И.И.Ляшко, А.К.Боярчук, Я.Г.Гай, Г.П.Головач
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
РЯДЫ, ФУНКЦИИ ВЕКТОРНОГО АРГУМЕНТА
Справочное пособие по высшей математике. Т. 2
М.: Едиториал УРСС, 2003. — 224 с.
«Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и
представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание
«Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом
издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики —
математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций
комплексной переменной.
Том 2 по содержанию соответствует первой половине второго тома
«Справочного пособия по математическому анализу» и включает в себя теорию
рядов и дифференциальное исчисление функций векторного аргумента.
Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-
математических, экономических и инженерно-технических специальностей,
специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно
изучающих высшую математику.
Оглавление
Глава 1. Ряды	3
§	1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	3
§2	. Признаки сходимости знакопеременных рядов	25
§	3. Действия над рядами	3 8
§4	. Функциональные последовательности	и ряды. Свойства равномерно	40
сходящихся функциональных последовательностей и рядов
§5	. Степенные ряды	58
§6	. Ряды Фурье	79
§7	. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью
рядов	96
Глава 2. Дифференциальное исчисление функций векторного
аргумента	113
§	1. Предел функции. Непрерывность	113
§2	. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента. 124
§3.	Неявные функции	147
§4.	Замена переменных	167
§5.	Формула Тейлора	186
§6.	Экстремум функции векторного аргумента	196
Ответы	220
Глава 1
Ряды
§ 1.	Числовые ряды. Признаки сходимости
знакопостоянных рядов
1.1.	Общие понятия и определения.
Определение 1. Пусть ап — произвольные элементы линейного пространства Е, в
котором определена сходимость, п 6N. Рядом элементов ап называют выражение
ОС
Й1 4- й2 +    + Яп 4"  • - = ап,	(1)
а элементы ап — его членами. В частности, если ап € R или ап € С, то ряд (1) называют
числовым.
Определение 2. Сумма п первых членов ряда (1) называется частичной суммой и
часто обозначается через Яп, т.е.
Sn — 01 + аг 4- •  • + ап.
Определение 3. Если существует конечный предел
lim Sn = Я, Я £ Е,
п—*оо
то ряд (1) сходится в Е, а элемент Я называют суммой ряда. Если lim Яп = оо или не
п—»оо
существует, то ряд (1) называют расходящимся.
Определение 4. Ряд
ak, ak € Е,	(2)
fc = n+l
называется п-м остатком ряда (1) или остатком после п-го члена.
Ряд (1) сходится или расходится вместе со своим остатком, поэтому часто при исследо-
вании вопроса о сходимости ряда вместо него рассматривают n-й остаток.
Определение 5. Пусть ап € R. Если ап -S 0, то ряд (1) называют положительным;
если а„ > О, п g N, то ряд (1) называют строго положительным.
1.2.	Необходимое условие сходимости ряда.
Для того чтобы ряд (1), п.1.1, сходился в Е, необходимо, чтобы
lim -ап = в, в € Е,
п—*оо
где 6 — нулевой элемент линейного пространства Е.
1.3.	Критерий Коши.
Пусть Е есть R или С. Для того чтобы ряд (1), п, 1.1, сходился в Е, необходимо и
достаточно, чтобы Уг > О Эпо такое, что Vn > по Л Vp е N выполнялось бы неравенство
|Sn+p — Sn| = l“n+l + On+2 +    •+ “n+p| < e-
4
Гл. 1. Ряды
1.4.	Обобщенный гармонический ряд.
Определение. Числовой ряд
00
Ei
nal
называется обобщенным гармоническим рядом, а при р = 1 — гармоническим. Он схо-
дится при р > 1 и расходится при р 1.
1.5.	Признаки сравнения числовых рядов.
Теорема 1. Если ряды (1), п. 1.1, и
00
УЛ	(!)
П=1
положительны и ап Ъп Уп > по, то из сходимости ряда (1) настоящего пункта вытекает
сходимость ряда (1), п. 1.1, а из расходимости ряда (1), п. 1.1, вытекает расходимость ряда
(1)-
Теорема 2. Если ряды 52 ап и 52 bn строго положительны и Уп > по выполняются
неравенства
Un+l < Ьп+1
вп Ьп
то справедливы выводы предыдущей теоремы.
Теорема 3. Если ряды 52 “п и 52 Ьп строго положительны и
1-	ап	« .	. ,
lim т- = с, и < с < 4*оо,
п—.СО Ьп
то они сходятся или расходятся одновременно.
Теорема Д. Если при п —» оо
°п =	( -S’) >
\п₽ )
то при р > 1 ряд (1), п. 1.1, сходится, а при р 1 расходится.
1.6.	Признаки д’Аламбера и Коши.
Если ряд (1), п.1.1, строго положителен и
lim ^- = 1,
n-*00 dn
чо при L < 1 этот ряд сходится, а при L > 1 расходится. При L = 4-оо ряд (1), п.1.1,
также расходится, а если L = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (признак
д'Аламбера в предельной форме).
Если ряд (1), п.1.1, положителен и
lim Va2 = L,
п —ФО
то относительно сходимости ряда (1), п.1.1, делаем те же выводы, что и в признаке д’Аламбера
(признак Коши в простейшей предельной форме).
1.7.	Признак Раабе.
Если ряд (1), п.1.1, строго положителен и
r I вп	I
lim п [------11	=	р,
п-»оо \Лп+1	J
то при р > 1 он сходится, а при р < 1 расходится. При р = +оо ряд (1), п, 1.1, сходится, а
если р = 1, то для выясненйя вопроса о его сходимости или расходимости следует применять
другие признаки.
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
5
1.8.	Признак JTaycca.
Если ряд	строго положителен и
a„+i п я1**
А, р = const,
где г > 0, |бп| < с, то при А > I ряд (1), п.1.1, сходится, а при А < 1 расходится. Если же
А = 1, то ряд сходится при ц > 1 и расходится при д 1.
1.9.	Интегральный признак Коши—Маклорена.
оо
Если функция / неотрицательна при х > 0 и не возрастает, то ряд ^2 /(п) сходится или
п=1
расходится одновременно с несобственным интегралом
f(x)dx.
Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы:
1	1	1	1
' 1 • 4 + 4 • 7 + " ' + (Зп - 2)(3n + 1) + ’ " ’
◄ Покажем, что сходится последовательность частичных сумм (Sn) этого ряда:
S =	+	+ I	1
п 1-4	4-7	(Зп-2)(Зп + 1)'
Для этого с помощью очевидных преобразований приведем Sn к виду
п 1 /Л	,	/ 1	1 \\	1 Л 1
5п — -1(1 — т) + (т-д-) + -- - + ( 1----7 ~ —ТТ ) ) — 7 Р ~ 5—Т~Т
3 \\	4/	\4	7/	\3п —2 Зп + 1//	3 \ Зп +1
Легко видеть, что последовательность (Sn) сходится, т.е. сходится, по определению, дан-
ный числовой ряд. Сумма его
5 = lim S„ = lim | (1 -	1 Л = |. ►
п—»оо п—»оо J \ оП + 1/	6
2. a) q sin а + q2 sin 2а + ... + qn sin па + ... ;
6) q cos a + q2 cos 2a + ... + qn cos na + . .. ; |g| < 1.
◄ Пусть (un) и (t>n) — последовательности частичных сумм рядов б) и а) соответственно,
и и v — их суммы. Тогда, использовав формулу Эйлера е"? = cos ip + i sin , можем написать
JQ „п+1	1)л
।	ia . 2 2ia .	. n ina 4^ Q
un + wn = qe +q e + ... + q e = -----------------r------.
1 — qe'a
Принимая во внимание условие |g| < 1, имеем \qe‘a | < 1; отсюда следует, что
Em (jn+1e,(n+1)a) = 0.
n—*00
А тогда из предыдущей формулы находим
, qe'a ( cos a — о	sin a \
« +«» = Inn (u„ + wn) =  ------— = q  ----------—- +i-— ----------—у .
n—oo	1 — qetQ yl — 2g cos a + q2 1 — 2g cos a + g2 J
Поэтому
cos a - g	g sin a
и = g--------------, v = --------2---------. ►
1 — 2g cos a + g2 1 — 2g cos a + g2
co
— 2V71 + 1 +
nsl
6
Гл. 1. Ряды
◄ Непосредственно находим
Sn = (х/3-2х/2 + 1) + (х/4-2х/3 + х/2) + (х/5-2х/4 + х/з) + ... +
+ (х/п — 2х/п — 1 + х/п — 2) + (Vn + 1 - 2 х/п + Vn — 1) + (х/п + 2 — 2x/n + 1 + х/п) ~
= 1 - х/2 + Vn + 2 - x/n + 1 = 1 - V2 +  , --
х/п + 2 + х/п + 1
Следовательно,
S — lim Sn = 1 — х/2. ►
п—*оо
со
4.	Исследовать сходимость ряда sin пх.
п=1
4 Пусть х ф ктт (& — целое) и ряд сходится. Тогда должно выполняться необходимое
условие сходимости ряда:
lim sinni = 0. х ктг.	(1)
п—»сс
Отсюда следует, что lim sin(n 4- l)z = 0, или lim (sin пх cos х + cos пх sin х) = 0. Принимая
п—п—»оо
во внимание (1), из последнего соотношения находим, что
lim cos пх = 0, х / ктг.	(2)
п—►СЮ
Из (1) и (2) получаем равенство
lim (cos2 пх + sin2 пх) = 0,
71—»ОО
которое противоречит известной формуле sin2 а + cos2 а = 1. Источник противоречия - фор-
мула (1). Следовательно, если х / ктг, то данный ряд расходится. Сходимость же ряда при
х = ктг (к — целое) очевидна, и сумма такого ряда равна нулю. ►
5.	Доказать, что если ряд сходится, то ряд У) Ап, гае Ап = У) a,, р, = 1,
n=l	n=1	,=Рл
pi < Р2 < • •  , полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения
порядка следования их, также сходится и имеет ту же сумму.
оо
◄ Из сходимости ряда У) ап вытекает существование предела любой подпоследователь-
П = 1
ности последовательности его частичных сумм, равного сумме ряда S. Возьмем эту подпо-
следовательность в виде
аг = SP1, aj + аг + ... 4- «p2-i = .Sp2,
+ а.2 +	+ Пр2—i + аР2 + ... + aP3_j = SP3, ... , aj + аг + • • • + aP„+i-i ~ Vn+i •
Тогда lim SPn = S по условию. Но так как последовательность частичных сумм второго
ряда Ai + Аг + •. • + Ап равна 5Рп+1, то lim (Ai 4- Яг + ... + Яп) также равен S, что и
п—»оо
требовалось доказать.
Обратное утверждение неверно, так как из сходимости подпоследовательности еще не вы-
текает сходимость самой последовательности. Возьмем пример. Пусть ап = ( —l)n+1. Ряд
оо
]Г(—очевидно, расходится, хотя, например, ряд 22(1 - 1), получаемый из предыду-
П=1	П=1
щего в результате группировки его членов по два, сходится. ►
ОО	ОО
6.	Доказать, что если члены ряда У~^ап положительны и ряд Дп, полученный в
п=1	п=1 '
результате группировки членов этого ряда, сходится,, то данный ряд также сходится.
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	7
◄ Пусть (рь) — произвольная подпоследовательность натуральных чисел; (Sn) и (SPk) —
частичные суммы первого и второго рядов соответственно. Тогда, в силу положительности
членов ап, будем иметь неравенства
Si Sn SPl для всех та, 1	п plt
SP1	Sn С 5р2 для всех n> Pi n С Pi,
SPk 41 Sn 4- SPt+1 для всех та, рь та Pfc+i.
Переходя к пределу в последнем неравенстве, когда к —* со, и учитывая, что второй ряд
сходится, получаем
Em SPk = lim S„ = Em SPfc+1 = S. ►
fc-*oo	n—»oo	k —»oo
Исследовать сходимость рядов:
— ,111 1
7.	1 + ~ + т 4- ~ + • •. + --7 + ... .
3	5	7	2та — 1
◄ Очевидно, последовательность частичных сумм данного ряда возрастает. Покажем,
что она неограничена. С этой целью рассмотрим ее подпоследовательность (S2n), та 6 N:
S2i = S2 = 1 + -,	S2s =	= 1 + - + - + у, ... , S2« = 1 + - 4- ... + ——-
О	О О I	i)	Z	1
В силу оценок
11111 1-1 1 J_ £ £ £-1
+ 3> ’ 5+7>8-4’ 9 + 11 + 13 + 15 > 16 “ 4'
1	,	1	,	.	1	2П-1 _ 1
''' ’ 2n + 1 + 2П + 3 + ' " + 2n+1 - 1 > 2П+! " 4’
имеем неравенство
2" 4- 1 + ' " + 2n+1 - 1) > 1 + 4
Отсюда следует, что подпоследовательность (Sj") неограничена, а значит, неограничена и
последовательность (Sn). Таким образом, данный ряд расходится. ►
8.	1 + J- + ^=+... + -7l==+....
V2 2-/3 Зт/4 пу/п+ 1
•< Рассмотрим ряд
1/1 1 \ ( 1 1 1 1 \ ( 1 1 \
V2 \2л/3	Зл/4/	\4>/5	51/б	6л/7	71/8/	\8у/9	15л/16)
/ 1 ____________________1_____\
’ ’ ’ + \2"i/2n 4- 1 + ''' + (2"+i - 1)72п+1 / + '" ’
полученный в результате группировки членов данного ряда. Замечаем, что
_L + _1_<J_ + J_<2_ = 2_
2л/3	3^/4	2д/2	31/3	2у£	^2
1	1	1	1	4	_	1
4\/5 +	+ 7д/8	4^4 +	+ 7v^	(2V2)2	~ (V2)2 ’
2п72" + 1 +	+ (2"+1-l)v/^+i’< (2„)| + " + (2n+i_1)| < (V2)"'
Поэтому для последовательности частичных сумм ряда (1) имеем оценку
1/2 + ” ’ + (2n+i _ i)v'2n+1 < V2 + \/2 + (i/2)2 + ’' ’ + (1/2)"	1/2 + 1/2 - 1'
8
Гл. 1. Ряды
Отсюда, учитывая очевидную монотонность Sn, заключаем, что ряд (1) сходится. А тогда,
на основании примера 6, сходится данный ряд. ►
n 1 1 1
9.	- ’= 4--.	+ . . . 4-===== + . . . .
'/ЬЗ V3  5	у/(2п - l)(2n + 1)
◄ В силу оценки
Sn = -Х= + ~= + . . . + -= =L= = >1+1+.
/п	У(2п - l)(2n +1)	2	4 2п
1 Л . ,3	. n +1 \	1,.
> т I In 2 4- In - + •   + In-I = - In n +1),
2 \	2	nil
данный ряд расходится. ►
00	00
10.	Доказать, что если ряд У~^ ап, ап 0 сходится, то ряд У~^а2 также сходится.
71=1	П=1
4 Очевидно, последовательность частичных сумм (Сп) второго ряда монотонно не убы-
вает. Кроме того, в силу ап 0 и сходимости первого ряда, справедливо неравенство
On — aj + а2 4" • •  4" ап < (ai 4- аг 4- ... 4- an) — Sn const.
Поэтому, на основании теоремы о монотонной и ограниченной последовательности, суще-
ствует lim С„, т.е. по определению 3, п.1.1, второй ряд сходится,
п—»оо
Заметим, что обратное утверждение неверно. Действительно, пусть ап = 777. Тогда
00		00
ряд 52 (2п'-Г^ схоДится по теореме 4, п.1.5, хотя ряд 52 2п-1 Расходится (см. пример 7). ►
71 = 1	71=1
00	00
11.	Доказать, что если ряды Еа" у Е сходятся, то сходятся также ряды
71=1	П=1
LAJ	UO	CAJ .	.
£Мп|, £(ап 4- М2.
71=1	71=1	71=1
◄ Используя элементарное неравенство |ап6п| ^(ап + ^п)> а также условие примера,
получаем
п	/ п	п \	/со	оо \
ЕИ Ев*+ЕЬ* 1 И Еа"+Е4 * 6")=с"
fc = l	\fc=l	fc = l /	\n=l 71=1 J
OO
Отсюда следует, что ряд 52 |“nin| сходится. А тогда и второй ряд в силу оценки
71=1
оо	оо	оо	оо	оо
У ^(ап 4- in)2 = У Д2 4- 2 У ,апЬп 4- У2 ^(с 4- У } |anin|)
71=1	71=1	71=1	П=1	71=1
также сходится. Сходимость третьего ряда вытекает из сходимости первого, если положить
оо
в нем Ьп = - и воспользоваться тем, что ряд 52 сходится. ►
71=1
ОО
12. Доказать, что если lim пдп = а 0, то ряд У^ Дп расходится.
4 По определению предела, Ve > О, 0 < е < |“|> Зпо такое, что Vn > п0 и Vp £ N
справедливы неравенства а — е < (т 4- n)am+„ < а 4- s, т — 1> Р, или неравенства
а — е . Д + f.
,	< flm+n < г --
т + n	m -г Я
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
9
Суммируя эти неравенства по т от 1 до р, получаем
Р 1 р	р г
(а - е) Y' —— < V ат+п < (а + е) У —;—•
'L-im + n	'Z_^m+n
m=l	m=l	m=l
(P j	\
lim V —— = +oo , оста-
₽-+«n^im+n	J
ток рассматриваемого ряда расходится. Следовательно, расходится и сам ряд. ►
Примечание. Из условия примера 12 следует, что ап = £ + о = О* при п —> оо.
Поэтому на основании теоремы 4, п.1.5, данный ряд расходится. Однако мы предпочли непосред-
ственное доказательство.
00
13. Доказать, что если ряд ап, ап > 0, с монотонно убывающими членами сходится,
П=1
то lim па„ = 0.
п—*оо
◄ По критерию Коши, из сходимости ряда следует, что Уе > О Эпо такое, что Vn > по
справедливо неравенство an+i + «п+2 + ... + an+p < Так как (а„) — монотонная и
положительная последовательность, то из последнего неравенства вытекает, что ра„+Р < |.
Полагая, далее, последовательно р = п и р = п + 1, отсюда находим, что 2пагп < е и
(2п + 1)а2п+1 < е при п > по. Следовательно, пап < е при любом (четном и нечетном)
п > 2по  ►
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов:
. cos т — cos 2r cos 2т — cos Зх	cos пх — cos(n + 1)т
12	п
< Фиксируем произвольное е > 0 . Найдем число по такое, что при всех п > п0 и
произвольном р > 0 будет справедлива оценка |Sn+p — Sn| < е, где ($„) последовательность
частичных сумм данного ряда. Имеем
|S„+p - S„| =
cos(n + l)z — cos(n + 2)z
n +1
+
cos(n + 2)t — cos(n + 3)i	cos(n + p)x — cos(n +p + l)l _
n +p
n + 2
cos(n + l)r cos(n + 2)i cos(n + 3)x	cos(n + p)z
n + 1 (n + l)(n + 2) (n + 2)(n + 3)	(n + p — l)(n + p)
cos(n + p + l)i 1	1	+	+	1	1	< 2
n+p	n + 1 (n + l)(n+2)	(n + p-l)(n+p) n+p n’
Отсюда следует, что |Sn+P — S„| < e, если за число no взять Поэтому, согласно критерию
Коши, ряд сходится. ►
2	п
1 _ COS X COS X	COS X
15.---------------1- ... ч------1-
l2 22	+ n2
◄ Найдем число no такое, что Уп > no и произвольном p > 0 будет выполняться нера-
венство |S„+p — 5п| < е. Имеем
COSTn+1 COSTn+2	COSt"+p
(n + I)2 + (n + 2)2 +	' + (n + р)2
1___ 1 1 1
+ 2)2 + "  + (n + р)2 < n(n + 1) + (п + 1)(п + 2) + ‘ "
...+________1=
(n + р—1)(п + р) п п+р п
|<5n4-p — Sn| —
1
(n + I)2
1
10
Гл. 1. Ряды
Следовательно, положив по = -, по критерию Коши, получим, что данный ряд сходится. ►
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующих рядов:
16. 1 + ^ + |+	+-+
2 3	п
◄ Пусть е = j. Положим р = п. Тогда
1	1 1 1 _ 1
n + 1 4 п + 2	2п ' П 2n 2>S
Следовательно, по критерию Коши, данный ряд расходится. ►
1F7	.	1	1	1.1	1
17.	1 + -—	т- +	-+ т	—	7+'-.-
2	3	4 о	о
◄ Поскольку
|S2.
_ _ 1 1_____________________1 1 1 _ _1_
6п Зп Зп 4-1 Зп + 2 Зп + 3	+ 6п — 2 6п — 1 6п ’
где (5в„), (-5з„) — подпоследовательности последовательности частичных сумм данного ряда,
то
о _с 1 . 1 ,	, 1 , ” , 1
6п 3” > Зп + 1 + Зп + 4 + ''' + 6п - 2 > 6п - 2 > 6
Поэтому, согласно критерию Коши, ряд расходится. ►
1 о 1	1	1
18. -== + -== + ... + —г —- + ....
◄ Пусть е = -. Оценим разность:
1 1
|S2n - Snl =
1
у/2п(2п + 1)
1 1
">п + 24"п + 3
Таким образом, по критерию Коши, ряд расходится. ►
Пользуясь различными признаками, исследовать сходимость рядов:
lq (I!)2	(2!)2	(З!)2	(п!)2
•< Поскольку
1 _ 1
2n + 1 > 4
.. яп+1 ..	((п + 1)!)22"	,. (п + 1)2 л
lim ----= lim , ,,,, = lim	= О,
п—.ОО Пп п-*оо (п!)22(п+Ч	п—.оо 22п+1
то, по признаку д’Аламбера, ряд расходится. ►
20.	i + !LI + 4_I^+....
2	2-6	2-6-Ю
◄ Замечаем, что общий член ряда
an имеет вид
О-п —
4-7-10 ... (Зп +1)
2 • 6 • 10 ... (4п - 2) ’
Отсюда находим
,. Яп+1 ,. Зп + 4	3
Inn ----= Inn -—— = -
п—*<х> 0>п	п—»оо 4Т1 + £•	4
Таким образом, согласно признаку д’Аламбера, ряд сходится. ►
00
21.	У^яп, где
0>п —
если п = т2,
(т — натуральное число).
если п ф т2
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
11
◄ Покажем, что ряд
(1 + ? + Й+ +	+ Й + ••• +
(1 , 1 1 \
+ \п2 + („2 + 1)3 + •  • + ((П + 1)2 - i)2 J +  • ' - W
полученный в результате группировки членов данного ряда, сходится. Для этого оценим
сначала каждый член ряда (1). Имеем
± + _..1_....+... +_________г______<±+ л- -<2.ь...
И2 (п2+1)2	((п + 1)2-1)2 п2 (п2 + 1)2	п2’
оо
Поскольку ряд ~2, согласно п.1.4, сходится, то, в силу теоремы 1, п.1.5, сходится и ряд
п= 1
(1)	. А тогда, на основании утверждения, доказанного в примере 6, заключаем, что данный
ряд также сходится. ►
°° п	• 2 ,
оо	ГТ sm
22.	2^ пх Ц i + l2 + c052jte-
п=1	к=1
Ч Легко видеть, что
п_______—_______________—.	(1)
1 + х2 + cos2 ка (1 + г2)п
Предполагая, что х 0 (при х = 0 ряд, очевидно, сходится) и применяя к ряду
ОО
Е
пх
(1 Чг2)”
(2)
признак д’Аламбера, замечаем, что ряд (2) сходится.
Используя теперь неравенство (1) и теорему 1, п.1.5, можем утверждать, что данный ряд
сходится. ►
п=2
1 1	° П~1
Ч Нетрудно найти, что lim	= lim (1------тт)” = lim е "+1 = Л- < 1.
n-ooVn+1'	n-00 V п+17	п-00	е2
Поэтому, согласно признаку Коши, ряд сходится. ►
24.	v^2 4- \/ 2 — у/2 + у2 — \/2 4- \/2 4- ....
Ч Замечая, что общий член ряда имеет вид
Яп — V 2 — V 2 "1* 2 4" ... 4" Л л £ N,
и полагая здесь -\/2 = 2 cos	получаем ап — xj'i- — 2 cos	= 2 sin	Так как ряд
сходится, то по теореме 1, п 1.5, сходится и данный ряд. ►
П=1
25.	Доказать, что если lim --t1 = g, an > 0, то an = o(g7), где gi > g.
n—*oo dn
Ч Пусть число e > 0 настолько мало, что выполняется неравенство е < gi — д. По опреде-
лению предела, для данного е можно найти такой номер N, начиная с которого выполняются
неравенства
q-e<^±L<q + s
д — е < ----< д4-е,  ,д — е.< ---- < д + е.
on+1	an-i
12
Гп. 1. Ряды
Перемножая почленно эти неравенства, получаем
/	\п—N ,	/	.	\П—N
aN(g-e) <a„<(g + e) ax,
откуда
n °n , „ (9 +	, ,\-n	9 + £	.
0 < ~ < “X I ---- 19 + £) > -------< 1-
91	\ 91 /	91
Теперь видно, что увеличением числа п можно достигнуть неравенства
/ \ п
°п ,	/ , \-n / 9 +6 |	.
— <ajv(g + s) ------- < е,
91	\ 91 )
показывающего, что an = о(?"). ►
ОС
26.	Доказать, что если lim —— = q < 1, ап > 0, то ряд > an сходится.
П—»ОО ИП	•
П=1
◄ Выберем е > 0 таким, чтобы выполнялось неравенство е < 1 — q. В силу существования
конечного верхнего предела, для выбранного е найдется такой номер N, начиная с которого
справедливы неравенства
о <	< д -Р £) i = ДГ п — 1.
а,
Перемножая эти неравенства, находим
0<а"<Г7-тр^+<' •
Поскольку ряд £2(9 + е)” сходится, то, в силу теоремы 1, заключаем, что ряд ^an также
сходится.
Обратное утверждение неверно. Рассматривая, например, ряд
1 1 _1_ _1_ _1_ 1
2+3+22 + 32 + 2з + 33 + '"’
замечаем, что
an+i r 1 /3\п
11ГП --- — цт - I ~ ) =00,
п—»оо ап	п—►со 2 \ 2 /
в то время как ряд
00	00
Е“" = Е(^+й’
оо
очевидно, сходится. Таким образом, из того, что ряд 52 ап сходится, не следует, вообще
__	П=1
говоря, что lim = q <- j
п—►оо ап
оо
27.	Доказать, что если lim ^/о7 = д, ап 0, то: а) при д < 1 ряд > an сходится; б)
п-*оо
П=1
при д > 1 этот ряд расходится (обобщенный признак Коши).
◄ Пусть д < 1. Для фиксированного е, удовлетворяющего условию 0 < е < 1 - <у, в силу
условия примера, найдется номер N, начиная с которого выполняются неравенства
О aiy-i-i < (д + е)'ЛГ+1, ..., 0 ап < (д + e)n, д + е < 1.
Но так как ряд ]Р(9 + £)” сходится, то, по теореме 1, из последнего неравенства вытекает,
что ряд ^2 Яп сходится.
Пусть q > 1. Тогда для е, выбранного из условия 0 < е < q — 1, найдется номер М
такой, что при всех к > М члены последовательности (ont) (	> q при n* —► оо) будут
удовлетворять неравенствам
“п„+1 >(9-е)Пм+1, a„M+,>(?-e)nM+2,...,a»i>(9-e)n‘, д - е > 1.
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	13
Отсюда следует, что общий член ряда к нулю не стремится, т.е. ряд у ап расходится. ►
Исследовать сходимость рядов:
28.	£ п3(У2 + (-1Г)п
3"
Ч Имея в виду обобщенный признак Коши, находим
— "/п3(х/2 + (-1)")
hm '1 ———
зп
Следовательно, ряд сходится. ►
29 у'Р + cos n Vп-1п"
2 + cos п J
= lim
3.
Ч Поскольку
In п
2-------
п
2-------
г.— /1 + cos п
lim --------
п —со \2 + cos п
то, по обобщенному признаку Коши, данный ряд сходится. ►
on /IV /1-3\р	/1-3-5\р
◄ Рассмотрим отношение
а„ _ Л  3-5 ... (2n - 1)V / 2-4-6 ... 2n(2n + 2) V
nn+i ~ \	2  4 • 6 ... 2n / yl-3-5 ... (2n - l)(2n + 1)/
/	1 V p p(p ~ 1)	( i \
~(1 + 2?Tt) - 1 + 2^П + 2(2n + I)2 + ° \v) ’
Согласно признаку Гаусса, отсюда
находим: при р > 2 ряд сходится, а при р 2 —
расходится. ►
31. у
2_-г п"+р
•< Преобразовывая отношение к виду
Чп + 1
n!en(n + l)n+p+1
n"+p(n + l)!en+J
- (1 + ip” = -exp {(„ + p)ln (1 + -)} =
е\п/ e I	\ nJ J
= exp{-l + (n+p)(l-^+0
p — 0,5
------- + о
n
4
9
3
p-0,5	Zl\
= 14--------ho — , n сю,
n	\nj
и используя признак Раабе, заключаем, что при р > | ряд сходится. ►
32 V р(р4-1)  (p4-n-l) _ _1_
2—/	п!	пд
П=1
◄ Исключим из рассмотрения тривиальный случай, когда р — целое отрицательное или
нуль, и упростим отношение
а„+1 р 4- п \ п) \ п/ \ п/
= 1+«Z1L±1 + o(L\
п \п/
со.
п
Поскольку lim п (	----1) = g — р + 1 ,то, согласно признаку Раабе, ряд сходится, если
п—оо \a*+i	/
g > р. ►
14
Гл. 1. Ряды
,, У'/1-3-5 ... (2n-l)V 1
2^ I 2 ••4-6 ... (2n) J ' пч'
п=1 х	'
◄ Составляя отношение
п
получаем lim п ( —-----1 ) = 2 + д и, на основании признака Раабе, заключаем, что данный
п—оо \°"+1	/	2
ряд сходится при j + q > 1 . ►
34.	V {рр + 1  И"-1!\ ,р>0,9>0.
+ 1) • • • (? + п - 1)/
71=1	'
◄ Приводя отношение к виду
а«+1
«п _ /g + nV _ А + g-p\° = J + «(д-р) ! о
а„+1	\р + п)	\ р + п/	р + п \п/
при п —» оо и пользуясь признаком Раабе, устанавливаем, что ряд сходится при a(q—p) > 1. ►
35.	Доказать, что если для строго положительного ряда ап выполняется условие
П = 1
°п =1 + — 4-ofi') при п —► оо, то	ап = о (-------)	, где е > 0 произвольно мало,	причем,
Яп+1	п \п/	\Пр	с)
если р > 0 , то ап 1 0 при п —» оо, т.е.	ап при п	по	монотонно убывая, стремится	к нулю,
когда п —► оо.
4 Начнем со случая, когда р > 0. Фиксируя произвольное со, 0 < е0 < р, из условия
существования предела lim n I ------1 ) = р находим
п—©о \ап-Н /
1 + Р^о<_^<1 + Р±£о
I а;+1	I
i = N, п — 1,
где А — достаточно большой фиксированный номер. Из написанных неравенств следует, что
' р-eoV ,Р-£°> Л , Р-£°\ . “N . Л , Р + со\( р + го\ А.Р + е°'\
1 + — А + NTlJ- • А1 +	< Z < V + ~1ГА1 + NTT?  Л1 +	
Отсюда, учитывая, что ап > 0, а также пользуясь неравенством Бернулли, получаем
___________ON________ __________dN_________
0 + ^)(i + ® ••O + ^r)<i + (p-^(^ + ^+...+Ar)'
Поскольку р — со > 0, а + jAf + • • • + “Г —* 00 ПРИ и —► оо , то из неравенства (А)
вытекает, что ап —» 0 . Принимая во внимание еще, что при р > 0 последовательность (ат.)
монотонна (это видно из того, что при п по , где пр — достаточно большое число, > 0 (“),
следовательно, >1), убеждаемся в справедливости второй части утверждения.
Для доказательства первой части утверждения (р — любое, а е > 0) покажем, что
lim (пг~сап) = 0.
Вводя обозначение еп = пр~‘ап и составляя отношение ~‘п—, получаем
'п-Ц
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	15
Замечая, что это отношение имеет тот же вид, что и , на основании доказанного выше,
ап+1
приходим К ВЫВОДУ, ЧТО Еп —* 0 при п —> ОС. ►
00
Исследовать сходимость ряда ап , если:
П=1
36.	ап = (Vn + 1 — а/п)р1п -—7, п > 1.
п 4-1
< Преобразовывая выражение для общего члена ап и используя при этом разложения
(1 + i)m, ln( 1 4- х) по формулам Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, имеем
1	, /	2 \	(	2	/1\\
___________In 1----------= п 2 2 + о —		Ь о —	=
(а/п 4-14- у/п)р \ п + 1/	\	\п//	\ п 4-1-\п//
п —> 00.
Видим, что, по теореме 4, ряд сходится при р > 0. ►
37.	ап = login (14-	, а > О, Ь > 0.
\ п /
4 Пользуясь приемом предыдущего примера, имеем
Следовательно, по теореме 4, ряд сходится, если b / 1. ►
/	/	1 \ п\ р
38.	а„ — [е — [14—) ) •
\	X	п/ /
◄ Пользуясь разложениями функции i i-> In(1 4- т) по формуле Маклорена, находим
Таким образом, если р > 1, то, согласно теореме 4, ряд сходится. ►
ОО
39. Доказать признак Жамэ: положительный ряд ап сходится, если (1— а/огГ)|— (3
п= 1
___ п
р > 1 при п > по, и расходится, если (1 — ^Уап)--	1 ПРИ п > п°-
In п	п
◄ Непосредственно из первого условия находим 0 ап (1 — р ° п) (заметим, что при
п > по выполняется неравенство 1 —	> 0 ), откуда
Используя разложения функций х 1п(14-т), ех по формуле Маклорена с остаточным членом
в форме Пеано, из последнего неравенства имеем неравенство
0 $ “п $ — ехр
2 In2 п
_р2—-4-0
«71
1	2 1и2 п /1п2 П \
-----Р 7---ГГ + О ----г-г I , П —* ОО,
П₽ р 2пр+‘	\ П₽+1 /
из которого следует (на основании теоремы 4), что ряд сходится при р > 1.
Поступая аналогично, из второго неравенства условия примера можно найти, что
Последнее неравенство означает, что ряд расходится. ►
16
Гл. 1. Ряды
40.	Доказать, что ряд ап, ап > 0, сходится, если существует а > 0 такое, что
°n > 1 + а при п > по, и расходится, если Од 1 при п по (логарифмический
1п п	1п п
признак).
◄ Из условий примера легко получаем неравенства 0 < ап $ при п по (первый
случай), а также неравенство ап ~ при п по (второй случай). Следовательно, по при-
знакам сравнения, можно утверждать, что в первом случае ряд сходится, если а > 0, а во
втором расходится. ►
Исследовать на сходимость ряды с общим членом а„, если:
41.	а„ = —у.--—, п > 2.
(1п(1п п))|п п
4 Поскольку 1п|^- = 1р(1п(‘”— = ln(ln(lnn)) > 1,1 при п > ехр(ехр(ехр 1,1)), то,
согласно логарифмическому признаку, ряд сходится (см. пример 40). ►
42.	ап = ----г-т:—г, п > 1.
(In n)ln(ln п)
4 В силу оценки
In а,,1 _ (1п(1пп))2 < 1
1п п 1п п ’
справедливой при достаточно большом п ( lim	= 0 ], на основании логарифмиче-
\п—со п	/
ского признака утверждаем, что данный ряд расходится. ►
Пользуясь интегральным признаком Коши—Маклорена, исследовать сходимость рядов с
общим членом ап:
43.	а„ — . - , п > 1.
nlnp п
◄ Функция f : г w 1 при х > 1 является положительной и, судя по знаку производ-
ной, убывающей (при любом р и достаточно большом т). Поэтому для исследования данного
ряда на сходимость можно применять интегральный признак Коши. Имеем
1
(р - 1)2Р-!
/	J
1	2
при р > 1. Следовательно, ряд также сходится при р > 1. ►
44.	ап = -у----- -.-., п > 2.
п(1п n)₽(ln(ln п))’
◄ Как и в предыдущем примере, нетрудно установить, что здесь применим интегральный
признак. Рассмотрим интеграл
1= /_________;
J т1прг(1п(1пт
3
Если р — 1, то отсюда находим, что
Г dt
J tP\n4t'
In 3
z-<+1
1 -9
< оо
1п(1п 3)
1 $
1п(1п 3)
при q > 1. Следовательно, ряд сходится при р = 1 и q > 1.
Если р > 1 , то в силу того, что lim = ® ПРИ е > 0 и любом 7 , можем написать
t—»-f-OO
при достаточно большом t > 0, где р а > 1-
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
17
Аналогично, если р < 1, то при достаточно большом t > 0 справедливо неравенство
t?in« t	’ Г^е J а <
А тогда, на основании признака сравнения, можем утверждать, что рассматриваемый
интеграл сходится, если р > 1, и расходится, если р < 1 (в обоих случаях q — любое). Это
же, согласно интегральному признаку, относится и к данному ряду. ►
00	/ з
. , т,	Г-Л Ип)	. .
4э. Исследовать сходимость ряда ? ——- , где ИпI — количество цифр числа п.
i—i п2
4 Легко показать, что и(п) = pgn] + 1 Inn + 1. Так как	+ “7 и ряды
ОО	00
Т? 12 п7 сходятся, то, согласно теореме 1, п.1.5, сходится и данный ряд. ►
п=2	п—2
46.	Пусть Ап, п 6 N, — последовательные корни уравнения tgr = х. Исследовать
сходимость ряда А„2.
п=1
4 Графически можно установить, что для А„ > 0 справедливы неравенства птг < Ап <
птг+ Тогда
1 1 1
(пл +	<	<	’
и, в силу п.1.4, данный ряд сходится.
Аналогично поступаем в случае Ап < 0. ►
ОО
47.	Исследовать сходимость ряда > .  ,	.
' Inin!)
п=2
оо
4 Согласно интегральному признаку Коши—Маклорена, ряд ^2 nln п расходится. Поль-
п=2
зуясь неравенством ln(n!) < nlnn и теоремой 1, п.1.5, заключаем, что данный ряд также
расходится. ►
ОО
48.	Доказать, что ряд а« со строго положительными монотонно убывающими чле-
П=1
оо
нами сходится или расходится одновременно с рядом У^ 2па2» .
п=0
4 Поскольку 0 < ai + аг + аз + а* + • • • + а2п-ц $ си + 2а2 + 4tu + . •. + 2"а2», то, в
п
силу монотонности (Sn), Sn = ак < а также теоремы о монотонной ограниченной последо-
к=1
вательности, из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого.
Кроме того, в силу оценки
~(4я2 + 4а< + ... + 2"+1 о2»+>)	+ а2 + Яз + •  • + я2п-ы,
из сходимости первого ряда вытекает сходимость второго. ►
49.	Пусть /(х) > 0 при х 1, / — монотонно невозрастающая функция. Доказать, что
ОО	00
если ряд У2/(п) сходится, то для остатка его Rn = У2 f(&) справедлива оценка
n=l	k^n+1
+ оо	+ оо
У f(x)dx < Rn < f(n + 1) + У f(x)dx.
Г* + 1	n + 1
18
Гл. 1. Ряды
Найти сумму ряда V"' Д- с точностью до 0,01.
Z—/ nJ
< В силу монотонного невозрастания функции /, имеем неравенства 0 < f(k + 1)
/(г) 5) f(k) при к 4$ х $ к + 1, fc € N, используя которые, находим
+ .°°	оо ‘+1
/ f(x)dx = ^2 I f(x)dx< ^2 f(k)=Rn:
di	fc="+1 I	*="+1
+~	oo
/ f(x}dx= 52 / f(x)dx> 52 /(^+1) =-Rn - f(n+Л-
П+1	*="+! {	k=n+1
Теперь легко видеть, что из полученных неравенств следует требуемая оценка.
Для вычисления суммы ряда с указанной точностью воспользуемся доказанной выше
оценкой. В данном случае Rn = 0,01; f(x) = Тогда
+ оо	4-00
/dx	1	[ dx
F <0,01 < (n + l)3 + J 73’
n4-l	n+1
откуда получаем число первых членов ряда, которое нужно взять для вычисления суммы
ОО
ряда с точностью до 0,01: п = 7. Следовательно, £2	+ Д + Д + Д + Д + Д + Д ~
П=1
1 + 0,1250 + 0,0370 + 0,0156 + 0,0080 + 0,0046 + 0,0029 я 1,1931 к 1,19 (с недостатком). ►
Исследовать сходимость следующих рядов.
ОО
С Л X ( ТГТ1	7Г71 \
□U. ) ctg-------------sm-------- .
Д-' \ 6 4n — 2 2n + 1 /
◄ Применяя формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, а также пользуясь
элементарными преобразованиями тригонометрических функций, получаем
. ХП . ХП 1 - tg 2(4п—2)	X
^~2 - ” ЙГТТ - l + ч^ - 2^ГЙ) =
— 1 ~ 2(4п~2) + °	_	।	’Г2	,	(_1_\ _ 7Г
~ +	+°(^)	8(2п + 1)2	4п — 2,
Следовательно, по теореме 4, п.1.5, ряд расходится. ►
51.
n —- 00.
na
◄ При n > 3 справедливы неравенства
n — 2	ln(n!)	Inn
na na	na-1
OO	oo
Поскольку ряды £2 и Z2 «-1' согласно интегральному признаку, сходятся при а > 2,
nsl	п=1
то исследуемый ряд, в силу теоремы 1, п.1.5, также сходится при а > 2. ►
ОО
52.	£
-1 .
Ч Пользуясь формулой Маклорена, получаем
— 1ПП
1 “ п2 + 1
a„ = n +l — 1 = exp
п —* ОО-
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	19
Отсюда, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, заключаем, что данный
ряд сходится. ►
оо
53-£У^г
Ч Поскольку sin - > п € N, то In2 (sin < In2 (^) • Следовательно,
1	.1.2 n,l 1 \
In2 (sin 1)	ln2(^)	knlnJ’ n^°°-
Таким образом, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, из последнего
соотношения следует, что данный ряд расходится. ►
54. f>"“-i).
71=1
Ч При о 0 ряд расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю при п —♦ оо.
Поэтому будем считать, что а < 0, и при установлении порядка стремления общего члена
ряда при п —► оо будем пользоваться формулой Маклорена. Имеем
„»	, а. .	Inn	/1пп\	,/1пп\
п — 1 = expln In n) — 1 =-F о --- = О ----- , п ос.
'	п~а	\п~а ) \п~а /
Отсюда, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, видим, что ряд сходится
при а < —1 . ►
°°	2п
55. V  -----—-------——-, а > 0, 6 > 0.
(п + а)п+ь(п + 6)п+а
П=1
Ч Имеем
п (п+а)"+ь(п + 6)"+'1 Па+Ь (i + £)п+6 (i + Ь)п+а '
гр	//11 а\Ь+п\ // fexa-l-nX
1ак как последовательности Hl + -J I и Н1+J I при п —► оо стремятся к постоян-
Ь	а — Ь
ным еа и е соответственно, то ап ~ ,4^ при п —* оо. Следовательно, по теоремам 3 и 4,
п.1.5, данный ряд сходится при а + b > 1. ►
71=1
Ч Очевидно, если a si 0, то ряд расходится, ибо общий член ряда не стремится к нулю.
Далее, при а > 0, используя формулу Маклорена, получаем
Таким образом, по теореме 4, п.1.5, ряд сходите^ при а > j. ►
Исследовать сходимость рядов / "	\ -1 57. ип = [ У У1 + xi dx j \о	/ Ч Поскольку п / 0	2 Un со следующими общими членами: П=1 п х/1 + х4 dx > J xdx =	, 0
20
Гл. 1. Ряды
то 0 < un < -^2 , т.е. по теоремам 1 и 4, п.1.5, ряд сходится. ►
ОО
58. Доказать, что сходимость векторного ряда в Efc, Ап = (a„i, a„2, ..., a„t),
Ап € Е*, эквивалентна сходимости всех рядов ^\П1, i = 1, к.
◄ 1. Пусть все ряды V °п>> ’ = Г к, сходятся. Тогда 3 lim Sn> = Si, где Sn, и S, — со-
.	n-*oo
n=l
ответственно частичные суммы и суммы рядов. По определению предела последовательности
Ve > 0 Зпо такое, что Vn > по выполняются неравенства
|Sni — S, | < е, г — 1, к.
Отсюда
или ||Sn - S|| < еу/к , где 1| - || — норма элемента в Efc, Sn = (Sni> Sn2, , Snfc), S =
(Si, S2, .... Sk) =	-^n- Следовательно, 3 lim Sn = S в Efc, т.е. по определению 3, n, 1.1,
векторный ряд Л" сходится к S.
2. Пусть сходится- векторный ряд Ап к сумме S, S € Efe. Тогда по определению 3,
П=1
п.1.1, Ve > 0 Эпо такое, что Vn > по выполняется неравенство
Отсюда
IISn - S|| < е
т.е. сходятся все ряды £2 an>-
59. Исследовать на
1	е-п\.
n In п ’	/ ’
а
In п
сходимость векторные ряды:
п!
(2n + 1)!!(| sin п| + | cos п|) у
^2 у ~ в силу интегрального признака Коши—Маклорена расхо-
п=2
◄ а) Поскольку ряд
дится, то данный векторный ряд, по доказанному выше, также расходится.
б) Для сходимости данного векторного ряда необходимо и достаточно, чтобы сходились
все три ряда:
ОО	ОО	ОС	1
Е-ТП V Inn _______________________,___________
е ’ 2.^ nJn' (2п + 1)!!(| sin n| + I cos п|)'
71=1	П=1	П=1
К первому ряду применим признак Раабе:
lim п (ехр { Vn + 1
1
- 1
$ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	21
= lim п ( 1+ = ,*------— + о ( -^= ] - 1 ) = lim n(y/n + 1 + -y/n)-1 = +оо.
"-.оо у Vn + 1 + vn \Vn/ / п—°°
Следовательно, ряд сходится. Ко второму ряду применяем интегральный признак Коши—
Маклорена, т.е. исследуем на сходимость несобственный интеграл:
Поскольку интеграл сходится, то сходится и ряд. Что же касается третьего ряда, то сначала
используем признак сравнения
п!	я!
(2п + 1)!!(|sinп| + |cosn|)	(2n + 1)!!’
00	(
а затем к ряду 52 т 2~.- применим признак д’Аламбера:
П=1
Цт (п-Ц)!(2п-Ц)!! = 1
п-*оо (2п 4" 3)!! н!	2
Следовательно, третий ряд является сходящимся. Таким образом, поскольку все три ряда
сходятся, то данный векторный ряд также сходится. ►
оо
60.	Доказать, что сходимость ряда комплексных чисел эквивалентна сходимости
П=1
двух действительных рядов Ein и Е Уп , где zn - In + iyn-
П=1	71=1
00	00
◄ 1. Пусть ряды 52 in и 52 уп сходятся соответственно к суммам X и У. Тогда, по
П=1	п=1
определению 1, п.1.1, Vs > 0 Зпо такое, что Vn > пп выполняются неравенства
|Х„ - Х| < е И |УП - У| < е,	(1)
где Хп, Уп — частичные суммы этих рядов. Учитывая неравенства (1), получаем
|Xn + iYn - (X + .У)| = |Х„ - X + «(Уп - У)| < |ХП - Х| + |У„ - У| < 2е.
ОО
Следовательно, частичные суммы комплексного ряда 5~^ (in + ij/n) сходятся к числу X + iY =
П=1
со	оо
52 + « 52 У"-
п=1	71=1
ОО
2.	Пусть ряд 52 zn сходится к сумме X + iY . Тогда, по определению 1, п.1.1, Ve > 0 Зпо
п= 1
такое, что выполняется неравенство
|ХП + >Уп - (X + *У)| < е или у/(Хп - ХУ + (У„ - У)2 < е,	(2)
где Хп + «Уп = 11 + «У1 + 12 + «Уг + • • • + in + «Уп = zi + 22 + •   + 2п — частичные суммы
рассматриваемого ряда. Из (2) следует
|Хп-Х|<е, |У„-У|<£,
оо
т.е. Хп -+ X, У„ —» У при п —<• оо. Следовательно, ряд 52 сходится к сумме X, а ряд
п=1
со
52 Уп — к сумме У. ►
п=1
61.	Исследовать на сходимость комплексные ряды:
22
Гл. 1. Ряды
а)	£п3 + 1;б> £(i + 2)(t + 4) ... (i + 2n)'
n=l	n==l
ОО	00
◄ а) Поскольку ряды	и У', сходятся, то по доказанному выше сходится
n=l	nal
данный комплексный ряд.
б)	Используя формулу I + iy = ^/i2 4- у2(costp + «sin p), преобразуем выражение
(i+2)(7+4)...(."2n) K ВИ«У	*П =	П°СК0ЛЬКУ
n!|cos<jjn| <	n!	n!|sin^„|	п!
vW17 ... V4n2 4- 1 V5vTi ... \/4п2 + 1 ’ х/бу/Й ... V4n2 4- 1	х/5\/Й ... x/4n2 + 1
00
и ряд й ———п' . по признаку д’Аламбера сходится, то на основании доказанной выше
“ х/5ч/17 ...-i/4n2 + l
теоремы (пример 60) сходится и данный комплексный ряд. ►
Заменив последовательности (in), n Е N, соответствующими рядами, исследовать их схо-
димость:
62.	хп = 1 4—2= 4- • • • 4—т= — 2\/п.
V2	Vn
п—1
◄ Поскольку Хп — £2 (Х*+1 - ®*) + ®1, то
*=1
14-
1
к=1
Следовательно,
1
lim х
при к —ос,
jj—i 4" k(Vk 4-1 4- хУ)2
Полученный ряд сходится по теореме 4, п.1.5, ибо
__________1____________1
Vfc 4- 1(хД 4-1 4- Vk)2
поэтому сходится также данная последовательность. ►
е о у-'' In к In2 и
63.1п = ^___.
fc=l
◄ Поступая аналогично проделанному в предыдущем примере, получаем
fc=l '	'
откуда
lim хп = У2 (~г~7~Д + I О”2 к ~ 1п2(* +	'
п-*оо	\ к 4~ 1	2 '	/
fc=i 4
Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, имеем
„	21п(п4-1) , п , ,
2ап =----1	’ 4- In ——  In n(n 4-1) =
n 4-1 n 4-1
_ 21n(n4-l) ln(n 4-1) 4-Inn , Zlnn\ _ 21nn
~ n 4-1	n	\n2/ n(n 4-1)
-п 4-1
п(п 4-1)
- 21пп + п-1— 4- О* (~= о* (
п(п4-1) + п2(п4- 1)	\ п2 )	\
оо.
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
23
Следовательно, сходимость последовательности (хп) эквивалентна сходимости ряда
00
Е  Последний, по интегральному признаку, сходится, поэтому сходится и данная после-
п=2
довательность. ►
64.	Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы найти его сумму с точностью до
10-s , если
оо	оо
П=1	П=1
Нужное число членов ряда найдем из неравенства
|яп+1 + Оп+2 -4- - • - I < Ю 5,	(1)
где ап — общий член рассматриваемого ряда.
а)	Пусть ап —	• Поскольку
ГтТ»<7Ч "«
(п 4-1)2 J I2
п
ТО
+ оо
...1,_+ _2. _+... < [ IL
(п + 1)2 + (п + 2)2 J 12
п
Следовательно, если
^ю-5
X2
то неравенство (1) будет выполняться. Из (2) находим п 10 s.
б)	Пусть ап =	. Тогда
2n+i /	2	22	А
|ап + 1 + Оп+2 + • . . I =  —-7 I 1 4-— + - —Г-, —Г + . . .
(п + 2)! у	п + 3 (п + 3)(п + 4) J
2п+1 /	2	/ 2
< (п + 2)! п + 3 \п + 3
(2)
(n + 3)2n+1
“ (п + 2)!(п+1)'
2
Таким образом, если	^10 5, то неравенство (1) будет выполняться. Решая по-
следнее неравенство, находим п 10. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать сходимость рядов:
1- Ё 3. £ («»+)"‘. <• Ё
п=1	п»1	п=1 '	7	п=1
S. £ |1п («, 1)|1. в. £ Г. £ i£fe«-’/K
п=1	п=1 ’	п=1	’
fi V - п(п+3)(п+6) ... (4п-3) g __________ (п-1)!	________
•	(п+1)(п+4) ... (4п-2)(п+2)» • • 2^г (n+75=Ttg (n-I+vCTtj -ij) ...(2+tg 1) ’
w. f и. f 12. £	1»- £ У» - УвТ!).
24
Гл. 1. Ряды
ОО
14. Е
2	/Т\
n-C0SVnJ
• 15. Е n2 In2 п 
п=2
16. Доказать признак Бертрана: если существует хотя бы в несобственном смысле предел
lim ((п - 1) - 1) Ь n) = q,
то числовой строго положительный ряд Е °" ПРИ ? > 1 сходится, а при q < 1 — расходится.
Пользуясь признаком Бертрана, исследовать сходимость следующих рядов:
ОО п	1	0°	.	.
17- ЕП'1'* ГДе 7* = (1 + I + kin i + kin2 k)  18’ E (2n+l)!!v^ln“ n •
n=lk=2	n=2
Установив поведение общего члена при п —» оо, исследовать сходимость следующих рядов:
ОО / П	\	оо / 4-00	(	2 2 i \	\
19- Е I Ё I п°- 2о. Е I Г
I Z-/ fc	I	4-/IJ	nx4^.x2^.i J
21
dt.
23. Е И sin пт] di, где функция f абсолютно интегрируема на ]0, 4-оо[ и
п=1 о
+ оо
J* f (ж) dx / 0.
о
ОО +оо	ОО +оо	2
24. Е f е~хП dx " 1 • 25. £ J	.
п=1 0	п=1 п
00
26. Матричный ряд Е -Ап , где Ап матрицы размера kxl, называется сходящимся, если
П=1
a lim У^АР — А,
п~*°° Р=1
где А — матрица размера к х I.
Показать, что сходимость матричного ряда эквивалентна сходимости всех рядов вида
Ё 1 О О, 1 Я I,
п=1
где a£q — элементы матрицы An, п € N.
27. Доказать, что матричный ряд
м^ + ^ + ... + ^+...,	(1)
где А — квадратная матрица, I — единичная матрица, х — число, сходится. Матричный
ряд (1) определяет матричную экспоненту ехА , т.е.
nssO
28. Пусть квадратная матрица А приводится
к диагональному виду,
т.е.
матрица Т такая, что
существует
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
25
Тогда
< О
°
Т"1.
еЛп )
Доказать это.
29. Пусть квадратная матрица размера п х п имеет вид
Тогда
/А 1 О
А 1 О
°\
о
(п-1)!
(п-2)!
1
V
\0
Доказать это.
ОО
30. Доказать, что ряд £2 Ап сходится, если
п=0
f (а”’)2 < 1,
Р, 9=1
где ар? £ R — элементы матрицы А.
§ 2.	Признаки сходимости знакопеременных рядов
2.1.	Абсолютная и условная сходимости ряда.
ОО
Определение 1. Ряд 52 ап называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
П«1
оо
52 1ап|, где ап £ R или С.
П=1
оо	оо	оо
Определение 2. Если ряд £2 а" сходится, а ряд 52 1ап| расходится, то ряд 52 ап
п=1	п=1	п=1
называется условно сходящимся.
Теорема 1. Из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость.
Теорема Z. Если ряд сходится абсолютно к сумме S, то члены ряда можно переста-
влять в любом порядке и сумма переставленного ряда также будет равна S.
Теорема S (Римана). Если ряд сходится условно, то путем соответствующей пере-
становки его членов можно получить ряд с наперед заданным значением суммы (при этом
не исключается ±оо).
26
Гл. 1. Ряды
2.2.	Признак Лейбница.
Если ап = (—l)n6„, in 0, и последовательность (Ьп), начиная с некоторого номера по,
ОО
МОНОТОННО стремится К нулю, ТО ряд 52 СХОДИТСЯ.
п=1
Для остатка такого ряда справедлива оценка:
= (~ 1) бпЬп+1, 0	1, п > по*
2.3.	Признак Абеля.
Ряд
оо
(1)
П=1
сходится, если сходится ряд ап и последовательность (Ьп) есть монотонная и ограничен-
ий
ная.
2.4.	Признак Дирихле.
Ряд (1) сходится, если последовательность (Ьп), начиная с некоторого номера по, моно-
00
тонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда 52 ап ограничена.
П=1
2.5.	Ассоциативное свойство ряда.
Члены сходящегося ряда можно группировать произвольно; при этом сумма ряда не из-
меняется.
ОО
65.	Доказать, что ряд ^~^ап является сходящимся, если выполнены условия: а) общий
П=1
00
член этого ряда а„ —» 0 при п —► оо; б) ряд	полученный в результате группировки
П=1
членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится; в) число слагаемых а», входящих
Рп+1 -1
в член Ап =	1 = pi < р2 < ..., ограничено.
i=Pn
оо
◄ Пусть (5„к) — последовательность частичных сумм ряда 52 Ап. Тогда
П = 1
$пк — 01 + 02 + ••• + Ор2—1 + Ор2 + 0р2+1 + . . . + Ор3_ 1 -+-...+
+ аРп + аРп+1 + • • • + “к + Ок+1 + • . . + 0Рп+1-1 =
— Sk + Ok+i + ... 4- оРп+1-1, рп к Pn+i — 1,
00
где (5*) — последовательность частичных сумм ряда 52 ап-
П=1
Поскольку ап —► 0 и число членов последовательности (о*+1+а*+2+ • • • +op„+1-i) = (Ск),
по условию, ограничено, то С* —» О при к —< оо. Следовательно, lim = lim Sn, что и
п—»оо	n—*00 .
требовалось доказать, к
66.	Доказать, что ряд
01 + 02 +__+ Ор3—1 ~ ®Р2	~ Ор3—1 + Орз + . . .
сходится или расходится одновременно с рядом
00	/Р«+1 “1 \
I Oil, о» > 0; 1 =Р1 <₽2 < ... .
n=l	\ i»p.	/
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
27
Ч Пусть сходится первый ряд. Тогда сходится любая подпоследовательность его частич-
ных сумм, в том числе и такая:
(П	/Рп+1“"1 \\
k=l	\ >=Рп	/ /
т.е. последовательность частичных сумм второго ряда. Следовательно, второй ряд также
сходится.
Pn+1-l
Пусть теперь сходится второй ряд. Тогда а, —► 0 при п —> оо. Это означает, что,
|=р»
в силу положительности at, сумма <u+i + ... + «р„+1-1 (см. предыдущий пример) также
стремится к нулю и
lim S^k — lim S\,
n~*oo	к—’oo
т.е. сходится первый ряд. ►
67.	Доказать, что сумма сходящегося ряда не изменится, если члены этого ряда пере-
ставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положения больше чем на
т мест, где т — некоторое заранее заданное число.
ОО
Ч Пусть S — сумма ряда £2 °п- Тогда Ус > О ЭЛГ такое, что Vn > N для последова-
П=1
тельности частичных сумм (S„) этого ряда выполняются неравенства S — е < Sn < 5 + е. В
силу условия примера, при п > N + т можем написать S-e<5„<S + e, где (S„) — по-
следовательность частичных сумм ряда, полученного в результате указанной перестановки.
Следовательно, lim S'n = S. ►
П-*00
Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:
в8.-|+н+....
Ч Общий член ряда ап = (-1)"ЬП, п 6 Z+, donde Ъп —	 Так как Ъп, начиная с неко-
торого номера, монотонно стремится к нулю, то, согласно признаку Лейбница, ряд сходится.
Доказать сходимость этого ряда можно и непосредственно. Замечая, что последовательность
(,$’„) частичных сумм этого ряда представляется в виде
sn =	+ S^2) + ... +S$.n+1),
) =	। (-1)" 2 Л нН
2 4 8	2”	3 \	. 2"+J J ’
= 2 f_l+ 1 _	. H)n\ 4/1 (-!)”** \
"	\ 2 4 8	2" J 3^2	2n+1 J ’
?(*+x) - 2 f И1)' _ (-1)* . . H)H . < f (-1/ (-l)n+1
"	\ 2*	2k+1 г •" "r 2” I 3 \ 2*	2"+1
cWjA-l)"-1 (-l)nH с(п+1)=2НГ
n 3 у 2n-1	2n+1 J ’ n	2n ’
получаем
s =2+if-l + l_ , (-l)n~H	2	(-1)"*1	4	(n-lX-l)”^	(-1)”
n 3	3^ 2	4	’ ’ "Г 2”-1 )	3	2"+!	3	2n+1	.	2" '
Следовательно, lim Sn существует (т.е. ряд сходится) и равен ►
п—*оо	9
69.	+	+	+
2	3	4	5. 6
28
Гл. 1. Ряды
◄ Поскольку общий член ряда имеет вид ап =	, п g N, а последовательность
монотонно стремится к нулю, то, по признаку Лейбница, ряд сходится. Найдем S?n. Имеем
^=144--+^-т-^=144+-+^-(14+-^) =
= С + In 2п 4- в2п •* (С + In п 4" £п) = In 2 4" £2п — £п>
где С — постоянная Эйлера, а еп —► 0 при п —► оо.
Учитывая еще, что lim Sn = lim Згп где (Sn) — последовательность частичных сумм
п-*ос	п—»ОО
данного ряда, окончательно получаем
ЧЧ-Ь-=1п2-*
70. Зная, что > -— ---- = In 2, доказать следующее утверждение: если члены ряда
' п
nel
. 111.1
1“	‘ ’ переставить так, чтобы группу р последовательных положительных
членов Сменяла Группа q последовательных отрицательных членов, то сумма нового ряда
1 Р
будет равна In 2 + - In -.
2 q
◄ В результате указанной перестановки получим ряд
1+3 + 5+ "’ + 2р-1	2	4 2g + 2р + 1 + 2р + 3 + ' " + 4р - 1
сумма которого, в силу примера 66, равна сумме ряда
„ 1 1 1
1 + “ + т + ••• + т-----------г
3	5	2р — 1
+ _2__ + _А_
I 2р+ 1	2р+3
в случае сходимости последнего.
Рассмотрим ряд
(г(п - 1)р + 1 + 2(п - 1)р + 3 + ' ’ + 2пр - 1
_____1_____________1
2(n-l)g + 2 2(n-l)g + 4
1
4р - 1
(1)
(2)
Ряд (2) получается из ряда (1) в результате группировки членов ряда (1) по два. Поэтому
если мы покажем, что ряд (2) сходится, и найдем его сумму, то, на основании результата,
полученного в примере 65, можем утверждать, что ряд (1) имеет ту же сумму.
Пусть р > q. Тогда нетрудно получить, что
5п 2 + 3 " 4 + " +2^+ 2ng+l + 2ng + 3 + ” + 2пр-Г
где (Sn) — последовательность частичных сумм ряда (2). Прибавляя и вычитая в выражении
(3) слагаемое
2ng + 2 + 2ng + 4 + ’' ‘ + 2пр ~ 2 (ng+ 1 + ng + 2 + ’ ’ ’ +
и пользуясь асимптотической формулой
1	1	1	, ш .
m+1	m + 2	n n
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
29
из (3) получаем
Sn = C2np + In - ^1п — +	—< 0, я —> оо,	(4)
2nq 2 nq
ОО	п 1
где (Cinp) — четная подпоследовательность частичных сумм сходящегося ряда £2	~ •
П = 1
Таким образом, из (4) находим
S= lim Sn = In2 +-In-.
n—oo	2 q
Заметим, что при р q аналогичным образом получается этот же результат. В частности,
если р = 2 и q = 1, то
1 +	+	... =-1п2;
3	2	5	7	4	2
если p = 1, q — 2, to
2 4 3 6
+ ... — — In 2. ►
о	2
JSL, r_ip+i
71. Члены сходящегося ряда > -—=—
-Jn
переставить так, чтобы он стал расходящимся.
Ч Рассмотрим, например, ряд
Очевидно, этот ряд получается из данного ряда в результате такой перестановки: за тремя
положительными членами следует один отрицательный. Покажем, что ряд расходится.
В силу неравенства + v'en-i —	> ~^n-i ~	> °’ имеем оценку общего члена
00
второго ряда: ап > ё/ёп-з. Поскольку ряд £2 Т/бпТз по теоРеме 4, п.1.5, расходится, то по
П=1
00
теореме 1, п.1.5, ряд ап также расходится, что и требовалось. Заметим, что исходный
П=1
ряд сходится по признаку Лейбница. ►
Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
72.1 + 1 + 1-1-1-1 + 1 + 1 + 1-....
2	3	4	5	6	7 8	9
Ч Поскольку сгруппированный ряд, согласно признаку Лейбница, сходится, то, на осно-
вании доказательства, приведенного в примере 65, приходим к выводу, что данный ряд также
сходится. ►
73.	V —^sin^.
< п 4
П=1
◄ Поскольку
1
sin

30	Гл. 1. Ряды
а последовательность (п-11п100п), начиная с достаточно большого п, монотонно стремится
к нулю (это вытекает из того, что
Нт г-1 In100 х = 100 Нт i-1ln" г = 0, (г-1 In100 х)' < 0 Vi > е100),
х—*+оо	х—*+оо
то, согласно признаку Дирихле, данный ряд сходится. ►
со	, 2
74.	£(-1)"^.
п=1
4 Ряды У, и у	сходятся: первый — по признаку Лейбница, второй (в
П=1	П=1
/ п	\
силу ограниченности последовательности I £2 (—1)* cos 2fc I,
\fc=i	/
^(-l)*cos2fc = ~| + 2^cos(2w + 1) <-1+ 'C°S1) ,
fc=l
и монотонного стремления к нулю при п —► оо) — по признаку Дирихле. Следовательно,
их полуразность
°© , чп	ОО	. 2
П=1	п=1
является также сходящимся рядом, к
СО	.	. _
75.	V ..J"1) .
,/п+ (-1)"
п=2
◄ Представляя общий член ряда в виде
(~1)	_ (	~ (~1) _ / т/п__________1_
л/»4-(-1)п	п-1	' п-1	п-1
ОО	п /—	00
и замечая, что ряд У', ^~п_1 ’ П0 признаку Лейбница, сходится, а ряд У} расходится
п=2	п=2
(к +оо), заключаем, что данный ряд также расходится (к 4-ос). ►
76.	У sin(Ty/п2 4- к2).
П=1
◄ Поскольку
sin (я^/п2 4- fc2) = (—1)"sin тг ^\/п2 4- к2 — п) = (—1)П6П,
где Ъп = sin —~!=---последовательность, монотонно (при п > по) стремящаяся к нулю
4/n= + k2+n	J
при п —+ оо, то, по признаку Лейбница, ряд сходится. ►
77.	V (-1)[,Л1
Z-/ п
П=1
Рассмотрим ряд, полученный в результате группировки членов данного ряда. Имеем
-0+НЫ^-ЧМ^+--+й)+''
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
31
Поскольку
Л 1 .	1	,	1	2* 4-1	„ .
Ак it2+ fc2 + l + ‘" + (fc + l)2-l к2
2к 1 11
Ак - А*+1 = (2fc + 1) 52 (*;2 + rn)((jt + l)2 + ro) - fc2+4fc + 2 “ fc2 +4* + 3 >
m=0
(2fc + I)2_______________1______________1
> (к2 + 2k)(k2 + 4k + 1) k2 + 4k + 2 k2 + 4k + 3
при к ко, то ряд 52 (—1)*А*, согласно признаку Лейбница, сходится. А тогда на основании
*=i
выводов, полученных в примере 66, данный ряд также сходится. ►
irn2
COS —г
78.
п=2
◄ Имеем
1п2 п
2	/	2	\
1^71	(	1\П	/	I / i\n+l	7Г
COS-------г =5 (-1) COS 1Г------г - 7ГП I = (-1) т cos-------------.
71 -f* 1	к П "h 1 J	71 “Ь 1
Е
п=2
Так как ряд
+ 1	ТГ V	/	7Г \
п , по признаку Лейбница, сходится, а последовательности! (cos
монотонна и ограничена, то исследуемый ряд, по признаку Абеля, также сходится. ►
79.	Доказать, что знакочередующийся ряд
!>i — 62 + Ьз — + ... + (—1)" 1 Ьп + • • • , bn > О,
bn	, , Р ,	_ п
сходится, если т---= 1 Н----F о I — I при п —> оо, где р > 0.
Оп+1 п \п/
◄ Как следует из примера 35, при р > 0 последовательность (bn) I 0 при п > по. Поэтому,
по признаку Лейбница, данный ряд сходится. ►
Исследовать на абсолютную сходимость следующие ряды:
80.	У>(1 +
Z-/ \ и? I
п=2	4	'
Ч Пусть р 0. Тогда общий член ряда к нулю не стремится и, следовательно, ряд
расходится. Полагая, далее, р > 0 и пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в
форме Пеано, находим
In I 1 +
Поскольку ряд
(-1)п\ (-1Г	1
П₽ I ПР	2п2р
при п —» оо.
согласно признаку Лейбница, сходится при р > 0, а ряд 52 “п> где
а" =	+ 0 (^)> по теоРеме 4, п.1.5, сходится
+оо), то данный ряд сходится только при р > J.
В силу неравенства
1
2п₽
при р > | (при р | ряд расходится к
2
п₽’
(-1)'
п₽
и теорем 1, 4, п.1.5, данный ряд сходится абсолютно при р > 1. Следовательно, при значениях
р, удовлетворяющих неравенству j < р 1, исследуемый ряд сходится условно. ►
81.	У____Ь1)"
^(П+(-1)п)р-
32
Гл. 1. Ряды
◄ При р 0 общий член ряда не стремится к нулю, т.е. ряд расходится. Поэтому,
считая, что р > 0, и применяя формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано,
преобразовываем общий член ряда к виду
(-1)"
(п+ (-!)”)₽
= (-!)%-₽
= (-l)nn~₽ 1+Л-^--------+ о
V п
(-1)’
п₽
р , f 1
nP+1 UP+1
при п оо. Ряды	+ о (^ят)) сходятся при р > 0 (первый — в силу
п=2	п=2
признака Лейбница, а второй — по теореме 4, п.1.5). Поэтому исходный ряд сходится при
этом же условии.
Поскольку, далее,
(п + 1)Р (п + (-1)")Р	(n-l)P’
00
и ряд £2 сходится при р > 1, то, в силу последнего неравенства и теоремы 1, п.1.5, данный
п=2
ряд сходится абсолютно при р > 1. Следовательно, при 0 < р 1 исследуемый ряд сходится
условно. ►
00	. П7Г
82-Е^Р—
пр + sin —
4 Очевидно, при р 0 ряд расходится, поскольку при этом не выполняется необходимое
условие сходимости. При р > 0, как и в предыдущем примере, представим общий член ряда
в виде
sin --
Ряд ~сходится, по признаку Дирихле, при р > 0, поскольку
• кт
^Sln V
*=i
— 10; п —► оо.
п₽
Далее, ряд £2 nir при Р > 0 сходится также по признаку Дирихле, а ряд
п=1
П=1
сходится по теореме 4, п.1.5, только при р > Поэтому полуразН°сть этих рядов
является сходящимся при р > | рядом (при 0 < р | ряд У2 ^57 расходится к +оо, поэтому
п=1 "	j
и последний ряд расходится к +°°). Следовательно, исходный ряд сходится лишь при р >
$ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
33
Для установления области абсолютной сходимости воспользуемся оценками
* П1Г I I • ПУГ I
sin-[	[sin—[
2п₽ п₽
1	< 2 [sin
_	шт • 2 п*	I • пут I
1____cos — _ sin —	|sin — I	_1_
2n₽	2n₽ ~ nP nP nP
и теоремами 1, 4, п.1.5. Из этих неравенств следует, что данный ряд сходится абсолютно
лишь при р > 1. Поэтому при - < р 1 ряд сходится условно. ►
f-te	(1)
пр
П = 1
4 Очевидно, при р > 1 ряд сходится абсолютно. Для выяснения области сходимости
рассмотрим ряд
£(-1)ПА„,	(2)
П=1
где Ап = (^1)7 + (^7)7 + • • • +(n»+2n)i’ ’ полученный в результате группировки членов данного
ряда. Поскольку 0 < Ап < ~ii' ~* 0 при п —» оо и р > j, а также
— Лп-Ц
V- ((п 4-I)2 + 1)Р - (п2 + 1)Р
(п2 + 1)р(п2 + 2n + i + 1)р
- (п2 +4п + 2)~р - (п2 + 4п + 3)~₽ >
(2п + 1)((п2+4п + 1)р-(п2 + 2п)р)	1	1
(п2 + 2п)р(п2 + 4п + 1)р	(п2 + 4п + 2)р	(п2 + 4п + 3)₽
при достаточно большом п, то, в силу признака Лейбница, ряд (2) сходится. Кроме того, Ап >
(п^+2п)'р не стремится к 0 при р С | ; поэтому ряд (2) расходится, если р |. Следовательно,
согласно примеру 66, ряд (1) сходится лишь при р > |. Таким образом, область условной
сходимости ряда (1) определяется неравенствами | < р 1. ►
84.	у
п=1
◄ Ряд
ОО	/	\
D"1)* 1	+••• + pj) -
полученный в результате группировки членов данного ряда, в силу оценки p'?ij+1 + -   +
PT >	— = 1 ~ 1 [е^]' ~“ ё> * ~* °0’ расходится. Следовательно, согласно примеру
66,	исследуемый ряд также расходится. ►
85.	Vr-i)"-1 (13-5 (2"-1)У
Z-Л 11	2-4-6 ... (2n) J •
◄ Рассмотрим отношение
(I-35	(2п-1) У . (1-3-5 ... (2п — 1)(2п + 1)\Р _
\ 2-4-6... (2n) J Д 2-4-6 ... (2п)(2п + 2) /
= (1 + гпгг)₽ = 1 + г^п + о(~) = 1 + ^' + о(~)-
\ 2n +1 / 2n +1	\п/ 2п \п/
Отсюда видим, что, согласно примеру 79, ряд сходится, если р > 0. Так как при р 0 общий
член ряда не стремится к нулю при п —. оо, то это условие (р > 0) является необходимым
для сходимости ряда.
34
Гл. 1. Ряды
Далее, по признаку Гаусса, ряд сходится абсолютно лишь при р > 2. Следовательно,
при значениях р, удовлетворяющих неравенству. О < р 2, данный ряд сходится только
условно. ►
86.2__± + 1_1 + 1_1+.„.
р 2’	3”	4’ 5р 6’
4 Сразу заметим, что если р 0 или д 0, то ряд расходится в силу необходимого
признака. Поэтому далее, считаем, что р > 0 и q > 0.
Имея в виду пример 65, сгруппируем члены данного ряда следующим образом:
М _	J_ \ , И _ J_ \	, (±_ _ 2. V -	V	( 1	1
\1р	2»/ + КЗр 4V	+ \5р 6’/ +	‘”-	2^	1пр	(п +	1)«
n=l,3,S,... 4
Так как
1	1	1	1 /	ip._	1	1 /	g	/1\\	=
Пр	(п + 1)«	пр	п’ \	п)	пр	пч к	п	\п/)
11	Я	( 1 \
—---------1" -ГТ + О I -ГТ ) , п —> 00,
пр п’ п«+х	кп’+Ч
то, по теореме 4, п.1.5, сгруппированный ряд сходится при р = g > 0. Если же р / д,
то отсюда следует, что ряд сходится при р > 1 и g > 1 одновременно. А тогда, согласно
упомянутому примеру, при этих же условиях сходится и данный ряд.
Очевидно, абсолютно ряд сходится лишь при р>1 и g > 1. ►
«7 ixi_2-j.-L4.-L_2.4-
+ Зр 1 2р + 5р + 7₽ ! 4р + ’'
4 Ряд I + J7 + J7 + J7 + 77 + J7 + •••> составленный из абсолютных величин членов
ОО
данного ряда, сходится лишь при р > 1, так как при этом условии сходится ряд ^2 — и
П=1
члены абсолютно сходящегося ряда можно переставить в любом порядке.
При р = 1 получаем ряд, сходимость которого исследована в примере 70. Там мы уста-
новили, что ряд сходится.
Рассмотрим случай, когда 0 < р < 1. Образуем подпоследовательность частичных сумм
данного ряда (53п), где
5з" 1 2р + Зр 4р + ” + (2п - 1)р (2п)р + (2п + 1)р + (2п + 3)р + " + (4п - 1)р
“ С'2п + (2п + 1)р + (2п + 3)р + ''' + (4П _ 1)р ’
(Cin) — подпоследовательность последовательности частичных сумм сходящегося ряда
(—1)п—1
. Поскольку
п=1
1.1	1	П
(2ThF+(^W+--- + (4^>(4^^+W ПрИП^’Т0
=J™ +J™ ((2^if++ -+ оьЬрО=+0°-
Следовательно, данный ряд при 0 < р < 1 расходится. Заметив, что расходимость его при
р 0 следует из необходимого условия, окончательно устанавливаем, что исследуемый ряд
абсолютно сходится, если р > 1, и условно, если р = 1. ►
«« ix2__2_x2.x2__2_x2_x_L._2_x
+ Зр 1р + 5р + 7р Зр + 9р + Пр 5р + ’ ‘
4 Очевидно, при р > 1 данный ряд сходится абсолютно, ибо при этом условии сходится
00
ряд 52 i > и члены абсолютно сходящегося ряда можно переставить в любом порядке.
$ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
Пусть 0 < р < 1. Рассмотрим подпоследовательность (5зп) последовательности частич-
ных сумм данного ряда. Имеем
<?	-	1 I 1 I .	1
Зп (2п + 1)р	(2п + 3)р	(4п-1)₽‘
Поскольку S3„ > ^2.^, -+ оо при п —► оо, то данный ряд расходится.
Пусть р = 1. Тогда 0 < 8зп < | и, по теореме о монотонной ограниченной последова-
тельности, lim Ззп конечен. Следовательно, сходится ряд
п—*оо
А так как все условия примера 65 здесь выполнены, то данный ряд также сходится.
Учитывая еще, что при р 0 исследуемый ряд расходится, окончательно устанавливаем,
что он сходится абсолютно при р > 1, а при р = 1 — условно. ►
89.
2« + 3₽ + 4Р 5’ ' 6р ' 7р 8’ +	'
◄ Рассмотрим ряд
ПР (п + 1)’ (п + 2)Р
полученный из данного в результате группировки его членов по три. Считая, что р > 0 и
q > 0, имеем
_ 1 _	2	1	_ /_1______1_\	/_?______р_\	/ 1
“п “ пр (п + 1)’ + (п + 2)р ~ 2 \n₽	n«/+2kn’+1 пр+Ч+°\п«+’
Отсюда, в силу признаков сравнения, п.1.5, следует, что при р = q ряд (2) сходится. Пусть
р / q. Тогда ап ~	ПРИ п —► оо, и, следовательно, по признакам сравнения, ряд (2)
расходится, если min(p, q) $ 1. Так как все условия примера 65 здесь выполнены, то выводы,
относящиеся к ряду (2), остаются в силе для ряда (1).
Замечая еще, что при р 0 или q $ 0 исследуемый ряд (1) расходится (общий член
ряда не стремится к нулю), а при р > 1 и q > 1 он сходится абсолютно, заключаем, что при
О <.Р — ? 1 ряд сходится условно. ►
90.	V где (•••(*»-» + !)
' \п I’ \п I	п!
П=1	'	'	'	'
4 Для удобства представим общий член ряда в виде
МА / nn-i. .	(n-m-l)(n-m-2) ... (1 - m)m
W=( ) n=---------------------------------
Очевидно, при т £ Zo ряд сходится абсолютно. Поэтому, исключая этот случай, можно
образовать отношение
Ьп _ 1 т + 1 т
Ьп+1 ~ п n(n - т)'
Так как начиная с некоторого номера по, последовательность (6П) имеет определенный знак,
то будем считать, что Ъп > 0, п по. В таком случае из отношения (1), учитывая пример 79,
находим, что ряд сходится, если т + 1 >0. Поскольку при т +1	0 последовательность
монотонно возрастает, то условие т + 1 > 0 является также и необходимым для сходимости
ряда. Далее, по признаку Гаусса, из (1) следует, что ряд сходится абсолютно, если т > 0, а
при m < 0 — расходится (абсолютно).
Таким образом, все сказанное позволяет сделать вывод, что при m > 0 ряд сходится
абсолютно, а если — 1 < т < 0, то ряд сходится условно. ►
36
Гл. 1. Ряды
(—l)n+1	1
91.	Доказать, что сумма ряда	— для каждого р > 0 лежит между - и 1 .
◄ Поскольку ряд, в силу признака Лейбница, сходится, то подпоследовательности ча-
стичных сумм его имеют один и тот же предел S; причем подпоследовательность (Ь'зп),
/ И ( 1 И
52п~(1-^) + (з?"4^ + "- +
/ 1 1 \
\(2п-1)р	(2п)р/ ’
возрастает, а подпоследовательность (Sjn-i),
<?	= 1 _ с ± _	_ ( 1__________1 \
2п 1	\2Р ЗР/ ”	\(2п-2)₽	(2п — 1)₽у ’
убывает. Следовательно, Sin < S < 52„_i, откуда находим, что S < Si <1. Для доказатель-
ства оценки снизу рассмотрим подпоследовательность (Sin-i). Поскольку график функции
х н-. р > 0, т > 0, является выпуклым вниз, то выполняются неравенства
1,1^2	1,12	1	,	1	2
Зр + 5₽ > 4₽ ’	7Р + 9Р > 8Р ’	’ ’ ’ ’ (4п - 1)₽	+	(4п +	1)р > (4п)₽'
Отсюда для Stn-i имеем оценку
9	=, _ 1 +1 _ 1 +	+	1	1	,	1
4n 1 2p ЗР 4P (4n - 1)p	(4n)P	(4n +1)₽
1 - — —
>	2₽ + 4₽
1	,	1	.	1 c
(4n-2)P + (4п)р 2P 2n’
из которой предельным переходом получаем
lim Sin-i = S 1 —— lim Sin = 1 — —
n-»oo	2^ n—►co	2P
Итак, S > J, чт0 и требовалось доказать. ►
92.	Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить его сумму с точностью до
е = 10-6, если:
◄ а) Согласно оценке остатка, вытекающей из признака Лейбница, нужное число N на-
1
^/(N+Ijs + I
< 10 6, откуда N 106 (см. п.2.2).
ходим из неравенства
б) В силу признака Дирихле, ряд сходится, а по п.2.5 сумма ряда равна сумме сгруппи-
рованного ряда
оо	180n—1	.
п=1	*=1«0(п-1)+1
который, очевидно, является рядом лейбницева типа, т.е. сходящимся по признаку Лейбница.
Следовательно, для остатка этого ряда справедлива оценка
180п+179
Е
fc=180n+l
1
V180n + i
l.«0n+179
E
fc=180n+l
sin A;0 <
VW + 1 sin -i-
откуда N 1,32  10е. ►
93.	Доказать, что гармонический ряд останется расходящимся, если, не переставляя
его членов, изменить знаки их так, чтобы за р положительными членами следовало бы q
отрицательных членов (р qt q). Сходимость будет иметь место лишь при р = д.
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
Ч Указанный в условии ряд
1 + 2 + 3+”‘+р р + 1 р + 2	р + д р + ? +1 + + 2р + g
в силу примера 66, сходится или расходится одновременно с рядом
f1 + i+... + iVf^_+_a_+... + _L_Vf_L_+... + ^_>|_....(1)
\	2	р) \р+1 р + 2	P + qJ \p4-g4-l	2р + g у
Пусть р > q. Поскольку справедливы оценки
& = (1 + |+ ... + -V (-к + ••• + -г-") >i-- = (p
\ 2 р ) \р +1 р + д/ Р	Р
^Р 4-g + 1	2р + q)	(2р + q + 1 2p + 2g)
>Si + 2p + q 2p + q>(P	(p + 2p + g) ’
52n > (p — g) (- 4-	-—I-	4---—----7— )
\P 2p + g	np + (n-l)g/
= z„ > 0
и lim xn — +oo, то ряд (1) расходится.
П—*00
Пусть p < g. Тогда, оценивая частичные суммы ряда следующим образом:
Р 4- д’
д-р
Р 4- д’
, „ ч-р д q „ д-р
'Р—;—;—;> ’5<р—г-
Р + д 2(р + д)	р	+	д
д с '„ д-р (л , 1
~7—:—г, i2n+i < Р-:— I 1 4- -
п(р + д)	р + д \	2
£
п
находим, что lim S^n+i = —оо, т.е. ряд (1) расходится,
п—»оо
Наконец, пусть р = д. Тогда ряд (1) есть ряд лейбницева типа, следовательно, он сходит-
ся. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать сходимость следующих рядов:
00 z	/	\	ОО / ( —1)П	\	ОО	/	9	\
nt V' (-1) mn 	/100 \ По	' i I n nn V'* • 3 i /» I n*+0,l cos n \
31- E 100^ - sin ( -t= I. 32. E I e n -llgn. 33. £ sin nln 11+ T ’ t— 1.
n=2	'	'	n=l \	/	nssl	'	'
34. E exP {	 34 35 36- E arc‘g ” ‘8 (si“ v/^t) sin (n + ^) •
ns-2 4	'	n=l	XV	/
oo	oo . . a r~z .	oo »2
36. Earcsin^cosi.(-l)". 37. £	38. £ sin (,^+n^).
n=l	n=2	n=2
OO / /	.	4„ \ 1+—	\	ОО	П	00
39. E I MCt8 ~k~~ n)	n — 1 ].	40. ^2 n-“ E *Pc°s3 2n, p	€ N. 41. E —nO	n 
n=l \	'	'	/ n=l Jb=l	n=l
sin n
44. E/(l-x2)n’<ix sinn. 45. E f
пя* 0	n=l 0
38
Гл. 1. Ряды
оо
46. £2 »п,где ап есть решение задачи
П»1
(п + 2)аП4-2 + 2(n + l)a„+i + пап = 0, ai = —1, aj =
Исследовать, сходимость матричных рядов J2 если:
а- а / COS I Sin I \ sin
47. An =	. ,	,	—
\ Sin I — COS I / n
2 п — 1	arctg
sin п	соя
42	(-1)п.
п —
§ 3.	Действия над рядами
3.1.	Сложение рядов.
Если ряды
ОО	оо
и fem Яп, Ьп €
П=1	П=1
сходятся в £, то справедливы равенства
ОО	ОО	00
У^(Аап 4 цЪп) = A^an + дУ~Чп,
П=1	П=1	П=1
где А, ц — произвольные действительные или комплексные числа.
(1)
3.2.	Правило Коши.
Под произведением двух рядов (1), где ап, Ьп — числа, понимается третий ряд, общий
член которого имеет вид
Сп = Л16п + 02^п-1 + . . . + апЬ1.
ОО	ОО	00
Вообще говоря, £2 сп / У2 °п У2 ^п- Однако> если один из рядов сходится, а второй сходится
П=1	П=1	П=1
абсолютно, то всегда
ОО	00 оо
У?сп ~ У2а,> У~^п~
п=1	П=1	П=1
Эта формула справедлива и в том случае, когда все три ряда сходятся.
Найти суммы рядов:
4 Поскольку
2птг . „ . о пх I —А.
cos —— = 1 - 2 sin — = <	2 ’
3	3	11,
если п / ЗА,
если п = Зк,
ке®,
оо	оо
и ряды 22	52 2^ СХ°ДЯГСЯ> го, ка основании утверждения п.3.1, имеем
- n=l	П=1
y>COS^=	1/1	1\	1	1/1	IX	1	1/1	П1_	=
zj 2П	2 \2	22/	23	2 \24	25/	2е	2 \2Т	2е/ 29
П=1
= iV'_-IV —= -- ►
2 •*--/ 23n	2 2n 7
nxsl	nasi
$ 3. Действия над рядами
39
95.	|хУ|<1.
п=0
оо
•< В силу сходимости ряда 52 (1У)П > на основании утверждения п.3.1, имеем
п=0
I а-l у I 2 J = 1 + у+ ху + ху2 + X2 у2 + X V + ... =
п=0
= YS*y)n + у Й12,)п = (1 + у) ^(^)п = 737^- ►
п=0	п=0	п=0
96.	Показать, что
п=0	п=0
оо
◄ Ряд 52 ~ сходится, поэтому, согласно п.3.2, имеем
П=1
ОО , оо	J оо	оо
12 (п - 1)! 12 (п _ 1)! = 12 С" = 1 + 12С",
п=1	п=1	п=1	п=2
где
„ _V .	/	Н)*	1 к . (-D*
c„-2^a*i„_*+i-( 1) 2_j (А_ !),(„_ *)|- a*-(jfc_i)!> bk-(k-l)'.'
Поскольку 52 *5(7.—fc)! = n!^ ~ 0" = 0’ ” TO
Cn+i-( 1) 12 t!(n —i)! — °’ n6N’
k=0 v '
что и требовалось показать. ►
~ (~l)n+1
97.	Показать, что квадрат сходящегося ряда > -—у=— является рядом расходящимся.
' х/П
П=1
4 Прежде всего заметим, что данный ряд сходится (условно) по признаку Лейбница. По
правилу п.3.2, имеем
й"_*+2 \	1
tTll... ] = (-i)n+1 V -.......
Vn-i + М	+1)
Поскольку • . -1-	> i,n€N, k = l,n,To
1	> п
yt(n - к + 1) " п
СО
Следовательно, ряд 52 с" > в СИЛУ необходимого признака, расходится. ►
nssl
98.	Проверить, что произведение двух расходящихся рядов

40
Гл. 1. Ряды
есть абсолютно сходящийся ряд.
•< Легко установить (хотя бы с помощью признака Коши), что эти ряды расходятся. По
правилу перемножения рядов имеем
п—1
Сп = Мп + Ь1О,п + Ofcbn-k+1,
к=2
где
(3\п-1	/3\п"“2 /	IX
-)	,Ь1=1,Ьп=1-1 I 2"-1 + —) , п = 2, 3, ... .
Следовательно,
Упражнения для самостоятельной работы
Используя правило Коши, перемножить следующие ряды и найти суммы произведений:
ОО	00
52- Е Чн) Е
49. ЕтйЕЧй-	ЕЧ^ЕЧ
---------- 54 V е-'
(п+1)(п+2)- °’-
53.	Е(-1)п(г)п Е
П=1	П=1
55.	Доказать следующие свойства матричной экспоненты:
a) exlV2A = е(11+1з)л; Ъ) (е1А)-1 = е~хА,
где А — любая числовая квадратная матрица, ii, хг, i g R.
56.	Показать, что в общем случае
АВ, А+В
ее уь е ,
где А, В — квадратные матрицы.
57.	Показать:
а)	(еА)* = еА , где А* — эрмитово сопряженная матрица;
б)	если Ат = —А, то матрица еА — ортогональная;
в)	если А* = —А, то матрица еА — унитарная.
§ 4.	Функциональные последовательности и ряды.
Свойства равномерно сходящихся
функциональных последовательностей и рядов
4.1.	Понятие равномерной сходимости последовательностей рядов.
Определение 1. Последовательность функций (fn), fn : X —* R(C), n € N, называется
сходящейся поточечно к функции f : X —» R(C), если при каждом фиксированном хо € X
числовая последовательность (fn(xo)) сходится к числу /(хо), т.е. Ve > О ЭП = N(e, хо)
такое, что Vn > N справедливо неравенство
|/п(хо) - /(х0)| < е.
Функция / называется предельной для последовательности (/п) •
$ 4. Функциональные последовательности и ряды
41
Определение 2. Последовательность функций (fn), fn : X —> R(C), n € N, называется
равномерно сходящейся к функции f : X —»R(C) на множестве X, если Уе > О 3N = N(e)
такое, что Vn > N АУх € X выполняется неравенство
|/„(х) -/(х)| < е.
В этом случае пишут fn(z) =1 /(х) на X.
Определение 3. Функциональный ряд
ОО
Ufc(l) = Ul(x) + u2(z) + ... + Uk(z) + . . . ,
k=l
(1)
где Uk : Xi —♦ R(C), Xi D X, называется сходящимся поточечно на множестве Хк сво-
ей сумме S(z), х € X, если сходится поточечно последовательность его частичных сумм
(Sn(x)), т.е. Ух0 £ X 3 lim S„(zo) = S(zo)-
п—»оо
Определение 4. Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся к своей
сумме S(x) на множестве X, если последовательность частичных сумм (S„(z)) этого ряда
равномерно сходится на X к 8(х).
4.2.	Критерий Коши.
Для равномерной сходимости ряда (1), п.4.1, на множестве X необходимо и достаточно,
чтобы Уе > О 3N = N(e) такое, что Уп > N Л Ур € N Л Ух Е X выполнялось неравенство
|5п+₽(т) — Sn(т)| < е.
4.3.	Важнейшие достаточные признаки равномерной сходимости рядов.
Мажорантный признак Вейерштрасса. Если Зак 6 R такие, что Ух £ X справед-
ОО
ливы неравенства |uk(z)| Ok, k £ N, и ряд У*, аь сходится, то ряд (1), п.4.1, сходится
к=1
равномерно на X.
ОО
Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда У ak(s) равномерно ограничены
к=1
на X, т.е. ЗМ > 0 такое, что Ух £ X Л Уп £ N выполняется неравенство |Sn(z)| =
п
Е »*(*)
к=1
ям:
М, а функциональная последовательность (6п(®)) удовлетворяет двум услови-
а)	Ух £ X : 6n+i(z) in(z) Уп > по;
б)	bn(x) 0 на X при п —> оо, то функциональный ряд
00
У2о*(г)ь*(1)	w
сходится равномерно на X.
оо
Признак Абеля. Ряд (1) сходится равномерно на X, если ряд У аь(х) сходится рав-
к=1
номерно на X, а функции Ьк удовлетворяют двум условиям:
а)	ЗМ > 0 такое, что Ух £ X Л Ук £ N выполняется неравенство |й*(х)| М;
б)	Ухо £ X последовательность (bk(xt>)) монотонна при к > fco-
4.4.	Непрерывность предельной функции и суммы ряда.
Если последовательность непрерывных функций (/n), fn : X —>• R(C), сходится равномер-
оо
но на X к функции f : X — R(C), то / непрерывна на X. Если все члены ряда У Нк(х)
к=1
непрерывны на X и ряд сходится равномерно на X к сумме S(z), то функция S непрерывна
на X.
42
Гл. 1. Ряды
4.5.	Почленный предельный переход в рядах и функциональных
последовательностях.
Если функциональный ряд (1), п.4.1, сходится равномерно в некоторой окрестности точки
ОО
хо и если lim u*(i) = с*, к € N, то числовой ряд У? с* сходится, причем
к=1
ОО	00
lim V u*(r) = > с*.
Х-*ХО 4-^
fc = l	k=l
Если последовательность функций (/n), п € N, равномерно сходится в окрестности точки
xq и Vn € N 3 lim /п(ж) = Ап> то последовательность чисел (An), n G N, также сходится и
х-*хо
lim ( lim /„(z)) = lim I lim /n(r) ) •
X-*Xq \n-*00	/ П —*00 \ X—*Xq	j
4.6.	Предельный переход под знаком интеграла и почленное интегрирование ряда.
Если последовательность интегрируемых функций (/„)> fn  [а, Ь] —► R, n € N, сходится
равномерно на [а, 6] к функции f : [а, 6] —► R, то Vzq € [а, Ар
X	X
У =t У f(t)dt Vz € [а, 6], п -+ оо.
Хо	Хо
Если ряд (1), п.4.1, члены которого интегрируемы на [a, ft], сходится равномерно на [а, 6], то
справедливо равенство
У S(t) <И = 52У М1) dt>
Хо	fe-1XQ
т.е. ряд (1), п.4.1, можно почленно интегрировать на отрезке [хо, г] С [a, ft].
4.7.	Предельный переход под знаком производной и почленное
дифференцирование ряда.
Если последовательность непрерывно дифференцируемых функций (fn), fn ' [a, ft] —♦ R,
n € N, сходится к функции f : [а, ft] —► R, а последовательность (fn), n € N, сходится
равномерно к функции <р : [а, 6] -*• R, то функция / также дифференцируема на [a, ft] и
f'(x) = <р(х) = lim fn(x), т.е. допустим предельный переход под знаком производной.
п—*оо
Если ряд (1), п.4.1, с непрерывно дифференцируемыми членами сходится на [а, Ь], а ряд
производных
оо
к=1
сходится равномерно на (а, 6], то сумма ряда (1), п.4.1, дифференцируема на [а, 6], причем
на этом отрезке выполняется равенство
оо
S'(x) = tr(x) = ^(х),
к=1
т.е. ряд (1), п.4.1, можно почленно дифференцировать.
Определить промежутки сходимости (абсолютной и условной) следующих функциональ-
ных рядов:
ЛЛ V4 п? 8Ш ПК Л Л
99. /	9 > 0, о < х < г.
' 1 + п*
п*1
§ 4. Функциональные последовательности и ряды
43
•4 Для сходимости ряда необходимо, чтобы	► 0 при п -♦ оо, т.е. чтобы
? >Р-
Абсолютная сходимость. Поскольку | sin nz| sin2 пх = 1~с°‘2п^[ то рЯд
W	—	W	—	W
Vа пр . . i^l v-^ пр 1 cos 2nz
х ------ Sin ПХ > - > -------- > -----
Z^l+n»1	• 1	2^->14-n’	241^1 +n«
n=l	n=l	n=l
расходится при 0 < q — p 1,- Действительно, первый ряд справа, в силу теоремы 4, п.1.5,
расходится к +оо, поскольку 7^77 ~ 77=7 ПРИ п —* оо, а второй ряд справа при 0 < q — р 1,
по признаку Дирихле, сходится, ибо
cos 2кх =
sinnrcos(n + l)i
sin х
1
| sin z|
И 7777 I 0 при n -> 00.
Кроме того, поскольку |sinnz| 1, то ряд
P	_
7——- I sin nz| V
1 + „9 1	1 " Z-J
n=l	n=l
n”
1+пч’
в силу теорем 1, 4, п.1.5, сходится, если q — р > 1	~ 77 j; при п —► оо).
Таким образом, исследуемый ряд сходится абсолютно только при q — р > 1.
Условная сходимость. Представляя данный ряд в виде
sin пх 1
2^ пя-р 1 -|- п~ч
П=1
и пользуясь признаком Абеля, находим, что при q — р > 0 ряд сходится. Действительно, в
ОО
(1	\ а. -	sin пх
Т 1 при п —► °°, а ряд пя-р , в СИЛУ признака
П=1
Дирихле, сходится. Следовательно, при 0 < q — р 1 исследуемый ряд сходится условно. ►
00
юо. У——, у > о.
п + Уп
пх)
◄ Пусть 0 у 1. Тогда ряд, по признаку Коши, сходится при |т| < 1.
Действительно,
lim г/—И— = |х| Цщ __1—_ = |х| < 1.
п-.оо у П + уп п—оо у/п + уп
Если 0 у Sj 1 и х 1, то п*у„	Следовательно, в силу теоремы 1, п.1.5,
данный ряд расходится, ибо расходится гармонический ряд.
Если 0 у 1 и х < — 1, то общий член ряда к нулю не стремится, так как lim =
п-*оо п+у
+оо.
Если 0^у^1,ж = — 1, ТО получим ряд лейбницева типа:
00	, Пп
у' (-1)
£—‘п + уп
Пусть у > 1. Тогда ряд
44
Гл. 1. Ряды
в силу признака Коши, абсолютно сходится, если |х| < у.
При х = общий член исследуемого ряда к нулю не стремится, так как lim - = 1.
п—*оо п+1/
Итак, если 0 у 1 и |х| < 1 или |х| < у и у > 1, то ряд сходится абсолютно. Если же
х = — 1 и 0 у Sj 1, то данный ряд сходится лишь условно. ►
101.	у1п(1 + 1-1,оо.
L-t ' nV
n=l
◄ Рассмотрим три случая: а)0$х<1;б)х = 1;в)х>1. В случае а) имеем
ОО п
1в(1 + хп) ~ хп при п —» оо. Так как ряд	согласно признаку Коши, сходится при
П=1
любом у, то, в силу теоремы 3, п.1.5, при таких же условиях сходится и исследуемый ряд.
ОО
В случае б) получаем ряд	который при у > 1 сходится по п.1.4.
П=1
Наконец, в случае в) имеем
1п(1 + х") = nln х + In (1 4---------) ~ nln х 4--------, п —> оо.
' z	\ тп /	т.п
Поскольку ряды £2 и £2 пухп сходятся при у > 2, то данный ряд, по теореме 3,
nsl	п=1
п.1.5 также сходится при у > 2. ►
00
102.	Доказать, что если ряд Дирихле V"' — сходится при х = хо, то этот ряд сходится
Z—/ п1
П=1
также при х > хо-
◄ К ряду
ОО	оо
ЕЛп _ Vp On 1
пх пх° пх~х°
п=1	п=1
применим признак Абеля. Здесь ряд £2 сходится по условию, ( х_10 ) — монотонная и
п= 1
ограниченная единицей последовательность Ут > хо.
Следовательно, по признаку Абеля, ряд сходится также при х > то. ►
103.	Доказать, что для равномерной сходимости на множестве X последовательности
(fn), fn : X —* R(C), n 6 N, к предельной функции f : X —<• R(C), необходимо и достаточно,
чтобы
lim I sup rn(r) ] = О,
П—OO \ X J
где
г„(т) = |/(т)-/„(т)|.
◄ Необходимость. Пусть fn(x) =3 /(т) на X, п —* оо. По определению 2, п.4.1, это
означает, что Уе > О ЗА = А(е) такое, что Vn > N Л Ут 6 X выполняется неравенство
|/п(т) — /(х)| < е. Отсюда следует, что suprn(x) е.
X
Достаточность. Пусть lim lsuprn(x)j =0. Тогда по определению предела числовой
п—оо \ х	J
последовательности Уе > О 3N = N(e) такое, что Vn > N будет suprn(x) < е. Но поскольку
х
Гп(х) suprn(x), то Гп(т) < е Ух g X. Последнее, по определению 2, п.4.1, означает, что
х
/п(х) =5 /(х) на X при п -+ оо. ►
Исследовать на равномерную сходимость следующие функции:
104.	/„(х) = х" - х"+1, 0 х sg 1.
$ 4. Функциональные последовательности и ряды
45
Ч Очевидно, f(x) — lim fn(x) = 0 при 0 х 1. Поскольку
п—*оо
1	/	1 \ ~п	( \	(	1 \ ”n\	1	1
sup |y„(i)-/(х)| = —— (1 +-)	, liml——-I1+-)	I = - lim —— = О,
0<х<1	П + 1 X	п-*оо \ П 4- 1 \ П/ 1 в п-*ро п +1
то по критерию, доказанному в примере 103, fn(x) 0. ►
105.	fn(x) = xn-x2n, 0 ^i^l.
◄ Имеем /(i) = lim fn(x) = 0, х € [0, 1]. Функция /п достигает абсолютного максимума
п—*оо
во внутренней точке сегмента: in = хп €]0, 1[. Таким образом, имеем
sup Г„(т) = fn(x„) = -,
»6[0,11	4
lim | sup rn(i) ) = - / 0.
V£[o, i] J 4
Отсюда следует, что последовательность (fn(x)) стремится к нулю неравномерно. ►
106.	/п(х) = -	-,0<х^1.
1 4- п 4- х
◄ Нетрудно видеть, что f(x) — lim = х и справедлива оценка sup |—^ — т| $
Поэтому
lim ( sup lf„(x) - f(x)l) = 0, fn(x)=}x.b-
n~°° Ve[o, i]	)
107.	/„(z) = ^x2 + ^, -oo < x < Too.
Ч При n —► oo fn(x) —► |x| на интервале ] — оо, +oo[ , причем
sup
x€]~<x>, +oo[

поэтому /n(z) =3 |x| на всей числовой прямой. ►
• /nW =
sup
л€]-оо, 4-oo[
П2
2_
n ’
Ч Очевидно
f(x) = lim —-------------------= —r=, 0 < x < 4-oo.
П—-ОО / I /— Lyjx
Поскольку
sup
0<л<+оо
то, по утверждению примера 103, последовательность сходится неравномерно. ►
109. а) Д(х) = -оо < х < +оо;
х ”
б) fn(x) = sin —, —OO < X < +оо.
п
< Имеем:
a)	f(x) = lim = 0:
п—*оо п
б)	/(®) — lim sin - = 0.
46
Гл. 1. Ряды
Поскольку в случае а)
sup fn(x) = — —¥ 0 при п —> оо,
—оо<«<+оо	Л
а в случае б)
sup	|sin — | = 1
— оо<®< + оо	П
(достигается при х =	4-1), к £ Z), то, в силу примера 103, заключаем, что в случае а)
fn(x) ={ 0, а в случае б) последовательность сходится неравномерно. ►
110. a) fn(x) = arctgnz, 0 < х < +оо; б) fn(x) = z arctgnz, 0 < х < 4-оо.
◄ а) Имеем f(x) = Um arctgnz = Поскольку
п-*оо
|JT	I	| X	| X
sup — — arctgnz = lim — —arctgnz = —,
0<к+оо 12	I x—+o 12	I 2
то последовательность, согласно примеру 103, сходится неравномерно.
б) Здесь f(z) = rn(z) = х (~ — arctgnz). Используя равенство ^—arctgnz = arctg
х > 0 и неравенство arctg а < а, а > 0, имеем оценку
I	/х	\|	|	II 1	1
z-----arctgnz I = z arctg — < z— =-------->-0, n —» оо,
I	\2	/II	nz|	nz	n
независимо от z €]0, 4-oo[. Следовательно, по определению 2, n.4.1 fn(x) ►
(x \ n
Id— 1 : а) на конечном интервале ]a, 6[ ; б) на интервале ] — оо, +оо[.
п/
◄ В обоих случаях легко находим предельную функцию f : х »-► ех. Далее, в случае а)
представляем последовательность в виде
/„(z) = exp (nln (1 +	.	(1)
Здесь n > N, где N выбирается из очевидного условия 1 4-	> 0 при х €]а, >[. Применяя к
функции х t-t In (1 + -), формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, из (1)
получаем
(	2z2 \
z----2п/ ’ " € N’
Поскольку
, Л	I	i2^U	„ ь Л	f	м* л	wr2U
е 1 — exp < —-— > < е 1 — exp < — —— 1---------I > ,
\	( 2n J J \	[	2n V	n ) J J
где M = max(|a|, |6|), стремится к нулю при n —► оо независимо от z g]a, i[, то по определе'-
нию 2, п.4.1, fn(x) =4 е1 на ]а, Ь[.
В случае б) получаем
(z \ ”1
14— I = 4-оо,
П / |
поэтому sup rn(z) = 4-оо. Таким образом, последовательность (fn(z)) на всей числовой
— оо<х<+оо
прямой сходится неравномерно. ►
/1 \
112. fn(x) = nlzn — 1 I , 1 z a.
◄ Легко найти, что fn(x) —♦ In z на [1, а] при n —> оо. Далее, применяя формулу Тейлора,
находим
rn(z) =
1
п(хп — 1) —1ns
n(enlni — 1) — Ins
Д . 1 J	In2 ж	\
п ( 14— 1ns ——— 1 I — ш х
\ п	2па	J
2п 2п
$ 4. Функциональные последовательности и ряды
47
при п —► оо, 0 < £„ < ^. Следовательно, fn(x) =t In х
113.
на [1, а]. ►
J.
n я,
«2 Cl
О,
если
), если
если
ь »
на [0, 1].
Ч Поскольку /„(0) = 0, то lim /п(0) = 0. Далее, Vx €]0, 1] 3N : Vn > N будет х >
П—*00
Следовательно, /п(х) = 0 и lim fn(x) = 0 при х. ё [0, 1]. Таким образом, f(x) = lim fn(x) =
n-*oo	n—oo
О при x € [0, 1].
Поскольку sup fn(x) = n (и достигается при x = -), то lim (sup fn(x)) = +oo, в силу
x6[0, i]	"	n-°°
чего последовательность сходится неравномерно. ►
114.	Пусть У — произвольная функция, определенная на отрезке [а, М и /п(г) = -——- 
п
Доказать, что /п(ж) f(x) при а х 6, п —► оо.
4 Из определения целой части следует, что [п/(х)] = п/(х) — рп(х), 0 Sj pn(x) < 1.
Поэтому /п(х) можно представить в виде f„(x) = /(к) - Отсюда находим lim fn(x) =
n	TI—
Исследовать на равномерную сходимость следующие ряды:
ОО п
115.	12 ^7 на отрезке[—1, 1].
Ч Оценивая остаток ряда следующим образом:
00 .к
ОО
|S(x)-S„(r)|= £	£ F
О при n -too,
k=n+l	*=n+l
где S(x), (Sn(x)) — соответственно сумма и последовательность частичных сумм данного
/ оо „ оо	\
ряда, сходящегося в силу признака сравнения I 53 “з $2 ^7 < +00 ) > заключаем, что
\ П»1	П=1	/
рассматриваемый ряд сходится равномерно. ►
ОО п
116.	£ — на интервале ]0, +оо[.
nsO
п к
Ч Поскольку сумма этого ряда S(x) = ех, то остаток ряда гп(х) = е* — 53 77- Но
к=0
sup |гп(х)| = +оо (функция х >-> ех стремится к 4-оо при х —► +оо быстрее любой степен-
0<х<+оо
ной функции г i-trn), поэтому ряд сходится неравномерно. К
ОО
117.	£(-') хп на отрезке [0, 1].
п=0
п
Ч Частичная сумма ряда 5n(x) = 52U ~ х)г* = 1 — ®"+I, 0 х 1; отсюда находим
kssQ
сумму ряда:
Следовательно,
S(x) = { 1, если 0$к$1,
' ’	10, если x = 1.
sup |Sn(x) — S(x)| = 1, т.е. данный ряд сходится неравномерно. ►
°<«<i
Если функциональный ряд непрерывных на отрезке функций сходится на этом
Замечание.
отрезке к разрывной функции, то ряд сходится неравномерно.
48
Гл. 1. Ряды
00
118.	У2 -7-,--n J ,,——Г, О < х < 4-оо.
х—1 ((n - 1)т 4- l)(nr 4-1)
n=l
◄ Находим частичную сумму ряда:
((к — 1)т 4- 1)(кх 4-1) 5-^	- l)i 4-1 кх 4-1 / пх 4-1 ’
откуда получаем, что Srx) = lim Sn(i) = 1, 0 < х < 4-оо. Далее, поскольку sup —ут = 1,
"~оо	0<ж<+оо "1+
то ряд сходится неравномерно. ►
00
119.	у------------—------------а) О SJ х $7 е, где е > 0; б) г х < 4-оо.
(14-г)(14-2х) ... (14-пт) 7	7
◄ Представляя общий член ряда а„(т) в виде
а ( . _________________1_________________________________1__________________
п (1 + т)(1 + 2т) ... (1 + (п - 1)т)	(1 + т)(1 + 2т) ... (1 + (п - 1)х)(1 + пт) ’
находим частичную сумму ряда:
7	(1 + т)(1+2т) ... (14-пт)’
Отсюда следует, что
с/ ч г \ I 1, если т > О,
S x = hm 5п(т)= < ’	’
П—*0с	I ", сСЛИ 27 — V.
Далее, в случае а) имеем sup |S(i) - 5п(г)| = |S(+0) — Sn(+0)| = 1, поэтому ряд
0<х<+оо
сходится неравномерно. В случае б) находим
sup |S(t) — 5п(т)| = 7----77-------т------г —< О
e<z<+oo	(1 4- е)(1 4- 2е) ... (14- пе)
при п —> оо, в силу чего ряд сходится равномерно. ►
Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в указанных про-
межутках следующих функциональных рядов:
ОО
120.	у~^—, |т| < +оо.
х-' 1 + П5Т2
П=1
◄ Найдем sup |an(r)|, где ап(т) — общий член ряда. Имеем
|х|<+оо
I / \1	I ПХ I 1
sup |а„(х)| = sup -  - -	= —
|z|<+oo	|z|<+oo I 1 4- n T | 2nj
00
и достигается при тп = —г- Следовательно, ряд У' —т- является мажорантным для данного
"5	2ni
ряда. Так как мажорантный ряд сходится, го исходный ряд, согласно признаку Вейерштрас-
са, сходится равномерно. ►
121.	£^(т”+т-"), U|t|^2.
vn!	*
П=1
◄ Легко найти, что
sup (т” + Т-”) = 2n + -L < 2"+*.
1	А
ОО п2
Поскольку, к тому же, ряд 2"+1, в силу признака д’Аламбера, сходится, то исследуе-
n=l Vn'
мый ряд сходится равномерно. ►
§ 4.	Функциональные последовательности и ряды
122-	52 7НТ? 1*1 < “> r«e ° > °-
п=1 Ы’
~ о»
◄ Мажорантным для данного ряда является ряд 2J TVT> сходимость которого при а < 1
п=1
очевидна, так как в этом случае
а
1 — а
Пусть а 1. Тогда, обозначая через Sn последовательность частичных сумм мажорант-
ного ряда, в силу оценки
„2	„3	2»	„2п+1	°° „2*+1
Sn < S2n+1 = ^ + уу + Y, +	— О + 2£—= S,
к=1
получим Sn Sj 5. Следовательно, последовательность (Sn), будучи монотонной возрастаю-
щей, ограничена сверху. А тогда, по известной теореме, она сходится, т.е. сходится мажо-
рантный ряд. ►
00	/	2 \
123.	£1П 1+ ’	,|т|<а.
\ п In п]
п=2	4	'
◄	Исходя из неравенства
_, /	х2 \ х2 а2
О In ( Ц----:-- I	Т”2— < ~Y~2—
\ ninny nln n nln n
oo 2
и сходимости числового ряда £2 п ? мажорантного для данного функционального, при-
п=2
ходим к выводу о равномерной сходимости предложенного ряда. ►
Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующие функци-
ональные ряды:
ОО
у -------: а) на отрезке б х 2тг — б, где б > 0; б) на отрезке 0 х 2тг.
п=1
п
◄	а) Поскольку частичные суммы s*n ограничены:
Ь=1
sin кх =
• пх • п+1
sin — sin -y-z
• х
sm -
1
sin j’
а последовательность 1 О при п —► оо, то, по признаку Дирихле, ряд сходится равномерно.
б) В этом случае указанная сумма не является ограниченной по совокупности переменных
тип, поскольку при х = п € N,
V' . кт т
} jsin — = ctg ----► -f-oo при п —> оо.
Ь=1
Следовательно, признак Дирихле неприменим.
Воспользуемся критерием Коши. Взяв е = 0,1, оценим разность
|S2n(a:) - Sn(x
_ sin(n 4- 1)т
sin(n 4- 2)t
n 4-1 n 4- 2
sin 2nx
2n
sin (1 4-
П4-2
sin 2 > sin 1
2n " 2
50
Гл. 1. Ряды
при любом п. Следовательно, по критерию Коши, последовательность сходится неравномер-
но, т.е. неравномерно сходится исследуемый ряд (сходимость ряда при каждом фиксирован-
ном х €]0, 2я[ следует из того же признака Дирихле, а при х = О и х = 2г сходимость ряда
очевидна), к
«о	.
125. £ 2" sin -—, 0 < х < +оо.
t—s	Зпх
П=1
4 При каждом фиксированном х > 0 имеем 2” sin —~ (|)" j при п —► оо. Отсюда
следует, что по теореме 3, п.1.5, данный ряд сходится. Для исследования на равномерную
сходимость ряда применим критерий Коши. Пусть е = 1, р = п, х =	. Тогда
|$;+р(х) - $„(х)| = |2n+1 sin | + 2n+2 sin 1 + ... + 22n sin -L| > 2n+1 sin I > е, n > 1,
т.е. ряд сходится неравномерно. ►
00
1 Ой V'' sm х sin пх
1^0. > —	, 0 < х < +оо.
у/п+х
nsl
-4 Поскольку частичные суммы, в силу оценки
п
sin х sin кх
П=1
(_1\
(п 4- х) 2 1 равномерно по х
—► 01 и монотонно по п
1__________1 __________________________1___________________
Vn +1 л/п 4- 14-г	\/(n 4- x)(n 4-14- x)(x/n 4-1 4- x 4- Vn + x)
стремится к нулю при п —» оо, то, согласно признаку Дирихле, ряд сходится равномерно. ►
127. £	п<
4 Ряд	сходится (см. пример 77), а функции х н+ (1 4-	» ограничены чи-
П=1
слом 1 и при каждом фиксированном х 0 образуют монотонную последовательность. Сле-
довательно, по признаку Абеля, данный ряд сходится равномерно. ►
ОО
128.	Доказать, что абсолютно и равномерно сходящийся ряд £/„(х), о х < 1, где
/п(х) = <
О,	если
^sin2(2"+1xx), если
О,	если
О х 2-(п+1),
2_("+1) < х < 2-п,
2~п х 1,
нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с неотрицательными членами.
4 Нетрудно найти, что
{О,	если j х	1,
|sin2(2*+1xx), если 2-(*+,) х $ 2-*, * = М»,
О,	если 0 $ х 2_(п+1),
{О,	если j х $ 1,
| sin2(2*+1xx), если 2_(*+1) < х $ 2“*, к = 1, оо,
О,	если х = О,
$ 4. Функциональные последовательности и ряды
51
где (S„(x)) и S(x) — последовательность частичных сумм и сумма данного ряда соответ-
ственно. Далее,
S(x) - S„(x) = <
О,
i sm2(2fc+1 тгх),
О,
если
если
если
_________
2-(*+1) х < 2~*, к = n + 1, оо,
х=0.
Поскольку sup |S(x) — 5n(x)| = (достигается при хп — стремится к нулю при
п оо, то ряд сходится равномерно.
Абсолютная сходимость ряда следует из того, что при фиксированном х € [0, 1] он содер-
жит не более одного отличного от нуля члена.
Пусть сп — члены числового мажорирующего ряда. По условию, сп sup |/n(z)|-
ОО
Поскольку sup |/n(z)| = ~ и достигается при х = —pj, то Сп п' Однако РЯД 12 п
п=1
расходится, поэтому исходный ряд нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с нео-
трицательными членами. ►
ОО
129.	Доказать, что если ряд 52^п(г)’ члены которого - монотонные функции на
П=1
сегменте [а, 6], сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то данный ряд сходится
абсолютно и равномерно на сегменте [а, 6].
4 Принимая во внимание монотонность функций <рп, оценим остаток ряда гп(х). При
х € [а, 6] имеем
ОО	00
lrn(I)l 52	52 max(l¥’*(a)l>	I'M6)!)-	(!)
fc=n+l	Л=п4-1
Поскольку ряд с членами ¥>п(х) сходится абсолютно при х = а и х = Ъ, то Ve > О ЗА = А(е)
такое, что Vn > N выполняются неравенства
ОО	00
52	<1- 12	< 1	<2>
fc = n+l
Так как max(|^k(a)|, Iv’fc(b)l) |¥Ч(а)| + |рк(6)|, то на основании неравенств (2), неравенство
(1) принимает вид
00
IM1)! 52(IMa)l + l^)l)<^
A=n+1
откуда следует, что rn(x) =5 0, х —► оо, т.е. исследуемый ряд сходится равномерно.
Абсолютная сходимость ряда вытекает из оценки (1). ►
00	00
130.	Доказать, что если ряд 52 а" сходится, то ряд Дирихле 52 ~ сходится равномерно
П=1	п=1
при х^О.
4 Функции х !—► — ограничены единицей и при каждом х О образуют монотонную по-
(\	00
~ (n+ij* 0)1 а Ряд 52 “п сходится по условию; поэтому, по признаку
'	П=1
оо.
Абеля, ряд 22 ^7 сходится равномерно при х 0. ►
П=1
оо
131.	Показать, что функция f : х I-. 52—5— непрерывна и имеет непрерывную
П=1
производную в области — оо < х < +оо.
52
Гл. 1. Ряды
◄ Функции х *-+ sinnx, х i-+ cosni непрерывны в указанной области. Кроме того, ряды
оо .	оо
г/ к v^sinnz Л/, ч r-^cosnr
'W=L— -	=	-
n=l	nsl
в силу признака Вейерштрасса, сходятся равномерно. Поэтому, во-первых, почленное диф-
ференцирование данного ряда, согласно п.4.7, возможно; во-вторых, согласно п.4.4, функции
f и /' непрерывны. ►
ОО
132.	Показать, что ряд ^^(пте пх — (п — 1)ге 1^1) сходится неравномерно на [0, 1],
П=1
однако его сумма есть значение функции, непрерывной на этом отрезке.
◄ Имеем
Sn(x) = \ ''(кхе кх — (к — l)ze *^) — пхе пх, S(x) = lim Sn(z) = 0, х € [0, 1].
п-*оо
Л = 1
Таким образом, S — непрерывная на [0, 1] функция. Однако, sup |.Sn(r) — 5(г)| = -,
xe[o,i]	е
поэтому ряд сходится к своей сумме неравномерно. ►
133.	Определить области существования функции f и исследовать ее на непрерывность,
оо	оо
если: a) f(x) = £ (х + i б) Я«) = Е
П=1	П=1
◄ а) По признаку Коши, ряд сходится, если lim |z + - < 1, т.е. при |г| < 1 (и расходит-
п—оо 1 п 1
ся при х 1, так как в этом случае общий член ряда не стремится к нулю). Функция /, таким
образом, определена при |т| < 1. При |z| г < 1 функциональный ряд сходится равномерно,
поскольку сходится мажорантный для него ряд с членами (г + ±)  Поэтому, на основании
п.4.4, можно утверждать, что функция f непрерывна при |х| $ г < 1, т.е. непрерывна на
интервале ] — 1, 1[.
б) Функция /„ : х и-»	непрерывна при —оо < х < +оо, а ряд с членами /n(z)
равномерно сходится на всей числовой прямой. В самом деле, представив функции fn в виде
x2 + n£ \n* n J
замечаем, что функции <p„ : x xi\,n2 ограничены в совокупности (<^n(z) Sj 1) и при каждом
оо /	п \
х образуют монотонную последовательность по п, а ряд	„. I сходится равномер-
П = 1
оо
но на каждом интервале ] — L, £[, в силу чего ряд £2 по признаку Абеля, сходится
П=1
равномерно на ] — L, £[. Поэтому сумма ряда является непрерывной функцией на ] — L, Z[.
В силу произвольности числа L, утверждаем, что сумма ряда непрерывна на всей числовой
прямой. ►
134.	Доказать, что дзета-функция Римана
ОО
nsl
непрерывна в области х > 1 и имеет в этой области непрерывные производные всех порядков.
4 Пусть х хо > 1. Тогда, в силу сходимости ряда
§ 4. Функциональные последовательности и ряды	53
и признака Вейерштрасса, заключаем, что ряд
1пр п < ул In” п
Z—/ пх t—* пх°
п=1	п=1
сходится равномерно при х хц > 1. Так как, кроме того, функции х >-> п~х непрерывны в
указанной области, то, согласно п.4.4, функции
ОО
П=1
также непрерывны при х х0 > 1, т.е. при х > 1.
Хр —1
Сходимость ряда (1) вытекает из признаков сравнения п.1.5 и оценки lnpn п 2 ,
io > 1, справедливой при достаточно большом п. ►
135.	Доказать, что тэта-функция
+ оо
в-.х^	е-""2'
п= — ОО
определена и бесконечно дифференцируема при х > 0.
◄ Сходимость данного ряда вытекает из сходимости ряда с общим членом е~и при-
знака сравнения п.1.5 (е-7ГП 1 e-’rlnlI)> т.е. функция в определена при х > 0.
Далее, рассмотрим ряд
+ <х>
^2 п2ре-’г”210, р € N,	(1)
п=—ОО
где х хо > 0, являющийся мажорирующим по отношению к ряду
+ оо
£2	(2)
П= —ОО
Поскольку ряд (1), по признаку Коши, сходится, то, по признаку Вейерштрасса, ряд (2) схо-
дится равномерно. Следовательно, согласно п.4.7, функция в любое число раз дифференци-
руема при х то > О- В силу произвольности числа io, сделанное заключение пригодно при
т > 0. ►
136.	Определить область существования функции / и исследовать ее на дифференци-
руемость, если:
°О	ОО	|
П=1	П=1
< Функциональная последовательность (^~) при т — п монотонно по п стремится к
нулю. Следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится, т.е. функция / существует при
всех х / —п.
Поскольку функции х ь-► (^j)Z = („Др непрерывны при х ф -п и ряд
I( ) 2^(n + l)2’
n=l
в силу признака Дирихле, сходится равномерно на каждом замкнутом множестве числовой
прямой, не содержащем точек х = —1, —2, ..., то почленное дифференцирование ряда а) при
х — n, п € N, возможно.
54
Гл. 1. Ряды
6) Ряд сходится равномерно, по признаку Вейерштрасса, при всех конечных х. Действи-
тельно, здесь	А = const, и ряд' сходится. Следовательно, функция f
П=1
существует при всех х €] — оо, +оо[.
Далее, выполняя формальное дифференцирование ряда, получаем
00	2	II
= (1)
п	/ \	n2 sgn х—xlxl	п2+Л2	2п2	2	2
Поскольку ¥>п(х) = —(„Г^.Т)2	= ^2 ПРИ п > По и ряд ) , сходится, то,
П=1
по признаку Вейерштрасса, ряд (1) сходится равномерно при |х| < А. А тогда, принимая во
внимание непрерывность функций рп при г ^0 и учитывая п.4.7, заключаем, что почленное
дифференцирование ряда б) справедливо.
Для исследования на дифференцируемость ряда б) в точке х = 0 рассмотрим
Um	Цт toy. у (2)
Ах—±0 Дх	Дх-*±0 I Дх п2 + (Дх)2 /
оо
Здесь ряд	сходится равномерно по признаку Вейерштрасса. Поэтому, согласно
П = 1
п.4.5,
ОО	00
lira У'' —-—7——гт- = У"* — < 4-оо.	(3)
дя—о Д' п2 4- (Дх)2	”2
ОО	00
Тогда, как следует из (2), с учетом (3) можно написать Д(0) = 52	/-(0) = ~ 52 п*-
П=1	П=1
Таким образом, функция f в точке х — 0 не дифференцируема. ►
137.	При каких значениях параметра а: а) последовательность
(/п(ж)), /п(х) = пахе~пх, х е N,	(1)
сходится на отрезке [О, 1]; б) последовательность (1) сходится равномерно на [0, 1]; в) возмо-
жен предельный переход под знаком интеграла:
1
lim I fn(x)dx?
о
◄ а) Если х > 0, то, используя правило Лопиталя, легко проверить, что lim уахе ху = О
У~*+оо
при любом а. При х = 0 имеем lim /„(0) = 0. Поэтому lim fn(x) = 0 при всех х € [О, 1].
п—»оо	п-*оо
б)	Поскольку
lim ( sup naxe~nl ) lim n'
i—oo \l£[0,1]	/ e n—°°
0,
£
e ’
если
если
если
a < 1,
a = 1,
a > 1,
то, на основании утверждения примера 103, данная последовательность сходится равномерно
только при а < 1.
1 1
в)	Поскольку f lim fn(x) dx = 0, a lim ffn(x)dx= lim ((-^ — e~n (A- 4- ^)) na) равен
ф П—*O0	n—OO Q	n-*oo	n n
нулю лишь при a < 2, то предельный переход под знаком интеграла возможен только при
§ 4. Функциональные последовательности и ряды
55
138. Показать, что последовательность (/n(®))> fn(z) = nx(l - z)n, n £ fl, сходится
неравномерно на сегменте [0, 1], однако
1 1
lim / fn(x)dx= I lim fn(x)dx.
n—*oo J	J	n—*oo
0	0
4 Очевидно, предельная функция равна нулю на [0, 1]. Далее,
/	1	/ ft \п ’1	1
lim I sup (nz(l - z)n ) = lim I ——)	= - / 0,
n—oo \xg[o,l]	/ n—oo \n + I/	e
поэтому последовательность (/n(z)) сходится неравномерно. В то же время
1 1
lim п I z(l — х)л dx = lim n / (1 — u)un du = lim ----------------------— = 0. ►
n-*oo J	n—*oo J	n~*oo (n + 1}(п + 2)
0	0
Найти:
.°0 ( l\n+l _n
139. lim ГВ!---------------
x—l-O-^—'	n zn +1
4 Данный ряд, согласно признаку Абеля, сходится равномерно в области z 0. Кроме
того, lim — д*+1 =	—, поэтому, согласно п.4.5, возможен предельный переход
под знаком суммы:
Um у H12i_ZL = Ly tT
х—1-0 L—t п zn + 1	2	• n
nsl	nsl
= bn2. ►
2
OO
140.	iUmoJ2(zn-zn+1).
nsl
4 Поскольку данный ряд сходится неравномерно на [0, 1], то мы не имеем права перехо-
дить к пределу под знаком суммы. Поэтому найдем этот предел, предварительно вычислив
сумму данного ряда. Имеем
lim V(l-z)zn= lim (lim (1 - zn)) = lim I Ь еСЛИ
' x-i-on-oo ” x-i-o I 0, если z = 1
= 1. ►
141.	lim У* —-—.
x-+o^—' 2nnx
nsl
4 Данный ряд, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно при z 0. Поэтому,
согласно п.4.5, имеем
о°	оо	оо
lim У ------= Г lim ------= У' — = 1. ►
J_+oZ-^2nnI	^х-.+о2"п1	4^2"
nsl	nsl	nsl
00	2
142.	lim У—.
x—oo 1 + n2Z2
nsl
2	00
4 Поскольку sup iYnaxy = n7 и Рад сходится, то, по признаку Вейерштрасса,
—oo<x<+oo	n=l
данный ряд сходится равномерно. Замечая еще, что lim	на основании п.4.5
переходим к пределу под знаком суммы:	~”х>
°° х2
Jjjio 1 4. п*Х2
nsl
56
Гл. 1. Ряды
00
143.	Возможно ли почленное дифференцирование ряда	arctg —?
◄ Функции х i-> arctg п 6 N, непрерывно дифференцируемы при |х| < оо. На этом же
00
интервале функциональный ряд 22 arctg , как следует из теоремы 3, п.1.5 (arctg ~
П=1
00	2
при п —► оо), сходится. Кроме того, ряд производных 22 п^+х2 ’ в СИЛУ признака Вейер-
П=1
штрасса, сходится равномерно при |х| < оо. Следовательно, согласно п.4.7, почленное диф-
ференцирование ряда возможно. ►
°° ( 1  \
144.	Возможно ли почленное интегрирование ряда ( x2n+1 — х2"-1 ) на сегменте
П=1	'	'
[°, 1]?
◄ Данный функциональный ряд сходится на [О, 1] неравномерно. Действительно, для
частичной суммы Sn(x) и суммы S(i) ряда имеем
_ / х	т-гт	\ I 0, если х = О,
5„(х) = — х 4- х2п+1,	8(х)	= <	.	п .
' >	’	' ’	1	1—х, если 0 <	х 1.
Видим, что сумма ряда - разрывная функция, поэтому ряд не может сходиться равномер-
но. Следовательно, воспользоваться утверждением п.4.6 мы не имеем права. Тем не менее,
поскольку
[ S(x)dx = —,	[ fl2n+1 — ®2п-1А dr = 2 \	1—— = 1
J	?	\	J 2 Z-/n(n + l) 2’
о	n=1 о	"=I
то почленное интегрирование ряда возможно. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать на равномерную сходимость следующие функциональные семейства:
58.	а) /„(х) = при у -» +оо, х ё]0, 4-оо[;
б)	Д(1)	=	при !/	—	+0,	х €]0, +оо[;
в)	/«(г)	= -^2	при у	->	4-0,	х €]1, 4-А[;
г)	Мх)	=	при у	->	4-0,	х ё]1, 4-оо[.
59.	/а(х) =	tg	х ё]0, 1[: а)	при у -+ 1; б) при у ->2.
60.	Д(х) =	), I g]l, 4-оо[: а) при у —* 4-оо; Ь) при у —< 4-0.
у х + у
61.	Д(х) =	— 1), х €]0, 4-оо[: а) при у —* 4-0; б) при у —» —0; в) при у —♦ —оо; г)
62.	А(х) =	, х € [1, 4-оо[: а) при у -> 4-0; б) при у -+ 4-оо.
63.	fy(x) = yln(x2 4- у2), х ё]0, 1[: а) при у —» 0; б) при у —* 1.
Исследовать на равномерную сходимость функциональные последовательности:
64.	/п(т) = е-"*: а) х б]0, 1[; б) х € [1, 4-оо[. 65. fn(x) =	: а) х ё]0, 1]; б)
х € [1, 4-°о[.
66.	Мх) = а) х £]°> Ц: б) х G I1- +«>[• 87. /„(х) = (14-	0 < х < 1.
68.	fn(x) = f sin dy- a) x €]0, 1[; 6) x €]0, 4-oo[.
0	'	'
w
89.	/„(x) = }	a) x €]0, 1[; 6) x €]1, +oo[.
0
§ 4. Функциональные последовательности и ряды	57
70. Д(х) = £ arctg х е]0, +«>[. 71. fn(x) = £ In (1 +	, х ё]0, 1[.
k=i	*=1	4	'
Предварительно определив область сходимости функционального ряда, исследовать его
на равномерную сходимость:
ОО	ОО	00 , ч_ .
Т2. Е(. + 1).",ТЗ. Efe.74.
П=0	П=0	п=0
75. £	76, £е-"Л 77>
п=0	П+	п=1	п=1
78.	Может ли функциональный ряд разрывных функций, сходящийся неравномерно на
интервале ]а, Ь[, представлять на этом интервале непрерывную функцию? Привести примеры.
_________________	___ оо	2
79.	Пусть lim Г/|ап| = 1. Доказать, что ряд £ “пС-п 1 равномерно сходится при
п-,о°	п=0
х е > 0.
Обосновать возможность почленного дифференцирования рядов в указанных областях:
0°	0°	оо
80-	Е °<* < 2т. 81. Е^.М/1- 82. 12Т^,Н<1.
П=1	П=1	П=1
00	z __	00
83.	Г	V о < х < 2т. 84. £ х > —, е > 0.
n^+cos( у/пх)	t—* пех ’	е’
П=1	П=1
85.	Можно ли утверждать, что:
а)	если функция f непрерывна на каждом отрезке [а, /3] С]о, Ь[, то она непрерывна на
интервале ]а, Ь[;
б)	если последовательность (/п(т)) равномерно сходится на каждом отрезке [а, /3] С]а, Ь[,
то она равномерно сходится на интервале ]а, 6[;
в)	если последовательность (/„), /„ 6 С[а, Д], п 6 N, равномерно сходится на каждом
отрезке [а, /3] С]а, 6[ к функции /, то на интервале ]а, !>[ предельная функция непременно
непрерывна?
Найти:
/ пу \
ОО	ОО	ОО 1 &ГС31П I —Т I
86.	lim - £	cos пх. 87. lim £ T7i---гг- 88. lim £ f ,, jTr^dx.
91. Последовательность функций (/„), fn G Я[а, b], n € N, называется сходящейся в
среднем к функции f G Я[а, Ь], если
ь
lim J|/n(x) - f(x)[2dx = 0.
П—*00
а
Показать, что из равномерной сходимости последовательности интегрируемых функций вы-
текает сходимость в среднем.
00
92.	Функциональный ряд 52 ап(я), ап 6 Я[а, 6], называется сходящимся в среднем к
П=1
функции S на [а, 6], если последовательность его частичных сумм (5„(т)), n € N, сходится в
среднем к 5 на [а, 6]. Доказать, что если функциональный ряд с интегрируемыми членами
сходится в среднем к интегрируемой функции S на [а, 5], то Vi0, х € [а, Ь] справедливо
равенство
Js(t)dt=£ fan(t)dt.
ллЛЙйЛЫ	Х°	ПЖ1*»	'	:
58
Гл. 1. Ряды
00
93.	Доказать, что если функциональный ряд <»п(®) с непрерывно дифференцируемыми
П=1
00
членами сходится поточечно на [а, Ь], а ряд £ а* (я) сходится в среднем к непрерывной
к=1
оо
функции а, то функция S : z ап(х) дифференцируема на [а, Ь] и S'(z) = <z(z).
П=1
94.	Вытекает ли из поточечной сходимости на [а, 6] функциональной последовательности
(/„(г)) сходимость ее в среднем на этом отрезке?
Убедиться, что следующие функциональные последовательности сходятся в среднем, но
не сходятся равномерно к функциям, получаемым поточечным предельным переходом:
95.	/„(z) =	х 6 [О, 1]. 96. /„(z) = х € [О, 1].
97.	Ш	- 1|, ® € [О, 1]. 98. /„(z) = х е]0, +оо[.
Показать, что почленное дифференцирование следующих рядов возможно:
"• S е~пх -х 3°’ и-10°- £	16i°> и-
П=1	'	'	П=1
Показать, что почленное интегрирование следующих рядов на указанном отрезке возмож-
но:
101.	£(-1)"-^», X € [О, 1]. 102. £	, х g [о, 2].
П=1	П=1
§ 5.	Степенные ряды
5.1.	Круг и радиус сходимости степенного ряда.
Определение. Ряд вида
00
gn(z — a)n, где ап, z, а € С,
n=tO
(1)
называется степенным рядом; ап — коэффициенты степенного ряда (они не зависят от
z), а — фиксированная точка на комплексной плоскости.
Теорема. Каждый степенной ряд сходится абсолютно внутри некоторого круга \z—а|
R, где радиус круга R 0 определяется по формуле Коши—Адамара
R =
£
I’
о,
+оо,
если
если
если
О < I = lim
п-*ос
I = +оо,
1 = 0,
< +°°>
или по формуле
R = lim
п-*оо
Дп
Дп+1
(2)
если этот предел существует хотя бы в несобственном смысле.
Вне круга |z — а| $ R ряд (1) не сходится ни в одной точке я € С. Вопрос сходимости
ряда (1) в точках окружности |z — a| = R, R > 0, остается открытым и решается отдельно
для каждого ряда.
В случае, когда an, z, a € R, внутренность круга сходимости вырождается в интервал
]a — R, а + Л[, R > 0, на действительной прямой.
При R = 0 круг вырождается в точку z = а, а при R — +оо представляет комплексную
плоскость (или числовую прямую, если ряд (1) действителен).
$ 5. Степенные ряды
59
5.2.	Основные свойства степенных рядов.
Сумма степенного ряда внутри круга сходимости представляет собой непрерывную функ-
цию. Если ряд (1), п.5.1, действительный и на конце его интервала сходимости г = R+a, R >
О, расходится, то сходимость ряда на интервале [а, Л + а[ не может быть равномерной.
Если действительный степенной ряд сходится при z = R + a, R> 0, то сходимость ряда
будет равномерной на отрезке [a, R + а].
Сумма действительного степенного ряда внутри интервала сходимости имеет производ-
ные любого порядка.
Теорема (Абеля). Если действительный степенной ряд сходится в точке z = R + а,
R > О, то его сумма S(z) представляет собой значение непрерывной слева функции в этой
точке, т.е.
S(R + a) = lim S(z) = V"* anRn.
z—H+a-0
n=0
Аналогичные утверждения справедливы и для левого конца интервала сходимости.
5.3.	Разложение функции в ряд Тейлора.
Определение. Пусть f :]a — Ri, a -f- Яг[->- R, R, >0, i = 1, 2. Говорят, что функция f
раскладывается в степенной ряд на интервале ]а — R, а + Я[, где 0 < R min(7?i, Яг), если
Эап G R, п € Zo, такие, что Vx g]a - R, а + Я[ справедливо равенство
ОО
f(x) = ап(х -а)п.
п=0
Теорема (Тейлора). Для того чтобы функция f могла быть разложена в ряд Тейлора
на интервале ]а — R, а 4- Я[, R > 0, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно
дифференцируема и остаточный член в формуле Тейлора для этой функции стремился к
нулю при п оо на указанном интервале.
Разложение имеет вид
= (1)
*=0
Функция /, разлагающаяся в ряд Тейлора, называется аналитической и ее разложение (1)
единственно.
Практически-важными являются случаи представления остаточного члена разложения
(1) в форме Лагранжа
М>). «,) _ f =
*	К1	(п +• 1 и
*=0	'	'
и в форме Коши
я„(х) = ^(nt1!(a+Mg-a))(i _ в1)"(г _ в)"+\
где 0 < 0 < 1, 0 < 01 < 1.
5.4.	Разложения основных элементарных функций.
Полагая в формуле (1), п.5.3, a = 0, получаем пять основных разложений:
60
Гл. 1. Ряды
” _п
I-	е1 = X W < 00
п=О
п=и
00 (—11nz2n
III.	COST = 52 (Л, , kl<00.
п=0 Х
IV.	(1 + 1г = 1 + У^тп-1)---,(гп-п + 1)х",-1<х<1.
п!
П=1
/__1 \ п — 1 п
v.	in(i+т) = 52 ——> ~1 <1 г
П=1
Разложения I—III справедливы для всех комплексных значений х, разложение IV выполня-
ется при |х| < 1, т € R, а равенство V — при |z|	1, х / —1.
5.5.	Операции над степенными рядами.
Ряды
ОО	00
5>„(z-a)n и 52 Мг ~ 0)П
п=0	п=0
всегда имеют общее множество сходимости и внутри этого множества справедливы следую-
щие операции сложения и умножения:
оо	оо	оо
a52“"(z - а)п+д 52&n(z _ a)n ~ 5>а-+- а)П;
п=0	п=0	п=0
оо	оо	оо
52“n(z - а)п 52 м* - а)п = 52 с"(2 - а)п’
п=0	п=0	п=0
где сп = аоЬп + aibn-i + ... + anbo; А, д — числа.
Если степенной ряд (1), п.5.1, действителен, то внутри интервала сходимости его мож-
но почленно дифференцировать и почленно интегрировать; при этом интервал сходимости
полученного таким образом ряда совпадает с интервалом сходимости исходного ряда. Соот-
ветствующие формулы имеют вид:
I 52О"(1 _ а)" ) = У2(п + 1)вп+1(д - а)",
\п=0	/	пкО
// оо	\	оо
152 ап(х - °)"Idx=Z2 ~ a)n+1+с-
\п=0	/	п=0
Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках
интервала сходимости следующих степенных рядов:
146.	^з" + (-2)"(д + 1)П
П=1
◄ По формуле Коши—Адамара имеем
1	р— »/зп + (—2)" (. 2*/9* + 4* ,
— = lim \-----1—— = lim \	:— = 3,
R п-»оо у П	к-^оо у 2к
поэтому при — | < X < — | ряд сходится абсолютно.
$ 5. Степенные ряды
Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходимости. Пусть х = — j.
Нетрудно видеть, что ряд
V 3"-К-2)" (-1)"	У' (-!)" У' 1 (2\"
2	.^	«	зп п п \3/
3"
сходится, так как равен сумме двух сходящихся рядов.
Пусть х = -1. Тогда числовой ряд
Зга + (-2)
пЗп
в силу признака сравнения, расходится *зп2^ = —„3	> J  Следовательно, в точке
4	2	.
х = — - степенной ряд сходится лишь условно, в точке х = — - — расходится. ►
147.
“ (2п)!
◄ По формуле (2), п.5.1, находим
_	(п!)2(2п + 2)! _	(2п + 1)(2п + 2) _
R (2n)!((n + l)!)2	(n + 1)2	4’
поэтому при |z| < 4 ряд сходится абсолютно.
ОО	/ .\2 n
При х = 4 получаем числовой ряд ап, где ап = (2п~ ’ Поскольку = 1 — — +
n=l	ft+I
2n(n+1) т0 а« < вп+1- Это означает, что последовательность (ап) монотонно возрастает.
Следовательно, общий член ряда к нулю не стремится, т.е. ряд расходится. По этой же
причине он расходится и в точке х = -4. ►
ОО	2
148.	V fi + l)\".
\ п/
п=1
◄ По формуле Коши—Адамара находим радиус сходимости ряда:
1 v А И"
= hm 11 + - ) = е.
К п-*оо \ П/
Следовательно, при |х| < i ряд сходится абсолютно. При х = - получаем числовой ряд
оо	2
22 “п, где ап = (1 +	Покажем, что общий член этого ряда к нулю не стремится.
П=1
Действительно, имеем
ап = ехр п 4- п2 In ^1 + —^ | = ехр n + n2 (—
i+o(i))bf4’п^°°
Таким образом, в точке х = | степенной ряд расходится. По той же причине он расходится
и в точке х = —. ►
е
149.	У'4хп,а>1.
агР
П=1
◄ Находим радиус сходимости ряда по формуле (2), п.5.1. Имеем
_	п!а("+1)2	а2”+1
л = lim —=-----— = lim ------- - +оо,
П-.ОО ап (п + 1)! п-»оо п + 1
следовательно, данный степенной ряд сходится по всей числовой прямой. ►
62
Гл. 1. Ряды
ИП у^<1-3-5---(2п-1)у Zx-iy
15U. 2^ I 2.4.6 ... (2n) ) I 2 ) •
◄ По формуле (2), п.5.1, находим
„ Л/(2п — 1)!!(2п + 2)!1\” „	/	1 V „
R = lim 2 1 v .	/,/	.„ I = 2 lim (1 4- -——) = 2.
n—*oo у (2n)!!(2n 4-1)!! J n—*oo \	2n4“l/
Следовательно, при — 1 < x < 3 ряд сходится абсолютно.
При исследовании характера сходимости ряда в точках х = — 1 и х = 3 пользуемся
соответственно примером 79 и признаком Гаусса. Имеем
«п = Л ,	1 V = i . Р , р(р ~!) ,
ап+1 \ 2п + 1/ 2п + 1	2(2п + 1)2
п —► оо,
где ап =	• Отсюда, учитывая упомянутые признаки, заключаем, что в точке х = — 1
ряд сходится при р > 0, а при р > 2 он сходится абсолютно. Следовательно, в точке х = — 1
он сходится условно при 0 < р sj 2. В точке х = 3 ряд сходится абсолютно при р > 2 и
расходится при р 2. ►
П=1	х	7
•4 По формуле (2), п.5.1, получаем
/ 2пГпП2 (2п + 3)!
= 2Р.
V2n+1)! 2"+1((n+ 1)1)2
Поэтому ряд сходится абсолютно при |х| < 2Р.
Рассмотрим поведение степенного ряда в граничных точках интервала сходимости. Для
этого образуем отношение
1 V
2п 4* 2 /
оо,
+ о
где ап = ^(2п+?)!) 2₽п. Пользуясь признаком Гаусса, из этого отношения находим, что в
точке х = —2Р ряд сходится абсолютно при р > 2, а при р 2 ряд расходится. На основании
же примера 79 устанавливаем, что в точке х = 2Р ряд сходится при р > 0; абсолютно сходится
при р > 2 (по признаку Гаусса). Следовательно, в этой точке он сходится условно, если
152 т(т ~ 1)  (m - n + 1)^
п!
◄ Для удобства исследования представим ряд в виде
(п — 1 — m)(n — 2 — т) ... (1 — т)т п
-------------- ""	• X .
п!
Очевидно, ряд сходится абсолютно, если т g Zo , а х — любое; поэтому далее будем
считать, что т g R \ Zo.
Для нахождения радиуса сходимости применяем формулу (2), п.1.5. Имеем
R = lim
п~*оо
вп+1
г I п + 1 I ,
= hm -------- = 1,
п—*оо | П — ТП I
где
(п — 1 — m)(n — 2 - tn) ... (1 - т)т
§ 5. Степенные ряды
63
Пусть х = — 1. Тогда, составляя для числового ряда отношение
Дп _ J m +1 т(т + 1)
Дп+i	n n(n - т)
(1)
и пользуясь признаком Гаусса, находим, что в этой точке степенной ряд сходится абсолютно,
если т > 0, и расходится, если т < 0.
Пусть х — 1. Тогда из (1), на основании примера 79, заключаем, что степенной ряд
сходится, если т > — 1. Следовательно, при — 1 < т < 0 ряд сходится условно. ►
153.	У (-Гт".
< п! \е/
П=1
◄ Применяя формулу (2), п.1.5, получаем
Я = lim — = lim е(-2—Г = 1.
П-*0О вп+1	П—»ОО \П "bl/
Следовательно, при |z| < 1 степенной ряд сходится абсолютно.
Пусть х = 1. Тогда, имея в виду утверждение примера 79 для ряда ]Г(—1)п6п, где
Ъп = Л, составим отношение
= e(1__J_V=exp(l+nln(l--L-)) =
Ьп+1 \	п+1/	к П + 1/J
= ехр]1+п[----InaI Г=:1 + т~ + ()(~)’ П °о.	(1)
(	n + 1	2(п +1)2 \n2/yj 2п \п/
Теперь видим, что по указанному утверждению ряд сходится.
Пусть х = — 1. Тогда, воспользовавшись признаком Гаусса, из соотношения (1) получим,
что степенной ряд расходится (здесь д = 1). Отсюда следует, что в точке 1 = 1 имеет место
условная сходимость. ►
ОО
154	.£(1 + 1+..
П=1
◄ Поскольку 1 + ~+ ... + ^=1пп + С + еП1то
lim \/1 + т +...+ — =
п—»оо V 2	П
lim -s/ln п + С + en = 1.
п-*оо
Таким образом, по формуле Коши—Адамара, ряд сходится при |i| < 1. В точках х = 1 и
х = — 1 ряд расходится, так как общий член ряда, на основании указанного выше примера,
не стремится к нулю при п -+ оо. ►
155	. у
L—* п
П=1
◄ Применяя формулу Коши—Адамара, получаем
1 г— 3 + (-1)" г 4	л
— = lim   = Inn —== = 4.
R п—оо 1/п *—оо а^2к
Отсюда следует, что при |х| < j ряд сходится абсолютно.
Поскольку для подпоследовательности (5гп) последовательности частичных сумм число-
00	оо
вого ряда 57	выполняется неравенство S^n | 57 то в точке х = +| ряд
П=1	*=1
расходится. Аналогично в точке х = — | имеем
san=_iд______________________1___+±=у±_у___________а_____
2 2	3-23	4	22"-1 (2п — 1) ' 2n 2k	22*"1 (2k -1)
...- . * - .
64
Гл. 1. Ряды
Следовательно, lim Szn = 4-00, поэтому и в этой точке ряд расходится. ►
п—*оо
~ (-1)^
156-ХЧг—хп (ряд Прингсхейма).
П=1
◄ Согласно формуле Коши—Адамара, находим
— = lim </ -— -------- = Inn —= = 1.
Таким образом, степенной ряд сходится абсолютно при |х| < 1.
В точке х = 1 получаем числовой ряд, сходимость которого доказана в примере 77.
В точке х = — 1 получаем ряд
- (_1)пЯ^	~
< П	П + п2
п=1	п=1	п=2
(п#4, 9, 16, ... )
(1)
Поскольку первый ряд, находящийся справа в равенстве (1), лейбницева типа, то он сходится.
Второй ряд также сходится. Так как, кроме этого, ряд, находящийся слева в равенстве (1),
абсолютно расходится (как гармонический), то мы приходим к выводу, что в точке х — — 1
данный степенной ряд сходится условно. ►
00 lQu(n)
157. V^-(i-x) п, где р(п) — количество цифр числа п.
п
◄ По формуле Коши—Адамара получаем
1	~/lOl's "1+1
— = hm \ --------= 1
Л	п—«оо у П
(см. пример 45), т.е. при 0 < х < 2 степенной ряд сходится абсолютно.
В силу неравенства п = 10lgn < Ю^'8 nl+1 sj 10lgn+1 = 10п, заключаем, что в точках х = О
и х = 2 ряд расходится, так как при этом общий член ряда не стремится к нулю. ►
158. Определить интервал сходимости разложения в степенной ряд функции / : х >-♦
——  - : а) по степеням х; б) по степеням бинома (г—5), не производя самого разложения.
х ~ 5х "f* б
◄ Преобразовывая функцию f для случаев а) и б) к виду
а) /(х)=(г-^х-зу ь) /(/+5)==(*4)fe)’1=1"5-
и принимая во внимание то, что радиус сходимости степенного ряда определяется расстояни-
ем от центра разложения до- первой особой точки аналитической функции или какой-нибудь
ее производной, находим:
а)	х = 2 — точка бесконечного разрыва функции /; х — 0 — центр разложения ее в сте-
пенной ряд (по условию), а поэтому R = 2 и интервал сходимости определяется неравенством
б)	t = — 2 — точка бесконечного разрыва функции a t = 0 — центр разложения ее в
степенной ряд (по условию функция разлагается по степеням t — х — 5). Следовательно,
R = 2, интервал сходимости ряда ] — 2. 2[ или 3 < х < 7. ►
N	х27*-'
159. Можно ли утверждать, что pjv(i) = У>(—1)" 1 -----------гт sinx на ] — оо, +оо[
“	(2п - 1)!
при N —» оо?
оо	Зп—1
4 Поскольку £2 (-1)"-1 -у = sin X, х е] - оо,
+оо[, а
sup
—оо<х<+оо
N
sin х —
пж1
х2п-1
(2п — 1)!
$ 5. Степенные ряды
65
то, согласно примеру 103, последовательность (^x(z)) сходится неравномерно на ]—оо, +оо[.>
Пользуясь разложениями п.5.4, написать разложения в степенной ряд относительно х
следующих функций:
160. х »-» sin3 х
4 Преобразовав sin3 х к виду sin3 х = j(3sin х — sin Зх) и воспользовавшись разложением
функции синус, найдем
sin3l =
_2п—1	1 °°	Zq_\2ti—1	Т ——Q о2п—1
х_______1 in-11—2___________*	ii"-1 з — з
(2n -1)!	4^ !	(2n — 1)!	4^ ’	(2n -1)!
n=l	n=l
По формуле (2), п.1.5, легко найти, что этот ряд сходится абсолютно при всех х. ►
161.	Z- —1—.
(1-Х)2 '
◄ Поскольку (—-) =	, то, дифференцируя почленно разложение для (1 — г)-1,
ОО
получаем (Y-xF ~ 52 И < 1- ►
162.	х~г----±----5^.
(1 - z)(l - X2)
4 Разлагая данную дробь на простейшие	= -щДу “ цтЬ) + 2(i-»j* и ис‘
пользуя разложение IV, п.5.4, а также результат предыдущего примера, можем написать
ОО	ОО	ОО	00
(1-.)(!-„)=-I- JЕ*"+5D"+ЧЕ<2"+1+
n=0	nsO	п=0	п=0
По формуле Коши—Адамара находим интервал абсолютной сходимости полученного степен-
ного ряда: |z| < 1. ►
163.	ZW-----1--.
1 + X + X2
4 Представляя данную дробь в виде
f(x\ =__1___—	*______—______1______
1 + х + х2 1 — (t + t)x + х2 (х — t)(z — t)
_ 1 /_1_________1_\ _ 1 / t________t \
t — i\X — t X — t) t — t \1— xt 1—xtJ’
где t = e'v,	и используя разложение IV, п.5.4, а также формулу Эйлера е'“ =
cos а + i sin а, получаем
/(ч=А <!>*)" - *= А Е in(<n+1 -г+1) = 4 Ех" sin(n+
I — I I	I I ~ I	у/ J
\ nsO	П=0	/	п=0	п=0
По формуле Коши—Адамара находим радиус и интервал сходимости этого ряда:
4 = lim \/| sin(n + 1)у>| = 1, R = 1, |х| < 1>
К п-*оо
164.	х W -------------.
1 — 2® cos а + х2
4 Полагая sin а =	, cos а =	, где z = е'“, и разлагая данную дробь на простейшие,
получаем
zsina _ 1 ( 1	1 \
1 — 2z cos a + z2 2t \1 — xz 1 — xzJ"
Применяя к правой части этого соотношения разложение IV, п.5.4, можем написать
zsina _
1 — 2zcosa + х2 —
rn sin па.
Z — Z
66
Гл. 1. Ряды
Очевидно, полученный ряд сходится абсолютно при |х| < 1. ►
165.	х >—► 1п(1 + х + х2 + г3).
◄ Преобразовывая данную функцию к виду
1п(1 + х + х2 + г3) = 1п(1 4-г) +ln(l + х2), х > —1,
и используя разложение V, п.5.4, получаем
ОО	~ ОО
1П(1 + I + х2 + X3) = £(-1)”^- + £(-1Г1 — -1 <	1-
П=1	П=1
Складывая полученные ряды в общей области их сходимости, окончательно имеем
°° \
1п(1 + х + х2 4- х3) = V — ((—1)п-1 4- 2sin(n — 1) 77) хп, -1 < х 1.
' п \	Z /
П=1
Нетрудно видеть, что при |х| < 1 этот ряд сходится абсолютно, а в точке х — 1 сходится лишь
условно (по признаку Дирихле). ►
166.	х w eIC0S “ cos(x sin а).
◄ Рассматривая данную функцию как
Re(exco5a+ixSina)=;Re(ea;‘i“)
и применяя разложение I, п.5.4, можем написать
xcosa , • X D V'Xne’"“ <r^xncosna
е	соф вт а) = Re > ,	у--------•
п=0	п=0
Поскольку У) I* с°»па1 у) 1Д- и второй степенной ряд в этом неравенстве сходится при
п=0	п=0
всех х €]оо, 4-оо[, то полученное разложение справедливо при |х| < оо. ►
Разложить в степенной ряд следующие функции:
167.	/ : х »-*• arcsin х,
◄ С помощью формулы IV, п.5.4, имеем
Г(х) = (1-х2)4
2п
X

2пп!
|х| < 1.
Интегрируя этот ряд почленно (что возможно внутри интервала сходимости), находим
ОО
/(х) = С + х + ^
П=1
(2п - 1)!!
2пп!
х2п+1
2п + Г
Так как /(0) = 0, то С = 0. Следовательно,
СФ
arcsin х = х + V ——^-r-x2"+1, |х| < 1.
Z^2nn!(2n + 1)	’	1 1
П=1
Для исследования сходимости ряда в концевых точках применяем признак Раабе. Имеем
..	/ 4п2 4- 10п 4“ 6	\	..	6п2 4" 5п 3
Jim п I ——т--------— 1 = lim —т-------------- - > 1,
n-.oo 4п2 4- 4п 4-1	) п-.оо 4п2 4- 4п 4-1	2
поэтому при х = ±1 ряд сходится абсолютно.
Таким образом, полученное разложение, в силу теоремы Абеля, справедливо при |х|	1,
т.е. во всей области существования arcsin х. ►
168.	f : xt-t ln(x 4- д/1 4- х2).
$ 5. Степенные ряды
67
Разлагая производную данной функции f'(x) = (1 + ®2) 3 при |z| < 1 в степенной ряд
интегрированием последнего получаем
~	(2п - ГРЧ:2п+1
№)- + В-Т((г„)!!(>; + 1)
Поскольку f(0) = 0, то С = О
Как и в предыдущем примере, находим, что полученное разложение сходится абсолютно
при |z|	1, и в концевых точках сумма ряда равна, по теореме Абеля, значению функции f
в этих точках. Таким образом, написанное разложение справедливо при |z|	1. ►
169.	arctg
1 + 4Х
◄ Представляя функцию f в виде
,	2 — 2х
= arctg 2 — arctg 2х — тге(х),
где
Ф) = <
О,
1,
если х > —
если х < — |,
и разлагая в ряд функцию х i-+ arctg 2х с помощью почленного интегрирования ряда для ее
производной, находим
ОО	ОутД-1
MCt6 ттй=“ctg 2  £(-1)П fcrrl2n+1 -
n=0
Поскольку полученный ряд сходится при |х|	- (абсолютная сходимость его при |г| <
j устанавливается с помощью признака д’Аламбера, а в концевых точках — с помощью
признака Лейбница), то в данном случае
in	1 _	1
О, если — т < х С
1
1, если —- х < — j. ►
170.	f : г н arctg т—~2' И <
◄ Представляя производную функции / в виде
1 t2
1 + t4 + 1+t4’
где t = и пользуясь формулой IV, п.5.4, находим
/'(z)=£(-i)V"+f;(-ir?"+2.
n=0	пявО
Очевидно, при |t| < 1 оба ряда справа абсолютно сходятся, поэтому при |t| < 1 их можно
сложить. Имеем
f'(x) = £(-1) [?] t2n = £(-1) I?] И < Л,
п*0	пжО
68
Гл. 1. Ряды
откуда интегрированием получаем
2; поэтому, согласно признаку Дирихле, ряд сходится. Абсолютная рас-
Г"1	т2п+1
w<75-
n=0
Поскольку интервал абсолютной сходимости ряда после интегрирования не меняется,
то полученный ряд сходится абсолютно при |z| < %/2. В точках |г| = ±\^2 ряд сходит-
ся, но только условно. Действительно, последовательность (j—fy) 1 0 при п —► оо , а
E(-i)
к=0
ходимость ряда в этих точках следует из расходимости гармонического ряда. Но так как
функция f в точках х = ±\/2 не определена, то полученное разложение справедливо только
при |z| < л/2. Этот пример показывает, что сумма ряда может существовать на множестве
большем, чем то, на котором задана функция. ►
171.	f : х arccos(l — 2х2).
◄ Дифференцируя функцию /, получаем
/'(т) = ^!Ц, о<и<1.
V 1 — I2
Пользуясь разложением IV, п.5.4, находим
/'(х) = 2 ^1 + £ ^2”2п)п sgn х’ ° < I1! < 1-
Интегрируя почленно полученный ряд, имеем
\	п=1	/
Этот ряд, согласно признаку Раабе, сходится абсолютно при |z| $ 1, т.е. во всей области
существования функции /. ►
172.	Функцию f : х i-+ Inz разложить в степенной ряд по целым положительным
, X - 1
степеням дроби -----.
х + 1
◄ Положив — t, получим / (577) = F(t) = In 727. Поскольку х > 0, то ||^| = |i| < 1
(заметим, что справедливо и обратное утверждение). Следовательно, использовав формулу
V, п.5.4, можем написать
In Ш = ln(l + i) - ln(l -t) = 2 V
1 — i	— 1
2n—1	j
* 2п — 1
173.	Пусть f(x) =	Доказать непосредственно, что f(x) f(y) = f(x + у).
n=sO
0° Л 00 fc
4	Перемножая ряды £ и £	> получаем
п=0	/е=0
№)/(»)=Е •
n=0 \j=0	'	/
Но так как (х + у)п =	Сп1"-*»*; т°
*=о
СО / П _ ь ».
I 1 V
Z-/ I 2-, (п - t)!k!
п=0 \*=0 4	'

$ 5. Степенные ряды
69
что и требовалось доказать. ►
174. Пусть, по определению,
кЧ \n ®2n+1
sinl==12(-l) (КП)! и C0SX = E (К)!
п=0	П=0
Доказать, что sin х cos х = sin 2х.
◄ Записывая данные разложения в виде
cos X
и пользуясь правилом умножения рядов Коши, имеем
sin х cos х = cnin,
n=0
• kir_____(n—k)ir
sin -y cos 1—
Jfc!(n - Jfc)!
(1)
(2)
oo	n	fc
m	• kit (п—к')тг 1 . птг . / i\fc+l 1 • ntr 2n V"*	1	I"1)_____n
Так как sin — cos = - sin — + (-1) + ?sin — и - =	~0’ 4T0
k=0	k=0
вытекает из элементарной формулы
(г+y)n=52
fcssO
п\хп~кук
fc!(n — Л)!
Cn=2^
при х = у = 1 и х = —у = 1 соответственно, то
П . kit (n-k)lt	1
—Л sin — cos 2	_ 2	. пт
—<	kl(n — к)! п! 2
.—л	'	'
А тогда, согласно (1) и (2),
. оо Г)П • птг
1 5“^ 2 Sin — •	1 ,
Sin X COS X = - 2	S = - sin 2г
п=0
что и требовалось доказать. ►
175.	Написать несколько членов разложения в степенной ряд функции
•< Следует подобрать коэффициенты ап так, чтобы выполнялось тождество по х:
ОО	ОО	п	00
п=0	п=0	п=0
Это дает бесконечную систему уравнений относительно ап'
п 1
а0 = 1, у а! - = —ц., neN,
i-t n - 1 + 1 n + Г
i=l
из которой последовательно находим ai = — |, аг = — аз = —.... ►
Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложения в
степенные ряды следующих функций:
176.	f ; х >-» (1 — х)2 ch у/х.
70
Гл. 1. Ряды
4 Разлагая функцию х н* ch у/х в ряд по степеням у/х, получаем
”, „п	°°	.	~	п+1	°°	_п+2
/(i) = (1 - 2х + х2)	(2п)! = 12 (2п)! ~ 212 (2п)! +12 (2^)! =
n=0 v 7	n=0 V 7	n=0	V 7	п=0
ОО	00	_ 1 1	00	_ 1Л
“ 1 + 2 +12 (2п)! 21 212 (2п)! +12 (2п)! “
n=2 V 7	п=1 4	7	п=0 '	7
_ 3 _ y> / 1____________2	1	\ п
1 2Х 2^1(2п)!	(2п-2)! + (2п-4)!/1
71=2
Очевидно, это разложение справедливо при всех х. ►
177.	f : х н* 1п2(1 — х).
00	00
4 Возводя в квадрат ряд - £	= ^(l “ х)> получаем f(x) = с„хп+1, где
п=1	П=1
с- V________-____= — (i+-+-+... +±L
(n +1 — к)к п 4-1 \	2	3	п)
Так как lim у/с^ = 1, то разложение справедливо при |х| < 1. ►
П—*00
178.	f : х н+ e*cosx.
4 Разлагая функцию f : х е^1+^ в степенной ряд
и замечая, что /(г) = Re/(x), получаем
,, ,	V-' (ху/2)п пт
^) = L4i cost-
n=0
Поскольку |	cos у-1	и ряд £2	сходится при |х| < оо, то полученное
разложение возможно также при |х| < оо. ►
179.
{/arcsin	Л
(—Г~)	ПРИ х °-
1	при х = 0.
(2n - l)!!x2n \ _y
(2n)!!(2n + 1) I ~ 2-
/ n=l
4 Принимая во внимание результат примера 167, находим
(\ 2	/
1 + у (2п_-1)!!»2п.\ (у
1 +	(2п)!!(2п + 1) )	12^
п=1 4 7 V	7/	\п=0
где
А(2П-2*-1)!1 (г^-!)!^)!!)-1
" Z-j (2n — 2fc)!! (2п - 2к + 1)(2Л + 1) ’ 1
По индукции доказываем, что
A (2n - 2i - l)!!(2i - 1)!!	= 22n+1 (я!)2
2-/ (2n - 2i)!!(2i)!!(2n - 2i + l)(2i + 1)	(2n + 2)! ‘
$ 5. Степенные ряды
71
Поэтому
00 ,2п+1/„п2
п=0
Легко установить, что этот ряд сходится при |z| < 1. Для выяснения вопроса о сходимости
ряда (1) в концевых точках х = ±1 воспользуемся признаком Раабе:
г f о>п	р / 3 2п + 3 \	3
lim----------1 п = limn ---------= - > 1.
п—*оо уйп+1	J п-*оо у2п 2п(П + I)2 J 2
(1)
Видим, что ряд (1) сходится абсолютно также и в концевых точках интервала сходимости
|i| < 1. Следовательно, разложение (1), в силу непрерывности функции f на отрезке [—1, 1]
и теоремы Абеля, справедливо на указанном отрезке. ►
180.	Пусть S = (I — А)-1 и Кт Ап = 0, где А — квадратная матрица, I — единичная
П —*00
матрица. Разложить матрицу S в матричный ряд по степеням А.
Я По условию имеем
(I - A)S = I,
откуда
S = 1 + AS, S = I + A(I + AS) = I + А + A2S, ... S = 7 + A + A2+...+ AnS.
Поскольку Km А" = 0, то lim AnS = 0. Следовательно,
п—*00	П—*00
оо
s = £a".»>
п=0
181.	Пусть S = (27 —ЗА +А2) 1 и Кт Ап = 0, где А — квадратная матрица. Разложить
п—«ОО
матрицу S в матричный ряд по степеням А.
4 Представим матрицу S в виде
S = ((27 - А)(7 - А))-1 = (7 - А)-1 (27 - А)-1 = а(7 - А)-1 + /7(27 - А)-1,
где а, 0 — некоторые числовые коэффициенты. Для их определения умножим S слева на
I — А, а справа — на 27 — А. В результате получим тождество
7 = а(27-А) + Д(7-А),
из которого находим а = 1, /3 = — 1.
Таким образом,
S = (7-A)-1-l(7-^]~1.
it \	£ /
Используя разложения из предыдущего примера, окончательно получаем
71=0	71=0	71=0
00	00
182.	Доказать, что если: 1) ап 0 ; 2) существует Km апхп = S, то > anRn = S.
х-*й—0
71=0	71=0
4 В силу условия 2), имеем
оо	N	оо
lim V апхп = V' anRn 4- lim W* = 5,
х-*Я-0 4-^	х—Я-0 Z—1
П=0	n=0	naN+1
откуда
N
3-^^п = ак,	(1)
71=0
72
Гл. 1. Ряды
где
00
(XN = lim > anxn.
х—Я-0
n=N+l
N
Поскольку далее ап 0, то cxn > 0. Поэтому из (1) следует, что 0 anRn 5.
п=0
/ ЛГ	\
Последнее означает, что последовательность I anRn ) ограничена. Но так как она еще и
\п=0	/
00
монотонна, то, в силу известной теоремы, сходится, т.е. сходится числовой ряд £2 anRn  А
п=0
тогда, по теореме Абеля, будем иметь
00	оо
lim V anXn = У' anRn-
х—я-о f
n=0	n=0
Отсюда, приняв во внимание условие 2), найдем
= S. ►
п=0
Разложить в степенной ряд функции;
183.	s^dt.
О
4 Разлагая функцию i i-* Sp, t / 0, в степенной ряд	, |t| > 0, и
интегрируя последний, получаем
я«>=/	w < ►
X
184.	f-.x~ [,
J ln(l+t)
о
◄ Коэффициенты ап степенного ряда подынтегральной функции найдем из тождества
00	n 00
1 = 52	52 «ntn, которое дает систему алгебраических уравнений относительно
п=0	п=0
Из этой системы уравнений последовательно получаем aj = аг = аз = А., и т. д.
Таким образом, имеем
f tdt	x"+1 _ z2
J ln(l+t) ba"„ + i l+ 4 36 + 96 + "
o	nsl
Поскольку функция <p : t >-+	/p(0) = 1, аналитична всюду, за исключением точки
00
t = — 1, то радиус сходимости ряда antn равен единице. Следовательно, такой же радиус
п=0
сходимости имеет и полученное после интегрирования разложение. ►
§ 5. Степенные ряды
73
Применяя почленное дифференцирование, вычислить суммы следующих рядов:
.3	.3
185.	+ *	...
и О
◄ Данный ряд, согласно формуле Коши—Адамара, имеет радиус сходимости, равный
единице. Согласно п.5.5, степенной ряд можно почленно дифференцировать внутри интерва-
ла сходимости. Имеем 1 — х2 + х4 — ... =	, |т| < 1. Отсюда интегрированием получаем
® - 3- + — • • • = arctgг + С. Полагая здесь х = 0, находим, что постоянная С = 0.
Окончательно имеем
«3	.5
X X
х- v +V •• = arctSх-
О о
Заметим, что в концевых точках интервала сходимости этот ряд сходится. Поэтому, со-
гласно теореме Абеля, сумма ряда есть непрерывная функция на отрезке [—1, 1]. Поскольку
функция х ь-+ arctgs также непрерывна на этом отрезке, то последнее равенство справедливо
при всех х 6 [—1, 1]. ►
т2 г4
186.	+	....
◄ Очевидно, этот ряд сходится на всей числовой прямой. Обозначая через 5(z) сумму
данного ряда, почленным дифференцированием его получаем уравнения
S(x) + S'(x) = е*, S(i) - S'(x) = е~х.
Отсюда
5(т) = i(e* 4- е-1) = ch 1, |i| < 00. ►
1Qw x x2 x3
187* Г2 + 2~3+Г4+  ”
1 X x^
◄ Дифференцируя почленно ряд внутри интервала сходимости, получаем +—+ •   =
S(z), |i| < 1. Умножая обе части этого равенства на х2, х / 0, и пользуясь формулой V, п.5.4,
находим
=	(1)
При т = 0 полагаем 5(0) = | (х = 0 — устранимая точка разрыва функции 5). Инте-
грируя (1), имеем
У S(x)dx = lz2h(l-x) + C’.	(2)
Так как lim (А- + тт + тт + ... | = 0, то из (2) находим С = — lim —-ln(l - х) = 1.
х->о V	л *	/	1—0 1
Следовательно,
х ,	, х3 ,	_ Г 1 +	1п(1 - х), если i/0,
1-2	2-3	3-4	| 0,	если х = 0.	' '
При |т| < 1 это равенство гарантировано теоремами о возможности почленного дифферен-
цирования и интегрирования степенного ряда внутри интервала сходимости. Покажем, что
и в концевых точках интервала х = ±1 это равенство при некотором условии справедливо.
Действительно, поскольку рассматриваемый степенной ряд в точках х = ±1 сходится, то,
на основании теоремы Абеля, его сумма является непрерывной функцией на отрезке [—1, 1].
Если значение функции в равенстве (3) справа в точке х = 1 положить равным единице,
то, как легко видеть, эта функция на сегменте [—1, 1] также будет непрерывной. Поэтому
окончательно можем записать
1-2 + 2.3 + П
1 + 111(1 - 1),
О,
1.
если — 1 х < 0, 0 < х < 1,
если х = О,
если х = 1. ►
74
Гл. 1. Ряды
188.	1Ц + к112 + 14±г+....
2	2*4	2-4’6
4 Нетрудно проверить, что радиус сходимости ряда R = 1. Умножая производную
5 W = 2 т 57^ + 5Тб 31 + • • • > 1®1 < !> суммы данного ряда на 1 - х, х 1, получаем
уравнение (1 - x)S'(i) = jS(i). Общее решение этого уравнения есть S(x) = С =
const. Полагая здесь х = 0 и учитывая, что S(0) = 1, находим С = 1. Следовательно,
= vhi’ И < L
Сходимость рассматриваемого ряда в концевой точке х = — 1 легко установить, если
воспользоваться примером 79; расходимость ряда в точке х.= 1 следует из признака Гаус-
са. Таким образом, сумма ряда, по теореме Абеля, есть непрерывная функция на [—1, 1[.
Поскольку функция х	также непрерывна на [—1, 1], то окончательно имеем
, х 1  3 2	1  3 • 5 з	1
1 + у + ут1 + YT~RZ + • • • = л—= ПРИ - 1 О < 1- ►
2	2 • 4	2’4-0	у 1 — х
Применяя почленное интегрирование, вычислить суммы рядов:
189.	х - 4i2 + 9х3 - 16х4 + ....
4 Общий член этого ряда имеет вид ап(х) = (—1)п-1п2х". Поэтому легко можно найти,
что радиус сходимости ряда R = 1. Разделив наг, х/ 0, сумму 5(х) данного ряда, а затем .
почленно его интегрируя в интервале ] — 1, 1[, получаем
dx = х — 2х2 + Зг3 — 4xi + ... + С =
= (j?-x3+x'~ ...)'- x + x2-:r3 + ... + С = —i—+ С.
(1+т)2
Дифференцируя полученное равенство, находим S(x) =	, М < 1, т # 0. Нетрудно
видеть, что ограничение х ф 0 здесь можно снять. ►
190.	1 -2х + 2 • Зх2 + 3 • 4х3 + ....
◄ Общий член ряда имеет вид an(z) = п(п + 1)х", поэтому
1
= 1.
R =
Таким образом, степенной ряд сходится к своей сумме при |х| < 1.
Почленно интегрируя рассматриваемый ряд в интервале ] — !,![ дважды, получаем
( [ 5(х) dx | = х + х2 + х3 + ...------------- + С? = --------------1- С-2,	(1)
:2 \ /	I	X	1 — X X
где Ci, C2 — постоянные интегрирования, х / 0.
Дифференцируя равенство (1) дважды и учитывая, что 5(0) = 0, окончательно находим
£(®) = (1-х)’ >	►
Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить с указанной степенью точности
следующие значения функций:
191.	sin 18° с точностью до 10-5.
-4 Пользуясь разложением функции синус в степенной ряд, можем написать
• 1Я._ • * УЧ-!)""1 it2»-1
sm 18 - sm 10 - X (2п - 1)! 10»"-1 ‘
nsl
Так как этот ряд лейбницева типа, то остаток ряда не превышает по абсолютной величине
первого из отброшенных членов. Поэтому, как следует из неравенств < 10	< sHoT>
fj 5. Степенные ряды
для получения результата с требуемой точностью достаточно взять три члена разложения.
Имеем
in — ~	_ *3 +	= Z f 1 _	+ —ю-5
10 ~ 10 ЗЛО3 + 5!106	10 V 600 + 12
= 0,309017	►
192.	tg9° с точностью до 10 3.
◄ В силу оценки R3 =	(if)4 <	(f(x) = х), Для получения приближенно-
го значения tg ~ с указанной точностью достаточно взять два члена разложения функции
тангенса в степенной ряд. Имеем
3	/	2 \
^^‘^«Й + г^^^Йоо^0’158-^
193.	Исходя из равенства = arcsin найти число тг с точностью до 10 4.
6	2
Ч Пользуемся разложением функции х >->• arcsin х в степенной ряд (см. пример 167).
Имеем
(2n- 1)!!
arcsin? - 2+^23’>+1п!(2п + 1)'
n=l	v
Поскольку для остатка данного ряда справедлива оценка
О _ V t2*-1)"	<	(2п+1)!!
2^ 23*=+1*’(2Л-Ь 1) " 3 • 23п+2(п + 1)!(2п + 3)
fc = n+l
и неравенство 6^’зя-Д2 „+*)!( 2п’+з) <	4 выполняется при п 4, то для получения прибли-
женного значения числа - с требуемой точностью достаточно взять пять членов указанного
разложения:
+ 1 ++	_.35 - = 0,52359...,
6	2	48	1280	14336	72 • 8192
откуда тг — 3,1415 ... . ►
194.	Пользуясь формулой ln(n + 1) = In п + 2 ( - * - + -т--* , + ... J, найти In2 и
\^2n + 1	3(2п + 1)J у
In 3 с точностью до 10’5.
Ч Покажем сначала, как получена эта формула. Разлагая функции х 1п(1 + х) и
х н+ In в степенные ряды по степеням х, затем складывая их в общей области сходимости
|х| < 1, находим
(1)
, 14- х „ ( х3 х3
In ----=21х+ — + — + ...
1 — х у 3	5
Полагая здесь х = 2д-^1, получаем указанную формулу.
Найдем теперь соответствующие числа к членов ряда (1) для вычисления приближенных
значений In 2 и 1пЗ. С этой целью оценим остаток Rk этого ряда.. Имеем
/х2*+1	г2*+3	\	2х2*+1
2\^2k-|-l + 2к + 3+ " J (2fc+ 1)(1 - х2)’
Отсюда следует, что если х = j (n = 1), то Rk 4$ 10“5, начиная с к = 5, а если х = | (п = 2),
то Як 10~5, начиная с к = 3. Таким образом,
1п2«2^ + — + —+ —--------------1- —- = 0,69314 ... ,
кз 81	1215	15309	1771477	’
In 3 » 0,69314 + 2	+ -1- + -1-) = 1,09860 ... . ►
\О «510 XuuZv /
76
Гл. 1. Ряды
195.	С помощью разложений подынтегральных функций в ряды вычислить с точностью
до 0,001 следующие интегралы:
1
о
+ <х>	1
2	О
◄ а) Пользуясь разложением I, п.5.4, находим
откуда
-*2. у (-1)"
dl-2^n!(2n + l)'
Полученный ряд лейбницева типа, поэтому если для нахождения приближенного значения
данного интеграла взять к членов ряда, то погрешность не превзойдет (к + 1)-го члена ря-
да. Из этого условия находим нужное число к. Имеем	С 0,001, откуда к 4.
Следовательно,
о
б) Пользуясь формулой I, п.5.4, и разлагая подынтегральную функцию по степеням
1	ОО
получаем е* = ттг, I1! > 0. Интегрируя этот ряд почленно, имеем
п=0
/ ex dx = 2 + In2 +	(1 —	.
J	< \	2п/ п(п + 1)!2"
2	"=1
Ограничиваясь к членами ряда, находим
/ 1 к
I e*dx»2 + ln2 + fl — -5-Л ———-—.
У	к 2" / п(п + 1)!2"
2	п*"1
Из оценки остатка ряда
ОО	1	1	1/1
n(n + l)!2n G “ 2") < (n + 1)!2"+1(п + 1) V + 2(n + 2) + 22(п + 2)(п + 3) + ’' ‘
1 fi 1	1 А <
< (n + l)!2n+i(n+ 1) \ + 2n + 4 + (2n + 4)2 + ” J "
следует, что для получения результата с указанной точностью нужно взять к 3. Таким
образом,
4
/ e^dx» 2 + 0,6931 + 1 +-L +-1- =2,834...
J	о о4 ооОо
2
(или 2,835 с избытком).
§ 5. Степенные ряды
в) Здесь х 2, поэтому подынтегральную функцию разлагаем по степеням Имеем
м 	1 Л , U-V (-1)"
(1+	)	Х3\1+Х37	2^Х3{п+1)
п=0
откуда
/ dx _V (-1)"
J 1 4- x3 4Ч3п + 2)23n+2
Поскольку ряд лейбницева типа, то для получения результата с указанной точностью доста-
точно взять число к членов ряда, удовлетворяющее неравенству	0,001; решая
его, находим к 1. Следовательно,
[ dx
J 1 4-Х3 ” 8
2
'"йо+  =°'п8 -
(или 0,119 с избытком).
г) Представляя подынтегральную функцию в виде Xх = ех1ах и разлагая ее в степей-
ОО	п
ной ряд по степеням xlnz, z > 0, можем написать тх —	• Интегрируя этот ряд
п=0
почленно, получаем
1	оо	1
[ xxdx='^^—} I xn\unxdx.
о	п=0	о
Интегрируя по частям, имеем
Imn= xmlnnxdx =----------xmlnn~1xdx =------------^—Imn-l-
J	n 4-1 J	m 4- 1
о	0
Полагая в полученной рекуррентной формуле последовательно п — 1, 2, ... , находим
1ml =	; Г-ЛпО, /m2 = Т	/тО, • . • , /тп ~ ( 1)	\ /тО•
т41	(т4-1)2	(т41)"
Так как Im0 = fxmdx = то Imn =	 откУ«а	
О
1	оо	п
Таким образом, J Xх dx =	1 ай?»+> •
О	п=0
Как следует из оценки остатка ряда
00	I 1^*
V	у-1)
Z-J (к 4-1)*+»
fc=n+l
(^W^°’001’
для вычисления данного интеграла с точностью до 0,001 достаточно взять четыре первых
члена этого ряда. Тогда получим
1
[ I1dissl-1-|-1--L = o,783 .... ►
J	4	27	256
о
196. Найти с точностью до 0,01 длину дуги одной полуволны синусоиды у = sinx,
0 х < я-.
78
Гл. 1. Ряды
4 Длина s указанной дуги выражается интегралом
1Г
8 = У \/\ 4" COS2 xdx.	(1)
о
Преобразовывая подынтегральную функцию к виду
\/1 4- cos2 х =	^1 4-1 cos 2т) 2
и замечая, что j|cos2r| разлагаем ее в степенной ряд по стереням j cos 2г, используя
формулу IV, п.5.4:
yi + cos2* = Д 6 + Е (~^2njH^ cos" Д 	(2)
\	П = 1	/
Интегрируя этот ряд почленно, получаем
j 0+cos2T^=yj 6г + £(-1)",	(3)
о	\	п=1	/
где
/п = У cosn 2х dx.	(4)
О
Почленное интегрирование ряда здесь возможно, так как ряд (2), по признаку Вейерштрасса,
сходится равномерно по z, а функции х >-* cos’1 2х непрерывны. Интегрируя в (4) по частям,
находим
7Г
In = У cos"-1 2х d(sin 2т) = (п - 1)(/п-2 - In),
о
откуда In = ~^~In—2, п € N\{1}. Поскольку 1q = тг, а Л = 0, то из полученной рекуррентной
формулы находим
(2n —1)!!
hn — —'и—!Г> 12П-1 — о, П £ N.
(2п)!!
Используя этот результат, из (3) и (1) окончательно имеем
s = XIД А + V
V2^	£^ (4п)!!32п(2п)!! Г
Оценивая остаток последнего ряда:
А (4п —	1)!!(2п —	1)!!	(4к + 3)!!(2fc + 1)!!	/	(4fc + 7)(2fc + 3)	\
(4n)!!32n(2n)!!	32fc+2(2* + 2)!!(4fc 4- 4)!!	+	9(4* + 8)(2Jb + 4) +	’ ’')	<
<^_ (1 + 1 + ±+	U-£_
6	• 32*+2 V 9 81	7	3	-9*+2
и учитывая, что абсолютная погрешность при вычислении данного интеграла не должна-
превышать 0,01, число первых членов ряда находим из неравенства • 3 9^+3	10-2. Его
решения к 1.
Следовательно, в » ту/1 (1 4-	= 3,92 .... ►
$ 6. Ряды Фурье	79
Упражнения для самостоятельной работы
Найти радиусы сходимости следующих степенных рядов:
ЮЗ. f (ntgl)"3(z-i)n. Ю4. f (.„arcsin I)"’z". 105. f
n=l	n=l	n=l
OO	OO . .2 /Л <\II
106. Esinism^ ...sml-(z-l)". 107. E (JnjT ("n)iHz “ 3 + *)”•
n=l	n=l
108. ЕГ^аг^-Пи^агп-гк+з)!!)2^.
n=l k—0
00 («К*)'”* I	00 (arctg(2sin »))<“> I „
Ю9. E	-ni—~jn- И0- £ n! ............- *"
П=0	n=:0
Разложить в степенные ряды по степеням х функции:
111. х sin* х. 112. х •-*	113. х е~х2 £ 7Г-
п=0
1	1	1	2 2
114. х н+ f ln(l + it) dt. 115. х >-> f arctg (it) dt. 116. x >-> f e~x ‘ di.
0	0	0
117. Показать справедливость формулы
£(Г) = ЛН,
где А — постоянная квадратная матрица.
118. Пусть А — квадратная матрица. Положим, по определению,
ОО	Q1	ОО	Л-
sinА= ЕНГ1 (Gy- «^=S(-i)"(b
n=l	n=0
Показать, что матричные ряды сходятся для произвольных А.
119. Пусть А — квадратная матрица. Положим, по определению,
1п(7 + А)= £	(П
П=1
оо
Показать, что если Е апк < 1- где °nfc — элементы матрицы А, то ряд (1) сходится.
п, к—1
§ 6.	Ряды Фурье
6.1.	Основные определения.
Определение 1. Система функций
1	1гх	тгх	ккх	. кгх	г , „
-, cos —, sin ... cos —j—, sin —j—, ... , x £ [-<, <],
z	I	I	I	I
называется основной тригонометрической системой. Эта система ортогональна на
отрезке [— I, /].
Определение 2. Пусть f € R[-l, /]. Числа
I	I	I
во = у J f(x)dx, ak = jJ /(x)cos ^p-dx, bk = | J f(x) sin	dx, k € N,
-i	-i	-i
называются коэффициентами Фурье функции f по основной тригонометрической систе-
ме.
80
Гл. 1. Ряды
Определение 3. Тригонометрический ряд
ао .	(	ккх , . . fcjrx
-Г + ) (Лк cos —у- + Ok sin —г-
и	\	I	I
к=1
называется рядом Фурье функции f. В частности, если функция f четная, то ее ряд
Фурье имеет вид
ао V'1
т+Ъак с08 —;
к=1
ряд Фурье нечетной функции имеет вид
, . ккх
bk sin -у-.
к=1
Определение 4. Функция f : [— I, /] —» R называется кусочно-непрерывной на [—!, Z],
если она непрерывна в каждой точке х 6 [—1, J], за исключением, быть может, конечного
числа точек, где она имеет разрывы первого рода.
Определение 5. Функция / : [—I, I] —* R. называется кусочно-гладкой на [—I, I], если
эта функция кусочно-непрерывна и имеет непрерывную производную на этом отрезке, за
исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых производная имеет
конечные односторонние предельные значения.
6.2.	Теоремы о разложении в ряд Фурье.
Теорема 1 (основная). Пусть кусочно-гладкая на отрезке [—I, /] функция f периоди-
чески с периодом 21 продолжена на всю числовую прямую. Тогда тригонометрический ряд
Фурье функции f сходится в каждой точке х g] — оо, +оо[ к значению j(/(x — 0) + f(x + 0)).
Теорема 2. Если для непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [—I, /] функции f выпол-
няется равенство f(—I) = f(l), то ее тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно
на этом отрезке и сумма его равна значению функции f Vi € [— I, Ц.
6.3.	О дифференцировании и интегрировании рядов Фурье.
Пусть f 6 СтН, /] и /(-0 = /(/), /'(-0 = /'(0, ••• >/т)Н) = /(т)(0- Пусть, кроме
того, функция f имеет на отрезке [—!, I] кусочно-непрерывную производную порядка т + 1.
Тогда: 1) сходится числовой ряд
£ (у) (l“k| + |Ьк|);
к=1
2)	ряд Фурье такой функции можно т раз почленно дифференцировать на указанном
отрезке.
Ряд Фурье интегрируемой по Риману на отрезке [-/, !] функции f можно интегрировать
почленно на этом отрезке.
6.4.	Разложение в ряд Фурье по другим ортогональным системам. Ортогональные
полиномы.
1)	Полиномы Чебышева Тп(х) = уту cos(narccosх) ортогональны на интервале ] — 1, 1[
с весовой функцией х i-t- -7-==, т.е.
л/1 — а;2
§ 6. Ряды Фурье
81
2)	Полиномы Лежандра Рп(х) =	ортогональны на отрезке [-1, 1], т.е.
2 е
2п + 1 тп'
3)	Полиномы Абеля—Лагерра L„(x) =	обладают свойством ортогональности
на интервале ]0, +оо[ с весовой функцией г ►-> е1. Таким образом, имеем
4-оо
е Ьт(х)Ьп(в) dx =
о
4 п
4)	Полиномы Чебышева—Эрмита Нп(х) =	— определены на всей числовой пря-
мой и для них справедлива формула
д3
2 Hm(x)Hn(x)dx
\/2т
п!
Ьтп-
о
Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах следующие функции:
IQ'7 j- J А, если 0<х<1,	.
1У (. f : х	где А — постоянная, в интервале 0, 21 .
J I 0, если I < х < 21,	r j ’ i
◄ Как видим, данная функция кусочно-гладкая, причем точка х = I — точка разрыва пер-
вого рода. Поэтому, согласно теореме 1 о разложении, функция f может быть представлена
рядом Фурье.
Периодически (с периодом 21) продолжая функцию f на всю числовую прямую, построим
функцию
Г А, если 2к1 < х < (2к 4-1)2,
/*:!>-*•< А, если х = kl,
( 0, если (2к — 1)1 < х < 2к1,
где к g Z.
Согласно указанной теореме, функция /* совпадает в каждой точке х числовой прямой
с ее сходящимся рядом Фурье:
00
'•/ч «о ,	( П7ГХ . 1	• П7ГЖ\
f (х) = — + } 7 ^an cos — + bn sm -у- J ,
n=l
где
l	21	I
л	1 f \ n,ri J 1 /	\ nlrl	J	A [ n*x J	n
ao = A,	an = -j I f	(x) cos —j— dx	— - I f(x) cos ——	dx =	— I cos —— dx =	0,
-loo
i	I
bn = у [ f*(x) sin dx = ^- [ sin dx = —((-1)"+1 + 1).
< J	I I J l ПТ
-I	0
00
Следовательно, f*(x) = — +	2n~1 *x при всех x g] — oo, +oo[, a
n=l
... A 2A v"4 1	. 2n -1
f(x) = i +	"
nal
только при 0 < x < l и I < X <21. ►
82
Гл. 1. Ряды
198. / : х |®| в интервале ] - -к, х[.
4 Эта функция непрерывна на ]—т, х[ и имеет кусочно-непрерывную производную всюду,
за исключением точки х = 0. Периодически (с периодом 2тг) продолжив функцию f на всю
числовую прямую, построим функцию f* : х I-* \х — 2fcx|, если - 2fcx| тг, где k € Z.
Построенная функция удовлетворяет требованиям теоремы о разложимости в сходящийся к
ней ряд Фурье.
Поскольку функция /* четная, то Ьп = 0;
1Г	1Г
ап = — У f(x)cosпх dx = - j xcosnxdx = —~j((—1)” - 1), “о = я.
—7Г	0
Следовательно,
ОО .	.
, . тг 4 v"'cos(2k + l)z
k=0 v f
x 4 V'cos(2i + 1)t
(2'Uir ’ -’<"<-►
*=o	’
199. /:x i-<- sin ax в интервале ] — тг, тг[, a g R \ Z.
4 По данной функции построим функцию /* : х i~> sin(a(x — 2fcx)), если |i — 2kx] <
тг, f*((2k + 1)тг) = 0, k 6 Z. Эта функция является кусочно-гладкой при |т — 2Л:тг| < тг. Кроме
того,	— 0) 4- f{xk 4- 0)) = Г(хк), где i* = (2fc + 1)тг — точки разрыва первого рода
функции f*. Поэтому функцию /* можно разложить в ряд Фурье, сходящийся к ней в каждой
точке числовой прямой.
В силу нечетности функции /* коэффициенты ап = 0;
Ьп = — / sin ах sin пх ах = —	х-4—г- sin атг,	a & п.
тг J	“К П* — От
о
Таким образом, имеем
ni)=2si^y(_1)n+1nsinnx> |г(<00)
тг	п2 — а2
П=1
ОО
/(1)=^Г(_1Г^, Ио,. ►
тг	’ п2 - а2 11
П=1
200. f : х >—► х в интервале ]а, а 4- 2/[.
4 Функция
...	( х — 21к, если 21к 4- а < х < а 4- 21(к 4- Z),
J . х t-. а если х = 21к,
к g Z, построенная на основании данной функции и совпадающая с ней на интервале ]а, а 4-
2Z[, является 2/-периодической, кусочно-гладкой. Кроме того, в точках разрыва х = 21к
выполняется равенство
/*(**) = х (/*(«*= - 0) 4- Г(хк 4- 0)) = a 4-1.
А
Поэтому функция /* разложима в сходящийся к ней в каждой точке х g] — 00, 4-оо[ ряд
Фурье.
§ 6. Ряды Фурье
83
Далее, имеем
оо = 2(а 4- /),
I	а+21	а+21
1 f,./ ч ккх ,	1	[	. ктх , i	f ктх	21 . кта
ак = у f (x)cos—dx	= -	/	/(x)cos — dx = -	/	x cos — dx =	— sin —
—I	a	a
l	а+21
i 1 [ ч • k*x j 1 f I/ Ькх	21 kira M
bk = - If (x)sin —j— dx = у / f(x)sin —— dx =	cos——, к € I4.
If	*	I J	I	fbil	I
—l	а
Таким образом,
oo
f*(x) = a 4- I 4- — У"1 isin -—-(a - x), |x| < oo,
7Г П I
n=l
OO
л/ \	»	21	1 . П7Г z ч	,
J(z). = a +1 + — 2 y “sm —\a ~~ xb a < x < cl + 21. ►
n=l
Разложить в ряд следующие периодические функции:
201.	f : х ь-sgn(cosx).
•< Данная функция кусочно-непрерывна (точки разрыва хк первого рода удовлетворяют
уравнению cosx*, = 0) и имеет кусочно-непрерывную производную f'(x) = 0 при х / хк.
Кроме того, функция f периодическая с периодом 2тг и f(xk) = |(/(x*-0) + /(ik+0)). Сле-
довательно, она может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся в каждой точке х числовой
прямой.
Учитывая четность рассматриваемой функции, получаем
Ъп = 0, ао = 0,
7Г	1Г	7Г
2 /	.	.	2 [	2 [	4 . тгп
ап = — / sgn( cos х) cos пх dx = — / cos nxdx-I cos nx dx = — sin —. n E n.
J	nJ	7Г J	irn 2
0	or
2
Таким образом, имеем
OO	СЮ . .L
.	,	4 v-'' 1 . >rn 4 v-4 (—1)*
sgn(cosx) = — } — sm — cosnx = — } , cos(2fc 4- l)x, —сю < x < 4-oo>
n=l	k=0
202.	f : x arcsin(cosx).
◄ Нетрудно проверить, что эта функция непрерывна на всей числовой прямой и имеет
кусочно-непрерывную производную (она не дифференцируема только в точках х = ктг, где
к € Z). Кроме того, она 2тг-периодическая. Следовательно, ее ряд Фурье сходится к ней в
каждой точке х €] — оо, +оо[.
Принимая во внимание четность данной функции, находим
! а 2 ] /т \ J	2//я\	,	2((-1)п-1)
On = 0, ао = —/( — —х I ах = 0, ап = — / — — х cosnxdx = — ——п G N.
к J \2 J	x J \2	)	it n2
о	0
Итак,
. ,	,	2	((—1)" —	1)	4	cos(2fc + l)x
arcsin(cos x) =--> ———------------ cosnx = — > —, —oo < x < -t-oo. ►
v	’	-K n2	x-2 (2Jt 4-1)2
n=1	k=0	'	’
203.	f : x и-, (x) — расстояние x до ближайшего целого числа.
84
Гл. 1. Ряды
Ч Функция f — четная, имеющая период Т = 1; в остальном ее свойства аналогичны
свойствам функции х i-* arcsin(cosz), рассмотренной в предыдущем примере. Поэтому
2
Ьп = О,
а„ = 4 / х cos 2тгп! dx =
ТГ2П2
n e N.
О
Таким образом, имеем
1
4
2 cos(4n — 2)irz
"Т2^ (2n - I)2
204. f : x
n sin пх
sin х
Ч Поскольку
I „sinпх I _ п1а|"1т|
а —----- г,
I sin z I | sm х |
то, согласно признаку Вейерштрасса, данный ряд сходится равномерно
не содержащем точек х = kit, к € 2. Так как, кроме того, функция
при х / кт, то, согласно п.4.4, функция f непрерывна при х 0 кт.
Аналогично можно показать, что функция
| sin z|
на каждом отрезке,
sin пх
-► — непрерывна
sin X г г
En n cos nx sin x — cos x sin nx
a ------------------r-s-------------
sin x
также непрерывна при z кт. Как следует из равенств
lim f(x) = Um	Rm
x — kit	х—*ктг *	SIH X	Л—*kir
У', ап sin пх
sin г
па" cos пт
— lim i-------------
COST
X
|(п+1)* =^,
х = kit — точки устранимого разрыва функции f.
Таким образом, периодическая функция
] f(x), если
f : х	”
1 рь, если
х кт.
х = кт,
разлагается в сходящийся к ней всюду ряд Фурье. Имеем
f*(s) =	4^(sin(n - 2)rcos2z + cos(n — 2)zsin 2z) =
oo . .	00	oo .	oo
V'' nsin(n — 2)z Л n ,	 v	2 V"'' nSinni Л n / X
= У a -------;-------—|- 2 У a cos(n — l)z = —a + a2 У a —;---------(- 2 Y a cos(n — l)z.
sm x	sm x
n=l	n=l	nssl	n=l
Отсюда находим
OO n	OO n
/*(®) = 2a i +2 52 r* 2 cos(n ~= t~"2 +2a 52 r~2 c°s nx- ►
a2 — 1	1 — a2	z 1 — a2	1 — a2
nssl	nssl
$ 6. Ряды Фурье
85
205. Функцию f : х х2 разложить в ряд Фурье: а) по косинусам кратных дуг; б) по
синусам кратных дуг; в) в интервале ]0, 2х[. Пользуясь этими разложениями, найти суммы
рядов:
уЫН1	у 1
п2 ’ 2—* п2	2—* (2n — I)2
◄ В случае а) функцию /, рассматриваемую в силу условия примера только на отрезке
[—х, х], периодически (с периодом 2х) продолжим на всю числовую прямую. Тогда получим
непрерывную и кусочно-гладкую функцию /*, совпадающую с функцией f при |i| х и
разлагающуюся в ряд Фурье только по косинусам. Для коэффициентов ап, Ъп имеем
ТГ	тг
2 f	2ir^	2 /*	4
Ьп = 0, ао = — / х2 dx = -г-, ап - — / х2 cos пх dx = (—1 )п -г, п 6 N.
xj	3	-kJ	n2
о	о
Поэтому
л	ОО у \ гт
Л*/ X *	(—1) cosnx	,	г
f (х) = у + 4 > -—z--------при всех х Е] — оо, +оо[;
п=1
2 ТГ	(-1) COSnx	, ,
X = -— + 4 > -——Z------ только при Z 7Г.
3	' п2
П=1
Для получения разложения в случае б) функцию х >-<• х2, рассматриваемую на интер-
вале ]0, х[, продолжим на ] — х, 0] нечетным образом, а затем так построенную функцию
периодически (с периодом 2х) продолжим на всю числовую прямую. В результате получим
функцию
|т - 2kx|(i - 2fcx), если |т - 2fcx| < х,
О,	если х — (21 + 1)х,
к, I € Z, определенную всюду на числовой прямой и удовлетворяющую всем условиям теоре-
мы 1, п.6.2. Вычислив коэффициенты
7Г
ап — 0, Ъп = — [ х2 sin пх dx = — (—l)n+1 + —^r((-l)n - 1),
It J	n	5ГП4
0
можем написать
oo
Г (®) = 52	“ !)) sin пг’ I1! < °0’
n=l
oo
*2=52 (т(-1)П+1+~J))sin ni> ° 1 < *•
n=l
Наконец, в случае в) по функции f : х >-> I2, 0 < х < 2х, строим 2х-периодическую
функцию f*, совпадающую с функцией f : х ь-> х2 только на интервале ]0, 2х[ и в точках
разрыва х = 2кг, к равную 2х2. Тогда для коэффициентов ап и Ъп функции /* имеем
/*
тг	2тг	2тг
86
Гл. 1. Ряды
Следовательно,
it	2ir
— I f*(x)sinnxdx = i [ х2 sinnz dx = ——, n € N.
* J	* J	n
—it	0
.2
... . 4x2 . cosnx , sinnx
/м =—+*L—-4тЬ—
n2
2	oo	oo
2 4r r-'' cos nx	. v—' Sin nx
x = — + 4 > — --------------4т > ----------
3	x-j n2 x—*	n
Полагая в случае a) x = ~ и x = 0, получаем соответственно
n=l	n=l
7Г2
—. Складывая почленно эти два сходящихся ряда, находим
00	о
ул 1	_ т2
2-^ (2n - I)2 ” Т
Пользуясь формулами cosz = |(z + z), sinz = jt(z — z), где z = e’1, z = e получить
разложения в ряд Фурье следующих функций:
206. z и-» cos2m z, n € N.
4 Пользуясь указанными формулами, а также формулой бинома Ньютона, можем напи-
сать
2т	2т
cos2m z = i(z 4- z)2m = ^7 Е C^z'i(m~k'> = E}(cos2(m ~ k^x + *sin 2(m " k^ ~
k=0	fc=O
2m	__	m
1 <	s~im	1
= E cos 2lm - = F + c^~k cos 2kx-
k=Q	k—0
Здесь мы воспользовались тождеством С?т = C2™-fc, а также четностью функции х *->
cos2kx и нечетностью функции х w sin2(m — к)х. ►
207. х	—?, |9| < 1.
1 — 2g cos х + q2
4 Применяя указанные в предыдущем примере формулы и разлагая данную дробь на
простейшие, получаем
q sin х _	1	1
1—2gcosz + g2 2»(1 — qz) 2i(l — gz)
Поскольку |gz| = |gz| = |g| < 1, то справедливы разложения в степенные ряды функций
qz ь-* (1 — gz)-1 и qz н+ (1 — gz)-1 по степеням qz и qz соответственно. Имеем
gsinz lvn,n _„ч V' neinx~e-'nx V' „
-----------;—г = тт У q (z — z ) = У q ---------—---= > g smnx. ►
1 — 2g cos z + g2 2t	> L-t4 2i x—t
n=0	n=0	n=l
208.	x >->• ln(l — 2gcosz + g2), |g| < 1.
4 Дифференцируя данную функцию no z и пользуясь предыдущим, разложением, полу-
чаем
ОО
(ln(l — 2g cos z + g2)) * = 2 g” sin nx,
n=l
§ 6. Ряды Фурье
87
откуда
°°л п
ln(l - 2g cost + g2) = -2	— cos пт + С.
п=1
Полагая здесь т = т, находим
оо п
Ь(1+д) = у1-(-Пп+1+С.
п=1
Отсюда, в силу формулы V, § 5, следует, что С = 0. Итак, окончательно получаем
00 п
ln(l — 2g cos г 4- g2) = -2^^ — cosnx. ►
n=l
209.	Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию f : т ►-+ In | sin —
◄ Пусть 0 < е т — 2kir 2т — е, где е > 0 и к € Z. Тогда степенной ряд
(1)
где z = е'х, сходится при всех указанных г.
Далее, покажем, что
|sin 11 = Re (in * 2	, In 1 = 0.
(2)
Действительно, пользуясь известным равенством
и представлением w = |w|(cosg; + isings), где w — некоторое комплексное число, дз — его
аргумент, Re In w = In |w|, получаем (положив w = |(1 — z))
D Л 1 —z\ , /1 - cost . r
Re In —— = In \ /---------= In sin - ,
\	2 ) V 2 I 2Г
что и требовалось доказать.
Таким образом, используя формулу (2) и разложение функции z н* — ln(l — z) в ряд (1),
имеем
00	00
,	. X . Л Л z 1 Л COS ПХ
In sin - = —In2 — Re— = —In2 — } J----------
n=l	n=l
Так как число e можно взять как угодно малым, то отсюда следует, что полученное разло-
жение справедливо при всех т / 2£т. ►
210.	Разложить в ряд Фурье функцию f : т jIn у |ctg || dt, — т x t.
о
Производная функции f, равная
f : x w. l]n I ctg |I = | (in Icos || - In Isin ,
• l Л I Л \	1 Л I I л I/
88
Гл. 1. Ряды
является 2тг-периодической функцией и на интервалах 0 < |х | < 2т может быть представлена
рядом Фурье. Действительно, на основании предыдущего примера имеем
ОО
, I . X I . Л	COS 71Z	, Л, ,	„
In sin — = — In 2 — > -------, x / 2Лтг, к € Z,
I 21	! n
n=l
, I I I , „	(—l)"cosnx
In cos - = —ln2 - ) -—--------
x (2k + 1)тг.
n
Поэтому, если x ф кт, к € Z, то
cos пх
п
cos(2n — l)z
2п - 1

Интегрируя полученный ряд почленно, находим
cos(2n — 1)/	_ 57^ sin(2n — 1)т
2n — 1	(2n — l)2 ’
f(*)
о
211.	Как следует продолжить заданную в интервале ]0, непрерывную функцию / в
ОО
интервал ] — тг, т[, чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид f(x) = an cos(2n — 1)т,
•< Поскольку Ъп = 0, то функция f — четная, т.е. ее следует продолжить в интервал
] — т, 0[ четным образом. Далее, замечая, что в данном разложении отсутствуют члены
й2п cos 2пх, заключаем, что
0>2п —
cos2nxdx = 0, п € 1$.
о
Разбивая этот интеграл на два интеграла:
2
cos2nz<iz = / fix) cos 2nx dx +
cos 2nz dx
2
и производя замену: в первом интеграле х =	- у), а во втором х = j(x + у), получаем
cos 2пх dx =
cos пу dy = О,
или
cos 2пх dx =
cos пу dy — 0.
о
Отсюда следует, что
casnydy = 0,
т.е. функция Ф : у I-» f (J 4-	+ f (| — является нечетной. Однако функция Ф очевидно,
четная, поэтому Ф(у) = 0.
о
о
о
о
о
$ 6. Ряды Фурье
89
Итак, должно быть f = ~f	> |»| < ” или> если вернуться к переменной х
по формуле х =	- х) = —/(я)- Следовательно, график так построенной функции
должен быть симметричным относительно прямой х = 0, а точки х = должны быть
центрами симметрии его на интервалах ]0, тг[ и ] - тг, 0[ соответственно. ►
212.
Функцию f : х х
разложить в интервале
а) по косинусам
нечетных дуг; б) по синусам нечетных дуг.
◄ а) Рассмотрим 2тг-периодическую функцию f*, которая в интервале ] — тг, тг[ опреде-
ляется следующим образом:
/(-*)-
(Х-7Г)
(i + ir)
если
если
если
если
0<х<
-- х О,
ТГ	S
2 С X $'7Г,
-тг х
Очевидно, построенная функция непрерывна в каждой точке х числовой прямой и име-
ет кусочно-непрерывную производную. Кроме того, она четна и ее коэффициенты Фурье
Я2П, n g Zo, равны нулю, так как
ТГ
Ct2n = — /*(x)cos2nx dx =
r J
— 7Г
cos 2nx dx
2
cos2ny dy + — (-1)
ТГ
у cos 2ny dy = 0
(здесь использовались подстановки: x = | - у и x = | + у).
Таким образом, функция /*, совпадающая в интервале ]0, |[ с функцией /, может быть
разложена в ряд Фурье только по косинусам нечетных дуг. Имеем
ТГ
Ьп = о, Й2П-1 = У /’(х) cos(2n — 1)х dx =
о
n e n.
-	2 fl 14 (-1)"
(2n — I)2 у х (2п — 1)у
Разложения функций f* и f имеют вид
Г (х) = -2 g (2™11)2 (1 + £	) cos(2n - l)x, |x| < oo,
У(х) = -2£ (2fi i 1)2	+ ^n-l)) COs(2n " 1)1’ ° < 1 < Г
90
Гл. 1. Ряды
б) Поскольку  в разложении Фурье должны отсутствовать косинусы, то функция /*, со-
впадающая в интервале ]0, |[ с функцией /, нечетна. Кроме того, по условию, должно быть
1Г
if	2	п
62п == — J f*(x)sin.2nxdx = — у f*(x)sHi.2nxdx 4- — J /*(x)sin 2пх dx = 0.
о	о	Г
2
1роизведя во втором интеграле замену х = -(тг — у), а в третьем х = ^(тг + у), получим
b2n = ^^-j (г	(^ + |))sinny<fs, = 0,
о
или
о
б2п = ацн_у (/*	(|+f))sinny<iy=o.
—1Г
Из двух последних равенств находим
7Г
Ь2п =	[ (f (^~	- Г (f+ ^))sinnydy = 0,
Я	J \	\ i LJ \L I/ /
откуда следует, что функция У н* f* (I — |) — f* (I + четная. Но так как она еще и
нечетна (что очевидно), то f* (| — |) = f* (^ + 2)> или, возвращаясь к переменной х, можем
записать /*(т) = f*(v — х). Геометрически это равенство означает, что график функции /*
в интервале ]0, я[ симметричен относительно прямой х =
Таким образом, для построения графика функции /* с указанными свойствами следует,
во-первых, график функции f зеркально отобразить относительно прямой х = в интервал
]0, тг[; во-вторых, так полученный в интервале ]0, я[ график функции f * отобразить нечетным
образом относительно точки х = 0 как-центра симметрии всего графика в интервал ] — тг, 0[.
Тогда для коэффициентов Фурье получим
ао = ап = 0, бгп = О,
&2П-1
sin(2n - 1)т dx =
(х — я) sin(2n — l)i dx =
2(~1)п Л . 4(-1)"
(2n — I)2 у я(2п — 1) J ’
n € N.
Следовательно, разложение функции f * имеет вид
= Е ((£^7 + х(2п-1)з) sin(2n " !)*• ►
213.	Функция f антипериодическая с периодом я-, т.е. f(x + я) = — f(x). Какой
особенностью обладает ряд Фурье этой функции в интервале ] — я, я[?
$ 6. Ряды Фурье
91
Ч Предполагая, что данная функция разложима в ряд Фурье, с учетом ее антипериодич-
ности, получаем
я-	«
а0 = i-У f(x)dx = “ j f(x + x)dx = -i J f(x)dx = -a0,
-тг	-»	о
откуда следует, что aa = 0.
Далее, находим
тг	тг	2тг
an = У f(x)cosnxdx =У f(x + t)cos пх dx = —------------j f(x) cos пх dx = (~l)n+1an
—тг	—тг	О
(здесь мы использовали равенство f(x 4-2т) = f(x)). Следовательно, а-2П = 0. Аналогично
устанавливаем, что bin = 0, n g N. ►
214.	Зная коэффициенты Фурье an, bn интегрируемой функции f, имеющей период
2т, вычислить коэффициенты Фурье ап,Т>п, п £ Zo, “смещенной” функции х f(x 4- h),
h = const.
◄ Учитывая 2тг-периодичность и интегрируемость функции х >-► /(х 4- h'], имеем
тг	тг+h
an = — У f (х + Л) cos пх dx = i- j /(t)(cosntcosnft 4-sin ntsin пЛ) dt = an cosnft 4-bn sin пЛ,
—тг	— тг+h
тг	тг+h
bn = i У f(x + k)sinni dx = — J /(t)(sinntcosn/i — cosntsin nh)dt = bn cosnfe — a„sin nh,
— тг	—тг+Л
n g N, ao = ao. ►
215.	Зная коэффициенты Фурье an, bn, n g Zo, интегрируемой функции f с периодом
2т, вычислить коэффициенты Фурье An, Вп, п g Zo, функции Стеклова
ЛЮ =4 I ло«.
x—h
◄ Ряд Фурье
ОО
+ У2<1п cosnx 4- b„sin пх ~ /(х)
nsl
2т-периодической интегрируемой функции /, согласно п.6.3, можно почленно интегрировать.
Поэтому, интегрируя его почленно по f в пределах от х — h до х <4- h, получаем
оо	J
^4-У^ ( sin nh cos пх 4- -у-sin nftsin пх) = /ь(х).
2	< \пп	пп	)
nsl
Отсюда находим Ао = ao, Ап = ^sinnfc, Вп = ^sinnft. ►
Разложить в ряд Фурье по полиномам Чебышева:
216.	f : х х3, х g] — 1, 1[.
Ч Исходим из общего представления функции рядом Фурье:
ОО
х3=^а”Т^'	(!)
п=О
92
Гл. 1. Ряды
где ап — коэффициенты Фурье, подлежащие определению. Для их вычисления воспользу-
емся свойствами ортогональности полиномов Чебышева в интервале ] — 1, 1[ с весом
Умножив обе части равенства (1) на весовую функцию и проинтегрировав по х ё] — 1, 1[, в
силу указанного свойства и нечетности функции х *-> г3, получим ао — 0. Далее, умножив
обе части равенства (1) на dx, m ё N, и проинтегрировав по х ё] — 1, 1[, найдем
\/1— л2
f х3Тт(х) iram
Для вычисления интеграла воспользуемся явным выражением полиномов Чебышева и
произведем подстановку arccosz = i. Тогда получим
2т г	( 0,	если
ат = — I cos3 tcos(mt)dt = < -, если
% J	11,	если
Л	4	’
т 1, т 3,
т = 1,
т = 3.
Таким образом, х3 = -Ti(z) + Тз(х) Vx ё] — 1, 1[. ►
217. f ; х >-> |z|, х ё] - 1, 1[.
Ч Как и в предыдущем примере, представляем данную функцию в виде f : х >-► ао +
ОО
^2 апТп(х). Последовательно умножая обе части этого равенства на
П=1
-. ™  и интегрируя по
у 1-х2
х ё] — 1, 1Г, а также умножая на и интегрируя по х ё1 — 1, 1[, получаем (пользуясь при
у 1—X2
этом свойством ортогональности полиномов):
\x\dx _2 Г xdx _ 2
Vl - х2 я J л/1 — х2 я ’
о
2m f |х| cos(m arccosx) 2m f.	.	, .
am = — I ;~	----dx =— I I cos i|cos(mt) dt =
я J VI - x2	я J
-i	о
2
2т Г
= — / costcos(mt)dt -
0,
ту
_2_
ш = 1,
т 1.
0
2
Итак, при < 1 имеем
Разложить в ряд Фурье
218.
по полиномам
00	i\*+i
у 4L-	►
x-s 4k2 - 1	'
k=l
Лежандра функции:
0,
1,
если
если
ОО
◄ Имеем /(х) =	а*Р*(х). Поэтому
*=о
1 1
2k+ 1 ( л \п / \ j 2k+ 1 f п , j
ак = —-— / /(®)P*(x)dx = —-— / Plt(x)dx =
л J	A J
f / ; -V 		0 < -й? -
$ 6. Ряды Фурье	93
2к + 1 [ 1 <1*(х2-1)*л _ 2fc + 1 d*-1(x2 - 1)* 1
~~2~ J 2*Jfe! dxk 2*+Ч! dxk~1 0’
о
1
I f(x)P0(x)dx = ± кек
Остается.вычислить -—. Очевидно, при любом к 1 в точке х = 1 это вы-
dx Io
ражение равно нулю. Для вычисления значения его в точке х = 0 воспользуемся формулой
бинома Ньютона:
/ к	X (*-1)
((г2 -	= / £ cK-i)'®2^-0
\ 1=0	/
= 52 С*(-1)'(2*-2/)(2fc-21 - 1) ... (—2Z +fc4-2)xfc-2i+1.	(1)
1=0
Из этого соотношения следует, что если к — число четное, то при х = 0 сумма (1) равна
нулю; если к = 2т + 1 — число нечетное, то в точке х = 0 сумма (1) равна
C2mm++11(-l)m+12m(2m-l)...3-2.
Таким образом
&2т	d2m+l
Следовательно,
1 00
^W~2+52 22гп+2т!(т + 1)!
т=0	'	’
219. f : х !-< |х| при |х| < 1.
4 Как и в предыдущем примере, запишем
/(х) = 52 акРк(х), аь = —/ |х|Рк(х) dx.
k=0	/,
= (4т + 3)(-1Г(2т)!
22m+2m!(m + 1)! ’
(-l)m(4rn + 3)(2т)!
При к = 2т + 1 имеем a2m+i = 0, так как в этом случае подынтегральная функция
нечетная. При к = 2т подынтегральная функция четна, поэтому
1	4m+ 1 [ d2m(x2 - l)2m '
°0	2’ “2m ~ 22m(2m)! J 1 dx2m dX~
0
= 4to+1 ( d2"-1^2 - l)2m 1 _ d2m~2(x2 - l)2m Л =
22m(2m)! y1 dx2m-1	Q dx2m~2 1
=	1v,((r2-l)2m)(2m-2)	, m€N.
22m(2m)!u	’ ’
'	7	®=0
Аналогично проделанному в примере 218 можем записать
((х2 - l)2m)(2m-2)U=o = (-ГГ^С^Чгт -2)!.
94
Гл. 1. Ряды
Итак, окончательно имеем
Разложить в ряд Фурье по полиномам Лагерра Ln(x) при х > 0 следующие функции:
220.
ОО
◄ Представим функцию f в виде f : х	и используем ортогональность
п=0
полиномов Лагерра на х > 0 с весом е~х. При n 1 получим
+ оо	+оо
а„= [ e~^aHn(x)dx=- [	=
J	' ' n! J
О	о
(. +°° \
е dx"~ п +а] е <^-1 dx 
О’/	/
о	/
Продолжая интегрирование по частям, находим
+ оо
“п = 5/ хпе~(1+а)х dx-
Применяя к последнему интегралу также метод интегрирования по частям, после п-го
шага получаем
+ оо
an = -—-—г— [	dx = у-——-	, п € N.
(1 + a)” J	(1 + a)n+1
о
Принимая во внимание еще, что во = окончательно имеем
/(l) ~ гЬ £ (F^FLn(l)-
п=0
221. f : х н-t- хп, п 1.
4 Имеем
во = / хпе~х dx = п!
о
Ц^-п(п-1) ... (n-fc +
dx =
jj-(—l)*n(n — 1) ... (n — к + 1), 1 к n.
Если же к > n, то at = 0. Таким образом,

$ 6. Ряды Фурье
95
Разложить в ряд Фурье по полиномам Чебышева—Эрмита следующие функции:
◄ Напишем искомое разложение в виде
я®)=52 а*я*(х)’
к=О
где
.2
о
0>к =
!z =
о
а0 - 0, к € N.
Пользуясь явным выражением полиномов Hk(x) и производя в первом интеграле замену
х на —г, получаем
ak_. i+(-Dfc+i +рк(е~2)	(i+(-Dk+i) /
°fc“ 72?	J dxk dx~ 72?	V )
о
/ _£3\(fc-1)
Для вычисления выражения I e 2
з?2
рассмотрим функцию и : хке 2 ‘.Взяв про-
Jz=O
изводную, замечаем, что эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и'(х) +
ха(х) — 0. Применяя к этому равенству формулу Лейбница, получаем
«(п)(^)+52	=°-
к=0
Полагая здесь х = 0, имеем рекуррентную формулу 7n\o) = —(n—1)7"-2\0), п € N\{1}.
Поскольку u(0) = 1, и'(0) = 0, то отсюда нетрудно получить 72|\0) — (—1/(2/ — 1)!!, I 6 N,
ад(21+1)(0) = О,
Таким образом, если к .= 21 + 1, то 021+1 = (—1
же к = 21, то а.21 = 0.
Следовательно, окончательно можем написать
.21- 1)!!, I е N, «и = -JZ; если
223. / : х |х|.
◄ Как и в предыдущем примере, имеем
+ °° ,
ак ------ /хе 2
. 1 + (-1)* ( 2)
ах = ---;__'  е 2 ]
72? \	)

О
«2i-l = О,
,ен.
1
“° = ~^=
72?
2 /	2
Ые 2 dx = —== / хе 2 dx = —==
72? J	72?
0
96
Гл. 1. Ряды
Поэтому разложение представляется в виде
1*1
224. f-.x^e-ax.
4 Вычислим коэффициенты разложения
к g Zo.
Интегрируя по частям, получаем
или а& = aak-i. Полагая в этой рекуррентной формуле к = 1, 2, ... и принимая во внимание,
что
4-оо	+оо	а2 4-оо
1 Г -<»-£.	1	[ _1(1+а)=+£, е~ Г -И
ао = —/ е 2 dx = —= I е 2	2 dx = —== I е 2 dt = е 2 ,
V2ir J	у2т J	у2тг J
— ОС	—00	—00
получаем
к
ак = е 2 а , к g Zq.
Таким образом, окончательно имеем
2	00
е-“ = еТ£в*Я*(®). ►
*=о
Упражнения для самостоятельной работы
Разложить в тригонометрический ряд Фурье следующие функции:
120. f : х i-* 2® + 5, х g] — 1, 5[. 121. f : х »-► sin я2®, х g] — 1, 1[.
122. / :гн sgnsin2®, х g ] — |, |[. 123. f: х cos®, х g]0, 1[.
124. /:п-> cos®, х g [2, 3]. 125. j : х arcsin(sin2®), х g R.
126. f : x t—> e“COSir(cos(2® — sin®) 4- 2 cos i cos (sin a:)) — cos®.
127. f : x e-COSit(sm(2® — sin®) — 2cos®sin(sin®)) + sin®.
128. f : x 52 e~’r“(n+*)2, a > 0, x g R. 129. f : x h+ sin x In (2 cos |).
n=-cc
X a
130. f : x >-♦ cos i In (2cos . 131. f : x >-* f e-t dt, x g] — я, т[.
0
132. f : ® >-< / dt, x g] - 1, 1[.
0
§ 7.	Суммирование рядов. Вычисление
определенных интегралов с помощью рядов
7.1.	Непосредственное суммирование.
Пусть требуется просуммировать сходящийся ряд
«п€£.	(1)

§ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 97
Представляем «п в виде un = «п+i - «п, где «п+i = 5п + vi, (5п) — последовательность
частичных сумм данного ряда. Тогда, если lim vn = Voo, то
n—*oo
> un = lim Sn = i»oo - «1.
n—*oo
В том случае, когда общий член ряда имеет вид
1
1
и„ =----------------, Un € R(C),
^n^n+l ••• Лп+m
где a„+k = an + kd, к = 0, m, d = const, to
1
»n =----------------------------------,
ТП(л anCln+l • • • Оп+тп—1
7.2.	Метод суммирования рядов, основанный на теореме Абеля.
Пусть ряд (1), п.7.1, сходится. Тогда его сумму можно найти по формуле
un = lim > unxn.
x-,1-0-^
n=0	n=0
7.3.	Суммирование тригонометрических рядов.
Если сумма степенного ряда
2^UnZ •
п=0
z = г*
известна и равна С(х) + iS(x), то
Un cos пх = С(х),
п=0
Часто бывает полезным ряд
У^ un sin пх = 5(г).
V — = ln -Ц
Л—' П 1—2
1П 1 = О,
1
сходящийся при |z|	1, за исключением точки z = 1.
Найти суммы рядов:
225.	—!— + —!. , '	...
1-2-3	2-3-4 3-4-5
•4 Нетрудно видеть, что общий член этого ряда и„ равен п^п+1у п+2)» где числа п> п+1, п+
2 образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Поэтому, согласно ц.7.1, получаем
1
—--------тг----тг = lim vn — oi,
+ l)(n + 2) n-*w
где t„ = — j nfnlA  т — 2, о„ = п. Но так как t»i = — т, a lim vn = 0, то S =
' • /	п—*оо
226.	—- —+ —__L+....
1-2 2-33-4 4-5
w	( — llft+1
◄ Общим член данного ряда un = „(n+i) -
абсолютно сходится, ибо |un| ~ при п —> оо.
Рассмотрим степенной ряд
Следовательно, по признаку сравнения, ряд
г"*1
n(n + 1)’
Гл. 1. Ряды
Этот ряд абсолютно сходится при |т|	1 и, как любой степенной ряд внутри интервала
сходимости, имеет производную
Г(х) = у£=1п *
v	п 1 — X
П=1
Интегрируя обе части полученного равенства, находим
f(x) = (1 - i)ln(l - х) + х + С.
Поскольку f(0) = 0, то отсюда следует, что С = 0. Итак,
f(x) = (1 — т)1п(1 — х) + х.
Как видим, здесь вполне применим метод суммирования рядов Абеля (см. п.7.2). Поэтому
имеем
“ (_пп+1 А г"+»
2	, ., = Нт 2	~ Iim ((1-х)1п(1 - т)+ т) = 2h2 - 1. ►
n(n + 1) х—х+о
n=l	n=l
00
227.	V___________________.
(n + l)(n + 2)(n + 3)
n=l
◄ Представляя данный сходящийся ряд с помощью метода неопределенных коэффициен-
тов в виде разности двух сходящихся рядов:
оо	со	оо
О _ У'__________п_______ = - У' 1_____________1 У' 1
(п + 1)(п + 2)(п + 3)	2 (п + 2)(п + 3)	2^ (п + 1)(п + 2)’
П=1	П = 1	П=1
применяем метод непосредственного суммирования. Для каждого из двух последних рядов
имеем
Следовательно, S = у. ►
4
ОО
228.	V—i—r.mgN.
' n(n + т)
П=1
•4 Преобразовывая частичную сумму Sn ряда к виду
< Приводя данный ряд к виду
где S — сумма ряда, рассмотренного в примере 226, получаем
1-2-3	3-4-5	5-6-7	2
§ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 99
230. V _1_
п2 - 1 
п=2
Ч Преобразовывая ряд к виду
п=2
1
П2 — 1
= __________
n(n + 2)
и используя результат примера 228, находим, что S = j. ►
ОО
поч \ 2п ~~ 1
231 • Хп2(п + 1)2'
П=1
Ч Разлагая общий член ряда на простые дроби, находим
2n —1 _ Л_________1_\ _ _1_ _	3
п2(п + 1)2	\п п + 1/ п2	(п +1)2
Поскольлку
2п-1 _,7 2,
п2(п+1)2	3
П=1
1
n(2n + 1) ’
Ч Представляя частичную сумму 5П ряда в виде
5- = Ё(Ь5ш)-2Ё(1-(5Ш + ^))
fc=l	к=1
(2п+1
>-Ег
A; = n-f-l
и пользуясь формулой 1+ |+  • • + £ = In n + С + еп, еп
2(1 - In2). ►
233. £
п=0
2n(n +1)
п!
Ч Дифференцируя степенной ряд
00
Е
(2т)п+1
п!
—► 0, п —> оо, находим S = lim Sn
п—►ОО
= 2ге21
232. ^2
почленно, получаем
(2те27 = £
п=0
(п + 1)2"+1хп
п!
откуда, полагая х = 1, находим
п=0
2n(n + 1)
п!
= Зе2. ►
1
234. р___________________
п (» + 1)2(п + 2)2
100
Гл. 1. Ряды
4 Общий член ряда разлагаем на простые дроби:
________1_______ 3 ,	3	1 .	1
п2(п 4-1)2(п 4-2)2 4п 4(п + 2)
+ 2_ + _г_ +
4n2 (n + I)2
+ 4(п + 2)2
- ~3
2п(п 4- 2)
1 1
4п2 + (п 4-1)2
1
4(п 4- 2)2
Суммируя ряды
1	__ 3
п(п + 2)	4’
6 ’
_______= £-1,
(п+1)2_6	’
1
_ тг2
i2 ” Т
окончательно находим
Е
_________1________________________ тг2
п2(п + 1)2(п + 2)2____4
39
16
ОО ,	.
235-Е(£Нл-
п=0
4 Замечая, что значение степенного ряда
(—1) т	n _ 1 V-v (—1} X
2-J (2п+1)! “ 212-, (2n)!
_ 1 у (~l)ni2n _ 1 у (-l)Vn+1
~ 2X (2n)!	2 2^ (2n + l)!
n=0	n=0	n=0
при x = 1 совпадает с данным числовым рядом, имеем
1,  \
= -(г COST — sin г),
|г| < оо,
y±^L = hcosl_sinl).>
(2п 4-1)! 2V	;
П=:0
236. У-у-^-
п2 4- п - 2
4 Разлагая дробь
на простые, можем написать, что
у> (-l)^"-1 __ 1 ул
+^n24-n-2	3+-*
п=2	п=2
(~1)п*п
п — 1
,n-n+2
-2_у
Зх3 £—4 п + 2
п=2
= i-ln(l + ж) -	Г-1п(1 4-г) 4-
I —
т3
2	3/’
3
О < |г| < 1.
Отсюда, применяя теорему Абеля, находим
у (-if .
я2 4- п - 2
п=2
1йп у^-1. Л1П2*>
-.l-о п2 4-п — 2	3	18
п=2
237. У' (~1)n(2w2 + т) г»
(2п)?
п=0
◄ Представляя данный ряд в виде суммы двух сходящихся рядов:
00	/ -|\п_	( 1\п_2п
м<“.
n=l	nssO
и замечая, что сумма второго ряда равна cos х, вычисляем сумму первого ряда.
°0 ( 1\п__2п
^x) = E((2„Li1-jr=g^)’
Имеем
§ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 101
где
СО
?(*)=52
П=1
(-IJW’-1
(2п -1)!
Интегрируя почленно этот ряд, находим
/ dt = 'I D"1)”"1 7БГ"Ту = sin
J	L	(2п — 1)1	2
О	n=1
откуда 9?(z) = — | sin х — | cos х. Следовательно, /(z) = — j(sin х + х cos z), а
/ х2 \	z
S(z) = 11 —— 1 cosх — — sin z, |z| < oo. ►
o° 2
238-L(£w
n=0
◄ Пусть z > 0. Полагая z = у2, имеем
A n2xn	A n2y2n
X(2n + 1)!	E(2n + 1)!	?
n=0	n=l
где Si (y) = 22 "2n+i)! • Интегрируя этот ряд почленно, получаем
П=1
г	00	2п-1
Л‘">	<”
о	n=1
где
°°	„,,2п-1
П=1
Аналогично находим
/°° 2п
й«"“=5£(А)! = А’-”'	(2)
О	n=1
Дифференцируя обе части равенства (2) по у, находим функцию S2. Точно так же нахо-
дим функцию Si из уравнения (1). Окончательно имеем
SW = f (Aij! = i (<+Л • • *0> •S(o) -0
n=l '	'	'
(заметим, что в точке z = 0 правая часть этой формулы, на основании теоремы Абеля, равна
ее предельному значению при х -> +0).
При z 0 выполняем аналогичные выкладки. В результате приходим к такому ответу:
s(i)=E(^TA = j((i+1)!^^-cosyr7)’i<0’ 5(°)=о*’
П=1 4	1	\	v	'
С помощью почленного дифференцирования найти сумму рядов:
239. V' (-I)”"1*2”
“ n(2n-l) ‘
102
Гл. 1. Ряды
◄ Дифференцируя данный ряд почленно дважды (в интервале сходимости степенной ряд
можно почленно дифференцировать любое число раз), находим
ОО
Г(х) = гузнг1^"-1) -	|х| < 1.
П=1
Отсюда последовательным интегрированием по х дважды получаем
f'(x) = 2 arctg х + Ci, f(x) = 2i arctg x — ln(l + x2) + Cix + C?.
Поскольку f(0) = /'(0) = 0, to C\ = Cj = 0. Следовательно,
E a-й =2i arct«x -	+i2)-
n=l
Поскольку данный степенной ряд сходится на концах интервала сходимости х = ±1, то,
согласно теореме Абеля и непрерывности правой части, можем утверждать, что последнее
соотношение справедливо при |х|	1. ►
240. V С2”.-*-1)*2”
< п!
п=0
◄ Обозначая сумму этого ряда через S(z), |х| < оо, и интегрируя ряд почленно, получаем
T2n+1	2
S(x)dx = ^2^—г+С = хех +С.
п=0 П'
Дифференцируя по х обе части этого равенства, находим
S(z) = (l+2z?)el2, |х| < оо. ►
Используя метод Абеля, найти суммы следующих рядов:
◄ Рассмотрим степенной ряд
~	„Зп-Ц
У(-1)П7-----T = S(x).
’ Зп +1 v 1
п=0
Легко найти, что он сходится абсолютно при |z| < 1. Далее видим, что в точке х = 1
степенной ряд совпадает со сходящимся (в силу признака Лейбница) данным числовым рядом.
Следовательно, по теореме Абеля, будем иметь
1-7 + |-Л+---= lim S(x).
4	7	10	x—i-o
Остается найти S(x). Дифференцируя ряд почленно, получаем
У(.) =
n=0
откуда
dx 1.	1 +1	1 2х -1	„
----г = - In ,	,^== Н—= arctg —=—h C.
+ X3 3 y/x2 + x +1 ч/з -Уз
Поскольку S(0) = 0, то С = Следовательно,
о/ч 11	1 + «	,	1 х 2г-1 , it
Поэтому окончательно находим 1 — т+| — Л +	= I In 2 + -^75. ►
V I 1U	V	V V**
§ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 103
242.	1 - 1 + — -	+ ....
2	2-4	2-4-6
4 Поскольку при |i| < 1 справедливо разложение (см. формулу IV,§ 5)
(1+?)-| = 1+?НМ^
и данный числовой ряд, в силу признака Лейбница, сходится, то, по теореме Абеля, получаем
1	1-3	1.3-5	,,	2Ч--	1
1 ~ 2 + F4 - ГГб + -=	(1 +	2=^'к
243.	i + l.l + ld.l+ ....
L 3 L • 4 5
4 Сходимость этого ряда показана в примере 167. Там же мы получили разложение

(2n-l)!! x2n+1
— 7--------------г = arcsin i,
(2n)!! (2n + 1)
.,11,1-31,	# .
из которого следует, что 1 + т.т+т-т.т + ... = -. ►
2 о х *4 О	х
Найти суммы следующих тригонометрических рядов:
ОО
244.	Vsmny.
Z—/ п
4 Рассматриваем этот ряд как мнимую часть степенного ряда
V — = 1в
l—i п
где под In z понимаем ту его ветвь, для которой In 1 = 0. Тогда будем иметь
5(т) =
1
= arctg —
tg 2
X
= 2 Sg“
—,	если
, если —х < х < 0.
Поскольку функция S 2х-периодическая и S(fcx) = 0, к 6 Z, то, используя последний
результат, можем написать, что
, если 2кт < х < 2(к + 1)х,
' ;	1 0,	если х = 2fcx.>
245.
2—' п2 - 1
пх2
4 Рассматривая ряд как действительную часть ряда
—X < X $ X,
можем записать
©О .	. м	ОО 	.
V (-1) cos яд _ v-ч (-г)
2^ n2-i -Пе2^п2-г
п«2	п=2
104
Гл. 1. Ряды
При условии, что z	— 1, последний ряд представляем в виде суммы двух сходящихся
рядов:
_ 1 у'
2^ п2 - 1	2
п=2	п=1
Следовательно,
О"-1	1 ( , /. ч , z ln(l + z)
J----= - Zln(l + z +1-Z- \ 
П 2 \	2 z
п
(~l)ncosnx 1	, ч , , г ln(l + z)
—7-_—= -Relzln(l + z) + l---——
n=2	'
Заметим, что ограничение е'х / —1 здесь можно
то cos пт = ( —1)п. При этом получаем числовой ряд
Кроме того, если cos пх = (—1)", то j (1 ~ j cos х
1
- COS X — sin х
2
снять. Действительно, если е** = — 1,
00
52 равный - (см. пример 230).
п=2
- isins) = Итак,
(—l)ncosnx	1/1	.
—---------= - 1 - - cos х - х sm х
п2 -1	2 \	2
п=2
Ух € [—тг, тг]. Далее, в силу 2тг-периодичности суммы этого ряда, значения повторяются. ►
оо
246.
x—t п!
п=0
◄ Легко находим, что
V = Re У Z— = Re ег = Re ecos l+*sin 1 = ecos 1 cos(sin x), |x| < oo. ►
n!	tv.
n=0	n=s0
Найти суммы следующих рядов:
247.	У (("~ xj!)2(2x)2n.
(2п)! v ’
П=1
◄ Дифференцируя этот ряд по х дважды (в интервале сходимости |х| < 1) и умножая
вторую производную его на 1 — х2, после некоторых преобразований рядов получаем диффе-
ренциальное уравнение относительно искомой суммы S(x) ряда:
(1 — x2)S"(x) — xS'(x) — 4 = 0.
Производя в нем замену независимого переменного х по формуле t = arcsin х, приходим к
уравнению S"(t) = 4, из которого находим
S(t) = 2t2 + Cit + Сг, Ci, Сг= const.
Так как S(0) = S'(0) = 0, то отсюда получаем
S(x) = 2(arcsinx)2, |х| < 1.
Нетрудно найти, что числовой ряд
у((п-1)!)\п
(2п)!	’
являющийся значением данного степенного ряда при х = ±1, в силу признака Гаусса, схо-
дится. А тогда, по теореме Абеля и на основании непрерывности функции х —* 2(arcsin г)2
на сегменте [—1, 1], можем утверждать, что S(x) = 2(arcsinx)2 при |х|	1. ►
248.	-2L +______?!_____+_________-________+
х + 1 (х + 1)(х + 2) (х + 1)(х 4- 2)(х + 3)	' ‘ ’
§ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 105
4 Прежде всего устанавливаем область сходимости. Для этого, замечая, что общий член
ряда ап =	—(д+п)1 1 — 6 N, начиная с некоторого достаточно большого номера
имеет определенный знак, применяем признак Гаусса. Имеем = 1 +	. Отсюда,
в силу приведенного признака, следует, что ряд сходится только при х > I.
Найдем теперь сумму S(x) данного ряда. С этой целью представим общий член ряда в
виде
(п + 1)!
_ 1	(_____________п!_____________________у* ~г ч-_______1 с Ы \ 111
а" х-1 ^(1 + х)(2 + х) ... (n-1 + x) (1+ х)(2 + х) ... (п + х)/’
и вычислим частичную сумму Sn(x) рассматриваемого ряда:
ч f х 1	,	1 /7_2!____________3!	>	,
пХ	х +	1 х — 1\Д1 + х	(1 + z)(2 + x)J
(	3!	4!
+ ^(1 + х)(2 + х) ” (1 + х)(2 + х)(3 + х)) +
(	”	(п +1)!	\\ _
+ •’ ” + \(1 + х)(2 + х) ... (n - 1 + х) (1 + х)(2 + х) ... (n + x)JJ
= 1__________________(п+1)!_________= 1_______(п + 1)оп
х — 1 (х — 1)(1 + х)(2 + х) ... (п + х) х — 1 х — 1
Поскольку ряд сходится, а члены ряда положительны и монотонно убывают, то, в си-
лу примера 13, справедливо соотношение lim (п + 1)ап = 0. Принимая его во внимание,
п—»00
получаем
S(x) = lim Sn(x) = ——-,
п—►оо	X — 1
О Я Л 01	01	02	Л	X ' 1
/4У.----------1---------------h ... при условии, что х > 0, ап > 0 и ряд > — —
02 + X 02 + X 03 + X	' ап
расходящийся.
4 Представляя общий член Ъп(х) ряда в виде
ЪпМ _______________aiQi  Qn______
(02 + х)(в3 + х) . . . (вп+1 + l)
1 I	01Й2 • • • &п
х \(о2 + х)(о3 + х) . . . (on + х)
находим частичную сумму Sn(x) данного ряда:
с/х а1 , 1 (( а1а2	010203	\
5n(l) = ------. -|-II----------------—--------
02 +х х\\02 + х (02 + х)(аз + X) J
7---й1°2 ••/n+1--cl, ngN\{l},
(02 + х) ... (On+1 + х) J
сцагаз <4.
I /	010203____________+
\(а2+х)(оз +х)	(а2 + х)(оз + z)(04 + х) )
0102	• Оп+1 \ '
। I_______010203 ... an_____________________._____ _
\(02 + x)(o3 + l) . . . (o„ + l) (o2 + x) . . . (o„+i + x) J J
01	, 1 ( 0102	0102... 0„+l	\ ,v\hl
=--------1" -----------------n------:-----------Г , П g N \ {1}.
02 +X X\O2+X (02 +X)(O3 + x) ... (o„+l + X) J
Так как
О <	О2Оз • • • Оп+1	_ __________1____________ <	1
(«, +.)(, + i) (, + х) ...	+ .X.) ' , + , g А
106
Гл. 1. Ряды
и ряд с положительными членами может расходиться только к бесконечности, то
Д1Я2    Яп+1
пт -------7--------------------- = 0.
n-оо (а2 4- х)(а3 4- х) ... (Лп+1 + х)
Следовательно, S(x) = lim 5n(x) = 21. ►
n-*oo	x
X	X2 , X4
250. ------- + ------- 4- ---- 4- ....
1 — X2 1 — I4 1 — Xs
◄ Представляя частичную сумму ряда в виде
получаем
(л Л	\
1	х2	1	\
+	~ j _ ^"+1 ~ 1 + l2» J ’
откуда
?_	1	_	1______X2
~ 1-Х	1 + X2"	1 - Х2"+1 ‘
Поэтому, если |х| < 1, то lim Sn(x) = 73-. Если же |х| > 1, то lim Sn(x) =
П-.00	1	П—ОО
Следовательно, сумма ряда
( если М < i,
$(х) = {	,
( ^3^, если |х| > 1. ►
~	„"41
2^1	?___________
* 2-/ (1 - гп)(1 - агп+i)'
◄ Рассматривая частичную сумму Sn(x) ряда
_ , . _ хг I 1	х
"	(1 — х)2	1 4- х (1 4- х)(х2 4- х + 1)
.2	„п-i	\
X	X	1
(х2 4- х + 1)(х3 4- х2 4- х 4-1)	’""*"(1 + ®+ ...+ хп-1)(1 + х 4- ... 4- хп) J
и замечая, что
___________________хп-1____________________ 1 4-х-Ь ... 4-xn~J _ 1 + х + ... 4- хп~2
(14-х 4-х2 4- ... 4-хп-1)(1 4-х 4- ... 4-г”) " 1 4- х 4- .  4- хп 1 4- х 4- ... 4- тп-1 ’
п€Н\{1},
получаем
<? Г ) - д2 1 4- ® 4-  4- х*-1 _ х2 1 - хп
п 1	(1 — х)2 1 4- х 4- ... 4- х" (1 — х)2 1 — х"4"1
Отсюда следует, что если |х| < 1, то S(x) = lim Sn(x) = , Л Если же |х| > 1, то
п-*оо
SYx) = lim Sn(x) = 7.	, где S(x) — сумма ряда. ►
П—»ОО	•
§ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 107
С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующие интегра-
лы:
252.	+
О
◄ При |i|	1 справедливо разложение
In
(—l)"(2n — l)!!i2n+1
(2n)!!(2n + 1)
(см. пример 168). Разделив почленно этот ряд на х, х 0, и проинтегрировав его в пределах
от 0 до 1, получим
/ In (т + VI + г2)	,	(—l)n(2n - 1)!!
' х	1 + 2^(2n)!!(2n + l)2'k
n=l
253.	J xp 1 ln(l — Xя) dx, p > 0, q > 0.
о
Ч Данный интеграл, вообще говоря, является несобственным, поэтому
1 1-€2
У х₽-11п(1 — хч) dx = lim j zp-1 ln(l — xq) dx.
0	e2“*+° £j
Поскольку при 0 < x < 1 справедливо разложение 1п(1 - хя) = - ^ то
:^+р_(1-£2)^+р	£^+р
n(gn+p)	^—'n(qn-j-p)
1-е2)^+р _
n(qn +р)
Fqn
£’
,_____^_(i_£2)py(0-^T
п(7п+р)	z—' n(gn+p)
Замечая, что оба степенных ряда сходятся при ei = £2 = 0, на основании теоремы Абеля,
имеем
[x”-^l-xq)dx = hm £?У -7^Ц-1ип (1-£2)р£((1- £2^П
J	«1—+о	nlqn + р) е2—+о	-< n(qn + р)	' n(qn + р)
Q	nssl	П=1	П=1
1
254.	У In х • 1п(1 — г) dx.
о
4 С помощью однократного применения метода интегрирования по частям приводим
данный интеграл к виду
1	ill
У In г • ln(l — х) dx = — У ln(l — х) dx — jlaxdx + J ^xl^x	(j)
°	о	oo
108
Гл. 1. Ряды
Считая, что 0<ei х 1 — ej, записываем соответствующие разложения в степенные
ряды:
1п(1 - х) = —	---1 lni =

ln(l — x) _	(1 — x)‘
1 — X Z—t n
Поскольку
х) dx,
У In х  ln( 1 — х) dx = lim
«i-Ч-о
о	«2-* + °
то из (1) почленным интегрированием степенных рядов, на основании теоремы Абеля, полу-
чаем
о
<2“*+0
n(n -I-1)
(1-£1Г+1£п
п(п + 1)

^n-(l-ei)
n2
< n(n + 1)
тг2
"б~
255. [
J е2** - 1
О
◄ Полагая t = e-2,rl, получаем один из интегралов, вычисленных нами в предыдущем
примере:
о
хdx _	1	<
e2,ri — 1 4тг2 J
о
Поэтому имеем
/xdx _
е2'1 -1 “
о
256. Разложить по целым положительным
эллиптический интеграл первого рода
1
24
степеням модуля к, 0 С к < 1, полный
2
f
J \/l - k2 sin2 p
◄ Поскольку к2 sin2 p k2 < 1, то возможно разложение (см. формулу IV, §5):
—!—
(1)
— i2 sin2 р
В силу оценки к2п ' sin2" р	к2п к2п я сходимости ряда 22 ^2п > РЯД (1) cxt>
П=1
дится равномерно (по признаку Вейерштрасса) по р. Кроме того, члены ряда (1) являются
непрерывными функциями, поэтому, по одному из свойств функциональных рядов, рассма-
триваемый функциональный ряд можно почленно интегрировать. Имеем
1Г
2
J sin2" р dtp.
о
F(k} = - + Y^—
W 2+2-/ (2п)!
§ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 109
7
Отсюда, пользуясь равенством j sin2" tpdtp = ~	, окончательно находим
о
Доказать равенства:
•Ч Поскольку
1 1
о о
где
, . I ilnz, если 0 < х	1,
tP(x)— j Oj	si	i = 0,
откуда, на основании примера 195, г), получаем нужную формулу. ►
258.
2тг
ecos 1 cos(sin т) cos пт dx =
о
7, если п 6 N,
2тг, если п = 0.
4 Разлагая функцию х ecosx cos(sin х) в ряд, находим
(ОО	0°	,
к=0 ' /	к=0
где z = е'х = cos х + i sin х.
Полученный ряд, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно на всей числовой
прямой и функции х ь-* cos кт непрерывны, поэтому ряд можно почленно интегрировать
вместе с функцией х н+ cos пх. Имеем
cos(sin т) cos пт dx
cos кх cos пх dx
JT
если п GN, и
2тг
о
cos (sin z) dx
Вычислить интегралы:
ТГ
259. [ -.... xaiax dx
J l-2acosz + a2
0
по
Гл. 1. Ряды
◄ Пусть |а| < 1. Пользуясь примером 164, находим
zsini
1 — 2а cos х + а2
Поскольку функции х i-> xsinni непрерывны на [0, тг] и функциональный ряд справа,
в силу мажорантного признака Вейерштрасса, равномерно сходится (здесь |an-1isinnr| С
ОО
тг|а|п-1 и ряд ^2 1а|п-1 сходится), то рассматриваемый ряд можно почленно интегрировать.
П=1
Имеем
j _ V- (~l)n+1 an-i _ f f ln(l + а), если a / О,
n	— I г,	если a = 0.
n=l
Пусть |a| > 1. Тогда, преобразовывая подынтегральную функцию к виду
х sin х
a2(a“2 — 2a"1 cos x 4-1)
и пользуясь полученным выше результатом, можем записать
r = -lnfl + -'), |a| > 1.
а \ a J
Пусть a = 1. Тогда исходный интеграл имеет вид
Функция
1,
t
tgt’
0,
если
если
если
t = О,
0 < t < I
2 ’
непрерывна на отрезке [о,	. Следовательно, она интегрируема, т.е. последний интеграл
имеет смысл.
Кроме того, ряд ) 1—1----- в силу признака Лейбница, сходится. Поэтому по теореме
П=1
Абеля
A f-nn+1
/|а=1 = ТГ --------- = ’flu 2.
П = 1
Пусть a = —1. Тогда интеграл
I=lJXi4dx
о
расходится, так как х tg | ~	при х —► тг.
Таким образом, окончательно получаем
( Jln(l + а), если —1 < a < 0, или 0 < а 1,
I = < тг,	если a = 0,
I Tln(1 + a)> если 1“1 > !• ►
2a cos х + a2)d®.
о
§7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 111
◄ Пусть |а| < 1. Тогда, пользуясь результатом примера 208, получаем
7Г	_	1Г
/	°°^	дП	Г
1л(1 — 2аcosх + ar2) dx = —2 У2— / cosnxdx=0.	(1)
о	n=1	о
Пусть |а| > 1. В этом случае, преобразовывая значение подынтегральной функции к виду
ln(l - 2аcost + а2) = 2In |а| + In (1 - cost + ^-) и пользуясь равенством (1), находим
I = 2т1п |а|.
Пусть а = 1. Тогда, по теореме Абеля, можем написать
ln(2(l-cosx)) = -2£^, т/2кя.
П=1
Следов ате льно,
cost)) dx — lim
г—+0
cosT))dr = —2 Em
г-+0
cos nx ,
------dx.
n
О	с	с
Замечая, что, по признаку Дирихле, ряд, стоящий под знаком последнего интеграла, рав-
номерно сходится, а функции т н-> cos пт непрерывны, выполняем почленно интегрирование:
п о т V'sinne
/ а=1 =2 hm ) -----
e_+0	n2
Так как	и ряд сходится, то, по мажорантному признаку Вейерштрасса, ряд
П^1
52 '‘„Г* равномерно (по параметру е) сходится. Кроме того, lim sinne = 0. Следовательно,
п^1	е—+0
по одному из свойств равномерно сходящихся рядов, получаем
sin пе _
п2
/|а=1 = 2 lim^
Аналогично устанавливаем, что Zja=-i = 0;
Окончательно имеем
j _ I 0,	если |с
— 1 2тг1п |а|, если |с
Найти суммы следующих матричных рядов:
261.	s = V
Z—< \ зп 8п )	\ — 1 1 7
п=0 '	/	\	/
◄ Поскольку ^2 В" = (7 — В)-1 при || В ||< 1, то
п=0
Заметим, что в случае первого ряда В = |А и || В ||= | || А ||= |V12 + 22 + I2 + I2 = ^ < 1,
а в случае второго -В = 4“ и || В 11= j II А2 11= iy/l2 + 42 + 22 + I2 = ^ < 1.
гтч	—	О	11	” О ”	11 о	О
1 аким образом,
112
Гл. 1. Ряды
Вычисляя обратные матрицы
2
3
1
3
2
3
2
3
1
1
1
£
2
и подставляя их значение в равенство (1), получаем
±1 17
89 I _51
57
17
ОО	/ —  —
262.	S =	+ 1)АП, где А = I 2	’
п=0	\3	4
◄ Поскольку
ОО	/ 00	\
S = £(n+1)A" =	=((/-^)-1)2>
п=0	\п=0	/
ТО
Упражнения для самостоятельной работы
Найти суммы следующих рядов:
ОО	оо	оо
133- Е тете134- Е тег 135- Е те-
nstl	п=2	п=2
оо 3	оо	оо	п
136. 2	137. £ п2е-П1, х > 0. 138. £
nssl	П=1	П=1
139. £	140. Г тНт^ТТГ- 141. Е	sin(2n + l)z.
n(n—1)	(n—l)n(n+l)	Z—Г (2п)!’(2п+1)	'	7
п=2	п=2	п=1
С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующие интегра-
лы (в примерах 145—148 А — постоянная матрица):
1	Х	2
142.	J erf(x)dx, где erf (г) = -j= f е~‘ dt — интеграл вероятностей,
о	о
1	4-оо
143.	J si (г) dx, где si (х) = — J ^-1 dt — интегральный синус.
О	х
% 1
144. f sin.(sini)dx. 145. f еАх dx, А2 = —А.
о	о
146.	J sin(X-y^) А2 = -А- 147. f cos{Ay/x)dx, А2 = 1.
о	о
148.	Lln(7 + Ax)dx,A=f ~C0S<P
О	X — COS ip — sin ip
Глава 2
Дифференциальное исчисление
функций векторного аргумента
§ 1. Предел функции. Непрерывность
1.1. Предел функции.
Пусть числовая функция f определена в области Е\{хо}, где Е С Rm , а «о = (г?, .
— внутренняя или предельная точка области Е.
Определение 1 (Гейне). Функция f имеет предел (предельное значение) при х —► хо (в
точке хо), если существует число А € R такое, что для произвольной последовательности
(хп) значений хп 6 Е\{хо}, сходящейся к точке Хо, соответствующая последовательность
(/(Хп)) значений функции f сходится к А.
При этом число А называется пределом функции f при х —> Хо, что записывается
lim У(х) = А, или /(х) —* А при х—» Хо,
X-+XQ
ИЛИ
lim /(и,	, хт) = А,
Х1
ИЛИ
f(n, ... , xm) -<• А при Х1 -> х°, ... , хт -< х°т.
Определение 2 (Коши). Функция / имеет предел при х —♦ хо, если существует такое
число А, что Ve > О 36 > О такое, что Vx g Е, удовлетворяющих условию 0 < ||х—Хо|| < 6,
где	___________________________________
||х - Хо|| = р(х, Хо) = \/(ц - X?)2 + (г2 - г”)2 + • • • + (1’П -• 1т)2,
выполняется неравенство
|/(х)-А|<е.
Оба определения предела (Гейне и Коши) эквивалентны.
1.2. Непрерывность.
Пусть f : D —< R, D С Rm, а хо 6 D.
Определение. Функция f называется непрерывной в точке Хо € D, если выполняет-
ся любое из эквивалентных условий'.
1)	Ve > 0 36 > 0 такое, что |/(х) — /(хо)| < е, как только ||х — Хо|| < 6;
2)	для произвольной последовательности (хп) значений хп 6 D, сходящейся к точке Хо,
соответствующая последовательность (/(Хп)) значений функции f сходится при п —► оо
к /(хо);
3)	lim f(x) = f(xo) или /(х) — /(хо) -» 0 при х — хо —> 0;
4)	Ve > 0 36 > 0 такое, что
/(S(xo,6)) С]/(хо)-е, Дхо) + е[,
или, что то же самое,
f : S(xo, 6) -*]/(хо) - е, /(х0) + е[,
где S(xo, 6) — открытый шар в пространстве Rm с центром в точке хо и радиусом 6.
Функция f непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой точке области D.
114
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
1.3. Равномерная непрерывность.
Определение. Фрикция / : D —► R, D £ Rm, называется равномерно-непрерывной в
области D, если Ve > 036 > О такое, что Vx € D Л Уу € В, удовлетворяющих условию
11® — И < выполняется неравенство |f(x) — /(у)| < е.
Теорема (Кантора), Если функция f : D -* R, D С Rm, непрерывна в замкнутой огра-
ниченной области D, то она равномерно-непрерывна в этой области.
1.	Показать, что для функции fix, у) = ——-
х + у
lim lim fix, у) I = 1,
I—О \u—о	I
lim I lim f(x, y)) = -1,
j-*0 \a:-»0	/
в то время как lim f(x, у) не существует.
x—»0
9-0
Ч Имеем
x — у \ x
lim lim------- = lim - = 1,
z—0 \u — О X + у J x—0 X
x-y\ -y
lim lim---- = lim — = -1.
9-0 1 z-0 x + у ) s-o у
Поскольку последовательности (хп, Уп) = (£,	, (х'п, у'п) =	£•) сходятся к точке (0, 0)
при п —> оо, а соответствующие последовательности значений функций сходятся к различным
пределам
f(xn, Уп) = о -> 0, f(x'n, у'п) = f ->• |
— и
п
при п —► оо, то предел lim f(x, у) не существует. ►
х—»0
9-0
Z2 2
2.	Показать, что для функции f{x, у) —	------—•
х2у2 + (х - у)2
lim ( lim fix, у)
z—О\9—О
= Em I Em fix, у) = О,
г/—* О \ х—*С	у
тем не менее Em f(x, у) не существует.
х—«-О
9—0
4 Равенство повторных пределов следует из того, что Em fix, у) = 0, Em f(x, у) = 0.
у—»0	х—»0
То, что двойной предел не существует, следует из того, что последовательности (i„, уп) =
(~, п) ’ (х'п’ У™) = (п’ “п) СХОДЯТСЯ к точке (0, 0), а соответствующие последовательности
значений функции сходятся при п -+ оо к различным предельным значениям:
1 1
f{xn, Уп) = -у- — 1, f!xn, у'п) =	►
П4	П4 п2
3.	Показать, что для функции fix, у) = (х + у) sin — sin - оба повторных предела
х у
Ет( Ет/(х, у)) и Ет( Ет/(х, у)) не существуют, но, тем не менее, существует Ет/(х, у) = 0.
®-*0\у-*0 J y-+0\s-»0 J	х-*0
У-*0
◄ Пусть у / п € N, тогда ysin j / 0. Очевидно, последовательности (хп) =
(х„) = ((4П+1),г) сходятся к нулю при п —► оо. При этом соответствующие последова-
тельности значений функции (f(xn, у)) = (0), (f(x'n, у)) = ^ysin^ при п —► оо сходятся
к различным предельным значениям. Следовательно, lim /(х, у) не существует. Аналогично
х-*0
§ 1. Предел функции. Непрерывность
115
устанавливается, что lim /(т, у) также не существует. Из этого вытекает, что оба повторных
у—о
предела не существуют. Однако из неравенства О SJ |(х + y)sin |sin |i + у| С |х| 4- |у|,
справедливого при любых х 0, у ф 0, следует, что
А ..1.1
lim I 4- y)sm - sin -
.—О \	X	у
У—О 4
= 0. ►
4.	Существует ли предел lim
х—о х2 + у2
У-0
< Этот предел не существует, так как последовательности (гп, Уп) =	, (х'п, Уп) —
(-, ~г) сходятся к точке (0, 0) при п —> оо, в то время как соответствующие последователь-
ности значений функции сходятся к различным предельным значениям:
2	2
/(*п, Уп) = £ -1,	/«, у'п) =	- О
п2	п2 п3
при П —- 00. ►
5.	Чему равен предел функции /(г, у) = х2е~^х ~'J) вдоль любого луча х — Icosa,
у = t sin а, 0 sZ t < +оо, при t —» 4-оо? Можно ли эту функцию назвать бесконечно малой при
х — оо и у —* ос?
◄ Обозначим F(t, а) — f(t cos a, tsina), тогда
г,/.	,.2	2	— t2 cos2 а+tsin а	п
F(t, а) = t cos ае т , 0 $ а 2тг.
Если а = ±~, то F (1, ±^) = 0 и, следовательно, F (1,	—< 0 при t —* 4-оо.
Если же а / ± , то cos2 а/0 и!2 cos2 а — t sin а —» 4-ос при t —< 4-ос. Тогда, по правилу
Попиталя, получаем
t2
lim F(t, а) = cos2 a lim —т—x---------------—
^ + oc	t_+oo ft2cos2 а-tsin а
2	,.	2i
= cos a hm  ------------------------—
t—+°о (21 cos2 а — sin а)е£ см
2 г	1
= cos a lim  -----------------—:----
«-+«= (cos2 а - е'3с
= 0.
Поэтому lim F(t, а) = 0 при любых а .
i—+оо
Функция / не является бесконечно малой при г —<• оо и у —»• оо, поскольку при r„ = п —>
4-оо, уп = п2 —> +со получаем равенство lim f(xn, уп) = lim п2е_("2_" 5 = lim п2 = 4-оо,
П—*О0	п—
противоречащее определению бесконечно малой величины. ►
6.	Найти lim lim f(x, у) | и lim I lim f(x, у) I, если:
x—>a \ t/—fe	J y—*b \x-»a	J
x2 4- 112
a)	= jq7’a=00->=0°;	=
B)	f(x, y) = sin -	, a = oo, Ь = oo; r) f(x, y) = — tg
2x + y	xy
д) /(®> У) - l°gx(z + y)> a = 1, J = 0.
Ч а) При x / 0, у ф 0 имеем
а — +оо, b = +0;
ХУ	п I
-------, а — 0, о = оо;
1 4- ху
(X^	'
lim -Л---1=0,	lim f lim 1	) = lim 1 = 1.
j/-*co 2-l «2 I	j/-»oo \ ®-»oo X2 -[ J
y2 ‘ * /	4	'
116
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
б)	Функция у >-<• ху непрерывна при у > 0 (г считаем постоянным), поэтому lim^ ху = 1;
при постоянном значении у > 0 функция i н г’ непрерывна при всех х > 0, поэтому
Нт ху = +оо.
х—*+оо
Пользуясь полученными равенствами, находим
(ХУ \	1	.	( . Ху \
Um ---- I = Hm I Um ——- I = 1.
у-*+о 1 4* xy j 2	k-*+o \ x-*+oo 1 4~ хУ j
в)	При каждом фиксированном х функция непрерывна по у, если |у| > 2|х|, а при всяком
фиксированном у — непрерывна по х, как только |х| > -у. Поэтому
7ГХ	. V
2х + у
Нт sin ——— = 0, Нт sin
у—*оо	2х + у	I—»оо
= Um sin „ " „ = 1.
!-oo 2 4--
Следовательно,
Hm I Um sin
Г—*ОО \ у—*00
Hm ( Пт sin
у—*ОО \ X —*00
1ГХ I — 1
2х 4- у J
, = О,
2х + У )
/ 0 lim = 1, поэтому, в
силу непрерывности тангенса,
г)	При фиксированном х
получаем JUm, tg = 0.
Пусть теперь у фиксированное. Тогда, пользуясь тем, что Пт = 1, имеем
х-*0 Q
tg-2t-
Hm /(x, y) - Hm —sy^-(l 4- xy)~l = 1.
x—*0	i—*0 — 
1 + zy
На основании этих равенств находим
Hm ( Um — tg———) =0,
1-.0 \ s—oo xy	1 4- xy J
Г t V 1 * ХУ )	,
lim Um — tg --------- = 1.
s—oo \ I—0 xy	14- xy J
д)	Имеем /(г, у) ~ log^fx 4- у) = х > О, х 4- У > О, х 1. Из непрерывности
логарифмической функции следует, что
Um f(x, у) = Um	= 1.
л—о	и-.о In г 1пх
Следовательно, Um Um f(x, у) I = 1.
х—*1 к у—*0	I
Поскольку
Um
I—1-0 In X
4-oo,
—00,
если
если
-1 < у < О,
О < у < 4-оо,
если —1 < у < О,
если 0 < у < 4-оо,
если у = О,
то lim f(x, у), а вместе с ним и Um ( Um f(x, у)) не существуют. ►
х—*1	у—О \®-*1	/
Найти следующие двойные пределы:
7.	lim , *tg-2.
®-*оо хл — ху 4-
117
§ 1. Предел функции. Непрерывность
◄ Пользуясь очевидным неравенством х2 -ху +у2 ху, получаем (при х 0, у / 0)
1 . 1
х + у
X2 - ху + у2
s + y
ху
Отсюда следует, что
у
Таким образом, lim , x+v, 5 = 0. ►
ж—оо х^-ху+у2
У — ОО
8. lim 4^.
х + у
X2 -ху + у2
Г /1,11 о
brn I i-| + (-7 = °-
\y\J
з-*оо Х^ -4- и4
у-*ОО	*
◄ Пусть х / 0, у / 0, тогда
2 <	2
о 1 + У .
х4 + у4 х4 + у4 ' х4 + у4
у2 .... х £i,yi = j_ + ±
2-4 у4 х2 у2
(1)
+
Поскольку lim ( Л- + Л | = 0, то, пользуясь неравенством (1), заключаем, что
х—*00 \х	Г/
у-» 00
Ит 4±4=о. ►
я—*оо X4 4-
у—»оо	9
9.Um^
х—О X
В—а
◄ Имеем sinху = sin • у, у / 0. Так как lim S1Dху = lim = 1 (ху = t, а оо), то
х	ХУ	7-	t	\ “	1	7“	/>
у-*а
v sin ху v sin t г	.
hm ----* = lim — lim у = a. ►
I_o 1	t—0 ‘ B-.a
У — “
10.	lim (x2 + y2)e~(x+y).
x-*+oo
У—+<X>
◄ Пользуясь элементарным неравенством
2	2	2	2
(12 + у2)е-(^) = 4-+Л-<- + -.
v ’	е*+»	е*+» е1 е«
справедливым при х > 0, у > 0, получаем
0^ lim (х2+у2)е ^x+v^ Цщ (-—= 0.
х-+о?	'	»-+оо k е1 е» J
В—+оо	у—+оо
Отсюда lim (х2 + у2)е~^х+у^ = 0. ►
X—*4-00
У—+оо
11.	lim	.
Х—+ОО \ Xх + У* )
В—+оо
◄ Из очевидного неравенства g2 + у2 "% 2ху следует, что х*^ 2 J- Поэтому 0 <
+В7)	(з) ~* 0 при х —► +оо. Отсюда вытекает, что lim I ху-$ ) = 0. ► 12
12. lim(x2+92)»’»;
118 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
4 Из неравенств х2у2 j(x2 + у2)2, 1	(х2 + у2)12*2	(л2 + у2)^* +* > , справедливых
при 0 < х2 + у2 < 1, и из того, что
lim(х2 + у2)^х +а ) = lim i?' = lim et lnt = 1,
z—o	t—+o	t—»+o
s-.o
вытекает равенство lim(x2 + y2)* y = 1. ►
i—»0
y-0
z2
13.	lim fl + -V+s .
x~»o& \ X /
i/—a
◄ в силу непрерывности показательной и логарифмической функций, имеем
lim fl +	l+!' = lim exp < ——r-ln fl + -) > = e. ►
X—»OO \ I/	1 + -	\ X /
t/-»a	' t/—a	< x	/
14.	Em
--J /х2 + У2	_____
< Пользуясь непрерывностью логарифмической функции и тем, что lim у/х2 + у2 = 1 /
О, получаем
ln(x + e!') In 2
lim —== = —— = In 2. ►
pl \/x2+ y2 1
15.По каким направлениям <р существует конечный предел:
х	2_ 2
а)	lim е*2+»2;б) lim ех у sin 2ху, если х — pcos р и у = psin р.
р-~4-0	р—4-оо
< а) Конечный предел
X	cos у
lim el2+v2 = lim е ₽
р-,4-0	р—*+о
существует тогда, когда cos 95	0, т. е. если ~
б)	Имеем
lim е* ~у sin2xy = lim ер cos2*’ sin(p2 sin 2p).
p—»4-oo	p—»4-co
Поскольку p2 —t -f-oo, apt— sin(p2 sin 2p) — ограниченная функция, то предел будет конеч-
ным, если cos2<p < 0 или sin293 = 0. В первом случае j < р <	< <р < -у, во втором
р = 0, р = 7Г. ►
Найти точки разрыва следующих функций:
Функция (х, у) >-* х2 + у2 непрерывна при всех хну как многочлен от х и у. По
известной теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций, (х, у) >-> (х2 +
у2) 2 — также непрерывная функция при всех х и у, кроме точки (0,0), где знаменатель
(х2 + у2)2 обращается в нуль. Следовательно, (0,0) — точка бесконечного разрыва. ►
х + g
х3 4- у3
Ч Поскольку числитель и знаменатель — непрерывные функции, то данная функция
может иметь разрыв лишь в точках, где знаменатель хг + ys обращается в нуль. Решая
$ 1. Предел функции. Непрерывность
119
уравнение т3 4- у2 = 0 относительно у, находим у = — г. Следовательно, функция имеет
разрывы на прямой у = — т.
Пусть то / 0, уо / 0 и то + Уо = 0- Тогда
т 4- у ..	1
«-«о т2 - ту -ь у2 xi - тоуо + Уо
—х (т 0) — точки устранимого разрыва функции и. Из
х + у	1
-3..;- ’3 - hm —-----—у = +оо
х6 4- у3 х-о х2 -ху + у2
у—*0
следует, что (0, 0) — точка бесконечного разрыва. ►
18.	Показать, что функция
1
lim
^-♦®о X6 + у4
y-*S/o
Значит, точки прямой у —
соотношения
lim
х—»0
S-0
( 2xy
f(x, y) = s x2 + j2 ’
I °,
если т2 + y2 0,
если x2 + у2 = 0,
непрерывна по каждой из переменных г и у в отдельности (при фиксированном значении
другой переменной), но не является непрерывной по совокупности этих переменных.
< Пусть у 0 и то — любые фиксированные числа. Тогда
lim /(т, у) = lim - ^Х°У2 = f(xo, у).
х~х0	х-х0 х2 4- у2 ij + у2
Если же у = 0, то при любом то / О lim /(т, 0) = 0 = /(то, 0). Наконец, если у = 0 и
то = 0, то lim /(т, 0) = 0 = /(0, 0).
х—»0
Таким образом, при каждом фиксированном у функция / непрерывна по переменной
т. Ввиду симметрии функции относительно т и у при любом фиксированном т функция /
непрерывна по переменной у.
Однако функция / не является непрерывной по совокупности переменных в точке (0,0).
Действительно, обе последовательности (1, 1) и (^, 1) сходятся при п —» оо к точке (0, 0),
а соответствующие им последовательности значений функции сходятся при п —> оо к различ-
ным предельным значениям:
.... 2
4
5’
n2
±+ -L
«2 + П2
19.	Показать, что функция
f *У
ti л J ----------х, если
f{x,y) = < х4+у2
(.	0, если
Т2 + У2 °,
т2 + у2 = О,
в точке (0, 0) непрерывна вдоль каждого луча х = tcosa, у = tsin а, 0 {С t +оо, проходя-
щего через эту точку, т. е. существует lim/(tcosa, tsina) = /(0, 0), однако эта функция не
является непрерывной в точке (0, 0).
< Имеем
...	. .	.	.. tcos2asina
lim fit cos a, tsin a) = lim —------r-=—.
t—о	i-.o t2 cos1 a + sin a
Поскольку f(tcos a, tsin a) = 0 при a = у-, к 6 Zo, то при этих значениях a
lim/(tcosa, tsina) = 0 =/(0, 0).
120
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Если 0 < а < 2тг, а / у-, к € N, то t2 cos4 а 4- sin2 а > 0 и t2 cos4 а + sin2 а —► sin2 а > 0 при
t -* 0. Следовательно, Em /(tcosa, isina) = 0 = /(0, 0). Таким образом, вдоль любого луча,
проходящего через точку (0, 0), функция f непрерывна в этой точке.
То, что функция / имеет разрыв в точке (0,0), следует из того, что последовательность
(1, «одится к точке (0,0) при п -♦ оо, а
1
Em f (i, -i-') = Em "* t~
П—*OO \7l	41* ) n-»OO —- -I------7
n4 n4
= ^/(0,0).k
20.	Исследовать на равномерную непрерывность линейную функцию f(x, у) = 2т-Зу4-5
в бесконечной плоскости R2 = {(х, у) : |я:| < 4-оо, |у| < 4-оо).
< Для любых точек (xi, yi) и (х2, У?') бесконечной плоскости R2 имеем
|f(n, yi) - /(^2, Уа)[ = |2(xi - х2) - 3(yi - у2)| < 2|ц - х2| 4- 3|у2 - у2|.
Пусть е > 0 — произвольно заданное число. Тогда при условии, что |zi - х2| < | = 6,
|yi — уг| < | = 8, справедливо неравенство |/(xi, yi) — /(х2, у2)| < j + | < е, из которого, по
определению, следует равномерная непрерывность функции f на R2. ►
21.	Исследовать на равномерную непрерывность в плоскости R2 — {(т, у) : Ы <
4-оо, |у| < 4-оо) функцию и = у/х2 +у2.
Ч Для произвольного г > 0 и любых (ii, yi), (12, у2) € R2 имеем
|«(Ж1, У1) - и(х2, У2)| =	+»1 “ \Аг + Й =
I(zi - I2)(ii 4- Xj) 4- (yi - Уг)(у1 4- Уг)| < |si - тгПи 4-хг| |yi - Уа||У1 + Уг| <
х/1? + + \ЛГ+у1 " уМ +»1 + \Л2 +У2 а/1? + у? + у/*1+У%
> i Ы + 1®г| , ।	1 1»11 + 1»г|	। i,i । . е , £
I®1 “ *21	" А + Ь ~	----7=7 = I*1 “ 121 + 1г*1 —	4- = е,
Vxi + Vx2 Vvi + Vy?	1 1
как только |xi - х2| < | = <5, |yi - у2| < | — 6.
Следовательно, по определению, функция и равномерно-непрерывна в плоскости R2. ►
7Г
1 — I2 — у2
22. Будет ли функция f(i, у) = sin
непрерывной?
в области х2 4- у2 <1 равномерно-
◄ Функция х »-+ (1 — х2 — у2) непрерывна при всех значениях х и у как многочлен от х
и у . По теореме о суперпозиции непрерывных функций, данная функция также непрерывна
при всех значениях х и у, удовлетворяющих неравенству х2 4- у2 < 1.
Покажем, что в этой области данная функция неравномерно-непрерывна. С этой целью
возьмем две последовательности
Мп = (х„, уп) = I Ji - Xcosa,
М'п = (х'п, у'п) = I </1 -	 cos а,
IV 1 4"
п € N, 0 а < 2т, принадлежащие области определения функции. Поскольку р(Мп, М'п) =
\/(хп-х'п)2 4- (»п - Уп)2 =
-► 0 при п -> оо, а |/(М„) - /(М^)| =
|sin 2nir — sin	4- 2пт) | = 1 при всех п, то для s g]0, 1[ не существует числа 4, участвующего
в определении равномерной непрерывности. ►
§ 1. Предел функции. Непрерывность	121
23.	Дана функция u(z, у) = arcsin -. Является ли эта функция непрерывной в своей
У
области определения £? Будет ли функция и равномерно-непрерывной в области Е?
◄ Область определения Е определяется неравенствами |z|	|у|, у / 0. В этой области
функция и непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.
Однако данная функция не является равномерно-непрерывной, так как для последова-
тельностей (Мп) = (^,	, (М'п) =	справедливо соотношение
при п —» оо, а расстояние между значениями функции в соответствующих точках |u(Afn) —
«(Л/„)| = | arcsin 1 — arcsin(—1)| = 2arcsin 1 = г не может быть меньше числа тг. ►
24.	Показать, что множество точек разрыва функции f(x, у) = zsin -, если у / 0, и
/(z, 0) = 0, не является замкнутым.
◄ Пусть у„ =	zn — где zo — произвольное фиксированное число. Тогда
последовательность (zn, Уп) при п —► оо сходится к точке (zq, 0). Из соотношения
lim /(z„, уп) = lim -П1°  sin —--j~ 4n) = z0 /(z0, 0) = 0, z0 / О,
п —»ОО	П—*СО 1 4” П	2
следует, что (zp, 0), zp / 0 — точка разрыва функции /. А из неравенства |/(z, у)| =
|z sin || < |z[ следует непрерывность функции / в точке (0, 0).
Таким образом, множество точек разрыва функции f заполняет сплошь ось Ох, за ис-
ключением точки (0, 0), которая является предельной точкой этого множества. Следователь-
но, множество точек разрыва функции / не содержит всех своих предельных точек, а поэтому
не является замкнутым. ►
25.	Показать, что если функция f в некоторой области G непрерывна по переменной
z и равномерно-непрерывна относительно z по переменной у, то эта функция непрерывна в
рассматриваемой области.
◄ Для произвольных точек (zo, уо) и (zo + Az, уо + Ду) из области определения функции
f имеем
IA/(zp, уо)| = |/(z0 + Дг, уо + Ду) - /(z0, уо)|
< l/(zp + Az, уо + Ду) - /(z0 + Az, уо)| + |/(z0 + Дт, уо) - /(z0, уо)|.	(1)
Согласно равномерной непрерывности функции / относительно z по переменной у, Ve > О
361 = 61 (е, уо) такое, что, если |Ду| < Si, неравенство
|/(z0 + Дг, уо + Ду) - /(zo + Дг, у0)| < |	(2)
справедливо для любых zp + Дг из области определения функции f.
Далее, в силу непрерывности функции / по переменной х, для указанного ранее е > О
З62 = 62(е, zp, уо) такое, что
|/(г0 + Дт, yo)-/(zo, Уо)| < |,	(3)
если |Дх| < 62. Пусть S = min{6i, 62}, тогда при |Дт| < S, |Ду| < 6 неравенства (2) и (3)
будут выполнены. Поэтому при |Дт| < 6, |Ду] < S из неравенств (2), (3) и (1) следует, что
|Д/(хо, уо)| < е, а это и означает непрерывность функции f в точке (zo, уо). ►
26.	Доказать, что если в некоторой области G функция f непрерывна по переменной z
и удовлетворяет условию Липшица по переменной у, т. е.
(/(г. Si) - f(.x, у2)| 1|У1 - Ут|,
где (z, yi) G G, (x, S2) И [ — постоянная, то эта функция непрерывна в данной, области.
122
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
< Поскольку функция / удовлетворяет условию Липшица по переменной у, то для про-
извольного е > 0 и любых точек (хо, Уо) и (х, у) из G имеем
|/(i, У) - /(®о, Уо)| 5$ |/(х, у) - /(х, уо)| + |/(х, уо) - /(хо, уо)|
Ь|у-Уо| + |/(х, уо)-/(хо, уо)|.	(1)
В силу непрерывности функции и-*/(х, уо) в точке хо, можно указать такое 5; = 51 (е, хо,уо),
что при |х — хо| < 51 имеет место неравенство
|/(х, Уо)-/(хо, уо)| < |.	(2)
Из неравенств (1) и (2) при условии, что |х - хо| < 5, |у - уо| < 5, где 6 — min (5i,
получаем неравенство
р р
|/(х, у) - /(ю, уо)| < L — + - = е,
XX/ £>
которое доказывает непрерывность функции / в любой точке (хо, уо) € G. ►
27.	Пусть функция / непрерывна в области G = {(х, у): а х А, 5 у В},
а последовательность функций п i—> ¥>n(x), п 6 N, сходится равномерно на [а, А] и удо-
влетворяет условию b ¥>п(х) В, n g N. Доказать, что последовательность функций
Вп(х) = /(г, <pn(x)), п € N, также сходится равномерно на [а, А].
Ч Поскольку функция / непрерывна в замкнутой области G, то она равномерно-непре-
рывна в этой области. Следовательно, Ve > 0 35 = 5(e) такое, что неравенство
|/(^, у')-/(х, у'')| <е	(1)
справедливо для всех х g [а, А] и у', у" g [5, В], которые удовлетворяют неравенству |у' —
у" | < 5. В силу равномерной сходимости на сегменте [а, А] последовательности (pn(x)), V5 >
О (в том числе и для 5, указанного выше) ЗУ = У(5) такое, что |уп-|-р(х) —<рп(х)| < 5 Vn > У,
Vp > 0 и Vx g [а, А]. Полагая в неравенстве (1) у' = уп+р(х), у" = y>n(x) (^n+pfx), ₽n(x) g
[6, В]), получаем неравенство
|/(х, у>п+р(х)) - /(х, ¥>„(х))| < е,
справедливое Vn > N, Vp > 0 и Vx g [а, А].
Таким образом, последовательность Fn(x) = /(х, <pn(x)), п g N, сходится равномерно на
сегменте [а, А]. ►
28.	Пусть: 1) функция / непрерывна в области R = {(х, у) : а < х < А, b < у < В};
2) функция непрерывна в интервале ]а, А[ и имеет значения, принадлежащие интервалу
]Ь, В[. Доказать, что функция /Дх) = /(х, у>(х)) непрерывна в интервале ]а, А[.
◄ Пусть (хо, Уо) — произвольная точка из Области R. Из непрерывности функции / в
области R вытекает, что Ve > О 35i = 5i(e, хо, Уо) такое, что
|/(®, у) - /(®о, уо)| < е,	(1)
если |х - хо| <5i, |у — уо| < 5j.
Обозначим у — ys(i), уо = yj(xo). Из непрерывности функции у = <р(х) на интервале ]а, А[
вытекает, что для указанного выше 5i 352 = 52(5i) такое, что
|р(х) - <р(х0)| = |у- уо| < 51,	(2)
если |х — хо| < 52. Следовательно, из неравенств (1) и (2) и из того, что у = р(х), у g]6, В[,
если х g]a, А[, вытекает неравенство
|/(г, *»(«)) “ /(®о, ¥>(«о))| < е,
справедливое при |х — хо| < 5 = min(5i, 52) и доказывающее непрерывность функции В(х) —
f(x, у>(х)) на интервале ]а, А[. ►
29.	Пусть: 1) функция / непрерывна в области R = {(х, у) : а < х < А, Ъ < у < В); 2)
функции х — <?(и, v) и у — t/>(u, о) непрерывны в области R' = {(и, ») : а' < и < A', b1 < v <
В'} и имеют значения, принадлежащие соответственно интервалам ]а, А[ и ]Ь, В[. Доказать,
что функция F(ti, о) = /(<?(«, с),	®)) непрерывна в области R'.
§ 1. Предел функции. Непрерывность
123
◄ Пусть (ио, «о) — произвольная фиксированная точка из Я', а го = у(«о, ио), уо =
^(«о, по). Из условия 1) вытекает, что Ve > 0 За = <т(е, го, уо) такое, что
|Д®, у) - f(io, Уо)| < е,	(1)
если |z — zo( < а, |у —у0| < а. Из условия 2) следует, что для указанного выше а 36 = 61(<т) =
6(е, ио, по) такое, что при |и — ио| < 6 и |и — ио| < 6 справедливы неравенства
|<р(и, и) - ¥>(«0, по)| < а, |^(«, и) - ^(«о, по)| < а.	(2)
Из неравенств (1) и (2) непосредственно следует, что
|/(^>(а, и), ф(и, и)) - /(р(ио, но), ^(«о, »о))| = |Я(и, и) - F(u0, п0)| < е
при |и — ио| < 6,	— -уо] < 6, т. е. что функция F непрерывна в точке (ио, «о)- Поскольку
(«о, ио) — произвольная точка из R', заключаем, что функция F непрерывна в области R'. ►
Упражнения для самостоятельной работы
1.	Доказать, что функция (z, у) Ах3 + Вх2у + Сху2 + Dy3, (г, у) € R2. имеет в точке
з
(О, 0), по меньшей мере, тот же порядок малости, что и р = (г2 + у2)г .
2.	Показать, что для последовательности anm =---~т, п, т ё N, имеем
п—т+0,3	'
lim lira апт ) = lim (lim апт I ,
m—»оо \n—►oo	/ n-*oo \m—oo	/
тем не менее lim anm не существует,
n—*oo
m—»cc
3.	Доказать, что для последовательности апт = п, т € N, двойной предел lim апт
т	п-*оо
771—>00
существует, в то время как
lim ( lim апт I	lim ( lim anm I •
m-»oo \n—*oo /	n—»oo \m—► co /
Выяснить, существуют ли следующие двойные пределы:
4.	lim	. 5. Пт	6. Ит 4 £ С05 <
п—оо ln(n2)4-ln2 тп	п—оо i-tgntgm п^<х> т2 Д-/ т
тп—т~*оо	тп—*оо	«=1
7.	Показать, что функции f(x, у) =	~ х*£р'-х стРемятся к НУЛЮ, если
точка (z, у) стремится к точке (0, 0) вдоль любой прямой, проходящей через точку (0, 0), но
эти функции не имеют предела в точке (0, 0).
Найти пределы:
__________________________________________1____
8-	lim — 9. lim(l + z2 + ... + i!m)’i+ "+l™ , где x = (zj, z2, ..., zm).
x—.0	v	i—0
a-o
eIl+x2++*m	——
10. lim , j-- 2 — i , где x - (zj, ..., zm), a > 0. 11. lim zayQex»“ .
X— OO lxl+I2+ ” + ml	x—Q
s—0
С помощью “e—6” рассуждений доказать непрерывность следующих функций:
12.	f(x, у) = у/1+ х2 + у2, (z, у) ё R2. 13. f(x, у) = д/1 + е1», (z, у) ё R2.
14.	Доказать, что если функция (z, у) i-* /(z, у), (z, у) ё R2, непрерывна по каждой пере-
менной z и у в отдельности и монотонна по одной из них, то она непрерывна по совокупности
переменных.
15.	Исследовать на равномерную непрерывность в R2 функцию
z = ^z2 + у2 sin 1 z2 + у2 О, /(О, 0) = 0.
16.	Доказать, что функция /(z, у, z) = sin(z2 + у2 + z2), (z-, у, z) 6 R3, не является
равномерно-непрерывной в пространстве R3.
124 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
§ 2.	Частные производные и дифференциалы
функции векторного аргумента
2.1.	Частные производные.
Пусть функция ж >-< /(ж) определена в области D пространства Rm; {ei, е2, ..., em) —
стандартный базис этого пространства, а жо = (х°, ж2, • • , хт) — точка области D.
Определение 1. Разность /(ж) - /(жо) называется полным приращением функции f
в точке жо , a f(xo + (xj — х°)е3) — /(ж0). j = 1, т — частным приращением функции f
по переменной х} в точке жо-
Определение 2. Если существует конечный предел
Km
Xj —xj	Xj - Xj
то он называется частной производной функции f в точке Жо по переменной xj и обозна-
чается
~^-{хо), или fxAxa), или Djf(x0).
Функция f имеет в точке «о частную производную fx. тогда и только тогда, когда в этой
точке справедливо равенство
(1)
J(ato + (ij - x°)ei) - ft®o) = (	+ “to’ to ~ Ij)>
где а(х3, Жо) —* О при Xj —< г°.
2.2.	Дифференцируемые функции.
Определение. Функция / : D —* R, D С Rm, называется дифференцируемой в точке
хо € D, если полное приращение функции f в этой точке можно представить в виде
/(ж) - /(жо) = Цх - ж0) + а(ж, ж0)||® - ®о||,	(1)
где L(x — Жо) = ii(xi — ж?) + Ьо(х2 — Хг) + 	+ Ет(хт — ^т) — линейное отображение
пространства R"1 в R, а а(ж, Жо) —< 0 при ж —» жо.
/hi \
I h2 1
При этом величина Lh = Lihi + ZaA-2 + ... + Lmhm, где h = I . I — произвольный
\ hm /
вектор пространства Rm, называется дифференциалом функции f в точке Жо и обозначается
df(xo), а матрица линейного отображения L : Rm —► R называется производной функции / в
точке жо и обозначается /'(жо).
Полагая в (1) ж = жо + ж°еу, получаем равенство
/(ж0 + (ж, - х°)е7) - /(ж0) = (Z, + a(xj, ж0)) (х3 - х°),
из которого, в силу пункта 2.1, следует, что Lj = J-^-(xo).
Следовательно, для дифференциала <У(жо) получаем формулу
#(жо) =	+ ^-(xo)h2 + •  • + -^-(xo)hm
или, если hj = Xj — х° = dxj,
df(xo) = ^-(жо) <fn + ^-(®o) di2 + ... +	dxm,
0X1	0X2	0Хщ
а для производной /'(жо) — равенство
(2)
(3)
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 125
Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция f имеет в
окрестности точки хо частные производные J-£-(x), j = li т, непрерывные в точке хо,
то она дифференцируема в этой точке.
Если функция f дифференцируемая в каждой точке области D, то она называется диф-
ференцируемой в области D.
2.3.	Частные производные сложной функции.
Если функция f : D -+ R, D С Rm, дифференцируема в точке х g D, а функции
<Pi : G —* D, G С R", i = 1, т, имеют частные производные в точке t g G и х =
(SPl(t), ¥>2(t),	V>m(t)), ТО
С» Ifc	u*k
1=1
2.4.	Дифференцируемые отображения.
Определение. Отображение f: D -»R", D С Rm, называется дифференцируемым в
точке «о € D, если приращение f(x)—f(xo) отображения f в точке Хо представимо в виде
Дх) - Дх0) = А(х - Хо) + а(х, хо)||х - х0||,
где
(Ац	А12	•••	Л1т \	/ Х1 — Xi
А21	Агг	• • •	Агт I	I х2 — х2
I I
Ап1	-Ап2	• • •	-Апт /	X %т ~
— линейное отображение пространства Rm в пространство R", а а(х, Хо) —> 0 при X Хо-
Если отображение / дифференцируемо в точке хо, то = f~(®o) и
(dfi	dfi	dfi \
dxi	дх2	дТт
df2	df2	df2
		
dxi	дх2	ciXjn
dfn	dfn	dfn
		
\ дц	dx2	dxm /
называется производной отображения f в точке Хо и обозначается Д(хо).
Если отображение /: D —► Rn, D С Rm, дифференцируемо в точке х 6 D, а отображение
g : G —► D, G С R*, дифференцируемо в точке t g G и х = g(t), то
или в матричной форме
/ d(fi о g) dti d(f2 о g) dti	d(fi о g) dt2 d(f2 о g) dt2	d(fi о g) \ dtk d(f2 о g) dtk		dxi df2 dxi	Э/1 dx2 df2 dx2	dfi \ / dgi		dgi dt2 dg2 dt2	dgi \ dtk dg2 dtk
						dXm df2 dxm	dti ' dg2 dti		
d(fn о g) \ dt!	d(fn о g) dt2	d(fn о g) dtk У		dfn	dfn dx2	dfn dxm'	dgm \ dti	di2	dgm  dtk/
2.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция / : D -+ R, D С Rm, имеет частные производные в некоторой окрестности
S(xo, «)•
126 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Определение 1. Если функция х н+ ££-(х), х € 5(®о, &), имеет в точке х0 частную
производную по переменное т>, то ее называют частной производной второго порядка
или второй частной производной и обозначают
-^-(хо) или fXjX,(x0).
UX\vX j
При этом, если i j, то частная производная называется смешанной. Аналогично опре-
деляются производные порядка выше второго.
Определение 2. Функция f называется п раз дифференцируемой в точке Хо € D,
если она имеет в некоторой окрестности этой точки все частные производные (п — 1)-го
порядка, каждая из которых является дифференцируемой функцией в точке хо 
Теорема. Если функция f дважды дифференцируема в точке Хо, то в этой точке вы-
полняются равенства
a2f	d2f	____
д—; (хо) = т- x ;(«о), i, j = 1, т.	(1)
UXiOX j	uXjuXi
Из этой теоремы получаем следующее утверждение: смешанная производная п-го порядка
dnf
Эх* Эх?2 ...дт"-’ П1+П2+ +^ = п>
>1	>2	I,
не зависит от порядка, в котором производилось дифференцирование.
Определение 3. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом)
d2f дважды дифференцируемой функции f называется дифференциал от функции х df(x),
т. е. d2f = d(df).
Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал п-го
порядка п раз дифференцируемой функции f вычисляется по формуле
dnf = (-j—Л1 + т—Лг + ... + ——Л„Л f.	(2)
\дХ1 0X2	охт )
2.6. Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция (т, у, z) i-> f(x, у, z) дифференцируема в области D С R3 и (то, уо, zo) €
D. Если направление I задается направляющими косинусами (cosо, cos/3, C0S7), то произ-
водная по направлению I вычисляется по формуле
д/ df	д/	df
— = — cos о- +	— cos	— cos 7.
di dx	dy	dz
Определение. TpadueHmoM функции	f в	точке (то, yo, zo) называется вектор, обо-
значаемый символом grad/ и имеющий координаты, соответственно равные производным
а/ а/ а/	,	.
ах’ аЦ’ аг’ вычислеинъ<м е точке (то, Уо, zo).
Таким образом,
grad / = j-i + —j + j-k,
дх ду dz
причем в этом случае можем записать, что = (a, grad /), где а = (cos а, coscos 7).
Градиент функции / в точке (то, Уо, zo) характеризует направление и величину макси-
мального роста этой функции в точке (то, уо, zo). Следовательно,
Вектор grad / в данной точке (то, уо, zo) ортогонален к той поверхности уровня функции
/, которая проходит через точку (хо, Уо, zo).
30.	Найти fx(x, 1), если /(т, у) == х + (у - 1) arcsin •/-.
W	'.............. L
$ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 127
h
◄ Согласно определению частной производной, имеем
’ Л—О
Так как /(г + h, 1) = х + h, f(x, 1) = х, то
fx(x, 1) = lim —~ = lim т — 1- ►
л—о	п	л—о Л
= lim ----------= 0,
г-0 X
= lim----------= 0.
9-0 У
31.	Найти fi(0, 0) и f’y(0, 0), если f(x, у) = y/ху. Является ли эта функция дифферен-
цируемой в точке (0, 0)?
Ч Исходя из определения частных производных, имеем
х—О	X
®	9-0	у
Для исследования дифференцируемости данной функции в точке (0,0) запишем ее при-
ращение в этой точке: /(г, у) - /(0, 0) — Мху = а(г, у)у/х2 + у2, где а(х, у) = Мху-, 
v	v	v®3+j/3
Поскольку L\ =	‘’l = 0, Тг = —= 0, то для дифференцируемости необходимо,
чтобы функция (г, у) ь- а(т, у) была бесконечно малой при у/х2 + у2 —< 0, т. е. при х —* 0
и у -» 0. Пусть х = у = i, n g N; очевидно, х —► 0 и у —* 0 при п - оо. Так как
последовательность точек 1) при п —* оо стремится к точке (0, 0), а соответствующая
им последовательность значений функции (а Q,	стремится к +оо при п -»
оо, то функция а не является бесконечно малой при х —• 0, у -+ 0. Поэтому функция f
недифференцируема в точке (0, 0). ►
32.	Является ли дифференцируемой функция f(x, у) = \/х3 + у3 в точке (0, 0)?
Ч Находим производные
До. 0). Ы л»,.о>-ло,°) _ Ню £ _,,	0). Ит /<о. „> -/(о, 0) = ы ,
х—о	х	х—0 X	SV '	у	у
Представим приращение функции f в точке (0,0) в виде
=	+ у3 - X -	= /'(0,0)т+/'(0,0)у+а(х, у)^/г2 +у2,
У
где а(х, у) =
Поскольку последовательность

=— , п € N,
*2 )
не является бесконечно малой при п —► оо (т. е. при х —» 0, у —» 0), то а(х, у)у/х2 + у2
о(у/х2 + у2) при х —* 0, у	0 и функция f недифференцируема в точке (0,0). ►
1
33.	Исследовать на дифференцируемость в точке (0, 0) функцию f(x, у) = е »3+»2 при
х2 + у2 > О и /(0, 0) = 0.
◄ Как и в предыдущем примере, находим частные производные
/Х(0, 0) = lim 0) ~ /(°’ 0) = lim -е~£ = 0,
4	' х— О	X	«-*0 X
/£((), 0) = lim	0) = lim -е~^ = о.
 / У	и—оу
128
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Из того, что приращение функции / в точке (0, 0) представимо в виде /(х, у) — /(0, 0) =
1	_______ 1	__L	__i_
е »а+»2 = а(х, у)^/х2 4- у2, где а(х, у) =	*3+»3 = ~е i а р3 —► 0 при р =
^/х2 + у2 —► 0, непосредственно следует, что функция f дифференцируема в точке (0,0). ►
34.	Показать, что функция /(х, у) = ^/|ху| непрерывна в точке (0, 0), имеет в этой точке
обе частные производные /i(0, 0) и (0, 0), однако не является дифференцируемой в точке
(0, 0). Выяснить поведение производных /, и в окрестности точки (0, 0).
◄ Пользуясь определением частных производных; находим
л(0,0). Ы №.Ч-Ж
я—0	X
/s(0) o) = hm-------------
Поскольку
= а(х, у)\/х2 + у2,
где
то функция (х, у) 1-» а(х, у) не является бесконечно малой при \/х2 4- у2 —* 0. Отсюда
следует, что функция / недифференцируема в точке (0, 0). Из соотношения Д/(0, 0) =
а/|ху| —♦ 0 при х —* 0, у —*• 0 следует непрерывность функции / в точке (0, 0).
Из равенства fx(x, у) = j.i/l-|sgnx при х / 0 и того, что lim f'x (^,	= lim & =
V я	п^оо	п—*оо
+оо, следует, что производная fx неограничена в окрестности точки (0, 0). Это заключение
справедливо и для производной ►
з
35.	Доказать, что функция /(х, у) = ——=-^, если х2 + у2 / 0 и /(0, 0) = 0, терпит
х6 + у»
разрыв в точке (0, 0), однако имеет частные производные в этой точке.
◄ Из соотношений (£,	—► (0, 0) (при п —► оо)
=4 / о = ДО, 0)
следует, что функция f терпит разрыв в точке (0, 0).
Пользуясь определением частных производных, находим
Л (о, 0) = ы	_ „„ о . Л(о, 0). to №.»)-№,») _	0 _ „
Ж—0	X	z—0 X	V	1/—0	у	у—ъу
36.	Показать, что функция /(х, у) = —^=JX=, если х2 4- у2 / 0 и /(0, 0) = 0, в
\А2 4- у2
окрестности точки (0, 0) непрерывна и имеет ограниченные частные производные fx и f*,
однако недифференцируема в точке (0, 0).
4 При х2 4- у2 0 функция / непрерывна как элементарная. Из очевидного неравенства
|/(х, у)| = I /1* ; I и из того, что lim = 0, получаем lim /(х, у) = 0 = /(0, 0).
IV®3+»3I V3	Х-.0 V2	х—0
Таким образом, функция У непрерывна в точке (0, 0).
$ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 129
Имеем

-^=-------^=, х’+у’/о,
\/х2 +»2 >/(х2 + »2)3
йм)=1шлммы
х~»0	X
lim - = 0,
х-*0 X
2
у) =	- У Х х2+у2/ о, /;(0, 0) = 0.
у/х2+у2	v(z2+y2)3
Отсюда, пользуясь неравенством	у убеждаемся, что
|£(*. У)\
|х|	+ |ху| |х|	< з
у/х2 + у2 г2 + у2 у/х2+у2 " 2’
У)1 <
т. е. что указанные производные ограничены.
Запишем приращение функции f в точке (0, 0) в виде Д/(0, 0) = 7	= а(х, у)р,
у Х3 + у2
где а(х, у) = х^у2, Р = \А2 + у2- Легко убедиться, что функция а не является бесконечно
малой при х —* 0, у —♦ 0, а поэтому функция f недифференцируема в точке (0, 0). ►
37.	Показать, что функция f(x,y) = (x2+y2)sin
имеет в окрестности точки (0, 0) производные f' и
-х——у если х2 + у2 / 0 и /(0, 0) = 0,
х2 + у2
fy, которые разрывны в точке (0, 0) и
неограничены в любой окрестности ее; тем не менее эта функция дифференцируема в точке
(0,0).
◄ Если х2 + у2 0 0, то частные производные fx и fy находим, пользуясь формулами и
правилами дифференцирования:
„, ч „ .	1 2х	1	, ч „ •	1 2у	1
/»(х, У) = 2х Sill -у--?-—---г COS -у--у	fy(X,	у) = 2у Sin -у--г-—------ COS у~ , .
'	X2 4- У2	X2 + у2 х2 + у2	.	х2 + у2	х2-f-у2 х2 + у2
Если же х — 0 и у = 0, то производные /4(0, 0) и fy(0, 0) находим, исходя из их следующего
определения:
> . 1
й(о, 0), ы --№"> = и„ . о,
1-0	X	I-.0 X
аналогично находим, что fy(0, 0) — 0.
Покажем, что частные производные и fy разрывны в точке (0, 0) и неограничены в
любой ее окрестности. С этой целью выберем последовательность (х„, уп), сходящуюся к
точке (0, 0), и такую, что cos 2	= 1, т. е. $ = 2птг. Пусть, например,
Хп = Т-7=, Уп = т4=, n€N.
2упя	2упт
Поскольку хп —* 0 и уп -* 0 при п —> оо, то последовательность точек (хп, Уп) попадает
в любую окрестность точки (0, 0). При этом соответствующая последовательность значений
функции fx(xn, уп) = —2-у/птг, n € N, стремится к —оо. Следовательно, частная производная
fx разрывна в точке (0, 0) и неограничеиа в любой ее окрестности. Аналогичные выводы
справедливы и относительно /'.
Поскольку /4(0, 0) = fy(0, 0) = 0, а приращение Д/(0, 0) представимо в виде Д/(0, 0) =
(х2 + у2)sin = ра(р), где а(р) = psin -* 0 при р = \/х2 + д2 —* 0, то функция f
дифференцируема в точке (0, 0). ►
38.	Проверить равенство	, если: а) и = Xs ; б) u = arccos.
дхду дудх	у у
а)	Имеем
— ..’т»’"1 d2U	V3-!,, . 21	\	д2»	„	яа-1/. . 21	1
= v ( к ъ= s ’	= 9 ( у
д2и х, 2,--
ЭГЭ?=4(1у-г) 2
130 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
_	t \
Отсюда непосредственно следует равенство	справедливое для всех точек (х, у)
в области определения смешанных производных: 0 < х < оо, —оо < у < оо.
б)	Аналогично предыдущему находим смешанные производные
Эи 1.	2,-z	д2“ ®z 2,-д 9и I/ 3	2 2,"
- = --(Ху-х)2,	__ = _(XJ,_I ) 2,	_=_(ху_ху)2,
и убеждаемся, что они равны в области их определения: 0 < ^ < 1.
Эти примеры иллюстрируют утверждение о равенстве непрерывных смешанных произ-
водных, отличающихся порядком их вычисления. ►
39.	Пусть f(x, у) = ху~—если х2 + у2 / 0, и /(0, 0) = 0. Показать, что /"а(0, 0) /
х4 + у4
/;ло, о).
Ч При х2 + у2 0 имеем
у'(Х „) = ух2-у2 + 4дУ	fix у\ = хх2-у2 _ „ 4/у2
М,г0 Ух^+у^ + (х* + 92)2’ Ы'У) х* + у> (х*+у*У
Если х = у = 0, то производные /^(0, 0) и /^(0, 0) находим непосредственно из их
определения:
0) = Un, Ль2ЬЯМ) , ы 5 = О, » 0) = Um	= Вт 5 =
v ' х—*0	X	х—О X	У\ > ' y^Q	у	0 у
Пользуясь этими значениями, находим смешанные производные:
/"и(0, 0) = Нт ^(°’	~ f*'°’ °) = Кт = -1,
S-о	у	SI-0 У
S	х—0	X	т—0 I3
Отсюда убеждаемся, что /Ха(0, 0) /^,(0, 0).
Заметим, что в точке (0, 0) не выполняются достаточные условия равенства смешанных
производных. В самом деле, при х2 + у2 0 0 находим
f \~х2~ у2 Л . 8iV А
У) - /»*(*> У) - х2 + у2	+ у2у J '
Поскольку последовательность (ЛГП = (^, -)) стремится к точке (0, 0) при п —» оо, и
Km fxy(Mn) — Кт fy'x(Mn) = tyt (1 + ттгтпт), Т0 смешанные производные терпят раз-
рыв в точке (0, 0). ►
40.	Существует ли /™(0, 0), если f(x, у) = ^Ху л при х2 +у2 / 0 и /(0, 0) = 0?
г + У
◄ При х2 + у2 /0 имеем f'x(x, у) =	 Пользуясь определением производной,
находим
х»*0
Поскольку предел
,. О
— lim — = 0.
х—О X
X
2»3
ы «(»,»)-№.0) _ Z.
1/-0	у	U-.0 у
не существует, то производная fxy в точке (0, 0) также не существует. ►
41. Доказать, что если дифференцируемая функция (х, у, г) ь+ /(х, у, z), (х, у, г) € G,
удовлетворяет уравнению
9f df df ,
Xdi + yd; + 2Tz=Pf’
(1)
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 131
то она является однородной функцией степени р.
4 Рассмотрим функцию
Fщ *Уо, *zo)
Она определена, непрерывна и дифференцируема для всех t > 0, для которых точка (tio, tyo,
tzo) G G. Вычисляя производную функции F, получаем выражение, числитель которого
равен
* (®o/i(*xo, ty0, tzo) + yofy(txo, tyo, tzo) + Zof'z(txo, tyo, tzo)) -pf(tx0, tyo, tzo). (3)
Заменяя в равенстве (1) г, у, z на txo, tyo, tzo соответственно, приходим к выводу, что вы-
ражение (3) равно нулю. Следовательно, F'(t) — 0 и F(t) = С = const. Для определения
константы положим в (2) t — 1; таким образом, С = f(xo, Уо, zo). Отсюда, пользуясь равен-
ством (2), получаем
f(tx0, tyo, tzo) = tp f(xo, yo, Zo), (хо, Уо, Zo) G G. ►
42. Доказать, что если f — дифференцируемая однородная функция степени р, то ее
частные производные fx, fy, fz — однородные функции (р - 1)-й степени.
◄ Поскольку f — однородная функция степени р, то справедливо равенство f(tx,ty, tz) =
tpf(x, у, z), причем выражение в левой части дифференцируемо. Дифференцируя последнее
равенство по х, получаем f'x(tx, ty, tz)t — tpfx(x, у, z) или fx(tx, ty, tz) = tp~'fz(x, y, z). Из
последнего равенства следует, что fx — однородная функция степени р—1. Для производных
/'у и /г доказательство аналогичное. ►
43. Пусть (х, у, z) и(х, у, z) — дважды дифференцируемая однородная функция п-й
степени. Доказать, что
(1)
/ д	д	д\2	.
x-r- + у-х- + z—] u = n(n-l)u.
дх	ду	dz J
◄ Поскольку и — однородная функция, то она удовлетворяет уравнению
ди ди ди
х — + y-z- + z— - пи.
дх ду dz
Заменяя в этом равенстве х, у, z на txo, tyo, tzo и дифференцируя его по t, получаем
Zoui + уои'у + zou'z + txgu"2 + tygUy, + izo«"2 + t(2xoyo«"K + 2xozou"z + 2y0z0UyZ) =
— n(xoux + Уои'у 4- ZoUj),
где производные вычислены в точке (txo, tyo, tzo). Полагая в последнем равенстве t = 1,
имеем
Хоих2 + Ро%з + Zqu"2 + 2(xoyo«ixS + xozauzz + yoZou'yZ) = (n - l)(io«j + Pou'j, + zou'z).
Отсюда и из равенства (2) непосредственно следует, что
( д д д\2	,
( Хо-Г- + уо-Т- + zo-Г- u = n(n-l)u.
\ дх ду dz)
Так как (х0, Уо, zo) — произвольная точка, то равенство (1) доказано. ►
44.	Доказать, что если и = у/х2 + у2 + z2, то d2u 0.
◄ Обозначая = х2 + у2 + z2 и последовательно дифференцируя выражение и =
находим
(2)
du— -^{dx2 + dy2 + dz2) —
du = ~7=(х dx + ydy + z dz),
^-L_(xdx + ydy + zdz)2 =
132 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
_ (я2 + У2 + z2)(dx2 +dy2 + dz2) -(xdx + ydy + zdz)2 _
(7£>3
(xdy-y dx)2 + (xdz - zdx)2 + (ydz - z dy)2
45.	Предполагая, что г, у малы по абсолютной величине, вывести приближенные фор-
мулы для следующих выражений:
а)	(1 + z)m(l + у)т; б) 1п(1 4-z)ln(l 4-у); в) arctg
◄ Пусть функция (z, у, ... , z) i-> f(z, у, ... , z) дифференцируема в окрестности точки
(О, 0, ... , 0). Тогда
f(x, у,..., z) — f(0, 0, ... , 0) = f’x(0, 0,..., 0)Ц-Л(0, 0, ... , 0)у + ... 4-Д(0, 0, • • • , 0)z+o(p),
где о(р) — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с р = у/х2 + у2 4- ... + z2.
Отбрасывая величину о(р) и перенося /(0, 0, ... , 0) в правую часть, получаем приближенное
равенство
f(x,y, ... , z) «ДО, о, ... , 0)4-Д(0, 0, ... ,O)x + f'(O, 0, ... ,0)9+ ...+f'(0,0, ... , 0)z. (1)
Поскольку предложенные функции дифференцируемы в окрестности точки (0, 0), то со-
ответствующие приближенные формулы принимают следующий вид:
а) (1 4- z)m(l + у)т « 1 4-mt 4- ту,
б)	1п(1 4- z)ln(l 4- у) и ху,
в)	arct§ ПТ? я z ►
46.	Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:
1 04^
а)	1,002  2,0032 • 3,0043; б)	=;
у 0,98-^/1,053
в) а/1,023 + 1,973; г) sin 29° tg 46°; д) О,971 05.
◄ а) Записывал равенство (1) из предыдущего примера для функции fix, v, z) = (1 4-
z)(2 4- y)2(3 4- z)3, имеем
(1 4- z)(2 4- y)2(3 4- z)3 « 1 • 22  33 + 22 • 33z 4- 22  33y 4- 22 • 33z.
Подставляя в это равенство х = 0,002, у = 0,003, z = 0,004, получаем 1,002  2,0032  3,0043 «
108 4- 0,216 4- 0,324 4- 0,432 = 108,972.
б)	Записав для функции f(z, у, z) =	.	приближенное равенство f(x, у, z) «
V(1+*)3
14-2z-|-j — |и полагая х = 0,03, у = 0,02, z = 0,05, получаем
1,032
—-—’	« 1 4- 0,06 4-0,0066 - 0,0125 « 1,054.
у0,98^/1^053
в)	Имеем -^/(1 4- я)3 + (2 — у)3 и 3 4-- - 2у. Пусть х = 0,02, у = 0,03, тогда
л/1,023 4- 1,973 и 3 4- 0,01 - 0,06 = 2,95.
г)	В приближенном равенстве (см. предыдущий пример)
. / к	{к , \	.кт	т т , .	т	1
sin ( — — z j	tg I — 4- ® )	« sm — tg —	— cos	— tg — z 4- sm	—	—r-rz
\ 6	/	\ 4 )	64	64	6	cos2 т
4
полагаем х — 0,017, тогда
sin 29° tg46° « 0,5 - 0,866 • 0,017 4- 0,017 « 0,502.
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 133
д)	Записывая для функции (1—т)1+в приближенное равенство (1 —1)1+“ и 1—г иполагая
в нем г = 0,03, у = 0,05, получаем O,971,os « 1 — 0,03 = 0,97. ►
47.	Доказать, что функция /, имеющая ограниченные частные производные f'x и fy в
некоторой выпуклой области Е, равномерно-непрерывна в этой области.
◄ Пусть (ii, у1) и lx?, уг) — две произвольные точки из области Е. В силу выпуклости
области Е, точка (х2 + t(xi - х2), у2 + t(yi — Уг)) принадлежит области Е при 0 t 1.
Функция p(t) = f(xi + t(n - х2), У2 + t(yi - Уг)) имеет при t €]0, 1[ ограниченную про-
изводную
¥>'(<) = (x1-X2)f'xlx2 + t(xi-X2), У2+Ду1-у2)) + (У1-У2)^(т2 + *(а:1-Г2), Уг + Цуг-Уг)) (1)
и р(0) = f(i2, У2), v(l) = /(ti, У1). Используя формулу Лагранжа и равенство (1), находим
92(1) - <р(о) = f(xi, У1) - f(x2, У2) = ¥>'($) =
= (®1 - T2)/i(l2 + f(zi - Х2), У2 + С(У1 ~ У2.)) +
+ (yi - 92)fy(i2 4-€(®1 - ®г),У2 +$(У1 - Уг)), 0<£<1.	(2)
Согласно условию, существуют такие постоянные Li к L2, что
|/J <L2 V(x,y)tE.	(3)
Из соотношений (2) и (3) вытекает неравенство
|/(>i-У1) -/(12, У2Ж - r2|ii + |yi - У2^2-	(4)
Пусть е > 0 произвольное. Тогда, выбирая 4 = min	, для любых точек (ii, yi)
и (®2, Уг) таких, что |xi — х2\ < Б и |yi - уг| < S, из (4) получаем неравенство |/(ii, yi) —
f(%2, Уг)| < е, доказывающее равномерную непрерывность функции f в области Е. ►
48.	Доказать, что если функция (т, у) >-► /(т, у) непрерывна по переменной х при
каждом фиксированном значении у и имеет ограниченную производную по переменной у, то
эта функция непрерывна по совокупности переменных х и у.
< Согласно условию, ЗМ > 0 такое, что
зО1 м	(1)
для всех точек (т, у) из области G определения функции f.
Пусть s > 0 произвольное, а (то, Уо) — любая точка из G. Тогда
у) - f(xo, Уо)| |/(х, у) - f(x, Уо)| + |/(®, Уо) - f(xo, Уо)|
I/J(®, Уо + #(у ~ Уо))| |у - Уо| + | f(x, уо) - f(xo, Уо)|.	(2)
В силу непрерывности функции f по х, при у = уо 341 = 4i(s, у0) такое, что
l/(s,ffo)-/(zo, Уо)|<|,	(3)
если |т — то| <41. Из (2), (1) и (3) получаем
|/(®, У) ~ f(x0, уо)| М\у - уо| + | < е,
если |z — то| < 4, |у — уо| < 4, где 4 = min {jjj, 4i}, что и требовалось доказать. ►
49.	Пусть (т, у, z) 1-» Рп(х, у, z) — однородный многочлен степени п. Доказать, что
dnPn(x, у, z) = n!Pn(dx, dy, dz).
4 Пусть (т, у, z) — произвольная точка из области определения функции Рп- Так как
Рп — однородный многочлен степени я, то для него справедливо равенство
Pn{tx, ty, iz) = tnPn(x, у, z).	(1)
Вычислим n-ю производную от обеих частей этого равенства. Очевидно,
Р^п)(*т, ty, tz) = п! Р„(х, у, z).	(2)
134 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
Обозначая левую часть равенства (1) через F(t) и последовательно дифференцируя, находим
дРп дРп дРп Э д д \
F (t) = -т— х + -т— у + -г-z = -х-х + г~У + I Рп,
' ' дх ду dz \дх ду dz )
д2 Рп 2 , д2 Рп 2д2Рп 2, д2Рп д2Рп ^д2Рп (д д э\2
Г W = ~Z~2~X +'~Я 2 У +-a_2-z +2Я a icg+2^~a~IZ+2 я я = I а-1 + я~г Г
v ’ дх2 ду2 dz2 дх ду дх dz ду dz удх ду dz Г
Далее, методом математической индукции легко доказать, что
(	\ п
ОХ оу OZ 1
Поскольку Рп — однородный многочлен степени п, то частные производные первого поряд-
ка — однородные многочлены степени п — 1 (см. пример 42). Отсюда следует, что частные
производные n-го порядка являются однородными многочленами нулевого порядка, а следо-
вательно, являются постоянными, т. е. не зависят от t. Поэтому можно записать
F(n4t)= (x^- + y^- + z^-'\ Pn(x,y,z).	(3)
\ ох оу OZ f
Сравнив (2) и (3) и заменив ж, у, z на dx, dy, dz, получим доказываемое равенство. ►
г zx	.	ди ди	u .	.О	л / л \	\	%
OU. Пусть Ли = х-—Ь у-?-. Наити Аи и А и = А(Аи), если: а) и = -т-------
дх ду	х2 + у2
б) и = 1л \/ж2 + J/2 •
◄ а) Имеем Аи = ж-- f—£ -й + у-£- ( Л — х/ + УГУТ"! Та = ~ Л а = “и- В
/	Эх \х2+у2 J ’ 9 ду \х2+у2 j (*2+у2Г	(х2+у2)2	х2+у2
силу однородности операции А, А2а = А(Аи) = А(—и) = —Аи = -(-и) = и.
б) Аналогично Аи = х £ ^1п \Д2 + у2) + у £ ^1п ^/х2 + у2) =	= 1, А2 и =
А(Аи) = А1 = 0. ►
_	.	/ Зи\2	(ди\2 (ди\2 . д2и д2и д2и „
51.	Пусть Aiu = —	+ д— + т- , д2“ = ТТ +	+ ТТ- Наити Aju и
\ ах I \ду 1 \дг)	ох‘ оуг az*
Л 1
к, если и = —=====.
\/х2 + у2 + я2
< Вводя обозначение т = ^х2 4- у2 + z2, находим
/ai\2	(д±\2 fd-\2	( х\2	/ «V z П2	i
Д1«— ( дг” )	+	( д) ”* ( ~л~) =(—з) Н'	(—j) +(—j)	=	—>
\дх J	\ду J \oz 1	\ г3 /	\ rJ)	\ г6 /	г4
. д2 /1\ , д2 fl\ , д2 /1\
2U дх2 \г/ ду2 \г7 dz2 \г/
Поскольку = (-4) =-4+^, А(Ч = -4+*£, £(1) = -4+^,
J дх2 \г/ дх X г3 / Г3 Г® ’	0J/2 \г/ Г3 Г® ’ dz2 \г/ Г3 ' Г5 ’
то Агп = -Д +	+	= 0, г / 0. »
52.	Доказать, что форма дифференциалов произвольного порядка функции (£, г), ()
/($> Ч, С) сохраняется при замене аргументов $, у, С линейными функциями: f = ail + агу +
a3z, ч = ЪхХ + Ь2у + b3z, < = сц + с2у + c3z.
◄ Вычисляя второй дифференциал функции: d2f =	d^2 + /"2 dt)2 + f"3 d(2 + 2f^ d£ dt) +
2f'('( d( dCA^fi)( dt) dC+f'( d2£+f^ d2t)+f'( d\ и замечая, что, в силу линейности функций f, t),
имеют место равенства d2( = 0, d2^ = 0, d2{ = 0, получаем
d2f=(idi+id,,+idc}f-
\	oQ J
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 135
Методом математической индукции легко доказать, что
dnf —	^~dy + ~d(} f,
ay o( j
т. e. что форма дифференциалов произвольного порядка сохраняется при замене аргументов
линейными функциями. ►
Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих сложных функ-
ций (х, у, z — независимые переменные):
53.	и = f (у/х2 + у2) .
Дифференцируя и как сложную функцию, получаем
.	/'~2 , ' 2\ ,/xdx + ydy 2 j/fi\xdx + у dy fl , I xdx + ydy \
du = f d I y/x2 + y2 I = f	du = d(f ) /-_ + f d(	.
'	>	\/x2+y2	yjX2 + y2 \\/X2 + y2J
Так как
d(f'\ =z f" xdx + ydV д I xdx + ydy\ _ (y dx -xdy)2
\/x2 + у2 у \/x2 + y2 J y/(x2 + y2)3 ’
то окончательно находим
j2 „(xdx + ydy)2 , ,(ydx — xdy)2 _2 , 2	_
dU = f -----(ТТи2-- + f ...Л 2 _^2<3 ’ X +y *
x +У	y/\+2+y2)3
54.	и = /(?, у), где? = x + у, у = х - у.
< Поскольку аргументы ? и у являются линейными функциями, то форма дифференци-
алов произвольного порядка сохраняется (см. пример 52).
Поэтому, вычисляя дифференциалы
du = f d? + fdy, d2u = fu d(2 + 2/i"2 d? dy + /"2 dy2,
где f'i = If, /2 = /и =	/1'2 =	/22 = 0> и вместо d? и dy подставляя их
значения, найденные из равенств ? = х 4- у, »] = х — у, получаем
du = f(dx 4- dy) -f- f(dx - dy), d2u = fii(dx -f- dy)2 4- 2f"2(dx2 - dy2) + f&(dx - dy)2. ►
55.	и = f((, у), где f = ху, у -
У
Дифференцируя и как сложную функцию, получаем
du = Л'(у dx + х dy) +	,
У
.2 fii , , . j \2 ,ntnV2dx2 ~x2dy2 п (ydx-xdy\ ,	,(ydx-xdy)dy
d a = /11 (y dx+x dy) +2/i2--------+/22 I  ---------I +2/1dxdy-2f2iz---->
56.	u = f(x, y, z), где x = t, у = t2, z = t3.
◄ Аналогично предыдущему
du = f dt + /22t dt + fs3t2 dt = (/{ + 2t/2 + 312/з) dt,
d2u = f"i dt2 + ^'24t2 dt2 + f"39t4 dt2 + 4f'2tdt2 + 612Л"з dt2 + 12t3/23 dt2 + 2/j dt2 + 6tf dt2 =
= (/11 + 4t2/2j + 9t4/33 + 41/^2 4" 6t2/i3 + 12t3/23 + 2/2 + 6t/3) dt2. ►
5^* “ = f(£,y, C)> где ? = x2 + у2, у = x2 - у2, С = 2ху.
136 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
4 Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, имеем
du = /i'(2® dx + 2у dy) + /г(2г dx - 2у dy) + /3(2у dx + 2х dy),
d2u = 4/и (xdx + y dy)2 + 4/j'2 (1 dx - у dy)2 + 4/33 (y dx + x dy)2 +
+ 8/is(x2 dx2 - y2 dy2) + 8/"3(x dx+y dy)(y dx + x dy) +
+ d&(xdx - у dy)(y dx + x dy) + 2f[(dx2 + dy2) +2fi(dx2 - dy2) + 4f3dxdy. ►
Найти dnu, если:
58.	и = fax + by 4- cz).
Ч Поскольку в данном случае форма дифференциалов инвариантна (см. пример 52), то
d"u = f'n/d{a.x + Ъу + cz))" = /n>(adx + bdy + cdz/n^. ►
59.	и = /(a®, by, cz).
В силу инвариантности формы дифференциалов »-го порядка (см. пример 52), имеем
dnu = (t-adx + --bdy + -^-cdz) f(s,t,r),
\os 01 or /
где s = ax, t = by, r = cz. ►
60.	u =./(3, t, r), где s = ai® + biy + ciz, t = a2® + b?y + c2z, r = a3x + b3y + c3z.
Ч Используем инвариантность формы га-го дифференциала (см. пример 52). Имеем
-ds-t-diF-dr] f(s, t, г) = ((<ц dx -^b3dy + с3 dz)— +
OS ot ОТ J	\	OS
+ (a2 dx + bj dy + Ci dz)^- + (a3 dx + b3dy + c3 dz)^-) /(3, t, r). ►
ot	or /
61.	Пусть u = f(r), где г = у/х2 + у2 + z2 и f — дважды дифференцируемая функция,
тг	л гг 1 л	d2U д2и	„	„
Показать что Ди = F(r), где Ди = —г + 7— +	— оператор Лапласа, и наити функцию
дх2 оу2 dz2
F.
•< Имеем
э2ц - -t»*2 1 f'1	f'*2
Ьт т ’ Эх2 r2 r r3
Аналогично находим
д2и	ft
dy2-JT^+JT 7 Г3 ’ dz2 ~ 1 Г2 + 1 Г J Г3'
Таким образом,
Д« = f't±t±t + If _ f2 +/	f = f" + If _ If = f" + If = F(r). ►
г2 г	г3	T	r	r
62.	Доказать, что если функция u = и(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа Ди =
д2и 32и „	.	( х У А
5^2 + ~0у2 = °, то функция v = u I	I также удовлетворяет этому уравнению.
◄ Вводя для удобства обозначения ip =	, имеем
dv	td<p	/ д'ф	dv	i dip	, d^>
a~ = ttla_ + ’,2a_> a- = “1	+ “2 T" >
ox ox	 ox	oy	dy dy
- „»	4- 2u" dlfi 4. «" (W V 4-	4. «' д2ф
э?~’‘11кэ7) +2ttl2a;a7 + ’‘24a7) +И1э^ + “2э^’
d2” _ „» (Эу> V , « dip Эф ,, (дф\2	, d2ip , Э2ф
w + 12^^+^2W +“*^+2^’
137
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента
/ ди I ди //	д2и и э2« и д^и
гЯе “1 = Э?> «2 = а*> “11 =	“12 = а7а^> “22 = а^-
Отсюда
л » ((дрУ	(9р\Л , “ ( (9^\2 , (,
Ди = uu I I ) + I — ) I + “22 I I ) + I "X- I I +
\\dxj \ду) I \\dxj \°VJ I
„ f др дф др дф\ , .	, д ,
+ 2^12 ( -г— •«—I- -г- д- I + “1 Ду> + “2 Д’/3-
\ дх дх ду дуJ
(1)
Вычисляя производные
др _ у2 - а2
дх (а2 + у2)2 ’
дф _ 2ху
дх (х2 + у2)2’
убеждаемся, что
др _ 2ху
ду (а2 + у2)2 '
дф _ а2 — у2
ду (а2 + у2)2’
д2р _ 2а(а2 — Зу2)
Sj2 " (*2 + 3,2)3 ’
д2ф _ 2у(3а2 - у2)
дх2 (а2 + у2)3 ’
д2р _ 2х(3у2 - а2)
ду2	(z2+y2)3
д2ф _ 2у(у2 - За2)
ду2	(х2 + у2)3
dtp дф dp дф
я Т + 7Г = °’ ДР = °’ Д^ = О-
дх дх ду ду
Таким образом, из (1) и (2) и из того, что Ди = 0, следует
(2)
др _
Д» = Ti * Ди = 0. ►
(X2 + у2)2
63.	Доказать, что если функция и = и(г, /) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди 2d2и	1 —( х 1 \
— = а —то функция v = —-=е ia3tu I —, —— , t > 0, также удовлетворяет этому
dt дх2	ay/t	t аЧ/
уравнению.
◄ Находим производные
и, =
2	/	I \ х3
и X и IU1 U2 \ --Аг-
------7= Ч--------т= — -—;= Ч----------}= I е 4fl2t,
2<x'ft? 4a3Vt® а31/? a^y/t3 J
f	2	t	И \ x2
u , x и xu, , ai \ —=—
•v 2 == I — -	+ • x —------------7= 4*	'r~- I ®
\ 2а3х/? 4а5Vr	as^t®J
где через uj и и"г обозначены частные производные функции и по первому аргументу, а
через и2 — по второму аргументу, и подставляем их в выражение rj—a2v"2. После упрощений
получаем
I 2 II
vt- a vx2 =
1 х
4°2t (а2 — “2“и) •
Согласно условию, u2 ~	= О- Поэтому v't — а2®"2 = 0. ►
64.	Доказать, что функция и = i, где г = \/(т — а)2 + (у - Ь)2 + (z - с)2, при г ф 0
_	. д2и д2и д2и
удовлетворяет уравнению Лапласа Ди = -хт + ‘тт + т = О-
дх2 ду2 дг2
4 Имеем
ди _	1 дт____.1 х — а _ а — а д2и _ 1	3(х — a) dr _ 1	3(а — а)2
дх т2 дх т2 г г3 ’ дх2 т3 г4 дх ~ г3 т3
Аналогично находим
Э2и ' 1	3(у — Ь)2	д2и _	1	3(г — с)2
V ” ...г*	• :".г». ’	Эя».““т»+...г»,-
138
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Складывая последние три равенства, получаем
Ди = -1 + 1 ((г - а)2 + (9 - b)2 + (z - с)2) = -1 + 2 = 0. ►
65.	Пусть функции ui = ui(r, у, z) и иг = иг(х, у, г) удовлетворяют уравнению Лапласа
Ди = 0. Доказать, что функция v = ui(x, у, z) + (х2 + у2 + г2)иг(х, У, г) удовлетворяет
битармоническому уравнению Д(Дг>) = 0.
◄ Последовательно дифференцируя, находим
3uj	/	2 . 2 , г\ Зиг	d2v	32ui	Зиг /	2 . 2 . 2\ ^2“2
- = -—-+2xu2 + (x +y +z ) —, — = --Г- + 2u2 +4r—— + (x +y +z
dx dx	v	' dx	dx2	dx2	dxK	' dx2
Аналогично
d2V 32U1	3u2 / 2 , 2 , 2\ ^2«2 52U	32U1 „	0U2 / 2 . 2 , 2\ d2U2
= эр’+2“2+^-а7+(2: +« +г)э^’ a^”l^+2u2+4z а7+(г +y
Следовательно,
/ du?	ди?	ди? \	/7	*>
Дг' = Дщ + биг + 4 1 х——1-у-т— + z-т— ) + (х + у + z ) Диг.
у дх	ду	dz )	'	'
Учитывая, что функции ui и иг удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. что Ди1 = 0 и
Диг = 0, получаем
Л с , л (	, 9“2 , 9“2 \
Ди = 6uo 4" 4 I х——к v——Ь z—.
Эх у ду dz J
тт	tpAv 62Ди
Находя производные , ’^г, ~q^~ и складывая их, имеем
л/л \	- z л . / Э3иг #31*2 d3U2 d3U2 d3U2
Д(Дг>) = 14Ди2 +4 s-7-^ + g т —-х~ + z 2 * +	+ g~z~/+ .
у дхл дх* ду дх* dz ду* дх ду4
Э3 U2 d3u2 d3U2 О3 U2 А
+ Zdy2 dz+xdz2 дх + Удг2 ду + г'з?’ )
Записывая последнее равенство в виде
Д(Ди) = 14Д«г + 4х^-(Диг) + 4у-^-(Диг) + 4х^-(Диг)
ах	ду	az
и пользуясь тем, что Диг = 0, убеждаемся в справедливости равенства Д(Дг>) = 0. ►
66.	Пусть (х, у, z) i-> у, z) есть т раз дифференцируемая однородная функция
измерения п. Доказать, что
f д д д \т
\Хдх+уду +zdz) КХ’ г) = п(п “ (n ~т + 1)/(I> У’ *)•
Ч Пусть (x, у, z) — произвольная фиксированная точка из области определения функ-
ции f, а т п. В силу однородности, справедливо равенство tnf(x, у, z) = f(tx, ty, tz).
Последовательно дифференцируя его т раз по t
ntn-lf(x, у, z)=XdJ-+ydJ- + zd/x = (хА + у^ + f{tXi ty> tz)i
n(n - l)tn-2/(x, у, z) = x2?4 + у2Ц + z2+ 2xy/X +
дх* dy* dz* дх dy
f d% f ( d d d \ 2
+ 2lz"я~я~ + ‘2‘Уг~я~а~	I xл- + y~S~ + *a~ ) Atas> 1г)>
dxdz dydz	\ dx dy dzj
n(n - 1) ... (n - m + l)tn~mf(x, y, z) = (x-£- + y~- + *2-} f(tx, ty, tz)
. \ 0X 9У &Я I
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 139
и полагая t = 1, получаем требуемое равенство. ►
67.	Пусть х2 = vw, у2 = uw, z2 = uv и /(z, у, z) = F(u, v, w). Доказать, что xf* + yfy +
zf'z = uFi + vF‘v + wF*w.
Ч Согласно условию, имеем
F[u, v, w) = f(i/vw, y/uw, y/w).
Дифференцируя это равенство по u, v и w, находим
+	” Fi = /i-^= + /i-^=, FL = f'-^= + f'-^=.	(1)
B2yuu> 2y/uv	2y/vw 2y/uv	2y/vw 2^/uw
Умножая первое из равенств (1) на и, второе на v, а третье на w и складывая их, получаем
+ /Дк-7= + fyr~7= = vvwfz + Vuu’fs, + v^/z-
2yt>w 2yuw
Отсюда, используя условие задачи, окончательно находим
uF„ + vFf, + wFt = т/i + yfy + z/i. ►
Путем последовательного дифференцирования исключить произвольные функции риф:
68. z — х + <р(ху).
4 Найдем частные производные по z и по у.
. /
d^ = 1 + y<fi’
dz
dy
/
= х<р .
Сложим полученные равенства, умножив первое из них на х, а второе на —у. Тогда получим
dz dz
ХТх-уТу=Х^
69.	и = <р(х — у, у — г).
◄ Имеем = <pj, = -pi +^2>.|7 — “Рг- Складывая эти равенства, получаем
ди . ди . ди _q
дх “Г ду “Г dz ~~ U*
70.	Z = р(х)ф(у).
4 Имеем Ij- = <р'ф, =рф'. Отсюда ||	= рфр'ф' - гр'ф’.
С другой стороны, = <р'ф'. Следовательно, из последних двух равенств непосред-
dz dz d? z
ственно вытекает, что = zd^‘ ►
71.	Z = ^{ху) + ф I - ] .
◄ Используя равенства
3z ,	1 d2z 2 и , 1 ,н
di = W +у*’ W=y>P +7Ф ’
получаем следующие соотношения:
dz	dz	2х ,,
dx	dy	у
из которых непосредственно вытекает, что
dz , х , d2z 2 „ х2 „ 2х ,
— = х<р - —ф , — = z <р + -гФ + ~^Ф ,
dy	у2 dy2	у4 ул
2 d?z	2 32z	2х
Х d^~V d^~~~»^’
2d2z 2d2z , dz 9z
X dx2 У dy2 +Xdx ydy~ ’ k
72.	Найти производную функции z =z x2 — у2 в точке M = (1, 1) в направлении 1,
составляющем угол а = 60° с положительным направлением оси Ох.
140 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
◄ Имеем 9г^- =	cos a + cos в = 2 cos а — 2 cos/?. Таким образом, 8г1^- =
04	ОХ	ОЦ	г	г	г	} qi
1 — л/3- ►
73.	Найти производную функции z = ln(z2 4- у2) в точке М = (zo, Уо) в направлении I,
перпендикулярном к линии уровня, проходящей через эту точку.
Ч Поскольку вектор grad а в точке М ортогонален к линии уровня с = ln(z2 + у2),
проходящей через точку М, то направляющие косинусы вектора I равны направляющим
косинусам grad и в точке М, т. е.
||grad u(Af)|| ’
cos a =
Йх(ЛГ)
Л	ду
C0S ||grad u(Af)||'
I z	v 2	;	ч о
„	, Л.жчп fdz(M)\ / dz(M)\
поэтому cos a = —J=== cos/? = - 7 »° ,. Следовательно,
V^o+So	V*o+»o
^ = ^)cosa + ^cos^_A==
dl дх	дУ	yM + y2
2
\А'о + Уо ’
(to + Уо Ф 0)- ►
(а b \
—=. —= по
л/2 ' а/2/
74. Найти производную функции z = 1 - | У + 77
о2
т2
и	о	о х . у ,
направлению внутренней нормали в этой точке к кривой -т- + — = 1.
a2 tr
◄ Тангенс угла наклона нормали к данной кривой определяется формулой tg а =-
и'
У2
Ь2
где у = ^т/“2 — xi  Отсюда tga = р а направляющие косинусы внутренней нормали выра-
жаются формулами cos a = — —7=^=—, cos /? = - д (мы берем знак минус, поскольку нор-
маль внутренняя). Воспользуемся формулой производной по направлению п = (cosо, cos/?):
dz(M)	dzIM)	dz(M)
—3—- = —5—- COS a + —7—- cos /?.
on ox	dy
t>	dz(M) \/2 dz(M)
Вычисляя производные	--g^ = - -у, находим
dz(Af) = tV2 qy^ _ \/2(a2+62)
dn qy/q2 -|- b2	by/ a2 + b2
75.	Найти производную функции a = zyz в точке M = (1, 1, 1) в направлении I =
(cosa, cos/?, cosy). Чему равна величина градиента функции в этой точке?
Ч Очевидно,	= 1, -^-1 = 1. По формуле производной по направлению,
получим
du(Af) ди(М) , ди(М) о ди(М)
—тт— = —д—- cos а Ч-----т—- cos /? + —т—- cos у = cos а + cos в + cos у,
<И дх	ду	dz
Величину градиента определим по формуле
и л /!ЬП11	(дн(М)\2	/Эа(М)\2	(ди(М)\2	/-
iigrada(M)ii = ^-^-j +(Дг; Ч дГ)
76.	Определить угол между градиентами функции u = z? +у2 4-z2 в точках А = («> °> °)
и 13 = (0, е, 0).	1
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 141
4 Имеем
8...1 .(Л) = (?£*>, ’iil'j - (2<, 0, 0),
\ ох ду dz J
,	( ди(В) ди(В) ди(В)\ ,п „
gradu(B) = -А-2, -4-2, -±-2- = (0, 2s, 0 .
\ дх ду дг )
Отсюда ||grad u(А)|| = 2|е|, ||gradu(B)|| = 2|е|. Подставляя эти значения в равенство
(grad u(A), gradu(B)) = ||grad u(A)|| ||grad u(B)|| cos <p,
получаем cosp = 0, T. e. ip — j. ►
77. Показать, что в точке Mo — (zo, Уо, zo) угол между градиентами функций и = ах2 +
by2 -f-cz2, v = ах2 -+Ьу2 + cz2 + 2тх + 2пу + 2pz (а, 6, с, т, я, р — постоянные и а2 + 62 +с2 / 0)
стремится к нулю, если точка Мо удаляется в бесконечность.
4 Имеем cos и -
•ч имеем cos р - ||gridu|| ц8гаа„ц > где
grad и = (2azo, 2byo, 2czo), grad v = (2ахо + 2т, 2byo + 2n, 2czo + 2р),
||grad u|| = 2^/(аю)2 + (Ьуо)2 + (cz0)2, ||grad v|| = 2^/(az0 + т)2 + (byo + n)2 + (cz0 + p)2.
Тогда угол ip определяется из равенства
_	ах0(ахо + т) + i>yp(6yo + n) + czq(czq + р)___
((azo)2 + (буо )2 + (cz0)2)(^az0 + т)2 + (byo + n)2 + (cz0 + р)2)
Вычислим sinр и покажем, что sin<p —< 0, если \/х2 + у о + z2 —» оо:
(ятоп - Ьуот)2 + (ахор — czom)2 + (byop — czon)2
((azo)2 + (byo)2 + (cz0)2)((az0 + m)2 + (by0 + n)2 + (czo + p)2)'
Пользуясь неравенствами 2|zoyoj C x2 + y%, 2jzozo| x2 + z2, 2|yozo| Уо + zo и обозначая
наибольший по абсолютной величине из коэффициентов числителя при х2, у2 и z2, через
А2, получаем оценку
(azon - Ьуот)2 + (ахор - czam)2 + (byop - czon)2 < A2(zq + у2 + Zq).
Не ограничивая общности, будем считать, что а / 0, Ъ / 0, с 0. Пусть В = min{|a|, |Ь|, |с|),
тогда а2Хо + b2y2 + c2z2 J; В2(х20 + Уо + zo)-
Таким образом, имеем оценку
I sin <p| = \/l — cos2 p =
0 |sinipl <;-------—. v	' > -	=
5\Ао + У о + го }/(аХо + тУ +	+ n)2 +Tczo + р)2
Ву/(ах0 + т)2 + (byo + n)2 + (cz0 + р)2
Очевидно, если у/х2 + у2 + z% —> оо, то
(az0 + т)2 ф (Ьу0 + n)2 + (czo + р)2 —* оо;
поэтому из неравенства (1) следует, что sin р, а вместе с ним и р стремится к нулю, если
точка Мо удаляется в бесконечность. ►
78.	Пусть и = f(x, у, г) — дважды дифференцируемая функция и li = (cos ai, cos /31,
cos7i), h = (cosa2i cos^2, cos72), I3 = (cosаз, cos/Зз, cos73) — три взаимно перпендикуляр-
ных направления. Доказать, что:
а)	. (ди\2 , (ди\2 _ (диV f duV /диV
+\.Sj2J +	) (Эа. ) +(d1J +\5z) ’
142 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
д2и d2u д2и _ 32«	52и д2и
}d^+d^+di[~d^+d^+d^'
•< а) Находим производные функции и по направлениям li, h, h-
ди	du	du		du
- —	— cos ai +		cos ft +	
dli	dx	dy		dz
ди	du	du		du
	-r— COS 02 +	dy	cos ft +	dz
dl2	dx			
ди _	du	du		du
8ft ~	— cos аз + dx	dy	cos ft +	37
cos 7i,
COS 72,
cos 7з.
(1)
Отсюда непосредственно следует:
f du\2 (duX2 (duX2	(ди\ 2 , 2	2	2 ч
I оГ + ТГ + аГ = т- (cos “1 +cos “2 +cos “з) +
\ г-41, )	X	)	X л/„ /	\	I '	'
(\ 2	/	\ 2
ди I *	/ ди \ *
— I (cos2 ft + cos2 ft + cos2 ft)+ —I (cos2 71 + cos2 72 + cos2 73) 4-
ay J	\az I
Зи ди
4-2 — —(cosai cos0i 4- cos аг cos02 4- cost's cos/fe) 4-
dx dy
du du ,
4- 2— —(cos ai cos 71 4- cos «2 cos 72 4- cos аз cos 73) 4-
dx dz
du du
+ 2— — (cos ft cos yi + cos ft cos 72 + cos ft cos 73).
ay dz
(2)
Поскольку матрица
(3)
(COS O1 cos ft cos 71
COS 012 cos (82 cos 72
cos аз cos ft cos 73
является матрицей перехода от ортонормированного базиса (i, j, k) к ортонормированному
базису (/1, I2, 1з), то она обладает тем свойством, что сумма квадратов элементов любой
строки (столбца) равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух раз-
личных строк (столбцов) равна нулю.
/ \2 /вц\2
Таким образом, в равенстве (2) коэффициенты при квадратах производных (	1, ( а» ) ’
(\ 2
ди \	ди ди ди 8и ди
~ j равны единице, а при произведениях производных —	~ равны нулю.
Учитывая это, из равенств (2) непосредственно получаем равенство а).
б)	Находим	’ где ЗТ? определено первым из равенств (1):
д2и	d2u 2	. 82м	2 а . д2и 2
Ж = a^C0S	+ Wcos 01 + 8?cos 71 +
д2и	„ д2 и	d2 и
+ 2 	cos 011 cos ft + 2cos «i cos 71 4- 2 -  cos ft cos 71.
dx ay	ax az	dy az
Аналогично вычисляем	Складывая полученные равенства, находим
d2u , d2u d2u 32u, 2	2	2 x
^+aiF+aiF = ^(cos “1+cos “2 + cos аз) +
d2 и,	2 л 2 л 2 л .	82 и t 2	2	2	.
+ —(cos ft + cos ft + cos ft) 4- —-J-(cos 71 + COS 72 + COS 73) +
ay*	az*
d2u
+ 2	(cos at cos 81 + cos аз cos ft + cos аз cosft) +
ax ay
•V* а-
$ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 143
д2и
+ 2-—x-(cos ai cos yi + cos аг cos 72 + cos аз cos 73) +
dx dz
д2и
+ 2— „ - (cos /31 cos 7i + cos fa cos 72 + cos fa cos 73).
dy dz
Отсюда, воспользовавшись свойством матрицы (3), получим равенство б). ►
79. Пусть и = и(х, у) — дифференцируемая функция и при у = х2 имеем u(z, z2) = 1 и
ди тт „ ди	,
— = z. Наити — при у = z .
дх	ду
Поскольку, по условию, u(z, z2) = 1, то отсюда, используя дифференцируемость функ-
ции и, получаем ^-u(z, х2) — 0, т. е.
ди(х, z2) fa(z, z2) 2i _ 0
дх	ду
тт	/.\	ди(х.	1
Но, по условию, —L = z, поэтому из (1) следует, что —L = - j. >
ОЛ тт	.	,	^2“	^2“ п
ои. Пусть функция и = u(z, у) удовлетворяет уравнению	= 0 и, кроме того,
следующим условиям: u(z, 2z) = z, ui(z, 2z) = z2. Найти uxx(x, 2z), u'xy(x, 2z), u"s(z, 2z).
◄ Дифференцируя обе части равенства u(z, 2х) = z по z:
u^(z, 2z) + 2uy(x, 2z) = 1
и пользуясь равенством ui(z, 2z) = z2, получаем z2 -I- 2u'y(x, 2z) = 1. Последнее равенство
снова дифференцируем по z:
2z + 2иух(х, 2х) +4иуу(х, 2х) — 0.
Отсюда, учитывая уравнение ихх = иуу и тождество иху = иух,
2ихх(х, 2z) + иху(х, 2z) = -z.
Далее, дифференцируя равенство ui(z, 2z) = z2 по z, имеем
ихх(х, 2х) + 2иху(х, 2х) = 2х.
Решая систему уравнений (1) и (2) относительно ихх, иху
находим
получаем
(1)
(1)
(2)
и учитывая, что ихх = иуу,
5х
т
и"х(х, 2х) = u"„(z, 2z) = -у, «"y(z, 2z)
dz
81.	Найти решение z = z(x, у) уравнения — = z2 + 2у, удовлетворяющее условию
ду
z(x, х2) = 1.
◄ Интегрируя уравнение по у, находим z(x, у) = х2у + у2 + >р(х), где р — пока неопре-
деленная функция. Для нахождения неизвестной функции <р используем условие z(x, х2) =
1 : z(x, х2) s х2х2 + xi + р(х) = 1. Отсюда ip(z) = —2z4 + 1. Таким образом, z(z, у) =
х2у + у2 — 2z4 +1. ►
82.	Найти решение z = z(x, у) уравнения = х + у, удовлетворяющее условиям
дх ду
z(x, 0) = z, z(0, у) = у2.
4 Имеем
dz(x, у) f.	,	z2
—= (x + y)dx + <ра(у) = — + ху + <ро(у),
о
V ,
[ / 2	\	j	2
*(*> у) = / (у + ху + vo(y) }	+ у- + ¥>(») + Ф(х),
О
144
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
у
где if (у) = f <fo(y)dy-
о
Используя условие z(x, 0) = x, находим z(x, 0) = ^(x) = x; следовательно, z(x, yj =
^ + ^ + ¥>« + s-
Далее, из условия г(0, у) = у2 следует z(0, у) = <p(t/) = у2. Таким образом, окончательно
имеем z(x, у) = х + у2 + х. ►
д2г
83. Найти решение z = z(x, у} уравнения = 2, удовлетворяющее условиям z(z, 0) =
ду*
1, ^(г, 0) = х.
4 Аналогично предыдущему а'1 = 2у + <р(т), z(z, у) - у2 + yf(x) + 1р(х).
Принимая во внимание, что z{x, 0) = ф(х) = 1, z'y(x, 0) = <p(i) = х, окончательно находим
z(®, У) = У2 + ХУ + 1- ►
Найти производную следующих отображений fog:
. , ( у7х2 + У2\
д-{х,У)^ \ .У , если
I arctg - /
\ х /
i = rcos<p, y = rsin^, (г, р) € D,
84. /: (г, (?)
(1)
4 По формуле дифференцирования сложного отображения находим
У
X
х3 + у2
(fogY^f-g'^™''’ ~rsi^)
и и' j a \sin<p Г cosip/ I   i—
\	12+«2
Поскольку х2 4-у2 = г2, то из (1) и (2) получаем
(х cos if . ry sin у
^12+я2 + *2+“2
х sin у	rycos у
у/х3 + у3 ~ *2 + У2
у cos if	rx sin у
+	X2 + »2
у sin <f , rx cos y
Л2 + Я2 + x2 + y2
(2)
1 О
О 1
(Г COS <р
rsin^
z
Jx2 + у2 \
arctg > если
г x /
x = r cos f, у t= r sin f, z — z, (r,if,z)&D,
(1)
4 Имеем
cosy
sin if
О
—г sin if
Т 003 if
О
Vi2+«2
У
®2+»2
0
/i’+и2
X
*2+v2
0
/ x CQS i r& s*a У у cos у rx sin <f
у/х3-^ + *2+y2 yfx3+y3 ~ *2+»2
ж sin <f _ ry cos у у sin if гж cos if
y/x"+y3	®3+»2	+ *4 + l/2
\	0	0
О
о
1
О
о
1
О
о
1
Учитывая равенства (1), окончательно находим
/1
(fog)' = о
\o
о
1
о
о
о
1
$ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 145
86. Пусть
/	\А2 + У2 + z2 \
/ г cos <р sin 9 \	.у
д : (г, р, в) I г sin psinfl I , f: (xy, z) н+	° x	,
\ r cos 9 /	arccos — Z —
\ x/r’+yM-z2 /
(r, p, 9) g D, D = {(r, p, 9): 0 < a г Я, 0 p 2ir - fl,	0 < fl < 2t},
i = rcospsinfl, у = sin p sin fl, z = rcosfl.	(1)
Найти (fog)' и (g о f)'.
Ч По формуле дифференцирования сложного отображения, находим
(fogV = / д' =
V		У •\/za+s/2+z2		Д •a/x2+i/24-z2	/cos p sin fl	—rsin ipsin fl	rCOS Pcos fl
=	x2 + s2	*а+в2	0	1 sin p sin fl	r cos p sin fl	т sin p cos fl
	xz	yz	\/l2 + s2	\ cos fl	0	-rsin fl
\2"+У2 (а?2+!/2 + г2) у/х2+ у 2 (® 2 + у *+z2)	я2+у2+г2 /
Умножив матрицы и подставив вместо х,у и z их значения из (1), получим
/1 0 О А
(fog)' = 0 1 0 .
\0 ° 1/
Аналогично находим, что
/1 0 О А
(уо/)' = О 1 О . ►
\° 0 1/
87. Найти F', если F = (f о до h)(s, t, u),
, , ч I Vх2 + У2 |	/ ч f г cos р\	,	(	,	ч	/	st и	А
f  (х, у) н	у , д : (г, у) *-+		, h : (s, t, и) >->	2 , ,2 , 2 ,
I arctg - I	\	г	sin	<р/	'	’	+1 +«	/	’
\ x /
x = rcosp, y = rsiap, r = stu, <p = s2 4-12 + и2.
◄ Имеем
F'=f-g'h'.
В силу ассоциативности произведения матриц, справедливо равенство
F' = (f-g')-h'.
А поскольку
(*	V \
у/х2+у2	у/х2+у2 ] (cos р — г sin р А _ /1 0 А /_/<« SU st
—Ji—г	-Л ч / V sin р rcosw/~\0 1/’	— V 2s 2t 2u
»a+s2	*a+«2 /
TO
-j _ /1	OA/tu	su	st\ _ (tu	su	st A
VO	1/V2s	2t	2»J V2s	2t	2u/’>
Упражнения для самостоятельной работы
Найти частные производные следующих функций:
17. f (х, у) =	18. f(x, у, z) = ln(xy2z3). 19. f(x, у) = x*y + 2s2y2 + xy3 + x - y.
20- f(x, У) = x^i- 21- /(®> 9) = ;• 22. f(x, у) = (2x2y2 - x + l)3.
23. f(x, y) = arctg 24. f(x, у) = у/х2 + у2 - т + 1. 25. f(x, y, z) = \/x2 + y2 +z2.
146
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
26.	f(x, у) = 2* *. 27. f(x, у) = ln(z3 4-sin ху). 28. f(x, у, z) = ln(z3 +2® 4- tg3z).
29.	/(z, у) = cos(2z 4- Зу +1). 30. /(z, у) = е"1’». 31. f(x, у) = (х 4- 1)2»+1.
32.	f(x, у) = arctg —33. f(x, у) = 2 s . 34. f(x, у) = ln(e* 4-2e®).
35.	f(x, y) = arctg 36. f(x, y) = xy - + |.
37.	f(x, y, z) = x2 4-y2 + z2 + xy + xz + yz + xyz. 38. f(x, y, z) = (zy)2.
39.	f(x,y, z) = z*®.40. f{x, y, z) = arctgx 4- arctgу + arctgz.
Найти дифференциалы следующих функций:
41.	/(г,	у)	=	sin(z2 4-у2). 42. /(z, у) = arccos (zy). 43.	/(z, у)	= lntg^.
44.	f(z,	у)	=	arctg (z2 + у2). 45. /(z, у, z) = ln(z 4- у - z).	46.	f(x, у) = z®.
47. f(z,	у)	=	cos(zy). 48. _f(z, y) = z3 4-y3 - xy.
49. f(z,	y)	=	e~xy. 50. f(z, y, z) = z3y 4- y3z 4- z3y.
Непосредственным вычислением производных проверить теорему Эйлера об однородных
функциях:
51. f(x, у, z) = (z2 +у2 +z2)2 ln|. 52. f(z, у, z) =	. 53. f(z, у, z) = sin /Ц*1 2-
У	x	yx2+s/2 + z2
54., /(z, y, z) =	55, f(x’ = V^2 + 02 + z2- 561 f(x’ = arct8 v-
Найти частные производные первого и второго порядков в следующих примерах:
57. f(z,y) = |1п(т2 4-у2). 58. f(z, у) = arctg .
59.	f (z, у) = zsin(z 4- у) 4- у cos(z 4- у). 60. J(z, у, z) = \/z2 4- у2 4- z2.
Найти производные первых двух порядков от функций:
61.	а = ¥>($, у), £ = z 4- У, У = х - у. 62. и = у>({, у), ( = х2 4- у2 4- z2, у = xyz.
63.	а =<р($, у), $ = р у = *.
64.	Показать, что если х2 = у£, у2 = (f, z2 = (у, то x^ + y^ + za-± +	+
65.	Полагая х = arcosa <р, у = brsina у>, найти якобиан
дх дх
дг 6<р
ду ду •
дг д<р
66.	Полагая z = ar cos'1 y?sina 8, у = brsin“ <^sin“ в, z = ст cos0 в, найти якобиан
дх дх дх
дт д^р дв
T>(x,y,z) ду ду ду
^(г> р) ~
dz	dz	dz
dr	д<р	дв
67.	Полагая z = £у(, у = £у — z = у — £у, найти якобиан	
68.	Доказать, что если х = cosp, у = sin cos в, z = sin <р sin в cos ф, то якобиан равен
-sin3 ^sin2 8sin ф.
U2 =	а3 = -7^=, где т2 = х2 4- у2 4- z2,
Vi-r2 у1-’-3 yi-r2
69. Доказать, что при aj
справедливо равенство
P(U1, U2> цз) _	2\ — Z
70.	Проверить, что = “2|^г, если а = ^e~4«2t.
71.	Проверить, что х~ 4- y|j 4- z^ = 0, если а = |
Вычислить выражения:
72-	~	+ is? если “ = ^(х 4- у).
73-	О С? -	- если и = V>(xy).
§ 3. Неявные функции
147
Проверить следующие равенства:
74.	+	+ г£) “ = °’ *= \/х2 +у2 + Z2.
75-	!7 + ^ + l7 = 7bh’“ = ln(l3+^3 + z3-3^)-
76-	+	=	=	+ У2)- 77.  0 - 0 - 2а^ = а2и, и = е~ах<р(х - у).
78.	0 ” 0 = —29?", u = <?(у - z) - х<р'(у - z).
79.	(г2 ~У2)^ + ху^ = xyz, z = ev<p ^г/е2»2^. 80. 0 + 0 = 0, и = 1п(т2 + у2).
81-	12Цт + 2гу^+у20=О,,если и = х<р(у~).
82.	i20 +	+ У21&= п(п - !)“- Г«е “ =	(!) + г1”> (!)•
83.	~ 2 £7^ + 0 = °> если “ =	+ у) + У<КХ + У)-
84.	Д2 ^“0 ~ (|?) ) = ^“0 - (lj) . где u = <р(ау + Ьх)ф(Ьх - ау):
ог ди d2U ди d2U	£/	.	( \\ оо д2 In Z A	^/(l)V>/(y)
85.	-х- а а	= -х- т-о,	если и — f(x 4- pit/)).	86. -z— я--	= 2z,	z = , , \i./\<2.
dx dx dy dy dx2 ’	/ \	1 y\v/I	dx dy ’
§ 3.	Неявные функции
3.1.	Принцип неподвижной точки.
Пусть X — метрическое пространство.
Определение 1. Оператор (отображение) А : X —. X называется сжимающим, если
30 g [О, 1[Л Vi, у g X : р(Ах, Ау) 0р(х, у).
Из определения следует, что оператор А удовлетворяет условию Липшица и, следователь-
но, равномерно непрерывен.
Определение 2. Точка х € А называется неподвижной точкой оператора А, если
Ах - х т. е. если она является решением операторного уравнения Ах = х.
Теорема, (Каччиополли—Пикара—Банаха). Всякий сжимающий оператор А, отобра-
жающий полное метрическое пространство X в себя, имеет в этом пространстве един-
ственную неподвижную точку.
3.2.	Определение неявной функции.
Пусть задано отображение f : X х Y —> Z, где X С Rm, К С R", Z С R”, причем
множество Z содержит нулевой элемент пространства Rn.
Рассмотрим уравнение
Л«> у) = °-	(!)
Если существуют непустые множества Е С X и F С Y такие, что Vi € Е уравнение (1)
имеет единственное решение у g F, то можно определить отображение <р : Е —> F, поставив
в соответствие каждому х g Е то значение у = <р(х), у g F, которое при этом х является
решением уравнения (1). В этом случае уравнение (1) определяет <р как неявное отображение
Е —* F : х и-* <р(х), которое называется неявным отображением (при п = 1 — функцией),
определяемым уравнением (1).
3.3.	Теоремы о неявной функции.
Пусть задано уравнение
/(ц, 12, ... , ®т, у) = О,	(1)
которое запишем в виде f(x, у) = 0.
Здесь х = (ц, х2, ... , zm), х g S (х0, а), хо = (х°, х2, ... , х^), У 6 S(y0, Ъ), S(ya, Ь) =
]уо — Ь, уо + Ь[. Обозначим D = S(xo, а) х S(yo, i)-
148
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Теорема 1. Пусть функция f : D -* R удовлетворяет следующим условиям: 1) / не-
прерывная в D и f(xo, уо) = 0; 2) в D существует частная производная f*, непрерывная в
точке (хо, Уо); 3) Д(х0, Уо) £ 0.
Тогда 36 Е]0, а[Л Зе €]0, 6[ такие, что уравнение (1) определяет единственную функцию
у : S(xo, 6) -> 8{уо, е),	(2)
непрерывную в шаре S(xo, 6), и такую, что у(хо) = уо-
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и в области S(xo, 6) х S(yo, е) С
RTn+1 существуют непрерывные производные fx., j = 1, т, fy, причем fy / 0. Тогда неявная
функция у : S(xo, 6) —► S(yo, е), определенная уравнением (1), дифференцируема в каждой
точке шара S(xo, 6), а ее частные производные вычисляются по формулам
, fx(xt у) ______________
у’х.(х) = --^ j = 1, т.	(3)
Л ’	fL(*,y)’
Пусть задана система уравнений
Д(®1, Х2,  , Хт, У1, У2, • • • , Уп) = 0, i = 1, П,
которую запишем в виде одного векторного уравнения
f(x, У) = 0.	(4)
Здесь х = (ц, Х2, ... , хт), х € S(x0, а), х0 = (г?, х°, ... , Х°т), У = («/1, У2, ... , Уп), у 6
s (у0, Ъ), Уо = (У?> У°, ••  , Уп)- Обозначим D = S(x0, а) х S(y0, Ъ).
Теорема 3. Пусть отображение f:D—>№n удовлетворяет следующим условиям: 1) f
непрерывное в D отображение и Дхо, Уо) = 0; 2) в D существует частная производная
/&(*о>Уо) ^(^<Уо)	^(*0, Уо)\
fy(x,y)=		,
\%£ЫУо)	Уо)	Уо)/
непрерывная в точке (хо, у0);
3)	det fy(x0, yQ) =	/ 0 в точке (хо, у0).
Тогда 36 g]0, а[Л Зе €]0, 6[ такие, что уравнение (4) определяет единственное отобра-
жение
у : 5(х0, 6) -► 5(у0, е),
непрерывное в замкнутом шаре S(xo, 6), и такое, что у(хо) = у0.
Теорема 4. Если выполнены все условия теоремы 3 и в области D существуют не-
прерывные частные производные fx, f , а матрица fy(x, у) обратима в этой области, то
отображение у : 8(хо, 6) —► S(y0, е) дифференцируемо в каждой то.чке х € 5(хо, 6) и при
этом
У'(х) =	У))"1/^ У)-	(5)
3.4.	Обратное отображение.
Пусть задано отображение f: X —> У, где X С R", У С Rn.
Если для каждого у € У уравнение Дх) = у имеет единственное решение х € X, то на
множестве У можно определить отображение Д'1 : У —» X, поставив в соответствие каждому
у € У то значение х € X, которое при этом у является решением уравнения Дх) = у. Так
определенное отображение называется обратным по отношению к отображению /.
Ясно, что отображение f является обратным отображению f~l, поэтому отображения f
и называются взаимно обратными.
Из данного выше определения следует, что
Ar‘(»))s» v»er.
$ 3. Неявные функции
149
Теорема. Пусть отображение f : X —< У удовлетворяет следующим условиям: 1) f
непрерывно в X и у0 = Дхо), Хо € X, j/0 6 У; 2) в области X существует производная f,
непрерывная в точке Хо, причем матрица
/(хо) =
(2)
\!£(*о) ^7(”о) •••
невырождена, т.е. det /(хо) =	(so) / О-
Тогда 3S(xo, е) С X Л 3S(j/0, S) С У такие, что для сужения отображения f на шар
5(хо, е) существует единственное непрерывное отображение f"1 : S(yQ, 5) —> 5(хо, е), при-
нимающее значение хо при у = у0, т.е. f~1(y0) = Хо-
Это отображение дифференцируемо в точке у0, и его производная в этой точке вычисля-
ется по формуле
(Г1)'(2/о) = (Г(«о))~1.	(3)
Для якобианов из формулы (3) получаем равенство
Р(У1, У2, . • . , Уп) [У0>	Л, ,/,.), .
Т>(Х1, Х2, ...,ХпГ 0>
(4)
При формулировке большинства задач этого параграфа предполагается, что выполнены
условия, обеспечивающие существование неявных функций и их соответствующих производ-
ных.
88.	Показать, что функция Дирихле
{1, если х
О, если х
рационально,
иррационально,
разрывная в каждой точке, удовлетворяет уравнению у2 — у = 0.
◄ В рациональных точках значение функции у и ее квадрата у2 равно единице. Поэтому
в этих точках выполняется равенство у2 — у = 0. Если х иррационально, то у = 0, у2 = 0, и
мы снова убеждаемся в справедливости равенства у2 — у = 0.
Таким образом, при всех действительных значениях х функция Дирихле удовлетворяет
уравнению у2 — у = 0. ►
89.	Пусть функция f определена на интервале ]а, 6[. В каком случае уравнение
/(*)» = 0
(1)
имеет при а < х < Ъ единственное непрерывное решение у = 0?
Ч Очевидно, у = О, а < х < Ъ, является непрерывным решением уравнения (1) при
любой функции /, определенной на интервале ]а, 6[. Пусть у = у(х), а < х < Ъ, — другая
непрерывная функция, являющаяся решением уравнения (1), и точка хо €]а, i[ такая, что
у(хо) 0. Из непрерывности у следует, что у(х) / 0 на некотором интервале ]а, d[c]a, Ь[,
содержащем точку хо- Тогда для выполнения равенства f(x)y(x) = 0 на интервале ]а, /3[
необходимо и достаточно, чтобы /(х) = 0 для всех х из интервала ]а, /?[с]а, 6[.
Таким образом, если множество нулей функции f не заполняет целиком никакой интервал
']«, /?[С]а, Ь[, т.е. нигде не плотно на ]а, Ь[, то у = 0 — единственное непрерывное решение
уравнения (1). ►
90.	Пусть функции fug определены и непрерывны в интервале ]а, Ь[. В каком случае
уравнение
f(x)y = ff(x)	(1)
имеет на кнт^мле ]а, Ь[ единственное непрерывное решение?
150 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
◄ Пусть уравнение (1) имеет два непрерывных решения у = у(х) и z = z(z), а < х < Ь,
т.е. пусть f(x)y(x) = д(х), /(r)z(x) = д(х). Отсюда следует, что jf(z)(y(z) - z(z)) = 0, а <
х < b.
Таким образом, решения у и z уравнения (1) совпадают, если однородное уравнение
f(x)y = 0 имеет единственное непрерывное решение у = 0, а < х < Ъ. Это, в свою очередь,
возможно лишь тогда, когда множество нулей функции / нигде не плотно на интервале ]а, 5[
(см. пример 89).
Если /(z)/0,a<z<6, то очевидно, у =	— единственное непрерывное решение
уравнения (1). Пусть f обращается в нуль в некотором нигде не плотном множестве точек
{О С]а, 5[. Тогда отношение | не определено на множестве {£}, а функция у = у является
решением уравнения (1) только на множестве точек интервала ]а, 6[, в которых /(г)	0.
Если потребовать, чтобы существовал конечный предел
Um	т
что возможно лишь в случае, когда j(£) = 0, £ € {£}, то функция
1 х = £ е {?}.
/(z)
будет единственным непрерывным решением уравнения (1).
Итак, уравнение (1) имеет единственное непрерывное решение, если: 1) множество точек
{$}, в которых f(f) = 0, нигде не плотно на ]а, Ь[; 2) д($) = 0, $ € {$}; 3) существует конечный
предел (2) для всех точек £ G {£}. ►
91.	Пусть дано уравнение
т2 + у2 = 1	(1)
и
г —> y(z), — 1 х 1,	(2)
— функция удовлетворяющая уравнению (1).
1)	Сколько функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
2)	Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
3)	Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1), если: а) у(0) = 1;
б) у(1) = 0?
< 1) Функций, удовлетворяющих уравнению (1), бесчисленное множество. Например,
если X/, = — 1 4-	(£ = 0, п; п = 2, 3, ...), то для любого п = 2, 3, ... функция
если
если
если
Х2к х < Z2&+1,
®2*+1 z < ®2*+2,
1 = 1,
Г V1 — х2,
У X < -V1 - х2,
I О,
где к = 0, п, удовлетворяет уравнению (1).
2) Если х — произвольное фиксированное число из сегмента [—1, 1], то уравнение (1)
допускает два решения:
у = \/1 — I2, у = — \/1 — X2.
Таким образом, можно определить две непрерывные функции у = т/1 — х2 чу = —\/1 — х2,
—1	х 1, удовлетворяющие уравнению (1).
3) Очевидно,, только одна из найденных в предыдущем пункте функций у = V1 — х2 удо-
влетворяет условию у(0) = 1. Условию б) удовлетворяют обе функции. ►
92.	Пусть дано уравнение
3	2
X 8S у'
(1)
5 3. Неявные функции
151
х ь+ у(х), —оо < х < +оо,	(2)
— функция, удовлетворяющая уравнению (1).
1)	Сколько функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
2)	Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
3)	Сколько дифференцируемых функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
4)	Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1), если: а) у(1) = 1; б)
9(0) = 0 ?
5)	Сколько непрерывных функций х >-> у(х), 1 -б<т<14-6, удовлетворяет уравнению
(1), если у(1) = 1 и 6 достаточно мало?
4 1) Покажем, что уравнению (1) удовлетворяет бесчисленное множество функций. За-
дадим произвольно множество {а}, элементами которого являются монотонно возрастающие
последовательности xai, ха2,  , хап,   такие, что lim хап = 4-оо при всех а.
П—*ОО
Для каждого а функция
ёсли
если
если
у : х w
X < Tai,
Ха2п—1	X Ха2П)
Ха2п X < Xa2n4-1,
где n € N, определена при всех х и удовлетворяет уравнению (1).
2)	Из уравнения (1) находим |у| = |х|, —оо < х < +оо. Отсюда, в свою очередь, получаем
у = — х, у = х, у = |т|, у = — |х|, — оо < х < 4-оо.	(3)
Эти четыре непрерывные функции удовлетворяют уравнению (1).
3)	Поскольку функции у = |т| и у = —|т| не имеют производной в точке х = 0, то
из четырех функций (3) только две у — х, у~= — х, х g R, являются дифференцируемыми
решениями уравнения (1).
4)	Непосредственной проверкой убеждаемся, что среди функций (3) только две у = х и
у = |т| удовлетворяют условию а) и все четыре функции удовлетворяют условию б).
5)	Поскольку непрерывные функции у = х и у = |х|, удовлетворяющие условию 3/(1) = 1,
тождественно равны в интервале ]1 — 6, 1 4- 6[, 0 < 6 < 1, то для всех х из этого интервала
только одна непрерывная функция у = х удовлетворяет уравнению (1). ►
93.	Уравнение
х2 4- у2 = х* 4- 94	(1)
определяет у как функцию от х. Для каких множеств точек числовой оси таких функций: 1)
одна, 2) две, 3) три, 4) четыре? Определить точки ветвления этой функции и ее непрерывные
ветви.
•Ч Из уравнения (1) находим
и х = 0.
(2)
Отсюда непосредственно следует:
1)	уравнение (1) ни при каких значениях х не определяет единственной функции (нет
общих точек, в которых совпадали бы все четыре значения у).
2)	Уравнение (1) определяет две функции, если
О < |х| < 1 и И = 1/—-—
3)	Если х = о или |z| = 1, то равенства (2) дают нам три значения у. Поэтому на
множестве {-1, о, 1} уриКеиие (1) определяет три функции.
152 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
4) Если 1 < |х| <
емся, что
то уравнение (1) определяет четыре функции. Из (2) убежда-
при е = ±1 являются непрерывными ветвями.
Точку (го, уо) называют точкой ветвления для уравнения F(x, у) = 0, если a) F(xo, Уо) =
0; б) не существует окрестности точки (го, уо), в которой бы данное уравнение удовлетво-
рялось единственной непрерывной функцией у = f(x) и такой, что уо = f(zo). Для нашего
случая (±1, 0),	—точки ветвления. ►
94.	Пусть функция х н+ /(г) непрерывна при а<г<6иуь* <^(у) монотонно возрастает
и непрерывна при с < у < d. В каком случае уравнение <р(у) = /(г) определяет функцию
у = р-1(Дг))? Рассмотреть примеры: a) sin у 4-shy = г; б) е~у — — sin2 г.
◄ Функция у = <^-1(/(г)) определяется следующим образом: для любого фиксирован-
ного значения х €]а, 6[, т.е. для фиксированного значения /(z), ставится в соответствие то
значение у, которое является решением уравнения р(у) = /(z).
Поскольку функция непрерывна и монотонно возрастает на интервале ]с, d[, то уравне-
ние <р(у) = А имеет единственное решение у = ¥>-1(Л), если число А принадлежит множеству
значений функции у, с < у < d.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение у = p-1(f(z)), если множества
значений функций у>, с < у < d, и /, а < х < Ь, имеют общие точки.
Рассмотрим примеры, a) sin у 4- shy = z. Здесь функция у ¥>(у), —ос < у < 4-оо,
непрерывна. Пользуясь формулой Тейлора, находим, что производная
, .	( у2 у4 \	( у2 у* \	( у4 у8
/(y) = cosy + chy= h-^ + ^-...) + h + L. + ^+..)=2h + ^ + |r+...
положительна. Следовательно, функция у >-* <р(у), —оо < у < -|-оо, монотонно возрастает.
Поскольку множества значений функций у>(у) = sin у 4- shy, —оо < у < +оо, и f(z) = z,
—оо < z < 4-оо, совпадают, то уравнение sin у 4-shy = z определяет единственную функцию
у = w(z), —оо < z < 4-оо, обращающую это уравнение в тождество.
б) е~у = — sin2z. В этом случае множеством значений функции у i-» <р(у), <р(у) = е~у,
-оо < у < 4-оо, является полубесконечный интервал ]0, 4-оо[, а множеством значений функ-
ции /(z) = — sin2 z, —оо < z < 4-oo, — сегмент [—1, 0]. Поскольку эти множества не имеют
общих точек, то уравнение e-s = — sin2 z не имеет решений. ►
95.	Пусть
х = » + ¥’(»),	(1)
где р(0) = 0 и |¥>z(y)| k < 1 при — а < у < а. Доказать, что при —е < z < е существу-
ет единственняя дифференцируемая функция у i-» у(х), удовлетворяющая уравнению (1), и
такая, что у(0) = 0.
◄ Из условия следует неравенство j" = 1 4- 4>'{v) > 0, —о < у < а, обеспечивающее
строгую монотонность непрерывной функции х = у4-р(у), —а < у < а. Пусть е = min{|z(—а+
0)|, |х(а-О)|}. Тогда, в силу строгой монотонности функции z = у+<р(у), каждому х €]—е, е[
соответствует только одно значение у €]—а, а[, для которого у4-<р(у) = х. Поэтому на ]—е, г[
существует функция у = y(z), обратная для функции х = у 4-¥>(у) и тоже строго монотонная.
А так как уравнение (1) при у = 0 имеет решение z = 0, то у(0) = 0.
$ 3. Неявные функции
153
Покажем, что функция у = у(х) дифференцируема. Пусть х0, хоН-Дх €] — е, е[ и Дх / О,
тогда уо, уо + Ду €] — а, а[, где уо — корень уравнения хо = у + ^(у), Ду /0 и Ду —► 0 при
Дх —► 0.
Поскольку существует предел
г Дг г Л , ¥’(Уо + Ду)~¥’(Уо)\
шп — = Inn 1 +	----—- = 1 + ¥> (уо),
Д»->о Ду as~o у	Ду У
то из тождества	убеждаемся в существовании производной -j^. Следовательно,
Ах
функция у = /(х) дифференцируема на ] — е, г[. ►
96.	Пусть х >—► у(х) — неявная функция, определяемая уравнением
х = ку + р(у),
где постоянная к / 0, у <р(у) — дифференцируемая периодическая функция с периодом
ш и такая, что |^'(у)| < Ш. Доказать, что у = - + V’(x), где ф — периодическая функция с
к
периодом |Л:|ол.
•е Отображение А, определяемое равенством Ау —	преобразует множество
С] - оо, +оо[ в себя. Покажем, что это отображение сжимающее. Действительно, для любых
функций у и z из С] — оо, +оо[, пользуясь теоремой Лагранжа, получаем
р{Ау, Az) = max |Ay — Az\ = max
— оо<я< + оо	—Ф0<®<+00
у(х) ~ у(у)
т,у	max
ШФл	. .	Шал
к
max ЦЖу-г!<$
Э<х<+оо |Л|
|у - z| = max Щр/>(0. х),
— оо<х<+оо |л|
где $ находится между у и z. Так как |¥>,(0)| < то 0 < 0 = max < 1- Следовательно,
р(Ау, Az) Ор(у, z), и сжимаемость отображения А доказана.
Таким образом, согласно теореме п.3.1, существует единственная функция у € С]—оо, 4-оо[,
удовлетворяющая уравнению у = Ау, т. е. уравнению (1). Эта функция является пределом
последовательности
У1~к к ’ Уп~ к к (п~2, 3, ...).
Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем у = | + ф(х), где
^>(х) = -т lim р(уп-1(х)).
Л п—»оо
Покажем, что функции х н* ¥>(0n-i(x)) (п = 2, 3, ...) периодические по переменной х
с периодом |fc|w. Для доказательства применим метод математической индукции. При п =
2 функция х >-► ^(yi(x)) периодическая по х с периодом |fc|w. Действительно, согласно
условию, <р(х ± w) — ip(y), поэтому
¥>(01(® + |k|w)) = ¥> ( Х--^Ш -	= ¥>(»1(х) + wsgni) = ¥>(01 (х)).
\ К	К j
Далее, предполагая, что функция х >-► ¥>(0n-i(x)) имеет период |Jt|co, получаем равенство
¥>(0п(х + |i|w)) = ¥> f—- l(p(yn_i(s + |Лг|о>))') =
у. К К	J
= V - |¥>(0»-1(®)) + wsgn i) = ¥>(0n(x) + wsgn к) = ¥>(yn(x)),
из котором» следует, что |kjw — период функции в ►* ¥>(уп(х)) ио переменной х.
154
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Предельная функция х i-> Ф(х) также периодическая с периодом |i|w. Чтобы убедиться
в этом, достаточно в очевидном равенстве
^(х +
перейти к пределу при п —► оо. Поскольку каждое из слагаемых равномерно стремится к
нулю, то в пределе получаем равенство ф(х + |fc|w) — ф(х) = 0, доказывающее периодичность
функции ф. ►
97.	Показать, что при 1 + ху = к(х — у), где к — постоянная величина, имеет место
равенство
dx _ dy
1 + х2-1+уЗ-
4 Поскольку х / у, то k — Дифференцируя это равенство, получаем
_ (х - у)(х dy + ydx)-(l + xy)(dx - dy)
~	(х - у)2
Отсюда следует соотношение (1 + x2)dy — (1 + у2) dx = 0, равносильное равенству (1). ►
98.	Доказать, что если
х2у2+х2+у2-1=0,	(1)
то при ху > 0 справедливо равенство
Т+-/=Ц = 0.	(2)
 V1 - У
◄ Дифференцируя равенство (1), получаем 2ху2 dx + 2х2у dy + 2х dx + 2у dy = 0. Отсюда
находим
х(1 + у2) dx + у(1 + х2) dy = 0.
Из равенства (1) следует
2	1 - У2 2	1 - X2	/1 - У2 , /1 -X2
1 + у2 1 + х2 у 1 + у2 у 1 + г2
(3)
(4)
Если х п у одного знака, т. е. если ху > 0, то, заменяя в равенстве (3) х и у их значениями
(4), получаем
у 1 + ^1 + dx + у "	(1 + х2) dy = 0, 0 - у* dx + \/l-x*dy = 0.
Отсюда непосредственно следует равенство (2). ►
99.	Доказать, что уравнение
(х2 + у2)2~а2(х2-у2), а * 0,	(1)
в окрестности точки (х, у) = (0, 0) определяет две дифференцируемые функции у = yi{x) и
У = У2<х). Найти у!(0) и уг(О)-
◄ Для достаточно малого е > 0 и любого фиксированного х €] — е, е[ из уравнения (1)
находим два значения: у = <р(х) и у — — р(х), где
4>(х) = \/\ 2а2х2 + —— х2 — —.
у у 4	2
Так определенная функция х >-► у>(х) непрерывна на ] - е, е[ и
определить четыре непрерывные функции:
, . J у(х), если 0 < х < е, , ч f —<₽(х),
я(х) — 1	если —е < х < 0:	— 1	и(х).
¥>(0) = 0. Поэтому можно
если 0 х < е,
если — е < х < 0;
jfe(x)» ¥>(«)> —в < х < е; у<(х) = —у(х), —е < х < в,
§ 3. Неявные функции
155
удовлетворяющие уравнению (1).
Исследуем на дифференцируемость эти функции при х = 0. С этой целью вычислим
¥>'_(0). Имеем
^_(0) = ы	= шп ’ а/Хдх’ + ^-Дх2-^
дх—-о	Дх	Дх—-о Дх у у	4	2
^2а2Дх2 + у- ~ Дя4 - Дя2а2 - у
lim
Дх—-О
Дхг/^/г^Дх2 +	+ Дх2 + у
|Дг |Va2 - Дг2
= lim ..............  —
Дх——о	I t	—
&xd yj 2a2 Дг2 + у + Дг2 + у
Аналогично находим 44(0) = lim 2122 = 1. Отсюда сразу следует, что функции уз
Дх—4-0
и J/4 не имеют производной при х = 0. Поскольку yl—(0) = —^'_(0) = 1, у(+ (0) = ¥ч(0) = 1,
то функция yi имеет производную при х = 0, равную единице. Аналогично из равенств
3/2-(0) = ¥='_(0) = -1, У2+(0) = -<Р+(0) = -1 следует дифференцируемость функции уг при
т = 0, причем 3/2(0) = —1. ►
100. Найти у' при 1 = 0 и з/ = 0, если
( 2 .	2x2 л 2	3
(г + у ) = Зх у - у .
(1)
< Представим кривую, определяемую уравнением (1), в параметрическом виде. С этой
целью положим у = tx. Тогда из уравнения (1) найдем х =	 Подставив найденное
значение х в равенство у = tx, получим у = jyyy  Заметим, что х = 0 и у = 0 при трех
значениях параметра t : ti = 0, <2 = у/З, <з = —\/3. Остается вычислить производную от
параметрически заданной функции при этих значениях параметра, т. е. при х = 0. Имеем
dy _ (1 + ?)(6t - 4t3) - 4t(3<2 - ?)
dx “ (1 + t2)(3 - 3i2) - 4t(3t - t3) '
Отсюда при t = 0, t = у/з и t = —у/З находим
3/1(0) = 0, з/2(Тз) = у/з, у!(-7з) = -у/3. ►
101.	Найти у', у" и у'", если х2 4- ху 4- у2 = 3.
◄ Пользуясь формулой = — yf-, получаем
d2y _ (х 4- 2у)(2 4- у') - (2х + у)(1 4- 2у') _	18
dx2	(х 4- 2у)2	(х 4- 2з/)3 ’ Х У'
d3y 54 м , „	162х	, л _
dx3 “ (1 4-2у)4 1 + 2»)~ (г4-2у)5’ ** 2у
102.	Найти у1, у" и у'" при х = 0, у = 1, если
х2 — ху 4-2у2 4-х — у — 1 = 0.	(1)
•< Трижды дифференцируя равенство (1):
2х - у - ху' 4- 4уу' 4-1 - у' = 0,
2 — 2у' — ху" 4- 4У*2 4- 4уу" — у" = 0,
-Зу" - ху"' + 12з>'з/" 4- 4уу"' - у" = 0
156 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
и подставляя в результаты значения х = 0 и у = 1, получаем систему уравнений Зу' — О,
2 + Зу" = 0, 2 + Зу'" = 0, из которой находим у' = 0, у" =	у'" = —	►
103.	Доказать, что для кривой второго порядка
ах2 + 2Ъху + су2 + 2 dx + 2еу + / = О
8F
dz _ ду
ду=~%'
dz xz
справедливо равенство
J3 /	,2\
4 Из уравнения кривой получаем
у = - {—(Ьх + е) ± 1/(b2 — ас)х2 + 2(Ье — cd)x + е2 - с/^ .
Находим вторую производную:
(b2 — ас)х + (be - cd)
\/(b2 — ас)х2 + 2(Ье — cd)x + е2 — cf
" _ _j_ 1	(Ь2 - ас)(е2 - cf) - (be - cd)2
c ((b2 — ac)x2 4- 2(be — cd)x + e2 — c/)3
Отсюда получаем равенство
_2
(y")-l = T—~& ~-(be ~ cdl23 ((j2 _ ac)x2 + 2(be - cd)x + e2 - cf),
из которого следует равенств? (1). ►
Для функции z = z(x, у) найти частные производные первого и второго порядков, если:
104. z3 — 3zyz = а3.
◄ Частные производные функции z, определяемой уравнением Г(х, у, z) = 0, находим
по формулам
я 2Z
— -
дх ~ °?’
дг
Для нашего случая имеем
Эя _ _ -3yz _ yz______________________
дх 3z2 — Зху z2—ху’ ду z2 — ху’ 2
Учитывая, что z — z(x, у), находим вторые производные:
a2z = (z3~xy)yS±-yz (?z~~ — y) =	_ 2xy3z
дх2	(z2 — ху)2	(z2 — ху)2	(z2 — ху)3 ’
a2z 2yx3z g2z (?-ду) (г + ^)-Уг(2г^-д) _
ду2 (z2 — ху)3 дх ду	(г2 - ху)2	"
+	z(z<-2z2xv-xV) ,
\	*	*¥ /	$>У у	ля <ьу *> у j Д у
"	(z2 - ху)2	~	(z2 - ху)3 ’ г *У'
105.	Z= v/X2 — У2 tg - '_Xjs=s
$ 3. Неявные функции
157
Ч Аналогично предыдущему имеем
Из условия следует, что
2
Z	Z	Z „
tg —Т.-'.- =' =	COS	—.   = —---------- + 1.
у/X2 — у2	у/х2 — у2	у/х2 — у2 х ~ У
Используя эти равенства, получаем
-	*	, г 4- XZ (	4- 1
dz	у/х2—у2 -/х2—у2	(*2~К2) ^х2-»2	) XZ	2 I ‘
Тх =--------------------ZZZZ-------------------= х /у
Х2—У2
Таким же способом находим	т2 У2 
ох	* v
Находим вторые производные, используя найденные первые производные:
d2z _ (х2 - у2) (z + х||) - xz • 2х _ С*2 “ У2) (* +	~ 2zl2 _ y2z
дх2 ~	(х2 —~ у2)2	- — (хг _ у2J2	- “(j.2 _ у2)2-
d2z = (х2-у2)х^-хг(-2у) _ (х2 -y^x^s+lxyz _ xyz 2
дхду	(х2 — у2)2	(х2 — у2)2	(х2 — у2)2’
d2z _ (х2 - J»2) (z -	-Н-2») _	г22	2	2
ду2 ~	(х2-у2)2	“ (х2 -у2)2’ Х ^У
Найти dz и d2z, если:
106.	- =1п - + 1.
z У
◄ Считая, что г = z(x, у), в результате дифференцирования получаем
z dx — х dz  у ydz—zdy
z2 z у2
yz dx — xydz — yz dz 4- z2 dy = 0.
Отсюда
z(y dx + z dy) ,
dz = -2x—.-----------г-2-1-, x / -z.
y(x + z) 
(1)
(2)
Дифференцируя равенство (1) и выполняя упрощения, находим
у(х + z) d2z = zdxdy + (zdy — xdy) dz — ydz2,
откуда на основании равенства (2) окончательно получаем
у2(х + z)3
107.	z — х = arctg —-—.
Z — X
Ч Дифференцируя, получаем
d(z — х) —
*+fe)2
(z - х) dy - у d(z - х)
(z-x)2
158
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
отсюда
((z - х)2 + у2 + у) d(z - х) = (z - х) dy,
(1)
ИЛИ
j j , (z-x)dy
dz = dx+ -—		-—.
(z - x)2 4- У2 4- У
Дифференцируя равенство (1):
((z - х)2 4- у2 4- у) d2(z - х) = -2((z - х) d(z - х) 4- у dy) d(z - х)
и подставляя в результат выражение для d(z — х), найденное из (1), получаем
л, _ И - А - 2(У + ^)(г-»)((г-х)24-у2) , 2
((z - Х)2 + у2 + у)3
(1)
d2z
108.	Найти „ я , если F(x 4- у + г, х2 4- у2 4- z2) = 0.
дх ду
Ч Последовательно дифференцируя данное равенство, находим
F[(dx + dy + dz) + Fz(2x dx 4- 2y dy +2zdz) = 0,
Fi" (dx + dy + dz)2 + 2F"i(dx + dy + dz)(2x dx + 2y dy 4- 2z dz) +
4- F[d2z 4- F2t(2xdx + 2ydy 4- 2zdz)2 4- 2Fl(dx2 4- dy2 4- dz2 4- zd2z) = 0,
где F[ — частная производная по первому аргументу, Fz — по второму. Найденное из первого
равенства выражение 2xdx +2ydy + 2zdz = —^4(dx 4- dy 4- dz) подставляем во второе. В
результате после преобразований имеем
2	2
(F{ 4- 2zF2) d2z = ~F1 ^-+2^'y?2-g..ZH.(rfz + dy + dz)* _ F'(dz^ + dx2 + dy2).
^2
Определив из равенства (1)
* (JFi 4" Зя/з) dx 4- (Fj 4- dy
dz=---------------------------------_____---------,
(2)
(3)
вычислим сумму
4- 2
Из равенств (2), (3) и (4) находим второй дифференциал:
л =	+	((г _ ху dx> + 2{г _ х)(г _,) dx dy + (z_ df) _
_ Г, (F{ + 2xF2')2 dx2 4- 2(F[ 4- 2xF{)(F{ 4- 2yF2') dx dy (Fi 4-2yF2)2 dy2 _
2	(Л'4-2гГ')3	(Л' + 2г^)3
- 2F[(dx2 4- dy2)(F{ + 2zF2')-’.
Половина коэффициента при dx dy равна . Следовательно,
32z _ 4(z — x)(z — у)p,, пР,Е,/1:,„ ,	2(F[ + 2xFl)(F[ + 2yFl)
d^ ~ " (F' + 2zF'r Fi2 ~ 2F1F2F12 + F2 F11)---------------(F'+2zF2T------F2'
F[ 4- 2zF2 # 0. ►
109. Найти d2z, если: a) F(x 4- z, у 4-z) = 0; 6) F f-, -'j = 0.
\Z 2)
◄ а) Последовательно дифференцируя, получаем
F{(dx 4-dz) 4-Fj(dy 4-dz) = 0,	(1)
Fj'Kdx 4- dz)2 4- 2F12(dx 4- dz)(dy 4- dz) 4- F»(dy 4- dz)2 4- (F'x 4- Fi) d2z » 0.	(2)
$ 3. Неявные функции
159
Из равенства (1) находим первый дифференциал:
F{ dz + F2' dy
и вычисляем суммы
dx + dz = dz —
Г/ dz + Fi dy Fi(dz-dy)
F/ + F' - F; + F'
dy + dz = dy -
F{ dx + F2 dy
F{ + Fi
F{(dx - dy)
F[ + Fi
Используя эти соотношения, из равенства (2) находим второй дифференциал:
d2z = -(F{ + Fi)-3 (^Fi'l - 2FWF& + F^) (dx - dy)2.
б) Имеем
F^-J±. + Fjzdy-^=b.	(3)
z	z
Умножая это равенство на z2 и еще раз дифференцируя, получаем
^dz-zdz)2 + 2f,„ (zdx-xdz)(zdy-ydz) + р„ (zdy-ydz)2 _ (xF, +	= 0 (4)
z*	z*	z
Из равенства (3) находим первый дифференциал:
, F/ dx + Fi dy
и вычисляем суммы
tydx-xdy	,ydx-xdy	. .
zdx-xdz = zF2-^—^, 2dy-ydz=-zF1-^,—.	(5)
Решая равенство (4) относительно d2z и используя равенства (5), находим второй дифферен-
циал:
А = (xF[ + уFi)-3 (f/f^ - 2F[FiF{'2 + F^F^) (y dx -xdy)2. ►
110.	Пусть x = x(y, z), у = y(x, z), z = z(x, y) — функции, определяемые уравнением
F(x, у, z) = 0. Доказать, что £ — = — 1.
ду dz дх
дх
◄ Предполагая, что х = х(у, z), из тождества F(x(y, z), у, z) = 0 находим = — jJr.
Поступая аналогично и в других случаях, получаем
ду=_К dz_ = _Fi
dz Fy ’ дх Fz
Из найденных соотношений вытекает равенство
—	(_F* \ —_ib.
ду дг дх ~ \ FL )\ FJJ \ FL J	k
111.	Найти и если
dz dz
z + y + z = 0, z2 + у2 + z2 = 1.
(1)
◄ Данная система определяет функции z = z(z) и у = у(г), производные которых нахо-
дятся по формуле (5), п.3.3. Дифференцируя равенства (1) по z, получаем систему
£ + £ + 1 = 0, 2я£ + 2у£ + 2z = 0,
dz dz	dz dz
из жояжоЛ находим = l=i, Л -	►
•ж af—j/' и	г ' 9
160
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
119 w “ dx dy d2
112. Наити —,	-ГТ, т4 при r = 1, у = -1, z = 2, если x 4-y = ~z , x + y + z = 2.
dz dz dz2 dz2	2
◄ Предполагая, что данная система определяет функции х = x(z) и у = y(z), дифферен-
цированием ее по 2 получаем
2.^+2,*-., ? + * = -!•
dz dz dz dz
Полагая в (1) х = 1, у = —1, z — 2, получаем систему
dz _ dy _ 1 dz dy________________________________1
dz dz ’ dz dz ’
и	dx Л du ч
из которой находим = 0,	= -1.
Для нахождения вторых производных продифференцируем равенства (1) по z:
2 = 1 ^ + ^ = о.
b dz2 + dz2
• и^ = — 1, получаем систему, решая
d2z	d2v
dz2	dz2
Полагая в этих равенствах х = 1, у = -1,
которую, находим
S = 0
dz
(1)
d2y
^=4'Г
113. Найти du, dv, d2u, d2v, если u + ti = z + у, у sinu — z sin ti = 0.
4 Дифференцируя данные равенства, получаем систему
du + dv = dx + dy, у cos и du — x cos v dv = sin v dv — sin и dy,	I
решая которую, находим
_ (z cos ti + sin ti) dz + (z cos u — sin u) dy _ (y cos и — sin ti) dx + (y cos и + sin u) dy
x cos v + у cos u	z cos v + у cos и
Для нахождения вторых дифференциалов продифференцируем систему (1). После про-
стых преобразований получим
у cos и d2u — z cos v d2v = (2 cos v dx — z sin v dv) dv + (y sin и du — 2 cos « dy) du, d2u + d2v = 0.
Отсюда
,2	,2	(2 cos v dx — x sin v dv) dv 4- (y sin и du — 2 cos и dy) du
у COS U 4- X COS V
u	tx
114. Найти du, dv, d2u, d2v при z = 1, у — 1, u = 0, v = т, если ex cos — = —ex sin - —
4	У y/2	У
У
у/г
4 Дифференцируя обе части данной системы, имеем
- v х du —udx - . v
ex cos — ------------------1-----ex sm — •
у X2	у
- . v xdu — udx - v
e x sm------r-----h e x cos - •
У x2	у
Полагая здесь z = y = l,u=s0, t»=^, получаем систему
из которой находим
d2x	1
dz2	4’
1
(1)
ydc — tidy _ dx
У2	~ y/2
ydv — vdy _ dy
У2	~ y/2
(1)
du — dv + — dy = dx, du + dv — — dy = dy,
4	4
du = i(d® + dy), dv	£ dy i(d® - dy).
л	x 2
(2)
$ 3. Неявные функции
161
Далее, дифференцируя равенства (1), получаем
~ v х3 d?u — 2(х du — и dx) dx - . v
ex cos -  —--------5—;----------------ex sin -
у	i	у
у3 d3v — 2(y dv - v dy) dy
з
a v
4- e x cos -
У
xdu — udx\3 fydv — vdy\2\ „ 2 . v xdu — udx
----5--- ~  ------5—51	- 2e 1 SU1	5-------
x2 )	1 y2 ) I	у x2
ydv-vdy _
У3
2 . i! x3 d3u — 2(x du — adx) dx 2 v y3 d3v — 2(y dv - v dy) dy
e x sm -   -----1—5-------------1- e x cos -  ----*—;-----------F
У	®	!/	Г
du — udx\3 fydv — v
x2 )	\ y2
2 . v I (x
+ e x sin — I I -
У I \
)2\
1	„ 2 v xdu — udx
+ 2e x cos -  ---z----
/	у	X2
ydv-vdy _
У3
Полагая в последних равенствах х = у = 1, u = 0, »=у, получаем систему
d3u — 2 du dx — d3v + 2dvdy dy3 + du2 — (dv — — dy) — 2 du (dv — — dy I = 0,
I	/	,		/	’ P)
d?u — 2 dudx + d3v — 2 dv dy + — dy3 + du3 — (dv — dy ) + 2du (dv — — dy ) = 0.
2	k	4	1	\	4	)
Из систем (2) и (3) находим d2a = dx2, d2v = j(dy — dx)2. ►
115. Пусть x = t 4-i~1, у = t3 +t~3, z = t3 4-i-3. Найти	5-7.
dx dx dx2 dx2
4 Система определяет две параметрически заданные функции:
Х = 1+«-1, X = t + t~1,
y = t3 + t~3 и Z = l3 + i-3.
Следовательно,
- 1. = 2t - 2t~3 - 2
dx
dt
1 -t-2
- = 4-
dx	^2
dt
12	A
d Z _
dx2
d^y
Ы' — =
’ dx2 __
dt
__5_=3(?+i+1),
= 2(1—121 = 2, t / ±1;
l-t-2
3t2 - 3t-4
</±i;
i/±l. ►
116. Пусть
Найти частные
u(x, у), v = v(x, у).
производные
X = p(u, v), у = tb(u, v).
первого и второго порядков от обратных функций и =
(1)
4 Дифференцируя равенства (1), получаем систему
, ду> dtp ,	. dib . dil> ,
= л du + a dy = du + dv,	(2)
du dv	du dv
из которой находим дифференциалы от обратных функций:
\ (dtb , dp , \	1	(dib ,	dp , \
da = 7 ( д-dx - dy)	,	dv =-у	I-^-dx	-	^-dy)	,	(3)
I \dv dv J	I	Xdu	du J
“ лГ  равенств (3) получаем
~ — 1 Эа 1 dp dv_ _ _ 1 d$	(л\
d*~ I dv' dy~~7 dv' dx~ 1 da’ d»~7 du'	w
162
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Дифференцируем систему (2):
ди ди ди1 ди ди ди2
dib ,2 dib ,2 d2ib , 2 „ d2ib , , d2ib , 2
0 = d2u + d2v + -т-7 du2 + 2 dude + -т-x- dv
du dv du2 ou dv ov2
и находим вторые дифференциалы от обратных функций:
,2 _ 1 / /dy d2ib _ dib d2p\ , 2 I dp d2i/>
U I \ \ dv du2 dv du2 /	\ dv dudv
dib d2p \ , ,
- Д- 5-5- dudv +
dv dudv 1
f dp (Pib dib 32y\ , 2
+ у dv dv2 dv dv2 J
dp d2ib \	,
' dudv +
,2 _ 1 (f d2p _ dp d2ib\ d 2	d2p____________
I x^Su du2 du du2) ^5u dudv du dudv
/dib d2p dp d2ib\ ^2
+ \ du dv2 du dv2 )
Подставляя в эти равенства выражения (3) для дифференциалов и собирая коэффициенты
при dx2, 2dxdy и dy2, получаем
d2u _ 1 / /'dip d2ib dib d2p
dx2	I3 \ \ dv du2	dv du2
dij> d2p
dv dudv
d2u
dx dy
1 //dib d2p dp d2ib\ dib &Ф	f &Ф
I3 I I dv du2	dv du2 J dv dv	\ dv du dv
_ 1 f f dp d2ib	dib d2y
dy2 I3 \ \ 3t> du2	dv du2
d2u
dib tfp
dp d2ib \ dib dib
dv dudvJ dv du +
dp d2ib dib d2y\ /д^\2\
dv dv2 dv dv2 ) \du) J ’
dib d2p \ /dib dp dib dy\
dv dudv) \dv du du dv )
f dib d2p dp d2ib\ dp dib\
+ dv dv2	dv dv2 ) du du) ’
dp d2ib \ dp dp
dv dudv dv dudv J du dv
. (dp d2ib dib d2y\
\ dv dv2 dv dv2 ) \du) )
и т.д. ►
117. Функция u = u(x) определяется системой уравнений
u = f(x, У> *)> »(®j У, 2) = 0, h(x, y, z) = 0.
TT „ du d2u
Наити -г- и 7—т-
dx dx2
4 Предполагая, что данная система определяет три дифференцируемые функции
u(z), у = у(х), z = z(x), дифференцируем систему по х:
du _ ЭУ ЭУ dy dy dz	+	_ dh dh dy dh dz
dx dx dy dx dz dx ’ dx dy dx dz dx ’ dx dy dx dz dx'
Из последних двух равенств находим производные
dy _ h dz _ h
dx h' dx ~ Ji'
и
(1)
•Ж Л »
(2)
§ 3. Неявные функция
163
V(f, g, h)
V(x, У, z)'
2
dh d2z
dx2
Используя (2), из первого равенства системы (1) получаем
du _ df , h 9f_,h	9’ = 1
dx ~ dx +h 9y +h dz h\1dx+2dy+3dzj hV(x,y,z) h ’
Для определения дифференцируем систему (1):
rf2u _ 92f 92f (dy\2 d2f Sdz\2	d2f	dy	d2f	dz	Э2 f	dy	dz	df d2y	df d2z
dx2 dx2 dy2 \dx) dz2 \dx)	dxdy	dx	dxdz	dx	dydz	dx	dx	dy dx2	dz dx2’
Q _ d2g d2g (^У\2 ,^9_ (dz\2 l	2 g2g	dy	dz	I	2 d29	dz	dg d2y	dg d2z
dx2 dy2	\dx)	dz2	\dx)	dxdy	dx	dxdz	dx	dydz	dx	dx	dy dx2	dz dx2’
_ d2h d2h	/ dy\2	d2h	/ dz\2	d2h	dy	d2h	dz	d2h	dy	dz	dh d2y	i..
dx2^ dy2	\dx)	dz2	\ dx)	dxdy	dx	dxdz	dx	dydz	dx	dx	dy dx2	dz
Использовав формулы (2), последние равенства перепишем в более компактном виде:
d2« _ i / э , . a 2.Y f Iд?d2y I d2z
dx2 I2 у 1 dx 2 dy 3 dz J	dy dx2 dz dx2 ’
dg d2y dg d2z _ _ 1 / d_	d_ Э\2 „
dy dx2 dz dx2 I2 у 1 dx 2 dy 3 dz J ’
dh d2y dh d2z   1_ f d_ Э A.Y A
dy dx2 dz dx2	/2 у 1 dx 2 dy 3 dz J
Из последних двух равенств находим производные
(3)
d2y	1 /	'^11		^‘4 dy	+'4'1 dz J	2	dh 1	9_	+ l2T dy
dx2	“A3 1	^dz '	^dx			1 h'd-z\	1 dx	
d2z dx2	1 "A3	\ 9y	у dx	+'4 dy	dz	\2„_^g_ /	9y	Y dx	+;4 dy
' d Y.
+ /3aJ h
, d V
+ /3ad 9
и вычисляем сумму
9Lfy,9f_f± =
dy dx2 dz dx2
df dg\ f d_ d_ d_\2
I у dy dz dz dy J у dx	2 dy	3 dz J
df_dh_df_dh
dz dy dy dz
. d э V
+l2d^+hd^j9
_ 1 ( W, g) (r 9 d , a Y, .	(r 9 .rd .J 9\2
Il I T>(y, z) V1 dx +12 dy+hdz J h+ V(y, z) Y1 dx +12 dy+l3dz) 9
(4)
Наконец, из равенств (3) и (4) окончательно получаем
<?«_ 1 (l)(g,h) ( д d ,r 9\\, V(h,f)
dx2 If I P(y, z) у 1 dx 2 dy 3 dz J	T>(y, z)
d r 9 \2
+ h-^~	) 9+
dy	dz)
W,s)
1>(y, z)
+/3ad h *
118.	Пусть i= /(u, v, w), у = g(u, v, w), z = А(и, ®, w). Найти ~ и
дх ду dz
164 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Ч Дифференцируя данные равенства, получаем систему
dx = f'u du + f' dv + f'wdw, dy=.g'udu + g'vdv + gwdw, dz = h'udu + h'vdv + h'wdw.
Отсюда вычисляем дифференциал
J 1 I1 fr I (V(g,h) ,	T>U,9) .
du ~	? fy fr ~	( D(», w) dx + P(», w) dy + D(v, w) dz) 
D(u,v,w)	**v	D(u,vtw) '
du /i du I2
Следовательно, = -j-,	— = -f, где
r _ P(/, g, h) = T){g, h) = V(h, f) = V(f, g)
V(u,v!w)’	1 P(v, w)’	2	T>(y, w)’	3	7>(t), w)
119.	Пусть функция z = z(x, у) удовлетворяет системе уравнений f(x, у, z, t) =
0, g(x, y, z, t) = 0, где t — переменный параметр. Найти dz.
Ч Имеем систему уравнений
f'x dx + fI, dy + fl dz 4- fl dt = 0, g'x dx + g'vdy + gl dz + g't dt = 0.
Отсюда
dz = ~HfL£.
t)
/i dx + dy fl
g'x dx + g'y dy g't
= - p(7^- ((/xg! ~ /t'gi) dx + (fyg't - flg'y) dy) =
-y(Ii dx + I2dy),
13
где j. =	j. =	r =	►
Де 1 P(x, t)’ 12	®(s/,t)’ 3	73 О 0
120.	Пусть и = f(z), где z — неявная функция от переменных х к у, определяемая
уравнением z = х + g<p(z). Доказать формулу Лагранжа
дуп дх^-1	’’ дх)
Ч Применим метод математической индукции. Для этого прежде всего покажем, что
формула Лагранжа справедлива при я — 1. Из уравнения z = х 4- у<р(г) находим
дг 1 дг _ ?(*)	(П
дх	ду	Vdz* Г
Используя эти формулы и равенство u = /(z), получаем
ди df дг =	ди _df dz = j;
ду dz ду 1	дх dz дх i _
9 dz	9 dz
Отсюда
Эи , .ди
d? = ^9J’	{2)
и мы убеждаемся в справедливости формулы Лагранжа при п = 1.
Остается доказать, что из справедливости формулы Лагранжа при некотором k > 1 вы-
текает справедливость ее при к + 1, т. е.
dfc+1u Э* Г, , ,,*+1^1
Э9ь+1 Qxk {(*»(*)) дх} •	(3)
Дифференцируя формулу Лагранжа при п = к, получаем
Э*+1и Э* (. .	а*"1 ( д t. , .4fc8ul\
as*+‘ дхк~гду dxf ~ as*-» (а» V*1^ dz}) ’
§ 3. Неявные функция
165
Используя равенство = p(z)|^, вытекающее из равенств (1), и формулу (2), преобразуем
выражение {Gp(*))*|j}- Имеем
д Г, ,	dz ди , , d2u
5j{(»W) Е} = ‘М*))*	+	=
,, ,	, .dz du . d (du\	. , ..kd<p dz du . . ..fc d ( . .du\
aTUj= W’” iSE+l’(‘>)s('(’ls) =
= + (,(.))* + ¥—) =
dz dx dx 44 " у 4 1 dx2 dz dx dx J
= {(I + >)(*))* g Й + wr § « {(«W
Отсюда и из равенства (4) непосредственно следует (3). ►
121.	Функция z = z(x, у) задана уравнением
Fix + zy~\ у + zz-1) = 0.
i+idal
дх ) '
(1)
гг	9z dz
Показать, что х-—|- у — = z — ху.
дх ду
◄ Дифференцируя равенство (1), получаем
F'(dx+yJl^\+F.
х dz — z dx
Г2
Отсюда
x(xF{ + yF2') y(xF[ + yF£)
Следовательно,
dz _ y{zF{ — x2F[) dz _ x(zF{ — y2F£)
dx ~ x(xF{ 4- yF£) ’ dy ~ y(xF{ + yF£) ’
Умножая первое равенство на х, второе на у и складывая их, убеждаемся, что
dz dz _ y(zFj - x2F{) + x(zF[ - y2F2') _ *F{(z - xy) + yFj(z - xy) _ _	.
X dx У dy	xF^+yFj	xF.' + yF?	Z ХУ’
xF{ + yFi
122.	Показать, что функция z = z(z, у), определяемая системой уравнений
. х cos а + у sin а + In z = /(a), — х sin а + у cos а = /'(а),
где а = a(z, у) — переменный параметр и f — произвольная дифференцируемая функция,
удовлетворяет уравнению
(dz\2 ( dz\ 2
\Эх/ \dy/
4 Дифференцируя первое равенство системы, получаем cos adz + sinady + (—zsina +
у cos a — f'(a)) da +	= 0. В силу второго равенства системы, коэффициент при da равен
нулю. Поэтому dz = —z cos adx — zaaady. Отсюда
dz	dz .	(dz\2 (dz\2	22,2-2	2
•5— = —zcosa, — = — zsina,	+ t~ = г cos a + z sm a = z . ►
dx	ду	\дх/ \J)y j
123.	Показать, что функция z = z(z, у), заданная системой уравнений
(z - /(а))2 = z2(y2 - а2), (z - /(а))/'(а) = ах2,
166 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
где а = а(х, у) — переменный параметр и /(а) — произвольная дифференцируемая функция,
дх dz
удовлетворяет уравнению —- — = ху.
дх ду
4 Дифференцируя первое равенство системы, получаем
2(z — f(a))(dz — f'(a)da) = 2х(у2 — a2) dx 4- 2x2(ydy — a da).
В силу второго равенства, коэффициент при da равен нулю, а в силу первого равенства,
у2 — а2 = “т (г - /(а))2. Пользуясь этим, получаем
J Ъ X/ 'AJ . x2ydv дх z-f(a) dz х2у	,, .
dz= -(z- f(a))dx +-----77-;, — =------z/f(a).
x	z — f(a) dx x dy z — f(a)
л	&z dz z—j(a) *2y	.
Отсюда вытекает, что 575^ = —~	= ХУ- *
Упражнения для самостоятельной работы
87.	х2 + 2ху 4- у2 — 4х 4- 2у — 2 = 0. Найти у1" при х — 1, у = 1.
88.	х + у = ех~у. Найти у".
89.	(х2 + у2 — Ъх)2 = а2(х2 + у2). Найти у' при х = 0, у = 0.
90.	х3 + у3 — Зху = 0. Найти у' при х = 0, у = 0.
91.	Даны уравнения х2 — у2 + z2 = 1, у2 — 2х + z = 0. Найти у' и z" при х = 1, у = 1,
z = 1.
92.	Из системы
3.3,3	3	2,2,2	>2
х 4-у +z = а , X +у +z = b
найти у' и z'.
93.	Из уравнений х2 + у2 -~z2 = 0, х2 + 2у2 + 3z2 = 1 найти d2y и d2z, если х - независимая
переменная.
94.	Из уравнений х2 4- у2 = 2z2, х2 + 2у2 4- z2 = 4 найти и в точке (1, -1, 1), если
z — независимая переменная.
95.	Пусть х 4- у 4- z = а, х3 4- у3 4- z3 = 3xyz. Найти производные функций у и г.
96.	В точке (1, 1, —2) найти первые и вторые производные функций у и z, если x+y+z =
0, х3 4-у3 -г3 =10.
97.	х2 4-у2 4- г2 = 2г. Найти 98. х3 4-у3 4- z3 — 3z = 0. Найти яа * .
*	<jx	а	<зх оу
99.	xcos у4-уcosz4-zcos х =а. Найти и 100. xy + xz + yz = 1. Найти dz и d2z.
101.	Найти d2z в точке (а, а, 0), если х3 + z3 — 3axz = у3.
102.	Найти вторые частные производные z, если эта функция от х и у определяется
уравнением у = x<p(z) 4- Ф(х).
103.	Показать, что z, заданная как функция от х и у уравнением z = х<р удовле-
творяет уравнению конических поверхностей
104.	Показать, что при у = xtp(z) 4- ф(г) удовлетворяется уравнение
а2* а2*__/ а2* \2_Л
дх3 ~ увхву) ~ °'
105.	Найти у' и у", если xi 4- yi = 4аху. 106. Найти у' и у", если х5 4- у5 - Зху = 0.
107. Найти у", если arctg | = In у/х2 4- у2- 108. Найти у' при х = 1, у = 1, если
х3 4- у3 = х 4- у.
109. Найти у' при х = 1, у = 1, если х3 4- 2у3 — Зху = 0.
ПО. Даны уравнения х3 —y34-z3 = 1, у—2x4-z = 0. Найти у' и х' при х — 1, у = 1, z = 1.
$ 4. Замена переменных
167
111.	xs + ys + zs = a5, x4 + у* + z4 = Ь4 • Найти у' и г'.
112.	Найти и ^7, если г3 + х3 + у3 - 3z * a.
ох оу
113.	Найти , если z3 + Зх2 4- Зу2 — 3(х + у 4- z) = 0.
114.	Найти	при t = x = y = z = l, если t+2x+y+z = 5, t2+x3+y4+z4 = 4.
115.	Найти	при t = x = y = l, z = —3, если t + 4х + у 4- z = 3, t4 + х4 4-
у4 - z3 = 30.
116.	Найти если х4 + у4 + z4 = 4z. 117. Найти 3^5^, если х3 + у3 4- z5 = 5z.
118.	Найти и £%-, если х2 - 2у2 + z2 - 4х + 2z = 5.
дх дх ду1	”
119.	Найти	d2z, если	j? 4-	= 1 • 120. Найти d2z, если cos2 х 4- cos2 у 4- cos2 z = 1.
121.	Найти	и	если Fix —	у, у — z, z — х) = 0.
122.	Найти |р-, если Fix, х +у, х 4-J + z) = 0. 123. Найти если F(xz, уг) = 0.
124.	Найти	если	F(x, у, z, u) = 0, Ф(х, у, z, и) = 0.
125.	Показать,	что	х|^ 4-+ z^ = 0, если и» = Зх — 2у 4- z, v2 = х2 4- у2	4- z2.
Ох оу OZ
126.	хи 4- yv = 0, uv — ху = 5, при х = 1, у = — 1 принимаем и — v — 2. Найти и
аЧ
дх ду *
127.	Найти и 1^, если х = acosusini), у = 6 cos u cos v, z = ccosu.
ОХ Оу ’	9	'
§ 4. Замена переменных
4.1. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.
Пусть дано некоторое выражение
. .. (	dy d2y
V = V\x,y,	...
\	dx dx2
(1)
содержащее независимое переменное х, функцию х у(х) и производные от у по х до
некоторого порядка. Требуется перейти к новым переменным — независимой переменной t
и функции от нее t н* u(t). Причем эти переменные связаны с прежними переменными х и
у уравнениями
х = f(t, и), У = g(t, и).	(2)
Из уравнений (2) находим
iz	sz + si а
а» _ <п at аи dt
< dx Si SL A. SL12.’
at at т Эи dt
x = f(t, «),
Используя равенства (1)—(3), получаем
d2y _ £ (%)
‘ dx2	’ и т.д.	(3)
dt
x = /(t, u),
du tPu
4.2. Замена переменных в выражениях, содержавших частные производные.
Ограничимся случаем двух независимых переменных. В остальных случаях поступаем
аналогично. Предположим, что задано выражение
. _ / dz дг
А = Р[Х’У’ te’ di’ -
(1)
содержащее независимые переменные х, у, функцию (х, у) ь* х(х, у) и ее частные производ-
ные. Вместа независимых переменных х, у и функции к требуется ввести новые независимые
168
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
переменные u, v и новую функцию (u, ») w(u, v). Переменные и, v, w выражаются через
x, у, z с помощью равенств
и = ¥>(*> У> «), v = ^(г, у, z), w = x(t, у, г),	(2)
где функции р>, ф и х достаточное число раз дифференцируемы и	/ 0 в некоторой
области.
Для решения поставленной задачи достаточно выразить аргументы функции F через
u, v, ш,	.... С этой целью запишем дифференциалы равенств (2):
dip	,	dip , dip	(dz	dz , \
du =	-5- dx	+	•— dy + —	-г- dx +	— dy	,
dx	dy dz	\dx	dy J
(3)
(4)
(5)
dф	,	дф ,	дф (dz	,	.dz ,	\
dv = -_ dx 4- dy 4- — — dsc + — dy ,
dx	dy	dz \dx	dy	J
. dw j j	, dx , ,dx (dz , ,dz \
dw = du +dv	= — dx + — dy +	—	\ — dx— dy	] .
du dv	dx	dy	dz	\dx	dy	)
Заменяя в последнем равенстве du и dv их выражениями (3) и (4) и приравнивая коэффици-
енты при dx и dy, получаем систему
dw (dip	dip	dz\	dw	/дф	дф	dz
du \5x	dz	dx)	dv	\dx	dz	dx
dw f dip dip dz\ dw (дф дф
~я~ ( л—I" ~Я~~	)	"* л-	( ~я~ +
ди \ ду	dz	ду J	dv	у ду dz
из которой находим
dw д<р . dw ду _ дх
_ _ _ _6и дх _ ду дх дх
dw dip . bw
du dz dv dz dz
Частные производные второго порядка определяются из равенств, полученных в резуль-
тате вычисления первого дифференциала от уже найденных производных первого порядка.
Если же переменные и, v, w связаны с прежними переменными х, у, z уравнениями
х = /(u, v, w), у = g(u, v, w), z = Л(и, v, w),
dx dz
dz dx’
dz \ _ dx dx dz
dy) dy + dz dy ’
(6)
„„	dz _
а» _ «х ’	—
А.. Я- А-	“
dw д<р	.	dw	ду__дх
ди ду	ду	ду	ду
dw d<fi	.	dw	д(^	д'х ’
dv dz	'	dv	dz	dz
(7)
где функции /, д и h достаточное число раз дифференцируемы, поступаем следующим обра-
зом. Используя инвариантность формы первого дифференциала в равенствах
dz =
dz
dx
df , , df , df
r— du + — dv 4- -5—
du dv dw
dw , dw ,
— du + — dv
du dv
+
dz (dg dg , dg (dw .dw XX
— I — du + —- dv 4- — I — du + — dv I ) =
dy \du dv dw \ du dv /)
dh , dh , dh (dw dw , \
= — du + — dt> 4- д— I -5- du + — dv)
du dv dw \du dv J
(8)
и сравнивая коэффициенты при du, dv, получаем систему
dz (df	df	dw\	dz (dg	dg	dw\	_	dh	dh	dw
dx Xdu	dw	du)	dy \du	dw	du)	du	dw	du’	.	.
dz (df	df	dw\	dz (dg	dg	dw\	_	dh	dh	dw.
dx \ dv	dw	dv)	dyXdv	dw	dv)	dv	dw	dv ’
_ v	dz dx j_	dw dw
из которой находим gj и как функции и j; 
124.	Преобразовать уравнения: а) у'у'" — Зу"2 = х; б) y^ylv — 10у'у"у"' + 12ц"3 = О,
пригёкв у за новую независимую переменную.	i. .. ..
$ 4. Замена переменных
169
◄ Согласно правилу дифференцирования обратной функции, имеем
dy _ 1
dx ~
dy
d2y _ 1 d /dy\ _ 1 d / 1 j _ dy2
dx2	— dy \dx) — dy \ — I (dx\
dy	ds/ \ dy / I -1
d3y _ 1 d f d2y\ _ 1 d
dx3 — dy у dx2 J — dy
dy 4	' dy
d3x dx  « f d2x\
dy3 dy у dy2 J
/V\ &
d4y _ 1 d /d3y
dx4 — dy ydi3
d4x (dx\2 . -|nd3J d2x dx	( d2i\3
dy* \ds// "r dj/3 dy2 dy	yds/2/
Заменяя в равенствах а) и б) производные	и только что вычисленными их
значениями, получаем:
2
125.	Преобразовать уравнение у" + -у + у = 0, приняв х за функцию, t = ху за
независимое переменное.	1
4 По формулам (3), п.4.1, находим
d2y _ d_dy_
dx2 dx dx
dy _ 1_______t_
dx ~ xh	х2’
dt
d2x
2	2t
o dx *
x dT	x
(1)
(2)
Из условия задачи и равенств (1), (2) окончательно получаем
Вводя новые переменные, преобразовать следующие обыкновенные дифференциальные
уравнения:
126.	х2 у" + ху' + у = 0, если х = е‘.
Ч Имеем
dy _ dy dt	_ 1 dy	_ 1 dy _	_tdy	d2y	_ _t d / _t dy \	_ _2t / d2y _	dy \
dx dt dx — dt e‘ dt dt ’	dx2 dt V dt) e I di2	dt / '
di	4	'
Заменяя в данном уравнении х на е‘, производные у' и у" — вычисленными выше их
значениями, получаем
127• у'" =	, если t = In |s|,
170 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
При х / 0 имеем
dy _	dy dt	_ dy sgnx	_ 1_ dy	d2y	_ d /1 dy \	_ 1 / d2y	dy
dx	dt dx dt |x| x dt'	dx2 x dt \x dt J x2 \^dt2	dt
d3y _ i d /1 Zd2yf3^ + 2—^
dx3 x dt yx2 \_ dt2 dt J J x3 ydt3 dt2 dt J
Таким образом, данное уравнение приобретает вид
d3y
dt3
128.	(1 — х2)у" — ху’ 4- п2у = 0, если х = cost.
4 Вычислим производные
dy _ 1 dt	_	1 dy	d2y	_	1 d /	1 dy\	_ 1 d2y	cost dy
dx — dy sin t dt’	dx2 sin t dt \	sin t dt) sin21 dt2	sin3t dt
dt
Подставляя их в данное уравнение и заменяя х на cost, получаем
tri	i
129.	у" + y'thx + —5— У = 0, если х =ln tg -.
сп х	2
◄ Имеем
dy _ 1 dy _ dy
dx 4* dt *dt’
dt
d2y  J ( . dy\ . j.d2y . dy
~ = sm t— sin 13- = sin t~ + sin t cos t—.
dx2 dt \ dt/ dt2	dt
А так как th x = — cos t, = sin21, to
2	/ j2	\
tt . Ui . W	• 2 л I <* У .	2 \ n
у + у th x + -rx-y = Sin t 5-5- 4- m у = 0.
ch x	\ at*	j
Отсюда + m2y = 0. ►
130.	у" +	+ q(z)y = 0, если у = uexp
◄ Находим производные
dy du
— = т-ехр<
dx dx
P(I)
t-^2.uexp<
_ /du p(x)u
tdx 2
«о
®O
®О
d2y (tPu . .du и dp up2(x)\
d? = ld?-pWd7-2d;+ 4 )exH
To
После подстановки их в уравнение получаем
131.	х*у" + хуу’ — 2у2 = 0, если х = е‘ и у = ue2t, где u = u(t).
§ 4. Замена переменных
171
•4 По формулам (3), п.4.1, имеем
(%+4h2t
dx	е*
(£+2.) Л
d2y
dx2
Hi)
e*
dt
d2u du
= -^+3—+2«.
dt* dt
Тогда уравнение запишется следующим образом:
d2u ,	. du
—+ (а + 3)-+2а = 0. ►
132. (1 + x2)2y" = у, если x = tgt и у = где и = a(t).
cos t
◄ Аналогично предыдущему примеру имеем
dy _
dx
где
и1 cos e+u sin t	,o	..	t .	f 	.
----r^2~t-- ,	,	. dy и cost - и suit + и sint + ucost ( u i . 3j
------------ = U COS t+u Sin t, -—-T — ----------------г--------------- = {U +u) cos t,
—-=—	dx*	—is—
cos2 t	cos2 t
a' = 77. Следовательно, —~r:(u" + a)cos31 — —или и" = 0. ►
dt **	’ cos4tv '	cost’
133. y" + (r + y)(l + у')3 = 0> если 1 = 11 + 4 и у = a - t, где u = a(t).
•4 По формулам (3), п.4.1, имеем
dy	_ и1 — 1	d2y	_	1	(и' + 1)а" — (а'	— 1)а" _	2а"
dx а'+1 ’	dx2 а'+1	(а' + 1)2	(а'4-1)3’
где и' —	. Подставляя эти выражения в уравнение и заменяя в нем х и у соответственно
на и + t и и — t, получаем а" + 8а(а')3 = 0. ►
10 4 III 3 И I	л	1
104.	у — х у 4- ху — у — 0, если х — - и у = —
где а = а(1).
◄ По формулам (3), п.4.1, имеем
t —— U
dy _	_ du d^y _ St (ite) _ .2 /_	_ du da\ _ 3 d2u
dx — Д. dt U> dx2 —	\ dt2 dt dt l dt2 ’
t2	dt	4	7
d / d2a \
dZ у dt у dx2 J
dx3 —
dt
.sd3u -.2d2u\
dt2 + At dt2 J ’
Таким образом, данное уравнение принимает вид
х d3u , л х d?u du
‘ а₽+<3’ +1>У + г = °-
135. Преобразовать уравнение Стокса у" =
Ay
(т — a)2(z — b)2 ’
полагая а
и считая а функцией переменной t.
Ч Из формул преобразования при > 0 находим
(а —Ь)е‘ , а — Ь (а — Ь)а
х - а = \х-Ь = -----------у = \
1 — е*	1 — е’	1 — е‘
Следовательно,
______________________________Ау________Аа(1 - е‘)3
(x-a)2(i —Ь)2 (а —Ь)3е2‘’
Находим производные
dx~^_^e ~l)ii ’ dx2 "	(а — b)e2t
dt	dt	x
(1)
(2)
172
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
Сравнивая равенства (1) и (2), после упрощений получаем
d2u	du _ Au
dt2	dt (a — 6)2
Аналогично поступаем, если < 0- ►
136. Преобразовать уравнение (1—х2)2у"+у = 0, полагая х = th t, у = где и = u(t).
◄ Дифференцируя у как параметрически заданную функцию переменной t, находим
dy
dx
и1 ch t—ush t
------------= и ch t - и sh t,
ch2t
d2y u"cht-ucht . „	. з
= ------------ = (u _ u ch t.
dx2 -i-
ch^t
Отсюда и из условия следует = 0. ►
137. Доказать, что шварциан S(x(t)) =
x"’(t)	3
x"(t)	2	x'(t) )
й	c	ax(t) + b
при дробно-линеином преобразовании у = ——т, ad — be 0.
cx(t) + a
не меняет своего значения
◄ Имеем
т'	I т"	\
у1 = (ad — be)-,------у" = (ad — be) I -------------тгт- — -----тгт j ,
4 (ex + d)2 V \ (ex + d)2 (ex +	)
in _ , , f x'" бсх'х" 6e2 x^
Я C y(ci + d)2 (ci + d)3 (ex + d)4 J '
Отсюда
/// ъ f н\2 tU c it /? 2 /2 n / // n / \ 2
c/ ryii _ У * / у \ __ x 6cx 6c x 3 / x 2cx \ _
yl 2 у y' J x1 ex + d (ex + d)2	2 у x' ex + d j
_///	o / ~i'\2	a 2«/2 „in о
_ X OCX ОС X 6 I X \ OCX OCX __ X 3 / X \ _	. ...
x} ex + d (ex + d)2	2 \ x' J ex + d (ex -J- d)2 x' 2 у x' у
Преобразовать к полярным координатам г и <р, полагая х = rcos<p, у = rsin^, следую-
щие уравнения:
138	- х + у
' dx х — у
Используя формулы (3), п.4.1, находим
dr •	.
dy _ ^Siny+ rcosp
dx cos и — г sin и
dtp ~	r
П)
Следовательно,
sin у + r cos у _ cos у + sin у
cosp - rsin P ~ cos¥>-siny>‘
После преобразований получаем = г. ►
139.	(xy’ -у)2 = 2ху(1 +у'2).
◄ Используя равенство (1) предыдущего примера, получаем
/	/ .	\ 2	/	/
/ т sm р + г cos р	.	\	„ 2 • I, . (
I rcosy»-;--------;----гейш 1 = 2т smu>cosp 11+1
Г COS Р — Г SUI	У	I 1
г' sin у + г cos ip
т' cos ip — г sin ip
§ 4. Замена переменных
173
Отсюда г'2 =	к
sm 2<р
140.	(х2 + у2)2у" = (х 4- уу')3 
4 Дифференцируя равенство (1) из примера 138, получаем
„	) г2 + 2г'2 - rr" I dy , dr
(г'cosy> — rsin ^)3	dx dp
з I3
Так как (x2 4- у2 )2 = J*4, a (rr 4- yy1)3 — ^ri c"os'ylr Hn 'y)3 J то Данное уравнение запишется в
следующем виде:
г4(г2 4-2г'2-гг»)	г3/
(г' cos tp — г sin у>)3	(г1 cosр — г sin ^)3 ’
г' cos р — т sin р £ О,
или г(г2 4- 2г' — гг") = г'3 . ►
\у" I
141.	Кривизну плоской кривой К — ——5- выразить в полярных координатах г и
0 + yi2)2
<Р-
◄ Используя выражения для у' и у", записанные в полярной системе координат (см. при-
меры 138, 140), находим
r2+2r'2 —rr,J
(rz cos 9—г sin <р)3
3
т' sin <p4t*cos у \ 2 \ 2
г1 cos <fi—г sin if j J
|r2 4- 2r'2
3
(r2 + r'2 ) 2
r cos p — r sin p / 0. ►
142.	В системе уравнений
= y4-b(r2 + y2), ^- = -x + ky(x2 +y2)
at	at
dy dr .	dp
_ = -sl^ + rcos₽-,
dx . dy \
~*sir^+ЛСО34'
перейти к полярной системе координат.
◄ Дифференцируя равенства х = г cosy, у — rsin р по t, получаем систему
dx dr	. dp
T = Tcosv-rsmvT’
из которой находим
dr dx dy . dtp
Tt = TtC0Sip + Tt^tp’ Tt
Учитывая, что = rsin p 4- kr3 cosy, = —rcos p 4- kr3 sin у, окончательно находим =
fcr3, £ = -!.►
143.	Преобразовать выражение w = X3-7 — вводя новые функции г — \/х2 4- у21
at2 al2
р = arctg <
4	Дифференцируя равенство р = arctg , находим
.	dy dx
...
dt	х2 4- у2
Отсюда r2£ = x£-S£.
Дифференцируя последнее равенство, окончательно получаем
d { zdp\ d2y d2x
dtV T)=xdp-ydfi=w ^
174
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
г/, решить следующие уравнения:
dz _dzd£ dz dy _ dz dz
dy d(, dy dy dy df dy'
Вводя новые независимые переменные f и
144.	если f = х 4- у, у = х-у.
dx ду
4 Имеем
dz _dzd£ dz dy_dz dz
dx df dx dy dx d£ dy’
Отсюда	= 2^ = 0. Таким образом, решая уравнение = 0, находим z = 99(f), или
z = tp(x + у), где — произвольная дифференцируемая функция. ►
. J к	^Z л	*	2 г 2
14э.	у—-х— — 0, если f = х и у = х 4- у .
дх ду
г»	dz Qz , dz dz dz a	dz dz ______ dz a
•< Вычисляя производные	4-	 2s,	• 2y, находим у— -	= y^ = 0.
Отсюда z = tp(y), или z = <p(x2 + у2), где <p — произвольная дифференцируемая функция. ►
д	d	f	\
146.	+	= ху, если u = In х и v = In I у +	+ у2).
дх	ду	\	/
◄ По правилу дифференцирования сложной функции, имеем
dz _ dz du х dz dv	_ dz 1	dz	_ dz du x dz dv _ dz	1	T 0
dx du dx dv dx du x’	dy du dy dv dy dv	4. ^2 ’
Используя эти равенства и то, что х = е“, у = sh.®, из условия получаем	= е“ sh v. ►
147.	(х + у)— (х — у)?- = 0, если u = In \/z2 4- У2 и v — arctg -.
dx	dy	x
•< Аналогично предыдущему примеру имеем
dz х	dz у dz dz у	dz	х	dz
dx x2 4- у2	du	x2 4- у2 dv ’ dy x2 4- y2	du	x2 4- y2	dv
Подставляя эти выражения	в данное уравнение, получаем	—	= 0. ►
148.	х^- + у 7— = z +	^/х2	4" у2 4* z2, если и = — и v	= z + ^х2 4- у2 4- z2 -
dxdy	x
◄ Имеем
dz __	dz du	dz dv	_ у dz	I ® + z-^	dz
dx	du dx	dv dx x2 du	I	^/T2 j,2 _|_ г2	dx
dz
dv ’
dz _ dz du	dz d®	_ 1 dz	I У + z as dz j dz
dy du dy	dv dy x du	l	^/х2 ц. ^2	г2 dy j dv'
Отсюда
Д _A®£i_£-®£ a 1 а» 1 у dz
0% _ ди	V — Z dv 02 _ X du v—z dv
dx ~	’ dy~ 1 _
v—z dv	v—z dv
Таким образом, данное уравнение представимо в виде
х2 + у2 + v2 dz	dz 1
---------т- = V, или — =	►
v — z dv	dv 2
t dz ,	dz	х	„ ,	у
149.	x-—|- ут- =	-,	если u	= 2x — z2	и	v = ~.
dx	dy	z	z
•< По правилу дифференцирования сложной функции, имеем
dz _ dz Л	_ 2z—4-	(___L —dz _ dz f	dz\	dz /1	у dz
dx du \ dx) dv	\	z2 dx)	’ dy du \	dy J	dv \^z	z2 dy
$ 4. Замена переменных
175
Отсюда
а* 1 + 2^ + ^г|?’	l + 2-ff + ^B’
Тогда данное уравнение запишется в виде
au + z е» _ £
1	। » в! 2 '
1 + 2га^ + ?а? z
тт	л	.	2 Ч	X u+z2	u	dz Z u+z2
Полагая здесь 2т = и + z , | = v, - = после упрощении получаем
z2 / и. ►
/Эг\2	(dz\2	1
150.	Преобразовать выражение А = I — 1 + I — ) , полагая х = ut>, у = -(u2 — v ).
^<?т у	уду)	L
4 Дифференцируя z как сложную функцию, получаем систему
dz _ dz dx	dz ду _ dz	dz
du дх ди ду ди dxV dyU’
dz	dz dx	dz dy	dz	dz
--- =----------k------— = ----U — -Z—V.
dv-dx dv-------dy dv	dx-dy
из которой находим
Эх u2 4- v2 ’
Л Qz Qz
dz	"a?
dy u2 + v2 ’
a2 + v2 0.
Следовательно,
i dz . az\2 , / dz 3z\2 (dzx2 , (dzx'2
„ (иа^ + иа?) +(ца^-”а?) _ Ы	k
(u2 + v2 )2	a2 + v2
151.	Преобразовать уравнение (т - z)^- + y^- = 0, приняв x за функцию, а у и z за
дх ду
независимые переменные.
4	Запишем равенство (5), п.4.2, полагая в нем u = z, v = y, w = z. Получим
дх
dz
dz , dz ,
Txdx + Tydy
dx ,
+ -£-dy-
dy
Сравнивая коэффициенты при dx и dy, получаем систему
дх dz	дх dz дх
dz дх’	dz ду ду’
из которой находим
Qx
dz _ 1 dz _ а»
5*’ ду~~ Si
dz	dz
Данное уравнение преобразуется следующим образом:
X — Z
дх
дх
152. Преобразовать уравнение (у - z)^ + (у +
дх	ду
а = у — z, v = y + z за независимые переменные.
= 0, приняв х за функцию, а
4 Полагая в равенстве (5), п.4.2, w = х, и = у — z, v = y + z, имеем
дх
ди
(,	dz	, dz ,\	дх (,	dz	, dz , \
I	- — dy + — I dy + д- dx + — dy .
\	dx dy J	dv \	dx dy J
S^O- ►
176 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Сравнивая коэффициенты при dx u dy, получаем
дх дг дх дг _ дх дх дг дх дх дг
ди дх + dv дх’ ди ди ду dv dv ду
Отсюда
дг 37 + 37	, ,дг . .дг _ и
ду	^dx+(y + ^dy~
а Й-	dv ди
1
Эх ’
дг _
дх &х   &х 1 ду &х  &х 5
dv	ди	dv	ди
После упрощений окончательно находим
дх	дх _ а
ди dv v
дх . дх
-v%-----£-=0.
ОХ ох
dv ди
1 к о тт j-	л f dz\ (3z\
loo. Преобразовать выражение А = —	+ —	, приняв х за функцию и и =
у от J	уду J
xzy v = yz з& независимые переменные.
Аналогично предыдущему примеру имеем
дх (	дг	дг	\	дх(	дг	дг	\
dx = — I zdx + x—dx + x—dy + — zdy + у— dx + у— dy .
ди \	дх	ду	J	ди \	дх	ду	)
7-Г	дХ дХ
Для определения — и — получаем систему
_ дх	дх дг	дх дг
ди	ди дх Уdv дх
. дх дг дх , дх дг
° = *т- т- + Z— + у— —.
ди ду dv dv ду
Отсюда
дг_______________
di ~ х^- + у^ ~
а« ‘ у аъ
Следовательно,
ди
2 дх
хи — U —
ди
2 / Эх . Эх'
Хг ilr- + V —
\ ди dv .
дг _
ду
Эх
-z-z-
______dv
дх . Эх
Х^ + Уа^
2 Эх
~ц 37
2/ Эх . Эх\'
х
\ ди dv/
т2а2 — 2zu3 + и
4 ( ЭХ
1	«5_+®
\ ди
4 ( дх . дх \ 2
(“’5“ + и‘£_)
\ ди dv/
154.	Преобразовать уравнение ^— + ^ + ^ = 0, полагая £ = х, У = у — х, С — г — х.
дх ду дг
◄ Дифференцируя а как сложную функцию, находим
ди _	ди	ди	ди	ди	_ ди	ди _ ди
дх	д£	ду	д£ ’	ду ду’	дг д('
Следовательно, ^ + ^ + Ц = ^ = 0.>
Перейти к новым переменным и, и, ы, где w = w(u, v), в следующих уравнениях:
*1 Б Е	{	\	22
1ОО. у----х— = (v — x)z, если и — х +у , v = - 4- -}w — Inz - (х + у),
дхду	х у
◄ Пользуясь формулами (7), п.4.2, получаем
дх	_1
а™ „ а» 1 , 1
ай2у~ а»й? + 1
дг
Следовательно, данное уравнение запишется в виде
dw yz dw ,	„ dw хг dw ,	.
или, после упрощений, = 0. ►
§ 4. Замена переменных	177
-< ей 2 dz . 2 dz 2	1111
130. х -—Ь у — = z , если и = х, « =-, w =-.
дх ду	у х х х
4 Применяя формулу (7), п.4.2, находим частные производные
8w , &w 1	1	_Sj£ J.
— — ви 6v *2 *2	_ — v3
dx~	dy~
dw . dw , i
а?» + a7* + l
8w л
подставляя которые в данное уравнение, получаем = 0. ►
157. (ry + z)^ + (l-y2)^ =т + yz} если и = yz — х, v “ xz — у, w = ху — z.
ох	ду
◄ Используя ту же формулу, что и в предыдущем примере, находим
+	3z _
дх ^у+^х + 1’ ду
Отсюда и из данного уравнения получаем
+ *)	- %*+у) + (1 - У2) (-£* + ^ +1) х, „2
а« .aw , .	- х + yz
а^3/+К1*1
или, после сведения подобных членов, = 0. ►
OV
/ Л \ 2	/гч\2
) = z2^- если х = uew, у = vew, z = wew.
J дх ду	’ я
и как функций от и запишем систему (9), п.4.2:
dz dw	dz (	dw\	.dw
а~иТ~ + I1 +t’"a-) ~ 1 + w)a~-
dx dv	dy \	dv)	dv
4 Для определения
dz
Уд~у
dz
1 dx
dz dw	.,dw
= (1 +w)—,
dy du	du
dz
дх
Отсюда
dz _
дх
(l+w)£
(l+w)£
л . dw . dw . dw dw ’
1 "Г —И — + uv-— -т-
du 1 dv 1 dv, dv
Таким образом, в новых переменных и, v и w данное уравнение имеет следующий вид:
(..(1+«)аг+(..-о t .>g)‘	g
dz _
Я»,	и . dw । dw । dw dw '
oy	1 4- a—- + n— + uv—- —
du dv du dv
.2
(л 1 », dw I dw . dw dw\2	Zl I dw
(14-u—4-d—+ ut)—^i + „_
или, после упрощении, (a —) 4- (v^) = w2 —	►
Преобразовать к полярным координатам г и у, полагая х = г cos уз, у = rsin уз, следую-
щие выражения:
1 ко \	du , du	.	I ди\	,	I ди \
15У. a)	w = х—	- у—;	б) ш =	х— 4- у—;	в)	w =	I —	4-	=-	•
ду	дх	дх ду	\дх)	\ду J
4 Имеем
(1)
У-
du _ du dr .du d<p du _ du dr du d<p
dx dr dx d<p dx ’ dy dr dy d<p dy
Производные	и находим из систем, полученных в результате дифференциро-
вания равенств х = г cos >р, у = г sin уз по х и
, dr . д<р
1 = cosy-------------------г sin у—,
дх	дх
n .	dr	dy
О = smy— + г cos уз—,
ОХ	ОХ
п dr . д<р
ду	ду
,	.	dr	д<р
1 = smy>— 4-г cos уз —.
ду	ду
178 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Отсюда
дт	dip	sin <р	дт	. dip	cos p
— = cosip, ^- =--------, — =smp, — =------------
dx	dx r	dy	dy r
Равенства (1) запишем в виде
ди	ди	ди sin р	ди	ди	.	, ди cos<p
_ = —cosv>-------------,	— = -г- sin р + 3------.
дх	дт	dip г	dy	dr dip т
(2)
(3)
Таким образом,
\	/ &и •	, Qu cosc^A •	(ди	ди sin \ ‘ ди
a)	w = г cos ( -Z- sm <р 4- т-- - г sin ~ cos	—- = т-
/	• I ОТ ~ ' Q<p г 1	~ I дт '	д<? Г у Оу>
-х	(ди	ди sin ф \ । • (ди •	, Эи cos^\ _ ди
б)	w = rcosV»^coeV-^-7^J+rsinV^sm¥>+5?— J =г^;
ди sin	(ди •	. ди	(ди\ , 1 (ди \
cosy’-а^-г)	= [&)	'►
1ЙП 1 д2и д2и	2д2и д2и 2Э2и , 2д2и д2и
160.	a) w = — + -т-r; б) w = х — + 2ху —— + у -т-г; в) w = у — - 2ху-*-т- +
дх2 ду2	дх2 дхду	ду2	дх2 дхду
2д2и	( ди	ди\
X т-2 - 1т- + »т- •
ду2	у дх	ду j
Ч Дифференцируя равенства (3) и используя равенства (2) из примера 159, находим
В
d2u _ д (ди\ дт д (ди\ dip
dx2 дт \Эх/ дх др \дх/ дх
д2и 2 ди sin2 р „Эи cosрsin р , Э2и sin2 р „ д2и
= -t-j-COS^+t----------------+ д“2 —-Г~ - 25~Я-
дт2	дт т др т2 др2 т2 драг
Э2и _	( &и\ dr	д /ди\ др _
дхду дт \dx/ ду	др \дх/ ду
д2р . ди cos<psin<p ди sin2 р - cos2 р д2и cos<psin р д2и cos2
= COS Р Sin р - --------------h --------;---------Х-5- -j--------1-	-----
дт2	дт т др т2	др2 т2 др дт
д2и _ д (du\ дт	д /du\ др _
ду2	дт удуJ ду	др удуJ ду
д2р . 2 ди cos2 ш „Эи cos рsinр . Э2и cos2 р . „ Э2и
= —— sm и Ч------------— 2--------—Ч-------------— Ч- 2--
дт2	дт г др г2 др2 г2	др дг
На основании этих равенств получаем:
\ „ Э2и . 1 Эи . 1 О3и	2 Э3и
a)w=^4-;^4-^ ^;б) w = r —
161. Решить уравнение
у = х Ч- at.
< Имеем
д*и \ B2t* .
ё^;в) » = ^. ►
д2и	.
— а——, введя новые независимые переменные f = х — at,
дх2
ди _ ди Э$ ди dij _ ди ди д2и _ д (ди\ д( д /ди\ ду _ д2и д2и д2и
дх д( дх ду дх	д£	ду ’	дх2 	д(	\ дх /	дх ду \ дх)	дх	д{2 д$ ду ду2 '
ди _	ди	df	ди	дч _	ди	ди
dt	д£	dt	ду	dt	° df	° ду ’
д2и _ д /ди\ df	Э (ди\	ду _	2д2и	2 д2и	2 д2и
dt2 д£ уду J dt ду \ dt / dt в df2	df dt; a dy2 ‘
Таким образом, данное уравнение принимает вид
-^- = 0.
dfd»/
$ 4. Замена переменных
179
Отсюда последовательным интегрированием находим
= /(€), “ = У №) <*£ + V’(n) = <₽U) + V’W.
где <р(£) = f f(f;)d£ и ф^у) — произвольные дифференцируемые функции. Возвращаясь к
прежним переменным, окончательно получаем u(t, 1) = <р(т — at) 4- ф(х 4- “<)• ►
Приняв и и v за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения:
~д2 z d2z	d2 z dz dz	„
162. 2-r-j 4--г—r-- т-r 4-T-+ T-= 0, если и = x + 2y + 2, v = x - у - 1.
dx2 dx dy dy2 dx dy
4 По правилу дифференцирования сложной функции, находим
dz _ dz ди	dz dv_dz	dz	d2z	_ d f dz\ du	d	f dz\ dv	_ d2z	d2z	d2z
dx du dx	dv dx du	dv’	dx2 du \Эт/ dx	dv dx du2	dudv	dv2
Аналогично находим остальные производные:
d2z	d2 z	d2z d2 z dz dz dz d2z d2z d2z d2z
_____— 2_____I-_______________jz 2____________= 4_______4_____I*____
dx dy du2 du dv dv2 1 dy du dv ’ dy2 du2 du dv dv2
Подставляя вычисленные производные в данное уравнение, после сведения подобных членов
о d2z | dz Лк.
получаем 3—— 4- т- = 0. ►
J	аи Ov ди
чао	/,	2\d2z	2\d2z	dz	dz
163.	(1	4- X ) д-т 4- (1	4-	У2)т-^	4-	Х-Т- 4- у-^~	= о, если и = In
dx2	ду2	дх	ду
х2 I , v =
4 Аналогично предыдущему примеру находим
dz dz du dz 1
-------------------------- =: ——   —----- — —
dx du dx du ^/1 4. x2
d / dz\ du	dz d f 1	\ _ 32z	1
du \ dx ) dx	du dx у тД 4- т2 J du2 14-х2
dz _ dz dv _ dz 1
dy dv dy dv ^-[+у2’
_ d /dz\ dv dz d I 1	\ _ d2z 1
dv \dy J dy + dv dy I y2 j dv2 1 4- y2
d2z _
дх2
dz х
ди у(1 +г2)з ’
— =
ду2
_ dz у________
dv у/^+У2)3'
Следовательно, уравнение преобразуется к виду	= 0. ►
1 Ct Л 2 д Z о д Z	X
104. X —у - у - О, если и = ху, v =
дх2 dy2	у
4 Поступая так же, как и раньше, находим
dz _ dz	dz 1	d2z _ d2z	2 , d2z	d2z 1
dx du^	dv у ’	dx2 du2 dudv	dv2 y2 ’
dz _ dz dz x d2z _ d2z 2 „ d2z x2 d2z x2 dz 2x
dy du dv y2 ’ dy2 du2 du dv y2 dt>2 y* dv y3
Таким образом, уравнение преобразуется к виду	►
165. С помощью линейной замены $ = х 4- Aiу, >| = г + Х2у преобразовать уравнение
|СЛ.-п
dx2 dx dy dy2 ’
(1)
(2)
180 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
где А, В и С — постоянные и АС - В2 < 0, к виду
2\ = 0.
д(ду
Найти общий вид функции, удовлетворяющей уравнению (1).
Вычисляя частные производные
ди _ ди ди	д2и _ д2и	д?и	Э2и
дх д^ ду’ дх2 д£2	д£ду	ду2 ’
ди ди ди д2и д2и 2 , „ д2и д2и 2
^=аёЛ1 + ^Л2’	=	+
д2и _д2и д2и	д2и
д^~дё 1 + W 1 + 2)	2
и подставляя их в уравнение (1), получаем
(СА2 + 2ВА1 + A)-z~7 + 2(CAiA2 + B(Ai + А2) + А)- -—(СА2 + 2ВА2 4- А)—- = 0. (3)
aq	о% ay	Оу
Если Ai и А2 являются корнями уравнения СХ2 4-2ВА + А = 0, т. е. Ат, 2 =	с /
0, то в уравнении (3) коэффициенты при и обращаются в нуль. Поскольку АС—В2 <
0, то Ai / А2 и CAi А2 + B(Ai + А2) + А / 0.
Следовательно, уравнение (1) преобразуется к виду (2). Решением его будет функция
и = у:(С) + ф(у) (см. решение уравнения примера 161). Возвращаясь к старым переменным,
получаем и = р(х 4- Aiу) 4- ф(х 4- А2у). ►
ТСС тг	г,	л 32z d2z	„
loo. Доказать, что уравнение Лапласа Az = -r-z 4- т-z- = 0 не меняется при любой
дх2 ду2
невырожденной замене переменных х — р(и, v), у = ф(и, к), удовлетворяющей условиям
dip	д-ф	др	дф
—— = —, ---- =-----.
ди	dv	dv	ди
4 Дифференцируя z как сложную функцию и используя условие (1), получаем
dz _ dz др	dz др	dz _ dz др	dz др
ди дх ди	ду dv ’ dv дх dv	dy du
Аналогично вычисляем
d2z	_	d2z	(3p\2	d2z	dp	dp	d2
du2	dx2	\3u/	dxdy	du	dv	dy
d2z	_	d2z	(3p\2	d2z	dp	dp	d2
dv2	dx2	\dv J	dxdy	du	dv	dy
Складывая два последних равенства, получаем
д2z	d2z	_ //Эу>\2	/f d2z 32z\	/д2р	Э2р\ dz
ди2	dv2 \Дди/	\dv)	J dy2 j	v^du2	dv2 J dx
Далее, дифференцируя первое из равенств (1) по и, а второе по v
д2р _ д2ф д2р _ д2ф
ди2 dv ди ’ dv2	du dv ’
(1)
2
+
dz d2p
дх ди2
dz д2р
дх ди2
dz д2р
ду диdv’
dz д2р
ду du dv
2
(2)
убеждаемся, что
д2р , d?<e _
ди2 dv2 ~
(3)
§ 4. Замена переменных
181
Наконец, из того, что замена невырождена, из равенств (1) следует
Р(у. _
Р(а, и)
д<р
ди
ди
ду
dv
д^>
dv
d<fi
du
_ dy
dv
d>fi
dv
d<f
du
2
2
д3г . Э2х п *
находим 5^ +	= 0. ►
Таким образом, из равенства (2)
167. Преобразовать уравнения: а) Ди = 7—7 + 777 = °! б) Д(Ди) = 0, полагая и = /(г),
дх2 оу2
где т = у/х2 + у
◄ а) Имеем
d2u x	du x
dr2 r2	dr r3 ’
du
dr
du
dr
г2 - Зх2
rs
Г2 - Зу2
du _	du dr	_ du x	d2u	_ d2u x2	du r2 - i2
dx	dr dx dr r’	dx2 dr2 r2	dr r3
Аналогично находим = ^77 77+37 -~r~  Следовательно, Да = 777 + 7 37.
б) Поступая, как и раньше, получаем
Э(Да) _ d3u х
дх dr3 г
Э2(Да) _ d4a х2 d3u 1 d2u г2 — 3z2
дх2 dr4 г2 dr3 г +
д2(Ди) _ diu у2 d3u 1
ду2 dr* г2 + dr3 г
Таким образом, Д(Да) = £ + 2- £ -	+ £ £. ►
168. Выражения
(ди\2	(ди\	(ди\2	Л	д2и
Д1 а —	I — I +	I — I	+ I — I ,	uiiu	-	—
\дх J	уду у	ydz у	dx2
преобразовать к сферическим	координатам, полагая	х	=	г sin 9 cos tp, у = rsinSsin^, z =
r cos 9.
◄ Представим данное преобразование в виде композиции двух преобразований:
х = Ясо8^|, 3/ = ftsin¥’, z = z,
R = г sin 9, р — р, z = г cos 9.
При замене (1) имеем (см. пример 159, в)):
(\2	/	\2	/\2	/	\2
ди \	/ ди \ _	1	I ди \	/ ди \
дху +	\3уу	R2	удрJ	у.ЭЛу
, / о \ 2	/ о \ 2	/ _ \ 2
dr2 r4
d2u r2 — 3y2
dr2 г4
1 du
г3 dr
г-
д2и д2и д2и
и = ---- -|-----к ---
’	dx2 ду2 dz2
(1)
(2)
Следовательно, Д1« =	+ (a?) .
Применяя преобразование (2) (см. пример 159, в)), получаем
(\ 2	/	\ 2
ди \ _	1	/ ди \
dtp J т2 sin2 9 у
/я \2	/а \2	,	/а \2	/а \ 2
/ ди \	( ди \	_	1	( ди \	I ди \
у dR J	у dz J	г2	у д9 J	удг J
Окончательно находим
1 ЛьА2
2 sin2 9	у
Д u = (—У + 1 (—У
1U J г2 у + г2sin'S удру
Аналогично, осуществляя замену (1), получаем (см. пример 160, а)):
_ d2»	1 ди 1 д2и Э2а
Л2“ “ д№ + R дВ. + Я2 др2 + д^'
182 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Согласно преобразованию (2) (см. пример 160, а))
д2и д2р _ д2и 1 ди 1 Э2и
др+^-д^гдт^ЫР'
Полагая в равенстве (3) из примера 159 у = R, р = в, где R = г sin 6, получаем
1 ди _	1 /ди .	ди cos 9\ _ 1 ди cos в ди
R dR	г sin 9 \ дг Ш	д9 г / г дг	г2 sin 9 д9
тг	1 а2«	1 а2и
Из двух последних равенств и из того, что = r2~~n~2"e	, находим
_ д2и	1 ди	1 д2и	1 За	cos# ди 1	д2и	_
2U дт2	г дт	т2 д92	г дт	г2sin# д9	г2sin2#	dip2
_ 1 (д /2ди\ 1 д/. ди\ 1 д2а\
г2 у dr \ дт) sin# д9 \ П д9)	sin2# др2 J
icn т>	f d2z d2z\ (dz\2 (dz\2
1ОУ. в уравнении z —г + тгт I = -г- + ввести новую функцию w, полагая
удх2 ду2) ydx J уду}
w = z2.
Ч Имеем
dw	dz	dw	. dz	d2w	(dz\2	d2z	d2w	/dz\	d2z
dx	dx	dy dy	dx2	ydi J	дх2	ду2	уду J	dy2
Отсюда находим
dz _	1 dw	dz	_ 1 dw	d2z __ 1 d2w	1 /dw\2 d2z _ 1 d2w	1 /dw\2
dx	2z dx ’	dy 2z dy’	dx2 2 dx2	4w \ dz J _ ’	Z dy2 2 dy2	4u> уду I
Используя найденные формулы, запишем данное уравнение в виде
/ d2w d2w
w I----1- ------
\dx2 dy2
Приняв и и v за новые независимые переменные и ш = ш(а, а) за новую функцию,
преобразовать следующие уравнения:
17П д х , г, dz 2	х
11U. y-z-z + 2 — = —, если и = v = х, w = zx — у.
ду2 ду х	у
Ч Применяя вторую из формул (7), п.4.2, получаем
dz _ su у к2у '
ду	—х
1 dw	1
у2 ди	х ’
Вычисляя вторую производную
d2z _ 1 d2u> ди 2 dw _ х d2w 2 dw
 ду2	у2 ди2 ду у3 ди у* ди2 у3 ди’
убеждаемся, что данное уравнение принимает вид = 0. ►
171 д2* о д2* , д2* п	j.
171. •т-т - 2	- + -г-т = 0, если и = х + у, »=-,w =
дх2 дх ду ду2	х
z
х'
Ч Применяя формулы (7), п.4.2, находим
$ 4. Замена переменных
183
Дифференцируя полученные равенства, находим вторые производные
d2z _ d2w	у d2w	у2 d2w	dw
дх2 Х ди2	х ди dv х3 dv2	ди ’
d2z _ d2w	fy	Л d2w	у d2w dw
дх dy Х du2	\ х	) dudv	х2 dv2	dv ’
d2z _ d2w	d2w	1 d2w
dy2	du2	dudv	x dv2
Заменяя в данном уравнении вторые производные найденными их значениями, получаем
— = 0 ►
- и. г
1 гт г» д2 z д2 z d2z
172. -т-т- 4- 2—— + —г = 0, если и = х +у, v = х - у, w = ху - z.
дх2 dx ду ду2
◄ Применяя те же формулы, что и в предыдущем примере, находим
dz _	dw	dw	dz	_ dw	dw
dx	du	dv	dy du	dv	X'
Далее,
d2z _ d2w d2 w d2w d2z _ d2w d2w d2z _ d2w d2w d2w
dz2 du2 du dv dv2 ’ dx dy du2 dv2 ’ dy2 du2 du dv dv2
Таким образом, — 1=0. ►
d2z d2z dz	1,	, Ъ 1 v
173’ Э? + ^Э?+а; = г’еСЛИ“=2(а: + у)’,’=2(1“у)’и' = ге ’
4 Согласно формулам (7), п.4.2, имеем
aw 1 , aw 1	„	„
dz = _	- Le~v (— +
dx	—e»	2 \du dv) '
Находим вторые производные
d2z _	1	f d2z	d2z	32z\	d2z	_ 1	f d2z d2z	dz	3z\
dx2	4*	\^<?u2	dudv	dv2 j	dxdy 4?	dv2	du	dv J
Записываем теперь преобразованное уравнение:	= 2w. ►
174. В уравнении
q2	а2 _	о2 _
^ + ?)У-(1+р + 7 + 2р?)^+р(1+р)^ = 0,
dz dz
где р = — и а = —, положить и = х + z, v дх	ду 4 Находим производные = р и = 0W 1	dw Р=—g=-2!s- Р	А ’ а	у Отсюда dw / dw j \ g(l + g) = -^-^_..J Л l+? + ? + 2pj = -^( Замечая, что	= у + z, w = х + у + z, считая, что w = w(u, v). g (см. формулы (7), п.4.2): ~ 1	. dw dw —, где А = — +  	1. 1	ди ди dw / dw 1 \ , Ю+₽) = -вЛ- ’	(1) dw _ dw	dw \ du dv	du dv / '
184 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
находим вторые производные:
д2г _др ди	др ду	_ д	$	д	£-1
дх2 ди дх	dv дх ди	\ А / А	dv	\ А I А
d2» dw /3w _ Л
Эи Эи Эи \ Эи /
d2z _ dp du dp dv _
dx dy du dy dv dy
1 / d2w dw f dw	\ d2w f dw	dw	\	d2w dw /dw
A3 \ du2 dv \ dv	/	+ dudv \ du	dv	J	dv2 du \du
d2w dw (dw \ d2w (dw
_ 2______________114-----I____
du dv du \dv J du2 \ dv
(2)
2
d2z _ dq ди dq dv _
dy2 du dy dv dy
Из равенств (1), (2) и данного уравнения следует, что = 0. ►
Т7Ч тт	92z	( 92z V n	r
I/O. Показать, что вид уравнения -г—г -т-r — -—= 0 не меняется при любом
dx2 dy2 \дхду J
распределении ролей между переменными т, у и я.
< Пусть, например, г — функция, а у и z — независимые переменные. Используя
инвариантность формы первого дифференциала, получаем
дх	дх I dz	dz ,
dx = — dy + — —dx + — dy
dy	dz A dx	dy
Сравнивая коэффициенты при dx и dy, получаем систему
дх dz	п дх	дх дг
1 =-----, 0 =----1-----,
dz дх ду	dz ду
дх
и	dz 1
из которой находим = -gj-
37
Находим вторые производные:
d2z _ Э / J_\ dz _
дх2 dz \ — I дх (8l\3’
\dzj
dz
dz
_	/ дх \
d2z _ д j ~"ау |	Э
ду2 ~ ду I I + Эя
Следовательно,
2	/	\	/	\	82а дх — 82а дх
Э Z ___ Э I 1 \ Э I	__ dz2, Qy dzdy dz
дхду ду I ££ j dz I ду
°2 -	82х 8х дх ,
dz ду dz ду
/ дх\^
8а \
~ ау | dz __
1^'~
дх\3
2
д2z д2z / d2z V _ ( д2х д2х	/ д2х \2\ IЭт\2 _
дх2 ду2	удхдуJ I dz2 ду2	\dzdyj I \dzJ	’
a2i a2»	( a2» \2 n
T' e’ az7 ей7 ^azOjJ ~ °-
Аналогично поступаем, считая у функцией, а х и z независимыми переменными. ►
176. Преобразовать уравнение
. /9z Эг\ d?z	„ / Эя —д2* л.с (— —— о
\ дх ’ ду J дх2 \дх’ ду J дх ду ( дх ’ ду J ду2 ’
$ 4. Замена переменных
185
применяя преобразование Лежандра
dz	dz „ dz dz
—, Y = -7“, Z = x-—h y-----------z,
dx	dy dx ” dy
(1)
где Z = Z(X, У).
•4 Предполагаем, что функция z = z(x, 3/) удовлетворяет условию
J = Л / a2z У _ т>(х, у)
dx2 dy2 ydxdyj T>(x,y)
(2)
Дифференцируя третье из равенств (1) по х и по у и учитывая, что
ay ay a2z
-г-, т- - хт, получаем
дх ’ Оу ду2	J
qx _ a2z ах _ a2z
Sx а®2’ ду дхду
3Z 32z 9Z d2z d2z 92z 9Z d2z 9Z 92z
dX dx2 + dY dydx Xdx2 ~^ydydx' dX dxdy dY dy2
d2z	d2z
1 dxdy	dy2
Отсюда, в силу условия (2), находим
dZ dZ
dX’ У dY
(3)
Х =
Далее, дифференцируя равенства (3) по х и по у, имеем две системы:
_ d2Z d2z d2Z d2z	d2Z d2z d2Z d2z
1 ” dX2 dx2 + dXdY dxdy’	~ dXdY dx2 + dY2 dxdy
~_d2Z d2z d2Z d2z d2Z d2z d2Zd2z
~ dX2 dx dy + dX dY dy2 ’	~ dY dX dx dy + dY2 dy2
с определителем отличным от нуля:	= 7 / 0. Поэтому указанные системы однозначно
определяют вторые производные:
2	О 4	а2	° 4	-2	° 4
д z _	ays	д z	_ ах ау	° z	_ ах2
dx2 J”1 ’ dx dy I-1 ’ dy2 I-1
Используя равенства (1) и (4), записываем преобразованное уравнение в виде
Г\2 Г7	q2 Г7	7
А(Х, У)^ - 2В(Х, У)^ + С(Х, У)У = 0. ►
Упражнения для самостоятельной работы
128.	Принять у за новое независимое переменное и преобразовать уравнение у" — ху'3 +
еуу' — 0.
129.	Преобразовать уравнение у'у'" — Зу''2 = 0, приняв независимое переменное х за
функцию от у.
130.	Принять у за новое независимое переменное и преобразовать уравнение
Г2 IV . Л Z // w . . с X/3 п
У У - 10у у у + 15у =0.
131.	В уравнении х2у" + Зху' + у = 0 положить х = е‘.
132.	Преобразовать уравнение х3у"‘ + 2х2у" - ху' + у = 0, положив t = In х.
133.	В уравнении (г + а)3у"' + 3(z + а)2у" + (г + а)у' + Ъу = 0 положить i =; 1п(т + а).
134.	В уравнении (1 + х2)2у" + 2х(1 + х2)у' + у = 0 положить х = tgt.
135.	Показать, что уравнение
I	jk , __	_
т ^еа»+е-а» т (еах+е_3»)3 — и
186
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
при помощи подстановки х = |ln tg2t преобразуется к виду у" 4-4m2 у = 0.
136.	Преобразовать уравнение
(l-x2)V-2I(l-I2)y' + B = °-
еа<-1
ПОЛОЖИВ X = о, , , .
eJ‘+l
Преобразовать к полярным координатам, положив х = т cos<p, у = г sin у>~.
137.	£Z=2i-. 138.
139.	Преобразовать уравнение
1	4- ху = 0,
dx2 dx а ’
u	. X*
приняв за новый аргумент t = —.
140.	Преобразовать уравнение
взяв за аргумент у и за новую функцию z — In .
141.	В уравнении х^ + у— - z = О положить и = х, v = и принять и и v за новые
независимые переменные.
142.	Преобразовать уравнение
(I + mz)|f + (У + п^)^ = 0,
w+nz
приняв и и v за новые независимые переменные, если и = ж, v = ^тг'
Приняв и и v за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения:
л д2! , в22 .2 л Л 2	2
143.	4-	+ т z = 0, 2х = и — v , у = uv.
144-	+ 2(у - »3)|; + x2y2z - °>х = у - v 
Преобразовать оператор Лапласа Ди =	4-	4-	, полагая:
145.	х = са/3, у = j(/32 — a2), z -- z. 146. х = а ch {cos у, у = ash {sin р, z = z.
§ 5. Формула Тейлора
5.1. Формула Тейлора.
Если функция х i->- /(я), х g S(xo, 6), х = (ц, Х2, ..., хт), Хо = (г?, х%, ..., !„), являет-
ся п 4-1 раз дифференцируемой в окрестности S(xo, 6), то для всех точек этой окрестности
справедлива формула
f(x) = f(xo) + V 1 ((n -	4- ... 4- (Хт -	/(яо) + й„(я),	(1)
* К: \	ОХ\	(fXm/
fcsl
где
1	/	л	л \
Л^ + ^-^о)), 0<в<1.
tn + ij! \	oxi	охт/
§ 5. Формула Тейлора
187
5.2. Ряд Тейлора.
Если функция х /(«), х 6 S(as0, £), бесконечно дифференцируема и lim Я„(х) = 0, то
п—*оо
эта функция допускает представление в виде степенного ряда
/(®) = /(*<)) +У2 г, ((®1 -х?)^- +	К3*}’ W
* Ki \	ох\	ах т /
к=1
который называется рядом Тейлора для функции / в окрестности S(xq, 6). Частные случаи
формул (1), п.5.1, и (1), п.5.2, при X: = 0, 0 = (0, 0, ... , 0), соответственно называются
формулами Маклорена и рядом Маклорена.
177.	Функцию /(г, у) = 2г2 — ху — у2 — 6г — Зу + 5 разложить по формуле Тейлора в
окрестности точки (1, —2).
◄ Данная функция имеет непрерывные частные производные любого порядка. Поскольку
все частные производные порядка выше второго равны нулю, то остаточный член Rn Vn > 2
обращается в нуль, и формула Тейлора принимает следующий вид:
/(«, ,) = /(1, -2) +	- 1) + Э/(^~2)(У + 2) +
+1	-1)"+- D(,+ч++гГ]  т
2 у дх2	дхду	ay2	J
Находим частные производные:
^^ = 4х-у-6, dJ^ = -x-2y-3,
d2f(x, у) _ d2f(x, у) _	32/(х, у) _
дх2 ’ дхду ’ ду2
Вычисляя в точке (1, —2) значения функции и ее производных
/(1,-2).5,	=	ЭД1^)=о,
дх	ду
37(1, -2) =	а2/(1, —2) =	37(1, -2) =
дх2 ’ дхду ’ ду2
и пользуясь разложением (1), получаем
/(®, у) = 5 + 2(х - I)2 - (г - 1)(у + 2) - (у + 2)2. ►
178.	Функцию /(г, у, г) = х3 + у3 + г3 — Зхуг разложить по формуле Тейлора в
окрестности точки (1, 1, 1).
◄ Поскольку все частные производные порядка выше третьего равны нулю, то остаточ-
ный член Rn формулы Тейлора равен нулю для всех п 3. Следовательно, в данном случае
формула Тейлора принимает вид
/(х,у, г) = /(1, 1, l) + d/(l,l, l)+ld2f(l, 1, l)+ld3y(l, 1, 1),	(1)
где dx = х — 1, dy = у - 1, dz — z - 1. Вычисляя в точке (1, 1, 1) значения функции и ее
дифференциалов
/(1,1,1) = 0, d/(l, 1, 1) = 0,
d2/(l, 1, 1) = 6 ((х - I)2 + (у - I)2 + (л - I)2 - (х - 1)(у - 1) - (х - 1)(л - 1) - (у - 1)(л - 1)),
<*7(1, 1, 1) = 6 ((х - I)3 + (у - I)3 + (л - I)3 - 3(х - 1 )(у - 1)(х - 1))
188 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
и пользуясь разложением (1), получаем
/(г, у, z) = 3 ((х - I)2 4- (у - I)2 + (z - I)2 - (х - 1)(у - 1) - (х - l)(z - 1) - (у - l)(z - 1)) 4-
4- (х - I)3 4- (у - I)3 4- (z - I)3 - 3(х - 1)(у - l)(z - 1). ►
179.	Найти приращение, получаемое функцией У(х, у) = х2у 4- ху2 — 2ху при переходе
от значений г = 1, у = — 1 к значениям ii = 1 4- Л, у\ = — 1 4- к.
◄ В данном случае разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки (1, —1)
можно записать в виде
Д/(1, -1) = /(х, у) - /(1, -1) = a/(^~1}(x - 1) + ^-1\у +1) +
* - •><«++»’)+
Полагая здесь х = 14-Л, у = -14-1; и вычисляя указанные производные, получаем Д/(1, —1) =
k - Зк - h2 - 2hk 4- к2 4- h2k 4- k2h. ►
180.	В разложении функции /(х, у) = г1 по формуле Тейлора в окрестности точки
(1, 1) выписать члены до второго порядка включительно.
Ч Находим сначала частные производные до третьего порядка включительно:
Л(*, у) = ух!'~1, /»(*, у) = x^lnx;
ЛИ1-») = y(y-l)®t'-2, Л'у(®> у) = t1 + уЬх)хк-1, /'2(1, у) = хЧп2х;
ЛИ*, У) = у(у- l)(y -2)xs-3, f^v(x, у) = (2у - 1 4-у(у - 1)1пх)х“-2,
Ли®(ас> у} = (s1"2 1 4-21nx)xs-1, У'"(х, у) = хЧп3 X.
Затем вычисляем значения функции и ее производных первого и второго порядков в точке
(1, 1): /(1, 1) = 1, /'(1, 1) = 1, /'(1, 1) = 0, /”3(1, 1) = 0, f''s(l, 1) = 1, /''2(1, 1) = 0 и
записываем дифференциалы первого и второго порядков в этой точке:
df(l,l) = dx, d2f(l, 1) = 2dxdy.
Искомое разложение запишется в виде
/(х, у) = /(1, 1) 4- df(l, 1) 4-1 rf2/(l, 1) + Я2.(14- 9dx, 1 + 9dy) =
= 1 4- dx 4- dx dy 4- Я2(1 4- 9 dx, 1 4- 9dy),
где
dx = x — 1, dy = y— 1, 0 < 9 < 1;
Ri(x, y) = |d3/(x, y) =
= £ (jOM)	32y-_l.±y(y-.1).?°® dx2d + 3yln2x + 21nx 2	3 x d зк
буя3	x2	X	J
181.	Разложить по формуле Маклорена до членов четвертого порядка включительно
функцию /(х, у) = а/1 - х2 - у2.
§ 5. Формула Тейлора
189
< Находим дифференциалы функции / до четвертого порядка включительно:
/(х, У) = (1 -х2 -у2)2, df(x, у) = |(1 - х2 -y2}~2(-2xdx - 2ydy),
d2f(x, у) = - j(l - x2 - y2)~2{-2xdx - 2ydy}2 + 11 - x2 - y2}~2(-2dx2 - 2dy2),
4	I
d3f(x, y) = ^(1 — x2 — y2) 2 (-2xdx-2ydy)3 — |(1 -x2-y2) 2 (—2xdx~2ydy}(-2dx2 — 2 dy2},
15	1
<?f(x, y} = -—(1 - X2 - y2} 2(-2xdx - 2ydy)4 4-
ID
4- 7(1 — r2 — y2) 2(—2xdx — 2ydy)2(-2dx2 — 2dy2} - -(1 — x2 - y2} 2(-2dx2 — 2dy2}2.
4	4
Полагая здесь x = у — 0, dx = x, dy = у, получаем
/(0, 0) = 1, df(O, 0) = 0, d2f(0, 0) = -(x24-y2), d3/(0, 0) = 0, d4/(0, 0) = -3(x2 + y2}2.
Теперь легко записать требуемое разложение:
/(0, 0) + d/(0, 0)4-1 d2/(0, 0) + 1 d3f (0, 0) + 1 d4/(0, 0) = 1 - 1 (x2 4- у2) - |(X2 + у2 )2 - ...  ►
182.	Вывести приближенные формулы с точностью до членов второго порядка для
выражении: а) ——; б) arctg -----j—.
а) Пользуясь формулами
t2	1
cost	=	1 - — 4-o(t2),	у—= 1	4- д 4- у 4- о(д2),
справедливыми	соответственно при	t —►	0	и	q	—>	0,	получаем
COSX	1~7Х24-о(х2)	/	1 2	2	\	/	1	2	2\\
	=---1-------=11 — т'Х2 4- о(х2) )(14- ту2 4- о(у ) 1 =
cosy---------------1 — -у2	о(у2)-\	2	/	\	2	J
= 1 - |х2 4- |у2 4- Х2о(у2) 4- у2о(х2) я 1 - г 2 У
б) Обозначая /(х, у) = arctg > вычисляем /(0, 0), d/(0, 0), d2/(0, 0):
/(0,0)>>rct6l = I; №,) =	«"») = *
,2,.	.	-(2(1 +y)dx - 2х dy) (2(1 -x4-y)(-<ix 4-</у) 4- 2(1 4-х 4- y)(dx 4- dy}}
d f(x, у} =-------------------------------------------------------------L
((1 - X + у)2 4- (1 4- X 4- у)2)2
d2f (0, 0) = —2 dx dy.
Далее, пользуясь формулой Маклорена
f(x, У} = f (0, 0) 4- df(O, 0) + 1 d2f(O, 0) 4-	,
b
где dx = x, dy = у, получаем искомую приближенную формулу
1 4- х 4- у х ,
arctg с---:— « - 4- х - ху. ►
1-х+у	4
183.	Упростить выражение cos(x 4- У 4- х) — cos х cos у cos z, считая х, у, z малыми по
абсолютной величине.
Ч Используя формулу Маклорена для cost, имеем
х2	»2	z2	1
cosx = l—— ( cosy я 1——, coszszl ——, cos(x 4-у 4-2) « 1--------(х 4-у 4-х)2.
2	2	2	2
190
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Заменяя в данном выражении косинусы полученными приближениями и отбрасывая ве-
личины выше второго порядка малости, находим
1	(	х2\ (	у2\ f	z2\
cos(z + у + z) - coszcosycosz и 1 - -(z -f-y + z)2 - I 1 - — I ( 1 - — I 11- — ) =
2	V * I \	* / \ “I
= 1 - i(z2 + y2 + z2) - (zy + zz + yz) - 14- ^(z2 + y2 + z2) - j(z2y2 4- X222 + y222) + |z2y2z2 Я
2	2	4	о
a -(zy + zz + yz). ►
184.	Функцию F(z, y) = i(/(z + /i, y) + /(z, у 4- h) 4- /(z - h, y) + f(x, у — h)) -f(x, y)
разложить по степеням h с точностью до A1.
◄ По формуле Маклорена, имеем
F(x, y) = -(f + hf'x + у/"а 4- -т-Л'з + —f™ 4- o(h4)+
4 \	2	0	24
+ / + hfy 4-	+ "g"/»’ + 24^ +	+ / _	~	+ 24+
+ f~hf'v + —fyj - —f'yl +	+ o(A4)^ - f,
где значения функции f и ее производных f^n\ п = 1, 4, вычислены в точке (г, у). После
приведения подобных получим
F(х, ») =	+ #) + о(А4). ►
185.	Разложить по степеням h и к функцию
у) = f(x + h, у + к) - /(z + h, у) - f(x, у + к) + f(x, у).
4 Сначала запишем разложение функции (Л, к) i-» f(x + h, у + к) по формуле Маклорена:
Д1 + А,у + М=/(х,у) + Д^ + ^4^4-
дх	ду 2 дх2
дхду 2 ду2	п!
п=3
у дх дуJ
(1)
Представляя символическую запись n-го дифференциала в следующей форме:
Гh— + к—f(x у} — П‘ hmkn~m дП^х’ =
I дх ду J ’	гп!(п — пт)! дхт дуп~т
= V "! hmkn-m	+ кпдПКХ’ + кпдП^Х’
2—! т!(п — т)! дхт дуп~т дхп	дуп ’
mssl
разложение (1) запишем в виде
/(.+к, ,+ц=я., ,)+л^+^4	4
дх ду 2 дх2	дх ду 2 ду2
+V V 2C£ZL 9nf(x,y)	А £ f „3"f(z, у)	nay(z, у)\
m!(n — т)! дхт	п! \ дхп	^Vn )
ns3 т=1	4	'	nss3 Х	z
$ 5. Формула Тейлора
191
Далее, используя это равенство и разложения функций f(x + h, у) и f(x, у-\- к):
f(r 4- h «1	fix	»1 + hdf(X'	+ V	дП^Х' У}
f(x + h,y)	=	f(x,y) + h—^~ +	—	9х2- +2^п,	дхП >
П=3
ft ±М	fl	'^f(x,y)	к2 d?f(x,y) ^kn	dnf(x,y)
f(x,y + k)	= f(x,	,) + *_^ +	t—- + 2,^-^-,
n=3
записываем разложение функции Д1г)/(т, у):
Л fl '	r,^f^y)	hmkn~m rf(x,y)
bxyf(x,y)-hk дхду + 2^ 2> m\(n - m)! дх™ дуп~™ ’ *
n=3 m=l
186.	Разложить по степеням р функцию
2тг
•^(р) = Л / /(z + pcosp, y + psinp)^,
2л- J
о
где функция / дифференцируема любое число раз и разлагается по степеням р в степенной
ряд.
•< Запишем разложение функции (р, <р) н-> fix-^-pcosp, y+psin <р) по формуле Маклорена:
00 к / Q	Q \ *
/(i + pcos<p, у + psin¥’) = f(®.у) + 52 I? (C0S*’ai' +sin¥,dy ) ^X' y^'
*=i	' '	'
Предполагая почленное интегрирование этого степенного ряда возможным, получаем разло-
жение функции р I-+ F(p) по степеням р:
Лр) = /(«, У) +
Lfei J(COS¥,^+sin¥x)
*-i	0
Поскольку
А д д \	d*/(i, у) j . k-j
(cos + sm <pTy } f(x, y) = £	cos <psm
4	'	j=0
то разложение функции p i-> J’(p) можно записать в виде
00	k	2,r
K(p) = f(x, 3,) + f й жЬу	i /cosJ ^k~3^-
к=1	j=0 J	Jo
Рассмотрим интеграл
2ir

<pd<p.
(1)
(2)
Если j = 2m — 1, to cosJ\>sinfc <p dtp = P*_i(sm¥’)(i(sin¥>), где Pk-i (sin — многочлен
степени к — 1. Отсюда следует, что
1(2т — 1, к — 2т +1) =
2ir
P*_i(sm d(sin 9?) = 0.
о
192
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
Аналогично, если к = 2п — 1, то I(j, 2п — 1 - j) = 0.
Следовательно, интеграл (2) отличен от нуля только в том случае, если к = 2п, j = 2т:
21Г
I(2m, 2n — 2m) = j cos2m <psin2n~2m <2<р.
о
Вычисляя этот интеграл интегрированием по частям, получаем
7(2m, 2п — 2m) = г——7——-1(2т — 2, 2п — 2т + 2).
2п — 2m 4" 1
Отсюда следует, что
/|2т, 2„ - 2™) . ---(2т-1)(2--3).. 2.1;1(0,2.)------_
(2n — 2m + 1)(2п — 2m 4- 3) ... (2п — 3)(2п — 1)
(2m —
l)!!(2n - 2m - 1)!!
(2п- 1)!!
1(0, 2п).
Пользуясь тем, что
г/п О А 1 [  2п	,	2 / . 2„ ,	(2п -1)!!
1(0, 2п) = — / sm	- /sin ydy = v ,
О	о
получаем
I(2m 2п - 2ml - (2m - l)!!(2n - 2m - 1)!! (2n - 1)!! _ (2m - l)!!(2n - 2m - 1)!!
I ’	(2n -1)!!	(2n)!! “	(2n)!!
Далее, учитывая, что (2k — 1)!! =	= ^7, окончательно имеем
.	.	(2m)!(2n — 2m)!	. .
I(2m, 2n - 2m) =	(3)
v	’ 22nn!m!(n — m)!	v ’
Заменяя в разложении (1) к на 2n, j на 2m и используя равенство (3), получаем
F(o} = fix «1 + V р2П V (2”)!	(2m)!(2n - 2т)! d2nf(xy)	=
(2п)! _0 (2т)!(2п - 2т)! 22"п!т!(п - т)! дх2т ду2п~2т
оо / р\2л fi	2^	00
= f(x, у) + 52 (b)2’ 52 т!(п-т)! дх^ду2^ = у) + 52	(2)
П=1 4	'	т=0 v	’	n=l V 1
где д = 5^ + ё- ►
Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
187.	f(x, y) = (i + x)m(l + y)n.
◄ Имеем
f(^, у) = f(o, 0) + df(o, о) + 1 а2/(о, 0) 4- ... •	(1)
Вычислим в точке (0, 0) значения функции и ее дифференциалов:
/(0, 0) = 1,
df(O, 0) = т Дх 4- п Ау,
d2f(O, 0) = m(m - 1) Дх2 4- 2mn Дх Ду 4- п(п — 1) Ду2,
Полагая здесь Дх = х, Ду = у и подставляя результат в равенство (1), получаем разложение
функции (х, у) I—► f(x, у) в ряд Маклорена:
f(x, у) = 1 4- mx 4- пу 4- i (m(m - 1)х2 4- 2mnxy 4- n(n - 1)у2) 4- .... ►
§ 5. Формула Тейлора
193
188.	f(x, у) = 1п(1 + X + у).
◄ Поскольку (г, у) н+ 1 + х 4- у — линейная функция, то форма дифференциала любого
порядка обладает свойством инвариантности. Поэтому
СЮ	/	, _
п=1
у НЕ у_______2!___хт ,
l—s п L-* m.!(n — т)!
n=l	m=0
У У (-!)”(”- 1)! m n-m
mi(n - m)! s
n=l m=0
I® + y| < 1. ►
189.	f{x, y) = e1 * * sin у.
◄ Ряд Маклорена для функции
/(х, У) = /(0, 0) + £ 1 (х+ у~\ /(0, 0)
П=1	'	'
преобразуем следующим образом:
ОО	/	к П
f(x,y) = Y'^{x— + y—\ 7(0,0) =
' п!	\	дх	ду I
п=0	4	'
А 1 A n!xmyn~m УДО, 0)
2—/ n! A1 tn!(n - т)! дз^т дуп~т
п=0	т=0
°°	п—т	яплл п\
У' X У__________° ДО, 0)
2—i 2-j m!(?i — т)! дхт дуп~™
Полагая п — т = к, получаем
Z-/Z-^ zn!fc! дхт dyk
kssO т=0
(1)
Для нашего случая
Эот+*Дх, У) _ y+Vsiny) _ х . (
дхт дук дхт дук е sm (У 2 Д
Отсюда
Эт+,:Д0, 0) _ . U_f (-1) п, если fc = 2n + l,
дхт дук ~ SUl 2 ~ 1°, если к = ^п-
Подставляя последнее выражение в формулу (1), получаем
ОО оо
e*siny = y £
П = 0 7П = 0
(-l)nxmy2n+1
m!(2n + l)l ’
|®| < оо, |у| < оо. ►
190.	Д®, у) = excosy.
< Используем формулу (1) из предыдущего примера. Для этого находим производные
_ ^m+fc(eI cos у) х ( кт\
дхт дук дхт Qyk ~6 cos (У "2/
и вычисляем их значения в точке (0, 0):
П!Ж£1 = со5^ = ( (-1)", если fc = 2n,
дхтдук 2	0, если fc = 2n + l.
Пользуясь формулой (1) из предыдущего примера, окончательно получаем
А V5 (-1)пхтв2п
е1 cosy = 2> 2_> m!(2n)!~’ I1! < °°‘ 1»1 < °°- ►
r»sO m=0
194
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
191.	a) f(x, у) = sin х shy; б) f(x, у) = cos х ch у.
◄ а) Находим производные
dm4-*f(x, у) _ dm+fc(sinxshy) _ [ sin (х + ^) sh у, если- k = 2»,
дхт дук	дхт дук	sin (я + ch у, если k = 2n + l.
Полагая здесь х = 0, у = 0, имеем
Г"»».-) =(_Ц., если m = 2s + 1, к = 2n + 1,
дхт ду*
dm+kf(ft, 0) „
—-— 2, -/— = 0 в остальных случаях.
дхт дук
Используя формулу (1) из примера 189, получаем
АД (-1Гх2’+1«2п+1
sin х sh у =	7—-——----------г-, |х| < оо, |у| < оо.
у	(2Л +1)!(2п + 1)!
б)	Аналогично предыдущему случаю находим
3rn+'If(x, у) _ dm+*(cosxchy) [ cos (х + ”) сЬУ, если к = 2п,
дхт дук	дхт дук | cos (х + sh у, если к = 2п + 1.
Отсюда
дхтдук v '
дт+к/(0, 0)	„
—т---- = 0 в остальных случаях.
дхт дук
Подставляя найденные значения производных в формулу (1) из примера 189, получаем
,	AA(-i)’x2ay2" . .	. .
cosxch» = y^-——ур |х| < оо, |у| <00. ►
5=0 п=0 к 7 v 7
192.	/(х, у) = sin(x2 + у2).
«I Используя известное разложение
А НГ-Ч2"-1
sin а = > —77---т-—,
(2п —1)!
п=0
справедливое при |и| < оо, получаем при а = х2 + у2 формулу Маклорена для sin(x2 + у2):
sin(x2 + y2) = £i---’ l2+»2<+°°^
193.	Написать три члена разложения в ряд Маклорена функции
?ydt.
о
◄ При |х| < 1, |у| < 1 имеем
J (1 +	+|<2»(*2» -1)®2 + • •
О
§ 5. Формула Тейлора
195
После интегрирования находим /(х, у) = 1 + | ^х — — j у +.... к
194.	Функцию (х, у) >-* el+sz разложить в степенной ряд по целым положительным
степеням биномов (х - 1) и (у - 1).
< Поскольку степенной ряд является рядом Тейлора для функции f, то для получения
требуемого разложения применим формулу (1), п.5.2, которая запишется в виде
Лх, У) = Л1-1) + £ V(* -1)^ + (у - 1)^У ж 1)- (П
П=1	'	'
Преобразуя данную формулу
№•.») i У - +{у~/{1> 1}=Е
п=0	'	'	П = 0 7П=0
n!(x — l)m(y - l)n~m
т!(п — т)!
апЛ1> 1)
Эхтдуп~т
и обозначая п — т = к, получаем
Ас=О т=0
— 1)т(у — 1)* dm+kf(\, 1)
m!fc!	dxm dyk
(2)
Находим производные
am+V(x, у) =	= dme*	v = ^у
дхт дук дх™ дук дхт дук	’
затем вычисляем их значения в точке (1, 1): 9= е2 и, подставляя в формулу (2),
получаем
ФО ОО .	. L~ .	. l
,,	\	2V'V'(2:~1) (у ~ 1)* । । II
Лх, у) = е 2^ 22 1W < °0’ 1»1 < °0- ►
195.	Пусть z — та неявная функция от х и у, определяемая уравнением z3 — 2xz + у =
О, которая при х = 1 и у = 1 принимает значение z = 1. Написать несколько членов
разложения функции z по возрастающим степеням биномов (х — 1) и (у - 1).
◄	Из условия задачи следует, что z(l, 1) = 1. Находим частные производные от z как от
неявно заданной функции:
dz _ 2z dz _	1
dx 3z2 — 2x ’ dy 3z2 — lx ’
d2z _ 2(3z2-2x)g-2(6z^-2)z d2z = 6zg - 2 d2z
dx2	(3z2 — 2x)2	’ dxdy (3z2 — 2x)2 ’ dy2 (3z2 - 2x)2 ’ ' ’ "
В точке (1, 1)
— = 2 — = -l	d2z -in d2z - к
dx ’ dy 11 dx2 16, dxdy 10’ dy2 ~ 6’'
Используя формулу (2) предыдущей задачи, получаем
z(x, у) = 1 + 2(х _ !) ” (У ~ - 8(х - I)2 + 10(х - 1)(у - 1) - 3(у - I)2 + ... . ►
Упражнения для самостоятельной работы
147.	Функцию f(x, у) — х +ry -f-xy+x-p^ разложить по формуле Тейлора в окрестности
точки (1, 1).
Разложить по формуле Маклорена следующие функции:
148.	f(x, у) = el+v. 149. Л«> ») = ®2smy + Cos(x + у). 150. Л®> у) = е1’-1'2.
196 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
§ 6.	Экстремум функции векторного аргумента
6.1.	Определение локального экстремума.
Пусть функция х I-+ /(х), х = (ii, Х2, ... , гп), определена на множестве ВсК" и точка
Хо = (т?,	, х°), хо € D. Говорят, что функция f имеет в точке хо локальный максимум
(минимум), если существует такая окрестность S(xo, 6) = {х : 0 < р(х, хо) < О точки хо,
что для всех точек х g S(xo, 6) П D выполняется неравенство
/(х0) > /(х) (/(хо) С /(х)).	(1)
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный
экстремум, а точки, в которых он достигается, называются экстремальными топками.
Если функция / имеет в точке х0 локальный экстремум, то полное приращение Д/(хо) =
f(x) - /(хо), х € S(xo, 6) Л D, этой функции в точке х0 удовлетворяет одному из следующих
условий: Д/(хо) 0 (в случае локального максимума), Д/(х0)	0 (в случае локального
минимума).
6.2.	Необходимое условие локального экстремума.
Пусть функция f имеет в точке Хо локальный экстремум. Тогда если в этой точке су-
ществуют частные производные первого порядка по всем переменным, то все эти частные
производные равны нулю. Таким образом, в этом случае экстремальные точки функции /
удовлетворяют системе уравнений
ЛД®о)=0, > = Г"п.	(1)
Если же функция f дифференцируема в точке х0, то соотношение
df(xo) = 0 (/'(асо) = 0)	(2)
является необходимым условием локального экстремума. Точки, в которых выполняется
условие (1) или (2), называют стационарными точками. Функция / может принимать ло-
кальный экстремум только в стационарных точках или в точках, в которых частные про-
изводные первого порядка не существуют. Все эти точки называют точками возможного
экстремума.
6.3.	Знакоопределенные квадратичные формы.
Функция
п п
А(Hi, hi, ... , hn) —	a,,h,hj,	(1)
э=1 1=1
переменных hi, hi, ... ,hn называется квадратичной формой. Числа а,3 называются коэф-
фициентами квадратичной формы.
Квадратичная форма (1) называется положительно-определенной (отрицательно-опре-
деленной), если для любых значений переменных hi, hi, ... , hn, для которых выполняется
условие hi + h% + ... 4- h„ > 0, эта форма имеет положительные (отрицательные) значения.
Положительно- и отрицательно-определенные формы объединяются общим названием — зна-
коопределенные формы.
Сформулируем критерий знакоопределенности квадратичной формы — критерий Силь-
вестра. Для того чтобы квадратичная форма (1) была положительно-определенной, необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
оц ага ... ащ
021 022 ... й2п > Q
0п1 Оп2 . • . . Опп
Для того чтобы квадратичная форма (1) была отрицательно-определенной, необходимо
и достаточно, чтобы имели место неравенства
“и
“21
031
012
022
032
013
“23
“33
„ л “П “12
011 > О,
021	022
011 < О,
011
021
012
022
> о,
“11
021
“31
“12 013
022	023
032	033
< 0, ... , (-1)"
011	“12	•		“1п
021	“22	•	•	«2п
0П1	“п2	•	. Опп
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента	197
6.4.	Достаточные условия локального экстремума.
Пусть в некоторой окрестности стационарной точки Хо функция / дважды дифференци-
а2/ / - . т—>
руема и все частные производные второго порядка ВхВх. (.*> } = 1, п) непрерывны в точке
П 2 1
Хо- Если в этой точке второй дифференциал d2f(xo) — У ВхВх. dxi dx, представляет со-
• ,>=1 * 1
бой знакоопределенную квадратичную форму от дифференциалов dii, dx^, .... dxn незави-
симых переменных, то в точке Хо функция / принимает локальный экстремум. При этом если
d2f (хо) < 0, то в точке Хо функция / принимает локальный максимум, а если d2f (то) > 0, то
локальный минимум.
Рассмотрим функцию двух переменных. Пусть в некоторой окрестности стационарной
точки (го, Уо) функция (х, у) I-* f(x, у) дважды дифференцируема и все частные производные
a2/	a2/	a2/	u	гГ
второго порядка ац — gjy, аи =	— "ёф непрерывны в этой точке, 1огда если в
точке (то, Уо)
Д(ю, Уо) = ацагг - а?2 > О,
функция (х, у) >-> /(г, у) имеет в этой точке локальный экстремум, а именно максимум при
ан < 0 и минимум при ац >0. Если же в точке (хо, Уо)
Д(хо, уо) = ацагг — а?2 < О,
то функция f не имеет локального экстремума в этой точке.
Случай, когда Д(хо, Уо) — аиаи — а'п = 0; требует дополнительных исследований.
Пусть в некоторой окрестности точки хо функция /(х) = /(ii, хг, ... , in) т раз диф-
ференцируема и все частные производные m-го порядка непрерывны в этой точке, причем
с?/(хо) = 0, d2f(x0) = ... = dm~1f(x0) = 0, dm/(x0) £ 0.
Тогда, если т нечетное, точка Хо не является экстремальной, если же т четное, то в точке Хо
функция f имеет экстремум: локальный максимум, если dmf(xo) < 0, и локальный минимум,
если dmf (хо) > 0.
Если в соотношениях (1), п.6.1, имеет место равенство для любого малого S > 0 и не-
которых значений х, отличных от хо, то локальный экстремум называют нестрогим (соот-
ветственно нестрогим локальным минимумом и нестрогим локальным максимумом). В этом
случае локальный экстремум достигается на некотором множестве точек.
Если экстремальная точка Хо принадлежит границе области D определения функции f,
то экстремум называют краевым (соответственно краевым максимумом и краевым миниму-
мом).
6.5.	Экстремум неявно заданной функция.
Если неявная функция х u(x), х g D, D ё Rn, определяется уравнением
Г(х, и) = 0,
то
F(x, а(х)) = 0, х 6 D.
Пусть функция а дважды непрерывно дифференцируема в D. Тогда в стационарной точке
хо € D справедливы равенства
iU =	dX1 + F*2 dx2 + '' ’ + dXn) = °’	ф
Е(хо, ио) = 0,
где ао = а(хо). Поскольку справедливо и обратное утверждение, то стационарные точки
могут быть найдены из системы
г;. =0, i = Уп, F = 0.
198 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Еще раз дифференцируя первое из равенств (1) и учитывая, что в стационарной точке du — О,
получаем
п _ 2 л
<*2« = - 4- 52 йТэТ" dXi dXi •	(2)
х* u OXi (УХ i
i,J=l
Если d2u > 0 в точке То, то функция и имеет минимум, если же в этой точке d2u < 0, то
максимум.
6.6.	Условный экстремум.
Пусть функция f(x, у) = f(ii, ... , in, yi.Ут) определена на некоторой области
D С Rn+m. Пусть, кроме того, на переменные х, у наложено т дополнительных условий
Е1(т, у) = О,
F2(x,y)=0,
Fm(x, у) = О,
которые называются уравнениями связи.
Говорят, что функция f имеет в точке (хо, Уо) условный максимум (условный минимум),
если неравенство f(x, у) f(xo, Уо) (f(x, у) f(xo, у0)) выполняется в некоторой окрест-
ности точки (хо, Уо) при условии, что точки (х, у) и (хо, Уо) удовлетворяют уравнениям
связи (1).
___Исследование функции на условный экстремум при наличии уравнений связи F, = 0, j =
1, т, сводится к исследованию на обычный экстремум функции
т
ф(«, у) = /(«, у) + 52 AJF]I'X’ »)’	(2)
j=i
называемой функцией Лагранжа, где A j, j = 1, т, — постоянные множители. При этом
знак второго дифференциала </2Ф(хо, у0) в стационарной точке (хо, у0) определяет характер
экстремума при условии, что дифференциалы dxi, dx2,  , dx„, dyi, dy2, ... , dym связаны
соотношениями
V-' &Fj ,	r-л dFj ,	---
dxk	dys
k=l	S=1
6.7.	Абсолютный экстремум.
Если функция /(х) = f(xi, х2, ... , х„) дифференцируема в области D С R" и непре-
рывна на замыкании D, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений на
множестве D или в стационарной точке, или в точке, принадлежащей границе области D.
Для определения абсолютного экстремума функции f на множестве D сравниваем наи-
большее и наименьшее значения функции / в стационарных точках области D с наибольшим
и наименьшим значениями функции / на границе области D.
Исследовать на локальный экстремум следующие функции:
196.	z = х4 + у4 — х2 — 2ху — у2.
Ч Вычислим частные производные: z'x = 4х3 - 2х — 2у, z'y = 4у3 - 2х — 2у. Стационарные
точки найдем из системы
4х3 - 2х — 2у = 0, 4у3 — 2х — 2у = 0.
Она имеет три решения: ii = 0, у2 = 0; х2 = -1, у2 = —1; хз = 1, уз = 1. Для проверки
достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные an = z"2 =
12х2 — 2, ai2 = лху = —2, 022 = г'2 = 12у2 — 2 и составим выражение
Д(х, у) = он 022 - о?2 = (12х2 - 2)(12у2 - 2) - 4.
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента
199
Поскольку Д(0, 0) = 0, то для выяснения вопроса о существовании экстремума рассмотрим
приращение функции z в точке (0, 0) : Дг(0, 0) = z(h, к) — z(0, 0). Если к = h, где 0 < h <
то Дг(0, 0) = 2А2 (h2 — |) < 0. Если же к = — h, где h > 0, то Дг(0, 0) = 2/г4 > 0.
Следовательно, приращение Дг(0, 0) принимает значения разных знаков, а поэтому при
Т1 = 0, yi = 0 экстремума нет.
В точках (—1, —1) и (1, 1) Д = 96 > 0, а так как ан = 10 > 0, то в этих точках функция
имеет минимум, причем zmin = —2. ►
197.	z = 2т4 4- у4 — х2 — 2у2.
4 Из системы
zx = 8т3 — 2т = 0, z'y = 4у3 — 4у = 0
находим стационарные точки:
(«, 0), (0, 1), (0, -1), (1, о) . (1, 1) , (1, -1) , (-1, о) , (-1, 1) , (-1 -1) .
Вычисляя вторые производные z'2 = 24т2 — 2, zxy = 0, z"2 = 12у2 — 4 и составляя выра-
жение
Д(ж, у) = ацО22 - а22 — 8(12т2 - 1)(3у2 - 1),
находим, что Д(0, 0) = 8 > 0, Д(0, 1) = —16 < 0, Д(0, —1) = —16 < 0, Д (|, 0) — —16 <
0, Д (1, 1) = 32 > 0, Д (j, -1) = 32 > 0, Д (-1, 0) = -16 < 0, Д (-|, 1) = 32 > 0,
Д (-1 -1) =32 > 0.
Следовательно, точки (0, 1), (0, —1), (j, о) и (—j, о) не являются экстремальными. Точ-
ки (0, 0), (|, 1) , (|, —1) , (—|, 1) и (— |, —1) — экстремальные, причем в точке (0, 0) —
максимум (поскольку z"2(0, 0) = —2 < 0) и zma.K = 0; в точках Q, 1), (|, —1) , (—j, 1) и
(——1) — минимум (поскольку z'2 (±|, ±1) = 4 > 0) и zmin = — |. ►
198.	Z = х2у3 (6 — X — у).
◄ Составляя систему
z'x = zy3(12 -Зх- 2у) = 0, z'y = z2y2(18 - Зх - 4у) = О,
а затем решая ее, находим стационарные точки (2, 3), (0, у), где —оо < у < -|-оо; (z, 0), где
—оо < х < 4-оо.
Для проверки достаточных условий локального экстремума находим производные
z"2 = 12у3 — ёху3 - 2у4, zxy = 36zy2 - 9z2y2 — 8zy3, z'2 = 36z2y — 6z3y - 12z2y2.	(1)
Поскольку z'2(2, 3) = -162, z"K(2, 3) = -108, z'2(2, 3) = -144, а Д(2, 3) = 144 162-1082 > О,
то в точке (2, 3) функция z имеет максимум, причем zmax = 108. В точках (0, у) и (т, 0)
выражение Д = аца22 — а22 обращается в нуль, а это ничего не говорит о наличии экстремума
в этих точках.
Для дальнейших исследований вычислим приращение функции в точке (0, у), —оо < у <
4-оо:
Дг(0, у) = &х2(у 4- Ду)2 ((6 - Дг)(у 4- Ду) — (у 4- Ду)2) •
Легко убедиться, что при достаточно малых Дх и Ду Дг(0, у) 0, если —оо < у < 0 или
6 < у < 4-оо; Дг(0, у) 0, если 0 < у < 6. Причем в обоих случаях достигается знак
равенства при | Д®| > 0 и |Ду| > 0 (например, если у 4- Ду = 0). Следовательно, в точках
(0, у), где —оо < у < 0 или 6 < у < 4-оо, функция z имеет нестрогий максимум, а в точках
(0, у), где 0 < у < 6, — нестрогий минимум. В точках (0, 0) и (0, 6) функция z экстремума
не имеет, так как при 2=0 приращение Дл(0, у) меняет знак при переходе переменной у
через точки у = 0 и у = 6.
Далее, из равенств (1) следует, что второй дифференциал равен нулю в точках (т, 0),
—оо < х < 4-ос. Для дальнейших исследований вычислим приращение функции в точках
(z, 0), -оо < х < 4-оо:
Дг(г, 0) = (z 4- Дх)2 Ду2 Ду(6 — х — Дх — Ду).
200 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Пусть Дг и Ду—произвольно малые и такие, что r-f-Дг / 0, б—z-Дг —Ду/0. Поскольку
Дг(г, 0) как функция переменных Дг, Ду в точках (Дг, Ду) и (Дг, —Ду) принимает зна-
чения разных знаков, то точка (г, 0), —оо < г < +оо, не является экстремальной. ►
199.	z = г3 + у3 — Згу.
4 Вычислив частные производные и приравняв их к нулю, получим систему
z'x = Зг2 — Зу = 0, zy = Зу2 — Зг = 0.
Решив эту систему, найдем стационарные точки (0, 0) и (1, 1). Затем запишем частные про-
изводные второго порядка z"2 = 6r, zxy = -3, zy2 = бу и составим выражение Д(г, у) =
aiia22 — Oj2 = Збгу — 9. В точке (0, 0) имеем Д = -9 < 0, так что эта точка не является экс-
тремальной. В точке (1, 1) имеем Д = 27 > 0, оц > 0, следовательно, в этой точке функция
имеет минимум, причем zmin = -1. ►
onn	50	20
200.	z = ху -|--1--, г > 0, у > 0.
г у
4 Из системы
'	50 п '	20 п
^ = У-^2=0> za = I-^ = °
находим единственную стационарную точку х = 5, у = 2, принадлежащую области опреде-
ления функции. Вычислив производные zs2 = 2ху = Ь гуз = и составив выражение
Д(г, у) =	— 1, найдем, что Д(5, 2) = 3 > 0, а ац(5, 2) = | > 0. Следовательно, в точке
(5, 2) функция имеет минимум (zmjn = 30). ►
9П1	/т **
2U1. г = хул/1----7 - —.
V а2 о2
4 Из системы
/л	/ в Ь \ f G	Ь \	( О	Ь \	( Л Ь \ -t-k
находим стационарные точки: (0, 0),	-ч- , —-=,--«),	, --7=,-7= . В
\ у О у J / \ v О	уо / k v S	V v / \ Vv V *5 /
2	2
точках (г, у), принадлежащих эллипсу 1 = % + который является границей области
определения функции, частные производные не существуют, а поэтому являются точками
возможного краевого экстремума.
Для проверки достаточных условий запишем вторые производные
а затем вычислим значение Д в стационарных точках. Имеем Д(0, 0) = —1 < 0, поэто-
му эта точка не является экстремальной. Поскольку Д ^±-^=,	= 4 > 0, то точки
f± -j=,	— экстремальные. А так как
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента
201
(abi/abi.	I а Ъ \
-j- ) и I	I функция z имеет максимум, а в точках I	I и
( л ь \
('?з’ 7з) - минимум.
Остается исследовать точки (г, у), где 1 = ф  Запишем приращение функции в этих
точках:	_____________________
Az(x, у) = (х + Л)(у + М^/1 ~ ~2^~ ~ ~
Очевидно, Дг(х, у) > 0, если 0<x + h<x< а, 0<у + к<у<Ъ, или — а < х <
х + h < 0, —Ь < у < у + к < 0-, &z(x, у) < 0, если 0<х + Л<х<а, — Ъ<у<у+к<0 или
-а < х < x+h < 0, 0 < у+к < у <Ъ. Следовательно, в точках (х, у), принадлежащих эллипсу
и расположенных в первой и третьей четвертях, функция имеет краевой минимум, равный
нулю, а в точках (ас, у), принадлежащих эллипсу и расположенных во второй и четвертой
четвертях, — краевой максимум, равный нулю.
В точке (0, Ь) приращение
Дг(0, 6) = ф +
положительно при достаточно малом h > 0 и Осб+^сби отрицательно при достаточно
малом h < 0 и 0 < Ъ+к < Ъ. Следовательно, в этой точке экстремум отсутствует. Аналогично
показывается, что точки (0< — Ь), (±а, 0) не являются экстремальными. ►
0Л9	ОХ +Ьу + С 2 , .2 . 2 I п
ZUZ. Z — —— ....... ,	л +о +с 7= 0.
\/х2 + у2 + 1
Находим частные производные и приравниваем их к нулю. В результате получаем
систему
, а(х2 + у2 + 1) - х(ах + Ъу + с) , Ь(х2 + у2 + 1) - у(ах + by + с) . .
zx = ------------'-----5---------- и, zy =---------------------5--------= 0.
(х2+у2 + 1)г	(х2 + у2 + 1)2
3
Умножая первое равенство этой системы на — Ь(х2 + у2 + 1)2 , второе на а(х2 + у2 + 1)2
и складывая их, получаем уравнение (bi — ay)(ai + by + с) — 0, из которого следует, что
Ъх = ау, ах + Ъу + с = 0. Отсюда и из (1) находим стационарную точку: г=р, y=j,c^O
(если с = 0, то при а2 + Ь2 + с2 0 0 функция z не имеет стационарных точек).
Для частных производных второго порядка имеем выражения
и _ Ъу + с Зх(а(х2 + у2 + 1) — х(ах + Ъу + с))
2^2 _------------,-------------------------------------,
(х2 + у2 + 1)2	(2;2+j,2 + 1)2
» _ _ ах + с Зу(Ъ(х2 +у2 + 1) - у(ах + Ъу + с))
Zs2 —	 J	.
(х2 + У2 + 1)2
и _ ах + by
— --------— - —
(l2 + у2 + 1)2
Зху(ах + бу + с)
(х2+у2 +1)1
производных
(а Ъ \	а2 + с2
‘ с) ~	:	“з"’
т +
(г2 + у2 +1)2
Вычисляя значения в стационарной точке вторых
„ /« ь\ ь2 + ?
Z 2 I —, - ) —	3 >
Vc с)
с + + i
г»2
с
%ху
аЪ
c(£+£4.iV
202
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
находим, что
,	/„2 i2	\ -3 /12 , „2 „2 , „2	„2i2\
. (а о \ 1а , о	IЬ +с а + с	а о \	„
I------------------— I > о,
\с с/ \с2 сг /	\ с с с /
т. е. экстремум существует.
Поскольку вторая производная z"2 в стационарной точке отрицательна при с > 0 и поло-
жительна при с < 0, то в первом случае функция z имеет максимум (zmax = у/а.2 + 62 + с2),
а во втором — минимум (zmin = —у/а2 + 62 + с2). ►
203. z = 1 - у/х2 + у2 
4 Легко убедиться, что данная функция не имеет стационарных точек. Но в точке (0, 0)
частные производные первого порядка не существуют, так как разностные отношения
а(Дх, 0) — z(0, 0) _ |Дх| z(0, Ду) — z(0, О') _ |Ду|
Дх	Дх ’	Ду	Ду
не имеют пределов. Следовательно, точка (0, 0) является точкой возможного экстремума.
Из того, что приращение z(x, у) — z(0, 0) = — у/х2 + у2 отрицательно, заключаем, что в этой
точке функция имеет максимум, причем zma.x = 1. ►
204. z = z -f- у 4- 4 sin z sin у.
◄ Для определения стационарных точек получаем систему
z'x = 1 + 4 cos xsin у = 0, z'y = 1 +4 sin z cos у = 0,
преобразуя которую к виду
1 — 2sin(x — у) + 2sin(z +у) = 0, 1 + 2sin(z — у) + 2sin(x + у) = О,
находим
sin(x — у) = 0, sin(x 4- у) = —
отсюда
х + у = (—l)m+17- + mt,	т х — у = nit, nEZ,	(1)
6
или
т = (-1)т+1^ + (™ + <, У = (-l)m+1 £ + (m - n)I, mez, п £ Z.
1 L	Z	1 Л	it
Находим вторые производные z"2 = — 4sin х sin у, = —4sin z sin у, z"v — 4 cos z cos у и
составляем выражение
Д(х, у) = 16 sin2 х sin2 у — 16cos2 х cos2 у = — 16cos(z — у) cos(z 4- у).
Для вычисления значений выражения Д(х, у) в стационарных точках используем формулы
(1). В результате получаем
Д = — 16cosnxcos f(—1)т+1^- + ли) = (—l)m+n+l16cos —, п £ Z, т £ Z.
\	6	)	6
Отсюда следует, что при т + п + 1 четном Д > 0 и экстремум существует, а при т + п 4- 1
нечетном экстремума нет. Таким образом, функция имеет экстремум при т 4- п нечетном. В
этом случае числа тип различной четности.
Для выяснения характера экстремума преобразуем вторую производную z"2 к виду z"2 =
2 cos(z + у) — 2 cos(x — у) и вычислим ее значения в экстремальных точках (тогда т 4- п —
нечетное):
z"2 = 2 (cos ((—l)m+17 4-mir) — cos пт) = (—1)’">/3 — (—l)n2.
Если m = 2k — четное, n = 2r — 1 — нечетное, то z"2 = У34-2 > 0 и функция имеет минимум;
если же т = 2к — 1 — нечетное, а п = 2г — четное, то z"2 = —Уз - 2 < 0 и функция имеет
максимум. Вычислив экстремальные значения функции, получим
zmin = 2fcir - 2 - -Уз - к Е Z; zm„ = (2fc - 1)х 4- 2 4- л/З 4- к £ Z. ►
6	6
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента
203
205. z = (x2+y2)e~<*3+*\
4 Решив систему
4 = (2г - 2г(г2 + y2))e-<l2+«2) =0, z'y = (2у - 2у(г2 +	= 0,
получим множество стационарных точек, состоящее из точки (0, 0) и точек окружности х2 4-
у2 = 1.
Находим вторые производные
4'2 = (4x2(x2 + ^)-12r2 + 2)e-(l2+y2),
# = (4у2(г2 + у2)- 12у2 +2)е-<12+Л
zxy - (4гу(г2 + у2) - 8ry)e"(l .
Поскольку в точке (0, 0) z"2 = 2, z'^2 = 2, zxy = 0, Д(0, 0) = 4 > 0, то в этой точке функция
имеет минимум (zmin = 0).
Для проверки достаточных условий в точках, принадлежащих окружности х2 + у2 = 1,
функцию z будем рассматривать как функцию одной переменной i = г2+у2, т. е. z = te~‘, для
которой t = 1 является стационарной точкой. Поскольку вторая производная z" = (t — 2)е~'
отрицательна при t = 1, то функция z имеет максимум. Таким образом, данная функция
(г, у) z(x, у) имеет нестрогий максимум (zmix = е-1) в точках окружности х2 + у2 = 1. ►
206. и = г2 + у2 + z2 + 2х + 4у — 6z.
•4 Из системы
и'х = 2х + 2 = 0, иу = 2у + 4 = 0, и'г = 2z — 6 = 0
определяем единственную стационарную точку х = — 1, у = — 2, z = 3.
Находим вторые производные: а"2 = 2, и“2 = 2, и"2 = 2, иху = uxz = и
= 0.
Таким
образом,
	г н 3 5 Н 3	
их2 = 2 > 0,		= 4>0
II	II	и
Ux2	uxy	uxz
иух	иу2	“Цуг
и	и	н
U2X	Uzy	Uz2
т. е. второй дифференциал d2u, согласно критерию Сильвестра, представляет собой положи-
тельно-определенную квадратичную форму. Следовательно, в точке (—1, -2, 3) функция
имеет минимум (umin = —14). ►
207. и = г3 + у2 + z2 + 12ху + 2z.
◄ Имеем
их = Зх2 + 12у = 0, и'у = 2у + 12г = 0, иг = 2z + 2 = 0.
Отсюда находим стационарные точки: xi = 0, yi = 0, zi = — l;x2 = 24, y2 = —144, z2 =
— 1. Далее, находим вторые производные а"2 = 6г, иху = 12, uxz = 0, иух = 0, и"2 = 2, а"2 = 2
и вычисляем в стационарных точках
Aj = Ux2, А2 =
значения определителей
ul2
«г»
и,2
“г»
, Аз =
(1)
«i'z




USZ
И
yz
игх
и

В точке (0, 0, —1) первый из этих определителей обращается в нуль, поэтому вопрос о суще-
ствовании экстремума в этой точке требует дальнейших исследований.
Из равенства Ди(0, 0, —1) = Дя3 + Ду2 + Дг2 +12 Д гДу следует, что при Дг = t2, Ду =
Дг = 0, Дг = — t2, Ду =	= 0, где t 0, приращение принимает значения разных знаков.
Следовательно, точка (0, 0, —1) не есть экстремальна.
В точке (24, —144, —1) Ai — 144 > 0, А2 = 144 > 0, Аз = 283 > 0, поэтому функция в этой
точке имеет минимум (zmin = -6913). ►
204 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
v2	z2	2
208.	и = г + — +----И х > 0, у > 0, z > 0.
4х	у	z
Ч Из системы
,	_ у2	. I	у	z2	п , 2z	2
их = 1 - — = 0, и„ = -------- = 0, иг -----j
4х2 у	2х	у2	у	z2
находим единственную стационарную точку: х = у = 1, z — I. Затем находим вторые
и у2 и	У и г- и If 2г2 п	2z и 2.4
производные	иху = ихх = 0, иу2 =	+ -р-, игу - uz2 ~	и
вычисляем их значения в стационарной точке: и”2 = 4, u"s = —2, ихх ~ 0, и'у? ~ 3,	=
—2, и”2 = 6.
Вычисляя определители (см. пример 207) At = 4, Аг = 8, Аз = 32, заключаем, что в
точке (j, 1, 1) функция и имеет минимум (umir. = 4). ►
209.	u = xy2z3(a — х — 2у - 3z). а > 0.
Ч Решив систем}’
и'х = у2г3(а—2х — 2у—3z) = 0, и'у = 2xyz3{a— т~ Зу—Зг) = 0, их = Зху2 z“(a—х — 2у~ 4z) — О,
получим точку у, у) и точки (0, у, z), принадлежащие прямой х — 0, 2у -р 3z = а; точки
(г, 0, z), принадлежащие плоскости у = 0; точки (г, у, 0), принадлежащие плоскости z = 0.
Проверим, выполняются ли достаточные условия локального экстремума. С этой целью
найдем производные второго порядка
“^2 =-2y’z3, иху = 2yz3(a - 2х - Зу - Зг), ихх = 3y2z2(a - 2г - 2у - 4z),
u"3 = 2xz3(a — х — бу — 3z), иух — 6xyz2(a — х — Зу - 4z), Up = 6xy2z(a — г — 2у — 8z).
(П
В точке (|,	-) имеем и"2 = иху -~г, uxz = -у5-, и"2 = и"г = -yz-,
и”2 = ~^7Г">	< 0>	> 0> -Аз < 0, где Ai, Л2 и Аз — определители квадратичной формы.
Отсюда заключаем, что в этой точке функция имеет максимум ^umix — 77^ •
Пользуясь равенствами (1), записываем второй дифференциал функции и в точках (0,у. z):
d2u = —2y2z3{dx2 + 2 dx dy + 2 dx dz}.
По виду дифференциала легко убедиться, что он может иметь противоположные знаки, т. е.
не является знакоопределенной формой от переменных dx, dy и dz, а поэтому в точках
(0, у, z) экстремума нет.
Записывая второй дифференциал в точках (х, 0, z):
d2u = 2xz3(a — х — 3z) dy2,
убеждаемся, что при а — х — 3z / 0, х = 0, z 0 он представляет собой знакоопределенную
форму. Следовательно, в точках (х, 0, z) при условии, что а — х — 3z / 0, х 0, z 0,
функция и имеет нестрогий экстремум, равный нулю.
В точках (х, у, 0) второй дифференциал тождественно равен нулю, однако d3u = 6xy2(a —
х — 2у) dz3 0, поэтому эти точки не являются экстремальными. ►
210.	u = sin х + sin у + sin z — sin(x + y + z),	OsJz^jt.
Ч Имеем
ux = cos z -cos(x + y + z) = 0, Uy = cosy-cos(x + y+ z) = 0, ux = cos z + cos(x + у + z) = 0.
Решив эту систему, получим три стационарные точки
(г Г Й ’ (0’ °’0)1 (*’ ж’ г)-
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента
205
Проверим, существует ли экстремум в каждой из этих точек. Вычисляя значения вторых
производных
и"2 =	- sin х + sin(x	+	у +	z),
u"3 =	- sin у + sin(x	+	у +	z),
и"г =	— sin z + sin(x	+	у 4-	z),
u"s = sin(x + у + z),
= sin(x + у 4- z),
u"x = sin(x + у 4- z)
в точке (j, j, получаем и"2 = -2,	= -1, u"x - -1, tA = -2, u”, =
Отсюда следует, что
1, <2 = -2.
Таким образом, в точке |) функция имеет локальный максимум («тм — 4).
В точках (0, 0, 0) и (тг, тг, тг) функция имеет краевой минимум, равный нулю. Это следует
из того, что при любых приращениях Дх, Ду, Дг независимых переменных из области 0 $
Дх тг, 0 Ду тг, 0 Дг < тг, но таких, что 0 < Дх 4- Ду 4- Дг < тг, справедливы
неравенства
Ди(0, 0, 0) = и(Дх, Ду, Дг) - и(0, 0, 0) = и(Дх, Ду, Дг) —
— sin Дт 4- sin Ду 4- sin Дг -- ?;п(Дх 4- Ду т Дг) У. 0,
Д«(тг, тг, тг) — vai: - Дх, т - Ду, тг - Дг) - и(тг, к, тг) = и(Дх, Ду, Дг) > 0. ►
211.	U ~ Х1Х2 . . . ?п(1 - Х1 - 2X2 - ... - ПХп), Х1 > 0, х2 > 0, ... , хп > 0.
< Приравнивая к нулю частные производные первого порядка, получаем систему для
определения стационарных точек;
А, = ®2®3 •  • А(у? — ) = о,
и'Х2 = 2Х1Х2-1Гз ... х)(А - х2) = о,
и'хз — Зх1Х2Хз-1 ... х”(р — хз) — О,
«к = пЦхЬз	- х„) =0,
где <р = 1 — ц — 2x2 — ... — пх„. Так как х} > 0, j = 1, п, то стационарные точки должны
удовлетворять системе	__
— х, — 0, ) = 1, п.	(1)
В системе (1) из первого уравнения вычтем второе, из второго — третье и т. Д В резуль-
тате получим систему	__
—ху 4" Zj+i = С, j — 1, n — I,
из которой следует, что Xi = х2 = ... = хп. Пользуясь этим, из первого уравнения системы
(1), которое в этом случае запишется в виде 1—Xi (14-24-- • .4-n)—xi =0, находим стационарную
2
точку ц = х2 = ... = хп = п-2-+п+2 
Найдем производные второго порядка
<3 = —2х2Хз ... хпп,
u"2 = к(к — l)iix2 • • • Iit 2  • • хп(¥> — хк) — к(к 4- l)xix2 ... х£-1 ... 1„, к — 2, п,
и"кхт = fcwiiix2 • • • хк~1 • • •	1 • •  ®n(v~хк) — kmxix2 ... х£-1 ... х", к, тп = 1, п, к т.
Обозначив через х общее значение координат стационарной точки х = ii = х2 =  • • = хп =
2	//и
ф34п+2 ’ а чеРез «•> — значения производных uXjX. в стационарной точке, и заметив, что в
стационарной точке <р — х*=0, fc = l,n, получим
и	т^а+п—2	n3+n—2	na+n—2
an = «ж3 = ~2я Э	, акк = u"a = -fc(i-|-l)x	2	, акт = “ж*ж„ = —ктх э . (2)
206
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Для исследования знакоопределенности квадратичной формы
п
	d2u =	E >,J=1	Gtj dx i dx j,	ti Q>ij —	(3)
вычислим определитель		an 021	ai2 an 022	023	а а to м 3 5	
	j4yn ~	031 Oml	032	033 Om2 Om3	•	• •	®3m •	• • Отт	(4)
4-п —2
Согласно формулам (2), из к-й строки определителя (4) выносится сомножитель ( — 1)кх 2 ,
поэтому
n2+n—2 Am = (—1)тт!т 2 m	2	2	3	4...	m 1	3	3	4...	m 1	2	4	4...	m 1	2	3	5...	m	- (	2m fl 4- +m — ( 1) mix 2	11+
	1 2 3 4... m + 1	
Отсюда непосредственно вытекает, что Ai < 0, Аг > 0, Аз < 0, At > 0, ..., т. е. что фор-
ма (3) отрицательно-определенная. Таким образом, в стационарной точке функция имеет
максимум. Вычисляя экстремальное значение функции, имеем
п2 + »+2
(	2	\т~ .
0	। ^2 ।	. хп 2 п ------------------
21Z. и = Xi -|------1-----1- ... -|----1---, Xi > 0, 1 = 1, п.
%2	1
◄ Приравняв к нулю частные производные первого порядка, получим систему для опре-
деления стационарных точек:
/	1	®2 п
/	1	2'^+1 А > А Г
их =--------------5— = 0, к = 2, п — 1,
Хк-1 хк
,	1	2
“хп =----------2 ~ °'
хп-1 xi
1
Отсюда находим стационарную точку хг = х2, хз = xf, ... , хп = х", ii = 2П+! .
С целью проверки достаточных условий экстремума находим вторые производные. Обо-
значая a,j = u'xix., получаем
2	1	„ •	о—
аи = —, fli2 = —т, ац = 0, j = 3, п;
®i	xf
1	2	1
Якк-1 - ~ гк-2’ акк ~ ~ 2к—1 > Ofc*+1 ~ ~Z2k’ ак’ ~ 0>
Х1___________________ «J__________	_____Х1	(1)
j — 1, к — 2, j = к + 2, п, к = 2, п — 1;
1	4	2	 *
“пп-1 = - 2п-2 > а»п = Тзп = 2n—1 >	— °’ J — 1, » - 2.
Х1	'1 Ii
Для исследования знакоопределенности квадратичной формы
п
d2u = aij du dxj,	(2)
♦»
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента
207
где коэффициенты определяются формулами (1), рассмотрим определитель, образованный из
коэффициентов формы (2):
0	0 ... О 0
j4m —		2 T	1	0 1		0	0 0	0	
		0	0	0	0		1	2 _2m.—2	2m X1 *1	
Преобразуя определитель (3) к виду							
		2	1	0	0	0	
		0	3 2x^		0	0	
	=	0	0	4	_ 1	0	
		0	0	0	0	m+1	
							
(3)
замечаем, что Ат > 0 при т = 1, п.
Таким образом, квадратичная форма (2) положительно-определенная и, следовательно,
(1 \
“min = (п + 1)2 n+! 1 . ►
213. (Задача Гюйгенса.) Между двумя положительными числами а и b вставить
,	,	Х1Х2 ... In	,
п чисел xj, Х2, ... , хп так, чтобы величина дроби и = ---г-.----г--------г- была
(a + n)(ii+12)  (in+ о)
наибольшей.
◄ Логарифмируя функцию и и обозначая v = In и, имеем
v = Inti + In t2 + ... + In zn - ln(a + ti) - ln(ti + 12) -  • • - ln(tn-i + in) - ln(t„ + b).
Очевидно, экстремальные точки функций и и v совпадают и, следовательно, определя-
ются из системы
v’ = — - -у-------= О,
= -L__l________1—=о
х2 х2 Х1+*2	*2 + *3
V =-----------------------—
Хп ®п-1+«п	+ °
тт	V	12	1213
Из первого уравнения этой системы находим хг = -zf; из второго хз — — ®2 = ^2^1 и
т. д. Из последнего уравнения находим 6 =	Отсюда вычисляем ti = а (£) "+1 .
Таким образом, координаты стационарной точки М можно записать в виде геометрической
1
прогрессии ti = ag, t2 = eg2, ... , хп = адп, знаменатель которой g = (-) n+1.
Находим вторые производные
t? + (а + ц)2+ (ц+х2)2’ v'^~ (xi + i2)2’ <^-0’ 3	3’n;
v" =	1	" _ __L .	1	. i
*k*k-l	J.2 (xk-l + Xk)2 (ik-t-ifc+1)2’
<-*+1 = (gifc+7~)2- <ъ =°> i = rr=T, j = k + 2, n, fc = 2, n —1;
1 (tn-l + Xn)2’ V*i~ x2 + (xn_i + x„)2 + (x„ + 6)2 ’	°’	3
n — 2,
208 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
и вычисляем их значения в стационарной точке (a,j ~ vXiXj):
-2	1	ай—
в11 = ~2 Н~.-42’ 012 = 2 2М".-« > аЧ ~ °’	= 3> п!
a2g(l + g)2	a2g2(14-g)2
_	1	_	—2	_	1
Якк-1~ a2^-2(l+g)2’	Д**~	a2g2fc-l(1 + g)2’	~	а2^(1 + д)2’	’	(
j = 1, к — 1, j = к 4- 2, п, к = 2, п — 1;
1	-2	------
' aV^f+g)2’ Япп = a2q2"-i(l + g)2’ “"J ~	~ n ~ 2'
Как и в предыдущих примерах, вычисляем определители Ат, образованные из коэффи-
циентов квадратичной формы
d2v(M) = a.ij dxi dxj.	(2)
». 5=1
Поскольку числа aij в равенствах (1) имеют общий множитель
за знак определителя, получаем
„1 _ т0 ВЫнося его
	_2	1	0	о .	0	0	
	g	g3					
1	1 g2	2	7	0 .	0	0	
Л"‘- (а(1 4-g))2m	0	1 «4	2	1 g6 ‘	0	0	(3)
	0	0	0	0 .	1 q2m-2	2 q2m-l	
Преобразуя определитель (3) к треугольной форме
A -	1	--	4	0	0 ...	0 g	g2 о -A 4	о ... о 293	q* 0	0 -37	7	0
’(a(l+?))2m	
	0	0	0 о ...
а затем вычисляя его, имеем Ат =	 Отсюда следует, что А] < 0, Aj > 0, Аз <
0, ..., т. е. что квадратичная форма (2) отрицательно-определенная. Поэтому функция v, а
вместе с ней и функция и в точке М имеют максимум. ►
Найти экстремальные значения заданной неявно функции z от переменных г и у:
214.	х2 4- у2 4- z2 — 2х 4- 2у — 4z — 10 = 0.
◄ Функция F(x, у, z) = x24-y24-z2 —2x+2y-4z-10, (i, у, z) € R3, является многочленом,
а поэтому непрерывна и дифференцируема сколь угодно раз. Следовательно, в окрестности
любой точки (io, уо, zo), в которой F = 0, Fx / 0, выполнены все условия теоремы 1, п.3.3,
согласно которой уравнение F(x. у, z) = 0 определяет неявную функцию (г, у) t-+ z(x, у),
принимающую в точке (го, уо) значение г0. Эта функция сколь угодно раз дифференцируема.
Для определения стационарных точек и значения функции в них составляем систему
Fx = 2х - 2 = 0, Fy ~ 2у 4- 2 = 0, F = г2 4- у2 4- z2 - 2х 4- 2у - 4z - 10 = 0,
из которой находим
Мх = (1, -1), zi = —2; М2 = (1, -1), z2 = 6.
Поскольку производная Fx = 2z — 4 в точках (1, —1, —2) и (1, —1, 6) отлична от нуля, то
уравнение F = 0 в окрестности каждой из этих точек определяет неявную функцию (г, у)
г(г, у), принимающую в точке Mi значение z,-, i = 1, 2.
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента
209
Для проверки достаточных условий экстремума находим частные производные F"3 =
2, F"3 = 2, F”v = 0 и, пользуясь формулой (2), п.6.5, вычисляем второй дифференциал в
стационарных точках. Поскольку в точке Mj при z = -2
d2z = ~(dx2 4- dy2) > О,
4
а в точке М2 при z = 6
d2z = —i(di2 4-dy2) < О,
4
то Zmin = —2, Zniax = 6 При X = 1, У - -1. ►
215.	x2 + у2 4- z2 — xz — yz 4- 2x 4- 2y 4- 2z - 2 = 0.
•< Из системы
Fj = 2x — z 4- 2 = 0, F^ = 2y — z 4- 2 = 0, F = z2 4- y2 4- z2 — zz — yz 4- 2r 4- 2y 4- 2z — 2 = 0
находим стационарные точки и значения функции
Mi = (-3 4- Уб, -3 4- Уб), zi = —4 4-2%/б; М2 = (-3 - Уб, -3 - Уб), х2 = -4-2Уб.
Находим производные Fj = 2z — х — у 4-2, F"3 = 2, F”2 = 2, F"v — 0 и, убедившись, что F) О
в точках Mi и М2, вычисляем второй дифференциал в этих точках:
d2z(Mi) = - --Udi2 4- dy2), d2z(M2) = -y=(dx2 4- dy2).
v6	V 6
Следовательно, zmm = — 4 — 2-Уб в точке М2 и zmax = -4 4- 2Уб в точке Mi. ►
216.	х4 4- у4 + z4 - 2а2(х2 4- у2 4- z2) = 0, а > 0.
◄ Для определения точек возможного экстремума решаем систему
F' = 4z3 — 4а2х = 0, Fy = 4у3 — 4а2у = 0, F = х4 4- у4 4- z4 — 2а2(х2 4- у2 4- z2) = 0,
из которой находим шесть стационарных точек и шесть значений функции:
Mi = (0, 0), zi = аУ2; М2 — (0, 0), z2 = —оУ2;
Мз,4 = (±а, ±а), гз,4 = вх/1 4" УЗ; Мь,ъ = (±a, ia), = —аУ1 4- Уз.
Далее, находим производные
Fx = 4z3 — 4а2z, F"3 = 12х2 — 4а2, F"3 = 12у2 - 4а2, Fas = 0.
Поскольку F'(Mt) 0, i = 1, 6, то в окрестности каждой из найденных точек уравнение
F = 0 определяет неявную функцию (х. у) >-♦ z(x, у), принимающую в точке Mi значение
z,, i   1, 6.	___
В точках Mi, i = 1, 6, вычисляем второй дифференциал d2z:
,2 t w 4 dl2 + fl im \ ix2 + d42
аУ34-3-УЗ	аУ34-зУз
Следовательно, в точке Mi функция имеет локальный минимум (zm,n = аУ2), а в точке
М2 — максимум (zmax = —ау/2), в точках Мз,< — максимум (zmax = а У1 4- Уз), в точках
Ms,в — минимум (zmin = -avl4-Уз). ►
Исследовать на условный экстремум следующие функции:
217.	z = г” 4- х™ 4-F если xi 4- хг 4-----(- х„ = па, а > 0, т > 1.
◄ Составляем функцию Лагранжа (см. формулы (2), п.6.6)
Ф = х™ 4- А ( xi — па
<=1 \«=1
210 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
и записываем систему
Ф2. = mxj"-1 + А' = 0 (i = 1, п), Xi = па,
i=i
из которой находим А = — тат~1 и координаты х, = а точки М возможного экстремума
п
(а, а, ..., а). Далее, находим второй дифференциал <12Ф — m(m—1)	х™-2 dx2 и вычисляем
•=i
его значение в точке (М, А):
d2Ф(М, А) = т(т - 1)ат-2	dx2,.
•=1
Так как й2Ф(М, А) > 0, то в точке М функция z имеет минимум (zmin = па"). ►
218.	и = xyz, если х2 + у2 + z2 = 3.
◄ Аналогично предыдущему примеру составляем функцию Лагранжа Ф = xyz+X(x2+у2 +
z2 — 3) и записываем систему для определения А и координат точки возможного экстремума:
Ф2 = Vz + 2Ах = 0, Ф^ = xz + 2Ау = 0, Ф2 = ху + 2Az = 0, x2+y2 + z2 = 3.
Из этой системы находим восемь стационарных точек: Mi = (1, 1, 1), М2 =, (1, —1, —1),
Мз = (-1, 1, -1), М4 = (-1, -1, 1) для Ai =	и Мь = (-1, -1, -1), М6 = (-1, 1, 1),
М7 = (1, -1, 1), Mg = (1, 1, -1) для Аг = j.
Находим второй дифференциал функции Лагранжа
</2Ф = 2A(dx2 + dy2 + dz2) + 2z dx dy + 2y dx dz + 2r dy dz.	(1)
Для Ai = — j и точки Mi имеем
d2Ф(Mi, Ai) = — dx2 — dy2 — dz2 + 2dxdy + 2dxdz + 2dydz = —(dx — dy)2 — dz2 + 2(dx + dy) dz.
Заменяя в последнем слагаемом дифференциал dz его значением, найденным из уравнения
связи в точке Mi, dz = —(dx + dy), получаем неравенство d2$(Mi, Ai) = — (dx — dy)2 — dz2 —
2(dx + dy)2 < 0, из которого следует, что в точке Mi функция и имеет максимум.
Для Ai = — - и точки Мг из (1) и уравнения связи получаем <12Ф(Мг, Ai) = -dx2 - dy2 -
dz2 — 2dx dy — 2dx dz+2dy dz, dx = dy+dz и, следовательно, <22Ф(Мг, Ax) = — (dx — dy)2 — dz2 —
2(dy + dz)2 < 0, поэтому функция и в точке Мг имеет максимум. Аналогично устанавливаем,
что функция и имеет максимум в точках Мз и М«. Во всех этих точках umax = 1.
Для Аг = | и точки Mg из (1) и уравнения связи получаем d2$(M$, Аг) = dx2 + dy2 +
dz2 — 2dxdy—2dxdz — 2dy dz, dx + dy + dz = 0. Отсюда следует неравенство </2Ф(Мз, Аг) =
(dx — dy)2 + dz2 + 2(dx + dy)2 > 0, из которого заключаем, что в точке Mg функция и имеет
минимум.
Легко убедиться, что в точках Mg, Му и Ms функция и также имеет минимум, причем
Wmin — ”1. ►
219.	и = xmynz*, если x+y + z = a(x>0, у > 0, z > 0, т > 0, n > 0, р > 0, а>0).
◄ Очевидно, экстремальные точки функций и и v = In и совпадают. Поэтому будем
исследовать на условный экстремум функцию v = Inn = mlnх + nlnу + pinz при условии
х + у + z = а.
Составляя функцию Лагранжа Ф = m In х + n In у + р In z + А(х + у + z — а) и систему
Ф2 = — + А = 0, Ф' = - + А = 0, Ф2 = - + А - 0, х + у + z = а,
х	У	г
находим координаты точки возможного экстремума: х = mi, у = nt, z = pt, где i — m+°	•
Поскольку второй дифференциал функции Ф
,2- mdx2 ndy2 pdz2
Л ф = —	----- — ------
Xs У2 Z2
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента	211
в точке (mt, nt, pt) удовлетворяет неравенству <12Ф = —	+ (777 +	< 0, то функция
v, а вместе с ней и и имеют в точке (mt, nt, pt) максимум ^umix = '(L-^n+p)™►
2	2	2
220.	и = x2 + у2 + z2, если ^ + ^- + ^- = l(a>6>c>0).
a2	о2	с2
◄ Дифференцируя функцию Лагранжа Ф — х2 + у2 4- z2 + A	+ 77 — по всем
переменным и присоединяя уравнение связи, получаем систему
Ф; = 21+^ = О, Ф'9 = 2з/ + ^=0, Ф'=2г+^ = 0, 4 + С + 4 = 1-
а1	ст	с1	а2 о2 с2
из которой находим А и точки возможного экстремума: Ai,2 — —с2, Mi, 2 = (0, 0, ±с); Аз, 4 =
-а2, Мз,4 = (±а, 0, 0); As,6 = -Ъ2, М6,в = (0, ±Ь, 0).
Для проверки достаточных условий находим второй дифференциал с/2Ф = 2(1 + dx2 +
2 (1 + dy2 + 2(1 + dz2. Из неравенств
/	2 \	/	2 \
d4(Mj,2, А1,2) = 2 1 - dz2 + 2 1 - н dy2 > 0,
\	“ /	\	° /
d2Ф(АГ3,4, Аз, 4) = 2 ( 1 - £ ) dy2 + 2 ( 1 -	) dz2 < 0
\	о2 j	\	ci)
следует, что в точках Mi, 2 функция и имеет минимум (umin — с2), а в точках Мз,4 —
максимум (umax = а2).
В точках Мз, в при dx = 0, dz / 0 d^(Ms,s, As,s) = 2 (1 — (j) dz2 < 0 , а при dx /
0, dz = 0 d^(Ms,s, As,e) = 2 (1 — £2) dx2 > 0 . Поэтому точки Ms,в не являются экстре-
мальными. ►
221.	u = xy2z3, если x + 2y + 3z = a (x > 0, у > 0, z > 0, a > 0).
< Составив функцию Лагранжа для вспомогательной функции v = In и
Ф = In z + 2 In у + 3 In z + A(z + 2у + 3z — a)
и образовав систему
12	3
Фх = —|-А = 0, Ф( = - + 2А = 0, Фх = - + ЗА = 0, x + 2y + 3z = a,
х	У	z
получим А и координаты стационарной точки: А = — ^,® = y = z = |. А так как второй
дифференциал d2$ =	— ^5- в стационарной точке удовлетворяет условию
<*2Ф (£,	= ~^(dx2 + dy2 + dz2) < 0,
\6 6 6 а/ а2
то функция v, а вместе с ней и функция и имеют в этой точке максимум ^umax = (f)6^ • ►
222. и = xyz, если х2 + у2 + z2 = 1, х + у + z = 0.
◄ Приравнивая к нулю производные функции Лагранжа Ф = xyz + А(х2 + у2 + z2 — 1) +
д(г + у + z) по х, у и z, получаем систему
Ф'х = yz + 2Аг + /х = 0, Ф(	= xz + 2Ау + р = 0, Фх	=	ху + 2Az + р =	0,
решая которую совместно с уравнениями	связи х2 + у2 + z2	=	1, х + у + z =	0, находим
шесть точек возможного .экстремума:	Mi	= ( 4=, -U, —7=) ,	М2 = (	-4=,	4= |	,	Мз	=
\ v6 v6 vv /	\ v6 Vo	VO /
("£-	при A = ^;	, Ms =	-^) , Ms =
( 2	1	1 \ ж 1
при A = -^.
212
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Далее находим второй дифференциал
d2Ф = 2A(dz2 + dy2 + dz2) 4- 2zdx dy + 2y dt dz + 2x dy dz,	(1)
а из уравнений связи получаем соотношения
xdx + ydy + zdz = 0, dr 4-di/+ dz = 0.	(2)
Проверим выполнение достаточных условий для точек Mi и Mi.
Для этих точек
X = у = 2Х, z = -4Х.	(3)
Тогда из (1), (2) и (3) получим равенство
d2 Ф = 2A((dr - d;;)2 + dz2 4- dx2 4- dy*).
Отсюда следует, что при А < 0 (т. е. в точке Mi) d2$ < 0 и в этой точке функция и
имеет максимум	• При А > 0 (т. е. и точке Mi) d2<J> > G, поэтому в этой точке
функция и имеет минимум
Аналогично устанавливаем, что в точках М5 и Me функция и имеет максимум {иг1 —
J-Л
3v^/
, а в точках Mj и Мз — минимум


223. и = х у 4- yz, если х2 4- у2 = 2, у 4- z - 2 {z > 0, у > 0, z > 0).
Ч Образовав функцию Лагранжа Ф = ху 4- yz 4- Х(х2 4- у2 - 2) 4	4- z - 2) и составив
систему
Ф* — у 4- 2Аг = 0, Фу = t 4- z 4- 2Ху 4- у = 0, Ф’, — у 4- у - 0, х2 4- у2 — 2, у 4- z = 2,
найдем числа А, у и координаты стационарной точки: х — у — z = 1, А = — j, у — -1.
Запишем второй дифференциал d^ = 2A(dz2 4- dy2) 4- 2 dx dy 4- 2 dy dz и положим в нем
А = - j. Тогда получим d^ = -dr2 - dy2 4- 2 dx dy 4- 2 dy dz. Из уравнения связи следует, что
dy — -dz = -dx, поэтому а2Ф — -dx2 - 3dy’ - 2dz2 < 0. Таким образом, в точке (1, 1, 1)
функция и имеет максимум, равный 2. ►
224. и = sin х sin у sin z. если x + y + z= — (х>0, г/ > 0, z > 0).
Ч (.'оставляя вспомогательную функцию Ф — In sin х 4- In sin у 4- In sin z 4- A (r 4- у 4 z - -
и систему
Ф^ - cig г 4- A = 0, Ф' - cig у 4- A = 0, Ф'. - ctg z 4- A = 0, z4-y4-z = ^,
получаем точку возможного экстремума х = у = z = Так как
,2.	( dx2 dy2 dz2 \
d Ф — - I -т-j--1- -rj--h -r-j— i < 0,
\ sin x sm у sm z J
то в точке	функция имеет максимум, равный |. ►
2	2	2
225. и =	4~ тт 4- -Л, если г2 4- у2 4~z2 = 1, г cos а 4- у cos/? 4- z cos у — 0)а>Ьу>с>0,
а.1	(г	с2
cos2 а 4- cos2 & 4- cos2 у = 1).
Ч Составив функцию Лагранжа Ф = ^5-4-^з4-^а — А(г2 4- у2 4- z2 — 1) 4- у(х cos а 4- у cos /? 4-
zcost) и приравняв к нулю ее производные по х, у и z, получим систему
2ic	2t/	t
Фх = —у — 2Ar 4- у cos а = О, Ф' = гг- — 2Aj 4- У cos /3 — 0, Фг = -т - 2Az 4- д cos 7 = 0. (1)
а*	* Ъ*	с*
Умножая первое равенство системы (1) на х, второе на у, третье на z и складывая их,
получаем равенство
2 ( — +	4-	- 2Л(®2 4- у2 4- г2) 4- д(х cos а 4- у cos ^4- *cos-r) = О,
\ г с2 j
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента
213
2	2	2
из которого с учетом уравнений связи вытекает, что +	+ А = 0, т. е. что А = а.
Таким образом, umax = max A, umin = min А.
Решая уравнение (1) относительно х, у и z и умножая левые и правые части полученных
равенств на cos a, cos/?, cosy соответственно, находим (с учетом уравнения связи icosa +
у cos /? + z cos 7 = 0):
2
COS О'
4-л
а2
cos2 в
+ ±П +
Ь2 Л
^Х = о,
ИЛИ
( sin2 a	sin2 /3
\ а2 62
2
cos а
~сЧ~ +
cos2 в cos2 7
—_X -j-------— 0.
а 2 с2 о2 6*
Если А; и А2 — корни этого уравнения, причем Aj < Аг, то игаах = Аг, tw = Aj. ►
226. и ~	-j- я2 + . .. ф х^_. если
.'С2
----1---
<г, аг
«Е tj
О, «
. Из системы Фх-
1 , П , ИаХОДИМ
j
а из уравнения связи и равенств (1) получаем
1, и,
п.
(2)
V*
а'
4 Имеем Ф 5 ’
£
• 2 \
sm 7 \
= 0, j
А
Поскольку «РФ = 2 £	> 0> 10 в стационарной точке (2) функция и имеет минимум

227.	и -	+ х?+ ... + (р > 1), если п + Х2 + ..
◄ Составляя функцию Лагранжа Ф = £ т? + А
= р*к
, а затем систему
X t — (1)
\	/ а X Р”"1	а
получаем А = р , it —
n
Находим второй дифференциал <?2Ф = р(р — 1) £ т£-2 dx2k и, вычисляя его значение в
стационарной точке, убеждаемся, что <?2Ф = р(р — 1) £ (п)₽ 2	Следовательно, в
стационарной точке функция и имеет минимум ^umin = np~J • ►
228.	и = х?'х? ... х°п, если ц > 0, zj + тг + • • • +тп = а (а > 0, а, > 1, i = 1, п).
< Заметив, что экстремальные точки функций и и v = In и совпадают, будем исследо-
п
вать на локальный экстремум функцию и. Образовав функцию Лагранжа Ф = £ ajlnij +
214
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
A I Х1~ а ) и решив систему
\j=i	/
п
Ф^=^- + А = о (fc = T7n),	— а,
j=i
получим значение А и координаты точки М возможного экстремума:
А = -|^а>,	(к = 1,п).
j=i
п
Найдем второй дифференциал: <12Ф = — £2 Заметив, что
к=1 Хк
/ п \ 2 п 2
\; = 1	) к = 1
заключаем, что в точке М функция и имеет максимум
229.	Найти экстремум квадратичной формы и = ai3Z{X3 (а±3 = а31 — действитель-
i,j=i
п
ные числа) при условии = 1.
i=l
п	/	п	\
◄ Образуем функцию Лагранжа Ф = «ijXiXj + А I 1 — £2 I и составим систему
>,1=1	X.	•=! /
^Ф^ = (ап - A)xi + апхт + • • • + ai„x„ = О,
4
= «21X1 + («22 - А)х2 + . . . + Я2пХ„ = 0/	(1)
^Фхп = а„1Х1 + а„2Х2 + •. • + (ап„ - А)х„ = 0.
Система (1) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда число А является
корнем уравнения
«11 — А	«12	...	«1п
«21	«22 —	А	...	«2п	_ Q	(2)
«п1	«п2	• • •	«пп ~	А
Покажем сначала, что корни А уравнения (2) действительные. Для этого обозначим через
А симметричную матрицу {«о} заданной квадратичной формы и. Тогда систему (2) можно
записать в виде
Ах = Ах,	(3)
где х = (ii, хг, ... , хп). Предположим, что А комплексное, т. е. что А = a + i/З, где i =	1.
Поскольку aij — действительные числа, то х = и + iv. Тогда из равенства (3) следует
Ли = au — fiv,
(4)
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента
215
Av = flu 4- av.	(5)
Умножая скалярно обе части равенства (4) на v, а равенства (5) на и и вычитая результаты,
получаем
(Au, v) — (Av, и) = а) + (у, г>)).	(6)
Так как (Ла, а) = (a, ATv) = (a, Av), где Л1 — транспонированная матрица, то из (6) находим
/?((а, а) 4- (у, а)) = 0. Поскольку (а, а) + (а, а) / 0, то fl = 0, т. е. А — действительное число.
Пусть Ах, Аг, ... , Ап — корни уравнения (2). Тогда для каждого A;, i = 1, п, из систе-
п
мы (1) при условии, что £2 г2 = 1, находим точки возможного экстремума
(=1
Tj1), ... ,	, i ~ 1, п.
Далее, умножая равенства (1) на ii, Тг, , хп соответственно и складывая их, имеем
п	п
£2 atjXiXj—А £2 xi = 0. Учитывая уравнение связи, получаем равенство a(ij, Х2, - • • , хп) =
А, которое в точках возможного экстремума запишется в виде а	, • • • , ®n J = А,, i'. =
1,	п. Отсюда следует, что am»x = max Ai, amin = min Ai. ►
l<i<n	l^i<n
230.	Доказать неравенство -—(1 j, если n 1, x 0, у 0.
L	\ и J
◄ Исследуем на условный экстремум функцию и = х , если х + у = з. Составив
функцию Лагранжа Ф = j(xn + уп) + А(з — х — у) и систему
Фх =	----А = 0, Ф'у =	-----А = 0, т 4- у = «,
найдем числа А, а также координаты стационарной точки функции а:
Поскольку второй дифференциал </2Ф = 2ti_ll(In 2 dx2 + уп~2 dy2) в точке х = у =
£ удовлетворяет условию </2Ф	= 2fcU (Д’)"-2 (dx2 4- dy2) > 0, то функция а имеет
минимум в точке (j, , т. е. amin = (|)" Sj и(х, у), если х 4- у = s, или (ууу-) $ 1	• ►
231.	Доказать неравенство Гельдера
•< Исследуем на условный экстремум функцию
п
при условии, что А = 52 а»зс»> где = const. Составим функцию Лагранжа
»=1
1 £
(п \ р I л	>9	(	\
EX) (EX) +AM-£\iXii
iel / Kiel /	\	»»1	/
216
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
и образуем систему
(М	\	~	/	*1	\	——1
52 “Н (52Х^) - Аа, = 0, j = ifn.	(1)
i=l / \i=l /
He ограничивая общности, будем считать, что ц > 0, а, > 0 (ii = 1, п). Разделив j-e
равенство системы (1) на т-е равенство той же системы, получим
Отсюда при фиксированном т находим
1
Xj = Хт (—'j ,~1 , j = 1, п; j± пг.	(2)
X ДтП '
Подставив (2) в уравнение связи, имеем
n	*
52 «1®>п	Ч~1 + атХт = А
1=1
ИЛИ
n q
=А.
am-1 *=1
из (3) получаем координаты точки возможного экстре-
(3)
р
Аа’	—
Хт - -=--, Щ = 1, П.
Используя ТО, ЧТО — р, =
мума:
1=1
Для проверки достаточных условий находим второй дифференциал функции Ф:
/	\ —	/	/	\ i_i	у	\ — —2	/
/ п	\р	/	[ п	\ч	п	( п	\ч	( п
</2Ф = I У^ rtf j I (<7 ~ 1) I У^ xf j y^^f~2 "Ь (1 — ?) I У> xi I I У^ ^Xi
\»=1	/	у	\t=l	/	i=l	\»=1	/	\i = l
п
В силу уравнений связи, 5? dx, = 0; поэтому
в стационарной точке и, следовательно, Й2Ф > 0.
Таким образом, в стационарной точке функция и имеет минимум (umin = А), поэтому
и А, что равносильно неравенству Гельдера. ►
Определить наибольшее (sup) и наименьшее (inf) значения функций в указанных обла-
стях:
232.	z = х1 + у2 — 12х + 16у, если х2 + у2 25.
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента	217
◄ Функция z непрерывна в замкнутом ограниченном множестве {z2-f-y2 25}. Поэтому,
согласно известной теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих точных
верхней и нижней граней. Очевидно, sup z (inf z) равен наибольшему (наименьшему) из зна-
чений функции z в точках возможного экстремума на множестве {z2 4- у2 < 25} или в точках
возможного условного экстремума, если х2 + у2 =25.
Поскольку система zx = 2х — 12 = 0, zj, = 2у + 16 = 0 не имеет решений, принадлежащих
множеству {х2 + у2 < 25}, то supz и infz достигаются на окружности х2 4- у2 = 25.
Составляя функцию Лагранжа Ф = х2 4- у2 — 12х 4- 16у 4- А(25 — х2 — у2) и решая систему
ф; = 2г - 12 - 2Az = 0, Фу = 2у + 16 - 2Ау = 0, х2 + у2 = 25,
находим две точки возможного условного экстремума Мг — (3, —4) и Мз = (—3, 4). Вы-
числяя значения функции z в этих точках z(Afi) = -75, z(Mi) = 125, заключаем, что
sup z = 125, inf z = — 75. ►
233.	и = z2 + 2у2 + 3z2, если х2 4- у2 4- z2 С 100.
Ч Аналогично предыдущему примеру из системы
и'х = 2х = 0, Uy = 4у = 0, u'z = 6z = 0
находим стационарную точку Mi = (0, 0, 0), принадлежащую множеству {z24-y24-z2 < 100}.
Составляя функцию Лагранжа Ф = х2 + 2у2 + 3z2 + А(100 — х2 - у2 — z2), из системы
ф'х = 2х - 2Az = 0, Фу = 4у - 2Ау = 0, Фх = 6z - 2Az = 0,
х2 + у2 + Z2 = 100
находим три точки возможного условного экстремума: М2 = (10, 0, 0), Ai = 1; Мз =
(0, 10, 0), Аг = 2; Mi = (0, 0, 10), Аз = 3. Из равенств и(М\) = 0, и(Мг) = 100, и(Мз) = 200,
и(М4) = 300 вытекает, что sup и = 300, inf и = 0. ►
234.	и = z 4- у 4- z, если z2 4- у2 z 1.
◄ Легко убедиться, что функция и не может иметь экстремума во внутренних точках
области определения, поэтому sup и и inf и достигаются или на основании конуса 0 z2 4-
у2 1, z = 1, или на боковой поверхности конуса z = z2 4- у2, 0 z < 1.
Пусть 0^z24-y2^l,z = l. Составляя функцию Лагранжа Ф = z + у +1 + А(1 — х2 — у2),
из системы
Ф^ = 1 - 2Az = 0, Фу = 1 - 2Ау = 0, х2 + у2 = 1
находим четыре точки возможного экстремума:
\ 2 ’ 2’7’\2’2’J’ \ 2 ’ 2 ’ J ’ \ 2 ’ 2 ’ J ’
Теперь находим точки возможного экстремума функции и = х + у + х2 + у2, если 0
х2 + у2 < 1. Имеем и'х = 1 4- 2х = 0, Uy = 1 4- 2у = 0. Отсюда и из условия z = х2 4- у2
получаем еще одну точку возможного экстремума (—i, — |,	.
Вычисляя значения функции и в найденных точках, заключаем, что sup u = 1+т/2, inf и =
-4-
235.	Согласно принципу Ферма, свет, исходящий из точки А и попадающий в точ-
ку В, распространяется по кривой, для прохождения которой требуется минимум времени.
Предполагая, что точки А И В расположены в различных оптических средах, разделенных
плоскостью, причем скорость распространения света в первой среде равна v-i, а во второй
V2, вывести закон преломления света.
◄ Пусть ti — время прохождения света в первой среде, t2 — во второй. Тогда (рис. 1)
41 = vTcoia?’ = cos• Требуется исследовать на экстремум функцию Т = ti + tz =
“coscT + V3co.c3 п₽и условии, что I - a tg ai + b tg a2.
218
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Ф'
второй дифференциал
sinai
a _L b _L _
V1C0SQ1 ~ Vj COS GJ ~	'
(1)
Записав функцию Лагранжа Ф
a tg a; — Ъ tg аг), из системы
a sin oi
®i cos2 О1
b sin аг
t>2 COS2 02
1 = atgoi 4- 6tgO2
найдем, что в стационарной точке выполняется условие
_ sin oi _ sin 02
V1	V2
Отсюда и из последнего уравнения системы можно найти
число А, а затем углы ai и аг. Но делать этого не будем, так
как в дальнейшем конкретные значения этих величин нам не
понадобятся.
Для проверки выполнения достаточных условий находим
sin ai
</2ф = [-----+ 2a—з—
\vicosai cos4 ai
В силу условия (1), в стационарной точке
b	sin «2
----------I- 2b—j—
V2 COS 02-COS4 02
do2.
♦i.=

42Ф =---------da2 +-----—— da2 > 0.
V1 COS ai	V2 COS 02
Следовательно, функция T имеет минимум, если выполняется равенство и” -L = ““°2, кото-
рое дает нам закон преломления света. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Найти экстремальные значения следующих функций:
151.	z — х2 4- ху 4- у2 — Зах — ЗЬу. 152. z = х* 4- yi — 2г2 4- 4ху — 2у2.
153.	z — т3 4- у3 — Эху 4- 27 при 0 $ х а, 0 у а, а > 3.
154.	z = ^/(a — х)(а — у)(х + у — а). 155. z = (acos х 4- bcos у)2 4- (asin x 4- bsin y)2.
156. и = xyz(4a — x — у — z). 157. а = x2 4- y2 4- z2 — xy 4- 2z 4- x.
158. и = *3~!~м3+*3, x > 0, у > 0, z > 0. 159. и =	4-	4- 4-, x > 0, у > 0, z > 0.
xyz ’	’ 9	’	J/+z 1 z+z * z+y’	’ 9	’
160. 6x2 4-6y2 4-6z2 4-4x — 8y — 8z 4-5 = 0. 161. 5x2 4-5y2 4-5z2 — 2xy — 2xz —2yz — 72 = 0.
162.	x3y — 3xy2 4- 6x 4- y2 4- 7y 4- z2 — 3z — 14 = 0. 163. x4 4- y4 4- z4 = 2a2(x2 4- y2 4- г2).
Найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций, связанных указанными
условиями:
164.	а = х 4- у; ~2 + ^2 = -^2- 165. u = x2y3z4; 2х 4- Зу + 4г = а.
166.	а = х2 4- 2у2 4- Зг2; х2 4- у2 4- z2 = 1, х 4- 2у 4- Зг = 0.
167.	и = xyz; х 4- у 4- z = 5, ху 4- yz 4- xz = 8.
168.	а = х2 4- у2 4- z2; 1х 4- ту 4- nz = 0, (х2 4- У2 4- z2)2 = a2x2 4- b2y2 4- c2z2.
169.	а =	4- т? 4- 75-; x2 4- у2 4- z2 = 1, /х 4- my 4- nz = 0.
170.	Неравенство Адамара для определителя третьего порядка
а
ai
аг
а =
b с
bi ci
Ьг сг
имеет вид
|а| 1, если а2 4- Ь2 4- с2 = 1, а? 4- Ь2 4- с2г = 1, aj 4- Ьг 4- с% = 1-
§ 6. Экстремум функции векторного аргумента	219
Доказать это неравенство.
171.	Внутри четырехугольника найти точку, сумма квадратов расстояний которой от
вершин была бы наименьшей.
172.	Найти точку, сумма квадратов расстояний которой до данных точек была бы наи-
меньшей.
173.	Найти наибольший объем параллелепипеда, если сумма его ребер равна 12а.
174.	Около прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2а, 26 и 2с описать наименьший
по объему эллипсоид.
175.	Через точку (а, Ъ, с) провести плоскость, образующую с плоскостями координат
тетраэдр наименьшего объема.
176.	В данный конус вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
177.	Какой из конусов с данной площадью боковой поверхности S имеет наибольший
объем?
I2 у2 z2
178.	Найти площадь s эллипса, полученного при сечении эллипсоида	= 1
плоскостью 1х + ту + nz = 0.
X2 V2 Z2
179.	Провести к эллипсоиду -у +	= 1 касательную плоскость с наименьшей
суммой отрезков на осях.
180.	В сегмент эллиптического параболоида z =	+ р-, вырезанный плоскостью z = h,
вписать прямоугольный параллелепипед с наибольшим объемом.
Ответы
Глава 1
1. Сходится. 2. Сходится. 3. Сходится. 4. Сходится. 5. Сходится. 6. Расходится. 7. Сходит-
ся. 8. Сходится. 9. Расходится. 10. Сходится. 11. Расходится. 12. Сходится. 13. Сходится.
14. Сходится при а >	15. Сходится при а > |. 17. Сходится при а > 1. 18. Сходит-
ся при а > 1. 19. Сходится при а < -1. 20. Расходится. 21. Сходится. 22. Расходится.
23. Расходится. 24. Расходится. 25. Сходится. 31. Сходится. 32. Сходится при -1 < q 1.
33. Сходится. 34. Сходится. 35. Сходится. 36. Сходится. 37. Сходится при любом «; абсо-
лютно сходится при а > 1. 38. Сходится условно при а > 0. 39. Сходится условно. 40. При
а > р + 2 сходится абсолютно; при р + 1 <а^р + 2 сходится условно. 41. При а > 0 схо-
дится; при 0 < a Sj 1 сходится условно. 42. Сходится условно. 43. Расходится. 44. Сходится
условно. 45. Сходится условно. 46. Сходится условно. 47. Сходится условно. 48. Сходится
условно. 49. (е2 - 1)(Уё- 1). 50.	51.	52. е-1. 53.	54. ^1. 58. а)
Неравномерно; б) неравномерно; в) равномерно; г) равномерно. 59. а) Неравномерно; б) рав-
номерно. 60. а) Неравномерно; б) равномерно. 61. Во всех случаях сходится неравномерно.
62. а) Равномерно; б) неравномерно. 63. а) Равномерно; б) равномерно. 64. а) Неравномерно;
б) равномерно. 65. а) Неравномерно; б) равномерно. 66. а) Неравномерно; б) равномерно.
67. Неравномерно. 68. а) Равномерно; б) неравномерно. 69. а) Равномерно; б) неравномер-
но. 70. Неравномерно. 71. Неравномерно. 72. |z| < 1; неравномерно. 73. ] — оо, +оо[;
неравномерно. 74. ] — оо, +оо[; неравномерно. 75. ] — оо, +оо[; неравномерно. 76. х > 0;
неравномерно. 78. Может. 85. а) Да; б) нет; в) да. 86.	87. 1. 88. 0. 89. In 1. 90. In 2.
94. Нет. 103. 1. 104. 1. 105. 0. 106. оо. 107. 4. 108. |. 109. f. 110. 1. 111. а„х2п,
п=2
00	оо п
- К)  i Е ;(»+ЕЕ щ+и
'	п=0	п=0	к=0
114 V	тп ЦК (—1)п~х _2n-l lie 'р	___
Lj n(n+l) X • 110, A. 2n(2n-l)T	•	n! (2n4-l)! 
71=1	71=1	73=0
OO	о CO	k
120. 9 - 12 £ I Sin + i). nt. 2^ £ sin kvx_
n=l	fc=l
OO	OO	.
122 * V"4 S*n	103 s' 14-2	2пя(1--со5 1) sin 2пях—sin 1 cos 2nirx
' ir	2n—1	'	*	Д/	4п3тг2—1
n=l	n=l
oo
124. sin2 — sin 3 + 2 £ ((sin2 — sin 3) cos2fcirz + 2fcir(cos2 — cos 3)sin 2fcxz).
n=l
. ,22.	sin ~	®o	/ i\n„3	oo	( i\n„3
125. - £	 Д sin 2k x. 126. £ cos ng. 127. £ \ sinnz.
7Г 4-/	k*	t—i	(n+1)!	4—'	(n+1)!
fc=l	n=l	n=l
1 +°° — — n2	1	00 f—l)n
128.	£ e~a" cos2nirz. 129. jsinz + £ sin nz, |z| < x.
n=—oo	n=2
oo	oo . я
130. 1 - — cos z + £ ^j^cosnz, |z| < x. 131. £ £ f e~y (cosky + (-1)*+1) dy.
n=2	~	k=l 0
132. if^pAiCcoskKz-cos^dx. 133. %. 134. ±(x2-H). 138. -i ,	+
Jt=l	0
ln(l — x) — f dxo 139. (1 — cosz) In (2sin |) — ^y^sinz + cosz, 0 < z < 2x. 140. (1 —
о
cos z) In (2sin f) + j cos z — j. 141. — sin z + In (-^/1 + |sinz| + \/|sinz|) sin z, |z| < x. 142. »
0,486. 143. « 0,486. 144. » 1,78.
221
Ответы
Глава 2
4. Нет. 5. Нет. 6. Да. 8.	9. e. 10 . 00. 11. 1. 15. Равномерно-непрерывна. 17. |f =
cosr„, g£=»>.£S;^-«°^. 18. |£ = 1,	=	= 3. 19.	= 4x3y + 4xy2 4-y3 + 1, # =
’’ dy	y2	dx x^ dy yf dz z dx	V 1	*	' ?	'	’ dy
х^+4х2у + Зху2-1.	20.	21. ^ = Ч|^=-Л.
* ‘ у	дх (x2+y2+l)3	’ ду (x2+y2 + l)J	дх у' ду
22. |f = 3(4гу2 - \){2х2у2 - х + I)2, |f = 12х2у(2х2у2 - х +1)2. 23. |f = Л = -
24 8/ =	J21"1 ef - v 25 а/ =
вх	2у/х^ + у2-х+1 ’ dy	7х2 + #2-х+1 '
-т—г	-. 26. ^=2^Ы2, ^ = -2^1п2. 27. %- =
y/x2^y2^.z2	дх	’ ду	дх	г3
Зх Э/ _ 2vln2 df _	3
и ’ ду	и ’ dz U COS2 3.
sin(2z + Зу — 1). 30.
1)2и+1 InO + 1). 32. |f =
34. в/ =
37.
25.
£/ _ _ __ __________
dx y’ dy y2 ‘
—У	df __ X
Z24-y3 ’ dy	X2 + y2 '
— =	9f = У Qf -
8x	y/x2 + y2 + z2 ’ dy у/Р-Ц^2' dx
П_______/ df _ хсозху 2g Qf _
x34-sinxy ’ dy z3+sinxy‘ * dx
ai = ~2u- If = “3tt’ r«e “ =
= 2(z +
X
! У.
_5
y’
AX‘ ~ ‘ “ ' ’ dx
= x3 + 2* + tg3z. 29.	=
If = -х2е-х\ 31. |f = (2y + 1 )(x + I)2*
_ SI-------------.. 33. |Z = _L2~f,
St - -?2L 36 ®£ = «+±
S4+i2' Зх » + x2>
, |f = 2г + x + у + xy. 38.
, где и
Ц = ~2гУе~х\
—	^У2	__	Z__
1 + ^2 + у2 + ^2у2 1 ду	1+х2 + у3 + х2у2
35.	££	_у^_ С
дх	y4-J-z2’ ду	„ .	_
- 2у + х + z + гг, = 2г + г + у + ху. 38. |f = /zzz-i, |f =
= (хг,)г1п(хУ). 39. % = 3/z^lnz, |f = zz^lnz, |f = xyz**'1. 40. ff =
T?^> If ~ T+i2’ 41* # ~ 2c°s(i;2 + Л(1<к + »<*»)• 42. df =	-
_ ydx-xdy 44> df = ^+^У). 45. df=	. 46. df = yx*'1 dx + j»hx dy.
_____ &x df _______________
dx ~ ex+2eV’ dy *“ ех+2еУ
a7 = 21 + У + 2> If
df
’ dy
of _
aj y3“
££ = r_.
dy
= yzzz
.xy-l
1 8f
3 dz
____ д£ =
14-х-! ду
43. df —	^2	. •***. UJ — 1 + (x2 + y2)2  UJ — s+y-z
У
47. df = - sm(xy)(y dx 4-я dy). 48. df = (Зг2 — у) dx + (Зг/2 — x) dy. 49. df =
50. df = (3i2y + y3)dx + (3y2i + x3)dy + 3z2ydz. 57. |f =	=
У2-Х2	Э2/ _	a2/	", „	„
(z2 + y2)2’ dy2 Sx2 ’ dx dy (x2 + y2)2
d2f __	-2y(l + x2)2	!
dy2	(l + x2 + y24-x2y2)2 ’
(1 - 3/)cos(z + y), 14
(1-3/)cos(t+j/), Iff =
l_il StL — L — SlL ‘
Г r3 5 dy2 r r3 ’ dz2
61. W =	+	62.
\ 05	07] Of ОТ) 1
sq (L Oft. y_ S±. x a<f . i a<f
у у x2 Or)	y2 Ot  x dr)
x(cos 7: sin yi cos 0)a-1. 67. ^rj2. 72. 0. 73. 0. 87. y‘
±1-VV^?. 90. y' = 0, y' = 00. 91. y' = 1, z" =	92. У = z‘
= -^^2- 94‘ *' = 5. У" = I2- 95. y‘
96. y' = -1, z' = 0, y" = - j, z" =	97. |4 =	98.
zsin x-cos у dz zsiny—cosz - Лп > __ — (y+z) dx—(a+z) dy ,2 .   .
cos a—у sin z ’ Sy cosx—ysinz’	'	x+y 5	(я+у)3
101. d2z = '-(dx2 -2dy2). 102. 14 = (^,)3- (2(^' + ^W-(^' +^">2).
^477(^'+^>-w+v-v), 0 =	+	105-yl =ё^!у"
а2х*-10ах3у3+2а3ху+Зхгу6+Зх6у2+а3у* jpg $1 __ x*-y _
108. y' = -1. 109. y' = 0. 110.
у 0, у z, z yi 0. 112. —-------—
3 az
zr у
—e. x* (y dx + x dy).
df _ у a2! _
;  58. См. пример 32,	— ,77	^a~ = °’
r r ’ QXZ	(l-tx^ + y^ + ^^y^J	dx dy ’
59. |f = x cos(z + y) + (1 - j/)sin(z + y), |f = -(1 + z)sin(z + y) +
= -zsin(z + y) + (2 - 3/)cos(z + y), -g~ = -(1 + z)sin(z + y) +
: -y cos(i 4- y) - (2 + x) sin(z 4- y) • 60.
a2 f____ z2 d2f _ _ xy a2 f _
C^,2 r r3 ’ dx dy r3 ’ dxdz
u1
SL — i. SL = 1 SL - i SLL —
dx r1 dy r ’ dz r ’ dx2
fe = -S.’ = \/«> + >1 + ’"-
' =	+	+	2’3?+ »g).
. 65. ааЬтcos“-1 <psina-1 tp. 66. а2аЬст2 sin2“-1 8 x
" = 1. 88.	= -Кл+уГ.. 89. у1 =
3 S	(l + x+s)3	9
92. у1 = г' = 44- 93. d2y =
” v ufy-z)’ z(z-y)	*
' = z' = IzZ а ± 0.
y-z’	y—z’	‘
d2z __	—2zx2y2 qq dz _
dxdy	(z2—I)3 '	’ dx
2(y+z) dx24-4zdx dy4-2(z4-a) dy2
(ax—y3)3
107. у" = ^«3+У2>.
*	(*-v)3
Д3(г-х) 	/ _ x3(x-y)
»3(s-«)’	*3(s-.)’
2(1-2У)(1-2»)	,	as _
~	(Xi)3	’ z * !• 114- a? = -?> a? -
5zs-14a4y<+2ay+4x3ya-|-4xay3+2yi
y' = z' = i. 111. y' =
— = 8,2 zi 1 113	-
dy	1—x2’	•	'	’ dxdy
£y _ _Д1 az — _5 n к £y — _ i	—n
ds ~ s ’ ds s' at Л’ at u’
222
Ответы
8S	112 8z 12	S2z Зх2 ,	31еж2 / ,	в’ж 4x*y4z2	, ,
в~х =	—ЗГ> 37	= "ЗГ•	116< 3?	~ Е=? + (Г?)Г>	Z * 1-	117- 373^	~ (ТЗ?)3 -	* * 1-
, вг 2-х а2х 2»(х-2)	, ПЛ j2_. с4 ((х2 , г3\ dx2 , 2ху j._ , (у2 ,
118-	37 = 777> 373?= оТТр ’ Z^"L 11Э-	+	+	+
’ г ^ °. 120. d2z = — ain2-- ((sin2 2zcos 2z 4- sin2 2z cos 2z) dx2 4- 2cos 2z sin 2i sin 2y x
x dx dy + (sin2 2zcos2y 4- sin2 2y cos2z)dy2^, sin 2z / 0.	121. g =	=	
122.	gf = -F'-1 (f/ (ГЙ + 2F& + F&) - 2(F{ + F£)F3(F/3 + F&) + (F{ + F^).
123.	||f = —(xF( + yFi)-3 (fz^FZ - 2F[Fl - F[F^) - 2z(xF[ + »ВД'2).
124	вг 1 r,(F<*'> 8u 	1 р(^ф) 8z	-	1 р(^.ф) 8ц	_	1 р(у.ф) т, г _	Р(Г,Ф)
ах	~ I г>(х,и)’ ах ~	i t>(z,x)> ву 1 p(s,u)’ ву i £>(«,»)’ де2	т>(»,«)'
128- 3? = Ц, S =	127. |5 = —-sinactgu, |^ = —jcosactga. 128. gf + z = es.
129. Ц = 0. 130. gf = 0. 131.	+2^ = 0. 132. ^-^-%+y = 0. 133. ^+by = 0.
134. g*4-y = 0. 136. |^+a(e2‘ + l)y = 0. 137.	138.	139. igf + у = 0.
14°-	+ т = °- 141-	-2 = °- 142- fu = °- 143- з? + з? +	+ ”2)2 = °-
l44- 3?+W37 + 2(n-i?)|5 + uVz = 0. 145. Д =	(0 + gf) + O> = а2+Л
146. Ди =	(g? + g^ + gy, где 52 = ch2$-cos2 <p. 147. f(i, y) = 5 + 6(r-l) + 4(y-l) +
O° O° km
3(x - I)2 + 3(z - l)(y - 1)+(y -1)2 + (x -1)3 + (z - l)(y - l)2. 148. e*+* = £ £ ^7, И <
fc=0 m=0
+oo, |y| < +oo. 149. f(x, j) = 14i2f	"• + £	• 15°- e*2_!'2 =
пг=1	m=0
^-2-t fx( < +oo, |y( < Ч-oo. 151. Zmin = -3(a2 4- 62 - at?) при x = 2a — 6, у = 2b — a.
n=0
152. Минимум при x = ay/2, у = —try/2, a = ±1; при x = у — 0 нет экстремального значения.
153. Минимум z при х = у = 3. Максимум z = a34-27, если a Sj 9, и 2a3—9a24-27, если a > 9.
154. Максимум при 3z = Зу = 2a. 155. При х — у = 2п% — максимум, при х — у = (2n4-l)ir —
минимум, если ab > 0. Если ab < 0, то наоборот. 156. Максимум при х = у = z = а.
157. Минимум при Зг = —2, Зу = —1, z = —1. 158. Минимум при х = у = z. 159. Минимум
при х = у = z. 160. Максимум z при Зх = —1, Зу = 2; минимум при тех же значениях.
161. Максимум при х = у = 1; минимум при х = у = — 1. 162. При х = 1, у = 2 нет
экстремального значения. 163. zmM = a\/l 4-\/3 при ±z = а, ±у = a; zmjn = —а\/Г+х/3
при ±г = а, ±у = а. При х = 0, у = 0 zmin = ау/2, zmix = —ау/2. 164. Максимум при
х = у = -ал/2, минимумпри х = у = ау/2. 165. umlx = (|) . 166. umix = |(124-у/18), umin =
|(12 —-\/18). 167. Наибольшее значение наименьшее 4. 168. Экстремальные значения и
являются корнями уравнения 4-	4-	= 0. 169. Экстремальные значения там, где
оси симметрии эллипсоида ^2+^2+^ = !, lx + my + nz = 0 пересекают шар z2 4- у2 4- z2 = 1.
171. Координаты ее равны среднему арифметическому координат вершин. 172. Координаты
ее равны среднему арифметическому координат данных точек. 173. а3. 174. ? +	+ ? -
3.	175. f + f 4- 7 = 3. 176. Высота параллелепипеда равна у, где Л — высота конуса.
177. Если R — радиус основания конуса, то nR2y/3 = S. 178. Sy/a2l2 4- Ъ2т2 4- с2п2 =
яаЬсу/12 4- т2 4- п2. 179. -%- 4- Л- 4- Л- = V»’ 4- Ъз 4- сз . 180. 2v = abh2, (—
aS is cS	\ 2	2	2/
вершина параллелепипеда.
Оглавление
Глава 1. Ряды..................................................... з
§1	.	Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. 3
§2	.	Признаки сходимости знакопеременных рядов............... 25
§3	.	Действия над рядами..................................... 38
§4	. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно
сходящихся функциональных последовательностей	и	рядов..... 40
§5	.	Степенные ряды.......................................... 58
§6	.	Ряды Фурье.............................................. 79
§7	. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью
рядов..................................................... 96
Глава 2. Дифференциальное исчисление функций
векторного аргумента.......................................из
§1	. Предел функции.	Непрерывность........................ 113
§2	.	Частные производные и	дифференциалы функции векторного аргумента... 124
§3	.	Неявные функции.......................................  147
§4	.	Замена переменных...................................... 167
§5	.	Формула Тейлора........................................ 186
§6	.	Экстремум функции векторного аргумента................. 196
Ответы........................................................220
Ляшко Иван Иванович, Боярчук Алексей Климентьевич,
Гай Яков Гаврилович, Головач Григорий Петрович
Справочное пособие по высшей математике. Т. 2: Математический анализ: ряды, функции
векторного аргумента. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 224 с.
ISBN 5-354-00272-9
«Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое,
исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу»
тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математи-
ки — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной
переменной.
Том 2 по содержанию соответствует первой половине второго тома «Справочного пособия по
математическому анализу» и включает в себя теорию рядов и дифференциальное исчисление функций
векторного аргумента.
Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-математических,
экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике,
а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику.