительности в 5 раз ярче
Солнца, а если ее светимость обозначается 0,2,
то она в 5 раз слабее Солнца.
Светимость звезды можно рассчитать, если
известно расстояние до нее. И наоборот, зная
светимость звезды, можно определить расстоя
ние до нее, так как видимый блеск источника
света меняется обратно пропорционально рас
стоянию до него.
Велик и разнообразен мир звезд. Если свет
Солнца принять за свет свечи, то во Вселенной
есть звезд�, которые светят и как ночные свет-
ЗВЕЗДЫ И ГЛУБИНЫ ВСЕЛЕППОП
лячки, и как мощные прожекторы. Точнее гово
ря, есть звезды по силе света в 50 тыс. раз
слабее Солнца (Из них мы видим лишь ближай
шие) и в миллион раз ярче его. Некоторые
звезды иногда светят в миллиард раз ярче
Солнца - о них будет сказано дальше.
Самые яркие . звезды ярче самых слабых
в дёсят1<и миллиардов раз. Таким образом,
когда мы говорим, что все звезды - это такие
же солнца, Rак наше, то подразумеваем под
этим лишь то, что все они самосветящиеся
вследствие высокой температуры небееные теЛа.
Сила же их света, или светимость, и раз меры
очень разнообразны.
<(Гра,1
1,
усвиии)>
,l
l,
oJ
J
Я авеа,1
1,
пых теиператур
Звезды различны не только по силе света,
но и по цвету. Если мы присмотримся к более
ярким звездам, то заметим, что они различ
ного цвета: голубоватого, белого, желтого,
оранжевого и красного. Как установили уче
ные, цвет звеЗд соответствует температуре
их поверхности. Голубоватые звезды самые
горячие - температура на их поверхности
составляет десятки тысяч градусов. У белых
звезд (таких, как Сириус и Вега) температура
около 10 000°, у желтых (как Капелла и наше
Солнце) - порядка 6000° и у красных (как
БетеJI'ьгейзе и Антарес) - 3000° и ниже. По
вторяем, это температура их поверхности. В на
правлении к центру. звезд температура растет
и в центре достигает миллионов и десятков мил
лионов градусов. На Земле совсем недавно
такие высокие температуры были недостижимы.
Только в последнее время при взрыве атомных
и водородных бомб они возникают на короткое
время. Причина и тут и там одного и того же
характера � в недрах звезд происходят реак
ции с ядрами атомов и постепенное превраще
ние водорода в гелий. Эти реакции и поддер
живают мощное тепловое и световое излучения
Солнца и звезд в течение огромных промежут
ков времени.
Изучение звездных температур и происхо
дящих в звездах атомных реакций имеет очень
важное практическое значение. Именно оно
и помогло овладеть атомной энергией на Земле.
Недра звезд - это как бы гигантские физи
ческие лаборатории. Они помогают нам изучать
свойства вещества в условиях, вообще неосу
ществимых на Земле или осуществимых лишь
на миг в лабораториях.
:l.J.'7

ЧТО МЫ 3НАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
Физические данные о недрах звезд, в част
ности температуру в них, узнают на основе
изучения поверхности звезд путем расчетов,
которые производят по законам физики.
Температуру звезд на их поверхности
нельзя, конечно, измерить градусником. Для
этой цели существуют другие способы.
Если свет звезды разложить стеклянной
призмой в спектр, имеющий вид радужной
полоски, то окажется, что, чем краснее цвет
звезды и чем ниже ее температура, тем ярче
красные лучи в ее спектре. По распределению
яркости вдоль спектра и судят о температуре
поверхности звезды, посылающей нам свет.
Температуру звезды можно определить
также измерением количества тепла, прихо
дящего от нее на Землю. Но для этого надо
з нать расстояние до звезды и ее размеры. Излу
чение звезды, собранное большим телескопом,
направляют на термоэлемент-спай
тонких проволочек из разного металла. При
нагревании спая в пров6лочках возникает
электроток, по его силе и узнают о количестве
тепла, доходящего к нам от звезд. Так как этого
тепла доходит мало, то, чтобы измерить его, тер
моэлемент должен быть очень чувствительным.
Даже у самых холодных звезд температура
настолько высока, что вещество их находится
в состоянии раскаленного газа, как и у Солн
ца. Если мы вспомним, что масса планет го
раздо меньше массы Солнца и звезд, то придем
к интересному выводу: во Вселенной подавля
ющее большинство вещества находится в состо
янии раскаленного газа. Очень малая его доля
.н аходится в твердом или жидком состоянии,
а на долю живого вещества, даже если у очень
многих звезд имеются обитаемые планеты, при
ходится уже совсем ничтожная часть.
По темным линиям в спектрах звезд узнают
их химический состав. Он оказывается по боль
шей части почти таким же, как у Солнца. В ос
новном это водород, затем гелий. Доля других
Саиая ярка.я звеада
Звеада S Зо.лотой Рыбы в Мв.лом
Маге.л.лановом Об.лаке - 8 -й авеадной
ве.личины. Это аначит, что ее не видно
невооруженным г.лааом.
До Ма.лого Маге.л.ланова Об.лака
от 3ем.ли примерно в 15 тыс. раа да.ль
ше, чем до Сириуса. Ее.ли Сириус уда
.лить на вто расстояние, то его можно
будет увидеть то.лько в очень мощные
те.лескопы.
А ее.ли проделать обратную опе
рацию и приб.лиаить S 3о.лотой Рыбы
118
химических элементов очень мала. Значит, все
небесные тела состоят из тех же химических
элементов, какие мы встречаем на Земле.
Гиrаиты и кар.J
J
ики в иире авезд
Количество энергии, излучаемое единицей
поверхности звезды, скажем 1 м2, зависит от
температуры звезды и растет с нею. У двух
звезд с одинаковой температурой равные пло
щади их поверхности излучают одинаково.
Значит, если у двух звезд одинаковой темпе
ратуры светимости различаются, например,
в 100 раз, то во столько же раз различаются
по своей площади и их поверхности. Большая
Антарес
3веада Бете.льгейае так ве.лика, что внутри нее мог.ли бы раа
меститься Со.лице и орбиты Меркурия, Венеры, Зем.ли и Мврсв.
на расстояние Сириуса? Тогда авеада
S 3о.лотой Рыбы будет светить как
Луна в первой четверти. На авеад
ном небе она окажется уже не обыч
ной яркой авеадой, а как бы сверх
sвеадой.
S 3о.лотой Рыбы - очень инте
ресная авеада. Ее светимость при
мерно в ми.л.лион рва превышает свети
мость Со.лица. Это самая ярка я на
авеад, светимость которых в настоя
щее время навестив.

поверхность в сумме излучает и больше энер
гии.Ноуш
·
аров, форму которых имеют
звезды, поверхность пропорциональна квад
рату радиуса. Значит, в нашем примере звез
да, у которой при той же температуре свети
мость в 100 раз больше, имеет радиус или диа
метр в 10 раз больше.
Так, по светимости звезды, но с учетом раз
личия температур можно вычислить ее радиус.
Оказалось, что разнообразие в размерах звезд
громадно, хотя и меньше, чем в их светимости.
Вмирезвездсуществуюти карлики:,
игиганты. НашеСолнцеидажезвезды
значительно больше его считаются карликами.
А ведь Солнце больше Земли по диаметру
в 109 раз. Чем холоднее и краснее карлики,
тем они меньше. .Красные карлики меньше
Солнца по диаметру раз в десять, и, по-видимому,
они составляют большинство звездного «насе
ления». Чем звезды больше, тем реже они встре
чаются в пространстве. Особенно редко встре
чаются звезды-гиганты. В противоположность
карликам они чем холоднее и краснее, тем
больше, так что самыми огромными звездами
являются красные гиганты. Диаметр красной
звезды Бетельгейзе в созвездии Ориона более
чем в 300 раз превышает диаметр Солнца, а
красный Антарес в созвездии Скорпиона по диа
метру в 450 раз больше Солнца. Такие звезды
обычно наз ывают сверхгигантами. Желтый ги
гант .Капелла из созвездия Возничего только
в 12 раз больше Солнца. Одна из самых боль
ших ныне известных звезд - VV Цефея.
Внутри этого гигантского шара могли бы
уместиться орбиты планет вплоть до Юпитера.
Такие звезды
сверхгиганты очень
редки. Благодаря своей громадной силе света
они видны нам на огромных расстояниях.
С расстояния в 7 раз большего, чем расстояние
до ближайшей звезды, наше Солнце выглядело
бы слабой звездочкой, не видимой простым
30 пирамид Хеопса в :1 см3
Среди белых карликов есть один
особенно интересный. Это авеада в
созвеадии Кассиопеи. Диаметр ее
вдвое меньше диаметра Земли, а масса
в 2,8 раза больше массы Солнца. Ка
кова же плотность вещества атой
звезды? На Земле t ","• ero весил бы
36 т. На поверхности же самой звез•
ды, где
'
сила тяжести в 3700 тыс.
раз больше, чем на поверхности Зем
ли, он весил бы 36х3700 тыс. =
=133 200 тыс. т. Это примерно вес
тридцати пирамид Хеопса илн несколь-
ЗВЕЗДЫ И ГЛУБИНЫ ВСЕЛЕННОИ
глазом, а звезды-сверхгиганты с этого рассто
яния сверкали бы ярче планеты Венеры.
Массы звезд различаются не так сильно,
как их светимости и размеры, хотя чем больше
светимость звезды, тем больше и ее масса. Чтобы
уравновесить сверхгиганта, брошенного на
чашку весов, на другую чашку пришлось бы
положить несколько десятков звезд, подобных
Солнцу, и еще больше красных карликов, так
как они в несколько раз легче Солнца.
Поделив массу звезды на ее объем, мы уз
наем среднюю плотность звезды. СредняЯ плот
ность Солнца в 1 У2 раза больше плотности
воды, а у красных карликов она много больше.
Если бы была жидкость с такой плотностью,
то в ней, как пробки, могли бы плавать утюги
и паровозы. У гигантов и сверхгигантов плот
ность газов, из которых они состоят, очень
мала - в тысячи и в миллионы раз меньше
плотности обычного воздуха.
Особенно большой интерес представляют
собой редко встречающиеся звезды - б е л ы е
карлики. Такониназванызасвойбелый
цвет и малые размеры. Эти белые и горячие
звезды имеют массу примерно такую же, как
Солнце, или несколько меньшую. Но эта масса
утрамбована в малом объеме. Например, спут
ник Сириуса меньше Солнца по диаметру в 30
раз, а по объему - в 27 тыс. раз. В результате
его средняя плотность примерно в 30 тыс. раз
больше плотности воды. Спичечная короб
ка, если бы ее можно было наполнить веще
ством спутника Сириуса, могла бы уравновесить
вес школьников почти целого класса. У неко
торых других белых карликов плотность еще
больше, и их вещество в объеме спичечной ко
робки уравновесило бы тепловоз.
Что же это за необычное вещество? Оказывает
ся, это такие же газы, какие мы знаем на Земле,
только они находятся в особом состоянии. Атомы
газов - сложные системы. Они состоят из ядер
ких тысяч крупных океанских судов.
А какова будет масса такой.звез 
ды, если авезда при той же плотности
будет с Солнце или со звезду-сверхги
гант (как Бетельгейзе или Антарес)?
В первом случае масса звезды будет
составлять около 30 млн. солнечных
масс, во втором- примерно в 6000 раз
больше массы всей нашей Галактики.
Но в действительности звезды-гиган
ты и саерхгиганты имеют очень малую
плотность и масса их лишь в немно
го раз превышает массу Солнца.
:1:19

.
ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
и обращающихся вокруг них электронов. Под
действием давления их нельзя сблизить друг
с другом больше, чем до взаимного касания
их систем, не нарушив эти системы. В недрах
белых карликов при очень высокой темпера
туре атомы носятся с бешеной скоростью и при
столкновениях разрушают себя. Из систем
ядер и обращающихся вокруг них электронов
они превращаются в неправильную смесь,
«мешанину» из ядер и электронов. Размеры
последних гораздо меньше размеров атомов
как систем. Поэтому такие разрозненные час
тицы можно сблизить гораздо теснее, отчего
получается необычайно плотное вещество.
Силой, сдавливающей газ до состояния плотного
вещества, является вес вышележащих слоев
звезды.
Итак, и невообразимо разреженные сверх
гиганты, и чудовищно плотные белые карли�и
состоят из раскаленных газов; иногда эти газы
Располо�кенне авеад в ковше Большой Медведицы в реаультате
их собственных движений со временем наменяется: 1 - вид
ковша несколько десятков тысяч лет нааад, 11 - в настоящее
время, 111 - будет через uесколько десятков тысяч лет.
1.20
в звездах имеют такие свойства, какие неиз
вестны у нас на Земле.
Это еще один пример того, как изучение
звезд помогает расширять наши физические
знания, на основе которых развивается не
только физика, но и техника.
Частоспрашивают:естьлипотухшие
звезды? Таких звезд мы не знаем. Все
звезды хотя бы и слабо, но светятся. Можно
утверждать, что если несветящиеся звезды и
есть, то их очень мало, иначе бы они заметно
влияли на движение остальных звезд.
Почему это так? Потому, очевидно, что мы
находимся в мире, полном жизни. Звезды во
круг нас на необозримых расстояниях про
цветают, а их упадок, увядание отодвинуты на
какой-то огромный срок в далекое будущее.
Излучательной способностью звезды надел ены
на миллиарды лет, а свет даже самых далеких
из них, известных сейчас нам, идет до Земли
только сотни или тысячи лет. Поэтому таких
звезд, которые «уже не светят, а свет их все
еще идет к нам», по-видимому, не существует.
Пары и тройки в эвеэднои иире
Если вы посмотрите на третью с конца яр
кую звезду в ручке ковша Большой Медведицы,
то увидите, что близко-близко к ней есть
звездочка послабее - ее спутник. Яркую звез
ду арабы когда-то прозвали Мицаром, а ее
спутника - Алькором.
Звезда, обозначенная греческой буквой
эпсилон (е) в созвездии Лиры, если смотреть на
нее в бинокль, оказывается, состоит из двух
очень близких друг к другу звезд. В телескоп
такихдвойных звезд обнаруженомно
жество. Иногда почти по одному и тому же
направлению видны две звезды. В пространстве
они находятся очень далеко друг от друга
и не имеют между собой ничего общего. Но часто
бывает, что такие звезды и в пространстве
близки друг к другу.
Иногда это звезды-близнецы и не отли
чаются друг · от друга ни цветом, ни блес
ком. Иногда же они разного цвета. Одна из них
желтая или оранжевая, а другая голубоватая.
Рассматривать их в телескоп очень интересно -
они необычайно красивы. Физичес�и двойные
звезды связаны друг с другом узами всемир
ного тяготения, они возникли вместе.
Как узнать, в каких случаях близость двух
звезд только кажущаяся и в каких случаях

она реальная? На этот вопрос ответ дает тща
тельное измерение видимого расстояния между
звездами и их взаимного расположения. Если
звезды взаимно близки и притягивают друг
друга, то они должны обращаться около об
щего центра масс - :ка�\ Земля вокруг Солнца
или как Луна вокруг Земли. Это действительно
и наблюдается, но период обращения звезд
обычно очень долгий - десятки, сотни и даже
десятки тысяч лет. Чем звезды ближе друг
к другу, тем быстрее они обращаются по своим
эллиптическим орбитам и тем короче период
их обращения. Если движение очень медленное
и период очень долгий, то трудно обнаружить,
реальна ли близость двух звезд, потому что
наблюдения двойных звезд ведутся только
с конца XVIII в. , т. е. менее двухсот лет, а у
многих двойных звезд период обращения зна
чительно больше.
Мы уже упоминали, что ярчайшая звезда
неба Сириус - двойная. Спутник этой звезды
белый карлик (о нем говорилось выше)
обращается вокруг главной звезды за 50 лет и
отстоит от нее в 20 раз дальше, чем Земля от
Солнца.
Ближайшая к нам звезда (видимая в южном
полушарии Земли) - альфа Центавра в дей
ствительности состоит из двух главных звезд,
очень сходных с нашим Солнцем. Период их
обращения почти 80 лет, а среднее взаимное
расстояние в 23 раза больше расстояния от
Земли до Солнца.
У этих двух звезд есть далекий спутник.
Он обращается вокруг них с крайне долгим
периодом. Спутник - :красный карлик и нахо
дится сейчас на своей орбите немного ближе
к нам, чем обе главные звезды. Поэтому спут
ника альфы Центавра называют Ближайшей
(по-латыни - proxima) Центавра. Это ближай-
Что дает Зеио1
1
е 6оо1
1
ьmе света?
Подсчитано, что общий б.леск
всех авеад, видимых в те.лесков, со
став.ляет ми11ус 6,6 авеадuой ве.лич11ны.
Это аначит" что все авеады в совокуп
ности дают света примерно в 100 м.лн.
раа меньше, чем Со.лице, и в 220-
280 раа меньше, чем по.лиан Луна.
А какую п.лощадь на небе ааймут
все авеады, ее.ли их соединить в одну
авеаду?
Может быть, ато будет очень бо.ль
шая п.лощадь?
Со.лице по своей температуре и си
.ле на.лучения на единицу поверхно
сти - средняя авеада. Ее.ли ero б.леск
ЗВЕЗДЫ И ГЛУБИНЫ ВСЕЛЕННОИ
шая к нам звезда, свет от нее идет к нам около
четырех лет. Она от нас в 270 тыс. раз дальше,
чем Солнце.
Альфа Центавра-пример тройной
з в е з д ы. Такие звезды гораздо реже, чем
двойные, но бывают и более сложные системы.
Звезды, входящие в состав двойных, тройных
и больших систем, называют :компонентами
этих систем.
Посмотрим, например, в телескоп на Ми
цара и Алькора в Большой Медведице. Ока
зывается, Мицар сам состоит из двух звезд.
А каждый из видимых в бинокль :компонентов
эпсилона Лиры в свою очередь оказывается
двойным.
Спектральный анализ позволяет обнаружи
вать двойственность таких звезд, у которых
компоненты очень близки друг к другу и обра
щаются по орбитам очень быстро. В самые
сильные телескопы свет таких звезд сливается,
и мы видим лишь одну звезду, но спектральный
анализ свидетельствует о двойственности. Дело
в том, что при взаимном обращении скорости
двух звезд · направлены в противоположные
стороны, и потому темные линии их спектра
смещены в противоположные стороны. Линии
спектра двойной системы оказываются раздво
енными, и, когда скорость движения звезд
этой системы по своим орбитам относительно
нас меняется, меняется и расстояние между
двойными линиями в спектре.
Один из компонентов Мицара, который мы
видим в телескоп, оказывается двойной звез
дой с периодом обраще�ия около десяти суток,
так :как звезды очень близки.
Такимижетесными спектрально-
двойными звездами, как их назы
вают, являются некоторые :компоненты эпси
лона Лиры - из тех, :которые видны раздельно
в 100 м.лн. раа бо.льше б.леска нашей
«единой авеады», то, очевидно, и ви
димая п.лощадь ero а · 100 м.ли. раа
бо.льше, а видимый диаметр до.лжем
превышать диаметр «единой звеады»
в 10 тыс. раз (У100 ООО ООО).
Но мы анаем, что видимый диа
метр Со.лица равен 30', и.ли 1800". Одна
десятитысячная атой ве.личины со
ставит непо.лныхО",2 (точнее, О', 180).
Так ма.л будет диаметр нашей «еди
ной авеады» , состав.ленный на всех
авеад, доступных те.лескопу. Соответ
ственно ма.ла будет и п.лощадь атой
«авеады» на небе.
1.2:1

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
в телескоп. Итак, Мицар с Алькором -
пример четырехкратной звезды,
а эпсилон Лиры-пример шестикрат
н ой звезды.
В общем, двойные или даже кратные звезды
не исключение, их много. По-видимому, в сред
нем из каждых 3-4 звезд одна двойная. Наше
Солнце - одинокая звезда.
Около некоторых ближайших звезд обна
ружены невидимые спутники малой массы.
Их обнаружили по еле заметным движениям
звезд под действием притяжения их невидимым
спутником. Пока еще с достоверностью не уста
новлено, являются ли эти спутники холодными
планетами, еще более массивными, чем Юпитер,
или же это крайне слабо светящиеся маленькие
звезды.
Представьте себе, что мы, жители планет11
1
,
обращающейся вокруг одной из звезд в системе
двух солнц. Какие изумительные картины
увидели бы мы на :цебе
.
! Из-за горизонта
встает, например, громадный красный круг
солнца, которое в сотни раз больше нашего.
Немного позднее на небо выплывает ма
ленькое голубое солнце. Постепенно оно
исчезает за более массивным первым солнцем,
чтобы потом снова выйти из-за него. Или же
дни, залитые красным светом, чередуются
с голубыми днями, а ночей нет. Какие причуд
ливые комбинации солнц разного цвета и какая
игра красок должны быть на планетах, нахо
дящихся в системе кратных звезд! Однако у
1
·О10203040506070
-
�
�
Вверху - кривая изменения блеска звезды А.лго.ль; по горн
аонта.ли указано время в часах. Вннау - схема затмений спут
ника А.лго.ля.
122
двойных звезд вряд ли могут быть обитаемые
планеты. У планет, обращающихся вокруг таких
звезд, орбиты должны быть очень вытянуты, и на
поверх ности планет не может быть постоя нных
температурных условий, которые необходимы для
жизни.
((Дьявое1
1
ьские» звезды
Вторую по блеску звезду в созвездии Персея,
обозначаемую греческой буквой бета (�), коrда
то арабы назвали Алголь, что значит (<Дья
вол». Дьявольскому наваждению они припи
сывали то, что эта звезда второй видимой вели
чины по временам ослабевает в блеске в 3-4
раза. Ведь остальные звезды отличаются посто
янством своего света.
Английский любитель астрономии, глухо
немой юноша Гудрайк (1765-1786) выяснил
закономерности в изменении блеска Алголя
и дал им объяснение. Оказалось, что в течение
59 часов блеск звезды не меняется, затем в те
чение почти 5 часов он падает, а в следующие
то же почти 5 часов возрастает до прежнего
уровня. Так с периодом в 2 суток 20 ча
сов 49 минут блеск звезды испытывает коле
бания, в точности повторяющие друг друга.
Причина такого странного поведения звезды,
как выяснил Гудрайк, заключается в том, что
Алголь - двойная звезда. Орбита ее лежит
почти в точности на нашем луче зрения. По
этому когда звезды обращаются вокруг общего
центра масс, то они по очереди частично за
крывают для нас одна другую. Происходят
периодические затмения.
Впоследствии было обнаружено, что в про
межутках между минимумами блеска, известными
ранее, блеск Алголя немного ослабевает. Это
означает, что спутник Алголя все же светится
(Гудрайк полагал, что он темный) и общий
блеск системы немного слабеет, когда менее
яркая звезда закрыта более яркой.
Ра.звитие науки подтвердило объяснение,
данное глухонемым юношей. Алголь оказался
тесной парой двух звезд с периодом обращения,
равным периоду кажущегося изменения его
блеска. Ничего дьявольского в этой звезде
не осталось. Она теперь (<дьявольски» подроб
но изучена.
Сейчас известны сотни других двойных
звезд, Подобных Алголю, блеск которых нal'rf
кажется периодически меняющимся вследствие
периодически повторяющихся затмений.

Мавкв Всео1
1
енноА-цефеиды
У 3Везд типа Алголя меняется их видимый
блеск вследствие периодических затмений од
ной звезды другой, и светимость звезд при этом
не меняется. Но есть звезды, действительно
физически меняющие свою свети мость.
Параллельно с изменением блеска более или
менее меняются цвет и температура их, а ино
гда и размеры.
Среди звезд переменного блеска, называе
мыхдлякраткостипростопеременными,
наибольший интерес представляют ц е ф е и
д ы. Их назвали так по типичной представи
тельнице этого класса звезд - звезде дельта
(о) в созвездии Цефея. С периодом в 5 суток
10 часов 48 минут ее блеск непрерывно меняет
ся в пределах 3/4 звездной величины. Он воз
растает быстрее, чем убывает. В минимуме
блеска звезда краснее и.на 800° холоднее, чем
в максимуме. Оказалось, что цефеиды - это
пульсирующие звезды. Как у надувного рези
нового мяча, их поверхность то увеличинается.
то уменьшается. Но пульсирует, расширяясь
и сжимаясь, все тело звезды. При сжатии ее
происходит нагревание, а при расширении
ох лаждение. Изменение размера и температуры
поверхности звезды и вызывает колебания ее
излучения.
Цефеид известно очень много, и периоды
изменения б.'lеска их различны, от нескольких
часов до 45 суток, но у каждой в отдельности
цефеиды период ее не изменяется. У цефеид
есть два замечательных свойства. Во-первых, это
звезды-гиганты и-сверхгиганты, видные нам с
огромных расстояний. Из глубин мироздания
они светят нам, как маяки для кораблей в море, и
поэтому их называют маяками Вселенной. Во
вторых, у цефеид длительность периода изме
нения блеска тесно связана с их средней свети
мостью.
Чем больше светимость, тем длиннее пе
риод изменения блеска. Это позволяет из
легкодоступных наблюдений определить пе
риод, а по нему узнать светимость данной
цефеиды, т. е. ее истинную силу света.
Но мы знаем, что видимый блеск источни
ка света ослабевает обратно пропорционально
квадрату расстояния. Поэтому, сравнивая ис
тинную силу света данной цефеиды с ее види
мым блеском, мы можем узнать ее удаленность
от нас.
Наша звездная система в основном состоит
из звезд малой светимости, и притом очень от
нас далеких. Определить расстояние до них
ЗВЕЗДЫ И ГЛУБИНЫ ВСЕЛЕННОИ
мы не можем. Цефеиды же среди общей массы
звезд видны нам издали, как большие тыквы в
огороде. Изучая их распределение в простран
стве, мы как бы нащупываем костяк нашей
звездной системы, ее остов и по нему можем су
дить о форме и строении всей нашей звездной
системы в целом.
Заметим, что есть особый вид цефеид очень
короткого периода - до 80 минут. Их свети
мость умеренна и средняя светимость с длиной
периода не связана. Изучение таких цефеид
также представляет большой интерес для аст
рономической науки.
Вспыхи вающие и друrие ааrадочвые
звеады
Изучение цефеид свидетельствует о том,
что мир звезд, хотя звезды живут миллиарды
лет и изменяются медленно, - это не застыв
ший в своей неизменности мир. Многие звезды
испытывают быстрые, хотя и временные, изме
нения грандиозного масштаба. Кроме цефеид,
известны переменные звезды других типов.
Например, есть звезды, подобные звезде оми
крон ( о) Кита. Ее назвали Мира, что значит
«удивительная». С периодом в 300 суток она
меняется от 2-й звездной величины (как Поляр
ная звезда) до 9-й, когда ее не видно даже
в сильный бинокль. Но изменения блеска у нее
не так правильны, как у цефеид. Есть звезды
сполуправильными иссовершенно
неправиль н ы ми. колебаниями блеска.
В небольших пределах и неправильно блеск
меняется у многих красных сверхгигантов,
например у упоминавшихся выше Бетельгейзе
и Антареса.
У некоторых звезд блеск меняется лихо
радочно и в очень больших пределах.
Большое внимание астрономов привлекли
ксебетакжетак называемые вспыхива
ю щие звезды. Это красные карлики. Блеск
у них обычно колеблется немного. Но изредка
совершенно внезапно блеск их усиливается
в несколько раз за доли минуты и так же быстро
ослабевает. По-видимому, при таких вспышках
из их недр на поверхность вырываются необы
чайно мощные фонтаны раскаленных газов
огромной яркости. Они и увеличивают об
щий блеск звезды. Но мы пока не знаем,
какими процессами вызываются эти вспышки.
Не знаем мы также, почему на поверхности
некоторых звезд образуются мощные магнит
ные поля.
:1.28

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕ
.
ЛЕННОЙ
Вспышки новых и сверхновых авеад -
ии ровые катастрофы
В 1925 г. в Южной Африке один почталь 
он - любитель астрономии - разнес почту и
возвращался домой. Стало уже темно. Он
остановился, чтобы окинуть взглядом зна
комые созвездия. Вон там сияет Южный
Крест, здесь - Центавр, а там - созвездие
Живописца. Но что это? Почему так странно
изменился его вид? Изменились очертания
фигуры, образованной яркими звездами. В чем
дело? В созвездии видна какая-то яркая звезда,
которой тут вчера еще не было. Ведь это не пла
нета. Планеты переходят из созвездия в со
звездие за месяцы и даже за годы, да и созвездие
Живописца не зодиакальное. В нем планеты
не бывают.
Ясно, в созвездии Живописца вспыхнула
нов а я звезда. Почтальон немедленно сооб
щил о своем открытии в ближайшую обсерва�
торию, а та, как обычно, телеграфно известила
центр экстренных извещений об астрономи
ческих открытиях в Копенгагене. Через не
сколько часов новую звезду в Живописце уже
наблюдали многие обсерватории мира.
Почтальон был не единственным любителем
астрономии, которому посчастливилось открыть
нео.жиданно вспыхнувшую новую звезду.
Например, новую звезду в созвездии Персея
в 190 1 г. открыл киевский гимназист Борисяк,
новую звезду в созвездии Геркулеса в 1960 г. -
норвежский любитель астрономии Хассель.
Новые звезды вспыхивают неожиданно.
Собственно говоря, это не новые звезды, а
вспышки некоторых звезд, до этого светящих
обычно, как нari:
:I
e Солнце, но более горячих,
белого цвета. Далекая неприметная звездочка
за 1-2 суток разгорается, и блеск ее усили
вается в десятки тысяч раз. в это время она
становится во столwо же примерно раз ярче
Солнца. Если так вспыхнула близкая звезда,
то в наибольшем бЛеске мы видим ее как звезду
1-й величины. Если же вспыхнула очень дале
кая звезда, то и в наибольшем блеске она
не привлечет к себе внимания и либо останется
незамеченной, либо будет обнаружена через
годы при сравнении друг с другом слабых звезд
на фотографиях, полученных в разное время.
Новыми такие звезды назвали в прежнее
время, когда думали, что это· действительно
появились новые, не существовавшие ранее
звезды.
Новая звезда в наибольшем блеске остается
недолго, обычно около суток. Уже со следу-
1.24
ющего дня ее блеск начинает быстро падать,
иногда плавно, иногда судорожно, как свет
гаснущего костра, но чем дальше, тем медлен
нее. Через несколwо лет она становится такой
же, какой была до вспышки.
Различными исследованиями установлено,
что в нашей звездной системе ежегодно вспы
хивают десятки или даже сотни новых звезд.
Но мы замечаем лишь немногие из них, бли
жайшие. А совсем близкие, кратковременно
соперничающие с самыми яркими звездами
неба, наблюдаются редко. Их видели в 1901,
19 18, 1920, 1925, 1934, 1940, 1944 гг.
Чем лучше вы будете знать звездное небо,
тем больше у вас будет шансов открыть новую
звезду. Надо лишь каждый вечер по несколwу
минут наблюдать знакомые созвездия.
Почему так катастрофически растет блеск
новых звезд? Оказывается, что у некоторых
звезд под влиянием еще не вполне раскрытых
внутренних физических процессов внезапно сры
ваются их внешние оболочки, излучающие свет,
и с огромной скоростью, достигающей 1000 км/сек,
несутся в окружающее звезду пространство,
раздуваясь, как мыльный пузырь. Такая обо
лочка быстро увеличивает свою поверхность
и излучает больше света. В наибольшем своем
блеске раздувшаяся оболочка больше нашего
Солнца по диаметру в сотни раз.
Но, раздуваясь, оболочка новой звезды
становится все более разреженной и прозрач
ной. Блеск звезды начинает падать, хотя обо
лочка продолжает нестись в пространстве
с такой ·бешеной скоростью, что притяжение
звезды не в силах ее затормозить. Через не
сколwо лет после вспышки оболочка стано
вится так велика, что ее можно легко наблюдать
и следить за ее расширением. Наконец, она рас
сеивается. Звезда во время вспыш1ш становится
очень горячей, из нее вырываются облака, рас
каленных газов. Но постепенно она успокаивает
ся, как вулкан после извержения.
У вулканов бывают повторные неожиданные
извержения. Не бывает ли того же у новых
звезд';! Да, некоторые из них через несколько
десятков лет вспыхивают снова. Но у типичных
новых звезд повторная вспышка (и притом более
мощная) на памяти человечества наблюдалась
лишь однажды.
Мы до сих пор не знаем причины вспышек
новых звезд, причины сбрасывания их оболо
чек. Несомненно лишь, что в таюrх звездах
1
Фотография участка Млечного Пути.
На об о роте: Фотография Крабовидной туман- _ ..,
,.
ности.

в какие-то моменты происходит бурное выде
ление энергии, т. е. взрыв. При этом взрыве
звезда теряет около одной десятитысячной
доли своей массы, но не разрушается.
Знаменитый датский астроном Тихо Браге
в 1572 г. наблюдал вспышку новой звезды в
созвездии 1\ассиопеи. Она некоторое время све
тила так же ярко, 1<ак Венера, и поколебала
господствовавшие тогда религиозные предста
вления о неизменяемости мира.
В последнее время выяснилось, что новая
звезда в 1\ассиопее не была обыкновенной новой
звездой. В наибольшем блеске ее истинная
сила света была больше, чем у обычных новых
звезд, в десятки тысяч раз. Образно говоря,
мы можем наше Солнце сравнить с ночным
светлячком, новую авезду со свечой, а с в е р х
н о в у ю (так назвали такие звезды, как звез
да, которую наблюдал Тихо Браге) - с про
жектором. Сверхновая звезда светит так же,
как гигантская звездная система, состоящая
из миллиардов солнц, подобных нашему.
·
Чудовищные силы природы, порождающие
мировые катастрофы в виде вспышек сверх
новых звезд, учеными еще не разгаданы. Быть
может, их тайны раскроете вы, юные читатели,
зная то, что известно нам , и используя методы
и приборы будущего, которых у нас еще нет.
Наука развивается коллективными усилиями
разных народов на протяжении многих веков.
К 1054 г. относится летописная запись о вспышке
яркой звезды в созвездии Тельца. В XVIII в.
француз Месье в этом же созвездии открыл
Крабовидную (похожую на краба) туманность -
слабо светящееся небольшое пятно. В начале
ХХ в. американские астрономы установили,
что эта туманность - газовое облако и рас
ширяется со скоростью, равной 1000 км/сек,
а голландский ученый Оорт показал, что ту
манность находится на месте сверхновой звезды,
1юторая, как было записано в летописи, наблюда
лась в 1054 г., т. е. более 900 лет назад. При
наблюдаемой скорости расширения она дол
жна была начать расширяться как раз в год
вспышки сверхновой звезды. Значит, при ее
вспышке возникла Крабовидная туманность.
В середине текущего столетия обнаружи
лось, что Крабовидная туманность является
одним из самых мощных источников космичес
кого радиоизлучения. Она, как радиомаяк,
щлет радиоволны во Вселенную. Советские
ученые объяснили это тем, что в туманности
есть магнитное поле, тормозящее электроны
(мельчайшие частицы электричества), которые
11осятся там со скоростями, близкими к ско-
ЗВЕЗДЫ И ГЛУБИНЫ ВСЕЛЕННОП
рости света. Эти электроны возникли при
вспышке сверхновой звезды, которая и на
блюдалась в 1054 г. В каком состоянии нахо
дилась звезда в то время и в каком состоянии
она находится теперь, мы еще не знаем.
Сверхновые звезды - явление крайне редкое.
Последней сверхновой в нашей Галактике была
звезда, вспыхнувшая в созвездии Змееносца
в 1604 г. Ее наблюдал 1\еплер. Даже в таких
гигантских звездных системах, как наша,
вспышка сверхновой звезды бывает только
один раз за несколько столетий.
На наше счастье, современные телескопы
позволяют видеть множество других звездных
систем, подо
.
бных нашей..
И вот, то в одной,
то в другой из них наблюдается иногда вспышка
сверхновой звезды. 1\ сожалению, они так да
леки от нас, что хорошо изучить их не удавалось.
Но в последние годы обсерватории ряда стран
договорились между собой устроить «облаву»
на сверхновые звезды, специально «Караулить»
их вспышки. И это дало свои результаты. Теперь
в далеких звездных системах ежегодно наблю
дают около десятка сверхновых звезд. Выяс
нилось, что есть различные типы сверхновых
звезд. Особенности вспышки каждой сверх
новой звезды тщательно изучаются.
Звеа;.;вые скопо1
1
е11ия и косиическая
ПЫо1
1
Ь
Летней ночью перед. рассветом на востоке
над горизонтом поднимается маленькая, тесная
группа слабых звезд - Плеяды.
В народе ее называют Сто жары. Обычно
в эtой группе видно 6 звезд, но зоркий глаз
видит от 7 до 11 звезд, а в телескоп их можно
насчитать там более сотни. ·
Поле зрения
телескопа усыпано ими, как бриллиантовой
пылью.
Звезды в Плеядах рассыпаны хаотично,
это пример рассеянного звездного
скопления. Вокруг яркого Альдебарана, крас
ной звезды, называвшейся в древности Глазом
Тельца, находится еще более рассеянная груп
па звезд - звездное скопление Г и ады. Та
ких звездных скоплений мы знаем около семи
сот. Число звезд в них редко превышает сотню.
Но существуют скопления гор
.
аздо большего
размера и с несравненно большим числом звезд.
Этошаровые скопления. Звезды в них
(мноrо сотен тысяч) концентрируются к центру
скопления. Занимаемое ими пространство имеет
:125

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
Фотография шарового звездного скоппения в созвездии
Геркупеса .
шаровую форму, отчего они и получили свое
название.
Но даже и ближайшее к нам шаровое скоп
ление находится так далеко, что для невоору
женного глаза кажется маленьким, еле замет
ным пятнышком. Только в сильный телескоп
на его краях, где звезды расположены реже,
они видны в отдельности. Если бы среди звезд
этого скопления мы поместили наше Солнце,
то в самый сильный телескоп оно было бы видно
у границы видимости, потому что скопление
очень далеко от нас и те из звезд в нем, которые
Фотография звездного скоппения Ппеяды.
:126
различает такой телескоп, гораздо ярЧ:е нашего
светила. Одно из ближайших к нам шаровых
звездных скоплений находится в созвездии
Геркулеса. В летний вечер, пользуясь звездной
картой, вы можете найти его в бинокль. Оно
имеет вид как бы размытой туманной звездочки.
В обычный телескоп скопление видно как боль
шое туманное пятно, и только в сильный теле
скоп видно, что это скопление множества звезд.
R центру скопления они расположены так
тесно, что их свет сливается в сплошное пятно.
Поперечники рассеянных скоплений типа
Плеяд невелики. Луч света пробегает их от
края до края за несколько лет. Поперечники
же шаровых скоплений значительно больше,
и луч света пробегает их за десятки световых
лет. Трудно даже с определенностью уста
новить границы шарового скопления, они
легко сливаются со звездами окружающего
пространства.
Мы знаем более сотни шаровых скоплений,
из них даже ближайшие к солнечной системе
отстоят от нас на многие тысячи световых лет.
Эти огромные расстояния долго не могли уста
новить. Их определили, когда в шаровых скоп
лениях нашли маяки Вселенной - цефеиды.
Истинная сила света цефеид известна, и,
сравнивая ее с их видимым блеском, можно
было рассчитать расстояние до них, а тем са
мым и до шарового скопления, в котором они
находятся.
Вообразите себе, как сверкало бы бесчис
ленными яркими звездами небо, если бы мы
находились внутри шарового скопления. Ведь
там звезды расположены во много раз ближе
друг к другу, чем в окрестностях нашей сол
нечной системы.
Шаровые скопления - самые старые обра
зования в нашей звездной системе. Их возраст
исчисляется миллиардами лет. Рассеянные
скопления имеют разный возраст, но в общем
они считаются более молодыми системами.
Самые молодые из них содержат горячие ги
гантские звезды и возникли «всего лишь)) не
сколько миллионов лет назад.
Мы видим лишь ближайшие из рассеянных
звездных скоплений, отстоящие от нас на сотни,
иногда на несколько тысяч световых лет. Все
они екучиваются в полосе Млечного Пути.
Более далекие из них нам не видны, потому что
в слое звезд, образующих Млечный Путь, много
облаков космической пыли. Эта пыль ослабляет
свет далеких звезд, расположенных за такими
облаками. Даже Солнце тускнеет, когда его
заслонит облако пыли, поднятой на дороге

грузовой автомашиной. Из-за облаков косми
ческой пыли десятки тысяч рассеянных скоп
лений, которые, вероятно, существуют в нашей
звездной системе, остаются для нас неизвест
ными.
Те же Плеяды целиком погружены в огром
ное пылевое облако. Яркие звезды этого скоп
ления освещают вокруг себя пыль, как фонарь
освещает ночью окружающий туман. На сним
ках с долгой выдержкой главные звезды Плеяд
даже тонут в окружающем каждую из них
светлом тумане - в облаках пыли, освещенных
ими самими. Так, пылевые облака, заслоняя
свет звезд, представляясь даже в виде темных
пятен на сияющем фоне Млечного Пути, вы
глядят как светлые туманности, когда близко
от них есть яркая звезда, способная их осве
тить. Космическая пыль, как всякая пыль,
светит лишь отраженным светом.
Однако космическая пыль очень мелкая.
Когда свет проходит через нее, то синие лучи
ослабляются сильнее, чем зеленые, зеленые -
сильнее, чем желтые, а желтые - сильнее,
чем красные. Поэтому на пути к нам через
пылевую среду свет звезд не только ослабляет
ся, но становится более желтоватым, даже
красноватым. (Из белого света звезд сильнее
поглощаются голубые лучи и остается больше
желто-красных лучей. )
Одно И3 особенно близких и плотных об
лаков космической пыли видно как черное
пятно на фоне Млечного Пути вблизи созвездия
Южного Креста. Моряки прозвали это пятно
«угольным мешком». Черное пятно поменьше
и не столь темное, но хорошо заметное, можно
видеть и с северного полушария Земли. Это
пятно возле яркой звезды Денеб И созвездия
Лебедь. Когда-то думали, что черные пятна
в Млечном Пути - это дыры, просветы в тоJ1ще
образующих его звезд. Полагали, что в этих
местах мы смотрим в зияющую пустоту миро
вого пространства. Оказывается наоборот -
здесь перед нами «занавески», иногда скрыва
ющие от нас даже и не очень далекие звездные
области.
Космическая пыль представляет для ученых
огромную и досадную помеху. Она и искажает
цвет звезд, и ослабляет их блеск, а более да
лекие из них делает совсем невидимыми. Целые
области мирового пространства недоступны
для оптических наблюдений из-за космической
пыли. Ее влияние приходится учитывать, а для
этого нужно кропотливо, шаг за шагом изучать,
сколько и где космической пыли расположено
по каждому направлению.
ЗВЕЗДЫ И ГЛУБИНЫ ВСЕЛЕННОП
В малой доле космическая пыль происходит
от столкновения и разрушения мелких твердых
тел, но в своей основной массе она возникает,
вероятно, вследствие сгущения межзвездного
газа, о котором мы теперь и расскажем.
Гааовые тунаиности и нежавеадныlt гаа
Безвоздушность, «пустота» межзвездного
пространства относительна. Это пространство
заполнено не только полями тяготения, маг
нитными полями, лучами света и тепла, несу
щими энергию. Там носятся мельчайшие пы
линки, молекулы и атомы газа. Этот невидимый
газ был обнаружен по линиям поглощения
в спектрах звезд. Ведь на большом протяжении
даже такой разреженный газ поглощает опре
деленные лучи из света звезд, который его
пронизывает. Возникновение радиоастрономии
позволило обнаружить этот невидимый газ
и изучать его движение по тем радиоволнам,
которые он излучает.
Радиотелескопы позволяют прощупывать
облака межзвездного газа на таких далеких
от нас расстояниях, где в обычные телескопы
звезды уже не виднь1 из-за поглощения их света
межзвездной пылью. Для радиоволн эта пыль
почти прозрачна. Для них прозрачны и обла
ка, через которые мы не видим звездного неба.
Для радиоастрономов погода всегда ясная.
Радиотелескопы каждую ночь шарят по небу
и обнаруживают радиоизлучение, идущее либо
от облаков межзвездного газа, либо от остатков
сверхновой звезды, или еще от чего-либо. Заме
чательны возможности современной науки!
Посмотрите в ясную безлунную зимнюю
ночь на прекрасное созвездие Ориона, блещущее
в южной стороне неба. Под тремя яркими звез
дами пояса этого мифического охотника найдите
три слабые звездочки, образующие короткую
вертикальную линию - меч Ориона. Вокруг
средней из них в бинокль видно слабое туман
ное мерцание. Это знаменитая газовая д и ф
ф у з н а я (бесформенная) туманность Ориона.
Она представляет собой громадное облако газа,
в которое погружено много звезд.
Только фотография способна выявить всю
красоту и всю сложность структуры этого газа,
охваченного медленными вихревыми движени
ями, как �шубы табачного дыма. Из газа, содер
жащегося в этой светлой газовой туманности
(к которой примешана и пыль), можно было бы
«ИЗГОТОВИТЬ>> сотни солнц. Да они и в самом
:127

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕНПЩI
деле, наверно, где-то во3никают И3 га3а. Только
своим во3никновением они обя3аны не кому-то,
а силам всемирного тяготения
.
, которое кон
денсирует ра3реженный га3 в уiiлотненные
га3овые шары-3ве3ды. Но обра3овавшиеся
И3 га3а 3Ве3ды светятся уже сами, 3а счет содер
жащихся в их недрах источников энергии,
которая выделяется в ре3ультате атомных пре
вращений. fа3овые же туманности светятся
лишь тогда, когда в них или побли3ости есть
очень горячие голубоватые 3Ве3ды. Их мощное
ультрафиолетовое и3лучение (к нему относятся
и рентгеновские лучи, которыми полЬ3уются
в медицине для просвечивания больных) 3а
ставляет га3 светиться. Это свечение га3а не
сколько сходно с тем свечением, :какое про
исходит в трубках с ра3реженным га3ом, чере3
который пропускают электрический ра3р11д.
Если нет поблизости горячей 3ве3ды, то и облако
га3а остается невидимым. fа3овые туманности,
как и зве3ды, в основном состоят И3 водорода.
Кроме него, в них есть· другие легкие га3ы -
Фотография кольцеобразно й планетарно й туманност11 а со
авездии Лиры .
128
гелий, а3от, кислород - и частицы более тяже
лых химических элементов.
Лучшие насосы, откачивающие во3дух в 3ем
ных лабораториях, не могут со3дать такого
вакуума, такого ра3режения га3а, какой суще
ствует в газовых туманностях. Разница в плот
ности га3а в туманности и в лучших 3емных
ва:куумах такая же, как в плотности свинца
и земного вакуума. Свечение га3ов в туманности
мы видим потому, что толща ее громадна: от
одного края га3овой туманности до другого
свет идет несколько лет, а общая масса туман
ности обычно составляет десятки, сотни, а иногда
и десятки тысяч масс Солнца.
.Какие красивые и причудливые формы при
нимают га3овые диффу3ные туманности! .Какие
нежнейшие рисунки и сплетения обра3уют их
волокна! В созвездии Лебедя находятся туман
ности, про3ванные 3а свой вид: Пеликан, Се
верная Америка, Рыбачья сеть. В со3вездии
Единорога есть туманность Розетка.
Наряду с большими клочковатыми, раз
мытыми или волокнистыми диффу3ными туман
ностями существуют очень маленькие, правиль
ной округлой формы-планетарные.
Их на3вали так 3а внешнее сходство с дисками
планет (так выглядят самые далекие планеты
в телескоп).
В центре каждой планетарной туманности
есть очень слабенькая 3Ве3дочка - ядро. Это
самые горячие И3 зве3д. Их температура дохо
дит до 100 и более тысяч градусов. От их излу
чения и светится планетарная туманность.
Планетарные туманности, очевидно, недол
говечные обра3ования и могут быть видимыми
около 10 тыс. лет. Они медленно, со скоростью
нескольких километров в секунду, расширя
ются в пространстве и со временем рассеются.
Несомненно, такие туманности образуются
за счет газов, выделяемых 3Ве3дой, но не с та
кой бешеной скоростью, как это бывает у новых
зве3д, сбрасывающих свои оболочки.
Масса планетарных туманностей мала - она
составляет всего лишь сотые доли массы Солн
ца. Химический состав их такой же, как у диф
фу3ных туманностей и у 3вездных атмосфер.
У планетарных туманностей наблюдаются
интересные формы. Многие И3 них кольце
образны, как, например, туманность в со3ве3-
дии Лиры. Есть туманности, которые 3а их фор
му на3ваны Совой, Сатурном, Гимнастической
1 Фотограф11н спиральной галактики М 51 в созвездии
гончих 11008.
..
.
Н а .обо р о т е: Фотография спиральной rа.1
1
акти-
-
кн в созвездии Андромеды.

гирей. Всего планетарных туманностей известно
уже свыше 500; приме рно столько же известно
и диффузных туманносте й.
Газ , собранный в облаке-туманности , как
с ве тящийся, так и . несветящийся, концентри
руется в полосе Мл ечного Пути , где имеется
и много ра ссе янных з ве здных скоплений. Не 
которые из них це ликом погружены в газовые
туманности . Откуда бе рется в мировом про
ст ранстве столько газа?
Часть его может являться остатком тех
газов, из ко торых когда-то возникли звезды.
Вероятно , они возникают из него и сейчас .
Наприме р, недавно наблюдался случай, когда
в очень маленькой туманности появилась очень
слабая звездочка , ко торой раньше тут никогда
не видели .
Но часть газа, как это показал автор данной
статьи , во зникает и тепе рь . Ведь мы видим,
что в ми ровое пространство все время ра ссеивает
ся газ , вы брошенный новыми и сверхновыми
звездами , ядрами планетарных туманносте й
и даже обычными звездами . Подсчет показы
вает , что этого газа ежегодно поступает из звезд
в окружающее их пространство очень много .
М.жечиыl Путь в ГВdактвка,
в которой иы ясввеи
Наша солнечная система - маленькая час
тица громадной звездной системы , ко торую
называютГалактикой.ВГалактикувхо
дят все те зве зды , которые мы видим в созве з
ди ях и невооруженным глазом ив телескоп . В ее
составе находятся и все те зве зды , из которых
состоит серебрист ая полоса Млечного Пути.
Вероятно , вы ее видели в темные осенние ночи .
Мле чный Путь опоясывает все небо , ка к
гигантская свет ящаяся лента . В телескоп вид
но , что это скопление множества слабых , дале
ких звезд. Более яркие , близкие зве зды распо
ложены тем гуще , че м они ближе к средней
линии Мл ечного Пути. Среднюю линию Млеч
ного Пути называют галактическим
экв а т о р о м. Плоскост ь галактического
экватqра - это плоскость симметрии нашей звезд
ной системы. Вдоль этой плоскости наша система
тянется во всех направлениях дальше всего .
И в пространстве зве зды скучиваются к этой
плоскости. Скучив аются к ней и рассеянные
зве здные скопления , и все га зовые туманности,
и облака ко смиче ской пыли. Т о лько шаровые
зве здные скопления и зве зды некоторых типов
89д.э.т.2
ЗВЕЗДЫ И ГЛУБИНЫ ВСЕЛЕПНОИ
не подчиняются этому закону . Он и заполняют
сфероидальный объем, концентрируясь со всех
ст орон к центру Галактики.
Из- за облаком пыли, ослабл яющих свет
далеких звезд, очень трудно вы яснит ь подроб
ности строения Галактики. Наша солнечная
система находится очень близко к галактичес
кой плоскости, в ко торой зве зды ра сположены
наиболее тесно . Свет всех далеких и сла
бых зве зд сливает ся для нас в сплошное светя
щееся ко льцо Млечного Пут и.
Схематическое изображение нашей Галактики в поперечном
сечении. Стрелкой показано место в ней солнечной системы.
Велика и грандиозна наша Галактика .
От одного ее кра я до другого свет бе жит почти
100 тыс. лет, а ведь от ближайшей звезды он
доходит до нас приме рно за 4 года .
Есл и бы мы могли посмотреть на нашу Га
лактику извне , находясь дале ко за ее преде
лами , то убедились бы, что она сильно сплю
щена : ее диаметр в нескол ько ра з бол ьше «тол щи 
ны». С ре бра она должна быть видна в форме
веретена или линзы . В середине она толще,
и к ее центру звезды с:�tучиваются еще сильнее .
В се редине Галактики находится ядро - не что
вроде гигантского шарового скопления звезд.
,От нас до ядра Галактики около 25 тыс.
световых лет , а до ее края нескол ько ме ньше .
Чем ближе к краю Гала�<т ики, тем ра зреженнее
звезды . В звездном городе - Галактике - мы
живем ближе к ее о«ра ине . Ядро Га лактики
видно от нас в сторону со зве здия Стрельца .
В летние ночи оно видно в южной ст ороне неба
невысоко над гори зонтом. Ядро это должно
было бы сверкать ка к очень яркий участок
Млечного Пути. Но , к сожалению , его засло
няют от нас облака космическо й пыли, чере з
которые его свет не доходит до нас . Ядро Галак
тики можно наблюдат ь , только применяя осо
бые способы фо тографиро вания.
Не так да вно выяснилось , что Галактика
вращается - все зве зды с разной скоростью
вращаются вокруг ее центра . И наша солнечная
система со скоростью около 200 км в секунду
J.29

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОП
несется по св оей орбите вокруг центра Га лак
тики . На завершение одного оборота ей требует
ся примерно 250 млн . лет .
Сколько же зве зд, ск олько со лнц. входит
в со став Га лактики? Их в не й более 100 млрд.
Вокруг многих из них должны быт ь планетные
системы . Даже если только на тысячу звезд
приходится лишь одна обитаемая плане та, то
и тогда во всей Галактике таких планет должно
быт ь целых 100 мл н.
Сравнивая нашу Галактику с другими ги
гантскими зве здными системами, о которых
ниже будет ра ссказано , и сопоставляя ра з
личные данные , можно сказать , что у Га лак
тики сп иральное строе ние . Из ее ядра выходят
две (и ли более) сп иральные ветви . Они со стоят
из звезд , из га зовых и пылевых туманностей
и закручив аются вокруг ядра. Расположение
, спиральных ветвей точно еще не известно , но
мы находимся ме жду ними , а са мые го рячие
и яркие зве зды группируются в зве здных
обл аках, обра зующих ·спирал ьные ветви.
Другие гае1
1
актики
островные всее1
1
енные
Из све тлых туманных пятен, которые видны
на небе или на его фот ографиях, лишь немногие
га зовые ял и освещенные пылевые туманности
входят в со став нашей Га лактики.
Бол ьшинство видимых на небе туманно
ст ей - это звездные си стемы ги гантских ра з
меров . Они находятся далеко за пределами
нашей Галактики . Это - другие галактики,
галактики с малой буквы . Если наша Галактика
как бы зве здный город или зве здный остров
в безбре жном океане Вселенной , то другие
га лактики - это другие зве здные города , дру
гие острова Вселенной . Как острова в океане ,
гал актики образуют местами архипелаги -
ск опления десятков , а иногда и тысяч галактик .
Наша Га лактика - одна из оче н ь крупных.
В южном полушарии неба есть два бол ьших
светлых пятна . В че сть великого мореплавателя
Ма геллана они на званы Магеллановыми Обла
ками . Это как бы два обры вка Мл ечного Пути.
Выяснил ось, что и Большое и Ма лое Магел
лановы Облака - галактики
неправильной
формы . В то же время они - сп утники нашей
Галактики и от�тоят от нее на ра сстоянии около
120 тыс. св етовых лет. По разме рам они з нач'и 
тельно меньше нашей Галактики, но все же
являются довольно крупными зве здными сие-
:180
Фотография аеретеи
,
ообрааиой туманност и в соз вез;\ИИ Волос
Вероники (вид с ребра).
темами. Их диаметры достигают 26 и 17 тыс.
световых лет . Подобно нашей Галактике , они
состоят из зве зд всевозможных типов и из газо
вых и пылевых туманностей . В них есть рассе
янные и шаровые зве здные скопления .
В со зве здии Андро меды есть бол ьшая и из
вест ная с древности туманност ь. Осе нью ее
нетрудно найти на небе при помощи зве здной
карты . Фотоtрафии показыв ают , что это спи
ра льная зве здная система . Свет от нее доходит
до нас за fl/ 2 миллиона лет .
Сходство между га лактикой в Андр о меде
и нашей Гал,актикой так велико , чт о, гл ядя
на нее , вы можете себе пре дставить, чт о это
и есть наша Га лактика. Она си льно наклоне н а,
и потому мы видим ее продолговат ой. Солнеч
ную систему надо был о бы представит ь се бе
находящейся за пределами спиральных ветвей ,
которые видны на фотографии . Разреженные
части' этой системы тянутся еще далеко за пре
делы ярких спиральных ветвей ее внутренней

части. По размерам и массе галактика в Андро·
меде больше нашей Галактики. "У нее есть тоже
маленькие галактики-спутники. Но они имеют
не спиральную форму и не клочковаты, как
неправильные галактики - Магеллановы Об
лака. Это эллиптические галактики, в частности
шаровые. Две из них показаны на фотогра
фш1-одна в проекции на спиральную галактику,
другая в стороне, продолговатая. Они выгля
дят как сплошные пятна, потому что в них звезды
не очень ярки и расположены очень тесно.
На таком же расстоянии от нас, как эта груп
па, в созвездии Треугольника, находится еще
одна спиральная галактика. Она меньше нашей
о
::Е
•
о
Сравнение квадратов, изоб
раженных на рисунке, дает ::Е
нагляд ное пре;1ставление о со
раамерах доступной дш1 о
наб.�юдения части Нселен
ной. Масштаб от квадра та
i; квадрату увеличивается
в 10 тыс. раз, кроме после11-
него 1<вадрата, масштаб ко
т орого по сравнению с пре
дыд�·щ11м квадратом ув ели
чивается в 100 тыс. раз.
"
::Е
:i:
§
ЗВЕЗДЫ И ГЛУБИ НЫ ВСЕЛЕННОИ
Галактики, видна почти плашмя, более развер
нута, и очертания ее клочковатых спиральных
ветвей хорошо видны.
А есть спиральные галактики, повернутые
к нам ребром и похожие на веретено. Обратите
внимание на те11шую полосу вдоль их э1.;вато
риальной, или галактической, плоскосп1. Это
скопление п•ылевых облаков. Они задерживают
свет звезд, расположенных за ними. Примерно
так должна выглядеть и наша Галю<тика, если
бы мы могли видеть ее со стороны в ее галак
тической плоскости. Мы назвали наиболее ти
пичные формы галю<тик, но мир островных
вселенных очень разнообразен.
Част• COJlllllfHOI CICTIMW
Расстояние до
бпижаifwих звезд
•
Система rJ. Центавра
еСопнечАая система
наблюдения часть
о:
:
..
..,
CD
�J'
�
u:
:
::i
tlS
.,/)ф
2i
�
:>.
,(\
о
1-
\}"
:S:•
g\Р
C:f
::Е
�
Q
..
.
•
"·
ct
ф
Q.
1-
(.)
11
11
..
..
"
al•
с(
о
..
.
.
1-
ф
ID
(.)
.,
,.
::Е
о
"'
о
.t-,,.
..
..
ф
с:-
1-
ф
ID
·(.)
gо
..,.
+
"'
1-
ф
с:
:
·
ID
(.)
8
·-L-1.
.:�=:
:.
.-
-1
Наша
•Галактика
с(
Q.
с:
:
:;
;
9•
:13:1

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОИ
Спиральные галактики: наша , в Андромеде
и в Треугольнике , со спутниками дв ух первых
из них, обра зуют Ме стное скоплен ие галак
тик . Т аких групп во Вселенной множество.
В со зве здии Девы есть огромное облако . Оно
сост оит · из сотен галактик. Это центральная
ча ст ь , ядро скопища тысяч галактик , к которо
му принадлежит и Ме стное скопление галактик .
Диаметр такой С верх галакти к и, как
ее называют , составляет около 100 млн . све
товых лет , а общая ее масса ра вна примерно
квадриллиону солнечных масс .
Известно много других скоплений галактик
и отдел ьных гал актик , ра ссеянных между
ними. Все го по фотографиям , сделанным наи
больш им в мире телескопом , можно был о бы
насчитать свыше миллиарда зве здных систем ,
подсtбных нашей . Ест ь все основания полагач"
чт о все . доступные ныне дл я наблюдений об
ласти Вселенной вх одят в состав системы еще
более грандиозной, чем Сверхгалактика. Эту
сисrему называют Ме'Та·галактикой,
но до границ ее мы еще не до брались.
Свет наиболее да ле ких галактик, доступных"
сейчас нашему наблюдению , дохо дит до нас
через несколько миллиардо в лет ! Когда он их
покинул , на Земле еще не был о никакой жизни .
А при помощи ра диотелескопов мы принимаем
изл уче ние ра диоволн и от еще более далеких
галактик. Эти ра диоволны оставили свои галак
тики задолго до того , ·к ак образовалась наша
Земля.
Некоторые галактики излучают радио 
волны с потрясающей мощностью . По-види
мо му, в них существует магнитное поле , в ко
торо м со скорост ью , близкой к скорости света ,
носятся электроны и другие элементарные час
тицы . Ма гнитное поле тормозит их дв ижение ,
а это вызывает ра диоизлучение.
Изуче ние галактик продвигается быстрыми
ш аг ам и, и уже скоро мы будем глубже знать ,
как они возникают и ра звиваются.
К числу временных загадок , J{Оторые до лж
ны быт ь ра згада ны , относится и «красное сме
ще ние» в спе ктра х галактик . Линии их спектра
смеще ны к красному концу, и тем сильнее ,
че м галактики да льше от нас. Если этот сдвиг
линий обусловлен их движением (а по-види
мому , это так) , значит , .они удаляются от нас ,
11 тем быстрее , чем дальше находятся. У одной
из далеких галактИI{ снорост ь составляет почти
п оловину скорости света! Некоторые ученые
объясняют это образованием галактик вслед
ствие взры ва очень плотной массы . В ре зуль
тате та:�< ого 1щрыва са:ь�:ые
.
быстрые «осколкю>,
J.S:
превратившиеся в галактики, успели отлететь
дальше всего от ме ста взры ва . Однако спра"
ведлива ли такая догадка , покажет будущее .
Бесконе чнаа В сеdеннаа
в наш адрес в неn
Развитие науки безгранично отодвигает
границы известной нам части Вселенной и под
тверждает марксистское учение о бесконечности
Вселенн ой. Продвигаясь в познании Вселенной
вперед, мы будем встречать все новые и новые
миры, и так без конца...
Каково же наше место в этой бесконечной
Вселенной? Ответ на это мо жет да ть сле 
дующий наш с вами адрес:
Бесконечная Вселенная
"Наша" Метагалактика
"Наша" Сверхгалактика
"М.естное скопление" галакти.к
Галактика
Звездное облако "Местная снсте.ма"
"Наша" солнечная система
Планета Земли
Материк Евразии
СССР
и 1·А
•
КАК ПРОИЗОШ.JIИ ЗЕМJl.Я
И ДРJ7ГИЕ НЕБЕСНЫЕ TE.JIA
Откуда взялись Земля, Солнце , Лун а и зве
зды? Всегда ли они были такими , какими мы
их сейчас видим?
Люди интересовались этими вопросами с
давних пор, но правил ьно ответить на них было
невозможно , потому что дл я этого надо было
сначал а узнать, что же эти светила собой пред
ставляют , как они движутся , какова их физи
ческая природа.·
В древности под влиянием ре лигиозных уче 
ний складывались легенды о сотворении мира .
В ра зных странах и в разное время эти легенды

КАК ПРОИЗОШЛИ ЗЕМЛЯ И ДРУГИЕ НЕБЕСНЫЕ· ТЕЛА
бы:ли ра зл ичны , но всегда в них высказывалась
одна и та же мысл ь: ми р создан по воле сверхъ
естественных сил - богов - и с тех пор не из
ме няется , а существует таким , каким был создан
и каким мы его видим.
В эти легенды люди верили , потому что не
знали де йствительных причин явлений приро
ды . Ведь только в XVIII в. был открыт вели
кий закон природы о сохра нении веществ а и
движения . Может ме няться только состояние
веществ : например, водяной пар превращается
в воду или вода превращается в лед , а сами ве
ще ства остаются. То же происходит и с эне р
ги ей : например, эне ргия движения воды на
гид роэлектростанции превращается в электри
чество, которое приводит в движение машины,
освещает улицы го ро да и т. д . Энергия не унич
тожается, она только меняет свою фо рму .
Не понимая и не зная это го , но наблюдая,
как человек своим трудо м может создавать ра з
ные предметы , люди считали , что и весь мир
сделан каким-то существом, но , конечно , су
ще ством нео бычайно мо гуще ственным. Так и
поддержив ались ра зличные ле генды и ре ли
ги озные мифы о сотворении мира .
Но постепенно , начиная с вел икого откры
тия Коперника , накоплялись знания о строе
нии солнечной системы и звездного мира . Эти
знания со временем и послужили основой дл я
создания научных гипотез о происхождении
небесных тел .
Научное предположение о происхождении
Земли и други х небесных тел впервые выдвинул
немецкий фил ософ И. l\ант . Это было в 1755 г.
В конце того же века , не зная ничего о мыслях
l\анта , к сходному
заключению пришел
французский ученый Лаплас .
l\ант и Лаплас обратили внимание на то ,
что Солнце горяче е, а Земля хо лодная и по
своему ра змеру мн ого меньше , чем Солнце.
В то же время Земля - лишь одна из пл анет.
Все планеты обращаются вокруг Солнца почти
по окружностям , в одну и ту же сторону и поч
ти в одно й и той же плоскости . Это составляет
основные отличител ьные че рты солнечной си
стемы , которые должны быть объяснены в пе р
вую очередь .
l\ант и Лаплас утв ержд али , что в природе
все непрерi.1в но изменяется , ра звивается. И Зем
ля и Солнце ра ньше были не такими , какие они
сейчас , а составл яющее их вещество существо
вало совсем в другом виде .
Лаплас обосновал свою гипотезу более убеди
тельно. Он считал , что когда-то сол нечно й систе
мЬ1 не был
.
о , а была первичная ра зреже нная и
ра скаленная газовая туманность с уплотнением
в центре . Она медленно вращалась, и ра змеры
ее были больше, чем теперь поперечник орбиты
с.а.мо й удаленной от Солнца пл анеты.
Притяжение частичек туманности друг к дру
г ;'{ приводило к сжатию тумащюсти , к уме вь-
Образование coaueчвolt сясте11
1
ы по rипотеае Лапласа.
133

ЧТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕДЕННОИ
шению ее размеров. По известному из опытов
закону ме ханики , при сжатии вращающегося
тел а ско рость его вращения во зрастает .
Вы мо жете в этом убедиться сами . Сядьте
на легко вр ащаю щуюся табуретку и ве ртитесь,
держа в вы тянутых руках какую-либо тяжесть.
Еслп затем вы прижмете руки к груди, то вра
ще ние мше уснори'Гс .я.
Но когда тело вращается быстрее , во зрас
тает центробежная сила. Например, если вы
вращаете юiмень, привязанный к ве ревке , слиш
ком быстро , веревк а·
.
может лопнуть и камень·
о�арвется..
.
Так ·И при враще нии туманности бол ьшое
К021И'10(fТВО частичек на ее экваторе (кото рые
враща.i
i
ись бьютрее , чем у полюсов) отрывалось,
или, rочнее; отс .Лаивал ось , от нее . Во круг ту
манностл воз ниRаЛ'о ·вращающееся кол ьцо . Бме-,
сте с ·тем туманно ст ь, ш арообразная вн ачале,
вследствие ценТробе Жной сил ы спл ющивалась
у полюсов и становил ась по хожей на линзу.
По этой же причине спл ющИ:вается стальной
обруч, надетый на ось и вращаемый на центро
бе жной >\1а шине .
Все вре мя сжимаясь и ускоряя свое враще 
ние, туманность постепенно отслаива;1а от себя
кольцо за кольцом, кото рые вращал ись в одну
и ту же сторону и в одной и той же плос1шсти .
Но газовые кольца не могли быть ве зде
один аково плотными . Наибольшее из сгущенпй
в каждом кол ьце постепенно притягивало к себе
остальное вещество кольца . Так каждое коль
цо превращалось в один большой газовый клу
бок , вращавшийся вокруг своей оси . После
этого с ним повторялось то же , что с огромной
пе рвичной туманностью : он превращался в
сравнительно небольшой шар , 01< руженный
кол ьцами,_ опять сгущавшимися в небол ьшие
тел а. Последние , охладившись, становились
спутниками больших газовых шаров, обра
щавшихся во круг Со лнца и после затвердения
превратившихся в планеты. Наибольшая часть
туманности сосредоточилась в центре; она не
остыл а до сих пор и стала Солнцем.
Гипоте за Лапласа был а научной, потому
что она основывалась на законах природы, из
ве стных из опыта, и прежде вс его на законе все
мирного тяготения, действи тельно существую
щем в природе .
Однако после Лапласа были открыты новые
явления в солнечно й системе , которые его тео
рия не могла объяснить. Например, оказалось,
что планета Уран вр ащается вокруг своей оси
не в ту сторону, куда вращаются остальные
планеты . Были лучше изучены свойства га -
1.84
зов и особенности движения планет и их спут
ников. Эти явления также не согласовались
с гипотезой Лапласа, и от нее пришлось отка
заться.
Развитие науки привело к более точному
и глубокому знанию природы .
На смену гипотезе Лапласа выдвигались
другие .объяснения происхождения солнечно й
системы . При этом некото рые ученые за рубе
жом, так или иначе связанные с религией, не
редко предл агали такие гипотезы, которые по
возможности был и.согласованы с религиозными
представлениями о сотво рении мира. Такие
гипотезы , в противоположность ги потезам науч
ным, мате риал истическим, не двигают науку
вперед, а ведут ее в тупик .
Мате риалистическая наука утверждает, что
вещество существует ве чно и ве чно развивается
без вмешательства несуществующи х божеств.
Опровергая псевдонаучные гипоте зы, советские
ученые наряду с прогрессивными уче ными дру
гих стран упорно работают над решением труд
нейшего во проса о происхождении со лнечной
системы и Земли.
Известный
советский ученый
акад .
О. Ю. Шмидт (1891 -1956) предложил гипотезу,
в разработке которой приняли участие астро
номы, геофизики , геологи и другие ученые .
В своей гипотезе О. Ю. Шмидт , основываясь
на ряде данных науки , пришел к выводу, что
Земля и планеты никогда не были раскаленны 
ми газовыми телами , подобными Солнцу и звез
дам, а должны были образоваться из холодных,
твердых частиц ве ще ства.
Если допустить, что некогда во круг Солнца
существовало колоссал ьное облако из газа и
пыли , то в дал ьнейшем, по расчетам О. Ю. Шмид
та и его сэтрудников, должно было происходить
следующее . Бесчисленные частицы первона
чально двигались беспорядочно . Затем их
орбиты де дались круговыми и располагались
примерно в одной и той же плоскости . При этом
направление вращения частиц в какую-либо
определенную сторону со временем начинало
преобладать , и в конце концов все частички
ст али вращаться в одну и ту же сторону .
Так вместо первоначального беспорядочного
движения частиц во зникло стройное движение
их всех в одном направлении . А это значит, что
все газово-пылевое облако стало вращаться
в одном определенном направлении . Если же
у частичек вначале не оказалось бы такого пре
имущественного направления, по ко торому вра
щалось большинство их, то из них планеты об
разоваться не могли бы .

КАК ПРОИЗОШЛИ ЗЕМЛЯ И ДРУГИЕ НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА
Но в результате столкновений частичек при
пе рвоначал ьном беспорядочном движении энер
гия их д вижения частично переходил а в тепло
и рассеивалась в пространство. До некоторой
степени сходно с этим теряет свою энергию
движения (т . е. уменьшает свою скорость) ру
жейная пуля, нагревающаяся при преодолении
сопротивления воздух.а. Потеря движения стал
к ивающихся частичек , как показывают расчеты ,
вела к тому , что шарообразное облако посте
пенно сплющивалось и наконец стало по форме
ПОХОЖИJ\1 на блин'
Но когда частички сдбрались к одной пло
скости, расстояния между ними стали меньше.
и частички начали сильнее притягивать друг
друга . Они объединялись, уплотнялись, при
че м особенно быст ро росли в размере и в ве
се крупные частички. Они и притягивали к се
бе сильнее , и столкнуться с ними было легче.
Постепе нно большая часть пылинок в бли
ноподо бном облаке таким п ут ем собралась
в нескольк о гигантских комков вещества, ко
то рые стали планетами . Ко м - будущий Юпи
тер - «nожирал» стр ашно мно го вещества из про
странства между его орбито й и орбитой буду
щего Ма рса. Он мешал ч астичкам соединиться
в этом пространстве в крупные тела и при
тягивал их к се бе . По другую же сторону от
будуще го Юпитера, но значительно дал ьше от
Солнца образовался вскоре другой крупный
ком - будущий Сатурн , который «соперничаш
с зародышем Юпите ра в поглоще нии мелких
ч астиц .
В резул ьтате всего этого между Марсом и
Юпите ром не возникло большой планеты , а об
разовалось много мелких и разрозненны х: воз
никли асте р оиды , или малые планеты . Впро
че м, они могли образоваться и в резул ьтате
того , что возникшая все же зде сь сравнител ьно
небол ьшая планета по какой-то прич:Ине рас
палась на части . Так , по крайне й ме ре , предпо
лагают некото рые ученые .
О. Ю. Шмидту удалось рассчитать, что в се
редине планетной системы должны были воз
никнуть самые крупные планеты , а ближе к
Солнцу - более мелкие и далее всего от него -
тоже мелкие , такие, как Плутон. За Плутоном
могут быть планеты крупнее его , но едва л и
мы от.кроем там г
.
игантские пл анеты , подобные
Юпитеру и Сатурну . Чем больше возникающая
планета , тем больше вещества она должна во
брать в себя из «окрестностей» . Эта гипоте за
позволила О. Ю. Шмидту , а потом акад.
В. Г. Фесенкову и другим ученым теоретически
обосноватр существующие расстояния между
Uбразоваиие солнечной системы по rипотезе о. Ю. Ш11идто,
планетами и Солнцем и между планетами . Раньше
никому из астрономов сделать это не удавалось .
Точно так же О. Ю. Шмидту впервые уда
лось доказать расчетами , что при косом паде
нии частичек на зародыши планет последние
станут вращаться непременно в ту же сторону,
1.36

Ч ТО МЫ ЗНАЕМ О ВСЕЛЕННОЙ
1
'
1'\
\
1
'
/
,,.
/
,,.
,,.
-�--------
-
..
.
-
---·-.
,.
.
Образоnа"'1е со.1нечной системы по rипотезе О. ю. Шмидта.
Hu схеме 1101<11аано постепенное уплотнение метеоритно-пыле
uой т)·манности вокруr Солнца.
в какую они обращаются вокруг Солнца, как
это и есть n действительности. Только для са
мых далеких планет вращение под действием
косых ударов может принять обратное направ
ление.
Зародыши планет, особенно крупных, долж
ны были окружаться скопищами мелких частиц
(т. е. облаками пыли и газа), из которых воз
никали спутники планет, подобно тому ка� са
ми планеты возникали из газово-пылевого об
лака, окружавшего Солнце.
При собирании пыли и газа в планеты про
исходило одно важное явление, о котором рань
ше тоже не догадывались. Вследствие нагре
вания Солнцем пылинок из них выделялись
газы. Наиболее легкие и летучие из них, в осо
бенности водород, навсегда рассеивались в
пространство. Этому помогало давление солнеч
ных лучей. Точно так же солнечные лучи
отталкивают газовые частицы кометных хвос
тов. Но так было лишь вблизи Солнца, которое
прогревало толстый слой пыли до некоторой
глубины.
:136
На расстоянии до Юпитера и ещ.е дальше
солнечные лучи пе проникали сквозь толстый
слой пыли в блинообразное облако, и там водо
род уцелел. При сильном холоде, который был
в этой «дальней» части облака, водород намер
зал на пылинках, оседал на них, подобно инею,
покрывающему на рассвете в осеннее утро хо
лодную поверхность камней.
Таким образом, в состав планет, формирую
щихся вблизи Солнца, например в состав Зем
ли, водород почти не вошел, а вдали от Солнца
гигантские планеты, наоборот, 'оказалисr. очень
богатыми водородом. Поэтому в среднем плот
ность дальних планет гораздо меньше, чем плот
ность планет, близких к Солнцу.
О первых (<д11вх)) Зем.Jiи
Возникновение планет из газово-пылевого
облака длилось очень долго. О. Ю. Шмидт
впервые в истории науки смог подсчитать, ис
ходя из своей гипотезы образования Земли,
что с тех пор, как Земля собиралась из мелких
частиц, прошло около 6-7 млрд. лет. Это при
близительно согласуется с тем, что мы знаем о
возрасте земной коры, т. е . тех ее поверхност
ных слоев, которые существуют как нечто твер
дое, уже не перемешивающееся с други111 веще·
ством, приходящим изнутри Земли или из меж
планетного пространства.
Rак мы могли узнать, сколько лет назад
сформировалась земная кора, конечно, подвер
гавшаяся и впоследствии изменениям?
Есть замечательные химические вешества
(элементы) - уран, радий и др. ,- которые обла
дают свойствами распадаться на части, посте
пенно превращаться в другие вещества и в кон
це концов в свинец. При этих удивительных
превращениях выделяется газ гелий и вместе
с ним �епло. Rак мы увидим дальш6, изучение
выдrшившегося тепла при этих превращениях
было очень важно для выяснения истории на
шей Земли.
Скорость распада урана и радия известна
и строго постоянна. Чем дольше продолжается
распад урана, содержащегося в горной породе,
тем меньше его там остается, но тем больше на
капливается свинца и гелия. По количеству
оставшегося в горной породе урана и нанопив
шегося гелия и свинца определяют продолжи
тельность времени распада урана. Это и будет
определять абсолютный возраст горной породы,
содержащей уран.

КАК ПРОИЗОШЛИ ЗЕМЛЯ И. ДРУГИЕ HEБECHtIE TEJIA
Так установили, что самые древние камен
ные пJiасты земной коры образовались около
2-3 мл рд . лет назад . Этот вывод согласуется
с определением возраста Земли О. Ю. Шмид
том . До сих пор теоретически никто не мог
р�ссчитать , СКОЛЬКО МИЛЛИОНОВ ИЛИ милли
ардов лет должна была формироваться Земля
по той или другой ги поте зе , знали лишь , сколь
ко лет приме рно существует ее :кора .
Ранее многие считали, что Земля некогда
был а огненножид:кой, а еще раньше - га зооб
рааной . Ссыл ались на извержение раскаленной
лавы из :крате ров действующих ву лкан ов . Пос
ле остывания лава каменеет . Мн огие думали ,
что Земля остывает , сохраняя еще запас тепла
в своих гл убоких недрах . По гип отезе
О. Ю . Шмидт а, Земля никогда не бы ла огненно
жид1<ой. При столкновении частиц, когда из
них складывал ась Земля, выделялось тепJю.
Но ещQ бол ьше его выделялось при распаде
урана и радия , входивших в состав пылинок .
С уплотнением земной коры это тепло , выделяв
ше еся в недрах , не успе вало рассе яться в про
странство . Так тепло , образующееся при сжи
га нии топлива в печц, нагревает ее , хотя стенки
печи и отдают тепло комнате . Расчет показал ,
что Земля могла таким путем нагреться внутри
примерно до 1500-3000 °. При такой темпе ра
туре каменные по роды становятся уже вя зними ,
напоминающими теплый воск . В вязной среде
п роисходило - и, видимо , сейчас еще проис
ходит - перемещение вещества Земли. Тяже
лые веществ а опуснаются вниз , а легкие под
нимаются наве рх. При резких перемеще ниях
их происходят землетрясения .
Поверхность Земли охладил ась ранее ос
тальных часте й, подо бно печне , у :кото рой спе р
ва остыв ают стенни . Так образовалась и
хо лодн ая , твердая кора Земли . Ме стами под
ней скопилось особенно много урана и радия ,
и там каменные породы находятся в совершенно
распл авленном состоянии . Из таних бассей
нов при повыше нии давления и происходит
выдавливание (извержение) наружу раснален
ной лавы.
Мысль о происхождении Земли из холодной
материи и ранее высназывали выдающиеся уче
ные - Ф . А . Бредихин (еще в прошлом веке) ,
В. И. Вернадский и др. Теперь эта идея приоб
ретае'l' все бол ьшее значение при разрешении
различных вопросов геологии , в том числе и при
поиснах полезных иснопаемых .
Тан наука , исходя из нанопленн ых знаний о
Земле и солнечной системе , выясняет историю
нашей планеты.
Откуда вав.1
1
ось rааово-пы""Iевое об.Iако
вокруr Со.1
1
нца?
Таной вопрос вознинал у вас , наверно , уже
не раз , пока вы читали эту статью . Ответить
на него определенно пока еще нел ьзя .
О. Ю. Шмидт и некото рые другие ученые рань
ше его предполагали , что Солнце в своем обра
ще нии вокру-r центра нашей звездной системы
проходил о сквозь огромное га зово-пылевое об
лано. Тание облана в изобиJши встречаются в
пространстве между звездами . Св оим притяже
нием Сол нце могло увлечь за со бо й часть этого
облака . Расчеты го ворят о том , что это , по-ви
димому , возможно; но дл я осуществления та
кой возмо жности , нонечно , нужно стечение ряда
бл агоприятных обсто ятел ьств , в обще м то ма
ловероятное.
Многие ученые, в числе их В. Г. Фесеннов,
считают , что Солнце , а за ни м и планеты воз
никли из одного и того же веще ства и что га зо
во-пылевое облако онружало Солнце уже со
времени его ВОЗНИI\новения .
Развитие Со.1
1
11ца, авеад и rааово�
пы.1
1
евых об.1
1
аков
Не которые буржуазные ученые пытались
утве рждать, что все обла1<а пыли, га за (ту
манности) и все звезды вознинлп одновремен
но и давным-д авно . Наблюдаемые же сей
час в пространстве об.ца:ка пы ли и га за яв
ляются остатками ве·щества, из которого воз
никли не бесные те ла . А из этих остат1<ов , по
их мнению , ничего нового во зниннуть не может .
Танйе утверждения подкрепляют религиозные
представления о сотво рении мира «в один
день» -с разу из ничего .
Советсний астроном Б. А . Воро нцов- Вел ь
яминов еще в 1931 г. уназал , что и в наше время
постоянно происходит выбрасывание га за в про
странство с поверхности звезд , особенно го ря
чих и вспыхивающих, как новые звезды . Его
подсчет показал , что , мо жет быть, даже весь
га з, который мы наблюдаем ме жду звездами ,
ими же и порожден . Во всяком случае , облана
га за образуются и в наше нремя . Звездный
мир - не безде ятельное скопище, обреченное
на охлажд ение и умирание . Это «ф абрика» ,
выбрасывающая непрестанно <шр одунцию» в ви
де газа, который при бл агоприятных условиях
может сгущаться в пылинни и подвергаться
р;альне йшим превраще ниям .
:137

ЧТО МЫ. ЗНАЕМ О ВСЕЛЕВВОП
Есть облака пыли и га за , возникшие дав
ным-д авно , и есть тол ько возникающие . Ак а
дем ик В. А. Амбарцумян и другие советск ие
ученые в 1945-1 947 гг .
.
из ряда фактов сделал и
вывод, что звезды имеют разный возраст . Сле
до вательно , есть основания утверждать, что
звезды возникают и в наше время . Они рожда
ются преимущественно группами , как в виде
ги гантов , так и в виде карликов .
Вероятно , в какой-либо туманности роди
ло сь и наше Солнце , а родившиеся вместе с ним
его «братья» и «сестры» уже разбрелис ь далеко
по Вселенной.
По соображениям и расчетам В. Г. Фесен
кова , Солнце вначале было больше и го рячее,
чем сейчас, оно соде ржало бол ьше вещества .
Постепенно те ряя вещество, т. е. выбрасывая
газы со своей повер хности, Солнце охлаж)J.а
лос ь, становилось менее ярким . Эти измене
ния происходили с течением времени все мед
ле ннее и медленнее . Сейчас . Солнце продолжает
черпать свою тепловую эне ргию за счет превра
щен ия в его недрах водорода в ге лий (при этом
выделяется колоссальная эне ргия) и почти не
<>ст ывает . Еще миллиарды лет оно будет согре
вать и освещать Землю так же , как сейчас , и
�е ловечеству предстоит развитие в течение сро
ков , во много раз бол ьши·х , чем срок , который
прошел со времени появления первых людей
на Земле .
В мире происходит вечное движение и изме
нение вещества. Из га зово-пылевой среды воз
никают звезды и вокруг них планетные систе
мы . Ра звитие звезд приводит к извержению из
них в мировое пространство га зов . Так снова
вещество принимает форму , из которой опять
могут возникать уплотненные тела. Но при этих
бесконечных превраще ниях меняются условия
рождения небесных тел , меняется их состав .
Природа не повто ряет и не копирует се бя :
разнообразие возникающих небесных тел бес
конечно велико . Так и на самой Земле отми
р ают и возрождаются те или иные формы расте
ний и животных, и при этом растительный и жи
вотный мир непрерывно изменяется .
Огромное значение в преобразовании при
роды Земли имеет чел овек , воздействие которо
го на природу основывается на изучении и ис
пользовании ее законов.
Человек , срок жизни кото рого миг в
сравнении с возрастом небесных тел , постигает
тайны рождения небесных тел и изменяет лик
своей планеты - Земли . Трудно предвидеть,
до каких еще возможностей возвысится челове
чество , опираясь на науку и все гл убже позна
вая природу .
•

··а
·
····.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... ,.
АСТРОНОМИЯ
В НАРОДНОМ ХОЗЯЙСТВЕ
НАШЕЙ СТРАНЫ
На протяжении всей исто рии человеческого
обще ства астрономия был а необходима человеку
как наука практиче ская . Но особенно велико
значение этой науки в народном хозяйстве
в настоящее время .
Одна из основных задач практического при
менения астрономии - определение географи
ческих координ ат мест на поверхности Земли .
КАК АСТРОllОМИЯ
ПОМОГАЕТ
ЧE.JIOBER�
Не зная коо рдинат , нел ьзя составить географи
ческую карту. Бе з знания координат ни од ин
корабль не может плыть по намеченному курсу
в открытом море . Чтобы правильно де ржать
курс корабля, нужно пе риодически , как тол ь
ко позволяют ·метеорологические условия ,
определ ять широту и долготу места его на
хожде ния.
Как можно , например , определит ь кратчай
шее расстояние между Москвой и Якутском?
Измерять его ме рной лентой - задача невы
полнимая. Определить зт о расстояние можно
т олько астрономиче ским способом , причем для
139

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
•o.'+U •O."JO •Q."/Q •о.•10 -Х
• 0.'!/J
·О."20 -0. '.Jo -o.•to
llJl.O:l#Jt.O
- 0.'>tb
-0. ":JO
- О."20
Кривая движения Северного полюса Земли. Установлена
набJ1юдениямн иа раали•1ных обсерваториях в 1928-193� rr.
этого в первую очеред� нужно получить из
наблюдений координаты этих мест , т. е. широты
и долготы Москвы и Якутска.
Не льзя проложит ь правильно желе знодо
рожную магистраль бе з определения коор
динат ряда пунктов на пути этой магистрали.
Трудно на звать мероприятие , связанное
с планированием территории нашей ст раны ,
с ра змеще нием крупных энергетических и про
мышленных предприятий , с работами карто
гр афиче ского характер а, где не требовалось бы
зна ние координат тех или других пунктов .
.
На практике част о прих одится определять
направление относительнострансвета,
-�"'1
-о.'3о
-а?О1
-a•to
•!!
-!1
�11
.-0."IQ
•Q."61
Ю:.10
".r
Кривая nнижения Северного полюса Земли. Установлена
н11блюдеии ями на раааичиых обсерваториях в 1952-1955 rr.
:140
например точки юга . Эта задача называется
определением азимута земного предме'Jа и ре
шае'l'ся астрономиче скими методами. Азимут
необходимо определять при сооружении пред
приятий, научных и общественных учрежд ений
(башни и павильоны обсерваторий, анте нны р а 
диостанций, ст адионы) . Азимутом полr.зуются
при опреде лении напр авления полетов межкон
тинентальных ракет и т. п.
Однако координаты ме ст на земной поверх
ности не остаются ст рого постоянными ,
.
а непре
рывно , правда в очень небольших пределах ,
изменяются . Происходит это явление оттого , чт о
сама Земля в небольших пределах смещает 
ся относительно своей оси вращения , и п о э том у
последняя не занимает неизменного п оложе 
ния в теле Земли. Вследствие этого точки пере
сечения оси вращения Земли с ее поверхност ью,
т. е . ге ографические полюсы , непрерывно пере
мещаются . Это пер емещение полюсов З емли п о
ее поверхност и не велико. Се верный полюс дви
жется пр отив часовой стрелки по сложной спи
ралеобразной кривой, которая то закручивает
ся , то раскручивается , не выходя из к вадра
та со сторонами 26 м.
Вследствие смеще ния полюсов смещается
и экватор Земли , так как ось враще ния перпен
дикулярна к плоскости экватора . Изменяется
также и меридиан любого места набл юдения_
Эти смеще ния вызывают изменение координат,
т. е. широт и долгот . И как ни малы такие изме 
нения, но их надо учитывать и исправлять коор
д инаты пр именительно к движению полюса .
Поправки координат местностей на Земле ,
учитывающие движение полюсов , получаются
из наблюдений на м ногих обсерваториях зем
ного шара, проводимых специальной органи
зацией, которая называется Службой движе
ния полюсов. Эти поправки необходимы не
только астрономии, они нужны также геоде 
зии , ге офизике , картографии и другим наукам.
Х орошо известно , какое огромное значение
во всей нашей деятельности имеет точное время .
Определение его , хранение и передача - очень
важная астрономическая задача . Без т очн ого
време ни не могут нормально работ ать фабрини
и заводы , государ ственные учреждения , учеб
ные заведения , желе з нодорожный и водный
транспорт , авиация и т. д. Д ля всех этих орга
низаций и всего населения Советского Со юза
из Москвы ежечасно по московскому времени
подаются широковещательные сигналы време 
ни в виде шести коротких гудков; начало по
следнего гудка соответствует концу данного
часа и нача лу с ледующего .

АСТРОНОМИЯ В НАРОДНОМ ХО3ЯИСТВЕ НАШЕИ СТРАНЫ
Для специальных научных учреждений , об
серваторий , ведущи х аст рономические наблю
де ния , штурманов кораблей, многочисленных
геогр афических , геоде зиче ских, геологических,
гравиметрических и других экспедиций, рабо
тающи х во всех районах нашей необъятной Ро
дин ы , несколько раз в сутки подаются специ ал ь
ные сигналы еще более точного времени .
Точное время оп ределяется на астрономи
ческих обсе рв аториях путем наблюдения звезд
с помощью точне йших современных астрономи
че ских инструментов .
Дл я того чтобы иметь точное время на каж
дый моме нт , существуют приборы -хранители
времени , или , попросту гов оря, высокоточные
ч асы . Из наблюдений звезд и оп ределяется по
правка этих часов .
И для определения координ ат мест на зем
ной поверхности , т. е . широты и долготы , и для
оп ределения точного времени , и для решения
целого ряда других задач , о которых пойдет
речь ниже , нужно знать точные положения на
небе Солнца, Луны, планет и многих звезд,
т. е. знать их не бесные координаты . Эти коорди
наты вычисл яются на ос нове многочисленных .
наблюде ний на многи х обсе рваториях и при
в одятся в специальных списках или таблицах,
которые называются астрономическими еже
годниками.
В Советском Союзе заранее на каждый год
издается Астрономический е жегодник СССР;
в нем даются координаты Солнца , Луны , пла
нет , многи х зве зд и приводится це лый ряд дру
г их необходимых сведений.
Астрономическими расчетами оп редел яется
заранее.время восходов и заходов Солнца . 21 мар
та и 23 сентября Солнце восходит в точке вос
тока и заходит в точке запада . В северном по
лушарии Земли зимой Солнце восходит южнее
точки востока, заходит южнее точки запада ,
а летом , наоборот , восходит севернее точки во
стока и заходит севернее точки запада . Восхо
ды и заходы Луны приходятся на самые различ
ные часы суток . 1\огда Луна в новолунии , он а
восходит и заходит примерно в одно время
с Солнцем. В полнолуние Луна восходит во
время захода Солнца , а заходит во время его
восхода .
Вычисление времени восходов и заходов
Солнца , а также вычисление продолжительно
сти дня имеет большое практическое значение .
Данные о продолжительности дня и сумерек
для разных широт нужны при подсчете электро
энергии , необходимой для предприятий, улич
ного освещения и для други х целей.
Зенит-телескоп . С его помощью ведутся определения reorpв·
'фнческой широты для получения координат полюса.
Вероятно, редкий гражданин Советского
Союза не пользуется данными от рывного ка
лендаря. В этом календаре на каждый день
года , т. е. на каждом листке , приводится мос
ковское время восхода и захода Солнца для
широты Москвы . Чтобы узнать, когда восходит
или заходит Солнце в других местах , в данные
кадендаря нужно ввести поправку на широту
ме ста и на местное декретное время . 1\ак это
дел ать, обычно описывается на первом листке
календаря . В отрывном календаре указыв аются
также продолжител ьность дня , восходы , захо
ды и фазы Луны.
Большое значение в народном хозяйстве
и меют географические карты . Чтобы составить
карту района, области или це лого государства,
:14t.

f\AK АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
нужно провести на данной местности целый
:компле:кс аст рономо-геоде зичес:ких работ . На
до определить широты , долготы , азимуты це
лого ряда мест - та:к называемых опорных
пун:ктов , равномерно расположенных на пло
щади , с :кото рой снимается :карта (район , об
ласть, госуда рство и т. д .}, определить высоты
опо рных пун:ктов над уровнем моря . Без этого
ни:ка:кой :карты сделать нельзя . Густота та
:ких пун:ктов зависит от требуемой точности :кар-
1-42
В лаборатории Слу�кбы врР.меии
Астрономического
института
им. n. к. Штернберга при Мо
сковском государственном уни
верситете им. м. в .ломоносова.
Пассажные инструменты. С их
помощью ведутс я· наблюдения
ввезд для определения точно
го времени.
ты , от рельефа местности , с :кото рой снимается
:карта , от :количества населенных пунктов, ха
р актера почвенно-ра стительного ПОI\ рова и др.
Карты являются средством дл я изучения рас
положения природных богатств на данной тер
ритории , рационального использования их и
проведения различного рода народно хозяйст
венных мероприятий. Они необходимы про
мышленности для вся:кого рода изысканий , для
правильного размещения в стране заводов и

:АСТРОНОМИЯ В НАРОДНОМ ХОЗЯИСТВЕ НАШЕИ СТРАНЫ
фабрик . Они нужны сельскому хозяйству, транс
порту и многим другим отраслям нашего много
гранного народного хозяйств а. В картах нуж
даются армия, государственные учреждения ,
уче бные заведения и т. д.
Немалов ажное значение имеет предвычис
ление приливов и отливов .
Для обеспечения бе зопасности мореплава
ния , производства всевозможных строительных
работ на побережьях, проведения различных
исследований моря и дл я других целей нужно
знать высоту прилива в данном месте на каж
дый час суток . Эта задача решается астрономи-
ческими спосо бами .
·
Наша Земля окружена воздушной оболоч
кой - атмосферой. Мы живем в самом плотном,
нижнем ее слое . Поэтому всестороннее изучение
атмосферы Земли - очень важная жизненная
задача . У поверхности Земли и на небольшой
высоте химический состав , плотность , влажность
и другие свойства атмосферы можно изучать
непосредственно лаборато рными способами . Но
на большой высоте так изучать атмосферу нель
зя. Здесь нас выручают влетающие в земную
атмосфе ру метеоры.
Изучение метеоров дает возможность иссле
да вать физические свойства верхних слоев зем
ной атмосферы, определить направления и ско
рости воздушных течений. По данным наблю
дений метеоров впервые было установлено ,
что атмосфер а химически однородна и на вы
соте 80-1 10 км имеет тот же состав , что и на
уровне моря . Определены были также на этих
высотах скорости ветров и темпе ратуры . В по
следние годы в изучении верхних слоев атмо
сферы бол ьшую роль сыграли ракеты и искус
ственные спутники Земли.
Жи знь на Земле существует бл агодаря свету
и теплу , получаемым от Солнца . Солнце - цен
тральное тело нашей солнечной системы . Оно
п редставляет собой раскаленны й газовый само
светящийся шар , температура поверхности ко
то рого 6000°. При такой температуре все веще
ства, из которых состоит Солнце , могут быть
только в га зообразном состоянии .
Данные современной нау ки показывают , что
Солнце в настоящее время находится в таком
со стоянии , в·каком·оно на ходилось сотни миллио
нов и даже миллиарды лет назад . Спрашивается:
откуда же оно черпает то громадное количест
во энергии , которое излучает в виде тепл а и
света? Эта энергия вырабатывается в недрах
Солнца , где при огромных давлениях и очень вы
соких температурах , достигающих 15-20 млн.
градусов , ядра одних элементов преобразуются
в ядра других, т. е . происходят так называе
мые термояде р ные реакции . Подобные реакции
проис ходят только между ядрами самых лег
ких элементов, таких, как водород , гелий , ли
т ий и др. Эта догадка астрономов стимул иро
вала и ускорила осуществление превращений
элементов, использование атомной энергии и
приблизила нас к осуществлению управляе
мых термо ядерных реакций. Последние дадут
в руки че ловека колоссал ьные ис точники
эне ргии.
Влияние Солнца на Землю огромно . В ре
зультате воздействия Солнца возникают поляр
ные сияния , магнитные бури , нарушается нор
мальная радиосвязь.
Все эти явления требуют де тального изуче
ния процессов, протекающих на Солнце и в
его атмосфере , и выяснения их влияния на Зем
лю и ее атмосферу.
В настоящее время приобретает особое зна
чение вопрос о непосредственном использова
нии эне ргии Солнца в промышленности и сел ь
ском хозяйстве . Но Солнце обогревает земной·
шар неодинаково. Наиболее выгодны для ис
пользования солнечного тепла тропический и
умеренный пояса, причем тропиче ский пояс
менее выгоден из-за частой облачности.
Есть разные способы испол ьзов ания энергии
солнечных лучей.
Например, в южных районах Советского
Союза имеются солнечные установки , дающие
горячую воду и пар для консервных заводов ,
бань, кухонь и отопления зданий. В Ташкенте
сооружена солнечн.а я установка , со стоящая из
бетонного параболоида с поверхностью 80 м2•
На этом параболоиде смонти рован ряд небол ь
ших посеребренных зеркал : отражаясь от них ,
солнечные лучи соби раются в одно место (фо
кус) и нагревают котел , дающий пар , который
испол ь зуется в холодил ьной машине . Подоб
ны х установок сейчас много . Советс1ше ученые
работают над вопросами использования сол
нечной эне ргии в различных отраслях промыш
ленности и сельского хозяйств а, испол ьзова
ния ее посредством фото химических ре акций и
путем фотосинтеза , превраще ния солнечной
эне ргии в электрическую .
Методы , разработанные в астрономии , с ус
пе хом применяются в других областях науки
и практики . Зачастую чисто тео ретические и
астрономические исследования при дальней
шем их развитии приобретают важное практи
ческое значение . Характерным примером этому
может служить спектральный анализ . В 1666 г.
Ньютон с помощью стеклянной призмы разло-

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
Установка для использования солнечной энергии. Предиазиачеиа для работы аппаратуры, охлаждающей прои�1водстве11-
11ые помещения. Установлена в Туркменской СС Р, вблизи Ашхабада. С п р а в а - На сковородке «солнечной кухню>
можно быстро приготовить различные блюда.
жил белый солнечный свет на семь основных
цветов , подобных радуге , или, как говорят ,
разложил его в спектр. Разве могла тогда прий
ти кому-нибудь в голову мысль, что че рез дв а
три столетия на основе это й цветной картинки
будет создан обширный ра здел новой, теперь
·
уже те хнической, науки о природе - спектраль
ный анализ .
Ме тоды , применяемые астрономами для изу
че ния химического состава Солнца и звезд по
средст вом спектрал ьного анализа, в настоящее
время широко распространены в металлургии .
При плавке различных металлов приходится
добавлять в спл ав десятки химических элемен
тов , чтобы получить ме талл ну жного качества.
Поотому при плавке высококачественных ста
лей и спл авов цветных металлов , при сортиров
ке различных сплавов и даже готовых изделий
широко применяются методы качественного и
количественного спектрального анализа. Им
пол ьз уются медики при определении процента
1шслорода в крови больного , химики для опре
деления состава полимеров и т. п.
Прекрасным примером, когда теоретиче 
ские исследования приводят к важным прак
тичесним результатам, является открытие эл е-
мента гелия. В 1868 г. астрономы , наблюдая
солнечный протуберанец, нашли в его спектре
яркую желтую линию. Ее не было в спектрах
ни одного известного в то время химического
элемента . Солнечный газ , которому принад
лежит эта желтая линия , был назван гелием, что
означает «солнечный)), так как Солнце по-гре 
чески - «гелиос)).
Спустя 25 лет этот «солнечный)) газ был .выде
лен химиками на Земле из мине рала клевеита .
Ге лий - самый легкий газ после водо рода . Он
широко ис пользуется в науке и технике . Им на
полняются дирижабли, лампы накаливания и
радиолампы; кстати сказать, это он сверкает
желтовато-розовым цветом в витринах магази
нов . Гелий применяется в металлургии для про
дувания расплавленных металлов и ведения
плаво1с В настоящее время гелий добыв ается
в основном из подземных газовых скоплений.
Велика роль астрономии в космонавтике .
В изучении космоса немало це нного дали раке
ты. Они поднимали на высоту в несколько
сот километров разл ичные научные приборы
и подопытных животных .
.
Еще больше дали
полеты в космическое пространство наших
славных космонавто н.

Те ория космических полетов �епосредствен
но вытекает из теории движения небесных тел .
Пилоты будущи х межпланетных кораблей бу
дут пользоваться астрономическими способами
ориентировки и расчета .
В недалеком будуще м последуют полеты че
л овека к Луне и ближайшим к Солнцу плане
там - Марсу и Венере. Луна - ближайшее
к Земле космическое тело , и нет сомнения, что
на нее первую ступит нога человека. Для кос
монавта , а вероятнее всего - космонавтов, вы
садившихся на Луну, должна быть хорошо
известна обстано вка , в кото рой они окажутся.
От этого во многом будут зависеть посадка на
по верхность Луны , высадка из космического
корабля, время пребывания на Луне и возвра
щение на Землю. Выяснение всех вопросов ,
связанных с физической природой на Луне и
на планетах, - задача астрономов .
Многие другие вопросы , имеющие важное
практиче ское значение , также решаются с по
мощью астрономии .
•
ВРЕМЯ И КА�ЕНДАРЬ
Тру11,ная эа11,ача
Никто па свете не решит такую простую за
дачку : Иван прошел 3, а Петр - 4 км; кто
шагал быстрее? Да тут и решать как будто
нечего : ясно, что Петр. Нет, совсем не так про
ста эта задачка - в ней не указано, за к а
коевремяпрошел3кмИвани4кмПетр.
Если Петр совершил свое путешествие за час , а
Иван - за полчаса, то, конечно , Иван шагал
быстрее .
Мы не редко измеряем рас
стояния временем: «Это совсем
бл изко - всего пять минут хо
ду)> . В расписании для самоле
тов указывают , сколько часов
и минут продолжается рейс са
молета на той или иной линии.
Аст рономы измеряют расстоя
ния до звезд световыми годами .
Пространство и время всегда
и ве зде не разрывно связаны :
ведь все в мире происходит не
ТОЛЬКОГДе-ТО, НОИКОГ
Да-то.
ВРЕМЯ И КАЛЕНДАРЬ
и все в мире изменяется с течением времени .
Нел ьзя вернуть прошлое или приблизить бу
дущее , но это вовсе не значит , что будущее
нам неподвластно . Напротив , мы все бол ьше
подчиняем его своей воле .
Все наши фабрики и заводы , кол хозы и сов
хозы, учреждения и школы работают по стро
гому расписанию - плану : это и дает нам
власть над грядущим . Мы знаем, когда завер
шим великий план , наче ртанный Программой
нашей партии , и построим коммунизм. И мы мо
жем приблизить эту цел ь, если буде м шагать
быстрее , т. е . работать и учит ься еще лучше .
У каждого из нас есть свои бл изкие или от
даленные цели - задачи , и мы намечаем, к о г
д а решим их. Ни одно задание , никакой план
нел ьзя выполнить к сроку бе з точного измере
н ия и уче та времени, без календаря и часов .
Обычно хорошими считаются часы, если он и
за неделю уходят вперед или отстают только
па одну минуту . Лучшие астрономические ча
сы еще недавно показывали время с точностью
до десятой доли секунды в педелю. А нынешние
атомные часы оши баются на 0,1 секунды только
за 100 лет - уди вительный образец точности !
От календаря как будто немногое требуется :
он должен вести правильный счет суток - толь
ко и всего ; но это оказывается не так просто .
Измерить длину комнаты можно метрами
или футами . Наш урожай мы оцениваем тон
нами или пудами . Все эти меры условные -
их можно заменить другими .
Основные ме ры времени даны природой и от
пашей воли пе зависgт. За с у т к и Земля
совершает один обор от вокруг своей оси , а за
г о д тоже один оборот вокруг Солнца . Вот тут
то и возникает очень трудн ая задача
Ник огда не ост анавлив ается
ве здесущее время , всегда течет
оно с неизменной скоростью ,
Астрономический , или солнечный , rод продолжается 385 суток 5 часов '8 минут
46 секунд.
•10д.э.т.2
:1.45

КАК АСТРОНОМИЯ ПО.МОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
Хорошо , если бы в году было целое число
суток - все равно сколько : 365 или 563. Тог
да можно было бы- создать точный и удобный
календарь. Даже если бы год соде ржал 365 У2
ИЛИ 365 1/ 8 суток , ИЗ ЭТИХ ПОЛОВИНОК ИЛИ ВОСЬ
мушек можно было бы составить целые сутки .
Но год продолжается 365 +0,24219 ... суток .
Оче нь уж нескладная дробь , и последняя циф
ра - еще не последняя : дробь эта бесконечная .
Можем записать ее менее точно и более просто :
365 суток + 5 часов 48 минут 46 секунд .
Из этой «до бавки» , как ни старайтесь , це
лых суток не составите . Год и сутки , говорят
математики , величины несоизмеримые : нельзя
в данном случае разделить бол ьшее число
на меньшее бе з остатка . Вот почему и получает
ся бесконечная дробь.
Волей-неволей приходится считаться с тем ,
что есть . Раз год несоизмерим с сутками , зна
чит , нел ьзя создать идеально точный кален
дарь - это не только трудная ,. а просто нераз
решимая задача. Но ка,J
J
ендарь у нас все-таки
есть, и бе з него жить нельзя . Как же люди
создавали его?
Предки иае1
1
ендаря
Каких только календарей не было у различ
ных племен и народов ! Жители тихоокеанских
островов Самоа началом года считали то время ,
когда густыми косяками идет рыба . У других
племен год начинался с прилета птиц, появле
ния зайцев или других животных.
Подобные приметы еще в каменном веке
служили вехами времени для первобытных
охотников. и рыболовов . Когда основным · сред
ство1t;1 существов ания стали земледелие и ското
водство , такие «календари» уже не могли удов
летворитьлюдей:онитолькоуказывали,
что весна или лето уже наступили , но не п р е д
е к а з ы в али их, не помогали заблаговре
менно предвидеть наступление весны , чтобы
подготовиться к обработке земли и посеву .
Правда , еще древние земледельцы понима
ли, что урожай·,зависит от Солнца , и поклоня
лись ему как творцу - богу све'Jа , тепла , са
мой жизни .
Неодинаков путь «бощественного» светила
в р·а зные времена года : летом оно поднимается
выше , чем весной, а зимой проходит бл иже
к горизонту , чем осенью .
Постепенно был замечен этот «круговорот>)
Солнца . Но одно дело - заметить и совсем дру-
148
гое - запомнить : ведь письменности еще не
было, видимый путь дневного светила изменяет
ся медленно и постепенно в течение целого
года , а сколько времени продолжается год ,
никто не знал .
Легче уследить за стройным движением
звезд : ни одна из них не обгоняет соседок и не
отстает. Еще первобытные пастушеские пле
мена подметили неизменный узор созвездий и
по звездам находили верный путь к станови
щам . Для земледельцев не бесные путеводители
стали предсказателями времен года .
Одни созвездия , как у нас Большая и-Ма.'lая
Медведицы , видны с вече ра до рассвета каждую
ночь , другие , напри11
1
ер Водолей, словно с1<ры
ваются на зимние месяцы . В это время года они
восходят уже после Солнца и тонут в его лучах,
а вновь их можно заметить весной.
В древнем Китае бл изость весны предве
щал Небесный Ковш - созвездие Большо й
Медведицы : ручка ковша при заходе Солнца
«смотрела>) в это время на восток . У древних
греков «сигнальны11
1
>) созвездием служили Пле
яды , которые шесть недель не был и видны . Как
только скрывались они , наступала пора сева .
Такие небесные приметы был и и у других
народов , но приметы - еще не календарь. Ка
залось бы , прощ-е всего подсчитать , скол ько
дней проходит от одно й весны до следующей,
и гадать не придется, когда начинать поле
вые работы . Но в глубокой древности счет был
мудреным искусством. К тому же легче считать
вещи , чем дни : вещи остаются , а дни исчезают
бе звозвратно ".
Неизвестно , где и когда впервые зароди.'lся
счет дней по пал ьцам . Сначала достаточно было
одной или двух рук : так возникли пятидне вная
и десятидневная недели . А когда усложнилось
хозяйство и понадобилось заглядывать в более
отдаленное будущее , на помощь пришел «не
бесный счетовод>) - Луна .
Изменчив видимый лик Луны : то , словно
призрак , появляется на западе бледный серп ,
едва заметный в лучах заходящего Солнца , то
серебрится полумесяц, то во всем блеске сияет
светлый диск , то начинает он угасать , снова
превращаясь в узкий серп , пока совсем не 1t:счез
нет на 2-3 дня . А потом опять возникает тон
кий серп «новорожденного>) светила.
Всегда в одном и том же порядке сменяются
фазы Луны . Ее загадочные превраще ния и мяг
кий, вкрадчивый свет, побеждающий мрак но
ч и, рождали ве ру в чудесные силы таинственно
го светила-божества, равного Солнцу . И мн()гие
народы поклонялись Луне , а жрецы - бого-

служители подсчитали, что от одного возрож
де ния «ночного солнца» до следующего прохо
дит около 30 суток . Луна стала надежным счет
чик ом ускользающих дней ...
Самые далекие наши предки знали , что после
светлого дня приходит темная ночь: на заре
истории человечества был а уже известна п е р
вая природная ме ра времени - с утки.
Прошло много тысяч лет , прежде чем был а от
крытавтораямера-месяц.Идосих
пор на многих языках, как и на русском , меся
цем назыв ают и Луну , и связанную с ней ме ру
времени .
Зимой день ко роче , а летом длиннее , но
всегда , в любое время года , день да ночь -
сутки проЧь, и всегда по Луне можно вести
счет дням . Сутки и месяц стали основными ме
рами времени , и по этим вехам сложились пер
вые календари у древних народов .
Восьии.Jiетка и девя ти адцати.Jiетка
Бол ьше 5000 лет назад в Южной Месопота
мии , где тепе рь государство Ирак , жил земле
дел ьческий народ шумеры. Летом жара здесь
несте рпимая, до 50 °, зимой льют дожди , а вес
ной бурно разливаются реки Тигр и Евфрат .
Каждый год они затопляли окрестные поля, удоб
ряя их плодороднейпiим илом. Дороже всех благ
здесь ценил ась вода , и люди бережно запасали
ее в половодье для орошения земли , опаляе 
мой знойными лучами Солнца в летнюю жару.
Небывало ще дрые урожаи , в десятки раз
бол ьше , чем посеяно , приносили поля, если за
благов ременно были подготовлены каналы и
водо хранилища . Но как узнать заранее , к о г
д а начнется ст ремительный разлив рек? Как
разработать календарь, насущно необходимый
для земледел ьческих работ? Решить эту слож
ную задачу помогла Луна .
Каждый месяц начинался пра здником дня
рождения Сина - бога Луны . Это происхо-
·
дил о в тот вечер, когда после безлунных ночей
жрецы-астрG·н омы впервые замечали тонкий
серп Луны . Особым торжеством отмечалось
начало года - первое весеннее новолуние 1 •
Именно в это время (около середины марта)
начинал а прибывать вода в Тигре , а через две
недели - в Евфрате .
i На самом деле в новолуние се рп увидеть нельзя .
В это время обращенна я к Земле сто рона Луны не осве
щается Солнцем. Но в дре вности новолунием называли
первое видимое появление серпа Луны.
10•
•
ВРЕМЯ И КАЛЕНДАРЬ
Луна сама указывала, как мерить вре мя: меж
ду двумя новолуниями проходит 29 или 30 дней,
а между двумя новогодиями - 12 «:rун» . По
этим «л унам» можно было заранее рассчитать,
когда начнется разлив рек . И жрецы составили
календарь из 12 месяцев по 29 и 30 суток . Всего
в этом лунном календаре было 354 дня
вместо 365.
Тогда еще не была точно известна продол жи
тельность года , но сама жизнь, особенно сел ь
скохозяйственные работы , показывала , что дове
рять лунному богу Сипу нел ьзя . Он бесцере
монно подводил земледельцев: Новый РОД по
календарю уже прошел , а вода в Тигре еще не
начал а прибыв ать . Неизбежно нарушал ись
календарные сроки и других работ : ведь сель
ское хозяйство неразрывно связано с време
нами года, а смена их зависит не от Луны , а от
Солнца .
Жрецы поняли , что составленный ими лун
ный календарь слишком короток , и стали вре мя
от времени добавлять еще один , тринадцатый
месяц . Таким образом удавалось кое-как под
гонять Новый год к началу разлива ре к, но пу
таница при этом не редко случалась изрядная.
Много веков спустя в Месопотамии сло жи
лось могучее Вавилонсное царство . В VI в.
до в. э. вавилонские жрецы-астрономы у же до
вольно точно определили, что в году 365 1/4 су
ток , а в 12 лунных месяцах то.11ько 354, или на
111 /4 суток меньше . За 8 лет эта разница до
стигала 90 суток (11 1 /4 Х 8) - ровно трех ме
сяце в по 30 дней.
Жрецы решили, что уст ранить это расхож
дение и упорядочить календарь не так уж слож
но : нужно только в течение 8 лет 3 раза до бав
лять к 12 месяцам тринадцатьiй, тогда счет
дне й по Луне и по Солнцу сойдется . Та�шм
образом, Чисто лунный календарь превра
тился в лунно-с о л неч н ы й. Трудная зад�ча
была решена совсем просто , да не очень точiю .
Лунный ме сяц по календарю длился в сред
нем 29 ,5 суток , а в действительности он чуть
больше - 29 ,53 1 • Разница не так уж велика,
во из этих трех сотых за 8 лет накоппяиось
окол о трех суток .
Другим лунно-солнечным календа рем rwль
�ювались в древнем Китае . Там в начале VI в.
до н. э. подсчит али , что 19 солнечных лет
соде ржат приме рно столько же дней, с.коль-
i Один оборот Луны вокруг Земли - лунный
месяц - продолжается в среднем 29, 53059 суток , и ли
29 дней 12 часов 44 минуты 2,8 секунды . Э то числб , так
же как и сутки, несоизмеримо с продолжительностью
года .
1.47

1\АК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
ко 235 лунных месяцев. Если в году будет
тол ько 12 лунных месяцев , то за 19 лет (12 Х
х 19=228) не Уватит 7 Jt1есяцев. Значит , для того
что бы согласовать лунный счет времени с сол
нечны м, нужно в течение каждых 19 лет к семи
годам добавлять по одному, тринадцатому
месяцу.
Прп этом непзбежно в таних годах был о по
384 суток , а в остальных - только по 354 . Не
очень это удобно, но ничего не поделаешь. Та
кой же календарь придумал и греческий астро
ном Метон н 432 г. до н. э. Между тем на много
венов раньше уже существовал более совер
шенный наленnаDь.
Са11ыn простоn и удоСJныА
Ни в одноii стране древнего мира не было
такой иснусной системы орошения , нан в Егип
те..
Всеми земледел ьчесними работами там, нак
п во многих других странах управляли жрецы.
Много богов было у древних египтян, но
больше всего они почитали бога Солнца -
Амона, «господина всего» Осириса и жену его
Исиду , ведавших плодородием , а танже <шор
мильца людей» Хапи - божество реки Нила .
148
С июня до онтября , в половодье ; широно
разливается Нил , а входя в берега , оставляет
на полях рыхлый слой тучного ила , удобряю
щего землю. Но бывало и тан , что могучая
рена уносила в мутные воды жилища и людей.
Вот почему сложную систему орошения на
до было поддерживать в образцовом порядне,
заранее подготовляться н началу желанного
и в то же время опасного разлива Нила - от
этого зависели урожай и жизнь египтян. Но
как подкараулить начало разлива реки?
Никто не мог предвидеть , когда наступит
буйное половодье. И никакие признаки на
земле не предвещали его заблаговременно 1.
Жрецы-астрономы нашли такие безошибочные
приметы на небе - по Сириусу.
В Египте эта звезда ранней весной видна
только в вечерние часы на западе; с каждым
днем она показывается над горизонтом все
позже , пока совсем не изчезнет : в действитель
ности Сириус в это время восходит после Солн
ца и поэтому невидим. Примерно через 2% ме
сяца звезда вновь появляется на востоке , сна
чала ненадолго : едва сверкнув , как алмаз , на
уже розовеющем предрассветном небе, она тот-
1 Jlпшь сто лет назад, в 1863 г. , было установлено,
что ежегодный разлив Нила вызывается сильными лет 
ними ливнями у истоков реки на Абиссинском плато.
Египетс1ше жрецы
наблюдают первый
восход Сириуса.

ВРЕМЯ И КАЛЕНДАРЬ
Введение нового календаря во Франции отмечалось театральными представдею1ями 11 праздничными демонст рациям11. В то11-
жест венном шествии, изображенном на рисун�;е, �· частвовап�1 12 групп по 30 че.1ове�; (в соответств1111 с числом месяцев в
году 11 дней в �;а ждом месяце), а за н11м 11 шш1 5 11:111 6 ста р1шов, ош11�етиu1ншш11х праздни•шые д1111 в �;uнце года.
час же угасает в лучах утренней зари. И I\ a:I\
раз в эту пору - первого видимого восхода
Сириуса · -
начинала прибывать вода в Ниле.
Улов ив эту последовательность в появлении
Сириуса, жрецы провозгласили ее чудесн ым
божественным предзнаменованием, а Сприус
священной звездой, воплощением богини Иси
ды, открывающей воды Нила. Наблюдая движе
ние самой яркой звезды, жрецы могли уверен
но предсказ ывать, когда начнется благодатное
наводнение. И эти предс казания сбывались
с безупречной точностью. Свои расчеты жрецы
де ржали в секрете. Только они вели астроно
мические наблюдения, тол ы\о они проникли
в небесные тайны и могли быть << Пророками».
Благодаря этому еще больше возросли власть
11 влияние жрецов, державших народ в слепой
покорности и рабском подчинении.
По наблюдениям Сириуса и Солнца жрецы
рассчитали, что год продолжается 365 суто1\,
и ра зработали календарь. В нем было 12 меся
цев по 30 дней, или по три десятидневки в каж
дом, а в конце года добавлялось еще 5 дней -
в честь «рождения богов>). Лунные месяцы уже
не Иhlели значения. Это был первый в·· и стории
человечества с о л н е ч н ы й календарь, очень
простой и удобный, если бы не одна заминка.
Торжественный праздник Нового года был
приурочен к первому «явлению>) Сириуса и на
чалу нильского наводнения. Первый месяц еги
петского календаря назывался в честь одного
из богов - Тот. Но вот странное дело : если
в этом году священная звезда по1\азывается
перед утренней зарей в первое число Тота, то
через 4 года ее можно заметить лишь второго
числа. Почему .ошибается Сириус и каждые
4 года запаздывает на сутки?
Впоследствии эта загадка была разгадана:
год продолжается не ровно 365 , а почти
3651 /4 суток. Из ;�тих-то четвертушек и пабе-
гают за 4 года целые сутки, которых не хватает
в календаре. И вовсе не звезда запаздывает,
а календарь спешит, уходит вперед - за 4 го
да на супш.
Но жрецы еще долго продоJI ;наJiи считать, что
в году ровно 365 днеii, 11 новогодие кочевало по
всем дням календаря. Нам по1\азалось бы неле
пым встречать Новый год то второго января,
то третьего и еще по зже или праздноват ь
Первомай в июне, потоJ11 в августе, осен ью,
зимой.. .
Но египтяне привыкли :к своему блупща�о
щему году, а жрецов это и во все не тревоаш
ло : они уJ11ышленно не исп равляли ошибю1 в
угоду религиозным предрассудкам, и юшто,
кроме посвященных, не мог разобраться в слож
ных календарных расчетах.
В 238 г. до н. э. царь эллинистичес!\ого
Египта Птолемей III Эвергет пы тался устра
нить этот недостаток· и предложил добав
лять раз в 4 года еще один, 366-й день. Од
нако жрецы наотрез опшонили это предло'1\е
ние, и древний календарь е ще долго оставал ся
бл
'
уждающим.
Лишь в 26 г. до н. 3 . (Египет к тому вре�1енп
был завоеван Римом) римский император Ав
густ ввел в тогдашней столице Египта, Алеr;
сандрии, налендарь с поправкой Эвергета,
Этот саJ11ый просто й и удобный александ
рийский налендарь сохранился до сих пор
в Эфиопии.
В 1793 г. подобный налендарь был введен
в республиканс.ко:й Франции. В этом строго
научном налендаре было 12 месяцев по 30 дней,
или по три денады-десятидневю1. В нонце года
добавлялось еще 5 праздничных дней, когда про
славлялись лучшие изобретения, герои труд:'!,
подвиги мужеств а и отваги, а раз в 4 года, n
шестой, добавочный день, проводIJЛИСЬ спор
тивные игры и состязания. Этот республи11:ан-
:14:9

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
ский календарь просуществовал недолго - он
был отменен :В 1806 г.
Из всех нынешни х календарей наилучшим
остается александрийский. К сожалению , наш
календарь унаследован не от египтян , а о т
римлян .
IОdваисквА каdеидарь
Странный календарь утвердился в Риме
бол ьше 2500 лет назад . Год начинался с марта
и состоял из 12 месяцев : . 4 месяца имели по
31дню,7 -по29,авфевралебыло28дней.
В сущности это был испо рченный лунный ка
ленда рь - месяцы в нем плохо согласовались
с новолуниями, а в году было 355 суток, т. е.
не хватало 10 1 /4 суток . Разница эта с каждым
годом увеличив алась, и короткий календарь
в се бол ьше убегал вперед - от зимы к весне ,
О':' весны к лету .
Надо бы добавлять тринадцатый месяц , но
это строго-настрого запрещали религиозные
верования. И верные хранители суеверий -
жрецы , ведавшие календарем, нашли ловкий
в ыход: они спрятали от богов ,в;ополнительный
месяц, в1шинив его очень забавным способом
в февраль. Раз в два года после 23 фе враля
жрецы добавляли какой-то кургузый месяц
мерцедоний, то из 22, то из 23 суток, а затем
как ни в чем не быв ало продолжали считать
24 февраля, 25, 26 и т. д.
Перехитрив такой уловкой доверчивых бо
гов , жрецы решили , что теяе рь уже все в по
рядке , но в их кал ендарь затесался лишний
ден ь. Ведь за 4 года дополнительно вставля
ш1 два мерцедония ПQ 22 11 23 дня , всего 45 дней.
Можно считать , чтQ в средне м за год в кален
дарь добавлялось 11 1 /4 (45 :4) суток , а не хва
тало в календаре только 10 1 /4• Вот почему и
появился лишний де нь.
Раньше календарь был че ресчур коротким
и торопливым , тепе рь он стал II ЗJJИmнe длин
ным и медлитвльны:м , все бол ьше\ отставал от
времен года . Казалось бы , неве�ика беда -
один дРнь, но за 30 лет он «дорос» · до месяца ,
потом до двух и бо.11ее : на полях уже начина
лась уборка урожая , а календарь все еще ука
зывал весенние месяцы .
Вдобавок жрецы нередко распоряжались
к�лендарем в корыстных Интересах : когда хотели
пораньше собрать налоги , они пропускали мер
цо;�;оний, а если выгоднее было продлить год ,
то добавляли вставной мес яц. Так окончательно
запутался счет месяцев. Надо было согласо
вать сумбурный календарь с временами года
и положить конец злоупотреблениям богослу
жителей. Эту реформу провел римский ди.кта
торЮлийЦезарьв46г.дон.э.
По совету александрийского астронома Со
зигена Це зарь исключил неуклюжий мерцедо
ний и перекроил число дней в месяцах; в 7 ме
сяцах стало.по 31 дню, в 4 - по 30, а в феврале
осталось 28 дней. Таким образом , в году стало
365 суток , а должно быть 365 1/4• Из этих чет
вертушек за 4 года нарастают целые сутки -
их решено было добавлять к каждому четвер
тому году , удлиняя на один день февраль.
Таким календарем мы и пользуемся теперь,
считая високосными , т. е . по 366 дней, годы ,
порядковое число которых делится на 4, на
пример 1960, 1964 , 1968...
Начало года Це зарь перенес с марта на 1 ян
варя - с этого дня приступали к своим обя
занностям государственные чиновники . Но
прежние названия месяцев сохранились, и это
привело к недоразумению .
Раньше в календаре первый месяц по имени
бога Марса назывался мартиус , второй -
априлис , третий и четвертый, посвященные
бо гиням Майе и Юноне ,- майус и юниус . Сле
дующие месяцы именовались по латинским чис
лительным: пятый - квинтилис , шестой - сек
стилис , седьмой - септембер, восьмой -окто 
бер, девятый - новембер и десятый - децем
бе р. Последние два месяца - януариус и феб
руариус - были названы именами богов Яну
са и Фебруо .
Когда эти два месяца из последних превра
тились в первые , все остальные также измени
ли свои места : септембер уже оказался не седь
мым , а девятым , октобер - не восьмым , а де
сятым и т: д., хотя это было явной бессмысли
цей. Только пятый месяц - квинтилис - в честь
Юлия Цезаря назвали июлем, а позже шестой
месяц - секстилис - августом, по имени перво
го римского импе ратора Августа .
С те х пор и сохранились в нашем календаре
названия месяцев по именам римских богов ,
богинь и верховных правителей, а также по
латинским числительным , не соответствующи м
своему смыслу. Со,хранилась и древняя , не
всегда удачная мера времени - неделя , введен
ная еще вавилонскими жрецами-астрономами .
Они знали только ПЯ'I:Ь планет и добавляли к
ним также Солнце и Луну. Эти семь светил по
древневавилонским религиозным верованиям
считались жилищами богов , и каждый из богов
управлял «своим» днем.

о1
."
о,"
" 1111
1Рv•
оVI
о V\\
о "'"
· о Vll\1
.)(
•)(1
. "'''
" "111
• X\\tt
•xv
•
"
..
..
\11•
)<.\1,, ,
)(v11' •
"' Vl\•I •
'J()'о
)(Х\ •
\()<" •
"'"11f•
�х",1 ,
'J(Xv•
)()(Vt•
У.ХV11 •
)(){Vlfl •
')(}/V\1 11 •
'i')(." о
Каменный календ арь р11млян. Наверх)' изображены бог11 (слева
направо) : Сатурн, Солнце, Луна, Марс, Меркурий, Юпитер,
Венера. Они управляли днями недели . Субботой управлял
Сатурн, вос кресеньем - Солнце, понедельником - Луна, втор
ник ом - Марс, средой - Меркурий , четвергом - Юпитер,
пятницей - Венера. Посредине рисунка виден зодиак . а слева
и справа от него - числа месяцев. Под изображениями богов
11 у �:ождого числа месяца просверлены отверстия; в них встав
лялись п а лочки , ук азывавшие соответствующий день недели
11 дату (число месяца).Это быJJ своего рода е<вечиы11» к аJJендорь .
Семиднею<а вместе с восточными религиями
вош ла п в юлианский (так он был назван по
имени Юлия Цезаря) календа рь. Каждый де нь
недели посвящался одному из небесных светил :
Солнцу , Луне и планетам , которые по именам
римских богов были названы Меркурием, Вене
рой, Марсом, Юпите ром и Сатурном. Христи
анская це р1ювь п риняла юлианский налендарь
и сохранила _ неделю , освятив ее новыми рели
гиозными суеве риями . Уцелела она и до на
ших дней.
В древней Руси неделя называлась седми
це й, а воскресен ье - днем недельным и ли про
сто неделей, т. е. днем отд�1ха , когда нет дел .
Понедельник - пе рвый ден ь по (после) недели,
вторник - второй, среда , и ли середа , - се ре
дина седмицы , четверг и пятница - четвертый
и пятый дни . Суббота получила название от
еврейского слова «сабат» - конец дел . И теперь
нередко говорят «шабаш)) в смысле «довольно ,
кончено дело !)).
Юлиансний календа рь, принятый
хри-
стианской церковью, распрост ранился среди всех
евро пейских народов и просуществовал у них
больше 1600 лет . Заче м же понадобилось ис
пра�лять его?
В РЕМЯ И КАЛЕНДАРЬ
Новый стио1
1
ь
По юлианскому налендарю год продо;1жает
ся в среднем 365 суток 6 часов - на 11 минут
и 14секунд, или 1/
1
28 суток, дольше , чем один
оборот Земли вокруг Солнца . Из таких ежегод
ных погрешносте й за 128 лет накоплялись,
лишние сутки : надо бы , например, считать
1 января , а по календарю все еще тянется про
шлогоднее 31 декабря. С течением времени ка
лендарь запаздывал все больше и бол ьше .
В 325 г. христианские праздники были раз
мече ны по юJiианскому календарю . При этом
наступление пасхи следовало рассчитыв ать по
первому весеннему полнолунию , а началом вес
ны считалось 21 марта , когда день равен ночи .
Но весеннее равноденствие наждые 128 лет
отступало по налендарю на один день назад
и в XVI в. переночевало уже на 11 марта .
Это осложняло пасхальные расчеты , и гл а
ва католической це ркви папа Григорий XII I ,
создал специальную комиссию : она должна бы
ла исправить календарь так , чтобы весеннее
равноденствие вернулось к 21 марта и бол ьше
не отставало от это й даты .
Проще всего было пропустить в счете 10 не
д остающих дней. А как решить вто рую задачу?
По юлианскому календарю лишние сутни набе
гают за 128 .'I ет , или примерно 3 суток за 400 лет.
Что бы избавиться от этих 3 дней, комиссия
предл ожил а, в отличие от юлианского нален
даря , считать простыми (по 365 дне й) те «веко
вые» годы , что не делятся на 400 : например,
1600 год - високосный, а 1700 , 1800 и 1900 -
простые . Вот и получйтся, что за 400 лет из
календаря будут исключены 3 дня , а 2000 год
снова будет високосным .
• В 1582 г. папа предписал : после четверга
4 онтябрн пропустить в счете 10 дней и сразу
считать пятницу 15 октября, а в будущем соб
людать «правило високосов)), предложенное ко
миссие й. Этот календарь, названный григори
анским или новым стилем, был постепенно
принят в европейских странах.
Но в России до революции православная
це рновь решительно отклоняла эту реформу.
Только по предложению В. И . Ленина с 14 фев
раля 1918 г. у нас был введен новый стил ь.
Григорианский календарь точнее юлиан
ского и обгоняет солнечный год в среднем всего
на 26 секунд . Лишние сутки накопятся только
к 49-му веку н. э. Для практических надоб
ностей большей точности и не нужно - это ведь
не часы. Но достаточно л и прост и удобен ны
нешний I\ алендарь?
:НИ

_ :КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
1918 Год
ЯНВАРЬ L· ФЕВРАЛЬ
noн ege1
11щ
ulf.
,81.1пt9
(82s
8торн11.'8 ,
2,16tJзо
fl26
Cpeg"f.I ·
'10J124.:н.
ifl 2f
Че rп6ер •
••111825
,,2128
у
RR hlHUЦO
s12IЗ26
1!1 22
f.,'1
1�8o
qia
61320•J.7.
(62:J
·Восkресенье·7142128
11· 24
таким корот1шм бьl.'I в советском каJJендаре 1918 г . февраJJь;
в не м для введения нового сти:1я было пропуwено 13 дней.
Хорош oJ
J
H 11am ка.1е11дарь?
Календа рь создан дл я того , что бы вес�'и
правильный счет дням , и каждый день, как
страницы в книге , имеет свой порядковый но-
.
мер: 10 января - это день .No 10, а 10 февраля
.No 41 . Точно так же должны· быть занумерованы
по порядку и годы - от какой-либо начальной
даты .
В древности египтяне вели летосчисление
по династиям фараонов , китайцы - по эрам
царей, греки - по олимпиадам, римляне -от
основания города Рима , другие народы - от
мифического «сотворения мира» или от «рож
дения Христю>.
Последние две эры были сочинены бого
слущителями для укрепления веры в сказоч
ного создателя или спасителя мира .
В древней Руси год по языческим обычаям
начинался весной, с теплых мартовских дней,
когда приступали к полевым рабо там. После
введения христианства православная церковь
приняла юлианский :календа рь и эру «от сотво-
:1Ji2
рения мира» 1 , а начало года перенесла на
1 сентября .
По старинному обыч аю и царь Петр 1 встре
чал Новый, 1700 г. н . э. , или 7208-й «от со
творения мира» , 1 сентября . И вдруг , нежданно
негаданно , 15 декабря глашатаи объявили
царский указ; «Впредь лета счисл ятм не с
1 сентября , а с 1 января , и не «от создания
мира» , а «от рождения Христова» . Новогоднее
празднество продолжалось шесть дней и на
долго запомнилось москвичам. Но ду ховенство ,
бояре и прочие приверженцы стариньi втихо
мол:ку роптали против «переворота счета
годам» .
Счет лет от рождения мифического Христа
теперь принят большинством :культурных госу
дарств и называется «нашей эрой» (н . э.) .
Точность :календаря, разумеется , не зави
сит от того , с .:какого дня начинается год и от
:какой даты ведется счет годов - от исто риче
с:ко го ли со бытия или от выдуманного богослу
жителями . Но религио зные верования и пред
рассуд:ки мешают улучшить существующий ка
лендарь - нестройный, неустойчивый , нерав
номерный.
В самом деле , одни и те же числа приходятся
на разные дни недели и :каждый год перескаки
вает на один ил и два дня вперед . Получается
так потому , что год содержит не ровно 52 не
дели, т. е. 364 дня, а 365 или 366.
Очень неудобно и то , что месяцы имеют
разное число дней - от 28 до 31 , кварталы -
от 90 до 92, первое полугодие - 181 или 182
дня , а второе - 184. Мы уже привьшли к та
ким недостаткам , но это усложняет расчеты.
Они были бы проще , если бы сущест вовал
i Сотворение мира христианской церковью б ыло
приурочено к 5508 r. «до рожде ства Христова ».
Макет медали в память введения
в России нового летосчисления.
на лицевой стороне медали nор
трет Петра 1 с надписью : «Петр
Алексеевич Б. М . (т. е. божией
м илостью) царь и великий кня зь
всея России» . На оборотной сто
роне медали надпись : «И се но
вое (под разумевается летосчнсле
иис). Перемена
летосчислеm1я
1700 года» .

КАЛЕНд.Арь
или
MDCЯIJOCЛOBb
На АЪ mо omb рожде ства
Госпща нашего lису са
Xpicma . 1722.
JKAЗYIOЩl ll 3ЛТМОНiЯ СО.ЛНЕЧ
НАЯ, �1 Ъсячнля ро�Ен1я,
и ПО. \ НЫlt нЪсяцЬ
сЬ ЧЕТВЕртт� .
T<)к:OJIU.� !ремА соднс чна.го еосхож.1.енУ11
11 'axo)t.;Jeв iя. .дОлго;.енсmеiе 11 .1.мrо
нощiе 11n ri_ci:iкi11 ..1.ень.
jЧIHEHHЫll по мEpi..iiAнy
и
шiрiнЪ L1лрс твующлrо
слнктЬ ni тЕрбу рхл
В сл н.ктЪп 1тЕ р-б ургскои
Ппограф•и-. лDma Го спо"шя , 1 721,
Ас•емзрi• оЬ "..,., .
Од11н из печатных ка
лендарей,
11здаиных
при Петре 1.
«вечный» , неизменный из года в год налендарь
с один ановым числом рабочих дне й в каждом
месяце .
Вопрос о реформе нынешнего календа ря
возник больше ста лет назад . С тех пор разра
ботаны сотни проектов . Один из них был пред
ложен Международной ассоциацией всемир
ного календаря при ООН (Организаци и Объ
единенных Наций) . :Какой же это проект?
Год состоит из 4 од инаковы х кварталов по
13 недел ь, или 91 дню . Первый месяц наждого
квартала (январь, апрел ь, июль, октябрь)
имеет 31 де нь с 5 воскресеньями , а все остал ь
ные месяцы - по 30 дней с 4 воскресеньями .
Получается , что в любом месяце 26 рабо
чих дней. :Кажд ый год и кажд ый квартал начи
нается с воскресенья (см . стр. 154).
В этом календа ре ровно 52 недел и, или 364
дня . Недостающий 365-й день ·исключается
из счета недель и не имеет числа. Он вставляет
ся в конце года как праздюш Мира и дружбы
народ ов . В високосные годы 366-й день, также
бе з числ а и дня недел и, вставляется между
30 июня и 1 июля (см . проект календаря) .
Этот проект был одобрен Советским Союзом,
Индие й, Францией, Югославией и другими го
сударств ами , но до сих пор не осуще ствлен.
Почему? В.в ести новый календарь .можно лишь
ВРЕМЯ И КАЛЕНДАРЬ
по международному соглашению , а правител ь
ствам США и Англии этот проект не понра
вился «по религиозным соображениям» .
Если в календаре даже один день исклю
чается из счета недель, то следующее после него
воскресенье тоже сдвинется на один ден ь
вперед . И выйдет, что Христос «воскрес» не в
воскресенье , а в понедельник , по прежнему
счету дней. Точно так же и другие христиан
ские праздники придутся не на «свою> дни . Вот
почему церковь отстаивает сохранение существую
щего счета вре мени внутри года , связанного с
религиозными верованиями и увековеченного ре
лигиозными предрассудками. Вот почем у заде р
живается и календарная реформа. Любая рели
гия - враг науки . И вся исто рия календаря -
самый простой, очевидный пример того , как
религиозные верования мешают прогрессу.
Очень удобный счет дней п ридумали древ
неегипетские жрецы , но сами же лишили свой
календарь связи с временами года : любой ме
сяц блуждал по всем сезонам. Безнадежно за
путали календарь своими плутнями римсние
жрецы . Отличный республиканский календарь
Франции мог бы служить образцом для все х
времен и народов , но он был отменен по настоя
нию католической це ркви.
Религиозные верования и тепе рь мешают
улучшить наленда рь, хотя необходимость в
этом давно уже назрела и признана большин
ством народов .
Эмблема Всемирного к але н,1 аря.
Неизвестно , :когда удастся осуществить ре
форму , но вы можете , не дожидаясь этого , сами
изготовить календарь, годный до 2100 г.
153

КАК АСТРОНОl\IИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
1ЫЙ
КВАРТАЛ
2ой
НВАРТАЛ
КВАРТАЛ
4ый
КВАРТАЛ
154
Проект всемирного ка.Jiен�аря
8
1
8
15
22
ЯНВАРЬ
пв
23
910
16 17
23 24
счпс
4567
11121314
18192021
·
25262728
293031
АПРЕЛЬ
впвсчпс
1-234·567
в91011121314
15161718192021
22232425262728
293031
в
1
8
15
22
29
..
в
1
8
15
22
29
п
2
9
16
23
30
•
п
2
9
16
июль
всч
345
101112
171819
пс
67
13. 14
20 21
2425262728
31
ОКТЯБРЬ
вс
34
10 11
17 18
чnс
561
121314
192021
232425262728
30 31
ФЕВРАЛЬ
впвсчпс
1234
567в91011
12131415161718
19202122232425
2627282930
МАЙ
В'пвсчпс
1234
567891011
12131410161718
19202122232425
2627282930
АВГУСТ
впвсчпс
1234
56?в91011
12131415161718
1920212223.2425
2627282930
НОЯБРЬ
вnвсчnс
1234
567891О11
12131415161718
19202122232425
2627282930
МАРТ
вnвсч·п·с
12
3456789
10111213141б16
17181920212223
24252627282930
июнь
впвсчпс
12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
СЕНТЯБРЬ
впвсчпс
12
34567в9
10111213141516
17181920212223
2425!2627282930
ДЕКАБРЬ
вnвсчnс
12
34б6789
1О111213141516
17181920212223
24252627282930
Буквы ВД в календаре означают «внсокосн11
1
й день». :Этот день без числа вставляется
только в високосные годы. ДМ - «день мира" (также без ·числа); он завершает
каждый го11;.
lil
11
1

ВРЕМЯ И КАЛЕНДАРЬ
'fepreжl
tt')С"1-о °'1.С..
..
.
�.,.
..
..
.
.,.
.
N-С)
1�
80..
..
.
.
'°lif' ..
.
t('\с-.-о О'00""
8080
1:80"..
..
.
..
..
.
ti-."..
..
.
"..
..
"..
..
.
" '°�'°'°
'°'°..о� "'lt'lt"�
О"'О' " tl'10'10-• �о-О'" !:
�О'• °'100.�" О"О'о-• а-О"О"о-
--
----
----
----
----
----
----
Черrе:жг
IV1vVlll11VIIX
IVllх 11111 1Х11
1
XI
�тlСРIЧт1Пт1СfilВ1Пнl 6тlСРIЧт1ПтlСD IВIПн l8т СР Цт Пт CD в Пн 6т СРIЦтlПтlСоlВIПнl�т!СР IЦт IПтlCalBIПнlBтlC• /Цт
Ка.Jiендарь 11а 200 eJ
J
eт
Год содержит 365 или 366 дней. По
этому любое число каждого месяца еже- ·
rодио сдвигается на 1 или 2 дня недели
вперед в определенной последователь 
ности. Вот, например, как «кочует»
1 января по различным дням в сле
дующие годы:
1962 - понедельник
1963 - вторник
1961
1
- среда
1965 - пятница
1966-суббота
1967 - воскресенье
1968 -понедельник
11169-среда
Такая последовательность повто
125'4s67
89ID111215и
15161718192121
22ll5 Z4 25 26 27�8
295031
все же до 28 февраля 2100 r. 1• Как
сделать такой долrосрочи�й календарь?
Прежде всеrо вырежьте из тетради в
1шетку три полоски 11 точно перерисуйте
на нихчертежи.М.М1,2н3 рис.1.Затем
возьмите две прочные картонки.
От
одной отрежьте две узкие полоски и при
крепите проволокой сверху и снизу к
целой картонке. В просвете между ними
должна свободно продвиrаться рейка
из более тонкого картона, как показано на
рисунке 2. На верхнюю часть наклейте
чертеж .М 1, на рейку - .М 2, на нижнюю
часть - М 3. Все это нужно сделать
очень аккуратно: цифры IV (апрель),
VII (ИЮЛЬ) и 1 (январr. високосного
rода) должны находиться на одной верти
кальной л11иии с 1970 r. и столбиком чисел
ряется через каждые 28 лет, т. е. 1 янва- месяца_ 1, 8, 15, 22, 29, как показано
ря - это понедельник в 19 36 (1962-28)
или 1990 (1962 + 28) rоду, вторник в 1 В 2100 r., невисокосном по новому
1935, 1963, 1991 гr. и т. д . Значит, доста- стилю, не должно быть 29 февраля, и
точно составить календарь на 28 лет, поэтому указанная выше последователь
в· оп будет служить хоть и не вечно, во кость дней нар�·ш11тся.
l/ертеж3
нарис.2к
·
аяендарь ваш готов. Как им
пользоваться?
Допустим, что вы родились 17 февра-
11я 19118 r. и вас интересует, какой это
был День. Календарь д11я 19118 г. такой
же, как дnя 1976 (19118 + 2 8). Это год
високосный. Поэтому, передвигая рейку,
вы ставите в одну 11инию с 1978 r. циф
ру 11 и по11учаете табе11ь-ка11ендарь на
февра11ь 19118 r. Вы родн.1
1Н
сь 17 фев
раля, т. е . ао вторник.
Хотите узнать, в какой день неде1111
испоnиится сто11етие Ве11икой Октябрь
сRой социаnистической ревоnюпии -
7 ноября 2017 г. ? Д11я атоrо прежде всего
нужно найти «ПОДХОДЯЩИЙ» l'ОД в ва 
шем ка11еидаре, отнимая от чис11а 2017
по 28. Очевидно, ато будет 196t г.
(2017 - 58, т. е 28 х 2). п.ередвииьте
рейку так, чтобы ноябрь (XI) ста11 в ли
нию с 1961 r. Вы по11учите табе11ь-ка11ен 
дарь на ноябрь 2017 г. и узнаете, что в
2017 r. 7 ноября придется на вторник.
Календарь поэво11яет опредеnнть день
недеnи и для 11юбой даты проm11ого, XIX
сто11етия. Но при атом с11едует добав11ять
еще один день: ведь в проwnом веке но
вый СТИllЬ отлича11ся от староrо не ив
13, а то11ько на 12 дней.
Ес11и дата события в проm11ом сто-
11етии указана по старому ств11ю, снача-
11а надо прибавить 12 дней, а потом
уже опреде11ять день недели. Например,
знаменитая Бородинская битва произо
mnа 28 августа 1812 r. по старому стилю.
Добавьте еще 12 дней и по11учите· 7 сен
тября.
Попробуйте сами узнать, в
какой день было Бородинское сражение.

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
Который час?
Ответить на этот привычный вопрос вовсе
не так просто, как кажется. В связи с этим почти
450 лет н&Зад возникло печально-смешное не
доразумение...
Три года без двух недель странствовала по
океанам первая в мире кругосветная экспеди
ция Магеллана. Сам он погиб в пути, а из пяти
кораблей на родину, в Севилью, 6 сентября
1522 г. вернулось лишь одно обветшавшее судно
«Виктория». На этом «плавучем гробу» из 265
человек экспедиции осталось только 18, измож
денных, как скелеты, обтянутые кожей.
Едва оправились люди от· пережитых испы
таний, как тотчас же, сжимая в дрожащих от
слабости руках горящие свечи, побрели к со
бору, чтобы замодить невольный грех, совер-
:166
шенный в долгом плавании. Какой же это был
грех?
Еще в пути, у островов Зеленого Мыса,
с «Виктории» на берег отправилась шлюпка
за продуктами и пресной водой. Вернувшись,
матросы сообщили, что на суше этот день
почему-то считают четвергом, а на корабле
по судовому журналу значилась среда. Когда
«Викторию> прибыла в Севилью, уже не оста
валось сомнений, что в корабельно111 счете суток
упущен один день.
Больше всего взволновало и огорчило моря
ков то, что они отмечали все религиозные
праздники на день раньше, чем полагалось по
календарю. Вот в чем каялись они в соборе.
Каким же образом проморгала экспедиция этот
злосчастный день? Где и когда потеряла его?
Самое любопытное в этом странном проис
шествии то, что ни малейшей ошибки в своем
счете дней морюш не допустили. Тогда в чем
же секрет?
Земной шар вращается вокруг своей ocli
с запада на восток и за сутки совершает один
полный оборот. Магелланова экспедиция дви
галась в противоположном направлении -
с востока на запад. За три года кругосветного
плавания она тоже сделала один полный оборот
вокруг земной оси, но в сторону, противопо
ложную вращению нашей планеты. Вот и полу
чилось, что путешественники обернулись во1>
руг Земли на один раз меньше, чем все челове
чество, и в сущности не потеряли, а «выгадалю>
один день. Если бы экспедиция направилась
не на запад, а на восток, то она насчитала бы
днем больше, чем все остальные люди.
Еще спутник Магеллана Антонио Пигафетта
догадался, что в различных местах земного
шара в один и тот же момент время разное.
Так и должно быть: ведь Солнце восходит не для
всей нашей планеты одновременно, и на каждом
меридиане свое, местное время. А на расстоя
нии 15° долготы разница во времени составля
ет ровно 1 час.
"
Когда во Владивостоке полдень,
1\ЮСКВИЧИ еще спокойно спят: здесь толыю
около 5 часов утра.
На небольшом расстоянии разница во вре
мени невелика, и это никого не смущало. Но
уже в прошлом веке такая «разнопременносты
вызывала серьезные неудобства. Представьте
себе, что из Владивостока в Москву ровно в
пщшочь на 1 января отправлена телеграмма.
Через 2 часа она доставлена по адресу, а в Моск
ве в это время только 7 часов вечера 31 декабря
прошлого го
.
да. Выходит, что телеграмма полу
чена еще до того, как была отправлена.

Такие забавные «путешествия в прошлое))
вносили неизбежную путаницу в работу теле
графа и особенно железнодорожного транспор
та. Поезда должны приходить вовремя, но по
какому времени рассчитывать их движение?
Очень сложно составлять расписание по много
численным местным временам всех станций,
которые поезда проходят на своем пути.
Поэтому в каждом государстве было введено
единое время: в России - петербургское, по
Пулковскоii обсерватории, во Франции - по
Парижской, в Англии - по Гринвичской (близ
Лондона). Но в каждом городе все же остава
лось свое, местное время: когда в Москве, на
пример, наступал полдень, в Иркутске было
уже 4 часа 26 минут 49 сеl\унд. На цифербла
та х в разных городах в один и тот же момент
не только часовые, но и минутные и секундные
стрелки располагались по-своему. Этому раз
нобою был положен конец после введения пояс
ного времени.
Поверхность земного шара по числу часов
в сутках была разделена на 24 пояса меридиа
нами, отстоящими один от другого на 15 °.
Внутри каждого пояса для всех пунктов уста
новлено единое время, а именно местное время
того меридиана, который проходит посредине
этого пояса.
Начальным, или нулевым, поясом услови
лись считать тот, посредине которого проходит
нулевой - гринвичский - меридиан. К этому
поясу с востока примыкает 1-й пояс, где все
часы показывают ровно на 1 час больше, в сле
дующем, 2-м поясе - на 2 часа, в 3-м
-
на
3 и т. д . Время каждого пояса отличается от
соседних только на 1 час, а минуты и секунды
во всех поясах одинаковы: когда в Москве,
например, 7 часов 10 минут 13 секунд, в Париже
и Лондоне (они в одном поясе) - 5часов 10 ми
нут 13 сеl\унд, во Владивостоке - 14 часов
10 минут 13 секунд и т. п . Вместо множества
местных времен, какое раньше было в каждом
государстве, теперь на всем земном шаре толь
ко 24 местных времени.
В СССР поясное время было введено с 1 ию
ля 1919 г. При этом границы поясов для удоб
ства установлены не точно по меридианам, а
вдоль русла рек, или по железнодорожным ли
ниям, или по границам областей. Москва долж
на быть в 3-м поясе, а включена во 2-й, как Ле
нинград. Северо-восточная окраина нашей Ро
дины - Чукотский полуостров - полностью
входит в 12-й пояс, граница которого совпадает
с государс:гвенной границей СССР. Здесь «рож
р;аетсю) каждый день и число месяца - новая
ВРЕМЯ И КАЛЕНДАРЬ
дата для всего мира. Когда в нулевом - грин
вичском поясе полдень, например, 31 декабря,
на Чукотке уже полночь, т. е. наступает 1 ян
варя -Новый год. А на противоположной
стороне Берингова пролива, отделяющего СССР
от Америки, в этот момент только час ночи
на 31 декабря (см. карту часовых поясов).
В Беринговом проливе между Чукоткой
и Аляской есть два скалистых острова Дио
мида. На большем из них (он носит имя Ратма
нова, участника первой русской кругосветной
экспедиции под начальством И. Ф. Крузен
штерна) развевается красное знамя с гербом
СССР, на меньшем - острове Крузенштерна -
звездно-полосатый государственный флаг США.
Перелетев или переплыв несколько километров
от советского острова на американский, можно
попасть ... во вчерашний день.
От Берингова пролива до Антарктиды про
ходит международная граница перемены дат,
разделяющая просторы Тихого океана. Эта
условная линия (на карте она показана пункти
ром) установлена для того, чтобы не повторя
лась ошибка моряков, вернувшихся из магел
лановой экспедиции, и чтобы не было путани
цы в счете дней недели и календарных чисел.
Теперь на судах, пересекающих Тnхий океан
с востока на запад (от Америки к Азии), пропу
скают в календаре один день и считают, напри
мер, после понедельника 31 декабря сразу среду
2 января. На судне, идущем в противоположном
направлении. наоборот, дважды считают один
и тот же день.
.
Поясное время очень удобно. При этом в рас
писаниях железнодорожного, водного, воздуш
ного транспорта, а также в телеграммах часы
и минуты у нас указываются по московскому
времени, в странах Центральной Европы ·-
по
так на;,ываемому среднеевропейскому, в Анг
лии - по гринвичскому.
Однако в СССР для эконом ии электроэнергии
поясное время всюду передвинуто на один час
вперед.
Такой счет времени введен у нас цо декрету
(постановлению) Советского· правительства с
1930 г. и называется декретным. Москва, на
пример, относится ко 2-му поясу, а живет по
времени 3-го пояса. Поэтому движение поездов,
а также отметки часа и минут на телеграфных
бланках по всей территории СССР производятся
по московскому декретному времени.
Отвечая на вопрос: «Который час?))- мы гово 
рим о декретном времени. Но не следует забы
вать и о двух других «видаю) времени - пояс�
ном и местном.
1.57

о•
15•
ом•ра!--.ta;o.1�'0.0JIO
O
I
·о
.1
_
ЦJt1w •• nrr• 11i11a,e111 :
'°"
45•
2
з
1·Бо.гарня 2-Венгрня
13-Кнnр 14-Лооксе"бурr
Карта часовых поясов
ео•
75•
4
5
З.Руwь.н�я 4·Чехослоеакня
111-Шве�царня 16-Марокко
105.0
111
R
•XIX
105•
11-Югославня 8-Аnбанмя
17-Туннс 18-Афrаннс та н
12.О"
в
7-Австрня
19-Нндня
ns•
9
tъо•
10
=
К:
1$·5 ·
11
8-Бельгня 9·Вел11кобрнтання 10·Нндерланды
2(Н1рак 21·Па1111ст11
1
1 22-Снрня 23-Корея
18()•
12
1во•
11-Грец�я
fЪ<?fiJ Тер(>ШQ1'11
11
, tta которых nрН/{/!тое ере11
11
от11
11
чаетс11 от nояс;ного. Примеч11.Иие. для Шruщбергена упот�611'1Ю!• �о времQ1
11
1
110 уЭаКРIW!Р.
1е5•
1З
1е5•
12·Д'1
1!1
11
1
::r:
:
>
::r:
:
>
n
..
.э
.,
,
С>
==
С>
==
=
=
=
С>
==
С>
..,
>
t'j
..
.э
..=
�С>
=
t'j
::r:
:
�

ЧEJIOBEK ВЫШЕJI В КОСМОС
Первые искусстве11ные
11ебесные тее1
1
а
Быть может, уже много тысяч лет назад,
глядя на ночное небо, человек мечтал о полете
к звездам. Мириады мерцающих ночных светил
заставляли его уноситься мыслью в безбреж
ные дали Вселенной, будили воображение, за
ставляли задумываться над тайнами мирозда
ния. Шли века, человек приобретал все боль
шую власть над природой, но мечта о полете
к звездам оставалась все такой же несбыточной,
как и тысячи лет назад. Легенды и мифы всех
народов полн!>! рассказов о полете к Луне,
Солнцу и звездам. Средства для такого полета,
предлагавшиеся народной фантазией, были при
митивны: колесница, влекомая орлами, крылья,
прикрепленные к рукам человека.
В XVII в. появился фантастический рас
сказ французского писателя Сирано де Бер
жерака о полете на Луну. Герой этого рассказа
добрался до Луны в железной повозке, над
которой он все время подбрасывал сильный
магнит. Притягиваясь к нему, повозка все
выше поднималась над Землей, пока не достиг
ла Луны. «Из пушки на Луну» отправились ге
рои Жюля Верна. Известный английский писа
тель Герберт Уэллс описал фантастическое
путешествие на Луну в снаряде, корпус кото
роrо был сделан из материала, не подвержен
ного силе тяготения.
Предлагались разные средства для осуще
ствления космического полета. Писатели-фан
тасты упоминали и ракеты. Однако эти ра кеты
были технически не обоснованной мечтой. Ученые
за многие века не назвали единственного на
ходящегося в распоряжении человека средства,
с помощью которого можно преодолеть могу
чую силу земного притяжения и унестись в
межпланетное п
.
ространство. Великая честь от
крыть людям дорогу к другим мщщ.м выпала
на долю нашего соотечественника К. Э . Циол
ковского.
Скромный калужский учитель сумел рас
смотретъ в известной всем пороховой ракете
прообраз могучих космических кораблей буду
щего. Его идеи еще дол110 будут служить осно
вой в освоении человеком космического про
странства.
Много веков прошло с тех пор, как был
изобретен порох и созданы первые ракеты,
применявш
.
иеся главным образом для уве-
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
селительных фейерверков в дни больших
торжеств. Но только Циолковский показал,
что единственный летательный аппарат, спо
собный проникнуть за атмосферу и даже на
всегда покинуть Землю, - это ракета.
В 191 1 г. К. Э. Циолковский произнес свои
вещие слова: «Человечество не останется вечно
на земле, во, в погоне за светом и простран
ством, сначала робко проникнет за пределы
атмосферы, а затем завоюет себе все околосол
нечное пространствm>.
Сейчас мы становимся свидетелями того,
как начинает сбываться это великое проро
чество. Начало.проникновению человека в кос
мос было положено 4 октября 1957 г. В этот
памятный день вышел на орбиту запущенный
в Советском Союзе первый в истории челове
чества искусственный спутник Земли. Он весил
83, 6 кГ. Прорвавшись сквозь земную атмос
феру, первая космическая ласточка вынесла
в околоземное пространство нау чные прибо
ры и радиопередатчики. Они передали на Землю
первую научную информацию о космическом
пространстве, окружающем Землю.
Первый спутник начал обращаться вокруг
Земли по эллиптической орбите. Крайние точ
ки ее подъема - наибольшего (апогей) и наи
меньшего (перигей) - располагались соответ
ственно на высоте 947 и 228 км. Наклон пло
скости орбиты к экватору составлял 65°. Свой
первый оборот спутник совершил за 1 час
36, 2 минуты и делал за сутки немногим менее
15 оборотов.
Сравнительно низкое расположение пери
гея орбиты вызывало торможение спутника
в разреженных слоях земной атмосферы и со
кращало период его обращения на 2,94 секун
ды в сутки. Такое незначительное сокращение
времени обращения говорит о том, что спутник
снижался очень медленно, причем сначала
уменьшалась максимальная высота его орбиты
(апогей), а сама орбита постепенно приближа
лась к круговой.
Через 20 дней после запуска космический
первенец умолк - иссякли батареи питания
его передатчиков. Раскаляемый Солнцем и за
мерзающий в земной тени, он безмолвно кру
жился над пославшей его планетой, отражая
солнечные лучи и импульсы радиолокаторов.
Постепенно опускаясь, он просуществовал еще
около двух с половиной ме
.
сяцев и сгорел
в нижних, более плотных слоях атмосферы.
Полет первого спутника позволил получить
ценнейшие сведения.. Тщательно изучив посте
пенное изменение орбиты за счет торможения в
t.ов

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
атмосфере, ученые смогли рассчитать плотность
атмосферы на всех высотах, где пролетал спут
ник, и по этим данным более точно преду
смотреть изменение орбит последующих спут
ников.
Определение точной траектории искусст
венного спутника позволило провести ряд гео
физических исследований, уточнить форму Зем
ли, точнее изучить ее сплюснутость, что дает
возможность составлять более точные геогра
фические карты.
Отклонения действительной траектории
спутника от вычисленной говорят о неравно
мерности поля земного тяготения, на ко
торое влияет распределение масс внутри Земли
и в земной коре. Таким образом, изучив дви�
жение спутника, ученые уточнили сведения
о поле земного тяготения и о строении земнqй
коры.
Такие вычисления делались и раньше
на основании изучения движения Луны,
но спутник, летящий на ·высоте всего несколь
ких сот километров над Землей, сильнее реа
гирует на ее поле тяготения, чем Луна, находя
щаяся от :3емли на расстоя нии почти 400 тыс. км .
Очень большое значение имело изучение
прохождения радиоволн через ионосферу, т. е.
через наэлектризованные верхние слои земной
атмосферы. Радиоволны, посланные со спут
ника, как бы насквозь прощупывали ионо
сферу. Анализ этих .результатов позволил суще-
ственно уточнить строение газовой оболочки
Земли.
Второй советский спутник был выведен на
более вытянутую орбиту 3 ноября 1957 г.
Если ракета первого спутника позволила под
нять его на 947 км (апогей}, то ракета второго
спутника была более мощной. При почти той
же минимальной высоте подъема (перигей)
апогей орбиты достиг 1671 км, и спутник
весил значительно больше первого - 508,3 кГ.
Третий спутник поднялся еще выше - на
1880 км и был еще тяжелее. Он весил 1327 кГ.
Вслед за советскими спутниками вышли
на свои орбиты американские спутники. Свою
программу ракетных исследований по плану
Международного геофизического год
.
а амери
канцы начали практически осуществлять поз
же. Только 31 января 1958 г. после нескольких
неудачных попыток американцам удалось вы
вести на орбиту свой первый искусственный
спутник Земли «Эксплорер-1» («Исследова
тель-1»). Он весил 13,96 кГ и бы.n оборудован
аппаратурой для изучения космических лучей,
микрометеоритов, а также для измерения тем
пературы оболочки спутника и газа, заполняв
шего его внутренний объем.
Следующий спутник американцев - «Аван
гард» весил 1,5 кГ. Он не имел на борту вообще
никакой научной аппаратуры и был предназ
начен только для испытаний радиопередатчи
ков и солнечных батарей.
В1957r.весь11
1
11р стал св11дете.,ем новых блестящих успехов советской науки и техники. 4 октября в
:188

Оба эти американских спутника не могут
идти ни в какое сравнение с первыми совет
скими спутниками. Позднее американцы вывели
на орбиты несколько десятков спутников. Вес
их колебался от нескольких десятков до не
скольких сотен килограммов. С их помощью
американским ученым удалось получить ряд
важных данных о строении верхней атмосферы
и околоземного пространства. Эти результаты
могли бы быть более значительными, если бы
все американские спутники направлялись с це
лью изучения космоса. Но при запуске многих
из них преследовались военные цели.
С каждым годом растет число спутников,
запущенных советскими и американскими уче
ными. Усложняется и становится более много
образной и научная аппаратура - в космос
посылаются целые лаборатории. Орбиты спут
ников, как обручи, опоясали земной шар во
всех направлениях - от экваториальных (па
раллельных экватору) до полярных (проходя
щих через полюсы Земли). Ученые кропот
ливо изучают поступающую со всех широт и
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
высот научную информацию (сообщения от
установленных на спутниках приборов).
2 января 1959 г. умчалась в сторону Луны
и вышла на околосолнечную орбиту советская
космическая ракета «Луна- 1». Она стала спут
ником Солнца. На Западе ее назвали лунни
ком. Запуском ее была прослежена вся толща
околоземного космического пространства. За
34 часа полета ракета прошла 370 тыс. км,
пересекла орбиту Луны и вышла в околосол
нечное пространство. После этого еще около
30 часов велось наблюдение за ее полетом и
принималась с установленных на ней прибо
ров ценнейшая научная информация. Впер
вые приборы, посланные человеком, изучали
космическое пространство на протяжении
500 тыс. км от Земли.
Сведения, полученные в этом полете, суще
ственно дополнили наши свед ения об одном из
важнейших открытий первых лет космической
эры - открытии околоземных поясов радиации
(см. ниже). Кроме различных измерений, на про
тяжении 506 тыс. км полета велись наблюдения
оRо.�оземное пространство был запущен первый в истории человечества исRусствеввый сnутниR Земли.
е11Д.э.т.2
J.81.

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
Внешний вид первой автоматической межпланетной станции,
запущенной в СССР.
Советсю1й вымпел, посланный на Луну.
:162
газового состава межпланетной среды, наблю
дения метеоритов, :космпчес:ких лучей и др.
Не менее изумительным был полет второй
советс:кой I>осмичес1юй раI>еты «Луна-2», за
пущенной 12 сентября 1959 г. Приборный
нонтейнер этой ра:кеты 14 сентября в 00 часов
02 минуты 24 се:кунды коснулся поверхности
Луны! Впервые за всю историю аппарат, со
зданный руками челове:ка,.достиг другого небес
ного те.r;1а и доставил на безжизде11ную планету
памятниl\ вещшому подвигу сове,тс1щго народа
вы�шел с изображением Герба СС<:;Р. «Луна-2»
устащ>Вищ1., что у Луны �ет ,магнитного
полн и поясов . радиации в пре делах точности
приборов. .
·
··
Не успела весть об этом событии :ка:к сле
дует дойт
.
11..;:1,о со:зпания людей, на:к наша страна
пор
.
азила 11111р новым удивительным достиже
нием: 4 о�тября 1959 г., в. день второй годов
Щfl.НЫ запусна первого. советс:коrо спутни:ка
Земли, в Советс:ком Союзе была ·запущена
третья :космическая ра:кета - «Луна-3». Она
отделила от себя автомат�ч�сную межпла
нетную станцию с приборами. :Контейнер был
напр
.
авлен та:к, что, обогнув Луну, он вер
нулся обратно в. район Земли.
)'становленная
в. нем аппаратура сфотографнровала и пере
дала на Землю изображение не видимой на.ми
обратной стороны Луны.
Этот блестящий научный ЭI>сперимент инте
ресен не толь:ко беспримерным фа:ктом по.тtу
чения первой фотографии, сделанной в :космо
се, и передачи ее на Землю, но и осуществле
нием чрезвычайно интересной и сложной
орбиты.
«Луна-3» должна
была о:казаться над
обратной стороной Луны, а система ориента
ции должна бьша развернуть :контейнер та:к,
чтобы его фотоаппараты были направлены на
Луну. Для этого по :команде с Земли весь
контейнер привели во вращение, и, :когда в фото
элементы, расположенные на нижнем днище
нонтейнера, попали яр:кие лучи Солнца, вы
званнJ,Iй ими в этих фотоэлементах то:к послу
Жил сигналом, По
:
которо!>tу :контейнер пре:кра
тил вращение и, остановившись, :ка:к заворо
женный; стал смотреть на Солнце. (От слабого
отраженного света Земли и Луны фотоэлемен
ты - датчики солнечной ориентации - сра
ботать не J\ЮГШI.) Фотоаппараты и лунные дат
чи:ки,' расположенные на противоположном
верхнем днище :контейнера, о:казались смотря
щИми в сторону Луны. В начале работы вы
брали такое взаимное расположение Земли,
Луны и Солнца, при t{отором Земля была в сто-

--
--
--
".,,
,,.
-'
·,
.
•,ю
-
�\
.
,,
,
--
�-�'
----
;-----------------
\
\
\
роне от линии, соединяющей Луну и Солнце.
Поэтому Земля - светило значительно более яр
кое, чем Луна,- не могла попасть в объективы
датчиков лунной ориентации, так как находи
лась в другом секторе неба.
После того как освещенная Солнцем обрат
ная сторона Луны оказалась в поле зрения
лунных датчиков, солнечные датчики отключи
лись, станция более точно «довернуласЬ» по луи
Н1!JМ датчикам и началось фотографирование.
Итак, при подлете контейнера к Луне тре
бовалось, чтобы он, Луна и Солнце оказались
на одной прямой. Кроме того, притяжение
Луны должно было так искривить орбиту «Лу
вы-3», чтобы она вернулась к Земле со сто
роны северного полушария, где расположены
все советские наблюдательные станции.
Стартовав из северного по.Лушария, «Луна-3»
как бы поднырнула под Луну - прошла с ее
южной стороны, -затем отклони.1
1
ась ввер)I:, пол
ностью обогнув Луну, и вернулась к Земле,
как и было рассчитано, со сторойы северного
полушария.
Автоматические устройства на борту кон
тейнера в космосе проявили пленку и с по
мощью электронной техники по радио пере
дали фотографии на Землю.
Фотографирование обратной стороны Луны
представляет собой первый активный шаг
в практике «внеземной» астрономии. Впервые
изучение другого небесного тела велось не
набдюдением с Земли, а непосредственно из кос
мического пространства вблизи этого тела.
Наши астрономы получили уникальную
фотографию обратной стороны Луны, по кото
рой смогли составить атлас лунных гС1р и «мо
рей)>. Названия, присвоенные открытым горным
образован 11 нм и равнинам, наnечно у·1 ·вердили
с.:таву роди11ы первооткрывателей, пославших
11*
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
Схема траектории noJteтa 11в'l'О
мат11чес1>ой межпJ1анет1101t
стан ции, сфотоrрафиров1tвшеА
обратную СТОРОН)" Луны.
чудесное автоматическое устройство - прооб
раз будущих космических обсерваторий.
Американским ученым после многих неудач
ных попыток такж е удалось получить серию
снимков поверхности Луны. Ракета серии «Рейнд 
жеr)> мчалась навстречу Луне и непрерывно
вела телевизионную передачу изображ ений лун
ной поверхности. Фотографии изображений, пе
реданных с минимальных расстояний (в послед
ние мгновения, перед тем как космический ап
парат разбился о поверхность Луны), позволяли
·раз.тшчать детали размером около 50 м.
Прочно овладев техникой запуска автома
тических· аппаратов, советские ученые присту-
,.�·-·-·�;/��
'/// !,
\
" /·�
111"'
•
..
.
__
1/
'.
'
..
..
..
..
.
'/
'·
/'�'°�·�
.
"'7
1
.:.
.
:-�
схема фотоrраф 11рован 11 я Луны с космическ ой ракеты
«J1уна-3».
t.63

RAK АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
пили к созданию космического корабля для по
летов человека.
Десятки неразрешенных вопросов стояли
перед наукой. На до было создать во много
раз более мощные раке·rы-носители для выве
дения на орбиту космических кораблей, в не
сколько раз более тяжелых, чем самые тяже
лые искусственные спутники, запущенные
ранее. Нужно было сконструировать и по
строить летательные аппараты, не только пол
ностью обеспечивающие безопасность космо
навта на всех этапах полета, но и создающие
необходимые условия для его жизни и работы.
Необходимо было разработать целый комплекс
специальной тренировки, который позволнл бы
организму будущих космонавтов заранее при
способиться к существованию в условиях пере
грузок и невесомости. Надо было разреmить
очень много и других вопросов.
Несмотря на всю сложность этой грандиоз
ной проблемы, советская наука и техника бле
стяще справились с ее решением.
После ряда пробных запусков, когда места
в кабине спутника Занимали различные живые
существа - от грибков и бактерий до извест
ных всему миру Белки и Стрелки,- конструк
ция космического :корабля со всеми его слож
ными системами выведения на орбиту, стабили
зации полета и обратного спуска на Землю
была полностью отработана.
В исторический день 12 апреля 1961 г. ушел
164
в космос корабль «Восток» с первым в истории
человечества летчиком-космонавтом на борту
Юрием Алексеевичем Гагариным. Облетев зем
ной шар, он через 1 час 48 минут благопо
лучно приземлился в заданном районе Совет
ского Союза.
Слава о новом беспримерном подвиге совет 
ского народа в деле освоения космического
пространства громовым эхом прокатилась по
всему миру. Она вызвала радость и восхище
ние в сердцах ваших друзей и зависть и злобу
в ставе наших врагов.
Прошло всего несколько месяцев, и 6 авгус
та того же года 'Стартовал :космический корабль
«Восток-2» с летчиком-космонавтом Германом
Степановичем Титовым. «Восток-2» сделал 17 У2
витков вокруг Земли и пробыл в космическом
полете 25 часов 18 минут.
Тщательное изучение научных данных,
полученных в этих двух полетах, позволило
уже через год - в августе 1962 г.- сделать
новый большой шаг вперед. Стартовавшие один
за другим (с интервалом в одни сутки) косми
ческие корабли «Восток-3» и «Восток-4» с летчи
ка ми-космонавта ми Авдрияном Григорьевичем
НиRолаевым и Павлом Романовичем Попо
вичем совершили первый групповой полет в
космос.
«Восток-3» сделал более 64 оборотов вокруг
Земли и находился в космич еском полете 95 ча
сов. «Восток-4» сделал более 48 оборотов и
Внешний вид космического ко ·
рабдя «Восток», выведенного
на орбиту 12 апредя 1961 г.

Разрез -вой атмосферы в высоты,
достигнутые различными летатель
ными аппаратами. До t2 нм подвв
М11
1О
тся обычные самолеты, до t8-
29 нм - специальные самолеты, до
30 нм - стратостаты, до tO нм - ша
ры-зонды, до 200-500 нм - специ
альные исследовательские ракеты, от
250 нм в выше про11еrа1ОТ opбll'IЫ
искусственных спутников Земли, ав
томатических межпланетных ствп
цвй в космических ракет. На высоте
80-t20 нм светятся метеоры, tOO
tOOO !СМ - северные свявия, от tOO
доtOOнмВ1
1
еоn1 простирается
ионосфера.

Первый воо11овавт Ю. А. rагарвв в вабвве
воо11ВЧесвоrо корабля. Вкuгу - ввд ва поверх
вооть 3е11лв с орбвты коо11вqескоrо корабля.
Земля покрыта бараmкообраввы11в беm.rмн об
лаками. СвВ1
1
ок сделав кос11овавтом r. с. Тв
товым с кос11вqескоrо корабля «Вооток-2».
На фото - автограф r. С. Твтова.

пробыл в космическом полете
71 час. Этот полет доказал, что
разработанная нашими учеными
система подготовки космонавтов
позволяет им выработать такие
физические качества, которые
обеспечивают нормальную жиз
недеятельность и полную работо
способность в условиях длитель
ного космического полета. В этом
состоял главный итог полета.
По сравнению с полетами на
ших космонавтов более чем
скромными кажутся первые
робкие прыжки в космос аме
риканских космонавтов Шепар
да и Гриссома, один из ко
торых чуть было не кончил
ся трагично. По сравнению
с полетами Ю. А . Гагарина и
Г. С. Титова это были всего
лишь «подпрыгивания» над на
шей планетой.
По сообщению корреспон
дента газеты «Нью-Йорк Тайме»
15-минутный прыжок Аллана
Шепарда был осуществлен с по
мощью ракеты, мощность кото
рой составляла «всего лишь од
ну десятую мощности советской
ракеты, а вес капсулы состав
лял лишь одну пятую веса
кабины корабля «Восток».
Только 20 февраля 1962 г"
после предварительных запус
ков по проекту «Меркурий»
двухтонной кабины с ро ботом
и обезьянами, американцам уда
лось осуществить первый кос
мический полет Джона Гленна.
Этот полет был совершен на ко
смическом корабле «Френд
шип-7» весом около полутора
тонн. Джон Гленн совершил на
своем корабле три витка вокруг
Земли и опустился в Атланти
ческий океан. Но его полет про
текал не совсем благополучно.
Внешний вид ввтоматической межпJJанет
но й станции «Венера», вапущениой в
Советском Союве t2 февраJJя t98t г.
Внешний вид автоматической межnJJанет
ной станции «Mapc-t», запущенной в СССР
t ноября t982 r.
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
183

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
Во. время полета обнаружились неисправности
в системах автоматического управления косми
чес1шм кораблем, и после первого витка Гленну
пришлось перейти на ручное управление. Отка
зала также на некоторое время система
охлаждения, и в кабине сильно повысилась
температура. На втором и третьем витках по
лет продолжался только благодаря. энтузиаз
му, выдер;!<:;\с и муществу космонавта.
Второй космичесний день Амерюш -
24 мая 1962 г. - был омрачен большими волне
ниями за судьбу второго носмонавта - Маль
нол.ьма Скотта Карпентера.
Полет Карпентера был еще более драматич
ным,
.
чем полет Джона Гленна. Неполадки об
наружились опять в системе управления и
терморегулирования кабины и скафандра. Кос
монавт приводнился в Атлантнческом ощ�ане
в 350 км от предполагаемого района посадки
корабля. 20 морских кораблей 11 70 самолетов
и вертолетов в течение часа разыскивали от
важного космонавта. 0дна шведс1<ан газета на
звала этот полет «космической драмой между
жизнью и смертью)>.
Третий космичес1:шй день Америки был
3 октября 1962 г. В этот день в США с мыса
Кеннеди · на полуострове Флорида стартовал
двухтонный космическийкорабль-спутник «Сиг
ма-7», . пилотируемый летчиком-космонавтом
'Уолтером Ширрой.
··
Космический корабль сделал 6 витков во
круг Земли ;и благополучно приводнился ·в
центральной части Тихого океана. Неисправ
ности системы· регулирования температуры
внутри скафандра, омрачившие и этот полет,
удалось быстро исправить непосредственно на
орбите, и дальнейший полет продо.Лжался бла
гополучно.
Наряду с полетами космических кораблей в
СССР и США были осуществлены и пробные запу
ски ракет к планетам. 12 февраля 1961 г. с
борта искусственного спутника Земли в сторону
Венеры стартовала советская автоматическая
межпланетная станция «Венерю>. Вслед за ней
к· Венере быЛа запущена америщ1нская авто
мм·ическая станция «Маринер-11)).
1 ноября 1962 г. в сторону Марса стартовала
советская космическая ракета «Марс-1)>. Ее ор
бита была самой протяженной по сравнению
с орбитами всех предыдущих полетов косми
ческих аппаратов. Вытянувшись по эллипсу
от Земли, она коснулась орбиты Марса. Семь
с половиной месяцев длился полет только до
встречи с Марсом: 500 млн. км прошел за это
время «Марс-1)>.
166
На значительных расстояниях от Земли
сократилось число регистрируемых микроме
теоров. Они, по-видимому, концентрируют
ся вблизи Земли, до 40 тыс. км от ее по
верхности.
Так закончилась первая космическая пяти
летка. Но космические события следуют с кос
мической быстротой.
14 июня 1963 г. вышел на орбиту косми
ческий кораб.11ь «Восток-5» с летчиком-космо
навтом Валерием Федоровичем Быковским, а
вслед за · ним корабль-спутник «Восток-6»,
пилотируемый первой в мире ·женщиной-кос
монавтом Валентиной Владимировной Тереш
ковой. Пять суток пробыл в космосе Валерий
Быковский, за 119 часов он 81 раз облетел
Землю. Первая в мире женщина-космонавт про
была в космосе 71 час и совершила 48 оборотов
вокруг Земли. Своим полетом она убедительно
доказала равные возможности женщины в та
ком трудном и сложном деле, каким является
освоение космоса.
Новым этапом в исследовани и необъятных
просторов Вселенной явился запуск 12 оюября
1964 г. в СССР трехместного корабля «Восхощ>.
Экипаж корабля состоял из трех человек: ко
мандира корабля инженер-полковника В.11адими
ра Михайловича Комарова, научного сотрудника
кандидата технических наук Константина Петро
вича Феоктистова и вр ача Бориса Борисовича
Егорова. Три специалиста разного профиля про
вели обширные исследования космоса. Корабл ь
«Восход)> существенно отличается от кораблей
типа «Во�тою>.. Его орбита пролегала выше, кос
монавты вперв ые совершали полет б ез скафанд
ров, а приземл ились, не покидая кабину, 1:юто
ра я системой «мягкой посадкю> была плавно
спущена и буквально мягко «поставлена)> на по
верхность Земли. Новая система телевид ения
.передавала с борта корабля не только изображе
ни е космонавтов, но и картину наблюдений.
. С I<аждым годом ширится фронт мирных
Исследов�
:
ний косм ического пространства. Вслед
за спутниками, «жестко)> привязанными к своим
орбитам, в космос вышли аппараты, способные
осуществлять достаточно широкое маневриро
вание.
Советские космические аппараты «Полет-1» и
.«Полет-2)>, маневрируя в космос е, переходили с
орбиты на орбиту, меня я не тол ько высоту, но
и плоскость наклона орбиты. Это первые шаги
на пути соединения, пли, как говорят инженеры,
сты1:ювки, космических кораблей непосредственно
в космосе, на орбите. Причаливая к корабдю,
ракеты-заправщики смогут перегружать на него

горючее п строптедьные деталн. Из конструкций,
доставленных на орбиту, космонавты смонтируют
сначала космичеснпе .1абораторпи, а дотом, навер
ное, и целые научные .города".
Мирным целям успешно служат 11 некоторые
·амерпканс1ше спутншш. С помощью метеороло
гических спутников америк анцам удалось забла
говременно пре дупредпть население о приближе
нии пес1ю;1ьких тайфунов - сиJiьнейших разру
шительных ураганов, очен
·
ь часто проносящихся
над Америкой.
Спутни1ш «Телест.1р-1» и «Телестар-2» успешно
перекинули телевизионный «мост». между. Евро.,.
пой и Америкой, рL'транслируя из Америки в
Европу телевизионные программы.
Проведен первый международны'й косм
.
ичес
кий эксперимент: радиоволны, посланньJе из
анг.1иiiской обс ерватории Джоурелл Бенк, отра
зюшшсь от огромного надутого металлизирован
ного шара - американского · спутника «Эхо-2», -
бьшп приняты в Советском Союзе под Горьким,
в Зпменках. Были переданы радиотелеграммы,
�тоте.11егр аммы п радиотелефонный разговор.
;ю января 1964 г. в СССР бьщ произведен
запусl\ интерес нейших спутников - «Электрон-1»
и «Элеl\трон-2». С одной ракеты были запущены
сразу два спутника, один на более высоl\ую,
другой на более низную орбиту.
Ценность такого запусl\а заключается в том,
что одновременные измерения на разных вы
rотах позвол ят лучше исследовать пространствен
ную стру1'туру пояrов радиации и их изме�1ение
во времени. ·Запущенные через полюсы, «Элент
рон-Э» и «ЭJiеl\трон-4)> продолжили одновременно
комплексное исследование верхних слоев атмо
сферы.
После неудачных попытоl\ в выведении тяже
лых 1\Ораблей-спутниl\ов американцам в 1964 г.
удалось запустить два многотонных спутника.
Это· первые удачные запуски по рассчитанной на
многие годы программе, 1\оторая предусматривает
вначале облет, а затем и высадl\У 1\осмонавтов
на Луне.
·Тем же задачам посвящены и продолжающие
ся в СССР исследования оl\одолунного прост
ранства. Очередная станция «Луна-4)> прошла в
непосредственной близости от нашего..
естествен
ного спутниl\а. Непрерывно ведется изучение и
дальнего 1\осмоса. 2 апреля 1964 г. отправилась
В rлубинЬI 1\ОСМОСа очередная советская аВТОМа
ТИЧеСI\аЯ станция «Зонд-1)>. Ее задача. прозондп
ровать многие мидлионы километров ОI\о.11осо.�:
нечного пространств� и передать на Землю на,уч
ную информацию. Покорение 1щсмuса продо:1-
жается.
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
tJa1tOllhl ДBllHtetlllЯ IIClt�'CCTBCllllLIX
11ебес11ых те.1
В 1\онце XVII столетия Ис ааl\ Ньютон сфор
мулировал зан:он всемирного тяготения - ос 
новной заl\он, 1\О то рому подчиняетс я движение
всех небесных тел (см. стр. 38). В свободном
орбитальном подете, т. е. в полете по своей
орбите без двиг ате лей, космичесl\ие рак еты
и спутНИI\И ПОЛНОСТЬЮ подчиняются заl\онам
небесной мехаюши 1, поэтому теория· движения
искусственных небес ных тел - по существу
новый раздел небесной механюш - играет
огромную роль в ос воении 1\осмиче сl\ого прост
ранства.
Вспомним, I\al\ движетс я брошенное тело
под действием сил земного nрИтяжения. Зако
ны «брос анию> тел изучает баллистиl\а - нау
ка, назв ание 1\оторой напоминает о Грозном
1\огда-то военном метательном орудии - бал
листе. Одн а из осноsных задач баллиспши
заl\лючается в том, чтобы найти таl\ОЙ угол
наl\лон а ствола орудия, при 1\отором, при про
чих равных условиях, дальность выброшен
ного орудием снаряда будет наибольшей.
Задача создателей космичесних ракет 1\уда
сложнее - они должны :гак бросить свой сна
ряд, чтобы он не упал обратно на Землю,
а вышел на точно определенную носмичесную
орбиту.
Вс ем нам· по опыту известно, I\al\ ведет себя
брошенный 1\амень - он вс егда падает на Зем
лю под действием притяжени!J Земли. Ну а если
брос ать не 1\амень, а .выетрещпь из пушки сна
рядом? Если ствол пуШJ\И установлен верти-
1\ально, то и снаряд будет двигаться вверх вДоль
зем!JОГО радиуса, и чем, больiпе СI\орость, с
1\оторой снаряд поl\ида,л ствол пушl\и, тем
выше он поднимется над Землей. Когда вся
энер.гия, полученная снарядом при выстреле,
будет израсходо.вана на преодоление земного
тяготе
.
ния, снаряд ос",J:ано вится и начнет падать
обратно.
.
,.
.
.Но .можно сдетць и таl\, что снаряд не упа
дет да Землю. Bafl\HO знать. I\al\ его· бросить!
.
Давайте проследим за по
.
леrqм снаряда,
вы брощенного из орудuя, ствол 1юторого ,р ас
по ложен .наl\лонно I\ линии горизонт а.
.
Небесна.я механика утверждает, что �од дей
сцшем тяготения одно. тело описывает относи
тельно другого одну из трех I\ривых - эллипс,
параболу иш1 гиперболу. Tal\, наприме р, вс е
i Небесная механика - отрасль астрономии, изу
чающая весь. комплекс законов движения небесных TCJI.
167

RAR АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
Вь�стреn
со скоростью
8 км/сек
Если выстреJ1ить снаряд наклонно или вертикально к аемной
поверхности, он всегда упадет на Землю�
планеты обращаются вокруг Солнца по эллип
сам, причем само Солнце располагается в одном
из фокусов эллиптической орбиты планеты.
Так же и в системе «Земля - снаряд» центр
Земли будет всегда в одном из фокусов эллипса,
по которому движется снаряд. Поэтому если
выстрелить наклонно, то чем больше будет уве
личиваться скорость, тем все дальше и дальше
будет падать снаряд. Чем больше будет его ско
рость, тем больший эллипс он опишет в прост
ранстве, но на обратном пути к точке бросания
он обязательно должен пройти «сквозь Землю»,
так как может двигаться только по эллипти
ческой траектории, часть которой, как видно
из рисунка, всегда проходит «внутри Земли•.
Итак, наклонный выстрел мало что даст -
снаряд в любом случае должен пройти «сквозь
Землю». Попробуем теперь установить наше
орудие на горе и стрелять горизонтально (для
простоты мы не будем учитывать влияние зем
ной атмосферы и вращение Земли). При неболь
ших скоростях снаряды «по эллипсу» будут
падать на Землю. Но чем больше скорость, тем
168
больше эллипс будет приближаться .J\ окруж
ности с центром в центре Земли. При скорости,
которую принято называть первой космиче
ской или круговой, снаряд уже не упадет на
Землю, а, если мы успеем убрать орудие,
пролетит с той же скоростью через точку вьrст
рела и будет бесконечно обращаться вокруг
Земли по круговой орбите, т. е . станет искус
ственным спутником Земли.
Первая космическая скорость у поверх
iюсти Земли составляет примерно 7,9 км/сек.
Такую огромную скорость не может сообщить
снаряду ни одна пушка - это под силу только
ракетам.
Дальнейшее увеличение скорости будет вы
тягивать окружность в эллипсы, с той только
разницей, что второй фокус каждого эллипса
будет перемещаться все дальше и дальше от
центра Земли в сторону, противоположную
точке бросания, или точке старта.
При скорости 11 км/сек ракета удалится
на расстояние больше половины пути до Луны,
а при скорости 11,1 км/сек обогнет Луну и сно
ва вернется к Земле.
При дальнейшем увеличении скорости до
11,2 км/сек эллиптическая орбита «разорвется»
и превратится в разомкнутую кривую - пара
болу, по которой ракета навсегда покинет
Землю. Скорость 11, 2 км/сек называется второй
космической скоростью, или скоростью отры
ва, или, наконец, параболической скоростью.
Ракета или снаряд, получившие такую ско
рость на поверхности Земли, покинет ее на
всегда как при вертикальном, так и при наклон
ном или горизонтальном полете. При· такой
скорости в любом случае орбита не будет
эллипсом.
Если еще больше увеличить скорость, раке
та полетит уже по гиперболе, причем чем выше
скорость, тем больше будет «раскрываться»
гипербола. Но, превысив вторую космическую
скорость и преодолев земное притяжение, ракета
останется в солнечной системе. Она превра
тится в спутника Солнца - искусственную пла
нету- и будет обращаться вокруг него по элли
.
п
тической орбите.
Первым таким спутником Солнца стала со
ветская космическая ракета «Луна-1», старто
вавш ая 2 января 1959 г. по направлению к
Луне. Ракета удалилась от Земли no гипер
болической орбите, так как превысила вторую
космическую скорость. Но через 5- 6 дней она
вышла из зоны действия земного тяготения,
и ее полет всецело стал определяться при
тяжением Солнца. Скорость, которой обла-

Dal
l
er ракетw.
На обороте: Ю. А. гarapu перед
nо�мом а •a6uy -•-•oro кора6л•
•Во
ото
•" ..

дала ракета, была недостаточной, чтобы совсем
преодолеть притяжение Солнца, и ракета стала
по эллипсу обращаться вокруг этого раска
ленного светила.
Какие же основные закономерности харак
теризуют движение тел по эллиптическим ор
битам? Ответ на этот вопрос также дает не
бесная механика.
Наблюдения астрономов за движениями пла
нет дали возможность австрийскому ученому
Иоганну Кеплеру в начале XVII в. сформулиро
вать три закона движения тел в солнечной си
стеме еще до открытия закона тяготения.
Первый из них утверждает, что каждая пла
нета движется по эллипсу, в одном И3 фокусов
которого находится Солнце. Из второго закона
вытекает, что планеты движутся по своим
эллиптическим орбитам неравномерно: при при
б.11ижении :к Солнцу - быстрее, при удалении
от него- медленнее. Так движутся и спутники
вокруг Земли. Приближаясь :к Земле, они как
бы разгоняются, а наименьшую скорость имеют
в самой дальней от Земли точке орбиты -
апогее. И наконец, третий закон устанавли
вает связь между периодом (временем) обраще
ния планеты во:круг Солнца и средним расстоя
нием от него.
Законы Кеплера являются следствием более
общего закона природы - закона всемирного
тяготения, :который составляет основу небес
ной механи:ки . Они позволяют полностью опре
делить картину движения планеты .
Простейшая задача небесной механики на
зывается «задачей двух тел». Что же требуется
решить в этой задаче? А вот что. Если известны
массы двух тел, их с:корости в ка:кой-то момент
времени, а та:кже взаимное расположение" то
нужно найти положение этих двух тел в про
странстве в любой момент времени, т. е. рас-
"
Н.�аНеТЫ MOl"yT ДВНl"аТЬСЯ ТОЛЬКО ПО ЭЛЛИПСУ, В ОДНОМ ИЗ фО•
кусов которого находится Солнце. По своим орбитам небесные
тела движутся неравномерно. Размеры стрелок на рисунке
пропорциональны скорости движения (v, >v,>v.>.
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
Направление выстреnа
.,
,,.,
·
,,
,
.
()
.
"
Только пустив р акету пара.1
1.1
1
ельво земной
поверхности, можно вывести ее ва орби·
ту и сделать спутником Земли.
считать, ка:к будут двигаться два та:ких тела
в пространстве .
Ньютон решил эту задачу. Он математиче
ски до:казал, что если любое тело (не обяза
тельно Солнце) считать неподвижным, то другое
тело под действием их взаимного тяготения,
в зависимости от начальных условий задачи
(масс, скоростей и расположения), будет дви
гаться относительно его по эллипсу (или окруж
ности), параболе или гиперболе .
В солнечной системе, например, взаимное
притяжение планет ничтожно мало по срав-
:160
о
'О
о
()
..
.
.,.
О1
о
"'
.,.
с
.,.
;r.
il-
()
"'
�

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
-----------
---
--
--
�-
,--�
�,
4
,..
..,
'
Орбита Марса
_,"
_,-'
""'
Орбита перnого искус
ственного сп)·тншщ
Солнца.
�
-�
------------------
,,
,,
--
Д11льнне планеты тратит больше времени на облет Солнца;
к вадраты времен обращений планет относятся как к
-
убы боль
ших noлyoceft эллиптических орбит.
Возможные пути полета на Марс. Стрелками пок азаны траек
тор1111 110.1етов 11 их протяженность, пунктирными лин11ямн -
остшн.наи часть орбиты.
1.76
пению с притяжением их Солнцем, поэтому
можно считать, конечно, только приблизитель
но, что любое тело . солнечной системы притя
гивается только Солнцем и ·движется по эллип
су. Небольшие отклонения в движении планет
от движения точно соответствующего законам
Кеплера; конечно, есть, но учесть их чрезвы
чайно трудно .
Масса любой ракеты ничтожно мала по срав
нению с Землей и Луной (или Солнцем). И эtо
позволяет про извести достаточно точный расчет
ее орбиты.
.
Как выглядят орбиты спутников, можно
представить себе на примерах возможных трасс
полетов в район Луны (см. стр. 163). Из одного
примера видно, что посланная· в район Луны
ракета притянется ею, обогнет Луну и снова
вернется к Земле, описав в пространстве замыс
ловатую восьмерку . Для такой траектории не
обходимо, чтобы, во-первых, ракета прошла на
·
определенном, достаточно близком расстоянии
от Луны и, во-вторых, в момент сближения
с Лу�ой обладала вполне определенной, срав
нительно малой скоростью. Примерно такой вид
имела орбита . космической ракеты «Луна-3)>,
сфотографировавшей обратную сторону Луны.
По-видимому так могут выглядеть орбиты и
при полетах к другим планетам. Но если При
ближаться, например, к Марсу или Венере
f!a <шочтительное)> расст.ояние, где сила при
тяжения планеты сказывается еще незначи
тельно, то орбиты будут представлять собой
эллипсы:; размеры которых определяются ско
ростью при взлете с Земли.

Для полета на Марс, как и на любую дру
гую планету, наиболее выгодной является эл
липтическая траектория, касательная к орбите
планеты. В этом случае скорость отлета с Земли
минимальна (11,6 км/сек), минимальна и ско
рость, с которой ракета подойдет к Марсу
(5,7 км/сек). Последнее немаловажно в случае
посадки на Марс, так как меньше будет израс
ходовано топлива для торможения двигателями
ракеты. Но за экономию топлива приходится
платить временем. Такой полет будет длиться
259 суток, т. е. 8% месяцев. Если сократить
срок полета до 5 месяцев, то необходимо будет
развить скорость отлета с Земли до 14,3 км/сек,
а при 4 месяцах полета начальная скорость
должна составлять 15,9 км/сек. По кратчайшей
траектории полет продлился бы 85 суток, но
разогнать корабль нужно было бы до скорости
39 км/сек.
_
Для полета космонавтов придется выбирать
другие траектории: ведь в этом случае важно
не только пролететь мимо Марса, но и вер
нуться обратно на Землю! Трудность состоит
в том, что, когда ракета вернется в точку старта,
Земли там уже не будет - она уйдет на зна
чительное расстояние по своей орбите. Удобнее
всего было бы задержаться на Марсе или на
орбите возле Марса, выждать опять наиболее
благоприятное взаимное расположение планет
и тогда стартовать обратно к Земле.
Уже рассчитано много подобных траекто
рий. Можно облететь Марс за 2 года. Для этого
потребуется начальная скорость 12,3 км/сек,
а если стартовать так, как стартуют советские
космические ракеты,..,.
..
.
с тяжелого спутника,
то всего 4,3 км/сек. Если стартовать со спут-
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
пика со скоростью 8, 2 км/сек под значительным
углом к орбите Земли, то срок облета можно
сократить до одного года.
Интересно отметить, что проще всего совер
шить полет по касательному эллипсу в сторону
Марса, когда планета находится дальше всего
от Земли. Если в таком же полете увеличить
скорость на 3,2%, то продолжительность по
лета сократится на 42%, т. е . незначительное
уве.ТJичение скорости даст большой выигрыш
во времени. Эта замечательная особенность
будет заметнее всего ощущаться тогда, когда
ракеты будут обретать все большие и бо.riьшие
скорости. Не менее неожиданные особенности
у «внутренних» маршрутов - при полетах н
Венере и Мер1<урию. Действительно, по наи
выгоднейшей касательной эллиптической траек
тории полет к более близкой Венере будет
длиться дольше, чем к Меркурию!
Странно, не правда ли - наивыгоднейшая
траектория, а к более далекому Меркурию она
доводит ракеты быстрее!
На «внутренних» трассах проявляется еще
одна интересная особенность - чем меньше
скорость ракеты, тем быстрее она достигает
цели. В самом деле, чтобы с орбиты Земли
приблизиться к Солнцу, нужно взлететь про
тив движения Земли, чем погасить ее орби
тальную скорость. Если погасить ее пол
ностью, то скорость ракеты относительно
Солнца будет равна нулю, и она по наикрат
чайшему пути будет падать на Солнце, за
тратив на свой путь минимальное время. А чем
больше скорость относительно Солнца, тем бо
лее «окольным» путем движется ракета и тем
дольше она в пути.
Траектория noJJeтa
с ЗемJJи на Марс.
1'7.t

КАК АСТРОНОМDЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
Будущие астронавты смогут выбирать мно
гочисленные интересные орбиты, когда за один
полет можно «убить несколько зайцев». Суще
ствует, например, возможность за один год
(а это важно, чтобы при возвращении застать
Землю на «ее месте») облететь вокруг Солнца
и за этот полет пролететь как мимо Марса, так
и мимо Венеры. Такое удачное расположение
планет бывает, конечно, далеко не каждый
год - по расчетам, такой момент наступит
только в 1971 г. Rто знает, может быть, уда
стся использовать этот редкий случай, и авто
матическая станция за свой полет передаст
на Землю фоторепортаж с двух наших ближай
ших планет-соседок.
А теперь несколько примеров для люби
телей математики. Каждому. очевидно, инте
ресно знать, почему нужно сообщить телу ско"
рость именно 8 км/сек, чтобы оно стало спут
ником Земли? Почему при скорости 11,2 км/сек
ракета может вырваться из оков земного тяго
тения?
Посмотрим, как рассчитываются эти скорости.
Мы уже говорили, что основой небесной
механики является закон Ньютона. Матема
тически он выражается так:
F=-
fm1m2
,2
'
где т1 и т2 - массы двух тел, r - расстоя
ние между ними, f - коэффициент пропорцио
нальности, называемый обычно ньютоновской
гравитационной постоянной. Знак «минус» по
казывает, что сила тяготения стремится умень
шить расстояние между телами.
Для случаев, когда одно тело (ракета) имеет
массу т2, пренебрежимо малую по сравнению с
массой т1 центрального тела (Земли, Солнца),
принято вводить коэффициент К = m1 • f, тог-
даF=-К�2
• Для Земли этот коэффициент
поля тяготения равен К3 = 3,9 . 105 км3/сек2,
для Солнца Кс = 132,3· 109 км3/сек2•
Чтобы ракета стала искусственным спут
ником Земли и могла, не снижаясь, обращаться
вокруг Земли по круговой орбите, необходимо
приравнять центробежную силу
силе притяжения F,
т
v2
т
тогда -2- =К -2 •
r
3,2•
сократив обе части равенства на
2
Кз
v =-.
r
1'72
получим:
Подставив значение К, ра вное К3, и радиу
са Земли r = 6371 км, получим величину кру
говой скорости, при которой тело будет удер
живаться на круговой околоземной орбите:
VЗ
,
9·1о>
Уир =
6371
= 7,91 км/сек.
Если мы подставим вместо К значение К3,
а вместо r расстояние от Земли до Солнца (при
нятое здесь за 149 900 ООО км), то получим ско
JЮСТЬ, с котоJЮЙ Земля должна вращаться вокру г
Солнца, чтобы удержать ся на своей орбите:
V132 3
·1
09
Уирз =
149:9 .106
--30 км/сек.
Именно с такой скоростью наша Земля дви
жется вокруг Солнца.
Первая космическая скорость, точнее ее
теоретическое значение, рассчитана нами для
высоты полета над Землей, равной нулю, т. е.
у поверхности Земли.
При вы соте полета, например, h = 500 км
в формулу вместо r придется подставить
r = r0+h (где r0 - радиус Земли). В этом
случае Уир = 7,61 км/сек.
При увеличении высоты орбиты скорость
движения постепенно убывает, стремясь в бес
конечности к нулю. На высоте 384 тыс. км,
т. е. на орбите Луны, Укр,_, 1 км/сек. Это
и есть скорость движения Луны на ее орбите
вокруг Земли.
Но для того чтобы запустить искусс твенный
спутник, нужно затратить на подъем какую-то
энергию и, кроме того, сообщить ему необходи
мую круговую скорость. Хотя круговая ско
рость с высотой уменьшается, энергия, затра
чиваемая на подъем, растет. Поэтому общий рас
ход энергии на подъем и разгон ракеты с
высотой растет. Этот расход энергии принято
характеризовать так называемой характери
стической скоростью Ух. Определяется она
следующей формулой:
Ух =Уир
.
V2- ..
.!:!.
r'
где Укр. - круговая скорость у поверхности
Земли, r0 - радиус Земли, r - расстояние
от центра Земли до орбиты искусственного
спутника Земли.
Минимальное значение Ух принимает при
r = r0• Тогда Vx =Укр••
так как никаких
затрат энергии на подъем не требуется.
Максимальное - при r = оо (бесконечности).

В этом случае Vx - 11,2 км/сек, т. е
.
.
тело,
получившее такую скорость у поверхности
Земли, удалится от нее на бесконечно большое
расстояние - навсегда покинет Землю .
Это и есть вторая космическая скорость -
скорость отрыва.
В реальных условиях требуются еще допол
нительные затраты энергии на преодоление со
противления воздуха и на преодоление силы
земного. тяготения в период работы двигателя .
Это несколько увеличивает значение характе
ристической скорости . Если для подъема спут
ника на 200 км требуется Vx� 8 км/сек,
то в реальных условиях необходимо около
9 км/сек. Эта последняя величина и опреде
ляет практически затрату энергии, необходи
мой для запуска «простейшего» искусственного
спутника 3емли.
Научение oкo.iroco.irнeчвoro
пространства
Задачи, которые стоят перед исследовате
лями космического пространства, чрезвычайно
разнообразны, и исследования в космосе ведут
нс только астрономы . Их ведут и геофизики,
и биологи, и физики, и инженеры различных
отраслей техники .
Астрономов интересуют состав межпланет
ного газа, магнитные поля других планет, мете
орное вещество. Они изучают планеты солнеч
ной системы, их магнитные поля, состав атмос
феры, детали поверхности и т. п .
Радиоастрономы изучают космическое ра
диоизлучение во всех диапазонах радиоволн
и уже сейчас пытаются уловить на фоне косми
ческих шумов сигналы от разумных существ
других миров.
Запросы геофизиков более скромны . Их ин
тересует сама Земля, ее внешние оболочки:
атмосфера, ионосфера и магнитосфера - маг
нитное поле Земли и пояса радиации, связан
ные с ним.
Радиационные пояса в неменьшей степени
волнуют и биологов - полеты людей и созда
ние будущих космических станций-спутников
не могут проводиться без учета влияния радиа
ции. Защита от нее - одна из серьезнейших
проблем космонавтики.
Сложнейшие эксперименты проводят на спут
никах физики. Они изучают таинственные кос
мические лучи и тщательно исследуют излуче
ние Солнца .
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
Особенное значение для всех исследований
имеет создание тяжелых спутников-платформ,
о необходимости которых говорил еще Циол
ковский. Запущенные на орбиты за предела
ми земной атмосферы, они будут практически
вечно обращаться вокруг Земли . К этим по
стоянным спутникам-платформам, а в даль
нейшем, может быть, и спутникам-городам (!)
смогут пришвартовываться для дозаправки топ
ливом космические корабли, стартующие к дру
гим планетам .
Возможность пополнения топливных запа
сов и старт с движущегося спутника увеличи
вают радиус действия, грузоподъемность и воз
можности м11.невров в космосе.
На тяжелых спутниках смогут долгое время
«гостить» ученые и вести с них исследования
космоса . Созда�;ше таких спутников открывает
особые перспективы для астрономов. Разместив
на спутниках телескопы большой мощности,
они смогут получать особенно четкие изображе
ния небесных тел и деталей их поверхности .
В космосе резко возрастет разрешающая спо
собность телескопа, потому что вся толща зем
ной атмосферы с ее пылью и водяными парами
останется внизу . Спадет, так сказать, туман
ная пелена, веками застилавшая объективы
телескопов .
Изучение и освоение космоса обогащают не
только астрономию, но и другие 1;1ауки . Спутники
открывают широкие возможности для решения
чисто технических задач. С помощью спутни
ков можно создать радионавигационные систе
мы, охватывающие· всiо нашу планету. Метео
рологи смогут наблюдать за движением облач
ных масс, за возникновением и движением цик
лонов и бурь сразу на всем земном шаре. И, на
конец, с помощью спутников уже сейчас начала
решаться задача создания сети всемирного теле
визионного вещания.
За преде.�rаии тропосферы
Первые сведения о составе верхних слоев
атмосферы Земли, ее плотности и других харак
теристиках были получены косвенными мето
дами: наблюдениями за свечением ночного неба,
полярными сияниями, серебристыми облаками,
вспышками метеоров и другими явлениями,
происходящими в верхних слоях воздушной
оболочки Земли.
Затем появилисьметоды зондирования, «про
щупыванию> атмосферы радиоволнами . Прони-
173

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
зывая атмосферу, радиоволны по-разному отра
жаются от различных ее слоев и, возвращаясь
обратно в виде слабого радиоэха, позволяют
по степени отражения их судить о плотности,
составе и электрических свойствах верхних
слоев атмосферы.
Развитие ракетной техники дало в руки
ученых новое мощное средство для научных
исследований . Вдlсотные ракеты позволили под
нимать различные физические приборы непо
средственно в верхние слои атмосферы и. прово
дить измерения, так сказать, «на месте» .
.
Вел:u:чины, измеренные «юi небе», приборы
запоминают и записывают, а потом с помощью
тю\ называемой системы радиотелеметрии пере
дают на Землю.
Исследования верхних слоев атмосферы при
помощи ракет, систематически проводимые со
ветскими ученымu, дали ценные научные резуль
таты . Но все же ракеты приносят довольно огра
ниченные сведения . ДелО' в ·том, что, подни
маясь вертикально вверх, ракета позволяет
как бы осуществить вертикальный разрез· атмо 
сферы . По существу измеряются данные об
атмосфере только над одной точкой земного
шара и за очень небольшой отрезок времени,
так как ракета nаходится в полете. всего не
сколько минут . А свойства верхних слоев атмо
сферы сильно изменяются в зависимости от ши
роты и долготы места, от времени суток и года,
поэтому одновременно охватить измерениями
весь земной шар мсжно только при помощи
искусственных спутников Земли .
С помощью спутников удалось особенно под
робно исследовать ионосферу - слой сильно
ионизованного воздуха, окружающего нашу
планету на высоте от 70- 80 до 400- 500 км.
До запуска спутников свойства ионосферы изу
чались по отражениям и преломлениям радио
волн, посылаемых с Земли . Направление радио
волн со спутников в ионосферу позволило глуб
же и точнее исследовать ее свойства .
Много интересных сведений дали также
физические приборы, непосредственно измеря
ющие концентрацию заряженных частиц (элек
тронов и положительных ионов). Оказалось,
что ионосфера простирается значительно выше,
чем предполагалось ранее . До последнего вре
мени считалось, что концентрация электронов
на высотах более 300-400 км быстро падает .
Однако непосредственные и�мерения, прове
денные на спутниках, показали, что даже на
высотах порядка 800-1000 км концентрация
электронов очень велика и только в 10 раз
меньше наибольшей концентрации, наблюдае-
:1'74
мой на высоте 300 км. Столь существенное уточ
нение данных о слоях ионосферы, лежащих
выше слоя с максимальной концентрацией,
объясняется тем, что эта область недоетупна
для наблюдений наземными средствами радио
зондирования и сведения о ней могли принести
только спутнюш и космические ракеты .
Результаты ра1•етных исследований ионо
сферы полностью подтвердили, что состояние
этого слоя атмосферы всецело определяется
солнечной активностью - излучен.нем Солнца .
Ионосфера как бы «дышит» в такт с горячим
дыханием Солнца . Вспышки на Солнце выбра
сывают потоки корпускул - частиц солнечной
материи, которые, достигая газовой оболочки
Земли, непрерывно изменяют ее электрические
характеристики . Не · ·то лько корпусnулярное,
но и коротковолновое излучение Солнца непре
рывно воздействует на ионосферу. На освещен
ной Солнцем половине земноrо шара состояние
ионосферы иное, чем на теневой .
Исследования,. проведенные на спутниках,
принесли ученым много неожиданностей . На
пример, плотность воздуха на высоте полетn
спутников оказалась в несколько paG большей,
чем ожидалось . На высоте 266 км она при
мерно в 10 млрд . раз меньше, чем у поверх
ности Земли, но дальше плотность уменьшается
сравнительно медленно .
Прежде условно считали, что на высоте
1 тыс . км земная атмосфера переходит в меж
планетный газ, а теперь, после процеденных
исследований, ученые смогли установить, что
эта граница значительно выше и достигает
2,5-3 тыс. км .
Спутники и ракеты обнаружили, что верх
ние слои атмосферы такие же неспокойные,
как и нижние,- там также дуют ветры, при
чем с огромными скоростями .
Вся толща атмосферы не только неспокойна,
во и неоднородна . На высотах до 100 км атмос
фера хорошо <шеремешана» и ее состав при
мерно такой же, как у земной поверхности .
Выше происходит расслоение - доля легких
газов с высотой увеличивается . Кроме того,
оказалось, что, начиная с высоты·100 км, моле
кулы кислорода распадаются на атомы и выше
150 км кислород встречается только в атомар'
ном состоянии . А с высоты 250 км и выше
атмосфера состоит в основном из атомов азота
и кислорода .
С помощью спутников ученые узнали много
нового о температуре верхних слоев газовой
оболочки Земли. Было замечено, что в измене
нии температуры и плотности атмос;зры имеет-

ся та же повторяемость, что и у различных
видов солнечной деятельности. Особенно силь
ны воздействия Солнца . на атl
\
юсферу в годы
максимумов солнечной активности. Очень пока
зателен в этом смысле .пример с длительностью
сущест.вования третьего советского 11скусствен
ного спутника Земли. СпутнИI\ продержался
на орбите на полгода дольше, чем было рас
считано. 01\азалось, что причина. этого не в
ошибках расчета, а в том, что испо;1ьзовались
данные о плотности верхних слоев атмосферы
за 1957- 1958 гг. , когда был максимум солнеч
ной активности. В 1959 и в начале 19GO г.
солнечная активность снизилась, уменьшилась
плотность атмосферы и сопротивление ее дви
жению спутника; естественно, увеличился
и сро1\ жизни спутника .
Межпо1
1
анетныА rаэ
До недавнего времени считалось, что если
в космосе, кроме космической пыли, и суще
ствует межпланетный газ 1, то плотность его
очень мала: в 1 см3 космического пространства
содержится всего несколько атомов вещества .
Изучение свечения ночного неба и другие
наблюдения привели некоторых ученых к вы
воду, что межпланетное пространство запол
нено электронами, причем в количестве около
100штукв1см3
•
Стол)>ко же должно быть
в 1 см3 и протонов, так как межпланетная среда
электрически нейтральна .
Но с этими выводами были согласны далеко
не все ученые . Некоторые по-прежнему счи
тали, что в межпланетном простр.анстве коли
чество электронов и протонов не превышает
10 частиц на 1 см
3
, а большая плотность этих
частиц свидетельствует лишь о том, что в меж
планетном пространстве существуют потоки
корпускул - частиц, выбрасываемых с поверх
ности Солнца .
Решить этот спор с помощью только назем
ных наблюдений невозможно. Поэтому уточ
нить вопрос о природе и плотности межпла
нетного газа могли только непосредственные
измерения, проведенные на спутниках и кос
мических ракетах. Приборы сумели разобрать
ся в том, принадлежит ли протон к потоку сол
нечных корпускул или относится к межпланет-
1 Межnланетньiй газ - особая форма материи,
заполняющая межпланетное пространство. Состоит
главным образом из беспорядочно перемешанных про
тонов 11 электронов.
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
ному газу. Оказывается, частицы разного про
псхождения раз<'1ичаются по энергиям и ча
спщы больших энер1·ий прина11лежат норпу
скулярны111 потонам; энергия же протонов ме;-1>
планетного газа невелика.
Четыре протонные .ловушки, установлен
ные на первой советской ракете, ставшей спут
ником, Солнца, собирали протоны одновре
менно. Причем две из них были за�\рыты ДJIЯ
протонов малых энергий, в то время как все
четыре улавливали протоны корпускулярных
потоко.в . Данные, полученные с помощью та�шх
непосредств
.
енных измерений,. говорят о том,
что межпланетный газ существует. Плотность
протонов .на высоте 150 км составляет около
1000 частиц в 1 см3
, а на расстояниях 100-
150 тыс. км от поверхности Земли она сни
жается до. 300-400 частиц в 1 см3•
Итак, мы теперь должны представлять себе
межпланетное пространство как сложную сре
ду, заполненную чрезвычайно разреженным
протонно-
.
электронным газом. Эта среда во всех·
направлениях пронизывается . различными ви
дами электромагнитного излучения, а та�\же
потоками заряженных частиц, испускаемых
поверхностью Солнца и звезд.
Изучение как самого состава этой среды,
так и причин изменения ее структуры имеет
огромную практическую ценность в нашу эпоху
начала космических полетов. Кто знает, может
быть, космический газ с ничтожной плотностью
будет .о
.
казывать не меньшее сопротивление кос
мическим кораблям будущего, чем воздух
современным реактивнt.J:м самодетам.
Маrнитное по.11е Зеи"'Iи и пояса радиации
Крупнейшим научным результатом, полу
ченным с помощью искусственных спутников
Земли, ученые считают открытие околоземных
поясов радиации, процесс образования кото
рых тесно связан с магнитным полем Земли
и таинственными космическими лучами.
Космические лучи образуются в недрах
нашей звездной системы - Галактики . Срав
нительно небольшое количество их излучается
Солнцем. Приходящие на Зем.ч:ю со всех сторон
космические лучи почти не доходят до земной
поверхности. Встречаясь с атомами газов, вхG
дящих в состав земной атмосферы, они разби
вают эти атомы и дают начало целому рою
вторичных частиц, которые и достигают зем
ной поверхности. Лишь частицы очень больших
175

КАК АСТРОНОМИЯ ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
энергий способны пробить атмосферу, поэтому
только их можно фиисировать и изучать непо
средственно на Земле.
Однако по таким наблюдениям нельзя
судить об интенсивности первичных кос
мичес:rшх лучей, идущих из космоса и не под
вергшихся взаимодействию с атмосферой. Сре
ди частиц, имеющихся на высотах до 100 км,
лишь ничтожная часть пришла непосредст
венно из космоса, а большинство (около 99,9%)
представляет собой вторичное излучение.
Но не только атмосфера защищает нас от
космических частиц. На заряженные частицы
космических лучей сильное воздействие ока
зывает магнитное поле Земли. Слабые частицы
отклоняются к геомагнитным полюсам. Экватори
альных районов достигают только наиболее быстрые
частицы. Механизм взаимодействия магнитного
поля Земли и заряженных частиц известен
давно. Под действием магнитного поля частица
начинает двигаться вдол11 силовых линий поля,
в то же время как бы навиваясь на них. По мере
приближения к полюсу силовые линии сгуща
ются и замедляют движение частицы вплоть
до полной остановки ее. После этого начинается
такое же движение в обратном направлении.
И так снова и снова - заряженная частица
попадает в ловушку.
В начале космических исследований задача
изучения этих <шленников» магнитного поля
не ставилась. Но измерения, проведенные со
ветскими и американскими учеными для изу
чения космических лучей на первых же спут
нинах, неожиданно показали существование
областей с повышенной интен�ивностью излу
чения - счетчики космических лучей отметили
резное возрастание количества частиц высо
ких энергий. Это позволило предположить, что
магнитное поле Земли является как бы ловуш
кой для вторичных космических лучей. Оно
не только отклоняет их, но и удерживает около
Земли, накапливает и создает повышенную кос
мичесную радиацию.
Окончательно подтвердили эти факты и уточ
Jшли строение области радиации полеты пер
вой советской космической ракеты «Луна-1»
и американской ракеты «Пионер-111». Обе ра
кеты осуществили вертикальный «разрез>� око
лоземного пространства. Пройдя сквозь весь
пояс радиаций, который оказался состоящим
из двух зон, они позволили провести много
численные измерения и составить более пол
ное представление о строении этого пояса.
Оназалось, что Земля окружена двумя кон
центрическими поясами радиации, своего рода
176
ореолами, или кольцами. Толще всего эти
кольца в плоскости экватора. Внутренний
пояс, или зона, начинается с высот порядка
600-1000 км и простирается до 3-4 тыс. км,
внешний - с 10 тыс. км, имеет максимум на
высоте 20 тыс. км, а его граница кончается
в 40-50 тыс. км от Земли. Внутренняя зона
состоит из частиц высоких энергий, в основ
ном протонов, а внешняя - из электронов
значительно меньших энергий. Кольца зон ра
диации несимметричны относительно центра
Радиациоввые пояса 3е11J1и.
Земли, так как центр магnитного поля не сов
падает с геометрическим центром Земли.
Обязанные своим существованием магнит
ному полю, пояса радиации даже в мелких
деталях повторяют его конфигурацию: маг
нитные аномалии «подтягивают» к себе нижнюю
границу внутренней зоны. В южной части Ат
лантического океана, между Южной Амери
кой и южной оконечностью Африки, граница
пояса радиации опускается до высоты 300 км.
Обнаружение и распределение такого рода
«отрогов» поясов радиации очень помогло
при определении трасс полета космонавтов -
орбиты космических 1юраблей должны проле
гать вне опасных зон. Эти же соображения
заставят при межпланетных полетах или бы
стро «пробивать» пояса радиации, или выхо
дить за их пределы через полярные области.
Для изучения природы первичных косми
ческих лучей особенно ценны полеты косми
ческих ракет к Луне, Марсу, Венере, так
как лишь тогда, когда приборы находятся не
только вне атмосферы, но и вне магнитного
поля Земли, можно определить интенсивность
первичных космических лучей, изучить их при
роду и происхождение.
1
Тако й м о жно представить себе орбитаJ1ьиую космиче-
скую станцию.
-·
На обо роте: УдивитеJ1 ьное зреJ1ище увидят косм о
навты на спутник е Марса.

Метf!орпое вещество
Межплане тное пространство наше й солнеч
ной системы соде ржит огромное количество
твердого вещества -,.
.-
мелких твердых крупи
нок и космической пыли . Частицы этой пыли,
путешествуя в ок руг Солнца , проникают в ат
мосфе ру Земли и, сгорая в не й, образуют в ноч
ном небе огне нные проче рки «падающих звезщ> ,
или метео ров .
Метеорные тел а влетают в атмо сферу Земли
с огромно й скоростью . Она доходит до 73 км /сек,
т. е. во мно го раз превышает скорость полета
пули или снаряда . Понятно , что встреча с ними ,
даже если их вес ме ньше 1 Г, грозит серьез
ными пов реждениями спутникам , ракетам и
космическим кораблям.
Важно знать не только вероятность встречи
с «к рупными)) метео рными телами , весом боль
ше 1 Г, но и верно оценить количество ме льчай
ших пылинок . Бомбардируя длительное время
поверхность космического корабля (подо бно
пескоструйному аппарату) , эти пылинки могут.
вызвать помутнение объе ктивов оптических
приборов , разрушить покрытие элементов сол
нечных батарей. И, что особенно важно , они
могут изменить отражающую и излучающую
способность поверхности ко рпуса раке ты , а
это в свою очередь приведет к нарушению теп
лового режима внутри ракеты или спутника .
И ученых , и всех, кто интересуется косми
че скими полетами, очен ь волнует , насколько
велика «метеорная опасностм , как часто
спутник или космическая ракета может сталки
ваться с метеорными телами .
Пе рвый ответ на эти вопросы дали искус
стве нные спутники Земли . Практически дли
тел ьн ая безаварийная работа всех советских
и американских спутников показала, что реал ь
ная вероятность встречи с мете орными тел ами
ощутимых разме ров оче нь мала . Только на
одном аме риканском спутнике -«Эксплоре р-111)).
при таком столкновении был а выведе на и з строя
радиоапп аратура . Есть· основания считать , что
и советская автоматическая ме жпланетная стан
ция (АМС} , направленная к Венере , не ожидан
но прекратила свои пе редачи в резул ьтате стол
кновения с крупным метео рным телом. Это
объяснение тем более обосновано , что Земля
в это время проходила че рез один и з метеор
ных потоков .
Измерения , проведенные на советских спут
никах и космических ракетах, показали , что
плотность метеорного вещества в ме жпланет
ном пространстве крайне мала. На объем про-
812д.э.т.2
ЧЕЛОВЕК ВЫШЕЛ В КОСМОС
странств а, заключенный в кубе со стороной
в 100 км , приходится только одно метеорное
тело с массой около 1 Г.
Общие результаты изуче ния метео рного веще
ства с помощью спутников и ракет говорят о том ,
что Земля окруже на кольцом такого вещест
ва, свое образным пылевым облаком , кото рое
простирается до высот порядка 100 тыс . км .
Хотя плотность частиц здесь невелика , но она
з начительно выше , чем вообще в ме жпл анет
ном пространстве .
Итак , опасность столкновения невелика , хотя
выход из строя сове тской АМС , посланно й
к Венере , и повреждение аме риканского спут
ника «Эксплорер-111» , казалось бы , говорят
об обратном . О малой вероятности столкнове
ния с крупным метеорным телом лучше всего
говорит бе заварийное существование
более
сотни спутников , запущенных в СССР и США
з а первые пять лет космической эры . Таким
образом , можно считать, что встреча с крупным
метеорным телом менее вероятна , чем авария
на обычной гражданской авиалинии .
Таковы некоторые итоги исследования кос
мического пространств а.
Спутники Земли и космические ракеты ,
посланцы к Марсу и Венере , космические
корабли - это первые разведчики са�ой близ
кой нам части солнечной системы .·.
Здесь в
ближайшем будущем все чащ� будут ':про-хо-.
дить полеты космических кораблей с Земли .
Ракеты пройдут мимо планет , помчатся на
сближение с Солнцем. Будут ·заброше ны на
планеты танкетки-л аборато рии . Они возьмут
пробы почв , проведут сейсмические исследо ва
ния , и змерят магнитное поле .
Космические ракеты сами станут спутни
ками других пл анет , направят на них теле
скопы и фотоаппараты для тщательного и зу
чения . Не только планеты , но и асте роиды ,
и кометы станут предметами их изучения.
Пройдя сквозь хвост кометы , ракета сможет
в з ять пробу состава ее вещества и передать
результаты анализа по радио на Землю . Ракеты
достав ят и пробы пород с других планет. Они
же подготовят запасы горюче го дл я обратного
отлета космического корабля с людьми .
Масштабы проникновения человека в кос
м ос увеличиваются с каждым днем. И, может
быть , Вы , читающие ·се йчас эти строки , прой
дете «по пыльным тропинкам далеких пл анет» ,
разгадыв ая неведомые тайны природы и откры
вая для своих земных братьев новые кл адовые
сырья и энергии.
•
177

+
МЫ ВИДЕ.JIИ ЗЕМЛЮ
из космо
планете ,
космосе.
книге вы позн ако
тел , внушител ьным
одвигу нашего
в, рабочих , которые о щими
и нас в небо.
лько девять в наше й стране
в космос . Партия и совет-
Не розами был усеян наш путь в космос .
Долго и упорно готовились мы к внеземным
условиям работы . МЫ изучали новейшие да н
ные разных наук, ракетную технику и радио ,
астрономию , астронавигацию и другие дисцип
лины. Тренировали себя на стадионе , в голу-

причудливы
равнины, бле
ые и бельiе.
т
различить, где суша,
Каждые полтора час
береговыми линия
ящие снега и обла
Бременами облака
что нельзя было
ре.
повторялся у нас
и эти полтора ч а составляли наши
-IJ'l�!RJRlwли на воет , навстречу Солнцу,
вращались с запада.
угосветных путеmест
ятером.
первыми в истории чело
' в космосе побывали наши
космо
шаги всегда самые короткие
ые. Наши полеты - это пер вая,
·�l!'!l
l"
LL\aя проба сил и первая победа в цепи
будущих побед. Валентина Николаева-Те
..
..
.t
tJ
r.ш!"
"
•.икова доказала, что не только мужчины, но
женщины после тщательной подготовки
могут летать и работать в космосе. Начинает
ся, уже начался новый этап в завоевании не
ба: от набл юдений космоса с Земли челове
чество переходит к практическому изучению
его. Бы уже знаете о первом коллективном по
лете в многоместном космическом корабле «Вос
ход». В нем было сразу трое - летчик-космонавт
12*
+
Герман �тепавович Титов.
Андриян Григорьевич Нико.1
1
аев.

Павел Романович Попович.
Валерий Федорович Быковский.
и два специалиста - кандидат технических наук
и врач-космонавт, каждый со своими заданиями.
Сами понимаете, что суточный полет этот - пер
вая проба, что «Восход» - первая ласточка в ря
ду будущих кораблей дальнего плавания и бу
дущих стационарных летающих лабораторий с
многомесячными и даже многолетними програм
мами терпеливых наблюдений.
У науки в носмосе дел полным-полно.
Ученые многих областей науни выдв игают
задачи, связанные с исследованием уже не на
Земле, а в самом носмосе. Астрономы жа ждут
установить свои телесно пы и другие приборы
на Луне или на искусственных небесных телах -
там земная атмосфера не будет мешать наблю
дениям. Геологи хо тят посетить Луну и пла
неты. Изучение их прольет новый свет и на
сложные вопросы строения Зеi\IЛИ. Геофизи
кам исследование самых верхних слоев
феры поможет раскрыть многие тайны
Земли. Для физиков и химинов
ные возможности откроет
в космичесних условиях.
уже изучают влияние не
сти и космических
ми: широчайша
крытий.
Вспомните, что
спутники отнрыли неизвестные до той поры
радиационные пояса - зоны за рнженных ча
стиц. Они представляют серьезное препятствие
в освоении космоса и требуют бо.льшой осто
рожности.
Наше время иногда называют эпохой Вели
них космичесних отнрытий, сравнивают его
с эпохой Великих географических открытий.
Мы с уважением произносим имена Колумба,
М агеллана и других великих путеiпественни
ков, открывавших новые земли на нашей пла
нете. Но наши возможности неизмеримо шире.
И главное - мы знаем свои задачи на деся
тилетия вперед.
Читая эту ннигу, вы встречались со мно
жеством не решенных еще наукой . вопросов.

Чем покрыта Луна - п ыл ью или пористым
:камнем? Что за ст ранные лучи видны вокруг
не которых лунных гор? Из че го состоят облака
Вене ры и :как ая темпер атура под ними? Что
скрыто под этими облаками? И чт о такое так
назы ваемые каналы Марса? Есть ли жизнь
на Марсе и на Венере и :каковы формы
жизни? А потом, путешествуя уже
лами солнечной системы ,
\J
Jfi
SJ���!!
разумную жизнь, иную
жую, а может быть, !J.
.o'
��Wi'll!fi.1�Гd
нашу?
Вы тепе
мечтала о по
__.,п.,.х родительс:ких домов она
романтические дали, на передний
и жизни , туда , где трудно и опасно.
Подвиг ами насыще на жизнь нашего народа,
особенно за последние десятилетия . В трудней�
шие годы Великой Отечественной войны ценой
жизни многих и многих героев была сп асена
наша Родина и разrромлен жесто:кий и :ковар
ный враг .
После войны советский народ - народ-ге
рой, народ-исполин - своим трудом восст ано
вил разрушенное хозяйство и строит вели:кое
здание коммунизма . И :каждая веха этого
строите льства свя зана с подвигом тысяч и
миллионов советских людей . Вспомните о
гер оях целины , о строителях величайших в
мире эле ктростанций , о разведчиках земных
недр и о многих , многих других ...
Rак гово
рил наш писатель А. М . Горький: «В жизни
всегда есть место подвигам».
Наступ ает время , когда множество подви
гов потребует и космо с.
+
ВаJJентинв ВJJадимировпв НнкоJJаева-Терешкова.

Константин Петрович Феоктистов, В.1адимир М11хай,1ощ1ч Комаров,
Борис Борисович Егоров.
Сейчас в :космосе побывали единицы . За
вами пойдут сотни , тысячи, сотни тысяч.
Впрочем, и миллионы - это не все че лове
чество . Покорение :космоса - коллективное
дело, так оно и останется коллективным. Одни
из вас сами поднимутся в космос, другие будут
вас поднимать, все вместе совершая единый
трудовой подвиг .
Готовьте себя к подвигам, дорогие друзья ,
на Земле и в космосе! Учитесь, овладе вайте
знаниями! Помните , чт о путь к бол ьшому
и !Jеликому начинается с малого , не заметного .
1.82

АСТРОНОМИЯ И ДРУГИЕ НАУКИ
Астрономия во все времена развивалась
и теперь развивается в тесной связи с другими
науками, особенно с :математикой и физикой.
Математика и физика , так же как и астро
номия , зародились в глубокой древности.
В Египте , Вавилонии уже за много веков
до нашей эры были достигнуты известные
успе хи в арифметике и геометрии. Там же скла
дыв ались первоначальные , еще крайне прими
тивные представления и о некоторых физи
че ских явлениях .
В древней Греции и ее колониях начиная
с VI в. до н. э., а потом и в эллинистических
государствах математика и астрономия раз
вивались быстрее физики. В то время физику
рассмат ривали как науку о природе вообще ,
в том числе и о живой природе .
Греческие астрономы стремились объяс.:.
нить наблюдаемые закономерности и откло
нения от них в движениях Солнца , Луны , пла
нет , определить размеры этих небе сных тел
и рассто яния до них . Для этого знаний по мате
матике , заимствованных главным образом Из
Египта , было недостаточно . Необходимо было
научит ься решать многообразные геометриче
ские задачи на плоскости и на сфере , с доста
точной точностью измерять углы , площади ,
объемы . Уже в Vl-IV вв . до н. э . греческие
ученые разработали основы геометрии , а в
111 в. н. э. крупнейший греческий ученый
Евклид дал систематическое изложение ее . Бла
годаря этому александрийские астрономы при
обрели большие знания и опыт в решении
геометрических задач на небесной сфере .
Греческие ученые овладели и действиями
с очень бол ьшими числами. В 111 в. н. э . Архи
мед решил такую задачу : есл и Вселенная -
шар , «замыи аемый» сферой неподвижных зве зд ,
а размеры ее такие , как предполагал Ари
ст арх Самосский1 , старший современник Архи
меда , то сколько песчинок вместит этот шар?
Речь шла о заведомо огромном числе , а с таки
ми бол ьшими числами математики никогда еще
дела не имели . Архимед разработал систему
последовательно увел ичивающихся чисел и по
ка зал , что числ а как бы уходят в бесконечност ь.
После этого он уже легко высчитал , что коли
че ство песчинок , вмещаемое Вселенной , равно
единице с 63 нуля ми.
1 Аристарх считал расстояние от Земли до Солнца
в 1200 земных радиусов-около 7,6 млн. км-и правиль
но полагал, :что это расстояние совершенно ничтожно
(как бы «то�кю>) по сравнению с расстоянием до звезд.
АСТРОН ОМИ Я И ДРУГИЕ НАУКИ
Таким образом , астрономия ст авила перед
математикой новые задачи и тем самым спо
собствовала ее развит ию. Со своей стороны
успехи математики помогали прогрессу астро
номии .
Конечно , было бы ошибочно думать, что мате
матика развивалась только под влиянием за
просов астрономии . Математика была необхо
дима и для торговли, и для ремесла, и для
других нужд . Без глубокого понимания пропор
ций и объемов не возможны были бы и замеча
тельные достижения греческой архитектуры и
скульптуры.
Другая наука , которая в древности (а потом
и в средние века) называлась физикой , в то
время не помогала прогре ссу астрономии и
даже задерживала его . В сущности это и не была
физика в ее настоящем понимании .
Общеизвестно , что в изучении природы на
блюдение и опыт играют решающую роль.
Только при их помощи можно достоверно уз'"
нать, как происходят те или иные явления
в природе . Физика в наше время - одна и з
основных наук о природе , она исследует общие
свойства вещества и движения . Современная
физика располагает мощными средствами для
«испытания» природы путем сложнейших и мно
гообра зных опытов.
Ученые же древности и средневековья , сле
дуя умо зрительным взглядам Аристотеля , не
придавали никакого значения наблюдению и
опыту. Ученые размышляли о том, как дол
жны совершаться те или иные явления в при
роде , но не проверяли опытом, так ли они
совершаются в действительности. Ученые древ
ности обычно принимали видимое в природе
за .действительное : если нам на Земле кажется,
что Солнце , планеты и зве зды движутся вокруг
Земли, значит , так и есть на самом деле . При
этом они считали, что небесным те лам присущи
только круговые движения и только вокруг
Земли, так как Земля - центральное непо
движное тело во Вселенной и все тела должны
«тяготеты> к ней как к самому тяжелому телу.
Считали , что если бы Земля двигалась, то все
находящееся на ней , а также и окружающий
ее воздух должны были · бы « слететь» с нее
и отстать, а сама Земля при движении рассы
палась бы на части.
Находясь во власти таких в корне оши
бочных взглядов , древние и средневековые уче
ные , используя свои математические знания,
создавали искусственные схемы кругов , по ко
торым будто бы движутся небесные тела вокруг
Земли,- лишь бы не нарушались воззрения
:188

КАК АСТРОНОМИ Я ПОМОГАЕТ ЧЕЛОВЕКУ
Аристотеля , которые всячески поддерживала
и религия. Коперник смело и решительно отка
за.лея от устарелых физических представлений
о не во зможности движения Земли , и это позво
лило ему сделать свое великое открытие .
Коперник обосновал положение , что дви
жение Земли в пространстве , даже и с огром
ной скоростью , остается не.заметным для ее
обитателей . Суточное движение Солнца и его
годичное перемещение среди звезд - это отра
жение суточного вращения Земли и ее годич
ного движения вокруг Солнца . Ведь и на самой
Земле движение тел воспринимается наблюда
телем в зависймости от того , движется ли он
сам по Земле или находится в покое . Эта дока
занная Коперником относительность движения
опровергла аристотелевские представления о
том, что видимое в природе всегда есть дей
ствител ьное . Но если кажущееся не всегда
ест ь действите льное, то для того , чтобы отли
чит ь действите льное 01' кажущегося, необхо
димы наблюдения , опыт , математический ана
лиз. Поэтому-то открытие Коперника явилось
основой успешного развития не только новой
астрономии, но и новой физики. И после Ко
перника астрономия уверенно развивается в
теснейшей взаимосвязи с прогрессом как мате
матики, так и физики.
Во времена Коперника вершиной матема
тиче ских знаний была тригонометрия - пло
ская и сфериче ская . Когда Кеплер открыл за
коны обращения планет и ока залось , чт о пла
неты движутся по эллиптическим орбитам и с
не равномерной скоростью , для изучения их
движе ний имеющие ся математиче ские знания
и средства вычисления были уже недостаточны .
В начале XVII в. шотландец Джон Непер
(1550- 1 617) открыл логарифмы , вскоре за
тем французский ученый Рене Декарт (1596-
1650) создал аналитическую геометрию , а к
концу века Ньютон и немецкий ученый Готф
рид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) разрабо
тали дифференциальное и инте гральное исчи
сления - основные разделы высшей математики .
В свете открытог0 Ньютоном закона все
мирного тяготения оказывалось , что движения
планет происходят не вполне по законам Кеп
лера, так как , помимо солнечного притяжения ,
каждая планета испытывает «возмуще ние» со
ст ороны других планет . Это же относится и к
движению Луны вокруг Земли.
Так в трудах Ньютона и великих матема
тик ов XVIII в. Леонарда Эйлера , Алексиса
Клода Клеро, Жозефа Луи Лагранжа , Пьера
Симона J.Iапласа (1749- 1827) сложилась не-
:184
бесная механика - раздел астрономии , изу
чающий при помощи точнейших математических
методов движения не бесных тел с учетом всех
«возмущений» .
Когда с конца XVI. в. физика ст ала разви
ваться на основе наблюдений и опытов , осо
бенное значение приобрели исследования по
оптике . Они привели к со зданию первых теле
скопов. Галилео Галилей, направив на небо
построенвый им телескоп , сделал при помощи
его выд�ющие ся открытия. Оказалось , что при
менение оптических стекол бе змерно расши
ряет границы видимого мира. С этого времени
непрерывно совершенствовались телескопы раз
ных систем и конструкций. Это со временем
привело к со зданию гигантских астрономиче
ских инструментов - рефракторов и рефлек
торов . Они оказали науке неоценимые услуги.
Однако вплоть до середины XIX в. дости
жения астрономии ограничивались исследова
нием формы и движений небесных тел , а о фи
зической природе их в сущности ничего не было
известно . Но когда в ре зул ьтате успехов физи
ки возникли спектральный анализ (см . т. З ДЭ)
и фотография, наступила и новая эра в астро
номии . Спектрал ьный анализ в применении
к небесным телам дал возможность не только
узнать химический состав далеких зве зд , но
и выяснить, в каких состояниях нах одятся
те или иные химиче ские элементы в разл ичных
зве здах . А так как во Вселенной существует
великое многообразие зве зд - они разл ичны
и по температуре , и по светимости , и по раз
мерам, и по массам ,-то спе ктральный анализ
открывал перспективу познания самых разно
образных состояний вещества , которые невоз
можно. познать в земных условиях .
Большие перспективы для астрономии от
крыла и фотография. Сравнение снятых в раз
ное время фотографий тех или иных участков
неба , тех или иных небесных объектов дало
во зможность подмечат ь такие изменения на
небе , которые бе з фотографии остались бы не за
меченными .
Спектральный анализ и фотография разви
вались далее также в тесной связи . Фотогра
фия позволила заi:Iечатлевать на пластинках
спектры небесных тел , а потом исследовать их
в лабораториях . Так на основе успехов физики
сложилась новая область астрономии - астро
физика , которая к концу XIX в. уже достигла
немалых успехов .
ХХ век ознаменовался важными достиже
ниями в области физики. Были открыты элек
троны , рентгеновские лучи , явление радио-

антивности, изме няемость и превращение эле
ментов . Эти и другие отнрытия бе змерно рас
ширили знания о природе вещества .
В свете новых отнрытий постепенно выяс
нилось , что вещество во Вселенной, при чре з
вычайной разреженности и при сверхплотно
ст и, при невообразимо высоних температурах
и т. п., может находиться в таних необычных
состояниях , нание раньше ниногда и не мыс
лились .
Но тание состояния вещества не возможно
воспроизвести при помощи опытов в лабора
ториях на Земле . В грандио зных масштабах
многообразные превращения вещества , прояв
ления его не обычных свойств происх одят в
звездах и в туманностях . Тольно изучая зт и
процессы , можно раснрыть тайны происхож
де ния и развития небесных тел . Это прямая
задача астрономов , и в наше время они ее ус
пешно решают . Но в то же время тание иссле
дования обогащают физину .
Де йствительно , каждая зве зда , будь то яр-
1шй сверхгигант , белый карлик , переменная
зве зда - цефеида или зве зда иного тип а,
эrо исполинсная физичесная лаборатория, где
неп рерывно сове ршаются физиче ские процессы .
и происходят явления в масштабах , немыс
лимых на Земле .
На прот яжении XIX и начала ХХ в.
загадной для ученых оставался вопрос об источ"
нинах анергии Солнца и зве зд . Казалось , нет
в природе таних сил , за счет которых можно
было бы пополнять огромный расход солнечной
эне ргии на протяжении миллиардов лет . А мно
гие зве зды излучают энергии в тысячи раз
больше , чем Солнце . Оназалось , что источни
ном зве здной, а значит , и солнечной энергии
являются яде рные реанции , в частности реак
ция превращения водорода в гелий . При этих
реанциях освобождается и излучается в миро
вое пространство огромное количество энер
гии . Кстати , о гелии: когда начались с.пект
ральные Исследования Солнца, то оказалось,
что Солнце (да и друrие зве зды) состоит из
таких химичесних элементо в, которые давно
уже известны на Земле . Однако на Солнце был
обнаружен и не известный еще в то время
на Земле самый легкий после водорода газ, .
ноторый в честь Солнца (по-гречески «гелиос»)
назвали гелием. Потом гелий был обнаружен
и на Земле , только на нашей планете он при
сутствует в небольших количествах , а на Солн
це (и во многих зве здах)- его очень много ,
так как значител ьна я часть водорода на Солн
це уже У(}Пела превратиться в гелий.
АСТРОНОМИ Я И ДРУГИЕ НАУКИ
Важнейшая задача физики на Земле - со 
здание таких приборов и установок , при
помощи которых мо жно осуществлять «управ
ляемые» ядерные реакции и уже по воле
людей превращать одни элементы в другие .
Можно не сомневаться, что в близком будущем
это будет осуществлено и человечество полу
чит в свое распоряжение дл я мирных целей
такое огромное количество анергии , о котором
совсем недавно нельзя было и мечтать. И все
таки это будет в скромных , с космической точки
зрения , масштабах нашей планеты . А на Солн
це и в звездах раскрывается бе зграничная кар
тина подобных превращений в таких масшта
бах и при таких температурах , которые на
Земле и в далеком будущем нельзя создать
даже при самых блестящих темпах развития
науки и техники.
Так в наше время при помощи астрономии
изучаются и решаются проблемы физики , во
просы состояния и поведения вещества в таких
условиях , которых нет на Земле , которые
только в будущем могут быть созданы , и даже
в таких , которые никогда не могут быть соз
даны на нашей планете .
Изобретение радио в конце XIX в. также
было одним из великих достижений физики.
Оно быстро нашло свое применение в технике
и позволило осуществить беспроволочную связь
на дал ьние расстояния , а потом и по всему
земному шару. Теперь радиоволны , прих одя
щие на Землю из глубин Вселенной, улавли
ваются мощными радиотеле скопами .
В наше время ·как никогда тесна связь
ме жду астрономией и физикой. Это не значит ,
что ослабла связь астроно мии с математикой .
Наоборот , она только укрепилась и усил илась.
Современная физика связана не только с опы
том и наблюдением, но и со сложными мате
матиче скими расчетами . Современная небесная
механика немыслима без огромных вычисл и
тельных работ . Например , сейчас уже известно
свыше 1600 малых планет , и дл я каждой не об
ходимо вычислить орбиту и следить за ее дви
жением с учетом всевозможных «возмущений»
от других планет . На помощь астрономии в
таких работах теперь пришли счетно-вычисли
тельные машины .
Особенно многообр азна в наше время связь
астрономии с техникой . Когда-то выдающиеся
астрономы , такие , как Гершель, Гевелий , Пар
сонс и многие другие , самостоятел ьно конструи
ровали и строили с очень скромными техниче 
скими средствами свои большие , первоклас
сные для того времени телескопы . Современ-
:1.86

КАК АСТРОНОМИ Я ПОМОГАЕТ ЧЕЛ ОВЕКУ
ный мощный телескоп с его совершенной опти
кой, с новейшей аппаратурой дл.1
1
спектраль
ных исследований , для фотографирования неба
в разных лучах и для других исследований -
это сложнейшее сооружение . Оно воплощает
в себе коллективный труд конструкторов , опти
ков , механиков , рабочих разных профессий,
физиков и астрономов . И это относится не толь"
ко к телескопу-гиганту, а к любому современ
ному астрономиче скому прибору.
Но никогда и нигде не проявлялась так
тесно связь астрономии с другими науками ,
с техникой, с народным хозяйством , как теперь,
в освоении космического пространства .
Сам по себе космический корабль, способ
ный пролетать миллионы километров и при
способленный для длительного пребывания в
нем людей,- творение высшей техники. Трн
умфом науки и техники является достигнутая
во зможност ь запустить такой корабль в космос
с требуемой космической ско ростью , позволя
ющей преодолевать притяжение Земли. Но
эт ого мало - ·к орабль оснащается пе только
приборами дл я управления и астронавигации,
во и средствами радиосвязи и телевидения,
п обе ждающими любые требуемые расст ояния .
Здесь на службу космонавтике ст авятся все
достижения и физики, и техники. И это -
далеко не все . Если поставлена задача осуще
ст вить полеты людей на другие планеты , т о
отсюда вытекает и другая задача: обеспечить
не обходимые условия дл я сохранения жизни ,
здоровья , работоспособности людей в косми
че ском пространстве . Мало и этого : надо еще
предвидет ь, какие условия могут ожидать по
сланцев с Земли на других мирах . Здесь -
не обозримое поле де ятельности дл я биологии
и медицины . На наших глазах формируются
новые отрасли этих наук - космическая био
логия и космическая медицина.
Словом, современная космонавтика - это
творческое сотрудничество многих отраслей
естествознания и техники. И в этом содруже
стве астрономия играет далеко не последнюю
роль. Ведь космиче ский корабль не посыл ается
с Земли «вообще» . Он посылается в определен
ном направлении , которое надо рассчитать во
всех дет алях так , чт обы корабль достиг своей
цели - прилетел бы туда , куда нужно . Расчет
движений искусственных небесных тел - это
новое направление небесной механики - зна
чит, дело астрономов , и решается оно при
помощи вычислительной техники . Такие тела
нужно тщател ьно наблюдать в полете и сле
дить за тем, как он совершается ,- это тоже
дело астрономов и выполняется ими во все
оружии наблюдательных во зможностей .
С глубокой древности астрономия связана
с географией. Определение формы и разме ров
Земли, географических координат , ориенти
ровка на суше и на море - все это всегда дела
лось и делается при помощи астрономии .
Связана астрономия и с изучением далекого
исторического прошлого че ловечества . О мно
гих событиях древности сохранились в лето
писях или в других лите ратурных памятниках
только отрывочные записи , и по ним невозможно
установить, когда эти события происходили.
В разных записях встречаются и противоре
чивые данные о времени события . В таких слу
чаях историки оказываются в трудном поло
жении , и па помощь им не редко приходит
астрономия .
С очень давних времен такие системат ичес1ш
повторяющие ся явления , как видимые движе
ния Солнца и планет , фазы Луны , солнечные
и лунные затмения , упоминаются в истори
че ских и литературных памятниках . Астро
номы могут точно определять даты этих явле
ний и дл я далекого прошлого и на будущее
время . Предположим , в зап исях и преданиях
зафиксировано , что такое-то сражение , решив
шее судьбу тех или иных стр ан и народов , про
изошло накануне полного солнечного затмения .
Даты сражения нет , а если и есть , то не всегда
в не й легко разобраться , так как в древности
было много противоречащих одна другой си
стем летосчисления . Но если астрономические
вычисления показывают , чт о в данной ме ст
ности происходило солнечное затмение при
мерно в то время , когда происходило сраже
ние , то дата его определится уже не примерно,
а точно.
Немало разл ичных народнохозяйстве нны х
задач разрешается при помощи астрономии.
Таким образом , астрономия тесно связана
с другими пауками , с техникой , с практиче
ской жизнью . Следовательно , и история астро
номии также теснейшим образом связана со
всей историей культуры че ловечества . Поэтому
от астронома всегда требовалось, а в наше вре
мя особенно требуется , чтобы он не только
знал свою науку, но и был разносторонне обра
зованным че ловеком.
•

•
МИХАИ.J
J
ВАСИ.J
J
ЬЕВИЧ
.J
J
OMOHOCOB
В свое время наблюдения Галилея и других
астрономов , уже имевших в своем расп оряже
нии телескопы , подтвердили, что планеты , по
добно Земле , имеют шарообразную форму .
Но сходны ли другие планеты с Землей по сво
ей физической природе , есть ли хотя бы на
одной из них атмосфера , подобная зе мной ,
это долго оставалось неизвестным . Великий
русский ученый Мих аил Васильевич Ломоно
сов в начале второй половины XVIII в. дока-
ИCC.JIEДOBATE.JIИ
�
BCE.JIEHHOH
зал , чт о на Венере - одной из планет нашей
солнечной системы - есть атмосфе ра и, по
видимому , более плотная, чем атмосфера Земли.
Свое заме чательное открытие Ломоносов
сделал в 1761 г" наблюдая прох ождение Вене
ры между Землей и Солнцем . Это очень редкое
явление , позволявшее уточнит ь расст ояние 011
Земли до Солнца , наблюдали ученые многих
ст ран в специально снаряженных дл я этого
экспедициях . Но тол ько Ломоносов в Петер"
бурге , наблюдая у себя дома в небольшую тру"
бу , установил , что на Венере есть атмосфе ра.
:t.8'f'

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ВСЕЛЕВНОИ
Одног о этого открытия было бы достаточно ,
чт обы имя Ломоносова сохранилось в веках .
М. В. Ломоносов был основоположником
многих отраслей знаний и . много сделал для
развития физики, химии , геологии , минерало
гии . В то же время он был выдающимся поэтом,
историком , филологом и крупнейшим для сво
его времени астрономом .
Во времена Ломоносова учение Коперника
в России уже было Признано и учеными , и го
сударственной властью . Однако русская цер
ковь еще продолжала препятство вать расп ро
странению правильных взглядов на строение
Вселенной. Особенно ненавистной для церкви
была иде я о множестве обитаемых мир ов во Все
ленной .
Ломоносов всю жизнь неустанно боролся
с религией , отсталостью и невежеством, за тор
жество науки . Он утверждал , чт о Вселенная
бе сконечна , а обит аемых миров в ней бесчис
ленное множество , что как наша Земля, так
М. в. Ломоносов ведет астрономнческ11е наблюдения.
:1.88
и все суще ствующее в природе не не и зме нно ,
а непрерывно ме няется и развивается .
Ломоносов был вел иким ученым-патр ио
том. В науке он видел могучую силу дл я
улучше ния жизни народа . Он прекрасно по
нимал , какое большое значение имеет море
плавание дл я нашей огромной ст раны с ее боль
шой морской границей. А для того чт обы пра
вильно вести корабль и не за блудиться в бе з
брежном океане , надо точно знать широту
и долготу тех мест , где проходит корабль.
Поэтому Ломоносов проявлял особый инте рес
к со зданию таких приборов , которые помогали
бы морякам лучше ориентироваться в пути
по зве здам и с наибольшей точностью опреде
лять время . Много внимания он уделял и рас
пространению среди моряков необх одимых в
морском деле астрономических знаний . В по
мощь морякам Ломоносов изобрел «ночезри
тельную трубу» , в которую можно было наблю
дать за кораблями и скалами на море в ночное
время . Тогда это изобретение не вошло в оби
ход . И только в наше время ст али применяться
«ноче зрительные» бинокли: в них можно ночью
следит ь за движением самолетов и различными
явлениями на небе .
Стремясь вооружить астрономов лучш ими
инструментами для проникновения в глубины
Вселенной, Ломоносов разработал новую кон
струкцию отражательного телескопа-рефлек
тора. У применявшихся в то время телеско
пов-рефлекторов ,
изобретенных
Ньютоном ,
было два зе ркала . Второе зеркало , устанавли
вавшееся с наклоно м, предна значалось для
более удобного рассматривания изображений ,
но яркость изображения при этом терялась.
В телескопе Ломоносова было только одно
зеркало , оно расп олагалось с наклоном и да
вало более яркое изображение предмета , так
к ак свет не терялся , как при отражении от вто
рого зе ркала .
Во времена Ломоносова загадкой была фи
зическая природа Солнца . Далеко опережая
современную ему науку, Ломоносов первым из
ученых разгадал , что поверхность Солнца пред
ст авляет собой бушующий огненный оке ан,
в котором даже «камни, как вода , кипят».
Загадкой была и природа комет . Ломоно
сов высказал смелую мысль, чт о хвосты комет
обра зуются под действием электрических сил ,
исх одящих от Солнца . Позднее было выяснено ,
что в обра зовании хвостов комет действител ьно
участвуют солнечные лучи .
В последние годы жизни Ломоносов вплот
ную подошел к решению таких вопроеов, как

;r
Прибор Ломоносова
дпя опредепеиия попудеииой
пинии.
(Рисунок М.В . Ломоносова.)
определение блеска зве зд при помощи при
бора, над изобретением которого он работал,
и точное определение расстояний до зве зд .
В то время было известно , что расстояния до
зве зд по сравнению с расстоянием до Солнца
и планет непомерно велики, но точному опре
деле нию они не поддавались. Ломоносов был
бли зок к решению и этих вопросов , таких важ
ных для раскрытия тайн Вселенной. Но смерть
помешала ему довести эти свои исследования
до конца .
До Ломоносова , в его время и долго после
его смерти астрономы занимались изучением
только формы и движения небесных тел . Ломо
носов одним из первых поставил задачу по
стигнут ь подлинную физическую природу дале
ких небесных тел - Солнца , планет , комет ,
бесконечно далеких зве зд . Никто не заботился
так , как Ломоносов , о практическом примене
нии астрономии . М . В. Ломоносов сп раведливо
считается одним из крупнейших астрономов
своего времени.
•
BИ.JIЫIM ГЕРШЕ.JIЬ
XVII век ознаменован · блестящими успе
хами в астрономии . Они свя заны с открытиями
Галилея, Кеплера , Гю йгенса , Гевелия , Ньюто
на и других выдающихся астрономов . Но и на
рубеже XVI I и XVI II вв . астрономия ограни
чивалась лишь знаниями о солнечной системе .
О природе зве зд , о расстояниях ме жду ними ,
об их распреде лении в пространстве и движе
нии еще ничего не бы ло известно . Первые от
крытия в этом направлении были сделаны
только в начале XVI II в. Английский астроном
Э. Галлей (1656-1742) обнаружил движение
трех зве зд . Потом было обнаружено движение
и многих других звезд .
ВИЛЬЯМ ГЕРШЕЛЬ
Соотечественник Галлея астроном Дж. Брад
лей (см . стр . 193) , хотя и потерпел неудачу
в попытках точно измерить расстояния до зве зд.
пришел к правил ьному выводу , что даже бли
жайшие зве зды отстоят от нас на многие
десятки триллионов киломе тров .
В середине XVI II в. английский уче ный
Т. Райт (1711-1786) , немецкие ученые И. Кант
(1724-1804) и И. Ламберт (1728-1777) впер
вые высказали предположение , что Млечный
Путь - не случайное собрание зве зд , а цело
стная система , в которой движения зве зд совер
шаются вокруг общего центра притяжения
(таким центром будто бы является исполин
ское «центральное Солнце») .
Но все это были догадки -· смелые и для
своего времени ценные , а подкрепить их дан
ными наблюдений было не возможно . Имевшие
ся в расп оряжении астрономов телескопы были
для этого еще слишком слабы .
Пер вые попытки глубже проникнуть в тайну
строения Вселенной путем тщател ьны1: наблю
дений при помощи более сил ьных телескопов
свя заны с именем знаменитого астронома Виль
яма Гершеля (1 738-1822) .
Гершель родился и вырос в .Ганновере (Гер
мания) в семье военного музЦканта . С юных
лет он увлекался музыкой и' проявил выда
ющиеся способности . В возрасте 19 ле'т он пере
ехал в Англию и стал зде сь известным музы
кантом-педагогом . Но музыка была только
его Профессией, а не главным призванием . Все·
свое свободное время Гершель посвящал изу
чению астрономии , математики и физики . ·Еще·
в молодости у него обнаружились не заурядные
способности к конструированию и изготовлению
астрономических инструментов , особенно теле
скоdов-рефлекторов . Для них Гершель сам·
шлифо вал зеркала . Сп ерва он изготовил не
большой телескоп с трубой длиной всего 2,1 м,.
а затем делал телескопы все бол ьших и бол ьш их
разме ров . Вершиной его достижений в этой
области был постр оенный в 1789 г. телескоп
гигант (по тому времени) с трубой длиной 12 м
и зе ркалом диаметром 122 см . Этот телескоп
оставался самым крупным до 1845 г.,
·
когда
ирландский астроном В. Парсонс (1800- 1867)·
построил телескоп длиной почти 18 м с зеркалом
диаметром 183 см.
С 1775 г. Гершель начал систематичес1ш
наблюдать небо . В 1781 г. он открыл новое
светило , которое вначале ошибочно принял
за комету. Но, как доказали в том же году пе
тербургский астроном академик А. И. Лексель.
и французский ученый Лаплас , это была новая
:18&

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ВСЕЛЕННОИ
пл анета Уран . Позднее Гершель открыл два
спутника Урана и два спутника Сатурна. Та
ким обра зом , с его именем связано открытие
нескольких небесных тел в солне чной системе . Но
не в этом главное значение его деятельности.
И до Гершеля было известно нееколько
десятков двойных зве зд , однако предполага
лось , что это случайно сблизившиеся зве зд ы.
Вильям Гершель.
Гершель был пе рвым в истории науки астро
пюмом , систематически изучавшим двойные
зве зды . На протяжении многих лет он тща
тельно исследовал ра зные участки неба и открыл
·свыше 400 двойных зве зд . Он занимался также
·Определением расстояний между ними (в угло
вых мерах) , исследовал их цвет и видимый
-блеск . В отдельных случаях зве зды , считав
!Шиеся ранее двойными , оказывались тройными
и четверными (кратные зве зды) . Гершель при
шел к выводу , что двойные и кратные звезды -
·это системы зве зд , физиче ски связанные между
· собой и, как он убедился , обращающиеся во
круг общего центра тяжести в соответствии
·с законом всемирного тяготения .
С д авних времен были известны видимые
'Невооруженным глазом яркая туманност ь в со
:зве здии Ориона и туманность в со зве здии Анд
ромеды. Но только в XVIII в., по мере совер
шенствования телескопов, астрономы открыли
много других туманносте й. Кант и Ламберг
..считали, что туманности - это целые зве здные
0системы , но они удалены от нас на колоссальные
расстояния и поэтому отдельные зве зды в них
разл ичит ь нел ьзя.
::190
Гершель проделал огромную работу, откры
вая и изучая новые туманности. Он использовал
для этого все увел ичивающуюся силу своих
телескопов. Достаточно сказать, что состав
ленные им на основе своих наблюдений каталоги
насчитывают свыше 2500 туманностей. Но Гер
шель ставил своей задачей не простое отыскание
туманностей , а раскрытие их природы . В его
мощные телескопы во многих туманностях от
че тливо были видны отдел ьные зве зды . Таким
образом выяснилось , чт о эти туманности пред
ставляют собой далекие от солнечной системы
зве здные скопления. В некоторых случаях
туманность оказывалась зве здой, окруже нной
туманным кольцом. Но большинство туман
ностей не раздел ялось на зве зды даже при
помощи мощного 122-сантиметрового телескопа .
Спе рва Гершель пришел к заключению ,
чт о почти. все туманности - это скопления
зве зд и самые дальние из них в будущем, при
на блюдении их в более мощные телескопы ,
также окажутся зве здными скоплениями . При
этом он допускал , что некоторые из этих туман
ностей - именно те , которые расположены
на небе вне полосы Млечного Пути , - само
стоятел ьные зве здные системы . Дальнейшие
исследования заставили Гершеля углубить
и дополнить свои взгп:яды . Мир туманностей
оказывался более сложным и многообразным,
чем это ранее можно было предполагать.
Продолжая неутомимо наблюдать и раз
мышлят ь, Гершель признал , что многие из
наблюдаемых туманностей вообще нельзя раз
ложить на зве зды , так как они состоят не из
зве зд , а из гораздо более разреженного , чем
звезды , туманного вещества - «светящейся
жидкости» , как думал Гершель.
В дальнейшем Гершель пришел к выводу ,
что туманное вещество , как и зве зды , широко
распростр анено во Вселенной . Возникал вопрос
о роли этого вещества во Вселенной.
Еще в 1755 г. И . Кант выдвинул гипоте зу
об образовании целых зве здных систем из пе р
воначально существовавшего рассеянного ве
щества . Гершел ь не зависимо от Кант а высказал
смелую мысль, что различные виды не разло
жимых туманностей представляют собой разные
стадии обра зования зве зд . Путем уплотне ния
туманности из нее постепенно образуется либо
целое скопление зве зд , либо одна звезда , кото
рая в начале своего существования еще окру
жена туманной обо.Лочкой .
Кант считал , что все зве зды Млечного
Пути когда-то образовались одновременно .
Гершель же впервые предположил , что звез-

ды имеют разный возраст и образование зве зд
продолжается ,непрерывно .
Эта иде я Гершеля был а потом забыта, и
ошибочное мнение о единовременном происхож
дении в далеком прошлом всех зве зд долго
господствовало в науке . Только в последние
десятилетия на основе огромных успехов аст
рономии ХХ в. и в особенности благодаря тру
дам советских ученых установлено, что звезды
имеют разл ичный возраст. Изучены целые клас
сы зве зд , бесспорно суще ствующих миллионы
лет , в отлиЧие от других зве зд , возр аст которых
определяется миллиардами лет . Взгляды Гер
шеля на природу туманностей в общих чертах
подт вержде ны современной наукой , установив
шей , что газовые и пылевые туманности широко
расп ространены в нашей и в других галактиках .
Природа этих туманносте й оказалась еще слож�
нее , че м предполагал Гершель.
Вместе с тем Гершель и в конце жизни был
убежден , что некоторые туманности - далекие
зве здные системы , которые со временем будут
разложены на отдельные зве зды . И в этом он,
так же как Кант и Ламберт, оказался прав .
Раньше было сказано , что в Х VIII в. астроно
мы обнаружили собственное движение многих
звезд. Гершелю путем расчетов удалось в 1783 г.
убедительно доказа ть, что и наше Солнце
со всеми своими планетами движется по на
правлению к созве здию Геркулеса .
Бо.1
1
ьшой те.1
1
ескоп Герше.1
1
я.
ВИЛЬ ЯМ ГЕРШЕЛЬ
Главной своей задачей Ге ршель считал
выяснение строения нашей Галактики, ее формы
и размеров. Этим он занимался несколько деся
тилетий . В его расп ор яжении не было тогда
данных ни о расстояниях между зве здами , ни
о размещении их в пространстве , ни об их
светимости . Не имея этих данных , ·Гершель
предположил , что все зве зды в среднем имеют
одинаковую светимость и распределены в про
ст ранстве приблизительно равномерно , так что
расст ояния между ними более или менее оди
наковы , а Солнце находится около центра
систе мы . При эт ом Гершель не знал явления
поглоще ния света в мировом пространстве и
считал , кроме того , чт о его телескопу, которым
он пользовался для этой работы (длиной в 6 м
и с зе ркалом 50 см) , доступны даже самые да
лекие зве зды Галактики. С помощью этого теле
скопа он производил подсчеты зве зд в различ
ных участках неба и пытался определить, как
далеко в том или ином направлении прости
рается наша Галактика . Таким путем он пы
тался выяснит ь форму и размеры Галактики.
Но исх одные предположения Гершеля были
ошибочны . Мы знаем тепер ь, чт о звезды в очень
больших пределах различаются между собой
по светимости и что распределены они в Галак
тике не равномерно: Галактика настолько ве
лика , что границы ее были недоступны даже
телескопу-гиганту Гершеля. Поэтому он не мог
прийти к правил ьным выводам о форме Галак
тики и о положении в ней Солнца . Ге ршель
полагал , чт о Солнце находится близко от центра
Галактики. На самом деле оно расположено
. далеко от него .
Размеры Галактики Гершел ь сильно при
уменьшил . В 40-х годах XlX n. В. Я. Струве
пр�вил ьнее подошел к решению этих вопро
сов . Но Струве справедливо на зв:ш Гершеля
первым астрономом , который смело поставил
перед собой та�•ую сложную задачу.
Гершель занимался и другими вопросами
астрономии . Между прочим , он ра згадал слож
ную природу солнечного излуче ния и сделал
вывод , что в состав его входят световые , теп
ловые и химиче ские лучи (излучение , не восп ри
нимаемое глазом) . Иначе говоря, Гершель пред
восхитил открытие инфракрасных и ультра
фиолетовых лучей, выходящих за пределы
обычного солнечного спектра .
Свое увлечение
астр ономией Гершель
передал родным и близким. Его сестра Каро
лина Гершель (1 750- 1 848) много помогала
ему в научных работах . Она сама вела наблю
дения неба и открыла несколько комет . Сын
:181

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ВСЕЛЕННОИ
Вильяма Гершел я - Джон Ге ршель (1 792-
1871) был одним из наиболее выдающих ся анг�
лийских астрономов XI X в. Его популярная
книга «Очерки астрономию> , переведенная на
русский язык , сыграла бол ьшую роль в расп ро
ст ранении астрономических знаний в нашей
ст ране .
•
ПЬЕР СИМОН .JIAП.JIAC
В истории науки о Вселенной XVIII сто
летие - это век развития математической аст
рономии. Законы Кеплера и закон всемирного
тяготения Ньютона были положены в основу
астрономии как науки . Ст ало не зыблемой исти
ной , что пл анеты обращаются вокруг Солнца ,
а спутники - вокрут планет приблизительно
по эллиптическим орбитам , в соответствии с
этим и закона ми.
Однако астрономиче�к ие наблюдения пока
зывали, что движе ние планет и их спутников ,
в том числе Луны - спутника Земли, в дей
ствительности гораздо сложнее . Каждое тело
солнечной системы , обращаясь вокруг своего
центра притяжения (каким является Солнце
для планет , Земля для Луны или иная планета
для своих спутников) , испытывает не только
могучее притяже ние Солнца - властелина всей
системы , но и притяже ние всех других тел той
же системы . Таким обра зом , в движении каж
дого из этих тел обнаруживаются «во зму
ще нию> - отклонения от движе ния по законам
Кеплера .
Уже в первой и в начале второй половины
XVII I в. русский математик , академик , швей
царец по происхожде нию , Эйлер (1 707-1783)
и французские математики Клеро (1 713-1765)
и Д'Аламбер (1 717-1783) разработали теорию
сложного движения Луны , исследо вали дви
жение не которых планет и создали новые спо
собы учета «возмуще ний» . Такую же работу
осуществил во второй половине того же века
французский математик Лагранж (1736-1813) .
Необходимо было расп ространить эти иссле
дования на солне чную систему в целом и пока
зать, что движения всех тел этой системы , при
очень большой их сложности, подчиняются
общим закономерностям , в основе которых
незыблемо лежит закон тяготения . Эту задачу
решил выдающийся французский математик
и астроном Пьер Симон Лаплас (1749-1827) .
Лаплас родился в Нормандии (область
на се веро- западе Франции) . Он был сыном
J.92
крестьянина-фе рмера , и ему с бол ьшим трудоr.1
удалось получит ь элементарное образование .
Но пытливого юношу неодолимо· влекло к точ
ным наукам; он самостоятельно изучил мате
матику, ме ханику , астрономию . Его на учные
интересы с самого начала сосредоточил ись на
небесной механике , призванной объяснит ь зако
номерности в движениях тел солнечной системы .
Пер вые же работы юного Лапласа в этом направ
лении принесли ему известност ь в ученом мире .
Переехав затем в Париж, Лаплас всю свою дол
гую жизнь посвятил занятиям наукой в избран
ном им направлении.
Венцом научной деятельности Лапласа был
его бессме ртный труд «Трактат о небесной меха
нике» , вышедший в пяти томах в 1798- 1825 rr.
В этом труде , основанном на сложне йших мате
матических расчетах , Лаплас показал , что, как
ни сл ожны движе ния тел солнечной систе мы.
они связаны едиными и неп реложными мате
матиче скими закономерностями , вытекающими
из �акона всемирного тяготения . Лаплас под
робно исследовал «возмущения» в движениях
Луны , Юпитера и Сатурна и дал им научное
объяснение . Он показал , что солнечна я сие�
Пьер Симон
Лаплас.
тема - очень устойчивое образование . Со вре
мени ее возникновения движе ния входящих
в нее тел совершаются лишь с не большими
изменениями , и эти движения так будут совер
шаться и дальше миллионы и миллиарды лет .
В солнечной системе нет таких сил , которые

могли бы ее разрушить и изме нить закономер
.ность движений вх одящих в нее небе сных тел ,
в том числе и Земли.
Лаплас был не только великим исследова
телем-математиком , но и блест ящим писателем
попул яризатором . Все то , что в его время было
известно о строении солнечной системы , он
описал в популярной книге «И зложение системы
мира» . Она была издана в 1796 г. и пользова
лась широкой известностью. В ней Лапл ас
изл ожил и свои взгл яды на происх ожде ние
солнечной системы . .
До середины XVII I в. в на уке господст во
вало мне ние , что Земля и все небесные тела -
словом, природа , с тех пор как она возникла ,
существует в навсегда данном виде , бе з каких
либо изменений . В середине века М. В. Ломо
носов и И. Кант впервые четко выска зали мысл ь
об изменяемости природы . Во Вселенной нет
ниче го не и зменного. Сол нце , Земля, планеты ,
все другие небесные тела когд а-то возник ли
из каких-то иных форм вещест ва и с тех пор
непрерывно развиваются и изменяются . И воз
никли они миллионы , может быт ь, многие мил
лиарды лет на зад , а не несколько т.�с яч , как
утверждалось в религиозных легендах .
Кант , в частности, выдвинул гипотезу обра
зования зве зд с окружающими их планетами
и целых зве здных систем из рассеянной мате
р ии, нек огда заполнявшей всю бесконечную
Вселенную . Но он не был математиком 11 обо
сновать свою гипотезу расче тами не мог . :Кни
га , в которой о.и изложил свои взгл яды на
ст роение и ращ:sитие Вселенной , не получипа
в свое время широкого распространения .
Лаплас, не зная о труде Канта , совершенно
самос'l'оятельно разработал свою гип оте зу, кото
рая с тех пор на зы�ается космогонической
гипоте зой Лапласа . В отличие от Канта , Лаплас
хотел выяснить происхожде ние не зве здных
систе м вообще , а именно солнечной системы .
Но так как Солнце - одна из звезд, то он по
лагал , что и другие зве зды и окружающие их
планеты произошли так же , как и солнечная
система . По гипоте зе Лапласа , солнечная сис
тема обра зовалась из первичной туманности.
Лаплас ста вил своей задачей создать такую
гипотезу происхождения солнечной системы ,
которая объясн яла бы все наблюдаемые в ней
явления и закономерности. Для своего времени
он бле стяще решил эту зада чу . Его гипоте за
был а общеп ризнанной в науке в течение сто
летия . Однако к концу XIX в. она пvишла
в противоречие с вновь открытыми закономер
ностями в солнечной системе и была оставлена.
•13Д.э.т.2
ДЖЕМС БР АДЛЕИ
Но основное положение ее - что зве зды (в их
числе и Солнце) и планеты произошли из рас
се янной материи , существующей во Вселенной
в виде бесчисле нных газовых и пылевых туман
ностей , - разделяется и современной наукой.
Круг своей деятельности Лаплас не огра
ничивал занятиями математююй и астрономи
ей. В годы Великой французской революции
он активно участвовал в разработ1<е мет ри
ческой системы мер и в реформе народного
обра зования .
Лаплас был уче ным-материалистом. Сохра
нился такой расска з. Наполеон , ознакомившись
с трудом Лапласа «И зложение системы мира» ,
спросил у него , почему в этом труде нет упоми
нания о боге . Лаплас е1т вет ил , что его система
мира не нуждается в этой гипоте зе . Тем са мым
он утве ржда л, что все явления в природе объяс
няются за1юнами самой природы и нет необхо
ди мост и привлекать к их объяснению l(акие
то све рхъестест венные , божественные силы.
•
ДЖЕМС БРAД.JIOO
В начале XVI II в. английсю1й астро ном
Э. Галлей сдеJ1ал выдающееся открытие . Он
установил , что зве зды , 1ют орые с древности
считались неподвижными , на самом деле дви
жут ся в пространстве . Правда , Галлей уста
новил такое движение тол ько для трех зве зд .
Но уже в следующие десятилетия его обнару
жил и у многих зве зд . Ст ановилось несомне н
ным , что движе ние в -глубинах мирового про
стрЬнст ва присуще всем звездам .
У астрономов не вызывало сомнений и то,
что зве зды находятся на самых различных рас
стояниях от солнечной с'истемы , что расстояния
даже до близких зве зд не вообразимо огромны .
Одна ко оп ределить их оказывалось невоз
можным - сл ишком малы был и параш1аксы 1
зве зд и изме рить их не уд авалось. Перед астро
номами XVI II в. настойчиво вставала задача -
доб ит ься в наблюдениях такой точности, кото
рая позволила бы определить расстояния до
зве зд и изучит ь их движения . Это составило бы
основу для выяснения строения зве здного мира,
в чем астрономы правил ьно усматри
·
вали свою
главную цель.
1 Параллакс звездный угол, - под которым с
той или иной зве3Ды был бы виден радиус 3емной
орбиты (149 50(} тыс. км). Знание параллакса поз
воляет вычислить расстояние до звезды.
1.
.
93

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ВСЕЛ ЕННОИ
В определении расстояний до зве зд наука
многим обя зана английскому астроному Джем
су Брадлею (169 3-1762).
Брадлей еще в молодые годы увле кся астро
вом»ей и изучил ее под руководст вом своего
дяди - известного тогда астронома Паунда .
Позднее , уже профессором Оксфордского уни-
Джемс Брадаей.
верситета , он получи.т� в свое ведение обсервато
рию, основанную Паундом в Уанстете. С 1740 г.,
после Галлея, Брадлей возглавлял ст арей
шую английскую обсерваторию в Гринвиче . Но
многие важные свои наблюдения Брадлей про
водил еще в 20-х и 30-х годах в Уавстете .
Долго и уп орно Брадлей наблюдал звезду
гамма Дракона , чт обы определить ее парал
лакс. Он подметил периодические смещения
этой зве зды , но они оказались иного характера,
че м смещения параллактические . После долгих
повторных наблюдений и размышлений Брад
лей пришел к выводу , что открыл явление
аберрации - изменение видимого положе ния
зве зды на небе , происх одящее из-за движения
Земли вместе с наблюдателем вокруг Солнца .
К этому времени учение Коперника давно
уже госп одствовало в науке , его подтверждало
все ра звитие астрономии . Но открытие абер
рации явилось первым прямым доказател ь
ством движения Земли, а тем самым и полной
ист инности учения Коперника .
Хотя Брадлею так и не уда лось измерить
параллакс зве зды (это смог сдел ать только
В. Я . Струве спустя сто лет) , но он пришел
к твердому выводу , что даже у ближайших
:194
зве зд паралл аксы меньше 1", О, следовательно ,
и расстояния их выражаются в десят ках трил
лионов километров .
По зже , в Гринвиче, Брадлей занимался опре
делениями положе ний ярких зве зд и достиг
в этом бол ьшей точности , чем все его пред
шественники. Эти наблюдения Брадле я явились
ценнейшим материалом дл я последующих ис
следователей . Самым выдающимся из них был
немецкий астроном Фридрих Вил ьгел ьм Бес
се ль (1 784-1846) .
•
ФРIJДРИХ В 11 .:1ЬГЕ.11ЬМ БЕС СЕ.JI Ь
Свой жизненный путь Фридрих Вил ьгельм
Бессель, уроженец Мюнхена , начал мелким
торговым служащим . Усердно занимаясь само
образованием , он быстро и успе шно овладел
знаниями по математике и астрономии , кото
рую избрал своей специ альност ью . 20-лет
ним юношей . Бессель самостоятел ьно вычис
лил орбиту кометы Галлея.
Большое значение дл я Бесселя имело зна
комство с Генрихом Ол ьберсом (1758-1840) -
врачом из Бремена . Ольберс еще в мол одост и
был любителем астрономии , а потом стал одним
из крупнейших астрономов своего времени .
По его рекомендации Бессель стал ассистентом
у другого крупного астронома из среды люби
телей - Иоганна Шретера (1745-1816) . Зани
мая должност ь судьи · в городе Лилиентале,
близ Бремена , Шретер построил се бе обсерва
торию и приобрел широкую известност ь своими
наблюдениями Луны и планет . Бессель, работая
на обсерватории Шретера , занялся исключи
тельно наблюдениями звезд . Его занятия в этом
направлении шли настолько успеш но , что
вскоре принесли ему репутацию астронома
наблюдателя и вычислителя-математика .
В 1810 г. Бессель стал профессор ом астро
номии в Кёнигсбергском университете . Здесь
под его руководством вскоре была построена
обсерватория , директором которой он оста
вался до конца своей жизни .
Бессель обработал наблюдения зве зд , про
веденные в свое время Брадлеем в Гринвиче .
При этом он поставил задачу - «освободиты
наблюдения от всех ошибок , которые в них
содер11•атся .
При астрономических наблюдениях таю1е
ошибки неи збежны . Они происх одят из-за
несовершенст ва инструментов , из-за всякого

рода помех в земной атмосфере , даже из-за
особенностей зрения и нервной системы самого
наблюдател я. В совокупности эти ошибки сил ь
но влияют на результаты наблюдений . Но если
вскрыть их , тщател ьно изучить и исправить
пол уче нные данные наблюдений , то можно
достигнут ь исключительной точности. Астро
номы и раньше ст арались устранить вл ияние
ошибок при наблюдениях , но Бессель разра-
Фридрих Виль гельм
Бессел ь.
ботал математиче ские методы исправления
наблюдений и, поправив таким образом наблю
дения Брадлея, издал их в виде каталога 3200
зве зд . По своей точности каталог оказался
обра зцовым дл я того времени .
В дальне йшем Бессел ь сам вел наблюдения
п оложений зве зд . Он определил положения
дл я 75 тыс . зве зд и таким образом создал огром
ные зве здные каталоги , которые стали основой
современных знаний о зве здном небе .
Бессель был одним из первых астрономов,
измеривших параллаксы , а тем самым и рас
стояния до звезд. Вслед за В. Я. Струве , кото
рый в 1835-1836 гг . впервые определил рас
ст ояние до зве зды Веги в со зве здии Лиры,
Бессель в 1838 г. изме рил расстояние до зве зды
61 в со зве здии Лебедя. Эта зве зда оказалась
одной из ближайших к солнечной системе .
Занимаясь изучением собственных движений
зве зд , Бессель обнаружил в движении ярких
зве зд -Сириуса и Проциона -такие особенности,
которые можно было объяснить только тем,
что эти зве зды имеют спутников , но таких сла
бых , что их нельзя было в то время увидеть
в телескопы . Впоследств1щ их обнаружили.
1з�
НАСИЛИЙ ЯКОВЛЕВИ Ч СТРУПЕ
Бессель вошел в историю науки как заме
чательный уче ный , отдавший все свои силы ,
весь свой талант совершенствованию ме тодов
астрономических наблюдений , бе з че го не во з
можен был прогресс астрономии .
•
BACllJIHЙ .ЯКОВJIЕВНЧ СТРУВЕ
Современная передовая наука достигла
больших успе хов в изучении глубин Вселенной.
Установлено , что наше Солнце входит в гран
дио зную зве здную систему - Галактику, со
стоящую более че м из 100 млрд. звезд , а Галак
тика - одна из бесчисленных зве здных систе м
в бесконечной Вселенной.
Наша Галактик а, имеющая форму линзы ,
или че чевицы, настолько огромна , что луч
света проходит от одного ее конца до другого
примерно за сто тысяч лет . Расстояния до
других далеких галактик , доступных совре
менным астрономическим инструментам, со
ставляют миллионы и даже миллиарды свето
вых лет . Однако полтораста лет назад астро
номы не знали точных расстояний даже
до ближайших зве зд. Почти ничего не знали
они и о строении нашей зве здной систе мы , а
предположения о существовании других зве зд
ных систе м, выска зывавшие ся передовыми мыс
лителями , были только гениальными догадками.
Подтве рдить их наука еще не могла .
В развитии знан
_
ий о нашей зве здной системе
огромное значение имели важные открытия ,
сделанные в конце первой половины XIX в.
выдающимся русским астрономом Васил ием
Яkовлевиче м Струве (1 793-1864) .
Струве родился в немецком - в то вре.мя
датском - городе Альтоне и провел в нем свои
школьные годы . Пятнадцати лет он поступил
в университет в Дерпте (ныне г. Тарту Эстон
ской ССР) и с этого времени всю свою жизнь
и деятельность всецело связал с нашей страной ,
с ца шей наук.ой , которую обогатил своими тру
дами . Отец и старший брат Струве были педаго
гами-языковедами , под их влиянием и он вна
чале избрал себе ту же специальность. Но потом
его вниманием всецело завладели точные науки ,
и особенно астрономия.
Блестящая одаренность Струве в соединении
с редкой настойчивостью и трудолюбием по
могли ему очень быстро овладеть новой для
него областью знаний . Работая на Дерптской
университетской обсерватории, Струве велико-

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ВСЕЛЕННОП
лепно освоил методы астроноыических на блю
дений. В 1814 г. он уже изда л свое первое
астрономическое сочинение о точном опреде
лении широты и долготы Дерптской обсерва
тории . Ск оро Струве стал астрономом-наблю
дателем этой обсерватории. В 1818 г., в возрасте
25 лет , он стал профессором астрономии и ди
ректором Дерптской обсерватории .
Ва сил11й Яков·
левич Струве.
В то время обсерватория была очень плохо
оборуд ована . Но скоро благодаря стараниям
Ст руве она получила наилучшие инструменты ,
в том числе рефрактор с объективом в 9 дю й
мов 1 - для той поры самый лучший в мире .
Его создал выдающийся немецкий оптик Фра- ··
унrофер .
На Дерптской обсерватории Струве провел
поистине гигантскую работу по исследованию
двойных зве зд . В то время изучение зве здных
пар имело в астрономии особенно важное зна
че ние . Изучение движений зве зд , входящих
в пары , дава ло возможность определить их
орбиты и уст ано вить, чт о движения по орбитам
происходят в строгом соответствии с законом
всемирного тяготения . А это означа ло , чт о
закон тяготения действует не только в нашей
солнечной системе , но и в далеких глубинах
мир ового пространства.
Исследования Струве позволяли также
«взвеситм зве зды , входящие в пары , и опреде
лить их массы .
1 Дюйм равен 2,5 с.11 .
198
Работая упорно и систе матически, Ст руве
исследовал 120 тыс. зве зд и установил двой
ственность около 2500 из них . Это был круп
нейший вклад в науку. При исследовании
зве зд Струве очень тщательно измерял угло
вые рассто яния между зве здами, вх одящими
в пары , и определял их точное положение
на небе .
В свое время Коперник ука зал на: огромные
расстояния до зве зд , в сра внении с которыми
ничтожно малы размеры солнечной системы .
В конце первой половины XVI II в. исследо вания
Дж. Брадлея и И. Ламберта привели к бес
сп орному выводу , что расстояния даже цо бли
жайших зве зд измеряются де сятками трилли
онов километров . Но попытки астрономов точно
оп редел итъ эти расстояния успеха не имели.
Решил эту задачу Струве . В 1835- 1836 гг. он
определил расстояние до зве зды Веги. Оно ока
залось равным 250 триллионам км , или 26 ,5
светового год а. Это приме рно в 90 тыс . раз пре
вышает расстояние от Солнца до Урана . )lода в
Ляющее же бол ьши нст во зве зд нах одится гораздо
дальше , чем Вега . Работа Струве убедительно
показала могущество науки и открыла нео
граниче нные перспективы дальнейшего проник
новения в глубь Вселенной.
Вслед за Ст руве в 1838 r. Бессель измерил
расстояние до зве зды 61 в со зве здии Лебедя ,
а вскоре английский астроном Генде рсон (1798-
1842) определил расстояние до зве зды альфа
Центавра (4 ,3 светового года) . Она оказалась
ближе других зве зд . Так было положено начало
точным определениям расст ояний до зве зд.
Еще наблюдения двойных зве зд создали
Струве сл аву крупнейшего астронома . В 1832 г.
его избрали академиком , но он продолжал
работать в Дерпте , потому что Акаде мия наук
тогда не имела хорошей обсерватории .
Когда было принято решение о стр оитель
стве большой обсерватории в окрестностях
Петербурга , к этому делу привлекли В.Я. Ст ру
ве как самого выдающегося русского астро
нома . Он стал организатором и руководи
телем строительства Пулковской обсервато
рии. Оборудованная лучшими по тому времени
инструментами , обсерватория была открыта
в 1839 г. Ст руве соста впл план работы обсер
ватории на многие годы и почти четверть века
явл ялся ее директором . Под его руководством
она стала лучше й обсерваторией мира .
Кипучаи организаторская работа не поме
шала Струве проводит ь и научные исследо
вания . В Пулкове он продолжал изучение
двойных звезд и начал исследования строения

нашей звездн ой системы - Гала ктик и. До
Струве только Ге ршель занимался этим вопро
сом . Но он сделал лиш ь первые предполо
жения о форме и размерах Галактики, о распре
делении в ней зве зд и о положении Солнца .
Да и эти предположения были еще очень далеки
от действительности. Исследования Струве
имел и большое значение для науки: изучая
расп ределение зве зд в Галактике , Струве уст а
новил , что они располагаются неравномерно и
чем дальше от центра Галактики, тем больше
расстояния между ними. При этом Солнце нахо
дится не вбл изи центра Галактики, как думали
некоторые ученые , а, наоборот , очень далеко
от него .
Одновременно Ст руве указал , что в нашей
зве здно й системе существуют облаRа темного
рассеянного вещества , 1< оторые ослабл яют свет
находящихся за ним зве зд . Он сделал первые
попытки определить вел ичину этого ослабления
свет а. Сущест вованием меж зве здного вещества
Ст руве объяснял то обстоятельство , что до нас
не доходит свет от многих сл абых зве зд, рас�
положенных в глубинах Галю<тиRи.
На протяже нии многих де сятилетий после
Струве астрономы обсуждали вопрос: суще
ствует или не существует поглощение света
(ил и «мещзве здное поглощение» , I< aR его наз
вали) ? И только в 1930 г. было точно установ
лено, что оно существует .
Таким образом , больше ста лет на зад , опе
режая свою эп оху, Ст р уве глубоко и проду
манно решнл основные дл я зве здной астрономии
воп росы о распределении зве зд в Галакт1ше
и о межзве здн ом поглощении света .
Струве был не тол ько непревзойценным
и�следователем неба . Как передовой уче ный
и патриот , он испол ьзовал сво и знания и орга
низаторский талант для решения очень важных
практических задач, свя занных с картографией
Дuпастия астрономов
ВАСИЛИR ЯКОВЛЕВИ Ч СТРУВЕ
нашей стр аны . Еще в 20-х года:r прошлого веRа
под его руководством была изме рена дуга зем
ного ме ридиана в Прибалтике , а в 1844-1852 гг.
он руководил грандио зным мероприятием -
измерением дуги меридиана на огромном про
ст ранстве от Дуная до Ледовитого океана,
общим протяже нием более 2 800 км . К участию
в этой работе он привлек лучших русск их аст
рономов и геоде зистов . В ре зультате проведен
ной работы были получены ценнейшие матер иалы
для сост авления точных карт Росс ии .
Струве был прекрасным педа гогом. Еще
на Дерптской обсер ватории под его руковод
ством работали молодые русские астрономы
из разных университетов . Многие и з них по
том ст али крупными учеными .
Позднее , в Пулкове , Ст р уве не изменно руко
водил работой сотрудн иков обсерватории.
Научная деятел ьность Ст р уве необычайно
плодотворна. Сво ими исследованиями дво йных
зве зд и ст роения нашей Галактики он оказал
огромное влияние на развитие русской и миро
вой астрономии . В историю науки Ст руве во
шел как один из самых выдающих ся астро
номов XI X в.
Лучшим памятником Стр уве явл яется со
зданная им Пулковская обсерватория .
.
Ее истп
рия - одна из самых яр ких ст раниц развити;J
астрономии в XIX и ХХ вв.
Со зданная дл я разработRи зве здной астро
номии , обсер ватория внесл а вющающийся вклад
в эту область науки. Составленные на ней
зве здные каталоги по св.о ей точност и превос
х одил и каталоги всех других обсерваторий .
На Пулковской обсерватории не только завt:р
шали свое научн ое образование многие рус
ские ученые-астрономы . Ее посещали для зю1м
ст вования опыта работы юр упнейшие астрономы
Европы и Америки . По этой причине ее стали
на зывать астрономической столицей мира».
Русс1шi1 астроном Василий Якои
левич Струве был родоначальником
целой династии астрономов. Сын его
Отто Васильевич (1819-1905) был,
так же к1ш и его отец , дире�.тором
Пулковской обсерватории и выдаю
щимся исс.1едователем двойных звезд.
Сыновья Отто Васильевича Струве
Герман Оттович (185�-1920) - аст
роном Пулковекой обсерватории, а
потом директор обсерваторий в Кi'ниг
сберге (ныне Калининград) н 11 Бер
лине JJ Людвиг Оттович (1858-
1920)-- профессор астрономии и ди vе�. 
тор обсерватории Харьковского у 11
11
-
верситета.
Сын Л юдвига Отто1шча Струве,
тоже правнук Василин Я1со11ле11ича
Струве - Отто Людвигович (1897-
1963) - учился в Харыюве, потом
работал в США и стал одн им из круп
неilших астрофизиков нашего времени.
Герман
Оттович Стр �·ве был
крупн ым ученым в области астро
метрии , наблюдений больших планет
11 их спутников. Людвиг Оттович
Струве занимался главным образом
изучением движений звезд.
Сын Германа Оттовича Струве
и правнук Василия Яковлевича Стру
ве - Георг Струве - также был аст
рономом. Он работал в Германии.
Потомки Василия Яковлени•ш
Струве работали н работают н в других
областях научной и практической дея
тельности .
Правнук его, академи"
Васил ий Васил ьевич Струве, - вы
дающийся советский ученый в об
. п асти истории Древнего Востока.
197

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ВСЕЛЕННОИ
После В. Я. Струве Пулковской обсерва
торией более че тве рти века руководил его сын
О. В. Струве . При нем в программу обсер
ватории вошли также астрофизические иссле
дования и была построена астрофизическая
лаборатория .
В 1890-1895 гг . обсерваторию воэглавлял
выдающийся русский астроном Ф. А. Бредихин
(с11
1
.
стр . 199). Он не только расширил астро
физические исследования, но и привлек в Пул
ково многих молодых русск их ученых .
Преемником Бредихина был О. А. Баклунд
(1846-1916). При нем были основаны отделе
ния обсерватории в Николаеве и Симеизе .
·
Особенно широко де ятельность обсерватории
развернулась в советскую эпоху. На обсерва
тории выросл и новые кадры астрономов ,
попвились новые инструменты , выполнялись
важнейшие исследования по всем отраслям
астрономии .
В первые годы Советской власти обсерватори ю
возг:1авлял выдающийся астрофизик А. А . Бе
лопольский. Потом ее директорами был и круп
ные астрономы А. А. Иванов, Б. П. Герасимо
вич, С. И. Белявский, Г. Н. Неуймин. С 1947 г.
директор Пулковской обсерватории - академик
А. А . Михайлов .
В годы Великой Отечественной войны не
ме цко-фашистские захватчики разрушили об
се рваторию до основания.
Заново построенная после войны Пулковская
обсерватория вновь заняла достойное место
среди основных обсерваторий мира.
Состоявшееся 21 мая 1954 г. торжественное
открытие обсерватории явилось праздником .
не только советской , но и мировой науки. Пред
ст авители 17 государств прибыли на торжество
и приветствовали возрожденное Пулково . Сей
час на обсерватории снова ведутся научные
исследования по всем отраслям астр ономии .
МАРИАН АJIЬБЕРТОВНЧ
КОВАJIЬСКНЙ
•
Среди русских астрономов , обогативших
своими трудами науку о Вселенной, выдаю
ще еся место занимает Мариан Альбертович
Ковальский (1821 -1884) . До недавнего вре
ме ни это имя было мало известно широкому
кругу читателей. Только в советскую эпоху
уст ановлен приоритет :Ковальского в решении
:198
вопрос ов , име вших большое значение в' истории
астрономии.
М. А. :Ковальский был сыном мелкого чи
новника , рос в тяжелых материальных усло
виях и поэтому с большим трудом смо г про
бить себе дорогу к образованию . Сил ьная во
ля, настойчивост ь в преодолении трудностей
таковы отличительные черты этого ученого .
Он смело выбирал самые трудные вопросы на
уки и ·успешно решал их .
Астрономией :Ковальский заинтересовался
еще студентом Петербургского университета.
Окончив в 1845 г. университет , он работал
на Пулковской обсерватории , где совершен
ст вовался в астрономических наблюдениях
и вычислениях под руководст вом В. Я. Струве .
В 1847 г. Русекое географическое общест во
снарядило большую экспедицию для исследо-·
вания Се верного , главным образом Заполяр
ного , Урала . Астрономом экспедиции по пред
ложению Струве был назначен Ковальск ий.
В то время огромная территория Заполярно
го Урала была совершенно ·не исследо вана . Путь
экспедиции лежал че ре з труднопроходимые горы
и дремучие леса . До этой экспедиции на всем
Запол ярном Урале знали координаты только
одного географического пункта , а остальная
территория . была «белым пятном)> на карте .
Астроному экспедиции предстояло определить
долготы , широты и высоты над уровнем мо
ря возможно большего числа географиче ских
пунктов .
Здесь-то и проявилась удивител ьная работо
способность :Ковальского . Совершая трудне й
шие переходы пешком и на лыжах , в сорока
градусные морозы и во время сильных ветров,
молодой ученый определил координаты почти
200 географических пунктов . Одновременно он
производил метеорологиче ские и магнитные
наблюдения .
Так в самом начале своей научной деятель
ности М. А. Ковальский проявил се бя и как
талантливый астроном, и как путешественник
исследователь.
В 1850 г. :Ковальского пригласили на долж
ность профессора астрономии в Казанский
университет , с которым он затем не расставался
до самой смерти . Обладая блестящими мате
матическими способностями , :Ковальский со
средоточил свое внимание на вопросах теоре
тическ ой астрономии, изучающей движение
небесных тел под действием силы тяготе ния .
В 1846 г. была открыта новая планета -
Нептун . Требовалось достаточно точно опре
делить орбиту этой планет ы , иначе она могла

скоро исче знут ь из поля зрения астрономов,
затеряться в небе; кроме того, необходимо было
разработать те орию ее движения на долгие
годы вперед .
Задача был а очень трудна я, так как в сво
ем движении вокруг Солнца Нептун , кроме
мощного -солнечного притяжения , испытывает
Ма риан Альбертов11ч
Кональскнй.
еще притяжение бол ьших планет - Юпите
ра, Сатурна , У рана . Бол ьшие планеты вызы
вают неп равильности, ил и, 1' аК принято гово
рить, «во змущения» , в движении Нептуна ,
а это сильно затрудняло определение его дей
ствительной орбиты . Однако Ковальский про
делал огромную вычислительную работу и
создал теорию движения Нептуна .
Но особенно большое значение имели труды
Ковальского о собственных движениях зве зд .
Эти исследо вания привел и его к важнейшим
выводам о ст роении нашей зве здной системы -
Галактики.
В. Я. Струве в 40-х годах прошлого века
установил , чт о зве зды наиболее бли зко друг
к другу распол агаются в центре Галактики,
а по мере приближения к ее· краям расстояния
между ними увеличиваются .
На основании изучения движения зве зд
Ковальский выдвинул и обосновал теорию вра
ще ния всей нашей зве здной системы во1'руг
ее центрального зве здного сгущения. Он реши
тельно отверг мнение некоторых астрономов
о существовании колоссального «центрального
Солнца» , которое одно своим притяжением
управляет движением всех зве зд, подобно тому
как наше Солнце уп равляет движением планет
ФЕДОР АЛ ЕКСАН ДРОВИЧ БРЕДИХИН
и других тел солнечной системы . Одновременно
он пришел к выводу , чт о размеры Галактики
гораздо1 больше , чем думали астрономы в его
время .
В этих трудах Ковальский на много де ся
тилетий опередил свое время . Только в 1927 г.
голландский ученый Оорт окончат�льно уста
новил вращение Галактики. Выяснилось, чт о
нет <щент рального Солнца» , которое управляло
бы движением миллиардов зве зд в Галактике .
В нашей зве зд но й системе есть зве зды-великаны ,
в миллионы и даже миллиарды раз превыша
ю щие по объему Солнце , но вещество в них
чре звычайно разрежено , и по своей массе ,
а значит , и по силе притяжения они не так уж
сил ьно отличаются от Солнца .
Много труда потратил М. А. Ковальский
на разработку новых методов астрономичес1'их
вычислений . Определение времени наступле
ния солнечных и лунных затмений , их продол
жительности и условий видимости всегда отни
м ало у астрономов много времени и не всегда
было достаточно точным. Ковальский разра
ботал новые методы предвычисления затмений ,
требующие гораздо мен ьше времени и обеспе
чивающие необх одимую точность. Он разра
ботал также новые и более совершенные . спосо
бы определения орбит двойных звезд. Это
·
да
вало возможност ь определ ять массы этих звезд.
М. А . Ковальский известен не только как
крупнейший теоретик , но и как неутомимый
наблюдател ь. На Казанской обсерватории он
много лет определял точные положения зве зд .
избранного им для изучения обширного участка
не ба . Ковальский подготовил каталог опреде
ленных им положений более 4200 зве зд , издан
ный уже после его смерти.
Ковальский был не только ученым , но и
прекрасным педа гогом. Самые ll'рудные вопросы
он излагал в своих лекциях всегда просто
и ясно . Он воплощал в себе все лучшие че рты
русских ученых , которые в тяжелых усл овиях
царского режима сме ло двигали науку вперед .
ФЕДОР А.JIЕКСАНДРОВИЧ
БРЕДИХИ Н
•
С древнейших времен люди наблюдали нево
оруженным глазом не только Солнце , планеты
и наиболее яр·кие зве зды , но и кометы .
Неожиданное появление · комет с их при
чудл ивыми по форме хвостами нарушало при-
J.99

ИССЛЕД ОВАТЕЛИ ВСЕЛЕННОИ
вычные представления о <ш еизменном)> состоя
нии неба и наводило страх на суеверных людей,
которые видели в комета" предвестниц гря
дущих бедствий .
Передовые ученые еще в древности пытались
объяснить появление комет и разгадать их
природу . Но подлинно научное объяснение
природы комет , происх ождения кометных хвос
тов и причудливого разнообра зия их форм
дал только во второй половине XI X в. выдаю
щийся русский астроном , основоположник
астрофизики в нашей ст ране Федор Александ
рович Бредихин (18:3 1 -1904).
Фt'дор Алекса11дро
в11ч Бредих11н.
Бредихин родился в г. НнкоJ1аеве в семье ,
да вшей нашей стране много отважных моряков.
В юностп он и сам собирался посвятить себя
сл ужбе н а флоте . Но в Московском универси
тете Бредихин сер ье зно заинте ресовался астро
н оми ей. Этот инте рес особенно усил ился , ю:J.г да
он стал посещат ь Московскую обсер ваторию .
Окопчпв в 1855 г. университет , Бредих ин
всецело посвятил се бя астр ономии . В 1857 г.
он ст ал преп одавателем, а с 1863 г. - профес
сором астрономии Мос1,овского универ ситета .
Преподавание астр ономии в старейшем русском
униве рситете он поставил на очень высокий
научный уровень. Ф . А . Бредихин был одним
из тех передовых русских ученых , которые
·
не только развивали науку , но и всячески забо
тились о расп ространении научных знаний
в народе . Он чит ал публичные лекции и писал
попу:1ярные статьи о достижениях астрономии .
У него учились многие русские астрономы .
200
В 60-х годах Бредихин начал с�юи замеча
тельные исследования комет и продоJ1жал их
до последних дней своей жизни .
Давно уже было известно, что хвосты комет
обычно направлены в сторону , противопо
ложную Солнцу . Отсюда некоторые ученые де
лали вывод , что вещество хвоста отталкивает
ся от Солнца под влиянием какой-то силы ,
противоположной силе тяготения . Эту силу
стали называть отталкивательной , но природа
ее оставалась для ученых загадочной.
Ф. А . Бредихин путем точных расчетов по
казал , что решающе е значение в обра зовании
:хвостов комет имеет исходящая от Солнца от
талкивательная сила. По разработанной им
теории, хвост кометы образуется при ее при
ближении к Солнцу. Под воздействием солнеч
ных лучей центральная часть кометы - ядро..
..:.
нагревается . Выброшенные из ядра кометы
частицы материи подвергаются действию оттал
кивательной силы . Если солнечное тяготение
притягивает частицу вещест ва к Солнцу , то
давление падающих на эту частицу солнечных
лучей отталкивает ее от Солнца . При этом для
очень малых частиц отталкивательная сил а пре
выiпает силу солнечного тяготения . В резуль
тате этого выброшенные частицы «отгоняютсю>
в сторону от Со.т1нца и обра зуют хвост кометы ,
который выт ягивается не редко на миллионы ,
а иногда на десятки и сотни миллионов кило
метров .
В начале ХХ в. виднейший русский физик
П. Н. Лебедев бле стяще проведенными в лабо
ратории опытами доказал , что в мировом про
странстве , 1'роме силы тяготения , действует
еще сила светового давления . После того как
подтвердилось существование давления света
на твердые тела и газы , световое давление бы ло
признано той силой , которая играет роль в об
разовании хвостов комет.
Формы кометных хвостов различны и, как
пока зал Бредихин , зависят от отталкиватель
ной силы Солнца . У одних комет они почти
прямые , у других сильно изогнуты . Ф . А . Б ре
дихин пришел к выводу , что у комет образу
ются хвосты трех типов . К первому типу он отнес
хвосты , которые образуются под действием
отталкивательной силы , во много раз превы
шающей силу тяготения . Эти хвосты обычно
почти прямые . Сил ьно искривленные хвосты ·
обра зуются при отталкивательной силе , пример
но равной силе тяготения или превышающей
ее не более чем в 2-2,5 раза. Это хвосты вто
рого типа. И, наконец, хвосты третьего типа
образуются под де йствием отталкивательной

силы , зна чите льно меньшей, че м сил а тяготе
ния . Они поэтому не «бегут)> от Солнца , а, на
оборот , отклоняются в его сторону.
Формы кометных хвостов Бредихин свя
зывал также с химическим составом комет .
Он предп ол агал , что чем легче частицы веществ,
образующие хвост , тем бол ьше во зде йствие
на них отталкивательной силы . Бредихин счи- ·
тал , что хвосты первого типа состоят из самых
легких газов, второго типа - и з углеводородов
и п аров легких мет аллов и, может быть, пыли ,
а в хвостах треть�го типа присутствуют тяже
лые металлы (в газообразном состоянии) и,
во зможно , также пыль. Позднейшие исследо
вания спе ктров комет подтве рдили многие
предположения Ф. А. Бредихина и значи
тельно углубили представления о природе
хвостов комет .
Неут омимо занимаясь исследо ванием комет ,
Ф. А. Бредихин продолжал свою профессор скую
деятельность в университете . С 1873 по 1890 г.
он был директором Московской обсерватории
и направлял ее деятельность по новому тогда
пути астрофизических исследований . Бл аго
даря трудам Бредихина и его ближайших уче
ников - В. К . Цераского и А. А . Белополь
ского , тоже ст авших крупнейшими учеными ,
Московская обсер ватория приобрела мировую
известност ь.
В число важ ных научных достижений
Бредихина вошла разработанная им теория
образования мете орных потоков. Эти потоки
он рассматривал как ре зультат распада комет .
Ф. А . Бредихин выдвинул также гипотезу
происх о ждения периодических комет . Он счи
тал , что эти кометы образуются путем отде
ления частей от кометы-родоначальницы . Эта
гипоте за объясняла сущест вование «семейств
комет)> , т. е . групп комет , имеющих очень сх од
ные между собой орбиты .
Бредихин плодотворно работал и в других
областях астрономии . Он организовал и вел
спе ктральные наблюдения Солнца - тогда это
был о совсем новым де лом . Много лет он зани
мался наблюде ниями планеты-гиганта Юп итера
и загадочного красного пятна на его поверх
ности.
В 1890 г. Ф. А. Бредихина избрали акаде
миком и назначили директором Пулковской
обсерватории. Здесь он р а сширил круг астро
физических исследований и привлек к работе
в обсерватории талантливых молодых ученых
из различных университетов России . Любовь
к молодежи и вера в ее творческие силы всегда
были характерными чертами Бредихина . Он
АРИСТАРХ АПОJIЛ ОНОВИ Ч БЕЛОПОЛ ЬСКИИ
охотно поручал молодым уче ным разработку
ответственных научных тем, че м давал им воз
можность выйти на самостоятельный путь ис
следования . Большую помощь он ока зывал
также другим отечественным обсерваториям и
работавшим на них отдельным ученым.
В 1895 г. Бредихин оставил руководство
Пулковской обсерваторией, но научными ис
следованиями продолжал заниматься до конца
своей жизни .
АРИСТАРХ АПО.J1.;10НОВИЧ
БЕ.JIОПО.JIЬСКИЙ
•
Луч света , приходящий к нам от далеких
зве зд , - главный источник наших знаний о них .
Разложе нный призмой спектроскопа в разно
ц ветную полоску, испещренную темными ли
ниями , он позволяет делать важные выводы
о химическом составе , физическом состоянии
и движении далеких не бесных тел , которые
даже в сил ьнейшие телескопы видны только
как светящиеся точки .
В этой увле кательнейшей области астро
номии особое значение имеют труды выдающе
гося русского ученого Арист арха Аполлоно
вича Белопольского .
Белопол ьский родился в 1854 г. в Москве .
Еще в детстве он увлекался природой : его инте
ресовали и звездное небо, и камни на Земле,
и ж ивотные , и растени.я . Он увле кался также
художественной литературоii и музыксй . Лю
бовь к книгам сочеталась у него с любовью
к физическому труду - он рано научился кон
струировать и мастерить разного рода ме ха
низмы .
По окончании гимна зии Белопольский по
ступ ил на физико-математический факул ьте т
Московского университета. Здесь он слушал
лекции крупнейших русск их ученых -Ф . А . Бре
дихина по астрономии и А. Г . Ст олетова
по физике . Тогда он еще не думал о дея
тельности ученого , а предполагал изучить мате
матиче ские науки , чт обы стать инженером.
Но именно увлечение техникой привело его
к астрономии. Ф. А . Бредихин пригласил Бело
польского работать механиком на обсерватории .
Оказавшись в тесном общении с такими учены
ми , как Бредихин и Цераский , молодой студент
еще больше заинтересовался астрономией и по
окончании университета стал научным работ
ником обсерватории .
На Московской обсерватории А. А. Бело-
20:1

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ВСЕЛЕННОИ·
лольский работал 11 · лет и занимался разл ич
ными исследованиями . Самая значительная его
работа этого периода посвящена изучению
вращения Солнца . По сделанным многочислен
ным фотографиям перемещения солнечных
пятен на поверхности Солнца он уточнил закон
изменения скорости вращения Солнца на раз
ных широтах . Оказалось , что на солнечном
экваторе вращение происходит быстрее , а по
мере удаления от экватора - медленнее . Было
Аристарх Аполлоно
вич Белопольский.
известно , чт о твердое однородное тело так
вращаться не может . Поэтому Белопольский
�де лал вывод, что Солнце состоит и з газов раз
ной плотности и разной температуры.
В 1888 г. А . А. Белопольский перешел
на Пулковскую обсерваторию . Здесь он работал
неп рерывно 46 лет - до конца жизни . В Пул
кове он занимался спектральными исследова
ниями , которые принесли ему мировую сл аву.
Спектральный анализ и фотографи·я пришли
на помощь астрономам в начале второй поло
вины XIX в. Они стали основой новой области
астрономии - астрофизики. Основы изучения
физической природы небесных тел заложили
известные ученые : англичане Хеггинс (1824 -
1910) и Локьер (1836-1920) , француз Жансен
(1824-1907) , итальянец Секки (1818-1 .878) ,
немец Фогель (1842-1907) и русский. астроном
Бредихин . Белопольский был их достойным про
должателем и открыв·ателем новых путей в на
уке . Получив в свое ведение огромный, 76-санти
метровый пулковский телескоп , он приспособил
к нему сконструированный им спектрограф -
прибор для фотографирования спектров . В даль-
20�
нейшем Белопол ьский тщател ьно продумывал
и совершенствовал конст рукции применявших
ся им приборов и приспособлений .
Еще до на чала астрофизиче ских исследо�
ваний Белопол ьского астрономы знал и, что
если в спектре какого-л ибо небесного тела ,
наприме р дале кой зве зды , наблюдается смеще
ние спектральных линий к фиолетовому концу ,
то зве зда движется по направлению к нам;
если, наоборот , замечено смещение линий
к красному концу , значит , зве зда удаляется
от нас . Это явление называется принципом
Доплера, по имени австрийского физика, в свое
время высказавшего это положение .
Принцип Доплера помог Белопол ьскому
обнаружить движе ния многих небесных тел
в сторону приближения к нам или уда ления
от нас (так называемое движе ние по лучу вре
мени) . Ему же принадлежит заслуга приме
нения принцип а Допле ра дл я решения других
важнейших научных вопросов. Особенное зна
чение имели его исследования переменных
зве зд тип а цефеид (см . стр . 123).
Белопольский открыл , что изменения блеска
цефеид происходят в соответствии с их движе
нием по лучу зрения . Это движение обнару
живается по смещению линий в спектре . Таким
образом, цефеиды то приближаются , то уда
ляются от нас. Белопольский сначала пред
положил , что цефе иды - это спектрально
двойные зве зды . Однако в дал ьнейшем он вы
яснил , что загадка цефеид сложнее и не объяс
няется их двойственностью .
На основании исследований Белопол ьского
другой замечательный русский ученый ..
..
..,.
физик
Н. А. Умов (184 6-1915) выска зал мнение ,
ставшее потом общеп ринятым , чт о цефе иды -
не двойные зве зды , а одиночные , но размеры
их непостоянны . Они << Пульсируют» : периоди
че ски то расшир яются , то сжимаются под вли
янием внутренних физических причин . Rогда
звезда расширяется , ее поверхность прибли
жается к нам , вызывая смещение линии спектра
к фиолетовому концу . При сжатии зве зды про
исходит обратное явление . С расш ирениями
и сжатиями зве зды связаны изменения ее блес
ка и температуры .
С помощью принципа Доплера А. А . Бело
польский решал и другие задачи . В свое время
на основании математических расче тов уче ные
предположили, что кольцо Сатурна не может
быть сплошным, а должно состоять из множе
ства мелких тел. Белопол ьский решил спект
рал ьны ми наблюдениями проверить выводы
м атематиков . Изме рив смещения линий в спент-

ре более близких и более далеких к планете
часте й кольца , он убедился , чт о кольцо вра
щается так , как может вр ащат ься только тело ,
не имеющее сплошной массы: более близкие к
планете части кольца вращаются быстрее , более
далекие - медленнее . А это значит , что кольцо
состоит из множест ва мелких тел .
Одновременно с Белопольским это открытие
сделали американский астроном Килер (1857-
1903) и французский астроном Деландр (1853-
1948) .
Таким образом, применяя принцип Доплера,
Белопольский достиг заме чательных научных
успехов . Но принцип Доплера по отношению
к световым колебаниям еще не был проверен
опытами в лаборатории . Большинство ученых
вообще считало такую проверку не во зможной,
так как смещение спектральных линий небес
ных тел вызывается их движением с оrромными
скоростями , которые нево зможно воспроиз
вести в лаборатории. Казалось , нечего было
и мечтать об опытной проверке . Но многие
ученые сомневались в возможности по смеще
нию линпй в спе ктре делать выводы о прибли
жении к нам или удалении от нас небесных тел .
Поэтому проверка принципа Доплера была необхо
дима.
А. А. Белопольский был не только теоре
'l
l'
Иком, но и искусным изобретателем и конст
руктором . Это и помогло ему провести опыты ,
окончател ьно .подтвердившие принцип Доплера,
а ст ало быть, и правильность полученных с его
помощью астрономичесюtх выводов . Он постро
ил . прибор , в котором луч солнечного света
после многокр атного отражения от нескольких
зе ркал , вращающихся навстречу · одно другому ,
попадал в ще ль спектрографа, а оттуда•на фото
граф ическую пластинку . Отражение свет а от
движущихся зе ркал должно было дать тот же
эффект - в смысле смещения линий спектра ,
как если бы перемещался сам источник света
(в данном случае Солнце) . Так именно и про
изошло, и принцип Доплера подтве рдился
опытом.
Многие труды А. А . Белопольского посвя
ще ны спектральным исследованиям новых
звезд, вспыхивавших в конце XIX и в первой
четверти ХХ в., определению времени вращения
Юпите ра и Венеры , изучению комет и другим
вопросам.
В Пулкове Белопольский до последних
дней продолжал начатые еще в Москве иссле
дования вращения Солнца . С помощью спект
рографа и руководствуясь принцип ом Доплера
он определил приближение и удаление отдель-
ЭДУАРД ЧАРЛЗ ПИКЕРИНГ
пых точек солнечной поверхности. Этим он
подтвердил свои прежние выводы о замедлении
вращения Солнца от экватора к полюсам (вбли
зи полюсов период вращения Солнца доходит
до 34 суток , тогда как на экваторе он состав
ляет всего 25 суток) . Белопольский подметил
также , что вращение Солнца вообще со вре
менем несколько -замедл яется .
В 1900 г. А . А. Белопольского избрали
академиком . С 1917 по 1919 г. он работал дирек
тором Пулковской обсер ватории. Великую
Октябрьскую революцию Белопольский встре
тил уже в преклонном возрасте . Но это. не по
мешало ему с юношеской энергией приняtь
участие в создании советской науки. Почти
в 80-летнем возрасте l)H неутомимо работал
в составе экспедиции, выбир авшей место для
постройки большой астрофизической обсерва
тории на юге нашей ст раны . Умер Белополь
ский в 1934 г.
Всю свою жизнь А. А . Белопольский провел
в напр яженном труде . Он сам создавал инстру
менты , с которыми работал . Им опубликовано
более 270 научных работ , у него училось не
скол ько поколений астрофизиков .
Аристарх Аполлонович Белопол ьский при
надле жал к числу передовых ученых-матери
алистов , которые считали, что в природе нет
не разрешимых зада ч, и смело искали и нахо
дили новые пути для проникновения в далекие
глубины Вселенной.
•
ЭДУАРД ЧАРJIЗ П'ИКЕРИНГ
К концу XIX в., после того как на помощь
астрQномии пришли спектральный анализ
и фотография , изучение ми ра з везд вступило
в новую фазу . К этому времени уже стали из
вестны точные положения многих тысяч звезд
и и зучались их со бственные движения . Откры
лись также широкие возможности для изуче
ния спектров з в езд, выяснения и х темпе ратур,
а отсюда - и состояния в е щества в них .
Изменения блеска звезд - у одних строго
пе риодические , у других, наоборот , неправиль
ные - свидетельствовали о том, что в з ве::-,.:i;ax
происходят какие-то сложные физические про
цессы. Для разгадки их надо было изучат ь пе ре
менные з везды и спектры з везд. Такую задачу по
ставил перед собой аме риканский астроном Эдуард
Чарлз Пикеринг (1846- 1919) . Пикеринг сна
чала был физ иком. Благодаря своим выдаю
щимся способностям в 22 го,ца он стал уже
203

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ВСЕЛ ЕННОИ
профессором физ ики в те хнологическом инсти
туте в Бостоне . Затем он пе решел работать
на первую американскую обсерваторию , соз
данную при Гарвардском униве рситете . В . 1877 г.
Пике ринг стал директором этой обсе рвато рии
и профессор<rм астрон()мии в униве рситете .
Когда начали и зучать спектры звезд, то
оказалось, что они чрезвычайно разнообразны ,
Эдуард Чарлз пикеринг .
хотя химический состав все х звезд приме рно
одинюювый. Различия в спектрах звезд х арак
те ризуют различия в их темпе ратуре, а отсюда
и в состояниях вещества. П ервую классифи
кацию звезд по характе р у.их спект ров предло
жил итальянский аст роном А. Се кки . По
это й классификации звезды разделялись на
белые - самые горячие , желтые - менее го
рячие (к ним относится и Солнце) и крас
ные - холодные звезды . Классификация Се1\
ки не отличалась совершенством. Потом
эту кл ассификацию ра звил несколько под
робнее немецкий аст роном Г. Фогел ь. Но и
классификация Фоге.11 я был а неполноце нной,
так как основывалась на и зучении спектров
е ще немногих звезд .
Пикеринг со свопми учениками и сотруд
н иками провел огромную работу по собиранию
д анных о спектрах значител ьно бол ьшего ко
личе ства з везд. На основе этих . данных была
создана новая , гарвардс кая , классификация
з вездных спектров , в которой дана подробная
«лестни ца» з везд от самых горячи х до самых
холодных. В этой классификации вся совокуп
ность з везд разделяется по спектральным клас
с ам, каждый и з которых о хватывает звезды ,
204
бл изкие ме жду собой по темпе ратуре и по
характеристике спектра. Эта гарвардская клас
сификация з вездных спектров прочно воinла
в науку, и астрономы по.11ьзуются ею до на
сто ящего времени .
Особое внимание Пикеринг уделил перемен
ньш звездам. Их и зучение он справе1щиво счи
тал основой для выводов о строении и раз витии
з вездного мира . Пикеринг организовал на об
сервато рии систематические работы по отыска
нию новых , т. е. ранее неизвестных , пе ремен
ных звезд . В этом деле на помощь ему пришл а
фотография . Тщател ьное изучение фотопласти
нок с одними и те ми же участками неба , з асня
тьн1и в разное время , позволяет подметить
изменение блеска той или иной з везды и устано
вить , что это переменная з везда . Дальнейшие
наблюдения данной звезды дают возможность
выяснить пе риод и зме нения ее блеска или не
правильный характе р этого изменения .
В ходе своих исследований Пикеринг открыл
существование так называемых спектрально
двойных звезд . Это далекие от нас з в ездные
пары (а иногда кратные системы) . Составляю
щие их з ве зды расположены так бл изко пруг
от друга ; что их двойственность н евозможно
рассмотреть даже в самые сильные телескопы .
В России систематичесную работу по о нтс
I\ анию и изучению новых пе ременных звезд
организовал на Московской обеерватории ее
директо р - нрупный русский
астрофизик
В. К . Це раский (1849- 1925) . Поисками пе ре
ме нных звезд на фотографиях более четверти
века занималась здесь жена В. К . Цераского -
Л. П. Це раская, по специал ьности педагог-язы
н овед . Исследовал же эти звезды крупный аст
роном С. Н. Блажко (1870-1956) , позднее
возгл ав;�явший обсерваторию . В сове тсную
эп оху исследования пе ре менных звезд приоб
рел и особенно широ.1шй размах , и Московская
обсе рватория (ныне Госуда рственный аст роно
мический институт им. П. К. Штсрнберга)
стала мировым цент ром в этой обл асти наукп .
Изучение переменных звезд , начатое Пике
рингом, имел о . бол ьшое значение дл я науки .
•
ГЕПРИХ HOPPllC РЕССЕ"1
Крупнейшие заслуги в и зуче нии з везд при
надлежат американскому астроному Генриху
Норрису Ресселу (1877-1957). Его научн ая
,1;1;е ятел ьность протекала в r. Принстоне , на се-

веро-востоке США . Здес ь Рессел с 1906 г. был
·профессо ром астрономии и директором обсер
ватории Принстонского университета .
В ре3ультате долгих исследований Рессел
ус тановил свя3ь между спектрами 3Ве3д и их
светимостью . При этом оп редел ились бол ьшие
ра3личия в светимостях 3Ве3д . Ока3алось, что
белые и голубые , т. е. самые горячие , 3Ве3ды
отличаются и огромно й светимостью . Зве3ды же
желтые и красные ре3ко ра3дел яются на две
группы : 3Ве3ды с большgй светимостью , в сот
ни и тысячи ра3 бОл ьшей, чем у Солнца , и 3Ве3-
ды со сравнительно малой светимостью -
такой, как у Солнца , или меньшей. Так был о
уст ановлено , что по светимости звезды под
ра3дел яются на гигантов и карликов. Позднее
выяснилось, что гиганты и 1\ арлики по свети
мости являются гигантами и 1\арликами также
по ра3ме рам и по массе , хотя различия в массах
гиганто в и 1\ арлиl\ов не стол ь велиl\и, ка1< раз
ш1чия в с n етимостях и ра3мерах. Наше гигант
ское Солнце с его колоссал ьным и злучением -
всего только желтый карл ик , рядовая зве3да
в наше й Галактике.
Тю< было установлено , что бол ьшинство
зве3д - это гиганты и карлики , причем 1\ ар
ликов нес равненно бол ьше , чем гигантов . Стало
также И3вестно , что , 1\ роме гигантов и карли
ков , во Вселенной имеются сверхгиганты (горя-
Ген рих lloppиc
Рессеа .
чие - бело-голубые и холодные - красные) ,
субгиганты и субкарлики (т . е. з везды , по све
тимости приближающиеся либо к гигантам, ли
бо к карликам) и, наконец , белые карлики.
Рессел и датский аст роном Э. Герцшпрунг
(род. в 1873 г.) построили специальную диа
грамму , на. которой показана связь между
КАРЛ ШВАРЦШИЛЬД И АРТУР СТЭНЛИ ЭДДИНГТОН
спектрами зr:езд и их светимостью. Эта диа
грамма (ее называют диаг рамма «спе нтр-све
тимосты или диаграмма Герцшпрунга - Рес
села) играет огромную роль в и зучении звезд
ного мира . Она все время дополняется и исправ
ляется в свете новых данных.
Рессел явился ОСНОВОПОЛОЖНИI\ОМ совре
ме нных представлений о природе и путях
развития звезд. Он считал , что з везды с раз
ными спектрами находятся на разных стадиях
развития. Хотя ему и не уд алось построить
правильную схе му развития зве3д , эта его идея
была верн ой . Тепе рь установлено , что суще
ствующие ныне 3Ве3ды имеют самый ра3личный
возраст и что самые горячие и яркие И3 них -
белые и голубые - являются молодыми .
Рессел много работал и в других областях
астрономии , особенно в области 1\ осмогонии
солнечной системы . М,югие крупные американ
ские аст рономы быди его учениками .
•
RAP"1 ШВАРЦШИ.JI ЬД
и АРТУР стан.Jiи аддингтон
В начале ХХ в. ра3ные страны дали ми ру
многих выдающихся астрономов-исследо вателе й
мира 3ВС3Д . Но пределы ;\анной статьи не по3во
ляют рассказать о них , поэтому ограничимся
сведе ниями о деятел ьности еще двух астрофи3и
ков - немецкого ученого
'
Карла Шварцшил ьда
(1873- 1916) и английского Артура Стэнли
Эддингтона (1882- 1944) .
Карл Шварцшил ьд учился в Мюнхенс1<0м
униве рсите те . Его учителем 3десь был Г. Зее
лигер (1849- 1 924) - крупный неме цкий аст
роном, много занимавшийся и3учением ст рое
ния Млечного Пути. Влияние Зеелигера опре
делило и направление научных инте ресов .
Шварцшил ьда . С 1901 по 1909 г. Шварцшил ьд
состоял профессором и директором обсе рва
тории Гёттингенского университе та и с 1909 г.
возглавлял
Потсдамскую аст рофи3ическую
обсерваторию . Шварцшил ьд много сделал в
о бласти и зучения блеска зве3д, где применил
фотографические методы исследования . Состав
ленный им 1\аталог точнейших определений
блеска 3500 з ве3д явился це ннейшим приобре
тением для науl\и.
Особенно много Шварцшил ьд работал в оq
ласти и зучения движения 3ве3д в нашей Галак
тике . Эти его исследования очень много дали
200

ИССЛЕДОВАТЕЛИ В СЕЛЕВНОИ
для познания строе ния Гал а1<тики и выясне
ния закономерностей движений звезд в н ей.
Шварцши.'lьд одним из пе рвых среди ученых
по-настоящему занялся изучением строения
звездных атмосфе р и внутренне го строения
звезд. Известно , что строе ние солнечной ат
мосферы сложное . Но Солнце - рядовая з в ез-
Артур Стэнли
;)дднн гтон .
да . Следовател ьно , атмосфе ры других звезд
не менее сложны , а у звезд-гигантов , например,
атмосферы и гораздо обширнее , чем у рядовых
звезд . Шварцшильд впервые разработал те орию
строения звездных атмосфер. Во второй поло
вине ХХ в., когда данных о физической природе
звезд было накоплено гораздо больше , чем име
лось в распо ряжении Шварцшил ьда , ученые
развивают и углубл н ют представления о звез
дах и их атмосфе рах .
Жизнь и деятел ьность Шварцшил ьда обо
рвалась рано . В 191.4 г. его призвали в армию ,
и он погиб на фронте .
В настоящее время в США работает вид
ный исследовател ь строения и развития звезд
Мартин Шварцшильд . Это сын К. Шварцшильда .
Артур Стэнли Эддингтон учился в Кемб
риджском униве рситете (Англия) . С 1906 по
1913 г. он был ассистентом старейшей в Англии
Гринвичской обсерватории , а с 1913 г. - про
фессором и директо ром обсерватории Кемб
риджского университета .
Эддингтон также много занимался и зуче
н ием движений звезд . Но гл авная его заслуга
в том , что он впервые разработал тео рию внут-
206
реннего строения звезд . Поскол ьку физические
звания тогда были далеки от их сов ременного
уровня , предположения и расчеты Эддингтона
могли быть тол ько приближением к современ
ным представлениям о строении звезд и о про
исходящих в них физических процессах.
Шварцшил ьд и Эддингтон заложили основу
ваших знаний о строе нии звезд . Те пе рь мы
знаем об этом гораздо бол ьше .
•
ЗДВНН ХАББ.JI
В ысказанные в н ачале вто рой половины
XVI ll в. Кантом, Ламбе.ртом и некотор ыми дру
гими учеными предположt> ния , что наша Галак
тика - одна из бесчисленных звездных систем
в бесконечной Вселенной, были в свое время
тол ько с мелыми догадками . Подтверд ить их
правильность наука не могла , так как не рас
полагала еще никакими сведениями о форме
и размерах самой Галакти ки . Передовые уче
.ilЫе конца XVl ll и первой половины XIX в.
разделял и эти предположе ния , х отя та кже не
могли подк репить их никакими доказател ь
ствами .
Изучение Гала ктики дале1юпродви нулось впе
ред бл агода ря трудам В. Гершеля и В. Я . Стру
ве . В середине XIX в. ирландский астро
ном В. Парсонс при помощи своего гигантского
телескопа о бнаружил , что многие из туман
ностей, которые не разделяются на отдел ьные
звезды , и меют спиральную фо рму . После от
крытия спектрального анализа и применения
его к и зучению небесных тел оказалось, что
у многих туманностей, в особенности у спи
ральн ых, спектр не отличается от обычного
спектра звезд . Этим как будто подтве рждал ось,
что такие туманности могут быть далекими
звездными системами . Но во второй половине
XIX в. большинство ученых не разделяло мне
ния о существовании множества звездных сис
тем . Эти ученые полагали, что во Вселенной
существуе т одна звездная система - это наша
Галактика , а сама Вселенная имеет конеч.ные
размеры .
В начал е ХХ в. новые открытия пробудили
у ученых ббл ьший, чем ран ьше , интерес к при
роде спиральных и других «не разложимых))
туманносте й. В некото рых из них (в частности,
в туманности в созвездии Андромеды) были
замечены вспы хнувшие новые звезды . Когда
удал ось при помощи спектрального анализа из-

ме рить скорости движе ния некото рых туман
ностей, они оказались огромными - тысячи
кил ометров в секунду . В то же время все по
пытки измерить непосредстве нно перемеще ние
туманностей на фоне неба оказались безуспеш
ными . А это означало , что туманности находятся
на расстояниях , во много раз пре восходящих
расстояния до самых далеких звезд Млечного
Пути .
Сколько-нибудь точному определению эти
расстояния долго не поддавались. В
·1920 г.
шведский астроном Лундмарк показал , что
расстояние до туманности в Андро меде состав
ляет не менее 650 тыс. световых лет. В том же
году американс1шй астроном Нёртис привел
важные доводы в пол ьзу того , что спиральн ые
туманности представляют собой звездные сис
темы , удаленные от нас на сотни тысяч , милли
оны и десятки миллионов световых лет . Однако
многие астрономы возражали против выводов
Лундмарка и Нёртиса. Они все е ще считали,
что спирал ьные туманностп принадлежат к н а
ше й звездной системе , а сами з вездными сис
темами не являются .
В 1924 г. вес ь мир облетела весть , что аме-
Эдви11 Хабб.:r.
ри канский астроном Эдвин Хаббл при помощи
тол ько что вошедшего в строй гигантского
телескопа обсе рватории Маун т- Вильсон (в На
л ифорнии) с зеркалом 250 см в диаметре окон
чательно доказал , что туманность в Андромеде
и некоторые другие туманности имеют звездное
строение и находятся далеко за пределами
Млечного Пути .
Таким образом, впе рвые было доказано ,
что наша Галактика - не единственная звезд-
ЭДВИН ХАББЛ
ная система во Вселенной. В истории астро
номии началась новая эпоха - эпо ха открытия
и изуче ния других звездных систем и иссле
дования безграничных просторов Вселенной .
Начало этой эпохи и многие ее последующие
достижения связаны с именем Эдвина Хаббла .
Хаббл родился в 1889 г. в штате Миссури
(США). Оц учился в Ч икагском университете ,
а потом продолжал свое образ ование в Оксфорд
ском университете в Англии . В 1914 г. Хаббл
вернулся в Чикаго и стал ассистентом Йеркской
обсерватории (близ Ч икаго) , где имеется круп
нейший в мире рефрактор с объективом в 102 см .
Однако успешно н ачатая Хабблом научная
работа прервалась . Шла пе рвая мировая война ,
и его призвали в действующую армию . По воз
вращении из армии Хаббл стал астрономом
обсерватории Маунт- В ильсон - одной Из круп
нейших астрофизических обсерваторий мира .
Уже первые свои труды Хаббл посвятил
фотографичес1юму и зучению слабых туманнос
тей . В этих трудах он утве рждал , что спираль
ные туманности состоят из звезд . Хаббл назвал
их внегал актическими туманностями , т. е.
находящимися за пределами наше й Галактики .
Сделанное в 1924 г. Хабблом отк рытие при
несло ему мировую известность. Суть открытия
заключалась в том , что на получе нных Хабблом
при помощи 250-сантиметрового рефрактора
фотографиях крайние (менее яркие) обл асти
трех туманностей - в Андромеде , в Треуголь
нике и еще одной, обозн·аче нной в каталоге
номером 6822 ,- отчетливо разлагались на звез
ды . Исследование фотографий показало , что
среди этих з везд много переменных - цефеид .
Это обстоятельство имело огромное значение .
Еще в конце XIX в. выдающийся американ
ский астроном Э. Пикеринг начал на обсер
ватории Гарвардского университета обширные
исследования переменных з в езд. В 1908 г. со 
трудница Пикеринга - Ливитт (1868 - 1921)
открыла замечательную особенность перемен
ных звезд- цефеид : чем больше пе риод и змене
ния блеска у них , тем больше их светимость,
т. е. их истинная сила света. Это значит,
что е сли из наблюдения той или иной це
феиды установлена велич:Ина периода изме
не ния ее блеска , то по определенной фо рмуле
вычисл яется и ее сила с11ета по с равнению с Солн
це м. А после этого уже легко рассчитать , на
каком расстоянии от нас должна находиться
эта це фе ида , если она при установленной све
тимости представляется с Земли з ве здой данной
видимо й звездно й величины . Так как цефе и
ды - звезды огромной светимости (все они
207

ИССЛЕДОВАТЕJIИ ВСЕЛЕННОИ
гига нты или све р хгиганты) , то их в первую
очередь и обнаружили астрономы во внега
лактических туманностях , з ве здное строе ние
кото рых было открыто Хабблом.
Таким образом , Хаббл определил рассто
яние до исследова нных им внегалактических
туманностей. Расстояние до туманности в со
з вездии Андромеды оказалось, по е го вычисле
ниям , огромным - около миллиона светоuых лет .
В настоящее время это расстояние в свете новых
данных принимается в полтора миллиона
световых лет .
Приме рно таким же оказалось и расстоя
ние до туманности в созвездии Треугол ьника .
Таким образом, расстояния от нас до близких
туманностей в десятки раз больше размеров
нашей з в ездной системы.
Но это было только началом. В последу
ющие годы Хаббл исследовал очень м ного вне
гала ктических туманносте й. Они тепе рь наз ы
ваются галактиками (ц отличие от них наша
Галактика пИшется с прописной буквы) . Ока
залось , что далеко не все эти галактики имеют
спи ральную форму . Многие из них эллипти
ческо й, а некото рые неправильной формы.
Таковы , между прочим, Магеллановы Облака
(Большое и Малое) - огромные скопления
з везд, видимые невоо руженным глазом в юж-
ном полушарии не ба .
·
Хаббл составил подробную классификацию
галактик по их фо рме и по другим особе нностям.
В течение последующих лет, бл агодаря тру
дам Хаббла и других астрономов, быстро рас
ширились границы изученной части Вселенной.
При помощи фотографии (на пластинках) аст
рономы открыли миллионы галактик, нахо
дящихся от нас на все более и более далеких
расстояниях , и обнаружили скопления и целые
« облака� галактик .
В 1941 г. работы Хаббла вновь прервались:
ученого привлекли к военно-те хническ им делам.
После второй мировой войны Хаббл возобновил
свои исследования на обсерватории Маунт-:Вильсон
и одновременно принял деятельное участи е в
проектировании новой обсерватории на го ре Па
л омар. Здесь в послевоенные годы установлен
величайший в мире рефлектор (с зе ркалом ди
аметром 508 см) .
Хаббл снончался в 1953 г. Он был одним
из самых выдающихся и талантливых астро
номов наше й эпохи и пионе ром и зучения дале
ких звездных систем , похожих и.а нашу .
Наше время - эпо ха непрерывного и необы
чайно быст рого расширения знаний о Все
ленной и проникновения во все более далекие
208
ее глубины с помощью не только спектрального
анализа и фотографии , но и нового мощного
средства - радиоисследований.
•
ГРИГОРИЙ АБРАМОВИЧ ШАЙН
Жизнь Григория
Абрамовича
Шайна
(1892-1956) - выдающегося советс1шго уче
ного , одного из крупнейших а ст рофизиков -
ярчайший пример неустанного творческого
научного труда , увенчанного важными и пло
дотворными достижениями .
Г. А. Шайн родился и вырос в Одессе . Он
был сыном бедного ремесленника . С ранних
лет интересуясь различными областями науки
и искусства , Шайн с большим трудом прокла
дывал себе путь к обра зованию . Материаль
ная необеспеченность семьи лишила будуще го
ученого возможности учит ься в гимна зии , и
он i"Чился самостоятельно . В возрасте 19 лет
Шайн сдал экстерном экзамен за полный курс
гимна зии . Но еще до эт ого он начал успе шно
заниматься своей любимой астрономией. Стре
мясь глубже овладет ь этой н а укой, он с исклю
чительной настойчивостью изучал математику
и физику. Уже тогда Шайн с особенным увле
чением вел наблюденИя за небесными свети
лами с крыши дома при помощи простейших
астрономических приборов . Шайн
познако
мился с астрономами Одесск ой университет
ской обсерватории , и они допустили его к ра
боте на ней . Ко времени сдачи экзаменов за
среднюю школу он имел уже печатную ра
боту - исследо вание орбиты одного из ме
теорных потоков .
С 1912 г. Г. А . Шайн учид ся в Юрьевском
униве рситете . Потом работал ассистентом про
фессоров астроно мии в Пермсном и Томском
университетах . В 1921 г. Г. А. Шайн стал
астрономом Пулковсной обсерватории , а с
1923 г. работал в ее Симеизсном отделении ,
в Крыму.
В эти годы определилось основное направ
ление последующих трудов Г. А . Шайна . Он
поставил своей цел ью исследование фи зиче
сиой природы зве зд, туманностей и строения
зве здных систем. Шайн в совершенстве овла
дел ме тодами спеитрального анализа и фото
графирования небесных тел . Учителем его
был А. А. Белопольский.
В 1924 г. на Симе изси ой обсерватории уста
новили рефлектор с зериалом в 102 см , долгое

время остававшийся одним из крупнейших в
Европе . Г. А . Шайн руководил установкой
его и использовал этот мощный инструмент
дл я спектральных исследований зве зд . Вместе
с другим симе изским астрономом - В . А. Аль
бицким (1891 -1952) - он определил лучевые
скорости многих зве зд .
В свое время еще Галил ей, наблюдая в те
лескоп перемещение пятен на диске Солнца ,
сделал правил ьный вывод , что Солнце вра
щается вокруг своей оси , чем и объясняется
· Григорий Абрамович
Шайи.
перемещение пятен на нем . Но Солнце - одна
из бесчисленных зве зд . Следовательно , и з ве з
ды должны вращаться . Но даже и в крупней
шие современные телескопы зве зды представ
ляются светящимися точками. Поэтому не
че го было и думать о возможности увидет ь на
зве здах какие-либо детали, подо бные солнеч
ным пятнам, по перемещениям которых можно
было бы установить враще ние звезд . Оно могло
быть установлено только путем тончайших
спект рал ьных исследований , основанных на
приме нении принцип а Доплера (см . стр . 202).
Такие исследования и выполнил Г. А . Шайн
одновременно и в контакте с работавшим в
США правнуком В. Я. Струве и з вестным
астрономом О. Л. Струве (1897 -1963) . Они не
только установили , чт о зве зды вращаются , но
и измерили скорость этого вращения . При
этом оказалось , чт о самые горячие зве зды
на их экваторах вращаются со скоростью , исчис
ляемой сотнями километров в секунду , тогда
как скорость вращения Солнца на его экваторе
составляет то лько 2 км/сек .
814д.э.т.2
ГР И ГОРИИ АБРАМОВИЧ ШАИН
Открытие враще ния зве зд и исследование
их луче вых скоростей наряду с другими тру
дами , выполненными Шайном в те же годы ,
создали ему широкую известност ь среди астро
номов всех стран. В 1939 г. Г. А . Шайна избра
ли акаде миком,
а затем чл еном старей
шего в мире Лондо нского астрономичесl{о'го
обще ства .
Работу Г. А. Шайна в Си111еизе прервала
Вел икая Отечественная война . Заняв Крым,
немецко-фашистские захватчики разрушили
Симе и зскую обсерваторию . Ее 102-сантиме!l'ро
вый рефлектор не удал ось эвакуировать, и он
попал в рую1 врагов , которые вывезли его в
Германию и привели в полную негодность.
В грозные годы войны , несмотря на все
трудности, Г. А . Шайн продолжал свои иссле
дования в Абастумани , на обсерватории Ака
демии наук Грузинской ССР . После освобожде
ния Крыма он вместе с другими астрономами
вернулся в Симеиз. В послевоенные годы
Симеизскую обсерваторию не только восста
новили, но и построили вблизи нее, в селе Пар
тизанском, новую мощную обсерваторию . Обе
они составили одно научное учреждение -
Крымскую астрофизическую обсерваторию Ака
демии наук СССР , одну из крупнейших в мире.
Академика Г. А. Шайна на значили директором
новой обсерватории . Ему выпала труднейшая
задача : он должен был руководить строитель
ством обсе рватории и оборудовать ее перво
нлассны111и инструментами и приборами .
Как только вновь были установлены на
обсерватории первые инструменты , Шайн раз
верн ул исследовательскую работу на ней .
� первой половине ХХ в. изучение зве зд
раскрыло многообразие зве здного ми ра . Астро
номы установили, что зве зды по разме рам
и силе света де лятся на гиганты и карлики,
уточнили различия зве зд по особе.нност ям их
спе ктров , собрали много данных о массах и
те мпе ратурах зве зд , движе ниях и распре
де лении их в пространстве . Все это привело
ученых к не оспоримому выводу , что суще ств ую
щие ныне зве зды имеют различный возраст
и возникли не одновременно . Возникновение
зве зд продолжается и теперь.
Но из чего возникают зве зды ? Очевидно , из
таних форм веще ства , которые имеются в
нашей и других зве здных системах . Ими
могут быть газовые и газово-пылевые туман
ности. В нашей Галантине (кан и в других)
они обна р ужены в большом ноличестве . Их
плотность ничтожна , но размеры по сравне·
нию с размерами зве зд огромны , а общая
209

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ВСЕЛЕВВОИ
масса сравнима с массой всех зве зд Галак
тики . Следовательно , дл я решения вопро
са о происхожде нии зве зд и самих туманностей
необходимо было тщательно изучит ь газовые
туманности . Огромный вклад в это дело внес
Г. А. Шайн.
Академик Шайн не ограничился исследо ва
нием уже известных газовых туманност ей . Он
обнаружил в нашей и других галактиках множе
ство новых газовых туманностей , состоящих
и з разреженного водорода . Они не видны гла
зом в телескоп и улавливаются только путем
фотографирования их особыми способами .
Шайн со своими сотрудниками открыл свыше
300 таких туманностей. Выяснилось, что неко
торые туманности - не бесформенные мас
сы газа , а имеют ярко выраженное волокни
стое ст роение и в них происх одят разнообраз
ные физиче ские (в частности, магнитные) явле
ния . О1<азалось , что многие туманности имеют
огромные массы - в. т�сячи раз большие , че м
масса Солнца . Многие свои исследования , по
священные туманностям, Григорий Абрамович
выполнил вместе со своей сотрудницей - та
лантливым астрономом Верой Федоровной Га
зе (1899-1954) .
Бол ьшое з н а чение имеют и другие иссле
дования Шайна . В особенности важны его
труды по изучению зве зд с обильным содержа
нием углерода . Шайн много и успешно зани;
мался также изучением спектрально-двойных
з ве зд и другими вопросами .
В 1952 г. Григорий Абрамович Шайн по
состоянию здоровья вынужден был отказаться
от поста директора обсерватории , но научную
работу он продолжал вести до последних дней
своей жизни .
•
УЧЕНЫЙ-РЕВО.JIЮЦИОНЕР
ПА ВЕ.J.1 RАР.JIОВИЧ ШТЕРНБЕР Г
Далеко не все знают , что Павел Карлович
Ште рнберг , имя которого носит Государ ствен
ный астрономический институт Московского
государственного униве р ситета, был не только
видным астрономом , но и замечательным рево
люционером, активным участником Великой
Октябрьской социалистической революции .
Штернберг родился в 1865 г. в г. Орле .
Настойчивост ь и уп орство в работе , стремле
ние .каждое начатое дело доводит ь до ко�ща
были свойственны ему с юных лет. Он рано
заинтересовал.ел астрономией. Еще гимназистом
210
он сам изготовил штатив для подаренной ему
астрономиче ской трубы , установил ее на .кры"
ше дома , в .котором жил , и регулярно ваблю"
дал небо .
Окончив гимна зию , Штернберг в 1883 г.
поступил в Московский университет . Здесь
на физико-математическом факультете он ст ал
учеником Ф. А . Брецихина . В 1887 г., по ок он
чании университета, Штернберга пригласили
работать на Московской обсерватории. В пер
вые годы он был рядовым сотрудником и по
могал Бредихину в исследованиях комет , а с
1890 г. стал астрономом-наблюдателем и одно
временно начал преподавать в университете .
Молодой уче ный принимал активное участие
в перестройке обсе рвато рии и расширении ее
научной работьi .
Для своих научных трудов П. К . Штерн
берг всегда выбирал темы , требовавшие осо
бенно тщательных наблюдений и измерений.
Его труды по точности выполнения всегда
служили образцом для астрономов .
В90-хгодахXIXв.ивначалеХХ в.
Штернберг занимался точным определение м
широты Московской обсе рватории в связи с
движением полюсов . Земные полюсы - не не
подвижные точки; они перемещаются по зем
ной поверхности, и, как ни ничтожны эти
перемещения , измеряемые немногими метра
ми, они все же вызывают изменение шир от
различных мест на Земле .
Тщательные исследования привели Ште рн
бер г а к выводу, что движение полюсов очень
сложно и для полного уяснения его н ужны
наблюдения в обоих полушариях Земли . Он
указывал и на возмо жную связь между дви
жением полюсов и такими· явлениями в исто
рии Земли, .ка.к ледниковые эпохи и неоднократ
но происходившие наступления моря на сушу .
Много внимания П. К. Штернберг уделял
rа.кже работам по определению силы тяжести в
разных местах Европейской России . Эти работы
имеют большое практическое значение : они
помогают обнаруживать залежи поле зных иско
паемых . В советскую эп оху такие исследова
ния разворнулись на территории нашей страны
в огромных масштабах . Но на рубеже XIX
XX вв . Штернберг был смелым новатором в
этом деле .
Немало времени Штернберг уде лял пре
подавательской работе , и не толь.ко в универ
ситете , но и в средней школе . Он умел живо
и увлекательно передавать учащимся знания
по математике и физике . Когда в 1900 г. пе ре
довые :московские профессора, несмотря на

УЧЕНЫЙ-РЕВОЛЮЦИОНЕР ПАВЕЛ КАРЛОВИЧ ПIТЕРНБЕРГ
препятствия со ст ороны властей, добились
вос
с
тановления в Москве Высших женских
курсов с
университетской
программой ,
П. К. Штернберг ст ал профессором астроно
мии на этих курсах .
Штернберг жил и работал в то время, ко.гда
рабочий класс России готовился к великой
бор ьбе с самоде ржавием и капитализмом. Изу
чение трудов Маркса и Ленина и наблюдение
в фабричном районе за жизнью и борьбой ра
бочих определили политиче ские взгляды уче
ного. Он решил идт и с партией Ленина , бо
р оться за свержение капитализма и уст анов
ление социалистического строя.
Штервбергу не пришлось быт ь в Москве
в дни Де кабрьского вооруженного восстания
1905 г. Он находился в заграничной ком анди
ровке и ве рнул ся только в начале 1906 г.,
после подавления восстания . По возвр ащении
он включился в работу большевистской орга
низации. Это было время , когда от революции
отходили соглашатели и колеблющиеся, а пар
тия сплачивала свои ряды, чт обы организован
но отступит ь после поражения и собрать силы
для подготовки победоносной революции .
Штернберг , оставаясь астрономом обсервато
рии, выполнял ответствен·ные поручения пар 
тии. Ему, например , поручили сохранить
оставшееся после Декабрьского восст ания ору
жие,
и
часть его д0 лго хранилась на
обсерватории.
Свою революционную работу Штернберг
проводил в условиях стр ожайше й конспира
ции; даже его ближайшие товарищи по обсер
ватории не подо зревали, что он революционер
бол ьше вик.
Для подготовки вооруженного восстания
не обходим был подробный план Москвы со
всеми ее извилистыми улицами и переулками,
прое зда ми и проходными дворами . Такого пла
ва Москвы не имели и царские власти. Благо
даря эне ргии и изобретательности Штерн
берга мос1ювская организация большевиков
создала такой план на глазах у властей и даже
с их помощью . В · научных кругах Москвы хо
рошо зн али, чт о Штернберг мн ого занимался
исследованиями напряжен ия силы тя жести .
Поэтому никого не удивило, когда он поставил
в университете вопрос о необходимости полу
чит ь от московских властей разрешение прово
дит ь такие исследования со ст удентами на тер
ритории самой Москвы . Штернберг ссылался
на то , чт о наблюдения на обсерватории и пе
дагогиче ская работа не дают ему возможности
оргавизова;r ь экспедицию за пределы Москвы.
Униве р ситет выхлопотал Штернбергу та
кое разрешение , и вскоре на улицах Москвы
появились ст уденты с непривычными для глаз
обывателей приборами. Все, кто хотел узнать,
чт о это за приборы и что с их помощью делают,
получали разъяснение , что измеряется напр я
жение силы тяжести с целью узнать, нет ли
под Москвой залежей желе за или других ме-
Павеа Карлов ич
Штернберr.
таллов . Пол иция получила ука зание не ме�
шать работам .
В де йствительности"же производилась съем
ка детального плана Москвы , а выполняли это
отчаянно смелое дело не стол ько студе нты , сколь
ко, переодетые рабочие , которых Штернберг
заранее научил обращаться с геоде зическими
приборами. Заснятые плавы районов города
тщ ательно хранились и потом были исп ользо
ваны во время окт ябрьских боев 1917 г.
Выполняя разные партийные поручения,
П. К. Штернберг не ослаблял и научной дея
те льности . После перестройки Московской об
серватории он работал с самым крупным ее
инструментом - 15-дюймовым
астрографом.
Штернберг использовал его дл я применения
фотографии к точным измерениям в астроно
мии, т ак как поставил перед собой задачу - под
метить движение в пространстве одной из дале
ких туманностей.
Как ни огромны небесные тела, для обнару
жения их движения нужны точне йшие изме
рения на фотографиях , тщательно засн ятых
в разное время . Штернберг и зде сь оказался
211

ИССЛЕДОВАТЕЛИ: ВСЕЛЕННОИ
мастером несра вненной точности . За эту ра
боту он получил ученую степень доктора и
звание профессора , а когда в 1916 г. директор
обсерватории В. :К . Цераский по болезни оста
вил работу , Штернберг заменил его .
В стране назревали события все мирно-исто
риче ского значения. 12 марта 1917 г. было
свергнуто царское правител ьство. В первые
месяцы
после
Февральской революции
П. :К . Штернберг участвовал в легальной ра
боте московской большевистской организа
ции . Он мн ого работал по организации :Крас
ной гвардии , сыгравшей важную роль в окт ябрь
ских боях 1917 г.
Но легальная работа партии продолжалась
недолго . В июле 1917 г. Временное правитель
ство ст ало преследовать партию бол ьшевиков .
После ареста многих деятелей партии , раз
грома партийных организаций и га зет больше
вики вынуждены были уйти в подполье . Со
ст оявшийся вскоре VI съе зд партии взял курс
на подготовку вооруженного восст ания для
све ржения власти капиталистов и помещиков .
Вместе
с
другими
чле нами
партии
П. :К . Штернберг готовился к решающим ре
волюционным боям . Но и в самое напряженное
время он не оставлял научной работы .
В боях за победу пролетарской революции
в Москве Штернберг принимал самое активное
участие . Выделенный Московским комитет ом
партии бол ьшевиков боевой партийный центр
на значил его своим уп олномоченным в Замо
скворецкий район Москвы . Отсюда должен
был начаться обстрел :Кремля, в котором нахо
дился штаб контрреволюции .
П. :К. Штернберг проявил каче ства подлин
ного больше вистского руководителя . Имея
перед собой хорошо вооруженного и опытно.г о
в военном отношении противника , он понимал ,
что успех де ла могут обеспечит ь только смелые·
наступательные действия . По его инициативе
и под его руководством осуще ствлялся артил..
.
лерийский обстрел :Кремля. Это обеспечило
победоносный штурм и окончател ьный ра згром
засевших в :Кремле белогвардейских войск .
После победы Октябрьской революции
П. :К . Штернберг некоторое время был комис
саром Московской губернии , а затем по пору
чению правительства работал над перестрой
кой системы высшего обра зования . Предстояла
задача сделать доступными для рабочих и
.крестьян униве рситеты и другие высшие учеб
ные заведения , где до революции получали
образование представители имущих .классов .
Это было трудное де ло . Оно еще осложня
лось тем , чт о реакционная ча ст ь профессуры и
буржуа зное студенчество всячески противодей
ст вовали эт ой перестройке.
При ближайшем участии П. :К . Штер нберга
было разработано новое положение о высшей
школе , широко открывшее ее двери людям из
народа . В этой работе его горячо поддерживал
проф. :К. А. Тимирязев.
Наступ али трудные дни дл я молодой Со
вете.к ой республики: все силы контрреволюции ,
поддерживаемые иностранными империалиста
ми , объединились в борьбе против вл асти Со
ветов . Партия направила Шт.ернберга на Во
сточный фронт против :Колчака . :Как чл ен
Реввоенсовета одной из армий Восточного фрон
та , а потом Реввоенсовета всего фронта , Па
вел :Карлович участвовал в о рганизации пер
вых побед над а рмией :Колчака , а затем и в
окончательном ее разгроме . Даже тяжел о
больн ой, он оставался на фронте , по.ка его не
заставили уехать в Мое.кву для лечения . Вы
лечить Штернберга от тяжелого легочного за
болевани я не удалось. 1 февраля 1920 г. он
с.к о нчался .
:К. А . Тимирязев справедливо назвал Штерн
берг а ученым-героем. Совете.кие астрономы
и весь совете.кий народ чтут память .круп
ного ученого, большевика Павла :Карловича
Штернберга .
•

*
.;JЮБИТЕ.JIЯМ АСТРОНОМИИ
Дорогие читатели!
Из прочитанных статей вы узнал и о даленом
от нас мире небесных тел . У з нали о строении
Вселенной, о звездах и звездных системах , о пла
нетах , нометах, метеорах и других небес ных те
лах и явлениях . Получилп таюке представление
о том , нан снладывалась науна аст рономия , наних
успехов она достигла, наное з начение имеет по
знание ВсеJfе нной для прогресса чедовечества .
ЮНЫЕ
АСТРОНОМЫ
Вероятно , неноторые и з вас заинтересовались
астрономией и будут с увлечением читать рено
мендуемые нниги . А неноторые, может быть, не
ограничатся од ним чтением нниг и пожелают
практичесни чем-либо быть полезными для астро
номии . Науна о Вселенной развивалась трудами
не тольно астрономов-профессио налов . В разные
времена и в разн ых странах любители астроно
мии - люди самых различных профессий - от
данали этой науне свое свободное время и ввоои
л и в нее серьезный вндад.
2:18

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
Читая о замечател ьных достижениях астроно
мии в нашу эпоху , о гигантских телескопах и
других сове ршенных и сложных инструментах ,
при помощи которых осуществляются эти дости
жения, вы можете подумать, что в наше время
любител и уже не могут играть активную родь в
науке п делать ценные открытия . В самом деле,
разве доступно рядовому любителю иметь мощный
телескоп и сложнейшие приборы совре менной аст
рофи зики? Ведь их сооружение требует огромных
затрат и применения таких знаний и опыта , ко
торыми обладают только люди, всецело посвятив
шие себя астрономии и овладевшие всеми мето
да ми и средствами исследования.
И тем не менее , в наше время перед любите
лями астроном ии, и особенно юными, открываются
очень широкие возможности не только приобретать
астрономические знания, но и приносить большую
пользу нау ке .
Во м ногих областях астрономии, таких , Rак
наблюдения метеоров , цсс.11едование переменных
звезд , изучение Луны , больших ш�анет, да и в
других областях , можно получать ценные резуль
таты с самыми скромными средства ми. В умелых
руках и при живом интересе к делу обычный
бинокль, небольШой телескоп, простая фотографи
ческая аппаратура дают возможность проводить
наблюдения, а в иных случаях и делать откры
тия, нужные и ценные для науки.
Для занятиii юных любителей у нас созданы
самые благоприятные условия . Обсерватории и
астрономические круж ки при дворцах пионеров и
планетариях , юношесRие се кции при отделениях
Всесоюзного астрономо-геодезического общества
всемерно помогают юным любителям . Они объед и
няют их усилия и направляют на решение наи
более увлекательных и важных в научном отно
шении задач .
В нашей стране осуществляется грандиозная
программа построения коммунистического обще
ства , начертанная XXII съездом Коммунистиче
ской партии Советского Союза . Партия провозгла
сила , что нынешнее поколение советс ких людей
будет жить при коммунизме. А человек комму
нистического общества должен быть с широким и
интересами , г.1
1
убоко и разносторонне образован
ным. Программа строител ьства коммунизма пре
дусматривает дал ьнейшее сокращение рабочего дня.
Тем самым неизмеримо будут улучшаться имею
щиеся уже и сейчас условия к тому , чтобы наж
дый гражда нин, независи мо . от cвoeii профессии
(будь он рабочий или инженер , работник сель
ского хозяйства , врач , педагог и т. д .), яв.1
1
яясь
полноценным специал истом в своем основном деле,
имел бы достаточно времени для занятий в любой
области науки, искусства , практической деятель
ности , которая помимо специальности , его глубо
ко заинтересует . Для одних такой областью есть и
будет музьша или театр, для других - изобрази
тел ьное искусство, для третьих -спорт , для чет
вертых - те хника . А некоторые (может быть , их
будет и не так мало) пожелают быть любителями
астрономии и в это м найдут большое удовлетворе
н ие и источник творчес кой радос ти.
Можно не сомневаться и в то м, что иные из
вас , юные читатели , станут астрономами-специа
листами , будут работать на больших обсерватори
ях , примут участие в будущих научных экспе
дициях на Луну и на близкие планеты. Но это
дело каждого - в надлежащее время сознательно
и продуманно выбрать себе специал ьность. Быть
же активными любителями астрономии могут все
те из вас , кто интересуется этой наукой и хочет
быть для. нее полезным.
Вашему вн иманию предлагаются две статьи,
из которых вы почерпнете самые начальные зна
ния о том , как сделать любительский телес 1ю п,
как оборудовать астрономическ ую площадку , как
и что систематически наблюдать на небе.
ТЕ.;1ЕСКОП АСТРОНОМА·
.JIIOБHTE.JIЯ
•
Каждому , вероятно , известно , что важней
ш ий прибор , главное орудие астронома - это
телескоп. Но в че111 состоит основное
п реиму щество те.1
1
ескопа перед невооруженным
глазом , ясно далеко не всем .
Принято думать, что главное свойство теле
скопа - увеличив ать изображения небесных
светил . Подх одя к телескопу , школьники обычно
сп р ашивают : «А во сколько раз он увеличи
вает?)> На самом деле мощность телескопа
определ яется не увеличением, а д и а мет
ром егообъектива.Ведьчем больше
диаметр объектива , тем больше его площадь ,
а значит , и количе ство света , которое он соби
рает . Даже небольшой школьный телескоп с
ди аметром объектива 80 мм собирает света в
250 раз бол ьше , чем глаз. Это объясняется
тем, что диаметр зрачка глаза - 5 мм, т. е.
в 16 раз меньше диаметра школьного телескопа,
а 162 = 256 . Поэтому в школьный телескоп мы
увидим зве зды в 250 раз более слабые , чем
невооруженным глазом. Нужно помнить, что
зве зды даже в самый сильный телескоп кажут
ся светящимися точками , поэтому к их наблю
дениям те рмин «увеличе н ие)> неприменим .

Иное дело - Солнце , Луна, планеты , ко
меты, туманности и другие так на зываемые
протяженные небесные тела. Благо
даря сочетанию в оптической системе телескопа
объектива и окуляра можно получит ь увеличен
ные изображения этих светил . Посмотрим, как
они получают ся .
Объектив
телескопа - зто система
линз, задача которой - построить д е й с т в и
тельное изображениесветила.Это
изображение , получаемое в гла в н о м ф о
.к у с е объектива, можно принять на экран,
сфотографировать, поставив зде сь фотопла
стинку , или же рассматривать в специал ьную
сложную лупу - о к ул я .Р · Расстояние от
объектива или окуляра до главного фокуса
называется его ф о к у сным
расстоя
н и е м. Окуляр имеет свое фокусное расстоя
ние , обычно во много раз меньшее , чем у объе
ктива . У вели ч е ние телескопа равно отноше
нию фокусных расст ояний объектива и окуляра.
Можно подумат ь, что следует добиваться
как можно бо льших увеличений телескопа .
Тогда мы сможем рассмотреть мельчайшие под
робности на Луне, Марсе и других планетах .
На самом деле зто далеко не так . Возможност ь
рассматривать те или иные ме лкие подробно
сти (разреш ающая сила телескопа) определяе'I'· 
ся опять-таки не увеличением, а диаметром
объектива. Чтобы узнать, какие наименьшие
дет али можно различит ь в данный тел·ескоп,
надо разделить числ о 120·
на диаметр объекти
ва , выр аженный в миллиметрах . Мы получим
видимые разме ры наиме ньших разл ичимых де
талей в секундах дуги. Напомним,
что одна секунда дуги - 1 /3600 часть гр адуса .
Это угол , под которым видна обычная спичка
с расст ояния 400 м. На расстоянии Луны одной
се кунде дуги соответствует линейный размер
детали в 2 км, на расстоянии Марса (в период
великого противостояния) - в 300 км. Такие
детали можно различит ь в телескоп с объекти
вомв120ммиболее.
Конечно , применение больших увеличений
позволяет лучше рассматривать мелкие де
та ли поверхности Луны или планет . Но оно
имеет и отрицательные ст ороны . При больших
увеличениях изображение становится бледным,
неясным, так как собранное объснтивом коли
че ст во света распреде ляется на большую пло
щадь изображения. Кроме того , при больших
увеличениях во стол ько же раз возр астают
колебания изображения , вы званные 1ю.rюбания
ми атмосферы, а также искажения , свя
занные с несовершенством оптики телескопа
ТЕЛЕСКОП АСТРОНОМА-ЛЮБИТЕЛЯ
(аберрации).Поэтомунеследуетгнаться
за большими увел ичениями, а лучше выбрать
такое увеличение , при котором св етило в дан
ный телескоп видно наиболее че тко .
Телескопы бывают различных типов . Ос
новные типы - зто рефракторы , рефле.hторы
и менисковые телескопы .
Рефр а кто р - наиболее старый тип
телескопа . Слово «рефрактор» означает «пре
ломляющий)>. Объектив рефрактора состоит из
линз, преломляющих падающие на них лучи .
Уст ройство оптической системы рефрактор а
было описано выше .
В СССР для школ выпускаются два типа
школьных телескопов-рефракторов . Большая
модель (рис . 1) - телескоп с объективом диа-
Рис. f. Шко11ь
иый те11ескоп-ре
фрактор с объ
ективом 80 мм
(бо11ьwая моде11ь)
на акваториа11ь
ной установке.
ме!ром 80 мм, фокусным расстоянием 800 мм
и тремя окулярами , дающими увеличение в
28, 40 и 80 раз. Телескоп смонтирован на так
называемойзкваториальнойустанов
ке . Она по зволяет , когда те лескоп наведен
на светило, следить за ним дл ител ьное время,
поворачивая телескоп только вокруг одной
оси . Эта ось, называемая п о л ярноii, доJ1ж
на быт ь направлена на Полярную звезду.
Наклон полярной оси к горизонту должен быть
равен широте места , которую можно опреде
лить по географической карте . Перпендику
лярно полярной оси проходит о с ь с кло
н с н и й. Поворотом трубы телескопа вокруг
обеих осей мы наводим: его на светило, после
чего за�•репJ1яем зажимными винт ами, и даль
ше , следя за светилом в окуляр , медленно
поворачиваем телескоп с помощью микромет
риче ского ключа .
213

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
Малая модель школ ьного теле сноп а-рефрак
тора (рис . 2) имеет ди аметр объентив а 60 мм,
фо1\усное расстояние 600 мм, сна бжена оку
лярами, дающими увеличения в 30 и 60 раз.
В отличие от бо;�ьшой модели малая модель
пшолы-юго телеснопа имеет азимуталь
н у ю установку . В ней труба телес1юп а :может
поворачиваться вонруг двух осей: вертиналь
ной и горизонтальной . Чтобы следить за свети
лом , телескоп приходится поворачив ать одно
временно вонруг обеих осей , а это представ
ляет большое неудо бство 1. Ведь суточный
пут ь светила по ·небу обычно расположен под
углом R горизонтальному направлению . К то
му же этот угол в теЧе ние сутон меняется .
Рис. 2 . Школьный
телескоп - рефрактор
с объективом 60 мм
(малая модель) на
азимутальной уста
новке.
К обоим телесюшам прилагаются различ
ные доп олните льные приспособления: солнеч
ный эк ран, зе нит-при зма , темные стекла и
свет офил ьтры и др .
Часто юный любитель астрономии не имеет
возможности приобрести фабричный телескоп ,
но с удовольствием готов взяться за изготов
ле ние не большого телескопа своими силами.
Кан же сделать самодел ьный телескоп и чт о
в не го можно будет наблюдать?
Можно предложит ь дв а варианта самодел ь
ного телеснопа: для начинающих любителей -
рефрант ор из очновых стенол, для более опыт
ных - самодел ьный рефлектор .
Изготовление самодел ьного рефрант ора -
очень простое де л о, доступное любому шноль
нику . Прежде всего нужно достать оптину :
объектив и оку ляр . В начестве объент ива при
дет ся использовать простую двояновыпуклую
линзу - очко-вое стенло «Rонвенс» в 1 диоптрию
(фокусное расст ояние его равно 1 м) . Тание
1 О том, как избежать этого неудобства в случае
азимутальной установки, рассказано в книге П. Г. Ку
ликовского
«Справочник любителя
астрономии»
(Физматгиз, 1961, стр. 246).
216
линзы можно достать в оптичесних магазинах.
и в аптенах . Если не будет линзы в 1 диоптрию,
можно взят ь в 0,75 или 1,25 диоптрии (их
фонусные рассто яния будут равны соответст
венно 133 и 80 см) . Линза должна быт ь не
пременно нруглая и иметь по во зможности
большой ди аметр (до 50 мм) .
В начестве окуляра можно взят ь сил ьную
лупу (небольшого диамет ра) , онул яр от микро
снопа (в том числе школ ьного , имеющегося в про
даже в мага зинах) , от ст арого теодолита , ни
велира или бинонля.
Чтобы оп ределит ь, RaI<oe увеличение даст
наш телесноп , нужно изме рить фокусное рас
ст ояние онуляра (фоку сное расстояние объ
ентив а равно 100 см, де ленным на число диоп
трий очковой линзы) . Сделать это можно тан .
Наведем в ясный день онуляр на Солнце и рас
положим за ним лист белой бумаги. Будем при
ближать и удалять лист, пока не получим са
мо го маленьного и ярного изображения Солнца
(чтобы бумага не загорелась, онул яр ну жно
принрыть за свеченной пленной или пластин
н ой). Расстояние между центром о:кул яра и
изображением и будет равно его фокусному
расстоянию . Поделив фо:кусное расстояние объен
тива на фо:кусное расстояние о:куляра, получим
увеличение телесноп а. Для самодел ьного реф
ра�\тора оно может составлять 20-50 ра з.
Трубу телеснопа (рис . 3) можно сделать из
бу маги ил и нартона (бумажная труба даже
лучше и ее проще изготовить) . Для этого
нужно подобрать нескольно листов бумаги
большого формата (не меньше го , чем длина
будущей трубы) и изгот овит ь дерев янную нруг
лую болванну таной же длины , диаметром
на 2-3 мм бол ьшим , чем линза объе:ктива .
На эту болванну лист бу маги надо намотать
неснол ьно раз, пока не получится труба не об
ходимой прочности и толщины . При наматыва
нии бумаги необходимо промазыв ать слои ее
нлеем. Клей годится и обычный нонторсний ,
и назе иновый , И :клейстер из нартофел ьной или
пшеничной му:к и грубого помола. Наружную
поверхность трубы надо хорошо покрыть ла
ном, а внутреннюю
вычер нить тушью , чт обы
0611fHTllB
OH!IJJAP
)
/Ш<;
/)/
1
26
Рис. з . Схема самодельного телескопа-рефрактора из очко вых
стекол: 1 - главная труба, 2 - ок улярная труб1;а, 3 - объ
ектив, 4 - оправа объектива, 5 - окуляр, G - оправа окуля-
ра, 7 - диафрагма .

избежать вредных отражений света от стенок
трубы . Сделать это лучше всего до начала про
клеивания тр убы .
Для окуляра таким же образом делается
выдвижная трубка меньшего диаметра (рис . 3) .
Д.тх я изготовления этой трубки подбирается
внутренний диаметр ее в зависимости от внеш
него ди аметра оправы окуляра и дел ается вто
рая де ревянная болванка такого же диаметра .
Длина главной трубы (1) должна быт ь санти
метров на десять меньше фокусного расстоя
ния объектива , длина окулярной трубки - око
ло 40 см. Окулярная трубка (2) должна плотно
на трении вдвигаться и выдвигаться , чтобы
можно был о наводит ь телескоп на фокус (« на
ясное зрение») . Зве зды в телескоп при установ
ке на фокус должны казаться яркими точками ,
а не размытыми ди сками .
Объективная линза (3) вставляется в передний
конец трубы с помощью оправы (4), состо ящей из
двух картонных колец с разре зом и двух ко
ротк их бумажных трубок чут ь меньше го диа
метр а, че м линза . С помощью этих трубок лин
за плотно зажимается между кол ьцами .
Разумеется , трубу можно сделать и из дру
гих подручных материалов : из листовой жести ,
дюраля и т. д.
Наблюдат ь, де ржа трубу в руках , очень не
удобно . Поэтому надо изготовить дл я н ашего
телескоп а простой , но удо бный штати в.
Проще всего сделать де ревянный азимутальный
штатив , на котором труба может поворачивать
ся вокруг двух осей: вертикальной и горизон
тальной (рис . 4) . Однако при такой конструк
ции штатива трубу нельзя будет наводит ь на
области неба близ зенита.
Рис. 5. Уможаеиный азимутальный штати в с противовесом .
ТЕЛЕСКОП АСТРОНОМА-ЛЮБИТЕЛЯ
. Ри с. 6 . Простой деревянный азимутальный штати в для
самодельного телескопа.
Устравить это неудобство можно . Надо только
слегка изменить конструкцию штатива , как по
казано на рис. 5. Трубу на другом конце гори
зонтальной оси нужно уравновесить грузом .
Чтобы не поддерживать все время трубу рукой,
надо сделать стопорный винт , а еще лучше -
два : для вертикальной и горизонтальной оси.
Вп олне по силам любителю и изготовление
эк ваториального штатива по типу показанного
на рис. 1 . В этом случае полярная ось делается
круглого сечения и закрепляется в двух втул
ках под у глом к горизонтальной плоскости ,
равным широте места . Вторая ось (так назы
ваемая ось склонений) устанавливается пер
пендикул ярно ей, как показано на рис. 5.
Самодел ьный рефрактор позволит любите
лю наблюдать горы на Луне , пятна на Солнце
(обязател ьно прикрывать окуляр темным стек
лом!) , кольцо Сатурна , фазы Венеры , диск
ип
'
олосы Юпитера , четыре его спутника , диск
Мар са , двойные зве зды , некоторые зве здные
с1<опления (Плеяды , Ясли, хи(х) и аш (h) Персея) .
Но для сложных наблюдений этот инструмент ,
разумеется , будет недостаточен.
При известном запасе терпения и умении
любитель астрономии может изготовить соб
ственными силами хороший телескоп-рефл·ек
тор с диаметром главного зеркала в 100-
150 мм (а после приобретения необходимого опы
та - и большего размера) .
Рефлектор - отражательный теле-
скоп. В нем роль объектива играет в о гнуто е
зе ркало . Если придат ь отражающе й по
верхности зеркала форму параболоида враще
ния , лучи от светила, падающие на зе ркало па
раллельным пучком , после отражения сойдутсн
вегоглавномфокусе,гдеиполучится
де йствительное изображение светила. Чтобы
217

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
его мо жно было наблюдать и фотографировать,
не загораживая падающий пучок лучей , меж
ду зеркалом и фокусом , ближе к последнему ,
ст авится под углом 45° плоское дополнитель
ное зеркало , отражающее пучок лучей вбок .
В такой системе , на зываемой системой Ньютона
(рис . 6) , окуляр находится сбоку трубы . Суще
ствуют и другие системы рефлекторов, но они
более сложны и для лю бителя трудноосуще
ствимы.
F
Рис. 6. Схема рефлектора систем ы Ньютона.
На первых порах можно ограничит ься изг о
товлением сферического главного зеркала. О но
вполне заменит параболиче ское , и не пон а
добятся сложные шлифующие машины. До
статочно будет лишь не большого, но п рочного
круглого столика или тумб очки, двух один а
ковых стеклянных дисков диаметром 100 -
150 мм и толщиной 10-18 мм, некоторого за
паса шлифующих материалов (абра зивов) и
ряда несложных деревянных присп особлещ�й.
Стеклянные диски можно сделать на заводах
автомобильного стекла, иллюмин аторного кора
бельного стекла , в мастерских , изгот овляющих
зеркала . Но можно взять толстое зер к альное
сте кло и попросить в мастерской выточить и з
него диски нужного диаметра 1•
В качестве абразива лучше всего подходит
карборунд (карбид кремния); несколько хуже -
корунд и нажд ак . Абразив состоит из множе
ст ва зерен . Понадобятся абразивы с зернами
различной величины , они обычно обозначаются
номерами - от .No 40 (самый крупнозернистый)
до .No 200 (самый мелкозернистый) . Нужно сле
дить за однородностью абразива и не допу
с кать засорения мелко зернистых сортов более
нрупными зернами или смешивания разных
сортов абразива .
В х оде работы придется приготовить еще
более мешше сорта абрази вов; они называются
минутника111и . Для приготовления их берется
i Если в качестве материала для дисков взято
бывшее зеркало, с его задней поверхности необхо
димо удалить лак и серебряный слой.
2:18
стеклянная банка вы сотой 30 см, наливается
в нее вода и высып ается сме сь отработанных
абразивов . Чере з 5 минут вода осторожно
сливается в другую посуду , а осевшие зерна
собираются -'- зто будет пятиминутник . Таким
же способом (он называется отм учи в а
н и е м) выделяются 10-, 20-, 40-, 60-, 120- и
240-минутники . Последняя фракция (часть) аб
раззв&. - самая мелкая: ее зерна имеют диа
метр около 0,001 мм.
При шлифовке один из диенов прочно закреп
ляется на столе , тумбе или бочке с помощ ью
небольшой де ревянной до ски и трех гвоздей
с насаже нными на них пробками (рис . 7) . Ко
второму диску с помощью смолы приклеивается
деревянная рукоятна , за которую работающий
будет двигать верхний диск по нижнему.
Р ис. 7. Уста11овка ш11и фова11ьни ка на бочке.
Шлифовка начинается самым крупным сор
том абразива (.No 40 ). Порошок абра зива за
мешивается в воде , пока не обра зуется доволь
но густая кашица , которая тонким слоем нано
сится на нижний диен и прикрывается ве рхним
диском.
Проце сс шлифовки
такой . Достаточно
осторожно , бе з нажима , сдвигаем верхний диск
к себе и от себя так , чт обы центры дисков сме
щались на 1/3-% их радиуса . Продел ав таное
движение (штрих) , повернемся немного отно
сительностола,невыпуская из рук
рукоятку верхнего диска , и сделаем новый
штрих . Потом еще раз подвинемся вокруг сто
ла , но на этот раз отпустим рукоятку и
сделаем третий штрих . Так, чередуя движения
вокруг столас рукояткой и без нее , мы добьем
ся того, чт о оба диска будут по ворачиваться

друг относите льно друга , а работающий дви
гаться вокруг ст ола и обоих дисков, дел ая
штрихи по различным радиальным направле
ниям.
В ре зультате такого процесса , как показы
вают теория и опыт , верхний диск (будущее
зеркало) получит точно сферическое углубле
ние , а нижний дисl\ (шлифовальник) - такую
же выпуклость.
По мере приближения углубления к вели
чине , заданной расчетом , нужно переходить ко
все более и более мелким сортам абра зива, от
грубой шлифовки к тонкой . После оконча
нияшлифовкипроизводится полировка
зеркала.
Полирующим материалом сл ужит обыч
но крокус (хуже - мумия) , а полироваль
ником - шлифовальник . На шлифовальник при
этом наносится слой смолы, который делится
потом на кв адратные ячейки - фасетки .
Мы не можем зде сь подробно описывать
весь пр оцесс шлифовки и полировки зеркала,
а также его серебрения и испыт ания , изготов
ления диагонального плоского зеркальца , тру
бы и штатива .
Наша задача заnлючалась лишь в то11
1
,
чтобы познакомить юных любителей: астрономии
с этим процессом , показать, что в нем нет
ничего сложного или недоступного школьюш у.
Вс ем , кто пожелает изготовит ь себе самодел ь
ный телескоп-рефлектор , нужно достать книгу
М. С . Навашина «Телескоп астронома-любите
ля» (Физматгиз, 1962) , где весь процесс по•
стройки телескопа описывается очень подроб·
но , или же «Инструкцию к изготовлению само-·
дельного рефлектора» , составленную тоже
М. С. Навашиным (Изд-во АН СССР, 1962) .
Третий тип телескопа - менисковый . Он
изобретен в 1941 г. сове тским ученым, члено11
1
-
корреспондент ом
Академии
наук СССР
Д. Д. Максутовым . В этом телескопе , как и в
рефлекторе , св ет собирает вогнутое зе ркало,
во не параболическое , а сфериче ское . Главная
особенность телескопа Максутова состоит в том ,
что на пути падающих лучей ставится менисR
вогнуто-выпуклая линза; она предназначена
исправл ять искажения , со здаваемые главным
зеркалом .
Менисковый телескоп имеет ряд преиму
ще ств перед другими типами телескоп ов . По
мимо хорошего качества изображений и бо.11ь
m ой светосилы , в менисковом телескопе пучок
лучей как бы складывается втрое (рис . .
8).
От этого труба получается очень короткой , а
сам телескоп - портативным.
ТЕЛЕСКОП АСТРОНОМА-ЛЮБИТЕЛЯ
Р11с. 8. Схема меннсковоrо телескода .
Для школ выпускается так назыв аемый
школьный менисковый телескоп с диаметром
зе ркала 70 мм (рис. 9). Длина его трубы всего
220 мм, хотя фокусное расстояние составл яет
704 мм . Два окуляра дают увеличения в 25
и 70 раз. Установк а этого телескепа - ази
мутальна я, настольная, поэтому дл я наблю
дений его надо каждый раз выносить и ставить
на небольшой , но высокий стол или кирпич
ный столб.
Р11с. 9. Школь
ный м ениско
вый телескоп
на настольном
штативе.
Любител ь, имеющий школ ьный менисковый
телескоп , может улучшить его установку. Для
этого надо придел ать к горизонтал ьной оси
металлический стержень с противовесом (как
на рис. 5), удалить основание штатива с тремя
лапами и укрепить вертикал ьную ось на фото
графическом или геоде зическом штативе-тре
ножнике (рис . 10).
219

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
Рис. 10 . Уста
новка школь ного
менискового те
лескопа на фото
гра фическом шта
тиве с против о
весом и солнеч
ным экраном.
В современных астрономических наблюде
ниях бол ьшую роль играют дополнительные
приборы , присоединяемые к телескопу . Обыч
но это илп фотокамера , или спектрограф, или
фотоэлект рическое присп особление . Астроно
му-любителю тоже не следует ограничиваться
прост ым рассматривание м не бесных свет ил в
телес1.;оп . Вед ь каждому будет приятно полу
чить п пока зат ь товарищам собственные сним
юr Солнца , Луны , зве здного неба , мете оров .
Не1>ото рые фотографии могут иметь и научную
ценность. Поэтому обладателю телеснопа -
шн ол ьн ого рефрактора, менискового телеско
па шш сам одел ьного рефлектора - нужно по
думать об уст ановке на телескоп фоток амеры.
Здес ь можно исп ользовать два пути . Мож
но сдс.�т ат ь из фанеры легкую , но прочную ка
меру дл я насадки на окулярный конец телеско
па . В задней части камеры нужно сделать па
зы дл я кассет , рассчит анных на фотопластинки
6 Х 9 см . Камера должна быт ь внутри зачер
нена тушью , а то место , которым она присое
диняетс я к телескопу , оклеено внутри черным
бархатом , чт обы не проникал посторонний свет .
Фотографпрование в этом случае производится
на п,1 астинках.
Вт орой путь - испол ьзование имеющихся
у многих ш1<ольшш ов фотоаппаратов типа
«ФЭД» , «Зоркий» , «Зе нит» . Особенно удобны
зерка.1ь ные фотоаппараты типа «Зенит» , так
как пх оптическая система по зволяет непо
средственно видет ь свет ило в момент фотогра
фирования, и пр итом с использованием оптики
телескопа . Объектив фотоаппарата удал яется ,
и с пом ощью переходной трубки , которую нуж
но зак азат ь механику или сделать самому в
220
школьных мастерских , аппарат присоединяет
ся к окулярному концу телескопа . Преимуще
ство такого аппарата - наличие затв ора , бы
ст рая смена кадров пленки, удобство в обра
щении.
Фотографировать можно либо в фокусе
объектива , либо с окулярным увеличением.
В первом случае окул яр из телескопа нужно
вынуть . Изображения свет ил получатся в ср ав
нительно небольшом масштабе , но четкие и
яркие (при фотографировании в телескоп с
фокусным расст оянием 800 мм диски Солнца
и Луны будут иметь в диаметре около 7 мм) .
Во вт ором случае окуляр остаетс я на ме сте .
Изображения будут имет ь большой масштаб ,
но станут более бледными из-за уменьшения
освещенности. Можно , конечно , увеличит ь
энспо зицию , но тогда дрожание инструмента
и колебания во здух а см ажут , испортят изоб
ражение .
О том , как фотографировать небесные те ла,
подр о бнее рассказывается в следующей статье -
«Астрономические наблюдения любител я астро
номии» (с м. ст р . 222) . Зде сь уместно лишь на
помнить, что всякое дополнител ьное приспособ
ление , присоединяемое к телескопу (фотока
мера , солне чный экран) , · уравновешивается,
например , с помощью металлических колец,
надеваемых на объективную часть трубы . Уси
ливаетс я и общий пр отивове с, находящийся
на другом конце оси склонений (или горизон
тальной ос и) .
Все насадки должны быт ь жесткими и проч
ными . Расстояние между камерой и объективом
должно изменяться (дл я наводки на фокус) ,
поэтому камеру надо крепить к окулярной труб
ке , а не к главной трубе . Ра зличные сп особы
прикрепления фотокамер к любительским теле
скопам показаны на рис. 11-14.
Если имеется возможность, для телескопа
надо построить не большой павильон с откиды
вающейся крышей (рис. 15). Особенно жела
тельно это для установк и самодельного рефлек
тора, перенос которого каждый раз из помеще
ния на уд ицу и обратно весьма сложен и неже
лателен по многим причинам (изме няется фор
ма зе ркала из-за разности температур , каждый
раз заново производитс я установка по Поляр
ной звезде и т. д.).
Павильон ст роится из досок и обшивается
фанерой . Части крыши укрепл яются на петлях
и при на блюдении откидываются , открывая
горизонт и все небо . Сам телескоп должен быт ь
смонтирован на прочном кирпичном или де
ревянном ст одбе в центре павильона . Высота

Рисунки 11, 12, 13, Н. Четыре способа креш1ения
фото!lамер к .nюбите.nьским те.пескопам .
ТЕЛЕСКОП АСТРОНОМА-ЛЮБИТЕЛЯ
столба должна быть такой , чтобы точка пере
сечения осей телескопа был а приме рно на уров
не верхнего края стен павильона. Ш ирина
павильона не менее чем на метр должна пре
восходить дл ину трубы телескопа , чтобы м ож
но было вести наблюдения почти при гори
зонтальном положении трубы . Прежде чем
строит ь павил ьон , надо сделать его чертежи
и по ним небольшой макет павил ьон а из бума
ги или картона в масштабе , чт обы прове рить,
правильно ли подогнаны друг к другу створки
крыши и другие детали.
Во избежание порчи телескопа от п ыли,
осадков и других причин трубу надо всегда
закрывать крышкой, а весь инструмент - чех 
лом из водонепроницаемого м атериала. Верх
ние створки крыши павильона следует обить
листовым желе зом , чтобы внутрь не прон икали
капл и дождя .
Кроме телескопа, в павильоне должны н а
;х одиться столик или тумбоч1<а и стул или ле
сен1<а для наблюдателя. Столик нужен для
записей, за рисовок и для хранения во время
работы журналов на блюдений , звездн ых атла
сов , астрон омиче с1< ого календаря; альбома для
зарисовок , карандашей, ч асов и других вещей,
необходимых при наблюдениях . Н а стенах
павильона можно пове сить подвижную карту
зве зд ного неба , карту Луны , рисунки и фото
графии небесных светил . Для освещения па
вильона ночью можно использовать на первых
порах карманный фонари1<, а затем освещение
от батарей ил и а1<кумул�торов ил и же подв ести
переменный ток от сети .
Вот и все оборудование астрономичес1<ого
павильона .
Не1<оторые наблюдения (например, метео
ров) потребуют установки фотоаппараТQВ и
других приспособлений , не св язанных с теле
ск опом. Это можно сдел ать вне павил ьона , обо
рудовав астрономическую площадку. Kai\ ее
устроить и как проводить наблюдения не бес
ных светил , рассказано в упоминавшейся выше
статье «Астрономичесние наблюдения любител я
астрономии» (см . стр . 222) .
За последние годы , особенно в Чехослова
кии , широко развернулось движение за орга
низацию на местах народных обсерваторий.
Большинство этих обсерваторий сооружается
любителями ас"J:рономии , их организациями
и органами народного просвеще ния . К на
стоящему времени в Чехословак ии со зда но
около 50 народных обсерваторий. Такие же
обсерватории возникают в Германской Демо
кр,а. тической Республике , Румынии , Б олгарии .
221

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
Рис. 15. Пвви.льо11-обсерватория с откр ывающейся крышей.
В Советском Сою зе создано несколько десят
ков народных обсерЬаторий. Большинство
из них находится при дворцах культуры (на
пример, при Дворце культуры Моско вско
го автозавода им . Лихачева) , при домах
пионеров , пл анетариях , в парках и т. д. Не
которые народные обсерватории построены ме
тодом народной стройки . Среди них - дет
ская обсерватория при Крымской станции
юных техников в г. Симферополе , народные
обсерватории при шк оле поселка Новая Прага
Кировоградской области , при Херсонском мо
реходном училище и др . Куйбышевское отде
ление Всесою зного астрономо-геоде зиче ского
общества построило обсерваторию в Зубча
ниновке , Эстонское отде ление - близ г. Тарту .
Во всех народных обсерваториях любите
ли астрономии ведут активную наблюдатель
скую работу и распространяют астрономиче
ские знания среди населения .
•
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ НАБЛЮДЕ
НИЯ JIIOБИTEJI.Я АСТРОНОМИИ
Самое увлекательное из всего , чем можно
занять свой досуг , это , пожалуй , наблюдения
природы , а из них наиболее заманчивы
наблюдения небесных светил и явлений . Аст
рономические наблюде ния лучше вести со спе
циал ьно оборудованной площадки или на об
серватории . В условиях города такой наблю
дательный пункт можно оборудовать во дворе
или на балконе своего дома , во лучше это
222
сделать при школе , доме пионеров , станции
юных техников. В сельской местности условия
для лю бител ьских на блюдений неба гораздо
лучше : там легче выбрать место , с которого хо
рошо обозревается небосвод . На нем и обору
дуется площадка или обсерватория.
Организация наблюдательного пункта , будь
то открытая площадка или павильон-обсерва
тория , начинается с определения полуденной
линии и приближенных географических коор
динат данного ,пункта. Они отсчитываются по
географиче ской карте . Полуденная линия опре
деляется по тени от вертикального столба в
местный истинный полдень. Она проводит ся
на ровной площадке , и на ней устанавливается
либо де ревянный, либо кирпичный столб вы
сотой ок оло 1 м. На расстоянии 1-2 мот него
к северу, югу, востоку и западу устанавлива
ются еще 4 столба , к верхним концам которых
строго горизонтально прикрепляются доски.
На эти столбы-столики устанавливаются не
обходимые для наблюдений приборы - перенос
ные телескопы , фотокамеры и др . (рис . 1).
Рис. t. Так устанаn.лн ваются на площадке сто.лбы-сто.1
1
1шв
д.ля астрономиqескнх приборов.
При благоприятных условиях лучше соорудит ь
павильон-обсерваторию .
После обще го ознакомления со зве здным
небом и отдельными небесными светилами и
явлениями любитель астрономии разрабатыва
ет программу своих наблюдений . В нее вклю
чается то, чт о можно наблюдат ь с помощью
имеющихся приборов и что представляет по
знавательный и научный интерес. Это могут
быть прежде всего наблюдения Солнца и сол
нечной активности, наблюдения метеоров и
искусственных спутников Земли, наблюдения
Луны , пл анет , комет , переменных зве зд 1•
i Консультацию по вопросам организации наблю
дений любитель астрономии может получить во Все
союзном астрономо-rеодезическом обществе (Москва,
К-9, п/я 1268).

А СТРОНОМИЧЕСКИЕ НАБЛЮДЕНИЯ ЛЮБИТЕЛЯ АСТРОНОМИИ
Ра зрабатывая программу индивидуальных
или коллективных астрономических наблюде
ний , надо ставить задачи практического и
научного значения , помня , чт о даже со скром
ны ми во зможностями любителя при большом
желании можно сделать немало поле зного
для науки. В истории астрономии известны
имена многих любителей, которые обогатили
науку о Вселенной важными открытиями .
Вместе с тем не следует думать, что стоит
только приступ ить к наблюдениям , как откры
тия посыплются одно за другим . В настоящее
время наука о физиче ских свойствах небесных
тел - астрофизика - достигла такой высокой
степени развития , что только длител ьные и
систематиче ские наблюдения могут , после их
обработки, дать поле зные дл я науки ре зуль
таты . Поэтому в дал ьнейшем мы будем прямо
указывать, какие наблюдения могут представ
лять научную ценность, а какие будут имет ь
лишь по знавательное значение для самого лю
бителя или для астрономического круж ка .
На6.Ji юдеиия Со.Jiица и соdиечиых
эатиениlt
Наблюдат ь Солнце целесообразно в теле
скоп с диаметром объектива не менее 60 мм .
Наблюдения можно производит ь визуально или
фотографичес ки .
Наблюдая Солнце , надо посто янно иметь
в виду , что смотреть на него простым гла зом ,
а тем более в телескоп
нельзя , так как
можно мгновенно и навсегда потерять зрение .
Для визуальных наблюдений Солнца либо
применяется специальный солнечный окуляр ,
либо диафрагмируете-я объектив до 1/3 диамет
ра , а на окуляр надевается колпачок с темным
сте клом или светофильтром. Но лучше всего
использовать солнечный экран - у стройство
для проецир ования увеличенного изображе
ния солнечного диска на экран-бумагу и после
дующе й зарисовки . Для этого заранее готовят
листы че ртежной бумаги . На каждом из них
вычерчивается окружность диаметром 100 мм
и во время наблюде ния с пей совмещается
из ображение солнечного диска (рис. 2) . Такие
зарисовки легче обрабатывать, пользуясь ко
ординатными сетками и вспомогательными таб
лицами (см. кн.: В. В. Шароп о в. Солнце
и его наблюдение . Изд. 2. Гостехиздат , 1953) .
:К фабричн ым телескопам- рефракторам солнеч
ный экран прилагается , для самодельных теле-
Рис. 2 . Наблюдение Солнца в школьный телескоп-рефрактор
с солнечным экраном.
скопов его нетрудно изготовить самому. Экран
должен скользить на опорной штанге (или двух
штангах) , прикрепляемой к трубе телескопа.
В нужном положении (когда изображение Солн
ца имеет диаметр 100 мм) экран закрепляется
с помощью винта .
Для фотографирования Солнца к телеско·
пу приспосабливается специальная фотокаме
ра с затвором и кассетой (рис . 3) или пленоч
ный фотоаппарат типа «Зенит» (в зеркальную
систему без темного сте кла смотреть не льзя!).
В последнем случае надо использовать переход
ную трубку и снимать с окулярным увеличе-о
пием , чт обы добиться увеличения солнечного
диска до 2/3 или 3/4 ширины кадра . При фото-
Рис. 3. Школьный менисковый телескоп с са�:sодельной Фото
камерой.
228

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
графировании с помощью самодельной фото
камеры на пластинки изображение солнечного
ди ска на негативе должно им еть диаметр 50 -
75 мм (в зависимости от формат-а пластиноl\) ,
и печатание на фотобумагу производится кон
та:ктно . С плен:ки «Зенита» изображение уве
личивается до диаметра 100 мм .
Пластин:ки и пленю� дл я фотографирования
Солнца надо применять самой малой чувстви
тельности. Продолжите льность э:ксп озиции оп
ределяется опытным путем , но начинается фо
тографирование с наименьшей э:кспо зиции , :ко
торую дает затвор . Чтобы mтор:ка затвора не
сгорела, в переходную труб:ку вставляется до
ст аточно темный светофильтр или объектив
телес:копа диафрагмируется настолъ:ко , чтобы
было неяр:кое , но чет:кое изображение солн�ч
ного диска . Наводится телес:коп с фото:камерой
на Солнце по тени , отбрасываемой прибором на
подставленный экран . Наводку на фо:кус ре
:комендуется делать ноttью по зве здам и раз
навсегда заметить положение :кремальеры , со
ответствующее точному фо:кусу .
\\°'
IJ
'�ft�:,..
Рис. 4 . Диск СоJiица с пятнами. Группы пятен обозначены
римскими ц ифрами.
По полученным зар исов:кам и фотографиям
Солнца можно вести систематичес:кую реги
страцию солнечной а:ктивности . Для этого :каж
дый раз надо считать :количе ство пятен и групп
пятен на дис:ке Солнца . Нужно помнить, что
за группу считается не только нес:колько близ
:к� расположенных пятен , но и одино:кое пят
но. Инде:ксом (по:казателем) солнечной а:ктив
ности считается сумма уде сятеренного числа
групп и общего числа пятен. Эта величина на-
224
зывается относител ьным числом солнечных пя
тен или числ ом Вольфа . Та:к, например , на
рис . 4 на дис:ке Солнца име ются 3 группы ,
содержащие 10 пятен . Значит , число Вольфа
равно30+10,т.е.40.
Любителям астрономии следует име ть в внд у,
что в 1965 г. солнечная а:ктивность прох одит
через очередной минимум и будет немало дней,
:когда на Солнце не удаст ся заметить ни одного
пятна . В этом случае число Вольфа равно пулю.
Но если появится хотя бы одно пятно , это
число будет равно 11 (ведь один очное пятно
считается группой!).
Ввиду того что в СССР хорошо налажена
Служба Солнца , :которая пол ьзуется дл я на блю
дений мощными современными телескопами ,
любител ьс:кие наблюден ия сол н ечной антпвно
ст и не имеют научной ценности. Но они представ
ляют преl\расный матер иал для самостоятель
ного изучен ия этого явления прир оды . На бдю"
дая Солнце в течение не скольких лет , можно
построить график солнечной активности, вы
вести средние месячные и годовые числа Воль
фа и сравнить их с публикуемы11111 в «Астроно
мическом календаре»; можно та:кже сопоставить
их ход с годовыми числ ами гроз, полярных
сияний и с другими явлениями , связ анными
с солнечной активностью .
Наблюдения полярных сияний как одной
из форм влияния солнечной активности на
состояние верхних слоев земной атмосферы
представляют особый интерес дл я .1
1
юб ите
лей , живущих в северных районах страны .
При подробном описании этого явленпн осо
бое внимание обращается на изменения в
окраске и форме сияния , а также отмечается
направление движения отдел ьных его частей
и продолжительность всего явления с указа
нием времени начала , наибол ьше й интенсив
ности и конца сияния . К описанию обя зательно
прилагаются зарисовки или фотоснимки поля р
ного сияния .
Наблюдения солнечных затмений представ
ляют для любителя астрономии исключитель
ный интерес . Полное солнечное затме ние -
это сравнительно редкое явление . Оно позво
ляет видеть внешние слои атмосфе ры Солнца
хромосферу и :корону , которые обычно нель зя
наблюдать из-за ослепительного блеска самого
Солнца . Кроме того , во время затмения можно
с успехом наблюдать многие геофизиче ские
явления в атмосфере и на поверхности Земли .
Опытному любителю астрономии и особенно
астрономическому кружку вполне доступны
визуал ьные наблюдения и фотографирование

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ НАБЛЮДЕНИЯ ЛЮБИТЕЛЯ АСТРОНОМИИ
Р11сунки 5, 6.
Любительс1ше Фо·
тоrрафии солнеч-
ной короны, сде
ланные во время
полноrо солнеч
ноrо затмения .
солнечной короны (рисунки 5 и 6) , хромосферы,
протуберанце в, а во время частного затмения
фотографиро вание Солнца , актинометр ические
и метеорологические наблюдения (см . кн .: Сол
нечные затмения и их наблюдения . Сб. статей
под ред . А. А. Михайлова . Физматгиз, 1960) .
Ближайшее полное солнечное затмение , ви
димое в СССР тол ько в труднодоступных райо
нах Сибири и Арктики , будет в 1968 г.
Наб"'Iюде ния искусственных сп�·тников
Зе11.1и и метеоров
Наблюдат ь искусственные спутники Земли
может каждый любитель астрономии . При на
блюдении можно отмечать путь движения
спутника по зве здной карте и время его про
хождения около какой-нибудь яркой зве зды .
С помощью обычного фотоаппарата , закреплен
ного на струбцинке , можно сфотографировать
видимую трассу движения спутника. Камера
наводится на во зможно более высокий участок
трассы движения спутника (что де лается при
его появлении над горизонтом) , и объектив
остается открытым в течение всего времени
прох ожде ния спутника по фотографируемому
уч астку неба (рис . 7) . Для фиксац ии моментов
времени можно каждую минуту закрывать объ
ектив фотоапп арата на 10 секунд крышкой .
815д.э.т.2
В ре зультате следы спутника на негативе будут
и меть перерывы (марки времени) . Моменты
перерывов и поправки часов с точностью до
секунды записываются в журнал наблюде
ний. (Подробнее см. в кн.: С. А. К а план.
Как увидет ь, услышат ь и сф отографировать
искусственные спутники Земли. Физматгиз,
1958.)
Наблюдения метеоров представляют особый
инте рес для любителя астрономии . Их м ож
но провести на высоком уровне, и при сравни
тельно скромных во змо жнос,тях и правильной
организации они могут иметь большое значе
ние для науки .
Наблюдателю метеоров надо хорошо знать
расположение на небосводе всех со зве здий и
ярких звезд, зве здные величины и цвета воз
можно бол ьше го количества зве зд , угловые
расстояния между наиболее примечательными
зве здами . Начинающему наблюдателю необ
ходимо также научит ься определять продолжи
тельность очень малых интервалов времени
(долей секунды) , в течение к6торых может быть
виде н метеор . Для этого fiaдo тренироваться
в счете секунд , принимая'
1
на слух удары се
кундного маятника или следя за движением
секундной стрелки.
Просте йший вид визуал ьных наблюден ий -
это счет метеоров . Наблюдатель избирает
определенную область неба и в течение
нескольких часов обозре вает ее , учиты вая
количество
замеченных
метеоров , скажем,
по пятиминутным инте рвалам времени . Более
сер ье зные наблюдения предусматривают опре
деление блеска метеора в зве здных величинах ,
его цвета , длины видимого пути и расстояния
Рис. 7 . Фотоrрафия пути искусственноrо спутника Земли.
22б

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
Рис. 8 . Так иаб.людают метеоры через ируr.
середины траектории метеора от центра обо
зреваемой области неба в градусах . Желател ь
но определять и угол положения мете ора ,
т. е . угол между видимым путем метеора и от
весной линией , проходяще й через начало его
пути. Отсчет ведется по часовой стрелке.
Наиболее ценным способом визуальных на
блюдений метеоров считается метод группового
счета. При этом методе наблюдения ведут не
сколько (от 4 до 6) не зависимых друг от друга
наблюдателей в одной и той же строго ограни
че нной о бласти. Для этого перед каждым на
блюдателем устанавливается проволочный круг
диаметром 1 м на расстоянии 1 м вт глаз наблю
дателя. Плоскость круга расп олагается пер
пендикулярно линии , идущей от глаз наблю
даtеля к центру избранной области неба.
В этом случае наблюдатель сосредоточивает свое
внимание только на участке неба , который ви
ден че рез круг (рис. 8) . В случаях , когда
228
ведутся наблюдения метеорных потоков, центр
обозреваемой области неба выбирается вблизи
радианта (см. стр. 108) данного потока. Поло
жение радиантов указывается в ((Школьном
астрономиче ском календаре)) . Во всех осталь
ных случа ях наблюдают . область, близкую
к зениту (тогда наблюдать прих одится лежа ,
а круг устанавливается горизонтально) , либо
около полюса мира (центром области будет
тогда Полярная зве зда).
При наблюдениях мете оров методом груп
пового счета надо иметь секретаря, который ве
дет все записи под диктовку наблюдателей.
'У секретаря должен быть заранее разграфлен
ный журнал наблюдений , куда после пролета
каждого метеора вписываются (в строгой оче
редности) данные всех наблюдателей. Наблю
де ния должны быт ь совершенно независимы ,
нельзя обсуждать их во время работы , а тем
более спорить, чья оценка блеска или другой
характеристики метеора правильнее .
В журнале наблюдений каждый наблюда
тел ь в отдельности записывает и сообщает по
рядковый номер метеора , момент полета (с точ
ностью до 1 секунды) , оценку зве здной величи
ны (С ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,5) И ДЛИНУ ВИДИМОГО пути
метеора. Остальные данные (угол положения ,
нал ичие следа , время его видимости и хара�>
теристику его изменений) сообщает один на
блюдатель.
Метод группового счета дает возможност ь
определить общее число метеоров каждой зве зд
ной величины , в том числе и тех метеоров , кото
рые не заметил ни один из наблюдателе ii .
Де.тю в том , что из-за свойств нашего глаза
мы не можем заметить все слабые метеоры ,
пролетающие внутри избранной области не ба .
Для каждой зве здн ой величины есть опреде
ленная «зона видимостю> . Яркие метеоры (1-ii
величины и ярче) замечают обычно все наблю
датели. Но уже метеоры 2-й величины заме
чают не все. Наблюдателей , одновременно
виде вших более слабые метеоры , будет еще
меньше .
По числу одновременно наблюдаемых ме
теоров м о жно рассчитать зоны видимости и
величины , на которые надо умножит ь количе
ство наблюдавшихся метеоров , чт обы по,;�у
чит ь их истинное чис.Л о. Эти величины на
зываются коэффициентами замечаемости.
По мере приобретения . опыта в ведении ви
зуальных наблюдений метеоров можно пере
ходить к нанесению наблюдаемых метеоров
на специально заготавливаемые копии зве зд
ных нарт .

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ НАБЛЮДЕНИЯ ЛЮБИТЕЛЯ АСТРОНОМИИ
Метеоры изображаются стрелками, и на
конце каждой стрелки указывается поряд
ковый номер , под которым метеор заносится
в журнал наблюдений.
Большой научный интерес представляют
телескоп иче ские наблюдения метеоров . Для их
ведения лучше всего использовать хороший
полевой бинокль. Прибор направляется в одну
из избранных точек небосвода (зенит или полюс
мира) ил и в точку, расположенную в 3-5° от
радианта м етеорного потока . В последне м слу
чае выбирается какая-нибудь не очень яркая
зве зда , и ее де ржат в центре поля зрения би
нокл я в течение всего времени наблюдения.
В журнал наблюдений записывается то же , что
и при наблюдениях с проволочным кругом . Но
длина пути метеора оценивается в де сятых
долях диаметра поля зрения бинокл я и обя
зательно указываются основные данные при
бора. Как и при наблюдении с кругом , наблю
дения в бинокль ведут также 4-6 наблюдателей
с совершенно одинаковыми биноклями, а запи
си ведет секретарь.
Наибольший интерес дл я любителя пред
ст авляют фотографические наблюдения метео
ров (рис . 9). Фотографировать метеоры можно
любым фотоаппаратом , но лучше с более
светосильной оптикой . Пластинки или пленки
выгоднее брать изопанхроматиче ские с наи
бол ьшей чувствительностью . При фотографи
ровании метеоров аппарат направляется либо
в зенит , либо в область радианта метеорного
потока и устанавливается неподвижно . Его
надо оберегать от воздействия посторон
него света .
Продолжительность экспо зиции в безлун
ную ночь может быт ь до двух часов . При
я рком лунном свете снимать нел ьзя . Полет
Рис . 11 . Фотографи я двух ярки х метеоров.
15*
яркого метеора в области неба , куда направ
лена фотокамера , регистрируется в журнале
наблюдений; при этом указывается время по
лета и примерное расположение метеора на не б�.
Можно наносить метеоры на звездную кар
ту . Чтобы удобнее было отожде ствлять зве зды
на фотоснимке , надо во время экспо зиции через
каждые 15-20 минут делать деся'Гисекундные
перерывы , закрывая объектив крышкой или
картонкой . Время перерывов надо тоже запи
сывать в журнал . (Подробнее о наблюде нии
метеоров см. кн.: И. Т. 3 отк ин. Ин
струкция для наблюдений метеоров. Изд-во
АН СССР , 1961 .)
Наблюдения болидов (очень ярких метео
ров) , полет которых нередко завершается вы
паде нием на земную поверхность метеоритов ,
должны подробно описываться с приложением
зарисовок . В этих случаях обязательно ука
зываются место ·и время н аблю де ния , направ
ление полета болида , его яркость и цвет , отме
чаются з вуковые явления, если они наблюда
лись, характеризуется остающийся после бо
лида след.
Набо1
1
юд ения серебристых
о&о1
1
аиов
Серебристые облаl\а - инте реснейшее , но
еще м а ло изученное явление природы , и поэто
му любительские наблюдения их имеют боль
шую ценность. По-виl(1
1
мому , серебристые об
лаRа , плавающие на высоте 80 -85 км , имеют
такую же природу, каR и перистые , т. е. со
СТQЯТ из Rристашншов льда . Считается , что
водяные пары могут попадать в высоRие слон
атмосфе ры вследствие переноса их из призем
ных слоев восходящими тоRами воздуха и в
результате сильных вулканиче сRих извер же
ний. Возможно образование паров воды не
посредственно в верхних слоях атмосферы п пу
тем соединения водорода и ю1 сл орода . Метеор
ные или вулRаничесю1е пылинки могут служить
я драми Rонденсации , на 1\ оторых происходит
вымерзание водяных паров с о б разованием ле
дяных кристалликов. Произведенные недавно
аме риRансRими учеными сборы проб частиц
серебристых облаков с помощью высотных ра
кет подтвердили эту гипоте зу.
Серебристые облаRа наблюдаются в летнее
полугодие и в ограниче нной полосе широт -
от 50 до 65 ° в северном и южном полушариях .
Они видны только во время сумеречного осве-

ЮН ЫЕ АСТРОНОМЫ
Рис. 10. Фотоrрафи я серебристы х облаков. По.пучеиа в МосRве люби телем астрономии Н. к . СемаRииым.
ще ння стратосферы , когда угол погружения Сол н"
ца под горизонт составляет от 5 до 18°. В это
время солнечные лучи не освещают земную
поверхность, но продолжают освещать верх
ние слои атмосферы , где на высоте 80 -85 км
и образу ются серебристые облака . Поэтому , в
отличие от обычных облаков , которые в су-
11lе рки кажутся темными , се ребристые облака ,
освещенные Солнцем, ярко светятся . Они
наблюдаются на фоне сумеречного сегмента
не ба, в северной стороне , невысоко над гори
зонтом .
Серебристые облака имеют небольшую плот
ность (сквозь них видны зве зды) и быстро
изменяют очертания ,
постепенно
переме
щаясь относительно горизонта . Они могут
имет ь вид размытой бледноватой пленки («флер»)
или полос и гребешков , которые иногда пере
секаются под небольшими углами. Реже в се
ребристых облаках наблюдаются завихрения .
Наблюда я серебристые облака , надо под
робно описывать их вид и изменения , проис-'
ходящие в их форме , отме чать направление
движения , время появления и исчезновения .
Еще лучше че рез равные интервалы времени
зарисовывать и фотографировать их. Зве зды
на рисунке должны быть в таком же положе
нии относител ьно видимого горизонта , как и
на небе в момент наблюдений . Горизонт тоже
зарисовывается в виде силуэтной линии. На
рисунке важно отметить ре зко выделяющие ся
дет али облаков и приложить к рисунку под
робное описание их .
Особую ценность имеют фотоснимки се
ребристых облаков . Фотографировать серебри
стые облака можно любым аппаратом, но лучше
аппаратом с более светосильной оптикой. Если
светосила объектива будет 1 : 2 или 1 : 3,5
и чувствительность ;пленки 90-200 единиц по
ГОСТ, то хорошие снимки можно получит ь
при экспозицяи в несколько секунд . Камеру
надо направлять так, чт обы на снимке вышла
основная часть поля облаков , а в нижней части
фотоснимка были бы видны четко выделяющие-

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ НАБЛЮДЕНИЯ ЛЮБИТЕЛЯ АСТ РОНОМИИ
ся силуэты строений или деревьев (рис. 10).
После съе мки определ яются азимуты этих
объектов и высота, облаков над горизонтом
в градусах .
Наб.1Jю,1
1;
ення .Jlуны и п.Jiанет
Наблюдения Луны можно вести при помощи
самодельных и школьных теле скопов завод
ского изготовления и даже биноклей. Если же
любитель астрономии имеет хороший самодель
ный рефлектор , то на блюдения Луны при пра
вильной организации могут иметь и научную
ценность. Особый интерес представляют наблю
дения лунных затмений .
Наблюдая Луну , можно учит ься зар исовы
вать отдел ьные дет али. Умение зарисовывать
виденное в трубу пригодится наблюдателю и
при наблюдениях планет . Ознакомление с де
талями лунной поверхности , с различными
формами лунного рельефа даст любителю мно
го интересн ого . Перед наблюдениями необхо
димо ознакомиться с лунной топографией по
картам Луны , запомнить вид и названия основ
ных лунных «морей» и крупнейших кратеров
и цирков . Наблюдения Луны нужно вести при
разных ее фазах , т. е . при разных условиях
освещения . Для наблюдения нужно выбрать
одну или несколько небольших областей на Лу
не и систематически зарисовывать их при раз
ных углах падения солнечных лучей, указы
вая момент наблюдения . По этим наблюдениям
можно будет установить рельеф местности, опре
делить высоту лунных гор , отдельных пиков и
валов кратеров .
Еще лучше фотографировать Луну . Для
этого к телескопу, так же как и при фотогра
фировании Солнца , приспосабливается спе
циальная фотокамера . Если съемка произво
дится без окул ярного увеличения , то экспози
ция дается моментальная; при окулярном уве
личе нии экспо зиция будет от 1 до 5 секунд , и
в этом случае телескоп должен иметь часовой
механизм (см. кн.: Н. Н. Сытинс к а я.
Луна и ее наблюдение . Гостехи здат , 1956) .
Наблюдения планет (Венеры , Марса , Юпи
те ра и Сатурна) могут представлять интерес
дл я любителя, если производятся в телескоп
с диаметром объект ива не менее 80 мм . Ви
зуальные наблюдения заключаются в зарисов
ках и описаниях видимых деталей поверхно
сти и атмосферы планет . Очень важно при
наблюдениях выбрать наиболее подх одящее
увеличение (не обязательно самое большое} ,
которое обеспечивает наибольшую четкость
изображения, и терпеливо ожидать момента
успокоения во здуха. В такой момент хорошо
видны детали поверхности наблюдаемой пла
неты; одну из таких деталей надо запомнить
и тут же изобра зит ь на рисунке . Затем при
ходится вновь ожидать подходящего момента
для зарисовки другой детали. Время от време
ни надо сравнивать рисунок с видом .планеты .
Так в течение некоторого времени (не более
15 минут) можно получит ь рисунок всей види
мой части планеты . Ценность таких зарисовок
увеличивается , если они делаются не зависимо
друг от друга несколькими наблюдател ями .
Это позволяет исключить индивидуал ьные
ошибки каждого наблюдателя и при окон
чательной обработке рисунка , т. е. при оп
ределении широт и долгот дет алей, получить
более достоверную картину того , что наблю
далось.
Возможности для наблюдения различных
планет у любителя астрономии разл ичны . Всего
легче наблюдать Ю п и те р благода ря срав
нительно бол ьшим разме рам его диска и хоро
шо заметным полосам , параллельным экватору
планеты . В полосах иногда наблюдаются де
тали: темные и светлые пятна , перемычки
(мостики) между полосами и др . Диск планеты
надо изображать с помощью заранее приготов
ленного картонного шаблона в виде эшшпса
сосями50и47мм.
Сатурн внешне
похож на Юпитер, но
полосы на нем бледнее
и видны · не всегда . Зато
бqльшой интерес пред
ставляет кольцо Са
турна , вернее , три коль
ца, разде ле нные тем ными
промежутками . Иногда
можно наблюдать тень
кольца на планете и Рис. 11. Рисунок юпитера .
тень планеты на кольце .
На диске Венеры не обнаруживаютс я
никакие заметные детали , но ее фазы часто отли
чаются от теоретических , а рога серпа бываю т
удлиненные . Поэтому при наблюдениях Вене 
ры надо обратить главное внимание на ф орму
ее терминатора (границы светлой и темной ча
стей диска) . Зарисовки Венеры надо дел ать на
шаблонных кругах диаметром 50 мм.
Наблюдения и зарисовки Марс а можно
делат ь лишь с помощью телескопов диаметром
в 100 мм и более.
229

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
. Приспособив фотоаппарат типа «Зенит� к
окулярному концу телескопа , можно получит ь
и фотоснимки планет с окулярным увеличе
нием, но дл я этого телескоп должен иметь ча
совой механизм (см. кн .: В. А. Б р онштэ н.
Планеты и их наблюдение . Гостехиздат , 1957) .
11а6"'IН»де ния коме т
Наблюдения комет возможны , если есть
светосильный рефлектор , школьный телескоп
рефрактор или менисковый телескоп и даже
бинокль. Если на блюдатель хорошо знает звезд
ное небо и терпеливо систематически просмат
ривает его в свой телескоп , то не исключена
возможность, что ему удастся даже открыть
новую комету. Вдали от Солнца комета имеет
вид туманного пятнышка , которое отличается
от туманностей тем , что за несколько часов за
метно смещается относительно зве зд . По мере
приближения к Солнцу у кометы развивается
светящийся хвост и она становится более за
метной.
Задача наблюдателя состоит в определении
точного положения кометы среди зве зд и в
изучении видимой структуры головы и хвоста
кометы . Точное положение кометы определяет
ся с помощью достаточно подробного зве зд
ного атласа .
Любитель может даже сфотографировать
яр1<ую комету . Для этого нужен фотоаппа
рат типа «ФЭД» , который при помощи ст руб
цинки ·н асаживается на ось склонений или при
крепляется к трубе телескопа, снабженного
часовы111 механизмом или хорошим микрометри
че ским ключом . При помощи ключа наблюда
тель, смотря в окуляр , ведет телескоп вслед за
кометой . Экспо зиция (при полном отверстии
объектива и чувствительных пленках) может
составлять от 1 до 5 минут .
На6.'lюдения переменных авеад
Наблюдения переменных зве зд наиболее до
ступны и перспективны для любителя астро
номии и имеют научное значение . Их можно
вести , имея хотя бы шестикратный бинокль и
зве здный атлас. Цель наблюдений состоит в
определении блеска переменной зве зды в зве зд
ных величинах в каждый момент наблюдения
и в построении графика изменения бле ска за
230
возможно более длительный период времени .
Анализ такого графика позволяет вскрыть ос
новные закономерности изме нения блеска пере
менной зве зды , на основании которых можно
судит ь о ее фи зической природе .
Программу наблюдений переменных зве зд
надо составлять после ознакомления с лите ра
турой, указанной в данной статье и в библ ио
графическом указателе раздела «Мир небесных
теш> , и определения условий видимости за
интересовавших
наблюдателя звезд. Для
приобретения необходимого опыта лучше на
чинать с наблюдений хорошо изученных пере
менных звезд и лишь потом переходит ь к
на блюдениям недостаточно изученных и сов
сем не изученных .
Блеск переменной зве зды определяется пу
тем сравнения с блеском соседних (не перемен
ных) зве зд. 'Удобнее всего это дел ать по методу
Нейланда - Блажко . Метод этот заключается .
в следуо
о
щем. Зная (хотя бы приблизител ьно)
пределы изменения блеск а переменной зве зды ,
наблюдатель выбирает в ее окрестност ях зве зды
сравнения . Блеск некоторых из них должен
быт ь примерно такой , какой бывает у перемен
ной в максимуме ее блеска , у других - при
ме рно такой , как блеск переменной в миниму
ме , у третьих - соответствующий промежу
точным значениям ее блеска . После этого со
ставляется карта окрестностей данной пере
менной с обо значением зве зд сравнения
(рис . 12). В каждый момент наблюде ний перемен
н ая может быть либо равна по блеску одноii из
зве зд сравнения , либо нес1юл ы>о ярче одной и
Рис. 12. Карта окрестно
стей переменной sвеsды .
Вокруr переменной sвеsды
V находятся sвеsды срав
ненияа,Ь,с,d,е.
.Q
·с
·.
•
слабее другой зве зды сравнения . В первом слу
чае переменной приписывается та зве здна я ве
личина , которую имеет зве зда сравнения, рав
ная по блеску переменной. Во вт ором случае
блеск переменной сравнивается с блеском двух
зве зд сравнения посредс't'пом условных единиц
блес1>а - ·
степеней . Степенью называется мини-

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ НАБЛЮДЕНИЯ ЛЮБИТЕЛЯ АСТРОНОМИИ
мальная разност ь блеска, которую может за
метит ь наблюдатель.
Если переменная, например , ярче зве зды
ср авнеп11я d, но слабее- зве зды сра внения с
и при этом разность блеска между переменной
и d в 2 раза больше , чем разность блеска меж
ду переменной и с-, то запись может иметь вид:
c1v 2 d, где буквой v обозначается переменная
зве зда . Зная блеск зве зд сравнения в зве здных
вел ичинах (с =:=6т,8; d =7т, 1), определяем раз
ницу в их блесnе, также выраженную в зве зд
ных величинах: d - с = 7т,1 -6t1
1
,8 = от,3.
Что же касается ра зности в блеске между дан
ньiми зве здами сравнения в условных степенях ,
то она равна сумме степеней, записанных сле
ва и справаотпеременной, т. е.1+2=3.
Теперь находим значение условной степени ,
вы раженное в зве здных величинах: от ,3 : 3 =
=7 от , 1. И, наконец, прибавив к звездной вели
чине с 1/ 10 зве здной вел ичины или вычтя из d
2 /10 , поJ.I учим блеск переменной зве зды в зве зд
ных величинах. В данном случае он будет 6т, 9.
В журнале наблюдений данной переменной
зве зды записываются порядковый номер на
блюдения , дата и время наблюдения , оценка
блеска переменной в степенях . В примечании
характеризуются условия наблюдений. При
мер: 121 .1963 г. апрель, 21, 22 часа 45 мин.
с1v2d.Хорошо.
При обработке наблюдений дата и время
пересчитываются в дни так называемого юлиан
ского периода 1, счет котор ым ведется с 4713 г.
до н. э. Приведенна я выше дата соответствует
2 438 141 дню юлианского периода , а декретное
время после пересчета в мировое (время ну
левого ме ридиана) и в доли суток составит
0,3229 суток . Таким образом , указанные дата
и время в сутках и долях суток юлианского
периода составят 2 438 141d, 3229 , и, следова
теJiьно , наблюдение в обработанном виде будет
записано так: 2438 141d, 3229 . 6т, 9. Такая за
пись момент а наблюдения ··уд обна , так как
позволяет легко оп редел ят ь промежуток вре-
1 Юлианским пе риодом называется не прерывны й
счет дне ii n течение 7980 лет . Эт о наименьшее кр атное
трех циклов : солне чного в 28 лет , лунного в 19 лет
и римского индикт иона в 15 лет (индикт - единица
старинного це рковного летосчисления , равная 15 го
да��). Таблицу пересчет а в дни юлианского пе риода
см. в «Справочн ике люб ител я астрономии» или в « По
стоянн ой ча ст и Астроном иче ского кале нда ря ».
it•"813Ю•ОО�"!0831011О1щ"°7'0IOD810'no
:[
.,
l
".
"
..;.
•'
:;.
.
."
!
"
"
"
"..
.•." ;
•!
.,. •:"
."...
Рис . 13. График иа11еиеии11 блеска переменной авеады.
мени , прошедший между двумя моментами , пу.:.
тем вычит ания меньшего из большего .
По мере накопления наблюде ний ст роится
график изменения блеска переменной и уточ
н яются или заново оrtредел яюте я амплитуда
(размах колебаний) и период изменения бле
ска данной звезды (рис . 13).
Области неба , где много переменных зве зд ,
можно фотографировать и исследование вести
п о снимкам, но дл я этого нужны телескоп
с часовым механизмом и фотокамера со свето
сильным объективом бол ьшого диаметра .
Очень многие переменные зве зды еще мa.Jio
изуче ны или даже совсем не изучались. Астро
номам-специалист ам не под силу охватить все
эти зве зды систематическими наблюдениями.
Поэтому помощь любителей астрономии , ов.1
1
а
девших мет одикой и техникой наблюдений пе
ременных зве зд , будет весьма це нной .
Подробнее о переменных зве здах расска
зано в книге: П. П. Парен:аго
и
Б. В. Кукарк11н.Переменные звезды и
способы их наблюдения . (Изд. 2. Гостехиздат ,
1947 .) Детальные указания о наблюдении пере
менных звезд можно найти в «Инструкции для
наблюде ний переменных зве зд» , составленной
Н. Е . Курочкиным (Изд-во АН СССР ,
1962) .
Данные выше советы по проведению лю би
тельских наблюдений неба содержат лишь пер
вые, самые общие ука зания . Поэтому люби
телю астрономии необходимо изуч ить указанные
в данной статье пособия и книги, рекомендован
ные в указателе научно-популярной литерату ры
данного раздела тома, особенно руководства для
астроном ических наблюдений.
По вопросам обработки и использования
ре зультатов научно -любительских наблюдений
неба необх одимо обращаться во Всесою зное
астрономо-геоде зиче ское обще ство по адресу:
Москва , К-9 , п/я 1268 , Астрономическая сек
ция ВАГО . Оттуда же можно получить ин
ст рукции для наблюдений , зве здные карты для
нанесения метеоров и другие издан ия ВАГО .
•

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
ЧТО МОЖНО · УВИДЕТЬ
В ПJIАНЕТАРИИ
Хотите побывать на полюсе или на энвато
ре? Хотите умчаться на Луну или на Марс?
Много увленател ьных путешествий по Земле
и
в
носмичесном
пространстве
можно
совершить, сидя в уд обном кресле в зале
планетария .
Медленно погружается в темноту круглый,
н ан цирк, зрител ьный зал с его полотняным
нуполом в виде вогнутого полушария . Вели
ча во звучит торжественная мелодия , и вдруг
в непроглядном ыране над вашей головой ра
зом вспыхивают сотни звезд .
Казалось бы , ного удивит зве здное небо !
Мы н нему привыкли с детства , и все же это
зрелище в планетарии производит неза'бы
ваемое впечатление . Вы словно вознеслись на
вершину высоной горы , где ни здания , ни де
ревья не заслоняют б()зоблачное , иснрящееся
алма зной россып ью небо .
Сердце этой искусственной Вселенной -
аппарат «планетарий)) - точно воспроизводит
все видимые невооруженным глазом светила
и их движение . Но самое интересное , что ап
парат может в сотни раз уснорить неуловимо
медленное перемещение зве зд и планет , Солнца
и Луны . Быстро плывут «хоры стройные све
тил» , совершая свой суточный оборот по небу
планетария за четыре и даже за одну минуту.
Чудесный аппарат дает еще большую «власть
над временем)) , поназывая движение Солнца ,
Луны и планет за дол гие промежутки вре
мени . Вы можете «прожить» в планетарии це 
лый год всего лишь за одну минуту или даже
за не снольно сенунд . Благодаря этому уско
рению движений - в сотни тысяч и миллионы
раз!- многие небесные явления раснрываются
с такой убедительной наглядностью , накая
недоступна при непосредственных на блюдениях .
Ра зве уследит ь, нан день за днем изменяет
ся видимый пут ь Солнца над горизонтом?
Разве тан уж проста и понятна привычная сме
на фа з нашего вечного спутнина - Луны? Еще
труднее уяснить себе странные перемещения
планет , нак будто блуждающих среди зве зд .
Полотняное не бо планетария позволяет
сравнить то , что мы видим , наблюдаем , с тем ,
что происходит в действительности. И тогда
понят ными становятся небесные <( тайны» , кото
рые раньше смущали астрономов и породили
тысячелетние за блуждения , суеверия и пред
рассудки .
232
Аппарат поназывает , нан видно движение
небесных светил для наблюдателя на любой
географичесной широте , и словно переносит
вас в любую точну земного шара, притом в лю
бое время года , дня и ночи . Такое воображае
мое путешествие вы . совершите с быстротой ,
ноторой могли бы позавидо вать даже наши
славные 1юсмонавты .
Вы улетаете из Моснвы в самом начале лета ,
22 ию ня, и мчитесь на север со сноростью
100 км / сек . Передвижная географичесная нар
та в центре полотняного неба помогает следить
за трассой ваше го путешествия . Не пройдет
и 38 сенунд , нак вы уже на Се верном полюсе ,
разумеется , в тот же день - 22 июня .
В это время там Солнце на небе так низко ,
нак в Мос1>ве зимой , но движется оно совсем
необычно ; нигде не опускаясь, совершает пол
ный круг над горизонтом .
Планетарий позволяет прожить целый г од
на полюсе за одну минуту. Вы увидите , кан
незаходящее Солнце Арктики совершает свои
круги все ниже, а 23 сентября опускается под
горизонт и снова по1iю1.;ется лишь че рез 6 ме
сяцев - 21 марта .
Только один раз в год восходит и заходит
Солнце на полюсе : там день и ночь - год
прочь! А зве зды никогда не восходят и не захо
дят : каждая из них круглый год движется на
одном и том же расстоянии от горизонта .
Полгода царит на полюсе ночь , но мрак ее
рассеивают не только зве зды : ежемесячно
две недели светит не заходящая Луна . А не
редко на небе загораются полярные сияния
в виде разноцветных лучей или прихотливо из
вивающих ся занавесей . Об этом ст ранном,
непривычном дл я нас мире и замечательных до
стижениях советской науки в полярных райо
нах можно услыш ать на ленциях в плане
тарии.
За 2 минуты вы можете переселиться с по
люса на энватор . Никогда так высо1>0 не под
нимается Солнце в Москве , нак на энва-:r.оре ,
а в полдень 21 марта и 2;3 сентября оно стоит
прямо над головой , в зените . День здесь всегда
равен ночи , и ежедневно в течение 12 ча
сов Солнце опаляет Землю своими зноii
ными лучами .
На ночном небе энватора вы ув идите многие
знакомые вам со зве здия . И движутся все зве з
дынесвостонанаюгисюганазапад,кан
1
Здание Московского ш1анетарня .
На обо роте: Аппарат «п11анетар1tй» .

у нас, а подни:маются с востока вверх и так же
круто опускаются к горизонту. Здесь звезды
ведут себя совсем не так, как на полюсе: все
они в течение ночи восходят 1t заходят.
В планетарии вы можете совершИ'l;ь еще
более увлекательное путешествие по планетам
солнечной: системы. Каждая из них - особый
мир со своими, необычными для нас природ
ными условиями. У Меркурия одна сторона
всегда обращена к Солнцу, и там вечный день
с испепеляющей жарой в 400°, а противопо
ложная сторона, где царит вечная ночь, ско
вана жестоким морозом, доходящим до 250°.
На самой отда.11енной планете, Плутоне, Солн
це 1\ажется лишь очень яркой звездой.
Вот появилось небольшое туманное пят
нышко у горизонта. Оно быстро растет, свет
леет и превращается в яркую звезду с длин
ным шлейфом-хвостом. Это - знаменитая ко
мета Галлея. Последний раз эта редкая го
сты� приблизилась к Солнцу в 1910 г. и снова
вернется из глубин солнечной
системы
лишь в 1986 г.
Мало кому посчастливилось увидеть «хво
статые звезды», но вовсе не нужно ждать оче
редного визита Галлеевой кометы- вам покажут
ее в планетарии. Здесь в любое время вы
можете наблюдать метеоры, болиды, «звезд
ные дожди», солнечные и лунные затмения.
Без астрономических знаний и наблюде
ний нельзя ориентироваться в пространстве
и времени, находить верный и кратчайший
путь для морских 11 воздушных кораблей, со
здавать географические карты, необходимые для
всех отраслей хозяйства, изучать магнитное
поле Земли и предвидеть его .изменения. Обо
всем этом увлекательно рассказывает в плане
тарии лекция «Звезды служат людям».
Еще недавно 11шогим казалось, что наука
о небе стремится удовлетворить лишь жажду
познания и далека от земных дел. Это неверно.
Как и другие науки, астрономия всегда была
помощницей челове1\а, расширяя его власть над
природой и облегчая покорение могучих ее
сил. А в наше время перед астрономией откры
лось новое, беспредельное в прямом смысле
этого слова, поле практической деятельности.
В 1957 г. поднялся в небо первый в исторни
человечества искусственный спутник Земли; за
ним последовали другие, потом корабли-спутники
и автоматические межпланетные станции. Само
небо приблизилось н нам, ногда проник в космос
первый носмический напитан Юрий Гагарин
и увидел Солнце одновременно со звездами в
черной бездне мирового пространства.
ЧТО МОЖНО УВИДЕТЬ В П ЛАНЕТАРИИ
Теперь .вы можете совершить космичесное
путешествие в планетарии и полюбоваться, буд
то издалена, нашей планетой, окруженной го
лубым ореолом атмосферы. В планетарии вы
увидите, сколько строгих экзаменов и труд
нейших тренировок должны выдержать буду
щие носмонавты, чтобы заслужить право на
подвиг. Не удивительно, что больше всего при
влекают многочисленных гостей планетария
лекции, посвященные освоению космоса. На
них посетители узнают, как советские ученые
тщательно и предусмотрителыю, можно ска
зать придирчиво, готовили эту величествен
ную победу человека над природой:.
Человечество пока только на пороге новой,
космической эры. Сбываются заветные мечты
гениального Циолковского, и теперь не за
горами путешествия на Луну и на Марс. Это
уже не фантазия, и в планетарии вы можете
увидеть полет на Марс, давно уже привлекаю
щий внимание астрономов.
***
В 1929 г. открылся первый в СССР Мо
сковсний планетарий. Теперь у нас свыше
сорока постоянных и еще больше передвижных
планетариев. Они уже не в диковинку. Обнов
ляется непрерывно программа их л01щий,
со вершенствуется вся работа.
Многочисленна семья наук, и ни одна из
них не замыкается в себе, не отгораживается
от других крепостной стеной. Напротив, все
теснее становится их д�ужба и взаимопомощь.
Астрономия еще в древности была тесно свя
зана с математикой и механикой, а теперь та к
же с физикой, химией, метеорологией, гео
логиеи, геофизиной, географией, биологией.
Астрономия обогащает другие науки и в свою
очередь пользуется их достижениями.
Вот почему планетарии не ограничиваются
лекциями только на астрономические темы, а
знакомят посетителей с использованием сол
нечной и атомной энергии, полупроводников и
ультразвука, радиолокации и ракетной тех
ники, радиоэлентроники и кибернетики, пока
зывают, как астрономичес1ше знания помо
гают преобразовывать природу, подчинять ее
силы и богатства воле человека.
Если вы знакомы с астрономией, в плане
тарии все равно вам интересно будет послу
шать лекции и посмотреть кинофильмы, пока
зывающие методы изучения Вселенной, ее
строение, «рождение)> и развитие звезд, про
исхождение Земли и других планет.
233

ЮНЫЕ АСТРОНОМЫ
Планетарии проводят, кроме популярных,
еще и учебные лекции. Они помогают школь
никам лучше усвоить многие разделы геогра
фии, физики, астрономии. А для тех, кто осо
бенно интересуется увлекательной небесной
наукой, при планетариях созданы и работают
1<ружки юных любителей астрономии.
Планетарии в разных городах нашей стра
ны не только знакомят с основами астрономии,
но все больше становятся подлинно народны
ми университетами.
Как устрое11 аппа1Jат
((П.'1а11 ета JJ и й1>
Эта своеобразная (<машина временю> внешне
напоминает огромную гимнастическую гирю с
двумя шарами. В центре каждого шара горит
ослепительно-яркая лампа силой в тысячу све
чей; снаружи она не .видна, блестят только
стеl\ла - объективы 16 проекционных фона
рей. Под этими стеклами укреплены тончай
пше металлические пластинки с круглыми ·от
верстиями, некоторые из них меньше острия
иглы. Сквозь эти отверстия проходят лучп
лампы и создают на искусственном небе светлые
кружки - изображения небесных светил. Но
это совсем не так просто.
Каждый фонарь ведает только своим (<Не
бесным районом�>, а на металлической пластин
не просверлено больше сотни отверстий. Нуж
но разместить их точь-в -точь так же, как рас
положены на небе настоящие звезды, да еще
точно рассчитать величину каждого отверстия:
чем оно крупнее, тем ярче светит (<его» звезда
на небе планетария.
(<Звездам числа неТ1>,- писал Ломоносов,
п это верно. Но даже при очень остром зрении
на ясном небе невооруженным глазом в одном
полушарии можно увидеть около 3000 звезд.
Их и показывает аппарат при помощи одного
шара. Для чего же второй шар?
Ночью каждый из нас не раз любовался
Большой и Малой Медведицами, Цефеем, Кас
сиопеей 11 другими созвездиями. Но есть и
такие созвездия, 1<оторые никогда не видны
в нашем, северном полушарии - их можно
наблюдать только в южном полушарии или
в планетарии: эти невидимые у нас созвездия
и показывает второй шар аппарата.
На каждом из больших шаров виден ма
ленький. В нем также 16 фонарей. Когда за
гораете.я лампа внутри маленького шара, на
234
искусственном небе возникают на
·
звания со
звездий - небесный свод превращается в на
глядную звездную карту.
Аппарат показывает, как движутся небес
ные светила в течение суток или года. При
этом взаимное расположение звезд, как и в
действительности, не изменяется. Поэтому все
16 фонарей, которые дают изображения види
мых звезд, помещены в одном шаре.
А как быть с Солнцем? Подобно звездам,
оно в течение суток движется по небу с востока
на запад. Но на протяжении года Солнце со
вершает еще ·одно движение: перемещается на
фоне звезд в противоположном направлении
с запада на восток. Солнце каждый месяц пе
реходит из одного 12 созвездий зодиака в
другое (см. стр. 67).
Ясно, что для Солнца нужен свой, особый
фонарь, не зависящий от больших шаров аппа
рата, ведающих толы<о звездами. Однако это
не мешает показывать в планетарии наше днев
ное светило и ночью, средп звезд, 11 наблюдать
годовое путешествие Солнца по созвездиям
зодиака.
Еще сJJожнее наблюдаемые с Земли движе
ния Луны и 5 планет, видимых невооруженным
глазом: Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера
и Сатурна. Для каждого из этих светил та�<же
необходимы отдельные фонари, они установле
ны между большими шара11ш аппарата. Осо
бенно сложен фонарь, (<1\О11
1
андующ11й» Лу
ной: он показывает не только движение Луны,
но и смену ее фаз.
Около двухсот фонарей в аппарате (<П.тiа
нетарий», а в центре его - своя (<элеl\тростан
цию>: семь моторов управляют движением от
дельных частей иш1 всего аппарата. Он может
вращаться с различной скоростью и: в разных
направлениях: сверху впнз, справа налево,
по часовой стреш\е и против ее движения.
С помощью одного мотора можно показать,
как передвигаются по небу светила в течение
суток, всего лишь за 4 минуты, а с помощью
другого даже за одну минуту, т. е . в 1440 раз
быстрее, чем на самом деле. Но и это еще не
все возможности аппарата.
Движениями Солнца, Луны и планет управ
ляют 3 мотора: один сокращает годовое
д
·
вижение до 4 минут, другой - до 1 ми 
нуты, а третий - даже до 7 секунд, Течение
времени словно ускоряется более чем в
41/2 млн. раз!
Шестой мотор поворачивает аппарат вокруг
его горизонтальной оси, 11 таким образом мож
но показать вид небесного свода на любой гео-

ЧТО МОЖНО �ВИДЕТЬ В ПЛАНЕТAPllИ
Астрономическая nJJощадка Московщсоrо nJJанетария.
графичесl\ОЙ широте. Благодаря этому вы, спо
койно сидя в зрительном зале, совершаете то
путешествие от полюса 1\ экватору, о котором
было рассказано.
С помощью последнего, седьмого мотора демон
стрируется удивительное небесное явление, кото
рое наблюдать непосредственно нельзя: для этого
нужно прожить много тысячелетий.
Дело в том, что направление земной оси
в мировом пространстве не всегда одинаково,
а неуловимо медленно изменяется. Только
астрономы «уловили» - измерили ничтожно
малую величину ежегодного отклонения зем
ной оси. Но пройдут десятки веков, и Поляр-
пая звезда, которая сейчас находится почти
над Северным полюсом, ·будет все больше уда
ляться от него.
Для наших далеких потомков, через
13 тыс. лет, «полярной» будет уже яркая звезда
Вега в созвездии Лиры. Тогда в северном
полушарии можно будет· любоваться созвез
дием Южного Креста, которое сейчас невидимо
у нас. А еще через 13 тыс. лет ось нашей пла
неты вновь вернется к нынешнему положению.
Это медленное перемещение земной оси в тече·
ние 26 тысячелетий аппарат при помощи седь
мого мотора «уплотняет» до 4 минут, словно
ускоряя течение времени в 3,4 млрд. раз!
•

СПРАВОЧНЫЙ ОТДЕ.1
ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ О НЕБЕСНЫХ ТЕ.;1АХ
ACTPOHOIOl ЧЕСRИЕ ЗНАКИ
Знаки те:1
со,111е чиой с11с темы
Солнце
�
Луна
(
Меркур11й
�
Венера
�
Земля
�
Ма рс
cJ
Юп11тер
2t
Сатурн
tz
Уран
�
Нептун
о
Плутон
PL
Комета
б
Астероид .М 5
5
236
ЗЕМЛЯ
Экваториа.11ь ный рад11 ус . . . .
Полярный рад11ус .
.
.
.
.
.
.
Сп.11юс нутость земного э.1 .1и псоида
Длина окружност11 экватора .
Поверхность Зем .111 . . . .
ОбъемЗемли.......
Масса Зем.11и
.
.
.
.
.
.
.
Средняя плотность Зе�1л11 •
6378245.-.i
6356863 >)
1
298,3 ± 0•4
40075 696 м
5, 1·108 и.w2
1,os.1012 -нмз
5,975· 102 7 l
5,5 �/смз
ЛУНА
РасстояНJtе ду ны от Зем .111:
11а11меньшее.......
наибольшее . . .
.
.
.
.
.
среднее ..... .. ..
.
Видимый угловой диаметр Луны:
наименьший..........
иа11больший..........
на среднем расстоянии от Зем.111
Диаметр Луны . .
Поверхность Луны
Объем Луны ..
Ма сса Луны
П.1отность Луны
Звездный месяц
С11нодичеСl\ИЙ месяц
. 363ОООим
. 405500 >)
.384400>)
..29'24"
.. 3 3'40"
31' 05"
3473 им (0,27 диаметра Зе мли)
3,8·10 7 uм2 (0,074 поверхности
Зе мл11)
22·109 имз (0,02 объема Зем.1111 )
(1
'
7, 33· 1025 i
81,56
массы Зе мли)
3,33 �/смз (0, 6 плотности Зе мл11 )
27 сут. 7 час. 43 м11н. 11,47 сек.
29 сут. 12 час. 44 м11н. 2,78 сек.

ЗН АКИ ЗОДИАКАЛЬНЫХ
СОЗВЕЗДИЙ
'
()
JI
?_э
Овен (а также точка
весеннего равн оденств ия)
Телец
Бл11знецы
Рак (а также 1·оч1;а лет
него солнцестоян11я)
Лев (а также знак вос 
ходящего уз ла орб11ты)
Дева
::
::
Ве сы (а также точка. осен-
него равноденствия)'
112 Скорп11он
,t Стре:1ец
� Козерог (а также точка
·
з11мнего солнцестояю1я)
;:
::
::
::
:z
Водолей
'· 1 Рыбы
Т\
ЗНАКИ ФАЗ ЛУНЫ
8 Новолуние
J) Первая четверть
О Полнолую1е
([ Последняя четверть
ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ О НЕБЕСНЫХ ТЕЛАХ
СОЛНЦЕ
Расстоян 11е от Зе мли (сред нее) .
.
.
149 5()0 ООО± 17 ООО нм1
Вид11 м ыii угловой диаметр Солнца:
на�1ме11ьш11й
наибол ьш11й
средний .
.
Диаметр Солнца
Поверхность Солнца
Объем Солнца
Масса Со лнца
Плотность Со.'Iн ца (с редняя)
Период вращен11я точек экватора
(о тнос11тельно звезд) .
.
.
.
.
Мощность
общего излучения
Солнца .... . ... . .
Види мая звездная величина . . .
Абсолютная зв ездная ве личина .
Температура поверхности Солнца
(од на астрономическая един 1ща)
. 31'27"
32'31"
31'59"
1 391 ООО нм (109 диаметров
Зе мли)
6 .1012 нм2 (в 11 900 раз больше
поверхности Земш1)
1,4.101s 1lм3 (1 301000 объемов
Земли)
1,98-1033 (333 434 массы Земли)
1,4 l/см3 (О,26 плотности Земш1)
25 сут.
5,1-1023 лошадиных с ш1
. -26,8
+4,7
около 6000°
1 По последним радиолокац11онным да нным 149 599 ООО± 500 км.
СВЕДЕНИЯ О НЕКОТОРЫХ НАИБОЛЕЕ ИЗВЕСТНЫХ МА ЛЫХ ПЛАНЕТАХ1
:lвездная веш1чина
Большая по.'1)·ос1.
С11дерическ11й
в близком и даль-
орбиты (в астро-
п.-.анетм
Назоаюtе
Диаметр (в "·")
нем прот11во-
номическнх еди-
период обращеи11я
стоянии
ницах)
(в годах)
1
Церера
770
7,0-7;9
2,8
4,60
2
Паллада
490
6,7-9,3
2,8
4,61
3
Юнона
190
7,0-10,0
2,7
4,36
4
Веста
390
5,9 -7,0
2,4
3,63
433
Эрос
6Х32
6,7-11,3
1,5
1,76
944
Гидальго
25-50
11,0-19,0
5,8
13,93
1036
Ганимед
50
12,5
2,7
4,34
-
Гермес
1-2
8,0-18,О
1,3
1,47
1566
Икар
1-2
12,5
1,1
1,12
1 Табл1щу с да нными о планетах см. на стр. 99 .
23'7

СПРАВОЧНЫИ ОТДЕЛ
СПУТ НИКИ ПЛАНЕТ
Планета
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Спутник
Луна
2 спутника:
1. Фобос
11. Деймос
-
.
12 спутников; самые
крупные из них:
1. Ио
11. Европ а
111. Ганимед
IV. Каллисто
9 спутников; более
крупные из ни х:
1. Мимас
11. Энцелад
111. Тефия
IV. Диона
V. Рея
VI. Титан
VII. Япет
5 спутников:
1. Ариэл ь*
11. Умбриэль*
111. Титания*
IV. Оберон*
V. Миранда*
2 спутника:
1. Тритон**
11. Нереида
Расстояние от
планеты
:Кто и когда
открыл
вэкв. 1 втыс.
радиусах
"."
планеты
-
60,3
384,4
Холл, 1877
2,8
9,4
1)
1877
7,0
23,5
Галилей, 1610
5,9
422
1)
1610
9,4
671
1)
1610 15,0 1071
1)
1610
26,5 1884
Гершел ь, 1789
3,1
186
1)
1789
4,0
238
Касси ни, 1684
4,9
295
1)
1684
6,3
377
>)
1672
8,8
527
Гюйгенс, 1655
20,4 1222
.К ассини, 1671
59,4 3562
Койпер, 1948
5,1
130
.Уlассел ь, 1851
7,5
192
>)
1851
10,5
267
Гершель, 1787
17,2
439
))
1787
23,О
587
Лассель, 1846
12,9
354
Койпер, 1949 200,О 5570
Сидеуиче- Наклоне-
Масса
скин пе-
вне к
диаметр
(а едиmщах
риод об-
орбите
(В км)
массы
ращения , планеты
3емли)
(а сут.)
27,3
5°09'
3473
1/81,56
0,3 25°11'
16
-
1,3 24°16'
8
-
1,8
3°07'
3460 1/83
3,6
3°06'
3050
1/125
7,2
3°02 '
5070 1/40
16,7
2°43'
4750
1/67
0,9 26°45'
он. 540
1/160000
1,4 26°45'
1) 550
1/70000
1,9 26°45'
>) 920 1/9200
2,7 26°45'
1) 860
1/6000
4,5 26°42'
>) 1440
1/2500
15,9 26°07'
)) 4850
1/43
79,3 16°18'
1) 1330 1/ 4300
1,4
-
-
-
2,5 97°59'
он. 800
-
4,1 97°59'
)) 640
-
8,7 97°59'
)) 1600
-
13,5 97°59'
1) 1450
-
5,9 139°49'
1) 3775
1/46
359,4
6°31'
)) 300
-
* Движение обратное, совп адающее с направ.ТJе1111е м вращения Урана.
** Движение обратное.
САМ ЫЕ ЯРКИЕ ЗВЕЗДЫ НЕБА
Видимая
Расстоя-
Видимая
Расстоя-
Свети-
иие (в
Светя-
иие (11
3ве:ща 11 созвездие
звездная
мость
световых
Звезда и созвездие
звездная
мость
световых
вел11ч11на
годах)
ве.'IJIЧИНа
годах)
Сириус (Б. Пес )
- 1,6
23
8,8 Альтаир (Орел)
+0,9
1816,3
Канопус (Киль)
-0,9
5200
180
Бетельгейзе (Орион)
+О,9
2800
293
Альфа Центавра
+о,3
1
4,3 Альфа Креста
+1,0
900 (?) 220 (?)
Вег а (Лира)
+0,1
44
26,4 Альдебаран (Телец)
+1,1
120
68
Капелла (Возничий)
+0,2
120
45
Поллукс (Близнецы)
+1,2
30
35
Арктур (Волопас)
+0,2
76
36
Спика (Дева)
+1,2
600
155
Ригель (Орион)
+о,3 23000 (?) 650 (?) Антарес (Скорпион)
+1,2
700
170
Процион (М. Пес)
1
+О,5
6
11,4 Фомальгаут (Южн. Рыба) +1,3
11
23
Ахернар (Эридан)
+О,6
800
142
Денеб (Лебедь)
+1,3
6000 (?) 550 (?)
Бета Центавра
+о,9
1300
200
Регул (Лев)
+1,3
140
84
238

Год
1965
1966
1968
1970
1972
1973
1974
1976
1977
1979
1980
1981
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1990
1991
1992
1994
1995
1997
1998
1999
ОСНОВНЫЕ ДАННЫ Е О НЕБЕС НЫ Х ТЕЛАХ
ПОЛ НЫЕ СОЛ НЕЧНЫЕ 3АТ
.
МЕНИ:Я с 1965 по 2000 г.
Середина полиоrо затмеиип по
московскому времен••
Месяц и 'IИСо110
Май,
31
Но ябрь,
12
Сентябрь,
22
Март,
7
Июль,
10
Июнь,
30
))
20
Ок тябрь,
23
))
13
Февраль,
26
))
16
Июль,
31
Июнь,
11
Но ябрь,
23
))
12
Октябрь,
3
Ма рт,
29
))
18
Июль,
22
))
11
Ню нь,
30
Ноябрь,
3
Октябрь,
24
Март,
9
Февра ль,
26
Август,
11
Час
о
17
14
21
23
15
8
8
о
20
12
7
8
2
17
22
16
5
6
22
15
17
8
4
20
14
Наибольшая
продолжитель
ность ПO.'IHOl'O
затменип
(в мин.)
5
2
3
3
7
5
5
3
3
4
2
5
2
1
2
0,3
4
3
7
5
5
2
3
4
3
Где затмение б�·дет видно 1<81< полное
Тихий океан
Боливия, Аргентина, Бразилиц
Арктика, Сибирь, Китай
Мекс ика, Фл орида
Северо-Восто чная Аз11я, Канада
Южная Амерш;а, Афр11ка, Атлантический оке а11
Австра.111 я, Индийс1шй океан
Афр11 ка, Австралия
Венесуэла, Т11х11й океан
США, Канада
Африка, Индия
Тихий океа н, Сибирь
Ява, Тихий океан
Патагон11я, Тихий ок еан
Антаркт11ка
Гре н.'lандия
Афр11 ка, Атлантический океан
lfндийск11й 11 Тихий океаны, Суматра
Ф11н.т1янд11я, Северная Сибирь
Тихий океан, Центра.!fьная Амер11ка
Атла нт11ческий океан
Тих11й океан, Южная Амер11ка
Тихий 11 Индийск11й океаны
Восточ11ая С11бирь
Тихий океан, Центральная Америка
Западная Евр опа, Иран, Ин дия
289

СПРА ВОЧНЫЙ ОТДЕЛ
ПОЛНЫЕ дУННЫЕ ЗАТМЕНИЯ с 1964 по 2000 r.
:
Начало полного
конец полного
Видимость в Европей-
Год
Месяц и ч11сло
затмения по московскому затмения по московскому
ской част11 СССР
времен11
времени
1964
Декабрь,
19
5 час. 3 мин.
6 час. 7 мин.
Да
1967
Апрель,
24
f4)) 26))
15 ))
48 ))
Нет
1967
Октябрь,
1
.
8
12)) 48))
13)) 44))
))
1968
Апрель,
13
7))
21 ))
8)) 17))
))
1968
Октябрь,
6
14)) 10))
15))12))
))
1971
Февраль,
10
10 ))
3))
11 ))
21 ))
>)
1971
Август,
6
21)) 53))
23))35))
Да
1972·
Январь,
30
13 ))
�2 ))
14)) 14))
Нет
1974
Ноябрь,
29
17 ))
38 ))
18 ))
54 ))
Да
1975
Май,
25
8))
1))
9))31))
Нет
1975
Ноябрь,
19
1))
1))
1))
47 ))
Да
1978
Март,
24
18)) 40))
20)) 10))
))
1978
Се нтябрь,
16
21)) 22))
22 ))
44 ))
))
1979
))
6
13)) 28))
14)) 20))
Нет
1982
Ян варь,
9
22)) 14))
23)) 38))
Да
1982
Июль,
6
9))
39 ))
t1 ))
21 ))
Нет
1982
Декабрь,
30
13)) 53))
14)) 59))
))
1985
Май,
4
22 ))
22>)
23))32))
Да
1985
Октябрь,
28
20>)22>)
21>)4))
))
1986
Апрель,
24
15)) 10>)
16>) 18>)
Нет
1986
Октябрь,
17
21 ))
42 ))
22>) 56))
Да
1989
Февра ль,
20
17))59>)
19)) 15>)
))
1989
Август,
17
5>) 15))
6))
53 ))
Нет
1990
Февраль,
9
21>)49))
22)) 35>)
Да
1992
Декабрь,
10
2))
6>)
3)) 20>)
>)
1993
Июнь,
4
15)) 11))
16 ))
49 ))
Не1·
1993
Ноябрь,
29
9))
1>)
9>)51))
))
1996
Апрель,
4
2))
27 ))
3))
51 ))
Да
1996
Сентябрь,
27
5)) 17))
6)) 29))
))
1997
))
16
21 ))
14 ))
22)) 20))
))

КРАТКА.Я ХРОНО�!JОГllЧЕСКА.Я ТАБ.J111ЦА
ПО llCTOPllll ACTPOHOMllll 11 КОСМОНАВ1.'ИКИ
До наше.1
1
f)ры
Около 3000 ;1ет. Первые записи астрономических
наблюдений в Египте и Вавилоне.
585 . Первое предсказание в Греции солнечного
затмения Фалесом.
IV в. Изложение Аристотелем (Греция) своих
представлений о шарообразности Зем.тш и об устройстве
Все.1енной с Землей в центре.
111 в. Первое определение размеров земнvго шара
греческим ученым Эратосфеном.
III в. Первые попытки определения расстояния до
Луны и Солнца Аристархом Самосским (Греция).
П в. Составление первого систематического звездно
го каталога и открытие медленного перемещения небес
ного полюса Гиппархом (эллинистический Египет).
П в. Попытка обоснования геоцентрической системы
мира греческим ученым Птолемеем (эллинистический
Египет).
1515-1543. Обоснование гелиоцентрической си
стемы мира Н. Ноперником (Польша).
1609-1619 . Открытие законов движения планет
И. Неплером (Австрия ).
1609-1633. Первое применение зрительной трубы
в астрономических наблюдениях; открытие пятен на
Солнце, фаз Венеры, гор на Луне, спутников Юпитера,
звездного строения М.1ечного Пути Галилеем (Италия).
1672 . Первое достаточно точное определение рас
стояния Земли от Солнца Дж. Нассини (Франция).
1687. Опубликование закона всемирного тяготе
ния И. Ньютоном (Англия).
1718. Открытие движения звезд в пространстве
Галлеем (Англия).
1725. Основание обсерватории Академии наук в
Петербурге.
1755. Опубликование первой научной гипотезы о
происхождении небесных тел И. Нантом (Германия).
1761. Открытие атмосферы у планеты Венера
М. В. Ломоносовым (Россия).
1781. Открытие Герше,1ем планеты Уран (Англия).
1801. Открытие первой малоf1 планеты. -
Цереры
Дж. Пиацци (Иташ1я).
1836 . Первое измерение расстояния до звезд
В. Я . Струве (Россия).
1839. Открытие Пулковскоii обсерватории в России.
1846. Открытие И. Галле (Германия) планеты
Нептун по вычислениям Леверье (Франция).
1847. Опубликование труда «Этюды звездной астро
номии» В. Я. Струве, в котором заложены основы
современных знаний о строении нашей Галактики.
1859 . Начало применения спектрального анализа
в астрономии.
•16Д.э.т.2
1868. Открытие Жансеном (Франция) и Локьером
(Англия) способа наблюдать солнечную атмосферу и
протуберанцы вне затмения.
1877-1904. Разработка теории комет Ф. А . Бред11-
хиным (Россия).
1908. Открытие соотношения между периодом изме
нения блеска переменных звезд - цефеид и их истин
ной силой света Г. Ливиттом (США).
1924. Открытие существования других звездны х
систем, подобных нашей Галактике, Э. Хабблом (США).
1927. Открытие вращения нашей звездной систе
мы - Галактики Я. Оортом (Гош1андия).
1927. Открытие вращения звезд Г. А . Шайном
(СССР) и О. Л. Струве (США).
1941 .Изобретение менискового телескопа Д. Д . Мак
сутовым (СССР).
40-е годы ХХ в. Начало развития радиоастроно-
мии.
Rосиопавтпиа
1957-1958. Запуск первых искусственных спут
ников Земли (СССР, США).
12 сентября 1959 г. Запуск советской космичес
кой ракеты «Луна-2», доставившей на Луну вымпел
с изображением Герба СССР.
4 октября 1959 г. За пуск советской космической
ракеты «Луна-3» с автоматической межпланетной
станцией, сфотографировавшей обратную сторону Луны.
12 апреля 1961 г. Первый в мире полет в космос
человека - советского летчика-космонавта Ю. А . Га
гарина.
6 августа 1961 r. Полет в космос советского лет
чика-кос�юнавта Г. С. Титова.
20 февраля 1962 г. Полет в космос амерш<ан с ко
го летчика-космонавта Джона Гленна.
24 мая 1962 г. Полет в космос американского лет
чика-космонавта Малькольма Скотта Нарпентера.
11-12 августа 1962 г. Групповой полет в космос
советских летчиков-космонавтов А. Г. Николаева и
П. Р. Поповича.
3 октября 1962 г. Полет в космос американского
летчика-космонавта Уолтера Ширра.
14-16 июня 1963 г. Совместн ый полет в космос со
ветских ;1етчи1<0в-космонавтов В. Ф. Бы1ювского и
В. В. Терешковой.
3 июля 1964 г. Запуск американской космиче
ской ракеты серии Рейнджер с автоматической меж 
планетной станцией, получившей 4 тыс. фото графий
Луны.
12 октября 1964 г. Полет советского трехместно
го космического корабля «Восход» с экипажем в со
ставе В. М . Номарова, И. П. Феоктистова и Б. Б . Его
рова.
•

ЧТО ЧИТАТЬ ПО ACTPOHOMИII
Задача предлагаемого краткого указателя научно
популярной литературы - помочь читателям Детской
энциклопедии, ознакомившимся с материалом раздела
«Мир небесных тел», расширить и углубить свои знания
по астрономии. Поэтому в указатель включены преиму
щественно такие книги и брошюры, в которых более
глубоко, но доступно для у'чащихся среднего и старшего
возраста изложены те же вопросы, что lf в астрономи
ческих статьях данного тома. Вместе с тем для школь
ников, интересующихся астрономией и близкими к ней
науками и располагающих большими знаниями по мате
матике и физике, рекомендованы и более сложные
нниги. Кроме того, в указатель включены руководства
для любительских астрономических наблюдений.
Вся рекомендованная литература разбита на тема
тические разделы, а книги внутри разделов располо
жены по степени их трудности.
Как !Строе11а Все.1Jен11ая
Селешников С. И . А13буна звездного неба. Л.,
1963. 64 стр. с илл.; 1 л. карт. (Об-во «Знание»
РСФСР, Ленинградское отд.)
Книга более широно, чем ДЭ, знакомит читателя
с небесной сферой, небесными координатами и основ
ными созвездиями северного неба.
Левин Б. Ю . Происхождение Земли и планет.
Изд. 4, доп. М., «Наука», 1964. 84 стр. с илл. (По
пулярные лекции по астрономии.)
Советский ученый рассказывает о строении солнеч 
ной системы и развитии идей о происхождении ее,
начиная с гипотез Канта и Лапласа. Наибольшее
внимание уделено изложению гипотезы происхождения
Земли и планет, разработанной академиком О. Ю . Шмид
том (1891-1956) при участии других ученых, в том
числе и автора книги.
Воронцов -Ве.'lьяшшов Б. А . Очерки о Вселенной.
Изд. 5 . М., «Наука», 1964. 552 стр. с илл.
Книга написана советским астрономом и педагогом
поnуJ1яризатором, состоит из трех разделов. В раз
деле «Глаза и руки астронома» рассказывается о ра
боте астрономов и о том, как делаются астрономи
ческие открытия. Раздел «Мир твердого вещества>)
посвящен большим 11 малым планетам солнечной си
стемы, метеорам, кометам. Раздел «Мир газа» рас
крывает «великое многообразие звезд» и безгранич
ный мир галактик, удаленных от нас на миллионы
и миллиарды световых лет. Специальные главы в конце
книги посвящены успехам радиоастрономии и вопро
сам происхождения и развития небесных тел.
Комаров В . Н . Космос, бог и вечность мира. М .,
Госполитиздат, 1963. 251 стр. с илл.
Рассказ о том, кан успехи естествознания, в частно
сти астрономии, опровергают религиозные измышления
о сотворении мира, о божественных силах, будто бы
создавших Вселенную и управляющих ею. Книга спо
собствует борьбе против религиозных предрассудков.
П ерельман Я. И. Занимательная
астрономия.
Изд. 10 . М., Физматгиз, 1961. 212 стр. с илл.
Книга известного популяризатора науки Я. И. Пе
рельмана давно приобрела широкую известность. Она
построена по принципу четко и остроумно поставленных
вопросов и развернутых ответов на них.
242
Рябов Ю. А. Движения небесных тел. Изд. 2,
доп. М., Физматгиз, 1961. 215 стр. с илл.
Небесная механика (раздел астрономии, изучающиii
законы движения тел в солнечной системе) сложи.�ась
на основе разработанных в конце ХV11 в. Ньютоном
и Лейбницем дифференциального и интегрального ис
числений и последующих достижений математики.
Книга Ю. А. Рябова - первый и удачный опыт изло
жения этих проблем, доступного для читателей со
школьной подготовкой по математике.
Опарин А. И. и Фесенков В. Г. Жизнь во Вселен
ной. М., Изд-во АН СССР, 1956. 224 стр. с илл. (Научно
популярная серия.)
Что жизнь существует не только на Земле, но и в
разных «уголках>) бесконечной Вселенной, - это в наше
время представляется бесспорным. Но насколько часто
или насколько редко встречаются во Вселенной оби
таемые планеты и могут ли быть обитаемы, кроме
Земли, другие планеты нашей солнечноii системы -
эти волнующие вопросы пока еще являются спорными,
требующими дальнейших исследований. В книге, напи
санной двумя выдающимися учеными (биохимшюм
и астрономом), освещаются современные JJзгляды на
эти вопросы.
Шепли Х. Звезды и люди. Пер. с англ. М ., И зд-во
иностр. лит., 1962. 152 стр. с илл.; 2 .'1. илл.
Шкловский И. С . Вселенная, жизнь, разум. М .,
Изд-во АН СССР, 1962. 239 стр. с илл.; 9 л. илл. (На
учно-популярная серия.)
ПерJJая из этих книг написана американским астро
номом, вторая - советским астрофизиком-радиоастро 
номом. В обеих книгах в живом, увлекательном изло
жении рассматриваются вопросы о распространенности
во Вселенной органической жизни, в частности разум
н ой жизни. Эти волнующие вопросы еще не решены
наукой, но высказываемые в обеих книгах гипотезы
и предположения вызывают огромный интерес.
Перель Ю. Г. Развитие предста1Jлею1й о Uселен 
ной. Изд. 2 . М., Физматгиз, 1962. 391 стр. с илл.
В книге освещается история познания Вселенной,
начиная с примитивных представлений людей древ
ности о строении видимого мира до современных
достижений науки. Наибольшее внимание уделяется
развитию представлений о строении и развитии 13селен
ной в XVIIJ-XX вв. и особенно современным пред
ставлениям о Вселенной. Специальная глава в конце
книги посвящена вопросу о жизни во Вселенной.
Со"111це
Кон он ович Э. В . Солнечная корона. М., Физмат
гиз, 1958. 88 стр. с илл. (Популярные лекции по аст 
рономии.)
Это беседа о Солнце вообще. В ней из.�ожены совре
менные представления о Солнце как о ближайшей к на м
звезде, о строении Солнца и источниках его энергии,
о грандиозных физических процессах, происходящих в
недрах Солнца и его атмосфере, о влиянии этих процес
сов на явления, происходящие на Земле. Наибодее
подробно описаны загадки солнечноii короны -
самой внешней оболочки Солнца.

Пикельнер С. Б . Солнце. М" Физматгиз, 1961.
84 стр. с илл. (Популярные лекции по астррномии.)
Мензел Д. Наше Солнце. Пер. с англ. М " Физмат
гиз, 1963. 328 стр. с илл.
Авторы обеих книг - астрофизики (советский и
американский ) - в доступной форме излагают со
временные знания о природе Солнца и о его влия
нии на Землю. В книге С. Б . Пикел
_
ьнера изложение
сжатое, в книге Д. Мензела - более подробное.
Jlyнa п п.J
J
анеты
Фесенков В. Г . Разгадывая тайны планет. М" Воен
издат, 1962. 96 стр. с илл.; 1 л. карт. (Научно
популярная б-ка.)
В первых главах книги автор знакомит чита
теля со строением солнечной системы и законами дви
жения планет, в последующих - излагает выводы
и гипотезы современной науки о природе Меркурия,
Венеры, Марса, Юпитера, Сатурна и спутника нашей
планеты - Луны. Ряд страниц посвящен радиоастро
номическим наблюдениям планет.
Барабашов Н. П . Луна. М" «Советская Россия»,
1958. 68 стр. с илл.
Паршин И. А . Луна. М" Физматгиз, 196 0. 56 стр.
с илл.; 2 л. илл . (Популярные лекции по астро
номии.)
Сытинская Н. Н . Природа Луны. М" Физматгиз,
1959. 176 стр. с илл.; 2 л. карт.
Луна - ближайшее к нам небесное тело, и полеты
на Луну бесспорно явятся первым этапом на пути к
завоеванию солнечной системы. Поэтому вопросы о
природе Луны и устройстве ее поверхности приобре
тают в наше время особый интерес.
В последних трех книгах изложены современные
знания о Луне. В книге И. А . Паршина даны также сведе
ния и об обратной стороне Луны, заснятой советской
автоматической межпланетной станцией в конце 1959 г.
Барабашов Н . П. Венера. М" «Советская Россия»,
1961. 40 стр. с илл.
Венера - ближайшая к нам из больших планет.
И тем не менее мы еще очень мало знаем о ее природе.
Неизвестно пока, как быстро IЗенера вращается вокруг
своей оси (иначе говоря, какова продолжительность
ее суток), как устроена поверхность этоii планеты
и какая на ней температура, каков состав нижних
слоев ее атмосферы. Нельзя, следовательно, ответить
и на волнующий вопрос о возможности жизни на Вене
ре. В брошюре, написанной советским астрономом,
изложено то, что уже известно о Венере, и те пред
положения о ее природе, которыми располагает
современная наука.
Сытинская Н. Н . Планета Марс. М., Физматгиз,
1962 . 64 стр. с илл. (Популярные лекции по астрономии.)
Загадки Марса нередко служат поводом для различ
ных домыслов и фантастических предположений. Откры
тие на Марсе в конце XIX в. необычных образований,
названных «каналами», дало повод для предположе
ний. о возможности существования на этой планете
разумных обитателей. И в наше время иногда вьшка
зываются абсурдные мнения о космических кораблях,
будто бы прилетавших на Землю с Марса. Однако
научные исследования Марса показывают, что климат
этой планеты очень суров, а в атмосфере его не об
наружено необходимого для жизни кислорода.
В книге советского исследователя Луны и планет
Н. Н. Сытинской изложены наши современные знания
о Марсе.
ЧТО ЧИТАТЬ ПО АСТРОНОМИИ
Тейфель В. Г . Планеты-гиганты. М" «Наука»,
1964. 86 стр. с илл. (Популярные лекции по астро
номии.)
Природа планет-гигантов (Юпитера, Сатурна,
Урана, Нептуна) резко отличается от природы Земли
и «ближних)> к ней планет (Венеры, Марса). Размеры
планет-гигантов, их низкая температура, наличие об
ш ирных атмосфер из ядовитых газов - все это свиде
тельствует о том, что развитие этих планет шло иными
путями, чем развитие планет «земной)> группы. В книге
излагаются современные знания о планетах-гигантах
и их многочисленных спутниках.
Кометы, метео ры п метеориты
Зигель Ф. Ю. Кометы. Изд. 2. М" Гостехиздат, 1 955.
72 стр. с илл. (Популярные лекции по астрономии.)
Хотя кометы наблюдались еще в глубокой древно
сти, научное объяснение их природы дано только за пос
ледние сто лет и в значительной степени в последние
десятилетия. Автор рекомендуемой книги расска
зывает о строении и движении комет, о физических
явлениях, происходящих в кометах, о происхождении
комет и их связи с другими «малым11 телами» солнеч
ной системы.
Федын ский В. В . Метеоры. М" Гостехиздат, 1956 .
112 стр. с илл. (Популярные лекции по астроно
мии.)
Изучение метеоров, заполняющих межпланетное
пространство и постоянно сталкивающихся с Землеii,
одна из тех увлекательных областей астрономии, где
любители, располагающие самыми скромными сред
ствами наблюдения, могут принести большую поль
зу науке. Для этого необходимо ознакомиться с при
родой метеоров. Известн ый ученый В. IЗ. Федынский
рассказывает о роли метеорного вещества в солнечноii
системе, о происхождении метеорных потоков и связи
их с кометами и малыми планетами, о значении изуче
ния метеоров для выяснения общих вопросов, связан
ных с происхождением солнечной системы.
Кринов Е. Л. Метеориты. М" Физматгиз, 1958.
1 08 стр. с илл. (Популярные лекции по астрономии.)
Метеориты - единственные небесные тела, попадаю
щие на Землю и доступные для непосредственного
исследования в земных лабораториях. Известный ис
с.1едователь метеоритов Е. Л . Кринов изложил в своей
книге современные данные о строении и хим11ческом
составе метеоритов, об условиях их падения, о проис
хождении метеоритов, которое тесно связано с проис
хождением других тел солнечной системы . В книге
подробно рассказывается также о гигантских метео
ритах нашего века - Тунгусском метеорите-комете и
Сихотэ-Алинском метеорите и о результатах их изу
чения.
1\lир звезд
Каплан С. А . Физика звезд. М" Физматгиз, 1961 .
1 52 стр. с черт.
Исследование звезд, их строения, объяснение гран
диозных физических процессов, происходящих в нед
рах звезд,- это сложнейшая область науки. В реко
мендуемой книге кратко освещаются основные этапы
развития науки о звездах и вклад в нее советских и
зарубежных ученых. В интересах глубины изложе
ния автор пользуется формулами, требующими от чита
теля элементарных знаний по математике и физике.
243

СПРАВОЧНЫИ ОТДЕЛ
Бок Б. и Бок П. Млечный Путь. Пер. с англ. М.,
Физматгиз, 1959. 264 стр . с илл .
Млечн ый Путь - это гига нтская звездная система ,
состоящая из многих миллиардов звезд, множеств а
газовых и пылевых тума нностей. Их изучение раскры
вает великое многообразие мира з везд и туманност ей
и является основой для более общих выводов о проис
хожденип и путях развития звезд и звездных сист ем .
В книге, н а п исанной америка нскими астрономами,
излагаются ·со временные знания о Млечном Пути.
Воронцов - Вельяминов Б. А . Просторы галактик .
М., «Знание», 1963. 48 стр . с илл.
Оптические и радиоастрономические средства совре
менной астрономии позволяют глубоко изучить галак
тики, отстоящие от нас на миллиа рды световых лет .
В брошюре рассказывается о природе галактик (в том
числе и о нашей Галактике) , об их звездном « н а селению> ;
описываются некоторы е б Лизкие к нам галактики .
В конце брошюры сообщаются новейшие да нны е иссле
до в а ния галактик , приводящие к интереснейшим вы
во да м об их возникновении и путях развития .
Астроноиив на с.Jiужбе че.Jiовека
Куликов К. А . Астрономия на службе н ародного
хозяйств а . М., Гост ехиздат , 1_957, 79 стр . с илл. (Попу
л ярные лекции по астрономии .)
Астрономия является научной основой для многих
в ажней ших практических де л. В елико значение этой
н ауки в определении географических: координат и в
картографии , в исследова нии силы тяжести в разных
местах, а отсюда и в разведк е полезных ископаемых ,
в решении многих других практических зада ч.
Селешников С. И. История календа ря и его пред
ст оящая реформа . Изд. 3, доп. и перераб. Л., Лениздат,
1962. 131 стр. с илл.
Шур Я. И. Рассказы о кале ндаре. М., Госполитиз
дат, 1962. 216 стр. с илл.
В последних двух книгах изла га ются астрономи
ческие основы к а ле ндарного счета времени, осве 
щается история кале ндаря и летосчисления с древ
нейших в реме н. Рассказывается об истории современ
ного , григорианского календа ря, о его до ст оинства х
и недостатках , о п роекте реформы календа ря.
На истории астрономии
Баев К. Л . Создатели новой астрономии . К опер
н и к, Бруно, Кеплер, Гали лей. Изд. 2. М.,
Учпедгиз, 1955. 125 стр . с илл . и карт .
Это книга о жизни и деятельности великих ученых
ре волюционеров в н а ук е, решительно отбросивших
устарелые предст а вления о Земле как о неподвижном
цент ральном теле Вселен ной и создавших основы но
вой науки , кото рая, развиваясь на протяжении по
следних веков, раскрыв ает грандиозную картину
Всел енной.
Воронцов-Вельямин ов Б. А . Очерки истории астро
номии в СССР. М ., Физматгиз, 1960. 228 стр. с илл .
Библиогр.: «Важнейшая литература по истории
а строномии в СССР» (стр . 225 -227).
Л еонов Н. И . Научный подвиг са маркандских
аст рономов XV век а . М., Физматгиз , - 1960. 118 ст р .
с илл.; 1 л. илл.
244
Самаркандский правитель , выдающийся астроном
Улугбек в первой половине XV в. построил
·
грандиоз
ную научную обсерваторию . О нei'i, о сама рка ндских
ученых и их выдающихся трудах - з вездном ката логе
и пла нетных таблица х, которые долго оставались
непревзоiiден ными, рассказывает Н . И. Леонов . Авто р
т акже знакомит читателей с жиsнью и деятель ностью
выдающихся уч е ных Средней Азии IX-XIV вв. , кото
р ые были до стойными предш ественника ми сама рканд
ских а строномов XV в.
Руководства Д.JIB астрономических
наб"Iюдений
Цесевич В. П . Что и как наблюдать н а небе . Руко
ВОД('JГВО к организации и проведению любительских
н аучных наблюдений небесных светил . Изд. 3.
М., Физматгиз, 1963. 462 стр. с илл.
Куликовский П. Г . Справочник любителя астроно 
мии. Изд. 3, перераб. и доп. М., Физматгиз, 1961.
494 стр. с илл. Приложения: карты звездного неба
и др .- всего 18 л. карт . «Астро номическ ая биб
ли огра фия� (стр. 328-338).
Задача этих нн иr - вооружить любителя астроно
мии необходимыми зна ниями для ведения самостоя
тельных систематических наблюдений неба .
В обеих Rн игах даются общие сведения о сол неч
ной системе и о Вселенной, необходимые для люби
теля астрономии сведения по математике и обстоя -
тельные указания для проведения наблюде ний Солн
ца , Луны, больших планет, комет, м ет еоров ·и п ере
менных звезд.
Шаронов В.В . Солнце и его наблюдения. Изд. 2. М . ,
Гостехиздат, 1953. 220 стр. с илл.; 3 л. илл. ; 8 л. карт.
Сытинская Н. Н. Луна и ее наблюдение. М ., Гос
техиздат, 1956. 254 стр . с илл.
Бронштэн В. А. Пла неты и их наблюдение . М.,
Гостехиздат, 1957. 207 ст р. с илл.; 1 л. карт , 5 л . коор
ди натных сеток .
Все три книги являются руководством для любите
лей астрономии, желающих заняться систематическими
наблюдениями Солнца , Луны, пла нет .
Набоков М. Е. Астрономические наблюдения с
биноклем. М ., Гостехиздат , 1948. 184 стр . с илл.
В книге расеказывается об астрономи·ческих на 
блюдениях п ри помощи бинок ля . Наибольшее внима ние
уделено наблюдениям метеоров и переменных звезд.
Навашин М. С . Телескоп а стронома-любителя . М.,
Физматгиз, 1962. 376 стр . с илл.
В книге изложены при нципы устройст ва телеско
п а , основы оптических нонструкций, техники изготов
ления главного и вспомогатель ного зеркал, монти
ровка телескопа , работа и обращение с ним.
«Астрон омический календарь». Основ ан в 1895 г.
любителя ми астрономии в Нижнем Н овгороде. Теперь
из дается Всесоюзным астрономо-геодезическим обще
ством в Москве в издательстве «Наука» . Делится на по
стоянную и переменную (выходящую еж егодно) части.
С 1895 г . вышло 68 выпусков переменной части .
(<Постоянная часть Астрономического календаря».
Изд. 5. М., Физматгиз, 1962. 772 стр. с илл.
(< Пост оянная часты- это на писа нное коллективом
а строномов обширное руководство для любительских
наблюдений Солнца , Луны, п ла нет, комет, метео ров,
переменных звезд и других небесных с ветил. В кон
це книги п р иведен обширный табличный и сп равоч-
ный материал.
·

СЛОВАРЬ -УКАЗАТЕЛЬ
А
Аберрации телескопа - искажения или недоста
точная отчетливость изображений, создава емых опти
кой телескопа; связаны со свойствами линз и зеркал
и волновой при родой света .- 21 5
Аберрация света - изменение видимого поло
жения зв езды на небесной сфере, вызываемое движе
нием Земли с находящимся на ней наблюдател ём и ко
нечной скоростью распространения света . - 19 4
Абу-ль -Вефа, Мохаммед бен-Мохаммед [940- 998
(по другим данным - 997)) - арабский астроном и
математик ; составил точные таблицы синусов и тан
генсов , которые позволили ему усов ершенств овать
астрономически е вычисления .-24
Автоматическая межпланетная станция (<Зонд- 1»
запущепа в Советском Союзе 2 а п реля 19()4 г.- 167
Автоматическая межпланетная станция (<Венера»
запущена в Советском Союзе 12 февраля 1961 г. -
166
Автомати ческая межпланетн ая етанцил (< Луна-4»
за пущен а в Советском Союзе 2 апреля 1963 г.- 167
Автомати ческая межпланетн ая станция (<Маринер-
11» - запущена в США 27 августа 1962 г. к Венере;
прошла на расстоянии 37 ООО км от Венеры и подтв ер
дила. данные о высокой темп ературе ее пов ерхности . -
166
Автоматическая межп ланетная станция (< Марс-1>)
запущена в Советском Союзе 1 нояб ря 1962 г. - 166
Адамс, Джон Кауч (1819- 1892) - английский
астроном ; на основании теоретич еских расчетов , неза
висимо от У. Леверье и даже раньше его, установил
существование пл анеты Нептун. -4 1 , 98
Азимутальная установка телескопа - установка,
позволяющая производить вращение телескоп а вокруг
вертикальной · и горизонтальной осей . - 216
Алrоль (бета Персея) - зв езда с меняющимся
блеском, относится к типу затменных переменных (см.) ;
расположена в созв ездии Персея . Блеск ее меняется
от 2-й до 3,5-й зв ездной величины (см.) .- 122
Али Кушчи (год рожд . неизв . -
1474) - самар
кандский астроном и математик ., работавший на об
серватории Улугбека (см .) . -25, 26
Аль-Баттани, Абу Абдаллах Мохаммед бе н-Джабир
(858-929) - арабский астроном ; произв ел новые опре
деления угла наклона эклиптики к экватору, ввел
в употребление тригонометрически е функции .-2 4
Альбицкий, Владимир Александров11 ч (1891-
1952) - сове11ский астроном; совместно с Г. А. Шайном
определил лучевые скорости (скорости движения вдоль
луча зрения) многих звезд.- 209
Альдебаран - самая яркая зв езда в созв ездии
Тельца , 1-й зв ездной величины , красновато-желтого
цвета . -1 25
Алькор - слабая звезда , 5-й зв ездной величины ;
видима невооруженным глазом около звезды Мицар
(см.) в созвездии Большой Медведицы. - 62 , 120 , 121
Альфа Центавра - система из трех зв езд в созв ез
дии Центавра , наиболее близких к солнечной системе;
расстоя ние 4,3 светового года (см.). - 35 , 45 , 121 , 238
Амбарцумян, Виктор Амазаспович (р. 1908) -
советский астрофизик, академик, президент Академии
наук Армянской ССР; автор важнейших трудов , по
священных изучению физической природы и происхож
дения звезд, зв ездных систем и межзв ездной среды .-
57' 138
Андромеда - созвезди е северного полушария н еба ,
видимое в конце лета, осенью , в начале зимы .-63
Антарес - самая яркая звезда в созв ездпп Скор
пиона , 1-й зв ездной величи ны , красного цвета ; отно
сится к зв ездам-св ерхгигантам : диаметр более чем
в 450 раз превосходит диаметр Сол нца, а объем бот"ш е
объема Солнца в 90 млн. раз.-1:i7 , 119, 123, 238
Ариабхата (р. в V в . - дата смерти неизв .) - индий
ский астроном и математик; в его сочинении «Ариаб
хатиаМ>) сжато изложены математически е сведения,
необходимые для астрономических вычислеюrй. - 27
Аризонский метеоритн ый кратер - кратер в США,
об разовавшийся в результате падения гигантского
метеорита; поперечник кратера ОRоло 1200 м, гл убина
174 м, высота вала 40-50 м.- 112
Аристарх Самосский (жил в 111 в. до н. э.) - один
из великих греческих ученых эпохи эллинизма ; вп ервые
определил расстояни е от Земли до Луны :n до Солнца
11 высказал идею о движении Земли вокруг Солнца .
Его называют (< Коп ерником древнего мира» . За свое
учени е был обвинен в безбожии и изгнан из Афин . -
22, 27 , 183, 241
Аристотель (384 -322 до н. э.) - древнегрече
ский ученый; обосновал шарооб раз ную форму Земли
и других· небесных тел ; в то же время утв ерждал, что
Земля является неподвиж ным телом - центром Все
ленной, вокруг которого об ращаются все небесные
тела.-21 , 183 , 241
Ариэль - спутник Урана. -238
Арктур -самая яркая зв езда в созв ездии Волопа са,
нулевой звездной величины , оранжевого цв ета; по раз
мерам - зв езда-гиг ант.-23 8
Архимед (ок . 287-212 до н. э.) - древнегре
ческий математик и механик . - 183
Астероиды - см . :Малые планеты .
Астролоrия - ложное учени е, с помощью которого
пытались предсказывать судьбу государств , народов
и отдельных людей и наступл ени е событий по располо
жению небесных св етил .-20
Астрономическая единица - еди ница для изме
рения больших расстояний в солнечной системе, при
нятая в астрономии ; равна среднему расстоянию Земли
от Солнца - 149,5 млн. км .-35
, Астроном11чесю1е обсерватории - научно-и сследо
вательски е учреждения , в которых при помощи тел е
скопов и других астрономич еских приборов ведутся
наблюдения небесных светил и изучаются законы их
движения и раэвИтия . - 5 4 -59
Астроном ия - наука , занимающаяся изучением
строения и разв ития небесных тел и их систем . -15,
183 -185
.
Астрофизика - раздел астрономии, изучающий
физические свой ств а и химичесRий состав небесных
тел и межзв ездной среды главным об разом при помощи
спектрального анал иза, фотографии и радиоастроно
мических методов .-!i5
Атмосфера Земли . - 143 , 173-175
Ахернар - самая яркая звезда созв ездия Эри;�ана ,
1-й зв ездной величины , белого цвета; в СССР не
видна. -238
Б
Баклунд, Оскар Андреевич (1846- 1916) - русский
астроном, швед по происхождению ; в 1895- 1916 гг .
был директором Пулковской обсерв нтории ; основные
245

СПРАВОЧНЫИ . ОТДЕЛ
научные исследования ег о относятся к небесной механи
ке и геодезин .- 198
Баллист11ка - наука о движении артиллерийских
сщ1рядов , ракет и т. д.-1 67
Белопольск11й, Аристарх Аполлононич (1854-
1934) - русский астроном; исследовал законы вра
щения Солнца , доказал метеоритное строение колец
Сатурна , произвел важнейшие исследования спектров
зв езд 11 их лучевых скоростей , опытным путем под
твердил правильность принципа Доплера (см .) в приме
нении к свету .-51 , 97 , 198, 20 1-203
Белые карш1ки - зв езды , имеющи е очень малые
размеры и св етимость (в сотни и тысячи раз меньши е,
чем размеры и св етимость Сол нца) и вместе с тем высо
кую температуру; отличаются чрезвычайно большой
плотностью вещества (плотнее воды в десятки и сотни
тысяч 11 даже в миллионы раз) . -11 9
Белянский, Сергей Иванович (1883-1953) - со
в етский астроном; отк рыл 37 малых планет , в том числ е
Влади.11ену, названную так в честь Владимира Ильича
Ленина .- 100, 198
Бессель, Фридрих Вильгельм (1784-1846) - не
мецю1й астроном; разработал методы точного опред'1-
ления пол ожений звезд, составил обширные зв ездные
каталоги , всле.:�; за В. Я. Струве положил начало точ
ному определению расстояний до звезд. -1 94, 195
Бетельгейзе - вторая по блеску зв езда в созв ез
дии Ориона , 1-й звездной велиЧины, красноватого цвета;
относится к зв ездам-св ерхгигантам; по диаметру в 300
раз, по объему в 27 млн. раз больше Солнца.-49 ,
117-119 , 123, 238
Бируни (972 или 973-1048) - среднеазиатский
ученый , астроном , географ, историк ; впервые на Сред
нем Востоке высказал мысл ь о движении Земли вокруг
Солнца; определил размеры Земли .- 24 -26
Блажко, Сергей Николаевич (187 0-1956) - сов ет
ский астроном, профессор Московского университета ,
иссл едов атель переменных зв езд .- 20 4
Б.ТJизнецы - см . Зодиакальные созв ездия
Болид - ослепительно яркий метеор; имеет вид
светящегося шара с огненным хв остом . Посл е его пролета
на небе в течение некоторого времени виден слабо св е
тящийся туманный след. - 109 , 110, 115
Большая Медведица - созв ездие северного полу
шария неба. Семь его наибол ее ярких звезд об разуют
фигуру, напоминающую ковш с ручкой.- 6 1 , 62 , 65 ,
120, 146
Брадлей, Джемс (1693-1762) - английский астро
ном , оди н из основоположников сов ременной звездной
астрономии .-1 93, 194, 196
Брамагупта (598-660?) - индийский математик
и аст роном ; в его сочинениях можно найти утв ерж
дение о вращении Земли вокруг оси , соображения
о размерах Земли и Луны .- 27
Бредихин, Федор Александрович (1831-1!Ю4) -
русский астроном ; наибол ее изв естен как создател ь
теории образования кометных хв остов и теории проис
хождения метеорных потоков ; с 1890 по 1895 г. руко
водил П улковской об серваторией .- 58, 103 , 104 , 106 ,
108, 137' 198-201 , 24 1
Бруно, Джорда но
(1548- 1 600) - итальянский
мысл ител ь, атеист ; развивая учение Коперника ,
утверждал бесконечность Вселенной и бесчисл енность
зв езд , солнц и обитаемых планет.- 30, 31
Быковский, Валерий Федорович (р. 1934) - сов ет
ский летчик-космонавт, на космическ ом корабле «Вос
ток-5» , запущенном 14 июня 1963 г" сов ершил за 119 ча·
сов полета 81 оборот вокруг Земли и пролетел
3 млн. 300 тыс. км.-18, 166, 241
2-16
в
Варахамихара - индийский математик и астро
ном VI в. н . э .; в его сочинениях можно найти объясне
ние затмений, рассуждения о расстояниях до Солнца
и Луны.-27
Вега- самая яркая зв езда в созв ездии Лиры и одна
из самых ярких звезд неба, нулевой звездной величины ,
белого цвета .-45 , 61 , 117 , 238
Великое проти востоя ние Марса - см . Противо
стоя ние Марса .
Венера - вторая по расстоянию от Солнца пла
нета солнечной системы ; после Солнца и Луны самое
яркое светило на небе; бывает видима во время вечер
них сумерек на западной ст ороне неба, рано утром -
на вост очной; по размерам и массе близка к Земле.-
20, 89-92, 95, 229
Вернадский, Владимир Иванов11ч (1863 -1945) -
советский естеств оиспытател ь, ми нералог и кристал
лограф, один из основоположииков геохимии и биогео
химии ; для астрономии важное значение имеют его
работы по из учению химического состава земной коры ,
океана, атмосферы , исследования о роли радпоактн в
ных элементов в эволюции земного шара; первым об ра
тил внимание на огромную роль живого вещества
в истории земной коры. -1 37
Веста - наиболее яркая из малых планет ; бы
вает видна невооруженным глазом; открыта в 1807 r.
немецким астрономом Г. Ольберсом. - 100, 237
Весы - см . Зодиакальные созв ездия .
Ви д�1анштетте новы фигуры - рисунок , наблюдаю
щийся на полированной поверхности железного ме-
теорита, протравленной слабым раств ором кис
лоты; названы по имени авст рийского ученого Вид
манштет тена , впервые получившего эти фигуры
в 1808 г.
-114
Виноградов, Александр Павлови ч (р. 1895) - совет
ский биохимик , геохимик и химик-аналитик; основные
исследования посвящены изучению зак ономерностей
распреде.11ения химических эл ементов в верхней части
земной коры, выяснению состава первичных пород, п з
которых об разовался осадочный покров Земли , и др .;
занимается исследованием метеоритов .- 1 15
Високосный год. -150 , 151
Водолей - см. Зодиакальн ы е созвездия .
Воронцов-Вельям11нов,
Борис
Александрови ч
(р. 1904) - советс кий астрофизик; выпол нил рлд важ
ных исследований новых звезд , газовых и планетар
ных туманносте й, меж звезд ной среды, гал а кт ик; автор
многих учебников и научно-попу лярных книг.-1 37
Вращение Галактпю�.-129
Вращенt1е звезд . -209
Время декретное - по декрету Советского прави
тельства в 1930 г. все ч асы в нашей ст ране были переве
дены на 1 час вперед.-157
Время местное - в связи с вращением Земли вокруг
своей осп на I\ аждом меридиане Земли свое истit: нное
время - местное. -1 56, 157
Вре мя поясное - весь земной шар разделен на
24 пояса, отстоящих друг от друга на расстоянии 15°
долготы ; внутри каждого пояса гражданское время
условились считать одинаковым . - 157 , 158
Вселенная - окружающий нас ми р, бесконечный
в прост ранстве, во времени и по многооб разию форм
заполняющего его вещества и его прев ращений.-
13() . 132
Всехсвятский, Сергей Конста нтинович (р. 1905) 
советский астрофизик,известный исследователь комет ,

солнечной короны н солнечного корпускулярного
изл vчения . - 58
·
Всп ышки солнечные - резкое и быстрое ув еличе
ние яркости какого-нибудь участка хромосферы С олн
ца, расположенного в активной области; вспышки со
пров ождаются усилением коротковолнового излучения
Солнца и потоков заряженных частиц . -80
Вторая космическая скорость - минимальная ско
рост ь тела вблизи поверхности Земли, достиж ение кото
рой позволяет ему , преодолев земное притяжени е,
навсегда уд алиться от Земли ; равна 11,2 км/сек . -
168 . 173
Вторая советс кая космическая ракета ((<Луна-2»)
запущена 12 сентября 1959 г.; впервые в истории чело
вечества достигла другого небесного тела - Лун ы.-
68, 74 , 162, 241
Второй советский искусственный спутш1к Земли 
запущен :1 нояб ря 1957 г.; просуществ овал 163 дня,
совершив о!\оло 2370 об оротов вокруг Земли .
-160
г
Гагарин, Юрий Алексееви ч (р. 1934) - советский
летчик-космонавт , первый в мире человек , совершив
ший космич есю1й полет на космическом корабле
(< Восток» 12 апреля 1961 г.-18, 92 , 164, 241
Газе , Вера Федоровна (1899- 1 954) - советский
астроном; совместно с акад . Г . А. Шайном занималась
изучением газово-пылевых туманностей .- 2 10
Галактика - зв ездная система , в которую входят
все зве:щы, видимы е в созв ездиях невооруженным глазом
и в телеск оп , и все зв езды Млечного Пути . В Галактике
насчитывается более 100 мл рд . звезд . Диаметр этой
зв ездн ой сист емы составляет почти 100 тыс . световых
л ет . Все зв езды в Галактик е движутся вокруг ее
центра.-129 , 130, 191, 195 , 197 , 199
Галактика в Андромеде - звездная система , сход
ная с нашей Галактикой по своему строению и мно
гооб разию входящих в нее звезд; видна в созвездии
. Андро'-'еды невооруженным глазом.- 130, 131
Галактика в Треугол ьнике - спиральная звезд
ная система, распо;юж еннал в созв ездии Треугол ь
ника. -131
Галакт11к11 ( п ишутся со строчной буквы) - звездные
системы , подобные нашей Галактик е.- 130- 132 , 208
Галактический экватор - большой круг на неб ес
ной сфере, образуемый при пересечении ее средней
плоск остью Млечного Пути (см .) .- 129
Галилей, Галилео (1564- 1642) - итальянский фи
зик, механик и астроном ; од ним из п ервых применил
телескоп для наблюдений неба; показал , что Млечный
Путь- множество звезд; отк рыл фазы Венеры , вращение
Солнца вокруг своей оси , формы рельефа лунной поверх
ности, четыре больших спутника Юпитера; сд елал
выдающи еся отк рытия в физик е и механике. -3 1 ,
32,70,91,96,184,209,241
Галле, Иоганн Готфрид (1812-1910) - немецкий
астроном, специалист по исследованию метеоров и
!\ Омет ; в сентябре 1846 г. обнаружил планету Неп
тун по данным, предвычисленным Леверье.-4 1 , 98 ,
iOO, 24 1
Галлей, Эдмунд (1 656-1742) - английский астро
ном , открыл собств енное дв ижение звезд в простран
ств е; установил , что комета, потом названная его име
нем, относится к солнечной системе и появляется перио
дически.-37, 38 , 189 , 193, 241
СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
Ганимед - наибольший по размерам и массе из
четырех самых ярких спутников Юпитера , отк рытых
Галил еем .- 238
Ганимед - малая планета.- 237
Гевелий, Ян (161 1-1687) - польский астроном
наблюдатель; построил в г. Гданьск е большую обсерва
торию, снабженную точными угломерными инструмен
тами ; изучал Луну (составил первое подробное описание
ее поверхности ) и кометы (отl\рыл четыре новые !\оме
ты ), составил звезд ный катало г. -3 4 , 185
Гелиоцентрическая систе ма мира (система Копер
ника) - учени е, об основанное Коперником, согласно
которому Земля есть одна из планет , обращающихся
вокруг Солнца - центра планетной системы . Это уче
ние стало основой развития новой астроном ии.-
28-30 , 32
Геоцентрическая система мира (система Птоле
мея) - ошибочное учени е, господствовавшее в древ··
ности и в средние века , утверждавшее, что Земля
неп одвиж,на, а Солнце, Луна, планеты и звезды обра
щаются вокруг Земли ; опровергнуто l\ оперюш ом , уста
новившим, что Земля - одна из планет солнечной си
стемы.-23,24,27,32
Гендерсон , Томас (1798- 1842)- английский астро
ном, один из пионеров определения точных расстоя
ний до зв езд . В 1840 г. определил расстояние до
звезды аш,фа в созвездии Центавра, оказавшейся бли
жайшей к солнечной системе звездой. -196
Гераклит (ок . 530 -470 до н. з.) - древнегре
ческий философ-мат ериалист , выдвинул идею об изме
няемости в природе. - 21
Гермес - малая планета .- 23 7
Герцшпрунг, Эйнар (р. 1873) - датс кий аст роном ;
много занимался изучением зв ездных скоплений, пере
менных звезд, проблемой эволюции звезд . -205
Гершель,
Вильям
(1738- 1822) - английский
астроном, открыл и исследовал много туманностей,
двойных звезд, планету Уран, обнаружил движение
Солнца в прост ранств е среди звезд; впервые на основе
наблюдений пытался выяснить ст роение нашей зв езд
ной системы - Галактики . Впервые выдвинул мнение,
что возникновение звезд. непрерывно продолжается и
в нашу эпоху.-97 , 185, 189-192, 241
Гершель, Джон (1792-1871) - английский аст ро
ном, сын В. Гершеля; продолжал работы отца ,
он vзучал двойные звезды (составил 11 катал огов) ,
туманности , звездное небо южного полушарил .-
192
Гершель, Каро.тшна (1750-1848) - любитель аст ро
номии, сестра В. Гершеля; отк рыла 8 комет и 14 туман
ностей ; помогала брату в проведении наблюдений и их
об работке.- 191
Гиады - звездное скопление в созв ездии Тельца,
содержит около 100 звезд. Расположено на небе неда
леко от звезды Альдебаран. -1 25
Гидальго - малая планета .- 237
Гиппарх (11 в. до н. э .)
-
древнегреческий астро
ном; установил раздел ение зв езд по их видимому бле
ску на звездны е величины (см.) , определил расстояние
до Луны и ее размеры ; составил обширный и для своего
времени точный звездный каталог.- 22 , 24 1
Гленн, Джон - американский космонавт , совер
шивший космический пол ет 20 февраля 1962 г.; за
4 часа 56 мин. сделал 3 оборота вокруг Земли.-
165, 24 1
Год - еди ница измерения времени , равная про
межутку, соотв етствующему одному полному обороту
ЗемJiи вокруг Солнца . В году содержится 365 суто!\ 5 ча
сов 48 минут и46 секунд с доллми .- 20 , 145-147 , 151
247

СПРАВОЧНЫП ОТДЕЛ
Гранулы - газовые · образов ания на солнечной
п оверхности, имеющи е вид зерен . Размеры отдел ьных
гранул измРряются сотнями кплометров . -78
Гр11гор11ансю1й календарь (новый стиль) - введен
в 1582 г. папой Григорием XIII; более точный,
чем юлианский календарь (см.) ; в настоящее время
принят в бол ьшинств е ст ран земного шара. - 151 ,
152
Гр11ссом , Вирджил - американский космонавт ,
сов ершивший кратков ременный полет в космос 27 июля
1961 г. -165
Гудрайк, Джон (1765- 1 786) - английский люби
тель астрономии, один из первых исследователей
переменных звезд.- 122
Гюйгенс, Христиан (1629- 1 695) - нидерландский
механик, физ ик, математик и астроном ; открыл спут
ник Сатурна-Титан и кольца Сатурна, произв оди.'!
наблюдения Марса и Юпитера, туманности Ориона ;
работал над усов ершенствованием оптики телескопов
и маятниковых часов . -35 , 96
Давление света - механическ ое действ11е света,
оказываемое им на частицы , находящи еся на пути его
распрост ранения . Давленке света на твердые те.1а и на
газы впервые обнаружено и измерено русским физ11 ком
П. Н . Лебедевым (см .) в 1899- 1909 гг .
-106
Д'Аламбер, Жан Лерон (1717-1783) - француз
ский математик и философ ; разрабатывал труднейши е
вопросы движения небесных тел.- 192
.
Движение полюсов Земли - смещение полюсов ,
происходящее из-за того, что земной шар не занимает
неизменного положения по отношению к своей оси вра
щения ; за движением полюсов сл едит специальная сеть
обсерваторий - ши ротных станций .-14 0 , 210
Двой ные звезды - сист емы , состоящие из двух
звезд, каждая из которых об ращается вокруг их общего
центра тяжести . Обычно одна из зв езд в паре бывает
ярче, и ее называют гл авной звездой , а другую -
ее спутником (напр., Мицар и его спутник Алькор) .
Сист1Jмы, состоящие из трех, четырех или больше
звезд ,
назыв аются
кратными
звездами . -1 20,
121, 190
Дева - см . Зодиакальные созв ездия .
Деймос - спутник Марса.-95 , 238
Декарт, Рене (1596-1 650) - французский фило
соф, физик , математик, физиолог .- 184
Деландр, Анри (1853-1948) - французский астро
ном; проводил систематич еск ое фотографирование хро
мосферы Солнца, получил мног о фотографий план1Jт
и туманностей, исследовал вращение колец Сатурна . -
203
Дельта Цефея - переменная зв езда в созвездии
Цефея , блеск которой меняется со ст рогой периодич
ностью . Период изменения блеска равен 5 суткам 8 ча
сам и 47 минутам . Все переменные зв езды такого типа
стали называть по имени этой зв езды цефеидами
(см .) .-123
Демокрит (ок . 460 -370 до н. э.) - древнегрече
ский философ-материалист, оди н из основоположников
учения об атомах ; считал, что во Всел енной существуют
бесчисленные миры , одни из которых форми руются ,
другие достигли расцвета, третьи разрушаются и гиб
нут. - 21
Деферент·и эпицикл - окружности , по которым,
по мнению Птолемея , дв ижутся планеты ; деферент -
248
большая окружность, центром которой яв .1
1
яется Земля ,
эпицикл - меньшая окружность, центр которой обра
щается по деференту вокруг Земли. -2 3
Диаграмма Герцшпрун га - Рессела (диаграмма
спектр - светимость) - график , на котором нанесены
абсолютные величины звезд в зависимости от их спек
тра.1ьных классов ; исследование этой диаг раммы позво
,1 яет сделать важные выводы о природе зв езд и об
ИХ ЭВОЛЮЦИJJ .- 205
Диrrес, Томас (год рожд . неизв . - 1595) - англий
с1шй ученый, один из первых посл едов ателей учения
Коперника в Англии ; развивая и углубляя учение Но
перника, пришел к выводу, что Вселенная бесконечна,
а Солнце - одна из бесчисленных звезд . -3 0
Д11она - спутник Сатурна . -23 8
Диффузные туманност11 - обширные облака рас
сеянного (газового или состоящего из тв ердых частиц
пылинок) веществ а, расположенные в межзв ездном
пространств е. Многие ученые полагают , что зв езды
и планеты возник.'lи из диффузных туманностей в ре
зультате их уплотнен11я .-1 27 , 128
Е
Евклид - древнегреческий математ11к, работавши й
в Александрии в 111 в. до н. э . Обобщи.1 накоплен ные
в д ревности знания по rеометрии . - 183
Европа - один из четырех самых ярких спутников
Юпитера , открытых Галилеем. - 2 38
Егоров, ·Борис Бор11сович (р. 1937) - сове тский лет
чик·космонавт, соверш ивший полет на трехместном
космическом корабле « Восход» , запущен ном 12 ок
т ября 1964 г.-
166, 241
ж
Жансен, Пьер (1824- 1 907) - французский астро
ном, оди н из пионеров применения спектрал ьного
анализа в астрономии.-202 , 241
Железн ые метеориты. - 114
Железокаменные метеориты .-1 14
За дача двух тел - проблема небесной механики ,
связанная с определением движения двух сферичес ких
тел с изв ест ной массой , находящихся под действием
снды взаимного тяготения .- 1 69
Закон всемирного тяготения - закон, устанавлн
вающий, что любые дв а тела взаимно притягиваются
друг к другу и сила их притяжения прямо пропорцио
нальна массам притягивающихся тел и об ратно про�
порциональна нвадрату расстояния между ними ; от
крыт английсюш у ч еным И. Ньютоном (см .) в 1687 г. -
37 ' 38-41 , 172, 184' 241
Закон ы движения планет Кеплера - три закона ,
отнрытые Неплером, которым подч иняются движения
тел �олнечной системы. -3 3 , 34 , Hi9, 24 1
Затменные переменные авезды - очень тесные
двойные зв езды , орбита которых проходит через луч
зрения . При обращении вокруг общего центра тяже
сти об е зв езды попеременно закрыв ают друг друга, так

что общий блеск системы во время этих затмений осла
бевает . Алголь (см.) - первая 11з об на руженных
зв езд такого типа .-122
Звездная вел11 чина - принятая в астрономии еди
ница юшерения видимого блеска зв езд и других небес
ных тел . Чем слабее светится звезда , тем бодыпе ч11сдо,
об означающее ее зв ездную величину. Самые яр1ш е
зв езды назвали звездами 1-й величины . Самые слабые
з везды , видимые невооруженным глазом, относнтся
к звездам 6-й зв ездной ве;шчи ны . К действитеJ1 ьным раз
мерам и светимости зв езд звездная величина не имеет
прямого отношения .-61 , 116
Звездные скопления - группы звезд, разде.1ен
ны е между собой меньшим расстоя нием, чем обычные
межзв ездные расстояния ; зв езды в такой группе свя
заны общим движени ем в пространств е и имеют общее
происхожден11е. -1 25, 126
Звездный дождь - см . Метеорный поток .
Звезды - гигантские раскаJ1енные, самосветя
щиеся газовые шары . Солнце - одна из звезд, притом
сред няя по размерам и светимости . По своим ха
рактерист11 кам зв езды мног ооб разны ; различаются
зв езды-гиганты 11 карлики , оди ночны е, двойные и крат
ные, переменные зв езды и новые.- 116-125
З верев , Митрофан Степа нови ч (р. 1 903) - совет
сюtй астроном, зам . ди рект ора Пулковской об серва
тории .- 55
Зеелигер, Гуго (184 9-1924) - немецкий астро
ном, занимался вопросами теоретической астрономии ,
строения Млечного Пути и др. - 205
Земля - пла нета , на которой мы живем . Среднее
расстояние Земли от Солнца принято в астрономии
в качестве еди ницы для измерения больших расстояний
(см. Астрономич еск ая еди ница) . - 92, 93 ; 95, 133,
137' 236
Зенит - точка пересечения отвесной линии с во
ображаемой небесной сферой над головой наблю
дателя.- 64
Зодиакальные созвездия - 12 созв ездий: Овен ,
Тел ец, Близ нецц , Рак , Jl eв , Дева, Весы , Скорпион,
Стрел ец , Козерог , Водолей, Рыбы, расположенных
вдол ь пути годичного перемещения Солнца п о небу
среди звезд. В каждом Из созв езди й Солнце еже1·одно
бывает приблизительно в течение месяца . - 6 7, 237
и
Ибн-Юнус ( 950- 1 009) - арабский
астроном;
провел обши рные наблюдения на · обсерватории близ
Каира, составил таблицы движения Jlуны, Солнца и
планет . -24
.
Икар - малая планета , подходящая к Солнцу
в своем движении по орбите ближе всех изв естных тел
солнечной сист емы . - 1 01 , 237
Ио - один из четырех самых ярких спутн иков
Юпитера, отк рытых Галилеем.- 23 8
.Ионосфера - слой земной атмосферы , атомы и
молекулы ноторого частично ионизов аны под влия нием
коротковолнового излучения Солнца и корпускуляр
ных потоков.- 174
Искусственные спутники Земли - искусственные
небесные тела, научны е лаборатории, оснащенные
автоматическими приб орами для исследования верхних
слоев атмосферы и изучения некоторых явлений во
внеземном пространств е. - 159 - 169, 172
Искусст ве нные спутн ики Земли «Элект�юю). - 167
Искусственный спутник Зе мли «Эхо-2>) . - 1 67
СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
к
Казы-заде Ар-Руми - математик и астроном Х V в.,
работавший на самарнандской обсерватории Улугб ею1
(см.) .- 25
Календарь - с11стема счета времени . В оснuвu
его лежат единицы измерuния времени , данные нам
самой природой : год и сутки. - 20, 22, 141 , 145- 1;,5
Калл 11сто - один из четырех самых ярких сп ут
ников Юпит ера, открытых Галилеем .- 6 3, 238
Каме нные метеориты. - 114
Канопус - самая яркая после Сириуса звеада
неба; относится к сверхгигантским зв ездам : по сnе
тимости она ярче Солнца в несколько тысяч раз ;
в наших широтах не видна . - 238
Кант, Jlмману11л (1724-1804) - известн ый 11 е
мецкий ученый; утверждал бесконечность звездной Все
ленной ; в 1755 г. впервые выдви нул научную ги н отuау
происхождения небесных тел. - 133, 189, 190, 193, 241
Капелла - самая яркая звезда в созв ездии llu3-
ниче го, нулевой звездной величи ны, желтого цвета -
117, 119, 238
Карпентер, Малькольм Скотт - американский нос
монавт , совершивший космический полет 24 мая 19ti2 г.
(3 об орота вокруг Зем;ш) .-166, 241
Кассини, Джованш1 Домен ико (1625-1712) -
астроном, итальянец по происхождению , потом рабо
тавший во Франции ; открыл вращение Юпит е ра 11
Марса, четыре спутника Сатурна , деление ко;1 ьца Са
т у рна , определил расстояние от Земл и до Солнца . - : 11i ,
35, 241
Кассиопея- хорошо знакомое всем созв езди е север
ного поJ1ушария неба; в северных paiioнax и сред ней
полосе Советского Союза незаходящее созвездие, в край
них южных районах хорошо видимо летом 11 осепью . - l i3
ад- Каши , Джемшид ибн-Масуд (год рожд . неизв . -
ум . ок . 143 6 ) - математик 11 астроном XV n., раfiо
тавший на Самаркандской обсерватории Улугбu11а;
принимал участие в составлении Самарк андского авu:щ
ного каталога. -25, 26
.
Квадратура - взаимное расположение Земл н,
Соднца 11 одной из внешних планет (отстоящих uт
Солнца да.'Iьше Земли) , при котором направ;1ениu на
п.1анету составляет прямой угол с направлением на
Соонц е.- 43
Кеплер, Иоганн (1571-1630) - а встри йский аст ро
ном; установил три основных закона , 11 0 которым со
вершаются движений планет вокруг Солнца . -2U ,
32-35 , 38 , 125, 169, 184, 241
Кёртис, Хебер (1872- 1942) - аыерпканский аст ро
ном; утв ерждал, что многие туман ности являютен дuд u
ними зв ездными системами, подобными нашей Гад<Ш
ти ке. Это мнение было подтв ерждено в 1924 г. откры
тием Хаббла.- 20 7
К�шер, Джемс Эдуард (1857-190:З) - американ
ский астроном , и ссл едов атель сп ект ров планет , :�вuад
и туманностей ; изучал кольца Сатурна .-2 03
Клеро, Алексис Клод (1713-1765) - фра11цуз
с1шй математик; изучал движение тел солнечной сис
темы. - 184, 192
Ковальский, Мариан Ал ьбертови ч (1821-1884) 
русский астроном . Наиболее важные его работы 1юсвн
щены изучению движения :Jвсзд, строению Гала�;
тики и небесной механике .- 198, 199
Козерог - см . Зод иакальные созвездия .
Козырев, Николай Александров1111 (р. 1908) -
советский аст рофиаик , исследовател ь Луны и планет,
внутреннего ст роения зв езд . -56
249

СПРАВОЧНЫИ ОТДЕЛ
Кольца Сатурна- образование, окружающее пла
нету Сатурн и состоящее из бесчи сленного множества
мелких частиц, об ращающихся вок руг планеты по зако
нам Кеплера . Толщина Rолец меньше 15 км, попереч
ниR внешнего Rрая - 275 тыс. км.-96, 202, 203
Комаров, Владимир Михайлови ч (р. 1927) - совет
ский летчик-Rосмонавт, совершивш ий полет па трех
местном космич еском Rорабле « Восход», запущен ном
12 октября 1964 г. -166, 24 1
Комета Биэлы - Rомета, которая в XIX в. распа
лась на части и породила метеорный поток (см.), дав
nшй обит.ные зв ездные дожди . -1 04
Комета Галлея - первая комета, у которой была
определена орбита и для которой предсказано ее оче
редное появл ени е. Об ращается воRруг Солнца с перио
дом около 76 лет , очередное появление ожидается в
1986 г.- 37, 102
Комета Энке - комета с очень коротRИМ периодом
обращения вокруг Солнца (3 ,3 г ода ), причем этот пери
од постепенно уменьшается ; наблюдается с 1786 г.
На:1вана по имени немецкого астронома И. Ф . Энке
(1791 -1865) .-102, 105
Кометоискатель - специ альная астрономичесRая
труба для отыскания комет ; отличается большой свето
сил ой и дает большое поле зрения . - 10 2
Кометы - небесные тела, входящи е в состав сол
нечной системы ; имеют вид туманных пятнышек с ярким
с густном в цент ре - ядром . У ярких комет при прпб::� и
жспии R Солнцу появляется хвост в виде светящеися
пол осы . -1 00-107
Коперн ик, Нико.1
1
ай (1473-1543) - польский уче
ный ; оп роверг ложную геоцентрическую систему мира
Аристотеля- Птолемся , открыл действ ител ьное уст рой
ств о солнечной системы , в которой Земля - только ря
довая планета.-16, 27-30, 32, 35, 64 , 91, 184, 196, 241
Космический корабль (<Восток» - см. Гагарин Ю. А.
Космический корабль (<Восток-2•• - см. Титов Г. С.
Кос мический корабл ь (<Восток-3» - см. Нико-
лаев А. Г.
I\о смичесю1й корабль (<Восток·4>• - см. Попо
вич rr. Р.
Косм11•1еский корабль (<IJor тoк-5» - см. Быков
ский В. Ф.
Космический корабль (<Восток-6>• - см . Николае-
ва -Терешкова В. В.
Космический корабль (<Восход>•-см. !\омаров В. М.
Кос могоническая гипотеза Канта. -19 3
Космогоническая гипотеза Лапласа .-1 33- 134, 193
Космогон ическая гипотеза О. Ю. Шмидта .- 134 -137
Крабовидная туманность - туманность в созв ездии
Т сл 1.ца , об разовавшаяся в результате вспышки св ерх
новой звезды , которая наблюдалась в 1054 г.; явля ется
мощным источником радиоизлучения . -125
Красное смещение в спектрах галактик - смеще
ние линий в спектрах далеких галактик к красному
концу спект ра;
по всей вероятности , объясняется
принципом Доплера (см.) в связи с удалением галактик
от нас.- 132
Кры.�ов, Алексей Николаевич (186 3-1945) -
сов етсюш математик, механик и кораблест роитель.
Основные иссл едования - в области теории корабле
строения , строител ьной механики корабля, \!РТиллерии
и баллистики .-41
Кукарк11н, Борис Васильевич (р. 1909) - сов ет
ский астроном , исследов атель переменных звезд, строе
ния и развития звездных систем.- 56
Кулик, Леонид Алексеевич (1883 -1942) - совет
ский учены й; занимался изучением метеоритов , в осо-
250
бенности изучением обстоятел ьств падения Тунгус
ского метеорита .- 113
Кульминация светила - явление прохождения
светила через меридиан неб есный (см.) .-65
Лагранж, Жозеф Луи (173 6-1813) - француз
ский математик и механик.-184, 192
Ламберт, Иоганн Генрих (1728- 1 777) - немецкий
математик , физик и философ; утверждал, что наша
звездная система - одна из бесчисленных зв ездн ых
систем в бесконечной Вселенной. - 1 89, 190, 196
Лаплас, Пьер Симон (1 749- 1827) - французский
математик и астроном . Основные труды Лапласа посвя
щены разработке теории движения тел солнечной си
стемы на основ е закона всемирного тяготения . Разра
ботал гипотез у образования Солнца и планет (см. ) .-
133, 134, 184, 189, 192, 193
Лебедев, Петр Николаевич . (186 6-1912) - рус
ский физик ; точнейшими опытами доказал существо
вание давления света (см.) , что очень важно для аст ро
номии .- 106, 200
Лев - см. Зодиакальные созвездия .
Леверье, Урбен Жан Жозеф (181 1-1877) -
французский астроном . На основании его вычислени й
была в 1846 г. открыта планета Нептун .-41, 98, 101 , 24 1
Левкипп (п редположительно 500 -440 до н. э.) -
древнегреческий философ , один из основопол ожников
теории атомного ст роения материи . -21
Лейбниц, Готфрид Вил ьге льм (1646- 1716) -
немецкий матема тик и философ. - 36, 184
"
Лексель, Андрей Иванович (1740-1 784) - рус
сюш астроном ; исследовал движение кометы , полу
чившей впоследствии его имя ; доказал, что открытое
В. Гершелем новое небесное тело явля ется не кометой,
как это предполагалось, а планетой, названной
Ураном. - 189
Ливитт, Генриэтта (1868- 1921) - американский
астроном; установила зависимость между периодом
изменения блеска переменных звезд - цефеид и их
светимостью . Это отк рытие стало основой для опреде
л ения расстояний до далеких зв ездных систем . - 20 7 , 24 1
Л11ния перемены дат - вооб ражаемая линия на
земном шаре; проходит преимуществ енно в Тихом
океане по м ериди ану, имеющему долготу 180°, места
ми отклоняясь от него. Путешественники, направляю
щиеся с з апада на восток , пересекая эту линию , дважды
считают один и тот· ж е день, направляющиеся в обрат
ном направлении - пропуска ют один день. -1 58
Локьер, Джозеф Норман (1836-1920)- английски й
астрофизик , исслед ователь спектров Солнца и звезд.-
202, 241
Ломоносов, Михаил Ваrильеви ч (171 1-1765) -
русский ученый-энцикл опедист; был выдающимся астро
номом своей эпохи . Он отк рыл существование атмо
сферы у Венеры, создал новый тип телескопа, разрабо
тал ряд приборов и методов для нужд практической
астрономии; много сделал для изучения нашей ст раны
в астрономо-гсографическом отнош снии . - 17, 22, 91 ,
106, 116, 187-189, 193, 241
Луна - спутник Земли . Радиус се немногим бол ее
1 /4 земного; объем в 50 раз меньше объема Земли. Луна
всегда обращена к нам одной и той ж е стороной ; лише
иа атмосферы .-
67-75, 94, 95, 236
.Лундмарк, Кнут (1889-1958) - шведский астро
ном ; в 1920 г. опред елил расстояние до туманности

в Андромеде и установил , что она находится далеко
за пределами нашей Галактики . -207
Лунно-солнечный календарь - система календаря,
в которой была сдел ана попытка согласовать три есте
ств енные ед иницы времени - год (см .), месяц (см.)
и сутки (см.) . - 147
Лунное затме ние - небесное ·я вление, вызыв ае
мое тем , что Луна , обращаясь вокруг Земли, попадает
в тень , отб расываемую Земл ей, и становится невиди
мой.-87 , 88, 240
Лунные кратеры- горный хребет в виде правиль
ного кольца , ок ружающего ровную и гладкую пло
щадку; в центре этой площадки возвышается кониче
ская гора.-71
Лунные (<Моря>) - обши рные равнинные места на
Луне, совершенно не содержащие воды .-7 0
Лунные цирки - кольцевые горы на Луне, отл11-
чающиеся от кратеров тем, что не имеют центральной
горы . -71
Лунный календарь - система календа ря, основой ко
торого является лунный месяц (см.) .-147
м
Магелла новы Об лака (Большое и Малое) - бли
жайш11е к нашей Гадактнке звездные системы ; имеют
неправил ьную форму; расподожены в южном полуша
рии неба и в СССР не видны ; изобидуют гигантскими
и сверхгигантскими звездами, в част ности, в Магелла
новых Облаках об на ружены звезды (напр. ,
звезда
S Зодотой Рыбы) , излуча ющи е в миллион раз больше
света, чем Солнце. -1 30, 208
Магнитное поле Зем ли. -1 7 6
Максутов, Дмитрий Дмитриевич (1896-1964) -
советский оптик ; создал телескоп нового типа - мени
сnовый (см.) , обладающий исключител ьно высокими
опти ческими качествами . -48, 55, 219, 241
Малые пла неты, или астероиды - неб ольшие тела,
входящие в состав солнечной системы ; имеют в попе
речнике размеры от 800 км до 1-2 км и менее; движутся
вокруг Солнца по тем же законам, по которым об раща
ются и пла неты . Большинство малых планет движется
вокруг Солнца в прост ранств е между орбитами Марса
и Юпитера. Некоторые нз них (напр., Икар, Гермес)
имеют крайне вытянутые орбиты и иногда оказываются
ближе к Солнцу, чем Земля и даже Меркурий . -
100, 101 , 115, 237
Марс - четвертая по удал енности от Солнца пла
н ет а солнечной системы ; полный об орот вокруг Солн
ца совершает за оди н год и 11 месяцев . -20, 93-95,
100, 135, 229
Мартынов, Дм11тр11й Яковлеви ч (р. 1906) - совет
ский астроном , исследовател ь переменных звезд, меж
зв ездной среды и планет .-5 9
Межзвездная среда - разреженное вещество, за
пол няющее прост ранств о между звездами ; состоит из
газа и небол ьших тв ердых частиц (пыли) , по бол ьшей
части собранных в туманности . В межзвездную среду
входят те же химическ ие элементы , из которых состоят
С олнце и зв езды.- 126- 129
Межзвездное поглощение света - ослабление види
мого блеска далеких звезд, вызываемое облаками
тем1юй пылевой материи, заполняющими значител ь
ные об ласти межзвездного пространст ва. -1 97
Межпланетный газ - раз режениая газовая среда,
заполняющая · солнечную систему. - 175
СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
Менисковый телескоп - зеркально-линзовый теле
скоп ; оптическая система его состоит из сферическ ого
вогнутого зеркала и выпукло-вогнутой линзы - мени
ска; разработан д. Д. Максутовым .-48, 55, 219
Меридиан небесный - воображаемая линия на
небесной сфере, проходящая через полюсы мира и зе
нит места наблюдения ; пересекает JUtнию горизонта
в точках севера и юга . -64
Меркурий - ближайшая к Солнцу планета сол
нечной системы ; обращен к Солнцу всегда одной и той
же стороной.- 20, 89 , 94, 95, 101
Месье. Шарль (1 730- 1817) - фра нцузский астро
ном, исследов атель комет ; в 1784 г. составил первый
каталог туманностей и звездных скоплений .-1 25
Местл ин, Михаэль (1550- 1631) - австрийский ма
тематик и астроном, учит ел ь Кеплера , посл едов ател ь
системы Коперника. -32
Месяц - период времени, связанн ыii с об ращением
Луны вокруг Земли ; различают сидерический .или звеад
ный , месяц (период обращения Луны вокруг Земл и) ,
равный в среднем 27 суткам 7 часам 4:1 минутам
11 секундам, и синодический месяц (период смены лун
ных фаз) , равный в среднем 2.9 суткам 12 часам 44 ми
нутам 2 секундам. - 7 0, 147
Мета галактика - грандиозная совокупность от
дельных галактик и скоплений галактик . Пес
усматриваемые в самые мощные телескопы зв езд ные
системы составляют только часть Метагалакти кн,
границы которой пока остаются недоступными для
наблюдений. Но и Метагалактика - только ничтож
ная часть бесконечной Вселенной.-132
Метеоритные кратеры- углубления , нередко боЛJ,
шие, в земной поверхности , образовавшиеся от падения
гигантских метеоритов (см. Аризонский метеоритный
кратер) .- 1 12
Метеоритный дождь - выпадени е н а небольшоii
площади земной поверхности сразу большого числа
отдельных метеоритов , образовавшихся в результате
разрыва в воздухе одиого к рупного метеорита .-1 12
Метеориты - камни или куски железа, упав11111е
на Землю из межпланетного !1 РОСтранст ва . Метеориты
состоят ИЗ' тех же химических элементов , из которых
состоит Земля . -10 4, 110- 115
М етеорный поток - периодическ ое появление на
небе большого числа метеоров . Это объясняется встре
чей Земли с роем метеорных частиц. При некоторых
обстоятельствах Земля, пересекал орбиту метеорного
рол , попадает в наиболее плотную его часть, и тогда
наблюдается зв ездный дождь . -104, 108
Метеоры - небесные явления , получивши е п на
роде название «Падающие зв езды>> . Их появление свя
зано с тем, что в атмосферу Земли из межпланетного
пространства влетают мел ьчайшие тв ерды е частицы ,
сгорающи е в атмосфере . Очень яркие метеоры нааьшают
ся болидами (см.) . Наблюдения метеоров имеют боль
шое значение для изучения физического состоя ния
верхних слоев атмосферы. - 107 -1 10, 143
Метон (ок. 460 до н. э. - год смерти неизв. )
древнегреческий астроном и матеыати к; его работы 1r м е
ли в а жное зна ч е ние для построе ния кал ендаря.- 148
М11мас - спутник Сатурна .-23 8
Мира Кита - зв езда омикрон в созв ездии Кита,
названная Мира, что по-латыни значит «удивител ьная» ,
за изменения своего блеска; иногда она ста новится сра
внительно яркой звездой , 3-й звездной величины, а
иногда мож но ее видеть только в телескоп ы; дол го
периодич еская переменная , давшая название целому
классу переменных звезд ; красный сверхгигант .-
123
201

СПРАВОЧНЫИ ОТДЕЛ
Миранда - спутник Урана . - 238
Михайлов, А.ТJександр Александрович (р. 1888) -
совстсю1й астроном , а к адемик, с 1947 г. ди ректор
/lулковской обсерватории . -5 5, 85, 198
Мицар - средняя зв е;ща в ручке ковша созвездия
\l ольшой Медв едицы ; вместе с Алыюром (см.) об разует
двойную 3везду .-62, 120, 121
Мле•шый Путь - широкая св етящаяся полоса,
хорошо видимая на небе в темные осенние или зимни е
ночи; состоит из огромного множеств а звезд ; все
они входят в нашу звездную систему - Галанти
ку (см.) , одной из звезд которой явля ется Солнце. -
126, 129, 189
Мустел ь, Эвальд Рудол ьфови ч (р. 1911) - совет
ский астрофизи к, исследователь зв ездных атмосф ер,
новых и сверхновых звезд и СоJ1 нца . -5 5
11
Наблюден11я искусственных спутников Зем-
л11.-
225
Наб.1юдения комет.-2 30
Набл юдения Луны. - 22 9
Наблюдения метеоров.- 225 -227
Набл юдения переме'нных звезд -230, 231
Наблюден11я планет. -229, 230
Наблюдения полярн ых сияний. - 22 4
Наблюдения серебристых облаков. - 2 27 -229
Наблюдения солнечных затмений.-2 24 , 225
Набл юдения Солнца. - 22 3, 224
Народные обсерватории - любительские обсерва
тории, часто соорУ.жаемые методом народной ст рой
ки .-· 221
Насирэдд ин Туси, Мухаммед (1201-1274) - аз ер
байдж анский астроном и математик; основал обсер
ваторию в г. Мараге; составил очень важный для
своего времени каталог звезд . -2 4, 25
Небесная механика - раздел астрономии , посвя
щенный изучению движения небесных тел, и в пер
вую очередь тел , составляющих нашу солнечную
систему, на основе закона всеми рного тяготения .- 167,
18/i, 185
Небесный меридиан - см . Меридиан небесный.
Небесный экватор - см . Экватор небесный .
Неделя - промежуточная еди ница измерения вре-
мени между сутнами и месяцем ; возникла в древних
госуда рствах Востока. -1 50
Неймановы л1ш 11 11 - узор из тонких прямых ш1-
ний, появJiяющийся на протравл енных кислотой поверх-
1юстях некоторых железных метеоритов ; названы по
имени исследователя метеоритов немецкого ученого
Неймана.- 1 1 4
Непер, Джон (1 550- 1617) - шотландский мате
матик , и:юбретате.'lь логарифмов. - 1 84
Нептун - восьмая от Солнца планета солнечной
сист емы ; открыта в 1846 г. немецким астрономом Галле
на основаннп вычи слений Леверье. -98, 10 1, 199
Нере1ща - спутник Нептуна . - 2 38
Неуймин, Григорий Николаевич (1886-1946) -
советский астроном ; в 1944-1946 гг. - директор Пул
ковской обсерватории; открыл 63 малые планеты 11
7 комет.-ЮО , 198
Николаев, Андриян Григорье вич (р. 1929) -
советский летчик-космонавт ; на космич есном корабле
«Восток-3», заnущенном 11 августа 1962 г" совершил
за 94 часа 22 минуты полета более 64 об о ротов вокруг
Земш1 , пролетев около 2640 тыс . км . -1 8 , 164, 241
252
Н11 колаева-Тере шкова, Ва ленти на Влад11м11 ровна
(р. 1937) - первая в ми ре женщина, совершившая
космический полет; на космическом корабле «В осток-6 » ,
запущенном 16 июня 1963 г" за 71 час сделала 48 об о
ротов вокруг земного шара и пролетел а Оl\о ло
2 млн. км .-18, 166, 241
Н11колай К узансний (1401 -1464) - философ 11
ученый эпохи Воз рожден11я , высказавший мнение о
движении Земли и о том , что она не яв.'Iя ется центром
Всел енной . Кузанский был одним из предшеств енни
ков Коперника. - 2 7
Никонов, Влади11111р Бор11сович (р. 1905) - сов ет
ский астроном, исследоват ель цветов п спектров звезд,
конструктор ряда астроном11ческих приборов , один
из пионеров применения электронных приборов в астро
номии . -56
Новолу ние - см . Фазы Луны .
Новые звезды - звезды , излучение которых вне
запно увеличивается в тысячи раз , а затем медленно
уменьшается . Иногда в нашей и в других гала ,.;ти
ках наблюдаются вспышки сверх новых зв езд . При
такпх вспышках зв езды излучают свет в м11л.1ио·
ны п сотни миллионов раз интенс ивнее, ' чем Солнце.
Причины таких вспышек наукой полностью еще не выяс
нены.- 124, 125
Ньют он, Исаак ( 1643 -172 7 ) - английский мате
матик, физик, астроном ; отк рыл за кон всеми рного
тя готени я, впервые объя снил п ричи ну явлений при
ливов и отливов.-27, 35-41, 67, 143, 167, 169,
184, 241
о
Оберов - спутник Урана . -238
Обратн ая сторона Луны. -7 3, 163
Обсерватор11и астроном11ческие - см . Астрономи
ческие обсерватории .
Объектив - оптическая система , состоящая из
одной или нескол ью1х линз , с помощью которой
можно получить увеличенное изоб ражение предмета .
Используется
в
телескопах- рефракторах .
-
46,
214, 215
Ове н - см . Зоди акальные созвездия .
Окуляр - часть тел еск оп а; служит для рассмат
ривания изображения , образуемого объективом ; со
стоит обычно из нескольких линз . -46, 215, 216
Ольберс , Генрих Вил ьгельм (1758- 1840) - немец
кий астроном, исследователь комет и малых пла
нет ; высказал гипотезу о происхождении ма.1ых
планет в результате разрыва большой пла неты ,
располагавшейся между орбитами Марса и Юпите
ра. -194
Оорт, Ян Хендрик (р. 1900) -гол ландский астро
ном; в 1927 г. ок ончател ьно доказал вращение нашей
зв ездной системы --: Галактики - вокруг ее цент раль
ного зв ездного сгущения (ядра ГаЛактики) . -1()7 ,
125, 24 1
Орлов, Александр Яковлевич (1880 -1954) - совет
ский астроном; основные его работы относятся к Hl'ti ec
нoй механике, исследованиям силы тяжести и дв 11же
ния ·полюсов Земли (см .) . -59
Орлов, Сергей Владимирович (1880- 1 958) - совет
ский астроном ; исследовал физическую при роду комет ,
их происхождение и связь с малыми планетами и метео
рами .-58, 104
Ос ь мира - вооб ражаемая прямая линия , вокруг
которой происходит видимое суточное вращение неба.
Она параллельна оси вращения Земли.-64

п
Павильон те лескопа .- 220, 221
Паллада - вторая по размерам малая планета ,
отк рытая Ольберсом (см .) в 1802 г.- '/00, 237
Паллас, Петр Симон (1741 -1811) - русский есте
ствоиспытател ь, привез в Петербург найденный в Си
бири метеорит , получивший название «Палласово желе
зо».- 110
Параллакс звездный, или годи чный - угол , под
Rоторым с той или иной звезды был бы виден радиус
земной орбиты (149 500 тыс . км) . Расстояние, на кото
ром этот угол равен одной секунде (приблизител ьно
31 триллион км) , называется парсеком и является ме
рой расстояний до далеких глубин Вселенной . П ар
сек раве н 3,26 светов ых лет.- 193
Паренаrо, Павел Петрович (1906-1960) - сов ет
ский астроном , выполнил ряд важных исследований
строения Галактики , переменных звезд, динамики
зв езд ных систем, провел компл ексное исследов ание
области туманности в созв ездии Ориона. - 56
Парсонс (лорд Росс), Вильям (1800- 1867)
английский астроном , пост роивший в 1845 г. гигантский
по тому времени рефлектор , с диаметром зеркала 182 см ,
и исследовавший при его помощи многи е внегалакти
ческие туманности . -1 85, 206
Пегас - созв ездие, располож енное в северном по
лушарии неба; видимо в· конце лета, осенью и ранней
зимой.-63
Пепельный свет - слабое св ечение не освещенной
непосредств енно Солнцем части лунного диска; объяе
няется освещением Луны солнечным св етом , отражен
н ым от поверхности Земли . -69, 92
Первая космическая скорость - скорость тела
вблизи поверхности Земли, достиж ени е которой позво
ляет ему превратиться в искусственный спутник с кру
говой орбитой; равна 7,9 км/сек. - 1 6 8 , 172
Первая советская космическая ракета ((<Мечта»
пли (с Луна-1») - запущена 2 января 1959 г., прошла
на расстоянии 5-6 тыс . км от Луны и превратилась
в искусств енную планету; при запуске ее впервые
в истории человечества была превыш ена вторая кос
мическая скорость (см.) .- 68, 161, 168, 176
Первый групповой полет в космос - совершен лет
чик ами-космонавтами Советского Союза А. Г. Николае
вым и П. Р . Поповичем 11-15 августа 1962 г.- 1 64, 241
Первый советский искусственный спутник Землп
запущен 4 октября 1957 г.
- 159
Переменные звезды - зв езды , блеск которых со
временем меня ется . В зависимости от характера это
го изменения и прюшн, его вызыв ающих, они под
разделяются на различные типы (см . Цефеиды ,
Затменные переменные зв езды , Новые звезды) .- 1 22,
123, 230, 231
Пер11оди ч ность солнечной актнвности. - 81
Персей - созв езди е, расположенное в северном
по.1уша рии неба; видимо почти весь год, кроме поздней
весны . В него входит переменная звезда Алголь (см.) . -
62, 63
Пиацци, Джузеппе (1 746- 1826) - итальянский
астроном ; отк рыл первую малую планету - Цереру. -
99,241
Пикар, Жан (1620- 1 682) - французский астроном;
измери.1 дугу земного меридиана между Парижем
и Амьеном , что позволило более точно определить раз
меры Земли. - 3 9
Пикеринr, Эдуард (1846- 1919) - американский
астроном ; занимался исследованием переменных звезд.
СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
Ему принадлежит также принятая всеми астронома�ш
'Кл ассификация спектров звезд. - 20 3, 204
Пифагор (ок. 580 до н. э.-500 до н. э.) -
древ негреческий математик и философ.- 2 1
(сП.1анетарий»- проекционный аппарат, с помощью
которого воспроизводят картины звездного неба и дви
жения неб есных тел . Планетариями назыв аются также
научно-просв етит ел ьные учреждения, в которых уста
навлив аются аппараты «Планетарий» и ведется работа
по расп ространению астрономических знаний среди
насел ения . -232-235
Планетарные туманности - туманности кругл ой
формы , видимые в телескоп в виде маленьких диск ов ,
напоминающих диск планеты ; иногда имеют вид кош.ца
с яркой звездой в центре; состоят из очень разрежен
ного газа . Внутри такой ·г азовой туманности всегда
ест ь горячая зв езда .-128
Планеты - небесны е тела, входящи е в состав
солнечной системы и, несомненно, имеющиеся в систе
мах других звезд; имеют шарообразную форму . План!'
ты солнечной системы светят отраженным от их поверх
ности солнечным св етом .-88 - 101
Плеяды - звездное скоплени е; относится к типу
рассеянных скоплений; расположено в созв ездии Тель
ца. -1 25. 127
Плутон - девятая и самая далекая от Солнца пла
нета солнечной системы ; отк рыт в 1930 г. астрономом
Томбо (США) . -98, 99, 135
Поверхность Луны . - 70 -75
(сПолет- 1»� маневрирующий космический а ппарат,
запущенный в Советском Союзе 1 ноября HJti3 r.- 1 66
(с Полет-2>)- м аневрирующий космический а ппарат,
запущенный в Советском Союзе 12 а преля 1 964 г. - 166
Полнолуние - см . Фазы Луны .
Полюс мира - пересечени е воображаемой оси
мира с воображаемой небесной сферой . Северный полюс
находится в созв ездии Малая Медв ед ица , вблизи Поляр
ной звезды , Южный полюс - в созв ездии Октанта .- 64
Полярная звезда - самая яркая звезда в созв ездии
Малой Медв едицы. Названа Полярной, так как распо
ложена вблизи северного полюса мира . По бл еску отно
сится к звездам 2-й звездной · величин ы.- 6 1 , 64
Полярные сияния - электрическое свечеиие неба
ночью , происходящее чаще всего в полярных областях
Земл и. -22 4
Пстович, Павел Рома нович (р. 1930) - сов етский
л етчик-космонавт ; на космическом корабле «Восток-4»,
запущенном 12 августа 1962 г., сов ершил за 70 часов
57 минут более 48 об о ротов вокруг Земли и прол етел
около 1980 тыс. км.-18, 164, 241
Прикладной час - величина , выражаемая в часах
и минутах и характеризующая среднее запаздыв ание
наивысшего уровня прилива относител ьно кульмина
ции (см .) Луны . -42
Приливы и отл ивы - периодическое наступ ание
и отступание воды у берегов океанов . Вызыв аются дей
ствием притяжения Луны и Солнца на Землю .- 41-44 ,
143
Принцип Доплера - изменение частоты колебаний
или длины волны при движеюш источни ка этих коле
баний: относител ьно наблюдателя; выдвинут австрий
ским физиком Христианом Допл ером (1803-1853)
в 1842 г.; по отношению к свету доказан в лаборатор
ных условиях А. А. Белопольским (см.); в астрономии
используется для определения скоростей звезд и га
,1 актик по лучу зрения и для исследования вращения
небесных тел.- 20 2, 203
Проблема жизни на Марсе. -94-95
Происхождение звезд. -138
208

СПРАВОЧНЫИ ОТДЕЛ
Происхождение комет. - 107
Происхождение метеоритов. - 115
Проис хождение солнечной системы. - 132 -138
Противостояние Марса - положение Марса на
орбите, когда он и Земля находятся по одну сторону
от Сол нца и приблизительно на одной прямой линии .
EcJIИ противостояние сл учится в тот момент , когда это
расстояние наименьшее (55,5 мл н. к.1<) , то его называют
великим; оно создает наиболее благоприятные условия
для наблюдения Марса . Великие противостояния
повторяются через каждые 15-17 лет. - 93
Протуберанцы - громадные выступы причудли
вой и иногда быст ро изменяющейся формы в солнечной
атмосфере; состоят из раскаленных газов . - 8 1
Прохожден11е Венеры по диску Солнца.-91
Процион - самая яркая зв езда в созвездии Малого
П са. Зв езда эта дв ойная, имеет спутника, являющего-
ся белым карликом.-1 95, 238
Птолемей, Клавд11й - древнегреческий аст роном,
работавший в Александрии во П в. н . э. ; разработал гео
центрическую систему мира, господств ов авшую в науке
вплоть до великого открытия 1\оперника, опублико
ванного в его книге в 1543 г. -23, 24, 27, 241 '
Пулковская обсерватория - главная астрономи
ческая обсерватория Академии наук СССР; одна из
крупнейших обсерваторий мира - «астрономическая
столица мира» , как ее называли; открыта в 1839 г. -
17, 55, 196, 198, 241
р
Радиант - точк а на небесной сфере, откуда (как
представляется для наблюдателя с Земли) вылетают
м етеоры при встрече Земли с метеорным пото ком . -1 08
Радиационные пояса Земли - пояса заряженных
частиц, окружающи х Землю ; отк рыты с помощью искус
ств енных спутников Земли и космических раkет.-
175, 176
Радиоастрономия - новый метод исследования не
бесных тел и глубин Вселенной, о снованный на изуче
нии радиоволн, приходящих на Землю из мирового
прост ранст ва. -5 3
Радиоизлучение галактик. -132
Радиолокация Луны и планет - метод исследова
ния , при котором к этим небесным телам направляется
узкий пучок коротких радиоволн; отраженные ими
радиолучи регистрируются , и по ним можно определять
расстояния , а также устанавливать некоторые физиче
ские свойств а Луны и планет ; уже проведены радиоло
кации Ji уны, Меркурия, Венеры , Марса и Юпитера. -
54, 92
Радиолокация метеоров - метод иссл едов ания ме
теоров , аналогичный радиолокации Л уны и планет;
этот метод позволяет изучать метеоры в любое
время суток, независимо от погоды .-54, 109
Радиотелескопы - приборы для иссл едов ания кос
мического радиоизлучения ; представляют собой радио
приемник чрезвычайно высокой чувствительности , при
соеди ненный к а нтенне, при нимающей излучение. Ан
тенны радиотел ескопов по назначению сходны с зерка
лами рефлекторов и иногда достигают гигантских раз
меров ; например, подвижная антенна исследов атель
ской ста нции в Джодрелл Бэнк (Англия) представляет
собой металлическое зеркало поперечником в 76 м. -
52, 53
Райт, Томас (1711-1786) - английский астро
ном; высказал свои идеи о строении нашей зв езд
ной сист емы .-1 89
2о4
Рак - см . Зодиакальные созвездия .
Расстоянпя до звезд. -4 5
Ре гмагл�шты - углубления на поверхности метео
рита , об разующиеся в результате воздействия на него
атмосферы .- 1 10
Рессел, Генри Норрис (1877-1957) - американ
ский астроном; автор ряда важных иссл едований по
астрофизике, звездной астрономии , космогонии ; окон
чательно установил зависимость между св етимостью
зв езд и их спектральным классом . - 204 , 205
Рефлектор - телеск оп, в котором изоб раж ения
неб есных светил получаются с помощью отражения
от вогнутого зеркала .-4 7, 48, 188, 189 , 217
Реформа календаря (проект) .- 153
Рефрантор - телескоп , в котором изображения
небесных светил получают с помощью линзового объ
ектива, создающего изображение, которое может быть
расс11
1
отрено глазом в окуля р или сфотографировано .
В последнем случае рефрактор называют астрографом . -
48, 215
Рея - спутник Сатурна . - 2 38
Р11гель - самая яркая звезда в созв ездии Ориона,
нулевой звездной величины , белого цвета; по св етиыо
сти сверхгигант: ее светимость в 23 тыс . раз превосхо
дит светимость Солнца . -238
Рыбы - см . Зодиакальные созвездия .
с
Сарос - период повторяемости солнечных и.лун
ных затмений (по-д ревнеегипетски «Сарос» означает
«П овторение») ; равен 18 годам и 11 дням (либо 1 0 дням,
если за это время было 5 високосных лет) ; был известен
еще астрономам древ ности . -85, 88
Сату рн - шестая по расстоя нию от Солнца планета
солнечной системы ; имеет девять спутников , наиболь
ший из них - Титан.- 20, 96-97, 101 , 135, 229
Све рхновые звезды - см . Новые звезды .
Свет имость звезд - величин а, принятая в астро
номии для выражения мощности излучения зв езды
в сравнении с излучением Солнца . П о своей св ети
мости зв езды разделяются на гиганты и карлики . Ги
ганты излучают свет в сотни и даже тысячи раз силь
нее Солнца . Есть зв езды-св ерхгиганты, и злучающи е
свет. в десятки и сотни тысяч раз интенсивнее, чем Солн
це. Звезды-карлики излучают свет как Солнце или
во много раз слабее его.- 117
Световой год - единица. расстояния В· астрономии ;
обозначает расстояние, которое свет, расп рост раняясь
со скоростью 300 тыс . км/сек, проходит за оди н год. Све
товой год равен 63 290 астрономическим еди ницам,
или 9,5 триллиона километров .-238
Северный, Андрей Борисович (р. 1913) - советский
астроном ; основные его работы посвящены физике
Солнца и внутреннему строению зв езд ; директор 1\рым
ской астрофизической обсерватории Академии наук
СССР.-55
Секки, Анджело (1818- 1878)- итальянский астро
ном; одним из первых изучал спектры звезд, Солнца
и планет .-20 2 , 204
Серебристые облака - об лака,
наблюдающиеся
летом во время сумерек и плавающи е в атмосфере на
высоте 80-85 км; оч ень н еплотны е (сквоз ь них видны
зв езды) и изменчивые; по всей вероятности, состоят
и з ледяных кристалликов . - 2 27
Сигналы времени - передаются по радио для про
верки часов; помимо специальных сигналов , переда-

ваемых для проверки очень то•шых часuв , каждый час
передаются широковещательные сигналы - шесть то
чек (з аключитеJ1 ьная точка дается ровно в цел ое число
часов , нуль минут , нуль секунд с точностью до сотых
долей секунды) .-52, 140, 141
Сизигии - новолуние и полнолуние. - 43
Синодический месяц - см . Месяц .
Сидерический (11ли звездный ) месяц - см . Месяц .
Сириус - самая яркая по видимому бле ску звезда
неба; имеет спутник а, являющегося белым карликом.-
35, 61, 117, 121, 148, 149, 195
С11стема м11 ра Коперника - см . Гелиоцентрическая
система мира .
Система мира Птоле мея - см . Геоцент рическая
система мира .
Сихотэ-Алинский метеорит - железный метеорит,
упавший 12 февраля 1947 г. в районе горного хребта
Сихотэ-Алинь на Дальнем Восток е; собрано около
23 Т веществ а этого метеорита .-112, 113
Скиапарелли, Джова нни В11 рдж11н110 (1 835- 1910)
итальянский астроном , исследователь комет , метеоров
и ш1 анет ; широко изв естны е го наблюдения планеты
:Марс, на которой он отк рыл сеть тонких прямых ли
НIIЙ , названных им каналами .-1 04, 108
Скорпион - см . Зодиакальные созвездия.
Сл�·жба времени - работы , связ анные с определе
нием точного времени путем астрономических наблю
дений, хра нением времени с помощью точных астроно
мических часов и сообщением времени посредством
радиосигналов .-52, 140, 141
Служба движения полюсов -· сеть широтных стан
ций , следящих за перемещениями полюсов по земной
поверхности .-140
Снеллиус, Виллеброрд (1580-1626) - голландский
математик и астроном ; создал способы измерения дуги
меридиана, применяемые и теперь. - 39
Созвездия - участки, на которые разделяют звезд
ное небо по фигурам , об разуемым яркими звездами .
Всего насчитыва ется 88 созв ездий; ими пользуются для
ориентировки на зв ездном небе. При надлежност ь з везд
к одному созвездию - это их «Видимая» , или перспеl\
тивная , близость. На самом деле звезды , причисляемые
к одному созвездию, находятся на самых различных
расстояниях от нас. -6 1 -63
Солнечная корона - самая внешняя часть атмо
сферы СоJJнца . Во время полных соJJнечных затмений
корона наблюдается в виде серебристо-жемчужного
сияния , окружающего закрытый Луной диск Солнца. -
78, 79, 86
Солнечная система, или планетная систе ма- сово
купность небесных тел - планет , астероидов , комет
и т. д., об ращающи хся вок руг Солнца под действием
силы его тяготения . -67-115
Солнечное затмение - небесное явление, обуслов
ленное тем, что Луна, обращаясь вокруг Земли,
проходит между нею и Со.Лнцем и закрывает собой сол
нечный диск . Затмения бывают полные, кольцеобр аз
ные и частные. -8 2 -87 , 239
Солнечные пятна - предст авляют соб ой воронко
образные об ласти более хол одных газов на поверхно
сти Солнца, находящихся под действием магнитных
си.'!. Число пятен в году меняется . Наименьшее чис
ло пятен бывает приблизител ьно через кажды е 11
лет.-79 , 80
Сол нечные установки - сооружения , испол ьзую
щие непосредств енно солнечную энергию ДJJя нужд
на родного хозяйства. -143
СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
Со.'!нечный календарь - система календаря , в ос
нову которой кладется нродолжит еш "ность соJшечного
года , в настоящее время действ ует в большинств е ст ран
земного шара.- 1 49
Солнце - ближайшая к нам звезда , централ r. ное
тело нашей солнечной системы ; отстоит от Земли на
расстоя нии 149,5 мл н. км . (По последним радиолока
цион ным данным 149 599 ООО ± 500 км. ) -50, 75-81 , 117,
119, 121, 133- 136, 138, 143, 185, 202 , 203
Спектральная классификация звезд.-2 04
Спектрально-двойные звезды - тесные пары зв езд ,
которые нельзя увидеть раздельно при помощ и совре
менных оптических средств ; двойств енность их обнару
живается по периодическим смещениям линий в их
спектрах .-121 , 204
Спектральный анализ - метод в астрофизике, по
зволяющий изучать химический состав светил с по
мощью иссл едования их спектров .- 50, 118, 143, 184
Спектроскоп - прибор для визуального изу•юния
спектров .-50
Спиральные галактию�.- 1 31
Спутник Сириуса - белый карлик (см .) . - 119
Спутники планет - небесные тела, об ращающи еся
воnруг планет под действием силы их тяготения ; све
тят отраженным от их поверхности солнечным светом .
Спутником Земли является Луна. -95 -98, 238
Ста ндартный коронограф - прибор для фотогра
фирования солнечной короны во время полных солнеч
ных затмений . -8 6
<.:тре лец - см . Зодиакальные созв ездия .
Струве, Василий Яковлеви ч (1 793-1864) - рус··
ский астроном, основатель и первый директор Пул
ковской об серватории ;
исследовал двойные зв еады
и заложил основы сов ременных представлений о строе
нии нашей зв ездной системы - Галактики . -1 6, 29,
45, 195-199 , 24 1
Струве , Отто Васил ьеви ч (1819-1905) -русский аст
роном, сын В. Я. Струв е; исследовал двойные зв езды ,
измерил параллаксы некоторых звезд , наблюдал шr а 
неты , их спутники, кометы и туманности. - 1 9 7, 198
Струве , Отто Людв11го8ич (189 7-1963) - амери
канский астроном, правнук В. Я. Струве; известен
своими работами в области изучения спектров звезд
и эволюции неб есных тел ; совместно с Г. А. Шайном
(см .) открыл вращение зв езд.-197, 209 , 24 1
'Су бботи н, Михаил Федорович (р. 1893) -советский
астроном, директор Институт а теоретической астро
номии Академии наук СССР, автор многих исследований
по небесной мех анике. -56
Сутки - еди ница измерения времени , равная не
риоду вращения Земли вокруг своей оси .-145 -147
Суточное вращение неба - кажущееся вращение
неба вокруг полюса мира . В действительности вращает
ся Земля вокруг своей оси , а наблюдателю на Земле
кажется , что перемещаются звезды на небе.-
63, 64
т
Тектиты - стекловидные образования, находимые
в почве в разных местах земного шара.Некоторые иссле
дователи относят их к особому типу стеклянных метео
ритов , однако при рода тектитов окончател ьно еще не
установлена .- 114
Телескоп - инструмент с оптическим устройством
для наблюдений небесных светил . -4 6-48, 188, 189 ,
214-222
Телескоп самодельный. -2 1 6-219
266

СПРАВОЧНЫП ОТДЕЛ
Телеекоп школьн ый. - 214 -216, 219
Теле 11 - см . Зоди акал ы1ы е со;_�вездия.
Температ�·ры :ше:щ.-
118
Температуры на Луне. -75
Терм11 Натор - линия , отделяющая на Луне (или
планете) осв ещt•нную частr, от неосвещенноi�. -6 9
Теф11 я (11на•1е-Фет11да) - спутник Сатурна . -238
Титан - самыii бол ьшой из спутников Сатурна ,
по размерам примерно равный Меркурию . На Титане
обна ружена атмосф ера . -97 , 238
Т11тан ия - спутник Урана. - 23 8
Титов, Герман Сте па нови ч (р. 1935) - советский
летчик-к осмонавт ; на космическом корабле «Восток-2 »,
зан ущенном 6 ав густа 1961 г., в течение 25 часов
18минут совершил 17 об оротов вокруг Земли и пролетел
свыше 700 тыс. км .-18, 92, 164, 241
Тихо Браге
(1546- 1601) - датский астроном-
11аliлюдатеJ1ь; в своих исследованиях достиг наиболь
шей точности , которую можно было получить без
теJiескопов . Его наблюдения использовал Кеплер для
установления законов движения планет. - 33, 125
Тихон, Гаврш�л Адр11анович (1875-1 960) - совет
ски й астрофизик ; изв естен своими исследованиями п'1 а
неты Марс и цвета небесных светил .- 58
Тр11ектор1ш коем11 ческих полетов. -171
Тра нсплутон - планета з а орбитой Плутона , суще
ствование которой 11ре,1 полагают некоторые ученые. - 98
Трет11й советс кий 11скусственный спутник Земли
:�апущен 15 мая 1958 г.; представлял собой ц елую
I<осмическую лабораторию, с помощью которой были
получены важные сведения о верхних слоях атмосферы ,
метеорных телах; магнитном поле Земли и др .; про
существовал 691 сутки , совершив 1 0 0:37 об оротов вокруг
Земли. - 160
·
Третья советская коем 11ческая ракета (�<Луна-3»)
вывела 4 октяб ря 1959 г. на зада нную орбиту автома
тическую межпланетную станцию, которая облетел а
Луну и сфотографи ровала ее обратную ст орону. Полу
ченные изображения с помощью телевизионной системы
были переданы на Землю.-68, 73, 162, 163, 170, 241
Тритон - спутник Нептуна , один из крупнейших
спутников в солнечной системе . -9 8, 238
Тунгусский метеорит - космическое тело, вторг
шееся в атмосферу Земли 30 июня 1908 г. и взорвав 
шееся на некоторой высоте над земной поверхность ю
в сибирской тайге, в районе р. Подкаменная Тунгуска .
Полагают, что это было столкновение Земли с ядром
небольшой кометы.- 113, 114
Увел ичение телескопа. -215, 216
Улугбек, Мухаммед (1394-1449) - правитель
Самарканда , узбекский астроном и математик; пост роил
в Самарканде замечательную обсерваторию; совместно
с другими выдающимися астрономами того времени со
ставил зв ездный каталог и таблицы движ ения планет,
наиболее точные для своей эпохи .- 25, 26, 47
Умбриэль - спутник Урана.-23 8
Умов, Н11колай Алексеев11ч (184 6-1915) - рус
ский физик ; пров ел важные исследов ания земного маг
нетизма , электричеств а, диффузии водных растворов
и оптики мутных сред; перв ым высказал мысл ь, что
цеф еиды - пульсирующи е зв езды . -20 2
Уран - седьмая по расстоянию от Солнца планета
солнечной системы ; отк рыт в 1781 г. В. Гершелем; имеет
пять спутников .-98, 99, 134, НЮ
256
Фа3ы Лун ы - различные формы видимой часп1
Луны . Различают четы ре ос новные фазы: новоJJунне
Jl уна невидима ; первая четверть - видна поJJовина
лунного ди ска; полНоJJуние - диск Луны освещен по,1 -
ностью ; посл едняя четв ерть - видна опять nоJiовнна
диска Jl уны. - 68-70, 146
Факел ы - более яркие, чем ок ружающая фото
сфера , участки на СоJ1нце.- 8О
Фалес (конец VII-начало \' 1 в. до н. э .) - древ
негреческий ученый ; сделал ряд открытий в арифметик е,
геометрии и астрономии ; впервые предс казаJ1 солнечное
затмение 585 г. до н. э.-21 , 241
Феокт11стов, Константин Петрович (р. 1926) - со
ветс ю1 й летчик-космонавт, совершивший полет на
трехместном корабле «Восход», зап уще нном 12 октяб
ря 1964 г. -166, 24 1
Фесеююв, Вас илий Григорьев11ч (р. 1889) - совет
ский астр оном, автор важных иссJi едов аний Jio разным
вопросам астрофизики , в том числе и по пробJiемам
происхождения и эволюции небесных тел .- 58, 135,
137, 138
Флоренский, Кирилл Павлови ч (р. 1915) - совет
ский геохимик, руков одитель трех экспедиций, иссл едо
вавших место падения Тунгусского метеорита . -114
Фобос - спутник Марса . - 95, 238
Фогель, Герман Карл (1 842- 1907) - немецкий
астроном ; известен иссл едо13 аниями спектров звезд ,
разработкой спектральной классификации и примене
нием фотографии в 11строномии . -20 2, 204
Фотограф11роваю1е зве3д .-49
Фотосфера Солн11а-видимая поверхность Солнца .-
78
х
Хаббл, Эдви н (1889- 1 953) - американский астро
ном ; впервые в 1924 г. установил , что дал еки е туман 
ности , в частности туманность в Андромеде, являются
звездными системами , равноправными с нашей Галакти
кой. Тем самым было доказано, что наша зв езд ная сис
тема - не еди нственная во Вселенной .- 20 6 -208, 24 1
Хайям, Омар (ок . 1 040 -1123) - среднеазиатский
поат, математик и философ , автор интересной системы
календаря.-24, 25, 26
Харадзе, Евгений Кир11ллов11 ч (р. 1907) - совет
ский астроном, академик АН Грузинской ССР, директор
Абастуманской астрофизической обсерватории . -56
Хвосты комет -101 , 103, 104, 106, 107, 200 , 201
Хёгrинс, Вильям (1824-1910) - английский астро
физик; оди н из первых изучал спектры звезд. -202
Хладю1, Эрнст Флоренс Фр11др11х (1756-1827) 
чешский уч еный; впервые показал , что метеориты
имеют внеземное (космическое) происхождение. - 1 10
Хондры - округлые зерна , встречающиеся в ка
менных метеоритах (от греческого « Хондрос» - зерно) . -
114
ал-Хорезм и, Мухаммед бен-Муса (01с 780-ок .
850) - среднеазиатский математик и астроном. Астроно
мические работы его посвящены со.qнечным часам,
измерительным приборам, астрономическ им таблицам .
Автор иаиест ноrо в свое время руководства по ал геб
ре. -24, 26
Хромосфера - нижние слои атмосферы Солнца,
непосредственно примыкающи е к фотосфере (см.);
простираются до высоты 15 тыс . км над ф()тосферой . -
78, 86

ц
Це рас кая, Лидия Петровна (1855- 1931) - первая
женщина-астроном в России ; работая на Московской
обсерватории , открыла 219 переменных звезд .- 204
Церас кий, Вит о льд Ка рлови ч (1849- 1925) - рус
ский астрофизик .-20 1 , 204
Це рера - первая по времени открытия и самая
крупная из малых планет ; 01 .крыта италья нс1шм астро
номом Пиацци в 1801 г. - 99, 100, 237
Цесевич, Владимир Платонович (р. 1907) - совет
ский астрофизик, иссл ед ователь переменных зв езд .-59
Цефеиды - разновидность переменных зв езд . Все
цефеиды являются звездами-гигантами и сверхгиганта
ми . И зменение блеска у них происходит строго периоди
ч ески . Открытие зависимости между периодом изменения
блеска у цефеид и их светимостью имело выдающее
ся значение. Оно дало возможность определить расстоя
ния до очень далеких зв ездных систем, если в них
имеются цефеиды.- 123, 126, 202, 207
Цефей - созв ездие, расположенное вблизи север
ного полюса ми ра, а поэтому видимое у нас круглый
год . В нем находится переменная звезда дельта Цефея.-
62, 63, 65
Циолковский, Константи н Эдуардови ч (1857-
1935) - русский ученый, основоположник космонав
тики , сделал ряд крупных открытий в области ракет
ной техники и теории межпланетных сообщений . -159
ч
Часы - прибор для хранения и измерения време
ни . Часы бывают солнечны е, маятник овые, механиче
ски е, кварцевые, атомные и др.
-51
Числа Вольфа - одна из характеристик сол нечной
активности ; число Вольфа равно )'десятеренному числу
групп пятен, наблюдающихся в данное время на диске
Солнца , плюс общее число пятен. -2 24
m
Шайн, Григорий Абрамович (1892-1956) - совет
ский астрофизик. Его основные труды посвящены изу
ч е нию спектров звезд и структуры диффузных туманно
стей. Установил совместно с американским астрономом
О. Струве вращат ельное движение звезд. -56, 208-
210, 24 1
Ша ровые скопле ния - см ; Зв ездны е скопл ения .
Шварц шильд, Карл (1873-1916) - немецкий
астроном; провел важные исследования в области звезд
ной астрономии и теоретической астрофизики , разра
ботал теорию зв ездных атмосфер . -2 05, 206
Шварцшильд, Мартин - американский астро
вом, сын Карла Шварцшил ьда . Основные его работы
посвящены теории внутреннего строения звезд. -20 6
Шепард, Аллан - американский космонавт , со
вершивший кратков ременный (15 мин ут) полет в кос
мос 5 мая 1961 г.
-1 65
Ширра , Уолтер - американский космонавт , совер
шивший космич еский полет 3 октяб ря 1962 г.; за 9 часов
13 минут сделал 6 оборотов вокруг Земли . -166, 241
Шкловский, Иосиф Самуилович (р. 1916) - совет
ский астрофизик , провел в а жные радиоастрономиче-
•17Д.э.т.2
СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
ские иссл едов ания , иссл едов ания солнечной коровы ,
межзв ездной средЬl: и др.
-56
Шмидт, Отrо Юльевич (1891 -1956) - советский
ученый, академик; разработал гипотезу образования
Земли и планет из холодных пылинок и газов , окру
жавших в свое время Солнце. - 134-137
Шретер, Иоганн (1 745- 1816) - немецкий люби
тель астрономии , ставший одним из крупных астроно
мов своего времени . Основные и ссл едования посвяще
ны планетам: Меркурию , Венере, Марсу. - 194
Штернберг, Павел Карлови ч (1865-1 920) - астроном
и революционный деятель; работал во многих областях
астрономии , активный участник Великой Октябрьской
социалистической революции и гражданской войны.-
210-21 2
_
эддинrтон, Артур Стэнли (1882- 1 944) - англ ий
скии астроном ; его исследования посвящены главным
об разом изучению движ ения зв езд .их внутреннего стро
ения , теории относител ьности . -205, 206
Эй.1ер, Леонард (1707-1783) - математик , ме ханик
и физик, работавший более 30 лет в Петербургской
ак адемии наук . Многие его труды посвящены исследо
ванию движения тел солнечной системы. -184, 192
Экватор небесн ый- вооб ражаемая линия на небес
ной сфере, об разованная пересечением с небесной сфе
рой плоскости , перпендикулярной к оси мира. -65
Экваториальная установка телескопа - установ
ка; позволяющая осуществлять вращение телескопа
вокруг двух осей: оси , параллельной оси мира (поляр
ная ось) , и оси , параллельной плоскости небесного
экватора (ось склонения) .- 2 15
Эклиптика - большой круг небесной сферы , по
которому происходит движение Солнца среди звезд.-
67
Эллиптические галакти ки. -131
Энцелад - спутник Сатурна . - 23 8
Эратосфен (ок . 276- 194 гг. до н. э.) - древнегре
ческий ученый ; первым определил размеры земного
шара , заложил основы математической географии ; в
математике изучал простые числа . -2 2, 24, 241
Эрос - малая планета неправил ьной формы, иног
да приближающаяся к Земл е на расстояние 23 млн. км ;
вабЛюдения Эроса во время такого приближения в 1931 г.
позволили с большой точностью установить величину
астрономической единицы (см.) . - 237
ю
Юлианский календарь (старый стиль) - солнеч
ный календарь, введенный римским имп ератором Юлием
Цезарем в 46 г. до н. э. и разработанный александрий
скими астрономами во главе с Созигевом; в большин
стве стран применялся до конца XVI в.-150, 151
Юнона - третья по времени отк рытия малая пла
нета ; отк рыта в 1804 г.
- 100, 237
Юпитер - пятая по расстоянию от Солнца планета
солнечной системы . -20 , 95-97 , 102, 103, 135, 229
я
Ядро Галактики. -129
Ядро кометы. -100 , 104, 105
Япет - спутник Сатурна. -238

Юный 118'N11атвк.
иа о6ороте: «ПоеД1
11
1
0К».

HECR0.J1ЬRO C.JIOB
О МАТЕМАТИКЕ
Если спросить всех шкодывшов, J\акой предмет нравится им боЛJ,
ше других, то вряд ли большинство из них назовут М<lтематику. Обычно
ее скорее уважают, чем любят. У нас в стране научные знания пользуют
ся большим почетом, но, конечно, и среди наших шl\ольников есть тание,
1\оторые тяготятся изучением математики. По-видимому, дело оfiъ11сняетсл
не только тем, что ее изучение многщ.�: нелегко дается и требует упор
ства и труда, но также и тем, что некоторые вопросы школь�;�:ой 111атемати-
1\И иногда кажутся недостаточно интересными и даже порой скучными
.Однаl\о азбука и грамматиl\а какого-либо языка часто также не очень
интересны, а между тем тольl\о через их изучение лежит путь ко .всей лите·
ратуре с ее увлекательными с1шзками, рассказами, повестями, романами
и стихами. Подобно эт
.
ому, через те простейшие, азбучные положения
математи1'и, которые изучаются в школе, лежит столбовая дорога 1\ со
временной математике - огромной, почти необозримой по своему богат
ству области человечесl\ого знания, которая находит с каждым годом все
большее применение.
Иногда приходится слышать мнение, что в математике в основном
все уже известно, что времена открытий в этой науке давно прошли, а те
перь остается только изучать теоремы, названные именами ученых прош
лых веков, и применять их к решению разных задач. Но в действитель
ности это далеко не так. Даже более того, именно сейчас м
·
атематика пере
живает период чрезвычайно.бурного развития, несмотря на то что родилась
она много тысячелетий назад. Новые математичесl\ие открытия в наши дни
делаются буквально ежедневно во всех ч'астях света. Чтобы получить пред
ставление о количестве этих открытий, достаточно знать следующее.
В Советсl\ом Союзе издается ежемесячный реферативный журнал «Матема
тика>), в котором убористым шрифтом печатаются самые 1'ратl\ие сообще
ния (рефераты) о различных математических от1'рытиях, сделанных в
самое последнее время во всем мире. Tal\ вот, комплект этого журнала за
1963 г. представляет собой огромный том (свыше 1100 страниц большого
формата!), содержащий более 16 ООО рефератов. Tal\ велико число мате
матических открытий, сделанных всего за один год: в среднем по 45 откры
тий в день! Конечно, не все они одинаково значительны, но все-тани почти
каждое из них означает продвижение науl\и вперед, пусть иногда даже на
совсем маленький шажок.
Такое бурное развитие математики тесно связано с тем, что теория
и практика выдвигают все новые и новые задачи, иоторые математиии
должны решать. И вот иогда старых знаний не хватает, приходится изоб
ретать новые пути, находить.новые методы. Ныне математииа применяется
не только в астрономии, механике, физи1'е, химии и техниие, где она
применялась и раньше, но также в биологии, неиоторых отраслях обще-
261

НЕСКОЛЬКО СЛОВ О МАТЕМАТИКЕ
ственных наук и даже в язьшознании. Особенно большое поле для ее при
менений открылось в связи с созданием быстродействующих электронных
вычислительных машин. Они предсказывают погоду, вычисляют орбиты
искусственных спутников, космичес1шх иораблей, переводят научные тек
сты с одного язьша на другой.
В ближайшее время новые тины вычислительных универсальных и
специализированных машин еще более широко будут применяться в са
мых разнообразных областях человеческой деятельност
_
и, в том числе для
управления производственными процессами, для статистического и бухгаJI
терского учета, плановых и проектных расче:rов.
Коротко математику можно охарактеризовать как науку о числах
и фигурах. Трудно назвать такую отрасль человеческой деятельности,
где не приходилось бы ставить и решать вопросы о количестве предметов,
об их размерах и форме. С глубокой древности, по мере развития человече
ского общества, нанапливалось все больше сведений о числах, о размерах
11 формах различных предметов. Понвилась необходимость приводить эти
сведения в порядок, чтобы их ле�че было передавать от одного поколения
другому. Так постепенно зарождалась математика.
Начатки математических знаний обнаруживаются уже примерно за
4 тыс. лет до н. э . Об этом свидетельствуют дошедшие до вас египетские
папирусы, нлинописные вавилонские таблички, где встречаются решения
различных арифметических, геометрических и алгебраических задач.
Большого расцвета математи:ка достигла в древней Греции. Более чем
за 300 лет до н. э. здесь появились «Начала» Евклида - сочинение, в ко
тором систематически излагалась геометрия в том примерно объеме, в
каком она дuныне изучается в средней школе, а также давались сведения
о делимости чисел и о решении квадратных уравнений (в геометрической
форме). В 111 в. до н. э. Архимед нашел способ определения площадей,
Совремепнвя математика
на
с:nужбе народного хозяйства. На
ов11мGе показан внешний в11д але1<·
тронной вычислительной машины
БЭСМ-2 .

НЕСКОЛЬКО СЛОВ О МАТЕМАТИКЕ
объемов и центров тяжести простых фигур. В конце 111 в. до н. э.
Аполлоний написал книгу о свойствах некоторых замечательных
кривых - эллипса, гиперболы и параболы. Если к этому добавить еще,
что во 11 в. н . э. Птолемей в астрономическом сочинении, известном под
арабским названием «Альмагест», изложил основы тригонометрии, дaJI
таблицы синусов (вернее, длин хорд окружности) и способы решения сфе
рических треугольников (т. е . треугольников, сторонами которых яв
ляются дуги больших кругов, проведенных на шаре), то станет ясно,
какой большой вклад в развитие математических знаний внесли древние
греки за много столетий до нашего вр емени. Можно сме.'lо утверждать,
что нынешние школьники изучают за все время пребывания в средней
школе лишь небольшую часть этих знаний (правда, они получают так
же и ряд сведений, которые древним грекам были неизвестны).
Много сделали для развития математики ученые народов Востока
(особенно больших успехов добились индийцы и арабы в развитии алгебры и
тригонометрии). Ученым Западной Европы после длительного застоя в раз
витии науки во времена средневековья пришлось затратить немало усилий,
чтобы усвоить труды их предшественников. Лишь после этого они смогли
двигаться вперед самостоятельно. Расцвет математики в Европе начинает
ся к XVII в. В это время зарождаются новые отрасли математики, :которые
относятся к так называемой высшей математике и изучаются ныне в высших
учебных заведениях. Особенно глубоко высшая математика изучается на
физико-математических факультетах университетов и педагогических
институтов, некоторые ее разделы изучаются в высших технических учеб
ных заведениях.
Основу высшей математики составляют аналитическая геометрия и
дифференциальное и интегральное исчисления. Их создание, связанное
с именами великих ученых XVII в. - Р . Декарта, П. Ферма, И. Ньютона
268

НЕСКОЛЬКО СЛОВ 0 МАТЕМАТИКЕ
и Г. Лейбница, позволило математически изучать движение, процессы
изменения величин и геометрических фигур. Вместе с этим в математику
вошли координаты, переменные величины и понятие функции. С коор
динатами, переменными величинами и функциями школьники зна
комятся при изучении алгебры и тригонометрии. Но при этом они остаются
лишь у порога той высшей математики, которая в течение последних трех
сот лет проявила себя как незаменимый инструмент исключительной силы
и тонкости, позволивший сменяющим друг друга поколениям астрономов.
физиков, механиков и представителям других областей науки решать
труднейшие проблемы естествознания и техники.
Невозможно проследить здесь, хотя бы и бегло, успехи математики
за последние столетия. Отметим большой вклад, внесенный русскими уче
ными Н. И. Лобачевским, П. Л. Чебышевым и советскими математиками.
Можно сказать, что современная математика достигла такой степени раз
вития и так богата содержанием, что одному человеку, даже самому уче
ному, нельзя охватить ее всю и приходится специализироваться в какой
либо определенной ее области.
Надо заметить, что современная математика состоит не только из ал
гебры и геометрии, как школьный курс; сейчас насчитывается н е с к о л ь
к о д е с я т к о в различных областей математики, каждая из которых
имеет свое особое содержание, свои методы и области применения.
В разде-ле тома, посвященном математике и названном «Числа и фи
гуры», мы поместили несколько статей, тесно связанных со школьным
курсом математики, дополняющих и углубляющих те знания, которые
читатель уже имеет. Но мы считали необходимым также приподнять заве
су, отделяющую элементарную, школьную математику от математики
высшей.
Мы понимаем, что некоторые из наших статей нельзя назвать простыми
и легкодоступными. Мы советуем при чтении таких статей вооружиться
терпением, а также бумагой и карандашом и одолевать их шаг за шагом.
Если читатель и тут потерпит неудачу - отчаиваться не следует. Можно
вспомнить слова, с которыми знаменитый французский математик Ж. Лаг
ранж обращался к молодым математикам: «Читайте, понимание придет
ПОТОМ>).
Во всяком случае, мы надеемся, что каждый любитель математики
найдет здесь такие статьи, которые будут для него сразу же доступны.
Что касается остальных, то к ним можно обратиться позже, когда читатель
продвинется вперед в школьном курсе. Словом, понимание придет!
•

ЧИС.JIА
КАК .JIЮДИ СЧИ1,А.JIИ
В CTAPHHJI"
И КАК ПИСА.JIИ ЦИФРЫ
Все числа мы привыили записывать с помо
щью десяти знаиов-цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7,
8, 9. Например, число, состоящее из четырех
сотен, четырех десятиов и четырех единиц, мы
записываем таи: 444. При этом один и тот же
.зпаи «4» обозначает число единиц, если
он стоит па последнем месте, число де
сятиов - если на предпоследнем, и число
десятков десятиов, т. е. сотен, если он сто
ит на третьем месте от ионца. Такой принцип
записичиселназывается позиционным
илипоместным,потомучтоиаждаяциф
ра получает числовое значение не толЬl\о в за
висимости от своего начертания, но и от того,
на иаиом месте она стоит при записи числ а.
Позиционный принцип позволяет с помощью
десяти знаиов-цифр записать любое сколь угод
но большое число. Действительно, пусть нам
дано целое число N. Для того чтобы записать
его в нашей системе, находим сначала остаток
от деления N на 10, затем остатои от деления
2su

ЧИСЛА
частного на 10 и т. д.- до тех пор, пока в ка
честве частного не получим числа, меньшего 10.
Например:
N = 523 = 10-52+3;
52 = 10·5+2;
s = 10.o+s.
Полученные остатки и являются
.
последователь
ными цифрами нашего числа, записанного в
позиционной десятичной системе:
N=523,
или, более подробно:
N = 5 .102+2-10+3.
Для тех, кто знаком с алгеброй, скажем,
что каждое целое число М можно представить
в таком же виде. Если
1оп�М < 1on+1,
то
где каждый из коэффициентов а0, а1, .
..
,ап
мепьше 10 (это просто остатки от последователь
ного деления числа М на 10). Следовательно,
каждый из коэффициентов выразится одной из
десяти цифр. Следуя десятичному позицион
ному принципу, записываем число М так:
где а0 означает число обычных единиц, или еди
ниц первого разряда, содержащихся в М, а1 -
число единиц второго разряда, т. е. десятков,·
а2 - число едиющ третьего разряда, т. е .
сотен, и т. д.
Число 10 называется основанием нашей
системы.
Итак, для записи чисел мы пользуемся де
с ятич ной позиционной си ст�
мой счисления.
Счет ,1
1;
воП1tаии, тр0Акаи11 и ,1
1;
юmинами
Однако вовсе не обязательно считать де
сятками. Можно, например, вести счет двой
ками или тройками. Для этого за основание
системы счисления примем число 2 пли 3, а в
остальном будем поступать точно так же, как
это делали, когда основание равнялось десяти.
Для записи по двоичной системе понадобят
ся всего две цифры: О и 1. Число «два» в этой
системе запишется как 10, так как 2=1·2+0.
266
А чтобы не спутать нашу запись с обычной, бу
дем справа внизу ставить маленькую цифру 2-
это будет означать, что основанием систе
мы служит число «двю>. Итак, 102 будет записью
числа 2. Число 3=1 ·2+1, поэтому его записью
будет 112••
Число 4=1-2
2
+0·2+0·1, поэтому оно запи
шется в виде 1002• Записью числа 5 будет 1012,
а числа 7 будет 1112•
.
Чтобы найти запись любого числа N, нужно
определить остатки от последовательного деле
ния этого числа на 2. Мы предоставляем чита
телям проверить, что записью числа 35 в двоич
ной системе будет 100 0112•
Если число N таково, что
2n�N < 2n+1,
то его можно представить в виде:
N=a
n
2n+ a
n
_
12n-
1
+···+а12+а0,
т. е . запись это го числа в двоичной системе бу
дет иметь вид:
N =апап-1
...
а1ао,
но здесь уже каждый из коэффициенто в а1 мо
жет принимать только два значения: О или 1.
Более· подробно о двоичной системе, которая
сейчас приобрела большое значение в связи
с ее применением в быстродействующих вычис
лительных машинах, узнаете, если прочтете
статью «Электронные вычислительные маши
ны», помещенную в этом томе.
Для записи числа в троичной системе нуж
ны три цифры, например О, 1, 2. Число 3 здесь
будет записываться как 103, а 4 - как 113•
Зап11сью числа 35 в той системе будет 10223•
Приведем таблицы сложения и умножения
чисел, записанных по троичной системе:
Таблица сложения
Таблица умножения
1t1
2
111
2
t
123
1 103
t
113
12з
2
1Юз
1 t13
2
1 2:1
1 113
Но можно считать и дюжинами, т. е. поль
зоваться системой счисления с основанием две
надцать. Еще не так давно в нашей стране и в
Западной Европе некоторые предметы, напри
мер перья и карандаши, принято было считать
дюжинами. Сервизы тоже обычно составляют
из 12 чашек, 12 блюдец, 12 тарелок, а комплек-

КАК ЛЮДИ СЧИТАЛИ В СТАРИНУ И КАК ПИСАЛИ ЦИФРЫ
ты мебели - из 12 стульев или кресел . Сущест
вовало даже специальное название для дюжи
ны дюжин - гросс.
О широком распространении двенадцатеричной
системы свидетельствуют такие факты: мы до сих
пор делим год на 12 месяцев, а сутки на 24 ча
са, причем в повседневной жизни часы счита
ем только до 12 , а затем начинаем счет сна
чала (час дня, два часа дня и т. д.). Число 12
часто встречается также в сказках и легендах
(двенадцатиглавый змей, двенадцать братьев
разбойников), что тоже свидетельствует о
древнем происхождении двенадцатеричной си
стемы счисления.
Посмотрим, как будут изображаться числа
в этой системе . Во-первых, в ней должно быть
двенадцать цифр . Значит, к нашим десяти циф
рам надо прибавить еще две, например А для
обозначения десяти и Б - для одиннадцати.
Во-вторых, запись чисел в ней будет короче,
чем в нашей системе, а таблица умножения длин
нее. Число 12 запишется как 1012 (снова ставим
значок 12 для того, чтобы знать, в какой системе
сделана запись), число 13 - как 1112, число
35= 2·12+11 - как 2Б12, а число 133= 11 ·12+
+1 - как Б112, т. е . оно станет двузначным.
Приведем таблицу умножения чисел, записан
ных в этой системе 1:
121
3
145
161
7
1891
А
lв
2468А10121416181А
3691013161920232629
48101418202428303438
5А131821262Б34394247
610162026303640465056
71219242Б364148535А65
814202834404854606874
916233039465360697683
.4182634,42505А68768492
Б1А2938475665748392А1
1
Некоторые ученые считал11, что такая систе
�•а была бы удобнее, чем десятичная, так как
qисло 12 имеет больше делите.r�ей, чем число 10.
На самом же деле это обстоятельство не дает
больших преимуществ.
Ниже мы расскажем о том, что когда-то суще
ствовали нумерации с основанием 20 и даже 60 .
i При за1шси этоii таблицы мы опускаем значок
12. Но не надо забынать, что все числа записаны в две
надцатеричноii системе.
А теперь сделаем некоторые общие выводы:
1) всякое число, отличное от единицы, может
служить основанием позиционной системы счис
ления; 2) в системе счисления должно быть
столько цифр, сколько единиц содержится в
основании системы.
Несмотря на то что принципиально все по
зицпонные системы счисления равноправны, в
разных случаях удобнее пользоваться разными
системами . Например, как мы уже говорили,
при счете на электронных вычисли тельн ых маши
нах в основном пользуются двоичной системой .
Сейчас мы приведем несколько задач, для
решения которых удобнее будет воспользовать·
ся не десятичной системой счисления, а другими.
Задача на вав еmив ание
Вот одна из классических задач, решить
которую можно сразу же, если выбрать систему
счисления с подходящим основанием. Эта за
дача приведена в математической книге знамени
того математика XIII в. Леонардо Пизанского.
Ею интересовался также в XVIII в. и Л. Эйлер.
Требуется выбрать 5 гирь так, чтобы с их
помощью можно было взвесить любой груз до
30 кГ при условии, что гири ставятся только
на одну чашу весов.
Какие же гири нужно выбрать?
Сумма веса всех гирь должна быть не меньше
30 кГ. Но, конечно, это�;о недостаточно. Если
мы выберем, например
"
, гиривесомв1,2,3,10,
и 15 кГ, то с их помощью нельзя будет взвесить
грузыв7,8,9,22,23и24кГ.
Разберем математический смысл задачи . Что
бы взвесить некоторый груз, помещая гири толь
ко на одну чашу весов, надо представить его
вес в виде сум мы весов имеющихся гирь, при
чем так, чтобы каждая гиря бралась не более
одного раза. Если выбранные нами гири имеют
веср1, р2, р3, р4, р5, то груз весом Q�30кГ
должен представляться так:
Q=alPi+а2Р2+азРз+а4р4+asPs•
где каждый коэффициент равен единице, если
кладем соответствующую гирю на чашу ве
сов, и нулю, если не пользуемся ею при взве
шивании.
При такой постановке вопроса видно сх од
ство с представлением числа Q в двоичноii сис
теме счисления. Нужно только в качестве
р1, р2, р3, р4, Ръ взять гири весом: р1 = 1 кГ,
р2=2кГ,р8=4кГ,р4=8кГ,р,.,=16tiГ.
267

ЧИСЛА
Сумма их веса 1+2+4+8+16=31>30кГ. Кро
ме того, каждое число Q, не большее 31, можно
представить в виде:
где каждый из коэффициентов Ь0, bl' Ь2, Ь3, Ь4 бу
дет, как нам и нужно, либо нулем, либо ед11-
ницей.
Пусть, например, надо взвесить груз n 22 кГ.
Запишем число 22 по двоичной системе:
22 = 10 1102.
Значит, нужно взять гири р2 = 2 кГ, р3 =
=4кГир5=16кГ.
Теперь несколько видоизменим задачу: пусть
требуется выбрать 4 гири, с помощью которых
можно было бы взвесить любой груз до 40 кГ,
при условии, что гири можно класть и на ле
вую и на правую чашу весов.
Нетрудно убедиться, Что ·для решения этой
задачи нужно воспользоваться троичной систе
мой счисления, т. е. выбрать следующие ·4 ги
ри:р1=1кГ,р2=3кГ,Рэ=9кГ,р4=27кГ.
Пусть, например, надо взвесить груз в 19кГ.
Число 19 представим в виде:
19=з.6+1 =3-(3·2)+1=2.9+1=
= 0 .27+2.9+о.з+1=2013.
Теперь груз в 19 кГ кладем на правую
чашу весов. На левую кладем груз u 1 кГ.
Затем надо было бы положить туда еще 2 гири
по 9 кГ, но у нас имеется только одна такая
гиря.
Но 18=2·9 можно представить еще и иначе:
18 = 2·9 = (3-1)·9 = 27-9,
т. е. на левую чашу весов надо положить
ещегирюв27кГ,направую-в9кГ.
Так же будем поступать и в других случая х.
· Если груз Q Е; 40кГ, то его можно всегда пред
ставить в виде:
Q=Ь33
3
+Ь232+Ь13+Ь0,
где каждый из коэффициентов Ь0, Ь1, Ь2, Ь8
может равняться О, 1 или 2. Если он равен
О, то соответствующую гирю отставляем в сторо
ну ; если 1, то кладем ее на левую чашу весов;
если 2, то поступаем так, как только что делали.
т. е. кладем гирю на правую чашу весов, а
следующую по величине гирю - на левую.
Следует помнить, что, хотя в различных си
стемах счисления числа записываются по-раз
ному, основные свойства их от этого не меняются:
так, число 20 будет делиться на 2, в какой бы
системе мы его ни записали, а 27 не будет де
литься на 2; но будет делиться на 3. Числа
3, 5, 7 останутся простыми в любых система х
счисления. Однако признаки делимости, которые
устанавливаются исходя из записи числа в.
оп реде.Ленной системе счисления, будут меняться
вместе с основанием системы. Так, число де
лится на 5, если его запись по десятичной по
зиционной системе оканчивается нулем или
пятеркой . Но число не всегда делится на 5, ес
ли на О оканчивается его запись в троичной сис
теме, например числа 103 (т. е. 3), 1003 (т. е . 9),
10003 (т. е. 27) не делятся на 5, а число 120�
(т. е. 15) будет делиться на 5.
444
uaTie
C.8h1'S
quat,anie
quat"t.e
Vie.t.hund�c:t·
-vretund
vie�zi<j-
и русский, 11 француз, н немец о:�.но и то же число назовут по-равному (на своем языке), а запишут ero одиш1�;оnо.
288

КАК ЛЮДИ СЧИТАЛИ В СТАРИНУ И КАК ПИСАЛИ ЦИФРЫ
Наш у стный счет
Теперь, естественно, возникает вопрос: поче
му мы все-:таки пользуемся десятичной системой,
а не системой с другим основанием? И еще:
всегда ли люди записывали числа, пользуясь
позиционным принципом?
На эти вопросы мы и постараемся дать ответ.
Чтобы лучше понять, как люди считали в
старину, обратимся сначала к нашей речи, к
нашему устному счету . Прежде всего заметим,
что наш устный счет очень отличается
от
письменного .
Как мы называем число 444? Мы говорим:
«Четыреста сорок четыре», т. е . произносим три
разных слова. В то же время это число записы
ваем тремя одинаковыми знаками . Если то же
самое число нужно будет записать немцу или
французу, то они напишут такие же три знака,
а произнесет каждый из них различные слова:
один - по�немецки, другой --: по-французски.
Итак, наша письменная нумерация носит
международный характер, тогда как названия
числительных и способы их образования у раз
ных народов различны. Но дело не только в
этом . Давайте рассмотрим более подробно, как
мы называем числа.
Для нуля и первых девяти чисел мы упо
требляем специальные названия: «нулм, <юдин»,
«два», ..., «девятЬ» . Для следу ющего числа у
нас есть новое слово - «десять»; мы не гово
рим <юдин, пулЬ», хотя и записываем его с по
мощью единицы и пуля: 10.
Все числа от 11 до 99, как правило, состав
ляются из названий первых чисел: «одиннад
цатЬ» (т . е. один-на-десять), «тридцать один»
(т . е. три-десять-один) и т. д . Для 100 мы упот
ребляем новое слово - «сто». Все наименования
чисел от 101 до 999 опять составные, а для 1000
вводится новое слово - «тысяча>>. Далее тоже
идут новые слова: «миллион», «миллиард», «трил
лион» и т. д . Как видим, по мере роста самих
чисел возрастает и количество названий· для них.
Из этого явствует, что способ наименования
чисел не является позиционным. Наш устный
счет сохранил следы каких-то более старых нуме
раций, одной из которых мы и сейчас поль
зуемся при записи чисел по римской системе.
В римской системе имеются специаль
ные знаки для единицы (i), пяти (V), де
сяти (Х), пятидесяти (L), ста (С), пятисот (D)
и тысячи (М). Остальные числа записываются
при помощи этих символов с применением сло
жения и вычитания: 111, например, есть запись
числа три (I+I+I), IV - числа четыре (V-1),
·-
.
.
.
VI - числа шесть (V+1) и т. д. Наше число
444 запишется в римской системе так: CDXLIV.
Эта форма записи менее удобна, чем та, ко
торой мы теперь пользуемся. Здесь четыре еди
ницы записываются одними символами (lV),
четыре десятка - другими (XL), четыре сотни -
Цифры в древнем
Риме.
VI- 6
V//-?
третьими (CD). Запись чисел получается намно�
го длиннее . Но не только в этом дело: с числами,
записанными в римской нумерации, очень труд
но производить арифметические действия. По
пробуйте, например, перемножить 444 на 36,
если оба числа обозначены римскими цифрами,
и вы сразу же убедитесь в трудности задачи.
Сами римляне пользовались для производства
арифметических операций специальной счет
ной доской - абаком.
В римской системе есть и еще один сущест
венный недостаток: она не дает способа для
ТВК HBПHC8JIH бЫ Н�
древние египтяне.
записи сколь угодно больших чисел . Например,
чтобы написать по этой системе 1 ООО ООО, надо
либо 1000 раз повторить знак М, либо ввести
новый символ . Таким образом, для записи чи·
сел по мере их роста надо будет вводить все
269

ЧИСЛА
новые и новые знаки. Это происходит. потому,
что римская нумерация не является позицион
ной. Знак V, например, означает в ней только
пять единиц и не может обозначать пяти десят
ков или пяти сотен. Римская нумерация не яв
ляется и строго десятичной. В ней сохранились
следы другого основания - пяти. Действитель
но, здесь есть специальные знаки для пяти,
пятидесяти и пятисот.
В нашем устном счете имеются некоторые
черты, напоминающие эту систему. Так, мы
тоже прибегаем к операции сложения, образуя
числительные от 11 до 19: «одиннадцать» (один
на-десять) и т. д. Но начиная с 20 пользуемся
для образования числительных еще и умноже
нием, чего нет в римской системе: «двадцаты
означает два-десять, т. е. два Хдесять, «трид
цатЫ> - три х десять.
В нашем языке сохранились также следы
нумерации с основанием 40, которой пользо
вались наши предки. Действительно, для этого
числа употребляется новое, несоставное назва
ние - «сорою>. Нам известны такие выражения:
«сорок сороков церквей», «сорок сороков чер
ных соболей». О том, что число 40 когда-то иг
рало особую роль при счете, говорят и некото
рые связанные с ним поверья. Так, сорок пер
вый медведь считался роковым для охотню\а.
Аналогично этому широко распространен у
европейских народов предрассудок, будто чпсло
13 является несчастливым. Это связано с тем,
что некогда была распространена двенадцате
ричная система счисления.
Во французском языке сохранились следы
нумерации с основанием 20; число 80 читается:
quatre-vingts - «четыре-двадцаты, число 90-
270
quatre-vingts-dix - «четыре-двадцать-десятЪ»,
число 120 - «шесть-двадцатЫ>; в старофранцуз
ском языке и другие названия чисел составля
лись аналогичным образом. Следы двадцатерич
ной системы сохранились таиже в английском
и голландском языках, следы пятеричной - в
скандинавских языках.
Итак, устная речь показывает, что наши пред
ки пользовались непозиционной нумерацией,
причем в качестве оснований, кроме десяти,
были и другие числа.
На основании каких Же источников можно
ответить на вопрос: как люди считали в
.
старину?
Во-первых, на земном шаре сохранились на
роды, которые еще недавно стояли во многих
отношениях на таком же низком уровне разви
тия, как и наши далекие предки. Многие путеше
ственники описали немало способов счета, пр11-
менявшихся у таких народов. Это - один
источник, с которым мы познакомимся.
Вторым источником являются письменные
документы древних народов: египтян, вавило
нян, древних греков, индейцев племени майя и
других. Наконец, русские рукописи Xl-XII вв.
помогут нам узнать, как считали р аньше на Ру
си. Итак, начнем по порядку. .
Счет у пе1•вобытных наро,J,ов
Еще недавно существовали племена, вязы
ке которых были названня только двух чисел:
«один» и «два>>. Но это не значит, конечно, что
представители этих племен не могли сосчитать
большее количество предметов.
У туземцев островов, расположенных в Тор
ресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею
от Австралии), единственными числительными
являлись «урапун» (один) и «Окоза>> (два).
Островитяне считали так: «окоза-урапую> (три).
«окоза-окоза» (четыре), «01юза-окоза-урапун»
(пять) и «окоза-окоза-окоза» (шесть). О числа х
начиная с семи туземцы говорили «много)>,
«множество». Таким образом, людИ здесь ос
воили только небольшое количество целых чисел.
Кстати, многие руссние пословицы говорят о
том, что именно так дело обстояло и у наших
предков. Мы говорим: «У семи нянек дитя без
глаза)>, «Семь бед - один ответ», «Семеро од
ного не ждут)>1 «Семь раз отмерь, один раз
отрежь». Здесь, очевидно, число «семы> употреб
ляется в смысле «много»: у большого числа ня
нек дитя без глаза, много бед-один ответ ит. д.
Но вернемся к нашему рассказу.

КАК ЛЮДИ СЧИТАЛИ В СТАРИНУ И КАК ПИСАЛИ ЦИФРЫ
Очень рано у людей появилась необходимость
сообщать друг другу о том, что такое-то число
предметов должно быть доставлено через столь
ко-то дней или что каждое племя должно выста
вить такое-то число воинов . И даже те народы,
у которых имелось только два числительных ,
умели в известном с.мысле «сосчитываты доволь
но большое количество предметов. Вот как, по
рассказу замечательного русского путешест
венника Н. Н. Миклухо-Маклая, поступали
туземцы Новой Гвинеи: «Из.Любленный способ
счета состоит в том, что папуас загибает один
за другим пальцы руки, причем издает опреде
ленный звук, например «бе-бе-бе.. . ». Досчитав
до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он
загибает пальцы другой руки, снова повторяет
<(бе-бе... 1>, пока не доходит до «ибон-али» (две
руки). Затем он идет дальше, приговаривая
<(бе-бе1>, пока не доходит до <(самба-бм и <(самба
али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать
дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног
кого-нибудь другого�>.
Итак, предметы при счете сопоставлялись
обычно с пальцами рук и ног. При переговорах
туземцу достаточно было сказать, например,
что он дошел в своем счете до третьего пальца
правой ноги. Чтобы отсчитать нужное количе
ство предметов, счет начинали сначала, от пер
вого пальца правой руки. При этом, отсчиты
вая каждый палец, одновременно отмечали и
предметы. Островитяне Торресова пролива для
такого пересчета употребляли не только пальцы,
а и другие части тела (запястье, локоть, плечо),
но всегда в определенном порядке. Так они
могли пересчитывать до 33 предметов.
Суть этого способа заключается в том, что
равночисленность некоторых совокупностей
предметов устанавливалась при помощи сопо
ставления их с частями тела, а иногда и просто
палочками. Разумеется, наиболее удобным «ин
струментом�> пересчета являются пальцы, вслед
ствие чего предметы при пересчете чаще всего
группировали по пяти, по десяти и по двадцати .
Этим и объясняется то, что основанием большин
ства сложившихся систем счисления является
10 (по числу пальцев на обеих руках ), а
иногда 5 или 20.
Со временем хозяйство племен становилось
все более сложным и обширным. Чаще прихо
дилось сосчитывать все большее количество раз
личных предметов, и простое установление рав
ночисленности при помощи счета на пальцах
перестало удовлетворять людей.
Люди постепенно привыкали при счете рас
полагать предметы устойчивыми группами по
два, по десяти или двенадцати . Появились спе
циальные слова для обозначения таких устой
чивых совокупностей предметов. Так, у тузем
цев Флориды слово <ша-кую> означало 10 яиц,
<ша-банарю> - 10 корзин. Но слово «на1>, ко
торое, казалось бы, соответствует числу 10, от 
дельно пе употреблялось . То же можно было
наблюдать па островах Фиджи и Соломоно
вых, где имелись специальные названия для
100 челноков, 100 кокосовых орехов, 1000 ко
косовых орехов и в то же время отвлеченных
чисел не было . Числа являлись по существу
именованными, это еще <(числа-совокупности»
конкретных предметов.
Но с течением времени такими устойчивьiми
<(числами-совокупностями» начали обозначать
не только данные предметы, а и друг
.
uе, похо
жие на них . Например, «числа-совокупностю>,
обозначающие определенное количество оре
хов, могли впоследствии употребляться для
счета любых круглых предметов . Это привело к
тому, что во многих языках первобытных наро
дов образовалось несколько рядов числительных:
одни употреблялись только для счета людей,
другие - для подсчета круглых предметов,
третьи - продолговатых и т. д. Например, учи
шмиенов (Британская Колумбия) имелось семь
видов числительных , каждый из них употреб
лялся для счета предметов определенного вида .
Однако у большинства народов числа, ко
торыми считали <(деньгю>, постепенно вытесни
.
ли все остальные. По-видимому, это произ<>шло
тогда, когда в качестве денег в основном слу
жил скот: приходилось сосчитывать стада, об
менивать на них другие цредметы. Естественно,
что числа, служившие для подсчета скота, по
лучили наибольшее распространение: их все
хорошо знали. Они-то и стали теми универ
сальными числами, которые позволили считать
любые предметы.
Однако так образовались только те числа,
которым соответствовали <(числа-совокупностю>:
если счет велся. десятками, то появились наз
вания для десяти, десяти десятков (т. е. ста),
десяти сотен (т. е. тысячи) . Кроме того, инди
видуальные названия получили, как правило,
все числа, меньшие десяти . Что касается
чисел 11, 12, "., 19, 21 и т. д.,
то они
составлялись из основных при помощи тех
операций, которые первоначально фактически
производились над пересчитываемыми предме
тами . Так, на языке кламатов (Северная Амери
ка) , а также племен Британской Колумбии для
обозначения составных чисел употреблялись
специальные глаголы. Например, индеец го· ·
27
.
:1

ЧИСЛА
ворил: «На дважды десять плодов я кладу свер
ху шесть», - и это обозначало 26 плодов. Та
кая фраза полностью соответствует фактиче
скому пересчету: индейцы располагали 10 пред�
метов в ряд, с 11-го начинался новый ряд и т. д .
А постепенно эти двигательные операции пе
решли в арифметические.
Хорошей иллюстрацией к такому способу
счета служат обозначения чисел, принятые
в XI-XVI вв. индейцами племени ацтеков (Мек
сика): единицу они обозначали точкой, двойку
двумя точками (см. рисунок) и т. д. до пяти .
•
Jf<>30�
..
2PIP40"
��
��+-�
��-
�
-'-'-"'J
=-�
�-�
_p_f_<> 5��
4 ррр 60;=
..
5 РРР<> 70�1
-::1· б l'PPP 80�
::1· •
7Pl
l'
fР<>90��
.
..
..
::1:. 8 J 100�
::1:: 9 � 200i
10 � iioo�
<>:: f5•� 500�
20 iiatooo 1
1� 8000
Так в Мексике обов11ачали числа индейцы племени ацтеков
в XI-XVI вв.
В запись числа шесть входила вертикальная
черта, которая отделяла пять первых точек от
шестой. Ясно, что эдесь счет велся группами
по пяти предметов. Черта отделяла одну такую
группу от другой, причем сама черта никакого
числа не обозначала.
Основной операцией для образования со
ставных чисел было сложение, но наряду с этим
применялось и вычитание, а иногда даже умно
жение. Например, в русском языке, как мы уже
говор
_
или, для образования числительных упо
требляются и сложение, и умножение (двадцать
семь: два Хдесять+семь). В угро-финских язы
ках применяется и вычитание: число 8 там про
износится как «два-десять» (т. е. десять без
двух), 80 - как «два-сто», 800 - «два-десять
сто» («десять-сто», т. е. тысяча, - принцип
умножения!) . Так происходило освоение на
турального ряда чисел. Посмотрим теперь, ка
кими были первые записи чисел и как люди
оперировали числами.
272
llервые 11у11ерацви
Одна из древнейших нумераций - египет
ская. До нас дошли надписи, сохранившиеся
внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они
состоят из картинок-иероглифов, которые изо
бражают птиц, зверей, людей; части человече
ского тела (глаза, ноги) и различные неодушев
ленные предметы. Такой способ письма вообще
характерен для ранних ступеней культуры. По
добные письмена были у обитателей Централь
ной Америки - индейцев племени майя, в Пе
ру. Расшифровка их представляет огромные
трудности, так как часто неизвестны ни язык
древних народов, ни значение отдельных иерог
лифов. Казалось бы, задача является неразре
шимой. И все-таки многие надписи уже прочи
таны! Сначала были разгаданы письмена древ
них египтян, затем - вавилонская клинопись.
В 30-х годах нашего века были прочитаны долго
не поддававшиеся расшифровке хеттские надпи
си. И, наконец, совсем недавно найден ключ
к разгадке письмен индейцев племени майя и
надписей с острова Пасхи.
Сохранились два математических папируса,
позволяющие судить о том, как считали древ
ние египтяне. Один из них хранится в Британ
ском музее в Лондоне, а другой - в Музее изо
бразительных искусств им. А. С. Пушкина в
Москве. Для записи чисел древние египтяне
употребляли иероглифы, означающие (последо
вательно): единицу, десять, сто, тысячу, десять
тысяч, сто тысяч (лягушка), миллион (человек
с поднятыми руками) , десять миллионов:
.о.
Полагают, что иероглиф для сотни изобра
жает измерительную веревку, для тысячи -
цветок лотоса, для десяти тысяч - поднятый
кверху палец, а ... для десяти миллионов -
всю Вселенную. Все остальные числа состав
лялись И3 ОСНО·ВНЫХ С ПОМОЩЬЮ ТОЛЬКО ОДНОЙ
операции - сложения. При этом запись произ
водилась не слева направо, как у нас, а справа
налево. Число 15, например, записывалось так:
noo
/i
i)
fu��
с� a=u А число 444 писали так: DDUD tDU'D� �
Мы видим, что древнеегипетская нумераци я
похожа на римскую, только при записи чисел
не употребляется вычитание. Зн акомясь с рим
ской нумерацией, мы убедились, что умножать

КАК ЛЮДИ СЧИТАЛИ В СТАРИНУ И КАК ПИСАЛИ ЦИФРЫ
Цифры в древнем Еrипте.
числа, записанные в непозиционной системе,
очень неудобно. Как же считали древние егип
тяне? Оказывается, умножение и деление они
производили путем последовательного удвоения
чисел. Пусть, например, надо умножить 19 на
37. Египтяне последовательно удваивали чис
ло 37' причем в правом столбце запнсывали ре
зультаты удвоения, а в левом - соответству
ющие степени двойки:
1
37
2
74
4
148
8
296
16
592
Удвоение продолжалось до тех пор, пока
не оказывалось, что из числа левого столбца
можно составить множитель (в нашем примере:
19=1 +2+16).Египтяне отмечали соответствую
щие строки вертикальными черточками и скла
дывали те числа, которые стоят в этих же стро
ках справа. В данном случае надо сложить 37+
+74+592=703. Так получали произведение.
Если теперь число 703 нужно было разде
лить на 19, то египтяне начинали последователь
но удваивать делитель и продолжали это до
тех пор, пока числа правого столбца оставались
меньше 703. Затем Из чисел правого столбца
они пытались составить делимое, и тогда сумма
чисел в левом столбце давала делитель:
1
19
2
38
4
76
8
152
16
304
32
608
В данном случае 703=608+76+1 9, т. е. част
ное будет J+4+32=37. Если бы делимое не
•t8д.э.т.2
делилось без остатка на делитель, то его не уда
лось бы составить из чисел правого столбца.
У нас получилось бы и частное и остаток.
Египетский способ умножения нетруден, но
требует очень большого ноличества операций, да
же при умножении двузначных чисел. Если бы
пришлось перемножать таким способом трехзнач
ные или четырехзначные числа, мы не могли бы
обойтись без помощи машины. Заметим также,
что для умножения и деления египтяне пользова
лись фактически представлением числа по дво
ичной системе.
А.1.1фаввт ные в уиер ацив. <(Псаииит)>
Мы видели, что непозиционные нумерации
малоудобны: запись чисел в них очень длинна,
арифметические операции производить трудно.
По мере развития торговли и ремесла эти не
удобства становились все чувствительнее, и вот
в Малой Азии, где были древнегреческие коло
нии, которые вели оживленную торговлю, в
середине V в. до н. э . появилась система счис
ления нового типа, так называемая алфавитная
нумерация. Ее обычно называют и о н и й -
с к о й. В этой системе числа обозначались при
помощи букв алфавита, над которыми ставились
черточки: первые девять букв обозначали числа
от 1до9, следующие девять- числа 10, 20, 30, ...,
90 и следующие девять -числа 100, 200, ...,
900. Таким образом можно было обозначать лю-
бое число до 999.
.
Для обозначения .чисел 1000, 2000, .. " 9000
греки употребляли те же буквы, что и для чисел
1, 2, .. " 9, но только при их записи ставили
кооую черточку слева внизу. Как это делалось,
видно из прилагаемого рисунка на стр. 274. Да-
"
лее, для числа 10 ООО употреблялся знак М -
это число называлось мириадой; две мириады.
�
т. е . 20 ООО, обозначались так: М. Этим спо-
собом можно было обозначить все числа до
мириады мириад, т. е. до 108• Более высокие
десятичные разряды уже не могли быть запи
саны в ионийской нумерации и не имели назва
ния в древнегреческом языке.
Великий математик, механик и инженер
древности Архимед (111 в. до н. э .) посвятил
целое сочинение тому, чтобы дать общий прием
наименования сколь угодно больших чисел.
Издавна у греков, как, впрочем, и у других
народов, наглядным образом для представления
об очень большом и даже неисчислимом коли
честве служило число песчинок. В народных
2'78

ЧИСЛА
сказках, например, встречается «неразрешимая»
задача: сосчитать звезды на небе, капли в море
или песчинки на земле. Архимед показал, что
такие задачи можно решить. Свое сочинение
он так и назвал «Исчисление песка» («Псам
мит»). В нем он построил систему счета, в кото
рой имелись числа, не только превосходящие
количество песчинок в его родной Сицилии, но
и такие, которые больше числа песчинок во
Вселенной, если даже считать, что Вселенная
сплошь заполнена песком. Но что же понимали
греки времен Архимеда под всей Вселенной?
В своем сочинении Архимед, следуя за грече
ским астрономом Аристархом Самосским, по
лагал, что в центре Вселенной находится Солнце,
а Земля и другие планеты вращаются вокруг не
го. Вселенная имеет форму сферы, на поверх
ности которой расположены неподвижные звез
ды. Это была первая гелиоцентрическая систе
ма мира.
iOf
�70lj аооlJ
'�80if
900 �
fj,.<;
tOOO,ёi 7�
8100f20!A."il
�
10i
oq 01No,f �и
t�кзоо'f41
1
00,i IO
Ol
l
J\t
30х 400ii oo
o
,l
40ji sooф шоJ
$0v 600х
-
{
00"'..
Греческое алфавитное изображение чисел.
Для подсчета :количества песчинок Архимед
должен был, хотя б
.
ы :Приблизительно, опреде
лить размеры диаметров Вселенной и песчинки,
а затем найти отношение их объемов. Архимед
сделал это, опираясь на данные астрономии
своего времени и на собственные исследования
в этой области. Число песчинок, которое должно
было у него при этом получиться, в нашей ну
мерации записывается так: 106
3
• Это очень боль
шое число, и до Архимеда не было средств ни
для записи, ни для наименования чисел такого
порядка.
Чтобы решить поставленную задачу, Ар
химед поступает следующим образом: все числа,
меньшие мириады мириад, т. е . все числа от 1
до 108 - 1, он объединяе.т в первую о:ктаду
(т. е. восьмерицу) и называет их «первыми чис
лами». Число 108 служит единицей второй ок-
274
тады, в :которую входят все числа от 108
до 102·8
-
1. Это - «вторые числа». Ана
логично этому число 102·8 является едини
цей третьей октады, а числа от 102·8до 103·8�.1
являются «третьими». Продолжая это построе
ние, можно дойти до мириадо-ми риа;дной ок
тады, которая содержит числа от 10(10•
- 1)·8
·
до
10 8·to• - 1 . Все эти о:ктады Архимед объеди
няет в первый период. Число 108·tО•служит
единицей первой октады второго периода и т. д.
Этим способом можно дойти до последнего чис
ла последней октады мириадо-мириадного пе
риода. Здесь Архимед останавливается, но
ясно, что с помощью его способа можно дви- ·
гаться и дальше, объединив все периоды в :ка
кой-нибудь новый разряд.
Но и тех чисел, которые построил Архимед,
вполне достаточно для подсчета числа песчинок
во Вселенной. Необходимое число содержится
уже в восьмой о:ктаде первого периода. Архимед
продолжил свое построение дальше для того,
чтобы разъяснить метод наименования сколь
угодно больших чисел.
Способ· Архимеда близок :к позиционному,
но понадобилось еще около тысячи лет, прежде
чем человечеству удалось создать десятичную
позиционную систему счисления.
Al\ф4&ИTttQi
4>103НАЧ6НКе ЧМ(',\
КИРИАЛИ�(W
•·О so-ii 9ОО·Ц
1•Т 60•� 1000·,А
J•r 10•б 2000·,i
�.А 10•п ltOOO·,Д
s•i-
to · '9 sooo·.t
6•3°
100· 'i> 7000·,7
1•z ioo•� 8000·,И
8 ·И jОО-т 1001n1@
'•1" щ·i7 1оооо
о
<е
tO•'i SOO·ф """;Ai
10• iё
600. "i ".., 1&
JO· "i\"
100 .,
"'" ::�,
'IО·м еоо·LЗ ""А'�
Так ааписывались числа в древнеславянской нумерации.
Алфавитные системы были, :кроме ионий
цев, у древних евреев, финикийцев, армян,
грузин и других народов. Алфавитная нуме
рация была принята и в древней Руси. Над
буквами, обозначавшими числа, ставился спе
циальный знак - титло. Это делалось для того,
что.бы отличать их от обыЧных слов.
Удобны ли алфавитные системы?
Запишем в славянской нумерации число
444: rvмд.

КАК ЛЮДИ СЧИТАЛИ В СТАРИНУ И КАК ПИСАЛИ ЦИФРЫ
Мы видим, что запись получилась не длиннее
вашей. Это .объясняется тем, что в алфавитных
нумерациях имелось 27 цифр, тогда как в еги
петской, например, для обозначения всех чисел
�о 1000 было всего лишь три цифры .
Но алфавитные нумерации имели и круп
ный недостаток: с их помощью нельзя обозна
чать сколь угодно большие числа . Они были
очень удобны только для записи чисел до 1000.
Правда, славяне, как и греки, умели запи
сывать и большие числа, но для этого к алфа
витной системе добавляли новые обозначения.
Числа 1000, 2000 и т. д . они записывали теми
же буквами, что 1, 2 и т. д. , только слева внизу
ставился специальный знак ;1 , например, 1000
-
обозначали /а, . Аналогично:
..
..
..
..
2= g,2000=;К'
-
..
..
.
3= r. 3000=
;Г'
9=
..
..
..
6· 9000=
..
..
.
�в
Число 10 ООО опять обозначалось той же бук
вой, что и 1, только без титла, но его уже обво-
дили кружком: 10 000= @ Называлось это
число «тьмой». Отсюда, между прочим, про
изошло выражение «тьма народу» .
Итак, для обозначения тем первые 9 цифр
обводились кружками:
20000= ® ' 30000 =
50 000= ®
®' 40000= ®·
' 90000= ®'
10 тем, или 100 ООО, было единицей высшего
разряда . Ее называли «легион» . Для обозна
чения легионо в вокруг первых 9 цифр
ставился кружок из точек:
100000= (&;. 200 000= (к) и т. д.
.. ..
.....
10 легионов составляли новую единицу, которая
называлась «леодр» . Для обозначения л е одро в
соответствующие числа заключали в кружок
из черточек:
1000000=(а}.2000000=€"i(= ит. д.
,11••
;/111�\
Эти обозначения можно рассматривать как
зачатки позиционной системы, так как в вей
18*
для обозначения единиц разных разрядов при
меиялись одни и те же символы, к которым до
бавлялись знаки для определения разряда.
Такая система называлась «малым числом» .
В ней обозначения не шли дальше миллионов.
Но наряду с этим имелось и «большое)>, или
«великое)>, число, в котором словом «Т ь м а)>
обозначался уже миллион. Тьма тем (т. е. 1012)
называлась л е г и о н о м, легион легионов
(т. е. 1024)-леодром, леодрлеодров(т. е.
1048) - в о р о ном и, наконец, число 1049
называлоськолодой.ВрукописиXVIIв.
говорится: «И более сего несть человеческому
уму разумеватю>, т. е. для больших чисел уже
нет названий. Для обозначения воронов бук-
+++
+..
..
.
1'
вы ставили в кружок из крестиков: + .л. •, а ко
.,.(.А+
�
."..
.
..
.
лоду обозначали так: ·li
-
Алфавитные нумерации, как мы говорили,
были мало пригодны для оперирования с боль
шими числами, встречавшимися уже в древ
ности (например, при астрономически х рас
четах). В ходе развития человеческого обще
ства эти системы уступили место позиционным.
Но остатки алфавитных нумераций сохранились
в нашем оби ходе и по сей день. Так, мы часто
нумеруем пункты при помощи букв алфавита.
Правда, буквы служат только для обозначе
ния последовательного порядка, а не коли
чества. Никаких арифметических операций над
такими буквамИ мы уже не производим.
Поавцвоииые св стеиьt
Первой известной нам позиционной си
стемой счисления была шестидесятеричная си
стема вавилонян, возникшая примерно за 2500-
2000 лет до н. э . Основанием ее служило число
60. Следовательно, в ней должно было быть 60
цифр. А таблица умножения должна была со-
60· 60
стоять из
-2- = 1800 строI«
Как же вавилоняне записывали свои цифры
и как запоминали такую чудовищную таблицу
умножения?
Вавилоняне поступали так: записывали
все числа от 1 до 59 по десятичной системе, при
меняя принцип сложения . При этом они поль
зовались всегда двумя знаками: прямым клином
у для обозначения 1 и лежачим клином �
для 10. Число 32, например, писали так:

ЧИСЛА
Эти знаки и служили цифрами в их системе.
Число 60 снова обозначалось тем же знаком,
что 11 1, т. е. У. Так же обозначались и
числа 3600, 603 и все другие степени 60. Напри-
111ер, чисJIО 92 записывали так: f ..
..c:
..
..
.:
:
�уу.
Таким образом, <щифры», т. е. все числа
о т 1 до 59, вавилоняне записывали по десятич
ной непо::иционной системе, а число в целом -
по позиционной системе с основанием 60. По
этому-то мы и называем их систему шестидеся
теричной (а не шестидесятичной, как нужно
называть, учитывая только одно основание 60).
К.nивоо11еная aa
n11ci. чиеел древ
них аавилонан.
Но нумерация вавилонян имела и еще одну
важную особенность: в ней не было знака для
нуля. И если был изображен прямой клин У,
то без дополнительных пояснений нельзя было
определить, какое число записано: 1, 60, 3600
или какая-нибудь другая степень 60. Запись
числа 92, приведенная выше, могла обозначать
нетолько92=60+32, нои3600+32=3632.
32
32
Она мог,,а также означать 1 60 или 13600 и т.д.
Таким образом, запись в вавилонской нуме
рации не носила абсолютного характера - для
определени я абсолютного значения числа нуж
ны были еще дополнительные сведения. Впо
следствии вавилоняне ввели специальный символ
для обозначения пропущенного шестидесятич-
1юго разряда. Например, число 3632 нужно
было бы записать так: А А Jl
lo-
)1
11-
)l
lo-
�J..Нов
конце числа этот символ обычно не ставился.
Таблицу умножения вавилоняне никогда
не запоминали - это было почти невозможно.
Они пользовались при своих вычислениях
готовы11ш таблицами умножения, так же как
мы теперь пользуемся, например, таблицами
логарифмов.
276
Цифры индейцев
племени майя.
•f
••2
••• J
••••4
Шестидесятеричная
система
вавилонян
сыграла большую роль в развитии математики
и астрономии. Следы ее сох ранились до наших
дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут,
а минуту на 60 секунд. Точно так же, следуя
примеру вавилонян, окружность мы делим на
360 частей {градусов).
В начале нашей эры индейцы племени майя,
ноторые жили на полуострове Юкатан в Цент
ральной Америке, пользовались другой пози
ционной системой - с основанием 20. Свои
цифры индейцы майя, как и вавилоняне, запи
сывали, пользуясь принципом сложения. Еди
ницу они обозначали точкой, а пять - гори
зонтальной чертой (см. рис.), но в этой системе
уже был знак для нуля. Он напоминал по cвoeii
форме полузакрытый глаз. И, например, число
20 индейцы майя записывали при помощи знака
для единицы и внизу знака для нуля (числа
писали не в строчку, а столбцами).
Десятичная позиционная система впервые
сложилась в Индии не позднее VI в. н. э . Здесь
же был введен наш си мвол для нуля.
Итак, позиционные системы счисления воз
никли независимо одна от другой в древнем Дву
речье, у племени майя и, наконец, в Индиц. Все
это говорит о том, что возникновение позицион
ного принципа не было случайностью.
Каковы же были предпосылки для его соз
дания? Что привело людей к этому замечатель
ному открытию?
Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова
обратимся к истории. В древнем Китае, Индии
и в некоторых других странах существо
вали системы записи, построенные на м у л ь
типликативИом принципе.
Пусть, например, десятки обозначаются сим
волом Х, а сотни - С . Тогда запись числа 323
схематично будет выглядеть так:
ЗС2ХЗ.
В таких системах для записи одинакового
числа единиц, десятков, сотен или тысяч при
меняются одни и те же символы, но после каж
дого символа пишется название соответствую-

КАК ЛЮДИ СЧИТАЛИ В СТАРИНУ И КАК ПИСАЛИ ЦИФРЫ
щего разряда. На аналогичном принципе осно
ваны наши счеты: одно и то же количество кос
точек означает число десятков, сотен, тысяч
и т. д ., в зависимости от того, в каком ряду рас
положены эти косточки.
Но именно такой способ счета применялся
при счете «числами-совокупностями». Так,
йорубы 1
,
считая раковины-каури (игравшие
у них роль денег), раскладывали их в кучки
по 20 раковин в каждой, затем 20 таких кучек
они объединяли в одну большую кучу и т. д .
При таком способе счета подчеркивается то
обстоятельство, что с кучами можно поступать
так же, как и с отдельными раковинами.
Н. Н . Миклухо-Маклай рассказывал о способе
счета у папуасов, который y;i;e очень близок
к построению чисел по принципу умножения.
Чтобы сосчитать число дней до возвращения
корвета «Витязь», папуасы поступали следую
щим образом: «Первый, раскладывая :кусочки
бумаги на :колене, при :каждом обрезке повторял
«:каре-каре» (один), другой повторял слово
«каре» и загибал при этом палец прежде на од
ной, затем на другой руке. Насчитав до десяти
и согнув пальцы обеих рук, он опустил оба
:кулака на :колени, повторив «две руки», причем
третий папуас загнул один палец руки. Со вто
рым десятком было сделано то же; причем тре
тий папуас загнул второй палец: то .же самое
было сделано для третьего десятка».
Рассказывают, что так же считали стада
в Южной Африке: один из африканцев считал
:каждую голову, второй - число десятков, сосчи
танных первым, а третий - число десятков,
сосчитанных вторым, т. е. число сотен. Если
бы мы теперь обозначили палец первого через
1, палец второго через Х и палец третьего
через С, то результат по мультипли:кативной
системе записали бы, например, так: ЗС2Х31.
В Китае и Индии с древнейших времен с.уще
ствовал именно такой способ записи чисел.
Кроме того, индийцы издавна проявляли глу
бокий интерес :к большим ч11слам и способам
их записи. В одной из индийских :книг - «Ла
литавистара» - говорится о состязании между
женихами прекрасной Гопы. Предметом состя
зания были письменность, арифметика, борьба
и искусство стрельбы из лука. Почти половина
:книги посвящена описанию состязаний по ариф
метике. Победитель Гаутама придумал шкалу
чисел, идущих в геометрической прогрессии
со знаменателем 100, последним членом :которой
было 101+9·46.
1 Одно из африканских племен.
Следующей ступенью· :к позиционному
принципу было опускание названии разрядов
при письме (подобно тому, :ка:к мы говорим ари
двадцатм, а не «три рубля двадцать :копеек�). .
Но при записи больших чисел по системе с ос
нованием 10 очень часто бывал необходим сим.
вол для обозначения нуля.
Как же появился нуль?
Мы видели, что уже вавилоняне употре
бляли межразрядовый знак. Начиная со 11 в.
до н. э . греческие ученые познакомились с мно
говековыми астрономическими наблюдениями
вавилонян. Вместе с их вычислительными таб
лицами они переняли и вавилонскую шести
десятеричную систему счисления, но только
числа от 1 до 59 записывали не с помощью
:клиньев, а в своей, алфавитной нумерации.
Но самое замечательное было то, что для обоз
начения
пропущенного
шестидесятеричного
разряда греческие астрономы начали употреб
лять символ О (первая буква греческого слова
'�'
о l) о � v - ничто). Этот знак, по-види-
мому, и был прообразом нашего нуля.
Действительно, индийцы, владевшие уже
мультипли:кативным принципом записи чисел,
:ка:к раз между 11 и VI вв. н. э . познакомились
с греческой астрономией. Это видно из того,
что они переняли и общие теоретические поло
жения этой астрономии, и 11шогие греческие
термины.
Одновременно они должны были познако
миться с шестидесятеричной нумерацией и гре
ческим :круглым нулем. Индийцы и соединили
принципы нумерации греческих астрономов со
cвoeji десятичной мультипликативной систечой.
Это и был завершающий шаг в создании нашей
нумерации.
Из Индии новая система распространи.'lась
по всему миру. При этом одни народы переняли
у индийцев только принцип обозначения чисел,
оставив старые начертания цифр, другие за
имствовали и написание цифр.
Мы приводим таблицу (см. стр. 278), на
которой видно, :как постепенно видоизменялись
цифры «губар», употреблявшиеся в мавритап
ских государствах, пока они не приняли сов
ременной формы.
Откуда произошли сами цифры «губар», до
сих пор остается неясным.
В страны Европы новая индийская нумерация
была занесена арабами в X-XIII вв. (отсюда
и сохранившееся поныне название «арабские
цифры»); однако принята она была далеко
277

ЧИСЛА
1234'5б789о
[!Jбецl ?г,.
..
J2.ч.4б78fJй
1197i!l?.r��9-1f{,1.'О�о
12 75г..
·1·
.7·�АGG'1\sрв-
0к129Чг.12.3�чь,.,�qо
f30.Jг.1<t-7З�><Ч.'r6'11�81о,-0-
IJбDг..
,'3,я4()(\8<)о
/Lf42с.1z�9-lj6'\в9о
Постепенно 11зменя11сь, цифры «губар» (вторая строка) при
няли форму, близкую к современной.
не сразу. Вплоть до XVIII в. в официальных
бумагах разрешалось ПР.Именять только римские
цифры. Однако преимущества позиционного
принципа счисления были насто.1Jько велики,
что еще в XII I в. он стал применяться италь
янскими купцами. Тогда же Леонардо Пизан
ский выступил убежденным сторонником новой
системы. В Германии, Франции и Англии до
конца XV в. новая нумерация почти не упо
треблялась. Но к концу XVI - началу XVI I в.
позиционная система одержала решительную
победу - ее приняли не только купцы, но и
все ученые. Ее стали применять пов семестно.
В России, как мы уже знаем, в старину
употреблялась алфавитная система, которая
имеет много преимуществ по сравнению с рим
ской. Но и здесь новая нумерация быстро вошла
в употребление: во всех без исключения мате
матических рукописях XVI I в. применялась
десятичная позиционная система счисления.
При Петре 1 индийские цифры уже вытесняют
на монетах славянские, а в послепетровские
времена славянские цифры вообще быстро ис
чезают из обихода.
Приведем в заключение слова знаменитого
французского математика и физика XVIll
XIX вв. П. Лапласа: «Мысль выражать все числа
девятью знаками, придавая им, кроме значения
по форме, еще значение по месту, настолько
проста, что именно из-за этой простоты трудно
понять, насколько она удивительна. Как не
легко было прийти к этому методу
·
, мы видим
на примере величайших гениев греческой уче
ности Архимеда и Аполлония, от которых эта
мысль осталась скрытой».
•
2'78
llРОСТЕЙШИЕ
НЕОПРЕДЕ.JIЕННЫЕ )'"РАВНЕНИЯ
Пифагоровы треуrое1
1
ышкп
Футбольное
поле - это
прямоугольная
площадка длиной примерно 90 м и шириной
60 м. Как разметить такую площадку? Прямо
угольник на листе бумаги строят при помощи
линейки и циркуля или линейки и угольника.
Эти приборы слишко�1 малы для работы на
местности. Они не обеспечат нужной точности в
построении прямых углов такой площадки, как
футбольное поле. Если же сделать циркуль и
угольник достаточно больших размеров, то ими
будет невозможно пользоваться.
С давних времен известен очень простой
способ построения на местности прямых углов.
Выполним такое построение. Возьмем шнур
и три колышка. На шнуре отметим 12 равных
долей. Затем узлами выделим три части шнура
МВ, ВС, CN так, чтобы первая часть состояла
из пяти, вторая из четырех и посдедняя из трех
для построения
прямоугольной
ОЛОЩ3ДКИ слецо
D/1
11
0 бы ваять
угольник и цир
куль таких раа-
меров.

Построение пр ямоrо
уrла на местности.
таких долей. Узлы МиN свяжем вместе и обо
значим вновь полученный узел через А.
С помощью колышков натянем часть шнура
ВС вдоль данной прямой так, чтобы точка С
совпала с точкой, через которую должен быть
проведен перпендикуляр к данной прямой.
Потом оттянем шнур за узел А так, чтобы уча
стки АВ и А С стали прямолинейными, и вобьем
в точке, где будет находиться узел А, колышек .
Задача поетроения на местности прямого угла
решена, так как угол АСЕ прямой.
Чтобы убедиться в этом, докажем, что пря
моугольным будет всякий треугольник, стороны
которо
.
го, измеренные какой-нибудь единицей
измерения, выражаются числами 3, 4 и 5. Для
доказательства возьмем прямоугольный тре
угольник с катетами, равными двум меньшим
сторонам данного треугольника, и найдем его
гипотенузу х. По теореме Пифагора х2 = 32 + 42 •
Поэтому х=5. Таким образом, три стороны дан
ного треугольника соответственно равны трем
сторонам прямоугольного треугольника. А от
щода следует, что и данный треугольник - пря
моугольный.
Дока занное свойство rреугольника со сто
ронами . 3, . 4 и 5 б�ло, :По-видимому, известно
еще древнеегипетским землемерам . По этому
такой треугольниl\ называют египетским . Вся-
ПРОСТЕИШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИ Я
кий целочисленный треугольник
1
,
подобный
египетскому, также является прямоугольным.
Существуют ли другие целочисленные пря
моугольные треугольники .
Если катеты и гипотенузу какого-нибудь
целочисленного прямоугольного треугольника
обозначить буквами х, у и z, то по теореме
Пифагора получим :
х2+у2=z2.
(1)
Оказывается, что верно и обратное, т. е .
если х, у и z - натуральные числа, удовлет
воряющие уравнению (1), то треугольник со
сторонами х, у и z - прямоугольный.
Целочисленный прямоугольный треуголь
ник для краткости ·иногда называют п и ф а г о-
ровым.
.
Наше рассуждение показывает, что . задача
отысканИЯ всех пифагор овых треугольников
сводится к решению уравнения (1 ) в натураль�
ных числах.
Рассмотрим несколько других задач.
Вавешивание груаа на чаmеч11ых вес ах
Можно ли 28 Г некоторого вещества отвесить
на чашечных весах, имея гири · весом только
в3и5Г?
Оказывается, это можно сделать, даже не
сколькими способами.
Попытаемся найти все способы взвешивания.
Для этого поместим груз в 28 Г на правую чашу
весов и уравновесим его гирями весом в
3 и 5 Г . Возможны так ие случаи: а) все гири
находятся на левой чаше весов ; б) гир и по
3 Г находятся на левой чаше весов, а гири по
5 ' r вместе с грузом находятся на правой чаше
весов ; в) гири по 5 Г находятся на левой чаше
весов, а гири по 3 Г вместе с грузом находятся
на правой чаше весов.
Если через х обозначить число использован
ных гирь весом в 3 Г, а через у - число исполь
зованных гирь весом в 5 Г, то в соот ветствии
с отмеченными выше случаями получим:
а)Зх+5у=28,
(2)
б)Зх=28+5у,или3х-5у=28,
в)5у=28+Зх, или5у-3х=28.
Чтобы найти все способы взвешивания, нуж�
но решить каждое из полученных уравнений
i Целочисленным называют треугольник, длины
·'
сто рон которого выражаются целыми числами.
2'79

ЧИСЛА
в неотрицательных целых числах . Можно р е
шить одно уравнение (2) в целых числах , но при
зтом нужно иметь в виду , что значения неизвест
ных х и у указывают не только на число исполь
зованных гирь, но и на их место на чашах ве
сов . Так , если значение неизвестного х положи-
Сколько нужно ваять гирь ?
тельно, то число гирь весом в 3 Г равно х и все
они нах одятся на левой чаше весов; если зна
чение неизвестного х отрицательно , то число
гирь весом в 3Гравно 1х1 и все онинаходятся
на правой чаше весов.
Раскр ой фа11еры
В деревообделочный цех одного завода по
ступил заказ вырезать из фанеры заготовки
двух видов для 1000 изделий . Известно , что
на одно изделие идет две заготовки первого
вида и три второго . На складе имеется 800 ли
стов фанеры одного образца . Были предложены
три способа раскр оя этих листов. При пер вом
сп особе из листа фанеры получается пять за
готовок первого вида и две второго , при втором 
одна заготовка первого вида и пять второго и,
наконец , при третьем - три заготовки первого
вида и четыре второго .
Достаточно ли для выполнения заказа ли
стов фанеры , имеющихся на складе? Сколько
листов фанеры нужно кроить по первому , сколь
ко по второму и по третьему способам , чтобы вы
полнить этот заказ?
Обозначим буквами х1, х2 , х3 соответственно
число лцстов фанеры, раскроенных по первому ,
второму и третьему способам . Тогда 5х1 +х2 +
+3х3 - количество полученных заготовок пер
вого вида и 2х1 + 5х2 + 4х3 - количество по
лученных заготовок второго вида. Так как для
выполнения заказа требуется не менее чем 2000
280
заготовок пер вого и 3000 заготовок второго ви"
да , то должны выполняться неравенства:
5х1+х2+3х3>2000,
2х1+5х2+4х3>3000.
Чтобы заменить неравенства строгими ра
венствами , обозначим че рез х4 количество за
готовок пер вого вида , которые придется изго
товить сверх 20 00, а через х0 - количество
«лишних » заготовок второго вида . Тогда , учи
тывая , что х1 + х2 +х3 = 800, получим следую
щую систему уравнений:
\5х1+х2+3х3-х4=2000,
2х1+5х2+4х3-х5=3000,
Х1+Х2+Х3=800.
(3)
:Конечно, х4 и х5, так же как и х1, х2, х3,
должны быть целыми неотрицательными чис
лами.
Каждому варианту (х1, х3 , х3} распределе
ния 800 листов фанеры по способам раскроя
соответствует решение (х1, х2, х3 , х4 , х5) систе
мы уравнений (3) в целых неотрицательных чис
лах . Наоборот , каждому решению (х1, х2, х3 ,
х4, х5 ) системы (3) в целых неотрицательных
числах соответствует определенный вариант
распределения 800 листов фанеры по способам
раскроя . По этому задача о раскрое фанеры при
водит к отысканию решений системы (3) в це
лых неотрицательных числах.
н�опр еде.Jiеииы е уравнения
Каждая из рассмотренных задач сводится ,
как мы убедились , к решению в целых числах
некоторых уравнений или систем уравнений . Пр и
этом число неизвестных всякий раз превосходи
ло число уравнений . Такие уравнения 1-r систе
мыназываютнеопределенны11
1
и. При
решении неопределенных уравнений или систем
уравнений обычно ищут значения неизвестных ,
удовлетворяющие тем или иным арифметиче
ским условиям . Например , их решают в целых
или рациональных числах.
Еще александрийский математик Диофант
(1 11 в. н.э.) занимался решением алгебраических
уравнений в рациональных (вообще говоря , дроб
ных) числах . Решением неопределенных урав-
1 Задача о раскрое фанеры - одна на аадач бурно
развивающейся в настоящее время математ иче- _..,.
ской теории, которая нааывается линейным про
rраммнрованнем.

Если во всем всвать математвку, то моJВво построить ll
ll're
pecll)'JO полеа
в)'IО математвчесв)'IО теорВJD, рассматривая, вапр В1
1
ер, ватеАJ1ИВые уаоры
ва древвеrречесвоА ваае в.1
11
1
прихотливо повторяJОщвеся рвсув
в
в мо381
11
1t
в парвета в стар11
11ВЬ1Х
дворцах. Простейшая математвчесвая теория
ряда моаавв ПOJ
JY'l
ll'l'C
Я, ecmr ва плосвоств рассматрв
в
а'l'Ь.1
1
овав
в
в, состо
ящие ва правв.пьш.п: мвоrоуrольввков. Чтобы особо подчерl!R)"l'Ь ва•
вость тоrо, '1'1'О моаав
в
в получаJОтся повтореиием рвоув
в
а, введем о.uе
дУJОщее опредо.uеиие. Нааовем преобрааоваввем рвоJ1
11
1
а всявое ero
перемещеиие, воторое надо совершить, 'l'l'Обы совместить ero о дpYJ'Иl
l
таКИ1
1
JВе рвсуввом. Овааывается, '1'1'О для таких преобрааовавd суще
ствует очень llJIO
O'l'
ВЯвврасвваяалrебравт11
1U1
е преобрааовав
в
я обра
В)'IОТ rруп
п
у (более подробно о тавоА алrебре в теории rрупп см. в статье
«Чем 88ИВ1
1
аетсв алrебра?�).
,
Эти преобрааоваивя мо•ем подравделв'l'Ь ва в ес волыrо видов: пара.u
лельвый перенос рвоJ1
11
1
а, поворот ero ва вавой-'l'О уrол в верва.uьвое
отра:веиие. При втом овааываетсв, '1'1'О ва плосвоств Д1
1J1
ЛJОбых моаав
в
ва праввлыпа -оrоуrольвв
в
ов мо:вет быть тольво t 7 paВl
ll
l'l
llЬIX
rруп
п
таввх преобрааовавd. Это7 881
1
ечательв:ый фавт установил в 1891 r. вва
меВВ'l'ЬIА руссвd врвсталлоrраф Е. с. Федоров.
Ивучев
в
емовав
в
дает бora'l')'IO пищу ве тольво Д1
1J1
математвчесвп
всследовавd, во в для во
о
бра:веиия худо:ввв
в
а. На првааrаемом .ри
сунке мо:вво ввдеоrь вав «портреты" некоторых аботрав<r
вr.а
rруп
п
, тав
в мо881
1В
В
дpyroro 'l'ВПа. Эти остроумные рвсуикв оделал датский х7до•
вв
в
Мориц К. Ешер. Первое впечатлеиие, '1'1'О )"1'В1
1
летят,а8С8Д1
11
1В1
1
скачут тольво слева направо. Но тут :ве rлаа 881
1
ечает, '1'1'О тавая :ве
процессия о 881
1В1
1
ательвоl точвостьJО двв:вется в протв
во
поло•вом ва 
правлевв
в
.
Худо:вввв предлаrает ва:вдому попробовать свои СIШЬI в оо
ставлевв
в
тавих мовав
в
.
Одваво ов предупре:вдает, '1'1'О такав работа
требует усвд'IВ
ВОС
твt Интересно отметить, '1'1'О для таких провавольш.п:
моаавк теорwгrрупп у•е ве Я1
11
1Я
ется тавВ1
1
:ве удобВЫl
l
в плодотвор
ным математвчесввм ап
п
аратом, вав для праввльш.п: мовав
в
.
Но адесь
ва'IВИаетсв прВ1
1
евеиве друrоА ЛJОбопытвоl математвчесвой теории,
В1
1
евво теории о поврЬl'l'В
В
плоскости бев пропусвов в иало:веввА фвrу
рамв слоJВвых очертаввА. И 8'1'а 11ате11атвчеокая теория дает 11Воrо в:вте
ресш.п: в полеаш.п: сведеввй вс явому, вто поавакомвтсв с вей побmr•е.

вений в целых числах впервые начали зани
маться ученые Индии. Они предложили об
щий метод для решения в целых числах неоп
ределенных уравнений первой степени с целыми
коэффициентами, а также нашли решение в це
лых числах некоторых неопределенных урав
нений второй степени с двумя неизвестными.
Рацион&dьные и це.Jiые решения веопре
�е.Jiевных уравнений первой степени.
Метод рассеивания
Решить неопределенные уравнения первой
степени с целыми или дробными коэффициен
тами в рациональных числах нетрудно. Возьмем,
например, уравнение
29х-13у= 17.
(4)
Чтобы найти все решения этого ураnнення,
узнаем, при каких рациональных значениях
одного неизвестного соответствующее значение
второго неизвестного рационально. Каждому
значению неизвестного х соответствует един
ственное значение неизвестного у, определяе
мое из формулы:
У=
29х- 17
13
(5)
Если значение неизвестного х рационально,
то и значение неизвестного у, получаемое из
формулы (5), рационально.
·
В формуле (5) роли неизвестных х и у раз
личны. Неизвестному х мы даем произвольное
значение, а значение неизвестного у находится
в зависимости от выбранного значения неизвест
ного х. В соответствии с этим называют неиз
вестное х свободным, а неизвестное у
з а в и с имы м. Уравнение (4) можно разре
шить не только относительно неизвестного у,
но и относительно неизвестного х. В таком слу
чае неизвестное у станет свободным, а неизвест
ное х зависимым.
Для отыскания целых решений уравнения
(4) мы не можем непосредственно воспользо
ваться формулой (5), так как при целых зна
чениях одного неизвестного второе неизвестное
не обязательно принимает целые значения.
Чтобы найти все целые решения уравнения (4),
найдем такие целые значения неизвестного х,
для которых соответствующее значение неизвест
ного у является целым числом.
Это незначительное на первый взгляд из
менение постановки задачи открывает путь для
ее решения.
ПРОСТЕВШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Замечая, что
�;=2+1
3
3'
а
��=1+1
4
3'
и пользуясь формулой (5), получим:
3х-4
у= 2х-1 +13·
(6)
Мы должны узнать, при каких целых зна
чениях неизвестного х неизвестное у принимает
целые значения. Так как при целом х число
2х-1 является целым, то из формулы (6) сле
дует, что неизвестное у при целом х только в том
случае принимает целое значение, если выра"
3х-4
жение --
-ТЗ-
есть целое число. Наша за;:;.ача
еще не решена, но мы приблизились к цели.
3х-4
В самом деле, полагая 13 = Yi• замеча-
ем, что вопрос, при каких целых значениях
неизвестного х неизвестное у принимает целые
значения, равносилен вопросу о целых реше
ниях уравнения
Зх-13у1 = 4.
(7)
Таким образом, решение в целых числах
уравнения (4) удалось свести -к решению в це
лых числах уравнения (7). Чем же второе
урав нение предпочтительнее первого?
Самым простым из неопределенных урав,.
.
неН'ий первой степени естественно считать такое,
у которого хотя бы один из коэффициентов при
неизвестных равен 1 или -1. В этом случае
неизвестное с таким коэффициентом при .любых
целых значениях остальных неизвестных при-.
281.

ЧИСЛА
Будем решать
аадачу методом
рассеивания.
нимает целые значения. Поэтому чем м е н ь
ш е наименьшая из абсолютных величин коэф
фпц�:онтов при неизвестных, тем уравнение
предпочтительнее. В уравнении (4) наименьшая
из абсолютных величин коэффициентов при не
известных равна 13, а в уравнении (7) равна 3.
Как удалось достичь �того? Коэффициент при
неизвестном х и свободный член уравнения бы
ли заменены остат1<ами от деления этих чисел
на 13. Но остаток от деления целого числа на на
туральное число всегда меньше этого натураль
ного числа. Понятно, почему с самого начала
неизвестное у было выражено через неизJJестное
х: мы выбрали неизвестное с наименьшим по
абсолютной величине коэффициентом. Теперь
ясно, как поступать с уравнением (7).
При каких целых значениях неизвестного
у1 неизвестное х принимает целые значения?
Из равенства:
-
4-�13у, - 1+4 +1+У1
Х-
3
-
У1 -3-
(8)
находим, что неизвестное х при целых значениях
неизвестного у1 .только в том случае принимает
целые значения, если
1
-1; Yi есть целое число.
Обознача
.
я чере
.
з х1 это выражение, . получим
1+у1=:"
"
3х1, ил и
(9)
282
Таким образом, задача сведена к решению
в целых числах уравнения (9). Но решить в
целых числах уравнение (9) - значит узнать,
при каких целых значениях неизвестного х1
неизвестное у1 принимает целые значения. Но
у1=3х1 -1, поэтому у1 принимает целые зна
чения при любых целых значениях неизвест
ного х1• Из равенств (8) и (6) последовательно
найдем выражения для неизвестных х и у.
х=1+4(3х1-1)+х1= 13х1-3,
у=2(13х1-3)-1+3х1-1=29х1-8.
Из приведенных рассуждений следует, что
формулы:
{I= 13х1 - 3,
У=29х1 -8
(1О)
при х1=0,±1,± 2,±3,. "
дают все целые реше
ния уравнения (4) .
Аналогично решается уравнение с тремя и
более неизвестными. Поназанный на примере
метод решения неопределенных уравнений в
целых числах несущественно отличается от ме
тода, предложенного индийцами. В связи с тем
что при решении неопределенного уравнения
по этому методу оно сводится к цепи уравнений
с уменьшающимися коэффициентами, индийские
математики назвали этот метод м е т о д о м
рассеивания.
Решение задачи о взвешивании
Итак, нам нужно решить в целых числах
уравнение (2). Определяем неизвестное х:
28-5у
9
+1-2у
Х=
3
=
-у -3-
.ВерНО и такое равенство:
х=9 -2у+1tу •
Им-то мы и воспользуемся. Ведь наша цель -
уменьшить коэффициент при неизвестном. Вве-
1+у
дем обозначение: х1=з- ·
Задача сведена к ре-
шению в целых числах уравнения 3х1-у=1.
Решая это уравнение, получим у=3х1-1, где
х1 - любое целое число. А тогда
х=9-2
·
(3х1-1)+х1=11 -5х1•
Таким образом, общее решение уравнения
(2) можно записать так:
{х = 11- 5х1,
у=3х1 -1,
гдех1=О,±1,±2,.
·
·
··

Найдем неско.'IЫ<О решений этого уравнения:
Х1
.1
о
111
-1
121
-2
131
-
3
х
1111
6
1161
1
1211
4
126
у1
-1
121
-4
151
-7
181
-10
-Уравнение (2) имеет бесконечное множество
решений, но мы сможем воспользоваться толь
ко некоторыми. Это зависит от числа гирь в
нашем распоряжении, да и размеров чаш.
Мы рассмотрели два уравнения первой сте
пени. Каждое из них, как удалось установить,
имеет целочисленные решения. Однако на-
•
Задача о взвешивании решена!
ряду с ними можно указать уравнения,
решений в целых числах не имеют.
например, уравнение
Зх-6у = 5.
которые
Таково,
(11)
В самом деле, допустив, что при некоторых
целых х и у равенство (11) верно, мы получим,
что 5 делится на З.
Какие неопределенные уравнения разреши
мы в целых числах?
Можно ли для всякого разрешимого в це
лых числах неопределенного уравнения первой
степени найти его решение методом рассеивания?
На первый вопрос отвечает теорема:
Уравнение с целыми коэффициентами а1,
а2, •••
,ап, Ь:
а1х1+а�х2+ ···+а
п
хп
=Ь
(12)
разрешимо в целых числах только в том случае,
если свободный член Ь делится на наибольший
общий делитель чисел а1, а2, •••, ап.
Ответим на другой вопрос: всегда ли пред
ложенный метод решения в целых числах нео-
ПРОСТЕВШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
пределенных уравнений первой степени приво
дит к цели?
Если а1- наименьший по абсолютной вели
чине коэффициент при неизвестном в уравнении
(12), то мы заменяем это уравнение другим, в
котором все коэффициенты, кроме коэффициента
а1, заменены остатками от деления этих чи
сел на а1• Если хотя бы один из коэффициен
тов а2, аз, ..
" ап не делится на а1, то полу
чим уравнение, коэффициенты которого по аб
солютной величине меньше, чем у Данного.
С этим уравнением поступаем так же, как с Дан
ным. Если все числа а2, аз, ..., ап делятся на
а1, а Ь не делится, то данное уравнение нераз
решимо. Если все числа а2, аз, ..., ап и Ь делят
ся на а1, то, деля обе части уравнения на а1,
получим уравнение, целые решения которого
находятся без труда.
Из этого рассуждения следует, что описан
ный метод позволяет найти целые решения вся
кого разрешимого в целых числах неопределен
ного уравнения с целыми коэффициентами.
Неопреде.Jiенные систеиы �'равнений
первой степени
При решении в рациональных числах нео
пределенных систем уравнений пе
.
рвой степени
с рациональными коэффициентами обычно поль
зуются методом последовательного исключения
неизвестных. Решим, например, в рациональ
ных числах такую сqстему уравнений:
{Зх -t 5у-7z = 15,
,2х-Зу+9z=12.
Из первого уравнения находим:
15-5у+7z
(1З)
х=
3
.
Подставляя значение неизвестного х во
второе уравнение, получим:
или
2·
15-5
j+7z - Зу+9z =12,
19
41
-
3у+зz=2.
(14)
Давая в уравнении (14) неизвестному z ка
кое-нибудь рациональное· значение, т. е . при
нимая неизвестное z за свободное неизвестное,
а за зависимые • неизвестные неизвестные х
и у, мы, пользуясь равенствами(14) и (1З), смо
жем найти все решения в рациональаых ·числах
данной системы уравнений.
283

ЧИСЛА
В целых числах такую систему можно решить
сходным способом. Сначала рассматривают одно
из уравнений системы и решают его в целых
числах. Найденные выражения для неизвестных
этого уравнения через некоторые вспомогатель
ные целочисленные неизвестные подставляют во
второе уравнение. Решив в целых числах полу
ченное уравнение с новыми неизвестными, мож
но найти все решения в целых числах и данной
системы уравнений.
Решение аадачв о раскрое фанеры
Теперь приступим к решению системы урав
нений (3). Мы имеем три уравнения с пятью
неизвестными. Поэтому два неизвестных будут
свободными, а остальные три - зависимымИ'.
.Конечно, в качестве зависимых неизвестных
нужно брать те, у которых абсолютная величи
на коэффициентов минимальна.
Поэтому выберем в качестве свободных не
известных х1 и х2 и выразим х3, х4, Х;, через
х1и::·�
·
Для этого значение х3 = 800 -х1 -х2
подставим в первые два уравнения, получим:
Х3=800-Х1-Х2,
х4 = 400+2х1 -2х2,
х" =200 -2х1+х2•
Теперь, давая х1 и х2 целые значения, по
лучим всевозможные решения системы (3) в
целых числах.
Исследуйте самостоятельно, какие целые
неотрицательные значения следует давать х1 и
х2, чтобы х3, х4 и ·х5 также были неотрицатель
ными.
Ниже приведена таблица некоторых решений
системы (3).
Х1
1о1
о
1 о 1100110011001100/200 200J2001300! 300
Х2
1 о 1100,2001 о 1100,200J3ool209 3ool4ool4ooi500
Хз !soo!100,600!1ool6001500/ 4ooj4oolзool2ool 100! о
х, 1400\200\ о \600\4001200\ о \400\200\ о \200\ о
Хъ \200\300!400\ о \ 100\2001300\ о \ 1001200\ о 1100
Из таблицы видно, что листов фанеры до
статочно и что самый выгодный способ раскроя
будет при х1= 0,х2=10 0, х3=.7 00. В этом случае
284
образуются «лишние>> заготовки еще для 100
изделий. В других случаях «лишние)) заготовки
будут некомплектными. Но нужно ли раскраи
вать все 800 листов? Ведь нужны заготовки для
1000 изделий, а не для 11 00.
Поэтому практический интерес представляет
следующий дополнительный вопрос к этой зада
че: какое наименьшее число / листов фанеры
следует взять со склада и какими из указанных
способов следует кроить взятые листы, чтобы
выполнить заказ? Для ответа на этот вопрос
из всех решений в целых неотрицательных чис
лах системы уравнений
{5х1+х2+3х3-х4=2000,
2х1+5х2 +4х3-х5 =3000
(15)
нужно выбрать такое решение (х1,х2, х3, х4, х5),
для которого / =х1+х2+х3 принимает наимень
шее значение, или, как мы будем говорить даль
ше, удовлетворяет у слови ю мини маль
ности.
Чтобы облегчить поиски, откажемся вре
менно от требования, чтобы значения неизвест
ных были целыми. Попытаемся решить нашу
задачу удачным выбором свободных неизвест
ных. Удобнее всего такими выбрать х4, х5 и
:какое-нибудь из неизвестных х1, х2, х3• По
этому, исключая из уравнений (15) сначала,
например, х1, а затем х2 и опуская промежуточ
ные выкладки, будем иметь:
1
х1 = 23(7000-11х3 +5х4 -х5),
1
х2= 23(НООО-14х3 -2х4 +5х5), (16)
1
f=23(18ООО-2х3 +3х4 +4х0).
При данном значении х3 наименьшее зна•
чение / мы получим, если неизвестным х4 и х6
дадим нулевое значение (это и понятно, ведь
х4 и х5 - количество «лишних)) заготовок!) .
Пусть х4 =х5 = 0. Легко видеть, что при воз
растании значений неизвестного х3 значение /
будет убывать. Но рост х3 сдерживается требо
ванием, чтобы значения неизвестных х1 и х2
7000 11 ООО
были неотрицательными. Так как 1Т <-�г ,
то из равенств [см. (16) при х4 =х5= 0):
11(7000 )
Х1=23 \-11- -Хз '
14 (11000
)
Х2= 23 м--Хз
видно, что при возрастании х3 отрицательные
значения прежде всего будет принимать неиз•

вестное х1• Поэтому естественно неизвестное
х1 сделать свободным, а неизвестное х3 - зави
симым.
Исключая из уравнений (15) неизвестные х2 и
х3, найдем:
1
х2=
11(1000+ 14х1 - 4х4+3х5),
1
х3 = 11(7000-23х1+5х4 - х5),
1
f= 11(8000+2х1+х4 +2х0).
Легко видеть, что наименьшее значение /
получим, если свободным неизвестным х1, х4 и
х5 дадим нулевые значения. При этом для зави
симых неизвестных получим положительные
значения:
1000
Х2 =11
'
7000
Хз=
f1•
Следовательно, решение
1000
Х1=О;Х2=и
=
9 0,9
...
;
7000
х3 =11
=636,3···;х4=О;х5=О
системы (15) удовлетворяет условию минималь
ности. Но нам требуется найти целочисленное
решение в неотрицательных числах, удовлет
воряющее условию минимальности. Из приведен
ных рассуждений следует, что для такого ре-
8000
шения />1Т=727,2...
или даже /?:
:-
728,
таR как число должно быть целым. Можно
ожидать, что ис1юмое решение мы получим, если
немного изменим значение неизвестных. Поло
жим, например, х1 =О, х2 = 91, х3 = 637.
Тогда:
f=Х1+Х2+Х3 =728,
5.0 + 91+3·637 = 2002 > 2000,
2.0 + 5.91+4·637 = 3003 > 3000.
А это убеждает нас, что целочисленное реше
ние с условием минимальности найдено. Итак,
со склада достато чно взять лишь 728 листов
фанеры и 91 из них кроить по второму, а осталь
ные по третьему способу.
Решенная нами задача о раскрое фанеры
относится к числу задач, составляющих пред
меттеории линейного програм
м,ирования.Вэтойтеориирассматривают
задачи следующего типа: из всех решений в не
отрицательных числах некоторой системы урав-
ПРОСТЕВШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
пений первой степени найти решение, удовлет
воряющее условию минимальности. Иногда,
как в задаче о раскрое фанеры, выдвигают
дополнительное требование, чтобы значения
неизвестных были целыми числами.
Жозеф Луи
Лаrравж.
Весьма многие проблемы экономики страны,
в частности вопросы планирования производ
ства и перевозок, приводят к этим задачам.
Це.Jiые решения
неопреде.Jiенных уравнений
степени выше первой
Решение в целых числах неопределенных
уравнений степени выше первой с целыми коэф
фициентами - во многих случаях задача более
сложная, чем решение в целых числах неопре
деленных уравнений первой степени.
Индийские математики (V - Х11 вв.) нашли
решщше в целых. числах некоторых уравнений
второй степени с двумя неизвестными. Полно
стью задачу нахождения в целых числах неопред е
ленных уравн ений. второй степени с двумя неиз
вест ными решил в 1766 г. французский матема
тик Ж. Лагранж.
'Уравнения третьей степени с двумя неизвест
ными до сих пор до конца не исследованы.
С некоторыми типами таких уравнений удалось
справиться советскому математику Б. Н . Дело
не. Нужно сказать, что даже установить число
решений таких уравнений третьей и более вы
соких степеней исключительно трудно.
280

ЧИСЛА
В начале нашего столетия норвежскому ма
тематику А. Туэ удалось доказать интересную
теорему:
Неопределенное уравнение с целыми коэффи
циентами:
аохп + a1 xn-
1
y + a2xn-
2y2+ ...+а
п
уп=Ь,
где п - целое число, большее двух, имеет только
кq
,
нечное множество решений (в частности, мо
жет не иметь решений) в целых числах, за исклю
чением случаев, когда левая часть этого урав
пения есть степень однородного двучлена первой
степени или трехчлена второй степени.
Еще более трудным является вопрос о реше
нии в целых числах неопределенных уравнений
выше первой степени с тремя и более неизвестны
ми. До сих пор неизвестен общий метод решения
таких уравнений. Уравнение (1) является пр()
стейшим из них. Древние греки и даже вавило
няне знали тождество:
(2тп)2+(rn2 - п2.)2 == (т2 + п2)2.
Пользуясь таким тождеством, нетрудно находить
натураЛьнше решения уравнения (1). Для этой
цели нужно в формулах
{х = 2тп,
у=т2-п2,
z=т2+п2
(17)
переменным типдавать натуральные значения
с условием, что т>n. При помощи простых сооб
ражений доказывается, что из формул (17) можно
получить все решения уравнения (1) в нату
ральных и взаимно простых числах, если па
раметрам т и п давать натуральные, взаимно
простые и разной четности значения с услови
ем т>п.
Занимаясь неопределенными уравнениями,
известный французский математик П. Ферма
высказал в середине XVII в. предположение,
что для любого натурального числа п, боль
шего 2, уравнение
xn+уп=zn
не имеет решений в натуральных числах. До
казательство этого утверждения для п =3 ип=4
было найдено Л. Эйлером.
В дальнейшем предпринимались многочислен
ные попытки доказать это утверждение (так
называемую великую теорему Ферма) полностью�
но они не имели успеха1• Однако такие попытки
не были безрезультатными - они содействовали
возникновению и развитию нового отдела ма
тематики - алгебраической теории чисел.
В 1770 г. шотландский математик Э. Баринг
выс1\азал предположение, что для всякого
натурального k, не равного 1, существует такое
натуральное число r, что при любом натураль
ном N, уравнение
k
k
k
N
Х,+Х,+ •••+Хт=
(18)
разрешимо в целых числах. Доказательство част
ного случая этого утверждения принадлежит
Ж. Лагранжу. Он установил, что всякое число
можно представить в виде суммы четырех квад
ратов целых неотрицательных чисел, например:
23=32+32+22+i2
'
26=42+32+t2+02.
Полностью эту теорему удалось доказать в
1909 г. немецкому математику Д. Гильберту. Но
ему не удалось дать оценку минимального чис
ла r, для которого уравнение (18) разрешимо в
целых неотрицательных числах. Значительный
успех в определении g(k) (так обозначают наи
меньшее r, для которого при любом натураль
ном N уравнение (18) разрешимо в целых неот
рицательных числах) стал возможен только
после создания советским математиком И. М . Ви
ноградовым особого метода для решения эток
и сходных с ней задач.
Сравнительно недавно стали изучаться по
казательные неопределенные уравнения. К этой
области принадлежит интересная теорема со
ветского математика А. О. Гельфонда:
Уравнениеах+ЬУ=cz, где а, Ь ис -целые.
каждое из которых не равно ни нулю, ни степени
двойки, может иметь не более чем конечное
число решений в целых числах х, у и z.
Наиболее трудными являются неопределен
ные уравнения, связанные каким-либо способом
с простыми числами. Но и в этой области за по
следние годы наметился успех. Мы не будем
останавливаться здесь на этой сложной и увле
кательной проблеме.
1 В настоящее время теорема доиазана для всех
п<1О ООО.
•

ГЕОМЕТРИЯ BORPJ'Г НАС
1\ое-кто, возможно, считает, что различ
ные замысловатые линии и поверхности мож
но встретить только в книгах ученых-матема
тиков.
Однако стоит внимательно осмотреться, и мы
сразу обнаружим вокруг нас всевозможные гео
метрические фигуры. Оказывается, их очень
много. Просто мы их раньше не замечали.
Вот комната. Все ее стены, пол и потолок
ФИГ�РЫ
И TE.JIA
являются плоскостями (не будемоб
ращать внимания на проемы 01юн и дверей),
асамакомнатаимеетформупараллеле-
пипеда.
Посмотрим на паркетный пoJI. П.'lанкп пар
кета-прямоугольники пликвад
р аты. Пройдем в ванную комнату. Плит1ш
пола там часто бывают правильными ш е с т н
угольниками иливосьмиуголь-
ник а ми, между которыми уложены неболь
шие квадратики.
287

ФИГУРЫ И ТЕЛА
Но вернемся в комнату и посмотрим на ме
беш,. Шкаф в своей (jснове - параллелепипед.
Письменный стол не что иное, нак очень пло
ский параллелепипед, лежащий на двух дру
гих параллелепипедах - тумбочках, в которых
размещаются ящики. На столике - лампа с аба
журом. Этот абажур - к ону с.
Ведропредставляет собойусеченный
к о н у с, у которого верхнее основание больше
нижнего. Впрочем, ведро бывает и цилиндри
чесной формы. Вообще цилиндров и конусов
в доме очень много. Все прямые трубы (водопро
вод, паровое отопление, газопровод) --' ц и
л и н д р ы. А там, где трубы изогнуты, обра
зуютсятакназываемыеканаловые или
трубчатые поверхности.
В буфете стоит посуда. Вот граненый стакан
с боновой поверхностью правильной многогран
нойусечепноii пирамиды. Чайное
блюдеч1ю - тоже усеченный конус. Воронка
состоит из днух усеченных конусов, которые
переходят один в другой.
Нальем в станан воду. Края ее поверхности
имеют форму 1\ р у г а. Наклоним стакан так,
чтобы вода не nыливалась; тогда край водной
поверхности станет эллипсом.
Выйдем на улицу. Перед нами - дома.
Если не обращать внимания на различные осо
бенности их архитектурной отделки, можно сна
зать, чтостеныдомовявляютсяплоскостя
ких параллелепипедов
ипризм, переходя
щих друг в друга.
Многие жилые дома,
дворцы, общественные
здания украшены ко
лоннами. Колонны в
большинстве случаев -
цилиндры, но могут
иметь и более сложную
форму.
Кто был в Москве,
знает, как красив Мо
сковский Кремль. Пре
красны
его
башни!
Сколько интересных гео
метрических фигур 110-
ложено в их основу!
Вот, например, Набат
ная башня (см. рис. меж
ду стр. 288-289). На вы
соком параллелепипеде
стоит параллелепипед
поменьше, с проемами
11
для окон, а еще выше воздвигнута четырех
угольная усеченная пирамида. На ней располо
жены четыре арки, увенчанные восьмиуголь
ной пирамидой.
По улице движутся автомобили, трамваи,
троллейбусы. Их колеса с геометрической точки
зрения - круги. Мы настолько привыкли к
м и. Две стены, встречаясь под углом, пересе
каются по прямой линии. Дом в целом, с этой
точки зрения, есть тело, ограниченное пересе- 1
кающимися друг с другом плоскостями, т. е.
многогранник. Навклейне изображен
такой дом-многогранник. Он состоит из несколь-
:Каких только геометри•rеских форм не встретишь
вокруг! Форму различных многогранников имеют
кристаллы, причудливую симметричную форму -
листья, а шары - главная цеталь шарикоподшип
ника. Форму тора имеет спасательный круг, а пла
нета, на которой мы живем, ·-
форму геоида.
288

этому, что даже не ду
маем об 01\ружности как
о кривой, которая по
могла людям во много
раз облегчить
труд.
А ведь было время, ког
да люди еще не знали
колесu.
Посмотрим на авто
мобильные фары. Их
внутренняя
поверх
ность зеркальная. Конструкторы автомобилей
знают, что свет должен выходить из фар пуч
ком параллельных лучей: тогда сила света бу
дет слабее всего уменьшаться с увеличени
ем расстояния. А чтобы зеркало фар отража
ло лучи параллельным пучком, зеркалу нужно
придатьформупараболоида враще
н и я, внутри которого в определенной точке
(в фокусе) находится лампочка. Параболоид
вращения - это поверхность, которая образует
ся при вращении параболы вокруг ее оси.
"У некоторых марок автомобилей фары на
ходятся внутри капота и снаружи виднеется
только стекло. "У других же весь корпус фары
выступает наружу и ясно видно, что она пара
боJiической формы.
Параболоид вращения служит отражающим
зеркалом и у прожекторов, которые посылают
в небо мощные лучи. Форму параболоида вра
щения имеет купол Московского планетария
(см. рис. на вклейке).
Перед нами мост. Арки мостов бывают раз
ной формы: одни из них эллиптические, другие
параболические. На парапете моста часто
у1\репляют спасательные круги. Они по форме
очень близки к тору. Т о р - это поверх
ность, образующаяся при вращении окруж
ности воl\руг осп, когда ось не пересеl\ается
с окружностью, но лежит с ней в одной плосl\о
сти (см. рис. на вl\лейl\е).
Мы подходиы к радиостанции. Здесь возвы
шаются радиомачты с излучателями элеl\тро-
111агнитных 1\олебаний на верхушl\ах. Но какой
странной формы эти мачты! Они состоят из
отдельных частей (секций), поставленных друг
на друга. А 1\аждая сеl\ция похожа на 1\руглую
сетl\у, образованную прямолинейными стерж
нями.
Многим условиям должны удовлетворять геометри
чес1ше формы раЗJtичных сооружений, еоздаваемых
человеком. Обтекаемую форму придают пароходу,
-подве,цной лодке, автомобилю (особенно гоночному).
А космическая ракета - транспортное средство
будущего - имеет форму конуса, поставленного
на цилиндр. Самую разнообразную форму имеют
здания 11 их различные детали.
819д.э.т.2
1
ГЕОМЕТРИЯ ВОКРУГ НАС
.:·..
••
.· ..
ЛП]·:; ·;f
...
... :.
..
.
.
1
289

ФИГУРЫ И ТЕЛА
Рассмотрим любую из се1щий (они отлича
ются только размерами ). Представим себе, что
стержни расположены вплотную друг к дру.гу.
В таком случае они будут образовывать заме
чательную кривую поверхность, которая назы
ваетсs� однополост11ым гипербо-
л о и дом. Те прямолинейные стержни, кото
рые мы видим, не что иное, как прямо ли
нейные образующие этой поверх
ности. Посмотрите па однополостный гипербо
лоид (рис. на стр. 292-293). Трудно поверить,
что он состоит из прямых линий. Однако это
именно так. Эта ионструкция очень легка и
отличается исключител
·
ьной прочностью.
ветским инженером В. Г . Шуховым и называ
ются шуховскими.
Своим названием однополостный гипербо
лоид обязан гиперболе. Эта поверхность обра
зована вращением гиперболы вокруг той из ее
осей, которая ее не пересекает. В таком случае
при вращении образуется единая поверхность
(одна полость).
Иногда строят односекционные выщки из
прямолинейных металлических стержней высо
той в многоэтажный дом. Так построена во
донапорная башня около Сельскохозяйственной
академии им. К. А. Тимирязева в Москве. Та
кие башни были впервые сконструированы со-
А теперь сядем в поезд. Город остался далеко
позади. Бегут телеграфные столбы. Но и здесь
геометрия не покидает нас. Вдоль дороги на
столбах натянуты провода. Вот проходит линия
высоковольтной передачи. Провода от собствен
ной тяжести слегка провисают. Какая же ли
ния образуется при этом? Такой вопрос имеет
большое-практическое значение. Когда требуется
определить длину провода, необходимого д.1
1
я
передачи электроэнергии на большие расстоя
ния, приходится учитывать, что его длина (бла
годаря провисанию) будет большей, чем расстоя-
Поищеи чис.Jiа-,,саиородкн"
290
Возьмем какое-нибудь це.лое по.1
1
0-
жнте.льное чис .1
1
0, например t3. Приба
вим сумму его цифр, тогда образуется
чис.ло t7. К этому реау.льтату тоже
прибавим сумму его цифр, образуется
чис.ло 25. Продо.лжая ток действовать,
по.лу•шм пос.ледовате.льность чисе.л:
t3, t7, 25, 32, 37, н, ...
Прежде всего давайте выясним,
можно .ли по.лучениую пос.ледовате.ль
ность продо.лжи'l'ь в.лево, т, е. сущест
вует .ли чис.ло, которое в сумме с его
же цифрами да.ло бы t3'1 Пробуем t2:
t2+3=t5 -п.лохо.
Пробуем tt:
tt+2=13-хорошо.
Значит, перед чис.лом t3 в нашей по
с.ледовате.льностн до.лжно быть чи
сло tt. А перед ним? Попробуем tO:
10+1=tt -хорошо.
А перед чис.лом 10? Здесь н без
пробы ясно, что Ч'Нс.лу 10 будет
предшествовать 5. В самом де.ле:
5+5=tO.
Но уже д.ля чнс.ла 5 нет предшест
венника среди це.лых положнте.льных ·
чисел. Таким обрааом, в пос.ледова
те.льностн:
5, 10, tt, t3, 17, 25, ...
все чнс.ла, кроме пятерки, «сформи
рованы» по единому прави.лу, а чис.ло
5 оказалось как бы «самородком» .
Отправимся в поиски других «Са·
мородков»,
ана.логнчных чис.лу 5.
Однозначные «самородки»
об
наружио11ются сразу. Зто, очевидно,
t,3,5,7и9.
Из двузначных наименьшим «Са·
мородком» будет чис.ло 20. (Легко
убедиться, что ин одно на чисе.л от
1доt9всуммесегожецифрамине
образует 20.) С.ледующнй двузначный
«самородок» - чис.ло 31. (Убедитесь ! )
А ско.лько же всего двузначных
«самородков» '1 Выясните самостоя
те.льно. (0 тве т ни стр. 321.)
Есть «самородки» и среди_ много
аначных чисе.л, например:
132, НЗ, 233, 929, t952, 8Н 531 и т. д•
Не так-то .легко бы.ло выявить ихl

вие между конечными пунктами линии .шектро
передачи. И чтобы точно подсчитать длину
проводов, необходимо определить, какая имен
но линия образуется при провисании·провода
между двумя столбами. Оказывается, что меж
ду каждыми двумя столбами провод провисает
по так называемой цепной
лини•1.
Точно так же провисает и шнур, укрепленный
на двух гвоздиках, вбитых в стену. Цепная ли
ния очень похожа на параболу, но это не парабо
ла; свойства цепной линии и параболы различны.
Наш поезд идет по прямолинейному жеJ1езно
дорожному пути и время от времени плавно
проходит закругления рельсов. Плавное движе
ние поезда на изгибах железнодорожного полот
на обусловлено тем, что железнодорожный путь
на закруглениях искривлен не просто по окруж
ности, а также по некоторым довольно замыс
ловатым кривым. Лишь иногда, на очень крутых
поворотах, мы ощущаем, что нас слегка оттал
кивает к одной из стенок вагона. Мы знаем, что
на закр углениях на вагоны действует сила, кото
рую называют центробежной. Она стремится опро
кинуть вагоны и отклоняет все тела, находящие
ся в поезде, к внешней стороне закругления.
Чтобы вагоnы не опрокинулись, внешний
рельс железнодорожного полотна на повороте
слегка поднимают по сравнению с внутренним,
и этот подъем тем больше, чем круче поворот.
Но если заставить поезд сразу переходить с
прямолинейного участка пути на круговой, то
надо сразу и круто приподнять один из рельсов
и вагоны будут испытывать при переходе рез
кие и сильные толчки. Чтобы этого избежать,
переход на закругление делают постепенным.
После прямолинейного участка пути рельсы
сначала укладывают по так называемой п е -
реходной кривой(вдолькоторойискрив
ленность возрастает постепенно) и лишь потом
эту кривую переводят в дугу окружн о с т и.
Так поступают и в конце поворота. В качестве
переходных используются разные линии (в зави
симости от кривизны поворота, скорости поезда
на повороте и т. д .) . Обычно применяют либо
дугукубической параболы, либо
дугу лемнискаты, либо дугу спи
рали Корню (рис.настр.292-293).
До сих пор мы говорили только о тех про
стейших линиях и поверхностях, которые вид
вы с первого взгляда. А если присмотреться
внимательнее, то обнаружим все новые и новые
линии и поверхн ости.
Заглянем ва завод. Заводские трубы - при
мер усеченного конуса: широкие снизу, они
постепенно суживаются кверху. На заводе ра-
19*
ГЕОМЕТРИЯ ВОКРУГ НАС
ботают станки. Какое множество самых разнооб
разных линий описывают различные движущиеся
части станков! На любом винте имеются винто
вые нарезки. Мы увидим сташш с эллиптиче
скими колесами, зубчатые колеса с самыми раз
нообразными формами зубцов, выточенных по
дуге циклоиды, эллипса, э в о ль-
венты круга. Свойства этих кривых, имею
щих важное применение в технике, изучаются
средствами высшей математшш.
Кажется, мы не упомянуш1 еще о ш а р о
войповерхности.Аведьонавстречает
ся часто. Вспомним хотя бы шариковые под
шипники. Более того, форму шара придают иног
да и газгольдерам, т. е. резервуарам д;�я хране
ния газа (см. рис. на стр. 2!:12-293). Это объяс
няется одним замечательным свойством шаровой
поверхности: на изготовление шара расходует
ся значительно меньше матерпала, чем на сосуд
любой другой формы того же объема.
А сколько еще встречается различных по
верхностей, сложных по форме, не имеющих
специальных названий!
Вот паровой котел, напоминающий цилиндр.
В нем находится пар под высоким давлею1ем.
Поэтому стенки цилиндра слегка (пусть неза
метно для глаза) изгибаются, образуя поверх
ность очень сложной и неправильной формы, ко
торую, однако, инженеры обязаны хорошо
знать, чтобы суметь рассчитать 1ютел на проч
ность. Сложную форму имеет и норпус подвод
ной лодки. Он должен быть хорошо обтекае
мым, прочным и вместительным. От формы кора-
llз шести спичек
С помощью кусочков ш1астилина я соорудил
пирамиду и заметил, что в атой конструкции со
держится четыре равных равносторонних треуrоль-
инка.
«А не моrу JJИ я теперь образовать n 0;1ной
п;1
1
оскости четыре равных равносторои1111х треуrо.uь
ивка на шести одинаковых отрез1шв?»
Прикинул на спичках - получилось! И плас
тилин не потребовался.
Если вам не удастся самостоятельно воспроиз
вести вту новую конструкцию, ваrляннте на стра.
нвцу 321.
291

ФИГУРЫ И ТЕЛА
бельного корпуса зависит и прочность корабля,
11 его устойчивость, 11 скорость.
Высокие скоростп движения заставпли инже
неров обратить серьезное внимание на форму
современных поездов, са1110:1етов, автомобилей.
Именно от нее завпсит встречное сопротивление
воздуха, которое быстро возрастает с увеличе
нием скорости. А если фор111а будет удачной,
обтекаемой, сопротивление воздуха можно зна
чительно уменьшить. Например гоночный ав
томобиль; его кузову придают тю.;ую форму,
чтобы встречные потони воздуха плавно обте
кали машину и плотнее пршюшали ее к земле
(см. рис. на стр. 288 -289).
Мотор автомобпля зак
·
дючен в обтекаемый
1\апот, ветровое стекло отклонено назад, крыша
кузова плавно переходит в наклонную заднюю
·стенку, И капот, 11 :крыша, и задняя стенh"Э. не
плоские. Они п р едставляют собой сложные по
верхности, с которыми ш1юльная математика
не имеет дела. Но 1нщ очень интересуются ин
женеры, которые тщательно нх рассчитывают
в своих конструкторских бюро.
Мы живем в эпоху завоевания кос:'lюса.
Наши ракеты запускают :космичес1ше корабли,
спутники Землп. Космическая лаборатория
сфотографировала обратную сторону Луны.
Какие геометрические формы 111ы здесь пс
пользуе111? В основе корпус ракеты состоит пз
цилиндра, заключающего внутри себя двига
тели и горючее. В конической головной части
помещается кабина с прибора111:и или с кос1110-
навтом (см. рис. на стр. 288 -289).
Итак, мы познаномились со множеством
различных линий, поверхностей и тел, которые
, нас окружают. Теперь вы и сами, несомненно,
заметите множество геометрических фор111, о
которых мы здесь не упоминали.
Впрочем, об одной из них, о липни, :�.;оторую
никто не видит, но которая всегда находится
около нас, мы расскажем, ибо за111етить ее само
му, ничего не зная о нeii заранее, невозможно.
Пол и потолок в нашей :�.;омнате поддержи-
.
ваются балками, концы :�.;оторых вмурованы в
стены. Балки под влиянием большой нагрузки
слегка прогибаются (этот прогиб незаметен для
глаза), и, чтобы рассчитать допустимую на-
' грузку на балки, архитектор должен знать
линию ее прогиба. Оказывается, балка, поддер
;кивающая пол или потолок, прогнбается по
1•ривой, которая называется п а р а б о л о й
4-й ст е п е н и. Не будет преувеличением
.
с1<азать, что эта линия всегда находится у нас
1 под ногами и все
.
гда виспт над нашей головой.
Мы видим, сколько самых разнообразных
282
геометрических линий и поверхностей исполь
зует человек в своей деятельности - при строи
тельстве жплпщ, фабрик, заводов, мостов, ма
шин, в транспорте. Пользуется же он ими не из
простой любви к интересным геометрическим
фигура1
1
1, а пото�1у, что свойства этих геометри
чесю1х линий и поверхностей позволяют с наи
бо.'lьше:й простотой решать разнообразные тех
н11чесю1е задачп.
Но чтобы применять эти свойства в технике,
надо их знать. Следовательно, надо изучать
все эти линии 11 поверхности. И не только их,
но и многие другие, так как техника развивает
ся и с :�.;ажды111 годом использует для своих
нужд все новые п новые геометрические формы.
Изучая свойства разных линий и поверхностей,
мы ставим себе целью выразить эти свойства в
виде фор111ул, чтобы уметь по ним производить
расчеты машин, зданий и других сооружений.
До спх пор мы в основном упоминали о гео
метр11чесю1х формах, созданных руками чело
века. Однако п в самой природе очень много
замечательных геометрических форм.
Так, 111ы живем на своеобразной поверхно
сти, :которая хотя и именуется земным шаром,
но на самом деле является, как говорят астро
номы,гео11домипоформеоченьблизкак
эллипсоиду вращения (рис.на стр.288 -
289). Этот элшшсоид образован вращением
эллипса вокруг его малой оси. Правда, он мало
отличается от шара (полуоси эллипса, враще
нием которого образован эллипсоид, относятся
299
друг к другу как
300). Но все
-
таки �то раз-
личие прпходптся принимать во внимание при
составлении географических карт.
Взглянем на кристаллы (рис. на стр. 424-
425). Мы обнаружим в них сочетание призм,
пирамид 11 других многогранников.
Листья на деревьях ограничены самыми при
чудливыми ЛИНllЯJl!И.
Ничего не может быть проще и однообразнее
для глаза, чем безграничная плоская поверх
ность моря в безветренную погоду. Но сколько
хлопот причиняет людям морская поверхность,
едва подует ветер! Вначале образуются неболь-
Форму разнообразных геометрических фигур имеют
все арх11тектурные и строительные конструкции.
t. Ра;:�.иома•1та, каждая секция которой представля
ет собой о;:�.нополостный гиперболоид.
2. Мост с параболической (слева) и эллиптической
арками.
3. Газгольдеры шарообразной формы.
4. Заводские трубы - усеченные конусы.
5. Поезд делает поворот по переходной кривой:
а) схема переходной кривой,
б) переходная кривая - спираль Корню,
в) переходная кривая - лемииската Берну.1
1
.1
1
в,
г) перехо;:�.ная кривая - кубическая парабела.

mие волны, потом они принп111ают самую при
чудливую геометричес«ую форму, сталюrваясь
между собой, обгоняя друг друга, попадая в
уз«ие проливы или на отмел11, ударяясь о
стен«и молов и причалов. Формы поверхности
этих волн приходится изучать в физпке 11 меха
ни«е, та« «а« на основе этого нзученпя проеl\
тируются Rорпуса Rораблей, наименее подвер
женные Rач«е, а та«же наибоJiее прочные стен
ю1 волнорезов и набережных, успешно сопро
тивляющиеся ударам волн.
Во многих случаях наблюдения над явдения
ми природы помогают человеку в решеюш его
техничес«их задач. Достаточно с1,азать, что
на заре развития авиаци11 наш знаменитый
ученый Н. Е. Жуковс«ий, �.;оторого В. И. Ленин
назвал «отцом русской авиацнш>, 11 С. А. Чап
лыгин исследовали полет птиц, чтобы сделать
выводы относительно наивыгоднеiiшеii: формы
I\рыла самолета и условий его полета.
Из всего с«азанного видно, ка�.;ую важную
роль в нашей жизни играет геометрия.
Наша ш1\ольная, элементарна.Я геометрия
изучает лишь простейшие нз геометрическпх
фигур. Но существуют и другие геометрпческие
нау«и, изучающие более сложные лшшп п по
верхности.
Полуправильные выпуклые многогранн111ш. Их гра
ни - правильные многоугольники разных на11мено 
ван11й, а все многогранные углы равны между собой.
всего существует тринадцать вполне определенных
полуправильных многогранников (они были изнест 
иы Архимеду, поэтому их таюке называют телам11
Архимеда) и еще две бесконечные сер1111 так на
зываемых призм и антипризм Архимеда.
На рисунке изображены все тринадцать типов
полуправильных многогранников: 1) усеченный
тетраэдр (грани - правильные треугольники 11 шес
тиугольники), 2) кубооктаэдр (граю1-прав11льные
треугольники и квадраты), 3) усеченный о�;таздр
(грани - квадраты 11 правильные шестиуголь1111к11),
i) усечен11ый куб (грани - прnвильные треуголь
ники и восьмиугольники), 5) икосододе�;аэдр (гра
ни - правильные треугольники и пятиуго.,ьники),
6) усеченный икосаэдр (гран11 - прави.,ьные пят11-
угольники и шестиугольники) 7) ромбокубоэ�;таэдр
(грани - правиль11ые треугольники и �;вздраты),
8) плосконосый куб (грани - правильные тре
угольники и квадраты), 9) усеченный до;�еквз.:�.р (гра
ни - правильные треуголью1к11 и десят11угольник11),
10) ромбоикосододекаэдр (грани - правильные тре
угольники, пят11угоJ1ьник11 и квадраты), 11) усечен
ный кубооктаэдр (грани - квадраты, 11рав11льные
шестиугольники и восьмиугольники), 12) плоско
носый додекаэдр (грани - правильные треуголь
ники и пятиугольники), 13) усеченный 111<осододе
каэдр (грани - квадраты, правильные шестнуголь
ю1к11 и десятиугольники).
На всех чертежах показаны также правильные
многогранникit, из которых усечением получаются
полуправильные.
Подсчитайте, сколько каких граней имеет каждое
нз тел Архимеда, сколько вершин, сколько ребер.
Правильность этого подсчета можно проверить
по формуле Эйлера, верной для всякого выпуклого
многогранника
r+B-P= 2,
где Г - количество граней, В - количество вершин,
Р - количество ребер.
КАК ВОЗНИКЛА ГЕОМЕТРИЯ
RAR B03HllR.J1A ГЕОМЕТРИЯ
Истоки геометрии, 1'а1.; и других нnyi.;, леп\ат
в практпчеСI\Оii деятельности Jiюдей. Само слово
«геометрия» - гречес«ое, в переводе означает
«землемерие».
Люди очень рано стошшулись с необходи
мостью измерять земельные участю1. Уже за
3-4 тыс. лет до н. э. каждый 1шочо« плодород
ной земли в долинах Ншrа, Тигра и Евфрата
имел значение !J:.т:IЯ жизни людей. После ра:шива
рек, особенно Нпла, приходилось вновь делить
землю. Это требовало определенного запаса гео
метрических и арифметичесю1х знаний.
Но вот урожай собран. Как в то время от
меривали зерно? Первоначально это делаш1
так, как поступаем и мы при измерении воды
или керосина, т. е. мерили его по объему. Вы
бирали в качестве единицы измерения сосуд
определенноii: вместимости и считали, СI\оль"о
содержится та«их сосудов в «уче зерна. Этот
первый способ определения объема приводил
к вопросу о соотношенш1 меа.;ду об ъемами раз
ных тел.
Постепенно люди начатr измерять более
сложные геометричесю1е фпгуры и изучать нх
свойства.
По дошедшим до нас епшетс«им папирусам
и древневавплонскш\r те«стам видно, что уже за
2 тыс. .т�ет до н. э. J1юди умели определять пло
щадп треугольников, прямоугольни«ов, тра
пеций, приближенно вычис.т�:ять площадь «ру
га. Онп знали таюке форl\!УЛЫ для определения
объемов I{уба, цилиндра, «онуса, пирамиды 11
усеченной пирамиды. Сведения по геометрпи
вс«оре стали необходимы не толNoо при измере
нии эемшr. Развитие архитектуры, а нес«олыю
позднее и астрономии предъявило геометрии
новые требоnанпя. И в Египте, и в Вавилоне
сооружа.т�:псь колоссальные храмы, строитель
ство которых могло производиться то.т�:ыю на
основе предварительных расчетов. В VI в. до н. э .
в одном из древнегречесюIХ государстn на
острове Самое бьш построен водопровод, по
которому вода в город поступала из источниl\а,
лежащего за горой Кастро. Водопровод про
ходил через туннель дшшой в 1 км. Замечатель
но, что туннель этот начали рыть с обеих сто
рон одновременно и оба участка его почти точно
·сошлись под зе�шей! Это значит, что предвари
тельно бы.тю определено направление туннел л,
т. е. решена задача вычислительной геометрии,
Rоторая и сейчас считается в инженерном деле
отнюдь не простой. При этом строители древно-
293

ФИГУРЫ И ТЕЛА
сти должны были пользоваться какими-то чер
теrr\ами, должны были знать учение о подобии.
Еще до Пифагора были хорошо известны част
ные сдучаи теоремы, носящей его имя. А именно:
было пзвестно, что если длины сторон прямо
угольного треугольника могут быть выражены
н целых числах, то квадрат длины гипотену
зы равен сумме квадратов длин катетов. Зна
ш1 уже и обратную теорему: если а, Ь и с такие
целые числа, что с2=а2+Ь2 (например, а=З,
Ьс=4, c=S), то треугольник со сторонами а, Ь, с
будет прямоугольным. Именно в таком виде
«теорема Пифагора» п обратное ей предложе
ние были известны в Вавилоне.
И все же, несмотря на то что человечество
на�>опило та1ше обширные знания, геометрия
.l\aJ\ нау1\а еще не существовала.
Дело в том, что в странах Древнего Востока,
о :которых ШJta речь, гео111етричесю1е знания
на поминали сборшш мало связанных между
собой полезных рецептов, их даже и излагали
та:к, .l\aJ\ в наши дни нулинарные рецепты или
советы по домоводству. Для решения задачи
приводился рецепт, в правильности которого
!lюжно было убедиться на конкретных примерах.
Общие предJюжешш не доказывались.
1•аав"1е•1е1111е с •111с•1а111и
Воавиквовение rеоиетрии
как науки
Примерно такой же характер имели геомет
рические знания и в древней Греции в VI 1 -
VI вв. до н. э. Греческая нультура была более
молодой, и поэтому многие научные сведения
греки заимствовали у египтян и вавилонян.
Именно здесь, в Греции, в VI в. до н. э. и про
изошло норенное преобразование способа из
учения геометрии, здесь и возникла она как
наука.
Это было время установления демократии в
большинстве греческих Городов-государств, вре
мя бурного развития общественно-политической
жизни Греции и появления научно-фило
софских школ. В этих школах ученые впервые
в истории человечества пытались понять и объ
яснить устройство мира с естественнонаучной
и философской точек зрения. До этого в стра
нах Древнего Востока господствовали догматы
ре.11игии, в которые надо было верить, обсуж
дать их было нельзя. В Греции же каждая из
школ старалась доказать правильность своей
теории и опровергнуть противников, показав,
что их доводы логически противоречивы. Логиче
ские рассуждения получили в это время ши
рокое применение не только в естественных
науках и философии, но и в судах, и в народных
собраниях.
Особенно большую роль сыграли логические
рассуждения в геометрии - они -то и сделали
из собрания геометрических фактов стройную
науку. Сами греки связывали рождение геомет
рии с деятельностью Пифагора и его школы.
О Пифагоре у нас нет почти никаких достоверных
сведений; уже в древности его имя было окру
жено самыми фантастическими легендами. Из-
В пос.1едонателы�ост11 натура.1ь-
11ых •111се.1 3ачер1шите простое число
11 и 11се 1;рат11ые ему. Из оставшихся
чнсе.1 обра3уiiте та�;ую последователь-
11ост1.:
Пример. Пусть р =3. Тогда
на последовате.1ьностн натуральных
чисел надо вычеркнуть числа
294
е;11шица, сумма 11ервых двух чи
сел, с)·мма первых трех чисел и т. д.
В пщ1ршвшейся последооатель-
1111ст11 сиuна �че111ш11те ч11сла, �;рат
ные 1•, 11 111111ть обра3)'йте пос.1е
довател1.н11сть С)'ММ та�;иАt же спо
собом, i;ai; 11ервый раз.
Если указанную операцию выпол
нить р раа, пр11•1ем в последний раз
уже не 11роизв11д11ть ю1�;аких вычер�;и
ваний, то образованш11еся числа бу
дут 1>-м11
степенями натуральных
чисел.
3, 8, 9, 12"";
из оставшейся последовательности
1,2,'·5,7,8,10,11,".
образуем новую последовательность,
как указано:
1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 418, .••,
вычеркивая числа, кратные 3, состав
ляем третью последовательность:
1, 8, 27, 84,""
а это и есть последовательность кубов
чисел натурального ряда:
:1.3, 23, 33,43,
как и было обещано!

вестно только, что Пифагор переселился около
середины VI в. до н. э . с острова Самое в Южную
Италию (так называемую Великую Грецию),
где находились богатые греческие города-коло
нии, и основал там союз, имевший и политиче
ские и научные цели. Мы знаем выдающихся
математиков V в. до н. э ., которые называли
себя пифагорейцами. Поэтому у нас есть все
основания говорить о пифагорейской математи
ческой школе, хотя мы не знаем в точности,
какие открытия были сделаны самим Пифагором,
а какие принадлежат его последователям.
Что же еделали пифагорейцы в геометрии?
Прежде всего они начали строить геометрию
как абстрактную науку, изучающую общие
свойства неких идеальных фигур, которые
«в чистом виде� в природе не встречаются.
Так в геометрию были введены линии, имею
щие только длину, но не имеющие ширины;
точки, не имеющие ни длины, ни ширины; фигу
ры, составленные из таких линий, и т. д . Эти
новые геометрические объекты являются от
влечениями, абстракциями от формы реальных
физических тел. Например, прямая линия могла
возникнуть как абстракци я от формы туго на
тянутой веревки, струны, луча света и т. п . Но
ясно, что мы никогда не сможем построить от
резок идеальной прямой: как бы точно мы его
ни вычертили тушью или мелом, стоит только
посмотреть на рисунок в сильную лупу, чтобы
убедиться, что это вовсе не отрезок прямой, а
неровная палочка из туши или мела.
Создание отвлеченных геометрических поня
тий было вовсе не легким делом. Далеко не все
мыслители древности понимали их пользу.
Так, например, софист Протагор не признавал
геометрических абстра�щий. Он говорил, что
никто не видел линий без ширины, не видел,
чтобы круг касался линейки только в одной
точке - касание всегда будет происходить по
маленькому отрезочку, поэтому таких вещей
и не существует.
Однако новая точка зрения на геометриIQ
позволила в очень короткий срок добиться та
ких удивительных результатов, что большин
ство ученых признали эти абстракции и нача
ли с ними оперировать. Как же они это делали?
Как вообще можно изучать свойства тех идеаль
ных фигур, с которыми имеет дело геометрия?
Величайшим достижением древних греков
было то, что они создали метод для изучения
геометрических абстракций, введя в математи
ку логические доказательства.
Рассмотрим, например, как можно установить,
что сумма углов треугольника точно равна 2d.
КАК ВОЗНИКЛА ГЕОМЕТРИЯ
Непосредственным измерением это сделать
нельзя, во-первых, потому, что на практике мы
никогда не имеем дела с идеальными треуголь
никами, и, во-вторых, потому, что измерение
углов на практике всегда производится с
определенной степенью точности, например с
ТОЧНОСТЬЮ ДО 1' ИЛИ 1 ".
Но если бы даже мы и могли измерять иде
альные треугольники (с помощью идеальных
инструментов!), то и тогда мы не мо1·ли бы уста
новить теорему о сумме углов любого треугольника,
потому что различных треугольников бесконеч
но много, невозможно перебрать их все!
Но все сказанное можно дословно повторить
и о любой другой теореме: она относится не к
одной определенной геометрической фигуре (на
пример, к треугольнику со сторонами 3, 4, 5),
а к целому классу фигур (например, ко всем
треугольникам, или ко всем прямоугольным
треугольникам, или ко всем равнобедренным
треугольникам), причем каждый такой класс
состоит из бесконечного множества отдель
ных фигур.
Древнегреческие ученые понимали, что уста
новить правильность какого-нибудь свойства
для всех фигур некоторого класса можно толь
ко с помощью логического доназательства. Но
как построить такую систему геометрии, в ко
торой все правильные предложения можно бы
ло бы доказать? И можно ли построить такую
систему?
Построение дедуитивноlt
системы
Во-первых, ясно, что все правильные пред
ложения доказать нельзя. Действительно, вспом 
ним, как доказываются геометрические пред
ложения. При этом обычно опираются на неко
торые другие предложенияf которые были до
казаны раньше. Эти предложения в свою очередь
доказываются ссылками на какие-то третьи
теоремы и т. д . Эти ссылки мы могли бы про
должать до бесконечности, и процесс доказа
тельства при этом ниногда бы не закончился.
Кан же быть? Это обстоятельство заметили еще
в древности, о нем говорил, например, Ари
стотель (IV в. до. н. э.) . И вот геометры при
шли к удивительно смелой мысли, что все гео
метрические свойства тел нашего пространства
можно вывести из небольшого числа основных
предложений - а к с и о м . Эти предложения
принимались без доказательств, их справедли-

ФИГУРЫ И ТЕЛА
вость подкреплялась многовековым опытом.
Усилия многих геометров были направлены
на то, чтобы отыскать все аксиомы, необхо
димые для построения геометрии. Система,
в которой каждое предложение выводится на
основании логических правил из конечного
числа предложений, принятых без доказатель
ства, и получила название дед у к т и в ной.
Первую такую систему геометрии - «Нача
ла» - пытался построить еще в V в. до н. э.
Гиппокарт Хиосский. Было еще несколько
попытоI\ такого рода, но наиболее совершенная
из них знаменитые «Начала» Евклида, которые
были написаны около 300 г. до н. э. и слу
жили в течение более 2 тыс. лет образцом
математической строгости.
Евклид разделил предложения, принятые
без доказательства, на аксиомы и постулатt.1.
В качестве постулатов он выбрал предложения,
в которых утверждалась возможность выпол
нения некоторых прост�йших геометрических
построений, например: 1) через две точки всег
да можно провести прямую линию, 2) из данной
точки· данным радиусом можно описать окруж
ность. .Как нетрудно видеть, это именно те
построения, которые можно сделать с помощью
циркуля и линейки. Всякое построение в гео
метрии Евклида осуществляется с помощью
посJ1едовательного выполнения простейших по
строений: проведения прямых, окружностей
и отыскания их точе1\ пересечения, поэтому
геометрия Ев1шида есть геометрия циркуля и
линейю�.
Среди постуJiатов Евклида особое место за
нимает так называемый V постулат о парал
леJiьности. В «Началах» он формуJiируется так:
если две прямые, Jiежащие в одной плоскости,
пересечены третьей и ecJiи сумма внутренних
298
односторонних углов меньше 2d, то при про
доJiжении прямые пересекутся с той стороны,
где эта сумма меньше 2d (рис. 1). Этот постулат
сыграл огромную роль в дальнейшем развитии
геометрии, о чем мы будем говорить дальше.
Рис. 1.
.Кроме постулатов, Евклид принял также
некоторые общие предложения - аксиомы:
1) две величины, порознь равные третьей, равны
между собой; 2) если к равным величинам при
бавить равные, то и суммы будут равны; 3) це
лое больше части и др.
На основе своих постулатов и аксиом Евклид
развил всю планиметрию, а с ее помощью по
строил элементы алгебры и учение о квадратных
уравнениях. В �го сочинении содержатся также
общая теория отношений, которая применяется
в уЧении о подобии, теория чисел, метод опреде
ления площадей и объемов и ос новы стереометрии.
Венчает «Начала» учение о правильных вы
пуклых многогранниках, т. е . таких, все грани
·
которых являются равными правильными много
угольниками и все многогра нные углы при верши
нах тоже правильные и равные. Евнлид доказа.;�,
что существует пять правильных многогран
ников: тетраэдр, куб, окта::щр, шюсаэдр и
дод екаэдр - и никаких других правильных мно
гогранников не существует (рис. 2).
Можно сказать, что в «Началах» Евклида
были заложены основы не только геометрии,
но и всей античной математики.
На новую, более высокую ступень исследо
вания основ геометрии ученые поднялись толь
ко в XIX в. Тогда было выяснено, что Евклид
перечислил не все а�юиомы, ноторые на самом
деле нужны для построения гео111етрии. В дей
ствительности при доказательствах он ими
пользовался, хотя и не формулировал их.
Однако все это нисколько не умаляет роли
Евклида, который первым показал
,
, как можно
и как нужно строить математическую теорию.
Созданный им дедуктивный метод прочно во-

Рве. 2. Правильные многогранники.
КАК ВОЗНИКЛА ГЕОМЕТРИН
шел в математику. В этом смысле все последую 
щие математики, вплоть до наших современни
нов, являются учениками Еюшнда.
При построении дедуктивной системы гео
метрии выяснилось, что доказательства служат
не только для того, чтобы установить истин
ность некоторого предложения, но и для выяв
ления взаимосвязей между предложениями.
Так, при анализе доназательства предложения
о том, что сумма углов треугольюша равна 2d,
оказалось, что оно зависит от V постулата Ев
нлида, тогда как, например, теорема о том, что
внешний угол треугольника больше каждого
внутреннего, с ним не смежного, от постулата
параллельности не зависит.
Таким образом, доназательства помогают
уяснить существо, смыс.11 математических пред
ложений. В частности, можно в еюиrидовой
геометрии выделить все те предложения, но
торые доказываются без постулата параллель
ности,- они составляют так называемую а б
солютную геометрию.
Пост�'а1
1
ат о пара"11"11е.'Iы1ых
и 11еевк"'Iидовы геометрии
Математики все время испытывали неко
торую неудовлетворенность, связанную с по
стулатом о параллельности, :который, как мы
видели, формулировался довольно сложно. Ка
залось, что его можно доказать, вывести из
других постулатов и аксиом. Начиная с глубо
кой древности и до конца XVIII в. мноrпе
геометры пытались доказать этот постулат нак
теорэму.
• Одна�ю все доказательства V постулата,
которые бы ли придуманы, либо содержали пря
мую ошибну, либо опирались на новое пред
ложение, которого не было средп постулатов и
аксиом Евклида. При более тщательном ана
лизе всегда оказывалось, что это новое пред
ложение равносильно постулату о параллель
ности, т. е . из него можно вывести этот постулат
и, наоборот, из V постулата можн о получить
это новое предложение. К началу XIX в. воп
рос о V постулате казался безнадежно запутан
ным. Но кан раз в 20-х годах прошлого ве�ш
было получено совершенно неожиданное реше
ние этого многовекового вопроса. Это решение
было связано с совершенно новы111 взглядом па
геометрию , н ноторому пришли независимо друг
от друга три великих геометра: Н. И . Лоба
чевский, К. Ф . Гаусс и Я. Боли.
297

ФИГУРЫ И ТЕЛА
Впервые в печати решение вопроса появи
лось в работе Н. И . Лобачевского в 1829 -
1830 гг. (::Jта работа была доложена Лобачев
с1шм в Казанском университете еще в 1826 г. ),
и несколыю позже - в 1832 г. - было опубли
ковано исследование Бояи. Гаусс вообще не
опубликовал те смелые выводы, к которым
пришел.
Новая идея, которая легла в основу решения,
состояла в следующем: геометрия Евклида не
является единственной возможной геометрией,
можно построить и другие системы геометрии,
столь же стро йные и непротиворечивые, как евкли
дова. При этом и Н. И. Лобачевс.кий, иК. Ф. Гаусс
были глубо.ко убеждены, что новая геометрия
получит применение для описания и изучения
геометричес.ких свойств нашего пространства.
Такой взгляд противоречил двухтысячел�т
ней традиции, благодаря .которой сложилось
убеждение, что геометрия Ев.клида столь же
естественна, нак смена дня и ночи, и что толь
.ко она описывает пространственные соотно
шения между реальными телами.
Как же строить новые геометричес.кие систе
мы? В XVIII в. геометры придумали новый
способ до.казательства V постулата. Они пред
полагали, что V постулат неверен, и старались
прийти к противоречию, ка.к это. делается при
до.казательствах от противного. Действитель
но, если V постулат можно вывести из других
постулатов и а.ксиом геометрии Ев.клида, т. е .
он является теоремой, то предположение, что
он неверен, должно было бы привести нас к
противоречию. Одна.ко как ни пытались гео
метры получить противоречие, им этого сделать
не удав
.
алось. Они получали все новые и новые
следствия; некоторые из них выглядели пара
доксально, например: сумма углов треуголь
ника у различных треугольни.ков различна, но
всегда меньше 2d; линия, равноотстоящая от
некоторой прямой (эквидистанта), сама не яв
ляется прямой; не существует подобных тре 
угольни.ков и вообще подобных фигур. Однако
ни одно из следствий не противоречило другому
следствию и остальным а.ксиомам ев.клидо
вой геометрии.
Лобачевс.кий, Гаусс и Боян пришли к убеж
дению, что противоречия и не получится, по
тому что V постулат не является теоремой в
ев.клидовой геометрии. Что же в та.ком случае
представляют полученные следствия? Оказы
вается - теоремы новой геометрии! Таким обра
зом, для построения новой геометрии нужно
было заменить V постулат другим и вывести
из ноной системы постулатов и аксиом возмож-
298
вые следствия. Они-то и будут теоремами но
вой геометрии.
V постулату Евклида часто придают та.кую
форму: через точку вне прямой в плоскости,
определяемой этой точ.кой и этой прямой, мож
но провести только одну прямую, не пересе
кающую данной.
Если этот
.
постулат не имеет места, то это
означает, что: 1) либо можно провести по .край
ней мере две прямые, не пересе.кающие данной
(рис. 3), 2) либо таких прямых не существует
вовсе (т. е . вообще нет параллельных прямых).
_______.
.
_______ L
Рис. 3.
Второе из этих предположений легко при
водится к противоречию с другими аксиомами
и постулатами Ев.клида. Первое же Н. И. Ло
бачевский выбрал в .качестве нового постулата
о параллельности. Он построил стройную систе
му геометрии, .которая носит теперь его имя.
При этом Н. И . Лобачевс.кий по.казал, что гео
метрия Ев.клида может быть получена ка.к пре
дельный случай новой геометрии.
Исследования Н. И . Лобачевс.кого от.крыли
новую эру в истории геометрии. Если до этого
казалось, что в основном в геометрии все сде
лано уже самим Ев.клидом, то после создания
неев.клидовой геометрии от.крылись широ.кие
возможности для
новых
геометричес.ких
изыс.каний.
В 60-х годах прошлого ве.ка немецкий
математи.к Риман предложил новый метод
построения всех неевклидовых геометрий,
в .которых можно мерить длины, площади,углы,
объемы (та.к называемых метричес.ких геометрий).
При этом он не ограничился случаем трехмерного
пространства, а строил геометрии пространств
любого числа измерений. Интересно отметить,
что, в частности, он построил такую геометрию,
в которой нет параллельных прямых. Конечно,
для построения та.кой геометрии пришлось
от.казаться от не.которых других а.ксиом ев
клидовой геометрии.
Эта геометрия похожа на сферичес.кую, ее
называют эллиптичес.кой или геометрией Ри-

мана (в узком смысле слова, в отличие от
общих римановых геометрий). В этой геомет
рии, так же как в геометрии Лобачевского, нет
подобных фигур, по сумма углов треугольника
в ней всегда больше 2d, а длины прямых линий
ограничены.
Были предложены и другие методы построе
ния новых геометрий.
Но в связи с новыми геометриями встали и
другие вопросы: геометрия Лобачевского отли
чается от евклидовой постулатом о параллель
ности. Что будет, если заменять и другие по
стулаты? Всегда ли при этом будут получаться
новые системы геометрии? В каких случаях
новые системы будут непротиворечивыми, т. е.
в них нельзя доказать некоторую теорему
п одновременно доказать, что эта теорема
неверна?
Для ответа на эти вопросы ученые прежде
всего вновь обратились к исследованию геомет
рии Евклида с тем, чтобы найти все аксиомы,
нужные для ее построения,а затем уже изучить
связи между этими аксиомами, посмотреть,
что будет, если отбросить одну или несколько
из них и заменить другими. Многие математи
ки: конца прошлого века занимались этой
проблемой, но впервые ее удалось решить
немецкому математику Д. Гильберту в 1899 г.
В его книге «Основания геометрию> была из
учена первая полная система аксиом геомет
рии: Евклида и исследованы вопросы, о кото
рых мы говорили выше. Это направление иссле
дований привело к созданию современного
ансиоматического метода, значение которого
трудно переоценить.
Неевклидовы геометрии: открыли новую эру
не только в математике, но и в физике. l\ак и
предвидели создатели этих геометрий, они сде
лались незаменимым математическим аппара
том многих важнейших частей современной
физики, особенно теории относительности.
Более подробно о новых геометриях вы
можете узнать из статьи «0 различных гео
метриях».
Итак, мы видим, что возникновение геомет
рии как науки далеко не закончилось построе
нием системы евклидовой геометрии. Это было
только начало, б.11естящее продолжение которого
осуществилось в XIX в.
В настоящее время геометрия представляет
большую, широко разветвленную науку, тесно
связанную со всеми остальными разделами ма
тематики.
•
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Что такое геоиетрня
Прежде чем завести разговор о геометриче
ских преобразованиях, остановимся на вопросе
о самом содержании предмета геометрии; впо
сдедствии мы увидим, что к понятию геометри
ческого преобразования этот вопрос имеет са-
•
мое непосредственное отношение.
Геометрия изучает свойства плоских фигур
и пространственных тел. Однако в геометрии
рассматриваются вовсе не все свойства фигур или
тел. Ясно, например, что цвет или вес тела для
геометра безразличен - геометрические свой
ства куба останутся одними и теми же незави
симо от того, идет ли речь о металлическо111 кубе
или о кубе, сделанном из фанеры и окрашен
ном в красный цвет. (Заметим, что физ и ч е
е к и е свойства этих двух кубов во многом
будут различны.) Таюке и расстояние от вер-
Рис. t.
шины изображенного на дос1>е треугольни1щ
до края доски не интересует геометра. Один из
двух равных между собой треугольников (рис. 1)
расположен заметно ближе к 1\раю MQ доски,
чем второй; однако все г е о метри ческ и е
свойства этих треугольников - их соответствен
ные стороны, углы, высоты, медианы, площади,
радиусы вписанной и описанной окружностей,
расстояние от центра описанной 01\ружности до
точки пересечения медиан и т. д . -
будут оди
наковыми. l\ак же охарактеризовать тот круг
свойств фигур и тел, который интересует
геометра?
299

ФИГУРЫ И ТЕЛА
Рис. 2.
J>ис. 3.
Рис. �. Равные фигуры.
Все свойства тел, 1щторые рассматриваются
в гео111етрш1, 110J1ностью определяются формой
и раз111орам11 тeJta 11 ннкак не зависят от его рас
положения. Друг111
1
111 сJювами, это означает,
что кю1щые две равные фигуры 11лi1 два равных
тела обладают в точности теми же са�11ыi\ш гео
метр11чесюши свойствами; поэто�tу геометр не
может нметь юша�шх оснований для того, что
бы J\а�>-либо раз.11пчать этн фигуры или тела.
Это обстоятельство подразумевается и самим
названием «равные те.�1ю>. Ведь «равные числа»
в ариф111ет�ше - ;это не что иное, как о дно и
300
1
3
то жечисло;так,2и6
это одно и
то же число, только записанное по-разному.
Точно так же в геометрии слова «равные фигу
ры» иногда заменяют выражением «одна и та
же фигура)>. Тю.;, например, говорят, что зада
ча построения треугольника АВС по двум сто
ронам ВС=а и АС=Ь и углу АСЕ= т и.меет
единственное решенне (рис. 2).
На самом деле существует, конечно, очень .много
(даже бесконечно много!) треугольни�.;ов, имею
щих две стороны длин а и Ь и за1\,1юченный ме;.к
ду ними угол величины ·r (рис. :3). Однако
все эти треугольюши р а в н ы между собой;
поэтому мы их принимаем за о д и н тре
угольни�.;.
Вспомним теперь, i.;ai.;иe фигуры или тола
считаются в геометрии равными. Две фигуры
FнF'(рис. 4)называются равны11
1
и,
если при наложеюш одной из них на другую
они совпадают все.ми своими точ�.;ами, другими
словами - если существует движение, при по
, ,�ощи которого можно совместить фигуру F с
фигурой F'. Таюш образом, само определение
равенства фигур (или тел) связано с понятием
движения. Учитывая определение равенства
фигур, мы можем с�.азать, что фигуры, получаю
щиеся одна из другой движением, считаются
в геометрии одиню•овыми, не различаются
между собой; все геометричесrшо свойства од
ной из этих фигур совпадают с геометричесюши
свойствами другой фигуры. Последнее оtiстоя
тельство можно принять за определе и 11 е
геометрических свойств, т. е. тех свойств фигур и
тел, �.;оторые нзучаются геометрией: геометрия
изучает те (и только те!) свойства фигур и
тел, которые сохраняются при движениях.
Дв11иtе1rия
Приведем нескоJIЫ\О примеров д в иж е н п й
плоских фигур.
ПаралJIе.'Iьнымпереносомна
зывается дви;+;ение, при �.;отором фигуру J\aR
целое перемещают в определенном направ:�е
нш1, не поворачивая ее.
Параллельный перенос харю>теризуется на
правлением, �.;оторое задается указанием не1.;о
тороii прямой l с поставленной на этой прямой
стрел�.;ой и расстоянием а, на 1-<оторое перено
сятся фигуры. Каждую точ1>у А параллельный
перенос переводит в та�.;ую точ�.;у А', что
АА' li l (причем направJ1ение от точ�.;и А R точке

А' совпадает с тем, которое указано стрелкой
на прямой l) и АА'=а (рис. 5).
Поворот (вращение)вокруг точки Она
угол а характеризуется тем, что каждая точка
А переходит в такую точку А', что ОА =ОА'
и LAOA' =а (рис. 6); при этом должно быть ука
зано также и направление поворота, которое
может совпадать с направлением вращения ча
совой стрелки или быть противоположно ему.
-
-
-а.-
-.
·•-+
Рис. ;,. Параллельный перенос.
о
Р11с. 6. Поворот оокр)·r точю1 О 11u )ТОЛ а.
Поворот вонруг точни О на угол 180° называет
сятанжес.им11
1
етриейотноситель
но точ 1\•и О; здесь каждаяточкаА перехо
дит в такую точ1\у А', что О есть середИна от
резка АА' (рис. 7).
Еще один важный пример движения пред
ставляет собой симметрия
относи
тельно;прямой l;этодвижениеможно
реализовать, перегнув лист бумаги по прямой l.
Симметрия относительно прямой l переводит каж-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
дую точку А в такую точку А', что отр езок АА'
перпендинулярен прямой l и делится этой
прямой пополам (рис. 8). Каждый легко мо
жет получить симметричные фигуры, сделав
кляксу на листе бумаги и затем перегнув лист
(рис. 9).
Эти приме ры доста
точно хорошо характе
ризуют содержание по
нятия «движение)>. /(аж
дое движение задает
ся указанием опреде
ленного закона или пра
вила, указывающего, как
найти точку А', в ко
торую это движение
Р11с. 7. Симметрия
относительно точки О.
переводит произвольную
точку А. На рис. 10 пе
речислены правила, от
носящиеся к указанным
выше движениям. Во
обще, задание правила,
позволяющего перейти
от произвольной точки
А к новой точке А' (1ю
торая может и совпа-
дать с исходной точ
койА, определяет геометрическое
преобразование.
Под фигурой в геометрии понимают с о в о
купность,илимножество,точек;
так, онружность с центром О и радиусом r
есть совокупность таких точек М, что ОМ =r
(рис. 11); от резок с �юнцами А и В есть совокуп
ность таких точек М, что АМ +МВ=АВ (рис. 12);
прямую можно охарактеризовать как сово
купность таких точек М, что АМ =ВМ, где
точ1ш А и В заданы (рис. 13).
Геометрическое преобразование . переводит
каждую точку А, входящую в состав фигуры F,
в новую точку А'.
При этом совокупность точек
фигуры F переходит в некоторую новую сово
купность точек, образующую фигуру F'.
Про
801

ФИГУРЫ И ТIША
о
:м
�
1�\
Рис. tt .
/:\
1:\
�!�
302
Рис. 8. С11мметр11я от1юс11тt':1ы10 11р11моl1.
Р11с. 9 . С11мметр11'111ые <\llll')·pы.
параллельный перенос
8••••а•о•••о�ооо•011оооооао•ооооо11
1
008
А
В
Рис. Н.
А
д'
----
-
--
к
Рис. 12.
дд' .l.1.
АК= Кд·
симметрuR относительно npRмoo
Рио. 10. Правш1а, по которым точка А переводится в точку А'.
Рис. 13.

фигуру F' говорят, что она
получается
рассма т риваемым преобразованием
из фигуры F (рис. 14).
Движения представляют собой простей шие гео
метрические преобразования - такие, которые пе
ревод ят каждую фигуру F в равную ей фигуру F',
т. е . сохраняют форму и размеры фигур.
П1•еобрааования подобия
Преобразования, сохраняющие форму фигур,
но, возможно, изменяющие их размеры, называ
ются преобразованиями подобия. Каж
дую фигуру F преобразование подобия переводит
в п од обную ей фигуру F', представляющую
собой увеличенную или уменьшен ную копию пер 
воначальной фигуры; все размеры фигуры F' равны
соответствующим размерам фигуры F, умножен 
ным на одно и то же число k (рис. 15). Это
F
F'
А
Рис. 15. Подобные фигуры. .
число называется иоэффициентом подо
б и я двух фигур. Подобные фигуры можно по
лучить, например, поместив под лампой вырезан
ную из куска картона фигуру F, плоскость ко
торой параллельна поверхности стола; в таком
случае тень F', отбрасываемая этой фигурой
на стол, будет подобна F (рис. 16). Более
((Математический» пример преобразования подо
бия представляет собой гомотетия с
центром О и коэффициентом k, переводящая
каждую точку А в такую точку А' луча ОА, что
ОА'
ОА =k (рис. 17).
Некоторые свойства фигуры F', под обной
фигуре F, будут отличаться от свой ств фигу
ры F; так, например, гомотетия с коэффициен
том 2 переводит фигуру ABCD в фигуру
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
A'B'C'D', площадь котор ой в 4 раза больше
площади фигуры ABCD (рис. 17). Но большин 
ство свой ст в фигуры F' будет совпадать со свойст
вами фигуры F: так, все имеющиеся на фигуре F'
углы будут равны соответствующим им уг лам , име 
ющимся на фигуре F; отношение расстояний между
какими-либо точками фигуры F' будет равно отно_
шению расстояний между соответственными точка_
АВ А'В'
ми фигуры F (см. рис. 15, где, скажем,
CD =С'D
')
и т. д. Таким образом, преобразования подобия
меняют свойства геометрических фигур очень
Три геометрические гое1
1
овое1
1
011к11
Не вычисляя площадей треугольников со сто
ронами а=5, Ь=5, с=Ь, а1=5, Ь1="5, с1=8, вы
яснить, раВНОВеЛИКИ ЛИОНИ.
2
Найти три равновеликих прямоуго.п.
вых треугольника при условии, что все 9 сторон ,.
.._
рааличные целые числа.
3
Трех плоских раареаов достаточно, чтобы пере
стро�ть этот брусок в куб.
Как добиться наименьшего воаможиого чис.uа
частей, на которые распадается брусок?
От в е тына стр. 321.
303

ФИГУРЫ :И ТЕЛА
��
1'1\
1
1'
1
Рис. 16.
о
Рис. 17 . Гомотетия с центром о.
Рис. 18
.
мaJio: окружность они переводят снова в
О/\ружность, 1•вадрат - в квадрат, равнобедрен
ный треугодьюш с углом при вершине в 40° -
снова в равнобедренный треугольник с углом
при вершине в 40° и т. д.
Эти своiiства преобразований подобия ино
гда могут быть нсподьзованы для решения со
держательных геометрнческих задач. Поста-
1н1м, например, такую задачу: определить, что
прсдставJ1лст собой множество середин всех
отрезков АМ, где точ1ш А фю<сирована, а точ
ка М пробегает, с1<ажем, равностороннюю ги
перболу G (граф1ш обратной пропорциональной
зависимости). Очевидно, что искомое множе
ство точеI< образует фигуру G', гомотетичную
гиперболе G с центром гомотетии А и коэффициен
том гомотетии У2 . Отсюда следует, что это будет
точно та�<ая же гипербола, только в 2 раза
«меньшая» (такая, что расстояние между двумя
точками гипербоаы G' в 2 раза меньше рас
стояния между соотnетствующими точ1<ами ги
перболы G; рис. 18).
.Jl1111eit11ыe п1н•об1tааова11ия
Рассмотрим тень, отбрасываемую на солн
це вырезанной из картона фигурой F
на плоскость о:, не обязательно параллель
ную этой фигуре (рис. 19). Геометрически пе
реход от фигуры F к ее тени F' описывают как
параллельное
проектирова
н и е, переводящее каждую точку А фигуры
F в та�<ую точку А ' плосI<ости IX, что АА' 11 а,
где а - заданная прямая, характеризующая на
правление проеI<тирования (ибо лучи солнца
можно считать параллельными).
Рис. 19.
,
,
1
Фигура F' может значительно отличаться
от первоначальной фигуры F; та�<, каждый
знает, насколы<о сильно ис1<ажены на тени
истинная форма 11 размеры предметов, если
солнце стоит достаточно низ1ю (рис. 20). Одна-
Одним 113 ни;�ок <(движения>� нnлnетсн симметрия.
Фигуры,
которые в реаул1.тате
«движения"
переходят в себя, называются симметричными.
На
рису11ке
изображены
фигуры,
обла
дающие осевой, 11ентралы1оi'1 симметрией и симмет
рией порядк" 11 (говорят, что фигура обладает сим
метрией порядка 11" если она переходит в себя при
повороте 11окруr то•tки- центра симметрии-на уrо.в
;J60" )
.
Определите, к какому из зтих трех видов
•
п
симметрии относится каждая фигура, 11айдите ось
или 11е11тр симметрии, а для фигур с симметрией
поряд1ш 11 11аi'щите зто число.

Кр11вые пинии, которые попу•1вются пр11 пере
сечении поверхности прямого кругового конуса
плоскостями, не проходящими через его вер·
u111ну, называются кривыми второго порядка
и.1и кон11ческими сечениями.
Конические сечения могут быть трех типов:
1) Секущая плоскость пересекает все обра
зуюu,ие конуса в точках одной ее по.,остн,
л11ння пересечения есть замкнутая ова.1ьная
�,11н11я -- эллипс: окружность как частный с�'IУ
чай эллипса получается, когда секущая пло·
скость перпендикулярна осн конуса.
2) Секущая плоскость парвл.1ельнв одной нз
касательных плоскостей конуса; в сечении по
.1учвется неаамкН)'ТВЯ уходящая в бесконеч·
ность кривая - парабола, целиком пежвщвя в
одной полости,
3) Секущая плоскость пересекает обе по.1остн
конуса; лнн11я пересечения - гипербола, состо
ит нз двух од11наковых незамкнутых прости
рающихся в бесконечность частей /ветвей г11-
перболы), лежащих на обеих полостях конуса.
На рисунках внизу изображены пннн11, s;ото
рые описывает точка круга, когда он квт11тrя
по прямой пинн11, При этом точка окружно1:т11
опssсывает линию с остриям11 - цнкло1ц)', Вся
кая точка внутри круга описывает тsнню без
остр11ев - укороченную цнкпо11ду. А ес.111 точ
ка закреплена вне круга на продо.1жt"н1111 его
радиуса, то она оп11сывает лин11ю с. пето.1ям1t -
удлиненную циклоиду.

ко некоторое сходство ме;нду фигурой F и
ее тенью F ' и тут сохранится. Тю\, например,
каждая пряма я, пр оведеппая в плоскости ф и
гуры F, перейдет спова в прямую липию
(рнс. 21); па раллельпые прямые перейдут в
параллельпые прямые; отпошепие длип отрез-
Рис. 21. Параллельное орое1<т11ровnние.
•20Д.э.т.2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ков, припадлежащих одпой пря.'>tой (но не раз
ным прямым!), при параллельпом проектирова-
АВ А'В'
пии сохрапится (см. рис. 21 , где ВС = В'С') .
Квадрат ABCD параллельное проектирование
уже не переведет в квадрат; однако оно переве
детеговпараллелограмм, который
отличается от квадрата не так уж рез1\о.
Геометрические преобразования, обладаю
щие та �шми свойствами, называются л иней
ными преобразованиями. Кчис
лу линейных преобразований относится, напри
мер, так называемое сжатие к прямой l,
1юторое описывается так: точку А плоскости
сжатие к прямой l перевоп.ит в такую точку
А', что точки А и А' лежат на одном перпен-
"
lРА
'
k
р
дикуляре к прямои и Р
А
=., где
-
осно-
вание перпендикуляра (рис. 22) . Постоянное
f
р
Рис. 22. С;�сатие к прямой.
ч11сло k называется коэффициентом
сжат и я к прямой (при k>1 было бы правиль
нее говорить о «растяжении» от прямой l). Не
трудно убедиться, что сжатие к прямой также
переводит прямую линию снопа в прямую, nа 
ра.тrлельные прямые переводит в параллельные,
сохраняет отношения длин · отрез1юв, принад
лежащих одной прямой .
Знание свойств, сохраняющихся пр и линей
ных преобразованиях, позволяет использовать
эти преобра зования для доказательства неко
торых геометрических теорем . Разумеется,
квадрат ABCD и получающийся из него
параллельным проектированием параллелограмм
A'B'C'D' имеют много разных свойств;
305

ФИГУРЫ И ТЕЛА
306
Рис. 23.
Рис. 21,. Простейшее 1101ш:ште.ч�.стпо теоремы
о тnчRе ur.ресечен11л ме;\инн трсуго.1ы111кu.
PllC. �().
Рис. 27.
l'нс. 28 .
Рис. 25. Jl1111cii11uc 11рснfiра:ю11а111:с
переводит uНР3'
'
Жност�. u :J.11л1111с.

однако те свойства , которые сохраняются при
лине iiн ых преобразованиях, совпадают у квад
рата и у параллелограмма . Выберем произ
вольную точку Е на диагонали АС квадрата
ABCD и проведе м через нее отре зки MN 11 АВ
и PQ 11 ВС (рис. 23, а) . Нетрудно видеть, что
прямаяАСявитсяосью симметриипо
лученного чертежа ; поэтому прямые MQ и
PN (симметричные относительно прямой АС!)
пересекутся на прямой АС. А отсюда вытекает,
что и
отрезки M'N'11А'В' и P'Q' 11В'С',
пересекающиеся ка диагокали А'С' пара.t
t.t
t
г
.л.ограмма A'B'C'D ', отсекают от паралле
дограмма мекъшие пара.t
t
лелограммы М' D'Q'E'
и N'B'P'E' , диагокали M'Q' и N' P' кото
рых пересекаются ка прямой А'С' (рис . 23 , 6).
Доказать это , не пользуясь линейными пре
образованиями , было бы затруднительно !
Рассмотрим еще и такой пример . Яс но , что
к ажд ы й треугольник АВС можно параллел ьным
проектированием перевести в р а в н о с т о
р онн и й треугольник АВС' (рис . 24; тре-
;угольники АБС' и· АБС расположены в раз
ных пл оскостях; се, - направление проекти
ро вания). При этом медианы треугол ьюша АБС
. переходят в медианы треугольника
АВС'
(это следует из свойств параллельного проекти
рования). Но медианы равностороннего тре
уiольника являются одновременно и бис
сектрисами; поэтому они пересекаются в од ной
точке - центре окружности , вписанной в тре
угольник АБС'. А отсюда следует , что также
и медиакы исходкого треугодъкика А ВС пере
секаются в одкой точке. Это доказательство
теоремы о точке пересечения медиан треуголь
ника явл яется , вероятно , простейшпм !
С ко-1
1
ько р азверток у куба?
20•
Чтобы наготовить моде11ь мnогограини1:1'1 11а
куска картона, надо прежде всего иачерт11ть Р"""
вертку требуемого многогранника. На рисун ке 11:10-
бражеиа прави.u:ьиая пирамида,
все грани которой - равиосто
роивие треугольники, и две
развертки такой пирам11ды .
Сгибая каждую развертку по
пункт11риым 11иниям , можно по
строить модеm> пирамиды . Ка
кие-11ибо другие формы развер
ток п ира мцд.,�, все грани кото
рой равносторонние треуго11ь
ниюt', невозможны. Куб в атом
смыс11е богаче : у него бо11ее де
сятка разверток различных
форм . А сколько же все-'1'аки
точно? Начертите все развертки
куба.
Решение на стр. 321 .
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРЛЗОВАНИН
Вот еще пример на использование свойств
линейных преобразований. Линейное преоб
разование уже не переводит окружност ь снопа
в ОI\р ужност ь - оно переводит ее в другую
линию , назыв аемую эллипсом ( рис . 2!J).
Эллипс мо жно о пределить как линию , получаю
щую ся при сечении кругового цилиндра про
извольной плоскостью (рис . 26); это означает ,
что эллипс образует ся из окружности в резул ь
тате параллельного проектирования.
Заметим, что центр О окружности S яв
ляется ее центром симметрии, т. е .
чт о все проходящие через О хо рды о кружност и
S де лятся этой точкой пополам (рис . 27, а).
Ли нейные преобра зования не сохраняют отно
ше ния дл ин отре зков, принадлежащих разным
прямым; по этому проходящие че рез точку О
радиусы окружности S переход ят в «радиусы»
эллипса S',
пересекающиеся в одноii точне
О', но уже не равные между собой (рпс . 27, 6).
Но от ношение длин отрезке;в, п р инадлежащих
одной прямой, при линейном преобра зовании
сохра няется , и поэтому все проходящие через
точку О' хорды эмипса S' делятся в этой
точке пополам. Таким образом, мы убеж,1
1;
аемся,
что каждый эллипс S' обл а дает центр о�1 сим
метрии О'; эту точку О' часто назы вают про
сто центром эллппса.
Число примеров подобного рода можно уве:111-
чить . Проведем из точки М 1< окружности S каса
тельные МА и МВ (рпс 28, а). Мы знаем, что
МА =МВ; что ОМ 1-АВ, гдеО - центро1.;ружностп
S; чт о АК =КВ, где К-.точка пересечения ОМ и
АВ (все эти факты следуют ИЗ того , что прямая
ОМ ест ь ось симметр1ш; см . рис. 28 , а) . Равен
ство отрезков МА и МВ не может Gыть перене
сено на эллипс (отношение длин от ре з1.;оn, при
надле жащих разным прямым , не с ох р а
н я е т с я при параллельном проектпровании);
перпендикулярность прямых ОМ и АВ таюке
характерна именно для окружности (углы не
сохраняются при шшейныхпреобра
зованиях). А вот то обст оятельство , чт о от ре з
ки АК и КВ, принаддеа;ащие одноli прямой,
равны между собой, имеет место и в с.т�учае
эллипса: если из вкешкей точки М' провести
кэ.t
t
липсу s.' с цектро.;tt О' касателъкые 11.f'А'
и М'В',
то пряJtая О'М' разделит хорду
А'В ' попоЛам (рис. 28, 6).
До кажем еще , что середикы всех паралделъ
кых между ..
собой хорд эллипса прикад.t
t
ежат
одкой прямой , проходящей через центр эл.t
t
ипса
(д иаметру эллипса). В самом деле , пусть наш
807

ФИГУРЫ И ТЕЛА
Р11с. 29.
эшrипс S' по:rуч11:1ся шшеiiньш преобразованне�1
(скажем, центральным прое1•тированием) нз
01.;ружностп S. Середины всех параллельных
между coбoii хорд оl\ружностп прпнадлюl\ат
одной прююii, проходящей через центр О
01.;ружностн и перпенд1шулярноii проведенны�1
хордам (рнс. 29, а ) . При лiшейном преобрRзо
вании параллельные ме;l\дУ собой хорды Оl\ру;к
ности S переходят в парал.'lельные хорды эллипса
S', о. дию1етр d окружност11,де:1ящиli ее хорды
попштам,- в диаметр d' эллипса, делящий попо
лам параллельные хорды эллипса (рис. 29, Ь).
llJ)OCltTHBHЫC llJ)COбpaзona1111я
Рассмотрим теперь тень, отбрасывае:мую вы
резанной из :картона ф11гуроii, по�1ещенно1u1
под элентрнчесl\оii лампочкой, на поверхность
стола, не обязательно паралледы1ую плосr.;остп
ф11гуры (рпс. 30). Эта тень ыоп.;ет очень с11:1ь:но
r>т .1ичаться от нсходноii фигуры - одна:ко начер
ченная на фигуре прю1ая ,111нш1 перейдет прп
этом снова в прю1ую.
Здесь мы имеем де.10 с цен
тральнымпроент11ро
ванием фигуры11зточкнна
п.1оскость стола, переводящпм
1шждую точку фигуры в точку пе-
1'11с. JU .
308
ресе чения прямой с плоскостью стола. Цент
ральное проектирование доставляет нам пример
проектпвного преобразования.
Проективные преобразования гораздо сильнее
меняют своiiства фигур, чем линейные; так,
:квадрат ABCD ою1 могут перевести в произ
вольныii четырехуго.1ьюш A'B'C'D' (рис. 31).
Одна:ко 11 здесь 1110/1\НО у1.;азать ряд свойств гео-
111етрпчес1шх фпгур, сохраняющихся при цен
тра.1ьных проектпрованнях, и воспол1,зоваться
Рис. 31.
этюr для вывода интересных свойств произволь
ных четырехугольников нз свойств квадрата.
Проективные
преобразования переводят
окру;кностьвтакназываемыеконические
сеч е н п я. Это название связано с тем, что
еслн центра.1ьное проектирование с центром О
переводит 01•ружность S в фигуру S', то S '
цредстав.1яет собой плос!-\ое сечение кругового
конуса с вершиноii О (рис. 32). Можно дока
зать, что к чнсду 1-\Оннческих сечений принад
ле;кат :как рассмотренный выше э л л и п с, так
и пзучаеI11ые в средней
шко:�е г11пербо-
О
л а (график обрат
ной пропорцнонадь
ноi'r завнси1
1
1ост11) п
парабола (гра
фш.; фующип у=х2).
Используя это об
столте.'!ьство, а таюне
общне свойства про
е!-\т1шных преобразо
ваний, можно дока
зать, что гипербола
и парабо.�.а обладают
рядом
интересных
свойств, родственных
свойствам
окрун>
ности 11 элшшса.
Рис. :1 2. Oiipaзoвnн11t>
J\OIHJllCCl\llX сечен1-11

Прео6разованив как основа
Кdассификаци и т еореJ1
Немец�шй математик Ф. Клейн в конце
пр ошлого столетия предложпл положить гео
метричесю1е преобра зования в основу класси
фикации всех свойств геометр ических фигур
и тел. Он предл ожил разл ичат ь геометриче
сние свойст ва по тем преобразованиям , при
ноторых эти свойства сохраняются . К одной
группе при эт ом будут относпться те свойст ва ,
1юторые сохраняются лншь при д в н же и и
я х фигур ; сюда относятся все свойства , свя
занные с рассто яниями ме жду точ1\а�\111 , и все
теоремы , в которых фигурируют длины или
пл ощади: (например , теорема: площадь тре
угольника равна половине произведения длины
основания на дшшу опущенной на основание
высоты). В другую группу попадут своiiства ,
сохраняющиеся при преобразоваии
я х п одо б и я, например все свойства,
связанные с величпнамп углов; к этой группе
свойст в относится , сl\ажем , известное свойство
пр ямоугол ьного треугольниl\а с уг.1
1
омв30°
(ведь отношение длины гипотенузы 1\ длине
мен ьше го натета также сохраняется при пре
образованиях подобия!). Еще одну группу со
ст авят свойства геометрических фигур , сохра
няющиеся при липейиых преобра
зоваииях. Далее можно будет рассмот
реть свойства фигур , сохраняющиеся при п р о
ективиых
преобразоваииях,
и т. д . Та к иан линейные преобразования изме
няют свойства фигур сил ьнее , чем движения ,
то свойства , сохраняющиеся при эт их преоб
разованиях , следует считать более глубою1м и;
с этой точl\и зрения своiiст во треугольнииа ,
выражаемое теоремой: «м едианы треугол ьнииа
пересеиаются в одноil точl\е» , оказывается бо
лее глубоким , че м, скажем, аналогичное свой
ст во высот треуго.�:ьнш>а . Еще более глубокими
сле дует считать те своiiст ва фигур , которые
сохраняются при проективных преобразовани
ях , очень сильно изменяющих фигуру.
Таиая классифпнация геометричесю1х тео
рем (Клейн даже говорил об отдел ьных «г еомет
риях», охватывающих изучение свойств фигур,
сохраняющихся при тех или иных преобразо
ваниях) поясняет сказанное выше об использо
вании геометрических преобразований для до
казательства теорем . Все свойства, сохраняю
щиеся при линейных преобра зованиях , будут
одинаковы дл я окружности и для эллипса; .
поэтому при рассмотрении их мы всегда можем
ограничит ься изучением окружности, являю-
ГЕОМЕТРПЧЕСЮIЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ще йся частным случаем эллипса (окружност ь -
это сечение кругового цилиндра плоскост ью ,
паралдельной основанию цилиндр а). Точно та�\
же при пзученпи соответствующих своl1ст в треу
го.11ьник а мы можем считать его равносторонним,
при изучении свойств параллелограмма - при"
пять его за квадрат и т. д . При изучении проек
тивн ых свойств произвольного че тырехугол ьни
ка можно считать его 1\в адратом , а при изучении
п роективных свойств коничесl\ого сечения -
принять это коническое. сечение за окружност ь
и т. д . Таким образом, точка зрения Клейна ,
выделяющая ряд отдельных ветве й геометрии,
может существенно помочь при дока зател ьст ве
гео\1е трпче сl\их теорем.
1
---- г-
-
--,- --
1
1
1
t
>
-
-
-i----r---·,
1
1
•
Rак разреаат ь 1ty6
Чтобы разрезать
куб на 27 ранных ку
бююв, надо сделать
6 разрезов. Можно
ли уменьшить число
разрезов, если поз
волить после 1шждо
rо разрезания пере
кладывать част11 ?
Ответ на стр.
32f.
309

ФИГУРЫ И ТЕЛА
"lJucт Jlебиуса
Поверхность но.1ыщ, на,'\еваемого
на п11.1ец, имеет две стороны. Одной
стороной она сопр111;11с11ется с паль-
11см, вторая сторона нuружная. }' этих
сторон две грани11ы (,'\ва края), �;ю11-
д"11 нмеет форму окю·жност11. Если
1ш1шя-11ибудь б)·каш�;а захочет пере
по.•зт11 с нuружной стороны кольца
Нll Вll)'Тре11ИЮЮ, то OHU при этом не
пременно должна пересечь ту или
другую границу.
Немецкий матt>матш; А. Мебиус
)·1<аза .1 прост)•ю мо,'\е:1 ь поnерхности
совсем другого фасона - О,'\носторон-
Опыты с .1
1
11сто1'1 Jlc611yca
Возьмите неско:�ыю листов плот
ноii бумаги (1111пр11мср, об.1оа;ю1 ста
рых жур11алов бо•.�.шого формата),
••�1сй, ножницы и 11сс.1ед,уiiте <•nовсде-
1111е » листа Меб11)·са 11 ;1pyr11x мо;1е-
ней поверхности. Ее лег�;о пригото
вить,
перекрутив на пол-оборота
один конец прямоуго.•ьной бумажной
полос1ш и приклеив его н другому
КОНЦf ТОЙ же ПOJIOCKll. Эту модель
с той поры так и на.�ыоают: л11ст
Мебиуса.
Чтобы наглядно )';
'
\ОСтовериться
в том, что у поверхности листа Мебиу
са только одна сторона, возьмите ка
рандаш и начните 11ос.1ецовательно
за1<раш11вать л11ст, не отрывая �;араи
даша от поверхности лнста н не пересе
кuя i;puя листа. :Когдu вернетесь к то-
лей , нзготовляемых нз прЯМО)ТОЛЬНЫХ
полосо�< бумаги, есл 11 разрезать их
по лннннм вдоль кран.
1. Что по.1учитсн, ес.•11 обыкно
венное (не перекрученное) бумажное
1ю.1ечко разрезnть вдоль его средней
лиюш? Очевидно, два 1;0.1ечка, при·
чем длина окр)·жиости 1шждого будет
такой же, как длина о�;р)·жност11 пер
воначалы10 взятого ко.•еч�;а. А вот
если лист Мебиуса мы та�;же разре
жем В,'\ОЛЬ его средней т11111
1
1, то обра
зуется....
Про;1е.•айте и ПОС)t0тр11те, что
по.1учнтсн.
2. Прнготовьте второii лист Ме
биуса нз достаточно шнро�;ой полоски
н paзpe.iaiiтe его ноншицам11 так, что
бы линня разрезn все r.ремя ш.•а вдвое
ближе к .1еоому краю ш•рво�1ачальной
п0Jюс1ш, чем к праnому (тш11н разреза
обойдет лист Мебиуса дваж;1ы). Те·
перь образуются двn �;ольца, но они
окаж)·тен сцеплениым11. Проделайте!
А 11то получит�н, сели вновь
взять бумажную ло.1оску, один ее
конец перекрутить на полный оборот
(на 360°), приклеить к др)тому концу
и разрезать получивш)·юея модель
по средней линии?
з. Надрежьте концы бумажной
полоски поглубже, Че)I ПОlil\Зано на рн
с)·нке. Склейте ко11цы .'\ 11 D. Про-
му месту, е которого начали, вы уви
дите, что окажется окрашенной ося
поверхность листа, хотя его край вы
и не пересекали ин разу.
1
�.� "
пустите �<онец В под А и прнклейте
его к Е. Пропустите конец С между
ВиА,аконецFмеждуDнЕ,
после чего склейте концы С и F. Все
склеивания концов про11зводите пря
мо, т. е . без 11редв11рительного пере
кручивания.
Теперь каждый 11ачатый разрез
продолжайте одоль всей модели; полу
ч11тся 11нтересное переплетение трех
колец: любые два буд)·т сцеплены друг
с другом и оба с треть11м кольцом.
Если оы ошибетесь и конец С
пр11кленте · к концу F, не пропустив С
между В и А, то после указанного
разрезания получится обычная цепь
11з трех колец.
•

О РАЗ.JIИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ
Всем хорошо известно , чт о выводы эле
ментарной (школьной) гео мет рии находят ши
рокое применен ие при решении самых раз
нообр азны х пр актических задач. Знания гео
метрии не обход11111ы слесарю, инженеру, учено
му - всем,
1юм у
приходится исследовать
сво l!ства различных фигур и тел . Как же гео
метрия пзуча ет наш реальный 11111р ? Каждому,
п о-в ид111110м у, приходилось слышать выраже
ния «с математической точно ст ью» , «к ак дваж
ды два - четырu». Этими словами обычно
принято характеризовать абсолютно точное и
неосп оримое . Ниже мы попытаемся выяснить,
с ка кой точностью геометрические теоремы от
ражают де йст вител ьное положение вещей в на
шем мире . Дейст вител ьно ли эта точность бес
преде льна?
Дл я того чт обы ответить на эти вопросы,
нам понадобит ся внимательно проанализи
ровать, как ст роится наука геометрия и как
эта на у1<а нзучает реальный мир .
С че1•0 11ачннается на�·че1111е
геоме1·рнн
В учебнике геометрии постоянно изуча ются
гео111ет рпче ские объекты различной сложности:
треугольники,
трапеции , параллелограммы,
прпзмы, пирамиды , сферы п т. п., которые дол
жны быт ь точно охарактеризованы . Это дел ает
ся втак называемых определениях.
Д:�я того чт обы полно сп.ю разобрать то или
иное произвол ьно взятое определение, надо
знать оriредел ения , изложенные в уче бюше ра
нее . Например , чт обы понять определение тра
пеции , надо заранее знать опреде ление па
ра ллельности прямых , определ ен ие четырех
угольника , а дл я эт ого надо знать определение
отрезка . Посл еднее требует знания того , чт о
та 1юе прямая и точка.
Всякое другое опреде ленле точно так же
n конце ко нцов пр иводит нас к первой стр а ни
це учебника геомет рии, где мы надеемся найти
определения основных геометр ических понятий:
ТОЧКИ, прямой , плоскости.
Но, увы, нас ожидает разочарование . Ока
зывается , что и здес ь нет точных математ иче
ских определений точки, прямой 11 плоскости.
В то же время все дал ьнейшие определ ения,
ко торые опираются на эти осно вные гео метри
чесю�е понят ия, сформулированы с пол ной ма "
О РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИ ЯХ
тематической ст рогостью . Такое положение
на первый взгл яд может покааат ься весьма
ст ранным .
Правда , в начале учебника даются не1юто
рые пояснения того , что же мы понимаем под
точкой, прямой и плоскостью . Пояснения эти,
однако , ни в какой мере не могут служить точ
ными математическими определениями . Кроме
того, эти пояснения нигде далее в геометрии не
используются . Они совершенно не нужны для
дока зательства теорем. Важным является лишь
указание на то , что в дальнейшем будут изу
чаться именно точки, прямые и плосl\ости.
Что же таю:>е точ1<а , прямая и плос1юсть?
От метим ср азу же, чт о нигде в природе не
встречаются точl\и , прямые и плосl\о сти .
Предст авим себе шарик малого диаметра ,
Сl\а же м в 1 мм. Умен ьшим его диаметр вдвое,
втрое, ..., в тысячу раз и т. д. Наступ ит ли мо
мент , кегда уже весьма малый шарИI\ можно
будет назвать то чкой? Нет!
Учитель ст аnит на доске весьма «ж ирную»
точку . Ученики рисуют в тетради тоже весьма
1\р упные точки . На самом же деле 1<а ждыii раз
изображаются маленькие кружочки. Но точки
.т�:и это? Звезды на небе тоже на м представля
ются «точ�>а мю> , хотя некоторые из них во много
раз бо льше Солнца . А если представить себе
шарик столь малым , что его нельзя увидеть
ни в один совреме нный микрос1юп ,- будет ли
это точка? Опять нет .
Дело в том , чт о ТОЧI\а - это не 1\аl\ОЙ-ТО
конкретныйпредмет. Точка - это а б стр а к т
ное понятие, котороеобразовано на
шим со знанием в ре зультате дл ит ельного изуче 
ю1я весьма малых (или 1\а жущих ся малыми
при определенных условиях) реальных объек
тов - шариков,
кружочков и т. п. Это
абстрактное понятие точки наделяется нами
целым рядом свойств, общих для тех кою\р ет
ных предметов , в ре зультате наблюдения над
которыми и возникло понятие точки.
31:1.

ФИГУРЫ И ТЕЛА
�VL,
,-
;:;,i'"'�-=--
А
Рис. 2. Предстаnле11иt' о прямой дает ·ч·ч спета, проходящий
"Jcpe� мuлое отиерст11е.
Обратимся теперь к понятию прямой. На
бумаге изображена линия. Прямая ли она? Нак
в этом убедит1,ся? Надо приложить линейку,
сравнить линию с краем линейки. Но при этом
возникает вопрос: прямая ли наша линей1>а?
.Каждому, вероятно, приходилось видеть сто
ляра, который для проверки прямизны выст
роганной план1>и рассматривает ее так, как
показано на рис. 1 . Если линейка не прямая,
на ней есть изъяны, это будет видно на свет.
Таким образом, проверяя прямизну сделан
ной линейки, ее сравнивают с лучом света. Точ
но так же обстоит дело и с туго натянутой ни
тью, 1>оторую практически считают прямой.
Чтобы убедиться, что нить хорошо натянута
и не провисает, надо опять-таки взглянуть
вдоль нити, т. е. (как и планку) сравнить ее
с лучом света.
Значит, можно сказать, что луч света являет
ся эталоном прямой. На первый взгляд все
хорошо. Но на самом деле нигде в природе не
встречается то, что мы мыслим себе «одним
лучом света».
Допустим, что свет небольшого источника
А (рис. 2) пропускают сквозь малое отверстие.
Получится узкий пучок света. Представим себе,
что отверстие все время уменьшается и источ-
11 11�аее ••• "асов
ник света тоже уменьшается. Тогда пучо1,,
исходящий из отверстия, будет становиться
все уже и уже. .Конечно, этот пучок никогда
не станет лучом, если бы даже и можно было
его сделать с1.;оль угодно узким 1. Вот еслн бы
источник света А был точной и отверстие В то
же было точкой, тогда пучок стал бы лучом.
Но ведь мы говорили о том, что в реальном
мире точек не бывает. Значит� пе бывает 11 лучей.
Таким образом, и луч (т. е . прямая) лв;1яется
абстрактным поннтием, хотн и имеет весьма
реальную природу и физическое происхо;�ще
ние. Точно тан же, как и в случае точю1, рнсуя
па бумаге прямую, мы только создаем реаль
ный образ - рисунок, стремясь в той ю1и иной
(нужной нам) мере сделать его похожпм на те
физические объекты, из 1юторых произошло,
выкристаллизовалось абстрактное понятие пря
мой. И здесь, как и в случае точки, абстрактное
понятие прямой наделяется нами всемн свой
ства111и, общиl
\
lи для тех конкретных предl\lе
тов, в результате наблюдения над которыми
возни1>ло само понятие пряl\lоЙ.
Точно так же обстоит дело и с плос1.;остью.
Представи111 себе, что свет источника А пропу
скают сквозь прнl\lую щель (рис. 3). Пря11111зна
щели может быть, например, в нужной нам
мере проверена при помощи эталона - луча
света так, как уназано выше. Получитсн изо
браженный на рисунке пучок света. Если бы
уl\lеньшить paзl\lep источни1>а до «идеальноfн>
точ1>и и сузить щель до «идеальной)> пряl\lоЙ,
тогда пучок света стал бы «идеа:1ьной)> плос�.;о
стью. Здесь применимы все рассуждения, при
веденные в случае прямой, 11 мы не будем на
них останавшшаться.
1 В этом мысдснпом «идеадыJОМ>) экспсрпмснтс мы
умышденно не учитываем возникающие :щесь фн:зи
:ческие явдсния: ди фракцию, прсдомдсюю и т. п .
Да, есть 11 та�;ой музей. Часов
там много всяких: ста ринных и со
временных, А1еханнчес�;нх и :ые�;тр11-
чесю1х, огромных н крошечных, с боем
н без боя, с циферблатом и без цнферб-
тронно-механичесю1е часы совсе�1 и
заводить не надо.
В числе ти�;ающих и безмодвст
вующих обитателей музея быда пара
действующих часов с боем, одинако
вым по тембру. Од11ажды они )·дариди
подряд, ка�; я 11ас•шт11.1, t 9 раз. ато
произошло пото�1у, что 11ачадо боя
на первых часах опаздывадо по отно
шению ко вторым часам на две се�;ун
ды. Кроме того, первые ча.сы, о�;азы
вается, ударя.111 через каждые 3 секун
ды, а вторые - через 4 секунды.
312
пата.
Первые механ11чес1ше часы бь1.1н
изобретены окодо середины. Х в. Очень
додго чаеы имедн лишь одну стредку
часовую. ТО.1ЬКО с 1700 г. ПОЯВ11.1ась
и минутная стрелка, а еще через
60 лет - секундная.
'00 лет часы приводятся в дей
ствие пруж1111ой. Но эра пружины на
исход,е. Сонремен11ые щ1р)·ч11ые эдек-
Который был час?
Ре шен11е на стр. 321.

Рис. 3. Представление о плоскости дает свет, проходящ11й
через узкую прямоли11ей11ую щель.
Как приие11петсп
гео11етрическап теория
Итак, в геометрии изучаются свойства абст
рактных понятий - точки, прямой, плоскости.
Эти свойства формулируются и доказываются
в так называемых теоремах. Доказательство
же всех теорем основано в конечном счете
на некоторых аксиомах, которые в геометрии
никак не доказываются. Подробнее о том, как
выбираются аксиомы, :каким требованиям дол
жен удовлетворять этот выбор, расс1<азано
в статье «Кан возни:кла геометрия».
Наиболее ранняя из дошедших до нас систем
аксиом была построена Евклидом (III в. до н. э .) .
Аксиомати:ка (система аксиом), данная Евк
лидом, была, правда, далеко не безупречной.
Строгое современнре изложение евклидовой гео
метрии было дано лишь в конце XIX в. и ба
зируется на двух десятках а:ксиом, :которые мы
здесь перечислять не будем. Все теоремы гео
метрии лишь с той точностью описывают
О РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРШIХ
реальный мир, с каRой аRсномы прав1шыю
отражают действительное положение вещеii.
Существо дела заключается в сJiедующем.
Пусть, например, мы рассматриваем распрост
ранение света в природе - так сказать, «све
товые лучю>. Они ведут себя в соответствии с
действующими физическими за�>онами. И вот
геометры-математики выбирают некоторые об
наруженные в опытах особенности распростра
нения света и объявляют их аксиомами, при
сущими абстрактным понятиям точки, прямоii,
плоскости. На базе выбранных аксиом и строят
математическую науку - геометрию. Эта гео
метрия является как бы мысленным сле111,ом
с действительного мира. Изучение этого сле1ша
позволяет обнаруживать закопо�юрности реаль
ного мира уже не путем непосредственных наме
рений, а 1
1
1ыс.11енно, геометрически (т. е. на
слепке).
Чтобы подробнее пояснить это, рассмотрим,
например, задачу об определешш расстоянин
между пунктами А и В, разде:1енными peкoii
(рис. 4) . ·· Понятно, что прямое измерение рас
стояния АВ практически неосуществимо. (Еще
труднее найти расстояние между звездами.)
Для решения подобных задач необходима гео
метрия. Как же найти расстояние АВ с помощью
геометрии? �кажем два способа решения этоii
задачи.
Первый способ. Выберемнамест
ности еще один пункт С таR, чтобы расстояние
А С можно было непосредственно измерить.
Найдя АС, измерим с помощью ка1<ого-.1
1
ибо
угломерного инструмента (скажем, теодолита}
поочередно углы (J. и r (положим для определен
ности, что они оказались острыми).
Р11с. 4 . И'1мереиие рuсстонння между пунктами А и В, рu:щеленными рекой.
313

ФИГУРЫ И ТЕЛА
Рис. 5.
Теперь, уже мысленно, рассмотрим абстракт
ный треугольник АВС, у которого задана стр
рона АС и углы а и 1· Мы можем для наглядно
стн нарисовать этот треугольник (рис. 5), хотя
шшакой необходимости в этом нет, все дальней
шие рассуащения можно· проводить мысленно,
не обращаясь к рисунку. Поэтому и рисунок,
если уж его желательно сделать, может быть
выполнен приблизительно, без соблюдения ка
ю1х-л11бо чертежных правил.
Опуская из вершины В перпендикуляр на
сторону АС, получим точку D. Обозначим
BD=h, AD =x. Тогда DC=AC-x . Очевидно,
h
h
-x=tga; АС-х = tgr. Отсюда
x tgtl =(АС - x)tgr.
Следовательно:
АСtц1
х = ----'-'-'--
tgа+tg"(
После этого по теоре1
1
1е Пифагора легко
найде111:
АВ=ух2+h2=ух2+(xtgа)2=
= х_;1+t2rJ.=
АС tg "(у�.
/1
g
tgа+tgj
Зная АС, а, r. можно по полученной формуле
легко найти искомое расстояние АВ 1•
Второй способ.Постараемсянабу-
111аге по возможности точно начертить план
местности (план треугольника АВС). Разу
меется, невозможно начертить его в натураль
ную величину. Поэтому выберем определен
ный масштаб и уменьшим измеренную величи
ну АС в п раз. Построим на чертеже отрезок
А'С'= ..!. АС (рис. 6) . Далее, на концах этого
п
1 Расстояние АВ можно найти еще проще, если вос
пользоваться известной в тригонометрии теоремой сину
сов.
314:
отрезка с помощью транспортира построим
углы (]. и r' равные найденным при измерении на
местности. Продолжив стороны этих углов, по
лучим точку В' -третью вершину треугольника.
Так как два угла а и r треугольника А'В'С'
равны соответствующим углам треугольника
АБС, то эти треугольники подобны. А так ка�\
подобие треугольников означает пропорциональ
ность их соответствующих сторон, то прихо
дим к выводу, что сторона А'В' должна
быть меньше стороны АВ также в п раз. Поэто
му, измерив на чертеже А'В', можно найти,
что АВ = пА'В'.
В первом случае мы нашли АВ простыМ!
вычислением, во втором - пришлось допол-
1-штельно измерить на чертеже А'В' и выпол
нить достаточно точный чертеж. В обоих слу
чаях для определения АВ нам пришлось вос
пользоваться многими теоремами геометрии:
теоремой Пифагора, теоремой о свойстве подоб
ных треугольюшов и т. п . Отметим, что второй
способ (наряду с первым) часто используется
в инженерной прантине, где поэтому весьма
важным является точное выполнение чертежей.
Можно ли гарантировать, что описанные
методы дают величину АВ, которая с необходи
мой точностью совпадает с расстоянием между
пуннтами А и В, если бы его действительпо уда-

лось измерить? Ответ на этот вопрос зависит
от того, насколыю точно аксиомы геометрпи
(а следовательно, теоремы) от()бражают реаль
ную действительность, насколько хорош наш
геометрический слепок с реального мира.
Разумеется, может оказаться, что этот сле
пок недостаточно хорош. Тогда надо попытаться
сделать лучший. Для этого надо тщательнее
проанализировать опыты, на основании которых
выбраны те или иные аксиомы, точнее, выбрать
аксиомы. С помощью новых аксиом, более
точно отображающих действительность, надо
построить новую геометрию, новый, более точ
ныii слепо1\ с реального мира.
В течение двух тысячелетий считалось, что
ев1шидова геометрия описывает :мир с беспре
дельной точностью, что евклидов слепок с ре
ального мира идеален. Эта точnа зрения была
впервые поколеблена лишь в 1826 г. русским
математиком Н. И . Лобачевским. Чтобы разъ
яснить его идеи, остановимся подробно на ана
лизе одной из самых интересных аксиом евк�
лидовой геометрип.
Ансноиа о пара.11"'lе.Jiьных
Выбрав систему аксиом, начинают доказы
вать теоремы все более и более сложные.
Весьма просто, например, с помощью тео
ремы о внешнем угле треугольника доказы
вается ТаI\ая теорема:
Две прямые, перпендикулярные третьей пря
мой, не пересекаются.
Дадим теперь с.1
1
едующее определение:
Две прямые, лежащие в одной плоскости и не
пересекающиеся, называются парамелъными.
Пусть теперь на плоскости даны прямая
а и точка А (рис. i). Ясно, что через точку А
мо;кно провести прямую Ь, параллельную а.
Д.'Т я этого достаточно опустить из точ1ш А
г.::-рпендикуляр АВ на прямую е, а затем из
А
в
с
Рис. 7.
О РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ
точки А провести прямую Ь, перпендикулярную
АВ. Это и будет искомая п
'
араллельная. Итак,
параллельные прямые существуют!
Теперь возникает вопрос: нельзя ли через
точку А провести еще одну прямую Ь', также
параш1ельную прямой а? (Напомним, что все
происходит на одной плоскости, т. е . мы за
нимаемся только планиметрией.) Тому, кто не
думал над этим раньше, не изучал этого вопро
са, хочется немедленно и натегорически отве
тить: нет, нельзя! - прямая Ь' пересечет пря
мую а, возможно, очень далеко, но непременно
пересечет!
Воздержимся пока от столь категорического
ответа и постараемся вдуматься в поставленный
вопрос глубже.
Возьмем на прямой а точку С и соединим ее
с точкой А прямой с. Теперь будем передвигать
точку С вправо по прямой а. При этом прямая
с будет поворачиваться около точки А. Ясно,
что прямая с никогда не сольется с прямой Ь,
ибо Ь с а не пересекается. Но прямая с, повора
чиваясь в одном и том же направлении, будет
неограниченно приближаться к какому-то оп
ределенному предельному положению, когда
точnа С неограниченно удаляется вправо. Те
перь спросим себя: будет ли прямая Ь той пре
деJiьной прямой, к которой неограниченно прп
ближается прямая с? Или, может быть, пряман
с будет неограниченно приближаться к пре
дельной прямой Ь', отличной от Ь, так что пря
мая с, поворачиваясь, не сможет войти внутрь
угла а. Опять хочется отвергнуть это предпо
ложение.
Однако подумае!\t еще. Проведем из точюI
А луч d под углом 9 < 90°к прямой АВ. Ес.11и
этот угол 9 мал, прямые а и d пересекутся на
чер;,геже. Надо толы\о продш1ть .1
1
уч d. Если же
теперь увеличить угол 9 (см. рис. 7), прямые а
и d пересе!\утся уже не на чертеже, а где-то
за полем книги. Еще немного увеличим угол 9.
Тогда при продолжении прямые а и d будут
пересекаться дальше, сnажем, на расстоянии
нескольких сот метров. Ясно, что прю\тически
убедиться в этом весьма трудно, почти невоз
можно, но принципиально мыслимо.
Теперь еще увеличим угол 9. Пусть он от
личается от 90°, допустим, на одну ми.1
1
.1
1
ион
ную долю градуса. Что же теперь можно СI\а
зать о пересечении прямых а и d? Хочется опять
их мысленно продолжить. Но так ли хорошо
мыслим мы это продолжение? Не теряет ли
смысл этот мысленный эксперимент? Ведь если
угод 9 достаточно близок к 90°, то продолжать
прямые придется туда, куда не уда.'lось загля-
315

ФИГУРЫ 11 ТЕЛА
дывать даже при помощи самых мощных теле
снопов.
Напомним, что аксиомы изучаемой сейчас
геометрип должны отражать свойства свето
вых лучей и подвергаться многонратной про
верне на опытах со световыми лучамп.
Наше предположение о том, что лучи а
и d пересенутся, основано действительно на
большом прантичесном опыте. ГоворЯ, что лу
чи а и d пересекутся даже очень далеко (на
пример, на расстоянии 100 млн. км) , мы ба
зируемся на большом опыте астрономических
наблюдений.
Предположение же о том, что лучи света
а 11 d пересенутся за пределами видимости
са�1ых мощных телеснопов, уже основано на
чистой фантазии. Ведь неизвестно, 1,ак там по
ведут себя лучи света. Здесь уже нет юшаю1х
оснований ссылаться на энсперимент.
Мы договорились, что эталон прямизны -
это луч света. Чтобы сделать наное-либо за
нлюченпе о поведении прямых а и d, надо знать
ф11зичесю1е свойства световых лучей.
Итан, вопрос о том, можно лп через точну
А провести две прямые Ь и Ь ' , параллельные а,
зависит от свойств световых лучей. Лсно, что,
если угол ер очень близок к 90 °, энсперименталь
ная проверна того, пересенутся ли лучи а и
d, невозможна.
Следует хорошо уяснить, что вопрос о
том, можно ли из ТОЧЮI А провести ТОЛЬl\О одну
прямую, не пересенающую прямую а, решается
не та н уж просто. Ничего категорически здесь
сразу сказать нельзя.
Разумеется, неочевидность какого-либо ут
верждения ни в каной мере не означает его
несправедливости. Ведь теорема Пифагора, на
пример, тоже не так уж очевидна: совсе111 не
сразу можно поверить в то, что площадь квад
рата, построенного на гипотенузе любого пря
моугольного треугольнина, равна сумме пло
щадей квадратов, построенных на его 1'атетах.
Чтобы убедиться в справедливости теоремы
Пифагора для любого прямоугольного треу
гольни1'а, ее до1'азывают. Доказательство это
опять-тюш основывается на тех же а1'спомах.
Возможно, в нашем вопросе полоr1>ение ана
логично. Иными словами, можно ли доказать,
исходя из принятых аксиом, такое предло
жение:
(А) Через точку вн,е прямой нельзя провести
бол ее одной прямой, параллельной даппой .
Возможно, что еще Евклид задавался этим
вопросом, однано ответа на него у Евклида
нет. Но так нан этим предложение�� (или энвп-
316
валентным ему) приходилось пользоваться при
доказа'Jельстве других теорем, пришлось при
нять предложение (А) за аксиому 1• В стабш1ь
ном учебнике пред.'Iожение (А) названо аксио
мой о параллельных. Итак, принимают новую
ансиому, хотя, как объяснялось выше, есть
все основания усомниться в ее справедливости
в 11111ре световых лучей.
Равна е;JИ с!·и11а !-Г"'IОВ
1'()е�·го"1ы111ка :180°
Оставим пона в стороне вопрос о том, вклю
чать ли аксиому (А) в число аксиом геометрии,
предназначенной для описания мира световых
лучей. Укаже�1 лишь, что именно с помощью
аксиомы (А) в школьном учебнике доказывается
теорема:
(В) Cy.мJtta впутрен,н,их углов любого треу
гольника равн,а 180° (в радиаппой мере ot).
Несколько сложнее доказывается обратная
теорема:
Если сумма впутреппих углов хотя бы одного
треугольника в точности равна 1 80 ° , то спра
ведлива аксиома о параллельных, т. е . через
точку А певозможпо провести в плоскости две
ра зличные прямы е , пе пересекающие даппую
прямую а, которая лежит в той же плоскости.
Таким образом, из аксиомы о параллель
ных следует, что сумма внутренних углов лю
бого треугольника равна 180°; наоборот, из
того, что сумма углов некоторого треуго.'lьника
равна 180°, следует аксиома (А).
Значит, в списке аксИ:ом евкш1довой геомет
рии можно вычеркнуть акс11011
1
у о параллель
ных, но вместо нее внести предложение (В).
При этом все остальные теоремы евкдидовой
геометрии остались бы неизменными.
Мы выше пояснили трудность (даже практи
чес1>ую невозможность) проверки аксиомы о
параллельных в мире световых лучей. Если
бы даже можно было выделить сколь угодно
тонкий пучок световых дучей 11 если бы не было
ни1'акого их поглощения, то и тогда совер
шенно непонятным оставалось бы их поведе
ние за пределами видимости современных
телескопов.
Всегда неясным оставался бы
вопрос о том, пересекутся ли лучи а и Ь', если
угол 9 близон к 90 ° (см. рис. 7) . Сказать, что
лучи будут и дальше идти по прямой, - значит
вообще ничего не сказать, ибо свойства прямой,
1 Евклид в качестве аксиомы принял другое nред
ложею1е, которое, одна ко, равноснльно предложению (А).

которые кладутся в основу рассматриваемой
сейчас нами геометрии, выводятся на основа
нии изучения свойств реального мира свето
вых лучей , а не наоборот.
Приняв Ю\сиому (А), мы получим геомет
рию, в которой сумма углов любого треуголь
ника равна 180°. Приняв предложение , проти
воположное аксиоме (А), мы получим геомет
рию, в которой сум111а углов всякого треуголь
ника отлична от 180°. Как же здесь быть? При
нимать или не принимать аксиому (А)?
Ввиду чрезвычайных трудностей, связан
ны х с экспериментальной проверкой аl\сиомы
(А) в опыта х со световы11
1
и лучами , возникает
вопрос о том, не проще ли на таких опытах
проверять предложение (В) .
Поясним подробнее возниl\ающее здесь по
ложение.
Представим себе , что на местности (рис. 4)
ведутся геодезические работы. Пусть в пункте В
на штативе укреплен шарик, 1\оторый геодезист
наблюдает в обычный теодолит, установлен
ный в пункте А.
Какой же величины надо взять шарик в
пункте В для этих наблюдений? Шарю.; надо
выбрать так, чтобы его изображение получи
лось с возможной точностью в центре окуляра
теодолита . Если шарик таков, что его изо бра
жение будет большим кружко111, его надо умень
шить для более точной наводни. Значит , шарик
не должен быть слишком большим. Уменьшать
шарин, однано, имеет смысл лишь до тех пор,
пока это уменьшение сказывается на точности
наводки теодолита. Если чувствительность при
бора не даст возможности улучшить наводку
путем дальнейшего уменьшения шар1ша, такое
уменьшение просто бесполезно. Выбрав шар1ш
надлежащего размера , геодезист считает, что
он имеет дело с «точками» А и В, соединенными
отрезком АВ. При этом , 1\ак и выше, шарик В
может на самом деле быть довольно большим
(это зависит, разумеется, от расстояния АВ) .
Теперь представим себе, что в пункте С
тан же установлен на штативе шарик надлежа
щи х размеров . Поочередно наводя теодолит
на шарики В и С, геодезист находит величину
а, равную разности отсчетов на лимбе теодо
лита.
Как указывалось выше , геометрия опери
рует абстрактными понятиями точки , прямой ,
треугольника и т. д . Поэтому наш геодезист ,
выполнив вполне конкретный физический экс
перимент с шариками и снопиками световых
лучей, рассма тривает абстрактный треуголь
ник АВС и считает , что величина угла в вер-
О РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИ ЯХ
шине А равна а.- разности отсчетов на JillM
бe теодолита.
Понятно, что величина а. зависит от того,
насколько хорошим и совершенным был при
мененный теодолит. По этому, применяя различ
ные измерительные приборы, геодезист должен
был бы каждый раз изучать другой абстракт
ный треугольник АВС .
Представим себе для определенности, что
констру1щия теодолита не дает возможности
фиксировать показания на лимбе более мешше,
нежели 10' . В таком случае, выполнив отсчет
на Jiимбе пo cJie наведения на шарик В, говорят,
что отсчет сделан с точностью до 10' . То же
са мое относится и н наводке теодолита на ша 
ри1< С.
Найдя разность отсчетов а., геодезист счи
тает, что, применив другой, более точный те о
долит, он мог бы получить другую разность,
однаl\о ее отличие от а. не превысит 20'.
Таним образом, рассматривая абстраю ный
треугольник АВС с углом А , равным а., гес де 
зист вправе считать, что, применяя более точ
ные приборы, он мог бы по Jiучить ДJI Я угла а.
другую величину , ле жащую в пределах от
а. - 20' ДО а.+20'.
АнаJiогично можно для углов В и С полу
чить величины � и r и найти сумму a=a.+�-+-r.
Возникает вопрос : равна ли эта сумма 180°?
Понятно, что такое совпадение маловероятно .
Вспомним прежде все го, что наждая наводна
теодолита выполнялась с точностью до 10' . Для
определения а теодолит пришлось наводить
6 раз. Поэтому применение более точного при 
бора могло бы привести к получению другой
су111мы, находящейся в промежутке от а -1°
ДО а +1°.
Итак, определение суммы углов рассматривае
мо'го абстрактного треугольника зависит от точ 
ности проведенных измерений (в данном случае
от точности примененного теодолита). В нашем
случае геодезист вправе рассмотреть абстракт
ный треуго.JJьник, сумма углов которого отличает
ся от найденной при измерении величины а , но
не болеечемна 1°.
Эдесь возникает другой вопрос. Насколько
измеренная сумма углов а отличается от 180°?
Превосходит JIИ это ОТJIИчие 1°? Находится ли
разность между 180° и а в пределах точности
примененных инструментов? Иными словами ,
может ли геодезист в данном случае рассмат
ривать абстрактный треугольник с суммой
углов 180°?
Проанализируем возможные результаты из
мерения. Здесь имеются две возможности.
317

ФИГУРЫ И ТБЛА
1. В резу.�ьтате измерения получилась сум
ма а =rJ.+�+r, отличие которой от 180°
превосходит точность проведенных измерений
(в данном случае 1°). В этом случае геодезист
должен рассуждать примерно так. Если пр.u
нять аксиому (А), в нашей геометрии сумма
углов всякого треугольника будет равна 180°.
Проведенный же опыт показывает, что приня
тая точность измерений не согласуется с таким
выводом. Это означает, что такая геометрия
для нашего геодезиста недостаточно "'ороша.
Выводы ее он не смог бы применять в своей
практике.
Зная длину Ас'углы(}. и r' он неС:\IОГ бы
с необходимой точностью, как это описано вы
ше, определить длину А В, ибо теорема Пифа
гора и признани подобия треугольнююв спра
ведливы лишь там, где сумма углов треуголь
нина равна 180°. Ему пришлось бы для пра кти
ческих потребностей �троить геометрию, где
аксиома (А) не справедлива и, следовательно,
сумма углов треугольника не равна 180°.
2. Сумма углов а =(}.+�+r, полученная
в результате измерения, отдичается от 180°
на величину, не превосходящую точность 11з111е
рений (в данном случае 1°). В этом случае гео
дезисту для практических нужд вполне при год
на геометрия, в которой сумма углов треугоJ1ь
нина равна 180°. У него нет нинаних оснований
отвергать аксиому (А), а равно и предло жение
(В) . Обычная евклидова «школьная» геометрия
здесь 01\азывается весьма полезной , ее выводы
приобретают большое практическое значение
с точностью, принятой в измерениях нашего
геодезиста.
Однако необходимо заметить, что геодезист
и в данном случае не должен слишком прене
брежительно относиться к геометрии, где невер
на аксиома (А) и где сумма углев треугольника
отлична от 180°. Не исключена возможность,
что и такая геометрия в будущем окажет
ся ему полезной. Если все измерения гео
де зиста пока хорошо согласовывались с той
геометрией, где сумма углов треугольника рав
на 180°, то, может быть, в дальнейшем, увели
чив точность приборов или измеряя углы зна
чительно ббльших космических треугольни
«ов, он стол«нется с тем, что при новых изме
рениях обычная геометрия уже не будет опи
с ывать мир с достаточной точностью. И тогда
11онадобится совсем другая геометрия.
Итак, вопрос за«лючается лишь в том, «акая
геометрия с большей точностью описывает мир
световых лучей, какой мысленный слепок с ре
а льного мира является более точ ным.
3:18
Вполне владея изложенными
идеями,
Н. И. Лобалевс:1<ий
XIX в. имевшимися
уже в первой половине
в 1'0 время астрономиче
с.кими средствами измерил сумму углов весьма
большого космического треугольника. За вер
шины были взяты две cal\lыe удаленные точю1
на эллиптической орбите Земли и одна из да
леких звезд. В результате изl\lерения получи
лась величина ; как и следоваJю ожидать, от
т1чная от 180°, однако это отличие не выходило
за пределы точности примененных инструмен
тов. Таким образом, вопрос о том, какая гео
метрия точнее описывает l\IИP световых лучей,
остался открытым. Было неясно, понадобится
ли вообще когда-нибудь геометрия, в 1юто рой
не пмеет места аксиома (А). Не является ли та 
ная геометрия бесполезным плодом фантазии?
IJ�·жн ы .1 п др �·гне геоиетрю1
Выше пояснялась естественность построе
ния геометрии, в которой сумма внутренних
углов треугольника не равна 180° и, следова
тельно, не имеет места утверждение (А).
Впервые такую геометрию построил и раз
вил Н. И. Лобачевский в 1826 г. Геометрия
Лобачевского строится на тех же ансиомах,
что и евклидова, за исключением аксиомы е ца
раллельных, которая заменяется противопо
ложным утверждением - аксиомой Лобачев
ского:
Чер еа точ ку вне прямой в данной пло скости
можно провести по к райней .мере две прямые , не
пересека ющ ие данну ю пряму ю .
Мы видели, что вопрос о том, какая гео
метрия - Ев1\лида или Jlобачевс «ого - точнее
описывает мир световых лучей, решается не
так уж просто, хотя ансиома Лобачевсl\ого
и ка жется на первый взгляд парадоксал ьной.
Огромной заслугой Лобачевсного было то, что
он этот вопрос поставил.
Впоследствии было построено много других
геометрий - других мысленных с.11епков с ре
ального мира. Вопрос же о том, действите.1
1
ьно
ли понадобится .каная-либо из этих геометрий
при изучении реального мира световых лучей,
оставался по существу открытым вплоть до
191 6 г., когда 1>рупнейший физии А. Эйнштейн
создал так называемую общую теорию относи
тельности.
Широко известен анекдот о том, что Ньютон
отнрыл за нон тяготения, наблюдая за паде
нием яблока. Наснолько же точно ньютсtнов-

ский закон отображает реальное положение
вещей? Нельзя л и с помощью очень точных
инструме нтов обнаружить, что притяжение тел
может отклоняться (пусть очень мало) от закона
Ньютона? Здесь м ожно поставить те же вопро
сы, :какими мы занимались при разборе евкли
до вой аксиомы о параллельн ых .
Дело в том , что ньютоновс:кие законы также
предста вляют собой не:кото рый абстрактный,
мысленный слепо:к с реального мира . Это :как
бы физический слепок , в то время как е-вкли
дова аксиоматика является геоме'tрическим
слепком.
Подобно этом у и з аконы ,,шентрического
взаимоде йствия (н апример, закон Кулона) так
же являются определенным физическим слеп
:ком с реального м ира.
Вплоть до создания обще й теории относи
тельности считалось тв е рдо устано вленны м, что
реальный �мир представляет собой н ечто по
р;обное бе сконечной пустой ((евклидовой ком
нате)), в которой, словно мебель, расположены
реальные тела, предметы, взаимодействующие
друг с другом . Казалось соверше нно н е сомнен
ным, что свойства этой «евклидо вой комнаты»
ни как н е связаны с пе реме ще нием и взаимодей
ствие11t находящейся в ве й ме бел и.
Законы же пе ремещения и взаимодействия
материи в этой пустоте описывались в физиче
ских те ориях-слепках . Однако считалось, что
эти те ории могут делаться независимо от того ,
:как сделан геометрический слепок . Кроме того,
ньютонов слепок считался столь же бесконечно
совершенным и точным, как и евклидов геомет
рический слепок .
Опыты , однако , показали, что известные
физические теории стол ь же несо вершенны ,
:как и евклидо ва геоме трия .
Чт обы несколько разъяснить это , расска
жем об одном эксперименте , который уже неод
нок ратно повторялся астрономами и показал хо
рошее совпадение с з аранее получе нными вы·
водами теории относител ьности .
Представим себе на Земле наблюдателя,
кото рый , находясь в определенный момент в
точке 01 (рис. 8), видит звезду А и вблизи от
нее Солнце S 1• Набл юдение проводится в не
большой промежуток времени, так что звезду
и Солнце мо жно считать неподвижными , а т ра
екто рию Земли - прямол ине йно й. Если Земл я
движется по своей орбите с и звестной скоро·
1 Заметим, что такие опыты производятся при пол
ном с ол не ч ном затмении, коrда диск Сол нца закрывает
ся от наблюдателя диском Луны.
О РАЗЛИЧ НЫХ ГЕОМ ЕТРИЯХ
стью в направлении от 01 к 02 , то , пользуясь
теоремами евклидовой геометрии, не трудно
определ ить, в какой момент времени Солнце
з аслонит от наблюдателя звезду А . Это дол;1-;но
произойти тогда, когда Земля переме стится в
точку 02 (рис. 8).
Эксперимент, однако, показывает, что в де й
ствительности звезда А закрывается Солн цем
с некоторым опозданием, величина кото рого
хорошо согласуется с предсказаниями те орпи
относительности .
s
1
1
1
1
1
1
А
Рис. 8.
А
Рис. 9.
Как же объясняется это явле ние? Оказы
вается, сил ьное поле тяготения, со здаваемое
Солнцем, заставляет лучи света, проходящие
вблизи Солнца, вести себЯ не так, как того
требует евклидова ге ометрия . А именно , лучи
как бы искривляются, и получается карти
на, с хематически изображе нная на рис .
·
9.
Находясь в точке 02 , наблюдатель видит
звезду . Ли шь когда наблюдатель переме 
стится в точку 03 , Солнце закроет от н его
звезду А .
Можно попытаться объяснить обнаруженное
отклонение, оставаясь в рамках евклидовой
геометрии и ньютоновской теории тяготения.
Именно, зная массу Солнца и массу движуще
гося фотона (кванта света), можно на основании
81.9

ФИГ�РЫ И ТЕЛА
ньютоновс1юго закона тяготения вычислить от
клонение фотона от евклидо вой прямой. Опыт ,
одна�-;о, показывае т, что действительное откло
нение оказывается примерно вдвое большим
того отклонения , к ото р о е вычислено указан
ньш путем.
В таком сл учае приходится предположит ь,
что евклидова геоме трия и л и н ьютоновская
те ория тяготения ( или обе они) являются недо
статочно точньш11 слепками действительно го
м ира , ибо не п о зволяют объяснить наблюдае 
м ые явления . Общая те ория относительности
ка�.; раз и дал а новый, более точный слепок .
В соответствии с это й теорией по ведение свето
вых .'I учей вовсе не обязано с ледовать зако
нам евклидо вой гео метрии . Геометрия, при
год ная для описания поведения световых лучей,
дол жна цеJi иком и полностью о пределятьс я
распределением и состоянием материи в мире .
Каждое перемеще ние массы и и зменение энер
гип вещества влечет изменение структуры
всего фи з ического пространства, а следова
телыю, п
необходим ость
выбора более
подходяще г о, неевклидова геометрического
слепка.
Не.1 ьзя считать , что световые лучи в окрест
ности Солнца (рис . 9) пе рестали быть прямыми,
что они ис�-;ривлены . Они , так же как и лучи ,
проходящие вдали от Со лнца , являются иде
альными прямыми , однако поведение этих пря
мых до лжно описываться не евклидо в ой систе
мой аксиом , н е е вклидовой геометрией, а неко
то рой другой геометрией.
Так как распределение и состояние материи
в реальном пространстве изменяется во вре
мени , то и геоме трия , описывающая наше ре
альное пространство с достаточной точностью ,
тоже не остается неизменной, а изменяется со
временем . Значит , в формулировке аксиом
геометрии должно участвовать время . Поня
тпя пространства и времени оказываются неот
дел имыми , неразрывными.
Теория относительности Эйнштейна объеди
нила в одно целое изучение физиче ских и гео
метрических свойств реального мира. Она как
бы дала единый физико-геометрический слепок
нашего мира.
Оказалось , что мир нел ьзя рассматривать
как пустое евклидово пространство , заполнен
ное материей. Каждое изменение поля тяготе
ния , всякое пер емещение массы и изменение
энергии вещеGтва влечет изменение структуры
всего физиче ского пространства , а следовател ь
но, и необх одимость выбора более подх одящего
геометрического слепна .
320
В соответствии с теорией Эйнштейна выбор
подх одяще й геометрии целиком и полностью
определяется распределением и состоянием ма
терии в реальном мире .
Чеи от.1
1
и чаются
р азе1
1
ичные геометрии
Для того чт обы иметь возможность подби
рать в каждом случае подходящую геометрию ,
целесообразно заранее иметь целый набор , как
бы библиотену таких мысл имых слепков . В на
стоящее время математиками разр аботаны ме
тоды построения бесконечного числ а таких
геометрий .
Различные геометрические пространства,
т. е. разл ичные мыслимые геометрические слеп
ки, различают по тому, насколько они отли
чаются от евклидова . Само это отличие назы
вают кри визной. Кривизна геометрического
пространства определяется некоторыми числами,
кото.р ые характеризуют величину отличия той
или иной геометрии от евклидовой. Кажд ая
«кривая)) геометрия основывается , по существу,
на некоторых аксиомах . Совокупность аксиом
такой геометрии отличается от евклидовой си
сте мы аксиом . Имеется один интересный и про
стой признак , которым можно характе ризо
вать отличие геометрии от евклидовой, не пере"
чи сляя всех аксиом . Этим признаком является
нан раз те орема о сумме углов треугольника.
В евнл идо1юй геометрии она всегда равна 180°.
В других ге ометрия х это не так. Там сумма
углов треугольника может быт ь бол ьше или
меньше 180° , в за висимости от размеров и рас
положения треугольнина в пространстве .
Е сл и обозначить cyм!lty углов треугольника
че ре з а, то можно считать, что величина кри
визны харанте ризуется отношением вел ичи
ны а -180° н1площади треугольника . Величина
а - 180° в разл ичны х геометриях может иметь
зна н плюс или минус . В соответствии с этим
говор ят , что пространство имеет положител ь
ную или отрицательную кривизну .
В евкл идо вой геометрии а -180° =0; поэто
му говорят , что евклидово геометрическое про
странство имеет нулевую кривизну .
Выше было показано , чт о, развивая технику
измерений , совершенствуя свои знания реаль
ного мира , мы неизбежно приходим к необхо
д,имости построения геометрии , отличной от ев
клидовой . Однако евклидова геометрия во мно
гих вопросах является отличным орудием пра к
тики, инженерной техники и т. п. Смешон был

бы , например , инженер , который стал бы учи
тывать, что две вертикал ьные линии отвеса не
параллельны , а пересекаются в центре Земли .
Еще мен ьше оснований у инженера предпола
гать, что в построенном треугольнике сумма
углов отлична от двух прямых .
Евкл идо ва геомет рия в таких вопросах
с большой точностью описывает реальный мир
световых лучей, и не случайно изучение
свойств пространст ва люди начали именно с
евклидо вой геометрии .
Все это , разумеется , ни в какой мере не ума
ляет важности неевклидовых геометрий . Они
находят себе применение в важнейших теоре
тических и практиче ских вопросах современ
ной физики и математики.
Первая нее вклидова геометрия была по
ст роена Лобачевским . Многовековая привычка
к понятиям евклидовой геоме трии не дала
во зможности даже крупным математикам, со
временникам Лобачевского , понять его иде и.
Триумф этих идей наступил позднее . Теперь
Ответы и решения
О РАЗЛИ Ч НЫХ Г ЕОМЕТРИ ЯХ
они прочно вошли в науку о прир оде и хорошо
известны каждому физику . и математику.
Геометрические понятия тесно связаны с фи
зическими явлениями , происходящими в ре
альном мире . При этом следует иметь в виду,
что геометрия применима не только к изучению
явлений , связанных с распространением света.
Можно рассмотреть и какие-нибудь другие
реальные объекты , не имеющие никакого отно
шения к распространению света . Некоторые
из них можно принять за эталон прямизны ,
подобно тому как это дел алось с узкими снопи
ками световых лучей. Изучая эти объекты , мож
но подобрать аксиомы и построить соответст
вующую геометрию . Можно , например , в ка
че ст ве эталона прямизны принять траекто рии
твердых тел достаточно малого размера, дви
жущихся по инерции , т. е . при отсутствии
воздействия на них внешних сил . Полученная
при этом геометрия (как и геометр ия , построен
ная для изучения световых лучей) будет лишь
в первом приближении совпадать с евклидовой .
•
2
Ответ к стр. 290. Вот вседву
sначные «Самородки": 20, 3t, ,2, 5 3,
8', 75, 88, 97.
Ответ кстр.2111.
Наименьшая воsможная п.uощадь
у трех равновеликих прямоугольных
треугольников 8,0. Стороны: (,0,
,2, 58) , (24, 70, 74) , (15, tt2, t13).
Отв е т к стр. 307. Куб имеет
t 1 разверток различных форм. Ив них
в шести формах четыре грани куба
развертываются
в
одну полоску;
в четырех формах не более трех гра
ней в полоске; в одной - не более
двух граней в полоске.
Ответыкстр.303.
1
Треугольники равновелнки , так
как каждый состав.,ен нз пары треу
гольников (3, '· 5) .
решение к стр. 312. Построим
ряд параллельных отрезков, проме
жутк11 между которыми будем считать
3
одновременно н на слух сливаются
кажд
.
ый раз в один удар. Максиа1аль-
Отв е т к стр. 309 . Невозможно.
К аждый кубик и�1еет 6 граней. Для
пол учения кубика , расположенного в
центре данного куба, должны быть
выпилены полностью все шесть гра
ней (у остальных кубиков имеются
уже готовые гран11 ). Как нн перекла
дывай част11 данного куба , а одним
плоским разрезом не получишь более
одной грани куб11ка.
ное число ударов для каждых часов в
отдельности равно 12, но если бы зто
было так, то мы насчи
изображением секунд. Точками изобра-
В 1t\j111j11111111.11j
зим удары боя первы х (А) 11 вторых А
(В) часов соответственно условию
аадачи (см. рис.) .
Схема показывает , что под но-
тали бы 21 удар. На схе
ме изображен ы 19 уда
ров , что соответствует
одиннадцати раздельным
ударам часов А н D. Зна
чит,часы показыва11и 11.
мерами 5, tt, t7 удары происходят
5
11
17
•21д.э.т.2
321.

�РАВНЕНИЯ
И Ф�НКЦИИ
КАК ЛЮДИ УЧИЛИСЬ
РЕШАТЬ J'"PABHEHИJI
Сохранились два замечательных письмен
ных памятника математики египетского наро
да , каждому из которых около 4 тыс. лет . Пер
вый из них нах одится в Москве , в Музее изобра
зительных искусств имени А. С. Пушкина, и
называется Московским папирусом. Он состав
лен около 1900 лет до н. э. Другой памятник,
больший по объему , составленный лет на 200
позднее Мо сковского , хранится в Лондоне и
322
имеет заглавие : «Наставление , :как достигнут ь
знания всех темных [трудных] вещей ".
все11
тайн , :которые скрывают в себе вещи ... Писец
[чиновник] Ахмес написал это ... со старых руко
писей ...)) Это сборник 85 задач с решениями.
Его называют папирусом Ахмеса (иногда папиру
сом Райнда по и мени английского коллекционера,
который приобрел этот документ около ста лет
назад ) .
В папир усе Ахмеса наряду с различными
другими соде ржится ряд задач, которые м ы
решаем при помощи уравнений первой степени «

Египетский автор решает их способом, который
затем в течение нескольких тысячелетий упот
реблялся разными народами дл я решения по
добных задач и на зывается методом ложного
положения.
Это есть тот же метод предположений , кото
рый на уроках арифметики применяется и в
ваше время .
Египтяне за 2000 лет до н. э. имели для обо
значения неизвестного числа особый символ
и название ( последнее произносится «хау»
или «аха» и условно переводится
словом
«куЧа>>) .
Вот одна из задач папируса Ахмеса: «Куча .
Ее седьмая часть , ее целое . Что составляет 19».
Это значит : требуется найти число , кото
рое , будучи сложенным с его седьмой частью ,
даст в сумме 19. Иными словами , требуется ре
шить уравнение
х
x+7= t9.
На рис. 1 представлено в виде таблицы еги
петское решение задачи . Смысл этого решения
таков . Предположим , что «куча» есть 7; тогда
� будет 1 (см . первый ст олбец) . Звездочки озна
чают , что эти числа использованы при решении .
При сдел анном предположении правая часть
решаемого уравнения равнялась бы восьми
(7 + 1), поэтому во вт ором столбце стоит число 8.
Оно меньше требуемого задачей числа 19.
Автор в уме удв аивает его и получает 16.
Дальнейшее удваивание дало бы 32 , но это пре
вышает требуемое задачей число 19, и в решении
отмечается поэтому зве здо чкой число 16 как
долженствующее войти в искомое решение .
Не хватает еще 19-16 =3. Автор пробует взять
� от 8, т. е . 4 . Эта доля предположенного чи
сла не может войти в искомое решение , так как
надо до бавить лишь 3. Тогда решающий бе-
11
рет4и8от8,т.е.2 и1,отмечаетих каксо-
ставл яющее вместе с 16 число 19.
Таким образом , автор установил (второй
ст ол бец решения) , что первоначально предпо
л оженное значение для «кучи» надо взять
11
2 + 4+ 8 раз, чт обы удовлетворить условию
11
задачи
.
Остается 7 умножить на 2+4 + 8 (егип-
·тяне , как и многие другие народы , знак «плюс»
при сложении не ставили; мы также в смешав-
1
1
пых числах пишем 3 4 вместо 3+4). Автор ре-
21*
КАК ЛЮДИ УЧИЛИСЬ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ
11
шения вместо умножения 7 на 2 4 8умножает
11
2 4 8на 7. Для этого в третьем столбце он за-
11
писывает число 24 8, затем удвоенное ( ..) и
учет веренное ( . . ..) значения его . Эти три числа
складываются, и получается для «кучи» значение
11
1
16-z 8. R нему прибавляется 7 «кучи» , т. е.
11
2 4 8, и это дает в результате 19. Последняя
часть решения представляет проверку его и во
многих задачах отмечается словами: «будет
хорошо» .
"., �··
.в
•t={ ···16
i�
.��
•71
•••••
Рис. t.
Метод двух о1
1
ожвых по.11ожевиА
В дальнейшем у разных народов был соз
дан метод двух ложных положений , приме
нявшийся еще в XVIII в. Мы находим приме
нение его и в напечатанной в 1703 r. «Арифмети
ке» Л. Ф . Магницкого , которая является
:первым на русском языке учебником всех раз
делов школьной математики (арифметики, ал
гебры , отчасти геометрии и тригонометрии) .
Вот пример решения Магницким задачи по
сп особу двух ложных положений .
328

УРАВНЕНИЯ И ФУНIЩИИ
Решение аадачи мето,1
1;
011 двух аожиых поаожеиий.
3 ада ч а. Отец ученика сп росил учителя ,
скол ько у того учится ребят . "Учитель ответил ,
что если бы у него было учеников еще столько .
сколько сейчас есть, и полстолька , и четверть
стол ька , и сын спрашивающего , то их было бы
ровно 100 человек.
В нашей записи задача сводится к решению
уравнения :
х
+х+++++1=100.
Решение по Магницкому.Де
лаем первое предположение : учеников было 24 .
Тогда согласно условию имели бы: 24 +24+12+
+6+1 =67 , т. е. на 100-67 =33 меньше тре
буемого (первое отклонение) .
Делаем второе предположение : учеников
было 32 , тогда 32+32+16+8+1 =89, т. е. на
100-89 =11 меньше требуемого (второе откло
нение) . На основании веками выработанного
правила Магницкий ука зывает готовый сп особ
нахожде ния х:
32·33 - 24·11
х=
.
33-11
= 36.
Сп особ этот заключается в правиле : «Мно
жит ь первое предположение на второе откло
нение и второе предположение на первое откло
нение , из большего произведения вычесть
меньшее и разность разде"Лить на разность
отклонений» .
824
Так же надо поступить в том случае , если
при обоих предположениях получилось больше ,
чем требуется в задаче .
Если при одном предположении получится
больше , а при другом - меньше , чем требует
условие задачи , то в формуле , по которой вы
числяется х, вместо знака «-» надо поставить
знак «+». Например , пусть первое предполо
жение 60 ; тогда : 60 +60+30+15+1 = 166,
166-100=66 (избыток) . Пусть второе пред
положение 20 ; тогда 20 +20+10+5+1 =56,
100-56 = 44 (недостаток) . В таком случае1
х
=
60·44 + 20·66
= 36.
66 +44
Вве,1
1;
евве повит••
неиавествого чис.�1а
Важным этапом в развитии учения об урав
нениях является введение понятия неизвест
ного числа и сим вола для его обозначения .
Это - «куча>> с особым символом для ее обо зна
чения у египтян и соответственно другие назва
ния и обозначения у вавилонян, древних
греков , индийцев , народов Средней Азии . "У евро
пейски� народов систематическое обо значение
неизвестного числа разными знаками возни
кает в средние века. "Употребление дл я этого
букв х, у, z окончательно устанавливается в
XVI I в. в работах Р. Декарта .
Сп осо б решения уравнений первой степени ,
основывающийся на свойствах арифметиче ских
действий , развивался у разных народов в те
чение ряда веков. Основными приемами при
этом были: перенос членов уравнения из одной
части равенства в другую с противоположным
знаком и приведение (соединение) подобных
члено в. Первый из этих приемов мог привести
к понятию отрицательного числа , которое воз
никло значительно позже той эпохи, когда че ло
век стал решать задачи , приводящие ся к урав
нению первой степе ни . Вследствие этого урав
нению придавали такой вид , чтобы все его чле
ны были положительными , и давали специал ьные
правила дл я разных видов уравнений с поло
жительными членами . Среднеазиатский мате
матик ал-Хорезми в IX в. ясно понимал , что
решение уравнения первой степени сводится
к ука занным двум операциям: к переносу ·
отдельных членов его из одной части ра-
1 Правило , применяемое для вычисления �. леrко
обосновать (см.: И. Я. Депмаи. Расск азы о ма
тематике. М. , Детгиз , 1954, ст р. 61 -62).

К АК ЛЮДИ УЧИЛИСЬ РЕШАТЬ УРАIШf;НИЯ
венст ва в другую (аль-дже бр) и приведению
подобных членов (аль-мукабала) . Слово «аль
дже бр» означало «восстановление)>: при перено
се вычитаемого числа (отрицательного члена)
из одной части уравнения в другую оно превра
щается в положительное , т. е . восстанавливает
ся,
число .
Название «аль-дже бр)> (al jebr)
превратилось в слово «алгебрю>, уп отребляемое
всеми народами.
Ал-Х оре зми широко применял уравнения
для решения практиче ских задач «различного
рода и сортю> (общим приемом) , что привело
к установлению у европейских ученых взгляда
на начал ьную алгебру :как на общую , или уни
версальную , арифметиRу (И. Ньютон-в XVJiв"
Л. Эйлер -в XVI II в.) . Для начальной алгебры,
изучаемой в школе , этот взгляд остается в силе
и в наше время.
Некий математик ст арого времени выра зил
правила аль-дже бр и аль-мукабала ст ихами,
которые в русском переводе звучат так:
Из древнегречесних математи1>ов способами
решения уравнений первой степени, сх одными
с нашими правпла:ш1, по-р;щимому , владел
Диофант (111 в. н. э .), по часть его книги о ре
шении уравнений первой степени до нас не
дошла . Способы з:шиси уравнений и обо зн-аче
ния , для нас кажущие ся естественными и про
стыми, окончательно выра ботались лишь в
XVII в. (Ф. Виет , Т. Гарриот , Р. Декарт) и вошли
во всеобщее употребление только в XVI II в.
под влиянием многочисленных работ Л. Эйлера.
АЛЬ-джебр
ТJр11 решеньи уравнены�,
Если в части одно/\,
Безразлично какой,
Встретится член отрицател ьный;
Мы к обеим частям
Равный член придадим ,
Только с знаком другим ,
И найдем рез)·льтат положительный.
Аль-мук абала
Дальше смотри, в уравненье
Можно ль сделать приведенье ;
Если члены есть подобны,
Соединить их удобно.
Совершенные чис"'lа
Число 8 делится на себя, а также
на1,2и3,причем8=1+2+3.
Число 28 имеет пять делителей ,
кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и Н,
причем, аналогичио, 28 = 1 + 2 +
+'+7+н.
Легко ааметить, что далеко не
всякое натуральное число равно сумме
всех своих делителей , отличающихся
от этого числа. Числа , которые обла
дают атим свойством, математиками
древней Греции были иазваиы с о -
вершеииыми.
Каждое та кое число обозначим
еимволом Yn, rде n-номер, совершен
ноrо числа .
Тоrда первое , самое меньшее
совершенное число r, = 6 .
28
128
Способы решения систем уравнений первой
степени появляются сначала в Индии , Китае ,
у народов Средней Азпп и Ближне го Востока
и в Европе с XIII в. (Л еонардо Пизанский -
XIII в., Лука Пачолн - XV в" Михаил Шти-
Может быть , 11менно поэтому
шестое место считалось самым почет
ным на пирах у древних римлян.
Второе по старшинству совершен
ное число г, = 28. В некоторых уче
ных общесt-вах и академиях полаrа
лось иметь 28 членов . Почти до на
ших дней дожила эта традиция ,
ид}·щая из далеких
эпох. В Риме
в 1917 г. при выполиении подземных
работ обнаружилось помещение од
ной из древнейших' академий : зал и
вокр)·г него 28 кабинетов-как раз
оо числу членов академии.
Лев Николаевич Толстой не раз
бывало шутливо •( хвастался )) тем"
что дата его рождения (28 августа
по кален�арю того времени) явл яется
совершенным числом. Год ро ждения
Л. Н. То.1стоrо (1828)- тоже инте
ресное число : последние две цифры
(28) образуют совершенное число;
если обменять местами первые циф
ры, то получится
У, = 8128-
четвертое совершенное число.
Третье совершенное число
v, = 496,
причем498=1+2+f.+8+
+18+31+62+124+248.
Первые четыре совершенных чи•
е.1
1
а:
6 , 28, 496, 8128
были обнаружены
2000 лет назад.
очень
Пятое совершенное число
v.= 33 550336
давно,
бы.10 выявлено лишь 500 .1 ет на:�ад
(в Н80 r.).
В . настоя щее время зарегистр11-
ровано пока 20 совершенных чисел ,
причем последние восемь были обнару
жены с помощью электронных вычис·
лительных машин. Например, восем
надцатое совершенное число состоит
из 1937 цифр. r,. = 2'"' (2"" - 1).
(О свойствах совершенных чисел ем.
на стр. 382.)
325

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
фель - XVI в.) . Сначала появился спо соб сло
жения и вычитания , а затем и другие (подста нов
ни, ср а внения) . У Ньютона в его лекциях ,
изданных в 1707 г., применяются уже все эти
способы .
Есть "1 11 еще такие чис.�1а?
Десятизначное число (& 938 271 605
с неповторяющнмнся цифрами при
делении на 9 дает симметричное част
ное. Действительно ,
' 938 271 605:9=548 696 845.
Полученный результат одинаково чи
тается как сле ва направо, так 11 спра
ва налево .
пока удалось обнаружить еще
только два аналоrичных десятизнач
ных числа с неповторяющимися циф
рами, каждое из которых при делении
11 а 9 дает симметричное частное . По
пробуйте открыть эти или аналоrнч
ные им числа самостоятельно.
Ответ на стр. 373.
ltоадрат11ые ура.вве11ия
Уравнения второй степени умели решать
вавилоняне во втором тысячелетии до н. э .,
но их знания в этом вопросе не оказали влияния
на развитие европейской науки, так же как и
достижения других восточных народ ов, долго
остававшиеся в Европе не известными . Древне"
греческие математики периода до начала наше го
летосчисления решали квадр атные уравнения
геометрическими построениями . Таково , на
пример , приводимое в наших учебниках деле
ние отре зка в крайнем и среднем отношении ,
данное Евклидом (111 в. до н. э.) . В более позд
нее время Герон и Диофант указали приемы ,
по существу совпадающие с нашими спосо
бами . В рукописях индийских и китайских ма
тематиков , написанных в первых веках новой
эры , встречаются отрицательные корни . квад
ратных уравнений . Однако индийский матема
тик Бхаскара (XII в.) отмечал: «Люди отрица
тельных корней не одобряют» .
Большие заслуги в развитии учения о квад
ратных уравнениях имеет уже упомянутый сред
неа зиатский математик ал-Хоре зми . Он дает
вывод правила решения квадратного уравне
ния , который излагается доныне во многих
учебниках .
Ал-Хорезми решает уравнение х2 + 10 х=39
(задача 7 его сборника) следуюiцим образом.
Искомое х есть ст орона квадрата , площадь ко
торого х2• Построим на каждой стороне квадра
та прямоугольники с шириной , равной чет вер
ти :коэффициент а второго члена уравнения ,
826
105
т. е.4
=
2 . Площадь четырех прямоугольников
5
равна 4·т
х=10х.
Площадь образовавшейся :крестообразной
фигуры , обведенной на чертеже сплошными ли
ниями , равна х2 +10 х, т. е. левой части данного
уравнения (39) . Дополним эту фигуру четырьмя
квадратиками , площадь каждого из которых
равна (%)2• Получаем квадрат , ст ороны которо-
5
го равны х+2 · 2 =х+5. Площадь обра зовав-
шегося большого квадрата (х +5)2 Ее мы по
лучили, добавив в крестовидной фигуре с пло
щадью х2 +10 х=39 площади четырех квадратов
со ст ороной f,
т. е. 4·(f)2=25.
Ал-Хоре зми получает :
(х +5)2=39+25=64, х+5=8, х=8-5, х=3.
При буквенных обозначениях дл я коэффи
циентов уравнения x 2 +px=q и рассмотрении
двух значений корня имеем :
: (1-)l.
·:2
fx
1
."-,,.----.---
--
--
--
Так рассуждал а J1- Хорез11и при решения
квадратного уравнения.
-..
.
----.
([)2 !1
/)'-

В Европе формулами для решения квадрат
ных уравнений различных видов владел Лео-'
нардо Пизанский в начале XllI в.; владели
ими , конечно , и позднейшие математики. Вы
вод формулы в общем случае имеется у Ф. Ви
ета (XVI в.) , но и он призна вал только положи
тел ьные корни.
Итальянские математики XVI в. (Дж . Rар
дапо , Н. Тарталья , Л. Феррари , Р. Бомбелли)
присоединили к положительным корням не
только отрицательные , по и мнимые . С этого
времени способ решения квадратных уравнений
достиг нынешне го вида .
Уравнения степеней выше второй
R уравнениям третьей степени пришли гре�
че ские математики (Гиппократ , Архимед и др .)
при решении геометрических задач: уд воение
куба - нахождение ребра куба , имеющего
двойной объем данного куба; трисекция угла -
деление произвольного угла на три равные ча
сти и др . Геометриче ское решение этих задач
столкнулось с не возможностью построить цир
кулем и линейкой отрезок , выражаемый куби
че ским корнем. Эти задачи решались геометри
че ски при помощи кривых - гиперболы , пара
болы и др . Все возможные случаи решения ку
бического уравнения геометрическими метода
ми рассмотрел средне азиатский математик и
знаменитый поэт Омар Хайям на рубеже XI
и XII вв. Алгебраиче ское решение кубического
уравнения , т. е . открытие формулы , которая
позволяет выразить корни всякого уравнения
третьей степени че рез его коэффициенты , на
шли в XVI в. итальянские математики С. Фер
ро, Н. Тарталья и Дж. Rардано . Эта формула
носит имя Rардано , хотя он не являлся основ
ным действующим лицом в данном открытии
и сам признавал это . Существенно важным при
решении кубического уравнения в общем слу
чае явилось выражение корней в тригонометри
че ской форме .
Алгебраиче ское решение ур·авнений четвер
той ст епени в обще м случае нашел Л. Ферра
ри, ученик Rардано . Свой особый способ для
этого дал Л. Эйлер в 1732 г.
Очень многие крупнейшие математики пред
принимали попытки решить алгебраиче ские
уравнения пятой степени в общем случае , т. е .
пытались найти формулу, при помощи которой
мо жно было бы вычислить корни любого урав
нения пятой степени по его коэффициентам.
Эти усилия не дали результ ата . Многие мате-
КАК ЛЮДИ _ УЧИЛИСЬ РЕШАТЬ УРАВНЕ НИЯ
Формула К ардано для решения уравнения :х• + р:х + q =о ,
матики (Г. Лейбниц , Л. Эйлер , R. Гаусс) вы�
сказывали мысль, что для уравнений пятой и
более высоких степеней в обще м случае не су
ще ст вует алгебраиче ской формулы для выра
жения корней через коэффициенты . Доказал
это положение в 1824 г. норвежский матема
тик Н . Абель.
Однако многие частные виды таких уравне
ний могут быть решены алгебраически .
Французский математик Э. Галуа указал
в 1830- 1832 гг. метод , при помощи которого
ш1 виду уравнения можно установить, решает
ся оно алгебраиче ски ил и нет .
Голландский м атематик А. Жирар (1629)
высказал предп оложение , что уравнение п-й
степени имеет п корней, если считать корнями
отрицательные и мнимые выражения (сам Жи
рар не считал их корнями уравнения) . Смелее
эту м ысль выра зил в середине XVI I в. Р. Де
карт , со всей же определенностью - И . Ньютон
в конце XVII в.
Л, Эйлер в 1742 г. заявил , что всякое алгеб
раиче ское выражение может быть разложено
на множители с де йствительными коэффици
ентами первой или второй степени . Эта мысль
в иных словах означает , что всякое алгебраи
че ское уравнение имеет корень, который может
быть числом де йствительным или мнимым , од
ним словом- комплексным .
32'7

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
(т и) мечто i.iar..
..,
""'
s
re roн
Строго это доказал двадцатидвухлетний
К. Гаусс в 1799 г.
Для вычисления приближенных значений
корней уравнений высших степеней существует
много приемов , которые часто применяются
на практике и к уравнениям третьей и четвер
той степеней, так как абсолютная точность кор
ня на практике не всегда нужна , а применение
формул сложно . Самаркандский математик ал
Кащи (XV в.) дал удо бную приближенную
формулу дл я нахожде ния корней уравнений
третьей степени , а И. Ньютон и другие - для
уравнений любой степени . Очень важный метод
для этого дал Н. И. Лобачевс:кий.
Соииожитео1
1
и,
проиавоfl,ящие
кучу ну"1еА
828
Попытайтесь получить тыся чу
МИЛЛllОНОВ ( 1 ООО ООО ООО) ' перемно
жая два целых числа, в каждом из
которых не было бы ин одноrо нуля .
Это не головоломка , для реше
ния которой потребовалось бы выпол
нить мноrо испытаний . Опираясь
лишь на самые начальные сведения
ив алrебры, можно найти метод
подбора требуемых сомножителей.
А если метод будет найден , то вы
с удовольствием и беа больших усилий
убедитесь в том, что н квинтиллион
( 1 ООО ООО ООО ООО ООО 000) леrко раз
лаrается на два сомножителя, в каж
дом нз которых нет ни одноrо нуля .
Ответ на стр.373.
•
COSA х, у
z
ИТdЛЬJ!Н4Ь дек� Pi
Так в разное время обоз
начали неизвестное в урав
нениях.
ЧТО ТАКОЕ КООРДИНАТЫ
И Д.JIЯ ЧЕГО ОНИ C.JIJ'"ЖAT
Когда приходится иметь де ло с большим
числом (а тем более с бесконечным множест
вом) предметов, дл я ра зличения их друг от дру
га удобно называть их не случайными именами
(Ваня, Маша , Лондон, Амазонка ."), а так , что
бы по каждому «имени» легко было отыскать
соответствующий ему предмет и, наоборот ,
дл я каждого предмета легко узнать его имя в
данной системе наименований. Адрес : «Так ой
то переулок , дом 7 , квартира 6» много удобнее,
чем то , как писали еще в начале нашего ве ка:
«Дом Жукова , квартира Еремее ва» . На билете
написано: «Ряд 5, место 4» , или, короче , «5, 4»;
эта надпись заменяет «имю> театрального кресла
(рис . 1), а сами числа 5, 4 называются его
координатами (заметьте , что «4 , 5» - это сов
сем другое кресло: важен порядок) . Почти
так же просто дать «имя» каждой точке , на
пример , того листа книги, который вы се йчас
читаете : расстояние этой точки от левого края
листа обозначим че рез х, расстояние от ниж
него края - че рез у, и буде м с•штать пару
чи�ел (х , у) названием этой точки . Измеряя
расстояния сантиме трами , верхнему правому
углу стр а ницы дадим «имя» (20 , 26) , ниж
нему правому - (20 , О) , центру листа -
(10, 13). Все точки листа (а их бес1{онечно мно
го !) получат свои «имена» . Подобным же обра
зом кажда я точка вашей комнаты получит
свое «имя» (х, у, z) , здесь х - расстояние (в мет
рах) от северной стены , у - расстояние от за
падной стены , z - расстояние точки от пола;
вы легко найдете , например , точку (3 , 2, 1).
Координата х дл я точки, находящейся за се
верной стеной , считается отрицательной, так
же как у - дл я точки за западной стеной и
z - дл я точки нижних этажей. Те плоскости 1.

ЧТО TAROE RООРДИНАТЫ И ДЛЯ ЧЕГО ОНИ СЛУЖАТ
от которых отсчитываются расстояния х, у,
z, называются координатными плоскостями (на
каждой из них одна координата равна нулю),
а линии их пересечения - осями координат;
например, прямая, вдоль которой у и z равны
нулю, называется осью х.
Читатель, вероятно, хорошо знает, что та
кое долгота и широта места на поверхности
Земли. Это географические координаты. Так,
долгота Москвы +37° ,5 (значит, к востоку от
гринвичского начального меридиана), а ши
рота +55°,8 (значит, к северу от экватора),
поэтому координатное обозначение Москвы за
писывается так: 37°,5; 55°,8.
Координаты в геометрии.Чи
сла играют важную роль в геометрии. При их
помощи мы оцениваем размеры предметов. Дли
ны, площади, объемы после выбора единицы
измерения выражаются числами. Можно ли
при помощи чисел описать ф о р м у предме
тов, форму самых причудливых фигур? Мы зна
ем, что углы треугольника определяют его фор
му («два треугольника с равными углами по
добны», т. е . имеют одинаковую форму), зна
чит, в некоторых случаях числа могут охарак
теризовать форму -в данном случае два числа
два угла. Но можно ли форму любой фигуры
описать при помощи чисел? Положительный
ответ дает координатный метод, введенный в
математику в середине XVII в. французскими
учеными П. Ферма и Р. Декартом1• Это способ
изучения фигур аналитически, т. е . при помощи
вычислений. Ветвь геометрии, изучающая фи
гуры этим способом, называется а н а л и т и
ч е с к ой геометрией.
Чтобы изучать фигуры, нужно прежде все
го уметь точно описывать их. Описание должно
быть полным: прочтя такое описание, мы долж
ны суметь по нему восстановить фигуру, т. е .
построить фигуру точно такую, как та, с кото
рой было составлено описание. Говорят, что
таким описанием фигура задана (однозначно),
а само описание называют заданием фигуры.
Иаждую геометрическую фигуру будем пред
ставлять себе состоящей из точек: фигура -
это множество точек (конечное или бесконечное).
i
Идея координат существовала задолго до Ферма
и Декарта, ее можно проследить еще в древнем мире:
в незапамятные времена художники
пользовалис�
координатной сеткой для перенесения изображении
на другую плоскость; вероятно, еще древн
_
ее - вышива
ние по канве, которая представляет собои,так сказать,
материализованную коорд инатную сетку. Сферическими
координатами (долготой и широтой) пользовались астро
номы: древнего Вавилона и Египта.
Рис. t.
1
3НРАН
'\
Если фигура Ф состоит из конечного чисJiа то•
чек (или конечным числом точек однозначно
определяется : например, многоугольник - сво 
ими вершинами), то для ее полного описания
достаточно задать каждую из этих точек. В слу
чае бесконечного множества точек дело обстоит
сложнее (см. стр. 331), но все же сперва нужно
уметь задавать положение отдельных точек.
Рассмотрим точки и фигуры на плоскости.
Пять ааmнфр ованных действнlt
•••+•••=••••
.."-···= ..
.
••••>< •=··-
•••••:..
.-.
=•
.. ��
•х•-•-�••
Рас шифруйте эти пять равенств, аа меняя авеа
дочки ци фрами так, чтобы в каждом равенстве поя·
вились все 10 цифр ОТ о до 9.
ЧиСJ
J
а, обрваующие первые четыре действия,
ие должны совпадать.
ответ ивстр373.
829

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
Декартовы координаты точки
Положение точки на плоскости можно за
дать при помощи двух чисел х и у, если предва
рительно: 1) выбрать на этой плоскости две
какие-нибудь взаимно перпендикулярные пря
мые (обычно оДну горизонтальную, другую вер
тикальную: например, на листе бумаги - ниж
ний и левый его края), 2) снабдить эти прямые
направлениями (например, направо и вверх)
и 3) условиться о единице для измерения длин
(например, сантиметр). Точку О пересечения
прямых называют началом, а сами направ
ленные прямые-осями координат:
первуюизних-осьюОх или осью аб
сцисс, вторую-осьюОуилиосьюор
д и н а т. Теперь для задания положения т
,
оч
ки нужно лишь указать: 1) на каком расстоя
нии от оси Оу она находится: это расстояние,
взятое со знаком «+» или «-», обозначается
буквойхиназывается· а·бсциссой точ
ки; 2) на каком расстоянии она лежит от оси
Ох; это расстояние, со знаком «+» или «-»,
обозначается у и называется ее о р дина т о й.
Если точка лежит по ту сторону от оси Оу ,
куда направлена ось Ох , то для абсциссы берут
знак «+», в противном случае - знак «-».
Подобным же образом выбирается знак «+»
или «-» для ординаты. У точек самой оси Ох
ординаты равны нулю (у=О) , у точек оси Оу
абсциссы равны нулю (х=О). Если у точки А
абсцисса равна х, а ордината равна у, то пи
шут: А (х; у) (рис. 2). Числа х, у называют де-
х
Д(Х;!J)
!J
у
-+
++
х
_х
о
о
-
+-
Рис. 2.
Рис. 3.
картовыми координатами точки (х; у). В обо
значении (х; у) на первом месте всегда стоит
абсцисса, на втором - ордината. На рис. 3
указаны знаки координат для точек различных
координатных углов (четвертей, или квадран
тов): на первом месте - знак абсциссы, на вто
ром - знак ординаты. Обе координаты начала
О равны нулю, что записывают так: О (О; О).
830
3 а д а ч а 1. Проверьте правильность обо
значения точек на рис. 4.
Нужно привыкнуть безошибочно решать
при заданном расположении и направлении
осей и заданной единице длины две перво
начальныс задачи: 1) найти координаты каж
дой указанной на рисунке точки, 2) по за
данным координатам х , у построить точку
(х; у).
1j
• 8(4, ])
Рис. i.
Df-2.0J
E(-t . -2)
•
о
Cfo;2J
f(O, ·!)
• А(з;-fJ
Вот пример более сложной задачи:
I
3 а д а ч а 2. Построить пятиугольник
ABCDE, если А (-3; 1), В (2; -2), С (О; 3%),
D(-2; -2), Е(3; 1).
3адача 3.Какуюфигуруобразуютвсе
точки, у которых: 1) абсцисса равна нулю
(х=О); 2) ордината больше двух (у>2); 3) аб
сцисса равна ординате (х=у); 4) х=-у;
5) lx\=\y\ (где \xl - обозначение для абсолют
ной величины числа х: если х отрицательно, то
jx\=-x, в противном случае 1х\=х); 6) х=О и
у>2.
Пр остейшие а адач и
При решении геометрических задач коорди
натным методом постоянно приходится опирать
ся на несколько совсем простых стандартных
задач: определение расстояния между точками,
отыскание середины отрезка и др. При этом
нужно иметь в виду, что выражение «дана точ
ка» означает, что дано ее координатное обозна
чение (х; у) , т. е. заданы два числа х, у. «Найти
точку))- означает найти ее координатное обозна
чение (х; у).
1) Расстояние между двумя точками.
3ада ч а. Даны две точ1�и А1(х1;у1) и
А2 (х
2
; у2). Найти расстояние между ними
(рис. 5).
Проведя вспомогательные линии, читатель
бе:; труда убедится, что искомое расстояние

ЧТО ТАКОЕ КООР ДИНАТЫ И ДЛЯ ЧЕГО ОНИ СЛУЖАТ
d служит гипотенузой треугольника с катета
ми lx2
- x11 и ly2-y11, поэтому
d=+V(x2-Х1)2+(У2-У1)2
(1)
(при возведении в квадрат знак абсолютной
величины опущен, что, конечно, не меняет
результата).
:r
ох,
Рис. 5.
Важно заметить, что формула (1) верна при
любом расположении точек А1 и А 2 • Проверьте,
что, например, для А1 (-1; - 2), А
2
(3; -5) ка
· теты будут действительно равны· 13-(-1) 1 и
.
j(-5)-(-2)1 и формула (1) дает:
d=+V42+(-3)2 =5.
Для аналитической геометрии общность
формул имеет очень большое значение. Бла
годаря этой общности при решении задач ана
литически не нужно задумываться о том или
ином расположении данных точек; можно ре
шать задачу, даже не глядя на чертеж. Если
чертеж и делается, то обычно лишь прибли
зитель�ый, который служит только схемой,
местом, куда записываются данные (коорди
натные обозначения точек и пр.), а затем зано
сятся и найденные уже промежуточные и,
наконец, окончательные результаты.
2) Середина отрезка.
у
IJ
lj(
о
Рис. 6.
3адача. Даны концы отрезl\а А1(х1;у1),
А2 (х2 ; у2) Найти его середину М. Обозна
чим координаты искомой середины М через
х, у: М (х; у). Теперь, из рис. 6, видно, что
ордината у служит средней линией трапеции,
поэтому
точно так же
у= У11У2.,
(2)
(2)
Если знаки у1 и у2 противоположны, то это
доказательство неубедительно, однако форму
лы (2) остаются справедливыми во всех слу
чаях. Проверьте это
3 ада ч а 4, Дан треугольник АБС:
А(12; 6), В (-2; 4), С (6; -2). Найти длины его
сторон и медиан.
3адача 5.НаосиОхнайтиточкуМ,
которая находилась бы от точки А (3; -1) на
расстоянии, равном 5.
Р е ш е н и е. Об означим координаты иско
мой точки М через (х; у). Она лежит на оси х,
следовательно, у = О. Остается определить х.
Записав аналитически (см. формулу (1) условие
задачи : АМ=5 , получим уравнение для опре
деления х
3 ада ч а 6. Найти точку М (х; у), находя
щуюся на равных расстояниях от осей коорди
нат и удаленную на 5 единиц от точки А (-1; 6) .
Для определения х, у нужно лишь решить
систему lxl = ly/ , (х+1)2+(у-6) 2
=5
2
•
Всего
четыре ответа .
Зада11ие фиrуры, состоищеА па С5есчис
еJiевноrо и11 ожества точек
Для задания фигуры Ф в этом случае ста
раются подыскать такое условие, которому:
1) удовлетворяют координаты х, у всех точе1<
из Ф; 2) не удовлетворяет ни одна чужая точка
(т.е.не принадлежащая Ф). То, что здесь сказа
но, станет понятнее на следующих примерах:
1. Подыщем условие для фигуры, состоящей
из всех точек оси Ох. Координаты всех ее точек
удовлетворяют уравнению у = О, и, конечно, ни
одна чужая точка ему не удовлетворяет, так
как она лежит либо выше оси Ох (тогда у>О),
либо ниже (тогда у<О). Уравнение у=О и слу
жит искомым условием.
2. Все точки биссектрисы координатного
угла хОу удовлетворяют уравнению х=у, и ни
одна чужая точка. (Биссектриса считается про
долженной бесконечно в обе стороны.)
3. Все точки внутренней части координат
ного угла хОу удовлетворяют системе нера
венств х>О, у>О. Эта система служит уело-
88:1

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ .
вием, задающим фигуру Ф - внутренность уг
ла хОу.
4. Все точки М (х; у) окружности радиуса
5 с центром в начале координат удовлетворяют
уравнению х2 +у2=25, так как для любой ее
точки расстояние от начала равно 5: ОМ=5, или,
на основании теоремы Пифагора, у х2 + у2 = 5,
что равносильно написанному выше уравне
нию. Для всех лежащих внутри окружности
точек ОМ<5, т. е. х2+у2<25; для всех лежа
щих вне окружности ОМ>5, или х2+у2>25.
Итак, для всех точек нашей окружности, и
только для них, справедливо уравнение
х2+у2-25=0 .
Такое уравнение, которому удовлетворяют
все точки некоторой линии и не уд овлетворяет
ни одна посторонняя точка, называется урав
нением этой линии; х , у в уравнении линии
называют текущими координатами.
Отметьте на чертеже точки с целочисленны
ми координатами, для которых левая часть
х2 +у2 -25>0, знаком «+»; те, для которых
она отрицательна,-знаком «-»;точки, где она
равна нулю, заключите в совсем маленький
кружочек. Можно ограничиться, например,
лишь теми целочисленными точками, для кото
рых lxl+IYl>-8. Проделав это, вы отчетливо
поймете, что на координатной плоскости соот
ветствует уравнению, что-неравенству (рис. 7).
+
++
-+++
++
+
+
+++
+
+++
+
+
+
+++
+
..
.
++
+++-
++
:r
+
Рис. 7.
5. }'равнение х+у=5 представляет собой
уравнение прямой. Попробуйте доказать это
сами! (Ниже будет показано, что всякое уравне
ние первой степени между х и у дает уравнение
некоторой прямой.) Построить эту прямую (как
и всякую} очень просто: достаточно подобрать
две точки, удовлетворяющие этому уравнению ,
882
например (О; 5) и (1; 4), и затем, построив их,
соединить линейкой. Снова заметим: прямая
.целит плоскость на две части, для одной из них
(верхней) х+у>5, для другой х+у<5.
6. Попробуйте выяснить геометричес�>ий
смысл неравенства lx\+IYl<5. Для этого сна
чала следует построить линию lxl+IY 1=5 . (Мы
говорим: «линия lxl+IY1=5»; это значит - ли
ния, определенная уравнением 1xl+IYI =5.)
Она состоит из четырех частей. Построение
следует вести отдельно в каждой из коорди
натных четвертей: 1) при х:>О, у > О, 2) при
х<О, у:>О, 3) при х<О, у<О и 4) при х:>-0,
у<О.
у
+
+:r
+
Рис. 8.
+
7. Уравнение х3+ху 2-4х=0 определяет фи
гуру, составленную из окружности и вертикаль
ной прямой, проходящей через ее центр. Дей
ствительно, данное уравнение можно перепи
сать так: х (х2 +у2 -4)=0, но произведение мо
жет быть равно нулю тогда, и только тогда,
когда хоть один из множителей равен нулю,
т. е . х=О , или х2+у2 -4 =0; первое есть урав
нение оси Оу , второе - окружности (рис. 8) .
8. у=х2 служит уравнением параболы. По
строим ее по уравнению. Для этого напишем
сначала таблицу, помещая в перв�й ее графе
произвольные значения х, например х=-3,
-2Yz, -1,О,1,2,3,4, "., а во второй -соответ
ствующие значения у =9,61/4, 1, О, 1,4, 9, 16,... .
Если бы мы были в состоянии составить табли
цу для всего бес�>онечного множества действи
тельных чисел х и соответствующих у, а затем
построили бы все такие точки (х; у) , то эти
точки сами заполнили бы собой всю искомую
кривую (рис. 9). Фактически же мы вычислили
координаты лишь точек: ( -3; 9) , (-2%; 61/4) ,
(-1; 1), (О; О); (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16).
Соединив их от руки плавной кривой (этим мы
заполняем пробелы, соответствующие проме-

ЧТО ТАКОЕ КООРДИНАТЫ И ДЛЯ ЧЕГО ОНИ СЛУЖАТ
у
(4;fб)
(-З;9)
(-2,5;6,25)
(2;4)
х
о
Рис. 11.
жуточным значениям х, не включенным в таб
,Jfицу}, получим к усок параболы между точка
ми (- 3 ; 9) и (4; 16). Rонечно, это приблизи
тельное построение; оно будет тем точнее, чем
больше построим промежуточных точек.
Заметим, что неравенство у>х2 определяет
часть плоскости над параболой, а неравенство
у<х2 - часть плоскости под ней.
9. Уравнение ху=12 (рис. 10) определяет
на плоскости хорошо известную вам кривую -
гиперболу (вспомните геометрическое изобра
жение закона Бойля-Мариотта).Для ее построе
ния решим уравнеиие относительно у:
12
у=-
х
и далее строим по точкам, как это делалось
в предыдущей задаче.
Пряная
Прямая - это простейшая из линий; урав
нение первой степени - простейшее из уравне- ·
ний. И вот оказывается, что: 1) всякая прямая
задается некоторым уравнением первой .сте
пени и 2) все точк
.
и, удовлетворяющие заданно
му уравнению первой степени относительно
х и у , заполняют некоторую прямую, т. е. такое
уравнение и служит уравнением прямой.
у
-
х
-
Рис. 10.
Докажем, что:
1. Уравнение всякой прямой есть уравне
ние первой степени.
Прежде всего это ясно для прямой, парал
лельной оси Оу (в частности, и для самой
оси Оу) , так как у всех точек такой прямой
абсцисса одна и та же, т. е . равна некоторому
постоянному а; х=а - это и есть уравнение
рассматриваемой прямой, но оно первой степени.
Рассмотрим теперь любую прямую п, не
параллельную Оу. Она пересекает Оу в некото
РQЙ точке В (О; Ь) (абсцисса точки В равна нулю,
а ордината имеет некоторое значение Ь). Пере
двинем прямую п параллельно себе так, чтобы
она прошла через начало О (О; О). Составим
прежде всего уравнение этой вспомогательной
прямой. На ней найдется точка Е с абсциссой,
равной 1 (это точка ее пересечения с прямой
х=1); пусть ордината этой точки равна числу
k: Е (1; k). Тогда для лю бой точки нашей пр я
мой y: x=k:1. Действительно, треугольники
ОМ1М и ОЕ1Е подобны, поэтому их катеты
у\, \х\, \k\ , 1 пропорциональны \у\:\х\= k\: 1
(рис. 11). Остается проверить лишь знаки:
чертеж показывает, что если k положительно,
то для любой точки прямой ОЕ непременно х
и у будут или оба положительны, или оба от
рицательны. Значит, равны и знаки отноше
ний у:х, k: 1. Если k отрицательно, то знаки
388

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
х и у противоположны (рис. 12) и равенство
11:x=k: 1 , или y=kx , остается в силе. При k=O
точка Е лежит на оси х, прямая ОЕ совпадает
с осью Ох, а уравнение y=kx превращается в
у =О. Итак , при любом k уравнением вспомога
тельной прямой ОЕ служит равенство y=kx.
Вернемся теперь к первоначальной прямой
п; ее можно получить из вспомогательной
прямой ОЕ сдвигом в направлении оси у на
отрезок Ь. Это значит , что каждая ее точка пере"
:r
Рис. tt.
х
Рис. t2.
�:ещается в направлении оси Оу на·Ь (если b>0-
1;nepx, если Ь<О - вниз). Ордината каждой
точки при этом изменится на одно и то же число
Ь, а абсцисса останется прежней; вместо урав
нения у=kx вспомогательной прямой мы те
перь получим :
у=kx + Ь.
Это и будет уравнением прямой п. (Напомним , что
ни одна чужая точка этому уравнению не удов
летворяет : для точек , лежащих выше нашей
прямой , y>kx+b , для точек , лежащих ниже,
u<kx+b; k называется угловым коэффициентом
прямой , Ь -"- начальной ординатой.) Из тре-
334
угольника ОЕЕ1 легко выяснить геометриче
ский смысл углового коэффициента прямой :
это тангенс угла , который наша прямая обра"
зует с положительным направлением оси Ох.
Если угол тупой , то k отрицательно.
2. Всякое уравнение первой степени
Ах+Ву+С=О
(3)
есть уравнение некоторой прямой. Действи
тельно , А и В сразу оба не могут быть равны
нулю (так как тогда наше уравнение не было (ы
первой степени). Пусть , например , B=i"O, тогда.
уравнение можно разрешить относительно у;
А
С
оноприметвид: у= -вх-н· Если теперь.
построить прямую с угловым коэффициентом k�
А
v
v
Ь
v
равным -71, и начальнои ординатои , равном
с
-в-, то , как мы уже видели , ее уравнение
будет:y=kx+b,илиу= - � х+(-�)· т. е.
равносильно заданному. (Случай В = О;А =i" О при-
С
ведет к уравнению х = - А, т. е. х постоянно .
Это уравнение прямой , параллельной оси Оу�
при С=О - сама ось Оу.)
Основные аад ачи на прямую
:Как мы видели , прямая однозначно опре
деляется ее уравнением. Поэтому уравнение
прямой может служить как бы ее «имене11м�
постоянно говорят: «прямая Ах+Ву+С=О»;
это значит , что прямая задана уравнением
Ах+Ву+С=О .
1)Построение прямой по ее
у р а внению. Чтобы построить прямую
по ее уравнению , проще всего найти какие
нибудь две точки , удовлетворяющие этому
уравнению; построив их , проводим через них
прямую.
Пр имер. Построить прямую 2х-3у+
+8=0 . Этому уравнению удовлетворяют
точки (-4; О) , (-1; 2), (5; 6),...
. Строим
какие-нибудь две из них (лучше не слишком
близкие , иначе проведение через них прямой
по линейке не будет достаточно точным) , на
пример ( -4; О) и (5; 6), и соединяем линейкой.
2) Даны две различные точки А1 (х1; У1) и
А2 (х2; у2) . Найти п:�:ямую А1А2• (Это значит
найти ее уравнение .)

ЧТО ТАКОЕ КООРДИНАТЫ И ДЛЯ ЧЕГО ОНИ СЛУЖАТ
Проверим, что искомое уравнение можно за
писать так:
(Х-Х1)·(У2-У1)-(у-У1)·(Х2-Х1)=0. (4)
Прежде всего это уравнение первой степени
относительно текущих :координат х , у , -з начит,
оно есть уравнение прямой. Подставив вме
сто текущих :координат х и у сначала х1 и у1,
а затем х2 и у2, убеждаемся :каждый раз , чт о
уравнение обращается в тождество , -з начит,
эта прямая проходит и через точ:ку (х1; у1) ,
и через точку (х2; у2) .
Обычно уравнение (4) записывают в более
удобной для запоминания форме:
(4')
Однако последняя перестает служить , если
Х1 =Х2 ИЛИ у1 =У2·
3) Даны две прямые: Ах+Ву+С=О и А'х+
+В'у+С'=О. Найти точку их пересечения.
Точка пересечения лежит на той и на другой
прямой , следовательно , ее :координаты должны
удовлетворять обоим уравнениям. Итак , для
нахождения их надо решить совместно эти
уравнения (система двух уравнений с двумя
неизвестными).
4) 1\а:к следует из с:казанного ранее , угло
вой коэффициент k хара:ктеризует направление
прямой , п оэтому равенство угловых :коэффи
циентов двух прямых означает их параллель-
А
ность. Та:к как k= -в· то условие параллель-
ности (k=k') прямых
Ах+Ву+С=О и
А'х+В'у+С'=О может быть записано и та:к:
А:В = А':В'.
(5)
5) Условие перпенди:к улярности. Если пря
мые перпендикулярны , то углы а и а' , обрilзуе
мые ими с осью Ох , разнятся на 90°:а'=а+90°,
поэтому их угловые :коэффициенты k и k' удов
летворяют равенству kk'=-1. Это легче всего
усмотреть из рис. 13: на нем треугольни:к
ОЕЕ' прямоугольный , k и -k' служат прое:кция
ми :катетов на гипотенузу , поэтому их произве
дение равно :квадрату высоты :
k· (-k')=
=0Е12=1. Иначе условие перпенди:кулярности
1
пишут в виде: k'= - k или, в силу равенств
в виде:
k=-;'k'=-;'
АА'+ВВ'=О.
(6)
3 а д а ч а 7. Через точ:ку (2;-3) провести
пр ямую, перпендикулярную прямой 4х-Зу+
+2=0.
Р е .ш е н и е. Для изменения направле
ния на перпендикулярное достаточно (выполняя
условие (6) обменять местами :коэффициенты А,
В и у одного из них изменить знак: А=4,
В= -3; теперь возьмем А' =+3, В'=4. "Урав
нение ис:комой прямой уже можно написать:
3х+4у+С'=О. Неизвестный пока член С' оп
ределится из требования , чтобы данная точка
(2; -3) лежала на этой прямой: 3·2+4· (-3)+
+С'
=
=О, или С'=6.
Рис. 13 .
Ответ: 3х+4у+6=0.
6) Расстояние между точкой и прямой. Ре
шим частный случай этой задачи : найти длину
р перпенди:куляра из начала О (О; О) на прямую
Ах+Ву+С=О. Решение удобно вести по та
:кой схеме :
1. Найти уравнение перпендикуляра из
О (О; О) на Ах+Ву+С=О (см. задачу 7) .
Отв е т: Вх-Ау=О.
2. Прое:кция О' начала О на данную прямую
по.Лучается совместным решением уравнений�
Ах+Ву+С=О и Вх-Ау=О.
СА
Ответ:х=-
л�+в2,
св
У=-
л2+в2·
3. Остается найти искомое расстояние р :как
расстояние между О И О':
р=+V(х-0)2+(у-0)2 =
V с2л2
с2в2
1с\
(7}
= + (А2+В2)2+(А2+В2)2
=
+-(л2+в2
.
Общий случай: « найти расстояние d от
точки Р0(х0 ; у0) до прямой Ах+Ву+С=О)>
может быть решен тем же путем. В результат&
получим, что ис:комое расстояние
d= 1С1
=
1Ахо+Вуо+С\
(7'}
+.ул2 + в2
+-у·л2+в2
33�

УРАВВЩIИЯ И ФУНКЦИИ
т. е. расстояние от точки (х0;у0) до прямой
Ах+Ву+С=О, равно частному от деления аб
солютной величины ре3ультата подстановки
в левую часть уравнения прямой координат
точки (хо;Уо) на «нормирующий» корень уА2+В2 •
Окр�'sкность
Как и3вестно , окружностью на3ывается мно
жество точек плоскости , находящихся от 3а
данной точки С (центра) на 3аданном расстоя
нии R (радиус). Запишем это определение ана
литически относител ьно декартовой системы
координат. Пусть С (а; Ь). Тогда для любой
точки Р (х; у) окружности PC=R , т. е .
или
"Jf(x-а)2+(у-Ь)2
=R,
(х-а)2+(у·-Ь)2= R2•
(8)
Это и есть (общее) уравнение окружности. Рас
крыв в нем скобки
х2 +у2-2ах-2Ьv+а2+ь2-R 2=0 ,
убеждаемся , что это есть частный случай.
общего уравнения второй степени относитель
нохиу:
Ах2
+Вху+Су2+Dx+Еу+F-=О. (9)
В нашем случае А=С=1, В=О . Ока3ывается ,
что всякое уравнение второй степени относи
тельно декартовых координат х, у, в котором
коэффициенты при х2 и у 2 равны (и по абсолют
ной величине и по 3наку : А=С), а коэффициент
при ху равен нулю (В=О), либо является уравне
нием некоторой окружности (быть может , нуле
вого радиуса) , либо ни одна (действительная)
точка плоскости ему не удовлетворяет.
З а д а ч а 8. Построить окружность 2х2+
+2 у2+3 у=0. Пишем уравн ение так :
2+ 2+3+9-9
х у 2У 16-16,
или х2+(у+ :)2=
(:)2
•
Сравнивая с общим
Коор динатная система в поааии
И. А. Некрасова
33�
...
идите по JJecy
Против стоJJба тринадцатоrо
Прямехонько версту:
Придете на по.Л яночку,
Стоят на той поJJяночке
Две старые сосны ...
(Кому на Руси жить хорошо).
«Трииадцатоrо» и «Версту» - координаты
DОJJяночки с двумя старыми соснами.
3
уравнением окружности , видим ,что а=О,Ь=-
4,
R= : . Тепер ь легко выполнить построение.
Если в общем уравнении второй степени А +С
или В +О , то такое уравнение уже не будет
задавать окружности. Ока3ывается , во3можны
здесь тол ько такие линии : парабола , эллипс
(см. пример 2 на стр. 336, 337 ), гипербола или
(если левая часть уравнения ра3лагается на мно
жители первой степени) пара прямых. Все они
на3ываются линиями второго порядка. Впрочем,
бывает и так , что ни одна точка плоскости урав
нению не удовлетворяет, например : 2х2+ 3у2+
+1 =0 (мнимый эллипс).
Ана.J
J
итическое решение
rеоиетрических аадач
При решении геометрической 3адачи анали
тическим методом прежде всего выбирают си
стему координат (от удачного выбора ее зави
сит простота вычислений). Затем находят в
этой системе координаты заданных точек и урав
нения 3аданных прямых , окружностей и т. д.
Этим 3адача переводится на аналитический
Я3ЫК и превращается в 3адачу аналитической
геометрии.
Пример 1. Дока3ать , что три высоты
треугольника АВС всегда пересеnаются в од
ной точке.
Примем одну из высот ОС 3а ось Оу, а соот
ветствующее основание АВ - 3а ось Ох . :Коор
динатное обо3начение вершин : А (-р; О),
B(q;О),С(О;h)(h-высота, р,q -проекции
сторон СА и СВ на основание). По форму.11е (4)
составляем уравнения боковых сторон:
hx-py + ph==O (С А),
hx+qy+ph=О (СВ).
(Сделайте проверку : (-р; О) лежит на СА,
(О; h) - тоже.) Составля ем уравнения боко
вых высот : px+hy=pq , qx-hy=-pq (см. 3а-
7)т
(о. pq)
-
дачу
.
очка пересечения
, 71 , наиден"
пая совместным решением их уравнений , оче
видно , лежит на третьей высоте , так как ее абс
цисса равна нулю , и т. д.
Пример 2.Эллипс. Выяснить,1<а
кую кривую опишет точка тонкой прямоли
нейной палочки , сколь3ящеii своими концами
по неподвижным взаимно перпендикулярным
прямым Ох и Оу.
Примем эти прямые за оси координат. Рас
стояния точки от концов палочки обозначим

ЧТО ТАКОЕ КООРДИНАТЫ И Д JIЯ ЧЕГО ОНИ СЛУЖАТ
через а и Ь (постоянные числа, так как точка
по палочке не двигается).
Об означим через t (переменный) угол , обра
зованны й палочкой с отрицательным нап рав
лением оси Ох. На рис. 14 видно , что
x = acost, y=bsint.
Эти два уравнения можно рассматривать
как особый вид уравнений кривой . Здесь связь
между х и у задана при помощи вспомогатель
ного переменного (параметра) t. Такие урав
нения кривой называются параметрическими.
.:r
(0;-б)
По ним построение кривой делают так: дают
произвольные значения параметру t, каждый
раз вычисляя соответствующие значения х и у,
что определяет точку кривой. Так, точка за точ
кой можно построить сколько угодно точек
кривой. Если вы хотите получить обычное ее
уравнение , следует исключить из параметри
ческих уравнений параметр t (не всегда это
легко сделать\) , т. е. составить их следствие ,
не содержащее t. В данном случае , деля эти
уравнения : первое - на а, второе - на Ь,
возводя в квадрат и складывая, получим :
(:)2+(+)2=sin2t+cos2t=1,или
xi
yi
""
"/i2
+Ь2=1.
(10)
Это простейшее уравнение эллипса. Эллипс -
кривая , пол учаемая из круга равномерным рас
тяжением или сжатием в одном направлении
(см. статью «Геометрические преобразования»).
Как известно , по эллипсам движутся планеты
вокруг Солнца (первый закон Кеплера) , искус
ственные спутники вокруг Земли.
Эллипсограф. Из рассмотренной
только что задачи вытекает конструкция при
бора для черчения эллипсов (эллиптический
•22Д.э.т.2
циркуль, или эллипсограф). Для этого нужно
лишь к подвижной палочl\е прикрепить ка
рандаш , который можно было бы закреплять
винтом в различных положениях на палочке .
Этот карандаш при описанном выше движении
палочки вычертит эллипс , полуоси которого
а, Ь зависят от того , в какой точке палочки
закреплен карандаш. Из уравнения (10) сле
дует , что середина палочки описывает окруж
ность , ведь для середины а=Ы На рис. 15
показан эллипсограф несколько иной конструк
ции.
Нераарешииые аадачи
н а постр оение
Сталкиваясь впервые с задачами на построе
ние , которые не могут быть решены цирку
лем и линейкой , всякий испытывает сначала
неудовлетворенность ,-как это нельзя решить?
Между тем в этом нет ничего странного , просто
циркуль и линейка- недостаточно сильные (мо
жет быть , лучше сказать -недостаточно тонкие)
инструменты для решения некоторых задач .
Таковы, например , задачи о делении произ
вольно1·0 угла на три равные части (трисекция
угла) и об удвоении куба («Построить ребро
куба двойного объема по сравнению с данным
кубом»). Некоторые из таких задач становятся
разрешимыми , если к линейке и циркулю при
соединить , например , прибор , вычерчивающий
параболу , или эллипсограф.
Чтобы разобраться , какие же задачи
разрешимы с помощью циркуля и линейки,
Рис. 15.
будем рассуждать так. Линейка дает воз
можность строить прямую , проходящую через
две уже построенные точки , находить точки
пересечения прямых. Присоединяя к линейке
циркуль , мы можем строить окружности любых
данных радиусов с заданным центром , нахо
дить точки пересечения двух окружностей и
окружности с прямой. Подойдем к вопросу
аналитически. Прежде всего заметим , что одна
линейка дает возможность решать лишь за-
837

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
дачи первой степени : например , пересечение
двух прямых соответствует в декартовых коор
динатах решению системы двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными. Присое
динив циркуль , мы , оказывается , можем уже
решать все задачи второй степени , r. е . такие ,
1юторые аналитически сводятся к решению
ряда квадратных уравнений с одним неизвест
ным. Ведь пересечение прямой с окружностью
означает совместное решение уравнения окруж
ности и уравнения прямой; после исключения
одной координаты получается квадратное урав
нение с одной неизвестной координатой. Пере
сечение двух окружностей можно заменить
пересечением одной из них с хордой , проходя
щей через обе точки пересечения. Аналитически
это вполне ясно. Напишем уравнения этих
окружностей :
х2+у2+Dx+Еу+F=О,
х2+у2+D'x+Е'у+F'=О.
Вычтя одно из другого , Получим уравнение
первой степени (это и есть уравнение упомяну
той хорды). Значит , опять получается пересе
чение прямой с одной из окружностей , что (как
уже было сказано) сводится к квадратному
уравнению с одним неизвестным. Таким обра
зом , циркуль и линейка способны решать лишь
задачи , которые сводятся к последовательному
решению ряда квадратных уравнений с одним
неизвестным. Поэтому всякое уравнение , кото
рое нельзя свести к решению ряда квадратных
уравнений (например , х3 = 2), не может быть
решено графически циркулем и линейкой. Как
раз задача об удвоенци куба и есть задача о ре
шении уравнения х3 = 2: приняв за '1 ребро дан
ного :куба , для ребра х искомого получаем имен
но это уравнение. Задача о трисекции угла
(кроме некоторых частных случаев , например
угол в 90° ) тоже оказывается задачей третьей
степени , отсюда - невозможность решения ее
при. помощи циркуля и линейки.
Если же воспользоваться прибором для чер
чения парабол , то , вычертив две параболы
х2=у и 2х=у2 , в пересечении получим точку ,
абсцисса которой как раз удовлетворяет урав
нению х3 =2.
По.J
J
ярные координаты
При решении многих задач удобнее пользо
ваться так называемыми полярными координа
тами : на плоскости выбирают неподвижную
точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР
338
(полярная ось). Положение точки Мв этом слу
чае определяется двумя числами : ее расстоя
нием r от полюса и углом �=L РОМ (рис. 16).
Числа r (полярный радиус) и� (полярный угол)
называются полярными координатами точки М.
Часто оказывается полезным рассматривать
на плоскости полярную систему координат
вместе с декартовой. Рассмотрим такое распо
л ожение , когда полюсом служит начало декар
товой системы , а полярной осью - ось абсцисс;
fj
м[r;�]или мr:ч;J
р
Рис. t6.
ох
тогда рисунок подсказывает связь между по
лярными и декартовыми координатами точки :
{х=rcos�·
у7=rsin�·
(11)
Эти формулы позволяют вычислить дека ртов ы
координаты , когда известны полярные.
Пример. Выяснить
форму кривой
(х
2
+у2)2=а2(х2_у2)
(она называется лемнискатой). Исследовать
ее форму непосредственно по написанному
уравнению не так легко. Перейдем к поляр
ным координатам. Заменив х и у по фор
мулам (11), получим : r4 = a2r2 (cos2 � -sin2 �).
Рис. 17.
Или , сократив на r2 (при этом могла бы поте
ряться лишь одна точка кривой r= O), получим :
r2 = а2cos2�, или r = +аVcos2�. По этому
простому уравнению легко.построить нашу кри
вую. Кривая строится по точкам (рис. 17).
Даем � различные значения , например �=О,
±15°, ±30°, ±45°, ±135°,.... Вычисляем
соответствующие r =а, а V 3/4, а� о, о.

ЧТО ТАКОЕ КООР ДИНАТЫ И ДЛЯ ЧЕГО ОНИ СЛУЖАТ
р
Рис. t8.
Рве. 20.
Спираль Архимеда.
Это кривая задается в полярных
координатах уравнением r=Crp,
где С - постоянная (рис. 19).
При помощи этой кривой лю
бой угол можно делить на произ
вольное число (наприме р, на
три -трисекция угла) равных час
а-
--
-�
�-
--
--
--
--
-1:r-
--
р тей. Вот как это делается (рис. 20 ).
Пусть на листе бумаги начер
чена спираль Архимеда , выходя
щая
·
из полюса О полярной сис
темы координат , Полярная ось ОР
служит для спирали касательной.
Перен�сем на этот чертеж задан
ный нам для разделения на п
равных частей угол . так , Чтобы
его вершина совпадала с по.дюсом,
Рис. 19 .
При значениях rp между 45 и 135 ° , а также меж
ду 225 и 31 5� косинус отрицателен и поэтому
r мнимо : у кривой нет точек с такими значени
ями полярного угла.
Точки , у которых полярный радиус имеет
постоянное значение r=C , образуют окруж
ность радиуса С, с центром в полюсе. При
постоянном значении угла rp, rp=rp0, получает
ся луч , выходящий из полюса и наклонен
ный под углом rp 0 к полярной оси. Полученные
таким образом (т. е . при постоянном значении
одной координаты) линии называются коорди
натными (рис. 18). В декартовой системе коор
динатные линии - прямые, параллельные осям.
22•
одна сторщ1а '-
-
с полярной осью ОР, а Другая
его сторона легла в сторону возрастания поляр
ного угла rp (против часовой стрелки}. Обозначи м
первую (считая от О) точку пересечения этой дру
гой стороны с нашей спиралью .буквой А; за�
тем разделим отрезок ОА на п равных частей
(что , как вы знаете , легко делается циркулем
и линейкой) и проведем через точки А1,
А2, ••• деления отрезка ОА дуги окружно
стей с об щим центром О до пересечения со
спиралью; наконец , полученные точки В1,
В2, ••• пересечения соединим с полюсом -
и данный угол POQ разделен на п равных ча
стей! Докажите это сами.
339

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
Rоорди11аты на сфере
Положение точки на сфере удобнее всего
задавать так , как это делается в географии.
На данной сфере радиуса R выберем какие
нибудь две диаметрально противоположные
точки , одну из них N назовем условно се
верным полюсом , другую S - южным. Накой
нибудь из «меридианов» (кратчайший путь
по сфере из S в N) назовем начальным .меридиа
ном;' проходящую через центр О сферы и пер
пендикулярную оси SN плоскость назовем
экваториальной , а пересечение ее со сферой -
экватором , на экваторе изберем направление,
с1\ажем против часовой стрелки , если смот
реть 'из N. Полож ение любой точки М на сфере
определяется двумя координатами, одна из них,
назовем ее долготой, -у гол 9 между плоскость!О
начального меридиана и п.11оскостью;· проходя
щей через М и ось SN (угол должен отсчиты
ваться в направлении , соответствующем вы
бранному на экваторе).
.
Широтой точки М бу
дем называть угол 6 между радиусом ОМ и
плоскостью экватора (6 считается положитель
ным для точек северного полушария и отри
цате.11ьным для южного). Будем писать :
М < rp; 6 ) , ставя на первое место долготу, на
второе - широту.
П р и м е р. Проверьте правильность коор
,р;инатного обозначения точек на рис. 21.
z
Рис. 21.
Все точки с одинаковой долготой rp0 запол
няют меридиан , уравнение которого поэтому
rp=rp0• Все точки с одинаковой широтой 60
заполн яют параллель 6=60• 'Уравнение, свя-
340
зывающее текущие координаты rp и 6°, опреде
ляет , как и в плоской геометрии , кривую; не
равенство , соответствующее этому ура:внению,
определяет одну или несколько областей, на
которые эта кривая разделяет сферу. Так , не
равенство 6< О определяет южную полусферу ,
6> О-северную; 6=0 есть уравнение экватора.
Если сферу отнести к декартовым коорди
натам в пространстве , приняв центр О сферы за
начало , ось SN -зa ось z, ось х направив через
точку (О; 0), ось у-через(90°; О> , то декарто
вы координаты х, у, z любой точки М сферы
легко выразить через долготу и широту этой
точки. Для этого выразим сначала координаты
ее проекции М1 на плоскость Оху, где обычным
образом расположим полярную систему коор
динат. Из рис. 21 видно, что для М1(х; у; О)
полярный радиус r=Rcos6 , а полярный
угол 9 совпадает с долготой точки М. Ироме
того , z=R sin 6. Приняв во внимание формулы
(11), получим :
х = Rcos6cos rp, ]
у= Rcos6sin rp,
z= RsinfJ.
(12)
По этим формулам вычисляют деRартовы коор
динаты точки М(х; у; z) , если известны ее
координаты rp и 6 на сфере.
На эти же формулы можно взглянуть и с
другой точки зрения. Будем считать rp и 6 пе
ременными , придавая им всевозможные значе
ния в естественных пределах О � rp < 360 ° ,
- 9 0 ° �6�+90 °; тогда точка M(rp; 6) будет пе
ремещаться по сфере , занимая всевозможные
положения. Это напоминает параметрические
уравнения линии , в которых декартовы коор
динаты х, у, z выражены через один пе
.
ремен
ный параметр t. Разница лишь в том , что те
перь х, у, z выражены через два параметра ,
поэтому получается не линия (одномерное обра
зование) , а поверхность (образование дву
мерное). Подобные уравнения называют пара
метрическими уравнениями поверхности; пере
менные параметры чаще всего здесь обозначают
буквами и и v. Итак , уравнения сферы запи
шем в виде:
х = Rcosv·cosu, )
R
.
О�и < 360°
,
(13)
у= cosv.sши,
900
900
-
�v�+ .
Z= Rsinv,
Если из этих уравнений исключить параметры
и, v (для этого проще всего возвести (13)
в квадрат и сложить; к сожалению , исключе
ние переменных не всегда так просто) , полу
чим обычное ее уравнение x2+y2 +z2 =R2.

ЧТО ТАКОЕ КООРДИНАТЫ И ДЛЯ ЧЕГО ОНИ СЛУЖАТ
Rривоо.1
1
виеRвые коордвиатьr.
Общая идея координат
На любой поверхности можно установит ь
координатную систему, определ яя положение
точки на вей опять-таки двумя числами. Дл я
этого каким-либо способом покроем всю по
верхность двумя семействами линий так , чтобы
через каждую ее точку (быть может, за неболь
шим числом исключений) проходила одна , и
тол ько одна, линия из каждого семейства. Те
перь надо лишь снабдить линии каждого се
мейства числовыми пометками_ по какому-ни -
Рис. 22.
будь твердому правилу, позволяющему по чис
ловой пометке находить нужную ливню семей
ства (рис. 22). Координатами точки М поверх
ности служат числа и, v, где и - числовая
пометка линии первого семейства , проходящей
. через М, и v- пометка линий второго семейст
ва. По-прежнему будем писать: М (и; v), чи..
.
ела и, v называются криволинейными коорди
натами точки М. Сказанное станет совсем
ясным , если за примером обратиться к сфере .
Ее всю можно покрыть меридианами (первое се
мейство); каждому из них соответствует чис
ловая пометка , а именно значение долготы
и (или �). Все параллели образуют второе се
мейство; каждой из них отвечает числовая по
метка - широта v (или 6). Через каждую точку
сферы (исключая полюсы) проходит только
один меридиан и одна параллель.
В качестве еще одного примера рассмотрим
боковую поверхность прямого круглого ци
линдра высоты Н, радиуса а (рис. 23). За пер
вое семейство примем систему его образующих,
одну из них примем за начальную. Каждой об
разующей припишем отметку и, равную длине
дуги на окружности основания между началь
ной образующей и данной (дугу будем отсчиты
вать , на]Iример , против часовой стрелки). За
второе семейство примем систему горизонталь
ных сечений поверхности; числовой помет
кой v будем считать высоту, на которой прове
дено сечение над основанием. При надлежа
щем выборе осей х, у, z в пространстве будем
иметь для любой точки М (х; у; z) нашей по
верхности:
и
X=acosа' y=asin7, Z=V, (14)
О�и<21ta, О�v�Н.
(Здес ь аргументы у косинуса и синуса не
в градусах , а в радианах. ) Эти уравнения мож
но рассматривать как параметрические урав
нения поверхности цилиндра.
z
Рис. 23•
Зада ч а 9. По !\акой кривой надо выре
зать кусок жести для изготовления колена
водосточной трубы , чтобы после надлежащего
изгибания получился цилиндр радиуса а, усе
ченный плоскостью под углом 45° к плоскости
основания?
Реш е ние. Воспользуемся параметри
ческими уравнениями поверхности цилиндра•
и
x = acosa,
.
и
у=аsш
-а,
z=v.
Секущую плоскость проведем через ось Ох, ее
уравнение z=y. Комбинируя его с только что
написанными уравнениями , получим уравне-
.
и
ние v =а sш а линии пересечения в криво-
841

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
1.1
11
о
Рис. 2-1
1
.
линейных координатах. После развертки по
верхности на плоскость криволинейные коор
динаты и и v превратятся в декартовы коорди-
паты.
Итак, кусок жести должен
очерчен по синусоиде v =а
быть сверху
sin �. Здесь
а
и и v уже декартовы координаты на плос
кости (рис. 24).
Rак в случае сферы и цилиндрической
поверхности , так и в общем случае задание
поверхности параметрическими уравнениями
влечет за собой установление на поверхности
криволинейной системы координат. Действи
тельно , выражение декартовых координат х, у, z
произвольной точки М(х; у; z) поверхности через
два параметра и, v (это в общем случае записыва
юттак: х=ср(и; v),у=�(и; v), z=щ(и; v),ер,�.щ
функции двух аргументов) дает возможность,
зная пару чисел и, v, найти соответствующие
координаты х, у, z, а аначит, положение точ
ки М на поверхности; числа и, v служат ее
координатами. Давая одной из них постоянное
значение , например и= и0, получим выра
жение х, у, z через один параметр v, т. е . пара
метрическое уравнение :кривой. Это - коор
динатная линия одного семейства, ее уравне
ниеи=и0•Точнотакжелинияv=v0 -коор
динатная линия другого семейства.
ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ
И ТЕХНИКЕ
•
Одним из самых важных понятий в мате-
.
матике и ее приложениях является понятие
функции. Всюду, где есть величины, свцзан
ные 'l:'�K, что с изменением одних ( аргументов)
меняются другие (функции) , мы имеем дело
с функциональной зависимостью. Эта зависи-
842
мость может задаваться по-разному - форму
лами , графиками , таблицами. Бывают случаи,
когда зависимость нельзя выразить формулой.
Например , температура воздуха меняется с те
чением времени , однако формулы , выражающей
температуру воздуха в данный момент вре
мени , нет (как легко жилось бы метеорологам,
если бы такая формула была! ). В некоторых
случаях приходится довольствоваться графи
ком функции (например , самопишущий прибор
термограф дает график температуры воздуха
:как функции времени) или только таблицей
значений функции для некоторых значений
аргумента.
Чаще всего , однако , для описания функций
пользуются формулами. В школе изучают слу
чаи , когда эти формулы сравнительно просты.
Например , зависимость площади круга от его
радиуса выражается формулой S=тtr2, тока от
сопротивления-формулой /= �0 и т. д. Возни
кает вопрос : встречаются ли на практике зави
симости , выражаемые с помощью более слож
ных функций , например многочленов высо
:ких степеней , показательной , логарифми
ческой и тригонометрических функций? Мы
расскажем здесь о некоторых случаях , когда
та'Кие функции встречаются в задачах физики
и техники.
Жесткость бLJ
J
RB
Балками в технике называют деревянные
или металлические брусья, на которых лежат
перекрытия зданий. Балки должны выдержи
вать вес перекрытий и предметов , находящихся
в здании. Под этой тяжестью они изги баются.
Если балки изогнутся слишком сильно , пере
:крытие может рухнуть. Поэтому до постройки
здания надо рассчитать, выдержат ли балки на
грузку. Этими расчетами занимается специаль
ная наука - сопротивление материалов.
Прогиб балки завис ит от очень многих при
чин. Под одной и той же нагрузкой деревянная
балка изогнется сильнее , чем стальная , длин
ная - сильнее , чем короткая , тонкая - силь
нее , чем толстая. Зависимость прогиба балки
от материала , из которого она сделана , связана
с особой величиной Е, называемой модулем
Юнга.
Модуль Юнга измеряется в кГ/см2• Если
из вещества с модулем Юнга Е кГ/см2 сделать
стержень длиной 1 м и сечением 1 см2 и подве-

сить к этому стержню гирю в 1 кГ, то он вытя-
1
нется на Е м. Для стали модуль Юнга равен
2 150 ООО кГ/см2, а для дуба -105 000 кГ!см2,
т. е. в 20 раз меньше.
Чем больше модуль Юнга, тем меньше про
гиб балки. Поэтому стальные балки прогиба
ются меньше, чем деревянные.
Исследование зависимости прогиба балки
от материала, из которого она сделана, - это
скорее дело физики, чем математики. Матема
тикоn больше интересует зависимость прогиба
от длины балки и от размеров и формы ее сече
ния. А то, что форма сечения влияет на прогиб,
легко видеть из простого опыта. Обычную
школьную линейку легко согнуть, если поло
жить ее плашмя, и трудно, если поставить на
Рис. 1 . Линейку леrко соrнуть, есл11 положить ее плашмя,
и трудно, есл11 постав11ть на ребро.
ребро (рис. 1). Этот опыт показывает еще, что
прогиб зависит не от площади сечения (ведь
площадь сечения линейки одна и та же, лежит
она плашмя или поставлена на ребро). Оказы
вается, дело не в площади сечения, а в его мо
менте инерции. Момент инерции / подсчи
тывают так. Сечение балки мысленно разре
зают на очень тонкие горизонтальные слои и
площадь каж7(ого слоя умножают на квадрат
расстояния этого слоя от среднего слоя. Сумма
этих произведений и дает момент инерции сече
ния балки. Подсчеты показывают, что момент
инерци и для круглого сечения радиуса R pa-
.:R4
вен Т , а для квадратного сечения со сто-
••
а4
ронои а равен 12 .
Произведение Е/ модуля Юнга на момент
инерции сечения балки называют жесткостью
балки. Чем больше жесткость, тем труднее
изогнуть балку. Можно увеличить жесткость
балки, не меняя площади ее сечения. Для этого
надо сосредоточить основную массу балки на
ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ
Рис. 2.
большом расстоянии от среднего слоя, напри
мер придать сечению форму, изображенную
на рис. 2, слева (двутавровые балки), или
заменить сплошную балку трубой (рис. 2, спра
ва ). Поэтому, например, в велосипедах делают
корпус не из сплошных стержней, а из труб.
Прогиб С5а.J
J:
ки
Прогиб балки зависит не только от ее жест
кости, но и от длины балки, распределения на
грузки, от того, заделаны ли в стену оба конца
балки или только один, и т. д . Чтобы найти
наибольший прогиб балки, надо знать форму,
которую она принимает после изгиба.
Возьмем балку длины l, заделаем оба ее
конца в стены и положим на нее равномерно
распределенную нагрузку Q. Тогда прогиб у
в точке, находящейся на расстоянии х от ле
вого конца балки, выражается формулой:
у= 24%/l (х4 - 2lхз + l2x2),
т. е. многочленом четвертой степени. График
этого многочлена изображен на рис. 3 а. Ясно,
е
оlil
lli;
=--------------'-'-
-'-'-
":
::
::
:
�----'..
.
.:х:
'
Рио. За.
что самый большой прогиб балки будет в cepe-
l
Q/3
дине, т.е. при х= т· Онравен Ymax= 384 Е/
Балки, на которые опираются балконы, за
делываются в стену лишь одним концом, вто
рой же конец оставляют свободным. Такие
балки называются к онс о л ь н ы ми. Фор
ма равномерно нагруженной консольной балки
выражается уравнением:
у= --Q-(x4 - 4lx3 + 6l2x2)
24E/l
348

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
............•..•••.••••...••............•••
о ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::l
х
Рис. 36 .
(рис. 3 б}. Здесь уже наибольший прогиб будет
на свободном :конце бал:ки , при x= l. Он равен
QlЭ
Ymax =
8El '
т. е. в 48 раз больше, чем для та:кой же бал:ки,
оба :конца :которой заделаны.
Сосредоточенная нагрузка
Прогиб бал:ки зависит и от того, :ка:к распре
делена нагруз:ка. Возьмем бал:ку , оба :конца
:которой свободно лежат на опорах , а нагруз:ку
Q соберем в одну точ:ку - середину бал :ки
(рис. 4). Тогда форма изогнутой балки будет
Рис. '·
задаваться не одним, а двумя уравнениями .
Для левой половины бал:ки прогиб равен ;
Улев
.
= 4�/ [3l2x - 4хз],
а для правой :
Уп.рав. =
4�1 [3l2(l-х) -4(l- х)3].
н
Ql3
аибольший прогиб равен : Ymax =
48EI •
Замечательно , что в этом случае одна и та же
фун:кция - прогиб бал:ки в точ:ке , находящейся
l
на расстоянии х =2 от левого :конца, - выра-
жается не одной , а двумя различными фор
мулами .
344
Чис.J
J
о е. Натур&dьвые .J
J
оr ар ифиы
Перейдем теперь :к случаям , :когда зависи
мость выражается по:казательной фун:кцией.
При записи за:конов физи:ки , связанных с по:ка
зательной фун:кцией, удобно пользоваться осо
бым числом, :которое называется числом е.
Это число можно определить следующим обра
зом. Начертим графи:ки фун:кций у=а
х
при раз
ных значениях основания а. Чем больше это
основание, тем :круче поднимаются вверх гра
фи:ки (рис. 5). Эти графи:ки в точ:ке А (О; 1)
Рис. 5.
-1
-0,5о�5J1,52х
под разными углами пересе:кают ось Оу. Напри
мер, угол между осью Оу и :кривой у =2
х
ра
вен приблизительно 55°15' , а для 1\ривой
у=3
х
этот угол равен примерно 42°20 '. Поэто:.
му найдется такое число е, лежащее между 2 и 3 ,
что кривая у=е
х
пересечет ось Оу под уг 
лом 45°.
Более точные подсчеты . показывают, что
число е равно 2,71828 ". Логарифмы по основа·
ниюеназываютсянатуральными.Они
обозначаются l nx. Е сли мы знаем десятичный
логарифм числа , то его натуральный лоtарифм
можно найти по формуле lnx = \�х , где
М =0,43429. "- та:к называемый модуль перехода .
Один че.J
J
овек иожет удер иt ать
иop afJ.J
J
ь
Когда корабль подходит к берегу, с него
бросают на пристань канат. Здесь канат обматы
вают несколь:ко раз вокруг столба и таким
образом удерживают им корабл ь. Как же

удается одному человеку удержать корабль?
Оказывается , ему помогает сила трения.
Если обмотать канат один раз вокруг столба,
то из-за трения каната о столб можно уравнове
сить силой F0 силу F, большую, чем F0, в а
F
раз . Отношение
F = а зависит от материала,
о
из которого сделаны канат и столб. Например,
если канат пеньковый , а столб железный , то
а = З,5. Иными словами , силой в 100 кГ можно
уравновесить (используя «помощы силы тре
ния) силу в 350 кГ . Каждый новый оборот ка
ната вокруг столба увеличивает отношение сил
еще в а раз Таким образом, если обернуть ка
н ат два раза , то отношение удерживаемой и
удерживающей сил будет равно а 2 , а если три
F
раза, то у=а
3
•
Вообще если число оборотов
о
равно х (х мо жет и не быть целым числом) ,
то;=а
х
.
Если обмотать пеньковый канат
о
вокру г железного столба два раза , то силой в
100 кГ мо жно уравновесить силу примерно
в 1,2 Т , а при трехкратном обматывании - си
лув4,2т.
РадиоаитивныА распа11.
вещества
Когда радиоактивное вещество распадаетс я,
его количество уменьшается . Через некоторое
время остается половина первоначального ко
личества вещества. Этот промежуток времени
t0называетсяпериодом полураспа
д а вещества. Если пройдет еще t0 лет, то из
оставшейся половины распадется еще половина
вещества и останется только четверть первона
чального количества. Вообще через t лет масса
т вещества будет равна :
'
(1)т.
т=т
о
2'
где m 0 - первоначальная масса вещества. Чем
больше период полураспада , тем медленнее
распадается вещество . Например , у урана-238
период полураспада равен 4,5 млрд. лет. Зна
чит , за все время существования Земли не рас
палось еще и половины первоначального запаса
урана . А вот у радия период полураспада равен
всего 1590 годам. Если бы миллион лет назад
вся Земля состояла из радия , то сейчас на ней
не осталось бы и одного атома радия. Сущест
вует же он лишь потому , что при распаде урана
все время .появляются новые атомы радия .
ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ
Виа1
1
ючение и выиа1
1
юченве
постоивноrо тока
Если повернуть выключатель, в то же мгно
вецие загорается электрическая лампочка. Мы
настолько привыкли к этому , что не задумы
ваемся над тем , сразу ли сила тока принимает
свое максимальное значение . Соберем электри�
ческую схему , показанную на рис. 6, и включим
Рис. 8.
ток. Тогда Из-за наличия катушки ток будет на
растать медленно , так как в цепи возникнет
ток самоиндукции , направленный в противо
положную сторону . Расчеты показывают , что
ток I зависит от времени по следующей формуле :
l=1;
;
(1-e-f 1).
Здес ь R - сопротивление депи , L - самоин
дукция катушки , V0 - напряжение тока. По
смотрим , что будет происходить с током с те-
-
!!.
..
t
чением времени. Функцию е L можно запи-
сать в виде (--J:-) J: 1• Но + меньше единицы ,
а известно , что показательная функция стре
мится к нулю с возрастанием показател я, если
ее .основание меньше единицы. П оэтому вычи-
-.!
!.
.
t
таемое е L
в формуле дл я силы тока будет
уменьшаться , приближаясь к нулю , и через
v
некоторое время ток почти точно будет равен ; .
Это и есть значение , которое известно из зако
на Ома. Разница между силой тока и значением �
0
станет такой маленькой, что никание при боры
ее не покажут .
Остывание чайпи иа
Вы , наверн ое, замечали, что если снять ки
пящий чайник с огня, то сначала он быстро
остывает , а потом остывание идет гораздо
медленнее. Дело в том, что скорость остывания

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
пропорциональна разности между температу 
рой чайника и температурой окружающего
воздуха . Чем меньше становится эта разность,
тем медленнее остывает чайник. Если сначала
r
Чем больше чайник, тем значение k меньше и тем медленнее
он остывает.
температура чайника равнялась Т0 , а темпера
тура воздуха Т1 , то чере з t секунд температура
1' чайника выразится формулой:
Т=(То- Т1) е-м+Т1,
где k - число, зависящее от формы чайника ,
материала, из которого он сделан, и количе
ства воды, которое в нем находится.
Почему пар ашюти ст падает
рав11оиер110
При падении тел в безвоздушном простран
стве скорост ь их непрерывно возрастает. При
падении тел в воздухе скорость падения тоже
увеличивается, но не может превзойти опреде
ленной величины .
Рассмотрим задачу о падении парашюти
ста. Если считать, что сила сопротивления воз
духа пропорциональна скорости падения пара
шютиста, т. е. что F=kv, то через t секунд ско
рость падения будет равна :
v=";.g(1-е -�)
(т - масса парашютиста). Обратите внимание на
сходство этой формулы с формулой для силы тока.
kt
Через некоторый промежуток времени е т
станет очень маленьким числом и скорость па-
дения будет почти в точности равна ";.g , т . е .
падение станет почти равномерным . Rоэффи-
346
циент пропорциональности k зависит от разме
ров парашюта.
Написанная формула пригодна не только
для изучения падения парашютиста, но и для
изучения падения капли дождевой воды , пу
шинки и т. д. Из нее видно , что чем меньше от-
ношение �g , тем медленнее падает тело. Этим
и объясняется, почему пушинка падает медлен
нее камня : у нее маленькая масса , а площадь
поверхности довольно большая, и воздух ока
зывает значительное .сопротивление ее падению.
Параш ют11ст опускается на землю равномерно.
Как иамер вют вы сот у
при по11ощи барометра
Чем выше поднимаются в гору альпинисты,
тем меньше становится давление воздуха. Этим
можно воспользоваться для того , чтобы с по
мощью барометра определять высоту подъема.
Rак показывают расчеты , при постоянной тем
пературе воздуха разность высот двух точек
выражается такой формулой :
h2_hi=
Ро (t0't273,1) lnJ!
!
.
о
Ра

Здесь р1 и р2 - давление воздуха на высотах
h1иh2
, р0 - давление воздуха на уров
не моря, W 0 - вес 1 м3 воздуха при темпера
туре 0° и давлении р0, t0 - температура
воздуха.
Эта формула верна для не слишком больших
высот.
Исследовани я, проведенные в Советском
Союзе по программе Международного гео
физического года при помощи ракет, пока
зали, что на больших высотах имеют место дру
гие законы изменения давления с высотой.
Вообще любая физическая формула имеет
ограниченную область применения - она вер
на при одних условиях и перестает быть вер
ной при других. Дело в том, что при выводе
любой физической формулы делаются некото
рые допущения, верные лишь приqлизительно.
Когда же эти допущения перестают быть вер
ными, формула теряет силу.
Ско.J
J
ько топ.J
J
ива до.J
J
жна ваять
ракета
Много трудных математических задач при
ходится решать в теории межпланетных путе
шествий. Одной из них является задача об опре
делении количества топлива, необходимого для
того, чтобы придать ракете нужную скорость v.
Это количество М зависит от массы т самой
ракеты (без топлива) и от скорости v0 , с кото
рой продукты горения вытекают из ракетного
двигателя.
Если пренебречь сопротивлением воздуха
и притяжением Земли, то :количество топлива
определится формулой:
М=т(е:.-1)
(формула К. Э . Циолковского ). Например, для
того чтобы ракете с массой 1,5 т придать
скорость 8 км /сек , надо при скорости исте
чения газов 2 км /сек взять примерно 80 т
топлива.
Если бы удалось увеличить скорость истече
ния газов до 4 км /сек, то понадобилось бы всего
10 т топлива. Вообще чем с большей скоростью
v0 вытекают газы из ракеты, тем меньше будет
v
eV. и тем меньше понадобится топлива. Другой
способ уменьшения количества топлива заклю
чается в замене одноступенчатых ракет мно
гоступенчатыми (подро бнее о ракетах см.
встатьяхт.3и5ДЭ).
Ф УНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ
Гар ионическве ко.J
J
ебания
Мы рассмотрели несколько при
меров из физики и техники, в кото
рых та:к или иначе встречается пока
зательная функция. Сейчас перейдем
:к рассмотрению примеров, связан
ных с тригонометрическими функ
циями.
Начнем с гармонических :колеба
ний. Возьмем, например, гирю, под
вешенную на пру жине, и толкнем
ее вниз. Гиря начнет :колебаться
вниз и вверх. Ка:к показывают рас
четы, отклонение гири от положе
ния равновесия выражается фор
мулой
s=�sinwt.
"'
Здесь v0 - скорост ь, с :которой мы толкнули
гирю, аw=V�,гдет-массагирииk-
жесткость пружины (сила, :которая нужна,
чтобы растянуть пружину на 1 см) .
Колебания, происходящие по закону
s=Аsinwt,
(1)
называют
синусоидальными
или
гармоническими,
а график функ
ции (1 ) - синусоидой. Мы можем получить
представление о таких колебаниях, следя за
движением равномерно вращающейся точки и
наблюдая это движение одним глазом сбоку
(так, что глаз наблюдателя находится в плос
кости вращения ). Нам
·
будет казаться, что точ
ка не вращается, а движется то в одну сторону,
то в другую. Такую :картину наблюдают астро
номы, следя за движением спут·ников Юпите
ра, :когда Земля находится в плоскости орбиты
этих спутников.
Число А, называемое а м пли тудой си
нусоидального :колебания, показывает размах
этого :колебания, а число w, называемое ч а с
т о т о й :колебания, показывает , сколько :коле
баний происходит за 21t секунд (т. е . примерно
44
2n
за 7 секунды). Через :каждые -;
;;-
секунды гиря
будет возвращаться в исходное положение.
П
б
2n
оэтомупериод ее:колеанияравен-;
;;
•
Если мы сначала оттянем гирю на s0 см ,
а потом толкнем ее со скоростью v0 , то она будет
совершать колебания по более сложному за:ко,
ну:
s= Аsin(wt+а).

УРАВНЕНИЯ' И ФУНКЦИИ
Расчеты показывают, что амплитуда А этого
:колебания равна "1 / s2 +� а число а та-
Vо
"'2
,
:ково , что tga = 50 "'. Из-за слагаемого а это :коле-
vо
бание отличается от :колебания s = А sin w t . На
рисунках 7 и 8 изображены графики обоих
:колебаний. График :колебания (2) получается
из графика :колебания ( 1) сдвигом влево на
а
Числоаназываютначальнойфазой.
(!)
у
о
Рве. 7. График гармонического колебания.
у
гл:-а х
-w-
Рис. 8 . График колебательного движения
с начальной фааой .
Rоdебаиия иаятника
Колебания маятри:ка тоже приближенно
происходят по синусоидал ьному закону. Если
эти :колебания малы, то угол отклонения маят
ника приближенно выражается -формулой :
� = �о sin(tV�),
348
где l - длина маятника, а �о - наибольший
угол отклонения. Ч ем длиннее маятник, тем
медленнее он :качается . Измеряя период :коле
бания маятника известной длины, можно вы
числять ускорение земного тяготения g в раз
личных точках земной поверхности .
Раар яд конденсатора
Не только многие
механические :колеба
ния происходят по си
нусоидальному закону.
И в электрических це
пях возникают синусо-
идальные
:колебания .
Замкнем,
например,
цеп ь, изображенную на
рис. 9. Ток в этой це-
Рис.9.
пи будет изменяться по синусоидальному закону :
1=/0sin(wt--rа).
1
Частота w :колебаний тока равна .,f
L
C' где С-
ем:кость :конденсатора, а L - самоиндукция
цепи. Этот закон очень похож на закон :коле
баний гири, только вместо жесткости пружины
надо взять величину ' обратную емкости :кон
денсатора, а вместо массы гири - самоиндук
цию Rатушки.
Как соединить две трубы
Приведенные примеры могут создать впе
чатление, что синусоиды встречаются только
в связи с колебаниями. Однако это не так .
Например, синусоиды испол ьзуются при со
единении двух цилиндрических труб под углом
друг к другу. Чтобы соединить две трубы та
ким образом, надо срезать их наискосок. Если
развернуть срезанную наискосок трубу, то она
окажется ограниченной сверху синусоидой.
В этом можно убедиться, обернув свечку бума
гой, срезав ее наискосок и развернув бумагу.
Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы,
можно сначала обрезать металлический лист
сверху по синусоиде и свернуть его в трубу .
Иаrиб ко.11опиы
Синусоида встречается при рассмотрении
изгиба :колонны под действием вертикальной
нагрузки . Если нагрузка слишком мала , :колон-

на не изгибается совсем. Но если: нагрузка до
стигнет некоторого значения, называемого кри
т и ч е с к им, то колонна начнет изгибаться,
причем ее ось примет форму синусоиды. В этом
можно убедиться на опыте, сгибая вместо ко
лонны металлическую линейку. l\ритическая
сила равна:
1t2E/
F= _z_2 _'
�·де l- высота колонны, а числа Е и 1 зависят
от материала колонны и размеров ее сечения.
Из формулы видно, что чем длиннее колонна,
тем меньшая сила нужна, чтобы ее согнуть. Это
также можно проверить, изгибая линейку.
Формула критической силы была открыта
Л. Эйлером.
Затухающие кое1
1
ее5ания
До сих пор, говоря о колебаниях маятника,
гири, качающейся на пружине, и т. д ., мы пре
небрегали сопротивлением воздуха. На самом
деле из-за сопротивления воздуха амплитуда
колебаний становится все меньше и меньше,
колебания затухают. Отклонение точки, со
вершающей затухающие колебания, выражается
такой формулой:
s = Ae-kt sin (wt +а).
Так как множитель e-kt уменьшается с течени
ем времени, то размах колебаний становится
все меньше и меньше. После каждого полного
2т.k
колебания амплитуда уменьшается в е ш раз.
21tk
Число
называют логарифми че-
ю
ским декрементом затухающегоко
лебания. Чем больше логарифмический декре
мент, тем быстрее затухают колебания. Через
некоторое время они станут такими маленьки
ми, что приборы покажут полную остановку
тела. График затухающего колебания изобра
жен на рис. 10.
Ее.Ли сопротивление среды очень большое
(скажем, если маятник качается не в воздухе,
а в масле), то колебаний не будет совсем - вы
веденный из положения равновесия маятник
медленно будет опускаться, приближаясь к по
ложению равновесия. В этом случае закон его
движения задается формулой вида:
s=А1е-k,t+А2е-k,t '
где числа А1 и А2 зависят от начального поло
жения и начальной: скорости маятника.
Ф"УВКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ
При электрических колебаниях также про
исходят затухающие колебания из-за наличия
сопротивления цепи.
Вынужде11ные ко.Jiебания
Рассмотрим снова гирю, качающуюся на
пружине. Если не мешать ей качаться, то опа
будет совершать колебания с определенной
частотой w. Эта частота называется с о б ст
в е н ной частото й колебания гири. Сов
сем по-другому будут выглядеть колебания ги
ри, если мы будем раскачивать ее. Пусть рас
качивающая сила сама изменяется по синусо
идальному закону, т. е. тащит гирю то вверх,
то вниз. Тогда гиря будет совершать колеба
ния, получающиеся при сложении двух коле
баний. Одно из них происходит с собственной
частотой колебания гири, а второе - с часто
той раскачивающей силы. Пусть в начале коле
бания гиря находится в состоянии покоя и рас
качивающая сила изменяется по закону:
F=Asin�t. Тогда закон движения гири
выразится формулой:
s = 002��2[sin�t-�sinwt],
(3)
где w - собственная частота колебаний гири.
График пути гири имеет уже довольно сложный
вид. Дело в том, что функции sin�t и sinwt
меняются с разной частотой. Поэтому иногда
два колебания, в кот!)рых участвует гиря,
направлены в разные стороны (так будет, на
пример, в начале колебания) и гасят друг дру
га. Иногда же они направлены в одну сторону,
и тогда они усиливают друг друга.
Наибольшая амплитуда колебания равна
примерно 1 00 (ю� �) 1 · Отсюда видно, что если �
у..
..
.
..
..
Рис. 10. График эатухающеrо колебания.
х
84:9

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
мало отличается от w (т. е. если частота раска
чивающей силы мало отличается от собствен
ной частоты колебаний гири), то ·амплитуда ко
лебаний может стать очень большой (у дроби
1"'(w��)\
знаменатель будет маленьким). Если
Ф = � (т. е. если мы раскачиваем гирю в такт
ее собственным колебаниям), то формула (3)
уже неприменима. В этом случае закон движе
ния гири имеет вид:
S= 2�2 [sinwt - wtcoswt).
Размах колебаний с течением времени увели
чивается, и гиря может разорвать пружину.
Этоявлениеназываютрезонансом.
С.1
1
ожеиие ко.1
1
е&ани й
Иногда одно и то же тело участвует не в од
ном колебательном движении, а в нескольких.
Подвесим, например, гирю А на пружине, а
к ней также на пружине подвесим другую гирю
В (рис. 11). Если растянуть обе пружины и от-
пустить их, то колебания гирь А и
В будут весьма сложными. Напри
мер, колебания гири В вызывают
ся, во-первых, тем, что гиря А то
поднимается, то опускается, и, во
вторых, тем, что пружина АВ то
растягива ется, то сокращается. Мы
говорим в этом случае, что колеба
ние гири В является суммой двух
А колебаний - движения гири А и ко
лебания гири В относительно гири А.
Можно привести и другие при
меры сложения колебаний. Когда
играет оркестр, то каждый музы
кальный инструмент вызывает свои
колебания воздуха. Эти колебания
складываются друг с другом и до
носятся к нам в виде единого ак
корда.
Чаще всего складываются гар
В монические . колебания. Если эти
колебания имеют одну и ту же час-
Рис. tt.
тоту, то и сумма их будет гармо-
ническим колебанием той же час
тоты. Для сложения колебаний можно пользо
ваться простым геометрическим правилом. Здесь
нам приходят на помощь векторы. (Подробнее
о векторах см. в статье «Алгебра векторов)).)
Оказывается, что не только силу, ско
рость и ус.корение, но и гармонические коле-
850
•
I
Рис. 12.
�·
�
О
Юс"
А
Рис. 13.
бания можно изображать векторами. Гармони
ческое колебание с амплитудой А и начальной
фазой о: изображают вектором длины А, накло
ненным к оси Ох под углом о: (рис. 12). При
сложении колебаний изображающие их векто
ры складываются по правилу параллелограмма ..
.
На рис. 13 показано сложение колебаний:
s1=10sinФtи s2=6sin(wt+;).
Измеряя диагональ ОВ параллелограмма ОАВС�,
находим, что амплитуда суммы этих колебаний:
равна примерно 14. Начальная же фаза этого.
колебания равна углу АОВ, т. е . примерно,
22°, или 0,37 радиана. Поэтому:
s =1Оsinwt+6 sin(Фt+Т)::
::
::
:;
::
::
::
::
14 sin (wt + 0,37).
Особенно просто складывать колебания с:
одинаковой начальной фазой - в этом случае.
оба вектора направлены в одну сторону и в.
сумме получится колебание с той же фазой, ампли
туда которого равна сумме амплитуд слагаемых.
А если углы о:1 и о:2 отличаются друг от друга
на r. радиан (т. е . на 180°), то в результате сло
жения получится колебание, амплитуда кото
рого равна разности амплитуд слагаемых. Мо- .
жет получиться даже, что колебания погасят
друг друга (одно будет тянуть в одну сторону"
а другое - в другую, совсем как Лебедь, Рак
и Щука из басни Крылова). Такое явление на- .
зываютвфизикеинтерференцией ко
лебаний. Из-за интерференции может получить
ся так, что точка, освещенная двумя источни
ками света, окажется неосвещенной - два све-.
та дадут в сумме темноту.
Биения
Довольно сложная картина возникает, ког-.
да складываются колебания различной часто
ты. При этом уже получаются несинусоидаль- .
вые колебания. Если частоты Ф1 и w2 складывае-.
мых колебаний близки друг к другу, то.
получающееся колебание имеет вид как бы си- ·

яусоидального колебания с частотой
амплитуда которого медленно меняется с часто
той\001-;002\• Это явление называют бие
в и ями. Может случиться, что мы не вос
принимаем слагаемых колебаний из-за того,
что их частота слишком велика, но можем вос
принять . медленное изменение амплитуды сум
мы колебаний. Например, если электрическая
лампочка присоединена R динамо-машине, даю
щей переменный ток с периодом Т = 1/50 сек"
то изменения в яркости лампочки будут не 
заметными. Если же присоединить эту лам
почку R двум динамо-машинам, периоды кото
рых мало отличаются друг от друга, то возник
нут биения и лампочка начнет мигать.
Возникают биения и на двухвинтовом ко
рабле, если винты имеют близкие, но различ
ные периоды вращения. Приходится учитывать
биения и композиторам. Колебания с периоди
чески меняющейся амплитудой применяют в
радиотехнике. Радиостанции посылают в про
странство
электромагнитные колебания с
очень большой частотой (от 150 тыс. до 15 млн.
колебаний в секунду). Амплитуда же этих
колебаний меняется примерно со звуковой
частотой (несколько сотен или тысяч колеба
ний в секунду). Такого изменения амплитуды
можно добиться, вызвав биения. Этот прием
называют частотной модуляцией.
При.J
J
ивы и от.J
J
ивы
Очень интересный пример биений дают оке
анские приливы и отливы. Из-за притяжения
Луны и Солнца уровень воды в океане все вре
мя меняется. Примерно каждые 12 час. уровень
воды достигает наивысшего значения, а через
6 час. после этого - наинизшего. Однако из-за
вращения Луны вокруг Земли период колеба
ний уровня воды, вызываемых притяжением
Солнца, не совпадает с периодом колебаний
уровня воды, вызываемых притяжением Лу
ны. Первый период равен 12 час., а второй -
12 час. 25 мин. В результате сложений этих
колебаний, имеющих близкие периоды, получа
ются биения. Самая большая и самая малая
высота приливов будет в том случае, если Солн
це, Земля и Луна расположены так, RaR по
каза но на цветной вклейке на стр. 352-353.
Самая большая высота приливов превосходит
примерно в 21/3 раза самую малую.
ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ
Спектра.J
J
ьвыА ава.J
J
иэ
Как мы узнали, из гармонических колеба
ний составляются более сложные колебания.
При этом могут получаться колебания весьма
сложного вида.
Оказалось, что любое самое сложное перио
дическое колебание можно изобразить как сум
му синусоидальных колебаний (т. е . таких, что
их графини имеют форму синусоиды). Часто
ты этих синусоидальных колебаний называют
спектром сложного колебания, а само разло
жение - спектральным анализом колебания.
Это название не случайно. Разложение луча
света в спектроскопе связано с разложением
сложного электромагнитного колебания на
простые синусоидальные составляющие.
Спектральный анализ применяют также R
звукам и другим колебаниям. С помощью спект
рального анализа удается установить особен
ности тембра голоса певца и т. д .
В технике пользуются спектральным ана
лизом колебаний для того, чтобы правильно
рассчитывать различные конструкции. Напри
мер, может случиться, что частота одной из си
нусоидальных составляющих колебаний само
лета, вызванных работой моторов, совпадет с
собственной частотой колебаний какой-нибудь
детали самолета. Тогда из-за резонанса при ра
боте моторов возникнут сильные колебания
этой детали, что может привести R аварии.
Как иаmи на откры.J
J
а теореиу
!J
о
Рис. н.
1
1
1
1
х
1
L-
-
Для разложения периодических колебаний
па синусоидальные составляющие применяют
различные машины. Есть машины, которые
35:1

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
решают и обратную задачу - позволяют из
синусоидальных составляющих складывать все
колебание. Однажды для проверки работы
такой машины ей дали разложить на синусои
дальные составляющие колебание, изобра
женное на рис. 14, а потом сложить эти состав
ляющие. Машина после суммирования начер
тила график не такой, как на рис. 14, а такой,
как на рис. 15, т. е. с добавочными хвостиками
на вертикальных отрезках. Сначала появление
этих хвостиков приписывали несовершенству
машины и думали, как ее исправить. Но потом
американский физик Дж. Гиббс доназал, что
эти хвостики должны появляться всегда, ногда
у графика колебания есть разрыв. Теорему на
звали его именем, хотя «отнрыла» ее машина.
у
Пв%
о
х
-
Рис. 15.
Почеиу не 1•a.CJoтLJI
т1•ансат"1а11тическиD каСJео1
1
ь
Когда проложили телеграфный кабель че
рез Атлантический океан, то оказалось, что по
нему нельзя передавать телеграммы. Вместо
точек и тире на другом конце кабеля принима
лись совершенно непонятные сигналы. Исследо
ванием работы кабеля занялся известный анг
лийский физик и математик Кельвин. Для этого
он сначала разложил сигналы на синусоидаль
ные составляющие и изучил, как передаются
по набелю эти составляющие. Оназалось, что
колебания различной частоты передаются по
разному. Одни из них идут быстрее, другие
медленнее, одни сильно ослабевают, а другие
меньше. Поэтому, когда эти составляющие при
ходят на другой конец кабеля, то их сумма ста
новится совсем непохожей на передававшиеся
сигналы. Кельвин нашел, от чего зависит изме-
362
пение скорости и силы синусоидальных колеба
ний, и указал, I\ак сделать кабель, чтобы коле
бания любой частоты шли по нему с одинако
вой скоростью и одинаково ослабевали. Когда
по его указаниям переделали кабель, сигналы
стали передаваться без искажений и трансат
лантическая связь наладилась.
Радиоприеииик и каиерто11
Иногда вместо разложения колебания на
синусоидальные составляющие стараются выде
лить из всего колебания одну составляющую
определенной частоты. Именно это делают, когда
настраивают радиоприемник на определенную
частоту; из сложного электромагнитного коле
бания, вызванного работой всех радиостанций,
ловят колебание, вызванное работой нужной
станции. Точно так же камертон отзывается
толыю на ту ноту, на которую он настроен.
ЗаКоJiючеиие
Поистине безгранична область применений
показательной и тригонометрической функций
в природе и технике!
Вероятно, можно было
бы заполнить весь этот
том, рассказывая о та
ких примерах. Возника
ют естественные вопро
сы: Что общего между
такими вещами, как тре
ние каната о столб, ра
диоактивный распад, ос
тывание чайника? По
чему электромагнитные
колебания так похо
жи на механические ко
лебания? Почему столь
часто встречаются в раз
личных вопросах науки
и техники именно эти
функции?
Сейчас мы не можем
ответить на эти вопро
сы. Но в конце следую
щей статьи, посвящен
ной одному из разде
лов высшей математики,
поговорим и об этом.
На одном конце кабеля пе
редаиал и си гналы.
На другом конце кабеля
получали сигналы, которые
нельзя было понять.

?
д
?• �L2
�R2
сэ
�l1
�R1
с2
R5J(t)
С1
R
+
Ku соz11еоюя пру•-•, ecmr под волесо 81
1'1'О
11обвmr попаде'I' ва11евь? Оrвет ва 8ТО'1' вопрос 11011
1
ет дать фвав
чесвав модель, состоящав тав11
1
е ва пру11
1
11
11Ы
, rруаов в т. д ., втr 11ате11атвчесвав 11одеm., воторав представ
.DЯе'I' собо1 влевтрвческуJО цепь ва ватуmея с&1
1
оввдув�, вовдеясаторов, реостатов в т. д .
о

2
t. Формула для вамевеввя массы ракеты, выведенная Цвол·
вовсквм.
2. КО.1
1
вчество радиоактивного вещества аа время t0 уменьmается
вдвое.
3. Высота прилива ааввсвт от вааВ.1
1
воrо располоJВевия Соп:вца,
Зем.1
1В
в Луны.
э

ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ
Ннднйскнlt иатеиатнк Сриниваза Ра ианужаи
В декабре 1887 г., на юге Индии,
в бедной семье родился мальчик -
Сриииваза Рамаиужан. В шкоJJу он
пошеJJ вместе со свои!tИ сверстни
ками, но постепенно всех их обогнаn
в успешном изучении математики,
проявJJяя при этом поразитеJJьную
самобытность и оригинальность мыш
JJення. К концу седьмого года обуче
ния в шкоJJе он уже приобреJJ хорошие
знания по аJJгебре и тригонометрии
и приступиJJ к изучению высшей мате
матики. В том сеJJении, где учиJJся
Раманужан, нашJJась единственн
.
ая
книга по высшей математике, содер
жащая 6165 теорем и формуJJ, боJJь
шая часть которых дана в кинге без
доr.�:t11""еJ1ьств и выводов. Раманужану
11р11ходиJ1ось самому изобретать мето
ды доказатеJJьств и способы решения
задач, нзJJоженных в кинге и возни
кавших в его гоJJове. Тетради, в кото
рые юноша Раманужан заносиJJ свои
МЫСJIИ, ВЫВОДЫ И ВЫЧИСJlеНИЯ, бЫJIИ
впосJ1едств1ш даже изданы.
В 16 JJeт Раманужан окончнJJ
школу и бЫJI зачисJJеН в KOJIJleдж при
Мадрасском университете, но про
учиJJся там тоJJько год.
Поддерживая свое существование
маJJоинтересной сJJучайной работой,
Раманужан все свободное время отда
ваn математическому творчеству, за
ПОJJНЯЯ тетрадку за тетрадкой свонм11
виртуозными ВЫЧНСJJениямн и изы
сканиями.
Так прошJJо 10 JJeт. Однажды
по совету друзей Раманужан пocJJaJJ
неско.,ько кратких сообщений о своих
резуJ1ьт11т11х известному ангJJийскому
математику Г. Харди. Ученый высоко
оцениJJ незаурядное дарование Рама
иужана, добИJJСЯ его зачисJJеиия в
Курьезные равенства
Проверьте справедливость курь
езных равенств:
121
22· 22
333.333
12321 =
1+2 +3+2 + 1;
4444.4444
1234321=1+2 +3+4+3+2 + 1
Исследуйте самостоятельно, как да
леко распространяется эта JJегко на
бJJюдаемая закономерность.
•23д.э.т.2
Кембриджский )·ниверсит�т (1914) и
сам руководил его занятиями.
Весной 1917 г. Раманужан aaбo
JJeJJ, и боJJезнь п�решJJа в открытую
форму туберкуJJеза, но он не переста
ваJJ работать доже в боJJьницах и сана
ториях.
В ноябре 1918 г. Раманужан бьш
избран чJJеном Лондонского короJJев
ского общества и профессором Кем
бриджского университета.
В январе 1919 г. Раманужаи вы
ехаJJ на родину, но приехаJJ в Индию
в ПJIOXOM состоянии и 26 апреJJЯ
1920 г. умер, на 33-м году ж11зни.
8ЗГJIЯНИТе - ВОТ ОДНО НЗ МНОГИХ
тождеств, открытых шкоJJьником Ра·
манужаном:
1
1
n+1+n+2+
1
п
+27i"-2n+1=
1
1
1
1
=
2>-2+43-4+63-6+83-8+
+···+(2n)'-2п'
Любопытные пряио
уго.1
1
ьвые треуго.1
1
ы1нкв
Интересно, что существуют тоJJь
ко два прямоуГОJIЬНЫХ треуГОJIЬНИКа
с цеJJОЧИСJlенными сторонами, ПJIO·
щадь каждого ив которых чисJJенно
равна периметру. Вот один: а = 6,
Ь=8, с=10.Авторойнайдите!
Ответ на стр. 373.
Интересное свойство
чис.1
1
а 121
Запись: 121 имеет смысл чисJJа
не тоJJько в десятичной системе, но
и в JJюбой другой, основание которой
В>2. Это чнсJJо интересно тем, что
явJJяетоя полным квадратом как при
где n - J!Юбое ·�eJJOC ПОJIОЖИТеJJьное
чисJJо. Три точки между знаками « + »
означают, что промежуточные слагае
мые подразумев11ютс11 1сак очевидные.
EcJJи принять, например, >1=5,
то первое слагаемое JJевой суммы
будет -
-
1-= -
1
- предпосJJеднее cJJa-
n+16'
гаемое
ПОСJ1е,1нее сла-
rоемое
п
5
-
2n-1-1= -11 .Первое
слагаемое правой суммы -
-
1-
2J-2
1
посJJеднее
10, _10 и тогда
8
1
+ 1-1-1
1
1
5
т -1- · т+т+10-11=
1
1
1
=23-2+43-4-j-6'-6+
1
+83-8+
103-1о
Произвед11те вычисления - и вы
убед11тссь в правиJJьности тождества
Раманужона ДJJЯ n=5. Но доказать,
что зто равенство пр11виJ1ьно ДJJЯ
J!Юбого цеJJОГО ПОJIОЖИтельного чис
Jlа - далеко не JJегкая задача. Попы
тайтесь, кто хочет.
основании 10 (121 = 11'), так и при
JJюбом другом основании В>2.
Докажите!
Ре..шеиие на
стр. 373.
Восста11ов.1
1
е11не чнс.JJа
Нопншнте какое хотите дробное
ИJJИ цeJJoe чисJJо, кроме О и 1. Отни
мите его от 1. Напишите чисJJо, об
ратное поJJучившейся разности, и по
вторите с новым резуJJьтатом весь
цикJJ указанных действий. ПocJJe
третьего раза 11епременио поJJучится
то ЧИСJIО, с которого иачииаJJи.
-
Неужми так будет с J1юбы11
ЧИCJIOM'l
-
Да, и это JJегко доказать (см.
стр. 373).
353

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
Задача Кеп-1
1
ера
Если бы бочни умели говорить, то, несо
мненно, многие из них с удовольствием рас
сназали бы поучительную историю о велиних
заслугах бочен в создании . . .
высшей матема
тики! История эта танова.
Рис. t.
В ноябре 1613 г. норолевсний математик
и астролог австрийсного двора И. Кеплер
праздновал свадьбу. Готовясь н ней, он при
обрел неснолwо бочен виноградного вина.
При понупне 1\еплер был поражен тем, что про
давец определял вместимость бочни, производя
одно-единственное действие - измеряя рас
стояние от наливного отверстия до самой даль
ней от него точ1ш днища (рис. 1). Ведь таное
намерение совсем не учитывало форму бочниl
Кеплер сразу увидел, что перед ним интерес
нейшая математичесная задача -по нескольким
измерениям вычислить вместимость бочни.
Размышляя над этой задачей, он нашел фор
мулы не толwо ДJIЯ объема бочен, но и для
объема самых различных тел: лимона, яб
лона,
айвы
и даже
турецной
чалмы.
Для каждого из тел 1\еплеру приходилось
создавать новые, зачастую очен.ь хитроум
ные методы.
В наши дни вычислять объемы различных
тел (значительно более сложных, чем у 1\епле
ра) необходимо при решении многих техни
чесних задач: при нахождении объема норпуса
норабля, объема газгольдера, объема водохра
нилища и д р. И решать таюrе задачи прихо-
354
дится почти каждому инженеру, каждому тех
нику. Простые и общие методы решения по
добных задач даются высшей математиной.
Математика 38: чаnиыи CTOdOM
Чтобы получить представление об этих общих
методах, попробуем найти объем поданного к сто
лу лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в шноле
(шар, цилиндр, нонус и т. д.), лимон непохож.
Однано хозяйна тут же приходит нам на помощь:
она разрезает лимон на тонние ломтини. Ровно
обрезав край каждого ломтина, можно превра
тить его в низенький цилиндр (рис. 2), объем
ноторого легно высчитать. Принлэч:�.!вая друг
к другу эти цилиндры, мы получим ступенчатое
тело (рис. 3). Его объем равен сумме объемов
цилиндров. Если ломтини очень тонни, то объем
ступенчатого тела мало отличается от объема
лимона, и чем тоньше будут ломтини, тем это
отличие будет меньше.
ОС5ъеи те-1
1
0,
Рис. 2.
в
А
D
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5. ·
Прием, примененный вами для вычисления
объема лимона, пригоден для вычисления объе
ма любого тела вращения. Пусть фигура ABCD
(рис. 4) вращается вонруг стороны АВ. Разре
жем получающееся тело вращения (рис. 5)
но. тонние ломтиюi и наждый ломтин заменим
цилиндром. Тогда легно сможем найти объем

получающегося ступенчатого тела (рис. 6).
Для этого надо знать, как меняется площадь
сечения с высотой (рис. 7). Пусть площадь сече-
ния, проведенного на высоте h, равна S(h) .
Предположим, кроме того, что тело разрезано
на п ломтиков сечениями, проведенными на вы-
сотах h0, h1, • ••, hn над плоскостью нижнего
основания (плоскость нижнего основания со
впадает с сечением на высоте h0, а плоскость
верхнего - с сечением на высоте hn, т. е . h0=0,
hп=Н (см. рис. 6). Площадь сечения на высоте
hk равна S(h k). Поэтому объем цилиндра, .J(ото-
рым мы заменяем k-й ломтик (рис. 8), будет
равен S(hk)(hk - hk_1) (так как его высота рав-
на hk - hk_1). Складывая. объемы цилиндров,
получим объем всего ступенчатого тела:
Vступ. тела = S(h1)(h1 -ho) + S(h2)(h2 - h1) +
+••
• + S (hn)(hn - hn-1)•
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
Рио. 8.
..-�
��
��
�
н��
��
�-
--;�
Чем тоньше будут ломтики, тем ближе объем Рио. 9•
ступенчатого тела к объему тела вращения.
Рве. е.
Рве. 7.
Таким же образом можно найти объем лю
бого тела, если известно, как меняется площадь
тела с высотой сечения. Например, для того
чтобы вычислить объем проектируемого ко-·
рабля, достаточно иметь чертежи (выполненные
в определенном масштабе) поперечных разрезоn
корабля. По этим чертежам надо найти пло
щадь каждого разреза (как вычислять площади
сложных фигур, мы расскажем ниже), после
чего указанная выше формула даст приблизи
тельное :шачение объема корабля. Разумеется,
таким же приемом можно находить объемы газ
гольдеров, водохранилищ и других тел.
Проиер реки
При проектировании гидроэлектростанций
надо знать расход воды в реке, т. е. количество
воды, протекающей в данном месте за 1 сек.
Ясно, что расход воды в реке равен произве
дению площади поперечного сечения реки на
скорость течения.. Скорость течения определить
довольно просто, а вот площадь поперечного
сечения найти гораздо сложнее. Однако и здесь
ва помощь нам приходит разрезание на «лом
тики». Каждый <<Ломrию) можно приближенно
заменить прямоугольником. Складывая Затем
площади этих прямоугольников, мы и найдем
приближенное значение площади сечения. Чем
тоньше будут «ломтикю), тем более точное зна
чение площади мы получим. Измерим глубину
реки в точках, находящихся на расстоянии
х0,:r1, •••,Хпотберега(х0=О;хп =Н -ширина
реки). Пусть на расстоянии xk от берега глу
бина равна /(xk) (рис. 9). Тогда площадь попе
речного сечения приблизительно равна
Sпопер. сеч.::
::
::
:;
f(Х1)(х1 - Хо) + f(Х2) (х� - Х1) +
+ · • · +f(хп)(Хn - Xn-1).
Вообще если геометрическая фигура имеет
вид, изображенный на рис. 10 (такая фигура
8&Ыi

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
называется криволинейной трапецией), и если
высота в точке с абсциссой х равна /(х), то для
вычисления площади фигуры мы можем поль
зоваться той же формулой. Чем гуще распо
ложены точки х0, х1,.", хп на отрезке АВ,
тем более точное значение для площади фигуры
получим по этой формуле.
у
А
в
z
о
Х11
Рис. 10.
В автоиобн"'lе
Для измерения пути, пройденного автомо. 
билем, на нем устанавливают специальный
счетчик. Но даже если этот счетчик испорчен,
можно подсчитать пройденный автомобилем
путь по спидометру (прибору, показывающему
скорость автомобиля). Для этого надо записать
по1\азания спидометра в моменты времени t0=0,
t" t., ... , tn= Т . Если бы движение автомобиля
от мuмеп:-а tk-l до момента tk совершалось рав
номерно с той скоростью v (tk), которую он
в действительности имел в конце этого про
�ежутка, т. е. в момент tk, то за промежуток
времени от tk-t до tk он проехал бы расстояние
v(tk)(tk-tk_1). Поэтому путь, пройденный за все
время движения от О до Т , был бы равен:
v(t1)(t1-to)+v(tz)(tz-t1)+
+• • • +V(tп)(tп..
..
..
.,
tп-1)•
Этой формулой можно пользоваться для
приближенного подсчета пути, пройденного
автомобилем. Но автомобиль не всегда движется
равномерно, и даже за маленький промежуток
времени скорость его успевает несколько раз
измениться. Однако чем чаще будем записывать
показания спидометра, т. е . чем меньше будут
промежутки времени между отдельными изме
рениями, тем точнее написанная формула будет
давать пройденный автомобилем путь.
Ивтеrр&.d
Мы разобрали ряд задач из различных об
ластей физики, техники, геометрии. Несмотря
на внешнее различие этих задач, у них .было
много общего. Каждый раз для приближенного
вычисления не.которой величины (объема, пло
щади, пути и т. д .) мы получали сумму вида:
f(х1)(х1 - Хо)+f(х2)(х2-Х1)+
+' · ' +f(хп)(хп-Хп-1)·
Здесь f(x) - некоторая функция, заданная
на отрезке от а до Ь, а х0=а, х1"
", хп_1, Хп=Ь -
точки на этом отрезке. Например, при вычисле
нии пути функция /(х) была скоростью в момент
времени х.{толь.ко время мы раньше обозначали
буквой t, а не х, что, конечно, несущественно),
а было paвiio нулю, а Ь равнялось времени Т
движения автомобиля.
Суммы такого вида встречаются в матема
тике и ее приложениях очень часто. Их называ
ют интеграль н ы ми
с уммами.
Такие суммы дают значение искомой величины
тоJ1ько приближенно. Но если мы будем брать
точки х0, Хр.", хп все гуще и гуще на отрезке
от а до Ь, то интегральные суммы будут прибли
жаться к некоторому числу, а именно к точному
значению искомой величины. Это число назы
ваетсяинтеграломотфункцииf(х)наот-
ь
резке от а до Ь и обозначается через S f (х)dx.
Таким образом,
ь
Sf(x)dx =
а
а
= lim(/(х1)(х1-х0)+···+f(хп)(хп-хп_1)],
где предел lim берется при условии, что число
промежутков неограниченно увеличивается,
а их длины стремятся к нулю.
ь
В самом обозначении S f (х) dx сохраняются
а
воспоминания об интегральной сумме, из ко
торой получает
.
ся интеграл. В Италии букву S
часто пишут в виде S. Поэтому сам знак интег
рала есть просто первая буква латинского слова
Summa (сумма). Вслед за знаком S указывается,
что суммировались выражения f (xk) (xk - xk_1).
Только вместо разности xk - xk -l пишут dx, где
d - первая буква латинского слова differenLia
(разю:>еть). Понятие интеграла является одним
из основных в математике. Пользуясь этим по
нятием, можно записать многие полученные

ранее формулы гораздо короче и не прибли
женно , а точно . Например, формула объема лю
бого тел а принимает вид :
н
v= s s(h)dh,
(1)
о
где Н - высота этого тела, а S(h) - площадь
сечения , проведенного параллел ьно основанию
тела на высоте h от основания (см. рис. 7).
Формулу площади фигуры, изображенной
на рис . 10, можно записать в виде:
ь
S= Jf(x)dx,
(2)
а
где /(х) - высота кривой CD в точке с абс цис
сой х.
Путь, пройде нный за промежуток времени
от О до Т, выражается через скорость v(t) по
формуле :
т
s= s v(t)dt.
о
Геоиетрическое вычисоJiевие
ивтегра.Jiов
(3)
Формулы (1) и (2) можно использовать для
нахождения площаде й и объе мов различных
тел . Но так как площади и объемы простых
тел мы уже знаем, то , наоборот , с помощью этих
формул можно вычислить значения не1юторых
простых интегралов . (Дальше , на ст р. 368, мы
укажем , как можно сосчит ать эти интегралы
непосредственным вычислением, не прибегая
к геометрии .)
у
I
Рис. 11.
Самой простой геометрцче ской формулой
вычисления площади .является формула пло
щади прямоугольника: .S=.hb . Прям(!угол ьник
можно рассматривать как ·
:
криволинейную тра
пецию , высота :которой во всех точках одина:кова
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
и равна h (рис . 11), так что его площадь.может
ь
быть записана в виде интеграла: S = J hdx, r�:>
о
h - постоянная величина . Итак, мы до1\азали
формулу:
ь
J hdx
=
hb
(4)
о
(h - постоянная) . В частности, при h= 1
получаем:
ь
Sdx=ь.
(5)
о
Вспомним тепе рь формулу площади прямо-
1
угол ьного треугольника: S = yhb, где h и Ь -
катеты . Из рис . 12 видно , что треугольник мо жно
рассматривать как криволинейную трапецию,
у
А
Рис. t2.
в ысота у кото рой в точке с абсциссой х равна
hx
Ь (это вытекает из подо бия треугольников
ОАВ и OCD). Поэтому площадь треугольника
м ожет быть записана в виде интеграла:
ь
S=S�хdx.
u
Таким образом, мы доказали , что
ь
S�х dx= +hЬ.
о
Есл и треугольник ОАВ равнобедренный,
т. е. если h=Ь
, то получаем формулу;
ь
sxdx= ;Ь2•
о
(6)
Наконец, рассмотрим еще один приме р.
Возьмем правильную четырехугол ьную пира
миду с ребром в основании , равным Ь, и высо
той, равной этому ребру (рис . 13). Поставим
31'»7

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
!IИ!)амиду на ве ршину (так , чтобы ось ее был а
пертикал ьной) и проведем плоскость парал�
лельно основанию пирамиды на расстоянии х
от вершины. Тогда в сечении получится квадра'L'
Рио. t3.
со стороной, т оже равной х, а площадь его S (х)
будет равна х
2
•
Поэтому по формуле (1) объем
V пирамиды выразится интегралом:
ь
V=Sx
2
dx.
о
Сравнивая эту формулу с известной из
школьного курса формул ой объема пирамиды,
пол учим:
или :
ь
sx
2
dx= +ь2.ь,
о
ь
J x2dx= +ь3•
(7)
о
Найде нные в ыше формулы (5), (6), (7), оче
видно , можно объединить в одну общую фор
мулу:
при n=O
,
1, 2.
ь
S ьп+1
xndx= -
п+1
о
(8)
Эта формула, как доказывается в .11t.атемати
ке , справедлива не тол ько при n= О
,
1,2,нои
при любых положител ьных значениях показа
теля п , например:
r�;- sь �
2�
�rхc.'D=0хdx=3ь•
ь
S bll
xiodx= 11;
о
868
Интегрирование ииогочо1
1
еиов
Тепе рь уже нетрудно научиться вычислять
интеграл от любого многочлена. Сделаем пред
варител ьно два простых , но очень важных за
мечания .
Первое замечани.е.Пустьдватела
М1 и М2 движутся в одном и том же на
правлении , причем так , что ..скорость те
ла М2 в каждый момент времени в k раз
больше ско рости тела М1• Тогда ясно , что и
путь, пройденный телом М2, будет в k раз
больше пути , пройденного за то же время телом
М1• З апишем этот очевидный факт формул ой.
Обозначим скорость тел а М1 в момент t через
v(t ), тогда скорость тела М2 в тот же момент
равна kv(t). Пути 81 и 82, пройденные телами
М1 и М2 за промежуток времени от t=O до
t= Т, равны сл едующим интегралам :
т
т
81=Sv(t)dt,
о
82 = f kv(t)dt.
Но так как путь, пройденный вторым телом,
в k раз больше пути , пройденного первым телом
(т. е. 82= k81), то
т
т
Skv(t)dt = k J v(t)dt.
о
о
Иначе го воря, число вой (пост оянный) м ножи•
тель можно выносить иа-под а нака и нтеграла.
Второе замечание. ПустьтелоМ1двиа
жется в некотором направлении, а по его поверх
ности движется в том же направлении тело М2•
Например, баржа плывет по реке , а по ее па-

лубе идет человек. Обозначим скорость дви
жения тела М1 через v1(t), а скорость пере
мещения тела М2 по поверхности тела М1 -
че рез v2 (t). Тогда путь, пройденный телом М1
за время от t=O до t= Т, равен
т
s V1 (t)dt,
о
а путь, пройде нный тел ом М2 по поверхности
тела М1 , равен
т
,\ V2 (t)dt.
о
Общи й же путь , пройде нный в пространстве
телом М2 (как за счет собственного движения,
так и за счет движения тел а М1, которое его
ве зет) , равен
т
т
J V1(t)dt + .\ V2(t)dt
.
о
о
Но ясно , что скорость пе ремещения тела М2
в пространстве равна v1 (t)+ v 2 (t), та�\ что
путь, пройденный этим телом, имеет значение:
т
s(v1(t)+ V2 (t)] dt.
о
Приравнивая оба найденных значен ия пути,
получим :
т
т
т
s (v1 (t)+ V2 (t)] dt= .\ V1 (t)dt+ .\ V2 (t)dt,
о
о
о
т. е. интеграл от суммы двух (или несколь
ких) функций раве·н сумме интеграл ов от сла
гаемых.
Переходим к интегрированию многочленов .
Пусть, например, нужно вычислить интеграл
ь
S(х
2
-Зх + 5)dx.
о
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
Так как подынтегральное выражение есть
сумма х2 + (- Зх) + 5, то можно наш интеграл
разбить на три :
ь
ь
ь
Sx
2
dx+ S(-Зх)dх+ S5dx.
о
о
о
Во втором и третьем интегралах можно вынести
за зн а�\ интеграла числовой множитель, после
чего лег1ю получим ответ :
ь
ь
ь
S(х
2-Зх+5)dx= .\x
2
dx-3Sxdx+
о
о
о
ь
+5sdx= �з -3�2+5Ь.
о
Иначе говоря, интегрировать многочлены
можно почленно. Вообще, если
f(х) = а0хп + а1хп-
l
+···+ап_1х+ап-
некоторый многочлен п-й степени , то его ин
те грал находится по ф()рмуле :
ь
S ьпн
ьп
f(х)dx=аоп+1+асп-+
о
llрви ев евие нвтегрL1
1
ов
Мы научил ись вычислять интегралы от мно
гочлено в. Этого уже достаточно , чтобы и меть
возможность решать многие математические
и физические задачи .
Покажем для начала, нак просто получа
ются с помощью интегралов некоторые фо рму
лы , изучаемые в школе .
Выв�де м формулу пути равноуско ренного
движения . Если начал ьн ая ско рость тел а в 11ю
мент t=O равна i•0, а уско рение движения рав
но а, то в момент времени t ско рость тел а со
ставит v (t)= v0 + at
.
Поэтому по формуле (3)
859

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
путь, пройде нный телом с начала движения
до момента Т, выражается формулой:
т
т
s=Sv(t)dt=S(v0+at)dt=v0T+a;z .
о
о
Выведем теперь некото рые геометрические
формулы . Сначала н айдем, чему равен объем
шара радиуса R. :Конечно , н ам достаточно найти
объе м полушара , а потом его удвоить . Рассе
чем полушар плоскостью , параллел ьной его
основанию и отстоящей на - х от основания
(рис . 14). В сечении получ ится :круг радиуса
АВ = VR2 - х2 (это получается, если приме
нить теорему Пифаго ра :к треугольнику ОАВ).
Поэтому площадь получившегося сечения равна :
1t(VR2-х2)2=1tR2-1tX2.
Но тогда объе м полушара (высота его равна R)
выражается формулой:
R
Vпол у
шара= s(1tR2-1tX2)dx=1tR2R-1t �з =
о
2
=--Rз
3".
Следовательно , объе м всего шара равен
_!_ 1tRз
3
•
Но с помощью интег.рал ьного исчисления
можно найти и такие площади и объе мы , :ко
то рые не изучаются в школе . Найдем, напри
ме р, площадь параболического сегмента АОВА,
у :которого хорда АВ равна Ь, а стрелка ОС
равна h (рис . 15) . Уравнение параболы имеет
вид у=ах2• В точке с абсциссой х = + орди
ната AD должна равняться длине стрелки h.
а�
Q
Поэтому h = -
4
-.Ноэто значит, чтоа= Ь2 .
Итак , наш параболический сегмент ограни
чен снизу параболой, у :которой в точке с аб-
860
у
Рис. 15.
r
u
4hx2
сциссои х ордината у = �· Мы легко можем
тепе рь найти площадь :криволинейного тре
угольника OAD .
По формуле (2) она равна:
ь
2
f 4hx2
4h(Ь)з
hb
S=,
--
-"Ь2
dx=
зьz 2
=
-6- •
о
Площадь же прямоугольника ABED равна bh.
Но площадь параболического сегмента по
лучается, если из площади прямоугольника
вычесть удвоенную площадь треугольника
2Ьh
OAD, т. е. она равна з·
Рис. 16.
Круговой сегмент , имеющий небольшой цен
тральный угол , можно приближенно заме
нить параболическим сегментом с той же хор
дой и той же стрелкой (рис . 16) . Поэтому для
площади :кругового сегмента имеет место при
ближенная формула:
2
sкру
г. сеrм.�3bh.
Например, если центральный угол равен
60° , то приближенная формула дает результат

0, 0893. .. R2
, а точна я 0,0906". R2• Таким об
разом даже для такого сравнительно большого
цент рального угла , как 60°, приведенная фор
мула дает точность до 1,5 % .
Чу�есвав форну.i
i
a
Тот же прием, который мы применили для
приближенного вычисления площади круго
вого сегмента , можно , конечно , применить и
дл я случая произвольной криволинейно й тра
пеции , ограниченной сверху кривой CD с урав
нением у=/(х) (рис . 17). Обозначим че рез М
,
,
1
1
1
А
'
'
\
Рис. 17.
r
се редину отрезка АВ и восстави м в точках А ,
Ми В ординаты AD , MN, ВС кривой CD . Дли
ны этп х ординат обо значим чере з у0, у1, у2•
Проведем через точки С, N и D дугу параболы,
имеющей вертикальную ось (такую дугу' можно
провести всегда , и притом только одну ; иног
да она превращается в отрезок прямой) .
Довольно простые подсчеты , использующие
фо.рмулы (5), (6), (7), показывают , что площадь,
лежащая под это й дугой парабо лы, равна
Ь-а
-
6
-(Уо + 4у1 + У2),
гдеЬиа - абсциссыточек. В иА.Безболь
шой ошибки можно принять, что этому же рав
на и площадь криволинейной трапеции ABCD ,
т. е. что:
S
Ь-
а
4
ABCD �-
6
-(Уо+ Yt+У2)•
Поскол ьку площадь криволине йной тра
ь
пеции выражается интегралом J f (х) dx,
то
а
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
найденная формула дает приближенное з на
чение этого интеграла . Иными словами ,
ь
Sf(х)dx�Ь-;а(Уо +4у1+ У2),
а
где у0, у1, у2 - з начения функции /(х) в точ
а+ь
ках с абсциссами а , -2- и Ь.
Объе м любого тела можно приближенно
считать по такой же формуле :
н
i·= s S(x)dx�: (80 + 481 +82),
о
где Н - высота тела, 80 - площадь нижнего
сечения , 81 - площадь средне го сечения , S2-
площадь верхнего сечения. R этой формуле
прибегают для приближенного вычисления
объема де ре ва , стога, бочки и других фигур
более или менее сложной формы . З амечательно,
что для всех фигур , изучаемых в школе (призмы,
цилиндра , пирамиды , конуса, усеченной пира
миды , усеченного конуса, шара , шарового
слоя, шарового сегмента) , эта формула дает
не приближенный, а совершенно точный ре
зультат . Проверьте это утверждение .
Как иаиерить скорость по.�
�
ета пу.�
�
и
Мы часто говорили о скорости движения (ва�
пример, автомобиля). Мы имели фо рмулу;
т
s= s. v(t)dt,
о
в которой v(t) означает скорость движения тела
вмомент времени t.Такуюскорость
в·физикеназываютмгновенной ско
р о с т ь ю. Каким же образом можно измерить
мгновенную скорость движения? Ес ли речь
идет о скорости движения автомобиля, в кабине
которого мы едем, то все обстоит очень прос
то - надо лишь посмотреть на стрелку спи
дометра , и мы буде м знать скорость движения .
Но как узнать скорость движения автомобиля,
проезжающего мимо нас по улице , или скорость
полета пули? Мы знаем, что существуют при
боры дл я измерения расстояний (лине йки;
рулетки и др .) . Приложим такой прибор
к измеряемому расстоянию , и ответ сразу ви
де н . Есть прибо ры и для измерения времени
(часы , хрон� метры) . Много есть и других по
лезных приборов . Но «ско ростеме ров» - при
боров , которые можно было бы «приложить»·
381

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
:к движущемуся мимо на� те·лу, . что бы непосред
ственно по его по:на з анию узнать с:но рость дви
же ния тела, нет . Да и :на:н «приложитм прибор
:и
мчащемуся
мимо
автомобилю
или
летящей пуле?
До не:ноторой степени нам могут помочь
приборы , измеряющие расстояние и время .
Эт� приборы позволяют измерить путь, :ното
рыи пролетела пул я, и время , :кото рое она на это
затратила. Разделив путь на время , мы и уз
наем с:но рость полета пули. Одна:но та:ним обра
зом мы получаемлишьсреднюю с:ио
р о с т ь полета пули, :которая мало о чем
говорит : ведь сопротивление воздуха посте
пе нно замедляло движение пули, и потому
в :конце пути она летела с меньше й ско ростью ,
чем в его начале . Поэтому дл я определения
ско рости пули в некоторой точке ее пути посту
пают иначе . В э той точне ставят лист тонкого
материала, соединенный с часами таким об
разом , что они отмечают момент в реме ни t1,
ногда пуля пробивает этот лист . На небольшом
расстоянии от не го ставят второй лист , тю<же
соединенный с часами , так что они отмечают
момент t2 , когда пуля его пробивает . Пусть
первый лист находится на расстоянии 8 от ли-
v
1
нии огня, а
.
второи - на расстоянии 82 (рис . 18).
Тогда расстояние 82 - 81 пуля пролетает за
время t2 - t1• З начит , средняя скорость по
лета. пу)Iи за это время равна:
s2-s1
Vcp =
.
•
t2-t1
Но и это изме рение не дает точного значения
мгновенной скорости в момент t1• Ведь воздух
382
тормозил пулю , :когда она летела между лис
тами , и :но второму листу пуля подлетела с не
сколько меньшей скоростью , че м :и пе рвому .
Чтобы уменьшить вдияние сопротивдения воз
духа на скорость пули, надо ставить листы
ближе друг к другу. И чем ближе будет второй
лист к первому , тем точнее измерим мы мгно
венную ско рость полета пули в момент t1 (мы
считаем, конечно , что у нас совершенно точные
ч асы и бе зукоризненные линейки) . При этом
чем ближе друг к другу расположены листы ,
тем за меньший проме жуто1< времени t2 - t1
проле тает пуля расстояние между ними . Мы
можем сказать , таним образом , что мгновенная
скорость полета пули равна :
где предел берется при условии , что значение
82 приближается I< значению 81 (или , что то же
самое, при условии, что значение t2 прибли
жается :и значению t1).
Скоро сть ро,двоактввиоrо
распада
Различные радиоактивные вещества распа
даются не одинаково быстро .
В каком же смысле можно говорить о том ,
что распад происходит быст ро или медленно?
Как можно изме рить скорость распада куска
радиоантивного вещества в данный момент
времени:? Легко изме рить среднюю скорость
распада за 1 год : надо измерить :количество
вещества, распавшегося за 1 год , и разде лить
его на число секунд в году . Это и даст среднюю
скорость распада , выраженную в г/сек . Однако
для нахождения мгновенной скорости рас
пада этот расчет мало пригоде н - ведь в тече
ние года количество радиоактивного вещест ва
постепенно уменьшалось, по этому оно распа
далось все медленнее и медленнее . Чтобы по
точнее определить скорость распада в данный
момент времени , надо измерить среднюю ско
рость распада не за год , а за месяц или еще
лучше за сутки , час , минуту и т. д. Каждый раз
надо брать количество вещества , распавше гося
за это время, и делить на число секунд в выб
ранном проме жутке времени . Так , уменьшая
промежутки времени между двумя измерени
ями массы вещества, мы будем приближаться
:к на:ному-то числу . Это число и даст скорость
распада в данный момент времени.

Формулами это можно запи-сать следующим
образом . Предполо жим , что в момент времени
t1 масса еще не распавшегося радиоактивного
вещества в пробирке была равна т1 , а через
н екоторое время , в момент t2 , масса его умень
шилас ь (так как часть вещества превратилась
в продукт распада) и стала равной т2• Таким
образом, за время t2 - t1 м асса имевшегося
в пробирке радиоактивного вещества измени
лась на т2 - т1 (это число отрицательное -
ведь масса нераспавшегося радиоактивного
вещества с течением времени уменьшается).
Отношение
т2-т1
t2- t1
представляет собой среднюю скор ость изме
нения массы радиоактивного вещества в про
бирке за рассматриваемый промежуток вре
мени, т. е . среднюю скорость распада . Чем
меньше промежуток времени t2 - t1, тем точ
нее это отношение выражает мгновенную ско
рость распада . Мы можем сказать, таким обра
зом, что мгновенная
скорость
распада u(t1)вмоментt1равна:
u(t1) = lim �2-т,
,
2- t1
где предел бе рется при условии , что значение
t2 приближается к t1•
Совершенно аналогично можно определит ь
мгновенную скорость химической реакции .
Уиеете "'Jв вы проводить
касат е.•ьи}·ю?
Услышав такой вопрос , вы, вероятно , вспом
ните пост роение касательно й к окружности
и дадите утве рдительный ответ. Но речь идет
о касательной к любой кривой, а не только
к окружности . А в школьных учебниках не
только ничего не сказано о проведении каса
тельной к любой кривой, но даже не опреде
ляется , что это такое. Нельзя, разумеется, опре
де лять касательную как прямую , имеющую
<:кривой лишь одну общую точку: ось параболы
пе ресекается с н ей только в одной точке
(рис . 19), но вряд ли кому-нибудь придет в голо
ву говори ть, что эта ось касается параболы.
Что же таное касательная .к кривой и как
ее провести? Постараемся ответить на эти во
просы . Проведем че ре з точку М, лежащую
на кривой, секущую МN (рис . 20). Если теперь
точку N приближать по кривой .к точке М,
'lO секущая будет поворачиваться вокруг точки
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
о
Рве. 19.
Рве. 21.
Рве. 20.
М, все более приближаясь .к некоторой прямой.
Эта прямая и есть касательная к кривой в точке
М. Для окружности это определение касатель
ной совпадает с обычным (рис . 21): по мefle при
ближенип точки N к точке М угол ОМN
приближается к прямому углу , и потому
касательная к окружности пе рпендикулярна
радиусу.
Итак , касате.льная - это прямая , к которой
приб.л ижается секущ а!!- МN, когда точка N
приб.л ижается (по · рассматриваемой кривой)
к точке М.
Теперь нетрудно будет описать положение
кас ательной с помощью некоторой формулы.
Для этого будем считать, что кривая АВ яв
ляется графиком некоторой функции y=f(x).
Обозначим ординаты точек М и N через у1 и у2,
а их абсциссы - че рез х1 и х2• Рассматривап
прямоугольный треугольник MNP с Гиiюте
нузой MN и катетами , параллельными осям
коорди
.
нат (рис. 22), мы можем легко опреде
лить угол ер, под которым секущая наклонена
косих;
PN
tgер= МР •
Но из рис. 22ясно, что PN=у2-у1,МР=
= х2 - х1• Таким образом,�
888

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
.:
:
.
:r
Рис. 22.
Если тепе рь точка N начнет по кривой АВ при
ближаться к точке М, то секущая МN будет ,
поворачиваясь , приближатьс я к положению
касательной, так что в пределе мы п олучим
тангенс угла , под которым касательная накло
нена к оси х:
tgа=limУ2-У1
•
Xz-Xt
Предел берется при условии , что точка N при
ближается к М, т. е. что значение х2 прибли
жается к х1 •
Проиаводвая
Мы рассмотрели несколько задач из физики
и геометрии . Несмотря на внешнее различие
этих задач , у них было много общего . В пе рвых
двух задачах (скорость движения , скорость
распада) это общее заключалось в том , что мы
вобоихслучаяхимелискор·ость изме- ·
пе ния некоторой величины:
ск орость движения есть скорость изменения
пути с течением времени , скорость распада есть
скорость изменения массы радиоактивного
вещества. Но и в третьем примере мы имели
некоторую скорость изменения : тангенс угла
наклона касательной есть скорость изменения
ординаты, когда мы пере мещаемся по оси х.
Действительно ,
отношение У2 - Yi представ
х2-х1
ляет собой среднюю скорость возрастания орди
наты при пе ремещении от точки х1 к точке х2,
а предельное значение этого отношения (равное
364
tga) дает мгновенну ю скорость изменения
ординаты .
Итак , во все х рассмо тренных задачах мы
имели мгновенную скорость изменения неко
торой ·величины ; этим и объясняется , что при
определении этих на пе рвый взгляд очень непо
хожих величин получились очень похожие
формулы. Чисто математически скорость изме
нения можно определить следующим образом .
Пусть мы имеем функцию у=/(х). Обозначим
те значения , которые эта функция принимает
в двух точках х1 и х2, через у1 и у2• Тогда
разность у2 -у1 показывает , на сколько и зме
нилось значение рассматриваемой функции
при пе реходе от значения х1 к значению х2,
а отношение У2 - Yi п редст авляет собой сред-
х2-х1
нюю скорость изменения функции у= /(х) на
проме жутке от х1 до х2• Если тепе рь уменьшать
этот промежуток , приближая значение х2 к х1'
то мыполучимвпределемгновенную
СI<орость изменения рассмат
риваемойфункции в точне х1;
она равна
lim-Y2-У1 ,
Х2-Х1
где предел берется при условии , что значение
х2 приближается к х1• Эта мгновенная с1юрость
изменения
называется
производН1ой
от функции у = /(х) по аргументу х в точке х1;
она обозначается че рез /'(х1).
В этих обозначениях явно указывается ,
в какой точке берется мгновенная скорость
изменения (т . е. производная) . Есть и другие
обозначения для производной, но мы их не бу
дем указывать. Конечно , производную можно
находить в различных точках , так что произ
водная /'(х) есть опять некото рая функция от х.
Теперь ясно , что рассмотренные выше ;задачи
из физики и геометрии могут быть сформули
рованы с помощью производной.
Скорость движения v(t) есть производная
от пути s(t) по времени :
v(t)=s'(t).
(9)
Скорость u. ( t) радиоактивного распада есть
производная от массы радиоактивного вещества
m(t) по времени:
и(t)=т
'
(t).
(10)
Наконец, тангенс наклона касател ьной
к графику фуннции у=/(х), проведенной в точ
ке с абсциссой х, есть производная от функции
/(х):
tgа\вточке х = /'(х).
(11)

Проиаводные ииогоче1
1
енов
Из сказанного выше ясно , что для решения
ряда задач физики , геометрии и других наук
весьма важно уметь находить производные
различных функций (нахождение производных
называется дифференцированием) . Мы рас
с мотрим сейчас приме р непосредственного
вычисления производной.
Возьмем функцию у=х3• Отношение , кото
рое нужно рассмотреть при вычислении этой
производно й, имеет такой вид :
(х2-х1)(х�+х2х1+ xi)
Х2 -Х1
Х2 -Х1
2
2
=Х2+Х2Х1+Х1.
-
Если тепе рь х
2
будет приближаться к х1 ,
то последнее выражение будет , очевидно , при-
ближаться к значению xi + xI + xi = Зхr. Та
ким образом, производная от функции у = х3
имеет в точке х=х1 значение зх; , т. е.
(х3)' 1 при х=х, = Зхi· Б олее кратко это записыва
ют так : (х3)' = Зх2•
Предоставляем читателю таким же образом
найти производные от функций у=х 2 и у=х.
Резул ьтаты получаются такие :
(х2)' = 2х; (х)' = 1.
Эти формулы вычисления производных объ
един яются , оче видно , одной обще й форму лой:
(xn)'
= пxn-l
.
(12)
Для случая це лого положительного значе
ния п эту формулу можно проверить примерно
таким же спосо бом, нак мы выше вычислили
производную от х3• В математике доказы
вается , что формул а (12) верна при любом п.
Заметим, что производная единицы (или вообще
лю бой постоянной величины) равна нулю. Это
ле гко следует из формулы (12), а впрочем, ясно
и бе з этого , так нан ско рость изменения посто
янной, очевидно , равна нулю .
З аметим теперь, что производная обл адает
следующими простыми , но важными свойства
ми : постоянный множитель можно выносить
за знак производной; кроме того, производная
суммы двух (или нескольких) функций равна
сумме производных от слагаемых:
[kf (х)]' = k· f' (х),
[/1(х)+/2(х)]' = /
'
1(х)+/'
2
(х).
Сп раведливость этих правил легко проил
люстрировать с помощью формулы (9), при-
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
мерно так же , как мы сд елали выше для инте
гралов .
Теперь уже легко можно находить произ
водные любых :мr!огочленов, например :
(Зх3-2х2+5х- 4)' = (Зх3)'+(-2х2)'+
+(5х)'+(-4)' = 3(х3)' ·-
2(х2)' + 5(х)'-
-
4(1)'=З·Зх2- 2·2х+5·1 -4·0 =
= 9х2-4х+5.
Вообще , если
f (х) = а0хп + a1xn-I
+
многочлен п-й степени , то его производная
вычисляется по формуле :
f' (х) = na0xn-I
+(п- 1)a1xn-
2
+···+an
-I•
Пчее1
1
ы-иате иатни н
Русский мате матик П. Л . Чебышев в свое й
работе «Черчение географических карт» писал ,
что особенную важность имеют те методы на
уки , которые позволяют решать задачу , общую
для все й практической деятельности человека :
как располагать средствами своими для дости
жения по возможности большей выгоды. Так ,
рабочий-металлист старается из куска метал
ла получить как можно больше деталей;
раскройщик на обувной фабрике старается из
куска кожи выкроить как можно больше за 
готовок ; технолог старается так расставить
станки на завод е , чтобы обработка деталей
заня.ТJа как можно _меньше времени, и т. д.
Да и не только челове«у приходится решать
такие задачи . Пчелы бессознательно реш ают
од ну из таких задач - они ста ра ются придать
сота м такую форму, чтобы при заданном объеме
на них шло как можно меньше воска. И хотя
они не знают математики, но точно решают
эту задачу ( рис. 23).
Пчелам помогает решать эту задачу ин
стинкт . Человек же действует не по инстиюпу,
а по разуму. Маркс го
ворил, что «самый пло
хой архитектор от наи
лучшей пчелы с самого
начала отл ичается тем,
что, прежде чем строить
ячейку из воска , он
уже построил ее в сво
ей голове» .
И большую помощь
в решении таких задач
оказывает человеку ма-
Рис. 23.
36�

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
тематика, в особенности понятие производной.
Чтобы понять, как же математики решают
такие задачи, рассмотрим одну из них.
Как сдеоJ
J
ать самую 60.J
J
ьmyю
коро«Jку
Пусть пере
.
д нами квадратный кусок кар
тона со стороной а. Из него надо сделать ко
робку без крышки. Вырежем по углам куска
квадратики (рис. 24) и согнем по линиям,
отмеченным пунктиром. У нас получилась
коробка (рис. 25); но много ли в нее можно
положить? Это зависит от того, какие квад
ратики мы uырезали из этой коробки. Если
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
:_
__
a-2x--
-i
1
1
I-'
>-I
------------ 1
Рис. 25.
они были очень маленькие, то коробка полу
чится низкая (рис. 26, а) и в нее много не поло
жишь. А если они будут слишком большие
(рис. 26, 6), то коробка получится слишком
узкая и в нее тоже войдет довольно мало. Най
дем, при какой стороне х вырезанного квадра
тика объем V(x) сделанной коробки будет наи
большим. Изрис. 25видно, что V = х (а - 2х)2 =
=
4х3-4ах2 + а2х. График этой функции имеет
вид, указанный на рис. 27. При этом х должен
лежать между О и ; , так как вырезать из куска
картона со стороной а четыре квадрата со сто
роной, большей, чем ; , нельзя. Из рис. 27 вид
но, что в той точке, где значение объема наи
большее, касательная идет горизонтально,
т. е. образует с осью х угол, равный нулю. Но
это значит, что в этой точке производная равна
нулю. Таким образом, чтобы найти значение
Xmax• при котором объем коробки будет самым
большим, надо найти все значения х, при которых
производная функции
V(х)=4х3-4ах2+а2х
888
обращается в нуль; среди них обязательно будет
и искомое значение Xmax · По формуле диффе
ренцирования многочлена находим:
V'(х)=12х2-8ах+а2•
Приравниваем производную нулю и находим
·
а
а
двакорня:Х1 = т· Х
2
= т· Разумеется, корень
нас не устраивает: если мы вырежем
т----- -..
..
--.
г·· ··-·
-----·-·
·
1
fl......-
а)
16)
Рис. 26.
:квадраты со стороной Т , то от листа :картона
ничего не останется. Значит, наибольшее зна
чение объема получится, если за Xmax примем
а
оставшееся значение 6, т. е. вырежем квадраты
со стороной х = Т . Объем :коробки тогда будет
2аэ
.
равен 2:Г. Сделать из данного :куска :картона
коробку большего объема невозможно.
у
Рис. 27.
r
а
2

Б&.1
1
ка иавОоо1
1
ьmей прочности
Основным элементом любой строительной
конструкции является балка. Прочность балки
зависит от того, какую форму имеет ее попе
речное сечение. Инженерные расчеты показы
вают, что прочность балки с прямоугольным
сечением пропорциональна ширине балки а и
квадрату ее высоты h. Иными словами, проч
ность такой .балки (измеренная в некоторых
единицах) равна kah2, где k - коэффициент,
зависящий от длины балки, материала, из ко
торого она сделана, и т. д.
Деревянные балки приходится обычно выте
сывать из круглых бревен. В связи с этим воз
никает задача, как из бревна, имеющего
радиус R, сделать балку наибольшей прочности.
На рис. 28 изображено поперечное сечение брев
на. Разумеется, проч
ность вырезанной балки
будет функцией от ши
рины этой балки. Но ес
ли взять ширину слиш
ком большой (почти рав
ной диаметру бревна),
то получится балка
очень маленькой высо
ты и прочность ее будет
мала (рис. 29, а). Мала
будет прочность балки,
если сделать ее слишком
узкой (рис. 29, 6) . Чтобы
Рис. 28.
найти, при каком .соот-
ношении длины и шири
ны прочность будет наибольшей, выразим проч
ность балки как функцию от ее ширины х. Из
треугольника АВС , изображенного на рис. 28,
видно, что высота балки, имеющей ширину
х, равна V4R2 - х2• Поэтому прочность такой
балки равна:
kx(4R2 - х2) = 4R2kx - kx3•
.а
.б.
Рис. 29.
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
ГрафИI\ функции у = 4R2kx - kx3 имеет вид.
указанный на рис. 30, а ее производная рав-
на 4R2k- Зkха и обращается в нулr. при
у
Рве. ЗО.
2R-{3
з
R Imax
I
2R
Поскольку ширина балки должна быть по
ложительной, получаем, что самая прочная
2R-.(3
балка будет, если ширина ее а =
3
; высота
балки определится по формуле:
h--.,r4R2- �
-
2R -.(6
-
v
а-
3.
Отношение � равно у2� ; . Именно
такое
отношение высоты балки к ширине и предпи
сано правилами производства строительных
работ.
Фqриуо1
1
а Ньютона - JlеАОнвца
Между дифференцированием и интегриро- .
ванием имеется глубокая связь: формула (3)
показывает, что путь находится по мгновенной
скорости с помощью интегрирования, а фор
мула (9) утверждает, что скорость находится
по пути с помощью дифференцирования. Это
наводит на мысль, что действия дифференци
рования и интегрирования связаны друг с. дру
гом примерно так же, как действия сложения
и вычитания, умножения и деления, возведения
в степень и извлечения корня, т. е . что эти опе
рации взаимно обратны.
Например, пользуясь тем, что .v (t) = s
'
(t),
можно записать формулу (3) в виде:
т
s =·J s'(t)dt•
867

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИ
И
Здесь s - путь, пройденный телом начиная
� момента t=O.
Но может случиться и так, что пройден
ный путь отсчитывается не с момента t=O, а
� какого-то более раннего момента (например,
не с момента начала путешествия, а с момента
выпуска автомобиля с завода). Тогда путь s
придется записать в виде разности s( Т) - s(O)
пути, пройденного к моменту t=T, и пути,
пройденного к моменту t=O. Равенство (3)
примет тогда такой вид:
т
s(Т)-s(О)=S s'(t)dt.
о
Таким же образом для любых двух моментов
времени t=a и t=b справедливо равенство:
ь
s(Ь)-s(а)=Js'(t)dt.
а
Вообще, для любой функции F(x) имеет
:место равенство:
ь
F(Ь)-F(а)=SF'(x)dx.
а
Эта формула называется формулой Ньютона -
. Лейбница - в честь знаменитых математиков
И. Ньютона и Г. Лейбница, почти одновременно
установивших ее в конце XVII в. (примерно
через 70 лет после выхода в свет книги И. Кеп
лера «Новая стереометрия винных бочек»). Сле
дует сказать, что в геометрической форме эту
формулу высказал учитель Ньютона И. Барроу
в 1670 г. Он указал, что вычисление площа
дей - действие, обратное проведению каса
тельных.
Значение формулы Ньютона - Лейбница
состоит в следующем: если мы знаем какую
нибудь функцию F(x), производная которой
равна /(х). т. е
.
F' (х) = f (х), то легко вычис-
ь
лить интеграл J f (х) dx - он равен разности
а
значений функций F(x) в точках Ь и а. Каждую
функцию F(x), для которой F' (х) = f (х) , назы
ваютпервообразнойдляфункцииf(x).
Значит, если функция F(x) -первообразная
для функции /(х), то /(х) - производная для
функции F(x).
Таким образом, вычисление интегралов сво
дится в основном к нахождению первообразных.
А нахождение первообразных есть задача, об
ратная дифференцированию. Поэтому,
чем
388
большее число функций мы будем уметь диф,.
.
ференцировать, тем больше первообразных
будем знать и тем больше интегралов
сможем найти. Пока что мы умеем дифферен
цировать только многочлены. Этого уже до
статочно, чтобы интегрировать любые много
члены (не прибегая к примененным выше гео
метрическим приемам).
Но во многих задачах встречаются функ
ции, отличные от многочленов. Мы научимся
сейчас дифференцировать показательную и три
гонометрические функции.
Проиаводные с инуса и косинуса
Производные от тригонометрических функ
ций проще всего вычислить, исходя из физи
ческих соображений. Рассмотрим точку А,
движущуюся по окружности радиуса R со ско
ростью wR. Будем считать, что при t=O точка
А находилась в положении А0 (рис. 31).
у
:r
Рис. 31.
Через t сек. точка пройдет путь длиной wRt
и окажется в положении А. Дуга А0А имеет
длину wRt, т. е . содержит wt радиан, значит,
и угол АОА0 равен wt радиан. Поэтому коорди
наты точки А равны х =Rcoswt и y=R sinwt
(это легко выводится из треугольника АВО).
Иными словами, проекция В точки А на ось
Ох движется по закону x=Rcoswt, а проекция
С этой же точки на ось Оу движется по за
кону у = R sinwt. Найдем скорости этих ко
лебаний.
Для этого разложим скорость движения точки
А на две составляющие: горизонтальную и вер �

l'и:кальную. Вектор с:корости точ:ки А (имеющий
длину шR) направлен по
:
касательной :к окруж
ности, проведенной в точке А, и потому обра:.
.
зуетсосьюОхуголwt+;, асосью Оу-угол
шt (рис. 32). Следовательно, его проекция па ось
у
r
Рис. 32.
Ох (т. е. скорость движения точки В) равна:
v
х
=w Rcos (wt + �)= - wRsinwt,
а его проекция на ось Оу (т. е . скорость дви
жения точки С) равна:
vy= шRcosщt.
Мы доказали, что скорость колебания, про�
исходящего по закону х = R coswt, равна:
vх = - wR sinwt. Так как скорость является
производной от пути по времени, это означает,
что
(Rcos шt)' = - wRsinwt,
или при R=1
(
coswt)' = - wsin wt.
(13)
Точно так же доказывается (из рассмотре
ния движения точки С), что
(sinwt)'=wcoswt.
(14)
В частности, при ш = 1 мы получаем, что
(cost)' = -sint; (sint)' = �ost.
Проиаводная покааатеdьноА
функции
Теперь продифференцируем показательную
функцию у=ех.
Мы уже знаем (см. статью
сФупкции'в nрироде и технике)>), что касатель-
•24Д.э.т.2
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЛ
пая к кривой у=ех,
проведенная в точне
пересечения ее с осью ординат, наклонена к
осям под углом в 45°. Вспоминая геометриче
ский смысл производной (см. стр. 364), мы
можем сказать, что производная
функции
у=ех в точке х=О равна tg45°, т. е . 1.
Итак, (ех)
'
1при х=О =
1.
Чтобы сосчитать производную от фу.нкции
у=е·�
в какой:.
.
либо
точке х0,
сдвинеl't1
график этой функции на отрезок х0• После
сдвига в точке х ордината станет равной
не
ех,
а ех-х.,
т. е.
·
сдвинутая кривая
является графиком функции у=ех-х. (рис. 33).
При сдвиге графика касательная, проведенная
:
к кривой у=ех в точке х=О, перейдет
в касательную, проведенную к сдвинутой :кри
вой (т. е . кривой у=ех-х•) в точке Х=Х0 (рис. 34).
Таким образом,
касательная к 1,ривой
у=ех-х. в точке х0 наклонена к оси х под.
углом 45°,. т. е.
(еХ-Хо )'1 ПрИ Х=
Х
о
=1.
Теперь легко найти производную фующи»
у=ех в точке х=х0• В самом деле, так как
постоянный множитель ех0 можно вынести за
знак производной, получим:
(e.r) ' /при х=х0 = (ех•ех- ·Хо)' 1 пр11 х=х
о
=
= еХо (еХ-Хо)' 1 ПРИ Х=
Хо
='е"'о•1
=
еХо,
Рис. 33.
у
r

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
Этим доказано, что производная от функции
ех в точке х=х0 равна ех.. Так как х0 -
произвольная точка, то мы можем просто на
писать:
(еХ)'
= еХ.
Лишь немногим более сложные рассужде
ния показывают, что
(еСх)' = СеСх.
( 15)
Радиоактивный рас пад
Многие физические законы связывают меж
ду собой некоторую величину и скорость ее
изменения. Рассмотрйм, например, радио
активный ра
'
спаД. Скорость распада тем боль
ше, чем больпiе 'взято радиоактивного веще
ства. Это и 'Понятно:' если, скажем, в каждом
Грамме взятого радиоактивного вещества за
1 сек. распадается 0,0001 г, то в двух граммах
этого вещества за 1 сек.· распадается 0,0002 г,
в семи граммах распадается за 1 сек. 0,0007 г
и т. д . ИнаЧе говоря, скорость распада (мы ее
обозначали
'
выше буквой и; см. формулу (10)
прямо пропорциональна массе т имеющегося
ра диоактивного ве:Щества:
и=-km.
(16)
Здесь k - положительный коэффициент про
порциональности, а знак «-» поставлен потому ,
что вещество распадается и его становится
меньше, т. е . скорость распада отрицательная.
(Этот закон, евязывающий массу радиоактив
ного вещества и скорость распада, справедлив
лишь в случае, если количество радиоактив
ного вещества не слиш�ом велико и не проис
ходит цепной реакции. )
На первый взгляд кажется, что из уравне
ния (16) ничего нельзя определить: ведь это
одно уравнение с двумя неизвестными и и т
(коэффициент пропо.рциональности k для каж
дого вида радиоактивного вещества опреде
ляется из опыта), а для нахождения двух неиз
вестных надо иметь два уравнения. Однако
второе уравнение легко найти: ведь и - это
скорость изменения массы т, а потому и
и=т
'
.
Поэтому мы можем переписать закон
радиоактивного распада (т. е . формулу (16)
в виде:
т
'
= -km.
(17)
Мы получили одно уравнение для опреде
ления одного неизвеетного т. Только это урав
нение не такое, какие изучаются в школе:
оно связывает величину т и ее скорость изме-
370·
пения (производную). Уравнения, связывающие
величины и их производные, называются д иф
ференциальными
уравнения
м и. Легко проверить, что функция т = Ce-kt,
где С - любое число, является решением диф
ференциального уравнения (17) (т. е . если под
ставить в это уравнение вместо т эту функцию,
то оно обратится в тождество). В самом деле:
т'
= (Ce-kt)' =
-
Cke-kt = - km.
Можно показать, что других функций (кроме
т (t) = ce-kt), удовлетворяющих уравнение
(17), не существует, т. е . что всякое решение
уравнения (17) имеет вид:
т (t) = Ce-kt.
Это и есть закон уменьшения массы радио
активного вещества с течением времени.
У нас остался невыясненным один вопрос:
чему равна постоянная С? На этот вопрос не
трудно ответить. Из формулы т (t) = Ce-kt
находим (полагая t=O), что масса радиоак
тивного вещества в начальный момент времени
t = О была равна Се0=С. Таким образом ,
С - это масса радиоактивного вещества в на
чальный момент времени; ее принято обозна
чать через т0 • Поэтому, заменяя С на т0 , по
лучаем окончательный вид закона радиоактив
ного распада:
( 18)
Найдем теперь, через сколько лет количе
ство радиоактивного вещества
уменьшит
ся вдвое. Для этого нужно определить число
Т0 из уравнения е-11т. = +· После логари
фмирования (по основанию е) находим, что
Т0 = +1n2�0·:9 (через lnx мы обозначаем
логарифм числа х по основанию е). Этот проме
жуток времени Т0 называют периодом полурас
пада данного радиоактивного вещества. Оп не
зависит от того, сколько было взято радиоактив
ного вещества, а зависит только от k, т. е . от то
го, какое взято вещество. Например , период по
лураспада радия равен 1590 годам, урана-238-
4,5 млрд. лет, тория С всего 0,0000003 сек.
С помощью числа Т0 закон радиоактивного
распада можно записать так:
t
_!_
(1)т.
т(t)=то(e-kTo)То = то 2
•
В этой форме его обычно и используют в физике.

ПокШJатее1
1
ьная функция
в природе и технике
Существует огромное количество процессов
в природе, которые описываются такими же
дифференциальными уравнениями, как урав
нение (17) для радиоактивного распада. Общим
для всех этих процессов является то, что ско
рость изменения рассматриваемой величины у
прямо пропорциональна значению этой вели
чины в данный момент времени, т. е.
у'
= су.
(19)
Коэффициент пропорциональности с положи
телен или отрицателен в зависимости от того,
увеличиваются или уменьшаются с течением
времени значения величины у. Дифференци
альное уравнение (19) имеет точно такой же
вид, как и уравнение радиоактивного распада
(только коэффициент пропорциональности здесь
обозначается через с, а не через -k). Так
как одинаковые уравнения имеют одинаковые
решения, то для всех таких процессов значе
ния у0 в любой момент времени t выражаются
формулой:
y(t) = y0eet,
rде у0 - значение величины у при t = О.
Теперь становится понятным, почему в при
роде и технике встречается так много величин,
изменяющихся по показательному закону (ток
самоиндукции, протекающий в катушке после
выключения постоянного напряжения; изме
нение давления с высотой подъема и т. д. ; см.
статью «Функции в природе и технике»). Все
эти величины удовлетворяют дифференциаль
вым уравнениям вида (19).
..�lеверье и Адамс открывают
Jrовую пе1
1
аиету
По второму закону Ньютона сила равна
произведению массы на ускорение:
F=ma.
Но ускорение тела, движущегося прямоли- ·
нейно, представляет собой скорость изменения
скорости, т. е. является производной от ско
рости а=v
'
.
Сама же скорость является про
изводной от пройденного пути: v=s
'
.
Таким
образом, чтобы найти ус1юрение движущегося
тела, надо два раза продифференцировать
функцию s(t). Поэтому ускорение называют
второй производной от пути по
времени. Обозначают это так: а (t) = s
"
(t).
По.цьзуясь ;этим обозначением, мы можем за-
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
писать второй закон Ньютона в следующем
виде:
F=ms
"
.
Сила F зависит от многих обстоятельств:
от времени, от скорости движения, от того,
в какой точке пространства находится движу
щееся тело. Например, на парашютиста, спу
скающегося с раскрытым парашютом, дейст
вуют сила тяжести тg и сила сопротивления
воздуха, которую можно считать пропорцио
нальной скорости паде
.
ния, т. е. равной -kv.
Таким образом, общая сила, действующая на
парашютиста, равна:
F=тg-kv=mg-ks'.
Следовательно, движение парашют.иста описы-·
вается дифференциальным уравнением
ms"
= mg-ks'.
Иной вид имеет уравнение движения раке-.
ты, вертикально поднимающейся по инерции
после полного сгорания горючего. Сила при
тяжения ракеты к Земле обратно пропорцио
нальна квадрату расстояния ракеты от центра
Земли, т. е.
k
F=--
s2
(мы считаем, что ракета вышла из земной атмо"
сферы и потому на нее не действует сила сопро
тивления воздуха).
Таким образом, указанное движение ракеты
описывается дифференциальным уравнением
11
•
k
ms=-sz-•
где т - масса ракеты. (Этим уравнением опи"
сыв�ется также вертикальное падение метео
рита на Землю до вхождения его в атмосферу.)
Вообще, второй закон Ньютона позволяет
описывать самые разнообразные движения тел
с помощью дифференциальных уравнений.
Можно написать дифференциальные уравнения
для движения поршня паровой машины, ко
рабля в море, планеты вокруг Солнца, искус"
ств�нного спутника вокруг Земли.
Решая дифференциальные уравнеnия дви
жения планет и их спутников (эти уравнения
весьма сложны, так как планеты притягива
ются не только к Солнцу, но и друг к другу),
ученые предсказывают их будущее движение,
узнают моменты солнечных и лунных .затме
ний. 1\сэгда однажды оказалось, что планета
Уран отклоняется от заранее вычисленной ор
биты, ученые нисколько не усомнились·в «пра
вильностю> математики. В середине XIX в.
371

УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ:
французсю1й астроно111 "У. Леверье и англий
сиий астроном Дж . Ада м с одновременно и неза
в иси11ю один от другого сделали смелое пред
положе ние , чт о отилонение "Урана вызывается
притяжением новой , до тех пор неизве стной
планеты . С помощью дифференциальных урав
нений они высчитали положение этой новой
планеты 11 уиазали, где нужно ее искать на
небе . Точно в указанно111 месте эта планета (ее
назвали Нептуном) была затем обнаружена.
Урав н е11ие l'R))ИOllИЧeCKllX
ио"1 ебаниn
Во 111ногих случаях тела с овершают ноле
бания около положения равновесия ,под 'дей
ств11е111 силы , величина ноторой пропорцио
н альна отнлонению тела от положения равно
весия и ноторая стремится возвратить это тел о
в положение равновесия . Например , это имеет
место . дл я груза , подвешенного на пружине .
Иначе говоря, сила , д� йствующая на тело , вы
ражается формул ой:
F= -ks,
где s - отилонение тела от положения равно
весия •. а k - жесткость пружины . Поэтому (в
силу второго закона Ньютона) дифференциал ь
ное уравнеюiе движения тела имеет та�>ой вид :
ms
''
= -ks.
Маrическиn шестиуrо"1 ы1и1t
872
В атом wестиуго11ьиике обр11зо
ва11ось 19 уз11овых точек. Вот и рас
ставьте в зтих точках 19 иатура11ьиых
чисе11 от 1 до 19 так, •1 тобы вдо11ь
каждой стороны и вдо11ь каждого
внутреннего прямо11ииейиого отрезка
сумма чисе11 равия11ась 38 (до11жио
по11учиться tS одинаковых сумм по 38) .
Ответ на ст р. 373.
Обозначив положител ьное число !:.
..
.
че рез w2
т
'
мы сможем записать это уравнение в виде:
s" = -w2s.
Это уравнение называется у р а в н е н и
ем гармонических колебан11й,
так нак функция
s=С1coswt+С2sinwt
(20)
при любых С1 11 С
2
являетс я решением этого
уравнения .
В самом деле , по формулам ( 13) и (14) сио
рость те.1а , движущегося по занону (20) , ра вна :
v=s
'
= - C1wsinwt +C2щcoswt.
Пр одпфференцпровав еще раз, найдем уско"
ренпе :
s" = - С1ш2coswt-С2w2sinwt=
= - ш2(С1cosшt+С2sinwt).
Но выражение , стоящее в сиобках , равно s .
Таким образом , взятая фуннция s действи
тел ьно удо влетворяет · уравнению s"
=-ш
2s.
Можно доназать, чт о всякое решение этого
уравнения 11111еет такой вид.
Итак, сила , пропорциональная отклонению
тела от положения равновесия и стремящаяся
вернуть его в это положение , вызывает гармо-
б
2
k
нические коле ания частоты ш, где ш . =
-
т
(т - масса тела, k - коэффициент пропор
циональности) .
У каждого участника игры i\Олжиа
быть таб11ицн кубок. Наавачае.м ка
кое-нибудь це11ое число и ставим
задачу: представить ото ч11сло ·как
алгебраическ)"ю сумму пяти кубов .
Пусть иааиачеио , например , чис
.uо . t . Рассма.триваем таблиц)' кубов
и подбираем:
1 = i3-33-33 -23- t' шш
1=63-5'-''-3'+"
Це11ь игры : за отведеииыli про
межуток времени подобрать как можно
бО.1
1
ьше решений задачи.
У вас, очевидно, возникнет такой
вопрос : разве .1юбое це.1ое чис110 может
быть представлено в виде алгебра
ической суммы пяти кубов нат)·ра11ь
иых чисел, да еще нескольк11М11 спо•
собами?
Да, 11юбое и даже Сiесконечным
числом способов. Это докааал поль
ский математик в. СероивСБий.

Для колебаний электрической цепи можно
также записать аналогичный закон, только
надо заменить массу тела самоиндукцией ка
тушю1 , путь , проiiденный телом ,- напряже
нием на конденсаторе , а скор ость тела - током
и т. д . Поскольку законы , управл яющие Э'т1111ш
явленпями , совершенно аналогичны , то и 'Коле
банпя, возникающие в обоих случаях , записы
ваются одними и теми же фор?.1улами . А зату
:х:ающие колебания возникают , еслп , кроме си
лы , стремящейся вернуть тело в полол;е ние
равновесия , де йствует еще сопротивление сре
ды , пропорционал ьное скор ости движения тела
(илп сопротивденпе эле1<трпческоii цепи) .
1'l о,J.е.1ировани е
Тот фа�<т , чт о самые различные явления опи
сываются одинаковыми дифференциальными
уравне ниями , часто испол ь зуется на пра�<тике .
Ответы и 1• еше1шя
ИНТЕГ РАЛ И: П РОИЗВОДНАЯ
Он позвол яет изучат ь одни явле ния, наблюдая
другие, если 'ГО.11 ько оба явления описы ваются
одинаковыми уравне ниями . Пусть, например,
надо выяснит ь , как будет дв игаться под зем
лей нефть в районе буровых скважин .
Наблюдать движение нефти под землей было
бы очень затруднительно . Но движения жидко
сти описываются теми же самыми дифферен
циальными уравнениями , чт о и движения элек
тричества . Поэтому собирают электрическую
цепь, в которой движения эле ктр ичест ва про
исходят так же , как изучае мые движения нефти .
Изме ряя напряже ние и ток в разных точках
собранной це пи, м ожно у знать, где выгоднее
все го поставить буровую вышку , куда надо
накачиват ь воду, чт обы усилить выход нефти,
IIТ.Д.
Такое изучение одних явлений при помощи
других , описываемых теми же самыми уравне•
ниями , назы вается моделированием явлений .
К нему часто прибегают в самых разл ичных
вопросах техники.
•
Ответ к стр.326.
док азатель ств о к стр. 353.
Ответкстр.353.
216590'378 11 293,815607.
Ответ к ст р. 328. 1000 000 000 =
= t 0•=(2 . 518=2'.5• = 512 . 1953125.
1 ООО ООО ООО ООО ООО ООО= 1018 =
=218·518= 2621Н·3 8Н 697 265625.
П)·сть начальное число х; разность
t-ж;
,а =12,Ь=5, "=13.
Решен11екстр.353.
( 121)в =1 ·В'+ 2 ·R+ 1 ·B0=Л•+211+t=o·
= (B+I)',
Ответ кстр. 329.
1)849+753-1602;
:!) 1089-432= 657;
3) 7039·4 = 28156;
�)27504:9168=3;
5) _5_
0
_=9+1
4-7 -8 у-2"
""
.
В каждом равенстве, как внднте ,
присутствуют все 10 цифр. Возможны
11 другие решения.
число , обратное разности : 1 _
ж
·
Повторяем цнкл•
1-_1----""
-·
1-z
1-z '
ч11сло, обратное разности:
1-ж
--ж-·
Повторяем еще раз :
1-(
--
�)=.!.
.
·
ж
ж'
число, обратное этой раз ности : х.
Ответ кстр.372.

МНОЖЕСТВА
И ОПЕРАЦИИ
ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
Множества ко11ечные и бес1tонечные
Обычно арифметику определяют как науку
о числах . Числа в простейшем смысле сл ова ,
т. е . так называемые натуральные числа: 1, 2,
3,4,5,
... ,
отвечают на вопрос «сколько?» .
Скол ько уче ников в классе ? Сколько книг
на ст оле? Сколько г усей на пруду?
Но каждый раз, когда мы спраmиваем :
«СкоJiько предметов?»-мы должны имет ь эти
374
предметы, их совокупность. Вотмы
и говорим о совокупности всех учеников , обра
з ующих данный класс , о совокупности книг ,
лежащих на ст оле , о совокупности гусей , пла
вающих на пруду . Каждое натурал ьное число
е ст ь число предметов (одушевленных ил и не
одуmе вJiенных) , образующих некоторую сово
купность. Иногда эти предметы легко сосчи
тать , например когда идет речь о числе книг ,
лежащих н а столе , или о числе учеюшов , сидя
щих в 1'лассе .
Но значител ьно труднее ответить на вопрос ,
сколько в да нный момент пJiавает китов в мпро-

вом океане или даже сколько ежиков живет
в подмосковных лесах . И уж совсем трудно
точно сказать, сколько молекул в стакане воды
или зве зд в нашей Галактике . Однако во всех
этих случаях мы уверены , что число это конеч
ное , хотя, может быть, и очень больш ое и недо
ступное для точног о вычисления при данном
состоянии наших научных познаний.
В математике рассматриваются не только
конечные , но и бесконечные совокупности.
Просте йшим примером такой совокупности
является совокупность, или , как принято го
ворить, множество, всехнатуральных
чисел: 1,2,3,4,5, "..
Мы уже сназали, чт о каждое натуральное
число есть число предметов, о бразующих ту или
иную совокупность, то или иное множество .
Но множество в с е х натуральных чисел уже
не есть конечное множество . На вопрос: «Сколь
ко всего натуральных чисел?)>- приходится от
ветить, что их бе сконечно много . l\аное бы
большое число натуральных чисел мы ни заду
м али , всегда есть такие натуральные числа ,
к оторые не вошли в число задуманных .
В математике мы п остоянно ст алкиваемся
с примерами бесконечных множеств . Возьмем ,
н апример, равносторонний треугольник Т 1 , впи
шем в него равносторонний треугольник Т
2
•
Вершины треугольника Т
2
сут ь середины сто
рон треуг ольника Т 1 . Таким же образом впи
шемвТ
2
равносторонний треугольник Т
3,
вТ
3
впише111 Т4 и т. д. (рис. 1) . Это построение
Рис. 1.
п риводит к бесконечному множеству равносто"
ронних треугольников:
Т17 Т
2
,Т
3
,Т4,Ть,··"Тп,···•
(1)
Тем более бесконечным является множество
всех вообще равносторонних треугольников,
лежащи.х в данной плоскости.
ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
Последняя фраза несколько двусмысленн а:
слово «более)> может быть воспринято в ней каI<
составная часть выражения «тем более)>, упот
ребленного в см ысле «И подавно)>. Раз е сть уже
бесконечное множест во ра вносторонних тре
угольников, получающ.их ся при ненотором оп
ределенном построении, то и пода вно м ноже
ство всех равносторонних треугольник ов бе ско 
нечно . Но слово «более)> может быть понято
и к ак с равнительн ая степень прилагательного ,
и тогда высказанное выше суждение означает ,
что м ноже ст во всех равносторонних треуголь
нююв, лежащих в данной плоскости , в каком
то смысле является «более бесконечным)> , че м
бе сконечное м ножество построенных памп тре
угольников
т1' т
2' тз"."тп, ".
l\ак видите , мы затронуJiи интересный воп•
рос, долгое время отпугивавший ученых своей
(впрочем, лишь кажущейсп) парадоксально
стью : существуют ли, е сли можно так выра
з иться, различные «стелен� бесконечности?
Возможна ли количественная оценка бесконеч
ных множеств , позволяющая утверждать, чт о
одно из двух бесконечных м ножеств является
«более бесконечным» , чем другое? Или же ут
вержде ние , что данное множестяо является бес
конечным, окончательно в том смысле , чт о
не дает возможности дальне йших разлнчений
или градаций количест венного характера.
Первым , кто пытался отяетить на этот во
прос, был знаменитый че шс.кий 111ате 111 ат1ш
и философ Б. Больцан о (1-я половина X IX в.),
по он не сумел полно'стью преодолет ь все труд
ности, кото рые при этом возникли . Постара
емся разобраться , в чем эти трудности и 1.; акоuо
решение поставленного вопроса .
Взапино-одпозначное соответствие
ие�кду дву и я ино иtества1ш
Предположим , что мы имеем два конечных
м ножества , например кор зину яблок и корзину
груш . Желая установить, чег о у нас больше -
яблок или груш , мы можем (и это будет самое
простое решение вопроса) сосчит ать число
плодов в каждой корзине . Получим два Чи
сла , - сравнение их и даст ответ на наш
вопрос.
Но если мы имеем два бесконечных м ноже
ст ва , то определить аналогичным образом ,
какое из них является «более бес1юнечны11л> ,
а какое - «менее)> , нел ьзя по той простой пр и-
375

:МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
чине , что бесконечное м ножество н ельзя «сосчи
таты. Во всяком случае, мы не знаем, как это
сде .'I ать. Поэтому постараемся ответить на во
прос, чего у нас больше - ябло1\ или груш ,
не сосчптывая их , т. е. не п ользуясь п онятием
Бернард Больцано.
числа . Вот накой представл яется дл я этого путь.
Разложим наши яблони , хотя бы на столе ,
и попробуе м положнт ь против каждого яблока
по груше . Во зможны три случая (рис.
·
2).
Первый случай: против наждого яблока дей
ствпте.11ьно онажется груша , и при это111 не
тольно все яблони, но и все груши онажутся
разл оа;енными . В этом случае , очевидно , у нас
CTOJI ЬHO же яблок, снольно и груш .
Второй случай: против каждого яблона ока
жется по груше , но при это м еще останется
нес1>ольно груш в корзине - в этом случае
у нас больше груш , чем яблон.
На�>онец , возможен последний , третий слу�
чай: ста раясь разложить все груши так , чт обы
против 1\ аждого ябло на лежала г руша , мы не
до ст игнем цели-нам н е хватит груш . Т огда ,
очевпдно , груш ме ньше , чем яблок.
Кан видите , мы смо гли произвести к о личе
ст венную оценку двух множеств - корзины
ябло1\ 11 корзины груш , не со счптывая точно ,
снольно имеется тех и других плодов , но уста
новпв , наких плодо в бол ьше , или убедившись ,
что их имеется одинановое ноличество . Эту
оце 1н;у мы произвели, установнв , нан говорят ,
взан111но-однозначное соответ
е т в 11 е между одни111 множеством и другим
или частью другого . Для лучшего уяснения, чт о
таное взаимно-одно значное соответствие между
�76
двумя м ножествами, приведем еще нескольно
примеров.
Дается к онцерт . Чтобы на него п ойти, над о
купит ь билет . Перед нами два множества : мно
жество людей, которые х от ят пойти на этот
концерт ,- обозначим его че рез А и множество
билетов - обозначим его через В. Возможны
разные случаи. Первый (не очень вероятный ,
но математически самый простой) : все жел аю
щие п ойти на нонцерт приобрели билеты , и все
билеты при этом оназались проданными . Тогда
каждо му элементу м ножества А (т . е. каждо му
человеку , желающему п ойти на концер1') соот
ветствует определенный элемент множества В
(купленный этим чело веком билет) . При этом
каждый элемент множе ства В поставлен в соот
ветствие одному-единст венному элементу мно
жества А (человеку , купившему этот билет) .
"Установлено взаимно-одно значное соответст
вие между множеством А и множеством В, или
установлено в заимно- одно значное о т о б р а
ж е н и е одного из этих множеств на другое.
Однако м ожет случиться , что каждый че ло
век, желавший пойти на к о нцерт , купил себе
билет , но в кассе остались еще не распроданные
билеты . Опять п олучается взаимно-одно знач
ное отображе ние множества. А, но уже не на
все множество В, а только на некоторую его
часть - на ту часть, или , как говорят , на то
п одм ноже ств о, множе ства В, которое
состоит из всех проданных билетов. Может ,
наконец , случиться , чт о все билеты проданы ,
но не все желающие п ойти на к онцерт смогли
купить билеты. Тогда обозначим чере з А' мно
же ство тех людей , которые не тольк о х отели
пойти на концерт, но и получили на него билет.
Множе ст во А ' оказалось взаим но-однозначно
отображенным на множество В.
В математике м ожно найт и м н огочислен ные
п римеры взаимн о - одно з начных соответствий .
Напр имер, к аждой вершине треугольника или
•• ••••••
Рис. 2.
."�. AA Afl

Рис. 3.
тетраэдра соот ветст вует противоположная этой
вершине ст орона или грань. Таким образом ,
установлено взаимно- однозначное соответствие
ме пщу множест вом всех вершин треугольника
(тет раэдра) и множе ством всех его сто рон (гра
н е ii) . :Множе ст во всех сторон правил ьного мно
г оугольнюш находится во взаимно-однознач
ном соответ ствии с множеством всех перпен
дикул яров, которые опуще ны на эти ст ороны
из це нтра правидьного многоугол ьника . Мно
жество всех бо1'овых граней пирамиды нахо
дится во взаимно-одно значном соответствии с
1111южеством апофем этой пирамиды и т. д.
Особенно суще ственным является тот факт ,
что взаимно-одно з начное соответствие возмож
но и ме жду не1\оторыми бесконечными множест
вами . Приведем приiviеры . Обозначим че ре з А
111но жество все х точек данно й окружности , а
че рез В - множество всех прямых, являющи х
ся насател ьными к этой онружности (рис . ;� , I ).
Ме жду множествами А и В установится взаим
но-одно значное соответствие , есш1 111 ы каждоii
точне он ружности пост авим в соответствие ка
сател ьную в этоii точке . Таким образом, 1\ аж
до111у э.'!ементу множества А соответствует един
ственный элемент множоства В, и каждый э ле-
111е нт множества В (т . е . каж;:�ая касател ьная)
прн этом постав.тrен в соответствие единствен
ному э:1е111енту множества А - точке прикос
н овения данно й 1\ асател ьно й.
Второй пример. Возьмем две пересекающие
ся прямые а
1 и Ь1 (рис . 3, 11). Обозначи!lf
через А 11шожество всех точек пря111ой а1,
а через В - множество , состоящее из пря111ой
Ь1 п из все х прямых, ей параллельных . Каж
до му элементу Ь множества В (т . е . каждо й пря
мой Ь, па раллельно й прямой b l ' или совпадаю
ще й с не й) соответствует единственный эле
мент множества А - единственная точка пря
моii а 1, в которой ее пересекает прямая Ь.
В качестве третьего примера во зьмем уже
рассмотренное нами 11шожество равносторон
них треугол ьников
Т1, Т2,...,Тп, " . ,
IЮНЯТИЕ МНОЖЕС ТВА
каждый из :которых, :кроме
первого , вписан в предыду
щпй (рис . 3, 111). Множество
всех этих треугольников обоз
начим че рез Х. Каждый тре
угол ьник получил определен
ное натуральное число п в ка
честве своего номера .
Номером треугол ьника Т п
является натурал ьное число п.
Этпм, очевидно , установлено взаимно-одно
значное соответствие 111е жду множеством Х на
ших треугольни:ков и множеством всех нату
ра.1 ьных чисел .
С четные инояtества
В ообще, если все элементы :какого-нибудь
111ножества Х удается занумеровать посредст
вом натуральных чисел так , что :каждое нату
ральное число придано в :качестве номера лишь
одному элементу множества Х, то такой нуме
рацие й устанавливается взаимно-однозначное
соответствие ме жду данным множеством Х и
111ножеством все х натуральных чисел . И обрат
но , всякое взаимно-одно значное соответствие
111е жду каким-нибудь множеством Х и множе
ством все х натуральных чисел можно рассмат
ривать как нуме рацию (сосчитывание) элемен
тов множества Х посредством натуральн ых
чисел ,- мы просто приписываем каждому эле-
111е нту 111ножества Х в качестве номера соответ
ствующее ему натуральное число .
Мы здесь коснулис.ь очень важного понятия .
Ведь установление взаимно-одно значного соот
ветствия llfe ждy неRоторым 11шожеством Х и
множеством всех натуральных чисел есть пря-
1110е перенесение в область бесконечных мно
теств пе ресчитывания какого-либо конечного
111но жества (например, корзины яблок или стада
гусей} с по11ющью натуральных чисел . Тол ько
в случае конечных множеств мы для сосчиты
вания его элементов нужд аемся лишь в :конеч
ном числе чисел (мы считае м: раз , дв а, три
и т. д. - до того числ а, кото рое показывает ,
с1юлько у нас ябло:к в корзине или гусе й в ста
де) . В примере 11
1
ножества треугольников
(1)
или воо бще Ji юбого 111ножества Х, которое мо
жет быть приведено во взаимно-одно значное
соответствие с множество11
1
все х натуральных
чисел , мы вынужде ны в качестве номеров поль
зоваться всемн натуральными числ а!lfи .
377

МНОЖЕСТВА И ОПВРАЦИИ
Но тепе рь возникает самый главный, основ
ной для всей теории множеств вопрос . Всегда
л и можно занумеровать элементы бесконечно го
множес rва натуральными числами так , чтобы
к а ждый элемент данного множества получил
определенный номер? Другими словами , можно
ли установить взаимно-однозначное соответ
ствие
между произвqльным
бесконечным
множеством и множеством всех натураль
ных чисел?
Оказывается , ответ на этот вопрос отри
цательный, и мы постараемся убедиться в этом.
Но сначала несколько подготовимся . Прежде
всего установим название для тех множеств ,
которые могут быть поставлены во взаимно
однозначное соответствие с множеством всех
н:атуральных чисел . Эти множества называются
с четными. Это название естественно : сЧет
ное множество - это такое множество , кото рое
может быть сосчитано посредством натуральных
чисел . Наша з адача - показать, что сущест
вуют несчетные множества, т. е . такие , кото рые
не могут быть поставлены во взаимно-одно
значное соответствие с множеством все х вату·
ральных чисел.
Множество всех рациоиа.J
J
ьиых чисе.J
J
4)четио
В поисках несчетного множества обратимся
к множеству всех рациональных чисел (чита
тель, конечно , помнит , что рациональными
называются все це лые и все дробные числа) .
Посмотрим, можно ли занумеровать все рацио
нальные числа с помощью натуральн ых . Для
простоты рассмотрим сначала все положитель
ные рациональные числа и попробуем их как
вибудь занумеровать. Сразу же сталкиваемся
с трудностью : среди положительных рацио
нальных чисел заведомо пет наименьшего чис
ла, каким является единица среди натураль
ных чисел : ведь каково бы ни было положитель-
1
вое рациональное число r, число 2 r также
является положительным рациональным чис
лом, и оно меньше , чем r. Предположим, 11
1
ы
обойде м эту трудность, начав счет с какого
нибудь рационального числа r
l' которое со
гласимся считать первым. Но тогда на следую
ще м этапе возникает такая трудность: какое
. рациональное число считать вто рым, т. е . не
посредственно следующим в порядке нашего
счета за числом r1 ? Дело в том, что , какое бы
рациональное число r2 > r 1 мы ни взяли ,
имеются рациональные числа большие , че м r
1,
378
и меньшие , чем r2, и таких бесконечное мно
жество , например числа:
r3=;(r1+r2),r4=�(r1+r3),•••
Таким образом, среди всех рациональных
чисел , больших, чем выбранное нами число
r 1, нет наименьшего . Rакое же объявить пе р
вым из следующи х за r1 ? Но возникшая труд
ность - кажущаяся . Она показывает тол ыю,
что невозможно зануме ровать рациональные
числа с помощью натуральных чисел таким
образом, чтобы при этой нумерации возраста
ющим номерам соответствовали возрастающие
числа. Придется попытаться занумеровать ра
циональные числа как-.t1ибудь иначе , не ст ре
мясь к тому, что бы число r2 , первое после r1
в порядке нашего счета , было и первым по
величине , т. е . наименьшим из все х следую
щихзаr
1 • А тогда н ужная нам нуме рация
находится очень легко .
В самом деле , каждое положительное ра
циональное число одно значно записывается
в виде несократимой дроби .Е. (целое число
q
п
п будем при этом записывать в виде дроби 1
и также считать ее несократимой) . Назовем
высотой дроби.Е.натуральноечислоq+р.
q
Под высотой рационального числа будем пони
мать высоту той единственной несократимой
дроби, которая является записью данного ра
ционального числа.
Посмотрим, сколько приходится рациональ
ных чисел на каждую данную высоту . Высоту
1 не имеет пи одно положительное раци ональ
ное число (потому что , записывая рациональное
u
бр
число в виде несократимои дро и q' видим,
что ее в ысота равна натуральному числу р + q,
атак как p:>-1, q:>-1, то p + q:>-2). Высоту
2 имеет, очевидно , единственное рациональное
1
число т= 1.
Высоту 3 имеют
1
нальные числа 2 и
1
2
дроби 2
и
1,
2.
123
Высоту 4 имеют дроби 3, 2, т ·
т. е. рацио-
Среди них оставляем лишь несократимые
1
3
4
3 и 1.Итак, высоту
имеют рациональные
числа�и3.
1234
Высоту 5 имеют дроби 4, 3, 2, Т,
среди

которых нет сократимых , так что на высоту 5
приходится 4 числа .
2345
Высоту6имеютдроби s•4•з•2
•Т·
среди кото рых несократимыми являются лишь
первая и последняя ; следовател ьно , высоту 6
1
имеют числа 5 и 5.
Продол жая рассуждать таким образом дал ь
ше , мы прежде всего убеждаемся в том, что ,
каково бы ни было натуральное число h>1,
есть лишь конечное число рациональных чисел
с это й высотой.
В самом деле, дроби с высотой h - это,
очевидно ,
1
2
h-1
h -1' h -2"'"
-1-
Их конечное число : h - 1. Среди этих дробе й
не которые могут оказаться сократимыми , а
остальные
дадут рационал ьные
числа с
высотой h.
Тепе рь уже очень легко занумеровать все
положител ьные рациональные числа: мы начи
наем с наименьше й высоты 2 и идем дальше ,
все время увеличивая на единицу высоту и со
считывая то· (всегда конечное) число рациональ
ных чисел . которое приходится на данную
высоту . Таким образом, число 1 = r 1 получает
1
номер 1. Далее идут два числа: r2 = 2 и
1
r3=2 высоты3, потомдва числа: r4=зиr5=3
1
2
высоты 4 , потом четыре числа: r6= 4, r7=
3,
3
1
r8=2, r9=4высоты5,два числа: r10=5,
r11 = 5 высоты 6 и т. д. Получаем таблицу
(через nh обозначено число рациональных чи
сел высоты h):
Высота
2
3
4
5
Числа данной высоты
r1(п2=1)
r2,r3(п3=2)
r4,r0 (п4 = 3)
r6,r7,r8,r9 (п0 = 4)
Так как каждое рационал ьное число имеет
своей высотой некоторое натуральное число h,
оно найдет свое место в ст роке , соответствую
ще й этой высоте , и получит определенный но
ме р, не больший, чем число n2 +n3+". + nh-i +
+nh.
Итак , множество все х положительных ра
циональных чисел есть счетное множество .
П ОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
Множество всех действите.�1ьных чисе.J
J
несчетно
И тем не менее несчетные множества суще
ствуют . Оказывается , множество все х де йст
вительных чисел - нес ч е т н о. Этот заме-
·
чательный факт , как и те орема о счетности
множества всех рациональных чисел , впервые в
1874 г. был до казан знаменитым немецким мате-
Георг· К антор.
мати:ком Г. Кантором, основателем современной
теории множеств . Воспроизводим до:казател ьст
во Кантора . До:казываем, что несчетным являет
ся уже мно жество . всЕ!х действительных чисел
инте рвала 1 (О ; 1).
Каждое та:кое де йствительное число может
бЬ{т ь записано в виде бес:конечной де сятичной
дроби с це лой частью нуль. При этом :каждому
де йствительному числу соответствует лишь од
на та:кая запись, за ис:ключением де йствитель
ных чисел , выражаемых :конечными десятичны
ми дробями : :каждое та:кое число , например
0,2476622021711, может быть записано двумя.
способами в виде бес:конечной де сятичной дроби:
0,2476622021711000000000 ".
и
0,2476622021710999999999 ."
Одн а из этих записе й начиная с не:которого
момента соде ржит одни лишь нули, а другая
одни девят:ки . Если мы согласимся не употреб-
1 Под инте рвалом ( а ; Ь) числовой прямой понимает
ся множество всех действительных чисел х , удо влет
воряющи х неравенству а<х<Ь .
37&

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
лять записей, в ноторых, начиная с наного
нибуд ь места, идут одни де вятни , то наждое
де йствительное число будет иметь лишь един
ственную запись в виде бе сконечно й де сятич
ной дроби . Докажем теперь теорему о несчет
н остп множества действительных чисел от про
тивного : предположим , что множество дей
ствительных чисел [мы говорим все время о чис
лах Х интервала (О ; 1)] счетно, т. е. может
быт ь занумеровано пос редством натуральных
чисел . Тогда вся совокупность действител ьны х
чисел интерва.'lа (О ; 1) может быть записана
в виде последовате.11 ьности: xl' х2, •
•••
З апишем
раз.'lожение числа хп в бесконечную десятичную
дробь в виде: хп = О , a<j> а<2> а<3> а<4> ... а<�>,
где a<j>, а<2>, а<13>,...
суть последовательн:�.1е
десятичные знаки числа хп , причем , согласно
заключенному нами условию , не может слу
читься, что все десятичные знаки начиная
с некоторого суть девятни .
Ита�>, все действительные числ а х [интерва
ла (О ; 1) ] предполагаются записанными в виде :
(1)
Х1=О,
Х2=0,
Х3=0,
Х4=О,
а<О1 a(I>
2
а< Оз
a<i> а<2>2 а<2>з
а<О
4
а<2 >
4
ач>...а<�>... ,
а<2> (2)
5 •••а
п
...,
а<З> а<З> а<З) а<З> а<З> а<З>
1
2
З
4
5•••
n•••
,
а<4> а<4> а<4> а<4> а<4> а<4>
1
2
З
4
5 •••
n
••••
х = о a<n) a<n) a<n> a<n) a<n) a<n>
п
'
1
2
з
4
5•
•
.
п.••,
Фо1с�с геои етрии движеи11 я
Приведем наше предположение к противоре
чию , найдя де йствительное число с, заклю
ченное между О и 1 и заведомо не входящее
в т,абл . I. Для этого рассмотрим цифры, стоя
щие по диагонали в табл. 1 , а именно:
а<р, а<�>, а<�>, а<�>, а<�>,...,а<�>, .
•
.,
и выберем для каждого п натуральное число Ьп,
не превосходящее число 8 и отличное от числа
а·�
п> (например, при a�n> <8полагаемЬп = а�n>+1,
а при a�nJ
= 8 полагаем Ьп = 7).
Рассмотрим бес1юнечную десятичную дробь
О, Ь1Ь2Ь3Ь4Ь5".Ьп" "
Она не соде ржит ни одно й де вятни и выражает
число с, заключенное между О и 1, заведомо
отличное от всех чисел х1 , х2 , х3 , •••, хп
,"•
В самом деле , если бы было :
с=X
n
=О,a<j>а<�>•
•
•
а<�>•..,
то на п-м месте в разложении числа с мы
должны были бы иметь цифру a�n >
, тогда как
де йствительно имеем b п=f=a�nJ. Теорема док азана .
Мощность иножества
Нам нужно осмыслить получ енный резуль
тат и подвести некоторые итоги всему до сих
по р сказанному . Мы начали с понятия взаим
но-однозначного соответствия между двумя
н Ьiми буквами
(в любом порядке) .
Теперь поставьте карандаш на любую
11е узловую точку и двиrайтесь вдоль
кривой , как бы повторяя ее построение.
Проходя узловую точку, называйте
букву, которой точка обозначена.
сниз)·· Если перестановк11 букв не бы·
по, то �;ажда я буква появится однаж·
ды сверху и однажды снизу черты.
Есп11 перестановка была, то одна бук·
в а появится дважды сверлу и одна
дважды снизу. Вот в этих буквах и бы·
ла перепутана их последовательность !
П р 11 м е р. Мне называют буквы:
с,С,Е,А,В,D,Е,А,D,В.
Начертите замкнутую кривую , пере
секающую себя 10-12 раз. Но кри·
вая может пересечь себя в каждой
точке не больше одноrо раза . Все
точки 11ересечения обозначьте различ-
Обойти надо всю кривую и вернуть
ся в исходный пункт. На каком-нибудь
этапе движения назовите две после·
довательно проходимые буквы, но не
в порядне их следования, а наоборот .
Например, если за буквой В следует
буква F, вы произносите вслух не
«В, F», а «F, В». Мне не сооб
щайте о такой перестановке после
довательности двух букв , но запо
мните это место. Я его уrадаю.
Фокус основан на теореме теории
узлов. Угадывающему надо записы
вать называемые буквы на полоске
бумаг11 поочередно сверху •1ерты и
Я записываю :
Замечаю, что сверху черты два
раза встречается Е, а снизу - два
раза А. Значит, узлы Е и А были
названы не в той последовательности ,
в которой он11 действител ьно рвспо
пагаш1сь.

множествами , возможность :которого (в случае
:конечных множеств) равносильна тому, что оба
множества состоят из одного и того же числ а
элементов. Это обстоятельство указывает путь и
:к установлению :количественного равенства, или
:количественно й
э:квивалентно
с т и, ме жду двумя бе сконечными множест
вами . Мы с:кажем, что два (:конечных или бес
конечных) мно жества :количественно эквива
лентны,илиимеютоднуитужемощность,
если между ними возможно установить взаим
но-однозначное соответствие . Понятие «одина
ковой мощности� означает для :конечных мно
жеств , что они состоят из одного и того же
числ а элементов.
Далее с:кажем, что мно жество А имеет бол ь
шую мощно сть , чем множество В, если можно
множество В отобразить взаимно-однозначно
на часть мно жества А и в то же время нельзя
отобразить множество А на часть множества
В. Тепе рь можем сказать, что счетные мно
же ства - это множества , :количественно эквива
лентные множеству натуральных чисел . Но
существуют множества и несчетные , наприме р
множество все х действительных чисел , инте р
вала (О ; 1) и любого другого инте рвала
1
•
Для того чтобы убедит ься в том, что вся:кое
несчетное множество имеет ббл ьшую мощность,
чем :каждое счетное множество (все счетные мно
жества имеют , очевидно , одну и. ту же мощ
ность) , надо доказать следующие два пред
ложе ния :
1. Всякое подмножество счетного множе
ства или конечно, или счетно.
2. Всякое бесконечное (значит , в частности,
вся кое несчетное) множество с о держит счет ное.
Доказательство первого ут
в е р ж дения. Пусть Х - счетное множест
во, Х 0 - :ка:кое-нибудь подмножество (т. е. часть)
мно жества Х. Элементы множества Х могут быт ь
зануме рованы посредством натуральных чисел ,
т. е. записаны в виде :
(2)
Среди этих элементов соде ржатся и все эле
менты множества Х0 • Пусть это будут - в
порядке возрастания номеров в последователь
ности (2) - элементы :
(3)
Возможно одно из дв ух: или последовател ь
ность ( 3) обрывается на :ка:ком-то нонечном
1 Всякий интервал чисяовой прямой может быть
взаимно-одноз начно отображен на интервал (О ; 1)
(на пример, подобным ра стяжением или сжатием) .
ПОНЯТИЕ МНОЖ ЕСТВА
шаге k, т. е . множество Х0 состоит из :конеч-
ного числа элементов: Xn,, Xn,,• • • , Xnk'
или
же мы имеем бе сконечную последовательность :
хп,, Хп.· · · · • xnk ••":которую можем переписать,
полагаяу1 = Xn,. у2 = Xn"· ··• Yk = Xnk,.", в виде:
У1• Yz· ···• Yk , ..•,
непосредственно показывающем, что Х0 -
счетное множество .
Доказа тельство второго ут
верждения. ПустьХ-бесконечноемно
жество . Выбираем в Х :какой-нибудь элемент х1•
Несомненно , в Х имеются элементы , отлич
ные от х1 (иначе Х состояло бы из одного.
элемента и было бы :конечным) . Возьмем о д ин
из та:ких элементов и обо значим его че рез х2 •
Элементы х1 и х2 не исче рпывают множества Х,
поэтому существует элемент х3 множества Х,
отличный :ка:к от х1' та:к и от х2• И та:к да
лее . Продол жая этот процесс , получим счет-
ное множество: х1, х2, х3" " , Xn " ••, содержаще
есявХ.
Ита:к , на вопрос , поставленный в начале
нашего изложения : существуют л и бес1шнеч
ные множества разных «степеней бес:конечно
стю> (т . е . разных мощносте й) ,- 11
1
ы можем
ответить утве рдител ьно : с у ще ствуют состоящи�
из де йствительных чисел мно жества двух раз
л ичных мощносте й � множество все х де йст
вительных чисел какого-нибудь интервала,
с одной стороны, и любое счетное множество
дейстuительных чисел (например, множеств()
поJТожител ьных рациональных чисел) - с дру
гой. К этому выводу мы пришли, обосновывая
:количественную оцен:ку бесконечных мно жеств
при помощи понятия взаимно-однозначного со
ответствия . Однако не · следует думать , что
взаимно-однозначное соответствие между бе с1ю
нечными множествами во всем похоже на
взаимно-одно значное соответствие между' мно
жествами конечными .
Очев идно , никакое конечное мно же ство.
нельзя взаимно-однозначно ото бразить на сво10.
часть (часть никогда не равна це лому) . Уже
простейшие примеры показывают , что это ут
верждение решительно пе рестает быть ве рным
в области бесконечных множеств : мы видели �
что всякое бесконечное подмножество счетного
множества счетно , т. е . счетное множество мо
жет быть взаимно-однозначно отображено на.
всякую свою бесконечную часть. Например�
38:t

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
Рис. 4.
де йс твительных чисел (между все й числовой
прямой) и любым ее интервалом.
Для того чтобы получит ь такое соответст
вие , можно поступить так . Построим в пло
скости окружность, :к асающуюся све рху оси
абсцисс , и возьмем нижнюю полуокружность
PQ этой о:кружности (рис. 4). Концы Р и Q
полуокружности :к ней не причисляются . Уста
новим взаимно-одно значное соответствие меж
ду всеми точ1шми полуокружно сти PQ и всеми
точками числовой прямой. Для этого сначала
поставим в соответствие :каждой точке е пря
мой ту точну 'tJ полуокружности , в которой
ее пересекает луч, идущий из це нтра окруж
ности в точку е.
подписывая под всеми натурал ьными числами
Тепе рь спроектируем
P' Q'
на инте рвал
оси
полуокружность PQ
абсцисс и поставим
полуокружности ее
,подряд вес четные :
1,2,3,4,5, 6, 7' 8,
2,4,6,8,10,12,14,16,
9' 10" ."
18, 20" ..,
в соответствие точке 'tJ
проекцию "f{ .
,получим
взаимно-однозначное
соответствие
,ме жду множеством всех. натуральных чисел
. и его частью - множеством одних лишь чет
ных чисел .
в результате :каждой точке е прямой ока
залась поставленной в соответствие точка 'tJ'
инте рвала Р' Q' , и полученное соответствие
есть взаимно-одно значное отображение всей
числовой прямой на инте рвал Р' Q' .
Другой пример: суще етвует взаимно-одно
_ значное отображение между множеством всех
Можно до:казать и другие , кажущие ся на
пе рвый взгляд парадо:ксальными , теоремы
.Своltства совершенных чисе.JI
«Совершенство »
совершенных
чисел не исчерпывается совпадением
числа и суммы ero делителей (см.
стр . 325) . Любител и и профессио
ивлы-мвтематнки со временем обнару
жили еще несколько любопытных осо
бенностей таких чисел , например :
в) каждое из известных совершен-
11 ых чисел может быть предста влено:
1) в виде произведения 2 р- 1 (2р-1 ),
rде р - простое числ о:
V1=6=2(2' - 1);
V,= 28=2'(2'- 1);
V,= 496=2'(2•- 1);
V,= 8128 = 21(2' - 1);
v.= 33550336 = 21• (2" - 1);
2) в виде суммы последовательных
степеней числа 2 от 2Р-1 до 22(р-1):
v,=6 =2+2';
v.= 28=2'+23+2';
v,= 496=2'+2•+2•+2'+28;
V,=8128 =2'+2'+". +211+212;
v.= 33550336=212+213+ ...+2"
ит.д.;
б) каждое из известных совер
шенн ых чисел , начиная с У, , рвЗ1
1
в
rается ив сумму кубов последователь
ных нечетных чисел :
v.=28=1'+3';
v,=�96="+38+53+7•;
882
v,=s128=1'+3•+5•+7'+9'+
+113+133+153;
v.= 33550336=1•+3•+ ...+121•
ит.д.;
в) складывая цифры квждоrо из
известных совершенных чисел, начи
ная с У, , и повторяя этот процесс
для получающегося результата неко
торое количество раз, всеrдв в конце
КОНЦОВ ПОЛУЧИМ ЧИСЛО 1:
V,=28; 2+8=1О; 1+О=1;
V, = 496; 4+9+6= 1 9;
1+9=10; 1+0=1;
V, =81 2 8; 8+1+� +8=19 ;
1+9=10; 1+0=1;
v. = 33 550 336; сумма цифр = 28;
2+s=10; 1+о=1ит.д.;
r) если за основание системы
ч11сел принять не 10, в 2, как зто
теперь иноrдв приходится делать для
использоваиия электронных вычисли
тельных машин, то совершенные числа
принимают такой вид :
по ос нованию 1 О
v,=6=2(2'-1);
v,=28=2'(2'-1);
v, = 496=2'(2'- 1);
v,=8128=28(21-1);
по основанию 2
V, = 110;
V, =11 100;
V, =111 110 000;
V,=1111111000000 ит.д.
К ак видим, в системе с основа•
нием 2 число единичек совпадает о
числом р в десятичной записи совер
шенного числа
Vn =2P -1(2P -I),
в число нулей равно р - 1.
Желающим предл агаем попробо·
ввть свои силы в решении следующей
трудной задачи , связанной с укааан•
ным выше свойством б) .
Доказать , что каждое совершен•
вое число вида
Vn=2Р-1(2Р-1),
начиная с У, , разлагается на сумму
кубов нечетных чнсе.1
1
, rде количество
слаг аем ых равно 2
(р- 1)/2•

о мощности различны х множеств . Упомянем
лишь одну из них: существует вза им но-одно
знач ное соответствие между всеми точками ·
прямой и всеми точками плоскости.
З аметим, наконец, следующее . В матема
ТИI\е наибольшее значение имеют так называ
е мые числовые множества , т. е. множеств а, эле
ментами кото рых явл яются действител ьные
числа. Все известные в настоящее время чис
.ловые множества или счетны, или имеют ту же
мощность, что и вся числовая прямая . Воз
никла , таким образом, гипотеза , что всякое
несчетное числовое множество имеет ту же
,мощность, что и вся числовая прямая . Эта
гипоте за была высказана еще l\антором и из
вестна под название,.� континуум-гипотезы . Она
не доказана до сих по р, что связано , по-види
, мо му , с большими трудностями , возникающими
при рассмотрении произвольных числовых
множеств . Трудности эти получают свое осве
ще ние в так называемой математической ло
гике , и мы о них здесь , конечно , говорить
)le можем.
Эта статья имеет своей це лью дать лишь
)lачальное представление о некоторых простей
ших понятиях обширно й области математики 
'l'еории множеств , области , возникшей менее
·че м сто лет назад.
АЛ Г ЕБРА МНОЖЕСТВ
И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
A.JiгeOpa чи се.JI
•
В арифметике и алге бре рассматривают чис
ла разной при роды - целые числа, рациональ
ные числ а (дроби) и другие . Во всех случаях
с каждыми двумя числами а и Ь сопоставляются
.еще два числа а+Ь и аЬ , называемые с ум
мой и произведениемчиселаиЬ.
Определение суммы и произведения двух чисел
различно для чисел разной природы . Так , если
IL есть целое положительное число , то его
можно представлять себе как число предметов
АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
в некото ром наборе . При этом сумма а + Ь
означает число предметов , которое мы полу
чим, если объединим пе рвый набор, соде р жа
щий а предметов , и второй набор, соде р жащий
Ь предметов (рис . 1). Если же объе диним Ь
наборов , каждый из которых соде ржит по
а предметов, то всего мы получим аЬ предмет01�
а•е.с
'()v(), ()v(), {)v()'
а-.
..
._
_
/а--
--
--
а
-.
..
..
..
..
._
ераэ
Рис. 2.
(рис . 2) . Б олее сложно определяются сумма
и произведение дробей - например, так :
�+�=а1Ь2+а2Ь1 и а1 Ь1
а1Ь1
а2
Ь2
а 2Ь2
а;·Б; =а2Ь2•
Здесь числа а1, а2, Ь1, Ь2 - целые. Иные
правила относятся к сложению и умножению
отрицательных чисел : среди этих правил есть,
скажем , такое :
(-а)(-Ь)=+аЬ.
Но не зависимо от природы рассматривае
мых чисел и от определения суммы и произве
дения чисел общие законы действия над чис
лами остаются одни и те же . Вот эти законы :
а+Ь=Ь+а
(коммута.тивный,
или
п е ремести-
т ельн ы й, закон для сложени я);
аЬ=Ьа
(к омм у тати в н ы й, или переместитель
н ы й, ЗаIЮН для умножени я);
(а+Ь)+с=а+(Ь+с)
(ассоциативный, или сочетательный,
закон дл я сложения);
(аЬ)с = а(Ьс)
(ассоциативный,илисочетательный,
закон для у мно жен и я);
(а+Ь)с=ас+Ьс
(д истрибутивный, или распредели
а•в.с
т ельн ы й, закон).
При этом сразу бросает
ся в глаза , что п равила, от
носящиеся к с ложению чи
сел , очень по хожи на пра-
+
,()()(),= ,()()()()(),
Vв
Vc
Рис. t.
вила умножения .
388

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
Например :
а+Ь=Ь+а 11 аЬ=Ьа,
(а+Ь)+с=а+(Ь+с) и(аЬ)с=а(Ьс).
Это сходство между де йствиями сложения
и умножения находит отражение и в сущест
вовании двух замечательных чисел О и 1 -
таких, что прибавление одного из них и умно
жение на вто рое не ме няют ни одного числа:
а+О=аиа•1
=а.
Следует , впрочем, заметить, что сходство
между де йствиями сложения и умножения не
простирается особенно далено . Так , например,
число О и г рает осо бую рол ь не только по отно
шению к сложению , но и по отношению к умно
жению : эта особая роль числа О определяется
замечательнЫм равенство11
1
а.О =О.(Из3то
го равенства, в частности , вытекает , что де
лить на О число а + О нельзя .) В противо
положность этому , чис.цо 1 ·по отношению к опе�
рации сложения не играет никакой особой
роли : равенство , кото рое по-лучается из равен
стваа·О =ОзаменойчислаОначисло111
операции умножения - опе рацие й сложенпя:
а+1=1,
почти нююгда не будет верным . (Это равен
ство справедливо лишь при а = О.)
.
Также и дистрибути вный за.кон :
(а+Ь)с=ас+Ьс
подче ркивает различие ме жду де йствиями
сложения и умножения . Есл и заменить в
записи этого закона сложение у 11
1
ножение11
1
и
наоборот , то получим курьезное «равенство» :
(а·Ь)+с=(а+с)·(Ь+с),
ка�< правило , не выполняющееся : так, 1 . 2 +
+3=5,а (1+3)·(2+3)=20.(Равенство
(а.Ь)+с=(а+с)·(Ь+с) справедливо
лишьприс=Оиприа+Ь+с=1.)
В математике , однако , операции сложения
и умножения определяются не только для
чисел . При этом иногда удается прийти к «ал
гебре» , в которой сходство между опер ация11
1
и
сложения и умножения оказывается бол ьш:Им ,
чем в обычной «числовой» алгебре . В качестве
п римера можно указать «алгебру множеств)>.
A.i
i
г e«Jpa ивовсеств
Рассмотрим систему всевозмо·ж.вы х. J11Но
жеств (совокупностей) те х или ИВЬ{Х о бъек тов ;
для коцкретности будем все время говорить ·
о множествах учеников нашего класса .
884
Су11
1
муА+В двухмножеств АиВ
определи111 как такое мно жество , которое по
лучаетсяпри объединени11 множеств
А и В; другими словами , в множество А + В
входят все те , и только те объе.кты , которые
входят в мно жество А или в множество В.
Так , например, если А есть множество отш1ч
ников из нашего класса , состо ящее из учени
ков Пети, Саши, Кати, Веры и Наташи, а В -
множество учеников, сидящи х в первом ряду,
и состоящее из школьников Илыr, Гришп , З он ,
Кати , Наташи и Яши , то сумма А +Вэтих
двух множеств состоит из учеников, кото рые
являются отличниками или сндят в первом
ряду; в .нее входят ученики Петя, Саша, Катя,
Вера, Наташа, Илья, Грнша, Зоя и Яша
(рис. 3).
отличнини
УЧЕНИНИ. СИДЯЩИЕ
8 ПЕРВОМ РАДУ
1\•·в· · с
.it��tHt.
Vc
ОТЛИЧНИНИ ИЛИ УЧЕНИНИ,
СИДЯЩИЕ В ПEPl:IOM РЯД)'
Рис. 3.
То обстоятельство , что мы назвали «сложе
ниеJ1.н> совершенно новую опе рацию, не должн о
нас смущать,- ведь мы и раньше каждый раз ,
когда пере ходили от чисел одной природы к
числам Другой природы , определ яли сложение
по-новому . Ясно , например, что сложение по
л ожительных и отрицательных чисел - это
не то же самое , что сложение одних положи
тельных чисел; так, с умм а чисел 5 и (-3)
это то жесамое,что разность
чисел
5 и 3. Сложение дробей - не то же самое , что
сложение целых чисел ; рис . 1, изображающий
сложение чисел , становится непригоден , когда
речь заходит о дробях. Однако , назь_r вая уше
знакомым нам словом «сло жение)> новую опе
раЦ11ю � мы каждый · раз должны бы,r
r
и .шiшь
«доучив аться» , но не «переучиваться»,- навы
ки, выработавшиеся в процессе де йств ий с це-

лыми числами , оказываются полезными и при
действиях с дробями , правила де йствий над
положительными числами полезны и при дей
ствиях с относительными числ ами и т. д . Это
связано с те м, что общие законы, которым под
чиняется операция сложения целых чисел , ос
таются в силе и в дал ьне йш ем, скажем при
пе реходе к дробным числам ; так , в обоих слу
чаях сложение коммутативно (т . е. а + Ь
=
Ь+а) и ассоциативно: (а+Ь)+с=
=а-j-(b+с).
Посмотрим теперь, сохраняют ли силу эти
законы и для множеств . При этом нам удобно
будет испол ьзовать специал ьные диаграммы ,
иллюстрирующие действия над множествами.
Усл овимся обозначать весь :класс (точнее г ово
ря , множество всех уче ни:ков :класса) :квад
ратом; в этом :квадрате можно расст авить ряд
точек , п о числу учени:ков (рис. 4). При этом
000000
ос���ооо
ПЕТЯ CAll
l
A
о��••••о
ВЕРА КАТЯ ИЛЬЯ Э·ОЯ
00ft880
Hдil'AW A RUJA ГР ИША
00000 0
000000
Рис. i.
отдельные множества учени:ков будут изобра
жаться частями квадрата; та:к , например , изоб
раженна я на рис. 5 ,а фигура графиче ски иллю
ст рирует множество А отличников, а изобра
же нная на рис. 5 ,6 - множество В учеников,
сидящих в первом ряду . Под с умм ой двух мно
жеств А и В понимается фигура, получаемая
объединением фигур , изображающих мно
жества А и В (рис. 6).
Такие диаграммы принято называть д и а
г раммами Эйлера или диаграмма ми
Венна. Они позволяют наглядно представить
операцию сложения множеств и проверить ее
свойства .
Ясно , например , чт о
А+В=В+А
(:коммутативный за:кон дл я сложения множеств;
рис. 7). Та:кже ясно, что
(А.+В)+С=А+(В+С)
•25д.э.т.2
АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
а
Рис.5.
(ассоциативный
за:кон
для сложения множеств ;
рис. 8).Сумму(А +В)+
+С=А+(В+С)
естественно обозначать
просточерезА+В+С
(бе з с:кобо:к) .
Определим
теперь
произведение А · В или
АВ двух множеств А
и В ка:к множество ,
получаемое в п е ре -
се чени и
множеств
•
6
Рис. 6 . Сумма фиrур -
это их объединение.
А и В; другими сл овами , в множество АВ вхо
дят те , и толь:ко те , элементы , которые входят
ка:к в множество А, та:к и в множество В. Та:к ,
например , если А и В - указанные выше мно
жество отличников и множество учени:ков, сидя
щих в классе в первом ряду, то множест во АВ
состоит из тех учени:ков, :которые являются
отличниками и сидят в первом ряду; оно со
стоит всего из двух учени:ков - Кати и Наташи
(рис. 9) . На рис. 10 то же множество АВ изоб
раженонадиаграмме:как пересечение
множеств А и В.
Использование
термина
«произведе ние»
в соверше нно новом смысле оправдывается тем
обстоятельством , чт о, ка:к и для обыкновен-
l\•B • B•I\
(#\•В)•С •1\ •(В•С)
Рис. 7.
Рис.8.
38�

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
.itfЛ� ffH�t-c#�
на рис. 13,а,- это в точности то множество,
:которое заштриховано на рис. 13, 6. Отсюда
заключаем: в «алгебре множеств» выполняется
· дистрибутивный закон :(А +В) С=АС + ВС.
vf\
VB
'�
Рис. 9.
ного
имеем :
умножения , мы
АВ=ВА (ком-
f\B•81\
(f\B )C • f\(BC)
Рис. 11 .
Рис. 12 .
Рис. 10. Произведение двух
фи rур - зто их пересечение .
мутативный закон для
умноже ния
множеств;
рис. 11) и (А В)С=А(ВС)
(ассоциативный закон
для умножения мно
же ст в; рис. 12) . Множе
ство
(АВ)С = А(ВС)
е стественно обозначат ь
просто че рез АВС (без
скобок) .
Проверим т еперь , выполняется ли дл я мно
жеств дистрибутивный закон . На рис. 13,а
заштрихованы множества А + В и С, при этом
двойной шт риховкой оказывается покрыто мно
же ство (А + В) С. На рис. 13, 6 различно за
шт рихованы АС и ВС; при этом ка:к-то з аштри
ховано множе ство А С + ВС . Но легко видеть,
что множе ство , покрытое двойной штриховкой
•~
A.J
J
re6pa правды и .J
J
ЖH
886
Всем, кто впос.1
1
едствии ооже.1
1
ает
изучить прави.1
1
а а.11rебры .1
1
оrики ,
и меет смыс.11 предварите.1
1
ьио попрак
тиковаться в применении своеобраз
н ых математических
приемов вы
яв.1
1
ення истины из поступившей ин
формации, содержащей в себе и правду,
и.1
1
ожь. Пусть по.1
1
ученная информа
ция состои т из иеско.1
1
ьких сообщений,
причем заранее известно , что правдиво
то.1
1
ько какое-то од110. Сейчас несуще
ственно - часто и.1
1
и редко в действи
те.1
1
ьиости может оказаться такая
ситуация.
УсJJовимся , что зквива.1
1
ентом вся-
1соrо верноrо утверждения будет чис.1
1
0
1, а всякоrо .1
1
ожноrо - чис.1
1
0О.
Тоrда по.1
1
уче11ные сведения можно
ооределеинi.1м образом закодирова ть
(:lа шифрова ть) снмво.1
1
амн и сос тавить
из зтнх :симво.1
1
овичнсеJJО и1 неко
торЬ/е
а.1
1
rебраические
выражения
и равенства. При этом ·каждое ут
верждение можно представить в двух
в ид ах: как произведение и как сумму.
Пусть буквами А и В обозначены
-два верных утверждения, т. е. каж-
а
б
(R•в)с
f\C•ВС
Рис . 13.
дая буква имеет зн ачение 1; тоrда
зовут Костя, и ему еще то.1
1
ько недав-
произнеденне А R = 1; но ес.1
1
и.4.н.1
1
и
но испо.1
1
ни.1
1
ось восемнадцать.
Н.1
1
ожно, т. е. имеет зиачеm1е О,
то А ·В =О. Сумму двух верных утвер- ·
ждеиий (т. е. двух единиц) с.1
1
едует
считать равной 1, А+В= 1, так
как в нашей а.1
1
rебре нет чнсе .1
1
, пре
оышающих единицу; в самом аеле ,
ведь ничто не может быть бо.1
1
ее. пр11-
ви.1
1
ьным, чем
«верно»
Однажды
произо ше.1
1
такой разговор :
М а м а. Вчера мне сказа.1
1
и, что
Саша, сын Нико.1
1
11н Ивановича, уже
ОКОНЧИJI институт , а ему еще TOJlh
KO двадцать один год.
Папа.
Ты что-то напута.1
1
а,
дорогая .
Сына Нико.1
1
ая Ивановича
Дочь. ЯнезнаюсемьиНикоJ1а11
Ивановича ,
но
помню,
подруг1t
утвержда.1
1
а,чтоегосыну25.1
1
ет.
и при втом называла она его други""
именем , ire Сашей.
При помощи вычимений опре-
делите имя и возраст сына Нико.1
1
а11
Ивановича , пол агая , что в каждой
из полученных информаций содержат
ся верные сведения либо то.1
1
ько ()
возрасте , .1
1
ибо то.1
1
ько об имени .
Решеи и е на стр. 471.

<�Нуе1
1
ь» и «единица>)
Выясним , существует ли в «алгебре мно
жеств)) такой элеме нт О «нуль» , чт о прибавление
его к любому множеству А не ме няет этого
множества . Ясно , что последнее возможно толь
ко в том случае , е сли «l\111ожество О)) совсем
не содержит элементов , является «пустым)) .
Но в последнем случае не хоче тся даже гово
рить о «множестве)) , накое же это множество ,
состоящее из отдел ьных элементов , если этих
элементов вовсе нет ?
В учении о множе ст вах , однако , цедесооб
разнее причислять п у сто е м н о жеств о,
вовсе не содержащее элементов , к числу рас
сматриваемых ·множеств. Ведь в противном слу
чае мы зачастую не сможем говорить о · мно
жестве , не выяснив предварит ельно , суще
ст вует оно или нет . Так , прежде чем сказать:
11Множество отл ичников из IX «а>> класса школы
No 13 Ленинг рада)) , - нам придется пойти в
школу и справиться об успеваемости учеников
этого класса . Гораздо удобнее спокойно гово
рит ь об этом множестве , оговорив только , чт о
о но может быть и «пустым)) , т. е . не содержать
н и одного элемента . В ряде случаев мы можем
заранее ска зать, что то или иное множество
не является пустым; так , не пустое , разуме
ется , множество самых высоких учеников клас
са (это множество может иногда содержать
и больше одного ученика) . В иных случаях мы
сра зу скажем , что множество , о котором идет
речь,- пустое . Так , коне чно , пустым является
множество обучающихся в нашем классе жи
вых сл онов ил и мно жество учеников , имеющих
две головы . Однако в бол ьшинстве случаев
лишь более тщател ьный анализ позволяет ука
з ать, является то или иное множество пустым
или нет . Так , например , множество Семенов
·ИЛИ
множество левшей из наше го класса может
быть пустым ИJIИ не пустым . Пустое множест 
во в дал ьнейшем всегда буде м обозначать зна
ком О. Такиl)f образом , дл я каждого множества
А буде м иметь (рис. 14):
·
А+О=-=А.
Подобно известному правилу а · О = О ал
гебры чисел , дл я любого множе ства А:
А·О =О.
В самом деJ1е , множе ство А .о, по определению ,
состоит из всех элеме нтов , принадлежащих и
множе ст ву А и множест ву О. Но множество О
вовсе не содержит элеме нто в и не может со
держать элементов и множество А ·О.
Теперь за дадимся вопросом о «множестве 1»,
обл адающем т ем свойством , что произведе ние
25*
АЛГ ЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
его на любое множест
во А дает А. Последнее
о значает , что пересе
че ние ИJIИ общая часть
«множе ства 1» и множе
ства А для любого мно
жест ва А совпадает с
самим эт им множеством .
Но это возможно, разу-
меется , лишь в том слу-
'
чае , е сли «множество 1 »
1\•о.1\
содержит в с е вообще
Рис. в.
суще ствующие эле ме н-
ты . Так , если мы рассматривае м всево зможные
множества ученинов из нашего класса , то роль
единицы будет играть множество в с е х обу
чающихся в классе учеников . Нетрудно понять ,
чт о, скажем , произведение этого множества и
множества А будет состоять из всех отлични
ков (т . е. совпадать с А); произведение этого
множества и множества В будет состоять и;�
всех учеников , сидящих в первом ряду (т . е.
будет совпадать с множест вом В) .
Множество , состоящее из всех элементов
всех рассматриваемых множеств, на зы вается
полным, у нив ерс аль н ы м, или едини ч
.ны м; мы будем обозна
чать его знаном ! . Та-
ким образом, для дю
бого множества А:
А·!=А.
Универсал ьное мно 
жесхво ! графически
изображается
всем
квадратом , внутри кото
рого мы рисуем фигуры ,
изображающие ра злич
ные множества (рис . 15).
У�нвнте.1ы1ан и"11•ебра
Рис. 15.
До сих пор все рассматриваемые з ако ны
действий над множествами совпадали с зако
нами действий над числами. Однако на самом
деле алгебра множеств вовсе не копирует в точ
ности алгебру чисел ; она обладает и многими
уд ивительными свойствами , не имеющимu ме
ста в обычной алгебре . Мы начнем со второ
го дистр ибут ивного занона , получаемо го
из первого дистрибутивного з анона :
(А+В)С=АС+ВС
з аменой сложения умножением и наоборот:
АВ+С=(А+С)(В+С).
387

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
•
а
6
1\8.�
Рис. 16 .
Как уже ук азывалось, в алгебре чисел этот
второй дистрибутивный закон , вообще говоря,
места не имеет . По-др угому обстоит дело с ал
ге брой множеств. На рис. 16, а заштрихова ны
множества А В и С , так что заштриховано на
этом рисунке множество А В + С. На рис. 16,6
заштрихованы множес'tва ·А + С и В + С ,
так что двойной штриховкой покрыто множе 
ство (А + С) (В + С). Но легко видеть, что
множество , покрытое на рис. 16,6 двойной
шт риховкой , - это в точности то множество ,
которое заштриховано на рис. 16, а . Таким
образом , для любых трех множеств А, В и С :
АВ+С=(А+С)(В+С).
Далее , в ыше мы отмечали курьезное равен
ство: а + 1 = 1 , получаемое из равенства
а.О = О заменой нуля единицей и умножения
сл ожением . Но курьезным это равенство яв
ляется лишь в алгебре чисел . В алгебре же
множеств , очевидно , дл я любого множества А:
А+1=!.
В самом деле , сум:ма А + 1 представляет
собой множество, получаемое объединением
униве рсального множества 1 и множества А .
Но уже множество 1 соде ржит все имеющиеся
в нашем распо ряжении элементы , таи что при
бавление к нему множества А ничего изменить
неможет:суммаА+1-этотожесамоеуни
версал ьное множество /!
Отметим еще необычные равенства:
А+А=АиАА=А,
т акже в ыполняющиеся для каждого множества
А Н самом деле , сумма А +А представ
дяет собой объединение множества А с самим
собой. Но при этом мы придем к тому же
самому мно жеству А (рис . 17). Анал огично
этому произведение АА есть пе ресечени е
множества А с самим собой, но это пе ре-
388
сечение не отл ичает
ся от множества А
'
(см. тот же рис. 17).
Последние два ра
венства можно еще об
общить. Различные мно
жества можно сравни-
вать друг с другом. Ес
тественно считать, что
множество А «больше•
1\1\•Е\
Рис. 17 .
множества В , если все
элементы множества В
соде ржатся в множе
стве А . Это соотношение записывается так :
А�В или ВсА ; при этом гово рят , что �мно
жество А соде ржит множество В» или «м1.оже 
ство В соде ржится в множестве А». Так , мно
жество С де вочек , сидящих в первом ряду
(это множество состоит
из школьниц Зои , Ка
ти и Наташи) , содер
жится в множестве В
уче ников , сидящих в
первом ряду : в�с
(рис . 18) . Графически
соотношение А�В изоб
ражается тем , что фи
гура В целиком заклю
чается в фигуре А (рис .
19) или В совпадает с
А 1• Ясно, что если
А�В и В�С, то А�С
В=>С
Рис. 18.
(рис . 20) ; это утве рждение аналогично извест
ному свойству неравенств : е
'
сли а>Ь и Ь>с,
то а>с.
Нетрудн о видеть, что
если А�В, то А+В=А;АВ=В
•
В::
:>
С
Рис. 19 .
Рис. 20.
1 Соотношение А :JB , строго говоря , пе реносит
в алгебру множеств не соотношение а> Ь алгебры чисел ,
а соотношение а:;>, Ь («число а больше или ра вно Ь») .

•а
6
/\В•В
Рис. 21.
(рис . 21 а, 6) . Так как можно считать, что
А::
::J
A, то отсюда вытекают и два выписанных
ра нее равенства:
А+А=АиАА=А.
Мы видим, что правила алгебры множеств
во мно гом отличны от правил алгебры чисел .
Поэтому , дл я того чтобы овладеть этой уди
вител ьной алгеброй, приходится не только «до
учиваться» , но частично и «переучиваться» 
отказываться от некоторых привычных пред
ставлений , связанных с опытом де йствий с чис
лами .
Вот , например, одно из многих необычных ,
с то чки зрения алгебры чисел , тождеств :
(А +С)(В+С)А=АВ+СА
(рис. 22, а и 6).
Укажем теперь еще одно отличие алгебры
множеств от алгебры чисел , которое читател ь,
возможно , и не отметил . Имея де ло с числами ,
мы можем сравнить между собой л ю б ы е
два числа а и Ь: всегда одно из них бол ьше дру
гого (или эти числа равны) . Для двух множеств
А и В , однако , как правило , не будет иметь
ме сто ни одно из двух соотношений A ::
::J
Bи
B::
::J
A. Так , в случае указанных выше мно же
ства А отличников и мно жества В учащихся ,
•{/
б
/\В•С/\
Рис. 22.
АЛГЕБ РА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
сидящи х в пе рвом ряду , ни одно из этих мно
жеств нельзя считать бол ьшим. Только если
о дно из двух множеств целиком соде ржится
внутри другого, мы можем указать бол ьшее
из них; для других же множеств А и В, гра
фически изображенных на рис . 23 , а и 6 , ни
какое сравнение их невозможно . Таким обра
зом, лишь для нек ото р ы х пар множеств
А и В можно указать, какое из этих множеств
является большим.
Алгебра множеств с ее своеобразными за
конами де йствий, однов ременно и напоминаю
щими правила де йствий над числ ами, и отлич
ными от этих правил , была впервые указана
замечательным английским математиком про
шлого века Дж. Булем, отцом известной
писательницы Этель Лилиан Войнич (автора
романа «Овод») . По имени Буля алге бру мно
жеств часто называют «булевой алгеброю.
а
6
Рис. 23.
Основополагающее сочинение Буля , в котором
впервые строилась булева алгебра , называлось
«Исследование законов мысли» ; оно было на
печатано в Лондоне в 1854 г., т. е. более ста
лет
'
назад. Название книги Буля сначала может
показаться удивительным ,- какое отношение
имеет курьезная алгебра множеств к законам
нашего мышления? На этот вопрос мы поста
раемся ответить ниже .
Поскольку законы де йствий над множест
вами отличаются от законов действий над
числ ами , иногда считают , что эти де йствия
нел ьзя обозначить теми же символами , к ото рые
используются в алге бре чисел . В математиче
ской лите ратуре сумма множеств А и В часто
обозначается через А U В , а произведение этих
же мно жеств через А П В. При этом правила дeii�
ствий булевой алгебры множеств записывают
ся в с.'lедующе м виде :
AUB=BUA, лnв=вnл
(коммутативные законы) ;
388

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦНИ
джорд:�к Ву11ь.
(АUВ)UС=АU(ВUС),
(АnВ)nс=Аn(ВnС)
(ассоциати вные закон ы);
(АuВ)nс=(АnС)u(ВnС),
(АnB)Uс=(АuС)n(ВuС)
(дистрибутивные законы);
AUO =А,
АПI= А,
АЛО=О,
АUI=1,
AUA=A,
АПА=А.
Мы, однако , . предпочтем во всех случаях
пол ьзоваться знакомыми символами сложения
и умножения .
Допо.�.rне.нне множества.
Ана.�.rогня иежду с.�.rоженнеи
н уиноженнеи иножеств
Ве рнемся к установленным выше свойствам
действий алгебры. множеств . Сразу бросается
в глаза чрезвычайно тесн ая связь между за
fюнами , относящимися к сложению множеств ,
и законами умно жения . Выпишем сно ва эти
законы :
А+В=В+А, АВ = ВА;
(А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС);
(А+В)С=АС+ВС,АВ+С=(А+С)(В+С);
А+О=А, А/=А;
880
A+l=l, А0=0;
А+А=А, АА =А
и т. д. Из этой таблицы видно , что всякое равен
ство , тождественно .выполняющееся в алгебре
множеств , пр и замене знака сложения множеств
з наком умножения, и наоборот, и пустого
множества О (если оно входит в наше равен
ство) универсальным множеством / , и наоборот ,
переходит в новое р авенство , та кже тождес т
венно выполняющееся.
Сейчас мы до кажем это утве рждение в общем
виде . Для этого . нам понадо бится одна свое
образная операция алгебры мно жеств , сопо
ставляющая новое множество не с двумя задан
ными множествами (подобно сумме А + В
и произведению АВ заданных множеств) ,
а с.одним множествомА.Этаоперацияна
зывается образованием до полне н и я и обо
значается чертой, поставленной над множе-
ством. А именно , через А (читается : «дополне
ние А �) мы будем обозначать множество всех эле
ментов униве рсального мно жества /, не п р и
н адлежащи х множеству А . Так , если А есть
множество отличников из нашего класса, то
множество А состоит из всех учеников , не яв
ляющихся отличниками . На диаграмме мно-
же ство А изображается частью квадрата /,
не покрытой фигурой А (рис . 24). Ясно , что
А+А=/, АА =О(см.тотжерис.24,накото
ром графически изображены мно жества А и А) ;
эти два равенства можно даже принять за
определение
множества А . Отметим
еще , что (А) = А (рис . 25). Это последнее
равенство короче записывают так : А = А.
Очевидно,что /=Оий =/ (так как все
элементы входят в униве рсал ьное множество /
и ни один элемент не входит в пустое множе
ство О) . Кроме того , легко видеть, что
еслиА-:
:J
В,тоB-:
:J
A,
т .е . если множество В составляет часть мно
жества А; то дополнение А составляет часть до
полнения В (рис. 26, а, б}:
A•A·I
.
1\•/\
Рис. 24.
Рис. 25.

а
Рис. t6.
Докажем тепе рь следующие два важные
соотношения:
А+в=АВ иАВ=А+в'
или сл овами : дополнение суммы двух множеств
совпадает с пересечением дополнений этих мно
жеств; дополнен ие пр оизведен ия двух множеств
совпадает с суммой дополнений этих множеств .
В самом деле, на рис. 27 , а заштрихованы
множестваА иВ,анарис.27,6 -ихдо
полнения А и В. Но ясно , что фигура , заштри
хованная на рис . 27 , а, является дополнением
до всего квадрата / фигуры , покрытой на рис .
27 , 6 двойной штриховкой, т. е. фигура АВ;
это и доказывает равенство А + В = АВ.
Аналогично , фигура , покрытая на рис . 27 , а
двойной штриховкой, дополняет до всего квадра
та фигуру, заштрихованную на рис . 27 , 6 , от-
«уда следует, что АВ = А + В.
Из до .-азанных соотношений нет рудно вы
вести наше утве рждение , позволяющее по каж
дому соотношению алгебры множеств построить
новое соотношение . Рассмотрим какое угодно
тождество алгебры множеств , например первый
дистрибутивный закон :
(А+В)С=АС+ВС.
а
Рис. 27 .
АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛ ГЕБРА ЛОГИКИ
Так как множества (1+В)С и АС+ВС
совпадают , то совпадают и дополнения этих
множеств :
(А+В)С=АС+ВС.
Но мы знаем, что АВ =А+ В; по этому
(А+В)С=А+В+С.
С другой сто роны , нам известно , что
А+В=Ali.
Таким образом,
(А+В)С=АВ+с·.
Далее , в силу того же закона. А + В-= А.в
алге бры множеств, имеем: АС + ВС= АС· ВС.
Но Ас =А+Си ВС=В+С; поэтому
Ас+вс=(А+С)(В+С).
Таким образом, мы приходим к равенству:
.Ав+с=(А+С)(В+С),
которое , очевидно , лишь по форме отличается
от вто рого дистрибутивного закона:
АВ+С=(А+С)(В+С),
где вместо самих МН() жеств А, В и С выступают
их дополнения А, В, С. Но это сове ршенно
несущественно , поскол ьку как сами рассматри
ваемые мнс жеств а, так и их дополнения про
извольны . Таким образом , с по мощью образо
вания дополнения мы вывели из первого ди
стрибутивного закона вто рой дистрибутивный
закон .
Точно таким же путем мо жно из любого
тождества алгебры множеств получить другое
то ждество , в котором всюду операция сложе
ния заменена умно жением, и наоборот . При
этом если в пе рвоначальное тождестно входили
множества О и /, то в новом то ждестве они за
меняются соответственно на / и О; это свя зано
стем,чтоО=/и/=О.
Два способа аадания иножества.
Мноисества и высказывания
Поставим тепе рь вопрос о том , каким обра
зом можно задать то или иное множество . Про
ще всего это сделать, пе речисл ив все элементы ,
в совокупности составляющи1:1 данное мно же
ство : так , можно сказать, что фигурирующее
выше мно жество А состоит из школьников Пе-
891

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
ти, Саши, Кати, Веры и Наташи. Однако в тех
случаях , когда множество соде ржит много эле
менто в, этот явный, или пе речислитель
н ы й, способ задания множества мо жет оказать
ся очень неудо бным . Кроме того , при таком за
дании множества обычно оказывается зама
скированным самый принцип его образования ,
то общее , что служит причиной объединения
отобранных элементов в одно множество .
Вто рой способ задания множества состоит
втом,чтомыуказываемпризнак,харак
теризующий все эле менты множества, и тол ько
эти элементы . Так , выше мы говорили: «множе
ствоотличников»или «множествоуча
щихся,сиднщих в классе в пер
вом ряду» . Такой спосо б задания множе
стваназываетсянеявным илиописатель
н ы м. Этот способ заключается в том, что мы фор
мулируем некоторое высказывание,
касающееся элементов рассматриваемого уни
версал ьного множества 1 («быть отлични
ком» или «сидеть в первом ряду�) ; далее отби
раем те , и только те , элементы множества /,
кото рые этому высказыванию удо влетворяют .
Описательный способ задания множества
связывает учение о множествах с учением о
высказываниях , составляющим предмет м а
тематической логики.Высказы
в а н и е м мы называем всякое утверждение ,
которое может оказаться истинным или лож
ным ; при этом предпол агается , что в принципе
существует возможность установить , истинно
данное высказывание или ложно , хотя мы, быт ь
может , этой возможности не имеем. С <�той точ
ки зрения утверждение «ровно через 100 .лет
в этот день в Москве будет ясная погода»
является высказыванием, поскольку че рез
100 лет можно будет проверить , правда это
или нет . Напротив, утверждение «неде.ля -
это бо.лъшой пр омежуток времени» высказыва
нием не является в сил у неопределенности
выражения «бол ьшой промежуток временю>,
кото рое у разных лиц и в различных обстоя
тел ьствах может иметь совершенно разный
смысл ; здес ь, не обдадая несколькими допо.'1 -
нител ьными сведениями , никак нельзя сказать ,
является это утверждение истинным или нет .
Рассмотрим теперь высказывания , относя
щиеся к элементам определенного универсаль
ного мно жества 1; в случае , когда этим мно
жеством является множество учащихся дан
ного класса , это могут быть высказывания:
«ОН ОТЛИЧНИК» , «ОН .сидит в первом ряду» , «ОН
выше 1 м 50 см», «он старше 50 л«:'\т», «он - это
де вочка» , «он левша» , «он имеет две головы»
892
и т. д. Каждому такому высказыванию отве
чает некоторое множество элементов из 1, дл я
которых это высказывание является истинным ;
это множество называется множеством
истинности данного высказывания . Мно
жество истинности может оказаться пустым ;
в этом случае высказывание называется т о ж
дественно
ложным или проти
в о речивым. Так , для множества учени1юв
данного класса то ждественно ложными будут
высказывания «он имеет две головы>) или «ему
бол ьше 50 лет>); выше у нас фигурировало еще
одно высказывание , также заведомо противо
речивое в применении к ученикам какого-либо
класса : «он слою). В определенном смысле
противоположный случай - это тот , когда мно
жество истинности данного высказывания сов
падает со всем униве рсальным мно жеством 1;
в этом случае высказывание называется т о ж
дественно истинным или бес
еодержательным.Тождественноистин
ными являются , например, высказывания : <юн
(ученик определенного класса) моложе 50 лет» ,
«он мал ьчик или девочка>>.
Ао1
1
rебра множеств
и Odl'eбpa высказываниА
Высказывания мы буде м обозначать малыми
буквами латинского алфавита ; отвечающие этим
высказываниям множества истинности будем
обозначать бол ьшими буквами . Так , вьIСка
зываниям а - «ОН ОТЛИЧИИ/\)) и ь - «ОН сидит
в пе рвом ряду» отвечают указанные выше
множества истинности А и В . Тождественно
ложное высказывание всегд а будем обозначать
буквой о , а то ждественно истинное выска
зывание - буквой i.
Рассмотрим тепе рь две опе рации , позвол яю
щие по двум высказываниям строить новые ,
составные высказывания . В математической
.'I огике
эти операции называются латинскими
терминами «дизъюнкцию> и «Конъ-
ю н к ц и я» и обозначаются специа.'I ьным11
значками V и (\; так , а V Ь означает дизъюнк
цию высказываний а и Ь, а (\ Ь - конъюнкцию
(сравним с обозначе ниями суммы и произведе
ния , или объединения и пе ресечения , мно
жеств , указанными на стр. ;�89 ). Мы здесь дл я
простоты почти не буде м употреблять этих
сложных терминов и символов ; вместо :этого
будемговоритьосуммеа+Ьипроиз
в еден и и аЬ высказываний а и Ь.

Он ОТ ЛИЧНИН ИЛИ СИДИТ 8 ПЕРВОМ РЯДУ
'.ii&�iif i \
,J[lffl(�I �·1\,
v.
v
он от nичнин
он сидит в ПЕРВОМ РЯДУ
Рис. 28.
Подсуммой (дизъюнRцией)вы
сказываний а и Ь понимается высказывание ,
которое мы получим, если объединим выска зы
вания а и Ь союзом «ИЛИ>>. Например, если а
есть высказывание « он отл ичнию>, а Ь - вы
сказывание <юн сидит в пе рвом ряду» , то через
а + Ь будем обозначать высказывание «он
является отличником и л и сидит в первом ря
ду». При этом частичку «или» мы буде м всегда
понимать в смысле : «или первое , или второе ,
ил 11 то и другое вместе)> . Ясно , что если А есть
множество истинности высказывания а, а В 
множество истинности высказывания Ь , то
множеством истинности высказывания а + Ь
будет А + В (рис . 28). Так, в рассматривае
мом приме ре множество истинности высказы
ванин а состоит из школьников Пети , Саши ,
Кати , Веры и Наташи, а множество истинности
высказывания Ь - из школьников Ильи , Гри
ши, Зои, Кати, Наташи и Яши; множество же
истинности высказывания а + Ь образуют де
нять школьников : Петя , Саша , Rатя , Вера ,
Наташа, Илья, Гриша, Зоя и Яша.
Подпроизведением (конъюнк
ц и е й) высказываний а и Ь мы будем понимать
высl\азывание а Ь , получаемое , если объеди
нить высказывания а и Ь , связав их союзом «И>> .
Итак , множеством истинности высказывания а Ь
является произведение (пе ресечение) множеств
истинности высказываний а и Ь (рис . 29) .
В нашем примере это мно жество а Ь состоит из
двух учениц - Кати и Наташи .
Условимся еще называть два высказывания
одинаковыми,или э1\вивалентными,
если им отвечает одно 11 то же множество
истинности . Эквивалентность высказываний
буде м обозначать обычным знаком равенства .
Равенство а = Ь означает , что соде ржащиеся
в высl\азываниях а и Ь признаки, выделяющие
определенную часть униве рсального множе
ства , равнозначны , имеют один и тот же смысл ,
разнятся только своей формой. При изучении
высказываний естественно не различать между
собой эквивалентные высказывания, например
«он отличнию> и «он имеет отличные оценки» .
АЛГЕБ РА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
Мы установили, что множество истинност и
сумм ы двух высказыва ний совпадает с суммо й
множеств истинности этих высказываний; мно
жество ист инности произведения дву х вшказы
ваний с овпадает с про изведением множеств
он отличнин
и сидит
В ПЕРВОМ Р ЯДУ
он отлични н
Он СИДИТ В ПЕРВ ОМ РЯД�
Рис. 29.
ист инности этих высказываний. Отсюда сле
дует , что все известные нам правила алгебры
множеств мо жно пе ревести на язык алгебры
высказываний. Так , например:
а+Ь=Ь+а,
аЬ=Ьа;
(а+Ь)+с=а+(Ь+с), (аЬ)с=а(Ьс);
(а+Ь)с = ас +Ьс,
аЬ+с=(а+ с)(Ь+ с)�
а+о=а,
ао =о,
ai =а;
а+i=i;
а+а=а,
аа=а-ит. д.
Докажем для примера первый дистрибутив
ный закон для высказываний, т. е. равенство :
(а+Ь)с=ас+Ьс.
В соответствии с нашим условием множества
истинности в ысказыванцй а , Ь и с обозначаются
черезА,ВиС.
·
При этом высказывание
(а + Ь)с имеет своим мно жеством истинности
(А + В)С; высказывание ас + Ьс имеет своим
мно жеством истинности А С + ВС . Но множе
ства (А + В)С и АС + ВС совпадают; это
значит , что высказывания (а + Ь)с и ас + Ьс
эквивалентны .
Запише м еще законы алге бры высказыва
ний в той фо рме , в которой они приводятсн
в книгах по математической логике :
·
аVЬ=ЬVа,
(аVЬ)Vс=аV(ЬVс),
(аVЬ)/\.с=(а/\.с)V(Ь/\.с),
а/\.Ь=Ь/\.а,
(а/\.Ь)/\.с=а/\.(Ь/\.с),
(а/\.Ь)Vс=(аVс)/\.(ЬVс).
аVо=а,
а/\.i=а,
а/\.о=о,
аVi=i,
аVа=а,
а/\.а=а.
883

'МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
Отрицание. Отношение с.�.едствия
Продол жи м построение алгебры высказы
ваний . При изучении мно жзств мы наряду
.с, опе рациями сло жения и умножения мно жеств
рассматривали также опе рацию «взятия до
полнения» , сопоставляющую с каждым мно же -
ством А его допол нение А. Этой операции от
вечает ·чрезвычайно важная опе рация ал геб
ры высказываний , сопоставл яющая с каждым
высказыванием а новое высказывани� а, на
.зьшаемое·отрицанием а. Грамматиче-
ски отрицание а получается из высказь�'в ания
.а при помощи частицы «не» ; например, отри
цанием высказывания «он отличник» явл яется
высказывание «он не отличник» . Множество
истинности высказываний а является допол
нением множества истинности высказывания
.а (рис. 30); это утверждение можно даже счи
тать определением стрuцания .
ВЕСЬ НЛАСС
:tВп�tf�t�t.
v
v
ОН ОТЛИЧНИН
ОН НЕ ОТЛИЧНИН
Рис. 30 .
••
Алгебраические свойства дополнения мно
жеств сразу приводят к следующим утве рж
дениям , связанным с отрицанием высказыва
ний:
а+а=i,
i =о,
а=а;
а+ь = аь,
аа=о;
о=i;
Введем, наконец, отно шение ::J, связываю
щее два высказывания. А именно - будем пи
сать a::J b (или Ьса) и говорить, что высказы
�ание а следует из высказывания Ь или а является
следствием Ь , если множество истинности А
высказывания а соде ржит множество истинно
сти В высказывания Ь , т. е. если A::JB (или
ВсА ) . Например, если множество отл ичников
класса состоит из школьников Гриши , Ильи и
Пети , то высказывание <юн мальчик» являет
ся следствием высказывания «он отличнию>
394
(рис . 31). Оrношение следствия имеет следую
щий смысл : если a::J Ь и мы знаем, что выска
зывание Ь истинно , то , наверное , истинно
и высказывание а . Так , в разобранном
выше примере истинность утвержде ния «он
он отличнин
,Шt*it.
v
••
ОН МАЛЬЧИН
Рис. 31.
отличник» означает , что речь идет об одном
из трех школьников - Грише , Илье или
Пете; но тогда истинно и высказывание «он
мал ьчик» .
Из известны х свойств алге бры множеств ,
связанных. с отношением ::J, следует , что :
если a::JЬ и b::Jc, то a::Jc;
еслиa::Jb,тоа+Ь=а,аЬ=Ь;
если a::Jb, ТО ас Ь.
Зако ны иыс.�1и
Тепе рь мы можем ответить на вопрос о том ,
почему сочинение Дж . Буля, в котором впер
вые строилась булева алгебра , посвящено
выяснению «законов мысли» . Дело в том, что
правила алге бры высказываний есть те за
коны , которые играют руководящую роль в
процессе нашего мышления .
Многие из этих законов в логике имеют
специальные названия . Например, соотношение
а+а=i
выражаеттакназываемыйзакон ис·клю
ченного третьего.Этотзаконмож
но сформулировать так : сумма каждого утверж
дения и его отр ицания тождественно истинна,
другими словами, высказывание или его от рица
ние всегда истинно. Например, то ждественно
истинно утверждение «он отличник или он не
отличник» . Другими словами , для каждого эле
мента униве рсального мно жества обязательно
справедливо либо высказывание а , либо его
отрицание а , третьего не дано .
Соотношение
аа=о

выражает
закон
противоречия.
Согласно этому закону , ни для одного о бъ
�кта не может быть одновременно вер но
и утверждение а , и его отрицание а . На
пример, ни один ученин не может одно
временно явл яться и отл ичником , и не
<1тличником . Но если высказывания а и а
не могут быть истинны однов ременно , то про
изведение аа тожде ственно ложно , т. е . мно
ж�ство истинности выс1<азывания аа пусто .
Соотношение
а=а
выражаетхорошоизвестныйзакон двой
ногоотрицания.Этот з.акон утверж
,1
1.
ает , что о трицание о трицания совпадает с
исходным высказыванием . Так , отрицанием вы
сказывания «этот ученик - мальчик» является
утве ржде ние «этот ученин -девочка» , а д в ой
ное отрицание«этотученик не девоч
на» возвращает нас 1\ первоначальному вы
сназыnанию «этот ученик - мальчию> .
Аналогичный характер имеют и все остал ь
ные правила алгебры высн азываний, устанав
.лив ающие эквивалентность (равносильность)
те х или иных утве рждений. Проиллюстрируем
это на нескольких примерах .
Первый дист рибутивный за�юн утве рждает ,
что высказывания (а + Ь)с и ас + Ьс - это од
но и то же . Пусть а есть высказывание «он (уче
ник) умеет играть в ша хматы» , Ь - «он умеет
играть в шаш1ш» и с - «он отличник» . В та
ком случае высказывание (а + Ь)с имеет сле
дующий смысл : «он умеет играть в шахматы
или в шашки и, кроме того , он отличнию> , а
высказывание ас + Ьс - смысл : «он умеет
ПрыгающнА покааате.J
J
ь степени
АЛГЕБ РА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
играть в· шахматы и является отличником,
л ибо он умеет играть n шашки и является от
л ичнико 1ш>. Но ясно , что э ти два высказывания
по существу означают одно и то же .
Вгорой дистрибутивный закон означает, ч то
эквивалентны два высказывания а Ь + с и
(а+с)(Ь+с). Есливысказыванияа,Ьи с
имеют тот же смысл , что и выше , то высна
зывание а Ь + с означает: «он умеет играть в
шашки и в шахматы или является отличню<о м1> .
Высказывание (а + с)(Ь + с) имеет следующий
смысл : «он умеет играть в шахматы или явля
ется отличником; одно временно с этим он уме
ет играть в шашки или является отличником» .
Но нетрудно понять, что последнее высказы
вание по существу совпадает с первым - ведь
если ученик , о ното ром здесь идет речь, не
является отличником, то он обязательно умеет
играть и в шахматы, и в шашки .
Наконец, остановимся еще на так называе-
мыхправилах
де Моргана:
а+Ь=аЬиаЬ=а+Ь
(они называются так по имени английского ло
гина XIX в. А . де М органа , впервые устано
вившего эти правила) . Пусть, например,
а - э то высказывание «он умеет играть в шах
маты)> , Ь - «он умеет играть в шашкш>. В та-
ком случае сложное высказывание а + Ь есть
отрицание того , ч то ученик умеет играть в
шахматы или в шашки . Но это отрицание ,
очевидно , эквивалентно утве ржде нию о том,
что ученик не умеет играть ни в шахматы ,
ни в шашки , т. е. высказыванию аЬ. Аналогич
но отрицание утве ржде ния о том , что ученик
умеет играть и в шахматы, и в шашки (т. е.
(5)' з
Сумма двух дробей 8 + sне
изменится, если показатель степени
с первой дроби перескочит на вторую .
Действительно ,
Еми вы подметите некоторую
закономерность, связывающую зна
менатель с числителями данны х дро
бей , то легко подберете еще несколько
аналогичных равенств вида :
Выходит, что сумма квадратов
двух чисел равна сумме кубов тех же
чисел. Такое заключение кажется не
правдоподобным. И все же зто не фо
кус , не трюк. Есть много пар таких
дробей. Попробуйте найти их.
(�)·+l_=�+(1-)'.
R
8.8
8
Какзависят"иеотЬ?
Ответ настр.500.
Ну в дроСJв!
Беру две дроби , каждую возвожу
в квадрат, результаты складываю ,
получаю некоторое число s.
Теперь каждую из первоначаль
н ых дробей возвожу в куб , результаты
складываю н . . . п олучаю то же самое
ЧHCJIO S.
решенне на стр. 500.
896

R
с
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
высказывание а Ь) , равносильно утве рждению
о том, что он не умеет играть в шахматы или
не умеет играть в шашки; но это и есть выска-
зывание а+ь.
Правне1
1
а вывода
В заключение скажем еще несколько слов
о правилах , связанных с упот ре блением соот
ношения :J.
Уст ановление того , что два высказывания
а и Ь связаны соотношением a:Jb, называется
выводом;приэтомвысказываниеЬназы
вается у слови ем, а высказывание а - след
етв и ем. С выводами такого рода мы все время
встречае мся в науке и в практической жизни :
ТЮ\ , например, заключение любой теоремы яв 
ляется следствием е е ус.ловил . Правильно r,т ь
вывода обеспечивается· со блюдением определ ен
ных правил л огюш . Эти правила логики мо гу r
быть обоснованы с помощью соотношений ал
ге бры высказываний.
Известное уже нам соотношение : если a :Jb
и b:Jc, то a:Jc , читается так: если из Ь сле
дуетаиизсследуетЬ,тоизсследуета.Это
соотношение испол ьзуется в рассуждениях
весьма часто . Нап ример, поскольку тео ре.ма
«сумма углов треугольника равна 180°» вы
текает из аксиомы параллельных линий , а тео ·
рема «внешний угол треугольника равен сум
ме внутренних углов , не смежных с ним» ,
вытек ает из теоремы о сумме углов треугол ь·

ника , можно также сказать, что теорема о внеш
нем угле треугольника является следствием
аксиомы параллельных .
L
N
Рис. 32 .
в
D
Соотношение : ес
ли a:Jb, ТО Ь:Jа, 
читается так : если из
высказывания Ь сле
дует высказывание
а, то из отрицания
высказывания а вы
текает отрицание вы
сказывания Ь . Это
обстоятельство
ле-
жит в основе весьма
распространенного метода вывода (или доказа
тел ьств а) «о т проти в ного» . Пусть мы хо
тим доказать теорему (рис . 32) : если соответст
венные угл ы АКМ и CLM, о бр азованные прямы
ми АВ и СD с се,,.ущей МN, равны между собой
(это есть утверждение а ), то прямые АВ и CD
параллельны (это есть утвержде ние Ь). Вместо того
898
чтобы до казывать соотношение ас ь, докажем ,
что a:Jb, т. е. что из от рицания ь вытекает от
рицание а. Предположим, что прямые АВ и
СDне параллельны,т.е.чтоонипе
ресекаются в некото рой точке Р (рис . 33, а,б) .
А
В
._. """""""""""
р�·
к
о. •• •• •c._"""llij..
.
"""".D.
N
а
Рис. 33.
В таком случае углы АКМ и CLM не будут
равны (это - внешний угол треугол ьника
PKL и не смежный с ним внутренний угол) .
Таким образом , соотно шение a:Jb доказано ;
тем самым доказано и соотношение асЬ (стро
го говоря , здесь надо применить к соотноше
нию a:Jb рассмат риваемое предложение ал
гебры логики и воспользоваться законом двой-
ного отрицания: если a:Jb, ТО ась, т. е. асЬ).
Уже эти примеры показывают ту большую
роль, кото рую играют в любой научной теории
правила алге бры логики . В п оследние годы
роль этих правил особенно сильно возросла
в связи с возникшей задаче й пе редачи це лого
ряда операций, выполняющихся людьми , элект
ронным вычислительным машинам. При это м
о l\азалось необходимым научить машину пра
виJiа111 логики , т. е. тем правилам, которыми
люди обычно пользуются, зачастую не отдавая
се бе полного отчета в существе этих правил .
Но для того чтобы эти правила могли быть
заложены в «электронную памятм машины ,
необходимо че тко сформулировать их. Эти
четкие формулировки и доставляет нам мате 
матическая логика .
•

..
..
�••
+•
ПРАВИЛА ДЕ МОРГАНА
�А
��
•
•�
•
1
v
v
;А-
-
..4"-���������vr� �� � � � �__.
•
ОН КРАСНЫЙ
ОН ТРЕУГОЛЬНЫЙ
он КРАСНЫЙ НАМ ТРЕУГОЛЬНЬIЙ
�-�· ..
.
.
�·в+•v
v
8
--
8
·+•в
1
yr�
��
��_
_.
он НЕ КРАСНЫЙ
уw
ОН ЭЕЛЕНЫИ
-
�-�+ ••
v
он HI ЗЕЛЕНЫЙ
он HI ТРЕУ ГОЛЬНЫЙ
он НЕ КРАСНЫЙ ИНI ТРl!УГОЛЬНЫЙ
D
•••
8
v
ОН КРУГЛЫЙ
�+D
v
он HI КРУГЛЫЙ
он НЕ ЗЕЛ ЕНЫЙ llAll НЕ КРУГЛЫЙ
Сложение и умножени е мвожеств хорошо 11ожио проилmострировать, используя rео11етрнче
скне фиrуры разных цветов. На первой строке расположены rео11етрвческве фвrуры развоrо
цвета, которые образуJОт универсальное (или едвввчвое) множество. Из зтоrо уввверсаль-
ноrо множества .Т обрааовавы новые 11Вожества .А., в, с, D и их дополнения :i. В, ё, ii. Над
ЗТВl
l
В множествами или их дополве11ИЯ1
1И
произведены операции сложения в у11вожеввя.

с с-•мриеl прпо
двтся иметь дело ве
ТОЛЬКО ф&ЭП81
1
И
крвстаппоrрафам, во
в худо•вв:кам, рабо
та11
1
Щ1П1 в области
првкпадвоrо искус
ства.

А.JIГЕБРА ВЕКТОРОВ
АРИФМЕТИКА НАПРABJIEHHЫX
ОТРЕЗКОВ
НаправоJ
J
енные отрезки - векторы
Выберем в пространстве некоторую точку Р
и рассмотрим различные отрезки РА , РВ, РС,. ..,
начало котор ых расположено в точке Р, а концы
в каких-либо точках А , В, С," пространства
(рис. 1). Таким образом, на каждом из этих от
резков выделяется определенное направление, иду
щее от точки Р (общего начала всех рассматри
ваем ых отрезков) к концу отрезка. По этой при-
АЛГЕБРА ВЕКТОРОВ
чине они называются не
просто отрезками, а на
п ра в ленными отрезками,
А
приложенными в заданной р �-
--
--
-,.
..
9
точке Р; чтобы подчерк 
нуть это обстоятельство их
обозначают
РА, Рв, Ре,".,
т. е . на д отр езком простав
ляют стрелку. Принято так-
Рис. 1.
же наз ывать каждый направленный отрезок корот 
ким СЛОВОМ «ВеКТОр».
Интерес к векторам возник в науке уже очень
давно. Еще в самом начале XVII в. ·
го лланд
ский ученый С. Стевин использовал векторы для
наглядного представления сил. Так как каж-
..
..
..
д'',
"р'
"t\
дая сила, приложенная к некото
рой точке Р твердого тела, имеет
вполне определенное направление,
то для геометрического изображе
ния этой силы удобно воспользо
ваться лучом РР ' , имеющим то
же направление, что и сила; от
ложим на этом луче от точки Р
направ ленный отрезок РА, дли
на которого (выраженная, скажем,
в мм) равна чис лу, которое изме
ряет величину рассматриваемой
силы (выраженную, скажем, в кГ).
Таким образом, каждая сила,
приложенная в точке твердого те
ла, изобразится своим вектором
(рис. 2).
ПравиоJ
J
асоJ
J
оmення векторов,
приеJiоженных в точке Р
--
Чтобы прибавить к вектору Р А
(первое слагаемое) вектор ?н (вто
рое слагаемое), поступим следую
щим образом (рис. 3): а) построим
середину С отрезка А.В; б) по
строим точку Q, симметричную
точке Р относительно точки С,
т. е . так распо ложенную на луче
РС, что точк а С являет ся середи
ной отрезка PQ. Полученный век-
о1:Z1
б" тор PQ будем называть суммой
_.!
!_
��:;
;
t:======-- векторов РА (первое слагаемое) и
Рис. 2. Ве11ичииу и иаправ11еиие сипы можно изобразить вектором.
РВ (второе сJ1агаемое); будем это
кратко записывать формулой:
897

, МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
Рис. 3 . СJ1оженне векторов по правиJJу середины:
.
PQ=iA+РВ.
(1)
Описанное правило сложения векторов на
зовемправилом середины.
Если слагаемые векторы РА и РЕ не лежат
на одной прямой, то , как легко видеть и.
.з
рис . 4 , векто р PQ, являющийся их суммой,
Ри с. • . СJ1ожеиие векторов по правнJJу oapaJ1J1eJ1orpaммa:
PQ=РА+РВ.
представл яет собой диагонал ь па раллелограм
:
ма , сто ронами которого являются векторы РА
и РЕ (в самом деле , в четырехугольнике
PA QB диагонали А В и PQ де лят друг друга
' пополам ,- это непосредственно вытекает из
правила середины) .
Таким образом, для сложения векто ров РА
и РВ, не лежащи х на одной прямой, можно
вместо правила се редины воспользоваться сле
дующим правилом: строим па раллелограмм
PA QB, сторонами кото рого явл яются векто-
ры-слагаемые РА' и РЕ, т. е. из конца· А пер
вого слагаемого строим прямую , параллельную
второму слагаемому , а из конца В вто рого сл агае
мого строим прямую , параллельную первому сл а
гаемому . Точка Q пе ресечения построенных пря-
мы.х и будет концом векто ра PQ. являюще гося
суммой слагаемых РА и РЕ. Для краткости го
во рят : сумма двух векторов ест ь вектор, являю
щийся диагонал ью пара.1/,/1,елограмма, построеп
пого па слагаемых: векторах.
398
Это правило сложения векторов назыв ают
п р а вилом пар аллелограм м а. Оно,
однако , непригодно , ко гда слагаемые векто ры
лежат на одно й прямой "-
-
так ие векторы на
зываются коллинеарными;
в этом
случаеприменяютправило середины.
Рассмот рим, например, случай , когда век-
тор РС складывается с самим собой, т. е. когда
разыскивается сумма РС + РС (рис . 4а) .
Прибегнем к правилу се редины : а) се редина
отрезка се' соедин яюще го концы слагаемы х
векторов , есть, оче видно , точка С; б) остаетси
а
Рис. 4 а. Сумма двух равных векторов:
--+
--+
--+
--+
Р<:+РС=2l'C=l'Q.
пост роить точку Q, симметричную точке Р
относительно точ1ш С, - она будет концом
отрезка PQ, се рединой которого является точ
ка С.
Таким образом , вектор РС + РСнаправле t1
од инаково с векто ромРС и· имеет длину вдвое
большую , че м длина векто раРё . Этот ве ктор -
сумму двух одинаковых слагаемых - обозна-
чают 2·РС. Итак :
P7.:+zit=2 .P'c.
(2)
Полезно запомнить (это нам понадо бится и
дал ьнейшем) , что если точка Q симметрична
точке Р отнссительно точки С, то
PQ = 2."fiё.
Эту формулу зап.исывают также и в следующем
виде :
-->
1---
-+
РС=2 ·PQ.
(Э)
Возврат имся теперь к случаю, когда скла
дыв аются два произвоJiьных коллинеарных
ве ктора (сонаiiравленны х
или противона
правленных) . Применяя правило се редины.
придем I\ следующим резул ьтатам : при сложе-
нии двух сонаправленных векто ров 1 РА н
РЕ (рис . 46) получается веюор PQ, кото рЫй
имеет такое же направлениЕ! , как ·и слагаемы&
векто ры , а его дл ина равна ·сумме длин слага-
1 Т. е. таких, что точки Р, А , В так расположены
на одной прямой, что точка Р лежит вне отрезка А.В.

о
Рис. ' б. СJ1оженне коJ1J1Ннеарных сонаправJ1енных векторов:
-
--
РА.+РВ=PQ.
Рис. ' в. СJ1ожение коJ1J1инеарных противонапраиJ1енных век
торов: i;:f +РВ = PQ.
емых векторов; при сложении двух противо
направленных векто ров 1 РА и РВ (рис . 4в)
получаетс я вектор, имеющи й направление та
кое же , как и направление того слагаемого
вектора , кото рый имеет большую дл ину; его
дл ина равна разности длин слагаемых векторов.
РавподеАств}·ющая сио1
1
а
Рассмотренное нами правило сложения век
торов находит свое применение не только в
мате матике , но играет очень важную роль так
же и в физике . Если в какой-л ибо точке Р при
л ожены две силы, то , как известно , их совмест
ное действие равносильно де йствию некоторой
одно й силы (также приложенной в точке Р) -
ееназываютравнодействующей.Мно
гочисленные физические опыты и явления под
тве рждают справедливость следующего закона:
если в точке Р приложены две силы , кото рые
изображаются ве кторами РА и РВ, то равно
действующа я этих сил изображается вектором
PQ, который равен сумме векто ровРА и ?в:
Особый вектор - вектор иуо1
1
ь
Рис. 5 . СJ1ожение �вух равнопротнвоnоJ1ожных векторов:
Р"А+Р°А·=PF.
Особое внимание следует уделить сложению
векторов в случае , кото рый изобраЖен · на
рис . 5. Здесь точка Р - общее начало обоих
1 Ве�sторов, у которых точка Р внутри отрезка А В.
АЛГЕБРА ВЕКТОРОВ
слагаемых векто ров JJA и JJA' - располржена
в се редине отрезка АА',
соединяющего их
концы . Такие векторы называются взаимн()
противоположными (или равнопротивополож
ными) ; они противонаправлены и имеют одну
и ту же длину.
Применим к ним правило се редины : а ) стро
им середину С отрезка АА ' ; - она совпа
дает , оче в идно , с точкой Р; б) строим точку
Q, симмет ричную точке Р относительно точ
ки С, т. е . в данном случае относительно точки
Р; получаем, что и точка Q совпадает с Р.
Таким образом, сумма двух равнопротивопо-
ложных векто ров РА и РА� есть вектор JiP.
.
(4)
т. е. вектор, у которого конец совпадает с на
чалом . Быть может , первое чувство побудит чита
тел я отнестись с недо верием к такому векто
ру хотя бы потому , что у него нет направле
ния . Но если отказаться от рассмотрения та
кого «особого* вектора, то придется признать�
что не всякие два вектора можно сложить, а
это , конечно , не жел ател ьно.
Итак, л ю бые две точки Р и А, независи
мо от того , различны они или совпадают"
определяют векто р РА.
Чтобы окончател ьно уве риться в полезнойr
рол и «особого» векто ра , убедимся , что
-�
---+
---+
РА+РР=РА
(5)
(это легко следует из правила се редины)-
-
Формула (5) показывает , что вектор РР играет
в арифметике векто ров такую же роль, какую
число нуль играет в арифметике чисел . По. этой
--
причине вектор РР называют нуль-вектором.
Обратим еще внимание на то , что в форму-
--
ле (4) вектор РА' играет такую же роль, как
и число -а в алгебраической формуле
а+ (-а) =О.
Целесообразно по этому обозначать вектор
РА', равнопротивоположный векто ру РА,
символом : -РА (словами - «минус JJA»).
Формул а (4) может быть записана теперь
в следующе м виде :
РА+(-РА)=РР.
Ле гко понять, что
-·
->
-(-РА) = РА
.
(4'}

.МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
Свойства операции
со1
1
ожения векторов
Совпадают ли они со свойствами опер ации
·
Сложения
·
чисел?
Начнем проверку со свойства перемести
-тельности . Нет рудно убедиться, что
__,.
.
�
�
РА+ РВ=РВ+РА
{ведь середина отрезка АВ есть в то же время
и середина отрезка ВА).
Тепе рь выясним, обладает ли операция сло
жения векторов свойством сочетательности ,
т. е . справедливо ли равенство
(РА+РЕ)+ РС = РА + (РЕ+РС). (6)
Начнем с проверки на каком-либо примере
(рис. 6 а,6) . Убедимся, что действия над век-
торамиРА, РЕ, РС, указанные в правой части
фо рмулы (6) , приводят к тому же вектору
.С
А--- -
а'
Рис.8а. (РА+Р.В)+РС=PR.
-
-
--
--- -
в
..
.
___
--
,'
- -·-
--
---
-
,'
'
,
.,.
.
А'R
---�
-
-
'�
.,
,,
,.
,,
,,
,,
,,
,,.
"
с
//,
..
..
.
___
___',
,,
,,
,
,,.6"'
"
"
---------:
:
�
О
'
-
-----
--.
..
-+
-+
-+
Рис. 8б.РА+(РВ+РС)=PR.
PR, к которому приводят действия , указанные
в левой части равенства (6) .
Посоветуем выполнить проверку справед
Jшвости формулы (6) и для других каких-либо
векто ров Р7, РВ7, РС7.
Можем ли мы тепе рь считать установленной
справедливость фо рмулы (6)?
Проверка справедливости сочетательного
свойства сложения векто ров даже на большом
'lисле примеров не создает , конечно , полной
400
уверенности в справедливости этого свойства.
Необходимо поэтому дать строгое до казатель
ство. Используем для этого одну простую гео
метрическую теирему : если А' , В', С', D'
сер ед ины сторон АВ, ВС , CD , DA пр оизво.л,ьногD
8
Рис. 7 а.
четырехугол ьника (даже и не выпук.л,ого), то се
редина отрезка А'С' совпа дет с серединой
отрезка B'D' (т . е. четыр ехуго.л,ьник A'B'C'D'
ест ь пара.л,.л,е.л,огр амм) .
Доказательство этой тео ремы читатель легко
проведет , если воспользуется известно й теоремой
о средней линии треугольника. Следует только
терпеливо рассмотреть различные возможные
случаи расположения исходных четыре х про
извольных точек А , В , С, D; два из них показа
нынарис.7аи76.
Обратимся тепе рь к доказател ьству форму
лы (6) . Возьмем три векто ра РА, РВ , РС
(рис . 8 а) , построим точки А' , В' , С' , симметрич
ные точке Р относительно точек А , В, С соот
ветственно, и обозначим буквами Ми N середины
сторон А'В' и В'С' четырехугольника РА'В'С'.
Приме м теперь во внимание , что се редина
отрезка АВ совпадает с серединой отрезка
РМ; это справедливо в силу упомянутой выше
вспомогательно й теоремы , если применить ее
к треугольнику РА'В' (второй частный
случай; он показан на рис . 7 6). Поэтому, со
гласно правилу середины,
D,O'
с·
Рис. 7 6.

Пусть R - середина отрезка МС, а R'
точка, симметричная точке Р относительно
тоЧки R. Тогда
(РЛ+РВ)+Ре =РМ+/>с=PR'.
Аналогично имеем (рис. 8 6): РВ + РС =
=PN, откуда
/>Л+(РВ+"Рё> =/>Л+P"N =/>s',
где S' - точка, симметричная точке Р относи
тельно середины S отрезка AN .
р
А'
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
_
м
_..;
;,о
,
',
,
_..
.
..
..
.
-:.,:: .,.,..,
,.
..
..
.
..
..
-
-
-
:О:-,(
,
,
'
'
,
,
--
---
,,.
R'',В'
С'
-
-
-
в
-
..
..
.
-
-
-
-
--
..()--
-
----
--
N
Рис. 8 а.
А'
..
..
..
.
..а.,,
.,
,
;"'
..
..
..
..
..
.
..
..
,.
..
,,
,,
,.
""
..
..
..
..
.
м
:
'-о;.,,_
'
..
..
,
-
'
..
..
..
.
'S
S'..
..
..
..
,
,
в•
--
..
.
я------- -- -: ·:=::
:
�
-
---;:
::Q.:'"
"
:__
',,
--
----
---
�
-
-
-
--
--
"
'
--
'о-----
С'
Рис. 8 6.
Примем, наконец, во внимание, что точки
R и S совпадают - это справедливо в силу
указанной выше вспомогательной теоремы,
если применить ее к четырехугольнику Р А'В'С';
отсюда PR' совпадает с PS', и, следовательно,
(РА +РЕ>+Р{; =РА + (РЕ+РС),
что и требовалось доказать.
Сунна нногих векторов
Что такое сумма трех векторов? Ответ как
будто очень простой - достаточно сложить
два из них и полученный сложить с третьим.
Но тут возникает вопрос: какие же. два вектора
из заданных трех сложить в первую очередь?
•26д.э.т.2
АЛГЕБРА ВЕКТОРОВ
Однако теперь, когда мы убедились в спра
ведливости переместительвого и сочетательного
свойств сложения векторов, можно устано-
вить понятие суммы трех векторов РА, РЕ, РС,
не заботясь о том, какое из этих трех слагаемых
считать первым, какое вторым, какое третьим.
В самом деле, все 6 возможных случаев
(они указаны на таблице) дадут в результате
Первое
Второе Третье
Сумма
ела гае-
ела гае- ела гае-
--+
мое
мое
мое
PS
---+
---+
-
---+
-
-
РА
РВ
РС
(РА+РВ)+РС
---+
-
---+
(РА + РС>+Рв
РА
РС
РВ
---+
---+
->
---+
-
-
РВ
РА
РС
(РВ + РА)+РС
--
-+
-->
---+
---+
-
-
РВ
РС
РА
(РВ+РС)+РА
->
---+
---+
---+
-
-
РС
РА
РВ
(РС+РА)+РВ
---+
1---+
-
-->
-
-
РС
РВ
РА
(РС+РВ)+РА
не 6 различных в'екторов, а один и тот же век
тор Ps - это легко следует из доказанных на
ми двух свойств операции векторного сложения.
Теперь уже нетрудно понять, как составить
сумму и четырех векторов РА, РЕ, Рё, PD
(не беспокоясь опять о том, в каком порядке
они заданы). Выберем какие-либо три из этих
ве.кторов (скажем, РС, РА, PD) и составим их
сумму: Рё + РА + PD. Прибавив к ней остав
шееся четвертое слагаемое, получим вектор:
(РС+РА+PD)+pj
j
='P"S:_.
Если бы мы начали со сложения других
трех слагаемых, то получили бы еще три воз
можных вектора:
(РВ +/>с +PD) +РЛ =/>s2,
(PD+РЛ+'РВ.,+"РС=�.
(РА+РВ+К)+рD=fiS..
Какой из этих четырех векторов PS1 следует
на;jвать суммой ваших четырех слагаемых?
На этот вопрос трудно (и даже невозмо)J(ноl)
было бы ответить, если бы операция сложения
401

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
двух векторов не обл адала свойствами пе ре111е
стительности и сочетател ьности . Но , :к сча
стью, эти свойства имеют место, а из них ло-
гически следует, что все четыре вектора PS1
равны ме жду собой. Так , например:
(Ре+l>Л+PD)+/>в = {(РС+РА)+PD} +
+ PiJ= (Рё+РА)+(РВ+PD),
(РС +РА +РВ) +PD = {(РС + РА)+РЕ}+
+ PD =(Ре+РА) + (РВ+РD).
Правые части этих формул равны ме жду собой,
и, следовательно ,
(РС +РА+ PD) +РЕ= (РС+ РХ�+ "PВ)+Ptf
(7)
Легко тепе рь понять, что результат сложе
ния пяти слагаемых (шести , семи и т. д.)
также не зависит от поряд ка, в кото ром они
будут складываться . Можно также убедиться
в справедливости сочетательного свойств а сум
мы многих слагаемых , т е. доказать, что пр и
нахождении суммы .любого числа слагаемых век
тор ов можно их произвол ьным образом сочетать
в две группы: в первую войдут какие-либо из
слагаемых , во вторую - все остальные . Если
тепер ь составить сумму всех слагаемых , входя
щих в первую группу, и пр ибавить к ней сумму
всех слагаемых , входящих во вторую группу , то
получится вектор , р авный сумме всех исходных
вектор ов .
В дальнейшем мы познакомим читателя еще
и с другими действиями над векторами : вычита
нием вектора и умножением вектора и числа.
Основные свойства этих опе раций мы запишем
в общей, бу:к.венной форме и таким образом
ознакомимся с основами векторной алгебры .
ВЕКТОРНАЯ А.ЛГЕБ РА ПО1'10ГАЕТ
ГЕОМЕТ РИИ
аачеи научают векторную 8.Jireбpy
Затем, что она создает возможность решать
та:кие задачи геометрии , механики и физики,
в :кото рых в явной форме (а иной раз и в скр�r�
той) участвуют направленные отрезки .
Мы уже говорили о том, что силы, рассмат
риваемые в ме ханике и физике, очень наглядно
изображаются векторами; та:кую же нагляд
ност1> имеет векторное изображение перемеще
ний , скороста й.
Не столь ясно, однако , на первый взгл яд,
какую роль могут сыграть векто ры при изуче
нии геометрии; но именно в этой области век
торная алгебра с особенным успе хом может
быть использована для решения задач .
Суть дела коренится в следующем обстоя
тел ьстве . Изучение многи х геометрически х
проблем сводится к изуче нию взаимного рас
положения отдел ьн ых точек прост ранства, со
ставляющих рассматриваемые в задаче фигу
ры. Целесообразно по этому выб рать в про
странстве какую-либо одну определенную точку
(обозначим ее буквой Р и будем назьшать н а
чальной точко.й или коротко-на
ч а л о м) и соединить ее направленн ым отрез
ном с каждой из тех точе:к А, В, С, I< ото рые
входят в изучаемую фигуру.
Таким образом , мы получим векторы:
РА, />в, Ре, .
.
.,
т. е. для :каждой точки М фигуры свой вектор:
РМ. Его называют радиус-в ектором1 точ
ки М, и он полностью характе ризует расположе
ние точки М относительно начал а. Другими
словами , если точка М будет почему-либо
утеряна , но сохранится ее радиус-векто р, мы ее
легко восстановим, придется только уче ст ь,
где расположен конец ;этого радиус- вектора.
Ватная Д.JIЯ rеоиетрии а.Jirебраическая
фориу.Jiа
Эта фо рмул а очень легко получается -стоит
только алге браиче ски записать правило сере
дины, используя формулу (2). Если точRа С -
се редин а отрезка АВ, то по правилу середины :
P-X+Pif =PQ,
где точ:ка Q симметрична Р относител ьно точ
ю1 С. Учитывая, что в силу формулы (2)
PQ=2-PC,
i Это название, введенное впервые Кеплером, удер
жалось до настоящего времени, хотя оно не совсем
удачно; приставка «радиус» перед словом «вектор»
может создать у читателя ложное представление, что
вместе с радиус-вектором следует еще рассмотреть
и некоторую окружность. Однако это не так; дело толь
ко в том, что существует единый центр Р (мы е го на зва
ли началом), в котором начинаются все радиус-векторы
РА, РВ, . .. тех точек, которые мы изучаем.

получим важнейшее для ге оме трических при-
ложенийосновное
правило:
РА> +РЕ= 2.Рё.
(8)
Очень полезно запомнить его словесную фо р
мулировку : сумма р адиус-векторов двух ка
ких-либо точек р авна удвоеппому радиус-век
тору сер едины отрезка, определяемого эт ими
точками. Эту формулу можно , оче видно (см.
фо рмулу (3) , записать и в следующе м виде :
---+-
1--.
.
--
--
-Jo.
РС =2· (РА+РВ),
(8')
или сл овами : р адиус-вектор середины отрезка
равен, половине суммы р адиус-векторов концов
этого отрезка .
Формулы (8) и (8') записывают, таким обра
зом (на алге браическом языке) , простой гео
метрический факт - взаимное распол о жение се
редины произвольного отрезка относительно его
концов . Это обсто ятельство имеет очень важные
последствия - оно создает возможность алге б
раически записывать ( как мы в этом скоро
убедимся) 11 более сложные геометрические фак
ты; отсюда возникает алгебраический (точнее,
векторно-алге браичесК,ий) способ решения мно
гих ге ометрических задач .
Этот метод изучения геометрии дает не мень
ше пол ьзы , чем метод алгебраического реше
ния арифметических задач. Покажем это на
примерах.
Задача о двух пара.1
1
оJ1е.1оrраииах
Пусть точки А, В, С, D - последовател ь
ные вершины параллелограмма; А' , В' , С' ,
D' - последовател ьные вершины другого па
раллелограмма . Обозначим точки , являющиеся
серединами отрезков АА' , ВВ' , СС' , DD' ,
соответственно буквами А" , В" , С" , D".
Что можно сказать о четырехугольнике
А" В" С" D"? Посоветуе м прежде всего сделать
акк уратный чертеж, соответствующий усло
вию задачи , он сразу подскажет ответ: че
тырехугольник
А"В''С"D" ·
параллело
грамм, у которого точки А", С" и В", D"-
противоположные вершины.
Тепе рь следует дать геометрическое дока
зательство нашего (подсказанного только что
проделанным опытом) предположения - пуст ь
это сдел ает читатель самостоятельно . А сейчас
познакомимся с новым - алгебраическим -
методом решения этой задачи .
Начне м с того , что запишем, как это всегда
делают при алге браиче ском методе решения,
, АЛГЕБРА:ВЕКТОРQВ
условие задачи с помощью формул . С этой
целью выбе рем прежде всего какую-л ибо точ�
ку в качестве начала все х радиус-векторов
те х 8 точек, которые заданы в условии задачи:
РА, -Рв, -Ре, PD; РА'', [Jв· , "Рё', Рб.
Изобразите их на вашем че ртеже.
Обозначим буквой М середину диагоналп
АС первого парал.т1елоrрамма . Тогда , в силу
фо рмулы (8):
(сх)
Примем теперь во внимание, что эта точка М
является также и се рединой диагонали BD;
поэтому
(сх')
Из равенств (сх) и (сх'
) следует, что
РА+РС=PiJ+PiJ.
(9)
Словами : если А, В, С, D - последовательн.�
вер шины какого-либо пар аллелогр ам.ма , то их
радиус-вектор ы ( отпосительпо пр оизвольно вы
бранного начала) удовлетворяют равенству (9).
Легко убедиться в справедливости и об
ратной теоремы : если р адиус-вектор ы точек
А, В, C,D (пе лежащих па одной прямой) удов
летворяют р авенству ( 9) , то эти точки яв
ляются последовател ьными вершинами парал-
лелогр амма .
.
В самом деле , пусть М - се редина отрезка
АС, N - середина отрезка BD . Тогда, в силу
основного правила (8), получим:
PA+iiё= 2.pil-, · Рв+ PD-2-PN-:
По условию теоремы
поэтому
--
--
-+
-->
--
-+
�
РА+РС=PB+PD,
и, следовательно ,
PM=PN,
(а)
а это показывает, что точrпr М и N совпадают ;
таким образом , диагонали АС ц BD четыре х
угольниl\а ABCD делят друг друга П01;IOЛat.f,
а это означает , что ABCD - параллел'ограмм ,
что и требовалос.ь .доl\азать .
403

МЦОЖЕС'i'ВА. И ОПЕРАЦИИ
Равенство (9) записывает, таким образом,
первую треть условия задачи; другая треть
запишется, очевидно, равенством:
РА'+JiC-=w+PD'.
(9')
Перейдем теперь к алгебраической записи
требований, содержащихся в доказываемой
вами теореме; они, очевидно, состоят в том,
что нужно доказать справедливость равенства:
м·+Pif' = РF'+PD"
(10)
(потому что его справедливость есть, как мы
это выше установили, условие того, что точки
А", В", С", D" - вершины параллелограмма).
Приступая к доказательству справедливо
сти формулы (10), примем сначала во внима
ние, что по условию задачи (еще не записан
ная оставшаяся треть условия!)
2·РА�' = РА+ PAr; 2.Pif' = Рё+ Рё�
и, следовательно,
2.РК + 2.рс.,
,
= -Р1+i>A'+JiC+P?f;
поэтому
2·(РА" +ре.)=РА+ p;f + Рё+ PCr. (�)
Учтем еще, что по условию задачи
2·РВ�' = Pif+W; 2·PD" = PD+PD',
и получим:
2.(Pif''+2No')=-Рв+Pif+PD+PiY. <�')
Нетрудно, однако, убедиться в том, что пра
вые части равенств (�) и (�') равны между собой -
это сразу следует из формул (9) и (9') , с помо
щью которых мы записали условие задачи
(если их почленно сложить и воспользоваться
тем замечательным свойством сочетательности
суммы многих векторов, о котором мы говорили
на стр. 402). Отсюда следует, что и левые части
формул (�) и (�') равны между собой, т. е . что
2·(U' +К")= 2·(РЕ" + PD");
поэтому оказывается справедливым равен
ство, которое и требовалось доказать.
�коноипое о&оаначение
Д.J
J
Я радиус-векторов
Оно возникает, если принять во внимание,
что радиусы-векторы РА, РЕ, РС, ... точек
А, В, С, ..., рассматриваемых в какой-либо
задаче, все имеют общее начало Р. Целесооб-
404
разно поэтому не включать букву Р, изобра
жающую Это начало, в обозначение радиус
вектора, а сохранить в обозначении только его
�юнец, т. е. точку, которую он изображает.
Таким образом, векторы РА, Pif, i>ё, . . . будем
обозначать А, В, С, .... Это упростит внешний
вид формул. Чтобы привыкнуть к таким обо
значениям, полезно вернуться к решению за
дачи о двух параллелограммах и записать ее
решение в новых обозначениях.
Укажем еще, что в печатном тексте вместо
изображ ения радиус-векторов символамиА ,В, . . .
используют А, В , ..., т. е. те же буквы, но
набранные жирным шрифтом.
Три аадачи о треуг о"1ьнике
1. Произвольная точка Р отражена от
середины сторон треугольника А1А 2А 3, т. е .
построены точки:
Р 1 - симметричная точке Р относительно
середины стороны А2А3,
Р 2 - симметричная точке Р относительно
середины стороны А3А1,
Р3- симметричная точке Р относительно
середины стороны А1А2•
Что можно сказать об отрезках А1Р"
А2Р2, АзРз?
Ответ подскажет опыт, т. е . тщательно вы
полненный чертеж. Он покажет, что эти три
отрезка пересекаются в одной точке, которая
делит каждый из них пополам.
А,
Рис. 9 а. Первая задача о треуrо.1
1
ьннке.
Для доказательства выберем
начало радиус-векторов в точке Р и, исполь
зуя экономные обозначения, обозначим А1, А2,
А3 радиус-векторы вершин заданного тре
угольника (рис. 9 а). (Не советуем эти ра диус-

векторы проводить на чертеже , достаточно себе
их представить. ) Тогд а , в с илу условия задачи,
р адиус- векторы точек Р1 , Р2, Р3, отражений
точки Р, определяются по формулам:
Р1=
· А2+А.з; Р2=Аз+А.1; Ра = .41+А2.
Пусть С1 - середина отрезка А1Р1; тогда :
2·С1 = А1 +Р1 = А1+(А2+Аз)·
Пусть С2 - се редина отрезка А2Р2; тогда:
2·С2 = А2+Р2 = А2+(Аз+А1) .
Учитыв ая, что правые части этих формул
равны ме жду собой , придем к выводу, что
2·С1 = 2·С2, т. е . убедимся , что отре зки
А1Р1 и А2Р2 имеют общую середину С, и мею
щую радиус-вектор С1 =С2• Аналогичным спо
собом убедимся , что и отре зки А 1Р1 и АзРз
имеют общую середину С, имеющую радиус
вектор С1 = Сз Таким образом, все три отре зка
имеют общую середину С, а это и требовалось
дока зать . Запомним , что
2. Пусть точки Q1, Q2, Qз - середины отрезков
Р2Рз , РзР1, Р1Р2, рассмотренных в предыдуще й
задаче, а точки М1 , М
2
, Мз - середины сторон
А2Аз, А�А1, А1А2•
Что можно сказать об от
резках М1 Q1 , M2Q2, МзQз?
Рис. 9 б. Вторая вадача о треугольнике.
Из рис . 9 6 видно , что они пересекаются в
одной точке , которая является их общей се
ре диной. Вот алгебр аиче ское доказательство:
2·Q1 = Р2+Рз=(Аз+А1)+(А1+А2)=
= 2·А1+А2+Аз,
(�)
2·Q2 = Рз+ Р1
=
(А1+А2) + (А2+Аз) =;о
= 2·А2 +Аз+А1,
(�')
2·Qз = Р1+Р2 = (А2 +Аз)+ (Аз+ А1) =
= 2·А3 + А1+А11•
(�w)
АЛГЕБРА ВЕКТОРОВ
Если D1 - середина отрезка М1 Q1, то
2·D1 = М1+Qi
и, следо вательно ,
2-(2D1) = (М1 +Q1)+(М1 + Q1) =2·.М-1 +
+ 2·Q1 = (А2+Аз)+(2А1+А2 +Аз)=
= (А1 + А2 +Аз)+(А1+А2+Аз)=
= 2-(Ai+А2+Аз)·
(Т)
Аналогичным образом получим:
2-(2D2) = (М2 + Q2) + (М2+Qt)=Аз+ А1 +
+(2·А2+А з+ А1)= 2-(А2 + А 8+А1), (Т')
2 -(2Dз) = 2-(Аз+ А1 + А2).
(711)
Правые части формул (7), (т'), ;r") равны между
собой, и поэтому D1
= D2 = DJ• что и требова
лось доказать .
3. Что можно сказать о прямых А1Q 1,
A2Q2, АзQ з?
Отв е т. Они пересекаются в одной точке ,
которая симметрична точке Р относительно
точки С (сде лать черте ж) .
Док а з атель с т в о. Обозначим бук
вой Р' точку , симметричную точке Р относи·
тельно точ1ш С; тогда Р' = 2С и, в силу фор
мул ы (а:},
Р' = А1+А2+Аз·
Обозначим те перь буквой А1' середину отрез
ка А1Р' ; тогда :
2·А'1 = А1+Р' = 2·А1 + А2+А з·
Правая часть это й формулы совпадает с пр а
вой частью формулы (�). и поэтому А'1 = Q1,
т. е. точка А'1 есть не что иное, как уже из
вестная нам точка · Q1: Отсюда следует , что
точка Р' лежит на прямой A1Q1•
Аналогичным образом докажем , что она
лежит и на прямой A2Q2, и на прямой A3Q8,
а это и требовалось доказать.
За,1
1;
ачао,1
1;
вух центр&dьпых
mестиуrо.1
1
ы1иках
Шестиугольник А1А2А3А4А0А6 буде м на
зывать це нтральным , если его главные диаго
нали А1А4, А2А0, А3А6 пе ресекаются в од
но й точке и делятся в этой точке пополам.
Эту точиубудемназывать центромцен
трал ьного шестиугол ьнина 1•
1 Если вершины шестиу гольника лежат в одной
плоскости, то он н азыв ается плоским, если же они
не лежат в одной плоскости, то он н азывается косым.
Центральный шестиу гольник может быть либо плоским,
либо косым. Но центральный четыреху гольник обя
зательно плоский - это просто параллелограмм:.
406

�МНОЖЕСТВА И ОПЕРА ЦИИ
Рассмотрим теперь вместе с центральным
шестиугольником А1А2А3А4А0А6 е ще и какой
либо другой це нтральный шестиугольник
В 1В2В3В4В 0В 6 и рассмотрим точки С1, С2, С3, С 4,
С0, С6, являющиеся серединами отрез ков А1В 1,
А2В2, ... , AsBs·
Требуется доказать, что эти т оч1ш явл я
ются последо вательными вершин ами цент рал ь
ного шестиугольника и что его це нтр де лит по
пол ам отрезок, соедин яющи й це нтры обоих
исходных шестиугол ьников .
Для дока зательства полезно прежде все го
до:к азать: eCJJИ точ:ки Р1' .
. . , Р6 последова
тел ьн ые ве ршины це нтрального ше стиугол ь
НИI\ а, то радиус- ве:кторы Р1" .•
, Р6 его вершин
удо влетво ряют с.�едующим двум равенствам:
Р1+Р4=Р2+1\;Р2+Рь= Рз+Рв (а)
и наоборот .
Далее нужно записать в алгебраичес:кой
форме условие задачи ( это приведет :к четырем
векторным равенствам) , уче сть, что радиус
векторы точе:к С1 определ яются формулой:
С1 = �(А1+Вд (i=1,2,...,6),
и убедиться , что из упомянутых четыре х усло
вий следует , что ве:кторы с/ удо влетворяют
соотношениям (а) .
Задача о двух середипах
По заданным трем точ:кам А, В, С постро
им : а) середину С' отрезка АВ , а затем се реди
ну С" отрезка СС';
б) середину А' отрез1\ а ВС, а затем середи
ну А" отрезка АА'.
Возможно ли т а:кое расположение ис ходных
трех точе:к А, В, С, при :котором точка А"
совпадает с точ:кой С"?
Отв е т. Толь:ко в том случае, :когда точ:ки
А и С совпадают.
Решение.
2·С' =А +в,
2-С"=С'+С,
и поэтому
2·(2С")=(С'+С) +(С'+ С) = 2-С' + 2-С;
та1шм образом,
2·(2·С") = (А + В)+ 2·С =
= (А+В+С)+С.
(а)
Аналогично получим:
406
2·(2·А") = (В+ С + А)+А.
(а')
Точ:ки С" и А" совпадут, если С'' = А",
т. е. в силуформул(а) и(а'), если
(А+В+С)+С=(В+ С+А)+А;
а это равенство в озможно толыю при С = А,
т. е. если точ:ка А совпадает с точкой С.
Решите сани с.�
�
едующие задачи
1. }Тсловимся в следующи х обозначениях:
--+
---+
--+
---+
--
-+
РА = 1 ·РА; РА+РА = 2·РА;
рл
'
+ Pli+P1=З·Pk
А+А+А+А=4·А ит. д.
(а)
До:казать, что для произвольных цел ых
чисел т и п справедливы равенства :
m·A + n·A =(т + п)·А;
(�1)
т-( А+ В)=m · A +m·B;
(�2)
п-(т·А) =(n·m)·A.
(�3)
Справедливость формул (�) делает целесооб
разнымназыватьвекторт·Апроизведе
нием числати ве:ктораА.Та:ким
образом , эта операция обладает свойством рас
предел ительности (формулы �1 и �2) и сочета
тельности (формула �3).
2. Пусть С - середина отрезка АВ , С' -сере
дина отрез:ка АС и С" - середина отрез:ка С'В.
Выразить радиус- ве:кторы точе:к С' и С"
чере з радиус-ве:кторы точе:к А и В.
Ответ. 4·С' = 3.А+В; 4·0" =А+
+з.в
.
3. Средним отре зком произвольного четы
реху гольни:ка (даже и не плос:кого) называют
отрезок , соединяющий се редины его двух про
тивоположных сторон. До:казать, что средние
отрезки четырехугольни:ка пересе:каются и де
лят друг друга пополам.
У:казани е :к решению. Если А,В, С,D
последовательные вершины четырехугольника
и если т оч:ка М - середина среднего отрезка,
соедин яюще го середину стороны АВ с се реди
ной стороны CD, то 4·..tY =(А + В)+ (С+D).
Точ:ку пересече ния обоих средних отрезков
называют ц е н т р о и д о м четырехугольника
ABCD.
4. Каждая треугольная пирамида ABCD
имеет три пары противополо жных ре бер: АВ
и CD; АС и BD; AD и ВС. Средним отрезком

пирамиды назыв ают отрезок , соединяющий се
редины какой-либо пары противоположных ре
бер .
Доказать, что все три, средних отрезка пи
рамиды пересекаются в одной точке и делятся
в ней пополам. Эту точку называют ц е н т р о
п дом пирамиды .
5. Доказать , что если S1, S2, S3, S4 - се ре
дины сторон А1А 2 , Az-43,A3A4,A4 А 1 произвол ь
ного (даже и не плоского ) четыре хугольника,
то они являются последовательными вершинами
па раллелограмма,
6. Для прои звольного восьмиугольника
А 1А2"
. А 8 построены центроиды 1 S1, S2, •• •
,
S8 четырехугольников: А1А 2А 3А 4, А 2А 3А 4А 5, ••• ,
А5А 6А7А8, А 6А7А 8А1, ••• ,
А8А1А2А3•
Доказать, что восьмиугольник S1S2 •••S8-
центральный, Т. е. ЧТО его диаметры S1S5,
S2 S6, S3 S7, S4 S8 пересекаются в обще й точке ,
которая делит кажд ый из них пополам .
7. Пусть точки В1, В2, •••,В6 - середины сто
рон А1А 2, А 2А3, •••, А 5А 6, А 6А1 центрального
шестиугол ьню\а . Доказать, что они также
являются последовательными вершинами цен
тральн ого шестиугольника.
Ка�юво взаимное расположение центров
обои х шестиугольников?
О т в е т. Они совпадают.
8. По двум заданным центральным шести
угол ьникам А1А 2."А 6 и В1В2. "В6 построить
шестиугольник С1С2.
"С6 такой, что его вер
шина С1 симметрична вершине А 1 относитель
но середины отрезка вlв 1+t (i = 1, 2, .." 6;
В1=В1)·
Что можно сказать о многоугол ьнике
С1С2··· Св?
О т в е т. Он центральный; его центр сим-
метричен центру многоугольника А1•••А 6 от
носительно центра многоугольника· В1•••В6•
9. Сфор мулировать и решить задачу для
двух централ ьных вос ьмиугольников, анало
гичную предыдуще й задаче .
10. Доказать, что
-(А+В) = (-А)+(-В).
У к а з а н и е. Используя сочетательное
свойство сложения и формулы (4') и (4") , убе
диться в справедливости равенства:
-->
(А+В) + {(-А)+( - В)} = РР ..
11. Н айти вектор Х, удовлетворщощи й
уравнению:
Х+А=В .
1 См. задачу 3.
АЛГЕБРА ВЕКТОРОВ
J�о!\азат ь, что это решение единственное .
Ответ. Х =В+(-А).
Замечание. Вектор В + (-А) назы-
ваютразностьювекторов;В(умень
шаемый вектор) и А (вычитаемый) .
В векторной алге бре его принято обозна
чать : В - А. Поэтому в последующи х задачах
используется равенство :
В-А = В+(-А).
12. Доказать, что
(А +В)- С =А+(В-С).
Каждый из этих векторов принято записывать :
А+В- С.
13. Доказать, что
А-(В+С)=(А-В)-С.
(Принятазапись:(А-В)-С =А -В -С.)
14. Доказать , что
А-(В-С)=(А-В)+С.
(Принята запись: (А - В)+ С=А - В+ С.)
15. По заданным радиус-векторам то
чек А и С выразить (вычислить) радиус-век
тор точки А ', симметричной точке А относи
тельно точки С. Ответ. А' =2·С-А.
16. Точка М отражается от вершины А1
произвольного треугольника А1А 2А 3, т. е.
строится точка М1, симметричная точке М
относительно точки А1. Полученная точка М1
отражается от вершины А 2; получаем точку
М2, которую отражаем от вершины А 3; воз
никает точка М3•
Что можно сказать о взаимном расположе
нии точки М3 относительно исходно й точки М?
О т в е т. Точка М3 симметрична точке М
относительно точки А 4, которая является чет
вертой вершиной параллелограмма , построен-
ного н а векторах A;i1 и А 2А3•
17. На о трезке MN расположены точки
М1иМ2так,чтоМ
1
есть середин а отре зка
ММ2, а М2 - середина отре зка M1N. Выра
зить радиус-векторы точек М1 и М2 через
радиус-векторы точек М и N.
Ответ. М1 = � -(2·М+ N);
1
М2 = 3·(М+2·N).
18. Разделим какую-либо меди ану треуголь
ника АВС на три равных отре зка и рассмотрим
ту точку деления S, которая ближе к основа
нию .
Выразить радиусы-векторы точки S через
радиус-векторы точек А , В, С.
407

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
Указани е. Конец А' медианы АА'
1
имеет радиус-вектор 2(в+ С): далее испол ь-
зовать результат предыдущей задачи .
Ответ. S = �·(А +В+ С);
он поRазывает, что точRа S лежит и на медиане
ВВ', и на медиане СС' (таRим образом, полу
чено веRторное доRазательство известной тео
ремы о трех медианах) . ТочRу S называют
це нтро и дом треугольниRа .
19. Для заданного произвольного шести
угольниRа А1А2А3А4А0А6 построим центроиды
sl, S2, Sз, S4, Sь, s6
треугоJIЬНИRОВ
А1А2Аз,
А2АаА 4, ..., АьАвА1, АвА1А2.
ДоRаЗаТЬ , ЧТО ТОЧRИ 81 - ПОСЛедовател ьные
вершины центрального шестиугольниRа .
•
ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА
ЧИС.JIА И; ДЕliстви.я
НеоОычпая конференция
Вообразим, Что нам удалось собрать мате
матиков разных веков и стран и п оставить пе
ред ними вопрос : «Что вы можете сказать о
формуле квадрата суммы?» Стенограмма этой
необычной Rонференции могла бы выглядеть
примерно таR.
ВавилонсRий математиR , живший 4000 лет
назад , сказал , что ниRаRих формул он не знает ,
так Rак считает не буквами , а числами . Но
ему и звестно , что если взять два числа, на
пример 20 и 3, то для вычисления квадрата их
суммы надо возвести в квадрат число 20, потом
число 3, сложить эти квадраты и к сумме приба-.
вить уд военное произведение чисел . Это же пра
вило годится и для любых других двух чисел .
Древний греR , живший 2300 лет назад,
до казал это правило .
·
Он нарисовал черте ж
(рис . 1) и СR азал , что площадь Rвадрата АС
(т . е . квадрата, у которого точки А и С яв
ляются концами диагонали) равна сумме пло
щадей квадратов АВ и ВС и уд военной площа
ди прямоуго льника BD. Поэтому , если сторона
Rвадрата АВ равна 20 , а квадрата ВС равна 3,
то площадь квадрата АС действительно можно
408
Рис. 1.

подсчитать так , как предложил его вавилон
ский коллега .
Ал ге браист XVI в. записал формулу квадра
та суммы в следующем виде :
В переводе это читалос ь бы примерно так:
А+В в квадрате равно А в квадрате + В
в квадрате + А на В2. (1\ак видите , вместо
скобок он писал черту, степени обозначал сло
вами , а ко эффициенты писал в конце .)
-
Не слишком удобные обозначения.
сказал иронически математик XVII в.
-
Однако и с этими обозначе ниями мы
умеем де лать значительно бол ьше , чем древ
ние греки ,-- с обидой возразил выступавший . 
Они умели рвшать лишь квадратные урав
нения , а мы справляемся и с уравнеюrями
третьей и четвертой степеней. Жал ь лишь , что
слишком часто эти уравнения не решаются,
так как получе нные формулы приводят к не
лепой опе рации извлечения квадратного корня
из отрицательного числа .
Выступавший следующим алгебраист XVII в.
написал формулу квадрата суммы уже в при
вычном для нас виде :
(а+Ь)2=а2+2аЬ+Ь2•
Он добавил , что его предшественюши слишком
узко понимают эту формулу. Прежде всего ,
в не й а и Ь не обязательно являются длинами
отрезко в, а сами могут быть площадями , объ
емами , весами и даже отрицательными числами .
Более того , вместо а и Ь в эту формулу можно
подставить любые многочлены, например:
[х2+ (х + 1))2 = х4 + 2х2(х+ 1)+(х + 1)2•
Он сказал еще , что эта формула является
только одной из большого числа зн акомы:!( ему
алгебраических формул и что ему хорошо из-
ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА
вестно искусство буквенных вычислений, а
это искусство и есть алгебра .
Алгебраист XVIII в. заявил , что о формуле
квадрата суммы нече го много говорить: эта
формула, как и все буквенные вычисления,
уде л школьной математики . При этом он от
метил , что она всегда верна , и притом не толь
ко для положительных или отрицательных
чисел , но и для комплексных , а эти числа
совсем не такая уж нелепость! Что же ка
сается предмета алгебраической науки , то
это вовсе не искусство буквенных �ычисле
ний, а умение решать уравнения и системы
уравнений. Дл я систем уравнений первой сте
пени у него даже есть общая фо рмула решения .
Выступление математика XIX в. часто пре
рывалось возгл асами недо верия и шумными
восклицаниями . Было ясно , что это выступле
ние явилось дл я большинства участников
полной неожиданностью . Да и в самом деле ,
выступавший заявил , что формул а (а+ Ь)2 =
= а2 + 2аЬ+ Ь2 верна далеко не во всех случаях!
Например, английский математик У. Гамильтон
занимался обобщение м комплексных чисел . Он
построил числа, названные кватернионами ,
у которых не одна , а цел ые три мнимые еди
ницы i, j, k. Так вот , дл я кватернионов (ко
торые находят много интересных применений)
формула квадрата суммы просто н е в е р н а .
Не ве рна потому, что здесь мы сташшваемся со
случаем, когда умно жение некоммутативное ,
т. с . не выполняется переместительный за
кон умножения (например, ij = k, ji = -k),
а при выводе фор\\1улы квадрата суммы мы
пользуемся равенством а Ь = Ьа.
Выступавший сказал , что другие матема
тики рассмотрели еще более удивительные обоб
ще ния комплексных чисел , для которых ум
ножение не только некоммутативно , но даже
и неассоциативно , т. е. в обще м случае
(аЬ)с =!= а(Ьс).
Выступивший вслед затем алгебраист ХХ 11.
сказал , что гипе ркомплексные числ а - э1'о
только примеры к тем общим теориям, которы
ми он занимается . Он может доказывать тео
ремы, которые верны не только дл я гиперком
плексных чисел одного вида , а для всех гипе р
комплексных чисел (или для очень многих
видов таких чисел) . Он умеет скл адыв ать и
умножать не только числа и многочлены , а и
такие вещи , как квадратные таблицы , геомет
рические и алгебраические преобразования ,
логические суждения и т. д . (см . статью
«Алге бра множеств и алгебра логики�) .
409

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
-
Ка:к же вам удается о перировать с та
кими непохожими друг на друга вещами , :ка:к
квадратные таблицы , гипе ркомплексные числа,
геометрические преобразования? Что может
быть общего в действиях над ними? И :ка:к вы
узнаете , :какие фор1"1улы имеют место в тех
или иных случаях?
-
Весьма несложно ; для этого в моем рас
поряжении имеется столь мощное оружие , :как
аксиоматический метод , кото рый ...
-
Не может быть ,- воскликнул оконча
тельно выведенный из равновесия древний
грек ,- ведь аксиомы относятся :к области гео
метрии? !
. .. Прервем на этом нашу конференцию и
постараемся разо браться во всем сказанном.
Фунft,а иеит а d1•ебры
Из всех сделанных высказываний школь
нику Васе Игнатьеву, :который был :корреспон
дентом школьной стенгазеты и присутствовал
н а конференции, самым правильным показа
лось мнение алгебраиста XVII в., что алгебра
искусство бу;;венных вычислений. Вася учился
тогда в седьмом классе и на уроках алгебры
много занимался буквенными nычислеюн 1ми .
Тут были и формулы сок раще нного умножения,
и коэффициенты , и п.:>:казатели степени , и многое
другое - от букв в глазах рябило . Он часто
думал : «Хорошо 5ыло бы иметь ответы ко
всем примерам из Ларичева l)) Но вскоре по
нял , что это не поможет , - учитель для :кон
трольных работ брал примеры из :какого-то
другого задачника. А запомнить решения всех
41.0
задач из всех задачников на свете - это , по
жалуй, никому не под силу, разве что фокус
никам из цирка, выступающим с сеансами фе
номенальной памяти .
Делать нечего , приходилось заучивать пра
вила: что происходит с :ко эффициентами и по
казателями при умножении одночлено в, ка:к
во зводить сумму и разность в квадрат и многое
другое .
Вася был мальчик любознательный и за
хотел узнать, откуда же эти правила бе рут ся .
Внимательно читая уче бник , он понял , что
все правила, по :которым выполняются де йствия
с многочленами , вытекают из .не большого числа
основных правил . Эти пе рвоначальные пра
вила тако вы:
а+О=а;
а+ (- а)=О;
а+Ь=Ь+а
(а+Ь)+с=а+(Ь+с)
а·1=а;
(коммутатив ност ь
сложе ния) ;
(ассоциати в ность
(с ложе ния);
аЬ=Ьа
(коммутатив ность ( 1)
умножения);
(ассоциат ивность
умножения);
а(Ьс) = (аЬ)с
а(Ь+с)=аЬ+ас
(д истрибут ив ност ь) .
Из этих правил можно вывести все остал ь
ные . Покажем, :ка:к выводится формула
(а+Ь)2=а2+2аЬ+Ь2,
(2)
обсужда вшаяся на необычной :конференции.
По закону дистрибутивности имеем:
(а+Ь)2 = (а+Ь)(а+Ь)=(а+Ь)а+(а+Ь)Ь.
Используя коммутативность умножения, n о
лучаем :.
(а+Ь)2 = а(а+Ь)+Ь(а+Ь).
Вторично применяя дистрибутивность, а так
же коммутативность умножения и ассоциатив
ность сложения, находим :
(а+Ь)2 = (а2 +аЬ)+(Ьа+Ь2)=(а2+аЬ)+
+(аЬ+Ь2) =а2+(аЬ+аЬ)+Ь2•
Здес ь
аЬ+аЬ=аЬ·1+аЬ·1 =аЬ(1+1)=аЬ·2 =2·аь,
и потому
(а+Ь)2 = а2 +2аЬ+Ь2•
Попробуйте таким же способом прuследить
вывод формулы :
(а+Ь)3 = а3+За2Ь+ЗаЬ2+ь�.
Вы увидите , что при этом придется испол ьзо
вать и закон ассоци ативности умножения.

Итак , правила алгебры выводятся из на
писанных нами первоначальных правил . Таким
образом, искусство буквенных вычислений
сводится к применению этих основных пра
вил . При этом некото рые следствия из этих
правил (например, формула квадрата суммы)
орцменяютс я настол ько часто , что их надо
так же хо р3ШО запомнить и применять, как
и пе рвоначал ьные правила.
Не правда ли, зто очень напоминает поло
жение дел в геометрии - там тоже есть не
сколько аксиом (т . е. первоначал ьных положе
ний) , из которых выводятся различные след
ствия , называемые тео рем а ми. А при
решении задач приходится применять и ак
сиомы , и теоремы . Поэтому мы будем, как и в
геометрии , формулы ( 1 ) называть аксиомами ,
а формулы внда (2) - теоремами .
Как и аксиомы геомет рии , аксиомы алгебры
не доказываются. Они являются обобщением
многотысячелетнего опыта практической дея
тел ьности человечества . Прежде чем сформу
лировать положение : а + Ь = Ь + а, надо было
много тысяч раз подметить такие ·арифмети
ческие соотношения , как :
2+5=5+2,
4+6=6+4ит.д.
Все остал ьные аксиомы (1) имеют такое же
происхождение : они являются буквенной за
писью многократно прове рявшихся законов
арифметики .
Cи.Jia букв
Уже шестиклассники хорошо понимают ,
насколько алгебра сильнее арифметики : вместо
того чт обы решать несколько задач , отлича
ющи хся только числовыми данными , можно
решить одну задачу с буквенными данными ,
а потом подст авлять в полученный ответ р аз
личные числовые данные . Достаточно напом
нить задачу :
Смешали а кГ конфет ценой т рублей за 1 кГ
и Ь кГ конфет ценой п рублей за 1 кГ. Сколько
стоит 1 к Г полученной смеси?
Решение этой задачи дается буквенной фор
мулой:
А
=
та+пь,
а+ь
где
А
-
стоимость 1 кГ смеси .
При этом полученный алгебраический ответ
часто можно упростить, пользуясь правилами
алгебраических преобразований , и ТQгда под
ставлят� числовые данные будет гораздо проще .
ЧЕМ ЗАНИМА ЕТСЯ АЛГЕБРА
На этом факте основаны многочисленные
«фокусы» с отгадыванием задуманных чисел .
Например, предложим выполнить следу
ющие действия: 1 ) задумайте число ; 2) прибавие
к задуманному числу 5; 3) полученный резул ь
тат умножьте на 3 ; 4) отнимите от получивше
гося тепе рь рззультата задуманное число ;
5) отнимите 11; 6) разделите полученный ответ
на 2. Если сообщит ь «фокусник у>) полученный
результат , то он сразу назовет задуманное число .
При этом ему не придется выполнять в обрат
ном по рядке всей сложной последовател ьн()сти ·
действий . В самом деле , если обозначить заду
манное число через х, то действия , кото рые
предложено выполнить, записываются следу
ющим образом :
[(х+5)·3 -х
-1
1]:2.
Упрощая зто выражение , легко найдем, что
оно равно х + 2. Поэтому «фокуснику>) доста
точно отнять от соо бщенного ему результата 2,
чтобы получить задуманное число .
Одн ако шестиклассник (да и оканчивающий
школу) не (1Ценивает полностью всю силу бук
в енных формул . Он считает , что буквы в
них - это обязательно какие-то числа ( зара нее
известные или искомые) . На самом же деле ,
производя де йствия с букв ами , он исполь
зует лишь аксиомы алгебры и их следствия .
Поэтому все его вычисления годятся не тол ько
для чисел , но и для любых вещей, для которых
выполняются зт
_
и аксиом
.
ы. Например, буквы
могут означать не отдельные числа , а много
члены, алгебранческив Дроби и другие алге
браические выражения .
Ведь хорошо известно , что для сложения
и умножения многочленов выполняются те же
аксиомы (1), что и для сложения и умножения
чисел . Например, если а � Ь - некоторые мно
гочлены,тоа+Ь=Ь+а,аЬ=Ьаит.д.От
сюда следует , что в любое алгебраическое тож
де ство вместо букв можно подставлять не тол ько
числа, но и любые многочлены. Например,
И3 ТОГО , ЧТО
а3-Ь3=(а-Ь)(а2+аЬ+Ь2),
следует тождество :
(х2+х+1)3-(х2-х+1)3=
=2х[(х2+х+1)2+(х2+х+1)(х2-х+1)+
+(х2-х+1)2).
Если, кроме чисел и многочленов , нам встре
тятся другие вещи , которые можно склад ывать
и умножать, причем выполняются аксиомы ( 1),
то для них будут верны все формулы и выводы
алгебры.

МНОЖЕСТВ А И ОПЕРАЦИИ
Например, ста ршекл ассники встречаются
с комплексными числами . Верны ли для таких
чисел формулы алгебры , или надо снова
выяснять, чему равен куб суммы комплексных
чисел?
Из сказанного следует , что проверять заново
дл я комплексных чисел все формулы алгебры
не н ужно. Достаточно проверить аксиомы (1) ,
а из них уже будут следо ват ь все остальные
фо рмулы.
RooJ
J
ьцa
Тепе рь ясно , когда верна формула
(а+Ь)2=а2+2аЬ+Ь2,
да и все остальные формулы алгебры . Они верны
дл я л юбых объе ктов , которые можно склады
вать и умножать , причем .в ыполняются ука
занные выше аксиомы ( 1 ) . Мы уже знаем три
п римера объектов, дл я которых эти аксиомы
выполняются. Это - действительные числа,
комплексные числа и многочлены .
Математики знают много других примеров
множеств с аналогичными свойствами :
1) элементы такого множества можно скла
дывать и умножать, причем сумма и произве
дение двух элементов снова принадле жат тому
же множеству;
2) среди элементов множества особо от
мечены два элемента , обозначаемые символами
ои1;
3) для каждого элемента а определен проти-
воположный элемент - а ,
принадл ежащи й
тому же множеству ;
4) для сложения и умножения в рассматри
ваемом множестве выполняются все аксиомы (1) .
Ввиду того что такие множества часто встре
чаются, для них было введено специальное
название - к о льц о.
Кроме рассмотренных выше трех примеров ,
можно указать следующие примеры колец:
а) мно жество всех целых чисел (сумма и произ
ведение целы х чисел - целые числа , так же
как и число , противоположное целому) ; б) мно
гочлены с целыми коэффициентами ; в) числа
вида а + Ьу1, где а и Ь - произвольные целые
числа .
А положительные числ а (относительно обыч
ных сложения и умножения) кольца не обра
зуют , ведь число , противоположное положи
тельному, уже не является положительным.
Позже понятие кольца было расшире
н о. Во-пе рвы х, отказались от требования ,
412
что в кольцо входит элемент 1, для которого
а·1 = 1 ·а= а. Например, все четные числа
(как положительные , так и отрицател ьн ые)
образуют кольцо бе з единицы . Нечетные же
числа вообще не образуют кольца , так как
сумма двух нечетных чисел четна .
Потом отказались и от требования комму
тативности умно жения , т. е. отбросили акси
ому аЬ = Ьа (сохранив остальные аксиомы) .
Такиекольцасталиназыватьнекоммута
т и в н ы ми. Приме ром некоммутативного
кольца является кольцо всех кватернионов .
Наконец , пожертвовали и аксиомой ассоци
ативности умножения, заменив ее другими ак
сиомами.
Например, стали рассматривать кол ьца , в
которых аксиомы коммутативности и ассоциа
тивности умножения заменяются следующими
аксиомами :
аЬ = - Ьа (анти коммутативность) ;
(аЬ)с + (Ьс)а+(са)Ь =О.
Такие ко:Льца называют алгебрами Ли (по
имени но рвежского 11tатематика С. Ли) .
Все это происходило не из любви мате
матиков к обобщения11t , а пото му, что были
найдены важные для практики объекты , для
кото рых имелось естественное сложение и умно
жение , но умножение не было ни коммутатив
ньш, ни ассоциативным . Многие такие объекты
встретились, например, в современно й кванто
вой физике .
Разумеется , вследствие введения новы х
аксиом пришлось заменить многие формулы
алгебры новыми . Например, для алгебр Ли
вместо формулы (а - Ь)(а+Ь) = а2 - ь2. спра
ведлива формула (а - Ь)(а+Ь) = 2аЬ. Не прав·
да ли, удивител ьно? 1
По"1 и
Мы уже говорили , что понятие кольца ,
удовлетворяюще го всем аксиомам ( 1) , ока
залось в некоторых вопросах математики слиш
ком узкю1 . Одн ако дл я других математических
вопросов оно оказалос ь слишком широким,
ведь в определении нол ьца ни звука не сказано
о возможности деления . Да и не во всех коль
цах можно дел ить . Возьмем, например, кольцо
всех (положительных и отрицательных) целых
чисел . Если разделить 3 на 5 , то целого числа
не пол учится. А без деления нельзя решать
даже уравнений перв ой степени !

Чтобы изучать уравнения , пришлось огра
нич иться кольцами , в которых есть операция
деления . Такие кольца математики назвали
полями. Как в настоящем поле можно идти
в любую сторону , не встречая никаких пре
пятствий, так в математическом поле можно
беспрепятственно выполнять все арифметичес- ·
кие действия . Впрочем, одно ограничение
есть - на нул ь в поле делить нельзя.
Читатель еще в шестом классе познакомился
с одним полем - полем всех рациональных
чисел (положительных и отрицательных) . Поз
же он познакомился с другим , более широким
полем - все х действительных чисел (как ра
ционал ьных , так и иррациональных) . Наконец,
все комплексные числ а тоже образуют поле .
Кроме этих трех полей (рациональных,
де йствительных, комплексных чисел), есть еще
много других полей, состо ящих из чисел . В озь
мем, например, все числа вида а + ьуз, где а и
и Ь - рациональные числа . В это множество
чисел входит , например, у3 =О+ 1 . уз , но не
входит у5. Покажем, что это множество чисел
образует поле .
В самом деле , возьмем два числа: а + Ьу3,
с + dy3 из нашего множества. Их сумма имеет
вид :
(а+ь.,13)+(с+ d1/З) =(а+ с)+(Ь+d)y3.
Таккака+сиЬ+d-рациональныечисла,
то число (а + Ьу3) +(с + dY3) также принадле
жит нашему множеству . Точно так же из ра
венств :
(а+ьvЗ) (с+dy3) = ас + adv3+ Ьсу-3+
+ ЗЬd = (ас+ЗЬd) + (ad + Ьс).,13
следует, что произведение двух чисел рассмат
риваемого мно жества снова принадлежит ему .
Сложнее обстоит дело с частным . Возьмем
ло
а
+ ьуЗ Чтобы записать его в виде т +
чис
1/'
.
c+drЗ
+ пу3, освободимся и от иррационал ьности в
знаменателе :
а+ьуЗ (а + ьy3)(c - dV3>
с + dУЗ =(с+dJfЗ)(с - dJf3)=
(ас-ЗЬd)+(Ьс -ad)Jf3
с2-Зd2
ас-ЗЬd,Ьс-ad,,r
= с2-Зd2 тс2-Зd2rЗ.
ас-ЗЬd Ьс-ad
Числа с2_Зd' ис
2 _ Зd2 рациональн ы, а пото-
ЧЕМ ЗАIЦIМАЕТСЯ АЛГЕБРА
а+ьvз
му
с+dVЗ
пр.ин адлежит нашему множеству .
Впрочем, не спешите , не все числа можно
делить друг на друга (даже в поле рациональ
ных чисел) . Если число c 2 - 3d2 окажется рав
ным нулю, то у нас ничего не получится .
Но при рациональных с и d равенство
c 2 -3d2 = О может иметь место только в том
случае, если с = d = О. А в этом случае число
с + dуЗравно нулю и делить на него нел ьзя .
Докажите сами , что числа а + Ьу5, где а
и Ь - рациональны , образуют поле . А вот числа
вида а + Ьу2+ суЗ,'где а, Ь, с- рациональны ,
не образуют поля, потому что у2-у3=у6.Что
бы получить поле , надо расширить это мно жество
чисел , а именно рассматривать числа вида
а + Ь.,1"2+су3+ dy6, где а,Ь, с, d-рацио
нальны . Поля можно строить не только из чи
сел . Например, множество всех алгебраичес
ких дробей _о бразует поле .
РАЗ.JIОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕ.JIИ
И РЕШЕНИЕ УРABHEHИll
Рамоисевие чисеd на ивожитеdи
С разложением чисел на мно жители учащие
ся знакомятся еще в начальной школе . При оты
скании обще го знаменателя им приходится раз
лагать на множители знаменатели слагаемых .
Нужно разложение на множители и при сокра
щении дробей.
Одно из основных утве рждений арифметики
г.пасит : каждое натурал ьное чисд о единствен
н ым о бразом раздагается на прост ые множи
тед и. Например:
72=2 .2.2.з.з; 1001°= 7.11.1з
(разумеется, разложения , отличающиеся лишь
порядком множителей, ·мы считаем один ако
выми) . Напомним, что простым числом назы
вается натуральное число , имеющее только
два различных делителя (само число и 1 ). Число
1 не считается простым .
Будем тепе рь рассматривать не тол ько нату
ральные числа, но и нуль, и отрицательные
целые числа. Иными словами , возьмем мно
жество всех целых чисел . На первый взгляд
здесь труднее определить понятие простого
числа . Ведь , например, 7 =(-1) ·( -7). Значит ли
это , что число 7 пе рестает быть простым , если его
41.8

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
.
.
..
рассматривать в множестве всех целых чисел?
Оказывается , нет , надо только уточнит ь, что
называется простым числом.
Заметим, что число -1 обладает следующим
свойством : если разделить 1 на - 1 , то в част
ном получится це лое чиело . Другим целым
числом с таким же свойством является сама
единица . Мы буде м называть эти числа (1 и -1)
делителямиединицы.
Назовем целое число р про стым, если
оно не является деJштелем единицы , но в любом
его разложении в произведение двух це лых
множителей один из сомножителей обязател ьно
является делителем единицы . При таком опре
де лении число 7 остается простым и после пере
хода к множеству всех целых чисел . Простым
будет и число -7 .
Сохраняет свою силу и основной закон
арифметики , однако тоже с небольшим изме
нением фо рмулировки : каждое целое число, от
личкое от ку.ля, р азлагается .в пр оизведекие пр о
стых целых чисел ; это разложение однозначно
определено с точкост ью до перестановок со
множителей и возможного умножения неко
тор ых сомножителей на -1 (т . е . на делитель
един ицы) . Например,
21=3.7 =7.3 =(-3)(-7)=( -7)(-3).
Такие разложения принято считать неотли
чающимися друг от друга .
У,1
1,
ивитео1
1
ьвое раао1
1
ожение
При решении некоторых сложных вопросов
теории чисел пришлось разлагать целые числа
не только на целые множители , но и на множи-
тели видаа+by'°f),гдеаи Ь -целые числа.
Числа такого вида сами образуют кольцо . Для
них , как и для целых чисел , можно определить
понятия простого числа, делителя единицы
и т. д . Например, число 2 + .,15 - делитель еди-
ницы,так1�ак(2+.,15)(-2+v5)=1. Вели
ко же было уди вление математиков , когда
оказалось, что в кольце чисел а + Ь-(5 нару
шается основной закон арифметики о единствен
ности разложения на простые множители . На
пример,
Не одно значно разложение на простые мно
жителии в кольце чиселвидаа+Ьу-5 , где
414
а и Ь - целые . В этом кольце единственными
делителями единицы явл яются те же числа
1 и -1 , что и в кольце целых чисел. Однако
21=3.7 �-=(4+t1-5)(4-у-5)=
= tt-2yr
-
5)(1 + 2�'
-
5).
А вот в кольце чисел вида а + Ь(З(а и Ь-целые)
имеются де лители едиющы ; кроме 1 и -1 , на-
пример: (2+J 3)(2-.,13)= 1. Но разложе
ние на множители в этом кольце однозначно
(как всегда , с точностью до пе рестановки мно
»•ителей и умно жения этих множителей на
делители единицы) .
В теории чисел полностью изучен вопрос ,
в каких кольцах вида а + Ь.,l±D имеет место
однозначность разложения на простые мно жи
тели, а в каких нет. Мы не буде м на этом оста,
навливаться .
Разо1
1
оже11ие иногочо1
1
енов 11а иноис итео1
1
н
Разложение це лых чисел на мно жители
напоминает другой раздел элементарной мате
матики - разложение многочленов на множи
тели . Этот раздел очень нравился нашему зна
комому Васе Игнатьеву. Он умел разлагать на
множители не только такие nростые многочлены ,
какх2-4 =(х-2)(х+2),нотакжеспо
с обом группировки мог разложить :
х2-3х+2=х2-х -2х+2=х(х-1)-
- 2(х-1)=(х-1)(х-2).
Эти примеры он брал из различных задач
ников . Однако , когда он попытался сам при
думать пример и начал разлагать на множители
многочлен х2 + 6х + 4, у него ничего не вы
шло . Потом он сообразил , что даже многочлен
х 2 - 2 не разлагается на множители. Он за
бросил листок , на котором решал пример, и
нашел его только че рез год , когда перешел в
следующий класс. «Над чем Же я думал !
восклик нул он , - ведь
х2-2 =(х-.,12)(х+.,12),
х2+6х+4=(х+3+1/5)(х+3-УБ)».
Вася думал , Что , научившись решать кв адратные
уравнения , он сможет разлагать на множи
тели любой квадратны й трехчлен . Но радость
его · бы ла преждевременной; когда он взялся

за многочлен х 2 + 6х + 10, то даже приме
нение иррациональных чисел ему не помс :"ло .
При решении квадратного уравнения х 2 +ох +
+ 10 = О появились квадратные корни из отри
цательных чисел , а про такие корни он еще
ниче го не знал .
Лишь в десятом классе Вася научился раз
лагать и такие многочлены - учитель расска
зал о компле ксных числах , после чего он смог
решать все квадратные уравнения , а тем самым
и разлагать на множители все квадратные трех
члены :
х2+6х+10=(х+3+i)(x+3-i).
Поче му же в разных нлассах Вася по-раз
ному подходил к задаче о разложении много
члена, почему все больше расширялся класс
мно гочленов , которые он мог разлагать на мно
жители? Ларчик открывается просто - задача
о разложении на мно жители не очень точно по
ставлена . Надо еще уназать, каними могут быть
эти мно жители , наними числами должны быт ь
их коэффициенты . В седьмом классе Вася знал
только рациональные числа. Поэтому он раз
лагал лишь на множители с рациональными
коэффициентами . В восьмом классе он узнал
иррационал ьные числа. Тепе рь он уже мог
пользоваться и множителями с любыми де йст
вительными ко эффициентами . Полное благопо
лучие наступило в десятом классе , к огда Вас.я
стал встречаться с многочленами , коэффициенты
которых комплексные . Таким образом, не
достаточно сназать : «Разложите многочлен
/(х)=a0xn+a1xn-1+. . .+a
n
на множите
ли» . Надо еще сказать, к а к ому полю
должны принадле жать ко эффициенты этих
мно жителе й.
Если все ноэффициентLI многочлена /(х)
принадлежат числовому пол ю Р, то говорят,
что /(х) является многочленом над полем Р.
Например, х2 + 6х + 10 является много
членом над полемрациональныхчисел,
х 2 + 2х + 1t - над полем действительных
чисел, а многочлен х2+ix+3-i
-
над
полем комплексных чисел .
Разумеется , если поле Р является ч а с т ь ю
поля Р1 (или, как говор ят математики , его
подполс м) , то любой многочлен над полем
Р может рассмат риваться и как многочлен
над полем Р1 • Ведь его ноэффициенты принад
лежат полю Р, а значит , и по.Лю Р1• Такой под
ход б ывает удо бен при разложении многочле
нов на множители . Напри�шр, можно говорить
о разложении многочлена х2 + 6х + 10 над
п олем комплексных чисел .
ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА
Разложение многочленов на множители
похоже по своим l{войствам на разложение це
лых чисел . Только вместо простых чисел н адо
братьтак называемые неприводимые
многочлены-те,которыенельзяпред
с тавить в виде произведения двух многочленов
меньшей степени (над заданным полем} . Дели
телями единицы являются только многочлены
нулевой степени , т. е . отличные от нуля чис
ла. Как и дл я целых чисел , здесь каждый мно
гочлен единственным образом разлагается в
произведение неприводимых множителей. Разу
меется , такие два разложения , как
отличающиеся лишь делителями единицы , счи
таются одинаковыми .
Раа.Jiоже11ие многоч.Jiенов на ивожите.Jiи
и решение ypaвue11иlt
Зачем же надо разлагать многочлены на 11шо
жители? Одна причина ясна - дл я выполнения
де йствий с алгебраичесними дробями Но есть
и другая причина - разложение на множители
облегчает решение уравнений. Пусть нам дано
уравнение :
х5+2х4-х -2 =О.
Решать уравнения пято:(i: степени мы не умеем .
Но если сгруппиро в-ать члены в левой части ,
то получим:
(х+ 2)(х4 - 1)=О,
или:
(х+ 2)(х- 1)(х+ 1)(х2 + 1)=О.
А тепе рь видно , что левая часть обращается
в нуль прих1=-2,х
2
=1,х3 = -1 . Значит, эти
числа являются корнями нашего уравнения .
Других де йствительных корней у него нет , тю<
как произведение можэт равняться нулю, лишь
если какой-нибудь множитель равен ну.11 ю, а
множитель х2 + 1 при действительных х в
нуль не обращается .
Вообще , если левая часть алгебраическог о
уравнения /(х) = О может быт ь записана в виде
(х- а) р (х) = О, где р(х) - тоже многочлен ,
то х = а является одним из корней нашего урав
нения . Верно и обратное : если число а являет
ся корнем алгеб раического уравнения /(х) =О,
то многочлен /(х) делится бе з остатка на х-а .
При этом если коэффициенты многочлена /(х)
4:16

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
и корень а принадлежат полю Р, то тому же
полю принадле.жат и коэффициенты многочлена
р(х), ведь при де лении многочленов «стол
биком)) мы выполняем над их коэффициентами
л ишь четыре арифметических действия . Осо
бенно легко решать уравнения , левая часть
которых разложена на множители первой сте
пени :
(х-111)(х-а2)•
••
(х-11n)=О.
В этом случае ясно , что корнями будут числа
а1, 112,.", 11п, а других корней не будет (так как
если х отлично от всех чисел 111, 112,.", 11п, то
ни один из множителей первой степени в нуль
не обращается) .
Верно и обратное : если мы знаем п корней
111, а
2
, . " , ап многочлена
f(х) = аоХ
п
+alxn-1+ ...+ап,
то он следующим образом разлагается на мно
жители :
f(х)=а0(х-111)(х-а2)•••
(х - ап)·
Из сказанного ясно , что никакое уравнение
п-й степени не может иметь больше , чем п кор
ней. А имеет ли любое уравнение хотя бы один
кuрень? Впрочем, эта задача опять нечетко
поставлена : неясно , что значит «любое урав
нение)) , какими должны быть его коэффици
енты . Неясно и то , какие корни мы будем рас
сматривать.
O(�HOBllaB те орема a.J
J
re6pы KBOFOЧdeHOB
Мы видели , что чем богаче элементами поле
Р, тем больше возможностей разложить над ним
заданный многочлен /( х) на множители. На
пример, многочлен х4 -2 совсем не разлагается
над полем рациональных чисел , но разлагает
ся на три множителя над полем действи
тел ьных чисел :
х4-2 =(х-;;-2)(х+;;-2)(х
2
+12)
и на четыре множителя над полем комплексны х
чисел :
х4-2=
= (х -;;·2)(х+t12)(х-it12)(х+iV2).
Однако расширение поля влечет за собой
и расширение множества многочленов , которые
надо разлагать. Ведь если допустить в качестве
коэффициентов не только рациональные , но
и действител ьные числа, то придется разлагать
не только т акие многочлен ы , как х4 -2, но
416
итакие, как х�-У2, идаже такие, какх� -1t.
А (>• .�:и допустить к.о мплексные числа, то пр�
де тся рассматривать и многочлены вида х4 + i.
К счастью , оказалось, что выигрыш от рас
ширения поля бол ьше , чем проигрыш , - над
полем комплексных чисел л ю б о й многочлен
(не �олько с рациональными , но и с любыми
комплексными коэффициентами) разлагается
до конца , т. е . на множители первой степени.
А это означает , что всякое уравнение п-й сте
пени с комплексными коэффициентами имеет
ровно п корней. Эту теорему называют о См
новной
теоремой
алгебры
мно гочл е нов. Ее до казал К. Гаусс
в 1799 г.
Сложнее обстоит дело с разложением мно
гочлена над полем действительных чисел .
Как мы видели , над этим полем многочлен
х2 + 6х + 10 не разлагается на множители
пе рвой степени . Однако любой многочлен с де й
ствительными коэффициентами , степень кото
рого больше двух , всегда разлагается на мно
жители с коэффициентами того же вида . Поэто
му всякий многочлен с действител ьными коэф
фициентами разлагается над полем действи
тельных чисел на множители пе рвой и второй
степеней .
Реmе11ие уравнений в ра,1
1,
икао1
1
ах
Основная теорема алгебры дает только уверен
ность в том , что у каждого алгебраического урав
нения есть корни . (Теоремы такого типа
на зывают в м атематике теоремами существо
вания .) Однако она ничего не говорит о том ,
как эти корни искать. Иными сл овами , вопрос
о том , как решить данное уравнение , остается
открытым и после дока зательства основной
теоремы .
Издавна люди занимались решением урав
нений . При этом старались выразить корни
уравнения че рез коэффициенты с помощью
четырех арифметических действий и извлечения
корней. Это уд алось сделать для квадр атны х
уравнений, а впоследствии и для. уравнений
третьей и чет вертой степеней (см . статью «Как
люди учились решать уравнения») .
Многие годы усилия математиков были на
правлены на то, чт обы найти решение в радика
лах (т. е . с помощью этих же пя1и действий)
для любого уравнения пятой степени . Все эти
попытки к успех у не привели. Долгое время
думали, что дело в недостаточной и зо брета
тельности математиков и что когда-нибуд ь при-

дет математический гений , который решит за
дачу .
Ге ний действительно пришел , им был моло
дой норвежский математик Н. Абель. Однако
вместо желанной формулы он дал отрицатель
ный ответ - решения задачи не сУще ствует .
Впрочем , сначала Абель ошибся (и гении делают
•
Нильс Генрик Абель.
ошибки!). Е му показал ось , что он нашел фор
мулу, дающую реше ние уравнения пятой сте
пени в радикалах . Но потом он увидел ошибку,
проанализировал свои рассуждения и в резуль
тате получил замечательный вывод : не только
неверна выведенная им формула, во и вообще
не суще ствует общей формулы , выражающей
корни любого уравнения пятой степени через
коэффициенты этого уравнения с помощью
сложе н ия , вычитания , умножения , деления
и извлечения корня .
ЦвркуоJiь в oJiиueltкa
На развитие теории уравнений сильное вли
яние оказали задачи о построениях циркулем
и линейкой, в особенности задачи о построении
правильных многоугольнико в. Из школьного
курса известно , как строить циркулем и ли
нейкой правильны й треугольник , квадрат и
шестиугольник . В более подробных курсах
расс1\ азано о построении правильного пяти
угольник а. А вот о построении правильного
семиугол ьника или девятиугольника ничего
•27д.э.т.2
ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА
не говорится . И это не случайно : ни правиль
ный семиугольник , ни правильный девяти
угольник н е л ь з я построить циркулем и
линейкой.
Как же это узнал и? Ведь до1\азать разре
шимость задачи сравнительно легко - доста
точно ука зать_ путь ее решения . Дока зать же ,
что задачу нельзя решить, очень трудно . Путей
решения задачи бесконечно много (мало л и
какие построения можно придумать !), и дока
зать, чт о ни один из них не приведет к цели,
на первый взгляд невозможно .
Однако математики справились с этой за
дачей. Для эт ого они сначала исследовал и во
прос, какие отрезки м о ж н о построить цир
кулем и линейкой исходя и з одного заданного
отре зка (в случае построения правильного
м н огоугольника з аданным является радиус
описанной окружности или сторона искомого
правильного многоугольника) .
Чтобы ответ ить на этот вопрос , пришлось
ввестипонятиеквадратичной ирра
циональности.
Так назвали числа,
которые получаются из единицы с помощью
четырех арифметических действий и операции
и звлече ния кв адр атного корня . Вот для при
мера некоторые числа, являющиеся квадратич
ными иррационал ьностями:
-Vv1- -{ 2
-rs+1Vз
,....
Все квадрат ичные иррациональности, вместе
взятые,образуютчисJ}овое поле,при
чем в этом поле всегда выполнима операция
извлечения квадратного корня из положитель
ного числа.
Было доказано , чт о если з адан отрезо1\ а,
длина которого принимается за единицу, то
циркулем и линейкой можно построить любые
отрезки , длины которых являются 1\ вадрат ич
ными иррациональностями, и только эти от
резки.
Например , для построения правильного пя
тиугольника с данной ст ороной достаточно по
ст роить его диагональ (тогда все вершины можно
будет найти с помощью засечек окружности) .
Расчеты показывают , что если сторона пяти
угольника равна 1', то его диагональ имеет длину
-У-52+ 1 • Так как это число является квадра
тичной иррациональностью , то построение пра
в ильного пятиугольника с помощью циркуля
и линейки возможно .

МНОЖЕСТВА 11 ОПЕРАЦИИ
А в от правильный девятиугольни:к постро
ить нельзя. Его построение сводится :к делению
угла в 120° на три равные части. По формулам
тригонометрии:
cos3ер=4cos
3
ep-3cosер.
Положим здесь 3ер = 120°. Так как cos 120° = - -}-.
то для отыскания cosep пол учим :кубическое
уравнение :
1
4 cos
3
ep-3cosер+2=О,
ил и, полагая 2 cosep = х , получим уравнение :
х3-3х+1=О.
(3)
Было дока зано , что если один из корней
кубическ ого уравнения с целыми коэффици
ентами явл яется квадратичной иррациональ
ностью , то у него есть и рациональный корень.
А легко доказатьs что у уравнения (3) раци
ональных корней нет , з начит , нет и корней,
являющихся квадратичными
иррациональ
ностями. Поэтому и нельзя построить правиль
ный девятиугольник циркулем и линейкой.
(Пос:кольку угол в 120° нельзя разделить цир
кулем и линейкой на три равные части , тем
более нельзя у:казать метод деления циркулем
и линей:кой на три равные части для произ
вольного угла. Для некоторых углов , например
90°, эта задача разрешима .) Точно та:к же дока
зывается невозможность построения циркулем
и линейкой правильного семиугольника.
Окончательное решение вопроса о постро
ении правильных многоугольни:ков циркулем
и линейкой дал в 1796 Го Гаусс . Он доказал ,
4:1.8
что если р - простое число, то правил ьный
р-угольни:к с данной стороной может быть
п острое н цир:кулем и линейкой в том , и только
в том, случае1 когда число р м ожно записать
в виде р=�22п + 1 , где п - целое число. Напри
мер,прип=Оимеемр=3,априп=1име
ем р = 5. Поэтому правильный треугольник
и правильный пятиугольник м ожно построить
циркулем и линейкой. При п = 2 получаем
р = 17. Значит , и правильный семнадцати
угольник строится циркулем и л инейкой. Мож
но построить цир:кулем и линейкой даже
правил ьные многоугольни:ки с 257 и 65536
сторонами. А вот при п=5 число22п+1
оказывается составным . Поэтому правильный
(22
5
+1)-угольник нельзя построить циркулем
и линейкой.
В древности математики потратили много
сил на решение следующей задачи об удв о е
н и и к у ба: дан куб со стороной а; построить
такой куб , объем которого вдвое больше объема
данного куба . Подсчитаем, какой отрезок надо
построить для решения этой задачи . Примем
дл ину отрезка а за единицу , а длину ребра иско
м ого куба обозначим через х. Тогда объем дан
ного :куба будет равен единице , а объем иско
мого куба - двум . По условию задачи дол жно
быть: х 3 = 2. Это уравнение не имеет рациональ
ных корней. Поэтому по упомянутой выше
теореме у него нет и :корней, являющих ся квад
ратичными иррациональностями . Значит , ре
шить задачу удвоения куба циркулем и ли
н ейкой невозможно .
Гораздо труднее был о доказать, чт о невоз
можно построить цир:кулем и линейкой квадрат ,
равновеликий кругу радиуса 1 (з ада ч а
о :квадратурекруга). Этодоказа
тельство было проведено неалгебраи
ч е с к ими методами. Было доказано, что
ст орона такого квадрата не то лько не является

квадратичной иррациональностью , но даже не
может быть корнем никакого алгебраического
ур авнения с целыми коэффициентами (такие
числа называют не алгебраическими или тран
сцендентными) .
ГРУППЫ
Уиножевве геоиетрвче сквх
п рео&рааовавв А
·
О том , чт о такое геометрические преобра
зования и как они применяются для решения
зада ч, было подробно расска зано в статье «Гео:
метрические преобразования» .
На первыи
взгл яд может показаться , что эта область мате
матики относится целиком к геометр ии, а ал
гебраистам там делать нечего . Но это не так ;
оказывается , геометрические преобразования
можноумнежать,аведьалгебраизучает
свойства самых различных действий, в том
числе и умножения преобразований.
Как же умножить геометрическое преобра
зование а на геометрическое преобразование �?
А очень просто - сначала сделать преобразо
вание а, а потом �· В резул ьтате получится
новое преобразование . Его называют п р о
изведением преобразованийаи�иобо
значают а�. Пусть, например , а-поворот плос
кости вокруг точки О на 30 °, а � - поворот
вокруг той же точки на 45°. Сделав эти пово
роты один за другим , получим поворот плос
кости вокруг т о чки О на 75°.
Этот поворот
и является произведением поворотов а и � ·
Умножение преобразований похоже по
своим свойствам на умноже ние чисел . Напри-
ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА.
мер , для умножения преобразований верен ас
социативный закон:
a(�r) = (a�)r
(и a(�j), и (a�)r сводятся к последователь"'
ному применению преобразований а, �. r). Есть
и преобразование , играющее роль е д и н и ц ы,
т. е . такое , чт о для любого преобразования а
верна формула а ·е = е·а = а. Им является
тожде ственное преобразование е, оставляющее
все точки на месте . Ясно , что если сначала сде
лать преобразование е, т. е. оставить все неиз
менным , а потом преобразование а, то это все
равно чт о с,в;ел ать только преобразование а.
Поэтому е ·а = а. Точно так ж е доказывается,
чтоа·е=а.
- А нужно ли доказывать последнее равен
ство?- спросит читатель. - Ведь уже дока зано
1
что е·а ·= а, а от перестановки сомножителеи
произведение не мен:Яется. Вспомните , однако,
чтоориумножениикватернионQвпере
ст авлять сл агаемые нельзя. Оказывается , их
нел'ьзя переставлять и при умножении преоб
разований . Вот простой пример.
Пусть а - сдвиг вдоль оси Ох на 6 единиц,
а �-поворот на 90 ° вокруг точки О. !J ри преобра
зовании а начало координат переидет в точку
А(6; О) . При преобраз овании � (т . е. при пово
роте на 90°) точка А перейдет в т очку В(О; 6).
Таким образом , преобразование а·� переводит
точку О в точку В. Произведем теперь те же
преобразования в обратном порядке . При пово
роте а точка О останется на месте . При сдвиге же
� точка О перейдет в точку А. Значит , � ·а пере
водитОвточкуА,а невточкуВ.Мы видим,
что а·�+� ·а.
Итак , _умножение преобразований не обла
дает свойством коммутативности. Выполнение
равенства а� .= �а является дл я преобразо
ваний не правил ом, а исключением. Одно
из таких исключений дается формулой: ае =еа.
41.9

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
Преобразования можно не только умножать ,
но и дел ить друг на друга. Для чисел деление
сводится к умножению на обратное число , на-
1
пример: 2:5 = 2 ·5 =2 ·5-1• И дляпреобразо-
на
Это
об-
ваний деление сводится к умножению
обратное преобразование.
преобразование определяют следующи м
разом.
Пусть пре образование а переводит точку Р
в точку Q. Тогда обратное е му преобраз ование
а-1 переводит Q обратно в т очку Р . Например ,
если а - сдвиг вправо на отрезок а, то а-1
сд виг влево на тот же отрезок а.
..
Ясно , чт о если сначала сделать преоб
разование а, а потом преобразование а-1 , т о
в ре зультате все точки вернутся на свои
места и получится тождественное преобра�о
вание . Поэтому а·а-1 = е. Точно так же
а-1.а = е.
Тепе рь ясно , как мо жно делить преобра
з ования . Только, в отличие от чисел , для пре
образований есть д в а вида деления - с л е
ва исправа. Еслиразделитьпреобразо
вание а сл ева на �. т о получится �-10: , если
справа - то а�-1 •
Заче м же нужно умножать преобразования?
Чтобы разобраться в этом , разберемся в п оня
тии·равенства геометрических фигур.
Что такое равные фигуры
В статье «Геометрические преобразования»
рассказано , что две геометрические фигуры
на зываются равными , если суще ствует д в и
жение, при помощи :которого м ожно совмес
тить одну фигуру с другой. Геометрические
свойства равных фигур соверше нно одинаковы.
Поэтому м о жно сказать, что геометрия изучает
Рис. 2.
420
Рис.3.
только те свойства фигур , котор ые не меняются
пр и движениях .
Однако это определение не всегда удовлет
в орительно. Например , при изучении векторов
(а теория в е кторов - это часть гео метрии) два
ве ктора считают равными , если не только их
дл ин ы одинаковы , но и векторы параллельны
и одинаково направлены . Поэтому , например ,
векторы ОА и ОВ (рис. 2) не считаются рав
ными, х отя один из них получается из другого
поворотом вокруг точки О. А векторыОА иCD
на том же рисунке равны друг другу. Чтобы
п олучить вектор СD и з вектора ОА, надо сде
латьпараллельный переносплос-
-
:кости на вектор ОС.
Таким образом , два вектора называются
равными, если один получается и з другого
с помощью параллельного переноса . Можно
ска зать, чт о векторная алгебра и зуча ет свой
ства, остающиеся неизменными при параллель
ных переносах .
В других случаях приходится изучать свой
ства фигур , остающиеся неизменны.ми 'л ишь
при поворотах вокруг некоторой точки. Если,
например , инженеру надо рассчитать турбину
(рис. 3) , то для него все л опатки турбины равно
правны - одна п олучается из другой поворо
том вокруг оси турбины . А сместить лопатку
вдоль радиуса нельзя - при этом изменится
це нтробежная сила и весь расчет окажется
неверным.
Точно так же две фигуры на сфере надо
считать равными , если одна получается и з дру
гой поворот ом вокруг центра сферы .
Можно привести и такие случаи, когда целе
с ообразно считать равными геометрические
фигуры , не являющиеся таковыми с обычной
т очки зр е ния . Например , при изучении угло
вых свойств окружности можно полностью от
влечься от ее размеров . Тогда все окружности
будут для нас одинаковыми. Но окружность S1

на рис. 4 нельзя перевести в окружность S2
движением . Для этого надо применить более
общее преобразо вание подобия. Существуют
и такие случаи, когда целесообразно считать
равными фигуры , переводимые друг в друга
аффинными преобразованиями, проективными
и т. д . (см : об этом подробнее в статье «Геомет
рически е преобра зования») .
Поэтому м ожно дать такое определение
равенства гео метричес1шх фигур . Пусть имеет
ся некоторое множество геометр ических пр е
образований G . Фигура F1 называется р авной
фигуре F2 относител ьно этого множества пре-
Рис. 4.
образован'ий, ее.ли есть преобразование а из G ,
переводящее F1 в F2 • Например, если множество
G состоит и з параллельных переносов , то фи
гурыF1иF2нарис.5равны,афигурыF1иF3
не равны . Если же множество G состоит из пово
ротов вокруг точки О, то равными окажутся
фигуры F1 и F3, а неравными - F1 и F2• На
конец , если взять множество в сех движений
о�----/F, 7
Рис. 5.
плоскости, то относительно н его все три фигуры
равны .
Ясно , чт о че м больше преобразований
содержит множество G, тем большее число фигур
окажется ра вным относительно этого множества
преобразований.
ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА
Группы геоиетрических преоСJразованиlt
Не всякое множество G геометрических
преобразований пригодно дл я определения ра
венства фигур . Ведь может случиться , что
в множестве G отсутствует преобразо вание ,
оставляющее какую-то фигуру F неизменной.
Тогда окажется , что эта фигура не равна самой
себе . Конечно , такое определение равенства
никуда не годил ось бы. Поэтому потребуем ,
чт обы среди преобразований множества G было
тождественное преобразование е, т. е. такое ,
при котором все фигуры остаются неизмен
ными . Тогда любая фигура будет равна самой
себе относительно этого множества .
Но существования тождественного преобра
зования еще мало. Может случиться , что в
множестве G есть преобразование , переводя
щее фигуру F1 в фигуру F2 , есть и преобра
з ование , переводящее фигуру F2 в фигуру F3 ,
но нет преобразования, переводяще г о F1 пря
мо в F3• Тогда получится, что F1= F2, F2=F3,
но F1=FF3•
Чтобы избежать этой неприятности , введем
следующее условие: вместе с любыми двумя
преобразованиями а и � в множество G вх о
дит и их произведение ��.
Наконец , надо , чтобы из равенства F1 = F2
вытекало равенство F 2 = F1• Иными сло
вами, надо , чтобы вместе с преобразо ванием,
переводящим фигуру F1 в фигуру F2 , мно
жество G содержало и преобразование , пе
рево дящее F2 в F1 • Д ля этого достаточно ,
чтобы вместе с преобразованием а множе
ство G содержал о и о братное ему преобразо 
вание а-
1
•
Подведем итоги. Для того чтобы равенств о
геометрических фигур , определенное с помощью
множества преобразований G , обладало «хоро
шими» свойствами, нужно следующее : 1 ) мно
жество G должно содержать тожде ственное
преобразование ; 2) вместе с двумя преобра
зованиями а и � в G должно входить их
произведение а�; 3) вместе с каждым пре
образованием а множество G должно содер
жать обратное к нему преобразование а-
1
•
Множество преобразований , для котор ого
выполнены эти три условия , называют гру п
пой
геометрических
прео�
разований.
Таким образ ом, для того чт обы с помо
щью множества G геометрических преобразо
ваний можно было определить понятие ра
венства геометрических фигур , надо , чтобы
этомножество было группой.
421

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
Рааные rеоиетрии
До того времени, пока математики не по
няли, что равенство гео метрических фигур мож
н о определять при пом ощи разл ичных групп
геометр иче ских преобразований, казалось , что
суще ствует только одна геометрия, а имен
но та , которую изучают в школе . Первый удар
этому мнению нанес Н. И . Лобачевский ,
который п остроил новую геомет рию , совсем
не похожую на обычную (см . ст атью «0 раз
л ичных геометриях») . Истинную причину раз
л ичия геометрии Лобачевского и геометрии
Евклида впервые глубоко осветил немецкий
математик Ф . .Клейн . Он п оказал , что все дело
в различии групп преобразова-
н и и, используем1;>1х в этих геометриях для
определения равенства фигур: в геометрии Ев-
1шида дл я этого используется группа обычных
движений, а в геометрии Лобачевского совер
ше нно другая группа преобразований (их на
зывают гиперболическими д в и
жениями плоскости) .
Вообще , каждая группа преобразований
плоскости определяет свое понятие равенства ,
а значит , и свою геометрию . В геометрии, соот
ветствующе й некоторой группе преобразова
ний , изучаются лишь свойства , одинаковые
у всех фигур , равных относительно этой груп 
пы . Иными словами , изучаются те гео метриче
ские свойства фигур , которые сохраняются при
всех преобразованиях рассматриваемой груп
пы . Эту т очку зрения на геометрию впервые
четко сформулировал Ф . .Клейн в 1872 г. на
лекции в г. Эрлангене . С тех пор такой под
ход к пониманию геометрии получил название
эрлангенской программы .
Теоремы школьной геометрии тоже факти
чески относятся к различным геометриям . Одни
из них касаются свойств фигур , не меняющихся
при движениях , а другие - более глубоких
свойств , не меняющихся при любых аффинных
преобразованиях и даже любых проективных
преобразованиях (см . п одробнее об этом статью
«Геометрические преобразования») .
Группы сиииетрий
Посмотрите на геометриче ские фигуры , изоб
раженные на рис. 6. Фигуру А на этом рисунке
никак нельзя назвать симметричной. Фигуры
В и С уже обладают некоторой симметрией. .
Более симметрична фигура D, и, к онечно , самой
симметричной из всех начерченных фигур яв-
422
ляется квадрат . Однако это только слова - сим
метричность не длина и не площадь , а
потому понятия «больше� и «меньше» для
оценки симметричности пока точного смысла
не имеют .
Riш же м ожно оце нить большую или мень
шую симметричность фигуры?. Для этого надо
рассмотреть множесl'во всех: движений Плоско
сти , которые переводят рассматриваемую фи
гуру самое в себя. Для фиг.уры А на рис. 6
единственным таким движением является тож
дественное преобра зование . Для фигур В и С,
кроме тожде ственного прео бразо вания , есть еще
п о одному движению , переводящему их в се бя.
Именно , для равнобочной трапеции - осевая
симметрия (относительно прямой , соединяющей
середины оснований) , для параллелограмма -
центральная симметрия . Для ромба D есть уже
4 движения , совмещающих его с самим собой:
тождественное преобразование , две осевые
симметрии относительно диагоналей и цент
ральная сим метрия .
Наконец , дл я квадрата
таких преобразо·ваний 8 (4 осе вые симметрии
L!\в
п
Рис. 6.
о
с
"
1/
'
1/
'
/
--
?#,-
/1"
/
/1'
Е
относительно средних линий 11 диагоналей и 4
вращения на углы 0°, 90°, 180° и 270°) .
Ясно , что совокупность всех движений , п е•
ре.водящих заданную геометрическую фигуру
самое в се бя, образует группу. В самом де ле ,

если преобразования сх и � переводят фигуру
F в себя, то и их произведение сх · � преобра
зует ее в себя. Не изменит ее, конечно, и тож
дественное преобразование . То же самое верно
и для обратного преобразо вания . Группу всех
движений , переводящих фигуру F самое в себя ,
называют группой симметрий этой
фигуры .
Чем шире группа симметрий данной фигу
ры, тем более симметричной она является .
Именно поэтому квадрат является наиболее
симметричной из всех фигур , изображенных
на рис. 6 . Интересные примеры симметрич
ных фигур , обладающих самыми разными ти
пами симметрии , дают узоры (см . цветную вклей-
ку на стр . 396-397).
·
Е слп фигура переходит сама в себя при
360°·k
всех поворотах на углы вида --п-- , где
k - целое, а п - фиксировано, то говорят, что
она обладает симметр ией порядка п. Такой
симмет рией обладает , например , прави:1
1
ьный
п-угольник .
Бывают фигуры , у которых группа симметрий
бе сконечна . Примерами могут служить окруж
ность , к о льцо , а также фигуры , изображен
ные на стр . 424 -425 (эти фигуры надо
представлять себе простирающимися в бес
конечность) .
Разумеется , о группе симметрий можно го
ворить не только для плоских , но и дл я прост
ранственных фигур . При этом обычно рассмат
ривают только движения пространства , не явля
ющиеся симметриями относительно плоскостей
(их неJiьзя осуществить в пространст ве движе
ниями пространственных тел как твердого це
лого) . Так , можно говорить о группе симметрий
правил ьного тетраэдра , куба , икосаэдра, пра
вильной п -угольной призмы и т. д . Предостав
ляем читателю убедиться , чт о группа симмет
рий куба cocтOJJT из 24 элементов, а для пра
вил ьной п-угольной призмы и з 2п элементов .
Задача о раскраске куба
Используя группу симметрий куба , легко
решить интересную задачу о раскраске куба .
Пусть дан куб и 6 красок: синяя, зеленая, жел
тая, красн ая, коричне вая и черная. Сколькими
различными способами можно раскрасить 6 гра
ней куба этими красками так , чтобы все грани
имели различный цвет?
Дл я решения занумеруем грани куба . Тогда
ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА
первую грань м о жно раскрасить 6 разл ичными
способами . Если выбрана окраска первой гра
ни, т о дл я второй грани остается 5 цвето в.
Всего первые две грани можно раскрасить
6·5 = 30 способами. Точно так же видно, что
первые три грани м ожно окрасить 6·5·4 = 120
способами , а весь куб - 6 ·5 ·4·3 ·2 ·1 =720
способами .
А теперь выясним , сколько ИЗ ЭТИХ спосо
бов геометрически различны . Именно, назо вем
двеокраскикубагеометрическ.исов
падающими, если одна получается из
другой движением куба как твердого тела. Так
как группа симметрий куба состоит из 24 эле
ментов , то число окрасок , геометрич�ски совпа
дающих с данной (включая ее саму) , равно 24 .
Следовательно , число геометрически различ
ных окрасок куба в 24 раза меньше , чем общее
число окрасок, т. е. 720 : 24 = 30.
Сиииетрия в природе
Симметрией обладают не только геоме три
ческие фигуры или вещи , сделанные рукой
человека , но и многие творения природы (ба
бочки , стрекозы , листья, морские зве зды , сне
жинки и т. д .) . Особенно разнообразны свой
ства снмметрии кристаллов. На стр . 424 - 425
п оказаны некоторые виды кристаллов . Одни из
них более симметричны , другие -менее . Долгое
время ученые-кристаллографы не могл и о писать
всех видов симметрии кристаллов . Решил эту
задачу в 1890 г. русский ученый Е. С . Федоров.
Он доказал , что есть ровно 230 групп , перево
дящих в себя кристаллические решетки. Эrо
открытие значительно облегчил о кристалло
графам изучение видов крист аллов, кото рые
м огут существовать в природе .
Следует , однако , заметить, что многообра
з ие кристаллов в природе настолько вели1<0 ,
чт о даже использование группового подхода
423

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦllИ
не дало еще способа описать все возможные
формы кристаллов.
Очен ь широко используется теория групп
симметрий в квантовой физике . "Уравнения ,
которыми описывается поведение электрон ов
в атоме (так называемое волновое уравнение -
Шредингера) , уже при небольшом числе элек
тронов настолько сл ожны , что непосредственное
решение их практически нево зможно . Однако ,
и спользуя свойства симметрии атома (неиз-
Евгрвф Степано
вич Федоров.
менность электромагнитного п оля ядра при
п оворотах и симметриях , в о зможно сть пере
ст ановки некоторых электронов между собой ,
т. е. симметричное расположение этих элек
тронов в атоме , и т. д .) , удается исследовать их
решения, н е решая уравнений.
Вообще , использование теории групп яв
ляется м ощным математическим методом иссле
дования и учета симметрии явлений прир оды .
Группы &.
.1
1
гебраических преобразований
Преобразования можно производить не толь
ко над геометрическими фигурами, но и над а л 
гебраическими выражениями. Речь идет здесь,
конечно , не о тождественных преобразованиях
(раскрытии скобок , приведении подобных чле
нов и т. д.) . Нет , мы буде м рассматривать
424
такие преобразования , как изме нение знакоn
переменных , перестановки переменных и т. д.
Наприме р , многочлен
хз-у2 + 3ху4
при изменении знаков переменных х и у прев�
ращается в многочлен
- хз-у2-3ху4'
а при перестановке х и у - в многочлен
уз-х2+3ух4.
Изучение преобразований а лгебраических
выражений предст авляет собой, с точки зрения
эрлангенской программы Ф. Клейна , своеоб
разную геометрию . В этой геометрии «Фигу
рамщ
являются алгебраические выраже ни я
(многочлены , дроби и т. д .), а группа преобра
зований состоит в одних случаях из всевоз
можных перестановок переменных , в других -
и з циклических перестанов ок переменных (при
которых каждое переменное заменяется сле
дующим , а последнее - первым) , в третьих -
и з всевозможных замен знаков переменных
(рис.7)ит.д.
Рис. 7.
Вопросы симметрии относятся не только к геомет-
рии, но и к ал гебре. На рисунке показана фотография
Атомиума - здания павил ьона на Всемирной вы
ставке в Брюсселе (1958 г.), имеющего форму
атома железа . Пятиконечная звезда обладает сим
метрией 5-го порядка и, кроме того, симметрична я
относительно прямых, соединяющих це нтр звезды
с ее вершинами. Симметрична и криста ллическа я
решетка алмаза. Снежинка, кроме симметрии 6-го
порядка, симметрична и относительно 6 осей (ка- - �
ких?). Бо калы переходят в себя при любом вра ще-
нии во круг оси, а сос уды, украшенные орнамен-
том, только при вращении на определенные углы
(другие вращения смещают узор) . Очень много осей
симметрии у вубчатого колеса . Симметрия часто
испол ьзуется в архитектуре.
На обо р оте:
Многооб разн ы формы симметрии кристалоа.

Задачей такой геометрии, как и обычной
геометрии, является нахождение таких свойств
«фигур» (т. е . алгебраических выражений),
:которые сохраняются при всех преобразовани
ях данной группы. В частности, весьма инте
ресно нахождение и изучение «симметричных
фигур» для данной группы, т. е . алгебраиче
ских выражений, которые не изменяются при
преобразованиях данной группы. Например,
если рассматривать группу всех перемен зна
ков, то «симметричными фигурами» будут чет
ные выражения, т. е. такие, у которых пока
затели всех степеней переменных четны (напри-
мер, х2 +у4, х2 +5 - х8у6,
ит.д.)
Для группы всех перестановок переменных
«симметричными фигурами» будут такие выра
жения, которые не меняются ни при каких
перестановках переменных. Они называются
с имметрическими фу нкциями. На
пример, симметрическими многочленами от
двух переменных х, у являются:
х2
у2_х4_у4, х2+ху+у2, хб+ys
, хуз +хзу.
В такой геометрии есть и свои теоремы.
Например, можно доказать, что любой сим
метрический многочлен от х и у выражается
через два простейших многочлена х + у и ху.
Например:
х0+ys
= (х+у)5-5(х+у)3ху+5(х+у)(ху)2.
Эту теорему можно применять при решении
систем уравнений. Если оба уравнения системы
двух уравнений с двумя неизвестными симмет
ричны относительно х и у, то бывает полезно
ввести новые неизвестные: и= х +у, v = ху.
Как правило, после этого заданная система
уравнений упрощается. Например,
система
уравнений
при такой замене сводится к системе
{и5-5u3v+5uv2=а5,
и=
Ь
.
Из этой системы легко найти и и v, а по
томхиу.
Любопытно, что теория групп первоначаль
но и возникла при рассмотрении групп алгеб
раических преобразований Чтобы узнать, ре
шается ли данное алгебраическое уравнение
xn +а1 хп
-1
+..
+ап =О
(4)
ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА
в радикалах, алгебраисты стали рассматривать
значения, которые принимают многочлены от
п переменных, если в них вместо х1, х2, • • •, х"
подставить корни а1, а2, •••, а.п
уравнения
(4). Оказалось, что вопрос о разрешимости
уравнений в радикалах тесно связан с по
ведением этих значений многочленов при
различных
перестановках
корней между
собой.
Эти исследования
привели к созданию
новой, очень глубокой и важной ветви алгеб
ры - применению теории групп к исследова
нию уравнений. Основоположные результаты
этой теории были получены в 18 30- 18 32 гг.
французским математиком Э. Галуа. В его честь
весь этот раздел алгебры носит сейчас назва
ние теории Галуа.
Абстрактная теория групп
Рассмотрим следующие две группы преоб
разований. Первой из них является группа
симметрий ромба, второй - группа перемен
знаков переменных х и у. Обозначим тожде
ственное преобразование ромба через е, сим
метрии относительно диагоналей - через а и
Ь и центральную симметрию - через с. Про
верьте, что «таблица умножения» в этой группе
имеет следующий вид:
е
е
е
а
а
'
'
'
'
'
'
ь
с
ь
с
·---------- .
.-----------:-------------:-------------·--.- ..... ---.
а
ь
а
е
с
.
.
.
ь
·---------------- --------- - ---------- - --------------
ь
с
'
е
.
.
.
а
----�------
-----�------г --�------г ---�--- ---- ------�------
Теперь обратимся к группе перемен знаков
у переменных х и у. Здесь мы также обозна
чим тождественное преобразование х-+ х, у-+у
через е. Изменение знака у одного только х
(т. е. преобразование х-+-Х, у-+у) обозначим
через а, а изменение знака у одного толь
ко у - через Ь. Наконец, преобразование
х-+-х, у-+-у (изменение знаков у обоих пере
менных) обозначим через с. Легко проверяется
42�

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
тогда, что в рассматриваемой группе преобра
зований «таблица умножения» имеет вид:
е
а
ь
с
е
е
а
ь
с
"__________
--- . - ·------------------------------.. - - --- - . -." .. "
.
.
'
'
а
а
е
iсi
Ь
'
.
'
'
."..." ---- - ..
. - - - - ------ _. _____________:' ____________� -------..-.".
----� ---·-
··---�---J .. ...�......:.......�----J_____:_____
с
с
Ь•
а
е
'
'
'
Сразу бросается в глаза, что написанные «таб
лицы умножения» совершенно одинаковы. Итак,
различные группы преобразований могут ока
заться совершенно одинаково устроенными,
т. е. иметь одинаковое числ
.
о элементов и оди
наковую таблицу умножения. Для решения
многих вопросов, относящихся к группам пре
образований, совершенно неважно знать, что
именно преобразуется, а существенно лишь,
сколько имеется различных преобразований в
группе и как они перемножаются.
Отто Юльевич
Шмидт.
Изучением групп с этой точки зрения зани
мается так называемая абстрактная
теория групп. Вэтойтеориирассмат
ривают множества G, состоящие из каких
угодно элементов (не обязательно преобразо
ваний), для которых определено каким-то об
разом умножение, обладающее следующими
свойствами:
1. Произведение аЬ двух элементов из G
принадлежит G.
2. Существует элемент е (единичный), обла
дающий тем свойством, что для всех элементов
а из G выполняется равенство ае = а.
3. Для любого элемента а есть обратный
ему элемент а-1, т. е. такой, что аа-1 = е.
4. Для любых трех элементов а, Ь, с выпол
нено равенство а(Ьс) = (аЬ)с.
Заметим, что последнее равенство, выража
ющее ассоциативность умножения, всегда вы
полняется для преобразований.
Множество G с указанными свойствам и на
зывается группой.ПерваявРоссии книга
по теории групп вышла в 1916 г. и при надлежит
перу О. Ю . Шмидта.
Значение абс
.
трактной теории групп состоит
в том, что теоремы и понятия этой теории могут
применяться и к группам геометрических пре
образований, и к группам алгебраических пре
образований, и к изучению атомов и кристал
ловит.п.
ЗаКеJ
J
ючеиие
Мы рассмотрели различные вопросы, изу
чаемые в алгебре. Все эти вопросы объединя
ются одним общим направлением - изучением
общих свойств действий и преобразований. Ал
гебра и дает аппарат изучения этих свойств.
Законы действий (т. е . аксиомы, которым они
подчиняются) могут быть совершенно различ
ными, в зависимости от поставленной задачи.
В соответствии с этим получаются группы,
кольца, поля и т. п .
В современной алгебре рассматриваются и
другие объекты, подчиненные совсем иным
аксиомам (алгебры Ли, альтернативные алгеб
ры, полугруппы и т. д . ). Не следует думать,
однако, что работа алгебраиста заключается
в выписывании новых, произвольно взятых
аксиом и выяснении их следств:Ий. Как пра
вило, интересные алгебраические объекты полу
чаются не таким путем. Интересные объекты
возникают при рассмотрении глубоких задач
геометрии, физики, математического анализа,
логики и самой алгебры. При изучении этих
задач исследователь, отбрасывая второстепен
ное и несущественное, выделяет важное и основ
ное и формулирует общие своi!ства различных
объектов в виде аксиом. Таким образом, и в
алгебре аксиомы имеют опытное происхожде
ние (хотя это и не всегда может быть непосред
ственно замечено).
•

МАТЕМАТИК..
.
!\. ;vчит
ПРЕДСКАflЫВАТЬ
И �ПРАВ.JIЯТЬ
tJJIEKTPOHHЫE
ВЫЧИСJIНТЕJIЬНЫЕ МАШИНЫ
Человеl\ создает машины, чтобы облегчить
труд. И они безотl\азно помогают шахтерам
и Rузнецам, 1\олхозниl\ам и землекопам. Но
вот могут ли они принести пользу математиl\ам,
приняв на себя хотя бы часть их работы?
Еще 25- 30 лет назад в ответ на таl\ОЙ воп
рос ПОСJ\едовало бы решительное «нет)>: уж
очень трудно было вообразить себе машину
на поприще умственного труда!
Теперь положение изменилось. С 1\аж
дым днем повышается роль науl\и - она
стала уже непосредственной производитель
ной силой общества. Работюшам умственного
труда приходится сталl\иваться теперь с та-
1\ИМИ проблемами, 1\оторые для «невооружен
ного» мозга не только отдельного человеl\а, но
даже и целого 1\ОЛЛеl\тива оl\азываются непо
сильными. Если раньше для усRорения вычис-
421

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКА ЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
лений довольствовались такими простыми при
способлениями, как счеты, арифмометр, лога
рифмическая линей:ка, то теперь этого уже
недостаточно. Ведь считая на арифмометре,
не сделаешь в минуту больше трех действий
над многозначными числами, а расчет атомного
реактора в:ключает в себя более 6 млрд. ариф
метичес:ких действий. Значит, на этот расчет
понадобится 2 млрд. минут; а ведь первый мил
лиард минут с начала нашей эры истек толь:ко
29 апреля 19 02 года! Еще труднее поспевать
вычислителям при запуске космичес:ких кораб
лей: они должны выдавать результат очень
сложных расчетов почти мгновенно, пока ра
кета не успела еще значительно отклониться
от заданной траектории.
Немало задач, превышающих возможности
человеческого мозга, возникает и внутри самой
математики. Как некоторые физические работы
немыслимо выполнять вручную, так не могут
быть решены «вмозговую» и некоторые важные
проблемы из области умственного труда.
На помощь приходят электронные вычис
лительные машины (рис. 1).
Соадать �е1
1
ектронныА арифиоиетр!
Электронная вычислительная машина по
сравнению с простым арифмометром _.
..
.
это все
равно, что современный завод по сравнению
с напильни:ком.
428
Рис. 1. Общий вид
электронной 11
1>1
•и
с.1
1
ите.1
1
ьной машины.
Прежде всего, арифмометр и подобnые ему
простые вычислительные приборы слиш:ком мед
лительны. Колеса с зубьями и другие иехани
ческие детали чересчур инерционны и даже при
использовании моторов не могут срабатывать
с желательной быстротой. Вот если бы удалось
заменить механические детали :какими-нибудь
эле:ктронными приборами, тогда работа ариф
мометра стала бы молниеносной. Ведь успе
вает же электронный луч прочертить на экране
телевизора 625 строк за 0,04 секунды!
Электрони:ка умеет уже заменять быстро
действующими электронными лампами медли
тельные механические устройства. Но сразу же
нужно принять во внимание одно существен
ное различие между зубчатым :колесом и элек
тронной лампой. Колесо с 10 зубцами имеет
10 чет:ко фиксированных положений, которые
могут быть сопоставлены с цифрами от О до 9.
"У эле:ктронной же лампы есть толь:ко два рез:ко
различных состояния: :как говорят радисты,
она может быть «заперта» или «от:крыта». За
пертая лампа совсем не пропускает тока, та:к
:как на ее управляющую сет:ку подано доста
точно большое отрицательное напряжение; от
крытая лампа пропус:кает через себя ма:кси
мально возможный ток (благодаря наличию
на сетке достаточного положительного потен
циала). Все промежуточные состояния лампы
(когда она «полуоткрыта») недостаточно устой
чивы и не могут служить для изображения
цифр (изменение свойств лампы с течением вре-

111ени или от внешних причин привело бы к за
мене одной цифры другой).
Используя два резко различных состояния
электронной лампы, возможно изобразить толь
ко две цифры: например, О (лампа заперта)
и 1 (лампа открыта). Поэтому при замене зуб
чатых колес арифмометра электронными лам
пами естествен также и переход от десятичной
системы нумерации к двоичной (позволяющей
записать любое число в виде определенной ком
бинации нулей и единиц).
Дво11чная 11уиерация
В статье «Как люди считали в старину и как
писали цифры» уже говорилось, что в двоич
ной системе нумерации обходятся двумя
цифрами: нулем и единицей. Единица каждого
след ующего разряда числа в двоичной записи в
два раза больше единицы предыдущего разряда:
две «простые» единицы составляют двойку, две
двойки - четверку, две четверки - восьмер
ку, две восьмерки - шестнадцать и т. д.
Чнсло «один» записывается как обычно -
«1» . Но число «два>> составляет уже единицу
второго разряда и потому записывается так:
«10)> (одна двойка и нуль единиц). Число «трю>
изображается: «11)> (одна двойка и одна едини
ца). Число «четыре)> представляет собой еди
ницу третьего разряда и потому записывается
«100)> (одна четверка, нуль двоек и нуль еди
ниц). Дальнейшие числа в двоичной записи
имеют вид:
пять - «101)> (одна четверка, нуль двоек
и одна едпница),
шесть - «110)> (одна четверка, одна двойка
и нуль единиц),
семь - «111)> (одна четвер1\а, одна двойка
и одна единица).
Восьмерка - это опять новый разряд -
«1000)> (нули указывают на отсутствие четве
рок, двоек и единиц). Далее идут:
девять -«1001» (одна восьмерка и одна
едиюща),
десять - «1010)> (одна восьмерка и одна
двойка),
одиннадцать - «1011)> (т. е . 8 + 2 +1),
двенадцать - «1100)> (т. е . 8 + 4),
тринадцать - «1101)> (т. е . 8+4+1) 11 т. д .
Вот перед нами «загадочное)> число:
1001011
ЭЛЕКТРОННЬlf.
.
ВЫЧИС,ЛИТЕЛЬНЫf. МАШИНЫ
о
1
о
1
о
Рис. 2. Числа «10110» и «01010» на перфокарте.
записанное в двоичной нумерации. Его легко
«разгадаты>, подписав (справа пале
.
во) поμ каж
дым разрядом его значение:
1
(64)
о
(32)
о
(16)
1
(8)
о
(4)
1
(2)
1
(1).
Как видим, заинтересовавшее нас число С.f\ла
дывается из единицы, двойки, восьмерю1 и шес
тидесяти четырех (1+2+8 +6 4). Очевидно,
оно равно 75. Читатель, вероятно, теперь уже
сам сможет определить, что двоичной записью
10110011 изображается число 179.
Одно из преимуществ двоичной записи -
удобство изображения чисел разнообразными
средствами и быстрой передачи их из одного
места в другое. Например, пробитый квадратик
особой картонной карточки (ее называют пер
ф01\артой) может изображать единицу, а це
лый - нуль (рис. 2). Поместив перфокарту
между пружинящими контактами электриче
ской цепи (рис. 3), мы получим в ней ток, если
в данном I\Вадратике . записана единица (кон
такты замкнутся через отверстие), и наоборот:
если в данном квадратике записан пуль,
тока в цепи не будет (рис. 4), так 1>ак 1\ар
тонная прокладка изолирует контюпы друг
от друга.
Кратковременный электрический ток при
нято называть электрическим импульсом. l\ак
видим, любое число, записанное по двоичной
системе, легко может быть выражено после
довательностью электрических импульсов, при
чем наличие импульса в определенный момент
времени означает единицу, а отсутствие его -
нуль. Впрочем, иногда предпочитают изоб
ражать нуль не отсутствием импульса, а им
пульсом тока, идущего в противоположном на
правлении (в этом cJiyчae не обязательно y/t\e
выдерживать строго определенные промежутки
времени между импульсами). Продолжитель
ность импульса может быть очень малой,
скажем, в 1 микросекунду (т. е . миллионную
долю секунды), что дает возможность передать
даже многозначное число почти мгновенно.
429

МАТЕМАТИКА У ЧИТ �ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
Рио. 3. Контакт обвар�·жи11 «единицу»: идет ток.
--·1·1-
·
-
Рис. 4. Обнаружен «и�·11ь»: тока нет.
Считают .1
1
аипы
Арифметика чисел в двоичной записи очень
проста. Вся таблица умножения сводится к че
тырем простейшим произведениям:
Ох О=О,
Ох1=О,
1хО=О,
1х1 =1,
а таблица сложения
к четырем столь же
простым суммам. Не nравда ли, это не особенно
далеко выходит за пределы прославлен
ных познаний Митрофанушки из комедии
Фонвизина?
Нетрудно придумать прибор, который будет
выполнять умножение согласно этой таблице.
Проще всего использовать для этой цели после
довательное соединение двух электронных
ламп (рис. 5). Цифры сомножителей изобра
жаются норопшми импульсами электрического
напряжения; единица
положительным, а
нуль - отрицательным. Импульс первого со
множителя подается на сетку одной лампы,
а импульс второго сомножителя - на сетку
другой.
При перемножении двух единиц обе лампы
отпираются соответствующими этим единицам
положительными импульсами напряжения, и
в их общей анодной цепи идет ток, Импульс
430
этого тока как раз и изображает «на электрон
ном языке» единицу произведения (1Х1=1).
Если же хотя бы один из сомножителей
нуль, соответствующая лампа заперта отрица
тельным напряжением на ее сетке, и никакого
импульса тока в анодной цепи не будет. А это
как раз и является выражением нулевого зна
чения произведения - в полном соответствии
с формулами:
1х0=0, Ох1=0, ОхО=О.
Как видим, «электронное перемножение» од
нозначных чисел осуществляется очень просто.
Для многозначных сомножителей схему при
ходится, конечно, значительно усложнить, но
нас интересует сейчас только принципиальная
сторона дела, а не технические подробности.
Подобно тому как подходящая комбинация
зубчатых колес в арифмометре дает возмож
ность выполнять арифметические действия, над
лежащее сочетание электронных ламп поз-
Рис. 5. Эдектроиный перемножи
.
те11ь.
воляет производить эти действия над числами,
заданными в виде последовательности электри
ческих импульсов. Их можно «электронным
способом» складывать, вычитать, умножать, де"
лить, сравнивать между собой (определяя, кото
рое из них больше) и т. д . Любое из этих дей
ствий осуществляется очень быстро, так как
электронные лампы практически безынерцион
ны. Еще большие возможности открывают по
явившиеся недавно ра зличные мменители элек
тронных ламп: полупроводниковые, феррито
вые, сверхпроводящие и иные приборы.
Итак, налицо реальная возможность создать
электронный арифмометр, способный выпол
нять любое арифметическое действие, скажем,
за микросекунду. Но это еще далеко не элек
тронная вычислительная машина, а только бы-

стродействующий арифмометр, практическое
значение которого очень невелико. Как вы
думаете, сколько действий можно было бы вы
полнить на таком быстродействующем ариф
мометре за каждую секунду? Миллион ? Или
хотя бы ·rысячу?
Это зависит, конечно, от того, сумеем ли
мы достаточно быстро задавать этому арифмо
метру задачи и записывать получающиеся ре
зультаты. Ведь если мы будем все это проде
лывать вручную, то больше 3-4 действий в
минуту выполнить не удастся. Фантастическое
быстродействие арифмометра окажется совер
шенно бесполезным.
Чтобы электронный арифмометр действи-
1тельно выполнял за каждую секунду хотя бы
несколько тысяч действий, необходимо пол
ностью авто11
1
атизировать весь вычислительный
процесс, совершенно исключив из него участие
человека. Электронная вычислительная маши
на - это не просто быстродействующий ариф
мометр, а быстродействующий арифмометр плюс
электронный автомат, который заменяет чело
века, работающего на арифмометре.
Чтобы легче понять, как может быть такой
автомат создан, присмотримся повнимательнее
к работе человека-вычислителя в каком-нибудь
вычислительном бюро, не рас полагающем элект
ронной вычислительной машиной.
Обяаанности вычисо1
1
ите"'lи
Вычислитель должен иметь образование в
объеме средней школы и хорошо уметь обра
щаться с простейшими вычислительными при
борами (например, с арифмометром). Совсем не
обязательно, чтобы вычислитель понимал науч
ную или инженерную суть тех расчетов, кото
рые ему поручены. Весь план расчетов состав
ляется учеными или конструкторами, а вычис
лителю дается т.олько список исходных данных
и специальная инструкция, определяющая по
рядок действий. Согласно этой инструкции он
и действует; при этом все арифметические опе
рации выполняются на арифмометре, промежу
точные результаты записываются на специаль
ном бланке, а окончательные заносятся в дру
гой бланк.
Простейший пример - составление табли
цы значений площади круга в зависимости от
ero радиуса (по формуле S=7tr2 ). В инструк
ции указывается, что каждое значение радиуса
(сиажем, от 500 до 1000 мм через каждые 2 мм)
ЭЛЕКТРОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
следует умножить на самого себя и на 7t= 3,14,
с занесением полученного результата в соот
ветствующую графу таблицы.
К чему сводятся действия вычислителя?
Прочитав в инструкции наименьшее значение
радиуса (500), OF устанавливает его на арифмо
метре, умножflет сперва на точно такое же
число. а потом нr. 3,14. Прочитав на арифмо
метре полученное произведение, вычислитель
переносит его вместе со значением радиуса 500
в таблицу окончательных результатов.
Далее вычислитель должен прибавить 2 мм
к прежнему значению радиуса, записать полу
ченное новое (наращенное) значение радиуса
в свой бланк и повторить с этим новым зна
чением все ранее описанные действия. Когда
в результате многократного повторения уна
занных операций он дойдет до значения радиу
са 1002, превышающего установленный инструн
цией верхний предел (1000), вычисления сле
дует прекратить.
Как видим, собственно вычислений, т. е .
арифметических действий над числами, чело
век не производит: они выполняются арифмо
метром. На долю вычислителя остается управ
ление работой арифмометра, перенос числовых
данных из инструкции или своего бланка на
арифмометр и с арифмометра в таблицу резуль
татов, а также «записывание» или, если угодно,
«запоминание» необходимых промежуточных ре
зультатов. Чтобы полностью :исключить уча
стие человека из вычисJtительпого процесса,
нужно создать автомат, })Оторый самостоятель
но выполнял бы все эти действия в соответствии
с данной ему инструкцией.
Воаиожен ""и такой автfн1ат?
Работа автомата по инструкции не таит
в себе, конечно, ничего сверхъестественного
или непостижимого. «Умеет» же аппаратура
АТС безошибочно выполнять команды, кото
рые мы посылаем ей набором телефонного но
мера. Нужно только, чтобы каждая команда
была выражена на языке, доступном «понима
нию» машины, например в виде определенной
последовательности импульсов электрического
тока.
Когда требуется длительная работа аппа
ратуры в соответствии с инструкцией, вклю
чающей множество команд, эту инструицию
следует тем или иным способом ·записать. Для
хранения информации, выраженной элекриче
скими импульсами, можно использовать, напри-
431

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
мер, магнитофон: комбинации электрических им
nульсов могут быть зафиксированы путем намаг
ничивания участков магнитофонной ленты точ
но таким же способом, как это делают в звуко
записи. Впоследствии записанные команды, по
мере их воспроизведения, будут управлять дей
ствиями автоматической аппаратуры. Записан
ную тем или иным способом инструкцию, кото
рой должен «руководствоваться» автомат, при
нято называть программой.
На таких же магнитофонных лентах может
быть записана не только инструкция, но и таб
лица исходных данных: ведь цифры, с которыми
оперирует электронная вычислительная маши
на, тоже изображаются электрическими им
пульсами.
Первоначальный ввод в вычислительную ма
шину исходных данных, а также команд пр
,
о
граммы может осуществляться с помощью спе
циальной клавиатуры, вроде той, которая ис
пользуется в телеграфных аппаратах: нажал
клавишу - замкнулись контакты и по цепи
побежала определенная комбинация импуль
сов электрического тока (в телеграфии она при
водит в действие буквопечатающий аппарат,
находящийся в другом городе, а в вычисли
'l'ельной машине намагничивает ленту магнито
фона).
Электрические
импульсы,
выражающие
окончательный результат вычислений, могут
воздействовать на электромагниты печатающего
аппарата (наподобие телеграфного), в резуль
тате чего l'v1Ы получаем интересующие нас дан
ные в форме обычной телеграммы.
Как видим, в современной технике нетрудно
найти прообразы всех устройств, которые необ
ходимы для полной автоматизации вычисли
'l'ельного процесса. Они нуждаются только в
в дальнейшем усовершенствовании для повы
шения их быстродействия и надежности.
Очень важно еще раз напомнить, что осмыс
ливание и понимание выполняемых расчетов
в обязанности вычислителя не входят: это дело
«заказчика», который задумал расчет и вопло
'l'ИЛ весь свой замысел в инструкцию. Но, ко-:
нечно, на практике внимательный и квалифи
цированный вычислитель не бывает вполне рав
нодушным к тому, что он делает; в частности,
он может заметить и даже исправить грубые
ошибки в инструкции, восполнить случайные
пробелы, неясности и т. д.
В отличие от человека, от машины при ре
шении ею задач нельзя, разумеется, ожидать
никакой «сообразительности», основанной на
понимании существа дела. Поэтому инсtрук-
432
ция для машины должна быть составлена в
такой форме, которая заранее исключала бы
всякую двусмысленность, сомнения и необхо�
димость руководствоваться здравым смыслом.
Такого рода инструкция - свод четко сфор
мулированных правил, применимых к доста
точно широкому классу задач и всегда приво
дящих к определенному результату, в матема
тике называется алгоритмом. Мы все
изучали в средней школе алгоритм деления
«уголком», алгоритм извлечения квадратного
корня из многозначного числа и т. д" но только
не пользовались таким «ученым» названием.
Действие любой современной вычислительной
машины состоит в том, что она с педантической
точностью и аккуратностью выполняет после
довательные предписания того или иного алго
ритма, например алгоритма решения дифферен
циального уравнения или алгоритма перевода
текста с английского языка на русский.
Категорический характер предписаний, ко
торые составляют алгоритм, вовсе не означает,
что вся последовательность действий машины
во всех деталях заранее известна составителю
данного алгоритма. Ведь категорическое пред
писание может иметь и такую форму: «Если
в результате деления получится число меньше
тысячи, увеличить его в два раза, а если полу
чилось число не меньше тысячи - прибавить
к нему восемьдесят три». Что будет делать
машина фактически - умножать на 2 или при
бавлять 83, этого составитель алгоритма за
ранее не знает, так как ему еще не известно,
какое именно число получится при делении.
Про такой алгоритм говорят, что он преду
сматривает условный переход к выполнению той
или иной последовательности операций в зави
симости от результатов уже выполненных дей
ствий. Как мы увидим в дальнейшем, такие
условные переходы играют 01·ромную роль в
работе электронных вычислител'ьных машин,
в значительной степени определяя их гибкость
и возможность применения к решению весьма
сложных математических и логических задач.
Ге1
1
авные части машины
Быстродействующая электронная вычисли
тельная машина состоит из пяти основных уст
ройств: вводного, запоминающего, арифмети
ческого, выводного и управляющего (см. цвет
ную вклейку на c:rp. 432-433). Кроме того,
имеется дополнительное устройство Для конт
роля работы и обнаружения неисправностей.

•.еnоммиа1Оuа•• ..А.
YC'l'P011
1
C'l'80
..
..
.
�
·-·-
--·
""cllAI
"
а"ВОАНОЕ ..А.
.
VC'l'POMC'l'BO .8l
ll
lr.
.
•'i
i@l$B•l
1ilf@1il
!Вi@l
lЩl
lЦl
l
•.
AP•48� rl'M"8CКOE..A.
.
'YC'l'PQ•C'l'BO
�
80'!' как наш художник изобравил прющип декствня з.пектронной вычис.пнте.пьной машины.

В в о д н о е устройство имеет обычно кла
виатуру, посредством которой в машину вво
дятся исходные данные и задается определен
ная программа. Электрические импульсы, воз
никающие при нажатии на клавиши, направля
ются в запоминающее устройство. Возможны и
иные конструкции устройства ввода (рис. 6).
3апоминающееустройство(или«па
мять» машины, как его иногда для краткости
называют) предназначено для хранения инфор
мации: исходных данных ч-:-1словых величин,
команд программы, промежуточных и оконча
тельных результатов. Оно играет роль памяти
или записной книжки вычислителя.
1\ак уже было сказано, числовые данные
могут записываться с помощью магнитофонов;
но этот способ не самый совершенный, так
как для воспроизведения ранее записанного
числа может потребоваться длительная пере
мотка ленты. Поэтому разработаны другие спо
собы «запоминания»: например, путем намаг
ничивания ферритовых сердечников или же
электризации отдельных участков диэлектри
ческого экрана электронно-лучевой трубки.
Рис. 6 . Ввод даввых, заранее пробитых иа
·
перфокартах •
•28Д.э. т. 2
ЭЛЕКТРОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
Рис. 7 . Одно нз выводных устройств.
'Удобство последнего метода состоит в том, что
для записи или воспроизведения числа элект
ронный луч может бшть направлен в нужную
точку экрана практичес:ки мгновенно.
Носитель информации запоминающего уст-:
ройства (магнитофонная лента, диэле:ктриче
ский экран) состоит из множества «ячее:к памя
ТИ>>, в :каждой из :которых может храниться одно
многозначное число.
Каждой ячей:ке присвоен номер (наподобие
телефонного); по этому номеру с ней можно в
любой момент «соединитьсю>, чтобы поместить
туда или, наоборот, «истребоваты оттуда соот
ветствующее число.
Арифметичес:кое устройство слу·
жит для выполнения основных арифметичес1шх
и неl\оторых логических действий. Оно содер
жит нес:коль:ко эле:ктронных «арифмометров»
(осуществляющих сложение, умножение и т. д . ).
Та:кие арифмометры чаще всего строятся на
основе современных заменителей эле:ктронных
ламп, что делает их более совершенными. В бы
стродействующих машинах :каждая операция
выполняется арифметичес:ким устройством за
десято:к ми:кросе:кунд.
488

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
В ы в од н о е устройство (рис. 7) предназна
чено для выдачи заказчику готовой продукции в
виде таблицы окончательных результатов про
изведенного расчета fрис. 8) отпечатанной обыч
ным шрифтом с помощью цифропечатного телег
рафного аппарата под влиянием электрических
импулъсов, поступающих из запо111инающего
устройства. Для ускорения вывода результатов
вместо печатания иногда применяют фотогра
фирование их на кинопленку.
"Управляющее устройство связыва
ет воедино отдельные части вычислительной
машины и «управJ1яет», или «руководит», всем
ходом вычислительного процесса; именно оно
выполняет роль вычислителя. Во время работы
машины управляющее устройство, действуя со
гласно програм111е, последовательно осущест
вляет все необходи111ые. соединения и переклю
чения, (<Отпирает)) и (<запирает» лампы, управ
ляет движением элеI<тронных лучей и магнито
фонных лент. Благодаря этому обеспечивается
правильное размещение в ячейках памяти вво
димых в машину исходных данных, своевре
менная передача чисел из определенных ячеек
на те или иные (<арифмометры» арифметического
устройства, а также направление получающих
ся результатов в предназначенные для них
ячейю1. Наконец, по мере накопления окон
чательных результатов в ячейках памяти
управляющее устройство (<Соединяет» их с печа
тающими аппаратами.
Как видим, по своим функциям управляю
щее устройство· вычислительной машины во
многом напоминает автоматическую телефонную
станцию, но оно должно делать сотни тыся ч
различных соединений в секунду! Кроме того,
в отличие от АТС, управляющее устройство
должно действовать не в соответствии с только
что набранным номером, а по заранее заданной
программе,
.
которая (в зашифрованном виде)
хранится в специально для эт
.
ого отведенных
ячейках памяти.
Инструкция д"1я иаmины
Программа работы электронной вычисли
тельной машины для решения определенной
задачи составляется специалистами и через
вводное устройство (<вводитсю) в машину перед
началом вычислений.
Программа представляет собой последова
тельность отдельных «команд». Каждая команда
состоит из указания определенного арифмети
чесl\ого действия (сложение, вычитание, умно�
434
жение и т. д . ), номеров (или «адресов)>) тех
ячеек памяти, откуда следует взять числа, над
1\оторыми должно быть произведено действие,
а также номера (или «адресю>) ячейки, куда
должен быть помещен полученный результат.
Каждое арифметическое действие условно
обозначается числом - «кодом)) , например: сло
жение - (<1», вычитание - (<2)), умножение -
«3)) и т. д. Адреса ячеек памяти также обознача
ются У..Qмерами, например: No 20, No 21, No 22
и т. д. В целом вся команда записывается
в виде одного многозначного числа, в котором
на первом месте стоит код действия, на второ�1
и третьем 111естах - адреса чисел, над кото
рыми надо совершать это действие, а на послед
нем (четвертом) месте - адрес ячей1\и, куда
должен быть направлен полученный результат.
Так, например, команда 3-21 -26-52 предписы
вает перемножить числа, взятые из ячеек No 21
и 26, и поместить произведение в ячей1\у �о 52.
Такие команды называются трехадресными.
Возможны команды и с иным числом адресов.
Поскольку команды управления машиной
записываются многозначными числами, они на
равне с другими числами могут быть помещены
в ячейки запоминающего устройства: первая
вячейкуNo1,вторая-вячейкуNo2ит.д.
Помимо арифметических, команды могут за
давать 111ашине и некоторые другие действия,
например: «сравнить два числю>, «отпечатать
число, хранящееся в такой-то ячейке памяти,
в такую-то графу таблицы».
Составление программы и работа управля
ющего устройства лучше всего разъясняются
на каком-нибудь простеньком примере. Рас
смотрим для этой цели составление таблицы
значений площади круга, о которой мы уже
говорили, описывая работу вычислителя.
Программа для выполнения соответствую
щих вычислений имеет такой вид:
Номер
1 Ш11фр команды
1 Действие по
команды
команде
1
3-21-21-t9
Умножение
2
3-19-20-19
Умножен11е
3
7-21 -00-01
Печатание
4
7-19 -00 -02
Печатание
5
1-21-23-21
Сложение
6
8-21 -22 -01
Сравнение
7
9-00 -00 -00
Остановка
Как видим, программа состоит всего из семи
команд, которые перед началом работы при
помощи вводного устройства раз111ещают в ячей�

ЭЛЕКТРОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
Р11с. 8. Решение на перфо11енте и отпечатанное. В середине - оператор за пу11ьтом.
ю1 памяти с адресами от .No 1 до 7. Помимо
программы, в машину вводятся еще 11 необхо
димые исходные данные (рис. 9): в ячейку
.No 20- число1t=3,14, в ячейку .No21- паи-
No�о
N9 22
3,14
500 1000
2
Рис. 9. Размещение исходных данных.
меньшее значение радиуса (500), с которого
должна начинаться таблица, в ячейку .No 22 -
наибольшее значение радиуса (1000), в ячейку
.No 23 - чи�ло 2, показывающее, что значения
радиуса надо брать через каждые 2 мм. Ячейка
.No 19 будет использоваться для записи в нее
промежуточных результатов.
Испоdнение программы
После запуска машина будет выполнять
команды в той последовательности, в какой
они размещены в ячейках.
Согласно пер в ой команде (3-21-21 -19)
начальное значение радиуса (500), хранящееся
28*
в ячейке .No 21, будет умножено само на себя,
а полученное произведение (квадрат радиуса)
помещено в свободную пока что ячейку .No 19.
Согласно второй команде (3-19 -20-19) это
произведение (R2) будет умножено на число т:,
хранящееся в ячейке .No 20, с помещением ре
зультата в ячейку .No 19 (при этом ранее запн
санное там число автоматически стирается, по
до�но старой фонограмме при записи звука
на магнитофоне) .
Согласно треть ей команде (7-21-00-01)
значение радиуса из ячейки .No 21 будет отпеча
тано печатающим аппаратом .No 1, заполняю
щим первую графу таблицы.
Согласно четвертой команде (7-19 -00-02)
печатающим аппаратом .No 2 во второй графе
таблицы будет отпечатано соответствующее
значение площади круга, взятое из ячеii
ки.No19.
Последующие команды служат для перехода
к вычислению площади круга для новых зна
чений радиуса или для окончания работы,
когда все требуемые значения уже исчерпаны.
Согласно пятой команде (1-21 -23-21) к ста
рому значению радиуса (500) прибавляется 2,
причем полученный результат (новое значение
радиуса 5 02) направляется в ту же ячейку
435

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКА3ЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
No 21, где находилось прежнее значение ра- Програииа с преобразованияии
диуса.
Согласно шестой :команде (8-21 -22 -01) про-
Допустим, что значения площади :круга
изводится сравнение двух чисел с адресами нужно определить только для некоторых ранее
No 21 и 22. Если первое из
"" 20
No21
No2�
No80
них меньше второго или равно No 19
е�1у, то машина возвращается
"
1
_,
,
_,
,
_
_,.
..
.
___
_
___
..
.,.
__ _..
..,
__
_
_r-
1> выполнению :команды No 1, .
3,14
5·38 364
279
указанной в третьем адресе, в ..
._
__
_
..
._
__ _..
.а,
____.._ ___.._
__
_..
._
126
противном же случае она про-
сто переходит :к выполнению
следующей (очередной) команды.
В нашем случае новое значение
радиуса (из ячей:ки No 21) срав-
Рис. 10. Числа в машинной памяти. lо-01-01-ооfз-во -во-19)
нивается с наибольшим его значением, д
.
ля :ко
торого еще нужно вычислять площадь :круга.
Если новое значение радиуса не больше 1000,
машина проделывает над ним те же самые вы
числения, начиная с первой :команды, и та:ким
образом заполняет еще одну стро:ку таблицы.
Если же новое значение радиуса больше 1000,
то машина переходит :к· выполнению с е д ь-
11
1
о й команды, согласно которой она попро
сту останавливается с подачей на пульт управ
ления сигнала об о:кончании вычислений.
В работе :Вычислительной машины :команда
сравнения «8» и другие подобные ей :команды
«условного перехода» имеют исключительное
значение. Они увеличивают гибкость машины,
расширяют ее возможности и позволяют выпол
нять действия, длн которых она на первый
взгляд вовсе не приспособлена.
Много:кратное повторение одной и той же
последовательности действий позволяет произ
водить длинные вычисления по сравнительно
:корот:кой программе (иначе ведь составление
программы и введение ее в машину потребовало
бы, пожалуй, не меньше времени, чем вычисле
ния вручную). Еще эффективнее другой прием
сокращения программы, :который состоит в си
стематической переработке ее в процессе самих
вычислений. Ведь все команды программы изо
бражаются числами, хранящимися в запомина
ющем устройстве на равных правах с исходны
ми данными и промежуточными результатами.
Ничто не мешает нам производить над этими
числами арифметические действия и тем самым
превращать одни :команды в другие. Конечно,
все эти преобразования команд на определен
ном этапе вычислений или при получении опре
деленных результатов должны быть заранее
предусмотрены самой программой (подобно то
му, как устав всякой общественной организа
ции в числе других правил содержит обычно
также и правила изменения самого устава).
486
вычисленных значений радиуса - скажем, за
писанных в ячейках памяти No 21-80 (рис. 10).
Тогда, :ка:к и прежде, в ячейку No 20 помещаем
'lt, а в ячейки No 81 и 82 - специальные числа
0-01-01-00 и 3-80 -80-19, значение которых выяс
нится в дальнейшем. Вычисления будем вести
по следующей программе:
Номер
1 Шифр команды
1 Действие
команды
по команде
1
3-21-21-19
Умножен11е
2
3-19-20-19
Умножение
з
7-19 -00-02
Печатание
4
1-01 -81-01
Сложение
5
8-01 -82-01
Сравнение
6
9-00-00-00
Остановка
По перв ой команде вычисляется :квадрат
первого значения радиуса (из ячейки No 21),
:который затем по второй :команде умножается
на 'lt. По третьей :команде вычисленное значе
ние площади :круга заносится в таблицу окон
чательных результатов.
Теперь нужно повторить те же самые опе
рации, но уже над новым значением радиуса,
хранящимся не в 21-й, а в 22-й ячейке. Для
этого можно было бы включить в программу
в :качестве четвертой команды 3-22 -22 -19 (воз
вести новое значение радиуса в квадрат) с после
дующим повторением второй и третьей команд
без изменения. Затем должна следовать коман
да 3-23 -23 -19 (возвести в квадрат значение ра
диуса из ячейки No 23) и т. д.
При большом количестве различных значе
ний радиуса программа получалась бы очень
громоздкой. Легко сообразить, что вводимые
вновь :команды 3-22 -22 -19, 3-23-23 -19,". могут
быть получены из первой :команды 3-21-21 -19

последовательным прибавлением к ней числа
0-01-01-00, хранящегося в ячейке .No 81:
+
3-21- 21 -19
0-01 -01- 00
3 -22 -22- 19
+
3-22 - 22 -19
о -01- 01 -00
3 -23
- 23-19 ит.д.
Таким образом, посредством арифметиче
ских действий над числом, изображающим
команду, может быть осуществлено системати
ческое изменение ее адресов (в данном случае
первого и второго), а если потребуется, то и
кода действия. Такая операция изменения ад
реса(называемаяпереадресацией)как
раз 11 осуществляетсяпо четвертой команде
рассматриваемой программы. При этом число,
изображающее новую (переадресованную) коман
ду, направляется в ту же ячейку .No 1, где
хранилась исходная команда (в случае надоб
ности переадресованную команду можно было
бы поместить и в другую ячейку памяти).
По п я т о й команде выполняется срав
нение переадресованной команды (числа) из
ячейки .No 1 с командой 3-80-80-19, специально
введенной для этого в ячейку .No 82. Пока пер
вый и второй адреса переадресованной команды
не больше 80 (использованы еще не все значения
радиуса, хранящиеся в ячейках .No 21- 80),
согласно команде сравнения осуществляется
возврат к началу программы, т. е . к исполне
нию переадресованной первой команды. Когда
же все значения радиуса будут исчерпаны,
команда примет вид 3-81-81 -19, т. е . превзойдет
число в ячейке .No 82, и по команде сравнения
машина перейдет к выполнению следующей
(ш е стой) команды, означающей остановку.
Универса.J
J
ьность машины
Как уже было сказано, преобразование про
граммы в ходе ее выполнения, наряду с перио
дическим повторением ее частей и другими
приемами, неизмеримо расширяет возможности
вычислительной машины, позволяя решать на
ней даже сложнейшие задачи высшей математи
ки, хотя арифметическое устройство машины
способно выполнять только четыре арифметиче
ских действи я да несколько простейших логи
ческих опер аций.
Секрет современной вычислительной маши
ны заключается не в ее элементах, какими бы
чудесными они ни представлялись, а в их оче��ь
гибкой и сложной взаимосвязи, которая мол
ниеносно меняется в соответствии с заданной
ЭЛЕКТРОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
программой. Вводя в одну и ту же машину
различные программы, можно заставить ее ре
шать самые разнообразные задачи из очень
далеких друг от друга областей умственного
труда. В зависимости от программы одна и та
же машина способна вычислять траекторию
космического корабля, предсказывать погоду,
играть в шахматы, управлять работой железно
дорожного узла и переводить кн:И:ги с англий
ского языка на русский, Именно это и делает
электронную машину универсальным средством
автоматизации умственного труда, без приме
нения которого столь характерные длn нашей
эпохи стремительные темпы научно-технпче
ского прогресса были бы невозможны.
Благодаря применению электронных машпн
удается отделить творческий процесс нахожде
ния общих принципов решения той или пноi[
проблемы от кропотливого и механического
осуществления этих принципов. Чем .большая
доля механической умственной работы возло
жена будет на машины, тем больше времени
и сил сможет уделить исследователь действи
тельно научному творчеству.
Как выяснилось, составление программ вы
числений тоже заключает в себе немалую долю
формальных, механических операций. Соста
витель программы должен не только придумать
общий план (или логическую схему) решения
задачи (что является актом творчества), но
также и кропотливо расписать во всех подроб
ностях все по(,ледовательные шаги машины (для
чего достаточно лишь. с педантической акку
ратностью придерживаться определенных пра
вил). Для ускорения естественно разделить эти
две различные по своему характеру задачи:
тоорческий поиск логической схемы оставить
за человеком, а механическую работу деталь
ного расписывания команд возложить на саму
электронную машину. Для этой цели состав
ленытакназываемые программирую
щие программы, на основе которых
сама вычислительная . машина автоматически
преобразует введенную в нее человеком л;ог11-
ческую схему в детально разработанную про
грамму. Тем самым объем работы программиста
сокращается в десятки раз.
Логическая схема программы записывается
человеком не в виде последовательности зна
комых уже нам «команд», а на более привычном
и лаконичном «языке» математической симво
лики, т. е. посредство!'.� обычных формул лишь
немного измененного начертания с отдельными
дополнительными пояснениями. При отсутст
вии у машины специальной клавиатуры для
43'7

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
ввода математичес1шх символов 11 букв каждый
из этих знаков предварительно кодируется
числом вручную.
В настоящее время ведется большая работа
по созданию универсального языка програм
мирования, посредством которого каждый мог
бы (после самого краткого обучения) самостоп
тельно писать логические схемы програ�нr,
впо.'Iне пригодные для непосредственного вве
дения их в машину (снабженную раз 11 навсегдн
установленной программирующей программой).
Это позволило бы вообще искдючить малопро
изводительный
процесс
программированпя
вручную. Один из ·вариантов такого универ
сального языка известен под условным назва
нием «алгол».
Другой широко применяемый уже :мет{)Д
экономии труда и времени при программирова
н1111состоитвиспользовании б11блиотеки
стандартныхпоμ.п
.
рогра111м. Вта
кой библиотеке хранятся составленные заранее
программы для самых различных вычислений,
встречающихся на практике. В числе их может
быть, напрИмер, решение кубического уравне
ния или вычисление определенного интеграла.
Когда такого рода вычисленне встретится при
решении конкретной задачи, машнна сама «вы
пншет)) из библиотею1 необходшrую для этого
пос;�едовательность команд - достаточно толь
ко одного лаконичного упоминания об этом
в соответствующем месте основной программы
решенпя рассматриваемой задачп.
Такой метод тоже значительно повышает
производительность труда при програ111мнро
ван1111.
Без далеко пдущей автоматизации програм
мирования решение очень многих, и притом
весьма важных, задач на электронных машинах
было бы практически невозмо;.1шьш, так как
составление соответствующих программ потре
бова.r
rо
бы чересчур много времени.
}' ниверсальность э;�ектронных вычислите.'Iь 
ных машин свидетельствует о том, что даже
самые несхожие между собой виды умствен
ного тр
.
уда могут быть разложены на одни и те
же элементарные шаги, но только расположен
ные в иной последовательности и выполняемые
над другим исходным материалом. Именно это
обстоятельство делает возмоit\ным е д и н ы й
п о д х о д к проблеме автоматизации всех ви
дов умственного труда. Изученне тех общих
:закономерностей автоматизации умственного
труда, которые не зависят от конкретных осо
бенностей различных его видов, составляет
одну из очень важных и интересных задач
438
молодой науки кибернетики (см. статью «Что
такое кибернетика?») .
Чтобы наглядно показать универсальность
электронной вычислительной машины и един
ство резко различных по своему характеру
видов умственного труда, попробуем хотя бы
вкратце пояснить, каким образом «умудряется))
машина переводить книги с одного языка на
другой.
Автоиатический перевод
Английский текст для перевода вводится
в запоминающее устройство, причем каждая
буква изображается определенной комбинацией
электрических импульсов. Кроме того, в цамять
машины записываются словарь, грамматиче
ские таблицы и программа автоматического
перевода.
Прежде всего машина отыскивает в словаре
для каждого английского слова его русский
эквивалент. Для нее это ничуть не сложнее,
чем отыскать в тригонометрической таблице для
заданного угла значение его косинуса. Но очень
значительные трудности возникают при этом
всякий раз, когда одно и то же английское
слово, подобно, например, русскому слову «ко
са» (рис. 11), имеет несколько различных зна
чений. Переводчик обычно выбирает одно из
этих значений, наиболее подходящее по смы
слу, машина же может руководствоваться толь
ко формальными правилами, которые должны
быть ей заранее заданы. Поэтому для всяко го
�lаit
Zopj
f resse
tопgие ojland
Land -zunge
loпgue 1!erre
Рис. 11. Что зиач1tт «коса»?

многозначного слова в машинном словаре дает
ся не перевод, а номанда-ссылка - проана
лизировать это слово по специальной про
граммке. Программна эта представляет собой
последовательность вопросов, ответы на кото
рые позволяют раскрыть смысл слова. Пока
жем, как это делается, на примере англий
ского слова many.
Когда в предложении встречается это слово,
машина его снача.11а пропускает и переводит все
остальные. Но затем она обязательно возвра
щается к слову many и приступает к последо
вательному исполнению команд программки его
анализа (рис. 12).
ПРЕАЬ!ДУЩЕЕ
дэ
how 1
-
сколько ЫдРЕЧ"1Е
tнет
ПРЕДЫДУЩЕЕ
да
столько
�
НАРЕчие
н?
-
ЖЕ
tне
1
ПРЕД. ПРЕДЛОГ
да
-
СЛЕД СУЩЕСТВ.
МНОГИЙ ПРИЛАГАТ.
� нет
..
..
-
много НАРЕЧИЕ
Рис. 12. Анализ слоаа many.
Первая команда этой программки гласит:
проверить предыдущее слово, не является ли
оно словом \10\У. Если да - машина дает пе
ревод «сколько», потому что сочетание how
many всегда имеет именно такое значение.
Странные реа�· .J
J
ьтаты
t.
ЭЛЕКТРОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
Если же нет - машина переходит к сле
дующей проверке: не является ли предыдущее
слово словом as.
Если да - перевод будет «столько же», по
тому чт
.
о таков смысл сочетания as many.
Если нет - машина должна проверить, не
является ли предыдущее слово предлогом, а
последующее - существительным.
Такая проверка легко осуществима, так как
большинство слов предложения уже переведе
но, а перевод содержит все необходимые грам
матические сведения, выписываемые вместе с
самими словами из словаря.
При положительном ответе (да) машина
должна будет записать перевод «многий)) , при
отрицательном (нет) - «много>). Особенно су
щественно здесь то, что в первом случае сло
во «многий» - это прилагательное с мягюtм
окончанием, а во втором («много>)) - неизме
няемое наречие.
Когда все переводы для всех (в том числе
и многозначных) слов найдены и зафиксиро
ваны в запоминающем устройстве, машина на
чинает оформлять их в соответствии с прави
лами русской грамматики.
В частности, прилагательное «многий» долж
но быть поставлено в нужном падеже, роде
и числе. Род, падеж и число прилагательного
обычно опреде.11яются тем р у с с к и м суще
ствительным, перед которым оно стоит. В свою
очередь род русского существительного при
переводе был выписан из словаря, число ,опреде
лено по окончанию английского слова, а падеж
выяснен при анализе по предыдущему пред
логу или глаголу.
На основании этих данных машина заменяет
в слове «многий» окончание «-ИЙ>) другим, ко
торое берется из грамматических таблиц для
прилагательных с мягкими окончаниями (та
кие таблицы, как и словарь, тоже хранятся
в машинной памяти). Следующий этап вклю-
э1-1э =1Э
Забавный вид имеют записи
действий, выполненных в других -
недесятичных-системах
сч11с11ения.
Например,
а) 31-13=13;б) 2Х2=10;
16
В какой системе сч11с11ения аы·
полнялось каждое ;{ействие, если асе
результаты правильные?
2.
'2Х2=10
в) дана дробь 6t, сокращая на 7,
получим
r)
!О-�.
61- 7.
V1U01=11 .
1
1101\101
1 101
(;)•• = (1\
\
J.- 0.011011 . . •
Как зто получается?
3.
Докажите, что для записи од
ного миллиарда в двоичной системе
нацо употребить 30 цифр
Ре·шеиие настр.500.
489

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
чает в себя обработку перевода по правилам
синтаксиса и определение порядка слова.
После того как синтез русского предложе
ния закончен, перевод передается в выводное
устройство, которое и печатает его русскими
буквами на бумаге (если какого-нибудь анг
лийс1<ого слова машина в своем словаре не
нашла, она впечатывает его в текст перевода
латинскими буквами).
Пока что автоматический перевод книг прак
тического применения не нашел - нужна еще
боJiыпая предварительная работа, которая мо-
440
Электронный
«закройщик» -
цифровая вычис,�ительная ма
шина «Сталь-t» , установлен
ная на одном нз металлурги
ческих комбинатов страны. Она
мгновенно замеряет длину по
лосы металла, составляет план
ее раскроя и подает команду
11ожннцам. Вся операция зани
мает полсекунды. Кроме того,
«Сталь-t» непрерывно реги
стрирует вес прокатных заго
товок.
жет быть выполнена только совместными уси
лиями филологов, математиков и инженеров.
Однако успех даже первых, пyc1.;aii еще прнми
тивных опытов в этом направлении еще раз
подтверждае
.
т, что область применения элек
тронных вычислительных машин не ограничи
вается однимп только математическими вы
числениями.
Электрон ные вычислительные машины долж
ны быть, без всякого сомнения, отнесены к
числу наиважнейших факторов научно-техни
ческого прогресса.

ЧТО ТАКОЕ КИБЕРНЕТИКА?
J'-пр ав&11яющие системы
Одно из важных понятий , которым опери
рует современная наука ,- понятие упра в
л я ю щей с истемы. С разнообразными
уп равляющими системами мы встречаемся в
технике , в растительном и животном мире, а
также в че ловеческом обществе .
Простейший пример технической управля
юще й системы - примитивный поплавочный
регулятор уровня воды ,
изображенный на
рис. 1. Задача этого регулятора - подде ржи
вать постоянный уровень жидкости в сосуде.
Ре гуляторы подобного типа употребляются в
простейших паровых котлах .
А
F Рис. 1.
Жидкость может выливаться из со суда по
трубе F и поступать в сосуд по трубе АВ.
В жидкость помещен поплавок Н, закреплен
ный на рычаге СЕ. При повышении уровня
жидкости в сосуде поплавок всплывает , а ры
чаг СЕ, поворачиваясь на оси С, специальной
пробкой D закрывает конец трубы В. При пони
жении уровня жидкости пробка D опускается
11 открывает доступ жидкости в сосуд по трубе
АВ до тех пор , пока не будет восстановлен
исходный уровень.
В рассмотренном примере управляющая си
сте ма состоит из поплавка Н, рычага СЕ и
пробки D. Эта простейшая система заключает
в себе все основные че рты гораздо более слож
ных управляющих систем. Действительно , лю
бая управляющая система должна иметь прежде
всего чувствительный элемент
(в водное устр ойство), с помощью кото
рого она воспринимает сведения , или, как обыч
но принято говорить, информацию о
состоянии объекта управления(в
данном случае - сосуда с жидкостью). В на
ше м примере таким чувствительным элементом
служит поплавок .
Далее , управляющая система должна содер
жать устройство, преобразующее информацию ,
ЧТО ТАКОЕ КИБЕ РНЕТИКА
полученную от объекта управления с помощью
чувствительного элемента . Подобным п р е о б
разователем информации может
считаться рычаг СЕ.
Наконец , управляющая
система должна
иметь возможность воздействовать на объе кт
управле ния с помощью того или иного и с
полнительного механизма (вы
водногоустройства).Внашемпри
мере таким механизмом служит пробка D, закры
вающая конец трубы В.
В современной технике мы встречаемся с
автоматическими системами , несравненно более
сложными , че м описанный простейший автома
тический регулятор . Еще более сложны мно
гие биологические управляющие системы . Пе р
вое место среди них занимаl:!т нервная система
человека , особенно его головной мозг . Подобно
техническим управл яющим системам, нервная
система человека также обладает чувствитель
ными элементами (окончания нервов в орга
нах чувств) , исполнительным механизмом (окон
чания нервов , управляющих мышцами) и преоб
р азователем информации (собственно нервная
сиса-ема). Такую же схему строения имеют и
другие биологические управляющие системы.
А как устроены различные управл яющие
системы в человеческом обществе? Возьмем,
например , систему управления экономикой.
Чувствител ьный элемент ее - аппарат первич
ного учета, собирающий разл ичные сведения
о состоянии народного хозяйства . Преобразо
вание собранной инф о'рмации и выработка со
ответствующих решений осуще ствляются в Гос
плане , совнархозах и т. п. Имее тся также и
сцециальный :исп олнительный аппарат на пред
приятиях , проводящий в жизнь принятые
решения .
Все приведенные примеры показывают , что ,
несмотря на принципиальные различия , су
ществующие в рассмотренных управляющих си
стемах , они имеют нечто общее . Изучение об
щих законов функционирования разл ичных
управляющих систем составляет предмет спе
циальной науки-кибернетики.
Термин «кибернетика» происходит от древ
негреческого слова «кибернетес)> - рулевой и
напоминает , что нибернетика представляет со
бой науку об управлении, или, более точно ,
науку об общих законах преобразования ин
формации в управляющих системах .
Этот термин впервые употребил в 1834 г.
французский физик А. Амп ер , назвав нибер
нетикой не существовавшую еще в то время
науку об управлении обществом. В 1948 г.

МАТЕМАТИJ\А УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
американский ученый Н. Виве р словом «кибер
нетика» назвал общую пауку об управлении.
В настоящее время кибернетика является
'Те оретической основой автоматизации , причем
главным образом автоматизации многих видов
умственной деятельности человека.
Следует подчеркнуть еще раз, что киберне
'ТИка изучает общие законы управл яющих си
стем . Но между техническими и биологически
ми системами иля , тем более , меЖду ними обеи
ми и управл яющими системами в че ловеческом
обществе имеются глубокие качественные раз
личия. Поэтому наряду с кибернетикой суще
ствуют науки, изу чающие особенности управ
ляющих систем различных типов. R ним отно
сятся
техническая автоматика, физиология
нер вной системы и большая групп а социаль
ных (обще ственных) наук .
Сама кибернетика также делится на ряд
разделов , многие из которых (подобно алгебре
или геометрии внутри маrематюш) выросли
уже в самостоятел ьные нау1ш.
И11фориа.1�ив и кодпрова11ие
�ажная составная часть нибернетики -
'Танназываемаятеория информации.
Она изучает различные формы представления
и передачи информации нак в отвлеченном
(абстрактном) виде , так и применительно
н конкретным управляющим системам. Инфор
мация может предст авляться в двух различных
формах-непрерывной идиснрет
н ой (т . е. прерывистой) .
В первом случае информация представл яет
ся в виде плавно , не прерывно меняющихся
величин . Например , пр и передаче речи по ра
дио или по телефону зву1ш речи представля
ют ся в виде плавно изменяющихся электри
ческих величин - напряжения или тона . При
пе редаче той же речи по телеграфу с помощью
азбуки Морзе или при записи ее · на бумаге
характер представления меняется , информация
разбивается на отдельные порции: точка и тире ,
бук вы русского или :какого-нибудь другого
алфавита; переходы от одной порции 1t другой
совершаются скач:ками. Это уже дис1<р етная
форма представления информации .
На современном уровне развития :киберне
тюш особо важное значение приобрела диск
ретная форма представления информации.
О1tа зывается , что информация, заданная в не
прерывной форме , может быть с любой наперед
заданной точностью представлена в дискретноii
442
форме . Более того , в качестве отдельных пор�
ций , па которые разбивается эта дискретная
информация , может быт ь выбрано любое напе
ред заданное множество каких-либо значков
(обобщенных букв) , называемое обычно а б
страктным
алфавитом.
Важно
лишь , чтобы этот алфавит содержал более одной
обобще нной буквы . Процесс представления ин
формации последо в ател ьно расположенными
буквами того или иного абстрактного алфавит а
называетсякодированием.
Для примера рассмот рим процесс кодиро
вания в абстрактном алфавите информации ,
заданной с помощью рис. 2. Абстрактный ал
фавит состоит из двух
обобщенных букв - О
и 1. Для этой це
ли разобьем рисунок
на прямоугольнички,
размеры которых за
висят от того, с ка
кой точностью мы
хотим
представить
информацию .
Условимся обоз
начат ь каждый пря
моугольничек нулем ,
если более половины
его площади не за-
чернено , и единицей
Рис. 2.
в противном случае .
Тогда , пробегая все прямоугольнички по
строкам слева направо , а ст роки сверху вниз,
мы получим для рис. 2 следующий диск
ретный код: 00000000011001100000. Ра зумеется ,
такое представление описывает рисунок с ма
лой точностью . Однако , уменьшая размеры
прямоугольничков , мы можем добиться скол ь
угодно высокой точности описания .
В теории информации разработаны не толь
ко способы кодирования различных сообщений ,
но и способы количест венной оценки содер
жащейся в них информации.
Ао1
1
горитиы и автоиаты
Вопросы кодирования и декодирования , т.е .
восстановления исходного вида информации
по ее дискретному коду , и другие проблемы
вознинают в первую очередь при разработке
вводных и выводных устройств управл яющих
систем. Теоретическую основу устройст в для пре
обра зования информации составляют другие

разделы современной кибернетики - т е о р и я
алгоритмовитеорияавтоматов.
Алгоритмом называется конечная система
правил , по которым совершается преобра зо:
вание дискретной информации. Множ-ест во
разнообразных алгоритмов имеется в матема
тике . Из школьного курса алгебры , например ,
вам хорошо известны алгоритмы для решения
нвадратных уравнений , систем лине йных урав
нений , для раскрытия скобок и приведения
подобных чл енов в буквенных выражениях
и т. п. Но алгор итмы широко распространены
и за пределами математики. Если сф ормули
ровать все правила , которые употребляет опыт
ный переводчик для перевод ов, скажем, с анг
лийского языка на русский , то подучим не чт о
иное , как алгоритм англо-русского перевода .
Если элементарные nравила шахматной
игры дополнить системой страте гических пра
вил , по зволяющих в каждой позиции находить
единственный , наилучший (с точки зрения дан
ной системы правил) ход , то получится алго
ритм игры в шахматы .
Оказывается , чут ь ли не всякий вид умствен
ной деятельности че ловека может быт ь сведен
к выполне нию того или иного алгоритма. Но
практически найти все правила , составляющие
эти алгоритмы , - часто очень сложная и трудо
емкая задача .
Для кибернет ики особенно важны два ре
зультата , получе нные в теории алгоритмов.
Первый ре зультат - универсальность а л г о
ритмических систем.Оказывается,
для построения любого алгоритма достаточно
уметь выполнять относите льно не большое число
типов элементарных алгоритмических оп ераций .
Подобно тому как из одних и тех же элементар
ных частиц складываются молекулы самых раз
личных веще ств или как из одних и тех же букв
склады ваются книг и совершенно различного со
держания , так и всякий алгоритм, независимо
от его природы , можно составить в результате
соответст вующе го комбинирования элементар
ных алгоритмических опер аций.
Второй важный ре зультат теории алгорит
мов заключается в том , чт о существуют так
называемыеалгоритмически нераз
ре ш имы е проблемы, т. е. такие клас
сы задач, которые для своего решения требуют
6есконечиого числа различных при
емов. А всякий алгоритм обязательно включает
в себялишь конечное число приемов,
хотя , может быть, и очень большое.
Так , напр имер , можно построить алгоритм ,
который позволяет доказать любую· теорему
ЧТО ТАКОЕ КИБЕРНЕТИКА
из элементарной геометрии (не использующей
понятие предела). В то же время дока зано , что
для теории чисел (устанавливающей различные
свойства целых чисел) подобного алгоритма
пе суще ствует. Иначе говоря, для построения
элементарной геометрии достаточно конечного
числа приемов (методов дока зательства) , а для
построения теории чисел число соответствую
щих приемов должно быть непременно бес�tо
печным.
Теория автоиатов
и (<уиные"иаmины
Значение этих резул ьтатов для кибернетики
ст ановится ясным при переходе от теории алго
ритмовк теории автоматов.Основная
задача теории автоматов - разр аботка мет о
дов построения преобразователей информации
для реализации тех или иных алгоритмов,
например машин для игры в шахматы , для ав
томатического перевода с одного языка на дру
гойит.п.
Если существуют универсал ьные алгорит
мические системы , то возможно в принципе
построить уииверсальиые
преоб
разователи
информации, спо
собные реализовать любые алгоритмы . Подоб
ные универсальные преобразователи уже по
строены и успешно работают. Это так называ
емые уииверсаJJьиые электрои
ные цифровЫе машииы. Цифровыми
или вычислительными эти ма шины называ
ются потому , что первым их назначением была
реализация вычислительиых
алго
ритмов. Информация , с которой оии имели
дело , была цифр о в ой, т. е. набором чисел.
Такие машины снабжаются так называемыми
запоминающими устройствами
(п амятью) , позволяющими им (< запоминатм как
перерабатываемую информацию , так и п р о
г рамм у работы машины , т. е . записанный
в условных кодах , называемых приказами , ал
горитм , который должна реализовать машина.
Измене ние программы происх одит бе з ка
ких-либо переделок машины. Достато чно про
пустить сквозь машину набор бумажных кар
точек с пробитыми на них в соответств ующих
местах отверстиями-перфокарты или
ленту с отверстиями - перфолеи ту. Так
вводится в машину новая· программа , настраи
вающая ее на совершенно новый вид работы .
Благодаря этому открываются широкие
возможности для автоматизации разл ичных
443

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
видов · умственной деятельности че лове:ка. До
статочно найти алгоритм , описывающий тот
или иной вид подобной деятельности , перевести
его в программу, или, :ка:к Fоворят, з а п р о
граммировать, иввестивмашину.
На та:кой универсальной машине можно
программироват ь любой алгоритм . Пос:коль:ку
машина работает гораздо быстрее и точнее че
лове :ка , она , :ка:к правило, выполняет заданный
алгоритм гораздо лучше его . Отсюда понятно ,
:ка:кое большое пра:ктичес:кое значение имеет
:кибернепша в автоматизации таю1х видов ум
ст венной деятел ьности , где челове:к уже сейчас
не в силах сп равиться с переработ:кой инфор
мации за разумное время , например в научных
и инженерных расчетах.
Во многих разде лах современной нау:ки и
техни :ки, тю<их , :ка:к атомная физ1ша и ра:кетная
техни:ка , решаются задачи , требующие вычиt
лений , состоящих из многих :мил лиардов ариф
метичесю1х операций . Даже при помощи спе
циальных клавишных цычисл ительных при
боров че ловек успевает в среднем выполнять
за :м инуту J1ишь две арифметическ ие операции
над многозначными числами. А для выполне
ния одного миллиарда операций потребовалась
бы тысяча лет непрерывной работы бе з сна и
отдыха ! В то же время современная электрон
ная цифровая машина , ·выполняющая 500 тыс .
арифметиче ских операций в се:кунду , сп равится
с этой работой немногим более чем за полчаса !
При та:к ом росте производител ьности труда
становится возможны м решать задачи , :которые
ранее был и просто недоступны чел ове:ку.
Автоматизация расчетов требуется не толь:ко
в новейших обл астях науки и техники. Та:к ,
в мете орологии тол ьRо благодаря автомати
зации удается выполнять :к требуемому сро:ку
сложные расче ты , необходимые дл я уточнения
прогнозов погоды . В техничес:к ом прое:ктиро
вании внедрение автомати зации позволяет пе
рейти от выбора лучш их прое:ктов из отно
сительно небол ьшого числа вариантов к выбору
наилучшего из всех возможных вариантов (та:к
называемого оптимал ьного проекта).
Рассмотрим, например , задачу выбора наи
лучше го варианта прое:кта желе зной дороги
по заданному маршруту (трассе) . Производя
мы сленный верти:кал ьный разрез мест:ности
вдоль трассы , получим не:которую :кривую ,
изображающую неровности рельефа (рис. 3).
Проложить дорогу непосредственно по этому
рельефу, :как правило, нельзя : подъе мы и спус
:ки получатся слишком :крутыми , и преодолеть
их при э:ксплуатации уже построенной дороги
444
либо о:кажется вовсе нево зможно , либо потре"
буются сл иш:ком большие затр аты (снижение
скорости и веса соста вов , использование не"
с:кольких ло:комотивов и т. д . ).
Рис. 3.
Необходимо поэтому продел ать земляные
работы , чтобы выровнять рельеф . Та:кое вырав
нивание проводят по нескол ьющ выбранным
отмет:кам (точки А , В, С, D, Е). Предположим,
что та:ких точе:к всего 5, а :каждая точка , за
ис:ключением :крайних точе:к А и Е, нах одя
щихся на определенном уровне , может зани
мать 100 различных положений по высоте.
В таком случае у нас будет 1003 = 1 ООО ООО
разл ичных вариантов выравнивания рельефа.
Если просматривать их со скоростью два
варианта в минуту , потребуется целый год.
Если же число точе:к увеличивается до 100,
то :количество вариантов выражается единицей
с 196 нулями , а :количество лет , необходимое
дл я их просмотра , - единицей со 190 нул я ми.
В этом случае просмотреть все варианты прак
тически невозможно не тол ько для человека,
но и для электронных вычисл ител ьных машин.
Необходимо поэтому разработать методы,
позволяющие рез:ко уменьшить :количество про
сматриваемых вариантов , отбросить целые груп
пы заведомо плохих . Разработкой та:кого рода
методов занимается специальный раздел :кибер
нети:ки-теория оптимальныхре
шений.
В настоящее время разработан ряд методов
для решения задач оптимального прое:кти ро
вания , планирования и управления . Многие
из этих методов был и предложены и обоснованы
советс:кими учеными (метод линейного про
граммирования Л. В. Канторовича , принцип
максимума Л. С. Понтрягина и др .). Для ре
шения задач оптимальноrо проектирования
дорог , линий электропередач и др . удобен метод
последовательного анализа вариантов , разра
ботанный в Институте :кибернетики АН -УССР.
С помощью этого метода оптимальный вариант
выравнивания рел ьефа для про:клад:ки желе з
ной дороги в нескол ько сотен километров нахо
дится вычислительной машиной среднего быст
родействия (10-20 тыс . операций в се:кунду)
за 2-3 часа.
В ряде областей техники разрабатываются
системы ал горитмов , позволяющие осуществить

полную автоматизацию проектирования многих
сложных объектов.
Не менее важно также оптимальное плани
рование и управление народным хозяйством.
Эти вопросы выделяют обычно в специальный
разделкибернетики-экономическую
кибернетику.Масштабыпроизводстваи
темпы роста народного хозяйства в СССР так ве
лики, что обычные , неавтоматизированные ме
тоды планирования уже не могут нас удовлет
ворить. Практика показывает , что выбор опти
мальных (наилучших) вариантов планов уже
се йчас практически недоступен никаиому чело
веческому коллективу , не пользующем-усл элек
тронными цифровыми машинами.
Электронные цифровые машины исполь
зуются пока для решения лишь частных пла
ново-:жо номических задач. Особенно успешно
решаются так называемые транспортные задачи
(нахождение планов перевозок с минимальными
трансп ортными расх одами) , а также задачи о
наилучшей загрузке станиов и другие , решаю
щие ся с помощью методов линейного програм
мирования. Эиономия, получаемая при такой
автоматизации , исчисляется обычно 10 -15 % ,
а в отдел ьных случаях доходит до 50 -60 % .
На повестке дня сейчас полная автомати
зация не только самих процессов планирования
и упр авления экономикой , но и процессов сбора
необходимой первичной информации , автома
тизация учета и спр авочно-статистической
ра боты . С этой целью со здаются специальные
вычисл ител ьные центры , снабженные мощными
электронными цифровыми машинами и соеди
ненные между собой, а также с производством
современными каналами связи для быстрой
передачи необходимой информации .
К задаче оптимального управления эконо
микой тесно примыкает задача оптимального
управления производственными процессами.
Се йчас еще во многих случаях диспетчер или
группа диспе тчеров управл яет тем или иным
сложным процессом далеко не лучшим обра зом.
Дело в том , что че ловеческий мозг не успевает
своевременно перерабатывать огромный объем
необходимой информации. Помочь зде сь могут
только автоматические управляющие системы ,
среди которых надо особо выделить специально
присп особленные для управления универсаль
ные· электронные цифровые машины .
Эти машины, называемые обычно у н и в е р
еальными управляющими
11
1
а
шинами,
снабжаются особыми вводными
и выводными устройствами, позволяющими
автоматически собирать и _выдавать информа-
ЧТО ТАКОЕ КИБЕРНЕТИКА
ЭЦВМ «Ypan-2» . Внешний вид центраnьной части.
цию , необходимую дл я управления пронзвод"
ством.
Одна из первых универсальных упр а вля
ющих машин, разработанная в Киеве , изо бμа
же на на рис. 4. Такая машина успешно управ
ляет процессом выплавки ст али , газоре затель
ным ст анком и рядом других различных про
цессов.
Для управления производственными про
цессами на значител ьных расст ояниях мо11шо
использовать ст ационарные элект ронные ц11ф
ровые машины , установленные в вычислитель
ных це нтрах . Такие опыты успешно проводи-
Рис. �.
445

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
Конвертер дая выu.вавкн ста.вв уuрав.ваетса 11ашивой ;vмшн.
лись в США , а также в СССР (Институт кибер"
нетики в Киеве) .
Но со здание технической базы , т. е. управ
ляющих машин, л ишь наполовину решает
проблему автоматизированного уп равления
производственными процессами. Не менее
важно решить задачу алгоритмизации, т. е .
найти эффективные алгоритмы для управления
производственными процессами. Построение111
общей теории управления техническими (про
изводственными) объектами занимается т е х-
ническая
кибернетика.
Машина саиосоверmенств!ется
Алгоритмизация производственных п ро
цессов обычно чрезвычайно трудоемка , а из-за
Варианты рацвоиааьиых uеревоаок, рассчитанные 118ШВВОЙ. непрерывного совершенствования тех нологии

необходимо часто изменять и совершенствовать
алгоритмы управления, Поэтому все чаще ста
раются испол ьзов ать такие системы , которые
могутсамосовершенствоваться.
Обычно самосовершенствование осущест
вляется следующим образом . Помимо собствен
но управляющего алгоритма, так называемого
рабочего алгоритма илиалгоритма
перв ой ступени, вводится еще один -
алгоритм второй ступени. Он контролирует
результаты работы первого алгоритма и изме
няет некоторые части этого алгоритма с цел ью
улучшения этих ре зультатов . Применение уни
версальных электронных цифровых машин
с самосовершенствующейся системой алгорит
мов обеспечивает , как правило, более высокое
1\ачество уп равления . В настоящее время обыч
но применяют двухступенчатые самосовершен
ствующиеся системы , о которых мы говорили.
Однако возмо жно построить и более сложные ,
многоступенчатые системы .
Раауипая иаmина - вер11ыll
поиощинк че"'lове1tа
Особенно велико значение самосовершен
ствующихся систем при решении одной из самых
увлекательных задач кибернетики - задачи
моделирования процессов , протекающих в моз
гу человека . Дело в том , что человеческий
мозг - очень сложн ая и во многих отношениях
замечательно устроенная самосовершенствую
щаяся система . Возможности мозга можно
наглядно проиллюстрировать таким примером.
Человек внешне относительно просто приспо
собляется к расп ознаванию каного-либо класса
изображений , например рисунков , изображаю
щих различные дома . Если поназать человеку
ср а внительно небольшое число изображений
домов , например одно этажных и пятиэтажных ,
он может правильно классифицировать и изо
бражение , которое ему никогда ранее не было
показано , например , двухэтажных , трехэтаж
ных 11 других домов. Значит , можно вырабо
тать у чел овека достаточно правил ьное пред
ставление об общем понятии дома.
Для моделирования способности мозг а при
спо сабливаться к расп ознаванию различных
:классов изображений в кибернетике было по
строено большое число различных алгоритмов
и проведено большое число экспериментов .
Эти э:ксперименты пролили свет на многие про
цессы , происх одящие в мо згу , и послужили
в ряде случаев основой для решения практи
ческих з11.дач по автоматизации процессов рас-
ЧТО ТАКОЕ КИБ Е РНЕТИКА
познавания зр ительных обра зов , а таl\же чело
веческой речи . Впрочем, в направлении автома
тического распознавания реч1[ сделаны пока
еще лишь первые шаги; машина распознает
всего 11е с1>ол ько десятков разл ичных слов , про
износимых разл ичными голосами в различных
условиях .
Обучение машин процессам распознавания
зрительных .и других образов - лишь самая
первая , относительно несложная задача в моде
лировании мыслительных процессов. Более
сл ожные задачи возник ают при моделир овании
логического мышления , процесса обучения
языку , при модел ировании процессов творче
ства.
В области лог11чес1\ого мышления в первую
очередь моделируются различные системы ,
позволяющие осуществлять автоматическое
доказательство теорем в тех или иных (пока
еще достаточно узких) обл астях математики.
При этом речь идет об автоматичес1>ом до:ка
зательстве не только теорем , вошедших в учеб
ники, но и новых , еще не известных человеку
теорем . Значение такой автомати зации огромно :
используя с:корость и бе зошибочност ь рабмы
даже современных , относительно еще мало со
вершенных , универсальных эле1\т рон11ых цифро
вых машин , очевидно , можно будет в ближай
шем будуще м доказывать такие сложные теоре
мы , которые «невооруженному» человеческому
уму просто недоступны .
Здесь кибернетика начинает вплотную под
ходить к внедрению автоматизации в развитие
самой науки. В будуще м кибернетические ма
шины будут не заменимыми помощниками чело
века не толь:ко в док азательстве новых теорем,
но и в обобще нии результатов наблюдений,
в построении новых физических и других тео
рий и т. д. Уже сейчас , помимо помощи в слож
ных вычислениях и обработ:ке эксперимент аль
ных данных , м ашины начинают применяться
для автоматизации справочно-информационной
и библиографиче ской работы, отнимающей
сейчас много времени у ученых . В принципе
во зможно накапливать научную информацию
не только в библиотеиах , но и в электронной
памяти кибернетических машин в специальных
информационных центр ах . Из этих центров
по запросу того или иного ученого может быть
очень быстро получена необходимая справка ,
нраткое или полное содержание какой-либ()
научной статьи и т. п .
Важное место в автоматизации научного
творчества займут также автоматический пере
вод с одного языка на другой , автоматическое
44'7

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
эцвм «ПромiНЬ» .
реферирование и конспе ктирование статей
и т. п. Для этих целей ';J машину должна быт ь
вложена та или иная система знаний о чел о
вече сюiх языках. На первых порах в эту сис
тему включаются обычно лишь необходимый
сл оварный запас и грамматические правила.
Однако в принципе ничто не препят ст вует тому ,
чт обы обучать машины распо знаванию смысла
вводимых в нее фраз.
Опыты такого рода были проделаны в Ака
демии наук У ССР. Во время этих опытов уни
версальная электронная цифровая машина ,
работая в специальном режиме (так называемом
режиме обучения), обучалась отл ичать ос
мысленные фразы, составленные из выбран
ных наугад 100 слов , от бессмысленных. Важно
подчеркнуть, что процесс обучения был орга
низован таким обра зом, что машина не просто
«зазубривала» вводимые в нее «учителем» фра
зы , а со зда вала новые понятия, задавала учи
телю вопросы и, будучи переведе на в режим
экзамена , правильно различала осмысленность
не только тех фраз, которые ей были сообще ны
<(учителем», а также и новых, которые ей рань-
Вычислить значения у, где
ln tg (�+1)
У=
sin х Jf1+х2
для значений х от 0,1 до 1 с шагом 0,1.
Формула, которую считали на ЭЦВМ «Промiнь» .
448
ше никогда не сообща
лись.
Отсюда
возникает
о,99811
о,99417
о,9887о
о,98434
о,9847о
о,99329
1,о147
1,о641
1,1261
1,2413
очень актуальный и ост
рый вопрос: возможна
ли автоматизация про
цессов творчества? Что
касается научного твор
чества, об этом уже го
ворилось выше . Необ
ходимо лишь ответить
на вопрос о том , в какой
мере ответы машины
предопределяются зало
женной в нее програм
мой. Не потребуется ли
программисту затратить
больше усилии
-
На СО- Реаультаты решения фор
мулы на м а шине «Про-
ставление программы,
мiнь» ·
чем на непосредственное
решение вoiipoca , заключенного в данной про
грамме?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим
простой пример. Предположим, чт о про
граммист не знает, каким образом решаются
квадратные уравнения , но может проверить,
является ли то или иное число корнем задан
ного квадратного уравнения. В таком случае
он бе з особых затруднений может составить
программу , по которой машина будет пытаться
решать квадратные уравнения по различным
формулам , последовательно перебирая все та
кие формулы - от более простых к более слож
ным. При этом каждая такая попытка будет
проверяться с помощью подстановки опреде
ляемых по испытуемой формуле корней в задан
ное уравнение (или в не сколько заданных урав
нений). В случае неудачи машина должна авто
матически ст роить следующую формулу и ис
пытывать ее - и так до тех пор, пока очередная
попытка не приведет к успех у. Благодаря
огромной скорости работы машины она довольно
скоро найдет требуемую формулу.
Для решения более сложных проблем при
менение метода такого простого перебор а может
не приве сти к успеху даже при использовании
машин. Однако , как правило , благодаря огром
ной быстроте действий машина может решать
соответствующие проблемы с помощью более
простых методов , чем те , которые потребова
лись бы для этой цели человеку. Поэтому со
ст авление программы дл я решения даже еди
ничной проблемы творческого характера может
оказаться более простым делом, чем непосред
ственное решение самой проблемы. В дейст ви-

ЧТО ТАКОЕ КИБЕ РНЕТИКА
ЭЦВМ «Киев».
Э ЦВМ «К ие в » . Экрв и визуального вывода информаци
и
,
"t,.,�f'
'
ТЕОРЕН� JОkАЭ�Нд,
Результаты решения формулы на машине•
•29Д.э.т.2
тельности же положение облегчается еще и тем ,
что составленная программа исп ользуется для
решения большого числа проблем од ного типа .
Возможности автоматизации творческих
процессо в не ограничиваю тся рамками одних
лишь точных наук . Уже сейчас , ногда кибер
нет ика делает только первые робкие шаги ,
проведены успе шные опыты по автоматиза ции
музык аJ1ьного творчества ; маш ины сочиняют
ст ихи (правда. пока еще плохие) , нграют в шах
маты и т. д. С 1\а ждым днем· перед автоматиза
цией . процессов творчества открываются все
новые и новые горизонты. Одна ко , разумеется ,.
далеко не во всех обл астях подобная автома
тизация TaJ\ необходима , как в процессах науч
ного твор чества.
Вряд ли сегодня практически не обходимо
автоматизироват ь литературное или музыкаль
ное творчество. Вместе с тем кибернетика уже
сегодня начинает приносить пользу , скаже м,
поэзии , внося в нее точные математические
методы исследова ния .
Особый интерес представляют взаимосвязи ,
суще ствующие между кибернет1шой и биоло
гией . Кибернетика дает в руки биологам новые
методы иссл ед ований . Униве рсальные элект
ронные циф ровые машины позвол яют модел и
ровать процессы эволюции и естественного от
бора, автоматизировать процесс определения
боле зней по их признакам, осущест влять моде
лирование механизма возникновения условных
рефлексов и других видов деятел ьности мозга
животных и даже мозга человека.
Биология в свою очередь снабжает к11бе р
нет1н;у новыми идеями, касающимис я постро
ения машин , которые в зн ачительно бол ьшей
степени прибл и зятся к свойствам мозга , чем
449

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
ныне существующпе машины . Возникло и ус
пешно развивается новое научное направле-,
ние-биони1'а.
Цель
ее - перенестп
В· технику многие интересные свойства живых
организА!ОВ . Особый интерес представляет
поразительная чувствител ьность
некоторых
органов чувств у отдел ьных животных , напри
ме р органа обоняния у собаки. Инте ресны так�
же спосо бы , с помощью ноторых нз относи
тельно �1алонадежных нервных клеток состав
ляется тана я надежная в целом управляющая
система , кан чел овеческий мозг .
Кпfiернетика непрерывно совершенствует
свою техн и чесную ба зу. На смену громоздюш
и ма лонадежным ламповым маш инам пришли
машины , испол ь зующие полупроводники и маг
нитные элементы . Успех и современной физию�
позволят сделать следующий шаг: перейти
к чре з вычаiiн о миниатюрным э.1
1
емента111 , нс
польз ующнм тонние пленки, твердые схемы
и другие элементы. Это позволит сделать ма
шины чре звычайно надежн:Ыми , малогабарит
ными , относительно дешевы:ми и простыми
в эн·сплуатации . Происх одит также неп рерыв
ное совершенст вование догичесно й струнтуры
ма шин , увеличение быстроты их действия и
объе ма памяти. Наряду с эт им разрабатываются
методы построения новых машин , копирующих
�50
че.1овек нrрает в
шахматы с м аш11ной.
не тольно функции , но и некоторые детали
внутреннего строения человеческого мозга.
На ба зе новых и новейших нибернетичесю1х
устройств 11 систем быстрыми темпами разви
вается автоматизация разл ичных видов ум
ственной деятел ьности человека. Автоматиза
ция эта захватывает все новые и новые области ,
возможности ее безграничны . У ряда буржу
азных философов и писателей успехи подобной
автоматизации вызывают опасения за будущ
ность человечества: не
·
будет ли человек пол
ностью вытеснен автоl\lатаl\lи? Одна�ю подо бные
опасения вознинают лишь в ре зу.1ьтате непо
НИl\lания занономерностей исторического раз
вития. В капиталистиче ском обществе действи
тел ьно происх одят подобные проце ссы: успехи
кибернетики 11 внедре ние вычислительных ма
шин приводят к бе зработице , 1' вытеснению
человека машиной. Однако виновата в этом
не киберне тика , а 1>апитализ111. В соц11алист11-
чес�>ом и 1>0111111ун11ст ическ ом общест ве, �>оторое
с исто рической неизбежностью приходит на
смену капитализJ11у , не может быть и речи о
вытеснении челове�>а машиной. Машины , ка
ки11111 бы совершенными они ни были, всегда
останутся верными помощниками чел овека , спо
собствуя неизмеримому расцвету материальных
11 дух овных с1ш челове ческ ого общест ва.

з.�ектронная вычислительная машина «Урал-2» (фото
вверху) в роли диаr и оста в Институте им. А . В . Вишневско
rо в Москве. С11мптомы излаrаются на перфорированной
кинопленке, которая закладывается в приемную часть
11аш11пы (фото внизу).
получив задан11е, машина молниеносно выдает ответ,
называя одну ищr нес1юлько бо11езней, имеющих тождест
венные симптомы.
•
Три "средппх"
1
Пусть а 11 Ь - произвольные положительные числа.
ТОГ;\8
а+ь
-Т- - среднее ар11фметическое чисел а и Ь,
V аЬ - среднее rеометрическое ч11сел а и Ь,
29*
ЧТО ТАКОЕ КИБЕРНЕТИКА
2аЬ
а + Ь - среднее rармоническое чисел а и Ь.
Убедитесь-сами, •1то:
а) Среднее гармоническое равно отношению
квадрата среднего геометрического к сред11ему
· арифметическому.
a-j-b
б) Если написать подряд: а, -2-
.
-, Ь,
то
обраауются три члена ар11фметнческой прогрессии.
в) Если написать подряд: а, У аЬ, Ь. то об
разуются три члена геометрической прогрессии.
г) Если взять числа, об ратные а и Ь, состав11ть
их среднее ар11фметическое, а потом снова Пt'рейти
к об ратному ч11слу, то пол учится среднее гармо
ническое ч11сел а 11 Ь .
д) Среднее ар11фметичес1>ое а и Ь 11е меньше
среднего геометрического тех же чисел, а послед
нее не меньше 11х средне го га рмони чес�;ого:
а+ ь> ,-> 2аЬ
�,_.
..
JаЬ,_.
..
а+ ь·
Докажите, что ра венство здесь возм ожно
110 при а= Ь.
толь-
2a/J
е) Если .написать подряд: а, а +
Ь
, Ь 11бук-
1
вам а, Ь придать значения а = k, Ь
�·
где k - любое целое положитель11ое 'JllCJIO, ТО
среднее гармою1•1еское чисел а н ь, т.
�аЬ
е. а+Ь'
1
примет значение ll+ 1, равное среднему чле11у по-
сле�оRательности:
1
1
1
k' k-/-l' k-1-2'
Последовательност ь такого вида называется
гармонической.
Следом за тремя членами атой последователь-
!
.
ности можно образовать четвертый •1.лен:
k+а,за-
-
1
тем пятыи:11-1-4ит.д.
Соединяя •1лены последовательности
« +» и полагая 11 = 1, получим •1исловой
1+�-1-. "-1-�+" . .
знаком
ряд:
11оторый называется гармо1ш•1еским .
Еще Лейбниц до1шзал, ч то сумма 1 + � +
+..
.!.
..
+...+..
.!.
..
бее1юнечно возрастает, ког да /1 н е-
3
·п
.
огранnченно растет. Зто озяа•1ает, что, гармо-
нический ряд расходи т с я.
Но если перед
членами ряда •1ередоват ь зна11и ±, то пол)· чится
сходящийся ряд 1-..
.!.
..
+..
.!.
..
-
..
.!.
..
+..
.!.
..
-
2
3
4
5
_..
.!.
..
+ .. ., С)'мма 11оторого равна натуральному
6
логарифм у ln 2 = 0, 6993.. .
ПусТ1> АС=а, ВС=Ь, АВ = а -j-
Ь
- диаметр
окружности; ОЕ l_AB, DCJ..AB. Тогда
01':=n+l1, СD=!гаЬ.
2
для изобра-
жения среднего
Е
гармонического
проведем допол
нительно OD и
CF 1 OD. тогда
в ы легко докаже-
2аh
те, что DF=a+ь,
а также, что (•D
•
=A
В
=OD·DF. Тем са
мымдополнитель
но будет установ
лено любопытное
соотношение меж-
ду тремя «Средними»: среднее геометрнчес�:ое двух
положите.1
1
ьиых чисел является средним геометри
ческим между их средним арифметическим 11 сред
ним гармоническим.
4б1.

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
Ra1t у;�"1н11я"'1ся ((хвост» у чнс.1а т: = З,14159285•••
Ва вилоняне (2-е тысячелетие до
н. э .) у,1овлетворялись значением r.-3.
Ег11птяне (2-е тысячелетие до
н. э.) считали, что " - 3,16.
Архимед (111 в . . до н. з .) предлагал
10
1
на выбор:37I<"<37·
С очень хоро шей точностью подоб
рался tc числу " китайски й астроном
Цзу Чун-чжи (V в.):
" - ��� � З,1415929.
Лудольф (XVll в.) имел терпени е
в ыяо11ть 35 десятичных знаков после
ЭаlJЯТОЙ у ЧИСЛа 1t,
с XVII.в ." нычисляют с 11омощLю
ч и слоных рядо в. Так было 11олучено:
в 1699 г. 72 десят11чных знака,
в 1719 г. 127 десятичных знаков,
в 18Н г . 208 десятичных знаков,
в 1853 г. 261 десятичн ый знак.
На 20 лет (с 1853 по 1873 г.)
растян улось у Вильяма Шенкса вычис
ление 707 десятичных знаков числа "·
В 1947 г. «хвост» Числа "вырос
до 808 правильн ых десятичных зна-
ков.
Не прошли м имо числа " 11 элект
ронные вычислители. с их помощью
было найдено:
в
июне 1949 г. 1120 десятич
ных знаков,
в сентябре 1949 г.-2037 десятич
ных анаков (за 70 часов действ и я ма
шины),
в яннаре 1955 г .- 3093 десятичных
знака (только за 13 минут),
в январ& 1958 г. -10 ООО десятич
ных знаков (за 100 минут).
в июле 1961 г. д. Шенкс ·и
дж. Вренч за программировали задание
электронной
машине:
вычислить
100 265 десятичных знаков числа "·
И электронный вы•1и слитель блестя
ще справился с задачей за 8 часоа
НАУКА О СЛУЧАЙНОМ
Обыдеи11ые представ.1ення
43 минуты (параллельно та же маш11-
на «выдала» стол ько же цифр и для
второй «Трансцендентной знамени
тости» - числа е).
Исследовав первые 16 ООО десятич
ных знаков числа "• ученые не обнару
жили «ненормальиостей» в распреде
лении мест , занимаемых каждой из 10
цифр . В этом «хвосте» любая щtфр а
(1,2,3,4,5,6,7,8,9,0)занимает
примерно 10% мест от общего чисда
знако в.
Наша повседне вная речь широко использует
слово «случай» и его производные - «случай
носты> , «случайный» и т. п. Каждый из нас
слышал и сам произносил фразы, подобные
следующим: <с Я случайно натолкнулся на ин
те ресную мысль» , «Тол ько случай помог мне
сегодня» , «Что за приятная случайность по
мо гла нам встретиться» . Всяк ий раз при упот
реблении подобных выражений в них вклады
вается один и тот же смысл: сл учайные события
пр оисходят крайне редко , представляют собой
нечто совершенно исключительное ,
идущее
вразрез с уста новившимся порядком веще й.
В обыденном представлении случайное проти
вопоставляется закономерности , является чем
то , что нарушает закономерный ход событий ,
нормаJiьное их развитие .
Hu так ли это на самом деле? Не упрощаем
ли мы такими предста влениями действитель
ность? Не лишаем ли мы себя существе нных
возможностей в познании явлений природы ,
а также процессов те хники и экономики, когда
считаем , что в мире господствует лишь строгая
закономерность определенного типа - каждая
определенная ситуация влечет за собой опре
деленные следств ия?
Мы сейчас на ряде примеров, заимствован
ных из окружающей жизни , убед имся в том ,
что множе ство важнейших явле ний существенно
зависит от случая и бе з учета влияния случай
ного не может быть полноценного их иссле
д ования. Мы увидим, что бе з учета влияния
случайных явления че лове1\ ст ановится бес
сильным направлять развитие инте ресующих
его п роцессов в жел ательном для него направ
лении. Мы узнаем далее , что случайные со бы
тия также подчинены своим особым законо
мерностям . Изучение этих закономе рностей -
задача нау1ш о случайном - теории вероятностей.
452

llрнмеры с.Jiучайных событий
Почти кажды ii пз нас пользуется телефо
ном-автоматом. Все мы прекрасно знаем , что
иногда приходится дол го ждат ь своей очереди ,
иногда же уд ается п озвонить без всякого ожи
дания. Иногда нужный номер занят , и нам
Иноrда
нельзя
позвонить и по
тому, что теле
фон находится в
ремонте.
не удается до звониться даже после нескольких
проб; иногда же соединение происходит немед
ленно , при первой же пробе. Все эт и колебания ,
изме нения условий использования телефона
не представляют собой ниче го необычного ,
хотя и носят случайный хара�пе р.
Известно , что при проведении измерений
не1\ото роii веш1чины один резул ьтат отличается
от другого. Не во змо жно , чтобы при проведении
нес!\олышх замеров все они дали абсолютно
тождественные результаты. Этот факт хорошо
известен :щспер11111ентаторам , и уже давно выра-
Семь раа отмерь,
один -отрежь, по
скольку при наме
рениях ты допус
каешь случайные
ошнб1<и.
НАУКА О СЛУЧАИНОМ
ботаны действенные меры для исклю чени я
случайных ошибок измерения . Каждый школь
ник , выполнявший измерения , св язанные с ф11з�1-
ческ имп или химическими опытами, знает ,
что для получения более надежного ре зул ь
тата опыт следует повторять нескол ько раз и
за лучшее прибл ижение к ист ине нужно взнть
среднее арифметическое из полученных чисел.
Мы снова столк нулись с влиянием случая в та
них событиях , ноторые систематичесн и выпол
няются многими тысячами людей в лаборато
риях заводов,· исследовательс1шх инст итутов ,
в больницах и в торговых организациях.
При страховании жизни , посевов, скот а,
имущества никто не может предска зать, что
сл учится в течение года с тем или иным за
ст рахованным , с тем или иным гектаром носl.'на
ил и домом. Может случиться , что с застре1хо
ванны111 лицом произойдет несчастье , посев
будет выбит градом или выжжен засух ой; ничто
не гарантирует нас от паде жа скота ил и по11\<1ра ,
в результ ате ноторого погибнет все имуще стuо .
Страховые организации при определении ра з
ме ров ст раховых взносов и стр аховых премий
в случае несчастий с застрахованным каJ\-ТО
должны учитывать влияние сл учая и в 1\ а1юii-то
ме ре уметь предсказывать долю тех застрахован
ных, которым придется выплатить страховую
премию. На этом всестороннем учете влияния
сл учая нак раз и построено все ст раховое дело.
••
•
··�"
············· " �.,
.,,,,,
Оказывается, размеры ступни взрослых людей по;1ч1111е11ы
строгой математической закономерности.
Когда предп рият ия обувной промыш:1ен
ности планируют ассо ртимент обуви для вы
пуска в предстоящем году , то ою1 не зап ра
шивают у возможных потребителей ,
1\а�ше
номе ра ботинок и в каком количест ве им по
требуются. Чтобы не полу чилось затоварив ания
обуви тех разме ров , которые не потребуются,
необходимо научит ься заранее рассчитывать
долю покупателей с тем или иным разме ром но г.
И хотя ни один ма газин не знает в лицо своих
понупателей и ни одно обувное предприятие не

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРIЩСКА3ЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
знает всех евоих нотребптелей , выпуск обуви в
общем хорошо удовлетворяет запросы населе
ния . Это о сновано на изучении разме ров ног.
О�>а зывается, здесь приходится иметь дело с
одним из законов сJ1у чая, который получил
название теоремы Лапласа - Ляпунова .
Советск ий Сою з с каждым годом расширяет
свою внешнюю тор говлю н в связи с этим еже
годно значительно уве.11ичивает количество
грузовых судов. Дл я лучше го использования
флота необходимо знать те закономерности,
которыJ11 подчиняется прибытие грузовых судов.
На первый взгляд 1.а жется, что зде сь нет ни
.ка1\оii задачи, та1\ .как прибытие и отплытие
судов заранее планируются и их движение про
исходит по строгому расписанию . Од нако в дей
ствнтельности зто далено не тан: в данный порт
прих одят суда 11з J11н огих портов мира, по пути
они поп адают в различные метеорологические
условия, кото рые существенно влияют на. сно
рост ь движения . Это обстоятел ьство вл ияет
на сроки прихода в порт назначения . Закуп 
ка то варов у иностранных фирм и иностран
ными фирмами у нас юшак не согласована
с график ом прих ода судов в порт. Поста вка
товаров в порт с ме ст производства та.кже под
вержена влиянию множества причин, ни одну
из �-;оторых заранее учесть не возможно . В ре
зуJ1ьтате граф111< прихода судов в порт дает
лишь оче нь cyJ11J11apнoe представление об истин
ноii �-;артине загруз1ш порта . Дл я приме ра
сю1;�-;ем, что в сент нбре 1962 г. нз судов; ноторые
ДOJliiШЫ были прийти по графину в Ленинград
скнй порт , не пришли совсем 17. Вместе с тем
прибыл и 22 судна, .которые не быJIИ заплани
рованы . Для того чт обы выяснить, насколько
хорошо действуют зде сь заноны случая, при
ведем не бол ьшую табл ичну , в которой укааан
фаи11че ский приход судов с так на зываемыми
генер ал ьными грузами в Оде ссу за конец ап
реля и май 1962 г. В первой строчке таблицы
указан о число судов, прибывших за сутки;
во второй - число ·суто1< , когда прибывало ука
аанное числ о судов, и, нак онец, в третьей при
ведены числа сутоl\, вычисленные на основании
те ории вероятностей, в которые должно при
бывать в порт ука занное числ о судов .
Ч11С.'IО судов в сутки
1о1 11
2
13
Фа1>т11ческое число суток 1 16 1 1
3
1101
3
Выч11сленное число суток /
15,5 1 15,5 1
8,6
1 2,4
454
Из табл ицы мы видим , что согласно за1шнам
теории вероятносте й должно быт ь 1.5,5 суто1>,
когда в порт не должно прийти ни одного суди<!
с генерал ьными грузами . Фаl\тически таких
дней было 16. За рассматриваемый период было
3 дня, когда в порт приходиди по 3 судна . Рас
чет показал , что таких дней должно было быт ь
2,4 . Рассмотренны й приме р пок азывает, что 11 в
работе флота должно учиты вать влияние случа я.
Зачем нуя1110 ю1у•1ат1.
СО11,·•1аА11ые яв.11е11ни
Приведе нные приме ры дост аточно убед и
тел ьно показывают, что с игрой случая прихо
дится считаться в большинстве видов чеJiо ве
че ской деятел ьности. Однако убедит ься в этом
еще не означает, что ст ановится ясной цел ь
изучения случайных явл е ниii . А ведь всегда
полезно видет ь, к чему следует стремит ься ,
что мо жет дать обще ству вновь приобретенное
знание . Мы постараемся выяснит ь этот во
прос на неснол ьких примерах .
Что может, с1.аже111, дать нам зна ние за1ю
но111е рностей случайного прихода судов в порт?
В первую очередь ясное предста вление о чнс.тrе
судов, с которыми придется иметь дело. А ;это
уже многое . Действител ьно, руновод итеJ1ь пор
та должен так организовать работу, чтобы нри
бывающне суда не простаивали в ожид ании
о свобождения причала для погруз1ш или вы
грузки. Скол ько нужно прича.11о в, если известен
молоко
о качестье ьceit прод)·кции можно судить 11 по малой ее части.
грузооборот порта? Если 111ы поступим чист о
арифметичесни , т. е. разделим 1ю.1:иче ст во пере
рабаты ваемых грузов на числ о часов в месяце
и число тонн, 1\ оторое в течение часа способны
переработать механизмы порта, то такой под
счет будет ошибочным . Ведь пр11 этом мы не уч
тем то1·0 обстоятельства, что моменты подхода
судов случайны . Современная теор ия вероят
ностей по зводяет произвести расчеты та�<, что

Распределен11е а втотранспорта на от�е.1 ьных у част1;а х шоссе
будут учтены многие случайные факторы : под
ходы судов, случа йные колебания длитель
ности обработки судна и пр. И при этом можно
добиться так ого положения, чт обы общая сумма
затрат на содержание ф.тюта и причалов была
минимал ьной. Таким образом, решение важной
экономическ ой задачи опирается на познание
случайных явлениii .
Когда мы ставим какой-нибудь эксперимент
или прои зводим наблюдения, то нас в первую
очередь интересует вопрос: сколько измерений
нужно произвести или сколько раз следует
поставить опыт, чтобы можно было быт ь уве
ренным в том, что по.ТJученный ре зультат она
жется достаточно точным? Поскольку наша
задача состоит в том, чтобы уменьшить влияние
случа йных ошибок пзмерениii, то для исклю
че ния влияния случая мы должны знать законы
случайных явлений .
Важное и часто вст речающееся в практи
че ской деятельности использование наших
знаний з акономерностей случайных явлений
проходит по такому пути: о составе большого
числа предметов судят по сравнител ьно неболь
шой пробе (или, как часто говорят, «выборке») .
Так, когда хотят составить представление о дли
не и крепости волокон хлопка, находяще гося
в кипе , то совершенно с.т�учайно выхватывают
из этоii кипы небо.т� ьш оii пучок (штапель) .
По результатам изуче ния длины и крепости
волокон, соде ржащихся в штапеле, судят о ка
честве во.т�окна во вceii кипе . Этот способ дает
прекрасные результаты . И исследование, про
веденное бук вально над до.ТJями грамма, дает
надежную основу для назначения последую
ще го техно.rюгичесного процесса, которому ·
должен быть подвергнут х.ТJопон этой партии.
Точно таким же способом судят о качестве бол ь
шой па рт ии зерна по небо.ТJ
J,
шой пробе, взятой
из этой партии наудачу . В основе этих широно
испол ь ::�уе111ых практичесюtх методов лежат
общие теоремы теории вероятностей, получив
шие название законов больших чисел .
При современном промыш.ТJенном производ
стве зачастую нет во зможности проверить ка
че ство каждого отдел ьного изде.Тiия, так кан
либо эт их изделий тан много, что на их испы
тание нео-бходимо потратить многие годы , либо
НАУКА О СЛУЧАЙНОМ
неравномерно . Оно подвержено сл у чайным колебан11 я м.
изделия таковы , что при испытании прих одят
в негодность. Поэтому испытывают лишь не
большую долю продукции и по ней судят о на
че стве всей парти и. Как следует выбирать так11е
доли продукции? Как много изделий при эт о�t
следует испытывать? Насколько точные резул ь
таты при этом могут быть получены? Все эт и
вопросы таковы, что на них может дать опре
деленный ответ лишь наука о случае . И прак
тика в наше время этим ответом очень широко
пользуется . Оказывается, что эти методы дают
превосходные ре зультаты, позволяющие эко
номить средства, материалы, труд и вре мя.
Как и все науки, наука о случае нача ла раз
виваться тогда, когда в эт ом появилась потреб
ность, когда задач11 практики уже не могли
обх одит ься выводами, сделанными на глаз,
а пон адобился точныii расчет . Пе рвые шаги
в создании теории вероятностей --: математи
ческой науки о случайных явлениях - были
сделt�.ны в се редине XVI I в., в эпоху зарождения
новd'й математики . По чти одно временно были
заложены основы анаЛ итической геометрии и
появ ились ростки, давшие вскоре э.т�ементы
дифференциал ьного и интегральнохо исчисле
ний - основы всей совреме нной математшш.
Этот бурный расцвет математики закономерен .
Он был вызван крупными сд вигам11 в общест в�н
ных отношениях : развитием торговли, промыш
ленного производства, мореплавания.
Пе рвые понят ия теории вероятносте й фор-
1\Ш ровались под вл иянием потребностеii стра
хования и азартных игр . Страхование в ту пору
получило широное распространение из-за не
прерывного роста мо рских сообщений и морской
торговли. Азартные игры зах ватили феодал ь
ную ве рхушку общества. Множество дво рян
искали в играх способ поправить свои дел а.
Наряду с большинством бездумных игроков ока.,.
зались 11 такие, которые стреми.т�ись подметить
в случайных ситуациях некоторые закономе р
ност1\. Один из страстных игроков, кавалер
де Мере, обратился с рядом возникших у него
задач к крупнейшему математику и мыслите.ТJ ю

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕ ДСКАЗЫВА ТЬ И УПРАВЛ ЯТЬ
:Когда-то азартн ые игры помогJJи
возни кновени ю математ ической теории .
того времени Б. Паскалю . Вот одна из них .
При четы рех l\ратном бросании играл ьной кости
что происходит чаще : выriадет шестерl\а хотя бы
р аз или же шесте рка не появится ни разу?
Посмотрим, как решается эта задача . При
бросании одной игральной 1\ост и может выпасть
одна из 6 граней . В .5 сл учаях из 6 выпадает
грань бе з шестерки. Если же мы бросим иг
ральную кост ь один за другим 4 раза , то воз
можных сочетаний вып авших граней будет
значительно больше . Действительно , при дву
кратном бросании кости числ о различных соче
таний вып адения граней при первом и втором
бросаниях уже будет 36 = 6 2 (они записаны
в таблице .1 ).
Табщща 1
(1,1) (1,2) ( 1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3, 1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4'1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5' 1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6, 1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
При бросании кост и трижды будет уже 63
различных сочетаний , а при четырехкрат
ном бросании может представиться 64 =1296
различных во3.1
1
10жностей. При скольких же
возможных исх одах ни разу не появится ше
сте рка? Из нашей табличю 1 видно , что из 36
возможностей при двукратном бросании кост и
468
в 2.5 сл учаях (52) шесте рnа не появится ни разу.
При 11етырехкратно111 бросании игральной кости
шестерка ни разу не появится в 5�= 625 слу
чаях . Отсюда вытеnает , что хотя бы раз при
4 бросаниях шестерnа появится в 1296-625 =
== 671 сл учае. Таюш образом , при четырех
кратном бросании играл ьной nости хотя бы
раз шесте рка появляется несl\олько чаще , чем
ни разу. Это открытие , согл асно восп оминаниям
современюшов, не бе з успеха было использо
вано кавалером де Мере .
Возникновение основных понятий теории
вероятностей и правил действ и я с нимн связано
с именамп математиl\ов XVI I в.- Б. Паскаля,
П. Ферма , Х. Гюйгенса 11 Я. Бернулли .
Те задачи, которые возникали на заре т е о 
рии вероятностей, сводились примерно к таким
сит уациям : при каждом испытаюш может по
явиться одно пз п одинаново возможных собы
тий . Интересующее нас событие А появляется
тогда , и тольnо тогда , когда происх одят опре
деленные т из них . Пример: при бросании
четырех костей возможны 1296 различных
состояний ; из них 625 таковы , что при наждом
из них ни разу не выпадает шесте рnа .
Числ о случаев, при ноторых наступ ает инте
ресующее нас событие А, дает нам средство
оценки того , 1> an часто оно может наступить
при реальных исп ытаниях. Однако та�.; ой спо
соб оценю� неудобен , и в науку было введено
следующее понятие : вероятност ью события А
назы вается отношение числ а случаев, при но
торых событие А наступает , 1\ числ у всех воз-
11ю жных случаев. Вероятност ь события А мы
·
обозначим символом Р\А j. Таким образом ,
по определению
Р\А)= �
п
В нашем приме ре вероятност ь того , что при
4 бросаниях 1ш разу не выпадет шестерка ,
равна :
Вероятност ь же того , что шестерка выпадет
671
хотя бы один раз, равна 1 29ti .
Рассмотрим теперь еще одну задачу , отно
сящуюся :ко вре111ени возникновения теории
вероятностей. (Расс:казывают , что с этой зада
че й обратился 1:\ Х. Гюйгенсу один из ландс
:кнехтов - нае111ных солдат .) При одновре111е нном
бросании трех игральных �>остей :каная сумма
выпа вших на них очков должна появляться
чаще - 11 или 12? Ландсн нехт за111етил , что

и та и другая сумма может осуществит ься
шестью раз.11ичными сп особами, а именно :
11=1+4+6=1+5+5=2+3+6=
2+4+5=3+3+5=3+4+4,
12 =1 +5+6=2+5+5=2+4+6=3+3+6=
=3+4+5 =4+4 +�.
Сл овами: сумма 11 может появ иться тоJ1ько
тогда , 1\огда или на одной из костей появляется
1,надругой4инатретьей6, илиит. д.Точно
так же 12 может появиться только тогда , когда
ил и на одной кости появ ится 1, на другой 5 ,
на третьеii 6, или и т. д.
Казалось бы , 11 и 12 должны появляться
одинаково часто , предполагал ландскнехт,
однако его долголетний опыт учит другому :
11 поя вляется не сколько чаще , чем 12. В чем
же здесь причина?
Мы уже знаем , что всех различных исходов
при бросании трех игральных :костей будет
216. Те перь задача состоит в том , чт обы под
сч итать число всех одинаl\ово возможных исхо
до в, при которых в сумме появляется 11 и 12.
Мы увидим при этом , что одинаковое число
ра зложений 11 и 12 на сумму трех слагаемых
еще не является достаточным основанием для
заключения равенства вероятностей этих со
бытий . Все дело в том, что не все эти суммы
одинаково часто встречаются . Так , все суммы ,
в :которых все три слагаемых разл ичны при под
счете числа во зможных исходов, должны быть
взяты с бол ьшим весом , чем остальные . Дей
ствител ьно , разложение 11 на сумму сл агаемых
1 + 4 + 6 может произойти шестью различными
способами: (1, 4, 6), (1, 6,4), (4, 1,6), (4, 6, 1),
(6, 1, 4) , (6, 4, 1). Мы мысленно нумеруем кости
и на первом месте указываем чис1'. о очков , вы
павших на первой :кости , на втором - на вто
рой кости и на третьем - на третьей.
Точно та к же суммы , в :которых два сла
гаемых одинаl\овы , например 1 + 5 + 5 , могут
осуществит ься лишь тремя различными спо
собами: (1, 5 , 5), (5, 1,5),(5, 5, 1). И , наконец,
сумма 4 + 4 + 4 осуществляется одним-един
стве нным способом: (4 , 4, 4) .
Если теперь учте м только чт о сказанное ,
то окажется , чт о число случаев, при :которых
в сумме появляется 11, равно: 6 + 6 + 6 +
+3+3+3=27,априкоторыхпоявляется
12, равно :
6+6+6+3+3+1=25.
Таким образом , получаем , что :
27
Р{11}= 216. '
Р{12}= }�"6 •
НАУКА О СЛУЧАИНОМ
Мы тепе рь же должны сказать, что расши
рение области применений те ории вероятно
стей убедительно показало недостаточность
т ого :классического определения вероятности ,
:к оторым мы пользовались, и установило не об
х одимость широкого его обобщения . Т акое
обо бщение сейчас уже произвед ено , и пока оно
удо влетворяет всем запросам :как практиков , так
и теоретиков . Тем не ме нее :классиче ское опреде
ление вероятности оказалось исключительно
полезным для современно го естествознания; оно
лежит в основе мно гих важных заключений.
Теоремы соJiожения
и умножения вероятностей
Прежде всего рассмотрим две важные фо р
мулы, :которые лежат в основе действий с ве
роятностями . Эти формулы носят название
теорем сложения и умножения вер оятносте й.
Пусть два со бытия А и В таковы, что при
:каждом ис.пытании мпжет появиться тольк о
одно из них или же ни одного , а вместе появить
ся они не могут . Такие со бытия называются
нес о в ме стными. Те орема сложения
утве рждает, что есл и А и В не совместны , то
Р{А или В} = Р{А}+ Р{В}.
Представим теперь себе , что со бытия А и В
таковы, что наступление одного из них не из
меняет вероятности наступления другого . Та
ниесобытияназываютсянезависимыми.
Для не зависимых событий имеет место тео рема
умножения , состоящая в следующем:
Р{А и В} = Р{А} ·Р{В}.
Рассмотрим для иллюстрации следующую
з адачу , с 1юто рой в настоящее время прихо
дится часто встречаться при организ ации про
и зводства. Ремонтный рабочий обслуживает
6 ме ханизмов , наждый из :кото рых не зависимо
от других может выйти и з нормал ьно г о рабо
чего режима и потребовать :к се бе внимания .
Вероятность выхода наждого из ме ханизмов
за период д лител ьности Т равна р . Чему равна
вероятность того , что за период длительности
Т из рабочего режима выйдет не более че!\1
2 механизма?
Вероятность того , что данный ме ханизм з а
весь период работы не выйдет и з но рмал ьного
рабочего состояния, равна 1 - р . По тео реме
умножения вероятность того , что все шесть
ме ханизмов проработают бл агополучно, рав
на (1-р)6•
457

МАТЕМАТИК А УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
Ве роятность того , что определенный ме ха
низм выйдет из но рмального состояния работы,
а остал ьные пять будут работать хорошо , рав
на по тео реме умножения р(1 - p)f' . Меха
низмом , потребовавшим внимания , может ока
з аться любой из 6 , поэтому ве р оятность того ,
Что и з строя выйдет только один ме ханизм (без
различно какой) , равна по теореме сложения
6р(1 - р)5.
Вычислим еще ве роятность того , что какие
-rо два ме ханизма выйдут из рабочего состоя
ния , а остальные четы ре будут работать нор
м ал ьно . С этой целью заметим, что по теореме
умно же ния вероятность выхода из строя двух
опредеJ1енных ме ханизмов и но рмальной рабо
-rы остальных четырех равна р2(1 - р)4 •
Но два ме ханизма из шести м ожно выбрать
с� = 15 различными спосо бами . Для каж
дого из них вероятность уже вычислена .
В результате по теореме сл ожения искомая ве
роятность равна 15р2(1 - р)4 •
Так как инте ресующее нас событие (�ыход
из нормального рабочего состояния не более
чем двух ме ханизмов) может осуществиться
следующими несовместимыми способами : все
ме ханизмы будут работать бе з отказно , отка
жет л ишь один ме ханизм , откажут в точности
два ме ханизма, то его ве роятность по теореме
сложения равна :
(1-р)6+6р(1-р)5+15р2(1-р)4•
Если, дл я примера, вероятность выхода ме
ханизма из нормал ьно го рабочего состояния
равна 0,2, то вероя'l'ность того , что за указан
ный срок:
все ме ханизмы будут работать нормал ьно ,
равна 0,262144 ;
только один ме ханизм выйдет и з строя,
равна 0,393216;
только два ме ханизма вы йдут из строя,
равна 0,245760 .
Таким образом , при указанн ых условиях
работы искомая ве роятность равна 0,90 112.
Допоо1
1
ните.1Jьные
11стор ические све,1J,ения
Конец XVI II и XIX век принесли м ноже
·с тво новых задач , связанных со случайны
м и явлениями . Пре жде всего бурное раз
витие астрономии, физики , химии , точных те х
нических 11зме рений со всей ост ротой поста-
4в8
в ило задачу построения теории ошибок изме 
рени й. Почти одновременно основы с овремен
ной теории ошибок наблюдений были созданы
двумя крупне йшими математиками - А . Ле
жандром и К. Гауссом. Далее , развитие воен
ного дела потребовало развития теории стрел ь
бы . Пока стрельба вел ась на малые расстояния
по видимым цел ям , задача прицела, например,
-----�>
При многократной стрельбе по мишени попадания выявл яют
определенную аакономерность.
совсем не могла даже возникнуть. Исключи
тельное значение для прогресса всего естество
з нания и науки о случайных явлениях имело
развитие молек ул ярных концепций в физике .
Создание кинетичес1ю й теории газов с особой
силой потребова ло систематического изучения
теории случайных величин .
Такие выдающиеся математики, как П. Л ап
лас, С . Пуассон, П. Л. Чебышев, А. М. Л япунов,
А. А. Марков , обогатили теорию ве роятносте й
рядом замечател ьных открытий.
Вместе с тем во второй половине X I X в.
стала все сильнее ощущаться необходимость
создания новой математической дисциплины ,
котораяполучиланазваниематематиче
екой статистини.Средипростейших
вопросов, которые о тносятся н ней , упомянем
лишь следующий. Допусти м, нам неизвест на
вероятность р случайного события А. К ак
оценить ее значение? С этой це лью произ водят
н е которое число п не зависимых испыт аний, в
каждом и з которых событие А появляется с
·неизменной вероятностью р , нам неизвестной .
Далее подсчитывают число появлений со бытия
А . Отношение этого числ а к п дает нужную
оценку.

В наши дни математическая статистина
приобрела особенно бол ьшое з наче ние . На ее
правилах и результатах основаны, в частно
·сти , методы анализа производственных про
цессов , текущий и приемочный статистический
к онтроль качества м ассовой промышленной
продукции , оценка наличия или отсутствия
· Сигнала на фоне шума и пр.
Закон бо.�
�
ьши х чнсеоJ
J
Мы ограничимс я здесь фо рмулировкой двух
теорем, пол учивших многочисленные теоре
тические и практические применения . Первая
из них была доказана Я. Бернулли и о пу бли
кована в 1713 г.
Производится посJ1едовательность незави
симых испытаний, в каждом из которых собы
тие А может произойти с одной и той же ве
р о ятностью р . Пусть среди пе рвых п испыта
ний событие А наступило в не которых т. Тогда ,
как бы мало ни было взято е>О,
Таким образом, если взять п достаточно
·большим , то вероятность неравенства /;- p/ >s
становится как угодно малой. А так как собы
т ия с малой ве роятностью имеют мало шансов
наступить, то мы видим , что при больших п, как
т
правило , отношение - будет бл изко к р .
11
Тео рема Я. Бернулли служит базой ДJIЯ
приближенной оценки неизве стн ы х вероятно
стей случайных событий . Длител ьные наблю
дения над рождениями устано вил и, что в сред
нем на каждую 1000 рождений приходится
511 мальчи1юв и 489 девочек. Отсюда делается
вывод , что ве роятность рождения мальчика
приблизительно равна 0,511. По ве роятности
рожде ния мал ьчика де лаютс я се рьезные про
г нозы о составе населения .
Все ст раховое де ло построено на оп ределе
нии статистическим путем (посредством тео
ре мы Бернулли) вероятно сте й различных собы
тий : сме рти лица определенной профессии в те
че ние о пределенного года его жизни, гибели
QT пожара дома, гибели посевов от града и т. д.
На этой базе рассчитываются страховые взно
сы. Эти расчеты оказываются настолько точ
н ыми , что страховые обще ства не разоряются ,
а приносат систематический доход .
НАУКА О СЛУЧАИНОМ
Вто рая тео рема доказана П. Л. Чебыше вым
в 1867 г. Доказател ьство Чебышева искJiючи
тел ьно просто и изящно . По своим математи
ческим средствам оно вполне доступно уча
щимся де вятого класса . Мы ограничимся фо р
м удировкой лишь частного сл у•шя те оремы.
Предположим, что случайная величина е
м ожет принимать значения х1 , х2 , •••, хп соответ
ственно с вероятностями РР р2, •••, р,, ( Р1+ Р2+
+. . . + Рп = 1). Средним значением (матема
тичес ким ожиданием) случайно й величины е
называется CYM\fa ме = Р1Х1 + Р2Х2 + ...+Рп Xn .
Представим тепе рь себе , что имеетс я по
следовател ьность независ имых слу•1айных ве
личин el.�2•.".�k ' ••. ' каждая из которых имеет
среднее значе ние , равное а, и все сл учайные
вел ичины ограниче ны некото рым числом с. При
этих условиях для любого s>O и меет место
не равенство:
Таким образом, среднее арифметическое не
зависимых случайных величин при большом
числе сдагаемых становится почт и постоянным.
Это обсто ятельство исключител ьно важно , оно
находит широное и разнообразное испол ьзо
вание на практике . Пусть , для примера, e k
есть результат k-го измерения некото рой ве·
личины а, лишенно го систематической ошибки
(наприм ер, постоянно й ошибк и и з ме ритель
ного прибора) . Закон больших чисел утве рж
дает , что дл я получения приближенного значе
ния измеряемой величИ: ны следует взять сред
нее арифметическое из ре зультатов измерений,
и че м измерений бол ьше , те м среднее арифме
тиче ское будет бл иже к изме ряемой величине.
В качестве другого приме ра рассмотрим дав
ление газа на стенну з аключающего его сосу
да . Это да вление есть ре зультат сумма рного
воздействия уд аров отдельных молекул о стен
ку. Число этих ударов в единицу времени и их
сила - дело случая . Таким образом, давление
в каждой части поверхности сосуда подве ргает
ся сл учайным колебаниям . Но так как дав
ление складывается из колоссального числа уда
ров отдельных частиц, то среднее арифме
тическое отдельных производимых ими давле
ний, согласно зако ну бол ьших чисел , практи
чески достове рно явл яетс я почти постоянной
величиной . Отсюд а выте кает, что давление га;�а
в но рмальных условиях (дл я не слишком раз
реженных газов) Jiиrnь ничтожно мало колеблет 
ся около некоторой постоянной величины . Но
это утверждение мы знаем из фи з ики под назва-

МАТ ЕМАТИКА УЧИТ ПРЕ ДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛ ЯТЬ
нием закона Паскаля. Таким образом, мы за
кон Паскаля получил и не как опытный факт,
а .как результат те о рии , .ка.к следствие из об
ще й те оремы те ории ве роятн остей, и з те оремы
Чебышева .
Заметим, что те орема Чебышева соде ржит
в себе теорему Бе рнулли .ка.к простейший ча
стный случай, .когда все случайные величины
могут принимать лишь два значения О и 1 ,
соответственно с вероятностями 1 - р и р.
Некоторые совреиенные
направ ..1
1
е11ив развития теории
в еровтиостеА
Основными понятиями , обогатившими со
временную те орию вероятностей, следует счи
тать понятия случайного, процесса, случайного
поля , информации .
Известно . что фи зика , химика , биолога и
те хника инте ресует в пе рвую очередь изучение
процессов , т. е . явлений, проте кающих во вре
мени. Так , при изучении химической реакции
или же в те хнологических проце ссах на хими
ческом предприяти и нас всегда инте ресует ,
.как при заданных усл овиях эта реакция про
те кает во времени , .какая часть вещества уже
вступ ила в реакцию , .когда практически реак
ция уже за.кончилась .
Предста вим себе , что мы задались целью
проследить за движением .ка.кой-либо молеку
лы газа или жидкости . В случайные моменты
времени эта молекула сталкивается с другими
молекулами , меняет при этом свою скорость
и направление движения. Ряд физических за
дач требует для своего решения умения вы
числять вероятности того , .как много молекул
успеет за тот ил и иной промежуток времени
передвинуться на то или иное расстояние . Так ,
например, если приведены в соприкосновение
две жидкости , то начинается взаимное проник
новение моле кул одной жидкости в другую 
происх однт диффузия. Как быстро протекает
процесс диффузии , по .каким З а.конам, .когда
образующаяся смесь газов становится прак
тически однородной? На все эти вопросы
дает ответ статистическая те ория диффузии ,
в
основе
.которой лежат
вероятно стные
расчеты .
Весьма важный .круг явлений происх одит
по принципу радиоактивног о распада . Это
явление , .как известно , состоит в том , что в
сл учайные моменты времени ка.кие-то атомы
460
радиоактивного вещества распадаются , пре
вращаясь в атомы другого вещества. Каж
дый распад происх одит подобно взрыву , с вы
делением неиоторой энергии. Если масса рас
падающегося веще ства не сл ишиом вели.ка
(меньше определенной величины, называемой
иритической) , то распады атомов, 1>аи показы
вают многочисленные наблюдения, происх одят
не зависимо друг от друга . Д.т�я изучения про
цесса радиоаитивного распа да весьма важно
определить вероятность того, что за определен
ный проме жутои време ни распадается то или
иное числ о атомов. Впрочем, в точности таиая
задача возникает в те лефонном деле , при про
ектировании пропускной способности мостов, в
те ории надежности , в эиономиие , в военном
деле , в те хниие . Неза висимо от ионкретного
воплощения, вопрос, 1> оторый посто янно воз
нииает , ставится так: каи велииа вероятность
того, что за определенный промежуток време
ни наступит не1>оторое число определ енных
событий (вызовов абонентов на те лефонную
ста нцию ; машин, 1>оторым требуетея пере сечь
мост; отказов элементов , из иоторых состав
лено сложное оборудование , и т. д .)? При весь
ма широких условиях искомая вероятность
может быть вычислена по формуле :
(Лt)k -ЛI
Pk(t) = -
k,- е
.
.
Здесь Р k (t) означает вероятность того, что за
промежуток времени t .произойдет ровно k со
бытий ; Л - постоянная , так называемая интен
сивност ь наступления событий , е = 2,71828 . . . ,
k!=1
.
2.3. ...·k.
В начале статьи была приведена неболь
шая табличка приходов судов в Одесский порт.
Нижняя строка таблички вычислялась иак
раз по этой формуле . Эта же формула широко
используется в физике для подсчета числа кос
мических частиц , попадающих на определен
ный участок земной поверхности за время t.
Она же служит для вычисления числа ламп
в эле ктр онной вычислительной машине , иото
рые перегорят за срои t. Эта формула дает
преирасное совпадение с фаитиче сии наблю
даемым числом вызовов на телефонной станции .
Рассмотрение задач естествознания не с
точки зрения .качественного, а с позиций их
количественного изучения привело к формиро
ванию понятия случайног о процесса . Пе рвые
идеи в этом направлении были выс1>азаны био
логами и физиками еще в .конце прошлого вена.
Более определенную форму они принял и в ра
ботах физиков А. Фокке.р а и М. Планка. Одна-

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ТЕОРИИ НАДЕЖ НОСТИ
ко точное определение и начала теории впер
в ые были построены А. Н . Колмогоровым и
А. Я . Х инчиным. Первому из них принадле
жит заслуга в со зда нии основ так называемых
марковс1\11х
процессов,
второ
му-стационарных
процессов.
На базе этой теории строятся далеко идущие
заключения в физике , химии , аэродинамике , ра
диотехнике , биологии, геофизике и экономике .
Теория ве роятностей - наука о случайных
явлениях - в настоящее время находится на
крутом подъе ме . К ней теперь обращаются и
физики, и астрономы , и экономисты , и лингви
сты . Без нее не может быть глубо1юго позна
ния процессов образования помех при радио
вещании , правильного расчета организации
производств а , создания рациональных спосо
бов приема больших партий продукции , рас
чета запасов и средст в обороны .
Прогресс теории ве роятностей и ее примене
ний требует непрерывного пополнения творче
ски работающих в ней математиков способной
молодежью . Несомненно , среди читателей Дет
ской энциклопедии будет и та часть молодежи,
1ю торая даст новых Лапласов и Чебыше вых .
•
Cкo.i
i
ыto 1н.1 6 в оаере?
Рыбо110;1)· понадобилось 011 ределить, сколько
R оаере рыб, го;\НЫХ для уло ка. Следуя рекомендации
Тf'ории Вt'роят1юсте й, рыбовод забросил сеть с за
ранее выбранным раамером ячеек и, кытащив ее, пе
рl'считал добычу. Рыб оюшалось :JS. Сделав пометку
на каждой рыбке , рыбокод 11се х их 11ыпустил в озеро .
На другой день он ош1ть забросил ту же самую
сеть и теперь вылоиил )· же 53 рыбки, две из ко
торых 01шзат1сь мечеными. По зтим данным ры 
бовод и вычислил приблизительно количество рыб
в озере , годн ых для улова да1111ой сетью.
К како му реаультату приш ел рыбовод?
Реше11ие настр.471.
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ
ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Зачем 11 ужиа теори я
надежности
Известно , что истою� каждой нау1ш JI Сжат
в запросах практики, в тех задачах , которые
выдвигает перед человечест вом жизнь . Ра зв и
тие обще ства , научные открытия , прогресс
'
тех
ники и экономики непрерывно выдвигают но
вые задачи , требующие дл я своего решения
новых методов и приемов . В ре зул ьтате каждое
поколение должно постоянно продвигаться впе
ред и нинак не может ограничиться теми зна
ниями и умением , которые достаJiись ему от
прошлого .
Одним из наиболее харантерных направле
ний развития современной техники 11 эконом и-
1ш, а также многих областей науки являет ся
не только автоматизация отдельных операций
и целых производст венных процессов , но и ав
томатизация самих процессов уп равления. А п
паратура, которая испол ь зуется дл я этой цели,
усложняется с каждым годом. Это вызвано в
пер вую очередь тем, чт о на такие устройства
возлагаются все более и более ответственные за 
дачи . И нужно признать, чт о бе з таного усJiож
не ния не был и бы возможны многие поразитеш,
ные успехи, дост игнутые за последние годы .
Так , бе з сложных систем дистанционного
управления было бы немыслимо наладить эн
сплуатацию атомных электростанций ил и осу 
ще ствит:�. та1ше небывалые операции , 1\ аК фо
тографирование обратной
стороны Луны .
А какие колоссальные и сл ожные вычисJiения
п р оизводят быстродействующие электронные
вычислительные машины! Но здесь во зюшаст
явное противоречие : че м сложнее та�ше управ
ляющие устройства, тем выше п р едъявл яемое
к ним требование надежности , т. е. способно
сти совершенно бе зотка зно выполнять свои
функции .
Действит ельно , нетрудно представить себе ,
что произойдет , .если откажет система управ
ления и ли се рьезно изменится режим ее работы
на атомной электростанции ил и в автобло1шровке
на желе зной дороге : могут погибнуть не толыю
материальные це нности, но и люди . Оп\аз
автоматиче ского управления нрупной энерго
системы приведет 1\ тому , что парализованной
окажется пром ышленность того или иного рай
она , бе з элек троэнергии останутся водонапор
ные станции , транспорт , лишатся света боJ1 ь-
461

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
ницы и школы . А есл.и ненадежное устрой
ство управляет большим химическим про
изводством? Ведь никакого управления хими
ческими реакциями фактически не будет.
В ре зул ьтате получится продукция низкого ка
чества , понизится вых од готового продукта
из исп ользуемо го сырья и может создаться
взрывоопасная ситуация . Изве стны случаи ,
когда на совершенных по инженерному замыс
лу автоматических линиях из-за плохого
управляющего оборудования наруш ается техно
логиче ский режим . В ре зул ьтате изготовляется
нестандартная продукция , требующа я ручн ой
доделки.
Но не только для автоматизации производ
ственных процессов или запуска космиче ских
кораблей нужна высокая надежность аппа
ратуры . С требова нием высокой надежности мы
ст алкиваемся повсюду . Самолеты должны ле
тать без аварий и послушно выполнять во.Л ю
пилота , автомобил и - бе зотк азно перевозить
грузы и пассажиров, ста нки - обрабаты вать
изделия с з ада нной точ-ностью , искусственное
сердце или искусственные почки - бе зупречно
выполнят ь свои функции во время сложнейших
операций .
К сожалению , еще далеко не все изделия
обладают той надежностью , которая необх о
дима . Иногда покрышки для автомобил ьных
колес выходят из строя сл ишком скоро и мно
гие автомобили стоят бе з движения : их не
во что <ю буть» . Из-за поломки тех ил и иных ча
стей у нас в стране простаивает около 40 % гру
зовых автомобилей . Этим наносится огромны й
111 атериал ьный уще рб народному хозяйству -
ведь для ремонта автомобилей нужно строить
заводы запасных частей, авто ремонтные за во
ды , затрачивать рабочую силу, материалы и
средства .·
.
Особенно высоки требования к надежности
той аппаратуры , которую трудно или не воз
можно исправить. А такой аппаратуры теперь
в распоряжении человечества уже много и бу
дет все бол ьше , как MJ>l об этом уже говорили.
Чтобы предста вить себе сложност ь совре
менной аппаратуры , рассмот-рим этот вопрос
лишь с чисто арифметической стороны , не
вдаваясь в технические детали. Современная
электронная вычисл ительная машина , произ
водящая огромные вычислительные работы ,
решающая логические задачи -· перевод с од
ного языка на другой ,-управляющая процес
сами автоматизации различных производств ,
сложное устройство . В ней многие тысячи дио
до в и триод ов , конденсаторов , сопротивлений,
482
элементов памяти (ферритовых кош�.че к) , под
водящих проводов и пр . Каждый из составляю
щих элементов неабсолютно надежен и имеет
положительную вероятность выйти из строя
в любой промежуток времени.
Для того чтобы такое сложное оборудование
действовало, необходимо каждый элемент под
де рживать в рабочем состоянии . Представьте
себе , к чему может привести отказ одного
единственного элемента , например обрыв под
водящего провода в работе автопилота , уста 
новленного на самолете , управл яемом по ра
ди о!
Вот почему так важно заранее , до выпуска
массовой продук ции, научиться р а ссчитывать
ее надежность, а такще выбирать из различ
ных вариантов какого-нибуд ь устр ойства тот ,
кото рый будет обладать наибол ьшей надеж
ностью при сохранении прочих необходимых
качеств. В этих расчетах обойт11сь бе з мате111а
тиче ских .методов не во зможно . Вот почему в
теории надежности математика занимает зна
чител ьное место .
На ряде примеров рассмотрим типпчные
задачи теории надежности и в общих чертах -
те математические средства , которые испол ь
зуются при их решении .
1'1атеиатнка поиоrает
конструктору
Первая задача , с которой встречаются в
теории надежности, состоит в следующем: ап
паратура , как правило, выходит из рабочего
состояния из-за отказа (т . е. из-за порчи) ка
кого-нибудь соста вляющего ее элемента . Ск оль
ко времени проходит от момента включения
элемента до его порчи? В этом вопросе не мо
жет быть однозначного ответа . Многочислен
ные наблюдения и специал ьные испытания
показали, что да же у изделий , изготовленных
одновременно в одной партии, время службы
далеко не одинаково . Взятый наудачу из про
дукции , изготовленной одним рабочим за сме
ну, полупроводниковый диод ил и конде нсатор
может проработать 11 нескол ько де сятков тысяч
часов 11 только какую-нибудь сотню ч асов. Речь
может идти не о точном предс1>азании числа часов ,
.которое проработает элемент , а лишь о ве
роятности F(t) того , что он проработает не
меньше t единиц времени. Хотя дл я разл ичных
категорий элементов функцшr F(t) имеют р аз
личны й вид , все же есть и общие че рты поведе
ния . Прежде всего в начале работы вероят-

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
ность выхода из рабоче го состояния повыше
на; далее , после окончания этого периода (пе
риода прир аботки) наступает более или менее
дл ительный период стабильности , когда ве
роятность отказа за единицу времени остается
неизменной; наконец наступает период старе
ния, когда вероятность порчи быстро возра
стает .
Важно отмет ит ь, чт о если дл я отдел ьных
элементов закономерности распределе ния от
казов весьма сложны , то для систем, состоя
щих из большого числ а элеме нтов , удается вы
вести общие и простые закономе рности . Пред
положим , что каждый испортившийся элемент
немедленн·о заменяется новым . Пусть интере
сующий нас аппарат состоит из очень боль
шого числ а элементов , наждый из которых ред
но выходит из рабочего состоян ия по сра вне
нию с отказами хотя бы одного из остальных
элементов , и отка зы элементов независимы друг
от друга . В этих предположениях дока зывается
следующа я важная теорема: вер оятность того ,
что за пр омежуток време ни t пр оизойдет п
отказов , пр иближеппо р авпа:
(Лt)n -лt
Рп(t)= -
1е
(п=О,1,2,... ),
п.
е;:
::
::
::
:
2,7182 . . . , а Л означает по ложительное чи
сл о, не зависящее от t. Физический смысл чи
сла /, очень прост - это среднее числ о отказов
с псте11rы в единицу времени.
Чтобы иметь возможность заранее рассчи
тать надежность изделия , нужно знать надеж
ность тех элементов , из которых оно будет
изготовлено . С эт ой цел ью на за водах устраи
вают испыт ания и по ре зультатам испытаний
делают заключение о качестве элементов . Вы
бор тех вел ичин , которые должны быть оценены
на основании испытаний ,- условия, в кото
рых следует пропзводить испытания, а также·
точность, которую нужно получит ь в резул ь
тате пспытан:ий , не могут быт ь назначены про
извол ьно ; они должны определяться физиче
сюши и техническими соображениями. В ка-
1шх условиях придется работать издел ию , как
долго оно будет находиться в тех или иных усло
виях? Все это должно быт ь задано либо кон
структором , либо эксплуатационником . Задача
математика состоит в выработке плана испыта
нпй: сколько изде лий нужно испытывать, в
тече ние ка.кого срока, следует ли отказа вшие
во время испытаний изделия заменять на новые
иш1 нет? Далее , математик должен на основа
нии испытаний выявить наличие связей
между теми величинами , которые интересуют
практика . Математик же должен ук азать и тот
ме тод , которым следует поль:юваться для об
работки ре зул ьтатов наблюдений, а также сде
лать выводы из этой обработки.
Пусть, дл я примера , нам известно , что функ
ция F ( t) , введенная в начале этого раздела , за
дается формулой: F ( t) = е-Лt, где Л - неотри
цательная постоянная. Требуется оценить не
известную величину Л на основании испытаний.
С этой задачей приходится часто встречаться
в реал ьной обстановке , поскольку к этой функ
ции неи збежно приводит тот общий ре зультат ,
который был сформул ирован в теореме об от
назах сложной аппаратуры.
Среди многих планов испытаний на надеж
ность, предложенных к настояще l\lу времени ,
мы укажем лишь один: на испытание ст авится
N о динаковых изделий , от казавшее И3делие
немедленно
заменяется новым , испытания
производятся до получения r отказов (напри
ме р, r = 5 или 8) . Какие величины необхо
димо заl\lерять для возможно лучше й оценки
неизвестного Л ? Математическая статистика
учит , что для этой цели достаточно измер ить
лишь момент наступления r-го отка за . Если
он прои зошел в момент t ,, то лучше й оценкой
для 'л будет чисJiо
�
r-f
л-
-
--
-
-
Nt7 •
Если же 111ы отметим дополнительно момент·
первого , второго и последующих по порядку
отк азов ( t1 <t2< ...<J,) , то это дополнител ьное
знание не улучшит оценки величины Л.
Понятно , что испытания нужно произво
дить и для того , чт обы наблюдат ь за ходом
•производства и за сох ранением устойчивости
параметров (величи н) , определяющих качество
изделий.
Реаервнрова11не 11 надеJкность
В природе нет абсолютно надежных элемен
тов и издел ий. Каждый элемент , на к бы совер
шенен он ни был , со вреl\lенем теряет свои
свойства . Получе ние элементов сверхвысокой
надежности часто либо вообще недоступно су
ществующему уровню техники , либо требует
таких больших расходов, что они уже не могут
быть опра вданы . Прих одится дл я повышения
надежности издел ий идти другими путями.
Один из самых распространенных путей повы
шениянадежности-путьрезервиро
в а н и я. Сущность резервирования состоит
463

МАТЕ МАТИКА УЧИТ ПРЕ ДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛ ЯТ Ь
Реаеркиро иаю1е с целью повышения надежности 11спольаовали
еще воииы Чингнс-хаиа.
в том , что в систему вводятся И3быточные эле
менты , узлы и даже целые агрегаты , которые
вI>лючаются в работу по 11i epe выхода из рабо
че го состояния основных элементов (узлов,
агрегатов) .
Так, на желе знодорожных станциях стоят
резервные тепловозы , готовые в любой момент
сменить не исправный рейсовый тешю воз; на
нрупных аэродромах есть резервные самолеты ;
н а нрупных эле ктростанциях - ре зервные гене
раторы : они не дают тока в сеть, но в любоii
момент могут заменить выбывший из строя
генератор .
Одна из элементарных задач, которую мы с11ю
жем немедленно решить, состоит в следующем.
В системе имеются элементы определенного
типа; в работе должно постоянно находит ься
п элементов .
Как изменится надежность
устройства, если , помимо п основных э.лемен
тов , в нагруженном резерве (т . е. в таном же
состоянии , в каI>ом находятся работающие эле
менты) находится еще т элементов? Если через
р обозначить вероятность того , что данный
элемент не выйдет из рабочего состояния в те
чение необходимого нам времени , то вероят
ность того , что ни один из п элементов за этот
С.лучвй иый отказ может наступить в любой момент, и потому
к встрече с 11им 11уж110 подготовиться аара11ее.
464
срок не выйдет из строя , по теореме умножения
вероятностей равна p n
.
Это ве роятность .без
отказной работы системы элементов, если от
сутствуют резервные элементы . Пусть те перь
в системе имеется т резервных эл ементов .
В силу теоремы сложения ве роятностей вероят..,
ность того , что в течение времени t в системе
будет сохраняться не менее п испра вных эле
ментов , равн а1:
ni
.
.
� cn+1 pn+
•
(1 )m-i
.t:
:.
.J
т
+п
-Р
•
i=O
Рассмотрим простой: схематическ ий число
вой пример.Пустьп=4, т =1,р =0,9.
Нетрудно подсчитать, что вероятность бе зот
казной работы системы без резерва равна
0,6561 , а при одном ре3ер вном эле менте ст а
новится равно й 0,9185. Если бы наша система
имела не один , а два резер вных элемента , то
вероятность ее безотказной работы поднялась
бы до 0,9841 . Мы видим , что даже небол ьшое
число .Резервных элементов ре з1ю увеличивает
надежность системы . Вот почему тольно один
резервный генератор на элентростанцни почти
полностью иснлючает возможность ре зного
уменьшения выработюr эле!\ троэнергии .
Вопросы резервирования ст ановятся более
инте ресными и в мате матичесном и в прантиче
сном отношении , 1ю гда учитывается дополни
тельное обстоятел ьст во - восстановление вы
шедших из строя элементов. В де iiствител ьно
ст и, кан только эле мент выходит из рабочего
состояния, его тотчас начинают ремонтировать
(восст анавливать) . Тан , на вышедшем из ст роя
генераторе либо сменяют пробитую иснрой
обмотку , либо обновл яют другие части.
Среди множества вопросов, связанных с ре
зе рвированием, отметим сейчас толы<о оди н:
как много элементов необходимо иметь в ре
зер ве , чт обы добиться заданной надежности
системы? Этот вопрос во зюшает постоянно в
самых разнообра зных областях тсхни�ш. Дей
ст вител ьно , дл я уверенной энсплуатации си
стемы управления нужно знать, накие ее ;.у злы
необходимо зарезервировать и 1\ 31\ова должна
быть нратность резервирования . Подобные же
задачи возникают и при расчете резерва гене
раторов на элентростанции , и п ри оснащении
носмических корабл ей, несущих в носмос ис
следователей 11 приборы .
1 Это выражение является кра·пю й записью сум
мы т + t слагаемых , каждое из кото рых предста вляет
собой выражение , стоящее под знаком �. где вместо i
нужно последовательно подста вить числа нату раль
ного ряда ОТ о ДО т включитслыю.

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Ре.асрви рова11ие до.Jiжно быть
дКОllОИНЫИ
Как мы говорили, резервирование требует
введения в систему избыточных элементов, а
значит , увел ичивает ее объем, стоимость и
ут яжел яет ее . Все эти моменты весьма суще
ственны , особенно для аппаратуры самолетов ,
космических кораблей, для приборов, кото
рые предназначены дл я вживления в орга
низм (различные стимуляторы, например сти
муляторы сердечной деятельности) , для аппа
ратов , используемых в послеоперационный пе
риод , слуховых аппаратов и пр . В такого рода
аппаратуре необходимо экономит ь буквально
каждый грамм веса и каждый сантиметр объ
ема . В связи с этим возникает новая инте рес
ная задача : найти такое резервирование , при
котором с11стема оказывается максимально
наде жной при ряде дополнительных условий :
вес аппаратуры , ее объем и стоимость не долж
ны превышат ь заданных размеров . Так , для
примера , если ст оимост ь блока i-го типа равна
С;, общее число блоков равно т и п 1 - число
блоков i-го типа в резерве , то стоимость резер-
m
ва равна � n ; C ;. Если С0 означает ту макси-
•=!
мал ьную сумму , которую можно отпустить на
резервирование , то усло вие , которое наклады
вается на искомое решение , состоит в следующем :
т
� n1C1�Co.
i=I
Математическая особенность поставленной
задачи состо11т в том , что мы ищем решение
среди целых положительных чисел п 1 •
При конструировании новых изделий и при
расчете возможных улучшений прежних исклю
чительно важно знать, какое влияние на общую
надежность системы оказывает тот или иной
эле.мент , тот или иной блок . Это знание позво-
Фокус - е1
1
о г11ческая задача
П рнrотовьте 3 ящика , 3 белых
шарика и 3 черных шарика. Положите
в перв ый ящик 2 белых шарика и на
клейте этикетку «Б-Б» ; во второй
ящик положите 2 черн ых шарнка
н н аклейте
этикетку «Ч-Ч» ; в
третий ящик положите бел ый н
ч ерны й шарики и наклейте этикетку
ое( Б-Ч�)о.
Уйдите · 11з комнаты, а ребятам
предложите заионо разместить шарики
по два в каждый ящик так, чтобы все
этикетки неправильно указывали со
держимое ящиков. Пусть ребята при-
•30д.э.т.:!
. 11 яет уве ренно направлять исследо вателя на
поиски новых , более наде жных элементов. Но
какие элементы не обходимо в пе р вую очередь
улучшать? Очевидно , те , которые ма ксимально
улучшают надежност ь системы . Здесь, I{ a K это
ни кажется парадоксальным , может случиться ,
что сравнительно ненаде жные элементы будут
оказывать относительно малое вли яние на на
дежност ь системы в целом, и нужно улучшать
в первую очередь уже весьма надежные эле
менты . Как это может быть? Очень просто : мо
жет случиться , что надежных элементов в систе
ме очень много , а менее надежных - лишь еди
ницы . Для пояснения этого ут ве рждения при
ведем числовой пример . Пуст ь в интересующе й
нас системе имеется шес�- ь элементов пе рвого
типа и один элемент второго . Надежност ь эле
мента первого типа равна 0,9, а второго -
0,8. Надежность все й систе мы , в силу теоремы
умножения ве роятносте й, равна 0,96 ·0,8. Легко
подсчитат ь, что увеличение надежности эле
мента второго типа на 10 % увеличит надеж
ность системы только на 10%. Увеличение же
надежности элемента первого типа только на
6 % увеличит надежност ь систе мы почти на
40 %. Этот небольшо й подсчет очень поучите
лен и показывает , как важно инжене ру, физи
ку и конструктору уметь пользоваться мате
матическим аппаратом . Такой подсчет может
направит ь мысль исследователя в верном на
правлении , может показать, где таятся не
поладки конструкции .
Мы затронули лишь не которые вопросы
новой науки - теории наде жности . Очевид но ,
многим из наших читателей придется в буду
щем вплотную заняться задачами теории надеж
ности и развивать ее в разных направлениях -
и � обретать новые , более надежные элементы ,
со здавать новые надежные схемы , разрабаты
ват ь методы исследования и доказыват ь новые
общие теоремы этой теории.
•
кроют ящики , чтобы вам, когда вер
нетесь в комнату, б ыли в идны только
этикетки , но не шарики.
Теперь , в ытащив только один
шарик из какоrо-то одного ящика,
вы беретесь точно определить , какие
шарики н аходятся в каждом ящике.
Но если хотите удачи, то , разу
меется, вам н адо сначала обдумать ,
на какого ящика вы должны вытаски
вать шарик и как надо рассуждать,
чтобы, зная цвет вытащенноrо шари
ка, точно установить, какие шарики
находятся в каждом ящике.
465

МАТЕ МАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
Кто св.�1ы1ее ?
Борис ваялся за одни конец кана
та, а Аркадий и Николай вместе - аа
другой. Перетянул Борис, хотя и
с большим трудом .
местами, как победу одержала пара
Влади мир и Аркадий .
К огдв с одной стороны встали
Борис и Аркадий , а с другой Вла
димир с Николаем , то ни та ни дру
гая пара не смогла перетянуть канат
на свою сторону. Но стоило толыш
Николаю
и
Аркадию поменяться
По нашем у убеждению, основан
ному на точных рассуждениях, самый
сильный на атих четырех друзей -
Владимир, следующий по силе - Бо 
рис , а на последнем, четвертом ме
сте - Николай. Тот из ч итателей ,
кто согласен с нашим заключением ,
тоже должен уметь обосновать его .
ТЕОРИЯ И ГР
Чеи запинается теор11я 11гр
Что такое теория игр?
Это - математическа11 теория
конфлик-
тов.
А что та:кое :конфли:кт ?
Это - та:кая ситуация (положение , стече"
ние обст оятел ьств) , в :которой ст ал:киваются
интересы стор он , происходит борьба интере
сов. Каждый из участни:ков хочет чего-то свое�
го, не того, чего хотят другие.
Самые простые примеры :конфли:ктов - это
игры (шаш:ки , шахматы , различные спор
тивные игры) . Они отличаются тем , что ведутся
по определе нным правилам . Правила игры -
это систе м а условий , у:казы вающих , :ка:кие воз
можности пред оставляются игро:кам (перечень
возможных ходов) ; :к :ка:кому результату (вы
игрышу , проигрышу) приводит :каждая данная
сово:купность ходов.
Дале:ко не :каждый встречающийся на прак
тике :конфл и:кт проте:кает по правилам. Чтобы
сделать возможным математичес:кий анализ
конфликта , нужно представить :конфли:кт в
иг·р овой форме , т. е. у:казать стратеги и (об
разы де йствий) , возможные для участников , и
уточнить, :к :ка:кому ре зультату приведет игра,
если :каждый из игро:ков выберет определен"
ную стр атегию . Та:ким образом , игра есть :кон
фликт с че т:ко сформулированными условиями.
«ре зул ьтата игры)) нужно говорить о с р е д
нем результате,т.е.о результате,
прих одящемся в среднем на одну партию игры ,
если будет сыграно достаточно бол ьшое коли
чество партий . Действительно , в одной партии
может случайно «пове зтю> и игроку, применяю
щему явно неразумную стратегию . Если же
партий будет много , то в с р е днем выиг
рывает тот , :кто ведет себя разумно .
Когда мы говорим о результате , или сред
нем результате , игры , то предполагаем , что этот
результат выражается определенным ч и с л о м.
А всегда ли это бьiвает та:к? Не всегда . Напри
мер , в шахматах мы не всегда выражаем
результат числом, а просто говорим : вы
игрыш, проигрыш , ничья. Но ведь можно
условиться и перевести их в числовую форму ,
например выигрышу приписать значение + 1,
проигрышу -1 , ничьей О.
Мы будем предполагать, что в любом кон
фли:кте выигрыш (проигрыш) :каждого из игро
:ков выражается числом. Тогда основную зада
чу теории игр можно сформулировать так :
как должен вести себя (какую стр атегию при
менять ) р азумный игр ок в конфликте с р аз ум
ным пр отивником ( ил и пр отивниками) , что
бы обеспечить себе в ср еднем наибольший воз
можный выигр ыш?
Пар 11ая 11гра с 11y.i1eвon с уи11оn.
Цена и гры
Часто бывает та:к , что ре зул ьтат :конф.Ji:и:к-
Если в конфликте участвуют две ст ороны ,
та - даже при вполне опреде ленных ст рате- игра называется п а р н о й, если несколько
гиях участ1:1иков - предс:казать в точности м н о..Ж е с т в е н н о й. Парные игры проще
нельзя , так :ка:к он зависит от случая . Такими множественных и имеют большее практическое
случайными обстоятельствами , вмеmиваюtци-
.. значение . Мы ограничимся толь:ко Парными
мися в ход игры , могут быть, например , та- играми .
совка и сдача карт , попадание или непопада-
Каждую игру будем рассматривать :ка:к
ние в цел ь при стрельбе и т. п. Тогда вместо :конфликт между двумя игроками: К («кр а е-
466

вые») и С («синие ») . Для удобст ва рассуж
де ний , чт обы имет ь какую-то определенную
точку зрения , буде м обычно ст ановиться на
сторону одного из игроков (пуст ь это будет
К) и говорить о нем «мы», а о другом - <шро
тивнию>. Это не означает , что сторона К будет
иметь какое-нибудь реальное преимущество .
Просто нам так будет удобнее .
Играназываетсяигрой с нулевой
с умм о й, если одна сторона выигрывает то ,
что проигрывает другая , т. е. сумма выигры
шей К и С равна нулю . В жизни часто встре
чаются конфликты , в которых это условие не
соблюдается . Например, в военном ст олкнове
нии вполне во зможно , что проигрывают обе
стороны . Однако во многих случаях можно , не
слишком искажая сущность явления ,
рас
сматривать парные конфликты как игры с ну
левой суммой.
Итак, допустим, что интересы К и С стро
го противоположны и что сумма выигрышей их
равна нулю . Это будет для нас очень удобно
в вычислительном смысле . Еще бы! Ведь если
выигрыш К равен по величине и противополо
жен по знаку выигрышу С, то можно рассмат
ривать выигрыш только одного из игроков:
выигрыш другого определится автоматически .
Давайте выберем в качестве выигрываю
ще го игрока К. Игрок К заинтересован в том,
чт обы обрэтить свой выигрыш (обозначим его k)
в максимум (сделать его наибольшим) . Игрок С,
наоборот , заинте ресован в том, чт обы обра
тить его в минимум (сделать наименьшим) .
Наждый из игроков К и С, преследуя свою цель,
принимает все меры к тому , чтобы ему было
луЧ:ше , а сопернику - хуже .
В результате бор ьбы интересов, если оба
противника одинаково разумны , по-видимому,
должно быть найдено некоторое р а в н о в е с
ное положение,прикоторомкаждый
игрок получит то , чт о ему причитается ,- не
больше и не меньше . Этот равновесный сред
ний выиг рыш , на который вправе рассчиты
вать игрок К, если обе ст ороны будут вести себя
разумно , т. е. приде рживаться своих опти
мал ьных (наилучших) стратегий , называется
ценой игры.
Если цена игры равна нулю , значит , это
спр аведливая игра, т. е. она в одинаковой мере
выгодна или невыгодна той и другой стороне .
Если цена игры положительна , значит , игра
выгодна для К. Если отрицательна, придется
признать, что она выгодна для С ...
Решить
игру-это значит найти
пару оnтимальных стратегий (для К и С) и
зо•
ТЕОРИЯ ИГР
дену игры , т. е. средний выигрыш игрока К,
если оба-и К и С-будут вести себя
разумно .
А есл и разумно будет вест и се бя тодько
К,анеС?Нучтоже-темхужедляС!Вы
игрыш К от этого уменьшиться не может .
В худшем случае он останется таким же , а
в лучшем - увеличится.
Игра в нориа.Jiьноn форме.
Матр ица игры
Мы будем рассматривать тодько к о н е ч
ные
игры, т. е. такие , в которых каждый
участник р·асподагает конечным числом ст ра
тегий .
Есди у игрока К имеется в распор яжении
т ст ратегий , а у игрока С имеется п ст ратегий ,
игра называется игрой т Х п.
=
=
"
�
l
Правида игры можно записат ь в виде таблицы
Стратегии (<СИНИХ>>
_J�С2
...
l ��--
К1
kн
k,2
...
k."
К2
k2L
k22
...
k2п
...
.
...
...
Кт
km,
km,
...
kтп
(или матрицы), · в которой т ст рок и п
ст одбцов . Строки соответст вуют ст ратегиям
<<красных» , которые мы обо значим :К1 , К2 , • ••,
Кт,
а стол бцы - стратегиям «синих»: С1 ,
С2, ..., Сп.
В клетках таблицы помещены выигрыши
(или средние выигрыши) «красных» при со от
ветствуJОщей паре стратегий . Н апр имер , k12 -
выигрыш , который подучат «красные» , если вы
берут стратегию К1, а «синие» - С2; вообще ,
kli
-
выигрыш «красных» при комбинации
стратегий К1 и Cj .
Такаятабдицаназываетсяплатежной
матрицей иди
просто матрицей
и гры.
Если конечная игра записана в впде такой
матрицы , то говорят , что она п р и ведена
к нормаль ной форме . Но попробуйте ,
например , записать в нормальной форме обык
новенные шахматы ! Вы ср азу столкнетесь с
тем , что количест во во зможных ст ратегий нс -
467

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕ ДСКАЗЫВАТЬ И У ПРАВЛ ЯТЬ
обозримо ве лико - настол ько велико , что их
перечпсление выходит за пределы во зможно
сте й не тщ1ько человека, но и современной вы
числительной машинщ . А жаль! Потому что,
еслп бы построение матрицы шахматной игры
было во зможно , это имело бы очень любопыт
ные последст вия ... Но не буде м забегать впе
ред.
Ilp11J1epы коиеч11i.1х нrр.
П1н1 11 ц11п 11 11111п1акеа
Приведем несколько примеров конечных
игр . Каждую пз ю1х мы запишем в нормаль
ной форме .
П р 11 м е р 1. Рассматривается игра , ко
торую назовем «Попсю>. В ней участ вуют две
стороны: К и С. К хочет найти С; С, наоборот,
хочет спрятаться от К ..
УСестьдваместа-убежища1и11,где
щ1 может прятаться . Выбирает он себе любое
убежище . Игрок К по правилам игры тоже
может искать С, где ему вздумается. Если он
нашел С, С проиграл одно очко , если не нашел ,
т. е. пошел не в то убежище , где спрятался
С, то , наоборот , К проиграл одно очко . Тре
буется записать игру в нормальной форме .
Решение. У К
-
две стратегии:
К1 - искать в убежище 1 ,
К2 - искать в убежище 11.
У С - тоже две стратегии:
С1 - прятаться в у бежище I,
С2 - прятаться в убежище 11.
Игра конечная - 2 х 2, матрица игры будет:
1!С1 1 С2
-=
==-�=-�-
�
11-� '=-='=
К1
i11 -1
К2
1[-111
(1)
К этой игре мы еще вернемся в дальнейшем
и найдем ее решение . А пока что просто порас
суждаем за игрока К. Представим себе , ·что
мы игрок К и что нам предлагается выбрать себе
стратегию . Что ж, попробуем! Выберем, на
прим ер , К1 , т� е. будем искать всегда в убе
жище 1. Но тогда разумный противни.к че рез
нес1ю.;�ыю партий догадается о нашей страте
гии и будет прятаться там, где мы его не ищем,
468
т. е . в убежище II. Плохо! Выберем стратегию
К2• Ничут ь не лучше : противник снова дога
дается и будет прятаться в убежище 1. Что же
нам делать? Попробуе м применят ь стратегии
К1 и К2 попеременно , чере з одну партию игры .
Но ведь противник и об этом может догадать
ся и будет прятат ься :каждый раз не там, где
мы его шЦем. Какни кинь - все клин! Что же,
значит , наше положение бе звыходно? При лю
бом выборе стратегии нам придется проигры
вать? Выходит , что так .
Давайте теперь встанем на точку зре ния
противни.ка. С удивлением мы обнаружим , что
его положение - ничуть не лучше нашего!
Какую бы стратегию он ни вы брал - все ему
невыгодно .
Позже мы с вами решим эту игру, т. е.
найде м пару оптимальных стратегий К и С .
Впрочем , о них можно по се крету сообщить
заранее : каждому игроку надо будет че ре
довать свои стратегии, но не регулярно (че
рез одну), а случайным образом
(например , подбросить монету и, если она уп а
дет гербом , искать в убежище 1, а если цифрой -
в убежище 11). Аналогично должен будет де й
ствовать 11 С. При этом в среднем на одну пар
тию будет приходиться нулевой выигрыш (цена
этой игры будет равна нулю): К не будет ни
выигрывать, ни проигрывать. Не очень при
ятно , но все-таки много лучше , чем всегда быть
в проигрыше!
Здесь мы впервые ст олкнулись с одним из
важных понятий теории игр - с понятием
смешанной стратегии,т.е. чере
дования нескольких «чистых» стратегий по слу
чайному закону в определенных пропорцн ях ,
или , как говорят , с определенными част о
т а м 11 . В данном примере каждая из стр ате
гий применяется с частотой � .
Расс:мотрим теперь другую игру, решение
:которой уже не будет столь очевидным.
П р име р 2. Игра «Три пальца».
Два игрока К и С одновременно и не сгова
риваясь показывают друг другу один , два или
три пальца. Если всего показанных пальцев
(первым и вторым вместе) будет четное число,
то выигрывает К : он получает столько очков ,
сколько все го было пальце в, если нечетное -
выигрывает С, на тех же условиях . Требуется
записать игру в нормальной форме .
Р е ш е н и е. Перенумеруем ст ратегии по
числу показанных пальцев. Игра 3 х 3. Матри..
.
ца игры будет :

к.
МАКСИМУМЫ
СТОЛБЦОВ
ИГРА «ОСАДА И ОБОРОНА ГОРОДА».
«Rрасвые• стремятся ваипь rород, «СВ
вве• оборовJIJОт ero. У «краевых• - цва от
ряда, ва:в.цый ив которых овв моrут ва
праввть по mобой ив цвух дороr - I я II,
ведущих в rороду. У «сввих• три отряда,
которые моrут раамествться провавольвым
обрааом ив mобой на двух дороr. Никто
ва протввввков не осведомлен об обраае
действий другого. Условии таковы: если ив
дороге встреЧВJОТСЯ равны� l'ИЛЫ «КРВСВЬIХ•
в «СВВ
ВХ
•, то в 50 % случаев «краевые"
побеждаJОт в ааВВ1
1
ВJОт rород, в 50%-от
ступаJОт. Если «краевые• встречВJОтся с
превосходящими силами «синих• (один
отряд-с двумя или два-с тремя), овв
отступВJОт. Определить, вак должны распо
рядиться своВl
l
в отрядами «краевые• и
«синие", чтобы обеспечить себе наилучшие
воаможвые реаультаты вrры.
Реш е в и е. У «краевых• три стратегии:
к, - послать оба отряда по дороге I,
К2 - послать оба отряда по дороге II,
К3 - послать на каждУJО, дорогу по одному
отрядУ.
У «СИНИХ» - четыре стратегии:
с, - поставить все три отряда ва дорогу I,
02 - поставить все три отряда на дорогу II,
03 - поставить два отряда на дорогу I, а
один - на дорогу IT,
с, - поставить два отряда ив дорогу II, а
одив - ив дорогу I.
MllHllМYМЫ
СТРОК
0%
IOOi! IOO% IOO% 100%
тr
Blol
ll
l'
pыmeм будем счвтаn процент слу
чаев, вогда «враеВЫ1
1
• удается 8ВВJI'rЬ rо
род.
Матрица вrры будм -М'Ь вид, иаобра
жеввый ив червой таблице; а=50%, ll=t00%.
Ищем решение в смешаввых cтpaтel'IUD:.
Сраау же вамечаен, что стратегии К1 и К8
симметричны и, аиачвт, дол:ввы входить в
решевве с одввавовыми частотами:
Р1=
Ро·
Объедв
ввм
вти две стратегии в одну к,"
которая состоит в првневев.ии к, и к, с
одинаковыми частотами. Выигрыш будм
среднВl
l
арифметическим соответствуJОщих
строк. Матрица примет вид:
с,
с.
с,
с,
к,.
50%
50% 75% 75%
к.
t00%
t00% 50% 50%
Поступим тав же со стратегиями «СВВВХ•,
т.е.объедввинс,ис,, с,вс,.Получимвr
РУ 2Х2:
с,.
1с"
к,.
50%
75%
к.
tOO%
50%
Решая ату вrру, найден:
S�=(:; �;); S�=(�;; ��3) •
или, воавращаясь в первовачальвой игре:
•
(в:,
к
, к,)
•
(с, с, с, с,)
Sк= t/3t/3t/3 ;Вс= t/8t/8t/3t/8 '
т. е. «краевые• дол:ввы одиваково часто
прВ1
1
еВJI'rь каждуJО ив своих стратегий, «св
вве• - в одной трети всех случаев посы
лать все три отряда ив одну (moбyJO) ив
дорог, а в остальных двух третях рвспре
делпь их по дороrам так: два на одну и
один на дpyryJO.

Пор азмыслим немного над стратегиями каж
дой стороны . Станем сначала на ст орону К.
Предположим , что мы выбрали стратегию К1•
Что будет делать противник? Он разумен 11 хо
чет отдат ь поменьше . Ясно, он выберет страте
гию С2; наш выигрыш при этом будет равен
- 3 , т. е. мы потеряем 3 очка . Плоховато! За
пишем число -3 против первой ст роки в доба
в очном столбце (см . 111 атрицу (3) .
=''--���_J _c2 _ I Сз
1с-·1-31 4
�-
.
1-3 1 41-5
=
К
э =='·"
'
=
4
�..
1-
5
_
J__�_
м����б�::'// 4
•
.
,4•
,-;
-
-
Минимумы
строк
-3*
-5
-5
(3)
Попробуем другую стратегию - К1• На
нее разумный противник ответит С3• Мы тогда
потеряем 5 очков . Еще хуже\ Третья страте
гия - К3 - дает точно тот же результат: вы
игрыш (-5) .
Что же де лать? Пожалуй, лучше других
будет все-таки стратегия К1 - при ней мы
п о крайней мере не проиграем больш!:! 3 о чков\
Ведь против этой ст ратегии стоит максималь
н ое число дополнительного столбца - мы его
отмет или звездочкой.
Выбрав стр атегию К1 , мы гарантируем себе ,
что, как бы ни вел себя противник, мы никак не
проиграем больше 3 очков (т . е . не выиграем мень
ше (-3) очков) . Величина (-3) есть макси
м альный гарантир ованный вы и грыш, который
мы («красные») можем себе обеспе чит ь, приме
няя только одну-единственную стратегию . Та
кой стратегией должна быть К1•
Как мы получили (. -3)? Нашли минимум
каждой строки и из этих мини мумов вз яли мак
симальный. Эта величина называется м а к
с имином
�и нижней ц еной
и г р ы. Будем обозначать ее а,
ТЕОРИЯ ИГР
Подумаем теперь за противника. Он тоже
хочет отдать поменьше , а получит ь побольше .
Но, какую бы он ст ратегию ни выбрал , 111ы.
(«красные») поведем себя таким образом, чтобы
получит ь с не го побольше . Значит , противнш�
(«синие» ) должен в каждом столбце выписать не
минимальное , а максимальное число (см. ниж
нюю добавочную ст року в матрице (3) .
Из этих максимумов он до лжен наiiти 111п
нимальный, та�< называемыП м и н им а к с
плп верхняя цена 11гры,которуюмы
обо значим�· Эта величина в нашем сл учае равна
4 и отмечена звездочкой . Чтобы не проиграть
больше 4, «синие» должны пр11де рж11ват ься
любой из своих двух ст ратегий С1, С2•
Значит , если каждому участнику предла
гается выбрать одну-единственную стр ате гию,
то эти стр атегии должны быть: К1 дл я «крас
ных» и cl или С2 для «СИНИХ» .
Как мы выбрали эти ст ратегии? Руковод�
ст вуясь принцiшом осторожности, который го•
ворит: в игре веди себя так, чтобы по.лучить наи• _
бо.льшую выгоду п ри наихудших д.ля тебя дей
ствиях п ротивника. Этот принцип называется
принципом минимакса и является в теории игр
основным .
Применяя этот принцип , мы пока
мендовали игроку К показывать
лец , игроку С - показывать один
пальца .
чт о реко
один па
или два
Но нашли ли мы решение игры , т. е. та
кую пару ст ратегий , которая является р а в н 04
в е с н ы м положенивм? Легко убедит ься, что
нет . Найденные · нами стратегии обладают
досадным свойством: они неустойчи
в ы. Действительн о, пуст ь оба игрока дер
ж
'
атся рекомендованных чистых стратегий:
l(l и, скажем , cl. Пока оба де ржатся ЭTllX
ст ратегий , выигрыш будет равен 2, т. е. на 1< аж
дую партию игры С проигрывает К два оч.-а.
К, может быть, и доволен, но С досадно . Он
не хочет проигрывать. Допуст им , он откуда-то
уз нал , что мы приде рживаемся стратегии К1•
Что он будет делать? Ра зумеется, немедленно
перейдет к ст ратегии С2 и будет получат ь по
3 очка, т. е. сведет наш выигрыш к -3 . А если
мы теперь уз наем о поведении С? Перейде м
на стратегию К2• В ответ на это С перейдет
наС3ит.д.
Мы убедились , что пара стратегий , выте
кающих из принципа 11
1
ини111акса , неустой
чива: стоит одному игроку узнать, что дел ает
другой , как равновесие нарушается .. .
Всегда ли это будет так? Оказывается, не
nсегда.
469

МАТЕМАТИКА УЧИТ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ И УПРАВЛЯТЬ
Сед.Jiовая точка.
Чистая це11а игры
Рассмотрим пример. Пуст ь дана матри
ца шры (4):
(4)
Требуется найти нижнюю цену игры сх,
верхнюю цену иг ры � й минимаксные стра
тегии и проверить, являются ли они устой
чивыми .
Р е ш е н и е. Из анализа д ополнительны�!
столбца и строки получаем: а = 5,� = 5.Мак
симин равен минимаксу! Случай особый. Что
же из этого следует?
Возьмем пару минимаксных стратегий : К2
и С3• Есл11 оба де ржатся этих ст ратегий , то
выигрыш будет равен 5. Теперь, допустим:, мы
узнали о поведении противника . Что будем
де лать? А ничего! Мы по-прежнему будем дер
жаться стратегии К 2, потому что любое отступ
ление от нее нам невыгодно . Знаем мы или
не знаем о поведении противника - все равно
будем держаться стратегии К2! То же относится
и к «синим» - им нет смысла менять свою
стратегию С3•
В данном примере пара стратегий К2 и
С3 уст ойчива, т. е. представляет собой поло"
жение равновесия и дает решение иг ры .
Почему так получилось? Потому что в мат"
рице имеется особый элемент 5; он является
минимал ьным в своей стр оке и одновременно
максимальным в своем столбце . Такой элемент
называется седлов ой точкой. Если матри
ца имеет седловую точку (т . е. нижняя цена
игры равна верхней) , то иг ра имеет решение в
чистых стратегиях : это - пара стратегий, пере"
секающихся в седловой точке . С ама же седло"
вая точка дает цену игры - в н ашем примере
она равна 5.
Класс игр , имеющих седловую точку, имеет
большое значение в теории иг р . В частности,
470
доказано , что если по правилам иг ры каждый
из иг роков знает ре зультат всех предыдущих
ходов, как своих, так и противника (так на
зываемая иг ра с полной информацией) , т о
игра имеет седловую точку ·и, значит, имеет
решение в чистых стратегиях.
Приме рами игр с полной информацией мо
гут служит ь: шахматы , шашки , «крестики и
НОЛИКИ» И Т. П.
Приведем пример игры с полной информа
цией, решение которой легко найти.
Два игрока - К и С - поочередно кладут
одинаковы е монеты на круглый стол . Положение
каждой монеты выбир ается произвольно , лишь
бы она не перекрывалась другими . Выигры
вает тот из игроков , который положит монету
последним (когда места для других уже не
остается) .
Стоит немножко подумать, чтобы убедиться,
что исход этой игры всегда предрешен и что
суще ст вует вполне определенная стр атегия , га
рантирующая выигрыш тому из иг роко в, кото
рый кл адет монету первым (пуст ь это будет
К) . А именно К д олжен положить первую
монету в центр стола, а далее на каждый ход С
отвечать в точности симметричным относи
тельно центра стола х одом! Бедный С может
при этом вести себя как угодно , спасения ему
все равно нет ...
Очевидно , т акая игра имеет смысл только
для тех , кто не знает решения . Любопытно ,
что совершенно так же обстоит дел о и с такой
попул ярной иг рой , как шахматы! Эта иг ра име
ет смысл только до тех пор, пока не найдено ее
решение .
Теоретически доказано , что решение су
ще ствует и исход шахматной игры в сущно
сти предрешен: если каждая стор она будет поль
зоваться своей оптимальной стратегией, то
игра либо всегда будет кончаться выигрышем
белых , либо в.сегда выигрышем че рных , либо
всегда ничьей! Но чем же именно? Мы пока
этого не знаем , так как число возможных ст ра
тегий слишком велико , чтобы можно было
построить матрицу шахматной иг ры и найти
в ней седловую точку .. .
Наверное , лю бители шахмат заинтересованы
в том , чтобы шахматная игра была решена
ещ е не скоро.
Заметим в заключение , что седло вых точек
в матрице может быт ь пе одна , а несколько ; тог
да решений игры в чистых стратегиях суще
ствует ст олько , сколько имеется седловых то"
чек . Каждое из них дает выигрыш , равный це"
не игры .

Решение иrры в с11еmанных стратеrиях.
Основная теореиа теории иrр
Мы знаем , что если нижняя цена игры сх равна
верхней р (максимин равен минимаксу) , то игра
имеет седловую точку и по крайней мере одн о
решени� в чистых ст ратегиях .
Аесли сх + �? Можно доказать, что и в этом
слу чае решение всегда есть, только оно лежит
невобластичистых,авобласти смешаи
ных стр ате г и й. Решение м игры
называется такая пара ст ратегий - в общем
случае смешанных , систематическое применение
которых обеспечивает каждой стороне макси
мально во зможный для нее по усл овиям игры
выигрыш , определ яем ый ценой игры . Если же
одна из ст орон отступает от своей опт имал ь
но й ст ратегии (в то время как другая продол
жает приде рживаться своей) , то это ни в коем
случае не может быть выгодно для отступаю
щего: это либо оставит его выигрыш неизменным ,
либо уменьшит. Таким образом , каждая конеч
ная игра имеет решение (возможно , в области
смешанных стратегий). Это положение назы
вается основной теоремой теории игр .
Введем сп ециальное обозначение для сме
шанных ст ратегий . Пусть К применяет свои
ст ратегии К 1, К 2, К 3 с частотами соответст
венно р1, р2, Рз(р1+р2+Рз= 1).Этусме
шанную ст рате гию буде м обо значат ь:
sk
=(к1к2кз)
.
Р1Р2Рз
Аналогично смешанную ст ратегию игрока
С будем обо значат ь:
s=(с1с2сз)
'
с
qlQ2Q3
гдеQ1+Q2+Qз=1.
Реше11ня и ответы
ТЕОРИЯ ИГР
Очевидно , любая чистая стр ате гия - част
ный случай смешанной, в которой все частоты ,
кроме одной, равны нулю , а одна - единице .
Решение игры - пару оптимальных ст ра-
тегий - будем обо значать s; и s� , а соответ
ствующий ему выигрыш (це ну игры) v.
Очевидно , что цена игры v не мо жет быт ь мень
ше нижней и больше верхней цены :
В пе рвом примере мы
соображений догадались ,
должно быть:
s* (К1К
2)
k= 1/2
1/2
;
путем нестрогих
что решение игры
а цена игры v = О. Проверим эт о. Пусть мы
(«кр асные») де ржимся своей стр атегии s; , т. е .
ищем С в убежище 1 и 11 одинаково часто , че
редуя эт и стратегии случайным образом. Мо
жет ли С улучшит ь свое положение (по высить
свой выигрыш) , отступая любым образом от
своей ст ратегии s:? Очевидно , нет . А если од
ностороннее отступление от ст ратегии s; при- ·
дет в голову нам (в то время как разумный С·
будет де ржаться стр ате гии S�), то это нам то
же не может быть выгодно . Значит , мы и в са
мом деле нашли решение игры и ее цену v = О.
Правда , эта игра был а довольно простой!
У же вт орой пример дает игру, решение 1ют орой
не так очев11дно. Из того, что в нем сх + �. сле
дует только , чт о решение нужно искать в сме
шанных стратегиях .
Но каково это решение? Какова цена игры?
Выгодна ли игра «Красны11{)>, или «синим» , или
никому 11 з них?
Ответы на эти вопросы вы можете найт11
в Rниге, уR азанной на стр . 509 .
•
Решение к стр. 386. Введем обоз
начения: а - Саша, Ь - Костя, с -
неСаша,d-18лет,е -21годи!-
25 лет.
Мама сказnла: <�а·е••, папа сказал:
«b·d», а
дочь
сказала:
«С·/».
Так как часть каждой информа11ин
неверна (имеет значение 0),
то
а·е= b·d=c· f=O и a+e=I, b+d=t,
c+t= 1. Сын Николая Ивановича
не может иметь сразу два имени
и два возраста; следовательно, а·Ь=
=a·c=d·e=d·e=e·/=0.
=
1; после выбрасывания нулевых
членов останется раненство:а·d+Ь·Р=
=1. Перемножим эту сумму и сумму
с+f=1, что после выбрасывания нуле
вых членов даст равенство Ь·с-е=1 ,
откуда следует, что Ь=1, с=1 и "=1
(верная информация). Значит, сына
Николая Ивановича зовут не Саша
(c=I), а Костя (Ь=1) и возраст его
21 год (е =1).
38
-х·
Во второй раз рыбовод вылови•
53 рыбы, на них две меченые. Следо·
вательно, отношение числа меченых
2
рыб к числу выловленных равно ra·
Будем предполагать, что меченые
рыбы равномерно распределились сре
ди всех рыб в водоеме, тогда оба отио-
Перемножим суммы а+е =1 и
ь+d=I, тогда a·b+a·d+b·e+e·d=
Р ешение к стр. 461. Пусть
число рыб в озере, годных для улова
данной сет ью, равно х. Тогда отноше
ние числа меченых рыб к числу всех
рыб равно
З82
mеиия одинаковы: -x=fiЗ•
откуда
х = 1007. Значит, в озере имеется
примерно тысяча рыб, годных для
улова данной сетью.

APXllMEД
ВЫДАЮЩИЕСЯ
МАТЕМАТИКИ
Если бы любому современному математику
предложили назвать имена пяти самых круп
ных ученых его области , то, какие бы он ни
выбрал остальные четыре имени , первым бу
дет названо имя Архимеда , великого математи
ка , механика и инженера древности.
Архимед родился в 287 г. до н. э. в Сира
кузах - богатом торговом городе Сицилии. Под
руководством своего отца , астронома Фидия ,
получил он
первоначальное образование.
Очень рано Архи мед начал интересоваться
астрономие й, механикой и математикой . Для
завершения образования юноша поехал в
472
Александрию Египетскую - научный и куль
турный центр того времени . В Александрии жи
ли и работали крупнейшие ученые античного
мира - астроном Конон , разносторонний· уче
ный Эратосфен и другие, а несколько раньше там
создавал свои знаменитые «Начала)) Евклид. Пе
ред Архимедом раскрыла свои богатства и
знаменитая Александрийская би блиотека , кото
рая насчитывала около 700 тыс. рукописе й.
Здесь он смог познакомиться с трудами Де
м ок рита , Евдокса и других замечател ьных
греческих геометров .
Наиболее плодотворный период деятельно
ст и Архимеда как математика , механика-те о
ретика и конструктора начался после ero во з-

вращения в Сиракузы . Уже при жизни Архи
меда вокруг его имени со здавались леге нды ,
поводом для ноторых служили его поразитель
ные изобретения , производившие ошеломляю
щее действие на современников . Известен рас
с1\аз о том , как Архимед сумел определ ит ь,
сделана ли корона царя Гиерона из чистого
золота или ювелир подме шал туда значитель
ное количе ство серебра. Уцел ьный вес золота
был известен, но трудност ь состояла в том ,
чт обы точно определить объем 1ю роны: ведь
она имела неп равил ьную форму! Архимед все
время размышлял над этой задачей. КаR- то
он принимал ванну , и тут ему пришла в голову
блестящая иде я: погружая корону в воду ,
можно определить ее объем, измерив объем
вытесненной ею воды . Согласно легенде , Ар
химед выскочил голый на улицу с криком
«Эврика!» , т. е. «Нашел ! » И действ ительно ,
в этот момент был открыт основной закон гидро
статики.
Другая легенда рассказывает , что построен
ный Гиероном в подарок египетскому царю
Птолемею роскошный корабль «С ирокосию>
никак не уда валось спустить на воду . Арх имед
соорудил систему блоков (полиспаст) , с помо
щью которой он смог проделать эту работу
одним движением руки. Этот случай или
размышления Архимеда над принципом ры
чага послужили поводом дл я его крылатых
слов: «Дайте мне точку опоры , и я сдвину
Землю» .
Архимед прославился и другими механиче
скими конструкциями . Изо бретенный им беско
нечный , или архимедов , винт для вычерпыва
ния воды до сих пор применяется ·в Египте .
Архимед построил планетарий (или «небесную
сферу»), который , по-видимому , приводился
в дв ижение сжаты!\1 воздухом. При движении
сферы можно было наблюдат ь восход Солнца
и Луны , фазы и затмения Луны , исче зновение
обоих тел за линией горизонта .
Инженерный гений Архи меда ·с особой си
л ой проявил ся во время осады Сиракуз римля
нами в 212 г. А ведь в это время ему было уже
75 лет! Построенные Архимедом мощные мета
тельные машины забрасывали римские войска
тяжелыми камнями . Думая, что они будут в
безопасности у самых стен ·города , римляне
кинулись туда, но в эт о время легкие мета
тельные машины близкого действ ия забросали
их гр адом ядер. Мощные краны захватывали
желе зными :крю:ками корабли, поднимали их
кверху , а затем бросали вниз, та:к что корабли
переворачивались и тонули.
АРХИМЕД
Римляне вынуждены был и отказат ься от
мысли взять город штурмом и перешли к осаде .
Знаменитый историк древности Полибий писал:
«Такова чудесная сила одного челове1\а , одно
го дарования , умело направленного на какое
либо дело ... римл яне могли бы быстро овла
деть городом, если бы кто-л ибо изъял из сре
ды �иракузян одного ст арца» . Только вследст
впе измены Сиракузы были вз.Яты римлянами
осенью 21 2 г. При этом Архимед был убит .
Плутарх сохранил нам яркий рассказ о его
смерти: «К Архимеду подошел солдат с мечом
в руке , чтобы убить его . Но Архимед настой
чиво просил его подождать одну минуту, что
бы задача , которой он занимался , не осталась
нерешенной; солдат , которому не было дела
до его доRа зательства, пронзил его своим ме"
ЧОМ» .
Архимед был замечательным механиком
практиком и теоретиком, но основным делом
его жизни была математИ ка . По словам Плу
тарха, Архимед был просто одержим ею . Он
забывал о пище , совершенно не . заботился о
себе . Главное его внимание бы ло сосредоточе"
но на трех типах проблем:
1.
·
Оп реде.ление п лощадей криволинейных
фигур или, соответственно, объемов тел. Вы
уже знаете , наверное , как определять площа
ди прямолинейных фигур , площадь круга,
объем призмы , пирамиды , цилиндра и конуса .
Все это умели де лать греки и до Архимеда . Но
только он нашел общий метод , позволяющ ий
найти лю бую . пл ·оща11. ь или объем
·
.
Трудно пе
реоценить значенi1е этого метода , бе з которого
была бы немыслима ни физика, ни астрономия.
Идеи Архимеда легл и в основу интегрального
исчисления .
Сам Архимед определил с помощью своего
метода площади 11 объемы почти всех тел ,
которые рассматривались в античной мате
матике . Лучшим своим достижением он счи
тал определение поверхности и объема шара .
Он просил выбить на св оей 111огиЛ:е шар , впи
санный в цилиндр .
2. Пусть дана некоторая кривая линия.
Как определить касательную в любой ее точке?
Или , если переложить эту проблему на язык
физики, п усть нам известен путь некоторо
го тела в каждый момент времени. Как опре
делить скорость его в любой точке? В школе
учат, как проводить касател ьную к окруж
ности. Древние греки умели, :кроме того , на
ходить касательные к эллипсу, гиперболе и па
раболе . Первый общий метод решения и эт ой
задачи был найден Арх имедом. Этот метод
473

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
Архимед.
впоследст вии лег в основу дифференциал ьно
го исчисления .
3. В математике,. физике и астрономии очен ь
важно уметь находить наибольшие и паи.мень
шие значения изменяю щихся величин - их эк
стремумы. Например , Rак среди цилиндро в,
вписанных в шар , найти цилиндр , имеющий наи
бол ьший объе м? Все такие задачи в настоящее
время могут быть решены с помощью диффе
ренциального исчисления . Архимед первым уви
дел связь этих задач с проблемами определе
ния касате льных и по казал , как с их помощью
мож но решать задачи на экстремумы .
Огромное значение дл я развития матема
ти ки имело вычисленное Архимедом отноше�
с
ние длины ОI<ружности к диаметру 75, т. е.
число r., с большой степенью точности. Для
этого он рассматривал последовательность впи
санных и описанных правильных многоуголь
никовсчисломсторон6,12,24,48и96и нашел
отношения их периметров к диаметру. Ясно , что
р
с
р
-jJ-<75 < [/ , где Рп - периметр вписанно-
го , а Рп - описанного п-уголышка. Архимед
нашел , что
1()
с
1
311<r.=D<3т·
Продолжая удвоение ст орон многоугол ьников ,
м ожно вычисл ить методом Архимеда сколько
угодно знаков числа r..
Идеи Арх имеда почти на два тысячелетия
опередил и свое время . Только в XVII в. уче
ные смогли продолжить и развить труды ве
ликого греческого математика. Только тогда
было раскрыто их подлинное значение , тая
щиеся в них неисчислимые сокровища .
Лейбниц , один из творцов дифференциаль
ного и интегрального исчислений , писал : «Вни
мательно читая сочинения Архимеда , пере
стаешь уд ивляться всем новейшим открытиям
геометров».
•
ОМАР ХАЙЯМ
Омар Хайям , один из крупнейших матема
тиков средневе к ового Востока , родился , ве
роятно , в 1040 г. и умер в 1123 г. (точные годы
не известны) . Он был уроженцем Нишапура,
главного города Хор асана . Хор асан, стр ана ,
лежавшая на юго-восток и восток от Касп ий
ского моря, входила то гда в сост ав го суда рства
се льджуков . Теперь значительная часть тер
ритории Хорасана находится в Иране , се ве р 
ные районы - в Туркменской СС Р, а восточ
ные - в Аф ганистане .
Более всего Хайям прославился как автор
заме чательных четверостиший. Воспевая ра
дость человеческого бытия, он вместе с тем по
рицал несправедливые порядки свое го вре ме
ни и высмеивал официальную религию . Он
мечтал о лучше м устр ойстве жи зни на земле :
:Когда б я властен был над этим небом злым,
Я б сокрушил его и заменил другим,
Чтоб не было преград стремленьям благородным
И человек мог жить, тоскою не томим.

Стихи Хайяма написаны на языке фарси,
из которого развились нынешние персидский
и таджикск ий . Сейчас они переведе ны
на
русский и мно гие европейские языки.
В молодые годы Хайяму пришлось много
скитаться . Он жил и работал в Самарканде и
Бухаре , а в 10 74 г. был поставлен во главе
обсерватории , организованной в столичном
городе Исфахане . Здесь ученый разр аботал
проект нового весьма точного календ аря, ко
торый не смог , одна�\О , найти применения.
Вскоре один за другим умерли покровитель
ствовавшие Хайяму первый министр Низам
ал-Мулк и султан Малик-шах , и обсерватория
была заl\рыта. Мусульманское духове нство не
навидело вольнодумца Хайяма . При преем
никах Малик-шаха влияние духовенст ва уси�
лилось и Хайям впал в немилость.
·
Математиче ские сочинения Хайяма отно..,
сятся к алгебре , ар ифметике и геометрии . Они
написаны на арабском языке , которым, как
правило , пользовались ученые в ст ранах Азии
и Аф р ик и, покоренных арабами.
Главный труд Хайяма называется «Трактат
о доказате льст вах задач алгебры и ал-мука
балы» . Уравнения в то время приводили для
решения к нормальному виду , располагая в
обеих частях уравне ния члены с положитель
ными :коэффициентами:. Так , например , раз
личали три вида :квадратных уравнений
х2=рх+q, х2+рх=q и х2+q=рх
и дл я :каждого формулировали свой особый
прием решения . Уравнение х2 + рх + q = О
вовсе нс рассматривалось, так :как при Р> О,
q> О у него не может быть положительных ре
.
шений , которые одни принимал ись во внима-
ние . Операция переноса вычитаемых чле нов
данного ура внения в др угую часть, где они
о�> азываются уже пр ибавляемыми , называлась
ал-джабр ( «iюсполне ние») . Операция приве 
дения подо бных чле нов в обеих частях ур ав
нения называлась ал-му:кабала («противопо
ставление») . От сл ова ал-джабр произошло
н аше слово «алгебра» , и уже у Хайяма говорится
об «алгебраистах» .
Трактат Хайяма посвящен в основном ку
биче ским уравнениям . Первые задачи, при
в одящиеся к :кубическим уравнениям с целы
ми корнями , которые легко найти с помощью
простого подбора , появились еще в древнем
Ва вилоне . Древние греки нашл и геометриче
� кий прием построения положительных :кор
не й :кубических уравнений . Прещде все го они
.
приме нили его к задаче об удвоении куба, т. е .
отыск а ни и ребра х такого куба х3, 1ют орый
ОМАР ХАИЯМ
был бы вдвое больше данного куба у3• Вели
чину х, т. е. корень уравнения х3 = 2y:i,
они построили как абсциссу точки пе ресече
ния двух парабол с уравне ниями ах = у2 и
2 ау = х2, отличной от начала координат . За
тем Архимед свел к уравнению вида х3 +
+ r = рх2 задачу о де лении шара плос1юст ью
на два се гме нта , объемы которых находят ся
в данном отношении. Он построил корень
этого уравнения как абсциссу точки пересече 
ния не которых параболы и гипе рболы и про
извел тщательный анализ задачи .
Проблема Архимеда заинтересовала мате
матиков арабских ст ран еще в се редине IX в.
Вскоре зде сь занялись и другими вопросами
геометр ии,
привод ящ11 мися к уравнениям
третье й степени . Такпе уравнения получили
важное значение и для астрономии, а именно
11
Омар Хайям.

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
для вычислен ия необходимых астрономам три
гоно111етрических таблиц . Дело в том , что вычисле
ние синуса 1° можно привести к решению
уравне ния вида х
3
+ r = qx. "Ученые создали
различные приемы приближенного вычисле
ния корней уравнений третьей степени . На
ряду с этим возникла потребност ь в более
общеii те ории .
Наиболее полную дл я своего вре111е ни тео
рию ра зработ ал Хайям , широко при111 енив гео
метрический метод древних греков. Он рас
смотрел все нормальные виды кубиче ских урав
нений , которые ·м огут иметь положите льные
корни . Всего таких видов оказалось 14: одно
двучленное , шесть с тремя членами и се мь
че тырехчленны х. Для каждого вида Хайям
приводит соответствующее ему построение . Так ,
корень трехчленного уравнения х
3
+qx='r
выражается абсциссой той точки пересечения
окружностих2 + у2= .!:_х и параболы х2 = 1/qy,
q
которая отл ична от начала координат . Анал изируя
построение , Хайя111 выясняет, при каких усло
виях уравнение данного вида имеет один или
два положител ьных корня. Например, урав
нение х
3
+ qx = r при любых значениях коэф
фициентов имеет один , и только один , положи
тел ьный корень . Это сразу видно из че ртежа..
Иногда Ха:йям указывает границы , в кото рых
лежит корень уравнения того или иного ви да .
На примерах Хайям показывает , как обща я
теория применяется к исследованию уравне
ний с данны111 и числ овыми коэфф ициентами .
Все же в исследовании Хайяма есть про
белы . Так , он не заметил , что уравнение ви
дах3+qx=рх
2
+ r может и111еть в неко
торых случа ях три положите.Тi ьных корня .
Обнаружить это только с помощью че ртежа
трудно .
Подобно другим математикам средневе ко"
вого Востока, Хайям пытался выразить корень
кубического уравнения с помощью радик алов ,
наподобие корней квадратного уравне ния . До
стичь успеха ему не удалось. Тол ько в начале
ХVI в. ит ал ьянские 11iатемат11ки открыли вы
ражение корня кубиче ского уравнения с по
мощью кубических радикал ов. Но уже Хайя11
1
пришел к убеждению , что сделать это с помо
щью квадр атных радикалов в обще м случае
не возможно .
Геометрическая те ория :кубических урав
нений получил а дал ьне йшее развитие как на
Вост оке , так и в Европе, в частности у Р. Де
к арта . В XVl -XVII вв. гео111етр ические прие
мы исследов ания начинают быстро вытеснять"·
478
ся алгебраиче скими, более совершенными 11
удобными . Все же до сих пор иногда пользуют
ся геометрическим построение111 корней уравне
ю1й (не только кубических) , чтобы пример но
определить их зн ачение или получить общее
представление о чп сл_е положительных и отри
цательных корней 11 т. п.
В алгебраическом трактате Хайя м упоми
нает св ой труд по ар ифметике , в котором он
изложил прием извлечения корней любой целой
положительной степени из чнсел . Ранее был и
известны способы извлечения квадратного и
кубиче ского корней . Этот труд до сих пор не
обнаружен . Вероятно , Хайя111 вывел в нем так
называемую формулу бинома Ньютона для
целого положительного пока зателя . Впер вые
она встречается у другого выдающегося сред
неа зиатского 11
1
атематика- Насирэддина Туси
в учебнике , написанном в 1265 г.
Подобно гренам, математшш ст ран Арабско
го Востока не 1шел11 нинаю1х алгебраичесних
обозн ачений п все уравнения, преобразования
и т. д . записывали слова11
1
и. Это чрезвычайно
удлиняло 11 затрудняло ка.к исследование ,
та.к и изложение . Нашему современни.ку, при
ученному к энономной и изящной символиче
сной записи, трудно читать старинные транта
ты по алгебре .
Хайям написал также комментарии к «На
чалам)> Евклида , в которых разрабаты вал те орию
отношений и пропорций и учение о параллель
ных . И зде сь Хайям вые.казал ряд инте ресных
11
1
ыслей, о.казавших влияние на дальнейшее
развитие 111 атематики.
•
ФРAHCJ'"А BllET
Трудно перечислить всех уче·ных , которые
придумали современную «шнольную)> мате ма
тику. Но есть два математи.ка , .которые сделали
для нее. больше других: это геометр древней
Греции Евклид 11 «отец современной алгебры)>
Франсуа Виет .
Франсуа Виет родился во Франции в 1540 г.
в городке Фонтеней. Адв онат по профессии,
он был всесторонне образованным че лове.ком ,
хорошо знал древние языки, астрономию . Но
его ист1шны11
1
призванием бы ла математика .
"Увлеченный математичесной задачей, он мог
работать над ней иногда по трое сутон без еды
и сна . Виет умел антивно применять свои спо
собно.ст и и знания .к всевозможным трудвыъ1
задачам не только из алге бры или геометрии.

Франс�·а В11ет.
Известно, нап ример, что он любил разгадывать
зашифрованные письма . Во время войны Фр ан
ции с Испанией вся тайная переписка испанцев
свободно читадась французами, так как Виет
всякий раз разгадывал испанский шифр, как
бы его ни запутывали вражес1ше шифроваль
щики . Не представл яя себе могуще ства чело
веческого ума, испанцы думали, чт о францу
зам помогает дьявол . Они даже жаловались
римскому папе и просили его уничтожить эту
«дьявольскую» сиду.
Виета на зывают творцом совреме нной ал
гебры за очень важное открытие - он разра
ботал и последовательно применил в алгебре
буквенное исчисление.Чтобыот
четл ивее представить себе, в че м суть буквен
но го исчисления Виета и почему оно так важ
но для всей современной алгебры , посмотрим,
что представлял а собой алгебра до него . Почти
все действ ия и зна ки записывались сл овами,
не было и намека на те удобные , почти авто
матнче сние правила, которыми се йчас умеет
пользоват ься каждый ученик . Нельзя был;о
также записывать и, следоват ельно , изучать в
обще м виде алгебраические уравнения или ка
кие-нибудь другие алгебраические выраже-
ФРАНСУА ВИЕТ
m1 я. Необхоцимо было дона
зать, чт о суще ст в уют такие об
щие де йствия над всем и чис
лами, которые от эт их самых
чисел на за висят . Виет и его
последователи установил11, чт о
не .имеет значения, будет ли
рассматриваемое число коли
че ством предметов или дли ной
перпендикуляра. Гл а вное, что
с этими числ ами мо.жно про
изводить алгебра иче сю1е дей
ствия и в результате снова по
лучит ь числа того же рода .
Не имеет значения та1<же, из
вестно нам число или не извест
но . А если нам не важны цифро
вая запись или геометрическое
истолкование каждого рассмат
риваемого числа, то все числа
ка�< бы однор одны и их можно
об означать каю1 ми-нибудь от
влеченными зна�<ами, нап ри
мер буквами латинского алфа·.
в ит а. Виет не только ввел свое
бу1<венное исчисление, но сде
лал принципиально новое от
I< рытие , поставив перед собой
цель изучат ь не числа, а де й ст
в 11 я над ними. Это была удачная мысль, и она
ст ала сразу приносить обильные плоды . Напри
мер, вскоре бы.11 доказан общий алгебраиче ский
закон умножения : ум ножение отре зк ов есть та
же опе рация , чт о и умножение чисел . Появилась
возможност ь зап исы вать алгебраические вы
ражения в виде формул .
'
Однако у самого Виета алгебраические обо
значения, или, как сейчас говорят, а л г е
браические
символы, были мало
похожи на наши . Сравните современную за
пись кубнческого уравнения
х3+3Ьх=d
и запись этого же ур авнения в об означения:х;
Виета:
А cubus + B.planum in А 3 aequatur D solido.
Как видите, здесь еще очень много сл ов, но
ясно, что эти слова уже игр ают роль наших
символов, так латинское слово cubus после неиз
вестного А (неизвестное обозначалось гласной: бук
вой) , означает наше «В кубе» . Слово aequatur (в пе
реводе на русский - «равный») написано вме
сто нашего знака «=» , умно жение чисел В и А
обозначено предлогом in (все, что осталось
после сокращения от выражения «взять во
4'7'7

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
столыю-то раз больше»). Остальные слова -
это с.Леды прошлого, следы того, что и у Виета
алгебра еще не полностью освободилась от по
сторонних для нее влияний геометрии.
Та�,ой способ записи и позволил Виету сде
лать важные открытия при изучении общих
свойств алгебраических уравнений. Особен
но гордился Виет всем известной теперь
теоремой его имени о выражении коэффициен
тов уравнения через его корни, хотя под
корнями. он понимал только положительные
числа, не признавал за корни отрицательные
и совсем не подозревал о существовании ком
плексных чисел.
При составлении обширных таблиц триго
нометрических функций Виет с большим ис
кусством применил десятичные дроби. Глу-
.·
бо.кий интерес к тригонометрии у него был ВЬ!:-
. sван желание11I сделать астрономию более точ-
ной. "Увлекшись тригонометрией, Виет и здесь
по
.
лучает значительные результаты. Например,
он выводит выражения длЯ синусов и коси
нусов !{ратных дуг через sin х и cos х при по
мощи формул, которые llIЫ теперь записали бы
в виде:
sinmx = 2cosxsin(m - 1)х- sin(m- 2)х,
cosmx = 2cosxcos(m - 1)х- cos(m - 2)х.
Эти знания тригонометрии Виет с успехом
при11Iенял как в алгебре, так и в геометрии.
Используя представление о круге как о пре
деле вписанных в него многоугольников при
увеличении числа их сторон, Виет вычислил
число 1t до 18-го знака после запятой.
Умение решать алгебраические задачи при
помощи геометрии и тригонометрии принесло
Виету славу победителя турнира лучших ма
тематиков того времени. Голландсюп1 матема
тик Адриан ван-Роумен предложил математи
кам всего мира решить уравнение 45�й степени с
числовыми коэффициентами. Французским мате
матикам он не послал свой вызов, как бы на
мекая на то, что во Франции нет математиков,
способных справиться с этой задачей. Узнав об
этом, король Франции Генрих IV, на службе у
которого в то время состоял Виет, восклинул:
«И все же у меня есть математик, и весьма вы
дающийся. Позовите Виета». И действительно,
Виет тут же, в присутствии короля, нашел один
корень предложенного уравнения, а на сле
дующий день нашел еще 22 его положительных
корня. После такого успеха ван-Роумен стал
ревностным почитателем Виета.
Виет решил при помощи циркуля и линейки
знаменитую задачу, сформулированную геомет�
478
ром древней Греции Аполлонием из Перги.
По условию этой задачи надо построить круг,
касательный к трем данным кругам. Гордясь
найденным решением, Виет называл себя «Апол
лоние11I из Галлии» (Галлией в старину пазы.
вали Францию).
В последние годы своей жизни Виет занимал
важные посты при дворе короля Франции. Умер
Виет в Париже в 1603 г. Есть подозрение, что
он был убит.
Бурно развивающаяся математика наших
дней, конечно, использует идеи и методы, во
много раз превосходящие по глубине и общно
сти идеи и 11Iетоды, которые разработал Виет.
Но и сейчас для нас интересна и ценна острая
алгебраическая мысль Виета, который широко
распахнул перед математикой двери в новый
мир современной алгебры. Не будем забывать,
что в ее основе лежит буквенное исчисление
Франсуа Виета.
•
РЕПЕ ,l
l;
ERAPT
Рене Декарт, знаменитый философ и мате.;
матик, жил и работал в XVI I в. В то время пе
редовые ученые и философы Европы боролись
с мертвящей властью церкви над наукой. Эн
гельс писал: «До того времени наука была сми
ренной служанкой церкви, и ей не позволено
было выходить за рамки, установленные ве
рой... Теперь наука восстала против церкви...»
Новая наука отвергала всяческие авторитеты
и утверждала право человеческого разума и
опыта быть единственными проводниками в по
исках истины.
Для Декарта са11Iым ясным и точным языком
для выражения научных истин был язык матема
тию1. Он стремился и в философии, и в науке
найти математические законы, свести каждый
вопрос или каждую задачу к математической.
Декарт хотел создать такой универсальный ма
тематический метод, который позволил бы вся-
кому, овладев шему им, решать любую задачу.
Рене Декарт родился в 1596 г. во француз:.
.
ском городе Лаз. Еще ребенком Рене прозвали
«маленьким философом» за его любовь к логи
ческим рассуждениям. В школе-интернате из-за
слабого здоровья ему разрешали не ходить в
класс и заниматься в постели. Рене очень быст
ро выполнял домашние задания и все свободное
время посвящал усиленным занятиям любимой
математикой. Необычайная умственная энер.;

гия сохранилась у Де:карта на всю жизнь. Пос
ле о:кончания ш:колы юноша три года учился в
университете г. Пуатье и получил профессию
юриста.
Молодой Де1.
.
арт с увлечением отдается :каR:
нау:ке, та:к и бурной жизни модного :кавалера.
Неред:ко дело доходило до ночной дуэли на ули
цах Парижа. Это была эпоха муш:кетеров, с
мужеством :которых мы хорошо зна:комы по
знаменитым романам А. Дюма.
Ногда малень:кие Нидерланды поднялись
на борьбу за свободу против испанс:кого влады
чества, Де:карт не смог остаться в стороне.
Добровольцем-муш:кетером вступает он в ар
мию, сражающуюся против испанце'В. Но, :ка:к
говорят истори:ки, ему вряд ли довелось «по"
нюхать пороху» и участвовать в сражениях.
Во веяном случае, :когда отряд мушкетеров сто
ял в нидерландс:ком городе Бреды, Де:карт
больше интересовался вопросами нау:ки, чем
войной. Развле:каясь, молодые офицеры писали
на городс:кой стене всевозможные трудные зада
чи и :каверзные загад:ки, предлагая прохожим
их решить. Де:карт был горячим участни:ком
всех этих затей и вс:коре позна:комился с мест
ными учеными.
Сосредоточенно размышляя над вопросами
философии и математи:ки, Де:карт настойчиво
ис:кал за:коны универсального метода, стремил
ся дать чет:кие и общедоступные правила его.
Он пишет: «Ногда мне приходилось, будучи
молодым, слушать о на:ких-либо ис:кусных умо
занлючениях изобретательного автора, я пы
тался воспроизвести их самостоятельно, не
читая э1'ого автора. Постепенно я стал замечать,
что пользуюсь определенными правилами».
Глубо:ко изучив психологию творчества, Де
карт составил свои знаменитые «Правила для
руководства ума». В них он учил, как надо ана
лизировать проблему, разлагая трудные вопро
сы на более простые до тех пор, пока не появит"
ся возможность успешно их решить.
И вот кан-то в минуту вдохновения ему
представилось, что такой универсальный метод
найден - это метод ноординат, на котором ос
нована аналитичес:кая геометрия.
Обобщая и объединяя известные ему методы
:координат и бу:квенной алгебры, Де:карт при
дает своему методу точную и ясную математи
чес:кую форму. Суть метода Де:карта состоит
в установлении теснейшей связи между геомет
ричес:кими объе:ктами и алгебраичес:кими фор
мулами. Эта взаимосвязь устанавливается при
помощи системы :координат. Если на плос:кости
задана система :координат, то для :каждой точ-
РЕПЕ ДЕКАРТ
Ре не Декарт.
ки можно определить пару чисел, ее :коор
динаты, и , обратно, если дана пара чисел, при
чем у:казан порядо:к их соответствия осям :коор
динат, то по ним всегда можно построить на
плос:кости единственную точ:ку. Де:карт ограни
чился применением метода :координат в плосно
сти (см. статью «Что таное :координаты и для
чего они служат?» ).
Де:картов способ установления связи между
точ:ками и числами оказался настолько плодо
творным, что, по сути дела, положил начало
новой, современной математике. Вели:кий мате
мати:к и механик П. Лаплас писал, что день,
когда Де:карт уяснил себе свой метод, можно
считать официальным днем рождения совре
менной математи:ки. (История сохранила нам
эту дату - 10 ноября 1619 г.)
479

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
Действительно, при помощи такого анали
тического представления точек можно пере
ходить к изучению явленИй в многомерных и
даже бесконечномерных пространствах, изучать
свойства таких интереснейших пространств, как
пространства Лобачевского или Эйнштейна: На
основе аналитической геометрии выросло и
оформилось такое могущественное средство по
знания природы, как математический анализ.
Декарт много сделал; чтобы придать алгеб
раической символике максимальную простоту
и всеобщность. Предложенные им обозначения
сохранились до наших дней. Понимая, что
сила математического метода не только в его
всеобщности, но и в логической обоснованности,
Декарт исследует основное понятие математи"
ки - число. Историки считают, что и здесь ему
принадлежит слава первооткрывателя совре'
менной точки зрения на число. Он вводит
в математику, наряду с положительными и
рациональными числами, .как вполне законные
отрицательные и иррациональные числа:
Декарт так описывает применение своего
аналитического метода решения задач: «Таким
образом, чтобы решить какую-либо задачу,
нужно сначала считать ее как бы решенной и
обозначить буквами все, как данные, так 11 не
известные, величины. Затем, не делая никакого
различия между данными и искомыми величи
нами, заметить зависимость между ними так,
чтобы получить два выражения для одной и
той же величины; это приводит к уравнению,
служащему для решения задачи, ибо можно
приравнять одно выражение другому». При
помощи системы координат каждому алгеб
раическому уравнению от пере11tенных х 11 у
можно поставить в соответствие кривую, коор
динаты точек которой удовлетворяют этому
уравнению. Таким образом, переходя с язы
ка геометрии на язык алгебры и обратно,
можно пользоваться преимуществами обоих
способов, обходя многие труднuсти. Декарт
считал, что к алгебраическим уравнениям мож
но свести все 11tатематические задачи. В этом он
заблуждался. Дальнейшее развитие матема
тики показало, что важны и интересны многие
другие методы и теории. Но и изучение алгеб
раических кривых, начало которому положил
Декарт,
представляет
собой интересную
и быстро развивающуюся область математики.
Много размышлял Декарт над общей тео
рией алгебраических уравнений. Как и во всем,
он искал также и общий метод решения любого
алгебраического уравнения. Декарт надеялся,
что таким общим приемом может стать разра-
480
ботанный им способ разложения уравнения на
произведение множителей более низких степе
ней методом неопределенных коэффициентов.
Он смог дать метод решения уравнения четвер
той степени в общем виде.
Однако в XIX в. было доказано, что ни метод
неопределенных коэффициентов, ни какой-ли
бо другой не помогут при решении общего ал
гебраического уравнения пятой или более вы
соких степеней, потому что такие уравнения
вообще не J1
1
огут быть решены в радикалах. За
нимаясь исследован11яJ1
1
и алгебраических урав
нений, Декарт открыл теорему, которую теперь
изучают в школе под Иllfeнell
l
теоре11tы Безу.
Ellfy же принадлежит открытие простого спосо
ба подсчета числа положительных и отрица
тельных корней у любого алгебраического
уравнения. Это так называемое правило знаков
Декарта, с которыllf можно познакомиться в
каждом курсе высшей алгебры.
Последовательно проводя свою мысль о том,
что во вcell
l
необходимо искать прежде всего
физические и матеl\fатические закономерности,
Декарт и животных рассматривал так же, как
и явления физики или даже мате11tатики. Не
зрелость callfoй науки о животных нс позволила
ему здесь сделать больших открытий. Однако он
высказал ряд мыслей, которые лежат в основе
большой современной науки - кибернетики.
Понятно, что такое учение, которое в конце
концов исключало участие бога в жизщ1 людей
и природы, возбуждало ярость церковников
и сочувствующих им. По мере распростране
ния .учения Декарта его жизнь в Нидерландах
становилась все более напряженной. Чтобы
избежать доносов и судебных преследований,
Декарт воспользовался приглашением швед
ской королевы Христины. Королева хотела
изучать науки под руководством са11tого Декарта,
а заодно пользоваться его советами при созда
нии Шведской академии наук. Декарт переехал
в Швецию, но суровый северный кли11tат ока
зался губительным дл.Я его слабого здоровья .
Сильно простудившись, Декарт умер 9 февраля
1650 г. Семнадцать лет спустя его останки пере
везли на родину, во Францию.
В современной математике доказывается,что
универсального метода решения. всех задач,
о котором мечтал Декарт, нет и не может быть.
Но очищенные от посторонних философствова
ний математические
.
идеи Декарта и в наши
дни продолжают оставаться плодотворным ору
жием познаний тайн природы ·и человеческого
мышления.
•

ПЬЕР ФЕРМА
·Мы очень мало знаем о ;ю1·зшi этого велин:ого
математиliа. Известно, что он родтrлсн в 11501 г.
на юге Франции n семье торговца но;ю1м11,
изучал· юридичесюtе науки и состоял совепш
J{ОМ тулузс1•ого нарламснта (суда). Матемапt'liе
он мог посвнщать толы\о евободное от работы
время. Но сила ого гения была столь велика,
что, несмотря на это, ero идеи ю:1Jюж11ли глубо
кий отпечатон на все дальпеiimее развитие ·тео
рии чисел, геометрии и 111атематичес1юго ана
лиза. Жизнь Пьера Ферма быJiа скромной, и,
по�видююму, он провеJI ее тоJiы.;о в TyJiyзe
и ее окрестностях, не побывав даже в ПарщЕс.
Тогда еще не было ни аl\адемии нау1\, ни
научных журналов, и отдеJ1ьньrе· любители нау
ки, разбросанные по всей стране, либь непо
средственно писаш1 друг другу, · JНtбо пьсы:Ла
ли письма в Парши к какому-нибудь любителю,
ноторый переписывал их и пересылал другим
ученым. Та1\, свои захватывающие мысли и и деи
Ферма излагал в письмах н друз
,
ьям, среди, но
торых были Р. Де1шрт, Ж. Роберваль, Б. Пас
каль, Ж. Де3арг и другие. И все они считали
Ферма всличаiiшим математиком Европы.
Очень немногие сочинения · Ферма были
изданы им при жизни, и то по настоятельному
требованию дру3ей. Первое собрание сочинений
велиного ученого появилось толыю. после его
смерти. }/мер Ферма в 1665 г.
Фер ма установил основной принцип гео
метри чес1\ О Й оптию1, согласно ноторому свет
распрострапястсн из одной точки в другую по
таному пути, д;ш прохождения которого тре
буется МШIИl\ШJIЫЮе вре м я . Из этого принципа
Ферма выводятсн ЗаJ{ОПЫ отрю1>ею1я и прелом
ления света.
Пре1{расныii 3нато1< древности, Ферма пи
сал стпхи по-грсческ11 и по-латыни. Та н же как
и Паскаль, он был одним из создателей литера
турного французского языка. Тот, !{ТО читал
его письма в подш1шнше, может .по достоинстuу
оценить изнщсство и I\расоту его стиJIЯ. , Во
времн ca11
1
oii ост рой полемики с учеными,, J{.ОТО
рые иногда, нс поняв I\а!{ого-нибуд1, 113 ра
.
ссуж
дений Ферма, рез1•0 нападали на. него" Ферма
неизменно сохрашш . благородное спо1\оiiствие,
доброжелательство и тер пеливо объяснял свою
мыс,11" Из переписки Ферма рисуется , именно
таким чс.i1ове1{ОМ, к которому полuостью при
менимы с;юuа Аристотелн, сказанные: по по
воду велиного математ1ша древности Евдоl\са
Книдсного: «Оп был обра3цом умсрспностн,
доброты: и силы харантерю>.
831д.э.т.2
ПЬЕР ФЕРМА
С наибольшей силой гепнii Ферма проявил
ся в математике. Тю{, еще до Декарта-и в бoJice
совершенной фор111е он построил снсте111у ана
литической геометрии, отнрыл общий метод:цлн
определения ма�\си111умов, минимумов и наса
тельных, существенно развил метод Архимеда
и применил его ддя опредедения площадеii,
объемов и длин дуг. Но любимой его областью,
.ноторую он по существу ОТI\рыл, была т е о
р и я ч и се л. Ферма сумел среди множества
разнообразных задач и вопросов выделить 1шен
но те, которые стали центрадьными в теории
чисел XVllI и XlX вв. Однако он, юш правило,
не сообщал доказательств своих тюрем. 1 Iоэ тому
утверждения Фе р ма таI{ и осталнс1, ддн после
дующих ученых пробдемами, часть иа которых
и до сих пор не получила решения.
Остановимся на четырех пробдемах Ферма.
1. Занимаясь теорией чисел, Фер111а обратил
внимание на то, что во всех вопросах арифме
ти·ки чрезвычаiiно важную рош, играют про
стые. чисда: 2, 3, 5, 7 , 11, 13, 17, ...
Он попы
тался найти таI\ую формуJiу, 1юторая при
подстановне вместо п целых чисел 1, 2, 3, 4, ...
давала бы толы{о простые числа. Ферма пола-
гал, чть именно таким будет выражение 22n+1.
Но·чц�ез 100 лет Л. Эйлер 3аметил, что хотя прл
481-

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
n = O, 1, 2, 3, 4 формула и будет давать про
стые числа 3, 5, 17, 257 , 65 837 , однако при
п = 5 получается число 4 294 967 297 , которое
делится на 641 . Числа вида 2 2п +1 носят теперь
название чисел Фер ма . Они встречаются во мно
гих исследова ниях по теории чисел . Однако до
сих пор неизвестно, имеется ли среди этих чи
сел бесконечно много простых или нет .
2. В поисках критерия для определения того,
является ли данное число простым, Ферма на
шел следующую · замечательную теорему: есл и
п - простое число и а - целое число, которое
не делится на п , то ап-1 -1 нацело делится на п.
Так, например, 56- 1 без остатка де лится на
7, а 74-1 делится на 5. Но 211 -1 не будет де
литься па 6, следовательно, число 6 не простое.
Эта теорема получила название малой теоремh!
Ферма. Она был а впервые доказана Л. Эйлером,
и тепер ь известно много ее различных доказа
тельств. Опа играет фундаментальную роль
при исследовании пробл ем теi:>рии чисел и тео
рии групп .
3. Еще большую известность, чем «малая»,
получила «больша я», или «великая», теорема
Ферма, в 1\оторой утверждается, что уравнение
(1)
не имеет целых решений, если тол ько п>2.
Сл у чай п=2 был расс мотрен еще в древности;
тогда же бы ло доказано, что решений у такого
уравнения будет бесконечно много. На пол ях
«Арифметики» александрийского математика
Диофанта, где излагалась эта задача, Ферма
записал свою «великую» теорему. Он добавил , что
нашел для нее «поистине чудесное доказател ь
ство», однако не может его записать из- за недо
статка места. С тех пор прошло около 400 лет , но
общее доказат ельство «ве.11шой» теоремы до сих
пор не найдено .
Интересна ее судьба . С одной сто
.
роны, ма
тематики, стараясь доказать теорему, развивали
вее более и более тонкие методы, открывали
новые обширные области для исследований .
В настоящее время теорема доказана для всех
п:s;
;
10 ООО.
С другой стороны, эта теорема получил а
боль.тую известность среди неспец иалистов. Их
привлекала простота формулировки, а также
загадочное замечаиие Ферма о на йденном им
«чудесном» доказательстве . Сотни людей тра
тили 11 до сих пор тратят свое время и силы,
пытаясь доказать «великую» теорему элемен•
тарными средствами, ничего не зная об истории
этой теоремы и о ее взаимосвя зя х с современ-
482
ными математическими теория ми . Быть может ,
ни одна из теорем математи1\и не принесл а
людям так много гор ьких разочарований и об 
манутых надежд. Теперь уже ясно, что людя м,
незнакомым с современной высшей математи
кой, не следует приниматься за доказательство
эт ой теоремы.
4. «Великая» теорема представл яет собой
одну из задач так называемого диофантова
анал иза . Уравнение с двумя или более неизвест
ными, как, например, xn + yn = zn , называется
неопредел енным. Одна из главных задач дио
фантова анализа: узнать, имеет ли заданное
неопределенное уравнение с целыми коэффи
циентами целые решения или нет, а есл и реше
ния имеют ся, то конечное ли их число или бес
конечное и в последнем случае постараться оп
ределить их все (например, так, как это было
сдел ано в др евности дл я уравнения (1) пр и.
n = 2) . Сам Ферма исследовал неопредел енное
уравнение
х2-ау2=±1.
(2)
В «Начал аю> Евклида говорится, как найти
бесконечное множество решений уравнения
х2-2у2=±1
исх одя из наименьшего: х0=1 , у0 =1. Сле 
дующее решение будет: х1 =х0+2у0 = 3 ; у1 = х0+
+у0=2.И вообще, если хn,Уn - решение, то из
него можно получить следующее решение по
формулам:
Хпн=Xn+2yn,
Yn+l=Xn+Уп•
Ферма исследовал уравнение (2) пр и любом
целом неквадратном а. В одном из своих писем он
поставил перед мат ематиками следующие задачи:
1) дат ь способ нахождения наименьшего ре ше
ния этого уравнения ; 2) найти формулы дл я
нахождения всех остальных решений, если
наименьшее уже известно. Сам Ферма, безус
ловно , владел методом р ешения обеих задач.
Чтобы узнать, имеется ли метод у других ма
тематиков, он нарочно выбрал такие значения ·
а, для которых наименьшее реmение очень
велико, и поэтому его трудно найти прост ым
подбор ом.
Исчерпывающее решение обеих задач было '
получено тол ько Л. Эйлером и Ж. Лагр анжем
в XVIII в.
Мы остановились здесь только на несколь
ких пр облемах, которыми занимался великий
математик . Но и их достаточно , чт о бы оценит ь
силу его гения .
•

ИСААК НЬЮТОН
Трудно найти другого человека, который
оказал бы столь сильное влияние на историю
мировой науки и ку.пьтуры , как Ньютон.
Известный математик и историк науки
Б. Л. Ван-дер-Варден пишет в своей книге
« Пробуждающаяся наука» : (< Каждый естество
испытатель безусловно согласится, что меха
ника Ньютона есть основа современной физики.
Каждый астроном знает, что современная аст
рономия начинается с Кеплера и Ньютона.
И каждый математик знает , что самым значи
тельным и наиболее важным для физики отде
лом современной математики является анализ ,
в основе которого леж-ат дифференциальное и
интегральное исчисления Ньютона. Следова
тельно , труды Ньютона являются основой
огромной части точных наук нашего времени)>.
И не только наук: «Математика и техника влия
ют даже на нашу духовную жизнь, и настолыю ,
что мы редко можем представить это себе под 
ностью. Вслед за необычайным взлетом , кото
рое пережило в XVIl веке естествознание , по
СJ1едовал неизбежно рационализм XVII I века,
обожествление разума, упадок религии... Кто
отдает себе отчет в том,- спрашивает автор ,
что с исторической точки зрения Ньютон являет
ся самой значительной фигурой XVII века?>>
Но, может быть , еще ярче значение Ньютона
передает эпиграмма XVI l 1 в.:
Был этот мир глубоной тьмой онутан,
Да будет свет! И вот явился Ньютон.
Исаак Ньютон родю1ся в 1643 г. в дере вне
Вульсторп близ г. Грэнтэма. Отец его был небо
гатым фермером. Жизнь Ньютона совпала с
бурными событиями в истории Англии: ревоJ1 ю
ция и гражданская война 1640-1648 гг. , казн ь
нороля Карла 1, правление Кромвеля, рестав
рация Стюартов, вторая «бе скровнаю> рево
люция, установление конституционной монар
хии - вот неполный их перечень. Однако
внешне она протекала спокойно и размеренно.
Мальчик посещал сначала сельсную школу ,
а 12 лет его отправили учиться в ближайший
город. Директор школы обратил внима.ние на
способного мальчика и уговорил мать Ньют.она
отправить сына учиться в Кембриджский универ
ситет. Ньютон был принят туда в качестве бед
ного студента, обязанного прислуживать бака
лаврам , магистрам и студентам старших курсов.
В университете Ньютон сразу реши.:� посвя
тить себя физике и математике. Он изучал тру
ды Ев1чшда , Р. Декарта, Дж . Валли са. Кафедру
31*
ИСААК НЬЮТОН
Исаак Ньюто11 .
математики занимал тогда молодой блестящий
ученый Исаю\ Барроу. Он скоро cтaJI не только
учителем , но и другом Ньютон а, а спустя не
сколько лет уступил своему великому ученику
кафедру математики. К этому времени Ньютон
получил уже степени бакалавра и магистра,
но материальные затруднения не оставили его.
Только получение кафедры дало возмож
ность Ньютону продолжить свои научные иссле
дования.
Трудно представить себе всю интенсивность
умственной работы молодого ученого. Наибо
лее поразительными в его жизни были 1665-
1667 годы. В это время в Англии свирепствовала
чума и Ньютон жил в родном Вульсторпе.
Именно здесь, в деревенсной тиши , молодой
Ньютон сделал почти все свои вели кие открытия
483

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
в физюtе и математике . Уже в это время он
открыл закон всемирного тяготения и при
ступил к исследованию с его помощью законов
движения планет . Правда , полное подт ве рж
дение своему откр ытию Ньютон получил только
в 1672 г., когда было проведено более точное
изме рение градуса мер идиана .
·
в те же 1665-
1667 гг . он открыл дисперсию свет а и начал
конструировать зе ркальный телескоп-рефле1t
тор . В нем впервые получилось чет кое изобра_:
жение п редмета, без цветного венчика , которыи
давали все прежние телескопы.
Одновременно Ньютон работал над со зда
нием математ ического аппар ат а, с помощью 1ю
торого можно было бы исследовать и выр ажать
з аконы физики . Такого аппарата еще не было ,
и к аждый ученый придумывал свои методы ,
обобща я и применяя сделанное еще Архиме;
до м. Ньютон пер вый построю� дифференциаль
ное и интегральное исчисления (он назвал
его методом флюксий) . Это с р азу позволило
решать самые разнообравньlе , математические
и физиче ские , задачи . Д о Ньютона многие функ
ции определ ялись только геометрически, так
что к ним не возможно было применять алгебру
и новое исчисление флюксий . Ньютон нашел
новый общий метод аналитического представ
ления функций - он ввел в математику и на
чал систематически применять бесконечные
ряды .
Поясним эту идею Ньютона . Известно , чт о
любое действител ьное число можно предста вить
де сятично й дробью - нонечной или бесконеч
ной . Тан , например:
7
1
_1-
40=0,175; 3=0,333
.
.
.
; v2=1,412...
Это зн ачит , что любое число а можно предста
вить в виде :
(1 .)
'
1)-'
а== N+а1 10+а2(w +···+
.
+ап(1�)п+
.
..
'
гдеN-целаЯчасть,а а1• а2,•••
, an,
·
· · могут
принщщть одно из значениi'�О,1,2,3,4,5,6,
7, 8, 9. По ан алогии с таним представлением
чисел Ньютон предп оложил , что любая фуннция
'
Pr х, напрu�1ер-,(1 +х, sinx, log(1 +х), может
быть представлена как бесконечный многочлен
.
.
u
.1
или ряд , расп оложенныв: уже не по степеням 10 ,
'
.
.
а tю степеням х:
гдеal' а2, •••, ап,
...
-
коэффициенты, которые каж
д ы и раз доJrжны быть оп реде.1 ены. Приме ром
такого ряда м ожет служиrь известная на!'<! гео
метрическая прогрессия :
t�х == 1+х+
х2-+·.т3+...+х11+...
Предста вление функции . с по!'<lощью р яда
очень удобно . С помощью рядов , как писал
Ньютон , «удается преодолет ь трудн ости , в дру
гом виде представляющиеся почти неодол и
мыми� .
Ньютон нашел осно вные пр иемы разложе 
ния функций в ряды и пока зал , 1t ак применять
ряды � математиче ских исследо ваниях. Он на
шел ряды для предст а вления всех и звестны х
r--
B то время функций: t ах+Ь, тригонометри-
ческих и обратных тригономет риче ских функ
ций , показател ьной функции , логарифма , функ
ций , заданных с помощью алгебраичесюrх урав
нений .
Занятия так поглощали Ньютона , что он
совершенно забывал об окруж ающем . Сохра
нилось немало анекдотов о его басносл овной
рассе я нн ости . А когда Ньютона однажды сп р о
сили, как он мог решать столь трудные п робле
мы , он от.вет ил : «Постоянн ым ра змышлением
О НИХ!> .
Вернувшие�, в Кембридж , Ньютон изложил
пис ьменно свои математические открытия , но
не спешил опубл иковать их . О части своих ис
следований он рассказывал в лекциях по оп
т ю> е, другая
'
част ь
'
была известна Jt.t атематикам
толыю по ру1юписям Ньютона . Первые чисто ма
тематические работы Ньютона увидели свет толь
ко • в 1704 и 1711 гг., самая значительная из
н нх - «Метод флюrtсиii и бесн онечных рядов*
был а опубликована � только после смерти
уче·но го .
В 1672 г. Ньютон б ыл избран членом Лон
донского королевс1юго обще ства , за конст рук
цию теле'Скопа-рефлектора , а с 1703 r. он стано
в ит ся• президе нтом этого общества и остается
ИМ ДО КОНЦа ЖltЗНИ .
.
, ЕЩе в 1680 г. Ньютон , уступая пастояте.rrь-
.
ным требов аниям своих друзей-ученых , rrр1f
ступи.я к работе над книгой «Математ11чес1ш е
начала · натуральной фило софии» , в 1юторой
задумал :изложить своiо систему мира. Работа
проДолжаласЕ> ок оло 5 лет . Об этом периоде
жизни Ньютона сох ранились · запис11 его 'сек
ретаря. По его словам, Ньютон был в то время
спокt>йнШМ: , приветливым, никогда. не впада л
в раз,цражение, Почти ' никуда не выходил ·мз
своей· к'омнtt.ты , никогда не· садился ·обедать без

мно гократных напоминаний и чаще все го ел
наспех и стоя, спал не более 4 или 5 часов в
сутки и кажды й час , не посвященный зан ятиям ,
считал потерянным . В 1687 г. .
кн ига была
опубл икова на. Помимо работы над «Н ача
лами» , Ньютон много времени посвящал тог.
да химическим опытам. Он был великолеп
ным экспериментатором .
П<> единодуш ному мнению физико в, в исто
рии естест вознания не было более крупного со
бытия, че м появление Ньютоновых «Нача л» .
В нескол ьких словах трудно передать все ве
личие это й книги. Положив в основу аксиомы
движени я, которые теперь известны под на
званием трех законов Ньютона, и закон все
мирного тяготения , Ньютон выводит чисто
математически все осно вные известные в то
время факты ме ханики земных и небесных тел :
законы движения точки и твердого тела, Кеп
леровы законы движения планет (Кеплер уст а
новил их на основании наблюдений) , закон дви
жения Л уны , явления приливов и отливов, фор
му орбит комет , стр оит начала гидродинамики.
По выражению Д. И. Менделее ва , Ньюто ном
впер вые было показано , что возможно с единой
точки зрения «ох ватить весь механизм мировых
явлений - от вращения неподвижных звезд до
перемещения химических атомов» .
Для построения такой системы в то время
не было еще дост аточного математического ап
парата , поэтому в начале своей 1ш иги Ньютон
ст роит новую математическую теорию - уче
ние о пределах .
«Начала» произвели сильнейшее впечатле
ние на современников , и еще при жизни Н ью
тона они издавались 3 раза. Сто лет спустя
Ж. Лагранж писал : «Ньютон был величайшцй
гений из всех.,
. 1ю гда-л ибо существовавших ,.и
самый счастл ивый , ибо только однажды дано
чел овеку открыть систему мира» .
Уже будучи президе нтом Лондонского но
роле вско го обще ства , Ньютон пишет труды , за
думанные еще в юности. Среди них - «Опти
ка» , к которой ученый при1,1Qжил два замеча
тельных с()чине ния по математике ,-
«0 квад
ратуре кривых» и «ПеречисJ1е ние кривых трет1;>
{JГО п()р11дка». Первое из щ1х посвящено вQр:
рuсам дифференциального и инте грального и.с 
числений , а . второе � 1щуче нию свойс:гв .кри
в1ц третьего дорядка . Все значение эN го до
следщэ го сочи.нения было цонято толь.ко .в
XIX в., ко гда получи,!J:а развитие алгебраи�е-
ская геомет рия.
.
.
Умер Н�эютоп :в 1727 г. в возрасте �4 . леr .
Он . до посщщн,их дней cвoeii: жи;щ11 не пре,кра"
Г ОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕИБНИЦ
щал научных исследо ваний, как теоретических ,
так и э.кспериментальных.
Вот что говорил сам Ньютон о своем твор
че стве : «Не знаю , . как на меня посмотрит мир,
но самому себе я представляюсь мальчиком ,
играющим на морском берегу и приходящим
в восхищение , f{огда ему удается порой найти
более гладкий , нежели обыкновенно , камуше к
или .красивую раковину; между те м громадный
океан сокровенной истины простирается пере
до МНОЮ» .
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛ ЬМ
ЛЕЙБНИЦ
•
Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Гер
мании в г. Лейпциге в 1646 г. Любознательный
мальчик уже 6 лет вел интересные беседы п о
и стории со своим отцоl\1, профессором Лейп
цигского университета. К 12 годам он хо рошо
изучил латинский язык и увлекся древнегре
ческим. О собенно его инте ресовали древние
философы, и он мог подолгу размышлять о
фил осо фских теориях А ристотеля или Демокри�
т а. В 15 лет Лейбниц поступает в Лейпцигский
универсиrет, где усердно изучае т право и фи
лософию. Он очень м ного читает , среди его лю
бимых книг - книги Р. Декарта , Г. Галиле я ,
И. Кеплера и Кампанеллы. Свои .колоссальные
зн ан ия по математике Л е йбниц приобрел само
учкой. Через три года , онончив у ниверситет ,
Лейбниц поки нул Лейпциг . Он был обижен
от.каз ом ученого совета университеrа присво
ить ему степень д окто ра прав . О тказ объ яс
шши тём , что Лейбниц был ... слишком м олод!
Началась жизнь , полная напряже нног о
труда и много.чис�е нных :п утешествий. Легк о
<;�бе цредстющть, как неуд?бн<> ,б,ыло пуrеmест
вовать в неуклюжих кареrа� лq тряским до р<;�
гам: Е.�ропм тех времен. Лейбниц умел не терять
времени даром -:-
-
м иог() удачных.мысле й при
шло ему в голо13у щt1енно во время этих п родоJJ
жительпЬ1х поездок . Лейбщщ отличался ИС1\ЛIО
-ч11тельной способностью быстро «входитм в 3а
дачу ц реп;�:а:гь ее наИбщ1ее ·общим способо� .
Однако .г енцf!.льных иде й nриходило 11 г о J1 ову
Лейбницу бол �щ� , чем он успевал их з ацисъi
вать. Чувствуя , чrо в�е это бо гаrство мыслей
ему не ус-�еть перерабоrаrь в яс;нь1е ц за��ерще1f
ные теории, ЛеЩ5нцц часrо ограничивался с ооб
щени.еl\1 тоЛ:J>I\О сути идеи. Тащщ, «охота» за
J[деям;И .бЬща rю дуще �ейб1Jицу. Он щутшщо
срав11ива.л се,61' �· тигром , , о . .ко�9рр1" р а.сска зы-

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
Готфрид Вил ьrельм Лейбниц.
вают, что если этот зверь не схватит чего-л ибо
в первый, второй и ли третий прыжок , то п ре
доставляет добыче убежать.
Люди, .т1ич1ю зн авшие Лейбница , писали о
нем нак о мягком и отзывчивом человеке , очен ь
СI\ромном в своих привычках. Лейбниц был дип
л о матом , надворным советником, воспитателем
нняжесю1х детей , историографом . Почти все
время он работаJI при дворах немецких г осу
дарей, князей и герцог о в. Но он всегда помнил
о своей любимой науке . Он умел извлекать мн о
го пощJзного и з любого дел а , любого знаком
ства . Лейбниц хорошо п онимал , что дл я усш'ш
ного развития науни необходимы специальные
научн ые обще ства, академии , в кото рых уче
ные могли бы свободно обмениваться мн ени
ями . По предложению Лейбница в 1700 г.
основывается Берлинская академия наук , в ко
торой ему предоставляют п очетное место пер
вого президента . Он хлопочет о создании а1\а
демий в других г ородах Европы и даже все
евро пейской академии наук. Неоднократные
беседы Лейбница с Петром 1 о развитии наук
в России имели большое значение для орга
низации Петербургской академии наук . Петр 1
в зн ак признания заслуг Лейбница сдел ал его
тайным с о ветником.
Удивител ьный ум Лейбница породил боль
шое кол ичество плодотворных иде й почти во
всех областях чело веческих знаний. В физике
Лейбниц сформулировал основной закон сох ра
нения кинетической эне ргии , как он ее назы-
u
mv2 с
лuб
ва.ц, «живои силы»: 2 . 1·араниями еи ница
был положен нонец путанице с налендарями
н Германии и был прин ят более точный григо
рианский календа рь. Размышляя над философ
сними и математичес кими вопросами , Лейб
ниц убедился , что самым надежным средством
искать и находить истину в науне может стать
математика . Всю свою с о знател ьную ж изн ь
он стремился выразить законы мышлен ия, че.1 0 -
веческую способность думать н виде математи
ческого исчисления . Для этого необходимо ,
учил Лейбниц , уметь обозначать любые пон я
тия или идеи определенными символами , ком
бинируя их в осо бые формул ы, и сводить пра
вила мышления к правилам в вычислениях по
этим символическим формулам. Заменяя обыч
ные слова четко определенными символами ,
Лейбниц стремился избавить наши рассуж
дения от всякой неопределенности и возмож-
1ю сти ошибиться самому или вводить в забл уж
дение других. Если, мечтал Лейбниц, между
людьми возникнут разногласия, то решатьс я
они будут не в дл инных и утомител ьных спо
рах , а так , кан решаются задачи ил и до.1>азыва
ютс я теоремы . Спорщики воз ьмут в руки перья
и, сказав : «Начне м вычислять!>) - примутся
за расчеты .
Необыкновенн ая сила этой мысли прояви
лась прежде всего в творчестве самого Лейб
ница . При помощи своего ун иверсальн ого ис
числения Лейбниц значител ьно расширил об
ласть математики .
Лейбниц, одновременно с Ньютоном и не зави
сш1ю от него , открыл основные принципы диффе
ренциального и интегрального исчислен ий . Эти
исчисления теперь называют математичесним
анали з ом. Тео рия приобрел а свою силу п ос
ле тог о, как Лейбницем и Нью тоном было д она
зано, что дифференцирование и интегрирова-

ние - взаимно обратные операции. Об этом
с войст ве хорошо з на л и Ньютон . Но только
Л ейбн иц увидел здесь ту замечательную возм ож
н ость, которую открывает пр именение с имвол и
ческого метод а.
Любой человек, изучив небольшое число
правил действия с символа ми, обозначающими
операци и дифференцирования и интегрирова
ния, ст ановится обладателем мощного матема
тического метода. В на ше время такие символы
операций называют операторами . Операторы
дифференцирова ния d( ) и интегр ирования
. f ( ) dx действуют на функц ии, «перерабатываю>
их в другие, точно выч исляемые функции ( см .
статью « И нтеграл и производ ная») . Лейбниц
разрабатывает особую алгебру действ ий с эти
ми операторами . Он доказывает, что обычное
число а можно выносить з а знак оператора:
d(af(х)) = ad·(f(х)).
Одинаковые операторы можно выносить за скоб
ну:
или :
d(f(х))+d(rp(х)) =d(f(х)+rp(х))
S(f(х))dx+J(qi(х))dx=
= ,f(f(х)+rp(х))dx.
Сокращенно все переч исленные свойства
м ожно выразить соотношен ием:
d(af(х)+�rp(х)) = ad(f(х))+�d(rp(х)),
гдеаи�-числа.
Операторы, которые обл адают таким сво й
с твом, называются линейными . Теория линей
ных операторов, которую с таким успехом на
чал развивать Лейбниц, в современной матема
тике является хорошо раз работанной и полез
ной в прил ожен иях теор ией.
Многократное
пр именение
операторов
можно пон имать как степень оператора ; на
пример, для d( ):
d(d(...d(f(х)))=dn(f(х)).
п раз
То, что основные операторы математиче
ского анализа являются вза и мно обратными ,
Лейбниц подчеркивает своей символ икой , утвер
ждая, что d(x) и J( )dxтак же взаимно обрат
ны, как степени и корни в обыкновенном исчис
лении. Употребляют так же обозначение, ана
лог ичное обозначению а-1
числа, обратного а,
причем про изведение а - а
-1
= 1. Обозначая опе 
раторы: d-1 ()=S()dx или, наоборот:
s-1< >dx=dо
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕПБНИЦ
и пон имая под их произведением последова
тельное их применение, имеем :
.
d-1 (df(х))=S-1 (s1(х)dx)=f(х),
т. е . произведение есть «единица» , не меняющая
функцию .
Анал изируя правила логики , правила рас
суждений, Лейбниц увидел, что и здесь можно
пр именить под ходящую символ ику и свести раз
нообразные пр иемы умозаключений к неболь
шому числу точно определенных операций. Та
кое исчисление умозаключений, или , как его
тепер ь называют, алгебра логики, в наши дни
пр и обрело большое значение. На его основе
создаются современные электронные вычисли
тельные ма шины; теория таких «думающих» ав
томатов имеет большое принципиальное значе
ние. Всю Вселенную Лейбниц рассматр ивал как
гигантский кибернетический автомат. Отме
чая роль, которую сыграли идеи Лейбница для
кибернетики, творец кибернетюш Н. Винер
в шу тку писал : (<Если бы мне пр ишлось выби
рать в анналах истор ии наук св ятого - покр()
вител я кибернетики, то я выбрал бы Лейбница» .
Сам Л ейбниц также стремился воплотить
в машине свои мысли о механизации и автомати
зации мысл ительных процессов . Он построил
металл ическую счетную ма шину, которая могла
складывать, вычитать и умножать целые ч исла .
Эта счетная машина произвела большое впечат
ление на ученых того времени . После того как
Лейбниц показал свою ма шину в Англ и йской
академи и наук, так называемом Лондонском
королевском обществе, его избрали загран ич
ным членом этого общества.
Поиски операторов и исчислений в области
си'tтем алгебраических уравнений первой сте
пени со мног ими неизвестными пр ивели Лейб
ница .. к созданию нового важного понятия -
определителя системы таких уравне
ний. О том, что такое определитель, можно
подробно узнать в любом курсе высшей алгеб
ры. В наши дни определитель ста л совершенно
необходимым инструментом как в са мой мате-
111 атике, так и в разнообразнейших ее пр име
нениях.
Необыкновенная прон и цательность Лейб
ница сказывается и в его отношении к матема
тическим играм. Он писал: (< Мы часто заме
чал и, что люди проявляют более всего 11зобре
тательности в играх, и поэтому математические
игры заслуживают внимания ... потому что раз
вивают находчивостм. В другом месте Л ейбниц
пишет: « . . . игры, как требующие ловкости , та �\
и основанные н а случайности , дают громад-

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИRИ
ный. материал для научных заю1тий» . ·
Слова
ученого оназались пророчесними � со времен
ная математичесная тео рия игр имеет огромное
з начение не тольно для математини, но и для
э1юномини , военного дела и· многих других
областей человечес1юй деятельности .
Смысл · всей своей жизни Лейбниц видел
в умственном тво рчестве , в со здании общедо
ступных идей, поле зных челове1<у в познании
природы . Надо сказать , что он был честолюбив
и очень чувствителен н признанию своих дейст
вительных заслуг перед наукой . Тем больнее был
дл я него печально знаменитый спо р с И. Нью-
тоном о приоритете создания математического
анализа . И совсем тяжелыми были п оследние
годы жизни , когдu старый и больной Лейбниц
умирал , забытый всеми . Т о лько необычайная
в оля к труду и, нак всегда , ясная мысль скра""'
шивали его одиночество . Он уме р в ноябре
1716 г. Его смерть не была отмечена ни в Бер
линской, ни в Английской акаде мии . Его био
граф пишет, что он был похоронен как нищий,
а не как выдающи йся гений Германии . Толъко
спустя много лет в его родном городе была по
ставлена статуя Лейбница . Но истинным памят
ником Лейбницу являются его математические
идеи, которые и в наши дни продолжают при
носить чудесные плоды на благо ч ело века.
•
.ЛЕОПАРД �ЙЛЕР
Этот нрупнейший математик XVПI столетня
родился в швейцарском городе Базеле в 1707 г.
Отец его был пастором и хотел , чтобы сын тоже
стал священнююм. В Базельском университете
Леонард Эйлер штудировал богословие и древ
ние языки, но слушал так же лекции п о мате 
матике профессора Иоганна Бернулли , знаме
н итого ученого , ·принадлежавшего к научной
шк оле Лейбница .
Заметив бл естящие · способно сти своего слу
ша теля , Бернулли стал с ним заниматься до
полнительно . Вско ре математика nде ржала верх
над богословием, и жизненное призвание Лео
нарда определилось окончательн о .
В до ме своего наставника Леонард Эйлер
завязал дружбу с его сыновьями Даниилом
и Никол а ем, также даровитыми математпк а�rи .
В маленыюй Швейцарии подходяще й должн о- ·
сти дл я трех друзей не нашлось. 1\ счастью ,
в· то время в столице России ..
.._
Пете р·бурrе
готовилось учреждение Академии нау1<" и всем
троим удалось по луч.И.т1:1 приглашение· на ра-
488 '
боту в· не й. Петербургсная академ.1
1
я (ныне А1<З:
де мия наук СССР) была открыта в 1725 г" и в
том же году приехали в Р о ссию братья Бернул
л и. Эйлер прибыл в Петербург нескольно позд
нее , весной 1727 г.
Ему было всего 20 лет , но математические
дарования чаще всего ярко проявляются уже
в молодости . В Петербурге Эйлер попал в круr
выдающихся учены х - математиков, физиков
и астрономов , получил широние возможности
для издания трудов, полное мате риальное обес
печение . Он с увлечением принялся: за работу ,
и в.ученых записнах анаде мип появляются его
статьи , привлекающие интерес ученых всей
Европы . А всноре он становится , по единодуш
ному признанию совре меншпюв, первым мате
матиком мира .
Деятельность Эйлера в Петербурге не огра
ничилась тео ретичесними исследованиями в ма
тематике и механике . В течение нескольких
лет он работает в географичес1юм отде ле ака
демии над усовершенствованием нарт России .
Он пишет большой, двухтомный труд по тео рии
кораблестроения и норабле вождения и одно
време нно публикует ннигу по те ории музыки.
Ученый веде т занятия со студентами униве рси
тета при анадемии и пишет уче бник арифметики
для школьюшов . Он неоднонратно участвует в
разлИЧных номиссиях по техническим вопро
сам . Отдавая всю свою нипучую эне ргию ана
де мии ; Эйлер открыто приз навал , что всем, чем
стал , он о бязан прежде всего пребыванию в не й.
Неустойчивое и тревожное поло жение , соз
д�вшееся во время регентства Анны Леополь
довны, заставило Эйлера в 1741 . г. перейти на
работу в Берлинсную анадемию наук . При этом
он со хранил самые тесные связи с Россией.
Эйлер регулярно печатает в изданиях Петер
бургской анадемии примерно пол овину своих
статей, редактирует математичесний отдел ее
ученьiх записок , сообщает в своих частых пись
мах научные новости и т. д. Годами в берлин
ском доме Эйлера жили м олодые русс1ше уче
ные , с ноторыми он вел з анятия. Положение
д ел в Берлинсной анадемии наук во многом не
удоilле творяло Эйлера , и в 1766 г. он вернулся
в Пете рбург .
' Последние 1 7 лет жизни Эйлера бь1ли о мра
чены П очти полной потерей зреюrя . Опира
ясь на свои изумител ьные способности , он про
должал творить та.н же интенсивно , как в м о
л одые rодм. Тольно тепе рь он уже ·не писал
с ам , а ДiштоваЛ учен инам, 1{ оторые проводил'н
за него и более громоздние вычисления . О работо
способности Эйлера на сRлоне лет говприт та-

кой феноменальный факт: за 1777 г. он с сек 
ретарем подготовил около 100 статей, т. е . поч 
ти по 2 статьи в неделю! Ногда Эйлер бодрство
вал, он разм ышлял, иногда отвлекаясь для бесе
ды с друзьями и отдыха в кругу семьи. А когда
он мыслил, он творил. Этот неустанный твор
ческий труд окончился лишь с жизнью Эйле
ра - 18 сентября 1783 г.
Научное творчество
Эйлера поражает
своей плодовитостью. Он оставил более 800 тру
дов, причем многие из них -большие книг11
в 2-3 томах. При жизни Эйлера статьи его не
успевали печатать. Шутя он говорил, что ос
тавит для академического журнала работ на
20 лет. Великий математик был превосходным
нычислителем, но в этот раз он просчитался:
посмертные сочинения его печатали еще око
ло 80 лет!
Эйлер был самым плодовитым математиком
всех времен. Он был также и самым разносто
ронним, так нак занимался всеми вопросами
современной ему математики и ее приложений,
а некоторые отделы начал разрабатывать впер
вые. Теория чисел и теория движения Луны,
геометрия и оптические приборы, алгебра и
сопротивление материалов, тригонометрия и
баллистrша - все это и многое другое интере
совало его.
Человечество обязано Эйлеру многими цен
ными изобретенияr.ш, усовершенстнованиями и
техническими теориями. Он заложил основы
современной техники изготовления ахромати
ческих зрительных приборов, которые дают
изображения, свободные от искажающего рас
сеяния цветов, благодаря подбору линз с раз
личными показателями преломления. Он соз
дал первую теорию расчета действия турбин.
Заложил основы теории гироскопа-волчка, ко
торая играет очень большую роль в современ
ной технике. Но, как ни важны эти заслуги
Эйлера, главным в его жизни быJiа разработка
проблем математики. Ей он посвятил около
315 сочинений и обогатил эту науку множеством
новых теорем, формул, методов, частных тео
рий и несколькими новыми большими отделами.
01\оло 150 работ посвятил Эйлер теории
чисел. Значение их точно выразил великий рус
ский математик П. Л. Чебышев, продолживший
многие исследования Эйлера: «Эти изыскания
требовали новых приемов, открытия новых на
чал, одним словом, основания новой науки.
Это было сделано Эйлером)).
В геометрии Эйлер положил начало со
вершенно новой области исследований, вырос
шей впоследствии в большую и важную науку-
•3"-Д.э.т.2
ЛЕОПАРД ЭПЛЕР
Леонард Эйлер.
топологию, которая изучает общие свойства
пространства и фигур. Приведем два замеча
тельных открытия Эйлера, относящихся к топо
логии.
Первое из них - решение задачи о мостах.
Река. образует острова, и через два речных
рукава перекинуто 7 мостов. Спрашивается,
можно ди пройти все 7 мостов так, чтобы каж
дый был пройден по одному лишь разу. Эйлер
поназал, что это невозможно, и рассмотрел
более общую задачу, в которой речь идет о лю
бом числе местностей, как-либо разделенных
рукавами рек и соединенных мостами. Задачу
о мостах часто формулируют несколько по-ино
му, спрашивая, можно ли описать ш�которую
данную фигуру, составленную из прямых отрез
ков или дуг кривых, так, чтобы каждое звено
было пройдено один, и то.-:rько один, раз.
Другое открытие представляет важную тео
рему учения о многогранниках: Эйлер устано-
489

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
вил и до1<азал, что числа вершин В, ребер Р
и граней Г вся1<ого многогранни1<а, в котором
нет дыр, связаны формулой: В+ Г = Р + 2.
Главной областью математических работ
Эйлера был математический анализ, т. е . диф
ференциальное и интегральное исчисления и це
лый ряд других при:мыкающих I< ним нау1<. Здесь
невозможно даже в1<ратце перечислить от1<ры
тия Эйлера в этой области. Уномянем толь1<0,
что он от1<рыл удивительную зависимость между
тригонометричес1<ими фун1<циями (синусом и
1<осинусом) и по1<азательной фун1<цией &":
ext=cosx+isinx, где i= У -1
.
Вместе с тем Эйлер впервые разработал об
щее учение о логарифмической функции, соглас
но которому все 1<омпле1<сные числа, 1<роме нуля,
имеют логарифмы, причем 1<аждому числу соdт
ветствует бесчисленное множество значений ло
гарифма.
Знаменитый французский ученый П. Лаплас
говорил: «Читайте, читайте Эйлера, он наш
общий учитель». Действительно, по математиче
сним руноводствам Эйлера: «Введение в анализ»,
«Дифференциальное исчисление», «Интеграль
ное исчисление», «Универсальная арифметика>)
(т. е . алгебра) , по его 1<нигам по механи1<е и
физи1<е училось нес1<оль1<0 поколений. Главное
содержание этих книг вошло и в современные
учебнини.
Все сочинения Эйлера написаны очень до
ступно и увле1<ательно. Юный любитель мате
мати1<и может с пользой и интересом прочитать,
1<онечно с 1<арандашом в ру1<е, первую часть
«Введения в анализ>). Она читается не та1< быст
ро, 1<а1< пр111<люченческий роман, но с таким же
увлечением.
•
КАР,}1 ФРНДРНХ ГАУСС
Карл Фридрих Гаусс родился в 1777 г.
в небольшом немецком городе Брауншвейге.
Отец его был водопроводчиком и в своем горо
де был известен как хороший вычислитель, та1<
что его часто приглашали для ведения расчетов.
Маленький Карл Фридрих очень рано обна
ружил поразительные способности к счету.
Впоследствии Гаусс говорил друзьям, что он
научился раньше считать, чем говорить. Рас
сказывают, что, когда ребенку было 3 года, про
изошел следующий удивительный случай: 1<ак
то в присутствии сына отец производил расчет,
сколько следует заплатить за работу каменщи-
490
кам, учитывая, что некоторые из них работали
и в обеденные часы. О1<ончив счет, он собирался
уже приступить к выплате денег, 1<ак вдруг
маленький Карл сказал, что расчет неверен и
должно быть столько-то. Оказывается, мальчик
в уме повторял все выклад1<и отца. Велико было
удивление последнего, когда, проверив снова
счет, он убедился, что сын прав!
Семи лет Гаусс поступил в народную школу.
Первые два года, пока учили чтению и пись
му, мальчик не выделялся среди других. Но на
третьем году началась арифметика, - тут-то и
проявились его замечательные способности.
Учитель как-то задал мальчикам сосчитать
сумму чисел: 1+2+3+...+40. В то время как
другие ученики принялись подряд с1<ладывать
числа, Гаусс почти сразу подал учителю свою
грифельную доску с правильным ответом. Он
заметил, что числа, стоящие на одинаковом
расстоянии от начала и 1<онца, дают при сло
жении одина1<овое число:
1+40=2+39=3+38= ...=20+21=41.
Но всего таких пар чисел будет 20, следователь
но, искомая сумма равна: 41. 20 = 820.
В это время на мальчика обратил внима
ние молодой помощник учителя Бартельс.
Он начал вместе с Гауссом читать 1<ниги по ма
темати1<е. Он же сумел заинтересовать герцога
Браунmвейского, рассказав ему о математичес1<ой
одаренности мальчика, и добился, чтобы Гауссу
была оказана материальная помощь и он смог
продолжать учение.
В гимназии Гаусс очень быстро овладел древ
ними языками и изучил несколь1<0 европейских.
О1<ончив ее, юноша поступил в 1795 г. в Гёт
тингенс1<ий университет. Первое время он по
сещал лекции и по математи1<е, и по филоло
гии, не зная, что ему избрать. В это время
у Гаусса были уже собственные математические
результаты и он самостоятельно изучал вели1<ие
творения И. Ньютона, Ж. Лагранжа и Л. Эйле 
ра. Однако посвятить себя математи1<е Гаусс решил
толь1<0 после своего знаменитого открытия о
возможности построения правильного 17-уголь
ника с помощью циркуля_ и линейки. Откры
тие 19-летнего Гаусса произвело сенсацию:
после Евклида, указавшего способы постро
ения правильных многоугольников с чис
лом сторон 3,4,5, 3·2k, 5.2k, 4.2k, 15, ни
одному математи1<у не удавалось продол
жить этот ряд, хотя эта проблема занимала
очень многих. Гаусс дал полное решение
проблемы,
доказав,
что если п - про-
стое число вида 22
к
+ 1, то соответствующий

п-угольник может быть построен циркулем и
линейкой. В частности, полагая k =О, 1, 2, 3,
получим, что правильные 3-, 5-, 17- и 257- уголь
ники можно построить циркулем и линейкой
(а 7-угольник - нельзя). Эта работа была
опубликована в 1801 г.
Как ни замечателен сам факт, открытый Гаус
сом, еще большее значение имел метод, который
он применил. Гаусс связал проблему построе
ния правильных многоугольников с вопросом:
когда корень уравнения xn-1 =О выражается
с помощью одних только квадратных радик
·
а
лов? Гаусс доказал, что это уравшшие всегда
решается в радикалах, а при п простом и имею-
щем вид 22" + 1 корень его выражается с по
мощью одних только квадратных радикалов.
Он развил при этом методы, которые позднее лег
ли в основу теории Галуа.
С этого момента начинается героический пе
риод творчества Гаусса. На следующие 5 лет
падает большая часть его величайших открытий
в теории чисел, алгебре и анализе. Вспоминая
об этом времени, Гаусс говорил, что новые
идеи в таком обилии появлялись у него в голо
ве, что он едва справлялся с ними в сознании,
а коротко записывать успевал только часть
из них. Это же видно и из дневника Гаусса, в
котором он отмечал свои открытия. Так, построе
ние правильного 17 -угольника там датировано
30 марта 1796 г. , а 8 апреля того же года - пер
вое доказательство квадратичного закона вза
имности, одного из основных законов теории
чисел. Этот закон был открыт Л. Эйлером, но
сам Эйлер не смог доказать его. Гаусс дал это
му закону 8 различных доказательств!
В 1797 г. Гаусс предложил новое доказа
тельство основной теоремы алгебры, утверж
дающей, что всякое алгебраическое уравнение
имеет корень (действительный или комплекс
ный}, опубликовав эту работу в 1799 г. За
нее Гауссу была присуждена степень доктора.
Все свои работы по теории чисел Гаусс соб
рал в замечательном сочинении, которое поло
жило начало новой эпохе в истории математи
ки, - «Арифметические исследования» (1801).
Эта книга сразу поставила молодого Гаусса
в ряд таких математиков, как П. Ферма и
Л. Эйлер. В ней впервые строилась теория
сравнений и доказывались важные теоремы тео
рии групп.
Но Гаусс был не только великим математи
ном, пролагавшим своими исследованиями но
вые пути развития этой науки; он был и заме
чательным естествоиспытателем. Так, в 1832-
1833 гг. он построил в Гёттингене элентромаг-
32*
КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС
Карл Фридрих Гаусс,
нитный телеграф. Он основал также первую
в мире магнитную обсерваторию.
Очень рано внимание Гаусса привлекли про
блемы астрономии. Ему удалось определить ор
биту малой планеты Цереры. Решение этой чрез
вычайно сложной математической задачи при
несло 24-летнему Гауссу широкую известность.
В 1807 г. он был приглашен на пост Директора
Гёттингенской обсерватории, который не по
кидал до конца жизни. Одновременно он начал
преподавать астрономию в Гёттингенском уни
верситете. Результаты своих исследований по
астрономии Гаусс объединил в фундаменталь
ном труде «Теория движения небесных теш>.
С 1820 г. Гаусс непосредственно руководил
ге одезическими съемками Ганноверсного коро
левства. Исходя из чисто практичес.1шх задач,
он, во-первых, разработал саму геодезию как
науку, а во-вторых, создал свою знаменитую
теорию поверхностей. До Гаусса были изучены
геометрии только на двух поверхностях: на
плоскости (планиметрия Евклида) и на сфере
(сферическая геометрия). Гаусс нашел способ
построения геометрии на любой поверхности,
491

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
определив, какие линии играют на поверхности
роль прямых, как мерить расстояния между
точками на поверхности и т. д . Теория Гаусса
получила название внутренней геометрии.
Идеи Гаусса оказали определяющее влия
ние не только на развитие геометрии, но и на
формирование современной физики. Творец тео
рии относительности А. Эйнштейн писал, что
его учение очень похоже на теорию поверхно
стей Гаусса. И действительно, риманова гео
метрия, созданная по образцу гауссовой тео
рии поверхностей, но только для пространств
любого числа измерений, легла в основу теории
относительности, так же как евклидова геомет
рия-в основу классической механики Ньютона.
Современники рисуют Гаусса жизнерадост
ным человеком, наделенным большим чувством
юмора. Гаусс живо интересовался литературой,
философией, политикой, экономикой. Его вни
мание привлек расцвет культуры России на
чала XIX в. Он поддерживал научные связи
с Петербургской а1\адемией наук, которая
еще в 1801 г. избрала его своим членом-корре
спондентом, а в 1824 г. - и н ос транным членом.
В возрасте 62 лет Гаусс выучил русский язык
и в своих письмах в Петербургскую академию
наук жаловался на недостаток русской литера
туры в Гёттингене, просил присылать ему рус
с1ше журналы и книги, в частности «Капитан
скую дочку)> Пушкина.
'Умер Гаусс в 1855 г.
'У него было немного личных учеников. Од
нако его можно с полным правом назвать учи
телем математиков всего мира. Истоки основ
ных идей современной алгебры, геометрии, тео
рии чисел и высшего анализа восходят к Гаус
су. Созданными им понятиями и методами до
сих пор оперируют математики и физики.
НИКОJIАЙ ИВАНОВИЧ
JIОБАЧЕВСКИЙ
•
Николай Иванович Лобачевский - вели 
кий математик, «Коперник в геометрии», по
строивший новую систему геометрии, родился
в 1792 г. в Нижнем Новгороде (теперь Горь
кий). Отец его умер рано, и мать, умная и энер
гичная женщина, переехала со своими тремя
сыновьями в Казань. Она добилась того, чтобы
ее дети были приняты в гимназию на казенный
счет. По окончании гимназии все трое продол-
492
жали учение в незадолго до того открывшемся
Казанском университете. Николай поступил
на физико-математический факультет, когда
ему было только 14 лет. К этому времени он
овладел уже латинским, французским и немец
ким языками настолько, что мог свободно чи
тать научную литературу и углубляться визу
чение трудов Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, К. Гаус
са. Его руководителем в университете был про
фессор Бартельс, ученый с большим научным
кругозором, которому до того выпала честь
быть учителем другого крупнейшего математика
Гаусса. Бартельс вскоре обратил внимание на
математическое дарование Лобачевского и по
буждал его к самостоятельным научным иссле
дованиям.
Однако инспекторы Казанского университета
были недовольны молодым Лобачевским. Они
заметили у юноши признаки вольнодумства и
даже «признаки безбожия». Лобачевскому гро
зило исключение из университета и отдача
в солдаты. Только энергичное заступничество
профессоров спасло юношу.
В 1811 г. Лобачевский был произведен, ми
нуя степень кандидата, в магистры, а в 1814 г.
приступил к чтению лекций. Через два года он
получил кафедру чистой математики и стал
профессором университета. В течение более
тридцати лет он ч:Итал все основные курсы мате
матики, а часто - механики и астрономии.
В 1827 г. его выбрали ректором Казанского
университета. С этого времени Лобачевский
бессменно руководил университетом вплоть до
своей отставки в 1846 г.
'
Он оказался не только
замечательным педагогом, но и прекрасным ор
ганизатором: при нем были построены астроно
мическая и магнитная обсерватории, анатоми
ческий театр, химическая лаборатория, физи
ческий кабинет и библиотена. Лобачевским бы
ли основаны и знаменитые «'Ученые запискю>
Казанского университета.
Лобачевскому принадлежит ряд первоклас
сных работ по алгебре и математическому ана
лизу. Но главным содержанием его жизни было
создание и пропаганда неевклидовой геомет
рии. Евклид построил свою геометрию в 111 в.
до н. э . (см. статьи «Как возникла геоме1·рия»
и «0 различных геометрияю>).
Лобачевский, как и его предшественники,
сначала пытался доказать аксиому о параллель
ных. Но уже в 1823 г. у него зародилась но
вая идея: он пришел к мысли, что аксиому о
параллельных Евклида вообще нельзя дока
зать, более того, можно принять другую аксио
му о параллельных и на ее основе построить

новую, неевклидову
геометрию, столь же
стройную и непротиворечивую, как и геомет
рия Евклида. И Лобачевский с увлечением при
нялся за Построение этой новой системы, иссле
дуя и доказывая ее законы (см. те же статьи) .
Нам трудно сейчас представить, насколько
смелой была мысль Лобачевского. Ведь на про
тяжении двух тысяч лет геометрия Евклида
казалась единственно возможной, столь же ес
тественной, как законы сложения целых чисел.
На ее основе строилась классическая механика
Ньютона да и вся классическая физика. Нуж
но было большое личное мужество, беззаветная
преданность научной истине, чтобы не побо
яться выступить с утверждением о возможности
новой геометрии. Такое утверждение многим
казалось тогда равносильным безумию.
11 <}lевраля 1826 г. на заседании отделения
физико-математических наук Лобачевский сде
лал доклад, в котором изложил свои новые идеи
в геометрии. Эта дата считается днем рождения
неевклидовой геометрии. Текст доклада не
сохранился. Позднее Лобачевский писал, что
в этом своем докладе он развивал мысль о том,
что аксиома о параллельных не может быть до
казана, установить же ее выполнимость в на
шем реальном физическом пространстве можно
только путем наблюдений. По-видимому, сме
лые мысли Лобачевского вызвали глубокое
недоумение. Но это не обескуражило
·
молодого
ученого. В 1829- 1830 гг. он опубликовал труд
«0 началах геометрии», в котором подробно из
лагал геометрию, основанную на новой аксиоме
о параллельных, согласно которой через точку,
лежащую в данной плоскости вне данной пря
мой, можно провести по крайней мере две
прямые, не пересекающие заданную прямую.
Но и это сочинение Лобачевского встретило
пренебрежение и насмешки. Полагая, что он все
еще недостаточно ясно изложил свои идеи, Ло
бачевский в 1835 г. пишет новый труд «Вообра
жаемая геометрия», затем издает французский
перевод его, вслед за этим - «Новые начала
геометрии с полной теорией параллельных» и,
наконец, «Геометрические исследования с пол
ной теорией параллельных» на немецком языке.
Лобачевский был глубоко убежден, что его
система получит применение для описания и
изучения свойств вашего пространства. Желая
проверить, какие геометрические законы имеют
место в космосе, он подсчитал по данным аст
рономических наблюдений сумму углов тре
угольника, вершинами которого являются два
диаметрально противоположных положения Зем
ли на своJЭй орбите и звезда Сириус. Известно,
НИКОЛАй ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИИ
Пико.лай Иванович Лобачевский.
что в евклидовой геом�трии сумма углов любо
го треугольника равна 2d, в геометрии же Ло
бачевского эта сумма различна у разных тре
у1юльников, но всегда<2d. Лобачевский наде
ялся, что у такого громадного треугольника,
который он выбрал, отклонение суммы углов
от 2d будет значительным. Однако расчет пока
зал, что отклонение это очень незначительно -
оно могло быть объяснено погрешностями при
наблюдении.
Геометрия Лобачевского так и не получила
признания при жизни великого геометра.
В 1846 г. исполнилось 30 лет профессорской
деятельности Лобачевского, и он, по законам
того времени, должен был уйти в отставку. Ему
очень тяжело было покинуть любимый универ
ситет, и свою отставку он пережил болезненно.
Мысль о том, что его геометрия все еще не на
ходит призвания, также угнетала Лобачевского.
В последние годы жизни он решил еще раз из
ложить свои идеи и принялся за «Панге6-
метрию1>, в которой стремился особенно ясно
498

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
оттенить мысль о том, что евклидова геомет
рия - частный, предельный случай более об
щей неевклидовой геометрии. В это время он
почти полностью потерял зрение, и ему прихо
дилось диктовать свою книгу ученикам. Все
необходимые выкладки он производил в уме.
Книгу ученый закончил за год до смерти, на
ступившей в 1856 г.
Глубоко трагична судьба этого замечатель
ного человека, так и не дождавшегося призна
ния своего великого открытия.
Прошло не более 15 лет со дня смерти Ло
бачевского, и геометрия его была не только
признана, но и вошла в моду. О ней читались
лекции и писались трактаты, велись научные
дебаты и салонные разговоры, ей посвяща
лись популярные книги и стихи. Такой успех
можно сравнить только с успехом теории отно
сительности в 20-х годах нашего века или «ду
мающих)) машин и :кибернетики в наши дни.
Начиная с 60-х годов.прошлого века неевк
лидова геометрия приобретала все большее зна
чение в математике. Огромную роль сыграло
то обстоятельство, что в трудах позднейших
ученых была доказана непротиворечивость но
вой геометрии. Только после этого она сде
лалась полноправной математической теорией.
Действительно, при построении новой геомет
рии Лобачевский исходил из тех же аксиом,
что и Евклид, только принял вместо евклидо
вой аксиомы о параллельных новую аксиому,
которую мы привели выше. Предложения гео
метрии Лобачевского получались как следствия
этой новой системы аксиом. При этом могло
случиться, что, развивая эти следствия дальше,
мы на каком-то шагу придем_ к противоречию.
Это означало бы, что принятое допущение, т. е.
аксиома о параллельных Лобачевского, невер
на. Таким образом, мы получили бы доказа
тельство аксиомы Евклида методом от против
ного. Если же противоречие никогда не полу
чится, то, следовательно, построенная система
геометрии логически равноправна евклидовой.
В связи с неевклидовой геометрией впервые
был поставлен вопрос о том, как вообще можно
доказать непротиворечивость некоторой мате
матической теории, и были найдены первые ме
тоды доказательства непротиворечивости. Ис
следование Этой новой проблемы имело большое
значение для всего дальнейшего развития ма
тематики. Прежде всего возникла необходи
мость выявить и проанализировать все аксио
мы, которые лежат в основе геометрии Евкли
да. Это было сделано крупнейшим математи
ком Д. Гильбертом в конце XIX в. Дальнейшее
494
изучение этих проблем привело к созданию ак
сиоматического метода, играющего важнейшую
роль в современной математике.
В конце XIX в. , как и пр едвидел Лобачев
ский, его геометрия получила применение в
физике, а именно в специальном принципе
относительности. Для общего принципа относи
тельности оказались необходимыми другие си
стемы неевклидовой геометрии, построенные
Б. Риманом.
Таким образом, геометрия Лобачевского не
только необыкновенно расширила предмет са
мой геометрии, она получила широкое приме
нение в других областях математики, способ
ствовала рождению новых математических идей
и методов и оказалась незаменимой для совре
менной физ1ши.
•
�ВАРИСТ ГA.JIYА
Короткой, но яркой была жизнь этого заме
чательного математика, идеи которого преоб
разовали всю алгебру и оказали решающее
влияние на развитие геометрии и анализа.
Галуа родился 26 октября 1811 г. близ Па
рижа в небольшом городке Бур-ля-Рен. Отец
его руководил учебным заведением для юношей,
а с 1813 г. был бессменным мэром своего города.
Эварист рос болезненным и впечатлительным
мальчиком. Первоначальное образование он
получил под руководством своей матери, боль
шой поклонницы античной культуры. Двена
дцати лет Галуа поступил в Королевский кол 
леж в Париже. Первые три года он считался
хорошим учеником, хотя учителя и отмечали
его «несколько необычные манеры)), но на чет
вертом году он начал заНИft1аться математикой
и так увлекся ею, что потерял интерес к дру
гим наукам. По выражению одного из педагогов,
«он был одержим демоном математики)).
Галуа самостоятельно изучал сочинения
Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, К. Гаусса, а впослед
ствии и высоко ценимого им Н. Абеля. В 1828 г.
Эварист потерпел неудачу на конкурсных эк
заменах в Политехническую школу и целый год
упорно работал над углублением своих мате
матических знаний под руководством прекрас
ного педагога Ришара. В это же время у Ришара
занимались будущий
знаменитый матема
тик Ш. Эрмит и будущий известный астро
ном У. Леверье, но самым одаренным из своих
учен.яков Ришар считал Галуа. Уже в это время
была опубликована одна из работ Галуа. И тем

не менее, к большому удивлению своих товари
щей и Ришара, в 1829 г. Галуа снова r�ровалился
на коннурсных экзаменах. На этот раз, по-ви 
димому, решающую роль сыграл неуравнове
шенный характер Эвариста. Ему показалось,
что энзаменаторы смеются над ним: задают
ему слишком простые вопросы. Придя в ярость,
Галуа отказался отвечать.
Если бы Галуа поступил в Политехниче
скую школу, быть может, вся его жизнь сло
жилась бы иначе. В то время в Политехниче
ской школе преподавали лучшие математики
Франции и учащиеся имели полную возмож
ность заниматься научными исследованиями.
Но Эварист не мог ждать еще год. Отец его
умер, и ему надо было заботиться о средствах
для существования. Поэтому, по совету Риша
ра, он поступил в Нормальную школу, которая
давала стипендию и готовила преподавателей
для высших и средних учебных заведений. За
год пребывания в этой школе Галуа написал
несколько научных работ, из которых одна,
посвященная вопросам теории чисел, предст
.
ав
ляла исключительный интерес. Эти работы вме
сте с первым исследованием о решении уравне
ний в радикалах он представил на соискание
Большой математической премии Парижской
академии наук. Все статьи попали к непремен
ному секретарю а«адемии знаменитому матема
тику Ж. Фурье. Однако Фурье вскоре умер,
в его бумагах нашли только часть работ Галуа,
другая часть, в том числе исследование о разре
шимости уравнений в радикалах, была утеряна.
Найденные работы были опубликованы.
До июля 1830 г. Галуа мало интересовался
полипшой. Но с первых же дней Июльской ре
во.тrюции, с присущей ему страстностью, Эва
рист бросился в самую гущу политических со
бытий. Он примкнул к левому крылу республи
канский партии - Обществу друзей народа.
В декабре того же года за разоблачение в печати
двуличного поведения директора Нормальной
школы в дни Июльской революции Галуа был
исключен из этой школы.
В январе 1831 г. Галуа вновь передал в Па
рижскую академию наук рукопись своего иссле
дования о решении уравнений в радикалах.
В письме президенту академии Галуа просил
«ПО крайней мере» прочесть со вниманием то,
что он написал. На этот раз работа была пере
дана на рассмотрение двум академикам. Однако
они не смогли понять рукописи Галуа - слиш
ком новы были изложенные там идеи. Академия
отвергла работу Галуа. В это время Галуа был
в тюрьме. Его арестовали в мае 1831 г. за то,
ЭВА РИС Т l'АЛУА
Звар11ст Гал)·а.
что он произнес тост, который все восприняли
как призыв к свержению короля Людовика
Филиппа. Суд оправдал Эвариста, но вскоре
после освобождения. он вновь был арестован
как один из вожаков демонстрации 14 июля.
На этот раз он просидел в тюрьме около 9 ме
сяцев. Вскоре после освобождения жизнь юно
ruи оборвалась. В мае 1832 г. двадцатилетний
Эварист Галуа был убит на дуэли.
В ночь перед дуэлью, зная уже, что его ра
боты отвергнуты академией, и уверенный в
правильности своих выводов, Галуа написал
своему другу, Огюсту Шевалье, письмо, почти
целиком посвященное математике. Он сформу
лировал в нем свои основные теоремы, относя
щиеся к теории уравнений. Он просил Шевалье
в случае своей смерти обратиться публично
к К. Гауссу или К. Якоби с просьбой «дать за
ключение не о справед.тrивости, а о важности
этих тео
·
рем».
Однако и это письмо, и замечательная работа
Галуа «Об условиях разрешимости уравнений
в радикалах» пролежали еще 14 лет. Они были
опубликованы вместе с другими сохранившими
ся работами Галуа только в 1846 г. известным
496

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ
ученым Ж. Лиувиллем. Но прошло еще около
20 лет, прежде чем идеи Галуа прочно вошли
в математическую науку.
Математическое наследство Галуа составляет
всего шестьдесят небольших страниц печатного
теl\ста. Многие свои мысли он не успел изло
жить, сохранились лишь наброски неокончен
ных работ и планы, но то, что он успел сделать,
настолько велико, что совершенно измени.110 ли 
цо алгебры.
Проблема, которую решал Галуа, состояла
в следующем: известно, что корни уравнений
2-й, 3-й, 4-й степеней можно выразить с по
мощью радикалов через коэффициенты этих
уравнений. В 1824 г. Абель доказал, что суще
ствуют уравнения 5-й степени, которые в ради
калах не решаются. Между тем было известно,
что можно найти уравнения любой степени, раз,
решимые в радикалах, например уравнения
xn-1 =0 при n=2, 3, 4, ... Пусть теперь за
дано уравнение п-й степени, т. е. заданы его
ноэффициенты. Как узнать, решается ли оно
в радикалах? Эту проблему и решил Галуа.
Основной интерес представляет метод его реше
ния. К сожалению, мы сможем здесь сказать
о нем очень мало. Разве только то, что Галуа
построил для решения задачи аппарат теории
групп и начал строить теорию полей, Обе эти
теории являются основой современной алгеб
ры, а теория групп - и всей математики. (См.
статью «Чем занимается алгебра?». )
ПАФНJ'"ТИЙ .ЛЬВОВИЧ
ЧЕБЫШЕВ
•
Пафнутий Львович Чебышев, один из круп
нейших математиков прошлого века, родился
в 1821 г. в Калужской губернии в имении отца.
Первоначальное образование он получил дома.
Шестнадцати лет Чебышев был принят на фи
зико-математический факультет Московского
университета. Здесь он написал свою первую
научную работу «Вычисление корней уравне
нию>, в которой анализировал все до того су
ществовавшие методы приближенного вычисле
ния корней алгебраических уравнений: способы
Ньютона, Лагранжа, Фурье, и предлагал свой
собственный, наиболее общий, из которого все
предыдущие получаются как частные случаи.
За эту работу Чебышев был награжден серебря
ной медалью.
496
В 1841 г. Чебышев окончил Московский уни
верситет. Ему предстояло сделать выбор: ли
бо идти на службу и бросить математику,
либо целиком отдаться занятиям .ТJюбимой
}!:аукой и терпеть лишения. Чебышев выбрал
последнее.
В 1846 г. он защитил магистерскую диссер
тацию «Опыт элементарного анализа теории ве
роятностей». В следующем году Чебышев пере
ехал в Петербург, где ему предложили долж
ность адъюнкта в Петербургском университете.
С 1860 г. он стал профессором того же универ
ситета. Много сил потратил Чебышев на то,
чтобы систематизировать и издать исследования
Эйлера по теории чисел. Вопросы этой теории
все более и более приковывали внимание само
го Чебышева. В 1849 г. он защитил докторскую
диссертацию «Теория сравнений», посвященную
теоретико-числовым проблемам. К этому же
времени относятся знаменитые работы Чебы
шева о простых числах.
Еще в глубокой древности ученых интересо
вал вопрос о том, по какому закону располо
жены в натуральном ряду простые числа: 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17, 19, ... В «На-Чалах» Евклида бы
ло доказано, что простых чисел бесконечно мно
го. Хотя со времен Евклида прошло более двух
тысяч лет, к его теореме ничего нового добав
.1
1
ено не было. Простые числа в натуральном
ряду располагаются чрезвычайно прихотливо.
С одной стороны, существуют простые числа
«двойники», которые отличаются одно от друго
гона2,например3и5,7и9,11и13,17и19,
41 и 43 и т. д. Имеется гипотеза, что таких «двой
ников» бесконечно много. С другой стороны, если
расположить все простые числа в ряд в поряд
ке их возрастания:
Р1• Р2• ··· •Рп• ··· (Р1<Р2< ··· <Рп<...),
то можно всегда найти в этом ряду два сосед
них числа Рт и р тн, разность между которыми
Ртн-Р т как угодно велика.
Поставим теперь такую задачу. Пусть -:t(n) 
число простых чисел, не превосходящих п.
Мы не можем точно определить, каково будет
-it (n ) для любого п; но нельзя ли его вычислить
приближенно? Еще К. Гаусс и А. Лежандр,
занимаясь этим вопросом, чисто эмпирически
пришли к выводу, что 1t (n) для больших п при-
п
ближенно равно -1--, причем в знаменателе
ogen
стоит натуральный логарифм, т. е . взятый по
основанию е=2,7182... Но даже такие матема
тики не смогли доказать замеченного ими факта.
Только Чебышеву удалось сдвинуть проблему

о простых числах с мертвой точки. Он показал,
1t (п)
что если отношение _п_ при п, неограниченно
togen
возрастающем, имеет предел, то этот предел ра
вен единице. Впоследствии было показано, что
этот предел существует, это означает, что при
больших п числитель 1t ( n ) примерно равен знаме-
п
нателю -1--.
ogen
Исследования Чебышева по теории чисел
сразу же выдвинули молодого русского мате
матика в число первых ученых Европы.
Второй цикл работ, прославивших Чебыше
ва, составили его исследования по теории ве
роятностей. Теория вероятностей - сравнитель
но молодая область математики. Первые задачи
ее появились только в XVI-XVII вв. и были
связаны с азартными играми (в кости, карты),
а впоследствии - с обработкой результатов
наблюдений. И хотя многие ее основные пред
ложения ко времени Чебышева были уже хоро
шо известны, методы этой теории были лишены
должной строгости, а приложения ее часто
приводили к . явно ошибочным результатам.
Такие неудачи привели к разочарованию в тео
рии вероятностей, некоторые говорили даже о
(<математическом скандале».
Только Чебышев сумел вывести теорию
вероятностей из кризиса. Он ввел и системати
чески рассматривал случайные величины, а
также нашел новый метод доказательства тео
рем этой теории. С этого времени теория вероят- .
ностей стала полноправной математической дис-:
циплиной.
Чебышев является основателем русской
школы теории вероятностей, которая и до сих
пор занимает ведущее место в мировой науке.
Благодаря работам Чебышева и его школы
теория вероятностей сделалась могучим ору
дием для исследования проблем физики (осо
бенно квантовой механики) , техники, биологии
и других областей знания.
Еще в юности Чебышев любил строить слож
ные механизмы. Эта любовь сохранилась у него
на всю жизнь. Ученый изобрел более 40 типов
шарнирных (или суставчатых , как он их назы
вал) механизмов. Среди них были стопоходя
щая машина, воспроизводящая движения жи
вотных при ходьбе, гребной механизм, который
nовторял движение весел лодки, самокатное
кресло и многие другие. Выставка этих меха
низмов, устроенная при жизни великого уче
ного в Чикаго, произвела потрясающее впечат
ление HJl современников. Чебышев построил
П АФНУТИ И дЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ
Па фнутий Львович Чебы шев.
также арифмометр-полуавтомат, который хра
нится в Париже в Музее искусств и ремесел.
Однако Чебышев интересовался механизма
ми не только как .изсJбретатель, но и как мате
матик. Занимаясь теорией механизмов, он сумел
увидеть в ней новые математические проблемы,
�оторые в его время были еще совершенно не
изучены. Его работы, посвященные этим проб
лемам, положили начало теории наилучшего
приближения функций. Эта теория с тl:)х пор
успешно развивается.
Чебышев как-то в шутливой форме выска
зал мысль, что в своем развитии математика
прошла три периода. В первом - задачи ста
вили боги (он имел в виду задачу удвоения ку
ба, постановка которой по древнегреческому
преданщо приписывалась оракулу) , во втором
полубоги (т. е . такие математики, как П. Ферма) ,
в наступившем третьем периоде задачи ставит
нужда, т. е . жизнь. К требованиям практики
и был особенно чуток Чебышев. В ней умел
он находить новые математические задачи, ре
шение которых доводил до получения оконча
тельного числового результата, с тем чтобы
вновь применить его на практике.
497

ВЫДАЮЩИЕС Я МАТЕ М АТИКИ
У П. Л. Чебышева было много учеников.
Он по праву считается основателем Петербург
ской математической школы, которая насч иты
вает в своих рядах таких первоклассных уче
ных, как Е. И . Золотарев, А. А . Марков,
А. М. Ляпунов, Г. Ф. Вороной и др.
Заслуги П. Л. Чебышева были признаны
всем ученым миром. В 38 лет он был избран
членом Петербургской аRадемии науR, затем
членом ПарижсRой и БерлинсRой аRадемий,
ЛондонсRого RоролевсRого общества и многих
других аRадемий.
Ученый прожил долгую жизнь и до послед
ней минуты много и плодотворно работал. Умер
Чебышев в. 1894 г. За письменным столом он
внезапно почувствовал себя плохо и всRоре сRон
чался от паралича сердца.
СОФЫI ВАСИ.JIЬЕВНА
ROBA.JIEBCRA.Я
•
Имя первой руссRой женщины-математиRа
Софьи Васильевны КовалевсRой известно всему
образованному миру. РассRаз о ее жизни -
это увлеRательная история о том, RaR малень
Rая жизнерадостная девочRа, «воробышею>, ста
ла выдающимся математиRом; это поучительная
история о девушRе, полюбившей свободу и ма
тематиRу; это история о женщине-герое, про
ложившей дорогу в науRу, R высшему образо
ванию женщинам России и Европы.
Она родилась в 1850 г. в МосRве в богатой
семье генерал-лейтенанта артиллерии в от
ставRе В. В. Корвина-КруRовсRого. Малень
Rая Соня училась удивительно легRо. Отец
всячесRи поддерживал и развивал ее интерес
к науке. Любознательная и настойчивая в уче
бе, Соня особенно увлеклась математиRой. Лю
бопытно, J\aI\ произошло ее первое знакомст
во с высшей математикой. Случилось таR, что
стены в детской комнате были оклеены лекция
ми по математическому анализу знаменитого
академика М. В . Остроградского. Как пишет
С. В. Ковалевская, «от долгого ежедневного
созерцания внешний вид многих из формул так
и врезался в моей памяти», и через много лет
ее преподаватель по математическому анализу
удивлю1ся, «Rак скоро она охватила и усвоила
себе понятие о пределе и производной, точно
она их наперед знала». Особенно возбуждали
фантазию девочки математические рассуждения
ее дяди, «внушая ей благоговение R математи-
498
ке, как науке высшей и таинственной, откры
вающей перед ней новый чудесный мир, недо
ступный простым смертным». Знакомый отца,
профессор Тырнов, обратил внимание родите
лей на математиче.ские способности четырнад
цатилетней девочки.
Еще не зная тригонометрии, Соня пыталась
разобраться в смысле тригонометрИческих фор
мул, встретившихся ей в учебнике по физике.
Отец пригласил заниматься с дочерью изве
стного преподавателя, и с 15 лет она начала си
стематически изучать Rypc высшей математики.
В то время в России девушкам было запре
щено учиться в университетах и высших шко
лах. Женщины могли поступать только в не
которые зарубежные университеты. Но уехать
из-под строгого надзора родителей молодым де
вушкам было очень трудно. Многим девушкам
из богатых семей приходилось вступать в фик
тивный брак, чтобы получить право уехать за
границу и там учиться. Софья Васильевна всту
пила в такой брак с молод ым ученым В. О . Ко
валевским.
В 1869 г. молодые супруги уезжают за гра
ницу, в Германию, в университетский городок
Гейдельберг. Каждый из них принялся усердно
заниматься своими науками.
В Гейдельберге Ковалевская посещала
лекции
крупнейших
ученых-математиков.
В 1870 г. она переезжает в Берлин, решив до
биться права на посещение декций знаменитого
немецкого математика К. Вейерштрасса. Вейер
штрасс читал лекции в Берлинском универси
тете, куда женщины не допускались. Сам
Вейерштрасс считал, что в университете, а
особенно на математическом факультете, жен
щинам учиться нельзя. Однако Ковалевская
добилась того, чтобы Вейрштрасс проэкза
меновал ее на право быть его частной учени
цей. Вейерштрасс предложил ей задачи, коrо
рые сам считал трудными для таких экзаменов.
Каково же было удивление профессора, когда
на следующий день взволнованная молодая
женщина принесла ему блестяще решенные
з адачи! Вскоре Вейерштрасс признал особое
математическое дарование своей ученицы. Он
писал: «Что Rасается математического образо
вания Ковалевской, то я имел очень немного
учеников, которые могли бы сравниться с ней
по прилежанию, способностям, усердию и увле
чению наукой».
Через 4 года по ходатайству Вейерштрасса
в Геттингенском университете С. В. Ковалев
ской заочно присуждается ученая степень док
тора философии. (Эту ученую степень присуждали

за выр;ающиеся заслуги в математике, физике и
химии. ) Это была достойная награда за вы
дающиеся математические труды, написанные
ею за это время. Работы были посвящены
интереснейшим вопросам математики и меха
ники. Работа «К теории дифференциальных
уравнений в частных производныю) содержит
доказательство существования решений у таких
уравнений. В курсах дифференциальных урав
нений, которые теперь читают в университе
тах, эта теорема называется теоремой Ковалев
ской. Другая работа посвящена исследованию
формы гигантского кольца, окружающего пла
нету Сатурн, проведенному, как говорится, «на
кончике пера>). В третьей работе излагаются
труднейшие теоремы математического анализа.
Двадцати четырех лет, «с докторским дипло
мом в кармане>), Ковалевская возвращается в
Петербург. Ее личная и научная жизнь сло
жилась так, что она отошла от занятий матема
тикой. По существовавшим законам она, как
женщина, имела право преподавать только ариф
метику в младших классах. В это время Софья
Васильевна начинает писать статьи и рассказы,
начинается ее литературная деятельность. Сама
Ковалевская писала, что она всю жизнь не
могла решить, к чему у нее было «больше склон
ности - к математике или к литературе>). Сре
ди ее знакомых не только ученые - Д . И. Мен
делеев и П. Л. Чебышев, но и писатели -
Ф. М. Достоевский и И. С . Тургенев. Достоев
ский, несомненно, во многом способствовал про
буждению литературного таланта у Ковалев
ской. Ее перу принадлежат «Воспоминания
детства>), «Нигилистка>), драма «Борьба за сча
стье» и многие другие произведения.
В 1883 г. трагически погиб В. О . Ковалев
ский. После неодно1\ратных приглашений
С. В . Ковалевская соглашается работать в
Стокгольмском университете. Здесь начинается
расцвет ее научной и литературной деятель
ности. В Стокгольмском университете Кова
левск ая прочла с большим успехом около
двадцати курсов по математике. Написанная ею
научная работа о вращении твердого тела была
удостоена особой премии Парижской академии
наук, причем сумма премии была увеличена
с 3000 франков до 5000.
СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ
Софья Вас1шьевна Ковал евская.
В 1889 г. Петербургская а1\адемия наук,
по настоянию П. Л. Чебышева, предварительно
приняв специальное постановление о присужде
нии женщинам академических званий, избрала
С. В . Ковалевскую своим членом-корреспон
дентом. Сохранилась телеграмма, в которой ей
сообщалось об этом событии: «Наша Академия
наук только что избрала Вас членом-корреспон
дентом, допустив этим нововведение, которому
не было до сих пор прецедента. Я очень счаст
лив видеть исполненным одно из моих самых
пламенных и справедливых желаний. Че
бышев>).
Умерла С. В. Ковалевская в 1891 г. внезапно,
в расцвете творческих сил.
•
499

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМ АТИ КИ
Выдающийся французский мате
матик с. Пуассон, буд)'ЧН подростком,
виачапе проявпяп во всем крайне
ограниченные способности. Но поме
того как самостоятепьно придумап
искусное решение старинной задачи
о депеже вина на две рав11ые част11 при
помощи двух пустых сосудов неоди
наковой вместимости, он ув11екся ма
тематикой и набрап ее своей специапь
ностью.
Ана.,огичный «TOJIЧOK» иривеп в
математику профессора Московского
университета И. И . Чистякова. В од
ном на своих выступпеинй (в 1911 г.)
И. и. Чистяков расскааап о себе,
Решение и ответы
оОО
Ответ кстр. 395. Ь=а+с
Реш ен.н е к стр. 395.
а
ka
Пусть одна дробь Ь, а другая Ь
тогда, по усповню,
az
аз
Ьi(1 + k') = /j3(1+1!3), ИJIИ
1+k'=.!
!:.
.
(1 + 113),
ь
откуда
а
1+k'
ь=
1+1i··
Попагая k = 2, попучаем:
а
5
ь-т
и, спедоватепы10,
(;У+(1:у=(z)'+(1п·
.
что он прнстрастнпся к математике
с того момента, как еще подростком
самостоятепьно решип такую задачу:
«Доказать, что всякое простое чнспо
начиная с пяти, будучи увепнчено пибо
уменьшено на 1, депится ва 11» .
Намереваясь показать пюдям, что
двоичное счиспение - зто не забава,
а метод с бопьшнм будущим, знаме
нитый немецкий математик Г. Лейб
ниц иаготовип специапьную медапь. На
ней изображена табпица простейших
действий над чиспами в двоичной сис
теме и отчеканена фраза: « Чтобы вы
вести на ничтожества все, достаточно
единицы».
В восточной части Амстердама
есть утщы Пифагора, Архимеда, Нью
тона и Коперника.
Попагая k = 3, по.,учаем:
а
1+9
5
ь=
1+27
=
14
и, спедоватепьно,
(�)· (�)
·
= (�)
'
(�)·
14
+14
14
+14
и т. д . Конечно, k можно давать и
дробные значения,
например, для
k=_!.
.
по.1учнм
2
а
26
т=35 ·
Реше ние к стр. -'39.
1. а) В пятеричной системе; 6) в
четверичной системе; в) в восьмерич
ной системе; •) в двоичной системе.
2. Отдепьно чиспитепь и внаме-
3
натепь дроби 7 переведены в двоич-
ную систему, а затем выпопнено депе
нне чимитепя на знаменатепь спе-
дующнм образом:
·
Французскому ученому Б. Паска
пю (1623-1662) быпо 12 пет, когда
он написал математический «Трактат
о звуках».
11
110
1100
111
1010
111
110
0
111
1010
111
3. Ясно, ЧТО
0,0110110."
1111
zn<1 ООО ООО ООО<2n+1.
Теперь надо попожить n+1 = 30 и
убедиться в справедпивости ааписан
иых неравенств. Можно также. най
ти n, применяя погарнфмированне
ааписаииых неравенств. Тогда по,1у
чнм бопее простые неравенства:
nlg2<lg1o
•
<<n +1)lg2, и .111
9
n<JgZ<n+1
9
п<0,
3010
<n+1,n<29,9<n+1.
Так как n - чиспо натурапьное,
то n = 19 н, медовательно, дпя за
писи ОДНОГО MHJIJIИapдa В ДВОИЧНОЙ СИ•
стеме надо употребить n+1 = 30
цифр.

СПРАВОЧНЫЙ OTДE.JI
.JIЕТОПИСЬ 3HAMEHATEJIЬHLIX ДАТ РА3ВНТН8 МАТЕМАТИКИ
Зар ождение иатеиа тики
Точно датировать возникновение важнейших по
нятий - целого числа , величины, фиг уры - невозмож
но. Когда возникла пи сьменность , представление о
них уже сложилось . К этому времени были выработаны
и различные сист емы письменной нумерации целых
чисел .
2000- 1700 гг. до и. э . - п ервые дошедшие до нас
математические тексты: два египетских папируса
и многочисленные глиняные таблички из древнего
Вавилона , содержащие формулировки и решеиия за
дач. Египтяне пользовались десятичной непозицио н
ной нуме рацией и дробями с числителем 1 («основные»
дроби) . У вавилонян была шестидесятеричная позицио н
ная система счисления без нуля и систематические шес
тидесяте ричные дроби. Позднее , в середине пе рвого ты
сячелетия до н. э., вавилоняне ввели знак для обозна
чения пропущенного шестидесятеричного раз ряда . Гео
метрия в Вавилоне и в Египте была по преимуществу
вычислительной . Так, были известны правила вычис
ления площадей треугольника по стороне и высоте,
круга по его радиусу (вавилоняне брали при этом в ка
честве;: число 3, а египтяне число 3,16), а также объем
пирамиды и усеченной пирамиды с квадратным основа
нием. Вавилоняне знали, что в прямоугольном тре
угольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов , а также обратное предложение . По-видимо му,
оба эти предложения были открыты ими на примерах
и доказывать их в обще м виде они еще не умели.
Наиболее замечательное достижение этого пе рио
да - соз.цание в древнем Вавилоне элементов алгебры
и открытие правила решения квадратных уравнений .
Вавилоняне умели также находит ь приближенные зна
чения квадратных корней из неквадратных чисел. Им
были известны формулы суммы арифметической прог
рессии и суммы квадратов натурального ряда .
Математические зна ния излагались в эту эпоху
в виде �ецептов, правильность которых не доказыва
лась; обычно приводились однотипные числовые при
меры и их решения' . Математики как науки еще нс было.
Воаиикновение и атеиатики 1tак нау ки.
Построение первых иатеиатическ
-
их
теорий (иа'f•еиати1tа древней Греции)
VIв.дои.э.·-
систематическое введение логиче
ских доказательств, явившееся переломным моментом
в развитии математики. В Пифагорейской научной
школе было начато построение геометрии как отвле
ченной науки, истины которой выводятся из немногих
исхо�ных аксиом с помощью доказательств. К пифа
гореицам восходят первые математические теории: пла
ниметрия прямолинейных фиг ур (включая строгое до
казательство знамен.итой тео ремы Пифаго ра) и элемен
ты теории чисел (введение по нятий простого числа,
взаимно простых чисел, исследо вание тео рии делимо
сти, построения совершенных чисел) . В этой же школе
,были открыты четыре из пяти правильных тел: куб,
тетраэдр, октаэдр и додекаэдр.
V в. до и. э . -в Пифаго рейской школе сделано ве
личайшее открытие о несоизме римости стороны квад
рата и его диагонали. Оно показало, что рациональ н ых
чисел (т . е. целых чисел и дробей) недостаточно для из
мерения геомет рических величин и обоснования учения
о подобии. Благода ря этому отк рытию возникла необ
ходимость создания тео рии отношений как соизме ри
мых, так и несоизмеримых геометрических величин.
V в. до н. э. (вторая половина) - создана так на
зываемая геомет рическая алгебра, которая давала
возможность в общем виде решать задачи, сводя
щиеся к квадратному уравнению или последователь- ·
ности таких уравнений, чисто геомет рически , с по
мощью циркуля и линейки. Геометрическая алгебра
играла в античной математике роль нашей буквен
ной алгебры , но аппа рат ее был гораздо менее удобе н.
В это ж� ремя были сформулированы три знаме
нитые задачи древности: 1) удвоение куба (построить
куб, имеющий объем в два раза больший данного),
2) трисекция угла (разделить произвольный угол на
60:1.

СПРАВОЧНЫП ОТДЕЛ
три равные части) и 3) квадратура круга (пост роить
квадрат , равновеликий данному кругу) . Все эти по
строения , как было доказано в XIX в., невозможны
с помощью циркуля и линейки. Древние использовали
для их решения новые кривые: конические сечения
(эллипс, гиперболу и параболу) и квадратрису (первую
трансцендентную кривую) .
В поисках квадратуры круга Гиппократ Хиосс кий
открыл квадрируемые луночки (получившие название
гиппократовых) , т. е . фигуры, о граниченные дугами
ок ружностей, для которых можно по строить равнове
ликие им квадраты.
В конце V в. Гиппократ составил первые «Нача
ла)) - систематическое изложение основ математики
своего времени. Труд этот до нас не дошел .
IV в. до н. з. (первая половина) - афинский мате
матик Теэтет предпринял исследование алгебраических
ир рацrюнальностей и начал классификацию их. Он
определил простейшие классы квадратичных иррацио-
н альностей , такие, как yli, -,
,
!�±уЬ,
vуа ±Jfb, Jf аЬ, Vr-,./аЬ, ...
,
которые были ВПО-"
следствии описаны в «Началах)) Евклида . Он показал
3
также, что v ;:;-иррационален, � ели. а не является кубом.
IV в. до н. э . (се редина) - великий математик и
астроном древности Евдокс из Книда создает общую
тео рию отношений для любых однородных величин (как
соизме римых , так и несоизмеримых). Эта тео рия совпа
дает по существу с теорией действительных чисел , пред
ложенной в конце XIX в. Р . Дедекиндом. Для определе
ния площадей и объемов Евдокс разработал так назы
ваемыйметодисчерпывания.Восновеобе
их теорий лежало общее уче ние о величина х. Величины
определялись аксиоматически , причем впервые была
сформулирована важнейшая аксиома , известная ныне
под назва нием аксиомы Архимеда : если а > Ь, то можно
повто рить Ь столько раз, что пЬ > а. С помощью
н овых методов Евдокс впервые доказал, что ко
н ус равновелик 1/3 цилиндра , имеющего одинаковые
с ним основания и высот у, а пирамида равновелика 1/3
соответствующей призмы . Он доказал также, что площа
ди двух кругов относятся как квадрат ы их диа метров.
300 r. до н. з. -Евклид создает свои «Начала)) , в ко
торых подводит итог всему предшествующему развитию
античной математики . Метод изложения «Начал)) полу
чил название дедуктив ного и стал образцом для построе
ния математической теории . В «Началах)) не только
впервые систематически излагалась геомет рия, но и
элементы теории чисел, алгебр ы, теория отношений
и метод исчерпывания . Здесь фо рмулировался алго
ритм Евклида для нахождения наибольшего общег о де
лителя двух чисел, до казывалось, что произведение
двух простых чисел pq не может делиться ни на какое
третье простое число , а также устанавливалось , что
простых чисел бесконечно много . В «Н ачалах)) впервые
вст речается строгий вывод формулы суммы конечного
числа членов геометрической прогрессии и показывается ,
что существует только пять правильных тел: куб, тет
раэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр -и никаких дру
гих правильн ых тел нет.
111в.дон.з.-
Архимед разрабатывает методы
нахождения площадей и объемов, а также методы опре
деления касательных и наибольших и наименьших зна
чений величин, кото рые о н применил для решения про-
002
блем статики, гидростатики и теории равновесия пла
вающих тел (см. стр. 472-474). Методы Архимеда легли
в основу дифференциального и интегрального исчи
сления , созданного в XVI l в.
111-П вв. до н. з. - Аполлоний систематически
и всесторонне исследует конические сече ния ; раз
вивая методы как аналитической, так и проектив
ной геометрии. Его книги о конических сече ниях
послужили основой для создания аналитической ге
ометрии Р. Декартом и П. Ферма (ХУН в.), проектив
ной геометрии Б. Паскалем и Ж. Дезаргом (XVl l в.),
а также явились математическим аппаратом при иссле
дованиях по механике и астрономии И. Кеплера, Г. Га
лилея и И. Ньюто на.
1-11 вв. н. з . - широкое развитие вычислительпо
алгебраических методов в античной математике.
1 в. (конец) - Менелай создает систематический
курс сфе рич-еской геометрии, построенный по образ
цу «Начал» Евклида , и развивает сферическую триго
н омет рию.
Во 11 в. Птолемей в своих аст рономических трудах
излагает плоскую и сфе рическую тригонометрию; он
выводит формулу, равносильную
sin (а± �)= sinacos� ±cos:x sin�,
и составляет подробные таблицы хорд (вместо линии
синуса древние рассматривали всю хо рду) . В таблицах
Птолемей упот реблял символ для обозначения . пропу
ще нного шестидесяте ричного разряда . Возможно, что
этот символ и явился прообразом нуля .
111в.н.з.
-
Диофант Александрийский , послед
ний великий математик древности, пишет «Арифмети
ку)> , в которой формулирует общие правила алгебры:
правило переноса членов из одной части уравнения в
другую и правило приведения подобных членов, а также
правило умножения многочлена на многочлен, причем
отмечает, что «вычитаемое на вычитаемое дает слагае
мое)>. В этой книге впервые в истории науки вводится
алгебраическая символика для обозначения неизвест
ного и первых его положительных и отрицательных сте
пеней вплоть до шестой, а также для равенства и вычи
тания . Диофант развивает учение о решении неопре
деленных уравнений с целыми коэффициентами в целых
или рациональных числа х. Эти уравнения получили
в современной математике название диофантовых.
Математика стр ан ДОdьнего , Среднего
в Б.Jiвжнего Востока
11 в. до н. з . - создание древнейшего дошедшего
до нас китайского математического трактата «Матема
т ика в девяти книгах)>, содержащего сведения по ариф
метике и г еомет рии . При решении задач в трактате при
меняется т еорема Пифагора. Наибо лее замечательным
является единообразный метод решения системы ли
нейных уравнений. При этом появляются отрицательные
числа, для которых фо рмулируются правила сложения
и вычитания . В трактате излагается т акже алгоритм вы
числения квадратных и кубических корней, аналогич
ный со временному. Этот алгоритм в VII-XIII вв. был
перенесен на случай вычисления корней общих уравне
ний третьей и четвертой степеней. Он совпадает в ос
новном с так называемой схемой Горнера , полученной
в Европе в.XIXв.

ЛЕТОПИСЬ ЗНАМЕНАТЕЛЬНЫХ ДАТ РАЗВИТИЯ MATEMATИKII
111 в. и. э . -в трактате Сунь Цзы встречаются име
нованные десятичные дроби.
V-VI вв.
-
создание в Индии десятичной пози
ционной системы сч исления и введение в нее нуля как
особой цифры.
499r. - в
аст рономическом трактате Ариабхатты
решается в целых числах неопределенное уравнение
ах+Ьу=с.
Около 628 r. - индийский астроном Брахмаrупта,
свободно оперируя отрицательными числами, дает
единое правило для решения любого квадратноrо урав
нения . Он же формулирует правила действий с нулем,
который блаrода ря этому становится числом, равно
пр11яяым с другими числами. Брахмаrупта знал способ
решения неопределенного уравнения
ах2+1=у2
в целых числах. Обоснование этоrо метода было дано
Л. Эйлером и Ж. Лаrранжем в XVIII в. Бра хмаrупта
широко пользовался алrебраической символикой: спе
циальными знаками для обозначения неизвестных и
их степеней , знаками для корня квадратноrо, для
операций сложения и вычитания .
IXв. -
среднеазиатский ученый Мухаммед ал
Хорезми подробно объясняет прав·ила действия с чи
слами, записанными в десятично-позиционной системе,
и исследует квадратные уравнения . Слова «алrебра�
и «алrо ритм)) впервые появились в переводе ero тракта
тов. Первое из них означало операцию переноса членов
из одной части уравнения в друrую, а второе - иска 
женное имя автора (ал- Хорезми - Algorithmi) ; оно
применялось первоначально только для обозначения
правил вычисления по десятичной позиционной си
стеме .
XI в.- м атематик и поэт Омар Хайям в трактате
по алrебре систематически исследует не только уравне
ния первой и вто рой степеней, но и кубические. Реше
ние их он строит rеометрически при помощи пересечения
параболы, гиперболы и окружности (см. ст р. 474-476) .
XII в.- индийский ученый Бхаскара- акарья сфор
мулировал все правила действий с отрицательными чи
слами и специа льно отметил, что корень квадратный
из отрицательного числа не имеет действительных зна
чений . Бхаска ра отмечал также, что блаrодаря двузнач
ности квадратноrо корня квадратное уравнение может
иметь два решения.
XIII в. - Наси рэддин Туси систематически из
лаrает сферическ ую rеометрию, исследует все слу
ч.аи решения сферического треугольника , в том чи
сле и по трем уrлам ero , развивает дальнейшие идеи
Хайяма о сближении отношений с числами и подробно
излаrает теорию составных частей .
XV в . - Гийяс ад-Д ин Джемшид ал-Каши, рабо
тавший в обсерватории Улуrбека близ Самарканда ,
вводит и систематически использует десятичные дро
би . Этим десятичная позиционная система была распро
ст ранена для записи любых действительных чисел.
Он вычислил число r. с точностью до 17 десятичных
знаков. Ал-Каши сформулировал в общем виде пра
вило возведения бинома в любую целую степень и опи
са л способ извлечения корня любой ст епени .
Матеиатика ев ропей с кого сред нев ековья
и апохи Воарождения
XII- XIII вв. - на латинский язык переводятся
арабские и rреческие сочинения по математике . Посте
пенно распространяется десятичная позиционная си
стема .
XIII в. - Леона рдо Пизанский (Фибоначчи) изла
rает новую позиционную нумерацию, дает сведения
по алrебре и арифметике, рассматривает различные
числовые ряды .
XlV-XV вв. -
сове ршенствуются алrебраические
обозначения, вводятся обозначения для степени , для
радикала и степеней неизвестноrо .
XVI в.-
первый крупный успех европейской мате
матики: итальянские ученые С . Ферро , Н. Тарталья и
Дж . Кардано решили уравнения третьей степени в ради
калах и ученик Кардано , Л. Феррари,- уравнение
четвертой степени.
1572 r.- в «Алгебре)> Р. Бомбелли впервые рассмат
ривает мнимые числа а +Ь -.f -1 и формулирует правила
действия с ними. Сами эти числа он трактует как сим
волы, удобные для получения результатов относительно
действительных чисел.
1685 r. - С. Стевин вводит систему десятичных дро
бей .
XVI в. (вторая половина) - французский матема
тик Ф. Виет вводит буквенные обозначения для неизве
стных и постоянных величин и создает математическую
формулу (см. ст р. 476-478) .
Период иатеиатики переиенных в еоJiи•1 ин
(XVII-XVIII вв. )
В XVII в. делает большие успехи механика зем
ных и небесных тел, и в связи с этим возникают про
блемы изучения зависимостей одних величин от дру
rих, проблемы определения ско ростей, ускорений, пло
щадей криволинейных фиrур, центров тяжести и т. д .
Для решения этих проблем в математике не было rото
.вого аналитическоrо аппарата. Ученые начинают ис
кать пут и изучения переменных величин в математике,
используя творения античных математиков. В резуль
тате в математику входит функциональная зависимость.
С этих по р функция ст ановится таким же основным объ
ектом математики, как число и величина .
1614 г.- Д. Непе р вводит лоrарифмы и публикует
первые лоrарифмические таблицы . Несколько позднее
таблицы лоrа рифмов опубликовал й. Бюрrи.
1636-1637 гr. - Р. Декарт и П. Ферма вводят в ма
тематику метод координат , который позволяет сводить
rеометрические задачи к алrебраическим и изучать ши
рокий класс функциональных зависимостей. Незави
симо друr от друrа Декарт и Ферма начинают строить
с помощью новоrо метода аналитическую rеомет рию
(см. ст р. 478-481).
1608- 1650 rr. - развитие методов анализа беско
нечно малых (методов определения объемов, площа
дей, центров тяжестей, касательных, экстремумов,
скоростей, ускорений) в работах И. Кеплера, Б. Ка
вальери, Э. Торричелли, П. Ферма, Б. Паскаля,
Дж. Валлиса и др.
508

СПРАВОЧНЫИ ОТДЕЛ
30-40-е rr. XVII в. - П. Ферма закладывает осно
вы теории чисел . Он формулирует знаменитые пробле
мы ее, которые в течение 200 лет были центральными
в теоретико-числовых исследованиях.
10-80-е rr. XVI I в. -
И. Ньютон и Г. Лейбниц
независимо друr от друга создают дифференциальное
и интегральное исчисление (см. стр. 484 , 487 ) и вводят
в математический анализ основной его аппарат - беско
нечные ряды . Ньюто н распрост ранил формулу возведе
ния бинома в степень на случай, когда показатель
степени - любое рациональное число .
1684 r.- в ыход в свет книги <с Математические на
чала натуральной философии» И. Ньютона, в кото рой
впервые было дано математическое пост роение основ
класси ческой механики земных и небесных тел.
1713 r.- Я . Бернулли фо рмулирует и до казывает
простейшую форму закона больших чисел- одного из
основных законов теории вероятностей .
1748 r. _.: Л. Эйлер развивает учение о функция х
как действительного , так и комплексного переменного .
Эiiлер подробно иссл едует элементарные функции
х" , а х, logx , siнx, cosx , находит для них выра
жения в виде бесконечных рядов и определяет логариф
мы отрицательных и мнимых чисел (см. стр. 488-490).
1770- 1771 rr. - Ж . Лагранж написал знамени
тый мемуа р <с Размышленил об алгебраическом решении
ура внениii», в кото ром проанализировал все методы
решения в радикалах уравнений первых четырех степе
ней и показал, почему все эти методы не годятся для
реше ния уравнений пятой степени. Он открыл, что раз
решимость уравнений в радикалах зависит от свойст·в
г руппы пе реста новок корней этого уравнения, и тем
самым обратил внимание на значение изучения групп.
1796 r. - К. Гаусс показывает , что если п - про
стое число, то правильный п-угольник может быть по
ст роен с помощью циркуля и линейки, когда п имеет
вид 22h +1 (см. ст р. 490-492) .
1799 r.- К . Бессель дал геометрическую интер
претацию комплексных чисел. Однако его работы
остались неизвестными . В 1806 г. аналогичная геомет
рическая интерпретация была предложена Ж. Арга
ном. Всеобщее признание в математике интерпре
тация комплексных чисел получила только после то
го, как в 1832 г. К . Гаусс изложил основные ее
идеи .
llериод совреиевво lt и ате иатикв
(XIX-XX вв .)
Математические методы проникают почти во все
отделы физики, в химию, биологию, медицину,
лингвистику, экономику. Сама математика необыкно-
1.1енно расширяется количественно и претерпевает г лу
бокие качественные изменения . В целом она подни
мается на более высокую ступень абстракц�:�и.
1799- 1825 rr. - К . Гаусс доказывает основную
тео рему алгебры, причем на протяжении указанного
времени дает четыре различных доказательства ее.
1801 r.- К. Гаусс создает основы теории чисел. Он
впервые развивает теорию сравнений, изучает до кон
ца теорию квадратичных вычетов, доказывает основные
тео ремы этой теории, излагает теорию уравнений де
ления круга .
1821 r.- О. Коши развивает теорию пределов и на
ее основе строит учение о функциях, определяет поня
тия суммы ряда , непрерывности функции, а позднее
кладет учение о пределах в основу всего математиче-
504
ского анализа . При изложении этой области науки мы
до сих по р следуем пути, намеченному Коши, с теми
усовершенствованиями, которые были внесены во вто
рой по ловине XIX в. К. Вейе ршт рассом. Коши принад
лежит также разработка основ теории фун кций комп
лексного переменного.
1824- 1826 rr. - мо лодой норвежский математик
Н. Абель доказал, что алгебраические уравнения сте
пени n>S неразрешимы в радикалах.
1827 r. -
К.Гаусс развивает так называемую внут
реннюю геометрию по верхностей, в которой каждая по
верхность выступает как носительница своей особой
геомет рии .
1829- 1830 rr. -
Н. И . Лобачевский опубликовал
свои первые работы по неевклидовой rеометрии (см.
стр. 492-494).
В 1832 r.- независимо от Н. И. Лобачевского си
стему неевклидовой геометрии пост роил Я. Боли.
1830- 1832 rr. - Э . Галуа находит признак того,
решается ли данное уравнение с числовыми коэффи
цuентами в радикалах . При этом он развивает методы
теории групп и полей, которые п риоб рели огромное
значение в математ�;ше и ее приложениях (см.
стр. 494-496) .
t832r. - в
связи со своими исследованиями пu
теории чисел К. Гаусс обобщает понятие целого чис;1 а
на комплексные числа а+Ьi, где а и Ь - целые. Он
определяет понятие простого числа , взаимно простых
чисел, пе реносит на новые целые ·числа алгоритм нахож
дения наибольшего общего делителя и развивает всю
арифметику целых комплексных чисел.
1840- 1851 rr. - У. Гамильтон обобщает понятие
комплексного числа, построив кватернионы - числа
вида а+Ьi+cj+dk,гдеi2=j2=k2= -1;а,Ь, с, d
действительные числа . Оказалось, что для этих чисел вы
полняются уже не все законы обычной арифметики .
Так, умножение кватернионов не обладает свойством
перемести:гельности ( ij'+ji).
1849 r. - П. Л . Чебышев по лучил первые после
Евклида точные результаты о законе распределения
простых чисел в натуральном ряде (см. ст р. 496-
498) .
1854 r.- Б. Риман вводит п-мерные прост ранства и,
обобщал идеи Гаусса по внут ренней геометрии поверх
ностей, дает способ построения всевозможных метри
ческих неевклидовых геометрий. Римановы геометрии
стали впоследствии основным математическим аппа 
ратом общей теории относительности. Частным слу
чаем римановых геометрий являются геометрия Ев
к лида и геометрия Лобачевского .
1881- 1882 rr. - Р. Дедекинд, Г. Кантор и К.Вей
ершт расс строят тремя различными способами теорию
действительных чисел. Вскоре в работах Дедекинда
и особенно Канто ра возникает новая важная область
современной математики - теория множеств.
1899 r. - Д. Гильберт в <с Основаниях геометрии•
строит полную аксиоматику геомет рии Евклида и ана
лизирует соотношения между различными г руппами
аксиом. С этого времени бо льшое развитие в матема
тике получает аксиоматический метод.
ХХ в. - созданы новые математические дисцип
лины,играющие чрезвычайно большую роль как в самой
математике, т ак и в математическом естествознании
и технике.
•

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОJIИМ ПИАДЫ
В древней Греции каждые четыре года проводились
Олимпийски е игры - о бщенациональные состязания
в беге, метани и диска, борьбе, езде на колесницах и т. п.
Четырехгод ичные промежутки между двумя Ол имп ий
скими играми получили название олимпиад - по ним
тогда вели с ч ет времени . С конца прошлого века олим
пиадами ст али называть международные спортивные
соревнования , кото рые также бывают раз в четыре года .
Математические олимпиады впервые возникли
в нашей ст ране в 1934 г. Они хотя и назыв аются олим
пиадами , но совсем не связаны с четырехлетними пе
рерывами и проводятся ежегодно . Вначале у нас были
тол ько го родские олимпиады.
С 1960 г. организуются Всероссийские, а факти
чески Всесоюзные олимпиады . Их участники - школь
ники , соревнующиеся между собой в математических
знаниях и сообразител ьности . Все со ревнование состоит
из четырех туров , п а каждом из которых участникам
предл агается решать задачи в письменном виде (обычно
даются четыре задачи) . Тот , кто хорошо решит задачи
(быть может, не все) , считается победителем в этом туре
и допускается к сл едующему .
В от некоторые зада•ш , которые предлагались на
четвертом (ааключител ьном) туре в 1963 и 1964 гг .(на
111 и IV Всероссийских олимпиадах) .
Vlll класс
1 . Дан выпуклый четырехугольник ABCD . На про
должении ст ороны А В откладывается отрезок ВМ = АВ ,
на продолжении ст ороны ВС - отрезок CN = ВС ,
на продолжении сто роны CD - отрезок DP = CD
и на продо лжении стороны DA - отрезок AQ = AD.
Доказать, что площадь четырехугольника MNPQ
в пять раз больше площади четырехугольника ABCD.
2 . Доказать, что т ( т + 1) пе является степенью
целого числа пи при каком натуральном т .
3 . Дан произвольный набор 2k + 1 целых чисел
а1, а2 , •••, a2C+i · Из него получается новый набор:
а,+а2
а2+а3
а21tн + а1
2
2'
..
.,
2
Из этого набора - сл едующие по тому же правилу,
и т. д., причем все получающиеся числа - целые. Дока
зать, что все первоначальные числа равны .
4 . н:аждая из диагоналей выпуклого четырехуголь
ника ABCD делит его площадь пополам. Доказать, что
ABCD - параллелограмм .
IX класс
1. В клетки таблицы п Х п (п - нечетное) произ
вольным образом вписаны числа так , что в каждой клет
ке стоит число, равное + 1 или -1 . Произведение
чисел, стоящих в каждой строке, обозначим через alt ,
а произведение чисел , стоящих в каждом столбце,
чере:�Ь1�(k=1, 2,..., п).Доказать,что
а1+а2+...+а�+Ь1+Ь2+ ...+Ьn+о.
2 . Решить в целых числ ах уравнение
_;-=т,
п+...+vп
� де yn повторяется 1964 раза .
•33д.э.т. 2
3 . На плоскости нарисована сеть, образованная
из правильных шестиугольников со сто роной 1. Жук
прополз , двигаясь по линиям сети , из узла А в узел В
по кратчайшему пути , равному 100 . Дока:�ать, что по;10-
вину всего пути он полз в одном направлении .
X-XI классы
1 . Дан выпуклый шестиугольник А БС DEF . Иа
вестпо , что каждая из диагоналей AD , ВЕ, CF деш1т
его площадь пополам. Доказать , что эти диагонали
пересекаются в одной точке.
2. Дана арифметическая прогрессия , члены кото
рой - целые положительные числа. Известно , что
в этой п рогрессии есть член, являющийся полным квад
ратом. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно
много таких членов .
3. На какое наименьшее число непересекающихся
тетраэдров можно разбить куб?
В последние годы проводятся международные
олимпиады, в кото рых п ринимают участи е пока то;1 �, ко
социалистические страны . Так, летом 1962 г. в Чехо
словакии состоялась IV Международная математиче
ская олимпиада учащихся двух последних ю1 ассов
средних школ . Участникам были предложены следую
щие задачи (в скобках после каждой задачи указа но
количество очков, начисляемое за ее решение).
1 . Найти наименьшее натуральное число п, обла
дающ ее следующими свойствами :
а) его запиtь в десятичной системе заканчивается
цифрой 6;
б) если зачеркнуть последнюю цифру 6 и перед
оставшимися циф рами написать эту циф ру 6, то полу
чится число в четыре раза больше исходного числа.
(6 очков)
2 . Определить все действительные чис.1
1
а х, удов
летво ряющие нерав енству
_;-
--
1
V3-x -Vх+1>2·
(6 очков)
3 . Дан куб ABCDA'B'C'D' (ABCD и А'В'С'D'- со 
ответствеппо верхнее и нижнее основани я и А А' 1 1 ВВ' 11
11 СС' 1 1 DD') . Точка Х движется с постоянной ско ростью
по сторонам квадрата ABCD в направлении ABCDA,
и точка У движется с той же скоростью по сторонам
квадра:rа В'С'СВ в направл ении В'С'СВВ' . Точки Х и У
начинают двигаться в один и тот же момент из исходных
положений А и В' соответственно .
Найти и начертить геометрическо е место середин
отрезков Х У.
(8 очков)
4 . Решить уравнение
cos2x + cos22x + соs2зх = 1 .
(5 очков)
5. На окружности k заданы три различные точки
А,В,С•

СП РАВОЧНЫИ ОТДЕЛ
Построить (ци ркулем и линейкой) на окружности k
четв ертую точку D так, чтобы в полученный четырех
угольник ABCD можно было вписать окружность .
(7 очков)
6. Дан равноб едренный треугольник АВС; r -
радиус описанной ок ружности , р - радиус вписанной
окружности . Докажите, что расстоя ние d между цент
рами ок ружностей есть
d=Yr(r -2р).
(6 очков)
7. Т етраэдр SABC обладает следующим свойством :
существуют 5 сф ер, касающихся ребер SA, SB, SC, АВ,
ВС, СА или их п родолжений.
Докажите , что а) тетраэдр SA BCправильный , б) об
ратно - для каждого правильного тетраэдра сущест
вуют пять таких сфер .
(8 очков)
Для получения премии на олимпиаде требовалось
46-41 очко для 1 премии , 40- 34 очка для 11 пре
мии, 33-29 очков для III премии .
Всего было присуждено 4 п ервые, 12 вторых и 15
третьих премий . Из них советские школьники получили
2 первые, 2 вторые и 2 третьи .
Вот какие задачи пришлось решать участникам
V Междуна родной математической олимпиады , которая
проходила летом 1963 г. в Польше .
1. Найти все вещественные корни уравнения
ух2-р+1Ух2-1=х,
где р - веществ енный п араметр .
(6 очков)
2. Найти в пространств е геометрическое место
в ершин прямых углов , одна сторона которых проходит
через данную точку А, а другая имеет по крайней
мере одну общую точку с отрезком ВС.
3 . Доказать, что
1t
21t
31t
1
cos7-cos7+cos7=2·
(7 очков)
(6 очков)
4 . Ученики А, В, С, D, Е участвовали в одном кон
курсе . Пытаясь угадать результаты соревнования ,
некто предполагал , что получится посл едов ательность
А, В, С, D, Е. Но оказалось , что он не указал верно
ни места какого-либо из участников , ни никакой п ары
сл едующих непосредств енно друг за другом учеников .
Некто другой , предп олагая результат D, А, Е, С, В,
угадал правильно мес.та двух учеников , а также дв е .
п ары (непосредственно сл едующих друг за другом уче
ников) . Каков был на самом деле результат конкурса?
(8 очков) .
Дипломом I степени были награждены участники,
набравшие от 35 до 40 очков, II степени - от 28 до
34 очков , 111 степени - от 21 до 27 очков . Советские
школьники получили 4 диплома I степ ени (из 7) , 3
диплома II степ ени (из 11), 1 диплом 111 степени (из
17). В журнале «Математика в школ е� , No 6, 1963 ,
помещены решения задач III Всероссийской и V Меж-
дународной олимпиад.
·
Со 2 по 10 июля 1964г. в Москве в здании Мос
ковского университета проводилась VI Междуна родная
математическая олимпиада . Участникам быди п редло
жены следующие задачи :
1. а) Определить все Ц<)ЛЫе положительные чиела п,
для кото рых число 2" - 1 делится на 7.
б) Доказать, что ни при каком целом положитедь
ном п 2п+1 не делится на 7.
(7 очков )
2. Обозначим через а , Ь , с длины сторон некоторого
треугол ьника . Доказать , что
а2(Ь+с-а)+Ь2(а+с-Ь)+с2(а+Ь-с)<3 аЬс.
(7 очков)
3. В треугольнике АВС со сторонами а , Ь , с вписа на
окружность и построены ее касательные, параллел ь ны е
сто ронам данного треугольника . Эти касатеш.ные отсе
кают от данного треугольника АВС три новых тре
угольника . В каждый из таким образом пост роенн ых
треугодьников вписана окружность . Вычислить сумму
площадей всех четырех кругов .
(6 очков)
4. Каждый из 17 ученых переписывается с остал ь
ными . В их переписке речь идет лишь о трех темах ,
каждая п ара ученых переписывается друг с другом
лишь в связи с одной темой. До казать, ч то не менее
трех ученых переписываются друг с другом об одной
и той же теме.
(6 очков )
5. На плоскости даны пять точек . С реди п рямых,
соединяющих эти пять точек , нет параллельных , п ер
пендикулярных и совпадающих . Проводим через к аж
дую точку п ерп енди куля ры ко всем прямым , которые
можно построить, соединяя попарно остальные четыре
точки. Каково максимально е число точек п ересечения
этих перпендик уляров между собой, не считая данные
пять точек?
(7 очков)
6. Дан тетраэдр ABCD. Вершина D соединена
с центром тяжести основания точкой D1 • Через в ер
шины треугольника АВС проведены прямые, парал
лельные DD1 , до п ересечения с плоскостями противо
положных граней в точках А1, В1 , С1 • Доказать, что
объем тетраэдра ABCD в три раза меньше объема тет
раэдра A 1B1C1Dp
Будет ли верным результат , если точка D1 - про
извольная точка внутри треугольника АВС?
(9 очков)
Для получения премии требовалось: 37-42 очка
для 1 премии, 31-36 очков для П и 27-30 очков для
111 премии . Набравшим 30 очков были вручены дип
ломы участников олимпиады.
7 из 8 советских участников получили премии . Из
них 3 первые (из 7), 1 вторую (из 9) , 3 третьи (из 19)
премии . Команда Венгрии получила 3 п ервые , 1 в то
рую и 1 третью премии ; Польши -1 первую , 1 вторую
и 3 третьих; Румынии - 2 втQ рые и 3 третьих ; Чехо
словакии - 2 вторые и 2 третьи; ГДР - 1 вторую 11
2 третьи ; Болгарии - 3 третьи; Югославии - 1 втору ю
и 1 тр етью; Монголии - 1 третью премию.
Олимпиады повышают у учащихся интерес к ма
тематике . Возмож но, что многие читатели Детс1юй эн 
циклопедии станут у частниками олимпиад, некото 
рые же победителями па них , а впоследствии и уче
ными .
•

ЧТО ЧИТАТЬ ПО МАТЕМАТИКЕ
Предлагаемый чит ателю Детской энциклопедии спи
сок научно-популя рных книг по математике разбит
на несколько разделов, тематически связанных с груп
пами математических статей настоящего тома . Исключе
ние составляет лишь первый раздел, куда включены
книги, относящиеся ко многим вопросам математики
и ее исто рии. В каждом разделе (помимо обобщающих
книг , с которых начинается ра зде л) указываются кни
ги, до полняющие и углубляющие соответствующие
статьи энциклопедии . Поэтому большинство книг рас
считано на школьников старших классов. В список
включены также и книги, которые с интересом прочтут
школьники VI-VI II классов (в аннотациях этих книг
имеется соответствующее указание) .
ОС5щие вопросы
КОJ
J
могоров А. Н. О профессии математика. Изд.3.
М., Изд-во Моск. ун-та, 1960. 30 стр.
Автор книги- выдающийся советский математик -
рассказывает о работе математиков-исследователей, о
так называемых математических способностя х, об
организации математического образования в нашей
ст ране.
Люди русской науки. Очерки о выдающихся деяте
лях естествознания и техники . Кн. 1 [математика, ме
ханика, астрономия , физика , химия]. М ., Физмат
гиз, 1961 . 600 стр. с илл.
В очерках, написанных видными советскими учены
ми, рассказывается о жизни и тво рчестве выдающихся
деятелей отечественного естествознания и техники.
Двенадцать очерков посвящены математикам.
КаганВ.Ф.Лобачевский и его геометрия.
Общедоступные очерки. М., Гостехиздат , 1955. 304 стр.
с черт.
Воронцова Л. А . Софья К овалев с к а я. М., «Мо
лодая гвардия», 1959 . 335 ст р. с илл. (Жизнь замеча
тельных людей) .
Инфельд Л. Эварист Галуа - избранник богов.
Перевод с англ . М., «Молодая гвардия» , 1958. 368 стр .
с илл. (Жизнь замечательных людей) .
Оре О. Замечательный математик Нильс Хенрик
Абель. Перевод с английского . М ., Физматгиз, 1961 .
344 стр. с илл.
Депман И. Я. Рассказы о решении задач. Л., Дет
гиз, 1957. 128 стр. с илл.
Десят ь рассказов, в которых наряду с решением
задач есть интересные математические сведения. Автор
на п риме рах показывает , как важно, решая задачи,
внимательно относиться к каждому слову условия. Поч
ти все задачи решаются при помощи четырех действий
арифметики.
Эйдельс Л. М . Избушки па до рожках. l\f ., Детгиз,
1960. 175 стр. с илл.
Повесть о школьной газете «Гипотенуза>> . Герои
этой повести, члены математического кружка , сумели
сделать по-настоящему интересными и занимательными
простые математические задачи - такие же, какие
ежедневно решаются в VI-VI I классах.
Депман И. Я . Мир чисел [рассказы о математике].
Л., Детгиз, 1963. 72 ст р. с илл. (Школьная б-ка) .
В небольших очерках, доступных школьникам
V-V 111 классов, рассказывается о том , как люди на-
33•
учились считать и мерить , о зарождении математики,
успехах в ее развитии у разных народов, о возникно
вении основных понятий арифметики, алгебры, гео
метрии.
Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка. Изд. 2 .
М., Учпедгиз, 1961 . 167 ст р. с илл.
Книга знакомит читателя ·с биог рафиями оте
чественных математиков, с интересным материалом по
истории математики, математической логике, счетным
приборам и машинам и с другими вопросами.
Перельман Я. И. Живая математика . (М атематиче·
ские рассказы и головоломки) . Изд. 7. М., Физматгиз,
1962. 184 стр. с илл.
В увлекательной форме маленьких рассказов изла
гаются математические задачи и даются полезные прак
тические приемы счета и измерения . Для чтения кни
ги достаточно знания правил арифметики и элемента р
ных сведений из геомет рии.
Кордемский Б.А . Математическая смекалка. Изд. 7 .
М., Физматгиз , 1963. 568 . ст р. с илл.
Сборник из 365 математических миниатюр: разнооб
разных задач, математических игр, шуток и фокусов,
требующих работы ума , развивающих смекалку и логич
ность в рассуждениях. В книге имеется материал для
читателей с различной степенью подготовки.
Доморяд А.П. Математические игры и развлечения .
М., Физматгиз, 1961. 268 ст р. с илл.
Перельман Я. И. Занимательные задачи и опыты .
М., Детгиз, 1959 . 528 стр. с илл. (Школьная б-ка).
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры . Опыты
математического мышления . Перевод с немецкого.
Изд. 3. М., Физматгиз, 1962 . 264 ст р. с илл. (Б-ка мате
матического кружка ) .
Каждый из 27 маленьких очерков, посвященных
различным вопросам математики, - образец доступного
научного исследования. Ценность книги в том, что она
не только знакомит с материалом, над которым работает
наука, по и показывает научные методы в действии .
Литцман В. Где ошибка? Перевод с нем. М .,
Физматгиз , 1962. 192 стр. с илл.
Без сомнения, у всех вызовут улыбку утвержде-
пие: «2 =1» и что «Каждый треугольник - равнобедрен
ный» . Однако «доказательства>> этих (и многих других
столь же удивительных) утверждений можно найти в
этой книге. Разумеется, эти «доказательства>> содерс
жат ошибки, но где? Ответ предоставляется на йти
читателю.
Дубков Я.С . Ошибки в геометрических доказатель
ст вах. Изд. 3. М., Физматгиз, 1961. 68 стр. с черт . (По�
пулярные лекции по математике) .
Соминский И. С. Метод математической индукции.
Изд. 6. М., Физматгиз , 1961. 48 ст р. (Популя рные лек
ции по математике) .
Особый метод математических доказательств, поз
воляющий на основании частных пабл.юдепий делать
заключения об общих закономерностях.
ГОJ
J
овина Л. И., Яглом И. М . Индукция в геомет
рии. Изд. 2. М., Физматгиз, 1961 . 100 стр. с черт. (По
пуля рные лекции по математике) .
На подробно разобранных примерах указываются
разнообразные применения метода математической
индукции к решению геометрических задач .
Градштейн И. С . Прямая и обратная теоремы. (Эле
менты алгебры логики) . Изд. 3. М . , Физматгиз, Н159.
128 стр. с илл.

С П РАВОЧНЫИ ОТДЕЛ
Разъясняются логические отношения между пря
мой , обратной, противоположной и противополож
ной обратной теоремами . Излагаются элементы теории
множеств и математической логики .
О фиг�·рах и те.J1ах
Каган В . Ф . Очерки по ГС()Метрии. М., Изд-во Моск.
ун-та, 1963. 571 CTpl' с ИЛJI.
Смогоржевский А . С . О геометрии Лобачевского . М .,
Гостехиздат , 1957 . 68 ст р. с илл. (Популярные лекции
по математике) .
Излагаются основные положения неевклидовой гео
метрии Лобачевского и краткие биографические сведе
ния о нем.
Маркушевич А . И . Замечательные кривые . Изд. 2 .
М.-Л ., Гостехиздат , 1952. 32 ст р. с черт. (Популярные
лекции по математике) .
Автор рассказывает о свойствах некоторых кри
вых линий . Книга рассчитана на учащихся VI I-VI II.
классов.
Перельман Я. И. Занимательная геометрия . Изд.
11. М., Физматгиз, 1959 . 302 ст р. с черт.
О многих интересных геом�трических задачах, воз
ника�щих в лесу, в поле, у реки, на дороге, говорится
в этои книге .
Островский А . И. , Корцемский Б. А . Геометрия
помогает арифметике. М., Физматгиз , 1960 . 168 стр.
с илл.
Наглядные (геометрические) решения задач всегда
считаются «Красивыми» . Множество интересных задач
и их на�лядных решений приводится в этой красочно
изданнои книге .
Зетель С. И . Геометрия линейки и геометрия цир
куля. Изд. 2. М ., "Учпедгиз , 1957 . 163 ст р. с черт.
Всем школьникам известно, как увлекательны за
·дачи на построение с помощью ци ркул.Я и линейки.
А можно ли решать такие задачи (и какие именно) с по
мощью только одного ци ркуля или одной линейки?
В книге дается ответ на этот вопрос.
Гельфанц И. М" Глаголева Е. Г" К ириллов А. А .
Метод КQОрдинат. М ., «Наука», 1964. 72 стр. с черт.
(Б-ка физико-математической школы).
Од ин из важ нейших методов решения многих гео
метрических и других задач алгебраическим путем и
применение это го метода к исследованию фигур в
четырехмерном пространстве .
Шюrярекий Д. О" Ченцов Н. Н" Яглом И. М.
Избранные задачи и теоремы элементарной математи
ки. Ч. 2-3. М., Гостехиздат, 1952-1 954. (Б-ка мате
матического кружка) .
Ч. 2 . - Геометрия (планиметрия) . 380 стр. с черт.
(1 50 задач) .
Ч. 3 . - Геометрия (стереометрия) . 267 ст р. с черт.
(1 19 задач) .
·
Сборники нешаблонных геометрических задач ,
снабженных решениями. Среди задач по планиметрии
имеются дост упные школьникам VII-VII1 к лассов .
О чисо1
1
ах и уравпепивх
Александров ll. С. Введение в теорию гру пп. Изд. 2.
М., "Учпедгиз, 1951. 126 стр. с черт.
Берман Г. Н . Число и наука о нем. Общедоступные
очерки по арифметике натуральных чисел. Изд. 3. М.,
Физматгиз, 1960 . 164 ст р. с илл.
�08
Рассматриваются свойства натуральных чисел ,
различные способы их записи и обозначения , воПросы
делимости чисел друг на друга.
Перельман Я . И. Занимательная арифметика. За
гадки и диковинки в мире чисел . Изд. 9. М ., Физматгиз ,
1959. 184 стр. с илл.
Разнообразные арифметические задачи изJюжены
в виде увлекательных рассказов . Для решения их до
статочно знакомства с правилами арифметики .
Перельман Я. И . Занимательная алгебра . Изд.
10. М., Физматгиз, 1959. 184 ст р. с илл.
Многие вопросы школьного курса аш·ебры и:ша
гаются в виде задач с необычайными сюжетами, сопро
вождаются занимательными экскурсиями в область
исто рии математики, неожида нными применениями .
Маркушев11ч А . И . Комплексные числа и конфор
мные отображения . Изд. 2 . М., Физматгиз , 1960.
56 стр. с черт.
Комплексные числа вводятся геометрически , как
векторы на плоскости . В книге рассказывается о при
менениях их к геометрическим преобразованиям, со
храняющим величины углов · (конформным отображе
ниям).
Гельфонц А . О . Решение уравнений n целых числах .
Изд. 2. М ., Гостехиздат , 1957 . 64 ст р. с илл . (Популяр
ные лекции по математике) .
Каждый , кто знаком с решением уравнений, знает,
что одно уравнение первой степени с двумя неизвест
ными имеет бесчисленно много решениl!. Нетрудно най
ти и те решения , которые выражаются целыми числами .
А как решить ту же задачу, если дано уравнение вто
рой или более высокой степени с несколькими неизвест
ными? О неко;орых результа тах в ее решении рассказы
nается в этои книге.
Курош А. Г. Алгебраические уравнения произволь
ных степеней . М.-Л" Гостехиздат , 1951 . 32 ст р. с илл.
(Популярные лекции по математике).
В � прос о том, какие из уравнений степени более
второи могут быть решены (и как) , разбирается в
этои книге .
Виленкин Н. Я . Метод посJ1едонательных прибли-
115ений . М" Физматгиз, 1961 . 64 ст р. с илл . (ПопуJ1яр
ные лекции по математике) .
Метод приближенного решения уравнений , как ал
гебраических, так и трансцендентных (т риго нометриче
ских , показательных и др.) .
Шюrярский Д. О" Че1щов Н. Н" Яглом И. М.
Избранные задачи и теоремы элемента рной матема 
тики. Ч. 1. Арифметика и алгебра. Изд. 3. М., Физ
матгиз , 1959. 455 ст р. с илл. (Б-ка математического
кружка) .
Сборник 320 нешаблонных задач , снабженных ре
шениями . Среди задач имеются доступные школьни
кам VII-VIII классов (эти задачи отмечены особо).
00 ОСИОВllЫХ DODJITBJIX вы сшей
иатеиатики
Зельдович Я. Б. Высшая математика для начина �о
щих и ее приложения к физике. Изд. 2. М" Физматгиз,
1963. 560 стр. с илл.
В простой и наглядной форме объясняются основ
ные понятия дифференциального и и нтегрального ис
числения - важнейшего раздела высшей математики .
На их основе рассмот рено большое число физических
вопросов .

Натансон И. П. Простейшие задачи на максимум и
минимум. Изд. 3. М.- Л., Физматгиз, 1960. 32 стр. с
черт . (Популярные лекции по математике) .
Несколько способов (с применением только алге
браических средств) реше ния задач на определение мак
симума или минимума исследуемых величин.
Шилов Г. Е. Как строить графики. М., Физматгиз,
1959 . 24 ст р. с илл . (Популярные лекции по математи
ке) .
Приемы пост роения графиков функций на приме
рах прямой и обратной пропо рциональной зависимо
стей и многочленов второй степени .
Болтянский В. Г . Что такое дифференци рование?
Изд. 2 . М., Физматгиз, 1960 . 64 стр . с илл. (Популяр
ные лекции по математике) .
На примерах, взятых из физики, rюясняются неко
торые понятия высшей математики (производная, диф
ференциальное уравнение , натуральный логарифм,
число е) .
Натансов И. П. Сумми рование бесконечно малых
величин. Изд. 3. М ., Физматгиз , 1960 . 56 ст р. с черт .
(Популярные лекции по математике) .
Весьма разнообразные задачи физики (например,
определение давления жидкости на стенки сосуда , вы
числение работы) и геометрии (например, определение
площади криволинейных фигур, объема тел) приводят
к необходимост и вычисления сумм одного типа - сумм
безгранично возрастающего числа безг ранично убываю
щих слагаемых . Понятие предела таких сумм лежит
в основе интег рального исчисления - раздела высшей
математики, о нем и идет речь в зтой книге .
Маркушевич А. И . Площади и логарифмы. М. 
Л., Гостехиздат , 1952. 51 стр. с черт.
Логарифмы определяютс я, как площади некото
рых криволинейных фи гур, связанных с г рафиком об
ратной пропорциональност.и (гиперболой ) , и отсюда вы
вод ятся все их свойства . Книга является своеоб
разным введением в интегральное исчисление .
Маркушевич А. И. Ряды . Элементарный очерк . Изд.
3. М ., Физматгиз, 1961. 188 ст р. с илл.
Можно ли найти значения синуса к акого-либо
угла или лога рифма чисел, не прибегая к таблицам?
Да, но для этого надо знать представление этих функ
ций в виде бесконечных рядов. О понятии бесконечного
ряда , основных свойствах рядов, о рядах для элемен
тарных функций рассказывается в этой книге .
Некоторые вопросы совреиеиноА
иатем атики и кибернетики
Гнеденко Б. В., Хинчнн А. Я . Элемента рное введе
ние в теорию вероятностей . Изд. 6 . М ., Физматгиз,
1964. 144 стр. с илл.
Проблемы физики и биологии, автоматического
управления и лингнистики и многие другие приводят
к необходимости решать многочисленные задачи , свя
занные с выяснением возможного хода процессов, на
кото рые влияют случайные факто ры. Поэтому теория
вероятностей - математическ ая наука, изучающа я за
кономерности случайных явлений,- стала одним из
основных математических методов современного есте
ств ознания и техники. В этой книге дается элементар
ное изложение основных понятий теории вероятностей .
Яглом А . М ., Яглом И. М . Вероятность и информа
ция. Изд. 2. М" Физматгиз, 1960. 316 стр. с черт.
Ннига является введением в новую область мате
матики - теорию информации, тесно связанную с ки-
ЧТО ЧИТАТЬ ПО МАТЕМАТИКЕ
бернетикой и имеющую ряд приложений в технике
связи, биологии, лингвистике и т. д.
Вентцель Е. С . Элементы теории игр. Изд. 2 . М ..
Физматгиз , 1961 . 68 ст р . с черт . (Популярные лекцип
по математике) .
Основные положения тео рии игр - важного раз
дела современной математики - иллюстрируются под
робно разобранными примерами .
Берг А. И . Кибернетика и надежность . М ., «Зна
ние)) , 1963. 32 стр.
Автор книги - выдающийся советский учепыii -
рассказывает о возможностях кибернетики, о науч
ных, технических и организационных мерах повыше
ния надежности кибернетической техники, о том, как
служит и будет служить кибе рнетика делу коммунизма .
Кобринский Н. Е., Пекелис В. Д . Быстрее мысли.
М., «Молодая гвардию>, 1959 . 389 стр. с илл .
Авторы живо и инте ресно ра сска зывают о многих
проблемах, имеющих прямое отношение н кибернети ке.
Ннига богато иллюстрирована остроумными рисунками .
Кондратов А . М . Чис.Ло и мысл.ь . М., Детгиз, 1963.
142 стр. с илл.
Увлекательные рассказы о достиже ниях и возмож
ностях кибернетики.
Полетаев И. А . Сигнал. О некоторых понятиях ю1-
бернетики. М ., «Советское радио)), 1958 . 404 стр. с илл.
В книге дано всестороннее освещение основ ки
бернетики. Разделы, требующие специальных зна
ний по математике, выделены и могут быть опущены
бе3 большого ущерба для понимания остального
материала.
Теплов Л. П. Очерки о кибернетике. Изд. 2 . М .,
«Московский рабочий)), 1963. 416 ст р. с илл .
Кобрннский А. Е. Числа управляют ста нками . М. ,
Изд-во АН СССР, 1961 . 192 ст р. с илл . (Научно-по пу
лярная серия) .
Не прибегая к формулам, автор рассказывает о
том, ка1С действует nвтомат с цифровым управлением,
как он устроен, какие трудности возникали при его
создании . Книга знакомит ТаJ(Же с системами счисле
ния, метода ми коди рования, принципом обратной
связи.
Сапарина Е. В: Кибернети:ка внутри нас. М . , «Мо
лодая гва рдия)) , 1962. 304 ст р. с илл .
Занимательные расс:казы о сложных проблема х
применения идей и методов :кибернети:ки в области ме
дицины, физиологии, психологии и лингвистики .
Кондратов А . М . Математика и поэзия . М., «Зна
ние», 1962. 48 стр с илл.
Математические метод ы - мощное орудие исследо
ва ния в самых различных обла стях знаниii. В этой
:книге рассказывается об их применении в изучении
стиха , об анализе творчест ва с позициii 1шбернстики.
Зарипов Р. Х. Кибернетика и музыка . М , «Зна ние)) ,
1963. 56 стр. с илл.
О попытках изучения музыкального творчестна ме
тодами кибернетики рассказьшаетсл n этой к ниге .
Излагаются опыты авто ра по сочинению музыки на
электронной вычислительной машине «Урал)) . Опис11-
ю1е методов композици и сопровождает ся нот ными при
мерами мелодий («У ральс1шм11 напе11<1МИ))), сочинен
ными машиной «Урал» .
Архангельский Н. А., Зайцев Б. И . Автоматичес:кие
цифровые машины . М" Физматг из, 1958. 127 ст р. с илл.
(Популярные лекции по математике) .
Смирнов А . Д . Современные математические маши
ны. М ., Физ11
1
атгиз, 1959. 112 ст р. с илл .
Тукачинский М. С . Машины-математики. М ., Физ
матгиз, 1958. 130 ст р. с илл.
609

CJIOBAPЬ·YKAЗATEJIЬ1
А
Абак - счетная доска у древних греков и римлян
(а затем и в Западной Ев ропе вплот ь до XVIII в.),
применявшаяся для арифметических вычислений . Прин
цип устройства подобен нашим счетам. - 269
Абель, Нильс Генрик (180 2- 1829) - норвеж
с ю1й математик. Доказал (1824) неразрешимость в ра
д и калах уравнения 5 -й и более высоких степеней в об
щ е м случае. Другие его работы относятся ко многим
вопросам математического анализа .- 327 , 417, 496, 504
Абсолютная вел11ч1ша.- 330
Абсол ютная геометри я. - 297
Абсцисса - одна из декартовых координат точ
ки.- 330
Автомат - понятие кибернетики . - 4 43
Адамс , Джон Кауч (1819- 1892) - английский
астроном . - 372
Адрес - величина , определmощая местоположе ние
информации в электронной вычислительной машине .-
434
Аксиома - положение , принимаемое без доказа
тельства в пределах данной математической дисципли
ны.- 295, 296, 313, 411
Аксиома о параллельных. - 315, 316
Аксиомати ка - система аксиом данной математи
ческой дисциплины . Об аксиоматике геометрии см.
стр. 313, 504 ; об аксиоматике алгебры см. стр . 411
Аксиоматический метод.- 299, 504
Алгебра - часть математики , развившаяся в свя
зи с задачей о решении уравнений . В дальнейшем раз
витии предмет алгебры значительно расширился (см.
стр. 408 -426, 477). О происхождении термина «алгеб
ра» см. стр. 325, 475, 503
Алгебра множеств . - 3 84 -386
Алгебраическая символика. - 477, 480 , 502 , 503
Алгебра ическое уравне ние - уравнение, которое
можно (после преобразований) привести к виду при
равнен ного нулю многочлена относител ьно неизвест
ны х (см. стр. 324 , 415-417, 480, 496, 504 ) . Решение
уравнений 1-й и 2-й сте пеней было известно еще в древ
ности (стр. 323-327) . В XVI в. было найдено решение
.
уравнений 3-й и 4-й степеней (стр. 327 , 503) . В XIX в.
'было доказано, что корни уравнений степени выше
4-й в общем виде нельзя выразить через коэффициенты
(стр . 417, 504) .
Алгебры основная теорема.- 327 , 328, 416, 491 , 504
Алгол - условное название универсального язы
ка программирования для быстродействующих элект
ронных вычислительных машин . - 4 38
Алгоритм (или ал горифм) - совокупность мате 
матических операций, выполняемых в оп ределенном
порядке для решения задач данного типа (стр . 432, 443) .
О происхождении термина «алгоритм» см . стр . 503 .
1 Имена ученых, математические понятия и тер
мины, вошедшие в словарь-указател�,, сопровождаются
развернутым объяснением лишь в том случае, если
они недостаточно подробно описаны в статьях энци·
клопедии.
51.0
Алфавит абстрактный - понятие кибернетики .-
442
Алфавитная нумерация :-
-
способ записи чисtш , в
котором в качестве цифровых знаков употребляются
буквы алфавита .- 273-275
Ампер, Андре Мари (1775-1836) - французский
ученый . Основные работы относятся к различным воп
росам физики.- 4 41
Аналитическая геометри я - раздел математики, в
котором свойства геометрических фигур (точек, линий ,
поверхностей и их совокупностей) изучаются средства
ми алгебры при помощи метода координат .- 263 , 320 ,
479, 481, 502, 503
Аполлоний Пергский - древнег реческий матема
тик , работавший ок. 200 до н. э. в Александрии . Важ
нейшее его сочинение - «Конические сечению> , где
рассматриваются свойства эллипса , гиперболы и пара
болы ; оказал бол�,шое влияние на развитие математики
нового времени .- 263, 478, 502
Арабские цифры - т радиционное название деся
тицифр: О, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,- с помощью кото
рых по десятичной системе счисления записываются
любые числа. О происхождении термина см . стр .
277
Арган, Жан Робер ( 1 768- 1 822) - французский
математик . Автор работы (1806) , содержащей геометри 
ческую интерпретацию комплексны х чисел . - 504
Аргумент - независимая переменная величин а. -
342
Ариабхата (р. в V в. - дата сме рти неизв .)-индий
ский астроном и математик . В его сочинениях встре
чаются извлечение квадратного и кубического корней
из чисел , простейшие Задачи на соста вление и решение
уравнений, среди кото рых имеется неопределенное урав
нение с двумя неизвестными и его решение в целых
числах .- 503
Арифметическая прогрессия - последовател�,нос ть
чисел, из которых каждое следующ ее получается из
предыдущего прибавлением постоя нного числа . - 45 1 ,
501
Арифметическое среднее.- 451
Арифметическое устройство - одно из пяти основ
ных устройств быстродействующей электронной вы
числительной машины .- 433
Архимед (ок. 287-212 до н. э.) - древнегреческий
математик и механик .- 262, 273, 293, 327 , 452, 472-
474, 475, 502
Архимеда аксиома. - 502
Архи меда спираль. - 3 3 9
Ассоциативность, ассоц11ативный (сочетательный )
закон - свойство сложения и умножения, выражаемое
формулами: (а+Ь)+с=а+(Ь+с), а(Ьс)=(аЬ)с. - 383, 385,
386, 390, 400, 410
Аффинное преобразование - геометрическое пре
образование , при котором п рямые переходят в пря
мые.- 421
Ахмеса папирус - один из двух дошедших до
нашего времени математических папирусов древнего
Египта ; составлен египетским писцом Ахмесом ок . 2000
до н. э. Представляет собой соб рание 84 задач , имеющих
п рикладной характер. - 322

Б
Барроу, Исаак (1630- 1 677) - английский мате
матик, владевший в геометрической форме основными
идеями диффе ренциального и интегрального исчисле
ний. Учитель И. Ньютона.- 368, 483
Бартельс, М11ртин - немецкий математик конца
XVI II - начала XIX в. Руководил ранним образова
нием 1\. Гаусса . С 1808 г. работал в Казанском универ
.
ситете , где преподавал математику. У н его учился
Н. И. Лобачевски й.- 490, 492
Бернулли - семья швейцарских ученых , давшая
11 видных математиков . Наиболее извест ны: братья
Якоб Бернулли (1654-1705) (стр. 456, 459 , 504) и
Иоганн Бернулли (1667-1748) (стр . 488) , сотрудничав
шие с Г. Лейбницем в разработке основ дифференциаль
ного и интегрального исчислений ; дети Иоганна Бернул
ли - Николай (1695-1726) (стр. 488) и Даниил (1700-
1782) (стр . 488) , работавшие в Петербургской Академии
наук .
Бес конечный ряд - выражение а,+а2+ ...+ап+ ...,
члены которого а1 , а2, ••• ,ап• · · · - числа (числовой ряд)
или функции (функционал ьный ряд) . В исследовании и
вычислении функций большое значение имеет представ
ление их в виде рядов , членами которых являются
более простые функции. -484 , 503 , 504
Библиотека стандартных подпроrрамм.- 4 38
Бином - двучлен . Бином Ньютона - формула,
выражающая целую положительную степень суммы
двух слагаемых через степени этих слагаемых . - 476,
503 , 504
Бионика - раздел кибернетики .- 450
Больцано, Бернард (1781-1848) - чешский мате
матик . Основная часть его рукописного научного насле
дия исследована лишь в ХХ в. Главный математический
труд «Учение о функциях» , написанный в 1830 г.,
увидел свет лишь через 100 лет ; в нем Больцано ввел
ряд понятий и теорем математического анализа ,
обычно связываемых с именами других ученых . -
375
Больших чисел закон - одно из основных положе
ний теории вероятностей .- 459 , 504
(<Бол ьшое число» .- 2 75
Бомбелли, Рафаэль - итальянский математик и
инженер 2-й половины XVI в. В его сочинении (< Алгеб
ра» (1572) дано первое изложение простейших действий
над мнимыми числами .- 327 , 503
Бояи, Янош (180 2-1860) - венгерский математик .
Независимо от Н. И . Лобачевского и несколько позже
его изложил (1832) основные положения неевклидов ой
геометрии.- 297, 298 , 504
Брахмаrупта (598-660 ?) - индийский математик
и астроном. - 5 03
Булева алrебра - понятие математической логи
ки.- 389
Буль, Джордж (1815-1864) - английский матема
тик и логик , основоположник математической логики .-
389 , 394
Бхаскара (Бхаскара-акария) (р. 1114 - год смер
ти неизв.) - индийский математик и астроном . Дал
изло жение методов решения ряда задач алгебры и
теории чисел, в частности решения в целых числах
неопределенного уравнения
2-й степени. -
326,
503
Бюрrи, Иобст (1552- 1632) - швейцарский ученый .
Независимо от Дж. Непера составил (1620) логариф
мические таблицы . - 503
СЛОВАРЬ-УКА ЗАТЕЛЬ
в
Вавилонская шестидес ятери чная нумерация. -
275, 276, 50 1
Валлис, Джон (1616-1703) - английский мате
матик . Основной труд «Арифметика бесконечного»
(1655) сыграл важную роль в создании инте грального
исчисления . Им введен общепринятый ныне знак со
для бесконечности . - 503
Варинr, Эдуарт (1736- 1 798) - шотландский мате
матик . Основные работы относятся к алгебре и теории
чисел ; особенно известна постановка так называемой
задачи Баринга .- 286
Вводное устройство - одно из пяти основных ус
тройств быстродействующей электронной вычислитель
ной машины .- 4 33
Вейерштрасс, Карл Теодор Вильrельм (1815-
1897) - немецкий математик. Его труды посвящены
многим областям математики. Большое значение имеет
разработанная им система логического обосно вания
математического анализа , покоящаяся на построенной
им теории действительных чисел .- 498 , 504
Вектор - направленный отрезок, при помощи ко
торого изображаются векторные величины - сила , ско
рость, ускорение и др. Название «Вектор» нроисх одит
от латинского vector - несущий, ведущий .- 397
Векторная алгебра.- 402
Ве нна диаграмма.- 385
Вероятностей теори я - важный в приложениях
раздел математики, изучающий закономе рности ма с
совых явлений, носящих случайный характер. - 452,
455 , 497' 504
Вероятность. - 456
Вессель, Каспер (1745- 1818) - датский матема
тик . Автор работы (1799), посвященной ве11торному
исчислению и содержащей первое полное геометриче
ское построение теории комплексных чисел . - 504
Взаимно однозначное соответствие.- 376
Виет, Фра нсуа (1540- 1630) - французский мате
матик .- 325 , 327, 476-478, 503
Виета теорема - теорема, устанавливающая зави
симость между корнями и коэффициентами алгеб раиче
ского уравнения .- 478
Винер, Норберт (1894-1964) - американский уче
ный . Основоположник новой науки - кибернетики .
Р анние его работы относятся ко многим важным обла
стям современной математики .- 442
Виноrрадов, Иван Матвеевич (р. 1891) - советский
математик , академик (с 1929 г.) , Герой Социалистиче
ского Труда (1945) . Научная деятельность относится
к области теории чисел, в которую он ввел новые мето
ды, оказавшие решающее влияние на ее развитие и по
зволившие ему решить ряд труднейших проблем. - 286
Внутренняя rеометрия.- 504
Ворон - наименование в славянской нумерации
числа 1048 . - 275
Вороной, Георrий Феодос ьевич (1868- 1 908)
русский математик, член-корреспондент Петербургской
Академии наук (с 1907 г.) . Его исследования относятся
ко многим вопросам теории чисел . - 4 98
Вращение - геометрическое преобразование . -301
Вывод - понятие математи ческой логики . - 39 6
Выводное устройство - одно из пяти основных
устройств быстродействующей электронной вычисли
тельной машины .-43 4
Высказывание - понятие математической логики .-
392
Высшая математика. - 263

СЛОВА РЬ-У КАЗАТЕЛ Ь
г
Галилей, Галилео (1564- 1 642) - итал ьянский уче·
IJЫЙ.- 502
Галуа, Эварпст (181 1-1832) - французский мате
матик .-327, 425 , 494-496 , 504
Галуа теория. - 4 25
Га мильто н, Уильям Роуан (180 5-1865) - англий
ск11й математик . Построил св оеобразную систему чисел
так называемые кватернионы ,- яв ившуюся одним из
источников векторного исчисления . - 409 , 504
Гармонический ряд. - 451
Гармоническое среднее.- 451
Гарриот, Томас (1560 -1621) - английский мате
матик . Бол ьшую роль сыграл в развитии алгебраиче
ских обозначений , его запись уравнений весьма близ
ка к сов ременной . Ввел знаки > и < (опубликов ано
посмертно в 1631 г.) . - 325
Гаусс, Карл Фридри х (1777-1855) - немецкий ма
тематик .- 297, 298 , 327, 328, 416, 418, 458, 490-492,
49 6, 504
Гельфонд, Александр Ос ипович (р. 1906) - совет
ский математик, член-корреспондент Академии наук
СССР (с 1939 г.) . Специалист в области теории чисел и
теории функций . Открыл новые методы доказательства
трансцендентности чисел .- 286 ·
Геометр11ческая алгебра. - 501
Геом етрическая прогрессия - последовательность
чисел , из которых каждое следующее получается из
предыдущего умножением на постоя нное число.-
451 , 502
Геометр11ческое преобразование. - 3 0 1 , 419
Геометрическое среднее. - 451
Геометрия - часть математики, которая изучает
пространственные отношения и формы тел (см. стр. 262,
293-295, 299 , 309, 313, 422, 424, 501 ) . О происхожде
нии названия см. стр . 293
Герон - древнегреческий ученый , работавший в
Александрии , вероятно, в 1 в. Его математические ра
боты являются энциклопедией античной прикладной
математики . В лучшей из них («Метрике») даны правила
и формулы для точного и приближенного расчета раз
личных геометрических фигур.- 326
Гиббс, Джозайя Уиллард (1839- 1903) - американ
ский физик .- 352
Гил ьберт, Да вид (1862- 1943) - немецкий мате
матик . Его исследования . оказали большое влияние на
развитие математики ХХ в.- 286 , 299 , 494, 504
Гипербола - плоская кривая, состоящая из двух
бесконечных ветвей ; является геометрическим местом
точек, разность расстояний которых от двух данных рав
на постоянной величине . - 308, 333 , 336, 5U2
Гиппократ Хиосский - древнегреческий геометр
2-й половины V в. до н. э . Автор первого систематиче
ского сочинения по геометрии (не дошедшего до
·
нас) ,
которое , вероятно , охватывало материал первых че
тырех книг ев клидовых «Начал» . - 2 96, 327, 502
Гомотетия - геометрическое преобразование , ча
стный случай подобия .- 303
Гросс - дюжина дюжин, т. е. 122= 144 однород ных
предметов. - 267
Группа - п онятие современной алгебры. - 42 1 -
423, 426 496, 504
Гюйгенс, Христиан (1629- 1 695) - н иде рландский
ученый . Основные труды относятся к физике и астроно
мии, математические работы - к теории вероятностей . -
456
0:1.2
Движение - геометрическое преобразоэание , ме
няющее положение фигуры , но сохраняющее ее форму
и размеры.- 300, 309 , 420, 422
Двои чная система счисления - система счисле
ния, в которой за основание принимается число «два» ,
так что все числа записываются с помощью только двух
цифр: О и 1 . - 266, 267, 428-430
Двойного отрицания закон - один из законов ма 
тематической логики .- 3 95
Двух ложных положений метод - метод решения
уравнений .- 3 23, 324
Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард (1831-1916)
немецкий математик. Работал в области теории чисел
и алгебры . Развил учение о непрерывности числового
ряда , имеющее большое значение для строгого обосно
вания математического анализа-.- 502, 504
Дедуктивная система. - 296, 502
Дезарг, Жирар (ок. 1593 - ок . 1662) - францу з
ский математик . Систематическое применение перспек
тивного изображения в его исследованиях ОJ(а зало боль
шое влияние на создание в XI.X в. новой геометрической
дисциплины - проективной геометрии . - 502
Декарт, Рене (1596- 1 650) -французский ученый. -
263, 324, 325, 327, 329 , 476, 478-480, 481 , 502, 503
Декартовы ноординаты.-33 0
Делоне, Борис Нинолаевич (р. 1890) - советский
математин, член-корреспондент Анадемии наун ССС Р
(с 1929 г.) . Работы относятся к алгебре, геометрии, тео
рии чисел и кристаллографии .- 2 85
Десятичная дробь. - 503
Десятичная система счисления - система счисле
ния , в которой за основание принимается число «де
сяты , так что все числа записываются С· помощью де
сяти цифр:О,1,2,3,4,5,6,7,8,9.- 266,276,277,
503
Дизъюнкция - понятие математической логики .-
392, 393
Диофант - древнегреческий математик, р аботав
ший в Александрии, вероятно , в 111 в. Его трактат
«Арифметикю> (от которого сохранились только 6 книг
из 13) сыграл большую роль в развитии алгебры и тео
рии чисел .- 280 , 325, 326, 502
Диофантово уравнение - см . неопределенное
уравнение.
Дистрибутивность, дистрибутивный (распредели·
те льный) занон-свойство сложения и умножения, выра
жаемое формулой : ( а +Ь+ ...+ с)т = а т+ьт+ ...+ст.-
383, 386, 390, 410
Дифференциальное исчисление - математическая
дисциплина ; вместе с интегральным исчислением состав
ляет важную часть математики - математический ана
лиз.- 263 , 474, 484 , 486, 502, 504
Дифференц11альное уравнен11е - уравнение , свя
зывающее искомую функцию и ее производные .- 370
Дифференцирован11е - операция нахождения про
изводных .- 365
Додекаэдр - один из пяти типов правильных мно
гогранников; имеет 1 2 граней (пятиугольынх) , 30 ре
бер, 20 вершин (в каждой ве ршине сходится 3 реб-
ра) .- 296, 501, 502
·
Доказательство от противного - метод доказатель
ства теорем .- 3 96
Допол нение множества.- 3 90
Дюжина - двенадцать однородных предметов .-

Е
Евдокс Книдский - древнегреческий математик и
астроном IV в. до н. э. Разработал общую теорию
пропорций и некоторые приемы доказательств геомет
рических теорем. Его сочинения до нас не дошли. -502
Евклид - древнегреческий математик, работавший
в Александрии в 111 в. до н. э. Автор «Н ачал» - пер
вого дошедшего до нас теоретического трактата по ма
тематике.- 262, 296-299 , 313, 316, 326, 492, 502 , 504
Евклида алгоритм.- 50 2
Евклидова геометрия.- 3 13 -318, 320, 321 , 504
Еги петская н умерация. - 272
Единица. - 387, 419
ж
Жирар, Альберт (1595- 1632) - голландский мате
матик . Впервые (1629 ) высказал основную теорему
алгеб ры , до казанную лишь в 1799 г. К. Гауссом .
При решении уравнений , наряду с положительными
корнями, рассматривал и отрицательНЬiе . Ввел (1629)
употребляемый НЬiне знак корня . - 327
За поминающее устройство - одно из пяти основ 
ных устройств быст родействующей электронной вычис
лительной машины .- 43 3 , 443
Золотарев, Егор Иванович ( 1847-1878) - русский
математик . Работал в области теории чисел и математи
ческого анализа .- 49 8
и
Игр теория - математическая дисциплина . -
466-47 1
И гра - понятие теории игр.- 466
Икосаэдр - один из пяти типов правильных мно
гогранников; имеет 20 граней (треу гольных), 30 ребе� ,
1 2 вершин (в каждой вершине сходится 5 ребер) . -
296, 502
И нтеграл - одно из основных понятий математи
ческого анализа . Знак интегралаJ - видоизмененное
латинское S (от слова Su mma) - введен Г. Лейбницем
(1675) .- 356, 358 , 359
И нтеграл ьное исчисление - математиqеская дис
ципл ина; вместе с дифференциальным ис'Iислением
составляет важную 'Iасть математики - математи'Iеский
анализ.- 263, 473, 484 , 486, 502, 504
Информация - понятие кибернетики. - 4 42
Ионийская нумераци я - алфавитная нумерация,
употреблявшаяся в древней Греции .- 273
И рраци ональн ые числа - qисла , не являющиеся
рациональными , т. е . не могущие быть то'Iно выражен
т
ными дробью -, где т и п - целые числа.- 480
п
Исключен ного третьего закон - один из законов
математической логики .- 39 4
Исчерпывания метод - метод доказательства , при
менявшийся математиками древности при определе
нии u лощадей и объемов . - 502
СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
к
Кавальери, Бонавентура (1598-1647) - итальян
ский математик . В труде «Геометрия» (1635) развил но
вый метод определения площадей и объемов (так
н азываемый метод неделимых) , оказавший большое
влияние в формировании интегрального ис'Iисления .
Ввел (1632) употребляемый ныне знак (Iog) лога рифма .-
503
Кантор, Георг (1845- 1918) - немецкий математик.
Основоположник теории множеств , оказавшей большое
влияние на развитие современной математики . - 379 ,
383 , 504
Канторович , Леонид Ви тальевич (р. 1912) - совет
ский математик , академик (с 1964 г.) . Автор работ
по многим вопросам математики и математической эко
номики .- 4 44
Кардано, Джеронимо (1501-1576) - итальянский
математик . Его работы сыграли важную роль в развитии
алгеб ры : он одним из первых в Европе стал допускать
отрицательные корни уравнений, у него впервые встре
чаются мнимые величины , его имя носит формула реше
ния кубического уравнения. - 327 , 503
Касательная. - 363, 473, 48 1, 502 , 503
ал-Каши, Джемшид ибн-Масуд (г. рожд . неизв.
ум . ок . 1436) - математик и астроном XV в" работавший
ок. 1420-1430 гг. на Самаркандской обсерватории.
Впервые ввел в употребление десятичные дробп и опи
сал правила действия над ними, изложил п риемы извле
чения корней любой степени, указал способ при
бл иженного решения уравнений 3-й степени .- 328 ,
503
Квадрант - плоский сектор с центральным углом
в 90° , 1;4 часть круга. Квадрант плоскости - любая
из четырех областей (углов) , на которые плоскость
де лится двумя взаимно перпендикулярными прямы
ми.- 330
Квадратичн ая иррациональность. - 4 17, 502
Квадратное уравнение - алгебраическое уравне
ние 2-й степени. - 326 , 501 -503
Квадратри са - плоская кривая, с помощью кото
рой древнегреческий ученый Динострат (IV в . до . н . э.)
выполнил квадратуру круга .- 5 02
Квадратура круга - знаменитая задача древности:
с помощью циркуля и линейки построить квадрат ,
равновеликий данному кругу. Эта задача сводится к
построению числа 7t, поэтому, как установлено в Х 1 Х в.,
указанными средствами она неразрешима . Если же
привлечь к построению дополнительные средства, на
пример квадратрису , то задача ста новится разреши
мой. - 418, 502
Кватернионы - система чисел , более общая, чем
комплексные числа .- 409 , 412, 419, 504
Кельвин (Томсон,. Уильям) ( 1824-1907) - англий
ский физик . - 352
Кеплер, Иоганн (1571-1630) - австрийский ученый.
Основные работы относятся к астрономии. В математи
ческом сочинении «Новая сте реометрия винных бочек»
для решения геометрических задач предложил способ ,
соде ржащий начатки интегрального исчисления . - 354 ,
368, 402, 502 , 503
Кибернетика - научное направление , основы ко
торого заложены в 40-х гг. ХХ в . в работах Н. Вине .
ра .-441 -451
Клейн, Феликс (1849- 1 925) - немецкий матема
тик . Автор многих работ по геометрии, алгебре и теории
функций .- 309 , 422, 424
61.3

СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
Клинописные математические тексты - математи
ческие тексты древней Вавилонии и Ассирии ; охваты
вают период от 2 тысячелетия до н. э . и до начала
нашей эры; написаны клинописью на глиняных пла
стинках. В них впервые встречаются позиционная систе
ма счисления и квадратные уравнения .- 262, 275, 276,
501
Ковалевская, Софья Вас ильевна (1850- 1891)
русский математик .- 498 , 499
Код - система «Команд» , применяемых в быстродей
ствующих электронных вычислительных машинах .-
434
Кодирование. - 4 42
Коллинеарные векторы. - 39 8
Колмогоров, Андрей Николаеви ч (р. 1903) - со
nетский математик, академик (с 1939 г.) , Герой Социа
. 1 истиче ского Труда (1963) . Научные работы относятся
ко многим областям современной математики и теорети
•rеским вопросам кибернетики .- 461
Колода - наименование в славянской нумерации
числа 1049 . - 275
Кольцо - понятие сов ременной алгебры .- 412
Команда .- 434
Коммутативнос ть, коммутативный (перемести
тельн ый) закон - неизменяемость суммы (или про
изведеиия) при переста новке слагаемых (или множи
телей): а+Ь=Ь+а, аЬ=Ьа. - 383, 385, 3jИ, ·389 , 400,
410
Комплексные числа - числа вида а+Ьi, где
а и Ь - действ ительные числа , а i - т ак называемая
мнимая единица -число , квадрат которого равен- 1.-
504
Конечная игра. - 4 67
Конические сечения - эллипс, гипербола , парабо
ла - линии пересечения круглого (с двумя полостями)
конуса с плоскостями , не проходящими через его ве�г
шину . - 308, 502
Конти нуум-гипотеза . - 3R3
Конус.- 288 , 502
Кон ъюнкция - понятие математической логики .-
392, 393
Коорди натные линии.- 339
Коорди Раты точ ки - числа, определяющие ее по
ложение на прямой , кривой линии , плоскости , кривой
поверхности или в пространстве .- 330, 479 , 503
Координаты на сфере. - 340
Корн ю спираль - спиралевидная кривая, состоя
щая из двух симметричных относительно некоторой
точ ки ветвей. - 291
Косинус - одна из тригонометрических функций .
НазванИе «косинус» представляет собой сокращение
латинского термина comple menti sinus (синус допол
нения) . Знак cos ввел (1748) Л. Эйлер.- 36 8, 369 , 490,
504
Кош и, Огюстен Луи (1789- 1857) - французский
математик . Автор классических _курсов математическо
го анализа , оказавших большое влияние на его разви
т ие и строгое обоснование .- 504
Кривизна пространства. - 3 20
Кривол инейная трапеция. - 356
Криволинейные коорди наты.- 34 1
Куб - оди н из пяти типов правильных многогран
ников; имеет 6 граней (квадратных), 12 ребер, 8 вер
шин (в каждой вершине сходится 3 ребра) . - 2 9 6, 309 ,
501, 502
Кубическая парабола - кривая 3-го порядка, ее
уравнение у=хз .- 291
Кубическое уравнение - алгебраическое уравне
ние 3-й степени .- 3 27 , 475, 476, 503
Лагранж, Жозеф Луи (1 736 - 1813) - француз
ский математик и механик . Математические работы от
носятся к различным вопросам математического анали
за и его строгому обоснованию .- 2 85 , 286 , 482 , 503 ,
504
Лаплас, Пьер Симон (1749- 1827) - французский
ученый. Математиче ские труды относятся к разработке
теории вероятностей и математического анализа .- 458
Леверье, Урбен Жан Жозеф (181 1-1877)-француз
ский астроном.- 372
JJегион - наименование в славянской нумерации
числа 105 (при счете в «малом числе») или числа 1012
(при счете в «большом числе») .- 275
Лежандр, Адриен Мари (1 752- 1833) - ф ранцуз
ский математик . Работал в области теории чисел ,
математического анализа и геометрии. - 458, 496
Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1646- 1716) - не
мецкий ученый.- 264, 327 , 368, 485-488 , 500 , 504
Ле11(ниската - плоская кривая, имеющая вид вось
мерки.- 291, 338
Леодр - на именование в славянской нумерации
числа 106 (при счете в «малом числе») или числа f024
(при счете в «большом числе») .- 275
Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок . 1170 -
после 1228) - итальянский математик . Его труды
способств овали передаче в Ев ропу достижений матема
тиков Средней Азии и Ближнего Востока .- 26 7, 278,
325, 327 ' 503
Ли , Софус (1842-1899) - норвежский математик.
Его работы в области теории групп оказали серьезное
влияние на развитие многих вопросов сов ременной
математики .- 412
Ли алгебра. - 412
Линейное преобразование. -305, 309
Линейное программирование - математическая
дисциплина - 285, 444 , 445
Линия - одно из основных (неопределяемых) по
нятий геометрии.- 2 95
Линия второго порядка .- 3 3 6
Лобачевский, Николай Иванович ( 1792- 1856) -
русский математик .- 26 4 , 297 , 298 , 315, 318, 321 , 328 ,
422, 492-494 , 504
Лобачевского геометрия - первая геометрическая
система , отличная от геометрии Евклида .- 298, 318-
321 , 422, 504
Логарифм числа у по основанию а - такое число х,
что ах=у или x= logaY· Знак log ввел (1632) Б. Навалье
ри. Термин «лога рифм» возник из сочетания греческих
слов lбgos (здесь - отношение) и arithmбs (число) .
Логарифм у Дж. Непера - их создателя - это вспо
могательно е число для измерения кратности (степени)
отношения двух чисел.- 344 , 503
Логарифми ческа я
функция - функция
вида
y=logax, где а - положительное число. - 4 8 4 , 490
Ложного положения метод - метод решения урав
нений. - 323
Лудольф, ван Цейлен (1 540-1610) - голландский
математик . Известен вычислением числа 7t с 32 десятич
ными знаками . ..
..,.
452
Ляпунов, Александр Михайлович ( 1857 -1918) -
русский математик , академик (с 1901 г.) . Основные
его работы относятся к теории дифференциал ьных
уравнений, теории вероятностей и гидродинамике. -
458, 498

м
Магницкий, Леонтий Филиппович (1669-1739) -
русск ий математик . Выпущенна я им в 1703 г . «Арифме
тика» была до середины XVI ll в . основным учебником
математики в России .- 3 23
Максимин - по нятие теории игр . - 469
Максимум и минимум.- 481
(< Малое ЧИСЛО>). - 275
Марков, Андрей Андреевич (1856-1 922) - рус
с кий математик , академик (с 1896 г.) . Научные работы
относятся к области теории Чисел, теории вероятностей
и различным вопросам математическо го анализа . -
458, 498
Математическая логика. - 3 92
Математическа11 статистика. - 458
Математический анализ - часть математик и, ох-
ватывающа я диффер енциально е и интегрально е исчис
ления.- 486, 503
Математическое ожидание - понятие теории веро
ятностей . - 459
Матрица игры - понятие теории игр. - 467
Мебиус, Август Фердинанд (1825-1908) - немец
кий математик . Работал в области геометрии . Устано
вил (1 858) существование односторонних поверхностей
(лист Мебиуса) .- 3 10
Мебиуса лист. - 31 0
Менелай - древнегреческий ученый, работавший
в Александрии в 1 в. И3вестны его работы по сфериче
ской тригонометрии . - 5 02
Меридиан - координатная линия на по верхности
сферы .- 340
Минимакс - понятие теории игр. - 46 9
Мириада - наименование в древнегреческой ионий
ской нумерации числа 104 . - 273
Мнимые числа - числа вида а+Ы, где i= -1,
а, Ь - действител ьные числа и b=f=O. Мнимые числа вида
Ьi называются чисто мнимыми . Обозначение i ввел
(1777, в печати 1794) Л. Эйлер. - 503
Многочлен (полином)-алгебра ическо е выражение,
составленное из постоянных величин и переменных
х, у, . .., t с помощью операций сложения , вычитания
и умножения . Многочлен есть сумма неско льких сла
гаемых вида Axhyl " . tm, где А - постоянное, а k, l,
. " , т - целые положительн ые числа. - 358, 365, 41'5
Множеств теор11 я. -374 - 383 , 504
Множестве нная игра - понятие теории игр. -
�66
Множество - одно из основных понятий со времен
ной математики. - 375
Множество истинности - понятие ма тематической
логики. - 3 92
Модел ирование. - 373
Морган, Август де (1 806 -1871) - английский
математик . Основные работы относятся к математиче
с кой логике .- 395
Моргана правило - один из законов математиче
ской логики .- 395
Московский папирус - один из двух дошедших до
нашего времени ма тематических па пирусов древнего
Египта (ок . 2000 до н . э) . Содержит 25 задач прикладно
го ха рактера . Хранится в Москве в Государственном
муз ее изобразительных искусств им. А. С . Пушкина .-
322
Мощность множества - понятие теории мно
жеств. - 3 81
СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
и
Надежности теория - математическая дисципли
на. - 461 -465
Насирэддин Туси, Мухаммед (1 201 -1 274) �
азербайджанский астроном и математик. Математиче
ские работы относятся к геометрии и сферической три
гонометрии . -476, 503
Натуральные логарифмы.- 34 4
«Начала» Евклида - научно е произведение, на
писанное в 111 в. до н. э. древнегреческим математиком
Евклидо м; содержит основы античной математик и:
элемента рной геометрии , теории чис ел , алгебры, об
щей теории отнош ений и метода определения площадей
и объемов .- 262, 296, 476, 496, 502
Начало координат. - 330
Начальная ордината. - 3 34
Неевклидова геометри я - геометрическая систе
ма , предпосылки которой в том или ином отношении от
личны от аксиом обычной геометрии Евклида . - ?.98 ,
318-321 , 492, 494 , 504
Независи мые события понятие теории вероят
ностей. - 457
Неопределенное уравнение (или диофантово
уравне ние) - уравнение, содержащее более одного не
известно го , или система уравнений с числом неизвест
ных , большим числа уравнений. Обычно интересуются
решениями , выраженными целыми или рациональны
ми числами. - 280-286 , 502, 503
Непер, Джон (1550-1617) - шотландский ма те
матик , изобретатель логарифмо в . Его «О писа ние уди
вительной таблицы лога рифмов>) (161 4) - сочинение,
посвященное логарифмам и их свойства м,- содержало
первые логарифмические таблицы. - 5 03
Неприводимый многочлен .- 415
Несовместные события - понятие теории вероят-
ностей. - 457
Нуль.- 276, 277, 287, 503
Нуль-вектор. - 399
Ньютон, Исаак (1 643-1 727) - а нглийский уче
ный.- 263, 325-328 , 368, 483-485, 486, 488 , 502, 504
Ньютона бином: - 476
Ньютона-Лейбница формула - основная формула
интегрального исчисления . - 36 8
о
Обратное преобразование. - 420
Объем тела. - 354 , 357 , 473, 481 ,502, 503
Окру жность - замкнута я кривая, все точк и кото-
рой одинаково удалены от одной точки - ее центра . -
336
Октаэдр - один из пяти типов правильных много
гра нников; имеет 8
�
граней (треугольных), 12 ребер,
6 вершин (в каждои вершине сходится 4 реб ра ) .-
296, 501, 502
Определение. - 3 1 1
Оптимальное решение. - 44 4
Ордината - одна из декартовых координат точ-
ки. - 330
Ось координат. - 330
Ось симметрии. - 307
Отображение.- 376
Отрицание. - 394
Отрицательные числа. - 3 2 6, 327 , 480 , 502, .503
610

СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕЛЬ
п
«Память)) - за поминающее устройство электронной
вычислительной машины. - 4 3 3, 443
Папирусы математические - памятники математи
ческой науки древнего Египта , относящиеся ко 2
тысяч елетию до н. э. - 262, 272, 322, 501
Парабола - плоская кривая; является г еометри
ческим местом точек , одинаково удаленных от данной
прямой и данной точки. - 308, 332 , 336 , 502
П араллелограмма правило. - 398
Параллельное проектирование - геометрическо е
преобразование. - 304
Параллельный перенос - геометрическо е преобра
зование; является частным случаем движения , при кото
ром все отрезки, со единяющие все соответственные точ
ки , имеют одно и то же направление и одинаковую дли
ну. - 300, 301, 420
Параметр - величина , числовые значения которой
позволяют выделить о пределенный эл емент (например,
кривую) из множества элементов (к ривых) того
же
рода .- 337
.
Параметрические уравнения. - 337 , 340
Парная игра - понятие теории игр.- 466
Паскаль, Блез (1 623-1 662) - французский уч е-
ный . Математические ра боты относятся к геометрии,
теории чис ел и теории вероятностей. Вtlервые опре
делил и применил для доказательства теорем метод пол
ной математической индукции .- 456, 500 , 502, 503
Пачол и, Лука (ок. 1445 - позже 1509) - италь
янский математик . Изда нный в 1494 г. его труд по 
священ а рифметическим действиям, алгебраичеtким
уравнениям и их применению к геометрии.- 3 25
Первообразная - понятие инте грального исчисле-
ния. - 368
Переместительный закон - см. Номмутативность.
Перфокарта. - 429, 443
Перфолента . - 4 43
(<Пю>, 1t - буква греческого алфавита , обознача ет
в математике число , равное отнош ению длины окружно
сти я длине ее диаметра . Число 1t - трансцендентное,
оно выражается бесконечной непериодической десятич
ной дробью. Обозначение ввел (1 736) Л. Эй.11 ер. - 452,
474, 478, 501 , 503
Пифагор (ок. 580 до н. э. - 500 до н. э.) - древне
греческий математик и философ . В области матема
тики с его именем связано систематическое введение
доказательств 11 геометрию , создание учения о подобии ,
доказательство теоремы , носящей его имя. - 294 , 295
Пифагоров треугол ьник -279
Пифагорова теоре ма - теорема геометрии, припи
сыва емая Пифагору: квадрат,построенный на гипотенузе
прямоугольного треугольника , равновелик сумме квад
ратов построенных на его катетах. - 294 , 501, 502
Плоскость - одно из основных (неопределяемых)
понятий геометрии.- 287, 31 1, 312
Площадь фигуры. - 356, 357, 360, 473, 481 , 502, 503
Поворот (вращен11е) - геометр11ческое преобразо
вание ; является частным случаем движения, при кото
ром одна точка О оста ется неподвижной , а всякая другая
точка А переходит в такую то1шу А', что угол А ОА '
постоянен для всех точек А . - 301
Подобие - г еометрическо е преобразование, со
х рапяющее форму фигур, но ,· возможно , меняющее их
ра змеры.- 303, 309, 421
Позиционная с11стема с•шсления - система з аписи
чисел, в которой значение цифры зависит от занима емого
ею места в записи числа. -276
616
Позиционный принцип зап иси чисел. - 2 65
Показательная функция - функция вида у=а
"'
, где
а+1 - некоторое положительное число . - 3 4 4 , 34 5,
369, 484, 490, 504
Поле - понятие современной алгебры. - 413, 411 .
496, 504
Полуправильные многогранники.- 293
Полюс.- 33 8, 340
Полярная ос ь. - 3 38
Полярные коорди наты. - 33 8
Понтрягин, Лев Семенович (р. 1908) - советский
ма тематик , академик (с 1958 г.) . Научные работы от
носятся к алгебре, топологии и теории дифференциаль
ных уравнений . - 444
Постулат - суждение, принима емо е без доказа
тельства в качестве исходного положения какой-либо
теории. Между постулатом и аксиомой не существует
отчетливого различия . - 296
Правильные многогранники . - 2 96, 297, 501 , 502
Правильные многоугольн11ки. -417, 418, 490, 491
Преобразование. - 301 , 419
Программа (для электронной вычислительной ма
шины) .-. 432, 434 , 437, 443
Проективное преобразова ние - геометрическое
преобразова ние .- 308 , 309 , 421
Произведение. - 3 83 , 385, 389 , 393, 406 , 419
Производная - одно из основных по нятий матема
тического анализа . Употребляемо е ныне обозначение
/'(х) ввел Ж. Лагранж (1 770) .- 364 , 365
Простые числа - целые положительные числа ,
большие, чем единица , и не имеющие других делителей,
кроме самих себя и единицы.
- 41 3, 414, 496,
502 , 504
Противоречия закон·- один из законов математи
ческой логики. - 395
Прямая - одно из основных (нео пределяемых) по
нятий геометрии. - 3 1 1, 312, 333-336
(< Псаммит» - математическое сочинение Архимеда ,
по священно е изложению способа записи чисел . - 274
Птолемей, Клавдий - древнегреческий ученый, ра
ботавший в Александрии во 11 в. Н математике относят
ся его работы по прямолинейной и сферической тригоно
метрии и вычислению таблиц синусов. - 26 3, 502
Пуассо н, Симеон Дени (1 781 -1840) - француз
ский уч еный . Математические работы относятся к тео
рии дифференциальных уравнений, теории веро ятно
стей и математическому анализу. - 458, 500
Пустое множество. - 3 87
р
Равенство фигур - 300 , 420, 421
Радиус-ве ктор. - 402
Раманужан, Сриниваза (1887 -1917) - индийский
математик .- 353
Распределительный закон -см . Дистрибутивность .
Рассеивания метод - метод решения неопределен-
ных уравнений . - 2 82
Расстояние - 330 , 335
Решев11е игры - понятие теории игр. - 467 , 471
Риман, Георг Фридри х Бернхард (1 826-1866) -
немецкий математик . Его работы по геометрии , т ео рии
чисел и теории аналитических функЦий оказали бош.
шое влияние на развитие мат ематики. - 298, 494 , 504
Римана геометр11я. - 298
Римановы геометри11. - 298 , 504
Римские цифры - цифры древних римлян . - 2 69

с
Самосоверmенствующаяся система.- 447
Седловая точка - понятие теории игр. - 470
Середины правило. - 39 8
Сжатие к прямой - геометрическое преобразова
ние (отображение) , при котором каждая точка А
переходит в точку А ' перпендикуляра , о пу'щенного из
точки А на зту прямую , причем отнош ение расстояния
от прямой до А и до А' постоянно для всех точек А . -
305
Сжатия коэффициент. - 305
Симметрии ос ь. - 3 07
Симметрии центр. - 3 07
Симметрические многочлены.- 425
Си мметрия - геометрическое преобразование; раз
личают симметрию относительно точки (см. стр . 301 ),
симметрию относительно прямой (см. стр . 301 ), симмет
рию порядка п (см. стр. 304 , 423, 424).
Синус -одна из тригонометрических функций . На-
3 ва ние «синус» (латинское sinus-пaзyxa) предста вляет
со бой точный перевод на латинский язык ара бского
слова «джайб» , являющегося , по-видимому, искажени
ем сапск ритского слова «джива », которое буквально
переводится как «тетива лука» и которым индийские
математики обозначали синус . Знак sin ввел (1 748)
Л. Эйлер. - 368, 369 , 490, 504
Си нусоида - плоская кривая , изображающая из
менение синуса в зависимости от изменения его аргу
мента (угла) .- 3 47
Славянская нумерация - алфавитная нумерация,
употреблявшаяся в древней Руси до XVI I в.- 274 ,
275
Следствие - поня тие математической логики .-
396
Случайное событие - событие, к оторо е может при
данных условиях как произойти , та к и не произойти
и для которого имеется определенная вероятность его
наступления . - 452, 453
Случайный процесс - процесс , течение которого
может быть различным в зависимости от случая и для
которого определена вероятность того или иного его
течения. - 461
Смешанная стратегия - понятие теории игр.-
468 , 471
Событие. - 452, 455
Совершенные числа. - 325, 382
Сочетательный вакон - см. Ассоциативность.
Среднее значение - понятие теории вероятнос-
тей. - 459
Стевин, Симон (1 548 -1 620) - нидерландский ма
тематик . Ввел в употребление (в Европе) десятичные
дроби и отрицательные корни уравнений. - 397 , 503
Стратегия - понятие теории игр. - 466
Сумма. - 383, 384, 385, 389, 393, 398
Суиь-Цзы - китайский математик IП в. Автор
«Математического трактатю> , содержащего сведения о
ре шении неопределенных уравнений.- 503
Сфе рическая гео метрия - математическая дисцип-
лина , изучающая геометрические образы на сфере. -
502, 503
Сферическая тригонометри я-математическая дис
циплина , изучающая зависимости между сторонами и
углами сферических треугольников, возникающих при
пересечении трех больших кругов сферы. - 502
Счетное множество - понятие теории множеств. -
378
СЛОВАРЬ-УКАЗАТЕJfЬ
т
Тартал ья, Пикколо (ок . 1499-1 557) - итальян
ский математик . Его имя связано с раз работкой способа
реш ения кубического уравнения . - 327, 503
Теорема - предложение (утв ерждение) , устанав
ливаемо е при помощи доказательства (в противополож
ность аксиоме) .-313, 41 1
Тетраэдр - один из пяти типов правильных мно
гогранников; имеет 4 грани (треугольные), 6 ребер,
3 вершины (в каждой вершине сходится il ребра) . -
296' 501, 502
Те хническая ю1бернетика. - 446
Теэтет - древнегреческий математик начала IV в.
дон.з.- 502
Топология - математическая дисциплина , изуча ю
щая наиболее общие свойства геометрических фигур -
так называем ые топологические свойства , т. е. свойст�
ва фо рмы и взаимного расположения фигур. - 4 89
Тор - поверхность, имеющая вид баранки .- 288
Тор11челли, Эванджелиста ( 1608-1647) - итальян
ский ученый. Математические работы относятся к вы
числению площадей большого класса фигур. - 503
Точка - одно из основных (нео пределяемых) по-
нятий геометрии .- 2 95, ЗН
Тригонометрические функции. - 3 47, 484 , 504
Тригонометрия - математическая дисциплина , и зу
чающа я тригонометрические функции и их приложен11я
к геометрии .- 263 , 478, 502
Трисекция угла - знаменитая задача древности :
с помощью циркуля и линейки разделить угол на тр11
части . Задача сводится к построению корня кубическо
го уравнения , что неосуществимо в общем случа е с П(}
мощью только указанных средств . - 3 27, 337 , 501
Трои чная система счисления -система счисления ,
в которой за основание принимается число «трю>, так
что все числа з аписываются с помощью только трех
цифр:О,1,2.- 266,268
Туэ, Аксель (1863-1922) - норвежский математик.
Работы в области теории чисел . - 28 6
Тьма - наименование в славянской нумерации
числа 104 (при счете в «малом числе») или числа 106 (при
счете в «большом числе») .- 275
Угловой коэффициент. - 33 4
Удвоение куба - зна менитая задача древности ;
с помощью циркуля и линейки построить куб, имеющий
объем, вдво е больший объема данного куба. Задача
•
сводится к построению отрезка , численно равного у""2;
что неосуществимо с помощью только указанных
средств .- 327, 337, 418, 475, 501
Универсальна я управляющая машина. - 4 45
Управляющая система .- 441
Управляющее устройство - одно из пяти основных
устройств быстродейсtвующей электронной вычисли
тельной машины. - 43 4
Уравнение - аналитическая запись задачп о разы
скании значений аргументов, при которых значения
двух данных функций равны. Важнейший класс
уравнений - алгебраические уравнения , псследование
которых привело к созданию алгебры. - 3 24
Условие - понятие математическоii логию1. -3!>G

СЛОВАРЬ-УКАЗ АТЕЛЬ
ф
Федоров, Евграф Степанович (1853-1919) - рус
ский ученый , академик (с 1919 г.). Для математики
имеют важное значение ero исследования по геометри
ческой структуре кристаллов .- 423
Ферма, Пьер (1 601 -1 665) - французский матема 
тик.- 263, 286, 329, 456, 481 , 482, 502, 503
Ферма великая теорема - утв ерждение о том, что
уравнение хп+уп=zп, rде п - целое число , большее
двух , не имеет решений в целых положительных числах.
В общем случае доказательство не найдено . - 2 86, 482
Ферма малая теорема. - 4 82
Ферма чиела. -482
Феррари, Лодовико (1 522 -1 565) - итальянский
математик . Нашел способ (опубл . в 1545 r.) решения
уравнений 4-й степени. - 327 , 503
•
Ферро, Даль Ферро, Сципион (1465-1 526) - италь
янский математик . С ero именем связано открытие
правила реш ения кубических уравнений специальuоrо
вида. - 327, 503
Фибоначчи - см. Леона рдо Пизанский.
ФлюRсий метод - ранняя форма дифференциаль
ного и интегрального исчислений, возникшая в тру
дах И . Ньютона.- 484
Фу нRциональная зависимость. - 34 2, 503
ФунRция - одно из основных понятий математики,
выражающее зависимость одних переменных величин
от других . Общепринято е ныне обозначение произволь
ной функции f (х) ввел (1734) Л. Эйлер. - 342-352,
503 , 504
х
Хайям, Омар (ок . 1040 - 1123) - среднеазиатский
поэт , математик и философ. - 327 , 474-476 , 503
Хинчин, А лександр ЯRовлеви ч (1894 -1959) - со 
ветский математик, член-корреспондент Академии
наук СССР (с 1939 г . ) . Работы от носятся к теории ве
роятностей и теории чисел.- 461
ал-Хорезми, Мухаммед бен Муса (ок . 780- ок.
850) - среднеазиатский математик и астроном. Автор
трактатов, переведенных в XII в. с арабского на латин
ский язык , по которым 11 Европе познакомились
с индийской позиционной Щ)сятичной системой счис
ления и алгеброй как самостоятельной областью ма
тематики. - 324-326, 503
ц
Цена игры ·- понятие теории игр. - 467
Центральное
проектирование - геометрическое
преобразование.- 3 08
Центроид. - 406 -408
Цепная линия - линия, по Rоторой провисает тя
желая нерастяжимая нить.- 291
ЦиRлоида - линия , являющаяся следом точки
ок р ужности , Rатящейся без скольжения по прямой.-
291
ч
Чебышев (произносится Чебышёв) , Пафнути й
Львович (1821 -1894) - русский математик , академик
(с 1859 г.). -264, 458 , 459 , 496-498, 504
Чисел теория - часть математики, посвященная
изучению закономерностей , . справедливых для целых
чисел.- 481, 489, 491, 497, 501 , 504
Число . (< С>1, неперово число - такое число , что
график функции у=ех пересека ет ось ординат под
углом 45°; может быть определ ено так же как пред ел ,
(1п
к которому стремится выражение 1+п) при неогра-
ниченном воз раста нии п; является основанием нату
ральных логарифмов. Обозначение (е) для этого чис
ла ввел (1736) Л. Эйлер. - 344
m
Шар.- 291 , 360
ШМоИдт, Отто Юльевич (1891 -1 956) - советский
ученый, академик (с 1935 г.) . Математические работы
относятся к теории групп,- 426
Шт11фель, Михаил (1486-1567) - немецкий мате
матик. При решении квадратных уравнений один из
первых стал употреблять отрицательные числа , сфор
мулировал правила действия над показателями степе
ней. - 325
Шухов, Владимир Григорьевич (1835-1 939) -со
ветский ученый, почетный академик (с 1929 г .). По его
конструкции сооружено множество мачт , баш ен , ан
тенн в виде однополостного гиперболоида вращения
(башни Шухова).- 290
Эвольвента круга - линия, описываемая концом
гибкой нерастяжимой нити , сматываемой с круга. -
291
Эйлер, Леонард (1 707 -1 783) - математик , меха
н ик и физик , работавший более 30 лет в Петербуr,rской
Академии наук. - 267, 286, 325, 327, 349 , 481 , 482,
488-491 , 503 , 504
Эйлера диаграмма.- 385
Эйлера теоре ма о многогранниRах. - 489 , 490
Эйлера формула.- 29 3 , 490
ЭRнатор. - 340
ЭRваториальная плос Rость. - 34 0
ЭRвивалентные высRазывания.- 3 93
Экономическая кибернетика.- 445
Электронная вычислительная машина. - 4 32
Эллипс - плоская о вальная кривая; является гео-
метричесRим место м точек , сумма расстояний котор ых
до двух данных равна по стоянной величине. - 28 8, 29 1,
307, 308, 336, 337, 502
Эллипсограф.- 337
Экстремум - термин, употребляемый для объед и
нения понятий максимума и ми нимума функции . -
474, 4.81 , 503
Эллиптическая геометри я. - 2 98
(<Эрлангенская програм ма>� . - 42 2, 424
•

УСЛОВНЫЕ ОБО3 НАЧЕНИЯ И: СОКРАЩЕН И:Я
в., вв.,- век, века
г.- год, город
i - грамм массы
Г- грамм СllЛЫ (вес)
гг.- годы
дон.э.- донашейэры
др. - друг11е
нвm-ч - к11ловатт- час
н� - к11лограмм массы
НГ - КllЛОГра мм СllЛЫ (вес)
н.м � к11лометр
к.м�- квадратный километр
н.м/сен - километр в секунду
нм/час - к11лометр в час
м-метр
,м2- квадратный метр
м11н.- м11нута
МЛН.- M ll ЛЛllOll
млрд.- милл11ард
.мм - м11лл11метр
н. э.- нашей эры
р. - род11лсн (в словаре-указателе)
рис.- рисунок
сек. - секунда
с.м - санти метр
см. - смотри
см. стр.- смотри страницу
ст. ст.- старый стиль
m - тонна массы
Т- тонна силы (вес)
тыс. - тысяча
час. - часов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБО3НАЧЕНИЯ
оо -бесконечность
>-больше
> -больше или равно (не меньше)
J -интеграл (неопределенный)
ь
J -интеграл определенный, с нижним
а
пределом а 11 верх ним пределом Ь
lg -логар11фм десятичный
ln -логарифм натуральный
log a b -логарифм при основан ии а
числа Ь
< - меньше
<:
:
- меньше или равно (не больше)
mod -модуль
11 -параллельно
J_ -перпендикулярно
const -постоянная
lim -предел
;:
:;:,;
-приближенно равно
д -приращение
% -процент
�-стремится к
1: -сумма
= -тождеотвенно или
тождественно ра вно
6 -треугольник
L. -угол
/( ), F ( ) -функция одной
или нескол ьких перемен ных
ГРЕЧЕСК ИИ АЛФАВИТ
Аа - альфа
в� - бета
г, - гамма
до - дельта
Е< - Эпсилон
Z( - дзета (зета)
H"t:-Эта
003 - тэта
It - йота
К'Х. - каппа
АЛ -ламбда
Иμ-ми(мю)
N..,
,
-
ни (ню)
::
:
�-кси
Оо - оми крон
Пit-пи
Рр-ро
�'' - сИгма
T-r-тау
ru - Ипсилон (юпсилон )
Ф<р-ф11
Хх- хи
w�-пси
Qw - омега

Вне шнее оформление книги художников
Ц. С . Бисти и Ф. Б. Збарского
!lллюстрацип в тексте выпол нили художники:
Г. /К. Авоти н, Б. И. Жутовский, М . Д. Киселевич,
/(. Л. Лисичкин, Б. А. Попов, Н. К . Скалова.
Фотокорреспондент D. С . Тарасевич
•
Старший редактор А. М . Кузнецоn.
Редактор А . В. Соколова .
Спецредактор ы Ю. Г . Перелъ и А. Т. Цветков.
Контрольные редакторы
И. Е. Рахлин п В. И . Битюцков
Ста рший художественный редактор С. И. Мартемъянова
Макет книги и техническое редактирова ние
художественного редактора Н . П . Самохваловой.
Корректор Е. А. Блинова
•
Сдано в набо р 2/ IV 1964 г. Подписано к печати 4/XII
1964 г. Формат 84Х108 1/16. -20 бум. л .-72,5 п. л.;
60,15 усл. печ . л. (64,88 уч. -изд. л.) . Тираж 225000 экз.
А-08240. 3 . .NO 3176
•
Иадателъство «Просвещение� Государственного коми
тета Совета Министров РСФСР по печати, редакция
Детской :энциклопедии.
Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, д. 6.
Цена 2р. 55 к.
•
Цветные вклейки отпечатаны ·в Первой Образцовой
типографии им. А. А. Жданова и на Калининском
полиграфкомбинате .
Московская типография .NO 2 «Главполиграфпрома1) .
Государственного -комитета Совета Мипистров СССР
по печати . Москва . Проспект Мира, 1 05.