Text
                    Г.Е.Шилов
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО)
части1 и 2
Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа.
Она не является учебником и не следует официальным программам курса
математического анализа, хотя формально знаний основ анализа не
предполагается. Книга рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с
элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих
углубить свои знания. В гл. 1 дается аксиоматическое построение теории
вещественных чисел. В гл. 2 излагаются элементы теории множеств и теории
математических структур. Гл. 3 посвящена метрическим пространствам. В гл. 4
строится общая теория пределов, использующая упрощенную схему фильтров
Картана. В гл. 5 рассматривается понятие непрерывности и изучаются
элементарные трансцендентные функции. В гл. 6 излагается теория рядов—
числовых и функциональных. Гл. 7—8 посвящены собственно
дифференциальному исчислению, а гл. 9—интегральному исчислению. Гл. 10
вводят читателя в теорию аналитических функций; ее методы используются, в
частности, в гл. 11 о несобственных интегралах.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	6
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 1. Вещественные числа	13
§ 1.1.	Первоначальные сведения о	13
множествах
§ 1.2.	Аксиомы вещественных	16
чисел
§ 1.3.	Следствияиз аксиом	18
сложения
§ 1.4.	Следствияиз аксиом	19
умножения
§ 1.5.	Следствияиз аксиом	22
порядка
§ 1.6.	Следствияиз аксиомы о	25
верхней грани
§ 1.7.	Принцип Архимеда и его 29
следствия
§ 1.8.	Принцип вложенных	35
отрезков Кантора
§ 1.9.	Расширенная область	36
вещественных чисел
Дополнение к главе 1. Логическая 38
символика
Задачи	39
Историческая справка	40
Глава 2. Элементы теории	41
множеств
§ 2.1.	Операции над множествами	41
§ 2.2.	Эквивалентность множеств	43
§ 2.3.	Счетные множества	46
§ 2.4.	Множества мощности	49
континуума
§ 2.5.	Понятие о математической 50
структуре. Изоморфизм структур
§ 2.6.	Пространство п измерений	55
§ 2.7.	Комплексные числа	60
§ 2.8.	Общее понятие функции.	65
График
Задачи	67
Историческая справка	68
Глава 3. Метрические	70
пространства
§ 3.1.	Определения и примеры	70
§ 3.2.	Открытые множества	78
§ 3.3.	Сходящиеся	81
последовательности и
гомеоморфизм

§ 3.4. Предельные точки § 3.5. Замкнутые множества § 3.6. Всюду плотные множества и замыкания § 3.7. Полные пространства § 3.8. Пополнение § 3.9. Компактность Задачи Историческая справка Глава 4. Общая теория пределов § 4,1. Определение предела § 4.2. Общие теоремы о пределах § 4.3. Пределы числовых функций § 4.4. Предельные точки функции § 4.5. Функции, неубывающие по направлению § 4.6. Основные теоремы о числовых последовательностях § 4.7. Пределы векторных функций Задачи Историческая справка Глава 5. Непрерывные функции § 5.1. Непрерывные функции на метрическом пространстве § 5.2. Непрерывные числовые функции на числовой оси § 5.3. Монотонные функции § 5.4. Логарифм § 5.5. Экспонента § 5.6. Тригонометрические функции § 5.7. Приложения тригонометрических функций § 5.8. Векторные непрерывные функции векторного переменного § 5.9. Последовательности функций Задачи Историческая справка Глава 6. Ряды § 6.1. Числовые ряды. Знакоположительные ряды 91 95 97 100 107 111 119 121 122 122 131 132 139 141 144 148 151 153 154 154 162 165 169 172 181 188 195 203 208 210 211 211 § 6.2. Ряды с любыми 219 вещественными членами § 6.3. Действия с рядами 221 § 6.4. Ряды векторов 227 § 6.5. Ряды функций 236 § 6.6. Степенные ряды 238 Задачи 242 Историческая справка 246 ЧАСТЬ ВТОРАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава 7. Производная 249 § 7.1. Определение производной 249 § 7.2. Второе определение 258 производной § 7.3. Дифференциал 260 § 7.4. Теоремы о конечных 262 приращениях § 7.5. Расположение кривой 264 относительно своей касательной § 7.6. Правила Лопиталя 268 Задачи 270 Историческая справка 273 Глава 8. Высшие производные 274 § 8.1. Определения и примеры 274 § 8.2. ФормулаТейлора 277 § 8.3. Анализ поведения функции 280 в окрестности данной точки § 8.4. Высшие дифференциалы 285 § 8.5. Ряд Тейлора 286 § 8.6. Экспонента и 289 тригонометрические функция в комплексной области § 8.7. Гиперболические функции 294 Задачи 297 Историческая справка 299 Глава 9. Интеграл Римана 300 §9.1. Определение интеграла и 300 теоремы существования § 9.2. Зачем нужен интеграл? 314 § 9.3. Интеграл как функция 321 верхнего предела § 9.4. Техника неопределенного 327
интегрирования § 9.5. Вычисление определенных 338 интегралов § 9.6. Приложения интеграла 348 § 9.7. Интегрирование и 373 дифференцирование последовательности функций § 9.8. Интегрирование и 379 дифференцирование по параметру § 9.9. Криволинейные интегралы 385 Задачи 393 Историческая справка 396 Глава 10. Аналитические функции 397 § 10.1. Определения и примеры 397 § 10.2. Криволинейные интегралы 406 от комплексных функций § 10.3. Теорема Коши и ее 414 следствия § 10.4. Вычеты и изолированные 428 особые точки АЛФАВИТНЫЙ Абель 122,210 Абсолютная величина вещественного числа 23 Автоморфизм п-мерного пространства 58 -------тождественный 59 — структуры 51 Адамар 70, 451 Аналитическая функция 398 ---вещественная 427 ---целая 424 Аналитическое продолжение 288, 426 Арган 69 Аргумент комплексного числа 189 — функции 65 Ариабхата 210 Арифметико-геометрическое среднее 152 Арифметическая степень множества 40 — сумма множества 39 § 10.5. Отображения и 440 элементарные функции Задачи 450 Историческая справка 453 Глава 11. Несобственные 455 интегралы § 11.1. Несобственные интегралы 455 первого рода § 11.2. Несобственные интегралы 468 второго и третьего рода § 11.3. Вычисление несобственных 473 интегралов с помощью вычетов § 11.4. Несобственные интегралы, 483 содержащие параметр § 11.5. Гамма-функция и бета- 495 функция Эйлера Задачи 508 Историческая справка 509 Указания и ответы к задачам 510 Алфавитный указатель 523 УКАЗАТЕЛЬ Арифметическое произведение множеств 39 Архимед 13, 29, 246, 349, 350, 395 Архимеда принцип 29 Асимптотическая единица 138 — принадлежность 131 Базис 57 Барроу 273 Бернулли И. 273, 453 Бернулли Я. 273 Бесконечно удаленная точка 436 Бесконечность 36 Бета-функция 497 Больцано 40, 121, 209, 210, 246, 273 Больцано - Вейерштрасса принцип 94 Бомбелли 69 Борель 121 Брус замкнутый 157 — открытый 157 Бурбаки50, 68, 121,273 Бюрги 210 Валле-Пуссен 509
Вейерштрасс 40, 209, 210, 273, 454 Вектор 55 — единичный 73 — нормированный 73 Верхний предел 139, 147 Верхняя грань 17 ----точная 18 Вессель 69 Вещественная часть 62 Взаимно однозначное соответствие 44 Включение 14 Вложенных промежутков система 35 Внутренняя точка 72 Высшие дифференциалы 285 Вычет 429 — логарифмический 431 Гамма-функция 495 —, асимптотическое выражение 503 — в комплексной области 506 —, формула дополнения 500 Гармоническая функция 405 Гаусс 40, 69,210, 246, 453 Гёдель 40 Гейне 209 Гентцен 40 Гильберт 11, 40 Гиперболические функции 294 ----обратные 333 Гипергеометрический ряд 243 Гомеоморфизм 85 Гомеоморфные метрики 86 Гранди 211, 246 Граница множества 318 Грассман 69 График функции 66 Грегори 299 Группировка членов ряда 223 Грушни В. В. 67 Даламбер 211, 453 Дарбу 396 Двоичная система 34 Дедекинд 40, 210 Десятичные знаки 32 Диаметр 72 Дирихле 69, 509 Дифференциал сложной функции 262 — функции 261, 401 ----высшего порядка 285 Дифференцирование интеграла по параметру 381 — несобственного интеграла по параметру 486 — последовательности функций 377 Длина вектора 73 — дуги 320, 356 ----как функция параметра 361 ----эллипса 359 — окружности 359 Дополнение множества 42 Дробная часть 30 Дю-Буа-Раймон 396 Евдокс 40 Евклид 40 Единица 17 — асимптотическая 138 Единичный вектор 73 Зависимое переменное 65 Замкнутый контур 388 Замыкание 98 Зендель 210 Знаки включения 14 Значение функции 65 Изолированная точка 106 Изоморфизм структур 51 Индукции математической метод 20 Интеграл криволинейный 385 — Лапласа 480 — неопределенный 323 — несобственный абсолютно сходящийся 462 ----второго рода 468 ----первого рода 455 ----расходящийся 456 ----сходящийся 456 ----третьего рода 470 ----условно сходящийся 462
----определенный 323 — по замкнутому контуру 388 — Римана 301 ----, его пределы 302 ----на брусе 318 ----на компакте 316 — Стилтьеса 346 ----криволинейный 385 — типа Коши 414 — Френеля 508 — Фурье 476 ----особый 481 Интегральная сумма 301 Интегрирование по параметру 379. 485 — по частям 326, 338, 467 ----многократное 394 — последовательности функций 373 — через подстановку 326, 343, 467 Интегрируемая мажоранта 489 — функция 302 Интервал 28 — смежный 96 — составляющий 80 Интрезок 29 Иррациональные числа 20 Казорати 454 Кантор 40, 41, 49, 68, 121, 210 Кантора принцип вложенных отрезков 35, 37 КартанА. 153 Касательная 249 Катеноид 366 Кеплер 349 Клеро 396 Колебание функции 160 ----в точке 394 Компакт 111 — нагруженный 317 Компактное метрическое пространство 111 Комплексно сопряженные числа 62 Комплексные числа 60 Конечные точки 436 — числа 37 Континуум 49 Конфниальные последовательности Координаты вектора 55, 57 Корень аналитической функции 423 -------кратности к 423 — n-й степени 26 Коши 40, 121 122,153,154,209,210, 246, 273, 299. 396, 453, 455, 509 Коэн И. 68 Коэффициенты Лорана 434 — Тейлора 421 Кратность корня 201 Кривая кусочио-гладкая 356 Криволинейный интеграл 385 Критерий Дю-Буа-Раймона 394 — Лебега 394 — Коши для векторного ряда 229 ---для предела векторной функции 151 ---для предела по направлению 130 ---для равномерной сходимости 206,488 -------сходимости несобственного интеграла 457 ----------числового ряда 212 ----------числовой последовательности 101, 145 — Римана 394 — Хаусдорфа 114 Круговые функции 297 Крылов А. Н. 292 Кэлн 69 Лагранж 453 Лебег 121, 396 Лейбниц 273, 298, 299, 302, 343, 396, 453,455 Лемма Жордана 479 — о замкнутых шарах 105 — о конечном покрытии 118 Линейная зависимость 56
Линейно упорядоченное множество 51 Лобачевский 16, 69 Логарифм 169 — натуральный 179 Логарифмирование 174 Лопиталь 273 Лузин Н. Н. 455 Люилье 273 Люстерник Л. А. 115 Максимальное из двух чисел 23 Максимум локальный 260 Меиголн 246 Мера Жордана 318 Метод математической индукции 20 Метрика 70 Метрическое пространство 70 ---компактное 111 ---локально компактное 111 ---полное 101 ---предкомпактное 113 Минимальное из двух чисел 23 Минимум локальный 260 Мнимая часть 62 Многочлен Тейлора 277 Множества геометрически равные 78 Множество 13 — бесконечное 13 — вещественных чисел 16 — всюду плотное 97 — жорданово 318 — замкнутое 95 — конечное 13 — линейно упорядоченное 61 — мощности континуума 50 — несчетное 49 — ограниченное 28 ---в метрическом пространстве 71 ---сверху 17 ---снизу 25 — открытое 78 — пустое 13 — счетное 46 Модуль вещественного числа 23 — комплексного числа 189 Мощность множества 45 Мур 153 Направление 122 Натуральные числа 19 Невозрастающая последовательность 145 Независимое переменное 65 Немировский А. С. 243 Неограниченное множество 72 Неопределенный интеграл 323 Неотрицательное число 23 Непер 210 Неположительное число 23 Непрерывность односторонняя 164 — равномерная 159 Неравенство Коши 75 — Коши - Буняковского 75 — треугольника 70 — четырехугольника 71 — Юнга 354 Несобственный интеграл второго рода 468 ---первого рода 455 ---третьего рода 470 Несчетное множество 49 Неубывающая последовательность 145 Нижний предел 139, 147 Нижняя грань 25 ---точная 25 Новиков П. С. 40 Норма вектора 73 Нормированный вектор 73 Нуль 16 — аналитической функции 423 Нуль аналитической функции кратности к 423 Ньютон 246, 273, 298, 299, 300, 396, 455 Область 78 — односвязная 414
— связная 398 Обратная функция 167 Обратное вещественное число 17 Обратные гиперболические функции 333 — тригонометрические функции 186 Объединение множеств 14, 41 Объем множества 318 — шара 372 Ограниченная последовательность 145 — сверху последовательность 145 — снизу последовательность 145 Односторонняя непрерывность 164 Окрестность точки 72 Определенный интеграл 323 Ортогональные векторы 192 Особая точка изолированная 435 ------устранимая 435 Особые точки кривой 361 Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме 339 ----------в форме Лагранжа 279 Отображение 195 — конформное 440 — непрерывное 195 Отражение 78 Отрезок 28 Отрицательное число 23 Оттервал 29 Паламодов В. П. 67 Пеано 40 Первообразная 322 Пересечение множеств 15, 41 Перестановка членов ряда 224 Периодическая функция 185, 292 Период функции 185, 292 Пикар 439 Площадь криволинейной трапеции 314,348 — круга 350 — плоской фигуры 315, 389 ------в полярных координатах 355 — поверхности вращения 365 — эллипса 352 Поверхность сферы 366 Поворот 192 Подмножество 14 — истинное 14 Позиционная запись вещественных чисел 32 Показатель степени 21 Поле комплексных чисел 61 — числовое 17 Полна 397, 451 Полнота системы аксиом 51 Положительное число 23 Полукасательная левая 267 Полукасательная правая 257 Полюс п-го порядка 435 Полярные координаты 188 ---в пространстве 194 Полярный радиус 189 — угол 189 Пополнение 107 Последовательности конфниальные 107 Последовательность 65 — невозрастающая 145 — неубывающая 145 — ограниченная 145 ---сверху 145 ---снизу 145 — расходящаяся 81 — сходящаяся 81, 123 — фундаментальная 100 — функций 203 Постоянная Эйлера 462 Потенцирование 174 Правила Лопиталя 268 Предел по направлению 122 -------на подмножестве 125 Предельная точка подмножества 93 ---последовательности точек 91 -------чисел 147 ---функции 140
--------верхняя 139 --------нижняя 139 Предкомпактное метрическое пространство 113 Преобразование Абеля 230 — подобия 60 Признак Абеля—Дирихле для рядов 230 --------для несобственных интегралов 465 --------равномерной сходимости интегралов 494 — Вейерштрасса 239 — Даламбера 214 — Коши 214 — Лейбница 220 ---для интегралов 462 — Раабе 218 — сравнения 213, 458 — сходимости интегральный 459 Пример Ван-дер-Вардена 271 Принцип аргумента 451 — максимума 450 Произведение бесконечное 244 — вещественных чисел 17 — множеств 41 ---прямое 65 — ряда на число 221 — рядов 222 Производная 249 — вторая 274 — левая 257 — логарифма 254 — обратной функции 253 — односторонняя 257 — по множеству 397 — порядка п 274 — правая 257 — сложной функции 252 — степеннйй функции 255 Производная тригонометрических функций 255 — частная 402 Промежуток 29 Пространство вещественное п-мерное 55,73 — евклидово п-мерное 74 Противоположное число 17 Птолемей 210 Путь 385 Равномерная непрерывность 159 — сходимость 204 Равномощность множеств 45 Радиус сходимости 211 Разбиение 300 — , его параметр 300 — последующее 302 — с отмеченными точками 300 Разложение рациональной функции на простейшие дроби 202 — целой функции на простейшие дроби 452 Расстояние 70 — между подмножествами 120 — от точки до множества 120 Расходящаяся последовательность 81 Рациональные числа 20 Региомонтан 210 Рефлексивность 45 Риман 396 Риманова поверхность 447 Ролль 273 Ряд абсолютно сходящийся 220 -------векторный 229 — векторов 227 — гармонический 217 — гипергеометрический 243 — двусторонний 233 ---, симметричное суммирование 235 — знаконеотрицательный 211 — знаконеположительный 211 — знакоотрицательный 211 — знакоположительный 211 — Лорана 434 ---, главная часть 434 ---, правильная часть 434
— сгруппированный 223 — степенной 240 ---, радиус сходимости 241 — Тейлора 287, 421 — условно сходящийся 220 — функций 236 ---, равномерная сходимость 239 ---, сумма 237 — числовой 211 ---, отрезок 211 ---, расходимость 211 ---, сходимость 211 ---, частные суммы 211 Свертка 491 Свертывание 493 Сдвиг 78 Сеге 397 Симметричность 45 Система двоичная 34 — троичная 34 Скалярное произведение 73 Сложная функция 157 Слой 66 Смежный интервал 96 Соприкасающаяся парабола 281 Составляющий интервал 80 Сохоцкий Ю. В. 454 Среднее интегральное 307 Средняя ордината 307 Стевни 13 Степенная функция 174 Степень арифметическая множества 40 — вещественного числа 20 Стилтьес 396 Стокс 210 Структура математическая 50 Сумма арифметическая множеств 39 — вещественных чисел 16 — множеств 4 1 — рядов 221 Сфера 72 Сходимость равномерная 204 ---внутри области 421 Сходящаяся последовательность 81, 123 ---, предел 81 Счетное множество 46 Тейлор 299 Теорема Абеля 241 — Абеля — Лиувилля 335 — Больцано 163 — Бэра 105 — Вейерштрасса 158 — Гейне 159 — Дирихле 225 — единственности аналитической функции 425 — Коши 262,414 — Коши — Адамара 237 — Лагранжа 263 — Лиувилля 427 — о вычетах 431 — о среднем 307, 409 — Римана 226 — Ролля 262 — существования корня многочлена 197,452 — Фрагмена - Линделёфа 453 — Хаусдорфа 107 — Штейница 245 — Эрмита 146 Тождество Эйлера 245 Торричелли 273 Точка выпуклости вверх 265 ---вниз 265 — изолированная 106 — конденсации 119 — непрерывности 154 — перегиба 265 — разрыва 154 — существенно особая 436 Транзитивность 45 Трансцендентные числа 50 Тригонометрические функции 181 ---в комплексной области 290 ---обратные 186
Троичная система 34 Угол между векторами 191 Уравнение Лапласа 405 Условия Коши—Римана 403 Успенский В. А. 16 Фермн 249, 272 Флюента 396 Флюксия 300, 396 Формула Валлиса 394 — Дирихле 508 — Коши 417 — Лейбница 274 — Ньютона -Лейбница 323, 342, 409 — Тейлора 277 ----, остаточный член 279, 339 — Фруллани 508 Формулы Эйлера 291 Фреше 121 Фробениус 64, 69 Фундаментальная последовательность 100 Функций, эквивалентные по направлению 137 Функция 65 — аналитическая 398 ----вещественная 427 ----в точке 398 ----целая 424 — бесконечно большая 133 ----по сравнению 137 ----дифференцируемая 286 ----малая 133 ----по сравнению 137 — векторная 65 — вещественного переменного 65 — возрастающая 165 — выпуклая вверх 265, 271 ----вниз 265, 271 — гармоническая 405 — гладкая 274 ----п-го порядка 274 — Дирихле 312 — дифференцируемая в точке 249 ---по множеству 398 — дробно-линейная 442 — кусочно-гладкая 326 — кусочно-непрерывная 310 — кусочно-постоянная 311 — многозначная 66 — монотонная 165 — невозрастающая 165 ---по направлению 143 — неотрицательная по направлению 133 — непрерывная в точке 154 ---на множестве 155 ---слева 165 ---справа 165 — неубывающая 165 ---по направлению 141 — п-кратно-дифференцируемая 274 -------по множеству 400 —, область значений 65 —, — определения 65 — обратная 167 — ограниченная 132, 133, 149 ---по модулю 132 ---сверху 132 Функция ограниченная снизу 132 — однозначная 66 — однолистная 442 — отрицательная бесконечно большая 133 — положительная бесконечно большая 133 — положительная по направлению 133 — равномерно непрерывная 159 — Римана 208 — сложная 157 — степенная 174, 443, 445 — убывающая 165 — характеристическая 318 Харди 337 Хаусдорф 41, 121 Целая аналитическая функция 424
— часть 30 Целое кратное 29 Целые числа 20 Частная производная 402 Частное вещественных чисел 19 Чеботарев Н. Г. 335 Числа иррациональные 20 — комплексные 60 — конечные 37 — натуральные 19 — рациональные 20 Числа трансцендентные 50 — целые 20 Число е 146 — неотрицательное 23 — неположительное 23 — отрицательное 23 — тс 184 — положительное 23 Числовая ось 25 Числовое поле 17 Числовой ряд 211 ---, отрезок 211 ---, расходимость 211 ---, сумма 211 ---, сходимость 211 ---, частные суммы 211 Шар 72 — замкнутый 72 — открытый 72 Шварц Г. 450 Штифель 209 Эйлер 69, 210, 299, 453, 609 Эквивалентные множества 44 Экспонента 172, 444 — в комплексной области 289 Экстремум локальный 260 Эллиптические интегралы 335 Энгельс 247 Ячейка 316 — , ее мера 317
ПРЕДИСЛОВИЕ Математический анализ есть большая область математики, связанная с понятиями функции, производной и интеграла. К настоящему времени эта область обнимает большое ко- личество меньших областей—дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных), интегральные уравнения, функции комплексного переменного, дифферен- циальную геометрию, вариационное исчисление и другие. Но если содержание математического анализа можно считать установившимся, то во взглядах на его структуру происхо- дят значительные перемены. В классическом курсе 20-х годов Э. Гурса весь анализ представлен как бы на огромной рав- нине— на едином уровне абстракции; в книгах нашего вре- мени большое внимание уделяется выявлению в анализе различных «этажей» абстракции, т. е. различных «структур» (Бурбаки), характеризующих математико-логические основы исходных построений. Обращение к основам приводит к яс- ности существа дела, освобождая математика от учета кон- кретной индивидуальности объекта, а понимание существа дела позволяет немедленно включить в рассмотрение новые объекты с иной индивидуальностью, но с тем же глубинным устройством. Так, было известно доказательство Пикара существования и единственности решения дифференциального уравнения, основанное на методе последовательных приближений искомой функции на отрезке другими функциями, получающимися по определенным правилам. А затем был сформулирован (Бана- хом и другими) «метод неподвижной точки», которым была доказана та же теорема. Он обнаружил существенную часть в доказательстве Пикара: наличие сжимающего оператора в некотором метрическом пространстве. Вся же обстановка — числовые функции на отрезке, дифференциальное уравнение —
ПРЕДИСЛОВИЕ 7 оказалась несущественной. В результате «метод неподвижной точки» не только сделал более прозрачным, «геометрическим» доказательство теоремы Пнкара, но и дал возможность, раз- вивая заложенную в нем идею, доказывать множество теорем существования, где речь шла даже не о функциях на от- резке и не о дифференциальных уравнениях. То же отно- сится к геометрии гильбертова пространства, к исчислению дифференцируемых функционалов и многому другому. В этой книге мы излагаем основные концепции матема- тического анализа применительно к функциям одного пере- менного. Однако «одно переменное» мы понимаем в несколько расширенном смысле. Дело в том, что для таких основных понятий анализа, как предел и непрерывность, разница между классическими случаями одного и нескольких переменных не столь существенна; в этих главах мы предпочитаем вести изложение в оптимальной общности, понимая под «одним переменным», например, точку метрического пространства. Но когда дело доходит до дифференцирования и интегри- рования, разница между указанными классическими случаями становится уже весьма ощутимой, и мы ограничиваемся там функциями «на Самом деле» от одного переменного—вначале вещественного, а затем комплексного. Однако значения этих функций лишь вначале числовые; далее они векторные, даже принадлежащие к нормированному пространству, что откры- вает широкий круг приложений. Аналитические функции составляют в нашем построении неотъемлемую часть анализа. Мы не касаемся в этой книге всей обширной области диф- ференциального и интегрального исчисления функций не- скольких переменных, изложение которой требует по крайней мере еще целого тома. Мы не ввели в книгу интеграл Лебега, поскольку в рас- сматриваемых здесь задачах анализа встречаются лишь непрерывные функции (или функции, обладающие конечным числом точек разрыва), для интегрирования которых доста- точно интеграла Римана. В более высоких задачах анализа, например в теории интегральных уравнений, решающая роль интеграла Лебега неоспорима. Но изложение теории интеграла Лебега в данной книге могло бы переакцентировать внимание читателя в специфические тонкости теории функций действи- тельного переменного и теории меры. Поэтому мы оставили за рамками книги интеграл Лебега и его приложения.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ Хотя формально у читателя не предполагается знаний сверх школьного курса, но все же было бы весьма полезным, если бы он, читатель, был знаком с построением графиков, с дифференцированием и интегрированием и их простейшими геометрическими применениями*). Данная книга не пред- назначена служить элементарным учебником по курсу мате- матического анализа; скорее ее нужно рассматривать как пособие, предназначенное для самостоятельного чтения, про- думывания, сопоставления друг с другом различных аспек- тов теории. Отдельные места лектор может использовать в лекционном курсе и в семинаре повышенного типа. Этой же цели служат - приведенные в книге задачи; среди них нет задач, преследующих выработку технических навыков (таких задач достаточно в распространенных задачниках), и приво- димые задачи иллюстрируют и развивают излагаемую общую теорию. Книга состоит из трех частей. Первая часть «Введение в анализ» и вторая часть «Дифференциальное и интеграль- ное исчисление» лежат перед читателем; третья часть «Избранные главы современного анализа» выйдет в свет не- сколько позднее отдельно. Систематическое изложение предмета начинается в первой части с теории вещественных чисел (гл. 1). Под вещест- венными числами мы понимаем набор объектов, удовлетво- ряющих некоторым определенным аксиомам. Существуют и иные построения теории вещественных чисел, где то, что мы принимаем за аксиомы, доказывают, исходя (в строгом изложении — например в известном курсе Ландау) из аксиом натуральных чисел и теории множеств. В обоих типах по- *) Для начинающих я позволю себе рекомендовать свою брошюру «Математический анализ в области рациональных функций» (готовится к выпуску). В ней предмет анализа—функции, производные, интегралы—описывается в применении к рациональным функциям (частным двух многочленов). Работая над ней, я надеялся, что начи- нающий читатель будет заинтересован перспективой, открывающейся при овладении методами дифференциального н интегрального исчис- ления; с другой стороны, он убедится, что одних рациональных функ- ций недостаточно, что в полную силу методы авализа будут действо- вать именно за пределами области рациональных функций; он будет предупрежден об опасности формального, некритического использова- ния этих методов и будет подготовлен к необходимости глубокого изучения основ, предваряющих изучение дифференциального и инте- грального исчисления в достаточно полной общности.
ПРЕДИСЛОВИЕ 9 строений отсутствует весьма существенный элемент—дока- зательство непротиворечивости аксиом. По-видимому, в со- временной математике не существует построения теории вещественных чисел, свободного от этого недостатка. Вопрос здесь далеко ие технический, а упирающийся в самые основы математического мышления. Во всяком случае, раз это так, расположение начального пункта в общей схеме анализа становится, в общем, не очень существенным, и мы выбираем его по соображениям наибольшей возможной близости к соб- ственно аналитическим построениям. В гл. 2 после небольшого экскурса в теорию множеств вводятся понятия математи- ческой структуры и изоморфизма. В качестве иллюстрации устанавливается единственность (с точностью до изомор- физма) структуры вещественных чисел. Вводятся структуры n-мерного пространства и поля комплексных чисел. Гл. 3 посвящена теории метрических пространств. В гл. 4 развивается общая теория предела. Основой теории являются, с одной стороны, множество Е с выделенным в нем направлением (упорядоченной системой подмножеств с пустым пересечением—образованием, несколько более ограничитель- ным, чем фильтр А. Картана, но для анализа вполне доста- точным), с другой,— функция, определенная на множестве Е со значениями в метрическом пространстве. В такую схему укладываются все пределы, рассматриваемые в анализе, от предела числовой последовательности до производной и ин- теграла. В следующей гл. 5 после первоначальных теорем о непрерывных числовых функциях на числовой оси вводятся, с помощью функциональных уравнений, логарифм (из кото- рого обращением получается экспонента) и тригонометри- ческие функции. Среди приложений рассматриваются алгебра и топология комплексных чисел н теорема о существовании корпя у многочлена с комплексными коэффициентами. В гл. 6 мы рассматриваем теорию рядов (числовых, сте- пенных, функциональных). Вторая часть книги открывается седьмой главой о произ- водной. Главы 7 и 8 содержат собственно дифференциальное исчисление. Формула и ряд Тейлора приводят к естественному распространению вещественного анализа в комплексную об- ласть. В гл. 9 содержатся наряду с общей теорией интеграла Римана также и некоторые ее приложения. Для дальнейшего развития анализа становится настоятельно необходимой
10 ПРЕДИСЛОВИЕ техника аналитических функций, которая излагается в гл. 10. Теория аналитических функций оказывается, в частности, весьма полезной при вычислении несобствен- ных интегралов, которым посвящена следующая гл. 11. Система нумерации ясна из примера: символ 10.37 б озна- чает «глава 10, параграф 3, пункт 7, подпункт б». Номера пунк- тов, указанные на колонтитулах, позволяют быстро найти не- обходимое место. Аналогично формула 10.37 (4) есть чет- вертая формула пункта 10.37. В пределах одного пункта формулы обозначаются просто порядковыми номерами. Рисунки и задачи нумеруются в пределах главы. Пользуюсь случаем выразить благодарность коллегам, с которыми я обсуждал различные вопросы, затронутые в книге; в особенности это относится к Н. В. Ефимову, М. А. Крейнесу, Е. В. Майкову, А. Д. Соловьеву, Л. А. Ту- маркину, 3. Я. Шапиро (Москва), В. М. Борок, Я. И. Жи- томирскому, Б. Я. Левину (Харьков). Неоценимую идейную поддержку мне оказывал ныне покойный Б. Л. Гуревич. Рядом весьма ценных улучшений я обязан М. С. Аграновичу и Н. И. Плужниковой. Автор
Математика есть единая симфония бескоиечиого. Д. Гильберт ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

ГЛАВА 1 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА Мы приходим к выводу, что не существует никаких аб- сурдных, непостижимых, неправильных, необъяснимых илн глухих чисел, ио что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дин и ночи иад их удивительной законченностью. Симон Стевин (1634) § 1.1. Первоначальные сведения о множествах 1.11. Когда рассматривают несколько каких-нибудь объ- ектов («элементов»), употребляют такие слова, как «сово- купность», «собрание», «множество». Например, можно го- ворить о множестве студентов в аудитории, о множестве песчинок на пляже, о множестве вершин многоугольника или о множестве его сторон. Указанные примеры обладают тем свойством, что fe каждом из них соответствующее множество состоит из определенного.числа элементов (которое можно оценить, ограничить, хотя, может быть, практически и не- легко установить точно*)). Такие множества мы будем на- зывать конечными. В математике часто приходится иметь дело с совокуп- ностями, состоящими не из конечного числа объектов; про- стейшими примерами служат множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, ... и множество всех точек отрезка**). Та- кие множества мы будем называть бесконечными. К числу множеств мы относим и пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Как правило, мы будем обозначать множества большими буквами А, В, С, ____, а нх элементы—:малыми буквами. *) «Некоторые люди, о, царь Гелон, воображают, что число пес- чинок всей суши бесконечно велико.. . Я, однако, приведу доказа- тельства, с которыми н ты согласишься, что я в состоянии назвать некоторые числа, .. . превосходящие число песчинок в куче, равной земному шару» (Архимед, Псаммит илн Исчисление песчинок). **) Точные определения объектов, которые- рассматриваются в § 1.1 в качестве примеров, будут приведены ниже. Здесь они имеют лишь иллюстративное значение.
14 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА (1-12 Запись а£А (или ЛЭ а) означает, что а есть элемент мно- жества А; запись а^А, или а£А, или А$а, означает, что а не есть элемент множества А. Запись АсВ (или ВгзЛ) озна- чает, что каждый элемент множества А является элемен- том множества В; в этом случае множество А называют подмножеством множества В. Наиболее широким из подмно- жеств множества В является, очевидно, само множество В, наиболее узким — пустое множество. Любое из остальных подмножеств множества В непременно содержит элементы из В, причем заведомо не все его элементы. Каждое из таких подмножеств называется истинным подмножеством. Знаки С, 9 > cz, 23 называются знаками включения. Если имеют место включения АсВ, ВсА, то это означает, что каждый элемент множества А является элементом множе- ства В и, обратно, каждый элемент множества В является элементом множества А; таким образом, множества А и В состоят в данном случае из одних и тех же элементов и, значит, совпадают друг с другом. Этот факт записывается равенством Л = В. Аналогичная запись для элементов а = Ь означает просто, что а и b есть один и тот же элемент. Существуют различные формы задания множеств. Наибо- лее простая состоит в указании всех элементов множества, например: Л = (1, 2, ..., п, ...). Иная часто употребляе- мая форма состоит в указании свойств элементов множества, например: А = {х:х2— 1 <0} есть множество всех х, для которых выполняется указанное после двоеточия неравенство. 1.12. Рассмотрим две простые операции, которые можно производить над множествами: объединение н пересечение. Опишем сначала операцию объединения множеств. Пусть даны множества А, В, С, ... Рассмотрим совокупность всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы к од- ному из множеств А, В, С, ... Эта совокупность есть новое множество, которое и называют объединением мно- жеств А, В, С, ... Так, объединение множества Л= (6, 7, 8, ...} (всех нату- ральных чисел, больших чем 5) и множества В — (3, 6, 9, ...} (всех натуральных чисел, делящихся на 3) есть множество 5={3, 6, 7, 8, 9, 10, ...} (всех натуральных чисел, за исключением 1, 2, 4 и 5).
1-12J § 1.1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ 15 Введем теперь операцию пересечения множеств. Пересе- чением множеств А, В, С, ... называется совокупность элементов, входящих в каждое из указанных множеств. Так, в предыдущем примере пересечением множеств А = {6, 7, 8, 9, 10, В = {3, 6, 9, 12, ...} является множество Z?={6, 9, 12, Может оказаться, что множества А, В, С, ... не имеют ни одного общего элемента. Тогда их пересечение есть пустое множество; в этом случае говорят, что множества А, В, С, ... не пересекаются. Например, три числовых множества А = {1, 2}, В={2, 3}, С={1, 3} не пересекаются (хотя каждые два из них имеют общие элементы). Можно рассматривать объединение и пересечение как конечной, так и бесконечной совокупности множеств. На- пример, можно построить объединение множеств точек всех прямых на плоскости, проходящих через заданную точку О. Этим объединением будет, очевидно, множество всех точек плоскости. Пересечением указанных множеств будет мно- жество, состоящее из единственной точки О. Для объединения множеств употребляются знаки S и и, так что, например, запись 5=2-^» или S = U А V=1 V=1 обозначает объединение множеств Alr Аа, ..., ... Для пересечения множеств употребляются знаки JJ и f|, так что, например, запись D = ТТ А. или D= П А, V=1 V=1 обозначает пересечение множеств Av Aa, ..., Av, ...
16 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА П-21 § 1.2. Аксиомы вещественных чисел Приводимое ниже определение исходит из простейших свойств чисел, известных частично из повседневного опыта, частично из школьного курса*). Мы не определяем отдель- ное вещественное число—мы определяем сразу всю сово- купность вещественных чисел как множество элементов с некоторыми отношениями и действиями. Свойства отношений и действий задаются системой аксиом. Аксиомы разбиты на четыре группы; в первую группу входят аксиомы сложения, во вторую — аксиомы умножения, в третью — аксиомы порйдка, четвертая группа состоит из одной-единственной аксиомы — аксиомы о верхней грани. Определение. Множество элементов х, у, z, ... называется совокупностью R вещественных (или действитель- ных) чисел, если для этих объектов установлены следующие операции и отношения; 1.21. Операция сложения: каждой паре объектов х, у поставлен в соответствие объект г, называемый суммой х и у и обозначаемый х-)-у, так, что при этом выполняются условия: а. х-)-у=у-)-х для любых х и у из R. б. (х+у) + ^ = х-|-(у + г:) для любых х, у, z из R\ поэтому выражение х +у + z имеет однозначный смысл. в. Существует такой элемент в R, обозначаемый 0 (нуль), что х-| О = х для любого x£R. *) Про аксиому о верхней грани (1.24) лишь с большой натяж- кой можно сказать, что она известна «из повседневного опыта». Но и аксиома Евклида о существовании единственной параллели, лежащая в основе геометрии, находится в таком же положении. Опыт не дик- тует иам с полной однозначностью математические аксиомы; между опытом и системой иауки лежит еще этап формирования аксиом, ко- торые—в рамках одного и того же опыта—могут быть одними или совсем другими. И как наряду с евклидовой геометрией существует и неевклидова (геометрия Лобачевского) с аксиомой о существовании многих прямых, параллельных данной, проходящих через заданную точку,—так и наряду с приводимой теорией вещественных чисел существуют иные, в которых не всякое ограниченное множество имеет точную верхнюю грань (см., например, В. А. Успенский, Лек- ции о вычислимых функциях, М„ 1960, § 12).
1.24] § 1.2. АКСИОМЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 17 г. Для любого х £ R существует элемент у, называемый противоположным к х, такой, что х-(-у — 0. 1.22. Операция умножения: каждой паре объек- тов х, у поставлен в соответствие объект u£R, называемый произведением х и у и обозначаемый х-у (или ху), так, что при этом выполняются условия: а. ху—ух для каждых х и у из R. б. (ху) z = x (yz) для каждых х, у, z из /?; поэтому выражение хуг имеет однозначный смысл. в. Существует такой элемент в /?, отличный от 0 и обозначаемый 1 (единица), что х 1 = х для каждого х € R- г. Для каждого х Ф 0 в R существует элемент и, назы- ваемый обратным к х, такой, что их—1. д. Для каждых х, у, z из R справедливо равенство x(y + z) = xy + xz. Последняя аксиома связывает операцию умножения с вве- денной выше операцией сложения (1.21). Совокупность объектов х, у, ..., удовлетворяющих ак- сиомам 1.21—1.22, называется числовым полем, или просто полем. 1.23. Отношение порядка: для каждых двух эле- ментов х, у из R справедливо одно (или оба) из отношений х^.у (х меньше или равно у) или у^х со следующими свойствами: а. х х для каждого х; из х ^.у, у х следует х —у. б. Из х =Су, у z следует х z. в. Из х^у для любого z из R следует х -)-z ^y-j-z. г. Из 0 х, 0 <у следует 0 ху. Отношение х <Jy записывается также в виде у х (у больше или равно х). Отношение х^у при х#=у записы- вается в виде х < у (х меньше у) или у > х (у больше х). 1.24. Множество AaR называется ограниченным сверху, если существует такой элемент z£R, что х z для каж- дого х£А-, это отношение записывается в форме Л^г. Всякое число z, обладающее по отношению к множеству А указанным свойством, называется верхней гранью множест- ва А. Верхняя грань Zq множества А называется точной
18 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.31 верхней гранью множества А, если любая другая верхняя грань z множества А больше или равна z0. Точная верхняя грань множества А обозначается sup Л*). Теперь мы сфор- мулируем последнюю аксиому: Аксиома о верхней грани. Всякое ограниченное сверху множество Ac.R обладает точной верхней гранью. Далее мы будем выводить логические следствия из при- веденных выше аксиом; совокупность этих следствий даст полный набор тех свойств системы вещественных чисел, которые используются при построении математического ана- лиза. § 1.3. Следствия из аксиом сложения 1.31. В множестве R существует лишь единственный нуль. Действительно, допустим, что в R имеются два нуля: 0х и 02. Тогда, используя аксиомы 1.21а и в, мы получаем О, = 0, 4" 0о 0« 4“ 0. —' 0о- 1.32. В множестве R для каждого элемента X сущест~ вует лишь единственный противоположный элемент. Допустим, что для элемента х нашлось два противопо- ложных элемента уг и у2, так что х-4-У1 = л:-4-у2 = О. Тогда по аксиомам 1.21а—в мы имеем Уч = 0 +у2 = (* +ji) + У2 = х + (Ji+у2) = х + (Уа +У1) = = (х + Уа) +У1 = 0 +У1 =У1- Элемент, противоположный элементу х, обозначается через —х. Сумма * + (—у) записывается также в виде х—у и называется разностью х и у. Элемент, противоположный сумме, есть сумма элементов, противоположных каждому слагаемому: действительно, —х—уЦ-(х-4-у) =—х—У + + х+у— —х + х—у+у = 04-0 = 0. 1.33. Уравнение a-]-x = b (1) имеет в R единственное решение, равное Ь—а. !) Supremum—высшее (лат.).
1ЛЗ] § 1.4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ УМНОЖЕНИЯ 19 Действительно, прибавляя к обеим частям равенства (1) число —а, находим, используя аксиомы 1.21а — в, а-\- х— а~ а— а-\- х = х — х = Ь — а, так что если решение существует, то оно равно b—а. Но b — а есть решение, так как аЦ-(&—а) = а-)-Ь-\-{ — а)-= « + (— a)-]-b = O-\-b = b. § 1.4. Следствия из аксиом умножения 1.41. а. В множестве R существует лишь единственная единица. Допустим, что в R имеются две единицы 1Х и 12. Тогда, используя аксиому 1.22а, мы получаем 11= 1х-12 = 12. б. В множестве R для каждого элемента х=/=0 сущест-. вует лишь единственный обратный элемент. Допустим, что для элемента х имеются два обратных элемента и z2, так что xz1=l, xz2=l. Тогда по аксио- мам 1.22а — в мы имеем z2 = 1 • Z2 = (Х£1) z2 = X (£х£2) = X (z2£x) = (*Z2) Z1=l-Z1 = Zv 1.42. Элемент, обратный к элементу х, обозначается 1 „ 1 через —. Элемент —, обратный к произведению ху, равен х ху произведению элементов, обратных к х и у: действительно, Произведение х — записывается также в виде — и на- зывается отношением {частным) х и z. 1.43. Определение. Числа 1, 2=14-1, 3 = 24-1, ... ..., л = (л—1)4-1, называются натуральными. Таким образом, множество натуральных чисел может быть опреде- лено как наименьшее числовое множество, содержащее число 1 и вместе с каждым числом л содержащее число л4-1- Во многих задачах требуется установить, что некоторое чис- ловое множество А (например, множество тех натуральных
20 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.44 чисел л, для которых верно предложение Тп, зависящее от п) содержит все натуральные числа. Метод математиче- ской индукции по натуральным числам, применяемый в таких задачах, состоит в том, что проверяются условия: 1) А содержит число 1; 2) если А содержит некоторое натуральное п, то оно содержит и п-\-1. Из сказанного выше ясно, что в этом случае А содер- жит все натуральные числа, что и требуется. Мы видим, что обоснованность метода индукции выте- кает из самого определения натуральных чисел. 1.44. а. Натуральные числа, им противоположные и нуль называются целыми числами. б. Частные — , где т, п — целые и п 0, называются п ’ рациональными числами. в. Все остальные вещественные числа называются ирра- циональными. 1.45. Уравнение ax = b (а=£0) (1) имеет в R единственное решение, равное Действительно, умножая обе части равенства (1) на -i-, находим 1 . . / 1 \ . Ь — (ах) = — a]x=i-x = x= —, а ' ' \ а ) а ’ Ь „ b так что если решение существует, оно равно —. Но — есть решение, так как Ь / 1 \ , . . , а- — = а-— о = 1 -Ь=Ь. а \ а / 1.46. По определению при п — 1, 2, ... Хп = X ... X. п раз Очевидно, xn-xm = xn+m и (xn)M = xn"! при любых нату- ральных п и ш. Число п в выражении хп называется пока-
1-47] § 1.4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ умножения 21 зателем степени. Распространим понятие показателя степени на все целые числа. Положим для любого х О х°= 1, Проверим, что формулы 771 - д* 71 "Ь Т71 (xn)m = хпт (1) остаются справедливыми для любых целых п и т. Пусть п > 0, т= —р < 0, причем р п; тогда ^^-.хп-р.хр хР J_ —, хп~Р — хп + т Если р > п, то по 1.42 п vtn__хп , _L_ v-n . _хп • — . 1 — I — хп+т хР хпхР-п хп хР~п хР-п Если же т =—р < О, л=—q < 0, то также по 1.42 vtn. vn___L_ _2_ ____— хт + п ХР хЧ хР+4 Аналогично проверяется справедливость второй формулы (1). 1.47, а, Для любого x^R имеет место равенство 0-х = 0. Действительно, О - а: + 1 • а; — (0 + 1) х = 1 • х — X, 0-х+1-х = 0-х-[-х, откуда х — 0-х-[-х; в силу 1.33, 0-х = х— х = 0. Отсюда следует, что 0 не имеет обратного, поскольку равенство 0-х =1 невозможно. Таким образом получается оправдание школьного правила: «на нуль делить нельзя». б. С другой стороны, из ху = 0 и х=£0 следует, что у = (— • х )у — — (ху) = — • 0 = 0.' Таким образом, если про- \ X i X X извещение равно нулю, то (по меньшей мере) один из мно- жителей равен нулю.
22 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.48 1.48. Всегда при и=#0, ®=^=0 и ‘ v uv ' Действительно, ХУ-\-уи UV 1 . . 1 .1 X . у — (хг/4-vw) = — -xv-\---уи —-----к—. UV ' 1 ' ’ uv uv' и V 1.49. Для любого x£R — X = (--1) X. Заметим, что обе части равенства определяются незави- симо, так что равенство требует доказательства. Мы имеем по 1.47 а (—1)х + * = [(—1)+ 1]-х = 0-х=0, откуда и следует требуемое. Следствия §§ 1.3 —1.4 обеспечивают для вещественных чисел выполнение всех тождеств элементарной алгебры (би- ном Ньютона, формулы суммирования прогрессий, свойства детерминантов и т. п.). § 1.5. Следствия из аксиом порядка 1.51. Связи порядка с операцией сложения, а. Если х^.у, y^z и x = z, то x=y = z. Действительно, у^.г=х, так что у^.х, откуда по аксиоме 1.23а у~х, что нам и требуется. Из а непосредственно вытекает б. Из х <у, y^z следует х < z. Аналогично из х^.у, у <Zz следует х <Zz. в. Отношения x?gZy, О^у— х, yt^~—х, х—у^О эквивалентны. Действительно, прибавляя к обеим частям первого не- равенства —х и применяя 1.23 в, получаем второе; прибавляя к обеим частям второго —у, получаем третье; прибавляя к обеим частям третьего х, получаем четвертое и, прибавляя к обеим частям четвертого у, возвращаемся к первому. г. Из х<у следует x-\~z <.y-\-z для любого z£R. Действительно, из х<_у заведомо следует, что x^Zy и Но если бы имело место равенство x-\-z- =y-\-z, то, прибавляя к обеим его частям —z, мы получили
1.53] § 1.5. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ ПОРЯДКА 23 бы х—у, что по условию не имеет места. Поэтому x-\-z<Z < y + z. д. Если XjSgj^, ..., хп^уп, то хх4-. . . +хп<ау1+ • • -\-уа; при этом если хотя бы для одной пары Xj, yj имеет место неравенство Xj<iyj, то и Xj + ... + xn <J1 + ... +jn- Действительно, по аксиоме 1.23 в причем если хотя бы для одной пары ху-, у}- имеет место неравенство х,- < у}-, то в силу г в соответствующем месте преобразования появитсй знак <, который сохранится и в дальнейших местах в силу г. Таким образом, одноименные неравенства можно складывать. В частности, из хг 0, ... ..., х„ 0 следует $ = хг + + хп 0, причем если хотя бы для одного j мы имеем Xj <0, то и s < 0. Аналогичный факт справедлив при замене всех знаков на и < на >. е. Отношения х<у, 0<у— х, —у <—х, х—_у < 0 эквивалентны. Это выводится из д так же, как в выводилось из аксиомы 1.23 в. 1.52. Определение. Если xZ>0 (х > 0), число х называется неотрицательным (положительным)-, если х^О (х < 0), число х называется неположительным (отрицатель- ным). Число 0 одновременно неположительно и неотрица- тельно. 1.53. Определение. Пусть даны два вещественных числа х и у и, например, х у. Тогда х называется мини- мальным из чисел х и у, что обозначается x = min{x, j}, а у называется максимальным из чисел х и у, что обозна- чается у —max (х, у}. По индукции можно определить min {х1э . .., х„} и max {хт, .. ., х„} для любого (конечного) набора чисел xlf ..., хп (например, max {х1У ..., хл} = = max {max (хь ..., х,,^), хД). Число | х | = max {х, —х} называется модулем, или абсо- лютной величиной, числа х. Таким образом, |х| = х, если xZ>0, и | х|=—х, если xs^O; для любого х число |х| неотрицательно и |—х| = |х|.
24 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.54 1.54. а. При а>0 неравенство | х | а равносильно двум неравенствам х^а, —х^а или же —а^х^а. б. Для любых двух вещественных чисел х, у I х +у | < | х | +|у|. (1) Действительно, если х, у оба неотрицательны или оба неположительны, то неравенство выполняется по определе- нию модуля. Если же, например, х^>0, ау^О, то X +у < X < X + |у | = | X [ + |у |, —х—у<— j' = b’KI*l + b’l. так что | х +у | = max {х +у, —х—у} | х | + |у |, а это и требуется. в. Из (1) по индукции следует, что | Х! + . . . + Хп I | Xj | + . . . + I Хп |. 1.55. Связи порядка с операцией умножения, а. Если х > 0, у > О, то ху > 0. б. Если х^.у, то для любого z > О xz^.yz. Утверждение а вытекает из аксиомы 1.23 г с учетом 1.47 б. Утверждение б следует из неравенства yz —xz = (у—х) z 0 в силу 1.23 г. в. Используя 1.47 б, в б можно заменить всюду на <. г. В частности, при х > 1 мы имеем х2 > х, а при 0 < х < 1 мы имеем х2 < х. д. Если х^.у, 0<z^.u, то xz^Lyz^Zyu, так что при указанных условиях неравенства можно перемножать. е. В частности, при 0<х <у всегда х2<_у2, .. .,хп<_уп. ж. Если х^О, yZ>0, то ху^.0; если х^О, у^О, то ху 0. Действительно, в первом предположении —х^О и по аксиоме 1.23 г и свойству 1.49 имеем (—х)у =—1-х-у = = —(ху)^0, откуда ху^О. Во втором предположении —у^О и, используя первый результат, получаем —xys^O, ху^О. Во всех случаях знаки можно заменять на <. 34 В частности, при любом х=#0 имеем х2 = х- х> 0. Отсюда 1 — 1 • 1 > 0; далее, по 1.51 г 2 = 1-(-1 > 1 -(-0=1, 3 = 2+ 1 > 2 и т. д.
l.ei] § 1.6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМЫ О ВЕРХНЕЙ ГРАНИ 25 И. Для всех х, у справедливо равенство | х -у | = 1.56. Если х > 0, то -—>0; из 0<х<у следует Первое утверждение следует из х- — =1 >0 и 1.55 ж. Умножая неравенство 0 < х < у на — г J VII получаем второе. р частности, все рациональные числа —, где р и у—на« туральные числа, положительны. 1.57. Следующий принцип часто используется в доказа- тельствах: Если число z неотрицательно и меньше любого положи- тельного числа, то z — 0. Действительно, если z > 0, то по условию мы должны иметь z < z, что невозможно (см. 1.23). § 1.6. Следствия из аксиомы о верхней грани Совокупность R всех вещественных чисел будем называть также числовой осью, асами вещественные числа—ее точками. 1.61. В 1.24 дано определение множества, ограниченного сверху. Рассмотрим теперь множество, ограниченное снизу. Множество EczR называется ограниченным снизу, если су- ществует такой элемент z^R, что для всякого х£Е; это соотношение записывается в форме z Е. Всякое число z, обладающее по отношению к множеству Е указанным свой- ством, называется нижней гранью множества Е. Если Е ограничено сверху, т. е. если существует такое у, что Е^.у, то множество —Е (множество всех чисел — х для х£Е) ограничено снизу, поскольку из х^у следует —х^—у, при этом —у есть нижняя грань множества —Е. Обратно, если Е ограничено снизу, то по тем же сообра- жениям —Е ограничено сверху, и если к] есть нижняя грань множества Е, то —т] есть верхняя грань множест- ва —Е.
26 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.62 Нижняя грань у0 множества Е, ограниченного снизу, на- зывается точной нижней гранью множества Е, если любая другая нижняя грань множества Е меньше или равна у0. Точ- ная нижняя грань множества Е обозначается infF*). Теорема. Всякое множество Е, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань, и она равна —sup (—Е). Действительно, множество —Е ограничено сверху, и по аксиоме 1.24 существует число £ = sup(—Е). Покажем, что —g = infF. Мы имеем для х£Е всегда —х<^£, откуда —£ х; таким образом, —£ есть нижняя грань множества Е. Пусть т] есть любая другая нижняя грань множества Е. Тогда —т] есть верхняя грань множества —Е м согласно определению, —i]^sup(—F) = |; отсюда —£, что и требуется. 1.62. а. Если Е и F ограничены сверху и EczF, то supF sup F; если Е и F ограничены снизу и EczF, то infF^= inf F. Действительно, в первом случае sup F является верхней гранью для F и тем более для EczF\ поэтому supF^supF. Таким же образом во втором случае infF является нижней гранью для F и тем более для Ec.F, поэтому inf F^ inf Е. б. Если для любых х£Е и у £F выполнено неравенство то Е ограничено сверху, F—снизу и sup F^ infF. Действительно, множество Е ограничено сверху любым y£F, поэтому supF существует и supF^j для любого у g F. Отсюда следует, что F ограничено снизу числом sup F; значит, sup F inf F. 1.63. Здесь будут доказаны существование и единствен- ность корня л-й степени из любого положительного числа. Теорема. Для всякого вещественного х>0и целого л > 0 существует и притом единственное вещественное у > О, такое, что уп = х. Это число обозначается у/х (корень п-й степени из х). Доказательство**). Рассмотрим множество А всех положительных z таких, что zn^x. Это множество огра- *) Infimum—низшее (лат). **) По книге У. Рудин, Основы математического анализа, «Мир», 1966, гл. 1.
1-63] § 1.6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМЫ О ВЕРХНЕЙ ГРАНИ 27 ничено сверху (числом 1, если х^1, и числом х, если х^1). Положим у = sup А. (1) Покажем, что уп~х. Пусть у"<х, х—уп — Е. Для любого положительного h 1 мы имеем по формуле бинома Ньютона (у + h)n =уп + пуп 1h+n2 йгуп~г + • • = =yn-\-h пуп~г -|- —/гу"~а + . . J sgZ ^Уп + h [лу”’1 + ...] = =уи+Ч(1+у)"-у"]- Можно взять , ' е (!+{/)"-Уп ' тогда мы получим (у + /г)" ^у" + е = х, что противоречит определению (1). Таким образом, уп~^х. Пусть у" > х, уп—х = е. Для любого положительного /к; 1 мы имеем (у—h)n—yn—nyn~1h + n^y^h2— ... = =ук —h ^лу'г-1 —~^yn~2h+ .. ^y"—h пуп~г-\-’~-~-yn~ih-\-.. ^yn—h nyn-l-i-^^yn-2+ • •] = =y"—A[(l+y)n—y"]. Можно снова взять h < e ^<J+y)n-yn’ тогда мы получим (у—h)n ~^уп—е = х, что опять противоречит определению (1). Таким образом, уп — х, что и требовалось. Единственность корня следует из неравенства yi!<y" при у!<у2 (1.55 е).
28 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА (1.64 1.64. Для любых двух положительных х и у П/------------------- п/~ п/--- (1) Пусть £ = у/х, 1]= y/у, т= у/ху. Мы имеем £" = х, т)п =у; тогда (£т])п = = ху = т". В силу доказанной единственности корня т= {/ху = ^. что и требуется. Аналогично доказывается, что для положительного х и любых целых m, п > 1 V V х. (2) 1.65. Поскольку (—х)"=(—1)"хп, при п четном урав- нение уп — х > 0 имеет, кроме положительного решения У1= \/х, отрицательное решение у2 =— {/х; уравнение же у" =- х < 0 не имеет вещественных решений. При нечет- ном п уравнение у" = х>0 имеет в области вещественных чисел единственное решение у — у/х. В этом случае и урав- нение уп = х < 0 также имеет (единственное) решение У= — V И- Формулы 1.64 (1), (2) позволяют построить обычным образом всю элементарную алгебру выражений, содержащих корни из вещественных чисел, в частности, формулы для решения квадратных и более сложных алгебраических урав- нений, которые рассматриваются в элементарной алгебре. 1.66. Множество Е, ограниченное сверху н снизу, назы- вается ограниченным с обеих сторон, или просто ограниченным. Всякое ограниченное множество имеет точную верхнюю грань sup£ и точную нижнюю грань inff. Примерами ограниченных множеств служат отрезки и ин- тервалы. При а < b совокупность всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству называется отрез- ком с левым концом а и правым концом b и обозначается через [а, Ь]. Совокупность всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь, называется интер- валом с левым концом а и правым концом b и обозначается (а, Ь). Концы отрезка принадлежат отрезку, концы интервала
1.71] § 1.7. ПРИНЦИП АРХИМЕДА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 29 не принадлежат интервалу. Тем не менее sup [о, b] = sup (a, b) = b, inf [о, £] = inf (а, Ь) — а. Впрочем, терминологию нельзя считать установившейся. Иногда отрезок называют замкнутым интервалом, а интер- вал—открытым отрезком. Встречаются также и «полузамк- нутые» или «полуоткрытые» отрезки и интервалы; так, множество {х:а < x^b} = (a, /?] называют полуинтерва- лом, открытым слева и замкнутым справа, а множество {х: а х < Ь} = [о, Ь)—полуинтервалом, открытым справа и замкнутым слева*). Отрезки, интервалы и полуинтервалы мы будем называть промежутками. Для единства терминологии иногда точку а также назы- вают отрезком и пишут а = [а, а] = {х:а^х § 1.7. Принцип Архимеда и его следствия 1.71. Если х—вещественное число, а п—целое число, то числа пх называются целыми кратными х. Принцип Архимеда**). Если х > 0, а у—произ- вольное вещественное число, то существует такое целое крат- ное пх числа х, для которого (п— 1)х^_у, пх >у. Доказательство. Предположим, что для всех целых р выполняется неравенство рх^.у. Это значит, что множе- ство А всех чисел {рх} ограничено и имеет число у своей верхней гранью. По аксиоме 1.24 существует точная верхняя грань множества {рх}, | = supA. Число £—х < £ уже не яв- ляется верхней гранью множества А; поэтому существует та- кое/?, что рх > |—х. Отсюда (р-[- 1) х > В и £ не может быть верхней гранью множества А. Полученное противоречие доказывает существование целого числа р, для которого рх ~>у. Аналогично существует целое число q, для которого qx<Zy, очевидно, q^p. Перебирая все пары (q, #4-1), (#+1, #Ч~2), ..., (р — 1, р), найдем среди них такую, например (л—1, л), для которой (л—1)х^.у, а пх >у. *) Для таких множеств предлагались в свое время названия «интрезок» и «оттервал», однако при всей их целесообразности в оби- ход они ие вошли. **) В других современных аксиоматических теориях веществен- ных чисел принцип Архимеда, наряду с принципом Кантора (§ 1.8), входит в состав аксиом; при таком построении аксиома о верхней грани (1.24) становится теоремой.
30 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.72 В частности, если х = 1, мы получаем, что для любого у существует такое целое л, что п — \^.у<п. Число п—1 называется целой частью числа у и обозначается [у]. Число у—[у] называется дробной частью числа у и обозна- чается (у). Таким образом, всякое число у есть сумма своей целой части и своей дробной части: у=[у] + (у)- 1.72. Заменяя всюду в 1.71 сложение умножением, полу- чаем следующий мультипликативный*) вариант принципа Архимеда: Если х > 1, у > 0, то существует такой целый показа- тель п, что хп~г^у, хп>у. 1.73. Если в условии принципа Архимеда число у также положительно, то положительно и число п > — . Умножая X X последнее неравенство на —, приходим к следующему за- ключению: Для любых х > 0 и у > 0 существует такое натуральное У число п, что — <~х. ’ п Как следствие получаем: при любом у > 0 inf М, п= 1, 2, ... 1 =0. (1) Действительно, множество в скобках состоит из положи- тельных чисел, поэтому его нижняя грань неотрицательна. Но по * доказанному она не может быть положительной; отсюда вытекает (1). 1.74. Следствие. Каждая из систем полуоткрытых промежутков (0, у]=> (о, f]z> ... 2Э (о, ... (у > 0), (1) (а, а -|-у] (а, й + у] Z3 ... О ^а, й + (2) [а—у, a) Z) [а—о ... (3) имеет пустое пересечение. *) От слова multiplicator—умножающий (лат.).
1.76] § 1.7. ПРИНЦИП АРХИМЕДА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 31 Действительно, если бы промежутки системы (2) имели общую точку Jj, то |—а была бы общей точкой системы (1); и если бы промежутки системы (3) имели общую точку щ, то а—т] была бы общей точкой системы (1). Но промежутки системы (1) не могут иметь ни одной общей точки в силу 1.73, что и доказывает утверждение. 1.75. Теорема. Каждый интервал (а, Ь) содержит рациональную точку. Доказательство. Пусть h = b—а>0 и п—‘целое, большее, чем ± (существующее по принципу Архимеда)', так что -i- < h. По принципу Архимеда найдется такое т, что т - т+1 „ m+1 . 1 , , — £-'« <—— . При этом----------— <о— а, так что п п п п и4-1 . . т s г . .. п' < Ь. Таким образом, а < —< Ь, ~— g (а, Ь), что и требовалось. На самом деле между а и b существует даже бесконеч- ное множество рациональных чисел, поскольку, применяя /т-М .\ приведенное рассуждение к интервалу ( —, b 1, мы полу- чим новое рациональное число у, —у < Ь, и про- цесс можно продолжать неограниченно. 1.76. Для заданного вещественного числа £ обозначим через совокупность всех рациональных чисел и через 'Р, совокупность всех рациональных чисел г £. Множество N, ограничено сверху (числом £), множество ограничено снизу (числом £). 1 Теорема, supNr_ = £ = infР^. Доказательство. Пусть supN. = а. Так как для каждого s g N„, то по определению точной верхней грани имеем Предположим, что а<£. По 1.75 имеется рациональная точка pg (а, £). Так как р < то p£N^, откуда вытекает p^sup^=a, что противоречит включе- нию pg (а, £). Следовательно, неравенство а<£ невоз- можно, откуда a = supM = £. Аналогично доказывается, что £ = infPr
32 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.77 1.77. Позиционная десятичная запись веще- ственных чисел. Мы проверим здесь, что с помощью последовательности из знаков 0, 1, 2, ..., 9 можно запи- сать любое вещественное число. Положим 9+ 1 = 10. Пусть > 0. В силу 1.72 существует (и однозначно определен) такой показатель р, что Ю*+1. Имея р, найдем число 0О (из набора 1, 2, ..,, 9) такое, что 6о-Ю/’<|<(0о+1).1О₽. Число 0О также определено однозначно, так как промежутки 0-1О*<х< (04-1)-1О/? при различных 0 = 0, 1, ..., 9 не пересекаются. Далее, имея 0О, найдем число 0Х (из набора О, 1, 2, ...,9) такое, что 0О- Ю^ + 0Г 10r-i<^£ < 00.10f + (0Х+ П-1ОР"1. Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим после- довательность символов (цифр от 0 до 9) 6О0Д... (0О=# 0). (1) Для указания числа р поступаем так: если р 0, ставим запятую между символами Qp и 0j,+1; если р < 0, т. е. р =—q, q > 0, перед последовательностью (1) пишем до- полнительно q нулей и после первого из них ставим запя- тую. С учетом этого условия в записи отражено и число р. Итак, каждому вещественному числу £, мы поставили в соответствие по указанному правилу символ вида (1), воз- можно, с несколькими нулями впереди и с запятой на неко- тором месте. Этот символ называется десятичной позицион- ной записью числа цифры 0О, 0Ъ ... в их взаимных положениях (позициях) в последовательности (1) называются десятичными знаками числа Для числа 1 десятичная запись имеет вид 1,000...; аналогичный вид имеет десятич- ная запись для чисел 2, 3, ..., 9. Для числа 10 десятич- ная запись имеет вид 10,000 ... Для чисел вида с не- 10*
1.77] § 1.7. ПРИНЦИП АРХИМЕДА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 33 отрицательными целыми s и t («десятично рациональных») и только для них в символе (1) не более чем t цифр после запятой отлично от 0. Мы утверждаем, что в символе (1) не может быть так, что, начиная с некоторого места, все цифры являются девятками. Действительно, наличие всех девяток, начиная с номера п после запятой, означало бы, что число £ лежит в промежутках , 9 ,10 , 1 л + Ю» S < л + 10» r‘ 10"-1 ’ .99 । 9 । 10 — । 1 Г + ю»+1^= + г + ю»+ юп+1 Л+ 10"-1 ’ .9.9 . 9 g . 1 Г + Тб”+ 10"+1+ ' ’ ' + 10»+*^=^ + Г + 10"-1 ’ но все вместе эти промежутки не имеют ни одной общей точки {1.74). Обратно, пусть дана произвольная последовательность цифр от 0 до 9 TiT2... (2) с запятой на некотором месте, причем не все т,- суть нули и как угодно далеко имеются цифры, отличные от 9. Пока- жем,- что существует число £>0, для которого (2) совпадает с представляющим его символом (1). Пусть тт—первая отличная от 0 цифра в (2). Запятая находится или правее хт на <7^5 0 цифр (не считая хт), или левее хт на t 1 цифр (считая хт); во втором случае по- ложим q = —t. Теперь положим | = sup {10*-Tm + Ю9-1-тт+1-|- 10*-2-тт+2+ ... 4- k и покажем, что десятичное разложение этого числа £ сов- падает с (2). Пусть фиксировано натуральное число s, затем
34 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА (1.78 выбрано г > s так, чтобы т„/+г^8, и пусть k > г произ- вольно. Тогда, суммируя геометрическую прогрессию, найдем 10?~‘s+1’.rra+i+1+ ... + 10*-'.ти+г+ ... + 10*-*.ти+л < <9-10’"и+1,4- ... 4-9- 109-г4- ... 4-9- Ю9-*—10«-r = „ Ю^-^+п—109~(ft+u = 9 . Ar--___AA±--------109-r < 109-s — IO9-'. 1 —10-1 Поэтому £ = sup {109-Tra + • • • + 109-s.Tm+5+ ... 4- 109-*.Tffi+J< < 109-Tm-|~ • • • 4- 109-^ти+.,4- 109-s- IO9-' < <109.Tm+...4-109-i(Tra+,+ l). Итак, при любом s = 0, 1, 2, ... 109.T„,4-...+109-s.Tra+,<|< < 109-Tm4- • • • + 109-i (Tffl+i4-1). Полагая здесь s = 0, 1,2, ... и вспоминая определение числа р и знаков 0о, 0Ь ... числа £, мы находим p~q, ®о —6i = 'tm+i> , откуда н следует совпадение Деся- тичного разложения числа £ с символом (2). Если £ < 0, то —| > 0, и поэтому В — . . ., как было показано выше; мы полагаем по определению В=~ Tfr2... Наконец, для £ = 0 мы полагаем £ = 0,0000 ... Этим завершается построение позиционной десятичной системы. 1.78. Вместо числа 10 можно взять какое-либо другое целое число Р > 1. Соответствующая позиционная система обозначений вещественных чисел называется Р-ичной пози- ционной системой. Наиболее часто, кроме десятичной, ветре-
1.81] § 1.8. ПРИНЦИП ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ КАНТОРА 35 чаются двоичная и троичная системы, где Р есть соответ- ственно 2 илн 3. В двоичной системе для записи любого вещественного числа используются лишь цифры 0 н 1, а в троичной — цифры 0, 1 и 2. § 1.8. Принцип вложенных отрезков Кантора 1.81. Пусть на вещественной оси R указана некоторая совокупность промежутков, обладающих тем свойством, что из каждых двух промежутков этой совокупности один со- держится в другом. Такую совокупность будем называть системой вложенных промежутков. В 1.74 мы видели, что система вложенных промежутков может не иметь в пересечении ни одной точки. Промежутки, которые рассматривались в 1.74, были полуоткрытыми. Тем более система вложенных открытых промежутков (интерва- лов) может не иметь ни одной общей точки. Однако если рассматриваемые промежутки содержат оба своих конца, т. е. являются отрезками, общая точка всегда имеется; этот факт составляет содержание следующего важного предложения: Принцип вложенных отрезков Кантора. Для всякой системы Q вложенных отрезков [а, ft] существует точка, принадлежащая ко всем отрезкам этой системы. Точнее говоря, существуют |=sup {a:[a,ft]£Q}; г)= inf {ft: [a, ft] €Q}. Тогда Е Т) и отрезок [£, ц] есть пересечение всех отрез- ков системы Q. Доказательство. Пусть Е = {а : [a, ft] £Q} есть множество левых и F— {ft: [а, ft] £ Q} множество правых концов отрезков системы Q. Для любых двух отрезков [а1, ft1]c:[a2, ft2] системы Q мы имеем а2^С так что любое а £ Е не превосходит любого b£F. Из 1.626 следует, что числа | и т], указанные в формулировке теоремы, существуют и удовлетво- ряют неравенству £ Для любого [a, ft]€Q мы имеем a<EE<Z»]^Cft, так что [a, ft] о [|, г]], откуда и JJ[a, ft] э [|, т]]. Нетрудно убедиться, что JJ [a, ft] состоит только из точек отрезка [£, т]]: для любой точки х, не входящей в отрезок
36 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.82 [I, л1» например, по той причине, что х < найдется левый конец а, для которого х < а < | = sup {«}, и, сле- довательно, х не принадлежит соответствующему отрезку [а, £>]. Если | = т], то, говоря об отрезке [|, т]], мы подра- зумеваем эту точку | = Т]. 1.82. В каком случае пересечение системы вложенных отрезков состоит из одной единственной точки? Ответ дается следующей теоремой: Теорема. Пересечение системы Q вложенных отрезков состоит из одной единственной точки тогда и только тогда, когда для любого е > 0 е системе Q имеется отрезок [a, длины b — а<Е. Доказательство. По принципу Кантора пересечением отрезков системы Q является отрезок [|, т)], который сво- дится к одной точке, если т] = |. Если т]#=|, то длина каждого отрезка [а, А] о [|, т]] системы Q не меньше, чем т] — поэтому если в системе Q имеются отрезки произвольно малой длины, то их пересечением является одна точка. Об- ратно, поскольку т] = inf {b: [а, £>] €Q}> | = sup{a:[a, £>] g Q}, в системе Q для заданного 8>0 есть отрезок для которого —е/2, и отрезок [а2, д2], для которого fc2<T]-}-8/2. Если, например, [ах, гэ [«2> д2], то мы имеем а2'^а1 > | — е/2, Ь2 < »] + е/2. Если | = т], то Ь2 — а2 < 8, так что в системе Q имеется отрезок длины < 8, н теорема доказана. § 1.9. Расширенная область вещественных чисел 1.91. Определение. Расширенная область /? веще- ственных чисел состоит из совокупности R всех веществен- ных чисел и двух символов, или точек, —оо и оо (точ- нее, -|- оо) (минус бесконечность и плюс бесконечность). На эти символы распространяются отношения порядка по следующему правилу: для каждого х g /?; для каждого x£R;
1.94] § 1.9. РАСШИРЕННАЯ ОБЛАСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 37 В расширенной области сохраняются аксиомы порядка 1.23 а — г. Обычные вещественные числа в отличие от симво- лов — оо и оо называют конечными. 1.92. Для каждого непустого множества EcR опреде- ляются величины supf и inff по следующему правилу. Если Е не содержит точки оо и ограничено сверху (см. 1.24), то supf сохраняет смысл, указанный в 1,24\ в остальных случаях (т. е. если Е содержит оо или, хотя и не содер- жит оо, но не является ограниченным сверху) полагаем sup£'=oo. Аналогично, если Е не содержит точки —оо и ограничено снизу, число inff сохраняет смысл, указанный в 1.61’, в остальных случаях полагаем inf£=—оо. Таким образом, в системе R всякое непустое множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани. 1.93. Если а^21>—две точки из R, то множество [а, />] = {х R' а х Ь} называется отрезком с концами а и Ь, а множество {a, b) = {х £R: а < х < Ь) называется интервалом с концами а и Ь. 1.94. Сформулируем обобщение принципа вложенных отрезков на область R. Пусть на расширенной прямой R указана некоторая совокупность Q вложенных (в том же смысле, что и в 1.81) отрезков [а, Ь\. Утверждается, что все они содержат некоторую точку x£R. Действительно, пусть Л есть множество всех левых концов отрезков си- стемы Q и В—множество всех правых концов отрезков этой системы. Положим £ = sup Л, i] = inf В. Так же как и в 1.81, доказывается, что и что пе- ресечение всех отрезков [a, СQ совпадает с отрезком [£, т)] и, следовательно, не пусто.
38 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА Дополнение к главе 1 Логическая символика При записи математических рассуждений целесообразно использовать экономную символику, уже давно применяемую логиками. Мы укажем здесь лишь несколько самых простых и употребительных логических символов*). Если нас интересует не сущность некоторого предложе- ния, а взаимосвязь его с другими предложениями, мы можем обозначить это предложение одной буквой. Тогда символ а=>Р означает: «из предложения а следует предложение р». Знак а<==>р означает «предложения аир эквивалентны», т. е. из а следует р и из р следует а. Запись ух£Е:а означает: «для каждого х£Е выпол- няется предложение а». Запись gjg^P означает: «суще- ствует элемент у £F, для которого имеет место предло- жение Р». Например, предложение «число | есть точная верхняя грань множества Л» (/.24) можно записать следующим образом: (а) (т. е. для каждого х£А имеет место неравенство х |) и, (б) (т. е. для каждого Ь, не меньшего, чем любой элемент множества А, выполняется неравенство Запись а означает «не а», т. е. отрицание предложения а. Например, а<==фР<==ф(а<==фР), а=фР<==ф(Р=фа), а<==>а. Построим отрицание утверждения ух££:а (для каждого х £ Е имеет место свойство а). Если высказанное утверждение не имеет места, то, следовательно, свойство а имеет место не для каждого х £ Е и, значит, существует элемент х £ Е, для которого свойство а не имеет места: Vх € £:аф==ФЭХ € Е'.а. Построим отрицание утверждения g у £ Е: Р (существует у £ Е, обладающий свойством Р). Если это утверждение неверно, то указан- ного у £ Е не существует, т. е. для каждого у £ Е свойство Р *) Подробнее см., например, в книге: В. А. Успенский, Лекции о вычислимых функциях, гл. 2, Физматгиз, 1960.
ЗАДАЧИ 39 не выполнено: i7e^₽<==^>v У € Е-.$. Таким образом, черта над знаком у или g превращает его, соответ- ственно, в знак а или у и переносится на свойство, стоящее после двоеточия. Например, отрицание приведенного выше утверждения (б) имеет вид _ _____________ _______________ (б) yb А: b Эг £ <==^> gb Si А: b :& £ <£==£> g Ь S: А: b < J (существует Ь, не меньшее любого х £ А, не превосходящее £). Подробнее, с расшифровкой знака bS=A: (б) эЬ < I, ух g A:x<b. Рассмотрим еще следующее предложение: (в) уе>О:дх£А, х>|—е (для каждого е>0 существует х £ А, превосходящее £—е). Построим отрицание этого предложения: (в) ge > 0:yx g А, х > g—е<==^>де > 0:yx g А, х<|—е. Заменяя здесь |—е иа Ь, можно записать этот результат так: (в) Э.Ь < |:ух £ А, х^Ь. Мы замечаем, что (в) совпадает с (б). Отсюда следует, что (в) совпадает с (б), т. е. в определении точной верхней грани утвержде- ние (б) можно заменить утверждением (в). Мы видим, что, оперируя логическими символами, можно прихо- дить к содержательным теоремам. Разумеется, в данном случае цепь рассуждений можно было бы провести и без употребления логических символов. Но в дальнейшем во многих случаях указанная «логиче- ская алгебра» будет полезна. Мы не будем ее применять в самом тексте книги, поскольку не стремимся к максимальной экономии места, но рекомендуем читателю использовать ее в самостоятельной работе. ЗАДАЧИ 1. Показать, что для любых вещественных чисел х и у выпол- няется неравенство |х—{/|->||х|—|у||, а для любых х, уА, ..., уп—неравенство I A—J/i— • • — уп | Ss || х | — | {/! I—... —| уп ||. 2. Арифметической суммой А + В числовых множеств А и В называется совокупность всех сумм х-]-у, где х £ А, у £ В. Дока- зать, что если А и В ограничены сверху, то и A-f-B ограничено сверху н sup (А + В) = sup A-|-sup В. 3. Арифметическим произведением АВ числовых множеств А и В называется совокупность всех произведений х-у, где х £ А, у £ В.
40 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА Доказать, что если А и В ограничены сверху и состоят из положи- тельных чисел, то и АВ ограничено сверху и sup (AB) = sup Л-sup В. 4. Арифметической п-й степенью множества А называется сово- купность всех чисел х", где х £ А. (Заметим, что, вообще говоря, А2 А-А.) Доказать, что если А состоит из положительных чисел н ограничено сверху, то и Ап ограничено сверху и sup (A") = (sup А)п. 5. Если вся совокупность вещественных чисел разбита на два непустых и непересекающихся подмножества А и В, таких, что а < Ь для всех а £ А, b £ В, то существует одно и только одно число у, такое, что а < у < b для всех а £ А и b £ В («дедекиндово сечение»). Историческая справка По-видимому, первая теория, эквивалентная современной теории вещественных чисел, была построена древнегреческим математиком Евдоксом; она изложена в «Началах» Евклида (русское издание: Гостехиздат, 1948, т. 1, кн. V). Преследуя в основном чисто логи- ческие цели, эта теория была мало приспособлена для вычислений и алгебраических построений. Современные теории ведут начало скорее от работ Гаусса (1812), Больцано (1817), в особенности от знаменитого «Курса алгебраического анализа» Коши (1821), где в качестве основа- ния, считающегося очевидным, был принят принцип вложенных отрезков. Следующий шаг был сделан Дедекиндом, Вейерштрассом н Кантором (к 1872 г.), которые—разными путями—определили веще- ственные числа с их свойствами, исходя из рациональных чисел *). Таким образом, определение системы вещественных чисел было при- ведено к определению системы рациональных чисел и тем самым к определению системы натуральных чисел. В связи с этим впервые были сформулированы и аксиомы натуральных чисел, именно, Дедекин- дом в 1888 г. и Пеано в 1891 г. Разумеется, сразу же возник вопрос о непротиворечивости арифметики натуральных чисел с ее аксиомами; Д. Гильбертом (1900) он был включен в число основных проблем математики XX века. Гильберт указал и допустимые («финитные») средства' для такого доказательства; однако Гёдель (1931) показал, что этими средствами проблема в принципе не может быть решена. «Трансфинитными» средствами непротиворечивость арифметики была доказана Гентценом (1936) и П. С. Новиковым (1943). С законностью применения таких средств далеко не все математики согласны. См. П. С. Новиков, Элементы математической логики, Физматгиз, 1959. *) С изложением теории Дедекинда («дедекиндовы сечения») можно познакомиться по книге П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Введение в теорию функций действительного пере- менного, ГТТИ, 1938; с изложением теории Кантора («фундаменталь- ные последовательности») по книге В. В. Н е м ы ц к и й, М. И. Слудская, А. И. Черкасов, Курс математического анализа, т. 1, Гостехиздат, 1944.
ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Бессмертная заслуга Георга Кантора в том, что он отважился вступить в область бесконечного, не побояв- шись нн внутренней, ни внешней борьбы не только с мнимыми парадоксами, широко распространенными предрассудками, приговорами философов, но и с преду- беждением, высказанным многими великими математи- ками. Этим самым он стал создателем новой науки — теории множеств. Ф. Хаусдорф, Теория множеств (1927) Математика (греч. mathema — знание) — наука о ма- тематических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения). Философский словарь (ИПЛ, 1968) § 2.1. Операции над множествами 2.11. Мы рассмотрим здесь несколько подробнее операции над множествами, введенные в 1.12. Напомним определения этих операций. Если имеются множества А, В, С, ..., то совокупность всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств, называется объединением множеств А, В, С, ... Совокупность всех тех элементов, которые входят в каждое из множеств А, В, С, ..., назы- вается пересечением множеств А, В, С, ... Объединение 5 множеств А, В, С, ... называют иногда суммой и записывают в форме 5 = Л4-В + С-}-...; пересе- чение D называют произведением и обозначают D = АВС...*). Некоторые основания для таких «арифметических» наимено- ваний имеются. Например, для любых трех множеств А, В, С справедливо равенство (Л + В)С = ЛС + ВС. Напомним, что два множества считаются равными, если каждый элемент одного из них есть в то же время элемент другого. Приведем доказательство написанного равенства как простой, но типичный образец рассуждений о равенствах множеств. Мы должны показать, что каждый элемент х, входящий в (Д-(-В)С (левая часть), входит в АС-j-ВС (правая часть) и, обратно, каждый элементу, входяГций в ЛСЦ-БС, входит *) Не путать с «арифметической суммой» и «арифметическим про- изведением», введенными в задачах к гл. 1.
42 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.12 и в (Л2?) С. Пусть сначала х принадлежит (А-(-В)С. Будучи элементом пересечения множеств А 4- В и С, элемент х должен входить в каждое из них; таким образом, мы имеем х ^АА-В и х £ С. Так как х входит в объединение А и В, то х входит хотя бы в одно из слагаемых, например в А. Но включения х£А, х С влекут за собой х £ АС, откуда х £ АС+ВС. Если же х входит не в А, а в В, то таким же образом получаем х£ВС, х £АС + ВС, что и требовалось. Обратно, если у принадлежит сумме АС-\ВС, то у принадлежит одному из слагаемых, например у£ВС. Но тогда у£В ну£С; далее, из у^В следует у£А-}-В и окончательно j £ (Л-j-2?) С. Случай у £ АС разбирается аналогично, чем доказательство и завершается. Следует, однако, заметить, что далеко не все арифме- тические правила переносятся на операции с множествами. Например, для множеств А, В, С имеют место формулы А + А = А, А-А — А, А + ВС = (А + В) (Л + С), уже непохожие па обычные арифметические равенства. Мы предлагаем читателю самостоятельно убедиться в справед- ливости этих формул. 2.12. Введем теперь новую операцию — операцию допол- нения. Если множество В является подмножеством множества А, то совокупность всех элементов множества А, не принадле- жащих В, называется дополнением множества В до множе- ства А и обозначается СВ или А—В*). Отметим очевидные формулы С (СВ) = А—(А—В) = В, (А—В) + В = А. Заметим, что для двух произвольных множеств А и В фор- мула (А + В)—В = А, ) С—начальная буква слова «complement»—дополнение (франц.)
2.12] § 2.2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ 43 вообще говоря, неверна; она верна только в случае, когда А и В не имеют общих элементов. Из более сложных формул отметим следующую, которая часто будет далее встречаться: С2В»=ПСВ- О) v V прочитать ее можно так: дополнение к объединению неко- торых тожеств есть пересечение их дополнений. Докажем справедливость этой формулы. Пусть х£ С 2 Bv‘, тогда это означает> чт0 ПРИ любом v мы имеем x£Bv, т. е. x£CBv; но тогда Обратно, если __ V то x£CBv при любом V, т. е. x£Bv при любом V у; но тогда x£^Bv, т. е. x^.C^Bv, что и требовалось, v v Применяя к обеим частям равенства (1) еще раз операцию С и полагая Av — CBV, мы получим формулу 2сд-сТИ (2) V V т. е. дополнение к пересечению некоторых множеств есть объединение их дополнений. Приведенные результаты можно соединить в форме общего правила: переставляя символ дополнения С со знаком 2 (или П), нужно заменить V на ТТ (соответственно Ц на 2)- § 2.2. Эквивалентность множеств Мы хотим теперь установить правила, по которым можно было бы сравнивать различные множества по запасу эле- ментов в них. Для конечных множеств здесь никакой проблемы нет: пересчитывая элементы каждого из двух конечных множеств А и В, мы можем непосредственно выяснить, какое из этих множеств более богато элементами по сравнению с другим. Естественно называть конечные множества А и В экви- валентными, если число элементов в них одинаково. Это
44 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.21 определение эквивалентности, однако, непосредственно не. переносится на случай бесконечных множеств. Мы сейчас придадим ему другую форму, в которой перенесение на беско- нечные множества уже станет возможным. Для этого заметим, что при установлении эквивалентности или неэквивалентно- сти конечных множеств А и В на самом деле нет необхо- димости в пересчете элементов того и другого множества. Например, если множество А есть множество слушателей в аудитории, а В есть множество стульев в этой же аудито- рии, то, вместо того чтобы пересчитывать отдельно слуша- телей и отдельно стулья, можно предложить каждому слу- шателю занять один из свободных стульев, и тогда станет сразу ясно, без всяких подсчетов, эквивалентны указанные множества или нет. Процедура, которая производится в указанном примере, описываемая абстрактным образом, есть установление вза- имно однозначного соответствия между множествами А и В. 2.21. Определение. Если каждому элементу множе- ства А каким-либо образом сопоставлен единственный элемент множества В и при этом всякий элемент множества В ока- зывается сопоставленным одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие. Множества А и В в этом случае и называются эквивалентными. Это новое определение эквивалентности годится для любых множеств, не обязательно конечных; так, например, бесконечное множество А натуральных чисел 1, 2, ... экви- валентно множеству В целых отрицательных чисел —1; — 2, ..., причем взаимно однозначное соответствие между множествами А и В устанавливается посредством правила: каждому числу п£А сопоставляется число —п£В. Точно так же множество натуральных чисел 1, 2, ... эквивалентно множеству всех четных положительных чисел 2, 4, ...: соответствие между ними осуществляется по правилу п-^-Чп. На этом примере мы видим, что множество может быть эквивалентно своему истинному подмножеству; ситуация такого рода, разумеется, может иметь место лишь для бес- конечных множеств. Соответствие между элементами х£А и у £В обозначается х++у.
2.22] § 2.2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ 45 Отношение эквивалентности обозначается знаком Легко видеть, что это отношение симметрично (т. е. А~А), рефлексивно (если А~В, то В~А) и транзитивно (если А~В, а В ~ С, то А~ С). Если два множества эквивалентны, то говорят также, что они равномощны, имеют одну и ту же мощность. 2.22. Примеры. Отрезок [0, а], а > О, эквивалентен отрезку ГО, 1]: соответствие осуществляется по формуле х е [о, = ах£[О, а]. Любые два отрезка [а, А] и [a-J-Л, равной длины Ь—а эквивалентны: соответст- вие осуществляется по формуле х£[а, *-»у = х-[-Л £[а + Л, & + Л]. Поэтому вообще любые два отрезка число- вой оси эквивалентны. Точно так же эквивалентны любые два интервала числовой оси. Соответствие х+->у = — уста- навливает эквивалентность интервала 0 < х < 1 и полуоси у > 1, соответствие х*-*у всей = -г-:—— эквивалентность 1 числовой оси и интервала (— 1, 1). Докажем теперь, что отрезок [а, 6] эквивалентен интер- валу (а, Ь). Рассмотрим произвольную последовательность А точек отрезка [a, Z>], включающую два его конца: х1=а, х2=Ь, х3, ..., хп, ... Тогда х3, xt, ... ле- жат в интервале {а, Ь), так же как и остальные точки отрезка [a, ft], не попавшие в выбранную последователь- ность. Установим соответствие между точками отрезка и интервала по следующему правилу: хг «-► х3, х2 «-> Хп -*-«+2» у£А+*у. Это соответствие, очевидно, взаимно однозначно. Таким образом, отрезок [а, д] и интервал (а, Ь) эквивалентны. Используя полученные ранее соответствия, заключаем, что любой интервал эквивалентен любому отрежу, полуоси и всей числовой оси.
46 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.31 § 2.3. Счетные множества 2.31. Определение. Множество, эквивалентное мно- жеству всех натуральных чисел 1,2, ..., называют счетным множеством. Можно сказать иначе: множество счетно, если все его элементы можно занумеровать всеми натуральными числами. Приведем несколько простых теорем о счетных множествах. 2.32. Всякое бесконечное подмножество В счетного мно- жества А также счетно. Действительно, элементы множества В можно заново перенумеровать по порядку их следования в А (причем, поскольку В бесконечно, придется для нуме- рации использовать все натуральные числа). 2.33. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество. Доказательство. Рассмотрим сначала случай двух множеств. Пусть имеются счетные множества A = (ax, а2, ...) и В=(61, Ь2, ...). Выпишем в одну строку все элементы обоих этих множеств по следующему правилу: а1< ^1! й2> ^2’ й3, *3> • • • Теперь все эти элементы можно заново перенумеровать по порядку следования в строке. Элемент, встречающийся два раза (т. е. такой, который входит и в А, и в В), естест- венно, приобретает номер в первый раз, а во второй раз пропускается. В результате каждый элемент объединения множеств А и В получит свой номер, что и требуется. Так, множество всех целых чисел 0, ±1, ±2, ... счетно, как объединение двух счетных множеств 1, 2, 3, ... и 0, —1, —2, . . . Совершенно аналогичным образом теорема доказывается в случае трех, четырех или вообще любого конечного числа счетных множеств. В случае счетной совокупности счетных множеств -^1={й11> й12> • а1п> • • •}, ^2= {й211 й22> • • •» й2п> • • •}» Л = {ЙЛ1> ЙЛ2> akm •••}» изменение будет только в том, что правиле? для записыва-
2-35] § 2.3. СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 47 иия всех элементов всех этих множеств в одну строку при- дется применить несколько иное, например по группам эле- ментов с равной суммой индексов: а11> а21» й12> а31> й22> а13> а41> а32> й23> й14> • • • > в остальном же доказательство не изменяется. 2.34. Множество всех рациональных чисел (т. е. чисел р . вида , где р и q—целые числа) счетно. Действительно, множество всех рациональных чисел есть объединение следующих счетных множеств: 1) множества Аг всех целых чисел п = 0, ±1, ±2, ...; 2) множества А2 всех дробей вида -у, п = 0, ± 1, ± 2,... ; 3) множества А3 всех дробей вида у, п = 0, ±1, ±2, ...; k) множества Ак всех дробей вида у , п = 0, ±1, ±2, ...; Множества А1г А2, ..., Ак, ... составляют счетную сово- купность множеств; так как каждое из них счетно, то в силу 2.33 и их объединение счетно, что и утверждалось. 2.35. Если Л = («1, а2, ..., ак, ...) и B = (blt b2, ..., Ьп, ...) — счетные множества, то множество всех пар (ак, Ь„) (k, п= 1, 2, ...) также является счетным. Действительно, множество всех этих пар можно пред- ставить в виде объединения счетной совокупности счетных множеств А ={(«!> *1)- («г. *г)> •••,(«!, Ьп), ...}, Л2 = {(«2, *i)> («2- *2), bn), ...}, = {(ak, bj, (ak, b2), ..., (ak, bn), ...}, и в силу 2.33 оно является счетным множеством.
48 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.36 Этому примеру можно придать геометрический смысл: паре (ak, bn) отвечает точка на плоскости с координата- ми ak, bn‘, мы видим, в частности, что множество всех точек плоскости, обе координаты которых рациональны, счетно. 2.36. Множество всех многочленов Р (х) = а0 + с^х ... + апхп (любых степеней) с рациональными коэффициен- тами а0, alt ..., ап счетно. Множество всех многочленов указанного вида есть объеди- нение счетной совокупности множеств Ап(п — О, 1, 2, ...), где Ап означает множество многочленов степени ^л. По- этому, имея в виду теорему 2.33, достаточно показать, что каждое из множеств Ап счетно. При л = 0 речь идет о счет- ности множества самих рациональных чисел, которая уста- новлена в 2.34. Далее будем действовать по индукции: предположим, что доказана счетность множества Ап, и до- кажем счетность множества Лп+1. Каждый элемент множества Ап+1 можно записать в виде Q(*) + cn+i*"+1. где Q(x)—многочлен степени ^Сл с рациональными коэф- фициентами, т. е. элемент множества Ап, и лп+1 — рацио- нальное число. Множество многочленов Q(x) по предположению счетно, и множество чисел ап+1 также счетно. Таким образом, каж- дому элементу множества Лп+1 можно сопоставить пару (Q(x), ап+1), каждая из составляющих которой пробегает счетное множество значений. В силу 2.35 множество Лп+1 также счетно, что и требовалось. 2.37. Множество всех алгебраических чисел (т. е. корней многочленов с рациональными коэффициентами) счетно. Согласно 2.36 все многочлены с рациональными коэффи- циентами мы можем занумеровать натуральными числами, так что эти многочлены будут образовывать последователь- ность PjW, Pz(x)......Р„(х), ... Но каждый из указанных многочленов имеет некоторое ко-
2.42] § 2.4. МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА 49 нечное число корней (см. 5.87). Выписывая в одну строку сначала все корни многочлена (х), затем все корни много- члена Р2(х) и т. д., мы получаем возможность занумеровать и все алгебраические числа, что и требовалось. § 2.4. Множества мощности континуума Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать натуральными числами. Такие множе- ства называются несчетными. Типичным примером несчетного множества является континуум—множество всех точек ка- кого-либо отрезка. 2.41. Теорема (Г. Кантор, 1874). Множество всех то-, чек отрезка 0 х 1 несчетно. Доказательство. Допустим, что, напротив, множе- ство всех точек отрезка [0, 1] счетно и все их можно рас- положить в последовательность хх, х2, . ..,хп, ... Имея эту последовательность, построим следующим образом по- следовательность вложенных друг в друга отрезков. Разделим отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы ни находилась точка хх, она не менно всем трем отрезкам может принадлежать одновре- среди них можно указать такой, который не содержит точки хг (ни внутри, ни на границе); этот отрезок мы обозначим через Дх. Далее, обозначим через Д2 ту из трех равных частей отрезка Дх, на которой не лежит точка х2. Когда таким образом будут построены отрезки ДхзэД2зэ ... зД„, мы обо- значим через Д„+1 ту из трех равных третей отрезка Дп, на которой не лежит точка хп+1; и т. д. Бесконечная после- довательность отрезков Д1гэД2гэ... в силу теоремы 1.81 имеет общую точку £. Эта точка £ принадлежит каждому из отрезков Д„ и, следовательно, не может совпадать ни с одной из точек хп. Но это показывает, что последова- тельность хх, х2, ...,хп, ... не может исчерпывать всех точек отрезка [0, 1], вопреки первоначальному предположе- нию. Теорема доказана. 2.42. Мы видели, что все рациональные числа отрезка [О, 1] составляют счетное множество. Остальные числа от- резка называются иррациональными. Мы видим теперь, что
50 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.43 иррациональных чисел «значительно больше», чем рацио- нальных: точнее говоря, иррациональные числа образуют заведомо несчетное множество (иначе, если бы множество иррациональных чисел было счетным, то было бы счетным и множество всех чисел отрезка 0 <1 х 1, как объедине- ние двух счетных множеств). Более того, так как алгебраи- ческие иррациональные числа (корни многочленов с рацио- нальными коэффициентами) образуют также счетное множе- ство (2.37), то несчетное множество составляют числа, не являющиеся корнями многочленов с рациональными коэффи- циентами, — трансцендентные чисЛЗ". Между прочим, приведенное рассуждение доказывает и само существование трансцендентных чисел, нисколько не очевидное заранее. 2.43. Определение. Всякое множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1], называется множест- вом мощности континуума. Мы видели, что множества точек любого отрезка [a, ft], любого интервала (а, 0) и, наконец, всей прямой —оо < х < оо эквивалентны множеству точек отрезка [0, 1]; следова- тельно, все они имеют мощность континуума. § 2.5. Понятие о математической структуре. Изоморфизм структур 2.51. С некоторой общей точки зрения математика имеет дело только с множествами. Но богатство той или иной математической теории зависит от дальнейших связей между элементами (и подмножествами) множеств, изучаемых в дан- ной теории. Эти связи формулируются абстрактным образом с помощью аксиом. Примером' служит система вещественных чисел, рассмотренная в гл. 1: она представляет собой мно- жество, элементы которого удовлетворяют некоторой опре- деленной, достаточно сложной системе аксиом. Множество с дальнейшими условиями (на элементы и подмножества) на- зывают математической, структурой. Точное определение мате- матической структуры должно было бы содержать общее оп- ределение таких «условий», и мы предпочитаем его не приво- дить *), ограничиваясь словесным описанием и рядом примеров. *) См. Н. Б у р б а к и, Теория множеств, гл. IV, «Мир», 1965.
2.53] § 2.5. ПОНЯТИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ 51 2.52. Две структуры с одинаковыми типами условий на- зываются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что при этом соответствии сохраняется выполнение или невыполне- ние условий, определяющих структуру. Всякая структура изоморфна самой себе: тождественное отображение, очевидно, взаимно однозначно, и при нем сохраняются все условия, которым подчинены элементы и подмножества структуры. Но возможны и нетождественные отображения структуры на себя, сохраняющие описывающие структуру условия; такие отображения называются автоморфизмами структуры. Рассмотрим для примера структуру линейно упорядочен- ного множества. Так называется множество Е элементов х, у, ... с тем дополнительным условием, что для каждых двух различных элементов х, у установлено одно из отно- шений («меньше») или у < х, причем если х<у и у < г, то х < z. Примером может служить (расширенная) числовая ось или любое подмножество числовой оси с обыч- ным отношением порядка. Два упорядоченных множества Ех, Е2 называются изоморфными, если между ними установлено взаимно однозначное соответствие так, что из хг ^Е1,у1 £Elt х1<Су1 Для соответствующих элементов х2 gЕ2 и у2 £ £2 следует х2<у2. В этом смысле вся числовая ось изоморфна любому интервалу; но она не изоморфна отрезку (у отрезка есть наименьший элемент, у оси—нет). Автоморфизмом ли- нейно упорядоченного множества является любое его взаимно однозначное отображение на себя, сохраняющее порядок: если хг соответствует х2, yt соответствует у2, то х2 <.у2. Для интервала (0, 1) как линейно упорядоченного множества формула у — хп при любом фиксированном п за- дает автоморфизм. Возможны структуры, система аксиом которых определяет структуру с точностью до изоморфизма; иначе говоря, воз- можно, что всякие две структуры с данной системой аксиом изоморфны. Говорят в таком случае, что система аксиом дан- ной структуры полна и что сама данная структура единственна. 2.53. В качестве примера рассмотрим вопрос о единст- венности системы вещественных чисел. Мы назвали в гл. 1 системой вещественных чисел совокупность объектов, удов- летворяющих определенным аксиомам (1.21 —1.24).
52 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.54 Поставим вопрос: единственна ли система объектов, удов- летворяющих всем этим аксиомам? Изоморфны ли две струк- туры вещественных чисел? Более точно: если имеется два экземпляра системы вещественных чисел, можно ли устано- вить между их элементами такое взаимно однозначное соот- ветствие, при котором результатам сложения и умножения чисел первой системы соответствуют результаты одноимен- ных операций во второй системе, при котором сохраняется от- ношение порядка между соответствующими элементами и при котором точные границы соответствующих множеств соответствуют друг другу? Ответ на этот вопрос положи- тельный и дается следующей теоремой, доказательство ко- торой проводится в 2.54—2.58. Теорема. Пусть имеется два экземпляра Rv и R2 си- стемы вещественных чисел; числа первой системы будем снаб- жать индексом 1, числа второй системы — индексом 2. Утверждается, что между числами х± £ и х2£ R2 можно установить взаимно однозначное соответствие, обозначаемое знаком так, что при этом будут выполняться следующие свойства: 1) из х1~х2, у1~у2 следует х1+у1^ х2+у2> 2) из х1~х2, >1~Уг следует хгу2~ х^; 3) из хг^х2, у!.~у2, х1<у1 следует х2 <у2; 4) если множество A1cRl ограничено сверху, то множе- ство А2 соответствующих элементов из R2 также ограничено сверху и sup Д ~ sup А2. 2.54. Приступая к доказательству теоремы 2.53, мы мо- жем отметить, что теоретико-множественная эквивалентность систем Rv и R2 следует уже из возможности представления чисел каждой системы бесконечными десятичными дробями (1.77). Мы используем здесь иной подход, более приспособ- ленный для проверки свойств 1)—4). Обозначим через Q± и Q2 множества рациональных чисел из систем R± и R2. Между и Q2 устанавливается естественное взаимно одно- значное соответствие по самой записи рациональных чисел , m гт ч. в форме —. При этом, очевидно, выполняются свойства 1) — 3), так как указанные операции выражаются непосред- ственно через символы m и п. Если теперь g Rt —любое
2.56] § 2.5. ПОНЯТИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ 53 число, то по 1.76 мы имеем Bi = sup (Вх) = inf Pt (gj, где (|j) означает множество рациональных чисел 1\ а Рг (£i) — множество рациональных чи<;ел при этом всегда r1^sl. Обозначим через N2 множество рациональ- ных чисел системы /?2, соответствующих рациональным чис- лам из множества Л/^^) ^т. е. имеющих туже запись , и через Р2—множество рациональных чисел системы Р2, соответствующих числам из множества Мы имеем r2 <1 s2 для всяких r2 £ N2 и у2 £ Р2 и по 1.62 б sup N2 <1 inf Р2. Так как все рациональные числа в системе Р2 попадают либо в N2, либо в Р2, то между числами a2 = supAr2 и 02 = inf Р2 нет рациональных чисел. А это значит, что а2 = (32, иначе по 1.75 между а2 и (32 нашлась бы рациональная точка. Теперь поставим в соответствие числу число £2 = =а2 = Р2£А’2. Указанное соответствие, по симметрии, вза- имно однозначно. 2.55. Проверим теперь выполнение свойств 3) и 4). Если х1<у1, мы найдем, пользуясь 1.75, рациональное число fj, хг < t\ < у^, для соответствующих чисел х2, г2, у2 по са- мому определению соответствия будем иметь х2 < г2 < у2, так что 3) выполнено. Пусть Аг ограничено сверху и = = supA1, и пусть А2—множество, соответствующее и g2—число, соответствующее Мы имеем ^^л^для лю- бого откуда х2 Для любого х2£А2 и, следо- вательно, ^2^supA2. Если supA2<£2, то имеется число (даже рациональное) у2 такое, что л:2<у2<^2 для любого х2£А2, откуда x1<y1<Bi для любого и для у1У соответствующего у2. Но тогда sup Аг ^.уг < в противо- речии с предположением. Таким образом, supA2 = £2, чем доказано 4). 2.56. Для доказательства свойств 1) и 2) установим две леммы. а. Лемма. Пусть даны вещественные числа у и г и ра- циональное число r>y-]-z; существуют рациональные числа и>у, v>z такие, что и-^т> = г.
54 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.57 Доказательство. Пусть г—(y-\-z) — h. В качестве и возьмем любое рациональное число в интервале (у, у-)-Л)и положим v = r—и; очевидно, v > г—(y~\-h) = z, что и тре- буется. б. Лемма. Пусть даны положительные числа у и z и рациональное число г > yz; существуют рациональные числа и>у, такие, что uv=r. Доказательство. Пусть h. В качестве и возь- мем любое рациональное число в интервале (у, уй) и поло- г г жим 17= — ; очевидно, ‘P>-^ = z, что и требуется. 2.57. Теперь проверим выполнение свойства 1). Пусть ~ х2, ух ~у2, +У1 ~ =И= х2 4-у2 и пусть, например, 2'2>х2+у2. Выберем рациональное число /2 € (х2 + у2, z2). По лемме 2.56а существуют рациональные числа и2 > х2, >у2, «2 + ‘п2 = /2. Для соответствующих чисел zlt tlt ult мы имеем хг < и1г у1 < vlf Xi+yx < + = Но так как /2 < z2 ~ то 4 < х1Ту1 в противоречии с предыду- щим. Предположение z2 < х2 Ц-у2 исключается аналогично. 2.58. Переходя к свойству 2), рассмотрим его вначале для положительных хг и ylt которым по 3) соответствуют положительные же х2 и у2. Пусть хгуг ~ z2 =0= х2у2 и пусть, например, z2 > х2у2. Выберем рациональное число /2 £ (х2у2, z2). По лемме 2.566 существуют рациональные числа п2 > х2, ®2>J2, u2v2 = t2. Для соответствующих чисел zlt flt иъ vr мы имеем х± < ult уг < vlt х1у1 < u1z>1 — tx. Но так как t2 < z2 ~ Xjylt то < хгуг в противоречии с предыдущим. Предположение z2 < х2у2 исключается аналогично. Случай, когда один из множителей равен 0, очевиден. Переходя к общему случаю и имея в виду правило знаков, достаточно проверить, что —1-х1~— 1-х2. Пусть —bjq соответствует элементу z2. По 1) равенство —1 • Xj-|-jq = О влечет z2~i-x2 = 0, откуда z2 =—Пх2, что и требовалось. Тем самым наша теорема полностью доказана. 2.59. Мы показали, что существует единственная с точ- ностью до изоморфизма система вещественных чисел. Оста- новимся еще на вопросе о том, каковы автоморфизмы этой
2.62] § 2.6. ПРОСТРАНСТВО п ИЗМЕРЕНИЙ 55 системы. В соответствии с 2.52 автоморфизмом системы /? мы называем взаимно однозначное отображение /?—>/?, со- храняющее результаты сложения и умножения, отношение порядка и точную верхнюю грань. Покажем, что такое ото- бражение R—может быть только тождественным. Будем обозначать через х' тот элемент из R, в который при рас- сматриваемом автоморфизме переходит элемент х. Элемент Г есть единица в поле /?, поскольку для любого х мы имеем Г-х' = х'\ в силу единственности единицы (1.41а) мы имеем Г = 1. Отсюда 2'= 1'4-Г = 2, ..., п'= (п— 1)'-|-Г = л; ( т V т' т ,, ( —1 == — = —. В силу единственности противоположного элемента (1.32) мы имеем . Таким образом, наш автоморфизм оставляет на месте систему рациональных чисел. Но тогда он оставляет на месте и каждое веществен- ное число, поскольку в силу 1.76 для каждого | = sup N., где Л/.— класс рациональных чисел, не превосходящих £, а наш автоморфизм сохраняет отношение порядка и верхнюю грань. Итак, рассматриваемый автоморфизм есть тождествен- ное отображение | —> £. § 2.6. Пространство п измерений 2.61. Определение. Пусть дано натуральное число л; обозначим через Rn совокупность всех комплексов («векто- ров») из л вещественных чисел х = (хъ ..., хп). Числа хх, ...,хп называются координатами вектора х. Будем считать, что вектор x = (xt, ..., хп) равен вектору у = (ух, в том и только в том случае, когда выпол- няются равенства х1=у1, ..., хп—уп. Совокупность Rn называется п-мерным вещественным, пространством. 2.62. Введем в пространстве Rn операцию сложения по формуле (хх, ...,хп) + (у1, ...,уп)=-(х1+у1, ...,Хп+уп). (1)
56 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.63 Покажем, что для операции сложения в Rn выполнены аксиомы сложения 1.21, в которых под символами х, у, ... понимаются уже элементы пространства Rn. Пусть х = = (*ь х„), у = (уь ..., уп), z = (zY, ..., zn). Мы имеем: a. = ..., хп+уп)=у + х. б. (x+j)-]-2=(X1-j-J1-]-2’1, • • • , + = Х + + (j + 2’)- в. Для вектора 0 = (0, 0, .. ., 0) («нуль-вектор») выпол- няется равенство х + 0 = (хх + 0, ..., х„ + 0) = х. г. Для каждого х £ Rn существует противоположный эле- мент у такой, что х+у = 0; а именно, можно положить У = (—х1г ..., —х„). Вместе с аксиомами а) — г) выполняются все следствия из них, выраженные в предложениях § 1.3. 2.63. Введем в пространстве Rn операцию умножения на любое число a£R по формуле а(хь ..., х„) = (ах1, ...,ах„). (1) Очевидно, что справедливы формулы: а(х+^) = ах + ау; (2) (а-|-Р) х = ах + Рх; (3) 1-х = х; (4) а(Рх) = (аР)х. (5) 2.64. Векторы х<1> = (х<п, ..., х“>), ..., х<т = (х<т>, .... х<пт>) пространства Rn называются линейно зависимыми, если существуют такие постоянные Clt ..., Ст, среди которых есть отличные от нуля, что С1х«>+...+Стх‘и> = 0. (1) Если же равенство (1) возможно только при Сх= .. . =Ст~ 0, то векторы х11’, ..., х(т> называются линейно независимыми. Векторное равенство (1) в силу 2.62 (1) и 2,63 (1) эквива-
2.66] § 2.6. ПРОСТРАНСТВО п ИЗМЕРЕНИЙ 57 лентно п числовым равенствам С^’+...+Qxr^O, С1Х^+.'.. +СтхГ = 0.‘ Поэтому в силу известных теорем теории систем линейных уравнений *) линейная зависимость векторов х(1), ..., xw> эквивалентна тому, что ранг матрицы || х}*’ || меньше т. В частности, в Rn систему п линейно независимых векторов можно задать с помощью любой квадратной матрицы || x|-ft> || из п строк и столбцов с отличным от 0 определителем. Всякие же л + 1 векторов пространства Rn линейно зависимы. 2.65. Пусть Д, ..., fn — какая-либо система п линейно независимых векторов пространства Rn. Тогда для любого вектора g£Rn в силу линейной зависимости векторов Д, ... ..., Д, g существует линейная зависимость СО^+СЛ+=0, (1) причем заведомо Со=^(), иначе оказались бы линейно зави- симыми векторы Д, ..., Д. Поэтому равенство (1) можно разрешить относительно g; мы получим равенство вида ^=«1/1+• • •+aj„. (2) Числа аь ..., а„ называются координатами вектора g отно- сительно базиса j\, ..., Д. Так, выбирая в качестве векторов Д, ..., fn векторы е1 = (1,0, ...,0), ..., е„ = (0, 0, ..., 1), (3) получаем для любого вектора х = (х1; ..., х„) С Rn х = + ... + хпе„, так что числа хь ..., хп являются координатами вектора х относительно специального базиса еь ..., е„(3). 2.66. Пусть Д, .. ., Д — фиксированный базис в простран- стве Rn. Если g= + ... + а„Д И й = рхд + ... + р„Д, то по свойствам 2.63 (2) — (3) h .= Д + -.. + (а„ + ₽„) Д, Cg~ CajД + ... -j- Ca.nfn при любом числе С, *) См., например, Г. Е. Шилов, Математический анализ, Ко- нечномерные линейные пространства, «Наука», 1969, ЗЛ2. В даль- нейшем обозначаем эту книгу КЛП.
58 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.67 так что сложению векторов и умножению вектора на число С отвечают, при любом базисе, сложение соответствующих координат и умножение их на это число С. Можно сказать, что отображение, ставящее в соответствие любому вектору х = (хг, ...,хп) вектор «=(«!, ..., а„), где ...,а„ — координаты вектора х относительно фиксированного базиса /i, есть автоморфизм (2.52) л-мерного простран- ства /?„. 2.67. Вообще, в соответствии с определением автомор- физма математической структуры (2.52) автоморфизмом п-мерного пространства Rn мы назовем такое взаимно одно- значное отображение х' = Л(х) пространства Rn на себя, что выполняются условия: а. А(ах) = аА(х) для любого x£Rn и любого a£R. б. Л(х+у) = Л (х) + Л (у) для любых х и у из Rn. Из свойств а и б легко получить более общую формулу: ( р \ р в. АI 2 akxk ) — 2 (хл) Для любых векторов xlt ... \Л= 1 / k=l ..., хр и любых вещественных аь ..., ар. Найдем общее выражение автоморфизма А через коор- динаты вектора х. -Пусть х = (хг, ..., хп) и х'=А(х) — = (Xi, ..., х’п). Пусть, далее, еу-=(0, ..., 1, ..., 0) и e'j = — А (еу) = (ау1, ...,ajn). Мы имеем и / п \ п х' = 2 xkek = А (х) = А ( 2 *jej) = 2 xjA (*/) = \/=1 / /=1 п / п \ п / п \ == 2 Xj ( 2 ajkek ) ~ 2 ( 2 ajkxj ) ek > ;=1 \ft=l / k=l \i=l J откуда n 4=2 ajkXj. (1) /= i Таким образом, автоморфизм А задается в координатах системой линейных соотношений (1). Так как эти формулы должны давать взаимно однозначное отображение простран- ства Rn на себя, то по основным теоремам линейной алгебры (см. КЛП, 4.76) матрица ||а/лН невырождена: det||O7ft||=#0.
2.67] § 2.6. ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ 59 Обратно, всякая невырожденная матрица || ау7е || по фор- мулам (1) задает отображение пространства Rn в себя, удов- летворяющее условиям а, б и взаимно однозначное, т. е. определяет автоморфизм пространства /?„. Итак, автомор- физмы пространства Rn описываются посредством невырож- денных матриц по формулам (1). Рассмотрим несколько примеров. Автоморфизм I, опреде- ляемый матрицей 1 0 ... О О 1 ... О О 0 ... 1 переводит каждый вектор в себя самого; это—тождественный автоморфизм. Автоморфизм Лу-, определяемый матрицей f-я строка О (не выписанные элементы — нули) увеличивает в Zy- раз /-ю координату каждого вектора; он называется растяжением в Ху- раз по /-й оси. Автоморфизм, определяемый матрицей К О (V2..-W0), по каждой оси производит растяжение: по первой—в раз, по второй — в Z2 раз и т. д. Если все числа совпадают, то соответствующий автоморфизм, определяемый
60 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.71 матрицей X 0 X О X (^=#0), каждый вектор х переводит в вектор Хх. Такой автоморфизм называют преобразованием подобия с коэффициентом подо- бия X. § 2.7. Комплексные числа 2.71. Естественно возникает вопрос, можно ли в /^мер- ном пространстве Rn ввести операцию умножения векторов друг на друга так, чтобы в результате получался снова вектор из /?„и были выполнены аксиомы умножения 1.22 а—д. Оказывается, это можно сделать при л = 2, например,, по следующему правилу. Пусть е1 = (1, 0), е2 = (0, 1); каждый вектор z£R2 можно записать в виде z = (x, у) = хе1 + уе2, где х к у—координаты вектора z относительно базиса elt е2. Положим Cj ^1^2 ^2^1 — ^2» @2 — ^1* Распространим это умножение на все векторы z = xe1-\- -\-уе2^-^2 nQ линейному закону: если w = ue1-{-ve2, то zw = (хег +уе2) (иех -пе2) = хие{ + xw1e2 -(-уие2е1 +yve% = = (хи—yv) ех + (xt'-f-ya) е2. Короче, определение умножения в R2 таково: zw = (x, у)(и, v) = (xu—yv, xv-[-yu). (1) При этом, очевидно, a. wz = (их—vy, vx + иу) = zw. б. Если ,у = (а, Р), то (zw) у= (хиа—yva—хтф—пуР, х«р—у©р Н-хто+уиа) = = (х (иа—•пР)—у (т'а+«Р), х (wx + zzp)+y (иа—•£$)) = = z(wy).
2.72] § 2.7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 61 в. Для точки е = (1, 0) и любого z—(u, v) мы имеем (1, 0)(и, v) = (u, v). г. Для любой точки (х, у) =# (0, 0) имеется обратный элемент, именно (и, v) = ^2+г/2, — • Действительно, (х,у)(и, г») = (х2+г/2 + Х2^_г/2> х2+у2~x2+i/2) = (1’ °)' д. Для любых трех точек z = (x,y), w = (u, v), у = (а, P) (z + w) у — zy + wy. Действительно, (2 + w)-y = (x + «, y + ®)(a, ₽) = = ((x + «)a —(y + v) P, (x + a)P + (y+®)a) = = ((xa—yP) + («a—®P), (*P +ya) + («Р + i»a)) = = (xa—yP, xP~|-ya) + (Ka—®P> «P + ^a) = = {x, y) (a, P) + («, Ш Р) = гу+и»у. Таким образом, для введенного нами умножения в /?а выпол- няются все аксиомы 1.22а — д. Вместе с ними выполняются и все следствия из них, указанные в предложениях § 1.4. 2.72. Определение. Пространство /?2 с операциями сложения 2.62 (1) и умножения 2.71 (1) называется полем комплексных чисел и обозначается через С. Совокупность вещественных чисел R вкладывается взаимно однозначно в С по правилу х«-»(х, 0), причем сохраняются операции сложения и умножения, по- скольку (х, 0) + (у, 0) = (х +у, 0), (х, 0) (у, 0) = (ху, 0). Поэтому комплексные числа (х, 0) мы будем называть ве- щественными числами и писать (х, 0) = х. Таким образом, базисный вектор е1 = (1, 0) получает обозначение 1. Второй базисный вектор еа = (0, 1) обозначим через г. Каждое комплексное число (х, у) можно теперь
62 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.73 записать в форме x-r-iy. По определению мы имеем г2 = е2= ——е1 = (—1,0) = —1, так что в области комплексных чисел из числа —1 можно извлечь квадратный корень. Вто- рым квадратным корнем из —1 является число —i, поскольку (—/)2=(—l)2i2 = —1. Других квадратных корней из -—1 (кроме i и —г) среди комплексных чисел нет: действительно, если для некоторого z£C мы имеем г2 =—1, то z2-)-! = = — Z) = 0, откуда в силу 1.47 б (с учетом сказан- ного в 2.71) z+t = 0 или z— i = 0, т. е. z = i или z =— i. Правило умножения 2.71 (1) можно записать в форме (х + iy) (и iv) = (хи —yv) -{- i (xv + уи), что соответствует обычному правилу перемножения двучле- нов с учетом равенства /2=—1. Для данного z = х 4- iy число х называется вещественной частью z, а число у называется мнимой частью z; мы пишем x = Rez, _у = Im г. 2.73. Комплексные числа z = x-r-iy и z — x—iy назы- ваются комплексно сопряженными. Справедливы следующие утверждения: а. Соотношение л = г равнозначно тому, что z вещест- венно. _12Г 2---1 1 2 J для любых комплексных и z2. в. z1z2 = z1-z2 J Доказательство, (а) Соотношение x-]-iy = x — iy равносильно у = 0, т. е. z = x-\-iy в этом и только в этом случае вещественно. (б ) Пусть = хх + tji, z2 = х2 + iy2; тогда ^1 + ^2 = (X1 + X2) — 1’(л+^а) = (Х1—4У1)-т- _ _ + (хг—(Уг)= zi + zv (в) Аналогично *1* *2 = (*1х2 ~ * (*1 У 2 + X2J1) = = (Xi — iyx) (х2 — iy2) = zt • z2. В частности, из в следует, что справедливо соотношение г. az=az для любого вещественного а.
2.75] § 2.7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 63 2.74. Единственность системы комплексных чисел. Теорема. Если в двумерном пространстве R2 введено умножение элементов друг на друга, удовлетворяющее акси- омам 1.22, то в R2 можно найти линейно независимые век- торы gt и g.2 такие, что gl^g^ gl = — gi, gig2 = g-2gi = g2- Доказательство. В силу аксиомы 1.22 в в /?2 сущест- вует элемент 1, отличный от 0; положим gi=l. Пусть, далее, А—любой вектор, линейно независимый с gx. Мы имеем /1 = «51-г РА с некоторыми вещественными а и р. Для вектора А = fY Ц- ygx =?= 0 (у вещественно) мы имеем (А + У51)а =/? + 2уА + y25i = «51 + РА + 2уА + у25ь и если взять у =— Р/2, мы получим /| = (а + у2)51. Вещественное число а-ф-у2 не может быть равным 0 по 1.47 а. Оно не может быть также положительным, так как тогда мы полу- чили бы (А — Ка + У2 51) (А Н- /«ту2 5i) = О в противоречии с 1.47 б. Итак, a-j-y2 = — б, 6 > , 1 г « (а+?'3)£1 А на 52 = р^А. находим g* == — 51- 0. Заменяя Равенства 5i52 = 525i = 52 вытекают из того, что gr есть единица. Теорема доказана. Из этой теоремы следует, что между любыми двумя дву- мерными пространствами с умножением, удовлетворяющим аксиомам 1.22, можно установить взаимно однозначное соот- ветствие с сохранением операции умножения, т. е. соответ- ствующие структуры (двумерные пространства с умножением) изоморфны. 2.75. Автоморфизмы системы комплексных чисел. Мы видели в 2.59, что единственным автоморфизмом системы вещественных чисел является тождественный авто- морфизм | Определение автоморфизма области комплек- сных чисел таково: взаимно однозначное отображение z —+z’ плоскости С на себя называется автоморфизмом, если для любых zY и z2 из С и любого вещественного а выполнены следующие условия: 1) ^1 + z2Y = z'l + z'2; 2) (ztz2)’ = z[z'2, 3) (az) — az[.
64 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.76 Свойства 1) и 3) показывают, что рассматриваемый авто- морфизм является автоморфизмом системы С как двумерного пространства (2.67). Свойство 2) говорит, что этот авто- морфизм должен сохранять операцию .умножения. Нетождественный автоморфизм системы С можно задать правилом x-j-iy —-> х—iy. (1) Покажем, что система С не имеет других нетождественных автоморфизмов. Пусть (х + iy)' есть элемент, в который переходит элемент х + iy при некотором автоморфизме. Из 3) следует, что Vz' = (l-z)' = z', так что 1' есть единица системы С; в силу единственности единицы имеем Г=1. Для любого вещественного х по 2) х' = (х •1)' = х-1' = х-1 = х, так что автоморфизм оставляет на месте всю совокупность вещественных чисел. Далее, по 2) (i')2 = t2 = —1, откуда i' есть либо i, либо —i (2.72). В первом случае находим (х + iy)' = х' i'y' = x~\~iy, а во втором (х + iyY = х' + i’y' = х— iy, что и доказывает наше утверждение. Изучение комплексных чисел будет продолжено в гл. 5 (5.72 и далее). 2.76. Возможно ли при л >2 для векторов пространства Rn ввести операцию умножения с выполнением аксиом 1.22 а—д? Оказывается, нет: существует теорема Фробениуса, согласно которой- -при п > 2 это сделать невозможно. Мы не будем останавливаться на доказательстве этой интересной теоремы *). *) См., например, А. Г. Курош, Лекции по общей алгебре, гл. 5, § 8, стр. 277 и далее, «Наука», 1962.
2.82] § 2.8. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ГРАФИК 65 § 2.8. Общее понятие функции. График 2.81. Пусть имеются множество X, состоящее из эле- ментов х, и множество Y, состоящее из элементов у. Пусть каким-то способом/каждому элементу х £ X поставлен в соот- ветствие элемент y£Y; тогда соответствие х—>у (или у=/(х)) называется функцией с областью определения X и областью значений Y. При этом х называется независимым переменным (или аргументом) функции /(х); у называется зависимым пере- менным (или значением) функции. Подчеркнем, что в определении функции нет надобности, чтобы каждый y£Y был значением f(x) при некотором х£Х, и не требуется, чтобы разным значениям х соответ- ствовали разные значения у. (Если оба эти условия выпол- нены, то мы имеем дело с взаимно однозначным соответст- вием (2.21), которое есть частный случай функции.) Если область значений Y функции /(х) есть числовая ось /?, функция /(х) называется числовой функцией. Если Y есть векторное пространство /?„ (§ 2.6), функция /(х) называется векторной функцией. Если область определения X функции /(х) есть число- вая ось R, или расширенная числовая ось R (1-91), или множество Е с R, то / (х) называется функцией веществен- ного переменного. Если область определения функции /(х) есть множество натуральных чисел 1, 2, 3, ..., то функция /(х)—иначе обозначаемая через /(л) или /„—называется последова- тельностью точек множества Y. Заметим, что понятие после- довательности точек множества не сводится к понятию подмножества (не более чем счетного): в последователь- ности точки могут повторяться, а в подмножестве—нет. Так, последовательность Д = a, f% — a, = а, ... (а—фик- сированный элемент множества У) вовсе не есть то же самое, что один элемент а; последовательность j\ = a, fz — bn fs=a> /ъ=а, fa=bs, ... вовсе не есть счетное подмножество {а, Ьъ b2, bs, ...} множества Y. 2.82. Введем понятие прямого произведения двух произ- вольных множеств. Прямым произведением множеств X и Y мы назовем множество Р(Х, У) всех пар (х, у), где
к ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ первый элемент взят из множества X, а второй — из множе- ства Y. Равенство двух пар (х, j) и (х', у') определяется условиями х' = х, у’=у. Так, вещественная плоскость (/?2) есть прямое произведение двух вещественных прямых. Фиксируем в множестве Y элемент _у0 и рассмотрим под- множество из всех точек (х,у0)£Р(Х, Y). Это подмножество, очевидно, эквивалентное подмножеству X, называется слоем в Р(Х, IQ, отвечающим элементу х. Все прямое произведение Р(Х, У) является объединением различных слоев, эквивалент- ных множеству X (и друг другу). 2.83. Если имеется функция y=f(x) с областью опре- деления X и областью значений Y, мы назовем ее графиком подмножество прямого произведения Р(Х, У), состоящее из тех пар (х, j), для которых y=f(x). Это определение в случае А' = /?1 и Y=R± совпадает с обычным определе- нием графика вещественной функции числового аргумента. В практически важных случаях график числовой функции вещественного переменного представляет собой некоторую линию на плоскости (х, _у). Если область определения X функции /(х) есть плоскость х = (х1, х2), а область зна- чений есть числовая ось, то график есть некоторое мно- жество в Rs, которое часто можно представить себе в форме некоторой поверхности. Если область определения X функ- ции /(х) есть вещественная ось, а область значений Y есть плоскость j = j'), то график функции /(х) также есть множество в Rs; но на этот раз его удобнее представлять себе как линию (с каждой плоскостью х = const она пересе- кается лишь в одной точке). Все рассмотренные примеры пред- ставляют собой важнейшие объекты математического анализа, и в дальнейшем они будут систематически рассмотрены. 2.84. Замечание об «однозначных» и «много- значных» функциях. В силу самого определения 2.81 каждая функция сопоставляет каждому элементу х£Х один элемент y£Y и в этом смысле «однозначна». Иногда встре- чается выражение «многозначная функция» в том смысле, что каждому элементу х£Х поставлен в соответствие не один элемент множества Y, а несколько элементов. Можно было бы расширить определение функции в этом направле- нии; однако это привело бы к затруднениям при определе-
ЗАДАЧИ 67 нии действий с такими «функциями», и мы не будем произво- дить такое расширение. Но кое-где термин «многозначная функция» будет удобен. А именно, иногда в единой фор- муле (например, с целью сокращения записи) объединяют несколько однозначных функций; такое объединение назы- вают «многозначной» функцией. Например, «двузначная функция» j = ха (—Is^xs^l) есть просто объединение двух однозначных функций = — х2, у2 = х — (1— х2 (—l^x^l). ЗАДАЧИ 1. Доказать, что указанные ниже множества являются счетными: а) Множество всех интервалов а < х < b с рациональными кон- цами. б) Множество всех коиечно-звенных ломаных на плоскости с вершинами в рациональных точках. 2. Доказать, что следующие множества или конечны, или счетны: а) Множество попарно не пересекающихся интервалов, заданных на оси. б) Множество замкнутых самопересекающихся линий в форме восьмерки (заданных на плоскости), не имеющих попарно общих точек. в) Множество М вещественных положительных чисел при усло- вии, что все конечные суммы 2 */> х/ € AI, ограничены фиксиро- ванным числом А. Замечание. В. В. Грушнн и В. П. Паламодов доказали аналогичные утверждения для множества непересекающихся фигур на плоскости, имеющих тройные точки (как у буквы Т), а также для множества непересекающихся фигур в пространстве, содержащих особые точки типа «кнопки» или участки типа «листа Мёбиуса» *). 3. Разложить множество натуральных чисел 1, 2, ... в счетную совокупность попарно не пересекающихся счетных множеств. 4. (Задача-шутка.) I. Как рассказывал математик X, к нему как-то в гости пришли его друзья братья N. В передней они сняли шляпы и повесили их на вешалку. Когда они собрались уходить и стали надевать шляпы, оказалось, к величайшему конфузу хозяина, что одной шляпы не хватает. В переднюю за это время никто не заходил. II. Когда братья N снова пришли в гости к X (в шляпах), они опять повесили шляпы на вешалку в передней. Когда они стали, *) См. Успехи математических наук 17, вып. 3 (105) (1962), стр. 163—168.
68 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ уходя, надевать шляпы, одна шляпа оказалась лишней. Хозяин и гости твердо помнили, что до их прихода иа вешалке не было ни одной шляпы. III. В следующий раз гости надели шляпы н ушли, а хозяин, проводив гостей иа улицу и вернувшись, обнаружил, что шляп на вешалке оказалось столько же, сколько было до ухода гостей. IV. Наконец, в четвертый раз гости пришли без шляп, а уходя, воспользовались шляпами, оставшимися от прошлого посещения. Проводив гостей, хозяин опять увидел шляпы на вешалке,— столько же, сколько было до прихода гостей. Как объяснить все эти парадоксальные события? 5. Если к бесконечному множеству А добавить конечное или счетное множество В, то в сумме получится множество, эквивалент- ное исходному множеству А. 6. Доказать, что множество I иррациональных чисел и мно- жество Т трансцендентных чисел имеют мощность континуума. 7. Множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, имеет мощность континуума. 8. Множество всех возрастающих последовательностей . натураль- ных чисел (О <)fej < k2 < ... < kn < ... (1) имеет мощность континуума. 9. Множество всех последовательностей натуральных чисел mlt m2, .... mn, ... (2) (не обязательно возрастающих) имеет мощность континуума. 10. Множество всех последовательностей вещественных чисел ................................... Еп. •••) имеет мощность континуума. 11. Множество всех точек «-мерного пространства при любом л=1, 2, ... имеет мощность континуума. 12. Множество Е всех функций y=f(x) на отрезке [0, 1] с об- ластью значений из двух различных точек имеет мощность, не рав- ную мощности континуума. 13. Множество всех подмножеств множества А не эквивалентно самому А. Историческая справка Основные идеи теории множеств были сформулированы впервые в конце XIX века в работах Г. Кантора и с тех пор проникли в самые разные области математики, в значительной мере завершив формирование ее языка. См. Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ОНТИ, 1937. На рубеже XIX и XX веков обнаружилось, что тради- ционная логика в теории множеств приводит к противоречиям. Воз- никшая драматическая ситуация, поставившая под сомнение все достижения математики, получила разрешение в создании аксиома- тических систем теории множеств, где фиксировались не только свой-
историческая СПРАВКА 69 ства объектов, но и допустимые логические средства. См. П. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза, «Мир», 1969. Роль структур в математике подчеркнута Н. Бурбаки в статье «Архитектура математики» (1948)*). Многотомное сочинение Бур- баки «Элементы математики» (начало выходить с 1939 г.) посвящено представлению всей математики как системы структур. Но к на- стоящему времени (1969) издание еще далеко не закончено; а так как, по-видимому, математика неисчерпаема, то оно вряд ли когда- нибудь и будет закончено на сколько-нибудь естественном месте. Многомерные координатные пространства были введены Кэли и Грассманом (1846). Комплексные числа появились значительно раньше, еще в XVI веке, у итальянских алгебраистов при решении алгебраи- ческих уравнений; в «Алгебре» Бомбелли (1579) уже описаны пра- вила действий с выражениями вида a -f- bf/'—i. Поскольку в то вре- мя комплексным числам не могли приписать никакого реального смысла, их называли «мнимыми», «абсурдными» и т. д. до тех пор, пока Гаусс (1797; независимо Бессель 1798, Аргаи 1806) не интерпрети- ровал их как точки плоскости с соответствующими координатами. В 1903 г. Фробениус установил несуществование л-мерных прост- ранств со сложением и умножением, удовлетворяющим всем аксио- мам 1.21—1.22 при л > 2. В конце XIX века, с развитием теории множеств, стало ясно, что и представление комплексного числа a-f-ЬУ —1 в виде фор- мальной пары (а, Ь) ничем не хуже геометрического представления. Общее определение функции (2.81) было сформулировано (для числовых функций) Н. Й. Лобачевским (1834) и Дирихле (1837), а еще ранее, но в менее определенной форме, Эйлером (1751) и яви- лось итогом длительной работы математиков XVIII века; это опре- деление отделило общее понятие функции от (все расширяющегося с ходом развития математики) понятия аналитического представле- ния. См. Н. Н. Лузин, Функция (Собрание сочинений, т. 3, изд. АН СССР, М„ 1959, стр. 319—344). *) См. Н. Б у р б а к й, Очерки по истории математики, ИЛ, М.« 1963, стр. 245—259.
ГЛАВА 3 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Единственное, чего в настоящее время не хватает теории множеств, чтобы занять должное место в ана- лизе, это общей концепции предельного перехода Ж. Адамар (1900) Метрические пространства представляют собой одну из важнейших математических структур. В частности, она лежит в основе общей теории пределов, излагаемой в гл. 4. §3.1. Определения и примеры §3.11 . Определение. Произвольное множество А1 не- которых элементов («точек») х, у, ... называется метриче- ским пространством, если: имеется правило, которое позво- ляет для любых двух точек х, у указать число р (х, у) («расстояние от х-,,до у»), причем это правило удовлетво- ряет следующим требованиям (аксиомам): а. р (х, у) > 0 при х =^у\ р (х, х) = 0 для любого х. б. р(у, х) = р(х, у) для любых х и у (симметрия рас- стояния). в. р(х, г)^р(х, у) + р(у, х) для любых х, у, z («не- равенство треугольника»). Неравенство треугольника имеет следующее геометри- ческое происхождение: в элементарной геометрии сторона xz треугольника xyz имеет длину, не превосходящую суммы длин двух других сторон ху и yz. Правило, которое позволяет по паре точек х, у про- странства М находить число р (х, у), называют метрикой пространства М. Заметим, что любое подмножество М' с М метрического пространства М само является метрическим пространством с той метрикой, которая была задана во всем простран- стве М. Укажем сразу же некоторые простейшие следствия из аксиом а—в:
3.12] § 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 71 г. Для любых элементов хъ ..хп метрического про- странства М имеет место неравенство р(*1, *2) + р(х2> *з)+---+р(*п-1» х„) (обобщение известной теоремы элементарной геометрии: замыкающая ломаной имеет длину, не большую, чем сумма длин звеньев ломаной). Для доказательства последовательно применяется аксиома в-: Р(*р *«)<Р(-Ч, х2) + р(х2, х„)< <P(*i, х2) + р(*2, *з) + р(*з> *»)< <p(Xi, x2)-f-p(x2, х„). д. Для каждых четырех точек х, у, z, v метрического пространства М имеет место «неравенство четырехугольника» |р(*, У)~p(z, ®)|<р(х, z) + p(y, v) (1) Действительно, по г мы имеем Р^, J)<P(«, z) + p(z, ®) + р(г>, у), р (z, р (z, х) + р (х, у) + р (у, V), или Р (*. у) —Р (Z, т)< р (х, Z)4-р(г», у), P(z, V) — р(х, у)<р(2, х) + р(Ь ®). Правые части этих неравенств совпадают по аксиоме б. Левые части отличаются знаком; отсюда следует (1). е. Полагая в неравенстве (1) v=y, получаем |Р(*. У}~P(z, _у)|<р(х, г) (2) (в элементарной геометрии: разность двух сторон треуголь- ника не больше третьей стороны). 3.12. а. Множество В в метрическом пространстве М называется ограниченным, если расстояния от какой-либо точки а£М до всех точек Ь£В ограничены фиксированной постоянной. В этом случае ограничены фиксированной постоянной и расстояния между любой другой фиксирован- ной точкой с и всеми точками множества В, а также рас- стояния между любыми двумя точками множества В. Все это следует из неравенства треугольника Р(Ь, с)^р(Ь, а)+р(а, с).
72 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ЗЛ2 Величина diamB = sup р (х, у) хев, уев называется диаметром (ограниченного) множества В. б. Для M = (вещественная ось) ограниченность мно- жества В в смысле а равносильна его ограниченности в обычном смысле (1.66), поскольку в данном случае и одна и другая означают, что множество В помещается на некотором (конечном) отрезке. в. Множество В в метрическом пространстве Ж назы- вается неограниченным, если для любого вещественного С в множестве В существует пара точек х, у с р (х, у) > С. В этом случае и для любой фиксированной точки a £ М при любом С можно найти точку х£В, для которой р (а, х) > С; в противном случае множество В было бы ограниченным и по доказанному (а) были бы ограничены расстояния между любой парой его точек. г. Определения ограниченного и неограниченного метри- ческого пространства получаются соответственно из а и в при В = М. д. Совокупность всех точек х метрического простран- ства М, расстояния до которых от данной точки х0 меньше заданной величины г > 0, так что Р (х, х0) < г, называется шаром (точнее, открытым шаром) радиуса г; точка х0 есть центр этого шара. Совокупность всех точек х, удовлетворяющих неравенству Р(*, xQ)^r, называется замкнутым шаром радиуса г с центром в х0. Наконец, точки, находящиеся точно на расстоянии г от точки х0, так что р(х, х0) = г, образуют сферу радиуса г с центром в х0. е. Любой шар с центром в точке х0 называется окрест- ностью этой точки. Точка х0 называется внутренней точкой множества Е с М, если она входит в Е вместе с некото- рой своей окрестностью.
3.14] §3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 73 3.13. Примеры. а. Любое множество М на вещественной прямой является метрическим пространством с расстоянием р (х, _у)= =| х—у |. Выполнение условий 3.11 а—в следует из обычных свойств модуля (1.54 6). Если М—вся прямая, то откры- тый шар радиуса г с центром в точке х0 есть интервал |х0—х | < г; замкнутый шар радиуса г с центром в точке х0 есть отрезок I*—*o]<G сфера радиуса г с центром в х0 есть пара точек х — х0 + г. б. Точно так же множество М в плоскости /?2 или в трехмерном пространстве Rs является метрическим про- странством, если считать расстоянием между точками (для определенности —в Я3) x=(gr, g2, g3) и у = (ifc, т]а, т]3) обычное геометрическое расстояние: Р (X, у) = V& - П1)а + (£а - Т]а)а + (£3 - V- Неравенство треугольника (аксиома в) превращается здесь в обычное геометрическое неравенство: третья сторона треугольника не больше суммы двух других сторон. Более общий пример рассматривается в следующем пункте. 3.14. а. Рассмотрим л-мерное вещественное простран- ство Rn (2.61). Пусть х и у—два любых вектора из Rn, x = (h, ..., U. J = nJ- Число п (х, (1) называется скалярным произведением векторов х и у. Число 1х1 = ’|/Л^^=К(х, х)>0 называется длиной, или нормой, вектора х. Вектор х, для которого |х|= 1, называется единичным, или нормирован- ным.. Наличие скалярного произведения, как мы увидим
74 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.14 далее, позволяет построить в пространстве Rn геометрию с использованием длин и углов. Пространство Rn со ска- лярным произведением (1) называют евклидовым, п-мерным пространством. Определим расстояние между векторами х — (£ъ ...,£„) и у= (т]А, ..., т]„) как длину вектора х—у, т. е. по формуле р(х, j)= + ]/ 2 k=i (2) Покажем, что выполнены аксиомы 3.11 а—в. Выполнение первых двух очевидно; несколько более сложной является проверка выполнения аксиомы в. Она эквивалентна проверке неравенства |х+у|<|х| + |у|. (3) Действительно, (3) получается из искомого неравенства Р (х, у) С Р (х, z) + р {у, z) (4) заменой у на —у и г на 0; в свою очередь неравенство (4) получается из неравенства (3) заменой х на х—z и у на —y + z. Чтобы доказать -(3), несколько более подробно рассмот- рим скалярное произведение (1). Очевидно, оно обладает следующими свойствами: 1) (х, у) —(у, х); 2) (ах, у) = а(х, у) для любого вещественного а и лю- бых х, у из Rn; 3) (X -f-y, z) = (х, z) -f- (у, z) для любых х, у, z из Rn; 4) (х, х)^0 для каждого x£Rn. Мы докажем неравенство (3), исходя только из свойств скалярного произведения 1) — 4). Для этого рассмотрим выражение <р(X) = (х—Ку, х—Ку) — (х, х) — 2%(х, j) + X2(y, у) = = Л—2ХВ + СХ2, где А = (х, х), В — (х, у), С = (у, у). По 4) <р (%) 0 при всех % £ R. Таким образом, трехчлен <р (%) не может иметь двух различных вещественных корней, поскольку при нали- чии таковых он принимал бы значения разных знаков. От- сюда следует, что величина Ва—ДС=(х, у)а—(х, x)(j,j)
3.14] §3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 75 (находящаяся под радикалом в формуле решения квадрат- ного уравнения) не может быть положительной. Следова- тельно, (х, у)2^(х, х)(у, у) = |Х|2.|у|2) откуда |(х, у)К|х|-|у|. (5) Это неравенство называется неравенством Коши — Буняков- ского. Далее, Iх ОI2 = Iх +Л х+у) = (х, х) + 2(х, _у) + (У, J’X ^|х|2 + 2|х|.|уЦ-|у|2 = (|х| + Ь|)2, откуда следует (3). Таким образом, пространство Rn с введенным в нем расстоянием (1), а также и любое подмножество EczRn с тем же расстоянием являются метрическими пространствами. Нера- венство (5) в координатах (х = (|х, . .., £„), у = (т)!, ..., т]„)) принимает 'следующий вид (неравенство Коши): (6) Аналогично неравенство (3) в координатах принимает вид Неравенство 3.11 (2) при у = 0, £ = (&х, ..., £„) принимает вид ___________ (в) Все неравенства (6) — (8), справедливые при любых вещест- венных |х, ..., т)х, ..., т]„, Ci, • L, весьма часто применяются в анализе в разного рода оценках, даже без всякой связи с геометрическим источником этих неравенств — теорией метрических пространств. Отметим еще полезную цепь неравенств: шах ||л—т]л1^р(х,^) = 1/ У(^ —T]ft)2< 1<fe<n Г_ 1 max |£ft—nft|. (9) 1 < k < n
176 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.14 Для доказательства перейдем от очевидного неравенства (£л~ Пл)2^^(£л~ Пл)2 к его следствию (1.55 е) Ил ~ Пл К']/'£ (£л~Пл)2- Переходя здесь в левой части к максимуму по k, получаем первое из неравенств (9). С другой стороны, мы имеем 5 (£л—Пл)2 < £ max (£А—т]л)2 = л • max —Пл)2 = = n [max|^ —T)J]2, откуда следует и второе из неравенств (9). б. Как описать в л-мерном пространстве /?„ ограничен- ные множества? Если множество Лс/?я ограничено, то ограничены фиксированной постоянной расстояния всех то- чек х = (£ь ..., |п) £ А от какой-либо точки пространства /?„, например от нуля. Иными словами, существует такая постоянная Ь, что для всех х£А Ь1 = |/ Но тогда при каждом А=1, 2, |£лК*П ..., п для х С А также (Ю) т. е. каждая из координат точек х £ А ограничена на ве- щественной оси. Обратно, если множество AczRn таково, что каждая из координат его точек ограничена на вещест- венной оси, так что существует постоянная Ь, удовлетво- ряющая неравенству (10) при всех k=l, ..., ли всех х £ А, то и так что множество А ограничено в пространстве /?п. Итак, множество AcRn ограничено тогда и только тогда, когда множество значений всех координат точек х£А ограничено на числовой оси.
3-16) § 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 77 3.15. Для метрических пространств как математических структур можно в соответствии с 2.52 ввести определение изоморфизма, которое в данном случае называется изомет- рией. Два метрических пространства называются изометрич- ными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее величину расстояния между соответствующими парами эле- ментов. Например, два отрезка равной длины на числовой оси с ее естественной метрикой изометричны, два отрезка раз- ной длины — не изометричны. Всякая фигура на плоскости изометрична своему зеркальному отражению относительно какой-нибудь прямой. Заметим, что в л-мерном пространстве изометрия, переводящая сумму любых двух векторов х и у в сумму их образов (линейная изометрия), сохраняет и ска- лярное произведение, что следует из равенства x+^) = (x, х) + 2(х, _у) + (У. У)- Вот два простых примера изометрических отображений в себя л-мерного евклидова пространства /?„: а. Зеркальное отражение относительно плоскости х„ = 0: каждый вектор х = (£ь ..., £„) переводится в вектор ^' = (11, •••, Ui. -и- б. Сдвиг на вектор Р = (Pi, • • •, Рп): каждый вектор х = (£х, ..., £„) переводится в вектор * + ₽ = (£i+₽i, .... £П + Р„)- Заметим, что при р 0 это отображение не является автоморфизмом пространства Rn (2.67): оно не оставляет на месте начало координат. в. Вообще, если существует изометрическое преобразо- вание л-мерного пространства /?п в себя, при котором мно- жество Gcz/?„ переходит в множество FczRn, эти множе- ства Ои F называются геометрически равными, в соответствии с терминологией элементарной геометрии (хотя и не в со- ответствии с самим определением равенства, которое в элементарной геометрии дается только для фигур специ- ального вида). 3.16. Метризация прямого произведения метрических пространств. Пусть и ТИ2—два метрических пространства; индексами 1 и 2 будем снабжать
78 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.21 соответственно обозначения метрики и точек этих про- странств. Пусть 7И = 7И1х^/И2 — прямое произведение мно- жеств и-Д (2.82), т. е. совокупность всех пар х = (хъ х2), xi € х2 £ М2. Введем в множестве М метрику по сле- дующему правилу: если х — (хг, х2), у = (У1, у2), то Р (х,у) = р [(хх, х2), (у15 у2)] = max {рх (хьyj, р2 (х2, у2)}. (1) Проверим выполнение аксиом 3.11 а — в. Если х=/=у, то Х1¥=У1 или х2#=у2, т. е. PxfXb уг) > 0 или р2(х2, у2) > 0; в обоих случаях в силу определения (1) и р(х, у) > 0. Если же х=у, то х1=у1, х2=у2, откуда р1(х1, уг) = 0, р2 (х2, у2) = 0 и, следовательно, р (х, у) = 0. Таким обра- зом, выполнена аксиома а. Далее, р(у, х) = max {рг (у1; Xj), Р2(Л- x2)} = max{p1(x1, ух), р2(х2, у2)} = р(х, у), так что выполнена аксиома б. Наконец, пусть z = (zr, z2); оценим р(х, z) = max{pj(хь zt), р2(х2, z2)}. Пусть для опреде- ленности р (х, z) = рх (хХ) гг); тогда мы имеем р(х,г) = р1(х1, ^XpifXi.yJ + Pifyi, z1)^p(x,y)+p(y,z), чем доказано выполнение аксиомы в. Заметим, что метрика (1) на каждом слое (х, z) с фикси- рованными 6 7Иа (2.82) совпадает с метрикой пространства Mlt так что каждый слой (х, z) не только эквивалентен, но и изометричен пространству При этом формула (1)—не единственный способ введения метрики в прямом произведе- нии пространств Afj и ЛГ2. Могли бы быть использованы и другие формулы, например р (х, у) = Pi (хь ух) + р2 (х2, у2) (2) или р(х, у) = Ур!(хъ У1) + р1(х2, у2). (3) Мы предоставляем читателю проверку аксиом метрики в случаях (2) и (3). § 3.2. Открытые множества 3.21. Множество U в метрическом пространстве М на- зывается открытым множеством или областью, если каждая точка х0 множества U является внутренней точкой этого множества, т. е. входит в это множество вместе с неко-
3.23] § 3.2. ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА 79 торым открытым шаром (радиус которого может зависеть от точки х0) с центром в точке х0. Так, открытый шар с центром в точке хх U= {х: р(х, хх) < г} есть открытое множество. Действительно, пусть х0 С U, так что р(х0, хх) = 0 < г. Рассмотрим шар Uo с центром в точке х0 радиуса г0 < г—0; мы утверждаем, что шар Uo целиком входит в шар U. В самом деле, для любого х G Uo по неравенству треугольника р(х, хг)СР(х, х0) + р(х0, хх) < г0 + 0 <г, что и требуется. 3.22. Теорема. Объединение любой совокупности откры- тых множеств и пересечение любой конечной совокупности открытых множеств снова являются открытыми множествами. Доказательство. То, что объединение открытых множеств является открытым, ясно из самого определения 3.21. Остановимся на вопросе о пересечении конечного чи- сла открытых множеств. Пусть точка х0 принадлежит открытым множествам £7Х, U2, ..., Um и входит в первое из них вместе с шаром радиуса гх (с центром в х0), во второе — с шаром радиуса г2 и т. д.; тогда шар с центром в х0 радиуса min(rx, г2, ..., rm) содержится в каждом из множеств Z7X, U2, ..., Um и, следовательно, содержится и в их пересечении. Для бесконечной совокупности открытых множеств при- веденное рассуждение не пройдет, так как минимум (вернее, точная нижняя грань) бесконечного множества положитель- ных чисел может быть равным нулю. И действительно, пересечение бесконечного числа открытых множеств Un = (x‘- Р(*> хо)<^-} (л=1, 2, ...) содержит только те точки х, для которых р(х, хо) = О, т. е., согласно аксиоме 3.11 а, только точку х0; это пе- ресечение не является, вообще говоря, открытым множеством. 3.23. На оси —оо < х < оо всякий интервал (а, р) (ограниченный или неограниченный) есть, очевидно, откры- тое множество. Открытым множеством является также
80 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.23 конечное или счетное объединение интервалов (av, £v) (v= 1, 2, ...). Покажем, что каждое открытое множество U на оси есть конечное или счетное объединение интервалов без общих точек. Рассмотрим произвольную точку х € U. Согласно опре- делению точка х входит в множество U вместе с некото- рым шаром, т.е. вместе с некоторым интервалом оси, содержа- щим точку х. Мы построим сейчас наибольший интервал, со- держащий точку х и содержащийся целиком в множестве U. Обозначим через 5 множество точек, лежащих правее х и не принадлежащих U. Если 5 пусто, то вся полупрямая (х, ос) входит в U. Если множество S’ не пусто, то оно обладает точной нижней гранью Эта точка £ заведомо не входит в U, так как у любой точки множества U есть окрестность, целиком входящая в U и не содержащая тем самым ни одной точки множества S, а точка как точная нижняя грань множества S, в любой своей окрестности содержит точки из S. В частности, Очевидно также, что весь интервал (х, £) входит в U. Аналогичное построение произведем слева от точки х; мы получим там содержащийся в U интервал (т)< х), левый конец которого не входит в U (или этот интервал есть вся полупрямая (—оо, х)). Итак, по заданной точке х £ U мы построили интервал (т], ^), принадлежащий множеству U и такой, что каждый его конец, если он не лежит в бесконечности, уже не входит в множество U. Такого рода интервалы называются составляющими интервалами открытого множества U. Если два составляющих интервала (т^, и (г]2, |2) имеют общую точку х0, то они целиком совпадают; дей- ствительно, неравенство, например, < |2 невозможно, так как точка с одной стороны, как внутренняя точка интервала (х0, £2) должна принадлежать множеству U, а с другой стороны, как концевая точка интервала (х0, ^х) она не может входить в U. Поэтому все множество U есть объединение составляющих интервалов, не имеющих попарно общих точек. Такое объединение не может быть более чем счетным, поскольку в каждом из составляющих интервалов множества U можно выбрать по рациональной точке (/.75), а множество всех рациональных точек —счетное множество (2.34). Тем самым наше утверждение полностью доказано.
3.32] § 3.3. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 81 § 3.3. Сходящиеся последовательности и гомеоморфизм 3.31. Сходящиеся последовательности. Рас- смотрим последовательность {х„} = {х1, ..., хп, ...} то- чек метрического пространства М. Будем говорить, что эта последовательность сходится к точке х (ЕМ (и обозна- чать этот факт символом хп —+ х), если для любого е > О можно указать такое натуральное N, что при каждом л N выполняется неравенство р(х, х„)<б. Иначе говоря, последовательность хп сходится к х, если в любой шар с центром в точке х попадают все точ- ки этой последовательности, начиная с некоторой (и тем самым вне этого шара остается лишь конечное число ее точек). При этом точка х называется пределом последователь- ности хп, что обозначается символом *) х — lim х„. П СО Символ хп —-» х читается «х„ сходится к х» или, под- робнее, «при п—+<х> последовательность хп сходится к х по метрике р». Если для данной последовательности хп не существует точки х, для которой было бы справедливо соотношение хп —+ х, последовательность хп называется расходящейся. 3.32. Примеры. а. Если М есть числовая ось, M=R, с метрикой 3.13 а, р(х, _у) = |х— _у|, то определение 3.31 приобретает следующий вид: последо- вательность вещественных чисел хх, х2, ... сходится к числу х, если для любого б > 0 можно указать такое N, что при каждом п^> N выполняется неравенство Б. ) limes—предел (лат.)
82 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (3.32 Так, последовательность точек хп = — (л = 1, 2, ...) на числовой оси (с ее метрикой 3.13 а) сходится к точке х = 0: действительно, для заданного е>0 возьмем нату- ральное ; для каждого nZ^ N имеем 0<хп = — < е, так что соответствующие точки хп попадают в шар радиуса е с центром в точке х = 0. б. Покажем, что из соотношений x = limxn, у —limyn П -> сс П -> сс в метрическом пространстве М следует соотношение р (х, у) = — lim р (хп, уп) на числовой оси. (Это свойство называют СО иногда «леммой о непрерывности расстояния».) Для заданного е > 0 найдем номер М так, чтобы при л > W выполнялись неравенства Р (х, хп) < у, р (у, у„) < у; тогда по неравенству четырехугольника 3.11 (1) при этих же л>Л' |р(х, у) — р(х„, у„)|<р(х, хп) + р (у, у„) < е, что и требуется. в. Хотя общая теория пределов рассматривается в гл. 4, нам уже здесь понадобятся некоторые простые свойства сходящихся числовых последовательностей. Прежде всего покажем, что для числовых последовательностей хп, уп из соотношений х = limхп, у = limy„, х„<у„ (л=1, 2, ...) следует неравенство х^у. Действительно, допустим, что х >у, ипустье = х—у >0. Найдем такой номер 7V, что при л > 7V выполняются нера- венства 1х„—х !<-%, |у„— у\<-^- Тогда хп>х — У = (у + е)—У >^у„—yj + e—У=у„ в противоречии с предположением, и утверждение доказано.
3.32] § 3.3. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 83 г. Проверим, что для числовых последовательностей хп, уп из соотношений х — lim хп, у — limy„ следует, что x+_y = lim(x„ +_у„). Найдем для заданного е > 0 номер N так, чтобы при nZ^N выполнялись неравенства I*—*п|<у. Ь|<| • Тогда при этих же л >АГ выполняется и неравенство I (х +.У) — (хп +у„) | = | (х—хп) + (у—уп) | < <|х — х„| + |у— уп\<е, что и требуется. д. Для трех числовых последовательностей х„, уп, zn из соотношений x = limx„, _y = lim уп, П -> со п -* оо z = hmzn, xn+yn<zn (л=1,2, ...) следует неравенство x+y<z\ этот факт непосредственно вытекает из в и а. е. Пусть М есть /я-мерное вещественное пространство с метрикой 3.14 (2): если x = (gb ... , gj, J = (Пь • • •> ДД то Р (X, у) = |/"— Г]*)2. Утверждается, что сходимость последовательности век- торов хп = (1п1, .... lnm) к вектору х = (£х, ... , %т) рав- носильна сходимости m числовых последовательностей * ^11 • • • > * (1) Действительно, пусть выполнены предельные соотноше- ния (1). Для заданного е > 0 мы можем найти такой номер N, что при каждом л > М выполняются все неравенства
84 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (3.33 так что и max k ^>nk —'^k В V"m Для этих же п > М в силу второго из неравенств 3.14 (9) имеем / tn __ Р (х„,_ х)=1/ 5 (lnk — /т max | lnk — Ъ* | < е, у k — 1 k так что хп —> х по метрике пространства Rm. Обратно, пусть хп—>х по метрике пространства Rm. Для заданного е > 0 найдем такой номер N, что при каж- дом tt> N выполняется неравенство / т р(хп,х)=1/ S(U—U2<e- f k — 1 Но тогда в силу первого из неравенств 3.14 (9) max | lnh—lk | < р (х„, х) < е, k так что каждая последовательность £nfc сходится к числу (k = 1, ... , т), что и требовалось. 3.33 а. Проверим, что если последовательность хп схо- дится, то только к одному единственному элементу простран- ства М. Пусть хп—> х и вместе с тем хп—»-у. Тогда для заданного е >0 мы найдем номер N, начиная с которого выполняются оба неравенства Р (х, хп) < е, Р (Л хп)<е, откуда по неравенству треугольника Р (х, у)< р (х, х„) + Р (хп, у) < 2е. Так как е>0 произвольно мало, то по 1.57 р (х, у) = 0, откуда в силу аксиомы 3.116 х—у, что и требуется. б. Покажем, что если последовательность х1( х2, ... сходится, то она ограничена в пространстве М; иначе гово- ря, числа р (хп, Ь), где Ь — какой-нибудь элемент простран- ства М, образуют на числовой оси ограниченное множество (ср. 3.12 а).
3.34) § 3.3. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 85 Действительно, пусть p = limjcn; найдем для какого-ни- П -> оо будь е > 0, например для е = 1, такое число N, что при n^>N выполняется неравенство р (хп, р)<е=1. Пусть, далее, Z) = max {р (хг, р), .... p(x^, р)}. Тогда при лю- бом п— 1, 2, ... мы имеем р (х„, тах{1, £)}, что и до- казывает ограниченность последовательности х1г х2, 3.34. Гомеоморфизм метрических прост- ранств. Во многих вопросах анализа играет роль не явное выражение метрики пространства, а только то, какие после- довательности точек при данной метрике являются сходя- щимися и какие—расходящимися. В связи с этим введем следующее определение: а. Два метрических пространства М' и М" называются гомеоморфными, если между их точками можно так устано- вить взаимно однозначное соответствие, что из сходимости Хп —> х’ в М' следует сходимость соответствующих точек х'п —>• х" в М" и, обратно, из сходимости х'п —> х" в М" следует сходимость соответствующих точек х^ —► х' в М.'. Указанное взаимно однозначное соответствие называется гомеоморфизмом. б. Следующая теорема дает критерий того, что неко- торое взаимно однозначное соответствие между точками метрических пространств является гомеоморфизмом. Теорема. Пусть ~ есть взаимно однозначное отображе- ние метрического пространства М' с метрикой р' (х', у') на метрическое пространство М" с метрикой р"(х", у"). Отобра- жение ~ тогда и только тогда есть гомеоморфизм, когда для любого х' £М' и любого е' > 0 существует такое > О, что отображение ~ переводит шар {у" £ М":р" (х”, у") < е"} в шар {у' £М':р' (х', у’) < е'}, и, наоборот, для любого г" > 0 существует такое е' > 0, что отображение ~ пере- водит шар {j' :р' (х', у’) < ев шар {у"еМ":р"(х", у") < е"}. Доказательство. Пусть отображение ~ есть гомео- морфизм, так что для любой последовательности Хп—+х' мы имеем х'п —* х" и обратно. Фиксируем точку х' € М' и число е' > 0. Если не существует числа ё", о котором говорится в формулировке теоремы, то для любого л= 1,2, ... шар {у" €7И":р" (х",у")< 1/л} при отображении ~ переходит в
86 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.34 множество, имеющее точки вне шара {у' £ М’ :р' (х', у') < е'}. В частности, для любого л=1, 2, ... мы можем указать точку у'п £ М", для которой р" (х", Уп) < -i-, р' (х', Уп) Таким образом, у'п-~^х", но у'п не сходится к х', что про- тиворечит предположению о гомеоморфности отображения Следовательно, по данному е' > 0 можно найти е", о котором говорится в формулировке, если отображение ~ есть гомеоморфизм. Меняя местами в этом „ рассуждении М' и М', по данному е" > 0 мы сможем найти требуемое е'. Обратно, пусть для любого х' £ М' и любого' е' > О можно найти нужное е". Покажем, что из х" х" сле- дует х'п-+ х'. Возьмем произвольно е' >0, найдем соответ- ствующее е" и затем номер 7V такой, что при n"^N выпол- няется неравенство р" (х", х") < е". Применяя отображение ~ и пользуясь предположением, получаем р' (х'п, х') < е'. Таким образом, х'п -* х'. Проводя то же рассуждение от М" к М', получим, что из х'п-^х' следует х^-*х". Теорема доказана. в. Можно устанавливать различные метрики на одном и том же множестве Е, превращая его тем самым в различные метрические пространства. Будем называть две метрики р' (х, у) и р" (х, у) на одном и том же множестве Е гомеоморфными, если тождественное отображение х~х является гомеомор- физмом получающихся метрических пространств М' и М". г. Применяя для ситуации, описанной в в, критерий б, получаем следующую теорему: Теорема. Две метрики р' и р", заданные на одном и том же множестве Е, гомеоморфны тогда и только тогда, когда для любого х£Е и любого е' > 0 существует такое е!‘, что шар {у: р" (х, у) < е"} содержится в шаре {у: р' (х, у) < е,’}, и наоборот, для любого е," > 0 существует такое е', что шар {у:р'(х, у) < е'} содержится в шаре {у:р"(х, у) < e'J. д. В качестве примера рассмотрим три метрики на пря- мом произведении М метрических пространств Мг и М2 (3.16): ра}(х, t/) = max {Pifxj, уг), р2(х2, у2)}; р{2Цх, У)=р1(х1, + У2)> р(3> (х, у) = Vpl (хг, уг) 4- р| (х2, у2). Все они гомеоморфны на М. Это вытекает из справедли- вости неравенств шах {а, Ь} [Лг2 + & a -f- b 2 max {a, b) (1)
3.35) § 3.3. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 87 для любых неотрицательных чисел а и Ь. Более подробно: пусть, например, тогда max {a, b} = b = У Ь2 У а2 + b2 а2 + 2аЬ + Ь2 = = а-|-6^26 = 2тах {а, Ь}, откуда и вытекает (1). 3.35. Мы введем, далее, метрику на расширенной число- вой оси R (1.91), гомеоморфную на множестве — оо <х <оо обычной метрике 3.13а. Для этого вначале рассмотрим одну специальную функцию. а. Рассмотрим функцию переменного х,— оо < х < оо: /(х)=тги- (1) Дополним ее определение условиями /( —оо)=—1, /( + оо)=+1, так что функция f(x) определена на расширенной вещест- венной оси R. График функции/(х) представлен на рис. 3.1. В б, в и г мы выведем некоторые нужные нам неравенства, связанные с этой функцией. б. Очевидно, что f(x) > 0 при х > 0 и f(x) < 0 при х<0, а /(0) = 0. Далее, при любом конечном х мы имеем f( — х)= — f(x) и I ftд-и_ I*!__ < .М+.1. = 1 (2) I/WI —1_|_|Х| 1 + |х| W в. Покажем, что для любых х и у из R l/w- х-у|. (3) При х > О, у О мы имеем I/(х) —f (у) I = | ~~Т+у |= (1 +х) (1 +у) ।х ~У I-
88 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3-35 При х^О, у О таким же образом №)- /Ы1=|т^— г=?Н (Г=даЬ)^к- у\- При х^О, t/^О мы имеем !/(*)-/(</) 1^ I/O) |+/(<0= = . [ х [ + у = —x-j-y=lx — yl; 1 + | х [ 1 1+у 1 1 1 а । » I наконец, при х!>0, у^ХО по предыдущему I/(х)— f(y) |= I/O»)— f (х) | < 1.У—х |= | х—у |, что и требуется. г. Пусть для некоторых хиуи0<6<1 мы имеем |/(х)|<1—6, |/(у) |< 1-6. Тогда к—у| ^-^-1/(•*)—/(У) I- (4) Для доказательства сначала разрешим (1) относительно х. При х > О, когда | х | = х, мы имеем при х^О, когда |х|=—х, мы имеем Таким образом, при х 0, у О I — I 0х) | — —|_£W~Afo) I—+J_ \f zx)_/ (v) I Если x^O, y^O, to —x^O, —y^ 0 и по преды- дущему k— y|=l— y—(—*)K^I/(— y)— f(—x) 1 = =-^|/k)-/(y)|-
3.35] § 3.3. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 89 Если х^О, у^О, то |Х у|_|х|+>(-пта- + -т--ж^ с-i-ll/wi +ГСм)1 = если х^О, у^О, то по предыдущему I х— у | = ]у—х | < 1/(у) —/(х) [ = |/(х) —/(у) |, что и требуется. д. Теперь рассмотрим на расширенной числовой оси R (1.91) следующую числовую функцию г(х, у) от пары точек х, у: г(х, у) = |/(х) — /(у)|. (5) Здесь /(х)—функция, введенная в а. Теорема. Функция г(х, у) (5) есть метрика на R; на множестве R конечных точек — оо < х < оо она гомеоморфна обычной метрике Р(Х, У) = |х—у|. (6) Геометрический смысл метрики г(х, у) легко усмотреть из,рис. 3.1. Именно, в качестве нового расстояния г(х, у) между точками х и у горизонтальной оси принята длина соответствующего отрезка вертикальной оси [/(х), /(у)]. Доказательство теоремы. Проверим выполнение аксиом 3.11 а — в. Выполнение аксиомы б (аксиомы симмет- рии) следует непосредственно из определения (5). Выполне- ние аксиомы а (г(х, у) равно 0 при х=у и положительно при х#=у) следует также из определения и из неравен- ства (3). Выполнение аксиомы в (аксиомы треугольника) сле- дует из неравенства Г (x,z) = \f(x)— /(z)|<|/(x) — /(у)| + |/(у)— /(г)| = = r(x, y)+r(y, Z). Проверим, что на множестве R конечных точек метрики г (х, у) и р(х, у) гомеоморфны. Пусть хп х по метрике (6). Для заданного е > 0 най- дем такой номер N, что при п выполняется неравенство
90 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.35 |х„—х|<е. Тогда по неравенству (3) для тех же n~^N Г (х„, X) = | / (х„) — f (X) | < | хп — X | < Е, так что хп -> х и по метрике (5). Пусть теперь хп -* х по метрике (5). Мы имеем |/(х) | < 1; положим |/(х)|=1—26, 0<6<-^-. Для заданного е>0 найдем номер N так, чтобы иметь при n~^N r(xn, x) = \f(xn)— /(х)| < min (е, 6)-62. Тогда при этих же n~^N |/(*„) IС |/(*) | + min (е, 6) 62 С |/(х) 14-6=1—6, и так как также |/(х)|=1—26<1—6, можно применить неравенство (4): Р(*„> лг)=|х„—х|^-^-|/(х„)—/(x)|^min(E, 6)^е. Следовательно, х„ -> х и по метрике (6). Теорема доказана. е. Что представляет собой в метрическом пространст- ве R с метрикой (5) шар радиуса с > 0 с центром в точке оо? По определению это есть совокупность тех х € R, для ко- торых выполнено неравенство (7) Ограничимся наиболее важным случаем, когда с мало, с^1. Тогда, поскольку для х < 0 значения /(х) отрицательны и /(оо)—/(х) > 1, неравенству (7) могут удовлетворять лишь значения х 0. Неравенство (7) теперь принимает вид 1 х _____ 1 ,, 1-|-х 14-*^С’ или, что то же, Итак, искомый шар {х:г(х, оо)с) есть промежуток —— l^x^oo. Аналогично шар радиуса с^1 с центром в точке —оо есть промежуток —оо^х^--------~+1-
3.41) § 3.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ точки 91 В частности, последовательность точек 1, 2, 3, ... в про- странстве /? попадает, начиная с некоторого номера, в любой шар с центром в точке оо, так что в пространстве /? мы имеем lim л = оо; п-*оо в то же время указанная последовательность в пространстве R, очевидно, никакого предела не имеет. ж. Следует отметить, что пространство R с метрикой (5) изометрично отрезку [-1, 1] с его обычной метрикой. Соответствие R ~ [—1,1 ] осуществляется по правилу оно по нашему построению взаимно однозначно, и расстояние между точками х, y£R по метрике (5) равно обычно- му расстоянию между соответствующими точками f(x) и Ду)- Отбрасывая здесь крайние точки (—оо и оо простран- ства R и —1, 4-1 отрезка [—1, 1]), получаем изометрич- ность вещественной оси R с метрикой (5) и интервала (—1, 1) с его обычной метрикой. Используя д, получаем, что метрическое пространство R с его обычной метрикой гомеоморфно интервалу (—1, 1), — факт, который, впрочем, легко проверить и непосредственно. § 3.4. Предельные точки 3.41. Пусть снова {х„} есть последовательность точек метрического пространства М. Будем говорить, что точка у£М есть предельная точка последовательности {х„}, если для любого е > 0 и любого натурального N можно найти такой номер n~^N, для которого р(_У, хп)<е. Иначе говоря, точка у является предельной точкой по- следовательности хп, если в любой шар с центром в у попадают точки последовательности с произвольно большими номерами, хотя, быть может, и не все точки с номерами как у сходящейся последовательности. Сходящаяся последовательность хп—» х имеет, очевидно, точку х своей предельной точкой, а других предельных точек уже не имеет
92 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.42 (доказательство аналогично приведенному в 3.33 а). Несхо- дящаяся последовательность может не иметь предельных точек, а может их иметь в любом количестве. Так, после- довательность точек х„ = (—на числовой оси (с ее обычной метрикой) имеет две предельные точки —1 и 4- 1 (и не сходится ни к одной из них); последователь- ность хп = л(-1)” имеет одну предельную точку у = 0, но не сходится к ней; а если записать в единую последователь- ность все рациональные точки оси (2.34), то любая точка оси будет предельной для этой последовательности. 3.42. При наличии у последовательности х1г ..., хп, ... предельной точки у из последовательности хп всегда можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к у. Именно, если у есть предельная точка последовательности хп, то для каждого т в последовательности хп существует точка хъп(пт >яи-1)> для которой р (у, хПт) < \ подпоследова- тельность, составленная из точек хп„ хПг, ..., очевидно, сходится к точке у. Обратно, если у некоторой последова- тельностих„имеетсяподпоследовательность 2,..,), сходящаяся к какой-до точке у £ 7И, то эта точка у, оче- видно, есть предельная точка для всей последовательности хп. Таким образом, мы получаем второе определение предельной точки: точка у есть предельная точка последовательности хп, если у последовательности хп имеется подпоследователь- ность, сходящаяся к точке у. 3.43. Второе из приведенных определений предельной точки опирается только на понятие сходящейся последова- тельности. Так как гомеоморфизм метрического простран- ства М в метрическое пространство М' сохраняет сходя- щиеся последовательности, мы приходим к выводу: если точка у£М является предельной для последовательности хп£М, а пространство М' гомеоморфно пространству М, то точка у'£М', соответствующая точке у при рассматри- ваемом гомеоморфизме, является предельной для последова- тельности соответствующих точек х'п£М'. В частности, если на одном и том же множестве М введены две различные, но гомеоморфные метрики р и р'
3.44] § 3.4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ 93 и точка у£М является предельной точкой последователь- ности хп по метрике р, то она является предельной точ- кой последовательности хп и по метрике р'. 3.44. а. Пусть А есть подмножество метрического про- странства М. Будем говорить, что точка у £М есть пре- дельная точка подмножества А, если в любой окрестности Vr(y) = {х-.р(х, у) < г} точки у можно указать точку х£А, отличную от самой точки у. Приведенное определение предельной точки подмножества по форме несколько отличается от определения предельной точки последовательности; это объясняется тем, что по- следовательность точек множества есть иное понятие, чем подмножество, поскольку в последовательности точки могут повторяться, а в подмножестве—иет (ср. 2.81). Так, точки О и 1 являются предельными точками последовательности О, 1,0, 1, ..., но не являются предельными точками мно- жества из двух точек 0 и 1. Однако выводы 3.42 и 3.43, относившиеся к предельным точкам последовательностей, справедливы и для предельных точек подмножеств. Если у есть предельная точка множе- ства АсМ, то из множества А можно выбрать последова- тельность различных точек, сходящуюся к у (тем же приемом, что и в 3.42); и обратно, если из множества А можно выбрать последовательность различных точек, сходящуюся к некоторой точке у £ М, то эта точка у является предель- ной для множества А. Отсюда следует сохранение предель- ных точек множества А при гомеоморфизме метрического пространства М (в силу 3.43). б. Пример. Пусть множество А на вещественной оси ограничено сверху (снизу), и пусть ^ = зирЛ (г] = inf У1) не входит в множество А; покажем, что £ (г]) есть предельная точка для множества А. Проведем доказательство для точки £ = sup.4. В силу самого определения точной верхней грани для любого п = = 1, 2, ... существует точка хп£А такая, что £—< Поскольку, по условию мы имеем хп^^. Число £, таким образом, оказывается предельной точкой множества А, что и требовалось.
94 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.45 3.45. Желательно иметь общие предложения, позволяющие судить о существовании предельных точек у достаточно широкого класса множеств или последовательностей. Полез- ным предложением такого рода является следующая теорема: Теорема («принцип Больцано—Вейерштрасса»), Каж- дое бесконечное множество точек на отрезке [g, b]czR имеет хотя бы одну предельную точку. Доказательство. Если на некотором отрезке [с, d] имеется бесконечное множество Е, то хотя бы на одной из с, —I и —, al отрезка [с, d] имеется бесконечное подмножество множества Е. Пользуясь этим очевидным соображением, мы, отправляясь от отрезка [а, й] = Дг с заданным на нем бесконечным множеством то- чек А, построим последовательность вложенных отрезков Д1оД2о ..., где каждый последующий составляет половину предыдущего и несет на себе бесконечное подмножество множества А. По принципу Кантора 7.87 у этих отрезков имеется общая точка х0; покажем, что она является пре- дельной для множества А. Возьмем любой интервал V с центром в точке х0, скажем, длины 6 > 0. Пусть п таково, * 6 что длина отрезка Д„ меньше -%', включая в себя точку х0, он целиком содержится в интервале V. Вместе с отрезком Д„ в интервал V попадает бесконечное число точек множества А; следовательно, х0 есть предельная точка множества А, что и требовалось. 3.46. Аналогичное предложение справедливо для после- довательностей: Теорема (принцип Больцано—Вейерштрасса для после- довательностей). Каждая последовательность точек на от- резке [с, Ь\ имеет хотя бы одну предельную точку. Доказательство повторяет приведенное в 3.45 с учетом того факта, что в последовательности точки могут повто- ряться. 3.47. На всей вещественной оси R имеются бесконечные множества без предельных точек (например, 1, 2, 3, ...). Но на расширенной вещественной оси R, метризованной по правилу 3.35 д, снова каждое бесконечное множество обла-
3.51] § 3.5. ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 95 дает предельной точкой; это следует из того, что R изо- метрично отрезку [-1. 1] с его обычной метрикой (3.35 ж), а свойство точки быть предельной сохраняется при изоме- трическом отображении (и даже при гомеоморфизме, как мы видели в 3.43). 3.48. Следующее утверждение дает достаточное условие отсутствия предельных точек: Последовательность хг, х2, . .., у которой все расстояния р (хт, хп) ограничены снизу положительной постоянной С, так что р (хт, хп) С, не имеет ни одной предельной точки. Действительно, пусть у есть предельная точка последо- вательности хп; в этой последовательности заведомо имеются С С такие точки хт и хп, т^=п, что р (у, хт) < , р (у, хп) < у , а тогда Р (*и. *п) < Р (хт, У) + Р (Л х„) < С в противоречии с предположением. § 3.5. Замкнутые множества 3.51. Определение. Множество ПсМ называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Примеры, а. Отрезок замкнут на вещест- венной прямой, а полуинтервал а х < b не замкнут, так как его предельная точка b не принадлежит ему. б. В любом метрическом пространстве шар U = {х:р(х, х0)^г} есть замкнутое множество (поэтому он и называется замкну- тым шаром). Действительно, возьмем любую точку хг, не принадле- жащую шару U, так что р (х0, хх) = гх > г. Мы утверждаем, 1 , что в шаре с центром в точке х. и радиусом -к-(г,—г) нет точек шара U: если бы такая точка нашлась, то, обозна- чив ее через z, мы имели бы р (х0, Р (х0, г) + р (хг, г)С^ + 4 (Г1—И = i (ri + r) < г!
96 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3,52 в противоречии с равенством р (х0, хх) = гг. Поэтому точка ие может быть предельной точкой для множества U. 3.52. Замкнутые множества в метрическом пространстве М тесно связаны с открытыми множествами этого простран- ства. Именно, имеет место следующая теорема: Теорема. Множество U, дополнительное в метрическом пространстве М к замкнутому множеству F, всегда открыто. Множество F, дополнительное к открытому множеству U, всегда замкнуто. Доказательство. Пусть F—замкнутое множество и U—его дополнение; покажем, что U открыто. Рассмотрим произвольную точку х0 £ U; мы должны показать, что имеет- ся шар, определяемый неравенством вида Р (х, х0) < г, целиком входящий в множество U. Допуская противное, мы должны предположить, что в любом шаре с центром в точке х0 имеются точки множе- ства F. Но тогда, согласно второму определению предель- ной точки, точка х0 является предельной для множества F. Так как F замкнуто, то мы должны были бы иметь x0£F, что противоречит предположению x0£U. Итак, U открыто. Переходим ко второй половине теоремы. Пусть множество U открыто и F—его дополнение; покажем, что F замкнуто. Любая точка х0, принадлежащая U, входит в U вместе с некоторым шаром и поэтому не может быть предельной точкой множества F. Таким образом, предельные точки множества F могут быть только в самом F, и следовательно, F замкнуто. Теорема доказана. 3.53. а. Вспоминая 3.23, мы получаем общее описание всех замкнутых множеств на прямой —оо < х < оо: каждое замкнутое множество на прямой получается удалением ко- нечной или счетной совокупности интервалов без общих точек. Выбрасываемые интервалы, которые служат составляющими интервалами дополнительного открытого множества, назы- ваются смежными интервалами данного замкнутого множества. б. Ограниченное сверху (снизу) замкнутое множество А всегда содержит свою верхнюю (нижнюю) точную границу: в предположении противного эта точная граница была бы
3.61J § 3.6. ВСЮДУ ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАМЫКАНИЯ 97 предельной точкой для А (3.446) и множество оказалось бы незамкнутым. 3.54. Используя известные нам свойства открытых мно- жеств в метрическом пространстве (3.22) и указанную только что связь между открытыми и замкнутыми множествами, мы можем утверждать, что объединение конечного числа замк- нутых множеств и пересечение любой совокупности замкну- тых множеств суть снова замкнутые множества. Действительно, пусть даны замкнутые множества Fy (v пробегает некоторую совокупность индексов) и пусть Uy—дополнительные открытые множества. По формуле 2.22(1) мы имеем сП^=2 CFy=^uy. V V V Множество открыто, поэтому дополнительное к нему V множество П Л замкнуто. v Если v пробегает конечную совокупность индексов, то П Ц>, согласно 3.22, есть открытое множество; по фор- муле 2.12 (2) с!Х=Псе;=Пс;; V V V поэтому 2г, замкнуто, что и требовалось. § 3.6. Всюду плотные множества и замыкания 3.61. Всюду плотные множества. Множество А в метрическом пространстве М, по определению, распола- гается всюду плотно по отношению к множеству ВсМ, если всякая точка х£В или сама входит в А, или является предельной точкой для А. Иными словами, А располагается всюду плотно относительно В, если в любом шаре с цент- ром в точке х В имеется точка у £ А. Если при этом АсВ, то говорят, что А всюду плотно в В. Так, множество рациональных точек всюду плотно на числовой оси —оо < х < оо, множество точек (тг, ..., гп) с рациональными координатами всюду плотно в «-мерном евклидовом пространстве.
98 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.62 3.62. Свойство «всюду плотности» обладает транзитив- ностью в следующем смысле: если множество А расположено всюду плотно относительно множества В, а множество В, в свою очередь, расположено всюду плотно относительно множества С, то А расположено всюду плотно и относи- тельно С. Действительно, для заданного е > 0 и заданной точки z£C мы можем найти точку у£В такую, что р(_у, ^)< у; затем мы можем найти точку х£А такую, что р (х, .у) < ; в итоге при любом е > 0 мы можем найти по заданной точке г £ С такую точку х £ А, что р (х, г) р (х, .у) + р(.у, г) < е. Это и означает, что А всюду плотно относительно В. 3.63. Замыкания. Пусть А — множество в метриче- ском пространстве М; обозначим через А множество, состоя- щее из всех точек множества А и всех предельных точек множества А. Множество А называется замыканием множе- ства А. Если А — замкнутое множество, т. е. А содержит все свои предельные точки, то А = А. В общем случае Az>A. Если А —А, то это означает, что все предельные точки множества А вхоДят в Л и, следовательно, А замкнуто. Таким образом, высказывания «А замкнуто» и «А = А» рав- носильны. Если известно, что АсА, то, учитывая, что всегда ДзэД, мы имеем Д = Д, так что А замкнуто. 3.64. Покажем, что замыкание любого множества А всегда есть замкнутое множество. Заметим вначале, что в силу самих определений всякое множество всюду плотно в своем замыкании. В частности, А всюду плотно в Д, Д всюду плотно в своем замыкании Д. Но тогда, в силу транзитив- ности свойства всюду плотности, А всюду плотно в Д, т. е. каждая точка множества А есть или точка множества Д, или предельная точка множества Д. Отсюда АсА, и, сле- довательно, А замкнуто. Так, замыкание множества рациональных точек на оси — оо < х < оо совпадает со всей осью.
3.66J § 3.6. ВСЮДУ ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАМЫКАНИЯ 99 3.65. Покажем, что замыкание А ограниченного множе- ства А есть ограниченное множество и diam Л = diam/1. Так как Ас А, то diam Л diam Л. Далее возьмем в мно- жестве А произвольно точки х и у и для заданного е > О найдем такие точки х£А, у^А, что р(х, х)<-|-) Р О', < у - Тогда Р {х, У)^Р (*> *) + Р (*. У) + Р (У, >) < у + diam А + , откуда diam А = sup р (х, у) е + diam А, и, поскольку в > 0 произвольно, diam А diam А. В соединении со сказанным выше получаем, diam А = diam А, что и утверждалось. 3.66. Пусть F—замкнутое множество и GcF—область в метрическом пространстве М. Покажем, что существует такая область Н с F, содержащаяся в области G вместе со своим замыканием, что FcHcHcG. Для доказательства обозначим через d (х) расстояние от точки х £ G до внешности области О, т. е. величину d (х) = inf р (х, у). у g М - О Для каждого x£G величина d (х) положительна, поскольку точка х входит в область G вместе со своей окрестностью. Положим множество И равным объединению всех открытых шаров с центрами в точках х £ F и радиусами, равными -g-d(x). Очевидно, что FcH\ по 3.22Н—область. Покажем, что замыкание Н множества Н содержится в области G. Предположим противное: существует точка у £ НП (М—О),
100 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (3.67 Найдем последовательность zn£H, zn-^>-y и последователь- ность р(хп, z„)^yd(x„). Мы имеем d(xn)^p(x„, у)^р(х„, zn) + p(zn, y)^±-d(xn)+p(zn,y). Отсюда d (х„) < 2р (z„, у), р (х„, у) < 2р (z„, у), так что у — lim хп £ Fc G. Мы получаем противоречие с пред- положением у £ М— G. Итак, Нс G, что и требовалось. 3.67. В частности, если F ограничено (3.12а), то функ- ция d(x) допускает оценку (х0—фиксированная точка F) d(x) = inf р(х, у)^ у€ М — G < inf [р(х, х0) + р(х0, y)]^diamF+d(x0). (1) M-G Поэтому множество Н, построенное в 3.66, ограничено вместе с множеством F, так как из определения Н и из (1) сле- дует, что diam diam Z7-! - 2 sup d (х) 3 diam F+ 2d (х0). xeF § 3.7. Полные пространства 3.71. а. Последовательность точек хь х2, ... метриче- ского пространства М называется фундаментальной, если для любого е существует номер N такой, что для v~^N и. p^N выполняется неравенство р (х„, хи)^е. б. Любая сходящаяся последовательность xlt х2, х является фундаментальной: действительно, по неравенству треугольника P(*v, (х„ Х) + р(х, хД н если х„ —> х, то правая часть для достаточно больших v и р становится меньше любого заданного е > 0. в. Любая фундаментальная последовательность xlt х2, ... ограничена. Для доказательства найдем номер N так, что при p^N выполняется неравенство р (х„, хр)^ 1. Тогда для любого v=l, 2, ... мы имеем р(х„, х^С тах{р(хх, xN), 1 . .. , pfXjy.x, Хд,)} (vCM,
3.72] § 3.7. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 101 так что расстояния от точек xlt х2, ... до точки xN ограни- чены фиксированной постоянной. г. Определение. Метрическое пространство М назы- вается полным, если в нем всякая фундаментальная после- довательность сходится к некоторому элементу этого пространства. 3.72. Примеры. а. Покажем, что вещественная числовая ось R с метрикой Р(х, у) = |х—у| является полным метрическим пространством. Иначе говоря, числовая последовательность хг, х2, ... является сходящейся тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует такой номер N, что при любых п> N, m>N выполняется неравенство | хп— хт | < е. В этой форме теорема а имеет название «критерий Коши». Для доказательства будем рассуждать так: Пусть хъ х2, ... —фундаментальная последовательность вещественных чисел. В силу 3.71b она ограничена; для каж- дого т=\, 2, ... положим ««= inf хп, bm = sup хп. п^т п^т Очевидно, что при любом т выполняются неравенства Ьт^-Ьт+Ъ откуда [ат, Ьт]=>[ат+1, Ьт+1]. По принципу Кантора 1.81 имеется точка p£R, принад- лежащая всем отрезкам [ат, Ьт], т—1, 2, ... Покажем, что р = iim х„. Для заданного е>0 найдем номер N так, П-*- 00 чтобы при n^N, m^N иметь рК> = Фиксируем здесь m — N и будем полагать л = ДГ4-1, N + 2, ... Поскольку все значения хп при n>N отстоят от xN не далее чем на е, то и числа aN и bN отстоят от xN не далее чем на в. Число р лежит на отрезке [ад, bN], поэтому для всех п > N мы имеем IР—х„ | С bN—aN = (bN—х„) 4- (хл— aN) С 2е. Таким образом, хп—*р, что и требовалось.
102 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.72 б. Интервал (0, 1) представляет собой метрическое про- странство с обычной метрикой числовой оси. Последователь- ность у, -у, • ••• является фундаментальной в этом метрическом пространстве, но не имеет в нем предела; поэтому интервал (0, 1) не есть полное пространство. Этот пример, в частности, показывает, что свойство полноты пространства существенно зависит от выбора мет- рики и может не сохраниться при переходе к гомеоморфной метрике; действительно, метрические пространства в примерах а и б гомеоморфны (3.35ж), но одно из них полно, а вто- рое—неполно. в. Покажем, что т-мерное вещественное пространство Rm с метрикой 3.14 (2) полно. Пусть х„ = (Вв1, ..., (п=1, 2, ...) — фундаментальная последовательность век- торов пространства Rm. Для заданного е > 0 найдем номер N так, чтобы при р > N, q~> N иметь По неравенству 3.J4 (9) для любого k и р, q > N имеем Мы видим, что каждая числовая последовательность £ k(k = 1, . . ., m) фундаментальна на числовой оси. Применяя а, получаем существование пределов £* = lim lpk (k= 1, ..., m). p CD Образуем вектор x = (g1, ..., Н,и). Снова no 3.14 (9) |*~{^k — ^/г)2<К/итах|^ — gpfc|. (1) Теперь для заданного e > 0 найдем номер N так, чтобы при р > N выполнялись все неравенства 1^-Ер«1<р= <‘='...”»
3.74] § 3.7. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 103 Тогда для этих же значений р, как видно из (1), и |х — XF| < 8, откуда следует, что последовательность векторов хп схо- дится к вектору х. Итак, пространство Rm полно, что и утверждалось. 3.73. а. Пусть полное метрическое пространство М является частью (с той же метрикой) метрического про- странства Р. Покажем, что М замкнуто в Р. Пусть у£Р — предельная точка множества М и последовательность хп точек 7И сходится к точке у. Так как последовательность х„ фундаментальна (3.71 б) и пространство М полно, то в М имеется предел z — lim хп. В силу единственности со предела (3.33а) у = z € 7W, что и требуется. б. Обратно, замкнутое подмножество А полного метри- ческого пространства М, рассматриваемое как самостоятель- ное метрическое пространство (с метрикой, заимствованной из 7И), является полным пространством. Действительно, всякая фундаментальная последовательность yv£ А сходится в 7И (поскольку М полно), и ее предел принадлежит мно- жеству А в силу предположенной замкнутости этого мно- жества. в. В частности, любой отрезок [a, ft] на числовой оси как замкнутое подмножество (3.51 а) полного метрического пространства (3.72 а) является полным пространством. 3.74. Для числовой прямой имеет место принцип вложен- ных отрезков Кантора (1.81): всякая система вложенных друг в друга отрезков имеет общую точку. Для полного метриче- ского пространства можно указать различные аналоги этого предложения. а. Пусть в множестве М выделена некоторая совокуп- ность Q непустых подмножеств А, В, ..., обладающих тем свойством, что из каждых двух подмножеств этой совокуп- ности одно содержится в .другом. Такую совокупность Q будем называть системой вложенных подмножеств. Лемма. Пусть в полном метрическом пространстве М выделена система Q вложенных подмножеств А, В, ... Если среди них имеются подмножества как угодно малого
104 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (3.74 диаметра (3.12 а}, то существует такая точка р£М, что для любой ее окрестности Vr (р) = {х:р (х, р) < г} можно ука- зать множество A£Q, целиком содержащееся в Vr(p). Доказательство. По условию, для любого пг — 1, 2, 3, ... имеется множество A = A„,€Q с diam А. —. Пусть хт— любая точка из Ат. Так как при п>ти или АпсАт, или Атс.Ао, то заведомо р(хв, хга) Л, так что последовательность xlt хг, ... фундаментальна. Пусть р= lim хт; покажем, что эта точка р удовлетворяет тре- т-^оо бованиям леммы. Пусть е>0 произвольно; найдем такое п, что р(р, и diam . Тогда для любого х£Ап имеем Р(Р, Х)^р(р, Ха} + р(Хп, х)^^ + ^- = Е, так что AncVe(p), что и утверждалось. б. Замечание. В условиях леммы а может существо- вать лишь единственная точка р, удовлетворяющая требова- ниям леммы. Действительно, если q—другая точка, также удовлетворяющая требованиям леммы, так что р(р, ?) = = 2е>0, то шары Vs(p) и Ve(q) не пересекаются; вместе с тем, по лемме а, существуют множества А и В в системе Q такие, что AcVJp), Bc.V^(q)- но это противоречит тому, что одно из множеств А, В должно быть вложено в другое. в. Лемма. Пусть в дополнение к условиям леммы а все множества системы Q замкнуты. Тогда точка р, удовлетво- ряющая требованиям леммы, входит в каждое из множеств системы Q. Доказательство. Пусть точка р не входит в неко- торое множество В. Поскольку В замкнуто, существует такое е > 0, что шар Ve (р) не пересекается с множеством В. По лемме а, существует множество целиком содержа- щееся в шаре Пе(р). Очевидно, это множество А не пере- секается с множеством В, и мы снова получаем противоречие. Лемма доказана. г. Следующий частный случай леммы в часто употреб- ляется.
3.75J § 3.7. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 105 Лемма о замкнутых шарах. В полном метриче- ском пространстве последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров v=l,2, ..., радиусы которых rv монотонно стремятся к нулю при v —> оо, имеет общую точку. д. Замечание. Если на числовой оси имеется после- довательность вложенных друг в друга отрезков, то общая точка у них существует всегда, независимо от того, стре- мятся их длины к нулю или нет. В метрическом простран- стве, даже полном, может существовать последовательность вложенных друг в друга шаров без общей точки. В качестве примера рассмотрим пространство, образованное из счетной последовательности точек х1, х2, ... с расстоянием, опре- деленным по формуле р(х„, хп+р) = 1 4--^-(л= 1,2, ...). Это пространство удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства. Оно полно, так как в ием нет несходящнхся фундаментальных последовательностей (вообще нет фунда- ментальных последовательностей из различных точек). Шар Vn радиуса 1 + -^ с центром в хп содержит точки хп, х„+1, ... и не содержит никаких других точек. Очевидно, 00 ... и П V„ пусто. 1 3.75. а. Теорема (Бэр). Если полное метрическое про- странство М представлено в виде счетной суммы своих зам- кнутых подмножеств Аъ А2, ..., то по меньшей мере одно из этих подмножеств содержит целиком некоторый шар пространства М. Доказательство. Допустим противное: ни одно из множеств Л1Э А2, ... не содержит целиком никакого шара. Пусть хх— точка, не входящая в множество Аг; так как А± замкнуто, то существует шар 1/г (х1) = {х:р(х, х1)^г1}, свободный от точек множества Аг. Внутри шара К1/2 (хх) есть точка х2, не лежащая в множестве А2; вместе с ней в мно- жество А2 не входит некоторый шар Vrj (хг). Можно считать, что l/z (x1)oVZa(x2) и г2< ~. Продолжая таким же об-
106 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.75 разом далее, мы построим последовательность шаров УГ1 (Xjjz) Vr2 (x2)r>... так, что весь шар УГп(хп) не пере- секается с множеством Ап (л=1,2, ...). Общая точка х0 всех этих шаров, существующая по лемме 3.74 а, не при- надлежит ни к какому из множеств А2, ..., что проти- СО воречит условию U Ап. Теорема доказана. И=1 б. Пример. Покажем, что множество Z всех иррацио- нальных точек отрезка М=[а,Ь] не может быть представ- лено в виде счетной суммы замкнутых подмножеств отрезка 7И. со Действительно, если бы мы имели Z= U Ап, где Дпо:7И — п — 1 замкнутые множества, то и весь отрезок М был бы пред- ставлен в виде счетной суммы замкнутых подмножеств (счет- ной совокупности множеств Ап и счетной совокупности одноточечных множеств, содержащих по одной рациональной точке). Так как отрезок М=[а, £] есть полное пространство (3.73 в), мы получили бы противоречие с теоремой Бэра. в. В 2.41, используя теорему о вложенных отрезках, мы доказали, что множество точек отрезка [0, 1] несчетно. Мы можем установить теперь справедливость аналогичного утверждения и для широкого класса полных метрических пространств. Предварительно введем следующее определение: точка х0 метрического пространства М называется изолированной, если некоторый шар р (х, х0) < 6 не содержит ни одной точки пространства 7И, кроме самой точки х0. Например, пусть 7И есть некоторое множество точек оси —оо< х <оо с обычной метрикой; тогда есть изолированная точка, если имеется интервал, содержащий точку х0 и не содер- жащий более ни одной точки множества /И. Лемм а. Полное метрическое пространство Л'Т, если оно состоит лишь из счетного множества точек, содержит изоли- рованную точку. Доказательство. Каждая точка есть замкнутое подмножество метрического пространства. Применяя теорему Бэра, получаем, что в данном случае некоторая точка х0 пространства М содержит некоторый шар Vz(x0); это воз- можно, лишь если точка х0 изолирована.
3.82J § 3.8. ПОПОЛНЕНИЕ 107 Отсюда получаем: г. Всякое полное метрическое пространство М без изоли- рованных точек несчетно. Замечание. Это утверждение перестанет быть спра- ведливым, если отказаться от предположения, что в прост- ранстве М нет изолированных точек. Соответствующим при- мером может служить любое счетное замкнутое множество (например, последовательность, сходящаяся к пределу, и ее предел) на прямой, рассматриваемое как самостоятельное метрическое пространство. § 3.8. Пополнение 3.81. Теоремы, доказанные в 3.73—3.75, используют существенно'полноту метрического пространства 7И. И в даль- нейшем полнота метрических пространств будет играть важную роль. Что касается неполных пространств, то, оказывается, каждое такое пространство можно включить в некоторое полное пространство. Теорема (Ф. Хаусдорф). Пусть М—метрическое пространство (вообще говоря, неполное). Существует пол- ное метрическое пространство М (называемое пополне- нием пространства М), которое обладает следующими свойствами'. 1) М изометрично некоторой части Л'^аМ; 2) плотно в 7И. Всякие два пространства М, М, удовлетворяющие усло- виям 1) и 2), изометричны между собой. Доказательство дается в 3.82—3.87. 3.82. Назовем две фундаментальные последовательности {yv} и {s'v} пространства М конфинальными, если lim p(_yv,zf) = 0. V—> сс Например, всякие две последовательности пространства 7И, сходящиеся к одному и тому же пределу, являются конфи- нальными, а сходящиеся к разным пределам не являются конфинальными. Две фундаментальные последовательности, конфинальные с третьей, конфинальны и между собой. Поэтому все фундаментальные последовательности, которые можно построить из элементов пространства 7И, можно раз- бить на классы так, что все последовательности, входящие
108 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.83 в один класс, конфинальны между собой и любая последо- вательность, не входящая в этот класс, не конфинальна ни с одной последовательностью класса. Из таких классов — мы будем обозначать их Y, Z, ... — мы и будем строить новое пространство М. Подлежит определению лишь величина рас- стояния между классами Y и Z. Мы определяем ее по формуле р(У, Z) = Iimp(yv, zv), (1) V-> co где {у J—любая фундаментальная последовательность из класса Y, a {zv} —любая фундаментальная последовательность из класса Z. Нужно, конечно, прежде всего проверить, что указанный предел существует и не зависит от выбора после- довательностей {у,} и {zj в классах Y и Z. По неравенству четырехугольника (<?.//(!)) I Р ^v) Р(.У11 + р.> ^v + p.) I Р (,У»> J'v + p.) Р (^1>1 ^» + р)> откуда следует, что числа р (у„ z„) образуют последова- тельность, удовлетворяющую критерию Коши. Таким обра- зом, limp(yv, zv) существует. Если {у'} и {z'}—другие фундаментальные последовательности в классах Y и Z, то, снова применяя неравенство четырехугольника, находим, что IР (Уч, zv)—р (уч,, 4) I < Р (jv, Уч) + Р (zv, zv) -> 0, поэтому последовательность р (у^, z'v) имеет тот же предел, что и последовательность р(у„, zv). Таким образом, опре- деление расстояния между классами не зависит от выбора фундаментальных последовательностей в этих классах. 3.83. Теперь мы должны проверить, что величина Р(^> ^) = Hmp(yv, zv) *V-> со удовлетворяет аксиомамметрического пространства^.// а—в). Аксиома 3.11а.'. p(F, Z) > О при Y^Z, р(У, У) = 0 проверяется следующим образом. Прежде всего по построе- нию функции р мы имеем p(F, У) = 0, ибо в формуле 3.82 (1) можно положитьyy — zv. Далее, предположим, чтор(У, Z)=0. Это означает, что для любой фундаментальной последова- тельности {у,} из класса Y и любой фундаментальной после- довательности {zv} из класса Z имеет место равенство
3.85] § 3.8. пополнение 109 lim р(у„ г„) — 0. Но тогда {у,} и {zv}—конфинальные по- V“> СО следовательности и класс Y должен совпадать с классом Z. Таким образом, если р(У, Z) = 0, то Y—Z\ отсюда следует, что при Y=f=Z имеем р(У, Z) > 0, что и требуется. Аксиома 3.116'. р(У, Z) = p(Z, У) выполнена по построе- нию. Проверим аксиому 3.11 в: р(У, U) р (У, Z) -|-р (Z, U). Пусть {yj, {zj, {uj—фиксированные фундаментальные последовательности из классов У, Z, U соответственно. Искомое неравенство получается в результате перехода к пределу (3.32 в—г) в неравенстве P (Л> uv) Р (У». zj + р (^, и,). Проверим теперь для пространства М все утверждения, сформулированные выше в теореме о пополнении. 3.84. Покажем, что М содержит подмножество Л4Х, изо- метричное пространству М. Каждому элементу у £ М поста- вим в соответствие класс УсЛ1, содержащий последователь- ность у, у, у, ... (т. е. класс всех последовательностей, сходящихся к у). Если по этому правилу точка у соответ- ствует классу У и точка z—классу Z, то р(У, Z) = limp(y, z) = p(y, z). Отсюда следует, что совокупность /Их соответствующих классов У есть часть пространства М, изометричная 'прост- ранству М. 3.85. Проверим, что Afx плотно в М: Пусть У—произ- вольный класс нз /И и {yj—фундаментальная последова- тельность из класса У. Рассмотрим последовательность классов У,, У2, ..., У„, ..., где Уи определяется последо- вательностью уи, ур, ..., т. е. отвечает элементу уи в соот- ветствии А1 —► /Их. Для заданного е > 0 найдем номер р0 так, чтобы при р > р0 иметь р (уи+/,, уи) е. Тогда р(Т, F ) = Um(yv,y)<e. V-+ со Но это означает, что класс У есть предел классов У^. Так как класс Уи принадлежит по построению множеству /Их, то тем самым доказано, что плотно в М.
110 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.86 3.86. Покажем, что М—полное пространство. Пусть У,, У2, ... —фундаментальная последовательность элементов из М. Для каждого класса Yv найдем класс Z^c/Hj так, чтобы иметь р (У„, Z„) <, и пусть zv£M есть элемент, соответствующий классу Zv. Мы утверждаем, что последо- вательность {zv} фундаментальна в пространстве 7И. Дейст- вительно, Р(^> = ZF)<p(Zv, У,)+р(У„ Уи) + Р(^, <Р(^> + при И-^оо- Фундаментальная последовательность {zv} определяет неко- торый класс ZcTW; покажем, что класс Z является пределом в М последовательности У„. Для заданного е > 0 при доста- точно большом v^v0 имеем p(Z, yv)<p(Z, ZJ+p(Z„ У„) = 1ипр(гц, ^) + 1<е. сю v Таким образом, всякая фундаментальная последовательность У,о:7И имеет в М предел, что и требовалось. 3.87. Наконец, покажем, что любое метрическое прост- ранство 7И, обладающее свойствами 1) и 2), изометрично пространству 7И. Действительно, пусть и ТИ2— подмножества прост- ранств М и 7И, изометричные пространству /И и, следова- тельно, изометричные друг другу. Мы должны продолжить эту изометрию с множеств Мг и ТИ2 на пространства М и М. Возьмем любой элемент УсТИ и рассмотрим последователь- ность элементов УгсЛ11, сходящуюся к У. Соответствующая последовательность Zvc:M2 во всяком случае фундамен- тальна, так как в силу изометрии между и ТИ2 взаимные расстояния между элементами последовательности Zv такие же, как между элементами последовательности У,. Так как М полно, то в М имеется элемент Z = lim Zv. Этот элемент _ V-* со ZaM поставим в соответствие взятому элементу УсТИ. Он определен однозначно, поскольку конфинальные после- довательности в М соответствуют конфинальным последо-
3.91] § 3.9. КОМПАКТНОСТЬ 111 вательностям в М и замена последовательности Yv на конфи- нальную приводит к замене последовательности Zv также на конфинальную. Указанное сопоставление взаимно однозначно и исчерпывает все элементы М и 7И. Нам остается показать, что оно является изометрическим. Пусть элементы У и У' пространства 7И соответствуют элементам Z и Z' простран- ства М и при этом У = lira Ут, y' = lirnyv (Ут, Yv из Al!). Если, далее, Zv и Zv — элементы из ТИ2, отвечающие эле- ментам Yv и yv, то p(Zv, Zv) = p(yv, Yv) и в силу леммы о непрерывности расстояния 3.326 p(Z, Z') = limp(zv, Zv)=limp(yv, У^) = р(У, У'), V-> 00 V~+ cd что и требуется. Тем самым теорема 3.81 доказана пол- ностью. 3.88. Предположим, что данное метрическое простран- ство М есть часть другого полного метрического простран- ства М*. Тогда в качестве пополнения М можно взять за- мыкание М множества М в пространстве /И*. Действительно, Л4 как замкнутое подмножество полного пространства М* есть полное пространство (3.73 б); затем оно содержит внутри себя 7И в качестве плотного подмножества. Оно удов- летворяет, таким образом, условиям доказанной теоремы и в силу этой теоремы может служить пополнением простран- ства М. § 3.9. Компактность 3.91. а. Определение. Метрическое пространство М, в котором каждая (бесконечная) последовательность точек имеет предельную точку, называется компактным простран- ством, или компактом. Метрическое пространство М, в кото- ром для каждой точки а £ М имеется компактный шар {х £7И:р (а, х) с}, называется локально компактным про- странством.
112 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Если метрическое пространство М компактно, то каждое бесконечное подмножество ЕсМ имеет предельную точку. Действительно, бесконечное подмножество в Е содержит бес- конечную последовательность хх, х2, ... различных точек, и ее предельная точка будет и предельной точкой множе- ства Е. Обратно, пусть каждое бесконечное подмножество метрического пространства М имеет предельную точку; покажем, что М компактно. Пусть хг, х2, ... —любая после- довательность точек из М (не обязательно различных). Если в этой последовательности фактически участвует лишь конечное число различных точек пространства М, то заве- домо хотя бы одна из них повторяется бесконечное число раз, п тогда она и будет предельной точкой последователь- ности хъ х2, ... Если же в этой последовательности уча- ствует бесконечное множество различных точек М, то пре- дельная точка этого бесконечного множества будет и пре- дельной точкой всей последовательности. Таким образом, данное выше определение компактного пространства экви- валентно следующему: метрическое пространство компактно, если каждое его бесконечное подмножество содержит пре- дельную точку. б. Примеры. Отрезок «^х^£ на числовой оси яв- ляется компактом {3.45). Вся числовая ось R не является компактным пространством, так как, например, последова- тельность 1, 2, ..., п, ... не имеет в R не одной пре- дельной точки. Но пространство R является локально ком- пактным пространством. Расширенная числовая ось R с мет- рикой г (х, у) {3.35 д) компактна. Множество рациональных точек отрезка [a, f>] с метрикой числовой оси не является ий компактным, ни локально компактным. в. В 3.43 мы отметили, что свойство данной точки быть предельной для последовательности х„ не нарушается при переходе к новой метрике, гомеоморфной исходной. Так как определения компактного и локально компактного про- странства опираются лишь на понятие предельной точки, то мы делаем вывод, что свойство пространства быть ком- пактным или локально компактным не нарушается при пере- ходе к новой метрике, гомеоморфной исходной. Так, вещественная ось R является локально компактным пространством и в обычной метрике р (х, у) — | х —у |, и ₽ метрике г (х, у) {3.35 д).
3.93] § 3.9. КОМПАКТНОСТЬ 113 3.92. а. Теорема. Каждое компактное пространство полно. Доказательство. Пусть хг, х2, ... — фундамен- тальная последовательность точек компактного простран- ства М, и пусть х0—предельная точка этой последователь- ности. Покажем, что x0 = litnxn. Для заданного 8>0 иай- дем сначала номер N так, чтобы при от > Л/, п> N иметь Р (xn, xm) < е/2 , и затем номер р > N так, чтобы было р (хр, х0) < е/2. Тогда для всех л > /V Р (*„, *о) < Р (*». хр) + р (хр, х0) < в, откуда и вытекает утверждение. б. Теорема. Компактное подмножество М метриче- ского пространства Р замкнуто в Р. Это следует из а и 3.73а. в. Пусть М—компактное подмножество метрического пространства Р, и GczP—открытое множество, содержащее М. Образуем открытое множество Л4В, являющееся объеди- нением всех открытых шаров радиуса б с центрами в точ- ках множества М. Утверждается, что существует такое б > О, при котором MBczG. Для доказательства, допуская противное, для каждого п = 1, 2, ... найдем две точки х„£Л1, уп£Р—G, для кото- рых р (х„, у„) < . Последовательность х„ лежит в ком- пакте М, и из нее можно выбрать сходящуюся подпоследо- вательность; вводя новую нумерацию и отбрасывая ненуж- ные точки, можно считать, что х„-»х g М Так как Р(УП. *Хр(К> хп) + р(хп, х)^ — + р(хп, х), то и уп-»-х. Но множество Р— G замкнуто, поэтому х £ Р— G в про- тиворечии с предыдущим. Тем самым утверждение доказано. 3.93. а. Некоторым расширением класса компактных про- странств является класс предкомпактных пространств*). Метрическое пространство М называется предкомпактным, если в нем каждая последовательность точек содержит фун- даментальную подпоследовательность. Если при этом М *) В литературе нет единой терминологии. Иногда называют предкомпактные пространства компактными, а компактные в нашем смысле—компактами.
114 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.93 полно, то эта фундаментальная последовательность будет и сходящейся, и пространство /И оказывается компактным. Таким образом, полное пр ед компакт ное пространство явля- ется компактным. Обратно, компактное пространство явля- ется полным (3.92 а) и, очевидно, пр ед компактным. Интер- вал (а, Ь) числовой оси дает простой пример предкомпакт- ного, но не компактного пространства. б. Теорема. Каждое пред компакт ное пространство ограничено. Доказательство. Мы будем доказывать, что неог- раниченное пространство непредкомпактно. В неограничен- ном пространстве М расстояния от любой точки а до осталь- ных точек в совокупности не ограничены (3.12 в). Пользуясь этим, фиксируем произвольно точку х±£ М и затем индуктивно построим последовательность точек х2, х3, ... так, чтобы выполнялись неравенства И-1 Р (*„+!> хп)> 2p(xft+1, хй)+1 (Л= 1, 2, ...). k=l Тогда по 3.11 г при п > m Р (хп, > Р (Хп’ Хп-1) — [р (Хп-11 Xn-2) + • • “Гр (XZB + 1> х/я)] >р(х„, x„_x) — 2p(xft+1, хк) > 1, k=l так что из последовательности хп нельзя выбрать фунда- ментальной подпоследовательности. Тем самым пространство М не предкомпактно, что и утверждалось. в. Критерий Хаусдорфа. Для проверки предком- пактности метрическое пространство М иногда целесооб- разно включить изометрически в более широкое метрическое пространство Р. В предположении изометричности включе- ния MczP назовем множество BczP Е-сетью множества МсР, если каждая точка х множества М отстоит не далее чем на е от некоторой точки у£В. Таким образом, объеди- нение всех шаров радиуса е с центрами в точках множест- ва В содержит все множество М. Вообще, если объединение некоторых множеств Ua содер- жит множество /И, говорят, что множества Ua в совокуп-
3.93] § 3.9. компактность 115 ности покрывают множество М, или же что они образуют покрытие множества 714. Таким образом, можно сказать, что множество В есть е-сеть для множества 714, если совокуп- ность всех шаров радиуса е с центрами в точках множе- ства В покрывает множество /И*). Теорема (Ф. Хаусдорф). Множество 714, расположен- ное в метрическом пространстве Р, предкомпактно (в мет- рике Р) тогда и только тогда, когда для любого е > О в Р имеется конечная Е-сеть для 714. Доказательство. Пусть 714 предкомпактно, и пусть задано е > 0. Покажем, что существует конечная е-сеть для множества 714. Возьмем произвольную точку хг £ 714. Если все остальные точки множества 714 находятся от точки на расстоянии ^е, то сама точка х1 представляет е-сеть для 714 и построение закончено. Если же среди точек мно- жества 714 имеются такие, которые отстоят от хг дальше чем на е, то мы выберем среди них произвольную точку х2. Если теперь каждая точка множества 714 отстоит не далее чем на е или от точки xlt или от точки х2, то х1 и х2 образуют конечную е-сеть для 714 и построение закончено; в противном случае построение можно продолжить. По построению каждая новая точка хп отстоит от каж- дой из предшествующих х1г х2, ..., х„_г дальше чем на е. Поэтому, если бы процесс можно было продолжать не- ограниченно, мы получили бы бесконечное подмножество xlt х2, ..., хп, ... множества 714, заведомо не содержащее ни одной фундаментальной последовательности, что проти- воречило бы предкомпактности 714. Так как 714 предком- пактно, то процесс закончится после конечного числа шагов; в результате мы получим конечную е-сеть для множества 714. Обратно, пусть в пространстве Р имеется при каждом е > 0 конечная е-сеть для множества 714; покажем, что 714 предкомпактно. Рассмотрим произвольное бесконечное под- множество Лс714; мы должны выбрать в А фундаменталь- ную последовательность. В качестве первой точки этой по- следовательности возьмем любую точку х0 £ А. Применяя условие теоремы прие=1, мы можем покрыть множество Л *) «Если в каждой точке множества В, являющегося е-сетью для множества 714, зажечь фонарь, освещающий шар радиуса е, то будет освещено все множество 714». (Из лекций Л. А. Люстерника.)
116 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.94 конечным числом шаров радиуса 1; среди них имеется такой—обозначим его через Ult—который содержит беско- нечное подмножество A±czA. Выберем в А± любую точку хху=х0. Применяя условие теоремы при e = -g-, мы можем покрыть множество Лх конечным числом шаров радиуса у; среди них есть шар U2, который содержит бесконечное подмножество Л2сЛх. Выберем любую точку х^А^, не совпадающую ни с х0, ни с хх. Продолжая таким же обра- зом далее, мы построим цепочку бесконечных подмножеств ЛэЛхэA^zd ... ззЛ,зз... (причем каждое из множеств Л, rr 1 \ содержится в шаре Uv радиуса — 1 и, кроме того, после- довательность различных точек х0, хх, х2, ..., xv, ..., где xv £ Av. Мы утверждаем, что последовательность х0, xii хг> _фундаментальна. Действительно, при р < v мы 2 имеем С^гзЛцГзЛ,,, поэтому р (хр х,)< —. Эта величина стремится к нулю при р —>оо; значит, последовательность х0, х1г ... фундаментальна, что и требовалось. 3.94. В качестве применения этого признака покажем, что любое ограниченное множество М в п-мерном евклидо- вом пространстве P = Rh предкомпактно. Действительно, для любого m в том шаре пространства Р, который содер- жит ограниченное множество М (3.14 б), существует лишь конечное число точек, все координаты которых имеют вид k , —, к—целое, а множество всех таких точек, очевидно, при достаточно большом m образует е-сеть для М. 3.95. Отметим еще следующий простой признак пред- компактности: множество М в метрическом пространстве Р предкомпактно, если для любого е > 0 можно указать в Р предкомпактное множество Ве (может быть, и бесконечное), являющееся ъ-сетью для М. Доказательство этого признака весьма просто.Мы утвер- е _ ждаем, что при заданном е конечная -^--сеть Z для множе- ства Ве/2, существующая в силу предкомпактиости Де/2,
3.96J § 3.9. КОМПАКТНОСТЬ 117 есть конечная е-сеть для множества Л4. Действительно, для произвольной точки х£7И по условию найдутся такая точка У € Ве/ъ, что р (х, у) , и такая точка z £ Z, что р (у, z) < ; но тогДа Р (х, z) р (х, у) + р (у, z) е, что и утвер- ждалось. Таким образом, при любом е > О множество Л1 обладает конечной 8-сетью и, следовательно, предком- пактно. 3.96. а. Пополнение М любого предкомпактного мно- жества М есть компакт. В самом деле, множество Л4, по- скольку оно плотно в /И, является е-сетыо для множества М при любом е > 0. По условию М предкомпактно; отсюда по 3.95 и М предкомпактно; а так как М полно, то оно есть компакт, что и требовалось. б. Замыкание М любого предкомпактного подмножества М полного метрического пространства Р компактно. Это следует из а и из замечания 3.88, в силу которого в каче- стве пополнения множества М можно взять его замыкание в Р. в. Предкомпактное подмножество М полного метриче- ского пространства Р является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто в Р. Действительно, если подмножество М замкнуто в пол- ном метрическом пространстве Р, то оно само является полным метрическим пространством (3.73 б). Если при этом М предкомпактно, то, согласно 3.93 а, М есть компакт. Обратное утверждение следует из 3.92 б. г. Соединяя 3.93 в и 3.96 в, получаем: Теорема. Множество М в полном метрическом про- странстве Р является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто в Р и для каждого е > 0 в Р имеется конечная s-сеть для М. д. Множество М в пространстве Rn является компактом тогда и только тогда, когда М замкнуто и ограничено в Rn. Действительно, если М—компакт, то множество М замк- нуто (3.92 б) и ограничено (3.93 б); если множество М огра- ничено в Rn, то оно предкомпактно (3.94), а в силу пол- ноты/?,, (3.72 в) из замкнутости предкомпактного множества М
118 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.97 следует его компактность (3.96 в). В частности, замкну- тый шар {лт:| л: — х0|^г) есть замкнутое (3.516) и огра- ниченное множество; поэтому в пространстве Rn всякий зам- кнутый шар компактен. е. Каждое компактное множество М на числовой оси ограничено и содержит свои точные границы. Действительно, множество М ограничено и замкнуто (д); остается применить 3.53 б, и утверждение доказано. 3.97. Часто используется следующее предложение отно- сительно компактов: Лемма о конечном покрытии. Если компактное подмножество К метрического пространства Р покрыто семей- ством В={Ва\ открытых подмножеств пространства Р, то существует конечное подсемейство Blt ..., Вт семейства В, также покрывающее компакт К. Доказательство. Допустим противное: никакое ко- нечное подсемейство семейства В не образует покрытия компакта К. Поскольку К—компакт, согласно 3.93 в для каждого е> О имеется конечное число шаров (замкнутых) ..., Llmi радиуса е, покрывающих компакт К. Если бы для каж- дого из шаров U.(j=\, ..., тг) существовало конечное подсемейство Bj семейства В, покрывающее шар Uj, то, объединяя эти подсемейства, мы смогли бы выделить из семейства В конечное подсемейство, покрывающее весь ком- пакт К. Поэтому хотя бы один из шаров Uj, например Ult не может быть покрыт никаким конечным подсемейством семейства В. Придадим числу е последовательность значений 1, у , -i-, ...; для каждого п у нас имеется шар t7i/n (хп) радиуса О — с центром в точке хп, который не может быть покрыт никаким конечным подсемейством семейства В. Пусть х — предельная точка последовательности хп. Точка х входит в некоторое множество Ва вместе с некоторым шаром U (х) радиуса р. Начиная с некоторого номера, в шар U?(x) попа- дают шары U1/n (х„) с как угодно большими номерами. По- этому указанные шары покрываются даже только одним множеством Ва в противоречии с построением. Лемма доказана.
ЗАДАЧИ 119 3.98. Принцип вложенных отрезков (1.81) с числовой оси мы перенесли (3.74) на полное метрическое пространство, заменив в формулировке отрезки на замкнутые подмноже- ства с произвольно малыми диаметрами. Если эти подмно- жества компактны, никаких других предположений уже не нужно: Теорема. Всякая система Q вложенных непустых ком- пактных подмножеств метрического пространства имеет об- щую точку. Доказательство. Фиксируем в системе Q один из компактов Ко. Если теорема неверна, то для каждой точки х£К0 найдется компакт Кх (tQ, не содержащий точки х. Так как Кх есть замкнутое множество (3.92 б), то сущест- вует окрестность точки х, не пересекающаяся с Кх. Ука- занные окрестности, построенные для каждой точки х £ Ко, образуют покрытие компакта Ко; по 3.97 из этого покры- тия можно выделить конечное покрытие. Обозначим окре- стности, составляющие конечное покрытие, через V1, , .., Vn. Пусть Klt ..., Кп — компакты из системы Q, не пересекаю- щиеся соответственно с Vlt ..., Vn. Пересечение ... Кп не имеет общих точек ни с одной из окрестностей ..., V„ и не пересекается поэтому с компактом Ко. Таким обра- зом, пересечение КаКг...Кп пусто. С другой стороны, поскольку Q—система вложенных множеств, всякое конеч- ное пересечение множеств этой системы есть снова множе- ство этой системы и, в частности, не может быть пустым. Полученное противоречие доказывает справедливость тео- ремы. ЗАДАЧИ 1. Множество предельных точек любого подмножества А метри- ческого пространства /И обозначим через А'. Далее, по индукции определяется множество А(п> = (А(п-п)'. Для заданного п построить на прямой множество А так, чтобы А(п> было непустым, а А*"*1’ пустым. 2. Доказать, что множество А' замкнуто, каково бы ни было АсМ. 3. Дано множество для которого при некотором п мно- жество А(п) счетно. Доказать, что А счетно. 4. Точка х на прямой называется точкой конденсации несчетного множества А, если в любой окрестности точки х имеется несчетное множество точек множества А. Доказать, что у всякого несчетного
120 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА множества А имеются точки конденсации; более точно, почти все его точки, кроме, может быть, счетного множества, являются точками конденсации. 5. Если множество Е на прямой покрыто произвольной системой интервалов, то из этой системы можно выделить не более чем счет- ную подсистему, также покрывающую Е. 6. Величина р(х, Л) = 1п1р(х, у) уеА называется расстоянием от точки х до множества А. Доказать, что для замкнутого множества А соотношения р(х, Л)=0, х£А эквивалентны; если же А не замкнуто, то они не эквивалентны. 7. Доказать, что для любого множества А в метрическом про- странстве М совокупность точек х, для которых р (х, Л) < в, открыта, а совокупность точек у, для которых р (у, Л) < в, замкнута. 8. Даны два непересекающихся замкнутых множества Fj и Г2 в метрическом пространстве М. Построить непересекающнеся откры- тые множества U1 и Uz так, чтобы U^F^ U^F^ я иг я U2 не пересекались. 9. Пусть М —ограниченное метрическое пространство. Определим для любых двух подмножеств АсМ и ВсМ величину р(Л, B) = sup{p(x, В), р(у, Л)}. хе А уев Показать, что всевозможные замкнутые подмножества Л, В, ... в М образуют метрическое пространство, если определить расстояние между двумя замкнутыми подмножествами по этой формуле. Пока- зать, что это пространство полно, если М полно, н компактно, если М компактно. 10. Если метрическое пространство М состоит из п < 4 точек, то существует метрическое пространство М', изометричное М и расположенное в евклидовом пространстве Для пЭ=4 такое утверждение уже, вообще говоря, неверно. И. Пусть Rn означает евклидово пространство Rn с присоеди- ненной точкой оо. Ввести на Rn метрику г так, чтобы на Rn она была гомеоморфной обычной метрике р (3.14) и чтобы всякая по- следовательность xCT£/?n, неограниченная в обычной метрике, имела бы оо предельной точкой. 12. Решить задачу 11, заменив пространство Rn произвольным неограниченным метрическим пространством М. 13. В задаче 11 вместо рассмотренных прямых (см. указание к задаче 11) использовать прямые, проходящие через центр сферы Sn. Какой набор «бесконечно удаленных» элементов обеспечит существо- вание предельной точки (в новой метрике) для всякой последователь- ности точек xm£.Rti-
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 121 Историческая справка Первое корректное определение предела числовой последователь- ности было дано Больцано (1817), а затем Коши (1821) в его курсе по алгебраическому анализу. В частности, Больцано впервые ясно сформулировал «критерий Коши» и даже попытался его обосновать; но его рассуждение «за полным отсутствием какого бы то ни было определения действительных чисел, не было и не могло быть ничем иным, кроме порочного круга» (Бурбаки). Сам Коши получил свой критерий из принципа вложенных отрезков, который считал очевидным. Понятие предельной точки открытого и замкнутого множества (сначала на оси, затем в евклидовом n-мерном пространстве) и тео- ремы о структуре этих множеств на оси были даны Кантором в 70-х годах XIX века. Теорема о выделении конечного покрытия была впервые доказана (для отрезка) Борелем (1895, для случая, когда исходное покрытие счетно) и Лебегом (1902, для любого исходного покрытия). В 1906 г. Фреше ввел понятие метрического простран- ства, в рамках которого получили естественное обобщение понятия предыдущего периода; кроме того, Фреше ввел понятия полноты и компактности метрического пространства. Еще более широкие возможности открыло понятие топологичес- кого пространства (Хаусдорф, 1914), о котором мы здесь только упо- мянем. См. Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ОНТИ, 1937.
ГЛАВА 4 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Превосходное сочинение г. Коши «Курс анализа По- литехнической школы», которое должен прочесть всякий аналист, любящий строгость в математических изыска- ниях, служило мне проводником. Нильс Абель (1826) §4.1. Определение предела 4.11. Определение. Пусть дано произвольное мно- жество Е; система S непустых подмножеств А, В, ... мно- жества Е называется направлением, если для каждых двух подмножеств A£S, B£S выполняется одно из включений Аа.В или Во: А и пересечение всех А £6’ пусто. 4.12. Опр еделение. Пусть на множестве Е задана функция у=/(х), значения которой принадлежат к метри- ческому пространству 7И с расстоянием р (3.11). Будем го- ворить, что функция-у = f(x) имеет предел по направлению S, если существует такая точка р £ 7И, что при любом е > О можно найти множество А£.$, во всех точках которого выполняется неравенство Р [Г. /(*)] < е. В этом случае точка р называется пределом функции f(x) по направлению S. Вся описанная ситуация обознача- ется символом p = lim/(x). (2) S Пишут также f(x)—+p или просто f(x)—+p. S В 4.13—4.16 рассматриваются примеры. 4.13. Пусть Е—множество всех натуральных чисел 1, 2, ... Направление В определим как систему всех под- множеств АпаЕ вида А„ = {л, л-J-l, «4-2, ...} (л=1, 2, ...).
4.14] § 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА 123 Очевидно, из всяких двух множеств Ап, Ат одно содер- жит другое; далее, пересечение всех множеств Ап (п = 1,2, ...) пусто. Таким образом, система S действительно есть направ- ление. Это направление обозначается п—«-оо. Функция y—f(x) в данном случае есть последовательность точек Уг, у2, • • • 1 Ут метрического пространства М. Согласно нашему определению, последовательность уп имеет предел по направлению 5, т. е. при л—* оо, если существует такая точка рСАТ, что для любого е>0 можно найти такой номер N, что для всех п~^ N выполняется неравенство P(j„, Р)<е. Последовательность точек имеющая предел р, называ- ется сходящейся к р. Очевидно, это определение совпадает с тем, которое было дано в 3.31. Обозначение 4.12 (2) приоб- ретает видр= limy,,. п -> оо 4.14. а. Пусть Е = есть вещественная полуось {х:а^ х}. Направление S определим как систему всех подмножеств A.cRa вида А={х£/?+:х>£}. Очевидно, что 3' есть направление в смысле 4.11. Это на- правление обозначается х—«-ф-оо. Согласно нашему опре- делению, функция f(x), определенная при х^а (со значе- ниями в метрическом пространстве М), имеет предел по направлению «5, т. е. при х—«--(-оо, если существует такая точка р£М, что для любого е>0 можно найти такое число £, что для всех х^| выполняется неравенство Р(Р, /(*))<е. Точка р называется пределом функции f(x) при х—«-оо; соответствующая запись имеет вид р = lim/(x). X -> со б. Если M—R есть числовая прямая, мы получаем оп- ределение числовой функции, имеющей предел при х—>-оо, именно: числовая функция /(х), определенная при х^а, имеет пределом число р при х—«-оо, если для любого е > О существует такая точка что для всех х £ выполняется неравенство Гр—/(*)] < е.
124 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.15 в. На вещественной полуоси R~а = {х: х а} вводится направление х—> — оо. Оно определяется как система всех подмножеств B^czR^ вида B^{x£R-a-.x^l}Ri. Согласно нашему определению, функция f(x), определенная при х^я, имеет предел р при х—+— оо, если для любого е > О можно найти такое число что для всех х £ вы- полняется неравенство Р(Р, или, для числовой функции f(x), |р— /Wl<6- г. Аналогично на числовой оси вводится направление х —> ± °0, или, что то же, | х | —> оо. Направление | х | —> оо образовано всеми множествами {х:|х|^С}. Таким образом, приобретает определенный смысл выражение lim /(х). 1*1-* «> 4.15. а. Пусть Е есть метрическое пространство. Пред- положим, что точка' а£Е не есть изолированная точка в Е, иными словами, что любой шар UT{a) = {х £Е\р(х, а) <г} содержит, кроме точки а, еще некоторые точки из Е. Тогда направление х —>- а определим как совокупность всех шаров UT{a) = {x^,E\p(a, х)<г}, из которых выброшена цент- ральная точка а. Предположение о том, что а не есть изо- лированная точка, означает, что каждое из множеств U (а) не пусто; выполнение остальных свойств направления очевидно. Согласно нашему определению, функция /(х), определенная на Е (со значениями в метрическом пространстве М), имеет предел при х—+ а, если существует точка рgМ, для кото- рой при любом е > 0 можно найти число 6 > 0 так, что для всех х€Ц(я) (т. е. для всех х=£а, удовлетворяющих неравенству р (х, а) < 6) выполняется неравенство Р (/(*)> Обозначение 4.12 (2) принимает вид Р = lim /(х). (1) х -> а
4.16] § 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА 125 Точка р, как и в других случаях, называется пределом функции f(x) при х —► а*). б. В частности, если /?=/?, M=R, мы приходим к сле- дующему определению: Направление х —> а есть совокупность всех интервалов {а—б, а 4-6), из которых выброшена центральная точка а. Числовая функция f(x), определенная на числовой оси /?, имеет в точке a£R предел р, если для любого е > 0 най- дется такое б > 0, что из соотношений |х—а| < б, x£R, х=£а вытекает неравенство !/(*)— Обозначение (1) сохраняется без изменения: p = lim /(х). х-> а в. Примеры 4.13 и 4.14 а—в в действительности явля- ются частными случаями определения 4.15 а. Проверим это для примеров 4.14 а—в. На вещественной оси R можно ввести метрику пространства R (3.35 5); тогда направления х —*— оо и х—>--|-оо, описанные в 4.14 а, совпадут с на- правлениями х—> — оо и х—»--]-оо (4.15 а), где —оо и оо рассматриваются как точки метрического пространства R (если учесть 3.35 е). 4.16. Предел по направлению на подмноже- стве. а. Пусть имеется множество Е с выделенным в нем на- правлением 5. Фиксируем множество GaE и рассмотрим семейство множеств GA, где А—любое множество из на- правления 5. Предположим, что все множества GA не пусты. Тогда, поскольку пересечение этих множеств пусто (вместе с пересечением всех Л^5), система их снова образует на- правление, которое мы обозначим через GS. Пусть на мно- жестве Е задана функция f(x) со значениями в метрическом пространстве М. Если существует lim/(х), равный р, то, s очевидно, существует и lim/(x), также равный р. Но если GS *) В этом определении значение функции f(x) при х—а не иг- рает роли. Функция f (х) может даже и не быть определенной в точке х=а.
126 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.16 известно, что существует lim/(x), то lim/(x) может и os s не существовать. Установим следующее предложение, дающее условие эквивалентности двух рассмотренных пре- делов: Лемма. Если множество G содержит некоторое множе- ство В из направления S, то из существования lim / (х) сле- OS дует существование lim f (х) ( = lim Если же множество G S GS не содержит целиком никакого B^S, а метрическое простран- ство М содержит хотябы две различные точки, положимр и q^=p, то существует функция f(x) со значениями в М, для которой iimf (х)—р, a lim/(x) не существует, os s Доказательство. Пусть GzoB, B£S и lim/(x)=p. os Для задавного е > 0 найдем в направлении GS множество GA, но всех точках которого выполняется неравенство р(/(х), р)<е. Множество GA содержит множество ВА, которое само есть или В, или А и потому входит в направ- ление 5. На множестве ВА также выполняется неравенство р(/(х), р)<е. Отсюда следует, что lim/(x) существует s (и равен р). Пусть множество G не содержит целиком никакого B£S и Н есть дополнение к G (до всего Е). Положим /(х) равной р при х £ G и равной q при х£Н. Возьмем е < -i- р (р, q). Если бы существовал lim/(x) = Z, то для 2 s некоторого A £S мы имели бы р (/(х), t) < е при нсех х g А Но оба множества GA и НА по условию не пусты; беря по очереди х £ GA и х € НА, получаем, что должны быть вы- полнены оба неравенства р (р, t) < е, р (q, t) < е, откуда р (р, q)^p(p, 0 + p(?i 0 < 2е в противоречии с опреде- лением е. Тем самым лемма полностью доказана. б. Если функция /(х) определена только на множестве G, то запись lim/(x) не имеет прямого смысла. В случае, s когда G содержит какое-либо из множеств направления 5, мы полагаем по определению lim/(x) = lim/„(x), где S S lim/£(x) — произвольное продолжение функции /(х) с G
4.16] § 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА 127 на нее Е. По доказанному, результат имеет смысл и не зависит от способа продолжения f(x) с G на Е. В частности, предел последовательности ylt у%, ... ,уп, ... (4.13) естественно определен не только тогда, когда по- следовательность jj, у2, ... задана для всех индексов 1,2, ..., но и тогда, когда она задана лишь для всех ин- дексов п, больших некоторого п0; при этом limj/„ не зави- П -> 00 сит от значений ух, ..., уп<1, которые нам почему-либо за- хотелось бы ввести в рассмотрение. Аналогично определение lim f(x) (4.14) требует лишь знания значений функции f(x) Х~> <ю при х, больших какого-либо х0, и не зависит от значений f(x) при х^х0. Таким же образом определение lim f(x) х-+ а (4.15) требует лишь знания значений функции f(x), как говорят, только «вблизи точки х — а», т. е. в некотором шаре р (х, а) < г, х^= а. в. Вернемся к случаю, когда множество G, пересекаясь с каждым из множеств A g 5, не содержит целиком ни од- ного Как и выше, обозначим через /7дополнение к G до всего Е. Рассмотрим семейство HS множеств НА, где А пробегает S. Так как в рассматриваемом случае никакое НА не пусто, система HS также образует направление и мы можем говорить о существовании или несуществовании lim/(x). Если существует lim/(x)=p, то существуют HS s lim/(x) и lim/(x), также равные р. Однако пример, приве- os HS денный во второй части доказательства леммы а, показы- вает, что из существования lim f(x) и lim f(x) не следует GS HS существование lim/(x). s Теорема. Если существуют lim/(x) и lim/(x) и эти GS HS пределы совпадают, то существует и lim/(x). s Доказательство. Пусть p = lim/(x) = lim/(x). Для GS HS заданного е > 0 найдем А и В в 5 так, чтобы в точках множеств GA и НВ выполнялось неравенство Р(/(х),р)<£. (1)
128 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.17 Из двух множеств А, В одно вложено в другое, напри- мер, АсВ. Тогда неравенство (1) заведомо выполняется в точках множества GA и в точках множества НА, следова- тельно, и в точках множества А= GA-\- НА. Так как е>0 произвольно, то lim/(x)=p, что и утверждалось. 4.17. Взаимно однозначные отображения множества Е и соответствующие преобразо- вания пределов. а. Пусть множество Е отображено взаимно однозначно на множество F, так что каждому х£Е соответствует не- которое у = со (х) € F. Пусть на множестве Е задано на- правление 5 из множеств АсЕ. Пусть BcF есть образ множества А при отображении со. Совокупность Т всех мно- жеств В образует направление на F, поскольку из свойств взаимно однозначного отображения со следует, что множе- ства В, так же как и множества А, вложены друг в друга и пересечение их пусто. Пусть, далее, на множестве Е задана функция f(x) с значениями в метрическом простран- стве Определим на множестве F функцию g(y) формулой g(y)=g(®(x))=f(x). (1) Теорема. Функция g(y) имеет предел по направлению Т тогда и только тогда, когда функция /(х) имеет предел по направлению S, и при этом liin/(x) = S т Доказательство. Пусть существует =р. т Для заданного е > 0 найдется множество В £Т, для кото- рого р(^(у), р) < е при у£В. На соответствующем мно- жестве мы имеем Р p)=Q (*)), р) < е, так что jD = lim/(x). В силу симметрии построения верно s и обратное, что и завершает доказательство. б. Из соображений 4.16 б вытекает, что предыдущий результат сохраняется, если взаимно однозначное отобра- жение ю определено не на всем Е, а только на каком-либо подмножестве
4.18] §4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА 129 Рассмотрим два примера. в. Пусть Е есть полуось и _у =—х есть отображение полуоси Е на полуось F= < — а}. На Е выберем направление х —► оо. Соответствующее направление на F, очевидно, есть направление у —>—оо. В силу а пре- делы liraf(x) и Ига/(—у) существуют или не существуют X -> оо У-+— СО одновременно, и если они существуют, то равны: lira /(х)= lira /(—у). г. Пусть Е есть отрезок |х—х0]^1 с выброшенной точкой х0 и F есть множество 1. Формула _у =—5—- X Xq определяет взаимно однозначное отображение Е на F. На- правлению х —»х0 на отрезке Е отвечает направление |_у | —»- оо на множестве F. В силу а пределы lira f(y) и I у I -»“ ига/(----) существуют или не существуют одновременно х-+хл V* хо/ и, если существуют, равны: lira /(j) = lim /f-L-Y | у I -> OS X-+ x„ *0 / 4.18. Определение предела, данное в 4.12, зависит, есте- ственно, от метрики, заданной на пространстве М. Однако при замене метрики р (х, у) гомеоморфной метрикой г (х, у) (3.34 в) соотношение lim/(x)=p (1) s сохраняется для метрики г (х, у), если оно было выполнено для метрики р (х, у). Для доказательства мы используем критерий гомеоморфности, указанный в 3.34 г. Пусть соот- ношение (1) выполнено в метрике р и метрика г гомеоморфна метрике р. Пусть задано е > 0; мы должны найти такое во всех точках которого выполняется неравенство r(f(x), р) < е. (2) В силу критерия 3.34 г по заданному е>0 мы можем найти такое 6 > 0, что из р(р, у) < 6 следует г(р,у)< е. По найденному 6 возьмем А £ S так, чтобы при х £ А иметь Р (Дх), Р) < б-
130 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.19 Но тогда при х £ А выполняется и (2), что нам и нужно. Очевидно, что верно и обратное: если соотношение (2) выполнено в метрике г, а метрика р гомеоморфна метрике г, то соотношение (1) выполнено и в метрике р. 4.19. Критерий Коши. Критерий Коши существова- ния предела числовой последовательности, приведенный в 3.72 а, может быть перенесен на общий случай в пред- положении, что функция f(x) принимает свои значения в полном пространстве. Теорема. Функция f(x), определенная на множестве Е с выделенным направлением S, принимающая свои значения в полном метрическом пространстве Л1, имеет предел по направлению S тогда и только тогда, когда выполняется критерий Коши-, для любого е > 0 существует такое множе- ство В gS, что P[/U'). /(^")]<е (1) для всех х'£В, х"£В. Доказательство. Пусть выполнено условие крите- рия Коши. Рассмотрим в пространстве Л4 совокупность всех множеств /(Д), где Д^^. (Множество/(Д) есть множество всех значений функции f(x), принимаемых ею на множе- стве Д.) Так как’множества Д£б’ образуют вложенную систему, то и множества /(Д) образуют вложенную систему (на М). Как видно из неравенства (1), среди множеств /(Д) имеются множества как угодно малого диаметра. Поэтому, в силу полноты пространства М и леммы 3.74 а, в М имеется такая точка р, что в любом шаре V, (р) = {у £ М: р (у,р) < е} содержится целиком одно из множеств f(B), B£S, так что для всех х € В мы имеем Р (/(*), р)<е. Но это в означает, что функция /(х) имеет по направ- лению 5 предел, равный р. Обратное утверждение не требует предположения о пол- ноте пространства М. Пусть f(x) имеет по направлению 6’ предел, равный р. Найдем для заданного е > 0 множество В «S’, для всех точек которого выполнено неравенство р[а/(х)] c-J;
4.23] § 4.2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 131 тогда для любых х' и х" из В имеем Р [/(-*'), /(И] СР [Р, /(*')] + Р [₽,/(*")] Се, что нам и требуется. § 4.2. Общие теоремы о пределах Пусть Е— снова произвольное множество с выделенным в нем направлением 5, и пусть f(x) — функция, заданная на Е, со -значениями в метрическом пространстве М. 4.21. Если функция f(x) постоянна на Е, т. е. во всех точках множества Е принимает одно и то же значение р£М, то ее предел по направлению S существует и равен р. Очевидно, требуемое неравенство 4.12 (1) выполняется в данном случае при любом е > 0 на каждом A g S. 4.22. Функция f(x) может иметь по направлению S лишь единственный предел. Действительно, пусть р = lim/(x) ft М и q = gAl. s s Для заданного e > 0 найдем множество 4cS, во всех точ- ках которого выполняется неравенство Р (/(*), Р) С г, (1) и множество BczS, во всех точках которого выполняется неравенство P(/W, ?)С8. (2) Пусть, например, АсВ. Тогда во всех точках множества А выполняются оба неравенства (1)и(2). Пусть х£А — любая точка, тогда из (1) и (2) следует, что Р(Р, ?)^Р(/(-«),р) + р(/(х), ?)^2е. Поскольку е > 0 произвольно мало, мы имеем р (р, q) = О, т. е. p = q, что и утверждалось. 4.23. Функция f(x) называется асимптотически принад- лежащей множеству Gc М, если существует множество во всех точках которого f(x) принадлежит 6.
132 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ (4.31 Теорема. Если lim/(х)=р и множество GcM содер- s жит некоторый открытый шар с центром в точке р, то функ- ция f(x) асимптотически принадлежит G. Доказательство. Пусть G содержит шар V = — Р) < еЬ Найдем множество во всех точках которого выполняется неравенство р (/(х), р) < е. Это озна- чает, что во всех точках множества А выполнено и включе- ние f(x)^VcG, что и требуется. § 4.3. Пределы числовых функций 4.31. а. В §§ 4.3—4.6 мы будем строить теорию пре- делов для числовых функций, т. е. функций f(x), принима- ющих свои значения на числовой оси (расширенной или нет). Специфика таких функций определяется наличием на число- вой оси метрики, порядка и арифметических операций. Соб- ственно, мы знаем там даже две разные метрики: обычную метрику р (х, у) = |х—у |, действующую в области R конеч- ных чисел, и метрику г(х,у) (3.35 д), действующую в рас- ширенной области R. Но в области R эти метрики гомео- . морфны (3.35 д); отсюда следует (4.18), что существование или несуществование конечного предела p = lim/(x) s не зависит от того, какая из метрик, р или г, использована в определении этого предела. б. Пусть на множестве Е заданы две функции: /(х) и g(x) со значениями в R. Мы пишем f (x)^g(x), если для любого х0£Е выполняется неравенство/(х0) ^^(х0). Функ- ция /(х) называется ограниченной сверху на множестве Е, если существует такое конечное число С, что для всех х£Е выполняется неравенство /(х)^С. Функция /(х) называется ограниченной снизу на Е, если существует такое конечное число С, что для всех х С Е выполняется неравенство / (х) С. Функция /(х) называется ограниченной с обеих сторон (или ограниченной по модулю, или просто ограниченной), если су- ществует такое конечное число С, что для всех х g Е выпол- няется неравенство |/(х) | С. В каждой точке х0£Е, где обе функции /(х) и g(x) конечны, мы определяем сумму /(х)+^(х) как результат
4.34] § 4.3. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 133 сложения соответствующих значений f(x0) и g(x0). Анало- гично определяются вычитание, умножение и деление; по- следнее (для данной точки х0) возможно, лишь если знаме- натель в этой точке отличен от нуля. 4.32. В развитие определения 4.23 будем называть чис- ловую функцию /(х) (а) неотрицательной (положительной) по направлению S, (б) ограниченной (сверху, снизу) по направлению S, (в) бесконечно малой по направлению S, (г) положительной бесконечно большой по направлению S, (д) отрицательной бесконечно большой по направлению S, если, соответственно, (а) существует множество A g 5, на котором функция f(x) неотрицательна (положительна); (б) существует множество В £ 5, на котором функция f(x) ограничена (сверху, снизу); пишут /(х) = О(1); (в) lim/(x) = 0 (т. е. для любого е>0 существует мно- s жество B£S, на котором |/(х) | < е); пишут /(х) = о(1); (г) для любого C£R существует множество B£S, на котором" f(x) > С; в этом случае будем писать lim f(x) = оо; s (д) для любого С £R существует множество В£S, на котором f (х) < С; в этом случае будем писать lim f(x) = —оо. s 4.33. Соотношение lim/(x)=p равносильно соотношению s lim[/(x)—р] = 0. Это следует из определений предела и расстояния на чис- ловой оси R: р(а, Ь) = \а—&|. 4.34. а. Лемма. Пусть lim f(x)—p; для любого е>0 s существует такое A£S, во всех точках которого выполня- ются неравенства |/(х)—Р|< 8, если р конечно, /(х) > если р— -(-оо, /(х) <--------—, если р — — оо.
134 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.34 Утверждение леммы есть непосредственное следствие теоремй 4.33 с учетом рассматриваемой метрики (на R и на R). б. Пусть р у=0 и конечно; тогда можно найти такое в > О, что интервал (р—е, р~Ье) не содержит точки 0 и состоит тем самым из чисел того же знака, что и само р. Отсюда: Если функция f(x) имеет по направлению S предел р > О, то f(x) положительна по направлению 5; если f(x) имеет по направлению S предел < 0, то f (х) отрицательна по направлению S. Результат верен также для р — оо и р = —оо, что не- посредственно видно из а. в. Следующее предложение представляет собой своего рода обращение предложения б: Если f(x) неотрицательна по направлению S и имеет предел р, то р^О. Действительно, если бы было р < 0, то по свойству а существовало бы множество на котором f(x) < 0. С другой стороны, так как f(x) неотрицательна по направ- лению У, существует множество B£S, на котором f(x) 0. Поскольку АВ не пусто, получаем противоречие. г. Подчеркнем, что при заключении «от предела» (б) сохраняется знак > 0 (или < 0, но без равенства), а при заключении «к пределу» (в) сохраняется знак 0 (или 0, с равенством). Если известно только, что р 0, то о знаке функции /(х) на множествах нельзя делать никаких заключений, она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если известно, что /(х) >0 на некоторых А £ У, то предел р может быть положительным, а может быть и нулем. д. Будем говорить, что/(x)^Cg(x) (/(х) < g(x)) по на- правлению S, если разность £г(х)—f (х) неотрицательна (положительна) по направлению 5. е. Если f(x) и g(x) имеют по направлению S соответ- ственно пределы р и q и f(x)^.g(x) по направлению S, то p^q. (Следует из определения и из в.) ж. Если f(x) и g(x) имеют пределы р и q и р <q, то f(x)<g(x) по направлению S. (Следует из б.)
4.36] § 4.3. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 135 з. Если f (х) g(х) h (х) по направлению S и f(x) и h (х) имеют одинаковый предел р = lim f(x) — lim h (x), то g(x) s s также имеет предел no направлению S, равный p. Достаточно рассмотреть случай р — 0, заменив в против- ном случае /(х) и g(x) на /(х)—р и g(x)—p (4.33). Для заданного е > 0 найдем множество А £ 5, на котором /(х)1<е и |Л(х)|<е; очевидно, на множестве А также ^(х)|<е, что и требуется. 4.35. а. Если f(x) и g(x) ограничены по направлению S, то f (х) + g(x) и f(x)-g(x) также ограничены по направле- нию S. Действительно, пусть на множестве Л £5 выполняется неравенство |/(x)|<ZC1 и на множестве BgS выполняется неравенство |^(х)|<СС2. Если, например, Лез В, то для всех х£А выполняются неравенства |/(х) + 5'(х)|^С14-С2 и |/(x)g-(x)KC1Ca, что нам и требуется. б. Если f(x) и g(x)— бесконечно малые по направлению S, то f(x) + g(x)— также бесконечно малая по направлению S. Пусть для заданного е > 0 мы нашли множества Л £ S и B£S, на которых соответственно |/(х)|<-|-, |g-(x)| < < ! если, например, АсВ, то для всех х£Л |/(х) + ^(х)|<е, что и требуется. в. Если f(x) ограничена по направлению S, a g(x)— бесконечно малая по направлению S, то f(x)g(x) — беско- нечно малая по направлению S. Действительно, пусть на множестве Л^5 выполняется неравенство |/(х)|^С и для заданного е > 0 мы нашли множество В £ 5, на котором выполняется неравенство | g(x) | . На АВ выполняется неравенство |/(х)^(х) | е, что нам и требуется. 4.36. а. Если \imf(x)—p, Umg(x) — q, то функция S S f(x) ~[£(х) имеет на S предел, равный p-\-q.
136 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.37 Действительно, f(x) + g(x)—(p + q) = (f(x) — />) + +(^(х)—q), как сумма бесконечно малых, есть бесконечно малая (4.35 б). б. Если lmf(x)=p, \img(x) = q, то функция f(x)g(x) s s имеет на S предел, равный pq. Действительно, f(x)g(x) —pq=fg—fq+fq—pq~ —f(g—q)-\~q(f—P)’, каждое из слагаемых есть бесконечно малая по 4.35в. в. Если lim/(x)=p^0, то тг-с ограничена по направ- s I 'х> лению S. Действительно, найдем множество А £ S, на котором |/(х) (4.34 а); для мы имеем что и требуется. 1 г. Если lim/(x) — р^О, то -z-т—имеет предел по направ- s IW лению S, равный —. Действительно, ~—Р) есть бесконеч- но малая по в, 4.33 и 4.35 в. д. Если lim^(x) — q, Yimf(x)—p^0, то —~ имеет пре- s. s I \х) дел по направлению S, равный . Это следствие биг. 4.37. а- Если lim/(x) = 0, то limr-i—=оо, и обратно', s s I / WI если lim|g-(x)] = оо, то lim-i- =O. s s SW Заключение вытекает из равносильности неравенств 1/(х)|<еи ^>1. б. Если lim/(x) = oo, то lim [—/(х)]=—оо. Если S S lim/(x) = oo и lim^(x)=p >0, то \mf(x)g(x) = ca\ если s s s же lim g(х) — р < О, то lim/(х) g(х) = — оо. Это—непосред- s s ственные следствия определений 4.32 (г), (д).
4.38] § 4.3. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ 137 4.38. Определение. Пусть f(x) и g(x)—две функции на множестве Е с направлением S. Функция f(x) называется бесконечно малой по сравнению с g(x) (или, если g'(x) сама есть бесконечно малая, бесконечно малой высшего порядка по сравнению с g(x)), если lim^==0. s S(x) В этом случае пишут /(*) = о (g(x)). Функция f(x) называется бесконечно большой по сравнению с g(x) (или, если g(x) сама есть бесконечно большая, бес- конечно большой высшего порядка по сравнению с g(x)), если f(x) g(x) = оо. lim s Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными (по на- правлению 5), если s SH а. Из 4.37 а следует: если f(x)—бесконечно малая по сравнению с g(x), то g(x)— бесконечно большая по сравнению с f(x). б. Если f(x) и g(x) эквивалентны и существует предел s h (*) где h(x)—некоторая функция на Е, то существует и предел s М*) который также равен L. Действительно, f(x) = g(x) f (х)__, й(х) h(x)g(x) по 4.36 б. Таким образом, при вычислении предела отношений числитель {а также, конечно, и знаменатель) можно заменять эквивалентной функцией,
138 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ (4.39 4.39. Символ Е. а. Символ Е обозначает функцию, имеющую (по данному направлению) предел 1. (Более правильным было бы обозна- чение Е (х), но для сокращения аргумент к не пишут.) Функцию Е, в соответствии с 4.23, будем называть асимп- тотической единицей. Очевидно, произведение и частное двух асимптотических единиц есть снова асимптотическая единица. б. Лемма. Если lim«(x) = 0, то при любом натураль- s ном р (1 +«(х)И= 1 +рЕи (х). (1) Доказательство. По формуле Ньютона (1 + «(х))Р = 1 +ри (х) + «2 (х) + ... + up (х) = = 1 +ри(х) [1 +^и(х) + ... +-1 и?-1 (х)] = = 1 -\-ри(х)-Е, поскольку предел выражения в скобке равен 1 (4.36 а, б). в. Асимптотические единицы часто приносят пользу при вычислении пределов. Пусть, например, надо найти Iim (1+х)Р-(1+х+х2)? х-> 0 (1 +2хУ-(1-2х+х»Г (р, q, г, s — натуральные числа). По определению и лемме б мы имеем (1 4-хУ’= 1 -(-рхЕг; хх2= х х) = хЕ2; (1 + х + х2)? = (1 + xErf = 1 + qxE2E3 = 1 + qxEit (1 + 2x)r= 1 + 2xr£s, 2x—x3 = 2x ^1—у x2^ = 2xEe, (1 — 2x + x3)s = (l — 2xfe)s = 1 — 2xsEeE4 = 1 —2xsEe; (l + x)F-(l+x+x2)? _ (1+рх£г)-(1+9х£4) _ (1 +2x)r—(1— 2x4-x3)-' (1 +2xr£5)—(1—2xs£8) t pE-L—gEj p—q 2r£6 + 2s£8 2(r+s)’ и вычисление закончено. г. Предел рациональной функции R(x) при х —> + оо. Рассмотрим рациональную функцию п / а<>х,п+а1хгп-1 + ...+аг„ W Ьох" + М"-1+---+^ ао=АО, Ьо^О.
4-41) § 4.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ 139 При | х | —> оо мы имеем „ ут ( 1 । °1 1 , , Д/л 1 I “Г “Г • • Г т I vtnp п \ Др х a,Q х j аох Oq т—пр + b°X'‘E2 ~b° \ UQ л "о X, / Отсюда, в силу правил 4.36—4.37, если т^п, | 0 при т<.п, lim /? (х) = { Qo |xl -> а> | у- при т~п. При от > п функция R (х) имеет бесконечный предел того или иного знака, в зависимости от выбранного направления (х —+ + оо или —оо), от знака ~ и от четности или нечет- ко ности величины от—л. Мы предоставляем читателю разоб- раться в возникающих здесь возможностях. § 4.4. Предельные точки функции 4.41. Рассмотрим предельное поведение числовой функ- ции f (х) со значениями в расширенной области вещественных чисел R (§ 1.9). Для каждого множества положим az = inf {/(х):х£ Д}, bA = sup {f(x):x € А}-, в области R обе указанные величины существуют и аА ЬА. Так как всякие два множества А и В системы S вложены друг в друга, то и всякие два отрезка [ал, Л>л], [ов, ftB] вложены один в другой. Положим £ = 5ирал, 1]=1п!£л; (1) Ле5 Ле$ в силу обобщенного принципа Кантора (1.94) и [L т)]= П [«л. ^1- (2) лез Число S g R называется нижней предельной точкой (или ниж- ним пределом) функции f(x) по направлению S, число т] С /? называется верхней предельной точкой (или верхним пределом) функции f(x) по направлению S; это записывается так: g=lim/(x), T]=lim/(x).
140 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЙ ПРЕДЕЛОВ (4.42 4.42. Из равенства (2) (4.41) можно вывести следующий результат: при любом е > 0 существует такое множество A£S, что аА = inf {f(x):x £А} > В—е, fez = sup{/(x):xCX}<r] + e. (Если £ принадлежит/?—R, то полагаем £ — е = £; анало- гично т)-|-е = 'П, если rjg/?— /?.) 4.43. Как следствие получаем: если | — т], то функция f(x) имеет предел по направлению S, равный = т); если % и т] конечны и £ = T], то £ = 7] есть конечный предел функции f(x) по направлению S. 4.44. Обратно, если функция f(x) имеет предел по на- правлению S, равный р, то отрезок [£, ?)] = JJ [ал, при- AtS водится к единственной точке р, так что Е, = т]=р. 4.45. Для выяснения смысла введенных понятий дадим еще следующее определение (ср. определение 3.41): Число y£R называется предельной точкой функции f(x) по направлению S', если для любого е > 0 и для любого А £ S’ существует такая точка х £ А, что |/(х)—у|< е, если у конечно; f(x) > , если у = оо, f(x) < ——, если- у = — оо. Если функция f(x) имеет по управлению 5 предел р, то р есть предельная точка функции f(x) по направлению S’, однако обратное, вообще говоря, не имеет места. 4.46. Покажем, что для любой предельной точки y£R функции f(x) выполняются неравенства £ ^у ^т], где £ и определены в 4.41. Действительно, если у есть предельная точка функции f(x) по направлению S, то для любого А С S’ аА = inf {/(х):х G 4} sgTy < sup {f(x): x £ A} = bA и, следовательно, J€П [“л, = *1]-
4.51] § 4.5. ФУНКЦИИ, НЕУБЫВАЮЩИЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 141 С другой стороны, сами точки £ и т) всегда суть предель- ные точки функции f(x) по направлению S, так что опре- деление 4.41 согласуется с 4.45. Проверим это утверждение для точки g. Если | есть конечное число, то для заданного е>0 существует такое Ло£5, что — ад0 < у , и, следовательно, для каждого Дс:Л0 мы имеем откуда также — аА < —. Таккак аА = inf {/(х):х £ Л}, то существует точка х£А, для которой 0^/(х)— аА < ~ и, следовательно, |/(х)-£|<е. Для каждого ВоЛ0 также имеется такая точка х, которую можно взять из множества Ао. Таким образом, Е есть пре- дельная точка функции /(х) по направлению S. Доказатель- ство для случая, когда — /?, а также доказательство аналогичного утверждения для точки т] проводятся по той же схеме. 4.47. Следствие. Множество всех предельных точек функции fix) на расширенной прямой не пусто, и его точными [границами являются точки £ = lim/(x) и T] = lim/(x). — s 4.48. Если функция /(х) имеет предел по направлению S, равный р, то, как мы видели, | = т]=р; в этом и только в этом случае число р есть единственная предельная точка функции /(х) по направлению 5. § 4.5. Функции, неубывающие по направлению Числовая последовательность ylt у2, ..., у,„ ... назы- вается неубывающей, если ут ... • • • Сформулируем аналогичное определение для числовой функции у=/(х), заданной на произвольном множестве Е с выделенным направлением 5. 4.51. Определение. Числовая функция /(х) назы- вается неубывающей по направлению S, если для любых множеств А С 5, В £ S из того, что В Z)A, следует неравенство sup {f(x):x£B — A} ^inf {/(х):х £ Л}. (1)
142 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.52 4.52. Примеры. а. Если f={l, 2, ...}, то функция y=f(x) есть чис- ловая последовательность уг, _у2, ... Пусть, как обычно, направление 5 на Е задано множествами Л„ = {п, п-\-1, .. .}, л=1, 2, .. . Покажем, что в этом случае определение 4.51 совпадает с нашим исходным определением неубывающей последовательности. Пусть последовательность /„—неубывающая в смысле определения 4.51. Для множеств Ап = {п-ф 1, ...} и Вп — = {/z, zz-J- 1, ...} мы имеем Вп — /!„={«}, так что условие 4.51 (1) влечет /„<inf {fp-.P > п} </„+1. Обратно, из выполнения неравенств/х^/2^ ^/„^- • • следует для любого А = {/,„ fn+l, . ..}££ и АсВ = = К, Л+1, - что sup{/(x):xGB — А} = = sup{/ft, ...,/, ,_х} =/„_!</„ = inf {/(х):х£ А}, так что последовательность /(х)— неубывающая в смысле опреде- ления 4.51. б. Если E = R* есть вещественная полуось а^.х с на- правлением S, определенным подмножествами Ar= {х £R„:х~^ то функция /(х) является неубывающей при х—>оо тогда и только тогда, когда из а ^.у < z следует f(y) Действительно, пусть функция /(х) является неубываю- щей в смысле определения 4.51. Тогда для множеств Ау и Az, Ayzz>Az, т. е. при у < z, мы имеем /(j)<sup {/(x):j<x <4<inf {/(х):х> 2} </(£)• Обратно, если для любых у < z из R% мы имеем f(y) то функция/(х) — неубывающая в смысле определения 4.51, так как если х' £ А—Az (т. е. j^x' <z) и х" £AZ (т. е. х"^г), то /(x')<f/(x") и по 1.626 sup {/ (х'): х' £ {Ау — 4г)} < inf {/ (х"): х" б Az}. 4.53. Теорема. Если функция f (х) не убывает и огра- ничена сверху по направлению S, то она обладает пределом по направлению S:lim/(x) = sup {/(х):х б А\, где XgS— s любое множество, на котором /(х) ограничена сверху.
4.54] § 4.5. ФУНКЦИИ, НЕУБЫВАЮЩИЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 143 Доказательство. Пусть fix) ограничена сверху на множестве Д£5. Положим р = sup {fix)'.x£A}. Для задан- ного е > 0 найдем точку х0 £ А, для которой Р — £<f(x0)^p. Так как пересечение всех множеств системы 5 пусто, то существует множество В £ $, не содержащее точки ха. Оче- видно, из двух возможных включений А^В, В^>А в данном случае реализуется первое, А^В. Так как fix) не убывает по направлению S, то inf {/(х):х£В}> sup {f(x):x^A — B}^f(x0) >р — е. С другой стороны, из BczA следует sup {f (х): х £ В} sup {f (х): х £ Д} =р (см. 1.62 а). Таким образом, всюду на В p — e.<f(x)^p, что и завершает доказательство. Для неубывающей функции fix), имеющей предел р по направлению S, используется запись fix)/ р или просто f(x)Sp. s 4.54. Числовая функция fix) называется невоэрастающей по направлению S, если для любых множеств А £ 5, B£S из того, что B:dA, следует неравенство inf {f(x):x£B—Д} sup {f(x):x € А}. Для невозрастающих функций справедлива теорема, анало- гичная 4.53'. Теорема. Если функция fix) не возрастает и ограни- чена снизу по направлению S, то она обладает пределом, по направлению S: р = lim fix) = inf {f(x):x £ A}, s где A£S — любое множество, на котором функция fix) ограничена снизу. Эта теорема немедленно получается из теоремы 4.53, если заметить, что в условиях нашей теоремы функция —fix) не убывает и ограничена сверху на направлении $ и что если p = inf {/(х):х£ Д}, то по 1.61 sup {— fix): х б Д} = — р.
144 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.55 Для невозрастающей функции f(x), имеющей предел р, используется запись f(x)\p или просто f(x)\p. s 4.55. Теорема. Если функция f(x) на направлении S не убывает и не ограничена сверху, то lim f(x) — оо s (см. 4.32 (г)). Действительно, пусть задано число С; так как функция f(x) по направлению S не ограничена сверху, то в любом множестве В£ S найдется точка х0 £ В, в которой f (х) > С. Фиксируя В, найдем на направлении <9 множество А с: В, не' содержащее точки х0. По условию C^sup {f(x):x£B—{/(х):х£/1}; следовательно, во всех точках множества А выполняется неравенство и наша теорема доказана. 4.56. Аналогичный факт имеет место для функции f(x), невозрастающей по направлению «S’: Теорема. Если числовая функция f(x) на направле- нии S не возрастает и не ограничена снизу, то lira f(x) = — со. s Доказательство сводится к применению 4.55 к функции -/(*)• § 4.6. Основные теоремы о числовых последовательностях 4.61. Мы применим здесь общую теорию §§ 4.3—4.5 к случаю числовых последовательностей. Определение пре- дела числовой последовательности мы дали еще в 3.32 (а). Напомним его здесь. Числовая последовательность {y,J = — {ji> • , Уп< •} (Уп 6 R) называется сходящейся к числу р /?, если для каждого е > 0 существует такое натураль- ное N, что при всех n~^N выполняется неравенство |Р—К1<е-
4.63] § 4.6. ТЕОРЕМЫ О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 145 Число р в этом случае называется пределом последова- тельности уп, что записывается в форме Р = Если числа уп рассматривать как точки расширенного пространства R, то определение конечного предела остается таким же, но становятся возможными и бесконечные пре- делы. Последовательность уп, ..., сходящаяся в пространстве R к +оо, является в пространстве R рас- ходящейся; в отличие от других расходящихся последова- тельностей мы будем такую последовательность называть расходящейся к 4-°°- Аналогично определяется последова- тельность, расходящаяся к —оо. 4.62. Критерий Коши 4.19 для числовых последо- вательностей совпадает с приведенным в 3.72: Последовательность чисел хх, .. ., хп, .. . имеет (конечный) предел тогда и только тогда, когда для любого е > О суще- ствует такое число N, что при всех mZ^N, n^N \xm~xn\<E. 4.63. а. В соответствии с определением 4.32 (б) после- довательность хъ ..., хп, ... называется ограниченной сверху при п—>оо (снизу, просто ограниченной), если суще- ствуют число С и такое число N, что для всех n^N вы- полняется неравенство хп-^С(хп~^С, |х„|^С). Впрочем, условию не удовлетворяет только конечное число натуральных чисел от 1 до N; поскольку множество чисел хь . .., Хдг ограничено, в условии ограниченности последо- вательности величину N можно не упоминать; можно опу- скать также слова «при п—>-оо». б. Далее, в соответствии с определениями 4.51 и 4.54 последовательность хъ х2, ... называется неубывающей (невозрастающей) при п—>-оо, если существует такое N, что при выполняется неравенство х„+1^х„ (х„+1^х„). в. В силу теоремы 4.53 всякая ограниченная сверху и неубывающая последовательность хг, х2, ... имеет при п—->-оо предел. Аналогично (4.54) имеет предел последова- тельность Хр х2, ..., ограниченная снизу и невозрастающая.
146 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.63 Если же неубывающая (невозрастающая) последова- тельность не является ограниченной сверху (снизу), то она стремится к оо (—оо) (4.55, 4.56). г. Пример. Рассмотрим последовательность чисел «.-(1+4)" (”=1.2....); покажем, что эта последовательность имеет при п —* оо конечный предел. Действительно, по формуле бинома Ньютона «.-(l+D’-l + l+s-^TT^+ff-" Г -+ = =i+i+4('-4)+i(i-4)(i-4)+- • 'с возрастанием п в этой сумме увеличиваются й число сла- гаемых, и каждое слагаемое, так что числа ип возрастают. k Далее, заменяя 1—— на 1, получаем ип< 1 + 1+й' + ^+-- •+i< 1 —!_ II 1 2п+1 <1+1+- + -+.. .+- = 1+-^<1+2=3, т так что последовательность ип ограничена сверху. Приме- няя в, убеждаемся в существовании предела последователь- ности и„. Этот предел обозначают буквой е: е = lim Из сказанного ясно, что 2<е<(3. Более точное вычис- ление показывает, что е = 2,71828... Можно доказать, что число е иррационально (см. задачу 14 к гл. 8), и даже что оно трансцендентно (теорема Эрмита *)). *) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциаль- ного и интегрального исчисления, т. 2, п. 319, стр. 146, Гостехиз- дат, 1966.
4.65] § 4.6. ТЕОРЕМЫ О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 147 4.64. Приведем еще определения и факты, относящиеся к предельным точкам числовых последовательностей. В соот- ветствии с определением 4.45 точка называется пре- дельной точкой последовательности хп, если для любого е>0 и любого N найдется номер n~^N такой, что | хп—11 < е, если g конечно, х„>1/е, если £ = оо, хп < — 1/е, если | = —оо. Для каждого п положим = х„+1, . ..}ея, Z>„ = sup{x„, х„+1, Согласно 4.41 отрезки [п„, />„] расширенной числовой оси образуют вложенную последовательность с пересечением т)], где | = sup ап, T] = inf Ьп. Все предельные точки по- следовательности хп содержатся в отрезке [|, т)], причем сами точки | и т] всегда являются предельными и назы- ваются нижним и верхним пределом последовательности; это обозначают так: | = lim хп, т) = lim хп. Если В = Л> последовательность хп имеет предел Если |=т] и конечно, то последовательность хп имеет ко- нечный предел £ = т]. Обратно, если последовательность хп имеет предел р, то £ = q = р и последовательность хп имеет число р своей единственной предельной точкой. 4.65. Предел последовательности и предел функции. Если функция f{t), определенная при имеет при t —> оо предел, скажем lim/(/)=/?, то последо- со вательность чисел К=/(«) (П — целые, большие Zo) имеет тот же предел р {4.16 а). Обратное заключение о существовании предела функции f(x), определенной при х^ х0, при наличии предела после- довательности f{n) уже несправедливо. Так, функция
148 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ (4.66 — (дробная часть х, 1.71) не имеет предела при X —*оо, хотя /(л) = (л) = 0 имеет пределом 0. 4.66. Однако имеет место следующая теорема. Теорема. Функция f(x), определенная при х^х0, имеет предел при х —* оо тогда и только тогда, когда каж- дая последовательность f(xn) (где хп~^х0—любая после- довательность, расходящаяся к оо) имеет предел. Доказательство. 1) Если f(x) имеет при х —>• оо предел р, то этот же предел р имеет и любая последова- тельность f(xn), гдех„—>-оо. Это снова вытекает из 4.16 а. 2) Если f(x) не имеет предела при х—>-оо, то не вы- полняется критерий Коши 4.19. Поэтому при некотором h > 0 для любого п можно найти такие точки х'п > п, х'п > п, что !/«)-/«) \>h. Рассмотрим последовательность Хг, Х2, • • •> Хп, Хп, • (1) Очевидно, она стремится к оо, и последовательность соответствующих значений функции f(x) f(x'i), f(x'i), f(x’J, /«), . не имеет предела, так как (1) показывает, что для этой последовательности не выполняется критерий Коши. Изложенные факты не исключают, однако, того что в спе- циальных случаях, используя дополнительные свойства функ- ции f(x), можно делать выводы о существовании ее предела при х—>оо на основании существования lim/(л). СО § 4.7. Пределы векторных функций 4.71. Рассмотрим здесь функции f(x) со значениями в л-мерном пространстве Rn (2.61). Поскольку л-мерное пространство является метрическим, определение предела по направлению 5 применимо, и для такого предела спра- ведливы свойства, указанные в § 4'.2. Но и некоторые свойства пределов для функций с числовыми значениями,
4-73} § 4.7. пределы Векторных функций 149 перечисленные в §§ 4.3—4.5, сохраняются для функций со значениями в Rn, именно те, которые связаны со свойствами линейных операций и не связаны с использованием порядка. Перечислим их вкратце. 4.72. Для функций со значениями в л-мерном простран- стве Rn определены следующие операции: а. Сложение: если функции f(x) и g{x) принимают свои значения в пространстве Rn, то их сумма, т. е. функ- ция, равная при каждом хп£Е сумме /(хо) + ^(хо)? также есть функция со значениями в Rn. б. Умножение на вещественную функцию: если функция f(x) принимает значения в пространстве Rn, а функция <х(х) имеет вещественные значения, то их про- изведение, т. е. функция, равная при каждом хп£Е произ- ведению а(х0)/(х0), также есть функция со значениями в пространстве /?„. в. Для случая п — 2, когда векторные функции /(х), g(x) можно истолковать как комплекснозначные, по прави- лам действий с комплексными числами определены произ- ведение /(х) • g(x) частное fW g(x) (последнее — при и Е(х)^О). 4.73. а. Соотношение lim/ (х) =р g Rn равносильно соот- s ношению lim[/(x)—р] = 0 и соотношению lim|/(x)—р| = 0. s s б. Функция /(х) со значениями в Rn называется огра- ниченной по направлению S, если существует конечное число с и множество во всех точках которого вы- полняется неравенство |/(х)|^с. Если f(x) и g(x) ограничены по направлению S, то функция f(x)-\-g{x) также ограничена по направлению S. в. Если limf(x)=p£Rn, lim g (х) = q С Rn, то функция s s f(x)-\-g(x) имеет по направлению S предел, равный p-\-q'. Ит [/ (х) + g (х)] = lim f (x) + lim g (x).
150 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.74 г. Если lim/(x) —р £ Rn, lim а (х) = I £ R, то функция s s a(x)-f(x) имеет по направлению S предел, равный 1р: lima(x)/(x) = lima(x)-lim f(x). s s s д. Для случая л = 2, когда векторные функции f(x), g(x) можно истолковать как комплекснозначные, так что имеет смысл операция умножения, имеем: если lim f (х) =р £ С, s limg(x)=v€C, то Vmf(x)-g(x)=pq и lim^--=2- (послед- S 5 S 6W <7 нее при 95^0). е. Пример. Определим в плоскости С комплексных чисел z=x-\-iy направление z —>оо как совокупность всех множеств Аг вида 4={д€С-.|г|>г}. Очевидно, свойства направления (4.11) здесь выполнены, и мы можем для функций f(z), определенных при | г | г0, говорить о существовании или несуществовании предела lim/(z). В частности, для функции f(z)~ — , определенной г-> со 2 при д=/=0, мы имеем lim — - О, г-», 2 поскольку при любом е > 0 на множестве A1/E = ^zeC:\z] >у| мы имеем |/(z) | = Д- < е. Далее, для любого многочлена от I2 1 1 переменного —, т. е. многочлена вида а0+^+---+^ с комплексными коэффициентами а0, а1г . . ., ап, в силу в и д 4.74. Функцию f(x) со значениями в n-мерном простран- стве Rn можно записать в форме /(х) = (Л(х), ...,/„(X)),
ЗАДАЧИ 151 где fk(x)— координаты вектора f(x), представляющие собой числовые функции. При этом имеет место неравенство (3.14 (9)) ______________ max |Д (х) —fk (у) /2 V/(х) — fjСУ)]2< 6=1, ...» п j = l п < 2 1Л(*)-Ж (1) /=1 Отсюда мы делаем следующий важный вывод: Теорема. Функция f(x)£Rn тогда и только тогда имеет предел по направлению S, когда каждая из числовых функций (х), ..., fn (х) имеет предел по направлению S. 4.75. Сформулируем для пространства Rn критерий Коши (4.19), справедливый в силу полноты Rn (3.72 в). Теорема (критерий Коши в Rn). Функция f(x) со значениями в Rn имеет предел по направлению S тогда и только тогда, когда для любого г > 0 существует такое множество A £ S, что для любых двух точек х и у из А \f(x)-f(y)\^e. (1) ЗАДАЧИ 1. Доказать, что если сходится последовательность xn£R, то сходится и последовательность | хп |. Верно ли обратное? 2. Для любых двух вещественных последовательностей ап и Ьп lim ап + lim bn < lim (ап + Ьп) lim ап+lira bn, lim ап + lim br Ss lim (ап + bn) lim ап + lim bn. 3. Если последовательность ап сходится, то и любая ее переста- новка ап,, апз, ..., аПк, ... сходится к тому же пределу. Следует ли сходимость последовательности из сходимости некоторой ее пере- становки? 4. Если последовательность ап сходится, то для любой последо- вательности Ьп имеем fim (ап+b„) = lim ап + lim b„. 5. Если для некоторой последовательности ап и любой последо- вательности Ьп lim (ап+bn) — lim ап + lim b„, то последовательность ап сходится.
152 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 6. Пустьx1==a,x2 = b,x3=-^-(a^b), .... х„=-^(х„_1+хп_2), ... Найти limx„. 7. Пусть а > 0, х0 > 0 и («-0- ’ 2- •••)• хп / Доказать, что lim хп = У а. 8. (Арифметико-геометрическое среднее Гаусса). Пусть а > О, b >0; положим хг=а, У1—Ь, ..., х„+1=Ух^, Уп+1 —...; доказать, что числа хп и уп имеют общий предел. 9. Если max {plt .... pm\ = pY (pi >0, рт> 0), то и lim У ^pnk=P1. k=i 10. Прямая y=kx-]-b называется асимптотой кривой y=f(x) при х —* + со, если lim ff (х)—(kx-|- /?)]=0. Х->+«0 Доказать, что кривая y=f(x) в том и только в том случае обла- дает при х—>- + оо. асимптотой, если одновременно существуют пре- делы lim lim Г/(х)—х lim + со L v->+co х J 11. Пусть f (х)—функция, определенная на метрическом простран- стве М, со значениями в метрическом пространстве Р. Будем говорить, что точка р£Р есть «усиленный» предел функции f (х) при х-+а£М, если для любого е > 0 найдется такое б > 0, что для всех х£М таких, что р(х, а) < б (не исключая и точки х=а), выпол- няется неравенство р (f (х), р) < е. «Усиленный» предел не входит прямо в схему 4.12 предела по направлению. Показать, что точка pgP тогда и только тогда является «усиленным» пределом функции f (X) при х а, когда р есть предел функции f (х) по направлению х-»-а и при этом f (a)=p. 12. Пусть у(х)—функция, определенная на множестве X с выде- ленным в нем направлением S = {Aa}, со значениями в метрическом пространстве У; пусть г (у)—функция, определенная на Y, со значе- ниями в метрическом пространстве Z. Сложная функция г (х) = г [у (х)] определена на множестве X и принимает свои значения в простран- стве Z. Пусть существуют пределы р=1йпр(х)£У, q — lim z(i/)^Z. 5
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 153 Справедливо ли утверждение, что существует lim г (х)? Если он s существует, совпадает ли с qt 13. В условиях задачи 12 доказать следующие предложения: а) Если существует множество A£S, на котором р(х) не при- нимает значения р, то г(х) имеет предел, равный р. б) Если существует множество A£S, на котором р(х) тождест- венно равна р, то г(х) имеет предел г (р). в) Если на каждом множестве A£S функция р(х) принимает и значение р, и значения, отличные от р, то функция г(х) имеет предел тогда и только тогда, когда д = г(р) (т. е. q есть «усиленный» предел функции г (р) при р —> р), и в этом случае lira z (х) = q. S Историческая справка Первое корректное определение предела числовой функции было дано Коши в 1821 г. в его «Курсе алгебраического анализа». Коши установил основные теоремы о существовании разного рода пределов, в частности пределов монотонных функций и последовательностей. Он же ввел понятия верхнего и нижнего пределов. Более общие понятия предела были предложены Шатуновским (1923), Муром и Сми- том (1923). Сходимость «по направлению» есть частный случай схо- димости «по фильтру» А. Картаиа (1937). См. Н. Бурбакй, Общая топология, Физматгйз, 1958.
ГЛАВА 5 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Моей главной целью было согласовать строгость, которую я вменял себе в обязанность в изложения моего курса анализа, с простотой, вытекающей из непосред- ственного рассмотрения бесконечно малых количеств. О. Коши (1823) §5.1 . Непрерывные функции на метрическом пространстве 5.11. Пусть задана функция f(x) на метрическом про- странстве М со значениями в метрическом пространстве Р. Пусть а^М—фиксированная не изолированная точка (4.15 а). Рассмотрим направление ха (4.15 а), образованное ша- рами Ur(a)= {х:р(х, а)^.г} с выброшенной точкой а. а. Определение. Функция f(x) называется непре- рывной при х = а (а точка а при этом называется точкой непрерывности функции f(x)), если lim f(x)=f(a). х->а Иначе говоря, функция f(x) непрерывна при х — а, если для любого е > 0 существует такое б > 0, что из р (х, а) < б следует P(f(x), f(a)) < 8. (1) Для числовой функции f(x) неравенство (1), естественно, записывается в виде |/(X)— /(«)| < 8. б. Из 4.66 следует второе определение непрерывности: функция f(x) непрерывна при х=а, если для любой после- довательности хп -»- а (в М) непременно f(xn) —*f(a) (в Р). в. Каждая изолированная точка а£М, по определению, считается точкой непрерывности функции f(x).
5.13] § 5.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 155 г. Определение. Точка х0, не являющаяся точкой непрерывности функции f(x), называется ее точкой разрыва. д. Определение. Функция, непрерывная в каждой точке пространства Л1, называется непрерывной на М. е. Определение непрерывности функции /(х) в точке а зависит, естественно, от метрики, заданной на пространст- вах М и Р. Но гак как это определение может быть сфор- мулировано в терминах сходящихся последовательностей (б), то свойство функции быть непрерывной в точке а, а также и на всем множестве М, не нарушается при замене мет- рики в пространствах М и Р на гомеоморфные (3.34). 5.12. а. Очевидным примером непрерывной функции с об- ластью определения М и областью значений Р является постоянная: f(x) = у0, где у0 — фиксированная точка пространства Р (4.21). б. В качестве второго примера рассмотрим расстояние р (х, а) от фиксированной точки а. Это есть некоторая числовая функция в метрическом пространстве М. Ее непре- рывность в каждой точке х = х0 пространства М следует из 3.32 б. 5.13. Дальнейшие предложения, относящиеся к случаю числовых функций, дают возможность строить широкие классы непрерывных функций. а. Если числовые функции f(x) и g(x) непрерывны при х = х0, то h (х) =/(х)+£(х) также непрерывна при х = х0. Это—следствие из 4.36 а. б. Если f(x) и g(x) непрерывны при х — х0, то р(х) = =/(х)-^(х) также непрерывна при х = х0. Это—следствие из 4.36 б. в. Если f(x) и g(x) непрерывны при х = х0 и g(xo)#=O, . . f (х) то q (х) = также непрерывна при х — х0. Это — следствие из 4.36 д. г. Числовая функция у = х, определенная на числовой оси R, очевидно, непрерывна на R. Из предложений а, б к в следует, что любой многочлен а0 + агх апхп не- прерывен на R всюду и что любая рациональная функция
156 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.14 , . ao+aix+...+°т№ г> т г (х) = , ,-------т- непрерывна на R всюду, кроме тх точек, где ее знаменатель обращается в 0. д. Числовая функция у — (k-я координата вектора х — (^, ..., £„)), очевидно, есть непрерывная функция в л-мерном пространстве /?„. Из предложений а — в следует, что любой многочлен от координат вектора х непрерывен всюду на Rn и любая рациональная функция от координат вектора х непрерывна, на Rn всюду, кроме точек, где ее знаменатель обращается в 0. 5.14. Пусть /(х) —непрерывная функция, определенная на метрическом пространстве М, со значениями в метриче- ском пространстве Р. Пусть, далее, G с. Р — некоторое мно- жество и Н= {х ?Af:/(x) С G}. а. Если G открыто, то и Н открыто. Действительно, пусть х0^Н, f(x0)£G и V= = {у€Р:р(у, f (Хо)) < е} есть шаР с центром в точке/(х0), лежащий в области G. Пусть найдено 6 > 0 так, что из р(х, х0) < 6 следует р(/(х), /(х0)) < е. Тогда шар U= = {х:р(х, х0) < 6} лежит в Н. б. Если G замкнуто, то и Н замкнуто. Действительно, дополнением в М множества {х:/(х)£С} является множество {х:/(х)^Р—G}, которое в данном случае открыто в силу а. в. Следствие. Если f(x) — числовая непрерывная функция, то при любом вещественном c£R множества {x£M-.f(x)<c}, {xg2W:/(x) > с} открыты, а множества {х:/(х)С4> {х:/(х)>с}, {х:/(х) = с} замкнуты. г. Если /j(x), ..., fm(x) — непрерывные числовые функ- ции, то при любых вещественных аг, ..., ап, Ьг, ..., bm
5.15] § 5.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 157 {из R) множество {x:a1<f1(x)<b1, ..., am<fm{x) <bm} (1) открыто, а множество {x’.a1^f1{x)^b1, ..., (2) замкнуто. Это получается из в на основании теоремы о пересече- нии открытых {3.22) и замкнутых {3.54) множеств. д. В силу предложения г многие фигуры элементарной геометрии, описываемые системами неравенств (1) или (2), оказываются соответственно открытыми или замкнутыми. Так, в л-мерном пространстве множество вида {х:а1<х1<Ь1, ..., а„<х„<У открыто, а множество вида {х-.а^х^Ьь ..., ап^хп^Ьп} замкнуто; первое называется, открытым брусом, а второе — замкнутым брусом. На плоскости х1г х2 /и-угольник, описываемый m нера- венствами вида ajX^-YbjX^ <С с}- {j=~ \, .. ., m), есть откры- тое множество — открытый /и-угольник; если же в этих неравенствах заменить знаки < на знаки , то получится замкнутый m-угольник. Аналогично в л-мерном пространстве выделяются открытые и замкнутые многогранники с по- мощью неравенств, связывающих линейные функции от координат. Те из перечисленных фигур, которые замкнуты и при Этом ограничены, являются компактами в силу 3.96 д. 5.15. Непрерывность сложной функции а. Пусть М, N, Р—метрические пространства с рас- стояниями p^, рр. Пусть y=f{x)—функция с областью определения Al и с областью значений/V, а г = ф(у)—функ- ция с областью определения N и с областью значений Р. Сложная функция z — <р [/(*)] == h (х) определена в М и принимает свои значения в Р. Теорема. Если y=f{x) непрерывна при х = х0, а z~-<p{y) непрерывна при у=уй—/{х$), то функция z — h{x) непрерывна при x — xQ.
158 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.16 Доказательство. Пусть задано е > 0. Из условия lim ф(у) = ф(_Уо) найдем число т>0 так, чтобы из рЛ,(у, у0) < т вытекало рр (ф (у), ф (у0)) < е. Далее, из усло- вия lim f(x)=f(x0) по имеющемуся т найдем такое 6 > О, чтобы из рЛ1(х, х0) < б следовало рЛ,(у, Уо) = Pyv(/(*)> /(х0)) < т- Тогда прирЛ1(х, х0) <бмы имеемpP(h(x), h(x0))= = рр(ф(/(х)), ф(/(х0))) = рр(ф(у), ф(у0))<е, что и тре- буется. б. Если f(x)—непрерывная функция, определенная на метрическом пространстве М, со значениями в метрическом пространстве N и b£N—фиксированная точка, то числовая функция Л(х) = р(/(лг), Ь), есть непрерывная функция от х£М. Это — следствие из а и 5.12 б. В частности, если на метрическом пространстве М не- прерывна числовая функция f(x) (со значениями в R), то непрерывна и функция |/(х) | = р(f(x), 0). 5.16. Непрерывные функции на компакте. На метрическом компакте М (3.91 а) непрерывные функции обладают некоторыми специальными свойствами, которые мы рассмотрим здесь и в 5.17. а. Теорема. Множество всех значений непрерывной функции f(x), определенной на компакте М, само компактно. Доказательство. Пусть f(xk), ..., /(х„), ...— произвольная последовательность значений непрерывной функции f(x), определенной на компакте М. Выберем из последовательности точек хк, ..., хп, .. . сходящуюся последовательность xnk(k=\, 2, ...); пусть, например, хПк —> а. Так как функция f(x) непрерывна при х=а, то f(Xnk) —*/(«). Таким образом, из последовательности f(xn) выделена сходящаяся подпоследовательность, что и нужно. б. Следствие (теорема В е й е р ш т р а с с а). Не- прерывная числовая функция (со значениями в R), опреде- ленная на компакте М, ограничена и достигает на М своих точных границ, т. е. если cc=inf/(x), P = sup/(x), то существуют такие точки q £ М, р£М, что a = f(q), $—f(p).
5.17] §5.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 159 Доказательство немедленно получается из а и свойств компактного множества на числовой оси (3.96 е). в. Пусть в условиях б компакт М есть отрезок а х b числовой оси, и пусть f(a)=f(b). Тогда можно утверждать, что хотя бы одна из точек р, q, удовлетворяющая усло- виям теоремы Вейерштрасса, имеется в интервале (а, Ь). Действительно, если функция f(x) постоянна и равна f(a), то в качестве точки q—p можно взять любую точку интер- вала (а, Ь). Пусть f(x) непостоянна и, например, среди ее значений имеются ббльшие, чем f(a). Тогда 0= =sup/(x) >/(а). По теореме Вейерштрасса существует точка рё[а> #], в которой /(р)=0. Но /(а) =/(£)< 0, поэтому р£(а, Ь), что и требуется. Если f(x) принимает значения меньшие, чем f(a), то аналогичное рассуждение проводится для точки q, где достигается inf/(x). 5.17. Равномерная непрерывность. а. Определение. Функция у = /(х), определенная на метрическом пространстве 7И, со значениями в метрическом пространстве Р, называется равномерно непрерывной на М, если для любого е > О существует такое 6 > 0, что из р]*!, х2) < б следует р [/(*!), /(х2)]<в, каковы бы ни были точки хъ и х2 из /И. Очевидно, что всякая равномерно непрерывная функция является непрерывной в каждой точке пространства М. Однако в общем случае из непрерывности функции f(x) на пространстве /И не вытекает ее равномерная непрерыв- ность. Например, функция у= х2 непрерывна на полуоси 0^х<оо (5.13 г), но не равномерно непрерывна на ней, поскольку — *2 = (*i — *2) (*i + -Ч) и из условия |хх— х2|<б заведомо не следует, что | х[— х|| ограничено какой-либо постоянной, б. Для случая, когда М есть метрический компакт, спра- ведлива следующая теорема. Теорема (Гейне). Непрерывная функция y=f(x), определенная на метрическом компакте К, со значениями в метрическом пространстве Р равномерно непрерывна на К.
160 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ (5.17 Доказательство. Допустим, что функция f(x) не является равномерно непрерывной на К. Тогда для некото- рого е > 0 и любого 6 > 0 существует пара точек х', х" в К, для которой р(х', х") < 6, но р(/(х'), /(х"))^е. Придадим числу б последовательно значения 6=1, -i-, ..., — , ... Для каждого &==—• найдем соответству- ющую пару точек х„ и х"п так, что р(х„, x'„)<6 = -i-, но p[/U«)> /Un)] >8. (1) Поскольку К—компакт, из последовательности х’п можно извлечь сходящуюся подпоследовательность хП1, х„2, ... .... х'„к, х0 € /С Так как p(x'„fc, х„к) < -Ь, то nk Р *о)*СР (хпк, хПк)+р(х"м Хо) * 0> так что также и х^, х^, ..., х"Пк ... Xq. в точке х = х0 функция у = /(х) определена и непрерывна; для имеющегося е найдем 60 > 0 так, чтобы Р [/U)> /Uo)] < у при р(х, х0) < б0. Так как хПк —> х0, хПк —>• х0, то послед- нему неравенству удовлетворяют все точки хП([, хПк, начи- ная с некоторого номера. Поэтому для этих точек Р [/U«J. f Uo)] < у > Р [UnJ, f Uo)] < у и, следовательно, р[/ийк), /U„k)] <8, что противоречит (1). Теорема доказана. в. Колебание функции. Пусть снова /(х) есть функция, определенная на метрическом пространстве М, со значениями в метрическом пространстве Р. Образуем число- вую функцию 0/(6)= sup p(/Ui), /U2))- Р Ut. xj < б Ее аргументом является положительное число 6. Если функция f (х) равномерно непрерывна на М, то со/(6) ко- нечна для всех достаточно малых б и, согласно определе-
5.18J § 5.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 161 нию равномерной непрерывности, lim ю.(б) = 0. (2) 6->0 В частности, если Месть компакт, этот факт всегда имеет место в силу теоремы Гейне. Обратно, если toy (б) конечна при достаточно малых б > 0 и выполняется равенство (2), то функция f(x) равно- мерно непрерывна на пространстве М. Функция со»(б) называется колебанием функции f(x) на пространстве М. г. Для числовых функций f(x) (т. е. принимающих зна- чения на числовой оси Рг с обычным определением расстоя- ния р(/, ^) = |/—^|) функция (Оу(б) обладает следующими свойствами: 1) <o/+g (6X^(6) +(0^(6); 2) (ол/ (б) = Л(0у (б) (Л > О—постоянная); 3) (б) < sup |/(х) | - (о* (б) ©у (б) sup k(x) |. Выполнение первых двух свойств следует непосредст- венно из определения. Для доказательства третьего свойства нужно воспользоваться неравенством |/(-Ч) £(*1)g(xz) | = = |Л*1И(*1)~/(*iH(X2) +/(*1) g(Xz) -f(x2) g(Xz) | < < 1/(^1) I k(*i)—g(xz) I + |/(X1) -f(xz) 11 g(xz) I < C sup 1/ (X) I I g (Xj)—g (x2) I +|/ (xj -f (x2) I • sup j g (x) |. 5.18. Непрерывные функции двух перемен- ных. В анализе часто приходится иметь дело с непрерыв- ными функциями от двух (и более) переменных. Пусть Afj и УЙ2—метрические пространства с метриками рх и р2. Функцию /(хп х2), аргументы которой суть точки х1£М1, х2 €Af2, а значения—точки метрического пространства Р, называют непрерывной по совокупности аргументов xlt х2 при хг = х[, х2 = х®, если для любого е>0 можно найти такое б > 0, что из рх (х2, х?) < б, р2 (х2, х°) < 6 следует p[/(Xi, х2), /(х$, х°)]<в. Нетрудно убедиться, что это определение, по сути дела, не является новым и совпадает
162 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ (5.21 с определением непрерывности функции f{xlf х2) как функ- ции одного аргумента х = (х1( х2)—точки произведения М = М1хЛ4г метрических пространств и. М2. Напом- ним (3.16), что в прямом произведении М метрика вводится по правилу: если х = (хх, х2), у — (уг, у2), то полагают Р(*. У) = тах [pi (*!> У1)> Р2(*2. Ь)]- Функцию двух аргу- ментов f(xx, х2) можно считать функцией f(x) от точки * = ее непрерывность в точке x° = (xj, х®) озна- чает, что для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что из р (х, х°) = max [pj (х1( х®), р2(х2, х®)] < 6 следует |/(х)—/(х°)|<е. Так как неравенство р(х, х°) < б рав- носильно двум неравенствам р1(х1, х?) < 6 и р2(х2, х®)<б, то два приведенных определения непрерывности равносильны. На произведении Л4 = /И1х7И2 мы указали еще две мет- рики (3.16). Поскольку в 3.34 д мы убедились, что они гомеоморфны метрике, использованной выше, нам нет нужды их выписывать; из 5.11 е следует, что запас непрерывных функций (со значениями в фиксированном пространстве Р) будет одним и тем же для любой из этих трех метрик. § 5.2. Непрерывные Числовые функции на числовой оси 5.21. а. В §§’5.2—5.7 мы рассматриваем функции f(x) переменного х, изменяющегося по множеству Ё, лежащему на расширенной числовой оси R, с метрикой г (х, у) про- странства R (3.35 д). Значения функции f(x) предполагаются лежащими также в пространстве R с той же метрикой. Впрочем, если х0 конечно или /(х0) конечно, то, поскольку в конечной области метрика г(х, у) гомеоморфна обычной метрике р(х, j) = |x—у|, в вопросах, связанных с непре- рывностью функции /(х) при х = х0, можно (соответственно для значений х или /(х)) использовать и обычную метрику (3.13 а). б. Рассмотрим с этой точки зрения рациональную функцию f(r\= ^n + e‘ixn-1+---+an 60х“+М'в~1+ --.+bm ’ определенную при x£R, за исключением тех точек, где знаменатель обращается в нуль. Если ее доопределить и в
5.22] § 5.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ на числовой оси 163 точках + оо дополнительными условиями /(— oo) = lim f(x), /(oo) = lim f(x) X->—OO оо (существование этих пределов в R было доказано в 4.39 г), то полученная функция, со значениями в R, будет сохранять непрерывность и в точках ± в. Лемма. Если, числовая функция f (х) £R непрерывна при x = a£R, то для любого е > 0 существует такой шар Vt с центром, в точке а, т. е. множество вида | х — а | < б, если а конечно, 1 X > -т-, если а = 4- оо, о 1 х < —г-, если а= — оо, о во всех точках которого выполняется неравенство |/(х)—/(а)|<е, если f(a) конечно, f(x)>±, если f(a)= ф-оо, /(х)<—г, если/(а)= —оо. В частности, шар Vt можно выбрать так, что во всех его точках значения функции f(x) будут иметь тот же знак, что и число f(a), если f(a)=£0. Это утверждение следует из 4.34 а, б, определения мет- рики в R (в частности, 3.35 е) и определения непрерывности. 5.22. Теорема (Больцано). Если числовая функция f(x)£R непрерывна на отрезке [а, и на концах отрезка принимает разные по знаку значения, то внутри отрезка существует точка с, в которой /(с) = 0. Доказательство. Пусть для определенности /(а) < 0, f(b) > 0. По 5.21 в неравенство f(x) < 0 сохра- няется при всех х, достаточно близких к а, неравенство f(x) >0 сохраняется при всех х, достаточно близких к Ь. Положим с — sup {х ё [а, &]:/ (х) < 0}.
164 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.23 В силу сказанного точка с не может совпадать ни с точ- кой а, ни с точкой Ь. Согласно определению точной верхней грани, при х' > с мы имеем /(х')^0, и для любого б > О существует х" > с—б, для которого f(x") < 0. Таким обра- зом, в любой окрестности точки с существуют такие точки х' и х", что /(х')^0, /(х")<0. Но по 5.21 в это невоз- можно, если /(с) =^0. Поэтому /(с) = 0, что и требуется. 5.23. Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], A=f(a)^f(b) = B и число С заключено между числами А и В, то существует такая точка с £ [а, 5], что f(c) = C. Действительно, /(х)—С непрерывна вместе с функцией f(x) и удовлетворяет условиям теоремы Больцано. Применяя теорему, получаем требуемое. 5.24. Односторонняя и двусторонняя непре- рывность. Для дальнейшего рассмотрим некоторые типы направлений в области R конечных вещественных чисел. В соответствии с определением 4.15 б направление х—* а (=^= ±оо) определяется как совокупность всех интервалов (а —Л, а + Л), 0< Л < Ло, с исключенной точкой а. Направ- ление х / а мы рпределим как совокупность всех интервалов (а — h, а), направление х\а—как совокупность всех интервалов (a, a-j- h) (0 < h < Ло). Если функция f(x) определена в интервале (а—Ло, а), можно ставить вопрос о существовании или несуществовании предела lim/(x), который обозначается (если существует) х/а через f(a — 0). Если функция /(х) определена в интервале (а, а-\-Нй), можно ставить вопрос о существовании предела Пт/(х), который обозначается через /(a-f-O). Если функция /(х) определена в интервалах (а —Ло, а -|- h0) (за исключе- нием, быть может, самой точки а), можно ставить вопрос о существовании предела lim/(x). Поскольку при любом h, Х-+а O<.h<.ho, (а—h, а) с (а — h, a-\-h) — {а}, (а, a-\-h)cz(a — h, a~j-h) — [a}, (а — h, a-\-h) — {а} = (а—h, a) U (a, a-f-й),
Б.31] § 5.3. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 165 можно применить результаты 4.16, полагая Е = {х R:x=^=a}, G={x£R:x <а}, Н— {х £R:x > а}. В применении к рассматриваемому случаю эти результаты приводят к следующему заключению: из существования lim/(x)=p следует существование пределов lim/(x) = x-t-a х/а = lim/(x)=p, и обратно, из существования и равенства х\а пределов lim/(x) = lim f(x) —р следует существование пре- х/'а дела lim/(x)==p. х~+а Предположим, что функция /(х) определена и при х = а. Равенство lim/(x) —f(a), как мы знаем, определяет х-*а класс функций, непрерывных при х — а. Равенство f(a) — = lim f(x) определяет класс функций, непрерывных слева х/ а при х — а. Равенство f(a) — lim/(x) определяет класс х\о функций, непрерывных справа при х—а. Функция f(x), которая непрерывна в точке а и справа, и слева, непре- рывна при х = а. § 5.3. Монотонные функции 5.31. Пусть числовая функция /(х) со значениями в R определена на множестве EczR. Если из х^Е, у£Е, х<у всегда следует какое-нибудь (фиксированное) иа четырех неравенств (a) f{x)<f(y), (б) /(х)</(у), (в) f{x)>f(y), (г) /(х)>/(у), функция /(х) соответственно называется: (а) возрастающей на Е\ (б) неубывающей на Е-, (в) убывающей на Е; (г) не- возрастающей на Е. Во всех четырех случаях функция /(х) называется монотонной на Е.
166 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.32 5.32. Если возрастающая {или убывающая) функция при- нимает некоторое значение С, то только при одном значении х. Невозрастающая {или неубывающая) функция может при- нимать одно и то же значение во многих точках. Результаты 5.33—5.36 формулируются и доказываются для неубывающих функций; аналогичные формулировки для невозрастающих функций мы предоставляем привести чита- телю. 5.33. Пусть х0£Е не есть левый конец отрезка Е = = [a, ft], на котором определена неубывающая функция f{x). Функция f{x) является неубывающей по направлению Е {х / х0) в смысле 4.51\ так как при этом она ограничена сверху на этом направлении (например, значением /(х0)), по теореме 4.53 существует f(x0—0) = lim / (х) = sup (х): х < х0, х£Е}. Е(х/ х„) Аналогично, рассматривая направление Е(х \ х0) и приме- няя теорему 4.54, мы приходим к существованию предела /(хо4-О)= lim /(х) = inf {/(х):х > х0, х^Е} Е(х\х„) для любой точки х0, отличной от правого конца отрезка [a, ft]. Для точек а и ft мы положим, по определению, f(a-O)=f(a), f(b + Q)=f{b). 5.34. Так как для любых х"^Сх0 и х'^х0 мы имеем Дх")^/(х0)^/(х'), то по 1.62 /(хо-О)^/(хо)< ^/(хо4-О). Если /(х0—О)=/(хо), функция f{x), согласно сказанному выше, непрерывна слева при х = х0. Если f (хо)=/(хо4-О), функция f{x) непрерывна справа при х = х0. Равенство /(х0—О)=/(хо4-О) и вытекающее из него равенство /(х0—О)=/(хо)—/(х04 0) являются необ- ходимыми и достаточными условиями непрерывности неубы- вающей функции f (х) при х = х0. 5.35. Рассмотрим случай f(x0 — О)</(хо4-О). Такая точка х0 есть заведомо точка разрыва функции f (х). Слева от точки х0 значения функции /(х) не превосходят f(x0—0),
5.38] § 5.3. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 167 справа от точки х0 значения функции f(x) не менее, чем /(хо-|-О); значение f (х0) лежит в промежутке М/(*о-О), /(хо + О)]. Но это значит, что все числа в промежутке I, кроме, быть может, одного, вообще не являются значениями функции f(х). Отсюда следует часто используемое доста- точное условие непрерывности неубывающей функции: 5.36. Если функция f(x), неубывающая на отрезке [а, 6], принимает при х£[а, Ь] каждое значение из отрезка f(a), /(£)], то f(x) непрерывна на [а, й]. Действительно, в этом случае исключается неравенство f(x0 — 0) < f (х0 -Д 0) в какой-либо точке х0 £ [а, Ь\. По- этому в силу 5.34 функция f(x) непрерывна в каждой точке х0€[а, />]. Указанное условие и необходимо {5.23). 5.37. Обратная функция. Определение. Пусть функция y = f{x) определена на некотором множестве Е и принимает на Е значения у из множества F; пусть функция ф(у) определена на мно- жестве F и принимает значения на множестве Е. Функция ф (у) называется обратной к функции /(х), если ф[/(х)] = х всюду на Е и /[ф(у)]=у всюду на F. 5.38. а. Теорема. Пусть числовая функция y=f(x)£R определена, непрерывна и возрастает на отрезке [a, b\ с R. Тогда на отрезке [/(а), /(£>)] существует функция ф(у), °б~ ратная к функции f(x); эта функция ф(у) также непрерыв- ная и возрастающая. Доказательство. Для у=/(а) = Л положим ф(Л)=«; для у = f {Ь) = В положим ф(В) = й, для любого f{b)) положим ф(у) равной тому (единствен- ному) значению с, для которого f(c) = C. Таким образом, функция ф (у) определена на [Д, В], причем Для любых х С [а, Ь], у g [Д, В] Ф [/(*)] — х, /[ф(у)]=у.
168 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [6.39 Очевидно, что из уг<у2 следует х1<х2, т. е. ф(уг)< < ф (у2), так что функция ф (у) возрастает. Ее непрерыв- ность следует из того, что она принимает все значения в промежутке а^х^5 (5.36). Теорема доказана. б. Рассмотрим теперь случай, когда функция/(х) задана не на отрезке, а на интервале, н покажем, что он приво- дится к предыдущему. Пусть функция y—f(x) определена, непрерывна и возрастает на интервале (а, Ь) £ /?. Положим Д=/(а) = 11т/(х), В —f (b) — limf (х) (5.33); теперь функ- х/Ь ция /(х) определена уже на отрезке [а, 5], причем и на этом отрезке непрерывна и возрастает. Применяя доказанную теорему, получаем: существует функция ф (у), определенная, непрерывная и возрастающая на отрезке [Л, В] с/?, обратная к функции f(x). Рассматривая /(х) только на интервале (а, Ь), приходим к следующему результату: Теорема. Для функции у—f(x), определенной, непре- рывной и возрастающей на интервале (a, b)cR, существует обратная функция ф (у), определенная, непрерывная и воз- растающая на интервале (A, B)£~R, где А=lim f (х),В = lim f (х). х/'Ь 5.39. График обрат- ной функции. Если имеет- ся график возрастающей чи- словой функции у—f (х) на отрезке [а, 5], то график обрат- ной функции, естественно,дол- жен быть построен на отрезке ® [Д,В], где A=f(a), B=f(b). Если эти отрезки отложить на одной и той же оси, то график обратной функции х = ф(у) получается из графика функции у=/(х) отражением относительно биссектрисы координатного угла: действительно, точка (х, у=/(х)) после отражения относительно биссектрисы переходит в точку (у, х = ф(у)) (рис. 5.1)
Б.41] § 5.4. логарифм 169 § 5.4. Логарифм 5.41. Теорема. При х > 0 существует и единственна функция y=f{x), удовлетворяющая следующим условиям: 1) /(Ху)=/(х)+/(у) для любых положительных х, у; 2) /(а) = 1 для заданного а > 1; 3) f(x)—возрастающая функция: если x<Zy, то f(x) < Доказательство*). Сначала, предполагая сущест- вующей функцию f(x), найдем ее выражение. Из 1) следует /(1)=2/(1), откуда /(1) = 0. Далее, из 1) и 2) следует, что f(an) — nf(a) = n при любом натуральном п. Согласно 1.72, для любого л>1 можно найти такое т, что ^x"<am+1. Поскольку f(x) возрастает, из неравенства am^x"<am+1 следует f(am) = m^.f(xn) = nf(x) < </(am+1) — /»+ 1; таким образом, для любого л^1 можно найти такое т, что Тем самым число f(x) определено однозначно как общая [т /п+П „ — , —— произвольно малой длины. Теперь мы определим функцию f(x), используя приве- денные соображения. Положим «j=l, л2= 2, ..., nk = 2k и для данного k найдем тк так, чтобы иметь ami< хПк ать+1. Этим определяется отрезок . Покажем, что [ГПь+л /Пь+1+П — лежит в предыдущем. пй+1 nk+l J Действительно, из неравенства атк хПк < следует, что a2mk х2пк — xnk+1 < а2 (mk+Dt откуда mk+1^2mk, mk+1 + 1 ^2(тк+ 1), nk ~ 2nfe nk+i nk+i "" 2nft nk *) По книге Ж. Дьедонне, Основы современного анализа, «Мир», 1964, гл, 4,
170 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.42 Таким образом, отрезки *j образуют вложенную последовательность и по принципу Кантора 1.81 имеют общую точку; по 1.82 она единственна, так как длины отрезков при Л—-> оо стремятся к 0. Возьмем в качестве значения f(x) число, отвечающее общей точке всех этих отрезков. Покажем теперь, что построенная функция /(х) удовлет- воряет условиям 1)—3). Пусть заданы х и у; найдем для заданного k такие mk и что хПк <С 1, @Рк ^^упк , так что /'(х) -1- — . nk nk nk Отсюда amk+pk (xy)nk amk4-Pk+2, (1) так что С другой ™k + Pk < f ,x х < mk+pk + 2 nk y'"" nk стороны, из (1) следует, что </(х) +/CV) <^+РЛ±2 . rLk nk Таким образом, 9 поскольку nk произвольно, мы применяем 1.57 и приходим к выполнению равенства 1). Для х = а получаем очевидное равенство /(а) = 1. Для любого х > 1 существует такое п, что а хп, и, следова- тельно, согласно определению функции f(x) мы имеем /(х)^—. В частности, для любого х>1 мы имеем /(х)>0. Поэтому f(xy) =/(х)+/(у) >f(x) при любом у > 1 и функция f(x) возрастающая; теорема доказана. 5.42. Функция f(x), удовлетворяющая условиям 1) — 3) 5.41, существование и единственность которой мы доказали, называется логарифмом от х при основании а и обозначается
5.43] § 5.4. логарифм 171 через logcx. Формулы 1) — 3 )5.41 теперь можно записать так: logfl(xj) = logcx + logcj; (1) logfla = l; (2) если x<j, то logc х < logB<y. (3) Далее, из (1) вытекают следующие формулы: logaxn = п logax при любом натуральном п; (4) logo 1 = loga 1г = 2 loga 1, откуда logo 1=0; (5) loga (х • у) = logo 1 = logo х + logo у = °» откуда log(I j =—logox; следовательно, logo = logo X — logo У- (6) Поэтому формула (4) справедлива для любого целого п. 5.43. Покажем, что логарифм есть непрерывная функция от х. Для заданного е>0 найдем и> — и положим h — е — {/а. Так как hn = a, то п loga h — loga hn = loga a = 1, так что logaft = -^-, logfly=——. Таким образом, в про- 1 , межутке -^-^х^Л выполняется неравенство — е <----log_ х sSC — < е, п °й п ’ что доказывает непрерывность функции logax при х=1. При любом у0 и у = ху0, <Z х <Z h, мы имеем logoj = = logo X + logo-Уо» так что I loga^—logo.ro I = I logo х I < е. Так как интервал hyo'j включает в себя некоторый интервал (у0—6, _у0 + б), то отсюда следует непрерывность функции logax при х=у0.
172 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.44 5.44. Установим связь между логарифмами при разных основаниях а и Ь. Рассмотрим функцию Очевидно, она удовлетворяет условиям 5.41 1) и 3) опре- деления логарифма и, кроме того, равенству Л^) = гН = 1- ' ' logo Ь В силу установленной единственности логарифма мы имеем f(x) = logbx. Таким образом, прн любых а>1, £>1, х > 0 справедлива формула iogax = logab-logbx. (1) 5.45. Отметим предельные соотношения lim logax= оо, lnnlogox=;—оо. х -> оо х\0 Первое, в силу теоремы 4.55, следует из того, что при х —* оо функция logc х возрастает и не ограничена (поскольку, например, logc(a") = « для любого п). Второе приводится к первому в силу равенства loga (х ~) = Iog“ х + ,og« log« 1 = °* Указанные соотношения позволяют дополнить определение ло- гарифма условиями logo0= —оо, logGoo = oo, причем logox оказывается функцией со значениями в R, непрерывной при О^Сх^С оо. § 5.5. Экспонента 5.51. Непрерывная возрастающая функция у == loga х по теореме об обратной функции 5.38 допускает обратную функцию, которая называется экспоненциальной функцией, или экспонентой, и обозначается у = а*. Экспонента опреде- лена при всех вещественных х, а значения ее—положитель- ные числа. Таким образом, aiogax— Х) loga (ах) = х. (1)
5.53] § 5.5. ЭКСПОНЕНТА 173 С другой стороны, мы имеем при любом натуральном п loga(а.. .а) = logaа + ... + logaа = п. (п раз) Последнее равенство показывает, что обозначение ах согла- суется с прежним обозначением ап = а...а для натураль- ного п. Если х—1/n, мы получаем loga«'/n = l/n, откуда пlogfla1/n = logo(a*/n)n— (а'/п)п = с, т. е. а'/п есть корень л-й степени из а (1.63). 5.52. Как и функция у = logo х, обратная функция у = а* также возрастает и непрерывна при всех х. Имеют место следующие равенства: (ах)г = ахг (2) для любых вещественных х, у, г. Действительно, пусть х = loga В, у = loga т), тогда ах+У = а,о8о 6+ >°Sa П — aIogB = ах. ау; аналогично доказывается (2). Заменяя в 5.44 (1) х на Ьх, получаем loge (bx) = loga Ъ logb Ьх = х loga b. (3) 5.53. Определения логарифма и экспоненты можно рас- пространить на случай основания ftg(0, 1). А именно, по- лагая о = —, a >1, мы имеем по определению (и учитывая формулу 5.44 (1)) logb х = =-k>gax=- logI/4x. Таким образом, функция logbx убывает при увеличении х; свойства же, аналогичные свойствам 5.41 1) и 2), сохраняют- ся. Далее, таким образом, t>loei>x = а~ loet>x — а1оеах = х и log6 (bx) = — logfl (а~х) = х,
174 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.54 так что сохраняются формулы 5.51 (1), а также и следую- щие из них формулы 5.52 (1) и (2). Переход от х к ах называется потенцированием, переход от х к logax—логарифмированием. 5.54. С экспонентой тесно связана степенная функция с произвольным вещественным показателем, определенная при х > 0 согласно 5.51 с заменой а на х и х на а: у=ха. Эта функция выражается через экспоненциальную и логариф- мическую по формуле у = (fclOEft xja _ fra logj x ( ] ) при любом b > 1, откуда следует ее непрерывность по тео- реме 5.15. Из этой же формулы после замены хна pq(p, q > 0) и использования 5.42 (1) и 5.52 (1) следует равенство (pq)a=pa-qa. (2) 5.55. Предельные соотношения для лога- рифма и экспоненты. Имеют место следующие предельные соотношения: lim bx — s [ оо, если b [ 0, если b < > 1, : 1; (1) [ 0, если а ' > 1, lim ах = \ (2) х->-00 1 к оо, если а < С 1; [ оо, если а ' > 1. lim loga х = > (3) [ —оо, если а < 4 1; 1 ( —оо, если а ' > 1, lim logo х = х\0 । [ ф- оо, если а < С 1; (4) [ оо, если b >о, lim хь = s *->CO ' [ 0, если b < СО; (5) [ 0, если b >0, lim хь= s (6) х\0 1 [ оо, если b < с о.
5.55] § 5.5. ЭКСПОНЕНТА 175 Доказательство. Первое из соотношений (1) сле- дует из того, что ft* при ft > 1 и х —> оо возрастает и не ограничена (ее значения заполняют область определения функции y = log0x, т. е. всю числовую ось); второе вы- водится из первого заменой ft на . Соотношения (2) полу- чаются из (1) заменой х на —х. Первое из соотношений (3) установлено в 5.45\ второе получается из первого в силу определения log0 х при а < 1. Из (3) заменой х на по- лучается (4). Соотношения (5) и (6) получаются логариф- мированием с использованием (1) —(4). Полученные соотношения позволяют нам представить себе графики экспоненты, логарифма и общей степенной функции (рис. 5.2—5.4).
176 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [6.56 Функция ах при а > 1, определенная при х € R, допу- скает доопределение в точках ±оо: a~№ = Q, о+е0 = оо, и после этого оказывается непрерывной на R (со значени- ями в R). Если о< 1, последнее утверждение будет спра- ведливым, если мы положим = оо, а+“=0. 5.56. Прежде чем переходить к дальнейшим предельным соотношениям, докажем лемму. ап Лемма, lim — = оо при любом а > 1 и любом вещест- венном г. Действительно, возьмем число Ь в промежутке (1, а). В силу свойства 5.54 (2) имеет место равенство an+i ап а ,,, \ ' п) Правая часть равенства (1) в силу непрерывности функции хг в точке х = 1 стремится при п —»- оо к а и поэтому, начиная с некоторого номера n — N, становится больше, чем Ь. Тогда Л+» aN . (N+iy^ Nr ’°’ aN+* аН+1 N (N+2Y^(N + l)r’ Nr '° ’ (N+ k)r Nr ’ ° ’ и равенство lim bk = oo fe->€0 (вытекающее из 5,55 (1)) убеждает нас в справедливости леммы.
5.58] § 5.5. экспонента 177 5.57. Укажем дальнейшие предельные соотношения для логарифма и экспоненты, связанные с леммой 5.56. Теорема. Справедливы предельные соотношения: .. я* 11Л1-г = оо; (1) ljm!°^ = 0; (2) lim хр log0 х = 0; (3) lim х(*П = 1; (4) limx1/xP=l. (5) х->со Здесь а > 1, г—любое вещественное число, р—любое поло- жительное число. Доказательство. Если для данного х > 0 мы най- дем п такое, что л^х < л-|-1, то ах ап 1 ап+1 откуда, используя лемму 5.56, получаем (1). Соотношение (2) получается из (1) заменой х на log0x и возведением в степень Р — у- Заменяя в (2) х на у, получаем (3). На- конец, (4) получается из (3) с помощью потенцирования, а (5) из (4)—заменой * на у. Таким образом, экспонента у = ах, а > 1, при х —► оо возрастает быстрее, чем любая степенная функция хг. Логарифмическая функция у = log6 х (b > 1), наоборот, при х —► оо возрастает медленнее, чем любая степенная функция х₽(0>О). 5.58. Учитывая связь между пределом функции /(х) при х-юор пределом последовательности f(n) при п—>оо
178 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [6.59 (4.65), мы можем написать следующие пределы последова- тельностей: lim bn = J Л->СО | [оо, если b > (0, если b < 1, 1 (1) (следует из 5.55 (1)); limlog„« = J П-*СС 1 [оо, если а [—оо, если а > 1, < 1 (2) (следует (следует из 5.55 (3)); lim nb = J П->00 J из 5.55 (5)); [оо, если b > [0, если b < о, 0 (3) lim = оо (а п-мг> П > 1, —ОО < г < оо) (4) (следует из 5.57 (1)); lim!« = П->ОО п 0 (а > 1, р ' >0) (5) (следует из 5.57 (2)); lim f/л = 1 п-ж> (6) (следует из 5.57 (5) при р=1). 5.59. Согласно Экспоненциальная функция 4.63 г, н число е. lim (1 +1? f = e = 2,71828... (1) а. Рассмотрим функцию f(x) = -ф при х 0. Оказывается, что также 1)' определенную lim ( Х~>СС k >+!)'=«• (2) Подчеркнем, что непосредственно из соотношения (1) это еще не вытекает (4.65), нужно использовать специфику функции f(x). Для заданного х > 1 найдем натуральное п = п(х) так, чтобы иметь л^х<л-|-1; тогда прн х—*оо
5.59] § 5.5 ЭКСПОНЕНТА 179 также и п—>оо. Мы имеем Правые части в этих двух неравенствах имеют один и тот же предел е, когда п—>оо. Для заданного 8>0 найдем такое N, что при каждом л > N обе правые части отли- чаются от е меньше чем на в. Тогда при х > N-f-1 про- межуточная величина также будет отличаться от е менее чем на в. А это и означает справедливость (2). б. Покажем, что также Действительно, при у —> оо мы имеем 1 V-’' _ (У~х\~у _ 1 _ ( У V у) \ У ) /'«/—IV kJ/—1/ откуда, заменяя у на —х и используя а и 4.17 в, полу- чаем требуемое. в. Из б, в частности, вытекает, что — результат, который нетрудно было бы получить и прямо из определения е (1). г. Теорема. lim loga(1+z)=logae. z-> о z (4) Доказательство. Имеем log<?.P^z^ — loga(l -f-z)z ; полагая = , приходим на основании а, б и непрерывности логарифма к нужному результату.
180 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.59 Формула (4) выглядит особенно просто, если за основа- ние а взять число е. Логарифмы с основанием е называются натуральными логарифмами и обозначаются так: loge х = log nat х = In х. Для натуральных логарифмов формула (4) записывается в виде ЦтН1±£) = 1. (5) z->o 2 Используя асимптотическую единицу Е (4.39), можно записать результат еще следующим образом: In(1 + z) = zE (Е —j-1 при г—> 0). (6) д. Теорема. ft->o h loe«e (7) Доказательство. Положим ah—1 — у; тогда ah— = l+y. *==logfl(l+-^) и 1 0й — 1 X 1 М1Ч4) М1+4)л’ откуда в силу а и б, непрерывности логарифма и соответ- ствия направлений h —>-0 и х—► ± оо и следует требуемое (4.17 а). Используя натуральные логарифмы, можно написать проще; .. ей—1 llmSr-=k (8) й->о " Та же формула с асимптотической единицей Е: eh— \-\-Eh, £->-1 при Л—>0. (9) е. Следующая теорема интересна тем, что хотя в ее фор- мулировке число е отсутствует, однако ее было бы трудно доказать без привлечения числа е и связанных с ним пределов. Теорема. При любом вещественном р limQ+y-.1 =р. (Ю) я—ъ-п *
5.61] § 5.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 181 Доказательство. Используя (6) и (9), находим In (1 +«)==z£'1, 1+а = егЕч (1 +г.)л==ерг£1 = 1 +^^£2= 1 -j-pzE, (11) что и требуется. Между прочим, из соотношения (11) видно, что резуль- тат 4.39 б, доказанный там для натуральных р, справедлив для всех вещественных р. ж. Отметим специально соотношение (11) для р——1: 1^=1-*Е. (12) Более общее и часто применяющееся соотношение: при «¥=Р l±5gl=i+(a_p)z£ (Ei, Es, Е-+ 1 при г->0). (13) Оно получается из (12) простыми преобразованиями: |±g=(1+azEj (1 - р^ед= — 1 -J- azE±—$zE2E3—a^>z2E1E2E3 = = 1 + z (aEy— $Е2Е3~ uf>zEAEJ:3); поскольку последняя скобка, очевидно, имеет пределом а — Р, получаем окончательно (13). § 5.6. Тригонометрические функции 5.61. Определения тригонометрических функций, приня- тые в геометрии, опираются не на аксиомы вещественных чисел, и мы эти определения не будем рассматривать. В тригонометрии выводятся соотношения sinajc-|-cosax= 1; (1) sin (х +у) — sin x cosy 4- sin у cos х; (2) cos (х4-у) = cos х cosy—sin x sin y; (3) . sinx ,.. 0 < sin x < x <----- (4) COS X ' ’ при достаточно малом x>0, например при 0 < х < е0. Мы определим sin х и cos х как функции, заданные при всех вещественных х и удовлетворяющие соотношениям
182 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.62 (1) — (4). Позднее, в гл. 8, мы дадим доказательство суще- ствования и единственности таких функций; ближайшие рас- смотрения, строго говоря, являются условными (если суще- ствуют функции sin х и cosx, удовлетворяющие (1)—(4), то ..хотя мы не будем этого специально оговаривать. 5.62. Полагая в 5.61 (1)—(3) х=у = 0, получаем сле- дующие равенства: sin2 0 + cos2 0=1; (1) sin 0= 2 sin 0-cos 0; (2) cos 0 = cos2 0 — sin20. (3) Из (2) следует: или sin 0 = 0, или cosO = -i. Но из (1) и (3) мы получаем 1 4- cos 0 = 2 cos2 0, (4) откуда видно, что равенство cos 0 = у невозможно. Поэтому sin0 = 0, и из (1) следует, что cosO = +l. Равенство (4) позволяет выбрать из этих двух значений cos 0 единственно возможное cos 0=1. Итак, sin 0 = 0, cos0=1. (5) 5.63. Заменяя в 5.61 (2), (3) у на —х и используя 5.62 (5), имеем О = sin х cos (— х) + sin (— х) cos х, 1 = cosx cos (— х)— sin х sin (—x). Разрешая эту линейную систему относительно sin (—х) и cos (—х), получаем sin (—х) = — sin х, cos (—х) = cos х. (1) Вычитая из равенства 5.61 (2) то же равенство, в котором у заменено на —у, и используя (1), находим sin (х 4-у) — sin (х —у) = 2 sin у cos х. Совершая аналогичную процедуру с равенством 5.61 (3), получаем cos (х 4~.у)—cos(x—_у) = —2 sin х sin_y.
5.64] § 5.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 183 Заменяя в полученных формулах х-]-у на а, а х—у на р, так что х = 2 , у = , записываем эти фор- мулы в виде sin а— sin р = 2 sin —cos ; (2) „ „ . а+р . а—р п cos а—cos р = —2 sin —g-1- sin • (3) 5.64. а. Из 5.61 (1) следует, что при всех х | sin х | 1, | cos х | 1. б. Пользуясь а и 5.63 (2), (3), мы докажем непрерыв- ность функций sin х и cos х. Пусть х>у и разность х—у достаточно мала. Тогда 1 • -in- х—у\ x-j-yl - I sin х — sin у I = 2 sin —g-2 cos —~ __________________ . (x—y) , _ x—у <2 2 sin 2 < 2 —-x—y, откуда следует непрерывность функции sin х. Аналогично 1 I с 1 . х-4-у I cos х — cosy I = 2 sin — • x—у . x—y~ Sin 5^2 Sin ~~ X —y, откуда следует непрерывность функции cosx. в. Из соотношения 5.61 (4) с учетом теоремы 4.34 з следует, что .. sinx . ... hm-—=1, (1) х\о Л поскольку 5.61 (4) дает для 0 < х < в0 1 sin х । cos х х а крайние члены этого неравенства при х\0 имеют пре- дел 1. Учитывая 5.63 (1), мы имеем также .• sinx sin(—х) . ,о. lim----= lim ——-=1. (2) х7о х (-х)\о х Объединяя формулы (1) и (2), получаем lim sin х (3) о X
184 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.65 5.65. а. Покажем теперь, что функция у = cos х при х > 0 обращается (в некоторых точках) в нуль. Положим 0 = inf {cosx}. Если 0 > О, то из 5.63 (2) следует, что Х>0 при достаточно малом х и любом т=1, 2, ... sin (m+l)x— sin /»х^20 sin у >0; поэтому величины sin тх неограниченно возрастают вместе с т, что противоречит 5.64 а. Таким образом, 0 = 0. По- кажем, что существует точка х0, в которой cosx0 = 0. Если при х > 0 всюду cos х > 0, то из 5.63 (2) следует, что функция sin х возрастает и соответственно (в силу 5.61 (1)) cosx убывает. Поскольку inf {cosx} = 0, най- Х>0 5 дется такая точка z0, что cos х < при х > г0 и, сле- довательно, sinx = prl—cos2x > у- . При y = x>z0 формула 5.61 (2) дает •^ < sin 2х = 2 sin х cosx < 2• 1 А —12 13 — 13 ’ что невозможно. Итак, имеются точки, где cosx обращается в нуль. б. Положим -2- = inf {x>0:cosx = 0}. (1) Число л/180 называется градусом-, таким образом, л/2 = 90 градусов (90°). Так как функция cosx непрерывна, то cos-y=0, sin -у = 1. На отрезке £о, функция sin х воз- растает, a cosx убывает. Далее, формулы 5.61 (2), (3) дают . / л . А .л . л. sin I ~2 ”1“ х / = sin у cos х + cos -у sin х = cos х, (2) (Л \ Л Л /п. -у-|-Х 1 =COS -у COSX— Sin-g-SinX =—sin X, (3) откуда sin (х-|-л) = cos (х-|--у) =—sin х, (4) cos(x-|-n) = —sin(x-|--yj= — cosx. (5)
5.66] §5.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 185 в. Далее, sin (х + 2л) = — sin (х 4- л) = sin х, (6) cos (х 4-2 л) = — cos (х 4-л) = cos х. (7) Функция удовлетворяющая при некотором Т и всех х уравнению /(х4- Т) =/(х), называется периоди- ческой, число Т называется ее периодом. Мы видим, что функции sinx и cosx—периодические функции с перио- дом 2л. На протяжении одного периода 2л знаки этих функций, определенные по формулам (2)—(5), чередуются следующим образом: Мы видим, что если при данном х sinx=£O и cosx^O, то по знакам sinx и cosx можно однозиачио указать ту четверть промежутка 0 < х < 2л, где находится х. На рис. 5.5 показаны графики функций sin х и cosx. (На данном этапе мы еще не можем обосновать указанную на графиках выпуклость кривых; это будет сделано в даль- нейшем, в 7.55.) Число л равно 3,14159... (задача 15 к гл. 9). 5.66. Лемма. Если для некоторых х и и выполнены равенства sin (х 4- и) = sin и, cos(x4-«) = cosu, 0) то x = 2lm, где k есть целое число.
186 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.67 Доказательство. Решая систему уравнений sin (х + w) = sin х cos и + cos х sin и = sin и, cos (х -р и) — cos х cos и — sin х sin и = cos и относительно cos х н sin х, находим cosx=l, sinx = 0. (2) В промежутке 0^х<2л эти уравнения, как следует из 5.65, удовлетворяются лишь при х = 0. Вследствие су- ществования у функций cos хи sin х периода 2л уравнения (2) удовлетворяются при х = 2/гл (А = 0, ±1, ±2, ...) и не удовлетворяются ни при каких других значениях х. Лемма доказана. 5.67. Мы видели, что функция sinx возрастает на от- резке [0, л/2]; в силу равенства sin (— х) = — sin х она возрастает даже на отрезке [—л/2, л/2], изменяясь от —1 до +1. По теореме об обратной функции 5.38 на отрезке [—1, 1] определена обратная функция, которую обозначают arcsinx; эта функция возрастает, непрерывна и принимает свои значения в промежутке [—л/2, л/2]. Функция cosx=sin + возрастает на отрезке [—л, 0], изме- няясь от —1 до ф-1; поэтому на отрезке [—1, 1] опреде- лена обратная к ней функция, которую обозначают arccosx. Эта функция возрастает, непрерывна и принимает свои зна- чения в промежутке [—л, 0]. Так как по 5.65 (2) • ( , я \ sin ( х + I = cos х, то, обозначая общее значение этих величин через «, находим , л х = arccos и, х 4- -g- — arc sin и и, следовательно, при любом ug [—1, 1] Л arccos и -|- у — arc sin и. (1) Можно определить и другую функцию arccos и, используя убывающую ветвь функции cosx на отрезке [0, л]. Здесь
5.68] § 5.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 187 Вместо формулы обратная функция будет также убывающей на отрезке [—1, 1] и изменяющейся от л до 0. sin I х -]- -у 1 = cos х, связывающей функции sinx и cosх на тех участках, где мы строили обратную функцию, на этот раз нужно использовать фор- мулу sin l-g—x)=cosx, откуда вместо формулы (1) получается arccos и = —arcsin и. (2) Для предупреждения возможной пута- ницы можно обозначать первую из введен- ных нами обратных функций к cosx — возрастающую — через arccosB и, а вто- рую— убывающую — через arccosy и. Графики функций arcsin х, arccosBx, arccosyx показаны на рис. 5.6. Имеются и другие функции на [—1, 1], которые с тем же правом можно считать обратными к sin х и cos х, но мы ограничимся приведенными. 5.68. Положим, далее, , sinx tg х =---. ° cosx Эта функция определена всюду, кроме точек, где cos х = О, т. е. кроме точек х = у4-Ал, А = 0, + 1, + 2, ... При этом lim tgx= + oo, lim tgx = — оо. Из равенств 5.65 (4), (5) следует, что функция tgx имеет период л. Из поведения функций sin х и cos х на интер- вале следует, что tgx в этом интервале воз- растает, заполняя своими значениями всю числовую ось. По теореме об обратной функции существует обратная функция arctgx, определенная на всей числовой оси,
188 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.71 возрастающая, непрерывная и изменяющаяся в интервале Рассмотрение остальных тригонометрических функций . 1 1 1 л ctax = T—, secx =-------, cosec х — -.— и им обратных мы ° tg х ’ cos х sin х r предоставляем читателю. § 5.7. Приложения тригонометрических функций 5.71. Полярные координаты на плоскости. Для каждой точки (х, у) в вещественной плоскости /?2 при х2 -|-у2 =#0 выполняется равенство х2 I У2 _, X2 + j/2 X2 + у2 Определим число 0 в промежутке 0^0 < 2л из условий cos 0 =--.х , sin 0 + /х2+у2 (1)
5.72] § 5.7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 189 Искомое 0 существует и единственно: при х > 0, у > 0 это следует из формулы 5.61 (1), непрерывности и монотон- ности cos 0 и sin 0 при 0 < 0 < -у и следствия из теоремы Больцано 5.23; в остальных случаях—из формул 5.65 (2)—(5) и правила знаков 5.65 (8). Число© называется полярным углом точки (х, у). Для точек с х > 0, у = 0 полярный угол равен 0, для точек с х — 0,у > 0 он равен -у = 90°, для точек су = О, х < 0 он равен л = 180° и для точек с х = 0, у < 0 он равен -у л = 270°. Впрочем, иногда удобнее, воспользовавшись периодичностью функций sin 0 и cos 0, под 0 понимать не только решение системы (1) в [0, 2л), но и любое веще- ственное число, отличающееся от этого решения на число, кратное 2л. Число г = У х2+у2 (2) называется полярным радиусом точки (х, у). Формулы (1) можно записать в форме х = г cos 0, у = г sin 0. (3) Числа г и 0 называются полярными координатами точки (х, у); они определены всюду, кроме точки х = 0, у = 0, где г=0, а величина 0 не имеет смысла. Координатная линия г = const есть окружность x2+y2 = r2; координатная линия 0 = const есть луч ^ = tg0. 5.72. Тригонометрическое представление комплексных чисел. Пусть г = х-\-1у^д—комплекс- ное число (§ 2.7). Используя равенства 5.71 (3), можно это число представить в форме z — г (cos 0 4* i sin 0), (1) где 0 и г определены по формулам 5.71 (1), (2). В этой записи г называется модулем комплексного числа z, а 0 — аргументом г*). Пишут г — | z |, 0 = argz. *) Не надо путать с понятием аргумента функции (2.81).
190 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.73 Если г1 — rl (cos +1 sin 61), z2 = ra (cos 03 + i sin 02), то, перемножая эти равенства и используя 5.61 (2), (3), получаем гхг2 = гхг2 [(cos 0j cos 62 — sin 0t sin 02) + + i (cos 0г sin 02 + sin 0X cos 02)] = = rj2 [cos (0X + 02) + I sin (0X + 02)]. (2) Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. 5.73. В частности, для любого z=^0 из 5.72 (2) сле- дует, что при любом натуральном т=1, 2, ... 2J"=r'n(COSff!0 + / sin w0). (1) Используя формулу (1), мы решим уравнение zm = w, (2) где w—заданное комплексное число. При w = 0 имеется очевидное (единственное) решение z — Q. Поэтому будем считать w=#0, tv~ R (cos co -f- i sin to). Будем искать z в форме 5.72 (1), где г и 0 подлежат определению. Равенство (1) приводит к уравнению rm (cos + i sin m0) = R (cos to + i sin co), откуда rm cos mQ = R cos co, rm sin mQ = R sin co. (3) Возводя эти равенства в квадрат и складывая, находим г2/я = Rp" это уравнение в области положительных чисел имеет един- ственное решение r = '^R. Сокращая теперь равенства (3) на rm = R, получаем cos WZ0 = cos со, sin /Й0 = sin со.
5.74] § 5.7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ функций 191 В силу 5.66, где положено и = со, х и = тв, так что х = т6—со, мы имеем тв—со = 2Ал, т. е. 0=<o+2fax (ft = 0, ч-1, ±2, ...). При k = 0, 1, ... , т—1 получается т различных ре- шений уравнения (2) zk—y/R [cos 2kn m ---) 4-1 Sin m J 1 Остальные значения k дают для 0 значения, отличаю- щиеся на какое-либо кратное 2л от уже найденных, и поэтому не дают новых корней уравнения (2). Найденные корни (4) распола- гаются в вершинах некоторого пра- вильного m-угольника с центром в начале координат (рис. 5.8). 5.74. Угол между век- торами в /г-м ерном про- странстве. Имея векторы * = (*1..хп) £Rn, У—(Уъ ••,Уп)^^ R=\, <0 = 192°. мы составляем их скалярное произведение (3.14 (1)) (х, у)= % хкуь. k= 1 Учитывая неравенство Коши—Буняковского 3.14 (5) мы можем при х О, у =£ 0 найти число со, из условия л, (х, У) cos со = -г--,--.--, . \*1-Ы Число со называется углом между векторами х и у и обо- значается (А.у)- Если со = О, т. е. (х, ^) = |х|- [>],
192 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.75 то векторы х и у линейно зависимы. Действительно, в этом случае уравнение 0 = (х—"Ку, х—'Ху) = (х, х)—2А(х, у) + ^а(у, у) = = |х1а-2Л|х|.|у| + Ла|у|а=(|х|-Л|у|)а I I имеет решение А, = -|^-; следовательно, при этом А х = Ау. Аналогично, если со = тт, т. е. (х, у) =— |х|«|у|, векторы х и у линейно зависимы; на этот раз связывающий их множитель отрицателен. Если to = л/2, т. е. (х, у) = 0, векторы х и у назы- ваются ортогональными. Это последнее определение есте- ственно распространяется и на случай, когда один из век- торов х, у (или оба) есть 0:- нуль-вектор оказывается ортогональным к любому вектору х. Применим полученное определение к двум векторам на плоскости. Пусть вектор xg/?2 имеет полярные координаты {р, ф}, а вектору—полярные координаты {г, г|з}. Соот- ветственно прямоугольные координаты векторов х = (хх, х2) и у — (уь у2) имеют вид Xj — р cos <р, х2 = р sin <р, У1 — г cos ф, у2 = г sin ф. Поэтому, согласно общему определению, , (х, у) pr(coscocosф-4-sin<рsinф) . „. cos (>у)=тМи=—рг~ — = cos (•₽ - Отсюда угол (х, у) между векторами х и у есть то из вы- ражений ф—тр2/гл или гр—ф-|-2Ал, которое заключено между Ойл. 5.75. П о в о р о т ы. а. В плоскости /?2 поворотом на угол 0 называется преобразование, оставляющее на месте начало координат н переводящее каждый вектор х 0 с поляр- ными координатами {р, ф} в вектор х' с полярными коор- динатами {р, ф-|-0}. Запишем преобразование поворота в прямоугольных координатах. Пусть в прямоугольных координатах х = (хх, х2),
5.75] § 5.7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 193 х'— (xj, xj). Мы имеем xj = р cos (<р + 0) = р (cos <р cos 0— sin ф sin 0) == = хх cos 0—х2 sin0, xj — р sin (ф 4- 0) — р (sin ф cos 0 + cos ф sin 0) = = x1sin0 + x8cos0; это и есть искомые формулы поворота в прямоугольных координатах. По самому определению поворот не меняет длины любого вектора. Покажем, что поворот не меняет и угла между двумя векторами. Если ф и ф—полярные углы двух векторов х и у, то полярные углы векторов х' и у', получающихся после поворота, равны ф -|-0 и ф-|-0. Угол го между векторами х и у определяется из уравне- ния cos го = cos (ф — ф), угол со' между векторами х' w у" — из уравнения cos со' = cos [(ф + 0) — (ф + 0)]; так как и го и со' заключены в пределах от 0 до л, то со = го', что и требуется. Определитель из коэффициентов построенного линейного преобразования, очевидно, равен 1. б. Обобщим определение преобразования поворота на n-мерное евклидово пространство. Поворотом, или ортого- нальным преобразованием, называется такое линейное пре- образование х' = и (х), или в координатах xj=K11x1+...+K1„x„, ’I ......................} (1) х'п = ^щХ1 + ...+иппХп, I при котором не меняются длины векторов и углы между ними, и det||uyft|| = l. Найдем условия на коэффициенты иуА, обеспечивающие выполнение поставленного требования. Пусть ej — = (0........ 1.......0) (/=1, ..., л) и ej=u(ey). Век- , i торы е1г ... , еп должны быть ортогональными и нормиро- ванными (3.14 а) вместе с векторами ..., еп. Из (1) следует, что ej = (uly., ... , лпу), поэтому"мы должны иметь , . .. ( 1 при «==/, (eii ej) — Ut<illkj — I 0 При t^=j. (2) Мы утверждаем, что условия (2) и достаточны для того, чтобы преобразование (1) было преобразованием поворота.
194 ГЛ. 5 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.76 Действительно, пусть х' = и(х), у' = и(у) определены по формулам (1); тогда (*'. y') = ^xky’k= ukiX^^ukjy^ = Д (Jj “*/) Х‘У' = J Х‘У‘= (Х’ У)’ откуда следует сохранение и длин векторов,и углов между ними. Можно показать, что при л=2 приведенное опреде- ление совпадает с определением а (задача 19). 5.76. Полярные координаты в пространстве. Вычислим угол ау- между вектором х = (х1, ..., хп) и ба- зисным вектором Су=(О, ..., 1, ..., 0) в л-мерном евкли- довом пространстве Rn. По общей формуле 5.74 /ч (х, еу) ху cos а,- = COS (X, е,.) = ;—п—; =:—г • I v ’ J’ |х|-|ву| ]х| Отсюда прямоугольные координаты вектора х можно запи- сать в форме Ху= | X | COS (X, Су), х= |x|(cos(x, ..., cos(x, еп)). (1) Углы Оу=(х,ву) и |х | называются полярными коорди- натами вектора х. Между величинами аь ..., а„ имеется связь gcos2ay=£ = Угол между векторами х и у по их полярным углам аь ..., a„ и fj, ..., р„ можно записать формулой cos (х?у) = | = cos ax • cosPi + ... + cos a„ • cos p„. Если co = (<o1, ..., <o„) есть единичный вектор, |<o|=l, то числа <0у, как видно из (1), суть косинусы углов между <о и соответствующими базисными векторами: <Oy=cos(co, еу). В частности, коэффициенты ujk преобразования поворота 5.75 (1) как координаты единичных векторов ej имеют прямой геометрический смысл: коэффициент и,у есть коси- нус угла между вектором е'- и базисным вектором е{.
5.82] § 5.8. ВЕКТОРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 195 § 5.8. Векторные непрерывные функции векторного переменного 5.81. Рассмотрим функцию у=/(х), областью опреде- ления которой является множество G в л-мерном евклидо- вом пространстве а областью значений /я-мерное евкли- дово пространство Ет. Такая функция называется отобра- жением множества GcEn в Ет. Поскольку Еп и Ет — ме- трические пространства (3.14), результаты § 5.1 применимы к отображениям. В соответствии с общим определением 5.11 отображение y = f(x) называется непрерывным при x — a^G, если lim f(x) = f(a), или, иначе говоря, если для х~> а любого е>0 существует такое 6 > 0, что из |х— а|<6 следует \f(x)—f(a)\<e. Через | | в данном случае обозначаются, естественно, рас- стояния в пространствах Еп и Ет. 5.82. Если записать функцию y=f(x) в координатах, мы получим систему равенств вида •••> xj^f^x), ym=fm(X1, . . ., Х„) =/и (X), в которых участвуют т числовых функций переменного х = (хъ ..., хп). Из 4.74 следует, что соотношение lim f(x)=f(a) х-+а равносильно т соотношениям для числовых функций lim /1(х)=/1(а), а I»™ fm(x) =fm(a). х-+ а Поэтому отображение y=f(x) непрерывно при х = а тогда и только тогда, когда при х = а непрерывны все т число- вых функций /х(х), ..., /т(х).
196 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.83 5.83. На непрерывные отображения переносятся некото- рые из доказанных нами в § 5.1 теорем о числовых непре- рывных функциях. А именно: а. Если./(х) и g(x) —векторные функции (отображения), непрерывные при x = x0£G, то функция f (х)-(- g(x) также непрерывна при х = х0. б. Если а (х)— числовая функция, определенная в О и непрерывная при х — Х0, a g(x)—отображение G в Rm, непрерывное при х — х0, то а(х)^(х) есть отображение G в Rm, также непрерывное при х = х0. в. Если y—f(x)—отображение, непрерывное в точке х — х0, то |/(х)| есть числовая функция, непрерывная при х = х0. 5.84. Рассмотрим функцию w=/(z), определенную на множестве G в евклидовой плоскости £2, с областью зна- чений также в плоскости Е2. При этом z = (x, у), w=(u, v) можно считать комплексными числами. Функция w=f(z) называется комплексной функцией комплексного аргумента. В соответствии с 5.81 функция w=/(z) непрерывна в (не- изолированной) точке z = a£G, если lim /(z)=/(a), или, z -> а иначе говоря,если для любого е > 0 существует 6 > 0 такое, что из | г — а | < 6 следует |/(z)— /(a)|<e. Согласно 5.82 функция w =f (z) = и (z) -J- iv (z) непрерывна при z — a тогда и только тогда, когда обе вещественно- значные функции u(z) и v(z) непрерывны при z = a. Согласно 5.83а,б вместе с комплексными непрерывными функциями f(z) и g(z) непрерывны при z—a их сумма /(z)-j-g(z) и произведение функции f(z) на любую вещест- венную функцию а (г), непрерывную при z — a. Используя известные действия с комплексными числами, мы можем до- бавить к этим свойствам следующие: а. Если f (z)u g(z)—две комплексные функции, непрерыв- ные при z — a, то произведение f(z)g(z) также непрерывно при z—a. б. Если f(z)— комплексная функция, непрерывная при I Ц4 Z= а, причем f (а) 0, то непрерывна при z—a,
5.86] § 5.8. ВЕКТОРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 197 в. Если f(z) и g(z)—две комплексные функции, непре- рывные при z~a, причем g(a)=£0, то также непре- рывна при z=a. Эти утверждения вытекают из соответствующих свойств пределов (4.73 д). 5.85. Функция w = z, очевидно, непрерывна при каждом z — х + iy. В силу 5.84 каждый многочлен w — Р (в) — aQzn + . 4-ап с комплексными коэффициентами а0,..., ап есть непрерывная функция от г и каждая рациональная функция да. = р (г). = аог"+---+<г» ™ Q (г) 60г,л непрерывна всюду, кроме тех значений z, для которых Q (z) = 0. 5.86. Теорема о существовании корня. Чис- ло z0, удовлетворяющее уравнению P(zo) = 0, называется корнем многочлена P(z). В вещественной области имеются многочлены, не имеющие корней (пример: Р(х) = ха-]-1). «Основная теорема алгебры» состоит в том, что в комплексной области каждый многочлен, отличный от постоянной, имеет по крайней мере один корень. Здесь мы докажем эту теорему. а. Лемма. Пусть P(z)—некоторый многочлен. Для лю- бого положительного А существует такое R, что при | z | R выполняется неравенство |Р(г)|^Л. Доказательство. Мы имеем при а0 0 и z 0 /5(z) = a0zn + a1zn“1 + ... Ч-ап = = «ozn Г1 +-^-+____• Так как предел скобки при z —>- оо равен 1 (4.73 е), то существует число такое, что при | z | /?г и, следовательно,
198 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.86 Если взять теперь |г|^/?>/?1, то неравенство р(г)]>1|со!1^1"^4|со1/?П>Л п /’ выполняется при R > 1/ 2 :—т, что и доказывает лемму. ' I °о1 б. Лемма. Пусть P(z)— некоторый многочлен степени п~^\. Если P(zo)=/=O и задано число 60 > О, то сущест- вует точка zly | zr —z0 | 60, для которой | P(zT) | < | P (z0) |. Доказательство. Вначале рассмотрим случай z0 = О, Р(0)= 1. Пусть ak—первый из коэффициентов an_lt ..., а0, отличный от 0. Тогда P(z) = 1 +akzk+ +aozn= 1 [1 +//(z)], где Я(г) = ^1г+.., ' о* “k Так как, очевидно, Н(0) = 0, то в силу непрерывности мно- гочлена Н (z) существует круг |г|^6^б0, в котором выполняются условия \Щг) | ^4’б'г । ak I < Е (О Определим zt из уравнения 4 = _, 1 fife которое разрешимо (5.73), причем, очевидно, | zx | = 6. Тогда IР (*i) I = 11 + akzi + akziH (zi) I = что и требуется. В общем случае, пользуясь соотношением Р (*) = аЪгП~к = ак Kz — zo) мы можем расположить многочлен P(z) по степеням z—z0: P(z)^ 2 bk (z ~z0)n~k, P (*o) = ^0^0. k = 0
5.86] § 5.8. ВЕКТОРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 199 Если мы заменим здесь z—z0 на £, то получим P(*) = M>0(£), где ^(□=1+£ч+.--+гЧп. °0 Так как | P(z) | = |ft0 |>|P0 (£) |, то задача сведена к преды- дущей. в. Мы можем теперь доказать основную теорему. Теорема. Каждый многочлен Р(z) = а^п +... + ап (п 1, а0 =# 0) в комплексной плоскости имеет по край- ней мере один корень. Доказательство. Функция | Р (z) | неотрицательна; положим а = inf {| P(z) |}. Z(=C Далее, используя лемму а, можно найти такое R, что при | z | R выполняется неравенство \P(z) |>а + 1. Поэтому при вычислении а значения Р (z) вне круга | z | R уже не играют роли. Мы можем написать а= inf {|P(z)|}. I z 1 Но круг V = {| z | R} в отличие от всей плоскости С есть уже компактное множество (3.96 д). В силу теоремы 5.16 б непрерывная функция |P(z)| достигает в некоторой точке z0 £ V своей нижней грани: |P(z0)| = a. Если а = 0, то P(z0) = Q. Покажем, что предположение P(Zq)=£0 ведет к противоречию. Точка z0 лежит внутри круга V, так как на его грани- це, т. е. при | z | = R, уже выполняется неравенство 1. Таким образом, некоторый малый круг \z—z0|^60 лежит целиком в круге V. По лемме б в этом круге можно найти такую точку что |P(zx) | < |P(z0) |. Но это означает, что a=|/’(z0)| не является точной ниж- ней гранью функции |P(z0)| в круге V. Полученное проти- воречие показывает, что P(zo) = O, и теорема доказана.
200 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ {6.87 Б.87. Из алгебры известно*), что для любых двух мно- гочленов P(z) и Q (z)=^0 можно найти путем деления и выделения остатка два других многочлена S(z) и R (z) та- ких, что P(z) = Q(z)S(z) + R(z), (1) где или R(z) = 0, или степень R (z) (остатка) ниже степени многочлена Q(z); многочлен P(z) при этом называется де- лимым, Q(z)—делителем, а 5 (z)—частным. Сумма степеней делителя и частного равна степени делимого. Здесь z есть просто символ, не обязанный быть каким-либо числом, и многочлен P(z) есть некоторое формальное выражение, определяемое совокупностью коэффициентов а0, ..., ап, с естественными правилами сложения и умножения. При подстановке в равенство (1) вместо z произвольного ком- плексного числа это равенство перейдет в равенство между получающимися числами. Пусть, в частности, Q(z) = z—zr. Тогда R(z) имеет нулевую степень, т. е. является постоянной. Если при этом zx есть корень многочлена P(z), то постоянная R(z) равна нулю; действительно, R (z)^R (zj = Р (zt)-S (zj (zr -zj = 0. Разложение (1) принимает вид P(z) = S(z) (z—zr), где многочлен S (z) имеет степень n—1. Повторяя этот процесс в применении к многочлену S (z) = S1(z), мы получаем 5 (z) == (z) = S2 (z) (z — Zg), где za есть корень многочлена (z) и тем самым и много- члена P(z); степень многочлена S2(z) равная—2. Продол- жая таким образом далее, мы можем снизить степени последовательных частных до нулевой, в результате чего получится разложение P(z) = S0(z—Zj).. .(z—zn), *) См. например, А. Г. К у р о ш, Курс высшей алгебры, М., 1968, гд. 5.
5.88] § 5.8. ВЕКТОРНЫЕ непрерывные функции 201 где 50—постоянная, a zt, ...,z„—корни многочлена Р(г). Они могут быть не все различными? объединяя скобки с оди- наковыми корнями, мы получим Окончательную форму разло- жения многочлена на множители P(z) = S0(z-z^...(z-zh)% (2) где числа гъ ..., гк уже все различны. Показатели гх,..., гк называются кратностями соответствующих корней. Раскры- вая скобки, мы можем убедиться, что число So совпадает со старшим коэффициентом многочлена P(z). 5.88. а. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Для данных двух многочленов Рг(г) и P2(z) (например, с комплексными коэффициентами) можно построить их общий наибольший делитель D(z) — многочлен наибольшей степени, на который делятся без остатка Ру (z) и Р2 (z) *). Доказывается, что существует представление D (г) = Pi (z) Sj. (z) + Р2 (z) S2 (z), где 5x(z) и S2(z) — новые многочлены от z. Очевидно, всякий корень многочлена D(z) ёсть корень обоих многочленов Px(z) и P2(z). Поэтому, если Px(z) и P2(z) не имеют общих корней, их общий наибольший де- литель есть постоянная, которую можно считать равной 1. б. Рассмотрим рациональную функцию Q(z) Px(z) Pa(z) ’ где Px(z) и P2(z) не имеют общих корней. Согласно ска- занному, существуют такие многочлены (z) и <Sa (z), что Px(z)Sx(z)-|-P2(z)Sa(z)==l и, следовательно, Q{z) = Q (г) Ру (z) Sx (z) + Q (z) Р2 (z) S\ (z). Разделив обе части этого равенства на Px(z)P2(z), получим Q(z) Q&Sy(z) , Q(z)Sg(z) Pi(z)P2(Z) Pt(z) Py(z) ) См. А. Г. К у p о ш, там же.
202 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.89 Можно продолжить эту операцию, разлагая Pr(z) и P2(z) далее на множители без общих корней. Используя для мно- гочлена P(z) представление 5.87 (2), мы таким путем мо- жем построить разложение рациональной функции в сумму <?(2) = <?(2) = у р(г) So (г-zj' ... (z-z^ 2- (г-г/р ' Располагая каждый из числителей Qj(z) по степеням соот- ветствующей разности z—Zj, мы можем, далее, от разло- жения (1) перейти к разложению <2) /= 1 ' m= 1 J где T(z)—многочлен, а А/т—числа. Формула (2) называется L . Q (г) разложением рациональной функции на многочлен и про- * И/ стейшие дроби *). 5.89. Многочлены с вещественными коэф- фициентами. а. Если Р (z) = a„zn -f- an_lzn~1 + ... + a0 есть многочлен с вещественными коэффициентами и z0 есть число, ком- плексно сопряженное с числом z0, то, согласно 2.73, Р(г0) = апг"+ ... +a0 = anzS+ ... ±a0 = P(z0). (1) В частности, если г0—корень многочлена P(z), т. е. P(z0) = 0, то равенство (1) показывает, что и P(zo)~O, т. е. что z0 также есть корень многочлена P(z). б. Пусть z0 = x0 + iy0, z0 = x0—iy0; тогда (z—z0) х X (z — z0) = (z~x0—iy0) (z —x0+iy0)=(z—x0)2+yl Раз- делив многочлен P(z) на трехчлен с вещественными *) В алгебре доказывается и единственность такого разложения; см. А. Г. К у р о ш, там же, гл. 5. На теореме единственности основан «метод неопределенных коэффициентов» для фактического построения разложения (2), с которым можно познакомиться по книге Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференцильного и интегрального исчисления, т. 2, гл. VIII, и. 262, Гостехиздат, 1948.
5,91] § 5.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ 203 коэффициентами (z—xt)2-\-yl, получим Р (z) = [(Z — х0)2 +у?] Л (z), где Pi(z)—снова многочлен с вещественными коэффициен- тами. Это позволяет преобразовать разложение 5.87 (2) к вещественной форме, объединив множители с комплексно сопряженными корнями; при этом вместо 5.87 (2) получается разложение на множители с вещественными коэффициентами Р(г) = М(г—*1)2+Я]г* • • • [(*—X X(z—xfc+1)'*+. • • • (z — xp)rp, (2) где xx ± iyi, • • •, xk ± % — невещественные корни много- члена P(z), a xk+l, ..., xp—вещественные его корни с соответствующими кратностями г1э ..., гр. В частности, невещественные корни Xj-yiyp- и —iyj имеют одну и ту же кратность. в. Аналогично разложение на простейшие дроби 5.88 (2) для многочленов Q(z) и P(z) с вещественными коэффициен- тами может быть преобразовано к виду — Ttz\ 4. V J V Л/«»+гД/«» I Р ( ri А- \ + L {L(r4r : /=Н-1 Vm=l J I соответствующая выкладка предоставляется читателю. § 5.9. Последовательности функций 5.91. Рассмотрим сначала последовательность функций /г(х), /2(Х), ..., /п(х), ..., (1) заданных на произвольном множестве Е, со значениями в метрическом пространстве М. Будем говорить, что после- довательность (1) сходится на множестве Е, если каждая последовательность вида /1 (Хо)> /г (Хр), ..., fn (х0), ... (х0£Е) имеет в М предел. Этот предел, зависящий, естественно, от точки х0, мы обозначим через /(х0); тем самым мы
204 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.92 А (*) =' получаем функцию f(x), которая, по определению, является пределом последовательности функций f„(x): /(х)= lim/„(x). (2) п-+к Таким образом, равенство (2) означает, что для каждого е > 0 и каждой точки х0(ЦЕ найдется номер N (зависящий от в и от точки х0) такой, что для всех « > N Р[/(*о). (3) 5.92. Примеры. а. Последовательность числовых функций fn{x)=-^-f(x) сходится к нулю в области определения числовой функции /(X). б. Последовательность числовых функций fn (х) = х" сходится в промежутке —1<х^1. Ее предел/(х) есть функция, равная 0 при х < 1 и 1 при х = 1. в. Последовательность функций п sin пх при О X , О при х л сходится в каждой точке х £ [0, л] к 0. Заметим, что мак- симальное отклонение функции fn (х) от предельной функции /(х), равное п, в этом примере не только не стремится к 0, но даже неограниченно возрастает. 5.98. Вообще говоря, предельная функция последователь- ности /п(х) может не обладать свойствами, которыми обла- дают сами функции fn(x). Так, в примере 5.92 б функции /„(х) непрерывны на [0, 1], а предельная функция разрывна. Чтобы иметь возможность сказать что-то определенное от- носительно предельной функции, обычно приходится налагать условия на характер сходимости. В следующем определении сформулировано одно из важ- нейших условий такого рода. Определение. Последовательность функций 5.91 (1) называется равномерно сходящейся к предельной функ-
5.95] § 5.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ 205 ции f(x) на £, если для любого е > 0 можно найти номер N так, что для любой точки х0 £ Е при л > N выполняется неравенство P[/W> fn (*о)]<8- (1) Отличие от предыдущего определения 5.91 состоит в том, что здесь одни и тот же номер N годится сразу для всех точек х0£Е, в то время как в определении 5-91 номер А/ зависел еще от выбора точки х0. Поэтому неравенство (1) следует заменить неравенством supp[/(x), /„(х)]^е хеЕ (2) для всех N=N(г). В примере 5.92 а сходимость последовательности fn(x) к своему пределу была равномерной, а в примерах 5.92 б, в — неравномерной. Целесообразность введенного определения подтвержда- ется следующими теоремами. 5.94. Теорема. Если каждая из функций fn(x) огра- ничена, т. е. для фиксированной точки р£М выполняются неравенства Р [fn (X), (л=1, 2, ...), и последовательность fn(x) сходится на Е равномерно, то предельная функция f (х) также ограничена. Доказательство. Найдем для заданного е > 0, на- пример е=1, номер N так, чтобы иметь при n^N и каж- дом х£Е Р [/„(*). /(х)]Се=1. Отсюда при каждом х£Е Р [/(*), .Р]<Р [/(*), /jv(*)]+p[/a(*), и мы видим, что функция f (х) ограничена. 5.95. Теорема. Если Е есть метрическое пространство и каждая из функций последовательности fn(x) непрерывна в точке х0£Е, то в случае равномерной сходимости после- довательности fn(x) предельная функция f(x) также непре- рывна в точке х0.
206 гл. 5. непрерывные функции [5.96 Доказательство. Для данного е > 0 найдем номер N так, чтобы при всех п~^ N и всех х£Е иметь р[Л(х),/(х)]<|. (1) Так как функция fN(x) непрерывна при х = х0, существует такое 6 > 0, что при всех х в шаре V= {р (х, х0) < 6} выполняется неравенство p[/jv(*)> Zjv(^o)] * е 3" ‘ (2) Запишем неравенства (1) для точек х V и х0 и n = N: P[Zyv(^o)> /(*<>)] = е -У ’ (3) P[/jv(*), /(*)]< е ^У’ (4) Из (2)—(4) следует, что при х € V Р [/(*), /(*о)] < 8, что и означает непрерывность функции /(х) при х = х0. 5.96. Как следствие получаем: Теорема. Предел равномерно сходящейся последова- тельности непрерывных функций f„(x) на метрическом про- странстве Е есть непрерывная функция на Е. 5.97. Если метрическое пространство М есть лч-мерное вещественное пространство Rm, так что функции /„(х) Суть функции с векторными значениями, неравенства 5.93 (1) и 5.93 (2) принимают соответственно вид: ]7(Хо)-А(ХО)]<8 (1) при каждом х0^Д и х0); sup |/(х0)—/„ (х0) [ < е (2) хеЕ при каждом n~^N(e,). 5.98. В этом же случае (M=Rm) для равномерной сходи- мости имеет место критерий, похожий на критерий Коши 4.75. Критерий Коши для равномерной сходимо- сти. Последовательность функций fn(x), определенных на
5.98] § 5.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ 207 множестве Е и принимающих значения в пространстве Rm, сходится на множестве Е равномерно тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует номер N такой, что для всех n^N, p~^N sup |/„(х)—/г(х)|<е. х£Е Доказательство. Пусть функции /„(х) сходятся равномерно на £ к функции /(х). Тогда для заданного в > 0 мы возьмем номер N так, чтобы при любом и любом х£Е иметь |/„(х)-/(х)|^|. В частности, и для номера р~^ N при любом х £Е |/г(х)-/(х)|^|. Отсюда при любом х£Е и указанных лир \fn (*)— /г(х)1=^е- Следовательно, и sup |/„(х)— / (х)|<е. хеЕ г Обратно, пусть выполнено условие теоремы. В частности, прн фиксированном х0££ для последовательности векторов /г(х0), .. .,/„(х0), ... выполнен критерий Коши в Rm (4.75). Поэтому в силу теоремы 4.75 последовательность /„(х0) сходится в Rm к некоторому вектору, который мы обозначим через /(х0). При всевозможных х = х0£Е получаем функцию /(х) со значениями в Rm. Покажем, что f„(x) сходится к /(х) равномерно. В неравенстве IAU)— перейдем к пределу при р—>-оо. В силу непрерывности расстояния (5.12 б) мы имеем при всех х£Е и n~^N |/»W-/(х)|<е, что и означает равномерную сходимость fn(x) к /(х). Теорема доказана.
208 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Примечание. В условии и утверждении этой теоремы можно заменить пространство Rm на любое полное метри- ческое пространство. Мы вернемся к этим вопросам в даль- нейшем, в гл. 12. ЗАДАЧИ 1. Дана числовая функция y=f(x), определенная в окрестности точки хв. Известно, что для каждого о > 0 существует такое е > 0, что из | х—х01 < 6 следует | f (х)—-f (хв) | < е. Непрерывна ли функция f(x) при Х=Хд? 2. Пусть для каждого е > 0 существует такое 6 > 0, что из [f (x) — f (хв)[ < е следует |х—хй| < 6. Непрерывна ли функция t(x) при х=х0? 3. Доказать непрерывность функции у=[х |. 4. Исследовать на непрерывность функции у = (х) (дробная часть х) и У = [х] (целая часть х) (1.71). 5. Доказать, что функция Римана [ 1 т „ . I —, если х=— есть несократимая дробь, /(*)=< п п ' 0, если х иррационально, непрерывна в иррациональных и разрывна в рациональных точках оси. 6. Если числовые функции f (х) и g (х) непрерывны, то и функции max {f (х), g(x)}, min {f (x), g(x)} также непрерывны. 7. Если числовая функция f (х) непрерывна при х£[а, Ь] и х(, ... ..., х„—любые точки этого отрезка, то существует точка х0£[а, Ь], в которой = (*«)]• 8. Если ограниченная монотонная функция f (х) непрерывна на интервале (а, Ь), конечном или бесконечном, то она равномерно не- прерывна на (а, Ь). 9. Монотонная функция f(x), определенная на (—оо, оо), удо- влетворяющая функциональному уравнению f (x-f-y) = f (x) + f (у), имеет вид f (х) = ах. 10. Указать на (—оо, <») участки равномерной сходимости по- следовательности функций
ЗАДАЧА 209 11. Доказать, что соотношение 5.61 (4) не есть следствие соотно- шений 5.61 (1)—(3), а соотношение 5.61 (1) не есть следствие соотно- шений 5.61 (2)—(4). 12. Функция j (х) определена при — об < х < об, и для любых двух точек Xi < х2 и любого с£([ (хг), f (х2)) имеется точка хс£(хъ х2), в которой f(xc)=c. Непрерывна ли функция f(x)? 13. Проверить таблицу значений: X SlHX СО$ X tgx л 1 /3 /3 6 2 2 3 л V2 /2 1 4 2 2 Л т Гз 2 1 2 /3 14. -Пусть f (х)—вещественная функция, определенная на отрезке [а, Ь]. Доказать, что множество тех точек с£[а, Ь], для которых lim f (х) существует и отличен от f (с), не более чем счетно. х~>с 15. Пусть 7 = 0, 7Х 12 ... 1„ ...—десятичная запись (7.77) Веще- ственного числа t, < 1. Пусть, далее, п, < л2 < ... < <...— некоторая подпоследовательность последовательности натуральных чисел. Исследовать на непрерывность функцию ЦО=о, tnjtn2...tn/i... 16. Доказать, что множество М точек в плоскости, расположен- ных на единичной окружности Г с центром в начале координат и имеющих полярные углы 1, 2, .... п........всюду плотно на Г. 17. Функция f (х), определенная и непрерывная на множестве Р, всюду плотном на некотором компакте М, обладает непрерывным продолжением на все М (т. е. существует функция F (х), определенная и непрерывная на М и совпадающая на Р с f (х)) Тогда и только тогда, когда f (х) равномерно непрерывна на Р. 18. Доказать, что вещественная функция f (х), определенная и неубывающая в промежутке (а, Ь), может иметь не более счетного множества точек разрыва. 19. Показать, что поворот в «-мерном пространстве (5.766) при п=2 есть поворот в плоскости на некоторый угол (5.76 а). 20. Если в определении поворота в n-мерном пространстве (5.766) отбросить требование det|| U/k [|=1, то получающееся линей- ное преобразование, если оно не есть поворот, есть «поворот с от- ражением», т. е. результат последовательно произведенных отраже- ния .... £л-1=£л-1, ёл = —U и поворота.
210 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Историческая справка Первое корректное определение непрерывности для функции ве- щественного переменного было дано Больцано (1817), а затем Коши (1821). Оба они, используя «критерий Коши», получили теорему о про- межуточном значении (5.22). Теорема 5.16 б об ограниченности не- прерывной функции и о достижении ею точных границ была (для отрезка) найдена Вейерштрассом (около 1860). Определение равномер- ной непрерывности и соответствующая теорема о непрерывных функ- циях (5.17 б) (для отрезка) были получены Гейне (1870). Показательная функция с дробным показателем была известна давно (Штифель, 1544); уже на этом раннем этапе было замечено, что произведению степеней отвечает сумма показателей и что такое свойство может быть использовано для вычислений. Первые таблицы логарифмов были составлены Непером (1617) и Бюрги (1620). Полное определение показательной функции и логарифма и доказательство непрерывности этих функций были даны в середине XIX века, как только появились достаточно разработанные теории вещественных чисел Тригонометрические функции (как отрезки в круге) были известны в древности (первая таблица синусов составлена Птолемеем во II ве- ке н. э.). Индийские математики знали формулу 5.61 (1) (Ариабхата, V век). Формулы 5.61 (2) и (3) получены немецким математиком Региомонтаном (XV век). Современные обозначения тригонометриче- ских функций были введены Эйлером (XVIII век). Существует иное аксиоматическое построение теории тригономе- трических функций, не требующее предположения о существовании решений некоторых функциональных уравнений и основывающееся на соображениях теории непрерывных групп (Н. Б у р б а к и, Общая топология. Числа и связанные с ними группы и пространства, гл. VIII, Физматгиз, 1959.) Проблема существования комплексного корня у всякого много- члена с комплексными коэффициентами была поставлена еще в XVII веке; в XVIII веке было дано несколько ее решений, но все они не были и не могли быть строгими до построения развитой теории вещественных чисел и непрерывности. Первое строгое доказательство с явным указанием роли непрерывности было дано Гауссом (1799); недостающие места здесь заполнились в результате работ Больцано (1817), Коши (1821) и в конечном счете Дедекинда—Кантора—Вей- ерштрасса (1874). Понятие равномерной сходимости последовательности функций и роль этого понятия в сохранении непрерывности были указаны Стоксом и Зейделем (1847—1848) н затем Коши (1853); впрочем, ранее для частного случая аналогичная теорема была уже у Абеля (1826).
РЯДЫ ГЛАВА 6 По-разному расставляя скобки в выражении 1 — 1 + + 1 — 1+...,я могу по желанию получить 0 или 1. Но тогда нет ничего невозможного в предположении о со- творении мира нз ничего. Гвидо Гранди (1703) Что касается меня, то признаюсь, что все рассуж- дения и вычисления, основанные на ие сходящихся ря- дах... всегда кажутся мие крайне подозрительными. Жан Даламбер (1748) §6.1. Числовые ряды. Знакоположительные ряды 6.11. а. Пусть Gj, яа, .. ,,а„, ... — последовательность вещественных чисел. Образуем частные суммы si — aii «.= ^ + «2, s„ — «1 + «г + • • + Определение. Если последовательность чисел sb sa, . . ., sn, . . . сходится к конечному пределу а, то мы будем говорить, что числовой ряд а1 + а2 + + ап + (1) сходится и его сумма равна числу а = lim sn. Если же после- ZZ->00 довательность чисел а2, ..., sn, ... расходится, будем говорить, что ряд (1) расходится, и не будем приписывать ему никакой суммы. Числа аг, а2, ... называются членами ряда (1). Всякая конечная сумма am+1-j- • • +«„ называется отрезком ряда (1). Если все числа аг, ..., ап, ... положительны (неположи- тельны, неотрицательны, отрицательны), ряд (1) называется знакоположительным (знаконеположительным, знаконеотри- цательным, знакоотрицательным).
212 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.11 б. Пример. Рассмотрим числовой ряд 1 4-x-f-x2+хи-1+..., (2) где х — некоторое фиксированное число. Частные суммы этого ряда вычисляются по формуле суммы геометрической прогрессии Если | х | < 1, то при п —> оо мы имеем хп —> 0, откуда следует, что величины sn имеют предел (3) Таким образом, при | х | < 1 ряд (2) сходится и его сумма имеет значение (3). Если х=1, то, очевидно, s„= 1 + ... + 1 = л и, следовательно, ряд (2) расходится. При х = —1 имеем аг=1, а2 = 0, а3=1, а4 = 0, ... так что последовательность sn, оставаясь ограниченной, не имеет предела, и ряд (2) также расходится. Наконец, при | х|> 1 величина | sn | с ростом п неограниченно возрастает, так что ряд (2) опять-таки расходится. В итоге мы получаем: ряд (2) сходится при | х | < 1 и имеет сумму (3), а при | х | I расходится. в. Критерий Коши для ряда. Применяя к после- довательности частных сумм а2,... , sn,... критерий Коши (3.72) и учитывая, что при т<п мы имеем sn—sm = = cm+1+ • • • + а„, получаем критерий Коши для ряда: Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует такое число N, что при всех m~^N, п^> m 1йт+1+ •••+««!<»• г. В частности, если ряд (1) сходится, то для любого е>0 существует такое N, что при n^N т. е. lim о„ = 0. со
6.13J § 6.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ 213 Таким образом, у сходящегося ряда ^4- ... 4-а„ + .. • последовательность его членов аг, ..., а... стремится к нулю. Соотношение ап —> 0 является, следовательно, не- обходимым условием сходимости ряда аг + • • • + ап + - • Но имеются и расходящиеся ряды аг 4- ... -}-ап 4- ..., у кото- рых также ап —* 0 (пример в 6.15 6), так что условие ап —> О не является достаточным условием сходимости ряда. д. Другое необходимое условие сходимости ряда выте- кает из 3.33 б: всякая сходящаяся последовательность ограни- чена. Поэтому у всякого сходящегося ряда ах + ... + ап 4- ... последовательность его частных сумм ..., sn, ... ограни- чена. Это условие, являясь необходимым условием сходи- мости, также не является достаточным. Так, частные суммы ряда 1 —14-1 — 1 4- • • • ограничены, однако он не является сходящимся. 6.12. В дальнейших пунктах 6.13 — 6.17 мы рассмотрим знаконеотрицательные ряды. У знаконеотрицательного ряда суммы $!, $2, ... образуют неубывающую последователь- ность. Поэтому если частные суммы а2, ... знаконеотри- цательного ряда ограничены (при п —> оо), то этот ряд яв- ляется сходящимся. Мы видим, что для знаконеотрицатель- ного ряда необходимое условие 6.11 д является и доста- точным. 6.13. а. На этом свойстве основан признак сравнения-. Если знаконеотрицательный ряд at 4~ ае + ' '' + ап 4~ • • • сходится, то сходится и всякий знаконеотрицательный ряд 4* ^2 + • • • 4* Ь„-}-..., для которого существуют постоянная с и номер N такие, что для всех n~^N выполняются неравенства Ь„^.са„. Действительно, пусть s = 4- <?2 + • • • и °и=А4- • • • 4~^п; мы имеем при п> N — bi 4- • • • + Ьп гС Ьг 4-... 4- fyv4- с (aN+i 4-F ап) С <^14~ • • • +^v+cs- б. Пример. Если члены знаконеотрицательного ряда 4- &2 4~ • • удовлетворяют неравенствам bns^c8n (n = N, AZ4-1, •••), где с > О и 0 sC 6 < 1, то ряд Ьг 4- Ла 4" • • • сходится.
214 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.14 Действительно, можно применить признак сравнения, по- лагая в нем ап = 8" и используя 6.11 б. 6.14. Следующие два признака основаны на рассмотре- ниях 6.13. а. Признак Даламбера. Если для знакоположи- тельного ряда «1 + ^2+ • • • +аи + аи+1+ • • • (О выполняется неравенство л->оо an (2) то ряд (1) сходится. Если (3) оо то ряд (1) расходится. Доказательство. Если выполнено (2), то для не- которого 6 < 1, начиная с некоторого номера N, выпол- няется неравенство Отсюда C7V+1 СЛ'+2 ®C7V+1 • • • > aN+k • • •» и сходимость ряда (1) следует из 6.13. Если же выполнено (3), то, начиная с некоторого номера N, выполняется не- равенство 2^±1> 1 (л = Л/, 7V+ 1, ...); отсюда aN+! > aN, aN+2 > aN+1, ..., так что члены ряда не стремятся к 0; следовательно, в силу 6.11г ряд (1) расходится. Пример. Ряд , 1-2 1-2.3 1-2-3-4 1 + 1-3+ Ь3.'5+ 1-3-5-7+ * ‘ • сходится, поскольку Оп + 1 __ 1 1 ап 2п -J-1 *" 2
6.15] § 6.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ 215 б. Признак Коши. Если для знакоположительного ряда Й1 + й2 + • • • + ап + • • • (4) выполняется неравенство lim < 1, (5) оо то ряд (4) сходится. Если же lim у/ ап > 1, (6) то ряд (4) расходится. Доказательство. Если выполнено (5), то для не- которого 0 < 1, начиная с некоторого номера N, выпол- няется неравенство < е> откуда при ап < О", и ряд (4) сходится по 6.13. Если выполнено (6), то для любого номера N найдется число л > N, для которого вы- полняется неравенство V ап> 1» откуда й«> 1; таким образом, члены ряда (4) не стремятся к 0 и в силу 6.11 г ряд расходится. Пример. Ряд 4+(1У+(Я+(Я+... сходится, так как я/ТГ” _ n-f-l 1 V п ~ in—1 "2 • 6.15. Укажем еще один полезный признак сходимости, найденный Коши,
216 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.15 Если ап~^ ... ^0, то ряд^ап схо- дится или расходится вместе с рядом S2fta2fc. (1) m Действительно, рассмотрим сумму и возьмем число k так, чтобы иметь 2k > т. Тогда О1+ — 4~С/Л^а1+ • • +a2k-i = 4~ (й2 + °з)4~ • • + + (с2*-» + • • • + а2*->) Й1 + 2а2 + . • • + 2ft-1 o2ft_,., 00 Если ряд ^2Aa2fc сходится, то правая часть ие превосходит суммы этого ряда. Следовательно, частные суммы аг+... -}-ат 00 ограничены и У ап сходится. С другой стороны, если k та- ково, что 2й < т, мы имеем а1 + • • • + ат а1 4" • • • 4~ ®2* = Й1 + й2 + (Й3 4~ й«) + • • • + + («afc-i+1+ • • • + c2fc) °i + °г + 2а4 + • • • 4-2й 1o2/t = — ~2 (а1 4" 2°2 4" ^а4 4~ • • 4~ 2fto2s) СО и из расходимости ряда ^2йа2& следует расходимость ряда СО Примеры, а. Ряд У и — сходится при р > 1 и расхо- дится при 0^р ^1. В самом деле, при р 0 члены ряда не возрастают и можно применить признак Коши. Соответствующий ряд (1) имеет вид СО 05 ОО Е^ = Х2"(1_/?) = ХаП> где « = 21~л 1 1 I и результат следует из примера 6.136 с учетом того, что при р > 1 мы имеем 21-^ < 1, а при 1 имеем 21-^^ 1.
6.16J § 6.1. ЧИСЛОВЫЕ РЙДЫ. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ 217 Отметим, что 1 . 1 _ 1 1 (п+1И ' пР ~ /п+1 л 1 у \ П / \ ' п ) так что признак Даламбера в данном случае неприложим. 00 б. В частности, ряд . — расходится. Каждый член этого ряда, начиная со второго, есть среднее гармоническое двух ОО соседних членов *), поэтому ряд , — называется гармони- ческим.. СО в. Ряд 7.------— сходится при р > 1 и расходится при п loggn O^p^l (если основание а > 1). Здесь в силу неубывания логарифма (5.42) также можно применить признак Коши. Соответствующий ряд (1) имеет вид 2” ___ж 1 __ 1 х 1 Zu 2" (logc2")P ~ Zu (п \o&fi)P ~ (logc2)P Zu пР ’ и вопрос о сходимости приводится к примеру а. 6.16. Используя для сравнения ряды 6.15 а тл в, можно устанавливать сходимость или расходимость многих типов рядов, для которых признаки Даламбера 6.14 а или Коши 6.14 б не действуют. Заметим вначале, что сравнивать можно не только члены рядов, но и отношения соседних членов. 00 00 Лемма. Если для знакоположительных рядов ип u^vn при всех достаточно больших п выполняется неравенство un vn аз оо и ряд сходится, то сходится и ряд (1) *) Число а называется средним гармоническим чисел b и с, если 1=1(1+1) а с )'
218 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.17 Доказательство. Пусть неравенство (1) выполняется при n = N, /V1, N + 2, ... Перемножая левые и правые части неравенств (1), написанные для n = N, .. ., N-\-p, находим uN + p ^VN + p un "" vn или UN+p'^^'VN+p’ (2) поскольку неравенство (2) справедливо при всех р — 1, 2, ..., СО сходимость ряда следует из 6.13. 6.17. а. Теорема (признак Раабе). Если для зна* СО неположительного ряда ^ип отношение соседних, членов можно записать в виде (£-> 1 при л —оо, ср. 4.39), ОО то ряд сходится при а > 1 и расходится при а < 1. Доказательство. Положим v„ = -4 ; тогда по ” пР 5.59 е, ж Vn+i \ 1 _ . рЕ vn («+))/> / _1_у рЕ п ’ \ "Г п ) ' п Если а>1, возьмем а); тогда при достаточно больших п ип+1 t / 1 рЕ Уп+1' ип п п vn 00 Поскольку в данном случае ряд сходится (6.15 а), из 00 6.16 вытекает сходимость ряда Ус„. Если а< 1, возьмем
6.21] § 6.2. РЯДЫ С ЛЮБЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧЛЕНАМИ 219 р£(а, 1); тогда при достаточно больших п уп+1 _ __ un+i vn п п ип ’ СО и если бы ряд £И„ сходился, то по 6.16 сходился бы и ряд со Но последний в данном случае (р < 1) расходится, 00 следовательно, расходится и ряд б. Пример. Рассмотрим ряд (у и б не есть числа О, —1, —2, .... —п, ...) у у(У+1)---(т+п—1) ,. v Z-fi(6+l)...(6+n_ ij- U) _ un + 1 v + n n , 0 — у o „ В данном случае — =------т- = 1----—- E. По а ряд J un o+n 1-lA n (1) сходится, если б—у > 1, и расходится, если б—у < 1. § 6.2. Ряды с любыми вещественными членами 6.21. Для ряда а1 + аг+• • •• • • U) с любыми вещественными членами рассмотрим знаконеотри- цательный ряд |а1| + |й2|+...+|«„1+• •. (2) Теорема. Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится. Доказательство. Для заданного е > 0 найдем номер N так, чтобы при л > N выполнялось неравенство 1 am+l I + • • • +l°nl < е- Для указанных тип также I ат + 1 + • • + ап I СI arn + l 1 + • • • + | ап I < е, так что для ряда (1) выполнен критерий Коши, и теорема доказана.
220 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.22 6.22. Ряд (1), для которого сходится ряд (2), называется абсолотно сходящимся. Может оказаться, что ряд (1) сходится, а ряд (2) рас- ходится (пример будет указан ниже); в этом случае ряд (1) называется условно сходящимся. 6.23. Признак Лейбница. Если а2^ а3 . и ап —>- 0, то знакочередующийся ряд °1—йг + аз—««+ ••• сходится. Доказательство. Мы имеем ^2n + l~ S2n-1 а2п^~ °2n+l ^S2n-lt S2n + 2 = S2n 4" а2п+1 а2п+2 S2n< так что последовательность s2, st, ... не убывает, а после- довательность s3, ... не возрастает. При любом k и п k S2 ^4 ^4 ^4 • • • ^4 S2n ^4 S2n 4" а2п+1 = S2n + 1 • • • ^4 ^2й+1> так что последовательность s2, s4, ... ограничена сверху любым числом s2ft+1; таким образом, £= lim s2n^s2k+1 при П-> со любом k. Но в таком случае lim s2n служит нижней грани- п -> 00 цей всех s2ft+1; поэтому существует lim s2n+1 и п -> ос В = lim s2n lim s2n+1 = т]. П“> ОО 00 Далее, имеем О^т]— B^s2n+i—szn — asn+i> так как по условию а2п+1 —> 0, то £ = т] = lim sn (4.64), что и требуется. «-►СО 6.24. Примеры. а. Ряд 1—2“4“35—4«+-” (а > 0)> согласно признаку Лейбница, сходится. При а > 1 он схо- дится абсолютно (6.15 а). При 0 < 1 он сходится лишь условно, так как соответствующий ряд из абсолютных величин 1 j—। 1 । За ' 4а ' ” • ’ расходится (6.15 а).
6.31] § 6.3. ДЕЙСТВИЯ С РЯДАМИ 221 б. В частности, сходится знакопеременный ряд 1“4 + Т'“т+-'- В дальнейшем (9.74) мы укажем величину его суммы, в. Рассмотрим ряд СО _ у (у+1). •(?+«—О " 6(6 + 1)...(6+п— 1)’ —1, —2, ... П=1 у, бу=0, Этот ряд Покажем, что абсолютно сходится при 6>у+1 (6.17 6). он сходится (условно) и при 6 > у. Так как «л+1 ! 6—у Е ип п (6.17 б), то, если 6 > у, мы имеем ип+1 < ип, во всяком случае при достаточно больших п. Для применения признака Лейбница остается установить, что lim «„=0. По 5.59 г и ж имеем lnii£±l= In Г1 —$ е \ =— -—- Е' (Е’ —> 1 при п—+ оо); \ ** / Л jnto:=1n^+...+1nte. = _(6_T)£^-, 11 " fe=l откуда вследствие расходимости гармонического ряда (6.15 б) In ип+1 —> — оо и, следовательно, и„+1 —> 0, что и требуется. § 6.3. Действия с рядами 6.31. Определения. Пусть имеются два числовых ряда а1 + а2+...+а„+..., (1) + ^2 + • • • + + • • • (2) а. Ряд (O14-&1) + (а2 + &2) + • • • + (ап + ^п)+ • • • (3) называется суммой рядов (1) и (2). б. Если а—число, то ряд аа1 + аа2+...+аа„+... (4) называется произведением ряда (1) на число <Х,
222 ГЛ. 6. РЯДЫ (6.32 в. Ряд «1^1 + (а1^2 + ^1сг) + (°1^3 + °2^2 + °з^1) + • • • (5) называется произведением рядов (I) и (2). Все эти определения, без каких-либо предположений о сходимости рядов, носят формальный характер. Содержа- тельный смысл они приобретают в следующей теореме. 6.32. Теорема. 00 00 а. Если ряды (1) и (2) сходятся и ^ак—А, ^Ьк — В, 1 I СО то ряд (3) также сходится и 2(ал 00 б. Если ряд (1) сходится и = Л, то ряд (4) также I 00 сходится и I 00 00 в. Если ряды (1) и (2) сходятся, ^ак = А, "£bk = В 1 1 и хотя бы один из. этих рядов сходится абсолютно, то ряд (5) сходится и его сумма равна А-В. п п Доказательство, (а) Если Л„=2ал, I I п т0 2 (°*+ £*)== Л„ + В„ имеет пределом Л-]-В. 1 п п (б) Если Ап = ^ак, то 2 ctGft == имеет пределом «А 1 I п п п (в) Положим An = ^ak, Bn^^bk, cn=^akbn_k, Cn~^ck. Пусть сходится абсолютно ряд так что 1 I со О = 2Н*1<°°- Числа Ап ограничены, поскольку последо- I вательность Alt А2, . .. сходится; пусть 7W=sup|H„|. Числа |ЛИ — Ат | Ап | -(- \Ат | ограничены числом 2М. Для задан-
6.34] § 6.3. ДЕЙСТВИЯ С РЯДАМИ 223 ного 8 > 0 найдем номер N так, чтобы при п'_> иметь п «о Y.ak и X 1М^4^- Тогда прп n^N k—m k—N AfPn— | = I («2 + • • • + °n) + (°з + • • +fin) ^n-l + + • • 4- anb21 I aa + ...+a„|-|ft„| + + |аз+ • • • +Gn|-|^n-i|+ ... + так что lim C„= lim AnBn = А- В, и теорема доказана. «~>О0 И->00 Если оба ряда (1), (2) сходятся неабсолютно, теорема в перестает быть справедливой (см. задачу 5). 6.33. Группировка членов ряда. Пусть дан ряд ai + аъ + • • + ап + • • • (1) Пусть, далее, т1 < /и2< • —возрастающая последователь- ность натуральных чисел. Положим ах = Oi + ... + ат„ С62 = l + • + ат,, О-п — ”Ь • • • ^mni Определение. Ряд «1 + «а+••+«„+••• (2) называется сгруппированным рядом (1). Теорема. Если ряд (1) сходится, то и ряд (2) сходится к той же сумме. Действительно, при любом п «1 + аг+ ...+а„ = Я1+ ...+«Ип, и при п —> оо правая часть имеет пределом сумму ряда (1). 6.34. Более интересен вопрос, при каких условиях из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). В общем
224 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.35 случае это не имеет места; так, ряд 1 —1 + 1 — 1 + • • • не сходится, в то время как сгруппированный ряд (1 — 1) + + (1 — !)+••• сходится (к сумме 0). Сходимость ряда (1) есть следствие сходимости ряда (2) при некоторых допол- нительных условиях, формулируемых в теоремах а и б. а. Теорема. Если ряд (1) знакоположителен и ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится. Действительно, при любом п а1 + • • • + ап а1 + • • • + ап + • • • + атп = — О1 + • • • + гС S ak> так что частные суммы ряда (1) ограничены; далее остается применить 6.12. б. Теорема. Если ап—+0 и число элементов каждой группы ограничено постоянной (т. е. тп—тп_1^.М при всех п), то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Действительно, для заданного п найдем mk и тк+1 так, чтобы иметь mk^n^mk+1. Тогда, если sn = аг + ... + ап, oft = 04 + ... + мы имеем °>l=l amk+i Н----------1-aJsCM- max |ау| -> о>. I > тк при А-»оо, откуда следует, что числа sn имеют тот же пре- дел, что и числа ок. 6.35. Перестановки членов ряда. Пусть ai + °2 + • • + ап + • • • (1) — некоторый ряд. Определение. Если т^, т2, ... есть некоторая пе- рестановка множества натуральных чисел, то ряд + ^2 + • • + Ьп + ..., (2) где Ьп = аПп(п=1, 2, ...), называется перестановкой ряда (1). Теорема. Если ряд (1) сходится иап 0 (n= 1, 2, ...), то ряд (2) сходится и имеет ту же сумму.
6.36] § 6.3. ДЕЙСТВИЯ С РЯДАМИ 225 Доказательство. Для каждой частной суммы ряда(2) ап — + • • • + Ьп (3) найдется частная сумма ряда (1) sm(n} — Й1 + й2 + • • • + йи(л» (4) которая включает в себя все члены суммы (3). В свою оче- редь, мы можем найти частную сумму ряда (2), которая включает в себя все члены частной суммы (4): ОЛЧп) = ^1+ • • • +^»+ • • • + ^V(n>- Поскольку й„^0 при любом п, мы имеем ап sm (л) (5) Первое из найденных неравенств дает °n s«a(n) SI так что ряд (2) сходится; пусть о—его сумма. Очевидно, т (л) и N (л) не менее, чем л, и поэтому вместе с л неогра- ниченно возрастают. Переходя к пределу в (5) при п —► оо, получаем о откуда o = s, и теорема доказана. 6.36. Теорема (Дирихле). Если ряд 6.35 (1) сходится абсолютно, то ряд 6.35 (2) также сходится абсолютно и имеет ту же сумму. Доказательство. Абсолютная сходимость ряда (2) следует из 6.35. Для заданного е > 0 найдем номер N та- кой, что —x|<y и при m~^N выполняется неравен- п ство У. | у. Пусть р0—такое число, что всякая m частная сумма ор ряда (2) при р~^р0 содержит первые N членов' ряда (1). Тогда при любом р^р0 разность ор—sN содержит лишь члены ряда (1) с номерами, большими N; поэтому рд,—откуда и к—swl + lsw—ор|<е. Тем самым ор —► s, что и требуется.
226 ГЛ. 6. РЯДЫ (6.37 6.37. Совершенно иная картина имеет место для условно сходящегося ряда. Теорема (Риман). Если ряд 6.35 (1) сходится условно и заданы произвольно числа {на расширенной веще- ственной оси), то существует такая перестановка 6.35 (2) ряда 6.35 (1), что limo„ = a, lirno„=p. Доказательство. Поскольку ряд 6.35 (1) сходится, его члены стремятся к 0. Поэтому существует лишь конечное число номеров п, для которых | ап | превосходит данное положительное число в. Это позволяет выбирать из любой совокупности членов ряда 6.35 (1) наибольший (или наибольший по модулю). Отделяя в этом ряде по- ложительные и отрицательные слагаемые и выбирая последовательно наибольшие (наибольшие по модулю) члены, мы можем составить два ряда: ряд Р1+Р2+• • •+₽п+• • •> (1) образованный из всех положительных слагаемых ряда 6.35 (1), рас- положенных в порядке убывания, так что Pi^р2^..и ряд 9i + 9а + - • • + Яп + • • •. (2) образованный из абсолютных величин всех отрицательных слагаемых ряда 6.35 (1) также в порядке убывания, так что qi^q2^. • Мы утверждаем, что оба эти ряда расходятся. В самом деле, еслй бы оба ряда (1) и (2) сходились, имея суммы s и о, то ряд 6.35 (1) сходился бы абсолютно, поскольку любая ко- нечная сумма | щ |+ ... +|а„ | не прееосходила бы суммы s-j-C- Рассмотрим случай, когда один из рядов (1), (2) сходится, а другой расходится. Предположим, например, что сходится ряд (2), а расхо- дится ряд (1). Частные суммы s„ ряда 6.35 (1) с возрастанием п вбирают в себя все большее количество членов из ряда (1) и ряда (2); члены из ряда (1) дают как угодно большую сумму, в то время как члены из ряда (2) могут дать лишь ограниченную компенсацию. Таким образом, s„—> оо и ряд 6.35 (1) не может быть сходящимся. Аналогичная картина, с изменением знака, будет иметь место в случае сходимости ряда (1) и расходимости ряда (2). Итак, оба ряда (1) и (2) расходятся. Теперь мы строим из членов рядов (1) и (2) новый ряд по сле- дующему правилу (для случая, когда а и f конечны). Частные суммы Sn ряда (1) неограниченно возрастают; найдем номер щ так, чтобы иметь Р1+ • • • +рщ-1 < Р < Р1 + • • • + Pnt (если уже pt > 0, считаем л1 = 1). Далее, найдем иомер mj так, что- бы иметь Р1+ • • • +Рщ—91— • —Qm, < a «S Pi + ... +₽щ—91— • • • —9лц-1-
6.41] § 6.4. ряды векторов 227 Затем—номер п2 так, чтобы иметь Р1 + • • • +₽«!—41— • • • —9zHi+P«1+l+ • • • +Р«а-1 < ₽ < < Р1+ • • • +Рп,—41— • • • —4mi+Pm+i+ • • • +pnj* Затем—номер т^ так, чтобы иметь Р1+ • • • +Рт — 41— • • • — 4mi + Pni + l+ • - • +Ро3 — 4mi + l—• • •—4я>а< < «<Р1+ •.. +Рщ—41— • • • —4и1 + + Рщ+1+ • • - +р«а — 4mi+l—• • • —4и2-1* Продолжим это построение иеограииченио. Мы получим ряд ^1 + ^2 +— +6п+—» (3) представляющий собой некоторую перестановку ряда 6.35 (1). Пока- жем, что ряд (3) удовлетворяет требуемому условию. а. Точки а и р являются предельными точками последовательно- сти частных сумм ряда (3). Действительно, частные суммы ряда (3) с номерами п1г ni+ffli+ + п2, .... n1-j-m1-f-n2-j- ... -j-wife-i+nfe, ... отличаются от числа р соответственно не более чем на р„г, рП2, ..., рП), ..., и эти вели- чины стремятся к 0; аналогично частные суммы ряда (3) с номерами zij-f-Wn пj-f-т 1 + п2+т2, ..., п1-}-т1-}-п2-}-т2-}- • - • -Ьп^-рт^, ... отличаются от числа а соответственно не более чем на qmt, qmv ... ... > qm , и эти величины также стремятся к 0. 6. Вне отрезка [a, f] нет предельных точек последовательности частных сумм ряда (3). Действительно, если, например, у > Р и у — р = й > 0, мы найдем , h номер nk так, чтобы иметь рЛ( < ; тогда все частные суммы ряда (3) с номерами, большими, чем П1 + /П1+ ... -[~mk^l-4-nk, не превос- ходят Р + рП/1 < ₽+-^- и не подходят к точке у ближе чем иа ~. Очевидно, предложения а н б доказывают теорему в случае ко- нечных аир. Если одно, или оба, из чисел аир бесконечны, построение должно быть несколько видоизменено; мы можем предо- ставить читателю его выполнение. В частности, мы можем положить а = р = р, и тогда ряд (3) будет сходиться к числу р. Мы видим, что, переставляя должным образом члены условно сходящегося ряда, можно добиться его сходимости к наперед заданному значению суммы. § 6.4. Ряды векторов 6.41. Определение сходимости можно сформулировать для ряда векторов из пространства Rn в полной аналогии с определением 6,11 сходимости числового ряда, именно:
228 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.42 Пусть а1г ..., ат, ...—последовательность векторов пространства Rn. Образуем частные суммы s^a&R,» sa=Gi + Ga€^B, —cl + as+ • • • Если последовательность частных сумм , sm, ... схо- дится в пространстве Rn, то мы будем говорить, что век- торный ряд й1 + йаН----~Ьея>Н----- (1) сходится и его сумма равна вектору s — lim sn. Если же п-^со последовательность векторов slf ..., sm, — расходится, будем говорить, что ряд (1) расходится. 6.42. Поскольку сходимость в пространстве Rn приводится к сходимости по каждой координате (3.32 е), мы можем сказать, что ряд из векторов •••» Gln)> G2=(G21» •••> G2n)> ••• ..., am=(aml, ..., amn), ... сходится тогда и только тогда, когда сходятся все числовые ряды аи + G21 + • • • + апл + • • •» G12 + G22 + • • • + атй + • - • » + G2n + • • • + + •••; при этом сумма ряда 2Gm есть вект°Р Р — (Ръ •••, Рп)> каждая составляющая pk которого есть сумма соответствую- оо щего числового ряда 2 amk- m= 1 6.43. Поскольку критерий Коши выполняется в примене- нии к векторным функциям, в частности к векторным после- довательностям (4.75), он справедлив и для векторных рядов:
6.46] § 6.4. РЯДЫ ВЕКТОРОВ 229 Критерий Коши для векторного ряда. Векторный ряд at 4- с2 4- • • • + ат + • • • («га € сходится тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует такое число N, что при всех п~> m~^N lG«+l + • • • + Gn| < е- 6.44. В частности, для всякого сходящегося векторного ряда всегда limc„ = 0. 6.45. Применяя критерий Коши, так же как и в 6.21, получаем следующее достаточное условие сходимости: Если сходится числовой ряд |с1| + |а2|+• • •+lGml+• • •> (U го сходится и векторный ряд <h + °2 + • • • + am + • • • (2) Ряд (2), для которого сходится числовой ряд (1), назы- вается абсолютно сходящимся. Если ряд (1) расходится, а ряд (2) сходится, последний называется условно сходя- щимся. 6.46. Для векторных рядов остаются в силе результаты 6.32 а и 6.32 б о почленном сложении рядов и умножении на числа. Результат 6.32 в об умножении рядов, вообще говоря, уже не имеет смысла, поскольку не определено умножение векторов. Остаются в силе результаты 6.33 и 6.34 б, касающиеся группировки членов ряда, и 6.36 о пе- рестановках членов ряда. Обратные теоремы, включая тео- рему Римана, получают своеобразные формулировки; они указаны в задачах 17—22. Ряды с комплексными слагаемыми, как векторные ряды в /?2, укладываются в приведенную схему. Кроме приведен- ных выше общих результатов, здесь сохраняется и теорема об умножении рядов 6.32 в: Если ряды из комплексных чисел g1 + g2 + - • • +Gra+ • • • > (1) + ^а + • • • + + • • • (2)
230 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.47 сходятся и хотя бы один из этих рядов сходится абсолют- но, то сходится и ряд а1Р1 4" (й1^2 + й2^1) + (й1^3 + й2^2 + й3^1) 4~ - • • (3) и его сумма равна произведению сумм рядов (1) и (2). Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы 6.32 в. 6.47. Для неабсолютно сходящихся векторных рядов мо- жет принести пользу признак Абеля — Дирихле. Он осно- ван на одном специальном преобразовании конечных вектор- ных сумм, которое называется преобразованием Абеля. а. Пусть даны числа аг, ..., ат и векторы Ьх, ..., Ьт. Положим a'i = a2—«1, а'2=а3—а2, ... , ат^ = ат—ат_и = В2 = Ь1-\-Ь2, ... , Вт —bt-[-...-\-Ьт. Теорем а (преобразование Абеля). Для любых чи- сел cq, ..., ат и векторов blt ..., Ьт имеет место равенство tn tn—l %akbk = amBm--'£akBk (m=2, 3,...). (1) k=i k-\ Доказательство будем вести по индукции. Для m = 2 равенство (1), очевидно, выполняется: а1Ь1 + а262 = а2 (bt + #2) — (а2—aj Ьг. Допустим, что равенство (1) выполнено для некоторого но- мера т; покажем, что оно выполняется и для следующего номера т-^-1. По предположению индукции, мы имеем т+1 т ь=1 nt— 1 = 2«^fe + am+1&ra+1. 1 Мы хотим доказать, что справедливо равенство т— 1 «л — 2 a'kBk+«ra+i^+i= /?=1 т—1 = ат+1Вп.+1— 2 a'kBk~а'твт. (2) I
6.47] § 6.4. РЯДЫ ВЕКТОРОВ 231 т—1 Сокращая в (2) на 2 a'kBk, получаем fe=l Н ат+1Рт+1 ат+1^т+1 ат^гл = «т + 15Я + 1 —(««, + ! —«И)£И- Отбрасывая сначала атВт и сокращая затем на ат+1, при- ходим к равенству Ьт + 1 = Вт+1— Вт, очевидно, верному. Воз- вращаясь по цепочке произведенных преобразований, получаем (2), что и требуется. б. Отметим неравенство, вытекающее из (1): если ал>а2> ... и (А=1, ... , п), то т fe=l 2Са1е (3) Действительно, в данном случае ] атВт | атС агС, a'k^.O и т— 1 2 «А 1 = с т—1 т—1 <c2(-aft) = 1 1 («i—«2) + - • • aj] = C (ax —am) Cc^\ поэтому (3) вытекает из (1). в. Признак Абеля—Дирихле для векторных рядов. Ряд 1&тЬт (4) 1 сходится, если числа ат\0 и векторы Bm = b!-\~.. .-\-Ьт ограничены, | Вт | С. Доказательство. Применим оценку (3) к отрезку ряда (4). Мы получим 2 «Л k—p 2Схар, где Сх= sup |f> 4-.-- + М= sup |(^ + ...+^) — _(й1+...+^_1)|= sup Х|С2С. р<г<<7
232 ГЛ. 6. РЯДЫ (6.47 Полученная величина стремится к нулю при р оо и любом q~>P- Таким образом, для ряда (4) выполнен крите- рий Коши 6.43, так что ряд сходится. г. Признак Лейбница 6.23 является частным случаем признака Абеля—Дирихле. Этот частный случай получается, если считать п=\ и положить В1=1, Ве = —1, В3=1, В4 = —1,... Но и при л=1 признак Абеля—Дирихле имеет более широкое поле применения, чем признак Лейбница. Рассмотрим вещественные ряды (л=1) СЮ У а,„ sin тВ, (5) о 2 cos тВ (6) о и ряд из комплексных чисел 00 2 (cos тВ Д- i sin тВ). (7) тс=0 Выясним, при каких значениях 0 указанные ряды сходят- ся. Положим z ~ cos 0 4- i sin 0; при этом (5.72) |z|= 1 и zm = cos тВ 4- i sin тВ. Далее, 2 (cos kB 4- I sin A0) — 2 z* — ~ i ~ 7— fc = O fe=O 1 i m 2(cos£04-T sin kB) k = 0 ______2_______ 1—cosO—isinO) ________2________ V(1 —COS 6)2 4- sin2 6 (8) Мы видим, что величина т 2 (cos Л0-Н’ sin £0) k=0 остается ограниченной при т оо, если 0=^0, ±2л, ±4л,... Предположим теперь, что числа ат, убывая, стремятся к нулю. Тогда к ряду (7) применим признак Абеля — Дирихле; в силу этого признака ряд (7) сходится, если ат\В и 0=4=0, ±2л,...
6.48] § 6.4. РЯДЫ ВЕКТОРОВ 233 При этих же условиях сходятся и ряды (5) и (6), посколь- ку они представляют собой вещественную и мнимую части ряда (7). Ряд (5) сходится и при 0 = 0, ±2л,..., так как все его члены при этих значениях 0 обращаются в 0. д. Из оценки (8) следуют аналогичные оценки в вещест- венной области m У COS&0 k=0 m У sin/г0 fe=o (9) Эти оценки часто используются в работе с признаком Абеля — Дирихле. е. Для частного случая ат = гт(г<1) легко написать явное выражение для суммы рядов (5)—(7). Именно, сумми- руя геометрическую прогрессию, находим СП о 1 1— ге№ Отделяя здесь вещественную и мнимую части, получаем 1 ___ 1—re~ll>________1—г cos 6-|-tr sin 6 1—re'6 — (1—re'0)(l—re~'6) — 1—2rcos6+r2 ’ откуда У, rm cos mQ = Re У rmeimi — -. 1~f c0^y—. , 1—2rcos64-ra о о У rm sin /И0 = Im V. rmeimi = sin , 1—2rcos64-r2 о о 6.48. Двусторонние ряды. а. Пусть имеется «двусторонне бесконечная» последова- тельность векторов ..., а_п, ..., a_t, а0, alt ..., ап, ... Мы определяем сумму «двустороннего ряда» 2 ak (О — 00
234 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.48 как предел частной суммы — выражения 2 ak —т при т, п, независимо стремящихся к бесконечности, при условии, что этот предел существует. Иначе говоря, ряд (1) сходится и имеет сумму s, если для каждого е > 0 суще- ствует номер М такой, что при любых т, п> N выпол- няется неравенство п «— s ak -т е. (2) б. Следующая теорема приводит вопрос о сходимости двустороннего ряда к вопросу о сходимости односторонних рядов. Теорема. Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба «односторонних» ряда со оо 2Х « 2 й-*; О 1 (3) если они сходятся и О 1 то сумма s ряда (1) равна А-\-В. Доказательство. Пусть ряды (3) сходятся. Для любого е > О можно найти номер 7V такой, что при п > N, m>N п A-l£ak о m B~lLa-k 1 Отсюда п — m это означает, что ряд (1) сходится и имеет суммой число А + В.
6.49] § 6.4. РЯДЫ ВЕКТОРОВ 235 Обратно, если сходится ряд (1), то из неравенства (2) следует, что при любых р > N, q > О откуда вытекает по критерию Коши 6.43, что сходится “ 00 ряд ак. Аналогично доказывается сходимость ряда У a к, » 1 и теорема доказана. в. Пример. Двусторонний ряд — со сходится всюду при t^Rr, если 21 с»|<°°; он сходится — со всюду, за возможным исключением точек t — 0, ± 2л, ± 4л, ..., если с„\ 0, с_„\0 (л—>-(-оо) (ср. 6.47 г). 6.49. а. Симметричное суммирование двусто- ронних рядов. Двусторонний векторный ряд (1) — со называется симметрично суммируёмым, если существует пре- дел при п —> оо его симметричных частных сумм п = п = 0, 1, 2, ...; (2) — п в этом случае предел s сумм (2) называется симметричной суммой ряда (1). Если ряд (1) сходится в смысле 6.48, то, очевид- но, он симметрично суммируем и его симметричная сумма совпадает с обычной суммой. Но не всякий симметрично суммируемый ряд является сходящимся в смысле 6.48. На- пример, двусторонний ряд из чисел ак, равных 1 при k > О, О при k= Q и —1 при /г < О, является симметрично сумми- руемым (и его симметричная сумма равна 0), но не является сходящимся в смысле 6.48. б. Симметричная суммируемость двусторонних рядов так- же приводится к обычной сходимости:
236 ГЛ. 6. РЯДЫ [в.51 Теорема. Двусторонний ряд (1) симметрично суммируем тогда и только тогда, когда сходится односторонний ряд а0 + ^(ак + а_к), (3) fe=i и в случае сходимости ряда (3) его сумма совпадает с сим- метричной суммой ряда (1). Доказательство. Теорема вытекает из очевид- ного совпадения л-й частной суммы ряда (3) и л-й симмет- ричной частной суммы (2) ряда (1). Симметричное суммирование используется, например, в теории тригонометрических рядов вида — Л (часть III, гл. 14). в. Пример. Двусторонний ряд e~lnt e-2lt e-it git e2lt enlt • •• n •• • 2 г + т+т + ‘- •+'7г + ,,‘ сходится при всех t #= 0, ± 2л, ± 4л, ... (6.48 в), но при 1 — 0, ± 2л, ± 4л, -... не сходится, поскольку при этих t не выполнены условия теоремы 6.48 б. Однако при всех значениях он является симметрично суммируемым, так как всюду сходится ряд “ etkt__e—tkt _ “ sin kt 2-i k 2-i k k=i i (6.47 г). § 6.5. Ряды функций 6.51. Ряды функций уже встречались в нашем изложе- нии (§ 6.4 и др.). Приведем здесь общие определения и т-еоремы, относящиеся к сходимости таких рядов. Рассмот- рим ряд л1(х) + са(х)+...+л„(х) + ... (1) из функций со значениями в Rm, определенных на произ- вольном множестве Е. В соответствии с 5.91 и 5.93 сфор-
6.54] § 6.5. ряды функций 237 мулируем определения сходимости и равномерной сходимости ряда (1). а. Определение. Если последовательность частных сумм ряда (1) S1(x) = C1(x), s2(x) = fli(x)4-a2(x), сходится на множестве Е, мы говорим, что ряд (1) схо- дится на множестве Е, и предел функций sn(x) называем суммой ряда (1). б. Определение. Если последовательность sn (х) сходится на множестве Е равномерно, мы говорим, что ряд (1) сходится на множестве Е равномерно. 6.52. Критерий Коши 5.98 для ряда из векторных функ- ций формулируется следующим образом: Ряд 6.51 (1) является равномерно сходящимся на мно- жестве Е тогда и только тогда, когда для любого в > 0 су- ществует такой номер N, что при всех N, р > п, х£Е I ап+1 (х)4-...+ар(х)|<е. 6.53. Для ряда 6.51 (1) можно сформулировать и простое достаточное условие равномерной сходимости; Признак Вейерштрасса. Если sup |ап(х)| = а„ хсе со и ряд сходится, то ряд (1) сходится равномерно. 1 Это предложение вытекает из 6.52, оценки I &п+1 (х)+ ... +ар(х) 1^а„+1+ ... -\-ар и критерия Коши для сходимости числового ряда (6.11 в). 6.54. Следующие теоремы являются непосредственными следствиями теорем 5.94—5.95.
238 ГЛ, 6. РЯДЫ (6.62 а. Теорема. Если ряд 6.51 (1) состоит из ограниченных функций со значениями в Rm и сходится равномерно на Е, то и его сумма s (х) ограничена на Е. б. Теорема. Если ряд 6.51 (1) состоит из непрерывных функций на метрическом пространстве Е со значениями в Rm и равномерно сходится на Е, то сумма ряда (1) является также непрерывной функцией на пространстве Е со значе- ниями в Rm. § 6.6. Степенные ряды 6.61. В комплексной области особый интерес представ- ляют степенные ряды. Определение. Ряд вида а0 + аг (z—z0) + а2 (z—z0)2 + ... + ап (z—za)n + ..., (1) где z — x-[-iy, zQ — xQ-\-iyQ, а коэффициенты a0, alt ...— комплексные числа, называется степенным рядом. 6.62. Представляет интерес выяснение области сходимо- сти этого ряда—совокупности тех значений z, для которых ряд 6.61 (1) сходится. В этом направлении имеется следующая Теорема (Коши — Адамар). Положим -^- = Йт /Ы, где верхний предел рассматривается в расширенной числовой области. Ряд 6.61 (1) сходится, притом абсолютно, во всякой точке z с \z—z01 < R и расходится во всякой точке z С |г—z0| >/?. ________ Примечание. Если Ит \ ап | = оо, считают R = 0. Если lim 1 ап | = 0, считают 7?=оо, и в этом случае в теореме утверждается, что ряд 6.61 (1) сходится при каж- дом г£С. Доказательство. Рассмотрим случай конечного R=/=0. Пусть I z—z01 <----. lim 1 «„ | Это неравенство можно записать в форме | z—z01 lim У | ап | = lim ^1а„Цг—г0|" < 1,
6.63] § 6.6. СТЕПЕИНЫе РЯДЫ 239 откуда на основании признака Коши 6.14 б и 6.45 следует сходимость ряда 6.61 (1). Если же lz~zo\ > — у;—:» lim |/ | о„ | то таким же образом \г—z0|lim = !/\ап(г—z0)n| > 1, и в силу того же признака 6.14 б и 6.44 ряд 6.61 (1) рас- ходится. Доказательства для случаев R = 0 и /?=оо мы предо- ставляем читателю. 6.63. Теорема 6.62 показывает, что область O£R2 схо- димости степенного ряда 6.61 (1) есть круг радиуса R, поэтому число R называется радиусом сходимости ряда 6.61 (1). То- чнее, область G содержит все внутренние, точки этого круга (те z, для которых |z—z0|<7?) и не содержит ни одной внешней точки (где [z—z0|>R). Что же касается точек на самой окружности \z—z01 — R, то здесь могут предста- виться различные возможности. СС п Примеры, а. Ряд — сходится при всех г, так как = lim Нт 1 = П->со ty Пп n-+ u> п оо б. Ряд сходится только при z — Qt так как 1 = lim %/ пп — lim п — оо. в. Ряд ^n*zn при любом фиксированном а имеет радиус 1 сходимости 1, поскольку по 5.58 (6) lim —= lim f= 1. П-» 05 1/ Па n 05 ( - I Ml” / Однако при a^ssO ряд не сходится ни в одной точке окруж- ности | z | = 1, так как его члены не стремятся к 0. При а< — 1 ряд сходится в каждой точке окружности | z | = 1, и притом абсолютно, в силу 6.15а. Если —1^а<0, то ряд расходится при z=l, но сходится при всех zy=l, \z | = 1 (ср. 6,47 г).
240 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.65 6.64. Пусть степенной ряд 6.61 (1) имеет радиус схо- димости R. Поставим вопрос: является ли этот ряд равно- мерно сходящимся в круге \z— z0|<7?? Ответ, вообще говоря, отрицателен; так, если бы ряд \+z+z*+... равномерно сходился в своем круге сходимости |z|< 1, то его сумма была бы ограниченной {6.54 а); но его сумма рав- на (6.11 б) и не является ограниченной в круге |г| < 1. Тем не менее справедлива теорема: а. Ряд 6.61 (1) сходится равномерно в любом, круге |г—г0 К/?!</?. Действительно, при \z — z01 Rx справедлива оценка \an{z— z0)n|<|a„ |/?5, а ряд из чисел [ ап | R" сходится, как мы видели в доказа- тельстве теоремы Коши—Адамара 6.62. Тем самым в круге | z | /?! можно применить признак Вейерштрасса 6.53, ко- торый и приводит к нужному результату. б. Как следствие из а и 6.54 а, б получаем: Сумма s(z) ряда 6.61 (1) есть ограниченная и Непре- рывная функция в любом круге | z—z01 Rr. Тем самым функция s(z) непрерывна во всем круге \z—z0\ < R, так как каждая точка этого круга лежит и в не- котором меньшем круге \z—Но ограниченной во всем круге | z—z01 < R она может и не . быть, как мы только что видели. 6.65. Как мы знаем, на границе круга сходимости сте- пенной ряд может сходиться, может и расходиться. Но если ои сходится в граничной точке zlt то оказывается, что в область его равномерной сходимости можно включить весь отрезок, идущий из центра круга в точку zr. Для доказа- тельства достаточно рассмотреть случай го=О, z1=f1>0. СО Теорема Абеля. Если степенной ряд Уantn сходится о в точке > 0, то он сходится равномерно на отрезке Доказательство. Для заданного е > 0 мы должны найти такое N, что при p^N, q~^N будет иметь место
6.вв] § 6.6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 241 неравенство I У} anin I р+х образование Абеля 6.47 (1), полагая ak — ( ..., q; р <_q пока произвольны): < е при всех 111 /1. Применим пре- t \к . ,k Т) ’ Ьк = аА я р+1 я Я-1 п Выбираем У. ak^i р+1 р+1 N так, чтобы из p^N, k=p+i следовало е •g-; тогда мы получим оценку q я-i maxV е . . е 1+_тах Е , Е что и требовалось. 6.66. Примеры. а. Ряд 7 с»2 у?? 1+р+^ + -.(0<а<1) сходится при всех |z|== 1, z=£ 1 (6.47 г). По теореме Абеля 6.65 он сходится равномерно иа каждом радиусе круга | z | 1, ведущем в любую точку z0, где | z01 = 1, z0 =# 1 (не следует думать, что он сходится равномерно на сово- купности точек всех этих радиусов!). б. Ряд у, «(«+!)• • .(<x-pn—1) „-1 2- р(р+1)...ф+п-1)г я= I (а, Р отличны от 0, —1, —2, ...), если р>а-|-1, сходится при z— 1 (6.17 б), следовательно, сходится при |z |< 1 и равномерно сходится на отрезке
242 ГЛ. 6. РЯДЫ [6.67 О х 1. Этот же ряд, если Р > а, сходится при z = — 1 (6.24 в), следовательно, равномерно сходится на отрезке — 1 si №С0. 6.67. Оказывается полезным следующий вывод из тео- ремы Абеля: Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна при а при 0^х<хх справедливо равенство f(x)= ^а„хп. я=0 Тогда если сходится ряд 2 апх"> U) л=0 ТО f(xl)~ ^апх1- п=0 Доказательство. Положим для всех х g [0, xj j^a„xn = s(x). (2) Так как ряд (1) сходится, то по теореме Абеля ряд (2) сходится равномерно на [0, xj. Поэтому в силу 6.65 б функция s(x) непрерывна на [0, xj. Так как по условию f(x) также непрерывна на [0, хх] и f(x) = s(x) для Оз^х < хь то f(Xj)= litn/(x) = lim s (x) = s (xj = 2a„x?, X-+X1 n = 0 что и требуется. ЗАДАЧИ 1. Пусть ап > 0 (n= 1, 2, ...) и ?2±1= 1 ——+ , где числа 0^2 Zi Z2- СО | р„ | ограничены, | 0„ | < С. Доказать, что ряд ап расходится 1 (Гаусс).
ЗАДАЧИ 243 2. Гипергеометрический ряд Гаусса (а, р, у отличны от чисел Г (а, р, у, х)=1+£ Л=1 а(а+1)...(а+п-1)р(Р+1)...(Р+п-1) п! у(у+1)...(у+п—1) при |х| < 1 абсолютно сходится, при |х| > 1 расходится; еслих=1, то он сходится (абсолютно) при у > а+р, расходится при yca-j-P; если х= — 1, то он абсолютно сходится при у > а-|-Р, условно схо- дится при —1<у—(а+Р)<0, расходится при у—(а-|-Р)«£—1. СО 3. Если ап^ап+1 > 0 (п=1, 2, ...) и ряд сходится, то 1 , 1 ап есть бесконечно малая величина сравнительно с —. Примечание. Не существует функции <р(п), стремящейся к О быстрее, чем — , которую можно было бы поставить в формулировке вместо -i- (А. С. Немировский). СО 4. Пусть ряд 2 ап сходится (оп > 0); доказать, что существует 1 последовательность t>i<62 с... <6„<..., lim t>„= оо, такая, что ряд сс 2 апЬ„ также сходится. 1 5. Показать, что при умножении на себя сходящийся ряд переходит в расходящийся. 6. Доказать, что для ряда Лейбница 6.23 разность между полной суммой ряда и суммой п первых членов по модулю не превосходит модуля (п-|-1)-го члена. со 7. Доказать, что радиус сходимости степенного ряда ап (г—гД", о V °п+1 1 для которого существует Inn равен —. «-►со С1п Г со 8. Если о„^0 для всех п=1, 2, ... и f (f) = ^'Jantn о при 0 < t < 1, то у функции f (t) существует при t —>• 1 предел, СО равный о
244 ГЛ. 6. РЯДЫ 9. Пусть числа ал*^0 (п=1, 2, 3, ...( Л=1, 2, ...) и Ьп (п=1, 2, ...) удовлетворяют условиям: 1) °пА<^п При любых Л=1, 2, ... ц_п=1, 2, ..., 2) 2 Ь„ < «, п= 1 3) limo„k=o„(n = l,2,...). А-»«> со со Положим V anA=sfc(^=*« 2, ...) и 2 ak=s- Доказать, что n=i k=i s= lim Sb. k~+ CD 10. Бесконечные произведения. Пусть zlt z2, ... ..., z„, ...—последовательность комплексных чисел. Говорят, что бесконечное произведение СО П z* = z1z2...zfc... А=1 п сходится, если последовательность чисел Рп = JJ z* (n=l, 2, ...) А=1 сходится к конечному пределу Р 0; число Р называют величиной се произведения JJ г*. 1 Доказать, что из сходимости бесконечного произведения следует соотношение lim z„ = l. СЮ 11. (Продолжение.) Пусть хг > 0, х2 > 0, ..., хп > 0, ...; про- СО взведение JJ xh сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд £=1 се 2 logfcXfe (при произвольном основании b > 1). А=1 12. (Продолжение.) Положим xs = l-|-a>s. Если все «вводного СЮ знака, то произведение JJ (1 -|- со*) сходится тогда и только тогда, k=\ аз когда сходится ряд 2 cos. (Если сод. изменяют знаки, результат не fe=i будет иметь места; см. задачу 15 к гл. 8.)
ЗАДАЧИ 245 13. Доказать, что при | х | < 1 справедливо равенство (1 +х) (1 + х2) (1 4-х*) (1 4-х8).. .(1 +х2"-1)... 14. Доказать тождество Эйлера (х > 1, ръ р2....рп, ... —последовательность всех простых чисел). С» 1 15. Доказать, что ряд / t — (pk—простые числа) расходится. Л= 1Pk 16. Пусть [qk]—последовательность воех натуральных чисел, десятичное представление которых (/.77) не содержит ни одной де- 03 вятки. Сходится или расходится ряд / —? 17. Рассматривается ряд ui+ua+ • - • +“m+ • •• (1) векторов евклидова пространства Д„. Вектор p£Rn называется век- СО тором абсолютной сходимости ряда (1), если ряд У;(р, ит) сходится 1 абсолютно. Доказать, что ряд (1) сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждый вектор p^Rn есть вектор абсолютной сходимости этого ряда. 18. (Продолжение.) Вектор q£Rn называется вектором абсолют- ной расходимости ряда (1), если векторы ряда (1), попадающие в лю- бой телесный угол, содержащий вектор q, образуют абсолютно расходящийся ряд. Доказать, что ряд (1) абсолютно расходится тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы один вектор абсолютной расходимости. 19. (Продолжение.) Пусть fej < fe2 < • • • —некоторая последова- тельность, состоящая из натуральных чисел, и /1 </г < • • •—после- довательность остальных натуральных чисел. Ряды • и t(/i+u/a+ • - называются дополнительными частями ряда (1). Дока- зать, что если одна из дополнительных частей сходящегося ряда сходится, то сходится и другая, и всякая перестановка членов ряда (1), не меняющая порядка следования членов в каждой из частей, не меняет суммы ряда. 20. (Продолжение.) Если ряд (1) сходится условно и q есть вектор абсолютной расходимости ряда (1), то существует такая часть «ft,-}- ... ряда (1), для которой составляющие слагаемых по вектору q образуют абсолютно расходящийся ряд, а ортогональные составляю- щие—абсолютно сходящийся ряд.
246 ГЛ. 6. РЯДЫ 21. (Продолжение.) Если каждый вектор е 0 есть вектор абсо- лютной расходимости ряда (1), то любой вектор f£Rn является суммой ряда, получающегося некоторой перестановкой ряда (1). 22. (Продолжение—теорема Штейница.) Для всякого условно сходящегося ряда (1) область сумм при всевозможных перестановках членов есть линейное многообразие в Rn, ортогональное подпрост- ранству А всех векторов абсолютной сходимости и проходящее через сумму проекций членов ряда (1) на А (определенную однозначно)! Историческая справка Суммирование бесконечных геометрических прогрессий со знаме- нателем, меньшим 1, производилось уже в древности (Архимед). Расходимость гармонического ряда была установлена итальянским ученым Менголи в 1650 г. Степенные ряды появились у Ньютона (1665), который полагал, что степенным рядом можно представить любую функцию. У ученых XVIII века ряды постоянно встречались в вычислениях, но далеко не всегда уделялось внимание вопросу о сходимости*). Точная теория рядов начинается с работ Гаусса (1812), Больцано (1817) и, наконец, Коши (1821), где впервые дано современное определение суммы сходящегося ряда и установлены основные теоремы. *) Что не раз использовалось и для антинаучных спекуляций. Так, в 1703 г. бенедиктинский монах и теолог Г. Гранди, манипули- руя с рядом 1 — 1 +1 — .... «доказывал» существование бога.
Из всех теоретических успехов знания вряд ли ка- кой-нибудь считается столь высоким триумфом человече- ского духа, как изобретение исчисления бесконечно малых. Ф. Энгельс ЧАСТЬ ВТОРАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ГЛАВА 7 ПРОИЗВОДНАЯ Чтобы отыскать максимум или минимум количества f (х), надо составить выражение f (x±h)- f (х), где h есть неопределенное число. Затем, освободив это выражение от дробей и радикалов и сделав приведение подобных членов, нужно разделить полученное выражение на это неопределенное h. Полагая затем в оставшихся членах Л=0,_ мы имеем некоторое уравнение, содержащее бук- ву х, корни которого и есть максимумы и минимумы. П. Ферма (1629) Мы можем теперь перейти к определению одного из основных понятий математического анализа—к определению производной. § 7.1. Определение производной 7.11. Пусть имеется вещественная (конечная) функция y=f(x), определенная в интервале (а, Ь). Пусть х0£(а, Ь); составим отношение (xo + M(a> (1) Если это отношение имеет (конечный) предел при h—>0, мы говорим,.что функция /(х) дифференци- руема при х — х0, и полагаем Ит f(xo+6)—f (*<>) = ь->о h =г(*о) ==[/(*)];=*.• (2) Число f (х0) называется производной функции f(x) при х = х0. Геометрически отношение (1) есть угловой коэффициент хорды, пересекающей график функции y=f(x) в точках с абсциссами х0 и х04-Л(рис. 7.1). Выражение (2) есть угло- вой коэффициент некоторой прямой, проходящей через точку (х0, у0); мы назовем ее касательной к графику функ- ции f(x) в точке с абсциссой х0.
250 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ [7.12 7.12. Если функция у— f(x) имеет производную при х = х0, то отношение (1) ограничено при h—>0, например, постоянной с; отсюда при всех достаточно малых | h | |/(х0 + h)— f(x0) К с | h |, и, следовательно, функция f(x) непрерывна при х = х0. произ- водной. Пусть функции f(x) и g(x) определены в интер- вале (а, Ь) и дифференцируемы при х = х0. Тогда функции число), 7.13. Основные правила вычисления /(*) + £(*), а/(х) (а—любое вещественное f(x)-g(x), дифференцируемы при х = х0 (последняя — в случае и имеют место следующие равенства: (1) (2) (f(x) + g(x))x=XB=f (x0) + g' (х0); (а/(х))х=Хо = а/'(х0); (f(x)-g(x))x=Xa-=f'(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0); (3) f (л) Y SM f' (*<>)—g' fa) f M ,g(x) J x=x0 g2 fa) (4) Доказательство. (1) Имеем (f fa+h)+g fa 4- h))—(f fa)+g fa)) h . ffa+A)—ffa) , gfa + A)—gfa) ~ h + h и результат следует из 4.36 а. (2) Имеем а/ fa+А)—а/ fa) „ f fa+h) — f fa) h “ h и результат следует из 4.36 б. (3) Имеем f fa+h)g(x0+h)—f fa)gfa) = h __ ffa+/z)gfa+/i)—f fa)gfa+/z) Hx^gfa+A)—ffa)gfa) _ “ h + h и результат следует из 4.36 б и 4.36 а с учетом 7.12.
7.14] § 7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 251 Имея в виду (3), для доказательства (4) достаточно рас- смотреть случай /(х) = 1. Тогда g(xo+/0 g(Xn) gix^+hy—gixo) g(*o)g(*o+/0 ’ и результат следует из 4.36 д с учетом 7.12. 7.14. Примеры. а. Постоянная f(x) = c имеет, очевидно, производную, равную 0. б. Функция f(x)^=x имеет производную, равную 1. в. Учитывая 7.13, находим, что каждый многочлен Р (х) = «охп + СрХ”-1 Н--ь ап и каждая рациональная функция Р(Х)_ C(lX” + c1Xn t-H.-.+On Q(x) имеет производную, во всяком случае в точках хп, где Q(xo)=^O. Производные рациональных функций можно вычислять, используя формулы 7.13 (1) — (4) и формулу (хп)' = пхп~\ (1) получающуюся по индукции из 7.13 (3). г. Производная от произведения п множителей вычисля- ется по формуле +Л (х) Л (X) ... /„ (X) +... +А (х)/2 (х).. .fn (ху, это доказывается по индукции на основании формулы 7.13 (3). д. Найдем производную от детерминанта, составленного из дифференцируемых функций: №(х) = «и (х) «12 (X) ... и1п (х) «21 (х) п22 (х) ... о2„ (х) «„1 (X) «я2 (х) ... «„„ (X) Согласно определению, детерминант Я7(х) есть алгебра- ическая сумма п\ слагаемых с определенными знаками, каждое
252 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ [7.15 из которых есть произведение л множителей, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки детерминанта. Дифференцируя каждое слагаемое по правилу г и собирая сначала члены, в которых продифференцирован множитель из первого столбца; затем члены, в которых продифферен- цирован множитель из второго столбца, и т. д., получаем формулу «'11W «12 (*) «21 (х) и22(х) Г(х)== uln (X) Ч2п (X) «Л1 (X) ип2 (X) ... ипп (X) «11 (х) и12(х) «21 (*) «22 (X) «1„ (х) U2n (X) ип1(х) ип2(х) ... ипп(х) «11 (X) и12(х) ... и1п(х) «21 (*") «22 (*") • • • и2П (х) Unl (X) Un2 (х) • • • (х) 7.15. а. Производная сложной функции. Если y~f(x) дифференцируема при х = х0, a z = g(y) определена в интервале, заключающем точку y0=f(x0), и дифференци- руема при у=у0, то сложная функция 2 = ^[/(х)] диф- ференцируема при х~х0, причем x'(x0) = g'(y0)f'(x0). (1) Доказательство. Согласно определению произ- водной, У —Уо=f(x)—f (х0) = (х—х0) [/' (х0) + е (х)], е(х)—>-0 при х—*"Х0, g(y)—g(y0) = (у— Уо) [£' (Уо) +6 (_У)]> 6(у)—0 при y-fy0. Поэтому z(x)— z(x0) = g[f(x)] —g[f (х0)] —g(y) —^(у0) = = (у—Уо) [£' (Уо) 4- 6 Су)] = = (X — Хо) [/' (Хо) + 8 (X)] [g, (у0) + б (у)].
7-1в1 § 7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 253 Когда х—*хОк как мы видели, е(х)—>-0. Далее, в силу непрерывности функции /(х) в точке х0 мы имеем также у—>Уо и, следовательно, 6 (у)—>0. Переходя к пределу в равенстве ~^Хо) = [/' (хо) + е (*)] UHjo) + 6 (у)], A AQ получаем требуемый результат из 4.36 б. б. Пример. Производную от функции (1+х2)88 можно было бы найти по правилам 7.14, развернув вначале бином по формуле Ньютона. Однако в данном случае проще представить функцию как сложную: у = а88, и=1-^х2. При этом у' (и) — 99а88, а' (х) = 2х и по (Г) у' (х) = 99а88-2х = 99 (1 -J-x2)88 -2х. 7.16. Производная от обратной функции. Пусть дана функция, у =/(х), непрерывная.и возрастающая в интервале (а, Ь}, и пусть х = ф(у)—обратная функция, определенная, во всяком случае, в окрестности точки у=у0=/(х0), х0^(а, Ь). Тогда если функция y=f(x) дифференцируема при х = х0 a f (х0) 0, то функция х=ф(у) дифференцируема при у—у0 и Доказательство. Рассмотрим отношение <Р(У)—<Р(Уо) (1ч У—Уо ’ ' ' Согласно определению обратной функции, <р(у) = х, ф(у0) = х0, у=/(х), у0=/(х0), так что соотношение (1) можно записать в виде X —Хд________1 f(x)—f(x0) Г(х)—/(х0)
254 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ [7.17 Так как взаимно обратные функции одновременно непрерывны (5.38), то из у—*уп следует х—>х0, и так как /(х) по условию дифференцируема при х —> х0, то Ф (У)—Ф (У<>) 1 У—Уо Г (*о) ’ что и требуется. 7.17. Производная логарифма и связанных с ним функций. а. Пусть y=logox. При х0 > 0 имеем 1 logc (Хо + ^) —logaXp _ ]no. ( x„+h\ Л _ h ёа { х„ J “М1+£Г’тМ1+4)” в силу 5.59 г. Итак, (logaX)'x=^ = -^|^. Ло Особенно простой -вид эта формула имеет при а = е, когда речь идет о натуральном логарифме (5.59 г): (1п*)'=4- (П б. Найдем производную от функции у = 1п( — х), опре- деленной при х < 0. По правилу 7.15 а дифференцирования сложной функции мы получаем [1П(-Х)]' = —(-x)'=~4-(-l)=i. (2) ' Дг Л/ Л/ Формулы (1) и (2) можно объединить в одну формулу, справедливую при всех х^=0: (1п|х|)' = 1. (3) в. Экспонента х — аУ есть обратная функция к функции j»=lognx; поэтому, согласно 7.16, мы имеем (ау)и-и« = —;— = = т~— = аУ° 1°&> а = 1п а. \ log^ logee logae
7-18] § 7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 255 Заменяя у0 на х, —оо < х < со, получаем формулу (ах)' = ах In а. (4) Особенно просто эта формула выглядит при а — е: (ех)' = ех. (5) г. Производная степенной функции с про- извольным показателем. Функция у=ха, определенная при х > 0 (5.54), может быть записана в форме у = еа I” х. Отсюда следует, что у нее имеется производная, которую мы можем выписать по правилу 7.15, используя результа- ты а—в. Мы получаем У (х) = е“|п*-—=осх“-1. (6) В частности, при а натуральном, как и следовало ожидать, получается формула 7.14 (1). д. По образцу этого примера может быть найдена про- изводная более сложной функции y=f (х)« (*> = eS М,n f W; вычисление мы предоставляем читателю. 7.18. Производные тригонометрических функций и обратных к ним. а. Для функции у — sin х мы имеем, согласно 5.63, sin (x-f-Л)— sin х = 2 sin у cos (x-f-y) > откуда . h sin (x-|-/i)—sinx sln 2 I h \ - h---------= —•C0S^+2-)- 2 Используя 5.64 в и непрерывность функции cosx, находим . . ,, sin (х+Л)—sin х (sin х) = lim-*—---------= cos x. (1)
256 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ [7.18 б. Далее, используя формулы 5.65 (2), (3), получаем (cosx)'= pin 4-х)j = cos(4р4-*) = —sinx. (2) 2k л-1 в. Наконец, по правилу 7.13 (4) при х#=——л, k — Q, ±1, ±2, ... sinx V _ cos2x-|-sin2x _ 1 _. v s \ cosx J cos2x COS2X * w г. Если x = arc sin u,u = sin x, то, согласно правилу 7.16, л . .л , , при —-2-<x<-g-H —1 <«< 1 (arc sin «)' = = —-— =---r ......—-----. 1 . (4) (sinx)' cosx 4-/i—sin2 x +K1—«a д. Аналогично при —л < x < 0 и — 1 < и < 1 ,4/1 1 (arc cos «) — -г.-ту- =---.— = К ' (cos %) sin X =--------z---... = 4— J,., . (5) — р 1 — cos2x у 1.—ы2 Выражение (5) можно было бы получить из (4), используя равенство 5.67 (1) arc cos « 4“ -тг = arc sin и. Точнее говоря, равенство (5) относится к возрастающей функций arc cos и, которую мы в 5.67 обозначили через arccosB«. Для убывающей функции arccosy« равенство (5) должно быть заменено на равенство (arc cosv и)' =---г 1 у V1—и2 е. Наконец, при —< х < у, — оо < и < оо (аГС tg «)' = .. 1 = COS2 X = | 5 „. (6) ' ° 1 (tgx) l-j-tg^x 1 +u2 ' ' Производные остальных тригонометрических функций и обратных к ним мы предоставляем найти читателю.
7.19] §7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 257 7.19. О д н о с т о р о н и и е производные. а. Пусть функция /(х) определена в промежутке х0^х< Ь. По определению она обладает правой производ- ной при х = х0, если существует f (х0) = lim f.fa+/1)~fa) пр ° ft\o h Величина /рр (x0) иначе обозначается через /'(Xo + O). б. Аналогично, в том случае, когда функция /(х) опре- делена в промежутке а<х^х0, она обладает левой про- изводной при х = х0, если существует f {Хо) =Um ffa+^)-ffa) левУ 01 h/T) h 31g Рис. 7.2. Величина /^ев (х0) иначе обозначается через /' (х0 — 0). в. Если функция /(х) определена в интервале (а, Ь), содержащем точку х0, можно говорить о левой и правой производных в точке х0. При этом если существует про- изводная f (х0), то, разумеется, существуют и производные /пр (Хо) И /лев (*<>)’ причем /пр (Хо) = Лев (*о) = /' (*<))• Но может быть и так, что Лр(х0) и/^ев(х0) существуют, а /' (х0) не существует (рис. 7.2). Если существуют /^р (х0) и f'nm (х0) и имеет место равенство /' (х0) = =/'ев (х0), то, как легко проверить, существует и f (х0) (ср. 4.16 в). г.Луч, определяемый уравнением y=f(x0) +Лр (х0) (х—х0) называется правой полукасательной к кривой у=/(х) при х = х0. Аналогично луч, определяемый уравнением .У=/(*о)+Лев (*о) (х—х0) (х<х0), называется левой полукасательной к кривой у = /(х) при х=х0. д. Следующее предложение обобщает на односторонние производные теорему 7.16-. Пусть функция у =/(х) непрерывна и возрастает в интер- вале (а, Ь) и х = <р(_у) — обратная функция. Если функция
258 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ [7.21 y=f(x) имеет при х = х0 правую производную f (х0 + 0) то функция <р (_у) имеет при y0=f (х0) правую производную <р' (_у0 + 0) и при этом ’,'<>"+<”=7гтат- Доказательство проходит по тому же пути, что и в 7.16, с использованием только значений х х0 и у у0. § 7.2. Второе определение производной 7.21. Мы обратимся теперь к анализу общих свойств дифференцируемых функций. Прежде всего рассмотрим еще один подход к определению производной, важный для даль- нейшего. Будем строить линейные функции которые при х — х0 имеют то же значение, что и данная функция y=f(x)', их можно описать уравнением уА = А(х—х0)+/(х0) = Л-й+/(х0) (Л = х—х0). (1) Две такие функции, скажем уА = А(х— х0) +/(*о) и ув — = В (х—х0) +/(х0), отклоняются друг от друга на вели- чину, пропорциональную х—х0: Уа ~Ув=(а —в) (х—х0) = (А—В) h. Попробуем иайти среди функций (1) такую, которая имеет отклонение от функции y=f(x), бесконечно малое выс- шего порядка (4.38) сравнительно с h — x—х0, т. е. та- кую, что у—Ул = е(Л)-/г, (2) где е (Л) стремится к 0, когда h -> 0. Допустим, что искомое А найдено. Тогда из (2) следует, что f (х)—Л/i—f(x0) = f(xB+h)—f(x0) _А = е 0, так что отношение /(хр+й)—f (х0) h имеет при h -► 0 предел, равный А. Таким образом, если искомая линейная функция существует, то функция f(x) дифференцируема при х — х0 и f (х0) есть искомый коэффи- циент А.
7.23J § 7.2. ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 259 7.22. Обратно, если функция f(x) дифференцируема при х = х0, мы имеем _/' (Хо) = 8 (А) _ 0, откуда / (х0 + А) — [/' (Хо) А +/ (ХО)] = е (й) • й, (1) так что линейная функция от h — x—х0 К=/'(Хо)А+/(хо) удовлетворяет нашему условию: ее отклонение от функции f(x) есть бесконечно малая величина высшего порядка сравнительно с h—x—х0. Прямая на плоскости (х, у), определенная уравнением У—f' (х0)(х—х0)+/(х0), согласно определению 7.11, является касательной к кривой у=/ (х) при х = х0. При любом е > 0 найдется 6 > 0, для которого |е(й)| < е при | h | < 6; поэтому при указанных h — Eh^f(x)—f'(x0)h—f(x0)^ <ей, пли /(х0) + [/' (х0) — е]К/(х)< Рис. 7.3. </(х0) + [Г(х0) + е]А. (2) Неравенство (2) имеет следующий геометрический смысл: график функции, дифференцируемой в точке х = х0, в доста- точной близости к точке х0 проходит между двумя прямыми, составляющими с касательной произвольно малый угол (рис. 7.3). 7.23. Как следствие получаем: а. Если /' (х0) > 0, то существует такое б > 0, что при 0<й<6 /(х0-Л)</(х0)</(х0 + й). (1) б. Если же f (х0) < 0, то соответственно при 0 < Л < 6 /(х0-й)>/(х0)>/(х0 + й). (2)
260 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ [7.24 7.24. На этом свойстве основано правило для вычисле- ния точек локального экстремума. Определение. Будем говорить, что в точке с £ (а, Ь) функция f(x) имеет локальный максимум, если существует такое h > 0, что при всех xg (с—h, c-^h) /(х)С/(с) (рис. 7.4). Аналогично будем говорить, что в точке eg (а, Ь) функция f(x) имеет локаль- ный минимум, если существует такое h > 0, что при всех xg (с—h, c-^-h) /W>/(c) (рис. 7.5). Точки локального минимума или локального мак- симума называются точками Рис. 7.5. локального экстремума. Если функция f(x) дифференцируема при х = с и/'(с)=#0, то неравенства 7.23 (1) и (2) показывают, что точка с не мо- жет быть точкой локального экстремума. Отсюда следует, что во всякой точке локально- го экстремума дифференцируемой функции f(x) выполняется ра- венство /'(с) = 0- (1) Поэтому, чтобы найти точки локального экстремума (всюду) дифференцируемой функции, следует проанализировать урав- нение (1). Искомые точки заключены среди его решений. Однако возможны и случаи, когда /'(с) = 0, но локального экстремума нет; например, это имеет место для функции f (х) — Xs при с = 0. Подробнее анализ эстремумов прово- дится дальше, в § 7.5 и § 8.4. § 7.3. Дифференциал 7.31. Из равенства 7.22 (1) видно, что приращение функции f(x) при переходе независимого переменного х от значения х = х0 к значению х = х0 + Л складывается из
7.33] § 7.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 261 двух частей: первая, /' (х0)й, линейна относительно смеще- ния h переменного х, а вторая, е(й)й, бесконечно мала сравнительно с h. Геометрически первая часть учитывает приращение, измеряемое до касательной, а вторая часть — приращение от касательной до самого значения /(х0-)-й) (рис. 7.6). Слагаемое /' (х0) h называется главной линейной частью приращения функции. Таким образом, из сущест- вования производной вытека- ет возможность выделения в приращении функции главной линейной части. Обратно, как показывают приведенные рас- суждения, возможность Рис. 7.6. выделения главной линейной части из приращения функции обеспечивает существование про- изводной. 7.32. Дифференциал. Пусть f(x) дифференцируема при x — xQ. Величина й = х—х0 обозначается иначе через dx, величина /' (x0)h = /' (x0)dx обозначается через dy (х0) или просто dy. Число dy называется дифференциалом функ- ции f(x) в точке х — х0 при дифференциале независимого пе- ременного dx. Таким образом, dy есть линейная функция от dx. Имея dx и dy, мы можем записать f (х0) в форме от- ношения дифференциалов 7.33. Правила вычисления производных, описанные в § 7.1, приводят к соответствующим правилам вычисления диффе- ренциалов. А именно, умножая на dx левые и правые части формул 7.13 (1)—(4), находим d (а/) = ad/; d[f-g\=fdg+dfg‘, l_g J g2(*o) (1) (2) (3) (4) последнее равенство имеет место, как и 7.13 (4), при ус- ловии, что =/=0.
262 гл. 7. производная Р-34 7.34. Дифференциал сложной функции. Фор- мула 7.15 (1) после умножения на dx дает dz—g' (у0)у' (x0)dx = g' (y0)dy. Но если бы у было независимым переменным, а не функцией от х, то дифференциал функции z мы написали бы, согласно определению, точно так же: dz=g'(y0)dy. Таким образом, дифференциал функции не зависит от того, является ее аргумент независимым переменным или функцией от нового переменного. Этот факт можно использовать при практическом диф- ференцировании сложных функций. Например, производную от (х2+1)8в (7.15 б) можно вычислить через дифференциал d (х2 + 1 )88 = 99 (х2 + 1 )B8d (х2 + 1) = 99 • (х2 + 1)«® 2xdx, откуда ((х2 + 1 )в9)' = = 99 (х2 + 1 )88 • 2х. § 7.4. Теоремы о конечных приращениях 7.41. Теорема Ролля. Если (конечная) функция f(x) непрерывна на отрезке [а, (может быть, бесконечном), причем f(a)=f(b), и дифференцируема во всех точках ин- тервала (а, Ь), то существует точка с£(а, Ь), для которой f'(c) = 0. Доказательство. В силу 5.16 в существует точка с£(а, Ь), в которой выполняется равенство f(c) — sup{/(х)} (или /(c) = inf {/(х)}). Таким образом, с есть точка локаль- ного экстремума функции /(х). По 7.24 имеем /'(c) —О, что и требуется. 7.42. Следствие. Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, &] и дифференцируема на интервале (а,Ь)и если всю- ду на (а, Ь) имеет место неравенство f (х) =/= 0, то f (b)^=f(a). Доказывается от противного с применением 7.41. 1АЪ. Теорема Коши. Если (конечные) функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке а х b (может быть, бесконеч-
7.44] § 7.4. ТЕОРЕМЫ О КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЯХ 263 ном) и дифференцируемы во всех внутренних точках отрезка, причем g' (х) не обращается в нуль, то существует точка с С (а, Ь), для которой f(b)—f(a) _ Г (с) ,, g(b)—g(a) g'(c)' v 1 Доказательство. Заметим, что g(b) ^g(a) в силу 7.42. Функция ф(х)=/(х)—Ag-(x) с любой постоянной А вместе с функциями f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема во всех его внутренних точках. Подберем А так, чтобы для функции ф(х) выполнялось ус- ловие теоремы Ролля ф(&) = ф(а). Для А мы получим урав- нение f(a) — Ag(a)=f{b)—Ag(b), откуда f(ft)-f(g) g(b)—g(a) • Применим теорему Ролля: существует точка с £ (а, Ь), в которой #'(4=о. Отсюда и следует (1). 7.44. Следствие (теорема Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на конечном отрезке [а, ft] и диф- ференцируема в его внутренних точках, то существует такая точка с С (а, Ь), что Для доказательства нужно в положить g{x) = x. Формулу (1) но записать в виде f(b)=f{a)+f' (с) (Ь-—а); в этом виде она называется формулой конечного приращения. Геометрически с — такая точка на от- резке [a, ft], что касательная к кривой y—f(x) в соответ- ствующей точке (с, /(c)) параллельна хорде, соединяющей точки (a, f(a)) и (ft, /(ft)) (рис. 7.7).
264 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ [7.45 7.45. Следствия. а. Если f (х) > 0 всюду в (а, Ь), то функция /(х) воз- растает на [а, &]. б. Если /'(х)<0 всюду в (а, Ь), то функция f(x) убы- вает на [а, 6]. в. Если /'(х) = 0, то f(x) постоянна. Для доказательства заменим в 7.44(1) а на х', b на х", где [х', х"] с [а, &]. Далее, (а) если /' (х) > 0, мы получим /(х") =/(х') + (х’-х')/' (с) >/(*'); (б) если f (х) < 0, то /(х") =/(х') + (х"-х')Г (с) </(X'); (в) если же /' (х) = 0, то /(х") =/(х') + (х"—х')/' (с) ^У(х'), что и доказывает утверждение. г. Пример. Пусть /(x) = sinx, /'(x) = cosx. В про- межутках —~4-2йл<х<-^- + 2£л функция cosх положи- тельна (5.65), и мы делаем вывод, что в этих промежутках функция sinx возрастает; в промежутках -2-2kn < х < Зя < — +2Лл функция cosx отрицательна, и, следовательно, функция sinx убывает. Аналогично, если положить /(х) = — cosx, f'(x) =—sinx, мы получим, что в промежутках (2k—1)л<х<2£л функция cosx возрастает, а в проме- жутках 2kn < х < (2^+ 1)л — убывает. (Собственно говоря, такого рода выводы мы делали и в 5.65, ио рассуждения здесь более короткие.) § 7.5. Расположение кривой относительно своей касательной 7.Б1 . Пусть функция у = f (х) непрерывна на интервале (а, Ь), содержащем точку х0, и обладает в sjom интервале производной /'(х). Мы рассмотрим здесь взаимное распо- ложение графика функции у =*f(x) и ее касательной,
7.52] § 7.5. РАСПОЛОЖЕНИЕ КРИВОЙ 265 проведенной в точке с х = х0: Y(x)=f(x0)+f (х0)-(х—х0). Введем следующие определения. Точка х0 называется точкой выпуклости вверх функции /(х), если в окрестности точки х0 (кроме самой этой точки) выполняется неравенство /(х)< Y(х), или, иначе говоря, если график функции /(х) в окрестности точки х0 располагается ниже касательной, проведенной в точке х0. Аналогично точка х0 называется а хд b Рис. 7.8. точкой выпуклости вниз функции /(х), если в окрестности точки х0 выполняется неравенство то же, если график функции распо- лагается выше касательной. Если каждая точка х £ (а, Ь) есть точка выпуклости вверх(вниз)для функции у = /(х), то функция/(х) называет- ся выпуклой вверх (вниз) на интервале (а, Ь). Точка х0 называется точкой перегиба функции /(х), если при х< х0 кривая/(х) располагается по одну сторону, а при х > х0—по /(x)>F(x), или, что другую сторону от касательной, проведенной в точке х0. Рис. 7.8—7.10 иллюстрируют указанные случаи. Ниже даются достаточные (аналитические) условия осу- ществления того или иного из рассматриваемых случаев. 7.52. а. Если при всех т]ё(х0, Ь) выполняется неравен- ство f (т]) < f (х0), то кривая f(x) располагается при х^> Хц ниже касательной, проведенной в точке Хд.
266 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ [7.53 б. Если при всех г] € (х0, выполняется неравенство f fa) > f (хо)> то кривая f(x) располагается при х > х0 выше этой касательной. Действительно, в первом предположении для х > х0 по формуле Лагранжа имеем /(х)=/(х0) +/' (TJ) (х—х0) < /(х0) +/'(*0) (X—Хо) = Y(х), что и требуется; при втором предположении рассуждение аналогичное. 7.53. Аналогично если при всех £ £ (а, х0) выполняется неравенство f (£) > f (х0), то кривая f (х) располагается при х < х0 ниже касательной, проведенной в точке х0; если при всех х0) выполняется неравенство f (£) </' (х0), то кривая f (х) располагается при х <_х^ выше этой каса- тельной. Доказательство получается, так же, как и в 7.52, при- менением формулы Лагранжа к отрезку [х, х0]. 7.54. Комбинируя возможности, описанные в 7.52 и 7.53, приходим к следующим результатам: Если при всех £ g {а, х0) и т| £ (х0, Ь) выполняется нера- венство ГЮ>Г(х0)>/'(п), то х0 есть точка выпуклости вверх для функции /(х); если при всех £ g (а, х0) и г] £ (х0, Ь) выполняется неравенство h), то х0 есть точка выпуклости вниз для функции /(х). Нако- нец, если для всех £ £ (а, х0) и г] G (х0, Ь) выполняются не- равенства или неравенства то х0 есть точка перегиба функции f(x). 7.55. Далее, непосредственно получается вывод: Если функция f (х) возрастает при а <_х <.Ь, то функ- ция f(x) выпукла вниз в интервале (а, Ь); если f (х) убы-
7.57] § 7.5. РАСПОЛОЖЕНИЕ КРИВОЙ 267 вает при а < х < /\ то /(х) выпукла вверх в интервале (а, Ь). При мер.'Положим f(x)=sinx, f (x) = cosx. Так как в про- межутках (2k—1) л < х < 2/гл функция cosx возрастает (7Л5), то в этих промежутках функция sinx выпукла вниз; так как в проме- жутках 2йл < х< (2fe-j- 1) л функция cosx убывает, то в этих про- межутках функция sin х выпукла вверх. Аналогично в промежутках (1 х г з х 2k-]- — J я < х < 2fe + -g-1 л функция cos х выпукла вниз, а в про- межутках ^2k—^л<х< л—выпукла вверх. (Этим обоснован вид графиков функций sinx и cosx, приведенных в 5.65.) В 8.32—8.33 будут даны аналитические условия для выде- ления точек выпуклости и точек перегиба, Основанные на свойствах высших производных функции /(х). 7.56. Если f (хо) = О, то Y(х)=/(х0) и касательная, проведенная при х = х0, горизонтальна. Если при этом х0 есть точка выпуклости вниз, т. е. кривая /(х) располага- ется над касательной, то в окрестности точки х0 мы имеем /(х)>/(х0) и, Следовательно, х0 есть точка локального минимума функции /(х). Аналогично если при /' (х0) = О точка х0 есть точка выпуклости вверх, то она является точкой локального максимума. Мы получаем теперь из 7.54 следующие достаточные условия для минимума или макси-, мума: Теорема. Пусть f'(xo) = O. Если при этом для всех £ (Е (а, х0) и т| (Е (х0, Ь) выполняются неравенства /'(IX о, /'(т|) > О, то х0 есть точка локального минимума функции /(х). Если, наоборот, для всех £ £ («, х0) и т] (Е (х0, Ь) выполняются неравенства /'(!)> о, /'(ч)<о, то х0 есть точка локального максимума функции /(х). 7.57. Пусть, как и в 7.56, /'(хо) = О и при всех I ё («, х0), ’l ё (х0, выполняются неравенства /' (I) < 0, /' (т|) < 0.
268 ГЛ. t. ПРОИЗВОДНАЯ [7.61 Тогда, согласно 7.53, точка х0 есть точка перегиба для функции /(х): кривая у = f(x) переходит в точке х0 с одной стороны касательной на другую сторону, так что в этом случае точка х0 заведомо не является ни точкой минимума, ни точкой максимума. Аналогичное положение имеет место в случае, когда при всех £ £ (а, х0), т] £ (х0, Ь) выполняются неравенства Z'(В)>0, Г(п)>0. § 7.6. Правила Лопиталя Теоремы, приведенные в этом параграфе, часто бывают полезны при вычислении пределов. 7.61. Первое правило Лопиталя. Пусть (конеч- ные) функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а, /?] (может быть, бесконечном) и дифференцируемы в интервале (а, Ь), и пусть g' (х) 5^ 0 всюду в (а, Ь). Пусть, далее, известно, что £(«)=/(«) = 0. Тогда говорят, что отношение ляет собой неопределенность вида -д- при х \ а представ- Теорема. Если при указанных условиях lim хХх а f (X) g'W = А (на расширенной числовой оси), то и lim /(х) g(x) А. Доказательство. Сначала предположим, что —оо < А < оо. Для заданного е > 0 выберем х0 так, чтобы в интервале (а, х0) выполнялось неравенство Применим теорему Коши 7.43 к отрезку [а, х0], где а < х < х0; в силу этой теоремы существует такая
7.62) § 7.6. ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ 269 точка с £ (а, х0), что f(x) (x0)—f (а) _ f (с) g(x) g(x0)—g(a) g'(c) и, следовательно, для всех х, a <Zx х0, f (x) < \ 8. g(x) 1 1 g (c) Это и означает, что Д = Ит ~ . x^aS(x) В случае, когда А бесконечно, неравенство (1) заме- f'(x) f’{x) . 1 нится неравенством ~> — или < —— в зависи- мости от знака А, в остальном доказательство не меняется. 7.62. Второе правило Лопиталя. Пусть функции /(х) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в интервале (а, Ь) (может быть, бесконечном) и g’ (х) не обращается в нуль в (а, Ь). Пусть известно, что g(a) =f(a) — оо; тогда говорят, что отношение при х \ а представляет собой неопределенность вида —. Теорема. Если при указанных условиях lim х \ а f{x) g'(x) = А (на расширенной числовой оси), то и lim х \ а f(x) g(x) = А. Доказательство. Пусть сначала А конечно. Для заданного е >> О выберем х0 так, чтобы в интервале (а, х0) выполнялось неравенство | Г (х) I g' (х) —А 8. (1) Определим функцию D(x, х0) из условия f(x) g(x) f(x)—f (х0) g(x)—g(XQ) D (x, x0).
270 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ (7.62 Мы имеем g(x)—g(x0) t g(X„) D<x’ = {2) f(x) g(x) при x —► а. Применяя к отрезку [х, х0] теорему Коши, получаем, что для некоторой точки с £ [х, х0] f (*) _ f (с) . Г) (х х \ — ? Ю I F (с) гп (х х \_11 g(x) 8'(с) ’ 0 8' (с) g' (с) I ’ 0 Отсюда для тех х, для которых |£)(х, х0) — 11 < е, на- ходим л| + |-4^||£)(х, х0)—1|< lg(*) 1^4 8 (с) I Ч 8 (с) I v ’ ° Се+(Н| + е)е. (3) Так как 8 произвольно мало, то lim = А, что и тре- х -> а & \х' бовалось. В случае, когда А—оа, неравенство (1) заменяется не- равенством а неРавенство (3)—неравенством f(x) Г (с) 1 g(x) g'(c) ’ 2 ’ имеющим место при х, достаточно близких к Л, в силу (2). В случае А=—оо проводится аналогичное рассуждение. ЗАДАЧИ 1. Пусть f (х) определена при а^х<Ь и при любых и х2 из [a. bj удовлетворяет неравенству lf(x^—f(x2)\<Clxl—xi]1+a, а>0. Доказать, что /(х) постоянна. 2. Пусть f (х) определена и дифференцируема при х > с. Пусть, далее, limf'(x)=0. Тогда при любом h > 0 lim [f(x+ft)-f(x)]=O. Х-* оо 3. Функция f(x), имеющая на отрезке [а, Ь] непрерывную про- изводную, равномерно дифференцируема на [а, Ь]; иными словами, для любого е > 0 существует такое б > 0, что из | Xt—х21 < 6,
ЗАДАЧИ 271 Г (*1) xi. Хъ£[а. 6] следует неравенство f (x2)—f (*i) I . „ 1 < e- 4. Показать, что функция «/=x2sin-^- всюду дифференцируема на [0, 1], но ее производная не является непрерывной. 5. У функции f(x), всюду дифференцируемой на [а, Ь], произ- водная принимает любое значение между f' (а) и f (Ь) (теорема Дарбу). 6. Если функция f (х) выпукла вниз на (а, Ь) (7.51), то для любого х£ (а, Ь) имеет место неравенство f (х) < ¥ (х) , т. е. график функции f(x) лежит не выше хорды, соединяющей точки с абсциссами а и Ь. 7. Результат задачи 6 приводит к более общему (чем в 7.51) определению выпуклости функции 7, ие опирающемуся на ее диф- ференцируемость: функция y=f(x) называется выпуклой (вниз) на [о, Ь], если иа любом интервале (а, 0) с [а, Ь] ее график прохо- дит ие выше хорды, соединяющей точки с абсциссами а и 0, т. е. при любом х£(а, 0) f м /(₽)(*—<*)+/(«)(₽—*) ‘И) • Доказать, что для любых точек xlt . . ., хр отрезка [о, Ь] и любых р чисел . ., Хр, таких, что 0<Ху<1 (/== 1........р) и У 1, / р \ р л 2 V/) < 2 М (*/)• \/= 1 / 1-1 8. (Продолжение. В задачах 8—13 используется определение выпуклости, введенное в задаче 7.) Показать, что функция / (х) вы- пукла на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда при х > а > а наклон хорды р(а,х)=^х)-^и). есть неубывающая функция от х при каждом фиксированном а. 9. (Продолжение.) Функция f(x), выпуклая на отрезке [а, Ь], непрерывна в каждой точке х£(а, Ь) н имеет конечную левую и пра- вую производные, причем /лев^Х/прОО- 10. (Продолжение.) Если f(x) выпукла на [а, Ь], то функции /лев (х) и f (х) ие убывают и для любых а и 0, а < а < 0 < Ь, f {гЛ^. Н0)—Л«) _ f I пр Р а /лев (г)"
272 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ 11. (Продолжение.) Всякая выпуклая на [a, Ь] функция f (х) имеет производную всюду на [«, Ь], кроме, возможно, счетного мно- жества точек. 12. Пусть f (х) дифференцируема на fa, b] и для любой пары точек а, р, где a<a<f^b, существует единственная точка у такая, что Показать, что или f (х), или —f (х) выпукла на [а, Ь]. 13. Если функция у — f (х) выпукла вниз в окрестности точки х0£(а, Ь), то ее график лежит не ниже правой и левой полу каса- тельных в точке х0, т. е. f (*) Ss (х—х„) f „р (х0) + f (х0) (х > х0), f (х) Sa (х—Х0) £,ев (хп) + f (х0) (х < х0). 14. Дифференцируемая кривая y=f(x), определенная при asjxsgjoo, тогда и только тогда обладает асимптотой y=kx-[-b (гл. 4, задача 10), когда существуют пределы k= lim f (х), b= lim [f (x)—xf (x)J. a> oc 15. Если функция f (x) определена в отрезке [a, b] и в интервале (a, b) существует производная f (х), имеющая при х \ а предел р, то это число р есть правая производная функции / (х) прн х=а. 16. Если функция f(t) возрастает при 0«£/<Ь, а при 0 < <s£b обладает убывающей производной f (f) (при t ~>0 производная может неограниченно возрастать), то 17. (Пример Ван-дер-Вардена.) Положим (х при 0<х=С-^-, j 1—X При -g-<X< 1 и продолжим эту функцию затем на всю ось с периодом 1. Положим, далее, Фп(*)=^<Ро (4"х). Функция qn(x) имеет период 4-п и производную всюду, кроме уг- ловых точек с абсциссами равную -f-1 или—1. Пусть, наконец, ОО п= I Показать, что f (х) непрерывна, но ни в одной точке не имеет про- изводной.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 273 Историческая справка Дифференциальное исчисление (вместе с интегральным) появи- лось в XVII веке; рассмотренное вначале в частных случаях многими учеными в геометрическом и кинематическом аспекте (Ферма, Тори- челли, Ролль, Барроу), оно было сформулировано общим образом в конце века И. Ньютоном и Г. Лейбницем*). Лейбниц ввел символ , . - du „ ,, дифференциала и обозначение для производной. Ньютон, затем Лейбниц и его ученики, в первую очередь братья Якоб и Иоганн Бернулли, применили методы дифференциального исчисления к мно- гочисленным проблемам геометрии, механики и физики. Для физиче- ских применений центральную роль сыграло истолкование скорости движения как производной от пройденного пути по времени. Первый трактат по дифференциальному исчислению «был напи- сан в 1691—1692 г. Иоганном Бернулли в качестве пособия для одного маркиза, который показал себя хорошим учеником» (Бурбаки). Этот маркиз, Гийом Франсуа де Лопиталь, опубликовал в 1696 г. упомя- нутый трактат, чем и составил себе имя в истории науки. По-види- мому, исторически более правильно было бы называть «правила До- пита ля» правилами Бернулли. Точное определение производной, осно- ванное на определении предела, дано лишь у Коши **); со времени Коши «существование производной, в которое до тех пор можно было только верить, становится вопросом, изучаемым обычными сред- ствами анализа» (Бурбаки). Примеры непрерывных функций без про- изводных были указаны Больцано (1830, опубликовано в 1930) и Вейерштрассом (1860, опубликовано в 1872). В обосновании анализа лекции Вейерштрасса в Берлинском университете явились следующим этапом после Коши. *) По этим вопросам первая публикация Лейбница относится