’
В. В.БАЙИ КОЗ
ФАЗОВЫХ ФУНКЦИЙ
В КВАНТОВОЙ
МСТу  ,Ж.Е



В, В. БАБИКОВ
МЕТОД
ФАЗОВЫХ ФУНКЦИЙ
В КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976
530.1
Б 12
УДК 530.145
Метод фазовых функций в квантовой механике, Б а б и к о в В. В.
Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Нау-
ка», М., 1976 г.
В книге дается изложение простого и эффективного метода ре-
шения задач квантовой механики, получившего в последние годы
большое развитие. Формулируются основные уравнения метода —
фазовые уравнения. Исследуются свойства их решений — фазовых
функций, имеющих простой физический смысл наблюдаемых на опы-
те величин. Обсуждаются преимущества данного метода перед стан-
дартным подходом, основанным на использовании волновых функций.
Строятся новые алгоритмы вычисления фаз, амплитуд, длин рас-
сеяния, эффективных радиусов, коэффициентов прохождения через
потенциальные барьеры, энергий связанных состояний, функций Гри-
на. В рамках метода фазовых функций выводятся и исследуются
приближенные методы: теория возмущений, линеаризация, квазиклас-
сическое приближение. Кроме центрального потенциала рассмотрены
более сложные случаи рассеивающих потенциалов: нецентрального,
зависящего от импульса, нелокального,; комплексного.
Во втором издании внесены небольшие изменения и включены
в качестве дополнения позднейшие работы автора по релятивистско-
му методу фазовых функций.	t
Книга рассчитана на широкий круг»специалистов в области атом-
ной и ядерной физики, а также аспирантов и студентов, изучающих
теоретическую физику.
Рис. 32, табл. 3, библ. 109 назв.
R 20402—030
Ь 053(02)-76	106'76
©Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1976
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко II изданию..........................................................................5
Предисловие к I изданию............................................................................7
Введение.........................................................................................  $
Глава ГОдноканальное рассеяние..............................15
§ I.	Фазовая и амплитудная функции. Основное урав-
нение метода .	.	.	.	...	15
§	2.	Свойства фазового	уравнения	и	его	решений .	21
§	3.	Другие формы фазовых уравнений	.	.	;	41
§ 4.	Потенциал, зависящий от импульса, и нелокальный
потенциал............................................48
§	5.	Двумерная задача	рассеяния.............................................56
§ 6.	Одномерная задача. Прохождение через потенци-
альный барьер....................................69
§ '	7. 6-потенциалы.............................78
Глава II. Многоканальное рассеяние	.	,.	93
§ 8.	Рассеяние на тензорном потенциале ...	93
§ 9.	Общий случай многоканальной двухчастичной ре-
акции ......................................................................................104
§ 10.	Оптическая модель.........................114
Глава III. Рассеяние медленных частиц.................118
§ 11.	Короткодействующий сферически-симметричный
потенциал...........................................118
§ 12.	Дальнодействующий сферически-симметричный по-
тенциал ....................................................................................127
§ 13.	Многоканальное рассеяние.............138
§ 14.	Двумерное и одномерное рассеяние	. . .	145
§ 15.	Потенциал, зависящий от импульса	. .	.152
Глава	IV. Приближенные методы	в задачах рассеяния .	161
§ 16,	Теория возмущений. Борновское	приближение	161
§ 17.	Метод линеаризации. Вариационные	методы . .	172
§ 18.	Квазиклассическое приближение .	. .	.183
Глава V.	Связанные состояния и некоторые	специальные
проблемы	 192
§ 19.	Связанные состояния................................192
§ 20.	Функции Грина......................................199
§ 21.	Потенциальное рассеяние релятивистских частиц	208
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Математические приложения..............................214
А.	Функции Риккати — Бесселя и	Риккати — Ганкеля	214
Б. Кулоновские волновые функции...................218
В.	Цилиндрические функции целого	порядка	.	.	.221
Г. Уравнение Риккати..............................224
Дополнения.............................................227
I. В. В. Бабиков, К. К. М у с а б а е в. К теории анти-
классического приближения для коэффициента падбарь-
ерного отражения.................................227
II. В. В. [Бабиков, Г. В. Груша, Р. М. М и р - К а с и-
м о в, Н. Б. Ш у л ь г и п а. Конечно-разностные фазо-
вые уравнения в релятивистской теории квазипотенци-
ального рассеяния......................................234
§ 1.	Введение.......................................234
§	2.	Конечно-разностное уравнение Шредингера	.	.	237
§	3.	Уравнение для тангенса фазовой функции	.	.	241
§	4.	Уравнение для парциальной фазы рассеяния	.	.	243
§	5.	Уравнение для парциальной амплитуды	рассеяния	245
§	6.	Обобщенные конечно-разностные фазовые......уравне-
ния ...............................................	250
§	7.	Заключение..............................254
Приложение I. Свойства решений свободного уравне-
ния Шредингера .................................255
Приложение II. Свойства 0-функции. Различные пред-
ставления функции Грина	.	. .	258
III. В. В. Б а б и к о в, Г. В. Г р у ш а, Р. М. М и р - К а с и-
м о в, Н. Б. Ш у л ь г и н а. Приближенные методы ре-
шения релятивистских фазовых уравнений ....	260
§ I.	Введение...................................260
§ 2.	Рассеяние релятивистских частиц на короткодейст-
вующем потенциале.................................261
§ 3.	Некоторые точные решения	фазовых уравнений	267
§ 4.	Релятивистские поправки....................271
§ 5.	Теория возмущений и метод	линеаризации	.	.	275
§ 6.	Заключение ...................................278
Список научных трудов В. В. Бабикова...................279
Литература.............................................282
Предметный указатель...................................286
ПРЕДИСЛОВИЕ КО II ИЗДАНИЮ
Книга В. В. Бабикова получила широкую известность
в СССР и за границей. В ней дано наиболее полное в
настоящее время систематическое изложение нового ме-
тода в квантовой механике, и она в значительной мере
основана на оригинальных исследованиях самого автора.
Первое систематическое изложение этого метода, как
общего метода для решения различных проблем кванто-
вой механики и названного им ранее «методом фазовых
функций», В. В. Бабиков дал еще в 1966 г. («Метод фа-
зовых функций в квантовой механике», ОИЯИ, Р-2758,
Дубна, 1966). Этот метод неоднократно излагался им в
специальном курсе лекций по квантовой механике на
физическом факультете МГУ и на VII Краковской шко-
ле теоретической физики (Польская Народная Рес-
публика).
Интерес к этому методу большой. 1-е издание книги
в 1968 г. быстро разошлось. В 1972 г. вышел русский
перевод книги одного из энтузиастов метода — итальян-
ского физика Ф. Калоджеро (F. Calogero, «Variable
Phase Approach to Potential Scattering», Acad. Press,
N. Y., London, 1967), дающей изложение этого метода
в теории потенциального рассеяния. Она удачно допол-
няет в ряде разделов книгу В. В. Бабикова.
Результаты В. В. Бабикова нашли практическое при-
менение в Лабораториях Объединенного Ин-та Ядерных
Исследований (г. Дубна) при решении различных задач
ядерной и атомной физики, например, при исследовани-
ях упругого нуклон-нуклонного рассеяния в широкой
области энергий и при изучении мезомолекулярных про-
цессов; применение метода фазовых функций к вычис-
лению сечений взаимодействия нейтронов с ядрами по
оптической модели сократило время расчетов на ЭВМ
в десять раз.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ КО II ИЗДАНИЮ
В последние годы В. В. Бабиков внес большой вклад
в дальнейшее развитие метода фазовых функций. Он по
новому рассмотрел вопрос о надбарьерном отражении
в квазиклассическом приближении. В соответствии с
этим § 18 в данном издании книги получает новое изло-
жение. Совместно с сотрудниками руководимого им сек-
тора теории ядра Лаборатории теоретической физики
ОИЯИ и учениками им рассмотрены применения метода
в антиклассическом приближении, обобщение метода в
теории потенциального рассеяния (для изучения полной
амплитуды рассеяния), а также обобщение метода фазо-
вых функций в релятивистской квантовой механике. Им,
в частности, получены конечно-разностные уравнения,
которые непосредственно обобщают фазовые уравнения
на релятивистский случай и предложены методы для
их приближенного решения. Работы, вышедшие в 1972 г.,
включаются в книгу в виде дополнения.
Распространение метода фазовых функций на случай
взаимодействия релятивистских частиц, как показал
В. В. Бабиков, имеет большое значение в связи с пробле-
мой нуклон-нуклонного взаимодействия, в частности, в
мезонной теории ядерных сил, которой он посвятил ряд
важных работ (во многих из них также использован ме-
тод фазовых функций) и продолжал с интересом зани-
маться. Он начал переработку книги, устрашив неболь-'
шйе неточности и опечатки и соста(ви.в план с включени-
ем новых глав, на основе, -главным образом, своих более
поздних результатов.
В конце книги прилагается список научных трудов
В. В, Бабикова.
В целях удобства для основного содержания книги
и для дополнений приводится единый список цитирован-
ной литературы.
Это издание книги стало возможным благодаря со-
действию дирекции ОИЯИ, а также благодаря советам
и консультациям друзей В. В. Бабикова.
Февраль 1975 г.
Г, В. Бабиков
ПРЕДИСЛОВИЕ К I ИЗДАНИЮ
Настоящая монография посвящена систематическому
изложению метода фазовых функций в квантовой меха-
нике. Этот метод развивался особенно интенсивно и. пло-
дотворно в последние годы. Однако ввиду разобщенности
опубликованного материала он остается, к сожалению,
сравнительно мало известным даже для специалистов.
В большом числе оригинальных работ было показано,
что, данный метод обладает целым рядом преимуществ
методического и практического характера перед стан-
дартным подходом, основанным на рассмотрении уравне-
ния Шредингера для волновой функции.-Это связано с
наглядностью физического смысла фазовой .функции,
являющейся в каждой точке фазой рассеяния на соот-
ветствующей части потенциала, и с простотрй фазового
уравнения — хорошо изученного в математике диффе-
ренциального уравнения первого порядка — уравнения
Риккати.
Наряду с наглядностью и простотой метод фазовых
функций обладает большой общностью. Он включает.но-
вые аналитические методы исследования и новые, очень
удобные в практических, применениях, алгоритмы вычис-
ления (параметров потенциального рассеяния, энергий
связанных состояний, функций Грина и т. д.
Существенно, что уравнения метода фазовых функций
формулируются непосредственно для наблюдаемых на
опыте величин, таких как фазы рассеяния и энергии свя-
занных состояний. Это обстоятельство сближает рассмат-
риваемый подход с программой Гайзенберга построения
теории S-матрицы, в которой фигурировали бы только
наблюдаемые величины. Можно надеяться на успешное
приложение в будущем метода фазовых функций также
к задачам квантовой теорий поля.
В книге систематически излагаются как принципи-
альные аспекты метода, так и многочисленные его при-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ К I ИЗДАНИЮ
мешения к задачам потенциального взаимодействия
двух частиц.
В основу книги положен курс лекций, прочитанный
автором зимой — весной 1967 г. в Дубне для студентов
физического факультета МГУ и сотрудников Объединен-
ного института ядерных исследований.
Заметим, что большой материал по методу фазовых
функций содержится также в обзорной статье, написан-
ной автором для журнала «Успехи физических наук»
(УФН 92, 3 (1967)), и в вышедшей недавно монографии
Ф. Калоджеро (F. Calogero, Variable Phase Approach to
Potential Scattering, Acad. Press, N. Y., 1967)*). Настоя-
щая монография отличается от них как по содержанию,
так и по манере изложения. Многие результаты, относя-
щиеся, например, к прохождению частиц через потенци-
альный барьер, к вычислению функции Грина, к квази-
классическому приближению, ко всем задачам одномер-
ного и двумерного рассеяния, к исследованию 6-потенци-
алов, и ряд других публикуются впервые.
Мы надеемся, что книга будет полезной как широко-
му кругу специалистов, так и студентам, изучающим те-
оретическую физику. Предполагается, что читатель зна-
ком с основами квантовой механики, теории дифферен-
циальных уравнений и теории функций комплексного пе-
ременного.
Автор глубоко благодарен Л. А. Малову за большую
помощь при выполнении численных расчетов и полезные
обсуждения, В. В. Пашкевичу за вычисления по оптиче-
ской модели и Пак Бен Гиру за помощь при подготовке
иллюстраций.
Сентябрь 1967 г.	В. В. Бабиков
*) Здесь допущена неточность. Ф. Калоджеро после получения
от В. В. Бабикова препринта «Метод фазовых функций в кванто-
вой механике» (Р-2758, Дубна, 1966) сообщил ему в письмах, что
он также готовит к печати книгу, содержание которой будет лишь
частично (в некоторых разделах) пересекаться с книгой В. В. Ба-
бикова и она выйдет уже в мае 1967 года. Он также просил о пере-
воде его книги на русский язык после ее издания. Поэтому В. В. Ба-
биков сделал на нее ссылку. Однако книга Ф. Калоджеро вышла не-
сколько позже. См. также ежегодник «Наука и человечество», «Зна-
ние», М.» 1975, стр. 175. (Прим. Г. В. Бабикова].
ВВЕДЕНИЕ
По крайней мере три обстоятельства объясняют не-
ослабевающий, а быть может, даже возрастающий инте-
рес физиков к проблемам нерелятивистской квантовой
механики.
Во-первых, область приложения идей и методов этой
теории чрезвычайно широка и непрерывно увеличивается,
включая наряду с традиционными разделами атомной и
ядерной физики многочисленные смежные разделы со-
временной химии, техники, биологии и т. д. При этом не
только возрастает число практических задач, но обна-
руживаются новые квантовомеханические явления, та-
кие, например, как упругое рассеяние гамма-квантов на
кристаллах (эффект Мессбауэра), квантование потока
магнитного поля в сверхпроводнике, осцилляции тока
электронов на границе между двумя сверхпроводниками
(переходы Джозефсона) и многие другие.
Во-вторых, нерелятивистская квантовая механика мо-
жет служить пробным камнем и определенной моделью
для проверки более общих релятивистских полевых тео-
рий. Действительно, дисперсионные соотношения, метод
комплексных угловых моментов, неперенормируемые тео-
рии и целый ряд других проблем полевой теории взаимо-
действующих частиц были успешно исследованы в рам-
ках нерелятивистского потенциального подхода.
Наконец, в-третьих, продолжают развиваться как си-
стема понятий, так и формальный математический аппа-
рат квантовой теории. Различные приближенные и точ-
ные методы исследования и решения квантовомеханиче-
ских проблем продолжают появляться как в рамках
известных подходов, например, на основе уравнения-
Шредингера, так и на пути создания новых формализмов,
в частности, фейнмановского аппарата континуальных
интегралов.
10
ВВЕДЕНИЕ
Особо следует указать на вычислительную сторону
вопроса. Значительный рост объема расчетов, связанный,
с одной стороны, с расширением сферы приложений кван-
товой механики, а с другой,— с бурным развитием элект-
ронно-вычислительной техники, сделал актуальным воп-
рос о нахождении наиболее экономичных и эффективных
алгоритмов решения квантовомеханических задач.
Все это, вместе взятое, привело в последние годы к
появлению большого числа исследований различных ас-
пектов квантовой теории и ее приложений. Как правило,
это —журнальные статьи, и многие новые результаты не
нашли отражения в известных курсах квантовой меха-
ники [1—5]. Поэтому выход в свет монографий, посвя-
щенных отдельным 'направлениям исследования, в ко-
торых достигнуты заметные результаты, таких, напри-
мер, как книги Базя, Зельдовича и Переломова [6] или
де Альфаро и Редже [7], представляется весьма свое-
временным.
Настоящая монография содержит последовательное
изложение одного подхода к формулировке и решению
квантово-механических задач, отличного от общеизвест-
ного метода, связанного с рассмотрением волновой функ-
ции и, соответственно, уравнения Шредингера. В книге
исследуется в основном задача двух взаимодействующих
частиц, сводящаяся к задаче одной движущейся в потен-
циальном поле взаимодействия частицы с приведенной
массой.
Напомним основные положения стандартной схемы
рассмотрения.
Движение частицы в потенциальном поле V(r, t) опи-
сывается волновой, функцией Т (г, t), удовлетворяющей
уравнению Шредингера:
_|^л) = г_^д + 1/(г>/)]ч,(Г(/)	(1)
Если масса частицы т и потенциал V, а следователь-
но, и полная энергия £—Й2£2/2яг, не изменяются с тече-
нием времени, то существуют стационарные состояния ча-
стицы, описываемые волновой функцией ф(г)
^(r,/) = ф(г)<? к ,	(2)
ВВЕДЕНИЕ
И
зависящей только от пространственных переменных и
удовлетворяющей уравнению*)
[-Д+Е(г)]ф(г)=/г2ф(г).	.	(3)
Во всех физических задачах требуется однозначность
и непрерывность ф(г) и ее первых частных производных
по координатам, а также интегрируемость квадрата мо-
дуля волновой функции, представляющей собой плот-,
ность вероятности, в любом ограниченном объеме Й
(|ф (r)|2 d3r < оо.	(4)
а
Плотность потока вероятности дается выражением
/ (И =' [ф (r) Vt* (г) - ф* (г) V Ф (г) ].	(5)
В задачах рассеяния волновая функция на больших
расстояниях от области рассеивающего потенциала име-
ет вид суперпозиции падающей плоской волны и рассе-
янной расходящейся сферической волны
pikr
Я5 (г> б, ф) eikr cos ° + Р (®> ф)	г —> оо.	(6)
Коэффициент при рассеянной волне /?(0, <р) называется
полной амплитудой рассеяния и определяет дифферен-
циальное сечение рассеяния под заданными углами
о(6, <p) = |F(e, ф)|2.	(7)
Полное сечение рассеяния равно
Л 2л
<J = | J d6d(po(6, <jp) sin 0.	(8)
6 о
Если потенциал сферически-симметричен (централен)
V(r) = V(r), в уравнении Шредингера (3) можно произ-
вести разделение переменных. С этой целью разлагают
волновую функцию по парциальным волнам, соответству-
ющим различным значениям полного момента I частицы
*) Здесь и всюду ниже в тексте книги, если только это не огово-
рено особо, полагается =2т=1. В этой системе единиц размер-
ность потенциала V оказывается равной квадрату обратной длины.
12
ВВЕДЕНИЕ
относительно начала координат и проекции полного мо-
мента т на заданное направление
U, (г)	Л
=	(9)
1,т
Здесь Ytm(Q, ф) — известные сферические функции.
Тогда для радиальной волновой функции м;(г) сле-
дует уравнение
«z(d + [& -	~ V (г)] (И = 0.	(Ю)
Функция и((г) вместе со всей первой производной
du,i(r)ldr должна быть однозначной и непрерывной во
всех точках 0^г<оо и обладать интегрируемым в лю-
бом конечном интервале квадратом В асимптотиче-
ской области больших расстояний г-> сю, если потен-
циал убывает достаточно быстро, Р(г) —	е>0,
волновая функция имеет вид
t/z (г)« const sin ^kr — у 4- 6zj, Г—>00.'	(11)
Если потенциал имеет конечный радиус действия R, то в
области, свободной от потенциала,
uz(r) =const-[cosбф(Лг)—sinб,П((Лг)], r>R. (12)
В выражениях (11) и (12) б; — фаза рассеяния, ха-
рактеризующая эффект действия потенциала; если по-
тенциал тождественно равен нулю Р(г)=0, фаза рассея-
ния обращается в нуль: бг=0. Функции Риккати — Бес-
селя ji(kr), ni(kr') (см. Приложение А) являются двумя
линейно независимыми решениями радиального уравне-
ния Шредингера (10) без потенциала (У(г)=0).
Полная амплитуда рассеяния в поле центральных сил.
вследствие симметрии является функцией только поляр-
ного угла 0, отсчитываемого от направления падающего
пучка частиц, и может быть выражена через фазы рас-
сеяния
F (0) = 1У (2/ 4- 1) ei6i sin 6ZPZ (cos 0),
к z=o
(13)
где P((cos0)—полиномы Лежандра.
ВВЕДЕНИЕ
13
Полное сечение рассеяния при этом равно
со
® = ^2(2/+ l)sin86z. '	(14)
1=0
Величина
/z = |e‘'6/sin6z	(15)
называется парциальной амплитудой рассеяния. Ее осо-
бенности в комплексных плоскостях переменных Ink
(напомним, что фаза рассеяния зависит от энергии и,
следовательно, от волнового вектора k) тесно связаны
с резонансами сечения рассеяния и с энергиями возмож-
ных в данном потенциале связанных состояний.
Таким образом, из экспериментально наблюдаемых
величин, а именно сечений рассеяния и энергий переходов,
мы получаем сведения скорее о фазах и амплитудах рас-
сеяния, чем о волновых функциях, являющихся основны-
ми объектами исследования при стандартном подходе.
Иными словами, в эксперименте наблюдаются не сами
волновые функции, а их изменения, происходящие в ре-
зультате взаимодействия. Поэтому представляет несом-
ненный интерес получить уравнения, связывающие фазы
и амплитуды рассеяния с потенциалом непосредственно,
минуя этап нахождения волновой функции.
Этой цели отвечает метод фазовых функций, рас-
сматриваемый в настоящей книге. В основе метода ле-
жит представление о так называемой фазовой функции
6t(r), имеющей простой и наглядный физический смысл.
При заданном центральном потенциале значение этой
функции в какой-либо точке г является фазой рассеяния
на части потенциала, содержащейся в объеме, ограни-
ченном поверхностью радиуса г, так что фаза рассеяния
на всем потенциале 6( равна асимптотическому значению
фазовой функции 6г=6((оо). Как оказывается, фазовая
функция удовлетворяет простому нелинейному диффе-
ренциальному уравнению первого порядка — уравнению
Риккапги. В результате мы имеем дело с фазовым урав-
нением, в котором фигурирует член, описывающий взаи-
модействие частиц, а именно потенциал, и наблюдаемые
величины — фазы рассеяния. Нетрудно видеть, что такой
подход близок по духу к программе Гайзенберга [8] по-
строения такой теории S-матрицы, из которой бы были
14
ВВЕДЕНИЕ
изгнаны все ненаблюдаемые величины. Конечно, присут-
ствие потенциального поля в уравнениях отличает ме-
тод фазовых функций от подхода Гайзенберга.
Основы метода фазовых функций были развиты в
работах многих авторов и в первую очередь в работах
Друкарева [9] (см. также в книге [10]), Бергмана [11],
Кинча [12] и Ольсона [13], хотя сам термин фазовая
функция и первое практическое использование фазово-
го уравнения в частном случае S-рассеяния были упот-
реблены еще в 1933 г. Морзом и Аллисом [14]. К со-
жалению, работы [9—14] оставалисьдолгоеюремя (мало
известными, и полученные в них результаты использо-
вались сравнительно редко (см., например, работу [15]),
хотя и делались некоторые попытки распространить ме-
тод фазовых функций на случай произвольного потен-
циала [16].
Начиная с 1963 г. происходили интенсивное разви-
тие метода и расширение сферы его приложений. Здесь
прежде всего следует отметить работу Калоджеро [17],
первую из большого цикла исследований различных ас-
пектов метода фазовых функций.
Весьма подробный обзор литературы можно найти
также в статье [18].
ГЛАВА I
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
Данная глава посвящена выводу и анализу основных
уравнений метода фазовых функций в приложении к за-
дачам одноканального рассеяния. Такие' задачи встре-
чаются в атомной и ядерной физике очень часто. К ним
относятся, например, упругое рассеяние бесспиновых
частиц при сферически-симметричном взаимодействии,
рассеяние друг на друге двух частиц со спином 1/2 в
синглетных и некоторых триплетных спиновых состоя-
ниях даже при наличии нецентральных сил типа спип-
орбитальной и тензорной связи, прохождение частицы
через потенциальный барьер и другие задачи.
Наряду со случаем локального потенциала рассмот-
рены также более сложные варианты нелокального и
зависящего от импульса взаимодействия.
§ 1. Фазовая и амплитудная функции.
Основное уравнение метода
Рассмотрим типичный пример одноканальной реак-
ции: рассеяние бесспиновой частицы с определенными
значениями энергии k2 и орбитального момента I на
сферически-симметричном потенциале У(г). Уравнение
Шредингера для соответствующей радиальной волно-
вой функции ц((г) имеет вид
£ «/ (Г) +	__ V (г)]	(г) = 0.	(1.1)
Двумя линейно независимыми вещественными реше-
ниями свободного (V^O) уравнения (1.1) являются из-
вестные функции Риккати — Бесселя*) ji(kr) и nt(kr).
Из требования конечности волновой функции следует,
*) Определение и свойства функций Риккати — Бесселя см. в
Приложении А.
16
одноканальное рассеяние
[ГЛ: 1
что свободному движению отвечает только регулярное
в точке г=0 решение jt(kr), так что в этом случае
асимтотически при больших значениях г будет ut (г)«
« const • sin (kr—ln/2).
Наличие потенциала приводит к тому, что теперь в
области, где V(r) исчезает, волновая функция включает
добавку нерегулярного решения свободного уравнения
nt(kr). Мерой этой добавки, дающей количественное опи-
сание эффекта взаимодействия, является фаза рассея-
ния б(:
Ut {г) « const • [у, (kr) —tg бг nt (kr) ],	(1.2)
щ (r)—> const-sin (kr — -f- б/1 r-> oo.	(1.2')
Набор фазовых сдвигов б( для различных парциаль-
ных волн (/=0, 1, 2, ...) определяет угловое распреде-
ление и полное сечение рассеяния. Поэтому важной за-
дачей теории потенциального рассеяния является на-
хождение величин 6( при заданных потенциале V(г),
орбитальном моменте I и энергии k2. Стандартный спо-
соб вычисления фаз рассеяния состоит, как известно,
в том, что решается уравнение Шредингера для волно-
вой функции (1.1) и используется асимптотическое гра-
ничное условие (1.2).
Метод фазовых функций заключается в переходе от
уравнения Шредингера к уравнению непосредственно
для искомой величины, фазы рассеяния. Совершим этот
переход способом, широко употребляемым в настоящем
изложении. С этой целью введем в рассмотрение две
новые функции б((г) и А (г), положив
щ(г) =At(r) [cos б((г)/((kr) —sin б,(г)nt(kr)]. (1.3)
Физический смысл функций б/(г)иЛ((г) проясняется,
если на них наложить некоторое дополнительное усло-
вие. Необходимость дополнительного условия очевидна
из того простого факта, что мы вместо одной неизвест-
ной функции ut(r) ввели две неизвестные функции. По-
этому потребуем, чтобы выполнялось также следующее
условие для производной волновой функции:
ui (г) = Ai (г) [cos б/ (г) ji (kr)-sin (г) (kr)1, (1.4)
§ и
ФАЗОВАЯ И АМПЛИТУДНАЯ ФУНКЦИИ
17
эквивалентное дополнительному условию
~ [cos 6Z/Z — sin 6znz] — Al [sin 6Z/Z + cos 6znz] =0. (1.5)
В результате мы получаем два уравнения (1.1) и (1.5),
достаточных для однозначного определения функций
6((г), А (г). Произведенное преобразование аналогично
хорошо известному в теории дифференциальных урав-
нений методу вариации постоянных.
Покажем теперь, что введенные таким образом ве-
личины 6((г) и Л (г) имеют смысл соответственно фаз
рассеяния и нормировочных констант волновых функ-
ций (амплитуд асимптотического выражения (1.2'))
для рассеяния на определенной последовательности по-
тенциалов. Действительно, из сравнения выражений
(1.3) и (1.2) легко видеть, что если потенциал V(r)
«обрезан» в некоторой точке r=R
V(r, R) — V(r)Q(R—г), 9(х>0) = 1, G(x<0)=0, (1.6)
то функции 6, (г), А (г) принимают в области r>R по-
стоянные значения di(R), Ai(R), равные фазе рассея-
ния и амплитуде асимптотического выражения, волновой
функции (1.2') при рассеянии на «обрезанном» потенциа-
ле (1.6). Соотношения (1.4), (1.5) отвечают при этом
условию непрерывности производной волновой функции
во всех точках. Поэтому значения функций 6((г) и А((г)
имеют простой физический смысл фаз рассеяния и асим-
птотических амплитуд волновых функций при рассеянии
на последовательности «обрезанных» потенциалов раз-
личного радиуса действия. Асимптотическое значение
функции 6,(г) при г->оо равно тогда искомой фазе рас-
сеяния на всем потенциале V(r): 6((оо)=6(. Очевидно,
что 6/(0)=0, так как условие R=0 отвечает полному
отсутствию взаимодействия.
Фактически произведенные выше подстановки озна-
чают, что исходная волновая функция (1.3) приравни-
вается в каждой точке г к значению в этой же точке
другой волновой функции, отвечающей обрезанному по-
тенциалу У(г')9(г—г') и соответствующим образом
нормированной. Именно эта свобода нормировки вол-
новой функции, являющаяся следствием однородности
уравнения Шредингера, дает возможность получить ни-
2 В. В, Бабиков
18
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
же имеющее физический смысл уравнение для функ-
ции 6, (г).
Функции б, (г), А (г) называются соответственно их
физическому смыслу фазовой функцией *) и амплитудной
функцией. Найдем уравнения, которым удовлетворяют
эти функции. Продифференцировав соотношение (1.4),
подставим полученное выражение для d^uArjldr1 вместе
с (1.3) в уравнение Шредингера (1.1). Тогда получим
следующее уравнение:
dAt{r) s / . d . ,, ,	. s , , d
[ cos 6Z (г)	Sin	8t (r) j-rnt(kr) —
—	At (r) [sin 6Z (r) ji {kr) + cos Si (r) nt {kr)j _
—	V {r) At{r) [cosS^r) fr{kr) — sin8i(r)ni(kr)\ = 0. (1.7)
Уравнения (1.5) и (1.7) образуют систему двух диф-
ференциальных уравнений первого порядка для функ-
ций б, (г) и At (г), достаточную для их однозначного оп-
ределения. Это естественно, так как исходное уравнение
Шредингера является уравнением второго порядка.
Исключая производную амплитудной функции и ис-
пользуя тот факт, что вронскиан решений свободного
уравнения Шредингера равен (А.6)
idkr) j-rni(kr)~ni{kr)j-rjt{kr) = k, (1.8)
получаем следующее уравнение для функции 6/(г):
3?МГ) = — у У (г) [cos 6Z {г) ji{kr)-sin8i {г) nt(kr)[2, (1.9)
6,(0) =0. ,
Заметим, что уравнение для фазовой функции не за-
висит от амплитудной функции At(г).- Это имеет глубо-
кий физический смысл и связано с тем обстоятельст-
вом, что нормировка волновой функции несущественна
в задачах рассеяния (а также, как ниже будет показа-
но, в задачах отыскания энергий связанных состояний).
Таким образом, вычисление фазы рассеяния при дан-
ном потенциале сводится к решению задачи с началь-
*) Этот термин впервые был употреблен в работе Морзе и Ал-
лиса [14].
§ 1]	ФАЗОВАЯ И АМПЛИТУДНАЯ ФУНКЦИИ	19
ным условием, т. е. к задаче Коши для нелинейного
дифференциального уравнения первого порядка.
Фазовое уравнение (1.9) является основным уравне-
нием метода фазовых функций. Оно было впервые по-
лучено Друкаревым [9], а затем независимо в работах
Бергмана [11], Кинча [12], Ольсона [13] и Калодже-
ро [17]. Частный случай уравнения (1.9), соответствую-
щий значению /=0,
fr«o(r)--|V(r)sir?[^ + 6o(r)J, 6о(О) = О (1.10)
был использован ранее Морзе и Аллисом при исследо-
вании задачи S-рассеяния медленных электронов на
атомах [14]. Аналогичным образом, исключая из (1.5)^
(1.7) производную df>t(r)ldr, получаем уравнение для
функции А|(г)
у:Л(г) = —уЛ/(г)У(г)[со8б/(г)//(^г) —
— sin6,(г)(£г)] [sin 6/(г) ji\kr) H-cos6z(r) tii(kr)\. (1.11)
В отличие от фазового уравнения (1.9) уравнение
для амплитудной функции является, во-первых, линей-
ным, а во-вторых, содержит фазовую функцию. Легко
видеть, что уравнение (1.11) может быть проинтегриро-
вано в явном виде
г	Г
Ai (г) = ехр — у J dr' V (r')[cosdi(r')ji(kr') —
— sin6z(r') ni{kr')] [sin8t(r') ji(kr') -+ cos 6Z (/•')«/(&/)]}.
(1-12)
Здесь предполагается, что амплитудная функция норми-
рована на единицу: А1(/-о) = 1 в точке г0. (В следующем
параграфе вопрос о нормировке функции А (г) обсуж-
дается более подробно.)
Приведем в заключение раздела еще один способ
(Зимек [19]) получения уравнения для фазовой и ам-
плитудной функций.
Данному центральному потенциалу V(r) можно со-
поставить последовательность обрезанных на радиусах
2*
20
ОДНОКАНАЛЫ-ЮЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
R потенциалов
V(r, R) = V(r)Q(R—r)
так, что
V(r, 0)=0, V(r, oo) = V(r)
Этой последовательности потенциалов будет соответ-
ствовать определенная последовательность фазовых
сдвигов 6, (/?) с очевидными предельными значениями
6,(0) =0, 6,(оо) =6„
где 6, — фаза рассеяния на всем потенциале.
Задача заключается в нахождении уравнения для
величины 6,(/?), рассматриваемой как функция радиуса
обрезания потенциала R (фазовая функция).
С этой целью продифференцируем один раз по пе-
ременной R уравнение для волновой функции н,(г, R),
отвечающей обрезанному потенциалу V(r, R),
щ (г, R) +	- V (г, /?)] «/ (г, R) = 0. (1.13)
Тогда получим
д2 Г д ,
Or2 dR U‘ Ю
/(/ + 1)
Г2
~V(r, ₽)]Д щ(г, R)-
— V(r)6(r — R)ui(r,R) = 0. (1.14)
Умножая уравнение (1.13) на dthl(r, R)/dR и уравнение
(1.14) на м,(г, R), вычтем одно из другого:
ди{ (г, R) d2ut (г, R)	д2 | ди( (г, R) 1
dR dr$ Ul (Г»	д'1 [ dR
4- V (r)6(r—R)u2(r, R) = 0. (1.15)
Интегрируя полученное уравнение по переменной г от
точки г=Q , (ВДЧКИ: rOR, (имеем с учетом к, (О, R) =
=dUl(0, R)/dR=O
dut (г, R) du{ (r,R)	d~ul (r,R)
dR dr u‘(r> W dr dR
= - V (R)u2(R, R), r>R. (1.16)
Если теперь в области r>R положить
м,(г, R) =At(R) [cos6,(7?)/,(/гг)— sin bt(R)tii(kr)]	(1.17)
§ 21 СВОЙСТВА /РАЗОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИЙ 21
и подставить это выражение в уравнение (1.16), то, ис-
пользуя известное значение вронскиана (1.8), получаем
окончательно искомое фазовое уравнение
6Z (/?) = -1 V (R) [cos 6Z (/?) /z (kR) - sin 6Z (R) n{(kR)]\
6,(0) =0.	(1.18)
Уравнение (1.18) заменой обозначений R-*-r приво-
дится к виду (1.9).
Аналогичным образом из уравнений (1.13) и (1.14)
можно вывести уравнение для амплитудной функции
At(R), совпадающее с (1.11) и имеющее решение (1.12),
выраженное в квадратурах от решения фазового урав-
нения.
Таким образом, решение фазового уравнения (1.9)
полностью определяет волновую функцию (1.3). Это от-
ражает тот хорошо известный факт, что линейное одно-
родное уравнение второго порядка, каким является
уравнение Шредингера, может быть сведено к нелиней-
ному уравнению первого порядка — уравнению Рикка-
ти. Существенно, что фазовая функция, являющаяся ре-
шением получаемого уравнения Риккати, имеет простой
и наглядный физический смысл.
§ 2. Свойств» фазового уравнения и его решений
Отметим преимущества данного подхода к вычисле-
нию фаз и, как будет показано ниже, других парамет-
ров рассеяния по сравнению со стандартным методом,
основанным на рассмотрении уравнения Шредингера
для волновой функции. Часть из них достаточно очевид-
на, а остальные будут проиллюстрированы на приве-
денных в дальнейшем изложении примерах.
Во-первых, фазовое уравнение (1.9) наглядным об-
разом демонстрирует связь фазы рассеяния с потенциа-
лом. В частности, так как выражение [cos6, (r)ji(kr) —
—sin 6, (г) п,(Лг)]2 всегда неотрицательно, знак произ-
водной фазовой функции 6, (г) однозначно связан со
знаком потенциала V(r). Для потенциала притяжения
(V(r)<0) производная фазовой функции, а следова-
тельно, и сама фаза положительны; для отталкива-
тельного потенциала (V(r)>»0) Производная фазовой
22
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
(ГЛ. I
функции и сама функция отрицательны. Кроме того, в
процессе интегрирования фазового уравнения мы самым
непосредственным образом наблюдаем эффект действия
различных областей потенциала. Действительно, прира-
щение фазовой функции Д6( на каком-либо интервале
Дг соответствует действию той части потенциала, кото-
рая заключена в этом интервале. Ясно, что тем самым
мы очень просто и прямо получаем информацию, кото-
рая, хотя и содержится, конечно, в решений уравнения
Шредингера — волновой функции, но в очень неявном,
скрытом виде.
Характер поведения амплитудной функции не столь
очевиден, так как знак подинтегрального выражения
в формуле (1.12) определяется не только знаком потен-
циала. Легко видеть, однако, что функция Д,(г) знако-
постоянна и в зависимости от знака потенциала в нача-
ле координат имеет тенденцию к возрастанию
(V(0)>0) или убыванию (К(0)<0).
Рис. 1. Фазовая и амплитудная функции для потенциала
V(/•)=; у(2е~2г-е-г), 6=1, Z = 0.
В качестве примера на рис. 1 показаны фазовая и
амплитудная функции, являющиеся решениями уравне-
ний (1.9) и (1.11) для случая часто встречающегося в
атомной и ядерной физике потенциала, содержащего
короткодействующее отталкивание, и потенциал притя-
жения, действующий на более далеких расстояниях.
Как видно из графика фазовой функции, она, начиная
§ 2) свойства фазового уравнения и его РЕШЕНИЙ 23
с нулевого значения в точке г=0, уходит в область oi-
рицательных значений, соответствующих потенциалу
отталкивания, достигает минимума в точке, где потен-
циал меняет знак, и затем возрастает благодаря дейст-
вию потенциала притяжения. Точка г=г\, где фазовая
функция обращается в нуль, определяет ту часть потен-
циала V(r)0(ri—г), которая при данной энергии E=k2
не дает вклада в фазу рассеяния, так что весь сдвиг
фазы определяется действием оставшейся части
V(r)0(r—и). Заметим, что если эта оставшаяся часть
мала, то, отбросив внутреннюю часть, можно исполь-,
зовать теорию возмущений. Поэтому метод фазовых
функций удобно использовать, например, в известном
подходе к рассмотрению ядерной материи, в котором
действие сильного двухнуклонного потенциала заменя-
ется действием небольшой части его «хвоста» [20].
Второе преимущество метода фазовых функций так-
же весьма очевидно и связано с известными математи-
ческими свойствами уравнения (1.9). Уравнения Риккати
хорошо изучены (см. Приложение Г). Это позволяет
использовать для исследования фазового уравнения ряд
известных теорем и методов теории дифференциальных
уравнений. Тот факт, что фазовое уравнение — первого
порядка (хотя и нелинейное), упрощает программиро-
вание и вычисления на электронно-счетных машинах.
Кроме того, при этом уменьшается количество опера-
ций и, следовательно, время счета. Создание эффектив-
ных и экономичных расчетных программ является в на-
стоящее . время очень актуальной задачей в связи с
большим ростом объема квантовомеханических вычи-
слений в различных областях физики и смежных дис-
циплин и с бурным развитием вычислительной техники.
Наконец, не осциллирующий, а более монотонный ха-
рактер поведения фазовой функции позволяет прово-
дить расчеты с большей точностью и облегчает оценку
погрешности результата. Метод фазовых функций ока-
зался очень удобным при решении многих конкретных
задач атомной [15, 21] и ядерной [22] физики.
Третьим и, вероятно, самым важным преимущест-
вом данного метода является возможность построения
в его рамках новых алгоритмов вычисления не только
фазовых сдвигов, но и парциальных и полных ампли-
24
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ I
туд рассеяния, элементов S-матрицы, длин рассеяния,
эффективных радиусов и других параметров рассеяния,
а также энергий связанных состояний, функций Грина,
коэффициентов прохождения через потенциальный
барьер и т. д. Практически любая задача квантовой ме-
ханики может быть сформулирована и решена в тер-
минах фазовых функций или функций, соответствующих
другим непосредственно наблюдаемым на опыте вели-
чинам.
Новая формулировка квантовомеханических задач
позволяет не только адекватным способом вычислять
интересующие нас величины, но и глубже понять струк-
туру теории. Ясно, например, что уравнение для парци-
. альной амплитуды рассеяния может быть использовано
для прямого исследования ее аналитических свойств.
Ряд общих теорем может быть получен в методе фазо-
вых функций более простым, чем обычно, образом. Впол-
не возможно также, что новый формализм окажется
очень полезным в построении теории гайзенберговской
S-матрицы, где все операции производятся только с на-
блюдаемыми величинами, т. е. с фазами или амплиту-
дами рассеяния и энергиями связанных состояний.
Как будет показано в последующих разделах, ме-
тод фазовых функций дает простые способы получения
как уже известных приближенных формул для задач
рассеяния и связанных состояний, так и ряда новых
приближений.
Интересно исследовать поведение решений фазового
уравнения в зависимости от свойств потенциала вблизи
начала координат, т. е. при г->0. Это тем более необхо-
димо, что из-за сингулярного поведения функций nt(kr)
при />0 интегрирование уравнения (1.9) в практиче-
ских расчетах следует начинать от точки r=g>0.
Рассмотрим, какой вид принимает тогда начальное
условие для фазовой функции 6((е). Для этой цели
удобно переписать фазовое уравнение в интегральном
виде
f
6. (г) = — у J V (г') [cos 6/ (г') ji (^r')-sin 6/ (г') tti (kr')\2 dr'.
(2.1)
СВОЙСТВА ФАЗОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИЙ
25
В зависимости от характера поведения потенциала
на малых расстояниях можно различать три случая.
Первый случай — потенциал не сингулярен или слабо
сингулярен, т. е.
r2V(r)->0, г->0.	(2.2)
Тогда, полагая в выражении (2.1) под знаком интегра-
ла cos б/ (г) «1, sin б/ (г') « 6i (г'), имеем при е-*0
М*)~
е	е
« -yf v (г) fl {kr) dr+Q V (г) it {kr) nt (kr) 8t (r) dr. (2.3;
0	6
При достаточно малых e второй интеграл мал по срав-
нению с первым. Действительно, условие малости его
подинтегрального выражения можно записать с учетом
поведения функций Риккати — Бесселя при малых г
(А. 11) в виде
1б/ (8)1 < (2/+\) !! (2/ - 1’)!Г
Поэтому при следует в (2.3) ограничиться пер-
вым членом в виде
8‘ ~ - LK2/TW S v (r) r2l+2dr’ е °- (2,5)
о
Для потенциала, имеющего, например, степенную зави-
симость
V(r)« УогД1+0(Н], Р>—2, s>0, г—>0, (2.6)
получим тогда
+ (2.7)
Здесь т= ($, 2, 2-|-р) определяет степень поправоч-
ного члена и является минимальным значением степе-
ней поправок от потенциала (m=s), от разложения
функции ji(ke,)(m = 2) и от учета второго члена в
выражении (2.3) {т=2+р), так что начальное условие
б<(е) с поправками в явном виде равно (в потенциале
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
(2.6)	положено O(r8)= ars)
s /„х = _	V0(fee)2Z+182+p Г. , «е5(2< + 3 + р) _
1{)	(2/+ 3 + р) [(2Z + I)!!]2 [ '"l" (2/4-3 + p + s)
(fee)2 (2/ + 3 + р)	2Voe2+p	1
(2/ + 5 + р) (2/ + 3)	(2Z + 5+2р) (2Z + 1)!! (2Z - 1)!!J'
Видно, что при р>—2 соотношение (2.4) действительно
выполняется.
Приведем еще несколько примеров.
Так, пусть потенциал содержит логарифм
V (г) Kt УйгР 1 .-Л (-£.)[ 1 4- О (/-<)],	р > - 2, г -> 0. (2.9)
В этом случае первой поправкой к основному члену
при достаточно малых е будет логарифмический член
л __________V0(fee)2<+le2+p lng(e/a) Г. _ д 1	]
(2Z + 3 + P) |(2Z + 1)!!]2L 2Z + 3 + p ln(e/a)J’
е->0.	(2.10)
Если потенциал^обращается в нуль, имея в точке г—0
существенную особенность типа
V(r)^Voe~\ г—>0,	(2.11)
то нетрудно убедиться в том, что фазовая функция при
малых е равна
__________________а
У0е2е е(еМ)
K2Z+1)
2(Z + 2)e
а
8/ (е)
(2.12)
Что касается амплитудной функции, то при несин-
гулярном или слабо сингулярном потенциале (2.2) ее
нормировка совершенно произвольна. Она может быть
нормирована на единицу в любой точке го, включая
Го=О (см. формулу (1.12)). Физически это соответст-
вует тому, что в данном случае потенциальное поле не
препятствует частице достичь начала координат. Толь-
ко центробежный, барьер не позволяет частице с конеч-
ной вероятностью попасть в точку г=0.
§ 21
СВОЙСТВА ФАЗОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИЙ
27
Второй возможный случай — сильно сингулярный
потенциал отталкивания:	1
r2V(r) ->Ч-оо, г->0.	(2.13)
Ясно, что теперь в выражении (1.9) для производной
фазовой функции расходимость потенциала не может
быть, вообще говоря, скомпенсирована только первым
членом j/ (kr) ~ (kr)2l+2. Напомним здесь, что по физи-
ческому смыслу фазовой функции она сама и ее произ-
водная всюду должны быть конечными. Поэтому в слу-
чае сильно сингулярного потенциала все выражение,
стоящее в скобках в правой части фазового уравнения,
необходимо должно обращаться в нуль, и при этом
быстрее,чем jt(kr) ~ (kr)l+l. Полагая опять прималыхг:
cos6((/)~l, sin б;(г) »б((г), находим с учетом (А.5)
6/ (г)	— (2/	(2Z _ 1)!(, г—>0.	(2.14)
Выражение (2.14) показывает, что на самых малых
расстояниях действие сильно сингулярного потенциала
(2.13) имитирует хорошо известный эффект твердой от-
талкивательной сердцевины малого радиуса г тем пол’
нее, чем меньше значение г.
Поправочный член Af (г) к этому выражению легко
находится, если подставить выражение
6z (г) = arctg^ +А/(г), г-» О (2.15)
в фазовое уравнение (1.9). В правой части уравнения
(1.9) основным отличным от нуля членом в скобках
будет
— Az (г) tn (kr) -» Az (г)(2/~ l)!!, r->U.
(kr)1
В результате этой подстановки имеем при г->-0
откуда
k (kr)21
1(2/ -1)1 IF

д ______________k (kr)21_____
l"'~ yl/2 (r)[(2l- I)!!]3’
r — O.
(2.16)
28
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Положительный знак А, (г) берется из тех очевидных
физических соображений, что в действительности потен-
циал (2.13) несколько «мягче», чем твердая сердцеви-
на, и поправочный член (2.16) к фазе рассеяния должен
отвечать эффективной добавке притяжения, т. е. дол-
жен быть положительным. Сам факт появления неод-
нозначности решения фазового уравнения в точке г=0
связан с сингулярностью потенциала и соответственно
с невыполнением условия Липшица (см., например,
[23]) для правой части уравнения (1.9)*).
Таким образом, начальное условие для фазовой
функции имет вид
6z = —(2/-Н)!! (2/- 1)!! f1 — еу1/2 (е)'+ ° (8^]’ 8°’
(2.17)
Второй член в формуле (2.17) является основной поправ-
кой при потенциалах, возрастающих не быстрее О (г-6).
. Амплитудная функция At(r) в этом случае может
быть нормирована на единицу только при конечном
значении г0>0. Действительно, положим, что в выра-
жении (1.12) г и г0 достаточно малы, чтобы под интег-
ралом можно было пользоваться формулами (А. 11)
для функций Риккати — Бесселя и формулой (2.17)
для фазовой функции 6г (rz). Тогда нетрудно убедиться,
что выражение для амплитудной функции А((г) прини-
мает вид
|r" 1
— J dr'V>/2(г')}, г<го->0,	(2.18)
т. е. амплитудная функция на малых расстояниях экс-
поненциально мала. Движущаяся в сильно сингулярном
потенциале отталкивания частица достигает точки г—О
с исчезающе малой вероятностью даже при отсутствии
центробежного барьера.
Частным случаем сильно сингулярного потенциала
является твердая отталкивательная сердцевина конеч-
ного радиуса гс
V(r) = + °° , 0^г^гс.	(2.19)
”) Напомним, что условию"Липшица удовлетворяют непрерывно
дифференцируемые функции.
§ 2]
СВОЙСТВА ФАЗОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИЙ
29
Теперь выражение, стоящее в скобках в правой части
уравнения (1.9), должно тождественно обращаться в
нуль во всем интервале 0^г^гс. Отсюда следует, что
фазовая функция внутри данного интервала точно
равна
ji (kr)
6Z (г) = arctg 0 < г < гс. (2.20)
Выражение (2.20) хорошо известно в литературе (см.,
например, [5]).
Если понимать бесконечные значения потенциала
(2.19) как предельный переход от больших, но конеч-
ных значений V(r) = Vo-»-oo, то нетрудно убедиться
(подобно тому как получалась формула (2.17)), что по-
правочный член к (2.20) будет порядка O(Vq~,/2).
Отметим тот факт, что фазовая функция существу-
ет и отлична от нуля внутри области действия твердой
сердцевины, где волновая функция тождественно равна
нулю
и((г)=0, О^л^Гс-	(2.21)
В практических расчетах величина фазовой, функции
ф (гс), определяемая выражением (2.20), служит на-
чальным условием при интегрировании уравнения (1.9)
с потенциалом, содержащим твердую отталкиватель-
ную сердцевину (2.19) на расстояниях г^гс и несингу-
лярную часть на больших расстояниях г>гс.
Амплитудная функция в случае потенциала вида
(2.19) разрывна на границе твердой сердцевины г—гс:
At (г)— 0, 0^r^rc,
<А|(го) = 1, г0>ге.	<2-22)
Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при
предельном переходе к потенциалу (2.19) от больших,
но конечных значений Vo подинтегральное выражение
в (1.12) будет пропорциональноVq2, и для г^.ге ампли-
тудная функция обращается в нуль экспоненциально.
Третий случай, промежуточный между рассмотрен-
ными выше:
r2V(r) -> const={i, r->0.	(2.23)
30
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. 1
Постоянная £ может быть как положительной, так и
отрицательной. В последнем случае, однако, имеется
ограничение на абсолютную величину р, следующее из
условия отсутствия падения частицы на центр (см., на-
пример, [1]) при притягивающем потенциале. Для ча-
стицы с орбитальным моментом / это ограничение име-
ет вид
Р> —(/+V2)2.	(2.24)
Для того чтобы исследовать поведение фазовой
функции на малых расстояниях, будем искать ее в
виде
б/(г)»	7/^/ + 1)!! (2/ — 1)!!’	(2.25)
Подставляя (2.25) в уравнение (1.9), находим, что ко-
эффициент qi определяется как решение уравнения
^-[2 + <^±^U+l=0.
L	н j
(2.26)
Появляющаяся двузначность происходит из-за невы-
полнения условия Липшица для правой части фазового
уравнения при потенциале (2.23). Из двух решений
этого квадратичного уравнения следует выбрать то,
которое при 0->0, т. е. при ослаблении сингулярности
потенциала, дает qi—0:
л _ 1 i (2Z + ')2 _ <2£±JZ 1Л1	/о 97\
20	20 К 1 + (2/ +1)2’	(2-27)
Величина улежит в пределах —Поправоч-
ные члены к выражению (2.25) возникают при учете
поправок к потенциалу О (г’) и следующих членов раз-
ложения (А. 9),	(А. 10) функций Риккати — Бессе-
ля О (г2).
Таким образом, начальное условие для фазового
уравнения в точке г=е при потенциале (2.23) имеет
ВИД
б/ (е)	<7/ (21 -|- 1)1! (2/_1)!! Ч (еИ1)!>	= min (s, 2).
(2.28)
§ 2) СВОЙСТВА ФАЗОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИЙ 31
Амплитудная функция при малых г имеет степенную
зависимость. Подставляя выражение (2.25) в формулу
(1.12), находим
о 1 , л1-**)
А, (г) « ехр - Ц^-Г J L 2Z+1 , (2.29)
Г '
r<r0->0.
Несмотря на то, что амплитудная функция А (г) в слу-
чае притягивающего (0<О) потенциала сингулярна,
ограничение (2.24) обеспечивает интегрируемость квад-
рата волновой функции (1.3).
До сих пор относительно потенциала V(г) неявно
предполагалось только то, • что он спадает на больших
расстояниях достаточно быстро, чтобы можно было оп-
ределить фазу рассеяния:
rl+8V(r) -*-0, г->оо, е>0.	(2.30)
Рассмотрим теперь поведение фазовой функции на
больших расстояниях при г->оо более подробно. Из
уравнения (1.9) следует, что по мере спадания потен-
циала Р(г) функция 6((г) непрерывным образом стре-
мится к постоянному значению 6((оо). Нетрудно оце-
нить степень приближения фазовой функции к бДоо).
Для этого проинтегрируем фазовое уравнение (1.9) в
пределах (г, оо), заменяя в правой части (г) на
б,(оо) и функции Риккати — Бесселя — их асимптотиче-
ским выражением (А.7). Тогда получим
оо
6/(оо)—6/(г)а;—f V(r)sin2 (ftr—-^4-6/(oo)Vdr( г—>oo.
(2.31)
Соотношение (2.31) может служить критерием точ-
ности расчетов фазовых сдвигов с помощью фазового
уравнения (1.9), в зависимости от значения г, при кото-
ром обрывается интегрирование. Более простая, хотя и
менее точная, оценка получается, если несколько осла-
бить условие (2.31):
оо
|6z(oo) — 6/(r)|<y	|V(r)|dr,	г-> х>.	(2.32)
Г
32
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Освободимся теперь от ограничения (2.30). Дейст-
вительно, большой класс потенциалов, в частности, куло-
новское взаимодействие, не удовлетворяет этому усло-
вию. Фазовое уравнение остается справедливым для та-
ких потенциалов, если иметь в виду, что при наличии
кулоновского потенциала Z\Z2e2jr сдвиг фазы волновой
функции логарифмически возрастает (см., например, [1])
(/л	\
kr — 2— я In 2kr 4- оi 4- 6/1, г —> оо.
(2.33)
Здесь T\=Z\Z2e2lhv— кулоновский параметр, о(=
=argr(/-|-l-Hri)—сдвиг фазы при чисто кулоновском
рассеянии, 6( — «ядерный» сдвиг фазы, возникающий
от действия короткодействующей (например, ядерной)
части потенциала и его интерференции с действием ку-
лоновского потенциала.
Однако для потенциала, содержащего электростати-
ческое кулоновское взаимодействие, более удобен та-
кой вид фазового уравнения, когда его решением явля-
ется непосредственно фаза 6;, обычно определяемая в
экспериментах по рассеянию заряженных частиц, на-
пример протонов. Это уравнение можно получить ана-
логично тому, как было получено уравнение (1.9), если
с самого начала во всех формулах (1.3) — (1.12) вместо
функций Риккати — Бесселя ji(kr), nt(kr), являющихся
решениями свободного уравнения Шредингера, исполь-
зовать кулоновские функции Fi(kr, т]), Gt(kr, т)) (см.
Приложение Б), являющиеся регулярным и нерегуляр-
ным в точке г=0 решениями уравнения Шредингера с
кулоновским потенциалом VK (г) =ZiZ2e2/r—2kTi]/r.
Вронскиан этих функций равен — k. Фактически все
сводится к замене
jt(kr)-+Ft(kr, т]), nt(kr)-*- — Gt(kr, т|).	(2.34)
Соответственно фазовое уравнение принимает вид
£ 6г (г)=— £ V (г) [cos 6/ (г) Fi (kr, я) 4- sin 6/ (г) Gt (kr, я)12,
6/(0) = 0.	(2.35)
Здесь V(r) отвечает короткодействующему (ядерному)
§ 2] СВОЙСТВА ФАЗОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИЙ 33
потенциалу. Подчеркнем, что ядерная фаза зависит так-
же от параметра кулоновского взаимодействия ввиду
его интерференции с ядерным взаимодействием. Боль-
шим преимуществом уравнения (2.35) перед уравнением
(1.9) с включенным в V(r) кулоновским потенциалом
является гораздо более быстрая сходимость решений
уравнения (2.35) к искомым значениям 6((оо).
Подобным же образом видоизменяется формула
(1.12) для амплитудной функции
{Г
— у ^dr'V(r')[cos8t(r')Fi(kr', ц)-|-
Г0
-f- sin 6/ (г') Gi(kr', ц)]х
х [sin 6/ (г') Ft (kr', ц) — cos 6i (r') Gi (kr', я)]} • (2.36)
При значениях 2ц<Сkr, что имеет место, например, в
задачах протон-протонного рассеяния при энергиях
^лаб»5 Мэв с потенциалом, содержащим твердую серд-
цевину радиуса гс«0,5 фермы., можно воспользоваться
для /=0 представлением кулоновских функций (Б.17).
Тогда фазовое уравнение примет простой вид, аналогич-
ный (1.10)
^60(r) = -|V(r)a2sih2(p + 60(r)), 6о(О) = О, (2.37)
где функции аир задаются формулами (Б. 18).
Таким образом, для всех физически интересных по-
тенциалов фазовое уравнение (1.9) имеет непрерывные
решения, обладающие прямым физическим смыслом.
В качестве примера использования фазового уравне-
ния (2.35) с кулоновскими функциями в таблице 1 при-
ведены результаты расчета ядерных фазовых сдвигов
протон-протонного (рр) рассеяния в ^о- и Щд-состоя-
ниях с потенциалом Хамады — Джонстона [39] при раз-
личных энергиях налетающего протона. Здесь же для
сравнения приведены фазовые сдвиги нейтрон-протон-
ного (пр) рассеяния, полученные путем интегрирова-
ния фазового уравнения (1.9) с тем же ядерным потен-
циалом.
Из таблицы 1 следует, что эффект интерференции
кулоновского и ядерного взаимодействий более сильно
3 в. в. Бабиков
34
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
проявляется в ^о-срстоянии. При этом знак эффекта
различен для области малых (£<20 АЬв) и сравни-
тельно больших (£>20 Мэв) энергий. В первом случае
интерференция ядерного и кулоновского взаимодействий
Таблица 1
Сдвиги фаз нуклон-нуклонного рассеяния в 150- и 1Р2"
состояниях, вычисленные для потенциала Хамады-Джонстона
[39] без учета (пр)- и с учетом (рр)-кулоновского взаимодействия
Е, Мэв	*/ия	ч	‘So		‘£>2	
			пр	рр	пр	рр
10	0,492	0,0500	0,991	0,960	0,003	0,003
20	0,695	0,0354	0,890	0,887	0,010	0,009
40	0,983	0,0250	0,734	0,744	0,024	0,023
60	1,20	0,0204	0,614	0,628	0,038	0,037
80	1,39	0,0177	0,515	0,530	0,053	0,052
100	1,55	0,0158	0,429	0,445	0,067	0,066
120	1,70	0,0144	0,353	0,369	0,082	0,080
140	1,84	0,0134	0,283	0,299	0,095	0,093
160	1,97	0,0125	0,220	0,236	0,108	0,106
180	2,09	0,0118	0,161	0,177	0,121	0,119
200	2,20	0,0112	0,106	0,1221	0,134	0,131
220	2,31	0,0107	0,053	0,070	0,145	0,143
240	2,41	0,0102	0,004	0,020	0,157	0,154
260	2,51	0,0098	—0,043	—0,026	0,167	0,165
280	2,60	0,0094	—0,087	—0,071	0,177	0,175
300	2,69	0,0091	—0,130	—0,114	0,186	0,184
320	2,78	0,0088	—0,171	—0,155	0,194	0,192
приводит к уменьшению ^о-фазы рассеяния, т. е. к по-
явлению эффективного отталкивания. С увеличением
энергии фаза рр-рассеяния в ^-состоянии увеличива-
ется по сравнению с фазой пр-рассеяния в этом же
состоянии, что соответствует появлению эффективного
притяжения между протонами. В ^-состоянии эффект
интерференции кулоновского и ядерного взаимодейст-
вий эквивалентен появлению слабого потенциала оттал-
кивания.
В заключение данного параграфа приведем приме-
ры, иллюстрирующие зависимость фазовых функций
СВОЙСТВА ФАЗОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИЙ
35
§ 2]
от аргумента г, а также от орбитального момента I и
волнового вектора k (т. е. от энергии №) рассеиваемой
частицы.
На этих же примерах весьма наглядным образом
проявляются некоторые свойства фаз рассеяния, форму-
лируемые обычно как теоремы, например теорема Ле-
винсона о величине фазового сдвига при нулевой энер-
гии (k=0).
На рис. 2 показаны решения фазового уравнения
(1.9) для потенциала в виде прямоугольного барьера.
Значения k выбраны с таким расчетом, чтобы энергия
частицы E=k2 была много меньше (&=0,3), равна
(6=1) или много больше (6=3) высоты потенциально-
го барьера У(г) = 1. Как видно из рис. 2, наибольший
эффект рассеяния происходит при энергии частицы,
сравнимой по величине с высотой барьера. С ростом ор-
битального момента фазы рассеяния уменьшаются по
абсолютной величине. Особенно сильно этот эффект про-
является при малых k. При больших энергиях (fe=3)
роль центробежного потенциала, естественно, падает.
Заметим также, что действие потенциального барьера
конечной высоты, но достаточно большого радиуса по-
добно для частицы малой энергии (&2<С V) действию
твердой отталкивательной сердцевины (2.19), когда фа-
зы рассеяния описываются формулой (2.20). Действи-
тельно, из рис. 2, а следует, например, что 6о(г)«£г
(й=0,3) при больших значениях г.
На рис. 3 показаны нормированные на единицу в на-
чале координат решения амплитудного уравнения
(1.11) для того же прямоугольного барьера У(г) = 1.
Амплитуда волновой функции частицы, обладающей
большой энергией (6=3), при любой ширине барьера
практически не изменяется по сравнению со случаем
свободного движения, когда А((г) = 1. При меньших
энергиях частицы амплитудная функция очень сильно
зависит от ширины потенциального барьера. Для &=0,3
амплитудная функция круто возрастает при больших
значениях г в соответствии с предельным ступенеобраз-
ным (2.22) поведением А,(г) для твердой отталкива-
тельной сердцевины.
Качественно новая картина поведения фазовых и ам-
плитудных функций наблюдается для потенциала при-
3*
36
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Рис. 2. Фазовые функции для потенциала отталкивания единичной
высоты V(r) = + 1 при различных значениях волнового вектора k
(0,3; 1; 3) и орбитального момента Z: а) 1=0, б) 1=1, в) i'=2.
V(r)=—1. Характерным является ступенчатая форма
кривых 6( (г) при малых k. Этот факт служит очень
§ 2]
СВОЙСТВА ФАЗОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИЙ
37
Рис. 3. Амплитудные функции для потенциала отталкивания единич-
ной высоты V(r) = l при различных значениях волнового вектора k
И орбитального момента а) 1=0, б) /=1, в) 1 = 2,
38
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Рис. 4. Фазовые функции для прямоугольной потенциальной ямы
V(r) =—1 при различных значениях волнового вектора k и орби-
тального момента а) 1=0, б) /='1, в) 1=2,
§ 2]
СВОЙСТВА ФАЗОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИИ
39
наглядным проявлением [17] известной теоремы Левин-
сона о равенстве числа связанных состояний п в данном
потенциале с разностью фаз рассеяния при нулевой
и бесконечной энергиях частицы
8i(k=0)—8i(k= оо)=пл.
Для несингулярных потенциалов фаза рассеяния
с ростом энергии убывает, что можно видеть и непосред-
ственно из фазового уравнения (1.9). Действительно,
при конечных V(r) правая часть уравнения обращается
в нуль, если k -+• оо. Это означает при нулевом началь-
ном условии б;(0, й)=0,что 6: (г, &->оо)->-0. Поэтому в
нашем случае (V(r)=—1) теорема Левинсона прини-
мает вид
6Дг, £ = 0) = л £0(г-гД	(2-38)
i=l
где п означает число связанных состояний в потенциале
У(г')0(г—г'), а величины являются радиусами обре-
занного потенциала 1/(г')0(г<—г'), ПРИ которых появля-
ется связанное состояние с нулевой энергией связи.
Хорошо известно [5], что в прямоугольной потенци-
альной яме связанные состояния появляются при опре-
деленной ширине ямы. Для прямоугольной ямы единич-
ной глубины эти ширины в зависимости от орбитального
момента состояния равны:
/ = 0,	=
I = 1, гх — л,
1 = 2, Г1 = ^,
Зл	5 л
г2 = ~2~ ’ Гз = ~2~ ’
г2 = 2л, г3 = Зя,
5л	7л
г2 — ~’ Гз ~ ~2~*
(2.39)
Из рис. 4 видно, что действительно, фазовые функ-
ции при стремятся к ступенчатой функции (2.38)
с величинами г{, совпадающими со значениями (2.39).
Нетрудно оценить интервал Дп около точки г{, на
котором происходит увеличение фазы на л при малых k.
Из уравнения (1.9) следует, что если 6i(ri)=n/2, то ис-
комая величина равна
(240)
40
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
1ГЛ. I
Рис. 5. Амплитудные функции с нормировкой Л/(0) = 1 для прямо-
угольной потенциальной ямы V(r)= — 1 при различных значениях
волнового вектора k и орбитального момента /: a) б) Z=l-
в) </=2.
§ 3] ,
ДРУГИЕ ФОРМЫ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ
41
Здесь использовано представление (А.11) функции
при малых значениях аргумента. Таким образом,
интервал Ап тем меньше, чем больше I и чем меньше
ширина ямы л. Эти особенности хорошо проявляются
на рис. 4.
Амплитудные функции для рассматриваемого потен-
циала притяжения показаны на рис. 5. В отличие от
случая потенциала отталкивания (рис. 3) эти функции
нигде не превосходят единицу и являются осциллирую-
щими, причем частота осцилляций тем больше, чем боль-
ше энергия частицы.
§ 3. Другие формы фазовых уравнений
Наряду с фазовыми сдвигами в задачах рассеяния
приходится иметь дело с амплитудами рассеяния, эле-
ментами S-матрицы и рядом других параметров. Пред-
ставляет интерес возможность непосредственного вычис-
ления таких величин, аналогично тому как это имеет
место в излагаемом методе для фазовой функции.
Основное уравнение метода фазовых функций (1.9)
может быть использовано для получения новых уравне-
ний для физических параметров, являющихся функция-
ми фазы рассеяния (Кинч [12], Калоджеро [17]).
Если ввести тангенс фазовой функции
t^r^g^r),	(3.1)
то легко проверить прямой подстановкой в (1.9), что эта
функция удовлетворяет уравнению
4г = - 4v <г> п‘ - м°>=°-
(3.2)
Уравнение (3.2) имеет явно выраженный вид урав-
нения Риккати с квадратичной правой частью (см. При-
ложение Г). В-отличие от (1.9) оно может использовать-
ся при численных расчетах только при условии |б,(г) | <
во всем интервале интегрирования. В противном
случае функция 6 (г) принимает в некоторых точках бес-
конечные значения. Если при рассеянии на какой-либо
42
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
последовательности обрезанных потенциалов V (г) 0 (/?—г)
возможен резонанс, т. е. если 6/(/?)=±л/2, можно в об-
ласти r^R перейти к аналогичному (3.2) уравнению для
обратной величины, а именно для функции ctg6z(r).
В главе III уравнение (3.2) будет использовано
с целью получения уравнений для параметров низко-
энергетического рассеяния.
Как хорошо известно, парциальная амплитуда рас-
сеяния простым образом выражается через фазу рассея-
ния: fi=e{6i sin б/. Соответственно этому определим функ-
цию *)
Mr^^sinM'-)-	(3.3)
Нетрудно убедиться, что комплексная функция fi(r) удо-
влетворяет следующему уравнению Риккати:
4 ft (О “ —Г У (И lit (kr) + if‘ (г)	(kr)]2,	ft (0) == о.
(3.4)
Здесь № (kr) является функцией Риккати — Ганкеля
первого рода (А. 14), отвечающей расходящейся рассе-
янной волне.
Аналогичное уравнение можно получить для функ-
ции, отвечающей диагональному по I элементу унитар-
ной S-матрицы
Si(r) = e2i6i(r),	(3.5)
V(r)[M2)(^)+Sz(r)MO(^)]2, Si(0) = 1.
(3.6)
Наряду с функцией Риккати — Ганкеля первого рода
М°(М здесь используется функция Риккати—Ганкеля
второго рода h^(kr), соответствующая сходящейся
к центру волне (А. 14).
Возможны другие более общие формы уравнения для
фазовой функции и функций с ней связанных (Калод-
*) Здесь и в последующих разделах книги мы пользуемся для
удобства безразмерной величиной (3.3) в качестве парциальной ам-
плитуды рассеяния (ср. (15)).
§ з]	ДРУГИЕ ФОРМЫ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ
43
жеро и Равенхолл [24]). Действительно, пусть в исход-
ном уравнении Шредингера (1.1) потенциал Р(г) раз-
бивается на две части:
V(r)=U(r)+W(r),	(3.7)
таким образом, что для одной из них (например, IF(r))
известны два линейно независимых решения (ylt у2) вол-
нового уравнения
yt (г) + [fe2 - рР - W (г)] yt (г) = 0,	/=1,2.
(3-8)
Запишем, далее, асимптотические выражения для этих
функций в форме
yx(r)^ sin Ikr-2" + Р/
Г —> ос
(3-9)
У2 (г) « — cos I kr - — + Р/
Т—» сю
Тогда, используя решения yi(r), у2(г) в качестве базис-
ных функций вместо функций, отвечающих свободному
движению ji(kr), tii(kr), запишем волновую функцию
в виде
ы;(г)=В;(г) [cos 7((r)//i(r) — sin 7,(г)(г)] (3.10)
и по аналогии с предыдущим введем дополнительное ус-
ловие
~^rul(r) = Bl (г) £ cos ъ (г)	yr (г) - sin yz (г) у2 (г)].
(З.П)
Известно, что вронскиан для любых двух линейно неза-
висимых решений однородного уравнения Шредингера
(1.1) равен постоянной величине. В частности, при
асимптотиках (3.9)
У1 (И р У2 (г) - у2 (г) Р уг (г) = k.	(3.12)
'Тогда, повторяя процедуру, описанную в § 1, получа-
ем следующее уравнение для фазовой функции 7/(г),
44
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
обобщающее уравнение (1.9):
-^7 Т/ (Г) = - 4" U [C°S “ Sin У^‘2’ <3-13>
Yz(O) = O.
Вместо формулы (1.12) для амплитудной функции
Bi(r) будем иметь
Bz(r) = exp
Г
Го
йпЪ(г')у2(г')]х
х [sin yz (г') z/x (г7) + cos yz (r') z/2 (г')] .	(3.14)
Здесь предполагается, что функция Bt(r) нормирована
на единицу в точке г—г^
Очевидно, что полная фаза равна 6/ = ^+'у4°°)»
и волновая функция (3.10) имеет асимптотический вид
В z (ос) sin
^--7’ + ₽/ + Vz(°°)
г—»оо. (3.15)
Уравнение общего вида (3.13) может быть использо-
вано в различных вариантах. Разберем несколько част-
ных случаев.
Пусть потенциал W(r)=Q. Тогда уравнение (3.13) со-
впадает с фазовым уравнением (1.9), а фазовая функ-
ция 7((г) совпадает с 6,(г):
№(r) = 0, y^r^j^kr), y2(r) = ni{kr)A
Р/ = 0.	=	J ( ’
Другим, уже рассмотренным ранее, случаем является
кулоновский потенциал (см. уравнение (2.35))
=	y^r^Fiikr, T|),	y2(r) = -Gt(kr, п),|
Pz-oz—T]ln2fer, yz(oo) = б?д)(оо).	J
(3-17)
Если положить W (г) — — 	то, как легко
видеть из уравнения (3.8), решениями yi(r),y2(r) будут
§ 3]
ДРУГИЕ ФОРМЫ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ
45
просто синус и косинус
Г (г) = — f(/j~ °, yi(r)=sinkr, y2(r) = —cosfer,
,	,	(3.18)
Соответствующее фазовое уравнение имеет простой
вид (Франчетти [25])
77 V/ (г)=- 4" U sin2 (r)l> u(r)=v
(3.19)
с начальным условием
Т/(0) = 0, ^(0) = -^.	(3.20)
Дополнительное условие на производную фазовой
функции у, (г) в точке г=0 возникает из-за сингулярно-
сти потенциала в этой точке благодаря присутствию
центробежного члена /(/-|-1)/г2 и невыполнению вслед-
ствие этого условия Липшица, необходимого для единст-
венности решения. С подобной ситуацией мы уже встре-
чались в § 2 при обсуждении начальных условий для
фазовой функции, если потенциал сильно сингулярен
(2.13) в начале координат или ведет себя, как г-2 (2.23).
Уравнение (3.19) имеет тот недостаток по сравнению
с основным фазовым уравнением (1.9), что его решения
Yz(r) сходятся к предельным значениям фаз ^(оо) мед-
леннее, чем решения б;(г) уравнения (1.9) к значениям
б((оо).
Отметим еще одну частную возможность [17] ис-
пользования уравнения (3.13). Если известны точные
решения уравнения Шредингера с потенциалом У(г) для
S-волны (/=0), то в качестве эффективного потенциала
U (г) можно использовать центробежный потенциал
^U+l)/r2. Такими случаями являются, например, [26]
экспонента
V(r) = yoe-r/«	(3.21)
и потенциал Морза
V (г) = Vo [е-^г-г«)/а _ 2e-(r-ro)/aj,	(3.22)
46
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Другие фазовые уравнения, отличающиеся по виду,
но фактически эквивалентные описанным выше, получе-
ны в работах [27], [28]. Они не очень удобны для ис-
следования, так как искомые фазы в них входят не
прямо, а весьма сложным образом.
Укажем теперь еще на один вид фазового уравнения
(Дашен [29]), который будет нами использован в гла-
ве IV. Обозначим в уравнении Шредингера (1.1) клас-
сический импульс
Р21 (Г) = & -	- V (г)	(3.23)
и введем функцию аДг), положив
а, (г) = arctg Г pi (г) 
~а7
(3.24)
Классическая точка поворота г0 определяется тогда ус-
ловием
р((го)=О.	(3.25)
Из (3.24) тогда следует
аг(го)=О.	(3.26)
Асимптотическое поведение функций рДг) и аг(г) при
больших г, когда и((г) определяется выражением (1.2'),
описывается формулами
a.i(r)-^kr-^-+ 8Ь
Г—> оо,
Г—> оо.
(3.27)

Нетрудно убедиться непосредственно проверкой, что
функция аДг) удовлетворяет уравнению
d	1 Pi
A az (r) = pi (г) 4- Л- sin 2az (r).	(3.28)
Для потенциала притяжения V(r)<0 можно постро-
ить еще одно фазовое уравнение (Сван [30]). Для этого
разобьем потенциал на N областей, в каждой из кото-
рых сделаем аппроксимацию V(r) постоянным потенциа-
лом Vn (рис. 6)
V(r) = Vn,Rn-l^r<Rn, l^n^N. (3.29)
§ 3]
ДРУГИЕ ФОРМЫ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ
47
Ограничимся случаем 1=0. Тогда, полагая в каждой из
X областей
k2n = k* - Vn,	(3.30)
можно записать волновую функцию в виде
ип (г) — А„ sin (£nr+6„).	(3.31)
Условие непрерывности
волновой функции на
границах приводит к
-соотношению
Rn
=-J—tg (kn+iRn+&n+i)-
ftn+l
(3.32)
Вводя разности
A Vn= Vn+i—Vn,
Д бП-&n+ 1
ДЛп=Лп+1—An, (3.33)
логарифмической производной
Рис. 6. Многоступенчатая аппрок-
симация центрального потенциала.
нетрудно из уравнений (3.29) — (3.32) убедиться в том, что
Дб" = Isr sin 2+ бп) - Яп], (3.34)
ЬАп = Ап^ cos2 (knRn + 6„).	(3.35)
Л	\
Переходя к пределу оо, так что
Д7?=^п+1_/?„-^0,	(3.36)
получаем следующие дифференциальные уравнения: -
4- 6 {Г) = — '	!оГ7~\ sin 2 (г) г 4- 6 (г)] — Л,
ar ' ' 2k (г) dr \2k(r)	1 ' ’	1	' J’
(3.37)
4 A W “ W) cos’16 <r>r + 6  '3-38>
Начальными условиями для них являются
6(0)= 0, Л(г0) = 1.	(3.39)
48
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Линейное уравнение для амплитуды А (г) интегри-
руется в явном виде при известном решении фазового
уравнения (3.37):
{Го
- -И PPPPcos2 [k r'+s °
(3.40)
Аналогичным образом получаются фазовое уравне-
ние и амплитудная функция для произвольного /.
Фазовые уравнения такого рода могут быть исполь-
зованы для определения числа связанных состояний
в заданном потенциале и их энергий [30].
§ 4. Потенциал, зависящий от импульса,
и нелокальный потенциал
В стандартных курсах квантовой механики, как пра-
вило, ограничиваются рассмотрением локальных потен-
циалов, не зависящих от импульса. В то же время ло-
кальные, но зависящие от импульса, и нелокальные по-
тенциалы представляют большой физический интерес
и широко используются, особенно в последние годы,
в ядерной и атомной физике. В частности, зависящие от
импульса потенциалы возникают в мезонной теории
ядерных сил (см., например, [31, 32]).
Поэтому мы остановимся несколько более подробно
на решении задач рассеяния с потенциалами нелокаль-
ными и содержащими зависимость от импульса.
Будем рассматривать потенциалы, имеющие квадра-
тичную зависимость от импульса*). Прежде всего заме-
тим, что центральный потенциал, содержащий квадра-
тичную зависимость от импульса и удовлетворяющий
требованию инвариантности относительно обращения
времени, т. е. эрмитовости, может быть записан в двух
*) Иногда употребляется наименование: «потенциал, зависящий
от скорости» или «энергии». Нам представляется, что в гамильтоно-
вом формализме, когда потенциал взаимодействия является частью
гамильтониана, т. е. функции канонических переменных расстояния и
импульса, следует говорить о зависимости потенциала от импульса.
§ 4]	ПОТЕНЦИАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ИМПУЛЬСА	49
видах:
Vi (г,р2) = и, (г) + 41Л (И +	(Пр2], (4.1)
V2(r, p2) = U2(r)+pW2(r)p.	(4.2)
Оба потенциала полностью эквивалентны и могут быть
сведены друг к другу простым преобразованием не за-
висящей от импульса части, потенциала. Действительно,
так как р—— id/dr является дифференциальным опера-
тором, имеем
р2 W + Wp2=p(p W) +pWp+pWp— (pW)p=
' =(p2W) + (pW)p+2pWp-(pW)p=
=—(A№)-]-2p№p.	(4.3)
Таким образом,
pWp = 4 [p2W+Wp2i + 4^ + 7	(4Л)
Следовательно, можно ограничиться рассмотрением од-
ного из потенциалов (4.1), (4.2). Ниже мы будем рас-
сматривать более часто встречающийся в приложениях
потенциал вида (4.1).
В уравнении Шредингера с таким потенциалом
Аф(г) + [£2— V(r, р2)]ф(г)=0	(4.5)
или с учетом (4.1)
[ 1 + Г (г) ] Дф (г) + [(г)] [фф (г)’ +
. ' + [*2 - и (г) + 4	(И)] Ф (Г) = о (4.6)
может быть проведено разделение переменных, если
ф(г) разложить по шаровым функциям
ф(г) = 2^^(М)-	(4-7)
/, т
В результате уравнение для радиальной волновой
функции н((г) .имеет вид
[1 + (г)] Щ (г) + [4 W (г)] [4 uz (г)] +
-Г \k2 - 44 (1+W)) - и (г) + 4 4 W (г)] ut (г) = 0.
(4.8)
В. В. Вабиков
50
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Как и в случае чисто статического потенциала, парамет-
ром, описывающим эффект рассеяния, является сдвиг
фазы 6/ волновой функции ut(r) при г->оо. Необходимо
только, чтобы
W(r) ->0, r1+8(/(r) ->0, г->оо, 8>0.	(4.9)
Заметим здесь, кстати, что если W(г)const при
г—>оо, то это означает просто переопределение эффек-
тивной массы частицы.
Можно освободиться в уравнении (4.8) от первой
производной волновой функции и получить уравнение
Шредингера обычного вида (см., например, работу
[33]), если определить новую волновую функцию
^(г) = [1+^(г)]Ч(г)	(4.10)
и новый эффективный потенциал
VsM, (Г) = а?^(Т)(Г) “ “Г Н1п (1 + w (г))]2-(4-11 >
Тогда уравнение Шредингера имеет вид
У1 (И + [*2 - рР - Уэфф (Г)] У, (Г) = 0. (4.12)
Пусть фазовый сдвиг функции yt(r) равен Аг. Очевидно,
что при условии (4.9) асимптотические выражения функ-
ции ы((г) и yt(r), а следовательно, и асимптотические
сдвиги фаз 6/ и А( совпадают. Поэтому уравнение (4.12)
можно использовать для вычисления искомой фазы рас-
сеяния б(. Соответствующее фазовое уравнение имеет
вид
•^7 А/ (Г) =- -у ЕЭфф (г) [cos Az (г) h (kr) - sin Az (r) nt (kr)]2,
Az(0) = 0.	(4.13)
Однако значения полученной таким образом фазовой
функции А;(г) при конечных г не будут соответствовать
сдвигу фазы 6((г) исходной волновой функции ut(r) при
обрезанных в" данной точке потенциалах U(r), W(r),
dW(r)/dr, d2W(r)/dr2. Они будут равны сдвигам фазы
вспомогательной волновой функции yi(r), определяемой
соотношением (4.10), при обрезанном в точке г потен-
циале Уэфф(г).
§41
ПОТЕНЦИАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ИМПУЛЬСА
51
Чтобы получить уравнение для фазовой функции
бг(г), соответствующей волновой функции и,(г), будем
исходить прямо из уравнения (4.8), не вводя эффектив-
ного потенциала. Положим, по аналогии с предыдущим
щ(г) =Л;(г) [cos 8i(r)jt(kr)— sin 8t(r)nt(kr)], (4.14)
~ и, (г) = Al (r) cos 6Z (г)	/; (kr) - sin 6Z (r) A nz (fcr)].
(4-15)
Повторяя тогда описанную выше процедуру нахождения
уравнений для фазовой функции 6г (г) и амплитудной
функции Ai (г), получим (Мак-Келл ар и’Мэй [34], Баби-
ков [18])
(1+Ю ф=- 4^+(cos -sin -
. — ^^cos6/^ — sin6/(cos 6z/z — sin 6/«z), (4.16)
(1-+Ю$ =
= - 4- At | ((/ 4- kaW— 4-	(cos 6ih - sin 6zn/) +
4- (cos 6Z — sin 6Z(cos hit ~ sin И- 17)
III \	tlf	lA'i J
Начальными условиями здесь, как и раньше, являются
6,(0) =0,	А(г0) = 1.	(4.18)
Решение амплитудного уравнения (4.17) может быть
выражено через интеграл от решения уравнения (4.16).
Оно может быть нормировано на единицу при произволь-
ном выборе Го (в том числе при гс==0) для несингуляр-
ных (2.2) в начале координат потенциалов и при го=#О
для сингулярных (2.13),	(2.23) потенциалов U,
(d2W/dr2)/2W.
Легко видеть, что если IF(r) = 0, то уравнения (4.16)
и (4.17) переходят в обычные фазовое (1.9) и амплитуд-
ное (1.11) уравнения для потенциала, не зависящего от
импульса.
Интересно сравнить решения 8i(r) и Дг(г) уравне-
ний.(4.16) и (4.13). На рис. 7, а показаны эти фазовые
52
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
функции, вычисленные для потенциала
р—г
U(r) = — W (г) = 10е-<	(4.19)
Видно, что, хотя функции 6/ (г) и А/(г) различны при ко-
нечных значениях г, их асимптотики при г->оо совпада-
ют. Соответственно совпадают и фазы рассеяния. В от-
личие от этого амплитудные функции, являющиеся ре-
шениями уравнений (4.17) и (1.11) с потенциалом
Рис. 7. Фазовые и амплитудные функции для зависящего от импуль-
са потенциала (4.19); при орбитальном. моьменте ./=0 и различных
значениях волнового вектора fe а) Функции 60(г) (пунктирные кри-
вые) >и Ао(г) (сплошные кривые). б) Решения уравнения (4.17) (пунк-
тирные кривые) и уравнения (1.11) с потенциалом (4.11) (сплошные
кривые).
(4.11), отличаются при 'нормировке Л,(0) = 1 даже
в асимптотической области г->оо (рис. 7,6).
Повышенный интерес, проявляемый в настоящее вре-
мя к нелокальным потенциалам, связан с двумя обстоя-
§ 4]	ПОТЕНЦИАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ИМПУЛЬСА	53
тельствами. Во-первых, широкий класс нелокальных се-
парабельных потенциалов позволяет в явном и замкну-
том виде получить аналитические выражения для амп-
литуды рассеяния. Во-вторых, есть надежда с помощью
таких, поддающихся точному решению, потенциалов смо-
делировать удачным образом ядерные силы, действую-
щие между свободными нуклонами и нуклонами внутри
ядра (см., например, работы [35, 36]).
В случае нелокального потенциала V(r, г') уравне-
ние Шредингера имеет вид
Аф (Н + #4 (г) — ( dr'V (г, г') ф (г') 0. (4.20)
Требование эрмитовости потенциала приводит к усло-
вию
V(r, r') = V(r', г).	(4.21)
Любой нелокальный потенциал формально эквива-
лентен некоторому потенциалу, зависящему весьма
сложным образом от импульса. Действительно, импульс р
является оператором бесконечно малого сдвига аргу-
мента волновой функции. Поэтому для конечного сдвига
можно записать
ф (г') = е*г '-')Рф (г).	(4.22)
Тогда интеграл в уравнении (4.20) преобразуется к виду
{ j dr'V (г, г') ф (г) = Уэфф (г, р) ф (г). (4.23)
Потенциал К,фф(г, р) выражается в виде бесконечного
ряда по степеням дифференциальнбго оператора р, содер-
жащего из-за симметрии (4.21) только четные степени р.
Поэтому всегда можно предполагать, что зависящий
от импульса потенциал (4.1) является приближенным
выражением некоторого нелокального потенциала. Ло-
кальный статический потенциал V(r) является частным
видом нелокального, когда V (г, г') = V (г) 6 (г—г').
Метод фазовых функций обобщается на случай нело-
кального потенциала и приводит к интегро-дифференци-
альному фазовому уравнению (Калоджеро [37]).
Будем предполагать, что в системе нет выделенного
направления. Тогда потенциал V(r, г') является функ-
цией скалярных переменных г2, г', (rr') =rr'cos 0 и в
54
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. 1
уравнении (4.20) можно произвести разделение пере-
менных. Уравнение для радиальной волновой функции
принимает вид
ос
«Z (О + (б2 - и, (г) — J dr'VI (г, г') ut (г') = 0,
'	'о
(4.24)
где
vt (г, г') = Vi (Р, г) = 2лгг' J V (г, г') Pl (cos 0) d0. (4.25)
—л
Если V;(r, г') спадает при больших значениях гиг'
достаточно .быстро, то
Ut (г) «й const- sin [kr-у + б/ .
Для нахождения фазы рассеяния б; методом фазо-
вых функций введем, как и раньше, последовательность
«обрезанных» на радиусе R потенциалов, сохраняя сим-
метрию (4.21),
V, (г, г'; R) = V, (г, г') 0 (R—г) 0 (R—г').	(4.26)
Радиальную волновую функцию представим в виде
u((r) = Л((г) [cos 6,(r)jt(kr)—sin 8t(r)nt(kr)] (4.27)
и наложим дополнительное условие
[cos 6z/z — sin 6//iz] — Ai [sin 6Z/Z -[- cos 6znz] = 0.
(4.28)
Из уравнения (4.28) следует
{г'
f d&i (s) sin 6f (s) ji (ks) + cos 8; (s) щ (ks) .. 0Q
J ds cos 6/ (s) ji (ks) — sin 8/ (s) nz (ks) *	'
Подставляя (4.27) вместе с (4.29) в уравнение Шре-
дингера (4.24), находим тогда следующее фазовое
уравнение, обобщающее (1.9) на случай нелокального
ПОТЕНЦИАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ИМПУЛЬСА
55
§ 4]
потенциала:
4- 6/ (г) = —[cos 6/ (г) ji (kr) — sin 8i (г) т (kr)] х
аг	к
г
X dr'Vi (г, г’) [cos 6Z (г') ji (kr') — si 16i (г') щ (kr')] x
b
/ovn! f . d6/(s) sin 6/(s)//(*«) +cos 6z(s)n/(M | (Л on\
xex₽ J as ~ds~ cos61 (s) jI(ks)_sin6i(s)nt(ks) •
I r'
Это — интегро-дифференциальное уравнение относи-
тельно неизвестной функции бг(г). Начальное и асимп-
тотическое условия, как и раньше, равны
6,(0) =0, 6;(оо)=6,.	(4.31)
Появление коэффициента 2 в правой части уравнения
(4.30) становится понятным, если учесть, что при пере-
ходе к локальному потенциалу имеем
Г
\b(r-r')f(r')dr’ = ±-f(r).
о
Амплитудное уравнение соответственно принимает
вид
Ai (г) = — ~ [sin 6; (г) ji (kr) 4- cos 6Z (r) m (kr)] х
X j dr'Vi (r, r') Ai (r') [cos 6Z (/) ji (kr') — sin 6Z (r') tii (kr')]. 
0
(4.32)
Начальное условие для уравнения (4.32) определяется
поведением потенциала Vt (г, г') при г-*-0. Все резуль-
таты предыдущих параграфов могут быть обобщены на
случай нелокального потенциала.
56
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
§ 5. Двумерная задача рассеяния
Если потенциал V(r) имеет аксиальную симметрию,
т. е. в цилиндрической системе координат р, ф, z может
быть записан как функция одной переменной р
V(r) = V(p),	(5.1)
то можно произвести разделение переменных в уравне-
нии для волновой функции ф(г), положив
ф (р, <р, г) = eikzZ У, Rm (р) eim(v. (5.2)
/П= — ос
Таким образом, частица свободно движется по оси z
и рассеивается в плоскости р, ср.
Из уравнения Шредингера (1) тогда получается сле-
дующее уравнение для радиальной функции /?т(р):
$ Rm (р) + y- (р) + (*2 -	(р) = о. (5.3)
Здесь k2 — энергия движения в плоскости р, ф (полная
энергия частицы минус энергия свободного движения по
оси г), т2/р2 — центробежный потенциал.
Эффект рассеяния частицы, обладающей моментом m
относительно центра р=0, характеризуется фазой рас-
сеяния 6т, которая входит в асимптотическое выражение
волновой функции
Rm (Р)» const — cos (fep -	- -J- + 6 Д р -> ОО. (5.4)
Фаза рассеяния показывает величину добавки второ-
го линейно независимого решения свободного уравнения,
а именно функции Неймана Nm(kp), к первому реше-
нию— Jm(kp) (функции Бесселя, см. Приложение В),
отвечающему движению свободной частицы
Rm (р) « const [cos bmJm (fep) —sin 8mNm (kp) ]. (5.5)
Для того чтобы найти связь фазы рассеяния с амп-
литудой рассеяния, рассмотрим «линейную» волну eikx,
движущуюся в положительном направлении оси х и яв-
ляющуюся аналогом плоской волны eikr=etkr cos ’ в трех-
мерном случае. Разложение волны eikx по парциальным
§ 5]
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
57
волнам двумерного движения имеет вид
eikx = eikPcos ч> = 2 cos mq>Jm (kp),	(5.6)
m=0
eo= 1, em=2, m= 1, 2, 3, ...
Это выражение легко получается из известного соотно-
шения
glZ sin ф
=• 2 eim9Jm (г).
m==—°°
(5-7)
Рассеянная расходящаяся волна, находящаяся на
большом расстоянии вне области действия потенциала,
может быть записана в виде
e‘ftp
^(Р, ф) = /(ф)-р=-, р->оо.
(5-8)
Здесь /(ф) является амплитудой рассеяния, определяю-
щей сечение рассеяния на данный угол
о(ф) = 1/(ф) I2-	(5-9)
Выражение амплитуды /(<р) через фазы получается,
если сравнить асимптотические выражения волновой
функции
^РС08<₽-|-/(ф)-^Х =
ОО	__
= 2 am]/^cosf/jp-^--J-4-6mjcosm?. (5.10)
/?г=0	г \	/
Суммирование по орбитальному моменту т можно
производить только по положительным значениям т^О
ввиду очевидной симметрии задачи относительно отра-
жения ф —— ф. Подставляя сюда разложение линейной
волны (5.6) и приравнивая коэффициенты при и e~iht>
в обеих частях равенства, получаем
f (ф) — 2 -у-— cos т<р е	2	4
ш=о
(5-11)
58
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Отсюда
Л
f(<f) = Vd=T 2 (e2i6m - 1)cos mcP =
y2nk m=0
= У eme'&m sin cos m<p. (5.12)
Тогда полнее сечение равно
2Л	со
° = f I/ (<p)l2 rf<P = т 2 em sin2 sm- (5-13)
й	m=o
Таким образом, в двумерной задаче рассеяния на потен-
циале с круговой симметрией мы опять сталкиваемся
с проблемой вычисления сдвигов фаз 6т.
Для получения соответствующего уравнения опреде-
лим, как и раньше, фазовую 6m (р) и амплитудную Дт(р)
функции соотношениями
Мп(р) =Дт(р) [cos 6т(р)/т(^р)—sin 6т (р) Мп (fy)) ] , (5-14)
(р)=An (p)[cos 6т(р)	Jm(kp)-Sin 6т(р)	т (fep)].
(5.15)
Физический смысл этих функций как и в трехмерном слу-
чае, очевиден: значение функции 6т(р') в какой-либо точ-
ке р' равно фазе рассеяния на потенциале V (р, р') =
=!V(p)0(p'—р), обрезанном на таком радиусе, величина
Дт(р') показывает изменение амплитуды волновой функ-
ции, вызванное действием этого потенциала.
Дифференцируя выражение (5.15), подставим получен-
ное выражение для d2/?m(p)/tZp2 вместе с (5.14) в ради-
альное волновое уравнение (5.3). Тогда с учетом того, что
функции Бесселя Jm(kp) и Неймана Nm(kp) удовлетворя-
ют свободному уравнению (В.1), получим
dA^c°S 6m (р) A Jm (kp) - sin 6m (P) ± Nm (Afp)] -
- ^^p)[sin6m(p)^/m (*p)+cos 6m(p) iNm (M] "
-V(pMm(p)[cos6m(p)Jm(^p)-sin6m(p)^(^p)] = 0. (5.16)
§ 5]
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
59
Из уравнений (5.15) и (5.16), используя значение врон-
скиана (В.5) функций /т, Nm, находим следующие урав-
нения для фазовой и амплитудной функций.
Фазовое уравнение имеет вид .
£- 6т(р) = - Y pv (р) [cos'Sm (р) Jm (*Р) - sin 6m (р) Nm (&р)]2
(5.17)
с очевидными начальным и асимптотическим условиями
6m(0)=0,	6m(oo)=6m,	(5.18)
где 8т — фаза рассеяния на всем потенциале V(p).
Амплитудное уравнение линейно
£алр) =
=--у РV (р) Ат (р) [cos 6m (р) Jm (fep) - sin	(p) Nm (/гр)] x
X [sin (p) J m (/гр) + cos (p) Nm (Asp)] (5.19)
и может быть проинтегрировано в явном виде
р
- -f- Jp'V(p')[cos6m(P') Jm(kp') -
Лт(р) =ехр
Ро
-sin 8m(p')Nm(kp')] [sin6m(p') Jm(/?p')4-cos6m(p')^m(^>'))]-
(5.20)
Здесь предполагается, что Дт(ро) = 1, где ро — пока про-
извольная точка.
Исследуем поведение решений уравнения (5.17) при
различном характере поведения потенциала У(р) на ма-
лых расстояниях.
Пусть потенциал не сингулярен или слабо сингулярен,
а именно:
Р2 V (Р) С О	0, р—>0, Р>2.	(5.21)
Тогда при малых р можно воспользоваться формулами
(В-9) для функций Бесселя и Неймана и положить в
60
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
(5.17) cos 6m(p) ~ 1, sin6m(p)^0. В результате получим
е
И « ~ j * Р2”+‘ V<P>- «->»	<5 22>
Аналогично роли выражения (2.5) в трехмерном случае
формула (5.22) может служить начальным условием при
интегрировании фазового уравнения (5.17) для несингу-
лярных потенциалов (5.21). Поправочные члены к выра-
жению (5.22) легко могут быть найдены подобно тому,
как это было сделано в § 2, если учесть член
и следующие члены разложений функций Бесселя при
малых значениях аргумента (В.2). Амплитудная функция
для потенциала (5.21) может быть нормирована на еди-
ницу в любой точке ро, включая точку ро=О.
Если потенциал, оставаясь слабо сингулярным, удов-
летворяет более мягкому, чем (5.21), условию (a=const)
P2V(p)~1^-*°. Р-*0,	(5.23)
формула (5.22) остается справедливой для всех значений
т>0. Легко видеть, однако, что интеграл (5.22) в дан-
ном случае, если т=0, дает 6о(е) »О(1/1п е). Это озна-
чает, что нельзя в правой части уравнения (5.17) пре-
небрегать членом 6о(р)М)(&р), который оказывается
порядка единицы. Величину фазовой функции бо(р) при
малых р следует искать теперь в виде
60(р)«-у—Р-*О, <70 = const. (5.24)
Подставляя это выражение в фазовое уравнение (5.17),
находим, что величина qo удовлетворяет квадратному
уравнению
<7с = а(1—<7о)2,	(5.25)
решения которого имеют вид
9o--=l + 47±irT+4^.	(5.26)
В формуле (5.26) необходимо выбрать отрицательный
знак перед корнем, так как очевидно, что при а->0, т. е.
при исчезновении потенциала, фаза рассеяния (5.24)
вместе с дс должна обращаться в нуль. Легко видеть так-
§ 5]
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
61
же, что величина qQ остается вещественной только, если
«>-ф-	(5.27)
Это условие эквивалентно условию (2.24) для трехмерно-
го случая и означает требование устойчивости движения.
В противном случае происходит «падение на центр» час-
тицы с нулевым орбитальным моментом т=0. Отсюда
следует, что всегда q0>— 1. Амплитудная функция Ас (р)
при этом стремится степенным образом к нулю в точке
р=о.
Мы видим, что в двумерном случае движение частицы
с нулевым орбитальным моментом т=\ существенно
отличается от движения при орбитальных моментах
т=И=0. Подобной ситуации не было в случае трехмерно-
го рассеяния, где роль орбитального момента проявля-
ется менее сильно. Потенциал V(p) для т>0 все еще
остается слабо сингулярным, и можно пользоваться фор-
мулой (5.22), если
рЧЧр^О^рО, р-0, 0<р<2. (5.28)
Для значения /п = 0 этот потенциал становится уже силь-
но сингулярным (напомним, что должно быть V (р) >0),
когда при р ->• 0
<5-29>
Поправочный член Ао(р) к выражению (5.29) находится,
если в уравнение (5.17) с потенциалом (5.28) подставить
60(p) = arctgA^- + A0(p), р-0.	(5.30)
Тогда находим
LnV.L> Р-0-	(5-31)
1П2pv /2(р)
Следовательно, при малых значениях аргумента началь-
ное условие для фазовой функции-6о(р) принимает вид
' 2 In (Ле/2) [1 + 8у*/2 (8) 1п (Ле/2) + 0 (In* (W2))]’ (5,32>
2
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Амплитудная функция Л0(р) экспоненциально мала в
точке р=0.
Выражение (5.32) для фазовой функции с т = 0 име-
ет место и при потенциалах
p2V(p)^+oo, р^О,	(5.33)
которые являются сильно сингулярными также для зна-
чений т>0.
Нетрудно убедиться, что в этом случае
J (&р)
Sm(P)->arctg7T7ZT ’ р~~>0,	•	<5-34)
т (Яр)
так что для т>0 получаем
бт (е)»----------------Г1----2^----р О / е21п -^l.
mV ’ 22mml (т - 1)! [	eV*/2(e)	\	2 /]
(5.35)
Амплитудные функции Лто(р) экспоненциально малы
вточкер = 0:
Лт(р)^ехр
' р
f v1/2(p'W
>Ро
(5.36)
Промежуточным между слабо и сильно сингулярным
потенциалами для значений орбитального момента т>0
является случай потенциала:
p2V(p) const=р, р->0.	(5.37)
Будем искать фазу рассеяния при малых р в виде
Р-о- <5-38)
Подставляя формулу (5.38) в фазовое уравнение
(5.17), находим, что коэффициент qm является решением
уравнения
4т2<7™=р (1-9гп)2, т=#0.	(5.39)
Из тех же физических соображений (фаза рассеяния
равна нулю, если потенциал равен нулю), что исполь-
зовались при обсуждении формулы (5.26), следует
§ 51
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
63
выбрать решение
^ = i+^-^|/i+x2, m^°-	(5-40)
Выражение (5.40) является аналогом выражения (2.27)
случая трехмерного рассеяния. Условие отсутствия «па-
дения на центр» для частицы с орбитальным моментом
т>0 имеет теперь вид
(5.41)
т=#0.
—т2,
Поправочные члены к выражению (5.38) возникают
от учета следующих членов разложений функций Бессе-
ля и Неймана О
\	&2 j
и от поправок к потенциалу
(5.37).
Амплитудные функции (5.20) в этом случае обраща-
ются в нуль при р=0 степенным образом
( । р	)	^т)
Am(p)«exp	2т ’	<5’42)
'	Ро	J	' ° 7
Рассмотрим теперь поведение решений уравнения
(5.17) при больших значениях р, когда потенциал
У(р) —> 0. Используя асимптотические выражения (В.7)
для функций Бесселя и Неймана, нетрудно получить сле-
дующую оценку приближения фазовой функции бто(р)
к ее предельному значению 6т(оо):
оо
sm(°°)-5ra(p)»-4-Уу(р')х
р
xsL-?^p'-^--^ + 6m(oo))dp;
Более простая оценка получается, если
вне (5.43):
бга(Р)| <4-flWW.
р
р-> оо. (5.43)
ослабить усло-
р—» оо. (5.44)
В качестве примера фазовых и амплитудных функ-
ций при двумерном рассеянии на рис. 8—11 показан ряд
64
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I

					К-3		
					£3		
							
							
							
в)	/>
Рис. 8. Фазовые функции для двумерного потенциала в виде прямо-
угольного барьера V(p) = l при различных значениях волнового век-
тора k и орбитального момента т: а) т — 0, б) т—\, в) т~2.
§ 5]
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
65
решений уравнений (5.17) и (5.19), представляющих
методический интерес. Видно, что их поведение очень
близко к поведению тех же функций для трехмерного
рассеяния (рис. 2—5).
Рис. 9. Амплитудные функции для двумерного потенциала в виде пря-
моугольного барьера V(p) = l при различных значениях волнового
вектора k и орбитального момента т: а) т = 0, б) т—\, в) т — 2.
Физических задач, приводящих к уравнению Шре-
дингера с аксиально-симметричным потенциалом, по-ви-
димому, значительно меньше, чем задач с трехмерным
В. В. Бабиков
66
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
в)
Рис. 10. Фазовые функции для двумерного потенциала в виде пря-
моугольной ямы V(p)=— 1 при различных значениях волнового
вектора k и орбитального момента т\ а) б) т = 1, в) т = 2.
§ 5]
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
Рис. 11. Амплитудные функции для двумерного потенциала в виде
прямоугольной ямы V(p) =—1 при различных значениях волнового
вектора k и орбитального момента т: а) т=0, б) в) т=2.
5*
68
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
сферически'-симметричным потенциалом. Тем не менее
можно указать на ряд задач двумерного рассеяния. Та-
ковы, например, рассеяние частиц, в частности атомов,
на длинных молекулах полимеров, на квантованных вих-
рях во вращающемся жидком гелии, рассеяние заряжен-
ных частиц в магнитном поле с аксиальной симметрией.
В последнем случае, если задана напряженность маг-
нитного поля Я(р), вектор которого направлен по оси 2,
можно найти соответствующий вихревой вектор-потенци-
ал А(р) =Аф(р)еф такой, что
^(Р)=-^^(РЛФ(Р)),	(5.45)
откуда
р
А> (р) =-J-j* р'^Лр'W-
о
(5.46)
Как известно, присутствие электромагнитного вектор-
потенциала имеет следствием замену импульса части-
цы р на обобщенный импульс Р—р-\-еА/с. Соответству-
ющий член в лапласиане Д=—р2 .примет тогда вид
[р<₽ —е- А (р)Г = P2V —Лф (Р) Рф 4- - J А2 (р). (5.47)
I	v	|	С/	Ь
Действие оператора Рф=—id/pdqp на волновую функцию
(5.2) определяется равенством
P9eimf—meimtlp.	(5.48)
Поэтому эффективный потенциал взаимодействия заря-
женной частицы с аксиально-симметричным полем (5.45)
зависит от орбитального момента частицы и равен
Vm (р) = - 2 А -%- Лф (р) +	А2 (р).	(5.49)
v р	С/
Аналогично тому, что имеет место для трехмерных
столкновений, в двумерном случае также можно полу-
чить уравнения для параметров, являющихся функция-
ми фазы рассеяния. Положив, например, /т(р) =tg6m(p),
§ 6] ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 69
нетрудно получить из фазового уравнения (5.17)
4- Мр) = - Т	<Р)(р)	М0)=0.
Р	(5.50)
Если ввести функцию парциальной амплитуды fm(p) =
=е№т (p>sin бт(р), ей будет отвечать уравнение
i/m(P) = - |PV(P)	(5.51)
W) = o.
Соответственно для элемента S-матрицы Sm(p) =
_e2«m(p) будем иметь
± Sm(p) = pV(p) W (kp)+Sm(p)H"\kp)]2, (5.52)
Sra(0) = l.
Возможны также обобщения уравнения (5.17), если
в качестве базисных функций брать не решения свобод-
ного уравнения Шредингера Jm(kp), Nm(kp), а любую
другую пару линейно независимых решений уравнения
Шредингера с некоторым потенциалом.
§ 6. Одномерная задача.
Прохождение через потенциальный барьер
Посмотрим теперь, как метод фазовых функций при-
меняется в задачах одномерного движения. Физически-
ми параметрами, описывающими эффект взаимодей-
ствия частицы с потенциалом, являются в данном слу-
чае коэффициенты отражения R и прозрачности D, свя-
занные соотношением
R+D=\,	(6.1)
следующим из закона сохранения числа частиц при ве-
щественном потенциале.
Пусть потенциал V(x) отличен от нуля в интервале
(а, Ь) и частицы движутся слева, так что невозмущенная
волновая функция равна eihx (рис. 12). При стандартном
способе рассмотрения, для того чтобы найти коэффициент
отражения или прозрачности, обычно аппроксимируют
потенциальный барьер прямоугольными потенциалами,
70
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
показанными на рис. 12 пунктиром, и сшивают получен-
ные в каждой из областей решения уравнения Шре-
дингера
^(x) + [k^-V(x)]^(x)^0	(6.2)
на границах хп. Ясно, что для потенциалов V(х) доста-
точно сложного вида эта процедура является весьма
трудоемкой, а кроме того, затруднительна оценка по-
грешности получаемого результата.
Метод фазовых функций позволяет построить про-
стой и удобный алгоритм вычисления интересующих нас
параметров, свободный от упомянутых недостатков стан-
дартного подхода. Будем вычислять не саму волновую
функцию ф (х), а только ее изменение вследствие действия
потенциала. Для этого представим волновую функцию
в виде суперпозиции падающей и отраженной волн с ко-
эффициентами, зависящими от х:
ф (х) = А (х) [eikx+B (х) e~ikx].	(6.3)
Эти коэффициенты должны удовлетворять некоторым
очевидным условиям. Во-первых, величина коэффициен-
та А(х) в точке х=а определяется нормировкой падаю-
щего потока частиц и, в частности, может быть положе-
на равной Л(а) = 1. Во-вторых, условие отсутствия от-
раженной волны за потенциалом означает, что в точке
х=Ь
5(6)=0,
(6-4)
§ 6]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
71
коэффициенты отражения и прозрачности определяются
соотношениями
=	=	(6.5)
Потребуем теперь, чтобы величины А (х), В (х) в лю-
бой точке х внутри области действия потенциала (а, Ь)
имели смысл коэффициентов при падающей волне и вол-
не, отраженной от части потенциала, содержащейся
в интервале (х, Ь). Вместе с требованием непрерывности
первой производной волновой функции это приводит
к условию
 Ф (X) = А (х) [4 eikx + в w 4 e~ikx] =
- ikA (х) \eikx — В (х) e~ikx].	(6.6)
Соотношение (6.6) и уравнение Шредингера (6.2) позво-
ляют полностью определить функции Д(х) и В(х). Диф-
ференцируя (6.6) один раз и подставляя результат вмес-
те с (6.3) в уравнение (6.2), находим дополнительное
к условию (6.6) уравнение для функций А (х), В(х). По-
лученная система двух уравнений имеет вид
[eikx - В (х) e~ikx] ~ А (х) e~ikx -
ах	ах
-А(х)^ [eikx + В (х) e~ikx] = О,
[etkx В (х) e~‘kx]^& + А (х) е—= 0.
ах	ах
(6-7)
. Разрешая ее относительно производных dB(x)fdx,
dA(x)/dx, легко получить уравнение для функции В(х),
аналогичное фазовым уравнениям в трехмерном (1.9)
и двумерном (5.17) случаях:
1 В(х) = - 1V (х) [е‘*х + В (х) e~ikx]2, (6.8)
В(4-оо)=0.
Асимптотическое условие В(-|-оо)=0 обобщает выра-
жение (6.4) на все возможные потенциалы, в том числе
на потенциалы, простирающиеся на бесконечность, и мо-
72
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. 1
жет служить единым начальным условием для уравне-
ния (6.8). Функцию В(х) естественно называть функци-
ей отражения.
Уравнение для функции А (х) является аналогом амп-
литудных уравнений (1.11) и (5.19) и имеет вид
А (х) = А (х) ± V (х) [ 1 + В (х) e~Zikx}. (6.9)
Как уже было отмечено выше, нормировка амплитудной
функции Д(х) в достаточной степени произвольна;
в частности, всегда можно положить
Д(— оо) = 1.	(6.10)
Амплитудное уравнение (6.9) может быть проинте-
грировано в явном виде, что при условии (6.10) дает
IX	\
J V {х'){\B(x')e—2ikx'\dx' . (6.11)
—оо	/
Коэффициент: отражения /?=|В(—оо) |2, определяе-
мый формулой (6.5), находится, таким образом, интег-
рированием уравнения (6.8). При этом величина квад-
рата модуля функции отражения | В (х) |2 имеет смысл
коэффициента отражения на лежащей в интервале
(х, -J—оо) части потенциала (рис. 13)
R (х) = ,| В (х) |	(6.12)
Прозрачность всего барьера К(х) определяется при нор-
мировке А(—оо) = 1 согласно (6.5) и (6.11) выраже-
нием
D — exp |-£- J dxV (х) [Im В (х) cos 2kx — ReB (х) sin 2kx\|.
(6.13)
Коэффициент прозрачности D (х), соответствующий части
потенциала, содержащейся в интервале (х, оо), может
быть вычислен при известном значении R(x) по> форму-
ле (6.1) или с нормировкой А(4-оо) = 1 по формуле,
§ 61
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
73
следующей из (6.13):
D(x)-
 . ео
= exp — j* dx'V (х') [Im В (х') cos 2kx' — ReB (х') sin 2&x'J ,
(6.14)
так как при такой нормировке коэффициент прозрачно-
сти равен
=йЬг =	<бЛ5>
Уравнения (6.8) и (6.9)
числа частиц, т. е. постоянст-
во плотности потока вероят-
ности (5)
j(x)—2k\A(x)\2X
Х[1—|В(х)|2]. (6.16)
Действительно, с помощью
формул (6.8) и (6.9) не-
трудно убедиться, что
A/(X)SO, (6.17)
обеспечивают сохранение
,с27
Рис. 13. Потенциальный барьер.
Заштрихована та часть потен-
циала, которой соответствует
коэффициент отражения
/? (х) = | В (х) |2
если потенциал V(x) веществен. Если же потенциал
включает мнимую добавку
V(x)-> V(x)-H’№(x),	(6.18)
то из выражения (6.16) и уравнений (6.8), (6.9) сле-
дует
-^1 =	U7 (х) [ 1 + |В (х)|2 + 2Re (В (х) е~^)]. (6.19)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, всегда не-
отрицательно. Чтобы показать это, перепишем его в виде
• + (Re В)2+ (Im B)2+2(Re B)cos 2£x+2(Im B)sin 2kx=
=.[Re В (x) 4-cos 2kx] 2+ [Im В (x) 4-sin 2kx}20.
и
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Следовательно, знак мнимой части потенциала 1Г(х)
определяет: происходит в данной точке х поглощение ча-
стиц (ТГ(х)<0) или рождение новых частиц (W (х) >0).
Первый случай встречается в оптической модели ядер-
ных реакций (см. § 10), второй случай соответствует
тому, что происходит при движении пучка лазера через
возбужденный кристалл рубина. Возможны ситуации,
когда в некоторых областях потенциала происходит по-
глощение частиц, а в других — частицы рождаются, так
что суммарный эффект равен нулю. Условием этого яв-
ляется следующее равенство:
J dxW (х)[1 + |В (х)|2 + 2 Re В (х) cos 2kx +
—оо
+ 2 Im В (х) sin 2£х] = 0. (6.20)
Рассмотрим некоторые примеры решения уравнения
(6.8) для ряда потенцйалов.
На рис. 14 показаны кривые, соответствующие коэф-
фициенту отражения R(x) = |B(x)|2 для прямоугольно-
го потенциального барьера единичной высоты V(x) = 1
при различной энергии падающей частицы. Заметим, что
для V(x) = Vo= const уравнение (6.8) может быть реше-
но в явном виде, и выражение для коэффициента отра-
жения как функции толщины барьера а известно (см.,
например, в книге [5]): при энергии, большей высоты
барьера, £2>V0,
/?(«) =
4fe2 (fe2-V0)
V2 sin2 (a Vk* - Vo)
(6.21)
при энергии, меньшей высоты барьера, k2,<Vo,
= 1 +
W'(Vq - F)
V20sh*(aVv^&)
(6.22)
при энергии, равной высоте барьера, &2=У0,
R(a) =
V^a2 + 4й2 ’
(6.23)
§ 6]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
75
Как видно из рис. 14, при малой энергии частицы
(/г = 0,3) уже при небольшой толщине (а «2) барьер
становится практически совершенно непрозрачным. При
&2=1 коэффициент отражения монотонно возрастает
с увеличением толщины барьера. Если энергия много
больше высоты барьера (k—З), коэффициент отражения
мал (на рисунке он увеличен в десять раз) и его величи-
на осциллирует в соответствии с формулой (6.21).
Рис. 14. Коэффициент отражения прямоугольного потенциального
барьера У(х) = 1 как функция толщины барьера (отсчет ведется от
правого края рисунка) при различных значениях волнового векто-
ра k.
На рис. 15 показаны кривые R(x) = |В(х) |2 для пря-
моугольной потенциальной ямы единичной глубины,
V(x) =— 1, при различных энергиях частицы. Ясно, что
в данном случае при любой энергии &2>Vo, так что для
коэффициента отражения справедлива формула (6.21).
Как и для потенциального барьера, отражение очень
слабое, если энергия частицы заметно превосходит глу-
бину ямы (k=3). При меньших энергиях коэффициент
отражения достигает заметной величины, однако не для
76
одноканальное рассеяние
[ГЛ. I
всех значений ширины ямы а. В соответствии с форму-
лой (6.21)
7?(х)=0, если а= |х| =пл/У1 + А2,
где п=0, 1, 2, ... При &=0 потенциальная яма прозрач-
на, если ее ширина является кратной л: а=пл. Известно
[1], что прямоугольная яма единичной глубины обладает
при таких ширинах уровнем с нулевой энергией связи.
Рис. 15. Коэффициент отражения от прямоугольной потенциальной
ямы V(x)=—1 как функция ширины ямы (отсчет ведется от право-
го края рисунка) при различных значениях волнового вектора k.
На рис. 16 и 17 показаны коэффициенты отражения
от потенциального барьера и соответственно потенци-
альной ямы, непрерывным образом убывающих при
|х| ->оо: У(х)=±е~Л Их поведение в зависимости от
знака потенциала различно, если энергия частицы мала
(&=0,3). Для потенциального барьера величина R(x)
монотонно возрастает с увеличением толщины барьера,
в то время как увеличение ширины ямы приводит снача-
ла к росту, а потом к уменьшению коэффициента отра-
жения. Этот эффект отчетливо виден также на кривых,
соответствующих значению £=1. При больших энерги-
ях (& = 3) коэффициенты отражения от барьера и от
ямы становятся очень малыми и близкими по величине.
Рис.
= е‘
при различных значениях волнового вектора k. Пунктирная
кривая показывает контур потенциала.
Рис.
17. Коэффициент отражения от потенциальной ямы V(x) —
~х при различных значениях волнового вектора k. Пунктирная
кривая показывает контур потенциала.
78
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
§ 7. 6-потенциалы
Специальный интерес в физике имеют потенциалы,
обладающие настолько малым радиусом действия сил
при очень большой их интенсивности, что такие потен-
циалы оказывается
Рис. 18. Представление
одномерного отталкива-
тельного 6-потенциала в
виде тонкого прямоуголь-
ного барьера.
возможным аппроксимировать
б-функциями. В ряде задач при-
ближение таких взаимодействий
б-функциями позволяет упростить
рассмотрение или найти реше-
ние в явном виде.
Рассмотрим поведение фазо-
вых и амплитудных функций для
таких потенциалов.
Начнем с одномерного случая.
Пусть в уравнении (6.8) потен-
циал имеет вид
V(x)=g6(x).	(7.1)
С целью получения аналитиче-
ского вида функций В (х) и Л (х)
будем рассматривать потенци-
ал (7.1) как предельный случай
некоторого специального потенциала и затем на двух
примерах покажем, что конечный результат не зависит
от конкретного способа перехода к пределу.
Заменим потенциал (7.1) потенциалом (рис. 18)
V (х) = О,
(7.2)
где а предполагается настолько малой, что при всех рас-
сматриваемых значениях k

(7.3)
Тогда для области----х в правой части уравне-
ния (6.8) с потенциалом (7.2) можно разложить экспо-
ненты e±ihx в ряд и ограничиться первыми членами.
§ 7]
б-ПОТЕНЦИАЛЫ
79
В результате получаем
S(+1H- (7-4)
Уравнение (7.4) легко интегрируется, и с учетом на-
чального условия решение имеет вид
/	2х\
g I 1 — — I
= ~-----------------(7.5)
g— -g + ^k
Значение функции отражения В(х) в «центре» потен-
циала
B(0) = s^.	(7.6)
На границе х=— а/2 интервала действия потенциала
<7-7’
Из формул (7.6), (7.7) видно, что при достаточно
малых размерах области действия потенциала (7.3) ве-
личина функции отражения и, следовательно, коэффици-
ент отражения от половины потенциала (х=0) и всего
потенциала (х=—а/2) не зависят от величины а,
а именно:
(7-8)
^(х=	F<0) = ga + w	(7‘8)
Сравнение /?(0) и 7?^----показывает, что действие
первой половины потенциала, находящейся в интервале
(О, а/2), не эквивалентно действию второй половины
в интервале (—а/2, 0). При больших энергиях частицы
(й->оо) вторая половина обеспечивает 75% всего ко-
эффициента отражения. При малых энергиях (&->0)
практически весь эффект, т. е. полное отражение (/?=!),
происходит уже от первой половины.
Другой любопытной особенностью коэффициента от-
ражения от одномерного б-потенциала (7.1) является
80
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
1ГЛ. I
тот факт, что величина /? не зависит от знака константы
взаимодействия g. Это означает, что потенциальная яма
(g<0) отражает так же интенсивно, как потенциаль-
ный барьер (g>0). Частично этот эффект можно на-
блюдать на рис. 14 и 15 в виде тенденции сближения
коэффициентов отражения при малой энергии (£=0,3)
для потенциалов V(x) = + 1, действующих на единичном
интервале (—1, 0) и приближающихся в известной сте-
пени к 6-потенциалу У(х)=±6(х).
Так как функция отражения (7.5) только один раз
обращается в нуль при £—-0, а именно в точке х—
=д/2>0, 6-потенциал имеет (при g<0) только одно
связанное состояние. (Более подробно вопрос о связан-
ных состояниях обсуждается в главе V.)
Амплитудная функция А (х) для потенциала (7.2)
легко находится подстановкой выражения (7.5) для
функции отражения в формулу (6.11)
А (х) = ехр
2<fe ,f (1+W))*'
—0/2'
Uk _ g + g
a
1П 4ik - 2g
= exp
4ik-g + g —
a
Mk — 2g
(7-9)
Таким образом, при нормировке А(—а/2) = 1
А(0) =
— g
4ik — 2g’
(7.Ю)
Легко видеть, что сумма коэффициентов отражения
и прозрачности (6.5) действительно равна единице:
4fe2	g2
g2 + 4*2 + g2 + 4*2
(7.Н)
Посмотрим теперь, каково поведение функции
отражения при другом способе стремления потенциа-
ла к пределу (7.1). Аппроксимируем 6-потенциал выра-
жением
У(х) = -^=е-^, р-0.
РУ л
(7-12)
§ 7]
6-ПОТЕНЦИАЛЫ
81
Тогда уравнение для функции отражения примет вид
(W1)
4; В (х) = - —е~^ [ 1 + В (X)л, В (+ Ш= 0.
ал	2глф у л
(7.13)
Решение этого уравнения
В(х)=-----1-
4ik — g
где Ф(г) —интеграл вероятности
2 г?
e~~i2dt
(7.14)
(7-15)
(7.16)
(7-17)
точках
со свойствами
Ф(0)=0, Ф(оо) = 1, ф(—£)=— ф(2).
Поэтому имеем
В(0)"4^Т.
Мы видим, что значения функции отражения в
х=0 и |х|>0, при достаточно малых (J не зависят от
параметра размытия 6-функции (3. Они совпадают со
значениями (7.6), (7.7), полученными при другом спосо-
бе задания 6-функции.
Соответствующая потенциалу (7.12) амплитудная
' функция имеет вид
4i£ — g + §Ф
А = 4ik — 2g
и при [}->0 стремится к амплитудной функции (7.9), где
также а->0.
Если потенциал У(х) является суперпозицией 6-по-
тенциалов
(7-18)
V (х) = 2 £„6 (* — хп),
п=1
(7.19)
6
В. В. Бабиков
82
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
(ГЛ. I
уравнение для функции отражения принимает вид
А в W	Д g„6 (х - хп) [elkxn + В (х) е~*хп]*.
В(+<х>) = 0.	(7.20)
Функция В(х) принимает в интервалах xn_i<x<xn по-
стоянные значения, которые можно обозначить через Вп:
В(х) = Вп, x„_i<x<x„.	(7.21)
Тогда, интегрируя уравнение (7.20) около точки хп, по-
лучим очевидно,
_____!______________!______£д.	(7221
1 + Bne~2ikxn 1 4- Bn+le~2ikxn lik' у '	1 .
Выражение (7.22) является рекуррентным соотношени-
ем для величин Вп. Так как одно значение известно из
начальных условий	\
В„+1=В(со)=0,	(7.23) ]
нетрудно построить с помощью (7.22) все остальные ве-
личины Вп. Так, например,
S»- <7'24> .
BN [ —	(21<г ~^)^-1е‘ N~X +^lk+gN_l)gNe2ikxN
(2ik- gN_i)(2ik- gN)- gN_xgNe2ik(xN~ xN-i)  J
(7.25)
Соответственно коэффициент отражения от одного 6-по-
тенциала определяется формулой (7.8'). Два 6-потенциа-
ла, в отличие от одного^ приводят к зависимости эффек- 1
та отражения от знаков констант взаимодействия gN, 1
gN-i из-за появляющейся интерференции. В предельном 1
случае xN-}~+xN, когда обе 6-функции совпадают, ин- I
терференция исчезает. Эффективная константа взаимо- I
действия является тогда просто суммой и коэффициент 1
отражения равен	I
= ib^i2 =	= х"- <7-26) J
§ 7]
б-ПОТЕНЦИАЛЫ
83
Перейдем теперь к двумерному случаю. Двумерный
6-потенциал, обладающий круговой симметрией, выра-
жается формулой
V(p) = g6(p) = £-^-.	(7.27)
Подставляя (7.27) в фазовое уравнение (5.17), получаем
dp
= - ^6(p)[cos6m(p) JTO(^p)-sin6OT(p)JVm(^p)]2,
6m(0)=0.	(7.28)
Потенциал (7.27) относится к классу слабо сингулярных
потенциалов (5.21), когда основным членом в квадрат-
ных скобках правой части уравнения (7.28) является
первый член ~О(рт). Поэтому для т^1 правая часть
уравнения (7.28) тождественно равна нулю и, следова-
тельно,
6т(р)=0, т>1.	(7.29)
При нулевом орбитальном моменте т=0 ситуация
оказывается более сложной. Проанализируем ее, исхо-
дя из фазового уравнения (5.50) для функции тангенса
фазы, которое при потенциале (7.27) имеет вид (/тг=О,
&Р«1)
/о (Р) = - 4 (р) [1 - i0 (р) f In 4]2, t0 (0) = 0.
(7.30)
Здесь использованы выражения (В.9) для функций Бес-
селя при малых значениях аргумента. Начальное усло-
вие /о(О)=О сохраняет свой смысл при 6-потенциале
(7.27), так как 6-функцию следует рассматривать как
результат предельного перехода от некоторой регуляр-
ной функции, например,
SHp) = ^2d>	(7-31)
Предельный переход должен .производиться после
решения уравнений (7.30).
6*
84
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
Найдем, какой характер имеют решения уравнения
(7.30) с регуляризованным согласно (7.31) потенциалом
для различных значений константы взаимодействия g.
При самых малых значениях р, очевидно, можно прене-
бречь вторым членом в квадратных скобках правой час-
ти уравнения, и для произвольного знака и величины g
получим решение:
iTtaTrH1' (7'32)
Таким образом, в случае потенциала притяжения
(£<0) функция /0(р) положительна и возрастает при
увеличении р, а для потенциала отталкивания (£>0)
она отрицательна, но также возрастает по абсолютной
величине. Возвращаясь к уравнению (7.30), мы видим
тогда, что характер его решений должен сильно разли-
чаться в зависимости от знака g.
Рассмотрим сначала случай потенциала притяжения.
Если £<0, правая часть уравнения (7.30) очень быст-
ро растет вместе с увеличением р. При некотором значе-
нии р=р1 аргумента функция /0(р) возрастает настоль-
ко, что второй член в квадратных скобках становится
сравнимым с единицей. Величину pi можно приближен-
но оценить, используя в качестве значения ^o(pi) выра-
жение, даваемое формулой (7.32). Тогда получим	4
= 1
8d |g 2 I
Отсюда, если учесть, что при достаточно малой величи-
не d, когда kd<^pi/d<^ 1, находим
8
li kd \ '
I
Pi
d
(7.33)
Знак < означает, что оба использованных при оценке р>
приближения завышают оценку истинной величины рь
При дальнейшем увеличении р член to (р) In (/гр/2)
становится преобладающим. Пренебрегая единицей
в квадратных скобках уравнения (7.30), легко найти
его решение с начальным условием /o(pi) =gpi/4J. Тог-
да получаем следующую оценку величины р=р2, для
§ 7]
«-ПОТЕНЦИАЛЫ
85
которой /0(р2) =
Рг 16
d	kd'
ng In —
Нетрудно видеть, что при еще больших значениях аргу-
мента функция /о(р), претерпев бесконечный разрыв
в точке р2, возрастает от значения /0(р2) =— оо до вели-
чины Мрз) « 4-2/[л In (kdl2) ], проходит через нуль в точ-
ке р=р4, и картина поведения повторяется (рис. 19).
Рис. 19. Поведение функции /0(р) для потенциалов отталкивания
(g>0) и притяжения (g<0).
Так как расстояние между всеми соседними точками
рп — pn-i«</d(l/ln(£d/2)), то при предельном переходе
d-*~0 происходит их сгущение, а число таких точек на
интервале O^p^d логарифмически растет. Если вспом-
нить, что каждое обращение тангенса фазы в бесконеч-
ность происходит при появлении связанного уровня, то
становится очевидным существование неограниченного
числа связанных состояний в притягивающем 6-потенци-
але .гири любой конечной константе связи g<Z0.
Физически это означает, что устойчивое движение
в притягивающем 6-потенциале (7.27) при нулевом ор-
битальном моменте т = 0 невозможно — происходит
«падение на центр р—О».
Если б-потенциал (7.27) является отталкивательным
(g>0), картина совсем другая. Функция /о(р)> достиг-
нув отрицательного значения <0(pi) =—gpj^d, переста-
ет заметно убывать и остается практически постоянной
на всем остальном интервале (рис. 19). При этом вели-
86
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. t
чина /0(р1) достигается практически на расстояниях
больших, чем рь определяемое формулой (7.33). Следо-
зательно, при предельном переходе 0, величина to(d)
стремится к нулю как O(l/lnkd).
Таким образом, отталкивательный S-потенциал (7.27)
при любой конечной константе взаимодействия g не при-
водит к рассеянию даже в состоянии с нулевым орби-
тальным моментом т=0.
Подчеркнем, что полученные выше результаты не
связаны в действительности с конкретным видом (7.31)
аппроксимации 6-функции. То же самое получается при
любом другом выборе последовательности регулярных
потенциалов, сходящейся к 6-потенциалу (7.27).
Следовательно, 6-потенциал (7.27) не является физи-
чески содержательным понятием.
Представляет интерес рассмотреть также двумерный
круговой 8-потенциал, действующий не в начале коор-
динат, а на окружности некоторого радиуса р0:
'	(7-34)
Коэффициенты выбраны так, чтобы оставалась преж-
ней нормировка потенциала
jlZ(p)pdpd<p = g	(7.35)
и константа g была безразмерной.
Уравнение для фазовой функции имеет вид
4- 6т (Р) = - Т S (Р ~ Ро) [C0S	<Р) 7 m (*Ро) “
-sin6m(pHm(*Po)l2. 6m(0)^0. (7.36)
Нетрудно проверить, что его можно представить в виде
уравнения
Nm(kpa) dp Jm(*p0)-tgSJp)A;n(fep0) 4 б(Р’ Ро)’
бт(0) = 0,	(7.37)
§7]
в-ПОТЕНЦИАЛЫ
87
интеграл которого равен
tgfim(p) = О,
gJm <*P«)
Р<Ро.
tg 6m (Р) -	8 - gJm (Ар0) Nm (Ар„)
£^т(*Ро)
(7.38)
tg 8т (р)	4 - gJ т (ftp0) Nm (%) ’ Р > Ро-
» P — Po>
Рассмотрим физический смысл полученного решения
при различных значениях силы взаимодействия g, энер-
гии k2 и орбитального момента т частицы. При слабом
потенциале фаза рассеяния мала и равна
--f-7m(^p0),	* О,
т. е. круговая цилиндрическая трубка потенциала, рас-
положенного вокруг оси Z, почти прозрачна для частиц,
двигающихся в Перпендикулярной плоскости XY.
Если уменьшать энергию частицы k2 так, что &ро<С1,
то в зависимости от величины и знака g будем иметь при
Ш|=0:
независимо от знака g при малых g
6„^-arctg|, fep0<l,	1; (7.39)
для потенциала отталкивания (^>0), когда g не мало,
60»—arctg-f, £р0<1,	= 1,
«' iMlnTrl »1;
21п —
(7.40)
для потенциала притяжения g<0, когда |gj также
не мал,
б0«А	*ро<1, ^gln-^=l,|
,	£рй<1,	(7,41)
2 In гср°	z
Из выражений (7.40) видно, что для потенциала от-
талкивания предельное значение фазы So при нулевой
88
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
энергии частицы равно нулю бо(&=0)=0 даже при
очень большой константе взаимодействия. Следователь-
но, не возникает связанного состояния.
В случае потенциала притяжения при любой как
угодно малой интенсивности взаимодействия имеется
одно связанное состояние с нулевым орбитальным мо-
ментом, так как согласно (7.41) 6о(й=О)=л. Увеличе-
ние константы взаимодействия не приводит к появлению
новых связанных состояний.
Таким образом, круговой б-потенциал конечного ра-
диуса ро отличается от б-потенциала, действующего в на-
чале координат. Дополнительная сингулярность от мно-
жителя р-1 в выражении для потенциала Притяжения
(7.27) приводит к появлению сколь угодно большого чис-
ла связанных состояний при отрицательной величине'
константы g.
Для ненулевых орбитальных моментов при малых &ро
имеем
tg ~-----------gW,"V, fePo « 1, т > 1. (7.42)
22-+2(m!)2(l+^-)
Согласно (7.42) фаза &т при всех положительных кон-
стантах связи g мала, достигает величины 6т=л/2 при
g= —4т и затем при достаточно больших отрицатель-
ных константах связи становится равной бто=л. Это оз-
начает, что при достаточно большой константе взаимо-
действия потенциала притяжения (—g)>4m возможно
одно связанное состояние, даже если орбитальный мо-
мент частицы отличен от нуля.
При больших энергиях фазы рассеяния (7.38), осцил-
лируя, убывают с ростом k (или р0)
<7-43)
В случае рассеяния на трехмерном центральном f>-По-
тенциале
<7-44)
ситуация оказывается более сложной, чем в задачах од-
номерного или двумерного рассеяния. Результат начи-
§ 7]
6-ПОТЕНЦИАЛЫ
89
нает существенным образом зависеть от способа пре-
дельного перехода от регулярного потенциала к потен-
циалу (7.44). Продемонстрируем это на двух примерах.
Будем сначала рассматривать трехмерную 6-функ-
цию как предел функции, принимающей постоянные
и очень большие значения внутри очень малой области,
с тем же полным интегралом, т. е. заменим потенциал
(7.44) выражением •
V(r)
(7-45)
Потенциал (7.45) при любых конечных значениях а от-
носится к классу несингулярных потенциалов (2.2). По-
этому можно воспользоваться формулой (2.7) для фаз
рассеяния, что дает (при &а<С1)
х ~	3£	£2Z+1a2Z	C7 4fi'>
4л (2/J-3)!! (2Z + 1)11 ‘
Если теперь совершить предельный переход а->0, то по-
лучим
/=Н=0,|
О,
б _Sk_
4л ’
а—> О,
а 0.
(7-47)
Рассеяние на потенциале (7.44), рассматриваемом
как предел регулярного потенциала (7.45), происходит,
но только в S-состоянии. Согласно теореме Левинсона
(2.38) связанные состояния невозможны, так как при
любых конечных константах взаимодействия
6о=О, если k—0.	(7.48)
Другой результат получается, если 6-пОтенциал
(7.44) представлять как предел при а->-0 выражения
V (г) = 2лг2а ’ 0 г °.	(7.49)
10,	г > а.
Потенциал (7.49) при любых конечных значениях а от-
носится к промежуточному между несингулярными
90
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. I
и сильно сингулярными потенциалами классу (2.23).
Требование невозможности падения на центр ограничи-
вает тогда допустимые значения константы взаимодей-
ствия g условием
g>-^a,	(7.50)
означающим, что при аппроксимации 6-потенциала вы-
ражением (7.49) и последующем переходе к пределу
а->-0 мы можем корректно рассматривать только от-
талкивательные (g>0) потенциалы. Притягивающий
потенциал даже при малой константе g оказывается
слишком сильным, чтобы в нем для любого орбитально-
го момента могли существовать устойчивые к падению
на центр траектории движения.
Если воспользуемся теперь формулами (2.25)
и (2.27), то найдем, что фаза рассеяния на отталкива-
тельном потенциале (7.49) при a/g<^_ 1 равна
„	(ka)2l+t
—	(2/+ 1) 1! (2/— 1)!! ’	' 01)
так что, в пределе а->-0, все фазы 6(->-0, т. е. рассея-
ние отсутствует
во всех состояниях, в том числе при
1=0. Этот факт представляется
на первый взгляд странным, ибо
при одинаковых gи а потенциал
(7.49) явно более интенсивен
на малых расстояниях, чем потен-
циал (7.45), действие которого
проявляется в S-состоянии. Одна-
ко, как видно из рис. 20, потен-
циал отталкивания (7.45) превос-
0 а г
Рис. 20. Сравнение по-
тенциалов (7.45) и (7.49).
ходит по величине потенциал
(7.49) вблизи границы г^а. Если
теперь учесть, что фаза рассеяния
согласно выражению (2.7) наибо-
лее быстро растет на больших
расстояниях, то становится понят-
ной большая роль той части потенциала, которая лежит
в области г^а. То же самое в терминах волновых функ-
ций означает, что волновая функция частицы быстро за-
тухает по мере проникновения в глубь потенциала, так
§ 7]
6-ПОТЕНЦИАЛЫ
91
что его внутренняя часть относительно менее эффектив-
на, чем внешняя. Поэтому потенциал (7.49) оказывает
более слабое влияние чем потенциал (7.45).
Ясно, что, выбирая какой-либо другой способ перехо-
да от регулярных потенциалов к сингулярному 6-потен-
циалу (7.44), мы получим совершенно иной результат
для фаз рассеяния. Отсюда можно сделать вывод, что
аппроксимация реального физического потенциала 6-по-
тенциалом в каждом конкретном случае требует специ-
ального исследования, иначе потенциалу (7.44) нельзя
придать определенный физический смысл.
Рассмотрим, наконец, случай, когда потенциал отли-
чен от нуля и очень интенсивен в тонкой сферической
оболочке конечного радиуса г0:
V(r) = g^f,), Го>о.	(7.52)
Интегрируя фазовое уравнение с потенциалом (7.52) тем
же методом, что в двумерном случае, получаем анало-
гично (7.38)
tg6z(r) = 0,
О»
tg6z(r) = -
_________g/z (kr0)_______ ~
8nfcrjj — git(kr0)ni(kr0) ’ Г Г°'
tg 6 (r) ________________g£z_(^£o)_______
‘	4nb-§ — gii(.kr0)m(kr0) ’ r r°’
. (7.53)
При достаточно малых энергиях (или радиусах г0), ког-
да Ar0<Sl и можно использовать выражения (А.11),
(А. 12), имеем
g(fer0)2/+1
(2/+ 1)! ! (2/— 1)! ! [g + 4л (2Z + 1)г0] ’ яго 1 •
Независимо от знака константы взаимодействия при до-
статочно малой константе g
gk2l^\r2l
4л [(2/ + 1)! !]2 ’	|g| ^4n;r0(2/+ 1). (7.54)
92
ОДНОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
|ГЛ. I
При большой положительной константе связи
6/	—(2/+ 1) н (2/ — 1) 1! ’	1 ’ 4ЯГ° (2( + 1) •
(7.55)
Если потенциал притягивающий (g<0), то
6/ = ^-,	g = - 4лг0 (2/4-1),
(7.56)
(Wz+1
(2/4-1\и(2/—1)! ! ’	|§|>4лг0(2/ 4- О-
(7.57)
Таким образом, при данном I возможно одно связан-
ное состояние, если константа взаимодействия g удов-
летворяет условию
^^=-4лг0 (2/4-1)-	(7.58)
При больших значениях kr0 фаза согласно (А.7) оп-
ределяется выражением
<5/ ~ — т4-2sin2 (kro ~ "V
4nkrg \	2
С ростом энергии частицы Е=№ фаза рассеяния ос-
циллирует, причем амплитуда осцилляций убывает про-
порционально Е~',г.
0>1, |§|<4л^. (7.5У)
ГЛАВА II
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
В большом числе физических задач существенна
связь различных каналов реакции, например, упругого
и неупругого рассеяния. Соответствующая математиче-
ская задача включает рассмотрение системы связанных
дифференциальных уравнений.
В настоящей главе метод фазовых функций обобща-
ется на случай многоканального рассеяния и показывает-
ся, что физические параметры, описывающие рассеяние
при связи каналов, могут быть найдены как решения
системы уравнений Риккати. Рассмотрены: .простейший
пример двухканальной реакции — упругое рассеяние на
тензорном потенциале, общий случай многоканальной
двухчастичной реакции и оптическая модель, в которой
влияние всех каналов неупругого рассеяния сводится
к добавке мнимой части к потенциалу взаимодействия
в канале упругого рассеяния.
§ 8. Рассеяние на тензорном потенциале
Пусть потенциал V(r) содержит кроме центрально-
симметричной части К (г) также нецентральные члены.
Для определенности будем рассматривать рассеяние
Друг на друге двух частиц, обладающих спином 1/2,
например, нуклонов. Тогда нецентральные силы мо-
гут вызываться тензорным VT(r)Si2, спин-орбиталь-
ным Vz,s(r) LS и квадратичным спин-орбитальным
ll (г)	[(©JI) (g2L) +	потенциалами (см.,
например, [38,39]). Последние два приводят к неодина-
ковым эффективным .Потенциалам, действующим на пар-
циальные волны с различными орбитальными момента-
ми относительного движения L, но не смешивают эти
волны, так что все формулы разделов §§ 1—4 могут
94
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. и
быть использованы. В отличие от этого тензорные силы
не только изменяют эффективный потенциал, но, что го-
раздо важнее, смешивают в триплетном спиновом состо-
янии амплитуды парциальных волн, отвечающие при од-
ном полном моменте системы J различным орбитальным
моментам L = Z=F1. Уравнения для соответствующих ра^
диальных волновых функций uj9 Wj оказываются связан-
ными *):
UJ 4- [б2 -	- Vj.z-i] «У - TjWj = О,
WJ + |> -	- Vj,J+l] Wj - TjUj = 0.
(8.1)
Здесь введены обозначения
V Д/-1 (Г) = Уе (Г) - Ут (Г) +
+ (j - 1) У ls (Г) + (J - 1) (J - 2) VLL (г),
Ь,/+1 (г) = Ус (г) - Ут (г) -
- (/ + 2) VLS (г) + (J + 3) (J + 2) VLL (г),
Vr(r)-
(8-2)
Связь уравнений (8.1) существенно усложняет вычисле-
ние параметров рассеяния, которыми в данном случае
являются два сдвига фаз и параметр смешивания амп-
литуд [40]. Эти величины определяются асимптотиками
решений Wj(r), w7(r). Система (8.1) имеет два линейно
независимых решения (и^\ и (и!}\	, регуляр-
ных в точке г=0. Нетрудно показать, что для них вы-
полняется тождество
W'P -	О.(8.3)
ar J J J dr J \ dr J ] J J dr J '	'
*) Весьма подробное рассмотрение вопросов, связанных с эффек-
том тензорных сил и многочисленные ссылки на литературу можно
найти в обзорной статье [40].
§ 8]	РАССЕЯНИЕ НА ТЕНЗОРНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ	95
Ввиду того, что любая линейная комбинация этих
решений также является решением системы (8.1),
асимптотики w} могут быть произвольными, так
что возможно различное определение параметров рас-
сеяния.
Ниже уравнения, являющиеся обобщением фазового
уравнения (1.9) на случай тензорного потенциала, полу-
чены для функций х}, j-i(r), Xj,	уj(г), отвечаю-
щих параметризации Мак-Хейла — Талера [41], функ-
ций 6j«(r), 6JT(r), е/(г), отвечающих параметризации
Блатта — Биденхарна [42], и для функций б/, j-i(r),
б/, j+i(r),	(г), отвечающих «ядерной» (nuclear bar)
параметризации [43, 44]. Все эти функции имеют смысл
соответствующих параметров рассеяния на обрезанных
потенциалах V, ,-i (г') 0 (r—r'), Vj /+i(r')0(r—г'),
ТДг')0(г-г').	•
Не приводя громоздких выкладок, кратко обрисуем
ход вычислений.
Прежде всего, выражаем волновые функции цДг),
Wj(r), соответствующие двум произвольным линейно
независимым решениям, через новые функции с (г),
s(r), d(r), t(r), на которые наложены дополнительные
условия (аргументом функций Риккати — Бесселя
/в th является величина kr):
«()	= Cih-i		de, .			
ti2)G)	= dih+i		ddi  ~lJ+l	dtt	= 0,	
&y(2)			dc2 ♦	ds2	= o,	(8.4)
“j2)	= d2/j—i	— t2nj~. 1,	dd2 •	dtif.	= 0,	
Для новых функций получаем после подстановки (8.4)
в (8.1) две системы линейных уравнений первого поряд-
ка, каждая из которых содержит четыре уравнения
(ci, Si, d\, t\ и с2, s2, di, t2). Соотношение (8.3) принима-
ет теперь вид
cj/2—c2/i -]-diS2—d2S[=0.
(8.5)
96
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. П
Представление Мак-Хейла — Талера [41] характери-
зуется следующим выбором асимптотических выраже-
ний:
О — у пг. , .,
J	J J+l	(8.6)
Сравнение (8.6) и (8.4) показывает, что можно опре-
делить такие параметрические функции Xj_j-i(r),
Xj,j+i(r) и yj(r), асимптотические значения которых яв-
ляются искомыми значениями параметров:
___ ^2S1	^1^2	„	С1£Э ^1^2
- С1С2 _ 41аг > xj.j+1 - С]с2 _	’
у_____^1S2 ___________ ^1^2	^2S1
J ^1^2 d-yd 2	^1^2 dtd2
(8-7)
Используя упомянутые выше уравнения для функций с,
s, d, t, получаем тогда окончательно следующую систему
трех нелинейных уравнений и соответствующие началь-
ные условия (Бабиков [45, 46]):
[Vj,j^ (jj-г -	«./_! )2 -
—	2Tj (jj—i —	nj+iyj + VJ>J+i nj+lyj],
=	[K/,j+i (//+1 - xJ<J+lnJ+tf -
—	2Tj (jj+i — Xj,j+i«j+i)	+ Vj,j—\n2j_iZ/j],	(g g)
-	4г- = — 4- [TjOj-I — Xj.j-lrtj-l) X
ur	ic
X (/J+i	+ Tjttj—xtij+iyj —
— Vj,j—l^J—if/j (jj—\ — Xjj—xrtj^.y) —
— V(jj + \ — A'j>j_!-iftj+l)],
'-1 (0) -- Xj, 7 + 1 (0)	у J (0)	0.
При выключении тензорного взаимодействия
(Tj(r)=0) имеем //7(r)=0, и тогда система (8.8) вы-
рождается в два независимых фазовых уравнения (3.2)
РАССЕЯНИЕ НА ТЕНЗОРНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
97
§ 8]
для парциальных волн с L=J—1 и L=J-y\, причем
X/, _,-i = tg6.r-i, Хл /+1 = tg6/+i.
Уравнения для функций, отвечающих параметрам
Блатта — Биденхарна [42], можно получить, используя
аналогично предыдущему асимптотические выражения:
U-Ja jj—l — tg 6janj_i,
O’Ja^tgej(/j+i — tg6JanJ+i),
— tg6jvMj+i,	(-9)
«П ~ — tg 6/(jj-l—tg 6JTn-i) .
Ho можно вывести эти уравнения и из системы (8.8), ес-
ли воспользоваться известной связью параметров хл 7_],
X/, j+i, у} с параметрами 6/т, е7:
Xj, j_i = cos2 ej tg 6/a + sin2 8j tg 6/v,
Xj.J+l = COS2 Ej tg Sj? + sin2 Ej tg 6ja,
у J = у sin 28j (tg 8Ja — tg 6Jv),
tg6ja = y [xj.j-l + XJ,J+1 + /(xj.j-i — Xj,j + 1)2 + 4^j], 
tg = у км-i + Xj,j+i — У	— Xj,j+i)2 + 4yj\,
(8-10)
После элементарных, хотя и весьма утомительных вы-
числений получаем (?Ja=tg 8Ja, tJ:=tg6JT, GE=tgej)
= — k 1 (1 + Zj£) 1	{jj—l — tjatlj—xf +
+ Vj,J+l (Jj+l - tjanj + x)* t-Jz +
+ 2Tj (/j—1 — tjatlj—1) (/J+l—
6a(0) = 0,
~	1 ( 1 + tj&\~1 [K/,J+1 (/j+1 — /jyrtjj-l)2 +
+ У J,J—1 (jj—x —	—
—2Tj(jj + x — tjynj+i)(jj_i —	ZjE];
tJy (0) = 0, j
7 В. В. Бабиков
98
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. II
^ = -й-1(6а-0у)-1Х
X [T’jC/j—1 — i) (js + 1	tj^nj + i)-
—	) (jj+t — Oa^J + l) —
—	V j'j—itjt-ijj—1 — tjaflj—l)(/j—1 —	1) +
+ Vjtj+itjE(jj+i — Zj7nj+i)(jj4-i — tjaHj+i)],
tje (0) = 0.
(8.П)
Уравнения для самих фаз SJct, SJT и параметра сме-
шивания е/, более удобные чем (8.11) при наличии свя-
занных состояний, имеют тогда вид (см. [46], а также
работы: Кинч [12], Кокс и Перлмуттер [47])
-^r6ja = — -^[Vj,J-1COS28j (COS Sjajj-I — sin 6janj-i)2 +
+ Tj sin 2eJ (cos 6ja/>_i — sin 6/anj_i) x
X (cos 8Jajj+i — sin 6janj+i) +
+ Vj,j+i sin2ej (cos 6ja/j+i — sin6JanJ+i)2l, .
Sjv = — у [Vj.j+i cos2ey (cos 8Jyjj+i — sin 6j7nJ+i)2 —
— Tj sin 2ej (cos 8jyjj+i — sin 6/7nJ+1) x
X (cos6j7/j_i — sin6jvnj_i)+
+ IZj,j_iSin28j (COS6jv/j_i — sin6j7nj_i)2],
d _______________1_____
dr J k sin (6ja — 6/7) X
X [TjC0S28j(C0S6ja/j_i — sin6jaMj—i) X
X (cos 8JyjJ+l — sin6j7nj+i) —
— Tjsin28j(cos6j7/j_i — sin6j7nj_i) x
X (cos Sja/J+1 — sin 6JanJ+i) -
—Vj.j-1 sin 8j cos 8j (cos 8jajj-i ~ sin 8jan.j -0 X
X (cos6j7/j_i - sin6j7«j_i) +
+ Vj,j+i sinejcos8j(cos6j7/j+i — sin6j7nj+i) X .
x (cos6ja/j+i — sin6janj+i)],
8/a(0)-—6j7(0) = 8j (0) = 0.
(8.12)
Недостатком систем (8.11) и (8.12) является наличие
в уравнениях для tJe(r) и 8/(г) множителей (tJa—6т)-1
§ 8]
РАССЕЯНИЕ НА ТЕНЗОРНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
99
и, соответственно, sin-1(6Ja—б/т), которые в некоторых
точках могут обращаться в бесконечность. Эта принци-
пиальная трудность, присущая именно параметризации
по Блатту — Биденхарну, ограничивает область приме-
нения уравнений (8.11) и (8.12) случаем, когда разность
фаз 6Ja(r)—б/т(г) не меняет знака во всем интервале
0<г<оо.
Простые уравнения (8.8) для параметров Мак-Хей-
ла — Тэлера непригодны, если присутствуют связанные
состояния, так как тогда в некоторых точках функции
Xj J-1 (г), хл/+i(r), У; (г) обращаются в бесконечность.
Свободным от описанных выше недостатков является
выбор (nuclear bar) параметров бА j-i, 6/, J+i, пред-
ложенных в работе Стаппа и др. [43], и ', 9j+1, Pj,
предложенных в работе Брейта и др. [44]. Оба набора
параметров, по существу, эквивалентны, так как
0^+1=бА7+ь pj=-=sin2e7. (8.13)
Уравнения для фазовых функций, отвечающих но-
вым параметрам, можно .получить из (8.11) или (8.12),
используя известные соотношения
Sj.j—1 4- Sj,j+i =	4* 6jv,
sin2ej = sin2ejsin(6ja —6jv),	(8-14)
cos 2ej cos (6j,j-i — 6j>J+i) = cos (6Ja — 6Jv).
Удобнее исходить? однако, из уравнений (8.8). Связь
параметров Мак-Хейла — Тэлера с параметрами Стаппа
следующая:
_	1 4- tg287 *8 ftj.j+i
~ i _ tg28jtgv+1’
tg~6j,j+i 4- tg^ tg~8j,j—i
X‘,’J+1	1 _ tg2~8jtg ,-jtg ~6j J+1’
_	_ '______________tg~eJ_________________
cos ^.j-jcose, J+1(! _ tg2;jtgSj,j_1tg'6J J+1) ’
tg 26 7	i +2Vj+i {xj.j—ixj,j+i
1 — XJ.J — 1 + XJ,J+l ~ (XJ,J-l XJ,J+\ ~ y2j)2 I
7*
100
многоканальное РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. II
tg 26 j j+i =	2*-M+i + 2xj,j—i xj,j+i ~ y2j)
1 — xj,j+i +xj,j—i —	ixj,j+i ~У2)2
_ _______________________.
sin2ej	j_lXj>J+1)2+ [xj'j—i + xj,j+i)2] 1/2
(8.15)
Полученные в результате довольно длинных преобра-
зований уравнения можно записать в виде ([46, 18])
8j,/_i =-----—[Vj,j_ 1 (cos1 gjPj,j_i —	!
ar 	kcosZej
—	sin1 ejQj,j-i) — Vj,j+i sin2 e,j cos2 ej (Pj,j+i —	I
—	Q2,/+i) — Tjsin2ej (cos2ejPj,iQj.j+i —	|
-	^r6j,j+i = — —-^=- [Vj,j+i (cos^HjPj^+i —	1
ar .	k cos 2ej
— sin4 8jQj,j+1) — Vj,J_1 sin2-8jcos2ej (p2,J_! —	(8.16) j
— <22,j-i) — Tj sin2e7 (cos2ejPj,j+iQj,j_i —	,
— sin28jPA/_iQj,j+1)],	J
= ~ T \-Tj (c°s2 ~^jPj,J-lPj,J+i +
+ sin2ejQj)j_1Qjij+1) — sin8j cose"/ x
X Pj,j—i — sinejCOsejPj.j-i-iQj’j+i],
6J.J_I(O) = 6J,J+1(O) = 8J(O) = O.
Здесь введены для удобства записи следующие обозна-
чения (L=7T1):
PJ<L(г) = cos6j)L (г) jL(kr) — sin^,L(r)nL(kr)A ,g i7x
Qj,l (r) = sin 6jtL (r) ]L (kr) + cos б/Дг) nL (kr)J
Несмотря на кажущуюся громоздкость, система (8.16)
проста и удобна для вычислений, так как уравнения со-
держат небольшое число однотипных элементов. Как
§ 8]
РАССЕЯНИЕ НА ТЕНЗОРНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
101
уже отмечалось выше, эти уравнения пригодны и при
наличии связанных состояний. Присутствие множителя
cos 2е7 в знаменателе первых двух уравнений системы
(8.16) не приводит к трудностям, потому что значение
cos28j=0 отвечает предельному случаю максимального
смешивания парциальных волн, когда амплитуда
L = J+\ волны во входном канале полностью переходит
в амплитуду L = /±l в выходном канале. В реальных
случаях (например, в нуклон-нуклонном рассеянии) не-
сохранение орбитального момента, мерой которого явля-
ется 8j, невелико, так что cos2ej=#0.
Величина фазовых функций при малых г определяет-
ся поведением потенциалов при г->0. Так, например,
если
(г) «	(г)« V°JiJ+irp,
ТДг)жТУ, р> — 2,	(8.18)
то функции имеют при г->0 значения
J-1 (г) ж Xj, J-1 (г)« 6/а (г) Al tja (г) А>
у0	—1^2/4-1+р
~ —(27+1+р) 1(27-I)!!]2’
-	V® J+ik2J+3r2J+5+p
Sj, J+l (г) & Xj,j+i (г) Л1 — (2J-|_ 5-|2 p) [(2 J + 3) !!]2 ,
-3+p
(r) At у J (r) a — (2j + 3 + p) (2/—1) I! (27 4-3)!!’
Sjy(r)Aitjv (r)A^
Г V°	T°‘ nr I 1 i 1 k2J+3r2J+5+p
__	VJ,J4-1	1J 2J + 1 + P R r___________
~	27 + 5 + p	(27 + 3 + p)2 j [(27+ 3)!!]2’
T°J	(27 + 1 + p)/eV2
ej (r) ~ tje (r) «	(27 4-3 4-p) (27+ 1) (27 + 3) '
(8.19)
Если потенциалы VJt j-i (г) и Vj, J+i (г) имеют отталки-
вэтельные сердцевины (2.19), то начальными условиями
102
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. II
для уравнений (8.8), (8.11) и (8.16) будут
—	/ J—1 (^с)
tgfij.j—1 (Гс) = (гс) = tg6ja(rc) =	,
tg 6j, J + l (Тс) =	(Гс) — tg 6jv (/"с) = (ЙГс) ’
ёу (гс ) = yj(rc) = tg 8j (rc) = 0.
(8.20)
До сих пор предполагалось, что потенциалы V/. j_i (г)
и V,, j+i(r) удовлетворяют условию быстрого спадания
на бесконечности (2.30). Если V/, j-i и Vj, j+i включают
центральный кулоновский потенциал, то всюду в урав-
нениях (8.8), (8.11), (8.12), (8.16), (8.17) и в началь-
ных условиях (8.20) надо произвести замену функций
Риккати — Бесселя на кулоновские функции:
jj±l(kr)-^FJ±l(kr, п),
nJ±l(kr)^-GJ±i(kr,n). (	’
Полученные таким образом уравнения являются обоб-
щением уравнения (2.35) на случай тензорных сил:
Рассмотренные выше методы вычисления фаз рассея-
ния и параметров смешивания оказываются очень по-
лезными в ряде конкретных численных расчетов. Так,
например, при вычислении фазовых сдвигов для упруго-
го нуклон-нуклонного рассеяния, когда существенную
роль играют нецентральные, в том числе тензорные,
силы, очень удобны_ уравнения (8.16) для пара-
метрических функций 6/, /-1, 6j, j+i, е/. Эти параметры
являются, кроме того, наиболее употребительными в на-
стоящее время при фазовом анализе экспериментальных
данных.
В качестве примера на рис. 21 приведены результаты
интегрирования уравнений (8.16) для параметров нук-
лон-нуклонного рассеяния в случае известного потен-
циала Хамады — Джонстона [39] с твердой сердце-
виной.
Ввиду короткодействия потенциала все функции быст-
ро принимают постоянные асимптотические значения. Рез-
кий излом на кривых 62, i (*) вызван изменением знака по-
тенциала V2, i(x) в точке х—хс.
§ 8]
РАССЕЯНИЕ НА ТЕНЗОРНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
103
Как уже было отмечено, система уравнений (8.16)
имеет то преимущество перед системами (8.8) и (8.12),
что она пригодна для описания рассеяния в любых,
в частности, имеющих связанные уровни, состояниях двух
нуклонов (или других частиц со спином 1/2). Поэтому
Рис. 21. Сдвиги фаз и параметр смешивания нуклон-,нуклонного рас-
сеяния в 3Р2- и ^-состояниях для потенциала Хамады — Джонстона
(*с = ЦлГс— 0,343) как функции аргумента x=iw*. Сплошные кри-
вые соответствуют энергии £==320 Мэв, пунктирные кривые —
Уравнения (8.16) могут использоваться также при ре-
шении обратной задачи рассеяния, когда параметры по-
тенциала подбираются из сравнения вычисленных фазо-
вых сдвигов с экспериментальными. В процессе автомати-
ческого поиска возможны такие промежуточные наборы
параметров, когда не только в 331-состоянии (дейтон),
но и в других состояниях могут появляться связанные
104
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. II
уровни, а разность сдвигов фаз для L = J+1 парци-
альных волн может иметь произвольное значение. В свою
очередь, если заранее известно, что данный потенциал не
содержит связанных состояний, удобно использовать бо-
лее простые уравнения (8.8).
§ 9. Общий случай многоканальной
двухчастичной реакции
Если сталкивающиеся частицы кроме спина облада-
ют внутренней структурой, то в результате взаимодей-
ствия они могут изменять не только орбитальный мо-
мент относительного движения, но свою массу и соответ-
ственно кинетическую энергию, а также любые другие
квантовые числа, характеризующие состояние системы.
В таких случаях говорят о различных каналах рассея-
ния или реакции.
Будем рассматривать случай, когда в конце реакции,
как и в ее начале, имеются всего две частицы. Радиаль-
ные волновые функции такой системы удовлетворяют
системе связанных уравнений Шредингера*)
«а (И + Ьа — (Ч+ ] Ua (г) - 2та 2 Vab (r)ub (г) = 0,
L	J	ь
(9.1)
где недиагональные элементы симметричной матрицы
потенциала взаимодействия Vab(r) = Vtia(r) определяют
связь каналов а и Ь.
При заданной полной энергии Е относительного дви-
жения в системе каналы могут быть открытыми, если
это энергетически возможно, т. е. если энергия внутрен-
них возбуждений в n-м канале Еп меньше полной энер-
гии, так что
kn = V2mn (E - Еп) > 0.	(9.2)
В противном случае каналы являются закрытыми и
соответствующий импульс kv оказывается чисто мнимой
величиной	__________
kv =	= iV 2mv(Ev— E).	(9.3)
*) В отличие от уравнения (1.1) здесь положено только Д=1,
так как приведенная масса тп в каждом из каналов рассеяния мо-
жет быть различной в зависимости от номера канала п.
§ 9J
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВУХЧАСТИЧНОЙ РЕАКЦИИ
105
Величинами, которыми удобно описывать многока-
нальное рассеяние, являются вещественные элементы К-
матрицы, определяемые асимптотическими выражениями
(проводится суммирование по дважды встречающимся
индексам)
Uab)(r)^ya(r)8ab — Za(r)Kah, Г->оа, (9.4)
где ya(r), za(r) —линейно независимые решения свобод-
ного уравнения (9.1), когда Уоь(г)=0 при всех а, Ь.
Верхний индекс у функции фиксирует граничные ус-
ловия. Таким образом, элементы /(-матрицы Каь изме-
ряют величину примеси второго решения свободного
уравнения в канале а, происходящей как от диагональ-
ных членов взаимодействия Каа, так и от связи между
каналами КаЬ(а=/=Ь). Ввиду симметрии потенциала Уаь—
= Vba /(-матрица также симметрична:	Чтобы
иметь дело в дальнейшем с вещественными величинами,
удобно выбрать следующие пары функций у (г), z(r)
(см. Приложение А). Для открытых каналов — функции
Риккати — Бесселя действительного аргумента
уа (r) = VKi‘a(‘k“r^ Za (r) = VK n‘a ('ka^’ (9’5>
для закрытых каналов — функции Риккати — Бесселя
мнимого аргумента
У а (г) = 1/-2- kia (иаг), za (г) = j/ JL. it (иаг). (9.6)
Г ЛИа	' ЛИа
Нормировка здесь выбрана таким образом, чтобы
вронскиан функций ya(r), za(r) был равен единице для
. всех каналов, как открытых, так и закрытых,
ya(r)^za(r)-za(r)^ya(r)=l.	(9.7)
Метод фазовых функций может быть распространен
[12, 19] (см. также Дегасперис [48], Кокс [49]) на слу-
чай вычисления элементов вещественной и симметрич-
ной, т. е. эрмитовой /(-матрицы или унитарной S-матри-
цы, связанной с /(-матрицей соотношением
(9-«)
106
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. II
Перейдем к более удобной матричной записи, пред-
ставив волновую функцию в виде столбца
«о (ГУ
Uj, (г)
t/(r) =
(9-9)
иа(г)
энергию и центробежный барьер в виде диагональных
матриц
а взаимодействие в виде матрицы, являющейся произ-
ведением диагональной матрицы массы на матрицу по-
тенциала:
2т0
2trii
V00(r)
V10(r)
V01(r)--
Vu(r)-..
W(r) =
2тл
0
^oo И Г01 (г)...
(9.П)
§ 9]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВУХЧАСТИЧНОЙ РЕАКЦИИ
107
Тогда уравнение (9.1) примет матричный вид
V (г) + \8 - L (г) - W (г)] и (г) = 0.	(9.12)
Для получения аналога фазовому и амплитудному урав-
нениям, рассмотренным в главе I, положим
(7(г) = [У(г)—Z(r)/((r)]A(r),	(9.13)
£ U	К А (г),	(9.14)
где У (г), Z(r)— диагональные матрицы
а К (г), А (г) являются соответственно симметричной
вещественной /(-матрицей и столбцом, определяющим
нормировку волновой функции в каждом из каналов
рассеяния на обрезанном потенциале W(r')Q(r—г').
Из уравнений (9.12) — (9.14) нетрудно получить ин-
тересующие нас матричные уравнения первого порядка
с очевидным начальным условием для /(-матрицы
£ К (г) = - [У (г) - К (г) Z (г)] W (г) [У (г) - Z (г) К (г)].
Х(0) = 0, (9.16)
£ А (г) = - Z (г) W (г) [У (г) - Z (г) К (г)) А (г). (9.17)
Следует обратить внимание на то, что порядок ум-
ножения Z(r) на /<(г) в первой и второй скобках в пра-
вой части уравнения (9.16) различен. Это связано с
тем, что диагональная матрица Z(r) не коммутирует в
108
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
[ГЛ. II
общем случае с матрицей ^(r), имеющей недиагональ-
ные элементы.
Уравнение (9.16), как нетрудно видеть, является
аналогом уравнения для тангенса фазы рассеяния (3.2).
При диагональном взаимодействии (lFod(r)~0, a=#&) К-
матрица также диагональна и имеет матричные элемен-
ты для открытых каналов
^a(r) = tg6/a(r), Kab(r)~Q, а^Ь. (9.18)
Закрытые каналы можно при этом не рассматривать.
Они существенны только при связи каналов. В общем
случае при размерности эрмитовой /(-матрицы, равной
N(a,	имеется Af(Af-|-l)/2 независимых матричных
элементов, из них No — число тангенсов фаз рассеяния,
.соответствующее числу Nq открытых каналов, и
А^о(Л/’о‘—1)/2 — число параметров смешивания. В частном
случае рассмотренных в предыдущем параграфе тен-
зорных сил Af=Af0,=2, так что величинами, описываю-
щими рассеяние, являются два сдвига фаз и один па-
раметр смешивания.
Вводя матричную функцию
отвечающую S-матрице (9.8), получаем из (9.16) сле-
дующее матричное уравнение, аналогичное (3.6):
£ S = - 1 [(Г - IZ) + S (Y + IZ)] W [(У - IZ) +
+ (У+г7)5],	(9.20)
S(0) = l.
При отсутствии связи каналов все параметры смеши-
вания равны нулю и S-матрица также диагональна
2Z6, (г)
Saa(r) = e , Sab(r) = 0, a±b. (9.21)
Амплитудное уравнение (9.17) в случае многоканаль-
ного рассеяния может быть формально проинтегрировано
§ 9]	ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВУХЧАСТИЧНОЙ РЕАКЦИИ	Ю9
в матричном виде
А (г) = exp - J Z (г1) W (г') [У (г') - Z (г') К (г')] А (г0).
. (9.22)
В формуле (9.22) амплитудный столбец с элементами
Аа (го) определяет нормировку волновой функции и свя-
зан с выбором граничных условий. В частности, можно
положить, что соударение частиц происходит в одном из
каналов а=п, а появление частиц в других каналах вы-
зывается взаимодействием. Тогда, очевидно,
4.(0) =бап.	(9.23)
Все результаты относительно поведения фазовых и
амплитудных функций, полученные в главе I, а также
учет кулоновского взаимодействия могут быть распро-
странены на уравнения (9.16), (9.17) и их решения.
Для иллюстрации вышеизложенного рассмотрим про-
стейший пример многоканального рассеяния: при одно-
мерном движении частица 1, описываемая координатой
х, рассеивается на частице 2, характеризуемой коорди-
натой у и находящейся в одном из связанных состояний
потенциала V(y). Для простоты предполагаем, что
этот потенциал не действует на частицу 1. Гамильто-
ниан такой системы равен (fi=2mi=2m2= 1)
н (* • £ - - z? - +v w+v >л- <9-24>
где V(х, у)—потенциал взаимодействия. Волновая
функция системы удовлетворяет уравнению
ЯТ(х, у)=Е'¥(х, у).	(9.25)
Пусть функции Хп(у), являющиеся ,решен1иям1и урав-
нений
— Хп (У) + V (У) Хп (У) = епХп (У),	(9.26)
образуют полную ортонормированную систему
со
j X*m(y)Xn(y)dy^£mn.	(9.27)
%
ПО	МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ	[ГЛ. II
Тогда волновую функцию Ч- (х, у) можно разложить в
ряд по функциям Х„(«/)
(X, у) фт (х) хт (у).	(9.28)
т
Подставляя (9.28) в уравнение (9.25), умножая сле-
ва на %п(г/) и интегрируя, находим, что коэффициенты
<Р„ (х) удовлетворяют системе связанных уравнений
<Pn W + £пфп (х) = У Wnm (х) <рт (х).	(9.29)
т
Здесь введены обозначения
k2 - Е - гп,	(9.30)
^nw(x)= J ^y)V(x,y)xm(y)dy.	-(9.31)
-<50
Предполагается, что интеграл (9.31) сходится при всех х
и любых т, п. Из эрмитовости потенциала V (х, у) сле-
дует симметрия ^-матрицы: Wnm (х) = Wmn (х).
Физический смысл рассматриваемых величин проз-
рачен. Индекс п (или т) выделяет номер канала ре-
акции. Частица 1, взаимодействуя с частицей 2, может
либо, упруго рассеявшись, остаться в исходном канале,
характеризуемом определенным начальным состоянием
частицы 2, либо перейти в другой канал, отдав (или
приобретя) энергию возбуждения частицы мишени.
Функция фп(х) определяет вероятность того, что части-
ца 1, находясь в точке х, принадлежит к n-му каналу.
Величина k2 играет роль энергии частицы 1 в канале
п и может быть положительной (открытый канал) или
отрицательной (закрытый канал). Диагональные эле-
менты эффективного взаммодействия №„„(х) равны по-
тенциальной энергии в точке х частицы, принадлежа-
щей к n-му каналу, а недиагональные—№nm(x)—
представляют зависящую от х энергию связи рассмат-
риваемого состояния с состояниями' этой же частицы
в других каналах. Симметрия Wnm (х) = Wmn (х) отража-
ет общее свойство равенства действия и противодейст-
вия, или принципа детального равновесия (см., напри-
мер, [1]).
§ 9]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВУХЧАСТИЧНОЙ РЕАКЦИИ
111
Запишем уравнение (9.29) в матричном виде, ана-
логичном (9.12):
Ф (X) + (?Ф (х) = Г (х) Ф (X),	(9.32)
где Ф (х)—столбец, Q — диагональная матрица энер-
гий каналов, №(х)— матрица взаимодействия.
Диагональные матрицы У(х), Z(x) — решения сво-
бодного уравнения (9.32), будут тогда иметь следую-
щие элементы:
для открытых каналов
ikx	— ikx
о п	р П
¥ пт (Х) “ /	9,-л J/2	%пт М ~	\1/2
для закрытых каналов
—Н„х	хпх
g п	С п	с,
Ynm М —	.1/2 ^пт (х) ~ ft) .1/2
(2Хл)	(2Xn)
где x„ определяется соотношением
xn = Угп В.
(9.34)
(9.35)
Если представить столбец волновой функции Ф(х)
в виде суперпозиции падающей и отраженной волны в
каждом из каналов
Ф(х) = [У(х)+2(х)В(х)]Л(х)	(9.36)
с дополнительным условием
ф W =	В (х)] А (х),	(9.37)
то матричным уравнением, обобщающим (6.8) на мно-
гоканальную задачу, будет
В (х) = [У (х) + В (X) Z (х)] W (X) [У (х) + Z (х) В (х)].
(9.38)
Если частицы движутся слева направо вдоль оси X,
то начальное условие для (9.38) должно соответство-
вать исчезновению отраженной волны .во всех каналах
112	МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ	[ГЛ. И
за областью взаимодействия, т. е.
В(+оо)=0.	(9.39)
Амплитудное уравнение линейно
А (х) = - Z (х) W (х)[У (х) + Z (х) В (х)] А (х), (9.40)
и его формальное решение имеет вид
Л(х) =
= ехр
X	1
- 5 Z (х') W (х') [У (х') + z (х') В (x')J dx' А (х„).
(9-41)
Поясним физический смысл матричных элементов
Впт(х) и элементов амплитудного столбца Л„(х).
Пусть из х——оо на невозбужденную частицу 2, на-
ходящуюся в состоянии по, падает единичный поток ча-
стиц 1, описываемых волной eikn„x, т. е. находящихся
в канале п0. Тогда Л„(—оо)=бПП(,,а величина
[Впп, (оо) |2 представляет коэффициент отражения ча-
стицы 1 в n-м канале с волной е—(’*л*при возбуждении
частицы 2 в /г-е состояние. Величина |Л„(-{-оо) |2 рав-
на коэффициенту прохождения частицы 1 через ми-
шень с переходом ее в n-й канал. Очевидно, вне зави-
симости от выбора начального канала по должен вы-
полняться закон сохранения числа частиц
N.	АГ.
2 |Л„ (+ оо)|2 + 2 |в„л. (- °о)|2 = 1.	(9.42)
п=0	п—0
где суммирование ведется по всем открытым каналам.
В справедливости соотношения унитарности (9.42) не-
трудно убедиться, если рассмотреть условие сохранения
потока вероятности (Ф+(х)—отвечающая столбцу
Ф(х) строка с комплексно сопряженными элементами)
/ (X) = 1ф (х) - Ф+ (х) ^].	(9.43)
Используя выражения (9.36) и (9.37), можно пока-
зать, что в терминах матрицы В(х) и амплитудного

§ 9]	ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВУХЧАСТИЧНОЙ РЕАКЦИИ
113
столбца А (х) поток вероятности имеет вид
/ (X) = 2(2 |Л„ (х)|2 -22л; (X) Вап (X) Вп„ (X) Аь (х) -
[ п	а,Ь п
— i 2 2 ЛС (х) BVb (X) Ab (х) + i 2 2 Ла (х) Bav (х) Av (х) 1.
b v	-	a v	J
(9.44)
В формуле (9.44) суммирование по индексам а и & оз-
начает сумму по всем каналам, индекс п означает сум-
мирование только по открытым каналам,, v — только по
закрытым.
Тогда, учитывая условие (9.39), находим
No
/(+») = 2 2|Л„(+оо)|2.	(9.45)
п=0
С другой стороны, если Аа(—оо)—6оп. при х=—оо.
то из (9.44) следует, что
j (- сю) = 2 {1 - 2	(- оо) Вппо (- оо)!. (9.46)
I	п—О	J
Сравнение (9.45) и (9.46) приводит к соотношению
(9.42).
В более общем случае, если при х——оо в падаю-
щем пучке частиц представлены все открытые каналы,
так что начальное условие для амплитуды А (х) имеет
вид
2|Л„(-оо)р= 1,	(9.47)
п=0
условие унитарности формулируется несколько сложнее:
2 |л„(+оо)|2 +
п=0
+ 2 Л;(-оо)В,;т(-оо)Втр(-оо)40(-сю)= 1. (9.48)
п,т,р
Все суммирования в (9.48) проводятся только по
открытым каналам.
& в. В. Бабиков
114
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
(ГЛ. II
§ 10. Оптическая модель
Иногда наряду с каналом упругого рассеяния учи-
тывают только один канал реакции, описывающий все
неупругое рассеяние и поглощение частиц. Особен-
но часто такой подход применяется в теории ядерных
реакций, так как во многих процессах рассеяния ней-
тронов и других частиц на сложном ядре трудно го-
ворить о возбуждении отдельных уровней ядра из-за
очень большой их плотности. В таких случаях исполь-
зуют так называемую оптическую модель ядерных ре-
акций*).
В оптической модели влияние неупругих процессов
на упругое рассеяние усредняется по всем каналам не-
упругого рассеяния и записывается в виде комплексной
добавки к потенциалу, действующему на частицу в ка-
нале упругого рассеяния, так что эффективный потен-
циал им^ет вид
V^(r) = V(r)+iW(r).	(10.1)
Вещественная часть потенциала V (г), вообще говоря,
может быть положительной или отрицательной. Так как
ядерные силы являются в основном силами притяже-
ния, то в оптической модели ядерных реакций исполь-
зуют отрицательные значения V(r)<0.
Знак мнимой части эффективного потенциала оп-
ределяется условием поглощения частиц, т. е. условием
убывания их в канале упругого рассеяния (с этим во-
просом мы уже сталкивались в § 6). Поэтому всегда в
оптической модели с поглощением
Ц7(г)<0.	(10.2)
Применим (см. [51]) метод фазовых функций для
исследования задачи рассеяния на комплексном потен-
циале (10.1). Будем исходить из уравнения (3.6) для
функции S((r), отвечающей матрице рассеяния 5(=е2'Л.
Мнимая добавка к потенциалу V(r) приводит к по-
явлению .мнимой части сдвига фазы б((г), так что
*) Весьма полное обсуждение вопросов многоканального ядер-
ного рассеяния и его связи с оптической моделью можно найти, на-
пример, в книге [50].
ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
115
§ ю]
S-матрица уже »е унитарна |S,| =/= 1. Комплексные вели-
чины S, являются параметрами, описывающими упру-
гое рассеяние и реакции в оптической модели. Выра-
жения 1—|S(|2, |1—Sz|2 и 2(1—ReS() определяют
вклад Z-й парциальной волны соответственно в сечение
реакции ог, сечение рассеяния о8 и полное сечение вза-
имодействия ог=Ог+ав.
Введем две вещественные переменные а, (г), bt(r),
равные соответственно модулю функции S;(r) и ее фазе
Sz (г) = az (г) e2t'6z(r).	(10.3)
Тогда, разделяя в уравнении (3.6) вещественную и мни-
мую части, получим систему связанных уравнений для
функций at (г), bt(r):
| [(1 + az)2 Ри - (1 - a/)2	-
— у- (1 — а2) PiiQ.ii,
V- -Ц 10 +“<>/>?,-(	«а-	(1°'4)
с начальными условиями
аг(0) = 1, 6,(0) =0.	(10.5)
(В уравнениях (10.4) используются обозначения (8.17).)
Асимптотически значения az(oo), 6i(°°) определяют
искомую величину S, для всего потенциала.
Из уравнений (10.4) и начальных условий (10.5)
видно, что при 1^(г)=0, т. е. при отсутствии поглоще-
ния, «((/•) = 1, и система (10.4) вырождается в одно
фазовое уравнение (1.9).
Полученные уравнения обладают всеми упомянуты-
ми в § 2 преимуществами фазовых уравнений. Кроме
того, при их использовании отпадают все вопросы, свя-
занные с нормировкой волновых функций и затрудняю-
щие стандартные способы расчета сечений в оптической
модели. Отметим также, что явный физический смысл
8*
116	МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ ,	[ГЛ/II
функций az(r) и bt(r) позволяет получать дополнитель-
ную информацию в процессе решения системы (10.4).
Например, если оптический потенциал (10.1) имеет вид
прямоугольной ямы
Кфф(г)=-Уо(14Ч)	(Ю.6)
с радиусом R=roA'h, то найденные при интегрировании
уравнений (10.4) до точки r=R решения в промежу-
точных точках r<.R определяют рассеяние частицы
(нейтрона) на всех ядрах с атомным весом меньшим,
чем А.
На рис. 22 приведен пример вычисления функций
0о(г)> Ь0(г) и величины о((г)=2[1— a0(r)cos2b0(r)]
для комплексной потенциальной ямы (10.6) с пара-
метрами [52]: Vo=42 Мэв, £=0,03, г0=1,45 ферма.
На оси абсцисс отложена безразмерная величина ра-
диуса ямы х=г/г0=Л1/’. Из рисунка видно, что изме-
нение функции йо(х) в результате поглощения (£=#0)
приводит к сглаживанию резонансов сечения о<(х)
(сплошная кривая) по сравнению со случаем отсутст-
вия (£ = 0) поглощения (пунктирная кривая). Фазовые
функции Ь0(х) для обоих случаев практически неразли-
чимы.
Вопрос о поверхностном или объемном характере
поглощения в ядре, очевидно, также удобно рассмат-
ривать, полузуясь именно методом фазовых функций.
Тогда роль каждой из областей потенциала проявля-
ется очень простым и наглядным образом.
Уравнения (10.4) пригодны, конечно, только для опи-
сания рассеяния незаряженных частиц (нейтронов). Не-
трудно обобщить эти уравнения на случай рассеяния
протонов или других заряженных частиц. Для этого не-
обходимо только заменить во всех выражениях функции
Риккати — Бесселя /;(&г), п;(Ь") на кулоновские волно-
вые функции F(kr, г]), — Gt(kr, т]). При вычислении се-
чений следует иметь в виду, что тогда
Si—at ехр(2гб;+2/О(), где <j; = arg Г(/-]-1+«п).
Нецентральные силы в оптической модели также мо-
гут быть учтены в рассматриваемом подходе. Спин-ор-
§ 10]
ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
117
битальное взаимодействие нейтрона или протона с яд-
ром не приводит к смешиванию парциальных волн с
различными орбитальными моментами, и уравнения
Рис. 22. Решения уравнений (10.4) и полное сечение взаимодействия
(в относительных единицах) для S-рассеяния нейтронов с энергией
10 Мэв на ядрах различного атомного веса Д=х3. Сплошные кривые
соответствуют наличию поглощения, пунктирные — его отсутствию.
(10.4) сохраняют свой вид. В задачах упругого рассея-
ния нуклона на антинуклоне или электрона на пози-
троне, когда возможность аннигиляции приводит к по-
явлению мнимой части в потенциале, имеющем, кроме
того, тензорный член, мы получаем систему шести свя-
занных уравнений вместо трех уравнений (8.16) при
вещественном потенциале.
ГЛАВА III
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
Рассеяние частиц при низких энергиях может быть
описано небольшим числом величин, являющихся пер-
выми коэффициентами разложения котангенса фазы
рассеяния в ряд по степеням волнового вектора k. Эти
величины, в первую очередь длина рассеяния и эффек-
тивный радиус, определяются интегральными свойства-
ми потенциала как функции расстояния. В некоторых
случаях, например при наличии реального или вирту-
ального связанных состояний с малой энергией связи,
они оказываются очень чувствительными к небольшим
изменениям потенциала. Следовательно, эти параметры
являются важными характеристиками свойств потен-
циала. Так, например, сравнение длин низкоэнергети-
ческого рассеяния протона на протоне и на нейтроне
позволяет судить о степени зарядовой независимости
ядерных сил.
В данной главе на основе фазовых уравнений выво-
дятся и исследуются уравнения для параметров низко-
энергетического потенциального рассеяния.
§ 11. Короткодействующий
сферически-симметричный потенциал
Поведение потенциала на больших расстояниях свя-
зано в силу дополнительности переменных г и k со свой-
ствами фазы рассеяния при малых энергиях k2.
Пусть ' потенциал V (г) является короткодействую-
щим, т. е. убывает при г-»-оо быстрее, чем r~v (v — лю-
бое положительное число), и не содержит связанного
состояния с моментом I при нулевой энергии связи.
Тогда, как известно (см., например, [1]), фаза рас-
сеяния 8i(k) и, следовательно, tg6,(6) являются нечет-
ными функциями k, регулярными в точке k=0. В этом
случае величина Аг<2!+|> tgSJfe) может быть разложена
§ и]
КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ
119
по степеням k2 в ряд, первые коэффициенты которого
полностью определяют ра-ссея1Н|Ие при (низких энер-
гиях. В частности, если ограничиться двумя первыми
членами ряда, это приводит к хорошо известному при-
ближению эффективного радиуса [53].
Метод фазовых функций позволяет развить очень
простые и удобные алгоритмы вычисления параметров
низкоэнергетического рассеяния: длины рассеяния, эф-
фективного радиуса, параметра формы и др. (Кинч
[12], Леви и Келлер [54], Дашен [55], Бабиков [56]).
Для получения соответствующих уравнений будем
исходить из уравнения (3.2) для функции равной тан-
генсу фазы. Представим эту функцию в виде ряда
ь2/+1
tg S/ (г, k) = —	— 1)!! Jd ain (r) • (П-0
Подставляя ряд (11.1) и разложения (А.9), (А. 10)
функций Риккати — Бесселя в уравнение (3.2) и при-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях k,
получаем следующую бесконечную систему рекуррент-
ных уравнений для функций atn(r):
d	! г \2п
£а/„ = (-1)«л(-^ Vx
I у ________(21 + 1)!! (21 - 1)!! (г/2)2г+2_,
х I ml (п — т)! Г (I + 3/2 + т) Г (/ + 3/2 + п - т) "г"
т—0
у "у 2(-l)l+i+P(r/2)l-2'3alp
+ i^o mi(~n~P~ т>! г (1 + 3/2 + «)Х
х__________!_________+_______1	х-
АГ(-/+ 1/2 + я —р — т) ' (2/4-1)!! (21 - 1)1! Х
у₽	(-xr+4r/2r^^a[pals
~0 m\(n-p-S-myr(-l + l/2 + m)X
X__________1___________ ]
xr(-/4-l/2-bn-p-s-m) J. (11.2)
a;„(0) = 0, n = 0,1,2,... |
Первое из этих уравнений (для аю(г)) является не-
линейным уравнением Риккати, а все остальные линей-
120
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. Ш
,ны относительно неизвестных функций atn(r) (пХ>1) и
могут быть последовательно проинтегрированы в квад-
ратурах с помощью известных решений предыдущих
уравнений a/n_i(r), azo(r). Два первых уравнения
системы (11.2) можно записать в виде
Тг а‘°	= 2/Ч~1 V (г) [г2Ж “ а,° (г))2> а‘о (°) = °’
(11.3а)
Тг (И = - 2ПП V (И 1г2Ж - «/о (01X
Г	r2	f2/+3'
x[2an (r) + —azo(r) + —3
ал (0) = 0. (11.36)
Для случая 1—0 система (11.2) принимает особенно
простой вид. Приведем три первых уравнения:
=V (г) [г — «оо (Г>]\ аво(0) = 0,	(П.4а)
4 ао1 (г) = - 2V (г) [г - а00 (г)] а01 (г) -
— г2У(г)[аоо(П —4’гаоо(0 + 4/'2]. я01(0) = 0- (П-46)	|
^a02(O:=-2V(r)[r-a0o(r)]a02(r)4-	|
+ V(r)[aoi(r) — 2r2a00(r)a01(r) 4- ^r3a01(r) +	j
+ 4 riaoo(r) — ^r5a00(r) + ^re , ao2(O) = O. (11.4b)	|
Как известно, параметры низкоэнергетического S-	1
рассеяния (1=0): длина рассеяния а, эффективный ра-	3
диус гэ, параметр формы Р и другие, определяются раз- |
ложением	1
^ctg60 = -4+yrbfe2-Pr?F4-...	(11.5)	1
Нетрудно связать эти величины с асимптотическими
значениями функций аоп(г), входящими в выражение
§ 11]	КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ	121
(11.1) ДЛЯ tg6o(oo, k):
а — lima00 (г),
1 *_
гэ = lim-v v s
r-»« a^0 (r)	[
1 Cl f /*1
P = НтУПГ77 Ml (r)-«eo.(r)«o2(r)].
r-*°° u a01 (r)
(11.6)
При конечных значениях г соотношения (11.6) опре-
деляют функции а (г), гэ(г), Р(г), соответствующие па-
раметрам рассеяния на обрезанном потенциале
V(r')0(r—г'). Поэтому, решая уравнения (11.4а—в),
мы не только находим с помощью (11.6) искомые зна-
чения а, гэ, Р, но получаем большую информацию об
этих параметрах для целого ряда «обрезанных» потен-
циалов. Ниже показывается, что тогда можно, напри-
мер, судить о числе связанных состояний в данном по-
тенциале.
Рассмотрим, как зависит характер решений уравне-
ний (11.2) при малых г от поведения потенциалов в на-
чале координат. Для несингулярных или слабо сингу-
лярных в точке г=0 потенциалов (2.2), пренебрегая
в правых частях уравнений (11.2) всеми членами, со-
держащими ат (г), находим, например, при
«/0 (е)« 2zTi J V r2Z+2 dr>
6
£
0/1 (s) ~ — (2Z _|_ p (2/ + 3) J v (r) r2l+4 dr,
о
E
0,2	(2/ + 1) (21 + 3)2 (21 + 5) J V r2‘+6 dr’
0
(П.7)
Из формул (11.6) и (11.7) следует, что для потен-
циалов отталкивания, несингулярных при малых 8, эф-
фективный радиус гэ(е) отрицателен, вопреки иногда
высказываемым утверждениям (см. например, [1],
стр. 587).

РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
(ГЛ. III
Если потенциал V(r) сингулярен, тогда согласно
(2.15)
г-о,
и, сравнивая это выражение с (11.1), находим для пер-
вых коэффициентов atn(r) при
аю(г) = г21+1,
а‘1 (г) = — (2/ + 3)^2/ — 1) r2Z+3>
a, (r\	G-2)(2/+D	.„д-к
а‘2' '	(21 + 5) (21 — I)2 (21 — 3) Г
(П-8)
Для твердой отталкивательной сердцевины конечного
радиуса гс (2.19) соотношения (11.8) выполняются для
всех г в интервале 0^г^гс- Нетрудно получить анало-
гичные формулы также для потенциала типа (2.23).
При больших значениях аргумента функции а(п(г)
асимптотически стремятся к предельным значениям
ain(oo). Из уравнений (11.2) легко видеть, что при
г -> оо
£aln\r) l)"V(/-)/-w+«+»,
так что степень приближения к асимптотическому зна-
чению тем больше, чем меньше I:
\ain (<*>) —atn (r)\ ~ О Н V (г)r2<z+n+1> dr |.	(11.9)
\f	J
По предположению о короткодействии потенциала V(r)
интеграле (11.9) сходится при любых значениях I, п.
Численный коэффициент перед интегралом совпадает
с соответствующим коэффициентом при г-»-0 и для
первых трех значений n=0, 1, 2 может быть взят из
формул (11.7).
Пусть потенциал V(r) = V0=const. Найдем решение
первого уравнения (11.3) для этого случая. Уравнение
для аю(г) заменой переменных
yl==r2l+i—alQ, х=г'~21	(11.10)
приводится тогда к специальному уравнению Риккати
(Г. 13) с показателем а=4//(1—21), решение которого
$ 11]
КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ
123
может быть выражено через элементарные функции. В
частности, при 1—0
«оо(г) = /--^72 th(rVj/2), V0>0,
аоо (r) = r~. J tg (г (- V0)1/2), V0<0.
(11-11)
Из (11.11) видно, что длина рассеяния при любом
знаке потенциала может быть определена только при
Рис. 23. Длина рассеяния а, эффективный радиус гя и параметр фор-
мы Р для прямоугольного потенциального барьера V(r)i=l как фун-
кции толщины барьера.
конечных г, т. е. при конечном радиусе действия сил.
Иначе, при г->оо, длина рассеяния аоо (г) неограниченно
возрастает (аю(г)-^г) для отталкив;ательного потенциа-
ла (Vo>O) (рис. 23). Для потенциала притяжения
124
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
(Ио<О) она является неопределенной и может прини-
мать бесконечные значения (рис. 24) даже при конеч-
ных г=гп, если
'•„(-V0)1/2 = (2n-l)f, « = 1,2, ...	(11.12)
Этот результат совпадает с условиями появления в
прямоугольной яме связанного состояния (2.39) и отве-
чает тому хорошо известному факту, что длина рассеяния
Рис. 24. Длина рассеяния а, эффективный радиус гэ и параметр фор-
мы Р для прямоугольной потенциальной ямы V(r)— — 1 как функции
ширины ямы.
в данном случае бесконечна. То же самое неограниченное
возрастание при конечных значениях аргумента наблю-
дается у функции а/0(г), где I произвольно, если потен-
циальная яма имеет достаточные размеры для возник-
новения уровня с нулевой энергией связи. Причина та-
кого явления лежит в нелинейности уравнения для azo(r),
создающей возможность появления резонанса. Нетруд-
но найти характер поведения функции аю(г) около точ-
ки гп, где аю(гп) = оо. Полагая, что потенциал медленно
§ 11]
КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ
125
меняется около точки гп, заменим в уравнении (11.3а)
Е(г) его значением V(rn) и пренебрежем величиной
по сравнению с аю(г). Тогда уравнение легко интегри-
руется и мы получаем
(11.13)
Связь уравнений (11.2) приводит к тому, что все
остальные функции а,„(г) также обращаются в беско-
нечность в точке г=гп. Однако эффективный радиус
гэ(г) и параметр формы Р(г), определяемые соотноше-
ниями (11.6), остаются при этом конечными. Зато эф-
фективный радиус может быть неограниченно большим
в тех точках, где длина рассеяния равна нулю (см.
рис. 24).
Для практических расчетов удобнее переформулиро-
вать нелинейные уравнения для функций йю(г) так, что-
бы в ходе вычислений не возникали бесконечные вели-
чины. С этой целью введем новую переменную а((г), по-
ложив
al0(r) =tga;(r).	(11-14)
Тогда первое из уравнений (11.3) принимает вид
Тг (г) = 2ГП V 1г2Ж cos (f)—sin at (г)]2, (11.15)
a;(0)=0.
Решение уравнения (11.15) всюду конечно. Величина
а, (г) равна нечетному целому числу, умноженному на
л/2 в каждой точке г„, для которой в потенциале
V(r)0(r„—г) появляется уровень с нулевой энергией
связи. Поэтому полное число, связанных состояний с
моментом I в данном потенциале V(r) равно целой ча-
сти отношения
faz(co)-|-л/2
/V/ — 1-------------
[ л
(11.16)
Линейные уравнения для остальных функций aZn(r)
можно регуляризовать, отделяя расходящиеся члены [56]-
В частности, для /=0, полагая
126
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
получаем уравнение для определения 0о(г), не содержа-
щее расходящихся решений
Ро = — 20(,V (г cos а0 — sin а0) (cos а0 + г sin а0) —
_l/-2V(r2cos2a0-2rsin2a0+3sin2a0), 0о(О)=О. (11.18)
О
Эффективный радиус при этом равен гэ(г) =
=20o(r)/sin2ao(r).
Проще всего, однако, использовать наряду с систе-
мой уравнений (11.2) для функций а;„(г) систему для
обратных величин bin (г) = а^1 (г), легко получающуюся
из (11.2). В области г, где |а1о(^)|>1 следует тогда
перейти к интегрированию системы уравнений для функ-
ций btn(r), и, наоборот, там, где |Ью(г) | > 1, можно
вернуться к первой системе (11.2).
Разберем теперь специальные случаи сингулярных
б-потенциадов (7.44) и (7.52); Как было показано в
§ 7, для потенциала (7.44) все фазы рассеяния при не-
нулевых орбитальных моментах равны нулю, независимо
от способа перехода от регулярного потенциала к пре-
делу (7.44). Поэтому имеем
a;„(r)=0, />0, /г=0, 1,2,...
Для рассеяния в S-состоянии результат зависит от спо-
соба определения б-функции. В частности, при потен-
циале (7.45) длина рассеяния равна a=aoo(r>0) =g/4jt.
Если же использовать в качестве потенциала выраже-
ние (7.49), то a=aoo(r)?s0 при g>0, в то время как для
притягивающего б-потенциала (g<0) фаза и соответ-
ственно длина рассеяния не существуют. Поэтому, не
уточняя смысла б-функции, нельзя говорить об опреде-
ленной длине рассеяния на б-потенциале (7.44). Все
остальные функции аОп(г) и, следовательно, эффектив-
ный радиус, параметр формы и другие параметры низко-
энергетического рассеяния тождественно равны нулю,
независимо от способа рассмотрения б-потенциала, если
g>0, и не определены, если g<Z0.
Из формул (7.53) следует, что при потенциале (7.52)
параметры низкоэнергетического рассеяния могут быть
найдены однозначным образом. В частности, имеем
§ 12]
ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИИ ПОТЕНЦИАЛ
127
(го¥=О)
/ \ и
й/0 (°°) ~ T+4k(2Z + 1)г0 
(11.19)
Таким образом, длина рассеяния на потенциале (7.52)
равна
(11.20)
а = —^2—
g + 4лг0 •
Из соотношений (7.53) нетрудно также получить
следующее выражение для эффективного радиуса и па-
раметра формы:
_ __ % r g 4лго р____	1 g2 (g 12яг0)	/11 on
э”3° g ’	40 (g-4nr0)« •
При очень больших константах взаимодействия
независимо от знака g, величины a, ra .стремятся к хо-
рошо известным параметрам низкоэнергетического рас-
сеяния на твердой сфере радиуса г0: а=г0, гэ=2г0/3.
Параметр формы, равный для твердой сферы Р=—0,075,
имеет здесь то же значение.
Тот факт, что эффект не зависит от знака g, стано-
вится понятным, если учесть, что согласно (7.55) и (7.57)
разность фаз рассеяния на отталкивательном и при-
тягивающем потенциалах в точности равна л.
Из выражений (11.20), (11.21) следует, что значе-
ния константы взаимодействия £=±4лго являются
особыми. Как уже отмечалось в § 7, отрицательная
величина gi=— 4лг0(2/-|-1) соответствует появлению
связанного состояния с моментом I и с .нулевой энерги-
ей связи. Что касается положительного значения gt=
= 4лго(2/+1), то оно, как можно показать, отвечает по-
явлению соответствующего антисвязанного состояния.
§12. Дальнодействующий
сферически-симметричный потенциал
Если потенциал У(г) убывает на больших расстоя-
ниях медленнее, чем экспоненциально, например, сте-
пенным образом, т. е.
V(r)»Vor-v, r-^-oo, v^l,	(12.1)
128
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
то парциальная амплитуда и фаза рассеяния при малых
k являются нерегулярными функциями k. Точка &=0
становится для них алгебраической или логарифмиче-
ской точкой разветвления при v>2 и существенно особой
точкой при v=l.
Обычная теория эффективного радиуса, основанная
на разложении (11.1), здесь уже непригодна, и возни-
кает задача построения новых низкоэнергетических раз-
ложений.
Метод фазовых функций оказывается очень удобным
[54, 56] в этом случае для исследования поведения тан-
генса фазы или амплитуды рассеяния при низких энер-
гиях и для вычисления коэффициентов соответствующих
разложений. В самом деле, из соотношения (11.9) вид-
но, что коэффициенты а/п(г) ряда (11.1) перестают стре-
миться при г->оо к определенному пределу, если
2/-|-2n-|-2—v> —1. Это значит, что при заданном I толь-
ко первые N< (v—2/—1) /2 членов разложения величины
tg6z(r, k)/k2l+l имеют вид aln(r)k2n для всего интервала
расстояний г. Остаток ряда не может быть представлен
полиномиальной зависимостью от k2. Следует ожидать
появления логарифмических особенностей при целых v
и алгебраических (корневых) при дробных v. Поэто-
му вместо разложения (11.1) будем искать величину
tg 6, (г, k) в виде
a2Z+1
tgS/ (Г, ^)-"(2f + i)!!(2f_i)„ 2 «М(И ('• *)» (12-2)
где N является целой частью (v—1—2/)/2. Коэффициен-
ты а/п(оо) могут быть последовательно определены из
системы рекуррентных уравнений (11.2), «оборванной»
при n=N. Таким образом, задача заключается в нахож-
дении величины Рг(оо, k) как функции k при
Рассмотрим сначала случай v>3, когда может быть
определена по крайней мере длина рассеяния яоо(°°),
являющаяся асимптотическим значением решения пер-
вого уравнения (11.4). Найдем, какой вид имеет сле-
дующий по значению при малых k член выражения (12.2)
для /=0. Эффективный радиус (11.6) не существует,
если 3<v<5, так как решение aOi (г) второго уравнения
(11.4) расходится при гг>оо. Поэтому, не задаваясь за-
§ 12]
ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ
129
ранее определенным видом Po(r, k), продифференцируем
выражение
tgS0(r, k) =— kaoo(r) — p0(r, k) (12.3)
по г и подставим в уравнение (3.2). С учетом (11.4а)
и (А.З) имеем
57 Ро (г- й) Т V ^sin kr ~	(Г) cos kr^ "
-kV(r)[r-a00(r)?, po(6,fe) = O. (12.4}
Уравнение (12.4) является точным. Для нахождения
основного при >0 члена функции р0(г, k), который
обозначим через Ьо(г, k), можно пренебречь в правой
части уравнения величиной k) по сравнению с
йа0о(г). Справедливость этого приближения будет под-
тверждена результатом. Тогда получим
сю
Ьо (°°, k) — у drV (г) {[sin kr — kaQ0(r) cos kr]2 —
b
-fe2[r-a00(r)]2). (12.5)
Для значений v>3 интеграл сходится на верхнем пре-
деле при любых k. Если fe->0, то вклад в интеграл дает
только область больших расстояний г>£-1. Поэтому
можно сделать следующее приближение, а именно,
пренебречь по сравнению с г функцией aOo(r)-^-const при
г—>-оо и заменить потенциал У (г) его асимптотическим
выражением yar~v
(12.6)
6 r
Условие v<5 обеспечивает сходимость интеграла на
нижнем пределе. Введем новую переменную x=kr,
тогда
. оо
ьо(оо, k) = V.k |Г~3 f s-^-*~X2	(12.7)
6 x
Итак, мы нашли, что основной член функции 0а(оо, &) в
разложении (12.2) для/=0 имеет вид constfe |&|v-3. Знак
модуля подчеркивает тот факт, что фаза рассеяния
9 В. В. Бабиков
130
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
1й ее тангенс (12.2) являются нечетными функциями
волнового вектора k
(12.8)
Интеграл в формуле (12.7) известен как интеграль-
ное преобразование Меллина от функции f (х) = sin2x—х2.
В частном случае v=4, что соответствует, например, по-
тенциалу взаимодействия заряженной частицы с наведен-
ным электрическим дипольным моментом нейтрального
атома, он равен
со
[sin2*rx2 dx = -y.	(12.9)
6
Поэтому вместо формулы (11.5) обычной теории эффек-
тивного радиуса имеем при v==4
k ctg й0  -----L-------ы _	& In lfe| + О (k*).
s 0	воо(“>) За§о<ео) Звоо(°°) 11	' ’
(12.10)
Можно показать [54], что третий член в формуле (12.10)
возникает, если учесть в следующем приближении вели-
чины, отброшенные при получении (12.6).
Выражение (12.10) определяет сечение рассеяния
медленных частиц на потенциале, обладающем асимпто-
тикой Vor~4 и приводящем к длине рассеяния а=аоо(°°).
Если 2<v<3, имеем tg6o(r, &) = —фо(г> ^)» так как
длина рассеяния аОо(°°) уже не может быть определе-
на. Физически это отвечает тому, что при столь медлен-
но убывающих потенциалах сечение низкоэнергетическо-
го рассеяния частиц бесконечно за счет бесконечно
большого вклада от рассеяния на малые углы. Повторяя
рассмотренную выше процедуру, получаем тогда для
основного при &-*-0 члена Ро(°°, k) выражение
оо
tg 60 (со,*) « - Ьо( оо Д) = - у01J	=
о
оо
=	(12.11)
§12]	ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ
131
Если v=3, интеграл (12.11) логарифмически рас-
ходится на нижнем пределе. Это означает, что в данном
случае нельзя заменять весь потенциал V(r) его асимп-
тотическим выражением (12.1). Вклад «хвоста» потен-
циала, определяющий зависимость tg60(oo, k) при ма-
лых энергиях, в интеграл (12.11) следует учитывать
только в области r^>l/k. В результате этого не очень
строгого рассуждения мы находим, что при v==3
tg6o(fe) ~ 70feln|fe|, 6->0.	(12.12)
Случай l<v^2 мы здесь рассматривать не будем.
Заметим только, что он, по-видимому, требует специаль-
ного исследования, аналогичного рассмотренному ниже
случаю v=l.
Аналогичным образом могут быть получены функ-
ции 0г(г, k) для произвольного орбитального момента
/^0. Приведем здесь лишь конечный результат [54]
для величин р((оо, k) при £->0:
„ ,	,, . лУп, л,у-з t. Г (у - 1) Г (1 + 3/2 - у/2)
pz(°°, «)—' 2v Iй! « Г2 (v/2) Г (Z Н- 1/2 +v/2) '
3<v<2/ + 3, .
Р* (°°,	[(2/ + 1)!1° 1^1’
'	3<v = 2Z + 3,
pz (oo, k)« VQk \k\v-3 f L? (x) - x” 2
0 X L	«=0
2/ + 3<v^5,7........
Pz(°°,fe)~ — Vof(v—3—2Z)/2^ 1^|V 3ln|fe|,
2/ + 3<v = 5, 7, ...
(12.13)
В выражениях (12.13) обозначено
f — 92/z_iy* У_____________G + m)l (Z + n — m)l______
ln — ^ 1	4	— m)l (2/+ 2/n + 1)1 (2Z + 2re — 2m + 1)Г
nz=0
(12.14)
9*
132
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
(ГЛ. III
Можно показать также, что если асимптотика потенциа-
ла кроме степенной включает логарифмическую зависи-
мость V (г) т О (r~vlnp г), то функции Р(<», k) будут
также содержать логарифмический множитель 1пр|й|.
Перейдем теперь к очень важному случаю, когда на-
ряду с короткодействующим потенциалом имеется даль-
нодействующий кулоновский потенциал v=l. Как из-
вестно, теория эффективного радиуса для S-рассеяния
заряженных частиц может быть модифицирована таким
образом, что вся сингулярность «загоняется» в специ-
альный множитель, регуляризуя остальную часть, и ре-
зультат имеет вид [53]
2л1] (<?2я11 — I)-1 k ctg 60 -J- -g-h (ц) =
= ~4 + |''^2-^>+•••	(12.15)
р z
Здесь Tj, /? — кулоновские параметры, Л(т])—известная
функция (см. Приложение Б).
Длина рассеяния ар, эффективный радиус гР, пара-
метр формы Рр и другие коэффициенты разложения
(12.15) при заданном короткодействующем потенциале
Й(г) простым образом вычисляются с помощью метода
фазовых функций [45, 56].
Ясно, что теперь следует исходить из уравнения (3.2),
в котором функции Риккати — Бесселя заменены куло-
новскими функциями. Для произвольного I имеем
tg (г, k, i])=—уV(r) [Ft (kr, n)4-tg 6;(r, k, t|) Gi (kr, л)]2,
tg6,(0, k, n)=0.	(12.16)
Разложение тангенса фазы будем искать в виде
tg б/ (г, k, л) = - (2/-+ 1) d (n) k2l+l 5 Ain (г, h (л)) k2n.
n=0
(12.17)
Чтобы получить уравнения для коэффициентов Atn(r, h),
необходимо аналогичным образом разложить кулонов-
ские функции. Наиболее удобными для этой цели явля-
ются разложения Л и Gi по бесселевым функциям
мнимого аргумента 1п, Кп (Б.10). Подчеркнем, что эти
§ 12]	ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ	133
разложения предполагают, что величина Ы«<1, где d —
радиус действия (ядерного) потенциала V(r); малость
же величины kR=(2n])~l не предполагается.
Подставляя выражения (Б. 10) и (12.17) в уравне-
ние (12.16) и используя обозначения (Б.20), получаем
для основного (k->0, /1—>0) коэффициента в разло-
жении (12.17)
гАо(г.о)-
- ЙТ11' И [гИ+,1-='+’ (£) -	(£)	(г, 0)]’,
Лю(0, 0)=0.	(12.18)
При отсутствии кулоновского потенциала (R=oo)
уравнение (12.18) принимает более простой вид (11.3).
Уравнения для следующих коэффициентов Ai„(r, h)
являются линейными и при произвольном I имеют весь-
ма сложный вид. Поскольку наибольший практический
интерес представляет обычно разложение для случая
S-рассеяния (/=0), ниже мы ограничимся получением
уравнений для первых трех коэффициентов Лоо (г, h),
Л01(г, /г), Л02(г, /г).
Для этого воспользуемся известными разложениями
функций F0(kr, т]), G0(kr, т]) по степеням (kr)3 (Б. 19)
вплоть дю членов ~ (kr)4. Подставляя эти разложения
вместе с (12.17) в уравнение (12.16) и приравнивая
коэффициенты при соответствующих степенях k в обеих
его частях, получим^ рекуррентную систему уравнений
[45] для функций Л^(г, h), A0\(r, h), A02(r, h).
Чтобы иметь возможность непосредственно сравнить
вычисляемые параметры низкоэнергетического рассея-
ния с коэффициентами ар, гр, Рр выражения (12.15), не-
обходимо отделить в функциях ЛОп.(г, h) имеющуюся
(через функцию й(т])) зависимость от энергии.
С этой целью введем функции ар(г), а^(г), а2(г),
положив
Лоо(r, h) = ар (г) [1 + ар (г) W1]-1,
Лв1(г, h) = ai(r)[i + ар(г)ЬР~']-1,
A02(r,h) = b2(r,h)[\ + ap(r)hR~']~', i
a2(r) = &a(r, 0)..
134
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
Тогда, как оказывается, функции aP(r), Я1(г), а2(г)
удовлетворяют системе уравнений
4 аР = V (г) [rLi	- арН1	ар (0) =0,
«1(0) =0,
d v/7	(12.20)
jT’ й2 ~	(Г^1	ар^1) X
X Г 2Н	^r*Nap - ^r5 №l3~ i L«)l+
+ у(н1а1-±г*МаР + ±гчУ, a2(0) = 0.
Здесь используются обозначения (Б.20), введенные в
работе [57].
Уравнения (12.20) обобщают систему (11.4) на слу-
чай рассеяния заряженных частиц и совпадают с ней,
если У?-»-оо, т. е. при выключении кулоновского взаимо-
действия. Соотношения (11.6) связывают [56] асимпто-
тические значения ар(оо), аДоо), «2(0°) с длиной рас-
сеяния а„, эффективным радиусом гр и параметром фор-
мы Рр разложения (12.15). При конечных значениях г
функции ар(г), (г), Рр(г) определяют параметры низ-
коэнергетического рассеяния на обрезанном в точке г
потенциале V (г') 0 (г—г').
Следовательно, решение уравнений (12.20) позволяет
точным образом учесть кулоновский потенциал при вы-
числении длины рассеяния, эффективного радиуса и
параметра формы. Полагая кулоновское взаимодейст-
вие малым и рассматривая его как возмущение, из урав-
нения для ар(г) нетрудно получить с учетом (В. 17) пер-
вую поправку к длине аоо(г) рассеяния на одном ядер-
ном потенциале V(r). Она совпадает с логарифмическим
членом в известной [57] приближенной формуле
‘Tp-~^+-Rln пг + — •
Член ~ 1/7? существенно определяется уже видом по-
тенциала, и коэффициент при нем может быть вычислен
§ 121
ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ
135
только для конкретного выражения V(r). Следует от-
метить 'Слабую сходимость ряда (12.21) из-за наличия
логарифмических членов.
Оценим теперь степень сходимости решения уравне-
ния (12.18) к асимптотическому значению. Пользуясь
выражениями (В.16) для функций Бесселя мнимого
аргумента, находим при г^-оо
|Ao(°o, 0)—0) | —*•
ОО
jL (2/ + 1)! (2/ - 1)! R2l+3/i J |V (r)| e4V7rHr^dr. (12.22)
Г
Таким образом, короткодействующий (ядерный) потен-
циал должен убывать на больших расстояниях по край-
ней мере экспоненциально V(r)~О (е~“х9), где а>0,
^>1/2, чтобы разложения (12.17) и (12.15) были спра-
ведливыми.
Поведение функций ap(r), «i(r), а2(г)- при малых г,
как и в случае отсутствия кулоновского, взаимодейст-
вия, определяется видом потенциала V(r) при г-*-0. Не
представляет труда рассмотреть всевозможные вариан-
ты (регулярного (2.2) и сингулярных (2.13), (2.23) по-
тенциалов. Приведем здесь лишь результат, относящий-
ся к случаю твердой отталкивательной сердцевины (2.19)
конечного радиуса гс. Значения ap(rc), ai(rc), а2(гс), яв-
ляющиеся начальными условиями для уравнений (12.20),
определяются выражениями
„ Z X Li(rQ/R) . . 'с /ЗМ L.\
ap(rc) ~rc	3!	Z.J’
«2 ('с) =
- 'с /В * 10	1 А g * |
~ 5! ( 9 U 9	аН1 + 6У}н2 lu LiHi)-
1
| (12.23)
В качестве примера использования уравнений (12.20)
и (11.4) в таблице 2 приведены результаты расчета длин
рассеяния, эффективных радиусов и параметров формы
для синглетного ‘So протон-протонного и нейтрон-протон-
ного рассеяния при двух известных ядерных потенциа-
лах [39, 58] с твердой отталкивательной сердцевиной
 (*0 ' РпГс) .
136
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. IH
При сравнении значений параметров для *Sq нейтрон-
протонного рассеяния, полученных (хо=0,343), со зна-
чениями as= — 17,0 ферма, rs=2,83 ферма, Ра=0,016,
полученными Хамада и Джонстоном [39], наблюдается
небольшое отличие в величинах as, г„ и очень большое
Таблица 2
Синглетные длины рассеяния, эффективные радиусы
и параметры формы, вычисленные для различных
нуклон-нуклонных потенциалов
Потенциал	пр-рассеяние				‘So рр-рассеяние		
	a , ферма,	г , S ферма	р S	а , Р ферма	г , Р ферма	Р Р
Хамада — Джонстон [39](хо=О,343)	— 16,7	2,86	0,0305	—7,72	2,75	0,0423
Хамада — Джонстон [ 39 ](х0=0,341)	—21,7	2,77	0,0316	—8,54	2,66	0,0439
Брейт и др. [58] х0= 0.350	—16,8	2,94	0,0216	—7,81	; 2,80	0,0331
различие (почти в два раза) в величине Р„. Аналогич-
ное расхождение в значениях параметров имеется так-,
же для случая, когда радиус сердцевины хо=О,341. Ре-,
зультаты Хамады — Джонстона: аа= —-23,7 ферма, г„=
=2,73 ферма. Вычисления с помощью уравнений (11.4)
оказываются значительно точнее, чем стандартные ме-
тоды вычисления длины рассеяния, эффективного ра-
диуса и параметра формы, для короткодействующих по-
тенциалов. Учет кулоновского потенциала, который очень
труден при обычных способах вычисления, приводит в
рассматриваемом подходе к простым и удобным для
вычисления уравнениям (12.20).
Все эти факты демонстрируют преимущества мето-
да фазовых функций в задачах вычисления параметров
низкоэнергетического рассеяния.
С целью иллюстрации поведения решений уравнений
(11.4) и соответствующих параметров рассеяния с уче-
том и без учета кулоновского взаимодействия на рис. 25
тонкими линиями показаны функции aoi(x), аог(х), тол-
стыми линиями — параметрические функции as(x)s
§ 12]
ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ
137
==аОо(х), rs(x), Ps(x) для !50 пр-рассеяния, пунктирны-
ми линиями —параметрические функции ар(х), гР(х),
Рр(х) для !S0 рр-рассеяния для потенциала Хамады —
Джонстона [39] при х0=0,343.
Рис, 25. Решения уравнений (11.4) и параметры as, r8. Ps синглетного
!50 нейтрон-протонного рассеяния для потенциала Хамады — Джон-
стона как функции	Пунктирными кривыми показаны длина
рассеяния ар, эффективный радиус гр и параметр формы Р? синг-
летного ’So протон-протонного рассеяния.
В заключение данного параграфа заметим, что под-
ход, подобный тому, который использовался для полу-
чения регулярного низкоэнергетического разложения в
случае кулоновского потенциала (12.15), может быть
использован для любых дальнодействующих потенциа-
лов [59]. Необходимо только с самого начала ввести в
фазовое уравнение (3.2) вместо волновых функций сво-
бодного движения ji(kr), ni(kr) линейно независимые
решения (если они известны) уравнения Шредингера с
дальнодействующей компонентой потенциала, выделив
при этом короткодействующий потенциал V(r).
138
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
§ 13. Многоканальное рассеяние
Результаты предыдущих двух параграфов, в частно-
сти, уравнения теории эффективного радиуса, могут быть
без особого труда обобщены на случай низкоэнергети-
ческого многоканального рассеяния.
В качестве примера рассмотрим здесь упругое рас-
сеяние при наличии тензорного взаимодействия [46, 56]
и оптическую модель, в рамках которой учитывают не-
упругие процессы.
Как было показано в § 8, фазовые уравнения для
случая тензорных сил составляют систему трех связан-
ных уравнений. При получении уравнений для парамет-
ров низкоэнергетического рассеяния будем исходить из
уравнений (8.16) для функций 6,. j-i(г), 6Л/+i(r), в7(г),
отвечающих параметризации Стаппа — Брейта. Если по-
тенциалы V/, j-i(r), V/,/+i(r), Tj(r) .короткодействую-
щие, можно использовать, аналогично выражению (11.1),
разложения
tgSj.j-Ur, k) =	k2J-X	“	1 (27 — 1)!!(27 — 3)1!	Ajn(r)>	
tge7(r, fe) =	k2J+l (27 + !)!! (27 — 3)!!	 (13.1)
tg6j,j+i (r, k) =	(2J 4-3)!! (27+1)11	Cjn^’	
Подставляя формулы (13.1) вместе с разложениями
функций Риккати — Бесселя при малых значениях ар-
гумента (А.9), (А.10) в уравнения (8.16), получаем, пос-
ле приравнивания коэффициентов при одинаковых сте-
пенях k, рекуррентную систему уравнений для функций
AJn(r), В jn (’Г), ^/п(г). Эта система при заданном J со-
стоит из подсистем, каждая из которых включает три
уравнения для неизвестных функций A/n(r), BJn(r),
CJn(r). Коэффициентами в уравнениях являются потен-
циалы и решения AJm(r),BJm(r), Cfm(r) предыдущих под-
систем уравнений (O.^m^n—1).
§ 13]
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
139
Первая тройка уравнений (п=0) имеет вид
4 Ajo = ~~г Vj,j_ir-W-')(r”-' - Ajo)2 ~	1
ЦГ	1
- 2Tyr~27 (r2J-‘ — Луо) Bjo +
+ (27- l)Vj,j+ir-2<J+1>B%)
4	= (27—1)^27+3) Tjr ^^-V- Луо) - Cyo) +
+Tyr~2JBy0~ ^тЦ Vy.y-i/-2^-') (r2J-‘ - Луо) Вуо - !
- 4г~з Vy, y+ir-2^') (r2J+3 - Cyo) В JO,
Z.J ~l~ □
4 C-"> = 2Л3 Vy.y+ir-2^’) (Г-+3 _ Cyo)2 -
U/	Zu j О
- 2Tjr~2J (r2J+3 - Cyo) В jo +
+ (27 +3.) Vjj-S-W-VBtjo
(13.2)
с начальными условиями
Л/О(О)=В/О(О) = С/о(О)=О.	(13.3)
Если есть твердая сердцевина конечного радиуса гс,
начальные условия, определенные в точке г=гс, задаются
равенствами
Луо(гс) = Гс7“‘, Вуо(гс) = О, Суо(гс) = г^+3. (13.4)
Результат (13.4) проще всего получить из выражений
(8.20) путем предельного перехода й->0.
При выключении тензорного взаимодействия (Т7=0)
функция Bjo(f) тождественно обращается в нуль, и си-
стема (13.2) распадается на два независимых уравнения
вида (11.3а).
Поведение, решений уравнений (13.2) на малых рас-
стояниях определяется характером потенциала. Так,
например, если при г->0 потенциалы имеют степенную
зависимость (8.18), то из выражений (8.19) и (13.1)
140
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
следует при г->0
_ V°,j-ir2J+'+₽
Ajo (/")	(2j+’ i _|_p)(2J — 1)’
rpQ 2J+з+р
В1П(г)ж________________________ (13.5)
J0 v> (2J+3 + p) (2J - 1) (2J + 3)’
t/0	2 J+5+p
r /rX ~	vJ.J+lr________
^JO(r)~ (2/ + 5 + p)(2J + 3) •	,
Аналогичным образом' могут быть рассмотрены другие
варианты поведения потенциала на малых расстояниях.
Связанные уравнения для следующих (п=1, 2, ...)
коэффициентов AJn(r), CJn(r), разложений (13.1)
являются линейными и образуют ряд рекуррентных, по-
следовательно решаемых систем. Эти уравнения подробно
рассмотрим ниже на примере физически наиболее инте-
ресного случая рассеяния в	-состояниях (/=1).
Для I = 1 запишем (13.1) в более простом виде
tg6io(P, k) = — k 2 fe2"a„(r),
n=0
oo
tgMr, k) = -^-^k^bn (r),
n=0
(13.6)
oo
tg62l (r, k) = —	2 k2ncn (/)•
n=0
Соответственно уравнения (13.2) для первых коэффици-
ентов до (г), Ьо(г), <?о (г) принимают вид (индексы у потен-
циалов упрощены очевидным образом)
(г - й0)2 - 277-2 (г - й0) b0 + V2/~<
ао(О) = О,
^2=4- 77-2 (г - а0) (г8 - с0) 4- Tr^bl ~
- V, (г - й0) b0 - j- V2r-4 (г5-с0) Ьо, Ьо (0) = 0,
= 4 V2r-4(r8-Co)2-2Tr-2(r8-co)bo+5VX
со(О) = О.
(13-7)
$ 13]
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
141
Следующие коэффициенты (п=1) определяются из
системы линейных уравнений также с нулевыми началь-
ными условиями:
- Vi (г - а0)	- «0г2 +-у г3)+
+ 2Тг~2(а1Ь0 + а0Ьг-----a0b0r2 — brr
+ V2r-4(2fe1 + 4-b0r2) b0,
Тг-2 [(г® - со) «1 + (г - а0) С1 +
+	±-г81 + Тг-2 (2^ —Ьог2к+
3	‘	21	\	3	/	} (13.8)
"I"	(^1^0 Н- «0&1 аоЬОг2 -]-------J- feorS'j +
+ j v2Г“4	+ С»Ь1 + у соЬ0г2 —	— £ bor7j,
“ Т V2r~* (г* - с0) (2С1 + ± с0г2 + | г’) +
+ 5V1(2&1 — fe0r2)b0 +
+ 2Tr~2 (с^ + cob! — c0b0r2 — bj* 4- 4- V7')-
\	°	‘	1 j
Аналогичные (13.8) уравнения получаются [46] для
функций й2(г), Ь2(г), с2(г) и последующих коэффициен-
тов разложений (13.6).
Для потенциалов, имеющих при малых г вид (8.18),
нетрудно найти, цто функции а (г), Ь{г), с (г) при
равны
У?г3+р , тог5+р	У“г7+р
а° = 3 + р ’ Ь° = 5(5 + р)’	С°= 5(7+р)’
уОГ5+р	T»r7+p	V®r9+₽
U1 = “ 3(5+р)’ Ь1 = “ 21 (7 + р)> С1== - 35(9+ р)-
142	РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ	[ГЛ. Ш
В случае твердой отталкивательной сердцевины
«о (гс) = г£, Ьо (гс) = 0, с0 (гс) = Ге,
а1(гс) = -у Гс> Ь1(Гс) = 0, ^(Гс) = — ^-4-
(13.10)
Соотношения (11.6) связывают рассматриваемые
функции a0(r), ai(r), а2(г) для триплетного спинового
35гсостояния двух частиц спина 1/2 с параметрами те-
ории эффективного радиуса, определяемыми формулой
(11.5). Поэтому уравнений (13.7) и (13.8) достаточно
для того, чтобы определить триплетные длину рассея-
ния и эффективный радиус, а с учетом уравнений для
а2> Ь2, с2 выйти за рамки не зависящего от формы по-
тенциала приближения. Точный учет тензорных сил и,
соответственно, смешивания 3Si- и ^-состояний при-
водит к тому, что для вычисления коэффициентов низко-
энергетического разложения тангенса 351-фазы необхо-
димо решать более сложную систему уравнений, находя
попутно коэффициенты разложения тангенса 3£>гфазы
рассеяния.
Уравнения (13.7), (13.8) несколько усложняются, ес-
ли в системе возможно связанное состояние (например,
дейтон в системе нейтрона и протона). Напомним, что
в этом случае длина рассеяния ао(г) обращается в бес- |
конечность в некоторой точке г. Следовательно, уравне-
ния (13.7), (13.8) необходимо регуляризовать подобно |
тому, как это было сделайо в § 11 для сферически-сим-
метричного потенциала.	|
Приведем здесь только результат регуляризации си- я
стомы (13.7). Определим новые функции ao(r), 0i(r), я
Mr), Yo(r)> положив
. «o(0-tga0(r),
b0 (r) = ₽i (г) а0 (') + ₽о('')>
с0 (г) =	(г) а0 (г) 4- 50! (г) 0О (г) 4- у0 (г).
Подстановки (13.11) приводят к большему числу не- J
известных функций, чем в исходной системе (четыре вме- |
сто трех). Однако требование регулярности их пове- |
(13.11)
§ 13]
МНОГОКАНАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
143.
дения при а0(г)->оо позволяет получить для них четыре
независимых уравнения:
§ = Vi (г cos а0 - sin а0)2 —
— 2Tr~2 (г cos а0 — sin а0) (0Х sin а0 + 0О cos а0) Ц-
+ V2r~4 (0Х sin а0.+ 0О cos а0)2, а0 (0) = 0,
Ф = Тг-201(г₽1 + ₽о)-
---^П-2(г5-?о) + Ух(г0х+0о)-
О
__1-У2г-4ро(г5-7о),	0i(O) = 0,
| (13.12)
^ = Tr-2₽o(rp1 + W +
+ 4- Тг-‘ (г5 - 7о) - V. (г0х 4- 0О) -
-4-^f“4₽o(^~Vo).	₽о(О) = О,
^ = 4-V2r--(r®-Yo)2-
_ п-2 (Г5 _ То) (г₽1 + р0), ?0 (0) = 0.
Хотя уравнения для функций 0i(r), Ро(^) > Yo(r) нелиней-
ны, они не приводят к бесконечностям, если нет, как
предполагается, связанного уровня в ^-состоянии.
Полученные уравнения можно без затруднений ис-
пользовать для вычисления параметров низкоэнергети- -
ческого 3Si пр-рассеяния [56].
Перейдем теперь к рассмотрению низкоэнергетичес-
кого рассеяния в оптической модели с комплексным по-
тенциалом (10.1). Для того чтобы получить 'разложение
элемента S-матрицы St по степеням k, удобнее всего ис-
ходить непосредственно из уравнения (3.6) для соответ-
ствующей функции St(r, k)
£st(r, k) - .^[V(r)+iW(r)][hr(kr) + Sz (r, k)h^ (kr)]2,
S,(0, Ai)=l. '	(13.13)
144
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. П1
Будем искать St(r, k) в виде ряда
9: 1 + 1	wt-m
(г> ^) = 1 — j) — 1) ц s‘n(г)	• (13.И)
п=0
Подставляя (13.14) вместе с известными разложениями
функций Риккати — Ганкеля и Риккати — Бесселя при
малых значениях аргумента (А.9), (А.10), (А.19) в урав-
нение (13.13), получим рекуррентную систему уравнений
для коэффициентов $;„(г).-Как и следует ожидать, урав-
нение для коэффициента si0(r) при основном члене ря-
да (13.14) совпадает с уравнением (11.3а), в котором
действительный потенциал заменен на комплексный
2Гн<v (f) + iW w - s/o (r)]2. S/o(O)=0.
(13.15)
В самом деле, связь элемента S-матрицы St = е21в/
с тангенсом фазы (11.1) при малых k, когда тангенс мал,
линейна
S' = I^7l|4^1 + 2ftg6'-	(13Л6)
Уравнение (13.15) можно разбить на два уравнения
для вещественных функций, если положить
+	(13.17)
Для функций at(г), $i(r) получаем систему двух связан-
ных уравнений
4 а‘ <г> “ STH V (г)7* 1<г!'+1 “ <г))! -₽?<')] + ’
+ STT117 <г) 1гИ+1 — “лГ>1 И. «, (0) = о,
£ ₽<« = ЙГТ117 (г) 1(гИ+1 “ (г)>! “ ₽?(г)] -
(13.18)
-2ТТГ V(r)^ [r2Z+* “ “/('W'-). Рг(0) = 0.
Решения уравнений (13.18) определяют низкоэнергети-
ческое рассеяние частицы с орбитальным моментом I
ДВУМЕРНОЕ И ОДНОМЕРНОЕ РАССЕЯНИЕ
145
§ 14]
на комплексном потенциале (10.1). Парциальные се’
чения рассеяния и реакции соответственно равны
== ->(2/ + 1)| 1 - Sz |2~
~'(2/+ 1)!! [(2/- 1)!!]» [“*	*’ Р/ (°°)]’
(2/ + 1)(1 - | Sz |2) ~ [(24z12<~',-k ₽z ( оо).
(13.19)
При /г—>0 основной вклад в сечения дает рассеяние в
5-состоянии, так что получаем известный результат: се-
чение упругого рассеяния не зависит от энергии при
малых энергиях, а сечение реакции возрастает
Уравнения для следующих комплексных коэффициен-
тов Sin(r) ряда (13.14) оказываются линейными и всег-
да могут быть при известных решениях системы (13.18)
последовательно проинтегрированы в квадратурах.
§ 14. Двумерное и одномерное рассеяние
В двумерной задаче рассеяния фазовое уравнение
(5.50) можно использовать для получения уравнений,
отвечающих параметрам низкоэ1нергетцческого рассея-.
ния. Будем предполагать, что потенциал V(p) — коротко-
действующий, т. е. убывает при р->оо по крайней мере
экспоненциально. Исследуем, как формулируется при
этом теория эффективного радиуса.
В отличие от трехмерного случая разложение танген-
са фазы в ряд по степеням k даже для короткодей-
ствующего потенциала будет включать теперь, кроме
членов ~k2n, также члены вида kn\npk. Это легко ви-
деть из фазового уравнения (5.50), которое содержит
функцию Неймана 7Vw(6p), имеющую подобные лога-
рифмические члены в разложении при малых значениях
аргумента (см. Приложение В).
Однако, если орбитальный момент движения т=/=0,
основным членом разложения функции tgSm(p, k) в со-
ответствии с формулами (В.9) является
Tfb2tn
аМ. (14.1)
Ю В. В. Бабиков
146
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
Заметим здесь, что в двумерной задаче фаза рассеяния,
рассматриваемая как функция волнового вектора k, не
обладает определенной четностью. Это связано с отли-
чием асимптотического поведения (В.7) функций Jm(kp),
Nm(kp) и функций (kr), ni(kr) (А.7). Наличие дополни-
тельного фазового сдвига — л/4 приводит к существенно
другому выражению функций Jm(kp), Nm(kp) при заме-
не	—k. Чтобы найти уравнение для коэффициента
aw(p), подставим (14.1) вместе о выражениями (В.9) в
уравнение (5.50). В результате получим (т=#0)
^«m(p)=^V(p)^r[p2--am(p)]2, am(0) = 0. (14.2)
Это уравнение является аналогом уравнения (11.3а) в
трехмерном случае. Из него следует, что степень приб-
лижения функции ат(р) к асимптотическому значению
ат(оо) дается выражением
со
ат ( 00 ) — «т (р) ~	J V (Р) P2fn+1 dP> Р 00 • (14.3)
р
Зависимость функции ат(р) от р при малых значениях
аргумента определяется поведением потенциала в этой
области. Если потенциал не сингулярен (5.21), (5.28),то
р
Mp)^i ^V(p)p2«+»dp, Р-0.	(14.4)
о
Для сингулярного потенциала (5.33)
а„(р)^рг.ф__Д_], р^О. (14.5)
В частности, если имеется отталкивательная сердце-
вина конечного радиуса рс (твердый цилиндр),
am(p)=p2m, OsCpsCpc.	(14.6)
При достаточно сильном потенциале притяжения
V(p) нелинейное уравнение (14.2) может иметь решение,
расходящееся в некоторых точках р=р„, соответствую-
щих появлению связанного состояния с нулевой энергией
связи.
§ 14]	ДВУМЕРНОЕ Й ОДНОМЕРНОЕ РАССЕЯНИЕ	]4?
Если потенциал V(p) имеет вид 6-функции, сосредо-
точенной на оси р=0 (7.27), то из выражения (7.29)
сразу следует ат(р)=0. Это легко видеть и из уравне-
ния (14.2). При 6-потенциале конечного радиуса р0 (7.34)
уравнение (14.2) легко интегрируется и решение имеет
вид
Р>Р"'	(14.7а)
Р-Р.-	(14.76)
Величина ат(р) обращается в бесконечность при g=
=—4т, когда в 6-потенциале появляется уровень с ну-
левой энергией связи.
Разберем теперь случай низкоэнергетического рас-
сеяния в состоянии с нулевым орбитальным моментом
движения т=0. Эта задача оказывается несколько бо-
лее сложной. Действительно, разложение функции тан-
генса фазы, являющейся решением уравнения
tg б0 (р, k) = - ± РV (р) [ Jo (*р) - tg 60 (р, k) No (£р)]2,
tg6o(O,fe) = O,	(14.8)
при малых значениях k, должно содержать логарифми-
ческие члены из-за, наличия аналогичных членов в раз-
ложении (В.9) функции А^о(^р). Нетрудно видеть, что
первый член разложения равен
о4-9)
In-j-	V"2 2/
Будем искать выражение для tg6o(p, k) в несколько
более развернутом виде (£рС1):
tg60(M) = v
Inf
ln^-₽(p)
. ЛР
ln2 —
+ 0
(14.10)
где d — некоторая (вообще говоря, произвольная) ве-
личина с размерностью длины. Тогда после подстановки
10*
148
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
данного выражения в уравнение (14.8) и использова-
ния разложений (В.9) функций Jo, No находим, что
функция р(р) удовлетворяет уравнению
^-₽(p) = pV(P)[lne-p(p)]2.	(14.11)
Это уравнение пох форме напоминает уравнение (11.4а)
для длины рассеяния в трехмерном случае. Но по физи-
ческому смыслу функция р(р) не имеет с длиной рас-
сеяния аоо(г) ничего общего. Определяя «длину рассея-
ния» в двумерном случае соотношением
“ (Р> - Й (-	‘8 «о») = Н -	р*°’
\	2 )
(14.12)
получаем естественный результат, что она бесконечна.
Соответственно вклад парциального (иг=0) сечения рас-
сеяния в полное сечение (5.13) очень велик, порядка
(&1п2&)-1, при малых энергиях. Сечение рассеяния бес-
конечно, если k=0. Это является, конечно, следст-
вием бесконечной протяженности источников рассеяния
в одном измерении — по оси z.
При конечных, хотя и малых k разложение (14.10)
имеет смысл. Поэтому рассмотрим уравнение (14.11)
более подробно. Начальное условие для его решения
зависит от поведения потенциала У(р) около точки
р=0. Если потенциал не сингулярен (5.21), можно по-
ложить §(0)=0 и при малых р
р
р(р)х j pV(р) In2 d|P dp, p—>0.	(14.13)
о
Если сингулярность более сильная (5.23), т. е. V(p)~
»а/(р21п2р), то
0(Р)~ Яо 1п-£ , р—>0,	(14.14)
где qo определяется выражением (5.26) и равно
‘l‘=t + -SS-^Y+^-	<1415)
§ 14]	ДВУМЕРНОЕ И ОДНОМЕРНОЕ РАССЕЯНИЕ	]4<)
Для сингулярных (5.28) потенциалов при р->0 имеем
Зависимость от величины d, входящей всюду под зна-
ком логарифма, совершенно несущественна при малых
k, когда второй член разложения (14.10) мал по срав-
нению с первым. Поэтому численное значение d произ-
вольно.
Как было показано в § 7, в случае 6-потенциала
(7.27), или, точнее, аппроксимирующего его регулярно-
го потенциала (7.31), значения /о(р, к) существенным
образом зависят от величины ln(^d), так что предель-
ный переход k-^О совпадает с переходом d->-0. Со-
гласно разложению (14.10) и результатам § 5 величи-
на тангенса фазы при стремится к нулю непре-
рывным образом для потенциала отталкивания (g>0)
и имеет бесконечное число разрывов, так что 8o—Nn
(Af->oo), для потенциала притяжения (g<Z0).
Если притягивающий 6-потенциал имеет конечный
радиус ро (цилиндрический слой) (7.34), из второго
уравнения (7.41) находим, что, хотя тангенс фазы стре-
мится к нулю, сама фаза 6о стремится к величине
6o(£=O)=jc, что соответствует одному связанному со-
стоянию. Для отталкивательного 6-потенциала (7.34)
фаза рассеяния 6о(&) стремится к нулю при (со-
гласно второй из формул (7.40)).
В случае одномерной задачи низкоэнергетического
прохождения через потенциальный барьер или потен-
циальную яму К(х) функцию отражения В(х), являю-
щуюся решением соответствующего фазового уравнения
(6.8), будем искать в виде ряда
B(x,k)=b0{x,k)+ S bn(x)(2ik)n, (14.17)
П=1
где
со
J*V(x)dx
&о(х,^)=-^--------(14.18)
2ik - J V (х) dx
X
156
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
Следовательно, bo(x, k) =0 всюду «за потенциалом»,
т. е. в области, где потенциал становится равным нулю,
и Ь0(х, 0) = —1 для всех значений х, лежащих в обла-
сти действия потенциала. Поэтому при исследовании низ-
коэнергетического рассеяния в фазовом уравнении
(6.8) можно положить Ьо=—1. Граничное условие для
функций Ь„(х), очевидно, — Ь„(-|-.оо) =0.
Разлагая функции e±ikx также в ряды по степеням k
и подставляя в уравнение (6.8) разложение (14.17), на-
ходим, приравнивая коэффициенты при членах одинако-
вой по k степени, рекуррентную систему уравнений для
вещественных функций Ьп{х). Первое уравнение оказы-
вается нелинейным
-^&1(х) = - V(x)[x + M< М+~) = 0,	(14.19)
а все последующие — линейны. В частности,
-^-&2 (х) = V (х) [х + ft/х)] [хЬг (х) — 2&а(х)], Ь2 (-1- оо)= 0.
(14.20)
Поэтому при известном решении &i(x) уравнения (14.19)
все остальные коэффициенты Ьп(х) могут быть выраже-
ны в квадратурах.
Коэффициент отражения /?(х, k) следующим обра-
зом выражается через функции Ьп(х):
12
R(x,6) = |B(x,£)|2 = -Ц- 2 (-1)^2т(х)(2й)2'« +
L	т—1
(со	\ 2
2 (—1)т62т+1(х)й2т+Ч	(14.21) '
т=0	/
и является, следовательно, четной функцией волнового
вектора k. Это и понятно, ибо коэффициент отражения
от одномерного потенциала К(х) не зависит от того,
движутся частицы справа или слева. Ограничиваясь
квадратичными по k членами, имеем
Я(х, £) = 1-4&2[Мх)+2Мх)]+О(£4). (14.22)
§ 14]
ДВУМЕРНОЕ И ОДНОМЕРНОЕ РАССЕЯНИЕ
151
Уравнение (14.19) в точности совпадает с уравне-
нием для длины рассеяния (11.4а) в трехмерном случае,
если положить Ь\ = —аоо- Для того чтобы оно имело ре-
шение, потенциал V(x) должен убывать на больших
расстояниях быстрее, чем О(х~3). Условием существо-
вания асимптотических значений &п(оо) для всех коэф-
фициентов Ьп(х) является достаточно быстрый, напри-
мер экспоненциальный, спад потенциала при |х| ->оо.
Если потенциал дальнодействующий, т. е. V(x)->x“v
при |х|->оо, разложение (14.17) становится непригод-
ным и должно быть заменено суммой полинома конеч-
ного порядка от k2 и функции, имеющей логарифмиче-
ские и корневые особенности в точке k — Q. Здесь при-
меним весь анализ этих особенностей, проведенный в
§ 12 для случая трехмерного рассеяния.
Найдем также низкоэнергетический предел ампли-
тудной функции Л(х), определяемой выражением (6.11).
Из (6.11), (14.17) и (14.18) следует, что при k-+0
Л (%,£)->
—> ехр
________1_______
2ik — \v(x")dx"
х'
+ х' 4- fcj (У) dx'
co
2ik — J V (x') dx'
-------------------------exp
2ik — j V (%') dx'
I
V(x')[x'+ &i(x')]dx'|. (14.23)
Таким образом,
ОО
Л(х, 0) = 0, если $V(x')dx' = Q, (14.24)
X
т. е. при нулевой энергии частицы коэффициент прохож-
дения Р=.|Д(4-оо, 0) |2 равен нулю.
Для одномерного 6-потенциала (7.1) известно точ-
ное решение фазового уравнения при любых значениях
152
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
k (7.6), (7.7). Его можно записать в виде
g [ б (х) dx
В(х, k) = b0(x, k) =--.	(14.25)	;
2ik — g f 6 (x) dx
x	I
Все остальные функции bn(x)	тождественно равны нулю.	i
§ 15. Потенциал, зависящий от импульса	’
Метод фазовых функций	позволяет получить	про-	I
стые алгоритмы вычисления параметров теории эффек- *
тивного радиуса для рассмотренного в § 4 потенциала,
зависящего от импульса.
Пусть потенциал V(r, р2) задается формулой (4.1).
Фазовое уравнение для функции тангенса фазы рассея-
ния ti(r, k) в этом случае имеет вид
(1+Г)^ =
+	//(0,А) = 0.	?
(15.1)
Здесь используются обозначения
Pi(r,k) = jt(kr) — tiir.kjn^kr),	:
d	d	(15.2)
В	случае	короткодействующих	потенциалов	[/(г),
117 (г)	тангенс	фазы,	как	и	раньше,	можно	представить
в виде ряда
k2l+{ VI
ti (г, k) = — (2Z+ 1)п(2/_ 1)!! а‘п (г№2п • (I5-3) ‘
П=0	;
Разлагая обе части уравнения (15.1) по степеням k
и приравнивая коэффициенты при членах одинаковой -
степени, получим систему рекуррентных уравнений, ана- я
логичную системе (И.2), только несколько сложнее. . я
§ 15]
ПОТЕНЦИАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ИМПУЛЬСА'
15,3
Приведем первое уравнение для функции аю(г), яв-
ляющейся коэффициентом при основном члене ряда
(15.3):
(1 +	= 2-ГП F - 4 Я 2'+1 - -
- 4-	+ 1) Г2Ж + /a/ol](r2Z+1 - а10), а10 (0) = 0. (15.4)
Уравнение (15.4) нелинейно, в то время как все осталь-
ные уравнения для, функций aZn(r), гдел^1, линейны
и могут быть последовательно проинтегрированы в
квадратурах.
Решение уравнения (15.4) при малых значениях г
определяется поведением потенциалов на малых рас-
стояниях. Для несингулярных потенциалов (2.2)
8
V ’	2Z'4-1	2 dr* г dr) 1 4- ТГ
(15.5)
Еули потенциал U (г) содержит твердую отталкиватель-
ную сердцевину конечного радиуса гс,
\zz0 (г) = ,21-1-1, 0<г<гс.	(15.6)
Нетрудно видеть также, что степень приближения функ-
ции а13(г) ,к асимптотическому значению при г->-оо оп-
ределяется интегралом
— Cho(r}^
1 С/,7	1 d*W	t + I dW\ г27+2
2/ + 1 J \	2 dr* г dr j 1 + W аГ’
Г—> сю.
(15.7)
Особенно простой вид уравнение (15.4) имеет в слу-
чае 1=0, т. е., как мы уже знаем, для длины рассеяния
аоо (г)
(1-1 IF4 _ (I!__________1	.	.«
'Г )	2 dr*j(r °оо)
«оо(О) = О. (15.8)
154
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. Ш
Уравнение (15.8) является обобщением уравнения (11.4а)
на .случай потенциала, зависящего отимпульса. Аналогич-
ные обобщения могут быть получены для уравнений
(11.46), (11.4в), решения которых позволяют найти со-
гласно формулам (11.6) эффективный радиус и пара-
метр формы. Приведем лишь первое из этих уравнений
(1 + Ю^ =
= — 2 [U —	) (г — «оо) ^«oi — -% а00г2 + г3) +
+ W (г - а00)2 +	(а01 + аоог - 2а00г2 + | г3),
ао1(О) = О.	(15.9)
Из уравнения (15.9) следует, что для несингулярных
потенциалов при е —*- 0
« 8
<«.(»)«- 7 J [(У - 1 г‘ - 2г>- Зг"1Г)-pty.
о
(15.10)
Если имеется твердая отталкивательная сердцевина ра-
диуса гс, то
«о1 (/•) = 4 г3>
0<
Г
Гс.
(15.11)
Как уже отмечалось в § 4, потенциал W(г) должен
быть нормирован так,' чтобы выполнялось условие
Ц7(оо)=0. Иначе необходимо переопределить массу ча-
стицы.
Разберем один частный случай, когда длину рассея-
ния аОо(г) (а также другие параметры теории эффек-
тивного радиуса) можно вычислить в явном виде. На
приведенном примере хорошо будут видны особенности
рассеяния на зависящем от импульса потенциале.
Пусть U(г) =0 и потенциал №(г), равный
W (г) = W0 [ 1 -	0 (г -	0 (Я2 - г), (15.12)
§ 15]
ПОТЕНЦИАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ИМПУЛЬСА
155
имеет вид трапеции, изображенной на рис. 26. Тогда
имеем
= - /у е	0 - *1)’ (15- 13а>
иТ	-г\2
= - дЛтГ I6 (г - *1) - 6 (^2 - f)l- (15ЛЗб>
и/	г<2 — At
Уравнение для длины рассеяния принимает вид (индек-
сы у функции аоо(г) опущены)
~Тг»яГ^б(7?2~г)(/?2~а)2 +
+	^-rWr-Wr-a),
а(0) = 0. (15.14)
В области 0^г</?ь очевидно, а(г)=0. В окрестности
Ряс. 26. Потенциал (15.12) и соответствующее ему решение уравнения
(15.14) для длины рассеяния.
точки r=Ri функция а (г) скачком достигает конечной
величины, которую легко найти, интегрируя уравнение
da
6 ('-*> <1М5>
в пределах Ri — 0, Ri + 0.
156
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. III
В результате получаем
а(7?1-0)=0,
4 (1 + 1г0)(Я2-/?!) +IW
Г0/?2
«.(^1 + °) = 2(l + W9)(Rt-R1)+W'>R1 
(15.16а)
(15.166)
(15.16в)
В области /?1<г<7?2 играет роль третий член в
части уравнения (15.14):
da W'p г —а
правой
(15.17)
Это уравнение является линейным по а и легко может
быть проинтегрировано. При начальном условии
(15.16в) решение имеет вид
if	ivodr"	|
J Ri - Ri + WoR2 - Wor" 1
r'	}
= (/?2 — /?! + W'otfa — wor) J	+°nz0R2 — F0r')2 =
“ 4г l(R, - R.) + v.(«, - r)|ln|l	| +
, (R2-Ri + WpR2)(r-R1)
+	(«2-^)(l+^0)	'	( J
Таким образом, функция а (г) подходит слева к точке
г=|/?2, имея значение
а(Я2-0)= а(7?1 + О)+/?2—г^--^А х •
X In II + Fol. (15.19)
Интегрируя уравнение
§ 15]	ПОТЕНЦИАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ИМПУЛЬСА	157
с начальным условием (15.19), находим
_ 2 (Ra -	a (R2 - 0) -	+ W0R2a (R2 - 0)
+	2 (R2 — Rj) - Го/?2 + U70a(R2 -0)
(15.21)
График функции a (г) схематически показан на рис. 26.
Ясно, что для потенциалов W(r), обладающих непре-
рывными производными, соответствующее решение
уравнения (15.8) имеет сглаженный по сравнению с
кривой рис. 26 характер.
Интересно исследовать предельные случаи. Напри-
мер, если положить Ri=R2=R, т. е. вместо трапецие-
видного потенциала взять прямоугольный потенциаль-
ный барьер радиуса R, то для значений длины рассея-
ния в различных точках получаем
п (R} 0) — R,
а(Р ___ П\ _ D 1 ~Ь 2^0
a(R2 0)-R 1 + Го,	(15.22)
а(/?2 + 0)= R.
Следовательно, первая б-функция в потенциале d2Wldr2
(15.136) дает сразу заметный результат. Хотя радиус
размытия границы потенциала стремится к нулю, про-
изводная dW/dr стремится к бесконечности, приводя
в итоге к конечному эффекту: Aa—RWol(\ + Wo). Дейст-
вие второй б-функции возвращает функцию а (г) к зна-
чению R.
Любопытно, что конечный результат a=R не зави-
сит от величины потенциала W Прямоугольный барь-
ер радиуса R при любой малой, но конечной величине
Wo приводит к длине рассеяния, равной радиусу дейст-
ствия потенциала. Предельный переход IFq -> 0 при этом
некорректен. Это видно из выражений (15.16в), (15.19)
и (15.21). Если 1Го->О при любом, сколь угодно малом,
но конечном значении R2— Ri, то получаем
a(R1 + Q) = W0R2l/2(R2-R1),	(15.23а)
a(R2 — 0)= 2	(15.236)
(16.23b)
158
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
(ГЛ. III
При слабом | Wo| С 1 потенциале вида (15.12) длина
рассеяния всюду мала и конечный результат а(оо) не
зависит от знака потенциала. Ситуация сильно меняет-
ся, если потенциал притяжения Wo<O достаточно велик
по абсолютной величине. Тогда в некоторых точках
функция а (г) может принимать неограниченно боль-
шие значения. В частности, приТ* = — 14-/?i/(2/?2—Ri)
величины a(/?i+0), a(R2—0) оказываются бесконеч-
ными: a(7?i+0) ==a(R2—0) = — оо. Величина же
а(/?2+0) =а(оо) = — (R2—Ri) конечна. При дальней-
шем уменьшении ТГ0 вплоть до значения 1Го= — 1 функ-
ция а(г) становится опять всюду конечной.
Значение Wo=—1 является критическим, так как
при этом эффективная масса частицы (напомним, что
в наших единицахИ—2т=\)
2шэфф (г) = ।	(15.24)
равна +оо. Дальнейшее уменьшение приводит к от-
рицательной величине эффективной массы, т. е. к изме-
нению знака эффективного потенциала, который, таким
образом, опять становится отталкивательным. Если
Ц7о= — 1, имеем из формул (15.16в), (15.19) и (15.21)
«(^ + 0) = /?!,
а(/?8 — 0) = — со *[
fl(RJ + O) = -(Rt-«1).
(15.25)
При |IFo|->oo как для отталкивательного И/0>0, так
и для притягивающего (из-за изменения знака эффек-
тивной массы частицы значение Ц7о< — 1 фактически
отвечает отталкиванию) потенциалов имеем
а(Я1 + °)	2R2 — Ri'
° (Ri — 0) = Ri + 2R2 — Rt
a(Ri 4~ 0) = Ri‘
(15.26)
Величина 1Г0 полностью выпала из выражений (15.26).
Это понятно, так как исходное уравнение (15.8) стано-
вится при |№о|-»-'» однородным по IFo. То же самое
происходит е (15.9) и фазовым уравнением (15.1).
§ 15]
ПОТЕНЦИАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ИМПУЛЬСА
159
Можно убедиться в том, что при любых веществен-
ных значениях Wo знаменатель выражения (15.21) всег-
да прложйтелен. Поэтому величина а(оо) =а(7?2+О)
всюду ограничена. Ее зависимость от Wo изображена
на рис. 27. Тот факт, что длина рассеяния положитель-
на при небольших отрицательных константах ТГ0, объ-
ясняется, как и при Го<— 1, эффектом изменения мас-
сы частицы (15.24). Действующий на частицу эффек-
тивный потенциал оказывается порядка IFq, т. е. не за-
сит от знака U/o-
Из сказанного выше об ограниченности длины рас-
сеяния а(оо) можно сделать вывод, что ни при каком
значении WQ в потенциале (15.12) не может быть свя-
занного состояния с нулевой энергией связи.
При конечных значениях г, лежащих в интервале
можно лишь условно сопоставлять значени-
ям функции а (г) физический смысл длины рассеяния.
Действительно, если «обрезать» потенциал 1^(г) в точ-
ке г', то возникают новые
Рис. 27. Зависимость длины рассеяния на потенциале. (15.12) от ин-
тенсивности потенциала №0.
разрывы производных функции W(r)Q[r'—r) в этой
точке, и необходимо произвести новое специальное ис-
следование. Однако, если с самого начала положить
в потенциале (15.12) R2=Ri==R, так что значения
функции а (г) определяются формулами (15.22), то мож-
но прийти к выводу о наличии одного уровня с конеч-
ной энергией связи при U70= — 1, так как в промежуточ-
ной точке r—R2—0 функция а(г)— — оо.
166
РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ, Ш
Если потенциалы U(r), W (г) являются дальнодей-
ствующими, т. е. убывают на больших расстояниях не
экспоненциально, а степенным образом ~O(r_v), раз-
ложение (15.3) следует заменить на сумму полинома
конечного порядка от k2 и функции, имеющей точку вет-
вления при k=0.
Уравнения для параметров низкоэнергетического
рассеяния обобщают соответствующие уравнения § 12.
При наличии, например, наряду с короткодействую-
щим потенциалом (4.1) кулоновского взаимодействия
уравнение для длины рассеяния, определяемой разло-
женном (12.17) и формулами (12.19), принимает вид
(используются обозначения (Б.20))
,1 I TV7\	I г f 1 d2W \ , г	ц .о
(1 + Ю — (у---------2~~dr* )	~	~
- 27? ?	- aPH^ >rL* + 2aT'H^	°-(15-27>
При выключении кулоновского потенциала /?=оо,
Ln=Hn=l, и уравнение (15.27) переходит в уравнение
(15.8). Аналогичным образом видоизменяется при нали-
чии кулоновского потенциала уравнение для функции
«1(г)	(12.19), связанной с эффективным радиу-
сом г „(г).
ГЛАВА IV
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ
Предыдущие главы были посвящены рассмотрению
точных уравнений метода фазовых функций. Далеко не
во всех случаях удается получить решение этих урав-
нений в замкнутом аналитическом виде. В большинстве
задач современной атомной и ядерной физики приходит-
ся иметь дело с потенциалами, для которых решение
фазовых уравнений или уравнения Шредингера может
быть найдено только путем численных расчетов. Быстро-
действующие электронно-вычислительные машины об-
легчают в наше время практические расчеты фаз и
других параметров потенциального рассеяния, особенно
при использовании метода фазовых функций. Однако
иногда интересно получить, быть может, не очень точ-
ный, но простой и наглядный результат, позволяющий в
замкнутом виде исследовать основные характеристики
изучаемого процесса рассеяния.
Поэтому приближенные методы квантовой механики
сохраняют до сих пор свое значение, как мощный ин-
струмент решения и анализа различных физических
задач.
В настоящей главе показывается, что известные ре-4
зультаты приближенных способов решения уравнения
Шредингера могут быть получены на основе уравнений
метода фазовых функций более простым и непосредст-
венным, чем обычно, образом. Кроме того, удается раз-
вить новые методы, превосходящие известные ранее при-
ближения по точности и быстроте сходимости к искомо-
му точному решению.
§ 16. Теория возмущений. Борновское приближение
Если потенциал У(г) в каком-то смысле (ниже это
условие уточняется) является слабым, применяют обыч-
но теорию возмущений, т. е. разложение в ряд по степе-
ням потенциала. Ограничение первым, линейным по
Н В. В. Бабиков
162 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
У (г) членом этого ряда называется борноеским прибли-
жением.
При рассмотрении теории возмущений и определении
точного критерия применимости борновского приближе-
ния для каждого из интересующих нас параметров рас-
сеяния будем исходить из соответствующего данному
параметру фазового уравнения.
Начнем с тангенса фазы. Уравнение для соответст-
вующей функции ti(r, ^)==tg6z(r, k) имеет вид
4 it (г, k) = - А V (г) [jt (kr) -1, (г, k) щ (kr)\\
ti(Q,k) = O.	(16.1)
Если потенциал невелик, естественно ожидать, что тан-
генс фазы также мал и при определенных условиях при-
менима теория возмущений. Это значит, что искомое
решение tt(r, k) ищется в виде последовательных при-
ближений. Положим сначала в правой части уравнения
(16.1) ti(r, £)ssO и проинтегрируем оставшееся выраже-
ние. Тогда найдем первое приближение
t(il)(r,k)= - 1 fV(/)/?(^')d/.	(16.2)
b
Подставляя выражение (16.2) в правую часть уравне-
ния (16.1) и удерживая наряду с ]'t(kr) линейный по
(т. е. квадратичный по V) член, снова проинтегрируем.
Получаем следующее приближение в виде суммы двух
членов + t(i\ где
t(i}(r, k) = — j* dr'V (r')ji (kr')ni (kr') X
6
r’
X $ V (r") j2 (kr") dr".	(16.3)
о
Третий, кубический no V(r), член возникает, если в пра-
вую часть уравнения (16.1) подставить /|2)и учесть
при этом член ~ V3.	.
§ 16] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 163
Повторяя много раз эту итерационную процедуру,
получим последовательность функций Z/n)(r, k), сумма
которых по предположению стремится к искомому точ-
ному решению /((г, k):
N
tt (г, k) = lim У 4n) (г, k) =Jim ti (r, k, N).	(16.4)
N-xx n—1	*N->oo
Первый член, определяемый выражением (16.2), этого
ряда теории возмущений является хорошо известным
борновским приближением. Таким образом, фазовое
уравнение (16.1) просто и естественно приводит к фор-
мулировке теории возмущений.
Обсудим условия, при которых борновское прибли-
жение является оправданным.
Прежде всего, интегралы (16.2), (16.3) должны схо-
диться при любых значениях г. Это означает, что по-
тенциал V (г) обязан достаточно быстро убывать по аб-
солютной величине на больших расстояниях, а на ма-
лых расстояниях должен быть конечным или возрастать
по абсолютной величине не слишком быстро при г->0:
rl+ey (/•)_> о, г —> oof 8 >0,	(16.5а)
r2-eV(r)_>0, г—>0, е>0.	(16.56)
Данные условия являются необходимыми, но не доста-
точными для применимости борцовского приближения.
Очевидно, необходимо также, чтобы остаток ряда
теории возмущений (16.4) был много меньше по абсо-
лютной величине, чем модуль борновского члена. В об-
щем случае произвольного потенциала оценка бесконеч-
ной суммы отброшенных членов весьма затруднительна.
Не всегда ясно даже, является ряд (16.4) сходящимся
или асимптотическим разложением функции ft(r, k). По-
этому обычно ограничиваются рассмотрением следующе-
го за борновским члена (г, k) и находят условия, при
которых
И2)(гД)1<И1)(г,^)|.	(16.6)
Строго говоря, этот критерий применимости борновского
приближения справедлив только, если ряд (16.4) явля-
ется сходящимся и знакопеременным.
11*
164
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
Рассмотрим простейший пример S-рассеяния на пря-
моугольном потенциальном барьере (или прямоугольной
потенциальной яме)
V(r) = V09(Z?-r).	(16.7)
Для потенциала (16.7) формулы (16.2) и (16.3) дают
ДО/n h\__ V0R Г. sin2kR
to (R, k) - - ~2k~ | 1 - ~2kR~ ]’
у 2 D r
toy(R, k) = - -gj;- 1 -}• 2cos2kR
sin 2kR sin 4kR
kR 4kR~
(16.8)
В двух предельных случаях быстрых и медленных час-
тиц имеем
tf(R,	2kR^> 1,
2
t(02\R,k)^-^(l + 2cos2kR), 2kR^\,
W(R, k)^-±VokR\ 2kR<£\,
?o2) (R,- k) ж	VokR5, 2kR < 1.
1Э
Условие (16.6) означает соответственно
-^-<1, 26R>1,
||VO|R2<1, 26R<1.
(16.9)
(16.10)
(16.11)
Следовательно, если длина дебройлевской волны части-
цы X— 1/k много меньше диаметра сферического потен-
циального барьера (или потенциальной ямы),, для при-
менимости борновского приближения достаточно мало-
сти высоты (глубины) потенциала по сравнению с энер-
гией частицы. Если же длина волны частицы много
больше или сравнима с этим диаметром, вторым членом
ряда теории возмущений можно пренебречь при доста-
точно малой величине VoR2. Фаза S-рассеяния медлен-
§ 16] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
165
ной частицы на потенциале притяжения достигает при
—У0/?2=л2/4 значения 60=л72, так что tg60(7?, k) — oo.
Ясно, что борновский член (16.2), будучи всегда огра-
ниченным, должен являться тогда плохим приближением
к точному значению тангенса фазы.
Можно думать, что в таком случае лучше вычислять
борновское приближение 6^l)(r, k) для самой фазы рас-
сеяния, а затем находить величину tgS/0.
Теория возмущений непосредственно для фазы рас-
сеяния получается, если воспользоваться фазовым урав-
нением (1.9) и разложением
• bl (г, k)= 26^ (г, k),	(16.12)
я—1
где каждый n-й член вычисляется путем последователь-
ных итераций при сохранении в правой части уравнения
(1.9) выражений, имеющих n-й порядок малости по по-
тенциалу V(r).
Нетрудно видеть, что первые два члена: б/0 (г, k) и
W, k)-B точности совпадают с выражениями (16.2) и
(16.3) для аналогичных членов разложения функции
6 (г, k):
У/0 (г, k) =	(г, k), 6(z2) (г, k) =	(г, k). (16.13)
Различие появляется в третьем члене
б(/3)(г, k)-t^(r, k) =
Г	f	r'	\2
= 1 f V (/) /I (kr’) > f V (r”) fl (kr”) dr” dr’ =
2л J	I	k	J	/
0	x	o	/
= - 1 [б^г, k)]\ (16.14)
Таким образом, при потенциале притяжения (У<0,
б(/>> О) третий член ряда теории возмущений для танген-
са фазы рассеяния превосходит соответствующий член
в разложении самого сдвига фазы. Однако если теперь
вычислить величину tg (6/° + 6(2) + S/3)) с точностью до
членов третьего порядку по потенциалу, то окажется,
166 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
что разность
tg (б?> + б?> + а?>) - (Л" + <?> + <?>) -
=4[6<,'>]3+6?>-t',»=4[6?)]s
положительна.
Поэтому для рассеяния на притягивающем потенци-
але тангенс фазы, вычисленной из уравнения (1.9) в не-
котором порядке теории возмущений, всегда больше,
чем тангенс, найденный в том же приближении из урав-
нения (16.1). В частности, тангенс борновского члена
для фазы рассеяния tg (Л &) в отличие от б/'^г, k) —
=/?(г, k) способен принимать как угодно большие зна-
чения, если л/2, т. е. лучше аппроксимирует точную
величину функции tt(r, k) в области резонанса при рас-
сеянии на связанном уровне.
Так же просто, как для tt(r, k) или бг(г, k), можно
развить теорию возмущений для парциальной амплиту-
ды рассеяния и соответствующего элемента S-матрицы,
если исходить из фазовых уравнений (3.4), (3.6) и раз-
ложений
fi (г, k) =	(16.15а)
Si (г, k) = 1 + i) S(zn) (г, k).	(16.156)
n—1
Борновские члены равны
№(г, fe) S?’ (г, fe) = - j j V (г') fi (kr')dr' =
= 6</>(r, k).	(16,16)
Во многих задачах желательно сохранить в каждом
порядке теории возмущений унитарность S-матрицы,
т. е. свойство S*z(r, k) — S~l (г, k). Унитарность явно на-
рушена в членах разложения (16.156); это видно уже
по борновскому приближению (16.16). Однако можно
воспользоваться гайтлеровским приемом унитаризации,
§ 16] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 167
т. е. рассмотреть эрмитовскую /(-.матрицу (9.8), .вычис-
ляя последнюю по теории возмущений. В принятом выше
представлении K-матрица является диагональной по ор-
битальному моменту и ее матричные элементы равны
/(и = (tg6/)6»'. Поэтому для вычисления унитарной
S-матрицы следует пользоваться выражением
s‘('• <16Л7>
Вычисляя tt(r, k) в любом порядке теории возмущений
N, мы получим последовательность унитарных матриц
(16J8)
сходящуюся к искомой S-матрице
St(r, k, N)^St(r, k), N-+OO.	(16.19)
Аналогичный вид имеет теория возмущений для па-
раметров рассеяния в двумерной задаче. Из уравнения
(5.17) легко получается борновское приближение для
фазы рассеяния
р
С (Р, k) = - f J p'V (р') JW) dp'. (16.20)
о
Нетрудно получить первый и последующие члены ря-
да теории возмущений и для остальных параметров в
этом случае.
Функция отражения В(х, k) одномерной задачи оп-
ределяется в борновском приближении интегралом
ВО) (Х> &) = * ( у (/) e2ikx'dx’, (16.21)
X
так что величина В(1,(—оо, k) является с точностью до
численного множителя просто фурье-преобразованием
потенциала. Если в фурье-разложении потенциала от-
сутствует компонента, соответствующая частоте a> = 2k,
функция отражения равна нулю — частица проходит
через весь потенциал, не отражаясь.
Это явление должно иметь место только, если огра-
ничиться борцовским членом. Учет следующих членов
168 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЙ [ГЛ. IV
теории возмущений приведет к появлению под интег-
ралом функции В(х), которая при конечных х отлична
от нуля даже в борновском приближении.
Для зависящего от импульса потенциала фаза рас-
сеяния в борновском приближении согласно уравнению
(4.16) равна
6(/° (Г, k) =
=- 4 f р (гэ+(/) - 4 (ke) de+
6 L
, 1 pdflZ(r') djdkr') .	1	dW(r)
+ T}~dP---------dT~!>(kr>dr -2kll(~kr>—r--------
0
- 4 f [U + k*W ~ -^^-1 $ W dr'- (-16.22)
6 L
Первый член теории возмущений для фазы рассея-
ния в случае нелокального потенциала следует из урав-
нения (4.30), если в его правой части положить всюду
б/(г, k)=0,
№ (г, *) = -1 f dr' j dr"V i (r’, r") h (kr') jt (kr"),
9	0
или, с учетом симметрии потенциала Vt(r', r") — Vt(r",r'),
6(z° (r, k) - - 4 J j dr'dr''Vt (r', r") it (kr') jt (kr"). (16.23)
0
Рассмотрим теперь специальные случаи рассеяния
на б-потенциалах.
Одномерный сингулярный б-потенциал V(x)=g6(x)
приводит, если исходить из формулы (16.21), к пра-
вильному борновскому результату для функции отра-
жения

В(.)(_ оо, k) = J_
(16.24)
следующему также из точного решения (7.7).
§ 16] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 169
В отличие от этого, конечное борновское выражение
для фазы рассеяния 60(р, k) на двумерном 6-потенциа-
ле (7.27), получающееся при подстановке (7.27) в фор-
мулу (16.20):
6(01)(co,fe)---5,	(16.25)
является неверным, ибо теория возмущений здесь не-
применима. Это легко видеть из факта расходимости
следующего приближения:
6(02) (оо, k) = - -£ [ 6 (р) In Q dp =
6
= --^-lim-J-dp = limln-y- = оо. (16.26)
2я 4_>0 d j *	z
0
Аналогичная ситуация имеет место для случая 3-рас-
сеяния на трехмерном 6-потенциале (7.44). Действитель-
но, борновский член конечен
со
6<о° (оо, k) = -1J sin2 (kr) dr = -&	(16.27)
6
в то время как второй член ряда теории возмущений
расходится
оо
So2)(°°’fe) = S.f 6(r)7=oo.	(16.28)
о
Поэтому употребление иногда в качестве так назы-
ваемого ядерного псевдопотенциала 6-функции следует
по нашему мнению рассматривать лишь как один из
способов параметризации амплитуды рассеяния, не при-
давая определенного физического смысла ни такому по-
тенциалу, ни борновскому приближению (16.27).
Для б-потеициалов, имеющих Особенность на конеч-
ном радиусе, борновское приближение справедливо. Со-
ответствующие выражения для фаз рассеяния на трех-
мерном V(r)=a8(r—го) и двумерном V(p)=06(p—ро)
170 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
потенциалах таковы:
6(/)(oo,^) = -f /Ж).	Г0>0,
=	р0>0.
(16.29)
Многоканальное рассеяние также может быть рас-
смотрено в теории возмущений. Например, из фазовых
уравнений (8.16) для параметров рассеяния на тензор-
ном потенциале получаются следующие борновские вы-
ражения:
Г
(Г, k) =	(kr')dr', 0
бУ5+1 (г, k) =	г 6
ё/0 (г, k) =	г - т f 7/(/) iJ~l iJ+l WW-
0
(16.30)
В рамках оптической модели б комплексным потен-
циалом (10.1) борновское приближение дает для веще-
ственных амплитуды и фазы элемента S-матрицы
S((r,fc)==aKr,fc)e2^’*>
Г
а^(г, k) = ^W{r')il(kr')dr',
о
г
№.(r, k) = -l±fy(r’)iUkr')dr'.
о
(16.31)
Присутствие дальнодействующего кулоновского по-
тенциала, нарушающего условие (16.5а), требует триви-
альной модификации борновского выражения (16.2).Из
фазового уравнения (2.35) легко видеть, что теперь бор-
цовским по «ядерному» потенциалу V(r) приближением
§ 16] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 171
для фазы рассеяния является
Г
(г, k, п) = - у f V (г') F2i(kr', Т]) dr'.
о
(16.32)
Соответственно изменяются в этом случае борновские
члены ряда теории возмущений для других параметров
рассеяния.
Наиболее простой вид борновские члены имеют для
длины рассеяния и других коэффициентов низкоэнерге-
тического разложения тангенса фазы рассеяния (11.1).
Из уравнений (11:3), положив в их правых частях
я<о(г)==ап (/)== 0, получаем
ай>(г) = 2ГП^у(г,)г'(2/+2Мг/’
О
г
о
(16.33)
При /=0 имеем для длины .рассеяния хорошо извест-
ный результат
а(О= f V(r)r2dr.	(16.34)
b
Воспользовавшись соотношениями (11.6), находим для
эффективного радиуса в борновском приближении фор-
мулу
(оо	\ । / оо	\ 2
f V(r)r4dr \ И V(r)rsdrj .
0	/1	'
(16.35)
Для прямоугольного потенциала V (г) = Vo6 (R—г)
выражения (16.34) и (16.35) дают
а(1) = 1 У0^з	]
О	I
г<Б> = -|(У0Л>)-1. j
°	)
(16.36)
172 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
Вычисленный в борновском приближении эффективный
радиус неограниченно растет, если потенциал исчезает:
V0/?->0. Вероятно, стоит здесь заметить, что эффектов- |
ный радиус не имеет физического смысла радиуса дей-
ствия потенциала, хотя иногда такие высказывания встре-
чаются в литературе. Борновское приближение для па- J
раметра формы при прямоугольном потенциале имеет вид 7:
'Из уравнений (12.20) и формул (11.6) можно найти бор-
цовские выражения для величин a, ra, Р при наличии |-
кулоновского потенциала, т. е., например, для протон- 1
протонного рассеяния.	I
Напомним, что потенциалы с твердой сердцевиной |
непригодны для применения теории возмущений из-за »
нарушения условия (16.56).	<
В заключение приведем борновский результат для '
длины рассеяния на зависящем от импульса потенциа-
ле веда (15.12). Формула (15.8) дает
a(1)(0o) = __J r2^dr-J r-^dr =
о	о
= -7^(^-«‘)+4^(^-«r) = 0.(16.37) i
Этот результат согласуется с выражением (15.23в), из	“
которого видна квадратичная по Wo зависимость длины	j
рассеяния при IF0->-0. Для нелокального потенциала
длина рассеяния в борновском приближении равна
оо Г	оо
д(0(оо) — 2 f г dr [ r'dr'V0 (г, Р) — J J V0(r, r')rdrr' dr',
bo	о
(16.38)	1
§ 17. Метод линеаризации. Вариационные методы	i
Уравнения Риккати (см. Приложение Г) являются
удобными для построения очень эффективного прибли-
женного метода нахождения решений метода линеа- ।
ризации (соответствующие математические вопросы под-
робно обсуждаются, например, в работах [60, 61]).
§ 17]
МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
173
В приложении к задачам рассеяния этот метод, на-
зываемый в литературе также модифицированным или
улучшенным (Калоджеро [17]) борновским приближе-
нием, означает, что при получении приближенного вы-
ражения для фазы или другого параметра рассеяния
пренебрегают в правых частях соответствующих фазо-
вых уравнений только квадратичным по искомой вели-
чине членом, в то время как линейный член учитывает-
ся точно. Например, для тангенса фазы получается урав-
нение
ti (г, k) = - i- V (г) ft (kr) + | V (r) jt (kr) nt(kr) h (r, k),
tt(O,k)—O.	(17.1)
Линейное дифференциальное уравнение типа
d£ = P(x)y(x) + Q(x), z/(0) = 0,
всегда может быть решено в явном виде:
X
у(х) = J Q(x')exp
6
X
P(x")dx" dx'.
Если решить таким способом уравнение (17.1) и за-
тем найденное решение подставить в отброшенный, квад-
ратичный по ti (г, k), член фазового уравнения (16.1), то
получится опять линейное уравнение для следующего
приближения тангенса фазы. Повторяя эту процедуру
неограниченное число раз, получим последовательность
функций tt(r, k, N), являющихся итерационными реше-
ниями уравнения
Ъ(г, k, N) = V (г) jt (kr)nt(kr)7t(r,k,N)-
~	(r)[j2t(kr)n2i(kr)72{(r, k, N - 1)], 7i(0,k,N)=0.
(17.2)
Знак волнистой черты сверху введен здесь для того, что-
бы отличать данную последовательность от последова-
тельности соответствующих выражений теории возмуще-
ний (16.4), которые являются итерационными решениями
174 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ ]ГЛ. IV
уравнения
^6(г,^Л) = -|У(г)[/?(/гг)-
— 2ji (kr) ni(kr) h(r,k,N—\) +
+ n2i(kr)'^itl(r,k,n)tt(r,k,N-п)], (17.3)
/2=0
tt(0, k, ,N)=0.
При lt(r, k, 0)^0 получаем первое приближение
Г
(г, i) = -1J dev (ryji (kf) x
0
xexp
r
£ C
& J
r’
dr"V(r")ii(kr")ni(kr")
(17-4)
Последующие члены выражаются интегралом
ti (г, k, N)=—у f dr'V(r') [ii(^')+n2l(kr')^('', k, У-1)] x
0
{r
dr"V (r") ji(kr")tii(kr")
(17.5)
Наличие в формуле (17.4) экспоненциального мно-
жителя, содержащего потенциал V(r), означает, что уже
первый член рассматриваемой последовательности
tt (г, k, 1) содержит бесконечное число членов различного
порядка по V(r), т. е. отвечает частичному суммированию
ряда теории возмущений. Поэтому можно надеяться, и так
действительно оказывается, что первое приближение ме-
тода линеаризации (17.4) точнее, чем борновское прибли-
жение (16.2), а в целом последовательность h(r, k, N)
сходится при TV-*- оо к искомому точному решению tt(r, k):
tt(r, k, N)-+tt(r, k), N-^oo, (17.6)
быстрее, чем последовательность (16.4).
§ 171
МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
175
Естественно думать также, что область применимо-
сти .нового метода больше области применимости тео-
рии возмущений.
В последнем можно сразу убедиться, если заметить,
что в отличие от борновского члена (16.2) выражения
(17.4), (17.5) остаются конечными даже для сингуляр-
ных в точке г—0 (2.13), (2.23) потенциалов. Действи-
тельно, величина экспоненциального множителя на ниж-
нем пределе интегрирования стремится к нулю гораздо
быстрее, чем растут остальные множители. Поэтому в
рамках метода линеаризации можно освободиться от
жесткого условия (16.56) и тем самым значительно рас-
ширить класс допустимых потенциалов.
В качестве конкретного примера рассмотрим выра-
жение для длины рассеяния на сингулярном потенциале
V(r)=g2r-4.
Точное решение уравнения (11.4а) для этого случая
известно (g>0):
=	(17.7)
Борновское выражение (16.2) дает расходящийся ре-
зультат. Первое приближение метода линеаризации для
решения уравнения (11.4а) приводит к формуле
а (г, 1) = J V (г') г’2 ехр
о
-2 J:
г’
V (r")r"dr" dr'. (17.8)
Для рассматриваемого потенциала это дает конечный
результат:
а (г, 1) =-- J р e-gVr'2 = ge&^ j лхе-х> =
О	g/r
= ^2-^[1-Ф(§/г)1, (17.9)
где Ф(х) — интеграл вероятности. Выражение (17.9) не
только конечно, но и всюду довольно близко (рис. 28) к
176 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
точному значению (17.7). В частности, для предельных
значений имеем
a(r) = r, а(г,1) = ±г, г-+0,
a(x)=g, а(оо, l)=^g.
(17.10)
Быстроту сходимости решений, полученных методом
линеаризации, к точному результату продемонстрируем
Рис. 28. Точное (17.7) (кривая 1) и приближенное (17.9) (кривая 2)
выражения для длины рассеяния на потенциале V(r)=^2r-4.
В таблице 3 приведены итерационные решения
a (R, N) уравнения для длины рассеяния, выражаемые
интегралом (а(г, 0)^0)
r	г	я
a(R,N) = ^drV(r)[r2 + а2 (г, 7V—1)]ехр ~ 2J r'V(rf)drf
b	L	г
для прямоугольного потенциального барьера единичной
высоты V(r)=Q(R—г) при различных значениях R. Для
сравнения с результатами обычной теории возмущений в
таблице 3 показаны также соответствующие значения
§ 17]
МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
177
интегралов (а(г, 0)=0)
a(R,N) — f drV(r)
6
r2 — 2ra(r,N — 1) +
N—\
+ 2 Ia(r> rt)~a(r,n—1)][а(г,У— 1— n)—a(r,N-2—n)]
/1=0
Из таблицы видно, что уже первое приближение ме-
тода линеаризации a(R, 1) приводит к существенно бо-
лее точному значению длины рассеяния по сравнению с
борновским приближением a(R, 1).
Таблица 3
Последовательные приближения величины длины рассеяния,
вычисленные методом линеаризации и по обычной теории
возмущений для прямоугольного потенциального барьера
единичной высоты при различной ширине барьера R
№ ите- рации	/? = 0.5		/? = 1		Я = 2			я =	= 5	
	a (RtN)	(Я, N)	7(Я, N)	7(7?, N)	7(ЯЛ)	7(/?, N)	~(R,N)	а(ЯЛ)
N								
1	0,03778	0,04167	0,2310	0,3333	0,849	2,67	2,45	41,7
2	0,03788	0,03750	0,2381	0,2000	0,983	—1,60	3,04	—375
3	0,03788	0,03792	0,2384	0,2540	1,022	5,31	3,35	3840
4	0,03788	0,03788	0,2384	0,2321	1,033		3,37	
Точное значе- ние^	0,03788	0,2384	1,036	4,00
В случае достаточно малой толщины потенциального
барьера (R=0,5, R= 1), когда потенциал является срав-
нительно слабым (см. второе из условий (16.11)),такчто
ряд теории возмущений, хотя и не очень быстро, новее
же сходится к точному значению, итерации, вычисленные
по методу линеаризации, сходятся гораздо быстрее. Так,
например, при /?=0,5 уже в третьей итерации a(R, 3)
семь значащих цифр приближенного решения являются
точными (в таблице показаны только четыре значащие
цифры). При ./?=1 шесть значащих цифр четвертого
приближения метода линеаризации a(R, 4) являются
точными.
12 в. В. Бабиков
178 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ 1ГЛ. IV
При большой толщине барьера (7?=2, J?=5) потен-
циал оказывается настолько сильным, что ряд обычной
теории возмущений расходится, т. е. теория возмущений
уже неприменима. В то же время метод линеаризации
приводит к сходящейся последовательности приближе-
ний, сравнительно близких к точному значению.
Решения линеаризованных уравнений, аналогичные
(17.4) и (17.8), можно получить для сдвига фазы 8t(r, k),
парциальной амплитуды ft(r, k) и для других пара-
метров потенциального рассеяния, что позволяет выйти
за рамки борновского приближения. Различные аспек-
ты такого подхода и другие приближения обсуждаются
весьма подробно в ряде работ [62—69].
Посмотрим, какой вид принимает первое приближе-
ние метода линеаризации в задачах двумерного и одно-
мерного рассеяния.
Из уравнения (5.50), если пренебречь в его правой
части квадратичным членом tm(p), следует
р
Гт(Рд, i) = - ^fp'V(p')^(¥)x
О
р
хехр л p"V(p")Jm(kp")Nm(kp")dp" dp'. (17.11)
- р'
Для функции отражения имеем простую формулу
СО	Г
S (х, k, 1) = f V (х') exp 2ikx' -
ZlR J	I
X	L
co
1 J V(x")dx"
X
dx'.
(17.12)
В отличие от борновского приближения (16.21) выраже-
ние (17.12) дает для В(—оо, k, 1) отличный от нуля ре-
зультат, даже если в фурье-разложении потенциала от-
сутствует компонента с частотой a>—2k.
При потенциале V(х) =g 6 (х) пользование формулой
(17.12) требует известной осторожности, так как теперь
подинтегральное выражение содержит две 6-функции.
Поэтому необходимо аккуратным образом произвести
предельный переход к 6-поте.нциалу от регулярного
§ 17]
МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
179
потенциала, задаваемого, например, выражением (7.2).
Тогда получим
a/2
B(-oo,^l) = Altai j exp
—a/2
a/2
а/2
— С dx' dx =
ka J
=	J eiMkadx= —	(17.13)
a‘“°	—a/2
Если разложить выражение (17.13) в ряд по степе-
ням величины g!2k, то убедимся, что первые два члена

(17.14)
совпадают с аналогичными членами разложения точно-
го решения (7.7). Следовательно, первое приближение
метода линеаризации на порядок лучше борновского
приближения (16.24) для этого случая. Правда, для
коэффициента отражения член второго порядка малости
по константе взаимодействия уже является неточным:
= |В(_ оо, k, 1)|2 = Sin®= £ [1 - ig-2 + О (£)]
(17.15)
вместо точного выражения
= 4k*g2 =	~ Д2 + ° (f*)]*	(17.16)
Тем не менее результат (17.15) является более точным,
чем борновское приближение 7?(1)=g2/4£2.
Как можно показать, для нефизических двумерного
(7.27) и трехмерного (7.44) 6-потенциалов, имеющих
особенность в начале координат, первое приближение
метода линеаризации приводит к очень сложной зависи-
мости фазы рассеяния от радиуса а аппроксимирующе-
го регулярного потенциала, такой, что предельный пере-
ход а->0 дает расходящийся результат. Напомним в
этой связи, что расходящимся является уже второй член
теории возмущений (16.26), (16.28), так что подобный
результат не является неожиданным.
12*
180 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ 1ГЛ. IV
Для 6-потенциалов, обладающих особенностью на ко-
нечном радиусе, наблюдается другая картина. Покажем
это на примере длины рассеяния,, вычисленной методом
линеаризации для трехмерного 6-потенциала (7.52). Из
выражения (17.8) следует
а(оо, 1) =
— r0) г' dr'
g(r0 +W"
faired
r^-Vd/2
rv—d/2
=£1<Й’4ех₽
/ gr
exp M-y-
l 4nr[jd
dr =
dr =

g(fo+W
4лгц d
4лг^\,/2уя
“T J ~
g \1/2~
4nzjjd у
g y-/2~
4nr%dI
= roe-^r,)shS	(17J7)
0	4лг0 '	'
Первый член разложения этого результата в ряд по
g совпадает, естетственно, с борновским приближением
а(1) (оо) =gjin. Сравнение точного решения (11.20) с
приближенным (17.17) показывает, что эти выражения
начинают различаться в члене третьего порядка малос-
ти по величине gJ4nr0:
а(оо) = А[1_/_ + Ш2 + ..,1
' ' 4л I 4лг0 \4лг0у 1	]’
[	/	- \2	“I
1 ~ А + Tfe) + •••}
Если потенциал зависит от импульса (4.1), первое
приближение метода линеаризации для длины рассея-
ния имеет, согласно уравнению (15.8), вид
со
0
хехр
dW\ dr'
dr' ) 1 + Г
dr
(17.18)
МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
181 '
§ 17]
Интегралы (17.18) могут быть взяты в явном виде для
следующих потенциалов: [7(r)=0, W(r) задается выра-
жением (15.12).
Для нелокального потенциала применение метода
линеаризации позволяет перевести фазовое уравнение
(4.30) в линейное интегро-дифференциальное уравнение.
При рассмотрении задач многоканального рассеяния
метод линеаризации приводит к системе линейных диф-
ференциальных уравнений первого порядка для искомых
параметров, решение которой записывается в матричном
виде. Так, например, для уравнения (9.38) имеем в пер-
вом приближении
В (х, 1) = f exp I f YWZ dx" j YWY exp ( f ZWYdx'" j dx'.
I	co	\JC*	J	\rX'	J
(17.19)
В рамках метода фазовых функций могут быть сфор-
мулированы новые вариационные принципы для фаз и
других параметров рассеяния [16, 17, 70—72]. Известно
(см., например, в книге [5]), что вариационные методы,
основанные на рассмотрении уравнения Шредингера,
громоздки и неудобны для приложения к задачам рас-
сеяния частиц. Если же исходить из фазовых уравнений,
вариационный подход позволяет получить простые и эф-
фективные экстремальные принципы для интересующих
нас величин. Это связано со свойствами уравнения Рик-
кати, которое оказывается очень удобным для форму-
лировки вариационных принципов.
Покажем это на примере уравнения Риккати кано-
нического вида (Г.2) с нулевым начальным условием
j-xy(x) = y4x) + f(x), у(0) = 0.	(17.20)
Ясно, что [у(х)—z(x)]^0 при любой функции z(x).
Вычитая эту неотрицательную величину из правой части
уравнения (17.20), получим тогда
У (х) = Макс {2у (х) г (х) - г2 (х) + /(х)}, (17.21)
где Макс {Л (г)} означает максимальное значение вели-
Z
182 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 1\
чины A(z)r стоящей в скобках, при всех возможных
вариациях функции z(x).
Из выражения (17.21) следует, что мы получили для
функции у(х) линеаризованное уравнение, которое мо-
жет быть легко проинтегрировано в явном виде. При
этом максимальной величине производной функции от-
вечает, очевидно, максимальное значение самой вели-
чины у(х):
у (х) — Макс
г
. (17.22)
Соотношение (17.22) выражает вариационный прин-
цип и может служить основой итерационного процесса
для получения искомого решения у(х) с помощью проб-
ных функций z(x). Так как максимум функционала
(17.22) достигается при z(x)=//(x), то имеет место сле-
дующее интегральное уравнение:
X	/ х	'\
f/ (х) = f di [f (/) - z/2 (/)] exp 2 j* у (s) ds . (17.23)
o	\ t	J
Вариационные принципы вида (17.22) и интеграль-
ные уравнения типа (17.23) могут быть -сформулированы
для всех параметров рассеяния. Их можно использовать
для получения приближенных решений.
Например, вариационный принцип для длины рассе-
яния, являющейся решением уравнения
а (г) = V (г) [г -а (г)]2, а (0) = 0,	(17.24)
получается, если из правой части уравнения вычесть ве-
личину V(r)[z(r)—а(г)]2. Тогда в зависимости от зна-
ка потенциала имеем принцип максимума или миниму-
ма. В частности, при отталкивательном (V>0) потен-
циале
г
а (г) = Макс [г'* -f- z2 (г')] X
2 6
хехр
2 f
г'
V (г") [Z (г") - г"] dr"\ dr'. (17.25)
§ 18]	КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	183
Для получения приближенного решения можно поло-
жить в (17.25) пробную функцию z(r) равной, напри-
мер,,нулю, z(r)sO. Тогда сразу придем к первому при-
ближению метода линеаризации (17.8).
Аналогичным образом устанавливаются вариацион-
ные принципы для других параметров потенциального
рассеяния. Кроме простоты,, их привлекательность за-
ключается еще и в том, чтб благодаря наглядности ре-
шений фазовых уравнений нетрудно подобрать с самого
начала хорошую пробную функцию.
§ 18. Квазиклассическое приближение
Метод фазовых функций открывает новые возмож-
ности получения квазиклассических выражений для па-
раметров потенциального рассеяния. Как хорошо из-
вестно, математическая структура теории квазикласси-
ческого приближения весьма сложна (этому вопросу
посвящен ряд исследований {73—79]), и поэтому любой
новый подход к этой проблеме представляет определен-
ный интерес. Простота и наглядность фазовых уравне-
ний делают формальные аспекты теории в некоторых
отношениях более прозрачными.
Рассмотрим метод, дающий принципиальную воз-
можность вычислять поправки к основному экспонен-
циально малому члену в выражении для коэффициента
отражения и тем самым оценить точность квазикласси-
ческого приближения.
Пусть дано одномерное уравнение Шредингера
5Ф(х)+4-р2иж*)=°-	<18.1)
Здесь в явном виде выделена зависимость от постоян-
ной Планка Й и от классического импульса частицы
р (х) = V2m[E-V(x)].	(18.2)
При получении квазиклассических выражений для
коэффициентов отражения и прохождения через потен-
184 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
циальный барьер (или потенциальную яму) оказывает-
ся более удобным исходить из фазового уравнения, от-
личного от уравнения (6.8), которым мы широко поль-
зовались выше. Это связано с тем обстоятельством, что
решение уравнения (18.1) имеет существенную особен-
ность в точкеЙ=0, а представление функции ф(х) в
виде (6.3) отвечает искусственному разделению сингу-
лярных приЙ->0 членов уравнения ~Е/й2и -~У/Й2.
Пусть V(x)->-0, р(х)->ро, если |х|->оо. При конеч-
ных значениях х функция р(х) может быть кусочно-не-
прерывной с разрывами первого рода (т. е. конечными)
в некоторых точках. Волновая функция и ее производ-
ная, естественно должны быть непрывными всюду.
Представим волновую функцию в виде
Г	X	X
I 4Jp(x')dx'	—rj p(xW'
=	X° +C(x)e
p 1 W L
(18.3)
где значение нижнего предела интегрирования х0 пока
произвольно. Нетрудно проверить, что непрерывность
волнрвой функции во всех точках х имеет место при до-
полнительном условии
^М=Г/’|/2«
±^p(X’)dx'	-.-L^p(X’)dX’
А(х)е	-С(х)е
(18.4)
эквивалентном соотношению
dA п
dx е
р dx'
= 0. (18.5)
Подставляя выражения (18.3), (18.4) в уравнение
Шредингера и используя соотношение (18.5), нахо-
дим, что функции Я(х), С(х) удовлетворяют системе
§ 18]
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ приближение
185
связанных уравнений
X
2i С ,	,
—— I P(x')dx'
-^-^p(x')dx'
— С(х}---------1	(*) 'д(х\е х<>
dx ь W 2р (х) dx л W е •
(18.6)
Рассмотрим случай надбарьерного отражения, когда
р(х)>0.
(18-7)
Пусть частицы падают на потенциальный барьер в на-
правлении слева направо (рис. 29). Тогда, очевидно, пер-
вый член волновой функции (18.3) отвечает падающей
волне, а .второй — отраженной .волне. Условием того, что
в области за потенциалом
присутствует только про-
шедшая волна, является
2(4-00) =0.
Введем функцию отра-
жения
V(x)
О	х
Рис. 29. Надбарьерное отраже-
ние частицы от потенциала.
ВД = |И.	(18.8)
Коэффициент отражения
равен |Я(—оо)|2.
Из системы (18.6) получается следующее уравнение
для функции отражения:
2< С , ..j ,
dB (х)   1 dp (х)	х<>
dx	2р(х) dx
2р (х) dx ' '
В(4- оо) = 0.
—-^-Jp(x')dx'
 х* , (18.9)
186 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
Это уравнение является точным. Из него следуют из-
вестные уже приближенные формулы для коэффициен-
та отражения, в частности, борновский член. Борновское
приближение получается, если в уравнении (18.9) пре-
небречь квадратичным по В(х) членом, а в оставшейся
части сохранить только члены первого порядка по по-
, . dp (х) т dV (х)
тенциалу, т. е. положить р(х) = р0,
Интегрируя полученное таким образом уравнение один
раз по частям и учитывая, что У(4-оо) = У(—оо)=0,
приходим к знакомому борновскому выражению (16.21)
для функции отражения (положено xq=0)
В(-оо) =
— J V(x)e2‘>»Wx
(18.10)
и к выражению для коэффициента отражения
/? = |В(_ОО)^^
п Pq
оо	2
j* V (х) e2ip<>x/ndx
—оо
(18.11)
Если бы мы сохранили линейный по V(x) член вы-
ражения р(х), стоящего под знаком интеграла в экспо-
ненциальном множителе, получилось бы приближение
линеаризации (17.12).
Квазиклассическое приближение для уравнения
(18.9) требует другого подхода. Какая-либо малость по-
тенциала не будет более предполагаться. Следует ожи-
дать, однако, что коэффициент отражения в квазиклас-
оическом приближении мал и выполняется условие
|В(х)|2<1’	(18.12)
Если при этом можно пренебречь вторым членом в
уравнении (18.9), то это уравнение интегрируется сразу
и можно получить выражение коэффициента отражения
для некоторых видов потенциалов.
Рассмотрим сейчас общий случай, т. е. случай, ког-
да вторым членом в уравнении (18.9) нельзя пренебречь
[80]. Будем предполагать, что функция р(х) (см.
(18.2)), вещественная (р2 (х) > 0) всюду на .вещественной
оси x=Rez с предельными значениями p(z)->p0 при
§ 18]
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
187
z->oo, обладает нулем а-го порядка в точке Zq (а так-
же в комплексно-сопряженной точке zo), в окрестности
которой она представима сходящимся рядом
p(z) = ca(z — 20)“ + ср (z —z0)^+ .... 0<а<р, (18.13)
и аналитична в полосе | Im z\ < | Im z0|.
Чтобы получить приближенные формулы для коэф-
фициента отражения, в качестве базисных функций бу-
дем использовать функции, достаточно хорошо аппрок-
симирующие [81] точную волновую функцию не только
вдали, но и вблизи точки поворота zq. Таким образом,
базисные функции будут отличны от
[X
± ^P(x')dx'
Ха
из (18.3).
Удобно при этом перейти к другим переменным, по-
ложив (х0 — произвольная точка на действительной оси)
^p(z')dz',	(18.14)
<р(«) = Г^)ф(г).	(18.15)
В новых переменных уравнение (18.1) принимает
вид
^ + И- Q(u, Л)]<р(ц) = О,	(18.16)
где
<Э (и, К) = Гг2 2P'z(z)p^)~3(p(z))^	( 18.17)
Уравнение (18.16) имеет обычный вид уравнения Шре-
дингера с потенциалом Q(u, h.), зависящим от парамет-
ра й.
Легко видеть, что в точке «о
Z
(18.18)
188 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
функция Q(u, Й) обладает полюсом второго порядка
[fl-—а	Р—а
1 + й + (и — ыо) + х
1-р	]
Хса‘+%7(а,₽)+ ..J . (18.19)
где обозначено
р—а
f (а, ₽) = 2 (1 + а) 1+а а + Р + Х^)2~Р2~~4> (18,20)
Следующие члены разложения (18.19) имеют более
высокий порядок малости по параметру h. Поэтому
функция
,(u, t) = Q(u, Ц + S^—(18.21)
представляемая в окрестности точки и0 сходящимся ря-
дом по положительным степеням величины Й, обращает-
ся в нуль при Й=0, т. е. q(u, 0)=0. Следовательно,
квазиклассическое приближение соответствует малости
q(u,Tb ), и можно пытаться развить эффективную теорию
возмущений по этой величине.
Соответственно в качестве базисных или эталонных
функций выбираем два решения, выражаемых через
функции Ганкеля
<Pj(«) =	—и0)Я(1)1 (и — и0),
2(1+а)
4>2(U) == v/~JL. (и —	)] (и Ыо)>
'	2 '	0/	2(1+а)
(18.22)
уравнения
+ 1 + 4 (1 + а)2 (и - «0)2 ’Р № = °’	(18.23)
Следуя методам фазовых функций, представим функ-
цию <p(w) в виде
(р(и) —А (ы)ф1(ы)+С(ы)<р2(ы)	(18.24)
§ 18]
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
189
и наложим дополнительное условие
^- = А(и)^ + С(и)^.	(18.25)
du ' 7 du * х 7 du	v 7
Тогда, учитывая, что определитель Вронского для функ-
ций (18.22) равен
77 Ф1 (W)• Ф2 (w) - Ф1 (w)•	<р2 (и) = i,
получаем следующую систему уравнений первого поряд-
ка для фазовых функций А (и), С (и):
= — iq (и, Й) <р2(и) [Л (и) <₽! (w) + С (и) <р2 (и)],'
= iq(u, Й) Ф1 (и) [Л (и) Ф1 (и) + С (и) <р2 (и)].
(18.26)
Асимптотические выражения функций <pi(«), Ф2(н) при
и->оо имеют вид [82]
Ф1 (и) = exp [i(u - и0 -
, ч Г ./	л 2 + а\1	(18.27)
Ф2 (и) = exp I —	- и0 - — I-
Асимптотическое при z^oo выражение для волновой
функции ф(г) имеет соответственно вид
1	-^-(PoZ-FA)	1	---^-(Poz+A)
i|>(z) = A(+oo)-UH 4-С(+оо)-!=е л
У Ро	г Ро
(18.28)
где
со
А = [[р(2)-роМг_А12о—^2±^.	(18.29)
Z.	"Г
Пусть падающие частицы движутся слева направо
по оси х. Условие отсутствия отраженной волны за по-
тенциалом, т. е. при х->-|-оо, означает, что начальными
условиями для уравнений (18.26) являются
С(4-оо)=0, Л(4-оо)=Л+.	(18.30)
Постоянную величину Л+ в силу однородности уравне-
ний (18.26) можно положить равной единице.
190 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. IV
Функции qn(w), ф2(«) — однозначные аналитические
функции в комплексной плоскости переменной и, с раз-
рывом вдоль полупрямой —оо<м—«о-<0. Нас интере-
суют величины А(—оо), С(—оо), определяющие коэф-
фициент прохождения. Действительно, асимптотические
выражения функций <pi(u), фДц) при и->—оо соответст-
вуют значениям корня /и—и0 и функций Ганкеля на
нижнем берегу разреза '[82], вследствие чего имеем
. л
/	\	~~l~ fn л г. !	л 24-а\1 .
(Pi(e-‘«u) = e (2cos2(i+ ajexpp
+ ехр[- ‘2(ГнГ)]ехр[-1 (м - “о -TTTW
. л
Ф4(е-‘«ы) = е 2 ехРр-2(1я+--Дх	(18,31)
X ехрр [и - и0 - -j- ^Yl.
Коэффициент отражения, очевидно, равен
/? =
л (- ~) 2 cos^q^ -С (-со) exp р 2(TT^)]f
И (- ~)|2
q—4 Im «о,
(18.32)
В предельном случае Й = 0, когда в уравнениях
(18.26) можно положить q(u, 0)=0, имеем
А(— оо)=Д( + оо) = 1,	С(—оо)=С(+оо)=0. (18.33)
Таким образом, мы приходим к известному [76] основ-
ному члену в квазиклассическом приближении для ко-
эффициента надбарьерного отражения
Zo
4 f
— -—Im I p(z)dz
—	ft J
^ = 4cOs22(TT^)e	•	<18-34)
§ 18]
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
191
Коэффициент прохождения равен
08.35)
так что в рассматриваемом приближении
D»=l.	(18.36)
Поправочные члены к полученным квазиклассиче-
ским выражениям (18.34) и (18.36) для коэффициентов
надбарьерного отражения и прохождения могут быть
вычислены из уравнений (18.26). Несмотря на эффек-
тивную малость величины q(u, Й) при Й—>0 в непосред-
ственной близости к точке поворота Uq, она может (при
Р<2+За) обладать особенностью. В этом случае воз-
никают большие практические трудности при вычисле-
нии поправок. Эти расчеты являются самостоятельной
математической задачей.
ГЛАВА V
связанные состояния
И НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
В настоящей главе метод фазовых функций распро-
страняется на следующие задачи: определение энерге-
тических уровней в заданном потенциале, вычисление
функций Грина уравнения Шредингера с потенциалом,
вычисление фаз потенциального рассеяния релятивист-
ских частиц.
Показывается, что на основе фазовых уравнений
можно получить новые, весьма эффективные алгоритмы
вычисления этих величин.
§ 19. Связанные состояния
До сих пор рассматривались задачи рассеяния. Од-
нако метод фазовых функций можно использовать так-
же для вычисления энергий связанных состояний (Кинч
[12], Калоджеро [17], Бабиков [83, 84]). При этом ис-
ходными пунктами являются те же фазовые уравнения,
что используются для вычисления параметров рассея-
ния. Делов том, что одна и та же аналитическая функ-
ция волнового вектора k — парциальная амплитуда рас-
сеяния при вещественных значениях k определяет
величину парциального сечения рассеяния, а.в комплекс-
ной области переменной k описывает стационарные и
квазистационарные связанные состояния системы. В
частности, как известно (см., например, в книгах [1, 6,
7]), полюсы амплитуды рассеяния, лежащие на положи-
тельной мнимой полуоси &п=гхп(хп>0), отвечают энер-
гиям связанных состояний Еп =k„ ==—х„. В данном па-
раграфе рассматриваются методы вычисления энергий
связанных состояний с помощью фазовых уравнений
главы I.
§ 19j
СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
193
В одномерных задачах рассеяния фазовое уравнение
для функции отражения В(х, k) имеет вид
4- в (х, k) = -4b V (х) [eikx + В (х, k) e~ikx]2, 1
dx ' ’ ' 2ik ' ' 1	1 v ’ '	>	(19.1)
В(+ оо, k) = 0.	J
Функция В(х, k) является аналогом амплитуды рассея-
ния в трехмерной задаче. Поэтому энергии связанных
состояний в данном потенциале V(x) определяются, ес-
ли найдены полюсы функции В(х, k), лежащие на поло-
жительной мнимой полуоси комплексной переменной k.
Поясним сказанное простым примером. Функция от-
ражения для потенциала V (x)=g8(x) определяется вы-
ражением (7.7). Ее полюс k=—ig/2, лежащий при g<
<0 на положительной мнимой полуоси k, соответствует
единственному в данном случае связанному состоянию с
энергией Е=—g2/4, что является хорошо известным ре-
зультатом. Заметим, что если g>0, то полюс функции
отражения лежит на отрицательной мнимой полуоси k
и определяет энергию так называемого антисвязанного
состояния, существование которого влияет на величину
сечения рассеяния, но которому трудно дать физическую
интерпретацию [7].
Вернемся к фазовому уравнению (19.1). Удобно пе-
рейти в нем к вещественным величинам, положив
k=in, х>0, В(х, k)=b(x, х).	(19.2)
Тогда уравнение (19.1) принимает вид
-^7&(х,х)=4-V(х)[е-”х+Ь(х,к)е*х]2, Ь(оо,х)=0. (19.3)
UX
Решения уравнения (19.3) позволяют найти энергии
связанных состояний в заданном потенциале У(х).
Если в какой-то точке х решение уравнения (19.3)
обращается при заданном значении параметра х в бес-
конечность, Ь(х, Хп) = оо, это значит, что для части по-
тенциала, содержащейся в интервале (х, оо), существу-
ет связанное состояние с энергией Еп=—х„. Соответст-
венно уровни энергии для всего потенциала У(х) опре-
деляются из условия
13 В. В. Бабиков
Ь (—00, х„)=оо.
(19-4)
194 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ и СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. V
Для того чтобы иметь дело с конечными всюду ре-
шениями, чго особенно существенно при практических
расчетах, сделаем подстановку
b(x, x)=tg0(x,. х).	(19.5)
Тогда уравнение (19.3) запишется в виде
X [е-** cos 0 (х, х) + енх sin 0 (х, х)]2, 0(+°°»х)=О, (19.6)
а условие наличия связанных состояний (19.4) прини-
мает вид
0(— оо, Х„) = (п + 4") Л- U9’7)
В качестве примера рассмотрим связанные уровни в
потенциальной яме единичной глубины при различной
ширине ямы a: V(x)=G(a—х).
На рис. 30 показаны решения уравнения (19.6) для
ряда значений параметра х при ширине ямы, достигаю-
щей величины а=10. Видно, что связанное состояние с
заданной энергией возможно при нескольких различных
ширинах потенциальной ямы. Так, например, уровень с
энергией Е=—0,16 (х=0,4) существует, если ширина
прямоугольной потенциальной ямы единичной глубины
равна а=0,9 или а=4,3 или а=7,8 (отсчет ведется от
правой стороны рисунка, т. е. от точки х=10). Уро-
вень с энергией £=—0,81 (х=0,9) имеется при ширине
а=5,1 и, по-видимому, при ширине ямы, немного боль-
шей десяти.
Можно поставить вопрос по другому: какова энергия
связанного состояния в яме заданной ширины, напри-
мер, при а=4? Из рисунка следует, что одно из соот-
ветствующих значений параметра лежит между значе-
ниями х=0,8 и х=0,9 и приблизительно равно xi=0,85,
т. е. энергия первого уровня £]«—0,72. Второе значе-
ние Х2~0,3, т. е. £2»—0,09. Нетрудно получить более
точные результаты, решая уравнение (19.6) с более
близкими к х=0,85 или к х=0,3 значениями х и доби-
ваясь того, чтобы выполнялись соответственно условия:
0(10—4, х)=л/2 и 0(10—4, х)=Зл/2.
§ 19]
СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
195
В потенциальной яме ширины а=10 число связан-
ных состояний равно трем. Их энергии:	—1,
«—0,8, £3«—0,37. Первый (основной) уровень лежит
около самого дна ямы. При дальнейшем увеличении ши-
Рис. 30. Решения уравнения (19.6) для прямоугольной потенциальной
ямы Р(х) =— 1 при различных значениях параметра х.
к единице. Остальные уровни также опускаются и ста-
новятся близкими к основному уровню, тем ближе, чем
больше ширина ямы.
Из рис. 30 видно также, что чем больше энергия свя-
зи уровней, т. е. чем уровни глубже, тем они теснее
друг к другу.
Сетку кривых fl(x, я) для прямоугольной потенци-
альной ямы, изображенных на рис. 30, можно исполь-
зовать также для оценки энергий связанных состояний в
потенциальных ямах более сложного вида.
Аналогичным образом формулируется в методе фа-
зовых функций задача связанных состояний для двумер-
13*

196 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ и СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. V
ного потенциала. Исходным уравнением в этом случае
является уравнение для амплитуды рассеяния
Ш k) -= - f pV(p) [Jm(fep)+OP, k) (kp)Y, (19.8)
fm(0, k)=0.
Произведем подстановки
k—hc, x>0, fm(p, k) = i2mtpm(p, x).	(19.9)
Тогда для функции ц>т(р,.и) имеем уравнение
л/	тг	Г	9	32
4>т(р, *) = ~ -2-PV(p)[,m(xP)+-S-/<m(xP)(Pm(P. x)j .
фт(0, х)=0,	(19.10)
где 1т(х), Кт(х) — функции Бесселя мнимого аргумента
(В.13). Условие существования связанного уровня в дан-
ном потенциале записывается подобно (19.4)
фт(р, Х„) = °0-	(19.11)
Если уровень появляется в яме конечных размеров,
его энергия Еп = — х2 может быть найдена из условия
фт(р, Хп)=ОО.
Как и в одномерной задаче, здесь удобно перейти ко
всюду конечным решениям, положив
Фт(р, x)=tgaw(p, х).	(19.12)
Фазовое уравнение тогда принимает вид
"Т"	(р, х)
dp м u '
=—f-pv (р)	(хр) cos am (р, х)+-^^(хр) sin am (р, x)J\
am(0,x)=0.	(19.13)
Энергии связанных состояний в потенциале V(p) опре-
деляются из условия
aOT(oo,xn)=(2n+ 1)^.	(19.14)
§ 19]	СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ	197
На рис. 31 показаны решения уравнения (19.13) для
прямоугольной потенциальной ямы.
Рис. 31. Решения уравнения (19.13) для двумерной прямоугольной
потенциальной ямы V(p) =—1 при различных значениях параметра
х и орбитального момента т: а) /п=0, б) т=1.
В трехмерной задаче столкновений фазовое уравне-
ние для амплитуды рассеяния определяется выражением
4 fl (г, k) = - i- v (г) [/z (kr)+ift(г, k) № (kr)]2, (19.15)
f,(O,k)=Q.
Аналогично предыдущему полагаем
k=ht, х>0, fi(r, k)s=i?l+igi(r, x) (19.16)
198 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ и СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. V
и получаем для вещественной функции gi(r, х) вещест-
венное уравнение
37 gi (r, *) = — 4" V	h <xr> + Si (r>«) V kt (xr)l2,( 19.17)
gi(o, x)=0,
где ii(x), ki(x) — функции Риккати — Бесселя мнимого
аргумента (А.20).
Условием, из которого могут быть определены энер-
гетические уровни Еп —— х2 в потенциале V(r), явля-
ется
gi(°°, х„) = оо.	(19.18)
Регуляризация уравнения (19.17), как и раньше, дости-
гается подстановкой
gt(r, x)=tg7((r, х).	(19.19)
Уравнение (19.17) и условие (19.18) принимают вид со-
ответственно
4-V<(r’x) =
“ v V	[l’/ <xf)cos Уi (r’ x> +
2	12
— £z(x/jsinyz(r,x)l ,
yz(0, x) = 0,	(19.20)
V/(oo,Xn) = (2n+ !)-£-.
(19.21)
В качестве примера на рис. 32 показаны решения
уравнения (19.20) для прямоугольной потенциаль-
ной ямы.
Близкие к рассмотренным выше методы нахожде-
ния энергий связанных состояний содержатся в работах
[85,, 86].
Как показал Калоджеро [87—90], метод фазовых
функций позволяет получить новые оценки для числа
связанных состояний в данном потенциале и найти про-
стые условия, определяющие класс потенциалов, обла-
§ ад
ФУНКЦИИ ГРИНА
199
дающих по крайней мере одним связанным состоянием
с данным моментом I.
Рис. 32. Решения уравнения (19.20) для трехмерной прямоугольной
потенциальной ямы V(r)=— 1 при различных значениях парамет-
ра х и орбитального момента /: а) 1=1, б) 1=2.
Исследование аналитических свойств амплитуды рас-
сеяния также удобно проводить на основе фазовых урав-
нений (Шадан и Геннеге [91], Калоджеро [92]).
§ 20. Функции Грина
Метод фазовых функций может быть использован
для вычисления функций Грина, являющихся решения-
ми неоднородного уравнения Шредингера
ДО (г, И + [^2—V(r)]G(r, r')=b(r—r').	(20.1)
200 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. V
Аппарат функций Грина широко применяется в кванто-
вой механике для исследования и решения задач рас-
сеяния, связанных состояний и других проблем [6].
Функция Грина свободного уравнения Шредингера
AG0(r, r')+&G0(r, r')=6(r—г')	(20.2)
вычисляется точно и хорошо известна. В зависимости от
граничного условия на больших расстояниях г->оо ре-
шение уравнения (20.2) может соответствовать расхо-
дящейся сферической волне G(o+), сходящейся сфериче-
ской волне^О^ или их линейным комбинациям, напри-
мер, стоячей волне GoO)j	____•___
G(0+)(r, r') =
G^_) (г, г') =
__exp (ik | г — г' |)
4л | г — г' |	’
__exp (— ik\r — r'\)
4л | r — r' |	1
(20.3)
Go0)(r, r') = -
sin (fe | r — r' I)
4л |r — r’ |
Функция Грина уравнения Шредингера с потенциа-
лом (20.1) не может быть в общем случае выражена в
явном виде, например в виде функционала от V(r). По-
этому для ее нахождения приходится либо решать урав-
нение (20.1) численно, либо использовать приближен-
ные методы, в частности теорию возмущений.
Как было показано в главе IV, на основе фазовых
уравнений удается развить новые приближенные спо-
собы решения и вариационные методы. Поэтому вычис-
ление функций Грина методом фазовых функций пред-
ставляет определенный интерес не только с чисто прак-
тической точки зрения, но и с точки зрения дополнитель-
ных .возможностей исследования свойств функций
G(r, г') вне рамок теории возмущений.
Рассмотрим одномерный случай. Функция Грина
удовлетворяет уравнению
й G (х, у) +	- V (x)FG (х, у) = 6 (х - у). (20.4)
Наличие в правой части уравнения сингулярной функ-
ции приводит к разрывному в точке х—у поведению
§ 20]
ФУНКЦИИ ГРИНА
20Г
производной dG(x, y)fdx, с конечной величиной разрыва
dG-%’	у} = 1.	(20.5)
dx , dx	Л	'	1
х=!/—0
Сама функция Грина непрерывна всюду. Для свобод-
ного уравнения функция Грина, соответствующая расхо-
дящемуся из точки х={/ в положительном и отрица-
тельном направлениях оси х потоку частиц, равна
G(o+)(x,Z/) = 2^^i^1.	(20.6)
Действительно, как легко проверить, выражение .(20.6)
является решением уравнения (20.4) без потенциала,
удовлетворяющим условию (20.5).
Используя метод фазовых функций, будем искать
решение уравнения (20.4) с потенциалом в виде
G (х> У) — А (х, у) eik<x—v> 4- В (х, у) е—^—у'*	(20.7)
при дополнительном условии
Д- G (х, у) = ik [Л (х, у) eik<-x—y> — В (х, у) е-^-у)],	(20.8)
эквивалентном соотношению
— eik^x~~y^ + — е~ik(x—уУ = 0
dx	1 dx
(20.9)
Из этих формул и уравнения (20.4) следует, что
d^,eik(x—у) __ e—ik(x—y)--------L у Г Aeik(x—y) I D^—ik(x-y)] =
dx	dx	ik 1	*	J
= -Дб(х-у). (20.10)
Уравнения (20.9) и (20.10) образуют систему, из кото-
рой можно однозначно определить функции А (х, у),
В(х, у), если заданы начальные условия. Последние оп-
ределяются при |х|->оо граничными условиями, сле-
дующими из физического содержания рассматриваемой
задачи. В точке х=у функции Л(х, у), В(х, у) терпят
разрыв
А (У + 0, у)-А(у-0,у) = ±,
В (у + 0, у) - В (у - 0, у) = - Д- .
(20.11)
202 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. V
Удобно рассматривать области х>у и х<у раздельно,
положив в первой из них
G(х, у) = Д(х,у) [eikf-x—y> + С(х, у) e-ik(x-v)], х> у,
а во второй —
G(x, у)—В(х, у)	y)eik(x-v)], х<у.
(20.12)
Здесь
<20ЛЗ>
Будем рассматривать функцию Грина G(+)(x, у), от-
вечающую расходящемуся из точки х=у потоку частиц.
В отличие от функции Грина Gq+) (х, у) свободного урав-
нения Шредингера, функция G(+)(x, у) описывает в об-
ласти х>у не только волну, движущуюся в положи-
тельном направлении оси х, но и движущуюся в обрат-
ном направлении волну, которая возникает благодаря
отражению частиц от потенциала в каждой точке х дан-
ной области. Аналогичная картина наблюдается в об-
ласти x<zy- Поэтому величины С(х, у) и D(x, у) обра-
щаются в нуль только асимптотически, на больших рас-
стояниях, где Г(х)->0:
С(+оо, у)=0, D(—co,y)=0.	(20.14)
*
Из уравнений (20.9), (20.10) находим, что функции
С(х, у), D(x, у), А(х, у), В(х, у) удовлетворяют урав-
нениям:
в области х>у
С (х, у) =-- - 2k v (X) \е*х-у) + С (х, у)
(20.15а)
А (х, у) = А (х, у)	V (х) [ 1 + С (х, у)
(20.156)
§ 20]
ФУНКЦИИ ГРИНА
203
в области x<Zy
D (х, у) = ± V (х) [е-‘^-у) + D (х, у)
(20.16а)
В (х, у) = В(х, у) (- V (х) [ 1 + D (х, у) .
(20.166)
Начальными условиями для уравнений (20.15а) и
(20.16а) являются соотношения (20.14). Для другой па-
ры уравнений начальные условия определяются извест-
ными решениями С(х, у), D(x, у) в точке х—у
«•жи'	<20-17>
и соотношениями (20.11). Из этих четырех соотношений
находим
+ .XUt (20J8a’
<20-1S6>
<20-18в>
ОЛ.цп * с (у, у)[1+'D (у, у)] /Of) 18г1
в (у + О, У) =	!_С(г/) y)D{y^-	(2U-1ЪГ)
Выражения (20.18а) и (20.18в) являются начальными
условиями для уравнений (20.156) и (20.166) соответ-
ственно.
Если потенциал исчезает, V(x)=0, решения урав-
нений (20.15а) и (20.16а) тождественно обращаются в
нуль, и отличными от нуля величинами являются только
А0(х, У)=^, х>у,
В0(х,	х<у- ;
(20.19)
Эти значения и выражения (20.12) приводят к формуле
(20.6) для функции Грина свободного уравнения Шре-
дингера.
204 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ и СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. V
Наличие потенциала приводит к тому, что поток час-
тиц, уходящих на +оо по оси х, отличен в общем слу-
чае от потока частиц, уходящих на —оо по оси х. Эта
асимметрия лучше видна, если ввести переменную
t=x—у	(20.20)
и положить
V (X) = V (у + t) =	> °’	(20.21)
Тогда уравнения (20.15), (20.16) и соответствующие на-
чальные условия принимают вид:
в области />0
4 е ю = - 4 v+ & teikl+c e~iki}2’ c (+ =°>
(20.22a)
й44л(0=2к-^(/)[1-ьс(/)^ч
(0) = ~2ik i — c (0) d (0) ’	(20.226)
в области /<0
4 D = 4k v- ^e~ikt + D eikt?' D(-oo) = 0,
(20.23a)
W) 4B w=- 4v- i1+D e2MZ]> <20-236>
Если V+(t)^V-(f), решения уравнений (20.22a) и
(20.23a) явно различны, так что из-за эффектов отра-
жения единичный поток частиц, выходящий из источни-
ка в точке Z=0, делится на два потока, уходящих в по-
ложительном и отрицательном направлениях оси t в ко-
нечном счете несимметричным образом.
Линейные уравнения (20.226) и (20.236) могут быть
проинтегрированы в явном виде, если известны решения
уравнений (20.22а) и (20.23а). Решения последних мож-
но получить как численным образом, так и с помощью
§ 20]
ФУНКЦИИ ГРИНА
205
различного рода приближений, в частности, теории воз-
мущений.
Борновские члены равны соответственно
C(t) - J- ( V+(f)exp(2/£/W, (20.24а)
ос
= 27F J V_(f)exp(-2^/')df. (20.246)
— оо
Использование метода линеаризации приводит к при-
ближенным решениям
с<') = -й-э
. I
•( v+ (Л) exp 2zfef + I f v+ (/") dt" dt',
co	/'
(20.25a)
J V-(/') exp
-00
л
-2ikf	dt"
?•
dt'.
(20.256)
Аналогичные (20.22a, б), (20.23a, б) уравнения мо-
гут быть получены для функции Грина G~(x, у), соот-
ветствующей не испусканию, а стоку частиц в точке
/=0 (х=у). Единственным изменением является заме-
на k-^---k.
Перейдем к трехмерному случаю. Для сферически
симметричного потенциала функция Грина является ре-
шением уравнения
Gt (г, г') + [fe2 -	- V (г)] G/ (г, г') = 6 (г - г').
(20.26)
Будем искать G((r, г') в виде
G((r, r')=A/(r, r'ju^rjviir'j+B^r, r')t»z(r)«;(r'),
(20.27)
где ut(r), vt(r) являются двумя линейно независимыми
решениями свободного однородного уравнения Шре’дин-
206 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ (ГЛ. V
гера, например, h(tl)(kr), (kr) (см. Приложение А), та-
кими, что
Выбор пары линейно независимых решений опреде-
ляется граничными условиями для функции Грйна. На-
пример, если нас интересует решение уравнения (20.26)
с асимптотикой в виде расходящейся сферической вол-
ны, т. е. функция Грина G/+)(r, г'), следует выбрать
(г) = ft/0 (kr), vt (г) = lit (kr).	(20.28)
Действительно, тогда при условии Bt(oo, г')—0,
At(oo, г')—const будем иметьО/+)(г, г')—>consteikr/r, если
г->оо. При малых г: G/+)(r, г') » const ji (kr).
Уравнения, с помощью которых вычисляются функ-
ции At (г, г'), Bi(r, г'), удобно записывать раздельно для
каждой из областей г>г' и г<г'. При этом в первой
области положим
r')=Ai(r, r')[ui(r)vt(r')-\-Ci(r, г')1Дг)у((г')],
(20.29а)
где
с< (' г'>=ЯЯЯ Ж’ (20-29б)
а в области г<г' положим
Gt(r, r')=Bt(r, r')[vt(r)Ui(r')+Di(r, r')ui(r)ut(r')],
где
(20.306)
Тогда из уравнений (20.26), (20.27) и дополнитель-
ного условия, которое мы запишем в виде
dA,(dr; Г,) «/ (г) Vt (г') +	(Г) Ut (г') = 0,
получаются при выборе соотношений (20.28) следующие
уравнения для функций Ah Bt, Ct, Dr.
§ 20]
ФУНКЦИИ ГРИНА
207
в области г>г'
(г, г') = 4 V (г) [М° (kr) 4- iCi (г, г') jt (kr)]2, (20.31а)
ar	к
At (г, г') ~dr Г'^ =
= — V (г) it (kr) [/if0(kr) + iCI (r, r') it (kr)],	(20.316)
в области r<_r'
-t.Dt (r, r') = ±V (r) [/, (kr) - iDt (r, f) (kr)]2, (20.32a)
аг	/с
Bl (r, r') "dr Г ) =
= J v (Г) h(il) (kr) [it (kr) - iDt (r, r') h\" (kr)] •	(20.326)
Как было отмечено выше, начальные условия для
уравнений (20.31а, б), (20.32а, б) определяются харак-
тером рассматриваемой функции Грина. Для функции
G*+) (г, г'), очевидно, следует положить
Cl(oo,r')=0, D((0, г')=0.	(20.33)
Остальные начальные условия для коэффициентов
А,(г, г'), Bt(r, г') функции G(/+)(r, г') можно найти из из-
вестных решений Ci(r, г'), Dt(r, г') с помощью выраже-
ний (20.296), (20.306) и аналогичных соотношениям
(20.11) разностей
Ai (г' + 0, г') - Ai (г' - о; г') = - j,
Bi (г' + 0, г') - Bi (г' - 0, г') = у»
(20.34)
получающихся, если проинтегрировать уравнение
(20.26) в малом интервале около точки г=г'. В резуль-
тате имеем следующие начальные условия для уравне-
ний (20.316), (20.326):
At (г’ + 0, г’) = - j
1 — iDi(r’, г')	(kr’}l j t (kr')
i-Ci(r',r') Di(r',r’)
(20.35)
208 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ Й СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. V
Таким образом, решения уравнений (20.31а, б),
(20.32а, б) полностью определены, и функция Грина
G(z+)(r, г') может быть найдена либо с помощью числен-
ного расчета, либо с помощью приближенных методов
Обратим внимание на одно обстоятельство. Урав
нение (20.32а) совпадает с фазовым уравнением (3.4)
для амплитуды рассеяния. Поэтому полюсы функции
Z)/(r, r', k), а следовательно, и функции Грина, в комп-
лексной плоскости переменной k совпадают с энергиями
стационарных или квазистационар|Ных связанных со-
стояний, что является хорошо известным фактом.
Совершенно аналогичным образом, как и в трехмер-
ном случае, получаются уравнения для коэффициентов
Ат (р, р'), 5т(р, р')> Сп(р, р'), 7)т(р, р') двумерной
функции Грина
Gm (р, Р ) —L А щ (р, р ) Um (p)^m(p ) “Н (р, Р )(р) (р ) ,
(20.36)
являющейся решением уравнения
$ Gm (р, р') +	- V (р)]Gm (р, р') = 6 (р-р').
(20.37)
Резюмируя, можно сказать, что метод фазовых функ-
ций позволяет развить новый алгоритм для исследова-
ния и вычисления функций Грина, возможности которого
еще совершенно не изучены.
Пользуясь аппаратом функций Грина, можно также
получить уравнение для фазы рассеяния [93].
§ 21. Потенциальное рассеяние
релятивистских частиц
Рассеяние частиц, движущихся со скоростями, срав-
нимыми со скоростью света, обладает рядом особенно-
стей. В отличие от нерелятивистского уравнения Шре-
дингера, релятивистские волновые уравнения существен-
но отличаются для частиц, имеющих различное значение
спина. Соответственно действие рассеивающего потен-
циала в каждом случае приводит к различным эффектам.
§21] ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ 209
Однако и здесь рассеяние 'может быть описано с
помощью таких величин, как сдвиги фаз и другие па-
раметры рассеяния.
В данном параграфе показывается, как метод фазо-
вых функций применяется для вычисления параметров
потенциального рассеяния частиц со спинами 0 и 1/2.
Эти два случая представляют наибольший орактиче-
окий интерес. В то же время нет принципиальных труд-
ностей распространения метода на случаи потенциаль-
ного рассеяния частиц с более высокими спинами.
Рассмотрим рассеяние частицы, обладающей спином
0. Свободное движение релятивистских частиц со спи-
ном 0 описывается уравнением Клейна — Гордона (Й ==
= с=1, с — скорость света)
-Д-ф(х)-/и2ф(х) = 0.	(21.1)
дхи,
Здесь хм — компоненты четырехмерного вектора простран-
ства— времени (xi = x, х2=у, x3=z, x0—it), т — мас-
са покоя частицы, ф(х) —скалярная (относительно пре-
образований Лоренца) волновая функция.
При наличии внешних скалярного V(r, t) и вектор-
ного Л(1(г, t) потенциалов это уравнение принимает вид
— iAy. (x)j2 ср (х) — [т 4- V (х)]3 ф (х) = 0.	(21.2)
Если потенциалы не зависят от времени, .мы имеем
стационарную задачу рассеяния, когда у волновой функ-
ции можно выделить временной фазовый множитель
ф(х) = ф(г)е‘Ч	(21.3)
а уравнение (21.2) переходит в уравнение
[•fe ~iA^ 2ф(г) +
+ [Е - Ао (г)ф (г) - [т + V(r)]2 ф (г) = 0.	(21.4)
Наиболее важным с физической точки зрения является
случай, когда имеются только нулевая компонента век-
торного потенциала (например, До (г} — электростатиче-
ский потенциал) и скалярный потенциал. Поэтому, хотя
метод фазовых функций можно использовать и при
И В. В. Бабиков
210 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. V
Д(г)у=0, в дальнейшем для простоты будем рассмат-
ривать уравнение с А(г)=0
Аф (г) + {[£—Л о (г) ]2- [m+V (г) ]2} ф (г) = 0. (21.5)
Для сферически-симметричных потенциалов Ао=
=Л0(г), V=V(r) переменные в уравнении (21.5) раз-
деляются
ф(г) = 2	ф)-
1т
Радиальная волновая функция ut(r) удовлетворяет
уравнению (Й = c=Qm=<\)
и, (г) 4- [fe2 -	_ уэфф(г)]ц, (г) = 0.	(21.6)
Здесь
& ==]/£2 — 1/4,	(21.7а)
= V -t- 2£Л0 + V2 - Ло. (21.76)
Таким образом, мы пришли к радиальному уравне-
нию Шредингера обычного вида (1.1). Повторяя все вы-
кладки, приведенные в § 1, получим из уравнения (21.6)
фазовое (1.9) и амплитудное (1.11) уравнения с потен-
циалом (21.76). Задача отыскания фазы рассеяния .реля-
тивистской частицы сводится, следовательно, к решению
фазового уравнения.
Обобщение метода фазовых функций на случай рас-
сеяния релятивистской частицы со спином 1/2 было
сделано в работах Кинча [12],Калоджеро [94] и Калод-
жеро и Равенхолла [24]. Благодаря спину дираковская
частица в центрально-симметричном скалярном полемо-
жет обладать при заданном полном моменте движения /
двумя значениями орбитального момента движения
/=/±1/2. Соответственно этому рассеяние j-й парциаль-
ной волны описывается двумя фазами: 6j±i/2.
Удобно ввести наряду с /, j квантовое число п, опре-
деляемое соотношением
/ = 1«|- у.	(21.8)
так что
п=/+1, если n>0, n=—I, если п<0. (21.9)
§21] ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ 211
Значения п=1, —1,2, —2, ... отвечают спектроскопиче-
ским обозначениям состояний частицы If. s7j, р^, р*/„
...
При выводе фазовых уравнений будем исходить из
уравнения Дирака, в котором произведено разделение
переменных (см., например, в книге [5]), так что для
радиальных волновых функций f(r), g(r) имеем (поло-
жено Й =г=1)
^/M=i/W + [E + ».-VWIg(r), 1	(21]0)
^г«(г)= - “ g(r)-lE-m - V (г)|/(г).|
Если при г-> оо потенциал исчезает, что функции f(r),
g(r) обладают асимптотиками *
f (г) Е + т sin [kr — -1^ 4- б),
g (г)» V Е — tn cos [kr —Ц7 4* б\
(21.11)
Чтобы избавиться в асимптотических выражениях от
множителей ]/£ ± т, введем функции yi(r), У1(г), по-
ложив
».W = -7ttt=-	(21-12)
у h-fm	у L — т
Функции (21.12) удовлетворяют уравнениям
4 У1 (г) - 7	(И + lk-W (г)] у2 (г) = О,]
d	п	(21.10)
77 У* (г) + у у2 (г) - [k - А,—1V (г)] у1(г) — О,
где
k - /п2,	(21-14)
г JZ -j- tn
Соответственно двум возможным значениям кванто-
вого числа / система (21.13) имеет две пары решений
Уг(г). Пусть	Будем искать решения
14*
212 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. \
уравнений (21.13) в виде
У 2 (г) =	(г) [//+./2 (kr) - /;С./2 (г) п!+Ч2 (kr)\. I
Физический смысл функций а,-у2(г) и /5_./2(г) очевиден:
это амплитуда и тангенс .сдвига фазы волновой функции
у (г) для потенциала V(r')0(r—г'). Подставляя выраже-
ния (21.15) в уравнения (2.1.13) и используя рекуррент-
ные соотношения (А.5') для функций Риккати — Бессе-
ля, легко находим, что функции ^-»/2(г) и	явля-
ются решениями уравнений
£ 0-l/t = - %-> V (Z/_./2 -	-
(21.16а)
а^_х/ ~d7 al—xh ~	(//—V2	УЛ/—72) ni— 72
~ W (/ж/2 ~ //-7Л/+‘/2)«/+72	(21.166)
с начальными условиями
/,->^(0) = 0,	(21.17а)
а7_72(0)=1.	(21.176)
Как и полагается фазовому уравнению, (21.16а) не зави-
сит от решения (21.166). Амплитудное уравнение (21.166),
хотя и содержит решение фазового уравнения, в силу
своей линейности всегда может быть проинтегрировано в
явном виде.
Характерной особенностью релятивистских уравнений
(21.16а, 6) по сравнению с нерелятивистскими фазовым
(3.2) и амплитудным (1.11) уравнениями является нали-
чие члена, отвечающего волне с измененным на единицу
орбитальным моментом. Физический смысл этого члена
вполне ясен — он является релятивистским эффектом
спин-орбитальной связи дираковской частицы. Относи-
тельный вес этого члена Z2= (Е—т)/(Е-\-т), так что
в нерел1ятивистском пределе Е->т им можно прене-
бречь. В ультрарелятивистском пределе (Е»т) Х=1 и
оба члена в фазовом уравнении (21.16а) имеют одинако-
вый порядок.
§ 21] ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ 213
Совершенно аналогичным образом получаются фазо-
вое и амплитудное уравнения для случая /=/+1/2:
tj+'/г = —	(j/'+’/s ~ 0+’/»П/+‘а)2 “
- IV - tl+t/2nj_42y,	(21.18а)
Т	(//+1/г ’ ^/-H/^Z + Va) ty+Va
(//—‘/г ^/Л/-1/») ty-Vt	(21.186)
с начальными условиями
//-Р/, (0) = 0, ^(0)^1.	(21.19)
Уравнения (21.16а, б) и (21.18а, б) могут быть ис-
пользованы как для численного расчета фаз рассеяния и
амплитуд нолновых функций, так и для исследования
различных приближенных методов. Нетрудно применить
методы, изложенные в главе IV, к релятивистским фазо-
вым уравнениям. В частности, борновское приближение
здесь дает
4*/. (“) = - J drv (г) [X->j?±1/3 (kr) + Xj^./2 (kr)].
о
(21.20)
Если в релятивистской задаче возможны связанные
состояния, то функции в некоторых точках г при-
нимают бесконечные значения. Тогда удобнее пользо-
ваться уравнениями непосредственно для фаз рассеяния
Эти уравнения легко получаются из уравнения
(21.16а) и (21.18а) подстановкойг) =tg6J±«/2(г).
С помощью изложенного ,в § 19 подхода можно нахо-
дить энергии связанных состояний. Уравнения (21.16а, б)
и (21.18а, б) справедливы для достаточно быстро спа-
дающих на бесконечности потенциалов. Однако их легко
можно обобщить на случай присутствия дальнодейству-
ющего кулоновского потенциала [18].
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Функции Риккати*—Бесселя и Риккати—Ганкеля
Используемые в книге функции Риккати—Бесселя
действительного аргумента ji(kr), nt(kr) определяются
здесь как соответственно регулярное и нерегулярное в
точке г=0 решения свободного уравнения Шредингера
(Й =2т=:1):

UI (г) = о.
(АЛ)
Они следующим образом связаны с функциями Бесселя
и Неймана полуцелого порядка:
li(x)=y^JlW2(x), nl(x)=y^Nl+m(x\ (А.2)
Функции Риккати — Бесселя простым образом выража-
ются через элементарные (тригонометрические и степен-
ные) функции. Так, например,
/о(х) =sinx, п0(х) =—cosx,	(А-3)
/1 (х) = j sin х —- c°s х, «i(x) = —-£- cos х -- sin х. (А.4)
Для значений />1 функции /,(х) и п;(х) могут быть по-
лучены из (А.З) и (А.4) с помощью известных рекур-
рентных соотношений, которым удовлетворяют функции
Бесселя (z(x)=/(x) или z(x)=n(x)):
zl+l (х) = -^±1 Zl (х) - zz_, (х), I = 1, 2, 3, ...	(А.5)
Имеет место также рекуррентное соотношение
г, (х) ==?/_, (х) -(х).	(А.5')
А. ФУНКЦИИ РИККАТИ - БЕССЕЛЯ И РИККАТИ ~ ГАНКЕЛЯ
215
Вронскиан функций /z(x), п^х) равен
w th W. rii (х)] = ji (х) £- rii (х) — щ (х) jt (х) = 1.
(А.6)
Асимптотический вид функций Риккати — Бесселя при
х —> оо
• / »	• / /л
h (x)-*smlx — -J-
(А.7)
П/ (х)	— cos (х — -у-
С учетом следующего члена асимптотического разложе-
ния получим (х->оо)
It (x)^sm X— -Z- + ' '..... cos х — -у- ,
k	у	\	(А.8)
. .	/	1п\ . Ц1+1)	. /	/л\
tit (х) ж — cos / X —	sin / X — -у-1.
Разложения функций Риккати — Бесселя в степенные
ряды имеют вид
(I)2", (А.9)
(А. 10)
так что при малых х (х->0)
xz+’ хН-з
11	~ (2/+ 1)!!	2 (2/ + 3)П + ‘ ’
П/ (х)
(2/- 1)!!
х1
(2Z-3)!!
2х/—2
(А.11)
В формулах (А.11) и ниже двойной факториал означает
(2/+1)!!=ЬЗ-5. ... -(2/4-1).	(А.12)
216
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Функции Риккати — Ганкеля первого h^Xkr) и вто-
рого h(2\kr) рода являются двумя другими линейно не-
зависимыми решениями уравнения (А.1) и могут быть
выражены как линейные комбинации функций Рикка-
ти — Бесселя
= jt (х) 4- ini (х), М2)(х) = ji (х)— int (х).	(А.13)
Функции ft/'^x) и /i/2'(x) следующим образом связа-
ны с функциями Ганкеля полуцелого порядка:
М” М _	//»,„ W, h? М	W.
(А.14)
Функции Риккати — Ганкеля также (выражаются че-
рез элементарные (экспоненциальные и степенные) функ-
ции, например,
С (х) = - ie“, h(02) (х) = ie~tx, (А. 15)
W (х) = - (1 + 4-) е‘х, h{2) (х) = - - 4)
(А.16)
Рекуррентные соотношения (А.5) позволяют с по-
мощью (А.13) получить выражения для функций h^(x)9
hT'(x)
при всех остальных значениях />1.
Вронскиан функций Риккати — Гаккеля имеет вид
w [Mn (х), М2) (X)] =	(х)(х) -
~h?\x)-^hy(x)=-2i. (А. 17)
Асимптотические выражения для функций (х),
М2)(х) имеют вид (при х-*оо)
М*\х)^е4Г-—)г_г- + _НШХ + .. 1 I
./ /4	J (А.18)
А. ФУНКЦИИ РИККАТИ - БЕССЕЛЯ И РИККАТИ — ГАНКЕЛЯ 217
При малых значениях аргумента х(х—>-0)
W (х) ж int (х) -> — i(2/	1)П,
h(z2)(x)« — tnz(x) -> i 1)11
(А. 19)
Функции Риккати — Бесселя мнимого аргумента ii(kr)
и ki(kr), определяемые выражениями
h (х) = h+ (х) = (-	(»х),
kt (х) = У К1+у, (х) - $ i'+'h? (ix),
(А.20)
являются двумя линейно независимыми решениями
уравнения (А.1) при £2<0.
Для Z=iO и /=1 получаем
t0 (х) = sh х,	k0 (х) = у е~х,
h (х) = ch х — у sh х, fei (х) = J (1 + jV-*
(А.21)
Выражения (А.21) вместе с рекуррентными соотно-
шениями (А.5) позволяют легко найти функции iz(x),
йДх) для значений />1.
Вронскиан функций Риккати — Бесселя мнимого ар-
гумента равен
W/(x), ^(x)]=Zz(x)^fez(x)-fez(x)^O(x)=-|. (А.22)
Асимптотические выражения
iz(x)—kt (х)—> -уе—х, х—> оо.	(А.23)
Вблизи начала координат (при х->0) функции iz(x) и
ki(x) принимают вид
(А.24)
218
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Б. Кулоновские волновые функции
Кулоновские функции Fi(kr, т]), Gt(kr, rj) являются
соответственно регулярным и нерегулярным в точке
г=0 линейно независимыми решениями уравнения Шре-
дингера с кулоновским потенциалом (Й = 2/и=1):
57Jwz(r) + ^2-A7^2--y-jMz(r) = 0.	(Б.1)
Кулоновский параметр я определяется как
4 — hv ~ 2k •
Можно ввести еще один кулоновский параметр, эквива-
лентный радиусу воровской орбиты атома водорода
= 2mZiZ2e2 = Z^'	(Б<3)
Параметры т| и R связаны соотношением
я = ^.	(Б.4)
Вронскиан кулоновских функций
№[№ я),	я)] =
=	П) = -1. (Б.5)
Справедливы следующие рекуррентные соотношения:
I [(/ + I)2 + П211/2 2/+1 (х) = (2/ + 1) [я + Ъ (х) -
_(Z+l)[/2+n2]1/2Z1_i(x)=0, (Б.6)
1	d-^r = (/2 + ^)1/2 w -& + ’’) z^x)- <Б-6')
С1Л	\	/
При выключении кулоновского взаимодействия (я =
=(0) кулоновские функции переходят в функции Рикка-
ти — Бесселя
Л (х, 0) =/, (х), G, (х, 0) = -п, (х).	(Б.7)
Б. КУЛОНОВСКИЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
219
Асимптотические выражения кулоновских функций (при
Х-> оо)
Pi (*> П) sin — i] In 2х — у -|-
(Z«rt \
X — Т) In 2х — у + Oi I-
(Б.8)
Здесь о, — кулоновская фаза
o( = arg Г(/+14-/г]).	(Б.9)
Известны (см. [95]) следующие разложения функций
Fi(x, т]), Gt(x, г]) в ряд по функциям Бесселя мнимого
аргумента:
Ft (х, ri) =
= С/ (П)	X* 2.1 ь" (2^)"/2 4(2 гад,
Gi (х, П) =
=wLX/(n)x~z 2 4(2пх)п/2кдггад.
п=2/-Н
(Б. 10)
Первые два коэффициента Ьп в формулах (Б.10) равны
^21+1— 1» t>2i+2— 0.	(Б.11)
Остальные находятся из рекуррентного соотношения
4г|2(п—2/)&„+1+п&я-14-6„_2=0, д>2/ + 2. (Б.12)
Функции Мл), С (л) в (Б. 10) записываются так:
МЛ) = —--------------—	(Б. 13)
2	(—О" («-!)!&„
п=21+1
Cl^ = (2ZTi)T 1/г+л211/2К^—1)а+л211/2-• .П+лаР/2С0(л),
(Б.14)
где
Со(л)=^-?~[.	(Б. 15)
220
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Если в формулах (Б. 10) положить х<1), то
(х, Т]) (2Z t л-н'(П)	;2Z+1 (-2 /ЗД,
2(2п)/	— J <БЛ6)
G‘ <Х> *) ~ (2/+1)? сг(1]) У2г>Х	(2 У 2^)-
При условии 2т]<Сх для 1—Q
F0(x, r))=asin(3, G0(x, p)=acosp, (Б.17)
где	1	Г	8/3	-З/4	1		
Сл» — (1- ₽ = т + 2т>	_Z)i/2	64 (2ц) ((1 - 0|/2	, I . 1	/	+ 2 / = X ‘	2 (1 — О3]’ ~ 1 - (1 - /)'/2 ' 1 +(! —/)1/2	j 1	(Б. 18)
При значениях kr<^_ 1 и произвольных г) имеют место
следующие разложения функций F3(kr, rj), Go(kr, rj):
Fo (kr, r|) = Co (ii) kr	± (kr*) L2 +
+ 1 (kr)* L3	- 1U (£)] + О ((kr)^,
Go(^,n) =	+
-±(kr)* ^3M + h^L^ +
+ (fer)4 [5АГ + h L3 - 1L4)] + 0 ((fer)«)}.
В формулах (ЬЛЭ) обозначено
(Б.19)
Ь„(х) = п!х-"/Ч1(2Гх), ^М = (-^П7^/2^(2Гх), М(х)=^[М(х)-Я2(х)], AZ (х) =±jL2(x) + 4//3U)+^l//4(x)-L1(x)]j.	(Б.20) 1
В. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
221
Предельные значения функций (Б.20) при х=0 та-
ковы:
Ln(0) =//n(0) =М(0) =N(W) = 1.	(Б.21)
функция /г(ц), входящая в разложение (Б.19) функции
Оо(£г, ц), определяется выражением
00
h (п) = па 2 ^(П4т)2) “111 п " 0,577 • • • {Б-22)
п—1
В. Цилиндрические функции целого порядка
Уравнение
+	+	= 0	(В.1)
имеет два линейно независимых решения: регулярную в
точке х=0 функцию Бесселя первого рода т-го порядка,
определяемую рядом
„ / X \т+2п
v(-1) Ы
— 2оп! Г(т +n+ 1)’	(В‘2)
и нерегулярную в точке х—0 функцию Бесселя второго
рода (функцию Неймана), определяемую равенством
J п (х) cos рп — J п (х)
Nm (х) = lim М „ „—=^,	(В.З
m p-»m slnPn
где для целых т
/_т(х) = (—1)”7„,(х).	(В.4)
Вронскиан функций Бесселя первого и второго рода
Nm(X)] =
= Jm(X)fxNm(x)-Nm(x)fxJm(x)^^x. (В.5)
Рекуррентные соотношения (z(x) =Jm(x) или z(x) =
==-Ут(х))
W1 W =	—Zm-l(x), (B.6)
Zm (X) = - Zm (X) +	(x).	(B.6')
222
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Асимптотические выражения три 'больших х(х—>оо)
т
2	/	тп	л \
— COS X-----о----г ,
лх	\	2	4	/’
2 - . (	/ил	л \
— sin х —z-------г .
лх	\	2	4 /
(В.7)
С учетом следующих членов асимптотического разложе-
ния (при х->-оо)
Поведение функций Бесселя при малых х(х->0)
определяется выражениями (при /п=й=0)
Т . . хт	/ \ (т—1)! 2"1 кг i \	2 ж
2m’ N»AX)^ пхт >	2‘
(В.9)
Функций Бесселя третьего рода (функции Ганкеля
первого и второго рода) являются другой парой линей-
но независимых решений уравнения (ВЛ) и выражаются
через линейные комбинации функций Бесселя и Неймана
^>(x) = /m(x) + iWm(x), H^(x)=Jm(x)-iNm(x). (ВЛО)
В роиокн ан этих функций
W[H("(x), Я®(х)] =
=	(х)	(х) -	(х)	(х) = - 4^. (ВЛ1)
Функции Ганкеля также удовлетворяют линейным ре-
куррентным соотношениям (В.6) и (В.6').
. В. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
223
Асимптотический вид функций Ганкеля (при х->оо)
При малых х функции Ганкеля определяются выраже-
ниями (В.9) для функций Неймана.
Функции Бесселя мнимого аргумента при целом т
определяются выражениями
Im (х) = Г mJm (ix), КМ = £ im+W" (ix). (В. 13)
Они являются двумя линейно независимыми решениями
уравнения
S Ут (х) + 4 Гх У" W - (1 + 5) Ут to = О (В. 14)
и удовлетворяют рекуррентным соотношениям (В.6),
(В.6'). Вронскиан функций 1т(х), Кт(х)
w[iM, км] =
“ W гЛ>. Ы -	(х) i (х) = - X. (В. 15)
Асимптотические выражения (при х->оо)
т{ ’ И2Щ 2х г
При малых х(х->0) и тт^О
гт	\
т\ 2т'
л m ~------i7«-----.
/<0(Х)^-1п|.
(В.16)
(В.17)
224
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Г. Уравнение Риккати
Общий вид нелинейного дифференциального уравне-
ния Риккати
У (х) = h (х) yz (х) + g (х) у (х) + f (х).	(Г. 1)
Здесь f(x), g(x), Л(х) — известные функции.
Канонический вид уравнения Риккати
^1/(х) = «/2(х) + /(х).	(Г.2)
Если /(х)=0, уравнение Риккати сводится к уравнению
Бернулли и может быть проинтегрировано.
Уравнение Риккати, вообще говоря, не интегрируется
в квадратурах, но если известно одно частное решение
yi (х), то уравнение Риккати может быть сведено к ин-
тегрируемому в явном виде линейному уравнению для
переменной z(x)
2(х) = —J—rr.	(Г.З)
' ' У{х) — у,(х)	v '
Таким образом, если известны два частных решения
#г(х), Z/2(x), то функция
г'«- <Г-4>
будет являться частным решением линейного уравнения
для переменной z(x).
Если известны три частных решения уравнения Рик-
кати r/i(x), У2 (х), уг (х), то общее решение может быть
найдено как дробно-линейная функция от произвольной
постоянной С
.. _ СУ1 (Уз — У1) + У2 (Уз — Уз)	/Г
У~ С{уа-У1) + {у3-уг)	•
Известно несколько случаев, когда решение общего
уравнения Риккати (Г.1) может быть выражено в зам-
кнутом виде (см., например, [96]):
1) если
A(x)+g(x)+f(x)S0,	(Г.6)
Г. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
225
решение	
с+ f (h^-f)Edx — E <1	L		(Г.6')
У	(•	> C+ (h + f)Edx + E	
где
£ = exp{J(/i-f)rfx};	(Г.6")
2) если существуют такие постоянные а, Ь, что
a2/i(x)4-a&g(x)4-62f(x)s0,	(Г.7)
то подстановкой
г/(х) = |+г(х)	(Г.7')
уравнение (Г.1) сводится к уравнению Бернулли, кото-
рое всегда решается;
3) если	
f = Clhe^ax,	(Г.8)
то решения У — ]/y tg (J Vhf dx + с)	при /7i>0,	(Г.8')
У = )/ — у th Q V— hf dx + при //i<0;	(Г.8")
4) если '	4 h 2 dx\h j* то существует частное решение У	2 ft*	(Г.9) (Г.9')
Уравнения Риккати тесно связаны с линейными диф-
ференциальными уравнениями второго порядка.
Подстановка
^W--jb)ElnzW <г-10)
15 В. В. Бабиков
226
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
приводит уравнение (Г.1) к уравнению
'•S-(s + ',s)s + '1^ = o. (Г.П)
Обратное преобразование имеет вид
/ \ ~^Wy(x)dx
г(х) = е J .	(Г. 12)
Специальное уравнение Риккати является частным слу-
чаем уравнения (Г.1):
g =	+	(Г. 13)
где а, Ь, а, — постоянные. Уравнение (Г. 13) интегриру-
ется в элементарных функциях при Значениях а=0,
а=2,а= гДе я=±1, ±2, .. .При всех остальных
значениях а решение специального уравнения Риккати
не может быть выражено в квадратурах от элементар-
ных функций.
ДОПОЛНЕНИЕ I
К ТЕОРИИ АНТИКЛАССИЧЕСКОГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА
НАДБАРЬЕРНОГО ОТРАЖЕНИЯ* [97]
В. В. Бабиков, К. К. Мусабаев
Авторы работ [98, 99] рассмотрели задачу надбарьер-
ного отражения в приближении, которое ранее.в кван-
товой механике практически не рассматривалось и кото-
рому они дали название антиклассического приближе-
ния. Это, обратное известному квазиклаосическому, при-
ближение применимо в случае потенциалов, резко меня-
ющихся в небольшом интервале расстояний. В [98, 99]
при выводе антиклассического приближения использо-
вался весьма сложный математический метод, требую-
щий к тому же исключения встречающихся в промежу-
точных выкладках расходимостей.
В настоящей работе для получения антиклассиче-
ского разложения коэффициента надбарьерного отраже-
ния используется метод фазовых функций. При этом
удается избежать с самого начала появления бесконеч-
ных величин и показать, что для потенциалов, стремя-
щихся к постоянным асимптотикам экспоненциальным
образом, получаемый ряд является сходящимся.
Будем исходить из следующего уравнения для функ-
ции отражения В(х) (18.9):
v ' 2р (х)
J p(x')dx’	— J p(x')dx’
в	— В2
с начальным условием
В(+оо)=0.
(1)
(2)
*) В. В. Бабиков, К. К. М у с а б а е в, К теории антикласси-
ческого приближения для коэффициента надбарьерного отражения,
ОИЯИ, Р4-6330, Дубна, 1972.
15*
228
ДОПОЛНЕНИЕ I
Здесь р (х) = V 2т [£ — V (х)1—1классичеакий локаль-
ный импульс частицы, xQ — произвольная, вообще говоря,
точка на вещественной оси X. В нашем случае анти-
классического приближения удобно выбрать в качестве
этой точки центр интервала резкого изменения потенци-
ала и положить Хо = О.
Физический смысл величины В (х) в произвольной
точке х=х заключается в том, что квадрат ее модуля
определяет коэффициент отражения R(x) = |В(х+0) |2
от части потенциала, содержащейся в открытом интер-
вале х>х. Искомый коэффициент отражения от всего
потенциала равен
Я = |В(-°о)|*.	(3)
Для дальнейшего рассмотрения удобно перейти к без-
размерным переменным расстояний и импульсов, положив
У = -^, Ч(У) = Р-^-.	(4)
и	Ре
где а — размер области резкого изменения потенциала,
рс — некоторый, зависящий от формы потенциала, харак-
терный импульс, конкретный вид которого уточняется ни-
же. Безразмерный параметр антиклассичности, который
полагается малым, определяется следующим образом
е = 2о^«к	(5)
В новых* переменных с учетом явной зависимости
функции отражения от параметра 8 уравнение (1) при-
нимает вид
(6)
Будем искать решение уравнения (6) в виде ряда
В(У,ъ)= %Bn(y)(W .	(7)
«=0
Множитель i введен здесь для удобства, ибо тогда все
коэффициенты Bn(z/) оказываются вещественными.
Разложение экспонент в правой части уравнения (6)
в ряд по степеням 8 имеет, благодаря наличию множи-
теля и! в знаменателе n-го члена разложения, бесконеч-
ный радиус сходимости в плоскости 8, даже когда интег-
is] qky'W	— fej qty'jdy'
e °	— B*(y,&)e 0

К ТЕОРИИ АНТИКЛАССИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
229
ралы в показателях экспонент линейно возрастают при
#->±оо. В случае потенциалов, стремящихся при
к постоянным асимптотическим значениям не
медленнее, чем экспоненциально, присутствие множите-
ля q'(y) в правой части уравнения (6) обеспечивает
конечную величину коэффициента при каждом из чле-
нов ряда после интегрирования по у. Ввиду сокращения
при этом (множителей м!, получающийся ряд оказывается
сходящимся в конечной области значений параметра е.
Для потенциалов, стремящихся к асимптотикам при
у-+±оо (медленнее, чем экспоненциально, например,
степенным образом, разложение (7) в ряд по целым
степеням параметра е уже не будет иметь места. В даль-
нейшем мы ограничимся рассмотрением потенциалов,
стремящихся к постоянным асимптотикам, по крайней
мере экспоненциально.
(Ввиду вещественности величин Вп(у) для коэффи-
циента отражения (3) будем иметь
₽(8) = i	(8)
п=0
где первые коэффициенты разложения равны
Ro = B20(-°°),	(9а)
7?! = в!(—оо) —2В0(—оо)В2(—оо),	(96)
= 51(—©о) — 2ВХ(— оо)В8(—оо) ф2В0(—оо)В4(—оо).
(9в)
(Подставляя разложение (7) в уравнение (6) и при-
равнивая коэффициенты при одинаковых «степенях е в
обеих частях уравнения, 'получим для величин Вп(у)
рекуррентную систему уравнений, первые' три из кото-
рых имеют вид (начальные условия: Вп(-(-оо)=0)
Во(//) = 2^)[1-^(р)],	(Юа)
В1(у}=	4 В°(^)] ~^вЛу)вау)\, (Юб)
в; (р) =	(4- Q2 (у) [ 1 - Во2 (Р)] 4-
4А (У) [2В9 (р) Q (р) - Вх (р)] - 2В0 (р) В, (р)}. (10в)
230
ДОПОЛНЕНИЕ I
Здесь используется обозначение
Q(y) =	
6
(11)
Характерной чертой системы (10) является то, что в
ней только первое уравнение (10а) .нелинейно, а все
остальные линейны и могут быть последовательно про-
интегрированы в квадратурах. Уравнение (10а) также
легко интегрируется
r (1л _ ?(у)~?+
"oW~<7(l/) + <7+’
где для упрощения обозначений положено
<7+=<7(+.00),
<7-=<7 (—<»);
(12)
(13)
С учетом (12) решения уравнений (106), (10в) имеют
вид	.	•	'
о /,л _ Q (У)	— я (У) S (у)
[<?(</).+ ?+р
(14)
в, (а) = !,(-„) 4-,ДЁ (4	' ы -- SW Q УЛ ч W +
"Г	Н-оо
Здесь положено
(15)
s(y) = qz(y)—q2+,	(1ба)
У
S(y) = J S{y')dy'.	(166)
+ оо
Аналогичным образом легко находятся коэффициенты
B3(z/), и т. п., аналитические выражения которых
становятся, однако, все более громоздкими.
В результате для коэффициента отражения от по-
тенциала -с -различными асимптотиками,	полу-
К ТЕОРИИ АНТИКЛАССИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
231
чаем с точностью до членов е2 следующее выражение:
п /<7_ — Ч+\2
(?_ + ?+) Х
х 1 - е2 Jt" ] ЛУ [Я- - (У)]	Р2 (У') - <4]I•
V—	+ /  со	у	J
(17)
Для потенциалов с одинаковыми асим!птоти'ка1ми,
q_ = q^ = qQi имеем В( — оо)=0, >и двумя первыми, от-
личными от нуля, коэффициентами .разложения (8) яв-
ляются и /?2- Соответственно в этом приближении
коэффициент отражения имеет вид
16?о
1 -82
£2(-<») ,	2
М + Si-
J dyS*(y) —
оо	2	/ 00	\
-2 J dyS(y)--^^l J dyS(y)\ +
2?02
(18)
—оо у
Величина S(—оо) просто связана с потенциалом
S(“°°) = VC f
Коэффициенты при е2 в фигурных скобках выражений
(17) и (18) определяют численную малость поправочно-
го члена к соответствующим предельным антиклассиче-
ским значениям коэффициента надбарьерного отражения
о - (Р~-Р+\2
К (р_ + р+Ь
(19)
(20)
232
ДОПОЛНЕНИЕ I
В (19) и (20) совершен переход к исходным перемен-
ным.
Если ограничиться только первым поправочным чле-
ном в выражении (17), то можно 'Прийти к выводу, что
при р(±о°)<р(</)<p(-Foo) условие малости поправки
выполняется, если рс=|(р+р_)1/2 в формуле (5). Учет
последующих членов разложения (9) показывает, одна-
ко, что условие их малости соответствует
ре=тах(р+, р-).	(21)
Действительно, Например, для потенциала

(22)
для которого известно [1] точное значение коэффициен-
та отражения
. Г ла	1
sh2 — (р_-р+)
Я =----Ь----------'	(23)
ла	I	' '
sh2[— (Р-+Р+) ]
имеем следующие три первые члена антиклассического
разложения:
D _ (р— — P+Vfl	4f2 Р-Р+аг ,
к Др_ + р+/ l 3 Л2 +
+	а*р_.р+ (р2+ +. Д 4- 10p_p+)j. (24)
Для потенциала
V (*) = Voe (х — хД р —-6(х2 — *)]• х2 — Xj = at
(25)
находим
р (Р-- ~ Р+\* Г, 1 Р-Р+а2 ,
+ а^г- (i9P+ + 19Р- "I’ 10Р-Р+)Т (26)
К ТЕОРИИ АНТИКЛАССИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
233
Для потенциалов с р+=р- = ро аналогичным обра-
зом находим, что величина рс в формуле (5) определя-
ется условием
рс = шах руЦ р01.	(27)
L r° J
Примером здесь может служить антиклассмческое раз-
ложение для коэффициента отражения от потенциала
V (х) = _____К»____
v w ch2 (х/а)’
а именно:
_ f2fnVQa\2
~ \ йр0 ]
арЛ2 I л2	4mV0 4m2Vg\
лН 3 Pl + Р4о /]
(28)
(29)
Результат (29) может быть получен также из известно-
го [1] точного выражения. Для потенциала
V(x) = VQe-*W	(30)
имеем следующее приближенное значение R:
_ л f 2таУЛ2
(31)
Выше были рассмотрены случаи, когда потенциал
меняется резко вблизи какой-то одной точки на оси X.
Нетрудно видеть, однако, что данный подход применим
и к случаю нескольких различных областей резкого из-
менения потенциала. Здесь есть определенная аналогия
с рассмотрением случая отражения частицы от суммы
нескольких дельтообразных потенциалов.
ДОПОЛНЕНИЕ II
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ
УРАВНЕНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ
КВАЗИПОТЕНЦИАЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ*) [100]
В. В. Бабиков, Г. В. Груша,
Р. М. Мир-Касимов, Н. Б. Шульгина
§ 1. Введение
Среди различных подходов к релятивистской пробле-
ме двух тел мвазипотенциальный метод [101—104] **)
обладает рядом преимуществ. Одним из главных досто-
инств этого формализма является, на наш взгляд, трех-
мерность квазипотенциальных уравнений, что позволяет
использовать привычные представления и методы нере-
лятивистской квантовой механики.
В импульсном пространстве трехмерные ралятивист-
ские уравнения для амплитуды рассеяния двух скаляр-
ных частиц с равными массами . А (р, q) и для волновой
функции относительного движения фд(р), полученные
в рамках гамильтонова формализма квантовой теории
поля [102], имеют вид***)
Л(РЛ) - - V(p, g) + f У	’’ £°‘.	(1.1)
Ч>,(Р) =(2«)’ уТ+р56(р-^)+Л?]'	Х
X^V(p,k^k)dQk. (1.2)
*) В. В. Б а б и к о в, Г. В. Г р у ш а, Р. М. М и р - К а с и м о в,
Н. Б. Шульгина, Конечно-разностные фазовые уравнения в реля-
тивистской теории квазипотенциального рассеяния, ОИЯИ, Р2-6828,
Дубна, 1972.
**) В обзорах [103—104] имеется подробный список литературы
по квазипотенциальному подходу к квантовой теории поля.
***) В данной работе всюду используется система единиц, в ко-
торой Й=с==/п=1, где т— масса частицы.
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
235
Здесь
объема,
d*k
К1 + Af2
лоренц-инвариантный
элемент
V(p, Я)—кв а зипотенци а л, зависящий, вообще
говоря, от энергии £,g=yi+^2.
[Волновая функция связана с релятивистской ампли-
тудой рассеяния вне энергетической поверхности Ep—Eq
соотношением
dQ/г =
% (Р) = (2л)3 /1 4- р2 б (р - q) - 4л	ig—— А (р, q).
(1.3)
Амплитуда А(р, q) удовлетворяет нерелятивистскому по
виду условию унитарности [105]:
ImA (р, q) = Ц-j A\p,k) A* (k,q)d<nk, (1.4)
где — угловая часть трехмерного элемента объема.
Дифференциальное сечение рассеяния выражается
через амплитуду рассеяния на энергетической поверхно-
сти Ep=Et также нерелятивистским соотношением
^ = |Л(Р.»Г	(1-5)
Уравнения (1.2) и (1.3) содержат интегрирование по
трехмерному импульсному пространству Лобачевского.
Они носят абсолютный характер по отношению к гео-
метрии импульсного пространства, т. е. могут быть по-
лучены из своих нерелятивистаких аналогов (уравне-
ний Липпмана— Швингера и Шредингера) путем заме-
ны нерелятивистских (евклидовых) кинематических свя-
зей (выражения для элемента объема, связь между
энергией и импульсом) на их релятивистские (неевкли-
довы) аналоги
Ея = -f -+ Eq = УТф?2, dQk = d*k dQk = -7=Т-
у 1 -f- к
(1.6)
Благодаря тому, что в уравнениях (1.1) и (1.2) ин-
тегрирование ведется по пространству Лобачевского,
оказалось возможным применить аппарат фурье-анализа
на группе Лоренца ((преобразование Шапиро) и ввести
236
ДОПОЛНЕНИЕ II
релятивистское конфигурационное пространство [105].
Уравнение Шредингера в этом пространстве является
дифференциально-разностным уравнением с шагом,
пропорциональным комптоновской длине волны частицы
X (в используемой системе единиц Х=1):
[Яо-2£в+У(г)№(г)=О.	(1.7)
Здесь г=т — релятивистский аналог относительного
радиус-вектора [105] и свободный гамильтониан Но име-
ет вид
. д
H0 = 2chi^+^shi~~^e дг,	(1.8)
где Де,Ф — угловая часть оператора Лапласа. В уравне-
нии (1.7) и далее в настоящей работе рассматривается
случай локального и не зависящего от энергии Eq квази-
потенциала. Это позволяет исследовать в «чистом» виде
эффекты релятивистской .кинематики в задаче двух тел.
На основе дифференциально-разностного уравнения
(1.7) можно построить аппарат, во многом повторяющий
черты квантовой механики [104]. Естественно поэтому
поставить в рамках конечно-разностного уравнения Шре-
дингера задачу о релятивистском обобщении известного
метода фазовых функций, успешно применяемого е кван-
товой механике. Распространение метода фазовых
функций на случай взаимодействия релятивистских час-
тиц представляет особый интерес в связи с актуально-
стью релятивистского рассмотрения ряда задач ядерной
физики, в частности, проблемы нуклон-нуклонного вза-
имодействия [106]. При этом отпадает необходимость
нахождения в задачах рассеяния промежуточного ре-
зультата, каким является, например, волновая функция.
Прямая и наглядная связь параметров рассеяния с
потенциалом позволяет получить в рамках метода фазо-
вых функций известные общие теоремы и приближения
квантовой механики более естественным и простым, чем
обычно, образом. Весьма удобен этот метод также в
практических вычислениях на электронно-счетных ма-
шинах, поскольку решения фазовых уравнений обладают
более монотонным поведением, чем осциллирующие
волновые функции, и алгоритмы решения уравнений
Цонечно-рАзйостйые фазовые уравнения 257
первого порядка проще, чем алгоритмы решения уравне-
ния Шредингера.
В настоящей работе кратко формулируются исходные
конечно-разностные уравнения для радиальных волно-
вых функций (§ 2) и выводятся нелинейные конечно-
разностные уравнения первого порядка для различных
параметров рассеяния: парциальной амплитуды рассея-
ния (§ 3), тангенса фазовых функций (§ 4)-, парциальной
фазы рассеяния (§ 5). В целях иллюстрации аппарата
исчисления конечных разностей каждое из уравнений
выводится независимо и различными способами. В пос-
леднем параграфе даны некоторые обобщения фазовых
уравнений.
§ 2. Конечно-разностное уравнение Шредингера
Релятивистское конечно-разностное уравнение Шре-
дингера для радиальной волновой функции фд((г) имеет
вид [107]
[Я5-2£? + У(г)]ф?/(г) = О,	(2.1)
где Но —радиальная часть свободного гамильтониана
(см. (1.8))
. d
Hr0 — 2chi-~+	dr.	(2.2)
В|ведем операторы конечно-разностного дифференци-
рования Ди Д*:
d
р dr __ i	р dr __ 1
Д =	, Д* = ---------1	(2.3)
и связанные с ними операторы
у = е dr-l-ib,	dx = 1 -НД*. (2.4)
Оператор Но в терминах у и у* записывается в виде
Яо = V + (И V*>	(2.5)
где
(2.6)
238
ДОПОЛНЕНИЙ II
В дальнейшем нам понадобятся правила конечно-раз-
ностного дифференцирования произведения и частного
Д (а (г) 0 (г)) = (Да (г)) 0 (г) + а (г) (Д 0 (г)) +
+ 4- (Да (г)) (Д0 (г)) = (Да (г)) 0 (г) + (Va (г)) (Д0 (г)) =
= (Да (г)) (vp (г)) + а (И Д0 (И, (2.7a)
* а (г) _ (Да ('')) 0 (И — а (О (ДР ('))	/9 7б\
Ъ(г)~	₽(')(?₽('))	•	’
Релятивистскую энергию Eq в непрерывном спектре
удобно параметризовать следующим образом:
Eq=chKq. .	(2.8)
Решение свободного уравнения (2.1), регулярное в
нуле, записывается в виде
8/(г, Х9) = V^-shxJ- 0,+1 (- r)Z+‘ ClL(ch X9).
(2.9)
где rw—обобщенная степень [104]:
Pv (ch %) — функция Лежандра первого рода.
Функции st(r, х) удовлетворяют следующим условиям
ортогональности и полноты:
оо
4- j drsi (г, х)«/’ (г, х') = 6 (х — х'),	(2-11а)
о
оо
4" J d%Sl (r> X) S1 (г'> X) = 6 (г - г').	(2.116)
о
Решение, нерегулярное в нуле, также выражается
через функцию Лежандра
Cl (г, X) = (- l)'s_2—1 (г, х) = -
=	X (chZl). (2.12)
г X	•	Г) Т1’г
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
239
Используется также другая лара линейно независи-
мых решений, выражающихся через функции Лежандра
второго рода
х9)=4 /4sh 1>z+1 <- r>(Z+1) <QX <cM-
(2.13)
Рассмотрим процедуру перехода к нерелятивистско-
му пределу. Для этого следует вернуться к размерным
величинам и произвести замену
% -> arsh — = arsh Хд, (2.14)
где q — волновое число. -
Легко видеть, что формальный нерелятивистский пре-
дел 6 —оо соответствует переходу во всех формулах к
асимптотическим выражениям при
г->-оо,	%->0, r^-^rq.	(2.15)
Функции Si (г, хД Ci (г, хД е(/1,2) (г, Хя) в нерелятивист-
ском пределе переходят в соответствующие решения
уравнения Шредингера*)
St (Г, ха) -> Y1 (^) = ji (qr),	(2.16а)
Ф 2
d(r, х9) - - /N[+2_ (qr) = — nt (qr),	(2.166)
^’2)(r,x?)->±i/?ЯГД.(<7Г)=±<2J6b>
В релятивистской теории рассеяния эти функции иг-
рают ту же роль, что и их нерелятивистские аналоги.
В Приложении I дана сводка важнейших соотношений
для решений свободного конечно-разностного уравнения
Шредингера.
Приведем теперь важнейшие формулы теории рас-
сеяния. Волновая функция ф^(г) является решением
*) Функции ji(qr), tii(qr), h^'^(qr) называют функциями Рик-
кати — Бесселя и Риккати — Ганкеля соответственно.
24G
ДОПОЛНЕНИЕ li
интегрального уравнения
(г) = S/ (Г, х9) + J $+) (Г, г'; Х9) V (Г') 4Р (Г') dr' ~
, ч shy-?C^ st(r,Xp)Ai(p,q)
sl (r> X9) n J Xp ch x9 — ch xp + is’ ( ’ )
где At(p, q)—парциальная амплитуда рассеяния вне
энергетической поверхности:
Ai q} = “ sfc Sdr S‘(f’ Xp) V (f) (r)- (2Л8)
Связь парциальных амплитуд с полной амплиту-
дой А (р, q) задается разложением
A (jp.q) =	2 (2/ + 1) Ai (р, q) Р, (2.19)
Парциальная функция Грина, удовлетворяющая урав-
[Нг0 - 2 ch x?] G/+) (г, г'; х9) = - б (г - г'), (2.20)
имеет вид
б<+) (Г г>. v ч _ _L С	(r'f _
-J V > >f.q) л J ch Xg — ch Xk + »8
- -	f,) ef ’e<? <r’ x’> +
4-0*(r' - r) (r't x9) e(/2) (r, X9) — 0(r + r') e(z° (г, x9) X
X e^\r', x9) -9Ч- r - r') eT(r, x?) e? (r', x9)}. (2.21)
Как и в квантовой механике, выражение (2.21) пред-
ставляет собой комбинацию решений свободного урав-
нения Шредингера с тем существенным отличием, что
вместо обычной ступенчатой функции 0(г) в него входит
ее конечно-разностный аналог 0(г) (см. Приложение II).
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ	241
Из уравнения (2.17) находим, что	имеет сле-
дующую асимптотику при г—>оо [107]:
drx ——1
•ф(аР(г)«8Ш^х9 — ^ + Ai(q,q)e\ 9 2(2.22)
В полной аналогии с квантовой механикой введем
фазы рассеяния и диагональные элементы S-матрицы
(г) « el6‘ sin (гХ9 - 4 + в,),	(2.23)
5Z (q)	= 1 + 2iA, (q.q).	(2.24)
Условие унитарности (1.4) приводит к следующему
выражению для парциальных амплитуд:
Im Л, (7, <7) = кШ <7)12	(2.25)
и матрицы рассеяния:
Ш (?) = 1,	(2.26)
что равносильно требованию вещественности фаз.
§ 3. Уравнение для тангенса фазовой функции
В нерелятивистском методе фазовых функций тан-
генс фазовой функции
^(r)=tg6J(r)	(3.1)
удовлетворяет уравнению
tt(г) = - V (г) [jt(qr) - tt (г) n^qr)]2, tt(0) = 0.
м./	If
(3.2)
Выведем релятивистский аналог (3.2). С целью по-
лучения конечно-разностного уравнения для тангенса
фазы запишем радиальную волновую функцию ф^г)
в виде
ф(?р(г) = Е[ (q, г) s( (г, xe) + Dt (q, г) ct (г, х9),	(3.3)
где Et(q, г) и Dt(q, г)—неизвестные пока функции. Из
формул (2.17) и (2.21) нетрудно получить следующие
16 в. В. Бабиков
242
ДОПОЛНЕНИЕ II
выражения:
£/(<7, ') =
= I - J {- ist (г',	+ [б (г - г') - 0 (г + г')] ct (г', %в)} х
А(</.г) =
= П1 - §(r-r')-Q(r + r')\si (г', Xg)
t)	I х > t
0
(3.5)
Дифференцируя разностным образом соотношения
(3.4) и (3.5) in учитывая тот фякт, что дельта-функция
б(г+И не дает вклада, получим
. „ ,	\	С,(Г- Ч’Р (r) V (Г)	/О й\
Д£'<’’г) =-------------------- (3'6)
Л П /	\ sl (Г’	(r) v (Г)	/о 7\
Ы>‘<4.') =------«тта—	<3-7>
Умножим (3.6) на Dt(q, г), (3.7) на Et(q, г) и вычтем
получившиеся выражения друг из друга. Пользуясь со-
отношением (2.76), придем к следующему равенству:
И = - ^77)' [Sz (r’x«) + tl {q'r} Cl (r’^)12’
(3.8)
где
-Ж!-	<3-9’
KA	(Я* Г)
Множитель	,—V	можно исключить, воспользо-
(я, r)
вавшись формулой (3.6)
yEi (q, г) = Ei (q, г) — ikEi (q, r) =
= Ei (q, r) 1 +	[Sz ('Г’	+ tl Cl X^1] ’
(3.10)
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ 243
Окончательно получаем конечно-разностное уравне-
ние для tt(q, г) в виде
Л/ (п - V О')k(r,x ) + П (?, г) (г, xg)P
(3.11)
с начальным условием tt(q, 0)=0.
Уравнение (3.11) в нерелятивистском пределе пере-
ходит в (3.2).
§ 4. Уравнение для парциальной фазы рассеяния
В данном параграфе при выводе уравнения для фа-
зы рассеяния мы используем другой эквивалентный ме-
тод— конечно-разностный метод вариации постоянных
(ср. [107]). С этой целью введем в рассмотрение две
новые функции б((г) и 7<((г), положив
Ф?°? (г) = Ki (г) [cos (г) Si (г, х9) 4- sin 8i (г) а (г, %?)]. (4.1)
Поскольку мы вместо одной неизвестной функции фд°? (г)
ввели две функции б((г) и Ki(r), очевидно, что мы долж-
ны наложить некоторое дополнительное условие. Потре-
буем (выполнения этого условия в виде
Д(К,(г) со8б,(г))$,(г, Х,)4-Д(/С<(г) sin б, (г)) с, (г, х«)=°>
(4-2)
или, эквивалентно,
Д *(Kt(г) cos6z(г)) v*Si(r, х«) +
+Д * (К (г) sin б, (г)) V	(г, х«) = 0	(4-3)
С учетом дополнительного условия Д-производная вол-
новой функции имеет вид
Дф<°? (И = V (X/ (г) cos б,(г)) ДЗ/ (г, Х<?) +
+ V (Ki (г) sin б/ (г)) Дс/ (г, х9) •	(4.4)
Далее, используя (4.2) и уравнение Шредингера со
свободным гамильтонианом Нг0 в виде (2.5), будем
16*
244
Догтолнёнйе ii
иметь
V ^°? (И = 4" Д (^ (r)cos 8‘ (f)> V St (г, xe) +
+ -у- д (Kz (Г) sin 6Z (г) V Cl (г, хв) -
-^(r)V*<?(r) + 2£(Z<?(r)I	(4.5)
V* (г) = (Ki (г)cos 6/ (г)) v* 8/ (г, х9) +
+ (Ki (г) sin б/ (г)) v* ci (г, х9) = 0.	(4.6)
Подставляя (4.5) и (4.6) в уравнение (2.1), получим
Д (/(;(/) COS б; (г) )VS; (г, Х«)+
4- Д (Kz (г) sin 61 (г)) у ci (г, xe) = — iV (г^°? (г).
(4.7)
Из (4.2) и (4.7) вытекает система разностных урав-
нений для Кг (г) и б((г):
А . v , . о , ..	V (г)	(г) Cl {г, хч)
Д (К/ (г) cos б/ (г)) ------------^;(Г) -)-,	(4.8)
Д (К/ (г) sin б/ (г)) =-Xg)— .	(4.9)
Исключая из (4.8) и (4.9) величину К (г), получим
следующее уравнение для фазовой функции:
tg [i Д6Z (гД = i [sz (г, х9) cos 8{ (г) +
+ ci (г, xe) sin 81 (г)]2 р + i 1si (г.хДсоз б/ (г) +
+ ct (г, хд) sin 8t (г)] [s/ (г,х9) sin 6z(r) — ct (r,xg) cos 6Z (r)]}-.
(4.Ю)
Граничным условием для этого уравнения является
б,(0)=0.	(4.11)
В нерелятивистском пределе уравнение (4.10) пе-
реходит в известное фазовое уравнение квантовой
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
245
механики
ft б/ (г) = —	[/z (qr) cos 6Z (г) - nz (qr) sin 6/ (r)]2. (4.12)
Для функции Kt(r) получаем уравнение
AKi(r)+^I(r)K,(r)=0,	(4.13)
где величина ^i(r) имеет вид
Pl (О = 1 — {1 +	[Sz(г’	cos (r) +
+ (r, x9) sin Sz (r)l [sz (r, x9) sin 6Z (r) - cz (r, %e) cos 6Z (r)] —
- ^7^— to (r> %«)cos 8 * * *i (r) + ci (r> %?)sin 8‘ <r)l2 * x
x[sz(r,x9) + cz(r,x9)]}1/2- (4-14)
В отличие от фазового уравнения (4.10) уравнение
(4.13) линейно. Величина ^(г) зависит от фазовой
функции 6/(г). В случае, когда известно решение урав-
нения (4.10) 6Z(г), для Ki(r) получается замкнутое вы-
ражение	4
Ki (/^expjif [0(r- г') - 9(-/•')] In [1 - i#i(r')]dr' .
’	(4-15)
Выражение (4.15) имеет правильный нерелятивист-
ский предел.
§ 5. Уравнение для парциальной
амплитуды рассеяния
В нерелятивистской теории рассеяния фазовые урав-
нения (3.2), (4.12) могут быть получены также путем
варьирования соответствующих параметров рассеяния
по радиусу обрезания потенциала
V(r', r) = V(r')Q(r-r'),	(5.1)
что позволяет придать фазовым функциям ясный физи-
246
Дополнение и
ческий смысл параметров рассеяния на определенной
части потенциала.
Ниже показывается, что в релятивистской квазипо-
тенциальной теории рассеяния существует формальное
обобщение «обрезания» потенциала (5.1), приводящее
к тем же релятивистским фазовым уравнениям, которые
получены в предыдущих параграфах. Это будет проде-
монстрировано на примере уравнения для парциальной
амплитуды рассеяния.
Рассмотрим общий случай потенциала V(r', г), за-
висящего от некоторого параметра г. В этом случае
волновая функция	и парциальная ампли-
туда 'рассеяния А(р, q, г) также зависят от данного
параметра.
Продифференцируем 'разностным образом по пара-
метру г соотношение (2.18) и уравнение (2.17). С учетом
правил Д-дифференцирования (2.7а) найдем
АЛ (р, q, г) =
оо
= -	J з; (г', х9) [ДV (г', г) 1|>(+) (/, г) +
* о
+ ?У(г',г)Дф(+)(Лг)]^, (5.2)
г) =
=J G(/+) « г"; %в) [ДУ (г", г) ф<1> (г", г) +
+ Vу (г", Г) Дф^ (Л И]dr". (5.3)
Интегрируя соотношение (5.3) относительно Дф^Хг'.г),
получим ряд
= У G(z+) (г', г"; хд) ДУ <Л г) ф^Р (г", Г) dr" +
О
+ f G/+)(r', г"; х9) УУ (г", r)G^(r", г"') х
О
х ДУ (/", г) q^dS'dr"' + ... (5.4)
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
247
После подстановки ряда (5.4) в (5.3) находим
АЛ (р, q, г) = — j f dr' [в? (г', %в) +
4- J dr"si (г", %p) vV (r", r) G(z+) (r", r', x9) +
0
+ f dr"dr"'si}(r", XP)vV(r"',r)G(z+)(r'",r";x9)vV(r",r)x
xGz+)(r", r';x?)+ • • •] AV(r',r)i|4P(r',r)}. (5-5)
Рассмотрим теперь уравнение
№ = Si (r', %9) + f (r", r) v (r", r) G(z+) (r", r'; Xp) dr".
0
(5.6)
На энергетической поверхности p=q уравнение (5.6)
эквивалентно уравнению (2.17). Действительно, умно-
жая (2.17) на величину v;(r) (ом. (П.1.10)) и учиты-
вая соотношения
4 (r,Xp) = vz(r)sz(r,xP),
G/+) (г, г'; хР) = ^G(z+) (г', г; Хр),
получим
г) = si (г'-, х?) +
8
+ f (г", г) V (г", г) G(z+) (г", г'; х9) dr", (5.8)
О
где через (г', г) обозначена величина
(г', г) = vz (г')	(г', г) = $9р;(г', г).	(5.9)
Легко видеть, что выражение в квадратных скобках
в (5.5) есть не что иное, как итерационный ряд для
248	ДОПОЛНЕНИЕ п
й
величины	г)> удовлетворяющей уравнению t
Йм? (г',’г) = Si (г'; хР) +	|
+ J V^t/ (Л г) V V (г", г) (г", г'-, х?) dr". (5.10) |
о
Таким образом, приходим к следующему представлению
для величины \At(p, q, г):	1
1;
, ОС	. 1
длZ (Р,	(г'> О ДУ « О « '')>'•
М	Ч
(5.И) |
Подчеркнем, что соотношение (5.11) справедливо ‘
также вне энергетической поверхности p=q. Оно задает
своеобразный способ выхода за поверхность энергии. :
В дальнейшем мы будем интересоваться только вели-
чинами на поверхности энергии. Формула (5.11) прини- ;
мает в этом случае вид
лл/ \ _ С r)AV(r'’r)4t)('',’r)dr/
л 1 {q> r) ~ J	’
Ai(q,r) = Ai(q,q-,r).	(5.12)
Выберем «обрезание» потенциала V(r', г) в виде
V(r', r) = V(r')Q(r-r')Q(r+r')[l-Q(-r-r')], (5.13)
имеющем правильный нерелятивистский предел (5.1).
Таким образом, V(r', 0) =0, V(r',oo) = V(r'). Для потен- ;
циала (5.13) с учетом (П. 2.6) находим из (5.11)
&Ai(q, г) = Vf(r7X<?) v	~r V (r) 6(2r)x
x[l -6(-2r)]^t)(r,r). (5.14) ;
Пользуясь тождеством (П. 2.6), можно показать, что
фактор 0(2г)[1—0(—2г)] является несущественным для
физических величин и его можно опустить.
Из уравнения (2.17), с использованием (2.18),
(П. 2.8), (П. 2.6) и учетом зависимости волновой фунц?
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
249
дни и амплитуды рассеяния от параметра обрезания,
(r'> г) = Bl (q'r', г) [$/ (/, xe) + Al (q, г', г) е<р (г', Хр)],
(5.15)
причем
BAq, г, r) = l, At(q, г, г) =At(q, г),	(5.16)
Разрешая теперь уравнения (5.4) относительно
ДД(</, г), получим конечно-разностное уравнение для
амплитуды рассеяния в виде
АЛ/ (qt г) =	[S/ <r’	+ Al	Ф <r’ X?)]2 x
x 11 +~~F7/y <r> + At г>><r>	<5,17>
I	l\ ’ Lq)	J
с начальным условием Ai(q, 0)=0. В нерелятивистском
пределе (5.17) переходит в известное дифференциальное
уравнение для парциальной амплитуды рассеяния
Тг А‘ (Я, г) = - [b (qr) + iAi (q, г) й(') (^)]2. (5.18)
Легко проверить, что из условий связи параметров
рассеяния
Л, (л г\—	/ -(п г\ = Л/(7, г)
(^» )	1— iti(q,r)’ 1^Я> ) l-]-iAi(q,r) (5.19)
At (q, г) = el6i(r) sin 6Z (r), it (q, r) = tg 6/ (q, r)
следует эквивалентность уравнений (5.17), (4.10) и
(3.11). Учитывая формулу
Ai(q,r) = ^^—L	(5.20)
получаем также уравнение для диагонального элемента
матрицы рассеяния St(q, г):
&Si (q, г) = ±	> (г, х?)- Si (q, г) (г, Хв)]2Х
х {1 -V2W^r(^~ [е(/2> (Г’	~ Sl Г} (Г’
с начальным условием St(q, 0) = 1.
250
ДОПОЛНЕНИЕ II
В нерелятивистском пределе (5.18) переходит в урав-
нение
г) = -1 у (г) [Л</> (qr) + Si (qt г) № (qr)] \ (5.22)
Учитывая свойства симметрии (П. 1.5) и (П. 1.11),
получим формулы
6,(Л -ь)=-^(г, ь).	(5-23)
S/(г, Xe) = S7"1 (г, Хв),	(5.24)
нерёлятивистские аналоги которых хорошо известны.
Параметры квазипотенциального рассеяния удовлет-
воряют для вещественных потенциалов условию унитар-
ности (1.4). Введенные выше фазовые функции соответ-
ствуют параметрам рассеяния на комплексном потен-
циале V(r', г) (5.13), мнимая часть которого асимптоти-
чески при г—>.оо обращается в нуль. Поэтому условие
унитарности выполняется только для асимптотик фазо-
вых функций t^q, r)f 8i(q, г), Ai(q, г), St(q9 г), являю-
щихся физическими параметрами рассеяния:
lim [tt (q, г) — t\ (q, г)] = 0, lim [6/ (q, г) — 8* (q, г)] = 0,
r—»oo	Г—>00
I	A,(q, г) A*, (q, г)
lim Im AU, г)------------1	 =0.	(5-25)
r-*oo |_
lim [St(q, r)- S* (q, r)] = 1.
r-*oo
§ 6. Обобщенные конечно-разностные
фазовые уравнения
Можно рассмотреть, подобно тому, как это сделано
в квантовой механике, более общие формы фазовых
уравнений. Пусть в исходном разностном уравнении
Шредингера потенциал V(r) разбивается на две части
У(г)=Г(г)+№(г)	'	(6.1)
таким образом, что два линейно независимых решения
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
251
уравнения
Г	-
2chi-£ +-777Т7РГ + Г(г) ^1’2)(г,хв)=2£9У(/'2)
аг г yr j ъ j	j
(G Х9)
(6-2)
известны.
Асимптотические выражения для этих функций пред-
ставляются в стандартном виде
Y? (г, %д) sin (rig — у + Hz (xe>)» г 00» (6.3а)
у(/2) (G Х«) ~ cos [r^g — j + Hz (х9))> г -» оо, (6.36)
где Hi(x«)—фазы рассеяния в потенциале W(r).
Будем использовать решения Y\<} (г, хв) и„У(;2)(г, х9)
в качестве базисных функций вместо функций sz(r, х).
с,(г, х), отвечающих свободному движению, и представим
волновую функцию фаг (г) в виде
(Г) = аг (г, х9)	(г, хв) + 0/ (г, х«) Y^ (г, хв). (6.4)
Для дальнейшего удобно ввести следующие обозна-
чения:
а / (г, у \
tg р/ (г, %q) — рдТТх^)	Xl	(6-5)
Очевидно, волновая функция фд/(г) имеет асимпто-
тику
ЧРС''. %ff)«az(oo,X?)sin[rxe-y + Hz(X?)+pz(oo,X?) ,
(6.6)
так что полная фаза рассеяния на потенциале (6.1)
равна
Мх«)=рЛ°о, Х«)+Н/(Х«)-
(6.7)
252
ДОПОЛНЕНИЕ II
По аналогии с (2,21) введем функцию Грина для
уравнения (6.2)
(г, г ; х9) = - г[У</>(г\хХ'2)(г'’М] Х
X {0 (г - г') И1’ (г, Х9) У(? (г’, х9) - У?’ (г, Х9) VW', х9)] -
-&(/• + г') [У*/> (г, х9) У(/2) (/, %9) + У(/2) (Л Х9) У^ (г', х9)] +
+ У{'Чг', хя){У?\г, х9) - iY?y(r, х9))). (6.8)
Волновая функция ф^(г) удовлетворяет интеграль-
ному уравнению
оо
(Г,	= У(/!) (Г, х9) + J G& (г, г', х9) Г (Г') ф(,р (/-') dr'.
6 .
(6.9)
Используя (6.8), получим по аналогии с § 3 конечно-
разностное уравнение для тг(г, /9):
(г, х9) =	[У</° <г>	+ Т/ (г>	Г</2) (г’ х
X{1 + i	[У</1)(г>+ х‘(г, Хв)У®{г, хв)]}
(6.10)
с начальным условием tz(0, %д)=0.
Функция ai (г, %з) удовлетворяет линейному уравне-
нию
Даг(г, x9)+ia((r, x«)^(r)=°,	(6-H)
где величина ^i(r) получается из выражения (4.14)
заменой
st (г, Хя) У/0 (г, х9), с/ (г, х9) У/2) (г, Х«)-
Решение уравнения (6.11) имеет вид (4.15),
Рассмотрим два частных случая.
Пусть W(r)—q]r — кулоновский потенциал. Тогда
У(1* (г> Х9)» У^ (г> Х«) линейно независимые решения
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
253
разностного уравнения
Г	f d 1
9 ch i -L -L <«+»	+ - K(/’2)(r, 7fl) =
2ctlId7' r(r+i)	T r J 1 к,л?'
= 2chX,-y(/'2)(r,Xj. (6.12)
Решение Y^ (r,Xg) уравнения (6.12), регулярное при
r=0, найдено в работе [107]; оно имеет вид
W (г, х.) = W (хг) eir^ (- г)(Ж> X
X F (I + 1 + it], — ir+l +1, 21 + 2, 2sh xe~x), (6.13)
где &(x9) —нормирующий множитель, n = — 2s^~-
Второе решение У12)(г, X«) можно получить из (6.13)
путем замены I—>—I—1. Напомним, что линейно неза-
висимые решения свободного уравнения s((r, х«) и
с;(г, %«) также связаны этой заменой. Второе решение
имеет вид
^2)(г, хв) = сГ(х«)(- г)("° X
v, F (- / + ЙЬ —ir — l, — 21, 2 sh %е~х) ,fi ...
X	Г(— 2.1)	• ' ' >
Асимптотика функций У(/,2)(г, хв) при г—>-оо такова:
YV’ (г, х9)» sin [rx9 - П In (2r sh хв) - -у- + о/ (х?)], (6.15)
Y^(г, xe)«cos|гх?- П In(2rsh х?) —у + <У/(х«)], (6.16)
где
/х 1 -Г(/+1-МП)	/с
о/(Х.)= 2arg r;fTi Гф	(6.17)
Рассмотрим теперь потенциал
У(г)=Г(г) + ^-.	(6.18)
Полная фаза рассеяния при этом потенциале имеет
вид
6/—рг(оо, xJ+МХя)— nIn(2гshх»)•	(6.19)
254
ДОПОЛНЕНИЕ II
Рассмотрим теперь в качестве W(г) центробежный
потенциал
=	'	(6.20)
Уравнение Шредингера (6.2) имеет тогда вид
2ch(i4)-r<I'2)(r>X9) = 2chX?-^1’2)(r,X?), (6.21)
а его решения равны
^(1) (г, х?) = sin г^д, г(2) (г, х?) = cos г^д. (6.22)
Фаза рассеяния записывается следующим образом:
_6/ = Р/(оо,Х9)Н-4*	' (б-23)
Волновую функцию для полного потенциала V(r)
следует тогда искать в виде
(Г) = Al (г) sin [rxff + pz (г, х9)].	(6.24)
. Фазовая функция р((г, х?) удовлетворяет уравнению
tg [zApz (r,x9)] = |f^sin2 (rx9 + Pi (г, X9)] X
X {1 +^^si l [2(rx<z + P/(r> X9)]j—1 (6.25)
с граничным условием p/(0, x«)=0.
В нерелятивистском пределе уравнение (6.25) пере-
ходит в известное фазовое уравнение
Pi (г, — sjn2 {rq + pz (r, q)).	(6.26)
§ 7. Заключение
В данной работе изложен общий подход к выводу
нелинейных конечно-разностных уравнений первого по-
рядка в рамках релятивистского метода фазовых функ-
ций. Этот метод является непосредственным обобщением
соответствующего метода квантовой механики. Нелиней-
ность данных уравнений носит несколько более сложный
П. I СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 255
характер по сравнению с нерелятивистским случаем.
Тем не менее они позволяют в принципе вычислять по
заданному потенциалу взаимодействия двух релятивист-
ских частиц некоторые параметры рассеяния: амплитуду
рассеяния, фазы рассеяния, тангенс фазы рассеяния.
Нетрудно, исходя из этих уравнений, вывести, аналогич-
но нерелятивистскому случаю, также уравнения для
других параметров рассеяния: длины рассеяния, эффек-
тивного радиуса и т. д. [108]. Заметим, что использован-
ная форма обрезания потенциала (5.13) вследствие
(П. 2.4) содержит мнимую часть. Следовательно, даже
для вещественного потенциала Р(г) при конечных г фа-
зовые функции не удовлетворяют условию унитарности.
Очевидно, однако, что асимптотически при г—>оо уни-
тарность выполняется.
В последующей работе [108] йспользуётся модифи-
цированная форма обрезания потенциала, при которой
условие унитарности выполняется для всех значений
«радиуса обрезания»; Различные физические приложе-
ния релятивистского метода фазовых функций, некото-
рые приближенные методы и исследование релятивист-
ских поправок к параметрам рассеяния приведены в
[Ю8].
Авторы приносят благодарность В. Р. Гарсеванишви-
ли, А. Д. Донкову, Е. П. Жидкову, В. Г. Кадышевскому,
М. Д. Матееву, А. Н. Тавхелидзе и И. Т. Тодорову за по-
лезные обсуждения.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Свойства решений свободного уравнения Шредингера
Асимптотическое поведение решений при г—>оо,
Si (г, х) ~ sin I - —1, Cl (г, х) « cos I г/ — —1,
(П.1.1)
256
ДОПОЛНЕНИЕ 11
Связь между двумя парами Линейно независимых
решений:
е(/’2) (G Х)’= ci (G %) ±.is‘ (r> Х)-	(П.1.2)
Правила комплексного сопряжения:
St (г, х) = vi (r) S1 (г> х). С*1 X) = vz (И С1 х)>
е(/'2)* (г, X) == vi (/}^2,1)(G Х)>	(П.1.3)
где
=	(П.1.4)
В нерелятйвиСтском пределе v;(r) = l.
Свойства симметрии:
si (г, — %) = (— 1)ж si (г, х), ci {г, — х) = (- 1)' ci (г, х)»
е(?'2)(г,-х) = (-1)'^’,)(/-.Х).	(П.1.5)
Рекуррентные соотношения zt(r, х) обозначают лю-
бую из функций si (г, х), ci (г, х), еПч)):
(г, x) + (z>—1~ 1)г<+1(г, х) =
=/cth%- (2/4-l)z((r, х).
iJ-	-t—
(ir-\- l)(ir + /4- l)e dr2i(r, x) — ir(ir — l)e dr-zi(r, x) =
= 2r(zr—l)shx-z<+i(r> x)>
Г	. d	t 1
L(xr-f- l)(ir — l—\)e dr — ir(ir — l)e dr JZ/(r> X) =
= — 2r(ir— l)shx-zz-i(r,x), (П.1.6)
Г	1
L(ir+ l)e dr — (zr — Z) ch x]z{(r, x) = (r + »)sh %-2i+1(r, x),
[	. d I
(zr 4-'Z + 1) ch x — ire dr ] zt (r, x) =
= — i(ir - I — 1) sh x • zt+i (r, x),
Г	^41
_(ir— 1)ch % —(Zr — /— l)e dr\zi(r, x) =
= — z (ir — 1) sh x • zt-i (r, x)
Г ____• d	1	»
\ire dr — (ir — Z) ch Xjzi (r, x) = — i (ir + Z) sh x • zz-i (r, x)-
П. I СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
257
Функции si, ci, е\ ,2\ как и их нерелятивистские ана-
логи (2.16), выражаются через элементарные функции.
В частности, при /=0 имеем
so(r. 7.) = sinrx, <:ro(G%) = cosr%, 4’'2)(r, х) = e±ir*.
. (П.1.7)
Решения с выражаются через s0> Со и $,2) при
помощи соотношений
г> I'-.Z)- ( -	(П.1.83)
z,<r-z>=~<iSi>(^sh;M£1^i)-	(ПЛ8б)
В исчислении конечных разностей показано, что два
решения г(1)(г) и z(2> (г) линейно независимы, если опре-
делитель
(г)	(г)
Г(2О),г<2))=	... /	,,,U	(П.1.9)
Дг(1)(г) Дг(2)(г)	'	’
отличен от нуля. Вронскианы решений свободного урав-
нения Шредингера имеют вид
№(з/, ci) = W \si, е<?’2)) = Т W (е(/’2), сг) =
= 4- W =-^ = Wt(r, х). (П. 1.10)
В нерелятивистском пределе А—и (П. 1.10) ,пе-
реходит во вронскиан решений свободного уравнения
Шредингера jt(qr) и n^qr), равный q.
Отметим также, что вследствие (П. 1.5) справедливо
равенство
-X,).	(П.1.11)
I 7 В. В. Бабиков
258
ДОПОЛНЕНИЕ II
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Свойства 0-функции
Как и в квантовой механике, релятивистская функ-
ция Грина (2.21) представляет собой комбинацию реше-
ний свободного уравнения Шредингера. Однако вместо
обычной ступенчатой функции
1,
О,
г > О,
г<0
(П.2.1)
в это выражение входит величина 0 (г) [104]. Эта величи-
на является конечно-разностным обобщением ступенча-
той функции (П.2.1). Она определяется интегральным
представлением
i J тгзгтп <п-2-2>
и удовлетворяет уравнению
Д0(г)=б(г).	(П.2.3)
Из интегрального представления (П. 2.2) следует,
что 0(г) имеет мнимую часть
1ш0(г) = 4"6(г),	(П.2.4)
а также что справедливо соотношение
0(г)+0*(-г) = 1.	(П.2.5)
Можно так определить произведение обобщенных функ-
ций 0(г), чтобы аналогично нерелятивистскому случаю
выполнялись равенства
е(/-)е(г)=0(г), 0(г)0’(-г)=О.	(П.2.6)
Различные представления функции Грина
С помощью формул (П.1.2) и (П.2.5) функцию Грина
(2.21) можно представить в виде комбинаций различных
пар независимых решений релятивистского уравнения
п. II свойства ^-функции
259
Шредингера
$+)(r, г'-, Xg) = -	, Xg) {6 (г - г') [sz (г, x9)cz(r', хв)-
- ci (г, Хд) si (г1, х?)] - 0 (г + г') [sz (г, хг)ci {г', х9) +
+ ci (г, xe) sz (г-'.х*)] + si {г', х9) {ci {г, х?) — ist (г, х9))|;
(П.2.7)
G/+) (г, г'-, Х(7) = - -^-(-rUXg) {0 (г - г') 4° (г, %q) si {г', х?) +
+ 0* (г' — г) e(/0 {г', хя) si {г, хг) 4- 0 (- г — г’) х
X[2isz(r, x?)sz {г’, X^-^’V.X^SzCr'.X^)-
-^1)(ЛхХ'-.Хв)П.	(П.2.8)
17*
ДОПОЛНЕНИЕ Ш
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
РЕЛЯТИВИСТСКИХ ФАЗОВЫХ
УРАВНЕНИЙ*) [108]
В. В. Бабиков, Г. В. Груша,
Р. М. Мир-Касимов, Н. Б. Шульгина
§ 1. Введение
Как показано в работе [100] **), известный кванте
вомеханический метод фазовых функций удается рас<
пространить на случай релятивистского квазипотенщг
ального [101—102] рассеяния двух скалярных частиц
в его конечно-разностной формулировке [104, 105, 107].
Соответствующие уравнения для фазовой функции,
тангенса фазовой функции; парциальной амплитуды
рассеяния и элементов диагональной по орбитально-
му моменту S-матрицы являются конечно-разностны-
ми уравнениями первого порядка, обобщающими диф-
ференциальные фазовые уравнения нерелятивистской
теории.
Представляет значительный теоретический и практи-
ческий интерес найти и исследовать для релятивистских
разностных фазовых уравнений случаи точного их реше-
ния, а также различные приближенные методы, напри-
мер, теорию возмущений.
Известно, что метод фазовых функций является очень
удобным для этой цели аппаратом, поскольку его
уравнения формулируются непосредственно для тех
величин, которые являются объектам исследования в
задачах рассеяния.
*) В. В. Б а б и к о в, Г. В. Г р у ш а, Р. М. Мир-Касимов,
Н. 16. Шульгина, Приближенные методы решения релятивист-
ских фазовых уравнений, ОИЯИ, Р2-6829, Дубна, 1972.
**) См. также [109].
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ 261
В настоящей работе полученные ранее [100] реляти-
вистские фазовые уравнения используются при получе-
нии разностных уравнений для параметров рассеяния
на короткодействующих потенциалах, в первую очередь
для длины рассеяния и эффективного радиуса, при
точном учете релятивистской кинем1атики (§2). В § 3
используются некоторые случаи точного решения реляти-
вистских фазовых уравнений, представляющие опреде-
ленный физический интерес. Переход к нерелятивистско-
му пределу и вычисление первых релятивистских попра-
вок к физическим величинам проводится в § 4. В § 5
развиваются теория возмущений и метод линеаризации
(модифицированная теория возмущений).
§ 2. Рассеяние релятивистских частиц
на короткодействующем потенциале
В нерелятивистской квантовой механике тангенс фа-
зы рассеяния на короткодействующем потенциале (ра-
диус действия /?) может быть разложен в ряд по степе-
ням безразмерного параметра qR]h. Ограничение двумя
первыми членами этого разложения приводит к известно-
му приближению эффективного радиуса. В релятивист-
ской задаче имеется дополнительная величина, обладаю-
щая размерностью длины,— комптоновская длина волны
частицы X = njmc. Вообще в теории рассеяния реляти-
вистских частиц, базирующейся на разностном уравнении
Шредингера, фундаментальную роль играет релятивист-
ский масштаб длины для данной частицы — комптонов-
ская длина ее волны. Поэтому здесь разложение носит
несколько иной характер, хотя, естественно, имеет пра-
вильный нерелятивистский предел.
В дальнейшем удобно ввести в релятивистской зада-
че величину Q, соответствующую энергии относительно-
го движения в нерелятивистско1М случае
Q = 2(£s-l) = (2sh-^]2,	(2.1)
где используется обычная для данного формализма па-
раметризация полной энергии двух взаимодействующих
частиц
2E,=2ch
(2.2)
262
ДОПОЛНЕНИЕ III
Таким образом, аналогом нерелятивистского импульса
относительного движения является здесь величина 2 sh
2 •
В нерелятивистокой задаче функция тангенса фазы
разлагается в ряд по степеням импульса следующим об-
разом:
ti(r,q) = tgbi(r;q) =
+ (2-3)
В релятивистском случае аналогичное (2.3) разложение
имеет вид
tl(f. Xe) = — (2Z 4- 1)1| (2Z— 1)!! а‘п(2 Sh “J
(2.4)
Тот факт, что в разложения (2.3) и (2.4) входят только
нечетные степени соответствующих импульсов, отражает
свойство нечетности фаз как в нерелятивистском.
6z(r, —q^-S^r, Та:к и в релятивистском случае
МЛ —%<,)=—&(Л %«)•
Для короткодействующего потенциала основную роль
в рассеянии играют состояния с малыми орбитальными
моментами 1=0, 1, 2. Первые коэффициенты atn(r) раз-
ложения (2.4) связаны с известными физическими пара-
метрами рассеяния. В частности, при 1=0 величина
аоо(г) является релятивистским обобщением длины рас-
сеяния, а величина р0 (г) = 2а01 (г)/«оо (г) — соответству-
ющим обобщением эффективного радиуса.
Имеет смысл остановиться на этом вопросе подроб-
нее. В нерелятивистском случае короткодействующим
считается любой потенциал, спадающий при г->оо по
крайней мере экспоненциальным образом, V(г) л?
«О(е~цг), где ц>0—произвольная величина, т. е. по-
тенциал, имеющий конечный радиус действия 7?—у,-1.
Действительно, тогда коэффициенты а;„(г) разложения
(2.3) имеют порядок р-2п, так что безразмерным малым
параметрам является величина (д/р)2.
Можно получить тот же самый ряд, если в формуле
(2.4) воспользоваться разложением величины 2sh(x,/2)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИИ 263
по степеням q и ограничиться первыми его членами, что
равносильно переходу к нерелятивистокому пределу.
Если же мы хотим учитывать релятивистскую кинемати-
ку точным образом, то не следует ограничиваться в (2.4)
малыми значениями величины 2 sh(x?/2), а необходимо
полагать малой величину 2?/.Х, где 7? — радиус взаимо-
действия. Тогда коэффициенты ain(oo) имеют порядок
(/?/Х)2п и истинным параметром разложения является
величина
42sh4<I.	(2.5)
Поэтому при сохранении точной релятивистской кинема-
тики для сходимости ряда (2.4) мы должны потребовать
выполнения условия малости радиуса действия потен-
циала по сравнению с комптоновской длиной волны
Я/Х<11.	(2.6)
Для потенциалов типа потенциала Юкавы, играюще-
го особую роль в теориях взаимодействия элементарных
частиц, радиус его действия непосредственно связан с
массой р обмениваемой частицы:
R =hl\i'C.
Очевидно, что условию (2.6) удовлетворяют потен-
циалы, возникающие за счет обмена частицами с массой,
большей массы рассеиваемых частиц
щ/р<1.	(2.7)
При получении искомых уравнений для коэффициен-
та aini(r) разложения (2.4) будем исходить из получен-
ного в [100] конечно-разностного уравнения для танген-
са фазовой функции
(г, Х«) =	[s/ (г, xff) + ti (г, х?) ci (г, xe)]2 X
(V (г) а (г у )	'i —1
1 + 1 ~гйг, yj (r’ X?) + tl tr’ Xg)Cl (r> Xg)]} • (2-8>
Функции st(r, %q), Ci(r, %«) и их вронскиан И7((г, х<3
264
ДОПОЛНЕНИЕ III
4
представимы в виде степенных рядов	|
Si (Г, х9) = У Sh xq (- 1)ж (- Пг+1 P~l7J. (ch х,) =	•
= (ch¥riSz"(r)(2sh^r+2Z+1’ (2>9) ;
с, (Г. Х„) = /1 sh г, (- г)<~» p'+j (ch 7„) -	
о "Г*г	-I
j
= (ch ’М+‘ 2УМ (2 sh &\2П~1, (2.10)
'	'	/2=0	'
где
1^(_Г)(Ж)(_ 1}ж (r + .L\M (_ r + -L-p
Sln=----------------4-;—-------------(2.П) :
22n+H-lr b_|_	+„ „1	;
I z /
r + -y	—
=-----------v .	-------L_.	(2.12)
22n-'r — -/ + « n!
В формулах (2.9) — (2.12) используется следующее обо-
значение обобщенной степени [104]:
.	(2.13)
В дальнейшем потребуется также разложение
vS (—1)п г(—+ «)
Cha = У------------А------------(2 sh У)-'1. (2.14)
2	Г --у-Ь2'г«!	2/
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИИ
265
В частности, для вронскиана Wz(r, %g) имеем

« (_1)НГ	+ n
У------- /" 1 А Х
U55 П\ 22ПГ -у ]
x^shM^1. (2.15)
Подставляя разложения (2.4), (2.9), (-2.14), (2.15) в урав-
нение (2.8) и приравнивая коэффициенты при одинако-
вых степенях 2sh(x9/2), получаем рекуррентную систему
конечно-разностных уравнений для коэффициентова,п(г).
Приведем здесь уравнение для коэффициента аю(г), оп-
ределяющего основной член разложения (2.4)
V (г>	, Г(Ж)
1	\	' J
_	( iv (г\ (— 1\Ж Г(Ж) (____r\(—I)
+	(')<“')<-'’]= х {* + 2ТГ7 ( ° (:г)<ж> * х
X [(-г)<'+» + а/о(г)С- г)<-0]}-1. (2.16)
Граничным условием является
а/о(О) = О.	(2.17)
В нерелятивистском пределе (2.16) переходит в из-
вестное нелинейное дифференциальное уравнение
<218)
<Л/	X J /
Для случая 1—0 приведем уравнения для двух пер-
вых коэффициентов разложения (2.4). Величина
а00(г)=а(г) является релятивистской длиной рассеяния
и удовлетворяет сравнительно простому уравнению
(2.19)
Величина aOi(r) определяет реляти1вистокий эффек-
тинный радиус р0 (г) = и является решением
аоо v)
266
ДОПОЛНЕНИЕ III
уравнения
А «си (г) +Х (г) аОг (г) = У(г>,
aQ1 (0) =0,	(2.20)
где введены обозначения
Х(г)-	ла(фуМ|
4 7	1 — iV (г) [г — а (г)]	’	4	1
У(г).{1-1Т(г)[г-а(г)П =
=• Аа (г)|Ц-+ iV (г) [а(г)г2 + -уа (г) - ~г — у- r3j| —
— V (О [4- г1 + r2«2 (г) — ~ rsa (г) + -L. г* —
-4-а2(г)-4га(г)]- <2-22)
Уравнение (2.20) имеет известный нередятивистский пре-
дел. Заметим, что в полной аналогии с нерелятивист-
ским случаем не только при 1=0 и п=|1, но и при всех
I и П'^1 уравнения для коэффициентов а1п(г) линейны и
могут быть проинтегрированы в общем виде при извест-
ных решениях а^[г).
В частности, если известна длина рассеяния а (г), то
решение уравнения (2.20) имеет вид
Д..(г) = д.?(г)рА-И^-^1 dr, (2.23)
где aoi(r) является решением уравнения (2.20) при
У (г) =0:
а^(г) = ехрШ [0(г —г') —0(—г')] In [1 4- X (г')] dr'L
I о	J
(2.24)
Функция а0о(г) = а(г) имеет смысл длины рассеяния на
«обрезанном в точке г» потенциале
V {r't г) = V (г') 0 (г — г') 0(7+7') [1 - 0 (- г -г')]. (2.25)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ 267
В работе [100] было указано, что фазовые функции
при конечных значениях аргумента г являются из-за на-
личия мнимой части в (функции 0(z) ‘комплексными да-
же для действительных потенциалов V(r), но становят-
ся, однако, асимптотически вещественными при г->оо.
То же самое относится к рассмотренным в настоящем
параграфе параметрам рассеяния на короткодействую-
щем потенциале. В следующем параграфе вводятся
более удобные в практических расчетах модифицирован-
ные уравнения для параметров рассеяния, решения ко-
торых удовлетворяют условию унитарности при произ-
вольных значениях г.
§ 3. Некоторые точные решения фазовых уравнений
(Как и в нерелятивистской теории, точные решения ре-
лятивистских фазовых уравнений могут быть найдены
в замкнутом аналитическом виде для некоторых простых
потенциалов. Такими потенциалами являются, например,
прямоугольный потенциальный барьер или яма конечно-
го радиуса /?.
Прежде, однако, мы приведем модифицированные
фазовые уравнения, обладающие унитарными при всех
г решениями, которые более удобны для получения точ-
ных решений. (Фактически речь (будет идти о новых
функциях ti(r, %), Л’;(г, %), ai„(r) и т. д., обладающих те-
ми же асимптотиками при г->-оо и г->0, что и рас-
смотренные выше величины tt(r, у), At(r, %), atn(r) ит. д.,
но отличными от них интерполяциями при конечныхзна-
чениях г. Заметим, что аналогичная ситуация с возмож-
ностью различных интерполяций фазовых функций име-
ет место также в нерелятивистской теории для потенциа-
лов, зависящих от импульса V(г, р2).
Положим
(г, х) =
(G X) + 2^У(г^Х) Sl (г> %) Is' (r> X) + ti(r, %)ci(r, %)]j X
х f1 — Cl (r’	<r> M % ')Cl x)]}~’,
(3.1)
268
ДОПОЛНЕНИЕ III
Al (г, x) =
={л/ (r> x)+tV2r;(k(y~"^s; (r’ x) + Al (r> ^e<i"(r’ X)]}x
X fl -	[MG Х) + Л(г, x)e/(1)(r, x)]l ,
I	2 и I V > /J	)
(3.2)
~si(r, x) =
= {si(r, X)—“Sy^TT t“e</2) (r’ x) + Sz(r’ 7)^l)(r’ x)]}X
Xp -	•
(3.3)
Заметим, что функции h, X, st связаны между собой те-
ми же соотношениями, что и функции 6, Л(, з,.
Как нетрудно показать, имеют место следующие
уравнения для функции £;(г, х):
ДМг, Х)р	Х) +^(r’ ^c^r> X)] +
-г 7 V [Сг	si (r> X) + 6 (r> X) V (г, х)] -
- | V (г) v -ir^;-(-y5~~ fs'(r> х) + 6(х х)<ч(х х)]} =--
= 2ГНг?7) b(f. X) +^i(r,	X)]2 +
+ V [^'(r/x) fa s‘(Г> x) + (r’ X) V (r, x)]2 -
- т V (г) V	[sz(Г, x) + tt(r, x)с,(г, x)] X
X [vs,(г, х) + Ш x)?£/(/-x)L (3,4)
Аналогичные уравнения получаются для функций
Aii(r, х), st(r, х). Разлагая ti(r, х) в ряд по степеням
2sh(x/2), аналогично разложению (2.4), получаем, исхо-
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ
269
дя из уравнения (3.4), для коэффициентов atn (г) систе-
му уравнений. Приведем здесь лишь уравнение для дли-
ны рассеяния аоо(г) ^а(г):
Д(а (г) — г) = i [—(а(г)-г)(1 * * * * * * В+‘-уГ-)(а(г)—г)] X
1 —	—— (fl (г) —7) j (г) — г + i — (а (г) — г)
1 + i {а (г) -r) + i \ |а (г)-(г)-Н - (а (г)-г) .
(3.5)
Функции а (г) и а (г) связаны соотношением
а (г) - г =---/(г) ~ г-----.	(3.6)
l-^V(r) [а (г)-г]
Подчеркнем еще раз, что асимптотики при г-»-оо ве-
личин а (г) и а (г) совпадают:
й(оо)=а(оо).	(3.7)
Рассмотрим теперь конкретный потенциал, а именно
потенциальную яму глубиной Vo, имеющую радиус R:
V(r)=-V0&(£-r),	V0>0.	(3.8)
Нетрудно найти решение уравнений (2.19) и (3.5) в об-
ласти r<zR. Соответственно имеем
(3-9)
'<«	(3.10)
Здесь введено обозначение
a = arch^+l).	(3.11)
В области г>/?, где потенциал исчезает, имеем
а(г) = а(г) = /?--^,	(3.12)
Выражение (3.12) переходит в известное нерелятиви-
стское выражение для длины рассеяния на потенциаль-
ной яме, если глубина ямы много меньше энергии покоя
270
ДОПОЛНЕНИЕ III
частицы, ^-»0 ист—>Vo'2>
а(/?) = Я-
tg(^/Vo)
(3.13)
Из уравнения (3.12) видно, что в релятивистском слу-
чае длина рассеяния также может при определенных
значениях глубины и ширины ямы обращаться в беско-
нечность, что соответствует (появлению в яме уровней
с нулевой энергией связи. Условием этого является соот-
ношение
/?„о = (2п+1)у, п = 0,1,2,...	(3.14)
Решение уравнения (3.4) также может быть найдено
в случае потенциала (3.8) в явном виде. Соответствую-
щая фаза рассеяния равна
'So (г, x)==xr—arctg(-^|tgorj,	г (3.15)
Для прямоугольного потенциального барьера (Vq>0)
V(r) = V08(R-r).	(3.16)
Следует разделять значения Vo<z4mc2 и Уо>4тс2; со-
ответственно параметризация имеет вид
coscr=l—V0<4,
cho = b--l, Уй>4,
(3.17)
и длины рассеяния равны (г^/?)
а(г) = а(/-) = ^-^,
Vo <4,
а(г) = а(г) R ф
tgoff
sh о В 9
(3.18)
Vo>4.
В предельном случае твердой отталкивательной сердцеви-
ны (Уо=0°) длина рассеяния, как и в нерелятивистском
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЕ
271
случае, равна
а(г) = г,
r^R,
a(r) = a(r) = R, r^R.
(3.19)
Соответственно тангенс фазы в области r^R равен

st(R, X)
ct(R, х)'
(3.20)
В заключение отметим, что, как можно легко убе-
диться, длина рассеяния а (г) для потенциала (3.8)
удовлетворяет следующему дифференциальному урав-
нению:
^а(г) = (1-^-ash<r[a(r)-r]2.	(3.21)
Любопытно, что уравнение (3.21) можно записать в ви-
де, имеющем в точности вид нерелятивистского фазово-
го уравнения для длины 'рассеяния, если ввести пере-
нормированные величины
_	_	__ у2
r==rsT5’ a(7)-r = a(r)-r, V = V0 + -|. (3.22)
Тогда уравнение принимает вид
= _у [«(г) —?j2,
а(0) = 0.	(3.23)
§ 4. Релятивистские поправки
Разностное уравнение Шредингера [100] описывает
релятивистское движение частицы в квазипотенциальном
поле. В пределе с-»-оо это уравнение переходит в урав-
нение Шредингера. Решения разностного уравнения
переходят в решения уравнения Шредингера и т. д.
Естественно искать релятивистские поправки к раз-
личным квантовомеханическим величинам, исходя имен-
но из разностного уравнения Шредингера и соответст-
вующих фазовых уравнений.
Рассмотрим сначала длину рассеяния. Разложение
по степеням комптоновской длины Х(Х = hjmc—>-0при
272
ДОПОЛНЕНИЕ III
оо) имеет вид
а(г) = а<°>(г) + Ха(1)(г) + Х2а<2)(г) 4-0(Х3).	(4.1)
В случае потенциалов V(r), не зависящих от X, получа-
ется следующее уравнение для первой релятивистской
поправки а(1)(г) к длине рассеяния й(0’(г):
а<’> (г) = 2V (г)аО> (г) [а<») (г) - г] .	(4.2)
При начальных условиях а<0>(0)—О и й(1)(0)=0 уравне-
ние (4.2) не имеет нетривиальных решений.
Для поправки порядка X2 получается уравнение
у at’i (г) - 2V (г) а<»(г) [о<«>(г) - г] -
- - т - и и - и г~ Т7 г*и - г? +
+ 4-^[о(0)(г)-г], а(2)(0) = 0. (4.3)
В случае потенциальной ямы уравнение (4.3) имеет
решение
а<2) (г) ---v» r - /Votg jr/V,).	(4.4)
' '	24 cos2 (r/Vo)	24
Достаточно простой вид имеют также уравнения для
новых поправок к тангенсу фазы в случае /=0:
Го (Г, <7) =7оО) (Г, q) + х7^ (г, q) + Х*7Г (г, q) + О (X3). (4.5)
Уравнение для первой поправки (q— волновое число)
-^ q} = - ^ sin 2qr~ff (г, q), 7(00) (0) = 0, 70(,) (0) = 0
(4.6)
легко интегрируется и дает
7S°(r, <7) = 0.	(4.7)
Уравнение для второй поправки имеет вид
—Г = ~ ^sin2<7r7j)2)(r) + q>(<7,r),	(4.8)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЕ
273
где
<р(<7, Г) = -ЕМ(Г, q)V(r)q —
-^M(r,q)N(r, q)	(r) q*rM (r, q) N (r, q) ф
4. 2_ V (г) q№ (г, q)+^M* (q, г) +
+ 4	мг (q<r) (У (q> r)cos Qr + 4A4 (<7> r) s*n <7rl +
.	4^MUr)coS«,-^^-
-4v(r)^Pc-^M3('/’r)’ <4-9)
M (q, r) — sin qr + /o0) (r) cos qr,
N (q, r) = cos qr —~1(о\г) sin qr.
(4.Ю)
Решая уравнение (4.в), получим поправку порядка X2
к тангенсу фазовой функции
Г	1
(r) = j ср(<7, г )ехр — —
®	L
7(2)
to
j* V (r") sin 2qr''dr‘
dr'.
(4.П)
При получении поправок в случае /#=0 основную
трудность представляет нахождение поправочных членов
к свободным решениям уравнения Шредингера Si(r, х),
ct(r, х). Можно идти двумя путями. Первый путь состо-
ит в том, чтобы разлагать Нд(г) и свободные решения
st(r, х) и с,(г, х) по степеням X:
Н„ = Н(оо) +	4- Х2//'02) +...,
. Si (г, х) = ji(qr) 4- ^(r, q) 4- X2s(z2)(r, q) 4-- • •, (4.12)
ci(r, x) = - ni(qr) 4- XcP(r, q) 4- X2cz2)(r, q) 4- • • •
Тогда для поправок s(^(r, q) и ^(r, q) к свободным
решениям получаются обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения, выражающие зависимость этих попра-
вок от свободных нерелятивистеких решений и (n— 1)
низших поправок.
18 в. в. Бабиков
274
ДОПОЛНЕНИЕ III
Первая поправка к ji(qr) имеет вид
(4.13)
таким образом, Sq0 (г, q) === 0.
Вторая поправка удовлетворяет уравнению
»?> (г, ?) -	4” (Г, ,) + ,М!> (Г, ,) -
<72W) , 1 d*/i(qr) l(l+i)d^ji(qr) ,
4 "г 12 dr4 2/-2 dr3 *
+[4- dJr -	?> - -h'-” (>• 4
(4.14)
Еще более громоздкие уравнения получаются для после-
дующих поправок. Ввиду этого мы воспользуемся спосо-
бом вычисления поправок, связанным с рекуррентным
соотношением, полученным в [104]:
(4.15)
Используя разложения
dch%^ "Г 2 утгсу 4 уте) J q dq ‘ ’*
sina« = (l + £|-2^)sinr9+.... (4.16)
будем иметь
(	d	\‘ sin(rzg) _ / d \Z /sin qr\ , .2 M d
\dchxj	shx9	~\qdq)\ q / + L 2	d J	+
+	~	—I- — — 1 (sln -I- О	(X4) (4 17)
+	2	(qdq)l~^ 6 dr»J^ q
Для Sz(r, X,) получим
Si (r, Xg) =
.М,Г)_«^(Л^(,Г)_.^;(; + !)[^+ <•£+!)] x
x4P + 4-[^-4^} + OOT. (4.18)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ
275
Из разложения (4.1S) и соотношений
ci(r, х9) = (-l)zs_z_i(r, х„).
(4.19)
ni(qr) = (-1/+1 j-i-\(qr)
получаем
/	\	\ t Н (I 4 1) /	\ I
Cl (г,	= -rn (qr) + ,	) tii (qr) +
+4	- ^r] 4-rni +0 • <4-20)
Заметим, что поправки к ji(qr) регулярны при г=0,
а поправки к nt(qr) сингулярны при г=0.
§ 5. Теория возмущений и метод линеаризации
В этом параграфе >мы кратко остановимся на теории
возмущений и методе линеаризации, которые весьма эф-
фективно используются в нерелятивистском методе фа-
зовых функций.
Пусть длина рассеяния а (г) разложена по «степеням
потенциала»
со
а(г)= 2 ап(г).
п==0 .
(5.1)
Тогда для первого борновского приближения d\ (г) полу-
чается уравнение
ДЯ1 (г) = 4 [V(г)г2 + V(г- i)(г- i)2] =V(r).	(5.2)
Действительное решение этого уравнения
со
(Г) = 4 f	г')) V (г1) +
О
+ (0* (г - г') - 0* (- /)) V* (г')] dr' (5.3)
18*
276
ДОПОЛНЕНИЕ III
в нерелятивистском пределе переходит в величину
й1(г)= f V(r')r'2dr'.	(5.4)
О
Для второго члена разложения (5.1) получается
уравнение, также имеющее действительное решение
&a2(r) = ?(r)ai(r) + ^(r),	(5.5)
где
<р(г)= — (1 + V)[rV(r)J,
М»(г) - - 4 (НО r)v(V(r)r) + 4(l + v)lV2(r)r3l +
+ (r)lW (Г)] [г(\гг) (vr) г8].
(5-6)
Применение теории возмущений к тангенсу фазовой
функции
Mr.Xe)= 2 zon(r,Xe)	(5.7)
п=0
приводит к уравнению для первого члена разложения
(5.7)
Ы01 (г, Х9) = 2^ (1 + v) Iv (Г) sin8 xer] = V (г, х?). (5.8)
Вещественное решение этого уравнения
4 (г, Хв) = 4J Re {(Rr <-	ff(- г') ^(r'f xff)] dr' (5.9)
b
переходит в соответствующее выражение для нереляти-
вистакой поправки к тангенсу фазовой функции
Ад(Н = —(5.10)
О
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЕ
277
Для второго члена разложения (5.7) получается урав-
нение
= ^1(^ХЛ1(г>Ь) + п(г,Х<?).	(5-11)
где
В (г, Х«) = йту-(1 + V)[V(r)sinx?r],
ьп Х<7
11 <г’	<V (r) sin V (V (г) Sin X/) +
+	1 + V) IV2 (г) sin3 x„r] +	(0 IVV (г)) X
X [(sin x,r) V (sin2 xz) + (sin2 x«r) V (sin x/)J.
(5.12)
В заключение данного параграфа приведем линеаризо-
ванные разностные уравнения для (первых двух членов
разложения длины рассеяния
«(г)- J а('!)(г),	(5.13)
AW)={(1+V)(^) -2a(1)(r)(1+А)(^]- (V(r)r)X
X v(Rr)r)+a(1>(r)(2r- i)V(r) v V(r)j{ 1 -i( 14- v)(^] +
+2-(V(r)r)vV(r)j-1> (5.14)
Aa(2)(r) =	[(a(1\r))2+r2 — 2ra(2)(r)] 4-
+	l(«0) ('))*+ (r - 02 - 2(r -	-
— V ~ [r (r — i) — a(l) (r) (2r — i) — a(2) (r) (2r — 04-
+и (<]} (i+4-v (r) («(1) (r) -r)+
+-rV(r - i) [aW(r)~	±-V(r) V(r-0p)(r)-r) j~’
(5.15)
278
ДОПОЛНЕНИЕ III
§ 6. Заключение
Выше рассмотрены некоторые возможности примене-
ния релятивистского метода фазовых функций к пробле-
ме вычисления релятивистской длины рассеяния для ря-
да потенциалов, в частности, для точно решаемого слу-
чая прямоугольного потенциального барьера и прямо-
угольной ямы. Предложен также последовательный
метод вычисления релятивистских поправок к парамет-
рам рассеяния, развит ряд приближенных способов ре-
шения конечно-разностных уравнений.
Представляется весьма актуальной задача разработ-
ки алгоритмов точного решения релятивистских фазовых
уравнений для произвольных потенциалов. Тогда разви-
тый в [100] и настоящей работе подход можно будет эф-
фективно использовать в большом ряде конкретных фи-
зических задач.
Авторы приносят благодарность В. Р. Гарсеванишви-
ли, А. Д. Донкову, Е. П. Жидкову, В. Г. Кадышевскому,
М. Д. Матееву, А. Н. Тавхелидзе и И. Т. Тодорову за
полезные обсуждения.
СПИСОК НАУЧНЫХ ТРУДОВ В. В. БАБИКОВА
1.	К теории тормозного излучения нерелятивистских электронов,
в кн.: «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных
акций», т. 2, М., Изд. АН СССР, 1958', стр. 226—237.
2.	Лучистая теплоотдача плотной высокотемпературной плазмы,
в кн.: «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных
реакций», т. 2, М., Изд. АН СССР, 1958, стр. 226—237.
с В. И. Коганом).
3.	О сечении образования составного ядра при взаимодействии атом-
ных ядер, ЖЭТФ 38 (1960), 274—276.
4.	Время образования составного ядра и у-излучение при взаимодей-
ствии атомных ядер, ОИЯИ, Р-822, Дубна, 1961; ЖЭТФ 42 (1962),
1233—1248.
5.	О у-излучении составного ядра с большим моментом вращения,
ОИЯИ, Р-893, Дубна, 1962; ЖЭТФ 42 (1962), 1647—1650.
6.	Резонансная модель NN-взаимодействий и ее приложение к ядру,
ОИЯИ, Д-1128, Дубна, 1962; Progr. Theor. Phys. 29 (1963), 712—
723.
7.	К расчету электрической системы вывода ионного пучка в класси-
ческом циклотроне, ОИЯИ, Р-1480, Дубна, 1963 (совместно с
Г. Н. Вяловым и Г. Индреашём); Rev. Roum. Phys. 9 (1964),
559—569.
8.	Сечения образования и средние угловые моменты составных си-
стем в реакциях с тяжелыми ионами, ОИЯИ, Р-1351, Дубна, 1963.
9.	Метод фазовых функций в задачах ядерного рассеяния, «Совеща-
ние по математическим методам решения задач ядерной физики
Дубна, 1964», Изд. ОИЯИ, 2005, 1965, 28—32.
10.	Некоторые методы вычисления параметров потенциального рассея-
ния, ОИЯИ, Р-1728, Дубна, 1964.
11.	Об одном методе вычисления сечений в оптической модели, ОИЯИ,
Р-1795, Дубна, 1964; ЯФ 1 (1965), 984—988.
12.	On a Calculation of the Effective Range Expansion Parameters for'
Low Energy NN Potential Scattering, Dubna, JINR, E-1894, 1964;
ЯФ 1 (1965), 793—802.
13.	Тяжелые мезоны и локальный N — N-потенциал, «12-я Междуна-
родная конференция по физике высоких энергий, Дубна, 1964»,
М., Атомиздат, 1966, 262—264 (совместно с И. Быстрицким и
Ф. Легаром).
14.	Тяжелые мезоны и нуклон-нуклонный потенциал, ОИЯИ, Р-2048,
Дубна, 1965; ЯФ 2 (1965), 326—331; Nucl. Phys. 76 (1966), 665—
671.
15.	К вычислению параметра рассеяния на тензорном потенциале,
ЯФ 1 (1965), 369—379.
280
СПИСОК НАУЧНЫХ ТРУДОВ В. В. БАБИКОВА
16.	Некоторые вопросы потенциальной модели ядерных взаимодей-
ствий, Автореферат дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук,
ОИЯИ, 2147, Дубна, 1965; канд. диссертация.
17.	Об одном методе вычисления сечений в оптической модели ядер-
ных реакций, «15-е Совещание по ядерной спектроскопии и струк-
туре атомного ядра, Минск, 1965», М,— Л., 1965, стр. 155.
18.	Метод фазовых функций в квантовой механике, ОИЯИ, Р-2758,
Дубна, 1966; УФН 92 (1967), 3—26.
19.	Современное состояние мезонной теории ядерных сил, «9-е Совеща-
ние по ядерной спектроскопии нейтронодефицитных изотопов и тео-
рии деформированных ядер, Дубна, 1966», ОИЯИ, 6-3036, Дубна,
1966, 5—7.
20.	Новый метод решения задач потенциального рассеяния и связан-
ных состояний, «Совещание по математическим методам решения
задач ядерной физики, Дубна, 1966», ОИЯИ, 5-3263, Дубна, 1967,
10—15.
21.	Современные модели ядерных сил, ОИЯИ, Р4-3136, Дубна, 1967;
«17-е Совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного
ядра, Харьков, 1967», Л., «Наука», 1967, 113—114; Изв. АН СССР,
сер. физ. 32 (1968), 299—303.
22.	Описание упругого нуклон-нуклонного рассеяния в мезонной мо-
дели ядерных сил, ОИЯИ, Р4-3135, Дубна, 1967 (совместно с
В. С. Киселевым); «17-е Совещание по ядерной спектроскопии
и структуре атомного ядра, Харьков* 1967», Л., «Наука», 118; Изв.
АН СССР, сер. физ. 32 (1968), 556-550.
23.	Phase Function Method in Potential Scattering Theory, Cracow Scho-
ol of Theor. Phys., 7-th, Cracow, 1967, Proc., v. 1, Cracow, 1967,
73_____9Q
24.	OBEP and NN-Scattering Below 330 MeV, Contr. Intern., Conf.
Nucl. Structure, Tokyo, 1967, 1 (совместно с В. С. Киселевым).
25.	Метод фазовых функций в квантовой механике, М. «Наука»,
изд. 1-е, 1968, 224 стр.; докт. диссертация.
26.	О некоторых проблемах нуклон-нуклонного взаимодействия, «Ну-
клоны <и пионы». «Материалы 1-го Международного совещания
по нуклон-нуклонным и пион-пионным взаимодействиям, Дубна
, 1968», Дубна, 1.968, 11'2—119.
27.	Об одном классе нелинейных дифференциальных уравнений вто-
рого порядка, ОИЯИ, Р4-4248, Дубна, 1968; Дифференциальные
уравнения 7 (1971), 883—891.
28.	A Peculiar Thomas — Fermi Equation for Nucleus, Intern. Symp.
Nucl. Structure JINR, D-3893, 1968, 157.
29.	К теории надбарьерного отражения частиц, ОИЯИ, Р4-4567, Дубна
1969.
30.	Уравнение для самосогласованного ядерного потенциала, ОИЯИ,
Р 4-42*49, Дубна, 1969; ЯФ 10 (1'969), 509—518.
31.	An Equation for the Potential Scattering Amplitude, Dubna, JINR,
E2-4861 (1969) (совместно с P. M. Мир-Касимовым); Phvs. Lett.
31B(1970), 415—417.
32.	Нуклон-нуклонное взаимодействие и среднее поле ядра, ОИЯИ,
Р4-4897 (1970); «20-е Совещание по ядерной спектроскопии и
структуре атомного ядра, Л., 1970'», ч. I., Л„ изд. 1970, 35; Изв.
АН СССР, сер. физ. 34 (1'970), 2004—2047.
СПИСОК НАУЧНЫХ ТРУДОВ В. В. БАБИКОВА
281
33.	Актуальные проблемы теории ядерных сил, ИТФ, 71-77Р, Киев,
1971 (совместно с Пак Бен Гиром).
34.	Об одной статистической модели конечного ядра, ОИЯИ, Р4-6098,
Дубна, 1971 (совместно с М. X. Ханхасаевым).
35.	К теории антиклассического приближения для коэффициента над-
барьерного отражения, ОИЯИ, Р4-6330, Дубна, 1972 (совместно
с К. К. Мусабаевым).
36.	Конечно-разностные фазовые уравнения в релятивистской теории
квазипотенциального рассеяния, ОИЯИ, Р2-6828, Дубна, 1972
(совместно с Г. В. Груша, Р. М. Мир-Касимовым, Н. Б. Шуль-
гиной) .
37.	Приближенные методы решения релятивистских фазовых уравне-
ний, ОИЯИ, Р2-6329, Дубна, 1972 (совместно с Г. В. Груша,
Р. М. Мир-Касимовым, Н. Б. Шульгиной).
38.	К теории высокоэнергетического приближения в задаче потенци-
ального рассеяния, Всесоюзная конференция «Ядерные реакции
при высоких энергиях, Тбилиси, 1972», М., ФИАН СССР, 1972
(совместно с Р. М. Мир-Касимовым и М. X. Ханхасаевым); Во-
просы атомной науки и техники, сер. «Физика высоких энергий
и атомного ядра», вып. 1 (3), Харьков, 1973, 40—42.
39.	К теории отражения частиц одномерными потенциальными барь-
ерами, ОИЯИ, Р4-7133, Дубна, 1973 (совместно с К. К. Муса-
баевым).
40.	К обобщению метода фазовых функций в теории потенциального
рассеяния, ОИЯИ, Р4-7437, Дубна, 1973 (совместно с М. X. Хан-
хасаевым).
41.	Релятивистский метод фазовых функций, ТМФ 17 (1973), 391—
406.
42.	Вопросы теории ядерных взаимодействий, ОИЯИ, Р4-7698, Дубна,
1974, 111 стр.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, Физ-
матгиз, 1963.
2.	Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, «Высшая
школа», 1963.
3.	А. С. Давыдов, Квантовая механика, Физматгиз, 1963.
4.	А. А. Соколов, Ю. М. Л о с к у т о в, И. М. Тернов, Кван-
товая механика, Учпедгиз, 1963.
5.	Л. Ш и ф ф, Квантовая механика, ИЛ, 1957.
6.	А. И. Б а з ь, Я. Б. Зельдович, А. М. П е р е л о м о в, Рас-
сеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой меха-
нике, «Наука», 1966.
7.	В. д е А л ь ф а р о, Т. Р е д ж е, Потенциальное рассеяние, «Мир»,
1966.
8.	W. Heisenberg, Zs. Physik 120, 513 (1943).
9.	Г. Ф. Друк а рев, ЖЭТФ 19, 247 (1949).
10.	Г. Ф. Д р у к а р ев, Теория столкновений электронов с атомами,
Физматгиз, 1963, стр. 37.
11.	О. Bergmann, Acta Phys. Austriaca 4, 62 (1950).
12.	G. I. Kynch, Proc. Phys. Soc. A65, 83, 94 (1952).
13.	P. О. 01 s s о n, Ark. Fys. 4, 217 (1952).
14.	P. M. M о r s e a. W. P. A 11 i s, -Phys. Rev. 44, 269 (1933).
15.	R. A. Bonham a. J. К a r i e, J. Phys. Soc. Jan. 17, Suppl. B-II,
6 (1962).
16.	L. Spruch, «Lectures in Theoretical Physics», vol. 4, ed.
W. E. Brittin, B. W. Downs and I. Downs, Intern. Publ. Inc.,
N. Y.* 1962.
17.	F. С a 1 о g e r o, Nuovo Cimento 27, 261 (1963).
18.	В. В. Бабиков, УФН 92, 3 (1967).
19.	Ch. Z em a ch, Nuovo Cimento 33, 939 (1964).
20.	W. Stocker, Zs. Physik 193, 310 (1964).
21.	T. F. О ’ M a 11 e y, Phys. Rev. 137, Al668 (1965).
22.	В. В. Б а б и к о в, в Материалах совещания по математическим
методам решения задач ядерной физики, Изд. ОИЯИ, 2005,
Дубна, 1965, стр. 28.
23.	В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Физ-
матгиз, 1958.
24.	F. С а 1 о g е г о a. D. G. R a v е n h а 11, Nuovo Cimento 32, 1755
(1964).
25.	S. Franchetti, Nuovo Cimento 6, 601 (1957).
26.	Ф. M. M о p з, Г. Ф e ш 6 a x, Методы теоретической физики, ИЛ,
1960, часть II.
27.	G. М. W i n g, J. Math. Anal. Appl. 9, 85 (1964).
28.	W. А. В e у e r, J. Math. Anal. Appl. 13, 348 (1966).
ЛИТЕРАТУРА
283
29.	R. F. D a s h e n, Nuovo Cimento 28, 229 (1963).
30.	P. Swan, Phys. Rev. 153, 1379 (1967).
31.	D. Y. Wong, Nucl. Phys. 55, 212 (1964).
32.	В. В. Бабиков, ЯФ 2, 326 (1965).
33.	Q.	Roho a. L. M. Simmons. Phys. Rev. 125,	273	(1962).
34.	В.	H. I. Me К el 1 a r a. R. M. M a y, Nucl. Phys. 65,	289	(1965).
35.	Y. Yamaguchi, Phys. Rev. 95, 1628 (1954).
36.	F.	T ab a k i n, Ann. of Phys. 30, 51 (1964).
37.	F.	G a 1 о g e r o. Nuovo Cimento 33, 352 (1964).
38.	Л. Д. П у з и к о в, Р. М. Р ы н д и н, Я. А. Смородинский,
ЖЭТФ 32, 592 (1957).
39.	Т. Hamada a. I. D. Johnston, Nucl. Phys. 34* 382 (1962).
40.	Л. X ю л ь т е н, М. С у г а в а р а, в сб. Строение атомного ядра,
ИЛ, 1959.
41.	J. L. McHale a. R. М. Thaler, Phys. Rev. 98, 273 (1955).
42. J. М. В 1 a 11 a. L. С. В i е d е n h а г n, Phys. Rev. 86, 399 (1952),
43. H. P. Stapp, T. I. Ypsilantis a. N. Metropolis, Phys.
Rev. 105, 302 (1957).
44.	G. В r e i t, M. H. H u 11, К. E. L a s s i 1 a a. K. D. P у a 11, Phys.
Rev. 120, 2227 (1960).
45.	В. В. Бабиков, Некоторые методы вычисления параметров
потенциального рассеяния. Изд. ОИЯИ, Р-1728, Дубна, 1964.
46.	В. В. Бабиков, ЯФ 1, 369 (1965).
47.	J. R. Сох a. A. Perlmutter. Nuovo Cimento 37, 76 (1965).
48.	A. Degasperis. Nuovo Cimento 34, 1667 (1964).
49.	J. R. Cox, Nuovo Cimento 37, 474 (1965).
50.	Л. Лейн, P. Томас, Теория ядерных реакций при низких
энергиях, ИЛ, 1960.
51.	В. В. Бабиков, ЯФ 1, 984 (1965).
52.	Н. F е s h b а с h, С. Е. Р о г t е г, V. F. W е i s s k о p f, Phys. Rev.
96, 448 (1954) .
53.	Л. Д. Ландау, Я. А. С м о p о д и н с к и й, ЖЭТФ 14, 269
(1944).
54.	В. R. Levy a. J. В. Keller, J. Math. Phys. 4, 54 (1963).
55.	R. F. D a s h е n, J. Math, Phys. 4, 338 (1963).
56.	B.B. Бабиков, ЯФ 1,793 (1965).
57.	J. D. J a c k s о n a. J. M. В 1 a 11, Revs. Mod. 'Phys. 22, 77 (1950).
58.	К. E. Lassila, M. H. Hull, Jr., H. M. Ruppel, F. A. McDo-
nald, G. Breit, Phys. Rev. 126, 881 (1962).
59.	R. O. Berger, T. F. O’Malley and L. S p r u c h, Phys. Rev.
137, A. 1068 (1965).
60.	R. К a 1 a b a, Journ. Math. a. Meeh. 8, 519 (1959).
61.	R. Bellman a. R. Kai aba, Quasilinearization and Nonlinear
Boundary — Value Problems. N. Y., Elsevier, 1965.
62.	F. С a 1 о g e r o, Phys. Rev. 135, B, 693 (1964).
63.	F. Calogero a. M. Cassandro, Nuovo Cimento 34, 1712
(1964).
64.	F. С a 1 о g e r o, Nuovo Cimento 37, 756 (1965).
65.	H. К1 a г, H. К г u g e r, Zs. Phys. 191, 409 (1966).
66.	S. Flugge, H. Klar, H. Kruger, Zs. Phys. 191, 417 (1966).
67.	H. Kruger, Zs. Phys. 204, 114 (1967).
68.	G. M. S t a n c i u, Nuovo Cimento 50, 293 (1967).
284
ЛИТЕРАТУРА
69.	S. Rosendorf a. Tan i, Phys. Rev. 131„ 396 (1963).
70.	F. Calo ger o, Nuovo Cimento 28, 320 (1963).
71.	F. С a 1 о g e r o, J. Math. Phys. 4, 427 (1963).
72.	T. Tietz, Nuovo Cimento 37, 1774 (1965).
73.	И. И. Гольдман, А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 28, 394 (1954).
74.	D. S. Saxon, Phys. Rev. 107, 871 (1957).
75.	В. Л. П о к p о в с к и й, С. К. С а в в ин ы x, Ф. Р. У л и н и ч,
ЖЭТФ 34, 1272, 1629 (1958).
76.	В. Л. Покровский, И. М. Халатников, ЖЭТФ 49,
1713 (1961).
77.	В. П. Маслов, ДАН 151, 306 (1963).
78.	М. В. Федорюк, Дифф, уравнения 1, 631 (1965).
79.	Л. И. Пономарев, Лекции по квазиклассике, ИТФ-67-53,
Киев, 1968.
80.	В. В. Б а б и к о в, Изд. ОИЯИ Р-4567, Дубна, 1969.
81.	R. Е. L а и g е г, Phys. Rev. 51, 669 (1937).
82.	И. С. Гр ад штейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, Физматгиз, М., 1962.
83.	В. В. Бабиков, Материалы II Совещания по математиче-
ским методам решения задач ядерной физики, Изд. ОИЯИ,
5-3263, Дубна, 1967, стр. 10.
84.	V. V. Babikov, Proc. VII Cracow School Theor. Phys., Cra-
cow, 1967, v. 1, p. 73.
85.	R. C. Allen, Jr., and G. M. Wing, J. Math. Anal. Appl. 15,
340 (1966).
86.	M. G о d a r t, Math. Comp. 20, 399 (1966).
87.	F. С a 1 о ger o, Comm. Math. Phys. 1, 80 (1965).
88.	F. С a 1 о g e r o, J. Math. Phys. 6, 161 (1965).
89.	F. Calo ger o, J. Math. Phys. 6, 1105 (1965).
90.	F. С a 1 о g e r o, Nuovo Cimento 36, 199 (1965).
91.	K. Cha dan, J. Y. G u e n n e g u e s, Nuovo Cimento 34, 665
(1964).
92.	F. С a 1 о g e r o, Nuovo Cimento 28, 66 (1963).
93.	J. D e v о о g h t, J. Math. Phys. 7, 1764 (1966).
94.	F. С a 1 о g e r o, Nuovo Cimento 27, 1007 (1963).
95.	Handbook of Mathematical Functions, Ed. M. Abramowitz and
J. A. Stegun, Dover. Publ. Inc., N. Y., 1965.
96.	Э. К а м к e, Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям, «Наука», М., 1965.
97.	В. В. Б а б и к о в, К. К. Мусабаев, Препринт ОИЯИ, Р4-6330,
Дубна, 1972.
98.	В. А. Кол кунов, ТМФ 3, 72 (1970).
99.	В. А. К о л к у н о в, В. И. Р о с т о к и н, Препринт № 732, ИТЭФ
(1969).
100.	В. В. Бабиков, Г. В. Груша, Р. М. М и р - К а с и м о в,
Н. Б. Шульгина, Препринт ОИЯИ, Р2-6828, Дубна, 1972.
101.	A. A. Logunov, A. N. Tavkhelidze, Nuovo Cimento 29,
380 (1963).
102.	V. G. Kadyshevsky, Nucl. Phys. B6, 125 (1968).
103.	В. Г. Кадышевский, A. H. Тавхелидзе, «Проблемы те-
оретической физики», сб., посвященный Н. Н. Боголюбову в свя-
зи с его шестидесятилетием, «Наука», М., 1969.
ЛИТЕРАТУРА	285
104.	В. Г. Кадышевский, Р. М. М и р - К а с и м о в, Н. Б. С к а ч-
к о в, ЭЧАЯ, т. 2, вып. 3, Атомиздат, М., 1971.
105.	V. G. Kadyshevsky, R. М. Mi г-Kasimov, N. В. Ska-
chkov, Nuovo Cimento 55А, 233 (1968).
106.	В. В. Бабиков, Пак Бен Гир, Препринт ИТФ, 71-77Р,
Киев (1971).
107.	М. Fr е em a n, М. D. Mateev, R. М. Mir-Kasimov,
Nucl. Phys. B12, 197 (1969).
108.	В. В. Бабиков, Г. В. Груша, Р. М. М и р - К а с и м о в,
Н. Б. Шульгина, Препринт ОИЯИ, Р2-6829, Дубна, 1972.
109.	В. В. Бабиков, Г. В. Груша, Р. М. Мир-Касимов,
Н. Б. Ш у л ь г и н а, ТМФ 17, 391 (1973).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда рассеяния парциальная
13, 42, 192, 245
-----полная И, 12
-----при низких энергиях 128
Амплитудная' функция 15—31
-----для двухчастичной реакции 107,
109
<----потенциала двумерного 65, 67
---------1 зависящего от импульса 53
--------- кулоновского 33
-----прямоугольного барьера 35, 37
Амплитудное уравнение 59
Антиклассическое приближение 227
Бесселя функции 214
-----мнимого аргумента 132, 219
Блатта — Биденхарна параметризация
95, 97, 99
Борновское приближение 162, 186, 213,
275
-----модифицированное 173
Коэффициент отражения от б-потен-
циала 79
— прозрачности 69, 71, 72
— прохождения 112, 191
Кулоновские функции 32, 116, 132, 218
Кулоновский параметр 32, 432
— потенциал 102, 132, 252
Мак-Хейла — Тэлера параметризация
95
----параметры 97
----—, связь с параметрами Стаппа
99
Матрица взаимодействия 111
Метод линеаризации 173, 177, 181, 205,
275
Надбарьерное отражение 185, 227
----, коэффициент 190, 227, 231
Неймана функция 221, 214
Вариационные принципы 181
Оптическая модель 114, 138
----с комплексным потенциалом 170
Ганкеля функции 188, 222
Длина рассеяния 120, 132, 155
----, борновское приближение 172, 175
----на сингулярном потенциале 175
----триплетная 142
б-потенциал 78—80, 84—88, 146, 151, 168
Задача двумерного рассеяния 68, 145
— одномерного рассеяния 149
Интегральное преобразование Мелли-
н.а 130
Каналы рассеяния 104
Квазиклаосическое приближение 186
Классическая точка поворота 46
Классический импульс 46
К-м атрица 105, 107
Коэффициент отражения 69, 71—76,
185, 228
----в двучастичной реакции 112
-------квазиклассическом приближе-
нии 186, 190
Параметр антиклассичности 228
— смешивания амплитуд 94
— формы 120, 123, 132
Параметры низкоэнергетического рас-
сеяния 133, 136
Поправки релятивистские 271
Потенциал аксиально-симметричный 56
—, зависящий от импульса 48, 50, 152
—	сферически-симметричный 118
----да льнодействующий 127
----короткодействующий 145
Приближение квазиклассическое 183
Приближенные методы 161
Рассеяние двумерное 56, 145
—	многоканальное 93, 114
— на б-потенциале 151, 168
----комплексном потенциале 114,143
----тензорном потенциале 93
— при низких энергиях 118, 138
— релятивистское 209
Риккати — Бесселя функции 12, 31,
1Г6, 144, 214
-------мнимого аргумента 198, 217
Риккати — Ганкеля функции 42, 144, 214
Риккати уравнение 13, 40, 119, 224
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
287
Риккати уравнение канонического ви- да 181, 224 	специальное 122, 226 Связанные состояния 193 	для двумерного потенциала 196 S-матрицы 13, 42, 105, 115, 143 Сечение взаимодействия 115 — рассеяния 115 — — дифференциальное 11 	полное 41, 58 — реакции 115 Тангенс фазы, фазовой функции 41, 118, 119, 428, 162, 173, 241, 276 Теорема Левинсона 35, 39 Теория возмущений 461, 166 Фаза рассеяния 13, 16, 118 	на отталкивательном потенциале 90 	 парциальная 243 	, связь с амплитудой рассеяния 56 Фазовая функция 13, 15, 22, 28 	для потенциала двумерного 64, 66 	кругового 86 	, зависящего от импульса 53 	прямоугольного барьера 36 Фазовое уравнение 13, 18, 21	Фазовое уравнение двумерной задачи рассеяния 59, 147 	для потенциала кулоновского 32-34 	— — нелокального 55 —	центробежного 45 	, интегральный вид 24 	релятивистские, приближенные методы 260 	, решения £1 	, свойства 21 Фазовые уравнения конечно-разност- ные 234 	обобщенные 250 Функции Грина 199, 252, 258 	одномерный случай 200 	трехмерный случай 205 — отражения 72, 149, 167, 178, 185, 227 	для 6-потенциала 80 Хамада — Джонстона потенциал 102, 103, 137 Центробежный барьер 106 Эффективная константа взаимодейст- вия 82 Эффективный радиус 120, 123, 132, 145, 265 	в борцовском приближении 171 	триплетный 142
БАБИКОВ
ВЛАДИМИР ВАСИЛЬЕВИЧ
МЕТОД ФАЗОВЫХ ФУНКЦИЙ
В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
М., 1976 г., 288 стр. с илл.
Редактор В. Я. Дубнова
Техн, редактор И. В, Кошелева
Корректор Т. С. Вайсберг
Сдано в набор 15/Х 1975 г. Подписано к печати 4/Ш 1976 г.
Бумага 84Х108’/з2. Физ. печ. л. 9. Условн. печ. л. 15,12.
Уч.-изд. л. 14,2. Тираж 5500 экз. Т-05618. Цена книги 1 р. 13 к.
Заказ № 690.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография изд-ва «Наука»,
Новосибирск, 77, Станиславского, 25.