Избранные труды. Том III. Тонкостенные пространственные системы - Власов В.З.

Author: Власов В.З.
Tags: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций материаловедение сопротивление материалов строительная механика избранные труды теория оболочек
Year: 1964
Similar
Руководство по проектированию железобетонных пространственных конструкций покрытий и перекрытий
Прочность и устойчивость резервуаров и трубопроводов
Обобщенная термомеханика
Основы строительной механики машин
Text
                    
КАД Е МИ ЯН АУ К СССР
В. 3. ВЛАСОВ
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ
том
ш
РПонкостенные
пространств еннъье
сишмы
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА-1964
УДК 624.04
ОТ КОМИССИИ ПО ИЗДАНИЮ СОЧИНЕНИЙ
В. 3. ВЛАСОВА
Настоящее собрание сочинений выдающегося советского ученого в области сопро-
тивления материалов, строительной механики и теории оболочек члена-корреспондента
АН СССР Василия Захаровича Власова издается в трех томах. В первый том сочинений
помещена монография «Общая теория оболочек и ее приложения в технике», опубли-
кованная в 1949 г., а также ряд статей по общим вопросам теории оболочек. Второй
том содержит монографию «Тонкостенные упругие стержни» издания 1959 г. Здесь
излагается общая теория прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных стерж-
ней. В третий том включена монография «Тонкостенные пространственные системы»
издания 1958 г. В этой монографии приводятся общие вариационные методы расчета
призматических складчатых систем и оболочек.
Издание
подготовлено Комиссией по изданию трудов
В. 3. Власова
Состав комиссии
Н. И. Б е з у х о в, В. В. В л а с о в,
А. Л. Гольденвейзер, А. К. М
О. Д. Ониашвили, И. М. Рабинович
В. В. Соколовский (главный редактор),
И. С. Ц у р к о в (ответственный
А. А. Гвоздев,
рощинский,
(зам. главного редактора),
Н. С. Стрелецкий,
секретарь).
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящей монографии излагаются общая теория и методы расчета
тонкостенных пространственных систем типа призматических и цилин-
дрических оболочек, имеющих в поперечном сечении произвольно задан-
ное очертание.
В основе этой теории лежит предложенный автором еще в 1931 г. новый
вариационный метод, позволяющий в сочетании с хорошо разработанными
в литературе методами строительной механики стержневых статически
неопределимых систем приводить сложные дифференциальные уравнения
оболочек в частных производных к системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, обладающих, как и канонические уравнения теории рам,
симметричной структурой.
Отличие метода автора от известных в литературе вариационных ме-
тодов Ритца — Тимошенко, Бубнова — Галеркина состоит в том, что
искомая функция, зависящая от двух переменных и удовлетворяющая
дифференциальному уравнению в частных производных (например, про-
гиб в задаче об изгибе упругой пластинки), представляется в виде произ-
ведения двух функций, из которых одна представляет соб й заданную
функцию от одного переменного, а другая — искомую функцию от дру-
гого переменного. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассма-
триваемых в методе Ритца — Тимошенко или Бубнова — Галеркина и
определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном
методе автора, построенном на прямом приложении принципа возможных
перемещений, вводится в рассмотрение система искомых функций, зави-
сящих каждая только от одной координаты и определяемых линейными
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Этому вариационному
методу соответствует расчетная модель оболочки, представляющая собой
тонкостенную пространственную упругую систему, обладающую числом
степеней свободы, конечным в направлении одной координаты и беско-
нечно большим по другой координате. Такие системы автором названы
дискретно континуальными.
Элементарная теория изгиба балок, построенная на гипотезе плоских
сечений, основана, по существу, также на вариационном методе приве-
дения бигармонического уравнения плоской задачи к обыкновенному
дифференциальному уравнению. Точно так же и разработанная автором
более общая теория тонкостенных стержней, основанная на гипотезе
о неизменяемости формы профиля, по идее примыкает к излагаемой в дан-
ной монографии общей теории тонкостенных пространственных систем.
Расчетная модель как балки в случае изгиба, так и тонкостенного стержня
в более общем случае сложного сопротивления (изгиба и кручения)
представляет собой также дискретно континуальную систему, обусловлен-
ную соответствующими физическими гипотезами.
4
Предисловие к первому изданию
Строительная механика тонкостенных пространственных систем,
излагаемая в данной монографии, в идейном отношении представляет
собой логическое развитие и обобщение тех положений, которые лежат
в основе современной элементарной теории сопротивления материалов.
Цилиндрические и призматические оболочки могут быть разделены
на три класса: длинные, средней длины и короткие. К длинным оболоч-
кам автор относит тонкостенные стержни, для которых может быть
принята гипотеза о неизменяемости формы поперечного сечения. К обо-
лочкам средней длины относятся оболочки, обладающие деформируемым
профилем и сопротивляющиеся изгибу в одном только поперечном направ-
лении. Наконец, к коротким оболочкам следует отнести оболочки, в кото-
рых наряду с поперечными изгибающими моментами следует учитывать
также и продольные изгибающие и крутящие моменты.
В данной книге излагается теория призматических и цилиндрических
оболочек средней длины. Теория же оболочек, очерченных по произволь-
но заданным поверхностям, и, в частности, теория цилиндрических ко-
ротких оболочек даются в нашей другой работе под названием «Общая
теория оболочек и ее приложения в технике».
Отдельные задачи по расчету оболочек средней длины приведены
в наших работах: «Новый практический метод расчета цилиндрических
оболочек и складчатых систем» (Госстройиздат, 1933) и «Строительная
механика оболочек» (Госстройиздат, 1936).
В монографии показывается, что теория тонкостенных стержней
представляет собой частный случай излагаемой в данной и в приведенных
выше двух книгах более общей теории призматических оболочек средней
длины.
Автор пользуется введенными им в книге «Тонкостенные упругие
стержни» (Госстройиздат, 1940) новыми понятиями и терминами (закон
секториальных площадей, секториальная депланация сечения, секто-
риальный момент инерции, секториальный бимомент), обобщая эти понятия
на более сложные проблемы строительной механики оболочек, рассма-
триваемые в данной книге. Эти понятия и терминология со времени опу-
бликования автором первых работ по теории тонкостенных стержней нашли
признание в СССР и за границей. Тем не менее автор все же считает, что
предложенная им терминология в прежних его работах и в данной книге
со временем может быть заменена более совершенной.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую признатель-
ность профессорам А. А. Гвоздеву, Б. Н. Жемочкину, В. М. Келдышу,
П. Л. Пастернаку, И. М. Рабиновичу, Н. С. Стрелецкому, М. М. Фило-
ненко-Бородичу и И. Я. Штаерману — за оказанную ими моральную
поддержку в процессе разработки данной теории, проф. д-ру техн, наук
С. С. Голушкевичу — за ценные указания при рецензировании рукописи,
кандидатам техн, наук А. К. Мрощинскому, Н. Г. Добудогло,
Н. Я. Грюнбергу и Я. Б. Львину — за редактирование рукописи и млад-
шим научным сотрудникам ЦНИПСа Б. С. Василькову, Н. Д. Левитской,
И. Е. Милейковскому и Ф. А. Перну — за подготовку иллюстративного
материала по приложению данной теории к отдельным задачам.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Тонкостенные пространственные конструкции, состоящие из пластинок
и оболочек, находят все более широкое применение в различных отраслях
современной техники. К таким конструкциям в строительном деле отно-
сятся так называемые своды-оболочки различного рода покрытий и пере-
крытий промышленных и гражданских зданий и сооружений — подзем-
ных нефтехранилищ, ангаров; оболочки резервуаров, градирен, газголь-
деров, трубопроводов, тонкостенные системы элеваторов, бункеров, тон-
нелей и павильонов метрополитена, доменных печей, крытых стадионов,
театров, плавательных бассейнов. Многие сооружения (при рассмотрении
их работы под нагрузкой) представляют собой, по существу, также про-
странственные системы типа сплошных или сетчатых оболочек. К ним от-
носятся железнодорожные и автодорожные коробчатые мосты, акведуки,
основные конструкции высотных зданий, пространственные облегченные
конструкции железобетонных плотин, подпорных стенок, металлических
затворов и т. д.
Современные самолеты, корабли, железобетонные суда и плавучие
доки, цельнометаллические вагоны, троллейбусы, автобусы, автомоби-
ли (как конструкции, работающие главным образом на динамические воз-
действия) являются, по существу, также тонкостенными пространствен-
ными системами типа оболочек различных форм и очертаний.
Широкое применение в различных отраслях техники тонкостенных си-
стем типа оболочек обусловлено не только их техническими особенностя-
ми, то также и значительными экономическими преимуществами перед
обычными стержневыми конструкциями.
Тонкостенные конструкции, запроектированные с учетом их про-
странственной работы, являются более легкими, чем плоские стержневые
системы.
Большую экономию в строительных материалах можно получить
при использовании в сооружениях, там, где это возможно (вместо упо-
требляемых с давних пор обычных металлических стержневых конструк-
ций — плоских ферм, арок, рам), новых рационально запроектированных
сборных или сборно-монолитных железобетонных оболочек. Так,
например: примененные в строительстве текстильных фабрик шедовые
железобетонные эллиптические оболочки по расходу металла оказались
в 3 раза экономичнее, чем покрытия по металлическим фермам. Приме-
няемые в качестве конструкций междуэтажных перекрытий пологие железо-
бетонные или армокаменные оболочки положительной кривизны (сфериче-
ские, эллиптические, параболические) также более легки и дешевы,
чем обычные ребристые перекрытия из балок и плит. Теоретические ис-
следования показывают, что замена массивных гидротехнических со-
оружений пустотелыми облегченными конструкциями типа толстостенных
6
Предисловие ко второму изданию
железо-бетонных оболочек, применительно к плотинам и' под-
порным стенкам, позволяет снизить расход бетона до 50% и армату-
ры до 20%.
Указанное обстоятельство, как известно, приобретает особое значение
в настоящее время в связи с массовостью строительства гидроэлектростан-
ций и других крупных гидротехнических сооружений.
Отмеченные преимущества тонкостенных пространственных систем
перед плоскими стержневыми объясняются тем, что внешняя нагрузка,
действующая на оболочку, заставляет ее работать в двух направлениях.
При этом внутренние изгибающие силовые факторы вследствие кривизны,
описывающей оболочку поверхности, характеризуются незначительными
величинами.
Нормальные напряжения по толщине оболочки, как правило, не меня-
ют своего знака и распределяются по закону трапеции. Поэтому своды-
оболочки покрытий и перекрытий, опертые по всему контуру или только
на торцовых диафрагмах, в своей средней (большей) части испытывают
всестороннее сжатие.
Если цилиндрическая или призматическая оболочка в поперечном
сечении состоит из одного или нескольких замкнутых контуров, то как
пространственная система она также обладает значительной жесткостью
и прочностью. Помимо кривизны поверхности и степени связности попе-
речного сечения, на жесткость железобетонной оболочки большое вли-
яние оказывает также предварительное натяжение арматуры, за счет
которого несущая способность конструкции может быть намного повы-
шена.
Необходимо, однако, отметить, что оболочки, как тонкостенные про-
странственные системы, позволяющие при минимальном расходовании
материалов перекрывать большие пролеты, в отличие от стержневых
систем, изучены еще мало. Между тем совершенно очевидно, что без пра-
вильного представления о работе оболочек под нагрузкой невозможно
не только создавать новые рациональные конструктивные формы, но даже
обеспечивать достаточную прочность и надежность применяемых в на-
стоящее время тонкостенных конструкций. Поэтому теория расчета тон-
костенных пространственных систем приобретает особое практическое
значение.
В монографии «Общая теория оболочек» 1 изложены основные вопросы
прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных систем и оболочек
произвольного очертания.
В данной монографии, которая является вторым переработанным и
дополненным изданием, преследуется более узкая цель. Здесь излагается
основанная на синтезе методов теории упругости и строительной механики
стержневых систем общая техническая теория цилиндрических и призма-
тических ортотропных оболочек средней длины, сопротивляющихся изгибу
в одном только поперечном направлении. Эта теория, представленная
в математический части вариационными методами приведения к обыкно-
венным матричным дифференциальным уравнениям, является обобщением
элементарных задач современной теории сопротивления материалов,
в частности теории изгиба и кручения тонкостенных балок и балок сплош-
ного сечения.
Помимо общей теории, в монографии излагаются практические, инже-
нерные методы решения ряда новых пространственных задач строитель-
1 В. 3. Власов. Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949 (Избр. труды,
т. I, 1962. Прим. ред.).
Предисловие ко второму изданию
7
ной механики и прикладной теории упругости. К таким методам относятся
методы определения напряжений и деформаций в тонкостенных простран-
ственных комбинированных системах типа цилиндрических и призмати-
ческих оболочек произвольно заданного открытого или закрытого много-
связного профиля, с учетом не только деформаций сдвига, но также и
деформаций поперечного изгиба, обусловленных изменением формы про-
филя оболочки. Здесь также излагаются методы расчета тонкостенных
систем с учетом заданных начальных напряжений от температуры, про-
дольных нагрузок или (в сборных железобетонных конструкциях) от пред-
варительного натяжения арматуры; методы расчета пластинок и пла-
стинчатых систем, применительно к задачам о плоском напряженном
состоянии и об изгибе пластинок, и, наконец, методы расчета балок
и плит, лежащих на однослойном или многослойном упругом ос-
новании.
Структура монографии и содержание ее отдельных частей значительно
изменены; почти во всех главах произведены сокращения, некоторые
главы, напротив, дополнены новыми прикладными задачами; введены
новые главы по теории прочности, устойчивости и колебаний цилиндри-
ческих оболочек и пластинок, по расчету конструкций на упругом осно-
вании.
В отличие от первого издания, книга разделена на четыре части.
При этом материал подобран таким образом, что каждая часть монографии
может быть понята и изучена самостоятельно, вне зависимости от других
ее частей.
В первой части монографии излагается смешанный метод расчета
призматических оболочек средней длины без учета деформаций сдвига.
По сравнению с первым изданием здесь произведены значительные
сокращения и вместе с тем] материал изложен в более систематиче-
ской форме.
Вторая часть посвящена расчету многосвязных призматических и
цилиндрических оболочек с учетом деформации сдвига на основе общего
вариационного метода перемещений. Наряду с сокращениями здесь вве-
дены новые параграфы, в которых приводятся решения ряда актуальных
задач современной техники (рассмотрены покрытия и перекрытия типа
цилиндрических и призматических сборных железобетонных оболочек,
железобетонные и металлические бункеры, облегченные подпорные стенки
и плотины, коробчатые строительные и авиационные конструкции, состав-
ные колонны и т. д.).
В третьей части монографии рассматриваются некоторые новые задачи
прикладной теории упругости, относящиеся к теории плоского напряжен-
ного состояния и изгиба пластинок.
Здесь впервые излагается вариационный метод определения начальных
напряжений от температурных воздействий, усадки или предварительного
напряжения арматуры. Приводится метод расчета пластинок на устой-
чивость, дается решение задачи об изгибе и колебаниях трапециевидных
и косоугольных пластинок, рассматриваются задачи о равновесии ре-
зервуаров и бункеров.
В четвертой части излагается общая техническая теория балок, плит,
тонкостенных конструкций, лежащих на упругом однослойном или много-
слойном основании.
Решение всех задач проведено на основе единого вариационного метода
автора, а именно метода приведения к обыкновенным матричным диффе-
ренциальным уравнениям с последующим интегрированием этих уравне-
ний. Метод приведения к обыкновенным матричным дифференциальным
уравнениям применительно к задачам о чистом кручении стержня сплош-
Предисловие ко второму изданию
ного сечения и об изгибе пластинки в чисто математической трактовке
был предложен также проф. Л. В. Канторовичем.
Автор считает своим долгом выразить благодарность кандидатам техн,
наук А. К. Мрощинскому, Н. Н. Леонтьеву, А. Н. Елпатьевскому,
В. Н. Пастушихину, Г. И. Пшеничнову, а также В. В. Власову и Ф. А.
Перну за редактирование рукописи и участие в подготовке второго издания
настоящей монографии.
В. 3. Власов
Часть первая
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
СМЕШАННЫМ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
БЕЗ УЧЕТА ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА
Глава I
ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ
§ 1. Основные гипотезы, расчетная модель
Рассмотрим призматическую оболочку, состоящую из конечного числа
тонких прямоугольных пластинок и имеющую поперечное сечение, про-
филь которого очерчен по произвольно заданной ломаной линии (рис. 1, а).
Полагаем, что прямоугольные пластинки, составляющие оболочку,
жестко соединены между собой на узловых линиях (ребрах срединной
призматической поверхности), так что в каждой точке узловой (контакт-
ной) линии устранена вся-
кого рода подвижность од-
ной пластинки относитель-
но другой, соседней с нею.
Положение произволь-
ной точки М срединной по-
верхности условимся опре-
делять координатами zhs.
Координата z представ-
ляет собой расстояние до
рассматриваемой точки М
от некоторого поперечно-
го сечения z = 0, прини-
маемого за начальное, а
координата з— расстояние
до точки М, отсчитывае-
мое по линии контура по-
перечного сечения от не-
которой образующей з= 0.
Напряженное состоя-
ние оболочки как тонко-
стенной пространственной
упругой системы, работающей
ниях, определяется двумя группами сил (рис. 1, б и в). Одна из этих групп
состоит из нормальных и сдвигающих сил, действующих в срединной по-
верхности и характеризующих так называемое плоское напряженное
состояние каждой из пластинок оболочки (рис. 1, б).
Другая группа сил состоит из изгибающих и крутящих моментов и
поперечных сил, приложенных на площадках двух взаимно перпенди-
кулярных сечений оболочки и возникающих вследствие изгиба каждой
пластинки в отдельности (рис. 1, в).
'1
1
Рис.
^2

на
изгиб и
растяжение
в двух
направле-
10 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Из закона парности касательных напряжений, действующих парал-
лельно срединной поверхности на двух взаимно перпендикулярных
площадках, следует, что сдвигающие силы, как и крутящие моменты, от-
носящиеся к площадкам продольного и поперечного сечений оболочки,
равны между собой.
Таким образом, напряженное состояние оболочки
в любой точке определяется в общем случае восемью независимыми ста-
тическими величинами, а именно:
нормальными силами Тг, Т2, сдвигающими силами S, изгибающими
моментами Glt G2, крутящими моментами Н и поперечными силами iVj,
JV2, отнесенными к единице длины соответствующей линии поперечного
или продольного сечения срединной поверхности. Положительные на-
правления усилий и моментов изображены на рис. 1.
Деформированное состояние срединной поверхности оболочки в каж-
дой точке этой поверхности определяется шестью независимыми величи-
нами, а именно: деформациями удлинения и сдвига, соответствующими
силам Т\, Т2, S, и деформациями изгиба и кручения, соответствующими
моментам Glt G2, Н.
Деформации удлинения по двум взаимно перпендикулярным направ-
лениям и деформации сдвига определяют относительное удлинение ли-
нейного элемента срединной поверхности, проходящего через данную
точку М и имеющего произвольно заданное направление.
Зная эти деформации, мы можем по ним определить изменение формы
любой геометрической фигуры, принадлежащей срединной поверхности
и расположенной в окрестности точки М.
Деформация изгиба по двум взаимно перпендикулярным направле-
ниям и деформация кручения относятся к кривизнам той поверхности,
в которую переходит срединная плоскость пластинки после деформации.
Этими тремя независимыми величинами определяется кривизна линии
любого нормального сечения поверхности, проходящего через точку М.
Теоретические и экспериментальные исследования, проведенные в те-
чение ряда лет под руководством автора в Центральном научно-исследо-
вательском институте промышленных сооружений (ЦНИПС), показали,
что из перечисленных выше статических факторов в достаточно длинных
оболочках существенное значение имеют осевые (нормальные и сдвигаю-
щие) силы Tlt Т2, S и поперечные изгибающие моменты G2 вместе с соот-
ветствующими им поперечными силами Этими силами и моментами
в основном определяется напряженное состояние призматической обо-
лочки как тонкостенной пространственной системы.
Что же касается продольных изгибающих моментов Gr (вместе с попе-
речными силами ЛТД, возникающих вследствие изгиба отдельной пластин-
ки из своей плоскости в направлении образующей, и крутящих моментов
Н, связанных с деформацией кручения, то эти моменты в общем напря-
женном состоянии призматической оболочки, как правило, являются
второстепенными факторами и оказывают весьма малое влияние на вели-
чину основных напряжений от нормальных и сдвигающих сил.
Из упругих деформаций призматической оболочки при достаточной
длине ее в направлении образующей существенно влияют на состояние
осевых (нормальных и сдвигающих) сил деформации удлинения в про-
дольном направлении и деформации изгиба по линии контура попереч-
ного сечения.
Деформации же сдвига, характеризующие изменение прямых углов
между координатными линиями z = const и s = const, и деформации
удлинения линии контура поперечного сечения, т. е. изменение длины
линейного элемента, взятого по ширине какой-либо пластинки, как пра-
вило, выражаются величинами второго порядка малости. В призмати-
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
11
ческих оболочках, как и в тонкостенных стержнях открытого профиля,
эти деформации почти не оказывают влияния на осевые силы.
В соответствии с указанным в основание предложенной нами общей
технической моментной теории призматических и цилиндрических орто-
тропных оболочек положены следующие гипотезы:
а)	Оболочка рассматривается как тонкостенная непрерывная про-
странственная система, отдельные пластинки которой в поперечных се-
чениях испытывают одни только нормальные и сдвигающие усилия, дей-
ствующие в срединной плоскости пластинки. Продольные изгибающие
и крутящие моменты как
факторы, мало влияющие
на основные напряжения
и деформации оболочки,
принимаются равными ну-
лю. Из внутренних сил
оболочки удерживаются,
следовательно,только осе-
вые нормальные и сдвига-
ющие силы Тг, Т2, S и по-
перечные изгибающие мо-
менты G вместе с соот-
ветствующими им попере-
чными силами N (рис. 2).
б)	Деформация оболочки происходит так, что деформации поперечных
удлинений и сдвига отдельных пластинок равны нулю.
Первая гипотеза статическая. В силу этой гипотезы мы полагаем,
что продольные нормальные и параллельные срединной поверхности ка-
сательные напряжения, возникающие в произвольной точке попереч-
ного сечения, распределяются по толщине оболочки равномерно.
Вторая гипотеза относится к деформациям оболочки и является,
таким образом, гипотезой геометрической (кинематической). Согласно
этой гипотезе призматическая оболочка рассматривается как тонкостен-
ная пространственная непрерывная система, у которой при деформации
срединной поверхности линейный элемент, расположенный на контурной
линии z = const, сохраняет свою длину, а прямые углы между линиями
z — const и s = const после деформации остаются прямыми. Деформация
срединной поверхности может происходить вследствие растяжения этой
поверхности в одном только продольном направлении и вследствие изгиба
и кручения составляющих поверхность плоских прямоугольных полос.
Заметим, что допущение об отсутствии деформаций сдвига относится
главным образом к оболочкам, имеющим достаточную длину в направле-
нии образующей.
Во второй части книги изложен метод расчета оболочек, свободный
•от этого допущения.
Указанными гипотезами определяется расчетная модель оболочки.
Если мысленно разделить оболочку на ряд поперечных элементарных
полосок, то каждая из этих полосок должна рассматриваться как плоская
рама, состоящая из нерастяжимых элементов, изгибаемых в плоскости
поперечного сечения оболочки. Так как в поперечных сечениях оболочки,
согласно статическим допущениям, могут возникать одни только нор-
мальные и сдвигающие силы, действующие в срединной поверхности,
то между двумя соседними элементарными рамами следует предположить
существование связей, передающих от одной рамы к другой продольные
нормальные и сдвигающие силы.
Эти связи изображены схематически в виде стерженьков, расположен-
ных в срединной поверхности (рис. 3).
12 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Прямоугольная пластинка оболочки в расчетной модели уподобляется
плоской шарнирно-стержневой системе (ферме), работающей только на
силы, действующие в плоскости этой системы, и совершенно не оказываю-
щей сопротивления кручению
и изгибу из ее плоскости в
продольном направлении.
Таким образом, оболочка
рассматривается нами как
тонкостенная непрерывная
пространственная система,
состоящая из бесконечного
множества поперечных изги-
баемых элементарных рам и
обладающая в продольном
направлении безмоментной
Рис. 3
структурой. Пластинки оболочки, растяжимые в одном только продоль-
ном направлении, образуют как бы непрерывную упругую среду, сопро-
тивляющуюся деформациям изгиба элементарных поперечных рам.
В отличие от тонкостенного стержня с жестким контуром, рассматри-
ваемая здесь оболочка наряду с деформациями растяжения вдоль обра-
зующей получает также и деформации изгиба в поперечном направлении,
обусловливающие изменение формы контура поперечного сечения.
§ 2. Прямоугольная пластинка как элемент призматической оболочки
Предположим, что края оболочки — поперечные и продольные —
каким-либо образом закреплены от перемещений. Обозначим через k
порядковый номер ребра и пластинки оболочки. Нумерация ребер и пла-
стинок возрастает в направлении положительного отсчета контурной
координаты s, причем пластинке, заключенной между ребрами k — 1,
k, приписывается номер /г-го ребра.
Рис. 4
Рассмотрим задачу о напряжениях и деформациях произвольной
прямоугольной пластинки, являющейся элементом оболочки.
В соответствии с принятыми выше гипотезами считаем, что эта пла-
стинка узкая; ширина ее составляет не более V5 от длины оболочки.
Выделим из пластинки бесконечно малый элемент МасЪ со сторонами
в срединной плоскости dz, ds (рис. 4, а). Согласно статической гипотезе
считаем,что на поперечных сторонах этого элемента Mb и ас действуют одни
только нормальные и сдвигающие силы, лежащие в срединной плоскости.
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
13
На продольные стороны Ма и Ьс, кроме нормальных и сдвигающих
сил, передаются изгибающие моменты и поперечные силы. Все эти усилия,
отнесенные к единице длины элемента, показаны на рис. 4, б.
Помимо указанных сил, приложенных по прямоугольному контуру,
на элемент будут действовать приходящиеся на него заданные внешние
силы.
Вектор поверхностной нагрузки, приходящийся на единицу площади,
условимся представлять тремя компонентами: pz, ps и рп; первые два дей-
ствуют в срединной плоскости пластинки, а третий — в направлении,
перпендикулярном к этой плоскости (рис. 4, в).
Условия равновесия элемента пластинки при изгибе из ее плоскости
приводят к следующим уравнениям:
<W ,	л	/т л \
~^+Рп-°’	(1Л)
9G я, п
Исключая из уравнений (I.I) поперечную силу N, получаем
д£ + рп = °-	а-2)
Общий интеграл уравнения (1.2) представим в виде
б/ L   S	Q	л
G(z,s) = Gk^{z)-^— +	4- + G°k(z, S).	(1.3)
ak	ak
Здесь (z) и Git (z) — изгибающие моменты, приложенные по про-
дольным сторонам пластинки к — 1 и к, рассматриваются как функции
от координаты z. Эти моменты, как и момент G(z, s), относящийся к про-
извольной точке М плоскости пластинки, считаем положительными, если
они вызывают растяжение нижнего волокна элементарной поперечной
балки шириной dz = 1. Буквой d)> обозначена ширина пластинки, имею-
щей номер k. Через s обозначена текущая координата точки пластинки
по ее ширине: эта координата равна расстоянию до точки М от края
пластинки k — 1. Последним членом в формуле (1.3) представлен изги-
бающий момент элементарной балки от приходящейся на нее поперечной
нагрузки рп = pn(z, s) в предположении, что эта балка на линиях k — 1
и k имеет шарнирное опирание. Функция G? (z, s) представляет собой,
таким образом, частный интеграл неоднородного уравнения (1.2), при-
нимающий при s = 0 и s = dt, нулевое значение.
Выражение (1.3) показывает, что поперечные изгибающие моменты
G(z, $) какой-либо k-ii пластинки находятся точно так же, как и моменты
в теории изгиба балок. Отличие состоит в том, что изгибающий момент
пластинки рассматривается как функция, зависящая не только от поло-
жения сечения элементарной полоски по ширине пластинки, но также и
от положения этой полоски по длине пластинки.
Если данная пластинка свободна от нормальной поверхностной на-
грузки (рп = 0), то формула (1-3) принимает более простой вид:
G(z,s) = Gk^ (z)	+ Gk (z)	.	(1.4)
Из этой формулы следует, что при загружении призматической обо-
лочки внешними силами, приложенными на ее ребрах, при любом законе
распределения этих сил по длине каждого ребра поперечные изгибающие
моменты G(z, s) в функции от координаты s в пределах ширины одной
14 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
пластинки изменяются по линейному закону. Следовательно, эпюра момен-
тов G(z, s) на каждом прямолинейном участке контура будет иметь вид тра-
пеции, причем крайние ординаты этой трапеции зависят только от коор-
динаты z.
Предполагая моменты (z) и Gk (z) в формуле (1.3) в функции от
координаты z известными, мы можем затем определить поперечную силу
JV(z, s) в любой точке пластинки. Эта сила согласно второму уравнению
(1.1) вычисляется как частная производная от момента G(z, s) по коор-
динате s:
N (z, s) = A [Gk (z) - G.-j (z)] + №k (z, s).	(1.5)
k
Здесь №k (z, s) — поперечная сила от внешней нагрузки рп (z, s)r
действующей на однопролетную поперечную элементарную балочку
dz = 1, имеющую на концах s = 0 и s = dk шарнирное опирание и отстоя-
щую от начального сечения z = 0 на расстояние z = const.
По моментам G^ (z) и Gk (z) можно определить и деформации попереч-
ного изгиба пластинки.
Приведем формулы углов поворота опорных сечений элементарной
балки dz = 1 от опорных моментов Gk_r (z), Gh (z) и от приходящейся
на эту балку поперечной нагрузки рп (z, s):
= w; (z) +	+ e*-i (z); 1
ek^) = ^r[Gk_1(z) + 2Gk(z)]+^k(z). J
k )
Рис. 5
Здесь Jk — момент инерции
балки, имеющей в сечении
ШИрИНу dz = 1 И ВЫСОТУ 6 ft,
равную толщине /е-й пластин-
ки:
1-6?
(1-7)
(z), в2(z) — углы поворота
опорных сечений однопролет-
ной элементарной балки, сво-
бодно лежащей на опорах, от
приходящейся на нее внешней
поперечной нагрузки pn(z, s).
Эти углы определяются извест-
ными методами сопротивления
материалов.
Определяемые по формулам (1.6) углы поворота опорных сечений
элементарной балки считаются положительными, если эти сечения по-
ворачиваются по направлению соответствующих положительных изги-
бающих моментов Gk-i (z), Gk (z), как это показано на рис. 5.
Рассмотрим теперь задачу о плоском напряженном состоянии узкой
прямоугольной пластинки, претерпевающей деформации удлинения в од-
ном только продольном направлении.
Деформированное состояние пластинки при действии сил, лежащих
в ее плоскости, в общем случае определяется перемещениями точек сре-
динной плоскости.
Пусть и = u(z, s) и v = v (z, s) — соответственно перемещения ка-
кой-либо точки М по направлениям координатных осей z и s (рис. 6, а).
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
15-
Эти перемещения, в отличие от нормального перемещения w = w(z, s),
в дальнейшем будем иногда называть тангенциальными продольным
и поперечным перемещениями.
Для компонентов деформации пластинки имеем формулы:
ди	\
ei=-a7 =
до
== 37;	1
ди , до I
V ~~дз + ~дТ ' j
Эти формулы получаются из рассмотрения деформации элемента пла-
стинки МасЪ со сторонами dz и ds (рис. 6, б). Первой формулой (1.8) опре-
деляется относительное удлинение продольного элемента пластинки
Ma = dz, длина которого после деформации увеличивается на величину
~ dz. Вторая формула относится к деформации удлинения другого ли-
нейного элемента пластинки Mb = ds, отложенного по ее ширине. Послед-
ней формулой определяется относительное изменение угла между коорди-
натными линиями z — const, s = const. Этот угол, прямой до деформа-
ции, после деформации при положительном сдвиге у переходит в острый.
Величина у при малых перемещениях определяется как сумма тангенсов
углов ух и у2, на которые поворачиваются в плоскости пластинки после
деформации стороны прямоугольника Ма и Mb.
Так как (в силу принятой нами геометрической гипотезы) деформация
оболочки происходит без растяжения ее срединной поверхности по линии
контура поперечного сечения z = const и без изменения прямых углов
между координатными линиями z = const и s = const, то для элемента
этой оболочки-пластинки мы должны принять:
-^=0;	)
ds	f
ди	.	до _ „	(
dz — U-	)
(1-9)
Уравнениями (1.9) выражена основная геометрическая гипотеза.
Интегрируя эти уравнения, получаем для перемещений и и v k-ii пла-
стинки такие формулы:
V (z, S) = vk(z)\
и (z, S) = ~ v'k (z) S + Uk-! (z).
(1.10)
16 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Здесь х (z) и Vk (z) — произвольные функции, зависящие только от
координаты z и относящиеся:	— к k — 1-му ребру, а %  к /г-й
пластинке; (z) — производная от функции щ(г) по координате z.
Первая формула (1.10) показывает, что для всех точек М, лежащих
на прямой z — const, поперечные перемещения имеют одинаковые значения
и определяются одной только величиной rfe(z), представляющей собой
прогиб какого-либо продольного волокна при изгибе пластинки в ее пло-
скости.
Этот прогиб считается положительным, если поперечное сечение как
показано на рис. 7, смещается в сторону возрастания координаты s.
Из второй формулы (1.10) следует, что продольные перемещения
и (z, s) по ширине пластинки (в функции от координаты s) представляются
линейным законом.
Формуле для продольных перемещений придадим другой вид, приняв
в качестве основных функций, зависящих только от координаты z, про-
дольные перемещения u.fe_1(z),	(z) крайних точек поперечного сечения
пластинки.
Имея в виду закон линейного распределения перемещения w(z, s)
по ширине пластинки, получим (рис. 8):
и (z, s) = uk^ (z)	--F uk (z)	.	(1.11)
“fe	“fe
Здесь, как и ранее, dk обозначает ширину /г-й пластинки; s — расстоя-
ние до точки М от продольного края k — 1 (рис. 8).
По перемещениям w(z, s) определяем относительные удлинения пла-
стинки в продольном направлении. Дифференцируя равенство (1.11)
один раз по z и замечая, что и'(z), ик (z) представляют собой относитель-
ные продольные удлинения 8/г_1 (z),	(z) срединной плоскости пла-
стинки в крайних точках s = 0, s = d-,, сечения z = const, получаем
— S	о
Mz,s) = е^Дг)-——-ь e*(z) ~ .	(1.12)
Гл. 1.Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
17
На основании закона Гука из формулы (1.12) получаем очевидное
равенство
б (z, в) = Sk-1 (z)	+ Gfe (z)	,	(1.13)
где о — продольное напряжение.
Приведенный здесь анализ показывает, что каждая из прямоуголь-
ных пластинок оболочки в случае плоского напряженного состояния при
отсутствии деформаций поперечных удлинений и сдвига ведет себя в от-
ношении тангенциальных перемещений и и г и деформаций продольных
удлинений е, а также в отношении продольных нормальных напряже-
ний о (z, s) как балка прямоугольного сечения, рассматриваемая в эле-
ментарной теории изгиба балок. Поперечные сечения пластинки, плоские
до деформации, остаются и после деформации плоскими и нормальными
к линии прогибов i’(z).
Продольные нормальные напряжения ст (z, з) по сечению z = const
в пределах ширины одной пластинки распределяются по закону прямой
линии. Эти напряжения для /г-й пластинки определяются только двумя
функциями от координаты z, за которые мы в дальнейшем примем дефор-
мации удлинений (z) и efe (z) на продольных краях пластинки, про-
порциональные, в силу закона Гука, нормальным напряжениям ст^ (z)
и Сть (z) в крайн точках поперечного сечения пластинки.
Полагая в уравнениях:
<?U	, .	— S . t . s )
d? — ~Tk !"	(Z> 1“ ’ I
i	(i.i4)
du , dv Л	I
~ds + '37 “ 0	J
функций (z),	(z) заданными и интегрируя эти уравнения, полу-
чаем
и(г,з)=^—S^efe_1(z)dz+eA(z)dz + ; Wfc-i(O) + -^-uk(0); )
k о	k о	I (1.15)
z z
» (z)= —	[e* (z) — efe_i (z)] dz2 — ~ [uk (0) — uk-i (0)] + vk (0).
*00
Здесь Uk-^Q) и uft(0) — продольные перемещения крайних точек k — 1,
k начального сечения пластинки z = 0; Vk (0) — прогиб пластинки в том
же сечении (рис. 7).
Формулами (1.15) определяются (по заданным деформациям (z),
8h(z) продольных краев) перемещения и (z, з) и r(z) любой точки М пластин-
ки, причем предполагается, что в своей плоскости пластинка смещается,
как жесткое тело.
Переходим к определению внутренних и внешних сил пластинки,
предполагая, что деформации удлинений f-'k-i (z), ед (z) продольных краев
ее известны. Нормальные напряжения Стд_, (z), Стд (z), относящиеся
к крайним точкам поперечного сечения пластинки, равны
6ft_1(z) = £eft_1(z);l
6ft(z) =E'eft(z), J
где Et— хмодуль продольной упругости при растяжении (сжатии) пла-
СТИНЛ®'
«япп&йения ct(z, з) в произвольной точке М определяются формулой
(1/П?) и Соотношениями (1.16).
18 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Рис. 9
Выделим из пластинки элемент abed и рассмотрим условия его равно-
весия. На рис. 9 показаны силы, действующие на выделенный элемент.
На стороне ab приложены нормальные напряжения o(z, s), распределен-
ные на ширине пластинки по линейному закону и вычисляемые по форму-
лам (1.13) и (1.16); на стороне cd эти напряжения отличаются от таковых
вдоль линии ab приращения-
ми. Вдоль стороны ad дейст-
вует сдвигающая сила5*_1(г),
отнесенная к единице
длины и передающаяся на
рассматриваемую пластинку
со стороны (k — 1)-й пластин-
ки; эта сила предполагается
известной. И, наконец, вдоль
линии be действует искомая
сдвигающая сила S(z, s). Ос-
тальные силы, действующие
на элемент abed со стороны
оболочки, не показаны, так
как в данном случае следует пользоваться лишь условием равенства нулю
суммы проекции всех сил, внешних по отношению к элементу, на ось Oz.
Из этого условия равновесия получаем формулу для определения
сдвигающей силы в любом продольном сечении:
5(z,a) = 5ft_1(z)-^-
(с	о2 \	о2
ak /	°-k
(1-17)
Здесь Fk — dkbk — площадь поперечного сечения пластинки.
Полагая $ = dh, получаем формулу для сдвигающей силы в /г-ом
ребре:
5fe(z) = ^-1(z)-^[6L1(z) + 6'ft(z)].	(1.18)
По формуле (1.17) в силу закона парности касательных напряжений
определяют также сдвигающие силы в поперечных сечениях пластинки,
которые в общем случае распределяются по закону квадратной параболы.
Рассмотрим два частных случая работы пластинки в своей плоскости.
Предположим, что на продольные края пластинки наложены связи,
устраняющие удлинения ребер. Тогда, согласно формуле (1.12), удли-
нение любого продольного волокна будет равно нулю, а следовательно,
и нормальные напряжения в каждой точке любого поперечного сечения
будут также равны нулю. В этом случае по формулам (1.17) и (1.18) имеем
S (z, s) = Sk^{z) = Sh (z).
Следовательно, при отсутствии нормальных напряжений, сдвигаю-
щая сила по ширине пластинки остается постоянной. Если известна попе-
речная сила Qk, действующая в поперечном сечении /г-й пластинки и ле-
жащая в ее плоскости, то сдвигающая сила определяется по формуле
(2) = Qk (2).	(1.19)
k
Рассмотрим теперь другой, в некотором смысле противоположный,
случай. Будем считать, что продольные удлинения ребер не равны нулю,
но равна нулю поперечная сила Qk-
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
19
Согласно определению, между поперечной силой и сдвигающими си-
лами в общем случае существует зависимость
dk
Qk(z) = iS’(z>s)ds-
о
(1-20)
Потребуем, чтобы поперечная сила в любом поперечном сечении была
равна нулю:
<2ft(z) = 0.	(Т-21)
Подставляя значение величины сдвигающей силы, выраженное форму-
лой (1.17), в формулу (1.20) и используя условие (1.21), получаем
*^-i(z) = (2oLi(z) 4- s'k (Z)].
(1-22)
Подставляя выражение (1.22) в (1.17), получим формулу для опреде-
ления сдвигающих сил в случае отсутствия поперечной нагрузки
(z, S) =	(Z) ( 2 -	+ 4 (Z) (1 -	) 1 .	(1.23)
b L \ h dkJ \	4/J
По формуле (1.23) определяется система самоуравновешенных по лю-
бому поперечному сечению пластинки касательных сил S(Z, s).
В общем случае сдвигающее усилие определится суммой сдвигающих
усилий, вычисленных по формулам (1.19) и (1.23). Общая формула для
определения сдвигающей силы, эквивалентная формуле (1.17), имеет вид
5(z,s) = §-
,	/	' Йе Ч»2 \	.	/
Oa_1(z)(2-^ + ^- +o*(Z) 1
\	dk)	\

Из приведенных выше рассуждений, связанных с получением формул
(1.19) и (1.23), следует, что поперечная сила при изгибе балки не всегда
может быть определена как производная от момента (по теореме Швед-
лера — Журавского). Действительно, если деформации удлинения на
продольных краях балки равны нулю, то равны нулю и нормальные
напряжения. Следовательно, изгибающие моменты также будут равны
нулю. Между тем поперечные силы могут быть отличны от нуля. Если
обратиться к формуле (1.23), то станет ясно, что поперечная сила <?(г)
от сдвигающих сил, определяемых этой формулой, тождественно равна
нулю. Однако нормальные напряжения о(г, s), определяемые формулой
(1.13) в сечении г = const при произвольных функциях cri._1 (z), (Jk (z).
наряду с продольной нормальной силой дают еще и изгибающий момент,
производная от которого также отлична от нуля.
Отступление от теоремы Шведлера — Журавского объясняется тем,
что в настоящей задаче пластинка находится под действием не только
поперечной нагрузки, но также и внешних сдвигающих сил, приложен-
ных на продольных краях ее.
Обратимся теперь к допущению относительно деформаций сдвига. Эти
деформации приняты равными нулю. Однако сдвигающие силы в нашей
теории, как и в обычной теории изгиба балок, отличны от нуля, и эти силы
определяются из уравнений равновесия.
Закон Гука для деформаций сдвига имеет такой вид:
Г =	(1.25)
Здесь G — модуль упругости при сдвиге.
2*
20 Расчет оболочек смешанным вариационным методом бее учета деформации сдвига
Внося сюда значение сдвигающей силы S из формулы (1.24), можем
определить деформацию сдвига у в любой точке пластинки.
Для достаточно узкой пластинки как элемента оболочки с высокой
степенью точности можно считать, что деформация сдвига происходит
от сдвигающей силы, определяемой одним только вторым членом формулы
(1.24) и возникающей в пластинке при действии поперечной нагрузки <?ь(г).
Внося (1.19) в (1.25) и имея в виду, что при отсутствии продольных
перемещений и [см. (1.8)]
Г = (z)>
получим
= Ъ]Г Qk&.
Дифференцируя это равенство еще раз и принимая во внимание зави-
симость между поперечной силой и нагрузкой, имеем
vk (z) =
k
Этим уравнением определяется дополнительный прогиб пластинки,
возникающий вследствие деформаций сдвига от поперечной нагрузки.
§ 3. Геометрические свойства призматических оболочек,
вытекающие из гипотезы об отсутствии деформации сдвига
Рассмотрим вопрос о степени подвижности узлов плоской рамы, соот-
ветствующей поперечному сечению оболочки.
л,	Под степенью подвижности этой
рамы будем понимать число незави-
г1	симых перемещений узлов,	вызы-
s'	ваемыхдеформациями продольного
г	/ S'	растяжения оболочки как тонко-
z	стенной пространственной	склад-
s'	чатой системы.
Чтобы исключить из рассмотре-
ния перемещения пластинок в их
РИС ю	плоскости как жестких дисков, бу-
дем считать, что один или оба
опорных края оболочки z = 0 и
z = Z имеют в достаточном количестве необходимые связи, устраняющие
всякую подвижность отдельных элементов оболочки как жестких звеньев.
Пусть k-я пластинка в каждой точке (k — 1)-го ребра закреплена
неподвижно в пространстве от всех трех линейных перемещений, но со-
храняет возможность вращения относительно этого ребра как оси. Этого
можно достигнуть присоединением пластинки к жесткому основанию
при помощи цилиндрического шарнира (рис. 10). При таких связях про-
дольные относительные удлинения (k — 1)-го ребра будут равны нулю.
В соответствии с гипотезой о нерастяжимости (несжимаемости) пластин-
ки в поперечном направлении при указанных условиях закрепления
(k — 1)-го ребра полагаем равными нулю также и прогибы Vk(z) пластинки
в ее плоскости, а отсюда в силу отсутствия деформации сдвига будут
равны нулю также и деформации удлинений /г-го ребра пластинки и вооб-
ще удлинения любого продольного волокна пластинки.
При малых перемещениях и деформациях пластинки все точки какого-
либо поперечного элемента АВ могут перемещаться только перпендику-
лярно плоскости пластинки. Линейный элемент АВ здесь эквивалентен
двум связям, так как фиксирует расстояние между точками А и В элемента
и ликвидирует перемещение точки В вдоль /е-го края.
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
21
Воспользуемся этим для выявления степени подвижности узловых точек
поперечного сечения призматических оболочек. Аналогично тому как при
определении подвижности узлов плоских рам при расчете методом дефор-
мации в рассмотрение вводится шарнирная схема, здесь введем оболочку
с цилиндрическими шарнирами на всех ребрах. Эти шарниры ликвиди-
руют взаимные линейные перемещения пластинок на ребрах оболочки
как в плоскости поперечного сечения, так и из его плоскости, оставляя
возможным лишь взаимные угловые перемещения. Понятно, что заданная
оболочка и оболочка, образованная из заданной постановкой во всех реб-
рах таких цилиндрических шарниров, обладают одинаковой степенью
подвижности.
Пусть г — число ребер оболочки (или число узлов плоской шар-
нирно-стержневой системы, соответствующей поперечному сечению);
р — число всех пластинок оболочки (или число стержней названной выше
плоской системы). Каждый узел такой системы, рассматриваемый в про-
странстве как изолированная точка, обладает тремя степенями свободы.
Так как в данной системе эти точки принадлежат ребрам оболочки и каж-
дый поперечный элемент АВ пластинки эквивалентен двум простым
связям, то общее число связей, ограничивающих подвижность узлов
плоской стержневой системы, будет равно удвоенному числу пластинок.
Обозначая степень подвижности узлов элементарной поперечной по-
лоски через w, получаем следующую формулу:
w = Зг — 2р.	(1-26)
Величиной ш, вычисляемой по формуле (1.26), определяется число
тех независимых перемещений узлов плоской элементарной поперечной
полоски в пространстве, которые могут возникать вследствие возможной
деформации оболочки в предположении, что деформации сдвига и попереч-
ных удлинений пластинок равны нулю.
Поскольку оболочка рассматривается как состоящая из бесконечно
большого числа элементарных плоских рам, то для определения положе-
ния всех точек ее ребер вместо некоторого количества независимых пара-
метров (чисел) следует взять такое же количество независимых функций.
Следовательно, величина w, вычисляемая по формуле (1.26), устанав-
ливает число независимых функций, определяющих перемещения всех
точек ребер оболочки. В качестве таких функций удобно принять дефор-
мации удлинений еь (z) ребер оболочки или пропорциональные им про-
дольные нормальные напряжения Оь(г) общим числом w.
Удлинения остальных ребер уже не будут независимыми, но в силу
неразрывности продольных и поперечных перемещений на линиях вза-
имного контакта пластинок будут линейно выражаться через удлинения
w ребер. Отсюда непосредственно вытекает важная теорема:
для. всякой тонкостенной пространственной системы типа складчатой
призматической оболочки, состоящей из жестко или шарнирно соединен-
ных между собой на ребрах растяжимых в одном только продольном на-
правлении пластинок, число независимых величин, характеризующих
состояния деформации продольного растяжения и определяющих в любом
поперечном сечении z = const эпюру нормальных напряжений, равно
утроенному числу ребер без удвоенного числа пластинок.
Заметим, что равенство нулю степени подвижности, вычисляемой по
формуле (1.26), является необходимым, но недостаточным условием гео-
метрической неизменяемости и статической определимости системы.
Помимо вычисления степени подвижности по формуле (1.26), необходимо
производить анализ структуры оболочки. Для такого анализа можно
использовать методы, аналогичные методам проверки изменяемости плоских
22 Расчет, оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
стержневых систем, и, в частности, метод замены связей или метод
нулевой нагрузки.
В качестве первого примера рассмотрим оболочку (рис. 11). Пусть
поперечное сечение z = О закреплено от всех линейно независимых сме-
щений. Число ребер этой оболочки г = 2 и число пластинок р = 3, сле-
довательно, для этой оболочки w = 3-2—2-3 = 0. Нетрудно также убе-
диться в том, что подвижность этой оболочки равна нулю, т. е. что ребра
этой оболочки закреплены в про-
странстве совершенно неподвижно.
Действительно, поскольку оболочка
вдоль цилиндрических шарниров 0
и 3 закреплена от всех линейных
перемещений, опорные линии 0 и 3
остаются нерастяжимыми и прямоли-
нейными и в силу гипотезы об отсут-
ствии деформации сдвига и попереч-
ных удлинений ребра 1 и 2 не будут
иметь удлинений. Поэтому пластин-
ка 12 не получит прогибов в своей
плоскости, следовательно, точки ре-
бер оболочки при любой нагрузке
не будут иметь перемещений, и про-
дольные волокна оболочки не будут
Рис. 11
удлиняться. В поперечных сечениях будут действовать только сдвигаю-
щие силы, нормальные же напряжения будут равны нулю.
Все внутренние усилия оболочки определяются (как это будет пока-
зано в § 4) с помощью условий равновесия. Следовательно, рассмотрен-
ная7нами оболочка (рис. 11) является геометрически неизменяемой и
Рис. 12
статически определимой. Нетрудно видеть, что присоединение такой
оболочки к какой-либо заданной оболочке не меняет степени подвижности
последней вполне аналогично тому, как присоединение узла к плоской
системе с помощью «диады» (двух стержней с шарнирами на концах)
не меняет степени свободы этой системы в ее плоскости. Этим замечанием
мы воспользуемся в дальнейшем.
С помощью формулы (1.26), а также путем непосредственного анализа
можно убедиться, что для всех оболочек, поперечные сечения которых
представлены на рис. 12, степень подвижности w равна нулю.
Проделаем такой анализ, например, для оболочки, поперечное сече-
ние которой показано на рис. 12,6. Оболочка 0123 прикреплена с помощью
цилиндрических шарниров 0 и 3 к жесткому основанию. Но мы раньше
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
23
видели, что для такой оболочки w = 0. Следовательно, все точки ребра 2
абсолютно неподвижны. В таких же условиях находится оболочка 2456,
прикрепленная цилиндрическими шарнирами к жесткому основанию вдоль
шарнира 6 и неподвижному ребру 2‘, прикрепление такой оболочки не ме-
няет степени подвижности системы. Аналогичным образом к ней присоеди-
нена оболочка 5789.
Рис. 13
Рис. 14
Для оболочки с поперечным сечением в виде замкнутого многоуголь-
ника степень подвижности равна числу ребер.
В частном случае оболочки с поперечным сечением в виде треуголь-
ника степень подвижности равна 3. Последовательным присоединением
П-образных оболочек к этой оболочке мы получим оболочку, поперечное
сечение которой показано на рис. 13.
Очевидно, что подвижность полученной оболочки равна 3, так как
присоединение П-образных оболочек
Таким образом, если попереч-
ное сечение оболочки состоит из
любого числа четырехугольников,
расположенных в одном направле-
нии, и одного треугольника, то
степень подвижности будет равнаЗ.
Для определения нормальных
напряжений в поперечных сече-
ниях таких оболочек можно поль-
зоваться элементарной теорией из-
гиба балок, основанной на гипо-
тезе плоских сечений.
Поскольку степень подвижно-
сти оболочки с поперечным сечени-
не меняет степени подвижности.
Рис. 15
ем в виде четырехугольника равна 4, то степень подвижности w оболочки
с поперечным сечением, состоящим из любого числа четырехугольников,
расположенных в один ряд, будет также равна 4 при любом количестве
этих четырехугольников (рис. 14).
Для определения нормальных напряжений в поперечных сечениях
таких оболочек элементарная теория изгиба балок уже недостаточна,
так как число степеней свободы поперечного сечения из его плоскости
больше трех. Для этих оболочек нормальные напряжения определяются
по четырехчленной формуле:
Р , Мх  Му , в
— -р- + -j—y — j~x +
г J х	J у	j О)
(1-27)
Первые три слагаемых в формуле (1.27) хорошо известны из сопротив-
ления материалов, последнее слагаемое заслуживает более подробных
пояснений. Рассмотрим сначала построение эпюры ® (рис. 15). Поскольку
в данном случае степень подвижности равна 4, значения <о в четырех
узловых точках можно задать произвольно. В качестве этих точек возьмем
точки 2, 3, 6, 7 и зададим в них значения <о2, ®з> ®в,
24 Расчет, оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Воспользуемся теперь следующим положением: если в узловой линии
сходятся три или более пластинок, то продольные перемещения этих
пластинок определяются законом плоских сечений х. Проведем через нуле-
вые точки эпюры со на линиях 23 и 36 или на их продолжениях линию
1 — I. Расстояние от этой линии до точек 3 и 4 обозначим соответственно
через г3 и г4. Тогда, согласно сказанному выше, значение ®4 определится
через ®3 по формуле
(о4 = -^(о3.	(1.28)
Аналогичным образом определяются значения <o(s) во всех остальных
узловых точках поперечного сечения. Между узловыми точками вдоль
контурной линии функция g>(s) изменяется по линейному закону.
Построенная таким образом эпюра функции <o(s) подвергается ортого-
нализации с эпюрами 1, x(s), y(s) аналогично тому, как это сделано в на-
шей работе «Тонкостенные упругие стержни».
Функции <o(s) соответствуют обобщенные величины Ja и В, определяе-
мые по формулам:
Ju> = со1 2 (s) dF‘, j
с	(1-29)
В = \ о (z, s) со (s) dF.
F
Из формул (1.29) видно, что J№ и В имеют ту же природу, что и осевой
момент инерции Jy и изгибающий момент Му, и являются естественным
обобщением этих элементарных понятий сопротивления материалов 2.
Если поперечное сечение состоит из одного или нескольких прямо-
угольников, то функция <o(s), описывающая депланацию сечения, будет
иметь вид
со = ху.	(1.30)
Здесь х, у — текущие координаты точки на линии многосвязного про-
филя.
Результат, представленный формулой (1.30), может быть выражен так:
для. призматической оболочки многосвязного изменяемого профиля, состоя-
щего из расположенных последовательно в одном направлении прямоуголь-
ников, депланация сечения при отсутствии деформации сдвига описывается
уже не законом секториалъных площадей, лежащим в основе теории тонко-
стенных стержней-оболочек открытого профиля, а законом, выраженным
общей формулой (1.30) и удовлетворяющим для многосвязного профиля
условию непрерывности во всех точках контура.
Этот закон может быть назван гиперболическим законом аксиальных
площадей, так как определяемая им величина, пропорциональная депла-
нации сечения, для какой-либо точки профиля вычисляется как площадь
прямоугольника со сторонами х, у, равными декартовым координатам
этой точки.
Для оболочек многосвязного профиля закон аксиальных площадей
играет такую же роль, как для оболочек открытого профиля закон сек-
ториальных площадей.
На основе закона аксиальных площадей может быть разрешен ряд
новых задач теории прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных
конструкций закрытого профиля, широко применяемых в авиации (крылья
самолета), судостроении (железобетонные плавучие доки, корпуса кораб-
1 См. В. 3. Власов. Тонкостенные упругие стержни. Стройиздат, 1940, стр. 54
(избр. труды, т. II, 1963. Прим. ред.).
2 Подробнее об этом см. ниже (часть вторая, гл. III, § 3).
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек 25
лей) и других областях техники (см. рис. 13 и 14). Некоторые из таких
задач приведены во второй части данной монографии.
Рассмотрим в заключение оболочку, поперечное сечение которой по-
казано на рис. 16. По формуле (1.26) получаем
w = 3*5 - 2-7 = 1.
Следовательно, степень подвижности рассматриваемой оболочки равна
единице, и нормальные напряжения в ней находят по одночленной форму-
ле [они определяются последним членом в формуле (1.27)]. Эпюра ®(s),
характеризующая распределение нормальных напряжений по попереч-
ному сечению, показана также на рис. 16. Интересным является то, что
при симметричной нагрузке в поперечных сечениях оболочки не возникает
нормальных напряжений. Последние возникают лишь при обратно сим-
метричной нагрузке и вычисляются по формуле (1.27) при сохранении
в ней одного лишь последнего слагаемого.
Заметим, что проделанные в этом параграфе геометрический и стати-
ческий анализы призматических оболочек относятся лишь к тем оболоч-
кам, для граней которых справедливы гипотезы об отсутствии деформа-
ции сдвига и поперечных удлинений.
В реальных конструкциях, конечно, имеют место как деформация
сдвига, так и деформация поперечных удлинений и, как следствие этого,
наличие нормальных напряжений в поперечных сечениях таких оболочек,
для которых степень подвижности w равна нулю. Однако эти нормальные
напряжения носят вторичный характер и весьма малы по сравнению с ка-
сательными напряжениями.
Более общий метод расчета оболочек многосвязных поперечных се-
чений с учетом деформации сдвига изложен во второй части книги.
§ 4. Статически определимые складчатые системы
В предыдущем параграфе указано на существование класса оболочек,
для которых степень подвижности ребер равна нулю (iv = 0), и что обо-
лочки такого типа в основном работают на сдвиг.
Этот класс оболочек кладет начало образованию новых рациональных
форм тонкостенных пространственных конструкций, в которых распреде-
ление внутренних усилий отлично от распределения усилий, вычисленных
элементарными методами строительной механики. Поэтому указанный
класс оболочек заслуживает более подробного изучения и анализа.
Начнем с рассмотрения оболочки, состоящей из трех пластинок, соеди-
ненных между собой и с основанием при помощи цилиндрических шарни-
ров, устраняющих всякую линейную подвижность пластинок как между
собой, так и относительно основания (рис. 17, а).
Будем считать, что оболочка по краю z = 0 имеет необходимые опор-
ные связи, закрепляющие этот край и всю оболочку от перемещений;
другой край z = I свободен.
26 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Из предыдущего параграфа видно, что для рассматриваемой оболочки
•степень подвижности равна нулю (w = 0) и она является геометрически
неизменяемой системой. Все внутренние усилия таких оболочек опреде-
ляются из условий равновесия. В поперечном сечении при этом будут
возникать только сдвигающие силы, постоянные по ширине каждой пла-
Рис. 17
стинки, как это следует из
формулы (1.19).
При отсутствии продольной
нагрузки сдвигающая сила ос-
тается постоянной в пределах
всего замкнутого контура, что
видно из рассмотрения условия
равновесия элемента, [показан-
ного на рис. 17,6 (сумма про-
екций, всех внешних по отноше-
нию к элементу сил на образу-
ющую^ оболочки должна рав-
няться нулю).
Определим сдвигающую силу, остающуюся постоянной в направлении
контурной координаты s. Будем считать, что на оболочку вдоль ребра 1
действует поперечная равномерно распределенная горизонтальная по-
гонная нагрузка q т/м. Внимательный читатель увидит, что рассматри-
ваемый частный случай нагрузки, придавая наглядность ходу расчета
и его результатам, не сужает общности излагаемого метода расчета.
Из условия равновесия бесконечно
малого элемента пластинки в направ-
лении образующей получим (рис. 18, а):
6g-= -<?(*),	(L31)
•откуда
S (z) =----i-^(z)cZz-|-C.
В рассматриваемом случае равно-
мерно распределенной нагрузки
S(z) = -~qz + C. (1.32)
Произвольную постоянную интегрирования определим из условия
отсутствия сдвигающих сил в поперечном сечении z = I.
Тогда
S^=^-q.	(1.33)
Постоянная в поперечном направлении сдвигающая сила S(z) изменяется
в продольном направлении при данной нагрузке по линейному закону.
Определим теперь нормальные силы в продольных сечениях оболочки,
для чего рассмотрим равновесие элемента (рис. 18, б). Силу Т будем
считать положительной, если она растягивающая. Для горизонтальной
пластинки получим
= = (L34)
Аналогично для пластинок 01 и 23 получим
гр dS ,}	\	— s
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек 27
т	dS 3
T^=~-dIS = -^^
Координата s для каждой пластинки отсчитывается от ребра с меньшим
номером; например, для пластинки 01 от ребра 0, а для пластинки 23 —
от ребра 2.
Эпюры сдвигающих сил для поперечного сечения z= z0, а также нор-
мальных сил, возникающих в продольных сечениях оболочки, даны
на рис. 19.
Указанные сдвигающие и нормальные силы, действующие вдоль опор-
ных линий, должны быть восприняты фундаментом.
Интересно отметить, что при заданной нагрузке левая стена прижи-
мается к фундаменту, а правая стремится оторваться от него. Этот резуль-
тат находится в явном проти-
воречии с представлением, вы-
текающим из рассмотрения си-
стемы как плоской рамы, сог-
ласно которому левая стена
стремится оторваться от фун-
дамента, а правая прижата к
последнему.
Неприменимость теории пло-
ских рам к расчету конструк-
ций данного типа становится
очевидной, если рассмотреть условия работы элементарной рамы ши-
риной dz = 1. Рассчитывая эту раму как плоскую, пренебрегают на-
личием сдвигающих сил, возникающих между соседними элементарны-
ми рамами и имеющих первостепенное значение в пространственной
работе конструкции. Вытекающее отсюда ошибочное представление о ра-
боте конструкции порождает нерациональное конструирование, приво-
дящее к излишней и совершенно напрасной затрате материалов. Попереч-
ная рама, с точки зрения плоской статики, представляет собой изменяе-
мую систему, требующую дополнительных связей в виде, например, жест-
ких узлов. Расчет этой рамы как плоской системы на поперечную нагрузку
даст значительные изгибающие моменты, которых нет в действительности,
требующие дополнительного расхода материала.
Другой подход к расчету этой системы, основанный на предположении,
что на горизонтальную нагрузку будет работать одна горизонтальная
пластинка, также приводит к грубым ошибкам.
В случае, если горизонтальная пластинка выполнена в виде сквозной
фермы, усилия в ее поясах определяются по формуле
N = ± qF/8b.
(1.35)
Эти усилия потребуют устройства мощных поясов. Между тем, согласно
нашим исследованиям, усилия N, определяемые по формуле (1.35), от-
сутствуют и, следовательно, продольные пояса на ребрах 1 и 2 не нужны.
Эти продольные пояса, играющие роль пространственной затяжки,
потребуются для передачи на них сдвигающих усилий лишь на опорных
продольных линиях оболочки.
Из изложенного следует, что оба элементарных подхода, основанных
на статике плоских систем, не дают правильного представления о дей-
ствительной работе конструкции и вызывают дополнительный и совер-
шенно бесполезный расход материала.
Вернемся теперь к нашей оболочке. Как же рассчитывать ее в случае
поперечной нагрузки, приложенной между ребрами? Если на оболочку
действует поперечная нагрузка, приложенная не только на ребрах, то
28 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
расчет, естественно, распадается на две части: заданная нагрузка по закону
рычага приводится к узловой, на которую и рассчитывается оболочка,
как это проделано выше. Учет внеузлового приложения нагрузки состоит
в том, что для элементов поперечного сечения, как для простых балок
с шарнирными опорами на концах, методами сопротивления материалов
строятся зпюры М и Q.
Если же у оболочки вдоль ребер вместо цилиндрических шарниров
имеется жесткое соединение пластинок, то первая часть задачи остается
без изменения, а вторая, состоящая в учете внеузловой нагрузки, при-
водится к расчету плоской рамы с несмещающимися узлами. Вторую
часть расчета в этом случае удобнее выполнять методом деформаций.
Нетрудно видеть, как следует рассчитывать образованные последо-
вательным присоединением оболочки типа рассмотренной. Например,
оболочку (см. рис. 12, б) можно рассчитывать в следующем порядке.
Сначала рассчитывается оболочка 5789, и силы S и Т (действующие вдоль
ребра 5) передаются как внешняя нагрузка на оболочку 2456, которая
рассчитывается во вторую очередь, и, наконец, силы S и Т (передающиеся
вдоль ребра 2) принимаются за нагрузку для оболочки 0123.
Таким образом, расчет оболочек типа показанной на рис. 17 и соз-
данных из них систем производится довольно просто. В качестве следую-
щего примера рассмотрим оболочку, поперечное сечение которой дано
на рис. 20, а. Цилиндрические шарниры в местах контакта отдельных
пластинок между собой и с фундаментом устраняют взаимные линейные
смещения как в поперечном, так и в продольном направлении. Эта обо-
лочка представляет собой геометрически неизменяемую и статически
определимую систему и может быть использована в качестве междуэтаж-
ного перекрытия или покрытия промышленного или жилого здания.
При наличии опорных диафрагм эта конструкция не требует монолитного
соединения пластинок друг с другом, ликвидирующего также взаимную
угловую подвижность, и поэтому она может быть выполнена сборной или
сборно-монолитной. Это позволит повысить общие технические качества
сооружения и значительно снизить стоимость и расход материалов. Ниже
мы покажем, что рассмотрение данной системы как плоской рамы дает
совершенно неправильное представление о работе пространственной кон-
струкции, результатом чего является также нерациональное конструи-
рование.
Расчет рассматриваемой системы путем разложения ее на плоские си-
стемы также приводит к неправильному представлению об игре сил в со-
оружении и к нерациональному конструированию.
Рассчитаем оболочку прежде всего на действие вертикальных нагру-
зок q, приложенных к узловым линиям# и 3, и горизонтальной нагрузки,/?,
приложенной к ребру 7; в направлении образующей оболочки нагрузку
будем считать равномерно распределенной. В поперечных сечециях обо-
лочки будут действовать только сдвигающие силы S, нормальные же на-
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
29
пряжения отсутствуют. Четырем замкнутым контурам соответствуют
четыре потока сдвигающих сил (рис. 20, б).
Рассматриваем элементарную поперечную полоску — раму шириной
dz. Из условия равновесия ее элементов 27 и Зв в вертикальном направ-
лении и элементов 14 и 05 в горизонтальном направлении в плоскости
поперечного сечения оболочки получаем систему уравнений:
(*$7 — S2) h± q = 0;	|
(Si — «S3) /ii + q = 0;	!	-
(^i ~f- Si -J- 67) a; -J- p — 0;	i
(S-pi S2a -{- S3a) — 3Sta = 0. J
Штрихи обозначают производные по координате z. Из уравнений
(1.36) находим:
</ _	_____Р_
1	За ’ 2	За
с'	Р । Я . с'	Р
дз - — 17 + 1? >	~ —17
(1-37)
нтегрируя выражения (1.37) один раз и принимая во внимание, что
I
в силу симметрии при z = — отсутствуют сдвигающие силы, получаем:
Формулами (1.38) представлены окончательные выражения для сдвигаю-
щих сил в оболочке. Эти формулы показывают, что потоки S2 и S4 возни-
кают только от горизонтальной нагрузки р.
В случае действия только вертикальных нагрузок q сдвигающие силы
на контурах II и IV равны нулю. В этом случае формулы (1.38) примут
вид
6д = - 8^ = /- (4- - zV, Si = S4 = 0.	(1.39)
Л1 \ «	t
Нормальные усилия в7продольных сечениях пластинок 23 и 67 будут:
Т23 — qalhit Та — —qa/hy.
Эти силы по абсолютной величине равны нормальным силам в поясах
соответствующей однопролетной фермы с высотой h±. Однако по своим
знакам эти усилия противоположны усилиям, определяемым по теории
плоских ферм. Этот результат находится в явном противоречии с пред-
ставлением о работе подобного рода систем, вытекающим из рассмотрения
их как плоских систем. Несмотря на то, что верхняя пластинка растянута
в поперечном направлении, а нижняя сжата, деформация оболочки будет
такова, что точки, принадлежащие пластинкам 27 и 36, получают прогибы
по направлению заданной нагрузки, т. е. в данном случае вниз. Из закона
Гука для деформации сдвига при отсутствии продольных удлинений
получим
dv/dz = S/Gb.	(1.40)
Здесь v(z) — прогиб вертикальной пластинки, принимаемый положи-
тельным, если элемент перемещается вниз; S(z) — сдвигающая сила,
положительное направление которой показано на рис. 21. Сдвигающая
30 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
сила Sr, действующая в пластинке 27, при таком правиле знаков будет
положительной. Подставив выражение (1.39) для S± в формулу (1.40),
получим
dv _ q I I \
~dz = GSfci \T ~ ZJ '
Интегрируя это уравнение и считая, что поперечные края, присоеди-
ненные к опорным диафрагмам, не имеют прогибов, получаем
J	^ = 2^“^	(L41>
1 У/'л этой формулы видно, что перемещение совпа-
1 г Дает по направлению с заданной нагрузкой q. Все-
I У/ \	родине пролета при z = Z/2 прогиб принимает мак-
•’У 1 симальное значение
-Htz q|	Гтах “ BGbhT'
•rfvz IX.	Представление о работе конструкции как плоской
стержневой системы потребует создания поперечной
111 1 жесткости путем устройства поперечных решетчатых
ферм или безраскосных ферм с жесткими узлами
Рис. 21 (форм Виренделя), что (как видно из предыдущего
анализа) совершенно не нужно. На создание попе-
речной жесткости требуется дополнительная затрата материала, особен-
но в случае безраскосных ферм, элементы которых работают на изгиб.
Представление о работе конструкции, вытекающее из разложения ее
на плоские системы, также не соответствует фактическому действию сил
в сооружении. Конечно, при наличии у оболочки сплошных пластинок
вряд ли следует рассчитывать эту пространственную систему методом раз-
ложения на плоские. Однако, если грани оболочки выполнены в виде
сквозных ферм, то расчет таких систем методом разложения на плоские
системы выглядит, на первый взгляд, вполне обоснованным. Согласно
такому подходу на нагрузку q работают фермы 27 и 36, которые передают
нагрузку на поперечные диафрагмы. Пояса этих ферм в средней панели,
согласно методу разложения на плоские системы, работают на усилия
Л = ±£,	(1.42)
в то время как проделанный нами анализ показал, что эти усилия равны
нулю. Вычисляемые по формуле (1.42) усилия N весьма значительны,
поэтому конструкторам приходится усиливать систему мощными про-
дольными поясами, которые в действительной работе конструкции почти
не принимают участия и являются бесполезными.
В описанных здесь новых конструктивных формах элементами, рабо-
тающими на растяжение или сжатие, будут являться достаточно мощные
опорные стержни, воспринимающие сдвигающие силы. Эти стержни вместе
с затяжками опорных диафрагм образуют пространственный пояс кон-
струкции.
Таким образом, анализ пространственной работы тонкостенных приз-
матических оболочек с нулевой подвижностью показал, что для расчета
подобных систем неприменимы элементарные методы, основанные на рас-
смотрении оболочки как плоской рамы или на разложении конструкции
на плоские системы. Оба эти метода не дают правильного отражения про-
странственной работы конструкции, приводят к значительной и беспо-
лезной затрате материала и к повышению трудоемкости возведения и
стоимости сооружения.
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
31
Проделанный анализ также показал, что рассмотренные тонкостенные
пространственные статически определимые системы (см. рис. 12) пред-
ставляют собой весьма рациональные конструктивные формы, которые
при правильном подходе к их расчету могут дать значительный экономиче-
ский эффект по сравнению с существующими в настоящее время конструк-
тивными формами.
§ 5. Функциональные неизвестные. Основная система.
Элементарные состояния
Статический и геометрический анализы расчетной модели оболочки
показывают, что внутренние силы и деформации в любой точке оболочки
могут быть выражены через поперечные изгибающие моменты Gk (z)
и деформации удлинений e-k (z), относящиеся к узловым линиям (ребрам)
призматической поверхности х. По изгибающим моментам G(z, s) из усло-
Рис. 22
вий равновесия элементарной поперечной рамы dz = 1, отстоящей от на-
чального сечения z = 0 на произвольном расстоянии z = const, можно,
определить поперечные и нормальные силы продольных сечений обо-
лочки известными методами строительной механики плоских стержневых
систем.
Поперечные силы N(z,s) выражаются непосредственно через моменты
G(z, s) из условий равновесия каждого стержня элементарной рамы в от-
дельности. Нормальные силы T(z, s) находятся после определения по-
перечных силN(z,s) из условия равновесия элемента оболочки, выделенно-
го у данного ребра (рис. 22).
Указанные поперечные изгибающие моменты G0(z), Gx(z), ..., Gk(z),
Gn(z) действуют в узловых продольных сечениях оболочки и представ
ляют собой неизвестные статические факторы, рассматриваемые как функ-
ции от одной только координаты z.
Аналогичный результат можно получить и для внутренних сил попе-
речного сечения оболочки, относящихся к плоскому напряженному состоя-
нию отдельных ее пластинок.
Формулы (1.13), (1.16), (1.24) показывают, что состояние внутренних
сил поперечного сечения оболочки, рассматриваемой как растяжимая
в продольном направлении пространственная система при заданных
поперечных тангенциальных нагрузках qk(z) (k = 1, 2, 3, ..., п), опреде-
ляется деформациями удлинений e0(z), ex(z), ..., en(z) всех ребер оболочки.
1 Анализ возможных методов расчета для принятой расчетной модели оболочки
приводится В. 3. Власовым в его ранних работах: «Новый практический метод расчета
складчатых перекрытий и оболочек», «Строит, промышл». №№ 11, 12, 1932, и «Новый
метод расчета тонкостенных призматических складчатых покрытий и оболочек».
Госстрэйиздат, 1933 {Прим. ред.).
32 Расчет, оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Эти деформации представляют собой неизвестные геометрические факторы,
рассматриваемые также как функции от координаты z.
Таким образом, проблема равновесия призматической оболочки, со-
стоящей из произвольного числа узких пластинок и имеющей в поперечном
сечении произвольно заданное очертание, при внешних силах, распреде-
ленных на поверхности по произвольному закону, приводится к опреде-
лению двух систем функций от координаты z, а именно: функций Gfe(z),
характеризующих состояние изгиба оболочки в поперечном направлении,
и функций Bfe(z), определяющих состояние растяжения оболочки в направ-
лении ее образующей.
В дальнейшем вместо деформаций удлинений efe(z) за искомые
функции примем пропорциональ-
ные им напряжения <т&(г). Бли-
жайшая задача состоит в выводе
уравнений для отыскания функ-
ций Gfe(z) и <ife(z). Эти уравнения,
в отличие от канонических
уравнений статически неопредели-
мых плоских стержневых систем,
будут не алгебраические, а диф-
ференциальные, так как неизвест-
ные представляют собой не числа,
а функции.
Основную систему выберем так,
чтобы при любой нагрузке иско-
мые неизвестные Gfe(z) и сгь(г) были
тождественно равны нулю.
Наложим на каждое ребро оболочки непрерывно распределенные
продольные связи. Эти связи, устраняя продольные перемещения лю-
бой точки каждого ребра, обусловливают отсутствие удлинений ребер
и, следовательно, продольных нормальных напряжений в любом попереч-
ном сечении оболочки.
Введем в промежуточные ребра цилиндрические шарниры, препят-
ствующие взаимным линейным смещениям пластинок в месте контакта
и дающие возможность одной пластинке свободно поворачиваться по
отношению к другой’
Заметим, однако, что вводить цилиндрические шарниры следует лишь
в те ребра, для которых поперечные изгибающие моменты невозможно
-определить из условий равновесия.
На рис. 23 изображена схема основной системы для оболочки, имею-
щей п пластинок и в поперечном сечении открытый контур. Искомыми
функциями являются нормальные напряжения <ife(z) в п + 1 основных
точках поперечного сечения и изгибающие моменты Gfe(z) в п — 3 проме-
жуточных точках. Моменты G0(z), G^z), Gn^i(z), Gn(z) являются статиче-
ски определимыми и определяются только заданной нагрузкой. Это ста-
новится очевидным, если рассмотреть условия равновесия элементарной
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
33
полоски в плоскости поперечного сечения (рис. 24). Действительно, если
мы возьмем сумму моментов всех сил, расположенных левее ребра О,
то увидим, что момент G0(z) равен краевому моменту; если же мы возьмем
сумму моментов всех сил, расположенных левее ребра 1, то выразим
момент Gr(z) через заданную нагрузку на первой пластинке. При состав-
лении выражения изгибающего момента C2(z) придется, кроме заданной
нагрузки, учесть приращение неизвестной сдвигающей силы S(z, з),
действующей в поперечном сечении первой пластинки.
Из этого следует, что моменты G0(z), G^z), Gn^(z) и Gn(z) являются
статически определимыми, а все остальные моменты Gk(z) статически
неопределимыми, в соответствии с чем там введены цилиндрические шар-
ниры (см. рис. 23).
Предположим, что пластинки оболочки на поперечных краях z = О
и z = Z закреплены от тангенциальных перемещений vk(z) (k = 1, 2, 3,..., п).
Такой вид закрепления имеет место при опирании оболочки по краям
z = 0 и z = / на жесткие в своей плоскости поперечные диафрагмы. В этом
случае основная шарнирно-складчатая система с нерастяжимыми про-
дольными ребрами представляет собой тонкостенную систему, у которой
все точки ребер закреплены в пространстве совершенно неподвижно.
Действительно, неподвижность этих точек в направлении образующей
обеспечивается продольными связями; прогибы пластинок vk(z) всюду
равны нулю, как это следует из равенства (1.15).
Прямоугольная пластинка с нерастяжимыми продольными краями
при отсутствии деформаций ее удлинения по ширине и при закреплении
поперечных краев, исключающем прогибы пластинки в ее плоскости,
может получать только деформации изгиба и кручения из своей плоскости.
Из равенства нулю тангенциальных поперечных перемещений vft(z)
пластинок следует, что в основной системе промежуточные ребра незави-
симо от упругих свойств оболочки и внешней нагрузки представляют собой
жесткие прямые линии, неподвижно закрепленные в пространстве. Все
три компонента вектора перемещения какой-либо точки ребра равны
нулю. Отсюда следует, что элементарная полоска основной системы
dz = 1 при надлежащем закреплении оболочки по краям z = 0 и z = I
представляет собой плоскую шарнирно-стержневую систему с неподвиж-
ными узлами.
Рассматриваемая здесь основная система обладает тем свойством,
при котором в точках ребер системы от действия приложенных в них сил
деформации независимо от упругих свойств пластинок всюду равны нулю.
В поперечных сечениях пластинок возникают одни только сдвигающие
усилия, определяемые из условий равновесия, как это показано в § 4.
Деформации оболочки в основной системе характеризуются прогибами
пластинок из своей плоскости, которые возникают от нагрузки, действую-
щей нормально к ней и приложенной где-либо по ее ширине, или от момен-
тов, приложенных на продольных краях данной пластинки. Эти прогибы,
как было показано ранее, определяются элементарными методами сопро-
тивления материалов путем рассмотрения поперечной полоски пластинки
шириной dz = 1 как однопролетной балки, имеющей в основной системе
на концах шарнирные неподвижные опоры. В частности, взаимные углы
поворота пластинок на линиях цилиндрических шарниров определяются
формулами (1.6).
Таким образом, выбрав в качестве основной системы оболочку с про-
дольными связями на всех основных продольных линиях и цилиндриче-
скими шарнирами на промежуточных ребрах, мы можем элементарными
методами строительной механики определить внутренние силы и деформа-
ции в этой оболочке от всех интересующих нас факторов, как искомых
(Oftz), Gk(z), так и заданных, относящихся к внешней нагрузке.
3 в. 3. Власов, т. III
34 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
После рассмотрения элементарных состояний оболочки потребуется
лишь приравнять нулю реакции продольных связей и взаимные углы
поворота в цилиндрических шарнирах, вызванные в основной системе
заданной нагрузкой и искомыми функциями Ofe(z) и Gb(z), поскольку
заданная оболочка не имеет продольных связей и цилиндрических шар-
ниров на ребрах.
Этому преобразованию в теории плоских рам соответствует смешанный
метод. Для определения неизвестных уравнения в этом случае делятся
на две группы, а именно: на уравнения равновесия, получаемые прирав-
ниванием нулю реакций во введенных связях, и уравнения деформаций,
получаемые приравниванием нулю взаимных перемещений по направле-
нию отброшенных связей.
а)	Элементарное состояние р
Рассмотрим сначала основную систему в случае действия на нее задан-
ной внешней нагрузки. Такое состояние мы в дальнейшем будем обозна-
чать символом р, понимая под этим, что на основную систему передается
одна только заданная поверхностная нагрузка.
Обозначим через ерь угол, образованный направлениями двух смежных
сторон поперечного полигона, пересекающихся по А-му ребру. Под поло-
жительным направлени-
ем какой-либо &-й сто-
роны полигона мы бу-
дем считать направле-
ние, идущее от верши-
ны с меньшим номером
k — 1 к другой, сосед-
ней вершине с большим
номером k. Угол ерь,
который равен также
углу между нормалями
соседних пластинок,
будем считать положи-
тельным, если этот угол при взгляде на полигон сечения со стороны
положительной оси Oz образуется путем поворота предыдущей сторо-
ны полигона (ее продолжения) к последующей по движению часовой
стрелки. При таком правиле знаков углы сечениэ (рис. 25) ф2, фА_х, фь
будут положительные, a ф1;	(pn„1 — отрицатяльные. Через фь обо-
значен угол, который образует k-я грань с осью Ох. Знак угла фь опреде-
ляется таким же образом, как и знак угла фь, т. е. уголфь считается по-
ложительным, если при взгляде на полигон поперечного сечения со сто-
роны положительной оси Oz этот угол образуется путем поворота рассма-
триваемой k-ii грани вокруг (k — 1)-й точки к положительному направ-
лению оси Ох по ходу часовой стрелки.
На рис. 25 углы фх, ф2 — положительные, а углы фь, ф*+1, фп„! —
отрицательные.
Внешнюю поверхностную нагрузку, заданную в каждой точке средин-
ной поверхности в общем случае тремя компонентами, можно привести
по правилу рычага к статически эквивалентной ей системе сил, приложен-
ных на ребрах оболочки. Пусть />ь(г) представляет собой вектор интен-
сивности погонной нагрузки, приложенной к произвольной точке &-го
ребра. Этот вектор мы разложим на три взаимно перпендикулярных ком-
понента, а именно: на силы Хь(г), Уь(г), действующие в плоскости попе-
речного сечения оболочки и направленные соответственно по осям Ох
и Оу, и силу Zh(z), действующую из плоскости сечения z = const и направ-
ленную вдоль &-го ребра. Силы Хь(г), Уь(г), Zk(z), рассматриваемые как
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
35
заданные функции от z, будем считать положительными, если они направ-
лены в стороны возрастания соответствующих координат (рис. 26).
Системой сил Xh(z), Y k(z) представлена внешняя нагрузка, приходя-
щаяся на поперечную полоску dz = 1 и действующая в плоскости этой
полоски. Указанные силы путем разложения их в каждом узле полоски
по направлениям соответствующих сторон полигона можно привести
к статически эквивалентным им тангенциальным силам действующих
в плоскостях пластинок. Обозначим внешнюю тангенциальную попереч-
ную нагрузку для какой-нибудь k-й пластинки через qk(z). Считая эту
нагрузку положительной, если она направлена в сторону возрастания
порядкового номера ребра, т. е. от ребра k — 1 к ребру k, имеем
sinibj, ,	-siiiU>b,,	cosU>b ,	cos Ik., ч
q (z) = . xk_t (z)----------r-^i-Xk (z) + . ft~1 Yk-r (z)-----Yk Z).
' к v ' sm <pft 1' ' sm <pft v ’ sm <pA_1	1 ' ' sm
(1.43)
Под действием внешних сил <?ь(г) в поперечных сечениях основной
системы возникнут одни только сдвигающие силы. Для отдельной пластин-
ки эти силы находятся путем интегрирования уравнения
S'k (z) = — qk (z)/dk,	(1.44)
где^'Дг) — производная отодвигающей силы^Дг); dh—ширина пластинки.
Из закона парности касательных напряжений следует, что сдвигаю-
щие- силы 6’fe(z) действуют также и на продольных краях пластинки.
Для разных пластинок эти силы в общем случае будут представлены раз-
ными функциями от координаты z (рис. 27).
Реакцию связи какого-либо &-го ребра основной системы определим
из условия равновесия этого ребра. Выделим бесконечно малый элемент
этого ребра оболочки длиной, равной единице (рис. 28). На этот элемент
передаются сдвигающие силы Sk(z) со стороны k-й пластинки и Sk+i(z)
со стороны (k + 1)-й пластинки. Указанные силы, как и ранее, мы счи-
таем положительными, если они соответствуют сдвигающим силам попе-
речного сечения z = const.
Согласно ранее принятому правилу, положительная сдвигающая сила
Sk(z), передающаяся на выделенный элемент со стороны подходящей
к нему k-й пластинки, будет направлена в сторону, противоположную оси
Oz, а положительная сдвигающая сила Sk+1(z) от (k + 1)-й пластинки
будет направлена в сторону возрастания координаты z.
3*
36 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Помимо сдвигающих сил 8\(г) и 5£+1(2), на выделенный элемент ребра
в общем случае нагрузки действует также и продольная сила Zk(z) (поло-
жительная, каки Sk+1(z), направлена в сторону возрастания координаты z).
Под действием сил Sk(z), Sk+1(z), Zk(z) в продольной связи ^-го ребра
возникает реакция. Обозначая интенсивность этой реакции через rkp
и считая ее положительной, если она действует в сторону, противополож-
ную положительной координате z, получаем (рис. 28)
rkp (z) = 5\,+1 (z) Sk (z) —- Zk (z).	(1.45)
Рис. 28
Для сдвигающих сил имеем уравнения (1.44):
5Hz) = -~-gA(z);	^+1(2)= -~?ft+1(2).	(1.46)
Интегрируя эти уравнения, получаем
Z
-Mz) =	<М°)р
о
2
^а+1 (z) =	^+1	@k+1 (0)]’ I
n	'
(Г-47)
Здесь <?fe(0) и <?a+i(°) — поперечные силы пластинок k и k + 1, при-
ложенные в начальных сечениях этих пластинок z = 0. Эти силы играют
роль постоянных интегрирования уравнений (1.46) и считаются поло-
жительными по тому же правилу, как и сдвигающие силы Sk(z).
Формула (1.45) в силу (1.47) может быть представлена в таком виде:
z	Z
rkv (z) = —	\ qk+1 (z) dz + /- \ qk (z) dz + Zk (z) +
m .)	ft J
(Г48)
Реакции rkp представляют собой внешние продольные силы, которые
вместе с заданной нагрузкой вызывают в поперечных сечениях оболочки
основной системы только сдвигающие силы. Продольные нормальные
напряжения, а следовательно, деформации удлинения оболочек равны
нулю.
Гл. [.Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
37
z = const. Такая полоска в основной
29
Рис.
Определим теперь взаимные углы поворота, возникающие от заданной
поверхностной нагрузки в цилиндрических шарнирах основной системы.
Рассмотрим элементарную поперечную полоску оболочки, имеющую
ширину dz = 1 и отстоящую от начальной плоскости z = 0 на произволь-
ном фиксированном расстоянии	~
системе, как было показано ра-
нее, представляет собой плоскую
шарнирно-стержневую систему
с неподвижными узлами. От-
дельные элементы полоски пред-
ставляют собой изгибаемые
стержни (балки), имеющие по
концам (на ребрах оболочки)в
основной системе неподвижные
шарнирные опоры.
Взаимные угловые переме-
щения в цилиндрических шар-
нирах (при действии на обо-
лочку заданной внешней на-
грузки) возникнут только от
сил, приложенных между реб-
рами оболочки и действующих
по направлению нормали к соот-
ветствующей пластинке. Пусть
/>fe(z, s) — интенсивность по-
верхностной нормальной нагрузки,
(рис. 29, а). При фиксированном значении координаты z, т. е. для рассматри-
ваемой элементарной полоски, pk(z, s) представляет собой вполне опреде-
ленную функцию от координаты s, определяющей положение точки по
ширине соответствующей пластинки.
Зная эту нагрузку и рассматривая отдельные элементы полоски в ос-
новной системе как однопролетные статически определимые балки, можно
элементарными методами сопротивления материалов построить для этих
балок эпюры изгибающих моментов (рис. 29, б). По моментам легко затем
определить взаимные углы поворотов во всех шарнирах основной системы.
Обозначая для какого-либо ребра k взаимный угол поворота от внешней
нагрузки через 0*р и считая этот угол положительным, если он соответ-
ствует уменьшению внутреннего угла полигона при вершине k, можно
относящаяся
к &-й пластинке
написать:
ch(z)fift(z) ,
dhJk +
'Jkp (z) — £
Ck+1 (z) Йй+1О)
dk+i^k+i
(1.49)
Здесь Е — модуль упругости материала оболочки при растяжении;
dk, dh+i — ширины пластинок; J^, Jk+1 — моменты инерции продольных
сечений пластинок, отнесенные к единице длины; Qfc(z), Qft+1(z) — пло-
щади эпюр моментов для двух соседних элементарных балок от приходя-
щихся на эти балки нагрузок ph(z, s), Pk+i(z, s); щ(г), щ+1(г) — расстоя-
ния до центров тяжестей эпюр моментов на двух смежных участках от
точек соответственно k — 1 и k + 1 (рис. 29, б).
Если нормальные нагрузки pft(z, s), p^+1(z, s) в пределах ширины
каждой из пластинок остаются постоянными, то в формуле (1.49) величины
Qfe, Q*+1 как функции от координаты z будут представлены тем же зако-
ном, что и соответствующие им нагрузки рь, pk+i- Величины же с^, с*+1
будут иметь постоянные (не зависящие от г) значения.
Полагая в этом случае
pk(z’s) = pk (z)= pA+i(z,s) = pft+1(z),
38 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
получим
^k(z) = ^Pk(z); ^+1(z) =<jj-pk+1(z); ch = -^-dk; ck+1 = -^-dk+1. (1.50)
Внося (1.50) в (1.49), найдем
1 Г 4	. й.,
9*р (z) = 2АЕ J\ Pk (z) + Pk+i W •
(1-51)
Если нормальная нагрузка в пределах одной пластинки остается
постоянной как по ширине, так и по длине, но для разных пластинок имеет
разную интенсивность, то
«	^3'	\
= (L52)
В случае, если внешние силы приложены только на ребрах оболочки,
пластинки в основной системе не деформируются. Взаимные углы поворота
Рис. 30
в цилиндрических шарнирах ос-
новной системы от узловой нагруз-
ки будут равны нулю.
б)	Элементарное состояние G
Рассмотрим теперь действие на
основную систему искомых попе-
речных изгибающих моментов
Gfe(z). Для оболочки открытого
профиля число таких моментов,
как мы видели выше, равно числу
всех промежуточных ребер без
двух (см. рис. 23).
Передавая моменты Gk(z) (k =
= 2, 3, 4, ..., п — 2) на основную
систему, следует приложить их в
соответствующих цилиндрических
шарнирах этой системы и рассмат-
ривать каждый из них как неко-
торую функцию от координаты z.
Моменты Gfe(z) будем считать по-
ложительными, если они вызывают
такой изгиб балок элементарной
поперечной полоски, при котором
нижние волокна балок удлиня-
ются, а верхние укорачиваются
(рис. 30, а).
Для определения реакций продольных связей основной системы заме-
ним моменты Gk(z) каждой из пластинок оболочки системой статически
эквивалентных им вертикальных сил У k(z). Для вертикальной силы
какого-либо &-го ребра мы получим формулу
db cos Gk 1 № dh cos dk+1 cos	+
+ —(L53>
ak+l cos VA+1
Гл. ГТеория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
39
Первым и третьим членами этой формулы представлены вертикальные
силы в k-м узле от моментов G*_r(z) и G*+1(z). Второй член относится
к силе в том же узле от момента Gfe(z). Каждая из вертикальных сил
определяется, как частное от деления момента на соответствующее плечо,
за которое принимается проекция длины стороны полигона на направле-
ние, перпендикулярное силе Y k(z)-
Давая в формуле (1.53) индексу k разные значения, получим систему
вертикальных сил УДг) (k = 1, 2, 3, ..., п — 1), приложенных на проме-
жуточных ребрах оболочки и статически эквивалентных системе искомых
изгибающих моментов Gk(z) (k = 2, 3, 4, ..., п — 2). Эти силы положи-
тельные, если они направлены по Оу (рис. 30, б).
Полагая в формуле (1.43) горизонтальные силы A’*_1(z), ХДг) равными
нулю и выражая вертикальные силы У*-1(г), УДг) по формуле (1.53)
через соответственные моменты G(z), получим при разных значениях ин-
декса k систему тангенциальных поперечных нагрузок <?ь(г).
Эти нагрузки на элементарной полоске dz = 1 также статически экви-
валентны системе искомых изгибающих моментов СДг) (k = 2, 3, 4, ...,
..., п — 2). Принимая во внимание соотношения между углами (рис. 25)
= ФЛ + ФА_г Ф*+1 = % - ФЛ,	(1-54)
получим после несложных тригонометрических преобразований формулу
для нагрузки <?Дг) k-Ё. пластинки:
G^&	+ ctg ФД +	] G^+
+ [ dk (с^Фа-1	Ф*) + rfA+1sincpfe ] Gk dk+1 sm(fkGk+1
(1.55)
Нагрузка <?ь(г) считается положительной, если она действует по ширине
пластинки от ребра k — 1 к ребру k.
Полагая в формуле (1.48) Zfe(z) = 0, обозначая погонную реакцию
/г-й связи от моментов через rkG(z) и считая эту реакцию положительной,
если она направлена в сторону, противоположную оси Oz, получим:
2	Z
rkG (?) = Sk, k-2 Gk-2 (z) dz + sk, k-1 Gk-! (z) dz +
о	0
+ sk, k \ Gk (z) dz 4- sk, k+1) Gk+1 (z) dz -j-
0	0
z
+ Sk, M \Gk+^z) dz +	Qft+i(0) - -^Qk(O)-	(1-56)
Здесь Sk,k-2, •••, Sk,k+z — постоянные коэффициенты, зависящие только
от геометрических размеров контурной линии оболочки и определяемые
в общем случае по формулам:
40 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
— 1
Sft-
Sk' *'r " d2k (ctg cpft“1 + ctg 4)6 + dk-lsin <P£-1 + dk+l sin <pft) ’
S*’ * = (ctg + ctg Ф J +	+
+ ^(ctg% + ctg<pft+1);
ak+l
(1.57)
sk, k+i d2+i ^cLg + ctg Ф*+1 + dk sin <pft + dk+2 sin <pk+1
_______________________________________________1
Sk’k+2~ dft+1dA+2 sin <pfe+1'
щихся к пяти
Рис. 31
Из формулы (1.56) следует, что реакция rkG(z) какой-либо k-й промежу-
точной связи возникает от моментов Cft_2(z), Gk^(z),	Gk+^z), относя-
"рам оболочки. Изгибающие моменты,
приложенные на остальных ребрах,
на реакцию ^-йсвязи влияния не ока-
зывают.
Имеется также в известном смыс-
ле и обратное положение, а именно:
если на основную систему действуют
моменты Gk(z), приложенные только
по одному k-му ребру (рис. 31, а), то
упругие реакции rik(z) от этих момен-
тов возникнут только в связях пяти
последовательных ребер (рис. 31, б).
Давая в формулах (1.56), (1.57)
индексу k значения последовательных
номеров от& = 0до& = пи прини-
мая во внимание, что для оболочки
открытого профиля в рассматривае-
мом состоянии основной системы мо-
менты G0(z), Gx(z), б^.Дг), Gn (z) рав-
ны нулю, получим реакции f*g(z)
(£ = 0, 1, 2, п) во всех продольных связях элементарной полоски
dz = 1 основной системы.
Определим теперь взаимные углы поворотов в цилиндрических шар-
нирах основной системы от искомых моментов Gk(z).
Если рассматривать отдельный элемент полоски dz = 1 как однопро-
летную балку, то, прикладывая в шарнирах этой полоски моменты Gfe(z),
можно нависать на основании формулы (1.6):
®kG (z) =я -g- [bk, k-iGk-i(z} + bk, kGk (z) + bk, k+iGk+i (z)].	(1.58)
Здесь bk,k-i, bk,k, bh,k+1 — постоянные коэффициенты, зависящие от
погонных моментов инерции продольных сечений пластинок и от ширины
этих пластинок, определяемые формулами:
bk, k-i
bk, k+i
dk+i f
tJk+i'
(1.59)
6Л
Гл. I.Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
41
Если и &k+i — толщины соответствующих пластинок, то
— 12 ’ Jk+1 ~ 12
и формулы (1.59) принимают вид

Углы поворотов 0feG(z), определяемые формулами (1.58) и (1.59), счи-
таются положительными, если они соответствуют положительным момен-
там (см. рис. 30, а).
Из формулы (1.58) следует, что взаимный угол поворота в каком-либо
к-м промежуточном цилиндрическом шарнире при действии на основную
систему искомых моментов Gk(z) (k = 2, 3, 4,...,и — 2) возникает только от
моментов G^^z), Gk(z),Gk+i(z), приложенных в трех последовательных ребрах
k — 1, k, k + 1. Моменты же Gfe_2(z), G*_3(z), ..., Gfe+2(z), Gfe+3(z), относя-
щиеся к остальным ребрам оболочки, на угол 9j-g(z) влияния не оказывают.
Справедливо также и обратное утверждение: моменты Gk(z), прило-
женные к одному только k-му ребру, вызывают взаимные угловые перемеще-
ния только в трех последовательных шарнирах k — 1, k, k + 1 (см.
рис. 31, а).
в)	длементарное состояние а
Теперь рассмотрим напряженное и деформированное состояние ос-
новной системы, определяемое одними только нормальными напряже-
ниями.
Освободим основную
систему от продольных
связей и сообщим ребрам
этой системы деформации
удлинений £fe(z), соответ-
ствующие искомым нап-
ряжениям Ok(z). Состояние
нормальных напряжений
оболочки в поперечном се-
чении z = const на участке
ширины одной пластинки
представляется, согласно
(1.13), линейным законом.
Эпюра этих напряжений
для всего сечения z =
= const определяется нап-
ряжениями бй (z)(k = 0, 1,
2,..., п).
Выделим из оболочки
элементарную поперечную
полоску шириной dz = 1
(рис. 32, а). На эту полос-
ку будут действовать про-
z = const и об + d(pb)dz/dz — со
дольные силы об со стороны сечения
стороны другого сечения z + dz = const (б — толщина оболочки).
Эти силы приводятся к статически эквивалентной им продольной по-
верхностной нагрузке интенсивностью 5(o6)/<9z (рис. 32, б).
42 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Под действием этой нагрузки в продольных связях поперечной по-
лоски возникнут продольные реакции. Обозначая реакцию /г-й связи
в рассматриваемом состоянии через r*0 (z) и принимая во внимание, что
продольная нагрузка d(p6)/dz на отдельных участках полоски меняется
по закону прямой линии, получаем
rke (z) = Tfe, fe-iOfe-i(z) +	(z) + rki *+16fe+l (z).	(1.60)
Здесь ^^(z), nfe(z), c^+1(z) — производные от нормальных напряжений
в точках k — 1, k, k + 1 сечения z = const; rk,k-i, rk,k, rh,k+1 — постоян-
ные коэффициенты, зависящие только от площадей поперечных сечений
пластинок k, k + 1.
Если толщина каждой из этих пластинок по ширине остается постоян-
ной, то
г*, k-i — Pk!^, rk.k ~ (PkPk-n)/^’> fe+i = ^fe+i/6,	(1.61)
где Fk, Fk+i — площади сечений пла-
стинок, примыкающих к /г-му ребру:
Ph — dkbk, Fk+i = c^+jSfe+1.
Давая в формулах (1.60) и (1.61)
индексу k разные значения от k = 0
до k — п, определим реакции rka (z)
во всех продольных связях основной
системы. Э1и реакции по отношению
к данной оболочке образуют систему
внешних продольных сил, соответст-
вующих искомым напряжениям Ofe(z).
Если в основной системе сообщить
деформации удлинения еДг) одному
только /г-му ребру, на остальных же
ребрах эти удлинения считать равны-
ми нулю, то упругие реакции в таком состоянии возникнут в связях только
трех последовательных ребер (рис. 33).
Заметим, что формулы (1.60), (1.61) имеют в некотором смысле одина-
ковое строение с формулами (1.58), (1.59). Реакция rka (z) какой-либо /г-й
промежуточной связи в рассматриваемом состоянии основной системы
определяется напряжениями Ofe.^z), Оь(г), 6fe+1(z), относящимися к трем
последовательным узловым точкам поперечного сечения.
Определим теперь взаимные угловые перемещения 0*„(z), возникаю-
щие в шарнирах основной системы от деформаций удлинения е&(г) =
— ak(z)IE ребер оболочки. Так как деформации удлинений efe_1(z) и e^(z)
крайних волокон /г-й пластинки в сечении z = const в общем случае
различны, то поперечные сечения такой пластинки, оставаясь после де-
формации плоскими, получат не только поступательные перемещения
в направлении образующей оболочки, но также и повернутся на некоторые
углы в плоскости пластинки. Вследствие этих поворотов поперечное сече-
ние пластинки при отсутствии деформации сдвига получит также и посту-
пательное перемещение (прогиб) в плоскости пластинки. Выражая во вто-
рой из формул (1.15) деформации удлинения через напряжения, получаем
для прогиба А-й пластинки в ее плоскости такую формулу:
vh (z) = — [6fe (z)Hz2 —	(°) —	+ Vk (0).
о о
(1-62)
Гл. I.Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
'43
Здесь Е — модуль упругости; dk — ширина пластинки; u*_x(0), иДО) —
продольные перемещения крайних точек k — 1, k начального сечения
пластинки; Гк(0) — прогиб начального сечения пластинки.
Прогиб Vk(z) считается положительным, если поперечное сечение
/г-й пластинки при изгибе пластинки в ее плоскости перемещается по на-
правлению от ребра k — 1 к ребру k (рис. 34).
Формулой (1.62) при разных значениях индекса k определяются, таким
образом, контурные перемещения (прогибы) всех пластинок в основной
системе, получившей заданное напряженное состояние. Так как в основ-
ной системе отдельные пластинки соединены между собой на ребрах
цилиндрическими шарнирами, то при произвольно заданных контурных
перемещениях Vk(z) контур поперечного сечения оболочки деформируется.
Шарнирный полигон оболочки в плоскости сечения z = const займет
новое положение. При малых перемещениях Vk(z) вершина полигона,
имеющая порядковый номер /г, после деформации контура будет нахо-
диться в точке k' пересечения перпендикуляров, восстановленных к сто-
ронам k, k + 1 из точек, определяемых на этих сторонах (или их продол-
жениях) перемещениями г?Дг), vk+1(z) по отношению к начальному поло-
жению точки k (рис. 35).
Предполагая контурные перемещения Vk(z) (k = 1, 2, 3, ..., п) в функ-
ции координаты z заданными, можно по этим перемещениям найти углы
поворота пластинок, а следовательно, и взаимные углы поворота в цилин-
дрических шарнирах основной системы для любого сечения z = const.
Пусть 0£+1(z) обозначает угол поворота (k + 1)-й пластинки в сечении
z = const. Условимся считать этот угол положительным, если поперечное
сечение пластинки при взгляде на него со стороны положительной оси Oz
к началу координат движется по ходу часовой стрелки.
Для определения угла 0 ь+1 (z) воспользуемся принципом возможных
перемещений. С этой целью рассмотрим плоскую стержневую систему,
которая по своей форме и геометрическим размерам совпадает с контур-
ной линией основной системы оболочки. Такая система при шарнирном
соединении отдельных элементов представляет собой геометрически изме-
няемую систему.
Приложим к (k + 1)-му элементу этой плоской системы единичный
момент, действующий в ее плоскости, и уравновешивающие этот момент
вертикальные силы:
у  ______I______.у  _________1____
k dA+1C0S%+1 ’ k+1	dA+1cos^+1 •
Силы приложены в точках k и k + 1 (рис. 36).
Значения сил У ь, У*+1 в соответствии с формулой (1.43) заменим ста-
тически эквивалентными им величинами контурных сил:
Vi Расчет, оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
_	1	.	_	1 /cos cos фА+2
~ dk+i sin Фк ’ <?fe+1 ~ dk+i cos I’fe+i \sin Фк + sin Ф*+1
____________1
?fe+2~ dfe+1sm<pA+1 •
Указанные силы, как и ранее, можно считать положительными, если
они на соответствующей стороне полигона направлены в сторону возра-
стания порядкового номера вершины полигона.
Принимая во внимание соотно-
шения между углами (см. рис. 25):
% =	+%; ^+2 = %+i - (₽/г+1 -
можно написать:
___________1 .
4k~ rfA+1sm<pfe ’
^+1 = ^;(cts^ + cfcg^+i);
(1.63)
___________1
7й+2“ ^+1sin <fe+1 ‘
Формулами (1.63) выражены (через геометрические размеры, харак-
теризующие только форму поперечного сечения оболочки) контурные
силы qu, qk+1, qk+n уравновешивающие приложенный на /г-й стороне шар-
нирного полигона единичный момент.
Так как рассматриваемый шарнирный полигон находится в равнове-
сии, то, согласно принципу возможных перемещений, работа всех сил,
действующих на этот полигон на любых бесконечно малых возможных
перемещениях, равна нулю. Имея в виду определение угла поворота
0*+i(z) (& + 1)-го элемента полигона, примем в качестве возможных пере-
мещений действительные перемещения точек полигона в состоянии основ-
ной системы, определяемом контурными перемещениями Vk(z) (k = 1,2,3,....
..., п).
Условие равновесия полигона в указанном смысле представляется в та-
ком виде:
Чн(г) + <h»k (г) +	+ 4k+^k+^) = 0.
Отсюда, принимая во внимание (1.63), получаем формулу
0fe+1 (z) =	& - d~ (ct^ + cfcg Фк+г) %! (*) +
/г+1 т /г	/г+1
+ d—sin д   Vk+2	’64^
ak+iSln Ф&+1
Взаимный угол поворота в шарнире полигона определяется разностью
углов поворота 0*+1(z), 0fe(z) Двух соседних пластинок:
0feo(z) = 9fe+1(z)-0fe(z).	(1.65)
Заменяем в формуле (1.64) индекс k + 1 на А:
е» <z> = 4	Ш Ч».-! +	<р») « +
+ (Г66)
'k
Гл. I.Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
45
Подставив выражения (1.64) и (1.66) в (1.65), найдем
1	Г 1
& = - dh ЗШф^	К (Ctg + Ctg Фа) +
+ V* (Z) - hb (Ct§ + ct§ <b+1) +
KtJ. » H J	Ц л-т!
1 "I	1
~ d sin® Vk+1 + d sin® Vk+'2
ah sm Wh J	ak+ism Yfe+l
(1.67)
По формуле (1.67) можно при любых функциях Vh(z) определить взаим-
ные угловые перемещения 0 s0(z) во всех цилиндрических шарнирах основ-
ной системы. Эти перемещения следует выразить через искомые основные
функции Ofe(z). Исключая из уравнений (1.67) и (1.62) контурные переме-
щения Vk(z), найдем
Z Z	Z Z
(z) =	fe-2^6fe-2(z)c?z2 4- ^zfe l(z)4z2 +
0 0	оо
z z
+ ak,k\^h(z)dz2 4-
0 0
(Ik, k+1
6fe+1(z) dz2
z z
+ afe,fe+2^6fe+2(z)(/z2] 4- z0feu(O) 4- 0feJ> (0).	(1.68)
о 0
Здесь 0*u (0) и Qkv (0) — взаимные углы поворотов в начальном
сечении z = 0, определяемые по формулам:
0feu (0) — Uk, k-2 Mfe-2 (0) + ak, k-i u-k-i (0) 4-
4* dk.k Uh (0) 4 ak, k+i Uk+i (0) 4- ak, k+2 Uk+2 (0),
9fev (0) = —  vk-i (0)
ah bm
+ [ ^ (Ctg ^-1 + Ctg + dk+1 sin <pft ]	(°) - [
- A (ctg <Pfe + ctg фА+1) 4-	] Vk+1 (0) 4-
_ r?+L	ft ’ ч J
+ d 4Гп® Vk+2 (0)-
4ft+l Tfe+i
(1.69)
Если начальное (опорное) сечение z=0 закреплено от перемещений про-
дольных Ub(0) и контурных vh (0), то постоянные величины 0/;и(О) и 0^(0)
равны нулю.
Коэффициенты ahi (i = k — 2, k — 1, k, k 4- 1, k 4- 2) в формулах
(1.68) и (1.69) представляют собой постоянные величины, зависящие толь-
ко от геометрических размеров контурной линии поперечного сечения
оболочки. При заданных сторонах dh (k = 1, 2, 3, ... , п) и углах
<fh(k = 1, 2, 3, ... , п — 1) полигона эти коэффициенты определяются
формулами, имеющими тот же вид, что и формулы (1.57) для коэффициен-
тов Shi'.
46 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
ak’k 2 '	" sin фА_х ’
1 /	,	dk	d. \
ak,k-i -	, ctg<pA +	+ vfe;iSin <pfe j '
ak-k = ~ H(ctg + ctg +	+
Lfe	“T1 k	(1.70)
+ 4-(ctgq>ft4-ctg 4>ft+1)l;
fe+1	J
1 /	db ,	d. \
a. . . — —z— I ctg <p 4- ctg <p. . + ~7——- + t——•-—— I;
4+1 \ 8	8 dk Sm Ф* 4+2 Sm Vk+1 )
_ 1
ak, /;+2	j /
®*+l®fe+2 Sm Фй+1
Заметим, что в элементарном, состоянии (рис. 33), определяемом на-
пряжениями <Jk(z) одного только k-го ребра, взаимные углы поворота
при неподвижном закреплении опорного сечения оболочки z = О возникают
только в шарнирах пяти последовательных ребер: k — 2, k — 1, k, k + 1,
k 4" 2.
§ 6. Дифференциальные уравнения смешанного метода.
Свойства коэффициентов уравнений и методы их проверки
Разрешив основную систему во всех ее элементарных состояниях,
т. е. выразив упругие реакции r&(z) и угловые деформации 0 &(z) в функции
от заданной внешней нагрузки p(z) и искомых воздействий tffe(z), Gfe(z),
можно путем сложения этих состояний перейти от основной системы
к изучаемой. Так как заданная призматическая оболочка по каждому
из ее ребер свободна от внешних продольных связей и каждая пара пла-
стинок оболочки на ребрах имеет между собой жесткое соединение, то,
преобразовывая основную систему в изучаемую, мы должны потребовать,
чтобы на ребрах оболочки в каждой точке соблюдались как условия
равновесия, так и условия деформаций. Для й-го промежуточного ребра,
имеющего в основной системе продольные связи и шарниры, будем иметь
два уравнения:
rka (z) + ГkG (z) + rkp (z) = 0;|	4
(z) + 0*G (z) +	(z) = 0. J
Первое уравнение статическое. Оно выражает равенство нулю суммы
продольных реакций г^(г) для &-го ребра. Второе уравнение носит чисто
геометрический характер. Оно выражает равенство нулю суммы взаимных
углов поворотов 0 fe(z) для &-го ребра.
На основании формул (1.48), (1.49), (1.56), (1.58), (1.60) и (1.68)
основные уравнения (1.71) принимают следующий вид:
1=М-1	г-—2
2	(z) + 2 ski J Gi (z) dz + rkp (z) = 0;
i—k—l	'	i—k—2	о
i=fe+2 2 2	i=£-H
2 aki § 6i (z) dz2 -ф 2	(z) 4-
i=k—2	i> 0	i=fe—1
4- E [0Ap (z) 4- z9fea (0) + 9^ (0)] = 0.
(1.72)
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
47
Здесь гьр (z), 0 kp (z) — свободные члены, зависящие только от внешней
нагрузки и определяемые в общем случае по формулам (1.48) и (1.49)
или (1.51); 0	(0),	(0) — взаимные углы поворота граней в начальном
сечении z = 0, определяемые по формулам (1.69); Ski, aki, bki — коэф-
фициенты, определяемые по формулам (1.57), (1.59), (1.61), (1.70).
Дифференцируя уравнения (1.72), первое — один раз, второе — два
раза, и принимая во внимание, что коэффициенты r^, sm, ам, bki от z
не зависят, получаем
i=fe+l	i=fe+2	\
S rkis'i (z) + S s»Gi	= 0;
?—A’—I	i=k— 2
1=^+1 (
S (^) 4~ S (^) T = I
l=k—2	i=k—1	/
Свободные члены Bkp и 0/;), имеют следующие значения:
Bhp (z) = ^-q (z)--J- q (z) + Z'k (z); 1
“fe	“fe+i 1	I
i	rf?,,	!
.	0fe₽(2)=2^	^+i(Z) ' J
(1-73)
(1-74)
В общем случае первое из уравнений (1.73) будет содержать три члена
со вторыми производными от искомых напряжений (Г^.^г), Ofe(z), щ,+1(г)
в трех последовательных точках поперечного сечения z = const и пять чле-
нов с искомыми моментами Gk^2(z), Gk-i(z.), Gh(z), Gfe+1(z), Gfe+2(z), относя-
щимися к пяти последовательным ребрам.
Второе уравнение содержит пять членов с напряжениями ofe_2(z),
о^.Дг), <Jfe(z), <7fe+1(z), <7fe+2(z) в пяти последовательных точках сечения
и три члена со вторыми производными от моментов Gk-i(z), Gk(z), Gk+1(z)
в трех последовательных ребрах. Таким образом, как статические, так
и геометрические условия в нашем методе приводят по каждому ребру
оболочки к двум симметрично построенным дифференциальным уравне-
ниям (1.73), имеющим каждое в общем случае относительно искомых
функций восьмичленную структуру. На этом основании уравнения (1.73)
названы восъмичленными дифференциальными уравнениями призматиче-
ской оболочки. Общий вид системы дифференциальных уравнений для
оболочки, состоящей из п пластинок, представлен в форме табл. 1.
В пересечениях некоторых строк и столбцов выписан дифференци-
альный оператор D2, обозначающий вторую производную по координате z
от соответствующей функции, показанной над данным столбцом в верхней
строке.
В соответствии с физическим смыслом уравнения (табл. 1) разделены
на две группы: на уравнения равновесия (их в нашем случае п + 1) и
уравнения деформаций (их п — 3).
Коэффициенты уравнений образуют матрицу. Эта матрица может
быть разделена на четыре квадранта, из которых первый (верхний левый)
и четвертый (нижний правый) в общем случае имеют трехчленную струк-
туру, а второй (верхний правый) и третий (нижний левый) — пятичлен-
ную. Коэффициенты трехчленных квадрантов определяются: rAi — пло-
щадями поперечных сечений пластинок, bki — длинами поперечных
сторон и погонными (приходящимися на единицу длины) моментами инер-
ции этих пластинок. Коэффициенты sfei и aki пятичленных квадрантов
зависят только от формы и геометрических размеров контурной линии
поперечного сечения оболочки.
48 Расчет оболочек смегианнлм вариационным методом без учета деформации сдвига
Трехчленные квадранты матрицы восьмичленных уравнений оболочки
могут быть названы главными квадрантами.
Пятичленные квадранты могут быть названы побочными квадрантами
основной матрицы, так как в системе уравнений этими квадрантами пред-
ставлено взаимное влияние продольного растяжения и поперечного изгиба
оболочки.
Из общих формул (1.57), (1.59), (I. 61), (1.70) следует, что коэффициенты
восьмичленных уравнений оболочки независимо от ее геометрических
размеров обладают свойствами взаимности. При любых индексах i и k
имеются соотношения:
Pik — Pki'i bik — bkit	—	Ski-
(1.75)
Легко показать, что соотношения (1.75) выражают собой теорему
Максвелла — Бетти о взаимности работы внешних сил упругой системы
в двух различных ее состояниях
!lp-i i и
Помимо указанных свойств, ко-
		, j L—- эффициенты каждого из побочных
пятичленных квадрантов сами по
%=1------------------------К = ?-себе являются взаимными:
O-ik = G-kii = Ski- (1.76)
Рис. 37	Рис. 38	Соотношения (1.76) уже не яв-
ляются следствием теоремы Макс-
велла — Бетти о взаимности работ, но обусловлены выбором основной
системы. Эта взаимность носит случайный характер и может в некоторых
случаях нарушаться.
Такого рода взаимность имеет место и в элементарных задачах сопро-
тивления материалов. Чтобы пояснить это, рассмотрим шарнирно опертую
балку в двух состояниях (рис. 37). Первому состоянию мы припишем
индекс г, второму — k. В обоих состояниях нагрузка состоит из сосре-
доточенной единичной силы, так что состояния i и k отличаются лишь
положением этой силы. Нетрудно путем элементарных выкладок убедить-
ся, что изгибающий момент Mhi под силой Рь = 1, вызванный силой
Pi — 1, равен изгибающему моменту Мц>. под силой = 1, вызванный
силой Pk — 1, т. е. имеет место равенство
Л/ы = Mik-
(1-77)
Если же рассмотреть консольную балку в двух аналогичных состояниях
(рис. 38), то сразу станет ясно, что
Mki=bMik.	(i.is)
Аналогичных примеров можно привести много, но из этого простого
примера ясно, что взаимность величин, часто встречающаяся в задачах
строительной механики и не основанная на теореме взаимности работ,
носит случайный характер и для одних систем имеется, а для других
отсутствует.
Для выбранной нами основной системы эта взаимность коэффициентов,
выраженная соотношениями (1.76), имеется. Однако для основной системы
трехпролетного цеха, рассмотренного в § 5 гл. II, эта взаимность частично
нарушена.
В силу соотношений (1.75) и (1.76) матрица дифференциальных урав-
нений (см. табл. 1) имеет три диагонали симметрии. Одна из этих диаго-
налей относится ко всей матрице. Эта диагональ идет из верхнего левого
в нижний правый угол матрицы. Будем называть ее главной диагональю.
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
49
Коэффициенты обоих трехчленных квадрантов, симметрично располо-
женные относительно главной диагонали, между собой равны как по абсо-
лютной величине, так и по знаку. Коэффициенты же пятичленных квадран-
тов, расположенные также симметрично относительно главной диагонали,
равны между собой только по величине; знаки у этих коэффициентов —
обратные..
Две другие диагонали симметрии относятся к побочным пятичленным
квадрантам и определяются коэффициентами этих квадрантов, имеющими
одинаковые индексы. Коэффициенты пятичленных квадрантов, имеющие
разные индексы и расположенные относительно диагоналей этих квадран-
тов симметрично, равны между собой как по величине, так и по знаку.
В силу изложенных здесь свойств взаимности число независимых
коэффициентов основных уравнений оболочки значительно сокращается.
В табл. 2 приводится сводка основных формул для вычисления всех коэф-
фициентов восьмичленных уравнений. Эти формулы расположены в соот-
ветствии с четырьмя квадрантами основной матрицы. Свободные члены
определяются по формулам (1.74), как было указано выше.
В верхнем левом квадранте табл. 2 приведены формулы для коэффициен-
тов rki, характеризующих свойства отдельных элементов оболочки при
растяжении в продольном направлении. Эти формулы отличаются от вы-
веденных ранее формул (1.61), тем, что, помимо площадей F& поперечных
сечений пластинок, в целях обобщения в рассмотрение введены и некоторые
другие площади &F к, относящиеся к крайним и промежуточным узловым
точкам контурного полигона и представляющие собой сосредоточенные
площади поперечных сечений дополнительных продольных элементов,
работающих на растяжение (сжатие) совместно с пластинками оболочки.
В железобетонных оболочках величины AFk могут быть определены
как приведенные к бетону площади армированных в продольном направ-
лении участков поперечного сечения, примыкающих к ребрам оболочки.
В металлических строительных или авиационных оболочках AF ь будут
представлять собой площади сечений стрингеров, идущих вдоль ребер
оболочки.
В нижнем правом квадранте табл. 2 приведены формулы для опреде-
ления коэффициентов Ь^, выражающих собой упругие свойства отдельных
элементов оболочки при изгибе ее в поперечном направлении. Указанные
коэффициенты, как мы отмечали ранее, определяются отношениями
поперечных сторон dh пластинок к погонным моментам инерции Jk про-
дольных сечений этих пластинок. Под моментом инерции подразумевается
момент инерции, отнесенный к единице длины сечения. Если оболочка
состоит из одних только пластинок и не имеет никаких промежуточных
ребер, то, очевидно:
Л = б|/12,
где — толщина данной пластинки.
В случае, если оболочка усилена в поперечном направлении системой
дополнительных поперечных ребер, делающих контур оболочки более
жестким, под величиной Jь следует понимать средний (приходящийся
на единицу длины) момент инерции площади, состоящей из площади про-
дольного сечения пластинки и площадей поперечных сечений ребер.
Формулы, выписанные во втором и третьем квадрантах табл. 2, отно-
сятся к коэффициентам = —ац,. В этих формулах dfe, dh+1 обо-
значают длины трех последовательных сторон полигона; <рь-х, <рь, —
углы между смежными сторонами полигона при трех последовательных
вершинах.
Коэффициенты побочных квадрантов и а^в отличие от коэффициентов
4 в. 3. Власов, т. III
Коэффициенты
третьего квадранта
Я			Я	я
а?	аг		а?	а>
гэ	4-	Я	|	1 ю
				
а?	аг			аг
			а?	
II	II	II	II	II
	<1 аг	<1 аг		<1
а?	Л*	аг	Л*	аг ।
			1 н»	ГФ
	а?"*	а?"		
	Л*	аг	ъ*	
	+	II	1	
	II	ы| 1-*	II	
	о| Н*		ч »*	
			а?* 1	
		+		
	9>	+ 4-	»-	с 1 •J?"' Л*		
		а? ч-		
		+ м		
Коэффициенты
четвертого квадранта
Коэффициенты
первого квадранта
Коэффициенты
второго квадранта
Таблица
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек 51
rki и bin не зависят от толщин пластинок оболочки и определяются
только геометрическими размерами контурной линии.
Дифференциальные уравнения (см. табл. 1), следовательно, пригодны
для расчета призматических и цилиндрических оболочек произвольного
поперечного сечения как гладких, так и подкрепленных продольными и
поперечными ребрами.
Рассмотрим частные случаи.
Рис. 39
В конструкции, отдельные грани которой выполнены в виде сквозных
ферм (рис. 39) или из волнистой стали при поперечном расположении волн
в гранях (рис. 40), основными рабочими элементами в продольном направ-
лении являются стрингеры. Пластинки же на растяжение или сжатие
Рис. 40
в продольном направлении не работают. В соответствии с этим в коэффи-
циентах первого квадранта следует считать &F к отличными от нуля,
а площади сечений пластинок Fh равными нулю. Первый квадрант (см.
табл. 1) станет одночленным, а статические уравнения — шестичленны-
ми; геометрические же уравнения остаются восьмичленными.
Очевидно, что уравнения (табл. 1) позволяют рассчитывать оболочки,
часть граней которых представляет собой сплошные пластинки, а другая
часть граней — сквозные фермы (рис. 41). При этом в коэффициентах
первого квадранта для сплошных пластинок Fh следует считать отличными
от нуля, а для ферм — равными нулю.
Если оболочка имеет цилиндрические шарниры вдоль всех ребер
(рис. 42), в уравнениях (табл. 1) следует считать моменты Gk равными
нулю, в соответствии с чем надо отбросить все уравнения деформаций.
4*
52 Расчет, оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Таким образом, из нашей теории как частный случай вытекает безмомент-
ная теория призматических оболочек. Ясно, что уравнения, приведенные
в табл. 1, позволяют рассчитывать оболочки, часть пластинок которых
вдоль ребер соединяется жестко, а другая часть — с помощью цилиндри-
ческих шарниров (см. рис. 69). В этом случае вдоль цилиндрических шар-
ниров моменты Gk будут равны нулю, в связи с чем из табл. 1 вычеркиваются
столбцы и строки, соответствующие этим моментам.
Рассмотрим теперь другой, в некотором смысле противоположный
рассмотренному выше, частный случай, имеющий отношение к теории
тонкостенных стержней. При увеличении толщины оболочки коэффициен-
ты bki четвертого квадранта и свободные члены @*p(z) весьма быстро убы-
вают, а именно уменьшаются обратно пропорционально кубу толщины.
Поэтому для тонкостенных металлических, достаточно длинных, про-
филей, а также и для тонких призматических и цилиндрических оболочек,
усиленных в поперечном направлении дополнительными изгибаемыми
элементами (поперечными ребрами, расположенными по длине оболочки
достаточно часто), коэффициенты bki и свободные члены ®ftp (z) в уравне-
ниях деформаций могут быть приняты равными нулю. Тогда условия сов-
местности угловых перемещений, относящиеся к отдельным ребрам
оболочки, для оболочки со свободными продольными краями представля-
ются однородными пятичленными уравнениями, имеющими следующий
вид:
«го3о (z) + Я21З1 (2)	(z) -|- а2з3з (z) + «24^4 (z) = 0;
«31З1 (z) -|- а32з2 (z) -}- а33з3 (z) -|- а3434 (z)	а35а5 (z) = 0;
::::::::::::::::::::::::::::::	и-79)
«п-2,	(z) -f- «п-2, п-з^п-з (z) + «п-2, п-23п-2 (z) +
"4” «п—2, п—1^п—1 (Z) “}- «п—2, nzn (Z) === 6.
Имеется п — 3 совместных уравнения относительно п + 1 искомых
функций Qfe(z) (k = 0, 1, 2, ..., п). Коэффициенты уравнения (1.79) при
заданном очертании оболочки определяются по общим формулам (1.70).
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
53
Полагаем в уравнениях (1.79)
3ft (2)
ЗД Wb4_
Л(г)
F
Му&
Jv
xh 4~
<0ft,
(1.80)
где N(z), M'x(z), My(z), B(z) — соответственно продольная нормальная
сила, изгибающие моменты и бимомент в сечении z = const; хь, уь, <(>k —
декартовы координаты и секториальная площадь для точки k контурной
ломаной линии; F, Jx, Jv Ju> — соответственно площадь всего сечения,
главные экваториальные и секториальный моменты инерции:
F = J dF- Jy=\x2 dF- Jx = J y2dF; Jw = J oFdF.
Тогда каждое из уравнений (1.79) независимо от их числа и при любых
коэффициентах akt, определяемых формулами (1.70), т. е. для призматиче-
ской оболочки, имеющей в поперечном сечении совершенно произвольное
очертание и состоящей из произвольного числа пластинок, удовлетворяется
тождественно. Формула (1.80) представляет, таким образом, общее реше-
ние системы пятичленных уравнений, состоящее из какого угодно числа
уравнений. Этой формулой выражен открытый нами в 1935 г. закон сек-
ториальных площадей для продольных нормальных напряжений, а сле-
довательно, и деформаций удлинений оболочки, обладающей жестким
контуром.
Этот закон, положенный в основу разработанной нами общей теории
прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных призматических и
цилиндрических стержней и оболочек с жестким открытым профилем,
представляет собой, как видно из формулы (1.80), естественное обобщение
гипотезы плоских сечений, лежащих в основе элементарной теории изгиба
балок, с одной стороны, и частный случай излагаемой теории — с другой.
При расчете цилиндрической оболочки в ее контур следует вписать
ломаную и рассчитывать как призматическую. Так как при предельном
переходе от призматической оболочки к цилиндрической число граней
непрерывно увеличивается, а их ширина уменьшается, то пропорциональ-
но кубу ширины уменьшаются свободные члены уравнений деформа-
ций. Очевидно, для гладкой цилиндрической оболочки свободные члены
<Э*р равны нулю. Предположением в уравнениях деформаций свободных
членов равными нулю частично компенсируется неизбежная ошибка,
связанная с заменой цилиндрической оболочки призматической. Таким
образом, уравнения, приведенные в табл. 1, позволяют рассчитывать
также цилиндрические оболочки.
Цилиндрическую оболочку кругового очертания часто удобнее рас-
считывать, не прибегая к замене ее призматической. Однако в случае
цилиндрической оболочки некругового очертания расчет следует произ-
водить на основе нашей теории путем замены ее призматической оболочкой.
Коэффициенты побочных квадрантов дифференциальных уравнений
оболочки, помимо свойств взаимности, обладают еще рядом других свойств,
связанных с законом секториальных площадей. Это может быть исполь-
зовано для проверки правильности вычисления коэффициентов побочных
квадрантов для оболочки со свободными продольными краями, а также
для коэффициентов оболочек с несвободными продольными краями, от-
носящихся к ребрам, достаточно удаленным от продольных краев.
Докажем следующую теорему.
Для всякой призматической оболочки со свободными продольными
краями сумма произведений из коэффициентов какой-либо строки нижнего
левого или какого-либо столбца верхнего правого пятичленного квадранта
на векториальные площади соответствующих точек поперечного сечения
54 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
оболочки при любом выборе полюса и начала отсчета этих площадей равна
нулю.
Предположим, что на основную систему действуют изгибающие момен-
ты Gi(z), приложенные по одному только i-му ребру, В остальных ребрах
моменты Gfc(z), (k =f= i), будем считать равными нулю (см. рис. 31). Извест-
но, что в таком состоянии в продольных связях основной системы возник-
нут реакции rki(z), пропорциональные jGi(z)dz, и эти реакции будут от-
личны от нуля только в связях пяти последовательных ребер.
Эти реакции определяются из формул (1.56):
г (z) ~ si-2, i J Ci (z) dz\
ri-i. i (z) = Si_lt i Gi (z) dz;
rit i (z) = Si, i Gi (z) dz;
i (z) = si+l, i (z) dz;
^i+2, i (z>) = ^i+2, i Cj (z) dz. ,
(1-81)
Выделим из оболочки какую-либо элементарную поперечную полоску
шириной dz = 1. На эту полоску будут действовать внешние силы, со-
стоящие из момента G,(z), приложенного в i-м шарнире, из сдвигающих
сил Sft(z), Sft(z) + S'fc(z) (k = i — 2, i — 1, ..., i + 2), передающихся на
полоску от оболочки в сечениях соответственно z = const и z + dz =
= const, и, наконец, из продольных сил rki(k = i — 2, i — 1, ..., i + 2),
представляющих собой реакции продольных связей. Так как элементар-
ная полоска как плоская шарнирно-стержневая изменяемая система под
действием перечисленных выше сил находится в равновесии, то, согласно
принципу возможных перемещений, работа всех этих сил на возможных
для данной полоски в пространстве перемещениях должна быть равна
нулю. В частном случае сумма работ этих сил на перемещениях, опреде-
ляемых из закона секториальных площадей, будет также равна нулю.
Пусть со k представляет собой секториальную площадь для k-ro узла
поперечного сечения с полюсом в произвольно выбранной точке А и с нача-
лом отсчета в точке Мо на контуре. Из теории тонкостенных стержней из-
вестно, что для стержня открытого профиля секториальной площадью
<b(s) характеризуется такая дедланация сечения, при которой контур
оболочки остается неизменным. На основании этого примем, что секториаль-
ными площадями ah(k = 0, 1, 2, ..., п) для выделенной из основной си-
стемы элементарной полоски dz = 1 определяются продольные переме-
щения всех крайних и промежуточных узловых точек этой полоски.
При таких перемещениях очертание полоски в ее плоскости остается
.неизменным. Следовательно, действующие в плоскости полоски момент
(?i(z) и приращения на протяжении dz = 1 сдвигающих сил Si-2(z), Sj_1(z),
Si(z), Si+1(z), S'i+2(z) на перемещениях, определяемых законом секториаль-
ных площадей, работы не совершают. На этих перемещениях будут совер-
шать работу только продольные силы гщ (k = i — 2, i — 1, ..., i + 2).
Уравнение начала возможных перемещений примет вид
fe=i-|-2
S rki(i>k = о.	(1.82)
k~i—2
Внося сюда выражения (1.81), получим
/?г=г+2
S (SfejCOfe) \ Gi(z)dz = 0.
k~i—2	v
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек 55
Так как G^z) функция совершенно произвольная и интеграл от этой
функции берется в произвольном интервале от 0 до z, то мы будем иметь
k=i+2
2 S/eiCOft = 0.	(1.83)
k=i—2
Равенством (1.83) доказывается, таким образом, теорема для коэффи-
циентов Ski статических уравнений.
Уравнение работ (1.82) представляет собой равенство нулю суммы
внешних по отношению к полоске бимоментов от продольных сил 7>,(г),
действующих на выделенную из основной системы элементарную полоску
единичной ширины. Эти бимоменты для каждого из слагаемых левой части
равенства (1.82) определяются как произведение из продольной силы
rAi(z), приложенной по ребру k, на секториальную площадь для точки,
в которую в поперечном сечении проектируется k-e ребро. Равенство
(1.82), а следовательно, и (1.83), справедливы при любом выборе полюса
и начала отсчета секториальной площади, ибо система сил rki{k = i — 2,
i — 1, ..., i + 2) является уравновешенной, в смысле Лагранжа, на лю-
бых возможных для данной полоски секториальных перемещениях.
В работе 1 «Тонкостенные упругие стержни» показано, что с перено-
сом полюса из одной точки В плоскости в другую точку А векториальная
площадь для произвольной точки М контурной линии, определяемой
координатой s, преобразуется по формуле
“a G0 = “в 00 + (Уа - У в) х 00 — (ХА — хв> У 00 + с- (L84)
Здесь <£>a(s), <£>b(s) — векториальные площади какой-либо точки кон-
тура М с полюсами соответственно в точках А и В; x(s), y(s) — декартовы
координаты точки М в какой-либо произвольно выбранной системе коор-
динат; С — константа, связанная с выбором на контуре точки Мо начала
отсчета секториальных площадей; хА, %в, Уа, Ув — координаты полюсов
А и В.
Внося (1.84) в (1.83) и принимая во внимание, что равенство (1.83)
справедливо при любых значениях величин хА, уА, хв, ув, будем иметь
fe=i+2	fe=i+2	fe=i+2	fe=i+2
S $ki = O',	2	~ 0, ^kiVk ~ 0,	2 Shi^k 0.	(1.85)
k=i—2	k=i—2	k—i—2	k=i—2
Получены четыре независимых равенства, которые, по существу,
представляют собой следствия доказанной выше теоремы. Согласно ра-
венствам (1.85), коэффициенты Shi как величины, пропорциональные
упругим реакциям от момента Gj(z), обладают такими свойствами:
а)	сумма коэффициентов Shi какого-либо столбца побочного пятичлен-
ного квадранта матрицы статических уравнений равна нулю;
б)	сумма из произведений этих коэффициентов sm на расстоянии от
соответствующих точек контура до какой-либо прямой Оу (или Ох) в плос-
кости контура равна нулю;
в)	сумма из произведений этих коэффициентов sM на секториальные
площади a>k {k = i — 2, i — 1, ..., i + 2) при произвольном выборе полюса
и начала отсчета этих площадей также равна нулю.
Свойство п. «а» выражает собой равенство нулю суммы продольных
реакций для полоски dz = 1 в элементарном состоянии основной системы
Gfe(z) = 0 при k =/= i и Gk(z) =£= 0 при k = i.
1 В. 3. Власов. Тонкостенные упругие стержни. Стройиздат, 1940, стр. 28
(Избр. труды, т. 2, 1963, стр 40).j
56 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Свойство п. «б» выражает собой равенство нулю суммы моментов этих
реакций относительно произвольной оси, лежащей в плоскости контур-
ной линии.
Свойство п. «в» относится к бимоменту и представляет собой, по суще-
ству, основную теорему о том, что секториальный бимомент от всех про-
дольных сил действующих в состоянии Gj(z) на элементарную по-
лоску, равен нулю. Мы называем этот бимомент секториальным в том
смысле, что за обобщенные перемещения в уравнении (1.82) выбраны
продольные перемещения, определяемые в сечении z = const секториаль-
ной депланацией.
Если мы под величинами соь в равенстве (1.82) будем понимать переме-
щения точек k полоски из ее плоскости, определяемые каким-либо другим,
не секториальным законом, при котором наряду с депланацией сечения
возникает также и деформация контура, то равенство (1.82) в этом случае
теряет свою силу. В уравнение работ, помимо членов с продольными си-
лами, войдут также члены с моментами, действующими в плоскости попе-
речного сечения.
Принимая во внимание третье из соотношений (1.75), равенство (1.85)
представляем в более общем виде:
4=^+2	A=i+a	i=fe+2	/1=4+2
S ^ik = S 6, S ^ih^i “	Ski%k ~ 0;
i=k—2	fe=i—2	i=fe—2	k=i—2
(1.86)
i=fe+2	fe=i+2	i=fe+2	fe=i+2	'
S = 2j $МУк = 6, Jj —	2	= 0>
i=k—2	k—i—2	i=k—2	k=i—2
Таким образом, каковы бы ни были геометрические размеры призмати-
ческой оболочки в ее поперечном сечении, коэффициенты побочных квад-
рантов матрицы восьмичленных уравнений, определяемые в общем случае
по соответствующим формулам табл. 2, помимо свойств взаимности (1.75),
(1.76), обладают также свойствами, выраженными формулами (1.86).
Напомним, что приведенная выше теорема, представленная в общем виде
равенствами (1.86), остается справедливой для оболочки открытого про-
филя при условии, если продольные края этой оболочки свободны от всех
видов закреплений. Если продольные края оболочки закреплены так, что
продольные перемещения на этих краях равны нулю, или крайние пла-
стинки заделаны от поворота в плоскости поперечного сечения оболочки,
то равенства (1.86) будут справедливы для коэффициентов, относящихся
только к внутренним участкам контура.
§ 7. Составление дифференциальных уравнений
для оболочек со свободными продольными краями.
Использование симметрии
1. Рассмотрим оболочку, состоящую из пяти пластинок и имеющую
в поперечном сечении несимметричный открытый контур (рис. 43, а).
Состояние нормальных напряжений в каком-либо поперечном сечении
z — const при учете деформации изгиба контура сечения определяется
шестью независимыми величинами: напряжениями o0(z), ai(z), •••> аб(г)
в шести основных точках поперечного сечения. Состояние поперечного
изгиба, обусловленного изменением формы контура, определяется двумя
независимыми величинами, а именно: изгибающими моментами G2(z)
и G3(z) в продольных сечениях, проходящих через ребра 2 и 3. При таком
выборе искомых неизвестных основная система будет представлять собой
складчатую оболочку, имеющую продольные связи на всех промежуточных
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек 57
ребрах и продольных краях и цилиндрические шарниры только на двух
промежуточных ребрах 2 и 3 (рис. 43, б).
Раскрывая статические и геометрические условия, получим систему
восьми дифференциальных уравнений, состоящую по своему физическому
смыслу из шести уравне-
ний равновесия и двух
уравнений деформаций.
Эта система представле-
на в [форме табл. 3, в
которой имеются форму-
лы только для основных
коэффициентов диффе-
ренциальной матрицы—
для диагональных и по-
бочных, расположенных
выше и правее главной
диагонали.
Контурные силы qt,
q.2, ..., q6, входящие в
свободные члены стати-
ческих уравнений, от-
носятся к внешней по-
перечной нагрузке и
определяются из усло-
вия статической экви-
валентности системы
этих сил заданной на-
грузке, приходящейся
на элементарную попе-
речную полоску оболоч-
ки. Такая полоска в
основной системе как
плоская стержневая со-
члененная система, сос-
тоящая из трех шарнир-
Для определения
но связанных дисков, в
своей плоскости обладает пятью степенями свободы.
пяти статических величин qu q2, q6 через внешние силы р0, рг, ..., р^.
(рис. 43, б) будем иметь пять независимых условий статической эквива-
лентности. Раскрывая эти условия, получим
Qi = — Ро —г-—	sin ip! sin — рх sjn
* r sm<pi\rf2	71 sin epi
q2 = ро sin ф4 |	~ (ctg	ctg ф2) 4- -J—1 4- pt sm «2 x °	°T / 1 smcp1J , J sincpi	Sin — »2 • ; г sinq>2	
?з = — Ро	di	sin	।	sin ф2 	 sin ф4 d2	sin <p2	'	sin cp2	sin cp3	'	rf4	sinip5 sincp3 ’	(1.87)
sin qi = — Pt — *	r Sin ф4	p5 sin ф J	(Ctg ф4 4- ctg ф3) 4- -j— L u4	Sin ф4	I, „ sin^ . J ' P3 sin cp2 ’	
?5 =	вШф4 (d4 81Пф54-81Пф4)4-р4 sinJ;		
Здесь ф],ф2,	• ••, Ф5 — углы наклона стороны полигона к линии действия		
58 Рчсечт. оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
j	didz .	.
-^—ds = - ^-р0 sin ф1;
параллельных сил; фх, ф2, ф3, ф4 — углы смежности при вершинах поли-
гона.
Свободные члены геометрических уравнений вычисляются как вторые
производные от углов взаимного поворота в шарнирах 2 и 3, возникающих
от сил p0(z) и p5(z).
Для этих углов, принимая во внимание, что в основной системе сосед-
ние пластинки на ребрах 1 и 4 имеют жесткие соединения между собой,
а на ребрах 2 и 3 — шарнирные, по-
лучим такие формулы (рис. 44):
02р =
(1.88)
03Z,-\^-^ = -gpssin^.
Уравнения, приведенные в табл. 3,
носят достаточно общий характер и
позволяют произвести расчет обо-
лочки рассматриваемого типа для
самых разнообразных форм попереч-
ного сечения при действии на оболоч-
ку любой произвольно заданной в
функции от z внешней нагрузки (со-
стоящей как из поперечных, так
и продольных сил, приложенных
на ребрах и продольных краях обо-
лочки).
Если поперечное сечение оболочки имеет одну ось симметрии (рис.
45, а), то приведенная в табл. 3 система восьми дифференциальных
уравнений преобразовывается в две независимые системы уравнений,
каждая из которых состоит из четырех уравнений. Одна из этих систем
(табл. 4) относится к случаю загружения оболочки симметричной нагруз-
кой (рис. 45, б), другая (табл. 5) относится к случаю загружения оболочки
обратно симметричной нагрузкой (рис. 45, в).
Величины qu q2, q3, входящие в свободные члены уравнений оболочки
симметричного профиля при внешних силах, показанных на рис. 45, б
и в, вычисляются по формулам:
для симметричного состояния
sinip3 [ (1.89)
P2 sin ф2 ’
- sin^ + sinM“A‘
q2 = р0 sin фх [A (ctg Ф1 + ctg ф2) + ^-] + Р1 -|g
?з = 0;
для обратно симметричного состояния
1	/ di .	.	. \
71 = — Ро —-- -ч- Sin it>! -4- sin ф2) — Pl
1 sm фх \d2 r 1	71
- A»ln [-J- (Ctg Ф1 + Ctg <f,) + ^X-] + Л -gX -	; | (1.90)
Таблица 4
\б G № ребер ''	бо (z)	61 (z)	62 (z)	G2 (z)	Сво- бодные члены
0	[уЛ+ Д^о)	pl!)2	0	1 di d2 sin <pi	ДОР
1	•	[y (Л + F2) +дл] D2	4 f*d*	-^-(ctg4)i + ctg4)2+ dlSin<pi)	Fip
2	•	•	rl	1 у(2/’2 + ЗЛ’3)+Д/’^ D2	1 — (ctg <pi + ctg <p2)	F2P
2	•	•	•	(|4 + |-7> Таблиц	®2P a 5
	So (z)	61 (z)	62 (z)	G2 (z)	Сво- бодные члены
0	(у Fx + bF0 ) D2		0	1 di d2 sin <pi	Лор
1	•	[1(F1 + F2) + Д7?1] №	1 f*d*	[d^	^2 sin q>i । d2 d3 sin <p2 ]	F1P
2	•	•	[|(2/’2+F3)+ ДТ2] Z)2	1	2	4 (ctg <pi + ctg <p2) + (ctg <p2 + ctg <p3) + d2 d~ sin фз	Л2р
2	•	•	•	№ 6 \ J2 J3/	®2P
60 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Полагая в уравнениях, приведенных в табл. 4 и 5, (pj = —90 ,
ф2 — 90°, получим уравнения для частного случая оболочки симметричного
профиля, состоящей из трех горизонтальных и двух вертикальных пла-
стинок (рис. 46, а).
При Ф1 = ф2 = 90 и dx = l/2d3 будем иметь основные уравнения для
оболочки или тонкостенного стержня, обладающего деформируемым
Рис. 47
контуром и имеющего в попе-
речном сечении в плоскости сим-
метрии продольный разрез
(рис. 46, б).
2. Если призматическая обо-
лочка несимметричного откры-
v того профиля состоит из шести
пластинок и продольные кра;
ее не имеют никаких закрепле-
ний (рис. 47), то, принимая для
такой оболочки в качестве иско-
мых функций нормальные напряжения cr0(z), cr1(z), ...,cre(z) в семи основных
точках 0, 1, 2, ..., 6 поперечного сечения и изгибающие моменты G2,
G3, G4 в трех промежуточных ребрах 2, 3, 4, будем иметь для этих функ-
ций систему десяти дифференциальных уравнений, представленную в
табл. 6 при произвольно заданных геометрических и физических харак-
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
61
теристиках оболочки. Она состоит из семи статических уравнений, выра-
жающих для одномерного элемента средней поверхности оболочки — по-
перечной полоски dz = 1 — семь независимых условий равновесия, и
трех геометрических уравнений, выражающих для того же элемента
три независимых условия деформаций.
Для контурных поперечных погонных сил qt, q2, qe, входящих
в свободные члены статических уравнений, при произвольно заданных
внешних погонных поперечных силах />0, рг, ..., ре, приложенных на про-
межуточных ребрах и на продольных краях оболочки, имеем формулы
(рис. 47):
1	/ с?1 . , , • . \ sin\b2
71 — — Ро —----H-smih + simbj — Р, -г—1- ;
1 8Ш ф1 \ С?а Y	Т Г 31Пф1 ’
= р0 sin I (ctg Ф1 4- ctg ф2) + -Д-1 +
L ^2	j
, _ simpi _ simp3 .
Р1 зшф1 Р2 зтф2 ’
di simbi , simfe simbi
o3 = — До -7-   + P2 ------------Рз ——;
7	' d2 зтфа r ЗШф2	ЗШфз
___ simps   simps । de simps
— Рз sin<p3	Pi 8Шф4 Pb db sin<pt ’
simpa simps
7s = Pi --------Pi -r—------
™	'	31Пф4	' ° Sin ф5
—pe sin ф5 [Д- (ctg <p4+ctg <p5)+	;
9e = Ps S-n + Рй -Д—	sin ф6 + sin ф6).
70	' ° 81П ф5 1 1	31Пф5 \ C?5 Y 1 T/
(1-91)
Пользуясь формулами (1.91), можно найти свободные члены стати-
ческих уравнений от любой поперечной нагрузки, представленной семью
независимыми параметрами р0, рп ..., ре и имеющей произвольно заданный
закон распределения этой нагрузки как по длине оболочки, так и на кон-
турном полигоне. В частности, если внешние силы состоят из одной только
погонной поперечной нагрузки р3 = p3(z), приложенной по промежуточ-
ному ребру 3, то
п	sin ip4	sin грз
71 = 72 = 75 = 76 = 0,^=-^^-; qi = p3-^t
Для свободных членов статических уравнений в этом случае получаем
в соответствии с формулой (1.74) такие значения:
р _ R _ р — Р _ п. р Рз simp4 .
Лор — Л1Р — л5р — Л6р — и, Л2р —	,
«3 ЬШфз
=	R4p = _^4£2h.	(1.92)
р	г ЗШфз \ йз 1	р di ЗШфз	'	'
. Р : 5щсм случае нагрузки /i3(z), рассматриваемой как заданный в функ-
ции от координаты z вектор, имеющий по длине ребра переменный модуль
и переменное направление, углы ф3 и ф4, как и интенсивность силы р3,
будут представлять собой также заданные функции z. Если интенсивность
вектора ps на каком-либо участке ребра сохраняет постоянное значение
и направление этого вектора на этом участке остается также постоянным,
то величины Т?2р, Нзр, Rip, определяемые формулами (1.92), для данного
участка оболочки будут иметь постоянные (не зависящие от координаты z)
значения.
62 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Свободные члены геометрических уравнений вычисляются как вторые
производные от взаимных углов поворота 0 2Р, 0ЗР, 04й, возникающих в шар-
нирах 2, 3, 4 элементарной полоски основной системы от приходящейся
на эту полоску внешней поперечной нагрузки. Эти угловые перемещения
определяются обычными методами теории балок и плоских рам для стерж-
невой системы с неподвижными промежуточными узлами.
При узловой нагрузке, приложенной на промежуточных ребрах,,
свободные члены геометрических уравнений будут, очевидно, равны
нулю;
при нагрузке, приложенной на свободных продольных краях,
угловые деформации будут вычис-
ляться по способу Мора, и формулы
в этом случае будут иметь вид, ана-
логичный формулам (1.88).
Если поперечное сечение шести-
гранной оболочки имеет одну £ ось.
симметрии (рис. 48, а), то, разлагая
общее напряженное состояние обо-
лочки от произвольно заданной не-
симметричной нагрузки на состояния
симметричное (рис. 48, б) и обратно
симметричное (рис. 48, в), будем иметь
две независимые системы дифферен-
циальных уравнений. Одна из этих
систем (табл. 7) относится к симмет-
ричному состоянию. Она состоит из
шести дифференциальных уравнений,,
определяющих вместе с заданными на
поперечных краях оболочки гранич-
ными условиями нормальные напря-
жения ст0, ох, ст2, о3 и моменты G2 и
G3 — для одной половины сечения
от симметричной нагрузки (рис. 48, б). Другая система (табл. 8)
состоит из четырех дифференциальных уравнений, определяющих вместе
с заданными на краях z = 0 и z = I граничными условиями напряже-
н и0, Ох , ст2 и моменты G2 для одной половины сечения оболочки от на-
грузки обратно симметричной (рис. 48, в).
Для величин qr, q2, q3, входящих в свободные члены статических
нений, имеем формулы:
для симметричного состояния
оболочки
Урав-
71 = — Ро —4—	sin фх + sin ф2') — Pi 8?П^2 ;
7	8Шф1 \Й2	1	8Шф1 ’
?2 = Рь sin фх (ctg фх + ctg <р2) -|-----4—1 +	— р2 8Ш^3
T L	ь	О тл/ I snjjpjJ I -ЗШф! '	81Пф2
„	_ di зтфх 'зтф2 „ sin (фз + фз) + sin фз .
У3 Р° d.2 sin ф2 '	31Пф2 Р3	sin фз	’
для обратно симметричного состояния для qr и q2 действительны те же
формулы, а
„ _ rfi sin фх . sin ф2 sin (фз + фз) — sin фз
7з “ ~ Ро^1^ + Р2 ~ Рз -------------
sin фз
X 6, G Л? ребер х.	(2)	61 (z)	б2 (г) .	S3 (z)
0	(уЛ + + ДЛ> )		0	0
1	•	[у (Л + F2) + + Дл] D*		О
2	•	•	(/Га+-^’з)+ Ч-Д/’а] D2	4-^d2
3	•	•	•	(_rFs + +4_д/’3) °2
2	•	•	•	•
3	•	•	•	
Таблица 7
G2 (z)	G3 (z)	Сво- бодные члены
1 di d2 sin <pi	0	^op
1 ! - ЗГ I ctg <Pi + Ctg Ф2 + a2 ,	d2	d2 \ <Zi sin qjj d3 sin ф2 )	1 d-i d3 sin ф2	^1P
1	2 №ф1+^ф2)+^з8;пф2 + +	(^g Ф2 + Ctg фз + siu(p3)	— "ЗЗ" (ctg фа + ctg фз + “з da	1 \ c d2 sin ф2 + sin фз /	^2p
— ~ (ctg ф2 + Ctg фз + 4-	i da 'l “t" </2ЗШф2 + Й48Шфз /	(^Ф2+^ФЗ+ sinq)3)	^3p
i / di d3\ Мл+т?)02	1 ds -ГН02	0
•	1 d3 VTTD2	0
\ б, G № реберх	Go (z)	Gi (z)	62 (Z)
0	(4-^1 + Л^о) 02	4-/402	0
1	•	[4" (Л Н-^ + Дл] 02	1 ^О2О2
2	•	•	[4~(О2 + Оз) + Д02] D2
2	•		•
Таблица 8
G2 (z)	Свободные члены
1 didz sin <pi	^OP
^2	Ф1 + ctS Ф2 + di sin <pi ds sin фг )	К1Р
1	2 (Ct^1+Ct^)+rf2rf3SinT2 + 1 / 1 \ + „ ctg ф2 4 ctg фз + - 1	^2 \ b	l	о V» । sm ф3 j	^2P
1/^2	<Z3 \ -U + 7l)D2	0
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
65
§ 8. Составление дифференциальных уравнений
оболочек при иных видах граничных условий
на продольных краях. Метод фиктивных граней
Дифференциальные уравнения, приведенные в табл. 1,— обыкно-
венные и относятся к призматической оболочке с незакрепленными (сво-
бодными) продольными краями.
Граничные условия, заданные на криволинейных краях, удовлетво-
ряются после интегрирования уравнений путем надлежащего выбора
произвольных постоянных интегрирования. Иначе обстоит дело с гра-
ничными условиями по продольным краям.
Эти условия должны быть удовлетворены при составлении дифферен-
циальных уравнений. От вида граничных условий на прямолинейных
краях зависит и количество неизвестных функций, и величины коэффи-
циентов и свободных членов уравнений, относящихся к крайним ребрам.
Ближайшей нашей задачей и будет показать, как из дифференциальных
уравнений для общего случая призматической оболочки со свободными
продольными краями получить систему дифференциальных уравнений
для нужного нам вида граничных условий по продольным краям. Попутно
будет обращено внимание и на физический смысл коэффициентов урав-
нений.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели оболочки открытого профиля
со свободными продольными краями. Для таких оболочек граничные усло-
вия, относящиеся к продольным краям, носят чисто статический характер.
Эти условия состоят в том, что по каждому из продольных краев в функции
от координаты z задаются все четыре независимые статические величины,
относящиеся к продольным сечениям принятой нами расчетной модели,
а именно: сдвигающая сила, направленная вдоль края, два компонента
поперечной силы, действующей в плоскости, перпендикулярной к краю,
и, наконец, изгибающий момент, действующий в той же плоскости, что
и поперечные силы. Эти статические условия, заданные на свободном
(незакрепленном) крае, в каждом частном случае удовлетворяются путем
надлежащего составления коэффициентов и свободных членов дифферен-
циальных уравнений, относящихся к крайним участкам контурной линии.
Если граничные условия на продольных краях будут чисто геометри-
ческие или смешанного типа, другими словами, если эти условия будут
заданы только в перемещениях или частью в силах, а частью в пере-
мещениях, то уравнения, приведенные в предыдущем параграфе, приме-
нительно к таким оболочкам становятся уже непригодными. Однако
из этих уравнений (исходя из физического смысла величин, входящих
в коэффициенты уравнений), как мы сейчас покажем на примерах, могут
быть получены уравнения и оболочек, для которых граничные условия
на продольных краях будут геометрического или смешанного типа.
а)	Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора со степенями свободы
в продольном и в заданном поперечном направлениях
1.	Рассмотрим пятигранную оболочку несимметричного открытого
профиля (рис. 49). Предположим, что начальный продольный край такой
оболочки, обозначенный номером 0, остается совершенно свободным,
и поэтому краю граничные условия в отношении всех четырех независимых
величин будут чисто статические. По второму же продольному краю,
обозначенному номером <5, оболочка закреплена в каждой точке от одних
только поперечных перемещений в заданном в плоскости поперечного
сечения направлении. Такой вид закрепления продольного края оболочки
схематично показан на рис. 49. Стерженьками обозначены связи, соответ-
5 В. 3. Власов, т. III
66 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
ствующие рассматриваемому случаю граничных условий. Такое закрепле-
ние продольного края имеется, например, в случае тонкостенного покры-
тия типа призматической или цилиндрической оболочки, свободно поло-
женного одним своим краем на жесткую в своей плоскости продольную
вертикальную стену. В этом случае продольный край оболочки в какой-
либо точке, будучи закреплен от вертикальных смещений, имеет идеаль-
ную подвижность в отношении двух остальных компонентов линейного
смещения в горизонтальной плоскости (продольного и перпендикулярного
к плоскости стены — поперечного) и одного углового, состоящего в изме-
нении угла полигона контура при вершине 5 и соответствующего попереч-
ному изгибающему моменту (?Б.
Для получения дифференциальных уравнений будем рассматривать
данную оболочку как шестигранную, состоящую из пяти пластинок самой
оболочки и одной опорной фиктивной, искусственно нами введенной пла-
стинки, присоединенной при помощи цилиндрических шарниров как
к оболочке (по ребру 5), так и к жесткому основанию (по опорной линии 6).
Крайняя опорная фиктивная пластинка, имеющая порядковый номер 6,
состоит по своей геометрической структуре из одних только поперечных
нерастяжимых связей, и не может получать прогибы в своей плоскости
(этому препятствует жесткое основание), а также оказывает сопротивление
продольному растяжению (сжатию) и сдвигу в поперечных сечениях
(сечениях, параллельных стерженькам, показанным на рис. 49). Искомые
уравнения мы можем легко получить из уравнений, приведенных в табл. 6,
относящейся к шестигранной оболочке со свободными продольными
краями.
Полагая для опорной пластинки d6 = ос, мы тем самым закрепляем
край оболочки от поперечных перемещений в плоскости пластинки de. Это
следует из второй формулы (1.15), которая для пластинки с номером 6
может быть представлена в таком виде:
О) = ~4'[e6(z) —Mz)b
Здесь z?6(z) — прогиб пластинки в своей плоскости; ?<(z) — вторая
производная от этого прогиба; d6 — ширина пластинки; e6(z), 86(z) — отно-
сительные удлинения крайних волокон пластинки соответственно по
линиям 5 и 6. В нашем случае e6(z) = 0, поскольку нижнее волокно
пластинки соединено с жесткой (нерастяжимой) опорной линией. Удли-
нение же e6(z) может быть отличным от нуля, поскольку край оболочки
в продольном направлении имеет идеальную подвижность. Так как про-
гиб опорной пластинки z?6(z) = 0, то при e6(z).=/=0 мы должны положить
d6 — оо.
Гл, I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
67
Считая площадь поперечного сечения пластинки F6 = 0, мы тем самым
обеспечиваем идеальную подвижность продольного края оболочки в про-
дольном направлении. Это следует из формулы (1.18), которая при k = 6
и использовании формулы (1.22) может быть представлена в таком виде:
(z) = - ф- [е'5 (z) + 2е' (z)J.
Так как при продольной подвижности края сдвигающая сила Se от-
сутствует, а е' в общем случае отлична от нуля, то площадь поперечного
сечения пластинки должна быть равна нулю.
Рис. 50
Подвижность опертого края оболочки в направлениях, соответствую-
щих изгибающему моменту и поперечной силе, относящихся к площадкам
продольного сечения пластинки, проходящего через линию контакта
оболочки с опорной пластинкой, обеспечивается цилиндрическими шар-
нирами на линиях 5 и 6, что эквивалентно статическим условиям:
G& (z) = Се (z) = 0.
Таким образом, полагая в уравнениях (см. табл. 6), Fe = 0; de = оо,
отбрасывая седьмое статическое уравнение, стоящее в указанной таблице
под номером 6, мы получим систему дифференциальных уравнений для
оболочки с одним свободным продольным краем и другим продольным
краем, закрепленным в каждой точке только от перемещений в плоскости
поперечного сечения в заданном направлении. Эта система для пяти-
гранной оболочки будет состоять, очевидно, из шести статических урав-
нений, соответствующих искомым напряжениям o0(z), o1(z), ..., o5(z)
в шести точках поперечного сечения, и трех геометрических, соответствую-
щих моментам G2(z), G3(z), G4(z).
2.	Предположим теперь, что оба продольных края призматической
оболочки закреплены жестко от поперечных перемещений в заданном
в плоскости поперечного сечения направлении (рис. 50). Пусть оболочка
состоит из четырех пластинок и на продольных краях 1 и 5 свободно
положена на стены, как это схематически показано на рис. 50. Тогда
дифференциальные уравнения получаются как частный случай из данных
уравнений (см. табл. 6). Для этого следует отбросить два статических
уравнения, стоящих под номерами 0 иб, положить во всех остальных урав-
нениях о0 = о8 = 0 и в соответствующих формулах для коэффициентов
и свободных членов принять Fr = Fe = 0; dx = de = оо. В этом примере
имеется система восьми дифференциальных уравнений, из которых пять —
статические, а три — геометрические.
5*
68 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
б)	Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора со степенью свободы
в одном только поперечном направлении
1.	Теперь рассмотрим оболочку в предположении, что один продоль-
ный Kpaii ее не имеет никаких связей, т. е. этот край по-прежнему в каж-
дой своей точке обладает свободной подвижностью в отношении всех че-
тырех независимых перемещений, а другой край присоединен к жесткому
основанию при помощи подвижного цилиндрического шарнира. Этот вид
граничных условий мы разберем также на примере пятигранной оболочки,
представленной на рис. 51.
Рис. 51
Крайняя фиктивная пластинка, обозначенная номером 6, в рассма-
триваемом случае тонкостенной конструкции является опорной. В отличие
от предыдущего примера, считаем, что оболочка по продольному краю 5
соединена с опорной пластинкой (например, с вертикальной продольной
стеной) так, что этот край в каждой своей точке закреплен от перемеще-
ний, как поперечных (в направлении крайней, искусственно нами введен-
ной грани контурного полигона, т. е. вдоль линии 5—6), так и от про-
дольных (вдоль ребра 5). При этих условиях введенная опорная пластинка
по своей геометрической структуре может быть рассматриваема как плос-
кая ферма, состоящая из нерастяжимых стоек и раскосов и имеющая
во всех узлах нижнего пояса шаровые неподвижные опоры.
Рассматривая оболочку вместе с опорной стеной как шестигранную,
тонкостенную призматическую систему, считаем пятое и шестое ребро ее,
в смысле продольных удлинений, абсолютно жесткими, т. е. е5 = е6 = 0.
Это эквивалентно тому, что площади поперечных сечений стрингеров
AF 5 = AF6 = оо.
Дифференциальные уравнения для рассматриваемой оболочки получим
из уравнений, приведенных в табл. 6, полагая в них ст5 = о6 = Ои отбра-
сывая два статических уравнения, относящихся к ребрам 5 и 6. Таким
образом, здесь имеется система восьми дифференциальных уравнений
относительно функций o0(z), оДг), o2(z), o3(z), o4(z), tr2(z), G3(z), (?4(z).
2.	При необходимости составления дифференциальных уравнений для
оболочки с подвижными цилиндрическими шарнирами по обоим продоль-
ным краям с числом граней оболочки, равным п — 2, следует исходить
из системы дифференциальных уравнений для оболочки со свободными
продольными краями, но с числом граней на два бблыпим, т. е. с п гра-
нями. В этих уравнениях нужно положить о0 = о1 = пп_х = <зп = О
и отбросить по два статических уравнения, относящихся к продольным
краям фиктивных граней (0, 1, и — 1, п), что эквивалентно AF0 — AFX =
= AFn-i = AFn = оо.
Таким же путем в частном случае можно получить основные диффе-
ренциальные уравнения для круговой оболочки с продольными краями,
закрепленными от перемещений в плоскостях опорных стен, при любом
числе п граней призматической поверхности, вписанной в эту оболочку.
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
69
в)	Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора
1.	Пусть оболочка по продольному краю в каждой точке закреплена
от всех трех компонентов линейного смещения (одного продольного
и двух поперечных) и имеет по этому краю (при наличии цилиндрического
шарнира) только одну угловую подвижность. При этих условиях имеются
как бы две опорные фиктивные пластинки: одна — вертикальная, экви-
валентная по своей структуре ферме, состоящей из жестких стоек и рас-
косов, и другая — горизонтальная, состоящая только из одних стоек
(рис. 52).
Рис. 52
Остановимся по-прежнему на пятигранной оболочке (рис. 52). Нулевой
продольный край свободен от закрепления, а продольный край 5 присое-
диняется к основанию посредством неподвижного цилиндрического шар-
нира.
Так как при этих условиях все три компонента смещения точки опор-
ного шарнира 5 равны нулю, то отсюда следует, что прогибы пятой пластин-
ки в ее плоскости z?5(z) также будут равны нулю. Поскольку на опорной
линии 5 эта пластинка закреплена также и от продольных перемещений,
то e5(z) = 0, и из уравнения (1.15), относящегося к пятой пластинке
(после двукратного дифференцирования по z), следует e4(z) = 0. Рассма-
тривая в данном случае опорную продольную стену 5—6 как крайнюю
(фиктивную) пластинку оболочки и составляя для такой оболочки диффе-
ренциальные уравнения в предположении, что нижний край этой оболоч-
ки свободен от закреплений, в полученных уравнениях нормальные на-
пряжения в трех последовательных узловых точках 6, 5 и 4 поперечного
сечения, приравниваем нулю и отбрасываем соответствующие этим напря-
жениям статические уравнения. Таким образом, в уравнениях (см. табл. 6)
следует отбросить статические уравнения, стоящие под номерами 6, 5, 4,
а в остальных уравнениях считать о6 = о5 = ст4 = 0. Этот же результат
можно получить, полагая в названных выше уравнениях AF6 = AF5 =
= AF4 = оо, т. е. считая три последовательных ребра оболочки в отно-
шении продольных деформаций абсолютно жесткими, что эквивалентно
закреплению края 5 поперечной элементарной полоски от всех трех ли-
нейных смещений.
Система дифференциальных уравнений в данном случае будет состоять
из четырех статических и трех геометрических уравнений.
Таким путем в частном случае могут быть получены уравнения для
цилиндрической оболочки кругового очертания с одним свободным и
другим шарнирно присоединенным к жесткому основанию продольным
краем при любом числе граней призматической поверхности, вписанной
в эту оболочку.
70 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Подобным же образом могут быть получены основные дифференциаль-
ные уравнения для оболочки, имеющей на обоих продольных краях ци-
линдрические неподвижные шарниры.
г)	Жесткое закрепление оболочки от всех линейных перемещений
и углового вращения (полная заделка)
1.	Пусть один продольный край оболочки жестко закреплен от всех
четырех независимых перемещений, т. е. от трех линейных и одного угло-
вого, а другой продольный край не имеет никаких связей. Легко показать,
что в этом случае при числе пластинок оболочки, равном п, система основ-
ных дифференциальных уравнений состоит из 2(п — 1) уравнений, при-
чем число статических и геометрических уравнений — одно и то же и
равно п — 1. Если п = 5, т. е. оболочка состоит из пяти пластинок,
то имеется система из восьми уравнений, определяющая при заданных
граничных условиях на поперечных краях z = 0 и z = I нормальные
напряжения в точках поперечного сечения 0, 1, 2, 3 и изгибающие момен-
ты в продольных сечениях на линиях 2, 3, 4, 5. Такая система приведена
в табл. 9.
2.	Предположим теперь, что оба продольных края оболочки в каждой
точке жестко закреплены от всех четырех независимых перемещений.
В этом случае поперечная элементарная полоска ее будет представлять
собой раму, концы которой жестко заделаны от всех линейных и угловых
перемещений в пространстве. При числе пластинок оболочки, равном п,
система дифференциальных уравнений будет состоять из л — 3 статических
и п + 1 геометрических уравнений. Для оболочки, состоящей из пяти
пластинок, такая система уравнений представлена в форме табл. 10.
Эта система в некотором смысле может быть противопоставлена системе
уравнений, приведенных в табл. 3 и относящихся также к пятигранной
оболочке, которая, в отличие от рассматриваемой здесь, не имеет на про-
дольных краях никаких закреплений. В том и другом случае имеется
система, состоящая из восьми уравнений. Однако эта система для обо-
лочки со свободными продольными краями состоит из шести статических
и двух геометрических уравнений и содержит в качестве искомых функций
нормальные напряжения cr0, бь ..., аБ во всех шести точках поперечного
сечения и изгибающие моменты G2, G3 только для двух промежуточных
точек. Для оболочки же с жестко заделанными продольными краями число
статических уравнений, приведенных в табл. 10, равно 2, а геометриче-
ских — 6, и в соответствии с этим, искомыми функциями для такой обо-
лочки являются нормальные напряжения а2, а3 в двух промежуточных
точках и изгибающие моменты Go, Gx, ..., G5 во всех шести точках.
Такое соотношение между числом статических и геометрических урав-
нений не является случайным. Оно представляет собой следствие ста-
тико-геометрической аналогии, существующей в нашей теории между
статическими условиями и геометрическими соотношениями для тонко-
стенной упругой пространственной системы.
3.	Если оболочка в поперечном сечении имеет форму замкнутого много-
угольника, состоящего из п сторон, то система восьмичленных уравнений
(1.73) будет состоять из 2п уравнений, из которых п уравнений статические
и п — геометрические.
Если оболочка по какому-либо /-му ребру имеет цилиндрический
шарнир, то в основных уравнениях следует положить G3- = 0 и отбросить
соответствующее /-е уравнение второй группы.
Таким образом, исходя из физического смысла коэффициентов восьми-
членных уравнений оболочки, можно в каждом частном случае составить
дифференциальные уравнения для оболочки с любыми граничными усло-
виями на продольных краях.
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
71
§ 9. Расчет однопролетных оболочек с шарнирно-закрепленными
поперечными краями.
Интегрирование уравнений с помощью тригонометрических рядов
В предыдущих параграфах рассмотрен вопрос о составлении системы
дифференциальных уравнений для призматических оболочек произволь-
ного профиля поперечного сечения при различных граничных условиях
по продольным краям, находящихся под действием произвольных нагру-
зок.
Особенностью предложенного выше метода расчета призматических
(равно как и заменяемых ими цилиндрических) оболочек является то об-
стоятельство, что граничные условия по продольным краям оболочки
удовлетворяются в процессе составления системы дифференциальных
уравнений. Они получают свое отражение в наличии или отсутствии тех
или иных коэффициентов (и часто самих искомых функций) дифферен-
циальных уравнений, а также и в величине их. При этом условия по про-
дольным краям отражаются, главным образом, на коэффициентах при не-
известных, относящихся или к самому продольному краю,'или к ребрам,
очень близким к нему, и почти не оказывают влияния на коэффициенты
при неизвестных, относящихся к ребрам, достаточно удаленным от прямо-
линейных краев.
Что же касается граничных условий по поперечным краям оболочки,
зависящих от положения сечения оболочки вдоль образующей (коорди-
ната z), то они могут быть удовлетворены после интегрирования системы
дифференциальных уравнений, так как и неизвестные и заданные нагрузки
являются функциями координаты z.
Таким образом, следующим шагом после составления системы диффе-
ренциальных уравнений является интегрирование полученной системы.
Как известно, это наиболее трудная часть задачи расчета оболочек.
Рассмотрение практических методов интегрирования системы диффе-
ренциальных уравнений начнем с наиболее простых и эффективных,
основанных на применении к решению функций, удовлетворяющих заранее
граничным условиям, относящимся к поперечным криволинейным краям
оболочки.
Наиболее простой случай этого класса, допускающий применение три-
гонометрических рядов к интегрированию системы дифференциальных
уравнений, представляют однопролетные оболочки произвольного очер-
тания, находящиеся под действием произвольно заданной внешней на-
грузки и имеющие на поперечных краях жесткие в своей плоскости
и гибкие из своей плоскости диафрагмы (условия шарнирного опирания
оболочки по криволинейным краям).
Рассмотрим однопролетную оболочку, имеющую на криволинейных
краях z = 0 и z = / (/ — длина оболочки в направлении образующей)
шарнирное опирание на жесткие в своей плоскости поперечные диафраг-
мы. Граничные условия для такой оболочки принимают вид:
при z = О ОДО) = Gfc(O) = 0;)
при z = I Ofc(Z) = G\(Z) == 0. J
Равенство нулю нормальных напряжений о^(г) при z = 0 и z = I
вытекает из условия свободной подвижности краев оболочки в продоль-
ном направлении. Равенство нулю изгибающих моментов Gfc(z) при z = 0
и z = I следует из условия отсутствия (при наличии жестких опорных
диафрагм) деформаций контура оболочки в опорных сечениях.
Решение системы дифференциальных уравнений (1.73) при граничных
условиях (1.93) будем искать в форме следующих тригонометрических
72 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
(1.95)
рядов:
со	оо
Ъ (z) = 3 sin ; Gh (z) = 3 Ghm sin .	(1.94)
m==l	m=i
Здесь ajcm, G/cm — неизвестные пока коэффициенты.
Легко видеть, что выражения (1.94) для каждой из искомых функций
Ok (z), Gk (z) (k = 1, 2, 3, ..., n) при любых значениях коэффициентов
Ofem, Gkm (пг = 1, 2, 3, ..., оз) удовлетворяют условиям (1.93). Подстав-
ляем (1.94) в уравнения (1.73) и умножаем каждое из этих уравнений на
sin mitz/l при каком-либо фиксированном значении величины т из нату-
рального ряда чисел 1, 2, 3, ..., сю. Интегрируя затем каждое из уравне-
ний по z в пределах от z = 0 до z — I и принимая во внимание условия
ортогональности тригонометрических функций sin(mjtz/Z) (т = 1, 2, 3,
..., сю) в рассматриваемом интервале О «С z Z, по умножении всех ста-
тических уравнений на —1, получаем для коэффициентов Okm, Gkm т-то
члена разложения (1.94) систему линейных восьмичленных алгебраиче-
ских уравнений:
i=A+l	i—-7г-|-2
3 ^ki^im 2 Ski Grim ' ~ Rkm — 0>
i=k—1	i=k—2
i=fe+2	i=fc+l
2 &ki	2 ^kiGim ~b ®km —	0*
i=k—2	i=Jt—1
Здесь — величина, имеющая размерность (длина)'1 и зависящая
от номера m-го члена разложений (1.94):
.	(1.96)
Буквами Rkm, ©&m обозначены свободные члены, представляющие собой
коэффициенты разложений заданных функций Rk(z), 0fe(z) уравнений
(1.73) в ряды Фурье:
00	оо
Rk(z)= 3 -RftmSin-^H; ©fe(z)= 2 &kmSin~. (1.97)
m=l	m=l
Для этих коэффициентов имеются формулы:
i	i
-Rfem =-у-(z) sindz; @кт = Qk (z) sin dz. (1.98)
о	о
Если нагрузка не зависит от координаты z, как, например, в случае
нагрузки от собственного веса оболочки, то свободные члены 7?ь(г), ©Дг),
согласно общим формулам, представляют собой постоянные величины,
принимающие для разных уравнений (1.73) в общем случае разные значе-
ния. Формулы (1.98) при .Rfc(z) = const, ©Дг) = const дают 1
Rkm = (2т - 1) л Rk’ ®km (2m—1) л 0/е‘	(L99)
1 Выполняя интегрирование, например, в первой формуле (1.98), при R = const
получаем
i
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболоче
73
Ряды (1.97) принимают теперь вид
т, . .	4 ~г> №1	•	(2т	1) Лг
з 2^=Тsm -----------
m=i
I
I
\	4	* 1	•	(2т— 1) Лг
0ь (г) =  -0ь >, =-----т- Sin 3---'--
к v ’	л K ZJ 2т — 1
т=1
(1.100)
Ряды (1.94) для искомых функций в соответствии с равенствами
(1.100) принимают вид:
Oft(z)= 2 gfemsin(2w~^; 6?ft(z)= 2 ^msin(2W vlj?I-. (1.101)
m=l	m=l
Коэффициенты Okm, Gkm этих рядов для каждого члена разложения
(при любом фиксированном значении величины т) находятся путем ре-
шения системы совместных линейных алгебраических уравнений (1.95);
свободные члены этих уравнений определяются для данного номера члена
разложения т по формулам (1.99). Величина Хт определяется теперь
по формуле
Хт = (2т — 1) л/Z,
в которой под т нужно понимать номер соответствующего члена разло-
жений (1.101).
Система линейных алгебраических уравнений (1.95), обладающих
в силу равенств (1.75) при любом симметричной матрицей, имеет оди-
наковое строение с каноническими уравнениями теории статически неопре-
делимых стержневых систем. Наиболее эффективным методом решения
уравнений с симметричной матрицей является алгоритм Гаусса.
Приведенные здесь тригонометрические ряды обладают хорошей схо-
димостью. Исследования показывают, что в случае нагрузки, распреде-
ленной по длине оболочки равномерно, в тригонометрических рядах
(1.100) и (1.101) для целей практики можно удержать по одному первому
члену, положив:
sk (z) = Sk sin лг /1; Gk (z) = Gk sin лг /1.
Подстановка пределов в выражение Rkm дает:
при т четном (т = 2,4,6...):
Г тлг 11
Lcos-Oo =0;
при т нечетном (т = 1, 3, 5 . . .):
Г /плг т
cos——	= —2.
L <Jo
Таким образом:
при т нечетном
при т четном
Rfcm =' О-
Запись, принятая в формуле (1.99):
д ___________________________________4 д
кт (2т — 1) Л
дает сразу формулу для нечетных значений, так как (2т — 1) при т = 1,2, 3 . . . —
всегда нечетное число.
74 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Величины <5ki в этом случае представляют собой максимальные (по абсо-
лютной величине) напряжения и моменты, относящиеся к среднему по-
перечному сечению z = Z/2. Уравнения (1.95) для этих величин при т = 1
принимают вид:
i=fc+l	,
4- 3	3	=
i=k-2	(1.102)
i=fe-]-2	I
V a^i-4 3 Wh + A©a = 0.
.	I?	л	I
i=k—2	i=ft—1	>
Система алгебраических уравнений (1.102) формально получается из
дифференциальных уравнений (1.73) путем замены дифференциального
символа D2 через —rt2/Z2 и умножения свободных членов этих уравнений
на 4/л = 1,273.
Зная напряжения cTft(z) и моменты Gfc(z), можно затем легко определить
и остальные статические и геометрические величины оболочки в ее дефор-
мированном состоянии. Так, например, из выражения (1.18) для сдвигаю-
щей силы Sk(z) в каком-либо k-м ребре будем иметь
Sk (z) = Sk cos nz 11.
Коэффициент Sh, представляющий собой максимальное (по абсолют-
ной величине) значение сдвигающей силы в крайних точках пролета,
определяется по рекурентной формуле:
= + ЗА),
в которой Sk-i — максимальная сдвигающая сила в предыдущей точке
k — 1; Fk — площадь поперечного сечения /г-й пластинки, a (Jk-i, вь —
максимальные нормальные напряжения в крайних точках k — 1, k сред-
него поперечного сечения /г-й пластинки.
Точно так же из закона Гука
dukl dz = sk (z)/E
для продольного перемещения какой-либо точки й-го ребра получаем
формулу
uk (z) = uk cos ~ ,	(1.103)
где коэффициент Uk вычисляется по формуле
hk
Uk~~ — Не '
Если внешняя нагрузка в направлении образующей оболочки меняется
по закону какой-либо прерывной функции, как, например, в случае
действия сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке
срединной поверхности, то в разложениях (1.94) и (1.97) следует сохранить
уже несколько членов. Число этих членов зависит от характера изменения
внешней нагрузки в функции от координаты z.
Рассмотрим более подробно случай действия на оболочку сосредото-
ченной силы, приложенной в точке z = с какого-либо fc-го ребра и лежа-
щей в плоскости поперечного сечения. При такой нагрузке свободные
члены уравнений деформаций будут равны нулю; свободные же члены
уравнений равновесия имеются лишь в уравнениях с номерами k — 1,
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
75
Л, k + 1, причем они отличны от нуля только в точке z — с. Пользуясь
формулами (1.74) и (1.43), совмещая ось Ох (см. рис. 25 и 26) с направле-
нием силы Р, нетрудно получить для свободных членов статических
уравнений такие формулы:
р	Р s'n%
Xlb-1 —----j-:---- ,
dk sm Фа
p /SinlpA+1 Sin^-
XI b   —— -Д----- ------z--- —4— —:----
sm	k d	1 dk+1
„ P sin Фа
21^+1 — ~j-------:--- •
Sln Фа
(1.104)
В этих формулах Р — величина сосредоточенной силы; ф& ифь+л — углы,
которые составляет сила Р со сторонами полигона поперечного сечения,
соответственно /г-й и (k + 1)-й. Представляя теперь в соответствии с из-
лагаемым здесь приближенным методом свободные члены (1.104) статиче-
ских уравнений тригонометрическими рядами и имея в виду, что эти
члены как сосредоточенные факторы отличны от нуля только в точке
z = с, нужно в первой из формул (1.98) интеграл понимать в смысле Стиль-
тьеса J. Этот определенный интеграл вычисляется как произведение из
сосредоточенной продольной реакции на значение соответствующей апро-
ксимирующей функции в этой точке. Формула тригонометрического ряда
для свободного члена какого-либо из трех названных выше уравнений
принимает следующий вид:
9 Т) ОО
тэ / \	i	• 7713ТС . mftz	,-г
7?i(z) = — 2j sin ~Т~ sm~7~ •	(1.105)
m=l
Здесь коэффициенты Ri (i = k — 1, k, k + 1) следует вычислять по
формулам (1.104).
1 Здесь, как и в других наших работах, под интегралом Стильтьеса подразу-
мевается величина
S
J = qds,
So
вычисляемая в предположении, что подынтегральная функция q = q (s) в отдельных
точках рассматриваемого интервала s-rSo может принимать бесконечно большие
-значения. При этом предполагается, что в каждой такой точке si произведение из
функции и Д, при As-» 0 равно конечной величине Pit представляющей собой
сосредоточенный фактор, относящийся к точке
Примером интеграла Стильтьеса, определенного в указанном выше смысле,
может служить перерезывающая сила Q, вычисленная для какого-либо сечения
s = const балки при действии на нее нагрузки q (s), состоящей из распределенных
ио некоторому закону сил р = р (s) и сосредоточенных сил Р-, приложенных в от-
дельных точках	балки	st:
s	S
Q (s) = $ 9 («) ds = p (s) ds + 2
0	0	i
Другим	примером	интеграла Стильтьеса может являться момент инерции много-
полочного профиля (в частном случае — двутавра), вычисленный относительно оси,
параллельной полкам и проходящей через центр тяжести сечения. Действительно,
в этом случае
Jx_x = ^y2 * * sdF =^&dy+^ ^F.,
где 6 — толщина стенки, a Fi— площадь полки, расположенной на расстоянии
yi от оси х — х.
76 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Изложенный здесь метод тригонометрических рядов на основании
принципа независимости действия сил легко обобщается на любую внеш-
нюю нагрузку, состоящую как из сосредоточенных сил, так и равномер-
но распределенных нагрузок. Следует отметить, что в случае действия
на оболочку сосредоточенных сил, помимо отмеченного здесь приближен-
ного метода, можно применить и точный метод. Результаты расчета по
точному методу изложены в § 1 гл. II, табл. 35.
§ 10. Общий метод расчета оболочек.
Применение балочных фундаментальных функций
к интегрированию восьмичленных уравнений смешанного метода
В § 9 показано, что применение тригонометрических рядов к инте-
грированию дифференциальных уравнений смешанного метода значи-
тельно упрощает задачу. Однако метод тригонометрических рядов пригоден
только в случае, когда оболочка на криволинейных краях имеет шарнир-
ное опирание. При других граничных условиях этот метод становится
неприемлемым.
Обобщая изложенный в § 9 практический метод расчета оболочек,
будем теперь исходить из функций более общего вида, а именно из фунда-
ментальных функций поперечных колебаний балок.
Пусть Z(z) — некоторая функция, зависящая только от координаты z
и определяющая в каком-либо частном решении с точностью до некоторого
множителя закон распределения поперечных изгибающих моментов в на-
правлении образующей оболочки. Перемещения г?(г), согласно формулам
(1.64), (1.65), находятся в линейной алгебраической зависимости от углов
кручения 0 (z) пластинок, а эти углы как величины, характеризующие
деформацию контура поперечного сечения оболочки, в свою очередь на-
ходятся в линейной, также алгебраической зависимости от поперечных
изгибающих моментов. Отсюда следует, что функцией Z(z) определяется
также закон изменения прогибов v(z) пластинок оболочки в направлении
ее образующей. Из соотношений (1.14), (1.16) и (1.17) видно, что в рассма-
триваемом случае напряженного состояния упругой оболочки продоль-
ные перемещения u(z) в направлении образующей будут изменяться по
закону первой производной, продольные нормальные напряжения — по
закону второй производной, наконец, их сдвигающие усилия — по закону
третьей производной от функции Z(z). Таким образом, имеются следующие
равенства:
Gk (z) = GkZ (z);	(z) = wj;Z (z); I	_
Mz)6ftZ"(z); Sk(z) = SkZ'" (z).J
Здесь Gft, Uk, (Jk и Sk — некоторые коэффициенты, относящиеся к А-му
ребру; Z(z) — функция, зависящая только от координаты z; Z'(z), Z"(z),
Z'"(z) — производные от этой функции.
Формулам (1.106) в элементарной теории изгиба балок соответствуют
четыре основных дифференциальных соотношения для прогиба, угла по-
ворота касательной к изогнутой оси, изгибающего момента и поперечной
силы. Эта аналогия представляет собой следствие принятой расчетной
модели оболочки как пространственной дискретно континуальной системы
(рис. 4), состоящей из ряда ортотропных упругих растяжимых и изгибае-
мых узких пластинок. Пользуясь этой аналогией и имея в виду, что вось-
мичленные дифференциальные уравнения (1.73) по своему построению
идентичны с уравнениями изгиба балки на упругом основании, можно при
интегрировании этих уравнений для заданных граничных условий на
краях оболочки z = 0, z = I исходить из элементарных трансцендентных
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
Т1
функций, встречающихся в теории свободных колебаний однородной
весомой балки длиной I. В соответствии с этим при определении функции
Z(z) следует исходить из дифференциального уравнения:
7^ = p4Z/Z4.]	(1.107)
Здесь I — длина оболочки в направлении образующей, ар — неко-
торый параметр, связанный в задаче о колебаниях балки с частотой соб-
ственных колебаний.
Общий интеграл однородного дифференциального уравнения (1.107)
представим в таком виде:
Z (z) = Сх sin pz /1 + С2 cos pz / Z + С3 sh pz / Z + С4 ch pz / Z. (1.108)
Здесь Cx, C2, C3, C4 — произвольные постоянные. Внося (1.108) в (1.106),
получим:
Gk(z) = G* (сх sin у-+ С2 cos-у-+ С3 sh-у-+ С4 ch-у-];
Wft(z) = в и (C1cos-^-C2sin-^- + C3ch-!^ + C4sh
\	1 .	1	1 л а-109)
б* (z) =	Сх sin — С2 cos + С3 sh + С4 ch ;
^(2) = ^-к(- Сх cos-у-+ С2 sin-у-+ <73 ch-у-+ С4 sh -^) .
Для определения постоянных интегрирования Сх, С2, С3, С4 и пара-
метра р мы должны использовать граничные условия, которые заданы
на криволинейных краях оболочки (на краях z = 0 и z = Z). Таких усло-
вий в принятой нами расчетной модели при отсутствии в поперечных се-
чениях оболочки продольных изгибающих моментов и поперечных сил
по каждому краю будет только два. В зависимости от состояния попереч-
ных криволинейных краев оболочки эти условия могут быть заданы или
в силах (нормальных и сдвигающих), или в перемещениях (продольных
и поперечных, соответствующих силам поперечного сечения расчетной
модели), или частью в силах, а частью в перемещениях.
Рассмотрим частные случаи граничных условий.
а) Оба края оболочки жестко закреплены от перемещений в плоскости
поперечного сечения и имеют свободную подвижность в продольном направ-
лении.
Такие граничные условия имелись в рассмотренном выше случае
однопролетной оболочки, свободно положенной по криволинейным краям
на жесткие в своей плоскости поперечные диафрагмы. В силу указанных ус-
ловий опорные сечения оболочки после деформации сохраняют свою форму,
и нормальные напряжения в каждой точке этих сечений равны нулю.
Мы имеем:
при z = 0 Gk (0) = 0;	(0) = 0; 1	(1.110)
при z = Z Gk (Z) = 0;	sk (Z) = 0. J
Это относится ко всем точкам k контурной линии каждого из опорных
сечений.
Условия (1.110) в силу первого и третьего равенств (1.106) в свою
очередь накладывают на функцию Z(z) такие условия:
при z = 0 Z (0) = Z" (0) = 0; 1
при z = Z Z (Z) = Z" (Z) = 0. J
(1.111)
78 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Если под функцией Z(z) подразумевать прогиб оси балки в точке с аб-
сциссой z, то равенства (1.111) по своему виду совпадают с граничными
условиями однопролетной балки, имеющей на концах шарнирные опоры.
Раскрывая условия (1.111) для функции Z(z), представленной равен-
ством (1.108), или, что то же самое, присоединяя условия (1.110) к общим
интегралам (1.109), получим:
С2 + С& = 0;	)
— С3 + С4 = 0;	I (1.112)
Сг sin р Ц- С3 cos р + С3 sh р + С4 ch р = 0;	{
— Сх sin р — С2 cos ц + С3 sh р + С4 ch р = 0. J
Из первых двух уравнений получаем С3 = С4 = 0. Остальные два при-
нимают вид:
Сг sin р + С3 sh р = 0;
— Cisin р, + C3sh|ji = 0.	(1.113)'
Так как произвольные постоянные все одновременно не могут быть
равны нулю (иначе мы получим для искомых внутренних сил и деформа-
ций оболочки неинтересное для нас нулевое решение), то определитель
системы однородных уравнений (1.113) должен быть равен нулю. Отсюда
для параметра р получаем трансцендентное характеристическое уравнение:
sinp = 0,	(1.114)
дающее бесконечное множество действительных корней р.,п (т = 1, 2, 3.
..., оо):
л, 2л, Зл,...... тл.
При этом, согласно (1.114) и (1.113), С3 = 0. Таким образом, получаем
бесконечный ряд фундаментальных функций (при С4 = 1):
Zm (z) = sin тлг /1 (т = 1, 2, 3.  оо),	(1.115)
определяющих бесконечное число форм собственных колебаний однопро-
летной свободно подпертой на концах балки и удовлетворяющих в нашей
задаче граничным условиям (1.110).
б) Оба поперечных края оболочки жестко заделаны от перемещений
как в плоскости поперечного сечения, так и в продольном направлении.
В теории балок этому случаю граничных условий соответствует задача
о колебаниях однопролетной балки, имеющей на концах z = 0 и z = I
жесткие заделки. Понимая, как и ранее, под величиной Z(z) прогиб балки,
будем иметь:
при z=0 Z (0) = Z'(0) = 0; 1	116>
при z = Z	Z (I) = Z' (Z) = 0. J
В соответствии с этим граничные условия для оболочки представля-
ются в таком виде:
при z = 0 Gk (0) --- uk (0) ~ 0, 1	(I 117)
при z = Z	Gk (Z) = ик (Z) = 0. J
Отсутствие на поперечных краях оболочки моментов G&(z) соответ-
ствует тому, что контур оболочки на этих краях не деформируется. Ра-
венство нулю всех продольных перемещений п^(г) в основных точках
контурной линии обеспечивается тем условием, что опорные сечения
после деформации остаются плоскими. Все независимые компоненты
депланации в этих сечениях равны нулю.
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
79
Для произвольных постоянных из условий (1.116) получаем систему
четырех однородных уравнений:
Ci + G = 0;	)
С3 + С4 == 0;	।	(1.118)
Сх sin р + С2 cos р + С3 sh р + С4 ch р = 0; j
Сх cos р — С2 sin р + С3 ch р + С4 sh р = 0. )
Эти уравнения по исключении С3 и С4 приводятся к двум следующим:
Сх (sin р — sh р) + С2 (cos р — ch р) = 0;
Сх (cos р — ch р) — С2 (sin р + sh р) = 0.
Приравняв нулю определитель системы (1.119), получим для р харак-
теристическое уравнение:
cos р • ch р — 1,	(1.120)
корни которого рт (т = 0, 1, 2, ..., оо) будут:
0; 4,730; 7,853; 10,996; . . . (2m + 1) л / 2.
Фундаментальные функции, определяемые корнями рт уравнения
(1.120), при условиях (1.118) и Сх = 1 принимают вид
Zm (z) = sin -J— — sn —--am (^cos -J--ch -j-j ,
где
_ sinpm —sh pm
Лт ~ cos pm — ch pm '
Аналогичным образом определяются фундаментальные функции для
случаев других граничных условий. Эти функции и собственные числа
для шести случаев граничных условий приведены в табл. И.
Для удобства практического пользования фундаментальными функция-
ми в табл. 12—17 даны вычисленные значения самих функций Zm (z) и
величин, пропорциональных производным этих функций —Zm (z);
hm
/2	„	/3
—~Zm(zY ——Zm(z)— для девяти промежуточных сечений оболочки
P-rn	Рт
вдоль пролета и двух крайних сечений z = 0 и z = Z; при этом введена
относительная координата | = z/Z. Таблицы дают значения фундамен-
тальных функций и их производных для сечений с относительными коор-
динатами | = 0; 0,1; 0,2; ...; 0,9; i,9. Значения этих функций даны
в таблицах для первых четырех корней характеристического уравнения
цх, Иг, Из» Ип т- е- по существу для первых четырех членов разложений
функций в ряд по фундаментальным функциям. В верху каждой таблицы
выписаны величина соответствующего корня рт и числовое значение
коэффициента am-
Таким же путем, исходя из уравнения (1.107) и присоединяя к этому
уравнению граничные условия, можно выявить фундаментальные функции
и для многопролетных неразрезных оболочек, имеющих, помимо крайних
диафрагм, также и промежуточные поперечные диафрагмы. В этом случае,
используя отмеченную выше аналогию, задачу о построении фундамен-
тальных функций Zm (z) можно разрешить совершенно так же, как и род-
ственную ей задачу об определении всех независимых форм собственных
колебаний многопролетной неразрезной балки. Нужно только иметь в
виду, что функция Zm (z) в рассматриваемой теории отождествляется
80 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Таблица 11
1	Корни характеристического уравнения	общая формула Р-п (» > 2)	st		2п +1		2п +1	К сч	7 сл	£ CM	I +"T7		in + 1	К
		К vF		14,1372		14,1372		10,9955		13,3520		13,3520	
	п	Й		10,9956 1		10,9956		7,8548		10,2102		О	
		Л		7,8532		7,8532		4,6941		7,0685		7,0685	
		со СО II £		4,7300		4,7300		1,8751		3,9266		3,9266	
Характе- ристическое уравнение		sin |л = 0		COS |1 СЙ [1=1		COS |1 СЙ |Л = 1 i		II Л 1 о 1 II W 11 о о		tg [1 = 1Й |Л		tg [Л = 1Й |Л	
е- S о s Я 8 >©• •е* л о Й		1		sin |i — зй |i	COS |1 — СЙ [Л	sin [л — зй р	COS [Л — СЙ [Л	sin [л 4- зй [л	COS |1 + СЙ |1	я	11 qs	11 UIS	sh р.
Фундаментальная функция Z (Ц		-5		(5ii цэ —5т1 soo) К—! — 5ii qs — 5ii uts 			sin |л£ + ЗЙ [15 '— — Cl(C0S |1| + СЙ |Л5)		(5 т1 qo — 511 зоэ)ю— — 511 qs — 5fi nis		sin — а зй		sin |ЛЕ, -|- а зй |л£	
Граничные условия	при Z = 1	7° ,о«		И		о о II II О >>		7 II r> Co		о о II II 'в		77 О Оэ	
	при z = 0 ।	7° и		о ° II 11 8^		о о II II		77		о о 1! II 0^3		77	
Различные случаи	। граничных условий на торцах				К	ft			*		1			
н/п				сч		СО				LtO		CD	
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек 81
Таблица 12
Оба поперечных края оболочки свободно оперты (случай 1, табл. 11)
Фундаментальная функция Z (5) = sin u.£
Р-1 = 3,1416 Первый член разложения			Иг = 6,2832 Второй член разложения		
	Z = —(-)2Z" 4 Р-17	- Z' = - ( 1 )3Z"' Р-1	хр-17		z = -g)2z~ 4 Р-27	— Z' = — (-Yz"' р-2	'Р-27
0	0	1,0000	0	0	1,0000
0,1	0,3090	0,9511	0,1	0,5878	0,8090
0,2	0,5878	0,8090	0,2	0,9511	0,3090
0,3	0,8090	0,5878	0,3	0,9511	—0,3090
0,4	0,9511	0,3090	0,4	0,5878	—0,8090
0,5	1,0000	0	0,5	0	—1,0000
0,6	0,9511	—0,3090	0,6	—0,5878	—0,8090
0,7	0,8090	—0,5878	0,7	—0,9511	—0,3090
0,8	0,5878	—0,8090	0,8	—0,9511	0,3090
0,9	0,3090	—0,9511	0,9	—0,5878	0,8090
1,0	0	—1,0000	1,0	0	1,0000
Цз = 9,4248 Третий член разложения			Р-4 = 12,5664 Четвертый член разложения		
_ Z ^=г	(~)2Z" хр-»7	— Z' = —( Z)3Z"' Р-3	^Р-з'	_ Z	Z = — (—)2Z" 4 р-47	1 Z' = -(~Yz'" Р-4	'Р"47
0	0	1,0000	0	0	1,0000
0,1	0,8090	0,5878	0,1	0,9511	0,3090
0,2	0,9511	—0,3090	0,2	0,5878	—0,8090
0,3	0,3090	—0,9511	0,3	—0,5878	—0,8090
0,4	—0,5878	—0,8090	0,4	—0,9511	0,3090
0,5	—1,0000	0	0,5	0	1,0000
0,6	—0,5878	0,8090	0,6	0,9511	0,3090
0,7	0,3090	0,9511	0,7	0,5878	—0,8090
0,8	0,9511	0,3090	0,8	—0,5878	—0,8090
0,9	0,8090	—0,5878	0,9	—0,9511	0,3090
1,0	0	—1,0000	1,0	0	1,0000
6 В. 3. Власов, т. Ш
82 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
сс
св
СТ
К
К
Ю
св
Ь
Оба поперечных края оболочки заделаны (случай 2, табл. 11)
Фундаментальная функция Z (£) = sin — sh	—- a (cos — ch ц$)
Таблица 14
Оба поперечных края оболочки свободны ('случай 3, табл. 11)
Фундаментальная функция Z (g) = sin (ig -|- sh (ig — a (cos (ig + ch (ig)
— 4,7300 Первый член разложения oti = j,oi781					На = 7,8532 Второй член разложения «а = о,999223				
2 г	Z	-Z' р-1		(-Yz"- \p-i7	м	Z	- z- Р-2	(lYz-	
0	-2,0356	2,0000	0	0	0	—1,9984	2,0000	0	0
0,1	—1,0934	1,9682	—0,1925	—0,7395	0,1	—0,4551	1,8705	—0,4551	—0,9569
0,2	—0,1989	1,7792	—0,6304	—1,0416	0,2	0,7931	1,2099	—1,2053	—0,7902
0,3	0,5536	1,3636	—1,1155	—0,9494	0,3	1,3229	0,1001	—1,5044	0,0978
0,4	1,0591	0,7431	—1,4814	—0,5570	0,4	0,9665	—0,9462	—1,0351	1,0506
0,5	1,2372	0	—1,6164	0	0,5	0	—1,3742	0	1,4530
0,6	1,0591	—0,7431	—1,4814	0,5570	0,6	—0,9665	—0,9462	1,0351	1,0506
0,7	0,5536	—1,3636	—1,1155	0,9494	0,7	—1,3229	0,1001	1,5044	0,0978
0,8	—0,1989	—1,7792	—0,6304	1,0416	0,8	—0,7931	1,2099	1,2053	—0,7902
0,9	—1,0934	—1,9682	—0,1925	0,7395	0,9	0,4551	1,8705	0,4551	—0,9569
1,0	—2,0356	—2,0000	0	0	1,0	1,9984	2,0000	0	0
Из	= 10,996 Третий член разложенияЯз = 1,000034				Н« = 14,137 Четвертый член разложения я« = 0,999999				
г. = 4	Z	— Z'	(-) z"	UYz-		Z 1	— Z’	‘ Z"	( , X 3 ( —') Z"’
1		Р-з	\ Р-з/	\ Р-з/			Р-4	xp-J	ХРм/
0	—2,0000	2,0000	0	0	0	-2,0000	2,0000	0	0
0,1	0,1047	1,6777	—0,7705	—1,0120	0,1	0,5829	1,3913	—1,0711	—0,9031
0,2	1,2861	0,3307	—1,5080	—0,1094	0,2	1,2052	—0,5730	—1,3244	0,6923
0,3	0,7924	—1,1088	—0,8671	1,1817	0,3	—0,4365	-1,3352	0,4075	1,3644
0,4	—0,6579	-1,2481	0,6306	1,2699	0,4	—1,4033	0,2042	1,3966	—0,1967
0,5	—1,4224	0	1,4060	0	0,5	0	1,4156	0	-1,4123
0,6	—0,6579	1,2481	0,6306	—1,2699	0,6	1,4033	0,2042	—1,3966	—0,1967
0,7	0,7924	1,1088	—0,8671	—1,1817	0,7	0,4365	—1,3352	—0,4075	1,3644
0,8	1,2861	—0,3307	—1,5080	0,1094	0,8	—1,2052	—0,5730	1,3244	0,6923
0,9	0,1047	—1,6777	—0,7705	1,0120	0,9	—0,5829	1,3913	1,0711	—0,9031
1,0	—2,0000	—2,0000	0	0	1,0	2,0000	2,0000	0	0
Гл. 1. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
84 Расчет оболочек смешанным вариационным методом бее учета деформации сдвига
Один поперечный край оболочки заделан, другой свободно оперт (случай 5, табл. 11)
Фундаментальная функция Z (?) = sin ц? — a sh ц?
Таблица 16
р,! = 3,9266 Первый член разложения а4 =— 0,0278749					p,2 = 7,0685 Второй член разложения a2= 0,00122285				
	Z	— Z' р-1	(±)2Z"			z	— Z' P-2	(±)2z- \ p2/	(±)3z- X p.2z
0	0	1,0279	0	—0,9721	0	0	0,9988	0	—1,0012
0,1	0,3939	0,9539	—0,3714	—0,8938	0,1	0,6496	0,7588	—0,6505	—0,7618
0,2	0,7310	0,7443	—0,6826	—0,6705	0,2	0,9854	0,1535	—0,9901	—0,1588
0,3	0,9648	0,4323	—0,8829	—0,3332	0,3	0,8475	—0,5279	—0,8574	0,5178
0,4	1,0642	0,0698	—0,9358	0,0702	0,4	0,2991	—0,9613	—0,3197	0,9406
0,5	1,0214	—0,2810	—0,8268	0,4834	0,5	—0,3996	—0,9464	0,3579	0,9046
0,6	0,8529	—0,5586	—0,5615	0,8553	0,6	—0,9323	—0,4968	0,8487	0,4132
0,7	0,5995	—0,7052	-0,1657	1,1426	0,7	—1,0569	0,1504	0,8869	—0,3204
0,8	0,3230	—0,6774	0,3198	1,3226	0,8	-0,7555	0,6323	0,4179	—0,9800
0,9	0,0965	—0,4495	0,8539	1,4015	0,9	—0,2714	0,6489	—0,4249	—1,3452
1,0	0	0	1,4136	1,4147	1,0	0	0	—1,4141	—1,4143
Из	= 10,2102 Третий член разложения а3 =— 0,0000520346				P4 —	13,3520 Четвертый член разложения a4 = 0,00000224861			
- г "=т	Z	— Z' Р-3	(±)2Z" v Р-з'	v Р-з'	£ = т	z	— Z' P-4	(±)2Z- \ p4/	
0	0	1,0000	0	—1,0000	0	0	1,0000	0	—1,0000
0,1	0,8527	0,5226	—0,8525	—0,5224	0,1	0,9723	0,2336	—0,9723	-0,2336
0,2	0,8912	—0,4537	—0,8908	0,4542	0,2	0,4543	—0,8908	—0,4543	0,8908
0,3	0,0821	—0,9961	—0,0809	0,9972	0,3	—0,7634	—0,6461	0,7632	0,6459
0,4	-0,8051	—0,5895	0,8082	0,5926	0,4	—0,8096	0,5870	0,8092	—0,5874
0,5	—0,9193	0,3869	0,9279	—0,3783	0,5	0,3856	0,9214	—0,3874	—0,9232
0,6	—0,1406	1,0002	0,1645	—0,9763	0,6	0,9845	—0,1588	—0,9912	0,1520
0,7	0,7954	0,6804	 —0,7291	—0,6141	0,7	0,0618	—1,0101	—0,0876	0,9843
0,8	1,0424	—0,2188	—0,8586	0,4027	0,8	—1,0004	—0,3601	0,9009	0,2606
0,9	0,4876	—0,7176	0,0223	1,2275	0,9	—0,7064	0,6676	0,3328	—1,0412
1,0	0	О	1,4142	1,4142	1,0	0	0	—1,4145	—1,4139
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
86 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
вз
S
R
КО
03
Н
Один поперечный край свободно оперт, другой свободен (случай 6, табл. 11)
Фундаментальная функция Z (g) = sin Цс, -f- a sh (ig
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
87
с прогибом оси балки. Производная от этой функции, характеризующая
изменение по длине оболочки продольных перемещений (компоненты
депланации сечения), отождествляется с углом поворота касательной к оси
балки (девиацией) и т. д.
В каждом частном случае граничных условий для определения нужного
нам числа независимых произвольных постоянных мы всегда будем иметь
систему однородных уравнений. Приравняв нулю определитель этой
системы, получим для параметра ц характеристическое уравнение, дающее
бесконечное множество действительных корней. Этими корнями и гранич-
ными условиями будут определены все фундаментальные функции, причем
эти функции для разных пролетов неразрезной оболочки будут иметь
разные аналитические выражения.
Таким образом, в каждом частном случае краевой задачи имеется бес-
конечный ряд фундаментальных функций
Zm(z) (т = 1, 2, 3, . . . , оо),
каждая из которых определяется с точностью до произвольного множителя
(амплитуды свободных колебаний балки) и заранее удовлетворяет гранич-
ным условиям, заданным на поперечных краях оболочки.
Фундаментальные функции, определенные изложенным выше способом,
обладают свойством ортогональности. Это свойство состоит в том, что
определенный интеграл из произведения двух функций Zm (z) и Zn(z),
взятый по всей длине оболочки, при т =/= п равен нулю:
i
^Zm(z)Zndz = 0.	(1.121)
о
Вторые производные от фундаментальных функций, а следовательно,
в силу основного дифференциального уравнения (1.107) и все четные
производные от этих функций также обладают свойством ортогональности.
Если т =/= п, то
i
\z'm(z)Zn(z)dz = ().	(1.122)
О
Интеграл же от квадрата фундаментальной функции Zm (z), как и от
квадрата второй производной от этой функции, независимо от номера
i
ее т, всегда будет отличен от нуля, причем величину интеграла \Z~,L(z)dz
о
можно выразить через значение самой функции и ее производных на
краю z = I1:
i
^Zm(z)dz = -^-[Zm — 2ZmZm + (Zm)2]z^i.
о
Оказывается, что величина этого интеграла не зависит от граничных
условий на краю z = 0.
Доказательство этого положения, равно как и свойство ортогонально-
сти функций Zm (z), имеется в работах С. П. Тимошенко и Релея2.
Определив в каком-либо частном случае краевой задачи фундаменталь-
ные функции Zm (z) (т = 1, 2,3, ..., оо), можно искомые функции <Tfe(z),
1 Производные в правой части берутся по сложному аргументу (Xz).
а С. П. Тимошенко. Теория колебаний в инженерном деле, Гостехиздат,
1932, стр. 223—226; Д. В. Релей. Теория звука, т. I. Гостехиздат, 1940, стр.
278—280.
88 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Gh(z) восьмичленных дифференциальных уравнений (1.73) представить
в форме следующих бесконечных рядов:
00	„	00
Mz) = 2 <5*mZm(z); Gft(z) = 5] GkmZm(z). (1.123)
m—1	m=l
Здесь o*m, Gkm— не известные пока коэффициенты разложений соот-
ветственно для напряжений и моментов.
Свободные члены уравнений (1.73), представляющие собой заданные
функции от z, мы также разложим в ряды по функциям Zm (z) и Zm(z):
00	00	н
Rk(z) = 2 RkmZm(z)', ©k(z)= 2 ®femZm(z). (1.124)
m=l	m=i
Для коэффициентов Rkm, &km этих рядов, принимая во внимание усло-
вия ортогональности (1.121), (1.122), получаем такие формулы:
l.	I1	1	11
Rkm = '\Rk(z)Zm(z)dz Zm(z)dz; 0ftm = 0(, (z) Z”m(z)dz К [Z«(z)]2dz.
о	/о	о	I о
(1.125)
Следовательно, при заданных функциях fiji(z), 0h(z) для коэффициен-
тов Rkm, Qkm (т = 1, 2, 3, ..., оо) рядов (1.124) получим вполне опреде-
ленные значения, зависящие от номера члена т.
Если внешняя нагрузка приложена только на ребрах оболочки и по
длине этих ребер остается постоянной, то свободные члены 0k(z) уравнений
деформаций равны нулю, свободные же члены 7?fe(z) уравнений равновесия
выражаются постоянными величинами, принимающими в общем случае
для разных уравнений разные значения Rk — const.
Первая из формул (1.125) при Rk = const принимает вид
Rkm —г Rk ) Zm (z) dz / Zm (z) dz,
0	/6
Если Rk = 1, то формула (1.126) принимает вид
Am — Rkm — j Zm (z) dz I Zm (z) dz,
0	/ 0
Если нагрузка, приложенная только на ребрах оболочки и
этих ребер, меняется по закону прямой, например от 0 до
1 до 0, то для этих случаев получаем соответственно формулы:
Am ~~ Rkm — zZm (z) dz I Zm (z) dz,
0	/0
(1.126)
(1.127)
по длине
1 или от
(1.128)
Ат — Rkm ~~ \ Zm (z) dz , zZm (^) dz I Z^ (z) dz,
J	z J	/J
(1.129)
-О	о	- I о
Для_этих трех основных видов нагрузки вычислены коэффициенты
Ат = Rkm по формулам (1.127), (1.128) и (1.129) для первых четырех
членов разложения (т = 1, 2, 3, 4) и для четырех видов граничных усло-
вий по криволинейным краям оболочки (табл. 18).
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
89
Таблица 18
Коэффициенты разложения нагрузки в ряд по фундаментальным функциям
Род нагрузки	Род закрепления		А,	А,	А3	а4
	край z = 0	край z = 1				
Постоянная	Опертый	Опертый	1,2732	0	0,4244	0
<7 = 1	Заделан	Заделан	0,8164	0	0,3639	0
	»	Свободен	0,5748	0,4419	0,2542	0,1819
	Опертый	Заделан	1,2168	—0,1169	0,4729	—0,06198
Возрастает	Опертый	Опертый	0,6366	—0,3183	0,2122	—0,1591
по закону	Заделан	Заделан	0,4082	—0,1902	0,1818	—0,1215
треуголь-	»	Свободен	0,4176	0,09245	0,03239	0,01654
q = z/Z	Опертый	Заделан	0,5377	—0,3436	0,2499	—0,1958
Убывает	Опертый	Опертый	0,6366	0,3183	0,2122	0,1591
по закону	Заделан	Заделан	0,4082	0,1902	0,1819	0,1215
треуголь- ника	»	Свободен	0,1572	0,3494	0,2218	0,1654
q = 1 — z/Z	Опертый	Заделан	0,7097	0,2267	0,2230	0,1338
Если в число действующих сил входят также и сосредоточенные силы,
то интегралы, стоящие в числителях формул (1.125), нужно понимать
в смысле интегралов Стильтьеса. Для конечного числа сосредоточенных
сил вместо интеграла будет стоять сумма произведений из величины со-
средоточенной силы на значение фундаментальной функции в том месте,
где эта сила приложена. Если, например, нагрузка представлена только
двумя сосредоточенными силами, приложенными в сечениях оболочки
z = а и z = Ь, то формула (1.125) будет иметь вид
I 1
Rkm = [RkaZm («) 4" R kbZm (^)l M Zm (z) dz.
I 0
Вносим равенства (1.123) и (1.124) в основные дифференциальные
уравнения (1.73). Имея в виду, что, согласно (1.107), четвертая производ-
ная от любой фундаментальной функции Zm (z) пропорциональна самой
функции и, принимая во внимание, что все функции Zm (z) линейно не-
зависимые, получим для коэффициентов сц-т, какого-либо m-го члена
разложения (1.123) систему линейных восьмичленных алгебраических
уравнений:
i=A+2	'j
4” Sk&im 4”	i
i=*_2	I	(j 130)
г=^4-2	i=&+l	I
i=k—2	i=k—1	J
Здесь 7.m — величина, имеющая размерность (длина)-1 и зависящая
от пролета оболочки I и от характеристического числа Ц™ функции Zm(z)
рассматриваемого m-го члена разложения:
Хт = цт//.	(1.131)
90 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Давая в (1.130), (1.131), (1.125) различные значения номеру т —
от т = 1 до т = оо, имеем бесконечное число вполне определенных неза-
висимых систем алгебраических уравнений. Этими уравнениями опреде-
ляется совокупность всех величин Gkm, представляющих собой
коэффициенты разложений (1.123). Таким образом, мы получим полное
решение дифференциальных уравнений (1.73), удовлетворяющее гранич-
ным условиям на краях z = Ои z = / и представленное в форме бесконеч-
ных рядов по фундаментальным функциям. Бесконечные ряды, как и
приведенные выше тригонометрические ряды, обладают исключительно
хорошей сходимостью. В случае нагрузки, равномерно распределенной
по образующей, для практических целей вполне достаточным оказы-
вается в разложениях (1.123), (1.124) удержать по одному, максимум по
два первых члена, отбрасывая вследствие малых числовых значений все
остальные членыэти х рядов.
Изложенный здесь практический метод расчета оболочек, основанный
на синтезе элементарных методов сопротивления материалов и теории
упругости, носит весьма общий характер и дает возможность сравнительно
простыми средствами математического анализа разрешить целый ряд
достаточно сложных и практически важных задач по расчету цилиндри-
ческих и призматических оболочек произвольного очертания на произ-
вольно заданную внешнюю нагрузку, включая также и сосредоточенные
силы, при самых разнообразных, наперед заданных граничных условиях,
относящихся как к продольным, так и к поперечным краям оболочки.
Граничные условия, заданные на продольных краях, как было показано
ранее, удовлетворяются при составлении системы восьмичленных диффе-
ренциальных уравнений. Граничные же условия, заданные на поперечных
краях, удовлетворяются путем надлежащего выбора для данной краевой
задачи фундаментальных функций подобно тому, как зто имеет место
в теории колебаний балок. В конечном итоге, расчет оболочки любого
очертания при любых граничных условиях на внешнюю нагрузку, меняю-
щуюся по линии контура оболочки по любому закону и остающуюся
в направлении образующей постоянной, приводится к решению совмест-
ной системы алгебраических уравнений с симметричной матрицей —
уравнений, имеющих одинаковое строение с уравнениями теории стати-
чески неопределимых стержневых систем. Таким путем разрешается
сложная краевая двухмерная проблема равновесия цилиндрических и
призматических оболочек при произвольно заданных граничных усло-
виях.
В заключение заметим, что практически приемлемые результаты можно
получить, если в качестве функции Z(z) в формулах (1.106) принять урав-
нение изогнутой оси балки с соответствующими опорными закреплениями
под аналогичной нагрузкой. Например, для оболочки со свободным опи-
ранием и нагрузкой, равномерно распределенной в направлении оси Oz,
можно принять
Z (z) = lsz — 2lz3 + z4.
Ниже будут приведены примеры расчета оболочек для разных случаев
граничных условий Ч
Заметим, что изложенная здесь теория получила весьма хорошее
подтверждение на ряде опытов, проделанных в ЦНИПСе, а также путем
сличения с результатами расчета на основе более точной моментной теории.
1 Примеры расчета даны также в книге В. 3. Власова «Строительная механика
оболочек». Госстройиздат, 1936.
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
91
§ 11.	Общая теория колебаний
1.	Рассмотрим складчатую систему, состоящую из произвольного числа
граней. Предположим, что эта система находится в состоянии малых
свободных колебаний. Для вывода дифференциальных уравнений колеба-
ний складки следует воспользоваться принципом Даламбера и свести
формально динамическую задачу к статической.
В целях упрощения расчетной схемы считаем массу складчатой системы
сконцентрированной по ребрам этой системы и распределенной по длине
складки равномерно.
Схема расположения масс показана на рис. 53, а их величина опреде-
ляется формулами:
ГЛ .
то ~ 2g ’
Т (Fk + Fk+i>
mh=------------------
где Fk — площадь поперечного сечения fe-й грани; у — объемный вес
материала грани; g — ускорение силы тяжести.
При решении поставленной задачи расчета колебаний воспользуемся
вышеизложенным методом, принимая за искомые основные функции
систему напряжений оДг, t) и изгибающих моментов Gk(z, t), возника-
ющих по каждому k-илу промежуточному ребру и рассматриваемых как
функции, зависящие от двух переменных: абсциссы z и времени t.
Рис. 53
Рассмотрим состояние напряжений складки в какой-нибудь момент
времени t. Состояние внутренних усилий и деформаций складки, как по-
казано выше, может быть выражено линейным образом через основные
искомые факторы а^(г, t) и Gk(z, t). В частности, через эти силовые фак-
торы (при помощи закона Гука и условий неразрывности деформации
исследуемой призматической поверхности) могут быть определены все три
компонента вектора смещения произвольной точки fe-ro ребра складки.
Для этих компонентов, согласно (1-15) (рис. 54), имеем следующие фор-
мулы:
uh (z, t) = -gr^6ft(z, t)dz;
Vh = Ш dz2~\\ 3h dz2\ ’

1
dk+isin <Pft
1
(1.132)
92 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
В формулах приняты обозначения: Uh(z, t) — проекция перемещения
точки (z, k) на образующую призматической складки; Vk(z, t) и Wk(z, t) —
соответственно проекции перемещения той же точки (z, k) на направления
стороны полигона (k — 1, k) и нормали к этой стороне (рис. 54).
Формулы (1.132) выведены с точностью до произвольных членов инте-
грирования, зависящих от граничных условий. Эти члены приняты рав-
ными нулю, поскольку в дальнейшем имеется в виду получить уравнения
с одними только дифференциальными членами.
Как видно из вышеприведенных формул (1.132), на величину полного
перемещения произвольной точки ребра k влияют лишь напряжения в этом
ребре и в других соседних ребрах.
Эти формулы можно представить в ином виде, если вектор смещений
разложить по направлениям образующей складки и двух смежных сторон
полигона (рис. 54 и 55):
Uh(z, t)= Е	^dz’
vh (z, t) =	5 J <z’ V dz* -
_ (	+	3h (z, t) dzz +
\ dk sin <Pfe dk+ism V/J •
^+1sm<pftn ’ J’
- /	1 Г ct£ <Рь Г C	, .. , g
^+i (z, 0 = - tt \ \	(*, 0 dz* -
...t)dZ* +
I ----1	..? £ sk J (z, t) dz2] .
^+1 sm2 J A+M J
(1.133)
Гл. 1. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
93
В формулах (1.133): Uk(z, t) — по-прежнему проекция перемещения
точки (z, k) на образующую складки; Vk(z, t) и Vk+1(z, t) — составляю-
щие перемещения той же точки по направлениям сторон полигона (k — 1,
k) и (k, k + 1).
Выразив перемещения точки (z, к) по формулам (1.133) через искомые
функции напряжений, теперь можно через эти же функции легко опреде-
лить инерционные силы движения элемента dz = 1, обладающего массой
m.k = (Fjc + Fit+i) T/2g, где у — объемный вес материала складки, a g — ус-
корение силы тяжести. Эти 'силы вычисляются по следующим формулам:
Э2иь (z t)
Zh(z, t) = -mh- ^a’ ;
d2vh (z, t)
qk (z, t) = -mk --------------:
,, (z, t)
Принимая во внимание формулы (1.133), получим:
Zr (Z, 0 —	j Gfc t) dz't
qk (z, t) =--------А Г-—Д—	И	(z, t) dz2 —
’	Ь [_</& sin2 <Pk Oi2 j J	'	'
!	1	, ct£ <Pfe \ d* e r .	,
(, ak sin2 <pft + sin	) Z +
dk+iSln <Phdt J J V J
„	_ mk Г Ct,g U' / О J 2
^+i (z> 0 e sin <pft a«2 \)(z’ dz
sin Фь + dk+1 sin2 фй )dP \ J 3/1 (z’ ) z :
+ dk+1 sin2 ф;1 dF Й °k+1 dz2] •
(1.134)
Эти формулы позволяют также определить инерционные силы, вызы-
ваемые массами тк_j и »г*+1, приложенными к соседним ребрам, для чего
нужно все индексы в формулах (1.134) в первом случае уменьшить, а во
втором — увеличить на единицу.
Пользуясь принципом Даламбера, можем теперь динамическую задачу
рассматривать как статическую, загрузив складчатую систему инерцион-
ными силами, распределенными, как было указано выше, по ребрам
складчатой системы. Для этого нужно свободные члены дифференциальных
уравнений равновесия (1.73), представляющие собой реакции продольных
связей основной шарнирно-складчатой системы от внешней нагрузки,
выразить через инерционные силы.
С этой целью подставим в формулу (1-74) значения компонентов инер-
ционных сил по направлению двух смежных сторон полигона складки
и по направлению образующей, т. е. значения qk(z, t), qk+±(z, t) и Zk(z, t),
вызываемые массами т^-\, nik и mji+1 и определяемые, как было указано,
формулами (1.134).
94 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Будем иметь:
ERk {z, t) =
mk-i ct-g qvi
dk-i dksin ф*-1
^№-a(z, t)dz2 —
' mk-l
4sin2<p*-i
Л	\
1+^ггСОЗ(М +
ть	/	db	\ "1 d2 CT
+	— 1 + 7/~ cos Ф* ) hws \\ °k-i (z, t) dz2 +
ф1П2фл \	dk+l	*7 J dt J J
_j_ Г тк_г m /	1	2 ctg <pft	1	\
L d2k sin2	yo^sin^ rfA+isin(Pjfe	++1 sin2 ф/е /
+	1 да W С, О Ы - [jTV (1 + %2 »0S(f,U (1.135)
Cisin2(₽*+iJ +	L4+isin фи k )
+с^+1 (1+£cos ^+i) ] 5Gft+i (z’ ° +
m*+i Э2 ГГ
+ dM^2sin?M di* Zk+2 (z’ dz~ ~mkdi* °k (Z, t).
Обозначая:
mk-i ctg <p*-i
pO __________ D° _________ _________________
k, fe—2	fe—2, fe j л qin (D ?
“fe-l ttfe Sln<Pfe-l
Rl
k-i
mk-l
/?U =
__ po _____
— -“fe-l, fe —	-9 . a I " » /7	Yfe_-
dk sm 4V1 \
mk	( d.	x
---5------- I 1 + 3--cos Фь i
^81П2фА \	dk+i-k)
mk-i m /	1	2 ctg Фа
d2k sin2 ф/е_1	k \ d2 sin2 фА	dk dk+i s^n Ф*
+_____!____+. -
4+isin4*/	4+18^2ф*+1
(1.136)
и подставляя значение реакций 7?^(z, f) в формулы (1.73), получим диффе-
ренциальные уравнения свободных колебаний складчатой системы:
i=*+l	i=*+2	\
2^ ।	/Я ( '2.	I
rkia"i & 0+2 SkiGi (Z,	(z, t) +
i=fe—I	i=k—2
i=fe-b2
+ 4 2 Rki^Wz^z, t)dz2 = 0;
i=k—2
i=fe-|-2	i=fe+l
2 aki,<Zi (z, 0+2 ^kiGi (z, t) = 0;
i=fe—1	i=k—1
(Л = 1, 2, 3...).
(1.137)
Чтобы освободиться от интегральных членов уравнений, продиффе-
ренцируем первое уравнение два раза по z. Имея в виду, что коэффициенты
уравнений не зависят от z, мы можем уравнения колебаний представить
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
95
в таком виде:
i=k+i	i=k-f-2
2 rki fab 3i (z,	+ 2 skig^ Gi(.Z, t) 
i=k—1	i—k—2
i=^+2
mk di «	/\ I 1 V »0 d3 _ /„ Л _ л
E dz2dt2 G* ^Z’	+ E Rkx dt2 31 (z> 0	0.
i=k—2
i=k-\-2
2 a«6i(z, t)+ 2 bki-^Gi(z, t) = 0.
i=k—2	i~k—1
(1.138)
Прибавляя к уравнениям (1.138) свободные члены [к первому урав-
нению Rkp (z, t) и ко второму 0*p(z, £)], можно получить дифферен-
циальные уравнения вынужденных колебаний складчатой системы.
2.	Уравнения (1.138), помимо производных по абсциссе z, содержат
вторые производные по времени t. Полагая
зДг, t) = 6i(z)sinvi
Gi (z, t) = Gi (z) sin vt	’
(1.139)
и подставляя затем в уравнения (1.138), получим по сокращении на общий
множитель sin vt следующую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений:
i=^+l	i=k-\-2	г	г=^+2
2 rH3iV(z)+ 2 skiGi(z) + ^ \mka'k(z)— 2 ^«6i(z) =0;
i~k—1	i=k—2	L	i—k—2	J
i=k-\-2	i=£-f-l
2| ^ki^i (z)	^ki^i (^)	0*
i~k—2	i—k—1
• (1.140)
Уравнения (1.140) линейные, однородные. Коэффициенты этих уравне-
ний определяются с точностью до параметра v2, представляющего собой,
как видно из выражений (1,139), квадрат частоты собственных гармони-
ческих колебаний складчатой системы.
Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что
общий интеграл системы однородных уравнений определяется с точностью
до произвольных постоянных интегрирования; число последних равно
порядку соответствующего характеристического уравнения, представляе-
мого для системы дифференциальных уравнений в виде детерминанта.
В нашем случае, помимо произвольных постоянных интегрирования,
в общий интеграл системы (1.140) войдет в качестве неопределенного пока
параметра частота колебаний v2. Определяя постоянные интегрирования
из условий закрепления складки на криволинейных краях, получим для
этих постоянных при отсутствии нагрузки на краях однородную систему
линейных алгебраических уравнений. Число уравнений для рассматривае-
мой складчатой системы будет равно числу постоянных интегрирования.
Так как в рассматриваемом случае однородной краевой задачи решение
для постоянных интегрирования должно быть отличным от нуля, то опре-
делитель, составленный из коэффициентов при этих постоянных и завися-
щий, следовательно, от граничных условий и от частоты колебаний v2,
должен быть равен нулю. Мы получим, таким образом, для искомой
частоты собственных колебаний детерминантное уравнение.
Это уравнение трансцендентное: оно представляет собой, как доказы-
вается в математической теории малых колебаний (в теории интегральных
уравнений^, целую аналитическую функцию, имеющую бесконечное
Геометрические уравнения _____________________________________Статические уравнения
О		СП	4>	W	bo	CD	00	-1	CT>	СП	4^		W	to		0		
					tT о							05 Ы 0		сч|1» 05 ts 0	V2 a10 +	O10	00g	4- 001) гл	О	
				йР"	tP- H-							tel <2 'J ts 05 w		a ts + 05 ts	V2 E an+ g On	tog _3L -}- to» гл		
			«S5- to	йР"" tS	i?- ts						&з| ia 05 ts	a Ы ts + 05 ts		a ts ts + 05 ts	a ts + t4| *b 05 ts	05 О ts	ts	
		иР- W	sT		tP"" w					V2 -g-653	» w + 05 Ы	eeg '4_ ЕЕг? ЕЛ		a ts Ы + 05 ts Ы	ts|t 05 Ы	tel 1, 05 О CA	CJ	
	Г	V?*1	I?-	bP""	tP"" St				te| ’Ts 05 0» St	a 4Л St + baj'b 05 Cl >u	V2 Я44 4~ д O44	• S Ы te c ь	ts »	Сч| 1 05 ts			If»	
о «1	е?- w	иР* w	I?- w	b?- W				Гт-! <2 ' ts 05 СЛ	» 0» СЛ + te| 05 О СЛ	V2 #55 4“ д“ O55 1	a SH + tqj C 05 4Л	^11 05 w 4Л					сл	_p T
																		
96 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
97
Таблица 19
					Gin					
	6	7	8	9	2	3	4	5	6	7
					boa					
					bia	&14				
					btt	&23	Z>2«			
					&32	&33	bst	&35		
	V2 » -g- Ом				b«a	&43	bit	bn	bts	
	V2 ®56 + £ §56	v2 Л Е °57				&53	bit	&55	bse	&57
	V2 Яве + ~ЦГ Ове	V2 ^67 + ~g~ §67	V2 . §вв	V2 £ §69			bet	bee	bee	Ье7
	V2 ^76 +	§76	V2 ®77 +	§77	V2 а78 + ~рГ ^78	v2 Л Е °”				675	b?e	Ь?7
	£ д8в	V2 ^87 + ~g~ §87	V2 aSS +	088	V3 ®88 + “g" бв9					bee	Ьв?
	— Л Е °8в	— Л Е 6в7	V2 а98 +	§98	V2 fl99 “f"	§99						£97
					C22	Сзз				
					C32	Сзз	C34			
	bee					С43	Ctt	C45		
	Ьбв	^57					^54	C55	сев	
	bee	Ьв7	Ьв8					Св5	сев	Св7
	&7в	й77	*78	^79					<76	C77
7 в. 3. Власов, т. Ш
98 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Таблица 20
hg	hg -
bl, k—2	Ьк~^ к ~
1
п4л4
ak, fe—i ~ ak—i, k = 6Z4
ak,k — ~3lr (Fk + Ffe+i)
li d*-Asin4,)f-x
_ e n2n2 1 /
bl к-i = bk-i, к = ~W ’ ЗГ ct§ + ctg 'Pfe +
ak \
dk	. dk \
+ dk_x sin <-(V1
,,	rc2"2 1
bk,'k — —	/2	’ .2
ak
f i^SUKfj J
2dk
+ ctg Ъ. + —~ (ctg Tfe + ctg T*+i)
dk+i
blk-^b°k-2,k-
= 6i.fe-2=bi~2,k
ha — ha —
°ktk~l “ °k~l,k —
= bi,k—1 = bk—i,fe
bkk = blk
и4л4 2<Z&
ck, k—i = ck—i, k —	/5	* 7з"
“fe
Z4
n4n4
^fe+i
Таблица 21
Г и2л2 1	1/1
600--M p +i[+^[^; +
,	t \21	mi
. ™a Г (,2	/	2	^1 + ^2
6u = 6ol=— — + ^___+___ctg(pi +
2 L 1
, d-i \	/	1 d2
+ ^Ctg<P2) X (^T + ^-CtgCp!
mi	di	/
+	/--- 1 + ~T^ cos (₽i ;
d[ sm2 ф! \	“2 T )
„ mo
611 = ~
“2
dl / 2
rf2 + \ sin ф1
d2t + ^
~^r^ctg‘₽1 +
di t \2	тг2л2 1	/ 1
+ lTctg(₽J ] -	[ “Z^ + si^ (12 +
2 cos ф1 1 \	m2
^2	~	/	о!2з1п2ф2
x X mo /	1 ,rfi
S20 = 602 = — — ( —— + — ctg ф1 +
+ *8^ +’£Ctg(₽2) X
^fe,fe-2 ^fe-2, fe
_ mfe-iCtgyA_t
ij-Asinipj.! ’
если 4	k s — 2
^fe, fe-i	®fe-i, fe
= те*-1
4sin2(Pfe-i x
rffe	\
COS ф^ J +
ft—1
mk
dlsin2 Tfe
dk
dk+l
cos qk
если 4 k < s — 3
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
99
621 —
/	1 di \	mi ctg ф1	.
( \ sin ф1 + di c g'<P1/	(Мз8тф1 ’
mo /	1	di	di
^12 ~ d2 ' sin Ф1	di ctg g)1 + da sin ф2
di ctg фз
d2
2 di + d2
sin ф1 + didi c^g <P1 ~
tZi	\	mi
c g фг^) , ^2 s;n2
m2 /
+ “5----------- 1 + '
d2 sin2 фз '
1 rfi ctg ф1 d^
di dz sin фз
cos ф21 ;
Таблица 21 (окончание)

,	mk-i
>k-k
/ П2Л2	1
— mk
„ _	”П> _______
22 ~	d2 Uin<Pi
\ I d^ sin2 фА
2 ctg Tfe
фА+1 sin фА +
1 \
di \2 mi
+ 1ГСМ
2ctg_T3_ _1_	__
dids sin ф2 ^2 sin2 фз J d2 sin2 фз
т2
т3
1
sin2 фз
mo / di	\
630 — 603 — ^3 sin	sin + ctg Cflj ,
mocfi
--------x
фз sm ф3
S3I — 613 —
I 2 d{ + d^	dx \
x + didi - cts Ч31 + rfTctg 4,3) ~
m2 ctg фз
didz sin фз ’
modi	/1	di
632 = 623 = —+ ТГ ctS Ф1 +
d^ds sm фз \ sin ф1	di
di
+ ds sin фз
m2 /
+ d2 sin2 ф3 '
di	\
+ cfcg +
COS (р2
m-s
</3 sin2 фз
COS
/ di
633 mo	gjn
— т3
m-2
d2 sin2 <p3
1	2 ctg <рз
+ ф1п2ф3 + Wsm<p3'
1
2
mi
d2^ sin2 фз /	d2^ sin2 ф4
C-isin2ff^ /
mk+i
dk+isin2 Я>*+1 ’
если 4^ k s — 4
Примечание, 0 и s оз-
начают номера свободных кра-
ев складки
100 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
(счетное) множество действительных корней. Мы получим, таким образом,
бесконечное число собственных колебаний складки, представляющей
собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Каждой частоте
собственных колебаний, как вытекает из изложенного, будет соответство-
вать форма колебаний, определенная с точностью до произвольного мно-
жителя (амплитуды колебаний).
Эти формы колебаний образуют фундаментальные функции рассма-
триваемой однородной краевой задачи.
3.	В промышленных сооружениях обычно применяются в качестве
покрытий складчатые системы и своды-оболочки, имеющие на криволи-
нейных краях жесткие в своей плоскости диафрагмы. Эти диафрагмы
обеспечивают для каждой грани на концах шарнирные закрепления.
Граничные условия для такого случая закреплений представляются в сле-
дующем виде:
при z = 0 б» = 0; Gi = 0; )
7 П Г П	(Ы41)
при z = I	— 0 Gi = 0. J	v '
Фундаментальной функцией, удовлетворяющей однородным дифферен-
циальным уравнениям (1.140) и однородным граничным условиям (1.141),
как нетрудно видеть, будет функция
sin (nnz/Z) (n = 1, 2, 3, . .. ,).
Полагая в уравнениях (1.140)
6i (z) = zin sin (плз/Z);
Gi (z) = Gin sin (nnz/l),
где n = 1, 2, 3, .... получим относительно коэффициентов 0jn и Gin по со-
кращении на общий множитель sin (nnz/Z) однородную систему линейных
алгебраических уравнений. Эти уравнения представлены табл. 19, причем
в таблице выписаны лишь множители при неизвестных Qin и Gm, послед-
ние же помещены в верхней строке таблицы. Коэффициенты этих урав-
нений приводятся в табл. 20 и 21.
Приравнивая определитель этой системы нулю, получим уравнение
для определения частот собственных колебаний системы, соответствую-
щих фундаментальной функции sin (nnz/Z).
Однородные алгебраические уравнения с неизвестными oin и Gin
отличаются от уравнений, соответствующих статической задаче, чле-
нами, содержащими частоту v2. Полагая частоту равной нулю, по-
лучим, очевидно, восьмичленные уравнения, относящиеся к статической
задаче. Следует заметить, что частота колебаний входит в коэффициенты
только одного первого квадранта, поскольку дифференциальные урав-
нения колебаний (1.137) отличаются от уравнений равновесия (1.73) чле-
нами с функциями искомых напряжений Oi(z, t) и со вторыми производны-
ми от этих функций.
Вышеприведенные алгебраические уравнения носят общий характер
и выведены для складчатой системы, состоящей из конечного числа гра-
ней со свободными от закреплений и усилий краями (см. рис. 53). Левый
край полигона, согласно принятой расчетной схеме, несет массу, пропор-
циональную половине площади сечения крайней грани, а именно:
т0 = \F-J2g. Инерционная сила, развиваемая этой массой, также должна
быть передана с обратным знаком на основную шарнирно-складчатую си-
стему. Но, так как крайние грани этой системы должны иметь жесткое
соединение со следующими гранями (иначе основная система была бы гео-
метрически изменяемой), то инерционные силы, приложенные в крайних
точках полигона складки, дадут составляющие, действующие в плоскостях
Таблица 24
Симметричное состояние
	°0П		C2n	^2n
« я и	n4nVi	v2	(	Гп2л2	, 31*	Е	Z2	+ 1 1/1 ~ d2	d2	\sin	<рх 1 + ^ctg<Pi)2] + + mi 1 d2 sin2 <pi J	n*n*Fi v2 (mo d2 f 2 6Z4	Я 1 <Z2 d2 "T* Uin *Pi d2 + d2	di	k + - -j -3— ctg Ф1 + 4- ctg фа X aid	d	. /1	d , M x 		Ft- ctg Ф1 + \sin <pi	rfi	) \ mi	Л	। dl	U + ф>п>„(	+'	ф,«	_vLW^_ + ^ctg <p1 + E V2 >isin <pi d . + d Ctg 4,2 ) (sin Ф1 + dl Ctg 4)1 ) + mi ctg <px 1 did sin <pi J	П2Л2 didl2 sin ф1
Статические уравпс	•	п*Я* (Fi +F) v2 fm0 И i 31*	E \d2 /2	d2 d2	di	\2 + 			 + -, ctg Ф1 + 7Г ctS Ф2 I + ysm <pi	did	d	j n2n2	1/1	2 cos (pi + mi z2 + sin^i + did + + U]+. d2/J 1 <Z2sin2<p2f	п<л^_	v2, К /_l_,*ctg(pi + QI* 1 E [c?2 \sin tpi d 6 4 di	\	/ 2	d2+d2 + 51 ctS Ф2 ) (-	F j j cts ч51 + d	/	\sm (pi	did , di	.	\	,	7П1 -Tctg4+«^x у f 1 + — COS фЛ J	—	1 k di	/^d2sin2(p2 J	п2Л2 fd d2l2 \di sin ф1 + С<^ф1+ Ctg фз)
	•	•	5n*n^ _ v2 fmp /_ _1_ di pt + 6Z4	E [c?2 \ sin q>i ~ d _l ctg (p2 'j2-l	—	F d	S ) d2 sin2 ф1 1	M2n2 ,	1	\1 2 \ I2 c?2 sin2 ф2 / J	_ 45! (ctg Ф1 + (Za/2 4 s|[ + ctg фз)
Геометри- ческое уравне- ние	•	•	•	10n4n4d h3l*
Примечание. Точками ф обозначены побочные взаимные коэффициенты,
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
102 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
Обратно симметричное состояние
а
w
to
«5
Е-<
Гл. I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
103
трех последовательных граней у каждого края. Эти силы определены
обычным статическим методом из условия неподвижности крайнего жест-
кого элемента, состоящего из двух граней, закрепленных при наличии
продольных связей неподвижно. Влияние крайней массы т0 в коэффи-
циентах рассматриваемых уравнений отмечено членами, содержащими
эту массу.
4.	В заключение рассмотрим частный случай — пятигранную складку
(рис. 56). Для этого частного случая все уравнения, необходимые для
определения частот собственных колебаний, получат значительные упро-
щения.
Введем следующие обозначения: dx и hx — ширина и толщина бор-
тового элемента; F± = djzx — площадь поперечного сечения бортового
элемента; d и h — ширина и толщина каждой промежуточной грани;
F = dh — площадь поперечного сечения промежуточной грани; срх и
ф2 — углы между двумя смежными гранями.
При выводе уравнений колебаний данной складки по-прежнему будем
считать основными факторами напряженного состояния нормальные
напряжения, возникающие в
четырех вершинах полигона
складки и на двух его краях,
а также поперечные изгибаю-
щие моменты двух промежуточ-
ных ребер. Таким образом, для
решения поставленной задачи
необходимо составить восемь
дифференциальных уравнений
колебаний складки, как было
указано выше в п. 1, которые
позволят в дальнейшем перейти
к уравнению частот (см. п. 2 и
п. 3).
Однако можно упростить ре-
шение поставленной задачи, при-
меняя хорошо известный в строительной механике метод группировки неиз-
вестных, учитывая, что рассматриваемая складка имеет вертикальную ось
симметрии. Исходя из симметрии системы, можем утверждать, что пере-
численные основные факторы — продольные напряжения и изгибающие
моменты — в симметричных точках поперечного сечения при колебаниях,
соответствующих определенной частоте, будут равны как по величине,
так и по знаку (симметричные колебания) или равны по величине, но об-
ратны по знаку (обратно симметричные колебания). Следовательно, рас-
сматривая отдел! но симметричные или обратно симметричные колебания,
мы можем принять за основные факторы напряженного состояния про-
104 Расчет, обол очек смешанным вариационным методом без учета деформации сдвига
дольные напряжения и моменты, относящиеся к одной только половине
складки: o0(z, Z), o1(z, i), o2(z, i) и G2(z, /). На другой половине эти напря-
жения и моменты по отношению к первым будут или симметричны или
обратно симметричны.
Мы можем получить таким образом для рассматриваемой складки
при помощи общих уравнений (1.138) две независимые системы диффе-
ренциальных уравнений колебаний.
Эти уравнения в развернутом виде приводятся в табл. 22 для случая
симметричных колебаний и в табл. 23 для случая обратно симметричных
колебаний. Как в том, так и в другом случае в таблицах для сокращения
письма выписаны лишь коэффициенты при неизвестных и их производных;
последние же выписаны в верхней и нижней строчках.
В табл. 24 и 25 приводятся однородные алгебраические уравнения,
соответствующие этим дифференциальным уравнениям и выведенные
в предположении, что складка по концам шарнирно опирается на диа-
фрагмы.
Указанные уравнения позволяют обследовать колебания различных
конструкций, которые по своей структуре могут быть представлены в виде
симметричной пятигранной складки.
Весьма распространенным типом таких конструкций является корпус
корабля. Если последний в поперечных сечениях будет иметь подкреп-
ляющие шпангоуты (рамы) (рис. 57), то для расчета такой конструкции,
согласно представленной схеме, влияние их можно учесть путем введе-
ния приведенной толщины складки h, определяемой по формуле
Л =	127^хп/^хп,	•
где — момент инерции шпангоута с обшивкой длиной /ш; £ш — рас-
стояние между шпангоутами.
Г лава II
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ
К РАСЧЕТУ ТОНКОСТЕННЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
§ 1. Анализ работы складчатой оболочки
в зависимости от условий, заданных на поперечных краях
Применим изложенную выше теорию к расчету некоторых оболочек.
В качестве первого примера рассмотрим пятигранную оболочку (рис. 58).
Геометрические размеры оболочки:
пролет в направлении образующей........... Z	= 10 м
пролет в поперечном сечении............... Ъ	= 4 м
бортовой элемент (грани 1 и 5):
высота (ширина грани).................... di	=	0,4 м
толщина.................................. 61	=	0,12	м
промежуточные грани (2, 3 и 4):
ширина..................................... d	=	1,42	м
толщина.................................... 6	=	0,06	м
Для простоты возьмем нагрузку вертикальную, равномерно распреде-
ленную вдоль ребер, интенсивностью соответственно рх, р2, р3, рх [по-
гонные поперечные нагрузки (рис. 58, а)].
Исходя из указанных размеров (и конфигурации; рис. 58, б), вычислим
углы взаимного наклона граней:
Ф1 = ф4 и ф2 = фз = 90° — Ф1 = ф;
sin ф! = 1,29/1,42 = 0,90845; cos ф! = 0,41800;
ф! = arc sin ф! = 65°17,5'; ф = 24°42,5'; sin ф = 0,41800.
Углы фц ф2, Фз» характеризующие направление действия нагрузки
ио отношению к граням; равны:
Ф1 = фь Фг = 90°; фз = 90° + ф.
Таблица 26
<5. G	-'от	3lm	$2пг	6^2m	Свободные члены
0	F1 fjM4 3 \ I J	£1(Цт V 6 \ I I	0	1 did sin (pi	P2-A di m
1	~6~ \“T /	Fl + F / HmV • 3 [i )	£7M4 6 \ i 1	— WctS + ctg Ф + —Д 'l d2 \	di sin (pi /	LPL + ^PL\ Am \ di d sin q> /
2	0	F ( HmV 6 \ i i	5F 6 \ I )	-L (ctg q>i + ctg q>) a2	f P2 \ A 1	I	1 ^-rn \	a sm cp /	1
2	1 did sin <pi	if	d \ - & ^tgqn + ctgq; + disinq)1 )	1 ~y? (ctg <Pi + ctg q>)	10rf ~ 63	0
Таблица 27
G0m		
S3 — ”.	- 7,2 lOrf 0	63 lOd bobl	63 10rf b<>bi
83 r, Ш bobl	83 			 k2 Wd	68 lOd 6162
88 lt lOrf 6062	S3 lOrf blbi	63 	У	 J2 lOd 2
106 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Тл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 107
В гл. I, § 7 приведена матрица системы дифференциальных уравнений
для самого общего случая пятигранной складки (табл. 3).
Рассмотрим случай только симметричной задачи, так как принципиаль-
но он не отличается от случая обратно симметричного и от общего случая
несимметричной задачи.
Для случая симметричной нагрузки, т. е. при рг = р4ир2 = р3, система
дифференциальных уравнений представлена в табл. 4. Свободные члены
определяются по формулам (1.89), причем в последних нужно положить
р0 = 0, так как нагрузка по свободному прямолинейному краю отсутствует.
Разложим напряжения оДз), моменты G2(z) и нагрузку Gji(z) в ряды
по фундаментальным функциям:
<5fe(z)= ^km^rn. (z); G2 (z) = 2 G2mZm(z), Rk(z) = 2 ^kmZm(z)- (II.1)
m	m	m	f
Подставляем"! данные разложения в табл. 4. Замечая, 4toZ^(z) =
И4
= Zm(z) и сокращая уравнения равновесия на Zm (z), а уравнения де-
формаций на Zm(z), получим матрицу для определения коэффициентов
сцт и G2m. Эта матрица представлена в табл. 26.
В указанной таблице параметр цт зависит от вида граничных усло-
вий по криволинейному краю и от номера разложения. Значения этих
параметров даны в начале табл. 12—17 соответствующих фундаменталь-
ных функций.
Коэффициент Льп вычисляется, как указывалось, по формуле
Rkm = RkAm	(П.2)
и, следовательно, тоже зависит как от вида граничных условий по кри-
волинейному краю, так и от номера члена разложения. Значения коэф-
фициентов Ат для равномерно распределенной нагрузки единичной
интенсивности приведены в табл. 18.
Из табл. 26 видно, что только коэффициенты первого квадранта и
члены, зависящие от нагрузки, изменяют свою величину в зависимости
от вида граничных условий и номера члена разложения; коэффициенты
же второго, третьего и четвертого квадрантов при этом остаются неиз-
менными.
Следовательно, результаты расчета оболочки с какими-либо гранич-
ными условиями на поперечных краях могут быть легко использованы
при расчете на ту же нагрузку оболочки того же поперечного сечения
с другими граничными условиями на поперечных краях и, разумеется,
другого пролета.
Пролет последней оболочки определяется из условия равенства зна-
чений рт/1 для обеих оболочек; при этом для получения коэффициентов
в разложениях для напряжений и моментов не требуется решать сис-
тему алгебраических уравнений. Эти коэффициенты получаются путем
умножения 6fem и G\m рассчитанной ранее оболочки на одно и то же
число, равное отношению Ат рассчитываемой оболочки к Ат рассчи-
танной.
Таким образом, расчет одной оболочки содержит в себе результаты
расчета оболочек с другими условиями на поперечных краях и с дру-
гими пролетами.
Мы, однако, собираемся провести анализ для оболочек с различными
условиями на поперечных краях, но при одинаковом пролете.
Выразим в последнем уравнении табл. 26 неизвестное G2m через
неизвестные аот, о1т и б2т:
фз
G2m —	(^0°0т + ^1<51т + b262m)-	(П.З)
108 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Для сокращения записи мы обозначили:
1	а .
~j , .- --- UQ,
oiasmcpi
- i (ctg Ф1 + ctg Ф + ;^L_) = Ь1,-
i (ctgq>i + ctg q>) = 62.
(ПЛ)
Если в первые три уравнения вместо (?2т подставить его выражение-
через бот, б1т, б2т по формуле (И.З), то можно получить дополнитель-
ную таблицу или матрицу коэффициентов при бот, <з1т, б2т (табл. 27),
величины которых необходимо прибавить к основным значениям коэф-
фициентов, представленным первым квадрантом (табл. 26).
Коэффициенты первого квадранта и члены от нагрузки сведены в от-
дельную таблицу под названием «Основная матрица» и представлены
в табл. 28. Из этих двух матриц только основная зависит от граничных
условий (другими словами, от вида фундаментальной функции) и от но-
мера члена разложения. Складывая обе матрицы, получаем матрицу си-
стемы трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными. Разрешая:
Основная матрица
Таблица 28
30m	3im	°2m	Свободные члены
Fi fHmV 3 Д i J	A /{V V 6 \ I J	0	-^,1 di m
Fl /HrnV e \ d	Fi + F (Pm V 3	\ I )	F /Pm)4 6 \ I )	(_PL , ...--PL-Л ,A \ di r d sin <p/ •
0	a. I	5F pm У 6 \ I )	--^~A d sin <p m
эту систему, определяем коэффициенты оот, о1т, о2т разложения напря-
жений в ряд по соответствующим фундаментальным функциям.
Сами напряжения равны:
(^) ~ Zm (2);
т
°i (2) = 3 6jmZm(z); I	(II.5)
т	।
22 (z) — 2	(z), I
m	'
Определив o0m, olm, o2m, при помощи формулы (II.3) находим G2m.
Момент G2 равен
G2(z)-3G2mZm(Z).	(II.6>
m
В нашем случае:
Ь° d rfxsin <рх = 0,40-1,42-0,9085 = 1,938 M
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 109
di sin <pi /
^ = — 3,244 м~2;
= — A. (ctg ф1 + ctg ср + - d
= ~ М» (°>4601 + 2,1734 + 0 4.0;д085
&2 3 -5г(с1ёФ1 + <^ф) =	-(0,4601 + 2,1734) = 1,306 м~2 3-,
__ 0,Об3  о 1 521 • 1О-4 л?2
16Т ~ 10-1,42 ~идь21 .м 
Дополнительная матрица в числовом выражении представлена
а табл. 29.
Таблица 29
Дополнительная матрица
бо	Si	62
0,5713-IO"4	—0,9563 -10-4	0,3850-10-4
—0,9563-10-‘	1,6007-10-4	-0,6444-1О*4
0,3850-10-‘	—0,6444-10-4	0,2594-IO"4
'Займемся основной матрицей:
Л/3 = 0,4-0,12/3 = 0,016 м2-,	м2-,
F/6 = 1,42-0,06/6 = 0,0142 м2;
F/3 = 0,0284 .и2; (Л\ + F)/3 = 0,0444 м2; 5F/6 = 0,0710 м2.
Нагрузку принимаем
Pi = 0; р2 = 100 кг[м,
тогда:
p2/^sincp = 100/1,42-0,418 = 168,475 кг/м2.
Преобразованная основная матрица дана в табл. 30.
Рассмотрим три случая граничных условий по криволинейным краям.
1) Свободное опирание на обоих концах
Возьмем два члена ряда — первый и третий. Из табл. 12 и 18
рх = 3,1416; рз = 9,4248;
Hi = 1,2732; Л3 = 0,4244;
= 97,41-10"4 м~*.
Следовательно:
(IM)4 = 7890,2-Ю-4 м~4.
2) Жесткое закрепление на обоих криволинейных краях оболочки
Возьмем также два члена разложения. Из табл. 13 и 18
рх =4,730; (-^У = 500,6-10-4л4-‘; Лх = 0,8164;
Из = 10,996; (-*А)4 = 14620,0-10~4 м~*; А3 = 0,3638.
3) Жесткое закрепление оболочки на одном криволинейном краю и сво-
бодное опирание на другом
110 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Для этого случая произведем расчет на три члена разложения.
Из табл. 16 и 18
Pi = 3,9266;	= 237,7 • 1(Г4 м~4; Лх = 1,2168;
14 = 7,0685; (-^У = 2496,4-10~4 дГ4; Л2 = —0,1169;
Рз = 10,210; (Jp)4 = 10867,0-10~4 лГ4; Л3 = 0,4729.
Таблица 30
Основная матрица
®1т
®2т
Свободные члены
0,008
0,008
0.0444
0,0142
168,48Лт
0,0710
— 168,48Лт
0
Подставляя в основную матрицу (табл. 30) значения (pm/Z)4 и Ат для
каждого случая и складывая ее с дополнительной матрицей (см. табл. 29),.
постоянной для всех этих случаев, получаем суммарные матрицы (табл. 31).
Каждая матрица представляет собой систему трех алгебраических урав-
нений с тремя неизвестными оот, о1т, о2т, являющимися коэффициентами
разложения искомых напряжений Oo(z), o1(z), o2(z) в ряд по соответствую-
щим функциям. Результаты решения этих систем приведены в табл. 32.
Зная коэффициенты оот, о1т, о2т, можно найти напряжения в любом
месте по пролету оболочки.	\
Найдем напряжения и моменты в следующих сечениях оболочки как
наиболее характерных и важных для расчета:
а)	для случая свободного опирания оболочки на обоих концах —
в середине пролета, т. е. при z = 1/2, или в относительных координатах
(для которых вычислены таблицы фундаментальных функций) при | = 0,5;
б)	для случая заделки оболочки на обоих краях — в двух сечениях:
в месте заделки при £ = 0 и в середине пролета при £ = 0,5;
в)	для случая заделки на одном краю и свободного опирания на дру-
гом — в двух сечениях: в месте заделки при £ = 0 и на расстоянии 0,4Z
от места заделки, т. е. при | = 0,4. Так как все расчеты были произведены
в килограммах и метрах, то для получения напряжений в кг/см2 нужно
разделить величину найденных напряжений на 10 000.
Кроме того, надо умножить полученные значения коэффициентов
на значения фундаментальной функции (или на значение второй произ-
водной от соответствующей фундаментальной функции) в требуемом месте.
Произведя указанные вычисления, можно получить величины напря-
жений в кг/см2 и моментов в кгсм/см. Результаты расчетов показаны на
рис. 59 (слева — напряжения, справа — моменты); сплошными линиями
показаны эпюры о и G при учете первого члена, пунктирными — при
учете трех членов (цифры в скобках).
Гл. 11. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 111
Таблица 31
Суммарные матрицы
3 № члена разложения	\	5о	51	52	Свободные члены
Первый	а) Свободное опирание на обоих концах			
	2,1299-Ю-4	—0,1770-Ю-4	0,3850-Ю-4	0
		5,9257-Ю-4	0,7388-Ю-4	214,51
			7,1755-Ю-4	—214,51
	126,81-Ю-4	62,164-Ю-4	0,3850-Ю-4	0
Третий		351,93-1О-4	111,396-Ю-4	71,50
			560,46 -10-4	—71,50
Первый	б) 8,5817-Ю-4	Заделка на 3,0489-Ю-4	обоих кон 0,3850-Ю-4	ц а х 0
		23,830-Ю-4	6,4648-1О-4	137,63
			35,805-Ю-4	—137,53
	234,48-Ю-4	116,00-Ю-4	0,3850-Ю-4	0
Третий		650,71-Ю-6	206,96-Ю-4	61,29
			1038,26 -Ю-6	—61,29
Первый	в) С В О б 4,3747-1О-4	Заделка и; одное опир 0,9454-Ю"4	ОДНОМ ко а н и е и а д ] 0,3850ЛО'4	н ц е, у г о м 0
		12,1550-Ю-4	2,7311-Ю-4	204,99
			17,137-Ю-4	—204,99
	40,513-Ю-4	19,015-Ю-4	0,3850-Ю-4	0
Второй	•	112,44-10-4	34,805-Ю-4	— 19,695
			177,50-Ю-4	19,695
	174,45-Ю-4	85,982-Ю-4	0,3850-Ю-4	0
Третий		484,10-Ю-4	153,67-10"4	79,673
		1	771,83-Ю-4	—79,673
112 'Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Таблица 32
Граничные условия	№ члена разложения	бо	61	б2
Свободное опирание на обоих краях	Первый Третий	—96473,8 1397,4	—408040 —2862,1	346123 1843,6
Заделка' на обоих краях	Первый Третий	24269,4 704,76	—74834,3 —1427,62	51662,2 917,38
Заделка на одном краю, свободное опирание на другом	Первый Второй Третий	30985,2 —1126,61 1141,72	—205,121 2432,43 —2323,16	151613 —1584,06 1494,35
Для правильного суждения о том, сколькими членами ряда можно
ограничиться при практических расчетах, в качестве эталона для сравне-
ния произведем точный расчет для нагрузки, равномерно распределенной
Таблица 33
б, G 1 № peOep^^J	Зо		32	Gi	Свободные члены
0	0,016	0,008	0	1,9380	0
1	0,008	0,0444	0,0142	—3,2440	168,475
2	0	0,0142	0,0710	1,3060	—168,475
2	1,9380	—3,2440	1,3060	—65740,74	0
	бо	б!	62	G2	\
вдоль ребра 2. Ограничимся одним случаем граничных условий, а именно
случаем свободного опирания оболочки на обоих краях; принцип расчета
останется верным, конечно, и для любых других видов граничных усло-
вий.
Дифференциальные уравнения в числовых величинах имеют вид, пред-
ставленный в табл. 33; нагрузка р2 = 100 кг/м.
Из первых трех дифференциальных уравнений (уравнения равновесия)
выразим вторые производные от напряжений через момент G2 и члены
от нагрузки:
о; = — 180,686 62 + 2691,30;
о; = 119,121 G2 —5382,59;	(П.7)
а" = —42,2186 G2 —3449,41. J
Четвертое уравнение (условие неразрывности деформаций) дважды
продифференцируем и вставим в него найденные выше выражения вторых
производных от напряжений.
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций ИЗ
Рис. 59
8 В. 3. Власов, т. III
114 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Получим одно неоднородное дифференциальное уравнение для G3 чет-
вертого порядка, линейное с постоянными коэффициентами:
G2iv + 0,0120433G2 - 0,413470 = 0.	(П.8)
Характеристическое уравнение однородного дифференциального урав-
нения, соответствующего неоднородному (II.8):
/с4 + 0,0120433 = 0.
Корни его
k = а(± 1 ± i)>
где
а = 0,234246.
Следовательно, интеграл однородного уравнения можно выразить
C2(z) — Л1Ф1(г) + Л2Ф2(г) + Л3Ф3(г) + Л4Ф4(г),
где Av Л2, As, А4 — произвольные постоянные, а функции Ф{ определя-
ются по формулам:
Ф4 — cha z sin a z;	Ф2 = ch a z cosaz;	(II.9)
Ф3 = sh a z cos a z;	Ф4 = sh a z sin a z.
Значения функций Фх, Ф2, Ф3, Ф4 даны в табл. 34 для разных z, считая
начало координаты z в середине ребра 2.
Частный интеграл неоднородного уравнения (II.8) можно представить
в виде
G’2 = 0,4134/0,01204 = 34,33
и, следовательно, общий интеграл неоднородного уравнения (II.8) будет
G2(z) = ЛХФХ + Л2Ф2 + Л3Ф3 + Л4Ф4 + 34,33.	(11.10)
Таблица 34
Z	az	Фх = ch az sin az	ф2 = ch az cos az	Ф, = sh az cos az ’	Ф4= sh az sin az
0 м	0	0	1	0	0
1 »	0,233246	0,238508	0,999500	0,229940	0,054870
2 »	0,468492	0,502007	0,991975	0,433476	0,219369
3 »	0,702738	0,812571	0,959377	0,581480	0,492501
4 »	0,936984	1,186134	0,871771	0,639734	0,870424
5 »	1,17123	1,628713	0,687764	0,567176	1,343144
Зная общий интеграл G2, при помощи (II.7) получим общие интегралы
вторых производных от напряжений:
0"(2) = — 180,686 (ЛХФ4 + Л2Ф2 + Л3Ф3 + Л4Ф4) — 3511,99;
6j(z) = 119,121 (Л4ФХ + Л2Ф2 + Л3Ф3 + Л4Ф4)- 1292,94;
б" (z) = — 42,2186 (ЛХФ1 + Л2Ф2 + Л3Ф3 + Л4Ф4) + 1999,97.
[ (11.11)
Чтобы получить интегралы самих напряжений, необходимо два раза
проинтегрировать выражения (II.11) по переменной z; при интегрирова-
нии появятся для каждого напряжения по две новые константы:
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 115
Go (Z) = — 1646,45 (— ЛХФ3 + Л2Ф4 + Л3ФХ — Л4Ф2) —
— 1756,00z2 + I\z -f-£0;
6i (z) = 1085,46 (— ЛХФ3 Л2Ф4 Л3ФХ -— Л4Ф2) —
— 646,472z2 + Dxz + £x;
б2 (Z) = —384,706 (— ЛХФ3 + Л2Ф4 + Л3ФХ — Л4Ф2) +
+ 999,985z2 + D2z + E2.
В этих выражениях члены, содержащие z2, произошли от частного ин-
теграла неоднородного уравнения (П.8) и являются частными интегра-
лами напряжений; прочие члены — это интегралы однородных уравне-
ний; Do, Dlt D2, Ео, Ег, Е2 — новые константы; они не являются незави-
симыми между собой. Если подставить напряжения (11.12) и вторые про-
изводные моментов G2 (11.10) в четвертое уравнение табл. 33 (уравнение
неразрывности деформаций), то гиперболо-тригонометрические части ин-
тегралов будут совместно удовлетворять уравнению; частные интегралы
будут удовлетворять уравнению по самому способу получения этих част-
ных интегралов. Новые же константы должны быть подобраны так, чтобы
удовлетворялось четвертое уравнение. Следовательно, из шести новых
констант только четыре будут независимы, а две будут их линейными ком-
бинациями. Они должны удовлетворять уравнениям:
1,93802) 0 - 3,24402) х + 1,3060 2) 2 = 0;
1,93802?0 - 3,2440 Et + 1,3060Е2 = 0.
Принимая за независимые константы 2)0, 2)х, Ео, Ег. найдем:
2)2 = 2,483922)х - 1,48392 2)0; Е2 = 2,48392ЕХ - 1,48392Е0.
Интегралы напряжений можно теперь написать в таком виде:
б^ (z) •— — 1646,45 (— ЛХФ3 Л2Ф4 Л3ФХ — Л4Ф2) —
— 1756,00 z2 + 2)0z 4- 2?0;
бх (z) = 1085,46 (— Л1Ф3 Л2Ф4 Л3Ф1 — Л4Ф2)
— 646,472z2 + Dtz + Ег,	(П‘ >
' б2 (z) = — 384,706 (— ЛхФз Л2Ф4 -j- Л3Ф1 — Л4Ф2)
+ 999,985г2 + 2,48392 (2)хг + Ех) — 1,48392 (2)oz + Ео). ,
Четыре новые константы подобраны теперь так, что четвертое урав-
нение, т. е. уравнение неразрывности деформаций, удовлетворяется.
Так как в данной задаче внешние силы вертикальные, продольные края
оболочки свободны, а по торцам оболочка свободно опирается, то напря-
жения должны быть таковы, что в каждом поперечном сечении оболочки
(при любом г) они должны взаимно уравновешиваться.
Те члены общих интегралов напряжений, которые содержат гипер-
боло-тригонометрические функции и частные интегралы, удовлетворяют
этому условию равновесия, так как они входят во вторые производные от
напряжений, а эти последние удовлетворяют уравнениям равновесия
(первым трем уравнениям системы табл. 33). Новые константы должны
также удовлетворять этому условию равновесия:	’
8*
116 Расчет оболочек смешанным вариационным, методом, без учета деформаций сдвига
или в числах (по сокращении на F/2):
0,56338<г0 + 1,563380! + 2<г2 = 0.	(11.14)
Условие (П.14) по подстановке в него значений общих интегралов
напряжений (П.13) дает два уравнения: одно связывает между собой кон-
станты и Do (члены при z), другое связывает константы Ег и Ео:
— 2,4О446.2?о + 6,531227?! = 0;
— 2,4О446Ро + 6,53122£1 = 0.
Отсюда
#i = O,3681492?o; Dx = 0,368149 Do.	(II.15)
Выберем начало координаты z в середине пролета, тогда в силу симме-
трии относительно начала z = 0 интегралы G2 и а* должны быть четными
функциями относительно координаты г. Удерживая в интегралах (II.10)
и (II.13) только четные функции (коэффициенты при нечетных функциях
полагаем равными нулю) и принимая во внимание (II.15), получаем
G2(z) = -4 2Ф2 +	+ 34,33;	-
о0(г) = -1646,45 (Л2Ф4 - Л4Ф2) - 1756,00г2 + Ео;
<Ti(z) = 1085,46(Л2Ф4 — Л4Ф2) - 646,472г2 + О,368149Ео;
<r2(z) = —384,706] (Л2Ф4 - Л4Ф2) + 999,985г2 - 0,569467#о.
В этих интегралах три константы: Л2, Л4 и Ео, которые следует опреде-
лить из граничных условий. На границе при z = Ц2 следует положить
четыре условия:
G2(Z/2) = 0; о0(//2) = 0; at(l/2) = 0 и <r2(Z/2) = 0;
но напряжения огА уже связаны между собой одним условием, а именно:
их проекции на ось z взаимно уравновешиваются, поэтому условий будет,
по существу, три, так как одно из условий, относящихся к напряжениям,
будет следствием двух остальных. Итак, потребуем, чтобы при z = 1/2 —
= 5 м обращались в нуль интегралы (?2, а0 и ах.
Значения функций Ф; при z — 5 следующие (табл. 34):
Ф2 = 0,687764; Ф4 = 1,343144.
Граничные условия на торце z = 1/2 = 5 приводят к трем алгебраи-
ческим уравнениям:
О,687764Л2 + 1,343144Л4 - 34,33 = 0;
-1646,45(1,343144Л, - О,687764Л4) + Ео - 1756-25 = 0;
1085,46(1,34314442 - О,687764Л4) + О,368149#о - 646,472-25 = 0.
Решая эту систему уравнений, находим значения произвольных по-
стоянных:
А2 = - 10,3696; Л4 = — 20,2510; Ео = 43899,9.
Таким образом, получаем выражения для момента (?2 и продольных
нормальных напряжений ай:
G2(z) = —10,3696Ф2 - 20,2510Ф4 + 34,33;
<r0(z) = —33342,ЗФ2 + 17073,0Ф4 - 1756,00г2 + 43899,9;
at(z)= 21981,7Ф2 - 11255,8Ф4 - 646,472г2 + 16161,7;
а2(г) = —7790,68Ф2 + 3989,25Ф4 + 999,985г2 — 24999,5.
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 117
Моменты имеют размерность кгм!м, а напряжения —	.
Подсчитаем величины момента и напряжений в середине пролета
(при z = 0), где Ф5 = 1 и Ф4 = 0:
G2 =23,96 кгсм/см-, сг0 =1,056 кг/см2-, п1 = 3,814 кг/см2',
п2 = — 3,279 кг! см2.
Сравнивая полученные результаты с результатами расчета при помощи
фундаментальных функций (рис. 59), видим, что два члена разложения
в ряд по фундаментальным функциям — первый и третий — дают погреш-
ность менее 3% в напряжениях и полное совпадение в моментах. Для
практических целей можно было бы ограничиться даже одним членом
разложения (ошибки в напряжениях <10%, в моментах — <2%).
Проделан также расчет на сосредоточенную силу, приложенную в сере-
дине второго ребра. При этом был использован как метод разложения
в ряд по фундаментальным функциям, так и точный метод. Результаты
расчета приведены в табл. 35.
Таблица 35
	Члены разложения	^0 В К8/СМ2	<51 В КЗ/СЛ12	32 в KejCM*	 G2 в кг
сб 1=1 »s	Первый		+0,150	0,633	—0,577	3,80
*©< н	Третий		—0,058	0,120	—0,077	0,10
О Н" и й	Пятый 		—0,022	0,044	—0,028	0,02
и ч >>	Седьмой 		—0,010	0,020	—0,013	0,00
к Рч					
И 2 Q й й	Сумма первого и третьего	0,092	0,753	—0,614	3,90
и « ф сб	Сумма первого, третьего и				
К « £ м	ПЯТОГО 		0,070	0,797	—0,642	3,92
2 ®	Сумма первого, третьего, пя-				
сб Рч	того и седьмого		0,060	0,817	—0,655	3,92
	По точному методу		0,024	0,886	—0,699	3,92
Из этих результатов следует, что если для случая распределенной на-
грузки можно было ограничиться даже одним первым членом разложе-
ния, а два приближения давали практически точный результат, то в случае
сосредоточенной силы уже нельзя ограничиваться одним первым членом
ряда, а нужно брать несколько членов разложения — три и более.
§ 2. Влияние формы поперечного сечения.
Недостатки безмоментной теории
В § 1 рассмотрено влияние граничных условий по криволинейным
краям оболочки на ее напряженное состояние. При этом исходили из диф-
ференциальных уравнений, представленных в табл. 26, причем форма
поперечного сечения оболочки, ее размеры, величина и приложение на-
грузки оставались неизменными.
Теперь, исходя из той же системы дифференциальных уравнений
(табл. 26), проследим влияние на напряженное состояние оболочки формы
ее поперечного сечения. Оставляя неизменными ее размеры, нагрузку
и граничные условия на криволинейных краях (ограничимся случаем
свободного опирания на обоих краях и притом только первым членом
118 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
разложения), будем только менять направление бортового элемента:
переменным будет, следовательно, угол фх.
Выше был рассмотрен случай, когда бортовой элемент направлен вер-
тикально вниз; в этом случае <рх = 65°17,5'.
Рассмотрим еще следующие случаи:
а)	бортовой элемент горизонтальный и направлен наружу; этому
соответствует значение <рх = 65°17,5' — 90° = — 24°42,5'.
б)	бортовой элемент направлен вертикально вверх: этому соответствует
ф1 = 65°17,5'—180° = —114°42,5';
в)	бортовой элемент горизонтальный и направлен внутрь оболочки;
в этом случае Ф1 = 65°17,5' + 90° = 155,17,5'.
Из рассмотрения табл. 26 заключаем, что изменение направления бор-
тового элемента сказывается только на величине коэффициентов второго
и третьего квадрантов, зависящих от угла <pv
Таким образом, основная матрица оказывается постоянной, а допол-
нительная, являющаяся результатом исключения из системы уравнений
момента G2,— переменной. Вычислив по формулам (II.4) коэффициенты
&0, ^1, ^2 и произведя над ними надлежащие операций (табл. 27), получим
дополнительные матрицы для рассматриваемых случаев (табл. 36). При
Таблица 36
Наименование бортового элемента	So	. ^1	32
Г оризонтальный	(наружу или	2,6984-10-*	-2,6984-10-*	0
внутрь)	—2,6984.10-*	2,6984-10-*	0
	0	0	0
Вертикальный (вверх)	0,5713-10-*	-0,1863-10-*	-0,3850-10-*
	-0,1863-10-*	0,0608-10"*	0,1256-10-*
	-0,3850-10-*	0,1256-10-*	0,2594-10-*
горизонтальном расположении бортового элемента (Ь2 = 0) они будут одина-
ковы независимо от того, направлен бортовой элемент внутрь оболочки
или наружу.
Эти случаи в отношении продольных нормальных напряжений, оче-
видно, также будут одинаковы; они будут отличаться друг от друга только
знаком момента G2 (абсолютная величина момента будет одинакова).
Складывая дополнительные матрицы с основной для данного случая
(см. табл. 31), получим системы алгебраических уравнений для определе-
ния коэффициентов сг0, о'1, <г2. Решив эти системы уравнений, определив
для каждого случая G2 и перейдя совершенно аналогично, как в разобран-
ных выше примерах, к напряжениям и моменту в середине пролета обо-
лочки, получим таблицу напряженного состояния оболочки в зависимости
от изменения ее формы (табл. 37) для первого члена разложения искомых
функций в ряд по фундаментальным функциям.
Для сравнения в указанной таблице приведены продольные нормаль-
ные напряжения, полученные в результате расчета этой же оболочки по
безмоментной теории. Уравнения для данного случая легко получаются
из общей системы уравнений (см. табл. 26) путем приравнивания нулю
момента G2 и отбрасывания последнего (четвертого) уравнения системы.
Очевидно, что при расчете по безмоментной теории остается одна только
основная матрица системы, а дополнительная матрица — нулевая (в ней
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 119
все коэффициенты равны нулю). Влияние формы поперечного сечения
оболочки, таким образом, не учитывается, и все четыре случая, рассмот-
ренные выше в отношении напряженного состояния, по безмоментной
теории совершенно одинаковы. Рассмотрение табл. 37 убедительно по-
казывает, что результаты расчета по безмоментной теории сильно рас-
ходятся с результатами расчета по изложенной здесь моментной теории.
Это расхождение не является случайным. Оно объясняется принципиаль-
ными дефектами, лежащими в основе безмоментной теории оболочек.
Таблица 37
Поперечное сечение	<3о	<31	<32	Gi
2|				
	0,952	4,027	—3,416	24,17
Z7 ’				
1^2\	—2,787	6,962	—4,694	52,60
^—/г\	1,947	4,319	—3,925	23,68
0 1	।				
z|	1,947	4,319	—3,925	—23,68
Форма безразлична по безмомент- ной теории		—3,472	6,944	—4,450	0
Безмоментная теория в применении к призматическим оболочкам
получается как частный случай изложенной здесь моментной теории.
Полагая в восьмичленных уравнениях (1.73) все моменты Gk равными
нулю и отбрасывая в соответствии с этим все уравнения второй группы
(уравнения деформаций), получаем трехчленные статические уравнения
относительно продольных нормальных напряжений o7t безмоментной
оболочки. Пренебрегая условиями неразрывности деформаций, мы исклю-
чаем все геометрические факторы, характеризующие форму поперечного
сечения оболочки. Основной недостаток безмоментной теории и состоит
именно в том, что коэффициенты трехчленных статических уравнений
этой теории (коэффициенты первого квадранта общей восьмичленной
матрицы) определяются только площадями поперечных сечений пластинок
и совершенно не зависят от формы поперечного сечения оболочки. Табл. 37
показывает, к каким грубым ошибкам может привести пользование без-
моментной теорией, даже если интересоваться не самим моментом, а только
продольными напряжениями. В крайней грани бортового элемента (или
крайней пластинке) напряжения в зависимости от формы поперечного
сечения (собственно только в зависимости от направления одного борто-
вого элемента) получают ряд значений: 0,952, —2,787, 1,947, тогда
как по безмоментной теории во всех случаях это напряжение равно
—3,472.
120 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Из этого анализа следует, что роль вводимых в расчет поперечных
изгибающих моментов состоит главным образом в том, что при помощи
этих моментов учитывается весьма существенный фактор в работе оболоч-
ки, а именно форма поперечного сечения. Принципиальный же недостаток
безмоментной теории призматических оболочек, принадлежащей немецким
авторам Элерсу, Эбнеру и др., как и безмоментной теории цилиндрических
сводов-оболочек, предложенной ранее немецким автором Дишингером,
состоит именно в том, что их теория построена на физических предпосыл-
ках, не имеющих ничего общего с действительной работой оболочек как
растяжимых и изгибаемых статически не определимых тонкостенных си-
стем.
Заметим кстати, что расчет открытых призматических оболочек на
основе общей теории тонкостенных стержней является более обоснованным,
чем расчет по безмоментной теории. Это следует из того, что теория тонко-
стенных стержней, рассматривающая их как оболочки с жестким конту-
ром и выраженная законом секториальных площадей, отображает неявно
как форму поперечного сечения, так и поперечные изгибающие моменты,
что подробно показано в наших прежних работах.
§ 3.	Анализ работы оболочки в зависимости от граничных условий,
заданных на продольных краях
Рассмотрим четырехгранную оболочку, имеющую поперечное сечение,
показанное на рис. 60. Такая оболочка может быть применена, например,
в конструкции балкона зрительного зала театра. Будем считать, что на
поперечных краях оболочка имеет свободное опирание. Такого рода гра-
ничные условия, как уже указывалось, дают возможность применить
к решению задачи тригонометрические ряды; при этом ограничимся одним
первым членом разложения, так как нагрузка предполагается равномерно
распределенная вдоль ребер, а в таких случаях первый член разложения
дает достаточную для практических целей точность. Что же касается
граничных условий по прямолинейным краям, то край, соответствующий
ребру 0, во всех ниже рассматриваемых случаях полагаем свободным,
а на краю, соответствующем ребру 4, будем давать различные условия.
При этом рассмотрим следующие четыре случая:
1)	оболочка по краю 4 свободно опирается на жесткую в своей плоскости
и гибкую из своей плоскости продольную стену (рис. 60, а):
2)	оболочка присоединена к стене жесткой в своей плоскости и гибкой
из своей плоскости таким образом, что в месте присоединения (ребро 4)
оболочка лишена продольной подвижности (рис. 60, б);
3)	оболочка шарнирно присоединена к стене жесткой в своей плоскости
и жесткой из своей плоскости таким образом, что по ребру 4 оболочка
лишена продольной подвижности и подвижности в горизонтальной плос-
кости (рис. 60, в). Напомним, что в вертикальной плоскости (в плоскости
стены) оболочка лишена подвижности во всех этих трех случаях;
4)	по краю 4 оболочка жестко заделана (рис. 60, г).
В соответствии с изложенным в § 8 гл. I об учете граничных условий
по продольным краям оболочки следует исходить из общей матрицы вось-
мичленных дифференциальных уравнений для оболочки, имеющей на одну
грань больше; здесь имеется в виду фиктивная грань — в нашем случае
пятая, присоединенная к оболочке по ребру 4. Наделяя эту фиктивную
грань в зависимости от вида граничных условий по ребру 4 теми или дру-
гими свойствами, получим для каждого вида перечисленных выше гра-
ничных условий свою матрицу дифференциальных уравнений. Общая
матрица для оболочки, имеющей 4 + 1=5 граней, легко составляется
по общим формулам § 8 гл. I. В качестве неизвестных в этой матрице
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 121
будут: напряжения сг0, ах, ст2, ст3, ст4 по всем ребрам и изгибающие моменты
в ребрах 2, 3 и 4, так, как край 0 свободен, момент Go = 0, а момент G± —
статически определим. Общий вид этой матрицы для произвольной четы-
рехгранной складки с указанными неизвестными <т0, ст4, G2, G3, Gi
и свободными членами от равномерно распределенной вдоль ребер 1, 2 и 3
погонной нагрузки интенсивности соответственно р1, р2 и р3 дан в табл. 38.
Рассмотрим теперь,
как из этой матрицы
получить частные мат-
рицы, соответствующие
оболочкам с вышеука-
занными граничными ус-
ловиями по ребру 4.
1.	Граничные усло-
вия по ребру 4 в первом
случае (рис. 60, ^мож-
но представить в виде
ряда стерженьков, не
связанных друг с другом
и шарнирно присоеди-
ненных как к оболочке,
так и к жесткому непод-
вижному основанию.
Очевидно, что здесь
ничто не препятствует
возникновению про-
дольных нормальных
напряжений во всех
ребрах; моменты же бу-
дут только по ребрам
2 и 3, следовательно,
неизвестными будут <т0,
..., ст4 и G2, G3; в мат-
рице нужно выбросить
столбец G4 и ему соот-
ветствующую строку 4
во второй группе урав-
нений. В оставшихся
коэффициентах поло-
жить d5 = оо и F5 =0.
2.	Граничные усло-
вия по продольному
краю 4 во втором случае
условно изображены на рис. 60, б. Эта схема отличается от предыдущей тем,
что вертикальные стерженьки соединены стерженьками-раскосами, ли-
шающими фиктивную грань свойства деформироваться в продольном
направлении. Вследствие отсутствия продольных деформаций в грани,
а следовательно, и на ее краю 4 будут отсутствовать продольные нормаль-
ные напряжения ст4; в остальном все будет так же, как и в предыдущем
случае, поэтому матрицу для этого случая получим из матрицы для пре-
дыдущего случая, выбрасывая столбец о4 и соответствующую ему строку 4
первой группы уравнений.
3.	На рис. 60, в дана условная схема, соответствующая третьему слу-
чаю граничных условий. Как следует из этой схемы, ребро 4, в смысле
всех перемещений — вертикальных, горизонтальных и продольных,—
закреплено неподвижно в пространстве (вращение же грани 4 вокруг
122 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
ребра 4 возможно благодаря наличию шарнира). Вследствие неподвиж-
ности ребра 4 обращаются в нуль не только напряжения по ребру 4
(а4 = 0), но также и напряжения по ребру 3 (сг3 = 0). Это следует из рас-
смотрения работы пластинки 4 (см. § 8 гл. 1) с неподвижным краем при
гипотезе об отсутствии поперечной деформации удлинения и отсутствии
деформации сдвига; второй край такой пластинки также будет лишен
деформаций продольного удлинения и, следовательно, ст3 = 0. Систему
дифференциальных уравнений для этого случая получим из системы
уравнений для предыдущего случая путем вычеркивания столбца ст3 и ему
соответствующей строки 3 первой группы уравнений.
4.	В случае, когда оболочка по ребру 4 закреплена не только от всех
перемещений, но и от поворотов (рис. 60, г), наличие заделки по ребру 4
вызовет в нем появление момента Gi, в отличие от всех предыдущих слу-
чаев. В смысле же продольных нормальных напряжений, очевидно, этот
случай тождествен с предыдущим. Таким образом, матрицу дифферен-
циальных уравнений для этого случая получим из общей матрицы (табл. 38)
путем вычеркивания в ней столбцов о3 и о4 и им соответствующих строк
3 и 4 первой группы уравнений. В последнем уравнении в колонке Gt
коэффициент dJJ^ нужно в этом случае положить равным нулю, исходя
из физического смысла этого коэффициента как угла поворота, возникаю-
щего от момента (?4 в фиктивной грани 5, жестко закрепленной в данном
случае и от поворотов.
Таким образом, из общей матрицы, представленной в табл. 38, можно
получить матрицу дифференциальных уравнений для каждого вида гранич-
ных условий по ребру 4. Символ 7)2 в матрице обозначает необходимость
подстановки второй производной по z от функции, стоящей в заголовке
соответствующего столбца. Как указывалось в начале этого параграфа,
граничные условия по поперечным диафрагмам позволяют применить
к решению задачи тригонометрические ряды. Ограничиваясь только пер-
вым членом разложения в тригонометрические ряды, полагаем:
6fe(z) = GfeSin^-; Gk(z) = Gftsin^-; pk (z) = ph -^-sin	(11.16)
По подстановке (11.16) в матрицу (табл. 38) и по сокращении на sin (nz/Z)
матрица восьмичленных дифференциальных уравнений обращается в ма-
трицу восьмичленных алгебраических уравнений с неизвестными <т0, ...,
сг4, (?2, G3, Gt — коэффициентами разложения выражений (11.16). Для
этого в матрице табл. 38 вместо символа D2 нужно подставить (—л2//2),
а свободные члены умножить на 4/л — коэффициент Фурье первого члена
разложения равномерно распределенной нагрузки в ряд (11.16). Коэффи-
циенты ст*, Gk, которые получим в результате решения системы алгебраи-
ческих уравнений, будут одновременно представлять величины напряже-
ний и моментов в сечениях оболочки z = Z/2, в которых sin (лг/Z) = 1;
для получения напряжений и моментов в любом другом сечении z = а,
очевидно, необходимо полученные коэффициенты умножить на sin (ла/Z).
Переходим к конкретному числовому примеру (рис. 61). Размеры
оболочки: продольный пролет Z = 24 м; поперечный пролет Ь = 8 м;
грань dy = 1 м; грань d2 = tZ4 = 2 м; углы: = —90°; <р2 = —30°;
<рз = 30°; <р4 = 90°; ф4 = —90°; ф2 — ф4 = 0°; ф3 = <р3 = 30°; толщина
всех граней 6 = 0,06 м.
Нагрузки: рг = 100 кг/м; р2 — р3 = 300 кг/м.
По этим данным находим:
sin<p1 = — 1; sintp2== — 0,5; sinq>3 = 0,5; sin tp4 = 1;
cosiH = 0; cos ip2 = cos ф4 = 1; cos ф3 = cos <p3 = 0,8660;
ctg(p4 = ctg<p4 = 0; ctg <p2 = —1,732; ctgcp3 = 1,732;
Гг.П. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 123
d	= 4 = 4 б2 Fx = 1,0-0,06 = 0,06л2;
d cos фз 0,8bb
F2 = Ft = 2,0-0,06 = 0,12л2; F3 = 4,62-0,06 = 0,277 м2;
J2 = Js = J4 = 2^. = 0,000018 m3;
^. = 1^1 = 0,017135; A = 1,273.
Подставляя полученные величины в формулы матрицы табл. 38, полу-
чим матрицу в числовом выражении (табл. 39). Из этой общей системы,
как указывалось выше, отбрасывая те или другие строчки и столбцы,
можно получить частные системы уравнений, соответствующие опреде-
ленному способу закрепления продольного ребра 4 оболочки. Система
уравнений — симметричная,
поэтому при решении ее сле-
дует пользоваться хорошо
известным из строительной
механики алгоритмом Гаусса.
Для контроля вычислений
при решении симметричных
систем по способу Гаусса,
как известно, вводится гра-
фа контрольных сумм — это
алгебраические суммы всех
коэффициентов в каждой строке. Системы, которые получаются при
расчете призматических оболочек, как видно из табл. 39, своеобраз-
ны: коэффициенты в разных квадрантах и свободные члены колеблют-
ся по величине в больших пределах; составлять контрольные суммы
при таких разнородных по величине коэффициентах невыгодно, так
как при этом точность контроля теряется. Имея это в виду, несколько
преобразуем систему, представленную в табл. 39, а именно: вместо неиз-
вестных примем за новые неизвестные 0,001 а* ; тогда коэффициенты
при них будут в 1 000 раз больше (коэффициенты первого и третьего квад-
рантов). При этом преобразовании матрица стала несимметричной: коэф-
фициенты второго квадранта остались без изменения, а коэффициенты
третьего квадранта стали в 1 000 раз больше. Для восстановления симме-
трии три последних уравнения (полученных из условий неразрывности
деформаций — в нашем случае однородных) уменьшим в 1 000 раз; таким
образом, коэффициенты третьего квадранта останутся по величине преж-
ними, так как при первом преобразовании их увеличили в 1 000 раз,
а при втором — уменьшили в 1 000 раз, а коэффициенты четвертого квад-
ранта будут в 1 000 раз меньше. Если еще уменьшить коэффициенты сво-
бодных членов в 1 000 раз (это равносильно тому, что берется нагрузка
в 1 000 раз меньшая), то получим преобразованную систему, представ-
ленную в табл. 40, у которой все коэффициенты имеют один порядок
(в смысле абсолютной их величины). Очевидно, что после решения преоб-
разованной системы полученные значения неизвестных нужно увеличить:
напряжения п* в 1 000 X 1 000 раз, а моменты Gk — в 1 000 раз.
Составив на основании табл. 40 системы уравнений для частных слу-
чаев закрепления продольного ребра 4 и разрешив их по способу Гаусса,
получим для каждого случая продольные нормальные напряжения
и поперечные изгибающие моменты Gk; они сведены в табл. 41. Размер-
ность напряжений дана в кг/см2, для чего полученные из решения системы
величины сгй, кроме указанного выше увеличения в 10® раз, еще умножены
на 0,012, так как расчет произведен в килограммах и метрах и, следова-
тельно, напряжения имели размерность в каЛй2.
X, ?, а № Ребер 'х	<50	61	б2	Оз
0	—0,0003427	—0,00017135	0	0
1	—0,00017135	-0,0010281	—0,0003427	0
2	0	—0,0003427	—0,0022675	—0,0079103
3	0	0	-0,00079103	—0,0022675
4	0	0	0	-0,0003427
4	0	0	-0,21645	+0,64945
3	0	+0,21645	0	—0,8659
2	+0,5	—1,14945	+0,8659	0
<3°> № ребер	0,001 бо	0,001 01	0,001 о2	0,001 о8	
0	0,3427	0,17135	0	0	
1	0,17135	1,0281	0,3427	0	
2	0	0,3427	2,2675	0,79103	
3	0	0	0,79103	2,2675	
4	0	0	0	0,3427	
4	0	0	—0,21645	0,64945	
3	0	0,21645	0	—0,8659	
2	0,5	—1,14945	0,8659	0	
Таблица 39
04	(?4	О'з	6’2	Свободные члены
0	0	0	—0,5	—127,3
0	0	-0,21645	+1,14945	—203,43
0	+0,21645	0	—0,8659	+661,37
—0,0003427	—0,64945	+0,8659	0	—661,37
-0,0006854	+0,4330	—0,64945	+0,21645	+330,73
—0,4330	—634,628	—317,314	0	0
+0,64945	—317,314	—2100,61	+732,998	0
—0,21645	0	-732,998	—2100,61	0
Таблица 40
0,001 04	Gi	О’з	Ga	Свободные члены
0	0	0	0,5	0,1273
0	0	0,21645	—1,14945	0,20343
0	—0,21645	0	0,8659	—0,66137
0,3427	0,64945	—0,8659	0	0,66137
0,6854	—0,4330	0,64945	—0,21645	-0,33073
—0,4330	—0,63463	—0,31731	0	0
0,64945	—0,31731	—2,1006	—0,7330	0
—0,21645	0	—0,7330	—2,1006	0
Гл, II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 125
Из анализа результатов расчета оболочки, представленных в табл. 41,
видно, что распределение нормальных напряжений в поперечных сече-
ниях существенно зависит от характера закрепления продольных краев.
Однако влияние закрепления продольных краев на нормальные напря-
жения проявляется заметно лишь для рассматриваемого края и ближайших
к нему ребер; напряжения в ребре 0 во всех четырех случаях (особенно
в последних трех) довольно близки друг к другу.
Таблица 41
<3 в ка-'см2 G в кг/с ч/см	Граничные условия (рис. 60)			
	а) первый случай	б) второй случай	в) третий случай	г) четвертый случай
Оо	—37,48	—45,35	—43,95	—43,34
01	—24,22	—15,83	—11,26	—11,72
02	44.10	41,08	27,61	27,04
Оз	—41.04	—39,39	0	0
04	46,94	0	0	0
g2	85,29	110,5	85,26	82,64
G3	262.0	107,5	—41.36	—29,19
Gi	0	0	0	—77,64
Примерно таков же характер влияния способа закрепления продоль-
ных краев на поперечные изгибающие моменты.
Из этого анализа сможно сделать вывод, что при большом количестве
граней у призматической оболочки характер закрепления продольных
краев практически не влияет на напряженное состояние удаленной от
продольных краев средней части оболочки.
§ 4. Расчет свода-оболочки, опертого по всему контуру.
Анализ напряженного состояния
В качестве примера рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку
(рис. 62) с размерами в плане: ширина Ъ = 5 л, длина I = 10 м; радиус
средней поверхности оболочки R — 4,14 м, стрела подъема f ~ Ы6 =
= 0,84 м, толщина плиты-оболочки 6 = 0,02 м. По продольным краям
оболочка усилена стрингерами поперечным сечением 10 X 25 см и пло-
щадью AF = 250 см2. Стрингерами оболочка опирается на продольные
ряды колонн высотой h = 2 м, поперечным сечением 10 X 10 см; расстоя-
ние между ними 1,67 м. Колонны имеют жесткое сопряжение со стрин-
герами и шарнирное с фундаментом. На торцах оболочка опирается на
жесткие в своей плоскости опорные диафрагмы, которые представляют
собой рамы с круговым ригелем и затяжкой.
За расчетную схему оболочки принимаем девятигранную (с равными
гранями) призматическую складку, вписанную в цилиндрическую обо-
лочку. Ряд колонн будем условно рассматривать как фиктивную грань,
жестко соединенную с оболочкой и шарнирно — с фундаментом; эту
фиктивную грань наделим такими свойствами, при которых она была бы
эквивалентна по своей работе ряду колонн, которые она заменяет. Первое
свойство: эта грань не работает на продольные силы растяжения или сжа-
тия, т. е. жесткость ее на растяжение (сжатие) равна нулю, поэтому нужно
положить = 0. Второе свойство: жесткость на изгиб из своей плоскости
для всей грани должна равняться сумме жесткостей колонн. Так как
126 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
жесткость на изгиб про-
порциональна моменту
инерции продольного сече-
ния, то в качестве погонно-
го момента инерции про-
дольного сечения следует
взять приведенный момент
инерции колонн продоль-
ного ряда с шагом 1,67 м:
Ji — J кол/lQl см3.
Третье свойство — это
общее свойство всех гра-
ней: нерастяжимость и
несжимаемость в попереч-
ном направлении; в силу
этого свойства и условия
соединения этой фиктив-
ной грани с фундаментом
плоскостные поперечные
силы, как внутренние, так
и внешние, действующие
в этой грани, будут пере-
даваться непосредственно
на фундамент.
Включая в расчетную схему фиктивные грани, получаем 11-гран-
ную складку. Соответствующая ей основная система с подлежащими
определению неизвестными функциями — продольными нормальными
напряжениями <jk и поперечными изгибающими моментами Gk — по-
казана на рис. 63. Неизвестными являются 10 продольных нормаль-
ных напряжений и 10 поперечных изгибающих моментов. Воспользу-
емся тем обстоятельством, что поперечное сечение оболочки симметрично
относительно вертикали, и будем рассматривать внешнюю нагрузку, ка-
кова бы она ни была, в виде двух состояний: симметричного и кососим-
метричного,
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 127
В каждом из этих состояний достаточно ограничиться рассмотрением
одной половины оболочки, например левой; количество неизвестных
в каждой задаче, таким образом, уменьшается вдвое; искомые функции
правой половины оболочки в симметричном состоянии равны соответствен-
ным функциям левой половины по величине и по знаку, а в кососимме-
тричном состоянии равны по величине и обратны по знаку.
При вычислении коэффициентов дифференциальных уравнений и сво-
бодных членов для одной (левой) половины оболочки нужно учитывать
влияние нагрузки и искомых функций другой (правой) половины.
Матрица дифференциальных уравнений при выборе указанным выше
способом обобщенных неизвестных как в случае симметричного, так
и в случае кососимметричного состояния имеет вид, представленный
в табл. 42.
Табл и'ц а 42
б, G № ребер\J	01 (z)	02 (z)	03 (z)	04 (z)	Os (z)	G5 (z)	Gi (z)	Ga (z)	G2 (z)	(z)	Свобод- ные члены
1	ruD2	r12D2	0	0	0	0	0	813	812	S11	
2		r22D2	r23D2	0	0	0	S24	823	822	S21	
3	0	ra2D2	rssD2	raiD2	0	s35	S34	8 33	832	S31	*3P
4	0	0	r«D2'	rnD2	r^D2	«45	S44	S43	842	0	
5	0	0	0	Гц!2	raaD2	s55	S54	S53	0	0	Л5р
5	0	0	«53	ам	«55	655D2	&54-D2	0	0	0	0
4	0	«42	«43	an	«45	645D2	bnD2	biaD2	0	0	0
3	«31	«32	«33	«34	«35	0	d;tiD2	baaD2	ha.-,D-	0	0
2	«21	«22	«23	«24	0	0	0	biaD2	b22D2	b21D2	0
1	«11	<212	«13	0	0	0	0	1 °	bnD2	bnP2	0
Коэффициенты дифференциальных уравнений вычисляются по общим
формулам с учетом свойств, которыми мы наделили фиктивную грань,
и с учетом влияния функций искомых правой половины на левую.
а)	Коэффициенты первого квадранта
По общей формуле с учетом наличия стрингера (см. табл. 2) и первого
свойства фиктивной грани (F\ = 0).
rn = ДЛ + F/3.
128 Расчет, оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
На коэффициенте г55 скажется влияние щ правой части, поэтому:
для симметричного состояния
Г5. = 1/3F + 1/3F + 1/&F = 5F/6,
для кососимметричного состояния
г55 = 1/3F + 1/3F - 1/6F = F/2.
На остальных коэффициентах не скажется влияние фиктивной грани,
а также влияние обобщенных неизвестных правой половины оболочки,
поэтому они будут иметь обычный вид:
^22 ~ *зз ~ г а ~ 27'73;
Г12 = Г21 = *2з = r32 = r34 = r43 = r45 = r64 = 776.
б)	Коэффициенты второго квадранта
Применяя общие формулы (см. табл. 2) к вычислению коэффициентов
второго квадранта, следует учесть третье свойство, которым наделена
фиктивная грань, в коэффициентах которых эта грань фигурирует; это
будут коэффициенты su и s12, одинаково как в симметричном, так и в косо-
симметричном состоянии. Формулы для них будут иметь вид
1/	d \	1 /	1 \
(ctg Ф1 + ctg ф +	*12 = - (ctg ф1 + ctg ф + sl—
На коэффициентах s45, s64, s55 скажется влияние обобщенных неизвест-
ных правой половины; для этих коэффициентов получим следующие вы-
ражения:
для симметричного состояния
1 г	1	1 \
= *54 = - (ctg ф + Ctg ф +	) 4-
.	1	1 /4 .	,	1
4—	—™——— — —	12 ctg <р ----1;
d2 sm ф	d2 \ о т । sm ф /
1/1 \ 1 / 1 \
= 1? GmT + ctg ф + ctg ф) + (ctg ф + ctg ф 4-	-
1 i	1	1 \	2
---j-1 ctg ф + ctg <р 4—;—- 4- --1 = —— ctg ф;
d2 \ от । от sm ф 1 sm ф / d2 6
для кососимметричного состояния
*45 = *54 = - ~ (ctg ф + Ctg ф +	-
_ 1	. .___17 t ______3
d2 sin ф i2 V ' sin ф / ’
1/1 \ 1 / 1\
*55 = -?г -—- + ctg ф 4- ctg ф 4- тг ctg ф 4- ctg ф 4- - 4-
ао d2 \sm ф 1 бт । ь ту ।	\ & т &т I sm(py ।
4- -4- (ctg ф 4- ctg ф 4—Д-4 -Д-Д = -Д- (б ctg ф 4- -Д—V
1 d2 \ ° т о т I sln ф I д1п ф У d2 \	& Т I sm ф У
Остальные коэффициенты второго квадранта имеют обычный вид и
одинаковы в обоих состояниях:
1 { .	,	.	, d ,	1 \
*21 — тг ctg ф, 4- ctg ф 4- —о— 4- -— ;
1 d2 \ ° ’	1 от । Й! sin ф1 sm ф /
_ __ 1
*13 — *31 — *24 — *42 — *35 — *53 — ДГ/тТГ’
IX & 11± 11/
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 129
^2 = ^(ctg Ф1 + 3 ctg ф +	;
«23 = *32 = *34 = *43 = - (ctg Ф +	;
2 /„ .	,	1	\
S33 — S44 —- ' ре [Л ctg ф -4- ’—г-I ,
л 44 dl \	& т i sin ф /
е) Коэффициенты третьего квадранта
Эти коэффициенты по принципу взаимности равны по величине и об-
ратны по знаку соответственным коэффициентам второго квадранта.
г) Коэффициенты четвертого квадранта
Особенность первой грани сказывается только на коэффициенте
^11 = Vg^iZ/i -f* d/J),
где под J\ понимается приведенный момент инерции колонн продольного
ряда, как уже об этом сказано выше.
Влияние обобщенных неизвестных правой половины сказывается
только на коэффициевте &66:.
для симметричного состояния
Ь35 = ^/37 + d/Xf -J- d/&J = 5d/6J;
для кососимметричного состояния
b5S = d/3J + d/3J — d/6J — d/2J.
Прочие коэффициенты в обоих состояниях имеют обычный вид:	;
&12 “ ^.21 = ^23 = ^32 = ^34	&43 = ^46 ~ ^54 ~ d/QJ J 1
Ъ 2 2 ~ ~ бдз 2=21 &44 == 2d/3J,
д) Формулы для свободных членов
Нагрузку берем вертикальную, равномерно распределенную по гра-
ням призматической складки, интенсивности q кг/м2. Эту нагрузку можно
заменить эквивалентной погонной равномерной нагрузкой, приложенной
вдоль ребер складки:
pt = qd/2 кг/м; р2 = Рз = Pi = Рз = qd кг/м. -	“	:
В кососимметричном состоянии нагрузки будут тдкие.же, за исклю-
чением ръ:
ръ = qd/2 + qd/i = Зщ//4.
При вычислении свободных членов нужно принять рх — 0 в силу ука-
занного выше свойства фиктивной грани, а свободные члены от осталь-
ных сил рг, рз, р^ Рз вычислять по общей формуле (1.74) с использованием
формулы (1.43), в которой следует положить X — 0; /У. р> 	;
Коэффициенты Bip и Н5Р зависят от р5, поэтому они идоеют различное
выражение для симметричного и кососимметричного состояний; ,
для симметричного состояния .	...	.	;
'	= -ccs <P-COS 2ф + соз Зф); i ; 
Sin~(p/C0S 2(Р —
9 в. 3. Власов, т. III
130 Расчет оболочек смешанным вариационным методом бее учета деформаций сдвига
для кососимметричного состояния
Д4р = 	(0,75 — cos ф — cos 2tp cos Зф);
Л5р = "iiEV (cos 2(р ~ 1,5 cos ф 0,75)‘
Прочие коэффициенты в обоих случаях имеют одинаковые выражения:
jRlp = —Я— cos 3<р;
р sm q> т
а $
Т?2Р = 2C^-&(cos	— cos Зф — cos 4ф);
7?3р — - -Я-~ (cos ф — cos 2<р — соз’Зф Ц- cos 4ф).
Так как по криволинейным краям граничные условия представляют
свободное опирание, то при решении системы дифференциальных урав-
нений (см. табл. 42) можно применить тригонометрические ряды. Как
неоднократно уже показывалось, эти ряды в случае равномерно рас-
пределенной нагрузки обладают очень хорошей сходимостью, поэтому
ограничимся одним только первым членом разложения»
Полагаем
Si (z) = sk sin Gk (z) = Gk sin ~; q (z) = q sin .
Подставляя эти выражения в систему (табл. 42), получим для опреде-
ления неизвестных коэффициентов sk и Gk систему алгебраических урав-
нений. Практически система алгебраических уравнений получается из
системы дифференциальных уравнений (табл. 42) путем замены оператора
jD2 на (— л2//2) в первом и четвертом квадрантах и умножения свободных
членов статических уравнений на коэффициент 4/л. Симметрия системы
достигается изменением знаков на обратные во второй группе уравнений —
уравнениях неразрывности деформаций.
На основании исходных данных, приведенных вначале, находим вспо-
могательные величины, необходимые для вычисления коэффициентов.
Обозначая центральный угол оболочки через 2а, имеем:
sin а = b!2R — 2,5/4,14 = 0,6038; откуда а = 37°09'; <р = 2а/9 = 8°15'20";
Ф1 = 90° — 4ф = 56о58'40"; dr = 225 см; d = 2Rsin<p/2 = 59,6 см;
зшф = 0,1436; этф! = 0,8385; с1о-ф = 6,8922; с!§фх = 0,6500;
созф = 0,9896; соз2ф = 0,9588; сояЗф = 0,9080; cos4<p = 0,8384;
J = а»/12 = 0,67 см3; Jt = /кол/167 = 10 -1013/12 -167 = 4,99 см3.
Системы алгебраических уравнений для первого члена разложения
в ряд по тригонометрическим функциям в числовом виде приведены
в табл. 43 (для симметричного загружения) и в табл. 44 (для кососиммет-
ричного загружения); интенсивность нагрузки в обоих случаях принята
q — 500 кг!м3.
Решая эти системы уравнений по способу Гаусса, определяем коэффи-
циенты б* и Gk, а по ним находим и самые напряжения и моменты.
Для случая симметричного загружения в результате решения системы
уравнений получены следующие значения продольных нормальных на-
пряжений (в кг1см2) и поперечных изгибающих моментов (в кгсм/см)-
№ ребер	a, G	<51	. «а	<5з		За
1		+2,86	+0,196	0	0	0
2		+0,196	+0,784	+0,196	0	0
3		0	+0,196	+0,784	+0,196	0
4		0	0	+0,196	+0,784	+0,198
5		0	0	0	+0,196	+0,980
5		0	0	— 1,96	+ 5,84	-3,881
4		0	—1,96	+ 7,802	—11,68	+ 5,84
3		—1,96	+7,802	—11,88	+ 7,802	— 1,98
2		+4,084	—9,925	 + 7,802	— 1,96	0
1		—2,212	+4,173	— 1,96	0	0
№ ребер	<51		<53	<5j	<5s
1	+2,86	+0,196	0	0 е	0
2	+0,196	+0,784	+0,106	0 .	0
3	0	+0,196	+0,784	+0,196	0
4	0	0	+0,196	+0,784	+0,196
5	0	0	0	+0,196	+0,588
5	0	0	—1,96	+ 9,76	— 19,48
4	0	—1,96	+ 7,802	—11,68	+ 9,76
3	—1,96	+7,802	—11,68	+ 7,802	— 1,96
2	+4,084	—9,925	+ 7,802	— 1,96	0
1	—2,212	+4,173	— 1,96	0	0
Таблица 43
. Gs	(h	G3	Ga	Gt	Свободные члены
0.	0	— 1,96	+4,084	—2,212	+402,8
0	— 1,96	+ 7,802	—9,925	+4,173	+349,4
—1,93	+ 7,802	—11,68	+ 7,802	—1,96	+ 17,16
+5,84	—11,68	+ 7,802	—1,96	0	+ 17,91
—3,881	+ 5,84	— 1,89	о	0	+ 18,29
—0,7309	—0,1462	0	0	0	0
—0,1462	—0,5847	—0,1462	0	0	0
0	—0,1462	—0,5847	—0,1462	0	0
0	0	—0,1462	—0,5874	—0,1462	0
0	0	0	—0,1462	—0,4406	0
				Таблица 44	
Gi '		Ga	G3		Свободные
	Gt			Gt	члены
0	0	— 1,96	+4,084	—2,212	—402,8
0	— 1,96	+ 7,802	—9,925	+4,173	+349,4
— 1,96	+ 7,802	— 11,68	+7,802	-1,96	+ 17,16
+ 9,7В	—11,68	+ 7,802	—1,96	0	+ 128,8
—19,48	+ 9,76	— 1,96	0 ’	0	+565,9
—0,439	—0,1462	0 -	0	0	0
—0,1462	—0,5842	—0,1462	0	0	0
0	—0,1462	—0,5847	—0,1462	0	0
0	0	—0,1462	—0,5847	—0,1462	0
0	0	0	—0,1462	—0,4406	0
Гл: II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 13}
132 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
31 (z) = 57,16 sin .
о2 (%) = 5,33 sin ;
Сз (S) = - 35,77 sin ;
а4 (z) — — 56,32 sin nz/Z;
os (z) = — 61,70 sin яг/l;
Gx (z) = -87,54 sin^;
G2 (z) = 31,11 sin*-;
G3 (z) = 42,04 sin ;
G4 (z) = 5,98 sin nzjl;
G-a (z) = — 25,99 sin azjl.
Эпюры их для среднего поперечного сечения приведены на рис. 64.
Для кососимметричного загружения в результате решения системы
уравнений (табл. 44) получены следующие значения:
ох (z) = 63,66 sin
о2 (и) = — 46,65 sin nz/Z;
бз (-г) = — 128,37 sin azfl;
o4 (z) — — 134,50 sin nz/Z;
o6 (z) = — 57,29 sin nz/Z;
G4 (z) = — 189,87 sin nz/Z;
G2(z) — — 1,55 sin nz/Z;
G3 (z) — 93,87 sin nz/Z;
G4(z) = 130,19 sin nz/Z;
G6 (z) = 81,75 sin nz/Z.
Эпюры продольных нормальных напряжений (в кг/см2) и поперечных
изгибающих моментов (в кгсм/см) для среднего поперечного сечения обо-
лочки приведены на рис. 65.
Проследим на этой же оболочке, как сказывается на напряженном
состоянии оболочки изменение ее пролета Z при всех прочих данных,
Рис. 64
остающихся неизменными. Ограничимся случаем симметричной нагрузки
и первым членом разложения нагрузки и искомых неизвестных в ряд
по синусам; возьмем такие величины пролетов, /: 5, 10, 15, 20, 25, 30,
35 м и оо (бесконечно длинная). Поскольку ширина оболочки в плане b
остается неизменной, изменение пролета можно характеризовать отно-
шением ЦЬ. Для указанных выше размеров пролета это отношение будет
у = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и Ьо.	’
Для определения напряженного состояния ; оболочки во всех этих
случаях нужно решить восемь систем уравнений; с десятью неизвестными
каждая. Для сокращения вычислительной работы преобразуем матрицу
системы уравнений так, чтобы, решив один раз полностью систему, в ос-
тальных случаях использовать имеющееся решение, меняя его только
в некоторой части. В матрице, представленной в табл. 42, от величины
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 133
пролета I зависят только коэффициенты первого и четвертого квадран-
тов, так как множителями при этих коэффициентах стоят величины
D2 = — Я2//2.
Переставим в этой матрице строки и столбцы так, чтобы последняя
строка стала первой, предпоследняя — второй и т.д., и аналогично по-
следний столбец стал первым,
предпоследний — вторым и
т. д. В результате такой двой-
ной перестановки четвертый
квадрант с изменением по-
рядка строк и столбцов бу-
дет на месте первого, первый
с аналогичными изменениями
на месте четвертого и т. д.
Проделав такое преобразова-
ние с числовой матрицей
(см. табл. 43), получим мат-
рицу, приведенную в табл. 45.
Общий характер преобра-
зования станет ясным из
сравнения матриц.
В дальнейшем рассужде-
ния будем вести относитель-
но преобразованной матри-
цы. Пусть матрица, представ-
ленная в табл. 45, относится
к оболочке с пролетом /о;
следовательно, коэффициенты
первого и четвертого квад-
рантов этой таблицы будут
содержать множители я2/1о.
Чтобы из этой матрицы полу-
чить матрицу для оболочки с
пролетом Zj, очевидно, нужно
умножить коэффициенты пер-
вого и четвертого квадрантов
на коэффициент k = /„//J. Разделим теперь все уравнения неразрывности
деформаций (первый и второй квадранты) на этот коэффициент к и
вместо неизвестных введем новые связанные с ними зависимостью
Таблица 45
\ G, а № ребер	Gi	с2	Gs	G4	Gs	З5	а4	вз	в2	«1	Сво- бодные члены
I	-0,4406	—0,1462	0	0	0	0	0	- 1,960	+4,173	-2,212	0
2	-1,1462	—0,5847	—0,1462	0	0	0	- 1,960	+ 7,801	—9,925	+4,084	0
3	0	-0,1462	-0,5847	-0,1462	0	-1,960	+ 7,801	-11,681	+7,801	-1,960	0
4	0	0	—0,1462	-0,5847	—0,1462	+5,840	-11,681	+ 7,801	-1,960	0	0
5	0	0	0	-0,1462	-0,7309	-3,880	+5,840	- 1,960	0	0	0
5	0	0	— 1,960	+ 5,840	—3,880	+0,980	+0,196	0	0	0	+ 18,23
4	0	—1,960	+ 7,802	—11,681	+5,840	+0,196	+0,784	+0,196	0	0	+ 17,91
3	-1,960	' +7,802	-11,681	+ 7,802	-1,900	0	+0,196	+0,784	+0,196	0	+ 17,16
2	+4.173	-9,925	+ 7,802	- 1,960	0	0	0	+0,196	+0,784	4-0,196	4-349,4
1	-2,212	+4,084	— 1,960	0	0	0	0	0	+0,196	4 2,860	—402,8
134 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Qk = <5*Z®/Z®; тогда коэффициенты пэрвого, второго и третьего квадрантов
для оболочки пролетом Zx останутся такими же, как и для оболочки про-
летом Zo, а коэффициенты четвертого квадранта получатся из предыду-
щих, приведенных в табл. 45, путем умножения их на коэффициент Z„/Z|-
Рис. 66
Теперь становится ясной польза проделанных преобразований: при реше-
нии системы уравнений та часть, которая относится к первому и второму
квадрантам, остается одинаковой для всех случаев; для каждого
отдельного случая нужно видоизменить только ту часть решения систе-
мы по способу Гаусса, в которую входят коэффициенты четвертого квад-
ранта, и проделать обратный ход. Полученные в результате решения
системы уравнений значения б* нужно умножить на коэффициент Zq/Z®,
так как искомые напряжения б* были заменены на б*.
Результаты произведенных вычислений для указанных выше проле-
тов представлены на рис. 66 и 67.
На рис. 66, а приведены эпюры продольных нормальных напряжений
(в кг/см2) и поперечных изгибающих моментов (в кгсм/см) для сред-
него поперечного сечения оболочки (при z = 1/2). На рис. 67 даны графи-
ки изменений Oj и для середины оболочки в зависимости от изменения
пролета Z.
Из рассмотрения этих графиков видно, что с увеличением отношения
I/Ь от 1 до 6 продольные нормальные напряжения увеличиваются,
а затем начинают убывать и в пределе, при Z —> оо, стремятся к нулю; по-
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 135
перечные изгибающие моменты с увеличением 1/Ъ все время возрастают
и в пределе, при I = оо, принимают значения моментов, относящихся к
плоской системе (арочной раме). Для сравнения на рис. 66, б приведены
эпюры моментов в плоской двухшарнирной раме, соответствующей по-
перечному сечению оболочки, от вертикальной нагрузки интенсивности
4д/л.
Анализ напряженного состояния оболочки при различных отноше-
ниях-у показывает, что при обычных отношениях l/Ъ оболочка, опертая
по контуру, работает как пространственная конструкция в двух направ-
лениях, причем работа оболочки в продольном направлении облегчает
ее работу в поперечном направлении.
Как видно из графика (рис. 66, а), поперечные изгибающие моменты
в оболочке даже при 1/Ь = 4 составляют около 30% от изгибающих мо-
ментов соответствующей плоской системы; лишь при 1/Ь —> оо оболочка
по своей работе вырождается в плоскую систему и работает в одном только
поперечном направлении как плоская рама.
Очевидно, что теория плоских рам неприменима для расчета подобных
систем.
Приведенный здесь анализ показывает, что оболочка, закрепленная
надлежащим способом на продольных краях, представляет собой тонко-
стенную пространственную конструкцию, позволяющую перекрывать
здания, прямоугольные в плане, без дополнительных поперечных связей
(затяжек, плоских промежуточных форм и т. д.).
§ 5. Анализ пространственной работы
свода-оболочки покрытия трехпролетного цеха
Несущая конструкция цеха (рис. 68) — железобетонная. Перекры-
тие над основным средним пролетом представляет собой тонкостенную
цилиндрическую круговую оболочку; перекрытие над боковыми проле-
тами (открылками) представляет плоскую плиту, усиленную поперечны-
ми ребрами жесткости. Несущая конструкция продольных стен состоит
из ряда колонн, шарнирно опирающихся на фундамент и расположен-
ных достаточно часто Друг от друга; поверх колонн уложены продольные
обвязочные балки — стрингеры. В торцах здания запроектирован несущий
каркас, образующий жесткие торцовые диафрагмы.
136 Расчет, оболочек смешанным вариационным-методом без учета деформаций сдвига
Предполагается, что вся конструкция покрытия по линиям контакта
с продольными стенами закреплена только от вертикальных перемеще-
ний. Такой вид закрепления соответствует случаю свободного опирания
конструкции покрытия на колонны при условии, что эти колонны в плос-
кости каждой из вертикальных стен по длине оболочки расположены
достаточно часто и что каждая колонна работает только на сжатие. В за-
пас прочности и для упрощения расчета жесткостью колонн на изгиб пре-
небрегаем.
Разделим цилиндрическую оболочку среднего пролета на семь равных
частей; рассматривая продольные стены как отдельные пластинки,
получаем призматическую оболочку, состоящую из 13 граней (рис. 69).
Рис. 69
При расчете такой призматической оболочки деформация сдвига
и деформация поперечного сжатия (растяжения) каждой пластинки по-
крытия полагаются равными нулю; другими словами, пластинки в отно-
шении этих двух видов деформации принимаются абсолютно жесткими.
При указанных геометрических предпосылках каждая пластинка
оболочки для поперечной элементарной полоски последней, как показано
было ранее, эквивалентна двум связям. Что касается продольных стен,
то каждая из них для какой-либо поперечной полоски эквивалентна
одной связи, поскольку в стене-пластинке отсутствуют связи сдвига
(например, в виде раскосов). Значит, общее число связей, закрепляющих
ребра элементарной полоски-рамы в целом от перемещений в простран-
Гл. II. Приложение теории, к расчету тонкостенных строительных конструкций 13/
стве (рис. 69), равно сумме удвоенного числа всех пластинок покрытия
и одинарного числа всех продольных стен. Так как степень свободы точки
в пространстве равна трем, то при числе ребер десять, числе пластинок
девять и числе стен четыре степень подвижности ребер оболочки
w = 3 • 10- 2 • 9 - 1 • 4 =8.
Отсюда следует, что деформированное состояние рассматриваемой
оболочки при наличии во всех ее ребрах цилиндрических шарниров и
при надлежащем закреплении поперечных краев определяется только
восемью независимыми параметрами.
Значит, в данном случае число искомых независимых функций для
нормальных напряжений какого-либо сечения z = const равно восьми.
Из этих функций для данной оболочки симметричного сечения четыре отно-
сятся к симметричной нагрузке и четыре к обратно симметричной.
Будем исследовать оболочку только на симметричную нагрузку.
В этом случае следует выбрать четыре независимые функции продольных
напряжений — o1(z), 02(2), <r3(z) и <r4(z), которым соответствуют четы-
ре независимые координаты депланации — соДз), (о3($), каж-
дой иэ последних в свою очередь соответствует своя форма деформации
поперечного контура.
Обобщенные независимые функции <т*(г) и (o*(s) должны быть выбраны
таким образом, чтобы возникающая деформация поперечного контура
была возможной для данного поперечного сечения оболочки. Так, в нашем
примере функции <r*(z) и (o*(s) следует выбрать с учетом того, что реб-
ра 0,1 и О', Г (рис. 70) не могут перемещаться в вертикальном направле-
нии.
Первая обобщенная продольная сила <Ti(z) при принятой для нее коор-
динате депланации соДх) относится к такому состоянию деформации обо-
лочки, при котором ребра 0, 1, 2 испытывают одинаковые удлинения;
в остальных ребрах деформации равны нулю (рис. 71, а).
Вторая обобщенная продольная сила ог(х) с соответствующей ей коор-
динатой депланации (Og(s) относится к состоянию деформации оболочки,
характеризующей плоский изгиб граней 02 и 12, с нейтральной осью,
проходящей по ребру 1.
Нормальные напряжения будут отличны от нуля по граням 01, 12 и 23.
Изменяясь в пределах грани по линейному закону, нормальные напря-
жения могут быть приняты для точек 0 и 2 пропорциональными рас-
стояниям по горизонтали до ребра 1 и будут равны: sin <р0 и d2sin (<р0—Ф1)
соответственно. Деформация контура поперечного сечения, как и в пре-
138 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
дыдущем случае, по ребрам 0 и 1 вызовет только одни горизонтальные
перемещения (рис. 71,6).
Третья искомая обобщенная продольная сила <т3(г) с соответствующей
ей координатой депланации <o3(s) численно равна нормальному напря-
жению в точке 3 поперечного сечения оболочки (рис. 71, в).
Наконец, последняя искомая функция 04(2) при соответствующей
ей выбранной депланации (o4(s) представляет собой нормальное напряже-
ние в Точке 4 поперечного сечения (рис. 71, г).
Второй группой искомых обобщенных сил в нашем случае являются
поперечные изгибающие моменты, возникающие в оболочке в силу
Гл. 11, Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 139
деформации поперечного контура при жестком соединении отдельных гра-
ней между собой. Число этих моментов, рассматриваемых как продоль-
ные обобщенные силы в функции от координаты z, при жестком соеди-
нении между собой пластинок по ребрам оболочки и при наличии ци-
линдрических шарниров на линиях между продольными стенами и
оболочкой равно восьми. Из этих восьми искомых функций четыре
относятся к симметричной нагрузке и четыре — к обратно симмет-
ричной.
Элементарные (единичные) эпюры моментов от искомых поперечных
изгибающих моментов показаны для симметричного состояния на
рис. 72.
Рис. 72
Основные дифференциальные уравнения оболочки при принятых
предпосылках составляются по тому же методу, как и восьмичленные
дифференциальные уравнения, и имеют тот же характер и структуру.
Разница состоит лишь в том, что за независимые функции продольных
напряжений ст1(х) и оа(-г) с соответствующими им координатами депла-
пации co1(s) и <вг($) в данном случае принимаются функции более сложного
характера, нежели функции продольных напряжений ц*(а) при состав-
лении восьмичленных дифференциальных уравнений.
Необходимость такого выбора, как указывалось выше, обусловли-
вается трехпролетной конструктивной схемой поперечного сечения дан-
ной оболочки. Основная система для составления дифференциальных
уравнений и определения коэффициентов этих уравнений представляет,
как и при составлении восьмичленных уравнений, систему нерастяжи-
мых пластинок, связанных между собой цилиндрическими шарнирами
(основная система смешанного метода). Матрицы основных дифференци-
альных уравнений в общем виде представлены в табл. 46, где через
символ D2 обозначена, как обычно, вторая производная от искомой функ-
ции по координате z.
Первые четыре уравнения — геометрические, вторые четыре уравне-
ния — статические (такая последовательность уравнений нами принята
для удобства последующих алгебраических выкладок).
Ниже приводятся формулы коэффициентов и свободных членов урав-
нений для симметричного состояния.
140 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвиг*
Коэффициенты первого квадранта:
= 7з t 4- с/г/Л:)’	^22 — 1/з (d^Ji 4~ d.^!J^',
^зз ’ 7з (d3JJ3 4“ dJJn)",	bti ~	4- cZs/27s;	j. (pj
412 — i21 = rf2/672i />2з — b32 = </з/6/з> b3i = bi3 =-
Коэффициенты второго и третьего квадрантов:
а<3	3з1	d2d3 sin <р3 ’
(h2 - - s21 - ~ sin (ф0 - ф]) [ctg (ф0 - Ф1) 4- cig ф, + ^4^];
_	_	1	.	_	„	1
Я11 s" - d3rf3 sin ф2 ’ Ли Si2	d3di sin фз ’
«>3 = — $32 = -?г (ctg ф*> 4- cfg фд 4- т—---Н т—) ;
fl \ Т 6 Т 1 d2 Sin ф3 1 di sin Фз )
ai2 - - $22 =	[ctg (ф0 - ф1) + ctg ф2 4-	4-
+ ^-(clgf2 + cig?3 +J--{—)];	,
n.21 = - $12 =.= - A- (ctg ф2 + Ctg фз + --A- ) ;
«34 = - s43 = - A- (cig фз 4- cig Ф4 4- -1^—} >
«33 - - *33 = - [4Тз4Г8Гп ФГ + (Cfg <P2 + C'g Фз) +	|
1	“I
+ (ctg фз 4” ctg <p4)J ;
«32 =	—	s23	=	sin (ф0	—	Ф1)	(ctg	ф2	4- ctg ф3 +	j
i__da ।	d3	\ .	
'	d2	sin ф3	sin	ф3/ »	;
«31^-513	=	-	A- (ctg	ф2	4- ctg фз	4-	;
(11.18)
«44	S44 —	(Ctg фз 4- Ctg Ф4);
dl
a-43 = - $34 = - A- (ctg фз 4- Ctg Ф4 +
dz  i	,	1
«42 = — $24 =------------SIH (ф„ — ф.) —--------------------- •
d3di	't’-' sm фо ’
«41 = — $14 =--------------г-j ;---------- .
dtdn Sin ф3
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 141
Коэффициенты четвертого квадранта:
г44 —	Fi 4 2” F®’	^34	6
r33 = _L (F3 + Ft)‘, r32 = r23 = 4" F3d2 sin (<p0 - Ф1);
О	v
Г31 = г1з = “g" F3",
r22 = (4-^1 + Д7?о) sin2 ф0 + -A" F*d* sin2 too — <Pi) +
+ 4- F^sin2 too— ‘Pi);
Г21 = Tj2 = — (4"F* + ^F0)	Sil1 ‘Po +
-f- 4- F2d2 sin (<p0 — tpj + 4*^2 sin too — <P1)’’
Гц = Fi 4- F2 + -y- F3 + &F0 4- AFj.
Свободные члены:
1 dl
Ош = -^ 77 ?sin
„	1 /COS фз „ COS Фо „ \ .
di \ sin q>3 sin ф4 ^4/ ’
D	_	1 I COSlp3 _ _ COS -фз \
3p	di \ sin <p3 ?3 sin <p4 F4) •
,	1 / COS 4>2	___ COS Ф4 \ ,
"T” d3 \ sin фз ^2 sin фз ^3/ ’
„	,	.	,	. Г 1 ( COS фз	COS ф4 .
/?2р = - d2 sin (<p0 - ф1)	(-5^- Pi - -^7- p3) 4-
I 1 cos фз 1 .
‘ d2 sin фз ^2J ’
д	_ 1 / cos Фз	COS ф4 \
lp d3 \ sin фз	sin фз P3) '
} (11.20)
J
Формулы коэффициентов первого главного квадранта матрицы (11.17)
выражают взаимные углы поворота, возникающие между отдельными
пластинками основной системы от единичных состояний для поперечных
моментов, и могут быть получены как выражения работы поперечных
моментов единичных состояний на соответствующих им деформациях
контура путем интегрирования произведений этих эпюр. Эти коэффи-
циенты определяются жесткостью на изгиб пластинок в поперечном
направлении на единицу длины оболочки. Формулы коэффициентов чет-
вертого главного квадранта матрицы (11.19) выражают реакции, воз-
никающие в стерженьках основной системы от выбранных состояний де-
планации, и могут быть получены как выражения работы единичных
эпюр напряжений на соответствующих им депланациях сечения путем
интегрирования произведений единичных эпюр. Эти коэффициенты опре-
деляются жесткостью на растяжение (сжатие) пластинок и стрингеров
в продольном'направлении.
Формулы коэффициентов второго и третьего квадрантов матрицы
(11.18) учитывают в нашей расчетной схеме взаимное; влияние депланации
142 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
сечения и деформации контура. Для третьего квадранта они мотут быть
определены как выражения работы реакций, возникающих в стерженьках
основной системы от единичных эпюр поперечных моментов, на выбран-
ных координатах депланации. Так как величина реакций в стерженьках
зависит только от конфигурации контура поперечного сечения оболочки,,
то эти коэффициенты целиком определяются взаимными углами наклона
ф граней друг к другу.
Коэффициенты второго квадранта матрицы, исходя из теоремы Бетти
о взаимности работ, для данной основной системы смешанного метода
равны и обратны по знаку коэффициентам третьего квадранта матрицы.
Формулы для свободных членов статических уравнений (11.20) мо-
гут быть получены как работа реакций, возникающих в стерженьках
основной системы от внешней нагрузки, на выбранных координатах де-
планации. Эти коэффициенты определяются значением внешней нагрузки
и конфигурацией контура поперечного сечения.
Наконец, свободные члены геометрических уравнений вычисляются
как вторые производные по z от взаимных углов поворота граней по-
перечного контура оболочки в основной системе от внешней нагрузки и,
согласно указанному ранее, будут отличны от нуля только по ребру 7..
Для обратно симметричного состояния коэффициенты дифференциаль-
ных уравнений и свободные члены могут быть получены аналогичным
образом также очень просто.
Ограничиваясь первым членом разложения искомого деформируемого
состояния исследуемой оболочки в ряд по тригонометрическим функ-
циям, искомые функции и заданную нагрузку представим в виде (11.16) г
Oa'(z) = 6ft sin-^-j Gft(z) = Gk sin~- pk(z) = -^-pksin^r
где к принимает значения 1,2, 3, 4.
Здесь Ок и G/c — искомые коэффициенты для напряжений и попереч-
ных моментов в сечении оболочки z = const (в частном случае при z = 1/2)-
Внося эти выражения в полученные выше дифференциальные уравнения,
представленные в табл. 46, и сокращая каждое из них на общий множи-
тель sin получаем для определения искомых коэффициентов о*,
Gk(k = 1, 2, 3, 4) систему восьмичленных алгебраических уравнений,
коэффициенты которых отличаются от коэффициентов табл. 46 только
тем, что символ О2 в них заменен на (—л2/Р), а свободные члены, кроме
того, получают дополнительный множитель 4/л. Для удобства исследо-
вания работы оболочки в зависимости от ее длины I табл. 46 преобразова-
на в табл. 47 (подробно об этом см. § 4). Последняя табличная форма
записи позволяет для каждого значения I ограничиться изменением ко-
эффициентов только четвертого квадранта, что значительно сокращает
математические выкладки при решении системы уравнений по способу
Гаусса. При этом следует иметь в виду, что полученные в результате
решения системы уравнений величины ой необходимо умножить на л2//2,
чтобы получить истинное значение ой. Полученные величины Gk оста-
нутся без изменения.
В качестве примера рассмотрим оболочку с геометрическими размера-
ми, указанными на рис. 68—70, на симметричную нагрузку q = 400 кг/м*
покрытия и исследуем распределение усилий в такой оболочке в зависимо-
сти от соотношения ее длины I к ширине основного пролета Ъ.
Отметим попутно, что продольные стрингеры на ребрах 0, 1 и О', Г
с площадями поперечных сечений AFo и AF1, работающие на растяжение
совместно с пластинками оболочек, введены в целях усиления жестко-
сти конструкции. Эффект такого усиления состоит в том,, что эти про-
Гл. 11. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 143
Таблица 46
№ ребер		G\	G2	Gs	Gt	64	S3	S2	61	Свободные члены
Геометрические уравнения	1	buD*	b^D2	0	0	0	<213	<212	<211	®1PD2
	; 2		b^D2	623D2	0	<224	<223	<222	Л21	0
	? 3		•	ЬззО2	b:»L)2	<2 84	<233	<232	‘<231	0
	4		•	1	d^D2	<244	<243	Л42	a41	0
Статические уравнения	4		•	•		2-44D2	2-43D2	0	0	^4p
	3		•				гззО2	7-32D2	r3iD2	Л3р
	2		•					rul)’-	T21D2	^2p
	1		*	•					niD2	Л1Р
дольные пояса ограничивают деформации удлинений оболочки на линиях
опирания ее на колонны, заменяя собой сплошные продольные стены,
работающие на сдвиг.	1
Геометрические величины, входящие в формулы для коэффициентов
уравнений и свободных членов (11.17) — (11.20), имеют следующие зна-
чения:
dt = 905,52 см; d2 — d3 = dt = d6 = d = 733,80 см;
— 6,0 см; б2 = б3 = б4 = б6 = 6 = 8,0 cm;
Fr = djfii = 5433,12 cm2; F3 = F3 = F^ = F& = F = <76 = 5870,08 cm2;
AF0 ~ 3200 cm2; AF± = 2400 cm2;
= 1113 CMi; = J3 = Jt = Js = J = 42,6 ел4;
<Po -- 83,26°; ф! = 25,26°; ф2’ = фз = ф4 = Ф = 10,53°;
th = 90° - фо = 6,34°; ф2 = 31,60°; ф3 = 21,07°; ф4 = Ю,53°.
Подставляя эти величины в общие формулы для коэффициентов и н
матрицу алгебраических уравнений, представленных в табл. 47, получаем
для случая 1/Ъ — 1 (при Ь = 48 м) систему уравнений, числовые коэф-
фициенты которой приведены в табл. 48.
Исследование работы оболочки производилось при следующих со-
отношениях l/b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12 и оо.
При 1/Ь = оо данная пространственная система вырождается в плос-
кую систему.
В результате решения уравнений для каждого значения l/Ь получены
значения продольных напряжений о и поперечных моментов G для выбран-
ных ОСНОВНЫХ СОСТОЯНИЙ Oj, о2, сг3, о4 и Gi, G2, G3, G4.
4-44 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Таблица 47
G, а № ребер		Gi	Ga	G3	Gt	Z2 л2 04	Z2 °з	Z2 “л7 32	Z2 <tt2	Свобод- ные члены
1 еометрические уравнения	1	6ц	612	0	0	0	Л13	«12	an	й 4 LP л
	2		622	623	0	a 24	a 23	«22	«21	0
	3		•	633	634	«34	«33	a 32	asi	0
	4	-		•	644	«44	«43	«42	«41	0
Статические уравнения	4	•	•			л4 - у44	“pl Й	0	0	в 4 Я4р — л
	3						Л4 “У33	Л4 -y32	Яд -у31	О’ |к а;
	2							Л4 -y22	л4	в 4
	1								л4 "У11	^4
Таблица 48
Gl № ребер	5	Gt	Сг	G3	Gt	Z2 л2 64	Z2 ^33	Z2 ZZT 62 Л2	Z2 —2 Л"	Свобод ные члены
д к Г S рщ И	1	2,57158	1,22770	0	0	0	10,1630	—14,4851	—10,1630	6,0314
	2	С22770	4,91081	1,22770	0	10,1630	-40,3080	33,3277	30,1460	0
□ й"	3	0	1,22770	4,91081	1,22770	-30,1460	60,2920	-25,1946	-30,1460	0
а £ « £ ~ Л	4	0	0	1,22770	6,13852	19,9830	-30,1460	6,3520	10,1630	0
a S	4	0	10,1630	-30,1460	19,9830	—2095,475	-419,095	0	0	- 186,12
S S а	3	10,1630	—40,3080	60,2920	—30,1460	— 419,095	—167,378	—242,446	—419,095	— 179,88
F- S И те о д	2	—14,4850	33,3277	—25,1946	— 6,3520	0	—242,446	—2393,605	971,306	—1396,66
Н еа о .а	1	—10,1630	30,1460	-30,1460	-10,1630	0	—419,095	971,306	—8078,930	366,00
Полная эпюра продольных нормальных напряжений о и поперечных
изгибающих моментов G получается наложением четырех основных со-
стояний для напряжений и для моментов. В продольном направлении, по
оси z, напряжения и моменты, как уже указывалось, для первого Члена
разложения изменяются по формулам:
б (z, s') = о;/2 (s) sin nz/l',. G (z, s) = G7/2 ($) sin nz/Z.
Полученные числовые данные приводятся на графиках.
На графиках (рис. 73 и 74) показаны изменения изгибающих попереч-
ных моментов и продольных напряжений для сечения z = Z/2 в за-
висимости от соотношения l/Ь в точках 0, 1, 2, 3, '4.
На рис. 75 даны эпюры: слева’— нормальных,напряжений в кг/см2,
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 145
Рис. 73	Рис. 74
10 в. з. Власов, т. III
Рис. 75
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкции 147
в середине1 — изгибающих моментов в кгсм/см и справа — сдвигающих
усилий в кг/см при соотношениях 1/Ъ = 1, 2, 4, 8, 12.
Полученные данные таблиц и графиков позволяют сделать следующие
выводы.
1.	Нормальные и касательные напряжения (усилия) по мере увели-
чения длины оболочки возрастают. При некотором значении длины I эти
напряжения достигают максимальных величин; в нашем случае — при
1/Ъ = 8 — 10. При дальнейшем увеличении соотношения 1/Ъ нормаль-
ные и касательные напряжения убывают и становятся равными нулю при
1/Ъ — ос. В этом предельном случае поперечные сечения оболочки не испы-
тывают никаких внутренних напряжений.
2.	Поперечные изгибающие моменты при значениях 1/Ъ, не превы-
шающих 5—6, имеют сравнительно малые значения; при дальнейшем воз-
растании 1/Ъ эти моменты непрерывно возрастают и достигают максималь-
ного значения при 1/Ъ — оо. В этом предельном случае оболочка вырож-
дается в плоскую систему и работает как трехпролетная рама. Таким
образом, с изменением отношения 1/Ъ происходит перераспределение
внутренних сил оболочки. В нашем случае вырождение данной оболочки
в плоскую систему начинается только при соотношениях 1/Ъ = 8 -ь-10.
Поперечные изгибающие моменты при 1/Ъ = 6 составляют не более
20% от моментов, которые можно получить из расчета такой системы,
рассматриваемой как плоская рама.
3.	Указанное значительное снижение моментов обусловливается по-
явлением в оболочке продольных нормальных и сдвигающих сил. Отсюда
следует, что все подобного рода конструкции могут возводиться без про-
межуточных поперечных эатяжек, которые обычно ставят, исходя из
неправильного представления о работе таких конструкций, рассматри-
ваемых как плоские арочные системы.
Данный вывод имеет большое практическое значение. Можно утверж-
дать, что подобного типа конструкции цилиндрических и призматиче-
ских оболочек, состоящие из сплошных пластинок или из плоских ферм,
усиленные надлежащим образом на продольных краях поясами-стрин-
герами или работающие совместно с продольными стенами и имеющие
на поперечных криволинейных краях жесткие диафрагмы при отношении
1/Ъ, равном примерно 2, могут быть осуществлены без каких-либо про-
межуточных поперечных связей (затяжек, плоских ферм и т. д.). Расход
материала в подобного рода строительных конструкциях из железобетона
или из металла, как показывают исследования, будет минимальным по
сравнению с любой из существующих пространственных конструкций
(своды Кольба, системы Цейс — Давидаг, ребристые оболочки и т. д.).
4.	Здесь дан анализ работы оболочки при некоторых частных ее раз-
мерах. Этот анализ приведен с целью иллюстрации основного утвержде-
ния о том, что представление о работе таких оболочек как плоских ароч-
ных систем, весьма распространенное среди инженеров, находится в
прямом противоречии с действительной работой таких пространственных
конструкций. На этом примере показано, в каком направлении следует
вести разработку новых рациональных конструктивных форм нестерж-
невого происхождения, имеющих большие перспективы во многих обла-
стях строительной техники. Исходя из общих уравнений, данных в виде
матриц в табл. 46 и 47, а также в виде формул (11.17) — (11.20) и отно-
сящихся к рассматриваемому типу оболочки, можно при заданном соот-
ношении ИЪ определить основные размеры оболочки (толщину, площадь
сечения стрингеров, жесткость поперечных ребер при наличии таковых,
стрелу подъема и т. д.) перекрытия больших пролетов при .наименьшем
1 Цифры в скобках относятся к случаю плоской системы (Z/& = оо).
10*
148 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
расходе строительных материалов и при отсутствии каких бы то ни было
дополнительных поперечных связей или диафрагм.
5.	Следует иметь в виду, что уравнения, приведенные в табл. 46 и 47,
выведены в предположении, что оболочка на линиях 0, 1, О', 1’ свободно
опирается на продольные стены или колонны. Если она по этим линиям
жестко соединена в продольном направлении по всей длине здания (или
на участках, примыкающих к торцам здания) со стенами сплошной кон-
струкции, для которых деформации сдвига можно положить равными
нулю, то внутренние усилия и деформации в оболочке будут значительно
меньше, чем в первом случае, и, следовательно, конструкция покрытия
будет экономически еще более выгодной. Этот случай представлен мат-
рицей в табл. 49. Формулы для коэффициентов остаются те же. Эпюры
продольных нормальных напряжений (в кг/с.м2) и поперечных изгибаю-
щих моментов (в кгсм/см) в сечении z= Z/2 при соотношении ЦЪ = 2 по-
казаны на рис. 76.
Таблица 49
№ ребер		Gi	с2	G3	g4	p 61	Z2 63	Свободные члены
[	Геометрические	| уравнения	1	Ьц	Ь12	0	0	0	«13	
	2		Z>22	Z>23	0	«24	«23	0
	3			&33	&34	«34	«33	0
	4			•	Ъц	«44	«43	0
Статические уравнения	4					Л4 “Т4Г44	Л4 --jlr43	Д4П — 4p л
	3	•		•	•		Л4 —	T33	лзР — зр л
Следует иметь в виду, что описанные здесь пространственные тонко-
стенные конструкции на поперечных криволинейных краях должны иметь
жесткие в своих плоскостях опорные диафрагмы. На эти диафрагмы со
стороны конструкции покрытия передаются сдвигающие усилия, которые
могут достигать весьма больших значений. Эти усилия, как показано выше,
находятся из условий равновесия.
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 149
§ 6. Пример расчета складки на колебания
В качестве примера рассмотрим пятигранную складку.
Пусть складка опирается на две поперечные диафрагмы и в пролете
свободно висит. Пролет складки I = 20 м.
В поперечном сечении
Ширина и толщина
каждый грани (за исклю-
чением бортовых элемен-
тов) d =3 м и h = 0,08 м.
Ширина и толщина борто-
вого элемента dr = 1,2 м
и /ix = 0,2 м. Углы между
двумя соседними гранями:
фх = 60° и ф2 — 30°.
Расчет построим так,
чтобы иметь возможность
складка имеет следующие размеры (рис. 77).
выяснить, насколько из-
меняются частоты собственных колебаний, если складка будет усиле-
на в поперечном направлении жесткими ребрами или арками.
Результаты предварительных вычислений:
F = dh = 0,24	= djit = 0,24 .w2;
площадь поперечного сечения складки SF= 1,2 м2; координата цент-
ра тяжести с = 1,56 м; центральный момент инерции сечения отно-
сительно горизонтальной оси J — 0,97488 лР.
а) Симметричные колебания
После подстановки всех значений, соответствующих данной оболочке,
уравнения табл. 24 примут вид1:
Л()	al	Ла	В	
0,08 — (0,00296п2+ S2 +0,39556)	S2 0,04 + 0,512-^-	S2 —0,11644-^-	—128,3	=0
S2 0,04+0,512	0,16— (0,00592п2+ S2 + 0,82827)	S2 0,04+0,31627	230,94	=0
S2 —0,11644	.V2 0,04+0,31627	0,2—(0,00592га2+ S2 +0,19982) -^4-	—102,64	=0
—128,3	230,94	—102,64	—2922,26	9 h3	=0
Здесь з3 — величина, пропорциональная V2 — квадрату частоты»
причем
v2 = Egn4F0s2/TZ4;
п — произвольное целое число, отвечающее числу полуволн, которые
образуются при колебании складки в продольном направлении; h — тол-
щина складки;
Fo = 1 .м2; е0 = 1 м.
1 Для краткости выписываем лишь множители при неизвестных, написанных в
первой строчке.
150 Расчет оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Что касается величин Ао, AL и В1? то они отличаются от амплитуд
п0, <4, п2 и ^2 только коэффициентами пропорциональности:
Ло = F030//4; Al = FoS1/l*; А2 = F0s2/F; В = G^nWlA.
Благодаря такой замене неизвестных, все коэффициенты уравнений
выражаются отвлеченными числами.
Вышеприведенную систему уравнений можно представить в другой
форме, более удобной для решения, а именно: если первые три уравнения
почленно сложим, то полу-
чим уравнение, в котором
обратится в нуль коэффици-
ент при В, а другие коэффи-
циенты примут более простой
вид. Второе преобразованное
уравнение получим, если
первое, второе и третье урав-
нения умножим соответствен-
но на расстояния узлов 0, 1
и 2 от горизонтальной оси
(т. е. на 1,56, 0,36 и —1,14,
согласно рис. 78) 1 и полученные уравнения сложим. В этом случае ко-
эффициент В также обратится в нуль.
В качестве третьего, преобразованного уравнения может служить,
например, первое уравнение, если в нем исключить В при помощи четвер-
того уравнения.
В результате указанного преобразования получим систему трех од-
нородных уравнений.
Чо	Al	Л2	
з2 0,12—0,00296	S2 0,24—0,00592	S2 0,24—0,00592—г ’	’	л2	= 0
0,2784—(0,0092352л2 + S2	0,1488—(0,0042624л2— S2 -0,28)	—0,4272+(0,0134976л2 + S2 + °,32)	= 0
/г3 0,08-(-5,633—j-4 — еоп S2 —(0,00296л2--0,39556)—	/г3 0,04—10,139		+ Ф* S2 +0,512	h3	s2 4,506 —-0,11644-т еЗл4	Л1	= 0
1 Если указанные преобразования произвести не над однородными алгебраиче-
скими уравнениями, а над соответствующими им дифференциальными уравнениями
(1.138), то полученные в результате этих преобразований два новых уравнения будут
иметь простой статический смысл: первое уравнение будет соответствовать уравнению
проекций на продольную ось всех сил, приложенных к поперечному сечению оболочки,
и второе — уравнению моментов тех же сил относительно горизонтальной центральной
оси поперечного сечения.
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 151
Составим детерминант
и приравняем его нулю:
1;
0,2784—(0,0092352л2-]-
s2
h3
0,08+5,633 --------
S2
—(0,00296п2+0,39556)	;
s2\
(0,12—0,00296-^)
2;
0,1488—(0,0042624л2—
s2
-o,28)v;
/г3
0,04—10,139 —----h
ео *
S2
+0,512 —r;
2;
—0,4272+(0,0134976л2 +
з2
+0,32)^-
=0
h3	s2
4,506 -Т——0,11644-т-
е8л4	,г
X
Раскрыв определитель по обычному правилу, получим уравнение
третьей степени относительно s2 (уравнение частот), которое в данном
случае разбивается на два следующих уравнения:
0,12 —0,00296 4-= 0,
(П.21)
(— 491,108 — 16,1545n2 — 0,052696n4) s4 +
+ (11,265 —+ 294,114— + 476,3л4+ 2,4864л6 Vs2 —
К	ео	ео	/
— 9152,22 —— 26,4л8 = 0.	(11.22)
еэп
Из первого уравнения получаем непосредственно:
2	0,12л2 /ЛЕ 2
s — одаГ — 40,5п •
Соответствующие этому корню частоты собственных колебаний
пл2 -| ГiO,5gEFo
v = —— I/ —----------сек 1
I2 г y
Низшая частота этого типа колебаний будет, очевидно, при п = 1.
Подставляя найденное значение корня в вышеприведенные однород-
ные уравнения и разрешая их относительно AJAX и AJAV найдем следую-
щее соотношение амплитуд нормальных напряжений в ребрах складки или,
что одно и то же, амплитуд удлинений ребер:
Ло :	: И2 = 1 : 1 : 1.
Отсюда следует, что определяемые этим корнем колебания представ-
ляют собой продольные перемещения поперечных сечений складки, не
сопровождаемые изгибом граней.
Два других корня получим, разрешив квадратное уравнение частот.
Определяемые ими частоты зависят от Л, т. е. от жесткости складки в по-
перечном направлении.
Рассмотрим сначала складку, не имеющую усиливающих ее в попереч-
ном направлении арок или диафрагм.
152 Расчет, оболочек смешанным вариационным методом без учета деформаций сдвига
Подставляя в уравнение (11.22) п = 1 и h = 0,08 м, получаем сле-
дующее квадратное уравнение:
507,315s4 — 484,704s2 + 31,0859 = 0.
Корни этого уравнения
s2 = 0,06914; s*’= 0,88629
и соответствующие им частоты
Как и прежде, подстановкой значений sj и s’ в систему трех однород-
ных уравнений можно определить соотношения амплитуд удлинений ребер
складки. Не приводя здесь
промежуточных вычислений,
укажем лишь на следующие
окончательные результаты:
при s2 = s| Ао : А: А2 =
= — 1,30:1 : -0,348;
при s2 = $2 А : А : А2 =
= 2,68: 1 : — 2,34.
На рис. 79 даны соответст-
вующие этим частотам формы
колебаний поперечного сечения
оболочки. Показанные на этом
чертеже амплитуды * перемеще-
ний любой точки поперечного
сечения определяются с точно-
стью до одной произвольной
постоянной, т. е. как функции
какой-либо одной из этих амп-
литуд, например, Av как это
проделано в настоящем примере.
Амплитуда А1 может быть оп-
ределена, если будет задана
величина начального импульса.
Полученные значения частот относятся к случаю, когда п = 1, т. е.
формой колебаний в продольном направлении является синусоида с одной
полуволной. Таким же путем можно получить высшие частоты, подстав-
ляя в уравнение частот последовательно п = 2, 3, 4,...
Ниже приводятся значения коэффициентов, пропорциональных квад-
ратам частот при различном значении п.
п	S2	
1	0,06914	0,8863
2	0,9409	13,049
3	4,638	58,41
4	14,282	158,87
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 153
Из таблицы видно, что низшие частоты действительно соответствуют
колебаниям, отвечающим значению п = 1.
Рассмотрим теперь складку, усиленную в поперечном направлении
ребрами или арками.
Ребристая складка по характеру распределения усилий представляет
конструкцию, обладающую различной жесткостью в продольном (на
растяжение и сжатие) и
в поперечном направле-
ниях (на изгиб). В урав-
нениях движения при
вычислении угловых де-
формаций, возникаю-
щих в шарнирных сое-
динениях основной си-
стемы, необходимо фак-
тическую толщину обо-
лочки заменить приве-
денной толщиной; по-
следняя назначается в
зависимости от момента
инерции сечения ребра
и расстояния между	Рис. 80
ребрами.
Поинтересуемся предельным случаем — случаем оболочки с абсолют-
но жесткими ребрами, т. е. оболочки с неизменяемым контуром по-
перечного сечения. Для такой именно оболочки получим наибольшие от-
клонения частот собственных колебаний по сравнению с рассмотренной
ранее гибкой оболочкой.
Частоты колебаний в этом случае определяются наиболее просто.
Полагая в уравнении частот (11.22) h —> оо, получим следующее урав-
нение:
(11265,4 + 294,114n2)s2 - 9152,22л4 = 0.
Отсюда
' 2 _	9152,22тг4
5 — 11265,4 4- 294,114п2 ’
ИЛИ, при п = 1,
s2 = 0,7917.
Сравнение результатов показывает, что частота колебаний оболочки
с жестким контуром (s2 = 0,7917) располагается в интервале между
низшей ($2 = 0,06914) и высшей ($2 = 0,88629) частотами оболочки с
гибким контуром сечения.
Подставляя полученное значение частоты в два первых однородных
уравнения и решая эти уравнения относительно
40М1 и 42Mx,
найдем
Ао :	: А2 = 4,33 : 1 : -3,17,
т. е. напряжения в ребрах, а также их удлинения прямо пропорциональны
расстояниям соответствующих ребер от центральной горизонтальной оси.
Отсюда следует, что рассматриваемые колебания представляют собой
поперечные колебания простой балки со сложным профилем поперечного»
сечения. Формы этих колебаний показаны на рис. 80.
154 Расчет оболочек смеманным, вариационным методом без учета деформаций сдвига
б) Обратно симметричные колебания
Подставляя в уравнения (табл. 25) значения, соответствующие дан-
ной оболочке, и исключая потом В из трех первых уравнений при помощи
четвертого уравнения, получим следующую систему однородных урав-
нений
-4 о	А±	Аг	
0,08+9,388	— № — (0,00296га2+ S2 + 0,39556)	h3 0,04—29,908	+ Ф* S2 +0,512^	h3	s2 56,1)61 -—-——0,17187— фа	п*	= 0
h3 0,04—29,908 -г- + Ф* S2 +0,512	h3 0,16+95,277—г—— Ф‘ —(0,00592га2+ S2 +0,82827)	h3 0,04—178,59 -V- + Ф4 У2 +0,66237	= 0
56,061	0,17187—г фа	"	h3 0,04—178,59 -т- + Ф* S2 +0,66237	h3 0,12+334,76-V- — ео"4 —(0,00592га2+ S2 + 1,6881)	= 0
Также, как и в случае сим-
метричных колебаний, эти урав-
нения можно преобразовать к
виду, более удобному для даль-
нейших вычислений. Оставляя
без изменения первое из трех
написанных уравнений, соста-
вим два новых уравнения. Ум-
ножая первое, второе и третье
уравнения соответственно на
расстояния узлов 0, 1 и 2 от
вертикальной оси и складывая
их, получим первое преобразо-
ванное уравнение, в котором об-
ращаются в нуль множители
при h3. Для получения второ-
го преобразованного уравнения
умножим опять уравнения пер-
вое, второе и третье соответст-
Рис. 81	венно на секториальные площа-
ди для узлов 0, 1 и 2. За полюс
и начало отсчета секториальных площадей можно принять любую точку
на вертикальной оси, проходящей через центр тяжести сечения. Однако
удобно такой точкой считать D (рис. 78). Тогда секториальная пло-
Гл. II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конструкций 155
щадь для узла 0 будет со1 + со2 = 4,709 м1 2, для узла 1 — со2 = 1,125 м2 и
для узла 2 — со3 = 0.
Сложив полученные уравнения, получим уравнение, в котором также
обращаются в нуль множители при h3.
Окончательно систему однородных уравнений представим в виде1:
Ао	Аг	Аг	
0,49177—(0,01213л2 — S2 -0,21938)	0,87962 —(0,02426л2 + S2 +0,30255)	0,34392 —(0,00888л2 + S2 + 0,52203)—Г	= 0
0,33172—'(0,01061л2 + +0,84169).^- 1"	0,32336 — (0,00666л2— S2 -0,90320)	S2 0,045+0,12918-^	= 0
h3
0,04—29,908	+ ел4	h3	s2	
0 0 — 0,512—г	56,061-——0,17187 е®л4	п	= 0
h3
<0,08+9,388	-
— (0,00296 л2 +
s2
+ 0,39556)
Ограничиваясь вычислением лишь низших частот собственных ко-
лебаний при п = 1, рассмотрим два случая: оболочку с гибким конту-
ром поперечного сечения и оболочку с жестким контуром.
Полагая во всех приведенных уравнениях п = 1 и h = 0,08 м (для
случая оболочки с гибким контуром), составим детерминант и прирав-
няем его нулю:
0,49177 + 0,20725s2;	0,87962 - 0,32681s2;
0,33172 — 0,85230s2;	0,32336 + 0,89654s2;
0,084807 - 0,39852s2;	0,024687 + 0,512s2;
0,34392-0,53091s2
0,045 +0,12918s2
0,028703 - 0,17187s2
= 0
Раскрыв этот определитель, придем к такому уравнению частот:
s6 — 7,41511s4 + 1,9833s2 — 0,124750 = 0.
Решение этого уравнения дает следующие три корня2:
s2 = 0,099194; s2 = 0,176145; s2 = 7,1398.
Располагая корнями уравнения частот, нетрудно вычислить соответ-
ствующие этим корням соотношения амплитуд колебаний. Соотношения
1 Дифференциальное уравнение, соответствующее первому преобразованному
уравнению, представляет собой уравнение моментов всех сил, приложенных к попе-
речному сечению оболочки, относительно вертикальной ее оси, проходящей через центр
тяжести.
Дифференциальное уравнение, соответствующее второму преобразованному урав-
нению, — уравнение секториальных моментов тех же сил относительно продольной
оси, проходящей через точку D.
Теория пространственных колебаний оболочек с жестким поперечным контуром
дана в книге автора «Тонкостенные упругие стержни» (Госстройиздат, 1940. Избр.
труды, т. 2, 1963). Там же приведены общие дифференциальные уравнения движения
оболочки, основанные на законе секториальных площадей.
2 При вычислении этих корней оказался очень удобным способ Хорнера; см., на-
пример С. П. Тимошенко. Теория колебаний в инженерном деле, ГНТИ,
1932, § 31.
156 Расчет оболочек смешанным вариационным методом бев учета деформаций сдвига
амплитуд напряжений в ребрах или удлинений ребер оказались такими
при s2 = s2 Ло: А: А2 = — 1,68 :1: 0,043;
при s2 = s2 А0:А1:А2 = — 6,70 :1 :10,8;
при s2 = S2 Ло: Л : Л2 = 1,22 :1 : 0,273.
Формы этих колебаний показаны на рис. 81.
Рассмотрим теперь оболочку с абсолютно жестким контуром.
Подставим в однородные уравнения п — 1 и h—> оо, тогда получим
детерминантное уравнение в такой форме:
0,49177 + 0,20725s2;
0,33172 - 0,85230s2;
9,388;
0,87962 — 0,32681s2;
0,32336 + 0,89654s2;
—29,908;
0,34392 —0,53091s2
0,045 + 0,12918s2
56,061
= 0
Рис. 82
Это уравнение приводит к уравнению частот второй степени отно-
сительно s2
s4 - 6,69908s2 + 0,784012 = 0.
Корни этого уравнения:
s2 = 0,11969; s2 = 6,5502.
Соотношения амплитуд, соответствующие этим корням:
при s2 = sj	Ао:	: А2 = — 2,11|: 1: 0,887;
при s2 — s2	Ло: А±: А2 — 1,24 :1:0,327.
Формы колебаний показаны на рис. 82, из которого видно,^что эти
колебания представляют собой вращения поперечного сечения относительно
двух точек, расположенных на вертикальной оси симметрии сечения.
Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что и в этом
случае частоты собственных колебаний оболочки с абсолютно жестким
контуром поперечного сечения располагаются в интервалах между ча-
стотами гибкой оболочки. Однако расхождение низших частот оказы-
вается здесь не столь значительным, как в симметричных колебаниях.
Часть вторая
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА
Глава III
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА МНОГОСВЯЗНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
И ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
§ 1. Основные гипотезы, выбор обобщенных координат перемещений
Рассмотрим теперь более сложную задачу о равновесии цилиндриче-
ской или призматической оболочки в предположении, что в поперечном
сечении оболочка имеет произвольно заданный профиль, состоящий из
одного или нескольких замкнутых контуров (рис. 83). Как и ранее, бу-
дем считать, что составляющие оболочку пластинки на линиях их кон-
такта могут иметь соединения шарнирные, позволяющие свободно по-
ворачиваться одной пластинке по отношению к другой, и жесткие, устра-
няющие всякого рода подвижность между пластинками.
Рис. 83
В отношении внутренних сил будем исходить из принятых ранее
гипотез для оболочек средней длины о том, что в поперечных сечениях
оболочки могут возникать одни только нормальные а и параллельные
срединной поверхности касательные напряжения т, распределенные по
толщине д оболочки равномерно. На площадках же продольного сече-
158
Расчет, оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
ния, помимо нормальных и сдвигающих усилий, могут возникать также
и поперечные изгибающие моменты вместе с сопровождающими их попе-
речными силами. Все эти внутренние силы оболочки, отнесенные к еди-
нице длины соответствующего сечения, показаны на рис. 84 а.
Из упругих деформаций оболочки будем учитывать также и деформа-
ции сдвига. Эти деформации, имеющие второстепенное значение для обо-
лочек открытого профиля, мо-
гут иметь существенное значе-
ние в работе упругих оболочек
закрытого профиля.
При изложении теории ва-
риационного метода перемеще-
ний (не снижая общности это-
го метода) исходим из рассмот-
рения призматической оболочки
многосвязного профиля (рис.
84,6). Положение какой-либо
fl
точки М на срединной поверхности такой оболочки условимся, как и ранее-
определять координатами z и s.
Деформированное состояние оболочки можно полностью описать,
если будут известны перемещения точки М срединной поверхности как
функции от координат z, s. Пусть функция и (z, s) представляет собой
продольное перемещение точки М, т. е. перемещение в направлении об-
разующей (положительное в сторону возрастания z), а функция r(z, s) —
поперечное тангенциальное перемещение, т. е. перемещение в направле-
нии касательной к контуру поперечного сечения (положительное в сто-
рону возрастания $).
Эти перемещения представим в виде разложений:
и (z, s) = 2 Ui (z) qx (s) (i = 1, 2, 3, . . . , m); (III .1)
n
v (z, s) = 2 Vh (z)^ft (,«) (Zc = 1, 2, 3, . . . , n)T (III.2)
1
Гл. III. Теория расчета многосвязных цилиндрических и призматических оболочек 159
где функции Ui (z) и (z), зависящие только от z, являются искомыми,
а функции q>i (s) и фд. ($) подлежат предварительному выбору. Величи-
ны тип пояснены ниже.
Выделим из оболочки двумя сечениями z = const и z + dz = const
элементарную поперечную полоску. Такую полоску условно рассматри-
ваем как плоскую стержневую систему — раму (в случае цилиндрической
оболочки — раму с криволинейными элементами).
Рассмотрим деформированное состояние этой полоски, определяемое
только продольными перемещениями и (z, s).
Плоский контур такой элементарной рамы, оставаясь на призмати-
ческой поверхности оболочки, переходит в пространственную линию,
определяемую относительно первоначального сечения z = const при
выбранных функциях ф, ($) уравнением (III.1).
Предположим, что в случае деформированного состояния, опреде-
ляемого только продольными перемещениями, плоские элементы рамы
выходят из плоскости z = const и остаются прямыми.
Такое предположение эквивалентно гипотезе плоских сечений, при-
нимаемой отдельно для каждой из составляющих данную оболочку узких
прямоугольных пластинок.
В этом случае положение элементарной полоски после деформации
вполне определится продольными перемещениями ее т узлов относитель-
но плоскости z = const. Следовательно, выделенную элементарную по-
лоску можно условно рассматривать как стержневую систему, обла-
дающую в отношении продольных перемещений т степенями свободы.
Примем в формуле (III.1) искомые функции U^z), U2(z), . . ., Um (z)
за продольные перемещения т узлов элементарной полоски. Соответ-
ствующие, согласно (III.1), этим перемещениям функции фх (s), ф2 («),...,
фт (s) удовлетворяют всем необходимым условиям непрерывности про-
дольных перемещений и (z, s) по сечению z — const.
Каждая из функций фл; (s) при выборе искомых величин U\(z) ука-
занным здесь способом имеет очень простое геометрически наглядное
выражение, а именно: эта функция отлична от нуля только на участках
контура, сходящихся в узле г; в пределах каждого из этих участков она
представляется в функции от s линейным законом, принимая значение,
равное единице, в точке, совпадающей с г-м узлом, и значение, равное
нулю, в другой крайней точке данного участка. На всех остальных участ-
ках контурной линии функция фг(х) будет тождественно равна нулю
(рис. 85).
Ясно, что выбранный способ построения функций ф^(х) для принятой
модели не является единственным. За искомые функции U^z) можно
принять любые независимые между собой величины общим числом т.
Тогда каждой совокупности т независимых величин U\(z) отвечает со-
вокупность т линейно независимых функций фДз). Каждая из этих функ-
ций является непрерывной на всем многосвязном контуре, и на отдель-
ном участке контура представляется линейной эпюрой. Так например,
160
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
если в первом иэ разложений (III.1) заранее выделить продольные пере-
мещения, относящиеся к элементарному расчету оболочки как балки
сложного многосвязного сечения, то на основе гипотезы Бернулли, при-
нимаемой для всего сечения z = const, мы должны за три из т возмож-
ных перемещений U\ (z) принять величины t/1(z), U2(z), U3(z), опреде-
ляющие перемещения шарнирной модели на призматической поверх-
ности как жесткой плоской системы.
Каждая из соответствующих этим величинам функций q>1(s), q>2(s),
<p3(s) представляется как линейная функция декартовых координат
x = x(s), у = у (s) точки контура поперечного сечения оболочки.
Остальные члены разложения (III.1) для функции u(z, s) определяют
такое состояние продольных перемещений, при котором поперечные
сечения оболочки после деформации не остаются плоскими. Придержи-
ваясь терминологии, принятой в нашей общей теории тонкостенных стерж-
ней, отклонение от закона плоских сечений будем называть д е пла-
на ц и е й поперечного сечения.
Депланация многосвязной призматической оболочки определяется,
следовательно, (т.— 3) независимыми величинами: Ui(z), U3(z), Um(z).
Выбранные тем или иным способом линейно независимые между собой
непрерывные функции (s) общим числом т (j = 1, 2, 3,..., т) пред-
ставляют собой заданные обобщенные координаты деформации попереч-
ной элементарной полоски около плоскости этой полоски (из плоскости
поперечного сечения z = const). Соответствующие этим функциям ве-
личины t7j(z) (г = 1, 2, 3,..., т), из которых каждая зависит от другой
координаты z, представляют собой искомые обобщенные продольные пере-
мещения оболочки.
При построении другой системы функций ip*(s) (k = 1, 2, 3,..., п),
входящих в формулу (III.2) для поперечного тангенциального переме-
щения v (z, s) точки М (z, s) контура, будем исходить из деформации
элементарной поперечной полоски в ее плоскости z = const. Рассматри-
вая эту полоску как стержневую систему и считая ее элементы нерастя-
жимыми,' приходим к выводу, что контурное перемещение v (z, s) может
быть выражено через перемещения V^z) {к — 1, 2, 3,..., п) рассмотрен-
ной выше плоской кинематической модели в плоскости поперечного
сечения оболочки.
Число п искомых функций Pfc(z) равно числу степеней свободы этой
системы в плоскости поперечного сечения оболочки и определяется фор-
мулой
п = 2т — с,
где т — число узлов, ас — число стержней поперечной многосвязной
элементарной рамы.
Выбирая так или иначе п независимых величин V^z) для перемеще-
ний элементарной стержневой системы в плоскости сечения z = const
и давая последовательно каждой из этих величин единичные значения,
а остальные считая равными нулю, можно путем рассмотрения получен-
ных таким образом элементарных перемещений этой системы определить
все нужные нам функции ipfc(s). Каждая из этих функций будет пред-
ставлять собой контурное перемещение точки М в соответствующем эле-
ментарном состоянии V/c = 1 и Vh = 0 при h k (рис. 86).
Функция ipfc(s) в пределах каждого прямолинейного участка контура
оболочки сохраняет постоянное значение (не зависит от s) и представ-
ляет собой осевое перемещение соответствующего стержня шарнирной
модели.
Можно построить, таким образом, п линейно независимых между
обой эпюр функций ipfc(s) при любом выборе величин Vk(z).
Гл. 111. Теория расчета многосеяаных цилиндрических и призматических оболочек 161
Эти величины могут быть выбраны так, что три из них V^z), V2(z),
V3 (z) будут относиться к перемещениям модели как плоской стержневой
системы в целом без изменения формы этой системы. Остальные вели-
чины Vt(z), Vs(z), . . ., Vn(z) в этом случае будут относиться к таким пе-
ремещениям системы, при которых меняется взаимное расположение
отдельных звеньев системы. Явление, связанное с изменением формы шар-
нирно-стержневой системы, будем называть деформацией кон-
тура сечения. Таким образом, деформация контура оболочки определяет-
ся (п — 3) независимыми величинами, где п — число степеней свободы
элементарной полоски оболочки,
рассматриваемой как плоская
шарнирно-стержневая система.
Функции ф&. (s), соответствую-
щие п степеням свободы шар-
нирно-стержневой системы в ее
плоскости, удовлетворяют усло-
вию линейной независимости и
условию непрерывности определя-
емых этими функциями перемеще-
ний элементарной поперечной по-
лоски во всех точках контура этой
Рис. 86
полоски, включая также и узловые
точки контура, поскольку шарнирная модель в каждом из п возмож-
ных элементарных состояний Vk = 1, Vh = 0 при h =/= k остается всю-
ду непрерывной.
Выбранные тем или иным способом такие линейно независимые между
собой функции фй (s) общим числом n(k= 1, 2, 3, . . ., п) представляют
собой заданные обобщенные координаты деформации элементарной попе-
речной полоски оболочки в плоскости этой полоски (в плоскости сече-
ния z = const). Соответствующие этим функциям искомые величины
Vk(z) (k = 1, 2, 3,..., п), из которых каждая зависит от другой координа-
ты z, представляют собой искомые обобщенные поперечные перемещения
оболочки.
Тонкостенную конструкцию типа призматической или цилиндриче-
ской оболочки, поперечное сечение которой имеет произвольно заданное
очертание и состоит из произвольно заданного числа открытых или замк-
нутых контуров (см. рис. 83), как и в прежних наших работах, рассмат-
риваем как пространственную систему, состоящую из бесконечного мно-
жества бесконечно узких по ширине (в направлении оси z) поперечных
элементарных полосок (элементарных рам) и обладающую в каком-либо
сечении z = const в отношении перемещений узловых точек конечным
числом степеней свободы.
Положение всех узлов поперечной элементарной в общем случае
многосвязной рамы после деформации в пространстве при выбранных
обобщенных координатах ф, (s) (i = 1, 2, 3,..., т) и фл(«) (к—1, 2, 3,..., п)
определяются (т + п) искомыми обобщенными перемещениями — про-
дольными -Ui(z) (i = 1, 2, . .,m) и поперечными Vk(z) (k = 1, 2, 3, ..., ri).
Произвольно выделенная из оболочки поперечная элементарная по-
лоска, положение которой на призматической или цилиндрической по-
верхности определяется координатой z, в отношении указанных выше
перемещений и = и (z, s), v = v(z, s) рассматривается, таким образом,
как дискретная система, т. е. как система, число степеней сво-
боды которой конечно. Так как поперечные элементарные полоски
по длине оболочки (в направлении ее образующих) распределены не-
прерывно и величины Ui (z) (i = 1, 2, 3, ..., т) и Va(z) (Л= 1, 2, 3,...., ri)
в разложениях рассматриваются как искомые непрерывные
функции независимой переменной г, то отсюда следует, что степень
11 В. 3. Власов, т. III
162
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
свободы деформированного, а следовательно, и напряженного состояния
оболочки по переменной z (в продольном направлении) равна беско-
нечности. Таким образом, за расчетную модель призматической
оболочки сложного в поперечном сечении многосвязного контура и в
данном случае принимаем пространственную тонкостенную систему,
имеющую в плоскости поперечного сечения конечное число степеней
свободы и обладающую в другом направлении (вдоль образующей) бес-
конечным числом степеней свободы. Такие системы назовем дискретно
континуальными, в отличие от двухмерных расчетных моделей оболочек,
описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных
по двум независимым переменным z и s и, следовательно, мыслимых как
двухмерные деформируемые тела (поверхности), обладающие бесконеч-
ным числом степеней свободы по обеим переменным z и з.
§ 2.	Основные дифференциальные уравнения вариационного метода
Из § 1 следует, что после выбора обобщенных координат деформации
<Pi(s), 4>k(s) задача определения деформированного и напряженного со-
стояния оболочки сводится к отысканию обобщенных перемещений Ui (z)
и Vk (z). Действительно, если известны обобщенные перемещения Ui (z)
и Vk(z), то известно деформированное состояние, и тогда нетрудно опре-
делить напряженное состояние оболочки.
Так, например, нормальные и касательные напряжения в попереч-
ном сечении оболочки z = const на основании закона Гука имеют вид
<з = Е~\ t =	+	(III.3)
dz f	\ds 1 dz J	v f
Пользуясь выражениями (IIL1) и (III.2), находим:
о (г, s) = E 3 u'i (z) <pi (s);	(III.4)
1
m	n
T (z, s) = G 1У Ui (z) <p' (s) + S V'k (z)	(8)]	(III.5)
i	i
(i = 1, 2, 3, . . . , m; к — 1, 2, 3, . . . , n),
где E и G -— модули упругости материала оболочки при растяжении
и сдвиге.
Для определения искомых функций Ui (z) и Vk (z) составим дифферен-
циальные уравнения равновесия, используя вариационный метод. Для
этого рассмотрим работу сил элементарной поперечной полоски на воз-
можных перемещениях, за которые примем выбранные ранее функции
фг (8) И фй(8).
Элементарная поперечная полоска оболочки (см. рис. 84) будет на-
ходиться под действием внешних сил (состоящих из нормальных и сдви-
гающих), действующих в сечениях оболочки z — const и z + cbz — const,
и заданных поверхностных сил.
Пусть р* = р* (z, s); q* — q* (z, s) обозначают внешние по отноше-
нию к данной полоске силы, действующие соответственно по направле-
нию образующей оболочки (положительные — в сторону возрастания
координаты z) и касательной к Линии контура поперечного сечения
(положительные—в сторону возрастания координаты з).
Относя эти силы к единице площади срединной поверхности, получим
для них формулы:
= + <Ш6>
Гл. III. Теория расчета многосеязных цилиндрических и призматических оболочек 163
<7*=-|р + <Л	(III.7)
Здесь толщина оболочки 6 = 6 (s) предполагается заданной (в общем
случае прерывной) функцией одной только координаты s, а величины
р = р (z, s), q = q (z, s) представляют собой заданные внешние поверх-
ностные силы.
Интегральные условия равновесия элементарной полоски при вы-
бранных формах перемещений, определяемых т + п степенями свободы,
на основании начала возможных перемещений могут быть представлены
в форме т + п уравнений:
— W'dF + pqy/s = О (/= 1, 2, 3, . . . , m); (III.8)
^^hdF-^iVk\j-^ds + ^hds = Q (/г = 1, 2, 3, ...,n), (III.9)
где dF — дифференциал площади поперечного сечения оболочки:
dF = dds.
Здесь и в дальнейшем интегралы берутся по всему контуру сечения
z = const.
Уравнениями (III.8) представлены т условий равновесия полоски
dz — 1 в направлении, перпендикулярном к плоскости z — const; урав-
нениями (III.9) представлены п условий равновесия той же полоски в
плоскости z = const.
Каждое из уравнений (III.8) выражает собой равенство нулю суммы
работ всех внешних и внутренних сил элементарной полоски при изме-
нении деформированного состояния полоски около ее плоскости. За
виртуальные перемещения в уравнении номера / этой группы приняты
продольные перемещения Uj = <pj(s) точек элементарной полоски, опре-
деляемые одним только членом номера / разложения (III.1) при Uj = 1.
Крайние члены этого уравнения относятся к работе внешних сил
р* =	6 + р, действующих на полоску шириной dz = 1 и направ-
ленных перпендикулярно к ее плоскости. Средним членом выражена
работа внутренних сдвигающих сил. Для элемента полоски ds эта работа
определяется как произведение (с обратным знаком) из сдвигающей
силы rbds на деформацию сдвига, которая в рассматриваемом случае
вариации деформированного состояния равна производной <pj(s) от функ-
ции <p,(s).
Каждое из уравнений (III.9) выражает равенство нулю суммы ра-
бот всех внешних и внутренних сил элементарной полоски на соответ-
ствующих перемещениях при изменении деформированного состояния
в ее плоскости. За виртуальные перемещения в уравнении номера h при-
няты поперечные контурные перемещения vh = фп(8) полоски, опреде-
ляемые одним только членом номера h разложения (III.2) при обобщен-
ном поперечном перемещении Vh = 1.
Крайние члены уравнений (III.9) относятся к работе внешних кон-
турных сил q* = bdx/dz + q полоски, действующих в плоскости полоски.
Средним членом выражена работа внутренних сил на деформациях изгиба
полоски, соответствующих h-му элементарному состоянию перемещений
шарнирной кинематической цепи в плоскости этой цепи. Для элемента
полоски ds эта работа в случае изгиба определяется как произведение
(с обратным знаком) из изгибающего момента
M(z, s) = ZVk(z)Mk(s) (к = 1, 2, 3, . . . , п) (ШЛО)
И*
164
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
• >	Б) 7	”
на взаимный угол поворота ____Л _ as двух смежных сечении, ограничи-
EJ
вающих этот элемент. Буквами Mk = Mh(s) и Mh = Mh(s) обозначены
изгибающие моменты поперечной полоски-рамы, соответствующие эле-
ментарным состояниям деформации этой рамы Vk = 1 и Vh = 1 в пред-
положении, что узлы рамы свободны от внешних угловых связей, т. е.
что изгибающие моменты Mt(s) и Mh(s) в любых из «возможных состояний
(k, h = 1, 2, 3,..., п) во всех узлах удовлетворяют условиям равновесия.
Моменты Mh(s) и Mn(s) находятся обычными методами строительной
механики путем обратного перехода от деформированного состояния
стержневой рамной системы к внутренним силам.
Величина J = J(s) представляет собой момент инерции произволь-
ного поперечного сечения выделенной элементарной рамы оболочки при
ширине этой рамы dz = 1. Если оболочка состоит из одних только пря-
моугольных пластинок и не имеет поперечных связей, то, очевидно:
/= 63/12,
где 6 — толщина соответствующей пластинки.
В случае оболочки, подкрепленной дополнительными поперечными
рамами, величина J должна вычисляться с учетом среднего момента
инерции этих рам, т. е. момента инерции, приходящегося на единицу
длины оболочки.
Подставляя в (III.8) и (III.9) вместо ст, т их выражения (Ш.4)
и (III.5), получим систему (т + п) линейных дифференциальных урав-
нений относительно искомых обобщенных перемещений т — продоль-
ных Ui (z) (г = 1, 2, 3, ..., т) и п — поперечных Vk (z) (Л = 1, 2, 3,..., п).
Эта система может быть представлена в виде
т	т	п	'
Г 3 aiiU* “ 2 b^Ui ~ 2 CikV’k + ’G" Pi~' °’
i=l	i=l	k=l
m	n	n	I (III.11)
2 chiU'i + 2 rhkV"k — т 2 ShkVk +	= 0
i=l	k—1	k=x
(j, i = 1, 2, 3, ... , m); (7г, к = 1, 2, 3, . . ., n). t
Здесь у — постоянная для всех уравнений величина, определяемая
формулой
Коэффициенты уравнений (III.11) вычисляются по формулам:
«я = й (s)с» = J % (s)dF'’
rhk = \^h<s^k^dF>	(III.12)
ba = J Ti (s) (s) dF> cM = % (s) Ti (s) dF’>
1 Г Mh (s) Mk (s)
Sflk ~ E J EJ as'
Интегралы распространяются на все элементы поперечного сечения
оболочки. Эти коэффициенты обладают свойствами взаимности:
bji = bl}, rhk — Shk = skh> Chi — Cjk при h -- к, i = ],
выражающими теорему Бетти о взаимности работы упругой системы.
Формулы (III. 12) носят общий характер и позволяют вычислить
Крэффициенты уравнений (III.11) для оболочки произвольного оперта-
Гл» III. Теория расчета многосеяаных цилиндрических и призматических оболочек 165
ния в поперечном сечении при произвольном способе аппроксимации иско-
мых перемещений u(z, s), v(z, s) по переменной s.
При выборе функций цч (s) (i = 1, 2, 3,..., m), фь(«) (k = 1, 2,..., ri)
методом, изложенным выше, квадратуры, стоящие в правых частях фор-
мул (III.12), для каждого прямолинейного участка контура получают
простое выражение, поскольку каждая из функций <р$ на этом участке
зависит от координаты s линейно, а производная <р\, как и каждая из
функций ерь, на прямолинейном участке контура имеет постоянное зна-
чение.
Квадратуры первых пяти формул (III.12) при dF = 6 ds имеют оди-
наковый вид с последней из этих формул с той только разницей, что
вместо величины, обратной моменту инерции, под знаками интегралов
находится толщина оболочки.
Все коэффициенты уравнений могут быть вычислены известными прие-
мами теории расчета рам при помощи эпюр функций <р$ (s), <pi (s), i|)fe(s),
Mk(s), построенных для всего многосвязного контура.
Заметим, что формула для коэффициентов shk выведена в предполо-
жении, что пластинки оболочки в направлении их ширины рассматри-
ваются как жесткие (нерастяжимые) элементы. Если отказаться от этой
• гипотезы и наряду с деформацией изгиба элементов поперечной полоски
(стержней рамы) учесть также и деформации удлинений их, происходя-
щие от нормальных сил по продольным сечениям пластинок, то формула
для коэффициентов shk (h, k = 1, 2, 3, ..., ri) примет следующий вид:
_ ! (rMh(s) Mk(s) { Nh(s)Nk(s) \
Shk Е	EJ ds + J EF dS) ’
Здесь Nh(s), Nk(s) — нормальные силы стержней элементарной рамы,
соответствующие, как и моменты Mh(s) и Mk(s), двум различным еди-
ничным состояниям деформации рамы Vk = 1 и Vk = 1, т. е. состояниям,
определяемым единичными перемещениями (осадками) Уд = 1 или Vk = 1
при всех остальных из п рассматриваемых перемещений, равных нулю.
Нормальные силы Nh (s) и Nk (s) находятся также известными методами
теории рам из условий равновесия отдельных элементов (узлов) рамы.
Величины pj\z) и qh(z), относящиеся к свободным членам уравнений
(III.11), представляют собой известные функции от z и при заданных
поверхностных силах оболочки р (z, s), q (z, s) вычисляются по формулам:
р. = ^pcp.(Zs; qh = \q%ds,	(III.13)
где контурные интегралы распространяются на участки контура, для
которых подынтегральные выражения отличны от нуля.
Величины pj (z) и qh (z) в соответствии с физическим смыслом, выте-
кающим из способа их определения, могут быть названы погонными
(отнесенными к единице длины оболочки) обобщенными внешними силами;
из них продольная сила Pj (z) вычисляется как работа внешних продоль-
ных поверхностных сил р (z, s) на продольных перемещениях (s) эле-
ментарного (единичного) состояния деформаций полоски при Uj = 1, а
поперечная сила qk(z) вычисляется как работа внешних поверхностных
контурных сил q (z, s), получающаяся при контурных смещениях точек
элементарной полоски фд(з), определяемых единичным перемещением
V, = 1.
Формулы (III.12), (III.13) легко распространяются также и на обо-
лочки, усиленные на отдельных образующих продольными элементами
(стрингерами) и находящиеся под действием сосредоточенных в сечении
z = const нагрузок. В этом случае квадратуры (III.12), (III.13) следует
166 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
понимать в смысле интегралов Стильтьеса. К интегралам при непрерыв-
ном распределении по контуру дифференциалов dF, pds, qds следует
добавить величины, представляющие собой суммы произведений и
сосредоточенных в определенных точках конечных факторов (площадей
стрингеров, сосредоточенных сил) и значений соответствующих подынтег-
ральных функций в этих точках.
Систему основных дифференциальных уравнений (III.11) призма-
тической оболочки можно представить в виде табл. 50.
Эта система состоит из (т п) линейных дифференциальных обыкно-
венных уравнений с постоянными коэффициентами, каждое второго по-
рядка относительно (т + п) искомых функций Ui(z) и Vk(z). По своему
физическому смыслу она делится на две группы уравнений. Первая группа,
выписанная в верхней половине табл. 50, состоит из т уравнений и вы-
ражает равновесие элементарной упругой полоски-рамы из ее плоскости
как стержневой системы, обладающей на призматической поверхности т
степенями свободы.
Вторая группа, состоящая из п уравнений, относится к равновесию
этой рамы в своей плоскости как системы, обладающей в этой плоскости п
степенями свободы.
Матрица дифференциальных уравнений обладает симметричной струк-,
турой и состоит из четырех квадрантов. Первый и четвертый — главные
квадранты, второй и третий — побочные, отображающие взаимное влия-
ние двух видов деформаций упругой оболочки: продольной и попереч-
ной. Элементы побочных квадрантов матрицы, расположенные симмет-
рично относительно главных (диагональных) членов, отличаются между
собой только знаками. Равенство этих элементов по их абсолютному зна-
чению является следствием теоремы о взаимности работ упругой си-
стемы.
Описанные здесь уравнения представляют собой обобщение получен-
ных ранее восьмичленных уравнений для цилиндрических оболочек
и складчатых систем более простых в поперечном сечении очертаний.
Уравнения, представленные в форме табл. 50, имеют полную анало-
гию с уравнениями теории статически неопределимых систем, от которых
отличаются тем, что они дифференциальные уравнения, так как деформи-
рованное состояние поперечной полоски рамы как элемента оболочки
зависит от положения этой полоски по длине оболочки (от координаты z).
Отбрасывая в табл. 50 первую группу уравнений, выписанную выше
средней горизонтальной черты, и полагая в уравнениях второй группы,
выписанной ниже горизонтальной черты, все дифференциальные чледты
равными нулю, получим систему п линейных алгебраических уравнений:
suP 1 + si2l72 + • • • +	п "1"	= 0;
1
521У1 4- S2%V2 +  •  4- 82пУп -| <7 2 = 0;
(III.14)
W’1 + 8п2У2 + • • • + snriVп + —ЦТ ~ 0.
Эти уравнения, как нетрудно видеть, представляют собой так на-
зываемые канонические уравнения метода деформаций теории рам, кото-
рые выражают собой для рамы, обладающей в отношении линейных пере-
мещений узлов п степенями свободы, п независимых статических условий.
Расчет рамы с подвижными узлами по методу деформаций, как из-
вестно, состоит в том, что за основные искомые величины принимаются
две группы неизвестных: углы поворотов узлов рамы и независимые
Гл. III. Теория расчета многосвязных цилиндрических и призматических оболочек 167
Таблица 50
Свободные члены	$	<N a, 4^		g a.	i6 A J	eo		si йп 4^
si	Q e I	Js	• *	Q e v*	si 1— C4 Q u-1	si eq «0 7 eo Q st cq	; •	J N Q si si к
•				•	-		• •	•
ci	c1	Q (N (N	 •	Q (N g <u 1	N Cp N Q CN k"1	cq cq co 7 04 Q cq cq к	• ;	cq 7 . eo Q cq si к
£	Qrt I	^cq	: •	Q J	Co-1 7 k-1	cq co 03 Qrt cq к	• •	7 Qw г
g t)	g 7 Q g	g "J 7 Q s	• •	J M Q g g				
					Q g	Q g ^cq	* ;	Q J
		•						
							• ;	•
N	M N Q (N eT	(N (N 7 Q (N (N g	• •	(N ^g q (N £				
					Q (N c1	Q Ф1 ^cq	• •	Q СЧ
b	tT	N Qrt (N g	• •	J Q 1		^cq	• :	4, J1
168 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
между собой линейные перемещения, определяющие положение всех
узлов рамы после деформаций. В соответствии с таким выбором неизвест-
ных уравнения метода деформаций, число которых всегда равно числу
искомых величин, в общем случае содержат обе указанные выше группы
неизвестных. Исключая из этих уравнений углы поворотов узлов рамы,
получим систему уравнений, в которые в качестве искомых величин будут
входить одни только линейные перемещения Vk(k = 1, 2, 3,..., п). Та-
кая система, по существу, и представлена уравнениями (III. 14).
Какой-либо коэффициент shk (h, k = 1, 2, 3,..., ri) этих уравнений
может быть определен как обобщенная упругая реакция Л-й связи
основной системы при деформации этой системы, определяемой обобщен-
ным единичным перемещением Vk = 1 при всех прочих перемещениях
Vh (h =f= k), равных нулю.
Все коэффициенты shk [матрица уравнений (111.14)1 могут быть, таким
образом, определены чистым методом деформаций путем исключения из
основных уравнений всех иско-
мых угловых перемещений.
Из сказанного следует, что те-
ория плоских стержневых систем
представляет собой частный слу-
чай изложенной здесь общей тео-
рии тонкостенных пространствен-
ных систем.
Алгебраическая матрица урав-
нений (III. 14), относящихся к тео-
рии статически неопределимых стержневых систем, входит как элемент в
более общую дифференциальную матрицу уравнений (III. И), выражающих
собой равновесие тонкостенной пространственной дискретно-континуаль-
ной упругой системы. Плоская стержневая система, отождествляемая
по своей геометрической структуре и механическим свойствам с попереч-
ной полоской призматической оболочки, является только элементом этой
оболочки.
Элементарные поперечные рамы, непрерывно распределенные вдоль
оболочки и работающие также и в продольном направлении, образуют
в своей совокупности по отношению к продольным пластинкам призмати-
ческой конструкции как бы сплошную упругую среду. Коэффициенты
shk(h, k = 1, 2, 3,..., п) в дифференциальных уравнениях (III.11) пред-
ставляют собой обобщенные характеристики упругого основания, обус-
ловленного упругим сопротивлением призматической оболочки при де-
формации изгиба контура в поперечном сечении.
Если в уравнениях (III.И) все коэффициенты shk (h, k = 1, 2, 3,..., ri)
приравняем нулю, то получим систему дифференциальных уравнений,
относящуюся в этом частном случае к безмоментной оболочке, т. е. к обо-
лочке, пластинки которой на ребрах призматической поверхности (ли-
ниях контакта) соединены между собой шарнирно (рис. 87).
Дифференциальными уравнениями (III.11), полученными на основа-
нии изложенного вариационного метода при принятых геометрических
гипотезах, соответствующих расчетной модели оболочки, выражены все
необходимые геометрические и статические условия контакта пластинок
на ребрах оболочки. Таким образом, граничные условия и условия упру-
гого сопряжения пластинок на продольных ребрах оболочки в изложен-
ном здесь вариационном методе, как и в смешанном методе, приводящем-
ся к системе восьмичленных дифференциальных уравнений, удовлетво-
ряются автоматически при составлении основной системы уравнений
(III.И.).
Гл. 111. Теория расчета многосвяаных цилиндрических и призматических оболочек 169
(III.16)
Дифференциальные уравнения (III.11) выведены при произвольном
выборе функций ф, (з), фь. (з), определяющих, согласно формулам (III.12),
коэффициенты этих уравнений. Так как функции ф$ (з), фь (з) линейно
независимы и каждая из них может быть задана с точностью до произ-
вольного множителя, то за искомые функции Ui(z),Vk(z) всегда могут
быть выбраны такие независимые между собой обобщенные продольные
и поперечные перемещения элементарной шарнирной полоски оболочки
шириной dz = 1, при которых соответствующие им полигональные функ-
ции фг(з), фь(з) на всем поперечном сечении z = const оболочки обладают
свойством ортогональности. Предполагая, что каждая из совокупностей
функций ф1 (з), фь (з) обладает свойством ортогональности, можем записать
а.. = фw,dF = 0, если / =М;
3	" 3	(III.15)
г, ,. = \ ф^ф.(/2? = 0, если h=b=k.
hk X ft	7	1
При этих условиях уравнения (III.11) принимают вид
2	2 "I o' Pj ®
г, ] — 1, 2, 3, . . . , m);
2 ChiUi + rhhvh — T2 ShkVk + 7Г = 0
i	k
(h, k = 1, 2, 3, . . . , n).
Дифференциальная матрица этих уравнений имеет теперь более про-
стую структуру, так как с выполнением условий ортогональности (III. 15)
побочные дифференциальные члены главных (первого и четвертого)
квадрантов табл. 50, т. е. члены с коэффициентами яу и rh)l, при i =f= j,
h =/= к исчезают.
В раскрытом виде уравнения (III.16) представлены в табл. 51.
Функции фДз), фь(з), отвечающие условиям ортогональности, могут
быть названы главными обобщенными координатами
для перемещений оболочки (продольных и поперечных) в сечении
z = const.
Выбор ортогональных функцийфг (з), ф(з) может быть произведен гра-
фоаналитическими методами строительной механики при помощи пост-
роения эпюр этих функций и последующей ортогонализации групповых
состояний элементарных перемещений поперечной плоскости, подобно
тому, как это сделано в теории тонкостенных стержней.
§ 3. Граничные условия. Внутренние обобщенные силы.
Продольные и поперечные бимоменты.
Обобщение элементарных задач сопротивления материалов
Уравнения, представленные в табл. 51 или при произвольном выборе
функций фг (з), фь(з) (см. табл. 50), могут быть истолкованы как диффе-
ренциальные уравнения равновесия упругих стержней, находящихся
в упругой среде со многими обобщенными характеристиками (коэффи-
циентами постели). Такой средой по отношению к продольным пластин-
кам является среда, состоящая из поперечных рам-оболочек.
Из современных методов интегрирования симметричной системы линей-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами эффек-
тивным является метод А. Н. Крылова, позволяющий привести эту
170
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Таблица 51
Свободные члены	Si	м ^а-		£	Cr<	03	J	S
£	Q е Т	О £ см		Q J 1	2 «о-1 7	g 03 «0 7	• . f	J СЧ Q Й «*
•				•	•	*	; •	
£	Q оз	Q ОЗ ^03	; -	Q 03	N	я i— 03 Q 03 03	; •	03 £
г,	о-1	а ОЗ т	• •	Q g <0 1	«о4 7 03 ч	03	 :	s
g ь	ё	g оз	• :	J 03 а g g	Q g	Q g	• *	Q g
•	•	•	• :	-	•	•	• J	•
оз Ел	оз е^Г1	о» ОЗ оз Q оз 04	; •	03 £	Q 03 o’""1	Q 03		Q 03
Ui	1 оз ч, «г*		; •	в ►Ci	4	Q J5	• J	Q oS
Гл. III. Теория расчета многосвяаных цилиндрических и призматических оболочек 171
систему к эквивалентному ей одному дифференциальному уравнению. Но
более быстрый результат даст метод приведения системы дифференциаль-
ных уравнений к одному уравнению путем введения разрешающей функ-
ции, поясняемый ниже в примерах расчета.
В нашем случае это уравнение будет порядка 2(т + п). Отсюда сле-
дует, что искомые функции Ui (z), Vk (z), удовлетворяющие системе урав-
нений (III.11), будут определены с точностью до 2 (тп + п) произвольных
постоянных. Число этих постоянных равно удвоенному числу сте-
пеней свободы элементарной поперечной полоски оболочки dz = 1 в про-
странстве. Это находится в полном соответствии с числом независимых
геометрических условий, которые могут быть заданы для крайних сече-
ний оболочки z = 0, z = I (/ — длина оболочки в направлении образую-
щей).
Таким образом, для одного крайнего сечения оболочки можно произ-
вольно задаваться (т + п) величинами. Для двух сечений z = 0 и z = Z,
ограничивающих данную оболочку по ее длине, число независимых усло-
вий равно 2(m + n), что соответствует числу произвольных постоянных
интегрирования уравнений (III.11).
Варьируя этими постоянными, можно получить решение для данной
оболочки при самых разнообразных граничных условиях, заданных отно-
сительно продольных и поперечных перемещений, причем это решение
будет вполне определенное и единственное, удовлетворяющее всем не-
обходимым геометрическим условиям оболочки.
После определения функций Z7i(z), Vk (z) из уравнений (III.И) на-
пряжения <т = <t(z, s), х = х (z, s) в какой-либо точке сечения z = const
будут найдены, согласно (II 1.4) и (II 1.5), также с точностью до 2{т + п)
произвольных постоянных.
Состояние напряжений <т и х по сечению z = const при выбранных
полигональных функциях <р4 (s), фь (s) может быть выражено через (m+n)
независимых обобщенных статических величин. Эти величины вводим
путем обобщения основных понятий элементарной теории изгиба балок
подобно тому, как это сделано в нашей работе по общей теории тонкостен-
ных упругих стержней, основанной на законе секториальных площадей.
Исходя из идеи о виртуальной работе нормальных и сдвигающих сил
сгб, rd поперечного сечения z = const на каждом из (т + п) возмож-
ных перемещений точек этого сечения в пространстве, введем в рассмот-
рение следующие величины:
Pj(z) = \ sq.dF (/=1, 2, 3, . . . , лг);
Qh(z) =^x^fdF (h — 1, 2, 3,. .., и).
(III.17)
Здесь контурные интегралы распространяются на все элементы по-
перечного сечения оболочки.
Величины Pj, Qh представляют собой обобщенные продольные и по-
перечные силы сечения z = const оболочки.
Рассматривая эти величины как внутренние силы оболочки, выразим
их через основные функции Ui и Vk-
На основании выражений (Ш-4) (III.5), (III.12), (III.17) имеем
Pj = Е S ajiU'i	(г, / = 1, 2, 3,..., тп);)
Qk = G (S с^г + 2 rkkV'k) (h,	1,2,3...., п). j
172
Расчет оболочек методом
перемещений с учетом деформаций сдвига
Если функции ср:, фй ортогональны, то
Pj — Ea^U]	(/==1,2,3,...,™);)
Qk = G(3 chVi + ^K) (Л = 1, 2, 3,..., n).F (III.19)
1 )
Формула (III.4) может быть представлена теперь так:
о = 2-^-Ф7 (/’=1,2, 3,...,7п)	(III.20)
У 33
или в раскрытом виде:
о (z, S) = ф1 (S) + фа (s) +. . . + Фт (s). (Ш .21)
тт
/	Формула (III.20) представляет
собой обобщение предложенной
су,	нами четырехчленной формулы
ут/(V.	для ноРмальных напряжений от-
крытых цилиндрических и приз-
X.	матических оболочек (для тонко-
стенных стержней с открытым
’ЛЛЛЬк	профилем сечения), испытываю-
,	• Щих совместное действие растя-
жения (сжатия), изгиба в двух
плоскостях и кручения. Теория
таких оболочек основана на ги-
' ’	потезе о недеформируемости кон-
тура поперечного сечения.
ис’	Полагая для открытой обо-
лочки, имеющей в поперечном сечении жесткий контур: ,
Ф1 = 1; <р2 = ж(«); фз = ^ («); <P4 = ®(s),	(III.22)
где х (s), у (s) — декартовы координаты произвольной точки контура
в главных центральных осях сечения, а со (s) — удвоенная площадь сек-
тора, определяемого дугой МйМ и прямыми, соединяющими концы этой
дуги с центром изгиба А (рис. 88), получаем для обобщенных сил Р^Р^,
Ря, первых четырех членов разложения (III.20) следующие значения:
Pj = ( sldF = N-, Р2 = ( sxdF = — Mv- )
;	}	(Ш.23)
Р3 = \ sydF = мх- Pi = sadF = В. )
Первыми тремя формулами (III.23) определяются известные стати-
ческие величины (нормальная сила и моменты) поперечного сечения балки;
четвертой формулой определяется новая статическая величина, имеющая
размерность кгсм2 и представляющая собой работу всех элементарных
продольных сил о dF оболочки на депланации поперечного сечения,
определяемой законом секториальных площадей. Эта величина названа
нами бимоментом. Условия ортогональности четырех основных функций
(II 1.22) нами представлены в виде
IxdF = J lydF = J xydF = 0;
IcodF = x&dF = y&dF = 0.
(III. 24)
Гл. III. Теория расчета многосвязных цилиндрических и призматических оболочек 173
Из этих условий первые три совпадают с известными в теории изгиба
балок условиями, определяющими главные центральные оси поперечного
сечения оболочки. Вторая группа условий (III.24) относится к сек-
ториальным геометрическим характеристикам поперечного сечения обо-
лочки и определяет секториальную нулевую точку Мо (начало отсчета
секториальной площади) и центр изгиба оболочки. При условиях (III. 24)
бимомент В = В (z) представляет собой обобщенную, статически экви-
валентную нулю продольную силу.
В соответствии с (III.22) и (III.24) для геометрических характери-
стик ajj (j = 1, 2, 3, 4) первых четырех членов ряда (III.21) получаем
значения:
«и = l2dF = F; а22 = x2dF = Jy\ )
	pt (in.25)
«33 = \ y2dF = Jx, a44 = \ (iFdF = Ju,, j
Первые три из этих характеристик совпадают с известными основными
характеристиками сечения (площадь и моменты инерции) в теории изгиба
балок. Четвертая характеристика представляет собой новую величину,
имеющую размерность см6 и названную нами ранее по аналогии с Jx, Jy
векториальным моментом инерции.
Формула (III.21) для тонкостенной открытой оболочки при сохране-
нии в ней только первых четырех слагаемых на основании формул (III.23)
и (II 1.25) принимает вид
Первыми тремя членами этой формулы определяются напряжения
тонкостенного стержня в случае растяжения (сжатия) и изгиба. Четвер-
тым членом определяются напряжения, возникающие в случае кручения
стержня и распределенные по сечению по закону секториальной площади
© = co(s). Статические величины N = N(z), Мх~ Mx(z), Му = My(z)
находятся известными методами сопротивления материалов. Статиче-
ская величина В = В (z), относящаяся к нормальным напряжениям
<3W = B&/JW от кручения, определяется из предложенного нами диффе-
ренциального уравнения:
GJ я	т
в котором GJd — жесткость стержня при чистом кручении, определяемая
по теории Сен-Венана, а т = m(z) — внешний крутящий момент относи-
тельно центра изгиба.
Из приведенной здесь аналогии следует, что формула (III.21) для
оболочки с замкнутым многосвязным деформируемым контуром при вы-
боре первых трех функций <р^- (s) по формулам = 1, <р2 = х (s), <р3 = у (s)
и условиям ортогональности (III.24) может быть представлена в виде
+ j;y +	^г(р5+-‘"	(IIL28)
Здесь первые три члена относятся к напряжениям, распределенным
по сечению согласно закону плоских сечений, и соответствуют элементар-
ной теории изгиба балок.
Остальные обобщенные продольные силы P4(z), P5(z), . .., Pm(z) для
контура оболочки, обладающего в продольном направлении числом сте-
174 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
пеней свободы больше трех, будут представлять собой внутренние «про-
дольные» силы, имеющие, по существу, ту же природу, что и силы N,
Мх, Ми балки, с тем только различием, что зти силы при выборе ортого-
нальной системы функций (р, (s) представляют собой каждая уравнове-
шенную по сечению систему продольных сил и возникают вследствие
депланации сечения.
В отличие от продольной силы N и изгибающих моментов Мх Му,
обобщенные продольные силы Р4, Р5,..., Рт, связанные с депланацией
сечения, будем называть продольными бимоментами.
Эти бимоменты находятся в соответствии с обобщенными координа-
тами ф4, ф5,...,фт депланации поперечного сечения.
Геометрические характеристики
а.. = ^Р	(III.29)
по аналогии с известными величинами
«за = х-dF — Jv', «зз = y*dF — Jx
назовем бимоментами инерции.
Подобным же образом может быть выявлен физический смысл и обоб-
щенных поперечных сил <2h(z) (h = 1, 2, 3,..., и), определяемых соот-
ветствующими формулами (III.17) и (III.19).
Если из п обобщенных поперечных перемещений первым трем функ-
циям V1(z), Vz (z), V3 (z) придадим смысл трех независимых перемеще-
ний элементарной полоски как жесткой системы в плоскости попереч-
ного сечения оболочки и положим
ф4(я) = «'(«);	фа(8) = у' (s);	ф3(8) = x{s)y'(s)~ у(р)х’(р), (III.30)
то соответствующие этим координатам перемещений величины <24(z),
Q2(z), <?з(2) будут представлять собой: первые две — поперечные силы
и третья — крутящий момент всего сечения z — const оболочки. Осталь-
ные статические величины (?4(z), Q3 (z),..., Qn(z) будут представлять
собой обобщенные поперечные силы, вычисляемые каждая как работа эле-
ментарных сдвигающих сил т dF на соответствующих контурных (тан-
генциальных) перемещениях, т. е. на перемещениях оболочки, опре-
деляемых обобщенными: координатами i|)4(s), i|)5(s),..., фп(«) деформации
контура поперечного сечения.
В отличие от сил = Qx, Q2 = Qy и крутящего момента Q3 = Н
обобщенные силы Qt, Q3,..., Qn, соответствующие компонентам У4,
FS,...,V„ деформации контура сечения, назовем поперечными бимомен-
тами оболочки.
Формулами (III. 19) устанавливается зависимость между обобщен-
ными силами и обобщенными перемещениями оболочки.
Обобщенные силы Pj (z) (/ = 1, 2, 3,..., т), Qh (z) (h — 1, 2, 3,..., и),
характеризующие состояние нормальных и сдвигающих сил в попереч-
ном сечении оболочки, определяются также с точностью до 2 (т + п) по-
стоянных интегрирования системы дифференциальных уравнений обо-
лочки.
Рассмотрим теперь задачу о равновесии оболочки, для которой гра-
ничные условия в сечениях z — 0, z = I заданы в усилиях, в переме-
щениях или в случае смешанной краевой задачи частью в усилиях, а ча-
стью в перемещениях. Предположим, что по какому-либо краю оболочки
z = z0 действует заданная система нормальных и сдвигающих усилий.
Гл. Ill. Теория расчета многосвязных цилиндрических и призматических оболочек 175
Пусть p°(z0, s), g° (z0, ,?) представляют собой соответственно нормаль-
ные и сдвигающие силы, отнесенные к единице длины контура в точке s.
Эти силы как функции
от s могут быть| заданы
совершенно произвольно.
В нашей задаче состояние
продольных и поперечных
сил в каком-либо сечении
z = const определяется
конечным числом незави-
симых статических вели-
чин, соответствующих ко-
нечному числу степеней
свободы перемещений кон-
турной линии около и в
плоскости сечения.
Этими величинами яв-
ляются обобщенные про-
дольные и поперечные си-
определяются фор-
лы, которые при заданных
нормальных и сдвигающих силах р° (z0, s), q° (z0, s)
мулами:
P° = p°<pz?s; (/ = 1, 2, 3, . . . , m);
Qh — q0^hds (ft = 1, 2, 3,..., n).
(III.31)
Формулы (III.31) вместе с формулами (III.18) приводят для сечения
z = z0 к равенствам:
m	-	m	n	p
E 3 aiiU\ =\p\ds-,	chiUi-\- S rhkV'k] = \q°^hds. (III.32)
i—1	d J	4=1	fe=l ' J
Этими равенствами устанавливается зависимость между искомыми
бобщенными перемещениями и заданными в крайнем сечении z = z0
бобщенными силами.
Если внешняя нагрузка, приложенная по краю z = I (рис. 89), со-
стоит из сосредоточенных сил, то интегралы, стоящие в правых частях
равенств (III.32), следует понимать в смысле Стильтьеса и вычислять их
как работу заданных сил на перемещениях соответствующего виртуаль-
ного состояния.
Имея общий интеграл дифференциальных уравнений оболочки и
пользуясь общими формулами (III.32), можно определить состояние де-
формаций и напряжений оболочки при самых разнообразных граничных
условиях на сечениях z = 0, z = I, заданных в усилиях, в перемещениях
или частью в усилиях, а частью в перемещениях.
Глава IV
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ К РАСЧЕТУ ТОНКОСТЕННЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
§ 1. Призматические оболочки,
имеющие в поперечном сечении форму однопролетной рамы
1. Рассмотрим класс оболочек, для которых депланация сечения и
деформация контура определяются каждая в отдельности одним пара-
метром, представляющим функцию от координаты z. К таким оболочкам
может быть приведен ряд практически важных систем, встречающихся
при проектировании тонкостенных конструкций в различных областях
техники.
В качестве простейшего примера рассмотрим оболочку, поперечное
сечение которой симметрично относительно средней вертикальной оси А А
(рис. 90). Вертикальные пластинки оболочки на нижних продольных
краях имеют цилиндрические шарниры и закреплены по всей опорной
линии от продольных перемещений. Для такой оболочки элементарная
поперечная полоска как плоская шарнирная система при полной не-
подвижности опорных точек обладает тремя степенями свободы: двумя
из своей плоскости (система может совершать поворот вокруг опорной
линии, соединяющей шарниры опорных точек, а затем горизонтальный
стержень ее может повернуться вокруг вертикальной оси симметрии) и
одной в своей плоскости (поступательное смещение горизонтального
стержня вдоль своей оси). Предположим, что на оболочку действует в
Гл, IV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 177
плоскости горизонтальной пластинки поперечная нагрузка заданной
интенсивности q = q(z).
Продольные перемещения оболочки и (z, s) в сечении z = const для
двух каких-либо точек его, симметрично расположенных относительно
оси АА, будут равны по абсо-
лютной величине и противопо-
ложны по знаку. Эти перемеще-
ния определяются одним пара-
метром ?7i(z), за который при-
мем продольное перемещение
(считая его положительным)
верхнего правого угла сечения.
Эпюра перемещений, представ-
ленная при U± = 1 функцией
<P:l(s), показана на рис. 91,а; на
рис. 91, б приведена эпюра про-
изводной от этой функции <рх (s).
Очевидно, что при наличии
только одного параметра Ut (z)
функцией <рх (s) устанавливается
закон распределения продоль-
ных перемещений, а следовательно, и нормальных напряжений по сече-
нию z = const. Этот закон отличен от закона плоских сечений.
Поперечные контурные перемещения оболочки при неподвижности
ее продольных краев определяются также одним параметром V^z). За
этот параметр примем прогиб горизонтальной пластинки в ее плоскости
в сечении z = const (рис. 92, а). Контурные осевые перемещения точек
сечения оболочки, определяемые функцией (s) при единичном значении
искомой величины V± = 1, показаны на рис. 92, б; эти перемещения на
вертикальных участках сечения равны нулю, на горизонтальных —
единице.
На рис. 93, а представлена эпюра изгибающих моментов элементар-
ной поперечной рамы, соответствующая смещению горизонтального
элемента. Найдем величину момента М±. В данном случае это проще
всего сделать, выбрав основную систему в виде трехшарнирной арки
путем введения шарнира в середине ригеля рамы (рис. 93,6). Учитывая,
что по симметрии задачи изгибающий момент в месте поставленного шар-
нира равен нулю, построим эпюру изгибающих моментов от единич-
ной силы, приложенной по направлению перемещения V± (рис. 93, в),
12 Е. 3. Власов, т. III
178 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига.
Теперь запишем по способу Мора, что работа сил состояния рамы
при горизонтальной единичной нагрузке на перемещениях, получаю-
щихся при смещении У1, равна нулю:
, тг Г тМ j п
lV1 — \-Srr-ds = 0;
j
отсюда
тг (* тМ ,
V^\~EJds-
Перемножением зпюр, представленных на рис. 93, айв, находим
~ “6ЯД7Г + ТТЛ
отсюда искомый момент в узлах рамы при горизонтальном смещении их
на величину V±:
-----Ч	(IV.1)
 Ч dld.\
Ui л J
Как видно из вышесказанного, в рассматриваемой задаче искомыми
являются две основные функции: продольное перемещение (z), опре-
деляющее депланацию сечения, и поперечное перемещение УДг), опре-
деляющее деформацию контура сечения.
Полагая в уравнениях (III.11) i, j = 1; h, k = 1, получаем
yau?71 — b1±U i — СцК = 0;
CuUi + r11У1 — Xsuvi q/G = 0.
Систему зтих двух дифференциальных уравнений путем исключе-
ния продольного перемещения U1 (z) приведем к одному уравнению,
содержащему только поперечное перемещение V3 (z). Для этого продиф-
ференцируем первое уравнение (IV.2) один раз по z:
rau?7i — b^Ui — c^V'i = 0,	(IV. 3)
а из второго найдем
=	— ыЧ — TSnVi -f-	;	(IV.4)
отсюда получим
= - ^ kj/IV -	+ -<).
СЦ \	Ст /
Подставляя выражения U'± и и[ в уравнение (IV.3), имеем оконча-
(IV.2)
тельно		ГЯц?") = 0,	. (IV.5)
где	А2 =	+ Ьгц -	= 2тацгц	’	&11S11 лиги	(IV.6)
Входящие сюда коэффициенты au, &11, сп, гп и 5ц вычисляются по
формулам (III.12). Располагая эпюрами функций фДз), ф1(з) и ф)(з)
Гл. IV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 179
(рис. 91 и 92,6), посредством перемножения этих эпюр находим
аи = dF = -у (2cZi6i 4гб2);
F
F	}	(IV.7)
си = §	= 2б2;
F
Гц = iff dF = cZ262-
F
Далее, беря эпюру М из рис. 93,а и значение М± из его выражения
(IV. 1) при V± = 1, получаем
е _	I £ М2 ds	_ 1 р / 1	д^2 7	1	।	1	1	ij-2 d2 __
511	Е \ EJ Е М 3 dl ЕГг + 3 EJ2 2	/ ~
1
Здесь подставлены значения моментов инерции продольных сечений
оболочки на участках вертикальной и горизонтальной пластинок, отне-
сенных к единице длины оболочки:
Дифференциальное уравнение (IV.5) выражает собой равновесие
элементарной поперечной рамы, находящейся в сплошной упругой среде,
каковой по отношению к этой раме является данная оболочка. Это урав-
нение по своему виду совпадает с уравнением изгиба балки на упругом
основании, сопротивляющемся не только изгибу, но также и сдвигу
по линии контакта балки с основанием. Упругая среда в уравнении (IV.5)
представлена двумя независимыми друг от друга величинами А2 и В*,
которые могут быть названы обобщенными упругими характеристиками
оболочки, имеющей по одной степени свободы для депланации сечения
и деформации контура. Эти характеристики, как видно из формул (IV.6),
(IV.7) и (IV.8), определяются: функциями фх(«) и ф1(«), относящимися
соответственно к депланации и деформации контура поперечного сече-
ния оболочки, формой и геометрическими размерами поперечного сече-
ния оболочки, отношением модулей упругости у = Е/G и жесткостью
изгиба оболочки в поперечном направлении, представленной моментами
инерции /1, ./2 элементарной рамы шириной dz = 1.
Характеристика Bi, как видно из второй формулы (IV.6), пропор-
циональна коэффициенту su, относящемуся к изгибу элементарной по-
перечной полоски как рамы. Если пластинки оболочки на узловых обра-
зующих имеют шарнирные сочленения, то поперечные изгибающие мо-
менты элементарной полоски при изменении ее формы равны нулю.
В этом случае
sn = _В4 = О
и уравнение (IV.5) для безмоментной оболочки переходит в более простое
Vlv - 2A2V"1 -	- raliq") = О,	(IV.9)
12*
180 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
в котором теперь
А2 = &11Г11 ~ С11
2уацГ11
2. Переходя к решению дифференциального уравнения (IV.5) рас-
сматриваемого здесь класса оболочек, отметим, что двум кинематическим
величинам U^z) и УДг) соответствуют и две введенные нами статические
величины Р± (z) и <2i(z), определяемые формулами (III.18). Из них P4(z)
представляет собой обобщенную на депланации сечения искомую про-
дольную силу (продольный бимомент), а (?4(г) — обобщенную на дефор-
мации контура поперечную силу (поперечный бимомент). Имеем, таким
образом, четыре искомые величины t71(z), V4(z), P^z), Q1(z.), представ-
ляющие собой, по существу, обобщение хорошо известных в сопротив-
лении материалов основных четырех величин теории изгиба балок: про-
гиба y(z), угла поворота сечения y'(z), изгибающего момента М (z) и по-
перечной силы (?(z).
Произвольные постоянные интегрирования определяются граничны-
ми условиями, которые в зависимости от рода задачи могут быть заданы
в обобщенных перемещениях и V\ или в обобщенных силах Р± и Qlt
или частью в перемещениях, а частью в силах, причем на каждом из
крайних сечений оболочки z = 0, z = I должны быть заданы только два
условия.
Найдем интеграл уравнения (IV.5). Характеристическое уравнение
V — 2A2V + В* = 0,
откуда
V = Л2 + К-44 -54,
что дает четыре различных корня:
^1,2 = ~4~ а; Х,3д = р,
где
а = ]А12 + /Л4 — /Р; р = Л2 — К>‘ — /Р. (IV. 10)
Общее решение уравнения (IV.5) без правой части
К =	4- С2е-^ + С3е^ + С^.	(IV.11)
Переходя к гиперболическим функциям, получим
V1 = D± sh az + D2 ch az + D3 sh pz + _O4 ch Pz.	(IV.12)
К решению (IV.И) или (IV.12) следует еще добавить решение V?,
соответствующее уравнению (IV.5) и зависящее от внешней нагрузки
на оболочке. Подставляя полученное решение для V1 в выражение (IV.4)
для U±, после интегрирования последнего найдем функцию продольного
перемещения UY (z). Далее по формулам (III.18) можем получить выраже-
ния обобщенных силовых факторов Р± (z) и <2i(z). Наконец, располагая
в каждой отдельной задаче конкретными граничными условиями, опреде-
лим постоянные интегрирования С15 С2, С3, С4 или D±, D2 D3,
В качестве конкретного примера рассмотрим бесконечно длинную
оболочку с сечением, показанным на рис. 94; пусть оболочка нагружена
сосредоточенной силой Р, действующей в плоскости горизонтальной пла-
стинки. В этом случае условия для определения постоянных интегриро-
Гл. IV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 181
вания на участке
оо принимают вид
z
при z = О U\ = 0; Qi= — Р/2',
при z = оо V\ = 0; (?i = 0.
(IV.13)
Условия первое и третье — кинематические и выражают тот факт,
что в плоскости действия силы Р депланация сечения равна нулю (сече-
ние z = 0 по симметрии остается плоским), а в бесконечности деформа-
ция контура обращается в нуль. Условия второе и четвертое — стати-
ческие и относятся к обобщенной (в смысле виртуальной работы) по-
перечной силе Q± (поперечному бимоменту), которая в сечении z = 0
должна быть в равновесии с внешней поперечной нагрузкой, а в беско-
нечности обращается в нуль.
В случае бесконечно длинной оболочки решение V\ удобнее иметь
в показательных функциях, т. е. по формуле (IV.11). Для удовлетворе-
ния первому граничному условию при z = оо следует приравнять нулю
коэффициенты при е“2 и ер2, т. е. положить Сг = С3 = 0; тогда из (IV.11)
будем иметь
F4 (z) = С2е-“2 + С4е-32.	(IV.14)
Две другие константы найдем из условий (IV.13) для сечения z = 0.
Дифференцируем (IV.14) два раза по z:
V\ (z) = — aCaC"112 — ^Cie~l3z; V4 (z) = а2С2е~аг + Р2С4е~;32	(IV.15)
и подставляем в формулу (IV.4) (при этом полагаем q = 0, так как на-
грузка у нас сосредоточенная), получаем
t7i(z) =---у-[(гца2 — rsn) С2е-а2 + (гц₽2 — т^н) С4е-₽2]. (IV.16)
Интегрируя, имеем
{71 (z) = y-Nr(a2ri1 — rsu)C2e-a2 + 4-(32гп — TSii)C4e_H + Сб- (IV.17)
СЦ | Ct	к)	I
Подставляя К из (IV.15) и Ц\ из (IV.17) в формулу (III.18), находим
выражение для обобщенной поперечной силы:
Qi (z) = - ES11 (А- С2е-2 + 4- С4е~^) + СспС5. (IV.18)
\ ct	р	/
Удовлетворяя второе граничное условие при z = оо, получаем С5 = 0.
182 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Теперь, полагая в формулах (IV.17) и (IV.18) z = О, подставляем
полученные значения U± и Q± в граничные условия (IV.13), что дает
систему уравнений
4" (a2rn — ysu) С2 + у- (Р2гц — yen) С4 = 0;
Esi1 (“ГС'2 + Т С1) = "Г •„
Из решения зтих уравнений находим искомые постоянные:
С =	Р а (32гн — Уи) . r _ Р 3 (а2гц — Tsii) zTVIcn
2	2Е (а2 — З2) surn ’	4 2Е (а2 — З2) sum ’
Рассматриваемая оболочка (рис. 94) состоит из трех одинаковых (по
ширине и толщине) пластинок. Поэтому, полагая d± = d2 = d, —
= б2 = 6 и обозначая
ц = S/d или 6 = pd,	(IV.20)
по формулам (IV.7) и (IV.8) подсчитаем коэффициенты, входящие в зна-
чения постоянных (IV. 19):
Яц = dS = pd2; &ц = 6 ~ = 6ц;
cn = 26 = 2pd; r11 = d6 = p,d2;	-	(IV.21)
1 б3	1 ,
511	3d3	3	’
Подставляя'1 значения (IV.21) в формулы (IV.6) и полагая в них у — 2,
находим
Bi = ^- (IV-22)
Тогда в формулах (IV.10) имеем
/44-В4 = -^/4^-60ц2+9;
А2 +	(3 + 2ц2 + V4ц4 - 60ц2 + 9).	(IV.23)
Переходим к конкретному соотношению размеров поперечного сече-
ния оболочки; пусть 6 = 0,ld, т. е. ц = 0,1.
Согласно выражениям (IV.21) и (IV.23)
Яц = 0,Id2; Ъц = 0,6; cn = 0,2d; ru = 0,ld2; sn = 10“3/3;
A2 ± К A4 - B4 = ~ (3,020 ± 2,8983).
По формулам (IV.10)
a2 = 0,98638/d2; g2 = 0,02028/d2,
отсюда
a = 0,99317/d; ₽ = 0,14242/d; a2 — p2 = 0,96610/d2.
Подставив найденные величины в выражения для постоянных (IV. 19),
получим
С2 = - 2,0996Р/Е&; С4 = 21,6642Р/Е6.	(IV.24)
Гл. IV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 183
Подставляем значения (IV.24) в формулу (IV.14):
71 = Ж 2>0996е“а2 + 21,6642е-Р2).	(IV.25)
По формуле (IV.17) получаем
U^z) = l,0356^(-e-“*+e-^).	(IV.26)
Нормальное напряжение находим по формуле
o(z, s) = Е U' ф1(«).	(IV. 27)
Подставляем сюда U\(z) из (IV.26):
б (z, s) = 1,0356^(ае-а2— Ре~‘92) q>i (5)-
При найденных значениях аир
6(z, S) = J (1,0285 е-“2 —0,1475 е-Р2) ^(s),	(IV.28)
где F= db — площадь поперечного сечения одной пластинки.
Из эпюры функции <Px(s) (см. рис. 91,а) видно, что наибольшие нор-
мальные напряжения по сечению z = const имеют место в узловых его
точках, где <рх = ±1.
Отсюда для узла 1
б = J (1,0285 е-“2 — 0,1475 е-Р2).	(IV.29)
Найдем теперь касательные напряжения, которые определяются,
согласно формуле (III.5):
T = G[C7’1(z)<pl(s) + И1(г)ф1(«)].	(IV.30)
Вычислим эти напряжения в горизонтальной пластинке оболочки,
где (см. рис. 91,6 и 92,6) <р2 = 2/d,	= 1. Подставляя эти значения,
а также выражения (IV.25) и (IV.26) в формулу (IV.30), получаем
Т = С[1,О356^ (_е^ + е-Р2) ~ -4-	(2,0996 е-“2 — 21,6642 е~Р2)1
или после подстановки значений а и р, а также у = 2 и df> = F:
т = J(0,0070e-“2—0,5071 е-₽2).	(IV.31)
С целью исследования вопроса о влиянии соотношения толщин и
ширин соответствующих пластинок оболочки на распределение переме-
щений и напряжений по длине оболочки нами произведены такие же
расчеты, но при других соотношениях размеров поперечных сечений
пластинок, а именно:
р, = b/d = 0,05 и ц = b/d = 0,01.
Результаты этих расчетов приведены на рис. 95 и 96, на которых даны
графики изменения перемещений и напряжений по длине оболочки1
1 На указанных графиках представлены не самые перемещения и напряжения,
а величины, им пропорциональные.
184
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Рис. 95
Гл. IV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 185-
Рис. 96
186
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
в функции относительной координаты g = z/d. При этом для выражений
e-az и e-/3z получаем
_ g—0,99317£* g-pz _ g—0,14242^.
На рис. 95,а представлено изменение по длине оболочки поперечных
перемещений V1, т. е. прогиба горизонтальной пластинки, определяюще-
го деформацию контура поперечного сечения оболочки. Этими перемеще-
ниями определяются поперечные изгибающие моменты оболочки, воз-
никающие вследствие жесткого соединения между собой пластинок (гори-
зонтальной с вертикальными).
Наибольшие изгибающие моменты возникают в узлах поперечной
рамы (см. рис. 93, а) и, согласно формуле (IV.1), при dr = d2 = d равны
^(О = ±^^).
Знак плюс относится к левому, а минус — к правому узлу.
Рис. 97
На рис. 95,6 изображены графики изменения [величин U\, пропор-
циональные продольным перемещениям U± правого узла «рамы» попе-
речного сечения; для левого узла будут такие же кривые, но противопо-
ложного знака.
На рис. 96,а даны эпюры изменения по длине оболочки нормальных
напряжений о = <т(£), относящихся к узловым точкам поперечного сече-
ния. Эпюра же нормальных напряжений по сечению z = const совпадает
с эпюрой депланации сечения (рис. 91,а), что следует из формулы (IV.27).
На последнем графике (рис. 96, б) приведены касательные напряжения
т = т(£), образующие в сечении z = const поток сдвигающих сил S = тб.
Как указывалось выше, эти напряжения возникают в горизонтальной
пластинке оболочки, по которой они распределяются равномерно, что
видно из формулы (IV.30) и эпюр срх и (рис. 91,6 и 92,6).
Из рассмотрения построенных кривых видно, что наиболее интенсив-
но затухают по мере удаления от места приложения нагрузки нормаль-
ные напряжения <т; касательные же напряжения т и перемещения
и U± затухают по длине оболочки с меньшей интенсивностью. Сопостав-
ление каждых трех кривых, построенных на всех графиках для разных
толщин оболочек, показывает, что в оболочке с наименьшей толщиной
стенок, т. е. «наиболее тонкостенной» (6 = 0,01d), как напряжения, так
и перемещения затухают медленно и совершенно не носят характера
местных напряжений. Для оболочек же с более толстыми стенками нор-
мальные напряжения от уравновешенной нагрузки являются местными
и находятся в полном соответствии с принципом Сен-Ванана (рис. 95, б
и 96,а).
Гл. IV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 187
3.	Перейдем к рассмотрению оболочки того же сечения (см. рис. 94),
но ограниченной длины I. Пусть оболочка опирается по своим торцам
на диафрагмы, жесткие в своей плоскости и гибкие из плоскости. На-
грузку возьмем горизонтальную, равномерно распределенную по всему
пролету оболочки, расположенную в плоскости верхней грани оболочки
(рис. 97).
Такая нагрузка при принятых граничных условиях позволяет при-
нять функции U\(z) и V^z) в виде разложений в тригонометрические
ряды:
ОО
C7i(z)= 2 t7ln cos (2re~1)jrz;
(IV. 32)
Vi (z) = 3 Vln sin nz . I
n=l	)
Нагрузка может быть представлена также в виде разложения
ОО
’ и = I 2 “		(IV-33)
п=1
Это дает возможность дифференциальные уравнения (IV.2) путем
подстановки в них рядов (IV.32) и (IV.33) привести к алгебраическим
уравнениям.
Дифференцируя два раза выражения (IV.32), получаем
ОО
U'1 (Z) = - т 3 (2и - 1) tflnsin -(2ге51)Яг- ;
П—1
оо
U\ (*) = -< 3 (2и - I)2 Uln cos-^1-^2-;
п=1	1	(IV.34)
5»
v; (Z) = + у 3 (2и - 1) Vln cos (2ге~ -^-г ;
П=1
оо
T7ZZ / \	'SCI /О Л ТТ • (2и ~~ 1) ЭТ2
Vi (Z) =----2j (2n — I)2 Vln sm -1---------.
n=l
Подставив функции (IV.32), их производные (IV.34) и функции (IV.33)
для нагрузки, отвечающие произвольному номеру п, в уравнения (IV.2),
(2п— 1) nz . (2п—1) nz
сократив последние на cos'---— и sm---------у1—, получим такую си-
стему алгебраических уравнений:
я2 (2п — I)2 ТТ , тт , п(2п—1)TZ А
Taii-----у----U 1п blxU 1п	си----1---V 1п — 0;
л (2п	1) гг	л2 (2п — 1)
с“ -н—-	+ 'и Vln + TS11vln - я(2я_\)С = 0.
Толщину стенок оболочки возьмем одинаковой по всем граням и
равной 6 = 0,1 d; тогда по формулам (IV.20) и (IV.21) коэффициенты
этих уравнений равны
«и = ^ii = 0,1с£2; Ь±1 = 0,6; сп = 0,2 d; sn =
О
188
Расчет оболочек методом перемещений о учетом деформаций сдвига
Подставляя эти коэффициенты в уравнения и принимая G —
= 1,05 10е кг!сл&, у = 2, получаем
[1,974 (4)2 (2n — I)2 + 0,б] Z7ln + 0,628 (2п - 1) Fln= 0;
0,628 4 (2н - 1) С71п+[0,987 f (2n - I)2 + 4 IO"3]	=
= 1,2126-IO"8
2п— 1
(IV.35)
Ограничиваясь одним первым членом разложений (IV.32) и (IV.33),
подставим в уравнения (IV.35) значение п = 1:
[ 1,974(rf/Z)2 + 0,6] Ur + 0,628(cZ/Z) V± = 0;
0,628((Z//)Z7j. + [0,987(cZ/Z)2 + ^lO"3]^ = 1,2126-10-eg.	(IV.36)
Здесь обозначено для краткости U1± = Ub Vn = V±.
Рис. 98
Решив уравнения (IV.36) при любом принятом отношении d/l, найдем
коэффициенты и Р1. Тогда перемещения можно записать
и (z, s) = t71<p1 cos (лз/Z); v (z, s) = Vityi sin (лг/Z). (IV.37)
По формуле (IV.27) продольное нормальное напряжение
б (z, s) = — 6,5974-10® (Ur/l) фх sin (лг/Z),	(IV.38)
где принято Е = 2,1 • 10е кг/см2.
Определим теперь изгибающий момент в узле рамы; подставив в фор-
мулу d± = <Z2 = d; d = O,ltZ; E — 2,1-10® kzIcm2 и учитывая изменение
Гл. IV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 189
v (z, s) по формуле (IV.37) при значении ф1(«) = 1, получим
М = 350dV1 sin лz/l.	(IV.39)
На рис. 98 построены графики изменения обобщенных перемещений
иг узловых точек сечения и V\ горизонтальной грани оболочки в зависи-
мости от отношения l/d. Из этих графиков видим, что с увеличением
пролета I или, что все равно, с уменьшением стороны поперечного сече-
ния d оба перемещения сначала возрастают — жесткость оболочки умень-
шается и деформации растут. При отношении l/d между 20 и 25 продоль-
ные перемещения U± достигают наибольшего значения и затем начинают
убывать. В пределе они должны упасть до нуля, что соответствует вы-
рождению конструкции из пространственной в плоскую стержневую
систему. Перемещения V\ в пределах взятых нами отношений l/d непре-
рывно возрастают, хотя рост кривой при l/d<^ 15 -н 20 уже постепенно
уменьшается и она как бы стремится к максимуму.
Рассмотрим теперь оболочку как простую балку на двух опорах про-
летом I с поперечным сечением и нагрузкой, показанными на рис. 97.
Нагрузку будем считать заданной в виде разложения (IV.33). Определим
изгибающий момент в сечении такой балки по выражению
Z Z
Mz = — qdzdz.
о о
Подставляя сюда вместо q ее выражение (IV.33), получаем
М	V 1 4in(2rc —l)nz
Mz~	(2n — 1)3 Sm -1---
n=l '	'
или, принимая 4/л3	0,129,
00
Мг = 0,129 gZ2	sin (2д~1)я\
n=l ~ И	1
Если, как и выше, взять один только первый член разложения, то
Mz = 0,129 ql2 sin nz/Z.
Поперечное сечение оболочки (см. рис. 97) имеет следующие моменты
инерции и сопротивления относительно оси симметрии:
А = М3/12 (7 + 262/cZ2),
или принятом отношении b/d = 0,1
Jv — 0,0585 d\
Момент сопротивления
= 17Г = °’11ж
Напряжения в крайних волокнах балки-оболочки и, в частности,
в ребрах ее равны
=	= 1.1026(4)’ |sin-”=.	(IV.40)
В середине пролета оболочки эти напряжения достигнут наибольшего
значения
шах о0 = 1,1026 (-i)2	.	(IV.41)
190 Расчет, оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
По этому выражению нами подсчитаны нормальные «балочные» на-
пряжения о0, соответствующие принятым отношениям l/d, для сравнения
их с найденными ранее продольными напряжениями о в оболочке.
На рис. 99 построены кривые обоих нормальных напряжений о и о0.
Из этого графика видно, что с увеличением пролета I или с уменьшением
стороны d продольное нормальное напряжение в оболочке сначала уве-
личивается и при l/d в пределах от 8 до 9 достигает наибольшего значения,
а затем начинает падать. При некотором значении l/d, выходящем за
принятые нами соотношения, эти напряжения, полученные в результате
расчета оболочки как пространственной системы, обратятся в нуль;
это будет соответствовать тому состоянию конструкции, когда она из
пространственной выродится в плоскую стержневую систему. «Балоч-
ные» же нормальные напряжения с увеличением отношения l/d неогра-
ниченно возрастают, изменяясь пропорционально квадрату отношения
l/d, что видно из формул (IV.40) и (IV.41).
Наконец, по формуле (IV.39) для разных отношений l/d вычислены
изгибающие моменты в узлах выделенной элементарной полоски-рамы
толщиной dz — 1 и по ним построена кривая изменения этих моментов
(рис. 100). Как видно из этого графика, узловой момент с увеличением
пролета оболочки растет и приближается к наибольшему значению 0,5^.
Это есть величина момента в узле плоской статически неопределимой
рамы, рассчитанной обычным приемом строительной механики. Дейст-
вительно, выбрав основную систему и построив эпюру моментов от задан-
ной нагрузки (рис. 101), получим искомый момент в узле рамы
7If0 = qd/2.
Горизонтальная прямая (рис. 100) соответствует значению этого
момента; к ней асимптотически приближается кривая узлового момента М
в оболочке.
Наконец, остановимся еще на безмоментной схеме оболочки, которая
получится при введении шарниров в узлах рамы, показанной на рис. 97.
Для такой оболочки (рис. 102) следует в уравнениях (IV.36) положить
5ц = 0, т. е. отбросить во втором из этих уравнений член (Е/3) 10~3 в
коэффициенте при Vi; в результате получим
[1,974 {d/iy + 0,6]К1 + 0,628 (d/OV^O; 1
0,628 (d/Z)!/!0,987(<7//)2Г'1	1,2126-10'eg. J
Гл. IV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 191
Если уравнения (IV.36) и (IV.42) записать более кратко в виде
ALA + ВУг = 0; BUr + CVr=Q,	(IV.43)
то из решения этой системы найдем
U1 = - BQ!(AC - В2)-,	= [AQI(AC - В2).	(IV.44)
Системы уравнений (IV.36) и (IV.42) различаются между собой только
коэффициентами С [в обозначениях системы (IV.43)], а потому из выра-
жений (IV.44) можем заключить, что коэффициенты U1 и V\, а так-
же, согласно формуле (IV.38), и продольные напряжения о {(z, s),
.	t5'=n.id
Рис. 101	Рис 102
рассчитанные по моментной и безмоментной схемам, сохраняют между
собой постоянное отношение:
(£Л)бевм = k (J7i)mom', (]71)безм = k (V i)M0M; (б)безм|= k (б)мом,
где
к = (АС — В2)ЫОМ/(АС — B2)Se3M,	(IV.45)
Так как Смом Сбезм, то k 1; этот коэффициент показывает, во
сколько раз перемещения и напряжения в безмоментной оболочке больше,
чем в такой же оболочке, но обладающей моментной структурой. Для
всех рассмотренных выше значений отношения\d/1 нами решены уравне-
192
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
ния (IV.36) и (IV.42) и определены значения коэффициентов 4, В, С
и коэффициента k по формуле (IV.45).
По этим данным построен График изменения коэффициента k в зави-
симости от изменения отношения стороны сечения d к пролету оболочки I
(рис. 103). Перемещения и напряжения при безмоментной структуре
оболочки больше, чем в оболочке с жестким соединением граней, и эта
разница возрастает с увеличением длины пролета оболочки, причем гем
интенсивнее, чем больше отношение l/d (кривая на рис. 103 с увеличе-
нием этого отношения становится круче).
§ 2. Пространственные системы типа коробчатых оболочек
с изменяемым в поперечном сечении замкнутым контуром.
Основные уравнения и методы их интегрирования
1. Применим теперь изложенную выше теорию к расчету на прочность
тонкостенного стержня,
имеющего в поперечном сечении один замкнутый
прямоугольный контур, состоящий из четырех
пластинок. Предположим, что поперечное се-
чение стержня имеет две оси симметрии: гори-
зонтальную Ох и вертикальную Оу (рис. 104).
Рассматривая такой стержень как призмати-
ческую оболочку, обладающую деформируе-
мым контуром, и приводя эту оболочку из-
ложенными выше методами к тонкостенной
дискретно-континуальной системе (см. § 1, гл.
Ш), можем перемещения какой-либо точки лю-
бой пластинки оболочки в плоскости пластин-
ки представить в форме следующих конечных
рядов:
и (z, s)~U1 (z) (pj (s) + U2 (z) ср2 (») + U9 (z) фз (s) 4- U4 (z) cp4 (s);
V (z, s) = 71 (z) Ф1 (s) + V2 (z) ф2 (s) 4- Vg (z) фз (s) 4-	(z) ф, (s).
(IV.46)
Функции fpi (s) (j = 1, 2, 3, 4) выберем в таком виде:
<Pi = 1; <p2= x(s)- <ps = y(s); <р4 = x(s) y(s).
(IV .47)
1л. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 193
Здесь ж(л), y(s) — координаты какой-либо точки прямоугольного
контура относительно осей симметрии. Эпюры функций <Pi(s) (i = 1, 2,
3, 4) и их производных <p'(s) (i = 1, 2, 3, 4) даны на рис. 105 а, б. Функ-
ции фй(к) (& = 1, 2, 3, 4) определяем следующим образом:
ф1 = h(s); ф2 = х' (s); ф3 == y'{s);
1|-4 = x'(s)y{s') + x(s)y' (s).	(IV.48)
Здесь h(s) — длина перпендикуляра, опущенного из центра О на
соответствующую пластинку; x'(s), y’(s) — производные по s от декар-
товых координат. На рис. 105, в показаны эпюры для функций ф/фл).
а)
Рис. 105
Искомые обобщенные продольные перемещения Z7,(z) (i
1, 2, 3, 4)
при заданных функциях <pj(s) (f = 1, 2, 3, 4), определяемых формулами
(IV.47) (рис. 105,а), представляют собой: t7x(z) — поступательное пере-
мещение сечения z = const в продольном направлении; U2(z), t73(z) —
углы поворотов сечения z = const относительно осей соответственно Оу,
Ох\ наконец, U4(z) — обобщенную депланацию сечения z == const.
Искомые обобщенные поперечные перемещения F&(z) (k = 1, 2, 3, 4)
при заданных функциях ipft(s) (k = 1, 2, 3, 4), определяемых формулами
(IV.48) (рис. 105, в), представляют собой: Fx(z) — угол поворота сечения
13 р. и. Вл сов, т. III
194 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
z = const как жесткого целого относительно оси стержня Oz-, V2(z),
F3(z)— поступательные перемещения сечения z = const (прогибы) по направ-
лениям осей соответственно Ох, Оу, V4(z) — обобщенную контурную де-
формацию прямоугольного профиля стержня.
Этой обобщенной деформации для оболочки, пластинки которой на
ребрах соединены между собой жестко, соответствуют поперечные изги-
бающие моменты. Эпюры моментов для элементарной поперечной по-
лоски оболочки (прямоугольной рамы единичной ши-
рины) показаны на рис. 106. Момент в узле рамы оп-
ределяется формулой
Рис. 106
М = -тту.-у	^4 (z),
dpEJ 1 + dpbJ 2	'
(IV.49)
в которой d±, d2 — ширина соответственно верти-
кальной и горизонтальной пластинок; J\, J2 — по-
гонные моменты инерции, вычисляемые при толщинах
пластинок вертикальной и горизонтальной б2 по
формулам
J-, = б?/12; Л = б|/12.
Раскрывая для данной оболочки общие дифференциальные уравне-
ния (III.11) и вычисляя коэффициенты этих уравнений по общим фор-
мулам (III.12) и при помощи эпюр (рис. 105), получаем следующие основ-
ные уравнения:
EFU\ рх = 0;
EJvU"2 - 2GF2 (U2 + V2) + p2 = 0;
2.GF 2 (U2 -j- V2) q2 = 0;
£/Ж-2СЛ(£73 + Р;) + у93 = 0;
2GFi (U3 -f- V3)	q3 = 0;
aUi — brU4 —	— bj V4 -j- рц = 0;
bzU4 4~ biVi	b2V4 -j- q-i = 0;
b-JJ4 4- b2Vj	biV4 — cVi 4- 74 = 0.
Здесь F = 2F-i + 2F2 4- 4AF — площадь всего поперечного сечения
оболочки, определяемая как сумма площадей сечений пластинок и стрин-
геров, расположенных на ребрах и работающих совместно с пластин-
ками; Fr = d-foi — площадь сечения одной вертикальной пластинки;
F2 = d2b2 — площадь сечения одной горизонтальной пластинки; AF —
площадь сечения стрингера:
+ т + А7Ф Л = ^(т + т+д/г)-
моменты инерции сечения относительно осей соответственно горизон-
тальной Ох и вертикальной Оу;
a, b±, b2, с — различные обобщенные жесткости, определяемые по фор-
мулам:
а= 1 Ed\d2 (Fi + F2 + 6\Fy, = ^G (d*F2 + 4Л); ]
EJi + ej2 J
(IV.51)
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 195
Свободные члены уравнений
вычисляются по общим формулам:
Pi = ) Ptyjds	(/ = 1, 2, 3, 4);
qh = j q^hds	(h = 1, 2, 3, 4);
(IV. 52)
и определяются как обобщенные продольные и поперечные внешние силы
при единичных обобщенных перемещениях элементарной полоски —
соответственно продольных cp.j(s) (см. рис. 105, а) и поперечных
(см. рис. 105, в).
Первым уравнением (IV.50) независимо от остальных семи уравне-
ний определяются продольные деформации стержня в случае осевого
растяжения (сжатия). Уравнениями вторым и третьим независимо от
остальных шести уравнений определяется деформированное состояние
оболочки при изгибе ее как тонкостенной балки (с сохранением формы
профиля) в горизонтальной плоскости. Эти уравнения при действии на
оболочку одних только поперечных нагрузок легко приводятся к одному
дифференциальному уравнению:
EJyV™-q2 + ^q' = 0,	(IV.53)
в котором V2 = V2(z) — прогиб в горизонтальной плоскости, q2 = ^2(z) —
погонная поперечная горизонтальная нагрузка.
Последним членом в уравнении (IV.53), содержащим вторую произ-
водную от нагрузки q2 = учитывается влияние деформаций сдви-
га горизонтальных пластинок на прогиб оболочки. Если эти деформа-
ции отбросить, т. е. предположить, что поперечные сечения оболочки
при изгибе не только остаются плоскими, но и нормальными к изогну-
той оси оболочки, то уравнение (IV.53) переходит в известное уравнение
элементарной теории изгиба балок.
Уравнениями четвертым и пятым независимо от остальных шести
уравнений (IV.50) определяется деформированное состояние оболочки-
стержня при изгибе ее как балки в вертикальной плоскости. Эти урав-
нения при /?3 = 0 также легко приводятся к одному дифференциальному
уравнению:
EJ
Е№Г-дз+ 2G^ql = 0,	(IV.54)
в котором V3 = V3(z) — вертикальный прогиб, q3 = q3(z) — погонная вер-
тикальная поперечная нагрузка. Последним членом в уравнении (IV.54)
учитывается влияние деформаций сдвига в плоскостях вертикальных
пластинок на прогиб оболочки. Если эти деформации отбросить, то урав-
нение (IV.54) также совпадет с уравнением элементарной теории изгиба
балок.
Последние три уравнения (IV.50) независимо от остальных уравнений
образуют симметричную систему трех совместных дифференциальных
уравнений, определяющих вместе с заданными на поперечных краях
граничными условиями такое деформированное состояние, которое для
продольных перемещений характеризуется депланацией сечения, а для
поперечных перемещений — углом кручения и деформацией прямоуголь-
ного контура.
Первые пять уравнений (IV.50), как здесь показано, относятся к из-
вестным элементарным задачам сопротивления материалов, поэтому
в дальнейшем мы не будем останавливаться на анализе этих уравнений
п рассмотрим ряд других новых задач по расчету тонкостенных балок
замкнутого прямоугольного профиля на кручение с учетом деформации
13*
198
Расчет оболочек методом перемещении, с учетом деформаций сдвига
контура в поперечном сечении и деформаций сдвига в плоскостях планок.
Эти задачи описываются системой трех дифференциальных уравнений:
aU4 — b-JJ4 — b2V 1 — ЪУ4  /?4 — 0; )
b2Ui 4- b1V1 4-	+ 7i = j
b-JJ4 4” ^2^1 + b^V4 — eV4 4- q& = 0.
(IV.55)
Коэффициенты этих уравнений определяются по общим формулам
(III.12). Свободные члены зависят от внешней нагрузки и определяются
по формулам:
А = \	71 =	71 = 7WS,	(IV.56)
s	S	S
в которых р = p(z, s) — интенсивность заданной поверхностной нагруз-
ки, действующей в продольном направлении (параллельно образую-
щим), a q=q(z, s) — ин-
тенсивность заданной по-
верхностнойнагрузки, дей-
ствующей в плоскостях
пластинок перпендикуляр-
но к ребрам оболочки.
Если внешняя нагрузка
состоит из погонных про-
дольных сил р± = pjz),
?2 = /'2(ZT Рз =Рз(2),	=
= p4(z), приложенных на
ребрах оболочки
107, а), и
711 = 7n(z),
7гз = 7гз(2),
действующих в
ных значениях
(рис.
поперечных
712 = 71г(2)>
7з4 = 7з1(2)1
плоскостях пластинок и направленных (при положитель-
их) в сторону возрастания номера ребра (рис. 107, б),
то, принимая во внимание эпюры для функций cp4(s), ф1(»), ф4(х) (см. рис.
105, а, в) и вычисляя величины р4, qt, qi по формулам (IV.56), получим
Pt = (Pl— Pi + Рз— Pt)’,
7i = у (712 4_ 7з1) + у (7и + 7аз);
71 = — ~2 (712 4~ 7з1) + ~2 (711 + 7аз)-
(IV.57)
Из этих величин pi представляет собой внешнюю обобщенную про-
дольную силу, соответствующую депланации сечения и отнесенную к еди-
нице длины оболочки. Эта сила отлична от нуля в том случае, если задан-
ные продольные погонные нагрузки pt, р2, р3, р± таковы, что при поло-
жительных значениях их, направленных по оси Oz, выражение — р± 4-
+ Pi — Рз + Pt не равно нулю.
При Р1_ = р% = Рз = Pt обобщенная продольная нагрузка будет
равна нулю. Этот случай продольных сил относится к растяжению обо-
лочки. Точно так же при р1 = р4 = —р2 = —р3 или Рз = Pt = —Pi =
= —р2 величина р4 будет также равна нулю. Такие направления про-
дольных нагрузок относятся к изгибу оболочки в плоскостях, соответ-
ственно горизонтальной и вертикальной, с сохранением закона плоских
сечений.
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 197
Если нагрузки р2, р3, р± образуют обратно симметричную систему
продольных сил относительно обеих осей симметрии Ох, Оу так, что
Pt = Pl = —Pl = — Рз = —Л Т0
Pi — d^d^P.
Такое сочетание нагрузок относится только к депланации сечения.
Величина р4, определяемая в общем случае первой формулой (IV.56),
может быть названа внешним погонным продольным бимоментом.
Величина q^ определяемая второй формулой (IV.56), представляет
собой внешнюю обобщенную поперечную погонную нагрузку при еди-
ничном угле поворота поперечной элементарной полоски как жесткой
системы (с сохранением формы этой полоски) в плоскости поперечного
сечения. Эта обобщенная нагрузка представляет собой не что иное как
внешний погонный крутящий момент.
Наконец, последняя величина <?4, определяемая третьей формулой
(IV.56), представляет собой обобщенную погонную поперечную нагрузку,
соответствующую единичной деформации прямоугольного профиля [де-
формации, определяемой для прогибов пластинок в их плоскостях функ-
цией ф4(») (см. рис. 105, в)]. Эта величина может быть названа внешним
погонным поперечным бимоментом.
Определим теперь внутренние обобщенные силы оболочки в рассмат-
риваемом здесь случае ее деформации.
В целях упрощения обозначений и придания наглядности излагае-
мой здесь теории, условимся в дальнейшем обозначать искомую обоб-
щенную депланацию U4(z) через C7(z), искомый угол кручения V1(z) —
через 0(z) и искомую обобщенную деформацию контура V4(z) — через
x(z). Аналогично функции ф4(«), ф4(»), ф4(«) обозначим соответственно
через ф (s), ф0(»), фк (s).
Предполагая функции U(z), 0(z), x(z) известными, можно нормаль-
ные и касательные напряжения оболочки в любой ее точке определить
по формулам (III.4) и (III.5):
б (z, s) = EU' (z) ф (s);
t(z, s) =G[U (г)ф'(s) + O'(z) ф0 (s) + x' (z)ipz(s)].
Для внутренних обобщенных сил на основании (III.18) получим фор-
мулы:
В=— aU'-, Н = b2U + № + b&'; Q =	+ М' + №; (IV.59)
Этими формулами устанавливается дифференциальная зависимость
между внутренними обобщенными силами: продольной В, поперечными
Н и Q, с одной стороны, и соответствующими этим силам искомыми обоб-
щенными перемещениями — продольным U и поперечными 0 и х —
с другой.
2. Произведем теперь интегрирование дифференциальных уравне-
ний (IV.55). Полагая в этих уравнениях pi = qx = qi — 0, т. е. рассмат-
ривая однородную задачу для случая, например, когда внешняя на-
грузка состоит из сосредоточенных (продольных и поперечных) обобщен-
ных сил, приложенных где-либо в пролете оболочки, будем иметь
aU" — bJJ — bfi — bjK = 0;
b3U' -[- Z>19" 4- &2x" = 0;	1	(IV.60)
biU' 4- b$" 4- Z>ix" — ex = : 0	J
Введем в рассмотрение некоторую новую функцию /(z). Выразим через
эту функцию и ее производные искомые перемещения U(z), 0(z), x(z)
(IV.58)
198 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
так, чтобы первое и третье уравнения (IV.60) удовлетворялись тождест-
венно при любом выборе функции f(z).
Будем иметь следующие формулы:
Подставляя эти формулы в уравнения (IV.60), убеждаемся, что пер-
вое и третье из этих уравнений обращаются в тождества, а второе при-
нимает вид
A (£2 _ £2) /VI _ fl&1/IV + (&2 _ 62) /" = 0;	(IV.62)
(= qi, если =f= 0; р4 = у4 = о)
или
/VI_|L2/IV + g-/" = 0.	(IV.63)
Здесь, как и в формулах (IV.61), римскими цифрами и штрихами
обозначены производные различных порядков от функции / = /(z); че-
рез I обозначена длина оболочки, а г2 и s1 представляют собой безраз-
мерные величины:
Внося сюда величины а, Ьг, Ьг, с, определяемые по формулам (IV.51),
получаем
2 =	24/2 Е ( 1___________L_\ •
dilJ\di!Jъ G Fi d% Fz / I
&Д =	2 304/*___________1	!	(IV.65)
'S	di/Jx 4- d2/J2 '^2 (F1 + q^f^  )
Этими формулами при заданных размерах и модулях упругости обо-
лочки определяются в каждом частном случае две основные величины
г2 и s4, играющие в уравнении роль обобщенных упругих характеристик.
Таким образом, рассматриваемая здесь проблема кручения оболочки
замкнутого прямоугольного профиля нами приведена к основному диф-
ференциальному уравнению (IV.63) шестого порядка с постоянными коэф-
фициентами. Определяя из этого уравнения и граничных условий, задан-
ных на поперечных краях оболочки, основную функцию / = /(z), можно
затем по формулам (IV.61) найти функции для обобщенных перемещений
продольного U и поперечных 0 и х.
Формулы (IV.59) для обобщенных внутренних сил по подстановке
в них величин U, 0 и х из формул (IV.61) принимают вид
В = - а/";
н = - с-£- (Я - Ы) Г + £ г" -	(IV.66)
Q = af".
По этим формулам можно, зная функцию /(z), определить внутренние
обобщенные силы в любом поперечном сечении оболочки.
Заметим, что в соответствии с основным уравнением (IV.63) крутящий
момент Н на участке длины оболочки, свободном от внешней нагрузки,
остается постоянным (не зависит от координаты z), что непосредственно
следует также и из соответствующего статического условия. Кроме того,
из формул первой и третьей (IV.66) следует равенство
Q = —В'.	(IV.67)
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 199
Обобщенная поперечная сила Q (попереч-
ный бимомснт) равна производной от обоб-
щенной продольной силы В (продольного
бимомента). Этому положению в сопротив-
лении материалов соответствует известная
теорема Журавского о том, что поперечная
сила при изгибе балки равна производной
от момента. Подобного рода теорема на-
ми была получена в теории тонкостенных
стержней открытого профиля, где было
показано, что в случае стесненного кру-
чения стержня крутящий момент от сдви-
гающих сил равен производной от бимо-
мента, определяемого на основе закона
секториальных площадей.
Равенство (IV.67) следует также из
первого уравнения (IV.66) и уравнений
(IV.50) и справедливо только при /?4 = 0.
Общий интеграл однородного диффе-
ренциального уравнения (IV.63) может
быть представлен в таком виде:
/ - 1'|Ф1 ~Ь С2Ф2С3Ф3 4~ О4Ф4 4- Caz —
(IV.68)
Здесь Cj, С2, ..., Сб — произволь-
ные постоянные; Ф4 = Ф^х), Ф2 = Ф2(х),
Ф3 = Ф3(х), Ф4 = Ф4(х) — линейно неза-
висимые между собой частные решения
уравнения (IV.63), которые запишем в та-
ком виде:
Ф4 = chag sin Ф2 = chag cos pg;
Ф3 = shag cos pg; Ф4 = sh a g sin pg.
(IV.69)
Здесь g — безразмерная координата,
связанная с текущей координатой z соот-
ношением g = z/l (Z имеет размерность
длины и может представлять собой, на-
пример, заданную длину оболочки). Ве-
личины a, Р выражаются через упругие
безразмерные характеристики г и $ по
формулам:
Щ-то)
В табл. 52 даются формулы для про-
изводных различных порядков по коор-
динате Z от основных функций.
Из этой таблицы видно, что четные
производные от какой-либо четной функ-
ции выражаются линейно через четные
функции Ф2, ф4; нечетные производные
от четной функции выражаются линейно
через нечетные функции Ф4, Ф3; четные
производные от какой-либо из нечетных
			СО G	
			ёд~’	
		ед G	_Й	+
со.		й'		ё ё
я		oj	ед	
	е	-L		
iXfi	1'.2_		СО	Л- 1
Й 43	+	ё	|	со 37
	G	ёд	А.	ед Й СО
II	й			CD Й
			ед.	1
е		ед Й		J +
			1	й
			ед	
			й.	
			Й	
			G	
				
			й	1
				
				
ivP СО.		СО. _Й	j	ё^
	G	I		СО
'й	7	со G	+	+ J 07	”
43 сл	ё		ед в	ед ~ Й СО
	й			О Й
II		1	ёд_	
ео G		ед Й	СО	1
				Й
			ед	
			Й	
			Й	
				
			в	
				
			й	1
УхР		е	со	1
W		со й	1	ё ё
с	G	04	со	j*”4- ёд Sa. =2-
и	СО.	ед	со.	+ ।
	1	е	_1_ S	ед ед х со 37
II	G	ед	в	й СО
	И			CD Й
ё		ед		11
		Й		1
			1	Й
			ед	
			Й	
			Й	
			ё	
			ед^'	
		п 0	СО	+
ЛГ-			|	ё ё
Я		04	ед^	
Й	е	+ ё	СО 1	+ J
			*44	
	G	ед	е	'й СО
II	Й			CD Й
			ед	
			СО.	
G		ед Й	7	« + а.
			ед	
			Й	
			Й	
				
				
е	ё	/2ф"	ё	е
200 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
функций выражаются линейно через нечетные функции Ф1; Ф3; наконец,
нечетные производные от нечетной функции выражаются линейно через
четные функции Ф2, Ф4.
Подставляя (IV.68) в правые части равенств (IV.61) и (IV.66) и поль-
зуясь табл. 52, после некоторых преобразований получаем
U = Ci (аФ4 -I" ?Фг) 4 t-2 (яФз — РФ4) 4~
4- С3 (аФ2 — РФ4) 4- Ci (аФг + РФ3) + 1С5};
0 ~ {С1 [(а2 “ ₽2) Ф1 + 2аЗФз] +
+ С2 [(а2 - Р2)Ф2 - 2а?Ф4] + С3 [(а2 - Р2)Ф3 - ЗаРФ^ф
+ Ci [(а2 - Р2) Ф4 + 2аРФ2]~ ЬЛ (C3z + С6)} ;
* = {Ci [(«4 — 6а2Р2 -р Р4) ф4 4- 4аР (а2 — Р2) ф3] 4~
+ С, [(а4 - 6а2Р2 4 р4) ф2 - 4аР (а2 - Р2) ф4] 4-
+ С3 [(а4 - 6а2Р2 + Р4) ф3 _ 4аР (а2 - Р2) Ф4] +
+ С4 [(а4 - 6а2Р2 + р4) ф4 + 4ар (а2 - Р2) Ф2]};	(IV.71)
в -^{с4[(а2-р2) Фх+ 2арф3] +
+ С2 [(а2 - Р2) ф2 - 2аРФ4] 4- С3[(а2 - Р2)Ф3 - 2аРФ4] +
4 Ci [(а2 — Р2) Ф4 4- 2аРФ2]1;
Q= ~{С, [а (а2 - Зр2) Ф4 - Р (Р2 - За2) Ф2] +
+ С2 [а (а2 - ЗР2) Ф3 + Р (Р2 - За3) Ф4] +
4- С3 [а (а2 — ЗР2) Ф2 4- Р (Р2 — За2) Ф4] 4-
+ Ci [а (а2 - Зр2) Ф4 - Р (Р2 — За2) Ф3]
Формулами (IV.71) представлено общее решение рассматриваемой
здесь проблемы кручения ортотропной упругой оболочки замкнутого
прямоугольного профиля с учетом деформаций растяжения (сжатия)
в продольном направлении, сдвига в плоскостях пластинок и изгиба
в плоскости поперечного сечения, записанное через безразмерные упру-
гие характеристики а иР (IV.70), в которых г и s зависят от исходных ве-
личин а, Ьг, Ь2, с и определяются по формулам (IV. 65).
При этом в исходных обобщенных характеристиках (IV.51) величиной
а представлена жесткость оболочки при продольном растяжении по
закону обратно симметричной депланации; величинами Ьг, Ь2 — различ-
ные жесткости оболочки при сдвиге в плоскостях пластинок; величиной
с — жесткость поперечной элементарной полоски (прямоугольной рамы)
для обратно симметричной деформации изгиба этой полоски в ее пло-
скости.
Первые три формулы (IV.71) относятся к обобщенным перемещениям —
депланации сечения t7(z), углу кручения 0(z) и деформации контура x(z).
Остальные три формулы относятся к внутренним обобщенным силам —
продольному бимоменту 7?(z), соответствующему депланации сечения;
крутящему моменту Я(г), соответствующему углу кручения 0(z) и по-
перечному бимоменту <?(z), соответствующему деформации изгиба про-
филя. Все эти величины (три геометрические и три статические) опреде-
лены с точностью до шести произвольных постоянных С2, С3,..., Cet
Гл. IV Приложение, теории к расчету тонкостенных пространственных систем 201
полученных в результате интегрирования основного дифференциального
уравнения (IV.63) шестого порядка. Эти постоянные должны быть опре-
делены из граничных условий, которые в каждом частном случае должны
быть заданы для двух каких-либо поперечных сечений оболочки (напри-
мер, опорных z = 0, z = Z).
Так как принятая нами в данной задаче для оболочки расчетная модель
характеризуется тем, что элементарная поперечная полоска при круче-
нии обладает тремя степенями свободы — одной при деформации из пло-
скости и двумя в плоскости полоски, то число независимых граничных
Рис. 108
условий для одного края оболочки (например, в сечении z = 0) равно
трем. Всего, таким образом, на двух краях оболочки z = 0 и z = I может
быть задано шесть независимых условий, что находится в полном соот-
ветствии с порядком основного дифференциального уравнения (IV.63),
а следовательно, и с числом произвольных постоянных Сг, С2, Св
интегрирования этого уравнения.
Граничные условия по какому-либо одному краю оболочки (напри-
мер, при z = 0, если координата z отсчитывается от этого края) в зави-
симости от характера задачи могут быть заданы или только в перемеще-
ниях U, 0, х, или только в усилиях В, Н, Q, или (в задачах смешанного
типа) частью в перемещениях, а частью в усилиях. Так, например, если
край z = 0 оболочки закреплен от продольных перемещений, а также
от поперечных перемещений 0, х, то граничные условия в этом случае
будут чисто геометрические:
при z = 0 U = 0 = х = 0.	(IV.72)
Эти условия относятся к случаю полной заделки оболочки по опор-
ному случаю z = 0.
Если по другому краю оболочки z = I приложена обратно симмет-
ричная система четырех продольных сил р3 = —р2 = —= рг = Р
и обратно симметричная система четырех поперечных сил qt = q2, q3 =
действующих в плоскостях пластинок (рис. 108), то, приводя эти силы
к обобщенным силам (одной продольной и двум поперечным), будем иметь
чисто статические граничные условия [см. формулы (IV.56) и (IV.57)]:
при z = I
В = d-plzP-, Я =	+ <7272; *2 = —	+ ^2?2. (IV.73)
'202 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Раскрыв условия (IV.72) и (IV.73) при помощи общих формул (IV.71),
получим полную систему линейных алгебраических уравнений, позво-
ляющих определить все шесть произвольных постоянных Сх, С2, Сз> •••> Се,
после чего описываемая здесь задача получает вполне определенное ре-
шение. Зная функции U(z), 0(z), x(z), можно затем по формулам (IV.58)
вычислить нормальные и касательные напряжения а = a(z, s), т = t(z, s)
в любой точке оболочки. По формуле (IV. 49) находим также изгибаю-
щий момент М = M(z) в узлах поперечной рамы при любом значении
независимой переменной z в пределах от z =-- 0 до z = I.
Если по сечению z = I оболочки приложены одни только продольные
силы р, а поперечные нагрузки в этом сечении равны нулю, то условия
(IV.73) принимают вид В — drd2P', Н = Q = 0.
При Р = 0 и qY = d2S, q2 = dxS, где 5 — интенсивность равномерного
потока заданных сдвигающих усилий, приложенных по краю z — I,
граничные условия (IV.73) принимают вид
при z = I
В = 0; H = 2dld2S; Q 0	(IV. 74)
В этом случае внешняя нагрузка, заданная на контуре сечения z = Z;
приводится только к крутящему моменту Н, равному произведению из
удвоенной площади прямоугольника со сторонами d±, d2 на сдвигающую
силу 5, отнесенную к единице длины контурной линии. Присоединив
условия (IV.74) к условиям (IV.72), получим также вполне определенное
решение задачи о кручении тонкостенной оболочки, у которой один
конец z = 0 жестко заделан, а на другом z = I действует только крутя-
щий момент. Определив из условий (IV.72) и (IV.74) произвольные по-
стоянные С1? С3, ..., С6 и подставив затем эти постоянные в общие формулы
(IV.71), нетрудно убедиться, что в поперечных сечениях оболочки воз-
никнут в данном случае напряжения не только касательные т, но также
и нормальные, достигающие максимальных значений у заделанного
конца z — 0 и распределенные в сечении по закону функции <p(s) = x(s)y(s).
Предположим теперь, что оба поперечных края z = 0, z — I оболочки
свободны от продольных и поперечных закреплений и на этих краях
приложены одни только сдвигающие силы S, которые образуют замкну-
тый поток постоянной интенсивности по контуру сечения.
Граничные условия в этом случае будут
при z = 0	В = Q = 0;	Н = 2dtd2S = Но;	(IV.75)
при z = Z	В = Q = 0;	Н — 2d1d2S.	(IV.76)
При этих условиях из шести произвольных постоянных Сх, С2, ..., Св
отлично от нуля только Св, которое получает значение
Остальные постоянные Сх, С2, С3, Ci обращаются в нуль (постоянное Се
относится к угловому смещению стержня как жесткого целого и по этой
причине может быть принято равным нулю).
Формулы (IV.71) в данном случае принимают следующий вид:
в = ^г; я=я»; «=в = е=о.
Внося сюда величины blt b2, определяемые формулами (IV.51), по-
лучим
-Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 203
(IV.77)
Вторая формула (IV.77) может быть записана так:
„ _ 2GQ26i63 fl,
0 d^ + dA '
(IV.78)
где* Q = d±d2 — площадь прямоугольника со сторонами db d.,. Полагая
в формуле (IV.78) бх = д2 = б, получим известную формулу:
0 ~ -dlda .
относящуюся к задаче о чистом кручении замкнутого тонкостенного
прямоугольного профиля при одинаковых толщинах стенок.
Рассмотренный здесь пример при граничных условиях (IV.75) и (IV.76)
относится, таким образом, к задаче о чистом кручении тонкостенного
замкнутого профиля. Этот случай кручения характеризуется тем, что
в поперечных сечениях возникают одни только сдвигающие силы, кото-
рые распределены по контуру прямоугольника так, что они приводятся
только к крутящему моменту.
Поперечная обобщенная сила Q должна быть равна нулю.
Если эти граничные условия не выполняются, то оболочка будет
находиться в условиях стесненного кручения, при котором в сечениях
ее наряду с касательными напряжениями т возникнут также и продоль-
ные нормальные напряжения.
3. Отметим еще, что исходная система дифференциальных уравне-
ний (IV.55) на основании соотношений
^=4 °; У1 = 0;	+-^-\М
4 aia2 Ь	12 \hJi 1 hJ2 /
после некоторых преобразований может быть приведена к эквивалентной
•ей системе:
GV’ + 4
dlFr}M + Fid^ °’
(IV.79)
'Здесь о = М = M(z) — соответственно продольное нормальное
напряжение и поперечный изгибающий момент для ребер 1 и 3; 0 =
= 0 (z) — угол кручения.
Свободные члены уравнений (IV.79) выведены для случая поперечной
обратно симметричной нагрузки q = </(z), действующей в плоскостях
вертикальных пластинок.
Если в уравнениях (IV.79) жесткости сдвига положить Gd\F2 —
= Gd%F\ — оо, что соответствует гипотезе об отсутствии деформаций
204
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 205
сдвига, то будем иметь уравнения:
Fi + F%
6
(IV.80)
относящиеся к изложенному выше общему методу расчета призмати-
ческих оболочек без учета деформаций сдвига.
Уравнения (IV.80) можно получить, применяя общие восьмичленные
дифференциальные уравнения.
Для оболочки, имеющей на неподвижных концах z = 0, z = I шар-
нирные закрепления, граничные условия будут такие:
при z = 0 о = М = 0 = 0;1
при z = I	о = М = 0 = 0.)
(IV.81)
Раскрывая эти условия, получим шесть уравнений относительно шести
произвольных постоянных интегрирования системы.
Заметим, что, помимо изложенного здесь точного решения, уравне-
ния (IV.79) при граничных условиях (IV.81) могут быть проинтегриро-
ваны при помощи тригонометрических рядов. Имея в виду условия (IV.81),
решение уравнений (IV.79) при q = const можно написать в виде
S(2/i — 1) лг
б,г sm	;
п=1,2,3,..
VI = У J/„sin(2я-" j )— ;
11=1,2,3...
0 V л . (2я — 1) Лз
0= 2j On Sin'----------------,
п=1,2,3...
(IV.82)
где <тга, Мп, 0» — искомые коэффициенты разложений (IV.82). Внося
(IV.82) в (IV.79), получим
6

2п— 1)2ла	, 8	4?	— О-
Г °'г Г dA1 п	adi (2я — 1) ~ ’’
М Д. Мп _ 8 | ГJL + -L- ] М.
2/1“	о \d\F-i d~f'\J
+ ^^=1) = °;
• /J—-----
k d{F2 d}F1 J
(n = 1, 2, 3, . . .).
_____________= о
F idpl (2n — 1)
Этими уравнениями и рядами (IV.82) с любой наперед заданной сте-
пенью точности определяются искомые функции o(z), M(z), 0(z) в случае
действия на оболочку вертикальной равномерно распределенной на-
грузки q. Ряды (IV.82) при уравнениях (IV.79) обладают весьма хорошей
сходимостью, и для целей практики можно ограничиться двумя-тремя
первыми членами разложений.
4.	Выражая постоянные интегрирования С\, Са, С3, Ct, Сл, Св основ-
ного дифференциального уравнения (IV.63) через величины х0, Uo, 0О,
//0, Во, Qo, относящиеся к сечению z = 0 и играющие роль начальных
параметров, можно общие интегралы (IV.71) представить в другой, более
удобной для практических применений, форме. Эти интегралы даны в
табл. 53, где в пересечениях строк и столбцов выписаны функции, зави-
203
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
сящне от аргумента z и от обобщенных геометрических и упругих харак-
теристик рассматриваемой оболочки. При помощи этих интегралов реше-
ние краевой задачи для оболочки ограниченной длины приводится к опре-
делению только трех постоянных интегрирования, поскольку из шести
начальных параметров х0, Uo, 0О, Но, В(1, Qo в каждой частной задаче
три представляют собой известные величины, определяемые из условий
закрепления сечения z = О V
Таблица 54
	Ио	Vo	So	(2о
X	Ф2	“ ~2k (ф1 + фз)	1 г Ф< as1 2	k -	(ф1 - Фз)
и	k (ФХ — Фз)	ф3 	k — Fs1 (ф1 + фз)	1 as2 i
в	— ая2Ф4	ak (Ф1 — Ф8)	Фз	— ’2й’^Ф1~1~фз)
Q	as2k (Ф1 + Фз)	— ЯЯ2<1>1	k (Ф1 — Фз)	Ф2
Обозначения: Фг = ch fc: sin йг; Ф2 = ch kz cos kz;
Ф3 = sh kz cos kz; ®4 = sbAssm&2; k2 — ^/2.
В табл. 54 приведены общие интегралы, представленные также по-
методу начальных параметров для рассматриваемой оболочки замкнутого-
профиля в предположении, что деформации сдвига равны нулю.
Теория такой оболочки, построенная на гипотезе об отсутствии де-
формации сдвига и учитывающая одну только деформацию контура, из-
ложена в нашей книге2. Эта теория, имеющая в своей математической
части полную аналогию с элементарной задачей изгиба балки на упру-
гом основании, получается как частный случай изложенной здесь более
точной теории, представленной уравнением (IV.63) и учитывающей не
только деформацию изгиба контурной линии профиля, но также и дефор-
мацию сдвига пластинок оболочки. Предельный переход от интегралов,
представленных табл. 53, к интегралам, данным в табл. 54, получается
при GFr = GF.> = оо, что соответствует гипотезе об отсутствии дефор-
мации сдвига.
§ 3. О принципе Сен-Венана
в теории тонкостенных пространственных систем
Рассмотрим оболочку предыдущего параграфа при размерах в попе-
речном сечении:
ri, = d2 = d; = 62 = 6; Fx - - F.,---dd; bF =0; JL = J2 = d3 /12.
1 Болеэ подробно о методе начальных параметров см. ниже-, в § 4.
2 В. 3. В л а с о в. Тонкостенные упругие стержни, Стройиздат, 1940, § 23г
стр. 145 (Избр. труды, т. 2, 1963, гл. II § 15, гл. IV § 3).
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем
20Т
При этих данных согласно (IV.51)
а = (l/12)Ed&&; b^GcPb; b2 = 0; c = 4£d3/d.
На основании формул (IV.65)
г2 = 2Е&12 / GW4; s4 = 48d2Z4 / d*.
Величины а, Р вычисляются по формулам (IV.70).
Предположим, что оболочка в сечении z = 0 нагружена в узлах про-
дольными силами р3 = —pi= Pi = — р3 — Р. Они образуют взаимно урав-
новешенную обратно симметричную систему четырех продольных сил
и дают в этом сечении только продольный би-
момент В = dPP.
Этому бимоменту в сечении z = 0 соответству-
ют продольные нормальные напряжения, опреде-
ляемые в произвольной точке сечения по формуле
В . .
б = j-ф (S),
где ср = ф($) — эпюра единичной депланации,
показанная для оболочки квадратного профиля
на рис. 109, а Л — бимомент инерции, определяе-
мый по формуле
= J q2dF =	.
Наибольшее (по абсолютной величине) напряжение возникнет в узло-
вой точке и равно
шах б = Bd2 / 4/ф = ЗР / dd.
Выберем силу Р так, чтобы напряжение шах а равнялось единице''-
Р = dd/3.
При этой силе
В = <Р№.
Значит, если в начальном сечении z = 0 приложить бимомент В =
= сРд/3, то этому бимоменту в узловых точках сечения будут соответ-
ствовать продольные нормальные напряжения, равные по абсолютному
значению единице.
Граничные условия при действии по сечению z = 0 одного только
продольного бимомента и при отсутствии в этом сечении поперечных
связей, соответствующих углу кручения и деформации контура, при-
нимают вид
при z = 0 В = d3d/3; Н = Q == 0.	(IV.83)
Помимо условий (IV.83), нужно задать еще три условия на другом
конце оболочки. Предполагая длину оболочки I = оо, обусловим, чтобы
при z -> оо (в сечении, отстоящем от начального z = 0 на сколь угодно
большом расстоянии) напряжения и деформации, вызываемые заданной
в сечении z = 0 системой четырех взаимно уравновешенных продольных
сил, обращались в нуль. Тогда вторая группа условий для бесконечно
длинной оболочки будет иметь вид
при z = оо В = Н = Q = 0.	(IV.84)
При условиях (IV.83) и (IV.84), исходя из приведенного выше общего
решения, получим также вполне определенные значения для всех инте-
ресующих нас в данной задаче статических и геометрических величин.,
203
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Заметим, что в задачах рассматриваемого в этом примере типа, относя-
щихся к бесконечно длинным оболочкам, вместо функций, определяемых
формулами (IV.69), следует пользоваться такими функциями:
Фх = sin Ф2 = cos 1
}	(IV. оО)
Ф3 = e-3t' sin Ф4 — е-а’ cos J
Эги функции образуют собой также систему четырех независимых
частных решений основного дифференциального уравнения (IV.63).
Рис. 110
С заменой функций (IV.69) функциями (IV.85) общие} формулы для
перемещений и усилий будут иметь уже другой вид.
На рис. 110, а приведены графики изменения по длине оболочки нор-
мального напряжения, а для узловой точки.
На рис, 110, б даны графики изменения величины >c/cZ2, пропорциональ-
ной, согласно формуле (IV.49), максимальному изгибающему поперечно-
му моменту М и характеризующей деформацию контура.
На этих графиках по оси абсцисс отложены относительные коорди-
наты £ = z!d, представляющие собой расстояния в долях ширины пла-
стинки d от начального сечения z = 0 до рассматриваемого сечения
z = const.
На оси ординат отложены величины U'/d (рис. 110, а) и величины x/d2
(рис. 110, б), вычисленные для разных значений отношения толщины
пластинки к ее ширине.
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 209
Из графиков для о = EU'y (рис. 110, а) видно, что при толщине обо-
лочки б = 0,Old нормальные напряжения о от уравновешенной продоль-
ной нагрузки не носят характера местных напряжений и затухают весьма
медленно по мере удаления от места приложения этой нагрузки.
Эти напряжения даже в сечении, отстоящем от начального на рас-
стоянии z = 8d, составляют более 20% от заданного напряжения в сече-
нии z = 0. Степень затухания зависит от величины b/d. С увеличением
отношения b/d степень затухания напряжений возрастает. Однако это
возрастание происходит не настолько быстро, чтобы напряжения, опре-
деляемые четвертым членом
формулы (IV.46) и происхо-
дящие вследствие депланации
сечения, носили характер
местных напряжений.
Для случая b/d = 0,1 на-
пряжения о в сечении z =
= 2,70d продолжают оста-
ваться еще ощутительными.
Из приведенного здесь
примера следует, что прин-
цип Сен-Венана имеет огра-
ниченную область примене-
ния в теории оболочек; это
уже отмечено в наших преж-
них работах. Так, например,
для рассмотренной здесь обо-
лочки при b/d = 0,01 и при
длине ее, не превышающей в
15—20 раз ширину одной
пластинки, напряжения о от
уравновешенной продольной
нагрузки, приложенной на
обоих концах этой оболочки,
даже в наиболее удаленном
от концов оболочки среднем
поперечном сечении состав-
ляют 25—30% от заданных напряжений в крайних сечениях z — 0, z =Z.
Значит, в практических задачах напряжения от уравновешенной про-
дольной (или поперечной) нагрузки для тонких оболочек ограниченной
длины не будут представлять собой местных напряжений.
Таким образом, применение принципа Сен-Венана к оболочкам может
привести к неверным результатам, как показано в нашей работе по тонко-
стенным стержням.
Отсюда следует, что и элементарная теория изгиба оболочек как балок,
представленная первыми тремя членами общего для четырехгранной
оболочки закона (IV.46) и базирующаяся, по существу, на принципе
Сен-Венана, применима в частных случаях, а именно, когда внешние
силы и граничные условия таковы, что бимомент продольных сил, свя-
занный с депланацией сечения, равен нулю, т. е. в тех случаях, когда
система уравнений (IV. 55) имеет нулевое решение.
Выдвинутая нами проблема, связанная с принципом Сен-Венана,
легко может быть исследована при помощи варьирования в уравнениях
(IV.55) величинами Jх, 72, представляющими собой для ребристой обо-
лочки средние (приходящиеся на единицу длины) приведенные моменты
инерций продольных сечений оболочки. С увеличением средних погон-
ных жесткостей Е7Х, EJ2 при изгибе элементов поперечной замкнутой
14 в. 3. Власов, т. III
210 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
рамы степень затухания напряжений а от продольной уравновешенной
нагрузки возрастает.
При EJX = EJ2 = оо, т. е. в случае оболочки с жестким контуром,
дополнительные напряжения, связанные с отклонением от гипотезы
плоских сечений, при действии продольной уравновешенной нагрузки
будут носить местный характер. В случае
оболочек и тонкостенных стержней откры-
того профиля напряжения от бимомента да-
же при отсутствии деформации контура се-
чения, как показано в наших прежних рабо-
тах, распространяются на значительной части
длины оболочки и не носят характера мест-
ных напряжений.
С целью проверки изложенной теории от-
делом строительной механики Института
механики Академии наук СССР были про-
деланы экспериментальные исследования.
В качестве экспериментальных образцов
были взяты замкнутые призматические обо-
лочки длиной 1 м квадратного поперечного
сечения. Оболочки изготовлялись из листо-
вой стали Ст. 3 толщиной 1 мм и по ребрам
были
-232
'50 о
-ПО
I
31
усилены продольными стрингерами
(равнобокий уголок № 2,5) (рис.
111, а). Для придания жесткости
торцам последние были усилены
диагоналями. К одному из торцов
оболочки прикладывалась нагруз-
ка в виде продольного бимомента
(рис. 111, б).
Результаты испытаний пред-
ставлены в виде графиков распре-
деления продольных нормальных
напряжений по длине образца
(рис. 112).
На этих графиках: 1 — кри-
вая построенная по данным экс-
перимента (для оболочки без про-
межуточных связей);
2 — кривая, постро-
енная по данным те-
-зсщ	-382 -455	ории (без учета де-
Рис. 112	формации сдвига);
3 — кривая, постро-
енная по данным теории (для оболочки с жестким контуром); 4 — кри-
вая, построенная по данным эксперимента (для оболочки с промежуточ-
ными диагональными связями).
Анализ графиков и сравнение теоретических данных с эксперимен-
тальными позволяют заключить следующее.
1.	В конструкциях типа тонкостенных призматических оболочек
закрытого профиля, не имеющих по длине дополнительных раскрепляю-
щих связей, решающим фактором, влияющим на напряженное состояние
является деформация контура.	т
2.	Наличие раскрепляющих поперечных связей, препятствующих
деформации контура, способствует более быстрому затуханию продоль-
ных напряжений по длине образца.
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 211
3.	Со всей очевидностью подтверждается высказанное выше положе-
ние, что принцип Сен-Венана имеет ограниченную область применения
для замкнутых оболочек с деформируемым контуром.
§	4. Тонкостенные стержни-оболочки с жестким замкнутым контуром
Рассмотрим теперь задачу, изложенную в § 2, в предположении, что
при кручении прямоугольный контур оболочки после деформации не
меняет своей формы. Общий метод расчета такого стержня на стесненное
кручение (с учетом продольных нормальных напряжений) получается
как частный случай более общего метода, описанного в § 2.
Считая контур оболочки недеформируемым, нужно, очевидно, поло-
жить J\ - /2 = оо.
В соответствии с этим одна из четырех характеристик (IV.51), а имен-
но величина с, будет равна также бесконечности. Из шести обобщенных
искомых величин (трех геометрических U, 0, х и трех статических В,
Н, Q) в данной задаче отличными от нуля будут только четыре величины
U, В, В, Н. Формулы (IV.61) и (IV.66) для этих величин принимают
следующий вид:
U = f-, 9 =а/"); В = -af-	(IV.86)
^[(^-^/'-а^Л-
Здесь а, Ь2, Ъ2 определяются прежними формулами (IV.51), a /(z)—
основная искомая функция.
Дифференциальное уравнение для этой функции такое:
/1V -?/"+5л = °-	• <IV-87>
Здесь А? — безразмерная упругая характеристика, определяемая по
формуле
Внося сюда значения величин а, 617 Ь2 из формул (IV.51), получаем
А,2 __ 48С_______6 т (W2______
К ~ Е (d1b2 + d2bi)(F1 + F2 + 6\F') •	V ’
В этой формуле F±, F2,kF представляют собой те площади попереч-
ного сечения (пластинок и стрингеров), через которые передаются про-
дольные нормальные силы. В случае пластинок с волнистой стенкой пло-
щади F2, F2 следует считать равными нулю, а толщины этих пластинок
61, 62 — отличными от нуля.
Через т — m(z) в уравнении (IV.87) обозначен внешний погонный
крутящий момент [т = qx (см. IV.55)].
Исключая из уравнения (IV.87) и третьего (IV.86) функцию /, по-
лучаем дифференциальное уравнение относительно бимомента В — B(z):
В“-к~В-Ъ^т = Ь.	(IV.90)
Дифференциальное уравнение (IV.90) или эквивалентные ему урав-
нения (IV.87) и третье (IV.86) имеют такую же структуру, что и основное
дифференциальное уравнение теории кручения тонкостенного стержня
открытого недеформируемого контура, полученное нами ранее на основе
закона секториальных площадей,
Из этой аналогии следует, что данные в наших прежних работах мето-
ды расчета на кручение тонкостенных стержней открытого профиля
к*
212 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
могут быть применены и к рассматриваемой здесь задаче по кручению
тонкостенных стержней замкнутого недеформируемого профиля. Имея
в виду дать ниже общий метод расчета тонкостенного стержня на произ-
вольную внешнюю нагрузку и при произвольно заданных граничных усло-
виях, исходим из метода, изложенного в нашей книге «Тонкостенные
упругие стержни» и основанного на интегрировании дифференциальных
уравнений (IV.87) и (IV.90) методом Крылова, получившим в строитель-
ной механике название метода начальных параметров. Общий интеграл
основного однородного дифференциального уравнения.
/IV-5-/" = 0,	(IV.91)
получающегося из уравнений (IV.87) при т = 0 (в случае, когда внеш-
ний крутящий момент как сплошная нагрузка на рассматриваемом участ-
ке длины стержня равен нулю) может быть записан в таком виде:
/^G + Gz + Gsh ^+C4chy.
(IV.92)
Здесь С2, С3, Ci — произвольные постоянные.
Внося (IV.92) в (IV.86) и принимая во внимание формулу (IV.88),
получаем
^ = G + G4chr + C4Tsh? ’	1
9 = -^(C1 + c2Z)-^(c3Sh4 + Gch4); '	(IV-93)
тг ak? bi si	ak? (s-i , kz .	, kz\ I
= —B= — —^C3sh у + GchyJ. j
Пусть в сечении z = 0 величины U,B, H, В принимают значения
Uo, 0О, Но, Во. Положив в формулах (IV.93) z = 0, получим для искомых
постоянных Clt С2, С3, С4 такие уравнения:
Сг + С3 — = Z70;
/п _____
^2
С
Отсюда находим
д , Z2 62
bi 0 ' ak? ^2

f	I/ . р _	г>
Внося найденные значения постоянных С1; С2, С3, С4 в правые части
равенств (IV.93), найдем
U = UoChk^-Ho-^b/-(l-Ch^}-Bo^Sh^-
J	а/г- di \	/ / и ak I 1
Д _ ТТ bi I , kz	„ Is / kz b2 bz
9 - ~U° ЦТ shT 00 +	- iF shT
п Ъг I2 / л к ^z\
В° bv ak? Ch Т/ ’
н = н0-
В = -ио^^-Но^^^ + ВоС^.
(IV.95)
Гл, IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 213
Получены общие формулы для всех четырех основных расчетных ве-
личин стержня, испытывающего кручение. В этих формулах роль про-
извольных постоянных играют обобщенные величины: геометрические —
депланация сечения Uo и угол кручения 0О и статические — бимомент Во
и крутящий момент Но, относящиеся к произвольно выбранному сечению
z = 0, от которого отсчитывается по длине стержня координата z. Фор-
мулы (IV.95) в своей совокупности образуют систему линейного преобра-
зования изгибно-крутильных факторов Uo, 0О, Но, Во начального сече-
ния z = 0 в изгибно-крутильные факторы U, 0, Н, В какого-либо дру-
гого поперечного сечения, отстоящего от начального сечения на расстоя-
нии z. Коэффициенты этого преобразования зависят не только от ко-
ординаты z, определяющей взаимное положение по длине стержня двух
сечений (начального и рассматриваемого), но также и от величин а, Ьг,
b2, k, вычисляемых при заданных геометрических и упругих характе-
ристиках стержня по формулам:
a = ^Ed21d22(F1 + Fi+ 6AF); b2 = |G {di2Fl - <%F2).
bi= (d}Fr + d}F2)  k = lV bl)/ah.
Линейное преобразование, выраженное формулами (IV.95), представ-
лено в виде табл. 55.
Таблица 55
eh —
I kz
~~aksh~F
b2l2
hak2
В табл. 55 в пересечениях столбцов со строками даны коэффициенты
преобразования (IV.95). Так как эти коэффициенты при заданных упру-
гих характеристиках стержня зависят только от координаты z, опре-
деляющей взаимное положение двух сечений, то формулам табл. 55
можно придать различный смысл в зависимости от того, какое из этих
двух сечений считать переменным. Полагая начальное сечение z = О
фиксированным и давая координате z различные значения, можно по
приведенным здесь формулам построить графики изменений (эпюры)
всех четырех основных изгибно-крутильных факторов 0 = 0(z), U =
= U(z), В = B(z) и Н = H(z) от действия каждого из четырех началь-
ных факторов 0О, Uo, Во, Но в отдельности, относящихся к сечению z =
= 0. Выбирая теперь определенным образом сечение, для которого ра-
зыскиваются величины 0, U, В, Н, и давая различные положения по
214
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
длине стержня начальному сечению z = О, получим на основании фор-
мул, приведенных в табл. 55, уравнения линий влияния для каждого
из четырех факторов 0, U, В, Н в отдельности. Коэффициенты линейно-
го преобразования в этом случае будут представлять собой функции
влияния.
Матрица линейного преобразования, представленная табл. 55, по-
мимо отмеченного здесь свойства взаимности эпюр и инфлюент, обладает
еще свойством обратимости. Это свойство заключается в том, что при
помощи указанной таблицы можно произвести не только прямое преоб-
разование величин 0О, Uo, Во и Но начального сечения z = 0 в величины
6, U, В, Н другого сечения с текущей координатой z = const, но также
и обратное преобразование группы величин 0, U,B,H произвольно
фиксируемого сечения z = const в группу величин 0О, С70, Во, Но началь-
ного сечения z = 0. Формулы обратного преобразования приведены
в табл. 56.
Таблица 56
	e	и	В	H
6o	i	b2l kz MsLlT	biak2 I,1 ch I j	I3 ( kz b2	kz \ - ak3\ I — b2 sh I J
t/o	0	kz Ch —	I	kz ^shT	b2l2 I	kz \ biak2 H ch I )
Bo	0	ak kz Г^'-р	kz ch —	b2l kz Msh ~T
	0	0	0	1
Приведенное здесь общее решение однородной задачи, выраженное
через начальные параметры 0О, Uo, Во, Но, позволяет произвести рас-
чет стержня при действии на него сосредоточенных основных кинемати-
ческих и статических величин, приложенных в каком-либо заданном
по длине сечении z = t.
Пусть 0(, Ut, Bt, Hf — заданные сосредоточенные факторы, прило-
женные в сечении z = t.
Пользуясь формулами, выписанными в табл. 55 как функциями влия-
ния, имеем
(4~СЬт) +
(IV.96)
t7 = tfoch^ —50±sh^—Яой(1 —сйт) +
I ak I и Oia/г2 \	I / '
ut ch - Bt - sh - Ht -^2 (1 — ch °) ;
1 l	1 ak I	' bAak2 \	I )
Гл. 1V Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 215
В = —Uo Sh + 50 ch - Яо sh у -
— Uta4 sh fe(z~° + В{ ch fe(z~° — Ht Ъ£- sh - (z.~° ;
H = H0 + Ht.
Этими формулами определяются все основные величины 0 = 0(z),
U = U(z), В = B(z) и Н = H(z) для сечений, расположенных правее
сечения z = t (при z t). Для сечений же, расположенных левее сече-
ния z = t (при z t), величины 0, U,B,H определяются формулами
(IV. 95). В этих формулах, как и в формулах (IV.96), начальные параметры
0О, С70, Вп, Но играют роль произвольных постоянных. Величины же
0(, Ut, Bt, Ht в формулах (IV.96) предполагаются заданными.
Если в сечении z = t действует один только сосредоточенный крутя-
щий момент Hi, то в формулах (IV.96) следует положить 9; = Ut =
= Bt = 0, a Ht считать заданным. В случае действия на стержень в сече-
нии z = t одного только сосредоточенного внешнего бимомента Bt, про-
исходящего от внешних сосредоточенных продольных сил, в этих форму-
лах следует, очевидно, положить 0t = Ut = Ht = 0, а В\ считать задан-
ным.
Определяя величины 0О, С70, Вй, Но по условиям закрепления стержня
на концах, необходимо в целях упрощения расчета начало отсчета коор-
динаты z выбрать в том поперечном сечении, для которого отдельные
начальные параметры являются величинами известными. Таким может
быть одно из опорных сечений. Для этого сечения два из четырех иско-
мых параметров являются обычно заданными. Остальные два параметра
находятся из условий, заданных на другом конце стержня. Эти условия
могут быть раскрыты при помощи формул (IV.95) или (IV.96). Так, на-
пример, если стержень в сечении z = 0 имеет жесткую заделку, при кото-
рой угол кручения и депланация равны нулю (сечение z = 0 закреплено
от угла поворота и остается после деформации плоским), то в этом случае
нужно в формулах (IV.95) и (IV.96) положить 0О = Uo = 0. Два других
параметра Во и Но, представляющие собой реактивный бимомент и кру-
тящий момент в заданном сечении z = 0, находятся из условий, заданных
на другом конце z = I.
Если конец стержня z — 0 не имеет закреплений и внешние обобщен-
ные силы в сечении z = 0 равны нулю, то в этом случае необходимо по-
ложить Во = Но = 0. Два оставшихся параметра находятся из условий,
заданных на другом конце стержня z = I.
В случае, когда стержень в опорном сечении z = 0 закреплен от угла
кручения и не испытывает продольных сил, надо положить 0О = Во —
= 0. Искомыми величинами в этом случае будут Uo, Но, и для определе-
ния указанных величин служат два граничных условия, заданных на
другом конце стержня.
Таким образом, в каждом частном случае граничных условий задача
приводится к определению только двух неизвестных из четырех величин
0О, С70, Во, Но, и эти неизвестные находятся путем решения системы двух
линейных алгебраических уравнений, которые получаются из граничных
условий, заданных на другом конце стержня z = I.
В качестве примера рассмотрим стержень, у которого на обоих кон-
цах z = 0 и z = I имеются шарнирные закрепления, т. е. такие, которые
характеризуются отсутствием в опорных сечениях углов кручения и про-
дольных нормальных напряжений.
Предположим, что к стержню в заданной точке z = t приложен внеш-
ний сосредоточенный крутящий момент Ht. В силу граничных условий,
216 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
заданных в опорном сечении z = О, 0О = Во = 0. Граничные условия
на другом конце при z = I будут 0; = Вг = 0.
Полагая в формулах (IV.96) для 0 и В
z = I; % = Во = 0; f)t = Ut = Bt = 0,
a. Hi — заданным, получим
— U^-^shk + H0-^(k — ^-shk] = —Ht~
u bi k 1	" ofc3 у ^2 у	' ak3
k (I — t)
1
ъ*
hl
k(i — t)
i
— U0^shk — Hob-£- sh к = Ht b± sh^-y-^ .
“ l	“ bik	z bik I
Отсюда искомые величины U0H0 выражаются в функции от абсциссы t,
определяющей собой точку приложения внешнего сосредоточенного
крутящего момента Ht.
Если этот момент приложен в середине длины стержня, то нужно
положить t = 1/2.
Определив, таким образом, Uo, Но и имея в виду, что 0О = Во = О
в силу заданных условий в сечении z = 0, вносим эти величины в формулы
(IV.95) и (IV.96), после чего будем иметь для всех искомых основных
величин 0, U, В, Н вполне определенные решения, удовлетворяющие
всем поставленным здесь условиям. Зная бимомент В и крутящий мо-
мент Н, легко находим затем по соответствующим формулам, приведен-
ным выше, нормальные и касательные напряжения в любой точке сре-
динной поверхности стержня.
Заметим, что если оба конца стержня свободны от закреплений и
стержень находится под действием одних только крутящих моментов,
приложенных по концам, то в этом случае изложенный выше общий метод
приводит к решению известной задачи о чистом кручении стержня. В этом
легко убедиться, если в формулах (IV.95) величину Но считать заданной,
величину Во принять равной нулю, а 0О и определить из условий Н=
= Но, В = 0, относящихся к другому концу стержня (при z = I):
Если тонкостенный стержень имеет переменное сечение, например,
в случае слабоконической оболочки (рис. 113), дифференциальное урав-
нение (IV.90) примет вид
~ [4 В" (z)l - 4 ГА В (z)l + - Г-5 В (z)ll + £ [т (z)] = 0
dz Lz2 4 7J с2 |dz ц z4 4 7 J 1 c |_ z6 ' 7 JJ 1 bi dz 1 '
Ь2 Ь12 “ Ь2 2
при К2 —	 г- - с2.
r	abi
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 217
§ 5. Перекрытие типа
сборной железобетонной двухслойной оболочки
многосвязного профиля
Рассмотрим призматическую оболочку, состоящую в поперечном
сечении из шести замкнутых контуров (рис. 114), находящуюся под дей-
ствием собственного веса. Сочленение ячеек между собой осуществляет-
ся с помощью цилиндрических шарниров. По торцам оболочка опирается
Рис. 114
на жесткие в своей плоскости и гибкие из плоскости диафрагмы. Один
из продольных краев оболочки опирается на цилиндрические шарниры,
а другой свободен.
Такая оболочка может представлять собой расчетную схему двух-
слойного железобетонного перекрытия.
Поперечное сечение оболочки задано четырьмя геометрическими пара-
метрами: шириной d1 и толщиной бх всех горизонтальных пластинок,
высотой d2 и толщиной 62 всех вертикальных пластинок.
Предположим, что при деформации оболочки под нагрузкой для каж-
дой пластинки в отдельности остается справедливой гипотеза плоских
сечений. Тогда можно представить перемещения какой-либо точки средин-
218
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
'\иу № ребер\.	(z)	U2 (z)	U3 (z)	Ui (z)	u3 (z)	t/6 (z)
1	Тац£»2 — Ъ-а	ТЛ12-О2 — &12	0	0	0	0
2	ya21D2 — ba	T«22-O2 — fe22	~[ai3D2 — &23	0	0	0
3	0	T«32jD2 — &32	ya33D2 — Ьзз	';a3d>2 — b3i	0	0
4	0	0	"ta^D2 — bi3	yauD2 — bu	4al3D2 — b45	0
5	0	0	0	ya^D2 — &54	WD2 — b55	ya3tD2 — b№
6	0	0	0	0	ya33D2 — b63	ya36D2 — &66
1	сц-D	0	0	0	0	0
2	0	c^D	0	0	0	0
3	0	0	c33D	0	0	0
4	0	0	0	caD	0	0
5	0	0	0	0	c33D	0
6	0	0	0	0	0	Сббй
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 219
Таблица 57
	(z)	Т2 (z)	Уз (z)	(z)	Уз W	(г)	Свободны* члены
	—ciiD	0	0	0	0	0	0
	0		^22^	0	0	0	0	0
	0	0	—C33D	0	0	0	0
	0	0	0	—cttD	0	0	0
	0	0	0	0	C55D	0	0
	0	0	0	0	0	—ce6D	0
	rnjD2 — 73ц	— Т«12	0	0	0	 0	?i/G
	— Т«21	Г22О2 — Т«22	— Т»23	0	0	0	?z/G
	0	— 7332	ГззО* — 7«зз	— Т«34	0	0	?з/С
	0	0	— т»«	гм£>2 — у su	— Т«45	0	<7«/g
	0	0	0	— 7354	— Ts55	— 7«5в	tfo/G
	0	0	0	0	— 7365	reeD2 — ";з66	Чз/G
220 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
\l7,V № \		и2	и3	Ui	и5	и.	
1	—0,111053	0,0257896	0	0	0	0	
2	0,0257896	—0,111053	0,0257896	0	0	0	
3	0	0,0257896	—0,111053	0,0257896	0	0	
4	0	0	0,0257896	—0,111053	0,0257896	0	
5	0	0	0	0,0257896	—0,111053	0,0257896	
6	0	0	0	0	0,0257896	—0,0826322	
1	—0,00837760	0	0	0	0	0	
2	0	—0,00837760	0	0	0	0	
3	0	0	—0,00837760	0	0	0	
4	0	0	0	—0,00837760	0	0	
5	0	0	0	0	—0,00837760	0	
6	0	0	0	0	0	—0,00837760	
ной поверхности оболочки в виде следующих конечных рядов:
u(z, s) = Ur(z) фх(8) + Z72(z) <p.2(s) + Z73(z)cp3(s) + j
+ ^4(г)ф4 («) + *А(г)ф5 (s) + Ue(z) cp6(s); I (IV.97)
V (z, s) = Vr (z)	(s) + V2 (z) ф2 (s) + vs (z) ф3 (s) + I
+ V4 (z) ф4 (s) + V5 (z) ф5 (s) + V6 (z) 4>e (s). J
Входящие в формулы (IV.97) функции cpi(s) и г|?д.(х) представлены в
виде эпюр на рис. 115. Эпюры производных от функций <p4(s) представ-
лены на фиг. 116, а.
Эпюры изгибающих моментов, соответствующих обобщенным единич-
ным перемещением оболочки (Vi = 1), представлены на фиг. 116, б, где
6Е
а ~	;
2dl __dyd2
Jl	J 2,
T б? Т б2
здесь Л = -jj и А =	.
Система дифференциальных уравнений (III.11) для искомых обобщен-
ных перемещений Ui и Vk представлена в виде матрицы (табл. 57).
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных прострастеенных систем 221
Таблица 58
	11	V2	V3	Vi	v5		Свободные члены
	—0,00837760	0	0	0	0	0	0
	0	—0,00837760	0	0	0	0	0
	0	0	—0,00837760	0	0	0	0
	0	0	0	—0,00837760	0	0	0
	0	0	0	0	—0,00837760	0	0
	0	0	0	0	0	—0,00837760	0
	—0,00131932	0,158023- .10-5	0	0	0	0	3,81972 p/G
	0,158023-Ю-5	—0,00131932	0,158023-IO"5	0	0	0	3,81972 р/С
	0	0,158023-10"5	—0,00131932	0,158023-Ю-5	0	0	3,81972 p/G
	0	0	0,158023-Ю-5	—0,00131982	0,158023-Ю-5	0	3,81972 p/G
	0	0	0	0,158023-Ю-5	—0,00131932	0,158023-10-5	3,81972 p/G
	0	0	0	0	0,158023-Ю-5	—0,00131774	2,54648 p/G
Коэффициенты уравнений табл. 57 вычисляются на основании выраже-
ний (III.12) и эпюр функций <р4, и фц представленных на рис. 115 и
116, а:
«1, i = 1 Wi + F2); ам+1 = ап,п = | (2FX + F2); .
6i-i = 46 + ?); ь^ = -2Т’	=	+ 2Й;
X «1	«2 /	0-1	\ «1	«2 /
1	о —	2	1
2	~Sii ~ /2Л +’ Si’i+1 _ - TTIaTaT /> (IV-98)
6 j	ч S|
(г = 1, 2, 3, . . ., n — 1);
i 262, C2 2+1 ==z 0, Tif j = F2,	0
(г = 1, 2, 3, . . ., ri).
Здесь F\ = 6xdx; F2 = 62cZ2; n — число ячеек. Для свободных членов
уравнений, согласно^формулам (III.13) и схеме нагрузки (рис. 117), по-
222
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
лучим следующие значения:
Л = 0; qh = 2р (h = 1, 2,. . ., 5); q6 = 2р.
При указанном выше условии опирания оболочки по торцам гранич-
ные условия запишем следующим образом (начало координаты z принято
совпадающим с одной из опорных диафрагм):
при z = 0 и z = I U\ (z) = 0;
Vh (Z) = 0.
Рис.
116а,б
Применим к интегрированию системы дифференциальных уравнений
(табл. 57) метод тригонометрических рядов.
I		3p	3p	3P-	3p	3p 2p
r J—			o- - -		— -
Рис. 117
Ограничиваясь в разложениях только одним первым членом, получаем
для искомых функций Ui (z), Vk (z) и свободных членов следующие выра-
жения:
Ui(z~) = Hi cos ; 7ft(z) = VftSin^
(i,k = l,2,..„ 6). J
(IV.99)
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 223
Подставив выражения (IV.99) в систему дифференциальных уравнений
и сократив соответственно на cos (л z/Z) или sin (ftz/Z), получим систему
алгебраических уравнений
относительно искомых коэф-
фициентов Ui и!'/-. Эта сис-
тема при Z = 60 м, d± = d2 =
=6.м, dj = 62 — 0,08 м, р —
= 2,4- 6 • 0,08 = 1,152 т/м,
у = 2 представлена в виде
табл. 58.
Определив коэффициенты
Ui и Vk из полученной систе-
мы уравнений, можно найти
усилия и перемещения, воз-
никающие в оболочке.
Результаты проделанных
вычислений представлены на
рис. 118 в виде эпюр напря-
жений и изгибающих мо-
ментов, возникающих в се-
чении z = 1/2.
Далее необходимо учесть
влияние местной нагрузки.
Рис. 118
§ 6. О принципе независимости действия сил в теории
тонкостенных железобетонных сборно-монолитных
пространственных конструкций
Рассмотрим оболочку, приведенную в § 5, в предположении, что пе-
рекрытие возводится путем постепенного наращивания ячеек, в соот-
ветствии с чем требуется произвести расчет на действие собственного веса.
Процесс возведения перекрытия и соответствующий ему рост нагрузок
выглядят следующим образом. Сначала возводится первая ячейка
(рис. 119, а), которая испытывает действие собственного веса; р — по-
гонный вес одной пластинки.
Значения перемещений и напряжений, возникающих в конструкции
при этой расчетной схеме, будем отмечать индексом I (щ, т1; Му, Uy, Vj).
После того, как первая ячейка получила перемещения и напряжения от
действия собственного веса, к ней присоединяется вторая такая же ячей-
ка (рис. 119, б).
Индексом II будем отмечать величины напряжений и перемещений,
соответствующие расчетной схеме (рис. 119, б).
Напряженное и деформированное состояние конструкции после при-
соединения второй ячейки будет равно сумме двух указанных напряжен-
ных и деформированных состояний. Так, например, продольные нормаль-
ные напряжения будут равны Щ + Оц.
Присоединение последующих ячеек потребует последовательного ре-
шения задач, показанных на рис. 119, в, г, д, е.
Для решения всех упомянутых задач будем считать, что перемещения
определяются по-прежнему разложениями (IV. 97), в которых удержи-
вается количество членов, соответствующее числу ячеек рассматриваемой
задачи.
Тогда дифференциальные уравнения (III.11) для расчета оболочки по
схеме, указанной на рис. 119, а, примут вид, приведенный в табл. 59;
224
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
по схеме, указанной на рис. 119, б,— в табл. 60, и, наконец, когда пере-
крытие возведено полностью,— в виде табл. 57.
Заметим, что любая из систем уравнений может быть получена из диф-
ференциальных уравнений, приведенных в табл. 57, путем отбрасывания
строк и столбцов, соответствующих
Рис. 119
последним г-м номерам, где i — чис-
ло ячеек, недостающих до полного
перекрытия.
Коэффициенты всех уравнений
будут вычисляться по формулам
(IV.98), в которых п — число ячеек
в рассматриваемой схеме.
Для свободных членов получим
следующие формулы:
Pi = 0;	= 0;
h = 1, 2, 3, . . ., (и —2);
?п = 2/>.
Применяя к интегрированию си-
стем дифференциальных уравнений
метод тригонометрических рядов,
аналогично тому, как это делалось
в § 5, сведем их к системам алгеб-
раических уравнений.
Решив системы алгебраических
уравнений и определив значения tZj
и для каждой стадии работы пере-
крытия, можно определить все уси-
лия и перемещения, возникающие в
конструкции перекрытия.
Таблица 59
	U1 (z)	Vi (г)	Свободные члены
1	TaiiD2 — Ьц	— c-iiD	0
1	cHD	гц-D2 -	|	91/G
Таблица 60
	t/i (z)	. U2 (г)	V1 (2)	Т2 (z)	Свободные члены
1	Тац.02 — Ьц	уа12РР — Ь12	—C11D	0	0
2	Тагг-О2 — &2i		 &22	0	— C22D	0
1	CiiD	0	Гп-О2 —	— TS12	9i/g
2	0	С22-О	Т«21	Г22-О2	 Т«22	?2/G
Гл. JV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 225
Рис. 120
15 в. 3. Власов, т. ИГ
226 Ра'-чмн оболочек методом перемещений с учетом дефорлл ци i edema
На рис. 120 приведены результаты расчета по указанным выше рас-
четным схемам железобетонного перекрытия с объемным весом 2,4 т!мЛ
при размерах, принятых в § 5. Все эпюры построены для среднего сече-
ния z = 0,5/.
Суммируя усилия, соответствующие различным стадиям работы кон-
струкции в период возведения (рис. 120), получим их окончательные зна-
чения (рис. 121, а, б).
На рис. 121, в представлена эпюра касательных напряжений в попе-
речном сечении z = 0.
Сравнение эпюр напряжений и изгибающих моментов с аналогичны-
ми эпюрами, приведенными в § 5, указывает на значительное перераспре-
деление усилий, происшедшее в конструкции за счет постепенного нара-
щивания новых ячеек к уже деформированной части перекрытия. '
Так, например, в первой ячейке продольные напряжения увеличивают-
ся на 30%, а в шестой ячейке они снижаются более чем вдвое.
Таким образом, принцип независимости действия сил при расчете
сборно-монолитных конструкций является не всегда применимым.
§ 7. Облегченные подпорные стенки многосвязпого профиля
Рассмотрим железобетонную подпорную стенку облегченной конст-
рукции, состоящую из секций, разделенных температурно-осадочными
швами % Каждая секция состоит из вертикальной стенки, воспринимаю-
щей активное давление
грунта,, плиты и двух
контрфорсов (рас. 122,а)
Вертикальная стен-
ка представляет собой
призматическую оболоч-
ку, имеющую в попе-
речном сечении шесть
прямоугольных замкну-
тых контуров (ячеек).
Сочленение оболочки
с плитой,, а также каж-
дой ячейки с соседни-
ми, осуществлено с по-
мощью цилиндрических
шарниров, допускающих свободный поворот отдельных ячеек,, по препят-
ствующих их взаимному сдвигу.
Поперечное сечение оболочки задано четырьмя геометрическими пара-
метрами: размерами ячеек dr, d, и толщинами их стенок и б2.
Заданной нагрузкой является активное давление земли, распределен-
ное по гидростатическому закону (рис. 122г б). Расчет оболочки на давле-
ние грунта, распределенного по высоте стенки по другому закону, не вы-
зовет дополнительных осложнений.
Согласно общей теории, продольные перемещения и (zr s) в пределах
каждой отдельной грани оболочки изменяются по закону плоских сече-
ний.
Поскольку при действии заданной нагрузки продольные перемещения
обратно симметричны относительно вертикальной оси симметрии оболоч-
ки, выберем функции <р; (s) соответствующими поворотам горизонтальных
элементов рамы вокруг этой оси на углы, тангенсы которых равны 2/d2..
* 1 Все вычисления, связанные с расчетом подпорной стенки, выполнены аспиран-
том Института механики АП СССР Г. И.. Ишеничповым.
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 227
Эпюры функций, выбранных указанным образом, показаны на рис. 115, а.
Эпюры производных от этих функций см. на рис. 116, а.
Функции (|д (s) выберем так, чтобы они соответствовали линейным пе-
ремещениям горизонтальных элементов рамы по направлению этих эле-
ментов (на единицу длины). Эпюры этих функций приведены на рис. 115, б.
Эпюры изгибающих моментов М, возникающих при каждом из перемеще-
ний фд- (s), показаны на рис. 116, б, где величина а имеет то же значение,
что и в § 5.
Согласно общим формулам (III.12), значения коэффициентов диффе-
ренциальных уравнений равновесия выразятся формулами (IV.98).
Значения свободных членов на основании общих формул (III. 13)
рис. 122, б равны
?„=^(6-п);	=	(IV.100)
(n = 1, 2, 3, 4, 5),
где q — интенсивность давления грунта на глубине II.
При выбранных обобщенных координатах продольных и поперечных
перемещений система дифференциальных уравнений равновесия (III.11)
запишется в виде табл. 57.
Будем считать, что оболочка опирается по торцам на контрфорсы, жест-
кие в своей плоскости и гибкие из плоскости. Граничные условия в этом
случае примут вид (начало координаты z принято совпадающим с одной
из опорных диафрагм)
U\ (z) = 0; Vh (z) = 0 при z = 0 и z = I	(IV.101)
Применяя для интегрирования системы дифференциальных уравнений
табл. 57 при граничных условиях (IV.101) метод тригонометрических
рядов и ограничиваясь (ввиду быстрой сходимости рядов) одним первым
членом, представим искомые перемещения и заданную нагрузку в виде
(IV. 99).
Подставляя выражения (IV.99) в дифференциальные уравнения
табл. 57 и сокращая все члены первых и последних шести уравнений на
общие множители — соответственно cos (nz/Z) и sin (лг/Z), получим систе-
му линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов
в первых двух формулах (IV.99). Матрица этих алгебраических уравне-
ний приведена в табл. 61.
Примем для расчета следующие размеры оболочки:
cZ1 = d2 = 6 .и; 6, -= б2 = 0,6 м; I = 18 .и;
II = 6^ = 36 м; I / Н = 0,5.
Вычисляя коэффициенты уравнений по формулам (IV.98), свободные
члены по формулам (IV.100) и учитывая, что для железобетона
у ~ Е/G 2, получим систему алгебраических уравнений, записанных
в виде табл. 62. Матрица этих уравнений обладает симметрией относитель-
но главной диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол.
Наиболее эффективный способ решения таких алгебраических систем —
сокращенный алгоритм Гаусса. Решение системы уравнений дает следую-
щие значения неизвестных (в .и):
U± = - I8JI7/G;
= - 9,5569 / G;
Pj = 93,1.57/G;
Г4 = 41,61 q / G;
U2 = - 18,147/G;
= — 5,1977/G;
V2 — 81,04^ / G;
V5 = 21,577/G;
G3 = -14,127/G;
Ua = —2,5847/G;
У3 = 61,797/G;
V,- = 6,9597/G;
15*
\£/, v № ребер\.	Ui	иг	us	и,		U в
1	— 1,166	0,1269				
2	0,1269	—1,166	0,1269			
3		0,1269	—1,166	0,1269		
4			0,1269	—1,166	0,1269	
5				0,1269	—1,166	0,1269
6					0,1269	—0,8193
1	—0,2094					
2		—0,2094				
3			—0,2094			
4				—0,2094		
5					-0,2094	
6						—0,2094
Таблица 62
	V,	Гз		'Л	1' 6	Свободные члены (слева)
—0,2094						0
	—0,2094					0
		—0,2094				0
			—0,2094			0
				—0,2094		0
					—0,2094	0
—0,1110	2 3-103					q 6,366 у (j
2 ЗЛО3	—0,1110	2 3>				q 5,093 у- Сг
	2 ЗЛО3	—0,1110	2 3-103			q 3,820 у Ст
		2 3-103	-0,1110	2 ЗЛО3		2,5467; Ст
			2 ЗЛО3	—0,1110	2 ЗЛО3	1,273 g
				_2__ ЗЛО3	—0,1103	0,2122 g
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвиг*
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 229
Примем объемный вес грунта угр = 1,8 т/м3, а угол внутреннего тре-
ния ф = 27°. Тогда
q = Y,.p//lg2 (45° — <р/2) = 24,36m/ж2.
Общую формулу (III.4) для определения нормальных напряжений
в поперечных сечениях для дальнейших вычислений удобно написать в та-
ком виде:	_
б (z, s) = У (s) sin (nz / /),	(IV.102)
где
ki = — BUi (л/1).
(IV.103)
По формуле (IV.103) найдем
k, = 159,1 m/ж2; k2 = 154,2 m / ж2; k3 = 120,0m/ж2;
= 81,25 m/ж2; ks = 44,20 m/ж2; ke = 21,97 m /m2.
Построенная по формуле (IV. 102) эпюра нормальных напряжений
в поперечном сечении z — 0,5/ показана на рис. 123, а.
Чтобы построить эпюру попе- .
речных изгибающих моментов,
надо умножить каждый из приве- 
денных на рис. 116,6 моментов на
величину соответствующего сме-
щения V/c (z), после чего их сло-
жить.
Поперечный изгибающий мо-
мент, возникающий в узлах смеж-
ных рам от смещения первого ри-
геля (z) = 7Х sin (nz/Z), равен
2^( / J\ -f- d\d2 / J2
= 4,539 sin тм/ж.
Аналогично (в тж/ж)
М2 (z) = 3,949 sin (л z/Z);
М3 (z) = 3,011 sin (л z/l)\
Mt (z) = 2,021 sin (л z/Z);
Л/5 (z) = 1,051 sin (л z/Z);
(z) = 0,3391 sin (л z/Z)
Рис. 123
Сложив эти значения в соответствии с рис. 116, получим эпюру попереч-
ных изгибающих моментов в среднем сечении оболочки, приведенную на
рис. 123, б.
Перейдем к определению касательных напряжений. Поскольку при
выбранных функциях ф, (s) и (s) для каждой пластинки справедлива
гипотеза плоских сечений, то получаемые по формуле (III.5) касательные
напряжения постоянны по ширине каждой пластинки.
Обозначая для г-й пластинки эти напряжения
Ti (z, S) = Tj cos (лг / Z),
получим значение поперечной силы, приходящейся на поперечное сечение
отдельной пластинки:
Qi(z, s) = Mticos (nz/l).	(IV.104)
Для получения более точного значения касательных напряжений выде-
лим из оболочки двумя вертикальными сечениями в местах сопряжения
230 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
с вертикальными пластинками г-ю горизонтальную пластинку и обозна-
чим неизвестные пока касательные напряжения, действующие в плоско-
стях сечений, через Ti0 (z):
т4|) (z) = ri3 cos (nz/Z), (i = l,2, ..., 6).
Из условия равновесия выделенного элемента, учитывая действующие
в нем продольные напряжения, получим закон распределения касатель
ных напряжений по ширине пластинки в виде квадратной параболы.
На рис. 124 показано распределение касательных напряжений в се-
чении z = 0, где
/
I) , (Z = 1, 2, 3, 4, 5, 6). (IV.105)
В ’этом выражении величина
определяется по формуле (IV.103).
Приравнивая величину попереч-
ной силы от касательных напря-
жений, определяемых формулой
(IV.105), выражению (IV.104) при
z 0, получим
В) = В — (ntZ£i/6Z);
Вшах = В +	/ 12Z), (IV.106)
Так, например, для ближайшей от плиты горизонтальной пластинки
(i = 1), согласно общей формуле (III.5), будем иметь
тх = G +Ау 7^) = 244,1 т/м2,
а формулы (IV. 106) дают
Тю = 216,4 т / лг; тх гаах = 258 т / м2.
Определив значения касательных
напряжений в горизонтальных элемен-
тах, легко подсчитать их величину в
любой точке произвольного поперечно-
го сечения оболочки.
На рис. 125, а показана эпюра каса-
тельных напряжений в поперечном се-
чении оболочки z = 0.
Зная величины поперечных изгиба-
ющих моментов и касательных напря-
жений, можно определить нормальные
силы поперечного направления (из рас-
смотрения равновесия элементов попе-
речной полоски шириной 1 м, отсечен-
ной из оболочки двумя поперечными
сечениями). На рис. 125, б приведена
эпюра нормальных сил поперечного
направления в среднем сечении оболоч-
ки. Эти усилия в продольном направ-
лении изменяются по закону sin (лг/Z)
К приведенным эпюрам усилий и
изгибающих моментов необходимо до-
Рис. 125
бавить усилия и моменты, возникающие от действия местной нагрузки.
При изменении всех линейных размеров оболочки в т раз значе-
ния величин Ui и V/с изменятся в т2 раз и, следовательно, поперечные
Гл. IV. Приложение теории к расчету тонкостейн-ых пространетаенных систем 231
Рис. 126
232
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций едеига
изгибающие моменты изменяются в т2 раз, а продольные нормальные на-
пряжения, касательные напряжения и нормальные силы поперечного на-
правления в т раз. Этим можно воспользоваться для определения
деформированного и напряженного состояния в конструкциях, изменен-
ных по законам подобия.
Нами был проделан расчет облегченной подпорной стенки также при
других значениях величины пролета I при сохранении ее поперечного
сечения. На рис. 126 приведены эпюры максимальных усилий при отно-
шении ИН, равном соответственно одному, двум и четырем.
Для сравнения подпорная стенка была рассчитана на ту же самую
нагрузку по теории статически неопределимых плоских стержневых сис-
тем, для чего была выделена из обо-
лочки поперечными сечениями полос-
ка-рама шириной 1 м. Согласно это-
му способу расчета, в сечениях обо-
лочки z = const отсутствуют как
нормальные, так и касательные на-
пряжения. Эпюры поперечных изги-
бающих моментов и нормальных сил
Рис. 127
Рис. 128
поперечного направления, построенные на основании теории плоских рам,
показаны на рис. 127.
Анализ показывает, что короткую оболочку при отношении UH <' 1
(при принятых геометрических размерах поперечного сечения) можно
рассматривать как безмоментную, т. е. можно в табл. 61 положить shk = 0.
Тогда следует учесть лишь изгибающие моменты, возникающие от дейст-
вия местной нагрузки.
При увеличении длины оболочки узловой изгибающий момент пер-
вой ячейки растет и при неограниченном возрастании величины пролета
принимает такое же значение, что и при расчете конструкции как плоской
рамы.
Узловые изгибающие моменты остальных пяти ячеек в случае короткой
оболочки имеют знаки, обратные знакам изгибающих моментов, полу-
чаемых при расчете плоской рамы. С увеличением длины оболочки они
вначале растут, а затем снижаются, меняют знак и при бесконечном уве-
личении длины пролета принимают значения, которые получаются из
расчета полоски-рамы. На рис. 128 показана кривая зависимости узло-
вого изгибающего момента четвертой ячейки Мо§ от отношения 1/Н.
Из сопоставления эпюр нормальных сил поперечного направления
при различном отношении 1/Н видно, что при пространственной работе
конструкции увеличиваются значения нормальных сжимающих сил го-
ризонтальных пластинок и снижаются их величины в наиболее нагружен-
ных элементах оболочки.
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 233-
Если отделить оболочку от плиты, расчленить ее на отдельные ячейки
и рассматривать их работающими самостоятельно под приходящимися
на них нагрузками, как балки с пролетом, равным длине оболочки, то
продольные напряжения в них будут пропорциональны квадрату про-
лета.
Нормальные продольные напряжения в оболочке по поперечному се-
чению распределяются более равномерно и с увеличением отношения ИН
растут лишь до определенной величины, а затем начинают уменьшаться.
Если длина оболочки будет стремиться к бесконечности, то эти напряже-
ния вместе с касательными напряжениями обращаются в нуль.
На рис. 129 для узловой точки второй ячейки приведены графики за-
висимости продольных балочных напряжений аб и продольных напряже-
ний оболочки аОб от отношения ПН.
Таким образом, при бесконечном увеличении длины оболочки про-
странственная конструкция вырождается в плоскую стержневую систему..
В этом случае продольные и касательные напряжения равны нулю, а эпю-
ры поперечных изгибающих моментов и нормальных сил поперечного
направления совпадают с эпюрами, показанными на рис. 127 для плоской
рамы.
При пространственной работе конструкции происходит более равно-
мерное распределение усилий по сравнению с плоской конструкцией.
В этом случае материал используется более рационально.
§ 8. Расчет водослива плотины облегченной конструкции
Рассмотрим один из возможных вариантов решения облегченной кон-
струкции плотины (рис. 130).
Бетонная плотина по длине разделена на отдельные секции осадоч-
ными швами через 50 м. Каждая секция состоит из плиты, трех бычков
и водослива. В рассматриваемом примере водослив запроектирован пусто-
телым и двухъярусным. Поперечное сечение имеет форму буквы А. Стенки
водослива жестко заделаны в плиту основания, а от бычков водослив от-
делен температурными швами. По концам водослива, в местах темпера-
турных швов, запроектированы жесткие поперечные диафрагмы в виде
сплошных железобетонных стенок (рис. 130, б). В первом приближении
расчет такого водослива производим в предположении, что плита плотины
в отношении водослива является жестким неподвижным основанием.
Расчетными нагрузками являются горизонтальное давление воды и соб-
ственный вес водослива. Расчетной комбинацией принимается наиболее
невыгодная схема давления воды, когда затвор водослива находится в за-
крытом состоянии.
Давление воды, действующее на вертикальную стенку, и собствен-
ный вес водослива заменяются эквивалентной узловой нагрузкой Р
в т/м. Схема узловых нагрузок и принятая расчетная схема водослива
Рис. 130
"ш оболоч'к методом не помещений с учетом, деформации

Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 235
показаны на рис. 131. Водослив рассматриваем как замкнутую призмати-
ческую однопролетную оболочку пролетом I, равным расстоянию между
поперечными диафрагмами, располагающимися в местах температурных
швов водослива (в рассматриваемом случае I = 20 ji).
Расчетный контур поперечного сечения водослива рассматриваем в виде
двухсвязной рамы, жестко заделанной в основание (рис. 131).
При расчете системы продольные
изгибающие и крутящие моменты,
как следует из гипотез, положенных
в основу указанного метода, прини-
маются равными нулю. За неизвест-
ные функции принимаются продоль-
ные обобщенные перемещения узлов
1, 2, 3 и 4 [иг (z) U2 (z), U3 (z) и U4
(z)] элементарной полоски водослива
шириной dz и поперечные смещения
ее, число которыхсоответствует числу
степеней свободы на смещение плос-
кой рамы той же конфигурации.Чис-
ло этих функций в данном случае
равняется двум — V4 (z) и V2 (z). Та-
ким образом, полное число неизвест-
ных функций равняется шести.
Обобщенные координаты из плоскости поперечного сечения полоски
<Pi (s) (i = 1, 2, 3, 4), соответствующие обобщенным неизвестным переме-
щениям Ui (z) (i = 1, 2, 3, 4), и обобщенные координаты (s) (k = 1, 2)
в плоскости поперечного сечения, соответствующие искомым обобщенным
перемещениям У* (z) (k = 1, 2), представлены в виде эпюр на рис. 132.
Система шести дифференциальных уравнений равновесия призматиче-
ской оболочки водослива относительно шести неизвестных функций пред-
ставлена в виде табл. 63.
Рис. 132
236 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Таблица 63
№\		и2	v3		Fi	v2	Свободные члены
1	-6ц	yatiD2 — Ъп	yaiSD2 — bis	'PuD2	 614	•—cnD	—cizD	0
2	«	ya22IP—b22	7^23 D2 — 62з	ya2iD'2 — b2i	—c2t_D	—-C22D	0
3	•	•	'j'aaaZ)2 — 633	'j»:nD2 — 634	—C31D	—cs2D	0
4	•	•	•	'P44D2 — 644	—cnD	—ei2D	0
1	СЦ.0	c2iD	C31D	C41D	rnD2 — —Т«ц	ri2D2—'rsi2	4 qi nG
2	ci2O		C32O	cnD	•	r22D2 — ^s22	4^2 Gn
Коэффициенты этой таблицы ау, fey, ctk, chk, rhk, shk вычисляются
по формулам (III.12). Свободные члены дц вычисляются по формуле
(III.13), где под q принимается узловая нагрузка.
Поперечные диафрагмы на торцах водослива рассматриваются как
абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из плоскости.
Поэтому для решения системы дифференциальных уравнений неизвест-
ные функции и внешнюю нагрузку можно разложить в тригонометриче-
ские ряды по формулам:
t/i(z) =	3	t/incos	;
n==l, 2, 3,...
П,(2)=	2	Cu sin		(IV.107)
n=l, 2, 3,...
В расчете ограничиваемся лишь первым членом разложения (п — 1)
в каждом из этих рядов вследствие их быстрой сходимости.
Таким образом, формулы (IV. 107) принимают вид
Ui (z) = Uг cos nz /1 (z = 1, 2, 3, 4);
Vfl (z) = Vk sin nz 11 (£ = 1,2);
q (z) = (4^ / л) sin nz /1.
Подстановкой выражений Ui и Vk и их производных в дифференциаль-
ную матрицу (табл. 63) получаем для определения значений парамет-
ров Ui и Vk (г = 1, 2, 3, 4) и (£ = 1, 2) систему алгебраических уравне-
ний.
Результаты расчета приведены на рис. 133—136.
На рис. 133 показана эпюра поперечных изгибающих моментов в тм
в плоской раме, имеющей конфигурацию поперечного сечения водослива,
или, иными словами, в водосливе без торцовых поперечных диафрагм.
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных систем 237
Рис. 133
15,8
Рис. 134
2>5 Расчет ойолочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
На рис. 134 показаны эпюры поперечных изгибающих моментов (в тм)
для среднего поперечного сечения водослива при толщине стенок 3, 2
и 1 м.
На рис. 135 показаны эпюры продольных нормальных напряжений
(в кг/см2) для среднего поперечного сечения водослива при толщине стенок
3, 2 и 1 м.
Рис. 135
На рис. 136, а показаны эпюры касательных напряжений в опорном
поперечном сечении водослива, а на рис. 136, б — эпюры осевых попереч-
ных нормальных напряжений в среднем поперечном сечении при толщине
стенок водослива 3 м.
Из проделанного расчета и анализа эпюр следует, что значения попе-
речных моментов в водосливе без поперечных диафрагм (как в плоской
Рис. 136
системе) во много раз превышают значения поперечных моментов в водо-
сливе, имеющем на поперечных краях жесткие в своей плоскости диа-
фрагмы; при этом значения поперечных моментов с уменгшением толщины
падают.
Значения продольных нормальных напряжений, наоборот, с умень-
шением толщины стенок водослива возрастают; максимальные продоль-
ные растягивающие напряжения (см. рис. 135) ни для одного из трех ва-
риантов 6 = 1, 2 и 3 л не превышают допускаемого напряжения, рав-
ного примерно 20 кг/см/2 для марки бетона 170 (по нормам и техническим
условиям на проектирование гидротехнических сооружений).
Гл. IV Приложение теории к расчету тонкостенных npocmj ан/ тсенных пкпкл
239
Максимальные поперечные растягивающие напряжения получились в
серединах первого и второго участков передней вертикальной стенки
водослива (участки 0—1 и 1—2). Эти напряжения получаются сумми-
рованием напряжений от поперечных изгибающих моментов (см. рис. 134)
и осевых нормальных напряжений (см. рис. 136, б).
Эти значения для водослива с толщиной стенок 3 м для участка 0 — 1
получаются равными (см. рис. 134, а и] 136,16).
5	16[100-6/3002 - 3,13^7,7 к гем2 < [20 кг/слг];
для участка 1—2
б = 148 200 - 6/3002 ^.9,9 кг/см2 < [20 кг/см2].
Касательные напряжения для водослива с толщиной стенок 3 м полу-
чаются также значительно меньше допускаемых. Следовательно, ва-
риант водослива с толщиной стенок 3 м запроектирован с запасом и тол-
щину стенок можно уменьшить до 2	2,5 м. Можно отметить, что назна-
чение толщины стенок меньше 2 м в плотинах не рекомендуется по усло-
виям фильтрации и промерзания конструкции плотины.
Глава V
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
§ 1. Общая теория. Основные дифференциальные уравнения
Предположим, что призматическая оболочка, имеющая в поперечном
сечении произвольно заданное очертание, состоит из пластинок, продоль-
ных стрингеров и поперечных рам, придающих контуру поперечного се-
чения оболочки некоторую дополнительную жесткость. Пусть такая орто-
тропная тонкостенная пространственная конструкция находится под дей-
ствием продольной сжимающей или растягивающей силы Р, приложенной
в какой-либо точке поперечного сечения оболочки. Условно полагаем,
что эта сила направлена по прямой, параллельной образующим оболочки
(ребрам). В результате действия силы Р в точках поперечных сечений бу-
дут возникать нормальные и касательные напряжения, определяемые,
согласно изложенной теории, формулами (III.4) и (III.5). Но, поскольку
в настоящей главе нас будет интересовать общая потеря устойчивости лишь
призматических оболочек, в которых отклонение напряжений от гипотезы
плоских сечений носит местный характер, считаем, что в поперечных сече-
ниях возникают одни только нормальные напряжения, определяемые
в точках данного поперечного сечения по закону плоскости и остающиеся
по длине оболочки постоянными. При этом предположении нормальное
напряжение пь в какой-либо точке К поперечного сечения определяется
.формулой
₽ М„ АГ.
F~~~tXh + у; yk-	(v -1)
Здесь Xk, уч — координаты точки К контура в главных центральных
осях сечения; F — площадь всего поперечного сечения; Jx, Ju — главные
моменты инерции площади всего поперечного сечения оболочки относи-
тельно осей соответственно Ох, Оу; Р — продольная (положительная —
растягивающая) сила; Мх, Му — изгибающие моменты относительно
осей, соответственно Ох, Оу.
Если сила Р приложена в точке С сечения с координатами хс, ус, то,
-очевидно,
Мх = Рус;] Mv = —Рхс	(V.2)
и формула (V.1) примет вид
<v-3>
Эти напряжения в случае оболочки, усиленной на ребрах стрингера-
ми и состоящей из гофрированных пластинок, отличны от нуля только
в тех точках сечения, которые относятся к стрингерам. В этих точках
Гл. V Устойчивостъ призматических оболочек
241
напряжения и*, помноженные на площади поперечных сечений стринге-
ров AFft, приводятся к продольным растягивающим или сжимающим си-
лам. Нормальные напряжения в точках сечений, относящихся к гофриро-
ванным (волнистым) пластинкам, следует считать равными нулю, по-
скольку для такого рода тонкостенных пространственных конструкций
в поперечных сечениях рабочими элементами при растяжении (или сжа-
тии) в продольном направлении являются только стрингеры.
Удобнее в дальнейшем под понимать напряжение, вызванное про-
дольной силой Р, равной единице:
„ 1 1
Пк = рГ -f- —г-----И -J— 
г Jy Jx
(V.4)
Если на оболочку действует сила Р, отличная от единицы, то для полу-
чения нормального напряжения в какой-либо точке К сечения следует
напряжение пь, определяемое формулой (V.4), помножить на Р.
Величина Р служит параметром внешней нагрузки. Напряженное
состояние оболочки, характеризующееся в рассматриваемом случае вне-
центренного'сжатия (или растяжения) наличием в оболочке одних только
продольных нормальных напряжений (как сжимающих, так и растягиваю-
щих), находится в прямой пропорциональности от этого параметра.
При некотором значении нагрузки Р равновесие оболочки, описывае-
мое формулой (V.3), будет неустойчивым.
Общую проблему устойчивости рассматриваемого здесь весьма широко-
го класса тонкостенных пространственных конструкций решаем на осно-
вании методов, данных нами ранее по теории тонкостенных стержней
открытого недеформируемого профиля, обобщая эти методы на оболочки
и тонкостенные стержни сложных многосвязных сечений, обладающих
деформируемым профилем.
Для получения общих дифференциальных уравнений устойчивости
исходим из основных дифференциальных уравнений (III. 11), относящихся
к призматической оболочке произвольного деформируемого профиля.
В указанных уравнениях под искомыми величинами Z7i (z) (г = 1, 2, 3, ...
..., т) и Vk (z) (k = 1, 2, 3, ..., и) понимаем те обобщенные соответ-
ственно продольные и поперечные перемещения, которые характеризуют
деформированное состояние оболочки после потери устойчивости.
Под свободными членами pj (г), (/ = 1, 2, 3, ..., т) и qh (z) (h = 1, 2,
3, ..., п) следует понимать те обобщенные внешние соответственно про-
дольные и поперечные силы, к которым может быть приведено заданное
(с точностью до параметра Р) напряженное состояние, описываемое фор-
мулой (V.3) при переходе оболочки в момент потери устойчивости в дру-
гое неизвестное нам деформированное состояние, описываемое уже диф-
ференциальными уравнениями (III.И).
Деформация оболочки при потере ее устойчивости характеризуется
тем, что ее образующие, в частности ребра, переходят в некоторые иные
пространственные кривые, представляющие собой в общем случае линии
двоякой кривизны. Другими словами, центральная линия какого-либо
стрингера, совпадающая с соответствующим ребром оболочки, после де-
формации (при достижении нагрузкой Р критического значения) получит
дополнительные прогибы в двух каких-либо плоскостях (например, го-
ризонтальной и вертикальной), проходящих через данное ребро.
Из общей формулы
v {.Z, s) = 2 Vft(z) (»)>
описанной достаточно подробно (в гл. Ill, § 1), следует, что перемещение
16 в. 3. Власов, т. III
242
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
любой точки любого ребра оболочки в плоскости поперечного сечения
определяется системой п выбранных линейно независимых между собой
функций фд (s) и соответствующей этим функциям системой п искомых
обобщенных поперечных перемещений Vk (z) (k = 1, 2, 3, ri). Про-
дольная сила Pn^ids с переходом г-го волокна в деформированное (изо-
гнутое) состояние на единице длины ребра приводится к дополнительной
нагрузке, действующей в плоскости поперечного сечения оболочки и совпа-
дающей по своему направлению в каком-либо сечении z = const с вектором
перемещения г-й точки в данном поперечном сечении. Эта дополнительная
поперечная нагрузка для точки определяется как произведение из заданной
(с точностью до параметра Р) продольной силы Рщ ds на вторую про-
изводную по переменной z от вектора перемещения (прогиба) точки г
в плоскости z = const. Отсюда следует, что, зная продольные силы Pnfii
ds для всех точек контура оболочки и полагая величины Vk (z) (k = 1, 2,
3, ..., п) как функции от координаты z известными (нормальными про-
гибами пластинок к контуру оболочки пренебрегаем), можно подобно
тому, как это показано нами в общей.задаче по устойчивости тонкостен-
ных стержней, определить все те погонные поперечные нагрузки, которые
приложены в точках элементарной поперечной полоски оболочки (рамы
единичной ширины) и к которым приводится заданная система продоль-
ных сил Рщ^ ds при изменении (вариации) деформированного состояния
оболочки. Принимая перемещение v (z, s) по-прежнему в виде разложе-
ния (III.2), получим выражение для элементарной поперечной силы, при-
ложенной к точке г контура сечения z = const в следующем виде:
dqi = Pnibi 2 V"k (z) % (s) ds.
fe=i
Поступая с этими приведенными нагрузками, как с внешними погонными
(отнесенными к единице длины) поперечными силами, приложенными
в тех точках оболочки, для которых величины Pn&ids отличны от нуля,
можно на основании изложенного выше вариационного метода опреде-
лить обобщенные на координатах фь(х) (k = 1, 2, 3, ..., ri) поперечные
силы qk (z) (h = 1, 2, 3, ..., ri), рассматриваемые в дифференциальных
уравнениях второй группы (III.il) при заданных поперечных нагрузках
как свободные члены. В результате для приведенной обобщенной попе-
речной силы qk (z) какого-либо k-ro уравнения второй группы (III.11) име-
ем следующую общую формулу:
4n(z) = Р SrhX(z),	(V.5)
k—i
в которой постоянные коэффициенты rhk определяются по формуле
rhk =	(s)%(s) ds-	(V.6)
Здесь ds — дифференциал контурной безразмерной координаты, опре-
деляемой на каком-либо прямолинейном участке контурной линии по фор-
муле
ds — n&tds.	(V.7)
Если в рассчитываемой оболочке нормальные напряжения восприни-
маются только стрингерами, а связывающие стрингера пластинки рабо-
тают только на сдвиг, то формула для дифференциала контурной коор-
динаты примет следующий вид:
Ts =	АЛ+1 ds.
i+1
Гл. V Устойчивость призматических оболочек
243
В этой формуле Wj	AFi+1 — заданные продольные силы, соот-
ветствующие единичной нагрузке Р = 1 и относящиеся к точкам i и
(г + 1), ограничивающим данный прямолинейный участок контура;
di.i+i ~ длина этого участка (ширина пластинки, заключенной между
стрингерами г-м и (г + 1)-м); ds—дифференциал независимой контурной
переменной s. Интеграл, стоящий в правой части равенства (V.6), распро-
страняется на все элементы поперечного сечения оболочки, для которых
подинтегральное выражение фд (s) фь (s) ds отлично от нуля.
На основании формул (V.4), (V.5), (V.6) и (V.7) можно при заданной
системе функций ф^(«), ф/г(«), (h, k = 1, 2, 3, ..., п) (см., например,
рис. 105, в), при заданных толщинах пластинок оболочки 6* (г = 1, 2, 3,
..., п) и при заданных продольных нормальных напряжениях щ (г =
= 1, 2, 3, ..., п) в точках поперечного сечения выразить все приведен-
ные обобщенные поперечные нагрузки qh (z) (h — 1, 2, 3, ..., п) с точ-
ностью до параметра Р через вторые производные от искомых обобщен-
ных поперечных перемещений Vk (z) (k = 1, 2, 3, ..., п).
Внося (V.5) в общие дифференциальные уравнения (III.11) и при-
нимая во внимание, что приведенные обобщенные продольные силы
Pj (z) (/ = 1, 2, 3, ..., т) в данном случае равны нулю, получим
§ (Eaplh - Gb^Ui) - £ GcikV'k = 0
i=l	fe=l
(/=1. 2, 3...m);
n , n	_	I	(V.8)
2 GcMUi + 2 [(G'-m + Prhk) Vk - EshkVk] =0
i=l	k=l
(/i = 1,2, 3, ..., n).
Это и есть система основных однородных дифференциальных урав-
нений устойчивости для призматической ортотропной оболочки (в част-
ном случае и тонкостенного стержня) произвольного очертания, обла-
дающей деформируемым контуром. Эта система в общем случае также
состоит из (т п) уравнений, из которых т уравнений, образующих
первую группу, соответствуют т степеням свободы деформации оболоч-
ки в продольном направлении и уравнений, относящихся ко второй груп-
пе, соответствуют п степеням свободы деформации оболочки в плоскости
поперечного сечения.
Коэффициенты a3i, Ьц, cjlc, см, гы, shk определяются изложенными
выше методами на основании общих формул (III.12). Коэффициенты
вычисляются по общей формуле (V. 6) при дифференциале ds, определяе-
мом формулой (V. 7). Эти коэффициенты обладают также свойством взаим-
ности
В силу этого равенства и равенств (III.12) система дифференциальных
уравнений (V.8) обладает симметричной матрицей.
В случае центрального сжатия напряжения щ во всех точках попереч-
ного сечения будут иметь постоянные значения, определяемые (при Р = 1)
формулой
Пг = 1/Е,
где F — сумма площадей поперечного сечения оболочки.
Формула (V.7) в этом случае принимает вид
ds = &ids/F.	(V.9)
16*
244
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Внося (V.9) в (V.6), получим
§ •
ГЫ = 5%(8)М8)у ds-	(V-10)
Здесь под интегралом понимается сумма интегралов, вычисляемых
отдельно для каждого участка контурной линии профиля оболочки. Так
как функции фДх) и фй(«) на каждом участке контурной линии постоян-
ны (см. рис. 105, в) и величина пД на данном прямолинейном участке
имеет также постоянное значение, то вычисление интеграла по формуле
(V.10) приводится к суммированию конечного числа соответствующих
слагаемых, относящихся к прямолинейным участкам контурной линии
профиля оболочки.
Дифференциальные уравнения (V.8) отличаются от уравнений (III.11)
тем, что они, во-первых, однородные (свободные члены равны нулю)
и, во-вторых, вторая группа уравнений содержит дополнительные члены
со вторыми производными от искомых функций Vh (z) (k = 1, 2, 3, ..., п).
Эти дополнительные члены, кроме того, содержат в качестве искомой пос-
тоянной величины параметр Р, представляющий собой критическую на-
грузку в случае центрального или внецентренного сжатия оболочки, а так-
же в случае чистого изгиба оболочки.
Полагаем для бесконечно длинной оболочки в уравнениях (V.8)
Ui (z) = Ui cos (nz /А) (i = 1, 2, 3. m);
Vk (z) = Vh sin (nz/ A) (k — 1, 2, 3, ..., n),
vpfi A — некоторая постоянная величина, представляющая собой длину
полуволны деформации оболочки в продольном направлении при потере
устойчивости.
Сокращая затем каждое из полученных уравнений в первой группе на
общий множитель cos (nz/A) и во второй группе на общий множитель
sin лг/А, получим для искомых коэффициентов Ui (i — 1, 2, 3, ..., т)
и Vh (k = 1, 2, 3, ..., п) полную систему (т + п) однородных симмет-
рично построенных алгебраических уравнений.
Условие равенства нулю определителя этой системы дает характери-
стическое уравнение.
Порядок этого уравнения относительно искомой величины Р в каж-
дом частном случае будет равен числу степеней свободы деформации обо-
лочки в плоскости поперечного сечения. Поскольку определитель имеет
симметричную структуру, уравнение для критической силы будет при-
надлежать к числу так называемых вековых уравнений. Все п корней
этого уравнения для искомой величины Р при произвольно заданном зна-
чении полуволны А будут действительные. Длина полуволны А опреде-
ляется из дополнительного условия, что искомая критическая сила Р
должна иметь наименьшее значение. Это условие имеет вид
ЭР/5А = 0.
Изложенная здесь теория представляет собой обобщение данной нами
ранее общей теории устойчивости тонкостенных стержней открытого не-
деформируемого профиля. Эта теория позволяет разрешить целый ряд но-
вых практически важных и достаточно сложных задач по устойчивости
всякого рода тонкостенных пространственных конструкций типа ортотроп-
ных цилиндрических и призматических стержней и оболочек с учетом де-
формации контура поперечного сечения для случаев центрального сжа-
тия, внецентренного сжатия (или растяжения) и чистого изгиба.
Гл. V Устойчивость призматических оболочек
245
§ 2. Пространственная устойчивость тонкостенных стержней-оболочек
с упругим закрытым профилем
В качестве примера, иллюстрирующего изложенный в предыдущем
параграфе метод, рассмотрим тонкостенные ортотропные конструкции,
показанные на рис. 137. При расчете такой конструкции как оболочки,
Рис. 137
имеющей в поперечном сечении замкнутый прямоугольный контур, полу-
чены дифференциальные уравнения (IV.53), (IV.54), (IV.55). Эти уравне-
ния теперь представим в таком виде:
0; '
aU" — b'U — 1>2W — btx' = 0; i
b2U’ 4- W -I- b2x" + m = 0:	|
bAU'-\- b2b" + Ь^" — ex 4- q — 0. J
Здесь £ = g (z), r] = r] (z) — прогибы оболочки в плоскостях соот-
ветственно горизонтальной Oxz и вертикальной Oyz; 0 = 0 (z) — угол
кручения; х = х (z) — обобщенное поперечное перемещение, определяю-
щее деформацию контура; U = U (z) — обобщенное продольное переме-
щение, определяющее депланацию сечения; EJy, EJX — жесткости обо-
лочки при изгибе ее в плоскостях, соответственно горизонтальной и вер-
тикальной; a, &J, Ь2, с — величины, определяемые по ранее выведенным
формулам.
Для сечения, изображенного на рис.. 138, получаем
а -•= g [d^dl (F\ + F2 -I- 6AF) + 2F3 (3t^ + б^з +
bi = ~ Gdid2 (did2 4- cMi); b2 = у Gdid2 (d2bi — di&2);	(V.12)
96
c ~ di/ EJi + dzl EJz ’
где AF — площадь сечения стрингера; 6P d2, S.2 — ширины и тол-
щины пластинок соответственно вертикальной и горизонтальной; Jv J.2 —
погонные моменты инерции площадей продольных сечений пластинок
соответственно вертикальной и горизонтальной.
246 Расчет, оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Через qx = qx (z), qu = qy (z) в уравнениях (V.ll) обозначены попе-
речные погонные нагрузки, действующие по направлениям соответст-
венно Ох, Оу. Через т = т (z) обозначен внешний погонный крутящий
момент.
Наконец, через q = q (z) обозначена внешняя обобщенная попереч-
ная погонная нагрузка, соответствующая единичной деформации х = 1
контура поперечного сечения.
Исключив из последних трех уравнений функцию U = U (z), пред-
ставим дифференциальные уравнения (V.11) в таком виде:
+ 2GdX = °;	|
EJ.	I
— Qy + 2ёЖ1 qv = °’	!	„
a9IV _	9" + xiv_ т + “ т" = 0;
61	1 61	1 6j
«62 Qiv . iv ас „ .	। а „	„
-г- 9 -J- ах---=- х + сх — q -f- -rq = 0.
61	'	61	’
Для получения дифференциальных уравнений устойчивости необхо-
димо величины qx, qy, т, q, входящие в уравнения (V.11) как свободные
члены, выразить через продольные силы, определяющие напряженное
состояние оболочки до потери устойчивости, и искомые перемещения £,
р, 0, х, характеризующие деформацию оболочки при потере устойчивости.
Рис. 138
Пусть 714 = 714 (z), 71а = 713 (z), V23 = V2S (z), V3i = 7,4 (z) — проги-
бы пластинок оболочки в их плоскостях. Эти прогибы будем считать поло-
жительными, если они в каком-либо сечении z = const направлены в сто-
рону возрастания порядкового номера ребра оболочки (рис. 104).
Исходя из эпюр для функций ipj (s) иф4 (s) (см. рис. 105, в), определяю-
щих собой прогибы пластинок оболочки в их плоскостях при 0=1,
х = Ои0 = 0, х = 1, получаем для этих прогибов такие формулы:
714 = -р + уб + ух; 7]2=^ + у9-^х;
И33 = ц+ у9 + ух; 734 = - £ + у9-|х.
(V.14)
Гл. V Устойчивость призматических оболочек
247
Пусть р±, р2, р3, Pi представляют собой заданные продольные (поло-
жительные — сжимающие) нормальные силы, приложенные в точках
соответственно 1, 2, 3, 4 поперечного сечения оболочки. Эти силы при
переходе оболочки в деформированное состояние, характеризующееся
прогибами У14, У12, F23, V34, приводятся к поперечным нагрузкам <?12,
fe, <7з4> <741, действующим в плоскостях пластинок. Положительные на-
правления этих нагрузок показаны на рис. 107, б. Считая заданные силы
Pii Pz, Рз, Pt — растягивающими для приведенных поперечных нагрузок,
имеем следующие формулы:
Чи = — (Pi + Pi) ^14', <712 = — (.Pi + Pz) ^iz',
<723 = — (Pz + />3)^23; Q31 = —(рз + Pi) ^34•
(V.15)
Формулы (V.15) на основании равенств (V.14) принимают такой вид:
Чи = — (Pi + Pi) (— Л"	+	у в" _г у	>
<712 = - (Pl + 4z) (Г +	у	0" -	;
4zs = — (pz + Рз) ^Л* _г	у	+ ~2 и’
Чз1 = - (Рз + Pi) (- Г	+	у 6"- у*")	.
Для нагрузок qx, qv, т, q, входящих в уравнения (V.13), на основа-
нии общих формул (IV.52) получаем выражения
qx — <712 — <734; qy — qzs qir, j
m = у (<712 + <734) + у (<?4i + <723);	(V.17)
Я —---------(<712 + <734) + у (<?41 + <?2з)-
Внося сюда выражения (V.16), получаем
qx = - Pl" - Мх (6" - х");qy = - Pif - Mv (6" + x");
rf? -|-	<P — d?
m = -Mx^-M^’------------фрв' + ^-Р”’’-	(V18)
У rf2	J2 t д2	I
q = М£" - Mvrf + -4—2 PQ"--------4—2 T’x".	)
Здесь P — суммарная продольная сжимающая сила, относящаяся ко
всему поперечному сечению оболочки; Мж, — изгибающие моменты
от заданных сил р4, р2, р3, р4, относительно осей соответственно Ох, Оу.
Р — Pi + Pz + Рз + РГ,
— у (Pi Ра — Рз Pi)',	= у (р2 + рз — pi — р4).
Отбрасывая в уравнениях (V.13) по малости члены со вторыми произ-
водными от обобщенных поперечных нагрузок и подставляя вместо qx,
248 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
qy, т, q величины, определяемые формулами (V.18), получаем
E/^IV + РЦ' + Мхе" - Мхк" = 0;
Я/^IV + р^' + М„0» + мух" = 0;
т,, I	d? + di \	d2 — do
Mxl" + МЛ 4- a0IV — -Ц—-2 -	3 P 0" +	XIV _ _L__Z pK" = 0;
x» । v i ।	\	4	/	1 Pi	4
„1. tv d2 —(V.19)
— Л/Л" + MX + 0IV - PW + axiv __
/ ac	d^ + d2 \
Это и есть основные общие дифференциальные уравнения устойчивости
для тонкостенных стержней и колонн замкнутого изменяемого упругого
профиля, нагруженных продольной силой Р и изгибающими момента-
ми Мх, Му. Искомыми величинами в этих уравнениях являются обоб-
щенные поперечные перемещения £ (z), ц (z), 0 (z), х (z) (прогибы, угол
кручения и деформация контура) и какой-либо из параметров заданной
внешней продольной нагрузки, состоящей в общем случае из продольной
силы Р и изгибающих моментов Мх, Му. Указанные моменты в случае,
когда сила Р приложена нецентрально (внецентренное сжатие), опреде-
ляются по формулам:
Мх = Ре,,: Му ~ — Рех,
Л.	У 1	У	Л 7
(V.20)
в которых еу, ех — координаты точки приложения силы в плоскости по-
перечного сечения относительно осей симметрии соответственно Оу, Ох.
Параметром однородных дифференциальных уравнений (V.19) по замене
в них моментов Мх, Му по формулам (V.20) будет служить величина сжи-
мающей силы Р. Дифференциальная матрица системы уравнений представ-
лена в форме табл. 64.
Таблица 64
5	n	0	X
EJyD*+PD*	0		— M JD2
0	EJ^+PD*		V
	MyPP	Гь3_А2 d2-!-d2 1 aZ>4 -1 , 2 — -i-т—- P D2 oi	4	abi	^2 ^2 -Z D* - - . - PD^ oi	4
-MXIP	MyD2	ab2	^2 — ^2	/ ac ^24-^2	\ aDMb,~ 4 P)D"+C
В верхней строке этой таблицы даны искомые функции. В пересече-
ниях строк и столбцов приведены дифференциальные операторы различ-
ных порядков, умноженные на значения соответствующих коэффициентов
уравнений (V.19).
Система дифференциальных уравнений устойчивости обладает также
свойством симметрии, выражающимся в том, что побочные элементы диф-
Гл. V Устойчивость призматических оболочек
249
ференциальной матрицы, симметрично расположенные относительно глав-
ной нисходящей диагонали, имеют одинаковые выражения.
Полагаем в уравнениях (V.19)
I = A sin (nz I А); щ = 5 sin (яг/А); 9 = C sin (nz / A); x = D sin (яг / A),
где A — некоторая постоянная величина, представляющая собой длину
полуволны синусоиды при деформации оболочки. По сокращении на об-
щий множитель sin (яг/А) получим систему однородных алгебраических
уравнений относительно постоянных А, В, С, D. Равенство нулю опреде-
лителя этой системы дает характеристическое уравнение для искомой кри-
тической силы Р. Это уравнение представлено ниже в форме определителя:
EJv£~P’ 0	~Мх’
°;	~му’	~му’
Л
Я2 ( 6? — bl £ — £ \	Я2 £ — £	=0
— м- —М.Л а±+ -1_____________?—J___2Р ;	---2Р
х	У А2 \ 61	4	/’	61 А2 4
М 	— М  ab2 ^ 4 — р. ал2( аС—^ — ^рУ.еМ
х’	‘ у'	6i А2 4	’ A2 \br 4	/ л2’
(V.21)
Выражая в уравнении (V.21) Мх, Му через продольную силу Р по
формулам (V.20), получаем для искомой критической силы в случае ее
внецентренного приложения алгебраическое уравнение четвертого по-
рядка. Все корни этого уравнения вследствие симметричного строения
определителя (V.21) при любом значении А длины полуволны синусоиды
будут действительные. Величина А определяется из условия, чтобы иско-
мая критическая сила была наименьшей.
Это условие имеет вид
dP/d(A2) = 0.	(V.22)
Если длина А полуволны синусоиды sin (яг/А), определяемая из урав-
нений (V.21) и (V.22) и соответствующая наименьшему значению иско-
мой силы Р, будет больше длины I стержня (колонны), имеющего на
концах шарнирные закрепления, при которых при z = 0 и z = I обраща-
ются в нуль все величины (£, 0, ц, х, £", ц", 0", х"), то в уравнении (V.21)
вместо А следует подставить I. Форма потери устойчивости в этом случае
на всей длине стержня (высоте колонны) для прогибов £, ц, угла круче-
ния 0 и деформации контура х характеризуется синусоидой с одной полу-
волной. Из четырех корней уравнения (V.21) для силы/’ следует выбирать
наименьший корень. Это и будет искомая критическая сила при внецент-
ренном сжатии или растяжении стержня [в случае растяжения в уравне-
ниях (V.21) и (V.22) следует Р брать со знаком минус].
Здесь изложено для данного примера общее решение задачи об устой-
чивости тонкостенного ортотропного стержня (колонны), обладающего
в поперечном сечении изменяемым контуром и находящегося под дейст-
вием внецентренно приложенной продольной сжимающей силы. Описан-
ная здесь теория отличается от данной нами ранее теории пространствен-
ной устойчивости тонкостенного стержня открытого профиля тем, что
с введением в рассмотрение фактора деформации контура х получена сис-
тема четырех совместных дифференциальных уравнений.
Устойчивость же стержня жесткого (недеформируемого) профиля, как
показано в нашей работе «Тонкостенные упругие стержни», описывается
250
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
системой трех дифференциальных уравнений, соответствующих трем неза-
висимым смещениям стержня в плоскости поперечного сечения.
Таким образом, уравнения (V.19), полученные здесь как частный слу-
чай более общих уравнений, приведенных в предыдущем параграфе и от-
носящихся к устойчивости тонкостенных ортотропных стержней и оболо-
чек произвольно заданной в поперечном сечении структуры, в свою оче-
редь представляют собой обобщение основных уравнений пространствен-
ной устойчивости тонкостенных стержней с жестким профилем.
Изложенный здесь метод расчета охватывает целый ряд практически
важных задач по общей и местной устойчивости оболочек, стержней, тон-
костенных колонн с учетом всех основных факторов деформации, относя-
щихся к изгибу оболочки в двух ее главных плоскостях — к кручению,
сопровождающемуся депланацией сечения, и к деформации контура по-
перечного сечения.
§ 3. Устойчивость стержня-оболочки при центральном сжатии
В этом случае изгибающие моменты Мх и Му во всех приведенных
выше уравнениях следует положить равными нулю.
Уравнения (V.19) принимают вид
^IV + ^" = 0;
2?/xr)IV + /’n" = 0;
aOIV— I	pl 0"+ ^2XIV —£z±2px'' = 0;	(V.23)
L bi	4 J bi	4	4	'
0IV — pe" + axIV — f	-P) x" + ex = 0.
bi	4	1	\ bi 4	)
Первые два из этих уравнений относятся к эйлеровской задаче о про-
дольном изгибе оболочки как стержня с сохранением закона плоских се-
чений. Последними двумя уравнениями независимо от первых определяет-
ся критическая сила при деформации оболочки, характеризующейся уг-
лом кручения 0 и деформацией контура х.
Из определителя (V.21) при Мх = Му = 0 получаем такие значения
для критических сил:
Рх = ЕЕл2 /I2-, Ру = EJxn2 /12;
Л	У I >	У	л /	*
ал2 , Ь2 —	+ d2
X2 bi	4
ab2 л2 .di~d2 р.
bi I2 ~Т~	4	’
ab2 л2 . di d2
TTX2’ 4
ал2 . ас
I2 + К
cX2
(V.24)
dl + d2
4
Первые две из этих сил — эйлеровские силы. Две другие критические
силы находятся как корни квадратного уравнения, представленного в виде
определителя (V.24). Величина % определяется из условия (V.22) — ми-
нимума искомой критической силы. Из всех этих четырех сил в каждом
частном случае за расчетную следует выбирать ту, которая имеет наимень-
шее значение. В зависимости от целого ряда геометрических и упругих
характеристик поперечного сечения оболочки, представленных формула-
ми (V.12), и от ее длины I может оказаться, что расчетной критической си-
лой является сила, определяемая третьим уравнением (V.24) и соответ-
ствующая деформации оболочки, сопровождающейся при потере устой-
чивости углами кручения 0 и деформациями изгиба х ее поперечных се-
чений.
Гл. V Устойчивостъ призматических оболочек
251
§ 4. Устойчивость стержня-оболочки при чистом изгибе
Полагая в уравнениях (V.19) Р = Му = 0; Мх = М, получим
EJvllv + МВ" — Мх" = 0; j
Ml" Ч- aeIV- — ~&а 9" -L ^х™ = 0; j.	(
_W' + 420lv + ^IV-^x" + ^ = o.^
Дифференциальные уравнения (V.25) относятся к устойчивости плос-
кой формы изгиба оболочки (стержня, колонны), находящейся под дейст-
вием изгибающих моментов М, приложенных на ее концах и действующих
в вертикальной продольной плоскости симметрии Oyz.
Характеристическое уравнение (V.21) при Р = Му = 0 принимает вид
EJy ~ ;	— М-	М\
у л2	’
__ /М.	«Д2 I Ь1~	л2
V *”	&!	’ Ъх № ’
, ,	аЬ2 л2	ал2 . ас . сХ2
11;	УГ W ;	'л2' + ЗГ + ТЕ2
(V.26)
Это уравнение квадратное, дающее для искомого момента М два одинако-
вых по абсолютной величине и разных по знаку значения. К уравнению
(V.26) следует присоединить еще условие минимума критической чисто
моментной в данном случае нагрузки:
дМ/д(}.2) = 0.	(V.27)
Это общее решение задачи об устойчивости плоской формы изгиба бес-
конечно длинного тонкостенного стержня, имеющего в поперечном сече-
нии замкнутый изменяемый контур.
Если длина стержня I меньше величины X, определяемой из уравне-
ний (V.26) и (V.27) и дающей для М наименьшее значение, то в уравнение
(V.26) следует вместо X подставить значение величины I. В этом случае
будет получена формула для определения критического момента М при
устойчивости плоской формы изгиба короткого стержня (оболочки).
Форма потери устойчивости в том и другом случае характеризуется
не только углами 0 = С sin (лгА) поворотов поперечных сечений, но
также и деформациями x=Z) sin (лг/Х) изгиба контура в поперечном се-
чении.
§ 5. Устойчивость стержня-оболочки при внецентренном
сжатии и растяжении
Пусть сжимающая сила Р приложена в точке Е поперечного сечения
с координатами этой точки ех по оси Ох и еу по оси Оу. Величины ех, еу
являются эксцентрицитетами приложения сжимающей силы Р. Полагая
в уравнении (V.21)
Мх = Реу> Му = — Рех,
252
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
получаем
V X2	0;	-Pey,
0;	EJX	JX2 ~№~P’	Pex;
—Ре ;
V
Ре ;
У’
ал2 bi~b2 di+d2p. аЬ2л2 ,^-а2 р. =0
X2 “Г 6,	4	W “Г 4	* 1 ’
,	„2	Л'2__,/2	,	г/2.1’ с (V.28)
ab2 л2	. at	а2 р.	ал2	 ас ex Т “>	„ , X2 '
4	’	“Х2"'"бГ	4 л'г'
К этому уравнению, дающему для Р четыре действительных значения,
для бесконечно длинного стержня-оболочки следует присоединить усло-
вие минимума критической нагрузки:
дР/д (X2) = 0.
(V.29)
Из уравнений (V.28) и (V.29) получаем искомую критическую нагруз-
ку Р и соответствующую этой нагрузке величину X, представляющую со-
бой, как уже было отмечено ранее, длину полуволны синусоиды, харак-
теризующей форму потери устойчивости (закон изменения углов круче-
ния 0 = С sin (nz/Х) и деформации поперечного изгиба х = D sin (nz/X))
по длине стержня.
Если заданная длина I стержня, имеющего на концах z = 0, z = I
шарнирные закрепления, меньше величины, полученной из уравнений
(V.28) и (V.29), то в основном уравнении (V.28) следует принять X = 1.
Четырем корням 7’1,7’2,Р3,Р4 уравнения (V.28) соответствуютчетыреразлич-
ные формы потери устойчивости оболочки в плоскости поперечного сечения.
В нашей работе по теории тонкостенных стержней показано, что тонко-
стенный стержень, обладающий жестким контуром и нагруженный про-
дольной внецентренно приложенной силой, может потерять устойчивость
не только в случае, когда сила Р сжимающая, но также и в случае, когда
сила Р будет растягивающей. Было доказано также, что растягивающая
сила Р, вызывающая потерю устойчивости стержня, должна быть прило-
жена в поперечном сечении вне некоторой области, включающей в себя
целиком ядро сечения. Эта область имеет форму круга, названного нами
кругом устойчивости при внецентренном растяжении.
Аналогичное явление может быть также и в рассматриваемой здесь
более общей задаче по устойчивости стержней-оболочек, обладающих
деформируемым контуром. Это следует из того факта, что существуют та-
кие значения эксцентрицитетов еу, ех, при которых, по крайней мере,
один из четырех корней уравнения (V.28) будет иметь отрицательное зна-
чение, соответствующее растягивающей критической силе.
Для выявления области устойчивости при растяжении представим
уравнение (V.28) в таком виде:
1/ал2 .	— &2\ rfi + rf2 аЬл2 .	<%
y'	x' P\№ 'bi )	4	’ ЬьРХ2 4	’
1 ab2 л2 , 4 ~ <
P b\ X2 +	4	’
1 /ал2  ас\ di + d% cX2
P\№	4 +лХР’
(V.30)
Гл. V Устойчивость призматических оболочек
253
Полагая здесь Р =		оо, получим			
	-1;	0;	ev>	бу,	
	0;	-1;	^x'j		
				— d2	= 0.
			4 ’	4 ’	
	еу>		— <l?2	+	
			4 ’	4	
Раскрывая этот определитель по элементам, например, первого столбца
(или первой строки), получаем такое уравнение:
4с2 е* -	- d№ + -^ = О	(V.31)
Л .У	X Л	i у	<у.
Этим уравнением, в котором du d2 представляют собой длины сторон
контурного прямоугольника (ширины пластинок соответственно верти-
кальных и горизонтальных, см. рис. 104), определяется в поперечном
сечении замкнутая кривая, ограничивающая область устойчивости стерж-
ня при растяжении. Эта область характеризуется тем, что если точка при-
ложения Е растягивающей силы находится внутри этой области, то стер-
жень не может потерять устойчивости -ни при каком конечном значении
этой растягивающей силы. Если же точка Е приложения силы Р находится
вне области, ограниченной кривой, определяемой уравнением (V.31),
то стержень может потерять устойчивость и при растяжении.
Легко показать, что область устойчивости, описываемая уравнением
(V.31), представляет собой прямоугольник со сторонами d±, d2. Это следует
из уравнения (V.31), которое может быть по разложении на множители за-
писано в таком виде:
(ех + d2/2) (ех — d2/2) (еу + dJ2) (еу — dJ2) = 0.'
Отсюда имеем: ех = + da/2; еу = + dJ2.
Значит, для данного стержня-оболочки областью устойчивости при
растяжении является часть плоскости в поперечном сечении, заключен-
ная внутри заданного прямоугольного контура. Если сила Р приложена
(при помощи, например, жесткой консоли) вне данного прямоугольного
контура, то стержень потеряет устойчивость не только в случае внецент-
ренного сжатия, но также и при внецентренном растяжении.
Растягивающая сила Р по мере приближения точки ее приложения из-
вне области устойчивости к границе этой области (к линии контурного
прямоугольника) возрастает; на самой границе растягивающая сила Р
[отрицательный корень уравнения (V.28)] принимает бесконечно большое
значение и при переходе через границу меняет знак на обратный (претер-
певает разрыв и переходит в сжимающую силу).
§ 6. Пространственная устойчивость тонкостенных стержней,
колонн и балок с жестким закрытым профилем
Приведем теперь ряд частных задач на устойчивость стержня, обла-
дающего жестким замкнутым контуром. Все эти задачи получаются как
частные случаи рассмотренных выше решений, относящихся к стержням
с деформируемым в поперечном сечении прямоугольным контуром. Для
этого из основных упругих обобщенных характеристик а, Ьг, Ь2, с, опре-
деляемых по формулам (V.12), характеристику с следует считать равной
бесконечности. Полагая в последнем уравнении (V.19) с = оо, получим
254 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
х = О, что отвечает предположению о том, что контур поперечного сече-
ния стержня при деформации этого стержйя остается неизменным.
Система основных дифференциальных уравнений (V.19) в этом случае
(при с = оо; х = 0) будет состоять только из трех уравнений (первого,
второго и третьего), и искомыми функциями будут прогибы 5 = 5 (z),
ц = ц (z) в двух главных плоскостях и угол кручения 0 = 0 (z). В опре-
делителе (V.21) следует отбросить последнюю строку и последний стол-
бец. Дифференциальные уравнения (V.23), относящиеся к случаю централь-
ного сжатия, примут вид
a8IV—
WIV + ^" = 0;
£JxriIV + Р^' = 0;
6?  bl d* + d2„ к
—2 _ JLL-2. p) 0" = 0.
pj	4	/
Из зтих уравнений для критических сил при
ё = A sin (nz/Z); *q — 2? sin (nz/Z); 0 = C sin (nz/Z),
где Z — длина стержня, получаем формулы:
Рх = EJsrfll\ Ру — EJyrffl2-,
Р 4	(ап2 _l
За расчетную критическую силу выбирается наименьшая. Подобным же
образом могут быть решены и другие задачи.
Глава VI
ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
§ 1.	Дифференциальные уравнения цилиндрической оболочки
средней длины
а)	Введение. Основные гипотезы
Рассматривая цилиндрическую оболочку как предел вписанной приз-
матической складки при бесконечном уменьшении ширины составляю-
щих ее прямоугольных пластинок и увеличении числа их, применим
теперь общий вариационный метод непосредственно к расчету цилиндри-
ческих оболочек. При этом ограничимся рассмотрением оболочек, у
которых пролет в направлении образующей I и наибольший размер попе-
речного сечения (ширина Ь или, в случае кругового сечения, диаметр D)
находятся примерно в следующем отношении: D I 8D.
Для оболочек такого рода (названных нами условно оболочками сред-
ней длины) справедливы гипотезы, принятые и в основу настоящего
расчета:
вдоль образующих оболочка рассматривается как безмоментная, вслед-
ствие чего на площадках поперечного сечения из внутренних сил удержи-
ваются только нормальные и касательные напряжения, распределенные
равномерно по толщине оболочки;
в поперечном направлении оболочка считается нерастяжимой и несжи-
маемой, т. е. деформации удлинений (укорочений) в поперечном направле-
нии принимаются равными нулю.
За расчетную модель оболочки средней длины принимается, таким обра-
зом, ортотропная тонкостенная пространственная система, сопротивляю-
щаяся изгибу в одном только поперечном направлении. Продольные из-
гибающие и крутящие моменты вследствие их незначительного влияния
на напряженное состояние оболочки в нашей расчетной модели не учиты-
ваются. При этом из внутренних сил удерживаются только осевые нор-
мальные и сдвигающие силы N, Т, S и поперечные изгибающие моменты М
вместе с соответствующими им поперечными силами Q (рис. 139).
Статическая структура описанной здесь расчетной модели представле-
на на рис. 139. Стерженьками, расположенными в срединной поверхности,
схематически обозначены те связи, через которые от одной поперечной
полоски к другой могут передаваться продольные нормальные и сдви-
гающие усилия. Каждая элементарная поперечная полоска оболочки
рассматривается как плоский криволинейный стержень, в сечениях ко-
торого, совпадающих с продольными сечениями оболочки, помимо сдви-
гающих усилий, возникают внутренние силы, свойственные плоскому из-
гибаемому и нерастяжимому стержню.
256
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
б)	Статическая сторона задачи. Уравнения равновесия
Отнесем оболочку к ортогональной системе координат z s. Из этих
координат z — расстояние до некоторой точки срединной поверхности по
образующей, s — расстояние до той же точки по дуге контура попереч-
ного сечения.
Раскрывая условия равновесия бесконечно малого элемента, выде-
ленного из оболочки (рис. 140), получим следующие дифференциальные
уравнения:
Здесь R = R (s)— радиус кривизны поверхности, представляющий собой
для произвольной цилиндрической поверхности заданную функцию от
координаты s; pz = pz (z, s), ps — ps (z, s), pn = pn(z, s) — компоненты
вектора интенсивности внешней поверхностной нагрузки; т = т (z, s) —
интенсивность изгибающего момента, действующего в плоскости, пер-
пендикулярной образующей.
Первое уравнение (VI. 1) выражает собой условие равновесия беско-
нечно малого элемента оболочки по направлению образующей. Второе
уравнение получено из условия равенства нулю суммы проекций всех сил,
действующих на выделенный элемент оболочки, на направление касатель-
ной к линии поперечного сечения z = const. Третьим уравнением (VI. 1)
выражено равновесие выделенного элемента оболочки по направлению
внутренней нормали к срединной поверхности. Наконец, последнее, чет-
вертое, уравнение получено из условия равенства нулю суммы моментов
всех сил, действующих на элемент оболочки, относительно образующей,
проходящей через какую-либо точку срединной поверхности элемента.
Система дифференциальных уравнений (VI. 1) путем исключения сил
S, Т и Q приводится к одному уравнению:
^- + ЙМ-Р=-0,	(VI.2)
Гл. VI Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 257
где о — N/h — продольные нормальные напряжения (/г — толщина обо-
лочки); Р — функция, зависящая от компонентов внешней поверхностной
нагрузки и определяемая по формуле
Р =
_ I	(RPn} + 21
dz ds 5s2 'спРп' + as2
(VI.3)
Буквой Q в уравнении (VI.2) обозначен дифференциальный оператор
четвертого порядка по переменной s. Этот оператор связан с законом сек-
ториальных площадей и имеет следующий вид Ч
Q = Др* Л)+4-
ds2 \ ds2 J 1 os \ Н ds /
(VI.4)
в)	Геометрическая сторона задачи. У равнение неразрывности
деформаций срединной поверхности
Пусть и — и (z, s), v = v (z, s), w = w (z, s) представляют собой ком-
поненты вектора полного перемещения некоторой точки срединной по-
верхности оболочки, взятые соответственно по направлениям образующей
(положительное в сторону возрастания продольной координаты z), каса-
тельной к дуге профильной линии z = const (положительное в сторону
возрастания поперечной координаты s) и нормали к поверхности (положи-
тельное в сторону внутренней нормали) (рис. 140). Тогда для компонен-
тов деформации срединной поверхности, соответствующих в смысле за-
кона Гука в нашей расчетной модели нормальным усилиям N и Т, сдви-
гающему усилию S и поперечному изгибающему моменту М, нетрудно
получить следующие формулы:
ди	dv	w
oz	ds	Ji
du dv	д / v . dw \
z ~=	a?)-
(VI.5)
Здесь eL и s2 — относительные продольное и поперечное удлинения;
Т — деформация сдвига срединной поверхности; z — деформация попе-
речного изгиба.
Согласно принятой нами геометрической гипотезе о нерастяжимости
оболочки в поперечном направлении, имеем
Эта формула устанавливает связь между тангенциальным перемеще-
нием оболочки v и перемещением w, направленным по внутренней нор-
мали:
(vi.6)
На основании (VI.6) деформацию изгиба можно представить в виде
x = + (VL7>
ds ds \ ds ) 1 К J	'
Отметим, что угол поворота поперечного сечения оболочки определяет-
ся выражением
D dw , v
0 = ^ + vr
1 См. В. 3. Власов. Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949, ч. IV,
гл. XI (Избр. труды, т. 1, 1962, ч. IV, гл. XI).
17 в. 3. Власов, т. III
258
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
или, согласно (VI.6):
0 * (я *ц+*
ds \ ds / 1 R
(VI.8)
Исключая из (VI.5)
и (VI.7), получаем
перемещения и, v, w и учитывая формулы (VI.6)
О2 / n dei \	,____д / 1	<9ei \ _____ Г d2 /	„ ду \	,___д / 1	ду \~|	,	д2к
ds \ ds2)	'	ds \ R	ds /	|_5s2 \ dsdz)	'	ds \ R	dz /J	'	dz2
= 0.
(VI.9)
Уравнение (VI.9) представляет собой уравнение неразрывности де-
формаций цилиндрической оболочки, имеющее важное значение в нашей
технической теории. Это уравнение приведено для произвольной цилин-
дрической оболочки, поскольку входящий в него радиус кривизны
R’ = R (s) может рассматриваться как произвольно заданная функция
от координаты s.
Полагая в уравнении (VI.9) R = const, имеем уравнение неразрыв-
ности деформации для цилиндрической оболочки с профилем, очерченным
по дуге окружности радиуса R:
п д*ы ,____1 <Э261 _ / n diy	,_1 d2y \ , d2K _ р.	.
Л ds^ "Т	R ds2	\ ds*dz	~'	R dsdz) + dz2 ~
Последнее уравнение совместно с дифференциальным уравнением
равновесия (VI.2) при учете физической стороны вопроса, связывающей
усилия с деформациями, позволяет полностью решить проблему расчета
круговой цилиндрической оболочки средней длины.
§ 2.	Приведение уравнений равновесия круговой цилиндрической
оболочки к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Решая рассматриваемую задачу по методу перемещений, согласно
нашему общему вариационному методу, представим искомые перемеще-
ния в виде следующих конечных разложений х:
и = 3 ^1(2)<Р1(5); v =
i=l
2Х(4Ш (vi.io)
*=1
Здесь Ui (z), Vk(z) — под-
лежащие определению функ-
ции только одного перемен-
ного, <Pi(s), фь(«) — функ-
ции, выбираемые заранее в
соответствии с характером
рассматриваемой задачи. Эти
Функции предполагаем не-
прерывными и дифференци-
руемыми.
Для определения функ-
ций Ui(z), Vfe(z) рассмотрим
Рис. 141
условия равновесия элемен-
тарной полоски, выделенной из оболочки сечения z = const, z + dz =
= const (рис. 141). Условия равновесия, как и ранее, будем понимать
в смысле принципа возможных перемещений, приравнивая нулю сум-
марную работу всех внешних и внутренних сил элементарной полоски на
возможных для нее перемещениях.
1 Перемещение w на основании принятой геометрической гипотезы не является
независимым и определяется через тангенциальное перемещение v по формуле (VI.6)
Гл. VI Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 259
Приняв за виртуальное перемещение полоски /-й член первого ряда
(VI. 10) Uj = Uj(fj при Uj = 1, получим интегральное условие равнове-
сия в виде
^^yjdF — ^rcp'cZT^ + ^z<p.ds = 0.	(VI.11)
Здесь dF = hds — дифференциал площади поперечного сечения обо-
лочки. Интегралы в выражении (VI.И) определенные и вычисляются по
всему контуру поперечного сечения z = const.
Второй член в (VI.11) относится к работе внутренних сил (касательных
напряжений) на деформациях сдвига у, которые в данном случае (г = 0)
имеют вид
у = du/ds.
Аналогичным образом, приняв за возможное перемещение полоски
/г-й член второго ряда (VI.10) vh = Т^Фл при Vh = 1, получим (7? = const)
\ -^7 tyhdF — М	фк) ds + p$hds +
+ PnRtyhds + т (.Яфп + -^-фл) ds = 0.	(VI.12)
Второй член в уравнении (VI.12) относится к работе внутренних сил —
моментов на деформации изгиба х. Что же касается внутренних сил Т —
нормальных сил продольного сечения, то ввиду принятой гипотезы об
отсутствии деформации растяжения оболочки в поперечном направле-
нии s2 = 0 они работы не производят.
Перемещение w угол поворота 0 и деформации х, соответствующие
возможному перемещению фд (s), вычислены здесь по формулам (VI.6),
(VI.7) и (VI.8).
Величины pz, ps, рп в формулах (VI.11) и (VI.12) представляют собой
компоненты вектора интенсивности заданной поверхностной нагрузки;
т — внешний изгибающий момент, положительное направление которого
совпадает с углом поворота 0.
Силовые факторы, входящие в уравнения (VI.11), (VI.12), на основа-
нии закона Гука могут быть выражены через перемещения:
t	тт ди	t т, 7ди , до \
б = -г-N = Е -Т-; т = -т-5 = С -г—F я~
h	dz	h	\ ds 1 dz J
M=-EJn =	+ 4Д	(VI.13)
ds \ ds2 1 It )'	4	'
где J — погонный момент инерции продольного сечения оболочки. Сог-
ласно (VI.10), формула (VI.6), а также выражения (VI.7), (VI.8) и (VI.13)
запишутся в виде
w = R 2 Ffe(z) ф*(«);	(а)
k
0 = R^Vh(z)yk(s) +4-2 ^(^^(s);	(б)
k	. k
И = R 2vfe (г)ф'Г(5) + Рь(г)Ф* (s);	(в)
k	k	ч
VI ’	t (VI. 14)
6 = £’2^i(z)<pi(s);	(г)
T=G[2^i(z)cpr(s)+ 2 MOM5)]:	(д)
M = — EJ P? 2 vk (z) ф'Г +	2 vk (Z) Ф* (s)l.	(e)
k	k
17*
260
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Внося выражения (VI.14) в уравнения (VI.11) и (VI.12) и введя обозна-
чение т = Е/G, получим
— 2 biiUi — 3 ckiy'k + 4- Pj = о
i	i	k
(i, j = 1, 2, 3,..., m);
2 chiU'i + 2 rhkVk — r 2	+ 2- qh = 0
i	k	k
(k,h = l,2, 3,. . . , n).
Здесь коэффициенты вычисляются по формулам:
аи = J Ф3- (з) Фг (s)dF’ ЬИ = ) Фз' (S) Ф{ (з) dF\
с№ = ф• ($) Фа (*) dF', см =	(s) ф- (s) dF-,
rhk = 5 фц ($) Фй (s) dF;
Shk =	+ “F (s\] [-^ (s) + ~7Г ^'k (s)] ds-
- (VI.15)
(VI. 16)
Свободные члены уравнений (VI.15), pj (z) и qh (z) представляют со-
бой известные функции от z и при заданных поверхностных нагрузках
вычисляются по формулам:
Pj (z) = Pz (2, s) ф- (s) ds;
Qh (z) = Ps (-Z’ ds + \pn (z, s) R^’h (s) ds +
+ ^m(z,s)[R^(s) + ±-qh (S)]^.	(VI.16')
Выражения (VI. 15) представляют систему (m + n) обыкновенных ли-
нейных дифференциальных уравнений относительно искомых обобщен-
ных перемещений: т — продольных
,s о	Ui{z) (i = 1, 2, 3, . . ., т) ни — попереч-
I	НЫХ Fk (Z) (fe = 1, 2, 3, . . ., п).
J Коэффициенты уравнений, вычисляе-
мые по Ф°РмУлам (VI. 16), на основании
хв<	теоремы о взаимности работы упругой
системы обладают свойствами взаимности:
О-Р == аЧ> ~ ^ij't rhk rkh't ^hk — ^kht
Ch = Cjk при h = k, i = j.
Нетрудно заметить, что система обык-
Рис. 142	новенных дифференциальных уравнений
(VI. 15), полученная здесь при рассмотре-
нии цилиндрической оболочки, в точности совпадает с общими урав-
нениями (III.И). Этого следовало ожидать, поскольку принятые гипоте-
зы и метод решения в том и другом случаях совпадают. Некоторое раз-
личие имеется только в определении коэффициента Однако это раз-
личие чисто внешнее и объясняется тем, что в данном случае рассмат-
ривается гладкая оболочка.
2.	Для замкнутой круговой цилиндрической оболочки (рис. 142) в ка-
честве подлежащих предварительному выбору функций фД«) и фь(«)
Гл. VI Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 26,
можно взять тригонометрические функции:
<р< (s) = cos i (s/R) = cos z'P; фд (s) = sin k (s/R) = sin АЗ, (VI.17)
где p = s/R.
Эти функции, удовлетворяя основным требованиям, предъявляемым
к функциям ср* («) и ipfe (s) (линейная независимость между собой, непре-
рывность и дифференцируемость), обладают еще свойством ортогональ-
ности, которое значительно упрощает систему уравнений (VI.15).
Внося формулы (VI. 17) в (VI.16) и производя интегрирование по всему
контуру оболочки (в пределах от 0 до 2л), получим
при ]'=f=i ац = 0;
при j = i = n ann = cos2 nfihRdfi = nhR\
о
при j =f=i bji = 0;
при / = i = n bnn = sin2nfihRdfi = !L^L-
0
при ] =f=k Cjk — 0;
2re
при j = k = n cnn =------sin2 nfihRdfi = — nnh; (VI.18)
о
при h =f= k rhk = 0;
2TS
при h = k = n rnn = sin2 n$h,Rd$ — nhR-,
о
при h =f= k Shk = 0; при h = k = n
2n
ГС Г П n / А 2чП2 , T n2 (n2—I)2
snn=J\j I ttt COS np (1 — n2)J Rdfi = J —y R3 л
0
На основании формул (VI. 18) система дифференциальных уравнений
(VI. 15) принимает особенно простой вид. Вследствие того, что под знаком
сумм в системе (VI. 15) сохраняются только главные члены, а побочные
члены обращаются в нуль, эта система с большим числом неизвестных
распадается на ряд систем из двух простых дифференциальных уравне-
ний с двумя неизвестными Un (z) и Vn (z). Число таких простых систем
соответствует числу выбранных нами функций <pn (s) и ф„ (s). При этом
каждое уравнение системы будет второго порядка.
Таким образом, для решения поставленной задачи получим
ул/гRU"n -^Un + nnhVn + ~ рп = 0;
2, 2 442	4	(VI.19)
/	If	J1* (J1 *   J	_	ч	\	I
— nahUn + ahRVn — у J —--J{i—- nV п +	qn = 0.
Здесь грузовые члены рп и qn вычисляются по формулам (VI.16'):
2“
рп (z) = pz (z, s) cos «3^3;
о
qn (z) = r\ ps (z, s) sin nfidfi + nR \ pn (z, s) cos nfidfi —
•I	J
о	0
3^
— (n2 — 1Д m (z, s) sin «3^3-
о
262
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Индекс п в системе (VI. 19) может принимать любые целочисленные
значения; нас в дальнейшем будут интересовать значения п > 2, ибо
только начиная с п — 2 эта система имеет полный вид.
При п — 0 и п — 1 система уравнений (VI. 19) не характерна для дан-
ного рода задач, так как при этих значениях п часть коэффициентов обра-
щается в нуль. Случаи и = 0 и и = 1 относятся к более элементарным
задачам, основанным на гипотезе плоских сечений и отсутствии деформации
контура поперечного сечения [при п = 0, п — 1 имеем х = О, как это
видно из формулы (VI.14, в) после подстановки в нее фп = sin пр]. Отсю-
да следует, что элементарные методы сопротивления материалов, основан-
ные на гипотезе плоских сечений, являются частным случаем излагаемой
здесь общей теории.
После решения системы (VI. 19) найдем для каждого п соответствую-
щие значения Un (z) и Vn (г) и, следовательно, перемещения и (г, s) и
v (z, $) по формулам (VI.10). После этого перемещениям; (z, s), напряжения
и изгибающие моменты могут быть определены по формулам (VI.14, а,
г, д, в).
§ 3.	Расчет ортотропных цилиндрических оболочек
без учета деформаций сдвига
а)	Основные дифференциальные зависимости
1.	Если, помимо гипотезы об отсутствии деформации поперечного уд-
линения е2 = 0, принять еще гипотезу об отсутствии деформации сдвига
в срединной поверхности оболочки, то решение рассмотренной задачи мо-
жет быть значительно упрощено.
Полагая в (VI.9) у = 0 , получаем в этом случае дифференциальное
уравнение неразрывности деформаций в виде
Qei + 4J = °.	(VI.20)
Здесь через Q обозначен дифференциальный оператор, определяемый
формулой (VI. 4).
Дифференциальное уравнение (VI.20) представляет собой весьма важ-
ное в нашей технической теории уравнение. Геометрический смысл его
состоит в том, что во всякой цилиндрической оболочке деформация попе-
речного изгиба (деформация контура), определяемая функцией х = х (z, $),
в общем случае сопровождается возникновением деформаций продольного
растяжения (депланацией поперечного сечения), характеризующейся функ-
цией 8j —	(z, s).
Уравнением (VI.20) представлена, таким образом, в дифференциаль-
ной форме зависимость между относительной депланацией поперечного
сечения и относительной деформацией поперечного изгиба. Такая зави-
симость имеет место для всякой цилиндрической или призматической
оболочки в предположении отсутствия в ней деформации поперечного
удлинения еа и деформации сдвига у.
2.	Если в уравнении равновесия (VI.2) положить Р — 0, то нетрудно
заметить, что это чисто статическое уравнение имеет полную аналогию
с чисто геометрическим уравнением (VI.20). Продольное усилие N и по-
перечный изгибающий момент М связаны между собой таким же диффе-
ренциальным соотношением, как и поперечная деформация изгиба х и
продольная деформация удлинения ev Эта статико-геометрическая ана-
логия распространяется также и на призматические оболочки, теория
которых описывается, согласно нашему смешанному методу, двумя груп-
пами идентичных по своему построению восьмичленных обыкновенных
дифференциальных уравнений (1.73).
Гл. VI Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 263
3.	Выражая в уравнении (VI.20) деформации и х на основании за-
кона Гука через нормальные напряжения о и изгибающие моменты М
(при v = 0), систему двух основных дифференциальных уравнений
д-^- + &м = р-,
можно представить в следующем виде:
йб_^ = 0.
D dz2
(VI.21)
Здесь величины а = а (г, s), М = М (z, $) являются основными иско-
мыми функциями, зависящими от двух переменных. Эти величины опре-
делятся из дифференциальных уравнений (VI.21) и граничных условий,
заданных на прямолинейных и криволинейных краях оболочки в соответ-
ствии с расчетной статической моделью (рис. 139). В каждой точке прямо-
линейного края должны быть заданы четыре независимых условия. В каж-
дой точке криволинейного края можно задать только два условия.
Из метода получения уравнений (VI.21) следует, что по физическому
смыслу эти уравнения выражают собой: первое — обобщенное условие
равновесия, эквивалентное всем статическим уравнениям (VI.1), второе —
обобщенное условие деформаций, выраженное при помощи закона Гука
через искомые статические величины а и М и эквивалентное всем геометри-
ческим соотношениям (VI.5).
С определением основных функций ст (z, s), М (z, s) перемещения и ос-
тальные силы оболочки находятся путем интегрирования уравнений:
ди     1 _ d2v  	1 ds. d2w	1 „ d2s .
d? — 6 — "F G’ Hz2 ~ F ~ds’’ ~d& = F Я "dF’
dS_____g / g2M\ 1
H ~ ~ds V ~д& I "1 F “F
полученных из зависимостей (VI.l), (VI.5), (VI.8) и (VI.13) при е2 = у = 0.
4.	Предположение об отсутствии в срединной поверхности оболочки
деформаций е2 и у приводит к тому, что все перемещения оболочки —
и (z, s), v (z, s), w (z, s) можно выразить через одну функцию Ф (z, $).
Эта функция в соответствии со своим геометрическим смыслом может
быть названа функцией перемещений.
Действительно, выражая, например, перемещения и и у в виде
и = — дФ/дг~, v — дФ/ds,
(VI.23)
нетрудно заметить, что второе из уравнений (VI.5) тождественно удовлет-
ворено, а радиальное перемещение w (VI.6) и угол поворота 0 (VI.8) опре-
делятся по формулам:
„д2Ф
w = п -S-T-
дз2
В	i
’ ds ( ds2 / "Г R ds *
(VI. 23')
264
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
При наличии зависимостей (VI.23) и (VI.23') уравнение неразрывности
деформаций (VI.20) также удовлетворится тождественно, в результате
чего решение рассмотренной задачи при помощи функции перемещений Ф
сводится к интегрированию только одного дифференциального уравне-
ния равновесия (VI.2).
б)	Другой метод получения восьмичленных дифференциальных
уравнений1
1.	Рассмотрим два состояния равновесия упругой оболочки: одно
действительное, относящееся к заданной внешней нагрузке с компонента-
ми pz, ps, рп, т, и другое, виртуальное, отвечающее другой произвольно
выбранной внешней нагрузке, имеющей своими компонентами pz, ps, рп, т.
Для внутренних сил и деформаций оболочки в виртуальном состоянии
мы сохраним прежние обозначения, надписав только над соответствую-
щими буквами черточки наверху.
Мы будем считать, что виртуальное состояние равновесия оболочки,
как и действительное, описывается дифференциальными уравнениями
(VI.21) и (VI.22) и присоединенными к этим уравнениям необходимыми
граничными условиями. Варьируя внешние силы pz, ps, рп, т, мы можем
получить, очевидно, бесконечное множество виртуальных состояний обо-
лочки, а, следовательно, и какой-либо элементарной поперечной полоски,
положение которой по длине оболочки определяется координатой г.
Заменяя действие оболочки на выделенную поперечную полоску соот-
ветствующими силами (рис. 141) и исходя из принципа Лагранжа, мы мо-
жем равновесие этой полоски, как плоского кривого стержня в двух
рассматриваемых состояниях оболочки — действительном и виртуаль-
ном — представить в форме уравнений:
г» __	г»	__	г*	__	г»	  г»	_
ф -х- vds +	ф Muds + ф psvds	+ ф pnwds	ф mfids	=	0,
J L У J J	(VI.24)
f» Q £	Г»	--	J»	  p	  p	  '	Z
ф vds +	ф Mv.ds	ф p^vds	4~ ф pnwds + ф nMs	=	0.
Каждое из этих уравнений выражает собою для элементарной полоски
равенство нулю суммы работ всех внешних и внутренних сил этой полоски
в одном состоянии на перемещениях, относящихся к другому состоянию.
Первое уравнение есть уравнение работ сил действительного состояния
на соответствующих перемещениях виртуального состояния. Второе
уравнение относится к работе сил виртуального состояния на перемеще-
ниях, относящихся к действительному состоянию.
Первыми членами уравнений (VI.24) представлена работа разностей
сдвигающих сил, получающихся при переходе от сечения z=const к сечению
z + dz = const при dz = 1 и являющихся по отношению к выделенной
полоске внешними силами. Вторые члены относятся к работе внутренних
сил в нашей расчетной модели — изгибающих моментов на деформациях
изгиба полоски. Остальные внутренние силы работы не совершают, так
как' соответствующие им деформации <о, 82 нами принимаются равными
нулю. Последние члены (третий, четвертый, пятый) относятся к работе
внешних сил от заданной поверхностной нагрузки. Интегралы во всех
членах распространяются на всю длину элементарной полоски, т. е. по
всей длине контурной линии, заключенной для оболочки открытого про-
филя между крайними точками s = Sh и $ = sl. Интегралы, относящиеся
к внешней нагрузке, мы условимся понимать в смысле интегралов Стильть-
еса, что позволяет автоматически учесть работу также и сосредоточенных
1 Текст этого пункта взят из книги В. 3. Власова «Общая теория оболочек», Гос-
техиздат. 1949, гл. XIII, § 1. (Прим. ред.).
Гл. V/ Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 265-
СИЛ, приложенных в промежуточных и крайних точках контурной линии
и распределенных по длине оболочки по любому закону. Благодаря та-
кому более широкому толкованию контурных интегралов автоматически
учитываются статические граничные условия, заданные на продольных
краях оболочки s = sk, s = sL, по четыре независимых условия в силах
S, Т, М, Q по каждому из этих краев.
Внося (VI.23), (VI.23') в (VI.24), получаем:
^^ds+jMKds + jp^ds +
-]- pnR ^5- ds -|- (£ mftds = О,
CdS дФ , , £47 , , С - ЭФ , ,
У ^^ds+$MKds + $P^sds +
+ (£ pnR ds -|- (£ mftds =0.
1 j 1 as* j
(VI.25)
Здесь Ф = Ф (z, s), Ф = Ф (z, s) — функции перемещений для двух со-
стояний: соответственно действительного и виртуального.
Первый член первого уравнения (VI.25), на основе первого статическо-
го уравнения (VI. 1)
+ 17 + ^ = °>	(VI.26)
по применении формулы интегрирования по частям, легко приводится
к такому виду:
=	(VI.27)
J dz ds	J dz2	1 J dz	'	'
Здесь последним членом в правой части представлена работа внешних
продольных сил pz = pz (z, s). Эти силы в общем случае могут состоять
из поверхностных сил, имеющих размерность кг/см?, и сил, сосредоточен-
ных в отдельных точках контура поперечного сечения и имеющих раз-
мерность кг!см. Для того чтобы учесть погонные продольные силы, прило-
женные в заданных точках поперечного сечения, контурные интегралы
мы будем понимать в более общем смысле интегралов Стильтьеса и пред-
ставлять их в виде:
Здесь первым слагаемым справа представлен интеграл от поверхностной
непрерывной по s функции dpjdz, а вторым — сумма из произведений
функции Фk = Фй (z) и сосредоточенных продольных статических фак-
торов A (dpz/dz)h, относящихся к точкам s = sh (k = 1, 2, . . .), в которых
эти факторы приложены. При таком толковании контурных интегралов
в формуле (VI.27), как и в уравнениях (VI.25), автоматически учитывается
работа внешних сдвигающих сил, приложенных на продольных краях
оболочки s = Sft и s = sl и рассматриваемых как заданные функции от
координаты z. Для преобразования первого из интегралов второго урав-
нения (VI.25) воспользуемся статическим соотношением:
ds д ! ту д2М \ . 1 дМ	-	. d .	.	Г	д	(о	i 1 ~"1
-х— = -г— R —— -4—н—з---------Ps	-]—л— (Rpn) —	—	I R	— I	Ч—б- ,
dz ds \ ds2 J 1 R ds	r	1 ds ' r '	ds	\	s J	‘ R J
полученным из уравнения (VI.21) и относящимся к виртуальному состоя-
нию равновесия оболочки. Применяем последовательно формулу интегри-
266
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
рования по частям:
dS дФ
dz ds
ds —
ds —
— [f	™ f т’Й'(Л^) * +
+'Ьт?Н-	<vi-28>
Здесь контурные интегралы от членов с внешними силами виртуаль-
ного состояния понимаются также в смысле интегралов Стильтьеса, и тем
самым автоматически учитывается работа внешних сил, приложенных на
продольных краях s= sft,s = sl- Вносим (VI.27), (VL28) в уравнения (VI.25),
выражая величины х, х в первом уравнении через Ф и во втором через М
по формулам:
х
, и 1 а®)
"1 ds ( R ds J’
получаем:
(Dds + ф М (Q.®)ds + Р = О,
<£(йф)м*-|^^&=о.
(VI.29)
Здесь Р = P(z) представляет собою работу всех внешних сил, вклю-
чая и сосредоточенные, приходящиеся на элементарную полоску dz = 1
и относящиеся к действительному состоянию оболочки:
jP(z) = <J> ~-4>ds+§ pJ^-ds + ф pnR ~ mfids.
Уравнения (VI.29) мы представим в другой эквивалентной им форме,
заменив функции Ф = Ф (г, s), Ф — Ф (г, s) соответственно другими
функциями о = о (г, $), 5 = 5 (г, $), представляющими собою продоль-
ные нормальные напряжения оболочки в состояниях действительном
и виртуальном и связанных с функциями Ф и Ф соотношениями:
dz	dz2 ’	dz
Мы будем иметь:
ф д-^- sds + ф М (Йо) ds + Р = О,
С /г~\ \ л । гр Д д2М 12 Л/ j п
- (J) (Йб) Mds + E^-^^ds=0
где теперь:
P(z)= ^~-sds 4- ps ds 4- pnR '^fpds 4~ mSids.	(VI.31)
Так как функции 3, M виртуального состояния для элементарной по--
лоски dz =1 могут быть выбраны произвольно, то мы можем эти функции
считать не зависящими от координаты г. Полагая в уравнениях (VI.30)
б = ф’(х), M = ^h(s),
(VI. 30)
Гл. VI Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 267
получаем:
f y.ds + ф М (ЙФ.) ds + Pj = 0, |
с . , , , „ С д2М 12iph	(VI.32)
— <J) (йб) tyhds + Е (J)	ds = 0.
Формула (VL31) принимает вид:
С dPz	С ' f г," С Г д' ( _ д2<р. \ , 1 дер. ~]
Р] = $ ~dF~^ds + $ P^ids + $ PnRqjds+ \т [R-q-г) +	ds-
(VI. 33)
Напряжения о = о (z, s) и моменты М = М (z, s) в уравнениях (VI.32)
будем теперь искать в форме следующих конечных рядов:
т	п
0(z, s)= 3 61(2)9)4(5); М (z, s)= Mfe(z)^)h (s).
i=l	k—1
(VI.34)
Здесь ф4 (s) (г = 1, 2, . . ., m) и фь (s) (k = 1, 2, . . ., n) будем счи-
тать заданными функциями, относящимися к соответствующим виртуаль-
ным состояниям депланации сечения и деформации контура оболочки;
функции же щ (z) G = 1, 2, . . ., т), Мь (z) (k = 1, 2, . . ., п), являю-
щиеся коэффициентами рядов (VI.34) и определяющие вместе с заданны-
ми функциями <р< (.s) и фь («) продольные нормальные напряжения и по-
перечные изгибающие моменты, мы будем считать искомыми.
Внося (VI.34) в уравнения (VI.32), получаем для (z) (i = 1,2,...
. . ., т) и Мп (z) (k = 1, 2, . . ., п) полную систему т + п обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. Эти уравнения мы запишем в виде:
m	m
2 гз’°4 4- 3	Pj = 0;
i=l	ft=l
n	n
2 ам°1+2 bhkM"k=0
i=l	Л=1
(VI.35)
Для коэффициентов этих уравнений будем иметь формулы:
rj4 = qjqidF, Sjk = — ahi = фб (Йф3) ds, bhk = Е —4^. ds (VI .36)
(j, j = 1, 2, . . . , nr, h, k = 1, 2, . . . , n).
В этих формулах dF — h ds — дифференциал площади поперечного
сечения оболочки; Е — модуль упругости; D — жесткость оболочки при
поперечном изгибе; интегралы — определенные и распространяются на
все сечение оболочки z = const.
Функция Pj = Pj (z) (/ = 1, 2, . . ., m) при заданных компонентах
внешней поверхностной нагрузки для каждого /-го уравнения первой
статической группы определяется по общей формуле (VI.33).
Системой т + п обыкновенных дифференциальных уравнений (VI.36),
обладающей симметричной матрицей, выражено равновесие упругой орто-
тропной цилиндрической оболочки произвольного очертания. Эта обо-
лочка, в свете данного нами вариационного метода приведения дифферен-
циальных уравнений теории упругости в частных производных к конеч-
ной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматривает-
ся кай тонкостенная пространственная упругая система, обладающая,
как в отношении депланации поперечного сечения, так и в отношении де-
формации контура, в функции от координаты 5 конечным числом степеней
свободы, а в функции от другой координаты z — бесконечным числом сте-
пеней свободы. Такие системы мы называем дискретно-конти-
268
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформации сдвига
нуальными. Они представляют собою в нашей проблеме расчетные
двухмерные упругие модели, обладающие в отношении сил и деформаций
конечным числом степеней свободы по направлению одной из координат-
ных линий при бесконечном множестве этих степеней свободы по направ-
лению другой переменной. С этой точки зрения расчетная модель балки
в элементарной теории изгиба представляет собою по существу также
дискретно континуальную
одномерную упругую сис-
тему. Дискретность этой
модели относится к попе-
речному сечению, которое,
при известных гипотезах
Бернулли в отношении пе-
ремещений, обладает ко-
нечным числом степеней
свободы. Континуальность
или непрерывность состоит
в том, что в расчетной моде-
ли балка рассматривается
как бесконечное множество
плоских элементарных по-
перечных дисков, нанизан-
ных как бы на ось балки и
остающихся после дефор-
мации перпендикулярны-
ми к этой оси.
Система дифференци-
альных уравнений (VI.35)
при коэффициентах этих
уравнений, определяемых
формулами (VI.36), может
быть получена при любом
выборе непрерывных функций <р{ (s) и фд (s) — при условии, чтобы каж-
дая из совокупностей этих функций удовлетворяла условиям линейной
независимости. Кроме того, каждая из функций <p.,(s), как величина по
существу геометрическая, характеризующая в г-ом виртуальном состоя-
нии депланацию поперечного сечения, на продольных краях оболочки s =
= Sk, s = sl должна удовлетворять геометрическим условиям, задан-
ным только в отношении перемещений и a v. Каждая же из функций
фЦя) другой группы, как величина статическая, дающая для поперечной
элементарной полоски dz = 1 закон изменения по длине этой полоски
изгибающих моментов, в крайних точках s = sk, s = sl этой'полоски
должна удовлетворять только статическим условиям, заданным в отно-
шении момента М и поперечной силы Q = dM/ds.
2. Цилиндрическую оболочку можно разделить на ряд продольных
достаточно узких полос, т. е. рассматривать эту оболочку как вписанную
в нее призматическую оболочку, состоящую из конечного числа прямо-
угольных пластинок. Если за функции (s) иф^ (s) принять соответствен-
но компоненты депланации сечения и изгибающего момента, определяемые
на двух смежных прямолинейных участках контурной линии треуголь-
ными эпюрами (рис. 143а, б), то система уравнений (VI.35) в этом случае
переходит в систему наших восьмичленных уравнений (1.73), гл. I § 6,
относящихся также и к призматическим оболочкам произвольных очерта-
ний.
Раскрыв для какого-либо k-vo ребра оболочки статические и геомет-
рические условия, мы будем иметь два дифференциальных уравнения вида
Гл. VI Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек
269
(1.73). Первое из этих уравнений содержит три члена со вторыми произ-
водными от искомых функций напряжений oft_1(z),	(г), о^+1 (z) в трех
последовательных точках k — 1, k, k + 1 поперечного сечения z = const
и пять членов с искомыми моментами Мк-2 (z), Mk-Y (г), Мк (z), Мк+1 (z),
Мк+2 (г), относящимися к пяти последовательным ребрам.
Второе уравнение содержит пять членов с напряжениями оь-2 (z),
ak-i (z), Ok (z), Ofe+i (z), Ofe+2 (z) в пяти последовательных точках сечения
и три члена со вторыми производными от моментов Mk-t (z), Мк (z),
Мк+1 (z) в трех последовательных ребрах. Таким образом как статиче-
ские, так и геометрические условия в нашем методе приводят по каждому
ребру оболочки к двум симметрично построенным дифференциальным
уравнениям (VI.35k имеющим каждое в общем случае восьмичленную
структуру относительно искомых функций.
Давая в уравнениях (VI.35) индексам k разные значения и определяя
в соответствии с этим по формулам (VI.36) коэффициенты, мы будем иметь
полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относитель-
но основных искомых функций. Число этих уравнений будет равно числу
всех искомых функций. Так, например, для оболочки открытого профиля,
состоящей из п пластинок и не имеющей на продольных краях никаких
закреплений, за основные функции, как было сказано ранее, следует
принять напряжения ок (z) (k — 0, 1, 2, . . ., ri) в п + 1 точках попереч-
ного сечения и моменты МДг) (k = 2, 3, . . ., п — 2) в и — 3 промежуточных
ребрах. В соответствии с этими неизвестными мы будем иметь систему
2 (п — 1) дифференциальных уравнений, состоящую из п + 1 уравнений
равновесия и п — 3 уравнений деформаций. Общий вид этой системы,
полученной ранее, в § 6 гл. I, другим методом для оболочки, состоящей
из п пластинок, и значения коэффициентов (VI.36) приведены в форме
табл. 1 и 2.
в) Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений
Для приведения рассмотренной двухмерной проблемы к одномерной
выделим из оболочки элементарную поперечную полоску dz = 1 (см.
рис. 141).
Вследствие того, что из трех перемещений и, v и w, согласно форму-
лам (VI.23), (VI.23')> независимым является только одно, выделенная по-
лоска, в отличие от приведенного ранее случая, обладает в пространстве
только одной степенью свободы.
В соответствии с этим интегральные условия равновесия этой полоски
могут быть записаны в виде
vds -|- Mv.ds -|- psvds -|- pnwds = 0.	(VI.37)
Формула (VI.37) представляет собой равенство нулю суммы работ всех
внешних и внутренних сил, приходящихся на элементарную полоску,
на возможных для нее перемещениях в плоскости, перпендикулярной
образующей. Буквами с черточкой наверху здесь обозначены виртуальные
перемещения и деформации полоски.
Первым членом в (VI.37) представлена работа сдвигающих сил, являю-
щихся по отношению к полоске внешними силами. Второй член относится
к работе внутренних сил — изгибающих моментов на деформациях из-
гиба полоски. Остальные внутренние силы работы не совершают, так как
соответствующие им деформации е2 и у принимаются равными нулю.
Последние члены в формуле (VI.29) относятся к работе внешней нагрузки.
270 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Интегралы в уравнении (VI.37) распространяются на всю длину эле-
ментарной полоски, т. е. по всей длине контурной линии. При этом инте-
гралы, относящиеся к внешней нагрузке, понимаются в смысле Стильтье-
са, что позволяет проводить расчеты и в случае действия сосредоточенных
сил.
Вводя функцию перемещений по формулам (VI.23), (VI.23') и внося
эти формулы в уравнение (VI.37), получим
f dS ЭФ , . С -rf , . С дФ , . Г „Л ,	„	...т „о.
i ~di~dTds + \M^ds + }P^-JTds+\PnR-Qj-ds = Q,	(VI.38)
где Ф = Ф (z, $) — функция перемещений, отвечающая виртуальному
состоянию оболочки.
Первый член уравнения (VI.38) на основе статического уравнения
(VI . 26) и формулы интегрирования по частям может быть несколько преоб-
разован, в результате чего уравнение (VI.38) приобретает вид
Сй2(зЛ)	, С,,-, , С	й, ,f	,	f	dpz — А лгтот
\ —х-^—	-f- \ Alwds 4- \ р$ ‘ ds 4- \ pnR —д ~9	ds -j-	\	—х— Фс?5 = 0. (VI.391
J az*	j	Jr as	jr as2 J az	' л
Представим теперь искомую функцию перемещений Ф (z, $) в виде сле-
дующего конечного разложения:
п
Ф(г, s)= 2 F^z^s).	(VI.40)
Здесь ф4 ($) — заданные, линейно независимые функции, относящиеся
к виртуальным состояниям деформаций поперечного сечения z = const
оболочки; функции Fi (z) — искомые обобщенные перемещения оболочки.
Выражая входящие в уравнение (VI.39) усилия и деформации оболоч-
ки через функцию перемещений Ф (z, s) и учитывая при этом разложе-
ние (VI.40), нетрудно получить
0 =	= Ед£ = ~Е^ = -Е %Fdz)^(s)-
i=l
п
* = 4 (-Й- + 3 = Йф = S F^z) Q (s);
1—1
п
М = — Dn = — Fi(z)(s)
i—1
	(VI.41)
I
На основании формул (VI.41) интегральные условия равновесия обо-
лочки (VI.39) можно теперь представить в виде системы п обыкновенных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относи-
тельно п искомых функций Fi (z):
- Е2FV( ^hds -D^fA Q^Q^ds +
г	i
C	(*	(* dp
+ \ p^ ds + \ pnR$.	\ ~ ^ds =0	(VI.42)
I	J	1	J	j
(при j = 1, 2, 3, .. . , n).
Здесь Q — дифференциальный оператор, определяемый формулой (VI.4).
Каждое уравнение системы (VI.42) выражает собой равенство нулю
суммы работ всех внешних и внутренних сил элементарной полоски на
одном из возможных для нее перемещений Ф — Fj^j при F, — 1.
Гл. VI Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 271
Система разрешающих уравнений (VI.42) может быть представлена
в виде
3 «iAIV + £ 3 № -Р]- р/ -pt = О	(VI.43)
(при j = 1, 2, 3, ... ri).
Здесь коэффициенты представляют собой постоянные величины и оп-
ределяются в зависимости от выбора функций ф1 (s) по формулам:
Яу = ф4ф3й/?; bij = йф^Оф/^? (dF = hds).	(VI.44)
Грузовые члены соответственно равны
1 (*	If	If &Р?
Pj = ^\p^ds> Р™ = ^}PnR^jds'> Pzj = 7Г) ~ST ^ds (VI-44')
Нетрудно заметить, что система дифференциальных уравнений (VI.43)
изложенного здесь вариационного метода по своему физическому смыслу
соответствует уравнению равновесия оболочки (VI.2) и при п -> оо пере-
ходит в уравнение в частных производных (VI.2).
По определении функций Fi из уравнений (VI.43) и соответствующих
граничных условий, заданных на поперечных краях оболочки z = О
и z = I, нормальные напряжения o’ и поперечные моменты М могут быть
вычислены по формулам (VI.41), а остальные статические величины —
с помощью формул (VI. 1).
г) Решение уравнений для замкнутой круговой оболочки 1
В случае замкнутой круговой цилиндрической оболочки радиуса R
(рис. 142) функции поперечного распределения перемещений фг ($) могут
быть выбраны в форме
фг ($) = cos z (s/R) = cos z’P.	(VI.45)
В соответствии с (VI.45) коэффициенты (VI.44) основных дифферен-
циальных уравнений (VI.43) определятся следующим образом:
при / = i ~ п
271
апп = Rh^ cos2 *= rth-R;
о
271
bnn = R jj (Q cos ф)2	= я”4(д5~1)2;	(VI.46).
0
при / =/= i aij = bij — 0.
Для грузовых членов (VI.44') получим выражения:
Psi = — R -4- \p,sin/pdP; р" =---дг\рпcos/Рф;	(VI.46')
/	£> I	J	x-z 1
Из равенств (VI.46) следует, что в рассматриваемом случае система
дифференциальных уравнений (VI.43) распадается на отдельные незави-
симые уравнения.
1 Подробное изложение технической теории круговой оболочки дано в моногра-
фиях автора: «Строительная механика оболочек», ОНТИ, 1936; Общая теория оболочек,.
Гостехиздат. 1949 (Избр. труды, т. 1, 1961).
272 Расчет, оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Будем предполагать в дальнейшем, что оболочка подвержена действию
одной только нормальной нагрузки Рп (z, $). Разрешающие уравнения
(VI.43) примут при этом следующий вид:
= р";
+ -|2 ^22^2 =	’
(VI.47)
TV №
О-ПпР-П Ч J2" ЬппРп — Р”.
Первым из дифференциальных уравнений (VI.47) характеризуется
изгиб оболочки как простой балки пролета I.
Действительно, контур оболочки в этом случае не деформируется,
а продольные силы N распределяются в каждом поперечном сечении по
закону cos р, который эквивалентен закону плоскости. Из внутренних
сил отличными от нуля будут только нормальные силы N, приводящиеся
в каждом поперечном сечении к изгибающему моменту простой балки.
Остальными уравнениями (VI.47) характеризуется более сложное де-
формированное состояние оболочки. Ранее было отмечено, что деформации
контура оболочки, которая имеет место в этом случае, всегда соответ-
ствует депланация поперечного сечения. Перемещениям же точек сечения
z = const из плоскости этого сечения (депланации) отвечают внутренние
обобщенные уравновешенные силы (эквивалентные нулю в смысле статики
жесткого тела). Эти силы, названные нами продольными бимоментами,
распределяются в поперечном сечении по закону cos и, как будет по-
казано далее, играют весьма существенную роль в общем напряженном
состоянии оболочки.
Поскольку балочная функция Ft и соответствующее этой функции
напряженное состояние оболочки могут быть определены при помощи
элементарных методов сопротивления материалов, в дальнейшем огра-
ничимся лишь рассмотрением уравнений (VI.47) с индексом п > 2.
Любое из этих уравнений совпадает по виду с дифференциальным
уравнением изгиба балки на упругом винклеровском основании и может
быть представлено в форме
Здесь
F™ + 4^ = Gn.
(VI.48)
, Л2 я'1 (я2 — I)2
Н-п 48 А6
= PnC0Sn^-
(VI.49)
(VI.50)
Общее решение дифференциального уравнения (VI.48) имеет вид
Fn — С\Ф1 СгФа Ч~ С3Ф3 Ч~ С4Ф4	(VI.51)
где F°n — какой-либо частный интеграл неоднородного уравнения (VI.48),
зависящий от характера внешней нагрузки рп, а Фъ Ф2, Ф3, Ф4 — функ-
ции следующего вида:
Фх = ch p,nz sin pnz; Ф2 = ch pnz cos pnz;
Ф3 = sh pnz cos p,nz; Ф4 = sh pnz sin p, z.
Постоянные интегрирования Clf C3, C3, C4, входящие в формулу
(VI.51), определяются в зависимости от граничных условий, заданных
(VI. 52)
Гл. VI. Прочностъ и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 273
в сечениях z = 0 и z = I оболочки. Так, например, если на поперечных
краях оболочки имеются жесткие в своей плоскости и гибкие из плоско-
сти диафрагмы, граничные условия запишутся в виде
при z =0 и z = I v = w =0; oz = 0	(VI.53)
Раскрывая условия (VI.53) по формулам (VI.23), (VI.23'), (VI.40),
(VI.41) и (VI.45), получим
при z =0 и z = I Fn =0; F”n = 0.	(VI.54)
Отметим, что в случае граничных условий (VI.49) для приближенного
решения уравнения (VI.43) можно применить метод тригонометрических
рядов. Искомую функцию Fn представим в виде ряда
Fn=^Anmsin^.	(VI.55)
т
Для коэффициентов Апт при помощи известных методов (см. § 9, гл. I)
нетрудно получить выражение
i
Апт =-------------Л—^Gnsin^dz.	(VI.56)
I [(тлЦУ + <] I	1
Тригонометрический ряд (VI.55) обладает весьма хорошей сходимостью.
Исследования показывают, что в случае нагрузки равномерно распреде-
ленной по длине оболочки в формуле (VI.55) для целей практики можно
удержать лишь один первый член, положив
Fn = Ansin (nz/Z).
§ 4. Примеры расчета.
Анализ теоретических и экспериментальных данных
а) Оболочка под действием внутреннего гидростатического давления 1
Рассмотрим цилиндрическую трубу, усиленную в опорных сечениях
z = 0 и z = I жесткими (в своей плоскости) кольцами (рис. 144, а). Пред-
полагаем, что труба заполнена до некоторого уровня Н жидкостью,
создающей нормальные давления рп = рп (s) на ее стенки.
Можно видеть (рис. 144, б), что давление жидкости рп (индекс п, ха-
рактеризующий нормальную составляющую внешней нагрузки, в даль-
нейшем опускается) определяется формулой
р = — Y-R (cos Р — cos ро),	(VI.57)
где у — объемный вес жидкости, а р0 — центральный угол, характе-
ризующий степень наполнения оболочки.
Внося формулу (VI.57) в (VI.50), после несложных вычислений полу-
чаем грузовой член уравнения (VI .48)
„	2п2'< Tsin (n + 1) Ро sin(n—1)Ро sin «Ро cos р01 ,Л7Т
L 2 (л 4-1) + 2(га — 1)	п J- (vl.bS)
Поскольку граничные условия в рассматриваемой задаче определяются
выражениями (VI.54), для отыскания разрешающей функции Fn вос-
пользуемся тригонометрическим рядом (VI.55).
1 Приведенные в настоящем параграфе примеры расчета заимствованы из работы
канд. техн, наук Н. Н. Леонтьева «Практический метод расчета тонкостенной цилинд-
рической трубы», ГПИ, Проектстальконструкция, ОСК-56-1, 1956.
18 в. 3. Власов, т. III
274 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Замечая, что грузовой член Gn не зависит от координаты z, и исходя
из формулы (VI.56), для коэффициентов Апт ряда (VI.55) получаем выра-
жение
GJ
Л _.	_______________
пт тл + и4 (и3 — I)2 М4/127?в]
i (VI.59)
Формула (VI.59) справедлива для
разложения (VI.40) и каждого члена
5, . . .) разложения (VI.55).
каждого члена с индексом п > 2
с нечетным индексом т (т = 1, 3,
Рис.
В силу равенств (VI.45), (VI.55), (VI.58) и (VI.59) функция перемеще-
ний Ф (г, $) определится в форме
® = 5t22-f-----------(VI.60)
Здесь
sin (n + 1) Зо । sin (n — 1) 3o sin n p0 cos p0	/ЛГГ 4
®n~ 2(n4-l)	'	2(n—1)	n 	(VI.bl)
Перемещения и внутренние усилия оболочки на основании выраже-
ний (VI.23), (VI.23'), (VI.41) и (VI.60) принимают вид
u(z, s)	ni (n2 _ i)2 hni cos i cos nP; (a)
n m т'п1 + -—-J2--дГ
.	.	8rZ4 Vi VI	«3®n	. тяг . n
v (z, s) — — n2Ejih	Г п*(п2 — l)2|WlSin ~T~ sinn& (6)
n m m I и‘л4 +---j2--Дб~]
w(z>s)=	-------JL^_^__^sin^cos„P; (B>
П rn mW	----gj-
,, ,	. 2'fWi3 Ki Ki	ni (n2	1) Mn	• mnz „	, .
s)	— ~ 3п2ДЗ 2j 2j p	1)2 й2)4 -j sm —1~ C0S ”3-	(r)
n m m|yn4n4 +--J2-~~ReJ
5<z, s) v 2 2 ——sin cos "P
n m	+ ——-------—
(n>2; m = l, 3, 5. . .).	(VL62)
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 275
В качестве примера на рис. 145 приведены эпюры нормальных напря-
жений, рассчитанные по формуле (VI.62, д) для сечения г = 1/2 оболочки
при следующих данных:
R = 320 см; I = 4000 см; h = 0,6 см;
Я = 51,6 см; Ро = 33°; у = 0,001 кг/см3.
(VI. 63)
Эпюра на рис. 145, a (n = 1) соответствует данным элементарного рас-
чета, основанного на гипотезе плоских сечений. Нормальные напряжения
определены здесь известными способами сопротивления материалов в пред-
положении, что оболочка представляет собой балку трубчатого сечения.
Остальные эпюры (рис. 145, б, в, г) соответствуют второму, третьему и
четвертому членам разложения (VI.47), которые характеризуют деформа-
цию контура оболочки.
На рис. 145, д представлена суммарная эпюра нормальных напряже-
ний для сечения z = 1/2. Сравнивая эту эпюру с эпюрой на рис. 145, а,
можно видеть, что расчетные напряжения тонкой цилиндрической обо-
лочки резко отличаются от тех напряжений, которые могут быть выявле-
ны элементарными методами сопротивления материалов.
Рис. 145
Это обстоятельство объясняется тем, что в рассматриваемой задаче
контур оболочки претерпевает значительные деформации при изгибе.
Указанным деформациям, как отмечалось ранее, соответствует деплана-
ция поперечных сечений оболочки, определяющая бимоментное напря-
женное состояние (рис. 145, б, в, г).
18*
276 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
б)	Оболочка, усиленная в среднем сечении жестким кольцом
Рассмотрим цилиндрическую трубу, усиленную жесткими кольцами
не только на опорах, но и в среднем сечении z = 0 (рис. 146).
Предполагаем, что труба заполнена до некоторого уровня Н жид-
костью (рис. 143), создающей нормальные давления (VI.57) на ее стенки.
На основании (VI.51) общее решение задачи может быть представлено
в виде
Fn — CjOj С2Ф2 С3Ф3 -j- С4Ф4 -j- Gn/4p,^,	(VI.64)
где функции Фх, Ф2, Ф3, Ф4 определяются выражениями (VI.52), а грузо-
вой член Gn— формулой (VI.58).
Учитывая симметрию оболочки, выберем начало отсчета для пере-
менной z в среднем поперечном сечении и будем рассматривать только ту
часть оболочки, которая расположена справа (или слева) от этого сече-
ния. При этом для определения произвольных постоянных интегрирова-
ния поставим следующие граничные условия:
при z = О
при z — 1/2
wn = vn = ип = 0;
= Gji zz= 0.
(VI. 65)
В соответствии с формулами
(VI.23), (VI.23'), (VI.40) и (VI.41)
условия (VI.65) можно переписать
в виде
при z = 0 F = F' =0;]
при z = Z/2	F"=O.J(VL66)
рис.	Раскрывая граничные условия
(VI.66) при помощи выражения
(VI.64) и производя несложные вычисления, решение задачи представим
в следующей окончательной форме:
Fn — С3 [Ф3 (z) — Ф4 (z)] -j- С4Ф4 (z)
Здесь
Ф® (Z/2) - Ф2 (Z/2) [1 - Ф2 (Z/2)]	Gn )
Ф2 U/2) [Фз (Z/2) — Ф1 (Z/2)] + Ф4 (Z/2) [Ф1 (Z/2) + Фз (Z/2)]	I
ф4 (1/2) [Фз (1/2) — Ф1 (1/2)] + [1 — Ф2 (1/2)] [Ф1 (1/2) + Фз (1/2)] Gn
Ф2 (Z/2) [Фз (1/2) - Ф4 (Z/2)] + Ф4 (1/2) [Ф4 (1/2) + Фз (//2)]	’
(VI.67)
(VI.68)
Выражение (VI.68) позволяет определять функцию перемещений Fn
с индексом п > 2.
По определении этой функции перемещения и усилия оболочки вычис-
ляются с помощью приведенных выше формул (VI.23), (VI.23'), (VI.41).
Так, внося выражение (VI.67) в первую из формул (VI.41) и учитывая за-
висимости (VL49), (VI.58), для нормальных напряжений оболочки полу-
чаем
=П= ^77~П^МП{С3[Ф1(£)+Ф3(2)]+ С4Ф2 (z) —• Ф4 (z)} COS , (VI.69)
JL \rt — j_ 1 fl
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 277
где постоянные С3 и С4 опре-
деляются формулами (VI.68),
а ®п — формулой (VI.61).
В качестве примера на
рис. 147 приведены эпюры нор-
мальных напряжений (в кг/см2),
вычисленные по формуле (VI.69)
для двух сечений оболочки
(z = 0 и z = Z/4) при данных
(VI.63). Эти эпюры даны для
оболочки, усиленной кольцом
(сплошная линия), для гладкой
оболочки (пунктирная линия,
цифры в скобках) и по гипотезе
плоских сечений (штрих-пунк-
тирная линия). На рис. 148
показано, кроме того, распре-
деление нормальных напряже-
ний, возникающих в нижнем во-
локне оболочки ф=0), по ее
длине. Пунктирная линия отно-
сится здесь, как и на рис. 147,
к результатам расчета гладкой
цилиндрической трубы.
Можно видеть, что установ-
ка жесткого кольца значитель-
но снижает величины нормаль-
ных напряжений в поперечных
сечениях оболочки и вместе с
тем вносит существенные изме-
нения в характер эпюры csz вбли-
зи места установки кольца.
Это объясняется тем, что жест-
кое кольцо препятствует дефор-
мации контура трубы в сечении
z = 0 и тем самым изменяет ха-
рактер бимоментного напряжен-
ного состояния оболочки.
в)	Оболочки под действием нагрузки, равномерно распределенной
вдоль образующей
Пусть на цилиндрическую оболочку, имеющую на поперечных краях
жесткие в своей плоскости диафрагмы (кольца), действует нагрузка q,
равномерно распределенная по линии (3 = 0 (рис. 149).
В этом случае, исходя из формулы (VI.50), для грузового члена урав-
нения (VI.48) получим следующее значение:
— nBthE ’
Представляя, как и ранее, функцию Fn(z) в виде ряда (VI.55), для
коэффициентов Апт этого ряда будем иметь:

Аит
4п2
Л2т
Г	71«(П2— 1)аЛ2/4
EI?2h nW +----------------Щ
278 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
По первой из формул (VI.41) находим
(VI.70)
? г'2 V V	4mna	п . пи
h да 21 21 г Л4(й2__ 1)2 /Л4-] C°S Пр Sin г
т НЯ4 +--------12---7?«]
(п — 2, 3, 4...; in = 1, 3, 5,.. .).
Из формулы (VI.70) видно, что в рассматриваемом случае наибольшие
нормальные напряжения возникают в среднем сечении оболочки z — Ц2.
Для того чтобы выявить, как влияют на величину этих напряжений
Рис. 150
относительные размеры
z — 1/2 в виде
оболочки, представим формулу (VI.70) при
g = qs/hct?,
где а = R/1, а о = a (R/l, h/R) — безразмерная эпюра нормальных нап-
ряжений сечений г = 1/2 оболочки, определяемая формулой
m
5=2
1
т4л4 +
4пгл2	г>
cos п$-
12 R* J
(VI. 71)
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 279
На рис. 150 приведены безразмерные эпюры о, рассчитанные по фор-
муле (VI.71) для двух значений а (а = 1/20 (рис. 150, а); а = 1/10
(рис. 150, б)) и нескольких значений у — h/R (у = 0, 1; у — 0,05;у = 0,02;
7 = 0,01).
Нетрудно видеть, что с уменьшением длины и толщины оболочки рас-
пределение нормальных напряжений по поперечному сечению z = const
все более отклоняется от гипотезы плоских сечений. Напротив, увеличе-
ние толщины h, а следовательно, и жесткости оболочки на поперечный
изгиб приближает эпюру o’ к закону плоскости.
г)	Сравнение теоретических и экспериментальных данных
для оболочки, загруженной сосредоточенной силой
1. Рассмотрим результаты экспериментов и расчетов замкнутой ци-
линдрической оболочки, загруженной в сечении z ~ 1/2 сосредоточенной
силой Р и имеющей шарнирное опирание на поперечных краях (рис. 151
и рис. 152) х.
Рис. 151
Расчеты проведены для двух различных вариантов передачи нагруз-
ки. В первом случае (рис. 151) нагрузка Р = 125 кг передается на обо-
лочку непосредственно, во втором — сила Р = 1000 кг приложена к по-
перечному кольцу таврового сечения (рис. 152).
На рис. 151 и 152 нанесены зпюры продольных нормальных напряже-
ний в кг/см?, полученные теоретическим и экспериментальным путями.
Кривая 1 соответствует данным эксперимента, кривая 2 — данным рас-
чета методом ортотропных оболочек, кривая 3 — данным расчета оболоч-
ки как простой балки и кривая 4 — данным расчета точным методом.
Можно видеть, что экспериментальная кривая (штрих-пунктирная ли-
ния) хорошо согласуется с расчетными данными предложенной теории.
Рассматривая эпюру нормальных напряжений, соответствующую пер-
вому варианту приложения нагрузки, нетрудно заметить, что в этом слу-
чае, как и в рассмотренных ранее примерах, эпюра o’ не только по абсо-
лютным значениям, но и по своему характеру резко отличается от балочной
1 Приведенные ниже данные заимствованы из отчета отдела строительной меха-
ники Института механики АН ССОР «Экспериментальная проверка теории ортотроп-
ных ободочек В. 3. Власова», 1953 (исполнитель: канд. техн, наук Н. Д. Левитская).
280
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
эпюры. Это объясняется тем, что изгибная деформация контура, а сле-
довательно, и связанная с ней депланация поперечного сечения здесь
весьма велики.
Так как отмеченное обстоятельство имеет важное значение в нашей
технической теории, поясним еще раз сказанное следующим простым
примером.
Рис. 152
Рассмотренная нагрузка может быть представлена в виде симметрич-
ной и кососимметричной составляющих (рис. 153). Кососимметричная
составляющая вызовет в основном изгиб оболочки как балки. При этом
эпюра нормальных напряжений, составленная из нечетных членов ряда,
будет по характеру соответствовать балочной эпюре о (рис. 153, а).
Симметричная составляющая нагрузки сплющивает оболочку, т. е.
вызывает деформацию контура. Эпюр
2
Рис. 153
нормальных напряжении для это-
го случая приведена на рис. 153, б.
Эта эпюра, составленная из чет-
ных членов ряда, является само-
уравновешенной, т. е. статически
эквивалентной нулю в любом се-
чении Z — const..
Нетрудно видеть теперь, что
суммарная эпюра нормальных
напряжений тем больше отклоня-
ется от закона плоскости, чем
больше деформируется контур обо-
лочки, или, другими словами, чем
тоньше оболочка.
Анализируя эпюру <т, соответ-
ствующую загружению оболочки
через поперечное кольцо (рис. 152)1,
можно заключить, что в этом слу-
чае отклонение от гипотезы плоских сечений значительно меньше, чем при
непосредственной передаче нагрузки на оболочку. Объясняется это, как
и ранее, тем, что упругое кольцо уменьшает деформацию контура обо-
лочки. Если бы поперечное кольцо было бесконечно жестким и изгиб кон-
1 О расчете оболочек, усиленных поперечными упругими кольцами, см.
В. 3. Власов. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней.
Известия Академии наук СССР. ОТН, № 6, 1949 (Избр. труды, т. 1, 1962).
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 281
тура вследствие этого не имел бы места, эпюра нормальных напряжений <т
в точности совпадала бы с балочной эпюрой, т. е. рассматриваемая обо-
лочка работала бы как безмоментная.
Отсюда следует важный в практическом отношении вывод: для умень-
шения бимоментных напряжений нет надобности увеличивать жесткость
всей оболочки: достаточно для этого усилить поперечными ребрами только
те сечения, в которых приложена нагрузка.
2. Из рассмотрения графиков, приведенных в настоящем параграфе,
можно видеть, что продольные бимоментные напряжения по длине обо-
лочки затухают весьма медленно. Степень затухания их будет тем мень-
ше, чем меньше относительная толщина оболочки h/R.
Это положение, выявленное нами в теории тонкостенных стержней,
имеет важное практическое значение. Тонкостенные стержни и оболочки
принадлежат к числу таких упругих пространственных систем, для кото-
рых принцип Сен-Венана соблюдается только в сечениях, достаточно уда-
ленных от места приложения уравновешенной нагрузки. Другими слова-
ми, в оболочках, как и в тонкостенных стержнях, внутренние напряжения
существенно зависят от способа приложения данной нагрузки и эти на-
пряжения в случае уравновешенных нагрузок не носят характера мест-
ных напряжений. В этом и состоит принципиальное отличие тонких упру-
гих тел типа оболочек от сплошных сред.
Оболочки и тонкостенные стержни составляют особую категорию упру-
гих тел, характеризующихся тем, что все три измерения этих тел (тол-
щина, размер поперечного сечения и длина в направлении образующей)
представляют собой величины различных порядков. Для таких тел, как
нами неоднократно подчеркивалось, принцип Сен-Венана носит чисто
теоретический характер. В практических же задачах этот принцип при-
водит к большим погрешностям, поскольку зона местных напряжений от
уравновешенных нагрузок может оказаться вне пределов данной кон-
струкции.
§ 5. Цилиндрическая оболочка,
подкрепленная продольными и поперечными ребрами
Рассмотрим цилиндрическую оболочку, подкрепленную продольными
ребрами (стрингерами) и поперечными (шпангоутами) (рис. 154). В соот-
ветствии с принятой расчетной статической схемой считаем, что продоль-
ные ребра (стрингеры) работают только на осевое растяжение (сжатие).
Пренебрегая для этих ребер продольными изгибающими и крутящими
моментами, тем самым допускаем, что продольные нормальные напря-
жения по площади поперечного сечения стрингера распределяются равно-
мерно. Поперечные же ребра (шпангоуты) наделим свойствами плоского,
кривого бруса, в сечениях которого могут возникать не только осевые
силы, но также поперечные изгибающие моменты и сопровождающие их
поперечные силы.
Предположим, что стрингеры на цилиндрической поверхности разме-
щены равномерно с постоянным шагом tG. Полагаем, что каждый из стрин-
геров в поперечном сечении имеет одну и ту же площадь, которую в даль-
нейшем обозначим через AF. Допустим также, что все шпангоуты в по-
перечном сечении характеризуются одними и теми же размерами и рас-
пределены на поверхности с постоянным шагом £ш.
Пусть F представляет собой площадь совокупного продольного се-
чения тонкостенной конструкции на длине tm, равной расстоянию между
центральными плоскостями двух соседних шпангоутов или, что то же са-
мое, расстоянию между серединами двух соседних интервалов по про-
дольному сечению оболочки. Эта площадь определяется как сумма двух
282 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига.
поскольку в дан-
шпангоуты рав-
на внутренней
площадей, одна из которых относится к продольному сечению оболочки
^обшивки) на участке а другая представляет собой площадь сечения
одного шпангоута.
Обозначим через J момент инерции совокупного продольного сечения
тонкостенной конструкции относительно оси, проходящей через центр
тяжести этого сечения и параллельной образующей срединной поверх-
ности оболочки. Расстояние до центра тяжести площади совокупного
продольного сечения конструкции, откладываемое от срединной поверх-
ности оболочки по нормали, обозначим через е.
Величина е представляет собой, таким образом, эксцентрицитет цен-
тра тяжести площади совокупного продольного сечения оболочки отно-
сительно срединной поверх-
ности ее. Этот эксцентрици-
тет для сечения, показанного
на рис. 154, считается поло-
жительным,
ном случае
положены
поверхности оболочки. Если
же шпангоуты расположены
на внешней поверхности обо-
лочки, то центр тяжести
площади совокупного про-
дольного сечения конструк-
ции находится на внешней
нормали к поверхности. Экс-
центрицитет е в этом случае
имеет отрицательное значе-
ние.
Для шпангоутов, расположенных так, что центры тяжести площадей
их поперечных сечений находятся на срединной поверхности оболочки,
эксцентрицитет е следует считать равным нулю.
Все указанные здесь геометрические величины tc, kF, tm, F, J, e, от-
носящиеся к стрингерам и шпангоутам, предполагаются заданными. Эти
величины в каждом частном случае легко определяются геометрическими
размерами продольных и поперечных сечений оболочки.
В дальнейшем будем предполагать, что стрингеры и шпангоуты на
цилиндрической поверхности расположены достаточно часто х. В частно-
сти, для замкнутой цилиндрической круговой оболочки радиуса R и дли-
ной I число стрингеров, как и шпангоутов, не должно быть меньше вось-
ми. В этом случае, как показали теоретические исследования автора, ци-
линдрическая оболочка, подкрепленная продольными и поперечными
ребрами, может быть приведена к тонкостенной ортотропной простран-
ственной системе, характеризующейся различными жесткостями при рас-
тяжении (сжатии) в двух взаимно перпендикулярных направлениях, при
сдвиге и при поперечном изгибе. Каждая из этих жесткостей может быть
вычислена как осредненная, определяемая с учетом сопротивления стрин-
геров и шпангоутов. Считая такую ортотропную систему упругой и пред-
полагая в общем случае асимметричное расположение шпангоутов отно-
сительно срединной поверхности, можно зависимость между усилиями N,
Т, S, М и соответствующими этим усилиям деформациями еп е2, у, z
представить в следующей форме:
Г = 4:	=	к = ±-(еТ-М). (VI.72)
N
е, = —г;
X X >
е2 =
1 См. сноску на стр. 280.
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 283
В первой из этих формул величина А представляет собой осредненную
(приходящуюся на единицу длины поперечного сечения) жесткость обо-
лочки при продольном растяжении (сжатии):
A = E{~ + h},
' гс '
где Е — модуль продольной упругости материала оболочки.
Величина С, входящая во вторую формулу (VI.72), вычисляется как
жесткость обшивки конструкции при сдвиге. Если предположить, что
обшивка толщиной h сопротивляется не только растяжению, но также
и сжатию, то
С = Gh,
где G — модуль упругости материала оболочки при сдвиге. В случае
очень тонкой обшивки, работающей только на растяжение (при сжатии
обшивка выключается из работы)
C = ±-Gh.
Величины ВnD, входящие в последние две формулы (VI.72), представ-
ляют собой осредненные (отнесенные к единице длины продольного сече-
ния) жесткости ортотропной оболочки соответственно при растяжении
сжатии) и изгибе в поперечном направлении:
D = — ,
t^J + e^F)’
(VI. 73)
.где Е — модуль упругости материала конструкции при растяжении Ч
Формулы (VI.72) и формулы (VI.73) выведены нами с учетом осред-
ненных жесткостей шпангоутов, работающих совместно с обшивкой на
растяжение (сжатие) и изгиб. Следует иметь в виду, что площадь и мо-
мент инерции J, входящие в последние две формулы (VI.73), вычисляются
для всего совокупного продольного сечения ортотропной оболочки на
длине этого сечения, определяемой шагом tm.
Величина J представляет собой главный момент инерции указанного
сечения относительно центральной оси, параллельной образующим сре-
динной поверхности. Величина е, как указывалось ранее, представляет
собой расстояние до центра тяжести совместного продольного сечения,
откладываемое по нормали к срединной поверхности. Из сказанного сле-
дует, что величина J + е2Е представляет собой момент инерции площади
совокупного продольного сечения для участка tm относительно линии кон-
такта оболочки и шпангоутов (точнее линии, совпадающей с образующей
срединной поверхности).
Из формулы (VI.72) видно, что ортотропная упругая оболочка харак-
теризуется тем, что относительное продольное удлинение ех зависит толь-
ко от продольного нормального усилия N. Точно так же деформация
сдвига f обусловливается только соответствующим этой деформации сдви-
гающим усилием S. Деформации же поперечного удлинения е2 и попереч-
ного изгиба х в общем случае усиления оболочки шпангоутами (при
е =/= 0) находятся в более сложной линейной зависимости от нормального
усилия Т и изгибающего момента М.
1 Предполагается, что оболочка (обшивка) и подкрепляющие ее ребра изготовлены
из одного и того же материала.
284
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Исключая теперь из уравнений (VI.5) перемещения и, v и w, а затем
при помощи (VI.72) и деформации е15 е2, у, и, получим
1	Г д2 / „ g2^\	.	д	/ 1	дЛГ\1 _
A	|_ds2 \ ds2 /	ds	\ R	ds ) \
1_Г—	(Л	^L\ I д (— —I	1 д2	lv д2Т\
С (ds2	\	dsdz) "Т” ds \	R	dz	/]	‘	В ds2	\	dz2/
е д2Т	е д2 (т>д2М\	1 д2М
ПУ ~дУ	ТУ1УП\ Hz2)	ПУ dz2

Уравнение (VI.74) представляет собой выраженное через внутренние уси-
лия N, S, Т, М условие неразрывности деформаций. Присоединяя это
уравнение к статическим уравнениям (VI.1), имеем полную систему пяти
линейных дифференциальных уравнений относительно пяти искомых функ-
ций N, S, Т, М и Q, характеризующих напряженное состояние ортотроп-
ной оболочки.
Уравнение (VI.74) получено здесь с учетом всех деформаций elf е2,
Y, х, соответствующих внутренним усилиям N, Т, S, М.
Исследования показывают, что в цилиндрических оболочках средней
длины деформации сдвига у и деформации поперечного удлинения ег
играют второстепенную роль.
Полагая эти деформации равными нулю или, что то же самое, жестко-
сти В и С равными бесконечности и е = 0, получим уравнение неразрыв-
ности деформаций в виде
QAZ_J_^ = 0.	(VI.75)
и dz*	v z
Это уравнение отличается от рассмотренного ранее уравнения (VI.20)
только наличием приведенных (с учетом поперечных и продольных ребер)
жесткостей.
Дифференциальное уравнение (VI.75) совместно с уравнением равно-
весия (VI.2) образует полную систему двух дифференциальных уравнений
относительно двух, неизвестных функций N= N(z, s) и М = М (z, s):
Q7V-™ = °-
(VI.76)
Здесь Р и Q определяются по формулам (VI.3) и (VI.4).
Отметим, что введением функции напряжений уравнения (VI.76) мож-
но привести к одному дифференциальному уравнению, характеризующе-
му деформированное и напряженное состояние ортотропной оболочки
средней длины.
Действительно, если ввести разрешающую функцию ср = ср (z, s) по
формулам
м = Q<p,
D dz*9	т’
то второе уравнение системы (VI.76) при А = const и D = const удовлет-
воряется тождественно, а первое принимает вид

Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 285
§ 6. Дифференциальные уравнения равновесия стержня,
подкрепляющего оболочку
Предположим, что оболочка средней длины усилена в продольном на-
правлении элементами типа стрингеров, расположенными по контуру
поперечного сечения оболочки на 1
вающие оболочку в продольном
направлении, будем рассматри-
вать как тонкостенные стержни
в том понимании этого слова,
какое дано в нашей монографии
«Тонкостенные упругие стерж-
ни» (Госстройиздат, 19401). Под
тонкостенным стержнем сле-
дует понимать цилиндрическую
оболочку незамкнутого профи-
ля, работающую не только на
осевые (нормальные и сдвигаю-
щие) силы, но также и на по-
перечные изгибающие и крутя-
щие моменты. В отношении де-
формаций такая оболочка-стержень
равных расстояниях. Элементы, усили-
подчиняется гипотезам:
а) деформации сдвига сред
ости равны нулю;
б) контур поперечного сечени
и р у е т с я.
Дифференциальные уравнения равновесия для
произвольных осях координат при произвольном поперечном сечении
этого стержня приведены
в § 6 гл. I указанной вы-
ше книги.
Поскольку рассмат-
ривается тонкостенный
стержень не изолирован-
ным от оболочки, а ра-
ботающим в контакте с
ней, то дифференциальные
уравнения равновесия та-
кого стержня запишем с
учетом этого обстоятель-
ства. Это выразится в том,
что, во-первых, за систему
координат примем местную
систему с началом отсче-
та на линии контакта обо-
лочки с тонкостенным
стержнем; во-вторых, в
том, что на линии контак-
та (на линии, по которой
тонкостенный стержень
жестко присоединяется к оболочке) перемещения оболочки и тонкостен-
ного стержня будем считать равными друг другу. Кроме того, в отличие
от общего случая дифференциальных уравнений тонкостенного стержня, бу-
дем считать, что по продольным краям тонкостенного стержня, определяе.
инной поверх-
н
м
в
Рис. 156
1 Избр. труды, т. 2, 1963 (прим. ред.).
я ее не д е ф о р -
тонкостенного стержня
286 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
мым крайними точками контура поперечного сечения, сдвигающих уси-
лий не приложено, т. е. продольные края стержня свободны от нагрузки.
Пусть тонкостенный стержень жестко присоединен к оболочке по ли-
нии контакта КК{, параллельной оси z оболочки (рис. 155), а местная
система координат оболочки — KXYZ. В этой Системе ось Z направлена
параллельно оси z оболочки, ось X — по касательной к поперечному сече-
нию оболочки в месте контакта, ось У — по внутренней нормали оболоч-
ки. Положительные направления осей показаны на рис. 155 и находятся
в полном соответствии с правилом знаков, принятым нами в расчете ци-
линдрических оболочек.
На рис. 156 представлено поперечное сечение части оболочки с присое-
диненным к ней тонкостенным стержнем (для удобства тонкостенный стер-
жень расположен в положительном квадранте, поэтому рис. 155 и 156
не соответствуют друг другу в смысле расположения стержня по отноше-
нию к оболочке).
Здесь К — точка контакта оболочки со стержнем KLBM-, эта точка
является началом местной системы координат KXY; О — центр тяжести
стержня; А — центр изгиба стержня; В — главная векториальная точка
стержня; Ох и Оу — главные центральные осй тонкостенного стержня;
х, у — текущие координаты в главных центральных осях (координаты
произвольной точки М стержня); у — угол между направлениями местных
и главных осей; Хо, Уо — координаты центра тяжести стержня в местной
системе координат; ХА, Уд — координаты центра изгиба стержня в мест-
ной системе координат; со — удвоенная секториальная площадь точки М,
отнесенная к центру изгиба А и главной секториальной точке В; Й — уд-
военная секториальная площадь с полюсом в точке контакта К и на-
чалом отсчета в произвольной точке L; йд— удвоенная секториальная
площадь KLBAK.
Если X и У — текущие координаты в местной системе координат, то
из рис. 156 очевидна зависимость
X = Хо х cos у — у sin у; j
У = Уо + х sin у 4. у cos у, [	(VI.77)
Й = © + УХд - ХУд + йд j
Принимая во внимание сделанное выше замечание, дифференциальные
уравнения тонкостенного стержня, усиливающего оболочку, можно пред-
ставить в виде табл. 65.
В этой таблице D — символическое обозначение производной по пере-
менной z от функции, стоящей в заголовке таблицы:
D = d/dz‘, D2 = d2/dz2; Z>3 = dW; D* =
q,, qun mk — составляющие внешней поверхностной нагрузки и внеш-
ний момент по отношению к тонкостенному стержню; Е — модуль про-
дольной упругости; G — модуль сдвига; /а — момент инерции стержня
при чистом кручении.
Прочие коэффициенты являются характеристиками стержня в приня-
той местной системе координат, которые в свою очередь выразим при по-
мощи соотношений (VI.77) через характеристики стержня, отнесенные
к его главным центральным осям, а именно: через главные моменты инер-
ции Jx и Jv, координаты центра тяжести и центра изгиба стержня и угол у
между направлениями осей местной и главной центральной систем коор-
динат.
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 287
Таблица 65
	и	V	w	0		
2Z = 0	FD-	~SxD2	~SVD3	-^3	1 + E~ =	0
2^ = 0	SXD3	— Jххо*	~Jx^	-JX^	1 + E qx~	0
2У = 0	SvP3	— JVxDi	-JmDi		1 + E qV~	0
ZMk =0	W3			-J^+ GJd + ~irD2	+ E mk~	0
Характеристики эти имеют следующие значения х:
F = j 1-dF — площадь поперечного сечения;
статические моменты сечения:
Sx = XdF = X^F; Sy = YdF = У(ГР;	(VI.78>
секториальный статический момент:
Sa = Q dF = (ХАУ0 - УАХ0 + Qa) F;
(VI.79)'
линейные моменты инерции (обозначаем их с двумя индексами для
того, чтобы отличить от главных моментов инерции, которые пишутся
с одним индексом):
Jxx = \x2dF = X2F + Jx cos2 у + J v sin2 y; j
Jyy = \Y2dF = Y20F + Jxsin2 r + Jy cos2 r; 
Jxv = J XY dF = XoyoF + I (Jx - Jy) sin 2r.
Линейно-секториальные моменты инерции:
JxCl -
Jyn =
ХЙ dF = XAJxv - YaJxx + QA£X; 1
УЙ dF — XAJVV	Y&JXy -|-	j
(VI. 80)'
(VI.81)
1 В отличие от обозначений для обобщенных геометрических характеристик, при-
нятых ранее, а также и в книге автора «Тонкостенные упругие стержни», в табл. 65
и формулах (VI. 78)—(VI.82) подстрочные индексы указывают на функции, стоящие-
под знаком интеграла.
288
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
и, наконец, векториальный момент инерции:
Q2 dF =	+ X\Jm + Y\JXX + Q2F -
— 2(ХдУАДу—	+ Уд^д^х)-	(VI.82)
Интегралы во всех вышеприведенных формулах берутся по всему кон-
туру поперечного сечения тонкостенного стержня.
§ 7. Замкнутая цилиндрическая оболочка средней длины,
усиленная стрингерами типа тонкостенных стержней
Четыре функции и, v, w и 0, которые стоят в заголовках четырех
колонок табл. 65, как уже упоминалось выше, представляют собой пе-
ремещения и угол поворота круговой цилиндрической оболочки в месте
контакта оболочки с усиливающим ее тонкостенным стержнем. Посколь-
ку положение точки контакта в плоскости поперечного сечения оболоч-
ки вполне определяется координатой s или в безразмерных координатах
величиной угла Р, четыре упомянутые величины и, v, w, 9, имея
вполне определенное, фиксированное значение по переменной s (или (3),
являются функциями одного независимого переменного 2.
Пользуясь выражениями (VI.6), (VI.8) и (VI.10), представим эти
перемещения и угол поворота в развернутом виде. Вместо переменной s
перейдем к безразмерной переменной {3, которые связаны между собой
зависимостью s = 7?р.
Будем помнить при этом, что в формулах (VI.6) и (VI.8) производ-
ные от функций фй (s) берутся по переменной s.
Пусть Р — обозначает координату точки контакта в плоскости по-
перечного сечения оболочки. Принимая во внимание сказанное, будем
иметь:
M(z, Р) =
i
^(z, Р) =	(2Ж(Ю;
*	I	(VI.83)
w(z, Р) = ^vk(z) фй(Р);
k
9 (z> ₽) = Tf 2 Vk
* ,
Здесь штрихами при ф& (Р) обозначены производные уже по пере-
менной р.
Функции q?4 (Р), фй (Р) и их производные по Р при фиксированном
значении координаты Р = Р представляют вполне определенные постоян-
ные величины.
Как уже отмечалось ранее, по линии контакта оболочки с тонкостен-
ным стержнем деформации оболочки и стержня одинаковы. Другими
словами, можно сказать, что в точке контакта перемещения и угол
поворота оболочки равны перемещениям и углу поворота тонкостенного
стержня. Считая перемещения и угол поворота оболочки в точке контак-
та заданными, тем самым задаем определенное деформированное со-
стояние тонкостенного стержня. Вследствие этого в стержне возникает
определенное напряженное состояние, которое будет соответствовать
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 289
определенным компонентам нагрузки qz, qx, q и mk в уравнениях рав-
новесия (см. табл. 65).
Если теперь мысленно отбросить тонкостенный стержень, заменив
действие его по линии контакта определенными из уравнений (табл. 65)
силовыми факторами qz, qx, qy и mk, то учтем таким образом влияние
тонкостенного стержня на работу оболочки.
Из уравнений, представленных в табл. 65, и зависимостей (VI.83)
получим
<h = Е {- F 3 и'^ (3) + 3 ЕГ [(5х + А ф, (3) +
i	k
+ АФа (3) И---^йФа (Р)^} ’
= £ -[- 2 £Гфг (1) н- 2 l(J™ + 7Г М (Р) +
+ Jху Фа (Р) + -д- Jхи ф* (Р)]| >
qv=E Sv 2 U'[(Р) + 2 VV [(Jvx + A- Jv£2) ф, (₽) +
г	к
+ Av Фа (Р) +	Ii/П Фа (₽)]};
mk = Е Sn 2 U'^i (Р) + 2F*V [(7^ + 1Г-М (Р) +
 (VI.84)
+ Jну Фа (Р) + -д- А Фа (Р) ]
- ж 2^ №(Р)+ф* (Р)]}•
k
Выражения (VI.84) представляют собой силовые факторы, отра-
жающие влияние оболочки на тонкостенный стержень. Взятые с обрат-
ным знаком, они определяют влияние стержня на оболочку.
При рассмотрении оболочки необходимо прибавить, таким образом,
к свободным членам дифференциальных уравнений оболочки (VI.15)
компоненты (VI.84), отражающие влияние тонкостенного стержня.
Предварительно следует привести силовые факторы (VI.84), взятые
с обратным знаком, к виду обобщенных нагрузок р. и qh, которые вхо-
дят в систему дифференциальных уравнений (VI.15) и вычисляются
но формулам (VI.16')- Эти формулы имеют вид
p^z) = 5?z(z> ₽)фДЗ)й5;
<Jh(z) = Р)ФЛ(Р)^ + ^4V(Z, Р)Фк (Р)^ + ’ (VI.85)
+ 4- \т^ (z, Р) (Фа (Р) + Фл (₽)] ds.
Обозначим составляющие обобщенных нагрузок р. и qh в диффе-
ренциальных уравнениях (VI.15), происходящие от учета влияния тонко-
стенного стержня на оболочку через pj и qh. Напомним, что qz, qx, qv и
тк, взятые с обратным знаком в формулах (VI.84) и отражающие влия-
ние тонкостенного стержня на оболочку, в поперечном сечении оболочки
19 в. з. Власов, т. III
290
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
отличны от нуля только в точке контакта, которую мы характеризо-
вали координатой Р = р. Вследствие этого после подстановки (VI.84) в
(VI.85) интегралы в формулах (VI.85) нужно понимать в смысле Стиль-
тьеса; в данном случае интеграл будет равен произведению подинте-
гральных функций при аргументе р, равном значению его в точке кон-
такта: Р = р. В случае, если усиливающих элементов будет несколько,
а не один, величина интеграла будет равна сумме таких произведений
подинтегральных функций. Учитывая сказанное, получим
? =е 2 uw* (Р) я?# (Р) — S v'k [(^а + 4“ Фа (Р) W (Р) +
i	&
+ Sy ф/г (P) <p3 (P) + Sn ф* (P) <p3 (P)jJ ;
== E {^Гф^Р^хфл (P) +	(P) + -i- SQ [фп (P) + ф7, (P)]] —
i
— 2 v	Фь (P) Фп (P) +
k
+ {^yx + -Д JySl) Фа (P) Фа (P) +
+ ~д(^ах + -^-^п)Фа(Р) [Фа(Р) + Фа(Р)] +	(
+ Jxy Фа (P) Фа (P) + Jуу Фа (P) Фа (P) +
+ -ftJay'tyk (P) 1фн (P) + фл (P)] +
+ 4-Ф*(₽) фа (?)+4фа +
+i (?) w* (P)+(P)]}+
+ Й S V"k № (P) + (P)] КФа (P) + Фа (P)l-
k
Введем сокращенные обозначения:
Кц (w") = F<fj (P) (pi (P);
Ejk (v'") = [(«Sx + 4~ б'п j фл (P) + Sy фй (P) + ~ Sq фй (P)J <p3- (P);
Ем (u' ) = фп (P) + Sy Фа (P) Sq (фл (P) фл (P))J <pi (P);
Ehk ) = ^Jxx H Jxtij фл (P) Фа (P) +
+ (Лзс + ~д-Лп)Фа(Р)Фа(Р) + 4-(^£1ж + 4’^п) I'M?) +	' (VI.87)
+ Фа (P)l Фа (P) + Jxy фп (P) Фа (P) + Лл/Фа (P) Фа (P) +
+ 4“ Jny [Фа (P) + Фп (P)] Фа (P) + 4 Фп (P) Фа (P) +
+ -j^Jysi Фа (P) Фа (P) + 4 [Фа (P) + Фа (P)l Фа (P);
Khk (r") = - J S’ № (P) + Фь (P)l № (P) + Фа (P)l-
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 291
При сокращенных обозначениях (VI.87) выражения (VI.86) запи-
шутся так:
Ps = 42	и"^ - 2^	>
L i	k	-1
qh = E [%Khi (u"‘) U-' -^Khk (z>IV) V’7 +
L i	k
k	-1
(VI.88)
В символическом обозначении коэффициентов (VI.87) первый индекс
показывает номер уравнения, второй индекс — индекс, по которому
производится суммирование, и, наконец, аргумент показывает, при ка-
ком неизвестном (и при какой его производной) стоит коэффициент.
Как указывалось выше, чтобы учесть влияние на оболочку усили-
вающего ее тонкостенного стержня, нужно в дифференциальные урав-
нения (VI.15) оболочки к свободным членам от собственной поверхност-
ной нагрузки р. и qh добавить соответственно р. и qh от учета влияния
тонкостенного стержня.
Выполнив это, получим дифференциальные уравнения равновесия
круговой замкнутой цилиндрической оболочки, усиленной в точке Р = р
поперечного сечения тонкостенным продольным стержнем-стрингером.
Эти уравнения будут иметь вид
т 2+ ка (“")! u'i ~ 2 Ui ~
г	г
— Г 2	(”'") V'k' ~ 2 с-’й V'k + IT Pi = °>
k	k>	TV TV	(VI.89)
T 2 Khi (u'") Ui -J- 2 cM Ui — у 2 Khk (v v) V\v +
i	.	i	k
+ 2	(O] Vk — y^Shk vk + -Lqh = 0.
k	k
Здесь, как и ранее:
Y = £/G.
Коэффициенты a,,, b$i, Cjk, см, rhk, $hk вычисляются no ранее приве-
денным формулам (VI.19); они относятся к самой оболочке; коэффициен-
ты Kji(u"’), Kjk(v”'), Км(и"'),	Khk (v“) — вычисляются no
формулам (VI.87); они учитывают влияние тонкостенного стержня, уси-
ливающего оболочку и расположенного в точке Р = ₽ поперечного сече-
ния оболочки.
Обычно оболочка усиливается не одним стрингером, а несколькими,
расположенными по контуру поперечного сечения оболочки на равных
расстояниях друг от друга. Пусть т — число стрингеров, усиливающих
оболочку. В дальнейшем будем считать т~^2, не ограничивая верхней
границы, хотя само собой ясно, что т — ограниченное и довольно не-
большое число. Практически можно считать, что4<(1т<^32. Если при-
нять, что по контуру поперечного сечения оболочки стрингеры располо-
жены на одинаковом расстоянии друг от друга, то координаты мест
расположения стрингеров (если первый поместить в начале отсчета,
19*
292
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
что впрочем необязательно) будут
31 = 0; 32 = 2л	= 2л ;
Зл+i = 2л А ;	; рт = 2л .	(VI.90)
Предположим, что оболочка усилена т стрингерами, расположен-
ными на равных расстояниях друг от друга.
Очевидно, что вид дифференциального уравнения оболочки, усилен-
ной т стрингерами, остается такой же, как и для оболочки, усиленной
одним стрингером, а именно (VI.89), коэффициенты, относящиеся к
оболочке: ац. bjit Cjk, chi, rhk, shk тоже остаются без изменений. Что же
касается коэффициентов К, характеризующих влияние стрингеров, то
они будут каждый представлять сумму т слагаемых (по числу стринге-
ров и координат Pj, i = 1, 2, 3, ... , т), каждое из которых будет иметь
такой же вид, но с различными аргументами 3; при функциях (риф,
Так, например, первый из коэффициентов (VI.87) будет иметь вид
Кц (и ) — [фj (Pi) фЧ (31) + Фз (Зг) фг (Зг) + фз (Рз) фг (Рз) +
+ • • ' + ф3'(Рт)ф1(Рт)]-	(VI.91)
Аналогичным
енты (VI.87).
Напишем еще
же образом будут построены и остальные коэффици-
для лучшего уяснения последний коэффициент
K,lk (Л =	~ ш (Pi) +	(pi)] [ф; (31) + Фй (31)] +
+ [фп (Рг) + Фи (Рг)] 1Ф* (Рз) + Ф/г (Ра)] +
+ [Ф11 (Рз) + Фп (Рз)] [Фк (Рз) + Ф'Т (Рз)] + •	+
+ [Фп (3m) + Фп (3m)] [ф! (Рт) + Фп (Рт)П-
(VI.9Г)
В § 2 было показано, что если в качестве функций (риф взять
тригонометрические функции по формулам (VI.15), то вследствие орто-
гональности тригонометрических функций, сложные системы дифферен-
циальных уравнений оболочки (VI.15) принимают особенно простой вид,
представленный в (VI.19).
Естественно, возникает вопрос, будет ли иметь место аналогичное
упрощение, если (риф взять ио формулам (VI.17) в случае оболочки,
усиленной т стрингерами, одинаковыми и расположенными на равных
друг от друга расстояниях.
Этот вопрос можно сформулировать так: на интервале (Он-2л)
имеется ряд равноотстоящих друг от друга точек Зп (^ = 1, 2, 3, ... , от),
функции (риф задаются на этом интервале следующим образом:
ср — всюду, за исключением точек равна нулю, в точках же Зп
принимает значение
срр — cos p$h (р 0, 1, 2, . . . , in);	(VI .92)
ф — всюду, за исключением точек $k>
нимает значение
равна нулю, в точках же Зп при-
фр = sin /фф, (Р = 0, 1, 2, . . . , от).
(VI.93)
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 293
Спрашивается, обладают ли функции <р}) и ф,, свойством, аналогичным
свойству ортогональности тригонометрических функций, т. е. выпол-
няются ли для них условия:
m 2 4>P =	m 2 COS p$h  cos q$k	p=o,	если	p=kq>	
k=l	k==l	17= 0,	если	р = ?;	
m 2	= k=l	m 2 pin 77 • sin qfik k--i	(= 0, ^7=0,	если если	р 7= 9; Р = 7!	(VI.94)
m	m				
2 ФрФ<7= 2 cos 77 •Sln = 0 при любых р л </.
k=i	k=i
Оказывается, что функции (VI.92), -ф.р (VI.93) обладают свойством
ортогональности при известных соотношениях между числами т
точек интервала 0 ч- 2л) и п (число членов
разложения в ряд по тригонометрическим
функциям), а именно: если
п О ш. /2.	(VI.$,5)
Если же п )> иг/2, то свойство ортого-
нальности (VI.94) для указанных функций
не выполняется. В этом можно убедиться,
задавшись каким-либо определенным чис-
лом точек и проделав необходимые опе-
рации (VI. 94).
Ниже приведем пример для т = 10;
аналогичные проверки можно проделать
для любого т. На рис. 157 представлена
окружность единичного радиуса с распо-
(число
Рис. 157
ложенными по контуру десятью точками
на одинаковом расстоянии друг от друга, равном 360710 - 36°.
Обозначим cos 36° через bly cos 72° — через Ьг, sin 36° — через ах и
sin 72° — через а2.
Известно, что
= cos 36°
b2 = cos 72°
/5 ч 1
4
у 5 — 1 .
4	’
. „,.о Кг (5 —/5) . )
= sill 3() = ---------, I
a -sin 72°	I
0-2 - о 111 I	• I
(VI.96)
Из рис. 157 легко усмотреть, что все нужные cos р|3/г и sin р/Г выра-
жаются через четыре величины 61; &2, а, и а2 (VI.96). Сводка этих значе-
ний приведена в табл. 66.
Пользуясь табл. 66, а где потребуется формулами (VI.96), легко убеж-
даемся в выполнении условия (VI.94). Например: при п <С/ т/2
S cos cos 33л = 1 — bxb2 — brb2 — brb2 — ЬгЬ2 +1 — ЬгЬ2 — Ь±Ь2 —
- b,b2 - b,b2 = 2 - 8Ms = 2-8	= 0,
но при п )> т/2
S cos 4ph • cos 6pft —- 1 bl b2 7 b\ -~
1 + b^ -f- 7 I’ 7 i~ 7 — 2 4- 46, + 47 =7 0.
294 Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
Таблица 66
n	Точки	m = 1	m ~ 2	m — 3	m = 4	m~ 5	m — 6	m — 7	m = 8	m — 9	m = 10
		0°	36°	72°	108°	144°	180°	216°	252°	288°	324°
0	cos 0°	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	cos	1		b2	-b2	-bi	—1	-bl	-bi	&2	bl
2	cos 23A	1	b3	-bi	-bi	bi	1	b2	-bl	-bl	bi
3	cos 3g4	1	— b2	-bi	bl	b2	—1	b2	bl	-bl	-bi
4	cos 4$fe	1	-bi	ъ2	ъ2	-bi	1	-bl	bi	bi	-bl
5	cos 53/;	1	—1	1	—1	1		1	—1	1	—1
6	cos 63A	1	-bi	b-2	b2	-bi	1	-bl	bi	b2	-bl
1	sin3fe	0	at	«2	a2	ai	0	— ai	— a2	— ai	— Cl
2	sin 2$k	0	a2	at	— at	— a2	0	«2	ai	— 01	— a2
3	sin 38/г	0	a2	— ai	-ai	«2	0		«1	01	— Oi
4	sin 43,,	0	01	— a2	a2	— «1	0	ai	— a2	0-1	— «1
5	sin 53a	0	'0	0	0	0	0	0	0	0	0
6	sin 6pA	0	— <Z1	«2	— a2	av	0	— ai	«2	— 0'2	Cl
Точно так же находим, например:
S COS ' sin 3;3fe =s - $2^2 "4”	^1^1 “4“ ^2^2
-- U^)2 "4"	-- djbi 4“ ^2^2 = 0.
Таким образом, убедившись в ортогональности функций <рр и фр
п т/2 попутно найдем и величины
т	т
2 cos2«pft и sin2«pft.
k=l	&=1
В данном примере при т — 10 получаем
т	г-	г-
3 cos2з, = 2 + 4^2 + 4^ = 2 + П2+12? +	= 5;
k—i
2 cos2 2pft = c°s2 3PA = cos2 = 5; cos2 53s = Ю;
*=1	A=1	A=1	k=i
Гл, VI, Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 295
т	т	т
2 Sin2 рл = 2 sin2 23л = 2 sin2 3Pft =
k=i	*=i	k=i
. 2/0	/ 2 , z 2 2(5-У5) . 2(5+У5)	-
= sm2 4pft = 4^ + 4a3 = v- 4 r- + -З-Т.Г-Д = 5;
k=i
m
2 sin2 5pft = 0.
k=l
Подобным же образом найдено, что при любом т для всякого п т/2
существует зависимость
m	m
2 COS2 nph = 2 sin2 nPh = -у-,	(VI.97)
k=i	k=i
где m — число точек на контуре окружности.
При т четном для п = т/2 эта зависимость такая:
m	т
2 COS2 -у-рЛ = т; 2sin2^^ = 0-	(VI.98)
k=i	k==i
Подводя итоги изложенному выше, приходим к следующему выводу.
Если круговая цилиндрическая оболочка усилена стрингерами в т
точках, равномерно распределенных по окружности поперечного сечения
оболочки, и если в качестве функций ср и ф в разложениях (VI.10) берем
тригонометрические функции по формулам (VI. 17), то при п т/2 вслед-
ствие ортогональности выбранных функций ср и ф уравнения (VI.89) зна-
чительно упрощаются, так как коэффициенты при неизвестных с разными
индексами обращаются в нуль и остаются только коэффициенты с одина-
ковыми индексами.
Уравнения (VI.89) при этом принимают вид
у [апп-}-Кпп (и )] Un bnn Un уКПп (^ ) Уп спп Vn-]~ pn]G — 0;
чКпп (и'”) Un + спп Un — уА'пп (viy) FnV +
+ пп "4" ^Unn (^ )] Уп У5ПП Уп “1“ Qn / G = 0.
(VI.99)
Коэффициенты &пп> &пп? Спп> т*пп п ^nnj относягциеся к оболочке, ВЫ-
ЧИСЛЯЮТСЯ по соответствующим формулам (VI.18).
Коэффициенты же Кпп, относящиеся к тонкостенным стержням и вы-
числяемые в общем случае для одного стержня по формулам (VI.87),
теперь будут вычисляться по более простым формулам:
Кпп(и”) = ^cpn(m); Кпп(у'") = nSyq2n(m)\ Кпп(и") = nSy<f>n(m);\
Knn(v™) =	+ 2(^	+ 11^Д2/П]ф2 (m) + nVOT<p^(m); |(VL10°)
^(и=44(1-п2)*(т)- J
Здесь приняты обозначения:
ср2 (m) = 2 cos2 ф2(т) = 2 sin2npft.	(VI.101)
k=i	k=i
На основании (VI.97) и (VI.98) эти коэффициенты имеют выражение:
для всякого n<m/2 <р2 (т) = ф2 (т) = т / 2;	1 (VI 102)
для	п = т / 2	q&/2 (zn) = т\ ф^/а (/и) = О J
296
Расчет оболочек .методом перемещений с учетом деформаций сдвига
§ 8. Дифференциальные уравнения пространственной устойчивости
замкнутой круговой цилиндрической оболочки, усиленной стрингерами
В предыдущем параграфе получены разрешающие системы дифферен-
циальных уравнений для общего случая выбранных функций ф и ф (VI.89)
и для частного случая, когда ф и ф выражаются через тригонометрические
функции (VI.99). Эти дифференциальные уравнения позволяют решать
сложные контактные задачи по расчету оболочек, усиленных продоль-
ными тонкостенными элементами (стрингерами), на любые поверхностные
нагрузки.
Исходя из этих уравнений, нетрудно получить дифференциальные
уравнения пространственной устойчивости замкнутой круговой цилин-
дрической оболочки, усиленной стрингерами. Рассмотрим частный слу-
чай устойчивости при загружении оболочки продольной сжимающей цент-
рально приложенной силой. При этом собственным весом оболочки и ве-
сом усиливающих ее стрингеров будем пренебрегать.
Пусть Р — сжимающая сила; R — радиус поперечного сечения обо-
лочки; h — толщина оболочки; F — площадь поперечного сечения стрин-
гера; т — число стрингеров (равномерно распределенных по контуру по-
перечного сечения оболочки).
Напряжения от действия центрально приложенной сжимающей си-
лы Р можно выразить формулой
Эти напряжения при постоянном Р остаются постоянными по длине
оболочки и не зависят от положения точки на контуре поперечного сече-
ния. Величину Р будем рассматривать как параметр внешней нагруз-
ки, с изменением которого меняется напряженное состояние рассматри-
ваемой оболочки. Если при изменении параметра Р он не превосходит
известного предела, то в оболочке возникнут только нормальные напря-
жения, определенные формулой (VI.103), и соответствующие им дефор-
мации продольного сжатия: ими будет определяться основная форма рав-
новесия оболочки. Критической силой Р называется такая сила, при ко-
торой, помимо упомянутой выше основной формы равновесия, возможна
и другая форма равновесия. Переход оболочки из одного состояния равно-
весия в другое сопровождается появлением добавочных деформаций и соот-
ветствующих им добавочных напряжений.
Предположим, что деформации и перемещения, относящиеся к основ-
ной форме равновесия, весьма мало отличаются от деформаций и пере-
мещений, относящихся к новой форме равновесия в критическом состоя-
нии оболочки, т. е. примем добавочные перемещения весьма малыми.
Новая форма равновесия сопровождается появлением дополнительных
поперечных нагрузок, которые должны находиться в равновесии с нор-
мальными напряжениями п (VI. 103).
В книге «Тонкостенные упругие стержни» показано, как, исходя из
дифференциальных уравнений равновесия, получить дифференциальные
уравнения устойчивости, относящиеся к новой форме равновесия в мо-
мент потери устойчивости. Следуя этим указаниям и исходя из системы
дифференциальных уравнений (VI.99) или (VI.89), относящихся к ос-
новной форме равновесия, получим систему дифференциальных урав-
нений устойчивости; для этого нужно отбросить в (VI.89) или в (VI.99)
члены, относящиеся к поверхностной нагрузке pj (z) и qh (z) и прибавить
дополнительные напряжения, выраженные в функции добавочных пере-
мещений и параметра Р. Полученные системы дифференциальных урав-
нений будут однородные; под перемещениями в этих уравнениях нужно
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 297
понимать перемещения, относящиеся к новой форме равновесия в крити-
ческом состоянии оболочки.
Найдем дополнительные напряжения, вызванные добавочными дефор-
мациями и перемещениями в новой форме равновесия, отдельно для обо-
лочки и стрингеров.
В дальнейшем, говоря о перемещениях, следует понимать, что они
относятся к новой форме равновесия оболочки в ее критическом состоя-
нии.
Для оболочки (без стрингеров), считая перемещения весьма малыми,
для интенсивности составляющих дополнительных напряжений ps и ра,
происходящих от нормальных сил п, получим зависимости
psdzds = nhdzds^ ; рп dz ds = nh ds dz	,	(VI.104)
где d2v/dz2 и d2w/dz2 (по малости dv/dz и dw/dz сравнительно с единицей)
представляют собой кривизны в касательной и радиальной плоскостях
пространственной кривой, в которую переходит после потери устойчи-
вости образующая срединной поверхности оболочки.
Сокращая выражения (VI. 104) на ds dz, заменяя нормальное напряже-
ние п по формуле (VI. 103) через — N и представляя v и w по формулам
(VI-6), (VI. 10), получаем
ps = — Nh^V"k(z)tyk(s); рп = — Nh^RV"k(z}tyk(rY (VI.105)
k	k
Здесь (s) обозначает производную по переменной s; V'k — вторую про-
изводную по переменной z.
Так как в уравнения основной формы равновесия для оболочки без
стрингеров (VI. 15) входят не сами компоненты ps и рп (дополнительные
напряжения можно трактовать как внешнюю поверхностную нагрузку),
а их сочетание, по второй формуле (VI.16') найдем соответствующее на-
шему случаю выражение qh (z). Что касается р$ (z), то оно равно нулю,
так как дополнительных напряжений, соответствующих pz (z, s) при пе-
реходе от прежнего состояния равновесия в новое, не возникает.
Итак:
Qh (z) = ^Ps ф/, (s) ds + ph Дфп (s) ds =
= — Nh ГФь («) фь («) ds + R2 Ф* (s) Фп (s)=
L k •*	k	J
= — N Г2Фь (s) Ф/i (s) dF + R2 2УЦф* (s) Фл (s) dF~\ (VI.106/
L k	k J	-I
Введем сокращенное обозначение
rhk (/>) = Фь (s) фи («) dF + R2 (s) (s) dF =
= Фя (₽) Фи (P)dF + Фа (₽) Фл (₽) dF
(в первом выражении ф' обозначает производную по з, а во втором про-
изводную по Р).
Тогда (VI.106) представим следующим образом:
qh(z) = -N^\rhk(pyv"k	(VI. 107)
ь
Аргументом р при обозначении коэффициента г;|А- показано, что этот
298
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
член вызван внешней нагрузкой Р, ибо N по (VI.103) есть величина, про-
порциональная Р.
Таким образом, новая форма равновесия оболочки в ее критическом
состоянии сказалась в появлении добавочного члена qh (z), который яв-
ляется функцией, во-первых, неизвестных Vk, во-вторых, функцией пара-
метра внешней нагрузки Р и, наконец, известных коэффициентов, состав-
ленных из функций ф (s) и аналогичных коэффициентам.(VI.18).
Для случая, когда фп= sin гф, выражение (VI.106) принимает вид
qnn (z) = — N (1 -ь и2) aRhVn = — Nrnn (p) v"n,
где
r™ (p) = (1 4- П2) aRh.	(VI.108)
Система дифференциальных уравнений устойчивости оболочки без
стрингеров для n-го члена разложения по тригонометрическим функциям,
соответствующая системе (VI. 19). будет иметь вид
yah RU"n —	Un 4- nahV'n = 0;	)
г	л/п	™	( (VI-Ю9)
— nahU'n + I ahR — ahR (1 4- «2) -JJ К — Т	^Vn = 0. j
Рассмотрим теперь оболочку, усиленную стрингерами.
Для одного стрингера, работающего в контакте с оболочкой, для пере-
мещений бесконечно малого элемента контура его ds в направлении осей X
и У местной системы координат будем иметь выражения
Vx = v — Y (s) 9; Vv — w -j- X (s) 9.
Вторые производные по переменной z по малости самих перемещений
можем принять за кривизны в плоскостях XZ и YZ местной системы коор-
динат пространственной кривой, в которую переходит после потери устой-
чивости образующая стрингера:
У"=г" — У (s)9»; V" = w"+ X (s) 9".	(VI.НО)
Дополнительные поперечные напряжения для участка ds тонкостен-
ного стержня, происходящие от продольных напряжений п — — N вслед-
ствие добавочных деформаций при переходе в новую форму равновесия,
при помощи (VI. 110) можно представить в виде
dqx = — N [v" — У (s) 9»] dF;
dqv = — N [w” 4- X (s) 9"] dF,	(VI.Ill)
где dF= hds — дифференциал площади тонкостенного стержня стрин-
гера; h — толщина тонкостенного стержня.
Для того же участка ds (или для hds = dF) дополнительный момент
будет
dm = X(s)dqv — Y (s)dqx.	(VI.112)
Интегрируя по всему контуру поперечного сечения стрингера выра-
жения (VI.111) и (VI.112), найдем выражения дополнительных напря-
жений, возникающих во всем тонкостенном стержне при переходе в новое
состояние равновесия:
~qx — — N (Fv" — SVW); qy = —N(Fw" +	9");| I (vl 113)
т — —N [Sxw" — Syv' -j- (Jxx~Y Jyy)^"]- j
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 299
Подставляя сюда вместо v, w и 0 их выражения из формул (VI.83)
(в этих формулах штрихами при функциях ф обозначены производные
от этих функций по переменной Р), получим
7 = —lN 2 v k 4 ф*—4 + ф*)];
k
Qy== —	+	[ (VI.114)
к
m = -N% V"k [-+ 5^ +	+ Фа)}
k'	t
В уравнения равновесия входят не компоненты qx, qy и т, а их ком-
бинация, определяемая по второй формуле (VI.85). Подставляя в (VI.85)
выражения (VI.114) и понимая, как и ранее, входящие сюда интегралы
в смысле Стильтьеса, получим
qh (z) = qx (z, ₽) фл (Р) ds + \qy (z, ₽) фл (₽) ds -|-
+ 4" m (z> P)(₽) +Фа (P)l ds =
= - n vUf [фй (p) фп (p) + ф; (p) ф; (p)] -
k L
S „ _	__	_	S	„ -	„
-	-f [Фа (P) + Фа (₽)] Фа (P) “ "тт [Фа (P) + Фа (P)l Фа (P)	+
+ 4 № (P) +	(P)l Ф* (P) + 4 Ф* (P) № (P) + Ф* (P)l	+
+	1Ф*	(P) + Фа (₽)] ЕФа (P) + Фа (P)]} .	(VI.115)
Обозначив в (VI.115) для сокращения записи выражение в фигур-
ных скобках через К№ (р), где аргументом р показывается, что это коэф-
фициент при параметре нагрузки, формулу (VI.115) можно представить
в виде
qh(Z) = -N%Khk(p)V"k,	(VI.116)
k
где
Khk (р) = f [фЛ (р) фй (р) + ф; (Р) фй (Р)] —
-	4 (Р)+ф* (P)i	(Р) - 4 (Р) (Р)+(pj]+
+4 w* (Р)+(Р)]	(Р)+4	(Р) [ф* (р)+ф* (Р)1+
+ JxX^Jyy [фА (Р) + Фа (Р)] [Фа (Р) + Фа (Р)]•	(VI.117)
При наличии т стрингеров коэффициент Khk (/>) нужно преобразо-
вать таким же образом, как преобразовывались формулы (VI.87) в
(VI.91). Например, там, где встречаются функции ф(Р) ф(Р), нужно
понимать их как сумму
Ф (Р1) Ф (Р1) + Ф (Ра) Ф (Р2) + ’ • • + Ф (Рт) Ф (Рт).
Добавляя к уравнениям (VI.89) добавочные члены qh (z) по фор-
муле (VI.106) и qh (z) по формуле (VI.116) и отбрасывая в этих урав-
300
Расчет оболочек методом перемещении с учетом деформаций сдвига
нениях свободные члены pj / G и qh/ G, получим систему дифферен-
циальных уравнений устойчивости оболочки, усиленной т стрингерами.
Эти однородные уравнения будут иметь вид
г 3	('и'	2"
-Т2ЛнпК-2с^ = о;
тк1Л(и”) и'- + chi и\ - у 2	(*IV) 17ГГ +
г	i	k
+ 2	+ тА^(г-’")] —
k
— khA (p) + Khk (jD)] j v"k — Y 2 snk Vh 0
k
(i, j = 1, 2, 3,	, m),	(h, k — 1, 2, 3, . . . , n).
(VI.118)
В уравнениях (VI.118) две группы коэффициентов.
Одна группа — ар, bp, ср, Сщ, и Sip— относится к оболочке и
выражается по формулам (VI.16) и (VI.18). Вторая группа коэффи-
циентов — Кр (и"), Кр (»"'), Ktli (и'"), Khk (»IV), Khk (»"), Khk (p) — относится
к стрингерам и вычисляется по формулам (VI.91), полученным при
помощи (VI.87), и по формуле (VI.117), распространенной на т стрин-
геров.
Величина Л’, пропорциональная параметру внешней нагрузки Р,
определяется формулой (VI.103).
Подобно тому, как в § 7 сложная система дифференциальных урав-
нений (VI.89) при выборе в качестве функций <р и ф тригонометриче-
ских функций вида (VI.17) обращалась в систему более простого вида
(VI. 99), так и система дифференциальных уравнений устойчивости
(VI.118) при функциях <риф, определяемых формулами (VI.17), при-
нимает значительно более простой вид вследствие ортогональности этих
функций. Напомним, что при наличии стрингеров, расположенных в т
равно отстоящих друг от друга точках контура поперечного сечения
оболочки, ортогональность сохраняется при условии п 'С/2.
Система (VI.118) переходит в систему следующего вида:
7 1	4“ Ктг (и ) ] UFI	bnn Uп > ^Кпп (г? )	спп V п — 0,
уКпп (и'") и"п + cmUn — уКт (»IV) I7,1/ +	I
N	„ f (VI.119)
+ |[^nn + ГКпп(и"У]--q~ [r„n (p) + Knn (p)lj-Bn—	|
— rsnnF„=0 (n = 1, 2, 3, . . . , k m/ 2).	J
Коэффициенты ann, bnn, cnn, rnn, snn этой системы вычисляются по фор"
мулам (VI, 18), коэффициенты Кпп(и"), Knn(v"'), Кпп(и"), Knn(vLV),
Кпп(у")— по формулам (VI.100).
Коэффициенты Кпп(р) для рассматриваемого случая будут иметь
вид
Кпп (р) = F [ф2 (т) + иад£ (m)J-(1 — и2) ф^ (т) +
+	(1 -п2)аф® (щ).	(VI.120)
Гл. VI. I!рочностъ и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 301
Здесь символические обозначения (»г) и фн (т) имеют смысл,
указанный формулами (VI.101), а величина их зависит от числа стрин-
геров и определяется формулами (VI.102).
§ 9. Оболочка под радиальным равномерно распределенным
давлением
Пусть оболочка находится под действием радиального давления по-
стоянной интенсивности q (рис. 158,а); по площадкам продольного се-
чения оболочки возникнут внутренние силы Т = qR. Выделим из оболоч-
ки бесконечно малый элемент dz ds. К этому элементу по площадкам dz
будут приложены силы Т (рис. 158,6). После деформации элемент зай-
мет несколько иное положение. Считая деформации очень малыми,
заменяем tg 9 через 9; проектируя силы Т на нормаль, получаем состав-
ляющую поверхностной нагрузки рп от давления q:
=	+	+	= Т |J = 7’x	(VI.121)
ИЛИ
Рп = qR%.
С другой стороны, первоначально взятый элемент dzds после дефор-
мации перейдет в элемент (1 + 8i) dz ds (е2 равно нулю вследствие поло-
женной в основу расчета гипотезы).
Избыток площади е. dzds под действием давления q дает вторую часть
составляющей поверхностной нагрузки:
—	ди
Рп = — 7Е1 = — 7 jr .
Таким образом, поверхностная нагрузка от давления q будет
Рп — Рп + Рп-
Пренебрегая рп по сравнению с рп, получим
Рп — Рп = qR%.
Согласно формуле (VI.14), деформация контура х выражается в виде
х = R 2 vh (z) ф£ (s) + А- 2 Vk (2) Ф* (S),	(VI .122)
k	k
302
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
если производные ф берутся по переменной s, или
х = i (2) i^k (?) + ф* о,
k
если производные берутся по переменной |J.
Таким образом:
Рп = ТИ = qR* = -X(z) [ф£ (3) +	(3)]. (VI.123)
k
Для того чтобы учесть в уравнениях устойчивости влияние дополнитель-
ной составляющей рп, нужно вычислить по формуле (VI.16') величину q^.
Чк = q J 2 <z> (P) + О Ф* (P) =
k
= q ph (P)'+ Ф* (₽)I Фл(3)	(VI.124)
k
Если фп = sin пр, то (VI.124) принимает вид
qh — qnn2(i — nz)Vn.	(VI.125)
Полученная величина прибавляется к уравнениям устойчивости
(VI.119), именно к последнему члену второго уравнения, который также
содержит неизвестное Vn.
Членом (VI.125) и учитывается влияние радиального давления пос-
тоянной интенсивности q в уравнениях устойчивости.
§ 10. Интегрирование дифференциальных уравнений устойчивости
1. Дифференциальные уравнения устойчивости круговой замкнутой
цилиндрической оболочки, усиленной определенным количеством стрин-
геров и находящейся под действием центрально приложенной сжимаю-
щей силы, при условиях, о которых выше подробно говорилось, можно
представить в виде табл. 67.
Таблица 67
Z7n(z)	Vn (z)	
AiIP — ,12	— CiD» + CR)	=0
— (7iZ)s + C2D	I	P	\ BiIP + (	-g- — BA D2 +	=0
Здесь, как и ранее, символом D, D2,..., Dn условно обозначены пер-
вая, вторая, ..., п-я производная по переменной z от функции, стоящей
в заголовке.
Уравнениями табл. 67 представлена система (VI : 119) в более сокра-
щенной записи. Здесь только параметр внешней нагрузки N заменен че-
рез Р по формуле (VI.103).
Коэффициенты Alt А2, Blt В2, В3, Bt, С. и С2 — постоянные числа, за-
висящие от физических и геометрических характеристик как самой обо-
лочки, так и усиливающих ее стрингеров.
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 303
Эти коэффициенты в раскрытом виде выписаны в форме табл. 68 с ука-
занием, какие части этих коэффициентов происходят от геометрических
характеристик оболочки и какие — от геометрических характеристик
стрингеров. Данные берем из формул (VI.18), (VI.107), (VI.100), (VI.119),
(VI.120) и (VI.125).
В этой таблице приняты обозначения: R — радиус поперечного сечения
оболочки (по отношению к серединной поверхности); h — толщина обо-
лочки; J—погонный момент инерции продольного сечения оболочки (при
наличии шпангоутов — приведенный погонный момент инерции с учетом
шпангоутов); у = E/G, где EnG — модуль продольной упругости и модуль
сдвига; q— интенсивность равномерно распределенного давления на оболоч-
ку; F — площадь поперечного сечения стрингера; т — число стрингеров,
равномерно распределенных по контуру оболочки; Jd — момент инерции
стрингера при чистом кручении.
Геометрические характеристики стрингера Sv, Jxx, Jyy, Jxn, Jn в ме-
стной системе координат и их выражения через геометрические характе-
ристики в главных центральных осях поперечного сечения стрингера
определяются по формулам (VI.78), (VI.80), (VI.81) и (VI.82).
Напомним, что система уравнений табл. 67 имеет простую структуру
для каждого п только при условии (VI.95):
п т / 2;
где т — количество стрингеров.
В дальнейшем будем исходить из системы табл. 67, причем индекс п
при неизвестных Vn (z) и Un (z) будем опускать, помня, однако, что эта
система относится к определенному значению п. Значения коэффициен-
тов в основном будут определяться табл. 68, хотя в некоторых частных
задачах эти коэффициенты могут частично претерпевать изменения. На-
пример, если сопротивлением растяжению (сжатию) оболочки можно
пренебречь (гофрированная оболочка), то коэффициенты At и В2 в части,
зависящей от оболочки (первая колонка табл. 68), равны нулю, а коэффи-
циенты 4а, С2 и В3, отражающие работу оболочки на сдвиг, будут умень-
шены в 2 раза.
Коэффициент Bi при отсутствии равномерного давления в оболочке
не будет содержать члена с q.
Коэффициент Вг, если стрингер имеет форму уголка или тавра, не бу-
дет содержать членов с секторнаяьными характеристиками. Все эти об-
стоятельства необходимо учесть для каждого частного случая, внеся
соответствующие изменения в табл. 68.
2. Систему двух уравнений с двумя неизвестными функциями U (z)
и V (z) можно привести к одному дифференциальному уравнению с одной
неизвестной функцией соответственно более высокого порядка.
Введем новую функцию Ф (z), связанную с функциями U (z) и V (z)
уравнениями
U = (^Ф'” (z) — С2Ф'(z)A
Г = Л1Ф"(г)-ДаФ(г). J
При U и V, выбранных по формулам (VI.126), первое уравнение
табл. 67 удовлетворяется тождественно, а второе уравнение приводится
к виду
(А1В1 — С21)ФУ1 — (А1В3 + В1А2 — 2С1С2) ф1у +
-j- (.4j_54 А2В3 — С2) ФЛ — АгВЛФ -}-
4- -J- (ЛДФIV — Л2ВаФ") = 0.	(VI. 127)
304
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдсига.
Таблица 68
Коэффи- циенты	От оболочки	От стрингеров
Ai =	''ЛИА	Y/’cpS (m)
Л2 —	rPeth В	—
Ct =	—	4nSV4n (."A
С2 =	tilth	—
Bi —	—	[Г	2 (1 — zi2)	(1 — n2)2 I T	+	R	+ Д2 ^£2 J	t + МУу^п (”’)}
в2 =	(1 -j- n2) nRh 2nRh -j- mF	[n2<Pn (m) -г 'Фп О'1)] г 2(«2-l)^ 2 +	R	Фп ("0 + JXX+JVV	2 1 	1	 /?2	O' 0	2aRh + mF
В3 =	nRh	Jd rT A1"2 — О2 Фп ("0
7лп2 (п2 — I)2
Т дз +
q
+ Лп2 (ге2 — 1) -Q-
(от внутр, давл. q)
Для упрощения записи, введем обозначения:
(1з ~ - AjB} Ч” С1> ®2 ~ -- (A]Bg Ч~ ^1^2-- 2С1Са)>
Й1 =	^1^4 -- ^2^3 + С2, ао = ----- ^2^4>
Ь2 = ArB2; Ъг = А2В2.	(VI.128)
В этих обозначениях уравнение (VI. 127) запишем в виде
_ a3QVI + д2ф1У _ Я1ф" доф + Z. (62ф1у _ 6хф") = 0. (VI. 129)
3. Рассмотрим оболочку, поперечные края которой имеют шарнирное
опирание. Соответствующие этому случаю граничные условия предста-
вим в виде
при z = 0 и z = I v = 0; du/dz = о = 0.
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек
305
Решение дифференциального уравнения устойчивости (VI.129) пред-
ставим при этом в форме
Ф = Фо sin (mrtz/Z),	(VI.130)
где Фо — постоянное число; т — целочисленный коэффициент, который
может принимать значения целых положительных чисел, т = 1, 2, 3, . . .
Введем обозначение
X = Нт.	(VI.131)
Очевидно, что % представляет собой длину полуволны соответствующей
синусоиды в выражении (VI.130).
Выражение (VI.130) при обозначении (VI.131) будет иметь вид
Ф = Фо sin (jtz / %).	(VI.132)
Подставляя (VI.132) в уравнение (VI.129) и производя сокращения на
отличный от нуля множитель Фо sin (лг/%), получим алгебраическое урав-
нение, связывающее функции Р/G и X:
Я6 . Л4 . Ла ,	, р А л4 . , Ла \ п /Т7Т .
аз уг	+ ао +	хт) — (VI.133)
Замечая, что множитель л/% входит в (VI. 133) только в четных степе-
нях, обозначим
ла/Х2 = ц.	(VI.134)
При этом (VI. 133) запишется в еще более простом виде:
п3|х3 + а2ц2 + щр + а0 Д- р (5аЦ2 + бцх) = 0, (VI.135)
где
~p — PjG.
Уравнение (VI.135) в алгебраической форме связывает длину волны
синусоиды % = Нт с параметром внешней нагрузки Р. Другими словами
каждой полуволне соответствует свое значение Р, так как из (VI. 135)
следует
~__азР3 Ч~ а2р2 4~ aip 4~ ао	(VI 137)
Необходимо помнить, что самое уравнение (VI.135) соответствует
некоторому значению числа п, определяющему номер члена разложения
в основных формулах:
и — Un (%) cos пр; v = 2 Vn (z) s*n п$’ (VI.138)
n	П
Следовательно, уравнений типа (VI. 135) столько, сколько членов при-
нято в разложениях (VI. 138). Из всех значений критических сил Р, кото-
рые можно таким образом получить, нас будет интересовать только одно
наименьшее значение, определяющее несущую способность конструкции.
Отсюда напрашивается простой метод решения задачи: давая в (VI.137)
разные значения величине т и рассматривая столько уравнений типа
(VI.135), сколько значений имеет п, подсчитываем для каждого случая
по формуле (VI.137) величину ~р и из полученных значений Р выбираем
наименьшее.
Этот способ, однако, столько же прост, сколько и трудоемок. Кроме
того, остановившись на каком-либо определенном числе тге, мы не можем
20 в. 3. Власов, т. III
306
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформаций сдвига
иметь уверенности в том, что именно это число дает наименьшее значение
критической силы.
Общий метод решения состоит в разыскании минимального значения />,
рассматриваемого как функция р при изменении самого ц. Для этого
нужно, как известно, вычислить и приравнять нулю производную от Р
по Ц.
Дифференцируя (V.135) по ц и приравнивая производную (Гр/dp нулю,
получим
ЗядЦ2 2а2р ~r di р (262р + ^i) = 0.	(VI. 139)
Уравнения (VI. 135) и (VI. 139) представляют собой систему двух ал-
гебраических уравнений с двумя неизвестными: ~р и ц. Исключая из этих
уравнений величину ц, нетрудно получить относительно р кубическое
уравнение вида
? + А^р2 V В^рА- (\ = 0	(VI. 140)
Здесь коэффициенты Аъ Blt Сг определяются формулами:
_ 3(2агЪ1 — ЗазЪР) .	(VI.141)
2Ь1
3 [2я2Ьа — За3 (я2Ь1 + <zib2)]
2а3 — 9aiaa а3 -ф 27а0
При помощи известной подстановки
Аг
Р = Ро-^
уравнение (VI. 140) преобразуется к более удобному для решения виду:
Ро + Зрр0 + 2g = 0	(VI.142)
Здесь
Р =	Ч = 4рА31-±-А1В1+±С1.	(VI.143)
Внося в (VI.143) значения (VI.141), получим для этих коэффициентов
выражения:
Р = —4- [262 (a2^i — ®1&г) — За3
4&*
27а2
g = 	3 [&i&2 (a2^i— а1^г) + 2а0Ь3— d3b3].
°Ь2
По вычислении критической силы нетрудно найти и величину пара-
метра Ц, определяющего форму потери устойчивости оболочки. Разре-
шая уравнение (VI. 139) относительно р, получаем
— («2 + bzp) ±]/"(а2 + Ь1Р)2 — За3 (ai + bip)
И -	3^	’
после чего длина полуволны синусоиды X, соответствующая минимальной
силе р, определится по формуле (VI.134).
Гл. VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 307
§ 11. Определение критической силы
без учета деформации сдвига в оболочке
В предыдущем параграфе при вычислении критической силы в ра-
боте оболочки учитывалась деформация сдвига. Теперь упростим задачу,
предположив, что в оболочке деформация сдвига равна нулю. К этому
можно прийти, если считать, что в оболочке модуль упругости G равен
бесконечности, но Gy в то же время не равно нулю или, другими словами,
что сдвигающая сила в уравнениях равновесия остается конечной вели-
чиной.
Рассмотрим, какой вид примет уравнение (VI.127) при сделанном пред-
положении. Из табл. 68, в которой представлены коэффициенты уравне-
ния (VI.127) в расшифрованном виде, можно усмотреть, что в части, от-
носящейся к оболочке, в качестве множителя содержат модуль G коэффи-
циенты Д2, С2 и Вя (только от оболочки). В этом лучше убедиться, обра-
тившись к первоначальной системе (VI.15) и вспомнив, что там оба урав-
нения уже поделены на G и те члены, которые имели множителем G,
после сокращения его потеряли, а члены, имевшие множителем Е, при-
обрели после сокращения множитель у.
Таким образом, при G -» оо следует считать, что это эквивалентно
тому, что А2 оо, С2 -» оо и та часть коэффициента 53, которая относит-
ся к оболочке, тоже стремится к бесконечности, тогда как часть коэффи-
циента 53, относящаяся к стрингеру, остается конечной.
Представим поэтому коэффициент В3 в виде суммы
5°б + ^зт,	(VI.144)
где 5°36 — обозначает ту часть коэффициента В3, которая относится к обо-
лочке, а 53т — ту часть, которая относится к стрингеру.
Поскольку В0® = aRh, коэффициенты А2 и С2 могут быть выражены
через В°£:
А2 = ^В°36-, С2=^~вТ.	(VI. 145)
Уравнение (VI.127) после подстановки в них (VI.144) и (VI.145) и при-
ведения подобных членов принимает вид
{А& - Cf) <DVI - (4- ALBT + В, < - 2 ~ С1В°3б) Фгу +
+ (АгВ, + -g-	Ф" ~~ВьВ°5Ф +
+ ~(а1В2Ф™ — ^В2В°36Ф’) = 0.	(VI. 146)
Разделив уравнение (VI. 146) на В°3 и переходя к пределу при В°3 ос,
получим
(2 С, - В, - А) ф1У + ВТ Ф" -
- i в*ф - 4 i ^ф" = °-	(vi.i47)
Полагая теперь в уравнении (VI.147) Ф по формуле (VI.132), получим
по сокращении на общий множитель Фо sin (nz/X):
-4^+444^=°	(VL148)
20*
308
Расчет оболочек методом перемещений с учетом деформации сдвига
Вводя обозначения
Ц! = Х2/л2; p = P!G	(VI.149)
и умножив уравнение на ц2 В!2In2, получим
В4Ц? + (В°т - рВ2) И1 +	+ В, - 2 A G = 0. (VI. 150)
Уравнение (VI. 150) позволяет определить критическую силу в пред-
положении, что деформация сдвига в оболочке равна нулю. Можно ви-
деть, что это уравнение значительно проще уравнения (VI. 135).
Для определения наименьшей критической силы вычислим и прирав-
няем нулю производную от р по р,1#
Дифференцируя (VI. 150) по щ и полагая др/др^ — 0, получим
2В4р,4Ц- ВТ -pB2=0	(VI.151)
Из этого уравнения найдем р,х, выраженное через ~р:
Подставляя (VI. 152) в уравнение (VI. 150), после приведения подоб-
ных членов получим
~	+ Вх - 2 — Сх = 0. (VI.153)
Из (VI. 153) нетрудно найти минимальное значение р:
Pmin = ~ [ВТ + 2 / в4 (4Р + В4 - 2 4 Сх)] . (VI. 154)
Зная pmin, по формуле (VI. 152) найдем соответствующее ему значе-
ние pj, а затем и соответствующую критической силе длину волны X,
определяющую форму потери устойчивости по длине оболочки.
Выражение для критической силы (VI. 154) значительно упрощается
для гладкой оболочки, не усиленной стрингерами. При этом будем иметь
Аг = тлВ/,; В2 =	;
ВТ = В^(\ = (У,	=	(VI.155)
Внося значения коэффициентов (VI.155) в (VI.154), найдем
Г в2п х
или
Р _	'(h (n2 —1)
2GnRh ~ в з (п2 4- 1) ’
Величина ц4 равна
= ~pBi = дз
2В4 hn2 (п2— 1) ’
откуда
. 2 _ л2Я3 /12 л _ яЛ . / /12/Г
hn2 (п2—1) И n | h (п2 — Г)’
Часть третья
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
Глава VII
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНОК
И ТОНКОСТЕННЫХ БАЛОК
§ 1. Два метода приведения бигармонического уравнения
плоской задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям
Изложенный выше общий вариационный метод приведения двух-
мерных проблем теории упругости (описываемых дифференциальными
уравнениями в частных производных) к более простым одномерным за-
дачам (описываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями)
позволяет значительно расширить рамки современной прикладной тео-
рии упругости и рассмотреть ряд новых задач строительной механики.
В качестве примера, иллюстрирующего построение методов реше-
ния некоторых новых задач прикладной теории упругости, рассмотрим
плоское напряженное состояние прямоугольной пластинки. Отнесем
эту пластинку к системе Оху прямоугольных координат.
Имеем следующие основные уравнения:
(VII.1)
(VII.2)

Здесь Хх, Yv, Ху = Yx — соответственно нормальные и касательные
напряжения (рис. 159); и, v — проекции перемещения точек срединной
плоскости пластинки на оси координат соответственно Ох, Оу, Е — мо-
дуль упругости; v — коэффициент Пуассона.
Уравнениями (VII.1) выражены в декартовых координатах условия
равновесия элемента пластинки; уравнениями (VII.2) представлен за-
кон Гука для изотропной пластинки;
Система пяти дифференциальных уравнений (VII.1) и (VII.2) по ис-
ключении напряжений Хх, Yv, Xv = Yx приводится к системе двух сим-
метрично построенных дифференциальных уравнений, каждое второго
порядка относительно перемещений и — и (х, у), v = v (х, у):
д2и .1 — v д2и 1 + т ^'2у	 1 — V2 у
дх2 ‘	2 ду2 ‘	2 дх ду ‘ Е
1 + V	д2и	.	d2v	.	1 •— v d2v	.	1 — V2	у
2	дх ду	‘	ду2	‘	2 дх2	‘ Е
(VII.3)
310
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Если ввести функцию напряжения ср = <р (х, у), называемую в теории
упругости функцией Эри, по формулам:
Y _ д2ф . у _ д2ф . у__________________________д2ц>
1 х ду2 ’ у дх2 ’ v дх ду ’
(VII.4)
то система пяти совместных уравнений (VII.1), (VII.2) или эквивалент-
ная ей система двух совместных уравнений (VII.3) при Х=У=0 при-
водится к одному так называемому бигармоническому уравнению:
2 э4Ф
Эх4 ' дх2 ду2 ду4
(VII.5)
Это уравнение вместе с заданными на контуре условиями опреде-
ляет основную искомую функцию ср = ср(х, у), а следовательно, согласно
формулам (VII.4), и напряжения в любой точке (х, у) пластинки.
Рис. 159
Описанную здесь достаточно сложную математическую двухмерную
проблему попытаемся решить иным путем, приводя эту проблему при
помощи тех или иных в каждом частном случае очевидных гипотез к од-
номерным задачам, аналогичным по своему физическому смыслу нашей
более сложной задаче, относящейся к изложенной выше теории тонкостен-
ных пространственных систем.
Как и ранее, будем считать, что искомые перемещения и = и (х, у),
v = v (х, у) задаются в форме конечных рядов:
и =	(ж) <pt (г/);	= 3	(Ж)^(У)>	(VII.6)
г—1	/,=!
из которых первый содержит т слагаемых, а второй п слагаемых. Функ-
ции
UДх) (г = 1, 2, 3, . . . , m); Vk (х) (k = 1, 2, 3, . . . , п)
будем считать искомыми, а функции
Ф1(У) (г = 1, 2, 3, . . . , тп); (г/) (k = 1, 2, 3, . . . , п) —
заданными.
Функции ?7j(x), Vk(x), как и в случае призматических оболочек, пред-
ставляют собой искомые обобщенные перемещения — соответственно про-
дольные и поперечные.
Функции дд(г/), фй(у) представляют собой заданные в поперечном сече-
нии обобщенные координаты для перемещений — соответственно про-
дольных и поперечных.
Гл. VII. Плоское напряженное состояние пластинок и тонкостенных балок 311
Формулы (VII.2) на основании (VII.6) принимают вид
3 и\ (х) ф{ (у) + v 2j Vk (х) ф* (у) ;
1 — V2
1 — V2
2 (1 + v)
. 2=1	k=l
~ п	т
И Vk{x')^'k(y) + vyi Ui(x') (рг{у) ;
. Jt=l	2=1
т	п
S Ui (ж) (Pi (у) 4- S v'k(x)tyk(y) .
(VII. 7)
Л=1
Е
Е
v
у
Е
Выделим из прямоугольной пластинки параллельно оси Оу элемен-
тарную поперечную полоску шириной dx=l. Такая полоска, как дефор-
мируемый элемент пластинки, при условиях (VII.6) обладает (в плос-
кости пластинки) т+п степенями свободы; из них т относится к про-
дольным перемещениям (параллельно оси Ох), а п — к поперечным пере-
мещениям (параллельно оси Оу). В соответствии с этим числом степеней
свободы обобщенные условия равновесия элементарной полоски, по-
нимаемые в смысле изложенного выше вариационного метода, принимают
такой вид:
\—d^~^dF—\Xy%dF + \P<Pidy = 0 (/ = 1, 2, 3, . . ., m);[
f er	1 <™.8)
J “aT" ^dF— Yvty'hdF -j- qtyhdy = 0 (h = 1, 2, 3, . . ., n). j
В этих уравнениях члены, перед которыми стоит знак минус, отно-
сятся к работе внутренних сил (сдвигающих Ху в уравнениях первой
группы и нормальных Yv в уравнениях второй группы). Остальные члены
-	дХ- АЛ
относятся к работе внешних сил, состоящих из искомых сил  оау и
ах
—б dy, получающихся от взаимодействия рассматриваемой полоски
с отброшенными (слева и справа) частями пластинки, и заданных внеш-
них сил pdy, qdy, приходящихся на данную полоску и распределенных
по длине этой полоски по какому-либо произвольно заданному в общем
случае закону.
Подставив в уравнения (VII.8) выражения для искомых напряжений,
представленных общими формулами (VII.7), получим окончательно си-
стему обыкновенных дифференциальных уравнений. Она состоит из т
уравнений, соответствующих т степеням свободы перемещений полоски
в продольном направлении (параллельно оси Ох), и п уравнений, соот-
ветствующих п степеням свободы перемещений этой полоски в попереч-
ном направлении (параллельно оси Оу). Эта система в сокращенной за-
писи имеет следующий вид:
л	6	••	,	»	л
3	S W, + s fe -es) vk + Ц* ft = 0;
г=1	2=1	6=1 v	!	а
- 3 «„-tie,,, U-, +	3 r№V-t -
2=1 4	k=:1
П	4	2
— 3 shkVk 4---р— qn ~ 0.
a=i	24
(VII.9)
Коэффициенты уравнений (VII.9) при выбранных функциях ср, (у),
Фз (У) (i< i = 1, 2, 3, . . т), фй (у), ф;1 (у) (k, А = 1, 2, 3, . . ., п) и, еле-
312
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
довательно, известных производных от этих функций гр^ (у),	(у)
(г, / = 1, 2, 3, . .	т), ф), (у), фф (у) (k, h = 1, 2, 3, . . ., ri) определяются
как своего рода обобщенные моменты инерции по формулам:
dji = Ъц = cp'cp'cZT?’;
cik = J ф;ф^;
tjk =5 ^'kdF'
rhk = rkh =\> флфлс/F;
Shk = skh = \ флф*^;
см = Фдф-с^;
thi =\ Флфг^Т7.
(VII.10)
В этих формулах интегралы (определенные) распространяются на
всю длину полоски (ширину заданной прямоугольной пластинки).
dF = bdy — дифференциал площади поперечного сечения пластинки;
б = б (у) — толщина пластинки, которая в общем случае в направлении
оси Оу может быть и переменной, например в случае составных балок-
стенок может изменяться по ступенчатому закону (на разных участках
ширины пластинки могут иметь разные значения). Все коэффициенты
легко могут быть вычислены графо-аналитическими приемами строи-
тельной механики при помощи предварительно построенных эпюр для
функций ср, (у), фл (у) и производных от них ср'(у), ф^ (у) (i = 1, 2, 3, ... т),
(k = 1, 2, 3, ..., ri).
Свободные члены	(ж) (/ = 1,2,3,..., т), qh = Qh (®) (h =
= 1, 2, 3, . . ., ri) уравнений (VII.9) вычисляются при заданных внешних
нагрузках как обобщенные на координатах соответственно продольных
Ф; (у) и поперечных ф^ (у) погонные силы (отнесенные к единице дли-
ны) по формулам:
Pi = \ Ptyjdy = \ XtyjdF', ]
р	р F	(VII.И)
Qh = \q^hdy= \ Уфкс/К)
Здесь р — Хб, q = Уб — заданные массовые силы, отнесенные к
единице площади средней поверхности пластинки.
Формулы (VII.11) распространяются также и на внешнюю нагрузку,
приложенную на продольных краях пластинки и состоящую в общем
случае из заданных на этих краях сдвигающих и нормальных сил. В этом
случае интегралы в формулах (VII. 11), в соответствии с физическим смыс-
лом определяемых по этим формулам величин, следует вычислять как
интегралы Стильтьеса с учетом сосредоточенных факторов.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (VII.9) может
быть получена и из уравнений (VII.3). Для этого нужно подставить в
уравнения (VII.3) искомые функции и = и(х, у), v= v(x, у), представлен-
ные в виде конечных рядов (VII.6), затем помножить, в соответствии с
физическим смыслом данного здесь вариационного метода, первое урав-
нение (VII.1) на ф3(у) dF (/ = 1, 2, 3, ..., т), второе наф^(у) dF (h = 1, 2, 3, ...,
...,м)и затем интегралы по переменной у, взятые от каждого уравнения по
всей ширине пластинки, приравнять нулю. Применяя для соответствую-
щих интегральных членов формулу интегрирования по частям, придем
к системе уравнений (VII.9), коэффициенты которых определяются фор-
мулами (VI 1.10).
Дифференциальные уравнения (VII.9) могут быть получены при лю-
бом выборе функций ср/у) (г = 1, 2, 3, ..., т), фь(у) (6 = 1, 2. 3...., ri). Каж-
Гл. VII. Плоское напряженное состояние пластинок и тонкостенных балок 313
дая из этих двух систем функций, характеризующих в своей совокуп-
ности распределение по переменной у (в плоскости поперечного сечения
пластинки) искомых перемещений, а следовательно, в силу формул (VII.7)
и напряжений, должна представлять собой систему линейно независимых
функций.
В частности, задаваясь функциями ф,(у), 1Ы?/) в тригонометрической
форме:
фг (.У) — cos	(* = 1, 2, 3, . . ., оо);
Фа (?/) = sin {knyjb) (k = 1, 2, 3, . . ., оо),
где Ъ — ширина пластинки, получим из этого метода известное в теории
упругости решение, принадлежащее Рибьеру и состоящее в применении
к плоской задаче тригонометрических рядов.
В этом случае бесконечная система дифференциальных уравнений
(VI 1.9) для пластинки, постоянной толщины вследствие ортогональности
тригонометрических функций распадается на бесконечное число неза-
висимых систем, каждая из которых состоит из двух обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, приводящихся к одному дифференциальному
уравнению четвертого порядка вида
/7 (z) - 2 (^-)2 fn(x) + (^)4 /„ (х) + pl (х) = О, (VII. 12)
где tn(x) — искомая функция, зависящая только от z; п — любое целое
число (n = 1, 2, 3, ..., ос).
К дифференциальным уравнениям (VII.9) в каждом частном случае
задачи теории упругости следует присоединить граничные условия, за-
данные на краях х = 0, х = I. Эти условия в соответствии с физическим
содержанием метода должны быть заданы в интегральной форме. Число
условий должно соответствовать общему порядку 2(m+n) системы диф-
ференциальных уравнений (VII.9).
Для рассматриваемой здесь задачи о плоском напряженном состоянии
пластинки дифференциальные уравнения в частных производных могут
быть приведены к одному или к системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений и другим методом, исходя из бигармонического уравнения
(VII.5). Принимая в этом уравнении для достаточно узкой прямоуголь-
ной пластинки функцию напряжений Ф = Ф (х, у) в виде произведения
Ф {х, у) = F (х) ф(у),
где F(x) — функция искомая, а ф(у) — заданная, удовлетворяющая ста-
тическим условиям на краях, параллельных оси Ох, помножая уравнение
(VII.5) на ф (у) dy, интегрируя затем по всей ширине пластинки, получим
для F(x) такое уравнение:
F™-2^F" + -J- F = 0.
Здесь г2 и s1— безразмерные обобщенные упругие характеристики,
определяемые при выбранной функции ф(у) по формулам:
/2 j (ф')2 dy	J (ф")2 dy
— ___ у.____ • S* — I* -_____
2 j ф2 dy ’	J ф2 dy
в которых ф'(г/) и ф"(у) — производные. Если функцию Ф (z, у) задать
в виде суммы произведений из искомых функций Fi(x) и заданных фДу)
(г = 1, 2, 3,..., п), то получим систему п обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений.
314
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
§ 2.	Расчет балки с высокой стенкой
Начало координаты у выбираем на оси симметрии Ох, Ъ — ширина
пластинки.
Предположим, что по верхнему краю у = —Ь/2 пластинки приложена
нормальная к этому краю нагрузка q = q(x).
Такая нагрузка может быть разложена на две: симметричную и об-
ратно симметричную относительно горизонтальной оси симметрии пря-
моугольной пластинки.
В соответствии с этим имеем две независимые между собой задачи о
плоском напряженном состоянии пластинки, а именно: задачу об изгибе
пластинки силами, приложенными по продольным краям ее обратно сим-
метрично относительно оси Ох, и задачу о напряжениях пластинки,
вызываемых силами, приложенными также на продольных краях у =
= ±6/2 и действующими относительно оси Ох симметрично.
Рассмотрим изгиб пластинки.
В этом случае можно, например, положить:
н (х, у) = U\ (х) у + U2 (х) sin (2лу/6); 1
V (х, у) = Pl (z)-l + V3 (х) cos (ny/b). /	(	• )
Перемещения, представленные формулами (VII.13), относятся к из-
гибу пластинки в ее плоскости. Первыми членами в формулах (VII.13)
выражены те перемещения, которые относятся к закону плоских сече-
ний. Величины U^x), УТ(х) представляют собой соответственно угол по-
ворота поперечного сечения и прогиб средней линии пластинки.
Вторыми слагаемыми представлены дополнительные члены, учиты-
вающие отклонение от гипотезы плоских сечений и от другой гипотезы
о том, что деформации поперечных удлинений равны нулю.
Система дифференциальных уравнений (VII.9) при разложениях
(VII. 13) принимает вид
2	,2	2	.	,42
2 ajiUi--2—S	i + S (ytjk — —2—	---E—	=
1=1	i=i	k=i '	/	a
3 (V*M —  3 chi j U i -------rhkVk '	3 shkVk +
1=1 '	A=1	k=l
. 1 — V n
4----g— qh — 0
(/,^ = 1,2).
(VII.14)
Коэффициенты уравнений первой группы (первого j = 1 и второго
/ = 2) вычисляются по формулам:
аи = j ф^Т*1; ai2 = а21 = j cppp^F;
«22 = j Ф2^; bn = j (<р')2 dF;
bi2 = &2i = 5 ФхФ^^’’	= j (%)w;
сп $ Ф1Фй^; «12 = 5 ф^^;
«21 = j ФзФ1йР; С22 = $ qjIfodF;
hi = J Ф1ф^Р; *12 = J <Pi%dF;
*2i = j qzty^dF;	tyityjlF.
(VII. 15)
Гл. VII. Плоское напряженное состояние пластинок и тонкостенных балок 315
Коэффициенты уравнений второй группы (третьего h = 1 и четвер-
того h = 2) вычисляются по формулам;
Гц = j Ф2^; Г12 = г21 = j ф1фа^;
Гц = у Ф2^; $п = у (ф')2 dF;
S12 = S21 = У Ф1Ф2^: s22 = у (ф')2 dF;
(VII.16)
— Cjk, thi — tjk'
В формулах (VII. 15) и (VII.16) в силу (VII. 13) следует считать
. 2яг/
Ф1 = У, Ф2 = sm ;
.	.	.
% =	!:	%	= -rcos—;
Ф1 =	1;	ф2	= cos^y-;
Ф1 = 0;	Ф2=--Г sm-f.
При этих данных для функций, зависящих от у, и при dF = б dy,
б = б(у) — толщина пластинки, которая в общем случае может быть
и переменной (например, в случае балки-стенки, состоящей из трех
узких пластинок разных толщин), по формулам (VII.15) и (VII.16) по-
лучаем для коэффициентов вполне определенные числовые значения.
Свободные члены уравнений (VII. 14) при действии на пластинку одной
только поперечной нагрузки q(x)/2, приложенной на краях у = +&/2
и направленной по каждому краю сверху вниз, принимают значения
Pi = р2 = 0; дг = д; д2 = 0.
Присоединив к уравнениям (VII. 14) граничные условия, заданные на
краях х = 0, х = I, получим решение, позволяющее при достаточно боль-
шой высоте балки-стенки Ъ (точнее, отношении высоты Ъ к пролету Z)
учесть отклонение от закона плоских сечений. Нормальные напряже-
ния Хх поперечного сечения балки-стенки определяются (при v = 0) по
двухчленной формуле:
Хх= E[U'1(x)y+U^(x)sin(2ay/b)].	(VII.17)
Если поперечные края пластинки закреплены от одних только пере-
мещений v и имеют в каждой точке свободную подвижность в продольном
направлении, то уравнения (VII.14) легко интегрируются в тригономет-
рических рядах. Для каждого члена ряда имеется система четырех алгеб-
раических уравнений.
Подобным же образом может быть построено решение задачи в слу-
чае действия на пластинку нагрузки, симметричной относительно го-
ризонтальной оси.
Рассмотрим балку-стенку, состоящую из двух пластинок различной
толщины (рис. 160). Для такой задачи, подобно тому, как это предло-
жено нами в теории оболочек, можно искомые перемещения и, v задать
в форме
и(х,у) = U^x^y) + U2(x)q2(y) +
v{x,y) =Р1(а:)ф1(г/) ф-К^ФзО/) + ^з(^)Фз(у) - J
Функции фЛу), ф2(у), ф3(у), фДу), ф2(у), ф3(у) представлены на рис. 161, а.
Каждая из этих функций в интервале изменения независимой переменной
у удовлетворяет условию непрерывности.
316
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Производные от функций ср{(у), Фг(?/) (i =	2, 3) показаны на
рис. 161, б.
Функции фг(г/), <р2(?/), гРз(?/) выбираем так, что для каждой из двух уз-
ких пластинок, образующих рассматриваемую здесь монолитную кон-
струкцию балки-стенки, остается справедливым закон плоских сечений.
Для всего же поперечного сечения балки-стенки этот закон уже не будет
иметь места.
В соответствии с (VII. 18) система дифференциальных уравнений
(VII.9) будет состоять из шести уравнений, из которых первые три
уравнения по своему физическому смыслу будут соответствовать трем
Рис. 161
обобщенным продольным координатам фхО/),	Фз(?/)> а остальные
три уравнения — обобщенным поперечным координатам фДу), фгС?/),
Фз(^)>
На основании этой теории легко получаются основные дифферен-
циальные уравнения также и для составных стержней.
Полагая Us = V3 = 0 и отбрасывая соответствующие этим обобщенным
перемещениям дифференциальные уравнения, получим при функциях
Гл. VII. Плоское напряженное состояние пластинок и тонкостенных балок 317
91(3/), ф2(у),'Ф1(у), систему четырех дифференциальных уравнений, отно-
сящихся к пластинке, состоящей из двух полос и имеющей по нижнему
краю в каждой точке закрепления от перемещений как продольных, так
и поперечных (как показано пунктиром, см. рис. 160).
§ 3. Тонкостенная колонна под действием центрально приложенной
сосредоточенной силы
Рассмотрим задачу о напряженном состоянии, возникающем в тон-
костенной колонне симметричного поперечного сечения в окрестности
места действия на нее центрально приложенной сосредоточенной силы
(рис. 162). Такая задача возникает, на-
пример, при опирании на колонну попе-
речной балки, в мерте опирания которой
стенка колонны усиливается продольными
накладками, длина которых и является
искомой.
Рис. 163
области в окрестности действия внешней
:ие будет отличным от напряженного co-
Очевидно, что в некоторой
нагрузки напряженное состоя
стояния, определяемого обычными формулами сопротивления материа-
лов, построенными на основе гипотезы плоских сечений. Поэтому для
решения поставленной задачи применим вышеизложенный вариационный
метод (§1).
Будем считать, что перемещения, возникающие в точках сечений
колонны, определяются следующими выражениями:
“(^?/) = ^1(?/)<Р1(^)+П2(г/)(р2(а:);	(VII.19)
г?(ж,у)=0.
В этих формулах Ur(y)— продольное перемещение сечения колонны,
соответствующее гипотезе плоских сечений, и П2(у) — депланация
сечения.
Эпюры функций ф1(ж) и <р2(ж), соответствующие единичным значе-
ниям перемещений Ux(y) и U2(y), показаны на рис. 163, а. Производные
функций ср^(х) и даны на рис. 163, б.
В дальнейшем будем считать, что функции <Pi(.a?) и гр2(а:) на протяже-
нии верхней части колонны (длины накладки) ортогональны, что всег-
да можно сделать, выбрав функцию ср» (х) из следующего соотношения:
rp» (х) = <р2 (х) — фх (х),
где
а12 = \ Ф1 (х) <р2 (х) dF; аг1 = rp2 (z) dF.
я	F
318
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
(VII.21)
Тогда интегральные условия равновесия (VII.9) запишутся в следую-
щем виде (в уравнениях и всех дальнейших формулах пренебрегается зна-
чением v2):
для верхней части колонны
EanU'\=0; у
Ea22U"2~Gb22U2 = 0; J
для нижней части колонны
Ed-^xU। -J— Ed\2U2 = 0;
Ea12Uj	Ed22U2 — Gb22U2 = 0.
Коэффициенты уравнений (VII.20), (VII.21) на основании формул
(VII. 10) определяются следующими выражениями:
ац = b22 = FB; а.22 = Ф2 (х) dF-, ап = Ъ22 = Еа;
F
а12 = Ф1 (х) ф2 (х) dF; а22 = ф2 (ж) dF,
где FB и FH — площади сечений соответственно верхней и нижней частей
колонны.
Интеграл уравнений (VII.20) имеет вид
^1 (у) — С1У Н-	U2 (у) = С3е^ С^е~кУ,	(VII.22)
где	___
G&22
Ей22 *
Интегрируя уравнения (VII.21) путем исключения U[, получим
t/i (у) = _ {D1ekv + D2e~kv) + D3 + D.y;
an
U2 (у) =	4- D2e~ky,
(VII. 23)
где
Gb^2
E (й22 —	/ (2ц)
Для определения входящих в формулы (VII.22) и (VII.23) произ-
вольных постоянных поставим граничные условия:
при у = Z1
= — Р; Ea22U2 = — Pzp,	(VII.24)
где zp — ордината эпюры ф2 (х) в точке приложения силы Р (в центре
тяжести сечения).
Внося в уравнения (VII.24) формулы (VII.22), получим
(j ________
1 Ban
Pz„
e-kit _i_ С4е-2Аг‘,

после чего формулы (VII.22) примут следующий вид:
Ui (У) - у + С2;
р^
и2 (у) = - -т-Л + С4 [ек(У-^ 4- e-ky\.
(VII.25)
Гл. VII. Плоское напряженное состояние пластинок и тонкостенных балок 319
При у = — Z2 будем считать, что колонна защемлена, тогда в этом
сечении
U, (у) = U2 (У) = 0.	(VII.26)
Внося в уравнения (VII.26) функции U± (у), U2 (у) из (VII.23), найдем
D2 = -	А = D,l2.
Функции (VII.23) для Ur (у) и U2 (у) принимают теперь следую-
щий вид:
U\ (у) =	[ekv - е-ЗД+ВД] + D, (12 + у)-, ]
an	I (VII.27)
U2 (у) = D± [ekv — e~*(v+2W].	)
Для определения произвольных постоянных С2, Ct, Dr и Dt запи-
шем условия контакта нижней и верхней частей колонны:
при у = 0
Ui (у) = U± (у); U2 (у) = U2 (у);
YycfidF = YytyidF', Yvq2dF = Yvq>2dF.
A	FH
• (VII.28)
Внося в уравнения (VII.28) значения входящих функций Yv (х, у)
и Yy (х, у), определяемых формулами (VII.7), и Ui (у), Ui(y), опреде-
ляемых формулами (VII.25) и (VII.27), и решая полученную систему
алгебраических уравнений, найдем
e-kl, (____?________
\1 + е 2kti zpan )
e-2kl^ (J
1 _L p-ikh
Pzp
Г) __________Е _________________
771 — Е '	!	-2\
А I 022 — ЗМ (1 + е~2к1г) -j- a22k ~
\ «11 /
с2 =
Pzp
Fan
D, ==------€- ;
Бац
2   012 „kl, \
e~2kl> zpan )
I- «12 \ /1 +e“2^\	1 —e-2«>
fci I «22 — - II - I + a22k -  —pr
\ an J \l — е~2Ыг)	l+« 2kil
ai2e kl1
/г
(VII.29)
Р
е-^
Pz
'“р
Е
4 —
1pkl\
e~2kl' zpau J
bin	!k\	, _2№
k I ^22	— )	' —	-j-<^22^(1 ~F6
\	«11/	l_|_e-2£Z2
1
a22k ’ (1 _|_ e-?ki.
В полученных формулах для произвольных постоянных осталась
неопределенной величина 1± (длина накладки). Для определения ее по-
требуем, чтобы отклонение напряжения от гипотезы плоских сечений
320
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
в месте обрыва накладки составляло 5% от такового, подсчитанного
с использованием гипотезы плоских сечений.
Тогда получим
_ М5Р = EU'^ .	(VII.30)
ац
Внося в уравнение (VII.30) значение U2(y) из (VII.27), используя фор-
мулы (VII.29) и вводя обозначения
Nr = - 0,025	4- 0,025 —+ 0,5	;
ацЗр	aiizp	ацхр
V2 = - 0,025	;
aukz^
/2 = L—1Х (где L — полная длина колонны), получим
(М + N2) + (Л\ — N2) е-Ы11 + (Л4 + дг2 _ 1) e-ikL^k-k)
+ (Vj - N2 - 1) e-^Le^ - e-«- = 0.	(VII.31)
В полученном уравнении по малости величин можно пренебречь вто-
рым, третьим и четвертым членами. Тогда уравнение (VII.31) упростится
и примет вид
+ N2 - e~kl- ж 0.	(VII.32)
Из уравнения (VII.32) искомая величина 1г выразится следующей фор-
мулой:
1 1
= Т ln 2V1 + 7V2 ’
Рассмотренное решение может быть также применено к решению за-
дачи определения длины участка арматуры, который необходимо заде-
лать в бетон, когда на арматуру действует внешняя растягивающая сила.
§ 4. Метод определения начальных температурных напряжений
Рассмотрим задачу об определении температурных напряжений в тон-
костенной конструкции типа стержня-оболочки открытого или замкну-
того профиля. Расчет будем вести на осевую продольную температурную
деформацию в предположении, что рассматриваемая система в попереч-
ном сечении обладает жестким недеформируемым контуром Г
При таком предположении поперечное тангенциальное перемещение
v отсутствует
v = 0,
а полное продольное относительное удлинение еп составляется из отно-
сительного продольного удлинения, связанного с продольными нормаль-
ными напряжениями законом Гука (обозначим его еупр), и относительно-
го продольного удлинения от воздействия температуры, которое обозна-
чим et:
еп = еупр + е(.	(VII.33)
1 В ЦНИПСе под руководством автора был проделан расчет по этому методу кон-
струкции пустотелой плотины на температурную деформацию: осевую продольную и
поперечную, и чисто изгибную поперечную. См. отчет за 1952 г.: Б. С. В а с и л ь-
ков и И. Е. Милейковский. Конструктивное решение и особенности ра-
боты пустотелой плотины контрфорсного типа, § 8, гл. II.
Гл. VII. Плоское напряженное состояние пластинок и тонкостенных балок 321
Эти осевые продольные деформации являются функциями 1Двух пере-
менных: z и s; с продольными перемещениями u(z, я) они сЙ|заны, как
известно, зависимостью
Продольное перемещение представляем в виде суммы произведений
4
и (z, s) = S Ui (z) (pj (я),	(VII.34)
i=l
ограничиваясь для u(z, s) четырехчленной формулой (i = 1, 2, 3, 4).
Здесь, как и ранее, Ui(z) — искомые функции, a <р;(я) — заранее вы-
бранные функции. В качестве первых трех членов выделим продольные
перемещения, относящиеся к элементарному расчету стержня как балки,
подчиняющейся закону плоских сечений; для этого под функциями
<Pi(s), <p2(s) и <р3(я) будем понимать
Ф1(я) = 1; <р2 ($) = х (я); <р3 (я) = у (я),	(VII.35)
где x(s) и у(я) — декартовы координаты срединной линии поперечного сече-
ния в главных центральных осях.
Четвертое слагаемое относится к бимоментному напряженному со-
стоянию, связанному с депланацией поперечного сечения стержня. Та-
ким образом, <р4(я) будет обобщенной координатой депланации, а соот-
ветствующая ей функция Ut(z) — искомым обобщенным продольным
перемещением, связанным с бимоментным напряженным состоянием.
Бимоментное напряженное состояние относится к системе взаимно урав-
новешенных сил, в то время как напряженное состояние, определяемое
законом плоских сечений, относится к системе внутренне неуравнове-
шенных сил, которые могут быть заменены равнодействующей, вызы-
вающей растяжение или изгиб.
По аналогии с продольным перемещением (VII.34) можно деформа-
цию продольного удлинения от воздействия температуры Et(z, я) пред-
ставить также в виде четырехчленной формулы:
4
ei (z, я) = 2 ед (z) <рд (я),	(VII.36)
3=1
в которой под <рп(я), <р2((я), <Рз«(х) можно понимать <р4(я), <p2(s) и фз(я) по
формулам (VII.35).
В нашей задаче будем рассматривать стержень-оболочку со свобод-
ными незакрепленными концами, поэтому температурные деформации,
определяемые координатами (VII.35), не вызовут напряженного со-
стояния.
Температурные напряжения возникнут только при таком темпера-
турном режиме, от воздействия которого деформации определяются обоб-
щенной координатой депланации <р4?(я). На этом основании как в разло-
жении (VII.34), так и в разложении (VII.36) удержим только по одному
члену, содержащему обобщенную координату депланации ф4(я) и <р4г(я)
и в дальнейшем написании индекс 4 опустим.
Итак, имеем
и (z, я) — U (z) <р (я); е( (z, я) = et (z) ф( (я).	(VII.37)
Функции <р(я) и <р;(я) можно также отождествить и считать, что <р(я) =
— ф((я) ортогональна с системой функций (VII.35), так как их всегда
можно известным приемом ортогонализировать.
21 в. 3. Власов, т. Ш
322
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
После Желанных замечаний очевидно, что система основных уравне-
ний (УИ.Ц^гаспадается на четыре независимых уравнения. Три из этих
уравнений"*относятся к плоскому напряженному состоянию и на основа-
нии вышеизложенного нас не интересуют, а четвертое уравнение при от-
сутствии внешней продольной погонной нагрузки интенсивности р бу-
дет иметь простой вид:
5	Т(Р' (s) dF = 0.	(VII.38)
F	F
Сделаем еще одно предположение, которое относится к закону рас-
пределения температуры вдоль стержня, а именно будем считать, что
e((z) = const, тогда e((z) можно положить равным
е( (z) = at.
где а — коэффициент линейного расширения материала, a t — темпера-
тура, до которой стержень-оболочка нагрета и распределение которой по
поперечному сечению определяется функцией <p(s).
Из формулы (VII.33) следует еупр =еп— е(.
Учитывая все изложенное, можно написать
еУпр (Z, s) = ди s) — е( (z, s) = U' (z) <р (s) — ai<p ($).
Продольное нормальное напряжение б (i, s) = ЕеуПр будет выра-
жаться формулой
б (z, s) = EU' (z) <р (s) — Eatcf (s).	(VII.39)
Касательное напряжение т (z, s) будет иметь вид
т (z, s) = Gy = G du(z’ s) = GU (z) <p' (s)1.	(VII.40)
Уравнение (VII.38) после подстановки в него выражений (VII.39)
и (VII.40) примет вид
EU" (z)	<р2 * * (s) dF - GU (z) [<р' (s)]2 dF -= О2 (VII.41)
р	г
или
U" (z) - k2U (z) = 0,	(VII.42)
где
k2 = G [<р' (s)]2 dF I Е <р2 (s) dF.
F	F
Решение уравнения (VII.42) будет
U (z) = Сг sh kz -f- Сг ch kz.	(VII.43)
Произвольные постоянные Сг и С2 определяются из граничных усло-
вий.
1 При r = 0 4~du(z, s)/ds, а слагаемое от температуры равно нулю, так как
деформация сдвига от температуры отсутствует и имеет место только линейное
(а вообще и объемное) расширение.
2 Уравнение (VII.41) получилось однородным, так как мы предположили, что
е( (z) = at = const. Если бы е( (z) =)= const, то уравнение (VII.41) было бы неодно-
родным и в первой части его вместо нуля стоял бы свободный член вида
3e((z) с
Е - QZ-. ф2 (S) dF-
F
Гл. VII. Плоское напряженное состояние пластинок и тонкостенных балок 323
Пусть длина стержня-оболочки равна 21. Начало отсчета координаты
z возьмем в середине ее длины. В силу симметрии задачи достаточно рас-
смотреть одну половину оболочки. Граничные условия:
при z —О u(0, s) = О,	(VII.44)
где u(z, s) — полное перемещение
при z= I В(1) = 0. (VII.45)
По определению
Рис. 164
На основании (VI 1.39) и (VI 1.43)
б (z, s) — Е [(Ctk ch kz + C2k sh kz) — at] q> (s)
и следовательно:
В (z) = E [Cxk ch kz + C2k sh kz - at] q>2 (s) dF.	(VI1.46)
F
Граничное условие (VII.44) дает
u(0,s) = [Cjsh^z + C2chfez]2=n <p(s) = O,
откуда	G = 0.	(VII.47)
Из второго граничного условия (VII.45) на основании (VII.46) с уче-
том (VI 1.47) получаем
С — at
1 k eh kl
Для нормального продольного напряжения c(z, s), возникающего как
температурное напряжение, получим окончательное выражение в таком
виде:
6(z, 5) = £а/(^_-1)Ф(5).	{VII.48)
Закон изменения напряжения c(z, s) от температурного состояния стер-
жня по его длине показан на рис. 164. Примерный вид распределения
напряжений по поперечному сечению в случае двутаврового сечения по-
казан на рис. 165.
Из формулы (VI 1.48) видно, что напряжения от воздействия темпе-
ратуры могут достигать значительной величины, поскольку Е входит
в формулу (VII.48) в качестве множителя.
Изложенный здесь метод определения начальных напряжений, при-
водящихся в поперечном сечении стержня-оболочки к взаимно уравнове-
шенной системе продольных сил (продольному бимоменту), может быть
применен также и в задачах расчета тонкостенных железобетонных стерж-
ней (колонн и балок) с предварительным натяжением арматуры.
Выбор функции <p(s), характеризующей депланацию сечения, обус-
ловливается в каждом частном случае характером задачи.
21*
Глава VIII
ТЕОРИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИНОК
§ 1. Основные дифференциальные уравнения теории изгиба пластинок
1. Пластинкой в теории упругости называется тело цилиндрической
или призматической формы, у которого один из размеров, именно высота
цилиндра или призмы (толщина пластинки К), мал по сравнению с двумя
другими. Плоскость, делящую толщину пластинки пополам, принято
называть срединной плоскостью. Линия пересечения срединной плос-
Рис. 166
кости с боковой поверхностью
пластинки называется контуром
пластинки.
При исследовании деформаций
и напряжений пластинки будем
пользоваться прямоугольной сис-
темой координат, определяя поло-
жение точки в теле пластинки рас-
стояниями х, у и z от координат-
ных плоскостей. Считая пластинку
горизонтальной, направим ось Oz
вертикально вниз, а оси Ох и Оу
расположим в срединной плоскости
получить правовинтовую систему ко-
упругих пластинок основана на сле-
пластинки таким образом, чтобы
ординат (рис. 166).
Общая теория расчета тонких
дующих гипотезах.
1) Деформация пластинки происходит так, что всякий линейный
элемент ее тп, нормальный к срединной плоскости (z = 0), после дефор-
мации сохраняет свою длину, остается прямым и нормальным к поверх-
ности, в которую переходит срединная плоскость.
2) Нормальные напряжения, возникающие на площадках, параллельных
срединной плоскости, как мало влияющие на состояние равновесия и де-
формации пластинки, принимаются равными нулю.
Из этих гипотез первая носит чисто геометрический характер и опреде-
ляет собой модель деформированного состояния пластинки.
Вторая гипотеза относится к статическим величинам и позволяет с дос-
таточной для практических целей точностью упростить исследование на-
пряженного состояния пластинки.
2.	Отмеченные гипотезы вместе с законом Гука позволяют получить
известные формулы:
п /д2™ । d2w\ ,.	r. fd2w , d2w\
H = — D (1 —)
d2w
dx dy
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
325
Здесь МХ,МУ, Н — изгибающие и крутящий моменты, возникающие
по двум взаимно ортогональным нормальным сечениям пластинки;
w — прогиб пластинки в точке, определяемой декартовыми координа-
тами х, у (рис. 167); v — коэффициент Пуассона; D — цилиндрическая
жесткость, вычисляемая при толщине пластинки h и модуле упругости
Е по формуле
D = W-v) '	(VIII.2)
Поперечные силы пластинки Nx, Ny находятся из статических урав-
нений:
= »
„ (VIII'3)
ду ду и’ J
выражающих равенство нулю вектора моментов от всех сил, действую-
щих на выделенный элемент пластинки.
Из уравнений (VIII.3) вместе с (VIII.l) получаются для Nx и Nv
следующие формулы:
Nx = -	; Ny = - D-?-	4-	• (VIII.4)
ox \ox2 1 dy2/	y	dy \dx2 1 dy2/ '	’
Таким образом, внутренние силы упругой пластинки при изгибе вы-
ражаются через одну и ту же функцию, а именно: через прогиб пластин-
ки w (х, у).
При решении задачи по методу перемещений эта функция прини-
мается за основное неизвестное и определяется из условия равновесия
элемента пластинки:
dNx div
^ + -W + P = Q-	(vin-5)
Внося в уравнение (VIII.5) соотношения (VIII.4), нетрудно получить
дифференциальное уравнение искомой поверхности прогибов пластинки
в виде
Й + 2ТО + Й = 4-	(VIII.6)
дх4 1 дх2ду2 1 dyi D	'	'
где р = р(х, у) — заданная внешняя нагрузка.
В целях сокращения записи, уравнение (VIII.6) обычно представ-
ляется в следующей форме:
vVH^-У) = тг •	(VIII.7)
326
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Здесь символом у/2 («набла два») обозначен дифференциальный опе-
ратор Лапласа второго порядка:
у?2 = ЗЧдх2 4- д'Чду2.
Дифференциальное уравнение (VIII.6), полученное впервые Софи
Жермен, синтезирует теорию деформаций и напряжений пластинки и
является основным в теории изгиба пластинок.
3.	По определении функции прогибов w(x, у) моменты и поперечные
силы пластинки рассчитываются по формулам (VIII.1) и (VIII.4).
Для установления знаков этих величин изгибающие и крутящие мо-
менты удобно изображать в виде векторов, направленных таким образом,
что при взгляде вдоль вектора-момента напряжения, образующие этот
Рис. 168
момент, создают вращения против движения часовой стрелки. Тогда
векторы положительных изгибающих моментов (при взгляде на плос-
кость Оху по направлению оси Oz) будут идти вдоль контура элемента
в одном направлении, оставляя элемент слева: векторы положительных
крутящих моментов будут направлены по внешней нормали к контуру.
На рис. 168 показаны направления векторов при положительных
значениях изгибающих и крутящих моментов. В действительности Ни
всегда равно — Нх, определенному для той же точки, но на перпендику-
лярной площадке, и поэтому их векторы всегда направлены: один по
внешней нормали, другой — в обратном направлении.
4.	Определение моментов в произвольной косой площадке, проходя-
щей через данную точку С(х, у) (рис. 169), можно провести, используя то
же правило знаков. Выделим для этого у точки С срединной плоскости
пластинки элементарный треугольник со сторонами dx, dy, ds.
Если внешняя нормаль п элемента ds составляет с осью Ох угол а,
то, принимая во внимание соотношения
dx — ds sin сс, dy = ds cos a,
можно выразить неизвестные интенсивности изгибающих моментов Мп
и крутящих моментов Нп на косой площадке через заданные интенсив-
ности моментов Мх, Mv и Нх= — Ну:
Мп = Мх cos2 ос 4- Му sin2 a 4- 2ЯЖ sin a cos a;
(VIII.8)
Hn — (Mv — Mx) sin a cos a 4~ (cos2 oc — sin2 a).
Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести
через данную точку, существуют такие площадки, для которых изгибаю-
щий момент принимает максимальное или минимальное значение. Угол
Гл.1 VIII. Теория изгиба пластинок
327
ах, определяющий данную площадку, найдем из условия
(	~ 2 (Му — Мх) sin «j cos ctt + 2НХ (cos2 ах — sin2 ах) = 0;
(VIII.9)
2/7,
^-М^Му-	(VIIL1°)
Из сопоставления условия (VIII.9) со второй из формул (VIII.8)
следует, что на площадках, для которых изгибающие моменты прини-
мают максимальные или минимальные значения, крутящие моменты
равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а из-
гибающие моменты этих площадок называются главными моментами.
Главных площадок в общем случае будет две, и эти площадки, как сле-
дует из уравнения (VIII.10), взаимно-перпендикулярны. Исключив из
первого уравнения (VIII.8) и уравнения (VIII.9) угол а = а(, получим
для главных моментов следующие формулы:
М, = -- [Мх +Му + F(MX-My)2+ 1
,	_________;[	(VII 1.11)
М2 = 4- {Мх + Му - V (Мх - Му? + 4Я2 . I
Таким образом, зная моменты Мх, Му и Нх— — Ну на площадках, про-
ходящих через данную точку С(х, у) параллельно осям координат, мож-
но по формулам (VIII.11) найти главные моменты. Иэ этих формул, меж-
ду прочим, следует
Мх + Му = М± + М2 = const.
Другими словами, сумма изгибающих моментов, действующих на
любых двух взаимно-перпендикулярных площадках, есть для данной точ-
ки величина постоянная, равная сумме главных моментов, и не зависит
от ориентации этих площадок.
§ 2. Изгиб ограниченной пластинки. Контурные условия.
Математическая формулировка задачи
а) Множественность решений дифференциального уравнения пластинки
Приведенное в предыдущем параграфе основное уравнение (VII.6)
связывает в линейной дифференциальной форме две функции: искомую
основную функцию w(x, у) и заданную функцию р(х, у), представляю-
щую собой интенсивность нагрузки.
Согласно этому уравнению, искомая функция w(x, у) должна быть
такой, чтобы при применении к ней двойного оператора Лапласа она
давала тождественно (для любой точки х, у) величину, пропорциональ-
ную заданной функции р = р(х, у). Но и при таком ограничении суще-
ствует бесконечное множество функций, удовлетворяющих основному
уравнению (VIII.6). Действительно, считая нагрузку р = р(х, у) заданной
функцией от х и у, можно варьировать бесчисленным множеством краевых
условий: нагрузкой на контуре и характером закрепления.
-Пусть пластинка (рис. 170) на части контура abc свободно оперта, на
части контура cde жестко заделана и на части контура eja имеет свобод-
ный край; нагрузку р(х, у) положим по всей площади равной нулю. Тог-
да дифференциальное уравнение изгиба пластинки будет иметь вид
5 +	+ 5 =	(VIII.12)
328
Вариационные методы решения задач по теории пластинок .
В случае отсутствия нагрузки на свободной части контура afe пла-
стинка, очевидно, останется плоской; действительно, функция w(x, у) =
= 0 удовлетворяет дифференциальному уравнению (VIII.12). Однако
это решение не является единственным. Приложив по свободному краю
нагрузку, состоящую из поперечных сил и моментов, распределенных по
какому угодно закону, заставим пластинку изогнуться, причем поверх-
ность прогибов w = w (х, у), соответствующая этому случаю, по-преж-
нему будет тождественно удовлетворять уравнению (VIII.12) во всех
точках внутри области.
Меняя нагрузку на контуре произвольным образом, получим бес-
численное множество изогнутых поверхностей, каждая из которых бу-
дет удовлетворять уравнению
Э	(VIII.12). Более того, при одной
~	< и той же контурной нагрузке
^^Sss^S!ssssS получим бесчисленное множест-
3	Р zTl	в0 Решений уравнений, если
3	/	станем изменять условия задел-
ТЭг	у	ки на каком-либо участке кон-
у	тура.
/	Заметим, что однородное
ССС	F	уравнение (VIII.12)	называется
°	Т	бигармоническим, а	все бесчис-
„	ленное множество функций
Рис. 170	, ч	w ч
w \х,Уь удовлетворяющих ему,—
бигармоническими функциями.
Нетрудно доказать также множественность решений общего (не-
однородного) дифференциального уравнения изгиба пластинки:
g + 2	+	(VIII.13)
дх* 1 дх-ду- 1 ду* D	'	7
при р (х, у), отличном от нуля.
Действительно, если существует хотя бы одна функция w = wp(x, у),
удовлетворяющая уравнению (VIII.13) (за такую функцию можно при-
нять уравнение изогнутой поверхности пластинки от нагрузки р (х, у)
при любых условиях закрепления и любой нагрузке на контуре), то сум-
ма этой функции с любой из бесчисленного множества бигармонических
функций, т. е.
w = wp(x, у) + w0(x, у),
удовлетворяет неоднородному уравнению (VIII.13); через w0 здесь обозна-
чена произвольная бигармоническая функция.
Таким образом, доказано, что основное уравнение (VIII.13) удов-
летворяется бесчисленным множеством решений. Эта неопределенность
происходит вследствие того, что здесь применен метод дифференциаль-
ного исчисления и, следуя этому методу, рассмотрено состояние равно-
весия и деформаций пластинки в сколь угодно малой окрестности у дан-
ной точки С (ж, у). Именно поэтому выпали из рассмотрения части пла-
стинки, находящиеся вне данной окрестности, и, в частности, не нашли
отражения контурные условия пластинки, влияющие существенным
образом на состояние изгиба ее. Из сказанного следует, что для полу-
чения единственного определенного решения, отвечающего данной зада-
че, нужно к дифференциальному уравнению (VIII.13) присоединить еще
и граничные условия. Другими словами, среди бесчисленного множества
решений, которое допускает при заданной нагрузке р = р (х, у) уравне-
ние (VIII.13), нужно выбрать такое, которое удовлетворяло бы задан-
ным контурным условиям или, как говорят, данной краевой задаче.
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
329'
б) Основные геометрические и статические величины, характеризующие
состояние изгиба ограниченной пластинки на контуре
Прежде чем перейти к рассмотрению частных случаев граничных
условий, остановимся несколько подробнее на геометрических и стати-
ческих величинах, относящихся к произвольному криволинейному краю
пластинки. Пусть уравнение контура задано в параметрической форме:
х = х ($); у = у (s),
где s — расстояние по дуге контура от начальной точки Со до рассматри-
ваемой точки С (рис. 171). Деформированное
ке С контура характеризуется прогибом в
точке С и углом поворота внешней норма-
ли п к этой кривой (углом наклона норма-
ли п после деформации по отношению к
плоскости Оху). Угол поворота при ма-
лых прогибах пластинки с точностью до
величин высшего порядка малости равен
частной производной от прогиба т по на-
правлению нормали пи, так же как прогиб,
является функцией положения точки С на
контуре, т. е. функцией дуги s.
Обозначая через а угол, который сос-
тавляет внешняя нормаль п в точке С с
состояние пластинки в точ-
осью Ох, получим такие формулы для прогибов и углов поворота нор-
малей контура:
w = w (х, у);
dw __
дп
dw	, dw
— cos а Ч—д— sin а,
dx	dy
(VIII.14)
где х и у в первой формуле и а во второй следует считать заданными
функциями от s.
Обратимся теперь к статическим величинам, относящимся к криво-
линейному краю пластинки. По этому краю в случае изгиба пластинки
будут действовать усилия трех родов, а именно: изгибающие и крутя-
щие моменты и поперечные силы. Пусть Mn = Mn(s) и Нп = Нп ($)
обозначают соответственно интенсивности изгибающего и крутящего
моментов в точке С, приложенных по площадке с внешней нормалью и;
Nn — поперечная сила, приложенная на той же площадке. Как показал
Кирхгоф, эти три усилия при постановке граничных условий можно
привести к двум: к изгибающему моменту Мп и к приведенной попе-
речной силе, статически эквивалентной усилиям Нп и Nn. Для этого
нужно заменить крутящий момент Hnds парой вертикальных сил, чис-
ленно равных Нп и приложенных по концам элемента ds (рис. 172,а, б).
Такая замена не повлияет на величину крутящих моментов и вызовет
лишь местные перераспределения напряжений на краю пластинки, не
отражающиеся на распределении усилий по всей остальной площади.
Переходя от точки С, положение которой на контуре определяется
дугой s, к точке С±, определяемой дугой s Д- ds, и замечая, что при этом
крутящие моменты, а следовательно, и вертикальные силы Нп, состав-
дНп
ляющие пару Hnds, получают приращение -^-ds, приходим к выводу,
что крутящие моменты, распределенные на контуре, интенсивность
которых Нп ($) задана как непрерывная функция дуги s, статически
эквивалентны поперечной силе, распределенной по тому же контуру
интенсивностью dHnlds.
330
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Кроме того, по концам А и В участка контура sA<Js<jsB будут
действовать сосредоточенные поперечные силы, численно равные:
Н (з.) и —Н (sA.
nA А7	п 4 В'
Если весь контур пластинки представляет собой гладкую кривую
с непрерывно вращающейся касательной, то HnJ) везде будет непре-
рывной функцией, и во всякой точке Нп (s -ф- 0) = Нп (з— 0); следова-
тельно, все крутящие моменты полностью приводятся к распределенным
поперечным силам dHn/ds.
Если же контур пластинки состоит из нескольких гладких кривых
и в некоторых точках, определяемых дугой з = «а, претерпевает излом,
то функция HJs) в этих точках получает разрыв; крутящие моменты
приводятся к статически эквивалентным им поперечным силам dHJds, рас-
пределенным вдоль гладких кривых контура, и, кроме того, к сосредото-
ченным поперечным силам:
Qk = Нп (s& -ф- 0) — Нп (sk — 0),	___
приложенным в точках излома.
Если участки контура пересекаются под прямым углом, то по взаим-
ности
Нп (зд -ф- 0) = — Нп (з,г — 0)
и
Qk — 2Нп (зд -ф- 0) = — 2//n(s/-t — 0).
Присоединяя внутри гладких участков дополнительную поперечную
нагрузку dHJds к поперечной силе Nn и обозначая интенсивность сум-
марной приведенной поперечной силы через Qn, найдем
Qn = Nn + dHJds.	(VIII.15)
В случае прямоугольной пластинки, ограниченной контуром Oabc
при осях координат, показанных на рис. 173, усилия на контуре, стати-
чески эквивалентные крутящим моментам и поперечным силам, будут
состоять из поперечной силы, распределенной по всем четырем сторонам
данного контура, и четырех сосредоточенных поперечных сил Qi (i =
= О, а, Ъ, с), приложенных в вершинах прямоугольника. Интенсивность
распределения поперечной силы на сторонах х = const и у = const опре-
деляется соответственно формулами:
Qx = Nx -ф- dH/dy; Qy — Ny ф- dH[dx,
полученными из формулы (VIIL15), если принять Н = Нх = —Ну и учи-
тывать на участках с положительной внешней нормалью dy = ds;
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
331
dx = — ds. Подставляя сюда значения Nx, Ny и Н, определяемые
формулами (VIII.1) и (VIII.4), получим

(VIII.16)
Для сосредоточенных сил, приложенных в вершинах прямоугольной
пластинки, принимая во внимание парность крутящих моментов Нх =
= —Ни, получим: Q* = 2Н или Q* = —2Н; направления Q*i при положи-
тельных крутящих моментах Н = Нх показаны на рис. 173. Индексы
Ь, с показывают, для какой точки вычисляется крутящий мо-
1 = 0, а,
мент.
Таким
зующими
являются
Если края пластинки параллельны осям координат Ох и Оу, как, на-
пример, для прямоугольной пластинки, то моменты и поперечные силы
определяются формулами:
по краю х = const
Z Г д2и>
образом, независимыми статическими величинами, характери-
состояние изгиба пластинки в какой-нибудь точке контура,
изгибающий момент Мп и приведенная поперечная сила Qn.
М.
d3w ,	, &3w
foT + (/ — "frTdi
по краю у = const
М.
d2w
v ----
дх2
d3w
ду2 д
в) Граничные условия. Формулировка задачи
Выяснив перемещения и усилия, относящиеся к контуру пластинки,
можно в каждом частном случае изгиба ограниченной пластинки поста-
вить необходимые для получения определенного решения граничные
условия. Поскольку задача об изгибе пластинки сводится к интегриро-
ванию дифференциального уравнения четвертого порядка, нужно для
получения определенного решения в каждом частном случае краевой
задачи иметь на контуре два независимых условия.
Эти условия могут быть заданы различными способами, а именно:
в перемещениях, в усилиях или частью в перемещениях, а частью в уси-
лиях. Рассмотрим несколько типов граничных условий.
По линиям х = а и у = Ъ пластинка имеет жесткую заделку.
По этим линиям в каждой точке контура должны обращаться в нуль
прогибы w и нормальная производная dwldn, поскольку линейный эле-
мент пластинки dn, перпендикулярный к линии контура, остается не-
подвижным.
332
Вариационные методы решения задач по теории пластинок ,
Такие граничные условия называются геометрическими (в переме-
щениях) и записываются так:
по краю х = a w = 0; dwjdx = 0;
по краю у = b w ~ 0; dw/dy = 0.
По линиям х = а и у = b края пластинки свободны от закреплений
и от нагрузки.
По этим линиям в каждой точке равны нулю изгибающие моменты М
и приведенные поперечные силы Q. Это статические граничные условия,
они записываются так:
d2w ,	82w	А dsw ,	. d3w
по краю х = а	+ v —~ = 0;	4- (2 — v) т..— 0;
Ox2 оу2	дх3 1 '	' ох дур
,	d2w ,	(>2w п д3го , /Г)	, d3w Л
ПО краю у = Ъ ^_ + v — = 0; — + (2 - v) = 0.
Рис. 174
По тем же линиям пластинка имеет шарнирное закрепление.
В данном случае обращаются в нуль прогибы w и изгибающие мо-
менты М (смешанные граничные условия). Эти условия приводятся к виду:
по краю х = a w = 0;
по краю у = Ь w = 0;
дъш!дз? = 0;
дгш!дуЪ = 0.
Пластинка имеет жесткую заделку на контуре произвольного очер-
тания {обычно задается уравнение линии контура F (х, у) — 0].
Геометрические граничные условия (см. выше) — на линии F(x, у) — 0
w = 0; dw/dn = 0	(VIII. 17}
означают, что в любой точке контура линейный элемент нормали dn,
так же как линейный элемент самого контура ds, после деформации
остается в плоскости Оху. Иначе говоря, плоскость Оху касательна
к поверхности прогибов (рис. 174). Но тогда элементы dx и dy также
остаются в плоскости Оху после деформации, и геометрические условия
(VIII.17) эквивалентны условиям на линии F (х, у) = 0:
w = 0; dw!dx = 0; dwldy = 0.
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
333
Из этих трех условий независимыми являются только два.
Если задано шарнирное опирание или свободный край на контуре
произвольного очертания, то выражения граничных условий получают
более сложный вид, однако два независимых условия всегда могут быть
сформулированы.	I
До сих пор мы задавали на контуре прогибы, или углы поворота,
или поперечные силы, или моменты, но всегда равные нулю. Такие гра-
ничные условия называются однородными. Если же на контуре хотя бы
один геометрический или статический фактор задается как известная
функция от положения точки на контуре, отличная от нуля хотя бы на
части контура (в одной точке контура), то такое граничное условие на-
зывается неоднородным.
Заданные так или иначе в каждой точке контура два независимых
граничных условия вместе с дифференциальным уравнением (VIII.6)
определяют задачу по разысканию функции w (х, у), характеризующей
все внутренние силы упругой пластинки при изгибе.
§ 3.	Приведение задачи об изгибе прямоугольной пластинки
к обыкновенным дифференциальным уравнениям
а)	Введете. Решение в конечном виде и в виде бесконечных рядов
Проблема изгиба пластинок, как и родственная ей плоская задача
(проблемы плоского напряженного состояния и плоской деформации),
составляет одну из сложных задач математической теории упругости. Ре-
шение этой проблемы в замкнутой аналитической форме удается полу-
чить только для сравнительно небольшого числа краевых задач. К этим
задачам относятся простейшие случаи чистого изгиба пластинок, чисто-
го кручения, цилиндрический изгиб и др.
В большинстве же Случаев изгиба пластинки решение бигармониче-
ского уравнения в замкнутой аналитической форме, т. е. в форме, когда
прогиб пластинки w (х, у) выражается конечной формулой от перемен-
ных х и у, при современном состоянии прикладной математики не может
быть получено. Так, например, для эллиптической пластинки, заде-
ланной на контуре и нагруженной равномерно распределенной нагруз-
кой, решение бигармонического уравнения с правой частью может быть
получено в замкнутой форме. Если же контур пластинки имеет шарнир-
ное закрепление или же пластинка ослаблена в каком-либо месте отвер-
стием, то решение такой задачи можно получить только в форме беско-
нечного ряда, построенного при помощи тех или иных функций. Объяс-
няется это тем, что аппарат функций, которыми располагает современная
прикладная математика и значения которых вычисляются при помощи
тех или иных элементарных действий или таблиц (полиномы различных
порядков, тригонометрические функцйи, гиперболические функции, бес-
селевы функции и др.), несмотря на свое разнообразие, не в состоянии
охватить всевозможных задач по изгибу, например, одной только пря-
моугольной пластинки таким образом, чтобы решение было выражено
при помощи конечного числа тех или иных известных функций. По этой
причине при решении более или менее сложной краевой задачи приме-
няют обычно метод бесконечных рядов, члены которых определяются
при помощи известных табулированных функций.
К этому методу относится, например, применение тригонометриче-
ских рядов, одинарных (задача Мориса Леви) или двойных (задача Навье).
Однако метод тригонометрических рядов пригоден только для неко-
торых частных случаев граничных условий.
Мы изложим здесь более общий, вариационный метод, позволяющий
334
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
получить приближенное решение при любых граничных условиях в фор-
ме рядов того или другого вида, в частном случае тригонометрических;
в зависимости от числа членов ряда решение может быть получено с лю-
бой степенью точности.
Далее в гл. IX изложен практический метод, позволяющий простыми
средствами получить приближенное решение, вполне пригодное для
целей проектирования и представляющее собой главную часть излагае-
мого в настоящей главе общего решения.
Как общий, так и практический метод распространяется не только
на изолированную прямоугольную пластинку постоянной толщины, но
и на пластинки переменной толщины и на тонкостенные пространствен-
ные конструкции, составленные из прямоугольных пластинок одинако-
вой длины (призматические оболочки или складки), при условии несме-
щаемости продольных ребер (линий пересечения пластинок) и одинако-
вого закрепления всех пластинок на поперечных краях.
К числу таких конструкций относятся, например, неразрезные плиты,
коробчатые пролетные строения, прямоугольные резервуары, галереи,
силосы полигонального очертания и т. д.
б)	Приведение двухмерной задачи к одномерной
Условимся различать два направления пластинки — поперечное, со-
впадающее с направлением оси Ох, и продольное, совпадающее с на-
правлением оси Оу.
На продольных краях пластинки могут быть заданы граничные усло-
вия как геометрические (равенство нулю прогиба w или угла поворота
dwldx, или того и другого одновременно), так и статические (величина
момента или поперечной силы, в выражения для которых входят высшие
производные), всего по два условия на каждом крае.
Для всякой линии у = const прогиб пластинки w (х, у) представляет
собой непрерывную упругую линию w (х), удовлетворяющую на концах
(на продольных краях пластинки) заданным геометрическим граничным
условиям.
Пусть эта упругая линия w (яг) аппроксимируется (задается в прибли-
женном представлении) при помощи некоторого числа п линейно неза-
висимых функций %а(я), удовлетворяющих тем же геометрическим гра-
ничным условиям, что и w (х), т. е.
w (х) = Mi (х) + Мз (X) + . . . + Х„ХП (ж) = S ХЙХЙ (ж). (VIII. 18)
А=1
Здесь функции Хй(^) являются безразмерными, а коэффициенты
имеют размерность прогиба w.
Система функций Хд (ж) выбирается различными способами. Про-
стейшим примером такой системы, удовлетворяющей кинематическим
(геометрическим) граничным условиям %й (0) = Хй (Z) — 0 является ряд.
Фурье, составленный из тригонометрических функций sin {knxjl), если
k принимает все последовательные целые значения от 1 до п. Другие
примеры систем апцроксимирующих функций будут приведены ниже.
Выбрав так или иначе способ аппроксимации [систему функций Хй (ж)1
и переходя от линии у — const к другой, смежной с ней, замечаем,
что вследствие непрерывности w (х, у) значения числовых коэффициен-
тов Хй будут меняться как непрерывные функции от у.
Следовательно, поверхность прогибов может быть представлена
в виде разложения:
Сс .V) = S ИД (г/) Xft (ж),	(VIII. 19)
£=1
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
335
причем одну из двух систем функций Wk(y) или Х/г (ж) можно выбрать
заранее и в дальнейшем считать заданной. Будем считать заданной
систему безразмерных функций %h(x); тогда функции Wh(y), имеющие
размерность прогиба, будут искомыми коэффициентами разложения.
В соответствии С размерностями и физическим смыслом формулы
(VIII.19) функции Wk(y) назовем обобщенными прогибами, а функции
Xfe (я) — функциями пбперечнего распределения прогиба.
Представление поверхности прогибов в виде разложения (VIII.19)
при конечном числе п означает сведение пластинки к системе с конеч-
ным числом степеней свободы в поперечном направлении при сохране-
нии бесконечного числам степеней свободы в продольном направлении.
Это означает также7приведение двухмерной задачи теории упруго-
сти к одномерной, ибо после разыскания всех п функций (у) (функ-
ций одного переменного) значения прогибов w(x,y) будут определены
с известной степенью точности.
в)	Интегральные вариационные уравнения равновесия
Для определения функции Wh(y) используем условия равновесия
элементарной полоски, заключенной между сечениями у = const и
у _|_ dy — const. Под условиями равновесия будем понимать, согласно'
принципу возможных перемещений, равенство нулю суммарной работы
всех внешних и внутренних сил этой полоски на всяком возможном
для нее перемещении.
Примем за форму г-го возможного перемещения 'элементарной по-
лоски цилиндрический изгиб, при котором прогибы в пределах полоски
и в ее окрестности определяются произведением одной из функций по-
перечного распределения ХДж) на обобщенный прогиб W} — 1; орди-
наты возможного перемещения будут безразмерными. На рис. 175 пока-
зана форма одного из возможных перемещений ХДя), для которой
X (ж), X' (х) и X" (ж) всюду положительны.
Поскольку считается, что элементарная полоска имеет конечное
число степеней свободы п, все ее возможные перемещения описываются
совокупностью п линейно независимых функций Х/{ (ж), то можно со-
ставить как раз п независимых уравнений равновесия, из которых и
определяются все п искомых функций Wk(y).
На элементарную полоску действуют следующие внешние (по отно-
шению к этой полоске) силы:
1) заданная внешняя нагрузка;
2) изгибающие моменты Му— по сечению у = const и Му ф-
по сечению у ф- dy = const;
ду и
336
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
3) приведенные поперечные силы Qv — по
Qy + ~д^ ду ~ по сечению у dy — const;
сечению
у = const и
4) сосредоточенные поперечные силы по концам тех
равные соответственно 2Н и 2 (н -ф- di/j. Направление
положительных Му, Qv и Н показано на рис. 176.
же сечений,
этих сил при
В состав заданной нагрузки включаются: распределенная попереч-
ная нагрузка р(х, у)-, поперечные нагрузки рс(у), сосредоточенные на
линиях х = хс\ внешние изгибающие моменты Мс(у), приложенные на
линиях х = хс; приведенные поперечные силы Qx (0) и Qx (d) и изгиба-
ющие моменты Л/г(0) и Мх (d), действующие по концам полоски.
Работа заданной нагрузки на возможном безразмерном перемеще-
нии Х;(.г), разделенная на dy, приводится к некоторой функции Gi(y)
и может быть определена по формуле
Сф(г/) = р (х, у) %i(x) dx.	(VIII.20)
Интеграл распространяется также на сосредоточенные силы и мо-
менты и понимается в смысле интеграла Стильтьеса; в развернутом
виде
ЗД) = $ Pl^x -р S (е) + S Мсх;(с).	(VIII.21)
В этой формуле интеграл распространен' на всю ширину пластинки
и охватывает распределенную поперечную нагрузку; суммы охватывают
все поперечные нагрузки и моменты, сосредоточенные на линиях х = ,тс.
Рассмотрим работу остальных внешних сил Му, Qy и 2Н, приложен-
ных к сечению у = const, и	-ф- ^-^dy, Qy-\-^~dy и 2 (11 -ф- ^-dy^,
приложенных к сечению у -ф- dy = const, на возможном перемещении (х).
Работа моментов равна нулю; работа поперечных сил, разделенная
на dy, составит
( X, * - 2	2,1 .
.) ду	L ду ‘J
Выражение в прямых скобках [ ] здесь и в дальнейшем будем по-
нимать как подстановку, означающую разность значений стоящей в скоб-
как величины, определенных в крайних точках полоски.
Переходим к определению работы внутренних сил.
Внутренними силами элементарной полоски являются напряжения
в продольных сечениях, приводящиеся к изгибающим моментам Мх и
приведенным поперечным силам Qx.
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
337
В силу основной геометрической гипотезы работа поперечных сил
принимается равной нулю; работа моментов составит
— $ МХ Х{) dx = 5 Mx^idx-
Знак минус перед интегралом является общим при определении ра-
боты внутренних сил; знак минус перед %" зависит от различного на-
правления кривизны полосы при положительных и положитель-
ных Мх.
Интегральное условие равновесия полоски, соответствующее како-
му-либо из п виртуальных перемещений получает вид
С дО	г лtj п ‘ г*
J -W dx - 2 [4г Xi] + S Gt = о	(VIII.22)
(i = 1, 2, 3,.. и).
г) Дифференциальные уравнения относительно обобщенных прогибов
На основании выражений (VIII.1), (VIII.16) и (VIII.19) сйловыр
факторы Qv, Н, Мх и их производные определятся в виде
Qy = - D S [W"k'Xk + (2 - V) W'm'
k=i
= - D 2 [W^k + (2 - V) W'M;
7	k=i :
// = - (I-v)IVX;	(l-V)Wak;
k=l ,	y	k=l
(VIII.23)
n
Mx = - D 2 (v<Xfe + Wki'k).
Подставляя (VIII.23) в уравнение (XIII.22), получим
n	,	п
2 wkV [ XfeXi dx + 2 w'k(2 — V) %" % dx —
J	J	(VIII.24)
n	n	' n
— 2 2 Wk (1 — v) [x^xj + 2 w'kV \ %kl'idx + 2 ХД-dx - ^ = o.
k=l	k —1	"	fe=l "
Производя в выражении (VIII.24) интегрирование по частям
SXfeXi= IXftXil — $ XkXidx;	(VIII.25)
$ Xki'idx = [xAxJ — Iklidx
и, подставляя (VIII.25) в уравнение (VIII.24), приведем последнее к виду
2 a*wV - 2 2 ГЖ + 2 CikWk -^- = 0	(VIII.26)
k=l	k=l	k=l
(i = 1, 2, 3,..., n).
22 в. 3. Власов, т. Ill
338
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Здесь aik, bik, — коэффициенты уравнений, вычисляемые по формулам:
aik = $ хл^;
bik = XЛ dx -	[ Xд; + хд<]; 
cik = $ хд-'^-
(VIII.27)
Эти коэффициенты определяются только выбранной системой функций
поперечного распределения прогиба хА(ж)- Они обладают свойством
взаимности:
®ik — O'kii — bfei', Cik — Cki-
(VIII. 28)
Формулы (VIIL28) выражают собой теорему Бетти о взаимности
работ внешних (или внутренних) сил одного состояния на перемещениях
другого состояния.
Заметим, что при выводе уравнений (VIII.26) мджно вместо гипотезы
Кирхгофа пользоваться гипотезой Сен-Венана, а именно: учитывать
крутящие моменты только на поперечных сечениях у — const, считая, что
этим моментам соответствует замкнутый поток касательных напряжений.
Продольные края пластинки при этой гипотезе считаются свободными
от крутящих моментов.
В этом случае в формулу (VIII.22) вместо 2 xj войдет xj »
а в уравнении (VIII.26) коэффициенты а^, Ъ^, получают значения
а^ = $ХЛ^;	1
bik = J j^dx -1 [X;xi + vx^x'il; [
Cik = $ wCidx.	I
(VIII.29)
Свободный член уравнения (VIII.26) зависит от заданной нагрузки:
и выбранной формы перемещения; функция Gi(y) вычисляется по фор-
муле (VIII.21) и представляет собой погонную нагрузку, соответствую-
щую форме возможного перемещения Хг(^), т. е. работу заданной попе-
речной нагрузки, приходящейся на элементарную полоску dy = i, на
возможном перемещении Wi%i при Wi = 1.
Давая индексу i различные значения от 1 до п, получим для опре-
деления п неизвестных функций W k(y) полную систему п обыкновен-
ных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами. Все уравнения будут четвертого порядка относительно каж-
дой искомой функции Wk(y). В силу формул (VIII.28) система имеет
симметричную структуру.
Из методов интегрирования таких систем наиболее эффективным
является метод, позволяющий привести эту систему к одному эквива-
лентному ей дифференциальному уравнению. В данном случае это будет
уравнение порядка 4п. Отсюда следует, что функции Wk, удовлетворяю-
щие системе уравнений (VIII.26), будут заданы с точностью до 4и произ-
вольных постоянных, и для получения определенного решения к уравне-
ниям (VIII.26) должны быть присоединены 4и граничных условий. На
каждом из поперечных краев пластинки у = 0, у = I могут быть заданы
по 2п граничных условий.
При полной заделке граничные условия задаются в перемещениях
(обобщенных); для свободного' конца — в усилиях (также обобщенных);
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
339
при свободном опирании — частью в усилиях, частью в перемещениях.
Понятие об обобщенном усилии и соответствующем ему граничном усло-
вии подробнее развито в гл. IX.
д) Другой метод приведения двухмерной задачи к одномерной
Разрешающую систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(VIII.26) можно получить, исходя непосредственно из бигармонического
уравнения изгиба пластинки (VIII.6).
Представляя поверхность прогибов пластинки в виде конечного раз-
ложения	/
W (ж, у) = S Wk (у) (ж),	(VIII.30)
А=1
тем самым предполагаем приближенное решение задачи; функция
w (х, у), определяемая равенством (VIII.30), в общем случае не будет
удовлетворять бигармоническому уравнению (VIII.6).
Однако для определения искомых функций Wk(y) в этом случае можно
записать вариационное уравнение в форме, предложенной Бубновым —
Га леркиным:
d	d
D (S’ + 2	%i(x>dx—^p (x, y) %, (x) dx. (VIII.31)
о	0
Выражение (VIII.31) представляет собой обобщенное уравнение рав-
новесия, характеризующее виртуальную работу всех внешних и внут-
ренних сил элементарной поперечной полоски на возможном для нее
единичном перемещении W^i при И7, = 1.
Применяя интегрирование по частям, выражение (VIII.31) можно
представить в виде
л	л d
D 11 дД~ |0 j Io + J dx + 2 I tedtf |0 “
d	d	d
- 2 5 aSjr й dx + 5 W H 5 PXi dx'	(VIII.32)
ООО
Согласно формулам (VIII.1), (VIII.16) разность значений изгибающих
моментов Мх и поперечных сил Qx, вычисленных для краевых сечений
пластинки (х = 0; ж = с/), составит
Мх
(VIII.33)
Учитывая зависимости (VIII.33), вариационное уравнение равновесия
(VIII.32) можно записать в форме
d	d	d
п Г (* (Pw „ . г. С [д3го , , Г (Ры , 1
D L W x’dx ~ 2 J dx + J W Ъ dx\ ~
О	О	о
„ (Win	id	Mj,, id	p
— QxXA	=\p%idx. (VIII.34)
>0	J	»)	10	“	«о	«I
0
Входящие в это уравнение члены — Ig.	представляют собой
22*
340
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
отнесенную к единице длины работу краевых поперечных сил и изгибаю-
щих моментов, приложенных в сечениях х = 0 и х = d пластинки.
Причисляя эту работу к суммарной работе внешней нагрузки, а также
учитывая, что функция прогибов пластинки w (х, у) определяется форму-
лой (VIII.30), вариационное уравнение равновесия (VIII.34) нетрудно
представить в окончательном виде:
п	п ‘	п	£
2	- 2 2 bikw"k + 2	= О (VIII.35)
k=l	k=l	Й=1
(г = 1, 2, 3,..., п).
Если продольные края пластинки закреплены от прогибов, то формулы
для коэффициентов уравнений (VIII.35) принимают вид
atk = $ ХЛ dx; Ьц, = $ ХД• dx; cik = § dx.
Как и следовало ожидать, уравнение (VIII.35) в точности совпадает
с приведенным ранее уравнением (VIII.26).
§ 4.	Выбор функций поперечного распределения прогиба.
Метод Мориса Леви и его обобщение
Функции %k(x), аппроксимирующие деформированное состояние произ-
вольной поперечной полоски, вырезанной из пластинки, могут быть
выбраны различными способами с тем, однако, чтобы эти функции
удовлетворяли геометрическим условиям пластинки на продольных краях
и были линейно независимы.
Рассмотрим некоторые способы выбора функций %k(x) и связанные
с этим свойства матрицы уравнений (VIII.26).
Можно принять за функции (х) фундаментальные функции по-
перечных колебаний балки постоянного сечения [функции Релея при
аналогичных граничных условиях (см. гл. I, § 10)].
Для симметричных задач (табл. 11—17, случаи 1,2, 3) система
уравнений (VIII.26) распадается на две независимые системы, из которых
каждая содержит только нечетные или только четные члены разложения
(VIII.19). В случаях 4, 5, 6 система уравнений остается единой.
Далее, в каждой системе в силу ортогональности фундаментальных
функций и их вторых производных обращаются в нуль коэффициенты
a,ik и Cik при i=j=k. Поэтому в побочных членах системы уравнений
(VIII.26) сохраняются только члены —26iJV/, а члены, содержащие
WkV и Wk, исчезают; система уравнений несколько упрощается.
Полный распад системы уравнений на независимые уравнения чет-
вертого порядка для каждой искомой функции Wk происходит только
в случае 1, когда фундаментальные функции вырождаются в тригоно-
метрические функции sin (kstxld), у которых будут ортогональны все
последовательные производные, и bik также обращаются в нуль при i =/= k.
Это и будет известное решение задачи об изгибе пластинки с двумя
параллельными шарнирными краями, принадлежащее Морису Леви
и имеющее вид:
а)	для нагрузки, симметричной относительно плоскости x=d/2'.
W = Wi (у) sin + Жз (у) sin + 1У5 (г/) sin + . . . ;
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
341
б)	для нагрузки, кососимметричной относительно плоскости х— d/2\
W = Ж2 (у) sm — + Ж4 (г/) sm — + We (у) sm	.
При решении задач, показанных на схемах 3 и 6 (см. гл. I, § 10), можно
обобщить решение Мориса Леви, если аппроксимировать упругую линию
поперечной полоски при помощи ряда, составленного из первых (линей-
ных) членов соответствующего ряда фундаментальных функций и из три-
гонометрических функций sin(/?nx/(Z). Это будет:
случай 3, симметричная нагрузка:
w = Жо (у) 1 + W, (у) sin + Ж3 (у) sin + . . . ;
случай 3, кососимметричная нагрузка:
w = ТУ0 (у) (х - 4) + W2 (г/) sin + W4 (у) sin + . . . ;
случай 6:	___
w = W0(y)x + W1(y)sin^-+W2(y)sin^ + W3(y)sin^+ ...
В случае 3 система дифференциальных уравнений, как уже было ска-
зано, распадается на две независимые системы; матрица каждой из этих
систем будет содержать не нулевые члены только по главной диагонали,
в первой строке и в первом столбце. Все остальные члены будут равны
нулю в силу ортогональности тригонометрических функций. Такой ate
вид будет иметь матрица системы дифференциальных уравнений в случае 6.
§ 5.	Определение моментов и поперечных сил.
Статические условия на продольных краях
Решив систему уравнений (VIII.26) при заданных граничных усло-
виях на поперечных краях, получим выражения для всех функций Wk
и тем самым [на основании разложения (VIII.19)1 определим функцию
прогибов w(x, у).
Формулы для определения моментов и поперечных сил (VIII.1),
(VIII.4) и (VIII.16) на основании разложения (VIII.19) получают вид
Мх = - D S (yW"klk + Wki'kY	. (а)
А=1
= __ D £	+ vWuw,	(б)
А=1
=	=	=	2 (i-v)PVa;;	(в)
(VIII.36)
Nx =- - D 2 (W"kl'k + WkyQ-,	(г)
k =1
7V.y = _ D 2	+ W'rQ-,	(Д)
/г ==1
Qx - - D 2 [(2 - v)^4 + ^<1;	(°)
A=1
Qy = D 2 [WkXk + (2 - v) W'k%' ].	(Ж)
k — 1
342
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Заметим, что при выборе системы функций %л(ж) мы подчиняли их
Геометрическим граничным условиям, но не связывали с условиями ста-
тическими. Посмотрим, будет ли полученное решение удовлетворять
статическим граничным условиям. Статические условия на линиях х =
= 0 и х = d являются частными случаями условий равновесия, которые,
вообще говоря, должны выполняться не только на этих линиях, но и на
всех линиях х = const. Однако условия равновесия учтены нами только
в интегральной форме при составлении уравнений Лагранжа. При та-
ком решении, как и всегда при решении вариационными методами, от-
клонение от точного решения и от точного соблюдения условий равнове-
сия в среднем получается небольшим, но в отдельных точках и, в част-
ности, на граничных линиях х = 0 и x=d условия равновесия могут
не выполняться. Это зависит от типа граничных условий и от вида функ-
ций % к.
а)	При свободном крае пластинки х = 0 фундаментальные функции
поперечных колебаний балки обладают свойствами %''(0) = 0, %"'(0) =
= 0, тогда как %(0) и %'(0) отличны от нуля. Тогда из выражений (VIII.
36,а) и (VIII. 36,е) получаем равенства
Мх(0) = — D S vW'k^k\
k —1
<?*(0) = —D S (2-v)/4.
*=i
Эти равенства при заданных и найденных Wk совпадают со статиче-
скими граничными условиями только при вполне определенных гранич-
ных значениях Мх и Qx; со всякими другими значениями и, в частности,
с однородными граничными условиями
Мх (0) = 0; Qx (0) = 0
они не совпадают. Следовательно, статические граничные условия на сво-
бодных краях в общем случае выполняются только приближенно, с точ-
ностью, зависящей от числа членов ряда.
б)	В случае шарнирного опирания пластинки на линии ж=0, фунда-
ментальные функции удовлетворяют условию %(0) = %"(0) = 0. Тогда из
выражения (VIII.36,а) получаем равенство
Мх(0) = 0.	(VIII.37)
Следовательно, при шарнирном опирании однородное граничное усло-
вие, заданное в виде (VIII.37), при решении по методу Мориса Леви удов-
летворяется автоматически. Если же на контуре задан внешний момент,
отличный от нуля, то такое неоднородное граничное условие не удов-
летворяется ни при какой числе членов разложения.
Это связано с наличием разрыва у функции ЛГЖ при х—0. Как извест-
но, ряды Фурье в точках tk разрыва функции Ф(/) сходятся к среднему
значению % [Ф(£ + 0) + Ф(/ — 0)1, а вблизи точек разрыва сходятся не-
равномерно.
Противоречивость полученного решения чисто формальная, так как
относится только к граничному сечению х = 0. В соседнем сечении, сколь-
ко угодно близком к граничному, можно подойти сравнительно близко
к действительному значению момента Мх, взяв достаточное число членов
ряда.
В § 6 показано, как путем другого выбора или расширения системы
функций %й(я) можно близко подойти к заданным статическим условиям
на продольных краях при минимальном числе членов ряда.
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
343
Существует другой способ обойти этот разрыв — определить Мх и
Qx не из формул (VIII.36,а) и (VIII.36,e), являющихся следствием при-
нятой геометрической гипотезы, и закона Гука, а непосредственно из
условий равновесия, подобно тому, как это делается в сопротивлении
материалов при определении касательных напряжений. Найденное ре-
шение будет заранее удовлетворять всем условиям равновесия, но не
будет удовлетворять условиям неразрывности деформаций. Сравнивая его
с решением, полученным из формул (VIII.36,а) и (VIII.36,е), можно су-
дить о точности метода.
§ 6. Выбор функций поперечного распределения прогиба
статическим методом. Обобщение на расчет
тонкостенных пространственных систем
Выбор функций не ограничивается фундаментальными функциями
поперечных колебаний балки. Можно построить функции статическим
методом. Для этого нужно рассматривать элементарную полоску пластинки
dy как обыкновенную балку и опреде-
лить для этой балки в соответствии с
заданными граничными условиями уп-
ругую линию, т.е. линию прогибов от
той или иной поперечной нагрузки.
Придавая различные виды этой нагруз-
ке, будем иметь различные формы из-
гиба балки, т. е. различные функции
хДя). Так, например, загружая балку-
полоску сосредоточенной силой и давая
различные положения этой силе по дли-
не балки, будем получать различные
формы прогибов, которые могут быть
приняты за функции %л(ж) (рис. 177).
В этом случае функции будут, оче-
видно, выражаться кривыми третьего порядка (разными для каждого
участка балки). Точно так же, загружая балку-полоску распределенной
нагрузкой и принимая для этой нагрузки по длине балки разные законы
изменения, можно элементарными приемами строительной механики
получить из известного дифференциального уравнения
и граничных условий различные виды функций Каждому виду сплош-
ной нагрузки будет соответствовать своя функция прогибов балки
В случае равномерно распределенной нагрузки, имеющей на разных уча-
стках балки разную интенсивность (положительную или отрицательную)
344
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
(рис. 178), прогибы балки хл(ж) на каждом участке будут выражаться (при
постоянной для этого участка жесткости EJ) параболами четвертого по-
рядка. Так как функции и их производные на отдельных участках эле-
ментарной поперечной полоски могут иметь различные аналитические вы-
ражения, в дальнейшем будем понимать интегралы в правой части формул
(VIII.27) как сумму интегралов по всем этим участкам.
Рис. 179
Статический метод является более общим и поэтому более гибким,
чем метод фундаментальных функций. Его общность вытекает из свой-
ства фундаментальных функций '/Д'1 (х) — ky^x), которые также яв-
ляются лириями прогибов в том частном случае, когда закон изменения
нагрузки подобен самой линии прогибов.
Далее, при наличии на свободном крае х = 0 заданной поперечной
нагрузки Q(x) =f= 0 или при наличии на свободном или шарнирно опертом
крае заданного момента Мх=/=0, можно включить в число функций %й(ж)
упругие линии балки-полоски от краевых нагрузок <?Д0) = 1 и соответст-
венно от Mfe(O) = 1. При этом сразу получаем вблизи х = 0 и при х = 0 луч-
шее приближение к точному решению, чем может дать конечное число
членов ряда фундаментальных функций.
Статический метод проще, чем метод фундаментальных функций,
в расчете более сложных конструкций, а именно: пластинок переменной тол-
щины (когда жесткость их меняется в зависимости только от координаты
х по ступенчатому закону, т. е. D=D(x) и D' = 0 — в пределах каж-
дого участка), а также неразрезных плит и различных призматических
оболочек с одинаковой или различной толщиной составляющих их пла-
стинок.	---
В этом случае элементарную полоску dy такой тонкостенной конструк-
ции следует рассматривать в зависимости от вида этой конструкции в се-
чении у = const как ступенчатую балку, или как неразрезную балку,или
как раму с неподвижными узлами. Загружая такую балку или раму
какой-либо внешней нагрузкой, можно для нее известными методами
строительной механики получить функцию прогибов “/Дт) (х в случае ра-
мы — координата, определяющая положение точки на оси рамы). Варьи-
руя внешней нагрузкой, будем получать различные виды функций
аппроксимирующих изменение прогибов призматической оболочки w(x)
в сечении у = const. На рис. 179 даны графики функций хДж), аппрокси-
мирующих прогибы неразрезной плиты, имеющей по линиям
х = а15 х =	+ а2 и х = ах -ф а2 + аз
Гл. VIII. Теория изгиба пластинок
345
жесткие параллельные оси Оу опоры и заделанной по краю х = 0. Гра-
фики получены как прогибы от трех видов нагрузки неразрезной балки.
Если толщина пластинок, составляющих призматическую оболочку,
различна или меняется в пределах ширины одной пластинки по ступен-
чатому закону, т. е. D—D(x), D'=0, то формулы (VIII.26) и (VIII.27)
обобщаются следующим образом:
S - 2 3 bikw"k + S CikWk - Gik = 0,
k =i	ft =i	ft =i
где
aik — 2 D ^ft^i
bik - 2 D dx - ~ 2	+ %Л)В
cik = 2 D 5
Здесь интегралы вычисляются по каждому элементу и участку, имею-
щему Z) = const; выражение в квадратных скобках означает разность зна-
чений стоящей внутри скобок величины по концам каждого участка;
знак S охватывает все элементы и участки с различной жесткостью.
Полученные описанным статическим методом функции %л(ж) в силу
своего построения удовлетворяют геометрическим граничным условиям
(условиям закрепления крайних пластинок на крайних опорных ли-
ниях), а также геометрическим условиям сопряжения отдельных пласти-
нок между собой (условию непрерывности функций w и d.w/dx). Послед-
нее вытекает из непрерывности всех функций и Действительно, для
всех сходящихся в узле элементов и / одинаковы, так как %л=0 вслед-
ствие несмещаемости ребер, а %), есть угол поворота жесткого узла эле-
ментарной поперечной рамы от некоторой нагрузки, общий для всех схо-
дящихся в этом узле элементов.
Глава IX
ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЛАСТИНОК
И ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, ИМЕЮЩИХ
НЕСМЕЩАЕМЫЕ РЕБРА
§ 1.	Постановка задачи
В гл. VIII изложены общие методы решения задач по теории изгиба
пластинок и тонкостенных призматических оболочек, основанные на
применении общих уравнений и балочных фундаментальных функций,
а также более общих систем функций, построенных статическим методом.
Однако эти методы приводят к необходимости решать систему обык-
новенных дифференциальных уравнений; для получения полного в мате-
матическом смысле реше-
ния нужно решать беско-
нечную систему таких урав-
нений.
Проделанные автором ис-
следования по пластинкам
и в более общем случае
по цилиндрическим оболоч-
кам показывают, что при
соответствующем выборе
формы изгиба в направле-
нии оси Ох в разложении
(VIII.19) с достаточной для
практики степенью точно-
Рис. 180
сти можно ограничиться одним только первым членом.
Имея в виду дать решение задачи сразу в более общей постановке,
рассмотрим изгибаемую призматическую оболочку, состоящую из доста-
точно узких прямоугольных пластинок (рис. 180).
Предположим, что геометрическая структура оболочки такова, что
составляющие ее прямоугольные пластинки в каждой точке при действии
внешних сил нормально к соответствующей пластинке могут получать
одни только нормальные смещения.
Будем также считать, что деформация удлинения каждой пластинки
в направлении ее ширины равна нулю.
При этих условиях элемент призматической оболочки, находящийся
между сечениями у = const и у + dy = const, будет представлять собой
стержневую систему (раму или в случае пластинки балку) с неподвиж-
ными узлами.
Предположим далее, что геометрические условия опирания на каж-
дом из продольных краев оболочки остаются постоянными по всей длине
продольного края, а на каждом из поперечных краев у = 0 и у=1 оста-
ются постоянными по всему контуру поперечного края. Толщина от-
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 347
дельных пластинок, составляющих оболочку, может быть различна,
а в пределах одной пластинки может меняться по ступенчатому закону,
так что
D=D(x); D'=Q.
Считаем, что нагрузка, изменяясь в направлении х по произвольному
закону, может изменяться также в направлении у, но сохраняя подобие
во всех сечениях х = const и у = const. Другими словами, нагрузка р(х, у)
может быть представлена в виде произведения двух функций:
р(х, у) = Рй(х)К(у).	(IX.1)
Функции Р0(х) и К (у) могут на отдельных участках обращаться в
нуль, на других участках изображаться в виде распределенной нагрузки,
а также в виде сосредоточенных грузов. /
В практических задачах нагрузка почти всегда удовлетворяет усло-
вию (IX. 1) или может быть разбита на несколько нагрузок, из которых
каждая удовлетворяет этому условию. На каждую из таких нагрузок рас-
чет ведется отдельно.
Задача состоит в нахождении изогнутой поверхности w(x, у), опреде-
ляемой в пределах каждой пластинки дифференциальным уравнением
(VIII.6) и условиями контакта на узловых линиях (ребрах призматиче-
ской поверхности), граничными условиями на опорных продольных ли-
ниях и граничными условиями на контурных линиях в плоскостях у=0,
У=1-
Точное решение этой двухмерной задачи в силу исключительной ее
сложности при современных средствах математического анализа едва
ли можно получить.
Сохраняя в уравнении (VIII. 19) для определения w(x, у) первый
член, будем искать эту функцию в форме произведения
w (х, y) = W(y)x(x).	(IX.2)
Функцией поперечного распределения прогиба %(х) будем задаваться
(большей частью считая ее безразмерной), а функцию W(y) (имеющую в этом
случае размерность прогиба) будем определять, рассматривая ее как
обобщенный прогиб пластинки или оболочки.
Такое представление поверхности прогибов означает приведение
пластинки или оболочки к системе с одной степенью свободы в попереч-
ном направлении при сохранении бесконечного числа степеней свободы
в продольном направлении.
Это есть простейший способ приведения сложной двухмерной задачи
теории упругости к одномерной, т. е. сведение разыскания функции
двух переменных w(x, у) к разысканию одной функции от одного пе-
ременного W(y).
От выбора функции % (х) зависит точность расчета призматической
оболочки. Наша основная задача состоит в том, чтобы среди бесконеч-
ного множества возможных функций %(х), удовлетворяющих кинемати-
ческим граничным условиям, выбрать такую, чтобы погрешность рас-
чета тонкостенной системы была по возможности минимальной.
§ 2.	Функция распределения как линия прогибов.
Основное дифференциальное уравнение
Достаточно точное решение можно получить, приняв за функцию
X (я) прогибы элементарной поперечной рамы шириной dy = 1 от вспо-
могательной нагрузки, имеющей по стержням этой рамы тот же закон
изменения, что и заданная внешняя нагрузка.
348
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Для этого можно представить нагрузку в виде (IX.1) и принять за
вспомогательную нагрузку Рй(х).
Заметим, что Р0(х) может быть принято с точностью до произвольного,
отличного от нуля множителя, что соответственно отражается на функ-
ции К (у).
Так, например, в случае заданной нагрузки, показанной на рис. 180,
сосредоточенной на линии у = const, в качестве вспомогательной на-
Рис. 181
грузки следует принять равномерно рас-
пределенную нагрузку Р0(х) = р (х)/К для
элемента рамы А В и сосредоточенную
нагрузку Ро = P/К для элемента ВС (рис.
181), причем коэффициент К может иметь
любое, отличное от нуля конечное зна-
чение, измеряемое в квадратных едини-
цах длины.
Рассчитав раму на выбранную таким
образом нагрузку Ро с учетом в случае не-
обходимости различной жесткости элемен-
тов D = D(x), можно без особого труда
построить эпюру изгибающих моментов
М(х), а по этим моментам определить
прогибы в любой точке этого элемента ра-
мы. Указанные прогибы принимаем за
функцию %(я), удовлетворяющую в силу
самого построения этой функции как ус-
ловиям упругого сопряжения пластинок
на промежуточных ребрах А, В, так и
условиям закрепления крайних пластинок
на продольных опорных линиях С, D, Е.
Выбрав функцию %(z), напишем ин-
тегральное условие равновесия попереч-
ной рамы, рассматриваемой как элемент
пространственной системы. На основании
принципа Лагранжа это будет равенство
нулю работы всех внешних и внутренних
сил поперечной рамы на единственном,
оставленном для нее возможном переме-
щении — изгибе по кривой %(z).
Это условие приводит к одному диф-
ференциальному уравнению четвертого порядка для определения функции
1У(у), единственному уравнению, оставшемуся от системы (VIII.26):
AWIV — 2BW" \CIV-~G~O.
(IX 3)
При изучении системы с одной степенью свободы условие bile =
не имеет значения, и в случае пластинки со свободными продольными
краями можно перейти от гипотезы Кирхгофа к более естественной гипо-
тезе Сен-Венана. Тогда, исходя из формул (VIII.29), получим следующие
выражения для коэффициентов уравнения (IX.3):
А = X2 В = Во
1 + v
~2
во = S D § (%')2(/z; Л = S-D [%%']; •
c=3jDVx")26fe=%4г\м2(1х- j
(IX.4)
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 349
Здесь интегралы вычисляются по каждому элементу и участку, на
котором D = const; выражение в квадратных скобках означает разность
значений по концам каждого участка; знак S охватывает все эле-
менты и участки с различной жесткостью.
Свободный член уравнения (IX.3) G(y) зависит от заданной нагрузки
и выбранной формы кривой х(ж); он равен работе всех заданных нагру-
зок, приходящихся на элементарную поперечную раму, на возможном
перемещении w — при W = 1 и определяется по формуле
G (у) = $ Р (х, у)'% (х) dx	(IX.5)
(в смысле интеграла Стильтьеса)
или в развернутом виде
G (у) =	Spcx(e) 4- S	(IX.6)
В случае призматической оболочки значения интеграла и суммы
распространяются на все элементы и участки поперечной рамы.
Свободный член G(y) может быть выражен через коэффициент С. Если
%(х) определено от нагрузки Р0(х), а действительная нагрузка р(х, у) —
= .К(у)Р0(х), то
p(x,y) = K(y)D(x)^{x).	(IX.7)
Подставляя (IX.7) в (IX.6) и интегрируя по частям, получаем
G (у) = К (у) С + S рсХ (с) + £ Жх' (с).	(IX.8)
§ 3.	Обобщенные перемещения и обобщенные силы
Искомая функция W = W(y), определяемая дифференциальным
уравнением четвертого порядка, может быть названа обобщенным про-
гибом пластинки или в более общем случае изгибаемой призматической
оболочки.
Аналогично, производная от этой функции W'(y) представляет собой
обобщенный угол поворота ф, которому в теории изгиба балок соответ-
ствует угол наклона касательной к линии прогибов.
Когда обобщенный прогиб и угол поворота найдены, тем самым опре-
делены действительные прогибы и углы поворота
w (х, у) = W (у) 1 (ж); у) = <р (у) X (х).	(IX.9)
Величины W(y), ф(г/) представляют собой основные геометрические
характеристики пластинки, или в более общем случае оболочки, рассмат-
риваемой нами как некоторая приведенная одномерная упругая си-
стема.
Как и в теории изгиба балок, этим двум геометрическим величинам
соответствуют обобщенные статические величины, представляющие со-
бой обобщенный изгибающий момент, обобщенную поперечную силу и
обобщенную погонную нагрузку.
Под обобщенным моментом М будем понимать работу всех изгибаю-
щих моментов сечения у — const:
Mv = - D(W'\ + vIKx")
[см. формулу (VIII.36, б)]
на соответствующих им перемещениях
dw/dy = фх
350
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
при обобщенном угле поворота <р = 1, т. е.
' М =	(1Х.10>
Под обобщенной поперечной силой Q будем понимать сумму работы
поперечных сил N и крутящих моментов Н сечения у ~ const:
[см. формулу (VIIL36, д, в)]
на соответствующих им перемещениях
при обобщенном прогибе W = 1, т. е.
Q =	dx.	(IX.ll)
Вместо Ny и Н можно взять Qy и угловые силы, численно равные Н,
тогда
Q = S $ Qv%dx - 2[ЯХ].	(IX.12)
Подставляя значения Му, Ny, Qv и Н в формулы (IX.10), (IX. 11),.
(IX.12) и интегрируя по частям, получим для обобщенных момента М
и силы Q сечения у = const формулы:
М = - (S D $ х2 dx) W" + v {S D $ (х')2 dx - [Dx%']} W-
-(SJD$x2^)Wr"' + {(2-v)SJD$(x')2&-[£>x%']}PF'. (IX.13>
Используя формулы (IX.4), получаем
M = - AW" + v (Во — Вх) W;
(IX.14}
Q = - AW”' + {(2 - v) Во - 5Х) W'.
Под обобщенной погонной нагрузкой, как уже сказано, понимаем
сумму работ всех заданных нагрузок, приходящихся на элементарную
поперечную раму шириной dy — 1, на возможном перемещении w — W%
при обобщенном прогибе W = 1, т. е. функцию G(u), определяемую фор-
мулами (IX.5), (IX.6) и (IX.8).
§ 4.	Граничные^уеловия на поперечных краях
Основное уравнение (IX.3) дает связь между обобщенными прогибом
W(y) и погонной нагрузкой G(y) и по своей структуре является обобще-
нием уравнений изгиба обыкновенной балки и балки на упругом основа-
нии. Все эти уравнения четвертого порядка и определяют обобщенный
прогиб с точностью до четырех произвольных постоянных; в каждом
частном случае к ним нужно присоединить граничные условия, относя-
щиеся к поперечным краям у = 0, у = I. Как и в теории изгиба балок,
этих граничных условий будет всего четыре — по два на каждом из
краев у = 0, у = I.
Если какой-либо из этих краев жестко заделан, то для этого края
должны обращаться в нуль обобщенные кинематические величины,
а именно прогиб W и угол поворота ф.
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 351
В случае шарнирного опирания оболочки по всему краю у = const
граничными условиями будет равенство нулю обобщенного прогиба W
и обобщенного момента М.
Если поперечный край свободный, то по этому краю (при соответ-
ствующем значении координаты у) должны обращаться в нуль обобщен-
ные момент М и поперечная сила Q.
Уравнение (IX.3) вместе с граничными условиями определяет обоб-
щенный прогиб W, а следовательно, согласно формулам (VIII.36), все
внутренние усилия Му, Ny, Н сечения у = const пластинки. Усилия Мх,
Qx другого направления для получения более точного решения следует
находить из соответствующих дифференциальных уравнений равновесия.
§ 5.	Приведение основного дифференциального уравнения
к безразмерным координатам.
Общин интеграл однородного уравнения
Введем вместо у безразмерную координату г\ = у/1. Будем рассматри-
вать W как Иф]) и в дальнейшем понимать под W', W", W'" и т. д. соот-
ветственно:	__
dW/dt]; d2W/dt]2; dsW/dt]3 и т. д.
Тогда дифференциальное уравнение (IX.3) примет вид
~WIV — ^-W" + CW=G.	(IX.15)-
Далее, вводя относительные упругие характеристики
г2 = ВР/А-, s4 = С1ЧА,	(IX.16)
приведем основное уравнение к форме, содержащей только две характе-
ристики:
Wiv _ 2r2W" + s*W = FG/A.	(IX.17)
Отметим, что при этом все обобщенные перемещения (IX.9) и обоб-
щенные силы (IX.13), (IX.14) должны быть также приведены к безраз-
мерной координате т].
Для интегрирования дифференциального уравнения вида (IX.17)
предварительно должно быть найдено общее решение соответствующего
однородного уравнения:
tyiv _ 2r2W" + s*W = 0.	(IX.18)
Общее решение однородного уравнения может быть представлено в виде
W = СхФх + С2Ф2 + С3Ф3 + С4Ф4,	(IX.19)
где Сц ..., С4 — произвольные постоянные интегрирования; Фх, Ф3 — не-
четные, Ф2, Ф4 — четные функции, являющиеся независимыми частными
интегралами однородного дифференциального уравнения.
Вид функций Ф4, ..., Ф4 зависит от вида корней характеристического
уравнения:
- 2r*k2 + s4 = 0,	(IX.20)
которые определяются формулой
^=±^j/ai±)/i-4’
и, следовательно, зависят от соотношения между s и г.
352
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Замечая, что s и г не могут быть отрицательными, рассмотрим четыре
случая:
1)	s Д> г; все четыре значения для k — комплексные и могут быть
приведены к виду
k = ± а + pi,
где аир — действительные положительные числа, равные:
/s2 г2	/ S2 - Г2
2)	s = г; все четыре значения для k — действительные и попарно
равные:
ki = k2 = г; k3 =	= —г;
3)	s г; все четыре значения для k — действительные, причем:
= — k2 = A-i = /г2 + У г1 — «4;
k3 = — kt = Х2 = }Лг2 — У г4 — s4;
4)	s = 0; в этом случае, который, как будет показано далее, относится
к задаче о стесненном кручении пластинки, удобнее представить диффе-
ренциальное уравнение в виде
jyIV —г?1У" = 0,	(IX.22)
где
г? = 2ВР/А.
Соответствующее характеристическое уравнение имеет форму
k1 -	= 0,
а корни его равны
=z= /^2 =z= 0, k3	Гр
В табл. 69 приведены выражения основных функций Ф4, Ф2, Ф3, Ф4,
а также их трех последовательных производных Ф', Ф", Ф"', которые
понадобятся при определении по деформациям пластинки ее внутренних
сил.
Эти производные выражаются линейно через функции Ф4, .. ., Ф4,
причем производные нечетного порядка от нечетной функции выражают-
ся через четные функции; производные четного порядка от нечетных
функций выражаются через нечетные функции.
Кроме того, в табл. 69 приведены первые интегралы от функций
Ф1, . . . , Ф4, обозначаемые Ф(1), выраженные линейно через те же функ-
ции (с точностью до произвольного постоянного).
Можно показать, что для пластинок и призматических оболочек с
неподвижными продольными краями s^r, причем в общем случае при
произвольном виде функции % (ж)	в частном случае, когда
X (х) = sin (knx/d), s = r. Только для пластинок и оболочек со свобод-
ными краями может быть s<^r.
Для этого докажем, что для изолированной пластинки шириной d
отношение
d d
f X2 dx f (x")2<i®
2^2	I a	-12	4
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 353
Таблица 69
Соотношение между s и г	Функция и ее про- изводная	Ф1 (нечетная)	ф2 (четная)	Фз (нечетная)	Ф4 (четная)
г	ф	ch ar] sin Зц	ch ат] cos Зл	sh ят] cos Зц	sh ат] sin Зц
	ф'	аФ4 РФ2	аФ3 — ЗФ1	аФ2 — ЗФ4	осФз 4~ рФ3
	ф"	(Я2 - З2) Ф1 + -j- 2арФ3	(а2 — З2) Ф2 — — 2аЗФ4	(а2 — З2) Фз — — 2аЗФ1	(а2 - З2) Ф4 4- -j- 2осрф2
	ф"	я (я2— 332)Ф4— —3 (З2 — Зя2) Ф2	я (я2 — ЗЗ2) Ф.з 4 + 3 (З2 —За2)®!	а (я2 — ЗЗ2) Ф2 -4- 4 3 (З2 —За2) Ф4	а (а2 —ЗЗ2) Ф,— — 3 (З2 — За2) Ф3
s - - г	ф	ц ch гт]	ch гт]	S1) СТ]	Ц sh гт)
	ф'	Ф2 j- гф4	сФ3	гФ2	гФ1 |- ф3
	ф"	г2Ф] 2гФ3	г2Ф2	г2Ф3	2гФг -4 г2Ф4
	ф'"	Зг2ф2 гзф4	с3Ф3	Г3Ф2	г3Ф1 + Зг2Ф3
S г	ф	sh Х2ц	ch Z1 т]	sh X) Ц	ch Х2т]
	ф'	Х2Ф4	^1Фз	Х)Ф2	Х2Ф1
	ф"	ЦФ1	К“ф2	>4<1>з	Цф4
	ф"	Х®Ф4	Х®ф3	4;ф2	^2Ф1
з 0	ф	sh Г1Ц	1	П	ch Г1Ц
	ф'	С1Ф4	0	Ф2 = 1	ПФ1
	ф"	Г*Ф1	0	0	г2Ф4
	ф"	Г*Ф4	0	0	Г*Ф1
6- > г	ф<т>	яФ4 — ЗФ2 я2 + З2	яФз + 3®1 Я2 + З2	яФ2 -{- ЗФ4 а2 + З2	аФ1 — ЗФ3 а2 J- З2-
8 = Г	ф<т>	1	1 — Ф4 - - —г ф2 г	г‘	1 г Фз	4-ф2	1 1 ~У~ Ф1 — г2 Фз
8 < Г	ф(!)	1 -у-ф4 Л 2	1 X, Фз	1 ф2	1 дтф>
S = 0	Ф<П	1 7ГФ*	Фз	1	„ 2	г12 -2-Ф32=-Г	J- Ф) Г1
23 в. з. Власов, т. III
354
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
при условии
х (0) = X (d) = 0.
При этом последнем условии функция х (х) будет непрерывной
всюду, включая концы отрезка
Продолжая функцию х (ж) на отрезок-—как нечетную,
заметим, что ее производная у' (х) будет функцией четной и также всю-
ду непрерывной, включая концы отрезков —и
Следовательно, разлагая у(х) в ряд Фурье по синусам
, v -v...1	• ПJT 37
Х(Ж) = sin— ,
получим ряд с коэффициентами ап порядка 1/и3, который можно дважды
дифференцировать.
Следовательно:
/ / \ ЗТ	7ZJT37	ff , \	с-—t 9	• 71JT37
х (^)=v-2na”cos-d-: *	=	;
(l
Л y2 dx = d 2 ^члены порядка j ;
о
d
В = \ (yj)2dx = ~~d'2jn2an (члены порядка ;
о
d
C = (x")2 dx = ~ 2 ri^n ^члены порядка Л-)
о
(все ряды сходящиеся).
Отсюда
. Ж1''.':! =	..х 23
ri & }
Эта дробь > 1 на основании «неравенства Буняковского», согласно ко-
торому 1
2<хаЖ ^(W)a.
Вывод легко распространяется на случай призматической оболочки с не-
подвижными продольными краями.
Нетрудно видеть, что в случае «задачи Леви» (шарнирное опирание
при х'= 0 и х = d) от рядов (IX.23) остается по одному члену и = 1.
С другой стороны, если края пластинки или оболочки свободны, то
Х(0) или х(^) =/= 0 и функция х не может быть продолжена на отрезок
— d х 0 без разрыва в самой функции или хотя бы в ее производной
[если продолжать х(х) как четную функцию]; тогда порядок коэффи-
циентов ряда Фурье будет 1/п2, приведенный выше ряд для С не будет
сходящимся и все рассуждение теряет силу; итак, случай s<^ г возмо-
жен только для пластинок и оболочек со свободными краями.
В случае s )> г приведенные функции отличаются от известных функ-
ций изгиба балки на упругом основании тем, что составляющие их ги-
перболические и тригонометрические функции имеют различные аргу-
менты а и р. Их можно охарактеризовать отношением коэффициента
при мнимой части комплексного корня к действительной части [см. фор-
1 В. И. Смирнов. Курс математики. Гостехиздат, 1956, т. II, § 156.
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 355
мулы (IX.21)]:	_____
3  1 Г s2 — г2
а г г2 4- з2 ’
которое изменяется в пределах от 0 до 1. При у = 0 функции вырожда-
ются в гиперболические функции, умноженные на 1 или ц (см. табл. 69,
случай s = г). При у = 1 эти функции переходят в функции изгиба бал-
ки на упругом основании.
В конце книги приведены составленные автором таблицы функций
Ф1? ..., Ф4 для значений у от 0,1 до 0,9 с интервалами через 0,1.
§ 6.	Интегрирование неоднородного дифференциального уравнения
при помощи частных интегралов
Общий интеграл неоднородного дифференциального уравнения чет-
вертого порядка (IX.17) имеет вид
РУ = С4Ф4 Ч- С2Ф2 Ч~ СзФз^Ч- С4Ф4 Ч-	(IX.24)
где Фх, ..., Ф4 — независимые частные интегралы соответствующего одно-
родного уравнения, определяемые формулами табл. 69, W\ — какой-либо
частный интеграл данного неоднородного уравнения; Сх, ..., С4 — произ-
вольные постоянные, определяемые из граничных условий.
Простейшие случаи частных интегралов даются в табл. 70.
После написания общих интегралов неоднородного уравнения в фор-
ме (IX.24) можно найти, пользуясь формулами (IX.9), (IX.13), (IX.14),
выражения для угла поворота <р, обобщенного момента М и поперечной
силы Q, содержащие произвольные постоянные Сх, ..., С4, затем, записав
граничные условия, можно найти из них произвольные постоянные
..., С4. Подставив найденные значения Сх, ..., С4 в выражение (IX.24),
получим окончательное аналитическое выражение для W, удовлетворяю-
щее неоднородному дифференциальному уравнению при данной нагруз-
ке G(y) и заданным граничным условиям.
Таблица 70
	Вид дифференциального уравнения	
Нагрузка G(p)	/4 W г V _ 2rW" + s4JV - -L- G	TTIV _Г2И’* = — G 1	А
a (const)		G/4 W1~ 2Аг*
bp	G Г W> = А з*	G/4 W'~ 6АГ2
а + 6т]		Г W1 = —	Г]2 (За + Ьц)
Этот метод, элементарный по своему содержанию, требует большой
вычислительной работы, так как произвольные постоянные Сх,..., С4
определяются из системы линейных уравнений. Даже в простейшем слу-
чае, когда функция G(y) задана одним аналитическим выражением в пре-
делах 0 <( х <( I, приходится определять четыре произвольные постоян-
ные из системы четырех уравнений. Если же нагрузка на разных участках
23*
356
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
длины пластинки или призматической оболочки имеет разный закон
изменения или содержит сосредоточенные в направлении оси Оу силы,
вызывающие разрыв в функции обобщенных поперечных сил Q, т. е.
в производных от W, то общий интеграл (IX.24) будет на каждом участке
содержать различные произвольные постоянные Clf С4; общее количе-
ство подлежащих определению произвольных постоянных будет равно
учетверенному числу участков. В сравнительно простых задачах, изобра-
женных на рис. 182, потребуется найти 12 произвольных постоянных, со-
ставив для этого систему из 12 уравнений.
Рис. 182
Изложенный метод можно считать практически пригодным только
при отсутствии сосредоточенных сил, когда С(ц) задано одним аналити-
ческим выражением, справедливым по всей длине системы.
Имея в виду дать практическое и вместе с тем общее решение рас-
сматриваемой задачи, в дальнейшем воспользуемся методом начальных
параметров, разработанным А. Н. Крыловым в применении к расчету
балок, лежащих на упругом основании (чисто аналитическая идея ме-
тода принадлежит Коши).
Этот метод обладает исключительной наглядностью и, в отличие от
описанного выше, приводит к определению только двух произвольных
постоянных независимо от закона изменения внешней нагрузки и числа
участков.
§ 7.	Интегрирование неоднородного дифференциального уравнения
по методу начальных параметров
а)	Фундаментальная система частных интегралов
Для построения решения по этому методу будем рассматривать на-
грузку С(ц) как совокупность сосредоточенных сил и моментов, в про-
межутках между которыми изгиб пластинки определяется однородным
дифференциальным уравнением (IX.18):
HZiv _ 2r2 W" + siW = 0.
Общий интеграл этого уравнения представим в виде
W = С1К1 + СаА2 + С3А3 + С4А4,	(IX.25)
где К1; ..., А4 — независимые линейные функции от частных интегралов
Фп ..., Ф4; как таковые они также являются независимыми частными
интегралами того же дифференциального уравнения (IX.18). Однако от
всех других возможных частных интегралов система Кг, ..., А4, называе-
мая фундаментальной системой частных интегралов, отличается специаль-
ными свойствами, которые устанавливаются в зависимости от особенно-
стей задачи.
Рассматривая задачу в чисто аналитической постановке, Коши вы-
бирает фундаментальную систему частных интегралов таким образом,
чтобы функции А4, ..., Kt и их три последовательные производные при
значении аргумента ц = 0 образовали единичную матрицу, т. е. прини-
мали значения, приведенные в табл. 71.
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 357
Таблица 71
i	Xi (0)	<(0)	х;'(0)	<"(0)
1	1	0	0	..0
2	0	1	0	0
3	0	0	1	0
4	0	0	0	1
Акад. А. Н. Крылов, решая инженерную задачу об изгибе балки на
упругом основании, выбирает фундаментальную систему частных инте-
гралов таким образом, чтобы при ц = О единичную матрицу образовали
не функции Klt ..., Kt и их производные, а геометрические и статические
величины, пропорциональные этим функциям и их производным
(табл. 72).
Таблица 72
i	1Т(0)=Ki (0)	1 <р(О)=7лг;(О)	W)=—^х"(0)	Q(°) = —
1	1	0	0	0
2	0	1	0	0
3	0	0	1	0
4	0	0	0	1
Обобщая метод Коши — Крылова для рассматриваемых задач, вве-
дем вместо производных (по Коши) и пропорциональных им величин
(по Крылову) линейные дифференциальные операторы, определяющие
величины <р, М и Q через функции Кг, ..., Kt и их производные, и потре-
буем, чтобы при ц = 0 они образовали единичную матрицу.
Для задачи об изгибе пластинок и оболочек с неподвижными ребрами
(см. § 9, (IX.57)) получается единичная матрица, приведенная в табл. 73.
Таблица 73
i	П'(0) = Ki (0)		<Р(0)=7Г(0)	Mo=-z4«-vr2Xi)	q(°)=-z4{<'- -(2-v)r2<)
1 		1	0	0	0
2		0	1	0	0
3		0	0	1	0
4		0	0	0	1
Для задачи о стесненном кручении получается единичная матрица,
приведенная в табл. 74 (см. § 8).
Таблица 74
i	TV(O) = tfi(O)	cp(O)=l^'(O)	M(0)=-^<(0)		
1	1	0	0	0	
2	0	1	0	0	
3	0	0	1	0	
4	0	0	0	1	
358	Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Метод вычисления функций Кг, Ki и соответствующие формулы
будут даны ниже; здесь остановимся на свойствах полученного таким
образом решения.
б)	Функции влияния и их основные свойства
Из общего решения (IX.25) и свойств единичной матрицы следует,
что произвольные постоянные Clt ..., С4 совпадают с начальными пара-
метрами, т. е. с обобщенными перемещениями и усилиями системы в се-
чении ц = 0, которые мы обозначим через Wo, ф0, Мо и Qo, т. е. С4 = РИ0,
С2 = ф0, Cs = Мо, Ci = Qo, а функции Klt ..., ТГ4 выражают влияние
начальных параметров Wo, ф0, Мо и <2о, Равных единице, на прогиб W
в сечении с координатой ц.
Обозначая
Кг = Kww> К-2 = К3 = Kwm, = K\vq,	(IX.26)
получим
W (ц) = VKOXWW ф0А\у<р + M0Kwm + QoKwq- (IX.27)
Произведя над выражением (IX.27) линейные дифференциальные
операции, определяемые формулами (IX.9), (IX.13), (IX.14), выразим
величины ф, М и Q сечения с координатой ц как функции начальных па-
раметров при помощи соответствующих коэффициентов влияния. Сов-
местно с формулой (IX.27) получим систему:
W (т)) = W0Kww + ФоХ’п’ф M0Kwm 4" QqKwq ; |
Ф (Т)) — WoK<pw 4- ФсЛфф +	+ QqK^q',
М (ц) =	4" Фо^мф + ИЛмм 4- QqKmq', (
Q (ц) = W0KQW 4- ф0Хрф 4- M0KQM 4- Q0Kqq.
Так как любое сечение ту = t, в котором значения Wt, ф(, Mt, Qi
известны, можно считать за начальное, то значения Wt„ фч, М^, Qri в
сечении, лежащем на расстоянии ц — t, могут быть найдены при помощи
тех же самых функций влияния, если на участке между этими сечениями
справедливо однородное дифференциальное уравнение изгиба (IX.18)
или (IX.22). Таким образом, можно написать:
W-п = WtKww 4- фг-Кщф 4-	+ QiK-wq’, |
Ф» = WiK<f,w 4-	4- MtK^M QtK^- I /тх
= Wtk mw 4- Ф^мф + MtK^M 4- QtKM q; |
Qi\ = W(Kqw 4~ фг-^вФ 4" MtKQM 4- QiKqq. J
Функции влияния Kww........Kqq здесь вычисляются как функции
аргумента (ц — t), для чего достаточно определить функции Ф4, ...,Ф4
как функции Ф1(ц — t), ...,Ф4(г|— t).
- Совокупность 16 функций влияния Kww, ..., Kqq образует матрицу
прямого линейного преобразования величин Wt, ф;, Mt, Qt в величины
Фи, Qv
Когда матрица прямого линейного преобразования задана, можно
поставить обратную задачу: определить параметры начального сечения
ф;, Mt, Qt) через известные параметры сечения г] (W-n, ф^, Мп, Qn).
В общем случае для составления обратного линейного преобразо-
вания следует решить систему линейных уравнений (IX.29) относитель-
но неизвестных Wt, Фь Mt, Qt.
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 359
Однако, замечая, что функции Kww, ..., KQQ по своему физическому
смыслу должны быть либо четными, либо нечетными, можно рассматри-
вать обратное преобразование как прямое при отрицательном аргумен-
те (£— ц). Переходя к положительному аргументу (ц— t) и меняя знак
у нечетных функций, мы можем сразу написать:
Wt = Wrikww —	+ M-tJKwM — Qi.Kwrf, j
44 —	(р^АГфф XIQ , I	/о
Mt = W^Kmw — ФтХмф + М^Кмм—Q^KMq;	(
Qt=—W^KqW ф- фтДдф — M^Kqm + QvKqq-
Полученные таким простым способом выражения (IX.30) и являют-
ся решениями системы уравнений (IX.29) относительно неизвестных
Wt, <р(, Mt, Qt.
В табл. 75 и 76 записаны кратко матрицы прямого и обратного пре-
образования. Они отличаются между собой только изменением знака
у нечетной функции.
Таблица 75
	Прямое преобразование				
	Преобразуемые параметры				
Преобразованные параметры			«Pz	Mt	Qt
	п	Kww KMW KQW	9-	-	9-	q. fe	& S	O' :<	Sl S| S fe 9- !S o- 4^	O' O' O’ O' fe 9 S O'
Таблица 76
	Обратное преобразование				
	Преобразуемые параметры				
g 2					Q^.
- 3 IX H o ©		Kww	— Kw W ф	KWM	~ KWQ
rt cd Ch O-	Vt		*фф		KvQ
О X Ф &	Mt	KMW	— KMv		~ KMQ
E	Qt	Kqw	KQ.	~ Kqm	KQQ
Отметим здесь важнейшее свойство матриц прямого и обратного пре-
образования,— их симметричную структуру, вследствие которой из
16 функций влияния только 10 являются различными. Из них 4 функции,
расположенные на восходящей диагонали, не повторяются. Остальные
12 функций, расположенные симметрично относительно этой диагонали,
360
Вариационные методы решении задач по теории пластинок
попарно равны, т. е.
Кмм = K^Q = Kwm> Kmq = Kw<?’>
^qq — Kww> Kq4, = KmW> Kqm~Kvw
Это свойство является следствием теоремы Бетти. Для доказательства
нужно рассмотреть четыре единичных состояния прямого преобразования
(IX.31)

Рис. 183
и четыре единичных состояния обратного преобразования и применить
теорему Бетти последовательно к различным парам, составленным из со-
стояний прямого и обратного преобразования (рис. 183, а, б) и табл. 77.
Таблица 77
Состояние I	Состояние II	Теорема Бетти	Следствие
Wf = l	Ф^ = lv	— KMW •1 = —	 1	КСро = KMW
Wt = 1	^ = 1	0 = А'<2М’1	'Ки> W	кам =
wt = 1		0==—A,QQ’l +l'^w	^QQ =
q>f ---• i	мъ = i		Л ММ =
Ф( = i	Q,; - 1	6	— A -1	! • А	К М Q =
= 1		1,Лф(2 САи--.п	Аф<2 ~ KWM
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 361
й) Определение перемещений и усилий в призматической оболочке
по методу начальных параметров в зависимости от граничных условий
и нагрузки. Действие сосредоточенных сил
На рис. 184 схематически показана одномерная упругая система,
полученная в результате приведения заданной пластинки или призмати-
ческой оболочки к системе с одной степенью свободы в поперечном на-
правлении. Сосредоточенные силы
нимать как обобщенные силы,
полученные в результате приве-
дения к одномерной системе сил,
сосредоточенных на линии у =
= const. Текущая координатах) = у[1
есть величина безразмерная, изме-
няющаяся от 0 до 1. Точки прило-
жения сил определены безразмер-
ными координатами tlt t2,..,ti,..,tn.
На первом участке 0 <4 р
все кинематические и статические
факторы определяются через на-
чальные параметры и функции влияния,
т) по уже известным формулам:
1, Р2,..., Pi,---, Рп здесь следует по-
Рис. 184
определенные для координаты
W (т)) —- И'оЛ'и-и-(т|) +	(л) + M0KWm (л) + Qo%wq (л); ]
<р(Л) = РГ0/СФщ(л) + <Po^<₽c₽ (л) 4" 4/о-^фм (л) +	(л);
М (ц) = И/0^миг(л) + фо^мч>(л) +	(л) +	(л);
Q (Л) = WqKqw (л) 4" To-^Qrp (л) + -4/0Л qm (л) + Qo^qq (л)- )
v (IX.32)
Заметим, что из четырех начальных параметров Wo, <р0, Mo, Qo два
всегда известны с самого начала, а два подлежат определению.
Выражения (IX.32) остаются справедливыми, пока справедливо
однородное дифференциальное уравнение изгиба, т. е. пока отсутствует
распределенная нагрузка С(л) и пока функции И7 (л), ф(л)> М (Л)>
Q (л) остаются непрерывными.
Если в точке с координатой tk задан разрыв какой-либо из этих
функций на определенную величину, то, пользуясь принципом нало-
жения, вытекающим из линейности преобразования, следует для сече-
ний с координатой Л прибавить влияние этого разрыва. Оно
равно величине разрыва, умноженной на соответствующую функцию
влияния, определенную для координаты (л — tk).
В каждой точке, где действует сосредоточенная сила Pi, функции
В7 (л), ср (л), 4/(л) остаются непрерывными и только Q (л) получает при-
ращение на величину (—Д). Поэтому на участке ^«Сл^^
W (л) = WqKww (л) +	(Л) + M0KWM (ц) ф-
+ QoKwq (л) — PiKwq (л — ^);
<Р (Л) = ИЛЛфИ'(Л) 4* cpo-^w (л) +	(л) 4"
+ QoK^q (л) — PiK^q (л — н);
Л/ (ц) = W(1KMW (л) 4- сро^Мф (л) + МйКмм (Т)) -ф-
+ QqKmq (л) — PxKmq (л — и);
Q (л) = WoKqw (л) + сро^ОФ (л) 4- M0KQM (л) 4-
+ QoKqq (л) — PiKqq (л — «1).
(IX.33)
362
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
На произвольном участке ^<Сл<С^+1:
W (р) = W0Kww (л) + cpo^Wp (л) + MqKwm (л) + QoKwq (л)-'
- 3 PkKWQ(n-tky,
4=1
ср (р) = И 0А’сруу (л) + фоАфф(л) +	(л) + (ЛА-q (л) ~
~ 2 (л ^)>
*=i
м (т)) = WQKMW (р)+ Фо^мф (л) + М0Кмм (р) + Q0KMq (л) —
— 3 Pa-A’mq (л — h)>
k=i
Q (Л) = W0A'<2w(n) + ФоА'оф(л) + MqKqm (л) + QqKqq (р) ~
— 2 PkKQQ (л — tk).
k=i
(IX.34)
Написав это выражение для последнего участка tn<Q л 1 и приняв
Л = 1, мы получим выражения для четырех параметров в конечном се-
чении IV (1), ф(1)> М (1), Q (1):
W (1) = W^K-ww (1) + фо^изр (1) + М^Ку/м (1) + Qo^wq (1) —
-	J pkKWQ (i - tky
ф (1) = VV (1) ф- ф0Афср (1) + М0АФм (1) + QqK?q (1) —
-	2 Р*К^ ~
fe=i
M (1) = И oKmw (1) + Фо^мф (1) + М0Кмм (1) + QqKmq (1) 
-	2 (i - **);
Q (1) WQKQW (1) + фЛоф (1) + M0KQM (1) + Q0Kqq (1) -
~2 PkKQQ (i-tk).
k=i
Две из этих величин всегда известны с самого начала. Это позволя-
ет написать два уравнения, из которых можно определить два осталь-
ных параметра в сечении р = 1, которые были вначале неизвестны.
Так, например, если в сечениях р = О и р — 1 имеется свободное
опирание, то Wo =0; Мо = 0; VF(1) = 0; М (1) = 0. Тогда из двух урав-
нений:
W (1) = фоА-и/ф (1) + (?oAwq (1)— 2 Pk^wQ (1 — tk) = 0;
k=i
M (1) = ф0АмФ(1) + Q0Kmq (1) — 2 PkKnQ (1 — M = 0
4=1
можно определить ф() и Qo.
Подставляя найденные значения ф0, Qo и известные значения
ТИ0 = Мо = 0 в выражения (IX.32), получаем окончательные выражения
всех четырех кинематических и статических факторов на каждом участке
системы.
Гл. IX Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 363
Таким образом, решение системы по методу начальных параметров
требует независимо от числа участков совместного решения
двух уравнений.
Действие распределенной нагрузки
Рассматриваем распределенную нагрузку как совокупность
тарных сосредоточенных сил. Из формул (IX.34) получим:
IV (р) = W0Kww (л) фоХи'-. (t)) +	(л) + QqKwq (л)
— G (if) Kwq (л — 0 dt;
о
ф(Л) = ^оА'фщ(л) + Фо^фф(л) +	(л) + QoKvq (л) —
— G (if) Kvq (л — 0 dt-,
М (л) = mw (л) 4" Фо^Смф (л) 4* *1^о-Хмм (л) 4" QoKmq (л)
—	G (if) KMQ (л — Gdt;
Q (р) = WbKQW (р) 4- Фо^Оф(л) + Mokqm (р) 4- Q„KQq (р) —
—	G(t)KQQ (р — t)dt.
о	)
Для крайнего сечения р = 1 получаем выражения:
(1)	4* фо-Хщср (1) 4- Л/0Хуум (1) 4- Qo^wq (1)	)
— G (if) K\yQ (1 — if) dt'.
ср (1) = W^KvW (1) 4- <po^w (I) +	(1) 4- <2o^q (1) -
— G (if) K..q (1 - /) dt;
M (1) = W^KMW (1) 4- Фо^Мф (1) +	(1) + Qq^mq (1) —
i
—	G (if) Xmq (1 — if) dt;
Q (1) =	(1) 4- фЛоф (1) + M0KQM (1) + Q0Kqq (1) -
—	G (t) Kqq (1 — t) dt.
о
только
элемен-
(IX.35)
(IX.36)
В случае одновременного действия распределенных и сосредоточен-
ных сил интегралы в формулах следует понимать в смысле Стильтьеса,
т. е. присоединять к ним член в виде суммы, содержащийся в форму-
лах (IX.34).
В случае равномерно распределенной нагрузки G (t) = const на неко-
тором участке ta<^t интегралы, содержащиеся в формулах (IX.35)
и (IX.36), можно упростить, а именно:
при Г] > tb > ta
G (t) К (р — if) dt = G К (р — t) dt = G К (р — t) d (р — if);
О	G	<ь
364
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Далее, полагая t — ц — и, получим
п
G(t) К (f\ —t)dt — G f К (и) du = GK1 (и) l”“ “ =
о	n-tb	”
= G [К1 (я - ta) - К1 (ц - tb)}-
при г] = 1 для крайнего сечения
1	1	, ,
\G(t) К(ц — t)dt - G C К (u)du = GK1 (u)\ a =
о	i-’tb	'1-‘ь
= G[XJ(1 —М-^г(1-^ь)];
при
G (t) К (q — t)dt = G К (м) du = GK1 (н)| а —
О	о
= G[XI(n-itt)-XI (0)].
Здесь К (и)— любая из функций влияния KWQ, K^q, KMq, Kqq-„
К1 (и) — К(и)du—первый интеграл от этой функции, определенный
с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Так как каждая из функций К (и) зависит линейно от четырех
основных функций Фъ ...,Ф4, а первые интегралы этих функций
также выражены линейно через те же самые функции, мы
можем при получении К1 (и) избежать операции интегрирования; до-
статочно заменить в выражениях для К (м) функции фъ ф4 их первы-
ми интегралами Ф4, ..., Ф4, т. е. линейными комбинациями тех же функ-
ций, указанными в табл. 69.
Так, например, при равномерно распределенной нагрузке G по всей
длине системы 0 ц 1 и свободном опирании концов ц = 0 и л — 1 ки-
нематические и статические параметры произвольного сечения ц опре-
деляются по формулам:
1У (ц) = фо^ичр (л) + QoKwq (л) — \K\vq (л) — &WQ (0)];
ср (ц) = cp0KTO (ц) + Q„K^q (ц) — G (ц) — K^Q (0)];
М (л) = фо Хм- (л) + QqKmq (л) — G [Kmq (ц) — K1Uq (0)];
Q (Л) = Фо^Оф(л) + QoKqq (л) — G[KqQ (л) — K1qq (0)],
где фо и Qo определены из системы двух уравнений:
ФоКууф (1) + QoKwq (1) - G IKIvq (1) - Kwq (0)] = 0;
ФоКмф (1) 4- QoKmq (1) — G [Kmq (1) — Kmq (0)] = 0.
д) Общий интеграл неоднородного уравнения
В целях сокращения записи общее решение неоднородного уравне-
ния (IX.17)- по методу начальных параметров может быть представлено
в виде
W (ц) = W0Kww + фоКи-’? + M0Kwm + QoKwq — Pw'> ’
ф (ц) = W0K?w Ч* ФоКфф "Ь	Q0KVQ — Ftf,;
М(П) = ЖоКм^ + ФоКмф + МоКмм + ^оКмо-^м; (1Х-37>
Q (л) = ^oKqm + фоКоч» + M^Kqm + QoKqq — Рq-
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 365
Здесь через Fw, F^, Fм, Fq обозначены некоторые известные функ-
ции, определяемые в зависимости от расположения и вида нагрузки.
Так, в формулах (IX.33) эти функции равны .
Fw = PiFwq (Л — Н); FM = PjKmq (л — Н);
F„ = P&'f.Q (л — П); Fq = Р1Коо(л —
В формулах (IX.35) они будут иметь вид
Fw = G («) Kwq (Л — О df. FV,==\^G (t) K^Q (ц — t) dt и т. д.
о	о
Таким образом, функции Fw, Fv, Fm, Fq, учитывающие внешнюю
нагрузку, определяются соответствующими функциями влияния и имеют
различные выражения по участкам, на которые балка разбивается на-
грузкой.
е) Вычисление функций влияния Kww, • • • > Kqq
Покажем, как определить функции влияния в случае, когда диффе-
ренциальное уравнение изгиба имеет вид (IX.18)
Wlv - 2r2W" + sW = О,
причем s^>r.
Обобщенный прогиб W (ц) выражен через основные функции (IX.19)
И" = С1Ф1 4 С2Ф2 + С3Ф3 + С4Ф4.
Остальные кинематические и статические факторы <р (ц), УИ(л)> Q (л)>
получаемые посредством линейных дифференциальных операций над
прогибом W:
ф = ± Wr; М = - А (И/" _ vz.2pv).
Q = - A[iv"'.__(2_v)r2iy'],	(IX.38)
при использовании формул для дифференцирования функций Ф4, . . . , Ф4
(табл. 69) выражаются следующим образом:
Zcp — С4 (аФ4 4~ ЗФ2) Т С2 (аФз — ЗФ1) 4~ Сз (аФг — ЗФа) 4"
Т С4 (аф4 ₽Ф3);
^-М = — С4 [(1 — v) (а2 — ₽2) Ф4-4 2а[ЗФ3] -
С2 [(1 - v) (а2 - ₽2) Ф2 - 2а[ЗФ4] - С3 [(1 - v) (а2- З2) Ф3 -
— 2офФ1] — С4 [(1 — v)(a2 — Р2)Ф4 + 2офФ2];
J Q =	{[(1—v) а3 + (1 + v) а₽2] Ф4 - [(1 - v) З3 +
(93.XI)
I
(
+ (1 + v)a2₽] Ф2} + С, {[(1—v)a3 4- (1 4- v)a32] Ф3 +
4- [(1 — v)P34~ (1 + v)^]®!} 4-- С3 {[(1 — v)a3 4- (1 -г v) а32]Ф2 +
+ 1(1 - V) рз т (1 + V) а2[3] Ф4} 1 Ci {[(1 - V) а3 4-
4~ (1 + v) °Ф2] Ф4 — [(1 — v) р3 4~ (1 4~ v) а23] Фз}- )
366
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Произвольные постоянные С1у . . . , СЛ определяются через начальные-
параметры при р = 0. В начальном сечении р = 0 имеем
ф2 = 1: ф4 = ф3 == ф4 = 0; W ~W0; ср = ф0; М = Мо; Q = Qo.
Подставляя в формулы (IX.19) и (IX.39) начальные условия и исполь-
зуя равенства: а2 + р2 = №; а2 — р2 = г2, получим систему уравнений:
1У0 = С2;
/<Ро = <хС3 -f- (3Ci;
4 мо = - (1 - V) г'2С2 - 2а(ЗС4;
4 <2» = (*2 - vr2) аС3 - (s2 + vr2) РС1(
из, которой находим
= 2^ [(s2 “ vr2) - 4 *?”] ;
G = Wo;
Сз = 4? 14 + vr‘2) /сРо + 4 *?”] ’
1 Г	72 “I
с‘~~ W [<£
Подставляя найденные значения в формулы (IX.19) и (IX.38), мы
выразим И^р), ср(р), М(р), Q (р) через начальные параметры И),, фо,
Л/о, <2о и функции влияния Kww,    , Kqq- Функции влияния обра-
зуют симметричную матрицу, приведенную в табл. 78.
Здесь Ф1, . . . , Ф4 определяются по табл. 69 в соответствии с усло-
вием s )> г.
Таким же образом при s = г получим матрицу коэффициентов влия-
ния, приведенную в табл. 79.
Случай s<^r, как было выше показано, должен быть рассмотрен
совместно с зависимостями
Ф=41У';	Q = — 4-	2r2W').
Выполнив аналогичные операции и использовав соотношения X2 +
4- X2 = 2г2, получим матрицу, помещенную в табл. 80.
Наконец, при $ = 0, при тех же выражениях для ф, М, Q получим
матрицу (г2 = 2г2), приведенную в табл. 81.
Эта матрица совпадает с матрицей функций влияния, полученной,
для стесненного кручения тонкостенных стержней.
§ 8. Стесненное кручение и цилиндрический изгиб пластинок
и пластинчатых систем
Рассмотрим группу задач, в которых уравнение (IX.3) и выражения
для обобщенных сил (IX. 13) и (IX.14) упрощаются, так как число вхо-
дящих в них характеристик может быть уменьшено. Сюда относятся
случаи пластинки со свободными краями или с одной шарнирной опорой,
а также различные задачи о системах шарнирно связанных пластинок,
когда элементарная поперечная полоска dy оказывается геометрически
изменяемой (рис. 185).
Если поперечная полоска имеет одну степень свободы, то за функ-
цию х, т. е. за главную форму перемещения полоски, естественно при-
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 367
Таблица 78
II
о
05
е
7
е
м
и
о
О'
368
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Т а б л и ц а 79
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 369
Таблица 80
© о	л е1«^л II о		1! о 9- к		9- & II о		£ £ и о О’
	co е 1 е со	ео ео 53 £	е С1 05 е	1 eq -и < • 9-	9- 9- II		II О’
о э-	е со 05 е I	С-1 С1 СО гЧ 9- £	Т1< е Cl С1 С1 С1 7 7 со ео -4 е С1 -4 II 9- 9-		в M^q 1 05 в «^4 1	со ео c’S 1 ео -4 9- ।	*11 9- О’
с	со е ео ео w^o 1 1 СОИ е II		05 е со е »“Н со 1	eq ео ео м £ 9-	е со е со ео со -ч 1	СО е-i со	05 9 се^о ео ег । 7 — ео i-4 е << ОС —1 со II £ О
			е?				О
24
В. 3. Власов, г. Ш
370
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Таблица 81
		фа	ма	Q«
	^ww ~	== 1	1 ~~ п Ф1 1 = “ sh г, г)	1» KWM ~ 2 Л	ф4)— Г1А /а - г2Л (ChriT1	/3 KWQ - Г3А (Ф1 /3 — гФз) == ~Y7~ X г”Л X (гщ — sh nip
чч	— 0	= Ф-i = ch nr]	к А п ~ 1 -	Г1А sh ГЩ 	KvQ — KWM
	KMW = 0	А К= — — Г1Ф1 = А = — — ri sh пр	кмм =	KMQ = KWv
	KQW = 0	Kqv = kmw = 0	KQM = KvW = 0	KMQ “ KWW = 1
нять ее перемещение как механизма, состоящего из жестких звеньев
(рис. 185, б, в, г). Для симметричных систем, когда полоска имеет две
степени свободы, следует рассмотреть отдельно симметричную и косо-
симметричную форму перемещения (рис. 185, а, д').
Для такой формы перемещения, во-первых, %" = 0 на прямолинейных
участках эпюры % (рис. 185, г), а в точках перелома в нуль обращается
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 371
следующие выражения для
Рис. 186
цилиндрическая жесткость D и, следовательно, С = 0; во-вторых, на
каждом участке длиной dm = const и, следовательно:
Во = ZD (х')2 dx = SB (х')2 dx = SB (х')2 dm\
(IX.40)
Bi = SB [xx'] = 2Bx' [x] =	(%' dm).
Очевидно, что в этом случае
Вх = Во; В = Во.
Для всех задач этой группы дифференциальное уравнение (IX.3)
получает вид
AW1N - 2BW/h - G = 0.	(IX.41)
Из формул (IX.14) получаются
ного момента и поперечной силы:
М = - AW";
Q = — AW'" + 2BW'. (IX.42)
Коэффициенты А и В в форму-
лах (IX.41) и (IX.42) означают
А = 3 D Xй dx\
B = ^-^L^DUYdm. (IX.43)
Уравнение (IX.41) и формулы
(IX.42) по своей структуре совпа-
дают с уравнением стесненного
кручения тонкостенных стержней.
Как частные случаи отсюда можно
получить цилиндрический изгиб и
чистое кручение,
Для действительных продоль-
ных моментов Му, поперечных
сил Ny и крутящих моментов Н из
формул (VIII.36, б, в, д) получаем
выражения
Му = - DW4-, Ny = — DW"k [Н = - В (1 - v) W'%'. (IX.44)
Сравнивая (IX.13), (IX.14) и (IX.42), (IX.44), видим, что обобщенный
момент складывается из работы действительных продольных ;моментов,
причем:
МУ=^ВЪ
а обобщенная поперечная сила складывается из работы действительных
поперечных сил QN = — AW'" и работы крутящих моментов QH —
— 2BW', причем:
Vv = ^Bx; B = -(l-v)^Bx'.
Из этих формул очевидно, что при В = const эпюра распределения
Му и Ny подобна эпюре х, а эпюра Н подобна эпюре х'; при переменной
жесткости эпюры Му и Ny подобны произведению эпюры х на эпюру
24*
372
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
жесткостей D, а эпюра Н соответственно — эпюры у' на эпюру D
(рис. 186).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
а)	Узкая прямоугольная пластинка со свободными продольными краями
находится под действием нагрузки, расположенной симметрично отно-
сительно продольной оси пластинки.
Пластинка может иметь участки различной толщины, но должна со-
хранять симметрию (рис. 187).
Полагая "/.(ж) = 1; Х (ж) — 0, получим
G = ^pdx-[-Spc.
В данном случае обобщенная погонная нагрузка равна действительной
погонной нагрузке (суммарной).
Рис. 187
Коэффициент при первом члене определится в виде
А = 20 \dx^ 2Dm dm.
Принимая во внимание, что
,7	ТП
iJm <*т — । _va ,
получим
Далее
50 = Вг = В = 0.
Коэффициент А равен суммарной цилиндрической жесткости кон-
струкции, а при v = 0 — обычной балочной жесткости. Это дает нам
право в дальнейшем называть А, В, С обобщенными жесткостями.
Основное дифференциальное уравнение получает вид
(IX.45)
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 373
и выражения для обобщенного момента и поперечной силы
M = (IX-46)
Очевидно, что обобщенный прогиб W здесь совпадает с действитель-
ным прогибом w, обобщенный момент — с действительным изгибающим
моментом на всей ширине балки, а обобщенная поперечная сила — с дей-
ствительной поперечной силой.
Положив v = 0, получим известные уравнения сопротивления ма-
териалов для изгиба балки.
Продольные моменты Му и поперечные силы N распределены по
сечению пропорционально жесткости D, крутящие моменты Н равны
нулю (рис. 187).
б)	Такая же пластинка под действием антисимметричной нагрузки
(рис. 188).
В отступление от принятого ранее дадим функции %(ж) размерность
длины и положим
X (х) = х; V (ж) = 1.
Тогда обобщенный прогиб W(y) будет равен w(x, у)/х и будет представ-
лять собой угол кручения 0 = 0(ж).
Обобщенная нагрузка
G — рх dx РсХс = т
представляет собой интенсивность крутящего момента т = т(ж).
Далее
А = 3 D х2- dx = 2 dx = 1	р2,
где р — радиус инерции эпюры жесткостей, определяемый по формуле
2_ ЧЛ (12С+^)
Р 12SDmrfm
Здесь ст расстояние центра тяжести т-й пластинки от начала коорди-
нат (рис. 188).
Коэффициент В находится по формуле:
Основное дифференциальное уравнение (IX.41) получает вид
p2erv —(1 — v)9"-(l-v2)-^ = 0.	(IX.47)
Обобщенный момент и поперечная сила (IX.42) определяются формулами
м = -	9"; Q = -<р20"' - (! -v) 9'}>	(1Х-48)
где при постоянной толщине пластины р2 = d2/12.
Распределение Му, Ny и Н в сечении у = const показано на рис. 188.
Уравнение (IX.47) вместе с выражениями (IX.48) характеризует
собой состояние стесненного кручения, когда в пластинке, помимо крутя-
щих моментов Н, возникают также и изгибающие моменты Му. Это име-
ет место, например, в случае, когда, по крайней мере, на одном из краев
374
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
у = 0, у = I пластинка жестко заделана (опорное сечение остается пло-
ским и депланация равна нулю). Задача о чистом кручении пластинки
получается как частный случай.
Обобщенный момент в данном случае представляет собой бимомент,
т. е. совокупность продольных нормальных напряжений в сечении
у = const, статически эквивалентную нулю.
Обобщенная поперечная сила представляет собой полный крутящий
момент в сечении у = const, который складывается из момента QN =
= —AW"’ от поперечных сил Ny,
Рис. 189
Рис. 190
и моменга — BW' от местных крутящих моментов Н, равного
^=тт?0'-
в)	Пластинка шарнирно закреплена на линии, параллельной продоль-
ной оси.
Для этого случая сохраняют силу общие формулы, выведенные для
предыдущего примера, если координату х отсчитывать от линии опира-
ния (рис. 189).
При D — const
Р2 = у (<%}—	— а^
Обобщенный прогиб W здесь также есть угол поворота элементарной
полоски при вращении ее относительно линии опирания.
Обобщенная погонная нагрузка G{y) представляет собой интенсивность
моменга внешних сил относительно линии опирания.
Однако обобщенный момент, в отличие от рассмотренного перед этим
случая стесненного кручения, здесь не является уже совокупностью
уравновешенных напряжений, а состоит из обычного изгибающего мо-
мента цилиндрического изгиба пластинки и из бимомента.
Обобщенная поперечная сила состоит из поперечной силы изгиба и
общего крутящего момента кручения пластинки. Этот случай является
обобщением двух рассмотренных выше, так как удаляя ось вращения
в ^бесконечность, можно получить случай цилиндрического изгиба.
г)	Система шарнирно сочлененных пластинок, имеющих в поперечном
сечении одну степень изменяемости (рис. 190).
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 375
Для такой системы функция х(гс) строится как форма перемещений
кинематической цепи, состоящей из жестких звеньев. После этого не-
трудно построить эпюру х'. Если теперь для каждого звена k определены
момент внешних сил щ и обобщенные жесткости Ak и Bk по формулам
предыдущего случая, то могут быть найдены приведенные значения
'	* 2	*2
т =	В =	(/с = 1,2,3,...).
Xj	Xj	Xj
Здесь / — номер того звена, угол поворота
обобщенный прогиб.
д') Т рапециевидная пластинка с шар-
нирным закреплением по продольному краю.
Изложенный метод может быть при-
меним как для расчета прямоугольных,
так и различных трапециевидных плас-
тинок.
Рассмотрим достаточно длинную тра-
пециевидную пластинку, шарнирно опер-
тую по одному из продольных краев (рис.
191); функцию поперечного распределения
прогиба х(ж) определим в виде
Х = ж; х'= 1; х" = 0.
Рассчитывая коэффициенты по форму-
лам (IX.43), получим
А = D^rfdx =
О
Б = Dl-=^d = D^^ky,
Л	Z
которого принимается за
где k — tg а.
Основное уравнение задачи запишется при этом в форме
IVTV - (1 - v) kyW" = ~ .	(IX.49)
Уравнение (IX.49) является уравнением эйлеровского типа, вследствие
чего оно интегрируется в элементарных функциях.
Представим решение соответствующего однородного уравнения в виде
Wo = уп.
(IX.50)
Внося (IX.50) в уравнение (IX.49) без правой части для определения
параметра п, получим зависимость
-Д- п (п — 1) (и — 2) (п —3) — (1 — v) kn (п — 1) = 0. (IX.51)
Решение алгебраического уравнения (IX.51) дает
п1 = 0; п2 = 1; и3,4 = 2,5±]/б,25-3(2--ДД). (IX.52)
Общий интеграл однородного уравнения определится в виде
И^о — Со + Сху -}- Суу 3 С-.у *,	(IX.53)
где Со, С2, Cs — произвольные постоянные.
376
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Для решения поставленной задачи необходимо еще вычислить частный
интеграл неоднородного уравнения (IX.49), определяемый свободным
членом G.
Рассмотрим случай, когда пластинка загружена нагрузкой р, равно-
мерно распределенной
по всей ее площади. Свободный член уравнения
(IX.49) определится при этом в виде
d
о
Частный интеграл
ния (IX.49), правая
ризуется выражением
rf2 k2u2
Тр=-^р.
(IX.54)
уравне-
характе-
форму
неоднородного
часть которого
(IX.54), имеет
кр ..з
12 (1 — v) D У ‘
Общее решение дифференциального урав-
нения задачи может быть теперь представле-
но в виде
W = Со + С±у + С2г/"’ + С3уп*---щ ।.Я——
(IX.55)
Постоянные интегрирования в формуле
(IX.55) определяются в зависимости от гранич-
ных условий, заданных в обобщенной форме
пластинки у = и у = 12.
на поперечных краях
Как частный случай выражения (IX.55) может быть получено реше-
ние для треугольной пластинки. Для этого в соответствующих расчет-
ных формулах нужно только положить = 0 и 12 = I.
Наиболее просто постоянные интегрирования определяются, когда
поперечные края пластинки имеют жесткие закрепления, т. е. когда
граничные условия записываются в виде
Wi = -
W = 0; dW/dy = 0.
Так, в этом случае для треугольной пластинки (рис. 192) произволь-
ные постоянные имеют вид
Со = Cj = 0.
Z3 п& — 3	kp , zi   Z3	Из —- 3 _____кр
2	nt — пз 12D (1 — v) ’	3	1п* пз — nt 12D (1 — v)
Параметры ns и ni определяются формулами (IX.52).
§ 9. Изгиб пластинок и оболочек
с неподвижными ребрами и краями
Во всех тех случаях, когда продольные края, а также линии изме-
нения толщины пластинки или призматической оболочки не могут иметь
смещений, функция % обращается на этих продольных сечениях в нуль.
Следовательно, для коэффициентов основного уравнения можно по-
лучить
В± = 0; В = Во.
Дифференциальное уравнение (IX.3) запишется при этом в виде
AW1V - 2BW" + CW - G = 0.	(IX.56)
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 377
Для обобщенного момента и обобщенной поперечной силы согласно
(IX.14) получаются выражения
M^-AW" + vBW; Q = - AW" + (2-v)W', (IX.57)
где
A=^D\tfd.x-, В =	C = ^D \tf)2dx. (IX.58)
Заметим, что при v = 0 формулы (IX.57) и (IX.42) совпадают.
Обобщенная погонная нагрузка определяется по формуле (IX.8):
G (у) = К (у) С + S АХ (с) + S ^сХ' (с).	(IX.59)
а) Прямоугольная пластинка, свободно опертая или защемленная по про-
дольным краям.
В качестве первого примера рассмотрим прямоугольную пластинку,
находящуюся под действием нагрузки р(х, у) = K(y)pQ(x), которая имеет
в направлении оси х постоянную интенсивность:
р0(х) — const.
За форму изгиба такой пластинки в плоскости ее поперечного сече-
ния можно принять линию прогибов поперечной элементарной балки
с соответствующим закреплением концов от равномерно распределенной
нагрузки:
р0 = 24/41.
При этом функция х(ж) может быть представлена в виде безразмерной
функции
(су	еуЗ	cy4t \	I 'У	'уЗ \
т-2у+Я+М8-г~12т+4Я +
+ «d(4j-34).	(IX.60)
Здесь х — расстояние от продольного края пластинки, 0 <4 х d; х0 и
xd — коэффициенты, определяющие величину опорных моментов р0 и
в формулах
Р-0 = *оРо d2 и = xdp0 d2
и зависящие от способа закрепления продольных краев.
Внося (IX.60) в (IX.58), получим:
.	, Г128. 2 , 2, , 248	17,	,	. , 31 1 \
А ~ d [105 (Х° + Xd) + 105 X°Xd + 35 (Х° + Xd) + 630j ;
В — 7Г ("s’ Х° X<i + “s’х<№ + у (х° + М + 35J ; (IX.61)
С =	[192 (xg xoxd 4- х|)	48 (х0 4- >0) 4~ у] •
В табл. 82 даны значения коэффициентов дифференциального урав-
нения (IX.56), вычисленные по формулам (IX.61) для некоторых частных
случаев граничных условий на продольных краях.
Для обобщенной погонной нагрузки имеем формулу G(y) = К(у}С.
Определив для какой-либо частной задачи величины А, В, С, а также
обобщенную погонную нагрузку G — G(y), из уравнения (IX.56) и усло-
вий закрепления пластинки на краях у = 0 и у = I найдем обобщенный
прогиб W = И7(у).
378
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Таблица 82
	Условия по краю х = 0	Условия по краю х — d	Хо		А	в	С
1	Шарнирное опирание	Шарнирное опирание	0	0	31 630 й	17 1 35 d	24'_1_ 5 d-‘
2	То же	Жесткая заделка	0	1 — 8	19 2 520 d	3 1 35 d	9 1 5 rf3
3	Жесткая заделка	То же	1 “ 12	1 — 12	±, 630 а	2 1 105 d	4 1 5 ds
пластинки вычисляется
Прогиб w(x, у) в произвольной точке (х, у)
но формуле
w = W (у) х (*),
где х(ж) определяется формулой (IX.60) и представляет собой в данном
случае безразмерную величину.
Как частный случай приведенной задачи рассмотрим изгиб квадрат-
ной пластинки под равномерной нагрузкой р(х, у) = const.
гис. 193
а)	Для, квадратной пластинки, жестко заделанной по контуру
(рис. 193, а), за функцию поперечного распределения прогиба х, исходя
из общего выражения (IX.60), примем
Xfa) = -(^ГЖ)8-.	(IX.62)
Нетрудно убедиться в том, что функция (IX.62) удовлетворяет условиям
жесткой заделки:
при ж = 0, х = а х = х' = 0
Для основного дифференциального уравнения (IX.17), записанного
в безразмерных координатах, по формулам (IX.16) и (IX.61) получим
коэффициенты
г2 = 12; si = 504,
откуда следует, что имеет место случай s )> г.
Поскольку координата ц = у/а отсчитывается от оси симметрии пла-
стинки и прогиб симметричен относительно этой оси, общий интеграм
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 379
уравнения (IX.17) можно представить в виде
W (р) = ch ар cos Рр + С2 sh ар sin Рр + G/C.	(IX.63)
Аргументы аир, вычисленные по формулам (IX.21), соответственно
равны |
а = 4,150; р = 2,286.1
Частный интеграл G/С определяется формулами (IX.59) и (IX.61)
и в данном случае составляет
G/C = ра4/24Р.
Произвольные постоянные С± и С2 могут быть найдены из условий,
заданных на поперечных краях пластинки:
при р = у/а = + г/2 W = W -- 0.
Несложные вычисления позволяют получить
G = — 0,02093 pa^D, С2 = — 0,001834 pa*/D.
Поверхность; прогибов пластинки определится теперь выражением
w (х, у) = х (СТ ch ар cosPp + С2 shap sin Рр +	. (IX.64)
Для сравнения результатов нашего метода и методов других авторов
приведем значения максимального прогиба в центре пластинких:
по Тимошенко.................wo'=|0,00126Jра'ЧО
поШуранту-Гильберту..........w0 = 0,00150 pa^/D
по Генки .  .................==0,00101 pa^/D
наш результат................= 0,00130 pa^/D
б)	Для, квадратной пластинки с тремя заделанными и одним свободно
опертым краем (рис. 193, б) в качестве функции % примем прогиб балки
с одним заделанным, а другим шарнирно опертым концом:
x(a:) = -J-(3a1 2-5az + 2z2).	(IX.65)
Коэффициенты уравнения (IX.17) при этом равны
•'г2 = 11,37; s4 = 238,7,
а аргументы функций общего интеграла (IX.63) равны
a = 3,662; Р = 1,428.
Частный интеграл уравнения (IX.17)
-£- = 0,01923^-.
С	L)
Раскрывая условия жесткого закрепления пластинки по краям
т) = ± х/2, получаем
Сх = — 0,013430	, С2 = 0,0006633	.
U	Uj
1 Приведенные результаты взяты из книги Л. С. Лейбензона «Вариационные ме-
тоды решения задач теории упругости». Гостехиздат, 1943.
380
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Функция прогибов пластинки определится выражением
w (а:, у) = (За2 — 5ах Ц- 2ж2) ch аг] cos Зц +
+ С2 sh ац sin Зл + 0,01923	.
Максимальный прогиб пластинки (в точке х —	у = 0,5а)
составит
U’max = 0,00151	.
б) Призматическая оболочка с замкнутым четырехугольным контуром
В качестве второго примера рассмотрим тонкостенную пространствен-
ную систему, состоящую из четырех пластинок одинаковой толщины и
образующую в поперечном сечении замкнутый четырехугольный контур
Рис. 194
с неизменяемыми прямыми углами (рис.
194).
Такая система как конструктивная
форма применяется, например, при стро-
ительстве железобетонных резервуаров.
Предполагаем, что оболочка находится под
действием внутреннего гидростатического
давления, изменяющегося по высоте ре-
зервуара на загруженном участке по ли-
нейному закону р(х, у) = К(у)р(х) = уу.
Так как р(х) = const, то за функцию %(я}
можно выбрать линию прогибов прямо-
угольной замкнутой рамы постоянного се-
чения от внутреннего нормального давле-
ния, имеющего на всех стержнях рамы по-
стоянную интенсивность р0 = 2/iJa‘-’h-, и
положить
к (у) = ~2Г у-
Функция %(я) в данной задаче на раз-
ных участках прямоугольного контура
будет иметь разные аналитические выра-
жения. Пользуясь методами теории рам,
получим;
на участке контура, имеющем длину а:
а . \ , а2 / ж4 9 ж3 , ж
~~ j + 1) +	+ Тр
на участке контура, имеющем длину б:
Легко проверить, что приведенная здесь функция %(я) удовлетворяет
условиям жесткого соединения между собой прямоугольных пластинок
на ребрах рассматриваемой коробки.
Формулы (IX.61) в данном случае принимают вид
А = 2^ y?adx + ТАъ<1х};
о	о
а	Ъ
В =	(Xj2^+ (Хь)2	;
о	о
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 381
а	Ъ
с =2^ (х")2^ + 5(Хь)2^]-
О	о
Значения величин А, В, С, вычисленные по этим формулам для не-
которых значений отношения b/а сторон прямоугольного контура, при-
ведены в табл. 83.
Таблица 83
ъ а	1	1,25	1,5	1,75	2
Л	0,06349а	0,02916а	0,1011а	0,2412а	0,4768а
в	1 0,07619 — ’	а	1 0,1991 — ’	а	1 0,4820	 а	1 0,8575	 а	1 1,307 — а
с	1 3,200-^- ’	а6	1 3,232 -v	1 4,194 -V- а3	5,280 Д- ’	а3	6,300
Обобщенная внешняя нагрузка G=G (у) в случае гидростатического
давления в функции от у (по высоте резервуара) на нагруженном участке
представляется линейным законом:
G=K (у)С.
Вычислив коэффициенты А, В, С и нагрузку G, мы и в данном случае
достаточно сложной задачи будем иметь дифференциальное уравнение
(IX.56), дающее вместе с граничными условиями в крайних сечениях
резервуара у=0, у — 1 для искомого обобщенного прогиба W(y) вполне
определенную функцию.
Зная эту функцию, можно затем определить прогиб, а следовательно,
и моменты (изгибающие и крутящие) в любой точке рассматриваемой
пластинчатой системы. В частном случае элементарными средствами ма-
тематического анализа можно разрешить задачу о напряжениях и
деформациях тонкостенной трубы прямоугольного контура при любых
условиях закрепления концов этой трубы на внутреннее давление, изме-
няющееся по длине трубы по любому 'закону (прерывному или непре-
рывному).]
§ 10. Бесконечная полоса, усиленная поперечной балкой
и находящаяся под действием сосредоточенной силы1
Рассмотрим задачу об изгибе бесконечной пластинки шириной d,
жестко заделанной по одному продольному краю и свободной по другому.
Пластинка усилена поперечной балкой и на нее действует сосредоточен-
ная сила (рис. 195).
Будем считать, что ось симметрии балки и линия действия сосредото-
ченной силы лежат в одной плоскости, балка и полоса составляют одно
целое и имеют одинаковые граничные условия и что ширина полосы d
много больше ширины балки 26.
1 Пример расчета выполнен В. В. Власовым.
382
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Функцию поперечного распределения прогиба можно взять в виде
=	(IX.66)
Эта функция с точностью до постоянного множителя удовлетворяет
однородному дифференциальному уравнению изгиба балки и граничным
условиям; при ж=0 х=х'=О; ПРИ х = d У" = О, Х'" 4= 0- Последнее усло-
вие отвечает действию сосредоточенной силы на свободном конце балки.
Уравнение для функции W (ц) имеет вид
С?Г]3 4
2r2	+ .sW= 0.
(IX.67)
В отличие от рассмотренных ранее случаев, уравнение (IX.67) одно-
родно, так как на пластинку действует сосредоточенный фактор.
Коэффициенты уравнения
(IX.67) находятся по форму-
лам (IX.4), (IX.16) и (IX.66).
Принимая коэффициент Пу-
ассона v равным нулю, полу-
чаем
г2 = 5,091; s4 = 12,727.
Корни характеристического
уравнения (IX.20) в данном слу-
чае имеют следующие значения:
/г1=—^з=2,953;
^2=—ki= 1,208.
Общий интеграл уравнения
(IX.67) запишется в виде
W (ц) —	С2е~кл + Сзе*1^’ +^С4е*2’1.
(IX.68)
В силу симметрии задачи пластинка может рассматриваться нами
только слева (или справа) от оси Ох. При этом постоянные интегрирования,
входящие в выражение (IX.68), определятся из следующих условий.
1. Функция прогибов W (ц), согласно физическому смыслу, стре-
мится к нулю на бесконечности. Отсюда следует, что
С3=С4=0,
и, следовательно,
W (ц) = Cie-^ + С2е-^.	(IX.69)
2. Из условий симметрии в сечении у=0
I =0,	(IX.70)
dy |у=о	v
откуда
С2 = —СЛ/^2.	(IX.71)
3. Поскольку внешний момент от заданной сосредоточенной силы Р
уравновешивается внутренним изгибающим моментом пластинки и балки,
для определения последней постоянной интегрирования можно записать
статическое условие равновесия:
ОО
о
-±Pd = 0.
Х=о
У=0
(IX.72)
Гл. IX. Практический, метод расчета пластинок и призматических оболочек 383-
Раскрывая условие (IX.72) и учитывая (IX.71), получаем
р ___	^1^2	Pd3
1	6 (fei—й2) [2 (£1 + dD + kik^EJ]
Для функции прогибов w нетрудно теперь записать выражение
. _	kikzPd3
Л> ~~ 6 (fei — fe2) [2 (fei + fe2) dD + kfaEJ} X
X l2(3- I) (kie-k^ — k2e~^)-	(IX.73>
здесь | = xld — безразмерная координата.
Значения функции F (ц) = йхе-*2’1 — foe-*1”, по закону которой ме-
няются прогиб и интенсивность изгибающего момента Мх в направленна
оси у, приведены в табл. 84.
Таблица 84
7)	0	0,25	0,5	1	1,5	2	3	4
^(П)	1,745	1,576	1,338	0,8195	0,4678	0,2613	0,0787	0,0236
Из табл. 84 можно видеть, что прогиб при y—?>d составляет 4,51%
от максимального прогиба при у=0; при ?/=4cZ — 1,35% от максималь-
ного прогиба.
Таким образом, для пластинки длиной в 8d и более граничные условия
на поперечных краях в малой степени сказываются на функции прогиба.
Внося значения характеристических чисел kx и /га в формулу (IX. 73)
и полагая £=1, ц=0, найдем максимальный прогиб пластинки
_ Pd?
и’П1ях ~ idD + 3EJ 
Рассмотрим теперь вопрос определения изгибающих моментов Мх в при-
веденной конструкции.
При вычислении изгибающих моментов в сечении у—0 можно считать,,
что работает одна балка, поэтому
EJ д-w I	PdEJ
XIX — — -g~r |y=o — — (4 666 dD + 2£.7) g •
В сечениях работает одна пластинка и, следовательно:
я г	гх	Pd"D •	/1 о \ г-f / \
Мх = -D-^ = — 4 071 dD + 1>745 EJ (1 — I) F (ц).
В частности, полагая EJ равным нулю, получим выражения для прогиба
и интенсивности изгибающего момента; Мх при отсутствии поперечной
балки. Для максимального прогиба и максимальной интенсивности из-
гибающего момента в этом случае будем иметь следующие значения:
5 = 1; т] = О гртах = 0,1428^;
при
5 = 0; т) = 0 Мтах = 0,4284 Р>
384
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
§ 11. Многогранная призматическая оболочка
под внутренним давлением1
1. Рассмотрим задачу об упругом равновесии призматической короб-
ки, находящейся под внутренним давлением. Будем считать, что коробка
(рис. 196) представляет собой прямоугольную призматическую оболочку
с поперечным сечением в виде правильного тг-угольника. Боковые грани
коробки являются равными прямоугольными пластинками высотой I,
шириной d и толщиной h.
Рис. 196
В отношении конструкции коробки примем следующие гипотезы:
1) боковые грани коробки могут претерпевать деформации изгиба, рас-
тяжения (сжатия) и сдвига; 2) угол между соседними боковыми гранями
коробки во всех точках ребра не изменяется в процессе деформации.
Таким образом, в отличие от рассмотренной ранее оболочки с четы-
рехугольным контуром, элементарный пояс коробки, заключенный между
двумя близкими поперечными сечениями, представляет собой замкнутую
раму с изгибаемыми и растяжимыми стержнями.
Ограничимся рассмотрением упругого равновесия одной из боковых
граней, поскольку все они одинаковы и работают в одинаковых условиях.
Прогиб боковой грани, являющейся прямоугольной пластинкой, опреде-
лим в виде w (х, у) = W (у)х(а:).
Здесь х — координата в направлении поперечного сечения пластинки;
у — координата в продольном направлении пластинки.
Остановимся на выборе функции поперечного распределения прогиба
X (ж). Примем эту функцию в виде
X (*) = Хо + Xi (*),	(IX.74)
где Х1(ж) — прогиб элементарной полоски, выделенной в направле-
нии поперечного сечения пластинки. Прогиб ’y.i(x) отвечает изгибу по-
лоски без растяжения. Хо— постоянная величина, соответствующая по-
ступательному перемещению элементарной полоски как жесткого целого
вследствие растяжения контура поперечного сечения коробки.
Функция х(ж), как возможное перемещение элементарной полоски,
определяется с точностью до постоянного множителя. Тем самым мы не
можем распоряжаться произвольно функциями х<> и %i, так как они свя-
заны между собой через некоторый общий произвольный параметр. Возь-
мем за этот параметр внутреннее давление р, постоянное вдоль полоски,
но произвольное по своей величине.
1 Настоящий} параграф написан В. В. Власовым.
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 385
Функция %1(ж) может быть определена в виде
. (1Х-75)
Выражение (IX.75) точно_ удовлетворяет уравнению изгиба балки
под равномерной нагрузкой р и условиям жесткой заделки поперечных
краев полоски ®=+d/2.
Остановимся теперь на определении величины %0. Для этого равно-
мерно распределенную нагрузку интенсивности р, приходящуюся на
нашу полоску шириной dy—i, заменим двумя эквивалентными силами,
равными pd/2 и приложенными по краям полоски в точках А и В
(рис. 197). Такое же построение можно произвести и для соседней полоски
поперечного пояса коробки. Из условия равновесия узла А находим силу,
растягивающую элементарную полоску:
лт рс? Л
Пользуясь законом Гука, получаем значение для абсолютного удли-
нения полоски:
4-
Рассматривая теперь в целом элементарную раму и принимая во вни-
мание, что каждый стержень этой рамы удлинился на величину Ad,
нетрудно получить искомое выражение для величины х»:
Дб? Л р<Г , о Л	/ГАЛ
Xo = -Fctg- = feActg2V	(1Х-76)
Подставив в (IX.74) выражения (IX.75) и (IX.76) и положив р = ^Ehjd2
(что можно сделать ввиду произвольности параметра р), найдем оконча-
тельное выражение для функции поперечного распределения прогиба:
+ <1Х-77>
При выбранном значении р относительное удлинение вдоль оси х
равно
2л'
в = —г- ctg — .
d 6 n
Для определения обобщенного прогиба W (у) составим выражение
для работы всех внешних и внутренних силовых факторов выделенной
полоски на возможном перемещении х (®)-
Виртуальная работа изгибных силовых факторов полоски на возмож-
ном перемещении х(ж) имеет вид
V0 = G — AWIV + 2BW" — CW.	(IX.78)
В данном случае
А = D J х2^; В = D J (х')2^; C=D $ (х")2^; G = $ p%dx. (IX.79)
Необходимо помнить, что здесь р есть заданное внешнее давление.
К полученной работе Vo надо добавить еще работу сдвигающих и растя-
гивающих сил полоски, отвечающих плоскому напряженному состоянию
пластинки на соответствующих им возможных перемещениях.
25 в. 3. Власов, т. III
386
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Компоненты напряжений Хх и Ху, характеризующие плоское напря-
женное состояние пластинки, определяются полными перемещениями
точек полоски вдоль оси х.
Виртуальное перемещение б точек полоски вдоль оси х есть б = &х.
Полное перемещение и, следовательно,
u = uW {у) = sxW (у).
Таким образом
Хх — Е^ ==eEW(y); Xy = G^zGxW'(y).
Перемещения в направлении оси у и соответствующие им напряжения
Yy равны нулю, если коробка имеет одно днище. Для замкнутой коробки,
имеющей оба днища:
Yv = P/F,
где Р — полная нагрузка, приложенная к днищу; F — площадь попереч-
ного сечения оболочки.
Найдем работу напряжений Хх и Yу на соответствующих им вирту-
альных перемещениях.
Напряжения Хх характеризуют работу внутренних сил полоски,
а поэтому
d/2
у1 = — J Xxehdx = — etdhEW (у).	(IX.80)
—3/2
Касательные напряжения, внешние по отношению к полоске, заменяют
Собой действие отброшенных частей пластинки и совершают положитель-
ную работу на возможном перемещении б:
ЭХ _	- rfs
У2= h^-udx = ^hG^W"{y\	(IX.81)
-d/2
Складывая (IX.78), (IX.80) и (IX.81) и приравнивая, согласно прин-
ципу Лагранжа, полученное выражение нулю, получаем
AWIV - {2В + e?hG —jW' + (С + ^dhE)W (у) — G--0.	(IX.82)
Коэффициенты А, В, С и G подсчитаем, пользуясь формулами (IX.79): d/2	d/2	
А — D \ y2dx = D \		+ ctg2-- dx = J	j L “2	\	4 / 1	° п J -d/2	-d/2 n / j i 4 л , 2d3 , , л ,	3 d:‘\ n	—Ctg d/2	d/2 B = d\ (x’ydx^D \ ~ (16ж6 — 8d?xi+dix2)dx =	; v	V	IvD	П —d/2	-d/2	 (IX.83)
d/2	d/2 C~D ( (/)* = « (	+	= - d/2	- d/2 d/2 г	Г Г 2 / 2 d2 \2	. 2 я 1 z	I i .  л . d3 \ G==P ) [7FhAx ~-Y) +ct-g2-p =	+ -d/2	
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 387
Переходя к безразмерной координате р = y/d, получим
cWp) _	+ sw (р) - tG = О,	(IX.84)
где
_ d3
,	,,B + 82AG'24	4 MC+&dhE t di
Г = d -----A------; S ~ d ~^A---------: t=~A -
Дифференциальное уравнение (IX.84) совместно с граничными усло-
виями, поставленными в обобщенной форме, позволяет полностью решить
задачу об упругом равновесии n-гранной призматической оболочки.
Если днища оболочки, принимаемые бесконечно жесткими в своей пло-
скости, шарнирно соединены с боковыми гранями коробки, граничные
условия запишутся в виде
w (р) = W" (р) = 0.
В случае жесткого соединения граничные условия имеют вид
Р7(Т1) = Ж,(р) = 0
Для коробки, имеющей свободный от закреплений поперечный край,
граничные условия характеризуются равенством нулю обобщенного мо-
мента и обобщенной поперечной силы, которые рассчитываются но фор-
мулам (IX.14).
Отметим, что дифференциальное уравнение (IX.84) справедливо для
нагрузки, меняющейся в направлении оси у по любому закону. В част-
ности, давление р может быть равномерным или гидростатическим.
2. Из уравнения (IX.82) путем предельного перехода легко получить
дифференциальное уравнение равновесия цилиндрической оболочки, на-
ходящейся под равномерным внутренним давлением.
Для этого запишем сначала уравнение (IX.82) в эквивалентной форме:
{	~	d3\
1 dW _	[2В + ^hG ~i2 ]	d2W (С + e2 dhE) W__G _	„
d2% (x) dy*	d-A'/(x)	dy2	' dM% (ж)	d’-Л
Устремляя п к бесконечности и отбрасывая бесконечно малые вели-
чины, получим
lim d2x (ж) = lim (27? sin —V ctg2 — = 4/?2;
n->oo	n->oo '	n '	n
- d3
2B -|- tfhG a p
lim----i \-------- = 0;
,v>oo dIAxix)
,. C -|- g2 dhE	,. e?dh.E
lim ,, .—3-^- = lim	—7—
,1Л7. (x)	d2Ay, (x)
__ hE
~~ kRlD ’
_ P
iR2D ’
G	pd ctg2 —
lim = lim ------------
n->oo d	d2Ddctg4^
Подставляя предельные значения коэффициентов в исходное уравнение,
получаем
n dW , hE T„ „
D^+^W-p = °’
что совпадает с известным уравнением изгиба замкнутой цилиндрической
оболочки, находящейся под внутренним равномерно распределенным дав-
лением.
25*
388
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Рис. 198
(IX.86)
§ 12.	Расчет косоугольных пластинок
на fравномерно распределенную нагрузку1
1.	Рассмотрим косоугольную пластинку, имеющую в плане форму
параллелограмма и отнесенную к прямоугольной системе координат Оху
(рис. 198).
Ограничиваясь случаем рав-
номерного загружения, предста-
вим поверхность прогибов этой
пластинки в виде разложения
w(®, у) = Wz1(y) Х1(®, у) +
+ Wt(y)b(x,y). (IX.85)
Здесь Wi(y) и Wz(y) — иско-
мые функции, представляющие
собой обобщенные прогибы пла-
стинки; Х1(ж,у), Х2(ж, у)—функции
поперечного распределения проги-
ба, соответствующие геометриче-
ским граничным условиям на про-
дольных краях.
Рассматривая пластинку с же-
стко заделанными продольными
краями, в качестве Xi и Хг выберем
функции прогибов однопролетной
балки, длина которой в выбранной
системе координат является функцией у (рис. 198), соответственно от сим-
метричной и кососимметричной нагрузки интенсивности р = 24/?./.
Представим эти функции в виде
Xi = (^ + kyf — 2b2 (х + ky)2 + b\
X2 = (a; + ky)° — 2b2 (x + ky)3 + № (x + ky).
Такой выбор функций Xi и X2 обусловливается тем, что поверхность
прогибов косоугольной пластинки под равномерной нагрузкой обладает
только полярной симметрией относительно центра пластинки и не имеет
симметрии осевой,— прогиб в точке А' острого угла не равен прогибу
в точке А' угла тупого.
2.	Для определения Wi и Wz используем, как и ранее, принцип воз-
можных перемещений, приравнивая нулю работу всех внешних и внутрен-
них сил выделенной из пластинки элементарной полоски dy на любом воз-
можном для нее перемещении. В качестве возможных примем единичные
перемещения:
iPi=Wz1X1; w2 = W^2 при Wi = i и W2 = l-
Внося выражение (IX.85) в бигармоническое уравнение изгиба пла-
стинки (VIII.6) и варьируя его на возможных перемещениях Х1 и Х2,
п олучим
\ V2Va (Ж1Х1 + ИШ Х1 dx - Х1 dx = 0;
(.	;	(IX.87)
5 V2v2 (Ж1Х1 + Ж//2) Х2 dx - J -g- Х2 dx = 0.
1 Пример расчета косоугольной пластинки, приведенной в настоящем параграфе,
а также примеры расчета трапециевидных пластинок, рассмотренные далее в § 13,
выполнены студентами МИСИ имени В. В. Куйбышева Э. Кузнецовым, В. Петровым
и Д. Соболевым под руководством инж. Р. Р. Матевосяна и канд. техн, наук
В. Н. Пастушихина, 1955.
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 389
(IX. 89)
Интегралы в уравнениях (IX.87) распространяются на всю ширину
пластинки и вычисляются в пределах от (—ky —Ъ) до (—ky +6), где
k = tg у.
Учитывая формулы (IX.86) и вычисляя интегралы согласно (IX.87),
нетрудно получить систему двух обыкновенных дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами относительно искомых функций
и 1У2:
bW? - 6 (3/га + 1) b2 W1 + у (k2 + 1 )а W, + 2kbW2 -
-18k(k2 + l)b2W'2 = ^-;
v	16D	(IX.88)
Wly - 2 (3£2 + 1)	? (k2 + l)a b2W2 - 2kbW" +
+ 18£(&2 + 1)62И< = 0.
3.	Решение системы (IX.88) проще всего может быть получено при
помощи приведения к одному дифференциальному уравнению восьмого
порядка.
Введем для этого в рассмотрение вспомогательную функцию F (у),
определяемую формулами
W\ = FIv - 2 (3&2 + 1) ЬЧ?" + у (A2 + 1 )2 b2F;
Wa = 2kb* F- 18£ (A2 + 1) b2F'.
Внося выражения (IX.89) во второе уравнение системы (IX.88),
нетрудно убедиться в том, что это уравнение удовлетворяется тождест-
венно. При этом первое уравнение дает
Fvnl --А- [7(3&а + 1)-11] Fvl + -J [63 (k2 + I)2 + 22 (3fea + l)2-
-132(^+l)]fIV-^[7(3^a+ 1)-9^]F" + ^|^-F = |g (IX.90)
Дифференциальное уравнение (IX.90) совместно с граничными усло-
виями на поперечных краях пластинки, поставленными в обобщенной
форме, позволяет получить достаточно простое решение рассматриваемой
задачи. Уравнение (IX.90) интегрируется в элементарных функциях,
характер которых определяется видом корней соответствующего харак-
теристического уравнения. Поскольку вид корней этого уравнения в
свою очередь зависит от величины угла скоса у, для одной и той же плас-
тинки в зависимости от угла у могут быть получены различные решения:
либо в гиперболических, либо в гиперболотригонометрических функциях.
4.	В соответствии с порядком основного уравнения (IX.90), на по-
перечных краях пластинки у— — 1и у=1 должно быть поставлено восемь
граничных условий — по четыре на каждом краю.
Если поперечный край жестко заделан, граничными условиями на
этом краю будут:
171=0;	172=0;	(IX.91)
dWi/dy=0;	dWMy=0.	(IX.92)
Если поперечный край не имеет закреплений, граничные условия
запишутся в виде
(' / д-w d-w\ , • п (' /д-w d2w\ д%2 7 n	nv
\ hrs + v л-2 д- dx = 0; \ Д-» + Уд-й Нг- dx = 0;	(IX.93)
}\ду2 1 дх2 ) ду	J\dy2 дх2/ ду	'	'
+	= Sg+(2-O = <>. <1Х.Э4)
390
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Здесь функция w (х, у) определяется выражением (IX,85), а %1(ж,у) и
%2 (%,у) — выражениями (IX.86).
Формулы (IX.93), (IX.94) представляют собой обобщенные граничные
условия, выражающие равенство нулю работы, производимой краевыми
моментами и поперечными силами на соответствующих возможных пере-
мещениях.
Для свободно опертого края граничные условия запишутся в смешанной
форме и будут характеризоваться равенством нулю обобщенных проги-
бов (IX.91) и моментов (IX.93).
Рис. 199
В качестве примера на рис. 199 изображена эпюра прогибов защемлен-
ной по контуру пластинки, угол скоса которой равен 45°. Расчет проведен
в предположении, что v=0 и отношение сторон составляет llb=i.
В табл. 85 приведены значения прогибов для некоторых точек этой
пластинки.
— р&4
w = w —jy 10 6
Таблица 85
№ точек	1	2	3	4	5	6	7	8
W	866,955	820,183	434,757	355,451	387,617	330,043	256,839	123,574
Отметим, что аналогичным образом для косоугольной пластинки мо-
жет быть получено решение и в том случае, когда продольные края пла-
стинки имеют не заделку, а какие-либо другие граничные условия. При
этом нужно только соответствующим образом выбрать функции и %2,
удовлетворяющие геометрическим граничным условиям на этих краях.
§ 13. Расчет трапециевидных пластинок
1. В качестве первого примера рассмотрим задачу об изгибе равнобоч-
ной трапециевидной пластинки, жестко защемленной на продольных ко-
сых краях и загруженной равномерно распределенной нагрузкой р
(рис. 200).
Поверхность прогибов этой пластинки представим в виде
W (х, y) = W Шх,у)-	(IX.95)
Гл. IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 391
Функцию %(х,у) выберем как функцию прогибов элементарной полоски
(балки переменной длины 2b-\-2ky), выделенной из пластинки в попереч-
ном направлении, от равномерной нагрузки р=24Е'7. Эта функция, удов-
летворяющая геометрическим
пластинки, может быть
представлена в виде
= [х2 — (ky + 62)]2,
(IX.96)
где
Ze=tga.
На основании принци-
па возможных перемещений
обобщенное уравнение рав-
новесия трапециевидной
пластинки запишется в
форме
ky±b
V2V3w — /dx = Q,
-kif+b
(IX.97)
где w(x, у) определяется выражением (IX.95); %(ж, у) — формулой (IX.96).
Выполняя интегрирование, нетрудно представить основное уравнение
задачи в виде
| (ky + by WIV + 12/г (ky + b)3 W'" + 4 (15й2 - 1) (ky + b)2 W +
+ 28/г (3£2 - 1) (ky + b) W + 7 (3Zz4 - 2k2 + 3) W = p. > (IX.98)
Дифференциальное уравнение (IX.98) с переменными коэффициентами
является уравнением эйлеровского типа и интегрируется в элементарных
функциях. При k = 0 как частный случай из него может быть получено
уравнение для защемленного по двум сторонам прямоугольника. При
Ь=0 уравнение (IX.98) дает решение для равнобедренного треугольника.
Общее решение соответствующего однородного уравнения легко по-
лучить при помощи известной подстановки Эйлера. Полагая
W = (ky + b)n	(IX.99)
и внося (IX.99) в уравнение (IX.98), взятое без правой части, будем иметь
kW + 12/г4п3 + (47/г2 - 6) k2n2 + 6 (ilk2 — 6) k2n +
+	- 21Й2 + ^-) = 0.	(IX.100)
Характеристическое уравнение (IX.100) определяет четыре корня п
и. следовательно, четыре частных интеграла однородного уравнения.
Рассмотрим частный случай, когда угол скоса пластинки а=45°.
При этом й=1 и уравнение (IX.100) позволяет получить
ni=—0,25-|-1,05г; пз=—5,75 + 1,05г;
пз——0,25—1,05г;	—5,75—1,05г.
392
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Рис. 201
Общий интеграл однородного уравнения может быть теперь представ-
лен в виде
Wj = Сх (У 4- ЬУ1 + С2 (у 4~ &)п>1!+ С3 (у 4- Ь)113 4- (у 4- by1'
или окончательно:
ТУх = (у 4- 6)-0,23 (Вх cos <р 4- В3 sin ф) 4-
4- (у 4- Ь)-5,75 (В3 cos ф 4- Bi sin ф),	(IX.101)
где	ф = 1,05 In (у 4- Ь).
В случае загружения пластинки равномерно распределенной нагруз-
кой частный интеграл неоднородного уравнения (IX.98) определится в
виде
W0 = p/32D. (IX. 102)
Общее решение рассмот-
ренной задачи, определяю-
щее функцию прогибов трапе-
циевидной пластинки, на ос-
новании выражений (IX.95),
(IX.96), (IX.101) и (IX.102)
запишется в форме
гр (а-, у) = [ж2 — (ky 4-
4-6)2]2 [(Вх cos ф 4- В2з1пф)х
X (у 4- 6)-0’25 4- (#з cos ф 4-
4-	Bi sin ф) (у 4- 6)“5,754-
4-Р/32Р].	(IX.103)
Постоянные интегрирова-
ния Bi, Вг, Вз, Bi, как и в
случае косоугольной пла-
стинки, могут быть определе-
ны из граничных условий,
поставленных в обобщенной
форме на поперечных краях у=0, у = 1 пластинки.
2.	Рассмотрим теперь трапециевидную пластинку с шарнирно опер-
тыми продольными краями (рис. 201). Выбирая для функции прогибов
w(x,y) выражение (IX.95), представим функцию поперечного распределе-
ния прогиба %(aj, у) в виде
X (х, у) = х4 — 6ж2 (ky 4- b)2 4- (ky 4- by.	(IX.104)
Функция (IX.104) удовлетворяет на продольных краях пластинки гео-
метрическим граничным условиям и является, как и ранее, функцией
прогибов элементарной поперечной полоски (балки), шарнирно опертой
по концам и загруженной равномерной нагрузкой р — 2'kEJ.
। Вариационное уравнение равновесия (IX.97) после проведения соответ-
ствующих преобразований запишется в виде
(ky 4- by IVIV 4- 18fe (fey 4- by W” 4- (234fe2 - 17) (fey 4- by W" 4-
4-^fe(5fe2-l)(fey4-fe)I7'4-
+ ^(5/4-3fe24-l)IV-g-^ = 0,	(IX.105)
01	XjtcO LJ
где fe = tga.
Гл, IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболочек 393
Решая это уравнение для частного случая k=l с помощью подстановки
W = (/гг/+^)п, получим характеристическое уравнение:
п4+12п3+20п2+ 64,55^4-18,29 = О,
корни которого равны
т=—0,51-|-2,Зг;	пз=—0,31;
П2=—0,51—2,3г;	т=—10,66.
Общее решение уравнения (IX.105) без правой части определится,
таким образом, в форме
Wr = (г/ -j- б)-0,51 (Ci cos ф + С2 sin ф)
+ G(2/ + &)-10’66,
где
ф = 2,3 1п(г/ + &).
В случае равномерной нагрузки част-
ный интеграл неоднородного уравнения
(IX. 105) имеет вид
РИо=т>/72Р. (IX.107)
Полученные выражения (IX. 106)и (IX.107)
позволяют представить общее решение задачи
об изгибе рассмотренной пластинки в виде
следующей формулы:
w (х, у) = [а:4 — 6ж2 (у + Ь)2 + 5 (г/ + &)4] X
X [(у + б)-0,51 (Cj cos ф + С2 sin ф) +
+ С3 (у + б)”’31 + С4 (у + Ь)~10'ы + р/72 D],
rj\e Ci, Ci, Сз, Ct— постоянные интегрирования, подлежащие определе-
нию из граничных условий, поставленных на поперечных краях пластинки.
3.	В качестве последнего примера рассмотрим изгиб несимметричной
трапециевидной пластинки консольного типа (рис. 202), загруженной рав-
номерно распределенной нагрузкой р.	।
’ Функцию поперечного распределения прогиба выберем в виде
% (х, у) — х*—4xs(ky-]-b') + Qx2(ky+b)2,	(IX.108)
где /s=tga.
Выражение (IX.108) характеризует собой линию прогибов консольной
балки, длина которой равна ky-]-b, от равномерной нагрузки p—2^iEJ.
По аналогии с рассмотренными ранее случаями составляем обобщенное
уравнение равновесия:
(ky + b)* WIV + (ky + W W" + g (71/г2 + 5) (ky + b}2
+ 1^k(ky + b)W' + 1-ff(2k2 + l)W = ^-f. (IX.109)
Как и ранее, решение уравнения (IX. 109), описывающего изгиб кон-
сольной пластинки, может быть получено при помощи подстановки
W = (ky+b)n.
4.	В заключение отметим, что изложенный метод позволяет получить
решение задачи об изгибе косоугольных и трапециевидных пластинок на
любую нагрузку, отвечающую требованию (IX.1). При этом отличие от
194
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
рассмотренных примеров будет состоять только в ином выборе функций
у)> а также в определении частного интеграла неоднородного урав-
нения задачи, так как вид этого интеграла определяется характером на-
грузки.
При помощи изложенного метода может быть рассчитана также пира-
мидальная призматическая оболочка типа бункера (рис. 203). Для этого
Рис. 203
b
нужно только выделить из оболочки элементарную поперечную раму и
рассмотреть интегральные условия равновесия этой рамы подобно тому,
как это сделано в § 9. Поскольку длина контура элементарной рамы будет
зависеть от продольной координаты у, условия равновесия запишутся
в виде дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Однако эти дифференциальные уравнения будут уравнениями эйлеров-
ского типа, вследствие чего интегрирование их не представит принци-
пиальных затруднений.
Глава X
УСТОЙЧИВОСТЬ и колебания
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ И ТРАПЕЦИЕВИДНЫХ ПЛАСТИНОК
§ 1. Дифференциальные уравнения устойчивости пластинок
Предположим, что прямоугольная пластинка нагружена продольными
сжимающими силами, распределенными в сечениях y=const по некото-
рому закону N(x).
Известное дифференциальное уравнение устойчивости такой пластин-
ки записывается в виде
п/Э4м 9 д4и> д*и>\ Ат , , d2w
\ oxi	дх2оу2 оу* J	' 1 ду2
Eh3
D =	---цилиндрическая жесткость.
Отметим, что сжимающие силы в уравнении (Х.1) считаются поло-
жительными.
Задавая поверхность прогибов пластинки в форме конечного разло-
жения
(Х.1)
где
W = У wk (у) Xk
k=i
(Х.2)
и предполагая, как и ранее, функции %&(ж) известными, а функции Wk(y)
подлежащими определению, дифференциальное уравнение в частных про-
изводных (Х.1) нетрудно привести к системе обыкновенных дифферен-
циальных уравнений:
п
S + (4 N* - 2М w"k +Cik =0 м
(г = 1, 2, 3,... , n).
Коэффициенты а«, bilc, cilc уравнений (Х.З) определяются только вы-
бранной системой функций поперечного распределения прогиба х&(ж) и
рассчитываются по формулам (VIII.27):
(4k = .[ dx;	j
&« = [y.'^dx —	+ Хд.]; [-	(Х.4)
Сгк = I 7Л dx.	J
Коэффициент Nilc, зависящий от величины сжимающей нагрузки N(x),
определяется по формуле
Nik = N (ж) ^kdx.	(Х.5)
396
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
В том случае, если заданная нагрузка является равномерно распреде-
ленной, N (х) = const, уравнение (Х.З) может быть представлено в форме-
п
3 \alkWV + (^aik - 26ife) W"k +	= О	(X.6).
*=iL	J
(z = 1, 2, 3,. . . ,n),
где P — полная величина сжимающей силы; d — ширина пластинки. Да-
вая индексу i последовательно все значения от 1 до п из (Х.З) или (Х.6),
получим полную систему п однородных обыкновенных дифференциальных
уравнений относительно искомых функций Wk(y) (/г=1,2,...,п). Эти урав-
нения при выбранных функциях %k(x) (k=l, 2, будут известны с
точностью до параметра Р [в общем случае—У (ж)], представляющего
собой искомую критическую силу. Присоединяя к уравнениям (Х.6)
однородные граничные условия, заданные для функций Wk(y) на крайних
сечениях у—0, у=1, из условий существования решений, отличных от
нуля, получим для Р бесконечное множество значений. Так как система
дифференциальных уравнений (Х.6) имеет симметричную структуру, ха-
рактеристические числа в описываемой здесь однородной краевой задаче
всегда будут иметь действительные значения.
Для достаточно длинной пластинки решение уравнений (Х.6) может
быть представлено в форме
irft(?/)=Cftsin(nyA) (/г=1,2,3,...,п),	(Х.7)
где Ck— произвольные постоянные, а X — длина полуволны синусоиды,
определяющей форму потери устойчивости в направлении координаты у.
Подставляя (Х.7) в (Х.6) и приравнивая нулю определитель системы,
образованный из коэффициентов при Ck, получим характеристическое
уравнение, порядок которого относительно Р равен п. Уравнение это
вековое и, следовательно, корни его всегда действительны. Вследствие
того, что характеристическим уравнением при конечном числе п в алгеб-
раической форме связаны две неизвестные величины — сила Р и длина
полуволны X, для определения этих величин должно быть еще исполь-
зовано условие экстремума dPldk=Q.
При решении ряда практических задач в разложении (Х.2) можно
ограничиться одним только первым членом. При этом форма потери устой-
чивости пластинки в направлении ее ширины или в общем случае оболочки
(рис. 194) по линии контура поперечного сечения будет представлена
одной только функцией х(ж). Система дифференциальных уравнений
(Х.З) будет состоять в этом случае только из одного уравнения четвертого
порядка:
AW1V + (Nil - 25)W" + CW=0.	(X.8>
Здесь W=W (?/)— искомый обобщенный прогиб; А, В, С, Nn— коэффи-
циенты, вычисляемые по формулам (Х.4) и (Х.5):
А — D ? %2 dx;	С = Z> С (х")2 dx;	I
Г	f	(Х.9)
В =	(T.')2dx — v5[%%'J; 2Vn= N(x)yAdx. J
§ 2. Устойчивость узких пластинок
без учета деформации поперечного сечения
Наиболее простое решение дифференциального уравнения устойчи-
вости (Х.8) может быть получено в том случае, когда контур поперечного
сечения пластинки или в общем случае призматической оболочки можно
Гл. X. Устойчивость и колебания прямоугольных и трапециевидных пластинок 397
•считать недеформируемым. Такое предположение будет справедливо для
пластинок, у которых продольные края свободны от закреплений или
один край шарнирно опертый, а также в ряде других случаев, когда эле-
ментарная поперечная полос-
ки dy оказывается геометри-
чески изменяемой (см. гл.
IX, § 8). За функцию % (х)
в этом случае естественно
принять перемещения поло-
ски как механизма, состоя-
щего из жестких звеньев.
Рассмотрим некоторые
частные примеры.
а)	Прямоугольная пластинка,
шарнирно-закрепленная по
продольному краю
Предположим, что прямо-
угольная пластинка постоян-
ной толщины h загружена
центрально приложенной
сжимающей силой P=Nd
Рис. 204
(рис. 204).
За форму возможного перемещения в направлении оси Ох примем по-
ворот этой пластинки как жесткого диска относительно закреплен-
ного края (%=£).
Для коэффициентов уравнения (Х.8) согласно (Х.9) получим выраже-
ния:
А = D J х2 dx = Dd3/3; С = 0; I
В = D (X')2 dx — vD ]%%'] = Dd (1 — v); j
2VU = Pd2/3.	)
(X.10)
Дифференциальное уравнение устойчивости запишется при зтом в виде
PF’V + [£d “ - v) i] W" = °-	(X-U)
Предположим, что на поперечных краях у = 0, у = I пластинка имеет
шарнирное опирание. Решение уравнения (Х.11) в этом случае может быть
представлено в форме
ТУ = Csin (лу/Z),	(Х.12)
где I — длина пластинки.
Отметим, что для пластинок, поперечное сечение которых не дефор-
мируется, потеря устойчивости всегда происходит по одной полуволне,
т. е. параметр Л, формулы (Х.7) всегда равен длине пластинки I.
Внося (Х.12) в уравнение (Х.11) и произведя сокращение на отличный
от нуля множитель С sm(ny/Z), получим
л4 Г Р р .	6 1 л2 п
•откуда
n n2Dd	,6D nPEJ 6-EV	. Q.
P = -^- + (l-v)-r=74r^- + 54rT4.	(X.13)
398
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Первый член формулы (Х.13) при v=0 совпадает по величине с эйле-
ровской критической силой для центрального загруженного стержня.
Вторым членом этой формулы характеризуется увеличение критической
силы, вызванное закреплением продольного края пластинки.
б)	Общий случай прямоугольной пластинки со свободными
продольными краями
Рассмотрим теперь прямоугольную пластинку, которая загружена
продольными напряжениями, распределенными в сечениях у = const
по заданному линейному закону п(х) (рис. 205). Эти напряжения могут
быть приведены к центральной сжимающей силе Р (сжатие принято со
Рис. 206
Рис. 205
знаком плюс) и изгибающему моменту М, действующему в плоскости
пластинки. Будем предполагать, что пластинка составлена из участков
различной толщины и в общем случае не имеет продольной оси симметрии.
За возможное перемещение выделенной из пластинки поперечной по-
лоски примем поступательное перемещение %i=l и поворот /2=ж относи-
тельно оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения пла-
стинки (рис. 206).
Поверхность прогибов пластинки определится при этом в виде
w =	Hz2X2=nzi + xWz. 1	(Х.14)
Здесь ТУ1 и ТУг— обобщенные перемещения. Функция Wi, имеющая
размерность прогиба, характеризует цилиндрический изгиб пластинки
в продольном направлении; безразмерная функция Wi определяет угол
поворота относительно центральной оси.
Разрешающая система дифференциальных уравнений устойчивости в
рассматриваемой задаче запишется в форме
«11 nZ!IV + «12жГ + (.Vn - 26ц) W’i + (Л\2 - 2612) w'2 = 0;
а21^Г + a22W2v + (2V2i - 2621) М + (TV22 - 2622) W2 = 0. /
Гл. X. Устойчивость и колебания прямоугольных и трапециевидных пластинок 399
Коэффициенты уравнений (Х.15) вычисляются по формулам (Х.4)
и имеют вид
п
Яц —	Ях2 = SZ)m\ xrfadx — ^Dm—-----------
Я22 —	-y (Алн!	(Я'т “Ь ^"m+lXm 4“ ^m+l)t
} (Х.16)
^11 —	) (%i)2 dx — 0; bi2 —	— 0; ^22 — ^Hmdm
Здесь знак суммы охватывает все участки с различной жесткостью
(различной толщиной h), индекс т указывает номер соответствующего
участка, D — цилиндрическая жесткость.
Коэффициенты, зависящие от величины сжимающей нагрузки, со-
гласно формуле (Х.5), равны
Nn — N (ж) Xidx; N12 = N (ж) Х2Хх dx = 2V21; N22 = N (x) yjlx. (X.17)
Продольные силы N (x) могут быть представлены в виде N{x) = nh,
где п — заданные нормальные напряжения;
Р м
(Х.18),
Здесь F и J2 = j x2dF представляют собой соответственно площадь.
и момент инерции поперечного сечения (относительно вертикальной
центральной оси Oz); М = Рех, где ех— эксцентрицитет приложения
сжимающей силы Р.
Вносим выражение (Х.18) в формулы (Х.17), замечая, что Хх = 1,
Х2 = х:
Лдх = nhdx = \dF ~r\ xdF — Р;	1
J	J Ji J	।
Лт12 = \nhxdx — ~ ^xdF 4- ~ \^x2dF = М;	[ (Х.19)
Лг22 =\nhx2dx = -?Ax2dF+ ^-\xsdF ==	+
J	J	</ 2 J	*	J 2
Здесь J3 = J x3dF\ dF = hdx.
Подставляя значения коэффициентов (Х.16) и (Х.19) в уравнения
(Х.15), получаем окончательно:
anW^ + PW'i + a12W^ + MW2 = 0;
оххЖГ + mw'' +	+ (ф + ^ - 2b22) w'2 = 0.	(X’20)
Системой двух однородных дифференциальных уравнений (Х.20)
характеризуется устойчивость внецентренно сжатой прямоугольной пла-
стинки с переменной жесткостью поперечного сечения. Решение этих
уравнений не вызывает затруднений и позволяет достаточно просто опре-
делять критические значения сжимающих нагрузок. Покажем это на
частных примерах.
в)	Прямоугольная пластинка постоянного сечения
В том случае, если прямоугольная пластинка со свободными продольны-
ми краями имеет постоянную толщину h и загружена центральной сжи-
мающей силой Р (рис. 207), коэффициенты (Х.16) и (Х.19) принимают
400
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
вид:
an = Dd =	а12 = 0;
, 1 „ va ’
n cP EJd2 . ,	EJ
— У 12 — 12 (1 — v2) ’ "22 — MU' — i _ vt >
Nu = P- = 0; N22 =	= P

(Х.21)
Система (X.20) распадается на два независимых уравнения:
^РТГ+РИ^О;	(Х.22)
12^) W" + (₽ ТГ ~ 2	= °-	<Х-23)
Уравнение (Х.22) характеризует изгибную, а уравнение (Х.23) кру-
тильную форму потери устойчивости пластинки.
Предположим, что на поперечных краях пластинка имеет шарнир-
ное опирание. Полагая
W± = Сг sin (лу/Z); W2 = С2 sin (яу/l)	(Х.24)
и внося (Х.24) в уравнения (Х.22), (Х.23), для критических сил не-
трудно получить значения
р ___ fiPEJ
~ р (1"_ V2)
р —	, 24 Z2 \
-^2— /2(1— V2)	Я2 р )•
(Х.25)
(Х.26)
Можно видеть, что в случае центрального сжатия критическая сила
(Х.25), соответствующая изгибной форме потери устойчивости, всегда
является наименьшей, другими словами, симметричная пластинка не мо-
жет потерять устойчивость в форме закручивания.
Рассмотрим теперь эту же пластинку под действием моментной нагруз-
ки М (рис. 208). При вычислении коэффициентов (Х.21) отличие будет
состоять только в определении величин N^;
Nn = 0; Ni2=M; N22—MJ3U2.
Гл. X Устойчивость и колебания прямоугольных и трапециевидных пластинок 401
Поскольку для симметричной пластинки момент инерции 7з= $x3dx ра-
вен нулю и, следовательно, Nzz=Q, система уравнений устойчивости
(Х.20) примет вид
MW"r + a32TV'v - 2b^W"2 = 0. J	’ }
При шарнирном опирании поперечных концов решение этой системы
может быть, как и ранее, представлено в форме
W2 = С2 sin	(Х.28)
Внося выражения (Х.28) в (Х.27), нетрудно получить для вычисления
критического момента уравнение
М2 — «11«22 “^4--2Ь33а1:1 — = 0.
Подставляя сюда значения коэффициентов из (Х.21), получаем
М = ±
яЕГ •] /"о । л2
I (1 — v2) V + 42 Z2 •
Отметим, что в этом случае пластинка теряет устойчивость в смешан-
ной, изгибно-крутильной форме.
г)	Прямоугольная пластинка двутаврового сечения
Рассмотрим симметричную пластинку двутаврового сечения (рис. 209),
равномерно сжатую в осевом направлении. Предположим, что форма по-
тери устойчивости такой пластинки будет изгибная, т. е. примем
Xi=l; Х2=0,
Рис. 209
Уравнение устойчивости запишется в виде
Здесь
anTVilv+PTVi=0.
EJ
«11 = ^Dmdra. = j; _ V2 = । _ V2 •
Суммарный момент инерции поперечного сечения
Т _ dh3 I &нз
J ~ 12 + 6 •
(Х.29)
При шарнирном опирании поперечных концов пластинки критическая
сила определяется формулой (Х.25), в которой под У следует понимать
суммарную жесткость на изгиб (Х.29).
26 в. 3. Власов, т. III
402
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
§ 3. Устойчивость предварительно напряженной
прямоугольной пластинки
1. Представим себе предварительно напряженную прямоугольную
пластинку, сжатую стержнем (арматурой), расположенным в продоль-
ном сечении х=ех (рис. 210). Естественно, что сам стержень при этом
растянут некоторой силой R = n4,b.F, где &F — площадь поперечного
сечения стержня.
Эпюра нормальных напряжений по поперечному сечению пластинки
у=const для этого случая будет иметь характер, показанный на рис. 210.
Рис. 210
Нормальные напряжения всюду, за исключением точки расположения
стержня, распределяются по закону внецентренного сжатия:
+	(Х.ЗО)
где R — натяжение стержня арматуры.
Таким образом, в рассматриваемой задаче напряженное состояние
характеризуется тем, что пластинка загружена уравновешенной (стати-
чески эквивалентной нулю) системой сил:
d	d
\п (х) dF = Р = 0; п (ж) xdF = М = 0.	(Х.31)
о	о
Если предположить, что поперечное сечение пластинки не деформи-
руется, то решение этой задачи будет описываться, как и ранее, системой
дифференциальных, уравнений (Х.20).
Полагая
^i = i; хг = х-, w =	+ pf2x2,
определим коэффициенты системы (Х.20) в виде
аи — Rd; а12 = 0; а22 = F)	I
Ъц — 0;	Ь^2 = 0; fe22 = Dd.	j
(Х.32)
(Х.ЗЗ)
Гл. X Устойчивостъ и колебания прямоугольных и трапециевидных пластинок 403
Коэффициенты, содержащие параметр внешней нагрузки, вычисляют-
ся по формулам (Х.17), где интегралы в данном случае должны пониматься
в смысле Стильтьеса. Произведя интегрирование, получим
Nn ~ п (х) dF = riidF — n2\F = 0;
iV12 = п (х) xdF =\^nxxdF — n2\Fex — 0;	(Х.34)
(*	UJ 2	He.Js	-
N22 = \ n (x) x~d.F = —г.—I-j---Re2 3 * *,
J	f J i
где
J2 = J xW; J3 = J xW; dF = hdx.
Внося значения (Х.ЗЗ) и (Х.34) в уравнения устойчивости (Х.20)
получим
= 0;	)
lRJ2 Яет	,	„	\	[	(Х.35)
«22 Ч72	+	4—Jz — Rex —	2b22 j	W2 = 0. j
Здесь первое уравнение не содержит параметра нагрузки, вследствие
чего получим
TVi=O.
Второе уравнение, определяющее величину критической силы натя-
жения арматуры, может быть переписано в виде
~ Fe2x - 2Dd] W"2 = 0.	(Х.36)
Поскольку обобщенное перемещение W2 представляет собой угол
поворота, можно видеть, что рассматриваемая пластинка теряет устойчи-
вость в форме закручивания. Отсюда можно заключить, что для предва-
рительно напряженной пластинки изгибная форма потери устойчивости
вообще исключена.
Предполагая, что поперечные края пластинки имеют шарнирное опи-
рание, представим решение уравнения (Х.36) в форме
W2 = С sin	(Х.37)
Внося выражение (Х.37) в (Х.36), нетрудно получить следующую фор-
мулу для критической силы:
R = Dd +	.	(X. 38)
/2 (Г - 12^)
2. В том случае, если арматура расположена в центре пластинки, т. е.
е,. = 0, формула (Х.38) приобретает вид
n4)d /,	24 /2 \ я*ЕГ 7.	24 Г \
+	+ л2 <Р)'	{
Выражение (Х.39) позволяет заключить, что критическая сила в рас-
сматриваемом случае будет значительно больше эйлеровской.
3. Предположим теперь, что на рассмотренную предварительно на-
пряженную пластинку действует внешняя сжимающая нагрузка Р, при-
ложенная с некоторым эксцентрицитетом ер (рис. 211).
26*
404
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Дифференциальные уравнения устойчивости в этом общем случае, сов-
мещающем в себе две рассмотренные ранее задачи, запишутся в виде
+ PW[ + PepW2 = 0;	j
PePW[ + a22W2v + Г(Р + R)+ (Pep + Rex) .
L	*	J2. f (A.4U)
- Re2x - 2b^ W'2 = 0.	j
Внося сюда значения коэффициентов из (Х.ЗЗ) и замечая, что для сим-
метричной пластинки Уз—О, получим
 Daw™ + PWi + PepW2 = 0;	'j
.. Pepw; + D^ W™ +[(7?+ P) A __ Д4 _ 2Dd] W2 = 0. j (ХЛ1)
В том случае, если внешняя нагрузка приложена без эксцентрицитета
(ер = 0), система уравнений (Х.41) распадается на два независимых урав-
нения, из которых первое определяет
чисто изгибную форму потери устойчи-
вости, а второе — потерю устойчивости
в форме закручивания. Критическая
сила, соответствующая первой форме,
совпадает с эйлеровской (при v=0) и
при шарнирном опирании концов равна
Я = rfEJ/P (1 — v2).
Вторая критическая, сила определя-
ется вторым из уравнений (Х.41). Если
в этом уравнении положить
W2 = С sin (луЦ),
то для определения критической силы,
соответствующей закручиванию пла-
стинки, будем иметь
D i " И + А) - 2Dd] = 0.	(Х.42)
Считая, что натяжение арматуры R является постоянной заданной ве-
личиной, и замечая, что JilF — d2/12, из уравнения (Х.42) получим
или окончательно:

Pg = р9[1 +
d* ™
24 Z2
л2 d2
Здесь
Рэ = rfEJil2 (1 - v2).
4. Рассмотрим еще устойчивость предварительно напряженной пря-
моугольной пластинки, когда один из продольных краев жестко заделан
(рис. 212).
Гл. X Устойчивость и колебания прямоугольных и трапециевидных пластинок 405
Полагая X = |з (3d—ж) и учитывая, что нормальные напряжения для
рассматриваемого случая определяются формулой
3RXT.X
определим коэффициенты уравнения (Х.8) в следующем виде:
Рис. 212
Для достаточно длинной пластинки решение уравнения (Х.8) можно
представить в виде (Х.7)
PF = С sin-5^- .	(Х.44)
Л
Подставляя (Х.44) в (Х.8) и обозначая n2/X2=l/z, получим
A—(Nn—2B)z + Cz2=0.	(Х.45)
Для дальнейшего решения используем условие минимума Nn в функ-
ции от z. Полагая dNn/dz=0, получим
z =	.	(Х.46)
Подставляя (Х.46) в (Х.45), получим выражение для критического зна-
чения параметра Nn:
= 2(5+ ^АС).	(X. 47)
Длина волны синусоиды при этом определится следующим выражением:
Х=яул 4-	(х-48>
406
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Внося в формулы (Х.47), (Х.48) значения коэффициентов (Х.43),
получим выражение для критического натяжения арматуры и длины
волны в следующем виде:
16,330	л п j
---------------------—---------— ; X = 0,53л<7.
xR (129/56 — 9®д/й3 + бж^/г/1 — xR/d5)
-7?кр —
§ 4.	Устойчивость пластинок и тонкостенных стержней
открытого профиля с учетом деформации контура
Рассмотрим пример, когда форма потери устойчивости равномерно
сжатой пластинки или, в общем случае, оболочки по линии контура по-
перечного сечения представляется одной только функцией % (х). Как было
показано ранее, при этом будем иметь только одно дифференциальное
уравнение:
^WIV + (^P-2B)W" + CW = °.	(Х.49)
Здесь А, В, С — коэффициенты, вычисляемые по формулам (Х.9); Р —
полная величина сжимающей силы; d — ширина пластинки или в общем
случае длина контура поперечного сечения.
Считая, что пластинка достаточно длинна (l^>d) и имеет шарнирное
опирание на поперечных краях, решение уравнения (Х.49) представим
в виде (Х.44), где X —длина полуволны синусоиды, определяющая
форму потери устойчивости в направлении координаты у.
Внося выражение (Х.44) в уравнение устойчивости (Х.49), получим
А(т)‘-{тггр^2Б)Ш+с = 0-	<х-5°)
Из уравнения (Х.50) видно, что сжимающая сила Р есть функция па-
раметра К. Поэтому для определения наименьшего значения этой силы,
которое и будет критическим, необходимо продифференцировать выраже-
ние (Х.50) по X и приравнять производную dPid'K нулю. Выполняя ука-
занное, найдем
X =	~ .	(Х.51)
Для критической силы Р нетрудно теперь получить выражение
P^^^B + V'AC).	(Х.52)
Формулу (Х.52) можно записать в несколько иной форме, если ввести
обозначения
г2 = В(2/Л; si = CliIA,	(Х.53)
Подставив (Х.53) в выражения (Х.51) и (Х.52), получим
Здесь F — площадь всего поперечного сечения; h — толщина оболочки;
I — длина по образующей.
В случае, если размер пластинки (или оболочки) в направлении оси у
соизмерим с шириной d и длина волны X, полученная по формуле (Х.51),
Гл. X Устойчивость и колебания прямоугольных и трапециевидных пластинок 407
превышает этот размер, то величину I нужно принять за длину волны и
по формуле (Х.50) определить сжимающую критическую силу. Если же
Х<7 и укладывается п раз в I с некоторым остатком, то необходимо взять
X равным l/п и Z/(n+l) и найти для этих значений по формуле (Х.50)
соответствующие величины Р. Меньшее значение Р и будет критическим.
Мы рассмотрели случай шарнирного опирания пластинки по краям
^=0, у—1, перпендикулярным направлению сжимающей силы Р. В слу-
чае иного закрепления пластинки на этих краях (жесткая заделка или
свободный край) для определения критической силы необходимо найти
общий интеграл однородного линейного дифференциального уравнения
(Х.49) и подчинить его граничным условиям. Это даст систему четырех
однородных алгебраических уравнений относительно произвольных по-
стоянных С1,С2,Сз,С4. Поскольку граничные условия также являются
однородными из условия равенства нулю определителя этой системы (мы
ищем нетривиальное решение) получим некоторое трансцендентное урав-
нение относительно сжимающей силы Р. Это уравнение имеет бесчислен-
ное число корней Pi, Р2, Рз,...,Рп- Наименьший из них и даст величину
критической силы.
Приведем примеры вычисления критических сил для некоторых част-
ных случаев.
а)	Длинная прямоугольная пластинка
Для длинной прямоугольной пластинки в зависимости от характера
закрепления продольных краев выберем функции поперечного распре-
деления прогиба у по формулам (IX.60), (IX.62), (IX.65). Напомним,
что эти функции представляют собой линии прогибов однопролетной бал-
ки, загруженной равномерной нагрузкой.
Внеся соответствующие функции х в формулы (Х.9) и вычислив значе-
ния коэффициентов А, В и С, получим для критических сил Р и парамет-
ров X значения, приведенные в табл. 86.
Таблица 86
	Условия по краю х = 0	Условия по краю х = d	гЗД2	S* ТГ	X d	р 1—г2	г/2 EF ' №
1	Шарнирное опирание	Шарнирное опирание	9,87	97,55	0,99	3,29 (3,21)
2	То же	Жесткая заделка	11,37	238,74	.0,81	4,48 (4,42)
3	Жесткая заделка	То же	12,00	504,00	0,66	5,76 (5,67)
В последней вертикальной графе таблицы в скобках для сравнения
приведены точные значения критических сил, данные в книге Тимошенко.
Можно видеть, что погрешность изложенного здесь метода весьма незна-
чительна.
б)	Тонкостенный стержень открытого профиля
Рассмотрим задачу о местной устойчивости стержня, состоящего из
трех узких пластинок и имеющего в поперечном сечении вид буквы П.
За форму потери устойчивости в сечении ?/=const примем форму прогибов
408
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
П-образной рамы от двух равных между собой сосредоточенных го-
ризонтальных сил, приложенных на свободных концах этой рамы и на-
правленных в разные стороны (рис. 213).
Определяя функцию х=Х(2:) на каждом участке контура методами
теории рам и вычисляя затем величины Л, Л, С по общим формулам (Х.9),
найдем
А = db3 (96(2 4- 5286) 4- -i-(168d5 4- 105665);
В = d? (48(2 4- 2886) 4- 62 (381(2 4- b);
С = 576(2 4- 3846.
Здесь d — ширина стенки, 6 — ширина полок профиля. Задаваясь
этими величинами, а также толщиной h пластинок, длиной стержня 2,
Рис. 213
модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона v, найдем по формуле
(Х.52) критическую силу Р или критическое напряжение Р/F. Таким
путем на основании одного только приведенного здесь примера можно
рассмотреть целый ряд практически важных задач по устойчивости тон-
костенных открытых профилей, применяемых в строительном деле и авиа-
ции, с учетом деформации контура поперечного сечения.
§ 5.	Основные уравнения колебаний тонких пластинок
Дифференциальное уравнение колебаний пластинки может быть пред-
ставлено в виде
DV2V2w (ж, у, t) = р (х, у, t) — ph^ (х, у, t).	(Х.54)
Здесь первое слагаемое в правой части есть внешняя нагрузка, при-
ходящаяся на единицу площади пластинки и меняющаяся во времени; вто-
рое слагаемое — инерционная сила, также действующая на единицу пло-
щади; р — плотность материала пластинки; h — толщина пластинки.
К дифференциальному уравнению (Х.54) необходимо присоединить
начальные условия, задающие поверхность прогибов и скорость точек
пластинки в начальный момент времени, а также граничные условия,
отвечающие краевому закреплению пластинки.
Гл. X Устойчивость и колебания прямоугольных и трапециевидных пластинок 409
Применяя для решения поставленной задачи изложенный выше ва-
риационный метод, представим поверхность прогибов пластинки в виде
разложения
п
w (х, y,t) = 3 wk (ж, у) Tk (t).	(Х.55)
k=i
Здесь функции Wh(x, у) выбираются заранее в соответствии с геомет-
рическими граничными условиями задачи, а функции Tk(t), зависящие
от времени, предполагаются неизвестными.
Для определения искомых функций Т k(t) составим, как и ранее, обоб-
щенные условия равновесия пластинки. Согласно принципу Лагранжа,
под этими условиями будем понимать равенство нулю работы всех внеш-
них и внутренних силовых факторов пластинки на любом возможном
для нее перемещении. При этом за возможные будем принимать переме-
щения, определяемые функциями Wi(x, у) (i — 1, 2, 3,..., п).
Работа внутренних сил пластинки на виртуальном перемещении
Wi(x, у) может быть вычислена по формуле
А± = — [— § MxKXi,dxdy + S MvKyidxdy + 2	. (Х.56)
Здесь Мх, Mv и Н — интенсивности изгибающих и крутящего моментов;
xXi, Kyi и Tt —кривизны изгиба и кручения, отвечающие виртуальному
перемещению TV, и определяемые выражениями
aw, aw. aw{
; Xyi = —-g—;	=  д - .	(X.57)
ox2 y dy2	ox oy	x '
Внешний знак минус в формуле (Х.56) отвечает отрицательной работе
внутренних сил, внутренний знак минус — выбранной системе знаков,
при которой положительной кривизне соответствует отрицательный
момент.
Для работы внешних сил на том же виртуальном перемещении Wi
будем иметь следующее выражение:
А2 = — ph dxdy + \^pWidxdy.	(X.58)
Здесь первое слагаемое представляет работу инерционных сил, вто-
рое— работу внешней нагрузки.
В формулах (Х.56) и (Х.58) интегралы вычисляются по всей площади
пластинки.
Согласно принципу Лагранжа, Лт Ц- А2 = 0, откуда
§ MxKxidxdy +	MyXytdxdy + 2	HXidx dy —
— ph^-^-Widxdy + \^pWidxdy = 0. .	(X.59)
На основании разложения (Х.55) значения моментов, входящих в
уравнение (Х.59), определятся в виде
= -77 (-& +	= -77 2
k=l
М, - - D + v = - D 2 («„ + VK„) Г,;
Я__й(1_¥)^=_й(1_,)2тЛ
и *=1
(Х.60)
410
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Внося (Х.60) в выражение (Х.59), нетрудно получить
+wI/fe) 4- (х^ + vxxfe) xyi + 2 (1 — v) тАт4] dx dy} Tky-
+ P^3 (55 WkWidxdy^ Tk — pWidxdy = 0	(X.61)
(z = 1, 2, 3, . . . , zz).
Введем обозначения:
ctife =	55 WkWidxdy,
bik -= 5 5	4- wvk) Xxi +	+ wxk) Kyi + 2 (1 — v) T^Ti] dx dy;
Ci ==—(X.62)
и перепишем уравнение (X.61) в окончательном виде:
S aikTk 4~ bygTk 4- Ci = 0.	(X.63)
k —1	fe =1
Давая в формулах (X.63) и (X.62) индексу z различные значения от
1 до п, получим систему п линейных дифференциальных уравнений,
каждое из которых второго порядка относительно п неизвестных функ-
ций Т k.
Определив из этой системы все функции 7\ и предполагая, что на-
чальные условия выражаются через систему функций Wk, тем самым най-
дем прогиб пластинки в любой момент времени. Определение прогиба яв-
ляется решением поставленной задачи, так как силовые факторы пластин-
ки вычисляются через w(x, у, t) по формулам (Х.60).
§ 6. Свободные колебания трапециевидной пластинки1
Для определения частот свободных колебаний пластинки положим в
уравнении (X.63) Cj = 0; получим систему п обыкновенных однородных
дифференциальных уравнений, каждое из
которых второго порядка относительно п
неизвестных функций Тk- Решив эту систе-
му, можем определить п частот свободных
колебаний, из которых наименьшая будет
соответствовать основному тону.
В качестве примера рассмотрим трапе-
циевидную пластинку, жестко заделанную
по одному из краев, являющемуся основа-
нием трапеции, и свободную по остальным
трем краям (размеры пластинки и система
координат даны на рис. 214).
Остановимся прежде всего на выборе
функций Wk (ж, у). Поскольку край у — 0
жестко заделан, каждая из функций Wk (я, у)
должна удовлетворять на этом краю услови-
ям:
Wk
ду
= 0.
у=о
1 Результаты получены В. В. Власовым.
(Х.64)
Гл. X Устойчивость и колебания прямоугольных и трапециевидных пластинок 411
Для прогиба пластинки в направлении оси у примем одну степень
свободы: будем считать, что прогиб меняется по закону у2, который удов-
летворяет условиям (Х.64).
Для прогиба в направлении оси х примем три степени свободы. Бу-
дем считать, что первая степень отвечает поступательному перемещению
полоски, выделенной в поперечном направлении, вторая — повороту ее
как жесткого целого относительно оси Оу и третья — изгибу этой по-
лоски. Отметим, что все три возможные перемещения полоски рассмат-
риваются в плоскости Oxz.
В соответствии с принятыми предположениями функции ИД(т, у)
определяется в форме
РГ1(ж, у) = уЧсг, Wi(x, у) = ху2/а2; Wa(x, у) — х2у21а3,	(Х.65)
где а — ширина заделанного края.
Искомая функция прогибов пластинки может быть теперь записана
в виде
W (х, y,t)=^~ 7\ (0 + Т2 (0 + Т3 (t).	(Х.66)
Здесь функции Wk имеют размерность прогиба, а функции Tk—без-
размерны.
Учитывая выражения (Х.66), по формулам (Х.62) нетрудно вычислить
коэффициенты и bile. При этом, согласно рис. 214, пределы интегри-
рования в формулах (Х.62) следует взять: по х— от у tg до а + г/tg а2,
по у—от 0 до 1.
Произведя вычисления, представим коэффициенты ant и Ь^ в форме
табл. 87 и 88, где ailc = a'ilc
Можно видеть, что матрицы этих коэффициентов симметричны; это
отвечает теореме Бетти о взаимности работ сил /г-го состояния на пере-
мещениях г-го и сил z'-го состояния на перемещениях /г-го.
Внося значения коэффициентов ««, в уравнения (Х.63), получим
систему трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых
функций Ti, Тч, Тз. Этой системой и определяется решение задачи о сво-
бодных колебаниях трапециевидной пластинки.
В целях сокращения записи полученных уравнений введем дифферен-
циальный оператор
Lik = aikD2 4- bik,	(Х.67)
где D2 означает двукратное дифференцирование по времени.
Разрешающая система дифференциальных уравнений запишется при
этом в виде
Liil^^LivTv-^-LisTs — O', 1
Ь21Т1+Ь22Тч+ЬчзТз=0; )	(Х.68)
Лз17’1-|-£з27’2-|-£'зз7’з = 0. J
Для решения уравнения (Х.68) введем в рассмотрение новую функ-
цию Ta(t), которая связана с искомыми функциями TltT2, Ts следующими
зависимостями:
Ti (t) = (L12L23 — L22L13) То (if);
Тч (t) = (LjjLas — Б21Б1з) То (1);
П(0 = (ЛА2— L12L21) т0 (if).
(Х.69)
412
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
Таблица 87
Коэффициенты			
	1	2	1	3
1	т5 -gg- [6 + 5 (12 — 11) т]	2j(j 1^1 + 351am + + 15 (1* - ф m2]	[56 + 140i2m + 1201®ma + + 35 (1® — ф m3]
2	“‘21 ~ “12	“22 — “13	“2^- [12е+42012т +5401“тЗ + + 3151|т3 + 70 (1* — 1*) т4]
3	“з1 = “13 ' - Р aik a‘sph	аз2 = “аз 1 Oik, т	*1 =	т5 6300	+ 105012т + + 18001®т2 + 1575г|т4 + + 126 (1|- фт«] g «ь t2 = tg tx2 Таблица 88
Коэффициенты •+			
1 \		2	з
1	1	1 \ 2 112с2 — hm“ — -г~ 1 \	»2 /		1 I -д- lA® — т4!3 + 1 1 + vm3 [4 + 3 (t2 — li) m] — -г-}
2	+1 = &12	Х|с4гз_т1г3 + + 2 (1 — v) т3 [4 + 1 1 4-3(12 — li) m] ——1 4-2 J	1 Г -д- |с514 — т5!4 + 4 — 3v + —-д— т3 [10+ 151гт + + 6 (I2 — ф т2] — ~-j-
3	Ьз1 = bis	&32 = &23	2 ( -!т3 [18т2 + 15 (1г — li) т3 + + (4 — 3v) (20 + 4512т + + З613т2 + 10 (1® — 1®) т3] + + з(а|-7+4-
с — (1 + mt2)/t2
Внося выражения (Х.69) в уравнения (Х.68), убеждаемся в том, что
первые два уравнения удовлетворяются тождественно, а последнее дает
(2Л12Л23/,13 + •f'll-f'22^'33 ~ •f'11-^'23 — -^22^13 — ^-зз^та) (0 ~ О- (Х.70)
Гл. X Устойчивость и колебания прямоугольных и трапециевидных пластинок 413
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к решению ли-
нейного дифференциального уравнения шестого порядка с постоянными
коэффициентами, записанного относительно разрешающей функции 74(f).
Раскрывая по формуле (Х.67) дифференциальные операторы, вхо-
дящие в уравнение (Х.70), получим окончательно:
(<^11^22^23 4“ 2П12<113а23- а11а23 - ^22^13 '-- а33а12) У Ч-
4“ [&Ц&33&22 Ч- ^22^33^11 Ч- ^11^22^33 Ч- 2 (Я13&23^12 Ч~ а12а23^13 Ч-
Ч~ Я12&13&23) - (2ацЯ23^23 Ч" ^11^23 Ч" 2^22^13^13 Ч~ ^22^31 Ч~
Ч~ 2a3Sa12&i2 Ч~ ^зз^ы)] То + [ац&22^зз Ч~ ^22^11^33 Ч~
Ч- ^33^11^22 Ч- 2 («13&12^23 Ч- <312^13^23 Ч~ а23^12^1з) -
-- (2^23^11^23 Ч- а11^23 Ч- 2ajaZ>22^13 + а22^13 Ч~ 2d12512^33 Ч" Язз^Чг)! 7’0 Ч~
Ч- (^11^22^33 4“ 2^12^13^23 - ^11^23 - ^22^13- ^ЗЗ^п) 0 = '	(Х.71)
Рассмотрим частный случай;
I — 1,5а; v = 1/3; tga1 = t1 = l/3; tga2 = t2 = 0.
Пользуясь	табл. 87 и 88,	определяем коэффициенты		уравнения
(Х.71)				
	а'и = 0,8859;	5и = 4,500;		
	а12 = 0,6238;	512 = 2,750;		
	а'р = 0,4667;	513 = 2,875;		(Х.72)
	а22 = 0,4667;	522 = 5,6875;		
	а23 = 0,3665;	523 = 7,219;		
	ааа = 0,2990;	533 = 13,175.		
Внося значения (Х.72) в (Х.71), получаем
0,0000215 (-g- a4)3 TJ1 + 0,104464 (-g- а4)2	+
+ 15,3845 (-J- а4) То + 70,304374 = 0,
(Х.73)
Уравнение (Х.73) может быть переписано в более удобном для
интегрирования виде:
k?T^ + 455,5k2T^ + 6288,бЭйТ^ + 2694,1274 = 0,	(Х.74)
где
k = pcffEJi2.
Будем искать решение дифференциального уравнения (Х.74) в сле-
дующей форме:
74 (f) = a sin (Xi(Х.75)
Здесь X — искомая частота колебаний; а и Р — произвольные постоян-
ные.
Подставляя (Х.75) в (Х.74) и обозначая feX2 через р, получаем отно-
сительно р алгебраическое уравнение третьего порядка:
/ - 455,5р2 Ч- 6288,69р — 2694,12 = 0.	(Х.76)
Все корни этого уравнения — действительные положительные числа.
Зная их, можно найти три частоты собственных колебаний пластинки
414
Вариационные методы решения задач по теории пластинок
по формуле
Х = КЖ	(Х.77)
При этом наименьшее значение X соответствует основному тону
колебаний.
Решение кубического уравнения (Х.76) можно упростить, заметив,
что один из корней этого уравнения меньше единицы; при определении
этого корня можно без большой погрешности членом р2 пренебречь,
и решение уравнения (Х.76) будет сведено к решению квадратного урав-
нения.
В результате несложных операций получим
Th = 0,4426; р2 = 13,725; р3 = 441,33.	(Х.78)
Внося (Х.78) в формулу (Х.77), найдем частоты свободных колеба-
ний пластинки:
хъ = 0,6651 А]/'—; х2 = з,704 А1/А; х3 = 21,01 Ат/А.
а2 Г р *	’ а2 Г р °	’ а2 V р
Если в выражении (Х.66) ограничиться лишь одной первой функцией,
то для основного тона колебаний получается значение
Х = 0,69-А1/ЛА.
а2 г р
Если принять две первые функции, то значения частот будут
Х1 = 0,687А/А; Ь! = 3,715А]/Т
Все три результата хорошо согласуются между собой, что говорит
о большой точности метода и его быстрой сходимости. По определении
частот собственных колебаний X нетрудно вычислить и прогиб пластин-
ки в зависимости от времени t.
Действительно, внося в выражение (Х.66) зависимости (Х.69) и учи-
тывая (Х.75), получим для прогиба, соответствующего частоте Xft, изве-
стную функцию времени t.
В общем случае эта функция запишется в виде
W (х, y,t) = а [п А + г2 + Гз Ар] Sin (Xftf + ₽).
Здесь rlt г2 и r3 — постоянные коэффициенты, определяемые по сле-
дующим формулам:
Г1 = (dl2a23 - #22а1з)	4" (#12^23 4“ ^12^23 - #22^13 - #13^22)	4~
+ b12b23 — b13b22;
= (^12^13 - Я11а2з)	4" (a12^13 4- й13^12	^lla23	Я11^2з)	4~
4- b12bi3 —ЬцЬ13',
r3 — («11«22 - «12)	4- (a11^22 4- «22^11 - 2й12Ь12) Xfc
4* ^11^22 - b12.
Если допустить, что на пластинку действует возмущающий фактор,
представленный сосредоточенной силой или какой-либо распределенной
по площади пластинки нагрузкой, меняющейся по закону sin Xfti,
где Xft — собственная частота колебаний, то можно показать, что в этом
случае наступает явление резонанса, и амплитуда колебаний пластинки
неограниченно возрастает.
Часть четвертая
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Глава XI
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА БАЛОК
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
§ 1. Приложение вариационного метода
к теории упругого основания
1. При расчете конструкций на упругом основании в большинстве
случаев применяются методы, в основу которых положена одна из сле-
дующих гипотез о характере работы грунта; гипотеза Винклера — Цим-
мермана или гипотеза, согласно которой грунт принимается за линейно
деформируемую среду, подчиняющуюся законам теории упругости.
Методы расчета, основанные на гипотезе Винклера, достаточно про-
сты, подробно разработаны и удобны для практического применения.
Однако экспериментальные и теоретические исследования последних лет
показали, что гипотеза Винклера — Циммермана предполагает непра-
вильное моделирование механических свойств естественного грунта.
В ряде случаев это обстоятельство весьма существенно сказывается на
результатах расчетов и приводит к заведомо неверным решениям.
Предположение о том, что грунт представляет собой линейно дефор-
мируемую среду (упругое полупространство или упругую полуплос-
кость), согласно современному грунтоведению, более полно отражает
действительность. В этом случае расчет конструкций производится на
основе одной из двух классических задач теории упругости: задачи о
плоском напряженном состоянии или плоской деформации и простран-
ственной задачи. При этом выбор той или иной задачи обусловливается
характером работы упругого основания.
Основание, работающее в условиях плоского напряженного состояния,
представляет собой достаточно тонкий вертикальный упругий слой —
упругую полуплоскость (рис. 215, а).
В том случае, когда конструкция, расположенная на упругом основа-
нии, имеет неограниченную длину, нагрузка, размеры конструкции и все
прочие условия остаются по длине постоянными, основание работает в
условиях плоской деформации. Указанные особенности позволяют огра-
ничиться рассмотрением только одной полосы шириной 6=1 м, выде-
ленной из основания в поперечном направлении (рис. 215, б).
Если к описанию работы упругого основания невозможно даже в по-
рядке приближения применить условия плоской задачи, основание рас-
сматривается в условиях пространственной задачи теории упругости
(рис. 216).
Расчет сооружений на упругом основании с применением точных ме-
тодов теории упругости представляет собой весьма сложную контактную
проблему. Имеющиеся решения отличаются большой трудоемкостью вы-
числений и охватывают весьма ограниченный круг задач. В результате
этого в инженерной практике до настоящего времени широкое применение
находит приближенная теория Винклера — Циммермана.
416
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Между тем решение приведенных задач с достаточной простотой и точ-
ностью может быть получено при помощи изложенного выше общего ва-
риационного метода.
2. В качестве первого примера рассмотрим работу упругого основания
конечной толщины Н в условиях плоской задачи теории упругости

Рис. 215
(рис. 217). Нетрудно видеть, что основание в этом случае представляет
собой прямоугольную пластинку, закрепленную по нижней линии.
Дифференциальные уравнения равновесия такой пластинки для слу-
чая плоского напряженного состояния были получены нами ранее (VII.9).
Эти уравнения имеют вид
2 а^и'1 -	2 hiUi + 2	V- cjk) V'k + р. = О
1 —1	1=1 &=1
(/= 1,2, 3, ... , т);
— 3 (vo4i — --'2...-см} и г + —2 rhk^k —
i=l '	'	k=l
Д	l-v*
— 3 shkVk 4—qh — о
k=i	°
(ft = 1,2,3, ...,n).
(XI.l)
Коэффициенты уравнений (XI.l) при выбранных функциях (z) и
фДг) определяются как своего рода обобщенные моменты инерции по фор-
мулам (VII. 10). Свободные члены pj(x)
и qh(x) в данном случае представляют
собой работу заданных на поверхности
основания горизонтальных сил р и вер-
тикальных сил q соответственно на пе-
ремещениях ф, И фд.
Безразмерные функции ф4(г) и фДг)
в связи с их геометрическим смыслом
могут быть названы обобщенными ко-
ординатами деформации элементарного
столбика йж=1; при этом искомые
функции Ui(x) и Vk(x) представляют
собой обобщенные перемещения.
Обобщенным перемещениям соответствуют обобщенные внутренние
силы, характеризующие состояние нормальных и касательных напря-
жений в поперечном сечении пластинки. Исходя из понятия о виртуаль-
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
417
ной работе нормальных и сдвигающих сил об и тб поперечного сечения
х = const на каждом из (тЛ-п) возможных перемещений точек этого сече-
ния, получим для обобщенных сил следующие выражения:
2Vj (ж) = ( одь dF (j = 1, 2, 3, . . . , ?n); j
Г	(	(XL2)
S\ (x) = тфЛ dF (h = 1,2, 3, . . . , h), J
где
dF = bdz.
Рис. 218
При помощи уравнений (XI.1) решается и задача о плоской деформации
упругого основания конечной мощности Н. Отличие от рассмотренного
случая будет состоять только в том, что упругие постоянные в уравне-
ниях (XI.1) определятся по формулам
_Е0 = ,Е/(1 — v2); v0 = v/(l — v),	(XI.3)
где Е и v — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала осно-
вания.
Таким образом, дифференциальные уравнения позволяют приближен-
но определить деформированное и напряженное состояние основания,
принимаемого за линейно деформируемую среду конечной мощности.
Выбирая для ограниченного числа функций cpi(z), фь<г) различные
выражения, можно получить ряд моделей упругого основания, в большей
или меньшей степени отвечающих действительности.
27 в. з. власов, т. ш
418
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
3. Аналогичным образом можно получить общее решение для упру-
гого основания конечной толщины Н в условиях пространственной за-
дачи (рис. 218).
Выбирая для решения метод перемещений, представим искомые пе-
ремещения некоторой точки основания М (х, в виде следующих
конечных разложений:
т и (X, y,z) = 2 ui (ж> У) Фг (z)	(i = 1,2,3,.	• , туг	
е v(x,y,z) = 2 Vg(x,y)Xg(z)	1,2,3,.	 , e);	
g^l n			(XI.4)
w (x, y,z)= 2 wk (ж, у) (z) ft=l	(* = 1,2,3,..	• , n).	
Функции Ui(x, у), Vg(x,y), Wh (ж, у) будем считать искомыми, а
функции <p. (z), X (z),	(z)— линейно независимыми, безразмерными
функциями, подлежащими выбору в соответствии с кинематическими
условиями задачи.
Обобщенные условия равновесия элементарного столбика (рис. 218),
понимаемые в смысле изложенного выше вариационного метода, можно
представить в форме (т + е -j- п) уравнений:
\ <$dz — \ X <c'.dz 4- \-А<c.dz -I- \ vw.dz ~ О
J ах	J г?] j	1	3
(/ = 1, 2, 3,. .. ,т);
(• 9Y	с	f dY	С
\~3^K)dz ~ y^fdz + J -g^fdz +JgX/rfz = °
(/ = 1,2,3,..., e);
P dZ	с	(. dZ	c
i %dz ~ J z^'kdz + }'^^dz + \l $%dz = 0
(h — 1,2, 3, . . . , n).
Нормальные и касательные напряжения, входящие в подинтеграль-
ные выражения уравнений (XI.5), определяются известными формулами
теории упругости для случая пространственной задачи. На основании
разложений (XI.4) эти формулы могут быть представлены в виде
т ягг	8 /и-	п
*--^[2^4 + 43	№)];
0 й г-1	у	й-1
е от/	П	т АГТ
YV = 1.+ Vo ( 2 WM’fe + ll Ф{ )] ’
v0 ?=1 '	£=1	i=l
п	т	е
= /-—/[ 2 vo (2	+ 2-^%)];
0 k~l п	Л1	(xi.6)
zv = Yz =	[1j	% +	’
т	” ДТЛЛ
а = хг = 2КТА) [ 2 г/1Ф{ L 2	;
г=1	k—l
у __ у Ео Г Y dV^ L V 1
Ау-	2j ЗТ’Фг J •
Гл. XI. Теория и методы, расчета балок на упругом основании
419
Здесь, как и ранее (XI.3):
72	„ л .	v
''° ’ 1 - - v2 ’ V° ~ 1 — v
Внося выражения (XI.6) в уравнения (XI.5), получим окончательно:
1 + то у d*Vg
2	дх ду
g=l
VI /	1 — v \	1 — V?,
+ 2 (vo dik с^)	+ 1'Г Pi °
£=1
(/ = 1, 2, 3, . . . , т);
V ld2Vs , 1- Zj^ mig ( ду2 +	2	х=1	
т	29ГГ	П + 4^S<,.^+3( i=l	'	k=l	1	Vn \	1 — V.® V°llk	2 k,k) ду + Л’о	°	(XI.7)
(f =	1,2,3, ... ,c);	
		
- 3 М,„ - ЦХ"	\ dUi	у / J	1 — V» , \ &Vg ch‘ } dx	Zj	2 k,lg) dy +	
i=l	£=1	
|_l-voyr {^Wk + ' 2	rhk дх2	d2WbX Л	1 — v,® h 9y2 )	2	+ z qh - 0	
k=i	J '	Л=1	
(h	= 1,2, 3, ...,n).	
Коэффициенты уравнений (XI.7)
определяются по формулам:
dji —	<Zij —	dZ,
bji =	bij =	q'.q'.dz;
cik =	ф'Ф*	dz;
djk =	фД	dz\
rhk = rkh = %фА dz\
shk = skh = ф^фА dz;
khg --^^'gdz;
lhg =
m/g =	
nfg =	Г ' ' = ^f^gdz;
kfk ”	V"/ФА dz;
Ijk =	J ^'k di’
	\^hq'idz;
	
hi ~	X,/<pt(/z;
hg =	\ q>A dz. J	g
(XI.8)
Свободные члены дифференциальных уравнений (XI.7)
Pj = P4>j dz; gf = J gif dz; qh = dz
(XI.9)
вычисляются при заданных внешних нагрузках р=р(х, у, z), g=g (x,y,z),
q—q (x, у, z) как силы, обобщенные на координатах <pj(z), X,/(z), ф^(г) и
отнесенные к единице поверхности.
Формулы (XI.9) распространяются также и на внешнюю нагрузку,
приложенную на поверхности (плоскость Оху) рассматриваемого массива
27*
420
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
и состоящую в общем случае из заданных нормальных q(x, у) и сдвигаю-
щих р(х, у) и g(x, у) сил. В этом случае интегралы в формулах (XI.9)
следует вычислять как интегралы Стильтьеса с учетом сосредоточенных
факторов. Так, например, если на поверхности основания задана только
нормальная нагрузка q(x, у), а объемные силы отсутствуют, то формулы
(XI.9) запишутся в виде
Pj = °’ Sf = 0;	= 9 (х> У"> % (°)-
Система дифференциальных уравнений в частных производных (XI.7)
позволяет получить решение не только для рассмотренной задачи о на-
пряженном и деформированном состоянии упругого слоя конечной мощ-
ности, но также и для различного вида толстостенных конструкций.
К таким конструкциям, как частный случай, относятся, например, толстые
прямоугольные плиты.
4. Полученные нами дифференциальные уравнения (XL1) и (XI.7)
описывают работу упругого основания конечной мощности Н соответст-
венно в условиях плоской деформации или пространственных условиях.
При этом рассмотренное упругое основание представляет собой некоторую
обобщенную модель, упругие свойства которой зависят от характера вы-
бираемых нами функций <pi(z), Xg(z), фь(з).
Для построения практических методов в разложениях (VII.6) и (XI.4)
достаточно брать весьма ограниченное число членов. Чтобы показать, что
уже при наиболее элементарном выборе функций ф{, Kg и фА можно получить
решения, более правильно отражающие действительность, чем, например,
решения, базирующиеся на гипотезе Винклера, в дальнейшем подробно
рассмотрим лишь простейшую модель упругого основания, названную
нами однослойной.
§ 2. Однослойная модель упругого основания
1. Рассмотрим наиболее простую модель упругого основания конечной
толщины Н, работающего в условиях плоской деформации или плоского
напряженного состояния (рис. 219)1.
qfx)
Рис. 219
Для обобщенных координат продольных и поперечных перемещений вы-
берем следующие выражения:
<Pi (z) = 0; фДз) =(Я-г)/Я,	(XI.10)
полагая каждую из остальных (п—1) функций фь(г) равной нулю.
1 Подробный анализ работы однослойного основания дан в кандидатской диссер-
тации канд. техн, наук Н. Н. Леонтьева «Приложение вариационного метода
В. 3. Власова к расчету фундаментов гидротехнических сооружений», 1952. Там же
разработаны вопросы расчета балок и плит на однослойном основании, а также пред-
ложена двухслойная модель упругого основания. Приведенные в четвертой части на-
стоящей монографии примеры расчета и графики заимствованы из этой работы.
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
421
Перемещения любой точки основания, согласно (XI.10), запишутся
в виде
а(ж,г) = 0; v(x, z) = Vi(a;)i|a(z).	(XI.11)
Формулы (XI.10) и (XI.11) соответствуют предположению о том, что
деформации поперечных удлинений по высоте основания остаются по-
стоянными, а продольные перемещения всюду равны нулю. При этом
искомое обобщенное перемещение Vi(z) характеризует собой вертикаль-
ные перемещения точек поверхности основания. В дальнейшем эти пе-
ремещения будем называть осадкой однослойного основания.
Разрешающая система дифференциальных уравнений (XL1) в данном
случае будет состоять только из одного уравнения второй группы, со-
держащего одну только обобщенную координату i|n(z) (XI.10). Это урав-
нение имеет вид
J_2L°ri1V"_Sup+ __°g = 0.	(XI.12)
Здесь
и	и
rn = J ^dF = ™;sn = J y'2dF	(XI.13)
о	0
где b и H — соответственно толщина и высота слоя основания.
Внося значения (XI.13) в уравнение (XI.12), получим
+ ’ = (Х1Л4)
где F = ЬН.
Из приведенных выражений можно заключить, что основание, описы-
ваемое уравнением (XI.12), отличается от винклеровского тем, что в;
нем учитывается влияние касательных напряжений. Таким образом,
рассматриваемая нами однослойная модель может быть схематически
представлена как система упругих элементарных столбиков (пружин),
между которыми действуют касательные напряжения, пропорциональ-
ные деформациям сдвига (рис. 220).
В соответствии с этим уравнение (XI.14) может быть представлено
в виде
21V" - *7 + ? = 0,	(XI.15)
где
— коэффициент, аналогичный коэффициенту постели,
Н* (1 - v*)
характеризующий работу упругого основания на обжатие;
422
Техническая теория расчета, конструкций на упругом основании
t = 12~(1 + ~v~) — коэффициент, характеризующий работу упругого
основания на сдвиг или срез х.
2. Определим теперь осадку однослойного основания в случае дей-
ствия сосредоточенной силы Р (рис. 221).
Выбирая начало координат в месте приложения силы, для вычисления
осадки V (х) будем иметь однородное дифференциальное уравнение:
2tV" - kV = 0.	(XI. 16)
Функция осадки основания (в сторону положительного направления
оси Ох) определится, таким образом, в виде
V (х)	= Се~ах,	(XI.17)
где
=	<XU8>
Для установления	величины	постоянной	интегрирования С	в соот-
ветствии с (XI.2) введем в рассмотрение обобщенную поперечную силу,
действующую в сечениях х = const основания:
я
5 -= T^dF.	(XI.19)
о
Согласно своему физическому смыслу, обобщенная поперечная сила
5 (z) в месте приложения сосредоточенной силы терпит разрыв на
величину Р. Учитывая симметрию задачи, можно записать
я
при х = 0	5 = тф dF = —	.	(XI.20)
о
С помощью формул (VII.7), (XI.10) и (XL18) условие (XI.19) может
быть представлено в виде
при х = 0 S = 2tV' = - 2atC = — Р/2,	(XI.21)
откуда
с „	= ЛфгД, • i ,	(XI.22)
/6 (1 — vo)	'
где Eo, у0 — упругие постоянные материала основания, определяемые
формулами (XI.3); b — ширина основания.
Согласно формулам (XI.17) и (XI.22), обобщенная осадка однослой-
ного основания может быть теперь представлена в виде
3 (1 - v5-)
где I (z) — -—===- е~ах — безразмерная функция осадки поверхности
У 6 (1 — Vo)
•основания.	_
На рис. 222 приводятся графики безразмерных функций V (z), вы-
численные при различных значениях параметра Н.
1 Несколько иная интерпретация приведенных коэффициентов дается в работе
проф. П. Л. Пастернака «Основы нового метода расчета фундаментов на упругом осно-
вании при помощи двух коэффициентов постели», 1954. Там же рассмотрен вопрос
•экспериментального определения этих коэффициентов.
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
423
Коэффициент Пуассона v принят при этом равным нулю. Из рассмот-
рения полученных результатов можно видеть, что величина параметра Н
оказывает существенное влияние на характер осадки основания: при ма-
лых значениях Н или, что
то же самое, при малых t,
работа основания прибли-
жается к винклеровской
схеме.
Нетрудно видеть, что
однослойная модель упру-
гого основания является
более совершенной, чем
винклеровская, вследствие
того, что она способна «рас-
пределять» нагрузку. На-
пряженное и деформиро-
ванное состояние этой мо-
дели зависит уже не от
одного параметра (коэффи-
циента постели), как это
имеет место в модели Винк-
лера, а от двух упругих
характеристик — k и t.
Формула (XI. 17) поз-
воляет определять осадку
также и в случае нагрузки, распределенной на поверхности основания
по заданному закону д(а:). Для этого нужно рассматривать выражение
(XI.17) и соответствующий этому выражению график как линию влия-
ния осадки некоторой точки
основания.
3. Рассматривая работу
однослойного основания в
пространственных условиях
(рис. 223), введем, как и ра-
нее, предположение о том,
что деформации по высоте
основания остаются постоян-
ными, а перемещения в на-
правлении осей Ох и Оу всю-
ду равны нулю. При этих
предположениях перемеще-
ния любой точки основания
определятся в виде
и (.г, у, z) = 0; v (ж, у, z) = 0;
w ~ (х, у, z) — W (х, у) ф (z),
(XI.23)
где
, / \ Н — z
ф(х) =
Н •
(XI.23), разрешающая система дифференциальных урав-
няй (XI.7) будет состоять только из одного уравнения
Согласно
нений (XI.5)
третьей группы. Это уравнение можно записать в следующей форме:
^rn^W(x, у) - SnW (х, у) + q = 0.
(XI.24)
424
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Здесь
2П,- 3W , дЧГ f |2 , Н	f ,,, ,	1
v Н "	; rH = ) dz = -у; «ц =^Мг = -^;
6	6
q — вертикальная нагрузка, заданная на поверхности упругого осно-
вания.
По аналогии с рассмотренным случаем плоской задачи, разрешаю-
щее уравнение (XI.24) можно переписать в виде (XI.24а)
-2tyW + kW = q,	(XI.24а)
где
I __________________ Ео . . _____ EqH
~	’ r'“12(l+vo)
упругие параметры, характеризующие работы основания на обжатие
и сдвиг.
Для вычисления осадок основания в случае действия сосредоточен-
ной силы Р (рис. 223) удобнее перейти к полярной системе координат
(9, р) X Помещая начало координат в точку приложения силы, получим
для решения задачи однородное уравнение:
VW-XW=0,	(XI.25)
где
Поскольку рассматриваемая нагрузка симметрична относительно
начала координат, функция осадок основания W не зависит от полярно-
го угла 9. При этих условиях оператор Лапласа в формуле (XI.25)
определится в виде
2MZ PW , 1 dW
vw= +
Введя новую переменную по формуле
I = i^P,
однородное уравнение задачи (XI,25) нетрудно привести к уравнению
типа Бесселя аргумента
5?+-г<+^=°-	(Х1-26).
Решение дифференциального уравнения (XI.26) может быть пред-
ставлено в виде двух линейно независимых интегралов:
Иг = 4170(гХр) + ^2М1’(гХр),	(XI.27)
где Jo — функция Бесселя нулевого порядка первого рода аргумента г’Хр;
Но^ — функция Ханкеля нулевого порядка первого рода аргумента г'Хр;
Alt Аг — произвольные постоянные.
При решении подобных задач вместо функций мнимого аргумента
Jo и обычно вводятся в рассмотрение соответствующие модифициро-
1 Вопрос определения осадок однослойного основания в пространственных усло-
виях, а также вопросы расчета круглых плит на осесимметричную нагрузку рассмо-
трены в кандидатской диссертации В. П. Ручкина «Расчет днищ резервуаров на упру-
гом основании с двумя упругими характеристиками», 1955.
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
425
ванные функции. В общем случае модифицированные функции связаны
с функциями Jn, Н{п следующими формулами:
In (М = i~nJn (zAp); Кп (Ар) = -^-enKiHln} (zXp),
где /П(ХР) — модифицированная функция Бесселя первого рода; Кп(кр) —
модифицированная функция Ханкеля.
Таким образом, решение рассмотренной задачи может быть оконча-
тельно представлено в виде
W = CJ0 (Ар) + С2К0 (Ар).	(XI.28)
Поскольку функции /о и Ко действительны во всей области перемен-
ной р, произвольные постоянные Ci и Сг будут также действительными
величинами. Для вычисления этих постоянных необходимо рассмотреть
физическую сторону поставленной задачи.
Условие затухания осадок основания вдали от точки приложения
силы позволяет записать
при р —> оо W—>Q.	(XI.29)
Так как функция 1о с возрастанием переменной р стремится к бесконеч-
ности, условие (XI.29) дает нулевое значение одной из постоянных = 0.
Для вычисления второй постоянной по аналогии с рассмотренным вы-
ше решением плоской задачи введем обобщенную поперечную силу:
5 (р) = 2tW' (р) = — 2tWzK1 (Ар).	(XI.30)
В условиях пространственной работы однослойного основания урав-
нение (XI.20) может быть записано в виде
5 S(p)pd9 = — Р,	(XI.31)
о
где 5(р) — обобщенная поперечная сила, действующая на боковой по-
верхности цилиндрического столбика радиуса р = е (при е—> 0), выделен-
ного из основания.
Внося формулу (XL30) в уравнение (XI.31) и раскрывая неопределен-
ность вида
lim pXi (Ар) = 1/А,
для второй постоянной интегрирования нетрудно получить выражение
С2 — Р /-4nt.
Функция осадок поверхности однослойного основания определится,
таким образом, в виде
w=£« м-
§ 3. Основное уравнение теории изгиба балки
на однослойном основании
Рассмотренное выше однослойное основание позволяет построить до-
статочно простую и удобную для практических вычислений техническую
теорию расчета балок на упругом основании.
Согласно этой теории, трение между балкой и грунтом предпола-
гается отсутствующим. В отношении балки принимается справедливым
426
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
закон плоских сечений. Все приведенные решения точно удовлетворяют
статическим условиям равновесия балки, а также контактному условию
о плотном прилегании балки к основанию.
При расчете балок на упругом основании задача заключается в опре-
делении прогибов V (х) и закона распределения реактивных давлений
q(x) по опорной поверхности конструкции. В зависимости от заданной
длины и жесткости поперечного сечения все балки делятся на три рас-
четные категории: жесткие, бесконечно длинные и короткие. Каждая
категория обладает своими специфическими особенностями, в результате
чего расчет жестких, длинных и коротких балок производится при по-
мощи различных методов.
Рассматривая в общем виде решение задачи о балке, лежащей на упру-
гом основании, запишем уравнение прогиба балки в виде
= P(x)-q(x),	(XI. 32
где V (х) — прогиб балки; р(х) — внешняя заданная нагрузка; q(x) —
реакции основания или, что то же самое, нагрузка на основание.
Вследствие того, что прогиб балки по условию задачи совпадает с осад-
кой поверхности основания, уравнение (XI.32) может рассматриваться
совместно с уравнением равновесия однослойного основания (XI.14).
Исключая из уравнений (XI.14) и (XI.32) функцию q(x), нетрудно
получить основное дифференциальное уравнение задачи, выражающее
зависимость между нагрузкой на балку и ее прогибом:
EJV1V-------V" Н--------......- V = р (х). (XI.33)
6(1 + V0)	\	)
Отметим, что дифференциальное уравнение (XI.33) отличается от изве-
стного уравнения, вытекающего из гипотезы Винклера, тем, что в нем
имеется дополнительный член со второй производной от прогиба балки,
которым учитывается влияние касательных напряжений, возникающих
в упругом основании.
Для большинства задач удобнее перейти от действительной координа-
ты х к приведенной £ = xlL$, где Lo — величина, имеющая размерность
длины.
Величину Lo можно, например, задать по формуле
(XI.34)
в соответствии с чем она может быть названа упругой характе-
ристикойбалки.
Дифференциальное уравнение (XI.33) запишется при этом в виде
~ — 2г2	+ s*V =	.	(XI.35)
(К*	dt? '	BJ	'	'
Здесь г2 их4 — обобщенные упругие безразмерные характеристики,
вычисляемые по формулам:
EnFL* 1—н	EFI*	т„
2 _ _____0	<1	_ J — "О 11 ,	4 _	О (I ___
~ 12 (1 + Vo) EJ ~~ 12	A., ’	~	~ z z '
Напомним, что дифференциальным уравнением (XI.35) выражены
обобщенные условия равновесия слоя грунта, рассматриваемого
совместно с балкой, расположенной на его поверхности. Вследствие этого
функция V(g) представляет собой обобщенный прогиб.
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
427
Обобщенному прогибу V (|) и обобщенному углу поворота <р(5) = V'(%)ILv
(в данном случае они совпадают с действительными прогибом и углом по-
ворота балки) соответствует обобщенная поперечная сила, которая отли-
чается от балочной поперечной силы Q и, согласно (XI.2), определяется
в виде
Si (I) = -	[V" (|) - 2r2P (£)].	(XI.36)
Lo
Выражение (XI.36) необходимо учесть при постановке граничных усло-
вий, которые в соответствии с физическим содержанием метода должны
быть заданы в интегральной форме.
После определения функции 7(5) реакции основания <?(5) могут быть
найдены из уравнения (XI.14), а изгибающие моменты и поперечные силы
балки — по известным формулам:
EJ <?V	„ „j&V EJ d?V ,VT
M = — E J -- =------Q = “ EJ -г-г =-------------V.(XI.37)
dx1	£2	v	dz?	£3	v 7
§ 4. Жесткая балка (плоский штамп)
В том случае, когда балку практически можно считать бесконечно
жесткой, расчет целиком сводится к определению реактивных давлений
q(x); все остальные расчетные величины могут быть найдены при помощи
обычных уравнений статики.
1. При действии на жест-
кую балку симметричной на-
грузки (рис. 224) осадка
балки, а следовательно, и
осадка упругого основания
под балкой постоянны:
V {х) = Со.
Согласно уравнению
(XI.14), реактивные давле-
ния основания, за исключе-
нием участков, расположен-
ных непосредственно у кон-
цов балки, определятся в
Рис. 224
виде
=----E^F с _	(XI.38)
№(l-v2)	7	7
Вследствие того, что функция осадки основания V(х) не претерпевает
разрыва по концам балки, в концевых сечениях к балке должны быть при-
ложены сосредоточенные силы @ф, выражающие собой концентрацию реак-
тивного давления грунта. Действительно, согласно (XI.21), можно ви-
деть, что обобщенная поперечная сила основания S (х) в сечениях х = —/и
х = I (рис. 224) терпит разрыв. В соответствии с физическим смыслом за-
дачи это означает, что в этих сечениях к основанию приложены сосредото-
ченные силы. Сосредоточенными силами <2Ф учитывается влияние свобод-
ного основания, расположенного за пределами балки, на напряженное
состояние конструкции.
Из рассмотрения функции У(х) у концов балки для сосредоточенных
реакций нетрудно получить формулу
Qa - - Qb = 2atC0,	(XI.39)
428
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
где
а = У" k/2t.
Статическое условие равновесия балки, находящейся под действием
заданной нагрузки Ро и реакций q и Q®, позволяет определить осадку Со
в виде
Ра	ро С1 - vo)
2 (2аг 4- hl) Л г 1 Г / q
(XI.40)
где Ро — суммарная
вертикальная нагрузка.
Рис. 225
На основании выражений (XI.38) и (XI.40)
числяются по формулам:
реактивные давления вы-
. <1 =
Ро
ф
г 1 г________ I
2н[т /6(1-vo)4--jj
-	^0 Кб (1 - vo)
-	2 [/6(1-Vo) 67/Я]
По определении реакций упругого основания эпюры изгибающих мо-
ментов и поперечных сил могут быть рассчитаны обычными способами со-
противления материалов. На рис. 225 приведены расчетные эпюры для
некоторых случаев симметричного загружения жесткой балки при Z/7/=l
и vo = 0. Здесь же пунктиром (цифры в скобках) показаны соответствую-
щие эпюры решения плоской задачи теории упругости. Сравнивая при-
веденные графики, можно видеть, что результаты различны только вбли-
зи концов балки.
Следует отметить, что с увеличением параметра Н концентрации реак-
тивных давлений по концам балки увеличиваются, и это приводит к уве-
личению положительных изгибающих моментов в средней части кон-
струкции.
2. При действии на жесткую балку кососимметричной нагрузки, кото-
рая всегда может быть приведена к паре Мо, осадка балки определяется
равенством
V(x) = ^ox,
где Оо — угол, отсчитываемый по часовой стрелке от горизонтальной оси
рис. 226).
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
429
Реакции основания в точках, не лежащих непосредственно у краев
балки, определяются, как и ранее, уравнением (XI.14). Величина их
составит
q(x)=kdox.
Сосредоточенные реакции находятся здесь так:
*2а= Qb = - 2f (aZ + 1) 9о.
Условие равновесия балки (SMy=o=O) позволяет получить
е = _______________________________3M0(l-vg)_______________'
Е0ЫН^2	/6 (1 - vo) + (1 - vo)]
___________________ЗМр________,
Г / I \2 I____________________1	’
IFI2 [2	+ # /6 (1 - vo) + (1 - vo) |
Л Мо Г-4 /е (1 - Vo) + (1 - Vo)]
Ф___	I.	J *
2i [2 (^-)2 + ^- /mi - vo) + (1 - vo)]
§ 5. Бесконечно длинная балка
Переходя к вопросу расчета бесконечно длинной балки, напомним,
что балку принято считать за бесконечную в том случае, когда нагрузка
приложена настолько далеко от ее концов, что влияние концевых сече-
ний почти не сказывается на резуль-
татах расчета.
Рассмотрим случай загружения
бесконечной балки сосредоточенной
силой Р (рис. 227). Выбирая начало
координат в месте приложения на-
грузки, получим однородное диффе-
ренциальное уравнение:
^////wPWWWW/W/PP
г
2^	= °. (XI.41)
Рис. 227
Общий интеграл уравнения (XI.41) может быть представлен в виде
V (|) = С1Фг + С2Ф2 + СзФз-ЬС^Ф*.	(XI.42)
Здесь Ф1, Ф2, Фз, Ф« — некоторые известные функции, определяемые
в зависимости от вида корней характеристического уравнения:
ki-2riki^si = 0	(XI.43)
и, следовательно, в зависимости от соотношения между тих.
430
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Для трех возможных случаев соотношения между г и s получим
следующие значения этих функций:
а)	при s~^>r
б)	при s = г
в)	при s <’ г
Фт = ch а| sin р|; Ф2 = ch а| cos р|;
Ф3 = sh а| cos р|; Ф4 = sh а| sin р|;
Фг = | ch г|;	Ф3	= ch г|;
Ф3 = sh г|;	Ф4	= | sh г |;
Фл = sh Х2|;	Ф2	= ch Xj|;
Ф3 = sh Хл|;	Ф4	= ch Х2|,
(XI.44)
где
а — У (s2 + г2)/2; р = У (s2 — га)/2;
/-л - ]/~ г2 У г* — s4; л2 = ]У г2 — У F — s4.
Отметим, что в рассматриваемых задачах, относящихся к расчету ба-
лок на упругом основании, основным является случай, когда s^> г.
При расчете бесконечной балки в целях упрощения выкладок по опре-
делению постоянных интегрирования основные функции (XI.44) удобнее
представить в показательной форме. Симметрия задачи позволяет рас-
сматривать балку только справа (или слева) от начала координат. При
этом, согласно условию
при |—» оо
7->0,
две постоянные интегрирования в формуле (XL42) обратятся в нуль и об-
щий интеграл запишется в виде
V (|) = DiIWhFz.
Здесь Di и />2— новые постоянные интегрирования; Fi и Fi— функ-
ции, аналогичные (XI.44), записанные в показательной форме. Напри-
мер, для случая s^> г эти функции имеют вид
/ч—sin р|; Fi=e~a^ cos fJ|.
Для определения постоянных интегрирования Di и в сечении | = О
могут быть поставлены (исходя из физического содержания задачи) сле-
дующие условия:
при | = 0
5 (0) =
1 dV а
EJ Г d3V 2 dV I
L3 L d^ dl J
(XI. 45)
P
2
где ф (0) — угол поворота; 5 (0) — обобщенная поперечная сила в се-
чении | = 0.
Раскрывая условия (XI.45), для произвольных постоянных Di и D2
получим выражения
D _ р F'2(Q}
1	Ир/’а(0)-41>Х1(0)] ’
7) = _ Л F1(O)
2 2k [/’/’f;(o)-4i>/-;(°)] 
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
431
Здесь F(1i и — определенные интегралы, взятые от функций Fi
и F2 в пределах от 0 до оо; F'i (0) и К2(0) — значения первых произ-
водных этих функций в сечении £ = 0.
После определения функции прогибов балки V (£) изгибающие моменты
и поперечные силы в балке вычисляются при помощи формул (XI.37),
а реактивные давления упругого основания — по формуле (XI.14).
Отметим, что решение может быть получено аналогичным образом
и в том случае, когда бесконечная балка загружена изгибающим момен-
том, а также в случае действия любой нагрузки, заданной на балке по
произвольному закону р(^).
§ 6.	Балка конечной длины
Упругая балка, имеющая конечную длину 21, занимает некоторое про-
межуточное положение между рассмотренными выше случаями бесконеч-
ной и жесткой балки.
В случае жесткой балки, когда деформации принимаются заданными,
расчет балки производится непосредственно при помощи формулы (XI.14)
и статических условий равновесия. Здесь же, как и в случае бесконечной
балки, имеет место дифференциальное уравнение изгиба (XI.33) при со-
ответствующих граничных условиях.
Отметим, что если концы коротких балок свободны от закреплений, то
при постановке граничных условий должен быть учтен тот краевой эф-
фект упругого основания, который показан нами при рассмотрении же-
сткой балки.
Рассматривая общий случай загружения балки, будем иметь для ре-
шения задачи неоднородное дифференциальное уравнение (XI.35).
Интеграл этого уравнения для балок постоянной жесткости проще
всего определяется по методу начальных параметров, позволяющему
производить расчет на действие нагрузки самого общего вида.
Как показано выше (гл. IX. § 7), общее решение неоднородного урав-
нения (XI.35) по методу начальных параметров может быть записано
в виде
V (£) = V0Kvv -f- ф0Хуф + МцКуМ SqKvs — Fv-, ।
ф(£) = V0K^v 4- ф0Хфф + МйК^м + SKvs — Fv;	'	,хт
М£) = V0KMV + ф0ХМф + М.Кмм + S0KMS - FM- f	(XL4b)
(B) = K0XSy ф0Х8ф + M0KSM + SoKss — Fs, J
где Fv, Fy, Fg, Fs — некоторые известные функции, определяемые в за-
висимости от вида нагрузки и ее расположения на балке.
Совокупность 16 функций влияния Kvv, ..., Kss, приведенных в вы-
ражениях (XI.46), образует матрицу прямого линейного преобразования
величин Ко, фи, Mo, So в величины К5, ф£, Mz, Sg.
Эта матрица в обозначениях, принятых в настоящей главе, приведена
в табл. 89.
Задача расчета короткой балки на упругом основании заключается,
таким образом, в определении начальных параметров, входящих в фор-
мулы (XI.46). Поскольку за начало отсчета может быть принято любое се-
чение балки, величины начальных параметров определяются здесь чрез-
вычайно просто.
Выбирая, например, один из концов балки за начальное сечение (£ = 0),
мы тем самым сразу определяем два параметра из четырех. Другие два мо-
гут быть найдены из системы только двух уравнений (при любой на-
грузке), составленных относительно противоположного конца балки.
432
Техническая
теория расчета конструкций на упругом основании
Таблица 89
	Vo	Фо		So
	г2 KVV - ф2 — 2аЗ °4	L Kyv ~ 2aP (РФ1 "Ь «Фз)	KVM = ~ L2 2o$EJ °4	Kvs = L3 ~ 2a3s2£’J>< х^Фг-аФз)
ЧЧ	S2 K-sV ~ 2a₽L ^Ф1 ~ аФз>	— ф2 + 2ap °4	L ~ 2a3^VX Х^Фз+ЗФ!)	KvS = KVM
	EJ Kmv — 2a₽L2 s4°4	EJ КМ9 = — 2a₽Z, K3a2 — — З2) 3Ф1 + (a2 — ЗЗ2) аФ3]	K ММ = ^<рФ	kms =
%	EJs2 KSV - 2a3Z,3 К® + 2r2) 3<Di + (s2 — 2r2) аФ3]	^Stp = ^-mv	KSM = KvV	Kss = Kvv
• В том случае, когда концы балки закреплены от перемещений, крае-
вые условия могут быть поставлены обычным образом:
при шарнирном опирании конца М = 0; V = 0; при жесткой заделке
конца V = 0; ф = 0.
В случае балки со свободными концами при постановке граничных усло-
вий должна быть учтена совместная работа балки и основания (рис. 228).
Рис. 228
На участках свободного основания (II, II') осадка определяется с точ-
ностью до одной произвольной постоянной Di. или Z>2, а на участке ос-
нования под балкой (I) — с точностью , до четырех произволь-
ных постоянных (Ci, С2, С3, Ct). Очевидно, что для определения этих
постоянных на границах рассмотренных участков следует поставить шесть
независимых условий, по три на каждом конце балки.
Естественным условием для каждого конца, свободного от нагрузки,
является
М = 0
(XI.47)
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
433
Два других условия, учитывающие неразрывность функции Р(х),
могут быть записаны в виде:
при х -= 0 (или х = 21 = L)
Рц осн = Pl балки! 5ц осн — 5j балки-	(XI.48)
$t(x) и Su(x) — обобщенные поперечные силы соответственно для
участков I и II или 1Г, определяемые формулами
FT’”
=	2r2P J; 5П = 2fPn.	(XI.49)
Рассмотрим решение для балки, края которой свободны от закрепле-
ний. Этот случай представляет наибольший практический интерес и вместе
с тем является наиболее сложным в расчетном отношении.
Выбирая начало координат на левом конце балки (рис. 228) в соответ-
ствии с условиями (XI.47) и второй формулой (XI.49), для двух началь-
ных параметров получим выражения
Мо = 0; 50 = 5ц (0) = 2atV0.
Решение (XI.46) может быть теперь представлено в форме
V (В) = (Kw 2a.tKvs) Vо Хуф(р0 — Fy; )
Ф (В) = (Хфу + 2atK^s) ^оЧ-Хфффо —Fф; !
М (В) = (Хму -j- 2atKMs) Ро + Хмффо — Хм;
S (В) — (Ksv + 2atKss) Ро + Хдффо —Fs.
Используя условия, заданные на другом конце балки:
при В = 21/L — 1 М = 0; 5j = 5ц = — 2atV,
нетрудно найти два других начальных параметра — Ро и фо:
тт П1^м — Пг I^s W + 2a.tFу (L)]
Г 0 = —-------------------------------------------------
и	711/14 — тг2лгз
м	Р 2a.tFy (L)]
Фо =-----------------------------------
ти	Л1«4 — п2п3
Здесь коэффициенты • щ определяются по формулам:
«1 =	= KWy (L) -J- 2cttKMS (L)', п2 = KMv (L);
пз = Ksv (L) + 4aiXgs (L)	(2ctt)2 Kys (L),
г де	2at = Eob 6 ~ Vo^ .
6(l-v*)
(XI. 50)
(XI.51)
ВеличиныKmv(L),Kms(L), ..., FS(L), FV(L) и т. д. представляют собой
значения соответствующих функций в сечении с координатой В — HIL.
При помощи формул (XI.51), (XI.52) и табл. 89 полностью решается
задача об изгибе упругой балки конечной длины и постоянной жесткости
на упругом основании на действие любой внешней нагрузки, а также
на действие таких факторов, как заданный прогиб или угол поворота.
Например, в случае, представленном на рис. 229, функции Fy и
определяются в виде:
на участке 0 < В <Pi Fy = FM = 0;
на участке <В <?а Fy = PKVS (В — ^i); FM = PKMS (В — hY,
28 в. 3. Власов, т. Ill
434 Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
на участке t2 < с, < ta Fv = PKVS (| — tj — MKVM (| — t2);
Pm = PKms (I — ^i) — MKmm (| — £2);
на участке ts < t4
Fy = PKVS (| — f4) — МКум (g — £2) — KVKyy (£ — t3);
Fm = PKms (I — ti) — MKmm (I — t2) — KVKmv (I — ta)-,
на участке i4 | < 21
Fy = PKys (I — M — МКум (| — t2) — KVKyy (| — t3) — k^Kyq, (I — t4);
Fm = PKms (I — ^i) — MKmm (| — t2) — KVKmv (I — ts) — kqKMv (I — £4).
Удобно также начало координат выбирать в середине балки, разбивая
при этом заданную нагрузку на составляющие — симметричную и
кососимметричную. Решение в этом случае может быть получено на осно-
вании рассуждений, аналогичных приведенным выше.
Отметим, что в приведенных решениях для короткой балки точно вы-
полняются условия ее равновесия, контактное условие о плотном приле-
гании конструкции к грунту и условие непрерывности осадки основания.
Статические граничные условия удовлетворяются приближенно. При
равенстве нулю изгибающих моментов балочные поперечные силы Q по
концам балки отличны от нуля. Это обстоятельство объясняется тем, что
концентрации реактивных давлений, которые выявляются по краям
балки точными методами теории упругости, представлены здесь в виде
сосредоточенных реакций. Однако указанная неточность не имеет суще-
ственного значения для практических вычислений, так как искажение
расчетных эпюр М и Q наблюдается только на участках, расположенных
непосредственно у концов балки.
Приведенные решения для балок (жестких, коротких и длинных на
упругом однослойном основании) получены при помощи весьма простых
математических приемов: основное дифференциальное уравнение задачи
(XI.35) хорошо изучено и интегрируется в элементарных функциях. Таб-
лицы функций Ф1, Фг, Фз и Фа приведены в конце книги.
Простота математических приемов и четкость расчетной схемы делают
изложенный метод весьма гибким и позволяют решать не только основные
задачи по расчету балок постоянной или переменной жесткости, но также
и ряд других, более сложных вопросов. Сюда относятся, например, во-
просы расчета балок с учетом влияния боковой пригрузки, а также во-
просы расчета конструкций на упругом основании с переменными упру-
гими характеристиками.	' 	‘	‘	4
§ 7. Двухсловная! модель^упругогооснования^
В отличие от однослойной модели, рассмотрим теперь упругое основа-
ние как двухслойную среду, имеющую по слоям различные модули упру-
гости и коэффициенты Пуассона (рис. 230).	1
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
435
Как и ранее, предполагаем, что продольные перемещения в основании
всюду равны нулю, а поперечные деформации по высоте каждого слоя ос-
таются постоянными.
При этих предположениях перемещения любой точки основания мо-
гут быть представлены следующими формулами:
и(х, z) == 0; v (х, z) = Vj (я)ф1 (z) -f- V2 (я) Ф2 (z). (XI.53)
Здесь,
при 0<4<4!
при /ij <’ z <С.Н
(z) = (/zi — z)/hT, ф2 (z) = z/hr,
(z) = 0;	фа (z) = (Н — z)/h2.
аМ
(XI.54)

Рис. 230
и заме-
Va) и 2.12\	+ q — 0;
« I	-J T/"
12 + 2(14-<2)’ 22У 2 —
$22 + —---«22^ V2 — 0.
(1—V2)	22 J
Обращаясь к системе дифференциальных уравнений (XI. 1)
чая, что каждый слой имеет свой модуль упругости Е и коэффициент
Пуассона v, получим для определения двух неизвестных функций V2 (х)
и V2{х) совместную систему двух дифференциальных уравнений:
2(l+vj)
. г
2 (1 + V!) Г1
Ei
(1 - v2)
(XI.55)
211 + Vl)
Здесь
hi
Г“ =
0
hi
r12 =
’ 0
Th
r22 = \ ^ dF =	;
J "	о
0
я
г’ = ( MdF = ^--,
22 J T2	3 »
hi
Подставляя выражения (XI.56) в
bhi
3 ’
h,
0
hj
$12 = Ф'Ф2^ = 
0
hx
$22 = (Ф2)2 dF =
0
я
hi
Ь
К’
_Ь_.
hi ’
уравнения (XI.55), получим
j — kiVj	tiV2 -f- &iV2 -j- Q = 0;	1
-|- kjVi -f- 2(Zj -f-K2 — (&j	Л2) V2 = 0.J
(XI.56)
(XI.57)
28*
436
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Коэффициенты k и t, как и ранее, характеризуют соответственно
работу каждого по формулам:	слоя основания на обжатие и сдвиг и определяются l 	 EiF\	.	. _ E1F1	.	) Л2	(1 — v?)	’	1	12 (1 + Vi)	’	| 11	17	1	(XI.58) ,	E2F2	.	.	E2F2	, * ~	ft2(l-v2)	’	2	12(1+ v2)	•	1 Z '	Л'	/
Для решения системы дифференциальных уравнений (XI.57) введем
в рассмотрение новую функцию F (х).
Выразим через эту функцию и ее производные искомые перемеще-
ния У\(х) и F2(o:) так, чтобы второе уравнение системы (XI.57) удов-
летворялось тождественно при любом выборе функции F(x).
Получим следующие выражения:
V1 = (k1 + k2)F-2(t1 + t2)F”- F2 = ktF + ^F". (XI.59)
Подстановкой формул (XI.59) в уравнения (XI.57) убеждаемся, что вто-
рое уравнение обращается в тождество, а первое принимает вид
Zi(3Zi-|-4Z2)Fiv —2(3z3A:i——t%ki)F -\~k\k2F=q.	(XI.60)
Определяя из этого уравнения и граничных условий задачи основную
функцию F(x), можно затем по формулам (XI.59) найти функции Vi(z) и
Уъ(х), представляющие собой обобщенные перемещения.
Обобщенным перемещениям, как уже отмечалось ранее, соответствуют
внутренние обобщенные силы. Имея в виду, что элементарная поперечная
полоска, выделенная из основания, обладает двумя степенями свободы в
своей плоскости, в соответствии с (XI.2) получим
н	н
== xtyidF-, S2 = xtyidF.	~ (XI.61)
о	о
Выразим обобщенные силы, определяемые формулами (XI.61), через
искомые перемещения Vi и F2. Касательные напряжения в основании в
соответствии с формулами (VII.7) и (XI.54) могут быть выражены так:
£"т	/тт' hy — 2 .	Z \ \
в первом слое т - у, + V,;
во втором слое т =	X- .
г	2 (1 + v2) 2 h2
Внося выражения (XI.62) в формулы (XI.61) и выполняя указанные
квадратуры, получаем
= 2Z1FJ Д- ZjlX;	5а = ZjFj Д- 2 (Zi Д- Z2) F2 .	(XI.63)
Если учесть зависимость (XI.59), то для обобщенных сил 5, и V не-
трудно получить также и следующие выражения:
[- (3Zt + 4z2) F- + (3^ + 2k2) F']-
S.2 = (3ZA + 2Z2fej 4- txk2} F'.	(XI.64)
Дифференциальным уравнением (XI.60) совместно с зависимостями
(XI.59), (XI. 63), (XI.64) (которые должны быть учтены при решении краевой
задачи) полностью описывается проблема работы двухслойного основания
Гл. XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании
437
под нагрузкой, приложенной к его поверхности. Уравнение (XI.60) сов-
падает по виду с уравнением (XI.33), вследствие чего интегрирование его
не встречает каких-либо затруднений.
Двухслойная модель упругого основания, характеризуемая парамет-
рами El, Ei, vi, v2, hi,hz, является более совершенной, чем однослойная, в
том смысле, что она значительно полнее отражает поведение естественного
грунта под нагрузкой. Вместе с тем расчеты конструкций на двухслойном
основании несколько усложняются ввиду того, что порядок дифференциаль-
ных уравнений повышается на два: условия равновесия основания под
нагрузкой описываются уравнением четвертого порядка (XI.60), условия
равновесия балки — дифференциальным уравнением шестого порядка.
Это уравнение может быть получено из совместного рассмотрения урав-
нений (XI.32) и (XI.60). В соответствии с формулами (XI.59) оно будет
иметь следующий вид:
FVI „FIV + ЪЕ" — cF =
Р
2EJ{ti-\-tz) '
Здесь а, Ь, с — обобщенные упругие характеристики (коэффициенты
постели двухслойного основания):
__(3Z1 4ЛД -|- (Й1 4~ kz) EJ .
а	201 4- tz) EJ	’
, 3Zi/?i - tikz 4- tzki
~	~	(«1 4- «2) FJ
—
2 (?i t-I) EJ
29 в. 3. Власов, т. III
Глава XII
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЛИТ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
§ 1. Основное дифференциальное уравнение
Задаваясь целью получить дифференциальное уравнение изгиба пли-
ты на упругом основании, рассмотрим бигармоническое уравнение изгиба
пластинки (VIII.6) совместно с уравнением (XI.24). Вследствие того,
что прогиб плиты совпадает с осадкой упругого основания, функция
W (х, у) может быть определена из следующей системы двух дифферен-
циальных уравнений в частных производных:
ril^w_SiiW + —^-±q = 0;	(XII. 1)
D^2W— р+ q = 0,
где
12 (1 — v2) ’
р — приложенная к плите внешняя нагрузка.
Исключив из уравнений (XII.1) функции q(x, у), получим основное
дифференциальное уравнение задачи:
V2VW — 2r2v+ sW =	.	(XII.2)
Здесь
r2 __ ЕаН .	4__ Eg
12(1 + v0)D ’	Я(1 —v2)O ’
Дифференциальное уравнение в частных производных (XII.2) от-
личается от известного уравнения изгиба пластинки на упругом винкле-
ровском основании наличием дополнительного члена, содержащего коэф-
фициент г2, при помощи которого учитывается работа касательных на-
пряжений, возникающих в основании.
§ 2. Приведение двухмерной задачи к одномерной
Представим поверхность прогибов плиты, т. е. искомую функцию
W (х, у), в виде разложения
W(x,y) =2 W^y^^x).	(ХП.З)
k=i
Будем считать, что система безразмерных функций уь(х) задана зара-
нее, а функции Wk(y), имеющие размерность прогиба, подлежат опреде-
лению. При этом в соответствии с физическим смыслом функции IVft(y)
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
439
могут быть названы обобщенными прогибами, a 1к(х) — функциями по-
перечного распределения прогиба.
По разысканий всех п функций Wk(y) значения прогибов W(x, у) бу-
дут определены с известной степенью точности. Это означает, что двух-
мерная задача приведе-
на нами к одномерной.
Для определения
функций Wh(y) исполь-
зуем условия равнове-
сия элементарной по-
лоски, выделенной из
плиты, поперечными
сечениями у = const и
?/+c&/=const (рис. 231,
а).
При этом, как и ра-
нее, под условиями рав-
новесия будем понимать
равенство нулю суммар-
ной работы всех внеш-
них и внутренних сил
этой полоски на любом
возможном для нее пе-
ремещении. Поскольку
все возможные переме-
щения элементарной по-
лоски описываются со-
вокупностью п линейно
независимых функций
Х/с(х), можем составить
п независимых условий
равновесия, из которых
и определятся все п
искомых функций Wk(y).
За исключением заданной нагрузки, все те внешние силы, которые дей-
ствуют на выделенную из плиты полоску, показаны на рис. 231, б. Крутя-
щие моменты приведены здесь по Кирхгофу к статически эквивалентным
им дополнительным поперечным силам.
В гл. VIII, § 3 показано, что работа всех внешних и внутренних сил
элементарной полоски при отсутствии реактивных давлений основания вы-
числяется по формуле (VIII.22). Обозначим работу реакций основания на
любом из п возможных перемещений %,(ж) через Ri(y). Присоединяя это
выражение к формуле (VIII.22), получим для элементарной полоски на
упругом основании следующее обобщенное уравнение равновесия:
+	2[—- Xi] + Hi + Gi = О, (XII.4)
где Gi и Ri — разделенная на dy работа заданной внешней нагрузки и
реактивных давлений основания на безразмерном перемещении х<.
а'щ Рабата реактиеных даелений на еозмсэкном перемещении
элементартой полоски
Если поперечные края плиты свободны от закреплений, реактивные
давления основания для выделенной из плиты полоски, как и в случае
балки, работающей в условиях плоской задачи, будут состоять из рас-
440
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
пределенных по площади давлений q и действующих по концам полоски
сил <2Ф (рис. 231, б).
Силами <2Ф представлено влияние свободного от нагрузки основания,
расположенного за пределами плиты. Другими словами, эти силы явля-
ются результатом работы всех сил элементарной полоски dy, выделенной
из основания, на возможных для основания перемещениях Xoi за преде-
лами плиты.
Рис. 232
(XII.5)
(XII.6)
Согласно формуле (XI.24а), выражающей зависимость между нагруз-
кой на основание и его осадкой, и разложению (XII.3), для определения
реактивных давлений q (х, у) получим формулу
п	п	п
q(X, y)=.k\whXk-2i 2идх;;-2t 2w'klh,
k—l	k=
где
k = E"  t = EaH
H (1 — Vg) ’ b 12(1 +Vo) 4
Работа распределенных реакций на перемещении
Xi может
быть
теперь представлена в виде
q%idx =
EaHW"k г-
7ГТГ-,--; VXkXidx —
6 (1 + Vo) J л л
+++
Я(1 - v*)
С ? E0HWk (.	„ ,
(XII.7)
Для определения реактивных давлений ()Ф рассмотрим элементар-
ную полоску dy, выделенную из упругого основания за пределами пли-
ты (рис. 232).
Исходя из условия, что функция W (х, у), характеризующая осад-
ку поверхности упругого основания, непрерывна и, в частности, не
имеет разрывов на продольных краях плиты, представим приближен-
но осадку основания за пределами плиты в форме разложения
п
W(х, у) = 2 ^(y)Xofe (х).
k=t
(XII.8)
Входящие в разложение (XI 1.8) функции \Vk (у) представляют
собой, как и ранее, обобщенные прогибы, а безразмерные функции
Xofe(^) определяются выражениями:
-слева от плиты (х 0)
Xoft = Ха (0) еах;
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
441
справа от плиты (ж b)
Хок = Хк(&)е-“(х-Ь).
Здесь а = Уk/2t, где к и t — обобщенные характеристики упругого ос-
нования, определяемые формулами (XII.6); %k (0) и Xfe(^) — значения
функции поперечного распределения прогиба (х) на продольных
краях плиты (при х = 0 и х — &).
Таким образом, предполагаем, что выделенная из упругого осно-
вания элементарная пластинка шириной dy и высотой Н работает
точно так же, как рассмотренная нами ранее плоская однослойная мо-
дель: затухание осадки поверхности основания в сторону от нагрузки
происходит здесь по экспоненциальному закону е-азс. При этом каждому
виртуальному перемещению полоски плиты W-. = 1 %,(ж) соответ-
ствует вполне определенное перемещение поверхности упругого основа-
ния за пределами конструкции.
Замечая, что фиктивными реакциями (>ф характеризуется работа
упругого основания за пределами плиты, определим эти силы как аб-
солютную величину возможной работы всех внешних и внутренних сил
выделенной из основавия элементарной пластинки dy=l.
Перемещения точек упругого однослойного основания определяют-
ся формулами (XI.23). Вследствие этого возможным перемещениям
поверхности упругого основания Wi — l%i(x) будут соответствовать
следующие виртуальные перемещения точек упругого основания:
Wi = 1х<(ж)Ф(2)-	(XII. 9)>
Работа касательных напряжений Zv и Zv-\--~-dy, распределенных
(72/
на гранях у = const и у -|- dy = const пластинки (в области х^Ь), на
виртуальном перемещении (XII.9) составит
Т f dZ„
}dx\~^Xi(x)^(z)dz-	(XII.10)
ъ о
Работа внутренних напряжений Zz и Zx на деформациях пластин-
ки, отвечающих виртуальному перемещению (XII.9), соответственно
равна:
4-00 Н	+со Н
— dx Z2Xi (ж) ф' (z) dz’, — dx Zx/'. (ж) ф (z) dz. (XII.11)
bo	bo
Согласно общим формулам (XI.6), (ХП.З), входящие в выражения
(XII.10) и (XII.11) нормальные и касательные напряжения определя-
ются в виде
z* = а 1^4 Ф' (z) S wk (у) 1ь (*);
1	Л=1
= 2(14^) (z) S w'h (2/) Хй (*):
=	^W^y)lk(x).
(XII.12)
442
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Внося формулы (XII.12) в выражения (XII.10), (XII.11), сумми-
руя эти выражения и производя интегрирование в указанных пре-
делах, для фиктивной реакции Qb, характеризующей абсолютную
величину работы напряжений элементарной пластинки (при х^Ь),
получим
п
Qb=2t 2 { [осХй (6)-h ХН&)1	(XII.13)
Аналогичным образом, рассматривая элементарную полоску при
х 0, для фиктивной реакции Qa можно получить
п
Qa = 2t 2 { [«Ха (0) ~ и (0)1 wk - ± ха (0) W’k\ .
k=i 1	J
Работа сосредоточенных реакций на возможных для элементарной
полоски плиты перемещениях х» составит
- [<?Ъ(0) + Qb Xi(&)l -
n
= - 2 bnx'AXd + 2M\[^}\)Wh - ± | [Xai] |РУ'Л . (XII.14)
.1	'*	J
*=1
Здесь прямые скобки [ ’] обозначают, как и ранее, разность зна-
чений стоящих в скобках величин, определенных по концам полоски.
Двойные прямые скобки | [ ] | представляют собой сумму этих значений.
Суммируя выражения (XII.7) и (XII.14) и производя некоторые
несложные преобразования, полную работу реактивных давлений мож-
но представить в виде
п	п
Ri = 2 2	- 2-4 и7*,
k=i	к=А
(XII.15)
где
О Е*Н Г Л !
КоНЧ1-Уо) |г
24(1vo) /6(1 —vo) 1	*’
- Е° i С Vb%-dx 4. g2(l-Vo) f ' ' d ,
~ H(l — v«) tJ ^аХ +	6 J Wi ax +
+ f V6(1 —v0) |[XfeXi]l}.
В том случае, когда продольные края плиты шарнирно оперты или жест-
ко заделаны и, таким образом, не могут иметь вертикальных перемещений,
реактивные давления для выделенной элементарной полоски будут со-
стоять только из распределенных реакций q (ж, у).
Работа реактивных давлений 7?, на возможном перемещении Х1(ж)
определится при этом по формуле (XII.7), которая представляет собой
частный случай общей формулы (XII.15).
Как частный случай определится решение и тогда, когда один из про-
дольных краев плиты свободен, а другой закреплен от вертикальных пе-
ремещений.
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании №3
б) Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений
На основании разложения (ХП.З) моменты и поперечные силы пла-
стинки [см. формулы (VIII.1), (VIII.4), (VIII.16)] определяются в виде
мх = - d 2
k=l
п
Му = - d 2 (w^h + vinxl);
k=l
п
h^hx^-hv = -d^ (i-vMx*;
£=1
n
Nx = - D 2 Mx^ + ^хГ);
n
Ny = -D 2 (W'k\k + Ж*);
n
Qx = - D 2 МхГ + (2 - V) W'iik}-,
k=l
Qv^-D'Z {w'^h + (2 - V) W’k{k}.
k=i	'
(XII.17)
Внося формулы (XII.17) и (XII.15) в уравнение (XII.4) и произ-
водя некоторые преобразования, получим
2 aikwr - 2 2 (*« + Pit) w"k + 2	+ 4) wh -Gi = 0 (XII.18)
*=i	k=i	&=i
(z = 1, 2, 3.и).
Здесь
aik = 2 P $ XftXz dx’,
bik = ^D x^ X^ - ~ [Xfe X; + X*Xi]} ;
^ = 2^$ хл<&;
Г"-19’
110-^	+ Я*<*»	+
+ fl/8(61-,-) I toll}-
Формулы (XII.19) относятся к тому случаю, когда пластинка имеет
толщину, изменяющуюся по ступенчатому закону в направлении оси
Ох. При этом интегралы вычисляются по каждому участку, имеющему
D = const; выражение в квадратных скобках означает разность значе-
ний [x?iXi+X*Xi] п° концам каждого участка; выражение в двойных
скобках означает сумму значений | [XfeXx] | по концам каждого участка;
знак S охватывает все такие участки по ширине выделенной полоски.
444
Техническая теория расчета, конструкций на упругом основании
Можно видеть, что коэффициенты уравнения (XII.18) зависят от
выбранной системы функций (ж). При этом они обладают свойством
взаимности, или переместительности:
aik = aki; bik = bki- cik =	= p»{; s"k = s».,	(XII.20)
что является выражением теоремы о взаимности работ сил одного со-
стояния на перемещениях другого состояния.
Свободный член уравнения (XII.18) также зависит от выбранной
формы поперечного перемещения.
Функция Gi(y) представляет собой обобщенную погонную нагруз-
ку, соответствующую форме возможного перемещения %Дх), и вычис-
ляется по формуле
Gi (у) = $ РУН dx + 2' РсУл (с) +	(<0,
где р = р (х, у) — распределенная нагрузка;
рс и Мс—соответственно заданные силы и моменты, сосредоточен-
ные на линиях х = хс. Интегралы и суммы распространяются здесь на
всю ширину пластинки.
Давая индексу i различные значения от 1 до п, получим для опре-
деления п неизвестных функций ИД (у) полную систему п обыкновен-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,
которая в силу формул (XII.20) будет иметь симметричную структуру.
Все уравнения при этом будут четвертого порядка относительно каж-
дой искомой функции.
§ 3.	Обобщенные внутренние силы.
Граничные условия иа поперечных краях
Как уже упоминалось ранее, функция Wi(y) представляет собой
обобщенный прогиб пластинки, соответствующий возможному переме-
щению уд(х) элементарной полоски.
В соответствии с этим производная от обобщенного прогиба Wi (у)
представляет собой обобщенный угол поворота ф{ (у).
Как и в теории изгиба балок, геометрическим величинам Wi и ф$
соответствуют обобщенные статические величины, представляющие со-
бой обобщенные изгибающие моменты и обобщенные поперечные силы.
Под обобщенным моментом Mi нужно понимать работу всех изги-
бающих моментов Му сечения у const на соответствующих им пере-
мещениях dWjdy = (fix, при ф{ = 1; под обобщенной поперечной силой
Qi—суммарную работу поперечных сил Ny, крутящих моментов Н, а
также касательных напряжений в основании ryz для сечения у = const, на
возможных перемещениях ПДу-; ПРИ Wi = l.
Исходя из этого и используя формулы (XI.6), (ХП.З) и (XII.17), не-
трудно получить
п
К =	y^dx -	(XII.21)
п	п
Qi = — 2 (3 D \ w'k + 2 {(2 —v) 2 D x* ^idx —
k=i4 J	k—i
- \ ।} w‘- <X[L22>
Выражения (XII.21) и (XII.22), устанавливающие зависимость между
обобщенными перемещениями и обобщенными силами, позволяют задать
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
445
на поперечных краях пластинки граничные условия в интегральной
форме.
Можно видеть, что величина обобщенного момента определяется здесь
так же, как и в рассмотренном ранее случае изгиба прямоугольной пла-
стинки (IX.13). Выражение для поперечной силы имеет дополнительные
члены, зависящие от упругих характеристик однослойного основания.
Вследствие того, что общий порядок разрешающей системы (XII.18)
равен 4м, функции Wk будут заданы с точностью до 4м произвольных
постоянных. Для получения определенного решения, к уравнениям
(XII.18) должны быть присоединены 4м граничных условий: по 2п усло-
вий на каждом из поперечных краев пластинки у — 0 и у = I.
При полной заделке граничные условия задаются в обобщенных пере-
мещениях: для свободного края — в обобщенных усилиях; при свобод-
ном опирании — частью в усилиях, частью в перемещениях.
§ 4.	Выбор функций поперечного распределения прогиба.
Решение для плиты, имеющей свободные от закреплений
продольные края
Выше было отмечено (гл. VIII, § 4), что функции хДж), представляю-
щие деформированное состояние пластинки по переменной х, могут быть
выбраны различными способами при условии, чтобы эти функции удов-
летворяли кинематическим условиям задачи на продольных краях и были
линейно независимыми.
Вопрос о том, будут ли удовлетворены при этом статические условия,,
зависит от типа заданных граничных условий и вида функций %Дж). Как
правило, статические условия удовлетворяются только приближенно, что,
однако, не вносит большой погрешности в расчеты; подобная неточность
вообще свойственна вариационным методам.
Рассмотрим наиболее интересный для практических приложений слу-
чай, когда продольные края плиты свободны от закреплений.
За функции Xfe(^) здесь могут быть приняты, например, фундамен-
тальные функции поперечных колебаний балки постоянного сечения (гл. I,
§ 10), полученные при аналогичных граничных условиях, т. е.
х;(О) = х^ (Ь) = х;(0) = хГ(Ь) = 0.
(При этом система уравнений (XII.18) распадается на две независимые
системы, содержащие каждая только четные или только нечетные члены
разложения (XII.3). Кроме того, каждая из этих систем несколько упро-
стится в силу ортогональности фундаментальных функций и их вторых
производных.
Еще большего упрощения можно достигнуть, если за функции х^(ж)'
принять комбинацию линейных и тригонометрических функций вида-
sin (kax/b), т. е. аппроксимировать изогнутую поверхность плиты при по-
мощи ряда:
а)	для симметричной (по оси Ох) нагрузки
W (х, у) = W0(y) 1 + W1 (у) sin(nx/b) -j- Ws (у) sin (Зях/6) -j- . . . ; (XII.23)
б)	для кососимметричной (по оси Ох) нагрузки
W (х, у) = Wo (у) (1 — 2xjb) + W2 (у) sin (2лх/Ь) +
-г IK4 (у) sin (4лх/Ь)(XII.24)
/ Например, в случае плиты постоянной жёсткости D — const при вы-
боре функций Xfe, согласно (XII.23) и (XII.24), разрешающие системы,
обыкновенных дифференциальных уравнений (XI 1.18) могут быть пред-
446
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
w (x, у) = TV0.l + 2 Wk sin
Соответствующие единичные перемещения	/ ! , yinilHHnilllV	, , 5 Гя !V5w г ;	ij		ппх %„ = sin — при п = 1, 3, 5,. . .
Трузо- i вые члены	о	<3	СО о		£ ^0
W п	-|- £ ' с о е * 21 q 1 Q g + 53	о	о		+«+ © с во СМ |	+ %	Q SS <3	%:
	•	•		: : :	1	:
со	-4- « “ ©&© § ! Л + -.•» О» 1 § + «	о	1 «зз -О4 — 2 (Ьзз + +рУ^2 + (4 + ^)		•
\41 1	+ _ 1 о © CQ + (М еа 1 А <□- о 4- « 1	<5* + + 3 © W ъО so 7 + 1 S. д •м © Д <3	°- +	•		•
	© ©.© So + 03 Q оJs> СМ ч* Q о о «	•	•		•
**	О		со		К
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании 447
Таблица 91
w (х, у) = Жо fl — —'j -j- У Wk sin k-^L при -к = 2, 4, 6,... Л=1	Соответствующие единичные перемещения	- Ьэ л				ПЛГГ Xn = sin — при n — 2, 4, 6. . .
		о 45	са <3	45		<уГ
		+ С_О С © + о4 т* С) й «3	о	О		(7+^) + +г0("^ + ™9)г^а“^
						
	*»•	~F (N*© т* о 1 4- 04 тг © © Q о- © 4- «3	о	+ Q о. S?1 t + "5* s J ~ Q e?		•
		-4- < © © °5 о 1 + 04 2. 1 © © Q а- § + О	(Z22		 2 (&22 4“ + Р22) -°2+ (С22 + ®2а)	•		•
	о	-j- © 1 о© g + 04 „ 1 S) °с? ©	1 о —г- «3	1	•	•	•	•
		о	04		. . ,	Й
448
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
ставлены в виде табл. 90 для случая симметричной и табл. 91 для случая
кососимметричной нагрузок.
Можно видеть, что матрица каждой из приведенных систем будет содер-
жать ненулевые члены только по главной диагонали, в первой строке и
в первом столбце. Все остальные члены будут равны нулю в силу ортого-
нальности тригонометрических функций.
В приведенных таблицах Di и D2 — дифференциальные операторы,
которые обозначают, что от указанных в заглавной строке функций берется
четвертая или вторая производные.
Коэффициенты aQ0, р^, s°0, %,..., cnn, s"n вычисляются по форму-
лам (ХП.19) подстановкой в них выражений:
для симметричной нагрузки
Хо=1; Xn = sin (плх/b) (и = 1, 3, 5, . . .);
для кососимметричной нагрузки
Хо = (1 — 2ж/&); xm = sin (тлх/Ь) (т = 2, 4, 6, . . .).
Грузовые члены, стоящие в правой части уравнений (табл. 90) и (табл. 91),
представляют собой работу заданной нагрузки на соответствующем пере-
мещении Wi(y)^i(x) при Wi(y) = 1.
Для практических вычислений в разложениях (XII.23) и (XII.24}
в силу их хорошей сходимости можно брать весьма ограниченное число-
членов. Так, в случае нагрузки, близкой к равномерно распределенной,
достаточно ограничиться двумя, максимум тремя членами.
После определения всех функций Wk(y) из системы уравнений (XII.18}
и граничных условий, заданных на поперечных краях, прогиб плиты
W (х, у), а также моменты и поперечные силы вычисляются по формулам
(ХП.З) и (XII.17).
Отметим, что при ограниченном числе членов в разложениях (XII.23)
и (XII.24) изгибающие моменты Мх и поперечные силы Qx, действующие в
продольных сечениях х = const, для повышения точности вычислений мо-
гут быть определены не по формулам (XII.17), а непосредственно из ус-
ловий равновесия, подобно тому, как это делается в сопротивлении мате-
риалов при определении касательных напряжений в балке.
§ 5. Пример расчета фундаментной плиты водосливной плотины
В приводимом ниже решении предполагается, что фундамент водослив-
ной плотины представляет собой прямоугольную плиту, на поперечных
краях которой расположены абсолютно жесткие в вертикальной плоско-
сти бычки (рис. 233, а). При этом принято, что водослив отсутствует,
и расчетная нагрузка на фундамент складывается из собственного веса пли-
ты и бычков (рис. 233, б). Подобная схема соответствует периоду возве-
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
449
дения плотины и является одним из наиболее опасных расчетных вариан-
тов.
Задаваясь целью получить достаточно простое приближенное реше-
ние и учитывая, что заданная нагрузка симметрична относительно про-
дольной оси плотины, ограничимся в разложении (ХП.23) двумя пер-
выми членами, т. е. примем для функции прогибов плиты выражение
Ж(х, y) = W0(y)i + Wi(y)sin(nx/b).
Разрешающая система дифференциальных уравнений (XII.18) запи-
шется при этом в виде табл. 92.
Коэффициенты уравнений, согласно выражениям (XII.19), опреде-
ляются следующими формулами:
ап0 = Db;
aoi = Db;
Л
&01 = vyP;
«и - D 2t)S ,	И 2/7(1— v£) L '	6 J- j
Здесь D — цилиндрическая жесткость плиты: Ео и v0 — упругие посто-
янные материала основания (XI.3).
Грузовые члены представляют собой работу заданной внешней на-
грузки на безразмерных перемещениях /0 = 1 и %х = sin nx/b и равны
ь	ь
Go = PXodx = pb; Gj =\рул(1х	~ pb.	(XI 1.26)
о	6
Краевая погонная нагрузка g (вес бычков) в выражения для гру-
зовых членов не входит; она учитывается при постановке граничных
условий на поперечных краях плиты.
Система дифференциальных уравнений (табл. 92) может быть при-
ведена к одному дифференциальному уравнению восьмого порядка.
Интеграл этого уравнения записывается в элементарных функциях и
содержит восемь произвольных постоянных, подлежащих определению
из граничных условий. На поперечных краях плиты нужно поставить,
таким образом, восемь граничных условий, по четыре на каждом краю.
Отметим, что в рассматриваемой задаче влиянием свободного осно-
вания, расположенного за пределами плиты в направлении оси Оу,
можно пренебречь в силу учета пригрузки соседними секциями пло-
тины. Так как поперечные края плиты не могут иметь прогибов Илх
(расположенные на этих краях бычки приняты бесконечно жесткими в
своей плоскости), то для каждого края (сечения г/ = 0иг/ = /)в соот-
ветствии с физическим содержанием метода можно поставить следующие
условия:
ь
Мо = 0; Qo = ^g^dx = gb; = 0; Wj. = 0,
о
450
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Таблица 92'
1		w,	Свободные члены	Единичные перемещения
0	%0О1-2р20О2 + 4	a01D4 - - 2 (&0l 4- ч-pSx) D2 + 4	Go	—।— ^ЬтттгтУ^
1	«ioO* — 2 (&Ю + p«0)^ i 4	anD* — 2 (&n -f- pjx) Da 4- 4- (cil + S®t)	Gr	
где Д'/n, Л/i и Qo — обобщенные силы, определяемые формулами (XII. 21)
и (XII.22).
Приближенное решение системы табл. 92, отвечающее в ряде случаев
целям практики, можно получить, если представить искомые функции Wo
и Wi в виде
Wo = Со + С sin (лу/0;	= Сх sin (лг/Д),	(XII.27)
где Со, Сц и Ci— коэффициенты, подлежащие определению.
Таблица 93
i	Co			Правая часть	Возможные единичные перемещения
1			/f?at	Gn	1
	•		"in	G	sin —
3	•	•	«и	Gi	Л.Х . Л’/	^•zSeT sin 	SI и _2_ b	I
Нетрудно видеть, что функции (XII.27) удовлетворяют на попереч-
ных краях только геометрическим граничным условиям; статические
условия будут выполнены лишь приближенно.
Для определения коэффициентов в выражениях (XI 1.27) используем
условия равновесия, понимаемые в смысле равенства нулю суммарной ра-
боты всех внешних и внутренних сил плиты, характеризуемых этими функ-
циями, на возможных для нее единичных перемещениях:
IFO =СоХо = 1	при	Сп	=	1;
И\-= СдХо sin (m///) = sin (лу/Z)	при	Сд	=	1;
IVj = CfXi sin (луД) =- cin (л.т/6) sin (mjll) при Cj = 1.
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
/51
Условия равновесия могут быть записаны в виде системы алгебраиче-
ских уравнений (табл. 93).
Здесь коэффициенты вычисляются по формулам:
С	1
^оо = ]s^dy = s^l-,
о
I
^ = ^o°osin^^ = -|с,; -
о
^o1=^;osin^d2/ = 4^.
г
Ацц= J («ооХ4 + 2pg0X2 + s°0) Sin2 ^-dy,
о
I
Лщ = [«01X4 + 2 (£>01 + P°J x2 + sin2 dy, -
0
(XII.28)^
(XII. 29),
г
Пп = [«11Л4 + 2 (&n + Рц) '/2 + (<4i + ^)] sin2 ^j-dy,
о
где % = л/Z.
Коэффициенты (XII.28) характеризуют собой работу реактивных дав-
лений на соответствующих единичных перемещениях, коэффициенты,
(XII.29) — работу как реактивных давлений, так и внутренних сил плиты..
Грузовые члены определяются по формулам:
Go = 2gb + plb; Gsi = ^- plb\ Gy = ~ plb.
Матрица алгебраических уравнений табл. 93 обладает симметричной
структурой, что значительно облегчает определение искомых постоянных
в том случае, когда в разложениях (XII.23) и (XII.24) для повышения
точности вычислений взято большее количество членов. Каждое уравне-
ние системы имеет ясный физический смысл, представляя суммарную
работу внешних и внутренних сил плиты на соответствующем единичном
перемещении.
Определение постоянных Со, Сц и Ci является решением поставленной
задачи; моменты и поперечные силы могут быть вычислены теперь по фор-
мулам (XII.17).
§ 6. Общая теория толстых плит на упругом
однослойном основании
Рассмотрим работу толстой плиты, отнесенной к системе прямоуголь-
ных координат Oxyz, на однослойном основании в условиях пространствен-
ной задачи теории упругости (рис. 234, а). Решая поставленную задачу
методом перемещений, согласно нашему общему вариационному методу,
представим искомые перемещения плиты и основания в виде следующих.
452
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
конечных разложений:
и(х, у, z)=Ui(x, y)qi(z); v(x,y, г)=4Т(ж, у) q?i (z);
w(x,y,z) = Wi(x, y)ipi(z)+ Wz(x, y)tyi(z).
(XII.30)
Здесь Ui (x, y), Vi (x, y), Wi (x, y), Wz (x, y) — искомые функции двух
переменных; cpi(z), фх(г) и фа(г) — функции, зависящие только от одной
координаты г.
Эти функции в соответствии с условиями задачи выбраны следующим
образом:
приг<й <рх (г) ==	; фх (z) =	; ф2(г) = 1; 1
(XIL31)
при z>7i фх (г) = 0; фх(г)=О; ф2(г)=...... J- - . j
Из рис. 234, б и равенств (XII.31) нетрудно видеть, что функции q>i(z)
и ф1(г) характеризуют собой деформации плиты под нагрузкой на абсолют-
но жестком основании. При этом принимается, что поверхность основа-
ния идеально гладкая, т. е. между плитой и основанием не возникает
сил трения и сцепления (плита свободно скользит по основанию). Кроме
того, в 'отличие от обычного расчета тонкой плиты, здесь при помощи
функции фх(г) учитывается поперечное обжатие конструкции.
U-ф Функция ф2(г) позволяет учесть податливость основания и характери-
зует последнее как однослойную модель, которая работает как на нор-
мальные напряжения Zz (характерные для винклеровского основания),
так и на сдвигающие напряжения Xz, Yz.
Таким образом, предлагаемое решение носит, с точки зрения строгой
математической теории упругости, приближенный характер: рассматри-
ваемая система наделяется в направлении оси Oz конечным числом сте-
пеней свободы и, кроме того, не учитываются горизонтальные переме-
щения в основании.
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
453
Вместе с тем это решение позволяет существенно уточнить известный
расчет плиты на упругом винклеровском основании как в части работы
самой плиты, так и в части работы упругого основания.
Обобщенные условия равновесия элементарного столбика dx = 1,
dy = 1, выделенного из плиты и упругого основания, позволяют записать
для определения искомых функций Ui(x, у), Vi (х, у), Wi (х, у), Wz (х, у)
систему дифференциальных уравнений (XI.5), полученную при рассмот-
рении пространственной работы упругого основания. При этом интегралы,
входящие в выражения (XI.5), должны вычисляться по всей высоте эле-
ментарного столбика в пределах от 0 до (7?+Я).
Отметим, что упругие постоянные среды по высоте столбика в данном
случае не остаются постоянными: на участке 0<^z<^/i они определяются
величинами Е и v; на участке h<yz<yH ~yh— величинами Ео и то. Это об-
стоятельство необходимо учесть при определении напряжений (XI.6),
входящих в подинтегральные выражения уравнений (XI.5).
Дифференциальные уравнения (XI.5) получены нами в предположе-
нии, что на рассматриваемую систему действует статическая внешняя на-
грузка, проекции которой на координатные оси составляют р, g, q.
Работа этих сил на единичных перемещениях, определяемых разло-
жениями (XII.30), может быть представлена в виде
Pi = \PTirfz; gi = \gcpicZz; )
J	J I	(XII.32)
gi = \ q2 = \ g4>2rfz. I
Если рассматривается динамическая задача, то, кроме заданных внеш-
них сил р, g, q, необходимо учесть инерционные силы, возникающие вслед-
ствие упругих колебаний системы. Эти силы могут быть представлены
в виде
д2и	d2v	d2w
~mdi* ’ ~mdi?’ т dt? ’
(XII.33)
где т — плотность среды.
Естественно, что искомые функции Ui, Vi, Wi, Wz должны рассмат-
риваться при этом как функции трех переменных:
U\ = U\{x, у, t); Vi = Vi (х, у, t);
Wi = Wi (x, у, ty W2 = W2(x, y, t).
Работа инерционных сил на возможных единичных перемещениях опи-
сываемой системы определится в форме
~т^г\ ^idz’
— т <p2dz;
d2Wi С „ j	д2ТУ2 С । . ?
(XII.34)
— т \	— т ^dz.
454
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Внося в уравнения (XI.5) выражения для нормальных и касательных
напряжений и присоединяя к полученным зависимостям формулы (XII.34),
получим дифференциальные уравнения колебаний плиты на упругом
основании:
d2Ui ,	1 —vdatfi , 1— v ТТ 1 —v2 d2Ui .
О'11 Эх2 + ап 2	С11 2 и 1	Я11 Е m dt2 "Г
l+v52Pi	1— v dWi 1—vdW2 . 1 — v2
ai1 ~~2~ dxdy ~ C11~2	dx C12 ~2 di~ "1	E~~ P1 ~ U’
l+vd2Ui ,	1 — v d2Vi . d2Vi , 1—vTZ
ai1 2 dxdy '	2 dx2 ' dy2 11 2	1
1—v2 52F1 x—vdWi i — vdW2 , 1 —v2 A
6111 E m dt2 C11 2 dy C12 2 dy E ~
/1—v j \dUi . /1—v	, \3Pi .
(-2-Cn-Wu)	+ (-2- Си-vdn)-^ -f
1—v d2W1	TJ7 1 — v2 d2Wi .
+ ~2~ Г11 ~dy^ ~ S11W1 ~ Гп ~~E~ m ~dfi- -F
1—v &W
~+
1 — v	d2Wi .
~2~r™~d& +
1—v d2W2 MZ 1 —v2 d2W2 . 1—v2	n
12	S12^2 ~r'2 ~E~m ~d^~ + —E-vi = °;
XII .35)
Г E	E , IdEt . Г E	E , -)dVi .
L2(l + v) 12	1 — v2®12] dx + L2(l + v) C12	1 — v2<Z12 |ax +
E „ Wi , E _ а2Ж, E n TJZ
2 (1 + v) Г12 dx2 "T" 2(1 + v) Г12 dy2 i—v2S12lV1
d2Wi[ E	Eo iaw2 . Г E
'Г12ТП dt2 L2(14-v) Г22+ 2 (1 + v0)r22J dx2 +[ 2(1 +V)' Г22+
e0 „ i aw2 Eo . Tlz .	,	„ 4 dW2 ,
2(1 +^j r22 j -dyT - rz^r^2 - (mr22 +	^72-4
+ ?2 + 9° = o.
Здесь E, v, m — соответственно модуль упругости, коэффициент Пуас-
сона и плотность материала плиты: Ео, vn, m0 — модуль деформации,
коэффициент Пуассона и плотность материала основания.
Коэффициенты уравнений (XII.35) вычисляются по формулам
(XI.8) и имеют вид
an = jj<p2dz=^;
tu = (p'12dz= h‘,
du = dz= 0;
di2 = 4>i^'2dz =0;
=\^dz =^T-
S12
^2 = ^22dz== i’
C11 =	= — 4 ’ I
cia = Ф^Фа dz— —h;
ru^\^dz=
ria = ^4iip2dz == 4;
h
rZ2 ==	Л;
0
h+H
Г°22= \	4--
h
(XII.36)
Таблица 94
	Vi	Wi
„	1 — V „	6(1 — v) р2 _1_	D2 	—			 UxX 2 У	h2 1 - V2 n2 - E mDt	1_+^O2 2 ху	3(l-v)n k2 x
L+^p2 2 w		3(l-v) n h2 ' y
— Dx	~Dv	2	„	2	„	4 3 Dx + з Dv (1 — v) h2
-Dx	~Dv	2-«5+го;-Ф»1’г
W2
б(1-у)п
Л2 х
6 (1 - v) D
У

Eo 1 + v 1
~ 2 E 1 _ v2 Hh ~
1 о
2d+v) I , Я\П2
E Г+ т°2Л/ t
Правая часть
12 (1 — v2)
h2E P1
12 (1 —v2)
h3E 81
4 (1 + v)
hE 91

Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
СП
456 Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Грузовые члены представляют собой работу заданной нагрузки на
соответствующих единичных перемещениях и определяются по формулам:
h	h	h	h
Pi = ^P4>idz; qi=^q^idz', gT= [gq^dz; q2 = \qty2dz;
0	0	0	0
h+H
q°2 = J	dz.
h
Внося значения коэффициентов (XII.36) в (XII.35), получим в оконча-
тельном виде систему четырех дифференциальных уравнений относительно
четырех искомых функций Ui,	|у2. Эта система приведена в
табл. 94.
Дифференциальными уравнениями в частных производных (табл. 94)
полностью решается сложная динамическая задача о колебаниях тол-
стой плиты на упругом однослойном основании.
30 в. 3. Власов,
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ ФЦ») ch % sin
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,1	0,01001	0,02002	0,03004	0,04003	0,05004	0,06003	0,07002	0,08000	0,09000
0,2	0,02040	0,04080	0,06116	0,08151	0,10183	0,12211	0,14234	0,16252	0,18290
0,3	0,03136	0,06268	0,09395	0,12514	0,15621	0,18715	0,21791	0,24848	0,27883
0,4	0,04323	0,08639	0,12941	0,17224	0,21478	0,25697	0,29876	0,34007	0,38083
0,5	0,05636	0,11257	0,16851	0,22403	0,27897	0,33323	0,38666	0,43912	0,49048
0,6	0,07108	0,14191	0,21223	0,28179	0,35033	0,41760	0,48339	0,54695	0,60950
0,7	0,08779	0,17515	0,26165	0,34688	0,43040	0,51181	0,59072	0,66673	0,73947
0,8	0,10687	0,21308	0,31791	0,42071	0,52082	0,61760	0,71043	0,79871	о’88187
0,9	0,12881	0,25657	0,38225	0,50483	0,62335	0,73681	0,83570	0,94495	1*03797
1,0	0,15405	0,30656	0,45602	0,60091	0,73980	0,87128	0,99408	1,10694	t20874
1,1	0,18317	0,36412	0,54067	0,71069	0,87212	1,02300	1,16152	1,28600	1,39493
1,2	0,21675	0,43039	0,63784	0,83659	1,02237	1,19931	1,34829	1,48327	1,59693
1 ,з	0,25549	0,50668	0,74932	0,97930	1,19277	1,38610	1,55603	1,69971	1,81472
1,4	0,30014	0,59442	0,87075	1,14254	1,38565	1,60165	1,78632 	1,93602	2,04785
1,5	0,35194	0,69518	1,02323	1,32826	1,60350	1,84271	2,04053	2,19254	2,29536
1,6	0,41064	0,81079	1,19022	1,53926	1,84897	2,11143	2,31998	2,46926	2,55545
1,7	0,47849	0,94322	1,38073	1,87852	2,12486	2,41004	2,62573	2,76570	2,82597
1,8	0,55633	1,09467	1,59767	2,04900	2,43417	2,74066	2,95859	3,08093	3,10371
1,9	0,64547	1,26770	1,84431	2,35454	2,78005	3,10545	3,31913	3,41332	3,38468
2,0	0,74744	1,46508	2,12429	2,69885	3,16578	3,50652	3,70746	3,76058	3,66382
2,1	0,86392	1,68988	2,44158	3,08602	3,59486	3,94576	4,12326	4,11961	з'93498
2,2	0,99685	1,94566	2,80068	3,52067	4,07133	4,25502	4,56576	4,48637	4,18941
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
Продолжение
	0,1	0,2	0,3	0,i	0,5	0,0	0,7	0,8	0,9
2,3	1,14838	2,23627	3,20639	4,00761	4,59777	4,94579	5,03384	4,85578	4,42248
2,4	1,32089	2,56609	3,66414	4,55220	5,17930	5,50949	5,52383	5,22139	4,61994
2,5	1,51713	2,94000	4,18001	5,16013	5,81941	6,11689	6,03410	5,57608	4,77235
2,6	1,74018	3,36339	4,76051	5,83759	6,52235	6,76860	6,55992	5,91023	4,86326
2,7	1,99340	3,84241	5,41296	6,59130	7,29201	7,46443	7,09596	6,21329	4,88047
2,8	2,28072	4,38377	6,14531	7,42828	8,13265	8,20354	7,63550 '	6,42419	4,80581
2,9	2,60631	4,99497	7,01212	8,35625	9,04813	8,98442	8,17040	6,67944	4,62027
3,0	2,97519	5,68460	7,88630	9,38346	10,04239	9,80439	8,69050	6,80030	4,30279
3,1	3,39272	6,46204	8,91522	10,51849	11,11905	10,65962	9,18402	6,83272	3,83013
3,2	3,86501	7,33759	10,06510	11,77086	12,28137	11,54515	9,63667	6,74979	3,17757
3,3	4,39876	8,32296	11,34891	13,15014	13,53227	12,45403	10,03188	6,52702	2,31789
3,4	5,01693	9,43106	12,78058	14,66666	14,87365	13,37783	10,35018	6,13763	1,22240
3,5	5,68282	10,67654	14,37560	16,33169	16,30749	14,30582	10,56948	5,55173	0,13938
3,6	6,45104	12,07508	16,14931	18,15639	17,83390	15,22488	10,66408	4,73605	—1,79923
3,7	7,31775	13,64494	18,12539	20,15263	19,45247	16,11940	10,60448	3,65462	—3,79000
3,8	8,29413	15,40548	20,31858	22,33293	21,15715	16,96991	10,35775	2,26793	—6,14546
3,9	9,39500	17,37900	22,75298	24,70987	22,95586	17,75412	9,88627	0,53352	—8,89930
4,0	10,62437	19,58983	25,45236	27,29649	24,83137	18,44562	9,14798	—1,59398	—12,08444
4,1	12,02942	22,06496	28,44287	30,10630	26,77913	19,01332	8,09597	—4,16372	-15,73292
4,2	13,59906	24,83423	31,75283	33,15189	28,78862	19,42109	6,67780	—7,22624	— 19,87432
4,3	15,36444	27,93147	35,41337	36,44720	30,84535	19,62729	4,83596	-10,83586	—24,53475
4,4	17,34920	31,39345	39,45749	40,00451	32,93147	19,58455	2,50703	-15,04787	—29,73649
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Продолжение
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
4,5	19,57979	35,26091	43,92118	43,83700	35,02414	19,23813	—0,37857	—19,91965	-35,49498
4,6	22,08526	39,57886	48,84427	47,95529	37,09697	18,52585	—3,89670	—25,50886	—41,81798
4,7	24,89904	44,39814	54,26891	52,37107	39,11529	17,37749	—8,12907	—31,87302	—48,70458
4,8	28,05744	49,77343	60,24044	57,09250	41,04049	15,71358	—13,16533	—39,06824	—56,14161
4,9	31,60168	55,76609	66,80650	62,12564	42,82406	13,41497	—19,10081	—47,14769	—64,06083
5,0	35,57848	62,44545	74,02368	67,47911	44,41243	10,47251	—26,03137	—56,16209	—72,54245
5,1	40,03759	69,88495	81,94593	73,15075	45,73757	6,68414	—34,07026	—66,15413	—81,40054
5,2	45,03665	78,16697	90,63344	79,13952	46,72434	1,95689	—43,32810	—77,15816	—99,59175
5,3	50,63939	87,38509	100,15287	85,43977	47,28367	—3,84656	—53,92099	—89,20018	—100,00462
5,4	56,91811	97,63780	110,57152	92,03831	47,31330	—10,87681	—65,97160	—102,29185	—109,50210
5,5	63,95008	109,03777	121,96506	98,91837	46,69534	—19,30040	—79,60328	—116,42637	—118,91003
5,6	71,82488	121,70706	134,40917	106,05187	45,29569	—29,29840	—94,94125	-131,58047	—128,02296
5,7	80,63981	135,78146	147,99033	113,40351	42,95968	—41,06783	—112,11090	—147,70341	—136,59289
5,8	90,50621	151,41070	162,79293	120,92873	39,51245	—54,82858	—131,20694	—164,65584	-144,32736
5,9	101,54688	168,75991	178,90985	128,56898	34,75548	—70,80867	—152,43166	-182,51462	-150,88572
6,0	113,86041	188,00704	196,44078	136,25085	28,46611	—89,26320	—175,81132	-200,94105	—155,87778
6,1	127,70991	209,35357	215,70485	143,88794	20,38918	—110,46182	-201,46854	—219,80676	—158,85069
6,2	143,15404	233,01706	236,14356	151,36574	10,24429	—134,69104	—229,48896	—238,86109	—159,31874
6,3	160,41509	259,24161	258,53366	158,56081	—2,28993	—162,26119	—259,93321	—257,80393	—156,69565
6,4	179,72337	288,30975	282,78142	165,32624	—17,56606	—193,50657	—292 ,.85399	—276,28706	—150,36333
6,5	201,26899	320,45266	308,94568	171,44064	—35,98424	—228,73275	—328,19493	—292,81035	—139,60024
6,6	225,35119	356,05136	337,20348	176,72456	-57,98074	—268,33229	—365,98986	—309,91302	—123,67632
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
а
ТАБЛИЦА ФУНКЦИИ Ф2(г) = ch scos^
\ г	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1	1 1,00495 1,01987 1,04487 1,08020 1,12622 1,18334 1,25209 1,33315 1,42730 1,53536 1,65844 1,79764 1,95427 2,12986 2,32599 2,54455 2,78754 3,05725 3,35621 3,68722 4 05326	1 1,00480	1 1,00460	1 1,00419	1 1,00381	1 1,00320	1 1,00253	1 1,00179	1 1,00092
		1,01925	1,01823	1,01681	1,01500	1,01273	1,01010	1,00704	1,00359
		1,04346	1,04111	1,03782	1,03360	1,02845	1,02237	1,01538	1,00747
		1’07761 1,12199	1,07330 1,11497	1,06726 1,10516	1,05952 1,09257	1,05009 1,07727	1,03897 1,05926	1,02619 1,03861	1,01177 1,01537
		1,16509	1,16631	1,15149	1,13253	1,10948	1,08244	1,05150	1,01679
		lj24289	1,22759	1,20629	1,17907	1,14608	1,10747	1,06345	1,01421
		1,32035	1,31247	1,26954	1,23185	1,18629	1,13315	1,07275	1,00550
		1,40993	1,38117	1,34123	1,29043	1,22918	1,15798	1,07741	0,98811
		1,51233	1,47417	1,42127	1,35418	1,27356	1,18021	1,07508	0,95919
		1,62831	1,57849	1,50959	1,42245	1,31811	1,19785	1,06310	0,91600
		1,75876	1,69460	1,60692	1,49441	1,36127	1,20854	1,03844	0,85342
		1’90467	1,82291	1,71039	1,56900	1,40114	1,20965	0,99771	0,76895
1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2		2,06714	1,96396	1,82237	1,64509	1,43564	1,19809	0,93710	0,65779
		2,24735	2,11823	1,94154	1,72109	1,46228	1,17049	0,85242	0,51520
		2,44663	2,28618	2,06738	1,79574	1,47822	1,12295	0,73901	0,33615
		2*66640	2,46339	2,19922	1,86663	1,48026	1,05117	0,59180	0,11537
		2,90828	2,66531	2,33592	1,93163	1,46464	0,95033	0,40528	—0,15283
		3,17391	2,87739	2,47731	1,98802	1,42721	0,81506	0,17352	—0,47421
		3,46521	3,10509 '	2,62116	2,03272	1,36327	0,63946	—0,10986	—0,85477
		3,78413	3,34873	2,76616	2,06208	1,26741	0,41704	—0,45169	—1,30053
	4,45782	4,13282	3,60860	2,91044	2,07200	1,13366	0,14065	—0,85913	—1,81748
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
П родолжение
\ Т z	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
2,3	4,90460	4,51360	3,88496	3,05165	2,05765	0,95526	—0,19741	—1,33970	—2,41147
2,4	5,39769	4,92896	4,17777	3,18702	2,01362	0,72474	—0,60565	—1,90131	—3,08800
2,5	5,94163	5,38157	4,48693	3,31327	1,93363	0,43380	—1,09308	—2,55195	—3,85212
2,6	6,54150	5,87428	4,81216	3,42661	1,81071	0,07311	—1,66944	—3,29976	—4,70825
2,7	7,20271	6,41007	5,15296	3,52247	1,63676	—0,36755	—2,34525	—4,15301	—5,65980
2,8	7,93137	6,99221	5,50837	3,59555	1,32019	—0,89947	—3,13150	—5,11966	—6,70906
2,9	8,73395	7,62398	5,87735	3,63982	1,09831	—1,53490	—4,03986	—6,20758	—7,85677
3,0	9,61804	8,30924	6,25816	3,64812	0,71219	—2,28737	—5,08266	—7,42379	—9,10187
3,1	10,59134	9,05157	6,64877	3,61226	0,23122	—3,17174	—6,27241	—8,77497	—10,44120
3,2	11,66298	9,85512	7,04664	3,52283	—0,35877	—4,20388	—7,62215	—10,26660	—11,86866
3,3	12,84227	10,72392	7,44833	3,36898	—1,07390	—5,40113	—9,14532	—11,90262	—13,37535
3,4	14,14006	11,66257	7,84989	3,01361	—1,93244	—6,78213	—10,85519	—13,68545	—14,94879
3,5	15,56801	12,67556	8,24614	2,65115	—2,95411	—8,36662	—12,76488	—15,61524	—16,57216
3,6	17,13893	13,76773	8,63136	2,38835	—4,16066	—10,17641	—14,88737	—17,68978	—18,22415
3,7	18,86664	14,94367	8,99814	1,83480	—5,57684	—12,23368	—17,23481	—19,90333	—19,87783
3,8	20,76649	16,20671	9,33806	1,13531	—7,22934	—14,56266	—19,81351	—22,24639	—21,50063
3,9	22,85577	17,56755	9,64113	0,26688	—9,14765	-17,18823	—22,64746	—24,70567	—23,05322
4,0	25,15252	19,02592	9,89541	—0,79740	—11,36432	—20,13682	—25,73036	—27,26153	—24,48893
4,1	27,67724	20,58833	10,08684	—2,08684	—13,91437	—23,43566	—29,07209	—29,83992	—25,75306
4,2	30,45215	22,26023	10,19930	—3,63489	—16,83708	—27,11242	—32,67531	—32,55825	—26,78225
4,3	33,50162	24,04677	10,21372	—5,47874	—20,17387	—31,19586	—36,53787	—35,22798	—27,50393
4,4	36,85189	25,95212	10,10876	—7,66079	—23,97053	—35,71425	—40,65418	—37,84981	—27,83514
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
П родолжение
\ Т		0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Z	0,1								
4,5	40,53296	27,98123	9,85854	—10,22721	—28,27652	—40,69591	—45,01232	—40,36686	—27,68368
4,6	44,07849	30,13784	9,43405	—13,23076	—33,14555	—46,16886	—49,59446	—42,70945	—26,94506
4,7	49,01685	32,42555	8,80110	—16,72984	—38,63368	—52,15940	—54,37392	—44,79618	—25,50435
4,8	53,89291	34,84668	7,92423	—20,78880	—44,80331	—58,69229	—59,31568	—46,53374	—23,23436
4,9	59,24635	37,40256	6,75706	—25,47916	—51,71910	—65,78787	—64,37441	—47,81111	—19,99656
5,0	65,12517	40,09564	5,24962	—30,88247	—59,45236	—73,42258	—69,49465	—48,50659	—15,64346
5,1	71,57690	42,92367	3,34535	—37,08509	—68,07572	—81,74089	—74,60239	—48,47601	—10,01227
5,2	78,65823	45,88321	0,97890	—44,09400	—77,66750	—90,61803	—79,61266	—47,56003	—2,93489
5,3	86,48845	48,97055	—1,92328	—52,29021	—88,30866	—100,09677	—84,42003	—45,57876	5,76784
5,4	94,95319	52,17881	—5,44449	—61,51903	—100,08549	—110,16965	—88,90203	—42,33377	16,28256
5,5	104,30412	55,49706	—9,68017	—72,00180	—113,08626	—120,81621	—92,91108	—37,60121	27,57979
5,6	114,56230	58,91049	—14,73709	—83,88201	—127,40232	—132,00234	—96,27717	—31,14003	43,50350
5,7	125,80964	62,40242	—20,73416	—97,31680	—143,12770	—143,68061	—98,80368	—22,68429	60,60800
5,8	138,14248	65,95152	—27,81148	—112,47794	—160,35530	—155,78391	—100,26170	—11,94539	80,27839
5,9	151,66325	69,52556	—36,11890	—129,55094	—179,17998	—168,22513	—100,38970	1,38898	102,69858
6,0	166,48399	73,09368	—45,82979	—148,74309	—199,69647	—180,89052	—98,89312	17,65012	128,02690
6,1	182,72458	76,60990	—57,13919	—170,27840	—221,99593	—193,63923	—95,43634	37,19141	156,40324
6,2	200,52012	80,92277	—70,26384	—194,39276	—246,16366	—206,29763	—89,64128	60,38418	187,93280
6,3	220,01596	83,27077	—85,44634	—221,35561	—272,27598	—218,65997	—81,08703	87,61647	222,68165
6,4	241,38666	86,28648	—102,96777	—251,46525	—300,42874	—230,48348	—69,30725	119,29996	260,68616
6,5	264,75357	88,96289	—123,11134	—284,97725	—330,61937	—241,42368	—53,77017	155,81643	301,85193
6,6	290,35946	91,18137	—146,24010	—322,27367	—362,94656	—251,17514	—33,91000	197,60130	346,11653
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ Ф3 (z) sh z cos 42
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,0	»	0	0	0	0	0	0	0	0
0,1	0,10019	0,10018	0,10015	0,10012	0,10007	0,10002	0,09995	0,09988	0,09979
0,2	0,20130	0,20118	0,20098	0,20070	0,20033	0,19989	0,19937	0,19877	0,19809
0,3	0,30438	0,30397	0,30329	0,30233	0,30110	0,29960	0,29783	0,29579	0,29349
0,4	0,41042	0,40943	0,40780	0,40550	0,40256	0,39898	0,39475	0,38990	0,38443
0,5	0,52045	0,51849	0,51525	0,51071	0,50490	0,49782	0,48950	0,47996	0,46922
0,6	0,63550	0,63207	0,62636	0,61840	0,60822	0,59584	0,58132	0,56470	0,54606
0,7	0,75672	0,75116	0,74191	0,72904	0,71259	0,69265	0,66932	0,64271	0,61295
0,8	0,88527	0,87677	0,87154	0,84333	0,81800	0, 78774	0,75246	0,71235	0,66769
0,9	1,02236	1,00993	0,98933	0,96072	0,92433	0,88046	0,82946	0,77175	0,70778
1,0	1,16933	1,16353	1,12271	1,08243	1,03133	0,96994	0,89884	0,81877	0,73052
1,1	1,32758	1,30346	1,26358	1,20843	1,13867	1,05515	0,95888	0,85101	0,73326
1,2	1,49861	1,46620	1,41270	1,33887	1,24582	1,13483	1,00750	0,86570	0,71145
1,3	1,68404	1,64131	1,57085	1,47389	1,35205	1,20739	1,04238	0,85975	0,66262
1,4	1,88568	1,83015	1,73880	1,61344	1,45648	1,27104	1,06073	0,82966	0,58237
1,5	2,10537	2,03419	1,91731	1,75738	1,55795	1,32858	1,05947	0,77157	0,46633
1,6	2,34721	2,25688	2,10888	1,90705	1,65648	1,36358	1,03586	0,68170	0,31008
1,7	2,60748	2,49417	2,30895	2,05716	1,74606	1,38464	0,98327	0,55357	0,10791
1,8	2,89286	2,75358	2,52353	2,21195	1,82888	1,38673	0,89977	0,38372	—0,14470
1,9	2,20933	2,03501	2,75146	2,35889	1,90102	1,36475	0,77939	0,16592	—0,45346
2,0	2,55458	3,34055	2,99339	2,52687	1,95959	1,31423	0,61646	—0,10590	—0,82402
2,1	3,93350	3,67232	3,24978	2,68443	2,00116	1,22996	0,40472	—0,43834	—1,26210
2,2	4,34969	4,03257	3,52107	2,83985	2,02174	1,10616	0,13723	—0,83829	—1,77339
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом, основании
	0,1	0,2	0,3	0,4
2,3	4,80697	4,42376	3,80763	2,99091
2,4	5,30957	4,84849	4,10957	3,13499
2,5	5,86210	5,30953	4,42687	3,26892
2,6	6,46972	5,80982	4,75935	3,38901
2,7	7,13793	6,35242	5,10662	3,49079
2,8	7,87293	6,94069	5,46778	3,56906
2,9	8,68123	7,57796	5,84188	3,61784
3,0	9,57047	8,26815	6,22721	3,63007
3,1	10,54843	9,01490	6,62183	3,59763
3,2	11,62428	9,82242	7,02326	3,51114
3,3	12,80738	10,69479	7,42810	3,35983
3,4	14,10859	11,63661	7,83242	3,13135
3,5	15,53965	12,65246	8,23112	2,81175
3,6	17,11336	13,74719	8,61848	2,38479
3,7	18,84359	14,92543	8,98715	1,83256
3,8	20,74572	16,19250	9,32871	1,13417
3,9	22,83704	17,55315	9,63323	0,26665
4,0	25,13565	19,01316	9,88877	—0,79686
4,1	27,66204	20,57702	10,08130	—2,08569
4,2	30,43847	22,25023	10,19471	—3,63325
4,3	33,48928	24,03792	10,20996	—5,47673
4,4	36,84079	25,94430	10,10571	—7,65848
Продолжение
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
2,01670	0,93624	—0,19348	—1,31303	—2,36347
1,98074	0,71290	—0,59576	—1,87027	—3,03758
1,90775	0,42799	—1,07845	—2,51779	—3,80055
1,79084	0,07230	—1,65112	—3,26355	—4,65659
1,62204	—0,36424	—2,32416	—4,11566	—5,60891
1,39238	—0,81092	—3,10842	—5,08194	—6,65962
1,09168	—1,52563	—4,01547	—6,17010	—7,80934
0,70866	—2,27606	—5,05752	—7,38707	—9,05686
0,23028	—3,15889	—6,24701	—8,73943	—10,39890
—0,35758	—4,18993	—7,59685	—10,23253	—11,82927
—1,07112	—5,36645	—9,12047	—11,87028	—13,33901
—1,92814	—6,76704	—10,83103	—13,65499	-14,91552
—2,94872	—8,35155	—12,74163	—15,58680	—16,54197
—4,15446	—10,16123	—14,86516	—17,66339	—18,19696
—5,57003	—12,21873	—17,21375	—19,87902	—19,85355
—7,22211	—14,54809	-19,79852	—22,22414	—21,47912
—9,14015	—17,17414	—22,62890	—24,68542	—23,03433
—11,35670	—20,12331	—25,71311	—27,24325	—24,47251
—13,90673	—23,42279	—29,05613	—29,87351	—25,73892
—16,82951	—27,10023	—32,66062	—32,54361	—26,77021
—20,16644	—31,18438	—36,52442	—35,21501	—27,49380
—23,96331	—35,70350	—40,64193	—37,83841	—27,82675
464 Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Продолжение
г	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
4,5	40,52296	27,97432	9,85611	—10,22468	-28,26954	—40,68587	—45,00121	—40,35690	—27,67685
4,6	44,56695	30,13175	9,43215	—13,22809	—33,13885	—46,15954	—49,58444	—42,70082	—26,93962
4,7	49,00875	32,42019	8,80054	—16,72708	—38,62729	—52,15078	—54,46493	—44,78877	—25,50014
4,8	53,88572	34,84139	7,92303	—20,78564	—44,79654	—58,68340	—59,30666	—46,52672	—23,23084
4,9	59,24067	37,39897	6,75641	—25,47672	—51,71414	—65,78156	—64,36824	—47,80653	—19,99464
5,0	65,11925	40,09199	5,24913	—30,87966	-59,44716	—73,46043	—69,48834	—48,50219	—15,64204
5,1	71,57158	42,92048	3,34510	—37,08234	—68,07066	—81,73482	—74,59685	—48,47241	—10,01152
5,2	78,65344	45,88042	0,97884	-44,18195	—77,66282	—90,61251	—79,60781	—47,55714	—2,93471
5,3	86,42415	48,96811	—1,92318	—52,28761	—88,30426	—100,09179	—84,41582	—45,57649	5,76755
5,4	94,94931	52,17668	—5,44427	—61,51652	—100,08141	—110,16516	—88,89840	—42,33204	16,28189
5,5	104,30064	55,49520.	—9,67985	—71,99940	—113,08248	—120,82217	—92,90797	—37,59996	28,79731
5,6	114,55917	58,90888	—14,73790	—83,87971	—127,33884	—131,99873	—96,27454	—31,13917	43,50831
5,7	125,80683	62,40132	—20,73369	—97,31462	—143,12450	—143,67740	—98,80147	—22,68378	60,60664
5,8	138,13992	65,95031	—27,81097	—112,47588	—160,35236	-155,78106	—100,25986	—11,94517	80,27692
5,9	151,66098	69,52451	—36,11836	—129,54900	—179,17729	—168,22260	—100,38820	—1,38896	102,69704
6,0	166,48194	73,09278	—45,82923	—148,74127	—199,69451	—180,88829	—98,89189	17,64990	128,02532
6,1	182,72274	76,60912	—57,13861	—170,27668	—221,99369	—193,63728	—95,43537	37,71910	156,40166
6,2	200,51847	80,02212	—70,26326	—194,39116	—246,15164	—206,29593	—89,64054	60,38368	187,93125
6,3	220,01447	83,27021	—85,44577	—221,35412	—272,27414	—218,65849	—81,08648	87,61488	222,68014
6,4	241,36929	86,28027	—102,96036	—251,44715	—300,40710	—230,46689	—69,30226	119,29138	260,66739
6,5	264,75237	88,96249	—123,11078	—284,97596	-330,61787	—241,42258	—53,76993	155,81572	301,85056
6,6	290,35838	91,21779	—146,23956	—322,27248	—362,94522	—251,17421	—33,90988	197,60057	346,11525
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании 465
таблица функций ф4 (S) = sh я sin у
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,1	0,00100	0,00200	0,00301	0,00401	0,00501	0,00601	0,00701	0,00801	0,00901
0,2	0,00403	0,00805	0,01207	0,01609	0,02010	0,02410	0,02809	0,03208	0,03601
о,з	0,00913	0,01826	0,02737	0,03645	0,04551	0,05452	0,06348	0,07238	0,08122
0,4	0,01643	0,03282	0,04917	0,06544	0,08160	0,09763	0,11351	0,12921	0,14469
0,5	0,02604	0,05202	0,07787	0,10353	0,12892	0,15399	0,17868	0,20293	0,22666
0,6	0,03817	0,07621	0,11398	0,15133	0,18814	0,22427	0,25960	0,29399	0,32733
0,7	0,05305	0,10586	0,15813	0,20964	0,26012	0,30932	0,35701	0,40295	0,44691
0,8	0,07097	0,14149	0,21110	0,27937	0,34585	0,41011	0,47175	0,53038	0,58560
0,9	0,09226	0,18378	0,27380	0,36161	0,44650	0,62777	0,60476	0,67687	0,74350
1,0	0,11732	0,23348	0,34729	0,45765	0,56343	0,66356	0,75709	0,84304	0,92057
1,1	0,14663	0,29148	0,43280	0,56891	0,69813	0,81891	0,92980	1,02944	1,11664
1,2	0,18070	0,35880	0,53174	0,69704	0,85230	0,99531	1,12400	1,23653	1,33128
1,3	0,22016	0,43662	0,64571	0,84389	1,02784	1,19444	1,34087	1,46468	1,56378
1,4	0,26573	0,52627	0,77650	1,01154	1,22679	1,41802	1,58152	1,71406	1,81306
1,5	0,31820	0,62904	0,92617	1,20228	1,45140	1,66793	1,84698	1,98457	2,07764
1,6	0,37879	0,74791	1,09791	1,41988	1,70557	1,94768	2,14005	2,27776	2,35726
1,7	0,44759	0,88229	1,29154	1,66355	1,98761	2,25437	2,45612	2,58706	2,64343
1,8	0,52674	1,03635	1,51269	1,94001	2,30469	2,59488	2,80121	2,91704	2,93861
1,9	0,61722	1,21222	1,76360	2,25150	2,65839	2,96955	3,17387	3,26394	3,23656
2,0	0,72055	1,41237	2,04787	2,60176	3,05189	3,38038	3,57409	3,62530	3,53202
2,1	0,83840	1,63995	2,36944	2,99484	3,48864	3,82917	4,00143	3,99789	3,81872
2,2	0,97267	1,89846	2,73274	3,43527	3,97258	4,31769	4,45501	4,37755	4,08779
466 Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
Продолжение
\л z \	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
2,3	1,12552	2,19176	3,14257	3,92784	4,50626	4,84735	4,93316	4,75913	4,33445
2,4	1,29982	2,46953	3,60432	4,47788	5,09474	5,41955	5,43365	5,13634	4,54451
2,5	1,49683	2,90065	4,12406	5,09106	5,74152	6,03501	5,95334	5,50145	4,70748
2,6	1,72108	3,32648	4,70827	5,77353	6,45077	6,69433	6,48793	5,84537	4,80989
2,7	1,97547	3,80785	5,36428	6,53202	7,22644	7,39730	7,03217	6,15742	4,83650
2,8	2,26392	4,35147	6,10003	7,37355	8,07273	8,14310	7,57925	6,42509	4,77040
2,9	2,59058	4,96482	6,92449	8,30580	8,99352	8,93019	8,13014	6,63368	4,59238
3,0	2,96048	5,65649	7,84730	9,33705	9,99272	9,75590	8,6475 2	6,76666	4,28144
3,1	3,37898	6,43586	8,87910	10,47588	11,07401	10,61644	9,14682	6,80504	3,81462
3,2	3,85219	7,31324	10,03170	11,73180	12,24061	11,50684	9,60469	6,72740	3,16703
3,3	4,38681	8,30034	11,31807	13,11441	13,49551	12,42019	10,00463	6,50928	2,31159
.3,4	5,00576	9,41007	12,75213	14,63403	14,84065	13,34805	10,32715	6,12397	1,21968
3,5	5,67247	10,65709	14,34941	16,30193	16,27778	14,27976	10,55023	5,54161	—0,13912
3,6	6,44142	12,05707	16,12704	18,12930	17,80729	15,20216	10,64817	4,72899	—1,79655
3,7	7,30881	13,62827	18,10325	20,12802	19,42871	16,09971	10,59152	3,65016	—3,78537
3,8	8,28613	15,39007	20,29826	22,31059	21,13598	16,95293	10,34739	2,26566	—6,13962
3,9	9,38731	17,36476	22,73933	24,68969	22,93704	17,73957	9,87817	0,53308	—8,89201
4,0	10,62724	19,57670	25,43530	27,27818	24,81472	18,43325	9,14185	—1,59291	—12,07633
4,1	12,02282	22,05284	28,42725	30,08977	26,76443	19,00288	8,09152	—4,16143	—15,72428
4,2	13,59295	24,82307	31,73856	33,13699	28,77568	19,41236	6,67480	—7,22317	—19,86539
4,3	15,35879	27,92118	35,40033	36,43378	30,83400	19,62006	4,83418	—10,83187	—24,52572
4,4	17,34398	31,38399	39,44560	39,99246	32,92155	19,57865	2,50627	—15,04334	—29,72753
Гл. XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании
Окончание
т 2			0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
4,5	19,57496	35,25221	43,91034	43,82618	35,01549	19,23339	— 0,37847	— 19,91473	— 35,48622
4,6	22,08080	39,57086	48,83440	47,94560	37,08947	18,52211	— 3,89591	— 25,50371	— 41,80953
4,7	24,89493	44,39080	54,25994	52,36241	39,10882	17,37461	— 8,127 7 2	— 31,86775	— 48,69652
4,8	28,05318	49,76587	60,23129	57,08332	41,03426	15,71119	— 13,16333	— 39,06232	— 56,13309
4,9	31,59865	55,76074	66,80009	62,11968	42,81995	13,44368	— 19,09696	— 47,14317	— 64,09497
5,0	35,57524	62,43977	74,01696	67,47298	44,40839	10,47156	— 26,02900	— 56,15699	— 72,61007
5,1	40,03462	69,87976	81,93984	73,14581	45,73417	6,68364	— 34,06773	— 66,14922	— 81,39449
5,2	45,03390	78,16221	90,62792	79,13470	46,72150	1,95677	— 43,32546	— 77,15346	— 90,58623
5,3	50,63687	87,38073	100,14788	85,43551	47,28131	— 3,84637	— 53,91831	— 89,19574	— 99,99963
5,4	56,91579	97,63381	110,59670	92,03456	47,31137	— 10,87637	— 65,96891	—102,28768	—109,49763
5,5	63,94794	109,03412	121,96098	98,91506	46,69378	— 19,29975	— 80,82406	—116,42247	—118,90605
5,6	71,82292	121,70374	134,40549	106,04897	45,29445	— 29,29760	— 94,93865	—131,57687	—128,01946
5,7	80,63800	135,77843	147,98702	113,40098	42,93872	— 41,06691	—112,10839	—147,70011	—136,60478
5,8	90,50455	151,40793	1-62,78995	120,92652	39,51172	— 54,82757	—131,19874	—164,71558	—144,32472
5,9	101,54536	168,75738	178,90717	128,56705	34,75496	— 70,82586	—152,42937	—182,51188	—150,88345
6,0	113,85901	188,00473	196,43836	136,24917	28,46576	— 89,26211	—175,80916	—200,93858	—155,87586
6,1	127,70862	209,35145	215,47974	143,88649	20,38897	—110,46070	—201,46650	—219,80454	—158,85600
6,2	143,15286	233,01514	236,14162	151,36449	10,24421	—134,68993	—229,48707	—238,85912	—159,34743
6,3	160,41400	259,23985	258,53191	158,55974	— 7,73562	—162,26010	—258,84232	—257,80219	— 156,69459
6,4	179,71043	288,28900	282,76107	165,31433	—17,56480	—193,49264	—292,83290	—276,26717	—150,35251
6,5	201,26807	320,45121	308,94428	171,43987	—35,98408	—228,73171	—328,19344	—293,80902	—139,59961
6,6	225,35036	356,05004	337,20224	176,72390	—57,98052	—268,33130	—365,98851	—309,91188	—123,67586
Техническая теория расчета конструкций на упругом основании
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию.......................................... 3
Предисловие ко второму изданию........................................  5
Часть первая
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК СМЕШАННЫМ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
БЕЗ УЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА
Глава I. Теория ортотропных призматических и цилиндрических оболочек
средней длины . . .,................................................	9
§ 1.	Основные гипотезы. Расчетная модель........................... —
§ 2.	Прямоугольная пластинка как элемент призматической оболочки . .	12
§ 3.	Геометрические свойства призматических оболочек, вытекающие из
гипотезы об отсутствии деформации сдвига..........................  20
§ 4.	Статически определимые складчатые системы..................... 25
§ 5.	Функциональные неизвестные. Основная система. Элементарные со-
стояния ........................................................... 31
§ 6.	Дифференциальные уравнения смешанного метода. Свойства коэффи-
циентов уравнений и методы их проверки............................. 46
§ 7.	Составление дифференциальных уравнений для оболочек со свобод-
ными продольными краями. Использование симметрии................... 56
§ 8.	Составление дифференциальных уравнений оболочек при иных видах
граничных условий на продольных краях. Метод фиктивных граней .	65
§ 9.	Расчет однопролетных оболочек с шарнирно закрепленными попереч-
ными краями. Интегрирование уравнений с помощью тригонометриче-
ских рядов......................................................... 71
§ 10.	Общий метод расчета оболочек. Применение балочных фундаменталь-
ных функций к интегрированию восьмичленных уравнений смешанного
метода............................................................. 76
§ 11.	Общая теория колебаний...................................... 90
Глава II. Приложение теории к расчету тонкостенных строительных конст-
рукций .............................................................. 105
§ 1.	Анализ работы складчатой оболочки в зависимости от условий, задан-
ных на поперечных краях............................................. —
§ 2.	Влияние формы поперечного сечения. Недостатки безмоментной теории 117
§ 3.	Анализ работы оболочки в зависимости от граничных условий, задан-
ных на продольных	краях..................................... 120
§ 4.	Расчет свода-оболочки, опертого по всему контуру. Анализ напря-
женного состояния................................................. 125
§ 5.	Анализ пространственной работы свода-оболочки покрытия трехпролет-
ного цеха......................................................... 135
§ 6.	Пример расчета складки	на колебания......................... 149
Часть вторая
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНА
С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА
Глава III. Теория расчета миогосвязных цилиндрических и призматичес-
ких оболочек......................................................... 160
§ 1.	Основные гипотезы. Выбор обобщенных координат перемещений . .	—
§ 2.	Основные дифференциальные уравнения вариационного метода . .	162
470
Оглавление
§ 3.	Граничные условия. Внутренние обобщенные силы. Продольные и
поперечные бимоменты. Обобщение элементарных задач сопротивле-
ния материалов.................................................... 169-
Глава IV. Приложение теории к расчету тонкостенных пространственных
систем.......................................................... 176
§ 1.	Призматические оболочки, имеющие в поперечном сечении форму одно-
пролетной рамы.................................................... —
§ 2.	Пространственные системы типа коробчатых оболочек с изменяемым
в поперечном сечениизамкнутымконтуром. Основные уравнения и методы
их интегрирования.................................................. 192
§ 3.	О принципе Сен-Венана в теории тонкостенных пространственных
систем............................................................. 206
§ 4.	Тонкостенные стержни-оболочки с жестким замкнутым контуром . .	211
§ 5.	Перекрытие типа сборной железобетонной двухслойной оболочки мно-
госвязного профиля................................................. 217
§ 6.	О принципе независимости действия сил в теории тонкостенных желе-
зобетонных сборно-монолитных пространственных конструкций . .	223
§ 7.	Облегченные подпорные стенки многосвязного профиля............ 226
§ 8.	Расчет водослива плотины облегченной конструкции............... 233
Глава V.* Устойчивость призматических оболочек......................... 240
§ 1.	Общая теория. Основные дифференциальные уравнения................ —
§ 2.	Пространственная устойчивость тонкостенных стержней-оболочек
с упругим закрытым профилем........................................ 245
§ 3.	Устойчивость стержня-оболочки при центральном сжатии........... 250
§ 4.	Устойчивость стержня-оболочки при чистом изгибе................ 250
§ 5.	Устойчивость стержня-оболочки при внецентренном сжатии и рас-
тяжении ........................................................... 251
§ 6.	Пространственная устойчивость тонкостенных стержней, колонн и
балок с жестким закрытым профилем.................................. 253
Глава VI. Прочность и устойчивость цилиндрических ортотропных оболочек 255
§ 1.	Дифференциальные уравнения цилиндрической оболочки средней
длины............................................................. .....
§ 2.	Приведение уравнений равновесия круговой цилиндрической оболоч-
ки к системе обыкновенных дифференциальных уравнений ....	258
§ 3.	Расчет ортотропных цилиндрических оболочек без учета деформаций
сдвига............................................................. 262
§ 4.	Примеры расчета. Анализ теоретических и экспериментальных дан-
ных ............................................................... 273
§ 5.	Цилиндрическая оболочка, подкрепленная продольными и попереч-
ными ребрами....................................................... 281
§ 6.	Дифференциальные уравнения равновесия стержня, подкрепляющего
оболочку........................................................... 285
§ 7.	Замкнутая цилиндрическая оболочка средней длины, усиленная
стрингерами типа тонкостенных стержней . .......................... 288
§ 8.	Дифференциальные уравнения пространственной устойчивости замкну-
той круговой цилиндрической оболочки, усиленной стрингерами 296
§ 9.	Оболочка под радиальным равномерно распределенным давлением 301
§ 10.	Интегрирование дифференциальных уравнений устойчивости . .	302
§ И.	Определение критической силы без учета деформации сдвига в обо-
лочке ...........................................................   307
Оглавление	471
Часть третья
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
Глава VII. Плоское напряженное состояние пластинок и тонкостенных балок 309
§ 1.	Два метода приведения бигармонического уравнения плоской задачи
к обыкновенным дифференциальным уравнениям......................... 309
§ 2.	Расчет балки с высокой стенкой............................... 314
§ 3.	Тонкостенная колонна под действием центрально приложенной сосре-
доточенной силы.................................................... 317
§ 4.	Метод определения начальных температурных напряжений......... 320
Глава VIII. Теория изгиба пластинок................................... 324
§ 1.	Основные дифференциальные уравнения теории изгиба пластинок 324
§ 2.	Изгиб ограниченной пластинки. Контурные условия. Математиче-
ская формулировка задачи........................................... 327
§ 3.	Приведение задачи об изгибе прямоугольной пластинки к обыкно-
венным дифференциальным 'уравнениям................................ 333
§ 4.	Выбор функций поперечного распределения прогиба. Метод Мориса
Леви и его обобщение . ,........................................... 340
§ 5.	Определение моментов и поперечных сил. Статические условия на
продольных краях................................................... 341
§ 6.	Выбор функций поперечного распределения прогиба статическим ме-
тодом. Обобщение на расчет тонкостенных пространственных систем 343
Глава IX. Практический метод расчета пластинок и призматических оболо-
чек, имеющих несмещаемые ребра........................................ 346
§ 1.	Постановка задачи............................................ 346
§ 2.	Функция распределения как линия прогибов. Основное дифференци-
альное уравнение................................................... 347
§ 3.	Обобщенные перемещения и обобщенные	силы..................... 349
§ 4.	Граничные условия на поперечных	краях....................... 350
§ 5.	Приведение основного дифференциального уравнения к безразмерным
координатам. Общий интеграл однородного уравнения.................. 351
§ 6.	Интегрирование неоднородного дифференциального уравнения при
помощи частных интегралов.......................................... 355
§ 7.	Интегрирование неоднородного дифференциального уравнения по
методу начальных параметров........................................ 356
§ 8,	Стесненное кручение и цилиндрический изгиб пластинок и пластин-
чатых систем....................................................... 366
§ 9.	Изгиб пластинок и оболочек с неподвижными ребрами и краями .	376
§ 10.	Бесконечная полоса, усиленная поперечной балкой и находящаяся
под действием сосредоточенной силы................................. 381
§ 11.	Многогранная призматическая оболочка под внутренним давлением 384
§ 12.	Расчет косоугольных пластинок на равномерно распределенную на-
грузку ............................................................ 388
§ 13.	Расчет трапециевидных пластинок............................  390
Глава X. Устойчивость и колебания прямоугольных и трапециевидных пла-
стинок ............................................................... 395
§ 1.	Дифференциальные	уравнения устойчивости пластинок........... 395
§ 2.	Устойчивость узких пластинок без учета деформации поперечного
сечения............................................................ 396
§ 3.	Устойчивость предварительно напряженной прямоугольной пла-
стинки ............................................................ 402
§ 4.	Устойчивость пластинок и тонкостенных стержней открытого профиля
с учетом деформации	контура................................... 406
S 5.	Основные	уравнения	колебаний	тонких	пластинок............... 408
§ 6. Свободные	колебания	трапециевидной	пластинки................. 410
Оглавление
Часть четвертая
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Глава XI. Теория и методы расчета балок на упругом основании........ 415
§ 1.	Приложение вариационного метода к теории упругого основания .	415
§ 2.	Однослойная модель упругого основания....................... 420
§ 3.	Основное уравнение теории изгиба балки на однослойном основании 425
§ 4.	Жесткая балка (плоский штамп)............................... 427
§ 5.	Бесконечно длинная балка.....................................429
§ 6.	Балка конечной длины......................................   431
§ 7.	Двухслойная модель упругого основания....................... 434
Глава XII. Теория и методы расчета плит на упругом основании.........438
§ 1.	Основное дифференциальное уравнение........................
§ 2.	Приведение двухмерной задачи к одномерной..................... —
§ 3.	Обобщенные внутренние силы. Граничные условия на поперечных
краях............................................................ 444
§ 4.	Выбор функций поперечного распределения прогиба. Решение для пли-
ты, имеющей свободные от закреплений продольные края............. 445
§ 5.	Пример расчета фундаментной плиты водосливной плотины ....	448
§ 6.	Общая теория толстых плит на упругом однослойном основании . .	451
Василий Захарович Власов
Избранные труды, том III
*
Утверждено к печати Отделением технических наук АН СССР
Редактор издательства В. В. Власов
Технический редактор Г. Н. Шевченко, Т. П. Поленова
Темнлан 1964 № 1162. Сдано в набор 2/tII 1964 г. Подписано к печати 30/V 1964 г.
Формат 70х 1081/,,. Печ. 291/!+7 вкл. Усл. печ. л. 40,4. Уч.-изд. л. 34,7-|-1 вкл.=35,7.
Тираж 2300 экз. Изд. № 2614. Тип. зак. № 255
Цена 2 р. 70 к.
Издательство «Наука», Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-ая типография Издательства «Наука», Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
Таблица 1
Таблица 3
\°-G ребер \	<5o(z)	<5, (z)	<52 (Z)	<53 (Z)	g4 (z)	<55 (Z)	Ga (z)	G3(z)	Свободные члены
0	(4" Л + Д^о) °2	1	0	0	0	0	1 did2 sin cpi	0	Rov
1	•	[4-(7Г1 + 7;’2)+ Дл] D2	1 ir"'^2	0	0	0	(ctS Ф1 + ct,g Ф2 + djsincpi + d3sin<p2 )	1 d2d3 sin <p2	Rip
2	•	•	[4-(^+^)+ Д^2] D2	1 ~TF^	0	0	1 t	2	1 If (CtS Ф‘ + CtS Ф*) + d2d3 Sin ф3 + dl (Ctg 4,2 + Ctg Фз)	d® (CtgCP2 C^g фз ' d2sin<p2 di sin <p3 )	R2P
3	•	•	•	Г 1	1 I 3 (^3 Ч-^) 4~ Д^3 I D2	1	0	rf2 (ctg Ф2 + Ct'S фз + dasintpa + disin<p3 )	1	2	1 d2 <ctS Ф2 + ctS Ф’) + dA sin фз + d2 (ctg фз + Ctg ф4)	R3P
4	•	•		•	[4~(^+^5)+ Д^] D2	1	1 d3dt sin <p3	1 /	di	di	\ - d2 (^Ф3 + CtS Ф4 + d3 Sin фз + d5 Sin Ф4 )	R№
5	•	•	•	«	•	(4-^+д °2	0	1 d4d5 sin ф4	R5P
2	•	•	•	•	•	•	о \ «/ 2	«/3 /	1 d3 -E- -f- D2 6 J3	Q2P
3	-	•		•	•	•	•	1 /	d^\ -о- H- + ~r' D2 3 \ J з	J^/	^3P
Таблица 6
G рсберр	М2)	<51 (z)	62(z)	$3 (s)	<32 (z)	63 (z)	<54 (Z)	<55 (z)	<56(z)	G2(z)	G3 (z)	Gi (z)	Свобод- ные члены
0	(у Fi + ДО0 ) О2	4	0	0	0	0	0	0	0	1 d\ di sin <pi	0	0	GP
1		(Л1+Л’2) + Лл] D2	4	0	| F^	0	0	0	0	if	d%	}	\ ~jb 1 ct§' Ф1 + cl£ + di sin (pi d3 sin (p2 / u2 '	1 dt da sin ф2	0	o’lp
2	•	•	[у (F2 + F3) + Д/?2] D2	4 F^	Г1	1 [у (F% + F3) + A^2J D2	4 F^	0	0	0	^-(ctg<pi+ctg<p2)+ d2d3 sinq)2 1 rf2 (ctgq>2 + ctgcps)	1 /	da	d3 \ - ytg ф2 + ctg фз + -d2 sin	1 di sin qj	1 dadi sin фз	^2P
О	•	•	•	[4 (F3 + Fi) + Д^з] D2	•	[4 (Fa + Fl) + дл] D2	4 +z>2	0	0	1	da	da	\ - (ftg <p2 + ctg<p3) + rf2sincp2 I’ d4Sin<p3;	1	2,1 rf2 (Ctg<P2+ctg?3)+ dA sin фз 1 dt (Ctg ФЗ + ctg ф4)	1 /	d^	\ „	ctg	фз + ctg ф4 4-	7 •	+j- (fl	\ B	B 1	'	ds sin	фз	da sm	ф4 / 4	^3P
4	•	•	•	•	•	•	[1 (Fl + Fa) + ДО4] D2	1 6" F^	0	1 dadi sin фз	a (ctg фз + Ctg ф4 + d3 sin 3- 1 rf5 sin ф4 ) 4	1	2,1 d2 (ctg'P3+ctgT4)4-dlrf5sin(p4+fZ2 (ctg <p44-ctg ф5)	Д4р
5	•	•	•	•	•	•	•	[4 (Os + Fa) + Д2?5] D2	1 g- FaD*	0	1 di da sin ф4	.2 (ctg ф4 , ctg фз 4- d^ gjn	| 5	Л5р
6	•	•	•	•	•	•	•	•	(y Fa + AO6 ) D2	0	0	1 da da sin фз	^вр
2	•	•	•	•	•	•	•	•	•	4(4+ z)D2 О \е/2	^3/	1 d3 6 Ta D*	0	0-L,
3	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	Tr+T »• 0 \J3 J1 /	1 di 		 Г)г 6 Ji	03P
4	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	•	1 / di , dry \ Т(Л + .7?) °’'	e'ip
Т л б л п тт я Q
Ч o,G № X. ребеР \	<3<) (z)	<5! (2)	<32 (2)	<33 (z)	G2 (2)	G3 (2)	Gi (z)	G5 (z)	Свободные члены
0	/ 1 \ ^-3- Fl + AFoJ D2	1 ТГ^2	0	0	1 did-i sin q>i	0	0	0	^op
1	•	[~;7 (-^1 +2) + A^i] D2	1 'б^	0	1 /	d3	\ ,/2	Ф1 + ('tg Ф2 + dr sin cpi + d3 sin ф2 /	1 dtfl3 sin <p2	0	0	^lp
2	•	•	^~3~ (^2+ F3) + A ^2] D2	4-^	1	2	1 rf2 (ctg <Pi+ ctg ф2) + АА s.n	(ctg<p24-Ctg<p3)	d2 (ctg fl12 1 ctg <p3 , йгзтфг + di этфз)		1	 d3di sin фз	0	^2p
3	•	•	•	[4“ (Fs+^) + A^] O2	1 /	ds	ds \ d2 ^ctS Ф2 + ct" фз + d2 sin ф2 +  dl sin фз )	1	2	1 di (ctg Ф2+ ctg ф3) +	s.n фз +	(Ctg?3+Ctg?4) 3	u4	-	(ctg фз + Ctg ф4 + rf3sjnq)3 + rf5sinq)4 )	1 d^ds sin <p4	^3P
2	•	•	•	•	т(^+-т9 02	1 ds -FT? D2	0	0	0
3	•	•	•	•	•	4" ('Г + 7") D‘2	1 di	0	0
4	•	•	•	•	•	•	4(#+#)o’ 0 \J4 1 J5 /	1 d-a -а~Г D2 6 J 5	0
5	•	•	•	•	•	•	•	1 d3 3 J5 D*	0
Таблица 10
X 0, ,№\, репер	S2 (z)	=3 (=)	Со (г)	Gi (г)	Co (z)	G3 (z)	C4 (z)	Gs Г)	Свобод- ные члены
2	4 (А + /’з) + Л 1'2 i 1>- L ' >	J	1 6	1 dl (1-2 sin ф1	1 /	Л-2	,	do	\ л Ctg ф]	Ctg ф2 4- 7	+ 7	1 \ & 4	1	&	1 (h sin ф1	«3 sin ф2 /	f/, (ctgrp,-!- ctg<p2)x^Z!jS.n(p3 j (гЦф2..-еЩф3)	I j .	,	,	ds	d3 \ ctg Ф2 J- ctg Фз + ,	.	+ , d\ \ 5	°	~ «2 sin ф2	7i sin фз /	1 ds di sin фз	0	Д2Р
.)	•	Г1	1 (7з П) Т- А/'з О2	0	1 d-2 ds sin ф2		( ctg <p3 4- ctg фз —		Y		) d-1 \	 d-2 sin ip-,	7i sin ф3 J	J	2	1 d2 ictgToXctgqX Ydsdi sin(₽3 1 (Нцфз-Мифд)	1 /	di	di	\ A ctg фз	rig Ф4 -t- ,	+ , r/2 \ П TO i	Y**	.	sm ф3	sm ф4 у 4	1 di do sin ф4	^ЗР
0	•		1 </} Т.77 1,1	1 th (ОТ D>"		0	0	0	0
f	•			1 l dy	d« \ ik + d /p	1 d-2 TV J« D1 -	0	0	0	0
'>	•	•	•	•		1 ds 	 — Г>2 QJs	0	0	0
3	•	•					I di f)2 6 •-'4	0	0
4	•	-	•		•	•	1 / di , rf5 \ з (4 + л ) 1)2	1	* D2 6 Ji	0
5	•	•	•	•	•	•	•	T r-^ 3 J 5	0
ОА
Й
S
я
Симметричное состояние
	Геометрическое уравнение				
Go (z, t)	t<b uis pip				
<51 (z> t)	~ sin q>2 /	b a -J Cf> ь	i Q Э F 3 Э b	. *d) UTS Tp\ zp	- St -
(? ‘z) Zs	+ Ctg q>2 + + 4 ctg i	i			st u> c 4	-
‘г) z/j z6			05 St		
					
Статические уравнения
Обратно симметричное состояние
н
05
о
й
и
л
05
Ю
СО
Таблица 38
ребер	<50		32	Оз	54	Gt	G3	G*	Свободные 'члены
0	L FiD2 3	L FrD^ 6	0	0	0	0	0	1 dtd2 sin ф1	COS фз />1 sin ф1 di
-1	•	(Л + f2) if	-L^2D2 b	0	0	0	1 d2d3 sin фз	1 /	d2	d2 \ - d2 «tg ф, + Ctg фз + gin ф1 + gin ф2 J	/cos фз pi COS ф1 pi \ cos фз p2 \sin ф1 di	sin ф1 d2) I- sin фз d2
2	•	•	(F2 + F3) IF	r^3	0	1 d3di sin <p3	1 /	d3	d3 \ - d2 (. f tg Ф2+	ФЗ + d2 sin ф2 । dt Sin <f3)	1	2 rf2 (ctg<pi l-ctg?3) + rf2d3Sinq)3 + 1 + d^ (Ctg ф2 + Ctg	COS ф) pi	p2 /cos фз cos ф2\ p3 cos ф4 sin ф1 d2 sin фз \ d2 + d3 / ! d3 sin фз
3	•	•	•	i g-(F3-{-	J)'2	L /4/т 6	1 /	dt	dt \ ^2 ( Ф3 + Ф4 + d3 sin ф3 d3 sin ф4)	1	2	1 rf2 (Ctg фз + Ctg Фз +)d,d4 sin T3+d2 (Ctg ФЗ + Ctg ф4)	1/X	d3	d3 \ dg V ' “	+ Ctg + d2 sin фз + dt sin фз/	рз cos ф2	p3 /созф4 COS фз\ d3 sin фз sin фз \ ds	dt )
4	•	•	•	•	i- (Ft + Fs) D2	1	2	1 d2(ctg фз + ctg ф4) + ^5gin ф1+^2 (Ctg ф4 + Ctg ф5) 4	5	1 /	d4	dt \ rf2 (ctg фз + ctg ф4 + -i3 sin фз + d5 sin	1 d3dt sin фз	p3 cos фз d4 sin фз
4	•	•	•	•	•	1	/^4 i ^5 \ rjo зДЛ Л)	1 d& £^2 Г 77	0	0
3	•	•	•	•	•	•	1 (ds di \ г7з + л)°2	1 d3 /Г-Г°2 6 J 3	0
2	•	•	•	•	•	•	•	1	\ rF 3 \J2 + Js!	0
'Г а б .1 и Ji а 61
Г, \	и.	U2	и3	Ut	и5	Us		и2	Уз	Vi	Уз	Vs	Свободные члены
1	— Тан ( у) — bi	( Л \2 — 7«12 1 у 1 “ &]2		-— — - -			л — ~~Y Cn						0
	— Т"21 (у) — Ь-н	/ л у — У 22 1 у 1 — &22	/ -лу — Т«23	j	&23					л -Т <22					0
3		/ Л \2 — Т«32^у^ '— &32	1 я V — 7азз \ ~) — ^33	- - T"=i(y) —l’Sl		1			Л	1 - —сзз				0
4			/ л V —- т«43 М — ^43	/ Л \2 — Т'ИЦу) — bit		 Т««	— &43					л			0
										1 Cil			
5				/ Л \2 — Т"5Цу| — &51	/ я V ,	/ я Y2 , — Т«55 1^ J — 1>55 — Т"56	) — Ьце 1				!		л — -Г^5		0
6					/ Я Y2 L Т«в5 J-j — 665	/ л у2 , — Та6(!1 —1 — бее						Л — — cGG	0
1	л ~ ~ Г ей						- Г11(т)- №	— Т5'12					4 <71 л(7
2		Л — — С22			1		— T«21	/ Л \2 — Г 22^— ] — TS-22	— TS23				*72 лб
з			Л ~ — Сзз		1				/ Л_\2 — f 33	1 j —TS33	— W			4?з лб
4				1 1 а о ** **	1					 Т»43		— W		4</д л 6'
5					л — — С55					— TS54	/ л \2 -Г55\'У/ ~^®55	— W	4<75 Лб?
6			1			Л “ "Г f‘iIG						 TS65	-/•55 (у) — Т«5Г,	4</6 лС